ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
AULA TEÓRICA 1
13 DE FEVEREIRO DE 2013
NÚMEROS COMPLEXOS
Porquê estudar os números complexos?
Uma das razões (algébricas) para isso tem a ver com as raı́zes de polinómios com
coeficientes reais.
As soluções da equação ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais, são
dadas por
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
No entanto, esta expressão só faz sentido (nos reais) se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
Se b2 − 4ac < 0, a expressão ax2 + bx + c é sempre do mesmo sinal para qualquer
x ∈ R.
Extendamos então os números reais de modo a que haja soluções mesmo que
b2 − 4ac < 0.
√
Introduzimos a convenção i = −1 (donde, i2 = −1) e operamos formalmente
de modo a obter raı́zes.
Exemplo:
x2 − 2x + 3 = 0
Temos x =
2±
√
√
4 − 12
2 ± −8
=
.
2
2
Donde, não há raı́zes reais.
Mas, simplificando, obtemos
√ √
√ √
√
2 ± 8 −1
x=
= 1 ± 2 −1 = 1 ± 2i.
2
Temos duas raı́zes (não reais).
A i chama-se a unidade imaginária.
1
2
Números Complexos
São da forma a + bi, com a e b reais. Normalmente, denotamos números complexos por z = a + bi.
Qualquer equação do segundo grau (com coeficientes reais) tem sempre soluções
complexas.
Mais geralmente: qualquer polinómio de grau n com coeficientes reais tem exactamente n raı́zes complexas (contando-se as multiplicidades).
Há fórmulas resolventes para equações do terceiro e quarto graus, mas do quinto
em diante não há nenhuma fórmula resolvente geral.
A fórmula geral para as equações do terceiro grau (o método de Cardano) não
funciona nos chamados casos irredutı́veis.
(Nota: Uma fórmula resolvente deve apresentar as soluções usando apenas as
operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão, e radiciação de qualquer
ordem aplicadas aos coeficientes da equação. Para os casos irredutı́veis, contudo, é
necessário usar também funções trigonométricas).
Voltemos a a + bi.
a é a parte real do complexo, e b é a sua parte imaginária.
Podemos somar e multiplicar números complexos.
Para somar dois números complexos, somamos a suas partes reais e as suas partes imaginárias.
Exemplo:
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 − i
(2 + 3i) + (1 − i) = (2 + 1) + (3 − 1)i = 3 + 2i.
Para a subtracção, procedemos de modo semelhante:
(2 + 3i) − (1 − i) = (2 − 1) + (3 + 1)i = 1 + 4i.
Para a multiplicação, operamos formalmente (usando a distributividade em relação
à adição), tendo em atenção que i2 = −1:
(2 + 3i) · (1 − i) = 2 · (1 − i) + 3i · (1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i2 = 2 − 2i + 3i + 3 = 5 + i
Para dividir números complexos: mais adiante.
Porque é que os números complexos são uma extensão dos números reais? Se
a parte imaginária b é zero, temos o complexo a + bi = a + 0 · i = a, e por isso é
real. Ou seja: números complexos com parte imaginária nula são números reais (e
só esses é que o são).
Números complexos com parte real nula são imaginários puros.
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Representação no Plano Complexo
Para representar geometricamente a + bi, usamos um sistema de eixos.
Representamos como se fosse um vector com componentes a e b.
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Porquê o plano?
Porque se torna fácil somar números complexos.
Somamos usando a regra do paralelogramo.
Subtracção:
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O módulo de um número complexo z é |z|, a sua distância à origem na sua
representação no plano complexo.
|z| =
√
a 2 + b2
O complexo conjugado de z = a + bi é z̄ = a − bi.
6
Se z = a + 0i (é portanto real) temos z̄ = a − 0i = z.
Ou seja, para números reais, z̄ = z.
Calculemos agora z · z̄ = (a + bi) · (a − bi) = a2 − abi + abi − b2 i2 = a2 + b2 = |z|2 .
Obtivemos assim a importante relação:
z · z̄ = |z|2
Porquê o complexo conjugado?
Porque nos permite definir o quociente de números complexos:
z1
z1 · z̄2
z1 · z̄2
=
=
z2
z2 · z̄2
|z2 |2
Isto é válido desde que z2 6= 0.
Exemplo:
1 + 2i
(1 + 2i) · (1 + i)
−1 + 3i
1 3
=
=
=− + i
1−i
(1 − i) · (1 + i)
2
2 2
E assim já sabemos somar, subtrair, multiplicar e dividir números complexos.
Notação:
R - conjunto dos números reais
C - conjunto dos números complexos
Temos:
R(C