SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
ÁLGEBRA LINEAL
Ecuaciones lineales
• Son expresiones del tipo
• 𝑎𝑎1 𝑥𝑥1 +𝑎𝑎2 𝑥𝑥2 +…+𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏
• 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∈ ℝ son los coeficientes
• 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ∈ ℝ son son las incógnitas
• b ∈ ℝ es el término independiente
(1)
Solución de una ecuación lineal
Es cualquier n-tupla de números reales (𝑠𝑠1 , 𝑠𝑠2 ,…,
𝑠𝑠𝑛𝑛 ) ∈ ℝ𝑛𝑛 que al sustituirse en la ecuación (1) la
convierte en una igualdad, es decir, tal que
𝑎𝑎1 𝑠𝑠1 +𝑎𝑎2 𝑠𝑠2 +…+𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑛𝑛 = 𝑏𝑏
Ejemplo 1
x+2=4
Es una ecuación lineal con una única solución
x=2
Ejemplo 2
x+y=5
Es una ecuación lineal, sus soluciones son el
conjunto de puntos
S= 𝛼𝛼, 5 − 𝛼𝛼 ∈ ℝ2 : 𝛼𝛼 ∈ ℝ
Y este conjunto es una recta del plano
Ejemplo 3
x+y+z=1
Es una ecuación lineal cuyas soluciones son los
puntos del plano
𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 1 − 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽
S=
∈ ℝ3 : 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ∈ ℝ
No son ecuaciones lineales
• 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 1
circunferencia
• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2
parábola
• x𝑦𝑦 = 1
hipérbola
Sistemas de ecuaciones lineales
• Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables 𝑥𝑥1 ,
𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 se denomina sistema de ecuaciones lineales o
sistema lineal.
• Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas se puede
escribir como
• (2)
𝑎𝑎11 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1
𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2
� 𝑎𝑎21 𝑥𝑥1…+…𝑎𝑎…22…
…………………
𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚
Solución de un sistema
• Una solución de (2) es cualquier n-tupla de
números reales 𝑠𝑠1 , 𝑠𝑠2 , … , 𝑠𝑠𝑛𝑛 ∈ ℝ𝑛𝑛 que
verifica las m ecuaciones del sistema.
• Solución general del sistema es el conjunto de
todas las soluciones del mismo
Ejemplo 4
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1
• El sistema �
solución: x=2,y=-1
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3
Es un
Sistema compatible
determinado
Ejemplo 5.
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1
• �
No existen números reales 𝑥𝑥, 𝑦𝑦
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3
que lo satisfagan
Es un
Sistema incompatible
Ejemplo 6
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1
• �
tiene infinitas soluciones
2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 2
Es un
Sistema compatible
indeterminado
Otras denominaciones
Sistemas equivalentes, que tienen las mismas soluciones
2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 2
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1
⇔�
�
3𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 9
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3
Sistemas Homogéneos, con término independiente nulo
𝑎𝑎11 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0
1 + 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0
� 𝑎𝑎21 𝑥𝑥…
…………………………
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0
Son compatibles pues 0, 0, … , 0 es solución siempre
Clasificación de sistemas lineales
• Incompatible: No posee solución
• Compatible: tiene al menos una solución
– Compatible determinado: Poseen una única
solución
– Compatible indeterminado: Infinitas soluciones