DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES
LINEALES
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer
grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni
en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.Como es bien
sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.
Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede
observarse en la figura:
Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el
espacio
UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ES UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES DE
LA FORMA:
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
Los números reales aij se denominan coeficientes y los se denominan incógnitas (o
números a determinar) y bj se denominan términos independientes.
En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de
x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora
de resolver el sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las
ecuaciones del sistema simultáneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES
Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:
se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B)
SISTEMAS EQUIVALENTES
1
2
1
1
-1
-3
-1
1
-1
-1
-3
1
X
Y
Z
=
2
1
0
0
Los sistemas equivalentes, se aplican a sistemas de ecuaciones lineales que tienen las
mismas soluciones y que resultan de aplicar sobre la matriz original operaciones
elementales de fila
1
2
1
-1
1
-1
-3
-3
-1
1
-1
1
2
1
0
0
CLSIFICACION DE SISTEMAS DE
ECUACIONES
 Sistemas homogéneos (2 tipos de soluciones)
La solución trivial, es decir, cuando las incógnitas valen cero cada
una.
Infinitas soluciones, cuando algunas de las incógnitas quedan en
función de otras y valen cero.
 Sistemas no homogéneos (3 tipos de soluciones)
Única solución, cuando para todas las incógnitas del sistema existe
con un solo valor real.
Infinitas soluciones, cuando algunas de las incógnitas están en
función de otras y tienen un valor real.
No existe solución, cuando los valores de las incógnitas no existen.
En sistema
No homogéneo
Homogéneo
a)
Si
Si (Trivial)
b)
Si
Si
c)
Si
No
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Método de Gauss
El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos
permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de
ecuaciones y de incógnitas.
La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera
ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así
un sistema triangular o en cascada de la forma:
Ax + By + Cz = D
Ey + Fz = G
Hz = I
Ejemplo:
Realizamosoperaciones de fila
La ultima matriz esta en forma escalonada por filas, (método de gauss), lo cual
significa que:
.
Método de Gauss-Jordan
Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss,
permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos
significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este
procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una
incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden
a la ecuación pivote así como de las que la siguen.
El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de
ecuaciones
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3
0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000
Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como
una matriz aumentada.
Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:
El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero
del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del
tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.
En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:
Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:
El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:
Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda
ecuación para obtener:
Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.
Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al
método de Gauss-Jordan.
Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer
casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por
lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la
obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las
principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar
un método directo para obtener la matriz inversa.
Método de Cramer
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a
sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:
-El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas .
-El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero .
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.
Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Y sean: Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n
Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º
miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna,
en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.
Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las
siguientes expresiones:
CRITERIO PARA HALLAR SOLUCIONES
Una vez aplicado Gauss o Gauss-Jordán



Tiene solución única si el número de ecuaciones validas es igual al número de
incógnitas.
Tiene infinitas soluciones si el número de ecuaciones validas es menor al número de
incógnitas.
No tiene solución si el número de filas no nulas de la matriz ampliada y el de la matriz
de coeficientes son diferentes.
Aplicamos Gauss – Jordán
Como se escriben las infinitas soluciones
Ejemplo:
Resolución por Gauss- Jordan
Ejercicios tipo examen:
Determinar para que valores de
a)
b)
c)
Determinar los valores de “a” para que el sistema
a) Tenga solución única. Hallarlas
b) Tenga ms de una solución. Hallarlas
c) No tenga soluciones
existe:
+2
+2
2
C.S.=
C.S.=
Determinar los valores de “m” para que el siguiente sistema
a) Tenga solución única. Hallarlas
b) Tenga más de una solución. Hallarlas
c) No tenga soluciones
C.S.=
C.S.=
C.S.=
C.S.=