Scenariusz lekcji: Rozwiązywanie układów równań oznaczonych,
nieoznaczonych i sprzecznych (lekcja 3)
1. Cele lekcji
a. Wiadomości
Uczeń:
1. zna różne metody rozwiązywania układów równań,
2. zna pojęcia oznaczonego, nieoznaczonego i sprzecznego układu równań,
3. wie, co to znaczy znaleźć rozwiązanie układu równań.
b. Umiejętności
Uczeń:
1. umie określić rodzaj układu,
2. umie przekształcić równanie do postaci dogodnej do obliczeń,
3. umie rozwiązać układ równań różnymi metodami algebraicznymi,
4. umie dobrać współczynniki układu równań, aby otrzymać żądany rodzaj układu.
2. Metoda i forma pracy
Pokaz, obserwacja, ćwiczenia, uczniowie pracują indywidualnie.
3. Środki dydaktyczne
a. rzutnik multimedialny,
b. laptop,
c. karty pracy,
d. prezentacja multimedialna.
4. Przebieg lekcji
a. Faza przygotowawcza
Rozwiązywanie układów równań jest bardzo przydatne do rozwiązywania wielu problemów
matematycznych. Istnieje kilka metod rozwiązywania układów równań I stopnia z dwiema
niewiadomymi. Na poprzednich lekcjach poznaliście metodę podstawiania i metodę przeciwnych
współczynników. Dzisiejsze zajęcia będą okazją do doskonalenia umiejętności rozwiązywania układów
równań. Zastanowimy się również ile rozwiązań może mieć układ równań, czy zawsze tylko jedno?
b. Faza realizacyjna
Przykład 1.
Przyjrzyj się układowi równań:
x  y  2

x  y  4
Łatwo stwierdzić, że powyższy układ równań nie ma rozwiązań, gdyż jeżeli suma liczb jest równa 2 to
nie może być jednocześnie równa 4. Taki układ nie ma rozwiązań.
Przykład 2
Kolejny układ:
x  y  2

2 x  2 y  4
Tu widać, że rozwiązanie pierwszego równania jest jednocześnie rozwiązaniem drugiego równania,
taki układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, na przykład (1, 1), (2, 0), (3, –1), (4, –2), (–8,
10) itd.
Rozwiążmy oba układy metodą podstawiania.
Przykład 1
x  y  2

x  y  4
x  2  y

2  y  y  4
x  2  y

2  4
Otrzymujemy sprzeczność.
Przykład 2
x  y  2

2 x  2 y  4
x  2  y

2(2  y )  2 y  4
x  2  y

4  2 y  2 y  4
x  2  y

4  4
Tym razem otrzymaliśmy tożsamość, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Uwaga!
Gdybyśmy rozwiązywali ten układ metodą przeciwnych współczynników, to w efekcie końcowym
otrzymalibyśmy 0 = 0, co oznacza, że oba równania mają ten sam zbiór rozwiązań.
Reasumując:
Dla każdego układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi zachodzi jedna z trzech
możliwości:
Układ równań ma jedno rozwiązanie – układ oznaczony.
Układ równań nie ma rozwiązań – układ sprzeczny.
Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań – układ nieoznaczony.
Część ćwiczeniowa, uczniowie rozwiązują zadania na tablicy i w zeszycie.
Zadanie 1.
Postaraj się bez rozwiązywania podanych układów określić liczbę rozwiązań każdego z nich. Nazwij
każdy układ równań
x  2 y  4
a) 
3 x  6 y  6
y  x  2
b) 
 x  y  2
y  2  x
c) 
x  3
Odp.
a) Brak rozwiązań układ sprzeczny.
b) Nieskończenie wiele rozwiązań układ nieoznaczony.
c) Jedno rozwiązanie (3, 5) układ oznaczony.
Zadanie 2.
Rozwiąż układy równań dowolną metodą:
x  2 y  5
a) 
2 y  x  5
3 x  2 y  4
b) 
1,5 x  y  2
3 x  6 y  12
c) 
x  2 y  6
3 x  2 y  4
d) 
2 y  2 x  1
1  2 x  5 y  0
e) 
4  3 x  2 y  0
Odp.
a) Układ nieoznaczony, wiele rozwiązań.
b) Układ nieoznaczony, wiele rozwiązań.
c) Układ sprzeczny, brak rozwiązań.
d) Układ oznaczony, jedno rozwiązanie (3, –2,5).
e) Układ oznaczony, jedno rozwiązanie (2, –1).
Zadanie 3.
Do podanego równania dopisz drugie tak, aby otrzymać określony układ równań. Sprawdź poprawność
rozwiązując każdy z układów równań dowolną metodą algebraiczną
 x  3y  2
a) 
...................................
układ nieoznaczony
 y  2x  1
b) 
..................................
układ sprzeczny
c. Faza podsumowująca
Zebranie i podsumowanie wiadomości dotyczących rozwiązywania układów równań różnymi
metodami algebraicznymi, o różnej liczbie rozwiązań.
Jakie znasz metody rozwiązywania układów równań? Metoda podstawiania i przeciwnych
współczynników.
Omów krótko na czym one polegają.
Ile rozwiązań może mieć układ równań?
Jedno, nieskończenie wiele, nie ma rozwiązań.
Jak nazywamy układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań?
Układ nieoznaczony.
Jak nazywamy układ równań, który nie ma rozwiązań?
Układ sprzeczny.
Jak nazywamy układ równań, który ma jedno rozwiązanie?
Układ oznaczony.
5. Bibliografia
Matematyka z plusem dla klasy II gimnazjum – podręcznik wyd. GWO
6. Załączniki
a. Karta pracy ucznia
b. Zadanie domowe
Zadanie 3 str. 105
podręcznik do matematyki dla klasy II Matematyka z Plusem wyd. GWO