2. Równania zmiennych rozdzielonych. Proste
modele prowadzące do równań zmiennych
rozdzielonych.
Równania różniczkowe zwyczajne, 2023/2024
Zadanie 1. Rozwiąż następujące równania zmiennych rozdzielonych
(a) x′ sin t = x ln x;
(b) (1 + et )xx′ = et ;
(c) x′ = sin(t − x);
(d) (1 + t + x + tx)x′ = 1;
(e) x′ = tx;
(f) (1 − x2 )x′ = t2 ;
(g) x′ = e−x ;
(h) x′ + 2x = 0;
(i) x′ + 2tx2 = 0.
Zadanie 2. Wyprowadź wzór na temperaturę ciała w chwili t na podstawie prawa stygnięcia Newtona
dT
= −k(T − TR ),
dt
gdzie TR jest temperaturą otoczenia, zaś T oznacza temperaturę ciała (przyjmujemy, że na
początku T > TR ).
Zadanie 3. Termometr z pokoju, w którym wskazywał 20◦ C, wystawiono na zewnątrz,
gdzie panował 5◦ C chłód. Po jednej minucie na termometrze było już 12◦ C. Po jakim czasie
termometr będzie wskazywał temperaturę tylko o 10% wyższą niż faktyczna?
1
Zadanie 4. Ciało zamordowanego w ogródku stacji meteorologicznej znaleziono o 19:30.
Lekarz sądowy przybył o 20:20 (już po oględzinach zwłok) i natychmiast zmierzył temperaturę
ciała denata. Wynosiła ona 32.6◦ C. Ciało przeniesiono do pomieszczenia, w którym panowała
stała temperatura 21◦ C. Godzinę później, gdy usuwano ciało, temperatura wynosiła 31.4◦ C.
Najbardziej podejrzana osoba, która mogła popełnić to morderstwo – Paweł P., twierdzi
jednak, że jest nie winny. Ma alibi. Po południu był on w restauracji. O 17:00 miał rozmowę
zamiejscową, po której natychmiast opuścił restaurację. Restauracja znajduje się 5 minut na
piechotę od miejsca morderstwa. Czy mógł on popełnić morderstwo?
Zadanie 5. Populacja pewnego gatunku biologicznego liczącego na początku 5000 osobników po 10 dniach liczyła około 8 000 osobników. Po dłuższym czasie stan populacji ustabilizował się na poziomie 15 000 osobników. Wyznacz czas, po którym populacja podwoiła
liczbę swoich osobników. Podpowiedź. Należy wykorzystać równanie logistyczne omówione
na ćwiczeniach.
Zadanie 5. Chory student przenoszący wirusa grypy wrócił do kampusu uniwersyteckiego
(zakładamy, ze w otoczeniu kampusu nie ma innych budynków), w którym mieszka 1000 osób
(łącznie z nim). Załóżmy, ze szybkość z jaką wirus się rozprzestrzenia jest proporcjonalna
do iloczynu liczby zarażonych studentów i liczby niezarażonych studentów. Wyznaczyć liczbę
zarażonych studentów po 6 dniach, jeżeli po 4 dniach było ich 50.
Zadanie 6. Wyznacz czas T [s], w ciągu którego ciecz, wypełniająca stożkowy lejek o
wysokości H [m] i rozwartości 2α wypłynie z niego przez mały otwór o powierzchni σ [m2 ],
wycięty w wierzchołku stożka, jeżeli wiadomo, że prędkość wypływu cieczy jest określona
√
wzorem v = k 2gh, gdzie k jest stałą, g przyspieszeniem ziemskim, zaś h(t) wysokością
słupa cieczy nad otworem w chwili t ­ 0.
2