Econometria I
Exame 1 (Gabarito)
26/10/2023
1.
a. Sabemos que b1 = (X0 X)−1 X0 y.
E[b1 |X, Z] =E[(X0 X)−1 X0 y|X, Z]
=(X0 X)−1 X0 E[Xβ 2 + Zγ + ε2 |X, Z]
=β2 + (X0 X)−1 X0 Zγ
caso o pressuposto E[ε2 |X, Z] = 0 seja satisfeito. Para encontrarmos a variância:
V ar[b1 |X, Z] =V ar[(X0 X)−1 X0 y|X, Z]
=(X0 X)−1 X0 V ar[Xβ 2 + Zγ + ε2 |X, Z]X(X0 X)−1
=σ 2 (X0 X)−1
caso o pressuposto V ar[ε2 |X, Z] = σ 2 I seja satisfeito.
b. Aplicando o teorema FWL, temos que b2 = (X0 Mz X)−1 X0 Mz y. Portanto,
E[b2 |X, Z] =E(X0 Mz X)−1 X0 Mz y|X, Z]
=(X0 Mz X)−1 X0 Mz E[Xβ 1 + ε1 |X, Z]
=β1
caso o pressuposto E[ε1 |X] = 0 seja satisfeito. Encontrando a variância:
V ar[b2 |X, Z] =V ar[(X0 Mz X)−1 X0 Mz y|X, Z]
=(X0 Mz X)−1 X0 Mz V ar[Xβ 1 + ε1 |X, Z]Mz X(X0 Mz X)−1
=σ 2 (X0 Mz X)−1
caso o pressuposto V ar[ε1 |X, Z] = σ 2 I seja satisfeito.
c. Caso o modelo 1 represente o verdadeiro processo gerador de dados, E[b1 |X, Z] = β1
e V ar[b1 |X, Z] = σ 2 (X0 X)−1 . Portanto, E[b1 |X, Z] = E[b2 |X, Z] = β1 . Em relação às
variâncias, como Mz é uma matrix de projeção ortogonal, temos que X0 Mz X ≤ X0 X.
Então, σ 2 (X0 Mz X)−1 ≥ σ 2 (X0 X)−1 ⇒ V ar[b2 |X, Z] ≥ V ar[b1 |X, Z]
d. Caso o modelo 1 represente o verdadeiro processo gerador de dados, E[b2 |X, Z] =
β2 , enquanto que E[b1 |X, Z] = β2 + (X0 X)−1 X0 Zγ, e V ar[b2 |X, Z] = σ 2 (X0 Mz X)−1 .
Portanto, também temos neste caso que V ar[b2 |X, Z] ≥ V ar[b1 |X, Z].
e. Se o modelo 1 for o verdadeiro, ambos b1 e b2 são não-viesados, porém b1 é eficiente,
pois possui menor variância. Caso o modelo 2 seja o verdadeiro, b1 é viesado enquanto
b2 não. Porém b1 possui menor variância. Temos, portanto, um trade-off viés-variância
ao comparar b1 e b2 .
1
2.
a. De acordo com as definições de z1,i , z2,i e z3,i em termos de x1,i , x2,i e x3,i , temos que
Z = XA


h
i
h
z1 z2 z3 = x1 x2
1 0 2


x3 −2 1 −3
0 4 5
i
Note que A é invertível:
!
1 −3
−2 1
det A = det
+ 0 + 2det
4 5
0 4
!
= 5 + 12 + 2(−8) = 1 6= 0
b. Denote b o estimador de MQO do vetor de parâmetros β e α̂ o estimador de MQO do
vetor α. Portanto, temos que b = (X0 X)−1 X0 y e α̂ = (Z0 Z)−1 Z0 y. Usando a relação
entre X e Z encontrada acima, temos que X = ZA−1 . Portanto,
b =[(ZA−1 )0 ZA−1 ]−1 (ZA−1 )0 y
=[(A0 )−1 Z0 ZA−1 ]−1 (A0 )−1 Z0 y
=A(Z0 Z)−1 A0 (A0 )−1 Z0 y
=Aα̂
Portanto, b1 = 1 0 2 α̂ = α̂1 + 2α̂3 .
c. Os valores previstos da regressão de y em X são dados por
ŷ = Xb̂ = XAα̂ = Zα̂
o que corresponde aos valores previstos da regressão de y em Z. Como os valores previstos
são os mesmos, então os resíduos também são. (Outra forma de chegar este resultado é
mostrar que PX = PZ e MX = MZ ). Ambos os modelos são linearmente relacionados
através da matriz A. Isto significa que os dois modelos contem o mesmo conjunto de
informações e que eles são equivalentes. Um modelo representa uma reformulação do
outro.
3. Dada a distribuição assintótica do estimador de MQO b, podemos definir um teste assintótico
baseado na estatística de teste Wald.
a. O estimador de MQO b do vetor de parâmetros β é tal que
√
d
n(b − β) −
→ N [0, σ 2 Q−1 ]
0
onde Q é tal que plim (XnX) = Q. Defina o vetor de restrições
!
β12 − β22 − 5
β2 + β3 − 1
g(β) =
Portanto, queremos testar
!
H0 : g(β) =
0
0
2
vs H1 : g(β) 6=
0
0
!
Ademais, defina C(b) = ∂g(b)
∂b0 . De acordo com o teorema de Slutsky, plim g(b) = g(β) e,
aplicando o método Delta, temos que
√
d
n(g(b) − g(β)) −
→ N [0, Γ[Asy.V ar(b)]Γ0 ]
onde Γ é tal que plim C(b) = ∂g(β)
∂β 0 = Γ. A estatística Wald é dada por
W = ng(b)0 [Γ̂[Asy.Vˆar(b)]Γ̂0 ]−1 g(b)
onde
∂g(b)
=
Γ̂ =
∂b0
!
2b1 −2b2 0
0
1
1
b. A distribuição limite da estatística de teste sob H0 é encontrada a seguir:
√
⇒
√
d
ng(b) −
→ N [0, Γ[Asy.V ar(b)]Γ0 ]
d
n[Γ[Asy.V ar(b)]Γ0 ]−1/2 g(b) −
→ N [0, I]
d
⇒ ng(b)0 [Γ[Asy.V ar(b)]Γ0 ]−1 g(b) −
→ χ2 (2)
Regra de decisão: Rejeitar H0 se W > χ21−α (2).
4.
a. Precisamos mostrar que plim b = β. O estimador de MQO é dado por
b=β+
X0 X
n
−1 X0 ε
n
0
Assuma plim (XnX) = Q é uma matriz positiva definida. Portanto,
−1
plim b = β + Q
0
Note que podemos escrever Xn ε = n1
plim
X0 ε
n
Pn
a média amostral é um estimador
i=1 xiεi . Como
X0 ε
plim
= E(X0 ε) = 0 dada a hipótese de
n
consistente da média populacional,
exogeneidade E(ε|X) = 0. Portanto, encontramos plim b = β.
b. Escrevemos
0 −1 0 XX
Xε
b−β =
n
n
√
Multiplicando ambos os lados por n, temos
√
n(b − β) =
X0 X
n
−1 Sabemos, portanto, que a distribuição limite de
√
1
√
X0 ε
n
n(b − β) é a mesma de Q−1 √1n X0 ε.
Vamos estabelecer agora a distribuição limite de √1n X0 ε:
1
1 X
1 X
√ X0 ε = √
xi εi = √
(xi εi − E(xi εi ))
n
n
n
3
Defina wi = xi εi , onde w̄ = n1
P
xi εi , e multiplique a expressão acima por n/n:
√ 1X
√
1
√ X0 ε = n
(wi − E(wi )) = n[w̄ − E(w̄)]
n
n
O vetor w̄ é a média de n vetores aleatórios i.i.d com média 0 e variáncia σ 2 Q, assumindo
que os erros do modelo de regressão são homoscedásticos e não-correlacionados entre si.
Aplicando o teorema do limite central de Lindeberg-Levy, como {xi εi }i , i = 1, · · · , n, são
vetores independentes, cada um distribuído com média 0 e variância σ 2 Q < ∞,
1
d
√ X0 ε −
→ N [0, σ 2 Q]
n
Multiplicando por Q−1 , temos
√
d
n(b − β) −
→ N [0, σ 2 Q−1 ]
Logo,
"
σ2
b ∼ N β, Q−1
n
a
#
5. A resposta deveria abranger tanto a interpretação dos parâmetros (efeitos marginais) quanto
a significância estatística. Os coeficientes são conjuntamente estatisticamente significantes
a 5% (χ2 (2) = 6.87). Individualmente, o coeficiente de x2 é estatisticamente significante a
5%, mas o de x3 não é. Note que Efeito parcialj = g 0 (1 + 2x2 + 3x3 )βj , onde g 0 () < 0 então o
sinal do efeito parcial é o inverso do sinal de βj . Segue-se que E[y|x2 , x3 ] diminui quando x2
aumenta e quando x3 aumenta.
4