Econometria II FGV EESP
Resumo de Estudo Aprofundado
Processos ARCH e GARCH
Enders (4ª ed.) Seção 3.2
Fórmulas (3.1) a (3.9): derivação completa,
intuição econômica e propriedades
(3.1) AR(q) nos resíduos ao quadrado ponto de partida
(3.2) ARCH(1) multiplicativo de Engle (1982)
(3.3) Média incondicional zero de ε
(3.4) Autocorrelação zero de ε
(3.5) Variância incondicional de ε
(3.6) Variância condicional de ε a essência do ARCH
(3.7) Solução VMA de y
(3.8) ARCH(q) de ordem superior
(3.9) GARCH(p, q) de Bollerslev (1986)
t
t
t
t
t
Baseado em: Enders, W. Applied Econometric Time Series, 4ª ed.
Capítulo 3 Modeling Volatility, pp. 123130
Econometria II FGV EESP
Resumo Profundo: Enders Ÿ3.2 ARCH e GARCH
Contents
1
Econometria II FGV EESP
1
Resumo Profundo: Enders Ÿ3.2 ARCH e GARCH
Motivação: Por que modelar a variância? (p. 123)
1.1 O problema da variabilidade não constante
O problema central
constante
períodos de alta volatilidade
Em modelos econométricos convencionais, assume-se que a variância do erro é
períodos tranquilos
é previsível
variância incondicional
variância condicional
(homoscedasticidade ). Mas séries nanceiras e macroeconômicas apre-
sentam
alternados com
variância não é constante e mais importante,
o futuro.
. A
: o passado informa
Se você compra um ativo hoje e vende amanhã, a
longo prazo) é irrelevante. O que importa é a
(de
ao que já
aconteceu.
1.2 A primeira ideia: usar uma variável explícita x
t
Considere o modelo mais simples possível:
yt+1 = εt+1 xt ,
onde εt+1 é ruído branco com variância σ
2
e xt é observado em t.
2 2
A variância condicional é Var(yt+1 |xt ) = xt σ . Quando xt é grande, a variância é
grande. Na prática, modela-se em log:
ln(yt ) = α0 + α1 ln(xt−1 ) + et .
Por que abandonar essa abordagem
escolher uma causa
x
também a média y
transformação dos dados
1. Exige
para a volatilidade: foi o choque do petróleo?
A política monetária? Raramente há uma teoria rme para essa escolha.
2. A variável
t afeta
de
3. Exige uma
t , o que nem sempre é desejado.
sem
que pode não ser apropriada.
A solução de Engle (1982): modelar a variância condicional
precisar de uma
variável explícita.
1.3 Superioridade das previsões condicionais a base do ARCH
Antes de apresentar o ARCH, Enders justica sua necessidade mostrando que previsões
condicionais são sempre superiores.
2
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Resumo Profundo: Enders Ÿ3.2 ARCH e GARCH
Previsões condicionais vs. incondicionais
y =a +a y +ε
|a | < 1
Previsão condicional: E y = a + a y
Previsão incondicional:
a /(1 − a )
Para
t
0
1 t−1
t com
t t+1
:
1
0
2
1 t , com erro de variância σ .
média de longo prazo
erro:
E (yt+1 − a0 /(1 − a1 ))2 =
2
Como 1/(1 − a1 ) > 1, a previsão incondicional é
0
1 , com variância do
σ2
.
1 − a21
sempre pior
. O mesmo princípio
aplica-se à variância: a variância condicional é superior à incondicional.
3
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Resumo Profundo: Enders Ÿ3.2 ARCH e GARCH
2 Fórmula (3.1) AR(q ) nos resíduos ao quadrado
(p. 124125)
2.1 Modelando a variância como um AR
Seja {ε̂t } os resíduos estimados do modelo yt = a0 +a1 yt−1 +εt . A variância condicional
de yt+1 é:
Var(yt+1 |yt ) = Et ε2t+1 .
Se essa variância não é constante, podemos modelá-la como um AR(q ):
ε̂2t = α0 + α1 ε̂2t−1 + α2 ε̂2t−2 + · · · + αq ε̂2t−q + vt
Fórmula (3.1)
(3.1)
onde vt é um processo de ruído branco.
O que (3.1) diz
Se α1 = α2 = · · · = αq = 0: a variância é a constante α0 modelo clássico.
Se algum
αi > 0:
a variância condicional em
t + 1 é previsível com base nos
resíduos ao quadrado passados. Um |ε̂t−i | grande implica variância grande amanhã.
Isso captura os clusters de volatilidade: períodos turbulentos tendem a continuar
turbulentos.
A previsão um passo à frente é:
Et ε̂2t+1 = α0 + α1 ε̂2t + · · · + αq ε̂2t−q+1 .
Por que (3.1) não é a especicação nal
linear aditiva
simultaneamente
A especicação
(3.1) tem dois problemas:
1. Para estimar ecientemente, o modelo da média (yt ) e a equação da variância
devem ser estimados
por máxima verossimilhança. Isso
é mais fácil com a especicação multiplicativa.
2. A especicação em (3.1) pode gerar variâncias condicionais negativas se algum
coeciente for negativo.
Por isso, Engle propõe a formulação
multiplicativa
4
da equação (3.2).
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3 Fórmula (3.2) O ARCH(1) Multiplicativo de
Engle (pp. 125126)
3.1 A especicação ARCH(1)
q
εt = vt α0 + α1 ε2t−1
Fórmula (3.2) ARCH(1)
(3.2)
independente
onde:
ˆ vt : ruído branco com E[vt ] = 0 e σv2 = 1,
de εt−1 .
ˆ α0 > 0 e 0 ≤ α1 ≤ 1: parâmetros a estimar (restrições necessárias).
Como ler (3.2) intuitivamente
ε
dois fatores
ˆ v
imprevisível
p
α +α ε
escala
ˆ
t é o produto de
:
t : choque
0
e padronizado a direção do erro.
2
1 t−1 : a
do erro, que depende do passado.
Se |εt−1 | foi grande, a escala é grande, então |εt | também tende a ser grande independentemente de vt ser positivo ou negativo. Isso gera clustering de volatilidade
sem gerar tendência na média.
Por que as restrições α > 0 e 0 ≤ α ≤ 1?.
Justicativa das restrições
0
1
ˆ α0 > 0: garante que a variância condicional mínima seja positiva (quando
εt−1 = 0, ht = α0 > 0).
ˆ α1 ≥ 0: se α1 < 0, um ε2t−1 sucientemente grande tornaria α0 + α1 ε2t−1 < 0
a raíz quadrada seria indenida.
ˆ α1 ≤ 1: garante estabilidade do processo. Se α1 > 1, a variância incondicional
seria innita (processo explosivo na variância).
ˆ Caso limite α1 = 1: processo IGARCH (Integrated GARCH ) variância
incondicional innita, mas condicional ainda bem denida.
4 Fórmulas (3.3) e (3.4) Média zero e Ausência de
Autocorrelação (p. 125)
5
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4.1 (3.3): Média incondicional de ε é zero
t
Derivação da Fórmula (3.3)
Tomamos a esperança incondicional de (3.2):
i
h q
E[εt ] = E vt α0 + α1 ε2t−1 .
Passo 1: v ε
t e
t−1 são
independentes
(por hipótese). Portanto podemos separar
a esperança:
Passo 2: E[v ] = 0
Passo 3:
t
hq
i
2
E[εt ] = E[vt ] · E
α0 + α1 εt−1 .
(por denição de ruído branco).
Portanto:
Intuição
A média zero é garantida
E[εt ] = 0.
exclusivamente
(3.3)
pela distribuição de vt . A estrutura de
variância condicional não afeta a média. O ARCH modela volatilidade, não nível.
4.2 (3.4): Ausência de autocorrelação em ε
t
Derivação da Fórmula (3.4)
Para i ̸= 0:
i
h q
E[εt εt−i ] = E vt α0 + α1 ε2t−1 · εt−i .
p
Dado o passado até t−1, εt−i e
α0 + α1 ε2t−1 são conhecidos (pertencem
a Ft−1 ). Apenas vt é aleatório em t.
Pela independência de vt com o passado:
Passo 1:
Passo 2:
q
E[εt εt−i ] = E[vt ] · E[εt−i α0 + α1 ε2t−1 ] = 0.
E[εt εt−i ] = 0 ∀ i ̸= 0.
Ausência de correlação ̸= independência
relação linear ε ε
correlacionados
não independentes
(3.4) diz que não há
entre
t e
2
2
t−i . Mas εt e εt−1 são
(3.4)
altamente
(essa é a essência do ARCH). Os erros são não correlacionados
mas
: a dependência existe nos segundos momentos. Corre-
lação mede apenas relações lineares não captura a estrutura de variância.
6
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5 Fórmula (3.5) Variância Incondicional Constante
(p. 125)
5.1 Derivação de (3.5)
Derivação da Fórmula (3.5)
Elevamos (3.2) ao quadrado e tomamos a esperança incondicional:
E[ε2t ] = E
Passo 1:
h
i
2
2
vt (α0 + α1 εt−1 ) .
Como vt e εt−1 são independentes:
E[ε2t ] = E[vt2 ] · E[α0 + α1 ε2t−1 ] = 1 · (α0 + α1 E[ε2t−1 ]).
Passo 2:
Por
estacionariedade
(covariância), a variância incondicional é con-
2
2
2
stante no tempo: E[εt ] = E[εt−1 ] ≡ σ . Substituindo:
σ 2 = α0 + α1 σ 2 .
Passo 3:
2
Resolvendo para σ :
E[ε2t ] =
α0
.
1 − α1
Interpretação de (3.5)
ˆ
existe e é constante
ˆ
maior α maior
A variância incondicional
Quanto
1,
(3.5)
(desde que α1 < 1).
a variância incondicional (para dado α0 ): a per-
sistência amplica a variância de longo prazo.
ˆ Se α1 → 1:
a variância incondicional
→ ∞.
O processo IGARCH tem
variância de longo prazo innita.
ˆ A condição de estacionariedade α1 < 1 é necessária para que (3.5) seja nita.
O paradoxo do ARCH: variância constante mas variável
ˆ Estacionário:
σ = α /(1 − α )
ˆ Heteroscedástico:
O modelo ARCH é simultaneamente:
a variância incondicional é constante 2
0
1 .
a variância condicional varia ao longo do tempo.
2
Não há contradição: médias temporais de períodos longos convertem para σ , mas
em qualquer período especíco a variância pode estar acima ou abaixo disso.
7
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6 Fórmula (3.6) A Variância Condicional: a Essência do ARCH (p. 126)
6.1 Derivação de (3.6)
Derivação da Fórmula (3.6) o coracão do ARCH
2
Calculamos E[εt |εt−1 , εt−2 , . . .] (a variância condicional):
E[ε2t |εt−1 , εt−2 , . . .] = E
Passo 1:
i
h
2
2
vt (α0 + α1 εt−1 ) εt−1 , εt−2 , . . . .
Dado o conjunto de informação Ft−1
(α0 + α1 ε2t−1 ) é
determinística
= {εt−1 , εt−2 , . . .}, a expressão
sai da esperança:
= (α0 + α1 ε2t−1 ) · E[vt2 |Ft−1 ].
Passo 2:
Resultado:
2
2
2
Como vt é independente de Ft−1 : E[vt |Ft−1 ] = E[vt ] = σv = 1.
E[ε2t |εt−1 , εt−2 , . . .] = α0 + α1 ε2t−1 .
(3.6)
(3.6) é a fórmula mais importante de toda a seção
Compare (3.5) e (3.6):
α0
E[ε2t ] =
1 − α1
|
{z
}
vs.
constante não usa informação
hoje
(3.6) diz:
E[ε2t |Ft−1 ] = α0 + α1 ε2t−1
{z
}
|
variável usa informação passada
um choque grande no período anterior aumenta a variância
2
. O valor εt−1 é observável em t − 1, portanto pode-se formar uma previsão
melhor da variância de hoje.
Isso é exatamente o que é observado empiricamente em mercados nanceiros: large
changes tend to be followed by large changes, of either sign (Mandelbrot, 1963).
Diagnóstico: como detectar ARCH na prática.
2
O ACF de ε̂t revela a estrutura
ARCH. Se (3.6) vale, então:
Corr(ε2t , ε2t−1 ) = α1 > 0.
2
O ACF de ε̂t deve mostrar autocorrelações positivas e decrescentes exatamente o
padrão de um AR(1).
8
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7 Fórmula (3.7) A Variância Incondicional de yt
(pp. 127128)
7.1 Da equação de ε para a distribuição de y
t
t
Tendo estabelecido as propriedades de εt , Enders examina como a estrutura ARCH
afeta a série observada yt . O modelo é yt = a0 + a1 yt−1 + εt com |a1 | < 1.
Derivação da Fórmula (3.7) solução VMA de y
Passo 1:
(1 − a L)y = a + ε
t
Usando operadores de defasagem,
yt =
Passo 2:
1
t
0
t , logo:
a0
εt
+
.
1 − a1 L 1 − a1 L
Expandindo a fórmula geométrica (válida para |a1 | < 1):
∞
X
1
=
ai1 Li ,
1 − a1 L
i=0
e ignorando o transiente inicial (amostras longas), a solução particular é:
∞
X
a0
+
ai1 εt−i .
yt =
1 − a1 i=0
(3.7)
Variância incondicional de y via (3.7)
t
Como E[εt εt−i ] = 0 para i ̸= 0 (equação 3.4), os termos cruzados se anulam:
Var(yt ) =
∞
X
a2i
1 Var(εt−i ) = Var(εt )
i=0
∞
X
i=0
a2i
1 =
Var(εt )
.
1 − a21
Substituindo Var(εt ) = α0 /(1 − α1 ) de (3.5):
Var(yt ) =
α0
1
·
.
1 − α1 1 − a21
A variância de y depende de dois tipos de persistência:
t
ˆ α1 (persistência ARCH): quanto maior, mais a volatilidade passada ina a
variância atual.
ˆ |a1 | (persistência AR): quanto maior, mais os choques passados se acumulam
em yt .
9
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Variância condicional de y
t
A média e a variância condicionais de yt são:
Et−1 [yt ] = a0 + a1 yt−1 ,
Var(yt |Ft−1 ) = Et−1 [ε2t ] = α0 + α1 ε2t−1 .
A
média condicional
depende do nível de yt−1 . A
variância condicional
de-
pende do quadrado do erro passado completamente independentes uma da outra.
Essa separação é uma das vantagens do ARCH.
10
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8 Fórmula (3.8) ARCH(q ) de Ordem Superior (p.
128)
Fórmula (3.8) ARCH(q)
v
u
q
X
u
αi ε2
εt = vt tα0 +
(3.8)
t−i
i=1
ARCH(q) generalização do ARCH(1)
ˆ Cada choque passado ε2t−1 , ε2t−2 , . . . , ε2t−q afeta
diretamente
a variância at-
ual.
ˆ A variância condicional é:
ht = Et−1 [ε2t ] = α0 + α1 ε2t−1 + α2 ε2t−2 + · · · + αq ε2t−q .
ˆ Previsão um passo à frente (idêntica ao que (3.1) produziria):
Et ε2t+1 = α0 + α1 ε2t + α2 ε2t−1 + · · · + αq ε2t−q+1 .
ˆ Variância incondicional nita se e somente se
Pq
i=1 αi < 1.
O problema do ARCH(q) com q grande
Para capturar persistência longa na volatilidade, pode ser necessário q = 8 ou mais
Muitos parâmetros: q + 1
Perda de parcimônia:
lags. Isso cria dois problemas:
1.
coecientes a estimar com restrição de não-
negatividade em todos.
2.
um ARCH(8) é difícil de identicar, estimar e in-
terpretar.
A solução é o GARCH, que representa a mesma dinâmica com muito menos
parâmetros.
11
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9 Fórmula (3.9) O Modelo GARCH(p,q ) de Bollerslev (1986) (pp. 128130)
9.1 A ideia do GARCH: variância como um processo ARMA
A contribuição de Bollerslev (1986)
2
No ARCH(q ), a variância condicional é um AR(q ) nos εt . Bollerslev generaliza: e
ARMA
se a variância condicional seguisse um processo
?
Assim como um AR de alta ordem tem uma representação ARMA parcimoniosamente equivalente, um ARCH(q ) com q grande frequentemente tem uma representação GARCH(p, q ) com p e q pequenos tipicamente p = q = 1.
εt = vt
ht = α0 +
p
ht ,
q
X
αi ε2t−i +
i=1
Fórmula (3.9) GARCH(p,q)
σv2 = 1,
p
X
βi ht−i
(3.9)
i=1
9.2 Anatomia da equação (3.9)
Interpretação de cada componente de h
t
ˆ α0 : intercepto nível base da variância condicional quando todos os choques
passados e variâncias passadas são zero. Deve ser > 0.
Pq
2
2
nos ε como o modelo ARCH. Captura o
ˆ
i=1 αi εt−i : componente
ˆ
MA
AR
efeito imediato de novos choques na variância.
Pp
na própria variância condicional. Captura a
i=1 βi ht−i : componente
persistência: a variância de ontem continua sendo relevante hoje.
Juntos, esses dois componentes criam uma dinâmica ARMA na variância.
9.3 Casos especiais importantes
12
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Casos especiais do GARCH(p,q)
Especicação É equivalente a Fórmula
p = 0, q = 1
ARCH(1)
ht = α0 + α1 ε2t−1
p = 0, todos βi = 0
ARCH(q )
eq. (3.8)
p = 1, q = 1
GARCH(1,1)
ht = α0 + α1 ε2t−1 + β1 ht−1
α1 + β1 = 1
IGARCH(1,1)
variância incondicional innita
O GARCH(1,1): o modelo mais usado na prática.
O GARCH(1,1) em detalhe
Com p = q = 1:
ht = α0 + α1 ε2t−1 + β1 ht−1 .
Interpretação dos parâmetros:
novos choques
ˆ α1 : sensibilidade da variância a
. α1 grande ⇒ a variância
2
reage fortemente a εt−1 .
ˆ β1 : persistência da variância. β1 próximo de 1 ⇒ a variância de ontem
continua sendo relevante por muitos períodos.
ˆ α1 + β1 :
persistência total.
Tipicamente
α1 + β1 ≈ 0.950.99 em séries
Variância incondicional: E[ε ] = α /(1 − α − β )
Previsão j passos à frente:
nanceiras.
2
t
Et [ht+j ] =
Quando j → ∞:
0
1
1 , nita se α1 + β1 < 1.
α0
1 − (α1 + β1 )j + (α1 + β1 )j ht .
1 − α1 − β1
Et [ht+j ] → α0 /(1 − α1 − β1 ) a variância prevista converge à
variância incondicional.
9.4 Por que GARCH(1,1) ≫ ARCH(q) alto?
A vantagem fundamental da parcimônia
9 parâmetros α , . . . , α
3 parâmetros α , α , β
Suponha que a variância condicional de fato tem memória de 8 lags.
isso como ARCH(8) requer
( 0
Modelar
8 ), todos restritos a ser não
negativos.
O GARCH(1,1) precisa de apenas
captura a mesma dinâmica. A razão:
( 0
1
1 ) e frequentemente
β1 ht−1 herda toda a história passada de
variância num único termo.
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Expandindo iterativamente:
ht = α0
∞
X
β1i + α1
∞
X
i=0
β1i ε2t−1−i ,
i=0
geometri-
2
ou seja, o GARCH(1,1) implica que todos os εt−j afetam ht , com pesos
α1 β1j−1 . É como um ARCH(∞) com estrutura geométrica
camente decrescentes
imposta.
9.5 Restrições e estabilidade
Restrições necessárias no GARCH(p,q)
Para garantir que ht > 0 em todos os períodos:
α0 > 0,
αi ≥ 0 ∀ i,
βi ≥ 0 ∀ i.
Para variância incondicional nita (estacionariedade de covariância):
q
X
i=1
αi +
p
X
βi < 1.
i=1
Numa estimativa numérica, se o otimizador devolver coecientes negativos, o modelo está mal especicado.
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10 Identicando a Ordem GARCH: o Correlograma
de ε̂2t (pp. 129130)
10.1 A lógica da identicação
Por que o ACF de ε̂ funciona
2
t
2
2
2
De (3.9), ht = α0 + α1 εt−1 + · · · + βp ht−p é um processo ARMA. Como εt = vt ht
2
2
2
e E[vt ] = 1, temos E[εt |Ft−1 ] = ht . Portanto εt é uma versão ruidosa de ht . O
2
ACF de εt tem o mesmo padrão do ACF de um ARMA(m, p), com m = max(p, q).
Analógia direta:
assim como o ACF/PACF de yt identica um ARMA para a
2
média, o ACF de ε̂t identica o GARCH para a variância.
10.2 Procedimento formal em 3 passos
Identicação de Efeitos GARCH pelo Correlograma
Passo 1:
{y }
Estimar o modelo mais adequado para
t (ARMA ou regressão). Cal2
cular os resíduos ao quadrado {ε̂t } e a variância amostral:
T
1X 2
σ̂ =
ε̂ .
T t=1 t
2
Passo 2:
Calcular as autocorrelações amostrais dos resíduos ao quadrado:
T
X
ρi =
(ε̂2t − σ̂ 2 )(ε̂2t−i − σ̂ 2 )
t=i+1
T
X
.
(ε̂2t − σ̂ 2 )2
t=1
Passo 3:
√
Testar signicância individual (|ρi | > 2/
T ) e conjunta (LjungBox):
n
X
ρ2i a 2
∼ χ (n).
Q = T (T + 2)
T
−
i
i=1
Rejeitar H0 : ρ1 = · · · = ρn = 0 equivale a conrmar presença de GARCH.
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10.3 Teste LM de McLeod e Li (1983) mais formal
Teste LM para Efeitos ARCH
Passo 1:
{y }
Passo 2:
ε̂
Estimar o modelo para
Regredir
t
2
e obter {ε̂t }.
2
t em uma constante e q defasagens:
ε̂2t = α0 + α1 ε̂2t−1 + · · · + αq ε̂2t−q .
Passo 3:
Sob H0 : α1 = · · · = αq = 0 (sem ARCH/GARCH):
a
T R2 ∼ χ2 (q) rejeitar se T R2 grande.
ˆ
ˆ Em amostras pequenas: preferir o teste F com q e T − q graus de liberdade.
O que um R alto na regressão LM signica
2
2
2
Se não há ARCH, ε̂t é essencialmente ruído branco e a regressão LM terá R ≈ 0.
Um
R2 elevado signica que os quadrados dos resíduos têm estrutura autorre-
gressiva previsível a variância está clusterizada, o que é a assinatura do
ARCH/GARCH.
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Resumo Profundo: Enders Ÿ3.2 ARCH e GARCH
Quadro-Síntese: Fórmulas (3.1) a (3.9)
Todas as Fórmulas: O que cada uma diz e por que importa
Eq.
Fórmula
O que diz / por que importa
(3.1)
ε̂2t = α0 +
(3.2)
q
εt = vt α0 + α1 ε2t−1
(3.3)
E[εt ] = 0
Média incondicional zero. ARCH modela
volatilidade, não nível.
(3.4)
E[εt εt−i ] = 0, i ̸= 0
Sem autocorrelação. Mas: sem correlação
̸= independência.
(3.5)
E[ε2t ] = α0 /(1 − α1 )
Variância
constante (se
α1 < 1). O ARCH é estacionário.
(3.6)
E[ε2t |Ft−1 ] = α0 + α1 ε2t−1
Variância
P
Variância como AR(q ) nos erros ao
quadrado. Ponto de partida linear; abandonado por não ser tratavél em MV.
αi ε̂2t−i + vt
ARCH(1) multiplicativo.
Especicação fundamental: garante variância > 0
e permite MV.
incondicional
condicional variável.
A fór-
mula mais importante :
transforma informação passada em previsão de variância.
(3.7)
a0
yt = 1−a
+
1
Solução VMA de yt . Mostra que Var(yt ) =
α0
.
(1−α )(1−a2 )
(3.8)
q
P
εt = vt α0 + qi=1 αi ε2t−i
P i
a1 εt−i
1
1
ARCH(q). Generalização natural. Problemático quando q é grande.
(3.9)
ht = α0 +
P
αi ε2t−i +
P
βi ht−i
GARCH(p, q) de Bollerslev. A variância
condicional segue um ARMA. Parcimônia
com memória longa.
17
Econometria II FGV EESP
1.
Resumo Profundo: Enders Ÿ3.2 ARCH e GARCH
O ARCH em três armações
Não correlacionado mas não independente: E[ε ε ] = 0
(eq. 3.4) mas
t t−i
2
2
2 2
E[εt εt−1 ] ̸= E[εt ]E[εt−1 ]. A dependência está nos segundos momentos, não nos
Estacionário mas heteroscedástico:
Média e variância são ortogonais:
primeiros.
2.
variância incondicional constante
(3.5), mas variância condicional variável (3.6). Não há contradição.
3.
a estrutura ARCH não afeta a média
condicional de yt apenas sua variância. As equações da média e da variância
podem ser especicadas separadamente.
ARCH vs. GARCH: Quando usar cada um?
Critério
ARCH(q)
GARCH(p,q)
Nº de parâmetros
q+1
p+q+1
Memória da variância
q lags explícitos
Innita (via βi ht−i )
Parcimônia
Baixa se q grande
Alta (GARCH(1,1) geralmente
suciente)
Restrições
q + 1 inequal. ≥ 0
p + q + 1 inequal. ≥ 0
Estimativa numérica
Mais simples
Mais complexa
Uso prático
Raro (prefer-se GARCH)
Padrão na literatura
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