SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ÁLGEBRA LINEAL Ecuaciones lineales • Son expresiones del tipo • ππ1 π₯π₯1 +ππ2 π₯π₯2 +…+ππππ π₯π₯ππ = ππ • ππ1 , ππ2 , … , ππππ ∈ β son los coeficientes • π₯π₯1 , π₯π₯2 , … , π₯π₯ππ ∈ β son son las incógnitas • b ∈ β es el término independiente (1) Solución de una ecuación lineal Es cualquier n-tupla de números reales (π π 1 , π π 2 ,…, π π ππ ) ∈ βππ que al sustituirse en la ecuación (1) la convierte en una igualdad, es decir, tal que ππ1 π π 1 +ππ2 π π 2 +…+ππππ π π ππ = ππ Ejemplo 1 x+2=4 Es una ecuación lineal con una única solución x=2 Ejemplo 2 x+y=5 Es una ecuación lineal, sus soluciones son el conjunto de puntos S= πΌπΌ, 5 − πΌπΌ ∈ β2 : πΌπΌ ∈ β Y este conjunto es una recta del plano Ejemplo 3 x+y+z=1 Es una ecuación lineal cuyas soluciones son los puntos del plano πΌπΌ, π½π½, 1 − πΌπΌ − π½π½ S= ∈ β3 : πΌπΌ, π½π½ ∈ β No son ecuaciones lineales • π₯π₯ 2 + π¦π¦ 2 = 1 circunferencia • π¦π¦ = π₯π₯ 2 parábola • xπ¦π¦ = 1 hipérbola Sistemas de ecuaciones lineales • Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables π₯π₯1 , π₯π₯2 , … , π₯π₯ππ se denomina sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. • Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas se puede escribir como • (2) ππ11 π₯π₯1 + ππ12 π₯π₯2 + β― + ππ1ππ π₯π₯ππ = ππ1 π₯π₯2 + β― + ππ2ππ π₯π₯ππ = ππ2 οΏ½ ππ21 π₯π₯1…+…ππ…22… ………………… ππππ1 π₯π₯1 + ππππ2 π₯π₯2 + β― + ππππππ π₯π₯ππ = ππππ Solución de un sistema • Una solución de (2) es cualquier n-tupla de números reales π π 1 , π π 2 , … , π π ππ ∈ βππ que verifica las m ecuaciones del sistema. • Solución general del sistema es el conjunto de todas las soluciones del mismo Ejemplo 4 π₯π₯ + π¦π¦ = 1 • El sistema οΏ½ solución: x=2,y=-1 π₯π₯ − π¦π¦ = 3 Es un Sistema compatible determinado Ejemplo 5. π₯π₯ + π¦π¦ = 1 • οΏ½ No existen números reales π₯π₯, π¦π¦ π₯π₯ + π¦π¦ = 3 que lo satisfagan Es un Sistema incompatible Ejemplo 6 π₯π₯ + π¦π¦ = 1 • οΏ½ tiene infinitas soluciones 2π₯π₯ + 2π¦π¦ = 2 Es un Sistema compatible indeterminado Otras denominaciones Sistemas equivalentes, que tienen las mismas soluciones 2π₯π₯ + 2π¦π¦ = 2 π₯π₯ + π¦π¦ = 1 ⇔οΏ½ οΏ½ 3π₯π₯ − 3π¦π¦ = 9 π₯π₯ − π¦π¦ = 3 Sistemas Homogéneos, con término independiente nulo ππ11 π₯π₯1 + ππ12 π₯π₯2 + β― + ππ1ππ π₯π₯ππ = 0 1 + ππ22 π₯π₯2 + β― + ππ2ππ π₯π₯ππ = 0 οΏ½ ππ21 π₯π₯… ………………………… πππππ π₯π₯1 + πππππ π₯π₯2 + β― + ππππππ π₯π₯ππ = 0 Son compatibles pues 0, 0, … , 0 es solución siempre Clasificación de sistemas lineales • Incompatible: No posee solución • Compatible: tiene al menos una solución – Compatible determinado: Poseen una única solución – Compatible indeterminado: Infinitas soluciones
