See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/275410215
Os estudos de aula como processo colaborativo e reflexivo de desenvolvimento
profissional
Chapter · January 2014
CITATIONS
READS
19
1,207
4 authors:
João Pedro da Ponte
Marisa Quaresma
University of Lisbon
University of Lisbon
410 PUBLICATIONS 4,879 CITATIONS
55 PUBLICATIONS 373 CITATIONS
SEE PROFILE
SEE PROFILE
Monica Baptista
Joana Mata-Pereira
University of Lisbon
University of Lisbon
98 PUBLICATIONS 383 CITATIONS
41 PUBLICATIONS 347 CITATIONS
SEE PROFILE
SEE PROFILE
Some of the authors of this publication are also working on these related projects:
Developing statistical literacy: Student learning and teacher education View project
Lesson study as a professional development process of pre-service physics and chemistry teachers View project
All content following this page was uploaded by João Pedro da Ponte on 25 April 2015.
The user has requested enhancement of the downloaded file.
Os estudos de aula como processo colaborativo e reflexivo de
desenvolvimento profissional1
João Pedro da Ponte, Marisa Quaresma, Mónica Baptista, Joana Mata-Pereira2
Introdução
Um estudo de aula (em inglês, lesson study) é um processo de desenvolvimento
profissional de professores centrado na prática letiva, de cunho colaborativo e reflexivo,
que tem vindo a conhecer crescente divulgação (Fernández, Cannon, & Chokshi, 2003;
Murata, 2011; Perry & Lewis, 2009). O Japão é o país de origem deste processo (Stigler
& Hiebert, 1999), que ganhou grande popularidade nos EUA na primeira década deste
século e, nos últimos anos, tem vindo a ser amplamente usado em muitos outros países.
Neste processo formativo, um grupo de professores trabalha em conjunto,
começando por identificar dificuldades que habitualmente os alunos têm num
determinado tópico, que irão procurar ultrapassar através de uma aula expressamente
concebida para o efeito, lecionada por um deles e observada pelos restantes. Para isso,
documentam-se sobre as alternativas curriculares, as estratégias e materiais de ensino
disponíveis, fazem um diagnóstico o mais preciso possível das dificuldades dos seus
alunos e preparam uma aula sobre o tópico em questão. Todo este trabalho é usualmente
informado pelas orientações curriculares e pelos resultados da investigação relativa ao
tópico selecionado. Depois, observam essa aula e refletem em conjunto sobre o modo
como os alunos trabalharam e as dificuldades que eventualmente manifestaram. Os
professores pesquisam documentos e materiais, recolhem dados junto dos seus alunos,
analisam e interpretam cuidadosamente informação diversa, pelo que se trata de um
processo muito próximo de uma pequena investigação realizada no quadro da sua
própria prática profissional, em contexto colaborativo.
Um estudo de aula pode proporcionar oportunidades para os professores
participantes aprofundarem os seus conhecimentos e refletirem sobre a eventual
pertinência de mudarem as suas práticas. Podem aprofundar os seus conhecimentos
matemáticos sobre o tópico em questão e também sobre o seu lugar no currículo. Podem
igualmente analisar os diferentes tipos de tarefa a propor aos alunos e as suas
1
Ponte, J. P., Quaresma, M., Baptista, M., & Mata-Pereira, J. (2014). Os estudos de aula como processo
colaborativo e reflexivo de desenvolvimento profissional. In J. Sousa & I. Cevallos (Eds.), A formação, os
saberes e os desafios do professor que ensina Matemática (pp. 61-82). Curitiba: Editora CRV.
2
João Pedro da Ponte, Doutor em Educação pela Universidade da Georgia, EUA, Professor catedrático
no Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, jpponte@ie.ul.pt.
Marisa Quaresma, Mestre em Educação (Didática da Matemática), doutoranda no Instituto de Educação
da Universidade de Lisboa, e bolseira da FCT, mq@campus.ul.pt.
Mónica Baptista, Doutora em Educação (Didática das Ciências), Professora auxiliar no Instituto de
Educação da Universidade de Lisboa, mbaptista@ie.ul.pt.
Joana Mata-Pereira, Mestre em Educação (Didática da Matemática), doutoranda no Instituto de Educação
da Universidade de Lisboa, e bolseira da FCT, joanamatapereira@campus.ul.pt.
Os autores agradecem à bolseira Vanessa Andrade o apoio na recolha e transcrição dos dados.
1
consequências na aprendizagem. Podem, ainda, debruçar-se sobre diversos modelos de
organização da aula e diferentes formas de conduzir a comunicação, tanto nos
momentos de trabalho em pares e em pequeno grupo como nos de trabalho coletivo.
Muito em especial, num estudo de aula os professores podem refletir sobre as
possibilidades de uma abordagem exploratória no ensino da Matemática (Ponte, 2005;
Ponte e Quaresma, 2011), em que se procura levar os alunos a enfrentarem situações
para as quais não possuem um método de resolução imediatamente aplicável, levandoos a construir ou aprofundar a sua compreensão de conceitos, representações,
procedimentos e ideias matemáticas. Na abordagem exploratória (que em língua inglesa
é conhecida por inquiry-based approach), os alunos são chamados a desempenhar um
papel ativo na interpretação das questões propostas, na representação da informação
dada, na formulação de generalizações e na conceção e concretização de estratégias de
resolução que devem depois saber apresentar e justificar.
Na verdade, a seleção das tarefas, a identificação dos aspetos do raciocínio a
valorizar e o tipo de comunicação a desenvolver na sala de aula são desafios que se
colocam na prática profissional dos professores, em especial quando procuram pôr em
prática uma abordagem exploratória, e que podem ser objeto de reflexão num estudo de
aula. Com este capítulo pretendemos estudar as aprendizagens que os professores fazem
num estudo de aula sobre as tarefas a propor na sala de aula, as dificuldades e
capacidades dos alunos, os processos de raciocínio (em especial a generalização e a
justificação), bem como o modo de promover a aprendizagem com a realização de
discussões coletivas.
Organização do estudo de aula
O estudo de aula que aqui descrevemos foi realizado no ano letivo de 2013-2014
num agrupamento de escolas de Lisboa3. Foi o próprio agrupamento que concebeu um
projeto para a melhoria do ensino da Matemática e da Língua Portuguesa, tendo
solicitado a colaboração do Instituto de Educação (IE) da Universidade de Lisboa. Para
concretizar a formação dos professores propusemos a realização de diversos estudos de
aula, sendo um deles com professoras do 5.º e do 6.º ano4 do agrupamento (que
designamos pelos nomes fictícios de Inês, Francisca, Luísa, Maria e Tânia). Estas
professoras foram selecionadas pela direção do agrupamento, que também designou
Maria como coordenadora do grupo. Numa reunião prévia onde Maria participou em
conjunto com professores de outros anos de escolaridade e de elementos da direção,
decidiu-se que o estudo de aula a realizar incidiria sobre um tópico do 5.º ano, tendo em
conta que nesse ano de escolaridade estava a ser aplicado um novo currículo. Assim, o
estudo de aula envolve cinco professoras três das quais lecionam turmas de 5.º ano e
duas lecionam turmas de 6.º ano. A equipa do IE que conduziu este trabalho é formada
por quatro membros, tendo Marisa e Joana dinamizado as sessões de trabalho, João
Pedro coordenado a formação e participado em algumas sessões e Mónica estado
sempre presente no papel de observadora, coadjuvada por uma bolseira.
3
Em Portugal, um agrupamento de escolas reúne, sob uma mesma direção, escolas de diversos ciclos de
ensino, com alunos dos 6 aos 17 anos.
4
Os alunos de 5.º e 6.º ano têm 10 e 11 anos no caso de nunca terem tido retenções em anos anteriores.
2
O plano geral das sessões do estudo de aula, que têm uma periodicidade
aproximadamente quinzenal, encontra-se na Tabela 1. Analisamos episódios de diversas
sessões, tendo em vista ilustrar o trabalho realizado no estudo de aula e as
aprendizagens das professoras decorrentes desta atividade formativa. A sessão 1 teve
por objetivo apresentar o estudo de aula a todas as professoras participantes, as sessões
2 a 6 pretenderam aprofundar o conhecimento sobre um tópico e preparar uma aula
sobre esse tópico, a sessão 7 consistiu na observação de uma aula, e a sessão 8 foi
dedicada a refletir sobre a aula observada e sobre todo o processo do estudo de aula. Os
dados aqui analisados foram recolhidos por observação participante e recolha
documental através da elaboração de um diário de bordo (realizado por um membro da
equipa do IE com o papel de observador),de gravação áudio das sessões e de gravação
vídeo da aula observada.
Tabela 1. Temas e atividades do Estudo de Aula.
Sessão
1
2
3
4
5
6
Pontos tratados
Propostas de trabalho para os professores
a) Apresentar o estudo de aula às professoras participantes;
b) Apresentar o planeamento geral e calendarização das sessões;
c) Decidir o tópico a trabalhar durante o estudo de aula – Números racionais não negativos
no 5.º ano.
a) Analisar documentos curriculares – currículo, metas e planificação
da escola;
b) Resolver tarefas sobre o tópico;
Reconhecimento
c) Identificar dificuldades dos alunos no tópico;
geral do tópico.
d) Discutir um artigo de investigação sobre o ensino-aprendizagem
dos números racionais (sobre os significados dos números racionais);
e) Decidir o conteúdo específico a trabalhar (que acabou por ser
comparação e ordenação de números racionais).
Elaboração de um
a) Definir os objetivos para o diagnóstico, através da análise do
diagnóstico dos
currículo de 2007 e do currículo e metas de 2013;
conhecimentos dos b) Elaborar e selecionar tarefas para o diagnóstico;
alunos.
c) Definir a forma de aplicação do diagnóstico.
1) Análise dos
a) Analisar os resultados dos diagnósticos realizados em cada turma,
resultados do
tendo em atenção (i) o que mais surpreendeu na resolução dos alunos;
diagnóstico;
(ii) o que os alunos já sabem e as suas principais dificuldades;
2) Natureza das
b) Analisar diversas tarefas, identificando a sua natureza, possíveis
tarefas;
momentos de aplicação e potencialidades;
3) Raciocínio dos
c) Analisar resoluções de alunos para identificar generalizações e
alunos.
justificações.
1) Raciocínio
a) Definir casos possíveis de generalização na comparação e
(conclusão);
ordenação de números racionais;
2) Segmentos da
b) Analisar episódios de sala de aula e refletir sobre o papel do
aula exploratória;
professor na introdução da tarefa, no trabalho autónomo dos alunos e
3) Seleção da
na discussão coletiva;
tarefa.
c) Analisar as propostas de tarefas apresentadas pelos professores.
a) Resolver a tarefa da aula observada e discutir as alterações
necessárias;
b) Prever as dificuldades e estratégias dos alunos;
Preparação da aula c) Definir o modo de trabalho dos alunos e o modo de apresentar a
a observar
tarefa;
d) Antecipar as possíveis dúvidas dos alunos durante a resolução da
tarefa;
e) Definir as estratégias para a discussão coletiva e dos pontos a
3
7
Observação da aula
8
Reflexão sobre a
aula observada
sublinhar na síntese final;
f) Preparar o processo de observação da aula.
A observação é não participante. O observador não interage com os
alunos, apenas toma notas.
a) Na apresentação da tarefa registando (i) as perguntas ou
comentários que os alunos fazem para tentar interpretar a tarefa; e (ii)
o modo como os alunos respondem às perguntas do professor.
b) No trabalho autónomo registando (i) a forma como os alunos
interpretam a tarefa; (ii) os seus erros e dificuldades na resolução da
tarefa; e as (iii) suas estratégias e representações.
c) Na discussão coletiva registando (i) o modo como os alunos
apresentam as suas estratégias; (ii) o seu raciocínio (generalizações
e/ou justificações); (iii) o modo como participam na negociação de
significados, e as dificuldades que evidenciam no uso da linguagem
matemática; (iv) casos em que enunciam desacordos em relação a
outros alunos.
a) Observar um vídeo sobre a introdução da questão 1 e discutir os
aspetos positivos e as dificuldades observadas;
b) Visualizar e discutir três episódios do vídeo no trabalho autónomo
dos alunos na questão 1;
c) Discutir a introdução da questão 2;
e) Discutir os aspetos positivos e as dificuldades observadas no
trabalho autónomo dos alunos na questão 2.
f) Balanço global.
Tarefas
Numa das sessões deu-se atenção especial à caracterização de diversas tarefas. A
equipa do IE começou por apresentar de forma sucinta as principais características de
tarefas como exercícios, problemas, explorações e investigações (Ponte, 2005), dando
exemplos de cada uma delas. Logo de seguida, Tânia fez a seguinte reflexão sobre a
distinção entre problema e exercício, com um exemplo da sua própria prática:
Eu estava a lembrar-me, no 6.º ano nós estamos nas escalas e é uma coisa que
eles têm alguma dificuldade, é escalas. Porque percebem muito bem as duas
dimensões que é o mapa e a realidade, isso percebem muito bem . . . Mas depois
quando passamos para os problemas, ou para os exercícios, conforme os alunos,
temos uns em que aquilo vai ser um problema a vida inteira e para outros aquilo
já é um exercício porque percebem logo que quando estamos a trabalhar a razão
entre o desenho e o real, e começam logo a perceber — Ah! Um está para
qualquer coisa — e que esse um representa, ou o desenho, ou o mapa, e então
eles começam a ver que se no problema diz... “no real onde é que eu vou
colocar?” Mas para alguns aquilo vai ser sempre um problema . . .
Deste modo, Tânia recorreu ao caso do tema que está presentemente a lecionar
para relacionar problema e exercício, mostrando perceber que uma das formas de
distinguir estes dois tipos de tarefa é o conhecimento que os alunos têm no momento da
sua realização. Reconheceu que, à medida que os alunos aprendem a trabalhar com as
escalas, aquilo que para muitos era inicialmente um problema passa a ser um exercício,
enquanto para outros alunos com mais dificuldade, que não se conseguem apropriar dos
conceitos e procedimentos, estas questões continuam a constituir problemas.
4
Francisca também mostrou compreender que a distinção entre exercício e
problema se relaciona com o facto de quem resolve possuir ou não um método de
resolução: “Isto depende dos conhecimentos que os nossos meninos…” No entanto,
outras noções também se manifestaram, como a que uma tarefa com um contexto da
realidade é um problema e uma tarefa com expressões numéricas e figuras geométricas
é um exercício. Outras professoras manifestaram a ideia que os exercícios são “fáceis” e
os problemas são “difíceis”. Depois de alguma discussão, a existência, ou não, de um
método de resolução conhecido de quem está a resolver a tarefa (Pólya, 1975) acabou
por prevalecer como a melhor forma de distinguir entre estes dois tipos de tarefa.
Durante a discussão sobre as características das tarefas de exploração, Francisca
e Luísa recordaram uma experiência da sua própria prática relativa a uma tarefa sobre a
soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo. Valorizaram a exploração que
os alunos fizeram de material concreto (folhas de papel) e no final referiram mesmo que
essa manipulação e descoberta foi para eles marcante porque assim os alunos “não se
esquecem”:
Francisca: Eles agora com o triângulo, não é? Com a soma [da amplitude]
ângulos internos.
Marisa: Pois, dobram as pontinhas.
Luísa: . . . Cortaram e colaram no caderno e depois começaram a dizer: Ah!
Professora, isto dá um ângulo raso.
...
Francisca: E não se esquecem! Isso é muito engraçado, fica lá.
Luísa: Pois foi, pois foi.
Esta valorização das explorações pode ter origem em momentos de formação
anteriores em que participaram, em especial associados ao currículo de 2007. As
distinções entre diferentes tipos de tarefa, bem como a constatação que algumas tarefas
remetem para contextos da realidade, enquanto outras remetem para contextos
puramente matemáticos, ajudam as professoras a apropriar-se de um vocabulário
profissional importante para caraterizar diferentes tipos de tarefa.
Análise do raciocínio dos alunos
Numa das sessões foram discutidos processos de raciocínio e analisados
exemplos de resoluções de alunos. A equipa do IE começou por fazer uma breve
apresentação dos conceitos de generalização e justificação (ver, por exemplo, Ponte,
Mata-Pereira e Henriques, 2012), dos quais as professoras se apropriaram com
facilidade. Assim, ao analisar a resolução apresentada na figura 1, Inês identificou a
justificação válida na alínea a) ao mudar para outra representação para verificar a
igualdade: “Isto aqui é uma justificação”.
Rapidamente Tânia passou à alínea b) e identificou a generalização:
5
Tânia: Mas depois na outra já têm aqui uma generalizaçãozinha.
Joana: Na outra tem uma generalizaçãozinha, sim. Que não é “zinha”.
Tânia: Já não é para todos [os alunos].
Joana: Exatamente.
Figura 1. Justificação por mudança de representação (de fração para numeral decimal) e
generalização (“Um número dividido pelo seu dobro é igual a 0,5”).
Perante esta descoberta e a forma como Tânia a enunciou, a equipa do IE
valorizou, não só a sua descoberta, mas também o trabalho dos alunos, procurando
salientar o alcance deste trabalho e a importância de o analisar na sala de aula.
De seguida, Marisa desafiou as professoras a refletirem sobre generalizações que
se podem esperar na comparação e ordenação de números racionais neste nível de
ensino. Luísa interveio:
Luísa: Por acaso houve uma tarefa que eu encontrei num livro que tinha uma
generalização. Eles ao longo das várias questões que iam fazendo depois
encontravam a generalização da comparação.
Marisa: A generalização da…?
Luísa: Por exemplo, entre frações com o mesmo denominador em que aquela
que representa o número maior é aquela que tem maior numerador. Portanto
era uma questão em que eles começavam por ter várias frações...
Marisa: Então uma das coisas que podemos fazer que eles generalizem é a regra
para…
Tânia: Para comparar frações com denominadores iguais e com numeradores
iguais. Já são logo duas das que eles têm, e depois as frações unitárias eles
também [dão].
Luísa: . . . Em que eles vão observando uma situação que se vai passando
sempre e eles começam a perceber que aquilo é assim para todos os casos,
não é?
6
Luísa reconheceu que se trata de uma generalização de caráter indutivo ao referir
que os alunos observam vários casos particulares para fazerem a generalização.
Deste modo, analisando resoluções dos seus alunos e outras situações, as
professoras reconhecem exemplos de generalizações e justificações e começam a
identificar tarefas promissoras para a promoção destes processos de raciocínio. É
interessante notar que a tarefa construída pelas professoras para a aula a observar
assume uma forte aposta no desenvolvimento do raciocínio dos alunos, procurando
levá-los a fazer generalizações, nomeadamente da regra para comparar frações com o
mesmo denominador, e da regra para comparar frações com o mesmo numerador.
Identificação de dificuldades dos alunos
Em diversas sessões, a resolução de tarefas matemáticas e a discussão das
possíveis dificuldades dos alunos envolveu bastante as professoras e proporcionou
animadas discussões. Num desses momentos, Maria assumiu um papel de coordenadora
e impulsionadora do trabalho no grupo, tentando levantar questões e convidar as
restantes colegas a participar na discussão coletiva, como na discussão da tarefa
indicada na Figura 2.
A figura seguinte representa de uma tira de papel.
Representa agora, ; ; e dessa tira.
Explica o teu raciocínio.
Figura 2 – Tarefa analisada pelas professoras na sessão 2.
Maria convidou as colegas a falarem sobre a tarefa e a imaginarem como a
aplicariam: “Como é que abordavam isto? Isto é
e agora como que lhes pediam ?
Como é que eles vão…?” As professoras resolveram a tarefa, pensando no que poderia
ser uma resolução dos seus alunos. Discutiram ainda as possíveis dificuldades dos
alunos, indicando o que consideravam ser o erro mais comum na resolução da tarefa:
Maria: Dividem logo em quatro.
Professoras: Pois, exatamente!
Tânia: E aí é porque ainda não sabem… Eles ainda não sabem a noção de… Eles
não têm a noção da fração como parte do todo.
Joana: É que muitas vezes eles trabalham ao contrário, ou seja, eles têm o todo e
é para indicar uma parte, agora terem uma parte…
Marisa: … E indicar o todo, é um salto conceptual importante.
Luísa: Pois, pois.
7
Maria: Muito grande!
A discussão das tarefas permitiu às professoras refletir em profundidade sobre as
dificuldades dos alunos no trabalho com os números racionais. No final da sessão,
fizeram uma síntese bastante completa das dificuldades na aprendizagem deste tópico,
destacando: (i) marcação na reta numérica de frações com denominador diferente do
número de divisões da reta, (ii) compreensão de uma fração como representação de um
quociente, (iii) compreensão do conceito de unidade, com a construção do todo e das
partes, (iv) compreensão da relação entre a parte e uma quantidade. Tendo por base as
dificuldades identificadas durante a resolução das tarefas, as professoras decidiram que
o conteúdo específico da aula seria a comparação e ordenação de números racionais,
precisamente por ser um dos aspetos que mais dificuldade levanta aos alunos e por
constituir um tópico que serve de base à compreensão da noção de número racional.
Identificação de aspetos positivos na resolução dos alunos
Numa das sessões analisaram-se os resultados do diagnóstico anteriormente
aplicado pelas professoras nas suas turmas. Procurando contrariar a tendência de prestar
apenas atenção às dificuldades dos seus alunos, a equipa do IE começou por pedir às
professoras que indicassem situações em que tinham ficado positivamente
surpreendidas com o desempenho destes. Marisa tinha ido assistir à aplicação do
diagnóstico nas duas turmas de Maria e analisado as respostas e, por isso, ofereceu-se
para iniciar a discussão com a sua própria experiência valorizando diversas resoluções:
Achei muito interessante. Reconhecem as várias representações dos números
racionais, eles deram a ideia da representação pictórica, das percentagens, dos
decimais… Surpreendeu-me que eles também conseguissem fazer muito bem a
parte do 1/10. Não sei… Possivelmente já foi trabalhado . . . Como tinham a
imagem iam perceber que era um pintado em 10 no total mas, depois, a
conversão para decimal e para percentagem é que fiquei surpreendida que
conseguissem fazer porque os outros são frações de referência que eles às vezes,
mesmo sem perceberem, estão habituados e fazem. Portanto, 1/4 é 0,25. Eles às
vezes já têm esta coisa decorada. Mas no 1/10 era um bocadinho diferente e
achei bastante interessante. Então agora falem-me dos vossos…
Apesar do pedido de identificação de “surpresas” positivas, as professoras, nas
suas intervenções, manifestaram tendência para valorizar sobretudo as dificuldades,
como se vê nas palavras de Francisca:
Em relação ao 5.º C os meninos pintaram com facilidade as frações, mas a
representação em fração muitas vezes não a fizeram. Só leem metade, pronto.
Depois, nesta [questão], onde eles tiveram mais dificuldade foi exatamente no
1/4 e no 1/8. Foi muito difícil para eles.
Esta professora referiu resoluções que os alunos conseguem fazer com
facilidade, para logo a seguir enunciar um conjunto de dificuldades. Desta forma,
Marisa interveio novamente procurando reorientar a discussão para os aspetos positivos:
8
Marisa: Se calhar fazíamos as surpresas primeiro e depois as dificuldades.
Francisca: Surpresas, surpresa, foi no exercício 4, eles conseguiram facilmente
chegar a 1/4 do chocolate. Eu achei giríssimo, porque já sabem fazer a
conta. Não estava à espera. [4/4 – 3/4 = 1/4]
De seguida, Francisca continuou a referir aspetos positivos do trabalho dos
alunos mas, pouco depois, retomou as dificuldades:
Francisca: Pronto, fizeram isto, eu achei... Depois onde é que eu achei que
tiveram mais dificuldades?
Marisa: Dificuldades não, surpresas. Mais alguma que não estava à espera que
conseguissem?
Francisca salientou então outra “surpresa” na resolução dos alunos, desta vez
apontando o conhecimento que alguns deles já tinham sobre as diversas representações
de número racional:
As minhas surpresas foram realmente aqui no grupo 4, eu achei isto fantástico.
Esta representação de fração numeral e percentagem, que eu achava que a maior
parte deles não ia conseguir fazer, e a maior parte conseguiu fazer. Tanto numa
turma como noutra.
Tânia, pelo seu lado, mostrou facilidade em valorizar os aspetos que a
surpreenderam no desempenho dos alunos e fez uma reflexão interessante sobre as
alterações decorrentes de mudanças curriculares:
Tânia: E é o facto de eles já representarem e as frações equivalentes.
Marisa: Representarem o quê?
Tânia: Por exemplo, antigamente [antes do currículo de 2007], quando eles
chegavam aqui nós tínhamos de começar por toda esta fase, porque eles
sabiam o que era 1/4, 1/2, mas não passavam daí. Não, eles agora já sabem o
que é 3/8, 3/5, portanto...
Marisa: Nas questões [1 e 2] eles representam com frações equivalentes?
Tânia: Sim, sim . . . Por exemplo, aqui: escrevem a fração mas escrevem 1/2 em
todas; então resolveram em vez de pôr os 4/8, 3/6, põem 1/2 em todas . . . E
foram assim as grandes surpresas.
Numa fase posterior do estudo de aula, o discurso positivo sobre o desempenho
dos alunos foi-se tornando mais comum nas professoras. Na sessão onde se planeou a
aula a observar, foi tida em atenção a previsão de estratégias e dificuldades dos alunos
(que se sabia serem muitas). Perante as dúvidas e incertezas das colegas e várias
sugestões para simplificar a tarefa, Luísa, a professora da turma, referiu que, apesar de
tudo, também existiam alunos que conseguiam fazer coisas interessantes e que não se
9
devia diminuir o nível de exigência da tarefa. Por exemplo, salientou que os alunos
podem descobrir frações equivalentes, recorrendo para isso à representação pictórica:
Talvez não. Eu tenho ali alguns alunos, bons, que já começam a identificar
frações equivalentes, sem saber o que é que são. [Isabel: Ah é?] ½ que é igual a
2/4 que é igual a 4/8, eles já perceberam que se dividirem o numerador, seja
metade do denominador, eles já perceberam que aquilo por exemplo é metade.
Agora aqui, relativamente a estas [ e ; e ; e ], não sei, talvez consigam
através da representação.
Luísa relembrou também um exemplo que tinha ocorrido na aula daquele dia em
que tinha ficado positivamente surpreendida com a resolução de uma aluna:
Tenho alguns alunos que me surpreendem muito pela positiva. São aqueles
alunos mais interessados. Hoje perguntei o que era 2/3 de qualquer coisa e ela
automaticamente fez… Eram 2/3 . . . 2/3 de 12 e ela disse: Oh! Professora, fiz
dois vezes doze e depois dividi por três.
De uma maneira geral, o discurso dos professores começou por centrar-se mais
nas dificuldades dos alunos do que naquilo que estes conseguem fazer. Contudo, com o
decorrer do estudo de aula, sendo a discussão orientada para a valorização de aspetos
interessantes do trabalho dos alunos, estes acabam também por ganhar um lugar
importante no seu discurso.
Preparação da discussão coletiva
Um dos momentos mais importantes na sala de aula é a discussão coletiva das
tarefas e, por isso, é importante que seja bem planeado. Com o objetivo de analisar
elementos a ter em conta na preparação da aula a observar, a equipa do IE desafiou as
professoras a analisarem algumas resoluções de alunos e a sugerirem, justificando, uma
ordem pela qual podiam ser discutidas coletivamente. Após uma breve observação, Inês
salientou o aspeto “atrativo” de uma das resoluções. Por sua vez, Luísa referiu que
começava pela mesma resolução, mas justificou a sua escolha com a existência de erros
na resolução: “Eu acho que aquela que apresenta mais erros . . . É aquela que eu
escolhia . . . Não sei, digo eu”. Francisca manifesta uma opinião idêntica. Depois de
ouvirem estes argumentos, Inês e Tânia mudaram de opinião e escolheram a resolução
que tinha menos erros. Marisa desafiou-as a justificarem as suas escolhas, uma vez que
tinham fundamentos completamente opostos:
Tânia: Ah! Porque é que escolheria o 3? Para já escolheríamos o 3 porque é o
que está mais correto, matematicamente é o que está mais correto.
Inês: Portanto é o que está melhor a nível de apresentação e a nível da escrita
também.
Por sua vez, Francisca e Luísa alertaram para a necessidade de dar atenção às
resoluções que têm erros. Diz Francisca:
10
Mas depois também se tem de chamar à atenção destas. Pegar pelos erros, na
minha perspetiva, não é dizer que isto está errado, não é inferiorizar as crianças,
não é nada disso. É tentar ver os erros e tentar esclarecer o maior número de
alunos para aqueles erros, porque não são só estes que vão fazer este tipo de
leitura, há muitos mais na turma que vão fazer exatamente o mesmo tipo de
coisa. Se eu pegar logo no que está certo quase que padronizo aquilo tudo e não
tiro a ideia, a conceção, que lá está por detrás [do tal erro].
Na sequência, Tânia mostrou aceitar os argumentos dados pelas colegas e
destacou a importância das discussões coletivas. Refere que também se podem
apresentar várias resoluções, incluindo as totalmente corretas sem as avaliar. Desta
forma, dá espaço aos alunos para avaliarem as resoluções dos colegas e assim
proporcionar momentos de discussão entre os próprios alunos, onde estes têm uma
participação ativa, argumentando as suas posições:
Colocamos isso no quadro . . . Faço isso muitas vezes e se não dissermos nem
que está correto, ou está, e perguntarmos quem é que tem igual e quem é que fez
de maneira diferente então vamos ver... Então agora estamos nas percentagens,
há imensas formas de eles fazerem com a proporcionalidade e chegam a um
valor e eles começam: “Ah! Mas eu não fiz assim. Então como é que fizeste?”
Então vamos dividir o quadro e vamos pôr as maneiras de [fazer de] cada aluno,
de cada aluno não, duas ou três, depende muito.
As professoras envolveram-se fortemente nesta discussão sobre a forma mais
produtiva de discutir o trabalho dos alunos. Pareceram convergir no reconhecimento do
valor de haver uma verdadeira discussão e não apenas uma “correção” através de uma
resolução certa. Luísa e Francisca referiram que essa discussão deve ter origem nos
erros dos alunos enquanto Tânia indicou que esta também pode ser necessário comparar
várias resoluções. No final, o grupo aceitou as duas possibilidades, assumindo o
interesse da discussão das várias resoluções e de os alunos compreenderem porque é
que uma dada resolução está correta ou errada.
Durante a preparação da aula a observar, Tânia sugeriu que fossem colocadas
várias resoluções dos alunos no quadro, umas certas e outras erradas para poder
provocar a discussão e o aparecimento de desacordos entre os alunos: “Pois, estando lá
a certa somente, ali acaba porque os outros: pronto fiz errado. Nem percebem porque é
que está errado”. Luísa concordou com esta proposta e deu sugestões para a
dinamização da discussão:
Luísa: Podíamos analisar uma e dizermos: “O que é que aqui de passa? Quem é
que concorda?” Não é?
João Pedro: É.
Maria: Quem é que acha que esta está certa, no fundo.
Luísa: É assim que eu faço.
Marisa: Se já estão habituados a essa dinâmica não me parece que seja boa ideia
estar a mudar.
11
Tânia: Dar a palavra a quem está no quadro, porque ele depois acaba por
argumentar: eu fiz assim porque eu pensei que…
Luísa: Normalmente quando eles vão ao quadro eles explicam e depois eu peço:
“Então e tu concordaste? Ah! Não? Então porquê?” Pronto, aquele que está
no quadro explica e depois se existir algum que não concorde…
Desta forma, o grupo optou por dinamizar uma discussão coletiva em que os
alunos são chamados a argumentar e a justificar as suas estratégias. É interessante notar
que nesta fase as professoras já não falavam em “corrigir” as tarefas, mas sim em
“discutir” as resoluções e preocuparam-se em definir uma dinâmica de comunicação
participada entre alunos e professora.
Reflexão pós-aula
Na reflexão sobre a aula observada, Marisa pediu às professoras que
apresentassem os aspetos que consideravam positivos e as dificuldades dos alunos na
tarefa. Relativamente à primeira questão, Tânia disse que o aluno que observou
interpretou que a parte pintada seria a branca e, partindo deste pressuposto, não teve
dificuldades na resolução da tarefa:
O meu Korumbi fez a confusão que a Inês também fez, achou que o que estava
pintado era o branco. Lembram-se de termos falado nisso? Discutimos
exatamente essa questão e o Korumbi foi fazer…
Nessa altura, Francisca e Maria recordaram que na sessão de preparação da aula
observada tínhamos discutido este assunto (introduzido por Inês) e que se tinha pensado
que esta dificuldade não iria surgir. Verificou-se assim que a interpretação do enunciado
representou uma dificuldade para os alunos que não tinha sido considerada. Deste
modo, teria sido importante ajudar os alunos a perceber que a parte pintada era a
cinzenta. No final, as professoras concluíram que, com exceção da interpretação sobre
qual é a parte pintada, os alunos não tiveram outras dificuldades.
Na discussão da questão seguinte, Tânia referiu que o aluno que observou não
percebeu o significado da palavra “decrescente” e que necessitou da ajuda da
professora. Depois, conseguiu resolver a tarefa, mas não colocou o sinal de < ou >.
Apenas duas alunas conseguiram resolver a questão. Nesse momento, João Pedro
levantou a questão: “Os alunos nesta aula já sabiam o que é decrescente?”. Algumas
professoras responderam afirmativamente e outras mostraram dúvidas. Por fim, todas as
professoras acabaram por concordar que a palavra “decrescente” pode ter sido uma
barreira à concretização da tarefa.
Na reflexão sobre a discussão coletiva realizada na aula, como aspetos positivos,
Luísa salientou o facto de ter discutido com os alunos conceitos que não estavam
planeados, como a noção de fração equivalente:
Uma das coisas (mais interessantes) foi mesmo eles terem dado conta das
frações equivalentes, pegarem nas representações e conseguirem encontrar
frações equivalentes sem ainda saberem o nome, não é? . . . Foi positivo.
12
Na continuidade, Marisa referiu que a aluna que observou (Berta) foi quem
introduziu na discussão a noção de frações equivalentes, apesar de não o ter feito na
resolução individual. Assim, para além da representação 2/3 (a figura estava dividida
em 3 partes, estando assinaladas 2) que a generalidade dos alunos registou, esta aluna
indicou 4/6. Fez-se então o visionamento do seguinte diálogo registado no vídeo da
aula:
Berta: No a) eu sei outra.
Professora: Sabes? Diz lá.
Berta: Quatro sextos.
Professora: quatro sextos…ora portanto, o a) tínhamos dividido em… A unidade
dividida em três partes e temos duas dessas partes pintadas. A Berta diz que
esta figura pode ser representada por quatro sextos. Explica lá porquê quatro
sextos?
Berta: Porque se dividirmos a figura ao meio…
Professora: Ao meio como?
Berta: Na horizontal… [figura 3]
Figura 3. Justificação de Berta para a representação 4/6.
Professora: Assim? É isto?
Berta: Sim. Ficamos com quatro partes pintadas que é o numerador e seis partes
onde a figura está dividida.
Comentando a participação de Berta sobre as frações equivalentes, Inês
aproveitou para salientar a forma como a aluna justificou o que tinha feito para chegar à
fração equivalente:
Aquela garota… A Berta representou os tais 4/6, de 2/3 passou para 4/6, eu acho
que ela explicou realmente de uma maneira muito simples, pondo um traço ao
meio e os outros viram que realmente… Muito bem… E fez com que os outros
entendessem.
Tânia também concordou que este foi um aspeto bastante positivo da aula e
acrescentou a discussão sobre o conceito de unidade:
As frações equivalentes e as frações que representam a unidade acabaram por
surgir, não é? E depois apareceram várias… Também a Luísa foi… Apanhou a
13
ideia de não sei quem [Marisa: Do Tiago] e acabou também por trabalhar esse
conceito que é a fração que representa a unidade.
Apesar de achar muito positiva a forma como Luísa aproveitou as intervenções
dos alunos para abordar a equivalência de frações e o conceito de unidade, Tânia
considerou que o objetivo da aula, a aprendizagem da comparação de frações, não tinha
sido alcançado com esta tarefa.
Tânia: Não tínhamos pensado [no conceito de unidade] mas surgiu a partir de
um aluno e acho que a Luísa fez muito bem. Foi aquele que…
Marisa: O Tiago.
Tânia: Que disse 3/3, não foi?
Luísa: Sim.
Tânia: E a Luísa arranjou ali uma forma de apresentar a fração que é igual à
unidade, pedindo também exemplos aos alunos. Apesar de não ter sido o
nosso objetivo acho que a aula… Surgiu o conceito e ela soube aproveitar.
Acho que aquilo que acabámos por pensar para a . . . Comparação de
frações . . . Esta [tarefa] não dá . . . Agora que deu para explorar… Por
acaso nós… Lembram-se… Quando nós tínhamos esta ficha, tinha uma
questão a ver com frações equivalentes e eu e a Francisca a falar, dissemos:
“mas eles ainda não deram frações equivalentes, se calhar não faz…”
Lembram-se? Não faz muito sentido esta questão e então tirámos isto e
andámos aqui às voltas, agora estamos a ver que eles acabaram por ir.
Francisca: Por chegar lá.
Tânia: . . . Portanto, temos de fazer outra ficha ou outro trabalho completamente
diferente para a comparação de frações. Para as frações equivalentes acho
que há aqui muito trabalho que foi feito e para as frações que são iguais à
unidade há muitos conceitos que já foram mexidos.
Nesta reflexão as professoras mostram ter desenvolvido a sua capacidade de
apreciar tanto as dificuldades como os desempenhos positivos dos alunos. Mostram,
também, valorizar o modo como foi possível tirar partido de oportunidades de
aprendizagem que surgiram no decorrer da aula, ao mesmo tempo que revelam espírito
crítico em relação à tarefa usada, assumindo a necessidade da sua reformulação.
Conclusão
Os momentos da formação aqui analisados indiciam diversas aprendizagens dos
professores em várias sessões do estudo de aula. Assim, os professores mostram ter
desenvolvido a sua capacidade de distinguir entre diferentes tipos de tarefa e analisar as
dificuldades dos alunos. Nas primeiras sessões o seu discurso relativamente aos alunos
centrava-se essencialmente sobre as suas dificuldades, mas, a partir de certa altura,
começaram a identificar e valorizar igualmente aspetos interessantes do trabalho dos
alunos. Compreenderam, também, como se pode analisar o raciocínio dos alunos, dando
especial atenção às generalizações e justificações, e como se podem propor tarefas
14
promotoras da realização destes processos. Mostraram, ainda, perceber o interesse de
analisar coletivamente na sala de aula soluções erradas e como se pode tirar partido da
comparação de diferentes estratégias de resolução. Estes resultados estão na linha do
que foi observado noutros estudos de aula (e.g., Perry & Lewis, 2009; Ponte et al.,
2012) e sugerem que este processo de desenvolvimento profissional tem potencialidades
para promover a aprendizagem dos professores sobre os processos de pensamento dos
alunos.
O estudo de aula permite combinar momentos de trabalho estruturado e de
trabalho autónomo dos professores e permite ainda conjugar o conhecimento
proveniente da investigação com o conhecimento experiencial dos próprios professores.
Como referimos, coloca os professores numa posição de investigar a sua própria prática
profissional em contexto colaborativo. Deste modo, constitui um contexto favorável
para o desenvolvimento profissional dos professores sobre as questões relativas à
aprendizagem dos alunos e, indiretamente, também sobre as questões relativas ao seu
ensino. No entanto, a sua concretização requer um conjunto de condições bastante
exigente, tanto da parte dos formadores, em termos de conceção e preparação, como da
parte dos professores, em termos de disponibilidade e empenhamento. Desde que estas
condições se verifiquem, trata-se, sem dúvida de um promissor processo de
desenvolvimento profissional.
Agradecimento
Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e
Tecnologia no âmbito do Projeto Práticas Profissionais dos Professores de Matemática (contrato
PTDC/CPECED/098931/2008).
Referências
Fernandez, C., Cannon, J., & Chokshi, S. (2003). A US-Japan lesson study collaboration reveals
critical lenses for examining practice. Teaching and Teacher Education, 19, 171-185.
Murata, A. (2011). Introduction: Conceptual overview of lesson study. In L. C. Hart, A. Alston
& A. Murata (Eds.), Lesson study research and practice in mathematics education:
Learning together (pp. 1-12). New York, NY: Springer.
Pólya, G. (1975). A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciência.
Ponte, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.), O professor e o
desenvolvimento curricular (pp. 11-34). Lisboa: APM.
Ponte, J. P., Baptista, M., Velez, I., & Costa, E. (2012). Aprendizagens profissionais dos
professores de Matemática através dos estudos de aula. Pesquisas em Formação de
Professores na Educação Matemática, 5, 7-24.
Ponte, J. P., Mata-Pereira, J., & Henriques, A. (2012). O raciocínio matemático nos alunos do
ensino básico e do ensino superior. Praxis Educativa, 7(2), 355-377.
Ponte, J. P., & Quaresma, M. (2011). Abordagem exploratória com representações múltiplas na
aprendizagem dos números racionais: Um estudo de desenvolvimento curricular.
Quadrante, 20(1), 53-81.
Perry, R., & Lewis, C. (2009). What is successful adaptation of lesson study in the US? Journal
Educational Change, 10, 365-391.
Stigler, J. W., & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world’s teachers for
improving education in the classroom. New York, NY: Free Press.
15
View publication stats