São Paulo, novembro de 2019
Instituto de Matemática e Estatística - USP
Frações
Yasmin O. Sakae - nº USP: 8656584
Ivaldo Antonio dos Santos - nº USP: 1136873
Henrique de O Alves - nº USP: 7987550
Carta ao professor:
Olá professor,
Os nossos queridos alunos já aprenderam conceitos de frações e desta vez você terá um
trabalho inovador. Este capítulo foi elaborado com um objetivo de uma didática mais prática
para que os estudantes consigam compreender a utilidade de frações por meio de projetos
que executarão em grupo. Os conceitos serão revisados e também haverão exercícios
extras para que vocês treinem juntos e eles também, sozinhos. A ideia é ensinar de uma
maneira divertida e diferente, a qual estimulará uma postura ativa no aprendizado, além de
proporcionar uma união e uma colaboração entre os alunos, como também, descobrir novos
talentos e habilidades, tão importantes para o desenvolvimento do indivíduo.
Vamos começar?
Bom trabalho.
Carta ao aluno:
Olá querido estudante,
Você já aprendeu sobre frações, lembra? Agora, você colocará em prática! Neste capítulo
serão abordados alguns projetos para que execute com seus colegas, e desta maneira,
conseguirá entender como está tão presente em nosso cotidiano. Mas não se esqueça de
fazer os exercícios da seção Treinando para que você consiga desenvolver um raciocínio
que te ajudará no seu trabalho e na sua vida.
Está preparado para aprender matemática de uma maneira diferente e divertida?
Boa sorte! E vamos começar!
Revisando as frações
Você sabia?
A palavra fração vem do latim fractus que significa “partido”. No antigo Egito por
volta de 3.000 a.C o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para
alguns agricultores e para isso, os agrimensores, também chamados de estiradores de
corda, mediam os terrenos com cordas nas quais a unidade de medida estava marcada.
Para registrar a parte distribuída utilizavam-se de sinais em que o numerador era sempre
oval e denominador eram os símbolos de numeração:
Fonte:https://www.google.com.br/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjl4NOozdDlAhWEB9QKHYBr
Ae8QjB16BAgBEAM&url=https%3A%2F%2Fincrivelhistoria.com.br%2Fegito-antigo-historia-caracteristicas%2F&psig=AOvVaw
1tehYvjT2T_Pd_Awgkwk-7&ust=1572958528161883
Fonte:https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjLicO9rs_lAhX0HLkGHbz3ASw
QjB16BAgBEAM&url=https%3A%2F%2Fpt.wikipedia.org%2Fwiki%2FFra%25C3%25A7%25C3%25A3o&psig=AOvVaw2Gy2J
Lih4h3wFT4tl_s9ea&ust=1572915882945793
A razão de dois números naturais só foi criada pelos hindus com o Sistema de numeração
decimal.
Representação:
Alguns exemplos:
1) A pizza que foi dividida em 8 partes de tamanhos iguais, então possui 8 pedaços,
1
8 da pizza. Sendo a pizza inteira representada por
8
7
8 , se tirarmos um pedaço dela, qual é a fração que representará a parte restante? 8
sendo cada pedaço representado por
Fonte:https://www.google.com.br/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwj2yqyXztDlAhVcILkGHb_8DG
UQjB16BAgBEAM&url=https%3A%2F%2Fwww.todamateria.com.br%2Ffracoes%2F&psig=AOvVaw3brMdmLQUcM3C56ytfAq
HC&ust=1572958693972999
2) Mas e se dividirmos uma circunferência em 5 partes iguais, se tirarmos um
pedaço dela, quanto sobrará?
4
5
3) Aqui temos maçãs, quantas partes essas maçãs foram divididas? 4
4) Essas são duas barras de chocolate, sendo a cor mais alaranjada o quanto tem
de chocolate e a cor bege é o que já foi comido. Digamos que a barra da esquerda é quanto
você tinha de chocolate hoje de manhã, mas seu amigo pediu um pedaço e o que lhe restou
foi a barra da direita. Qual a fração do seu chocolate que você deu a seu amigo?
4
24 ou
4
18 Sugerimos que comece a discussão do quanto é o todo, se é o tamanho da barra
original ou o quanto o aluno tinha de chocolate naquela manhã.
Curiosidade!
Aproximadamente
3
4 do nosso corpo é composto por água
Treinando a mente
1. Represente com desenhos as seguintes frações:
a.
b.
c.
d.
e.
1
2 copo de suco
3
4 de lata de tinta
2
8 de pizza
4
5 de um saco de 10 laranjas
1
6 de bolo
Leitura de fração
Denominador menor que 10:
Denominador igual a potência de 10:
Denominador maior que 10:
Treinando a mente
Escreva como se lê as frações abaixo:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
5
7 cinco sétimos
10
6 dez sextos
2
100 dois centésimos
9
13 nove treze avos
25
7 vinte e cinco sétimos
23
45 vinte e três e quarenta e cinco avos
Frações maiores que um inteiro
Quando dizemos
pegar uma delas:
Ou,
3
4 de algo:
1
3 de algo, já pensamos que vamos dividir em três partes e iguais e
E assim, podemos pensar em diversos exemplos que você já treinou acima.
Mas e quando falamos de um número de partes maior do que a as possíveis de serem
pegas na unidade referente?
Vamos para alguns exemplos:
Quero representar a fração
partes de
1
5 :
7
5 e para isso, vou precisar de mais uma barra pois quero 7
7
2
5 ,conseguimos utilizar a notação de número misto 1 5 , pois temos
2
1 unidade e mais
5 da mesa unidade.
Para representar o
Agora quero representar
Podemos escrever
8
3 :
2 32
Treinando a mente
1. Represente as seguintes frações em sua forma de número misto:
a.
4
1
3 13
b.
9
4
5 15
c.
5
1
2
2
2
d.
17
4
4 41
2. Seu João foi comprar a farinha para seus bolos em um local que vendia por peso e
precisava de 250 gramas. A venda tinha como medidor canecas de 100 gramas e de
150 gramas, mas Seu João não gosta de utilizar duas canetas com o mesmo cliente.
Como poderia fazer a medição?
Poderíamos utilizar algumas opções:
a. Com caneca de 100g: pedirá duas canecas cheias mais meia caneca, ou seja, 2
1
5
2 ou 2 .
b. Com caneca de 150g: pedirá uma caneca e
2
1
4
3 de outra, ou seja, 1 3 ou 3
3. Para sua receita de bolo, Dona Maria precisava de 200 mL observou que no mercado
havia dois medidores: 125 mL e 75 mL. Quais formas ela pode utilizar cada medidor
para ter a sua medida de leite?
3
3
8
5 de outra, ou seja, 1 5 ou 5
1
1
7
Com o de 75 mL: pedirá 2 e
3 ou seja, 1 3 ou 3
Com o de 125 mL: pedirá 1 e
Frações Equivalentes
Equivalência de fração ocorre quando, embora a representação numérica seja diferente,
elas possuem um mesmo significado. Por exemplo,
está relacionado, como também
1
2 representa metade do todo que
2
3
7
,
,
4
6
14 .
Observe a figura abaixo:
Dizemos que uma fração está simplificada ao máximo quando o numerador e denominador
já não possuem nenhum fator em comum. E para que isso ocorra temos que dividir ambos
pelos fatores em comum até não haver mais nenhum fator comum além do número 1, o que
chamamos de fração irredutível. Por exemplo:
3
1
6 podemos dividir por 3 e assim, resulta em 2 . O mesmo ocorre ao dividir o
2
4
numerador e o denominador da fração
4 por 2, e também, a fração 8 por 4. Veja
Em
alguns exemplos:
1.
Observe a representação da pizza abaixo e diferentes frações dela:
2
4
1
2
4
8
Nota-se que ambas indicam metade de uma pizza
2. Observe a representação da barra de chocolate abaixo e diferentes frações dela:
1
5
3
15
2
3
10
15
Proposta ao professor: combine com seus alunos um dia de piquenique das frações
e peça para que cada traga algum alimento fácil de cortar e representar frações,
como por exemplo: chocolate, fruta, pão, bolo, suco. Desenvolva a ideia de fração
equivalente.
Treinando a mente
1. Escreva pelo menos 3 frações equivalentes para cada número abaixo:
a.
b.
1
4
2
5
c.
d.
2.
6
7
9
4
No final do livro estão anexadas as peças de um jogo de dominó de frações
equivalentes. Tire uma cópia da folha e corte as peças, em seguida, junte-se com
um colega ou mais e misture as peças de vocês viradas para baixo. Distribua
igualmente para cada um. Após decidir quem irá começar e a ordem de jogada,
cada jogador só poderá colocar uma peça unindo faces de frações equivalentes ou
iguais. Caso algum não tenha, passará a vez. Se em alguma determinada jogada
ninguém tiver uma fração equivalente as que estão na mesa, começará a rodada
de frações maiores. Ganha quem acabar com as peças primeiro.
Professor, ajude seus alunos a entender fazendo alguma rodada teste.
Veja alguns exemplos:
Supondo que na mesa se observe essa rodada:
Do lado esquerdo temos a representação de metade e do lado direito temos a de
2
3 ,
portanto poderá colocar uma peça que também haja a mesma. Veja dois exemplos de
possíveis jogadas:
Iniciando os projetos
Está na hora de começar nosso divertido trabalho. Sejam bem vindos à cidade Fraciones,
onde a população se utiliza de frações para falar de tempo, medida, preços e muitas outras
coisas. Fique atento, pois você só poderá negociar usando a linguagem com frações e o
dinheiro utilizado na cidade é o fracion.
Se dividam em quatro grupos, o qual cada um irá abrir sua própria microempresa. Abaixo
estão as propostas. Sigam os passos que tenho certeza que terá muito sucesso! Bom
trabalho!
Olá professor, agora é com você. Ajude os estudantes a se dividirem em grupos e explique
com exemplos como funcionará a linguagem com frações. Exemplo: Ao comprar farinha,
terá que pedir
1
1
1
4 da medida e pagará com 10 de fracion. Utilizará 20 da medida
comprada em cada bolo.
Parte 1:
Devido ao crescimento populacional, a cidade Fraciones está precisando de novos
comércios, e por meio de uma pesquisa com a população, surgiu uma demanda maior por:
1. venda de bolos caseiros
2. venda de marmitas
3. kits escolares
4. tortas salgadas
Junto com seus colegas decidam qual grupo será encarregado por cada comércio e, em
seguida, discuta com seus parceiros qual será o nome de sua nova microempresa. Sejam
criativos! Criem um logo bem legal e chamativo.
Agora, vamos conhecer como funciona o sistema monetário:
A moeda utilizada é o fractus, em homenagem à origem da fração. Na tabela abaixo
encontramos os valores e seus significados:
Subdivisões do fractus
Valor
1 fracionito
24 fractus
1 fracion
24 fracionitos
1 fracionon
24 fracion
Vamos treinar um pouco a mente para conhecer esse dinheiro melhor?
Treinando a mente
1. Determine em fração os valores abaixo:
Pode utilizar as moedas do anexo para a resolução da atividade e elabore
estratégias para facilitar as mudanças de unidades monetárias.
50
a. 50 fractus é ______ fracionito 24
35
b. 35 fractus é ______ fracionito 24
24
c. 24 fractus é ______ fracion 576
240
d. 240 fractus é ______ fracion 576
ou 2 16
11
ou 1 24
1
ou 24
5
ou 12
576
e. 576 fractus é ______ fracionon 13824
f.
1152
1152 fractus é ______ fracionon 13824
1
ou 576
2
ou 576
20
g. 20 fracionitos é ______ fracion 24
ou 56
120
24 ou 5
180
5
i. 180 fracionitos é ______ fracionon 576 ou 6
270
15
j. 270 fracionitos é ______ fracionon 576 ou 32
60
1
k. 60 fracion é _______ fracionon 24 ou 2 2
80
1
l. 80 fracion é _______ fracionon 24 ou 3 3
h. 120 fracionitos é ______ fracion
2.
Marielle foi ao Sacolão do Martim comprar 6 bananas, 5 maçãs, 1 abacate, 6
tomates e 3 cebolas. Determine:
Sabendo que as medidas são:
Alimento
Quantidade
Valor
1 cacho de bananas
12 bananas
7 fracion
1 saco de maçãs
10 maçãs
4 fracion e 12 fracionitos
abacate
1
6 fracion e 10 fracionitos
1 saco de tomate
9 tomates
6 fracion
1 saco de cebola
8 cebolas
3 fracion e 20 fracionitos
Como Marielle terá que fazer seu pedido?
1
2 cacho de banana,
1
2
saco de maçã, 1 abacate, 35 de saco de tomate, 35 de
saco de cebola
Quanto Marielle terá que pagar em sua compra? Lembre-se da relação entre
subdivisões e dê o valor reduzido ao máximo. Por exemplo: 70 fracionitos = 2
fracion e 22 fracionitos
6 bananas:
3 21 fracion = 3 fracion e 12 fracionitos
5 maçãs: 2 fracion e 6 fracionitos
1 abacate: 6 fracion e 10 fracionitos
6 tomates: 4 fracion
4 cebolas: 2 fracion e 7 fracionitos
Total = 18 fracion e 11 fracionitos
Sabendo que Marielle pagou toda sua conta em fracion, quanto ela receberá de
troco?
Marielle deve ter pagado com 19 fracion e recebeu como troco 13 fracionitos, que
equivale a
13
24 fracion.
3.
Ruan foi ao Mercado do Seu Zé e sua compra resultou em 1 fracionon, 13 fracion
e 22 fracionitos, o qual entregou ao caixa 2 fracionon. Quanto ele receberá de
troco? Expresse em apenas fracion.
10 fracion e 2 fracionitos = 10
1
12
Parte 2:
Vamos agora analisar as características de cada comércio:
1. Bolos
Após muitas reuniões, foi decidido que seriam vendidos 4 sabores de bolos, 2 deles
veganos e 1 sem glúten, para atender diversos públicos. Abaixo estão os
ingredientes que serão utilizados em casa receita:
Bolo de Fubá:
●
●
●
●
●
●
●
3 ovos inteiros
200 g de açúcar
200 g de fubá
15 g de farinha de trigo
125 mL de óleo
250 mL de leite
5 g de fermento em pó
Bolo de cenoura vegano:
●
●
●
●
●
●
3 cenouras em pedaços
suco de 2 laranjas
125 mL de óleo
130 g de açúcar
300 g de farinha de trigo
5 g de fermento em pó
Bolo de limão vegano:
●
●
●
●
●
●
●
●
200 g de farinha de trigo
130 g de açúcar
120 mL de óleo
180 mL de água
60 mL de suco de limão
10 g de raspas de limão
1 g de bicarbonato de sódio (ou uma pitada)
7 g de fermento em pó
Bolo de chocolate sem glúten:
●
●
●
●
●
●
●
240 mL de leite
240 mL de óleo
2 unidades de ovo
200 g de farinha de arroz
100 g de achocolatado em pó
130 g de açúcar
5g de fermento em pó
2. Marmita
Após muitas reuniões foi decidido a venda de 4 marmitas diferentes, entre elas 2
veganas, para atender públicos diversos. Abaixo estão a composição delas:
Marmita 1:
● 100g de arroz
● 150g de feijão
● 2 ovos
● duas folhas de alface
● meio tomate
Marmita 2:
● 100g de arroz
● 150g de feijão
● 100g de grão de bico cozido
● 50g de batata
● 100g de brócolis
Marmita 3:
● 200g de macarrão
● 100g de carne moída
● 100ml de molho de tomate pronto
Marmita 4:
● 200g de macarrão
● 100g de carne de soja
● 100ml de molho de tomate pronto
3. Kits escolares
Após muitas reuniões foi decidido a venda de 3 kits escolares diferentes. Abaixo
está descrito como serão formados:
Kit 1:
● um caderno
● 2 canetas azuis
● 3 lápis
● 1 borracha
● 1 apontador
● 1 caixa de lápis de cor
Kit 2:
● 2 cadernos
● 5 lápis
● 1 borracha
● 1 apontador
● 1 caixa de lápis de cor
Kit 3:
● um caderno
● um estojo de canetinha
● 3 lápis
● 1 apontador
● 1 borracha
4. Tortas
Após muitas reuniões foram definidos 4 sabores de tortas que poderão ser feitas em
massa normal ou vegana.
Torta 1: Palmito
Torta 2: Brócolis
Torta 3: Frango
Torta 4: Carne
Massa:
● 210 g de farinha de trigo
● 480 mL de leite
● 240 mL de óleo
● 3 ovos
● 5 g de fermento em pó
● 1 g pitada de sal
Para a massa sem glúten, substitua a farinha de trigo pela de arroz, em mesma
quantidade.
Massa vegana:
● 360 mL de água
● 120 mL de óleo
● 1/2 cebola já picada
● 200 g de farinha de trigo
● 5 g de sal
● 15 g de açúcar
● 5 g fermento em pó
Recheios:
Palmito:
● Meia lata de milho verde
● 1 lata de palmito
● Meio vidro de azeitonas sem caroço
●
●
●
●
●
Uma cebola picadinha
Dois tomates picadinhos
Três dentes de alho amassados
15 mL de óleo
Pimenta e Sal a gosto
Brócolis:
●
●
●
●
●
●
●
Meia lata de milho verde cozido no vapor
1 maço de brócolis
Uma cebola picadinha
Dois tomates picadinhos
Três dentes de alho amassados
15 mL de óleo
Pimenta e Sal a gosto
Frango:
●
●
●
●
●
●
●
●
500 g de peito de frango sem pele
500 mL de caldo de galinha
60 mL de óleo
1 dente de alho amassado
1 cebola picada
3 tomates sem pele e sem sementes
Meia lata de ervilhas
sal e pimenta-do-reino a gosto
Carne:
●
●
●
●
●
●
●
500g de carne moída
1 cebola
1 tomate
1 lata de ervilha
Meia lata de azeitonas sem caroço
30 mL de óleo
Pimenta e sal a gosto
Atividade :
Determine a quantidade de produtos que serão necessários semanalmente de acordo com
a produção de cada comércio especificado abaixo. E calcule o faturamento diário e
semanal. Caso precise de ajuda, verifique como realizar as operações com frações a seguir.
Comércio
Bolos
Produção diária
3 Fubá
2 Cenoura Vegano
1 Limão Vegano
Valor da unidade
1 21 fraciono
1 43 fraciono
2 81 fraciono
2 Chocolate sem glúten
2 52 fraciono
Marmitas
3 Marmitas 1
3 Marmitas 2
2 Marmitas 3
2 Marmitas 4
7
8 fraciono
5
6 fraciono
3
4 fraciono
1
2 fraciono
Kits escolares
30 Kits 1
35 Kits 2
24 Kits 3
12
24 fraciono
15
24 fraciono
18
24 fraciono
Tortas
1 Torta de palmito sem glúten
1 Torta de palmito vegana
2 Tortas de brócolis vegana
1 Torta de frango
1 Torta de frango sem glúten
2 Tortas de carne
10
1 24
fraciono
7
1 12 fraciono
1 84 fraciono
1 42 fraciono
1 63 fraciono
1 21 fraciono
Utiliza as unidades quilogramas (kg) e litros(L), sabendo que: 1kg = 1000g e 1L = 1000mL.
Lembre-se que em Fraciones utiliza-se fração em sua linguagem.Exemplo:
1300 g é equivalente a 1kg e 300 g ou
50 fractus é equivalente à
3
1 10
kg
1 61 fracionitus.
Operações com frações
A Soma e a Subtração de fração
Primeiro caso: Frações com denominadores iguais
Vamos analisar a soma e a subtração de frações de divisões iguais de uma mesma
unidade, ou seja, mesmo denominador:
1
2
4 + 4 :
+
Observe que temos uma pater
=
1
1
3
4 com mais 2 partes de 4 resultando em 4
Observe mais exemplos:
2
3
+ 32 = 34
+
=
2
6
18 com 18 :
2
6
8
18 + 18 = 18 , podemos ainda simplificar essa fração pois o numerador e o
Somar
denominador tem um fator 2 em comum
(8÷2)
8
=
18
(18÷2)
= 94
Agora vamos fazer a seguinte operação:
Queremos subtrair
1
3
5 de 5
Temos 3 partes de
1
1
2
5 e retiramos 1 partes de 5 resultando em 5
3
5
- 51 = 52
Agora, suponha que tenhamos que subtrair
1
3
6 de 6 de algo:
Fonte:https://www.estudopratico.cohm.br/adicao-e-subtracao-de-fracoes/. Acesso em 30.10.2019
Treinando a mente
Faça as seguintes operações e deixe a resposta como fração irredutível. Desenhe para
representar:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
1
3 4
1
8 + 8 8 = 2
12
5 17
4
13 + 13 13 = 1 13
1
2 3
5 + 5 5
4
2 2
5 - 5 5
3
1 2
1
8 - 8 8 = 4
4
1 3
17 - 17 17
10
3 7
7 - 7 7 =1
Segundo caso: Frações com denominadores diferentes
Quando as frações possuem denominadores diferentes, é necessário encontrar outras
frações equivalentes a essas que possuem denominadores iguais para que seja possível a
operação.
Observe alguns exemplos:
Quero somar
2
1
3 com 4 :
Para fazer essa operação precisamos achar frações equivalentes para assim condizer com
um mesmo todo relacionado. Para facilitar as contas, devemos descobrir o mínimo múltiplo
comum entre os valores dos denominadores. Neste caso é o 12:
3 x 4 = 12
4 x 3 = 12
Nosso novo denominador será o 12, mas não devemos esquecer que o numerador também
irá mudar na mesma proporção para que nossa fração não mude de valor, assim,
multiplicamos tanto em cima quanto embaixo pelo mesmo:
2
3
1
4
2×4
8
x 44 = 3×4
= 12
1×3
3
x 33 = 4×3
= 12
Agora sim conseguimos fazer a operação:
8
12
3
+ 12
= 11
12
Vamos somar
1
3
2 com 4 :
Precisamos achar as frações equivalentes com mesmo denominador. Nota-se que o 4 é
múltiplo de 2, basta então, reescrever
1
1×2
2 = 2×2
1
2 como :
= 42
Agora podemos fazer a operação:
2
4
+ 43 = 45 = 1 41
Vamos para a subtração:
Quero fazer a seguinte operação:
1
3
- 61 :
Para fazer esta operação podemos escrever
e assim, conseguimos fazer a operação:
1
3
- 61 = 62 - 61 = 61
Vamos para mais um exemplo:
1
2
como
3
6 ,pois são frações equivalentes
1
2
- 81 :
Podemos escrever
1
1
2 - 8
1
4
como
2
8 :
= 84 - 81 = 83
Agora, veja esse exemplo:
2
3
- 41
Para fazer a operação teremos que achar frações equivalentes para ambas frações. E para
facilitar, também procuramos o menor múltiplo em comum entre os denominadores. Neste
caso é o 12:
3 x 4 = 12
4 x 3 = 12
Não se esqueça que para achar a fração equivalente multiplicamos ou dividimos o
numerador e o denominador pelo valor escolhido para que não mude a parte representada:
(2×4)
(3×4)
(1×3)
(4×3)
8
= 12
3
= 12
Agora sim podemos fazer a operação:
2
3
8
3
5
- 41 = 12
- 12
= 12
Treinando a mente
1.
Faça as seguintes operações, deixando a resposta em fração irredutível:
a.
2
1
5
4 + 8 = 8
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2
9
5 + 15 = 1
1
4
17
3 + 5 = 15
2
8
74
7 + 9 = 63
7
1
13
8 - 16 = 16
10 3
1
12 - 4 = 12
3
7
1
=
4 10
20
1
1
1
10 do bolo, Joana comeu 15 , Marcelo 5 e Roberto
1
3
3 . Quem comeu mais? Quanto do bolo ainda sobrou? Roberto. 10
2. Em uma festa, Maria comeu
3. Em uma plantação semeia-se
é semeada?
2
1
1
6 com milho, 3 de soja e 4 de trigo. Quanto da área
11
12 da plantação
A Multiplicação e a Divisão de fração
Quando multiplicamos frações significa que estamos destacando como resultado uma parte
de outra, por exemplo,
dividir o
1
3
×
3
1
3
5 é o mesmo que dizer: 3 de 5 , ou seja, iremos
3
5 em 3 partes iguais e iremos pegar uma. Veja a representação abaixo:
1
5 .
3
1
E se quiséssemos
5 de 3 ?
Isso resulta em
Vamos pegar uma barra de mesmo tamanho e dividir em 3 partes iguais, tomando uma:
1
3 e dividir em 5 partes iguais, tomando três:
Agora vamos pegar esse
Ao comparar com a operação anterior, percebe-se que resulta no mesmo:
Conseguimos observar a propriedade: “A ordem dos fatores não altera o produto”.
Vamos analisar outras?
Agora vamos efetuar
2
1
2
1
5 × 3 , ou seja, queremos 5 de 3 . Observe a representação
do processo:
Se dividirmos os outros
2
2
3 em 5 partes também, observamos que temos 15 :
Para não precisar desenhar sempre que quisermos fazer as contas existe uma técnica
muito simples e eficaz: basta multiplicar os numeradores e depois os denominadores,
observe:
1
3
1×3
3
3 × 5 = 3×5 = 15
Podemos ainda simplificar achando uma fração equivalente irredutível ao se dividir tanto em
cima como embaixo por 3 (o fator em comum entre 3 e 15):
(3÷3)
3
1
=
15
(15÷3) = 5
Multiplicação por números naturais
Quando multiplicamos uma fração por um número natural n, significa dizer que queremos a
fração n vezes.
Observe:
1
5 :
2 ×
Percebe que podemos apenas representar por:
3 ×
3
4 :
Ou seja, são 9 partes de
1
9
4 ou 4 .
Exemplo:
Sabendo que 1 fracionito vale 24 fractus, então 1 fratus vale 1/24 de fracionito
Assim 25 fractus valerá 25 x
1
25×1
25
=
=
24
24
24 de fracionitos.
A Divisão de fração
Ao dividir uma fração por outra é o mesmo que dizer quanto da segunda cabe na primeira.
Por exemplo:
8
3
÷
1
1
8
= 8 , pois cabem 8
em
3
3
3
Observe a representação abaixo:
Tenho 3 inteiros, cada um dividido em três partes, e peguei um total de 8. Ao querer dividir
os
8
1
1
8
3 por 3 percebe-se que isso é o mesmo que perguntar quantos 3 há no 3 , e a
resposta é 8. Um jeito fácil de calcular é multiplicar a primeira fração pelo inverso da
segunda.
Outra forma de pensar é a seguinte: se considerarmos que 38 representa 31 de um todo,
para termos um inteiro precisamos de 3
Isto representa 24 partes de tamanho
(24÷3)
24
3 = (3÷3)
8
3 :
1
24
3 , ou seja, 3 . Podemos ainda torná-la irredutível:
= 18 = 8
Ou fazer a operação direta 24 ÷ 3 = 8.
Vamos para mais exemplos:
Quero dividir
Se
7
1
por
4
3 :
7
1
7
4 representa 3 de um todo, precisamos de 3 4 para representar o todo:
Isso equivale a 21
1
21
4 , ou seja, a fração 4 .
Existe uma técnica que facilita o cálculo: multiplique a primeira fração pela inversa da
segunda, ou seja, esta terá o numerador antigo como denominador e o denominador como
numerador. Mas o que significa “inversa”?
O inverso de número é aquele que, ao ser multiplicado pelo o original resulta em 1. Observe
alguns exemplos:
1
4
1
4
1x4
4
4 apresenta inverso 1 pois 4 x 1 = 4x1 = 4 = 1
3
5
3
5
3x5
15
5 apresenta inverso 3 pois 5 x 3 = 5x3 = 15 = 1
Percebe-se que o método de multiplicação pelo inverso facilita achar a resposta sem
precisar representar graficamente:
7
1
7
3
7x3
21
4 ÷ 3 = 4 x 1 = 4x1 = 4
2
1
Quero dividir
5 por 3 :
1
2
3 cabem em 5
2
1
2
Vamos admitir que
5 equivale 3 de um todo, para termos o todo precisamos de 3 5
Portanto, quero saber quantos
Isso equivale a
6
5 .
Utilizando a técnica:
2
1
2
3
2×3
6
5 ÷ 3 = 5 x 1 = 5×1 = 5
Muito bacana esta técnica, não acha?
Quero dividir
Se
3
1
4 em 5 :
3
1
4 é 5 então precisamos de 5 para totalizar:
Portanto temos 15
1
15
4 ,ou seja, 4 .
Utilizando a técnica:
3
1
3
5
3×5
15
4 ÷ 5 = 4 x 1 = 4×1 = 4
Potencialização de frações
A potencialização de frações é da mesma forma que já foi estudado com os números
naturais, ou seja, se quisermos fazer
2
( 21 ) = 21 × 21 = 41
Percebeu o que foi feito? Meio elevado a segunda potência é o mesmo que multiplicar meio
por meio.
Mas como resolvemos um número misto elevado a alguma potência?
Por exemplo:
3
3
13
13
13
2197
(2 53 ) = ( 13
5 ) = 5 × 5 × 5 = 125
Para resolver potencialização de número misto é necessário transformá-lo em uma fração
imprópria e em seguida realizar o número de multiplicações iguais ao número do expoente.
Você se lembra?
Já aprendemos que um número elevado a potência nula resulta em 1:
20 = 1
70 = 1
Com as frações não é diferente:
1 0
=1
2
3 0
=1
5
( )
( )
Treinando a mente
1. Utilizando o método de representação por barra e a técnica apresentada, resolva:
a.
b.
c.
d.
2.
a.
b.
1
1 5
6 : 5 6
4
1 8
3
5 : 2 5 = 15
7
7 21
3 : 3 21 = 1
12
7 36
7 : 3 49
Faças as seguintes operações utilizando as técnicas e deixe na forma irredutível:
1
2
3 x 4
2
3
5 x 7
2
3
6
35
c.
d.
e.
f.
g.
h.
10
13
13 x 10 1
4
6 24
5 x 7 35
5
4 25
1
6 ÷ 5 24 =1 24
2
1 14
2
3 ÷ 7 3 =4 3
5
11 20
9 ÷ 12 33
7
4 21
8 ÷ 3 32
3. Para confeccionar camisetas Seu Dorival precisa de
1
3 de um metro de tecido. Ele
pretende produzir 30 camisetas, e para isso, calcule a quantidade necessária de tecido.
10 metros
4. Para produzir um bolo de cenoura é necessário
3
5 do que possui de farinha de trigo,
1
2 kg. Quanto, em fração de quilo, será utilizado e o
3
1
3
que sobrará? Para este cálculo, faça a multiplicação de fração:
5 x 2 = 10 de kilo
2
1
2
serão utilizados. Sobrará
5 x 2 = 10 . Professor, comente sobre a parte restante
2
representada por
5
e você notou que há em sua casa
1
2
3 do seu dia dormindo, e 5 do seu sono sonhando, quanto do seu
1
2
2
dia você sonha? Para isso, faça a multiplicação:
x
=
3
5
15 do dia
5. Se você gasta
1
3 de um litro de água de água para regar uma planta. Se ele
1
possui 15 L, quantas plantas poderá regar? 15 ÷
3 = 45 plantas
6. Um jardineiro gasta
7. Se temos duas pizzas e meia, e iremos distribuir um oitavo para cada pessoa, quantas
pessoas podemos servir? Para isso precisamos fazer a divisão 2
1
5
1
5
2 = 2 por 8 : 2
÷ 81 = 20 pessoas. Neste exercício, reveja com seus alunos a leitura de fração.
8. O tanque de combustível de Marcela está
2
1
5 preenchido e ela usa 10 por dia.
Quantos dias ela conseguirá andar com este combustível? Para este cálculo precisamos
fazer a divisão:
2
1
÷
5
10 = 4 dias
9. Resolva as seguintes potências de frações:
( 31 ) ³ 271
4
2
b. ( ) ²
9
3
3 4 81
c. ( )
625
5
1
1
1 3
1 2 1
d. Desafio: ( ) x ( )
x
=
8
49
392
2
7
9
1
18
9
2 2
3 2
1 3 2
e. Desafio: ( ) x ( ) x ( )
x
x
=
=
25
16
8
3200
1600
5
4
2
a.
Parte 3:
Chegou a hora de fazer as compras! Abaixo estão descritas os locais onde será possível
comprar o que precisam, o que vendem, a medida utilizada e os valores. Não necessário
comprar a medida inteira, e sim só o necessário para evitar o desperdício. Por exemplo, se
você precisa de 100 g de fubá e a medida é de 350 g , você irá pedir
2
7 de fubá. Lembre-se
que na cidade Fraciones se utiliza a linguagem com fração.
Mercado do seu Zé:
Em sua venda há todos os produtos que necessitamos para as comidas e seu Zé dá
desconto de 10% no valor final se todos os produtos forem comprados exclusivamente com
ele.
Lembrando que 10% é o mesmo que
porcentagens.
10
100 , então você já sabe realizar operações com
Produto
Quantidade
Valor
ovo
12
3 fracion
açúcar
280 g
4 fracion e 10 fracionitos
fubá
350 g
7 fracion
farinha de trigo
230 g
6 fracion e 20 fracionitos
óleo
360 mL
5 fracion e 10 fracionitos
leite
420 mL
8 fracion
fermento
10 g
5 fracion e 18 fracionitos
cenoura
5
2 fracion
laranja
12
7 fracion
limão
6
6 fracion e 15 fracionitos
bicarbonato de sódio
10 g
7 fracion
farinha de arroz
200 g
9 fracion
achocolatado
100 g
7 fracion e 10 fracionitos
arroz
130 g
10 fracion e 20 fracionitos
feijão
100 g
15 fracion
alface
1
2 fracion e 5 fracionitos
tomate
10
3 fracion
grão de bico
120 g
17 fracion
batata
10
5 fracion e 10 fracionitos
brócolis
1
6 fracion
macarrão
80 g
7 fracion
carne moída
100 g
23 fracion
carne de soja
100 g
1 fracionon
molho de tomate pronto
100 mL
7 fracion
sal
160 g
8 fracion
cebola
5
3 fracion e 20 fracionitos
lata de milho verde
1
4 fracion e 10 fracionitos
palmito
80 g
11 fracion
pote de azeitona
1
10 fracion
alho (10 dentes)
1
6 fracion e 10 fracionitos
peito de frango
100 g
20 fracion
caldo de galinha
rende 1 L
6 fracion
lata de ervilha
1
5 fracion
Venda de Martim:
Na venda de Martim não encontramos todos os produtos para as comidas, mas seus preços
estão mais baixos. Veja abaixo:
Produto
Quantidade
Preço
ovo
12
2 fracion
açúcar
200 g
2 fracion
farinha de trigo
150 g
4 fracion
óleo
120 mL
1 fracion e 15 fracionitos
leite
500 mL
7 fracion
cenoura
10
3 fracion e 10 fracionitos
arroz
100 g
8 fracion
feijão
100 g
12 fracion
macarrão
100 g
7 fracion
carne moída
150 g
22 fracion
sal
150 g
7 fracion
cebola
5
3 fracionitos
lata de milho verde
1
4 fracion
lata de ervilha
1
4 fracion e 10 fracionitos
peito de frango
150 g
20 fracion
Papelaria Fractus
A dona da Papelaria Fractus é Elis e ela decidiu seguir a ideia do seu Zé e dará 12,5% de
desconto no valor final se todo o material for comprado exclusivamente dela. Veja a tabela
abaixo que mostra seus valores:
Produto
Quantidade
Valor
caderno
5
17 fracion
lápis
30
10 fracion e 15 fracionitos
borracha
4
8 fracion
apontador
5
3 fracion e 10 fracionitos
caixa de lápis de cor
1
15 fracion
estojo de canetinha
1
16 fracion
Papelaria Matemágica
Abaixo está a tabela de valores, no entanto, Charlie não dará desconto pois justifica que
seus preços são menores:
Produto
Quantidade
Valor
caderno
5
15 fracion
lápis
25
8 fracion
borracha
4
7
apontador
5
3 fracion
caixa de lápis de cor
1
13 fracion e 10 fracionitos
estojo de canetinha
1
14 fracion e 20 fracionitos
Antes de continuar nosso projeto, vamos treinar um pouco a mente?
Veja alguns exemplos:
Na loja Franstyle está com a seguinte promoção: na compra de 4 camisetas de 20 fracions,
ganhe um desconto de 20% sobre o valor final. Quanto a pessoa irá pagar se aderi-la?
Sem o desconto, o comprador pagaria 4 x 20 = 80 fracions. Para efetuar o cálculo do valor
final o pronome “de” na matemática é a operação multiplicação, ou seja, 20% do valor, que
é equivalente a fração
1
1
1
80
1×80
80
5 , é o mesmo que 5 x 80 = 5 x 1 = 5×1 = 5 =
16. Quando falamos de desconto nos referimos na operação subtração do valor, portanto, o
comprador irá pagar 80 - 16 = 64 fracions.
Atividade 1:
Agora que você já conhece nossas fontes de produtos, está na hora de determinar onde
queremos comprar.
Os grupos 1, 2 e 4 terão que fazer dois cálculos:
Primeiro: Comprar exclusivamente do Mercado do seu Zé, e ganhar o desconto
Segundo: Comprar os produtos que disponíveis na Venda de Martim e o que falta no
Mercado do seu Zé, impossibilitando o desconto.
O grupo 3 terão que fazer dois cálculos também:
Primeiro: Compra exclusivamente da Papelaria Fractus, e ganhar o desconto
Segundo: Comprar exclusivamente da Papelaria Matemágica, onde os valores de
cada material é mais barato.
Agora que você já fez o cálculo, qual opção é mais vantajosa para um custo menor? Pode
justificar e explicar para os outros grupos?
Atividade 2:
Chegou a hora de fazer os pedidos. Faça com seu grupo uma lista de pedidos apenas
utilizando frações.
Exemplos: 3
2
4
5 kg de farinha de trigo
1
2 kg de sal
Atividade 3:
Como a cidade Fraciones está crescendo, não há um mapa completo com todos os
comércios e endereços dos moradores, precisamos muito de ajuda para completar os
nomes das ruas e localizar os estabelecimentos. Informações importantes foram
distribuídas pelo prefeito da cidade, os quarteirões são quadrados perfeitos que geraram
ruas paralelas, pode apreciar a vista de cima da cidade na imagem a seguir.
Hospital
Escola
Igreja
Biblioteca
Prefeitura
Banco
Teatro
Delegacia
Papelaria
https://br.freepik.com/vetores-gratis/variedade-de-edificios-desenhos-animados_778350.htm
#page=1&query=prefeitura&position=0
Temos informações que o ponto vermelho indica o centro da cidade, todas as ruas se
referem ao centro, algumas ruas no mapa estão com os seguintes nomes:
a) Rua dois terços oeste
b) Av. central norte-sul
c) Rua quatro terços leste
d) Rua um terço norte
e) Rua cinco terços sul
Consegue perceber o padrão? E completar os nomes que faltam?
Resposta pessoal
Também nos deram informações sobre alguns estabelecimentos, os que estão na imagens
são os mais importantes da cidade, eles ocupam todo o quarteirão, diferente das outras
casa da cidade que ocupam somente
1
4 do quarteirão, sendo a esquina.
Em qual lugar da cidade, você colocaria seu estabelecimento? E a sua casa? Poderia me
dar o endereço, ou seja, em qual esquina, o encontro de quais duas ruas?
Resposta pessoal
Uma pesquisa informou que os cidadãos estavam curiosos, gostariam de saber o motivo
das ruas terem o nome de terços, que foi uma decisão feita pelo prefeito e o prefeito
justificou para a população que a cada 3 ruas haviam 100 metros de distância e como ele é
encantado por números, não via outra forma mais elegante de dar os nomes para as ruas.
Essa informação gerou algumas curiosidades aos moradores, pois poderiam saber com
muito mais facilidade a distância de suas casas aos comércios e qualquer outra distância
que queiram descobrir. Mas você teria alguma ideia de como descobrir isso?
Qual seria a distância da biblioteca até o banco, assumindo que saiam das esquinas mais
próximas um do outro?
5
500
3 de 100 metros ou 3 metros, aproximadamente 167 metros
Saberia o quanto andaria se continuasse o caminho até a papelaria?
11
1100
3 de 100 metros ou
3 metros, aproximadamente 367 metros
Alguns moradores não ficaram satisfeitos em ter que dar o nome de duas ruas para fornecer
seus endereços, propuseram outra solução, numerar as casa de forma crescente em
relação ao centro, mas com a notação N para norte, S para sul, L para leste, O para oeste.
E os próprios moradores ou donos poderiam numerar suas casas seguindo somente uma
regra, que a numeração de cada um não seja menor do que a do seu vizinho mais próximo
ao centro.
Por exemplo:
O endereço da igreja se tornou Rua três terços norte, 76 O
O endereço da Papelaria se tornou Rua um terço norte, 78 L
Dê o endereço dos estabelecimentos que faltam e o da sua casa também, compare com
seus colegas e veja se há algum padrão nessa numeração, se todos fazem iguais ou se há
uma forma de dizer seu endereço de forma mais fácil.
Resposta pessoal
Atividade 4:
O quanto você conhece a sua turma? Caso queiram fazer uma festa ou planejar um evento,
é bom ter informações sobre seus colegas. Por exemplo, caso queiram comemorar um
aniversário com os colegas do 6º ano, como saber quais comidas comprar?
Então vamos criar algumas perguntas que possam ser respondidas por cada aluno e
analisadas por todos usando frações, como por exemplo:
● Prefere comer doce ou salgado?
● Qual doce doce gosta de comer?
● Qual salgado gosta de comer?
● Prefere suco ou refrigerante?
● Possui alguma alergia a algum alimento?
● Possui alguma outra restrição alimentar?
Podem incluir outras perguntas que tenham interesse e exponham as informações
recolhidas de forma que possam criar um planejamento.
Resposta pessoal
Anexos
Jogo de dominó
Fonte:https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjYg8v7r8_lAhXBD
7kGHVN4DHsQjB16BAgBEAM&url=http%3A%2F%2Fjogossignificativos.blogspot.com%2F2013%2F04%2Ftrab
alhar-fracoes-com-turminha-de-forma.html&psig=AOvVaw0WxLTmkxzRgpShlI2I3Iis&ust=1572916296909470
Moedas