FRAÇÕES ALGÉBRICAS
DEFINIÇÃO:
Uma fração é algébrica se seu numerador e seu denominador forem expressões algébricas.
a
onde o numerador é “a” e o denominador é
b 1
3x  7
3
“b+1”,
onde o numerador é “3x-7” e o denominador é “4m+3”,
onde o numerador é “3”
4m  3
4
Como exemplos de tais frações podemos ter
e o denominador é “4”.
Você deve ter percebido que a última fração, que é numérica, também é algébrica. Isto significa
que todas as frações que conhecemos são realmente algébricas.
Como você já sabe, nunca podemos dividir alguma coisa por zero, e, por este motivo, é
necessário que o denominador de qualquer fração seja diferente de zero. Logo, na fração
o denominador “p - 4” não pode ser igual a zero: p  4  0 , então
para que a fração
x y
x y
exista devemos ter
p2
p4
p  4 . Do mesmo modo,
x  y  0 , e isto implica que
x  y . A estas
exigências para as variáveis, sejam elas representadas por x, y, p ou qualquer outra letra, damos
o nome de Condições de Existência.
SIMPLIFICAÇÃO:
Simplificar uma fração é o mesmo que obter uma nova fração que seja equivalente à fração
dada, mas que possua menor quantidade de símbolos. Para que possamos simplificar uma
fração, devemos inicialmente fatorar os seus componentes (numerador e denominador), e, em
seguida, cancelar os fatores que sejam comuns a eles.
Assim, se simplificarmos a fração
36 22.32 2.2.3.3 2.2 4
36
, teremos:
 3 


27
3
3.3.3
3 3
27
18xy3
A fração
, com a fatoração dos seus componentes e posterior simplificação dos fatores
360 x 2
comuns se torna:
18 xy 3 2.32.x. y 3
2.3.3. x . y. y. y
y3



. (Naturalmente, devemos ter x  0 )
360 x 2 23.32.5.x 2 2.2.2.3.3.5. x .x 20 x
3x  6
. Devemos inicialmente fatorar seus elementos, e tal
x2  4
3 ( x  2)
3x  6
3
, onde x  2  0 , e x  2  0 , ou seja,


2
x  4 ( x  2) ( x  2) x  2
Simplifiquemos agora a fração
fatoração é algébrica:
x  2 e x  2 .
1
EXERCÍCIOS: Simplifique e dê as condições de existência das frações:
1)
250a5b
;
45a3b4
2)
121x 2 y 3 z
;
77 x 4 y 3
3)
3ab 2
;
15a 2b3
4)
125 x  250a
;
x  2a
5)
a 2  b2
;
2a  2b
6)
4 x3  4 x 2
;
x2  2 x  1
7)
p 2  2 pq  q 2
;
p2  q2
8)
ax  ay  bx  by
;
2ax  2ay
9)
x2  9 y 2
;
ax  3ay  bx  3by
10)
3m2  3n2
m3  mn2  m2  n2
RESPOSTAS:
50a 2
1)
com a e b  0 ;
9b3
2)
11z
onde b  0 ;
7 x2
3)
1
onde a e b  0 ;
5ab
4) 125 onde x  2a ;
5)
ab
, com a   b ;
2
2
6)
4 x2
, com x   1 ;
x 1
7)
pq
, onde p   q ;
pq
8)
ab
, com a  0 e x   y ;
2a
9)
x  3y
, com a   b e x  3 y ;
ab
10)
3
, onde m   1 e m  n .
m 1
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Para efetuarmos estas operações entre frações algébricas, devemos fatorar seus elementos,
inverter as frações que estiverem logo após os sinais de divisão, multiplicá-las e, em seguida
simplificar as expressões que estiverem no numerador e no denominador, do mesmo modo que
fazíamos quando multiplicávamos frações numéricas.
Efetuemos as operações indicadas nos seguintes exemplos:
3
3x 2 y 4 4a 3 y 2 6bx
.
:
=
2ab5 27b 2 x 2 8a 2 y
3x 2 y 4 2 2 a 3 y 2 2 3 a 2 y
=
.
.
2ab5 33 b 2 x 2 2.3bx3
2 53a 5 x 2 y 7
=
2 2.34 ab8 x 5
23 a 4 y 7
8a 4 y 7
=
, com
33 b 8 x 3
27b 8 x 3
a,b,x e y não nulos.
abc a 2 x 2 z ab 2 z abc bcy ab 2 z a 2 .b 4c 2 yz
b 4c
2)
, com todas as letras não nulas.
:
.

.
.


xyz bcy cyx
xyz a 2 x 2 z cyx a 2cx 4 y 2 z 2 x 4 yz
3)
a 2  2ab  b2 ap  a  bp  b a  b (a  b)2 ( p  1)(a  b) 23 mx 2x
.
:

.
.

 2x ,
mp  m
4a 2  4b 2
8mx m( p  1) 22 (a  b)(a  b) a  b 1
onde m  0, p  1, a  b
EXERCÍCIOS:
Efetuar as operações indicadas:
1)
18a 3 x 4 75b 3 x
.
;
25b 2 y 12 a 2 y 3
2)
49 m 3 p 2 14 m 2 p 2
:
;
50 nq 4 125n 2 q 3
3
3)
x 2  4 m2  9
;
.
m  3 6 x  12
4)
ab  ac b 2  c 2 3bc 2
;
:
.
14a 2 b 49a 3c 2b  2c
5)
m3  4m 5m  10 m3  4m2  4m
m5  16m
:
.
:
p 2  25 2 x  2 y x 3  x 2 y  xy 2  y 3 p 2  10 p  25
RESPOSTAS:
3abx5
1)
com a,b e y não nulos;
2y4
2)
35mnq3
com m,n,p,q não nulos;
2
3)
( x  2)(m  3)
, m  3, x  2 ;
6
21a 2c3
, com a, b, c  0 e b  c
4)
4(b2  c 2 )
5)
2m(m  2)( p  5)
, com p  5, x   y, m  0, m  2 .
5( p  5)(m2  4)( x 2  y 2 )
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Como você já aprendeu adicionar e subtrair frações numéricas, você verá que o procedimento
agora será praticamente o mesmo. Vejamos as duas possibilidades de cálculo:
A - As frações envolvidas possuem denominadores iguais.
Neste caso devemos apenas somar e subtrair os numeradores e repetir o denominador.
Observemos os exemplos:
3p 5p 4 p 3p  5p  4 p 4 p




, com m  0 .
2m 2m 2m
2m
2m
8x 3x  4 y 7 y  3 8x  (3x  4 y)  (7 y  3) 8 x  3x  4 y  7 y  3 5 x  11y  3





, y0
2 y2
2 y2
2 y2
2 y2
2 y2
2 y2
4
B– As frações envolvidas possuem denominadores diferentes.
Neste caso, a soma ou a subtração terão um único denominador, que será igual ao Mínimo
Múltiplo Comum dos denominadores das frações. Em seguida, dividiremos o denominador
comum pelo denominador de cada fração e multiplicaremos o resultado pelo seu numerador.
Para terminar, efetuaremos as adições e subtrações que estiverem indicadas na expressão, e,
caso seja possível, devemos simplificar a fração final.
Acompanhe os seguintes exemplos:
1)
3a 5b 3a.3a  2b.5b 9a 2  10b 2



2b 3a
6ab
6ab
2)
4x
28x
7x
3x 10 x 4.4x  2.3x  5.10 x 16 x  6x  50 x
+
=
, com y  0.



5y 10 y 4 y
20 y
20 y
20 y
5y
[ note que MMC(2b,3a)=6ab],
a e b  0.
Veja que [MMC(5y,10y,4y) = 20y ], e que a fração final foi simplificada por 4 .
3)
3x 2  2 y 2
4x
x  2y
3x 2  2 y 2
4x
x  2y






2
2
x y
x  y 2 x  2 y ( x  y )( x  y ) x  y 2( x  y )

2(3x 2  2 y 2 )  2( x  y)4 x  ( x  y)( x  2 y) 6 x 2  4 y 2  8 x 2  8 xy  x 2  2 xy  xy  2 y 2


2( x  y)( x  y)
2( x  y)( x  y)

13x 2  6 y 2  7 xy
[ MMC(2(x+y),(x-y),(x+y)(x-y))=2(x+y)(x-y) ], com x   y.
2( x  y)( x  y)
EXERCÍCIOS :
Efetuar as operações indicadas:
1)
3a 5a 2a
  ;
2b 6b 3b
2)
3a 5a 2a
  ;
2b 6b 3b
3)
x
y
x
;


y x y x y
4)
pq pq
4 pq

 2
p  q p  q p  q2
5
RESPOSTAS:
1)
5a
;
3b
2)
4ab
;
a  b2
3)
x y
;
y
2
4) zero
OBSERVAÇÃO:
Se uma expressão apresentar multiplicações, divisões, adições e subtrações onde não haja
sinais de pontuação, devemos resolver antes as multiplicações e divisões, que são as operações
mais fortes, e, em seguida, as adições e subtrações.
EXEMPLO:
Efetuar as operações indicadas:
1)
2a  2b a 2  2ab  b2
3x 5 x 2(a  b) 2.52 x3
3x
5x
:

.  2 2 .

. 2 
2
3
2
25 xy
50 x
5a  5b 9
5 xy (a  b) 5(a  b) 3
4 x2
x2
12 x 2  x 2
11x 2




, onde x e y  0 e a  b
a  b 3(a  b) 3(a  b) 3(a  b)
Caso a expressão possua sinais de pontuação, como parênteses, colchetes ou chaves, devemos
iniciar operações por aquelas internas aos parênteses, em seguida devemos passar a resolver as
internas aos colchetes, após nos dedicamos às entre as chaves, e, no fim, às operações que
estejam fora de qualquer sinal de pontuação.
 x y 2 z 3 6
3x 2 y x3  1 2  z 3 z
3x 2 y z 1 z 1 3
. :     .  . .2 
. .  .   
2)  .   .  2 : .2 
y z z  z z  y z2 6
y z x3
z y z x
 y xz z  y z z

1 1 3  xz  xy  3 yz
  
, com x, y e z  0
y z x
xyz
EXERCÍCIOS:
Efetue as operações indicadas, supondo a existência das expressões:
6
2x
2x  x  2
 x
;
:

.
 x2 x2 x2 6
1) 
 2a 2  2b2 a  b 
a b

);
 : (
2
2
a

b
a

b
a

b


2) 
3)
3a 3b 6 9b 1 3b
. :  : :
4b 8a 5a 8a 3a 4a
RESPOSTAS:
1)
1
;
3x  6
2) -1;
3)
303a
64
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7