Problemas y ejercicios
de análisis matemático
Baranenkov - Demidovich - Efimenko - Kogan - Lunts
Porshneva - Sichova - Frolov - Shostak - Yanpolski
Revisado por el profesor
B. Demidovich
Moscú 1967
Solución de los problemas
(En video
o imagen
)
por
Juan Carlos Beltrán B.
Colombia 2017
Capítulo I. Introducción al análisis
§ 1. Concepto de función.
7. La función f  x  es lineal. Hallar dicha función, si f   1  2 y f  2    3.
8. Hallar la función entera y racional de segundo grado f  x  , si
f  0  1, f 1  0 y f  3  5.
0, si x  0
 x, si x  0
10. Escribir una sola fórmula que exprese la función f  x   
empleando el signo de valor absoluto.
En los problemas 11 a 21, determinar el campo de existencia (dominio) de las
funciones dadas:
11. a) y  x  1
16. y  x  x 3
11. b) y  3 x  1
17. y  log
1
4  x2
13. a) y  x 2  2
12. y 
13. b) y  x x 2  2
14. y  2  x  x 2
15. y   x 
1
2 x
2 x
2 x
Capítulo II. Diferenciación de funciones
§ 2. Derivación por medio de tablas.
F. Derivación logarítmica
En los problemas 564 a 580, hallar y  , tomando previamente logaritmos para
la función y  f ( x) :
566. y   x  1 2 x  1 3x  1
 x  2
567. y 
3
4
 x  1  x  3
x  x -1
568. y 
575. y  x x
2
576. y  x x x
x-2
x2
3
569. y  x  2
x 1
577. y  x sen x
 x  2
5
11
 x  1  x  3
578. y   cos x 
x 1
1
579. y  1  
x

9
570. y 
571. y 
3
574. y  x x
 x  2   x  3
572. y  x x
573. y  x x2
2
3
sen x
x
580. y   arctan x 
x
§ 3. Derivadas de funciones que no están dadas explícitamente:
581. Hallar la derivada xy , si:
581. b) y  x  sen x
581. a) y  3x  x3
581. c) c ) y  0.1x  e x /2
1
2
En los problemas 582 a 594, calcular la derivada y  dy , de las funciones y  f ( x)
dx
siguientes, dadas en forma paramétrica:
x  2t  1
3
y  t
582. 
1

 x  t  1
583. 
2
t


y  


 t 1
x  t 2  1

587. 
t 1
y


t2 1
 x  a  cos t  t sen t 
588. 
 y  a  sen t  t cos t 
2at

x


1 t2

584. 
a 1 t2 
y  

1 t2
 x  a cos 2 t
589. 
2
 y  b sen t
3at

 x  1  t 3
585. 
2
 y  3at
1  t3

590. 
x  t
3
y  t
586. 
x  a cos 3 t
3
 y  b sen t
Capítulo IV. Integral indefinida
§ 2. Método de sustitución.
En los problemas 1192 a 1200, hallar las integrales, empleando para ello las
sustituciones más adecuadas:
 x  2x  5 dx
1 x
1193.
 1  x dx
dx
1194.
 x 2x  1
dx
1195.
 e 1
ln 2 x dx
1196.
 ln 4x x
1192.
 arcsen x 
2
 1  x dx
e
1198.
 e  1 dx
sen x
1199.
 cos x dx
dx
1200.
 x 1 x
10
1197.
2
2x
x
3
x
2
En los problemas 1201 a 1207, hallar las integrales, empleando sustituciones
trigonométricas:
 1 x
x dx
1202.
 2 x
x  a dx
1203.
 x
dx
1204.
 x x 1
1201.
1205.
2
3
2
2
x2 1
dx
x
dx

1206.
 x 4 x
1207.
 1  x dx
x 2 dx
2
2
2
2
2
1208. Calcular la integral

dx
valiéndose de la sustitución x  sen 2 t
x 1  x 

x dx
1210. Hallar
 x  a haciendo x  a cosh t
1209. Hallar
 a 2  x 2  dx empleando la sustitución hiperbólica x  a senh t
2
2
2
§ 3. Integración por partes.
En los problemas 1211 a 1235, hallar las integrales, utilizando la fórmula para
la integración por partes:
 ln xdx
1212. arctan xdx

1213. arcsen xdx

1214. x sen xdx

1215. x cos3xdx

x
1216.
 e dx
1217. x  2 dx

1218. x e dx

1219.  x  2 x  5 e dx

1220. x e dx

1221. x sen x cos xdx

1222.  x  5 x  6  cos 2 xdx

1223. x ln xdx

1211.
x
x
2 3x
x
2

3
2
2
x
3
 ln xdx
ln x
1225.
 x dx
ln x
1226.
 x dx
1227. x arctan xdx

1228. x arcsen xdx

1229. ln  x  1  x  dx

x
1230.
 sen x dx
x cos x
1231.
 sen x dx
1232. e sen xdx

1233. 3 cos xdx

1234. e sen bxdx

1235. sen  ln x  dx

1224.
2
3
2
2
2
x
x
ax
En los problemas 1236 a 1254, hallar las integrales, empleando diferentes
procedimientos:

1237. e dx

ln x
1240.
 x dx
1236.
x 3e  x dx
2
x
2
2
  x  2x  3 ln xdx
1 x
1239. x ln
 1  x dx
ln  ln x 
1241.
 x dx
1238.
2
§ 4. Integrales elementales que contienen un trinomio cuadrado.
En los problemas 1255 a 1279, hallar las integrales:

1256.

1257.

1258.

1259.

 x  1
1260.
 x  3x  4 dx
x
1261.
 x - 6 x + 10 dx
dx
1262.
 2  3x  2 x
dx
1263.
 xx
dx
1264.
 x  px  q
3x  6
1265.
 x  4x  5 dx
2x  8
1266.
 1  x  x dx
x
1267.
 5x  2x  1 dx
1255.
dx
x 2  2x  5
dx
x 2  2x
dx
3x 2  x  1
xdx
x 2  7 x  13
3x  2
dx
x 2  4x  5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

1269.

1270.

1271.

1272.
 x  2x  5dx
1273.
 x  x dx
1274.
 2  x  x dx
xdx
1275.
 x  4x  3
cos xdx
1276.
 sen x  6sen x  12
e dx
1277.
 1 e  e
sen xdx
1278.
 cos x  4cos x  1
ln xdx
1279.
 x 1  4ln x  ln x
1268.
dx
x 1 x2
dx
x x2  x 1
dx
 x  1 x 2  2
dx
 x  1 x 2  2 x
2
2
2
4
2
2
x
x
2x
2
2
§ 5. Integración de funciones racionales.
En los problemas 1280 a 1300, hallar las integrales:

x  5x  9
1281.
 x  5x  6 dx
dx
1282.
  x  1 x  2 x  3
2 x  41x  91
1283.
  x  1 x  3 x  4 dx
5x  2
1284.
 x  5x  4x dx
dx
1285.
 x  x  1
x 1
1286.
 4x  x dx
x  6 x  12 x  6
1287.
 x  6x  12x  8 dx
5x  6 x  9
1288.
  x  3  x  1 dx
x  8x  7
1289.
  x  3x  10 dx
2x  3
1290.
  x  3x  2 dx
1280.
dx
 x  a  x  b 
2
2
2
3
3
2
2
3
3
4
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
x3  x  1
dx
x  x 2  1

x
1292.
 x  1 dx
dx
1293.
  x  4x  3 x  4x  5
dx
1294.
 x 1
dx
1295.
 x 1
dx
1296.
 x  x 1
dx
1297.
 1  x 
3x  5
1298.
  x  2x  2 dx
dx
1299.
  x  1  x  x  1
x 1
1300.
  x  4x  5 dx
1291.
4
4
2
2
3
4
4
2
2 2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
En los problemas 1301 a 1304, hallar las integrales utilizando el método de
Ostrogradski:
  x  1  x  1
dx
1302.
  x  1
dx
1301.
2
4
2
2
2
  x  1
3x  5
1304.
  x  2x  2 dx
1303.
dx
2
2
4
2
En los problemas 1305 a 1314, hallar las integrales empleando diversos
procedimientos:

x x
1306.
 x  2x  1 dx
x  x  14
1307.
  x  4  x  2 dx
dx
1308.
 x  x  1
dx
1309.
 x  4 x  5x  2
x5
dx
 x 3  1 x 3  8
1305.
7
3
12
4
2
3
4
3
2
3
2

dx
1311.
 x  x  1
dx
1312.
  x  2x  2 x  2x  5
x dx
1313.
  x  1
dx
1314.
x x
dx
x  x 7  1
1310.
2
5
2
2
2
10
8
6
§ 6. Integración de algunas funciones irracionales.
En los problemas 1315 a 1325, hallar las integrales:

1317.
 x  1   x  1
x3
dx
x 1
dx
1315.
1319.

3
x 1
dx
x 1

1318.

1316.
3
1320.
x
dx
3
ax  b
dx
x3x
x 1  2
  x  1  x  1 dx
2
Capítulo VII. Integrales múltiples y curvilíneas
§ 1. Integral doble en coordenadas rectangulares.
En los problemas 2113 a 2120, calcular las integrales iteradas:

x dy
2115.
  1  y dx
2117.
   x  2 y  dx dy
2119.
  r sen dr d
2
1
2113.
 x  2 y  dx dy
2
0
0
1
1
0
0
3
2
2
5
3
y 2 4
 / 2 3cos
2
 / 2
0
2
   x  y  dx
x dy
2116.
  y dx
2118.
  r dr d
4
2
3
1
dy
2114.
2
2
x
1
1/ x
2
2
a
0
a sen 

1
2120.
2
0
0
1 x 2
1  x 2  y 2 dy dx
Capítulo IX. Ecuaciones diferenciales
§ 2. Verificación de las soluciones. Formación de las ecuaciones diferenciales de
familias de curvas. Condiciones iníciales.
En los problemas 2704 a 2710, averiguar, si son soluciones de las ecuaciones
diferenciales que se dan, las funciones que se indican:
2704. xy  2 y,
y  5x 2
2705. y  x 2  y 2 ,
y
C 2  x2
2x
y  3sen x  4cos x
2706.  x  y  dx  xdy  0,
2707. y  y  0,
2708.
1
x
d 2x
  2 x  0,
2
dt
y
x  C1 cos t  C 2 sen t
2709. y  2 y  y  0
2709. a) y  xe x
2709. b) y  x 2 e x
2710. y   1   2  y  1 2 y  0,
y  C1e 1 x  C2 e  2 x
En los problemas 2711 a 2713, demostrar, que las relaciones que se indican son
integrales de las ecuaciones diferenciales que se dan:
2711.  x  2 y  y  2 x  y,
2712.  x  y  1 y  1,
x 2  xy  y 2  C 2
y  x  Ce y
2713.  xy  x  y  xy 2  yy  2 y  0,
y  ln  xy 
En los problemas 2714 a 2725, formar las ecuaciones diferenciales de las familias de
curvas que se dan  C, C1 , C2 y C3 son constantes ar bit rarias  :
2714. y  Cx
2715. y  Cx 2
2716. y 2  2Cx
2
y

1
2720. y   2  Ce 2
x
x
ln  1  ay
2721.
y
(a es un parámetro)
2
2722.  y  y0   2 px
2
( y0 , p son parámetros)
2717. x 2  y 2  C 2
2723. y  C1e 2 x  C2e  x
2718. y  Ce x
2724. y  C1 cos 2 x  C2 sen 2 x
2719. x 3  C  x 2  y 2 
2725. y   C1  C2 x  e x  C3
2726. Formar la ecuación diferencial de todas las rectas del plano XOY
2727. Formar la ecuación diferencial de todas las parábolas con eje vertical
en el plano XOY
2728. Formar la ecuación diferencial de todas las circunferencias en el
plano XOY
En los problemas 2729 a 2732, hallar, para la familia de curvas que se dan, las líneas
que satisfagan las condiciones iníciales que se indican:
2729. x 2  y 2  C, y  0  5
2730. y   C1  C2 x  e 2 x , y  0  0, y  0   1
2731. y  C1 sen  x  C2  , y    1, y    0
2732. y  C1e  x  C2e x  C3e 2 x , y  0  0, y  0   1, y  0    2
Índice temático
Capítulo I: Introducción al análisis.
§ 1. Concepto de función
§ 2. Representación gráfica de las funciones elementales
§ 3. Límites
§ 4. Infinitésimos e infinitos
§ 5. Continuidad de las funciones
Capítulo II: Diferenciación de funciones.
§ 1. Cálculo directo de derivadas
§ 2. Derivación por medio de tablas
§ 3. Derivadas de funciones que no están dadas explícitamente
§ 4. Aplicaciones geométricas y mecánicas de las derivadas
§ 5. Derivadas de órdenes superiores
§ 6. Diferenciales de primer orden y de órdenes superiores
§ 7. Teorema del valor medio
§ 8. Fórmula de Taylor
§ 9. Regla de L'Hopital - Bernoulli para el cálculo de límites indeterminados
Capítulo III: Extremos de funciones y aplicaciones geométricas de la derivada.
§ 1. Extremos de las funciones de un argumento
§ 2. Dirección de la concavidad. Puntos de inflexión
§ 3. Asíntotas
§ 4. Construcción de las gráficas de las funciones por sus puntos característicos
§ 5. Diferencial del arco. Curvatura
Capítulo IV: Integral indefinida.
§ 1. Integración inmediata
§ 2. Método de sustitución
§ 3. Integración por partes
§ 4. Integrales elementales que contienen un trinomio cuadrado
§ 5. Integración de funciones racionales
§ 6. Integración de algunas funciones irracionales
§ 7. Integración de funciones trigonométricas
§ 8. Integración de funciones hiperbólicas
§ 9. Empleo de sustituciones trigonométricas e hiperbólicas para el cálculo de
integrales de la forma
§ 10. Integración de diversas funciones transcendentes
§ 11. Empleo de las fórmulas de reducción
§ 12. Integración de distintas funciones
Capítulo V: Integral definida.
§ 1. La integral definida como límite de una suma
§ 2. Cálculo de las integrales definidas por medio de indefinidas
§ 3. Integrales impropias
§ 4. Cambio de variable en la integral definida
§ 5. Integración por partes
§ 6. Teorema del valor medio
§ 7. Áreas de las figuras planas
§ 8. Longitud del arco de una curva
§ 9. Volúmenes de cuerpos sólidos
§ 10. Área de una superficie de revolución
§ 11. Momentos. Centros de gravedad. teoremas de Guldin
§ 12. Aplicaciones de las integrales definidas a la resolución de problemas de física
Capítulo VI: Funciones de varias variables.
§ 1. Conceptos fundamentales
§ 2. Continuidad
§ 3. Derivadas parciales
§ 4. Diferencial total de una función
§ 5. Derivación de funciones compuestas
§ 6. Derivada en una dirección dada y gradiente de una función
§ 7. Derivadas y diferenciales de órdenes superiores
§ 8. Integración de diferenciales exactas
§ 9. Derivación de funciones implícitas
§ 10. Cambio de variables
§ 11. Plano tangente y normal de una superficie
§ 12. Fórmula de Taylor para las funciones de varias variables
§ 13. Extremo de una función de varias variables
§ 14. Problemas de determinación de los máximos y mínimos absolutos de las
funciones
§ 15. Puntos singulares de las curvas planas
§ 16. Envolvente
§ 17. Longitud de un arco de una curva en el espacio
§ 18. Función vectorial de un argumento escalar
§ 19. Triedro intrínseco de una curva en el espacio
§ 20. Curvaturas de flexión y de torsión de una curva en el espacio
Capítulo VII: Integrales múltiples y curvilíneas
§ 1. Integral doble en coordenadas rectangulares
§ 2. Cambio de variables en la integral doble
§ 3. Cálculo de áreas de figuras planas
§ 4. Cálculo de volúmenes
§ 5. Cálculos de áreas de superficies
§ 6. Aplicaciones de la integral doble a la mecánica
§ 7. Integrales triples
§ 8. Integrales impropias, dependientes de un parámetro. Integrales impropias
múltiples.
§ 9. Integrales curvilíneas
§ 10. Integrales de superficie
§ 11. Fórmula de Ostrogradski - Gauss
§ 12. Elementos de la teoría de los campos
Capítulo VIII: Series.
§ 1. Series numéricas
§ 2. Series de funciones
§ 3. Serie de Taylor
§ 4. Series de Fourier
Capítulo IX: Ecuaciones diferenciales.
§ 1. Verificación de las soluciones. Formación de las ecuaciones diferenciales de
familias de curvas. Condiciones iníciales.
§ 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
§ 3. Ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables. Trayectorias
ortogonales
§ 4. Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden
§ 5. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuación de Bernoulli
§ 6. Ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante
§ 7. Ecuaciones diferenciales de primer orden no resueltas respecto a la derivada
§ 8. Ecuaciones de Lagrange y de Clairut
§ 9. Ecuaciones diferenciales diversas de primer orden
§ 10. Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores
§ 11. Ecuaciones diferenciales lineales
§ 12. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes
constantes
§ 13. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior al 2°, con coeficientes
constantes
§ 14. Ecuaciones de Euler
§ 15. Sistemas de ecuaciones diferenciales
§ 16. Integración de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias
§ 17. Problemas sobre el método de Fourier
Capítulo X: Cálculos aproximados.
§ 1. Operaciones con números aproximados
§ 2. Interpolación de funciones
§ 3. Cálculo de raíces reales de las ecuaciones
§ 4. Integración numérica de funciones
§ 5. Integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias
§ 6. Cálculo aproximado de los coeficientes de Fourier