Ernesto Sánchez • Santiago Inzunsa • Greivin Ramírez
El aprendizaje despliega las alas de la libertad
• En contacto con tus conocimientos: establece un puente entre los conocimientos que posee el alumno y los
que va a adquirir.
• Una ventana al conocimiento: novedosas lecturas o bloques informativos relacionados con el contenido desarrollado en cada unidad.
• Evaluación formativa: aparece estratégicamente a lo
largo del texto para confirmar que el alumno vaya asimilando los nuevos conocimientos.
• Evaluación sumativa: contiene diversos reactivos capaces de demostrar si el estudiante logró aprender el
tema.
• Ampliando el conocimiento: incluye un glosario y bibliografía sugerida.
Esperamos que este libro sea una herramienta novedosa, interactiva y útil para desarrollar en los estudiantes la
capacidad de análisis al interpretar datos de diversos fenómenos y situaciones que se presentan en la vida cotidiana y
profesional.
www.editorialpatria.com.mx
II
B a c h i l l erat o G e n era l
Patria
ISBN 978-607-438-029-3
PROBABILIDAD
Y ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Probabilidad y Estadística II proporciona al estudiante los conocimientos necesarios para el cálculo de probabilidades y el
análisis descriptivo de datos de dos variables, como un fundamento para comprender diversos fenómenos que se presentan en la economía, administración, en las ciencias sociales,
experimentales y en general en cualquier actividad humana.
Está totalmente apegado tanto en forma como en contenido, al programa actualizado mediante la reforma curricular
del Bachillerato General.
Este libro se desarrolla con un enfoque constructivista y
un atractivo diseño enriquecido con las siguientes secciones:
Sánchez • Inzunsa • Ramírez
PROBABILIDAD
Y ESTADÍSTICA
Ernesto Alonso Sánchez Sánchez
Santiago Inzunsa Cazares
Greivin Ramírez Arce
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
info
editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Diseño de interiores: Juan Castro (Trocas)
Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Imágenes: Jupiter Images Unlimited
Revisión Técnica:
M.F. Ricardo Robles Reyes
Probabilidad y Estadística II
para DGB
Derechos reservados:
©2014, Ernesto Alonso Sánchez Sánchez, Santiago Inzunsa Cazares,
Greivin Ramírez Arce
©2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. de C.V.
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal. 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
ISBN ebook: 978-607-744-034-5
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente
obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por
escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
DEDICATORIA
Dedico esta obra a mi querida esposa Verónica
y a mis hijas Luciana y Paulina,
por su apoyo y comprensión.
iii
PRESENTACIÓN
Estimados profesores y estudiantes:
El propósito de esta obra es apoyar al docente en la tarea de proporcionar a sus estudiantes las
herramientas iniciales, teóricas y prácticas, de la probabilidad y la estadística, así como mostrar
la forma de aplicarlas en el conocimiento del mundo en que vivimos. El alumno encontrará
aquí los conceptos básicos que prescribe el programa y que se presentan en contextos significativos.
El estudio de la estadística es fundamental para ser un ciudadano consciente y crítico, y
un profesional informado y responsable. La sociedad actual se caracteriza por generar grandes
cantidades de información cuantitativa y la estadística se presenta como la responsable de procesarla, darle credibilidad y comunicarla. Los profesionales y los ciudadanos en general deben
ser capaces de entender algunos de los procesos del manejo de la información y evaluar, con
base en la evidencia (datos), la fuerza de las afirmaciones que de ella se desprenden. No obstante, aún falta mucho para que la mayoría de los ciudadanos, incluyendo los profesionales,
actúen de manera inteligente frente a la información estadística, ya sea porque no la entienden
o porque la aceptan acríticamente. En el presente libro, se pretende atacar esta deficiencia.
Su enfoque didáctico ofrece una oportunidad para que los estudiantes desarrollen un pensamiento estadístico y obtengan los conocimientos necesarios para usar las técnicas propias de
la materia. Entre sus características principales es la de formular problemas de interés para el
alumno y sugerir soluciones obtenidas a partir de la recolección y el análisis de datos reales.
Este segundo volumen se encuentra dividido en cuatro unidades que son:
1. Probabilidad conjunta
2. Distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas
3. Distribución de probabilidad de variables aleatorias continuas
4. Análisis de datos de dos variables
En ellas se incluyen problemas estadísticos y de probabilidad en diversos escenarios. La exposición se complementa con tres secciones que enriquecen el contenido básico, a saber:
• En contacto con tus conocimientos,
• Una ventana al conocimiento y
• La estadística y tu comunidad.
Se proponen también diferentes tipos de ejercicios, problemas y pequeñas investigaciones
para que el estudiante los realice y consolide así sus conocimientos.
Esperamos que la presente obra sea útil para los alumnos y estaremos atentos a cualquier
crítica y sugerencia para mejorarla.
Los autores
v
CONTENIDO
UNIDAD 1
PROBABILIDAD CONJUNTA................................................................ 2
1.1 Definición de probabilidad conjunta ............................................................. 6
1.2 Eventos mutuamente excluyentes ................................................................. 8
1.2.1 Regla de la adición ................................................................................ 8
1.3 Eventos independientes ............................................................................... 11
1.4 Probabilidad condicional ............................................................................. 13
1.4.1 Fórmula de la probabilidad condicional ............................................. 14
1.4.2 Regla del producto .............................................................................. 18
1.4.3 Probabilidad total................................................................................ 21
1.4.4 Teorema de Bayes (versión simple)..................................................... 25
UNIDAD 2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS .........................................................32
2.1 Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta .................. 34
2.1.1 Variable aleatoria discreta ................................................................... 35
2.1.2 Representación de una distribución de probabilidad ......................... 36
2.2 Distribución de probabilidad binominal ..................................................... 50
2.2.1 Experimento de probabilidad binomial............................................... 50
2.2.2 Función de probabilidad binominal .................................................... 52
2.2.3 Media y desviación estándar de la distribución
de probabilidad binomial ..................................................................... 65
UNIDAD 3 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES
ALEATORIAS CONTINUAS .......................................................76
3.1 Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua ................ 78
3.1.1. Distribución de probabilidad normal ................................................ 82
3.2 Distribución de probabilidad normal estandarizada.................................... 87
UNIDAD 4 ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES ............................106
4.1 Representación de datos de dos variables .................................................. 108
4.2 Correlación lineal ...................................................................................... 129
4.3 Regresión lineal ......................................................................................... 133
ANEXO
...................................................................................................145
Tabla 1
Tabla 2
Valores de la distribución de probabilidad binomial P(X 5 x) ......... 145
Para un valor dado de Z, la probabilidad tabulada
corresponde a P(Z # z). .................................................................... 151
Tabla 3 Para un valor dado de z, la probabilidad tabulada
corresponde a P(Z # z). .................................................................... 152
1
Probabilidad conjunta
Contenido
Tema 1
1.1 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
CONJUNTA
Tema 2
1.2 EVENTOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES
Tema 3
1.3 EVENTOS INDEPENDIENTES
Tema 4
1.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL
Objetivo
El estudiante resolverá problemas de probabilidad condicional
en diversas situaciones entre las
que se distinguirán aquellas que
sean significativas en el ámbito
escolar y personal. Para ello,
aprenderá a identificar y aplicar
las operaciones de eventos
(complementación, unión y conjunción) y a calcular sus probabilidades utilizando la regla de la
probabilidad del complemento,
regla de la adición (o suma) y la
regla de la multiplicación para
eventos dependientes e independientes; además, entenderá y
aplicará el teorema de Bayes. Se
fomentará el trabajo colaborativo
y una actitud positiva hacia la
materia y sus compañeros.
Unidad 1
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o
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m
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tu s
En contacto con
• Imagina una situación en la que esperas que ocurran dos eventos
simultáneamente. Por ejemplo, considera los dos eventos siguientes:
“tener dinero para invitar a alguien al cine” y “que ese alguien acepte ir
al cine con uno”. ¿Qué es más fácil: que ocurra uno de los eventos o que
ocurran ambos?
• Sean A y B dos eventos de una experiencia aleatoria. ¿En cuál de los
siguientes incisos hay una afirmación cierta?
a) P (A y B ) < P (A )
b ) P (A y B ) > P (A )
c) No se puede decir la relación de orden entre P (A y B ) y P (A ), ya que
depende de la identidad de A y B.
• ¿Qué es más probable?
a) “Que una madre con ojos azules tenga una hija con ojos azules”.
b) “Que una hija con ojos azules tenga una madre con ojos azules”.
c) “Ambos eventos son igualmente probables”.
Después de responder intuitivamente, elabora un modelo de población con
madres e hijas (por ejemplo, utiliza tarjetas de una misma forma que representen madres y otras que representen hijas) en el que algunas madres tengan ojos azules y otras ojos negros; lo mismo debe suceder con las hijas. Haz
parejas de madres e hijas de diversas maneras y en cada caso responde las
preguntas formuladas.
¿Te sorprende el resultado? Vuelve a responder las preguntas y argumenta
tu respuesta.
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
INTRODUCCIÓN
Una buena parte del cálculo de probabilidades consiste en encontrar la probabilidad
de eventos combinados a partir de otros más simples cuyas probabilidades se conocen.
Por ejemplo, se puede conocer la probabilidad de dos eventos y querer calcular la probabilidad de que ocurran ambos, es decir, de la probabilidad conjunta. En ocasiones
se puede tener control sobre un evento pero no sobre otro y entonces cabe preguntarse
por la probabilidad de que ocurra éste dado que ocurrirá aquél. Algunas relaciones entre eventos se definirán en este capítulo y se encontrarán maneras de calcular su probabilidad, estos procedimientos darán origen a los conceptos de probabilidad conjunta,
eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, probabilidad condicional,
regla del producto, probabilidad total y teorema de Bayes.
Los conceptos anteriores, por un lado, son la base para el desarrollo de la teoría
de probabilidades y, por otro, tienen diversas aplicaciones en situaciones de incertidumbre. En la sección de “Ventana al conocimiento” se han incluido dos ejemplos de
contextos en los que se presentan los conceptos estudiados en esta Unidad, a saber,
una relacionada con los datos sobre la mortalidad por hipertensión arterial y otra relacionada con las leyes de la herencia descubiertas por Mendel. Muchos ejemplos como
los mencionados podrán ser investigados por los estudiantes si entienden las ideas aquí
expuestas.
Una ventana al conocimiento
CASI 8 MILLONES DE PERSONAS MUEREN AL AÑO POR HIPERTENSIÓN
El 80% de los casos ocurre en los países en vías de desarrollo según la investigación realizada por la
Sociedad Internacional de Hipertensión
LONDRES (Télam).2Cerca de ocho millones de personas en el mundo mueren
cada año por hipertensión y 80% de estas muertes ocurre en los países en vías
de desarrollo, informó la revista médica The Lancet. Una nueva investigación
publicada por dicho medio señaló que 4 de cada 5 muertes por hipertensión
ocurren en los países en desarrollo. El estudio realizado por la Sociedad Internacional de Hipertensión, se llevó a cabo en la Universidad de Auckland, Nueva
Zelanda. Se trata de uno de los primeros estudios que investigan a nivel mundial
la extensión y distribución de la carga de esta enfermedad cardiovascular. La
hipertensión es un trastorno caracterizado por presión sanguínea crónicamente
alta y si no se lo controla puede conducir a derrames cerebrales, insuficiencia
cardiaca o infartos.
Para la investigación, los científicos compararon las tasas de la enfermedad
según edades, sexo y regiones del mundo en el año 2001. Encontraron que la
hipertensión había causado 7 600 000 muertes prematuras (13.5% del total global) y 92 millones de discapacidades. Según los autores del estudio, 54% de
4
PROBABILIDAD CONJUNTA
los accidentes cerebro-vasculares y 47% de las enfermedades cardiacas en el
mundo se debieron a hipertensión. Más de la mitad de estas enfermedades
ocurrieron en personas con una presión sistólica de 140 mmHg y de entre
45 y 69 años de edad. La investigación reveló que 80% de las muertes por
hipertensión ocurrió en los países de bajos y medianos ingresos.
Mientras que en los países ricos hubo 1390 000 muertes, la cifra alcanzó
6 220 000 en los países en vías de desarrollo. Aunque la hipertensión puede causar dolores de cabeza, mareos y problemas de visión, la mayoría de
la gente no presenta ningún síntoma en absoluto y por eso se la llama “el
asesino invisible”.
Según Stephen MacMahon, uno de los autores del estudio, la tasa de la
enfermedad es cinco veces más grande en los países de bajos y medianos
ingresos que en los países ricos. “Y sin embargo, en esas regiones sólo tienen
acceso a menos de 10% de los recursos globales para tratamientos”, agregó.
Según la Organización Mundial de la Salud, unos 17 millones de personas,
30% de la población mundial, mueren cada año por algún tipo de enfermedad cardiovascular.
Y la hipertensión 2junto con otros factores de riesgo como el sobrepeso,
la obesidad, el tabaquismo y la inactividad física2 son responsables de hasta
90% de estas muertes.
Presión sanguínea
La presión sanguínea está determinada por la cantidad de sangre bombeada por el corazón y por el tamaño y condición
de las arterias. Cuando se toma se presentan dos lecturas 2la presión sistólica y la diastólica2 que se miden en milímetros de mercurio (mmHg). La primera se refiere a la fuerza de la sangre expulsada del corazón cuando éste late para
bombear alrededor del cuerpo, y la diastólica es la presión cuando el corazón se está llenando de nuevo con sangre en
preparación para el siguiente latido. Para la mayoría de la gente es deseable una presión sanguínea de menos de 130/85
mmHg.
5
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
¿Cuál es la probabilidad de muerte por hipertensión arterial?
Entre los habitantes de países en desarrollo, ¿cuál es la probabilidad de muerte por hipertensión arterial?
Fuente: http://www.lanueva.com/edicion_impresa/nota/5/05/2008/855123.html
[Tomado de: http://www.taringa.net/posts/info/ 1206171/Estadisticas-sobre-Hipertension-Arterial.html]
1.1 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA
Dada una experiencia aleatoria con espacio muestral V y dos eventos A y B, se define
un nuevo evento llamado conjunción de A y B, que se denota con A > B, de la siguiente manera: A > B ocurre siempre que ocurra A y ocurra B; es decir, que ocurran
ambos simultáneamente.
A la probabilidad de A > B, que se simboliza P(A > B), se le llama probabilidad
conjunta de A y B.
Si el espacio muestral es equiprobable, la probabilidad conjunta se calcula mediante la ecuación:
P(A > B) 5 (Cardinalidad de A y B) / Cardinalidad de V
Ejemplos
a) En el lanzamiento de un dado, sea A el evento “ocurre un número par” y B el
evento “ocurre un número mayor que 3”. ¿Cuál es la probabilidad conjunta de
A y B?
Solución:
Ω
3
El espacio muestral es V 5 {1, 2,
3, 4, 5, 6}
Los eventos A y B son: A 5 {2,
4, 6} y B 5 {4, 5, 6}; de donde
A > B 5 {4, 6}; entonces: P(A >
B)52/6
Gráfica 1.1
6
2
4
6
1
5
PROBABILIDAD CONJUNTA
b) En el título y subtítulo del artículo sobre la hipertensión se identifican los eventos: “muerte por hipertensión” y “pertenecer a un país en desarrollo”. Conviene
representarlos así:
H: muerte por hipertensión
D: pertenecer a un país en desarrollo
El evento conjunto de esos eventos es:
H > D: “muerte por hipertensión de alguien que pertenece a un país en
desarrollo”.
La experiencia aleatoria que subyace en el artículo se puede pensar así: “tomar
a un ciudadano del mundo y observarlo durante el año en estudio”. Uno de los
eventos definidos se pregunta si muere o no de hipertensión; otro, si pertenece
a un país en desarrollo.
La probabilidad del evento H > D se calcula con el cociente de las muertes por
hipertensión en los países en desarrollo (6 220 000) entre el número de personas en el mundo durante el año del estudio. Aunque el artículo no informa cuál
es la población mundial, ofrece datos para estimarla, cuando afirma:
Según la Organización Mundial de la Salud, unos 17 millones de personas,
30% de la población mundial, mueren cada año por algún tipo de enfermedad
cardiovascular.
Entonces la población mundial debe ser aproximadamente de 56.7 millones de
personas. Sustituyendo tenemos:
P(H > D) 5
6 220 000
≅ 0.11
56700 000
Así, la probabilidad de que alguien de un país en desarrollo muera por hipertensión durante un año determinado sería aproximadamente de
11%; un porcentaje muy grande. Esta información debe llevarnos a tener más cuidado con esta enfermedad.
NOTA: Para el problema 3 que sigue, considera que una cadena es una secuencia de águilas o soles; por ejemplo, la
secuencia de cuatro volados representados por AASA
está formada por tres cadenas, a saber: AA, S, A, cuyas
longitudes son respectivamente 2, 1, 1.
7
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Evaluación formativa
1. Con base en el primer párrafo del artículo sobre hipertensión, aproximadamente ¿cuántas muertes por
esta enfermedad ocurren cada año en los países en desarrollo?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que durante un año alguien en el mundo muera por hipertensión arterial?
3. Se lanza una moneda cuatro veces y se observan dos variables: a) el número de “soles” que ocurren y
b) la longitud de la cadena más larga
¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan dos soles y de que la cadena más larga sea 2?
4. Se lanzan dos dados, uno rojo y otro azul, y se observan los resultados. Sea A el evento “que la suma sea
6, 7 u 8” y B el evento “que el resultado del dado rojo sea 1, 2 o 3”. ¿Cuál es la probabilidad de A y B?
1.2 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dada una experiencia aleatoria con espacio muestral V, se dice que dos eventos A y
B (que pertenecen a V) son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente; es decir, si ocurre A no ocurre B y a la inversa, si ocurre B no ocurre A.
Ejemplos
a) Decir que dos eventos son mutuamente excluyentes equivale a decir que su
conjunción es vacía, lo cual se simboliza de la siguiente manera: A > B 5 Φ,
donde Φ representa el evento imposible (conjunto vacío). Al representar dos
eventos en un diagrama de Venn se deben ver separados, esto indica que no
tienen elementos en común, como en el siguiente diagrama:
Ω
A
B
Gráfica 1.2
b) Se lanza un dado. Los eventos “ocurre 2 o 4” y “ocurre un número impar” son
mutuamente excluyentes, ya que si después de lanzar el dado ocurrió 2, entonces no ocurrió número impar; si ocurrió 4 tampoco ocurrió número impar,
etcétera.
1.2.1 Regla de la adición
Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión es la
suma de las probabilidades, es decir:
P(A < B) 5 P(A) 1 P(B)
Si los eventos no son mutuamente excluyentes, se tiene la ecuación:
P(A < B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A > B)
8
PROBABILIDAD CONJUNTA
Una ventana al conocimiento
Para ver esta propiedad considera lo siguiente:
Primero definimos la diferencia entre dos conjuntos de la
siguiente forma (A 2 B) 5 “Los elementos que están en A y
que no están en B”; en un diagrama de Venn este conjunto se
representa como en la página 1.6:
A
B
A2B
Entonces se tienen las siguientes igualdades:
A 5 (A 2 B) < (A > B), donde los eventos (A 2 B) y (A >
B) son ajenos.
B 5 (B 2 A) < (A > B), donde los eventos (B 2 A) y (A > B) son ajenos.
A < B 5 (A 2 B) < (B 2 A) < (A > B), donde los eventos (A 2 B), (B 2 A), (A > B) son mutuamente excluyentes.
Por tanto, al sacar la probabilidad a ambos miembros de cada una de las anteriores igualdades y al aplicar la regla de que
para eventos ajenos la probabilidad de una suma es la suma de las probabilidades se tiene:
P(A) 5 P(A 2 B) 1 P(A > B)
(1)
P(B) 5 P(B 2 A) 1 P(A > B)
(2)
P(A<B) 5 P(A 2 B) 1 P(B 2 A) 1 P(A > B)
(3)
Por lo tanto, sumando (1) y (2) y restando (3) se obtiene:
P(A) 1 P(B) 2 P(A < B) 5 P(A > B)
de donde P(A<B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A > B).
Evaluación formativa
1. En una población de personas adultas se han considerado tres valores de la variable “estado civil” y se
encuentran en los porcentajes siguientes: solteros (50%), casados (30%) y divorciados (20%).
¿Son los eventos “ser soltero” y “ser divorciado” mutuamente excluyentes?
¿Cuál es la probabilidad de que alguien de esa población sea soltero o divorciado?
2. Se lanza un dado y es A el evento “el número de la cara que ocurre es un número par” y B el evento “el
número de la cara que ocurre es un número primo”. ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? ¿Cuál
es la probabilidad de que al menos uno de ellos ocurra?
3. En una experiencia aleatoria se tienen dos eventos A y B con P(A ) 5 1/3;
P(B ) 5 1/4; P (A < B) 5 1/2. Hallar P(A > B).
4. Si se tienen tres eventos A, B, C de una experiencia aleatoria, se puede
definir el evento “que ocurra al menos uno de los tres eventos”; y se
simboliza así: A < B < C. Hay una fórmula para la probabilidad de
A < B < C en términos de las siguientes probabilidades:
P (A ), P (B), P(C ), P (A > B), P(A > C ), P(B > C ) y P(A > B > C )
Investiga cuál es esa fórmula.
9
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Una ventana al conocimiento
Leyes de Mendel (1865)
• Primera ley o Principio de la uniformidad: “Cuando se cruzan dos individuos de raza pura, los híbridos resultantes
son todos iguales entre sí.” El cruce de dos individuos homocigotas, uno dominante (AA) y otro recesivo (aa), origina
sólo individuos heterocigotas, es decir, los individuos de la primera generación filial son uniformes entre ellos (Aa).
• Segunda ley o Principio de la segregación: “Ciertos individuos son capaces de transmitir un carácter aunque en ellos
no se manifieste.” El cruce de dos individuos de la F1 (Aa) dará origen a una segunda generación filial en la cual reaparece el fenotipo “a”, a pesar de que todos los individuos de la F1 eran de fenotipo “A”. Esto hace presumir a Mendel que
el carácter “a” no había desaparecido, sino que sólo había sido “opacado” por el carácter “A”, pero que al reproducirse
un individuo, cada carácter segrega por separado.
• Tercera ley o Principio de la transmisión independiente: Esta ley hace referencia al cruce polihíbrido (monohíbrido: cuando se considera un carácter; polihíbrido: cuando se consideran dos o más
caracteres). Mendel trabajó este cruce en guisantes, en los cuales las características
que él observaba (color de la semilla y rugosidad de su superficie) se encontraban
en cromosomas separados. De esta manera, observó que los caracteres se transmitían independientemente unos de otros. Esta ley, sin embargo, deja de cumplirse
cuando existe linkage (dos genes estan en loci muy cercanos y no se separan en la
meiosis).
NOTA: Algunos autores obvian la Primera Ley de Mendel, y por tanto llaman Primera Ley al Principio de la segregación
y Segunda Ley al Principio de la transmisión independiente (para estos mismos autores, no existe una Tercera Ley).
Experimentos de Mendel
Mendel inició sus experimentos eligiendo dos plantas de guisantes que diferían en un carácter, cruzó una variedad de planta
que producía semillas amarillas con otra que producía semillas verdes, estas plantas forman la generación parental (P).
Como resultado de este cruce se produjeron plantas que producían nada más que semillas amarillas; repitió los cruces
con otras plantas de guisante que diferían en otros caracteres y el resultado era el mismo: se producía un carácter de los
dos en la generación filial. Al carácter que aparecía le llamó Dominante y al que no, recesivo. En este caso el color amarillo es dominante frente al color verde.
Las plantas obtenidas de la generación parental se denominan primera generación filial (F1).
Mendel dejó que se autofecundaran las plantas de la primera generación filial y obtuvo la segunda generación filial
(F2) compuesta por plantas que producían semillas amarillas y plantas que producían semillas verdes en una proporción
3:1 (3 de semillas amarillas y 1 de semillas verdes). Repitió el experimento con otros caracteres diferenciados y obtuvo
resultados similares en una proporción 3:1.
De esta experiencia sacó la primera y segunda leyes.
Más adelante, Mendel decidió comprobar si estas leyes funcionaban en plantas diferenciadas en dos o más caracteres, eligió
como generación parental plantas de semillas amarillas y lisas y plantas de semillas verdes y rugosas.
Las cruzó y obtuvo la primera generación filial compuesta por plantas de semillas amarillas y lisas, la primera ley se cumplía:
en la F1 aparecían los caracteres dominantes (amarillos y lisos) y no los recesivos (verde y rugosos).
Obtuvo la segunda generación filial autofecundando la primera generación filial y obtuvo semillas de todos los estilos posibles, plantas que producían semillas amarillas y lisas, amarillas y rugosas, verdes y lisas y verdes y rugosas, las contó y probó
con otras variedades y se obtenían en una proporción 9:3:3:1 (9 plantas de semillas amarillas y lisas, 3 de semillas amarillas y
rugosas, 3 de semillas verdes y lisas y una planta de semillas verdes y rugosas).
De esta experiencia dedujo la Tercera Ley de Mendel.
[Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Gregor_Mendel]
10
PROBABILIDAD CONJUNTA
1.3 EVENTOS INDEPENDIENTES
Dado un experimento aleatorio con espacio muestral V, se dice
que dos eventos A y B (que pertenecen a V) son independientes si
la ocurrencia de A no modifica la probabilidad de la ocurrencia de
B y a la inversa, la ocurrencia de B no modifica la probabilidad
de la ocurrencia de A.
Ejemplo
Se lanza un dado. Sea A el evento “ocurre número par” y B el evento “ocurre un número múltiplo de 3”. ¿Son independientes A y B?
Para que se entienda la expresión de que “la ocurrencia de A no
modifica la probabilidad de la ocurrencia de B” piensa de la siguiente manera:
Juan y Pablo juegan a los dados. Juan gana si ocurre el evento B.
Pablo lanza el dado y cae en un lugar en el que Juan no puede
ver el resultado, pero Pablo sí lo ve. Juan le pregunta a Pablo:
¿qué ocurrió? Pablo le responde: “ocurrió el evento B”. Como
Juan no sabe si ocurrió o no el evento A, sigue en incertidumbre,
pero ahora sabe que el resultado es “un múltiplo de 3” (evento
B); con esta información se pregunta: ¿tengo más, menos o igual
probabilidad de que “ocurra un número par” (evento A)?
Para responder esta pregunta se debe hacer el siguiente análisis:
Como ocurrió el evento B, se sabe que el resultado es 3 o 6 (múltiplos de 3). Entonces la probabilidad de que ocurra el evento
A 5 “sale un número par”, con la información de que ocurrió
el evento B, es 1/2. Esto se escribe así: P(A | B) 5 1/2 y se lee “la
probabilidad de A dado que B ocurre es igual a un medio”.
Pero la probabilidad original de que ocurra el evento A es exactamente 3 sobre 6, que es igual a 1/2. Como la ocurrencia del
evento B no modificó la probabilidad de ocurrir del evento A, A
y B son independientes.
Si la probabilidad del evento B es diferente de cero, la condición
de independencia se puede reformular así:
A y B son independientes si P(A | B) 5 P(A)
Evaluación formativa
1. En sus experimentos sobre las leyes de la herencia, Mendel empleó el cruzamiento de plantas con
diferentes caracteres para observar los de las plantas descendientes. Propuso fijarse en las semillas
de plantas, por ejemplo chícharos o guisantes, y observar dos variables: forma y color de la semilla.
11
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
La forma puede tomar dos valores: liso y rugoso. El color también puede tomar dos valores: amarillo y
verde.
Una primera observación es:
a ) Que el evento “la semilla de un descendiente es rugosa” es mutuamente excluyente del evento “la
semilla de un descendiente es lisa”.
b ) El evento “la semilla de un descendiente es amarilla” es mutuamente excluyente del evento
“la semilla de un descendiente es verde”.
Una de sus conclusiones afirma que la forma de la semilla es independiente de su color; es decir,
a ) El evento “un descendiente tiene forma rugosa” es independiente del evento “un descendiente
tiene semilla color amarilla”.
b ) El evento “un descendiente tiene forma lisa” es independiente del evento “un descendiente tiene
semilla color amarilla”.
c ) El evento “un descendiente tiene forma rugosa” es independiente del evento “un descendiente
tiene semilla color verde”.
d ) El evento “un descendiente tiene forma lisa” es independiente del evento “un descendiente tiene
semilla color verde”.
En un experimento cruzó plantas con ambos tipos de semilla y a los descendientes los autofecundó
para obtener una segunda generación, de la cual resultaron 556 semillas: 315 lisas y amarillas; 108
lisas y verdes.
Si se sabe que las características son independientes, ¿cuántas semillas “rugosas y amarillas” y cuántas
“rugosas y verdes” se esperan?
Utiliza la siguiente notación:
A: semilla color amarilla
V: semilla color verde
L: semilla lisa
R: semilla rugosa
2. El tirador A pega 80% de las veces a una zona del blanco. El
tirador B pega 90% de las veces en la misma zona del blanco. Cuando ambos tiradores disparan hacia el mismo blanco,
¿cuál es la probabilidad de que los dos disparos peguen en el
blanco?
3. La fabricación de un producto pasa por dos procesos: uno realizado por una máquina A y otro por una máquina B. Hay 5% de
probabilidad de que la máquina A produzca un defecto y 3% de
que la máquina B lo produzca. Si se desecha un producto cuando
tiene defectos de ambos procesos, ¿cuál es la probabilidad de
desechar un producto?
12
PROBABILIDAD CONJUNTA
1.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL
El valor de una tirada
El nacimiento de la probabilidad se asocia con el nombre de Pascal.
Varios historiadores (Todhunter, 1865; Hald, 1990) narran que el
Caballero de Méré (un hombre culto aficionado a los casinos) le
propuso varios problemas de juegos de azar a Pascal, que a su vez
los discutió por correspondencia con Fermat en 1654. El planteamiento de uno de ellos no aparece en las cartas que aún se conservan, pero gracias a la respuesta que da Fermat a Pascal se infiere
que debe ser semejante al siguiente:
Una apuesta se juega entre dos personas de la manera siguiente:
uno de ellos va a arrojar el dado ocho veces y si obtiene al menos una vez la cara marcada con el seis se lleva la apuesta, en
caso contrario se la lleva su oponente. Si el primer jugador renuncia de antemano a su cuarta tirada, ¿qué parte de la apuesta
se le debe retribuir? O, en otros términos, ¿cuál es el valor de
esa cuarta tirada?
Esta forma de preguntar es muy diferente del modo en que ahora
se formulan en probabilidad. Sin embargo, es interesante observar que la pregunta se
refiere al valor de una tirada para la persona que arroja los dados. El valor que se quiere
encontrar es la medida de un evento. El evento en cuestión es ganar todo el juego exactamente en la cuarta tirada, es decir, “obtener un 6 exactamente en la cuarta tirada y no
antes”.
El pago que recibiría el jugador es lo que se llamó el valor de la cuarta tirada. La
solución de Fermat es la siguiente:
Si tengo que obtener al menos un seis en ocho lanzamientos; y si, después de hechas
las apuestas, coincidimos que no haré el primer lanzamiento, entonces, de acuerdo
[con] mi teoría, debo tomar en compensación 1/6 de la suma total por este primer
lanzamiento.
Una manera de entender el significado de “tomar en compensación” una cantidad
por “no hacer el primer lanzamiento” es imaginar que el primer jugador vende su
primera tirada. ¿Cuánto tiene que pagar el segundo jugador por esa tirada? La respuesta es 1/6 de la apuesta que está en juego. Fermat continúa:
Si además coincidimos que no haré el segundo lanzamiento, debo en compensación obtener una sexta parte del resto que viene a ser 5/36.
La idea aquí es calcular el valor de las dos primeras tiradas. Es curiosa la manera en que
la calcula Fermat como 1/6 del resto. Como en la primera tirada se había quitado de la
apuesta 1/6, quedan 5/6. Fermat dice que el valor de esta segunda tirada es 1/6 de lo que
queda, es decir, 1/6 por 5/6, que es igual a 5/36.
13
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Si, después de esto, coincidimos en que no hago el tercer lanzamiento, debo
tener, de indemnización, un sexto de la cantidad restante, es decir, debo obtener
25/216 del total.
Lo que queda de la apuesta original después de “la venta” de las dos primeras tiradas
es: 5/6 2 5/36 5 30/36 25/36 5 25/36; una sexta parte de esto es 25/216.
Y después de que coincidimos, nuevamente, que no haré el
cuarto lanzamiento, debo otra vez tener un sexto de lo que
es dejado, que es 125/1296 del total, y coincido con usted en
que éste es el valor del cuarto lanzamiento, suponiendo que
uno ya se ha arreglado sobre los lanzamientos previos.
Fermat percibió que el valor de la cuarta tirada está relacionado con los valores de las
tres tiradas previas; en particular, si ocurriera el 6 en algunas de las tres primeras, la
cuarta pierde valor, pues la apuesta sería tomada por el primer jugador. Si no ocurriera
el 6 en ninguna de las tres primeras tiradas, el valor de la cuarta sería 1/6. Al leer la
respuesta de Fermat a Pascal se deduce que este último no había distinguido bien
la diferencia entre el valor de la tirada al principio del juego y el valor de la cuarta
tirada una vez transcurridos los tres primeros resultados. Al final, concordaron que
el procedimiento de Fermat era la solución correcta.
Evaluación formativa
Pedro gira una ruleta, como la de la gráfica 1.3, cuatro veces y gana si la flecha señala rojo al menos una
vez. ¿Cuál es el valor de su tercera tirada?
Gráfica 1.3
1.4.1 Fórmula de la probabilidad condicional
El problema general de este capítulo es: ¿cómo se modifica la probabilidad de un
evento si se puede contar con la información de que otro evento ocurre?
La diferencia entre Fermat y Pascal sobre cómo considerar el valor de la cuarta
jugada lo ilustra: Fermat estableció el valor de la cuarta jugada al principio del juego;
mientras que, al parecer, Pascal pensó en el valor de la cuarta jugada una vez realizadas las tres primeras, pero llegaba al mismo resultado: 125/1296. Fermat notó que el
valor de la cuarta tirada, una vez realizadas las tres primeras, en las cuales no salió 6,
debe ser simplemente 1/6; ésta es una probabilidad condicional.
14
PROBABILIDAD CONJUNTA
Definición. Sean A y B dos eventos de una experiencia aleatoria, de modo que
P(A) . 0; la probabilidad condicional de B dado que A ocurre,
que se simboliza con la expresión P(B | A), se define como:
P(A > B)
P(B | A) 5
P(A)
Con un diagrama de Venn se puede representar el concepto de probabilidad condicional. Grafiquemos dos eventos A y B en un diagrama:
Ω
A
B
Gráfica 1.4
Suponer que el evento A ha ocurrido significa reducir el espacio muestral al evento A, que ahora iluminamos en el diagrama:
Ω
A
B
Gráfica 1.5
En este nuevo espacio muestral el evento B queda reducido a la intersección
A > B:
Ω5A
B5A y B
Gráfica 1.6
15
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
por ello la probabilidad de B es simplemente el cociente entre la probabilidad de la
intersección y la probabilidad de A.
Ejemplos
1. Dos personas juegan a lanzar un dado dos veces sucesivas. El primer jugador gana
si la suma de los puntos de las caras es mayor que o igual a 7. En otro caso,
gana el segundo jugador.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el primer jugador?
b) Si se realiza el primer lanzamiento y sale la cara con 3 puntos, ¿cuál es la
probabilidad de que el primer jugador gane?
Solución:
a) Hay que tener en cuenta el espacio muestral del lanzamiento de dos dados:
(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)
(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)
(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)
(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)
(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)
(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)
El evento G “la suma es mayor o igual a 7” está formado por los elementos de la
parte sombreada del espacio muestral que se presenta en seguida:
(1, 1),
(2, 1),
(3, 1),
(4, 1),
(5, 1),
(6, 1)
(1, 2),
(2, 2),
(3, 2),
(4, 2),
(5, 2),
(6, 2)
(1, 3),
(2, 3),
(3, 3),
(4, 3),
(5, 3),
(6, 3)
(1, 4),
(2, 4),
(3, 4),
(4, 4),
(5, 4),
(6, 4)
(1, 5),
(2, 5),
(3, 5),
(4, 5),
(5, 5),
(6, 5)
(1, 6),
(2, 6),
(3, 6),
(4, 6),
(5, 6),
(6, 6)
De donde la probabilidad de que gane el primer jugador es: P(G) 5 21/36
57/12.
b) Si al lanzar el primer dado ocurre el 3, el espacio muestral se reduce a la
parte sombreada que se presenta a continuación:
16
PROBABILIDAD CONJUNTA
(1, 1),
(2, 1),
(3, 1),
(4, 1),
(5, 1),
(6, 1)
(1, 2),
(2, 2),
(3, 2),
(4, 2),
(5, 2),
(6, 2)
(1, 3),
(2, 3),
(3, 3),
(4, 3),
(5, 3),
(6, 3)
(1, 4),
(2, 4),
(3, 4),
(4, 4),
(5, 4),
(6, 4)
(1, 5),
(2, 5),
(3, 5),
(4, 5),
(5, 5),
(6, 5)
(1, 6),
(2, 6),
(3, 6),
(4, 6),
(5, 6),
(6, 6)
De este nuevo espacio muestral, G gana si ocurre (3, 4), (3, 5) o (3, 6); es decir,
con probabilidad 3/6 5 1/2.
Si llamamos T al evento “ocurre en el primer dado la cara tres”, se tiene:
P(G | T ) 5 1/2
Observaciones: G > T es el evento “mayor que o igual a 7 y el primer dado cae
3”; hay tres elementos que lo cumplen, de donde: P(G > T)5 3/3651/12.
Además, como P(T) 5 6/36 5 1/6, al aplicar la fórmula de probabilidad condicional se tiene:
P(G | T ) 5 P(G > T)/P(T) 5 (1/12) / (1/6) 5 6/12 5 1/2
Noten que el que haya ocurrido 3 en el primer lanzamiento no fue lo mejor
para el primer jugador, pues su probabilidad original de ganar era 7/12, pero
después del primer lanzamiento en el que ocurrió 3, su probabilidad de ganar
disminuye a 1/2.
2. Mediante estadísticas es posible calcular la probabilidad de que una persona
tomada al azar de una población padezca de presión alta; sería el cociente de las
personas que sufren de presión alta entre el total de la población. Sin embargo,
dicha probabilidad puede aumentar o disminuir si se considera cierta información. Por ejemplo, si se observa sólo a los mayores de 60 años, la probabilidad
de presión alta para este grupo no será la misma que para toda la población.
Si se denota con A el evento de tener la presión alta, P(A) será la probabilidad
de que una persona al azar tenga presión alta. Si se denota con E el evento de
“ser mayor de 60 años”, P( A | E) será la probabilidad de que una persona tenga
presión alta dado que tiene más de 60 años.
Para calcular esta probabilidad bastaría saber el número de personas que tienen
presión alta de entre los mayores de 60 años y dividirlo entre el número de
personas mayores de 60 años;
P( A | E ) 5
# de personas con presión alta y mayorres de 60
# de personas mayores de 60 años
17
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Al dividir el numerador y el denominador entre el total de la población se encuentra una expresión más cómoda en términos de probabilidades:
# de personas con presión alta y mayorees de 60
P(A
A > E)
Total de la población
5
P( A | E ) 5
# de personas mayores de 60 años
P(E )
Total de la población
Hemos visto que hay eventos que son mutuamente excluyentes, esto significa
que si ocurre uno no puede ocurrir el otro y viceversa.
Evaluación formativa
1. En los estudios socioeconómicos se suelen clasificar las familias en diferentes niveles de acuerdo con
algunas variables, como “posesión de auto” o “posesión de computadora”, entre otras. Ver por ejemplo:
http://www.amai.org/pdfs/revista-amai/revista-amai-articulo-20050427_132827.pdf
Cierto estudio arroja que en una ciudad 40% de las familias
tiene auto, 50% computadora y 35% auto y computadora. Si
se elige una familia al azar de esa ciudad, responde:
a ) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien que tenga auto
tenga computadora?
b ) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien que tenga computadora tenga auto?
2. Una moneda bien balanceada se lanza tres veces. ¿Cuál es
la probabilidad de obtener tres águilas dado que al menos
ocurrieron dos águilas?
3. Se elige en forma aleatoria un número del 1 al 21. ¿Cuál es
la probabilidad de que sea divisible entre 3 dado que no
es divisible entre 2?
1.4.2 Regla del producto
Con base en la fórmula de la probabilidad condicional:
P(A > B)
P(B | A) 5
P(A)
Por simple despeje, se puede obtener la fórmula para la conjunción de dos
eventos:
P(A > B) 5 P(A) 3 P(B | A)
Se lee: “La probabilidad conjunta de A y B es igual a la probabilidad de A por la
probabilidad condicional de B dado que ocurrió A”.
18
PROBABILIDAD CONJUNTA
Un ejemplo ilustrará cómo se utiliza esta fórmula.
Una urna tiene 10 bolas negras y 5 bolas blancas.
Se extraen sucesivamente y sin reemplazo dos bolas
de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos
sean blancas?
Sea B1 el evento de que en la primera extracción se
obtenga bola blanca: P(B1) 5 5/15 5 1/3.
Sea B2 el evento de que en la segunda extracción
se obtenga bola blanca. En lugar de calcular la probabilidad de B2, es más fácil calcular la probabilidad
condicional de B2 dado que ocurre B1. Esta probabilidad es 4/14, pues del evento B1 se deduce que a la
urna original se le sacó una bola blanca y quedan 4
blancas de un total de 14.
El evento de que ambas bolas sean blancas es: B1
> B2, entonces, por la regla del producto se tiene:
P(B1 > B2) 5 P(B1) × P(B2 | B1) 5 5/15 3 4/14
En el ejemplo anterior, P(B2 | B1) no se calculó mediante la fórmula, sino observando
la situación de la urna después de haber ocurrido B1. De haber intentado calcular B2
mediante la fórmula se hubiera caído en un círculo vicioso, se necesitaría P(B1 > B2)
lo cual precisamente se quería calcular.
La regla del producto puede representarse en un diagrama como el que aparece
abajo. Al final de cada rama aparece un evento y sobre la rama la probabilidad del
evento dado que ocurrió el evento al comienzo de la rama. Las dos primeras ramas no
tienen eventos al comienzo, pero sí las siguientes. Para obtener la probabilidad conjunta de dos eventos basta multiplicar las probabilidades de las ramas que los juntan.
En el extremo derecho aparecen las probabilidades de P(A > B1), P(Ac > B1), P(A >
B2), P(Ac > B2), respectivamente:
P(A | B1)
A
P(B1)P(A | B1)
P(Ac | B1)
Ac
P(B1)P(Ac | B1)
P(A | B2)
A
P(B2)P(A | B2)
P(Ac | B2)
Ac
P(B2)P(Ac | B2)
B1
P(B1)
P(B2)
B2
Gráfica 1.7
19
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Ejemplo
Una caja A contiene tres bolas numeradas del 1 al
3 y otra caja B contiene 4 bolas numeradas del 1
al 4. Si al lanzar un dado cae la cara con 6 puntos,
se elige la caja A y de ella se saca una bola al azar.
Si el dado no cae con la cara de 6 puntos, se elige
la caja B y de ella se saca una bola al azar. ¿Cuál
es la probabilidad de elegir la caja A y obtener una
bola con número par?, ¿y cuál es la probabilidad
de elegir la caja A y obtener impar?, ¿cuál es la probabilidad de elegir la caja B y obtener par?, ¿cuál la
de elegir la caja B y obtener impar?
Con el diagrama se puede representar el problema de la siguiente forma:
3
2
2
3
Caja A
1
6
5
6
1
1
2
4
1
3
3
1
2
1
2
Caja B
Gráfica 1.8
Par
1 1
3
6 3
Impar
1 2
3
6 3
Par
5 1
3
6 2
Impar
5 1
3
6 2
En la columna de la derecha aparecen las expresiones de las probabilidades solicitadas, de donde:
La probabilidad de elegir la primera urna y obtener par es: 1/18.
La probabilidad de elegir la primera urna y obtener impar es: 2/1851/9
La probabilidad de elegir la segunda urna y obtener par es: 5/12
La probabilidad de elegir la segunda urna y obtener impar es: 5/12
20
PROBABILIDAD CONJUNTA
Evaluación formativa
1. De los estudiantes de una escuela de bachillerato,
1/3 son hombres y 2/3 son mujeres. Una encuesta
reveló que 1/5 de los hombres y 2/7 de las mujeres
elegirán una carrera en la opción de ciencias. Si se
elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que sea hombre y quiera estudiar una carrera en
la opción de ciencias? ¿Cuál es la probabilidad de
que sea mujer y no elija una carrera en la opción
de ciencias?
2. Si P(E ) 5 1/4, P (F | E ) 5 1/2 y P (E | F ) 5 1/3, calcula P (F ).
3. La probabilidad de sobrevivir a una operación es 0.9. Si se supera la operación, la probabilidad de no
recobrar la salud es de 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de sobrevivir a la operación y recobrar la salud?
4. Una caja A contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 y otra caja B contiene 20 bolas numeradas del
1 al 20. Si se lanza un dado y cae una cara con 1
o 2 puntos, se elige la caja A y de ella se saca una
bola al azar. Si la cara del dado no es la de 1 o 2
puntos, entonces se elige la caja B y de ella se saca
una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de elegir
la caja A y obtener un múltiplo de 3?, ¿y cuál la de
elegir la caja A y obtener impar? ¿Cuál es la probabilidad de elegir la caja B y obtener un múltiplo de
3?, ¿y cuál la de elegir la caja B y obtener impar?
1.4.3 Probabilidad total
En una experiencia aleatoria con espacio muestral V, un par de eventos B1 y B2 forman una partición del espacio muestral si se cumple lo siguiente:
a) B1 > B2 5 Φ
b) B1 < B2 5 V
Una partición B1 y B2 se puede representar en un diagrama de Venn como sigue:
Ω
B1
B2
21
Gráfica 1.9
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Cualquier evento en ese espacio muestral se puede dividir en dos partes: una
perteneciente a B1 y otra a B2, esta idea se expresa simbólicamente de la siguiente
manera.
Sea A un evento de V y B1 y B2 una partición, entonces A se puede expresar así:
A 5 (A > B1) < (A > B2)
(1)
Donde los eventos (A > B1) y (A > B2) no tienen elementos en común.
Lo anterior se puede representar en un diagrama de Venn como el que aparece a
continuación, donde la elipse representa el evento A, el cual está dividido en dos partes: una dentro de B1, que se representa por A > B1; otra dentro de B2 que se representa
por A > B2:
Ω
A
A y B1
A y B2
B1
B2
Gráfica 1.10
Con base en la expresión: A 5 (A > B1) < (A > B2) se tiene lo siguiente:
P(A) 5 P(A > B1) 1 P(A > B2)
Por la regla del producto P(A > B1) 5 P(B1) P(A | B1) y
P(A > B2) 5 P(B2) P(A | B2) y se tiene:
P(A) 5 P(B1) P(A | B1) 1 P(B2) P(A | B2)
(2)
La expresión (2) es la fórmula de la probabilidad total.
Ejemplos
1. La probabilidad de que un alumno estudie para una prueba es
0.7 (y de que no estudie es 0.3). Si estudia, pasa la prueba con
probabilidad de 0.8; si no estudia, pasa con probabilidad 0.4.
¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante pase la prueba?
22
PROBABILIDAD CONJUNTA
Definamos los siguientes eventos:
A 5 “el estudiante pasa la prueba”.
B1 5 “el estudiante estudia para la prueba”.
B2 5 “el estudiante no estudia para la prueba”.
Obsérvese que B1 y B2 son una partición del espacio muestral.
Se tiene que: P(A | B1) 5 0.8; P(A | B2) 5 0.4; P(B1) 5 0.7; P(B2) 5 0.3
Entonces:
P(A) 5 (0.7)(0.8) 1 (0.3)(0.4) 5 0.68
2. Sean U1 y U2 dos urnas. U1 contiene 20 bolas negras y 10 azules; mientras que
U2 contiene 5 bolas negras y 15 azules.
U1
U2
Gráfica 1.11
Si se lanza un dado, puede suceder lo siguiente:
Si cae {1, 2}, de la urna 1 se extrae una bola al azar.
Si cae {3, 4, 5, 6}, de la urna 2 se extrae una bola al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea negra?
Sea B1 el evento “elegir la urna U1” y B2 el evento “elegir la urna U2”. B1 y B2
forman una partición. Sea A el evento sacar una bola negra.
Entonces:
P(B1) 5
1
;
3
P(B2) 5
2
;
3
P(A |B1) 5
20
2
5 ;
30
3
P(A|B2) 5
5
1
5
15
3
Por la fórmula de la probabilidad total:
P(A) 5 P(B1) P(A |B1) 1 P(B2) P(A|B2) 5
(1/3)(2/3) 1 (2/3)(1/3) 5 2/9 1 2/9 5 4/9
3. La fórmula de la probabilidad total también se puede obtener del árbol que se
diseñó en la sección anterior; sólo que ahora debe entenderse que la probabili23
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
dad del evento A es la suma de la probabilidad de las trayectorias que llevan al
evento:
P(A | B1)
A
P(B1)
P(Ac | B1)
Ac
P(B2)
P(A | B2)
A
P(Ac | B2)
Ac
B1
P(B1) P(A | B1) 1 P(B2) P(A | B2)
B2
Gráfica 1.12
Por ejemplo, el problema 1 de esta sección se representa como sigue en el árbol:
0.8
Pasar
Estudiar
0.7
0.2
No pasar (0.7)(0.8) 1 (0.3)(0.4) 5 0.68
0.3
0.4
Pasar
0.6
No pasar
No estudiar
Gráfica 1.13
Problemas
1. De los estudiantes de una escuela de bachillerato, 1/3 son hombres y 2/3 son
mujeres. Una encuesta reveló que 1/5 de los hombres y 2/7 de las mujeres elegirán una carrera en la opción de ciencias. ¿Cuál es la probabilidad de que una
persona elegida al azar escoja una carrera en la opción de ciencias?
2. La urna A tiene tres bolas blancas y una negra. La urna B tiene tres bolas negras
y una blanca. Si al lanzar un dado cae una cara con un número de puntos múltiplo de 3, se elige la urna A y de ella se saca una bola al azar. En otro caso, se
elige la urna B y de ella se saca una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que
la bola extraída sea blanca?
3. En una fábrica hay dos máquinas A y B. La máquina A hace 40% de la producción, de la cual 2% son artículos defectuosos. La máquina B realiza 60%
de la producción, de la cual 1% son artículos defectuosos. Si se elige al azar un
objeto producido en la fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
24
PROBABILIDAD CONJUNTA
Aprender a ser con la probabilidad y la estadística
Una mujer de 40 años se practicó una mastografía y el resultado fue positivo. Esto significa que tiene
cáncer de mama.
Aunque un examen para detectar cáncer resulte positivo, no siempre es verdad. Esto se debe a que en
todos los instrumentos hay un grado de incertidumbre.
Se estima que una mujer que se realizó mamogramas anuales entre los 40 y 49 años de edad tiene una
probabilidad de 30% de obtener un resultado falso positivo en algún punto durante esa década y aproximadamente una probabilidad de 7 a 8% de realizar una biopsia de mamas dentro de ese periodo. Se estima
una probabilidad de 25% de tener un mamograma falso positivo en mujeres de 50 años o mayores.
http://www.radiologyinfo.org/sp/info.cfm?pg=mammo&bhcp=1
Definir los eventos A, B, C, . . .
A = Una mujer obtuvo diagnóstico positivo al hacerse un mamograma.
B = Una mujer se realizó un mamograma anual durante sus 40 y 49 años.
C = Una mujer es mayor de 50 años.
Haz lo siguiente:
1. Interpreta e indica la probabilidad de P(A/B) y P(A/C).
2. Averigua en internet el significado de un mamograma.
3. Investiga en internet lo que es el cáncer de próstata.
4. Consigue datos similares a los citados al inicio de esta sección acerca de mamografías.
1.4.4 Teorema de Bayes (versión simple)
Ya hemos visto que en una experiencia aleatoria con espacio muestral V, si se tiene
una partición B1, B2 y un evento cualquiera A, la probabilidad de A se puede expresar
como:
(3)
P(A) 5 P(B1) P(A | B1) 1 P(B2) P(A | B2)
Ahora supongamos que se está interesado en la probabilidad condicional “de un
evento de la partición, digamos B1, dado que ocurre A”, es decir, en P(B1| A); por
definición:
P(B1 > A)
P(B1 | A) 5
P(A)
Entonces, si se sustituye P(B1 > A) por P(B1)P(A | B1) y P(A) por la expresión (3)
se obtiene:
P(B1) P(A | B1)
(4)
P(B1 | A) 5
[P(B1) P(A | B1) 1 P(B2) P(A | B2)]
25
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
A la expresión (4) se le llama fórmula de Bayes.
Aunque el teorema de Bayes tiene una forma más compleja, pues en lugar de una
partición de dos eventos B1, B2 se puede formular para una partición de muchos eventos, aquí nos conformaremos con esta versión simple con la convicción de que si al estudiante le queda clara ésta, le será fácil comprender y aplicar la versión más general.
Ejemplos
1. En una compañía de seguros, 30% de los agentes de ventas son hombres y 70%
mujeres. Se sabe que 10% de los agentes hombres y 15% de los agentes mujeres
padecen estrés. Se elige una persona al azar de la población y se detecta que
tiene estrés. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
B1 5 “ser hombre”
B2 5 “ser mujer”
E 5 “tener estrés”
Se quiere saber P(B2 | E); entonces, por la fórmula de Bayes:
P(B2 | E) 5 P(B2) P(E | B2) /[P(B1) P(E | B1) 1 P(B2) P(E | B2)]
(5)
Por el enunciado del problema se sabe que:
P(B1) 5 0.3; P(B2) 50.7; P(E | B1) 5 0.1; P(E | B2) 5 0.15
Entonces:
P(B2 E ) 5
(0.7 )(0.15)
0.105 7
5 5 0.777
5
(0.3)(0.1) 1 (0.7 )(0.15) 0.137 9
2. Los elementos del teorema de Bayes también se pueden ver en un diagrama de
árbol, aunque hay que visualizar más operaciones de las que se pueden representar directamente en él:
P(A | B1)
A
P(B1) P(A | B1)
P(Ac | B1)
Ac
P(B1) P(Ac | B1)
B1
P(B1)
P(B1 | A) 5
P(B2)
P(A | B2)
A
P(B2) P(A | B2)
P(Ac | B2)
Ac
P(B2) P(Ac | B2)
B2
Gráfica 1.14
26
P(B1)P(A | B1)
P(B1)P(A | B1) 1 P(B2)P(A | B2)
PROBABILIDAD CONJUNTA
Evaluación formativa
1. De los estudiantes de una escuela de bachillerato, 1/3 son hombres y 2/3 son mujeres. Una encuesta
reveló que 1/5 de los hombres y 2/7 de las mujeres elegirán una carrera en la opción de ciencias. Se
elige un estudiante al azar y resultó que va a escoger una carrera en la opción de ciencias. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea mujer?
2. En una fábrica hay dos máquinas A y B. La máquina A hace 40% de la producción, de la cual 2% son
artículos defectuosos. La máquina B realiza 60% de la producción, de la cual 1% son artículos defectuosos.
Se elige al azar un objeto producido en la fábrica y resulta defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que
provenga de la máquina A?
3. Una urna A contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 y otra caja B contiene 20 bolas numeradas del 1 al
20. Si al lanzar un dado cae una cara con 1 o 2 puntos, se elige la caja A y de ella se saca una bola al azar.
Si la cara del dado que sale no es la de 1 o 2 puntos, se elige la caja B y de ella se saca una bola al
azar. Al realizar el experimento se obtuvo una bola que es múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de
que el dado haya caído con la cara 1 o 2?
RESUMEN
Dada una experiencia aleatoria con espacio muestral Ω y dos eventos A y B, se define
un nuevo evento llamado la conjunción de A y B, que se denota con AyB, de la
siguiente manera: AyB ocurre siempre que se den A y B; es decir, ambos simultáneamente. A la probabilidad de AyB, que se simboliza así: P(AyB), se le llama probabilidad conjunta de A y B.
Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir
al mismo tiempo, es decir, si ocurre A no ocurre B y a la inversa, si ocurre B no ocurre
A. Esto significa que los eventos no tienen elementos en común, es decir, que AyB 5
Φ. En este caso: P(AxB) 5 P(A) 1 P(B). Si dos eventos A y B no son mutuamente
excluyentes, entonces la fórmula de la unión de dos eventos toma la forma: P(AxB)
5 P(A) 1 P(B) 2 P(AyB).
Sean A y B dos eventos de una experiencia aleatoria, de modo que P(A) . 0; la
probabilidad condicional de B dado que A ocurre, que se simboliza con la expresión
P(B | A), se define como:
P(B | A) 5 P(AyB) / P(A).
Teniendo en cuenta la fórmula anterior, se deduce que:
P(AyB) 5 P(A) 3 P(B | A)
Se lee “La probabilidad conjunta de A y B es igual a la probabilidad de A por la probabilidad condicional de B dado que ocurrió A”.
Se dice que dos eventos A y B pertenecientes a Ω son independientes si la ocurrencia de A no modifica la probabilidad de la ocurrencia de B y a la inversa, la ocurrencia
de B no modifica la probabilidad de la ocurrencia de A. Esto significa que P(B | A) 5
P(B) y P(A | B) = P(A). Más en general, A y B son independientes si P(AyB) 5 P(A)
3 P(B).
27
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
En una experiencia aleatoria con espacio muestral Ω, un par de eventos B1 y B2 forman una partición del espacio muestral si cumplen dos condiciones:
a) B1 y B2 5 Φ
b) B1 x B2 5 Ω
Dado un evento cualquiera A y una partición B1 y B2, la formula de la probabilidad
total es:
P(A) 5 P(B1) P(A | B1) 1 P(B2) P(A | B2)
El caso más simple de la fórmula de Bayes está dada por:
P(B1 | A) 5 P(B1) P(A | B1) / [P(B1) P(A | B1) 1 P(B2) P(A | B2)]
28
EVALUACIÓN
PROBABILIDAD CONJUNTA
S U M A T I V A
1. Se lanza un dado. Considera los eventos A 5 {1, 2} y B 5 {5, 6} y contesta:
a ) Los eventos A y B son mutuamente excluyentes.
b ) Los eventos A y B son independientes.
Argumenta tu respuesta.
2. Se lanza un dado. Define el evento C: “Un número par”, y el evento D: “Un número múltiplo de 3”. Es
decir, C 5 {2, 4, 6} y D 5 {3, 6}. Responde:
a ) Los eventos A y B son mutuamente excluyentes.
b ) Los eventos A y B son independientes.
Argumenta tu respuesta.
3. Se lanzan tres monedas bien equilibradas. Para calcular la probabilidad de que salgan todas águilas, tres
estudiantes razonan así:
Juan: La probabilidad de obtener águila en una primera moneda es 1/2, la probabilidad de obtener águila
en una segunda moneda es 1/2 y la de obtener águila en la tercera es 1/2; luego la probabilidad es (1/2)
(1/2) (1/2) 5 1/8.
Pedro: La probabilidad de obtener águila en una primera moneda es 1/2; la probabilidad de obtener águila
en una segunda moneda es 1/2 y la de obtener águila en la tercera es 1/2, luego la probabilidad es 1/2.
Pablo: Hay ocho arreglos en los que pueden caer las tres monedas: AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA,
SSS. De ellos sólo uno es favorable a “salgan todas águilas”, de donde la probabilidad es 1/8.
¿Qué razonamiento(s) es(son) correcto(s) y por qué?
4. Sean A y B eventos tales que: P (A) 5 1/3, P(B) 5 1/4, P (A x B) 5 1/2. Calcula P (A | B) y P (B | A).
5. En una urna hay nueve bolas numeradas del 1 al 9. Se saca una bola y se observa que es impar, ¿Cuál es
la probabilidad de que sea múltiplo de 3?
6. En una población 30% de las mujeres y 60% de los hombres votarán por el candidato A. mientras que
70% de las mujeres y 40% de los hombres votaran por el candidato B. En esa población hay 55% de
hombres y 45% de mujeres, de los cuales se elige una persona al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona vote por el candidato A?
b) Si la persona votara por el candidato A, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
29
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
30
AMPLIANDO EL CONOCIMIENTO
G losario
Identifica los siguientes términos en el texto de la unidad y escribe su significado.
Eventos dependientes.
Eventos independientes.
Eventos mutuamente excluyentes.
Probabilidad conjunta.
Teorema de Bayes.
B I B L I O G R A F Í A
HOEL, Paul. Estadística elemental, Compañía Editorial Continental, México, 1976.
LIPSCHUTZ, Seymour y Lipson, Marc. Probabilidad [Serie Schaum], McGraw-Hill, México, 2001.
31
Distribución de probabilidad de variables
Contenido
Tema 1
2.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
DE UNA VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA
Tema 2
2.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
BINOMINAL
Objetivo
El estudiante resolverá problemas
de probabilidad con base en el
concepto de distribución de probabilidad de variables aleatorias
discretas. Aprenderá a distinguir cuándo en una situación se
presenta una variable aleatoria
y cómo obtener su distribución
en casos sencillos. Identificará
variables que siguen un modelo binominal y será capaz de
calcular su medida y desviación
estándar y apoyarse en tablas para
encontrar valores específicos y
evitar cálculos. Se fomentará el
trabajo colaborativo y una actitud
positiva hacia la materia y sus
compañeros.
aleatorias discretas
Unidad 2
s
o
t
n
e
i
m
i
c
o
n
o
c
tu s
En contacto con
• ¿Qué entiendes por variable?
• ¿Qué significa para ti una variable aleatoria?
• ¿Qué entiendes por distribución de probabilidad?
• ¿Qué entiendes por distribución de probabilidad binomial?
• ¿Cuál sería el valor de la probabilidad si sumamos las probabilidades de
todos los posibles valores de una variable aleatoria discreta?
• ¿Qué es el valor esperado de una variable aleatoria?
• Imagina una experiencia aleatoria e identifica una variable en el espacio
muestral de dicho experimento. Describe todos los posibles valores que
puede tomar la variable aleatoria.
• Identifica algunas experiencias aleatorias donde sólo pueden suceder
dos casos posibles.
• Si lanzas una moneda al aire 10 veces, ¿qué es más probable que
ocurra?
a) 5 águilas y 5 soles.
b) 3 águilas y 7 soles.
c) 4 águilas y 6 soles.
• Una máquina expendedora de goma de mascar
contiene chicles en forma cónica (esfera), entre
los 40% son rojos, 30% verdes y 30% azules. Si
se obtienen 20 chicles mediante el mecanismo
aleatorio de la máquina, ¿cuántos chicles rojos
esperas tener en total?
a) 8 rojos
b) 4 rojos
c) No tengo la menor idea de la cantidad de chicles
rojos que puedan salir.
Es una verdad cierta que, cuando no está en nuestra mano determinar lo que es verdad,
debemos seguir lo que es más probable.
René Descartes
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
INTRODUCCIÓN
Las distribuciones de probabilidad constituyen un tema en el que confluyen tanto
conceptos de estadística como de probabilidad. De hecho, son un puente que conecta
estas dos importantes áreas, y son la puerta de entrada a la inferencia estadística. En
estadística se estudian distribuciones de datos, que se describen mediante medidas de tendencia central y variabilidad.
Sin embargo, en las aplicaciones más frecuentes de la estadística los datos son tomados de muestras de una población
o de experimentos aleatorizados, por lo que están sujetos a
incertidumbre. Se requiere, por lo tanto, establecer medidas
probabilísticas de confiabilidad para hacer generalizaciones
y obtener conclusiones válidas. Las distribuciones de probabilidad desempeñan un papel muy importante para lo anterior, ya que permiten conocer todos los valores posibles de
una variable aleatoria y sus respectivas probabilidades.
Anteriormente habíamos estudiado la probabilidad de eventos aislados o compuestos, definidos en un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Las
distribuciones de probabilidad constituyen otro importante aspecto del estudio de la
probabilidad, ya que nos interesan todos los posibles eventos que se presentan en un
fenómeno aleatorio y sus respectivas probabilidades en forma de distribución.
Con frecuencia el estudio de la probabilidad se ve como un aspecto separado de la
estadística, sin embargo, en esta unidad veremos que existen importantes conexiones
entre diversas situaciones cotidianas con la probabilidad y la estadística. Abordaremos
situaciones que provienen de un contexto estadístico y les daremos una interpretación
tomando en cuenta conceptos de probabilidad, tal es el caso de las frecuencias relativas de valores o intervalos de valores de una variable estadística, que a partir de ciertas
condiciones puede considerarse como una variable aleatoria.
2.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA
La distribución de los datos que provienen de una variable estadística nos permite identificar qué valores toma
y con qué frecuencia se presenta cada valor. Los datos
también pueden derivarse de la observación de un fenómeno o experimento aleatorio. En este caso particular, la variable recibe el nombre de variable aleatoria, y
la distribución de datos se conoce como distribución de
probabilidad.
34
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
2.1.1 Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria es aquella cuyos valores provienen de la observación de un fenómeno o experimento aleatorio. Generalmente, las variables aleatorias se representan con
las últimas letras mayúsculas del alfabeto (X, Y, Z), y sus posibles valores se representan con minúsculas (x, y, z).
Ejemplo
Consideremos el experimento aleatorio en el que se lanza
una moneda un par de veces, y en el cual nos interesa la
variable aleatoria “número de águilas” que pueden caer. El
espacio muestral del experimento está dado por AA, AS, SA,
SS, por lo que la variable aleatoria X 5 “número de águilas”,
puede tomar los siguientes valores:
X 5 0, cuando el resultado es SS
X 5 1, cuando el resultado es AS o SA
X 5 2, cuando el resultado es AA
Obsérvese que los eventos del espacio muestral se transformaron a valores numéricos (0, 1, 2) al definir una variable
aleatoria.
Otros ejemplos de variables aleatorias son los siguientes:
• Cantidad de artículos defectuosos en un lote que se examina para control de calidad.
• Cantidad de usuarios en un sitio de internet durante determinado día.
• Nivel de azúcar en la sangre en una muestra de pacientes
diabéticos.
• Calificaciones de estudiantes de preparatoria que presentaron su examen para ingresar a licenciatura.
• Cantidad de puntos con los que cierra la Bolsa Mexicana
de Valores cada día de operaciones.
• Número de goles que anota un equipo de futbol en un partido de la temporada.
Como puede verse, todas las variables están asociadas a fenómenos en los que no se
puede predecir el resultado, por eso se les denomina aleatorias. No obstante, como
veremos después, es factible determinar sus posibles valores y sus frecuencias o
probabilidades de ocurrencia, conforme se observan en forma repetida un gran
número de veces o cuando se dispone de un espacio muestral bien definido.
35
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas:
a) Una variable aleatoria discreta puede tomar un número finito o infinito contable de valores. Por lo general estas variables se asocian a procesos de contar,
por lo que pueden tomar valores como 0, 1, 2, 3, . . . Por ejemplo: el número de
hijos por familia, la cantidad de bacterias por unidad de área en un alimento,
los años de vida de un ser humano, etcétera.
b) Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor entre un intervalo dado, por tal motivo es común que se expresen mediante rangos de valores.
Por lo común estas variables se asocian a procesos de medir. Por ejemplo: la
temperatura de una ciudad durante el día, el peso de una muestra de personas
sujetas a un tratamiento dietético, la calificación de un examen.
En esta unidad abordaremos sólo las variables aleatorias discretas y sus distribuciones de probabilidad, y en la siguiente las variables aleatorias continuas.
Como las variables aleatorias están asociadas a un fenómeno o experimento aleatorio, es factible determinar las frecuencias o probabilidades con las que ocurre
cada posible resultado, lo cual da lugar a una distribución de probabilidad.
2.1.2 Representación de una distribución de probabilidad
Una distribución de probabilidad se puede representar a través de una tabla, una
gráfica o una fórmula.
Por ejemplo, para el caso del lanzamiento de dos monedas en forma simultánea
antes mencionado, y en el cual X representa el número de águilas, se tienen las siguientes probabilidades:
P(X 5 0) 5 1/4
P(X 5 1) 5 2/4
P(X 5 2) 5 1/4
P(X) 0.5
Expresados en forma tabular, tanto los valores
de la variable como sus respectivas probabilidades, se tiene la siguiente distribución de probabilidad:
0.4
0.3
0.2
X
0
1
2
0.1
P(X)
0.25
0.50
0.25
0
1
2
Número de águilas
Los resultados anteriores también pueden ser
expresados en forma (gráfica 2.1).
3
Gráfica 2.1
36
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
El ejemplo anterior corresponde a una variable aleatoria discreta. Las distribuciones que se generan con este tipo de variables se denominan distribuciones discretas de probabilidad.
Una distribución de probabilidad de una variable discreta debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Para cada valor de la variable, la probabilidad cae entre 0 y 1.
2. La suma de las probabilidades para todos los valores de la variable es igual a 1.
Ejemplo
Consideremos ahora un caso muy común cuando hablamos de probabilidad. Se
trata de un dado de 6 caras que es lanzado al aire. Sea X 5 “el número de puntos
de la cara que cae hacia arriba”. Sabemos que la variable aleatoria X puede tomar
1
los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, con probabilidad p ( x) 5 para cada valor.
6
Una tabla y una gráfica de la distribución anterior se muestran a continuación:
x
1
2
3
4
5
6
P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
2
P(X) 0.20
0.15
0.10
0.05
3
4
5
6
X
Gráfica 2.2
Un caso similar al anterior, pero con sólo dos barras con pro1
babilidad P( x) 5 , se presenta cuando se lanza una moneda
2
equilibrada al aire. Este tipo de distribuciones se denominan
distribuciones discretas uniformes.
37
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Ejemplo
Una pareja que acaba de contraer matrimonio desea saber sus probabilidades de
tener tres hijos, entre los cuales exista al menos un hombre. Para simplificar el
problema consideremos igualmente probable que esta pareja tenga tanto un hijo de
sexo femenino como uno del sexo masculino.
El espacio muestral de este fenómeno aleatorio está conformado de la siguiente
manera: HHH, HHM, HMH, HMM, MMM, MHM, MHH, MMH.
Definamos por X la variable aleatoria “número de hombres a tener en una familia de tres hijos”, por lo que X 5 1 cuando el resultado es un hombre en la
familia de tres hijos. Entonces, los posibles valores de X serán 0, 1, 2 y 3. Sin
embargo, según los eventos del espacio muestral no todos tienen la misma probabilidad de ocurrir:
Tabla 2.1
Valores de la
variable X
Eventos
Probabilidad
P(X)
0
MMM
1/8 5 0.125
1
HMM, MHM, MMH
3/8 5 0.375
2
HHM, HMH, MHH,
3/8 5 0.375
3
HHH
1/8 5 0.125
Suma
1.000
Una gráfica de la distribución de probabilidad, también conocida como histograma de probabilidad, se muestra a continuación:
Área 5 1
P(X) 0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
21
0
1
2
3
Número de hombres
Gráfica 2.3
38
4
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Obsérvese que tanto la representación tabular como la gráfica nos muestran todos
los posibles valores de la variable X 5 “número de hombres a tener en una familia
de tres hijos”, así como sus respectivas probabilidades.
En un histograma de probabilidad, las alturas de los rectángulos o barras son
proporcionales a las probabilidades respectivas; por tanto, si se toman las bases con
un ancho unitario se tiene que el área del histograma es igual a 1, sin duda una importante propiedad de las distribuciones de probabilidad.
Un hecho que conviene resaltar es que cuando se sabe la
distribución de probabilidad de una variable aleatoria, se
conocen todos sus posibles valores y sus respectivas probabilidades; en otras palabras, con ello se conoce por completo el comportamiento probabilístico del fenómeno.
Analicemos un hecho más en el contexto de este mismo
ejemplo. Supongamos que estudiamos una gran cantidad de familias que tuvieron tres hijos y anotamos en
cada caso el número de hijos de sexo masculino. Si la distribución de probabilidad
que obtuvimos representa adecuadamente la situación antes descrita, la distribución de frecuencias con los resultados de la observación debe ser muy similar a la
que obtuvimos a través de los cálculos.
También podemos utilizar un programa estadístico o una hoja de cálculo para
simular la situación anterior. En este caso utilizamos esta última opción.
P(X) 0.40
0.35
0.30
Distribución teórica
Distribución empírica
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0
1
2
3
Número de hombres
X
Gráfica 2.4
La gráfica continua representa la distribución teórica o exacta de probabilidades,
y el histograma, la distribución empírica obtenida del recuento de 1 000 observaciones simuladas en un software estadístico. A medida que se incremente el número
de observaciones, la distribución empírica se acercará cada vez más a la distribución
teórica.
39
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
La siguiente gráfica muestra lo anterior para una simulación de 5 000 casos.
P(X) 0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0
21
1
2
3
Número de hombres
4
Gráfica 2.5
En los dos ejemplos anteriores se abordaron situaciones en las que la variable aleatoria fue definida sobre un espacio muestral de un experimento aleatorio. Sin embargo, existe una diversidad de fenómenos aleatorios en los que es imposible definir
con facilidad el espacio muestral. En tales casos se obtienen distribuciones empíricas
de probabilidad, que a medida que se construyen sobre un gran número de observaciones suelen ser bastante precisas. Veamos a continuación algunos de ellos.
Ejemplo
De acuerdo con cifras del II Conteo de Población y Vivienda 2005, realizado en
México por el INEGI, se tiene la siguiente distribución de edades para los mexicanos:
Tabla 2.2
Distribución por edad para los mexicanos en 2005.
Edad (años)
Porcentaje
Frecuencia relativa
0-14
31.5
0.315
15-59
60.2
0.602
60 y más
8.3
0.083
Suma
100
1
Fuente: http://www.inegi.gob.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/censos/
conteo/2005.
La anterior es una tabla estadística con datos sobre la distribución de edades de los
mexicanos al año 2005. Consideremos una situación aleatoria el hecho de preguntar
40
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
a cada mexicano su edad. Algo similar a extraer persona por persona de una urna
gigantesca donde se encuentran los nombres de todos los mexicanos y preguntar
su edad.
La variable edad se ha dividido en tres categorías lo que la convierte en una variable discreta y sus frecuencias relativas pueden ser consideradas como probabilidades. De esta manera, al seleccionar al azar un mexicano de un listado completo, el
resultado más probable será una persona con una edad entre 15 y 59 años inclusive. Una representación gráfica de la distribución se muestra a continuación:
P(X) 0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0-14
15-59
60 o más
X
Edad
Gráfica 2.6
Ejemplo
Aquí se trata de una distribución de frecuencias con las edades de los conductores
que participan en accidentes en nuestro país. Los datos fueron tomados de miles
de expedientes y son de utilidad para las compañías de seguros.
41
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Radiografía de los accidentes
6.1% se ignora
Durante 2006 los siniestros automovilísticos fueron
la principal causa de muerte en México
Por tipo
de sexo
En lo que
corresponde
al sexo de los
involucrados
23.40%
mujeres
1.93% volcaduras
70.59%
hombres
Por tipo de
accidente
En 2005 se registraron
21 mil 718 accidentes
de tránsito
Por edad
Porcentaje de los accidentados
18.0%
17.5%
1.64% caída de
los pasajeros en
transporte público
19.44%
atropellados
79.99%
choques
16.4%
12.6%
10.2%
9.1%
6.7%
4.7%
1.08%
1.70% 2.8%
3.0% 1.09%
1.01% 0.9% 0.5%
0.3% 0.1% 0.05% 0.02%
1 a 5 5 a 10 11 a 15 16 a 20 21 a 25 26 a 30 31 a 35 36 a 40 41 a 45 46 a 50 51 a 55 56 a 60 61 a 65 66 a 70 71 a 75 76 a 80 81 a 85 86 a 90 91 a 95 96 a 100
Fuente: Periódico Noroeste de Culiacán (31/01/2007). www.noroeste.com.mx
Gráfica 2.7
Este caso representa la manera en que una distribución de frecuencias obtenidas
de la observación de un fenómeno puede ser interpretada como una distribución de
probabilidad empírica. Las edades a las que es más probable tener un accidente oscilan entre 21 y 35 años de edad.
Ejemplo
En este caso se trata de los goles que dos equipos del futbol mexicano: Club
América y Cruz Azul obtuvieron en cada partido del torneo de apertura 2007 y
clausura 2008.
42
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Tabla 2.3
América
2007-2008
Fecha
Cruz Azul
2007-2008
Fecha
América
2007-2008
Cruz Azul
2007-2008
1
0
0
0
1
10
2
2
2
2
2
6
1
1
0
11
1
0
2
2
3
1
2
1
4
12
0
0
1
2
4
4
2
3
0
13
2
1
1
2
5
1
0
3
1
14
2
2
2
2
6
2
0
4
1
15
1
0
1
2
7
0
0
1
4
16
1
0
1
1
8
1
0
0
0
17
1
1
2
0
9
1
1
2
3
Nombremos X a la variable aleatoria que representa el número de goles en cada
partido. Se considerarán los 34 partidos realizados en ambos torneos (17 en cada
uno). Un concentrado de los valores de X para cada equipo nos proporciona la
distribución de frecuencias y probabilidades para los posibles valores de la variable aleatoria:
Tabla 2.4
X = Número
de goles
América
Cruz Azul
0
12
0.35
6
0.18
1
12
0.35
11
0.32
2
8
0.24
11
0.32
3
0
0
3
0.09
4
1
0.03
3
0.09
5
0
0
0
0
6
1
0.03
0
0
Total
34
1.00
34
1.00
Una gráfica con la distribución de probabilidad de X para ambos equipos se muestra a continuación:
43
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Distribución del equipo América
Distribución del equipo Cruz Azul
P(X) 0.35
P(X) 0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
X
0
1
2
3
4
5
X
0
6
1
Goles
2
3
4
5
6
Goles
Gráfica 2.8
Ejemplo
En el contexto del problema anterior consideremos las probabilidades acumuladas para el equipo Cruz Azul (tabla 2.5).
Tabla 2.5
Número
de goles
Frecuencia
Probabilidad
P(X 5 x)
Probabilidad acumulada
P(X # x)
0
6
0.18
0.18
1
11
0.32
0.50
2
11
0.32
0.82
3
3
0.09
0.91
4
3
0.09
1.00
Total
34
1.00
¿Cuál es la probabilidad de que en un partido el equipo Cruz Azul anote a lo más
un gol?
P(X # 1) 5 P(X 5 0) 1 P(X 5 1) 5 0.50
¿Cuál es la probabilidad de que anote 3 o más goles?
P(X $ 3) 5 1 2 P(X , 3) 5 1 2 0.82 5 0.18
44
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Una gráfica de la distribución acumulada de probabilidad se
muestra a continuación:
Evaluación formativa
Investiga dos tipos de situaciones reales en las que puedes describir las variables aleatorias, tanto discretas como
continuas; mencionan cómo pueden
variar o complementarse entre sí. Argumenta tus ejemplos con elementos
teóricos. Coméntalos durante la clase
para retroalimentar tus ejemplos.
P(X) 1.2
1
0.8
0.6
Menciona un caso de la vida cotidiana
en el que se reflejen tus respuestas,
explícalo resaltando la importancia
que tiene conocer su funcionalidad.
.
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
X
Goles
Si la distribución de probabilidad es
exacta y se obtiene a partir de los
resultados posibles en el espacio
muestral se denomina:
.
Gráfica 2.9
Como vemos, no sólo es importante conocer los valores de las
probabilidades P(X) para valores individuales de la variable
aleatoria, sino también la probabilidad P(X # x) de que sea
menor o igual a un valor de la variable aleatoria. A la distribución que acumula las probabilidades de una variable aleatoria
X se le denomina comúnmente función de distribución de la
variable aleatoria.
Por su parte, si la distribución se
obtiene de la observación de un fenómeno aleatorio una gran cantidad
de veces, la distribución se denomina
.
Recuerda:
Una distribución discreta de probabilidad está constituida por todos los valores posibles que puede
tomar la variable aleatoria con sus respectivas probabilidades.
Una distribución de probabilidad puede representarse mediante:
a) Una tabla
b) Una gráfica
c) Una fórmula
En una distribución discreta de probabilidad siempre se debe cumplir lo siguiente:
1. Para cada valor de la variable, la probabilidad cae entre 0 y 1. Esto es 0 # P(X) # 1.
2. La suma de las probabilidades para todos los valores de la variable es igual a 1. Por tanto, el área
del histograma de probabilidad es igual a 1. Es decir, SP(X) 5 1.
2.1.3 Media y desviación estándar de una variable aleatoria discreta
De la misma forma que las distribuciones de datos, las distribuciones de probabilidad pueden ser
descritas por medidas de tendencia central y de variabilidad, las más comunes son la media y la des45
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
viación estándar respectivamente. A continuación analizamos
cómo determinar la media y la desviación estándar de una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
Para fijar ideas consideremos el ejemplo del lanzamiento de
dos monedas al aire que antes abordamos, en el que nos interesamos por la variable aleatoria “X 5 número de águilas” y
cuya distribución de probabilidad en forma tabular y gráfica se
muestra a continuación:
X
0
1
2
P(X)
0.25
0.50
0.25
P(X) 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
Número de águilas
Gráfica 2.10
Un análisis de la gráfica anterior nos muestra que la media de águilas debe ser
igual a 1, dado que es el punto de equilibrio de la distribución.
Una interpretación frecuencial de las probabilidades anteriores nos señala lo siguiente: si repetimos el experimento un gran número de veces en condiciones similares, se espera que 25% de las veces aparezcan 0 águilas, 50% de las veces aparezca
1 águila, y 25% de las veces aparezcan 2 águilas.
Para obtener el valor promedio (media aritmética) del número de águilas que se
espera caigan al lanzar dos monedas, se pueden multiplicar los posibles valores de la
variable por la probabilidad que tienen de aparecer. Para este caso tenemos que:
m 5 0(0.25) 1 1(0.50) 1 2(0.25) 5 1
En forma más concreta, si lanzamos las dos monedas un millón de veces, según el enfoque frecuencial de la probabilidad se espera que aparezcan en promedio
250 000 veces 0 águilas, 500 000 veces 1 águila y 250 000 veces 2 águilas.
46
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
m5
0(250 000 ) 11(500 000 ) 1 2(250 000 )
51
1000 000
A la media de una variable aleatoria se le conoce también como valor esperado,
y es el valor de la variable aleatoria que se espera ocurra en promedio después de
repetir una gran cantidad de veces un experimento aleatorio. Por lo tanto, el valor esperado del número de águilas en una gran cantidad de repeticiones del experimento
lanzar dos monedas al aire es de 1.
Generalizando:
La media o valor esperado de una distribución de probabilidad para una variable
aleatoria discreta X se obtiene de sumar los productos que resultan de multiplicar los
valores posibles de la variable por sus respectivas probabilidades. Esto es:
n
m 5 E(( x) 5 ∑ x i P( x i )
i51
Donde:
m 5 E(X): Se denomina valor esperado de la variable aleatoria X.
Xi: Representa los valores de la variable aleatoria.
P(Xi): Es la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria.
El concepto de valor esperado es ampliamente utilizado en la toma de decisiones
de cualquier ámbito de la actividad humana.
Por su parte, la desviación estándar de la distribución de probabilidad de una
variable aleatoria discreta está definida por la siguiente expresión:
σ5
n
∑ ( x 2 m) P ( x )
2
i51
i
i
Ejemplo
Determinar el valor esperado del número de goles por partido del equipo de futbol Cruz Azul, con base en los resultados de dos torneos (apertura 2007 y clausura 2008).
Tabla 2.6
X 5 Número de goles
por partido
0
1
2
3
4
Total
Probabilidad
P(X)
0.18
0.32
0.32
0.09
0.09
1.00
47
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
m 5 E(X) 5 0(0.18) 1 1(0.32) 1 2(0.32) 1 3(0.09) 1 4(0.09) 5 1.59
σ 5 ( 0 2 1. 59)2 0. 18 1 (1 2 1. 59)2 0.32 1 ( 2 21.59)2 0. 32 1( 3 21.59)2 0.09 1 ( 4 21.59)2 0.09
σ 51.15
P(X)
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
-1
0
1
2
3
Número de goles
μ = 1.59
4
5
X
σ = 1.15
Gráfica 2.11
En la gráfica se observa que el promedio de goles por partido es igual al resultado
encontrado: m 5 1.59.
Una aplicación del concepto de valor esperado de una variable aleatoria discreta
ocurre en los juegos de azar y la lotería. Es importante que quien
participe en un juego de esta naturaleza conozca el valor esperado
Evaluación formativa
que tiene de ganar.
Representa mediante una problemática que hayas experimentado, ya sea
en tu contexto escolar, familiar, social,
cultural o personal el valor promedio
de una variable aleatoria después de
haber repetido una gran cantidad
de veces un experimento aleatorio.
Argumenta la situación elegida con
elementos teóricos que has visto durante las clases.
Permite calcular la dispersión de los
valores que toma una variable aleatoria.
Ejemplo
Recientemente han cobrado auge en la televisión mexicana los
llamados “telejuegos”. Éstos consisten en que el público marca
un teléfono para participar y si su llamada es seleccionada tiene
la oportunidad de elegir al azar una de varias opciones con premios ocultos. Supongamos que se tienen 10 premios, entre los
cuales hay cinco de $20 000 pesos, tres de $50 000 pesos, uno
de $100 000 y una camioneta con valor de $250 000 pesos.
Para la empresa es de vital importancia conocer la cantidad
promedio que debe desembolsar en cada juego para pagar los
premios. Esto constituye una variable aleatoria, pues el premio
puede ser diferente de un juego a otro. Llamemos X a la variable
aleatoria “cantidad de dinero que hay que pagar en premios cada vez
que se realiza el juego”.
48
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Tenemos que P(xi) 5 1/10 para cada opción del tablero, pues
son 10 y cada una con la misma probabilidad de ser elegida. La
distribución de probabilidad será la siguiente:
X
20 000
50 000
100 000
250 000
P(X)
5/10
3/10
1/10
1/10
Sustituyamos en la expresión del valor esperado:
⎛ 5⎞
⎛ 3⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
E( X ) 5 20 000 ⎜ ⎟ 1 50 000 ⎜ ⎟ 1 100 000 ⎜ ⎟ 1 250 000 ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
⎝ 10 ⎠
⎝ 10 ⎠
⎝ 10 ⎠
5 $10 000 1 $15000 1 $10 000 1 $25000 5 $60 000
El valor esperado o promedio de dinero que la empresa espera
pagar por juego es de $60 000. Desde luego, el ingreso por las
llamadas debe superar dicha cantidad para que no haya pérdidas. En ocasiones a la empresa le tocará pagar $250 000 de
premio (en promedio 1 de cada 10 veces), pero la mayoría de las
veces (en promedio 5 de cada 10) pagará $20 000, por lo que el valor promedio o
esperado a pagar será de $60 000.
Una ventana al conocimiento
Desde su origen, la estadística ha tenido aplicaciones en el campo de la demografía. Un ejemplo de ello es la siguiente
gráfica que muestra la distribución de hogares por número de miembros en México en el periodo 1976-1997. Los
datos del eje horizontal representan número de miembros por hogar y los del eje vertical, las frecuencias expresadas
en porcentaje. Si convertimos estos porcentajes a frecuencias relativas (dividiendo entre 100), la distribución se puede
considerar como una distribución de probabilidad.
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Fuente: El perfil sociodemográfico de los hogares en México 1976-1997.
Consejo Nacional de Población. http://www.conapo.gob.mx/publicaciones/CuaTec/pdf/hogares.pdf
49
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
En este caso la variable aleatoria sería el número de miembros por hogar. Los valores que toma la variable van de 1 a
15. Se observa que en los últimos años la media o valor esperado se ha movido hacia la izquierda y son poco comunes
las familias numerosas. Actualmente la media se encuentra alrededor de cuatro miembros por familia. En términos de
probabilidad significa que si seleccionamos familias mexicanas al azar, el valor esperado será una de cuatro miembros.
2.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMINAL
Existen muchos experimentos aleatorios con estructuras similares que generan variables aleatorias con la misma distribución de probabilidad. Por tanto, se puede
generar un modelo de probabilidad único que permita calcular probabilidades para
todos los problemas que caen en una misma categoría, y que pertenecen a un rango
amplio de contextos y situaciones. Entre las distribuciones discretas de probabilidad
más conocidas que permiten resolver una diversidad de problemas que involucran la
probabilidad, está la distribución binominal.
2.2.1 Experimento de probabilidad binominal
Muchos experimentos aleatorios pueden generar uno de dos resultados posibles; por
ejemplo, en el lanzamiento de una moneda puede resultar águila o sol, cada artículo
que sale de una línea de producción puede ser defectuoso o no, una persona al hacerse un estudio puede estar enferma o sana, al presentar un examen un estudiante
puede acreditar o reprobar, cada persona entrevistada sobre una elección puede estar
a favor o en contra de cierto candidato. A éstos se les conoce como experimentos
binominales.
En cada una de las situaciones anteriores seleccionamos una muestra de n objetos
de una población finita y verificamos si cada objeto seleccionado posee una característica de interés (por ejemplo, cae águila, está defectuoso, se encuentra enferma,
aprueba el examen, está a favor del candidato), entonces contamos el total de objetos
muestreados que poseen la característica en la muestra seleccionada y este número
lo representamos mediante X; nos interesa conocer la probabilidad de que asuma un
determinado valor, es decir, P(X 5 X).
Características de un experimento binomial
1. El experimento consta de n pruebas o repeticiones idénticas.
2. Cada prueba tiene dos resultados posibles: uno denominado éxito (E) y el otro
fracaso (F).
3. La probabilidad de éxito en una sola prueba es p y la probabilidad de fracaso es
su complemento 1 2 p.
4. Las pruebas son independientes, es decir, el resultado de una no influye en el
resultado de la otra.
La variable aleatoria de interés X, es el número y proporción de éxitos observados en las
n pruebas.
50
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Si se cumplen todas las condiciones señaladas decimos que X
tiene distribución binomial de probabilidad, con parámetros n
y P. Lo anterior se acostumbra expresar simbólicamente de la siguiente manera: X , Binomial (n, p).
Por ejemplo, un ingeniero industrial puede estar interesado en
conocer la proporción de artículos defectuosos en un lote de producción; el investigador de mercados, en la proporción de personas
en una muestra que prefieren un artículo determinado; el biólogo
marino, en la proporción de ejemplares de una especie marina que
cumplen determinada talla en un muestreo; el investigador social,
en la proporción de personas que votarían por un candidato.
Todos los casos anteriores son experimentos de tipo binomial,
cuando las muestras se seleccionan de poblaciones grandes. Generalmente se considera que la población es grande respecto a la
muestra, cuando ésta es 10% menor al tamaño de la primera.
Ejemplo
Un examen de opción múltiple contiene 10 preguntas, cada una con cuatro opciones, de las cuales sólo una es correcta. Un estudiante presentará el examen y
desconoce el tema, por lo que decide respoder al azar. Sea X “el número de respuestas correctas que el estudiante obtuvo en el examen”. Determinar si el experimento
puede considerarse binomial.
1. El examen consta de 10 reactivos, es decir 10 pruebas
idénticas, pues se considera que cada pregunta es una
prueba o repetición del mismo experimento.
2. Cada pregunta tiene dos resultados posibles: contesta correctamente (éxito) y no contesta correctamente (fracaso).
3. La probabilidad de éxito en cada pregunta es de 0.25,
mientras que la de fracaso es de 0.75, dado que sólo una
es correcta y hay tres incorrectas. Es decir, la probabilidad
de éxito permanece constante de un ensayo a otro.
4. Las preguntas son independientes ya que no tienen relación entre ellas.
5. La variable aleatoria de interés es X, “el número de respuestas correctas en el examen”, la cual puede variar de 0 a 10.
Podemos concluir que el examen anterior es un experimento binomial con n = 20,
p = 0.25, los cuales se conocen como parámetros de la distribución.
Ejemplo
Consideremos ahora el caso de una escuela con 300 estudiantes de la cual se va
a seleccionar una muestra aleatoria de 50 alumnos para saber si están de acuerdo
51
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
con que el director de la escuela sea reelegido para el siguiente
periodo. Esto puede visualizarse como un experimento aleatorio en el que se seleccionará un alumno y se le preguntará si está
de acuerdo, ante lo que puede responder SÍ o NO.
1. El experimento consta de 50 ensayos, uno por cada alumno
seleccionado.
2. Cada ensayo tiene dos resultados posibles: SÍ (éxito) o NO
(fracaso).
3. La probabilidad de éxito (SÍ) no es constante de una persona a otra, porque cada
vez existen menos individuos en la muestra, ya que se entrevista a una persona
una sola vez. Es decir, no existe reemplazo.
4. Los ensayos no son independientes, pues la probabilidad de éxito no es constante de una selección a otra.
5. La variable aleatoria de interés es X, “el número de alumnos que responden que SÍ
están de acuerdo en la reelección del director” y puede variar de 0 a 50.
Como puede verse, la situación anterior no cumple con dos condiciones de un
experimento binomial: que la probabilidad de éxito en cada ensayo sea constante
y que los ensayos sean independientes.
Debemos ser observadores del cumplimiento de las condiciones de un experimento binomial para aplicar la fórmula de la distribución binomial en el cálculo
de probabilidades.
Recuerda:
Las condiciones de independencia y probabilidad constante de un ensayo a otro en un experimento binomial se cumplen cuando:
1. Existe reemplazo en los elementos de la muestra.
2. Cuando la relación entre el tamaño de la muestra no exceda 10% del tamaño de la población.
Esto es:
n
, 0.10 .
N
2.2.2 Función de probabilidad binominal
La distribución de probabilidad binomial, como las demás distribuciones, puede representarse mediante una expresión simbólica (fórmula), una gráfica o una tabla. A
continuación deduciremos la fórmula de la distribución de probabilidad binomial.
Como ya señalamos, un experimento binomial puede presentar uno de dos resultados posibles: uno llamado éxito (E) y el otro llamado fracaso (F). Pensemos en que
el experimento se realizó n veces y se obtuvo el siguiente resultado:
EFFEEFEF...FEEF
52
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Por facilidad, acomodemos los resultados de la siguiente manera:
EEEEEE...EEFFFF...FFF
x éxitos
n 2 x fracasos
Sabemos que la probabilidad de éxito es p y la de fracaso es q, entonces la probabilidad de que suceda el resultado anterior es el producto de sus probabilidades, dado
que los eventos son independientes.
p p p p p . . . p p p p p q q q q q q . . . q q q 5 pxqn – x
Pero no olvidemos que q 5 1 2 p, por lo que la expresión queda en función sólo
de p. Esto es:
px(1 2 p)n–x
La probabilidad anterior corresponde a una combinación de resultados (éxitos
y fracasos). Sin embargo, se tienen muchas combinaciones de posibles resultados,
entonces habrá que multiplicar dicho valor por el total de combinaciones posibles
con x éxitos en n pruebas.
Finalmente, la expresión queda de la siguiente manera:
⎛ n⎞
p( x ) 5 ⎜ ⎟ p x (1 2 p )n2x
⎝ x⎠
o p( x ) 5
n!
p x q n2 x
x !(n 2 x )!
Un experimento binomial consta de n ensayos o pruebas idénticas, donde la probabilidad de éxito
en cada ensayo es p. La probabilidad de obtener x éxitos en los n ensayos está determinada por:
⎛ n⎞
p( x ) 5 ⎜ ⎟ p x q n2x , x 5 0, 1, 2, 3 . . . , n y 0 # p # 1 , q 5 1 2 p
⎝ x⎠
Decimos entonces que la variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad binomial.
Algunas observaciones importantes respecto a la fórmula o modelo de distribución
de probabilidad binomial:
1. La expresión anterior es una función de probabilidad, es decir, al tomar valores X
se obtienen valores para P(x).
2. Los valores que puede tomar X son 0, 1, 2, 3, 4, . . . pues se trata de una variable
discreta.
3. La fórmula o modelo contiene dos parámetros: n y p, que determinan los valores
de las probabilidades obtenidas y, por tanto, la forma de la distribución.
4. La suma de las probabilidades de todos los posibles valores de la variable aleatoria
es igual a 1. En otras palabras, si se dibuja el histograma de probabilidades el área es
igual a 1.
53
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Efecto de los parámetros n y p en la forma de la distribución binomial
Veamos a continuación tres distintas distribuciones de probabilidad para diferentes
valores de los parámetros n y p.
P(X) 0.40
P(X) 0.35
0.30
Frecuencia relativa de X
0.30
0.25
0.20
0.25
0.10
0.25
0.20
0.25
0.10
0.05
0.05
0
1
2
n 5 10
3
4
5
6
X
-1
0
p 5 0.7
1
2
n 5 10
3
4
5
6
X
p 5 0.5
Gráfica 2.12
P(X) 0.40
Frecuencia relativa de X
Frecuencia relativa de X
0.35
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0
2
1
n 5 10
3
4
5
6
X
p 5 0.3
Gráfica 2.13
Obsérvese que cuando p 5 0.5, la distribución es simétrica, mientras que en los
otros casos es sesgada: a la derecha si p 5 0.3 y a la izquierda si p 5 0.7. Cuando
los valores de p son mayores que 0.5 son más probables los valores grandes de la
variable, es decir, hay más probabilidad de tener un mayor número de éxitos en una
muestra o una serie repetida de observaciones y viceversa.
Cálculo de probabilidades de experimentos binomiales
Existen diversos mecanismos que se pueden utilizar en el cálculo de probabilidades
binomiales:
54
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
a) Fórmula de la distribución binomial
b) Tablas de probabilidad
c) Programas estadísticos u hojas de cálculo
Ejemplo
En una industria de productos eléctricos, como parte
de una prueba de control de calidad, se ha seleccionado un lote de 300 fusibles eléctricos, del cual se sabe
que contiene 5% de defectuosos. Se toma una muestra
de cinco fusibles para verificar su estado. Determine la
probabilidad de que:
1. Un fusible sea defectuoso
2. Dos fusibles sean defectuosos
3. Al menos uno sea defectuoso
4. Los cinco sean defectuosos
Denominaremos X la variable aleatoria “número de fusibles defectuosos en la
muestra”. Por tanto, X puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Los parámetros de la distribución son el tamaño de la muestra (n 5 5) y la probabilidad de éxito en cada prueba o ensayo, en este caso la probabilidad de seleccionar un
fusible defectuoso en cada extracción (p 5 0.05). Al sustituir los valores que puede
tomar la variable aleatoria y los valores de los parámetros se tiene lo siguiente:
⎛ n⎞
p( X 5 x ) 5 ⎜ ⎟ p x q n2x
⎝ x⎠
⎛ 5⎞
p( x 5 0) 5 ⎜ ⎟ (0.05)0 (0.95)5 5 0.7738
⎝ 0⎠
⎛ 5⎞
p( x 5 1) 5 ⎜ ⎟ (0.05)1 (0.95)4 5 0.2036
⎝ 1⎠
⎛ 5⎞
p( x 5 2) 5 ⎜ ⎟ (0.05)2 (0.95)3 5 0.0214
⎝ 2⎠
⎛ 5⎞
p( x 5 3) 5 ⎜ ⎟ (0.05)3 (0.95)2 5 0.0011
⎝ 3⎠
⎛ 5⎞
p( x 5 4 ) 5 ⎜ ⎟ (0.05)4 (0.95)1 5 0.000029
⎝ 4⎠
⎛ 5⎞
p( x 5 5) 5 ⎜ ⎟ (0.05)5 (0.95)0 5 0.00000031
⎝ 5⎠
55
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
La distribución de probabilidad se puede expresar mediante una tabla de valores,
a partir de la cual se puede construir su gráfica.
Tabla 2.7
X
P(X) 0.8
P( X )
0.7
0
0.7737
0.6
1
0.2036
0.5
2
0.0214
3
0.0012
4
0.000029
5
0.00000031
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
X
Número de fusibles defectuosos
Gráfica 2.14
Uso de tablas de probabilidad binomial
Como puede observarse, el cálculo de probabilidades con la fórmula de la distribución binomial es un proceso que puede volverse tedioso, por eso con frecuencia se
recurre a tablas de probabilidad, donde ya está resuelta una diversidad de casos de
n, p, x.
Por ejemplo, para el caso anterior se tiene n 5 4 y p 5 0.05. En la tabla 1 que se
encuentra en el apartado Anexos buscamos dichos valores.
Tabla 2.8
n
x
0.01
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.50
0.60
5
0
0.951
0.774
0.590
0.444
0.328
0.237
0.168
0.116
0.078
0.031
0.010
1
0.048
0.204
0.328
0.392
0.410
0.396
0.360
0.312
0.259
0.156
0.077
2
0.001
0.021
0.073
0.138
0.205
0.264
0.309
0.336
0.346
0.313
0.230
0.001
0.008
0.024
0.051
0.088
0.132
0.181
0.230
0.313
0.346
0.002
0.006
0.015
0.028
0.049
0.077
0.156
0.259
0.001
0.002
0.005
0.010
0.031
0.078
3
4
5
P(X 5 0) 5 0.774
P(X 5 1) 5 0.204
P(X 5 2) 5 0.021
P(X 5 3) 5 0.001
56
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Es importante aclarar que las probabilidades para x 5 4 y x 5 5 se omitieron en la
tabla porque sus valores son muy pequeños, pero casi iguales a cero, y sólo se están
considerando tres decimales. En los cálculos con la fórmula se puede observar que
P(X 5 4) 5 0.000029 y P(X 5 5) 5 0.00000031.
La tabla 1 de los anexos proporciona probabilidades para valores individuales de
la variable, pero cuando se desean valores acumulados del tipo P(X # x) se suman
las probabilidades. Por ejemplo, P(X # 1) 5 0.774 1 0.204 5 0.978.
También se pueden calcular probabilidades de valores del tipo P(X $ x), para este
caso se aplica la propiedad del complemento, esto es P(X $ x) 5 1 2 P(X , x). Por
ejemplo, determinar P(X $ 1) 5 1 2 P(X , 1) 5 1 2 0.774 5 0.226.
Ejemplo
Un estudiante no se ha preparado para un examen que contiene 20 preguntas de
falso y verdadero, así que decide contestar al azar. ¿Qué probabilidad hay de que
apruebe el examen si para ello debe contestar correctamente al menos 60% de las
preguntas?
Determinemos primero el valor de los parámetros n y p. Para aprobar el examen se requiere contestar al menos 12 preguntas de manera correcta (60% de
20), entonces x 5 12, y cada pregunta tiene una probabilidad p 5 0.5 de ser
contestada correctamente, dado que el examen es de falso y verdadero. Además
n 5 20. Entonces:
⎛ n⎞
P( X 5 x) 5 ⎜ ⎟ p x q n2x
⎝ x⎠
⎛ 20⎞
P( X 512) 5 ⎜ ⎟ 0.51220.58 5 0.120
⎝ 12 ⎠
El valor anterior corresponde sólo al valor de x 5 12, sin embargo es necesario
determinar ahora el resto de los valores mayores que 12. Si se utiliza la fórmula
este proceso se vuelve tedioso, por lo cual emplearemos la tabla 1 de probabilidad
binomial. Entramos a la tabla con n 5 20, p 5 0.50.
57
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Tabla 2.9
n
x
0.01
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
20
0
0.818
0.358
0.122
0.039
0.012
0.003
0.001
1
0.165
0.377
0.270
0.137
0.058
0.021
0.007
0.002
2
0.016
0.189
0.285
0.229
0.137
0.067
0.028
0.010
0.003
3
0.001
0.060
0.190
0.243
0.205
0.134
0.072
0.032
0.012
0.001
4
0.013
0.090
0.182
0.218
0.190
0.130
0.074
0.035
0.005
5
0.002
0.032
0.103
0.175
0.202
0.179
0.127
0.075
0.015
0.001
6
0.009
0.045
0.109
0.169
0.192
0.171
0.124
0.037
0.005
7
0.002
0.016
0.055
0.112
0.164
0.184
0.166
0.074
0.015
8
0.005
0.022
0.061
0.114
0.161
0.180
0.120
0.035
9
0.001
0.007
0.027
0.065
0.116
0.160
0.160
0.071
0.002
0.010
0.031
0.069
0.117
0.176
0.117
11
0.003
0.012
0.034
0.071
0.160
0.160
12
0.001
0.004
0.014
0.035
0.120
0.180
0.001
0.004
0.015
0.074
0.166
0.001
0.005
0.037
0.124
0.001
0.015
0.075
16
0.005
0.035
17
0.001
0.012
10
13
14
15
18
0.35
0.40
0.50
0.60
0.003
19
P(X $ 12) 5 0.120 1 0.074 1 0.037 1 0.015 1 0.005 1 0.001 5 0.252
Por consiguiente se espera que 252 personas de cada 1 000 aprueben el examen en
estas condiciones, aproximadamente la cuarta parte.
Ejemplo
Una tienda departamental ha determinado, con base en sus registros, que la probabilidad de que una persona que entra a su página web compre en línea un
artículo es de 0.20. Si el sitio tiene 10 personas en cierto momento:
58
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
a) Determina los posibles valores que puede tomar la variable
X que representa el número de personas que compran un
artículo en la muestra de tamaño 10 que ha sido seleccionada.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas
compre un artículo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos personas compren un artículo?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más tres personas
compren un artículo?
Solución a):
Los posibles valores de X son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.
Solución b):
n 5 10, p 5 0.20, X 5 0
Con las tablas se tiene que P(X 50) 5 0.107
Solución c):
n 5 10, p 5 0.20, X $ 2
Con las tablas se tiene
P(X $ 2) 5 1 2 P(X , 2) 5 1 2 0.107 2 0.268 5 0.624
Solución d):
n 5 10, p 5 0.20, X # 3
P(X # 3) 5 0.107 1 0.268 1 0.302 5 0.897
Cálculo de probabilidades con Excel
La hoja de cálculo Excel dispone de una fórmula denominada DISTR.BINOM que
permite calcular probabilidades de un experimento binomial. En realidad, la fórmula
está programada para que al introducir los valores de los parámetros de la distribución
binomial y un valor específico de la variable aleatoria se despliegue el valor de la probabilidad en una determinada celda. Se tiene la opción de desplegar la probabilidad
para un único valor de la variable o bien la probabilidad acumulada para los valores
menores o iguales que él. La sintaxis de la función es DISTR.BINOM (número de éxitos, número de ensayos, probabilidad de éxito, acumulado).
Pasos para utilizar la fórmula DISTR.BINOM en el cálculo de probabilidades:
1. Abrir una hoja de Excel y seleccionar la celda donde se colocará el valor de
la función.
59
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
2. Seleccionar del menú de fórmulas la opción Más funciones/Estadísticas/DISTR.BINOM
60
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Se introducen los valores solicitados en la ventana anterior y se presiona aceptar.
Si se desean probabilidades acumuladas, en el último parámetro debe introducirse
la opción VERDADERO; si sólo se desea la probabilidad para el valor especificado de
éxitos se introduce la opción FALSO.
Ejemplo
Consideremos el ejemplo de los productos eléctricos antes resuelto mediante la
fórmula de la distribución binomial. En este caso, se tiene que un lote contiene
5% de fusibles defectuosos, de los cuales se toma una muestra de cinco para verificar su estado. Determina la probabilidad de que:
a) Dos fusibles sean defectuosos
b) Más de dos sean defectuosos
c) Al menos dos sean defectuosos
61
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Solución a):
n 5 5, p 5 0.05, X 5 2
62
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Solución b):
n 5 5, p 5 0.05, X # 2
63
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Solución c):
n 5 5, p 5 0.05, X $ 2
En este caso primero calculamos P(X # 1). P(X $ 2) 5 1 2 P(X # 2). Posteriormente calculamos la probabilidad del complemento de la siguiente manera:
P( X $ 2) 51 2 P( X # 1)
64
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
2.2.3 Media y desviación estándar de la distribución
de probabilidad binomial
Como antes señalamos, una variable aleatoria discreta tiene como media o valor
esperado:
n
m 5 ∑ xi P ( xi )
i51
Para el caso de la distribución binomial, la media o valor esperado está en función
de sus parámetros y se determina mediante la fórmula:
m 5 np
La varianza y la desviación estándar también están en función de los parámetros n
y p, y se determinan con las siguientes expresiones:
s 2 5 np(1 2 p)
s5
np(1 2 p)
Ejemplo
En un estudio realizado en México en 2007 sobre la opinión que tienen los mexicanos sobre el aborto y los anticonceptivos se encontró que 67% de las mujeres
aprueba el uso de la píldora del día siguiente como método anticonceptivo (Fuente: www.consulta.com.mx). Supongamos que una asociación no gubernamental
considera que el porcentaje está sobrestimado. Para ello proporciona como evidencia que en una muestra aleatoria de 20
mujeres al azar sólo 10 están a favor.
Si consideramos a X como la variable que representa el número
de mujeres en la muestra que están de acuerdo con la píldora del
día siguiente como método anticonceptivo:
a) Determina el valor esperado de mujeres en una muestra de
20 que están de acuerdo.
b) Determina la desviación estándar de X.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de tamaño
20, 10 mujeres o menos estén de acuerdo, considerando que
67% de la población de mujeres está a favor del método anticonceptivo?
Solución a):
m 5 np 5 20( 0. 67)) 513. 4
Se espera que en una muestra de 20 mujeres, entre 13 y 14 estén de acuerdo con
el método anticonceptivo.
65
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Solución b):
s5
np(1 2 p) 5
20( 0. 67 )( 0.33) 5 2.10
Solución c):
n 5 20, p 5 0.67, X # 10
Hagamos el cálculo con Excel:
66
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Como puede verse, la probabilidad de que 10 mujeres o quizá menos estén a favor
de la píldora en una muestra de 20, es de tan solo P(X # 10) 5 0.086.
La distribución completa de probabilidad calculada con Excel se muestra a continuación:
Gráfica 2.15
Distribución de probabilidad de X
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
67
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
LA ESTADÍSTICA Y TU COMUNIDAD
SE AMPARAN CONTRA EL ALCOHOLÍMETRO
La Subsecretaría del Sistema Penitenciario reveló que desde septiembre de 2003, cuando se
puso en marcha el plan en el marco del Programa Conduce sin alcohol, 23 mil 150 automovilistas fueron aprehendidos tras haber dado positivo en la prueba del alcoholímetro.
Sin embargo, la subsecretaría precisó que 7,798 detenidos por este concepto, es decir, tres
de cada 10 conductores que dieron positivo en la prueba, tramitaron un amparo con el que
obtuvieron su libertad sin cumplir con la sanción correspondiente.
La situación anterior puede ser considerada como un experimento binominal y, por lo tanto,
se pueden calcular algunas probabilidades de interés mediante la distribución de probabilidad
binominal. Veamos:
Al ser detenido un conductor y aplicarle la prueba del alcoholímetro con resultado positivo,
existen dos resultados posibles: “que se ampare”, que puede ser considerado como éxito, y
“que no se ampare”, que puede ser considerado como fracaso.
Supóngase que en un punto de revisión de la ciudad se detienen durante una revisión nocturna a 60 conductores que dieron positivo a la prueba del alcoholímetro. La variable aleatoria
de interés se puede denominar mediante X 5 Número de detenidos que dieron positivo en la
prueba y se ampararán. Los parámetros de la distribución en este caso serían n 5 80 (tamaño
de la muestra) y p 5 0.30 (probabilidad de que un detenido que da positivo en la prueba se
amparará contra la sanción).
Nos podemos plantear y responder algunas preguntas como las siguientes: ¿Cuál es la cantidad de personas detenidas que dieron positivo en la prueba y que se espera se amparen para
no pagar la multa?, ¿qué probabilidad existe de que todos los detenidos que dieron positivo
a la prueba paguen la multa?, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 80% de los detenidos
paguen la multa?
Ejemplos como el anterior nos muestran la gran aplicación que tiene la estadística en la comunidad y que incluso aparecen a diario en los diferentes medios de comunicación.
Periódico Excélsior. 27 de octubre de 2008.
http://www.exonline.com.mx/diario/home
68
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
RESUMEN
En estadística, la distribución de los datos que provienen de una variable permite
identificar sus valores con sus respectivas frecuencias. Sin embargo, cuando los datos resultan de la observación de fenómenos aleatorios, las variables se denominan
variables aleatorias.
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Una variable aleatoria
discreta es aquella que puede tomar un número finito o infinito contable de valores,
mientras que una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor entre
un intervalo dado. Por lo general, las variables aleatorias discretas están asociadas a
procesos de contar y las variables aleatorias continuas, a procesos de medir.
Aunque no se puede predecir con certeza un determinado valor de una variable
aleatoria, es factible determinar sus valores posibles y sus probabilidades de ocurrencia, lo cual da origen a una distribución de probabilidad. Es decir, una distribución
de probabilidad queda determinada por el conjunto de valores que puede tomar una
variable aleatoria y sus respectivas probabilidades.
Una distribución de probabilidad puede representarse mediante una tabla (representación tabular), un histograma (representación gráfica) y una fórmula (representación simbólica). A su vez, una distribución de probabilidad puede describirse por
su centro y su dispersión. El centro lo representa la media aritmética, más comúnmente conocida como valor esperado en el ámbito de los experimentos aleatorios;
por su parte, la dispersión se obtiene a través de la desviación estándar.
El significado de valor esperado de una variable aleatoria es el valor que en
promedio se espera que suceda una vez que el experimento aleatorio se observa gran
cantidad de veces, y representa un concepto importante en la toma de decisiones
donde existe incertidumbre.
Existen diversas distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas.
Una de las más conocidas es la distribución binomial de probabilidad. Ésta permite conocer la probabilidad que en una serie de pruebas, ensayos u observaciones
de un experimento binomial, se presente una cierta cantidad de éxitos, entendidos
como la característica que nos interesa observar en los posibles resultados del experimento.
Para calcular las probabilidades de ciertos valores de una variable aleatoria con
distribución binomial se puede utilizar la fórmula o modelo matemático, tablas de
probabilidad que contienen una diversidad de casos resueltos o algún programa estadístico u hoja de cálculo. Los resultados son equivalentes, pues en todos los casos
se resuelve el modelo matemático o fórmula de la distribución binomial.
69
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
E VALUACIÓN
S U M A T I V A
Lee cuidadosamente cada situación que se te presenta y contesta lo que se te pide.
1. Un profesor está investigando cuánto tiempo tardan en resolver sus alumnos un problema de estadística para
una prueba de admisión en la que el tiempo límite de 10 preguntas es de 1 hora. Después de haberla aplicado
a una gran cantidad de alumnos, obtuvo los siguientes resultados:
X
5
6
7
8
9
P (X)
0.10
0.20
1.20
0.25
0.15
donde X es el tiempo en minutos y P (X ) la probabilidad.
a ) Identifica el valor erróneo en las probabilidades y explica por qué.
b ) Determina el valor esperado de tiempo que tardarían en responder dicho problema los alumnos a quienes
sea aplicado dicho examen.
2. Enuncia todas las condiciones que debe cumplir un experimento para que sea considerado binomial.
3. Asigna los parámetros correspondientes a las siguientes distribuciones binomiales:
a ) n 5 8, p 5 0.5
b ) n 5 8, p 5 0.1
c ) n 5 6, p 5 0.8
P(X)
0.30
P(X)
0.25
0.35
0.40
0.30
0.20
0.25
0.15
0.20
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X
0
1
2
Gráfica 2.16
3
4
5
Gráfica 2.17
P(X)
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0
1
2
3
71
4
5
6
X
Gráfica 2.18
6
7
8
X
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
4. Sea X una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros n 5 10 y p 5 0.7. Determina mediante
las tablas de probabilidad binomial, la fórmula y Excel las siguientes probabilidades:
a ) P(X 5 5)
b ) P(X . 5)
c ) P(X # 3)
d ) P(1 # X # 6)
e ) Construye la gráfica de la distribución de probabilidad.
5. Con la información del caso anterior determina:
a ) El valor esperado de X.
b ) La desviación estándar de X.
c ) Supongamos que la información anterior se refiere a una muestra de 10 personas seleccionadas de una gran
población en la que 70% está a favor de una ley ecológica. Interpreta en este contexto el valor esperado que
obtuviste en el primer inciso.
6. La siguiente tabla representa una distribución de probabilidad binomial para una variable aleatoria X con
parámetros n 5 12 y p 5 0.5.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P (X )
0.000
0.003
0.016
0.054
0.121
0.193
0.226
0.193
0.121
0.054
0.016
0.003
0.000
a ) Construye la gráfica de la distribución de probabilidad.
b ) Considera que X representa las respuestas correctas a un examen de matemáticas con alto grado de dificultad
que se ha aplicado durante muchos años a miles de estudiantes. ¿Cuál sería la calificación promedio que se
esperaría obtener?
c ) Determina la proporción de estudiantes que se espera aprueben el examen; es decir, que tengan 7 o más
respuestas correctas.
7. En una encuesta realizada en México por la empresa Consulta Mitofsky en el año 2007 sobre el uso de métodos
anticonceptivos, se encontró que 95% de los hombres está de acuerdo con el uso de los preservativos. Si se
selecciona una muestra de 30 hombres, ¿cuál es la probabilidad de que?:
a ) todos estén de acuerdo con el uso del preservativo?
b ) la mitad esté a favor del uso del preservativo?
c ) veinte estén de acuerdo con el uso del preservativo?
d ) ¿cuál es el valor esperado de hombres que están de acuerdo en una muestra de tamaño 30?
e ) si en una muestra de tamaño 30 sólo 10 están a favor del uso de preservativos, ¿sospecharías que es falso
que 95% de los hombres está de acuerdo?, ¿o cuál sería tu interpretación?
72
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Mapa conceptual
VARIABLES
ALEATORIAS
Variables continuas
Variables discretas
Distribuciones de
probabilidad discretas
Distribuciones de
probabilidad continuas
Distribución de
probabilidad binomial
Parámetros
n, p
Cálculo de probabilidades
Fórmula
⎛ n⎞
p( X 5 x ) 5 ⎜ ⎟ p x (1 2 p )n2x
⎝ x⎠
Valor esperado
m 5 np
Desviación estándar
s5
np(1 2 p)
73
PROBABILIDADAYMESTADÍSTICA
P L I A NIID O E L C O N O C I M I E N T O
G l osario
Identifica los siguientes términos en el texto de la unidad y escribe su significado.
Distribución de probabilidad binomial.
Distribución de probabilidad.
Distribución discreta uniforme.
Distribución empírica de probabilidad.
Distribución teórica de probabilidad.
Experimento binomial.
Histograma de probabilidad.
Valor esperado de una variable aleatoria.
Variable aleatoria.
Variable aleatoria continua.
Variable aleatoria discreta.
74
A M P DLISTRIBUCIÓN
I A N D ODE EPROBABILIDAD
L C O NDEO VARIABLES
C I M I EALEATORIAS
N T O DISCRETAS
B I B L I O G R A F Í A
LÓPEZ, Paulo Alfonso. Probabilidad y estadística, Conceptos, modelos y aplicaciones en Excel, Prentice Hall, Colombia, 2000.
MARIAN, Piotr, & Velasco, Gabriel. Problemario de Probabilidad, Math Learning Thomson, México,
2001.
MOORE, S. David. Estadística aplicada básica, Antoni Bosch, Editor, España, 1995.
TRIOLA, Mario F. Estadística, Pearson Addison Wesley, México, 2006.
WILLIAM, Mendenhall, Beaver Robert, & Beaver Barbara. Introducción a la probabilidad y estadística,
Math Learning, México, 2002.
75
Distribución de probabilidad de variables
Contenido
Tema 1
3.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
DE VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS
Tema 2
3.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
NORMAL ESTANDARIZADA
Objetivo
El estudiante resolverá problemas de probabilidad con base
en el concepto de distribución
de probabilidad de variables
aleatorias continuas. Aprenderá
a distinguir cuándo en una situación se presenta una variable
aleatoria continua e identificará
si sigue una distribución previamente estudiada. Identificará
variables que cumplen con un
modelo normal y será capaz de
utilizar su medida y desviación
estándar para, apoyado en tablas,
encontrar valores específicos. Se
fomentará el trabajo colaborativo
y una actitud positiva hacia la
materia y compañeros.
aleatorias continuas
Unidad 3
s
o
t
n
e
i
m
i
c
o
n
o
c
tu s
En contacto con
• Identifica algunas experiencias aleatorias que involucren variables aleatorias continuas.
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
• Supón que se tiene la distribución de probabilidad de tener un accidente
según la edad del conductor. ¿En cuál de los tres intervalos de edad
que se proporcionan crees que exista mayor probabilidad de tener un
accidente?
a ) 18-35 años.
b ) 36-50 años.
c ) 51 años en adelante.
• Identifica los parámetros de los cuales depende la distribución normal y
describe su efecto en su comportamiento.
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
Es extraordinario que una ciencia que empezó con la importancia de un juego se haya
elevado a los más importantes objetos del conocimiento humano.
Pierre Simón de Laplace
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
INTRODUCCIÓN
La distribución normal es una de las más importantes en estadística. También es conocida como distribución Gaussiana o incluso como Campana de Gauss, en honor
al matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien en 1823 publicó su expresión matemática. Sin embargo, es digno mencionar el mérito de Abraham de Moivre
(1667-1754), quien en 1733 publicó un folleto en el que aparece por primera vez la
curva de la distribución de errores, ahora conocida como distribución Gaussiana.
La importancia de la distribución normal radica en que muchos fenómenos de interés para el ser humano tienen un comportamiento como el descrito por la distribución. Ejemplos de
ello son los diversos caracteres morfológicos de personas, animales y plantas, como la estatura, el peso y longitudes de algunas partes del cuerpo; caracteres psicológicos como el coeficiente
intelectual; variables relacionadas con la salud como el nivel de
colesterol, la presión arterial; los puntajes de pruebas estandarizadas para evaluar conocimiento y habilidades de las personas,
entre otros. Además, muchos métodos estadísticos se basan en la
suposición de normalidad para generar estimaciones confiables.
Tradicionalmente, el estudio de la distribución normal en el
bachillerato se centra en el cálculo de probabilidades mediante
tablas de probabilidad. En esta unidad utilizaremos además
de tablas, la hoja de cálculo Excel, ejemplos basados en situaciones reales, y haremos un uso extensivo de las representaciones gráficas para dar
mayor sentido a los cálculos realizados.
El nombre de normal que adopta la distribución muchas veces causa confusión.
En estadística es sólo un nombre y no tiene relación con el significado que damos usualmente a la normalidad.
3.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE
UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
En la unidad anterior estudiamos las variables aleatorias discretas y las distribuciones de probabilidad discretas, en particular
la distribución binomial. Ahora abordaremos las variables aleatorias continuas y la distribución de probabilidad más conocida
para este tipo de variables, como es el caso de la distribución
normal.
Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor
entero o fraccionario entre un intervalo dado. Por ejemplo, la estatura de una persona puede tomar valores como 128 cm, 129.3
cm, 130.23 cm, o hasta donde la precisión del instrumento de
medida lo permita.
En teoría no existe restricción para tomar un valor dado de
un intervalo, a diferencia de las variables discretas, que sólo
78
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
toman valores enteros; por ello, es común que en las variables continuas nos interesemos en probabilidades de intervalos de valores, más que en valores aislados.
Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar
tenga una estatura entre 128.4 cm y 150.2 cm? ¿cuál es la probabilidad de que su
estatura sea menor a 140 cm?
Ejemplos de variables aleatorias continuas son los siguientes:
• La temperatura y el peso de una persona.
• El nivel de azúcar en la sangre de una persona.
• El tiempo que dura una llamada telefónica.
• La velocidad de un automóvil al pasar por un cierto punto de una carretera.
• El tiempo de vida o duración de un dispositivo eléctrico.
• El volumen de una bebida gaseosa al salir de la línea de llenado o producción.
Las variables aleatorias continuas, al tomar cualquier valor numérico entre un intervalo dado, dan lugar a distribuciones de probabilidad continuas; por lo cual la
gráfica de este tipo de distribuciones es una curva suave, siempre que se tomen gran
cantidad de observaciones.
79
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
La gráfica 3.1 muestra una distribución de probabilidad con diversos valores de
la variable aleatoria, que oscilan aproximadamente entre 15 y 28. Sin embargo, si el
proceso de medición de la variable contempla una mayor cantidad de datos, el histograma tenderá hacia una curva suavizada como la que se muestra en la gráfica 3.2.
En las distribuciones anteriores nos podría interesar determinar la probabilidad
de que X tome valores entre 21 y 23 inclusive, lo cual se puede saber calculando el
área sombreada.
X
14
16
18
20
22
24
26
28
Gráfica 3.1 Histograma de probabilidad.
Probabilidad
X
14
16
18
20
22
24
26
28
30
Gráfica 3.2 Histograma de probabilidad y curva suavizada.
De esta manera, una distribución de probabilidad para una variable continua está
determinada por una curva que permite conocer la probabilidad de un rango o intervalo de valores para una variable aleatoria X.
80
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
La curva suave que describe el comportamiento de una variable aleatoria continua
recibe el nombre de curva de densidad, o en términos más formales función de
densidad de probabilidad.
Dos observaciones importantes respecto a las curvas anteriores:
a) Cada intervalo que se defina tiene una probabilidad de ocurrencia entre 0 y 1,
y esta última está determinada como el área correspondiente bajo la curva.
b) El área total bajo el histograma o la curva suavizada es igual a 1.
A continuación se describen tres posibles opciones en el cálculo de probabilidades
como áreas bajo una curva de densidad. Considérese a X una variable aleatoria continua:
P(X)
P(X)
a
b
X
b
P(a # X # b)
P(X # b)
Gráfica 3.3
P(X)
a
X
P(X $ a)
Gráfica 3.4
81
X
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Recuerda:
La distribución de una variable aleatoria continua es descrita por una curva suave denominada
curva de densidad.
Las probabilidades son representadas por áreas bajo la curva de densidad.
El área bajo la curva es igual a 1.
3.1.1. Distribución de probabilidad normal
En el grupo de distribuciones de probabilidad para variables continuas sobresale por
su importancia la distribución normal, también conocida como distribución Gaussiana o incluso como campana de Gauss, quien en 1823 publicó su expresión matemática, la cual se muestra a continuación:
( x2m) 2
2
1
2
f ( x) 5
e 2s
s 2p
2` , x , `
La distribución normal depende de los parámetros m y s, que representan la media
y la desviación estándar, respectivamente. La expresión matemática de la distribución
normal es complicada para calcular probabilidades, sin embargo, en este curso utilizaremos recursos adicionales como las tablas de probabilidad y la hoja de cálculo Excel
para el cálculo de probabilidades.
Cuando una variable aleatoria X tiene distribución normal, se acostumbra simbolizarlo así: X , Normal(m, s) o simplemente X , N(m, s). Por ejemplo, una variable
aleatoria X que tiene distribución normal con media m 5 100 y s 5 5, se puede representar como X , N(100, 5). La gráfica correspondiente se muestra a continuación:
X
85
90
95
100
m
105
110
115
120
X , N(100, 5)
Gráfica 3.5
Importancia de la distribución normal
La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que muchos fenómenos físicos, biológicos y psicológicos se pueden modelar de manera adecuada
82
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
a través de ella. Además, en el desarrollo de los métodos de inferencia estadística, la
distribución normal ocupa un lugar fundamental, ya que las distribuciones muestrales de diversos estadísticos de interés (por ejemplo, la media y la proporción), que son
la base para la estimación y verificación de hipótesis, tienden a ser aproximadamente
normales para tamaños de muestras moderados, aun cuando la población de la que
provienen las muestras no sean normales.
Para ejemplificar lo anterior consideremos los datos analizados por Quetelet (17961874), científico belga con fuertes inclinaciones hacia la estadística que, interesado
en la teoría del hombre medio, fue el primero en aplicar la distribución normal a datos
humanos. Analizando datos sobre las medidas del tórax de más de 5 000 soldados
escoceses, observó que había mucha variabilidad en sus longitudes y concluyó que las
medidas tenían una distribución muy aproximada a la normal con media del tórax de
39.8 pulgadas y desviación estándar de 2.05 pulgadas. Un histograma con la distribución de las medidas se muestra a continuación:
P(X) 0.20
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
X
32
34
36
38
40
42
44
46
48
Gráfica 3.6 Distribución de la longitud del tórax de los soldados escoceses (en pulgadas).
Obsérvese el buen ajuste entre el histograma con los datos de los soldados y la distribución normal con m 5 39.8 y s 5 2.05. La distribución nos permite ver que la
mayoría tenían una longitud de tórax entre 36 y 44 pulgadas. Pocos soldados tenían
una longitud de tórax fuera de este rango.
Otro importante ejemplo de aplicación de la distribución normal son los puntajes
obtenidos en pruebas estandarizadas para evaluar ciertos conocimientos y habilidades. En México, las pruebas de este tipo más conocidas son las que aplica el Centro
Nacional para la Evaluación de la Educación Superior (CENEVAL).
Para el EXANI-I que se aplicó a los aspirantes a ingresar al nivel preparatoria en
el año 2007, los puntajes de la prueba tienen una distribución normal con media
m 5 933 y una desviación estándar s 5 97. Una representación gráfica de la distribución se muestra a continuación:
83
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Distribución nacional por puntaje en índice CENEVAL del EXANI-1 en 2007
Distribución nacional de puntaje en Indice CENEVAL del EXANI-1 en 2007
Quintil 3
Quintil 2
Quintil 4
983
983
Media
Quintil 5
Índice CENEVAL
Distribución nacional
Quintiles del global
Índice CENEVAL
1300
1281
1263
1244
1225
1206
1188
1169
1150
1131
1113
1084
1076
1056
1030
1015
981
963
1000
944
925
1070
906
869
860
831
813
794
775
750
730
715
700
1300
1281
1263
1225
1244
1206
1188
1169
1150
1131
1113
1084
1076
1056
1030
981
1015
963
1000
944
925
1000
802
1070
906
888
869
860
831
813
794
775
750
730
715
802
700
948
Quintil 1
1000
888
948
Media global
Puntajes obtenidos por 669 009 estudiantes aspirantes a preparatoria en México en 2007.
Fuente: http://www.ceneval.edu.mx/portalceneval/docs/500/CaractEXANI-I_07.pdf
Una breve mirada a la distribución nos revela algunos resultados importantes:
1. Los puntajes variaron de los 700 a los 1 300 puntos
2. Son pocos los estudiantes que obtienen puntajes muy altos, pero también son
pocos los que logran puntajes muy bajos.
3. La mayoría obtuvo puntajes en el intervalo de 813 a 1 188.
Sin duda, el conocimiento de dichos puntajes y la forma en que se distribuyen es una
herramienta para la toma de decisiones educativas.
Propiedades de la distribución de probabilidad normal
P(X)
Los parámetros m y s determinan el
comportamiento de la distribución
normal, es decir, cuando varían los
parámetros también lo hace la distribución. Veamos a continuación
cómo influye la variación de los
parámetros en el comportamiento
de la distribución normal.
0.14
s=3
0.12
0.10
0.08
s=5
0.06
a) Se mantiene fija la media y varía la desviación estándar.
0.04
0.02
s=8
X
80
85
90
95
100
105
110
115
84
120
Gráfica 3.7
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
En la figura anterior se observa que al incrementarse la desviación estándar, la
distribución normal se expande cada vez más y viceversa.
b) Se mantiene fija la desviación estándar y varía la media.
P(X)
0.10
m = 105
0.08
m = 100
m = 110
0.06
0.04
0.02
X
85
90
95
100
105
110
115
120
125
Gráfica 3.8
En la figura anterior se ve que al variar la media, las distribuciones sufren un
efecto de traslación.
P(X)
m = 10 s = 1
0.40
0.35
m = 8 σ = 1.5
0.30
0.25
0.20
0.15
m = 12 s = 0.5
0.10
0.05
X
4
6
8
10
12
14
16
18
Gráfica 3.9
Como puede verse, la expresión matemática de la distribución normal genera
una familia de curvas. Para un valor particular de los parámetros m y s se obtiene una
curva.
1. La distribución normal es simétrica, por lo cual la mitad de las observaciones
o datos están por debajo de la media y la otra mitad se encuentran por encima
de la media.
85
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
50%
50%
Media = Mediana = Moda
Gráfica 3.10
2. La media, la mediana y la moda de los datos de la distribución coinciden.
3. La distribución se extiende en forma asintótica sobre el eje horizontal.
4. Para cualquier distribución se pueden conocer las proporciones de datos o
probabilidades, en función del número de desviaciones estándar, que se encuentran representadas en el eje horizontal. En general se cumple lo siguiente:
m 6 s 5 68%
m 6 2s 5 95%
m 6 3s 5 99.7%
Esto significa que entre una desviación estándar alrededor de la media se encuentra
68% de los datos, a dos desviaciones estándar se encuentra 95% de los datos, y entre
tres desviaciones estándar está 99.7% de los datos.
68%
-3
-2
-1
m2s
0
1
2
95%
-3
3
-2
m 2 2s
m1s
86
-1
0
1
2
m 1 2s
3
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
99.7%
-3
-2
-1
0
1
m 2 3s
2
3
m 1 3s
Gráfica 3.11
Para ilustrar lo anterior consideremos el ejemplo de los soldados escoceses en el
cual m 5 39.8 y s 5 2.05.
1. El 68% de los soldados tenía una longitud de tórax entre 39.8 6 2.05 pulgadas,
es decir, entre 37.75 y 41.85 pulgadas.
2. El 95% de los soldados tenía una longitud de tórax entre 39.8 6 2(2.05) pulgadas, esto es, entre 35.7 y 43.9 pulgadas.
3.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
ESTANDARIZADA
La expresión matemática de la distribución normal está en función de los parámetros
m y s, por lo cual para cada valor de ambos parámetros se tiene una distribución diferente. En el caso particular de que m 5 0 y s 5 1, la distribución recibe el nombre
de distribución normal estándar o distribución normal estandarizada. Ésta es
muy importante en el cálculo de probabilidades, es la que viene resuelta en las tablas
de probabilidad.
Cualquier distribución deberá ser transformada a la forma estandarizada para poder utilizar las tablas de probabilidad, lo cual se
conoce como proceso de estandarización. Para diferenciar la distribución de datos reales de la distribución estandarizada, la primera se representa con la variable aleatoria X, mientras que la segunda
se representa con la letra z.
La expresión que permite convertir una distribución normal
cualquiera a la distribución normal estándar es la siguiente:
x2m
z5
s
Donde:
m: es la media de la población
s: es la desviación estándar de la población
x: representa un valor particular de la variable aleatoria X
87
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
El valor de z obtenido para un valor particular de x, representa un valor que está
tan lejos de cero como x está respecto a M; medido además en desviaciones estandar.
Con base en lo anterior, recuerda que una de las propiedades de la distribución
normal consiste en que 99.7% de los datos u observaciones cae entre tres desviaciones estándar alrededor de la media, por lo cual la extensión de seis desviaciones
estándar (tres a cada lado de la media) cubren casi la totalidad de los datos u observaciones. Obsérvese la gráfica 3.12 donde prácticamente desde 23 hasta 3 se cubre
la totalidad de la distribución.
-3
-2
-1
0
1
2
3
6s
Gráfica 3.12
Ejemplo
Las estaturas de jóvenes mexicanos tienen una distribución aproximadamente
normal con m 5 170 cm y s 5 4 cm, convertirla a su forma estándar. Considérese una estatura x 5 176 cm.
z5
x 2 m 176 2170
5
51.5
s
4
El resultado anterior significa que z 5 1.5 en la distribución normal estándar (Z)
equivale a x 5 176 en la distribución real (X), además que x 5 176 se encuentra
a 1.5 desviaciones estándar de la media. Como sabemos, después de tres desviaciones de la media existe poca área bajo la curva; esto significa que muy pocos
jóvenes tendrán una estatura mayor a 182 cm. Lo anterior se puede observar en
las siguientes gráficas donde se muestran ambas distribuciones.
El proceso de estandarización se requiere para calcular probabilidades mediante
tablas de probabilidad. Cuando se utiliza un programa estadístico, no es necesario la tabla ya que tiene adicionada la fórmula de la distribución normal, sólo se
requiere introducir los valores de los parámetros.
88
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
P(X)
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
160
155
165
m 5 170
170
175
180
185
X
x 5 176
s54
Gráfica 3.13
P(X)
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
-3
-2
m50
-1
0
s51
1
2
3
Z
z 5 1.5
Gráfica 3.14
Cálculo de probabilidades con la distribución normal
El cálculo de probabilidades en una distribución normal puede realizarse mediante:
1. La expresión matemática (fórmula)
2. Tablas de probabilidad estandarizadas
3. Un programa de cómputo estadístico
Dada la complejidad de la expresión matemática, ésta se utiliza poco para el cálculo
de probabilidades, en su lugar se utilizan con mayor frecuencia las tablas y los programas de cómputo.
89
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Uso de tablas para cálculo de probabilidades
En las tablas de probabilidad se ha resuelto, para una gran cantidad de casos, la distribución normal estandarizada, la cual, como ya señalamos, tiene m 5 0 y s 5 1. Para
utilizar las tablas es necesario transformar la distribución de interés a la distribución
normal estándar. Veamos un ejemplo.
Ejemplo
Uno de los métodos más conocidos para medir el coeficiente de inteligencia (CI)
de las personas es la prueba Stanford-Binet. En ésta los puntajes obtenidos tienen
una distribución normal con media m 5 100 y desviación estándar s 5 16. Si se
selecciona al azar una persona que va a aplicar la prueba:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que tenga un CI menor a 100?
b) ¿Cuál será la probabilidad de que obtenga un CI mayor a 110?
En ambos casos se requiere calcular el área bajo la curva delimitada por los valores
especificados, la cual representa la probabilidad solicitada. Para calcular el área se
requiere estandarizar la distribución N(100,16) a la distribución estándar N(0,1).
P(X , 100)
X
60
100
P(X . 110)
X
40
80
120
140
160
Gráfica 3.15
Solución a:
z5
x 2 m 100 2100
5
50
16
s
Con el valor de z 5 0 entramos a la tabla 2 (distribución normal estandarizada)
que viene al final del libro, y la probabilidad que le corresponde es P(X , 100) 5
P(Z , 0) 5 0.5.
90
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
P(Z , 0)
0.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Z
Gráfica 3.16
Solución b):
z5
x 2 m 110 2 100
5
5 0.62
s
16
Con el valor de z obtenido, buscamos en la tabla 2 de la sección Anexos y obtenemos
P(X , 110) 5 P(Z , 0.62) 5 0.732.
91
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
P(Z , 0.62)
0.732
Z
-3
-2
-1
0
1
2
3
Gráfica 3.17
La tabla de probabilidad normal proporciona valores acumulados de izquierda a
derecha. Sin embargo, como en este inciso se requiere calcular una probabilidad
de cola derecha P(Z . 0.62), será necesario calcular el área complementaria. Sabemos que el área total es igual a 1, entonces P(Z . 0.62) 5 1 2 0.732 2 0.268.
P(Z . 0.62)
0.268
Z
-3
-2
-1
0
1
2
3
Gráfica 3.18
En resumen, cuando en la distribución se solicita probabilidad de cola izquierda,
las tablas de probabilidad proporcionan el valor directamente; sin embargo, cuando se requiere una probabilidad de cola derecha, primero se calcula el área de la
cola izquierda y luego se resta de 1 el área encontrada.
92
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Cola izquierda
P(Z , a) 5 p
-3
-2
Cola derecha
P(Z . a) 5 1 2 p
-1
0
a
1
2
3
Gráfica 3.19
Uso de Excel para cálculo de probabilidades
Otra forma de calcular probabilidades es a través de un programa de cómputo estadístico o una hoja de cálculo como Excel. En este caso explicaremos el uso de Excel.
1. En la hoja de cálculo Excel selecciona un celda cualquiera, posteriormente del
menú selecciona fórmulas y elige la siguiente trayectoria: fórmulas>más funciones> estadísticas>distr.norm
2. La fórmula DISTR.NORM permite calcular probabilidades de una distribución
normal. Para nuestro caso se requiere introducir los valores siguientes: x 5 100,
93
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Media 5 100, Desv_estándar 5 16, Acum 5 verdadero, como se muestra en la
siguiente ventana:
Una vez introducidos los valores presiona Aceptar y el programa coloca el resultado
obtenido en la celda seleccionada. En este caso es 0.5, es decir, P(X , 100) 5 0.5.
Recuerda que en el inciso b) del problema anterior se pide una probabilidad de
cola derecha. Para ello se procede de la misma manera que ya se hizo, considerando
que al final se debe realizar en otra celda la resta respecto a 1, al igual que lo hicimos
con las tablas de probabilidad.
En este caso se introducen los valores x 5 110, Media 5 100, Desv_estándar 5 16,
Acum 5 verdadero, como se muestra en la siguiente ventana:
94
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Una vez obtenido el resultado, en otra celda se introduce la fórmula que involucra
la resta, con el resultado definitivo.
P(X . 110) 5 1 2 0.734 5 0.266
Ejemplo
La siguiente gráfica muestra la distribución de los puntajes obtenidos por 331
estudiantes que presentaron el examen EXANI I del CENEVAL para ingresar a la
Facultad de Informática de la Universidad Autónoma de Sinaloa en el año 2007.
Los puntajes van desde 800 hasta 1 200 y tienen m 5 972 y s 5 76.
Frecuencias
40
35
30
25
20
15
10
5
800
900
1000
1100
Puntaje 2007
1200
Gráfica 3.20
a) Determina si los datos anteriores tienen una distribución normal.
95
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Una de las propiedades de la distribución normal señala que las proporciones de
datos entre 1, 2 y 3 desviaciones estándar respectivamente, es la siguiente:
m 6 s 5 68%
m 6 2s 5 95%
m 6 3s 5 99.7%
Por tanto, si los puntajes del examen tienen una distribución normal deben cumplir con lo anterior. Para el primer intervalo tenemos:
m 6 s 5 972 6 76 lo que define el intervalo: (896, 1 048)
Es decir, 68% de los estudiantes debió lograr un puntaje en el examen entre 896 y
1 048. Una revisión de los datos señala que 226 de los 331 estudiantes obtuvieron
puntajes en este rango, lo que representa 68.2%.
Para el segundo y tercer intervalo se tiene lo siguiente:
m 6 2s 5 972 6 2(76) lo que define el intervalo: (820, 1 124)
310 de 331 estudiantes, es decir, 93.7% de ellos obtuvieron un puntaje en este
rango.
m 6 s 5 972 6 3(76) lo que define el intervalo: (774, 1 200)
329 de 331 estudiantes, es decir, 99.4% de ellos obtuvieron un puntaje en este
rango.
De acuerdo con lo anterior, podemos decir que los datos tienen una distribución
muy aproximada a la normal. Un ajuste entre los datos (distribución empírica) y
la distribución teórica se muestra a continuación:
P(X)
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
X
800
900
1000
Puntaje 2007
Gráfica 3.21
96
1100
1200
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Seguramente conforme más estudiantes presentan el examen, el histograma va adquiriendo una forma más suavizada hasta coincidir con la distribución teórica.
b) Si el EXANI I se aplica a nivel nacional, ¿qué proporción de estudiantes se
espera que tengan un puntaje entre 900 y 1 100 puntos?
Aun cuando no tenemos datos de los puntajes obtenidos por estudiantes de otras
facultades, podemos asumir que se distribuyen en forma aproximadamente normal con media m 5 972 y desviación estándar s 5 76. Al estandarizar la distribución se tiene lo siguiente:
z5
x 2 m 900 2 972
5
520.95
s
76
z5
P(X)
x 2 m 1100 2 972
5
51.68
s
76
P(X)
0.006
0.40
0.005
0.35
0.30
0.004
0.25
0.20
0.003
0.15
0.002
0.10
0.001
0.05
0.000
800
900
1000
1100
1200
0.00
X
-3
-2
-1
0
1
Distribución de datos reales
Distribución estandarizada
Gráfica 3.22
Gráfica 3.23
Utilicemos las tablas de probabilidad.
Primero calculamos el área acumulada para z 5 1.68, lo que equivale a calcular
P(Z , 1.68) 5 0.953.
Ahora calculamos el área acumulada para z 5 20.95, lo que equivale a calcular
P(Z , 20.95) 5 0.171.
Ahora restamos las áreas y obtenemos el área solicitada, lo que equivale a calcular:
P(20.95 , Z , 1.68) 5 0.953 2 0.171 5 0.782.
Es decir, se espera que a nivel nacional 78% de los estudiantes obtengan un puntaje entre 900 y 1 100 en el EXANI I para ingresar a facultades de informática.
97
2
3
Z
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Aprende a ser con la probabilidad y la estadística
Se realizó un estudio comparativo con futbolistas universitarios mexicanos y profesionales sudamericanos sobre ciertas características antropométricas como edad, estatura, peso, porcentaje de grasa entre otras
[Revista Internacional de Medicina y Ciencias de la Actividad Física y
el Deporte. vol. 6 (21) http://cdeporte.rediris.es/revista/revista21/artfutbol21.htm.]. Para la estatura se estimaron los parámetros:
Estatura futbolistas universitarios:
m 5 172.03 cm
s 5 5.51 cm
Estatura futbolistas sudamericanos: m 5 177.70 cm
s 5 5.74 cm
a) ¿Qué proporción de futbolistas sudamericanos tiene una estatura
mayor a 180 cm?
b) ¿Cuál es la proporción de futbolistas universitarios cuya estatura es
mayor a 180 cm?
c) Supongamos que un equipo profesional de futbol niega toda posibilidad de que un jugador con una estatura menor a 165 cm ingrese a sus filas. ¿Qué proporción de universitarios y sudamericanos
estarían en esa condición?
Una gráfica de ambas distribuciones se muestra a continuación:
P(X)
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
X
0.00
155
160
165
170
175
Gráfica 3.24
98
180
185
190
195
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
LA ESTADÍSTICA Y TU COMUNIDAD
Hemos mencionado con anterioridad que la distribución normal tiene aplicaciones muy importantes en el diseño de exámenes estandarizados, como es el caso de los exámenes que aplica
el Centro Nacional de la Evaluación para la Educación Superior A. C. (CENEVAL).
Por ejemplo, el EXANI I, que es el Examen Nacional de Ingreso a la Educación Media Superior
en México, fue aplicado a 669 009 estudiantes en 2007. Los puntajes se distribuyeron en forma aproximadamente normal con una media de 982 puntos y una desviación estándar de 97
puntos en lo global. Hubo diferencias en cuanto a las áreas de evaluación, al género y por el
tipo de bachillerato, como se muestra en la siguiente tabla:
Los resultados mostrados corresponden a la población total que respondió el Examen Nacional
de Ingreso a la Educación Media Superior, EXANI I en el año 2007. Las estadísticas únicamente
reflejan el desempeño de aquellos sustentantes que respondieron el instrumento mencionado
elaborado por el Ceneval.
http://www.ceneval.edu.mx/portalceneval/index.php?q=docs.desp&ndf=450
99
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
RESUMEN
Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor entre un intervalo dado.
Tal es el caso de la estatura y el peso de las personas o animales, la velocidad de un
vehículo, el tiempo de vida de un dispositivo. En teoría no existe restricción para tomar
un valor dado de un intervalo, a diferencia de las variables discretas, que sólo toman
valores enteros. Por esto, es común que en las variables continuas nos interesemos en
probabilidades de intervalos de valores, más que en valores aislados.
De esta manera, una distribución de probabilidad para una variable continua está
determinada por una curva que permite conocer la probabilidad de un rango o intervalo de valores para una variable aleatoria X. La curva suave que describe el comportamiento de una variable aleatoria continua recibe el nombre de curva de densidad,
y también función de densidad de probabilidad.
En una función de densidad de probabilidad cada intervalo que se defina tiene
una probabilidad de ocurrencia entre 0 y 1, y esta última está determinada como el
área correspondiente bajo la curva. El área bajo toda la curva es igual a 1.
La distribución de probabilidad para variables continuas más conocida es la distribución normal, también denominada distribución Gaussiana o campana de
Gauss, en honor al matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien en 1823
publicó su expresión matemática, la cual depende de dos parámetros m y s, que
representan la media y la desviación estándar, respectivamente. Para cada valor de
dichos parámetros se obtiene una distribución diferente. En que, para el caso particular en que m 5 0 y s 5 1, se denomina distribución normal estándar. Ésta es
muy importante para el cálculo de probabilidades, es la que viene resuelta en las
tablas de probabilidad; además, permite comparar en valores estandarizados dos
distribuciones normales cualquiera.
La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que muchos fenómenos físicos, biológicos y psicológicos se pueden modelar de manera adecuada a
través de ella. Por ejemplo, se ha encontrado que caracteres morfológicos de personas
y animales como estatura, peso y medidas de partes del cuerpo, caracteres psicológicos como el coeficiente de inteligencia y puntajes de exámenes estandarizados, tienen
distribuciones muy aproximadas a la normal.
Los parámetros m y s determinan el comportamiento de la distribución normal.
En general, al incrementarse la desviación estándar, la distribución normal se expande cada vez más y viceversa; por su parte, al variar la media, las distribuciones sufren
un efecto de traslación.
Entre las propiedades de la distribución normal se tiene que es simétrica respecto
a la media; la media, la mediana y la moda coinciden; la distribución se extiende en
forma asintótica sobre el eje horizontal. Entre una desviación estándar alrededor de la
media se encuentran 68% de los datos, a dos desviaciones estándar se encuentran 95%
de los datos, y entre tres desviaciones estándar se encuentran 99.7% de los datos.
El cálculo de probabilidades en una distribución normal se realiza mediante tablas
de probabilidad de la normal estandarizada y con programas de cómputo estadístico,
como Excel. Para utilizar las tablas de probabilidad primero se estandariza la distri100
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
bución de datos reales y después se buscan los valores en la tabla. Los valores que
aparecen en las tablas son acumulados de izquierda a derecha por lo cual, cuando
se requiere calcular un área intermedia o una cola derecha debe hacerse una resta
de áreas.
Por su parte, en Excel se selecciona una celda cualquiera y se inserta la fórmula
DISTR.NORM que requiere introducir los parámetros de la distribución y el valor
que determina el límite del área de probabilidad.
101
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
E VALUACIÓN
S U M A T I V A
1. Dada la distribución normal estandarizada determinar las probabilidades correspondientes a los valores de Z
indicados con ayuda de las tablas de probabilidad:
a ) P(Z , 1)
b ) P(21.5 , Z , 1)
c ) P(Z . 2)
d ) P(Z . 22)
2. El peso (X) de los individuos de una población se distribuye de manera normal con media m 5 85 kg y s 5 10
kg. Convertir la distribución a su forma estandarizada y calcular las siguientes probabilidades mediante tablas
de probabilidad y con la fórmula DISTR.NORM de Excel.
a ) P(X . 100)
b ) P(85 , X , 110)
c ) P(X , 60)
3. Los puntajes del examen nacional de ingreso a preparatoria (EXANI I) de CENEVAL en el apartado de matemáticas
en 2007 tuvieron una distribución aproximadamente normal con m 5 990 y s 5 138. Determina:
a ) El rango de calificaciones obtenidas considerando seis desviaciones estándar, tres por debajo de la media y
tres por encima de la media, con lo cual se cubre a 99.7% de los estudiantes.
b ) La proporción de estudiantes que obtuvieron un puntaje mayor o igual a 1 200.
c ) La proporción de estudiantes cuyo puntaje fue menor a 800.
d ) Si una universidad decide seleccionar sólo a quienes tuvieron un puntaje igual o mayor a 1 266, ¿qué
porcentaje de estudiantes aceptaría?
4. Considérese a X como una variable aleatoria con distribución normal con m 5 200 y s 5 20. Utilizando sólo
las propiedades de la distribución normal determina los límites de X entre los cuales se encuentra comprendido
el 68%, el 95% y el 99.7% de los datos respectivamente.
5. Dada la gráfica de la siguiente distribución normal determina en forma aproximada el valor de la media y la
desviación estándar con sólo visualizar su centro y su variabilidad.
P(X)
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
80
90
100
110 120 130
Gráfica 3.25
103
140 150
160
X
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
6. Dadas las siguientes distribuciones y los siguientes valores de parámetros, coloca sobre ellas los parámetros
que les corresponden.
m 5 13
m 5 13
m 5 10
s 5 1.5
s52
s51
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
000
8
10
12
14
16
18
Gráfica 3.26
7. Un estudio realizado con futbolistas universitarios mexicanos y profesionales sudamericanos sobre ciertas
características antropométricas como edad, estatura, peso, porcentaje de grasa entre otras (Revista Internacional
de Medicina y Ciencias de la Actividad Física y el Deporte. Vol. 6 (21) http://cdeporte.rediris.es/revista/revista21/
artfutbol21.htm) arrojó para una muestra de 21 deportistas mexicanos los siguientes valores:
Circunferencia de muslo: m 5 55.06 cm
s 5 3.20 cm
Peso:
s 5 5.82 kg
m 5 67.84 kg
Si los valores de dichas variables se distribuyen de forma aproximadamente normal, utilizando tablas de
probabilidad y Excel, determinar:
a ) La proporción de futbolistas universitarios que tienen una circunferencia de muslo superior a los 65 cm.
b ) La proporción de futbolistas universitarios cuyo peso es menor a los 62 kg.
c ) Si un equipo profesional de futbol requiere que sus futbolistas tengan un peso entre 65 y 70 kg, ¿qué
porcentaje de futbolistas universitarios podrían ser aceptados?
104
A M PDLISTRIBUCIÓN
I A N D ODE PROBABILIDAD
E L C O NDEOVARIABLES
C I M I EALEATORIAS
N T O CONTINUAS
G losario
Identifica los siguientes términos en el texto de la unidad y escribe su significado.
Distribución de probabilidad normal.
Distribución normal estándar.
Función de densidad de probabilidad.
Histograma de probabilidad.
Parámetros de la distribución normal.
Variable aleatoria continua.
B I B L I O G R A F Í A
LÓPEZ, Paulo Alfonso. Probabilidad y estadística, Conceptos, modelos y aplicaciones en Excel, Prentice Hall, Colombia, 2000.
MARIAN, Piotr, & Velasco, Gabriel. Problemario de Probabilidad, Math Learning Thomson, México,
2001.
MOORE, S. David. Estadística aplicada básica, Antoni Bosch Editor, España, 1995.
TRIOLA, Mario F. Estadística, Pearson Addison Wesley, México, 2006.
WILLIAM, Mendenhall, Robert Beaver, & Barbara Beaver. Introducción a la probabilidad y estadística,
Math Learning, México, 2002.
105
Análisis de datos de dos variables
Contenido
Tema 1
4.1 REPRESENTACIÓN DE DATOS DE
DOS VARIABLES
Tema 2
4.2 CORRELACIÓN LINEAL
Tema 3
4.3 REGRESIÓN LINEAL
Objetivo
El estudiante resolverá problemas que involucren el comportamiento de datos de dos variables
en diversas situaciones entre las
que se distinguirán aquellas que
sean significativas en el ámbito
escolar y personal. Para esto,
aprenderá a representar los datos
en tablas y diagramas de dispersión, así como calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal y la recta de mínimos
cuadrados. Utilizará esos conceptos para hacer predicciones y
análisis de regresión. Se fomentará el trabajo colaborativo y una
actitud positiva hacia la materia
y a sus compañeros.
Unidad 4
s
o
t
n
e
i
m
i
c
o
n
o
c
tu s
En contacto con
El fumador y el cáncer de pulmón
¿Cuándo fue el primer vínculo mostrado entre el fumador
y el cáncer de pulmón?
En 1950 en Londres, Inglaterra, los médicos estadísticos Austin Bradford Hill y Richard Doll (en Agresti y
Franklin, 2007) condujeron uno de los primeros estudios. En 20 hospitales, coincidieron en seleccionar
709 pacientes diagnosticados con cáncer de pulmón con 709 pacientes que no lo tenían dentro del
mismo hospital y en condiciones muy similares: del mismo género y en el mismo intervalo de edad.
Todos los pacientes fueron interrogados acerca de su conducta de fumador. Un fumador se definió
como una persona que había fumado al menos un cigarro al día por alrededor de un año. La tabla
muestra los resultados que se obtuvieron en las investigaciones de las conductas del fumador de los
pacientes. Los 709 en la primera columna de la tabla 4.1 fueron pacientes con cáncer pulmonar. Los
709 de control en la segunda columna fueron los pacientes sin cáncer pulmonar.
Tabla 4.1 Número de fumadores con cáncer.
Fumadores
Pacientes con cáncer
de pulmón
Pacientes control sin cáncer
de pulmón
Total
Sí
688
650
1 338
No
21
59
80
Total
709
709
1 418
1. ¿Cuáles variables y de qué tipo intervienen en el estudio?
2. ¿Cuál es la variable respuesta y cuál la variable explicativa?
3. Representa los datos de la tabla anterior con una gráfica
conveniente según el tipo de variables.
4. Calcula las proporciones de fumadores para los pacientes que
tienen cáncer de pulmón con las proporciones de los pacientes
control.
5. En este estudio, ¿cuál fue la probabilidad de tener cáncer de
pulmón dado que el paciente no era fumador?
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
INTRODUCCIÓN
En esta unidad nos concentraremos en la organización y la presentación de los datos
de dos variables. Además de establecer la relación que existe entre éstas.
El propósito es que conozcas los principios básicos para organizar un conjunto
de datos de dos variables, ya sea mediante una tabla y/o algunas representaciones
gráficas.
Una vez hecha la representación, deberá analizarse el comportamiento de los datos y qué tan fuerte es la relación (si existe) entre las variables, por lo que se estudiarán dos aspectos fundamentales:
a) qué tanta correlación hay entre las variables y
b) determinar el modelo algebraico que mejor ajusta los datos para hacer inferencias sobre otros elementos.
4.1 REPRESENTACIÓN DE DATOS DE DOS VARIABLES
Hasta el momento, en la mayoría de los análisis que hemos hecho, nos enfocamos
en los datos de una variable; sin embargo, ahora nos orientaremos al estudio de problemas con dos variables (se puede inclusive estudiar la relación entre más de dos
variables). El propósito principal del análisis con dos variables es investigar si existe
una asociación y describir su naturaleza.
Una asociación entre dos variables existe si un valor particular para una variable es
más probable que ocurra para ciertos valores de la otra. Se presentarán métodos para
estudiar si existe o no asociación entre variables, y qué tan fuerte es.
Para determinar esa asociación primero debemos distinguir entre la variable respuesta y la variable explicativa. La que queremos predecir o explicar es la llamada
variable respuesta y la denotaremos con Y. Las otras variables llamadas explicativas,
son de interés sólo en tanto que puedan ayudarnos a entender, explicar o predecir el comportamiento de la variable respuesta Y.
Así, examinaremos cómo los resultados de la variable respuesta
son explicados por los valores de la variable explicativa. Por lo general se usa el eje y para representar la variable respuesta y el eje x
para la variable explicativa.
Ejemplos
1. En un estudio de contaminación del aire, el nivel de dióxido
de carbono en la atmósfera del país puede ser una variable
respuesta, y la variable explicativa podría ser la cantidad de
gasolina por automóvil, la producción total de desechos domésticos o la cantidad de uso de energía. Así, se podría esperar que a mayor gasto de gasolina, los índices de dióxido en la
atmósfera aumenten.
108
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
2. En un estudio de salud, la variable respuesta es si una persona está viva después
de 50 años, y la variable explicativa es si
ha fumado o no. En estudios como éste se
puede determinar si la muerte de personas de mediana edad ha sido provocada
por el consumo de nicotina.
3. En un estudio de natación, la variable
respuesta es el tiempo que una persona
tarda en nadar 100 metros y la variable
explicativa, el número de horas de entrenamiento por semana. Conforme más
se entrene, el tiempo de recorrido debería disminuir, con la salvedad de que lo
hará en forma asintótica, ya que no podría suponerse que el tiempo de recorrido tenderá a cero.
Según el tipo de variables, existen tres posibles combinaciones para la relación
entre dos de ellas: cuantitativa versus cuantitativa, cualitativa versus cuantitativa
y cualitativa versus cualitativa.
Variable cualitativa versus variable cualitativa
Los miedos y las fobias del mexicano
El miedo siempre ha sido uno de los principales sentimientos del hombre, lo ha acompañado a lo largo de
los siglos y ha encontrado en la modernidad nuevos
motivos. La cantidad de información que poseemos
en la actualidad ha dado respuestas claras a muchas
interrogantes que en el pasado no tenían explicación
y que infundían temor en nuestros antepasados. Sin
embargo, el miedo a riesgos reales o a meras quimeras permanece con nosotros como uno de los instintos
más elementales, gobernando y orientando muchas de
nuestras decisiones de una forma tan inseparable como
la expresada en la comicidad de Woody Allen: “El miedo es mi compañero más fiel, jamás me ha engañado
para irse con otro”.
Para intentar acercarse al sentir popular en torno a
los principales motivos de temor que los mexicanos
tienen, la empresa Consulta Mitofsky decidió encuestar a 1 000 ciudadanos adultos (500 mujeres y 500
hombres) de toda la república para que manifestaran
el temor con el que viven día a día y las fobias o temores irracionales que reconocen.
109
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
La tabla 4.2 resume la información de esta investigación en la que cada persona
sólo podía seleccionar una fobia de manera espontánea:
Tabla 4.2 Número de personas por tipo de fobia y por sexo.
Fobia
Hombres
Mujeres
Total
La inseguridad
58
103
161
La muerte
50
30
80
Una mala situación económica
21
17
38
Los secuestros
20
16
36
Las enfermedades
19
16
35
Los gobernantes corruptos
21
11
32
El desempleo
22
9
31
La oscuridad
10
18
28
El fracaso
14
8
22
Nada
40
30
70
Otro
80
109
189
No respondió
145
133
278
Total
500
500
1000
Los mexicanos también manifiestan fobias a los insectos, lo sobrenatural, las alturas, entre otras.
La tabla 4.2 es un ejemplo de tabla de contingencia, que nos permite resumir la
información por fobia y género, ambas variables cualitativas. Así, si nos interesara
explicar el tipo de fobia de una persona según el género, la variable respuesta es el
tipo de fobia mientras que la variable explicativa es el género.
Una tabla de contingencia es una representación tabular de dos variables categóricas. Las categorías de la fila corresponden a una variable y las categorías de la
columna a otra variable. Cada entrada en la tabla es la frecuencia (absoluta o relativa)
de casos en la muestra para ciertos resultados de las dos variables.
Se pueden resumir los datos de dos o más variables cualitativas mediante una
tabla, un gráfico de barras o un gráfico de pastel. La asociación entre las variables se
puede obtener si se agrupan los datos en una tabla de contingencia y se obtienen las
proporciones entre la combinación de los resultados de las variables.
Para la tabla 4.2 podríamos responder preguntas como:
a) ¿Qué proporción del tipo de fobia es más frecuente en las mujeres?
110
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
Para responder esta pregunta podemos obtener las frecuencias relativas de cada
fobia de las mujeres respecto al total de mujeres del estudio.
Así, la proporción de mujeres que temen a la inseguridad está dada por el cociente
número de mujeres que temen a la inseguridad 103
5
5 0.206
500
total dee mujeres del estudio
que es la probabilidad de temer la inseguridad dado que es mujer. Simbólicamente,
si denotamos con M: el evento de ser mujer y con I: el evento de tener como fobia la
inseguridad, se representará como:
P( I | M ) 5
P( I > M ) 103
5
5 0.206
P( M)
500
La tabla 4.3 muestra todas las frecuencias calculadas en forma similar a la anterior:
Tabla 4.3 Proporción de mujeres que tienen alguna fobia.
Fobia
Proporción de mujeres
La inseguridad
103/500 5 0.206
La muerte
30/500 5 0.06
Una mala situación económica
17/500 5 0.034
Los secuestros
16/500 5 0.032
Las enfermedades
16/500 5 0.032
Los gobernantes corruptos
11/500 5 0.022
El desempleo
9/500 5 0.018
La oscuridad
18/500 5 0.036
El fracaso
8/500 5 0.16
Nada
30/500 5 0.06
Otro
109/500 5 0.218
No respondió
133/500 5 0.266
Total
1
Se deduce entonces que la fobia más temida por las mujeres del estudio es la inseguridad (0.206).
También podríamos construir un gráfico de barras con las frecuencias relativas
que obtuvimos en la tabla 4.3 de la siguiente manera:
111
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Gráfica 4.1 Proporción de mujeres que tienen alguna fobia
0.25
0.2
0.15
El fracaso
El desempleo
Los
gobernantes
corruptos
Las
enfermedades
Los
secuestros
Una mala
situación
económica
La oscuridad
Nada
La muerte
La inseguridad
0
Otro
0.1
0.05
No respondió
Proporción
0.3
Fobias
La gráfica 4.1 muestra las proporciones de las fobias de las mujeres en forma descendente, desde la más frecuente (inseguridad) hasta la menos frecuente (fracaso).
b) ¿Qué proporción del tipo de fobia es más frecuente en los hombres?
De manera similar a la pregunta a), podemos obtener las frecuencias relativas de
cada fobia de los hombres respecto al total de hombres del estudio.
Así, la proporción de los hombres que temen a la inseguridad está dada por el
cociente
número de masculinos que tem
men a la inseguridad 103
≈ 0.116
5
500
total de masculinos en el estuddio
La tabla 4.4 muestra todas las frecuencias calculadas en forma similar a la anterior:
Tabla 4.4 Proporción de hombres que tiene alguna fobia.
Fobia
Proporción de hombres
La inseguridad
La muerte
Una mala situación económica
Los secuestros
Las enfermedades
Los gobernantes corruptos
El desempleo
La oscuridad
El fracaso
Nada
Otro
No respondió
Total
58/500 5 0.116
50/500 5 0.1
21/500 5 0.042
20/500 5 0.04
19/500 5 0.038
21/500 5 0.042
22/500 5 0.044
10/500 5 0.02
14/500 5 0.028
40/500 5 0.08
80/500 5 0.16
145/500 5 0.29
1
112
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
Se deduce, por tanto, que las fobias más temidas por los hombres del estudio son
la inseguridad (0.116) y la muerte (0.1).
El gráfico circular 4.2 muestra las frecuencias relativas que obtuvimos en la
tabla 4.4:
Gráfica 4.2 Proporción de hombres que tienen alguna fobia.
La oscuridad
El fracaso
Las enfermedades
Los secuestros
Una mala situación económica
Los gobernantes corruptos
El desempleo
Nada
La muerte
La inseguridad
Otro
No respondió
En los sectores con mayor área se muestran las fobias más temidas por los hombres hasta las menos temidas como la oscuridad y el fracaso.
Podemos determinar la probabilidad de temer a los secuestros dado que se es
hombre como
P( S > H)
10
02
P( S | H ) 5
5
5 0.0
P( H)
500
Donde S: es el evento de temer a los secuestros y H: el evento de ser hombre.
Podríamos construir un solo gráfico de barras de manera que se comparen las
proporciones de las fobias entre hombres y mujeres de la siguiente manera:
Gráfica 4.3 Comparación de proporciones de fobias respecto al género.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Mujeres
Fobia
113
La oscuridad
El fracaso
Las
enfermedades
Los
secuestros
Los
gobernantes
corruptos
Una mala
situación
económica
El desempleo
Nada
La muerte
La inseguridad
Otro
Hombres
No respondió
Proporción
0.35
0.3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
c) ¿Qué proporción del tipo de fobia es más frecuente en los mexicanos?
Podemos obtener las frecuencias del total de personas que padecen la fobia entre
el número total de personas del estudio. Así, sin importar el sexo, la proporción de
personas que le temen a la inseguridad está dada por el cociente
número de personas que temen a la inseguridad 161
≈ 0.161
5
1000
0
tottal de personas encuestadas en el estudio
La tabla 4.5 muestra de manera similar la proporción de personas, sin importar el
sexo, que poseen la fobia respecto a la cantidad total de personas encuestadas:
Tabla 4.5 Proporción por tipo de fobia respecto al total de encuestados.
Fobia
Proporción por fobia
La inseguridad
La muerte
Una mala situación económica
Los secuestros
Las enfermedades
Los gobernantes corruptos
El desempleo
La oscuridad
El fracaso
Nada
Otro
No respondió
Total
161/1000 5 0.161
80/1000 5 0.08
38/1000 5 0.038
36/1000 5 0.036
35/1000 5 0.035
32/1000 5 0.032
31/1000 5 0.031
28/1000 5 0.028
22/1000 5 0.022
70/1000 5 0.07
189/1000 5 0.189
278/1000 5 0.278
1
De la tabla 4.5 se ratifica que la fobia más común entre los mexicanos del estudio
es la inseguridad, con una proporción de 0.161.
Una ventana al conocimiento
LOS PESTICIDAS ESTÁN PRESENTES EN LAS COMIDAS ORGÁNICAS?
El departamento de agricultura de los Estados Unidos (USDA) realizó en 2002 un estudio
para saber en qué medida están presentes los pesticidas en los alimentos. Se consideraron
dos tipos de alimentos: los orgánicos y los convencionales. Los orgánicos hacen referencia a
aquellos cultivados de manera orgánica, es decir, sin hacer mucho uso de químicos; y los convencionales son aquellos donde se puede utilizar cualquier tipo de químico para contrarrestar
las plagas, las enfermedades o foliares y abonos.
114
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
La investigación se muestra en la tabla 4.6:
Tabla 4.6 Frecuencia por tipo de comida y estado de pesticida.
Tipo de comida
Presencia de
pesticida
No presencia de
pesticida
Total
Orgánica
29
98
127
Convencional
19 485
7 086
26 571
Total
19 514
7 184
26 698
Fuente: Agresti y Franklin (2007), p. 92.
1. ¿Cuáles variables y de qué tipo intervienen en el estudio?
2. ¿Cuál es la variable respuesta y cuál la variable explicativa?
3. Representa los datos de la tabla anterior mediante alguna gráfica conveniente
según el tipo de variables.
Variable cualitativa versus variable cuantitativa
¿Cada vez nadamos más rápido?
La tabla 4.7 muestra los tiempos de duración, en segundos, registrados por los ganadores de medalla de oro, en diferentes años, en la modalidad de 100 metros libres
para hombres en los juegos olímpicos de natación.
Tabla 4.7 Tiempos de duración en olimpiadas (100 metros, estilo libre hombre).
Nadador y país de origen
Año
Tiempo en segundos
Wally Ris, EUA
Clarke Scholes, EUA
Jon Henricks, AUS
John Devitt, AUS
Don Schollander, EUA
Michael Wenden, AUS
Mark Spitz, EUA
Jim Montgomery, EUA
Jorg Woithe, E. GER
Rowdy Gaines, EUA
Matt Biondi, EUA
Aleksandr Popov, UT
Aleksandr Popov, RUS
Pieter van den Hoogenband, NED
Pieter van den Hoogenband, NED
1948
1952
1956
1960
1964
1968
1972
1976
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
57.3
57.4
55.4
55.2
53.4
52.2
51.22
49.99
50.40
49.80
48.63
49.02
48.74
48.30
48.17
Fuente: www.infoplease.com (2005).
115
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Podemos construir una gráfica de dispersión del tiempo alcanzado versus el año
de realización de la olimpiada.
Gráfica 4.4 Tiempo de duración (100 m natación para hombres) versus año de la olimpiada.
58
Tiempo en segundos
56
54
52
50
48
1950
1960
1970
1980
Año
1990
2000
2010
Se puede observar en la gráfica 4.4 que conforme pasan los años, el tiempo de
duración es menor. Entre 1948 y 1976 el modelo parecía lineal, sin embargo, para
las últimas olimpiadas tiende a estabilizarse, es decir, deja de ser lineal. Esto es muy
lógico, pero no debemos pensar que el tiempo de duración tenderá a cero, por el
contrario, cada vez la competitividad es mayor; como los recursos son similares entre
países la diferencia entre una y otra olimpiada ya no es tan abismal.
Para las olimpiadas de 1976 y 1988 se dieron tiempos sorprendentes que no
fueron superados por las olimpiadas inmediatas consecutivas, por lo que estos dos
valores, aunque no fueron inusuales, admiran en el modelo.
Según la gráfica 4.4, la duración del tiempo (variable respuesta) depende del año
de realización de la olimpiada (variable explicativa).
Existe una clara asociación entre las variables, ya que el tiempo de duración de los
100 metros tiende a disminuir conforme se realice cada cuatro años la olimpiada.
Para encontrar la relación entre las variables primero usaremos gráficas en las cuales
observar el comportamiento de los datos y determinar qué tipo de patrón sigue. Luego,
haremos resúmenes numéricos y, por último, analizaremos las observaciones inusuales
que se derivan de los datos y las consecuencias que tienen en los resultados.
Un gráfico de dispersión es una representación gráfica para dos variables cuantitativas; usa el eje horizontal para la variable explicativa x y el eje vertical para la
116
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
variable respuesta y. Las observaciones para los n sujetos son n puntos sobre el gráfico de dispersión.
Cuando valores altos de la variable explicativa x ocurren con valores altos de la
variable respuesta y, y cuando valores bajos de x ocurren con valores bajos de y,
la asociación entre las variables es positiva. Por el contrario, la asociación será negativa si valores altos de y ocurren con valores bajos de x, y valores bajos de y ocurren
con valores altos de x.
En el ejemplo de los tiempos de duración para los 100 metros libres de natación,
la asociación es negativa, pues para los primeros años los tiempos de duración eran
altos, mientras que para los últimos años de las olimpiadas (valores altos en x) los
tiempos de duración son cada vez más bajos.
Algunas preguntas que debemos plantear cuando examinamos un diagrama de
dispersión son:
a) ¿La asociación parece ser positiva, negativa o no hay evidencia clara de que la
haya?
b) ¿La tendencia de los datos puede ser aproximada por una línea recta o qué
modelo presentan?
c) ¿Existen observaciones inusuales que se escapan de la tendencia de los datos?,
¿cómo se explican esos puntos inusuales?
d) ¿Cómo podemos medir qué tan fuerte es la asociación entre las variables?
En la próxima lección veremos que una medida llamada correlación describe qué tan
estrecha es esa asociación.
Ejercicio
¿Usted tiene acceso a internet o tiene celular?
En los últimos 10 años, el número de personas que usan internet ha ido creciendo. Aunque su uso es común en los países del Oeste
del mundo, en otros son pocas las personas que
lo usan. En 2001, por ejemplo, cerca de la mitad de estadounidenses usaba la internet, pero
sólo 1% la usó en Arabia Saudita y sólo 0.1%
en Nigeria.
La tabla 4.8 muestra datos recientes de 39
países sobre el uso de internet, teléfono celular
y el producto interno bruto. ¿Qué otras variables son probables de asociarse con el uso de la
internet y el teléfono celular?
117
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Tabla 4.8 Información sobre uso de la internet, celular y PIB de algunos países.
País
Alemania
Argelia
Argentina
Australia
Austria
Bélgica
Brasil
Canadá
Chile
China
Dinamarca
Egipto
Finlandia
Francia
Grecia
India
Irán
Irlanda
Israel
Japón
Malasia
México
Holanda
Nueva Zelanda
Nigeria
Noruega
Pakistán
Filipinas
Rusia
Arabia Saudita
Sudáfrica
España
Suecia
Suiza
Turquía
Reino Unido
Estados Unidos
Vietnam
Yemen
Internet
37.4
0.6
10.1
37.1
38.7
31.0
4.7
46.7
20.1
2.6
43.0
0.9
43.0
26.4
13.2
0.7
1.6
23.3
27.7
38.4
27.3
3.6
49.0
46.1
0.1
46.4
0.3
2.6
2.9
1.3
6.5
18.3
51.6
30.7
6.0
33.0
50.2
1.2
0.1
PIB
25.4
6.1
11.3
25.4
26.7
25.5
7.4
27.1
9.2
4.0
29.0
3.5
24.4
24.0
17.4
2.8
6.0
32.4
19.8
25.1
8.8
8.4
27.2
19.2
0.8
29.6
1.9
3.8
7.1
13.3
11.3
20.2
24.2
28.1
5.9
24.2
34.3
2.1
0.8
Fuente: Agresti y Franklin (2007), p. 98.
PIB: Producto interno bruto total per cápita, en miles de dólares.
Internet: porcentaje de adultos residentes que usan la internet.
Celular: porcentaje de adultos que son suscriptores de teléfono celular.
118
Celular
68.2
0.3
19.3
57.4
81.7
74.7
16.7
36.2
34.2
11.0
74.0
4.3
80.4
60.5
75.1
0.6
3.2
77.4
90.7
58.8
31.4
21.7
76.7
59.9
0.3
81.5
0.6
15.0
5.3
11.3
24.2
73.4
79.0
72.8
29.5
77.0
45.1
1.5
0.8
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
a) Construye una gráfica de la variable PIB versus uso de la internet.
b) Construye una gráfica de la variable PIB versus uso de celular.
c) ¿Existe alguna asociación entre las variables? ¿Cómo se pueden interpretar esas
asociaciones?
d) ¿La tendencia de los datos puede ser aproximada por una línea recta o qué
modelo presentan?
e) ¿Existen observaciones inusuales que se escapan de la tendencia de los datos?
¿Cómo se explican esos puntos inusuales?
Variable cualitativa versus variable cuantitativa
La tabla 4.9 muestra la esperanza de vida de 186 países del mundo y separados por
continente.
Tabla 4.9 Esperanza de vida de países del mundo.
Continente
País
Esperanza Continente
África
África
África
África
África
África
Angola
Argelia
Benín
Botsuana
Burkina Faso
Burundi
38
69.5
49.5
36.5
46
46
América
América
América
América
América
América
África
Cabo Verde
68.5
América
África
África
África
África
54
50.5
60
47
África
África
África
África
África
África
Camerún
Chad
Comores
Congo
Costa de
Marfil
Egipto
Eritrea
Etiopía
Gabón
Gambia
Ghana
África
País
Esperanza Continente
País
Esperanza
70
75.5
76
73
71
69.5
Asia
Asia
Asia
Europa
Europa
Europa
Uzbekistán
Vietnam
Yemen
Albania
Alemania
Austria
63.5
69.5
60
71.5
77
77.5
77
Europa
Andorra
83
América
América
América
América
Colombia
Costa Rica
Cuba
Dominica
Ecuador
El Salvador
Estados
Unidos
Granada
Guatemala
Guyana
Haití
64
66
63
49
Europa
Europa
Europa
Europa
66.5
62.5
77.5
68
44.5
América
Honduras
69
Europa
63
55.5
44
49
53
56.5
América
América
América
América
América
América
75
71
69
75
73.5
69.5
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
70.5
76.5
73.5
76.5
74
75
Guinea
45.5
América
73
Europa
España
78.5
África
Guinea
Ecuatorial
53.5
América
71
Europa
Estonia
69.5
África
GuineaBissau
49
América
72
Europa
Finlandia
77
África
África
Kenia
Lesoto
47
48.5
América
América
Jamaica
México
Nicaragua
Panamá
Paraguay
Perú
República
Dominicana
Saint Kitts y
Nevis
San Vicente
y las
Granadinas
Santa Lucía
Surinam
Armenia
Azerbaiyán
Bélgica
Bielorrusia
BosniaHerzegovina
Bulgaria
Chipre
Croacia
Dinamarca
Eslovaquia
Eslovenia
72.5
71.5
Europa
Europa
Francia
Georgia
79
64.5
África
71.5
Continúa
119
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Tabla 4.9 Continuación
Continente
País
Esperanza Continente
África
Liberia
51
América
África
África
África
África
África
África
África
África
África
África
Libia
Madagascar
Malawi
Malí
Marruecos
Mauricio
Mauritania
Mozambique
Namibia
Níger
75
55
36.5
46.5
69
71
51
36
40
41
América
América
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
África
Nigeria
51
Asia
África
República
Centro
Africana
43.5
Asia
África
República
del Congo
49
Asia
País
Esperanza Continente
País
Esperanza
Trinidad y
Tobago
Uruguay
Venezuela
Afganistán
Arabia Saudí
Bahrein
Bangladesh
Brunei
Bután
Camboya
China
Corea del
Norte
67.5
Europa
Grecia
78.5
75.5
73
46
67.5
72.5
60
73.5
52.5
56.5
71
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Hungría
Irlanda
Islandia
Italia
Kazajstán
Letonia
Liechtenstein
Lituania
Luxemburgo
Malta
71.5
76.5
79
79
63
68
78.5
69
77
77.5
71
Europa
Moldavia
64.5
Corea del
Sur
74.5
Europa
Noruega
78
73.5
Europa
Países Bajos
78
67.5
Europa
Polonia
73
38.5
Asia
65.5
Asia
India
62.5
Europa
Portugal
75.5
África
Ruanda
Santo Tomé
y Príncipe
Senegal
Emiratos
Árabes
Unidos
Filipinas
62
Asia
Indonesia
67.5
Europa
77.5
África
Seychelles
70.5
Asia
Irak
66.5
Europa
África
África
África
África
África
África
África
África
África
África
Sierra Leona
Somalia
Suazilandia
Sudán
Sudáfrica
Tanzania
Togo
Túnez
Uganda
Yibuti
45
46.5
38
56.5
47.5
52
54
73.5
43
51
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
Asia
Irán
Israel
Japón
Jordania
Kirguizistán
Kuwait
Laos
Líbano
Malasia
Maldivas
69.5
78
80.5
77.5
63
76
53
71.5
70.5
62
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Oceanía
Oceanía
África
Zambia
37
Asia
Mongolia
64
Oceanía
África
Zimbabue
36.5
Asia
Myanmar
54.5
Oceanía
Reino Unido
República
Checa
Rumania
Rusia
San Marino
Suecia
Suiza
Turquía
Ucrania
Yugoslavia
Australia
Islas Fiji
Islas
Marshall
Islas
Salomón
África
África
74.5
70
67
81
79.5
79
70.5
66
73.5
79.5
67.5
65.5
71.5
70.5
Asia
Nepal
57.5
Oceanía
Kiribati
60
América
Antigua y
Barbuda
Argentina
74.5
Asia
Omán
71.5
Oceanía
60.5
América
Bahamas
70
Asia
Pakistán
61
Oceanía
Nauru
Nueva
Zelanda
América
78
Continúa
120
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
Tabla 4.9 Continuación
Continente
País
Esperanza Continente
País
Esperanza Continente
América
Barbados
72.5
Asia
Qatar
72.5
Oceanía
América
Belice
70.5
Asia
Siria
68.5
Oceanía
América
América
América
América
Bolivia
Brasil
Canadá
Chile
63.5
63
79.5
75.5
Asia
Asia
Asia
Asia
Sri Lanka
Tailandia
Tayikistán
Turkmenistán
71.5
68.5
64
60.5
Oceanía
Oceanía
Oceanía
Oceanía
País
Esperanza
Palau
PapúaNueva
Guinea
Samoa
Tonga
Tuvalu
Vanuatu
68.5
Fuente: Encarta (2003).
Podemos agrupar los países del mundo en una variable cualitativa llamada continente y otra cuantitativa que es la esperanza de vida.
¿Cómo establecemos la relación entre las variables continente y esperanza de vida?
Siempre nos ha sorprendido el poder económico europeo, por lo que la calidad
de vida y los índices de salud, transporte, entre otros, claramente son superiores que
en otros continentes. Así, la variable esperanza de vida de un país se puede explicar
por el continente al cual pertenece. Por lo tanto, la variable respuesta es la esperanza
de vida y la variable explicativa, el continente.
121
63
69
67.5
66
60.5
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Para explorar la relación entre una variable cuantitativa y una cualitativa graficamos los valores de la primera para cada grupo usando la misma escala, como se
muestra a continuación:
Gráfica 4.5 Gráfica de puntos de la esperanza de vida de los países por continente.
África
América
Asia
Europa
Oceanía
35
40
45
50
55
Esperanza África 5 51.0755
Esperanza América 5 70.6143
Esperanza Asia 5 66.4359
60
65
70
75
80
85
Esperanza Europa 5 73.7935
Esperanza Oceanía 5 67.4615
La barra vertical “|” en los datos de cada grupo representa el valor de su promedio.
La gráfica 4.5 nos muestra información muy enriquecedora; se puede observar
que Europa es el continente que tiene los países con mayor esperanza de vida, además de poca variabilidad. Por el contrario, África es el continente cuyos países tienen
menor esperanza de vida, y mayor variabilidad; sin embargo, algunas naciones de
África (¿cuáles?) tienen esperanza de vida cercana al promedio de Europa. Además,
en América y Asia un par de países tienen muy baja esperanza de vida (¿cuáles?).
México tiene una esperanza de vida menor que el promedio de los países europeos,
pero mayor que el promedio de América. En fin, se pueden seguir haciendo preguntas de comparación entre continentes y datos aislados que sean sorprendentes. ¿Qué
país tiene la menor y la mayor esperanza de vida? ¿Cuál contiene entre Oceanía,
América y Asia mayor variabilidad?
No es necesario usar sólo las gráficas de puntos para establecer la asociación entre
las viables, también es posible utilizar histogramas o diagramas de caja según el tipo
de análisis que se desee.
122
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
Así:
Gráfica 4.6 Diagramas de cajas de la esperanza de vida de los países por continente.
África
América
Asia
Europa
Oceanía
35
40
45
50
55
Esperanza África 5 51.0755
Esperanza América 5 70.6143
Esperanza Asia 5 66.4359
Ejercicio
¿Qué equipo tiene los jugadores con mayor
estatura?
Sin duda la estatura en el baloncesto es
muy importante, y para la NBA es un requisito fundamental. En la temporada 2005-2006
los Spurs de San Antonio fueron campeones,
con jugadores como Tim Duncan (216 cm)
y Rasho Nesterovic (213 cm). Sin embargo,
¿son los equipos con jugadores más altos en
esa temporada en la NBA? En la tabla 4.10 se
presentan los datos de las estaturas en centímetros de jugadores de algunos equipos en
esa temporada.
123
60
65
70
75
80
Esperanza Europa 5 73.7935
Esperanza Oceanía 5 67.4615
85
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Tabla 4.10 Estatura de jugadores de algunos equipos de la NBA.
Estatura Lakers
Estatura Bulls
Estatura HeatMiami
Estatura Spurs
195
186
201
189
216
198
213
204
201
216
189
204
213
207
216
216
189
186
198
204
210
192
192
210
207
210
207
201
204
192
207
201
207
198
186
186
198
204
216
186
186
204
195
186
213
207
207
213
186
207
186
186
195
186
210
189
198
195
198
204
210
192
198
201
186
207
186
210
207
Fuente: www.espndeportes.com (2006).
a) Construye una gráfica apropiada para establecer la asociación que existe entre
la variable equipo de la tabla 4.10 respecto a la estatura de sus jugadores.
b) ¿Qué equipo tiene mayor variabilidad entre las estaturas de sus jugadores?
c) ¿Cuáles son algunos datos inusuales? ¿A qué se debe?
RESUMEN
Para analizar la relación entre variables se tienen las siguientes herramientas.
Tipo de variables
Herramientas
Ambas cualitativas
Tabla de contingencias y graficar proporciones apropiadas.
Ambas cuantitativas
Gráfica de dispersión.
Una cuantitativa y una
cualitativa
• Graficar los datos con una misma escala.
• Usar gráficos de puntos, diagramas de cajas o histogramas.
124
DE DATOS DE DOS VARIABLES
E V A L U A C IANÁLISIS
Ó N S U M A T I V A
1. Estudio alemán del teléfono celular
La tabla de contingencia 4.11 muestra los resultados de un estudio alemán respecto a si existe una asociación
entre el uso del teléfono celular y el cáncer de ojo (Stang et al, 2001; en Agresti y Franklin, 2007).
Tabla 4.11 Frecuencia por personas que usan celular y casos con cáncer.
Usan teléfono
celular
Casos con cáncer
de ojo
Casos control
Total
Sí
16
46
62
No
102
429
531
Total
118
475
593
a ) ¿Cuál es la variable respuesta y cuál la variable explicativa?
b ) Representa los datos de la tabla 4.11 con una gráfica conveniente según el tipo de variables.
c ) ¿Qué proporción de las personas en el estudio que han usado teléfono celular
ii) tienen cáncer de ojo?
ii) no tienen cáncer de ojo?
2. Secundaria en México
En una secundaria del Estado de México hay 50 maestros, 15 de matemáticas y 10 de física. Entre ellos, cinco
imparten las dos materias.
a ) Con los datos del enunciado construye una tabla de contingencias.
b ) Si eliges un maestro de esta secundaria, al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
sea de matemáticas?
sea de física?
no sea de matemáticas?
no sea de física?
sea de matemáticas y de física?
sea de matemáticas y no de física?
no sea de matemáticas y sea de física?
no sea de matemáticas y no sea de física?
enseñe al menos una de las dos materias
(matemáticas o física)?
no enseñe al menos una de las dos?
sea de matemáticas si sabemos que es de física?
sea de matemáticas si sabemos que no es de física?
no sea de matemáticas si sabemos que es de física?
125
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
•
•
•
•
•
no sea de matemáticas si sabemos que no es de física?
sea de física si sabemos que es de matemáticas?
sea de física si sabemos que no es de matemáticas?
no sea de física si sabemos que es de matemáticas?
no sea de física si sabemos que no es de matemáticas?
3. ¿Estamos corriendo más rápido?
La tabla 4.12 muestra las duraciones de tiempo en segundos para la carrera de 1 500 metros hombres en los
juegos olímpicos desde 1900.
Tabla 4.12 Tiempos de duración en juegos olimpicos (1 500 metros hombres).
Año
Tiempo
Año
Tiempo
1900
246.0
1976
219.2
1904
245.4
1980
218.4
1908
243.4
1984
212.5
1912
236.8
1988
216.0
1920
241.9
1992
220.1
1924
233.6
1996
215.8
1928
233.2
2000
212.1
1932
231.2
2004
214.2
1936
227.8
1948
229.8
1952
225.2
1956
221.2
1960
215.6
1964
218.1
1968
214.9
1972
216.3
Fuente: Wild y Seber (2000).
a ) Construye una gráfica de la variable año versus tiempo.
b ) ¿Existe alguna asociación entre las variables? ¿Cómo se puede interpretar esa asociación?
c ) ¿La tendencia de los datos puede ser aproximada por una línea recta o qué modelo presentan?
d ) ¿Existen observaciones inusuales que se escapan de la tendencia de los datos? ¿Cómo se explican esos
puntos inusuales?
126
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
4. ¿Cuántos niños mueren en el mundo?
La tabla 4.13 muestra la mortalidad infantil por cada mil niños nacidos en 50 países del mundo y separados por
continente.
Tabla 4.13 Mortalidad infantil de algunos países del mundo por continentes.
Continente
País
Mortalidad infantil por cada mil nacidos
África
Yibuti
102
África
Suazilandia
109
África
Gabón
95
África
Argelia
41
África
Burundi
71
África
Seychelles
17
África
Malí
121
África
Malawi
121
África
Madagascar
84
África
Lesoto
83
América
Costa Rica
11
América
Jamaica
14
América
Haití
95
América
Honduras
31
América
México
25
América
República Dominicana
35
América
Barbados
12
América
Uruguay
15
América
Santa Lucía
15
América
Colombia
24
Asia
Myanmar
74
Asia
India
63
Asia
Kuwait
11
Asia
Corea del Norte
24
Asia
Afganistán
147
Asia
Líbano
28
Asia
Malasia
20
Asia
Jordania
20
Asia
Omán
23
Asia
Bangladesh
70
Europa
Alemania
5
Continúa
127
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Tabla 4.13 Continuación
Continente
País
Mortalidad infantil por cada mil nacidos
Europa
Suecia
3
Europa
Suiza
4
Europa
Polonia
9
Europa
Eslovaquia
9
Europa
Lituania
15
Europa
Italia
6
Europa
España
5
Europa
República Checa
6
Oceanía
Nueva Zelanda
6
Oceanía
Papúa-Nueva Guinea
58
Oceanía
Palau
17
Oceanía
Vanuatu
61
Oceanía
Samoa
32
Oceanía
Nauru
11
Oceanía
Islas Salomón
24
Oceanía
Kiribati
54
Oceanía
Tuvalu
23
Oceanía
Islas Fiji
14
Fuente: Encarta (2003).
a ) Construye una gráfica apropiada para establecer la asociación que existe entre la variable mortalidad
infantil de la tabla 4.13 respecto a la variable continente.
b ) ¿Cuál continente tiene mayor variabilidad entre la mortalidad infantil?
c ) ¿Cuáles son algunos datos inusuales?, ¿a qué se deben?
128
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
4.2 CORRELACIÓN LINEAL
Cuando analizamos la relación entre variables cuantitativas observamos que, siempre que tuviera sentido hablar de asociación entre ellas, con el gráfico de dispersión
nos damos una idea intuitiva del comportamiento de los datos, pero ¿cómo medir
qué tan fuerte es esa asociación? Por ejemplo, en la tabla 4.7 (tiempos de duración
en las olimpiadas para la modalidad de natación de 100 metros libres para hombres)
se mostró intuitivamente que había cierta asociación lineal negativa en los primeros
años de realización de la olimpiada y el tiempo de duración. Sin embargo, en los
últimos años el comportamiento de los datos ya no era lineal, sino parecía decrecer
tendiendo hacia un valor asintótico.
Cuando los datos siguen un comportamiento de tal manera que están cerca de
una línea recta, aunque la mayoría de las veces existe una pequeña variación entre
los puntos alrededor de la línea, diremos que la relación es aproximadamente lineal,
y una medida que resume qué tan fuerte es esa asociación lineal se llama coeficiente
de correlación r. Éste describe la dirección de la asociación e indica qué tan cerca
están los puntos en el diagrama de dispersión de la línea de mejor ajuste de los datos;
r toma valores entre 21 y 1.
¿Tienes celular?
La tabla 4.8 muestra información sobre el número de suscriptores de teléfonos celulares por país respecto al producto interno bruto total. La gráfica 4.7 de dispersión
presenta de manera intuitiva la relación que existe entre las variables:
Gráfica 4.7 Porcentajes de suscriptores de celular versus producto interno bruto total por país.
100
90
80
Zx
Celular
70
Francia
60
Zy
50
40
30
20
10
0
0
PIB 5 15.9923
Celular 5 41.84
5
10
15
20
PIB
129
25
30
35
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Según la tendencia de los datos, es aproximadamente lineal. Se observa que no
todos los datos están a la misma distancia de la recta, incluso sólo un par de ellos
caen exactamente sobre la recta, pero en la práctica eso no es tan probable.
Está claro que la relación entre la variable respuesta Celular y la variable explicativa PIB es positiva, pues a mayor producción por país, mayor número de suscriptores;
además, a menor producción menor número de suscriptores. Con esto, esperamos
que la correlación r sea mayor que cero.
Obtenemos el valor de r de la siguiente manera:
Para una observación xi (PIB 5 24 en Francia, por ejemplo) de la variable explicativa X, sea zx el valor que representa el número de desviaciones estándar que xi
i
alcanza hasta el promedio de X. Esto es
zx 5
i
valo r observado – promedio ( x i 2 x) ( 24 215. 99)
5
5
5 0. 7558
sx
desviación estándar
10, 598
i
De manera similar, para una observación yi (Celular 5 60.5 en Francia, por ejemplo) de la variable respuesta Y, sea zy el valor que representa el número de desviacioi
nes estándar que yi alcanza hasta el promedio de Y. Esto es
zy 5
i
valor observado – promedio ( y i 2 y ) ( 60. 5 2 41. 84 )
5
5
5 0. 7558
31. 8017
desviación estándar
sy
i
Ahora calculamos el producto z xi z yi para cada observación y obtenemos un valor
típico (un tipo de promedio) de esos productos. Entonces,
r5
1 n ⎛ x i 2 x ⎞ ⎛ yi 2 y ⎞
1 n
zx z y 5
⎜
⎟⎜
⎟
i
i
n 2 1 i ⎜⎝ s x ⎟⎠ ⎜⎝ s y ⎟⎠
n 21 i
i
i
donde n es el número de observaciones.
Se recomienda construir la tabla 4.14 para facilitar los cálculos.
Tabla 4.14 Cálculos de z xi, z yi y z xi z yi
zy
zx z y
00.887652
00.828934
00.735805
00.3
0.933378
1.30617
01.21915
11.3
19.3
0.442738
0.708718
00.313776
Australia
25.4
57.4
0.887652
0.48933
00.434355
Austria
26.7
81.7
1.01031
1.25344
01.26636
Bélgica
25.5
74.7
0.897088
1.03333
00.926983
Brasil
07.4
16.7
0.810718
0.790474
00.640852
Canadá
27.1
36.2
1.04805
0.1773
0.18582
Chile
09.2
34.2
0.640881
0.24019
00.153933
País
PIB X
Celular Y
zx
Alemania
25.4
68.2
Argelia
06.1
Argentina
i
i
i
i
Continúa
130
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
Tabla 4.14 Continuación
País
PIB X
Celular Y
zx
zy
China
04
11
1.13152
0.96971
01.09725
Dinamarca
29
74
01.22733
01.01131
01.24121
Egipto
03.5
04.3
21.1787
21.18039
01.39132
Finlandia
24.4
80.4
00.793299
01.21256
00.961923
Francia
24
60.5
00.755557
00.586809
00.443367
Grecia
17.4
75.1
00.132821
01.0459
00.138918
India
02.8
00.6
1.24475
1.29674
01.61411
Irán
06
03.2
0.942813
1.21498
01.1455
Irlanda
32.4
77.4
01.54813
01.11823
01.73116
Israel
19.8
90.7
00.359271
01.53644
00.551999
Japón
25.1
58.8
0.859346
00.533352
00.458334
Malasia
08.8
31.4
0.678622
0.328236
00.222748
México
08.4
21.7
0.716364
0.63325
00.453638
Holanda
27.2
76.7
01.05749
01.09621
01.15924
Nueva Zelanda
19.2
59.9
00.302658
00.567942
00.171892
Nigeria
00.8
00.3
1.43345
1.30617
01.87233
Noruega
29.6
81.5
01.28394
01.24715
01.60126
Pakistán
01.9
00.6
1.32966
1.29674
01.72422
Filipinas
03.8
15
1.15039
0.843931
00.970851
Rusia
07.1
05.3
0.839024
1.14895
00.963993
Arabia Saudita
13.3
11.3
0.25403
0.960276
00.243939
Suráfrica
11.3
24.2
0.442738
0.554638
00.245559
España
20.2
73.4
00.397012
00.992447
00.394013
Suecia
24.2
79
00.774428
01.16854
00.904948
Suiza
28.1
72.8
01.14241
00.97358
01.11223
Turquía
05.9
29.5
0.952249
0.387981
00.369454
Reino Unido
24.2
77
00.774428
01.10565
00.856245
Estados Unidos
34.3
45.1
01.7274
00.102558
00.17716
Vietnam
02.1
01.5
1.31079
21.26844
01.66266
Yemen
00.8
00.8
1.43345
21.29045
01.8498
i
i
Total
zx z y
i
33.2367
Concluyendo:
r5
1
33. 2367
z xz y 5
5 0. 87465
∑
n 21
38
131
i
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
En la gráfica 4.7 se muestra cómo x y y dividen el plano en cuatro cuadrantes.
Para Francia ( x 5 24 y y 5 60. 5), ambos valores de z son positivos, ya que x está a
la derecha del promedio y y arriba del promedio. Todos los puntos, a excepción de
Canadá, están en el primer y tercer cuadrante.
En el primer y tercer cuadrantes los productos de los valores de z en cada observación son positivos, esto explica por qué la correlación es positiva. Por el contrario,
en el segundo y cuarto cuadrantes los productos de los valores de z son negativos,
por tanto la correlación será negativa.
La correlación nos indica que nos interesa determinar qué tan lejos caen los datos
observados de los promedios.
Algunos diagramas de dispersión y sus correlaciones son las gráficas 4.8:
Gráfica 4.8 Gráficas de dispersión con su coeficiente de correlación.
y
14
14
12
12
10
10
8
y
6
4
8
6
4
r51
2
2
0
r 5 21
0
0
1
2
3
4
x
5
6
7
8
0
1
2
3
a)
y
4
x
5
6
7
8
b)
14
14
12
12
10
10
8
y
6
4
8
6
4
2
r 5 20.84
r51
2
r 5 0.625
0
0
0
1
2
3
4
x
5
6
7
8
c)
0
1
2
3
4
x
5
6
7
8
d)
En las figuras a y b son coeficientes de correlación con 1y 2 1, esto significa que
la asociación lineal es perfecta. En la figura c el coeficiente de correlación es 0.625, lo
cual indica que la asociación es positiva y no tan alta. Como la figura d el coeficiente
de correlación es 20.84, la asociación es negativa.
132
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
Un valor positivo de r indica que la asociación es positiva y un valor negativo de r,
que la asociación es negativa. Cuanto más cerca esté r de 1 o 21, más cerca estarán
los datos de la recta y más fuerte es la asociación lineal. Si r está cerca de cero, la
asociación lineal es débil.
RESUMEN
• El valor de r siempre está entre 21 y 1. Cuanto más cerca esté el valor absoluto
de r de uno, más fuerte será la asociación lineal.
• Si r . 0 , la asociación es positiva; si r , 0, la correlación es negativa.
• El valor de la correlación no depende de las unidades de las variables; además, la
correlación r de x dependiendo de y es la misma que la de y dependiendo de x.
Evaluación formativa
Parte I Proyecto
Mide tu estatura a diferentes horas del día y registra los datos exactos (de la hora en horas y la estatura en
centímetros) en una tabla. Presenta los datos de por lo menos 15 días. Con base en los datos de la tabla:
a ) Construye un gráfico de dispersión.
b ) ¿Existe alguna relación entre las variables?, ¿cuál es?
c ) Determina el coeficiente de correlación entre las variables y explica el valor obtenido en el contexto
del problema.
Parte II Problemas de la lección
1. Para los datos de la tabla 4.8 relativa al problema, ¿usted tiene acceso a la internet o tiene celular?,
determine el coeficiente de correlación.
2. Para los datos de la tabla 4.12 relativa al problema ¿Nosotros estamos corriendo más rápido?,
determine el coeficiente de correlación.
4.3 REGRESIÓN LINEAL
Regresión es un camino usual para estudiar la relación entre variables o atributos
continuos de una población cuando tiene sentido tratar de predecir o explicar el
comportamiento de una variable en términos del comportamiento de otras variables.
Se trata de responder la pregunta, ¿cómo varía la variable respuesta Y en función de
una o más variables explicativas X?
Un ejemplo es considerar el peso de una sandía y el precio como dos variables
continuas, que se relacionan de manera creciente, pues a mayor peso mayor precio.
El análisis de regresión busca una fórmula que exprese el precio promedio entre distintos tipos de sandía de igual peso como función de su peso.
Otro ejemplo es la asociación entre la distancia que nada un competidor y su
velocidad promedio, cuya relación es decreciente, pues a mayor distancia menor
133
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
velocidad promedio (por el cansancio acumulado). Se quisiera encontrar una fórmula de la velocidad promedio como función de la distancia que se nada.
Existen dos componentes fundamentales de una relación de regresión: tendencia y
dispersión. La tendencia es el patrón que observamos en el gráfico de dispersión. Y la
dispersión indica qué tan alejados o variables son los datos observados respecto a
lo esperado en el modelo o patrón.
Así, para los ejemplos enunciados, la dispersión se puede interpretar como lo
hace Acuña (2004), respecto a que no todas las sandías con el mismo peso tendrán
el mismo precio, ni todas las competencias de natación se nadarán a la misma velocidad. Sin embargo, ¿se puede esperar al menos encontrar una fórmula que dé el
precio esperado como función del peso de la sandía, o la velocidad esperada como
función de la distancia?
Para los dos ejemplos mencionados, la regresión es simple: el precio sólo depende
del peso (regresión lineal) y la velocidad sólo de la distancia (regresión no lineal). En
este libro sólo abarcaremos la regresión lineal simple.
¿Cuántos centímetros mide el pie de un bebé al nacer?
En la tabla 4.15 se muestra el tamaño del pie en centímetros de algunos niños según
la edad en años.
Tabla 4.15 Tamaño del pie (en centímetros)
versus edad (en años).
Tamaño
0.5
0.9
1.3
1.7
1.9
2
2.1
2.5
3
3.3
3.6
7
6
7
7
7.5
8
7.5
8.3
8.5
9
9
9.5
9.0
8.5
Tamaño
Edad
Gráfica 4.9 Tamaño del pie (en centímetros) versus edad (en años).
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Edad
La gráfica 4.9 nos muestra que la variable respuesta tamaño del pie depende linealmente de la variable explicativa edad en el intervalo de los datos dados (más allá
de ese intervalo no es seguro si se comporta de forma lineal). Es claro que los pares
( x, y ) no están sobre la recta, pero son aproximadamente colineales.
Así, la ecuación de regresión será lineal de la forma T 5 a 1 bE , y simple porque
el valor de T depende de una sola variable E. En el curso de álgebra la ecuación de
una línea recta está dada por y 5 mx 1 b , pero en estadística suele denotarse con los
134
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
coeficientes a y b. Además, T y E se escriben en mayúsculas porque
representan variables aleatorias.
Si Y es la variable respuesta (dependiente) y X la explicativa (independiente), Y | x se define como la variable aleatoria Y correspondiente a un valor fijo de x de la variable X. Su valor esperado
es mY |x.
Así, usaremos la notación y 5 a 1 bx para la ecuación de la recta, donde el símbolo y representa el valor predictor de la variable
respuesta Y. a, la intersección con el eje y, y b, la inclinación.
La ecuación y 5 a 1 bx predice un simple valor y de la variable
respuesta. Sin embargo, deberíamos esperar que no todos los sujetos, para un valor de x, tengan el mismo valor de y. En el ejemplo,
no esperaríamos que todos los niños de dos años tengan el mismo
tamaño de pie. Sin embargo, hay un promedio para el tamaño de
pie por cada valor separado de la edad que denotamos como mY |x .
En la práctica, a y b se obtienen a partir de una muestra y usaremos
y como una estimación de mY |x.
Si encontramos la ecuación de la forma T 5 a 1 bE (es decir, los coeficientes a y
b) podemos responder a preguntas como:
• ¿Cuál es el tamaño esperado del pie a los dos años?
• ¿Cuál es la edad estimada de un niño cuyo pie mide 7.3 cm?
• ¿Cuál es el tamaño esperado del pie a los 30 años?
¿Cómo selecciono la mejor línea de regresión?
y ¿cómo obtengo los coeficientes de la ecuación?
Se quiere que los puntos estén de manera conjunta, en la medida de lo posible, lo más
cercanos a la recta que se selecciona como la de mejor ajuste. Así, para cada predictor
xi el valor observado es yi. En la tabla 4.15 dada, por ejemplo, para x 6 5 2 años el
valor observado del tamaño del pie
del niño fue y 6 5 8 cm, sin embar- Tamaño 9.5
go, en la que dibujamos como mejor
9.0
recta, este par ordenado no está exactamente sobre ella. Por tanto, si la
8.5
y6
ecuación de la recta es y 5 a 1 bx se
8.0
obtendrá un valor esperado difereny
te para x 6 5 2 cuando sustituimos
7.5
en la ecuación. En la gráfica 4.10 se
e4
7.0
muestra esa diferencia entre el valor
e1
observado y 6 5 8 y el valor esperado
6.5
e2
y 6 5 a 1 b( 6) 5 2 a 1 6b.
e11
I
6.0
0.0
Gráfica 4.10 Diferencias entre valores
observados y valores esperados.
135
0.5
1.0
1.5
2.0
Edad
2.5
3.0
3.5
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
En general, el error en el punto ( x i , yi ) es la diferencia entre los valores observados y los estimados de y:
e i 5 yi 2( a 1 bx i )
La recta de mejor ajuste será la que minimice los errores ei de manera conjunta, para
ello sumaremos sus cuadrados (se pueden usar los valores absolutos u otra técnica,
pero es frecuente usar la suma de los cuadrados). Así, se obtendrán los valores de a y b
de la recta de regresión cuando la suma de los cuadrados de los errores sea mínima.
n
n
i 51
i 51
SCE 5 ∑ e i2 5 ∑[ y i 2( a 1 bx i )]2
Para los datos del problema del tamaño del pie
SCE 5 ( 7 2( a 1 b ? 0. 5))2 1( 6 2( a 1 b ? 0. 9)) 2 1! 1 ( 92( a 1 b ? 3. 6))2
Está en una función de a y b, por ello habrá que buscar los valores de los coeficientes para que esa suma sea mínima. En las gráficas 4.11 y 4.12 se muestran dos
posibles rectas de regresión con la suma de los errores.
Gráfica 4.11 Posible recta de regresión 1.
Gráfica 4.12 Posible recta de regresión 2.
Tamaño
Tamaño
9.5
9.5
9.0
9.0
8.5
8.5
8.0
8.0
7.5
7.5
7.0
7.0
6.5
6.5
6.0
6.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
Tamaño 5 0.897 Edad 4 5.84
Suma de cuadrados 5 1.337
2.0
Edad
2.5
3.0
3.5
0.5
1.0
1.5
Tamaño 5 0.908 Edad 4 5.9
Suma de cuadrados 5 1.407
4
2.0
Edad
2.5
3.0
3.5
4
Según las gráficas, para SC E 51. 337 la ecuación de regresión será T 5 5. 9 1 0. 908E
pero ¿esta recta es la de mejor ajuste?
Los coeficientes óptimos de a y b son los que minimizan la función
n
f ( a, b ) 5 SCE 5 ∑( y i 2( a 1 bx i ))2
i 51
Se igualan a cero las derivadas parciales para encontrar el punto crítico de la función y tenemos:
136
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
n
∂f
5 ∑ 2( y i 2( a 1 bx i ))( 21) 5 0
∂a i51
n
n
⎛ n
⎞
2 ⎜ 2∑ y i 1 ∑ a 1 b ∑ x i ⎟ 5 0
⎝ i51
⎠
i 51
i 51
n
n
i 51
i 51
an 1 b ∑ x i 5 ∑ y i
n
∂f
5 ∑ 2( y i 2( a 1 bx i )))( 2x i ) 5 0
∂b i51
n
n
⎛ n
⎞
2 ⎜ 2∑ x i yi 1 a ∑ x i 1 b ∑ x i2 ⎟ 5 0
⎝ i51
⎠
i 51
i 51
n
n
n
i 51
i 51
i 51
a ∑ x i 1 b ∑ x i2 5 ∑ y i
La solución del sistema de ecuaciones es:
n
n
⎧
⎪ an 1 b ∑ x i 5 ∑ y i
⎪
i5
51
i 51
⎨ n
n
n
⎪a x 1 b x 2 5 y
∑
∑
∑
i
i
⎪⎩ i51 i
i 51
i 51
donde las incógnitas a y b son:
n
b5
n
n
n ∑ x i yi 2 ∑ x i ∑ yi
i 51
i 51
i 51
⎞
⎛
n ∑ x 2 ⎜ ∑ xi ⎟
⎠
⎝
n
n
2
2
i
i 51
i 51
n
n
∑ y 2b∑ x
i
a 5 i51
i 51
n
i
5 y 2b x
Para el ejemplo, construyamos la siguiente tabla:
n
x
y
x2
xy
1
2
3
4
5
6
0.5
0.9
1.3
1.7
1.9
2
7
6
7
7
7.5
8
00.25
00.81
01.69
02.89
03.61
04
03.5
05.4
09.1
11.9
14.25
16
Continúa
137
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II
Continuación
n
x
y
x2
xy
7
8
9
10
11
2.1
2.5
3
3.3
3.6
7.5
8.3
8.5
9
9
04.41
06.25
09
10.89
12.96
15.75
20.75
25.5
29.7
32.4
∑ x 5 22. 8 ∑ y 5 84. 8 ∑ x 5 56. 76
2
∑ xy 5184. 8
Así, tenemos:
(11 ? 184. 25) 2( 22. 8 ? 84. 8)
5 0. 8927
(11 ? 56. 76) 2( 22. 8)2
84. 8 2 0. 8927 ? 22. 8
5 5. 85877
a5
11
b5
Recuerda que otra forma de obtener a es:
a 5 y 2 bx 5 7. 709 2 0. 8927 ? 2.07273 5 5. 85877
y 5 5. 85877 1 0. 8927 x
Por lo tanto, y 5 5. 85877 1 0. 8927 x
El valor de a 5 5. 85877 cm (cuando y 5 5. 85877 y x 5 0), intersección con el
eje y, significa que el tamaño promedio del pie de los recién nacidos es de 5. 85877 cm,
si el crecimiento del pie fuera lineal desde el nacimiento.
El valor de b y 5 0. 8927 cm/año, significa que el tamaño del pie aumenta en promedio 0. 8927 cm cada año en el intervalo observado.
Y volviendo a las preguntas que nos habíamos planteado:
• ¿Cuál es el tamaño esperado del pie a los dos años?
y 5 5. 85877 1 0. 8927( 2) ≈ 7.644 cm
• ¿Cuál es la edad estimada de un niño cuyo pie mide 7.3 cm?
7.3 5 5. 85877 1 0. 8927 x
x ≈ 1.61
Que representa aproximadamente 1 año y 7 meses.
• ¿Cuál es el tamaño esperado del pie a los 30 años?
y 5 5. 85877 1 0. 8927( 30) ≈ 32. 64 cm
138
ANÁLISIS DE DATOS DE DOS VARIABLES
Lo cual es obviamente incorrecto, pues si bien algunas personas con 30 años
podrían tener un pie de ese tamaño, el promedio no es de 32.64 m.
El último ejemplo muestra que el modelo es bueno para interpolar, es decir, estimar valores de y dado un x dentro de los extremos observados, fuera de esos valores
(extrapolar) puede que el modelo se comporte de otra manera.
Evaluación formativa
La siguiente tabla muestra las estaturas X y Y, en centímetros, de una muestra de seis padres y sus hijos
respectivamente.
Estatura del padre
162.5
157.5
155
175
167.5
172.5
Estatura del hijo
167.5
165
165
170
167.5
172.5
a ) Encuentra una ecuación de regresión lineal para la estatura de los hijos como función de la estatura
de los padres.
b ) Si un padre mide 170 cm, ¿cuánto medirá su hijo?
c ) Si un hijo mide 150 cm, ¿cuánto medirá su padre?
d ) Encuentra el coeficiente de correlación.
e ) En promedio, ¿cuánto aumenta la estatura de los hijos en relación con la de los padres?
139
DE DATOS DE DOS VARIABLES
E V A L U A C IANÁLISIS
Ó N S U M A T I V A
1. En un centro de investigación médica se registraron las siguientes dosis y tiempos de recuperación de pacientes
a quienes se administró un medicamento:
Dosis (gramos)
0.9
1.2
1.3
1.3
1.6
Recuperación (horas)
26
22
20
18
13
a ) Estima los coeficientes de la ecuación de regresión.
b ) ¿Cuál es el tiempo esperado de recuperación si se aplica una dosis de 1.5 g?
c ) ¿Cuál debe ser la dosis para que el tiempo esperado de recuperación sea menor que 20 horas?
2. Para los datos de la tabla 4.12 del problema ¿Nosotros estamos corriendo más rápido? Determina la ecuación
de regresión lineal del tiempo de recorrido según el año de realización de la olimpiada.
3. Para los datos de la tabla 4.8 del problema ¿Usted tiene acceso a la internet o tiene celular? Determina la
ecuación de regresión lineal de uso del celular según el PIB.
141
NÁLISIS
DE IDATOS
A M P L I A N D O E L C O NAO
CIM
E N DE
T ODOS VARIABLES
G losario
Identifica los siguientes términos en el texto de la unidad y escribe su significado.
Coeficiente de correlación.
Coeficiente de óptimos.
Correlación lineal.
Gráfico o diagrama de dispersión.
Regresión lineal.
Tabla de contingencia.
B I B L I O G R A F Í A
ACUÑA, L. Estadística aplicada con Fathom, Cartago: Editorial Tecnológica de Costa Rica, 2004.
AGRESTI, A., Franklin, C. Statistics: The Art and Science of Learning from Data, New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2007.
ALIAGA, M., Gunderson, B. Interactive Statistics, 3a., ed., Michigan: Pearson Prentice Hall, 2006.
BATANERO, C. Didáctica de la Estadística, Grupo de Educación Estadística: Universidad de Granada, España, 2001.
WILD, C., Seber, G. Chance Encounters: a first course in data analysis and inference, 1a. ed., United
States: John Wiley & Sons, Inc., 2000.
143
ESTADISTÍCA Y PROBABILIDADES
144
145
6
5
4
3
0.020
1
0.029
1
0.039
0.001
1
2
0.048
0.001
1
2
0.057
0.001
1
2
6
5
4
3
0.941
0
5
4
3
0.951
0
4
3
0.961
0
3
2
0.970
0
2
0.980
0
2
0.01
x
n
0.002
0.031
0.232
0.735
0.001
0.021
0.204
0.774
0.014
0.171
0.815
0.007
0.135
0.857
0.003
0.095
0.902
0.05
0.001
0.015
0.098
0.354
0.531
0.008
0.073
0.328
0.590
0.004
0.049
0.292
0.656
0.001
0.027
0.243
0.729
0.010
0.180
0.810
0.10
0.005
0.041
0.176
0.399
0.377
0.002
0.024
0.138
0.392
0.444
0.001
0.011
0.098
0.368
0.522
0.003
0.057
0.325
0.614
0.023
0.255
0.723
0.15
0.002
0.015
0.082
0.246
0.393
0.262
0.006
0.051
0.205
0.410
0.328
0.002
0.026
0.154
0.410
0.410
0.008
0.096
0.384
0.512
0.040
0.320
0.640
0.20
0.004
0.033
0.132
0.297
0.356
0.178
0.001
0.015
0.088
0.264
0.396
0.237
0.004
0.047
0.211
0.422
0.316
0.016
0.141
0.422
0.422
0.063
0.375
0.563
0.25
0.001
0.010
0.060
0.185
0.324
0.303
0.118
0.002
0.028
0.132
0.309
0.360
0.168
0.008
0.076
0.265
0.412
0.240
0.027
0.189
0.441
0.343
0.090
0.420
0.490
0.30
0.002
0.020
0.095
0.235
0.328
0.244
0.075
0.005
0.049
0.181
0.336
0.312
0.116
0.015
0.111
0.311
0.384
0.179
0.043
0.239
0.444
0.275
0.122
0.455
0.422
0.35
0.004
0.037
0.138
0.276
0.311
0.187
0.047
0.010
0.077
0.230
0.346
0.259
0.078
0.026
0.154
0.346
0.346
0.130
0.064
0.288
0.432
0.216
0.160
0.480
0.360
0.40
0.016
0.094
0.234
0.313
0.234
0.094
0.016
0.031
0.156
0.313
0.313
0.156
0.031
0.063
0.250
0.375
0.250
0.063
0.125
0.375
0.375
0.125
0.250
0.500
0.250
0.50
0.047
0.187
0.311
0.276
0.138
0.037
0.004
0.078
0.259
0.346
0.230
0.077
0.010
0.130
0.346
0.346
0.154
0.026
0.216
0.432
0.288
0.064
0.360
0.480
0.160
0.60
0.075
0.244
0.328
0.235
0.095
0.020
0.002
0.116
0.312
0.336
0.181
0.049
0.005
0.179
0.384
0.311
0.111
0.015
0.275
0.444
0.239
0.043
0.422
0.455
0.122
0.65
0.118
0.303
0.324
0.185
0.060
0.010
0.001
0.168
0.360
0.309
0.132
0.028
0.002
0.240
0.412
0.265
0.076
0.08
0.343
0.441
0.189
0.027
0.490
0.420
0.090
0.70
0.178
0.356
0.297
0.132
0.033
0.004
0.237
0.396
0.264
0.088
0.015
0.001
0.316
0.422
0.211
0.047
0.004
0.422
0.422
0.141
0.016
0.563
0.375
0.063
0.75
Tabla 1 Valores de la distribución de probabilidad binomial P (X 5 x )
0.262
0.393
0.246
0.082
0.015
0.002
0.328
0.410
0.205
0.051
0.006
0.410
0.410
0.154
0.026
0.002
0.512
0.384
0.096
0.008
0.640
0.320
0.040
0.80
0.377
0.399
0.176
0.041
0.005
0.444
0.392
0.138
0.024
0.002
0.522
0.368
0.098
0.011
0.001
0.614
0.325
0.057
0.003
0.723
0.255
0.023
0.85
0.531
0.354
0.098
0.015
0.001
0.590
0.328
0.073
0.008
0.656
0.292
0.049
0.004
0.729
0.243
0.027
0.001
0.810
0.180
0.010
0.90
0.735
0.232
0.031
0.002
0.774
0.204
0.021
0.001
0.815
0.171
0.014
0.857
0.135
0.007
0.902
0.095
0.003
0.95
(Continúa)
0.941
0.057
0.001
0.951
0.048
0.001
0.961
0.039
0.001
0.970
0.029
0.980
0.020
0.99
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Anexo
0.002
2
9
8
0.066
1
0.075
0.003
1
2
146
7
6
5
0.001
0.063
4
0.003
2
0.299
0.008
0.083
1
0.63
0.005
0.051
0.279
0.663
0.004
0.041
0.257
0.698
0.05
3
0.914
0
8
7
6
5
4
3
0.923
0
7
6
5
4
3
0.932
0
7
0.01
x
n
0.001
0.007
0.045
0.172
0.387
0.387
0.005
0.033
0.149
0.383
0.43
0.003
0.023
0.124
0.372
0.478
0.10
0.001
0.005
0.028
0.107
0.260
0.368
0.232
0.003
0.018
0.084
0.238
0.385
0.272
0.001
0.011
0.062
0.210
0.396
0.321
0.15
0.003
0.017
0.066
0.176
0.302
0.302
0.134
0.001
0.009
0.046
0.147
0.294
0.336
0.168
0.004
0.029
0.115
0.275
0.367
0.210
0.20
0.001
0.009
0.039
0.117
0.234
0.300
0.225
0.075
0.004
0.023
0.087
0.208
0.311
0.267
0.100
0.001
0.012
0.058
0.173
0.311
0.311
0.133
0.25
0.004
0.021
0.074
0.172
0.267
0.267
0.156
0.040
0.001
0.010
0.047
0.136
0.254
0.296
0.198
0.058
0.004
0.025
0.097
0.227
0.318
0.247
0.082
0.30
0.010
0.042
0.118
0.219
0.272
0.216
0.100
0.021
0.003
0.022
0.081
0.188
0.279
0.259
0.137
0.032
0.001
0.008
0.047
0.144
0.268
0.298
0.185
0.049
0.35
0.021
0.074
0.167
0.251
0.251
0.161
0.060
0.010
0.001
0.008
0.041
0.124
0.232
0.279
0.209
0.090
0.017
0.002
0.017
0.077
0.194
0.290
0.261
0.131
0.028
0.40
0.070
0.164
0.246
0.246
0.164
0.070
0.018
0.002
0.004
0.031
0.109
0.219
0.273
0.219
0.109
0.031
0.004
0.008
0.055
0.164
0.273
0.273
0.164
0.055
0.008
0.50
0.161
0.251
0.251
0.167
0.074
0.021
0.004
0.017
0.090
0.209
0.279
0.232
0.124
0.041
0.008
0.001
0.028
0.131
0.261
0.290
0.194
0.077
0.017
0.002
0.60
0.216
0.272
0.219
0.118
0.042
0.010
0.001
0.032
0.137
0.259
0.279
0.188
0.081
0.022
0.003
0.049
0.185
0.298
0.268
0.144
0.047
0.008
0.001
0.65
0.267
0.267
0.172
0.074
0.021
0.004
0.058
0.198
0.296
0.254
0.136
0.047
0.010
0.001
0.082
0.247
0.318
0.227
0.097
0.025
0.004
0.70
0.300
0.234
0.117
0.039
0.009
0.001
0.100
0.267
0.311
0.208
0.087
0.023
0.004
0.133
0.311
0.311
0.173
0.058
0.012
0.001
0.75
Tabla 1 Valores de la distribución de probabilidad binomial P (X 5 x )
0.302
0.176
0.066
0.017
0.003
0.168
0.336
0.294
0.147
0.046
0.009
0.001
0.210
0.367
0.275
0.115
0.029
0.004
0.80
0.260
0.107
0.028
0.005
0.001
0.272
0.385
0.238
0.084
0.018
0.003
0.321
0.396
0.210
0.062
0.011
0.001
0.85
0.172
0.045
0.007
0.001
0.430
0.383
0.149
0.033
0.005
0.478
0.372
0.124
0.023
0.003
0.90
0.063
0.008
0.001
0.663
0.279
0.051
0.005
0.698
0.257
0.041
0.004
0.95
(Continúa)
0.003
0.923
0.075
0.003
0.932
0.066
0.002
0.99
ESTADISTÍCA Y PROBABILIDADES
11
10
n
147
11
10
9
8
7
6
5
0.001
0.087
4
0.005
2
0.329
0.014
0.099
1
0.569
3
0.895
0
10
9
8
7
6
5
0.001
0.075
4
0.004
2
0.315
0.010
0.091
1
0.599
0.05
3
0.904
0.01
0
9
8
x
0.002
0.016
0.071
0.213
0.384
0.314
0.001
0.011
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0.002
0.013
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0.287
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0.001
0.008
0.040
0.130
0.276
0.347
0.197
0.15
0.002
0.010
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0.111
0.221
0.295
0.236
0.086
0.001
0.006
0.026
0.088
0.201
0.302
0.268
0.107
0.20
0.001
0.006
0.027
0.080
0.172
0.258
0.258
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0.042
0.003
0.016
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0.250
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0.188
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0.25
0.001
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0.132
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0.001
0.009
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0.200
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0.121
0.028
0.30
0.002
0.010
0.038
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0.009
0.001
0.004
0.021
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0.001
0.35
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0.005
0.023
0.070
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0.236
0.177
0.089
0.027
0.004
0.002
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0.040
0.006
0.004
0.40
0.005
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0.161
0.226
0.226
0.161
0.081
0.027
0.005
0.001
0.010
0.044
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0.205
0.246
0.205
0.117
0.044
0.010
0.001
0.002
0.018
0.50
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0.027
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0.177
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0.221
0.147
0.070
0.023
0.005
0.001
0.006
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0.121
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0.002
0.010
0.060
0.60
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0.099
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0.010
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0.013
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0.154
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0.021
0.004
0.001
0.021
0.100
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0.020
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0.200
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0.001
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0.200
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0.009
0.001
0.040
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0.258
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0.080
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0.006
0.001
0.056
0.188
0.282
0.250
0.146
0.058
0.016
0.003
0.075
0.225
0.75
Tabla 1 Valores de la distribución de probabilidad binomial P (X 5 x )
0.086
0.236
0.295
0.221
0.111
0.039
0.010
0.002
0.107
0.268
0.302
0.201
0.088
0.026
0.006
0.001
0.134
0.302
0.80
0.167
0.325
0.287
0.152
0.054
0.013
0.002
0.197
0.347
0.276
0.130
0.040
0.008
0.001
0.232
0.368
0.85
0.314
0.384
0.213
0.071
0.016
0.002
0.349
0.387
0.194
0.057
0.011
0.001
0.387
0.387
0.90
0.569
0.329
0.087
0.014
0.001
0.599
0.315
0.075
0.010
0.001
0.630
0.299
0.95
(Continúa)
0.895
0.099
0.005
0.904
0.091
0.004
0.914
0.083
0.99
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
15
0.463
148
9
0.001
0.001
15
14
13
12
11
10
9
8
0.013
0.045
0.116
0.218
0.286
0.231
0.087
0.003
0.002
0.010
0.043
0.129
0.267
0.343
0.206
7
6
0.005
5
0.135
4
0.009
2
0.031
0.130
1
3
0.860
0
12
11
10
0.366
0.001
8
7
0.019
0.068
0.172
0.292
0.301
0.142
0.15
0.004
0.004
0.021
0.085
0.230
0.377
0.282
0.10
6
5
0.002
0.099
0.341
0.017
0.006
2
4
0.107
1
0.540
0.05
3
0.886
0
12
0.01
x
n
0.001
0.003
0.014
0.043
0.103
0.188
0.250
0.231
0.132
0.035
0.001
0.003
0.016
0.053
0.133
0.236
0.283
0.206
0.069
0.20
0.001
0.003
0.013
0.039
0.092
0.165
0.225
0.225
0.156
0.067
0.013
0.002
0.011
0.040
0.103
0.194
0.258
0.232
0.127
0.032
0.25
0.001
0.003
0.012
0.035
0.081
0.147
0.206
0.219
0.170
0.092
0.031
0.005
0.005
0.001
0.002
0.010
0.030
0.071
0.132
0.191
0.212
0.179
0.111
0.048
0.013
0.002
0.001
0.020
0.059
0.128
0.204
0.237
0.195
0.109
0.037
0.006
0.35
0.008
0.029
0.079
0.158
0.231
0.240
0.168
0.071
0.014
0.30
0.002
0.007
0.024
0.061
0.118
0.177
0.207
0.186
0.127
0.063
0.022
0.005
0.002
0.012
0.042
0.101
0.177
0.227
0.213
0.142
0.064
0.017
0.002
0.40
0.003
0.014
0.042
0.092
0.153
0.196
0.196
0.153
0.092
0.042
0.014
0.003
0.003
0.016
0.054
0.121
0.193
0.226
0.193
0.121
0.054
0.016
0.003
0.50
0.005
0.022
0.063
0.127
0.186
0.207
0.177
0.118
0.061
0.024
0.007
0.002
0.002
0.017
0.064
0.142
0.213
0.227
0.177
0.101
0.042
0.012
0.002
0.60
0.002
0.013
0.048
0.111
0.179
0.212
0.191
0.132
0.071
0.030
0.010
0.002
0.006
0.037
0.109
0.195
0.237
0.204
0.128
0.059
0.020
0.005
0.001
0.65
0.005
0.031
0.092
0.170
0.219
0.206
0.147
0.081
0.035
0.012
0.003
0.001
0.014
0.071
0.168
0.240
0.231
0.158
0.079
0.029
0.008
0.001
0.70
0.75
0.013
0.067
0.156
0.225
0.225
0.165
0.092
0.039
0.013
0.003
0.001
0.032
0.127
0.232
0.258
0.194
0.103
0.040
0.011
0.002
Tabla 1 Valores de la distribución de probabilidad binomial P (X 5 x )
0.035
0.132
0.231
0.250
0.188
0.103
0.043
0.014
0.003
0.001
0.069
0.206
0.283
0.236
0.133
0.053
0.016
0.003
0.001
0.80
0.087
0.231
0.286
0.218
0.116
0.045
0.013
0.003
0.001
0.142
0.301
0.292
0.172
0.068
0.019
0.004
0.001
0.85
0.206
0.343
0.267
0.129
0.043
0.010
0.002
0.282
0.377
0.230
0.085
0.021
0.004
0.90
0.463
0.366
0.135
0.031
0.005
0.001
0.540
0.341
0.099
0.017
0.002
0.95
(Continúa)
0.860
0.130
0.009
0.886
0.107
0.006
0.99
ESTADISTÍCA Y PROBABILIDADES
0.060
149
0.015
0.037
0.074
0.120
0.160
0.176
0.160
0.120
0.074
0.037
0.015
0.005
0.001
0.50
20
19
18
0.001
0.001
0.005
0.015
0.035
0.071
0.117
0.160
0.180
0.166
0.124
0.075
0.035
0.012
0.003
0.40
17
0.001
0.004
0.014
0.034
0.069
0.116
0.161
0.184
0.171
0.127
0.074
0.032
0.010
0.002
0.35
0.005
0.001
0.004
0.012
0.031
0.065
0.114
0.164
0.192
0.179
0.130
0.072
0.028
0.007
0.001
0.30
16
15
14
13
0.001
12
0.010
0.027
0.061
0.112
0.169
0.202
0.190
0.134
0.067
0.021
0.003
0.25
0.003
0.002
0.007
0.022
0.055
0.109
0.175
0.218
0.205
0.137
0.058
0.012
0.20
11
10
0.001
9
0.016
0.005
0.002
7
0.045
0.103
0.182
0.243
0.229
0.137
0.039
0.15
8
0.009
0.032
0.090
0.190
0.285
0.270
0.122
0.10
6
0.002
0.001
3
0.189
5
0.016
2
0.377
0.013
0.165
1
0.358
0.05
4
0.818
0
20
0.01
x
n
0.003
0.012
0.035
0.075
0.124
0.166
0.180
0.160
0.117
0.071
0.035
0.015
0.005
0.001
0.60
0.002
0.010
0.032
0.074
0.127
0.171
0.184
0.161
0.116
0.069
0.034
0.014
0.004
0.001
0.65
0.001
0.007
0.028
0.072
0.130
0.179
0.192
0.164
0.114
0.065
0.031
0.012
0.004
0.001
0.70
0.003
0.021
0.067
0.134
0.190
0.202
0.169
0.112
0.061
0.027
0.010
0.003
0.001
0.75
Tabla 1 Valores de la distribución de probabilidad binomial P (X 5 x )
0.012
0.058
0.137
0.205
0.218
0.175
0.109
0.055
0.022
0.007
0.002
0.80
0.039
0.137
0.229
0.243
0.182
0.103
0.045
0.016
0.005
0.001
0.85
0.122
0.270
0.285
0.190
0.090
0.032
0.009
0.002
0.90
0.358
0.377
0.189
0.060
0.013
0.002
0.95
0.99
0.818
0.165
0.016
0.001
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Tabla 2 Para un valor dado de Z, la probabilidad tabulada corresponde a P (Z # z )
Z
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
23.4
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
23.3
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
23.2
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
23.1
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
23.0
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
22.9
0.002
0.002
0.002
0.002
0.002
0.002
0.002
0.001
0.001
0.001
22.8
0.003
0.002
0.002
0.002
0.002
0.002
0.002
0.002
0.002
0.002
22.7
0.003
0.003
0.003
0.003
0.003
0.003
0.003
0.003
0.003
0.003
22.6
0.005
0.005
0.004
0.004
0.004
0.004
0.004
0.004
0.004
0.004
22.5
0.006
0.006
0.006
0.006
0.006
0.005
0.005
0.005
0.005
0.005
22.4
0.008
0.008
0.008
0.008
0.007
0.007
0.007
0.007
0.007
0.006
22.3
0.011
0.010
0.010
0.010
0.010
0.009
0.009
0.009
0.009
0.008
22.2
0.014
0.014
0.013
0.013
0.013
0.012
0.012
0.012
0.011
0.011
22.1
0.018
0.017
0.017
0.017
0.016
0.016
0.015
0.015
0.015
0.014
22.0
0.023
0.022
0.022
0.021
0.021
0.020
0.020
0.019
0.019
0.018
21.9
0.029
0.028
0.027
0.027
0.026
0.026
0.025
0.024
0.024
0.023
21.8
0.036
0.035
0.034
0.034
0.033
0.032
0.031
0.031
0.030
0.029
21.7
0.045
0.044
0.043
0.042
0.041
0.040
0.039
0.038
0.038
0.037
21.6
0.055
0.054
0.053
0.052
0.051
0.049
0.048
0.047
0.046
0.046
21.5
0.067
0.066
0.064
0.063
0.062
0.061
0.059
0.058
0.057
0.056
21.4
0.081
0.079
0.078
0.076
0.075
0.074
0.072
0.071
0.069
0.068
21.3
0.097
0.095
0.093
0.092
0.090
0.089
0.087
0.085
0.084
0.082
21.2
0.115
0.113
0.111
0.109
0.107
0.106
0.104
0.102
0.100
0.099
(Continúa)
151
ESTADISTÍCA Y PROBABILIDADES
Tabla 2 Para un valor dado de Z, la probabilidad tabulada corresponde a P (Z # z )
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
21.1
0.136
0.133
0.131
0.129
0.127
0.125
0.123
0.121
0.119
0.117
21.0
0.159
0.156
0.154
0.152
0.149
0.147
0.145
0.142
0.140
0.138
20.9
0.184
0.181
0.179
0.176
0.174
0.171
0.169
0.166
0.164
0.161
20.8
0.212
0.209
0.206
0.203
0.200
0.198
0.195
0.192
0.189
0.187
20.7
0.242
0.239
0.236
0.233
0.230
0.227
0.224
0.221
0.218
0.215
20.6
0.274
0.271
0.268
0.264
0.261
0.258
0.255
0.251
0.248
0.245
20.5
0.309
0.305
0.302
0.298
0.295
0.291
0.288
0.284
0.281
0.278
20.4
0.345
0.341
0.337
0.334
0.330
0.326
0.323
0.319
0.316
0.312
20.3
0.382
0.378
0.374
0.371
0.367
0.363
0.359
0.356
0.352
0.348
20.2
0.421
0.417
0.413
0.409
0.405
0.401
0.397
0.394
0.390
0.386
20.1
0.460
0.456
0.452
0.448
0.444
0.440
0.436
0.433
0.429
0.425
20.0
0.500
0.496
0.492
0.488
0.484
0.480
0.476
0.472
0.468
0.464
Tabla 3 Para un valor dado de z, la probabilidad tabulada corresponde a P (Z # z )
Z
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
0.500
0.504
0.508
0.512
0.516
0.520
0.524
0.528
0.532
0.536
0.1
0.540
0.544
0.548
0.552
0.556
0.560
0.564
0.567
0.571
0.575
0.2
0.579
0.583
0.587
0.591
0.595
0.599
0.603
0.606
0.610
0.614
0.3
0.618
0.622
0.626
0.629
0.633
0.637
0.641
0.644
0.648
0.652
0.4
0.655
0.659
0.663
0.666
0.670
0.674
0.677
0.681
0.684
0.688
0.5
0.691
0.695
0.698
0.702
0.705
0.709
0.712
0.716
0.719
0.722
0.6
0.726
0.729
0.732
0.736
0.739
0.742
0.745
0.749
0.752
0.755
0.7
0.758
0.761
0.764
0.767
0.770
0.773
0.776
0.779
0.782
0.785
0.8
0.788
0.791
0.794
0.797
0.800
0.802
0.805
0.808
0.811
0.813
0.9
0.816
0.819
0.821
0.824
0.826
0.829
0.831
0.834
0.836
0.839
1.0
0.841
0.844
0.846
0.848
0.851
0.853
0.855
0.858
0.860
0.862
(Continúa)
152
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Tabla 3 Para un valor dado de z, la probabilidad tabulada corresponde a P (Z # z )
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.1
0.864
0.867
0.869
0.871
0.873
0.875
0.877
0.879
0.881
0.883
1.2
0.885
0.887
0.889
0.891
0.893
0.894
0.896
0.898
0.900
0.901
1.3
0.903
0.905
0.907
0.908
0.910
0.911
0.913
0.915
0.916
0.918
1.4
0.919
0.921
0.922
0.924
0.925
0.926
0.928
0.929
0.931
0.932
1.5
0.933
0.934
0.936
0.937
0.938
0.939
0.941
0.942
0.943
0.944
1.6
0.945
0.946
0.947
0.948
0.949
0.951
0.952
0.953
0.954
0.954
1.7
0.955
0.956
0.957
0.958
0.959
0.960
0.961
0.962
0.962
0.963
1.8
0.964
0.965
0.966
0.966
0.967
0.968
0.969
0.969
0.970
0.971
1.9
0.971
0.972
0.973
0.973
0.974
0.974
0.975
0.976
0.976
0.977
2.0
0.977
0.978
0.978
0.979
0.979
0.980
0.980
0.981
0.981
0.982
2.1
0.982
0.983
0.983
0.983
0.984
0.984
0.985
0.985
0.985
0.986
2.2
0.986
0.986
0.987
0.987
0.987
0.988
0.988
0.988
0.989
0.989
2.3
0.989
0.990
0.990
0.990
0.990
0.991
0.991
0.991
0.991
0.992
2.4
0.992
0.992
0.992
0.992
0.993
0.993
0.993
0.993
0.993
0.994
2.5
0.994
0.994
0.994
0.994
0.994
0.995
0.995
0.995
0.995
0.995
2.6
0.995
0.995
0.996
0.996
0.996
0.996
0.996
0.996
0.996
0.996
2.7
0.997
0.997
0.997
0.997
0.997
0.997
0.997
0.997
0.997
0.997
2.8
0.997
0.998
0.998
0.998
0.998
0.998
0.998
0.998
0.998
0.998
2.9
0.998
0.998
0.998
0.998
0.998
0.998
0.998
0.999
0.999
0.999
3.0
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
3.1
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
3.2
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
3.3
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
3.4
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
153