ECON20003 - QUANTITATIVE METHODS 2
FORMULA SHEET
One Population
1 n
x   xi
n i 1
,
2
1 n
1  n 2
1  n 2 1 n  
2
2
s 
  xi  x   n  1   xi  nx   n  1   xi  n   xi  
n  1 i 1
 i 1

 i 1  
 i 1
2
x
 z  ,  x   / n
X    /2 x
 t /2 sx , sx  s / n

B  n, p  ∼ N np, npq

T ∼ N  T ,  T  , Z 
pˆ  z /2 s pˆ , s pˆ 
ˆˆ
pq
n
, T 
, Z
n

xi  x
  1 
K


n i 1  (n  1) / n  s 
t
X  0
, df  n  1
sx


,
Z
S  0.5n
0.5 n
n(n  1)
n(n  1)(2n  1)
,  T2 
4
24
p̂  p0
p0 q0
n
 (n  1) s 2 (n  1) s 2 
,

 , df  n  1
2
12 /2 
  /2
n

xi  x
  1 
SK


n i 1  ( n  1) / n  s 
,
S ∼ N 0.5n, 0.5 n
,
T  T
T
X  0
x
Z
,
, 2 
(n  1) s 2
, df  n  1
 02
3
, sSK
 
6
n
, sK 
24
n
4
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Two Populations – Matched Pairs
 z / 2  x ,  x   D / n
D
D
XD  
tn 1, /2 sxD , sxD  sD / n
,
Z
X D   D,0
,
 xD
t
X D   D ,0
sxD
, df  n  1
Two Populations - Independent Samples
 12  22

n1 n2
 X 1  X 2   z /2  x1  x2 ,  x1  x2 
Z
,
X  X 
1
2
D ,0
 x1  x2
(n1  1) s12  (n2  1) s22
1
2  1
2
s
,
s

s

,
s


 /2 x1  x2
x1  x2
p
p1
n1  n2  2
 n1 n2 
X  X t
1
2
t
X  X 
1
2
x1  x2 ,0
sx1  x2
, df  n1  n2  2
s12
s22
2
2
2
2
s
,
s

s

s
,
s

,
s

 /2 x1  x2
x1  x2
x1
x2
x1
x2
n1
n2
X  X t
1
2
X  X 
t
1
2
x1  x2 ,0
sx1  x2
1
2
T  T
T
, T 
pˆ1  pˆ 2
, s pˆ1  pˆ 2 
s pˆ1  pˆ 2
Z
 pˆ1  pˆ 2   D0 , s
2
2
2
x2
1
2
2
ni ( n1  n2  1)
n n (n  n  1)
,  T2  1 2 1 2
2
12
pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2

n1
n2
, s pˆ1  pˆ 2 
Z
s pˆ1  pˆ 2
2
x1  x2
2
x1
T ∼ N  T ,  T  , Z 
 pˆ1  pˆ 2   z / 2 s pˆ  pˆ
s 
, df 
 s  / (n  1)   s  / (n  1)
1 1
f f
ˆ ˆ    , pˆ  1 2
pq
n1  n2
 n1 n2 
pˆ1  pˆ 2

f
pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2

, pˆ i  i , qˆi  1  pˆ i
n1
n2
ni
 s12 / s22 s12 / s22 
,

 , df1  n1  1, df 2  n2  1
 F /2 F1 / 2 
,
Page 2
s2
F  12
s2
,
F1 ,df1 ,df2 
1
F ,df2 ,df1
Two or More Populations – Independent Samples
nj
SS    xij  x   ( n  1) s 2 , x 
k
SS  SST  SSE
,
2
j 1 i 1
SST   n j  x j  x 
k
2
j 1
MST 
H
SST
k 1
,
nj
SSE    xij  x j    ( n j  1) s 2j
k
,
k T2
12
j
 3(n  1)

n(n  1) j 1 n j
SSE
nk
,
,
k
2
j 1 i 1
MSE 
k
1 k
,

n
x
n
nj
 j j

n j 1
j 1
j 1
F
MST
, df1  k  1 , df 2  n  k
MSE
H ∼  df2 , df  k  1
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Correlation and Linear Regression
sxy 
1 n
1  n
1  n
1  n   n 

(
x

x
)(
y

y
)

x
y

nx
y

x
y

 i
 i i
i
 n  1   i i n   xi    yi  
n  1 i 1
n  1  i 1

 i 1   i 1  
 i 1
2
1 n
1  n 2
1  n 2 1 n  
2
2
s 
  xi  x   n  1   xi  nx   n  1   xi  n   xi  
n  1 i 1
 i 1

 i 1  
 i 1
2
x
2
1 n
1  n 2
1  n 2 1 n  
2
2
s 
  yi  y   n  1   yi  ny   n  1   yi  n   yi  
n  1 i 1
 i 1

 i 1  
 i 1
2
y
rxy 
s xy

sx s y
1 n  xi  x   yi  y 



n  1 i 1  sx   s y 
tr 
,
rxy n  2
1  rxy2
, df  n  2
yi  β0  β1 xi   i
 ( xi  x )( yi  y )  sxy
ˆ1  i 1 n
sx2
 i1 ( xi  x )2
n
βˆi  tα / 2 ,n  k 1s βˆ
ˆ0  y  ˆ1 x
,
ˆi   0,i
sˆ
tˆ 
,
i
i
yˆi  ˆ0  ˆ1 xi
,
i  0,1 , df  n  2
,
i
sˆ  s
 x /n
0
n
2
i 1 i
(n  1) s
2
x
,
1
(n  1) sx2
sˆ  s
1
,
s 
SSE
n  k 1
R 2  rxy2
n
n

s2 
SSE   ei2   ( yi  yˆi ) 2  (n  1)  s y2  xy2 

sx 
i 1
i 1

s yˆ0  s 1 
( x  x )2
1
 n0
n  ( xi  x ) 2
,
sEˆ ( y )  s
0
i 1
yˆ 0  t /2 s yˆ0
,
( x  x )2
1
 n0
n  ( xi  x ) 2
i 1
yˆ0  t / 2 sEˆ ( y )
,
df  n  2
0
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,
ei  yi  yˆi
yi  β0  β1 xi  ...  βk xk   i
yˆi  βˆ0  βˆ1 xi  ...  βˆk xk
βˆi  tα / 2 ,n  k 1s βˆ
,
ei  yi  yˆi
ˆi   0,i
sˆ
tˆ 
,
i
i
,
i  0,1,..., k , df  n  k  1
i
SST  SSR  SSE
n
,
SST   ( yi  y ) 2  ( n  1) s y2
n
,
i 1
R2 
s2
SSR
SSE
 1
 2xy 2
SST
SST s x s y
R2  1
,
SSR   ( yˆi  y ) 2
i 1
SSE / ( n  k  1)
n 1
 1
(1  R 2 )
SST / ( n  1)
n  k 1
F
MSR
SSR / k
R2 / k


, df1  k , df 2  n  k  1
MSE SSE / (n  k  1) (1  R 2 ) / (n  k  1)
F
n  k  1 SSEr  SSE n  k  1 R 2  Rr2

, df1  m , df 2  n  k  1
m
SSE
m
1 R2
VIFj 
1
1  R 2j
yˆ 0  t /2 s yˆ0
,
yˆ 0  t / 2 sEˆ ( y )  yˆ 0  2 s
df  n  k  1
,
0
Dummy Dependent Variable Models
Z  0  1 X1  2 X 2  ...  k X k , P  P ( D  1| X 1 , X 2 ,..., X k )
D  Z 
Linear Probability Model:
P  E ( D | X1 , X 2 ,..., X k )  Z
Logit Model:
P  F (Z ) 
1
1  e Z
,
,
dP
 i
DX i
dP
eZ
 f ( Z ) i 
i
dX i
(1  e Z )2
1 0.5u 2
dP
e 0.5 Z
e
du ,
 f ( Z ) i 
i
dX i
2
2
2
Probit Model:
P  F (Z )  
Z

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