Notas de Aula
Fı́sica Geral I (F 128)
Prof. Rickson C. Mesquita
Prof. Pedro C. de Holanda
Instituto de Fı́sica “Gleb Wataghin”
Universidade Estadual de Campinas
IFGW - UNICAMP
Copyright © 2019
Prof. Rickson C. Mesquita
Prof. Pedro C. de Holanda
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Art. No 0317
ISBN 978–11–3991–71–9
Edition 0.1
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Published by Instituto de Fı́sica “Gleb Wataghin”
Universidade Estadual de Campinas
IFGW - UNICAMP
Printed in Campinas, SP (Brasil)
Sumário
1
Introdução à Fı́sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1
O método cientı́fico
7
1.2
Grandezas Fı́sicas
1.2.1 Grandezas fı́sicas fundamentais
1.2.2 Unidades
1.2.3 Notação Cientı́fica
8
8
9
9
1.3
Algarismos significativos
10
1.4
Estimativas e ordem de grandeza
11
1.5
Análise Dimensional
11
1.6
Questões de revisão
12
1.7
Problemas
12
2
Movimento em 1 dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1
Descrição do movimento
2.1.1 Representação gráfica
2.1.2 Representação matemática
14
15
15
2.2
Posição, deslocamento e distância percorrida
16
2.3
Velocidade média e velocidade escalar média
16
2.4
Velocidade instantânea
17
2.5
Movimento com velocidade constante
17
2.6
Posição, deslocamento e velocidade como vetores
18
3
2.7
Variações na velocidade: aceleração
2.7.1 Movimento com aceleração constante
18
18
2.8
Questões de revisão
20
2.9
Problemas
21
3
Momento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1
Atrito
24
3.2
Inércia
25
3.3
Quantidade de movimento ou momento linear
27
3.4
Sistemas
27
3.5
Conservação do momento
29
3.6
Outras questões de revisão
30
3.7
Problemas
31
4
Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1
Classificação de Colisões
35
4.2
Energia Cinética
36
4.3
Colisões Elásticas
37
4.4
Colisões Inelásticas
37
4.5
Energia Interna
37
4.6
Conservação de Energia
39
4.7
Separações Explosivas
40
4.8
Outras questões de revisão
41
4.9
Problemas
42
5
Interações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1
Os efeitos das interações
44
5.2
Energia potencial
46
5.3
Dissipação de energia
47
5.4
Fontes de energia
49
5.5
Tipos de interações
5.5.1 Interações não-dissipativas
5.5.2 Interações dissipativas
49
49
50
5.6
Um exemplo de interação não-dissipativa: queda livre
51
5.7
Outras questões de revisão
52
5.8
Problemas
52
6
Revisão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1
Problemas
7
Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.1
Força e momento
58
7.2
A reciprocidade das forças
60
7.3
Equilı́brio translacional
61
7.4
Diagrama de corpo livre
62
7.5
Tipos de forças
62
7.6
A força gravitacional
7.6.1 A força gravitacional próxima da superfı́cie da Terra
63
63
7.7
Forças de contato
7.7.1 Molas
7.7.2 Força de tensão
7.7.3 Força de compressão ou normal
64
64
64
65
7.8
Impulso
66
7.9
Sistemas de objetos interagindo entre si
7.9.1 Sistemas de dois objetos
7.9.2 Sistemas de vários objetos interagindo entre si
66
66
68
7.10
Centro de massa
7.10.1 Generalização para um sistema com vários objetos
68
69
7.11
Outras questões de revisão
69
7.12
Problemas
70
8
Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.1
Força e deslocamento
73
8.2
Trabalho positivo e negativo
74
8.3
Trabalho realizado sobre uma única partı́cula
75
8.4
Escolha do sistema
76
8.5
Trabalho realizado sobre um sistema de várias partı́culas
78
8.6
Forças variáveis
79
8.7
Potência
80
8.8
Outras questões de revisão
81
8.9
Problemas
82
9
Movimento no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.1
O termo “em linha reta” é relativo
55
85
9.2
Vetores num plano
86
9.3
Movimento de um objeto em duas dimensões
88
9.4
Colisões e momento em duas dimensões
90
9.5
Decomposição de forças
90
9.6
Trabalho como produto de dois vetores
91
9.7
Atrito
92
9.8
Trabalho e atrito
94
9.9
Problemas
94
10
Movimento num Cı́rculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.1
Cinemática rotacional
10.1.1 Movimento circular com velocidade constante
10.1.2 Sistema de coordenadas
98
102
102
10.2
Forças e movimento circular
103
10.3
Inércia rotacional
10.3.1 Energia cinética de rotação
104
104
10.4
Momento angular
105
10.5
Inércia rotacional de objetos extensos
107
10.6
Outras questões de revisão
109
10.7
Problemas
110
11
Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.1
Torque
115
11.2
Rotação livre
119
11.3
Extensão dos diagramas de corpo livre
120
11.4
Movimento de rolamento
121
11.5
Torque e energia
124
11.6
A natureza vetorial da rotação
125
11.7
O produto vetorial
126
11.8
Problemas
129
A
Respostas dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1. Introdução à Fı́sica
Muito provavelmente você está fazendo esta disciplina de Fı́sica porque ela é obrigatória para
o seu curso, e talvez não esteja claro porque você deveria fazer esta disciplina. Um primeiro
bom motivo para fazer uma disciplina de Fı́sica é que, primeiramente e mais importante, a
Fı́sica fornece um conhecimento fundamental do mundo. Além disto, independente de você
estudar Engenharia, Geologia, Licenciatura, Biologia, Quı́mica ou Fı́sica, ou qualquer outra
formação, disciplinas de Fı́sica são uma excelente oportunidade para você adquirir habilidades de raciocı́nio lógico. Saber Fı́sica significa se tornar um melhor resolvedor de problemas
(independentemente do tipo de problema!), e se tornar um bom resolvedor de problemas leva
a um benefı́cio impagável no longo prazo: permite que você tenha uma metodologia clara de
como abordar um problema desconhecido, o que vai lhe dar mais confiança (e aqui quero dizer qualquer problema real, não problemas de livro texto). Portanto, antes de começar nossa
jornada vamos mapear questões fundamentais da Fı́sica como ciência, para que você entenda
com o que estará lidando nos próximos meses.
Referências para leitura: Halliday (capı́tulo 1) e Bauer (capı́tulo 1).
1.1
O método cientı́fico
Definição 1.1 (Método Cientı́fico) O método cientı́fico é um processo iterativo baseado
na observação, que permite formular uma hipótese e uma teoria validada experimentalmente (Figura 1.1). Se as predições feitas pela hipótese provam ser precisas após a
realização de testes experimentais, a hipótese é chamada de teoria ou lei, mas sempre
está sujeita a novos testes experimentais. Consequentemente, toda hipótese cientı́fica
deve ser testada experimentalmente.
Um modelo é uma representação conceitual de um fenômeno. Uma teoria é uma explicação
bem testada de um fenômeno natural em termos de processos e relações mais básicas. Uma
lei é uma descrição de uma relação entre quantidades observáveis que se manifesta em eventos recorrentes.
7
8
1.2. Grandezas Fı́sicas
Figura 1.1: O método cientı́fico é um processo iterativo na qual uma hipótese, que foi inferida
a partir de observações, é utilizada para fazer uma predição, que é então testada fazendo
novas observações.
1.2
Grandezas Fı́sicas
A Fı́sica se baseia na medição de grandezas fı́sicas. Uma grandeza fı́sica é uma propriedade
fı́sica que pode ser medida e expressa como o produto de um valor numérico e uma unidade.
1.2.1
Grandezas fı́sicas fundamentais
Algumas grandezas fı́sicas, como comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais. Cada uma foi definida por meio de um padrão e recebeu uma unidade
de medida (como metro, segundo e quilograma). Outras grandezas fı́sicas são definidas em
termos das grandezas fundamentais e de seus padrões e unidades.
O tempo mede a duração entre dois eventos, e historicamente sempre foi definido em
termos de um evento periódico (medindo a duração de um mesmo evento acontecer subsequentemente). A unidade padrão de medição do tempo é o segundo (s), hoje definido em
termos de oscilações do núcleo de um elemento quı́mico (133 Cs).
O comprimento é definido como a medição de distâncias entre dois pontos no espaço. O
metro (m) é a unidade padrão de comprimento, definido como a distância percorrida pela
luz durante um intervalo de tempo especificado.
A massa é a quantidade de matéria em um objeto. Até o ano passado, o quilograma (kg)
era definido a partir de um padrão de massa de platina-irı́dio mantido em um laboratório
nas vizinhanças de Paris. A partir de maio deste ano, utiliza-se a constante de Planck para
sua definição. Para medições em escala atômica, é comumente usada a unidade de massa
atômica, definida a partir do átomo de carbono (12 C).
9
Capı́tulo 1. Introdução à Fı́sica
1.2.2
Unidades
O sistema de unidades mais usado atualmente é o Sistema Internacional de Unidades (SI, do
francês, Système International). Os padrões internacionais para essas unidades foram definidos através de acordos internacionais. Esses padrões são usados em todas as medições.
É possı́vel obter múltiplos reconhecidos pelo SI das unidades de base multiplicando-os
por vários fatores de 10. Esses fatores tem abreviações com letras universalmente aceitas que
são usadas como prefixos (Figura 1.2).
Figura 1.2: Prefixos padrão do SI.
A conversão de unidades de uma mesma grandeza fı́sica pode ser feita usando o método
de conversão em cadeia, no qual os dados originais são multiplicados sucessivamente por
fatores de conversão unitários, e as unidades são manipuladas como quantidades algébricas
até que apenas as unidades desejadas permaneçam.
Exemplo 1.1 Converta 2 min em segundos.
Solução:
·
2min = 2
min
1.2.3
60s
= 120s
min
1
Notação Cientı́fica
Se você quer relatar um número relativamente grande ou pequeno, fica entediante ter de
escreve-lo. Por exemplo, o corpo humano contém aproximadamente 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000
de átomos. Se você usasse esse número com frequência, certamente gostaria de ter uma
notação mais compacta para ele. A notação cientı́fica é exatamente isso. Os valores numéricos
de qualquer grandeza fı́sica podem ser representados através de uma notação que consiste
em uma mantissa e uma potência de dez:
número = mantissa × 10expoente .
(1.1)
10
1.3. Algarismos significativos
Portanto, o número de átomos no corpo humano pode ser escrito de forma compacta como
7 × 1027 .
Outra vantagem da notação cientı́fica é que ela facilita multiplicar ou dividir números
muito grandes ou muito pequenos, pois podemos fazer estas operações de forma independente para a mantissa e o expoente.
1.3
Algarismos significativos
Quando certas quantidades são medidas, os valores medidos não são absolutos; eles são
conhecidos dentro dos limites da incerteza experimental. O número de algarismos significativos em uma medição pode ser utilizado para expressar algo sobre incerteza. Ele está
relacionado com o número de dı́gitos numéricos para expressar a medida.
O número de dı́gitos que você escreve na mantissa especifica a precisão com que você
alega conhece-la. Quanto mais dı́gitos forem especificados, mais precisão está implicada (Figura). Portanto, ao computar um resultado de vários números medidos, cada um tendo certa
precisão, você deve fornecer a resposta com o número correto de algarismos significativos.
Ao multiplicar várias quantidades, o número de algarismos significativos na resposta final é
o mesmo que o número de algarismos significativos na quantidade que tem o número menor
de algarismos significativos. A mesma regra se aplica à divisão. Quando valores são adicionados ou subtraı́dos, o número de casas decimais no resultado deve ser igual ao menor
número de casas decimais de qualquer termo na soma ou diferença.
Figura 1.3: Exemplo da importância dos algarismos significativos: dois termômetros medindo a mesma temperatura. (a) O termômetro está marcado em décimos de grau e pode
ser lido com quatro algarismos significativos (36, 85o C); (b) o termômetro está marcado em
graus, então pode ser lido com apenas três algarismos significativos (36, 8o C).
11
Capı́tulo 1. Introdução à Fı́sica
1.4
Estimativas e ordem de grandeza
Suponha que perguntem a você o número de grãos de areia na praia de Ubatuba. Como
resposta, geralmente não se espera um número exato, mas uma estimativa, que pode ser expressa em notação cientı́fica. A estimativa pode ser ainda mais aproximada se expressa como
ordem de grandeza, isto é, como uma potência de 10 determinada da seguinte maneira:
1. Expresse o número estimado em notação cientı́fica, com o multiplicador da potência
de 10 entre 1 e 10 e uma unidade;
2. Se o multiplicador for menor que 3,162 (a raiz quadrada de 10), a ordem de grandeza
do número é a potência de 10 na notação cientı́fica. Se o multiplicador for maior que
3,162, a ordem de grandeza é uma vez maior que a potência de 10 na notação cientı́fica.
Utilizamos o sı́mbolo ∼ para expressar “é da ordem de”.
Exemplo 1.2 Com base no procedimento acima, verifique as ordens de grandeza dos
seguintes comprimentos: (a) 0, 0086 m ∼ 10−2 m; (b) 0, 0021 m ∼ 10−3 m; (c) 720 m
∼ 103 m.
1.5
Análise Dimensional
Em fı́sica, a palavra dimensão denota a natureza fı́sica de uma quantidade. A distância entre
dois pontos, por exemplo, pode ser medida em metros, pés ou polegadas, que são formas
diferentes de expressar a dimensão comprimento (metros e quilômetros são a mesma forma,
apenas com prefixos diferentes).
Em muitas situações é útil verificar uma equação especı́fica para descobrir se ela satisfaz
as expectativas. O procedimento de análise dimensional pode ser utilizado, pois é possı́vel
tratar as dimensões como quantidades algébricas. Por exemplo, quantidades podem ser adicionadas ou subtraı́das somente se tiverem as mesmas dimensões. Seguindo estas regras
simples você pode utilizar a análise dimensional para determinar se uma expressão tem a
forma correta.
Exemplo 1.3 Determinar quais devem ser n e m para que a expressão
x ∝ an t m
faça sentido. Na expressão acima, x, a e t representam, respectivamente, a posição, a
aceleração e o tempo.
Solução: Sabemos que a relação é correta somente se os dois lados da equação tiverem
a mesma dimensão. Como a equação do lado esquerdo é comprimento, a do lado
direito também deve ser comprimento. Logo,
[an t m ] = L = L1 T 0 .
Como as dimensões de aceleração são L/T 2 e a dimensão do tempo é T , então:
n
L
T m = L1 T 0 −→ Ln T m−2n = L1 T 0
T2
Logo, n = 1 e m − 2n = 0 −→ m = 2. Portanto, a expressão deve ter a forma x ∝ at 2 .
12
1.6. Questões de revisão
1.6
Questões de revisão
Questão 1.1 Quais das seguintes sentenças são hipóteses?
(a) Na Terra, objetos mais pesados caem mais rápido que objetos mais leves.
(b) O planeta Marte é habitado por seres invisı́veis que são capazes de fazer qualquer
observação.
(c) Planetas distantes abrigam alguma forma de vida.
(d) Manipular sapos causa verrugas.
Questão 1.2 Escreva os seguintes números:
a) 3,873 com 2 algarismos significativos.
b) 0,8533 com 2 algarismos significativos.
c) 17,5493 com 2 algarismos significativos.
d) 11,9955 com 3 algarismos significativos.
e) 0,593 com 2 algarismos significativos.
1.7
Problemas
Atividade 1.1 O raio médio da Terra é 6370 km. Pressupondo que existam 7 bilhões
de habitantes no planeta, qual é a área de superfı́cie disponı́vel por pessoa? Escreva
todos os números em notação cientı́fica.
Atividade 1.2 Uma calculadora exibe o resultado 1, 3652480×107 kg. A incerteza esti-
mada neste resultado é ±2%. Quantos dı́gitos devem ser incluı́dos como significativos
quando o resultado é escrito?
Atividade 1.3 (a) A distância entre duas cidades é 100 milhas. Em quilômetros, qual
é a distância entre as cidades? (b) Em uma rodovia interestadual numa região rural
norte-americana, um carro viaja a 38 m/s. O motorista está excedendo o limite de
velocidade de 75 mi/h?
Atividade 1.4 Dada a equação w = xyz e x = 1, 1 × 103 , y = 2, 48 × 10−2 e z = 6, 000,
determine o valor de w, em notação cientı́fica e com o número correto de algarismos
significativos.
Exercı́cio 1.1 O modo mais comum de medir o consumo de combustı́vel de um carro
no Brasil é quantos quilômetros o carro consegue andar com um litro de combustı́vel
(km/l). Digamos que um carro faça 10 km/l. Calcule este consumo no Sistema Internacional de Unidades.
Exercı́cio 1.2 Suponha que a aceleração a de uma partı́cula movendo-se com veloci-
dade v em um cı́rculo de raio r seja proporcional a alguma potência de r, digamos r n ,
Capı́tulo 1. Introdução à Fı́sica
e alguma potência de v, digamos v m . Determine os valores de m e n, e escreva a forma
mais simples de uma equação para a aceleração.
Exercı́cio 1.3 Um átomo de hidrogênio tem diâmetro de 1, 06 × 10−10 m. O núcleo
deste átomo tem diâmetro de aproximadamente 2, 40 × 10−15 m. Encontre a relação
entre o volume do átomo de hidrogênio e o do seu núcleo.
Exercı́cio 1.4 (a) Considere que a equação x = At 3 + Bt descreve o movimento de um
objeto, com x tendo a dimensão de comprimento e t, a dimensão de tempo. Determine
as dimensões das constantes A e B. (b) Determine as dimensões da derivada dx/dt =
3At 2 + B.
Problema 1.1 Determine quantos algarismos significativos na latitude e na longitude
são necessários para localizar o Ciclo Básico.
Problema 1.2 O fı́sico italiano Enrico Fermi era famoso por fazer perguntas com esti-
mativas. Segundo Fermi, “é melhor estar aproximadamente certo do que exatamente
errado.” Não por acaso, Fermi estimou a energia liberada pela explosão nuclear Trinity
em 16/07/1945, no Novo México (EUA), observando a que distância um pedaço de
papel foi soprado pelo vento com a explosão.
Uma das perguntas famosas de Fermi foi usar a estimativa para determinar a ordem
de grandeza de afinadores de piano em Nova York. Seguindo esta inspiração, estime a
ordem de grandeza de dentistas na cidade de Campinas.
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 1.2, Atividade 1.4, Exercı́cio 1.1, Exercı́cio 1.3, Exercı́cio 1.4
13
2. Movimento em 1 dimensão
O ramo da fı́sica que lida com representações quantitativas do movimento é chamado de cinemática. A cinemática não considera as causas e os efeitos do movimento; seu objetivo é
somente fornecer uma descrição matemática do movimento. Nesta aula, nós seguimos uma
abordagem cinemática; ou seja, nós representamos o movimento em um gráfico e quantificamos o movimento sem nos preocuparmos com suas causas. Em aulas futuras começaremos
a olhar para as causas do movimento, mas por ora somente nos importaremos com o movimento enquanto ele está acontecendo. Ao descrever o movimento como representado em
um clip de vı́deo, começamos a desenvolver as qualidades mais básicas na fı́sica: construir
representações simplificadas de situações do mundo real. Você aprenderá como usar tabelas, gráficos e funções matemáticas para representar dados do movimento. Finalmente, você
aprenderá a fazer a distinção entre posição e deslocamento.
Referências para leitura: Halliday (capı́tulo 2) e Bauer (capı́tulo 2).
2.1
Descrição do movimento
Para analisar o movimento de um objeto, nós temos que medir a posição do objeto em diferentes instantes de tempo. Se a posição do objeto muda conforme o tempo passa, o objeto
está se movendo. Se a posição não está mudando, o objeto está em repouso.
Considere o movimento de uma pessoa
que anda em linha reta (Figura 2.1). Uma
forma de registrar o movimento desta pessoa é tirar fotos da posição desta pessoa em
relação a um ponto especı́fico (digamos, por
exemplo, o canto esquerdo da Figura 2.1),
e anotar todos estes dados numa tabela (Figura 2.2(A)). A mesma informação pode ser
mostrada graficamente, onde a posição em
relação ao canto esquerdo é graficada em
Figura 2.1: Representação do movimento de uma
função do número da foto (Figura 2.2(B)).
pessoa que caminha em linha reta.
14
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão
15
Figura 2.2: (A) Tabela com a posição da pessoa em cada foto tirada. (B) Representação gráfica
dos dados da tabela.
2.1.1
Representação gráfica
A Figura 2.2(B) mostra a posição em apenas alguns instantes de tempo. Mas se repetirmos as medidas em intervalos de tempo
cada vez menores, a distância entre os pontos se torna cada vez menor, e eventualmente o gráfico vai parecer mais uma curva
contı́nua do que um conjunto discreto de
pontos. Se assumirmos que o movimento
ocorre de forma suave de ponto a ponto no
tempo, podemos obter o mesmo resultado
interpolando os pontos da Figura 2.2. Em
outras palavras, desenhando uma curva suave através dos pontos, como na Figura 2.3. Figura 2.3: Através da interpolação dos pontos
na Figura 2.2, podemos obter uma curva contı́nua
e suave que representa o movimento.
2.1.2
Representação matemática
A curva da Figura 2.3 é chamada de uma
curva x(t) porque ela pode ser representada
por uma função matemática x(t). A curva e a função especificam onde o objeto está num
dado instante. Note que x(t) é um único sı́mbolo que significa “posição x no instante t”; não
é o produto de x por t, e também não deve ser confundido com a unidade em gráficos, x(m),
que significa “posição x em unidades de metros”.
Assim, para encontrar a posição de um objeto num instante de tempo especı́fico, podemos ler a posição diretamente do gráfico ou substituir o instante de tempo numa função. Por
exemplo, x(t = 0, 2s) dá a posição do objeto em t = 0, 2s.
16
2.2
2.2. Posição, deslocamento e distância percorrida
Posição, deslocamento e distância percorrida
A posição x de uma partı́cula em um eixo x mostra a que distância a partı́cula se encontra
de um determinado ponto (que denominamos a origem, ou ponto zero) do eixo. Matematicamente, a posição pode ser positiva ou negativa, dependendo do lado em que se encontra a
partı́cula em relação à origem. O sentido positivo de um eixo é o sentido em que os números
que indicam a posição da partı́cula aumentam de valor; o sentido oposto é o sentido negativo.
Quando uma partı́cula se move ao longo
de um eixo, partindo de uma posição inicial
xi até uma posição final xf (Figura 2.4), o
deslocamento ∆x da partı́cula é dado por:
∆x = xf − xi .
A distância percorrida é a distância
acumulada por um objeto ao longo da
trajetória de movimento, independente da
direção. Matematicamente, a distância percorrida d entre dois pontos x1 e x2 é dada
Figura 2.4: Representação do meu movimento, de
por:
d = |x1 − x2 |.
2.3
um ponto inicial a um ponto final.
Velocidade média e velocidade escalar média
Quando uma partı́cula se desloca de uma posição x1 para uma posição x2 durante um intervalo de tempo ∆t, a velocidade média da partı́cula durante esse intervalo é dada por:
vmed ≡
∆x
.
∆t
Na representação gráfica, a velocidade
média em um intervalo de tempo ∆t é igual
à inclinação da curva que representa as duas
extremidades do intervalo (Figura 2.5).
A velocidade média não depende da
distância que uma partı́cula percorre, mas
apenas das posições inicial e final.
A
escalar
velocidade escalar média vmed
de uma
partı́cula durante um intervalo de tempo ∆t
depende da distância total percorrida pela
partı́cula nesse intervalo:
Figura 2.5: Representação gráfica do movimento
d
escalar
vmed
≡
.
∆t
em duas velocidades diferentes. Caminhar com
metade da velocidade leva o dobro do tempo para
se deslocar na mesma distância.
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão
2.4
17
Velocidade instantânea
Frequentemente precisamos saber a velocidade de uma partı́cula num instante especı́fico no
tempo t, em vez da velocidade média por um intervalo de tempo finito ∆t. Podemos fazer isso
calculando a velocidade média em intervalos de tempo ∆t cada vez mais curtos (Figura 2.6).
Quando tomamos um intervalo de tempo ∆t muito curto, muito próximo de zero, estamos
calculando a velocidade média num intervalo tão pequeno que podemos aproxima-lo para a
velocidade no instante t, ao redor de ∆t.
Matematicamente, a velocidade instantânea, geralmente referida simplesmente como
velocidade, no tempo t é:
∆x dx
v ≡ lim
=
,
(2.1)
dt
∆t→0 ∆t
d
onde a notação dt
representa a derivada de uma função em relação ao tempo. Na representação
gráfica, a velocidade instantânea num tempo t é equivalente à curva tangente no ponto t.
Figura 2.6: Velocidade instantânea como limite da razão entre deslocamento e intervalo de
tempo: (a) velocidade média sobre um intervalo de tempo longo; (b) velocidade média sobre
um intervalo de tempo mais curto; (c) velocidade instantânea em um tempo especı́fico, t3 .
2.5
Movimento com velocidade constante
Para um objeto que se move com velocidade constante, se tomarmos qualquer intervalo de
tempo ∆t a velocidade média será sempre a mesma. Logo, a velocidade em qualquer instante
de tempo t deste objeto será sempre igual à velocidade média, de forma que:
vmed = v =
∆x xf − xi
=
−→ xf = xi + v∆t
∆t
∆t
18
2.6
2.6. Posição, deslocamento e velocidade como vetores
Posição, deslocamento e velocidade como vetores
Algumas grandezas fı́sicas são totalmente especificadas por um número, que pode ser positivo ou negativo, e uma unidade de medida. Estas grandezas são chamadas de grandezas
escalares, e obedecem às regras da aritmética e da álgebra elementar. Exemplos de grandezas fı́sicas escalares são a temperatura e o tempo.
Outras grandezas, como a posição, o deslocamento e a velocidade, não são totalmente
descritas por um único valor numérico e unidade. Para especifica-las totalmente, é necessário também dar a direção destas grandezas (por exemplo, 5 m para cima, ou 3 m/s
para a direita). Grandezas que são especificadas por um número, uma direção e a unidade
são grandezas vetoriais, e obedecem às regras da álgebra vetorial.
Vamos discutir melhor as regras da álgebra vetorial ao longo do curso, quando analisarmos movimentos em mais de uma dimensão. Até lá, vamos analisar movimentos que
acontecem em uma única dimensão (não necessariamente na horizontal ou na vertical, mas
sempre para frente ou para trás ao longo de uma linha reta). Neste momento, a diferença entre escalares e vetores não é um problema muito grande porque em uma dimensão a direção
de qualquer vetor pode ser totalmente especificada por um sinal algébrico.
2.7
Variações na velocidade: aceleração
Na seção anterior consideramos o movimento de objetos que se movem com velocidade constante, onde não há mudança nem do valor da velocidade nem da direção de movimento do
objeto. No entanto, a maioria dos movimentos acontecem mudando aumentando ou diminuindo o valor da velocidade ou a direção do movimento. Se a velocidade de um objeto está
mudando, o objeto está acelerando. De forma similar ao que fizemos com a velocidade, podemos definir a aceleração média de uma partı́cula durante um intervalo de tempo ∆t como
a variação na velocidade, ∆v, durante este intervalo:
amed ≡
∆v vf − vi
=
.
∆t
∆t
Também de forma similar, para determinar a aceleração de um objeto num dado instante de
tempo t, calculamos a aceleração média num intervalo de tempo ∆t muito curto, próximo de
zero. Desta forma, a aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) no tempo t é:
!
∆v dv
d dx
d 2x
a ≡ lim
=
=
= 2,
dt dt dt
∆t→0 ∆t
dt
onde a expressão à direita representa a segunda derivada (a derivada da derivada) da posição
x em relação ao tempo t.
2.7.1
Movimento com aceleração constante
Se um objeto se move com aceleração constante (isto é, a velocidade sempre varia a mesma
quantidade num intervalo de tempo ∆t), então em qualquer instante a = amed , de forma que:
amed = a =
∆v
−→ vf = vi + a∆t.
∆t
19
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão
A equação acima nos permite calcular a aceleração de um
objeto a partir de sua posição. No entanto, muitas vezes estamos interessados no procedimento inverso: qual é o deslocamento do objeto durante o intervalo de tempo entre ti e tf ,
quando a aceleração muda conforme a Figura 2.7? Podemos
responder a esta pergunta considerando intervalos de tempo
pequenos o suficiente para assumir que a aceleração é constante neste intervalo.
Começamos dividindo o intervalo de tempo entre ti e tf em
intervalos de tempo menores δt e aproximando a aceleração
como constante em cada um destes intervalos δt, conforme
mostra a Figura 2.7(a). Em cada intervalo δt podemos escrever que:
(∆v)n = a(tn )δt,
onde n = 1, 2, ..., 7 e a(tn ) é a aceleração no instante tn . Conforme pode ser visto na Figura 2.7(b), o produto a(tn )δt é a
área do retângulo escuro. Assim, a variação da velocidade durante todo o intervalo entre ti e tf é aproximadamente igual à
soma de (∆v)n para todos os intervalos δt entre ti e tf :
X
X
∆v ≈
(∆v)n =
a(tn )δt,
n
n
P
onde n a(tn )δt representa a soma de todas as áreas dos
retângulos entre ti e tf (toda a área sombreada na Figura
2.7(b)).
O resultado exato é obtido fazendo δt ser um intervalo
muito próximo de zero (de forma que o número de intervalos
tenda a infinito):
X
∆v = lim
a(tn )δt,
δt→0
n
Figura 2.7: Determinação da
que é precisamente a definição da integral da aceleração em variaçõa da velocidade para
relação ao tempo, de ti até tf :
um objeto acelerado.
Z tf
∆v =
a(t)dt.
ti
Graficamente, a integral representa a área sob a curva a(t) entre ti e tf na Figura 2.7(c).
Uma vez que temos a velocidade, podemos fazer a mesma abordagem para obter o deslocamento a partir da velocidade. Matematicamente,
Z tf
∆x =
v(t)dt.
ti
Geometricamente, o deslocamento do objeto no intervalo compreendido entre ti e tf é dado
pela área sob a curva v(t) entre ti e tf .
20
2.8. Questões de revisão
2.8
Questões de revisão
Questão 2.1 Descreva o movimento representado por cada um dos gráficos da figura
abaixo:
Questão 2.2 Suponha que você caminhe numa linha reta do ponto P ao ponto Q, a 2 m
de P, e depois retorne ao ponto P pela mesma trajetória. (a) Qual é a componente x do
seu deslocamento durante toda a caminhada? (b) Qual foi a distância percorrida durante toda a caminhada? (c) A distância percorrida é a mesma coisa que a componente
x do deslocamento?
Questão 2.3 (a) Qual das linhas 1-8 nos gráficos da figura da questão 2.1 representa
a maior velocidade escalar média? (b) E para qual das linhas a velocidade média é
negativa?
Questão 2.4 Cada uma das fotografias estroboscópicas (a), (b) e (c) na figura abaixo
foi tirada de um disco único movimentando-se para a direita, que consideramos como
a direção positiva. Para cada fotografia, o intervalo de tempo entre imagens é constante. (a) Qual fotografia mostra movimento com aceleração zero? (b) Qual fotografia
mostra movimento com aceleração positiva? (c) Qual fotografia mostra movimento
com aceleração negativa?
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão
2.9
Problemas
Atividade 2.1 Um ou mais dos gráficos da figura abaixo representam movimentos
impossı́veis. Identifique quais, e explique porque o movimento é impossı́vel.
Atividade 2.2 A velocidade de um impulso nervoso no corpo humano é de aproximadamente 100 m/s. Se você está no escuro e por acidente bate seu dedão, calcule o
tempo que leva para o impulso nervoso chegar ao seu cérebro.
Atividade 2.3 Uma partı́cula se move ao longo do eixo x de acordo com o gráfico
abaixo. (a) Encontre a velocidade média no intervalo de tempo t = 1, 50 s a t = 4, 00 s.
(b) Determine a velocidade instantânea em t = 2, 00 s. (c) Em qual valor de t a partı́cula
para?
Atividade 2.4 As placas da crosta terrestre da América do Norte e da Europa estão
se afastando com velocidade relativa de aproximadamente 25 mm/ano. Considere a
velocidade como constante e descubra quando a fenda entre elas começou a se abrir
até chegar à largura atual de 2, 9 × 103 milhas.
Atividade 2.5 A figura abaixo mostra uma sequência de fotos (visto de cima) de um
objeto se movendo da esquerda para a direita ao longo de uma trilha. Os intervalos de tempo entre as fotos são todos iguais. Durante que instantes do movimento o
objeto está (a) acelerando (aumentando o módulo de sua velocidade) e (b) freando (diminuindo o módulo de sua velocidade)? Explique como você chegou a esta conclusão.
(c) Como suas respostas mudariam se o objeto estivesse se movendo da direita para a
esquerda?
21
22
2.9. Problemas
Exercı́cio 2.1 A posição de uma partı́cula se movendo pelo eixo x varia com o tempo
segundo a expressão x = 4t 2 , onde x está em metros, e t está em segundos. Avalie a
posição da partı́cula
(a) em t = 2,00 s
(b) em 2,00 s + ∆t
(c) Avalie o limite de ∆x/∆t conforme ∆t se aproxima de zero, para encontrar a velocidade em t = 2, 00 s.
Você tem que viajar de Campinas a Bauru, que fica a 300 km de
distância. Você precisa chegar em Bauru às 11:15. Você planeja dirigir a 100 km/h
e parte às 8:00 para ter algum tempo de sobra. Você dirige à velocidade planejada durante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho em obras o obriga a reduzir a
velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual é a menor velocidade que você deve manter
no resto da viagem para chegar a tempo?
Exercı́cio 2.2
Exercı́cio 2.3 Você está dirigindo numa rua de Campinas a 60 km/h quando avista um
semáforo que acabou de ficar amarelo. A maior desaceleração que seu carro é capaz
é 5,18 m/s2 , e seu tempo de reação para começar a frear é de 750 ms. Para evitar
que a frente do carro invada o cruzamento depois que o sinal mudar para vermelho,
sua estratégia deve ser frear até parar ou prosseguir a 60 km/h se a distância até o
cruzamento e a duração da luz amarela forem, respectivamente, 40 m e 2,8 s? As
respostas podem ser frear, prosseguir, tanto faz (se as duas estratégias funcionarem),
ou não há jeito (se nenhuma das estratégias funcionar).
Exercı́cio 2.4 Uma motocicleta parte do repouso e acelera conforme mostra a figura.
Determine (a) a velocidade escalar da motocicleta em t = 4, 0 s e em t = 14, 0 s, e (b) a
distância percorrida nos primeiros 14,0 s.
Capı́tulo 2. Movimento em 1 dimensão
23
Problema 2.1 A posição de uma partı́cula como função do tempo é dada por
1
x(t) = x0 e3αt ,
4
onde α é uma constante positiva.
(a) Em que tempo a partı́cula está em 2x0 ?
(b) Qual é a velocidade escalar da partı́cula como função do tempo?
(c) Qual é a aceleração da partı́cula como função do tempo?
(d) Quais são as unidades do SI para α?
Problema 2.2 A prefeitura de São Paulo implementou em 2015 uma diminuição da
velocidade máxima em vias muito movimentadas como medida para melhorar o fluxo
de veı́culos. Analise quantitativamente esta ideia, a partir do seguinte roteiro:
- Considere que a distância mı́nima que um veı́culo deve manter do veı́culo à frente é
a distância necessária para parar completamente o carro no caso de uma interrupção
instantânea do fluxo de veı́culos;
- que a desaceleração máxima de um veı́culo é de 3 m/s2 ;
- que o tempo de reação média de um condutor é de 0, 5 s;
- que o tamanho médio de um veı́culo é de 3 m;
Calcule a velocidade que maximiza o fluxo de veı́culos em uma via.
(dica: para encontrar o máximo de uma curva, utilize alguma ferramenta gráfica encontrável na internet, por exemplo, https://tinyurl.com/y3e7j9fm )
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 2.3, Exercı́cio 2.1, Exercı́cio 2.2, Exercı́cio 2.3, Exercı́cio 2.4 e Problema 2.1
3. Momento linear
No capı́tulo anterior desenvolvemos uma abordagem matemática para descrever o movimento
ao longo de uma trajetória retilı́nea. Neste capı́tulo, vamos continuar o estudo do movimento
analisando a inércia, uma propriedade dos objetos que afeta o movimento. Os experimentos
que vamos discutir ao estudar a inércia nos leva a descobrir uma das leis mais fundamentais
da fı́sica: a conservação de momento linear.
Referências para leitura: Halliday (seções 5.1, 6.1, 9.2-9.5) e Bauer (seções 4.7, 7.1-7.3).
3.1
Atrito
A Figura 3.1 mostra o movimento de um bloco de madeira deslizando sobre três superfı́cies diferentes. A
diminuição da velocidade é devido ao atrito - a resistência ao movimento que uma superfı́cie ou um objeto encontra ao tentar se mover sobre outra. Note que a
forma como a velocidade do bloco diminui quando este
desliza sobre o gelo é bem diferente do que quando o
bloco desliza sobre o concreto. O efeito do atrito é trazer o bloco ao repouso. Quanto menos atrito há entre
o bloco e a superfı́cie, mais tempo vai demorar para o
bloco parar. Na ausência de atrito, objetos que se movem ao longo de uma trajetória horizontal continuam
se movendo sem diminuir sua velocidade.
Na realidade, não há nenhuma superfı́cie totalmente livre de atrito na qual objetos podem deslizar
para sempre, mas há formas de minimizar o atrito.
Figura 3.1: Velocidade em função do
As acelerações dos movimentos
mostrados na Figura 3.1 são constantes? Para
qual superfı́cie a aceleração tem o maior módulo?
Questão
3.1
24
tempo para um bloco de madeira deslizando sobre 3 superfı́cies diferentes:
gelo, madeira polida e concreto.
Capı́tulo 3. Momento linear
3.2
25
Inércia
Podemos descobrir um dos princı́pios mais fundamentais da fı́sica estudando como as velocidades de dois
carros com pouco atrito mudam quando os carros colidem. Vamos primeiro analisar o que acontece com dois carros idênticos, quando colocamos
eles num trilho de ar (onde o atrito será praticamente nulo). A figura 3.2 ilustra o nosso
arranjo experimental. O primeiro carro fica parado; depois, colocamos o segundo carro no
trilho há uma certa distância e se movendo em direção ao primeiro carro. Os dois carros
colidem, e a colisão altera a velocidade de ambos.
Figura 3.2: Experimento com carros se movendo num trilho de ar.
A colisão faz o carro 1 se mover para a direita, e o carro 2 parar. A figura 3.3(a) mostra
as velocidades dos dois carros em diferentes instantes de tempo. A região em cinza mostra
o intervalo de tempo no qual a colisão ocorreu. Embora a colisão pareça “instantânea,” dela
demora aproximadamente 10 ms para o movimento dos carros se ajustar.
Podemos repetir este experimento várias vezes, dando um empurrão cada vez maior no
carro 2. Vamos descobrir que não importa qual é a velocidade do carro 2, a colisão sempre troca
as duas velocidades.
Figura 3.3: Gráfico da velocidade em função do tempo para (a) dois carros idênticos e (b) um
carro simples e um carro duplo, antes e depois de uma colisão num trilho de ar (isto é, com
atrito desprezı́vel).
26
3.2. Inércia
Para determinar se a quantidade de matéria afeta o movimento, podemos colar dois carros para ter o carro 1 com o dobro da massa do carro 2. Desta vez o carro 2 não para completamente; a colisão reverte a direção de movimento, de forma que depois da colisão o carro
2 se move para a esquerda, conforme mostra a Figura 3.3(b). Após a colisão, o carro duplo,
sendo mais difı́cil para se colocar o movimento do que um único carro, se move para a direta
como anteriormente, mas desta vez com uma velocidade menor. É mais fácil mover uma
pedra pequena do que uma pedra grande!
Podemos repetir o mesmo experimento variando as velocidades iniciais e as direções de
movimento, e vamos observar que não importa como os carros se movem (ou nem se movem)
inicialmente, a variação da velocidade do carro duplo é sempre metade da velocidade do carro
simples. Além disso, as variações das velocidades são sempre em direções opostas, o que
significa que o módulo da velocidade de um carro aumenta enquanto a do outro diminui.
Podemos perceber que é mais difı́cil mudar o movimento dos objetos mais pesados do
que o movimento de objetos mais leves. Objetos mais pesados têm maior resistência quando
tentamos mudar a velocidade deles. Esta tendência de um objeto a resistir a uma mudança
na sua velocidade é o que chamamos de inércia. A inércia de um objeto é determinada pelo
tipo de material na qual o objeto é feito e pela quantidade de material contida no objeto.
Quantitativamente, a inércia de um objeto é representada pelo sı́mbolo m (m vem de
massa, uma grandeza escalar que está relacionada com a inércia e que vamos estudar posteriormente). Matematicamente, podemos usar os experimentos de colisões mencionados
acima para definir a inércia de qualquer objeto, pois a razão da inércida de dois objetos u e s
está relacionada com o inverso da razão da variação do módulo das velocidades dos objetos:
mu
∆v
=− s
ms
∆vu
(3.1)
Questão 3.2 Verifique que
|∆vu | 1
≈
|∆vs | 3
para os dois carros na figura abaixo.
Questão 3.3 A inércia do carro desconhecido (unknown) é maior ou menor do que a
inércia do carro padrão (standard)?
27
Capı́tulo 3. Momento linear
3.3
Quantidade de movimento ou momento linear
A definição de inércia acima leva à definição de outra quantidade fı́sica importante: o momento ou quantidade de movimento. Podemos reescrever a equação acima como:
mu ∆vu + ms ∆vs = 0 −→ mu vu,f − mu vu,i + ms vs,f − ms vs,i = 0.
O produto da inércia pela velocidade de um objeto é chamado de momento: p ≡ mv. A
unidade no SI para o momento é kg·m/s. A partir desta definição, a relação acima pode ser
reescrita como:
∆pu + ∆ps = 0.
(3.2)
Esta equação significa que, sempre que um objeto colide com outro objeto, as variações nos
momentos dos dois objetos se somam para dar zero.
3.4
Sistemas
No capı́tulo 2 analisamos o movimento de um único objeto. Mas a situação da seção anterior
coloca uma situação mais realista, onde um número de objetos interagem uns com os outros.
Para analisar estas situações, temos que focar em um ou mais objetos principais - uma pessoa
escalando uma montanha, dois carros colidindo, átomos de um gás num recipiente. O primeiro passo de qualquer análise que fizermos é então separar o(s) objeto(s) de interesse do
resto do Universo. Qualquer objeto, ou grupo de objetos, que podemos separar, na nossa
cabeça, de todo o resto que está ao redor é um sistema.
Por exemplo, quando consideramos uma colisão entre dois carros, podemos considerar
ambos os carros como o nosso sistema. Quando alguém joga uma bola e nós estamos interessados somente no movimento da bola, a escolha lógica de sistema é a bola; todo o resto o lançador, o ar ao redor da bola, a Terra - está fora do sistema e constitui a vizinhança.
Ao analisar qualquer problema, a escolha
do sistema deve ser bastante clara. Há sempre mais de uma forma de separar um sistema.
Para os dois carros colidindo numa trilha, como
ilustrado na Figura 3.4, podemos definir nosso
sistema contendo ambos os carros (como fizemos) ou apenas um carro. Decidir o que incluir
no sistema vai quase sempre ser definido pela
informação que você quer aprender. Geralmente
a escolha é óbvia; algumas vezes você vai precisar de experiência para fazer a decisão. Mais importante: uma vez definido o sistema, este deve
permanecer o mesmo durante toda a sua análise.
Falhar ao fazer uma escolha consistente de sisFigura 3.4: Duas escolhas para sistema de
tema é uma fonte frequente de erro.
carros colidindo numa trilha.
28
3.4. Sistemas
Em particular, estamos interessados em
quantidades extensivas, cujo valor é proporcional ao tamanho do sistema. De forma mais especı́fica, se dividirmos o sistema em partes
menores, então a soma de uma quantidade extensiva para todas as partes separadas é igual
ao valor da quantidade para todo o sistema. O número de árvores num parque, por exemplo,
é uma grandeza extensiva. O preço por litro de gasolina não é uma quantidade extensiva:
se dividirmos o tanque do carro em duas partes e adicionarmos o preço do litro para as
duas partes, vamos obter o dobro do preço por litro do tanque inteiro. Quantidades que
não dependem do tamanho do sistema, como o preço de gasolina por litro, são chamadas de
quantidades intensivas.
Questão 3.4 As seguintes quantidades são extensivas ou intensivas: (a) inércia, (b)
velocidade, (c) o produto da inércia com a velocidade?
Apenas quatro processos podem alterar o valor de uma quantidade extensiva: entrada, saı́da,
criação e destruição. Para entender isso, considere a Figura 3.5, que representa esquematicamente as condições inicial e final de um parque durante um certo intervalo de tempo. No
parque, o número de árvores pode mudar ao
longo do tempo porque novas árvores crescem
Figura 3.5: Diagrama de um parque como
(criação), árvores velhas morrem ou são des- sistema. O número de árvores no parque é
matadas (destruição). Alternativamente, novas uma quantidade extensiva.
árvores podem ser trazidas para o parque (entrada) enquanto outras árvores são retiradas do parque (saı́da). Desta forma,
variação = entrada − saı́da + criação − destruição.
Sob certas circunstâncias nós podemos excluir os processos de criação ou destruição.
Qualquer quantidade extensiva que não pode ser criada ou destruı́da é chamada de conservada. O valor de uma quantidade conservada só pode mudar através da transferência da
quantidade para dentro/fora do sistema (Figura 3.6).
Figura 3.6: Os efeitos de entrada, saı́da, criação e destruição sobre as quantidades extensivas
de um sistema.
29
Capı́tulo 3. Momento linear
Para uma quantidade conservada num sistema no qual não há a possibilidade de transferência, as coisas são ainda mais simples: o valor da quantidade não pode mudar. Quantidades conservadas têm um papel importante na fı́sica porque sua contagem é muito simplificada. Nos sistemas nos quais não há transferência de uma quantidade conservada, a
quantidade não muda independente dos processos que ocorrem dentro ou fora do sistema.
3.5
Conservação do momento
O momento é uma propriedade extensiva - podemos adicionar o momento de cada objeto
num sistema para obter o momento total do sistema. Nos exemplos dos carrinhos, podemos
pensar nos dois carros como nosso sistema, de forma que
psistema ≡ pu + ps ,
e a equação 3.2 pode ser reescrita como:
∆psistema = 0.
(3.3)
Logo, quando consideramos os dois carros como um sistema, podemos dizer que a colisão
não altera o momento do sistema.
Podemos nos perguntar o que faz o momento de um sistema se alterar. Para isso, vamos
voltar a pensar no movimento do bloco de madeira sobre o piso de concreto da Figura 3.1.
Se considerarmos o bloco como nosso sistema, vemos que há uma interação entre o sistema
(bloco) e o exterior (no caso, o piso). Vamos definir o conceito de interação mais adiante
no curso; por ora, por interação queremos dizer dois objetos tocando um ao outro de forma
que um deles (ou ambos) é acelerado. As interações entre objetos dentro de um sistema
são chamadas de interações internas. As interações entre um objeto do sistema e qualquer
outro objeto fora do sistema são interações externas. No caso do objeto se movendo no piso de
concreto, considerando o objeto como nosso sistema, há ao menos uma interação externa.
Definição 3.1 (Sistemas isolados) Um sistema no qual não há interações externas é
chamado de sistema isolado. Para sistemas isolados, não há nada que possa alterar o
momento do sistema, de forma que
∆psistema = 0 (sistema isolado).
(3.4)
Experimentos mostram que qualquer interação entre dois objetos - não apenas colisões transfere momento de um objeto a outro. Contudo, a soma dos momentos dos objetos interagentes nunca muda. Até hoje, nenhuma interação ou outro fenômeno no qual momento
é criado do nada ou destruı́do foi observado. Podemos com isso concluir que o momento
pode ser transferido de um objeto para outro, ou de um sistema para a vizinhança, mas
não pode ser criado ou destruı́do. Esta afirmação é um dos princı́pios mais fundamentais
da fı́sica, e geralmente é referido como conservação do momento. Para qualquer sistema
isolado, a conservação do momento significa que ∆psistema = 0. Para um sistema que não é
isolado, temos que
∆p = J,
(3.5)
onde J representa a transferência de momento do ambiente externo para dentro do sistema.
A quantidade J é chamada de impulso entregue ao sistema. Como o momento, o impulso é
30
3.6. Outras questões de revisão
um vetor (ou seja, tem módulo e direção) e tem unidades de kg·m/s. Dependendo da direção
em relação ao momento, o impulso pode aumentar ou diminuir a quantidade de momento
do sistema.
A equação 3.5 é chamada de lei do momento, e vamos usa-la extensivamente neste curso.
A equação engloba a conservação do momento porque ela nos diz que o momento de um
sistema pode mudar somente devido à transferência de momento para o sistema (J). Para
um sistema isolado, o impulso é zero (J = 0) e a lei do momento toma a forma da equação
3.2.
3.6
Outras questões de revisão
Questão 3.5 Os gráficos abaixo mostram diferentes situações dos efeitos dos carros A
e B colidindo com um carro S. Comparando (a) com (b), e depois (c) com (d), liste os
carros A, B e S em ordem crescente de inércia.
Questão 3.6 Suponha que você esteja contando o número de cabeças de gado numa
fazenda. O que você escolhe como seu sistema? Quais são os processos correspondentes à entrada, saı́da, criação e destruição? É possı́vel ter transferência para dentro/fora
do sistema? A contagem é uma grandeza conservada?
Questão 3.7 Considere as colisões representadas na Figura 3.3. Quanto de momento
é transferido em cada uma das colisões? O momento é transferido do carro 1 para o
carro 2, ou na direção oposta?
Capı́tulo 3. Momento linear
3.7
Problemas
Atividade 3.1 Considere os dois gráficos da velocidade por tempo mostrados abaixo,
que descrevem um objeto deslizando livre sobre uma superfı́cie plana.
a) Em qual dos dois casos houve uma maior variação do módulo da velocidade?
b) Em qual dos dois casos o módulo da aceleração é maior?
c) O efeito do atrito no movimento é mais pronunciado em qual dos dois casos?
Atividade 3.2 A figura abaixo representa o gráfico da velocidade por tempo para dois
objetos, A e B, antes e após eles colidirem entre si. O objeto B está inicialmente em
repouso.
a) Estime a variação da velocidade dos objetos A e B.
b) Com base na sua resposta para o item anterior, qual objeto deve ter maior inércia?
c) Qual é a razão entre as inércias dos objetos A e B?
Atividade 3.3 Você está andando num ônibus e pensando sobre o número de passa-
geiros dentro do ônibus.
a) O número de passageiros se mantém constante?
b) O número de passageiros dentro do ônibus é uma quantidade extensiva ou intensiva?
c) Em termos de número de passageiros, o ônibus pode ser considerado um sistema
isolado?
Atividade 3.4 Um garoto de 65,0 kg e a irmã de 40,0 kg, ambos utilizando patins,
estão de frente um para o outro em repouso. A garota empurra o garoto com força,
mandando-o para trás com velocidade 2,90 m/s em direção ao oeste. Despreze o atrito.
a) Descreva o movimento subsequente da garota.
31
32
3.7. Problemas
b) O momento do sistema garoto-garota é conservado no processo de empurrar-afastarse?
c) Se sim, explique como isso é possı́vel considerando que não há movimento anterior
nem muito movimento posteriormente.
d) Calcule a velocidade da garota após o empurrão.
Atividade 3.5 Um carro de massa m movendo-se a uma velocidade escalar v1 colide
e se une à traseira de um caminhão de massa 2m movendo-se inicialmente na mesma
direção que o carro a uma velocidade escalar menor v2 . Para calcular a velocidade escalar, vf , dos dois veı́culos imediatamente após a colisão, siga o seguinte roteiro:
a) Defina um sistema isolado para tratar o problema.
b) Calcule o momento linear total do seu sistema imediatamente antes e imediatamente após a colisão.
c) Calcule vf .
Exercı́cio 3.1 A figura abaixo mostra a posição em função do tempo para uma colisão
entre dois carros numa pista onde o atrito pode ser ignorado. O carro 1 tem uma
inércia de 1,0 kg; o carro 2 tem uma inércia de 4,0 kg. (a) Quais são as velocidades
iniciais e finais de cada carro? (b) Qual é a variação na velocidade de cada carro? (c)
Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo para a colisão. (d) O carro 1 tem
aceleração diferente de zero? Se sim, quando, e qual é o sinal da aceleração? (e) O carro
2 tem aceleração diferente de zero? Se sim, quando, e qual é o sinal da aceleração? (f)
Verifique que a conservação de momento se aplica neste caso.
Exercı́cio 3.2 Uma bala de inércia mb é atirada horizontalmente com velocidade vb,i
contra um bloco de madeira de inércia mm inicialmente parado numa superfı́cie sem
atrito. A bala atravessa o bloco e sai com velocidade vb,f . Determine a velocidade final
do bloco, vm,f , seguindo o seguinte roteiro:
a) É possı́vel definir um sistema isolado para tratar o problema? Em caso positivo, defina tal sistema.
b) Calcule o momento linear total do seu sistema imediatamente antes e imediatamente após a interação da bala com o bloco.
c) Calcule vm,f . Deixe sua resposta em termos das quantidades dadas.
Capı́tulo 3. Momento linear
Exercı́cio 3.3 Uma bola de futebol de massa m = 200 g é chutada em direção a uma
vidraça, atingindo-a quando está se deslocando horizontalmente, a uma velocidade de
3 m/s. A bola atravessa a vidraça, diminuindo sua velocidade para 1 m/s. Determine
o impulso transferido para a bola pela vidraça através do seguinte roteiro:
a) É possı́vel definir um sistema isolado para tratar o problema? Em caso positivo, defina tal sistema.
b) Calcule o momento linear total do seu sistema imediatamente antes e imediatamente após a interação da bala com a vidraça.
c) Calcule o impulso.
Exercı́cio 3.4 Em um perı́odo de seis meses a Terra realiza meia revolução em torno
do Sol. A massa da Terra é de ∼ 6 × 1024 kg e sua velocidade de translação é de ∼ 105
km/h.
a) Calcule a variação do momento linear da Terra nestes seis meses.
b) Um sistema isolado pode ser definido como contendo a Terra e o Sol. O momento
linear é conservado neste sistema? Justifique.
c) Calcule a variação da velocidade do Sol nestes seis meses. A massa do Sol é de
∼ 2 × 1030 kg.
Exercı́cio 3.5 Um vagão de trem move-se a uma velocidade vi em uma linha em
direção a três outros vagões parados. Todos os vagões são idênticos, e estão separados
a uma certa distância um do outro. O vagão em movimento atinge o primeiro vagão
parado, e se acopla a ele. Em seguida os dois vagões atingem o terceiro, acoplando-se a
este, e assim sucessivamente. Calcule a velocidade final do comboio de vagões através
de duas formas:
a) Calculando a velocidade final dos vagões depois de cada colisão, e utilizando seu
resultado como condição inicial para a próxima colisão.
b) Definindo um sistema isolado que contenha todos os vagões, e aplicando
conservação de momento.
Problema 3.1 Um carro de 1 kg colide com um carro A de inércia desconhecida num
trilho. Ambos os carros parecem sofrer atrito significante devido ao movimento das
rodinhas porque as velocidades dos carros mudam com o tempo conforme mostrado
na figura abaixo. (a) Quais são as velocidades dos carros em t = 0, t = 5, 0 s, t = 6, 0
s, e t = 10 s? (b) Quando os carros não estão colidindo, os carros estão acelerando ou
desacelerando? (c) A aceleração/desaceleração de cada carro é a mesma antes e depois
da colisão? (d) Qual é a inércia do carro A?
33
34
3.7. Problemas
Problema 3.2 Considere uma molécula de um gás monoatômico de inércia m, que está
preso numa caixa e se move para frente e para trás com velocidade constante v entre
as paredes A e B, opostas uma a outra e distantes l uma da outra. A cada colisão com a
parede, a molécula muda a direção do movimento sem mudar seu módulo. Em termos
das variáveis do problema, escreva (a) a variação do momento da molécula quando
ela colide com a parede B, (b) o intervalo de tempo entre colisões com a parede B, (c)
o número de colisões por segundo da molécula com a parede B, e (d) a variação no
momento, por segundo, como resultado destas colisões.
Problema 3.3 Um canhão é rigidamente fixado a uma base, que pode se mover ao
longo de trilhos horizontais. A massa do canhão e da base é de M = 5000 kg. O canhão
dispara um projétil de massa m = 200 kg a uma velocidade de v0 = 125 m/s fazendo
um ângulo de 45° acima da horizontal.
a) Considerando somente a dinâmica na direção horizontal, o sistema definido pelo
canhão, base e projétil define um sistema isolado? E considerando a dinâmica na
direção vertical?
b) Encontre a velocidade de recuo do canhão.
c) Encontre o impulso exercido no canhão pelo chão.
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Exercı́cio 3.1, Exercı́cio 3.2, Exercı́cio 3.4, Problema 3.2 e Problema 3.3
4. Energia
Agora que conhecemos a conservação de momento, podemos determinar a velocidade final
de dois objetos colidindo se conhecemos somente as velocidades iniciais e sabendo que o momento se conserva? A resposta é não se nossa única ferramenta for a lei de conservação do
momento. Apenas saber que o momento linear é constante não é suficiente. Precisamos de
informações adicionais para predizer as posições e velocidades futuras. No processo de buscar
tais informações adicionais, desenvolvemos outra lei de conservação - a conservação de energia.
Referências para leitura: Halliday (seções 7.1, 8.2, 8.5, 9.6-9.7) e Bauer (seções 5.1-5.2, 6.5,
7.4-7.7).
4.1
Classificação de Colisões
Podemos ressaltar nas colisões que discutimos até aqui que a diferença da velocidade entre
dois carros, v~2 − v~1 , na maioria dos casos tem a mesma amplitude antes e depois da colisão. A
diferença da velocidade do carro 2 em relação ao carro 1 é chamada de velocidade relativa
do carro 2 em relação ao carro 1, v~12 ≡ v~2 − v~1 . Logo, podemos dizer que nas colisões que
discutimos até aqui a velocidade relativa entre os carros não muda depois da colisão, comparado com a velocidade relativa entre os carros antes da colisão. A Figura 4.1 mostra duas
situações onde o módulo desta velocidade relativa não se modifica com a colisão. A estas
colisões onde o módulo da velocidade relativa não se altera chamamos de colisão elástica.
Uma colisão onde o módulo desta velocidade relativa é menor após a colisão do que
antes da colisão é chamada de colisão inelástica. Um exemplo particular de colisão inelástica
ocorre quando os objetos se grudam após a colisão, seguindo juntos com a mesma velocidade,
e portanto com velocidade relativa nula. A esta colisão denominamos de colisão totalmente
inelástica.
Como você pode imaginar, se uma colisão vai ser elástica, inelástica ou totalmente inelástica
vai depender das propriedades dos objetos envolvidos. Contudo, se soubermos o que acontece com a velocidade relativa numa colisão, podemos usar esta informação junto com a
conservação do momento para determinar as velocidades finais.
35
36
4.2. Energia Cinética
Figura 4.1: Velocidade em função do tempo duas colisões, uma com dois carros idênticos, e outra
com carros de inércias diferentes. Em ambas as colisões a velocidade relativa dos carros antes e depois
da colisão não se altera.
4.2
Energia Cinética
A velocidade relativa não é uma variável extensiva, portanto não podemos desenvolver uma
abordagem similar à que fizemos para o momento no capı́tulo anterior. Precisamos buscar
uma variável extensiva que nos permita descrever as colisões elásticas, de forma que tal
variável seja a mesma antes que depois da colisão. Esta variável, como veremos a seguir, é a
Energia Cinética, K = mv 2 /2.
Questão 4.1 Justifique porque a energia cinética é uma quantidade extensiva.
Na figura 4.2 temos dois exemplos de colisão onde as condições iniciais são idênticas. A
primeira colisão é elástica, e a segunda totalmente inelástica. Para a colisão elástica, onde
a velocidade relativa não muda, a soma das energias cinéticas dos dois carros antes e depois da colisão é a mesma. Para a colisão totalmente inelástica, tanto a velocidade relativa
como a soma das energias cinéticas dos dois carros mudam. De forma geral, observamos que
numa colisão elástica, a soma das energias cinéticas dos objetos antes e depois da colisão
é sempre a mesma.
Figura 4.2: Velocidade em função do tempo duas colisões, .
37
Capı́tulo 4. Energia
4.3
Colisões Elásticas
Em uma colisão elástica, temos que o módulo das velocidades relativas permanece constante
(a menos de um sinal, por causa da inversão de sua direção):
v2i − v1i = −(v2f − v1f )
Considerando também a equação que descreve conservação de momento:
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f
podemos, após um pouco de manipulação algébrica, chegar no resultado que a energia
cinética permanece constante:
1
1
1
1
2
2
2
2
m1 v1i
+ m2 v2i
= m1 v1f
+ m2 v2f
2
2
2
2
ou seja,
∆K = 0
onde K = K1 + K2 = 21 m1 v12 + 12 m2 v22 é a energia cinética total do sistema.
Supondo que conhecemos as velocidades iniciais de duas partı́culas que colidem elasticamente, com as equações de conservação de momento e conservação de energia, podemos
determinar suas velocidades finais. Após um pouco de manipulação algébrica, encontramos:
v1f =
4.4
m1 − m2
2m2
2m1
m − m2
v1i +
v2i ; v2f =
v1i − 1
v
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2 2i
Colisões Inelásticas
Em uma colisão totalmente inelástica, a velocidade relativa final entre os dois objetos é zero.
Portanto se pode obter a velocidade final dos objetos:
vf =
m1 v1i + m2 v2i
m1 + m2
A maioria das colisões ocorre em uma situação que é um meio termo entre uma colisão
elástica e uma colisão totalmente inelástica. Podemos parametrizar esta situação definindo
um coeficiente de restituição, , como a razão das velocidades relativas finais e iniciais:
≡−
4.5
v12,f
v12,i
=−
v2,f − v1,f
v2,i − v1,i
Energia Interna
Em colisões inelásticas a velocidade relativa dos objetos muda, e portanto a energia cinética
total também muda. Podemos fazer a pergunta: a energia desaparece, ou vai para algum
lugar?
O que ocorre é que é possı́vel associar uma forma de energia ao estado do sistema. Aqui,
o significado de estado é a condição de um ou mais objetos do sistema especificado por um
conjunto de parâmetros fı́sicos: forma, temperatura, ou qualquer outra variável fı́sica que
38
4.5. Energia Interna
define o objeto. Após uma colisão inelástica, o estado do sistema muda de alguma forma, ao
contrário de uma colisão elástica, onde o estado do sistema permanece inalterado.
A transformação de um sistema de um estado inicial para um estado final é chamada de
processo. Processos causam mudança no sistema, por isso na Fı́sica queremos entende-los.
As colisões inelásticas envolvem mudanças que não podemos desfazer: dois carros ficam
danificados após uma colisão inelástica, e não é possı́vel “desfazer” esta mudança simplesmente separando os carros. Os processos causados por estas colisões inelásticas são processos irreversı́veis, o que significa que as mudanças nos objetos envolvidos no processo não
podem ser desfeitas de forma espontânea.
De forma oposta, colisões elásticas são processos reversı́veis, o que significa que não há
mudanças permanentes no estado do sistema. Os objetos parecem os mesmos antes e depois
da colisão.
Suponha que pudéssemos associar uma quantidade com a mesma unidade da energia
cinética (kg·m2 /s2 ) com o estado de um sistema - vamos chamar esta quantidade de energia interna, Eint . Desta forma poderı́amos arrumar as coisas de forma que numa colisão
inelástica o aumento da energia interna do sistema é igual à diminuição da energia cinética
dos objetos do sistema. Isto significa que numa colisão inelástica uma forma de energia é
convertida em outra forma (cinética para interna) mas a soma das energias cinética e interna
- coletivamente chamadas de energia do sistema - não muda. A energia pode ser convertida
de uma forma para outra, mas não pode ser criada ou destruı́da. É portanto uma variável
extensiva conservada.
Questão 4.2 Um pedaço de massa é jogado contra uma parede e gruda na parede. A
energia interna do sistema massa-parede aumenta, diminui ou permanece a mesma?
Há várias formas possı́veis de energia interna:
energia quı́mica, energia térmica, energia elástica etc.
Mais adiante na disciplina vamos especificar o estado
de um sistema e como calcular a energia interna correspondente. Mas podemos estender a ideia da energia interna para outras interações. Considere, por
exemplo, um carro inicialmente em repouso num trilho de ar que é colocado em movimento por uma
mola, como na Figura 4.3(a). Conforme o carro é acelerado pela mola, a energia cinética do carro aumenta
mas o seu estado não muda, de forma que sua energia aumenta (Figura 4.3(b)). De onde a energia veio?
A mola coloca o carro em movimento, logo é razoável
assumir que a mola transfere energia para o carro. De
fato, a mola se expande - seu estado muda - e portanto
sua energia interna muda.
Se nós incluirmos a mola no sistema (Figura
4.3(c)) e atribuir o aumento da energia cinética do
carro à diminuição da energia interna da mola, podemos novamente arranjar as coisas de forma que
a energia do sistema carro-mola não muda (∆E = Figura 4.3: Energias inicial e final para
duas escolhas de sistemas diferentes.
∆Kcarro + ∆Emola = 0).
39
Capı́tulo 4. Energia
Questão 4.3 (a) O momento do sistema carro-
mola é constante? (b) O sistema está isolado?
Definição 4.1 (Sistemas fechados) O sistema contendo a mola e o carro na Figura 4.3
não está isolado. Contudo, nenhuma energia é transferida para o sistema, de forma
que a energia do sistema é constante.a Qualquer sistema no qual nenhuma energia
é transferida é chamado de um sistema fechado. Um ponto importante é que um
sistema fechado não precisa ser isolado (e, de forma análoga, um sistema isolado não
necessariamente é fechado).
a Como eu sei que nenhuma energia é transferida para o sistema carro-mola? A expansão da mola e a
aceleração do carro não causam nenhuma mudança no estado ou movimento da vizinhança (o trilho, a
Terra, etc.). Consequentemente, a energia da vizinhança não muda, o que significa que nenhuma energia
foi transferida da vizinhança para o sistema.
Quando analisamos variações na energia, é conveniente escolher um sistema no qual
nenhuma energia é transferida para ou do sistema (um sistema fechado). Podemos fazer isso
fazendo um esboço das condições inicial e final dos objetos em consideração, identificando
as mudanças no estado ou no movimento que ocorrem durante o intervalo de tempo de
interesse, e escolhendo um sistema que inclui todos os objetos sob mudança de estado ou
movimento. Ao verificar que nada na vizinhança do sistema passa por uma mudança no
movimento ou no seu estado podemos ter certeza que o sistema que escolhemos é um sistema
fechado.
4.6
Conservação de Energia
Um sistema fechado é definido como aquele onde nenhuma energia entra ou sai do sistema.
Portanto em um sistema fechado, qualquer mudança de energia cinética deve ser acompanhada por uma mudança equivalente da energia interna, de modo que a soma das energias
não mude:
Ki + Eint,i = Kf + Eint,f (sistema fechado).
(4.1)
A equação 4.1 é válida para qualquer sistema fechado (não só para colisões entre carros). Se
escrevemos a soma das energias cinética e interna de um objeto ou sistema como a energia
(total) do sistema,
E ≡ K + Eint ,
podemos reescrever a equação 4.1 como
Ei = Ef
ou
∆E = 0.
Mesmo que ainda não sabemos calcular a energia interna, Eint , a equação acima nos permite
chegar a conclusões importantes. Primeiro, se a energia cinética de um sistema fechado
muda, então o estado do sistema também deve mudar de
∆Eint = −∆K.
40
4.7. Separações Explosivas
Figura 4.4: Dois exemplos de conservação de energia num sistema fechado. (a) A energia
cinética da bola é convertida em energia interna no colchão deformado. (b) Energia quı́mica
armazenada na bateria é convertida em energia térmica.
Como exemplo, considere a bola que cai sobre o colchão e eventualmente fica em repouso (Figura 4.4(a)). Até a bola parar, o movimento da mola muda, assim como a forma
do colchão. A bola e o colchão constituem um sistema fechado, e a diminuição da energia
cinética da bola deve estar acompanhada do aumento da energia interna no sistema.
A segunda conclusão é que se a energia cinética de um sistema não muda, então a energia
interna do sistema também não muda. Mas como Eint é a soma das energias internas de todas
as partes que compõem o sistema, ∆Eint = 0 não significa que nenhuma mudança ocorreu.
Tome, por exemplo, a Figura 4.4(b). Quando a bateria é utilizada, se torna muito quente.
Como não há movimento antes ou depois do processo de utilizar a bateria, não há mudança
na energia cinética no sistema. No entanto, a energia quı́mica na bateria é convertida em
energia térmica, de forma que
∆Equim + ∆Eterm = 0.
4.7
Separações Explosivas
É possı́vel também haver processos onde a energia cinética do sistema aumenta, recebendo
energia a partir de uma diminuição da energia interna. Denominamos estes processos de
separações explosivas (ou explosões). A Figura 4.5 mostra uma separação explosiva que pode
ser feita num trilho de ar. Dois carros, com inércias m e 3m, são seguros contra uma mola
comprimida. Quando os carros são liberados, eles se movem em direções opostas enquanto a
mola expande. A expansão da mola muda o estado da mola e, consequentemente, sua energia
interna; a diminuição da energia interna da mola causa um aumento na energia cinética dos
carros. Note como o gráfico da Figura 4.5(c) é o inverso das figuras de colisão totalmente
inelástica que discutimos anteriormente.
41
Capı́tulo 4. Energia
Figura 4.5: Exemplo de separação explosiva.
Para determinar as velocidades finais dos carros precisamos saber quanta energia Eint a
mola libera (vamos discutir isto mais adiante no curso). Uma vez que obtermos ∆Eint , temos
duas equações que nos permite obter as duas velocidades finais, uma como consequência da
conservação de momento
0 = m1 v1,f + m2 v2,f
e outra como consequência da conservação de energia
1
1
2
2
∆K + ∆Eint = m1 v1,f
+ m2 v2,f
+ ∆Eint = 0.
2
2
4.8
Outras questões de revisão
Questão 4.4 Um carro em movimento colide com um carro idêntico inicialmente em
repouso num trilho de ar sem atrito, e ambos se “grudam”. Qual fração da energia
cinética inicial do sistema permanece nesta colisão totalmente inelástica?
Questão 4.5 Considere um objeto isolado em repouso no espaço. O objeto contém
energia interna de alguma forma. Em princı́pio, é possı́vel converter a energia interna
em energia cinética, de forma que o objeto comece a se mover?
Questão 4.6 Um galão de gasolina contém aproximadamente 1, 2 × 108 J de energia.
Se toda essa energia fosse convertida em energia cinética num carro de 1.200 kg, quão
rápido o carro poderia ir?
42
4.9. Problemas
4.9
Problemas
Atividade 4.1 (a) Você está dirigindo um carro a 25 m/s quando ultrapassa um caminhão viajando na mesma direção a 22 m/s. Se a direção na qual os dois carros estão
viajando é tida como positiva do sistema de coordenadas, qual é a velocidade do caminhão em relação a você? (b) Agora uma motocicleta ultrapassa você a 29 m/s. Qual
é a velocidade da motocicleta em relação a você?
Atividade 4.2 Dois blocos de massa m1 e m2 e velocidades iniciais v1 e v2 sofrem
uma colisão. Em qual situação o impulso exercido entre os carrinhos é maior, em uma
colisão elástica ou em uma colisão totalmente inelástica? Justifique.
Atividade 4.3 Um átomo de urânio-238 pode se desintegrar num átomo de tório-234
e uma partı́cula chamada de partı́cula alfa, α-4 (os números indicam as inércias dos
átomos e da partı́cula α em unidades de massa atômica, onde 1 u.m.a. = 1, 66 × 10−27
kg). Quando um átomo de urânio inicialmente em repouso se desintegra, um átomo
de tório recua com velocidade −2, 5 × 105 m/s. Quanto da energia interna do átomo de
urânio é liberada durante o processo de desintegração?
Exercı́cio 4.1 Um rio flui com velocidade constante v. Um estudante nada rio acima
uma distância d e depois volta ao ponto de partida. O estudante consegue nadar a
uma velocidade c em água parada. (a) Em termos de d, v e c, que intervalo de tempo é
necessário para o percurso completo? (b) Que intervalo de tempo seria necessário se a
água fosse parada? (c) Qual intervalo de tempo é maior? Explique se é sempre maior.
Exercı́cio 4.2 Dois blocos de massa m1 e m2 e velocidades iniciais v1 e v2 colidem elas-
ticamente. Suponha que possamos ajustar as massas de m1 e m2 livremente. Encontre
em que situação o bloco 2 dobra sua velocidade devido à colisão.
Exercı́cio 4.3 Dois blocos de massa m1 = 0.25 kg e m2 = 0.40 kg se deslocam em uma
linha reta em um trilho sem atrito a velocidades v1i = 0.20 m/s e v2i = −0.050 m/s. Os
blocos sofrem uma colisão totalmente inelástica.
a) Escreva as equações de conservação de momento linear. A energia cinética se conserva?
b) Calcule as velocidades finais dos dois blocos.
c) Faça um gráfico das velocidades dos blocos em função do tempo, ressaltando em seu
gráfico as velocidades relativas dos blocos antes e depois da colisão.
Exercı́cio 4.4 Dois blocos de massa m1 = 0.25 kg e m2 = 0.40 kg se deslocam em uma
linha reta em um trilho sem atrito a velocidades v1i = 0.20 m/s e v2i = −0.050 m/s. Os
blocos colidem elasticamente.
a) Escreva as equações de conservação de momento linear e conservação de energia
cinética.
b) Calcule as velocidades finais dos dois blocos.
Capı́tulo 4. Energia
c) Faça um gráfico das velocidades dos blocos em função do tempo, ressaltando em seu
gráfico as velocidades relativas dos blocos.
Exercı́cio 4.5 Um carro de 1000 kg viajando em linha reta com velocidade de +20
m/s colide de frente com uma caminhonete de 1500 kg viajando com velocidade de
−10 m/s. (a) Se 10% da energia cinética do sistema é convertida em energia interna
durante a colisão, quais são as velocidades finais do carro e da caminhonete? (b) Se o
carro tivesse batido na traseira da caminhonete que estaria se movendo com +10 m/s,
como a resposta do item (a) mudaria?
Exercı́cio 4.6 Dois blocos de massa m1 e m2 e velocidades iniciais v1 e v2 sofrem uma
colisão completamente inelástica.
a) Calcule a perda de energia cinética do sistema.
b) Repita seu cálculo quando a colisão é parcialmente inelástica, com um coeficiente
de restituição .
Exercı́cio 4.7 Um sistema consiste de um carrinho de 4,0 kg e um carrinho de 1,0
kg conectados um com outro por uma mola comprimida. Inicialmente, o sistema está
em repouso num trilho de ar, com atrito desprezı́vel. Quando a mola é relaxada, uma
separação explosiva ocorre às custas da energia interna armazenada na mola comprimida. Se a mudança na energia interna da mola durante a separação é de 1,0 kJ, qual
é a velocidade de cada carrinho logo após a separação?
Problema 4.1 Um mito urbano diz que é possı́vel escapar com vida de uma queda de
elevador pulando para cima instantes antes do elevador tocar no chão. Supondo uma
queda de 5 metros de altura, calcule o impulso que você deve dar ao elevador para
que este plano funcione. Quanto de energia você deve gastar neste processo? Avalie
criticamente os valores encontrados. Suponha um elevador de 500 kg de massa e que
você tenha 70 kg.
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 4.3, Exercı́cio 4.1, Exercı́cio 4.3, Exercı́cio 4.4, Exercı́cio 4.7
43
5. Interações
Na semana anterior vimos como as interações podem alterar a energia cinética de objetos bem
como suas energias internas. Todo evento que ocorre neste universo é o resultado de alguma
interação entre objetos. As interações determinam a estrutura do universo, desde a escala
subatômica até a escala cosmológica. Neste capı́tulo vamos estudar como as interações convertem energia de uma forma para outra. No processo vamos aprender mais sobre o conceito
de energia interna introduzido na semana anterior.
Referências para leitura: Halliday (cap. 8) e Bauer (cap. 6).
5.1
Os efeitos das interações
No sentido mais amplo, interações são influências mútuas entre dois objetos que
produzem mudança (tanto mudança fı́sica
quanto no movimento). Como exemplo,
considere um carro parado numa pista horizontal. A única forma de fazer o carro se
mover é fazer ele interagir com alguma outra coisa. Poderı́amos, por exemplo, dar um
empurrão ou fazer o carro colidir com outro
carro, ou colar um imã no carro e puxa-lo ou
empurra-lo com outro imã.
Uma interação que acelera um objeto Figura 5.1: Uma interação entre dois carros prepode ser tanto repulsiva quanto atrativa. sos por uma mola.
Uma interação repulsiva é tal que os corpos
que interagem aceleram na direção de se afastarem um do outro; numa interação atrativa
os corpos aceleram um em direção a outro. Algumas interações são repulsivas sob certas
condições, e atrativas sob outras condições. Um exemplo está na Figura 5.1, que mostra
a interação entre dois carrinhos ligados por uma mola. Quando a mola está esticada, a
interação é atrativa; quando a mola está comprimida, a interação é repulsiva.
44
45
Capı́tulo 5. Interações
A Figura 5.2 representa as componentes x das velocidades, os momentos, as acelerações e
as energias cinéticas de dois carrinhos antes e depois de uma interação. O carro 1, de inércia
0,12 kg e inicialmente no repouso, é batido pelo carro 2, de inércia 0,24 kg e inicialmente
com velocidade de 0,55 m/s.
Note que a interação que causa as mudanças na velocidade e no momento não é instantânea; ela acontece num certo intervalo de tempo (representado pela região em cinza nos
gráficos). Como a variação da velocidade do carro 1 é o dobro da variação do carro 2, o
módulo da aceleração média do carro 1 é o dobro do carro 2. Este resultado é uma consequência direta da conservação de momento, e esta relação também vale para acelerações
instantâneas. Desta forma, quando dois objetos interagem, a razão das componentes x de
suas acelerações é igual a menos o inverso da razão de suas inércias:
a1
m
= − 2.
a2
m1
A equação acima é válida para todas as interações num sistema de dois objetos isolado, independente do que acontece com a energia durante a interação.
Figura 5.2: Conservação de momento e energia cinética numa colisão elástica entre dois
carrinhos num trilho de ar.
46
5.2. Energia potencial
Questão 5.1 (a) Use a Figura 5.2 para calcular o momento dos dois carros em t = 30, 60
e 90 ms. (b) O momento é o mesmo em cada um destes instantes? (c) Use a Figura 5.2
para calcular as energias cinéticas dos dois carros em t = 30, 60 e 90 ms. (d) A energia
cinética do sistema se mantém constante?
A Figura 5.2(d) mostra a energia cinética dos dois carros. Assim como o momento, a energia cinética de cada carro muda, mas como a colisão é elástica, a energia cinética do sistema
é a mesma antes e depois da interação. Note, no entanto, que a energia cinética do sistema
não se mantém constante durante a colisão! Ao contrário do momento, a energia cinética de
um sistema de objetos colidindo muda durante a colisão - mesmo quando a colisão é elástica.
O desaparecimento da energia cinética não está em contradição com a conservação de
energia. A energia cinética faltante durante a interação foi temporariamente convertida em
energia interna. Após a interação, a energia cinética convertida em energia interna durante a
interação reaparece como energia cinética. Porque o sistema é fechado, a energia do sistema
se mantém constante durante a colisão.
Em colisões inelásticas, nem toda a energia cinética do sistema antes da colisão convertida em energia interna durante a colisão reaparece como energia cinética depois da colisão.
Parte da energia cinética inicial é convertida em energia interna de forma irreversı́vel.
Questão 5.2 Considere uma bola que é atirada contra a parede numa trajetória horizontal com velocidade v0 . (a) Qual é o momento da bola durante a colisão? (b) O
momento da bola é constante antes, durante e após a colisão? Se sim, por que? Se não,
por que não, e para qual sistema o momento é constante?
Podemos resumir as caracterı́sticas de uma interação:
1. dois objetos são necessários;
2. o momento de um sistema de objetos que interagem é o mesmo antes, durante e após a
colisão (desde que o sistema esteja isolado).
Além disto, para as interações que afetam o movimento dos objetos:
1. a razão das acelerações dos objetos é inversamente proporcional à razão de suas inércias;
2. a energia cinética do sistema muda durante a interação. Parte desta energia é convertida para alguma forma de energia interna durante a colisão. Numa colisão elástica
toda a energia convertida reaparece como energia cinética após a colisão. Numa colisão
inelástica apenas parte da energia convertida é convertida como energia cinética após
a colisão; numa colisão totalmente inelástica nenhuma energia convertida reaparece
como energia cinética após a colisão.
5.2
Energia potencial
Numa interação, a parte da energia cinética que é temporariamente armazenada em mudanças
reversı́veis no estado do sistema é chamada de energia potencial, representada por U . Energia potencial é uma forma de energia interna; o termo potencial se refere ao fato que a energia
tem potencial para ser convertida de volta em energia cinética.
Capı́tulo 5. Interações
47
Na Figura 5.3, o carro comprime a mola, e toda a
energia cinética do carro antes da interação é temporariamente convertida em energia potencial armazenada na mola. Conforme a mola retorna ao
seu estado inicial (isto é, à sua forma original), essa
energia potencial é convertida de volta a energia
cinética do carro. Durante a interação entre o carro
e a mola, a soma das energias cinética e potencial é
constante, uma vez que o sistema carro-mola é fechado.
Definição 5.1 (Energia Potencial) De forma
geral, energia potencial é a forma de energia
interna associada com mudanças reversı́veis
na configuração do estado de um objeto ou
sistema. Energia potencial pode ser totalmente convertida em energia cinética.
Há várias formas de energia potencial, todas relacionadas com a forma na qual os objetos interagentes se arranjam espacialmente. Se você joga um
Figura 5.3: Conversão de energia durante
bloco para cima, você muda a configuração espa- a interação entre um carro e uma mola.
cial do sistema bloco-Terra. Conforme o bloco sobe,
a forma de energia potencial chamada de energia
potencial gravitacional é armazenada no sistema
bloco-Terra. Se olharmos ao nı́vel atômico, quando
você pressiona uma bola ou uma mola, você troca a
configuração do arranjo dos átomos que constituem
a bola ou a mola. Deformações reversı́veis correspondem à mudanças na energia potencial elástica.
Questão 5.3 Na Figura 5.3, a velocidade inicial do carro é vi . Assumindo que não há
nenhuma energia potencial armazenada na mola inicialmente, quanta energia potencial é armazenada na mola (a) na terceira situação da figura e (b) na última situação da
figura? Dê suas respostas em termos de m, vi e v.
5.3
Dissipação de energia
A parte da energia cinética convertida que não reaparece depois numa colisão inelástica é
dista ter sido dissipada (em outras palavras, convertida de forma irreversı́vel). Para entender
o que ocorre com a energia que é dissipada, pense num experimento simples com uma folha.
Se você dobrar (sem marcar) uma folha com um dos extremos em direção ao outro, uma
vez que você tirar a mão a folha volta ao seu estado original. Mas se você amassar a folha e
depois tirar sua mão, a folha pode se expandir um pouco mas não volta à sua forma original.
Há uma diferença crucial nestas duas situações: na primeira a deformação ocorre de uma
maneira coerente, o que significa que no nı́vel atômico há um padrão no deslocamento dos
átomos; eles se movem de forma ordenada em linhas, cada linha sucessiva experimentando
48
5.3. Dissipação de energia
um pequeno deslocamento na mesma direção. Conforme você dobra a folha, você armazena
energia potencial na folha; quando você solta a folha, a energia potencial aparece como
energia cinética.
Na segunda situação, a mudança na forma é incoerente porque os átomos são deslocados
em direções aleatórias. A folha não pode voltar à forma original porque o deslocamento
aleatório deixou os átomos uns no caminho dos outros.
Podemos então dar uma classificação completa da energia. Toda energia pode ser dividida em duas classes fundamentais: energia associada ao movimento e energia associada
com a configuração dos objetos interagentes. Cada classe de energia vem em duas formas:
coerente e incoerente (Figura 5.4).
Quando todos os átomos num objeto se movem de forma coerente na mesma direção o que significa que o objeto se move nesta direção - a energia de movimento é chamada de
energia cinética. Energia armazenada em mudanças coerentes numa configuração é chamada
de energia potencial. A soma das energias potencial e cinética de um sistema é chamada de
energia mecânica ou energia coerente do sistema.
Além da energia coerente, um sistema pode ter energia incoerente associada ao movimento incoerente e à configuração de seus objetos. Uma parte importante da energia incoerente de um sistema é sua energia térmica. Quanto maior a energia térmica de um objeto
maior sua temperatura. A soma da energia incoerente e da energia potencial de um sistema
é a energia interna do sistema.
Figura 5.4: Classificação da energia.
49
Capı́tulo 5. Interações
5.4
Fontes de energia
Por causa da inevitável dissipação de energia mecânica, precisamos de uma fonte de energia
- combustı́vel, alimento, etc. - para gerar ou manter a energia mecânica de um sistema. Por
exemplo, a energia da gasolina é necessária para manter um carro em movimento. Sem fornecimento de energia o carro desacelera conforme sua energia cinética se dissipa por causa
do atrito.
De forma geral, há quatro tipos de fontes de energia: energia quı́mica (energia associada
com a configuração dos átomos dentro das moléculas) liberada em reações quı́micas como
a queima de óleo, carvão, gás, madeira e a metabolização de comida; energia nuclear (associada com a configuração do núcleo dos átomos) liberada em reações nucleares; energia
solar entregue via radiação pelo sol; e energia solar armazenada na forma de vento e energia
hidroelétrica.
Para facilitar a nomenclatura, vamos dividir a energia em quatro categorias:
1. energia cinética, K;
2. energia potencial, U ;
3. fontes de energia Es , e;
4. energia térmica Eth .
As interações convertem energia de uma categoria para outra, mas a conservação de energia
requer que, para um sistema fechado, a energia E do sistema se mantenha constante. Logo,
para um sistema fechado,
∆E = ∆K + ∆U + ∆Es + ∆Eth = 0
(5.1)
5.5
Tipos de interações
A Figura 5.5 ilustra os vários tipos de conversão de energia que podem ocorrer. Interações que convertem energia para energia mecânica ou térmica e interações que
convertem energia mecânica em energia térmica são irreversı́veis. Interações irreversı́veis mudam a energia
térmica do sistema e são chamadas de interações dissipativas; interações reversı́veis não mudam a energia
térmica do sistema e são chamadas de interações nãodissipativas.
5.5.1
Interações não-dissipativas
Para interações não-dissipativas, não há mudança na
fonte de energia ou na energia térmica do sistema. As
únicas conversões de energia permitida neste caso são
transformações reversı́veis entre a energia cinética e a
energia potencial. Para estes tipos de interações,
∆E = ∆K + ∆U = 0.
(5.2) Figura 5.5: Processos de conversão
de energia.
50
5.5. Tipos de interações
Se introduzirmos a energia mecânica, Em = K + U ,
∆Em = 0.
Como exemplo, vamos considerar novamente a interação de um carro, andando para a
direita, com uma mola, como na Figura 5.3. O carro interage com a mola, que está presa na
Terra. O sistema contendo o carro, o trilho de ar, a mola e a Terra é fechado. Porque KT erra
não muda, a equação 5.2 nos diz que
∆Kcarro = −∆Umola ,
onde ∆Umola é a energia potencial elástica associada com a forma da mola. Conforme a mola
vai sendo comprimida (ou alongada), a energia potencial deve mudar. Portanto, Umola deve
ser função da posição, isto é, Umola deve ter um valor definido em cada posição x. De forma
geral, a energia potencial de qualquer sistema pode ser escrita na forma
U = U (x),
(5.3)
onde U (x) é função da posição x que quantifica a configuração do sistema. Uma consequência
direta desta dependência da energia potencial com a posição é que a mudança na energia
cinética de um objeto que se move de uma posição x1 para uma posição x2 durante uma
interação não-dissipativa depende somente das posições x1 e x2 , e não do caminho percorrido pelo objeto.
Também podemos deduzir um ponto muito importante do fato da energia potencial depender da
posição. Considere um sistema fechado com uma
função de energia potencial como a da Figura 5.6. Se
não há dissipação, então a energia mecânica deste sistema fechado se conserva. Porque a energia potencial
aumenta com x, a energia cinética deve diminuir com
x. Isto significa que o objeto tende a ser acelerado na
direção de menor energia potencial, independente da
sua direção original de movimento.
5.5.2
Interações dissipativas
Uma interação dissipativa é aquela na qual há
variações na energia térmica. Estas interações são irreversı́veis. Um exemplo simples é um bloco andando
sobre uma superfı́cie de madeira e perdendo velocidade até parar. O atrito entre a superfı́cie e o bloco Figura 5.6: Aceleração num sistema feé dissipativo: se tentarmos reverter o movimento, chado que não tem dissipação de enerirı́amos obter uma situação impossı́vel. O atrito gia.
agindo sobre o bloco converte sua energia cinética em
energia térmica. O sistema contendo o bloco, a superfı́cie e a Terra (que mantém a superfı́cie no lugar)
é fechado, de forma que
∆E = ∆K + ∆U + ∆Es + ∆Eth = 0.
51
Capı́tulo 5. Interações
Mas ∆U = 0 porque não há mudança na posição do bloco em relação à Terra e não há molas
envolvidas; ∆Es também é zero neste caso, de forma que
∆Kbloco = −∆Eth .
Embora a expressão acima seja muito similar à equação do sistema bloco-mola, o lado direito
é conceitualmente muito diferente. Em particular, a energia térmica não é uma função da
posição.
5.6
Um exemplo de interação não-dissipativa: queda livre
Vamos considerar uma interação bastante familiar: a
integração gravitacional próxima à superfı́cie da Terra.
Sabemos que, se desprezarmos a resistência do ar, todos os objetos próximos à superfı́cie da Terra caem com
aceleração constante g = 9, 8 m/s2 . Se ignorarmos o atrito,
esta interação é não-dissipativa.
Se liberarmos uma bola de uma certa altura acima do
chão, a bola ganha energia cinética. Quando a bola cai,
a distância entre a bola e o chão diminui, de forma que
a configuração (gravitacional) do sistema bola-Terra (e,
consequentemente, a energia potencial associada a esta
configuração) muda. Porque a bola e a Terra constituem Figura 5.7: Queda livre de uma
bola, considerando o sistema feum sistema fechado,
chado bola-Terra.
∆Ug + ∆Kb = 0,
onde ∆Ug é a variação na energia potencial gravitacional do sistema Terra-bola e ∆Kb é a
variação na energia cinética da bola. Como a aceleração é constante, temos que
a=
∆v
= −g,
∆t
de forma que
1
∆v 1
∆v
∆x = vi ∆t − g(∆t)2 = −vi
− g −
2
g
2
g
!2
.
Expandindo as notações delta, rearranjando os termos e multiplicando os dois lados da
equação pela inércia da bola, mb , chegamos a
1
mb g(xf − xi ) + mb (vf2 − vi2 ) = 0
2
Comparando a equação acima com a equação 5.6, vemos que
∆Ug = Ug,f − Ug,i = mg(xf − xi ) = mgxf − mgxi ,
o que nos leva a deduzir que a energia potencial gravitacional do sistema Terra-bola próxima
à superfı́cie da Terra é
Ug (x) = mgx,
(5.4)
onde x é a coordenada vertical do objeto (com o eixo x apontando para cima).
52
5.7. Outras questões de revisão
5.7
Outras questões de revisão
Questão 5.4 (a) Você está segurando uma bola a uma certa altura do chão. Se você
solta a bola, ela acelera para baixo. A interação que causa a aceleração da bola é devido
a que outro objeto? (b) Esta interação é atrativa ou repulsiva? (c) Quando a bola bate
no chão, a direção do seu movimento é revertida. Esta reversão é resultado de uma
interação atrativa ou repulsiva?
Questão 5.5 Por causa do atrito, um bloco de 100 g inicialmente deslizando sobre o
gelo a 8,0 m/s diminui sua velocidade a uma taxa de 1,0 m/s2 até parar. (a) Em gráficos
separados, esboce a velocidade do bloco e sua energia cinética como função do tempo.
(b) A energia cinética do bloco é convertida em que forma de energia?
Questão 5.6 Para cada um dos processos seguintes, determine qual conversão de ener-
gia ocorre e classifique a interação como dissipativa ou não-dissipativa: (a) lançamento
de uma bola pela expansão de uma mola comprimida, (b) queda de uma bola liberada
a partir de uma certa altura acima do solo, (c) o freamento de uma bicicleta até parar,
(d) a aceleração de um carro.
5.8
Problemas
Atividade 5.1 Duas crianças estão empurrando uma a outra numa pista de gelo, ambas
segurando um corrimão no canto da pista. As inércias das crianças são 30 kg e 25 kg.
(a) Se num instante a criança de 30 kg está acelerando a 1,0 m/s2 para a esquerda, qual
é a aceleração da outra criança nesse instante? (b) O que acontece com as acelerações
se a criança de 25 kg para de empurrar?
Atividade 5.2 A energia potencial de uma interação é dada por U (x) = ax2 , onde
a = +6, 4 J/m2 . (a) Se a velocidade inicial de um objeto de 0,82 kg nesse sistema é de
2,23 m/s em x = 0, quão longe o objeto viaja até parar? (b) A sua resposta no item (a)
depende se o objeto está viajando na direção positiva ou negativa do eixo x?
Atividade 5.3 Você joga uma bola de uma janela 12 m acima do chão, a partir do
repouso, e pouco antes da bola atingir o chão sua velocidade é medida a 14,6 m/s.
Qual a fração da energia cinética da bola é dissipada devido à resistência do ar?
Exercı́cio 5.1 Dois carros de brinquedo (m1 = 0, 200 kg e m2 = 0, 250 kg) são mantidos
juntos um ao outro por uma mola comprimida entre eles. Quando o sistema é liberado,
os carros estão livres para se mover. Se você medir a aceleração do carro de 0,200 kg
como 2, 25 m/s2 para a direita, qual é a aceleração do outro carro?
Capı́tulo 5. Interações
Exercı́cio 5.2 Quando um carro compacto de 800 kg acelera do repouso até 27 m/s,
consome 0,0606 l de gasolina, e 1 l de gasolina contém aproximadamente 3, 2 × 107 J
de energia. Qual é a eficiência do carro?
Exercı́cio 5.3 Um tı́pico avião comercial carregado tem uma inércia de 2, 1 × 105 kg.
(a) Quanta energia é necessária para levar o avião até a velocidade de vôo de 270 m/s?
(Ignore a resistência e o arraste do ar.) (b) Quanta energia é necessária para levar o
avião até a altitude de 10.400 m de altura se o avião viaja a esta altitude com velocidade
de vôo (constante)?
Exercı́cio 5.4 Em uma brincadeira no gelo, um jogador de 90 kg arremessa uma bola
de 1,0 kg a uma velocidade de 15 m/s. A bola é apanhada por um segundo jogador
de 80 kg. Qual a velocidade final dos atletas? Qual a energia total dissipada quando o
segundo atleta pega a bola?
Exercı́cio 5.5 Uma bola de basquete de 700 g cai no piso de uma quadra e retorna a
65% da sua altura original. (a) Se a bola cai de uma altura de 1,5 m, quanta energia é
dissipada na primeira batida no chão? (b) Quanta energia é dissipada na quarta batida
no chão? (c) A energia dissipada é convertida em que tipo de energia incoerente?
Exercı́cio 5.6 Uma corda uniforme de inércia m e comprimento l está esticada sobre
uma mesa escorregadia. Quando sua ponta é colocada para fora da mesa, ela começa
a escorregar. Calcule a velocidade de queda da corda quando ela abandona de vez a
mesa.
Problema 5.1 Num trilho de ar, um carrinho de 0,36 kg inicialmente se movendo para
a direita a 2,05 m/s colide elasticamente com um carrinho de 0,12 kg inicialmente se
movendo para a esquerda a 0,13 m/s. O carro de 0,12 kg bate no carro de 0,36 kg e
comprime uma mola que está à direita dos carros no final do trilho. (a) No instante
de máxima compressão da mola, quanta energia potencial elástica é armazenada na
mola? (b) Se a mola devolve toda essa energia para o carrinho, e os dois carrinhos
colidem novamente, qual é a velocidade final de cada carrinho?
Problema 5.2 Um instrumento de 2.2 kg está em um balão atmosférico. No ponto de
maior altura, o instrumento é solto do balão e cai livremente por grande parte da altura
antes que seu paraquedas se abra. Você sabe que a aceleração do instrumento é dada
por a = ge−t/τ , onde g é a aceleração da gravidade e τ é uma constante que depende da
forma do instrumento, e que neste caso vale 5.68 s. Você se preocupa com o quanto o
instrumento pode aquecer durante a queda por causa da resistência do ar. Qual a taxa,
em joules por segundo, que a energia é dissipada?
53
54
5.8. Problemas
Problema 5.3 Um carro de 1,00 kg tem anexado a sua frente um dispositivo explo-
sivo que, quando colide em algo, explode liberando uma quantidade de energia E.
Este carro está se movendo para a direita com velocidade v quando colide com outro
carro de massa 2,00 kg que viaja para a esquerda com a mesma velocidade. A explosão acontece quando os carros colidem, causando uma separação dos carros. Se um
quarto da energia da explosão se dissipa em uma mistura incoerente de energia sonora
e deformação dos carros, qual é a velocidade final de cada carro?
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Exercı́cio 5.1, Exercı́cio 5.4, Exercı́cio 5.6, Problema 5.1, Problema 5.2
6. Revisão 1
TODOS os problemas abaixo correspondem à lista de atividades que deverá ser feita para a
aula exploratória de 23/setembro/2019. Um dos exercı́cios será sorteado para entrega.
6.1
Problemas
Exercı́cio 6.1 Uma motocicleta parte do repouso e acelera conforme mostra a figura
abaixo.
(a) Determine a velocidade escalar da motocicleta em t = 8, 0 s.
(b) Determine a distância percorrida nos primeiros 14 s.
Exercı́cio 6.2 A velocidade de uma partı́cula se movendo pelo eixo x varia com o
tempo segundo a expressão v(t) = 6t 2 − 4, onde v está em metros por segundo, e t está
em segundos. Sabendo que a partı́cula sai da origem em t = 0 s:
(a) Determine a velocidade média da partı́cula entre t = 1 s e t = 2 s.
(b) Determine a aceleração da partı́cula em t = 2 s.
55
56
6.1. Problemas
Exercı́cio 6.3 A figura abaixo mostra a posição em função do tempo para uma colisão
entre dois carros numa pista onde o atrito pode ser ignorado. O carro 1 tem uma
inércia de 1,0 kg e o carro 2 tem uma inércia de 5,0 kg.
(a) Desenhe em um gráfico a velocidade em função do tempo para a colisão, indicando
claramente os valores numéricos das velocidades.
(b) A colisão é elástica ou inelástica? Justifique.
Exercı́cio 6.4 Na figura abaixo, são representadas as velocidades de dois carros, A e B,
que se deslocam em um trilho de ar sem atrito. O carro A está inicialmente parado, e é
atingido pelo carro B.
(a) Supondo que a inércia do carro B é de 200 g, calcule a inércia do carro A a partir
das informações do gráfico.
(b) Qual seria a velocidade final dos carros caso o carro B estivesse inicialmente parado,
e fosse atingido pelo carro A com a mesma velocidade inicial do item anterior?
Capı́tulo 6. Revisão 1
Exercı́cio 6.5 Num trilho de ar, um carrinho de m1 = 0, 30 kg inicialmente se movendo
para a direita a v1i = 2, 0 m/s colide com um carrinho de m2 = 0, 10 kg inicialmente se
movendo para a esquerda a v2i = 2, 0 m/s. Acoplado ao carrinho de 0, 30 kg está uma
mola que se comprime durante a colisão, voltando a ficar relaxada após a separação
dos carrinhos. Se a mola dissipa energia de forma que o coeficiente de restituição é de
75%, quais as velocidades finais de cada carrinho?
Exercı́cio 6.6 Um carro de 1000 kg viajando em linha reta com velocidade de 20 m/s
para a direita colide de frente com uma caminhonete de 1500 kg viajando com velocidade de 10 m/s para a esquerda. Se 10% da energia cinética do sistema é convertida
em energia interna durante a colisão, quais são as velocidades finais do carro e da
caminhonete?
Exercı́cio 6.7 Dois carrinhos de massa 1,0 kg e 2,0 kg são mantidos nas extremida-
des de uma mola que está inicialmente comprimida. Num determinado momento o
conjunto é liberado, a mola fica numa posição relaxada, e o carrinho de 1,0 kg adquire
uma velocidade de +4, 0 m/s.
(a) Qual é a velocidade do carrinho de 2,0 kg após a mola ficar relaxada?
(b) Qual é a energia armazenada inicialmente na mola comprimida, sabendo que 70%
desta energia é dissipada após o conjunto se soltar.
Exercı́cio 6.8 Dois patinadores A e B estão ligados pela cintura por um elástico sobre
uma pista de gelo. Em um certo instante o patinador A empurra o patinador B, fazendo
que o patinador B adquira uma velocidade de 0,4 m/s. Quando o elástico se estica,
ele reverte o movimento de separação dos patinadores, que passam a se aproximar
novamente. Considere que as inércias dos patinadores A e B são, respectivamente,
mA = 48 kg e mB = 72 kg.
(a) Calcule a velocidade do patinador A após o empurrão.
(b) Qual a energia potencial armazenada pelo elástico, sabendo que 10% da energia
mecânica é dissipada pelo elástico em forma de energia térmica.
57
7. Forças
Neste estágio do curso, você já pode resolver uma quantidade grande de problemas usando
apenas as leis de conservação. Até agora temos aplicado estas leis apenas em sistemas isolados ou fechados; mas nem sempre é possı́vel identificar tais sistemas. Por esta razão, você
também precisa saber uma abordagem para resolver problemas que é válida em sistemas que
estão interagindo com a vizinhança. Se você olhar para os capı́tulos anteriores, irá perceber
que muitas das interações que discutimos envolvem empurrar, puxar ou esfregar - todas ações
relacionadas com a noção comum de força. De forma a trabalhar com sistemas que não estão
isolados, devemos discutir o conceito de força.
Referências para leitura: Halliday (cap. 5) e Bauer (cap. 4).
7.1
Força e momento
O termo força é familiar - geralmente associado com a capacidade de mover objetos (por
exemplo, empurrar uma cadeira no chão) ou causar alguma mudança fı́sica (por exemplo,
amassar uma lata de refrigerante vazia). Para relacionar o conceito intuitivo de força com as
quantidades que já definimos, vamos considerar a seguinte situação: imagine que você está
descendo uma montanha de bicicleta a 30 km/h. De repente você descobre que os freios não
estão funcionando, de forma que você vai bater contra uma parede. A força do impacto vai
ser considerável, e seria pior ainda se você estivesse indo mais rápido. Se você estivesse mais
devagar, digamos, a 3 km/h, o impacto talvez não fosse tão ruim. Mas não é só a velocidade
que importa. Se você estive com uma mochila cheia de livros a força do impacto seria maior
do que se você não estivesse carregando nada.
O exemplo acima mostra que tanto a velocidade quanto a inércia governam a força do
impacto, de forma que a força deve estar relacionada com a mudança no momento, ∆p. Mas
não é só isso. Imagino que a parede estivesse coberta de colchões, e você certamente preferiria bater nessa parede do que no concreto direto; afinal, a força do impacto com os colchões
é menor do que no concreto. Porém, em termos de variações no momento ou na energia, não
faz nenhuma diferença qual parede escolher, pois em ambos os casos sua velocidade vai diminuir pelo mesmo valor, de 30 km/h a zero. A diferença entre o concreto e o colchão é que
58
59
Capı́tulo 7. Forças
o colchão muda seu momento num perı́odo de tempo maior, pois a mudança do momento
ocorre numa taxa menor com o colchão.
Este exemplo ilustra dois pontos importantes. O primeiro é que forças são manifestações
de interações. A força exercida pelo colchão sobre você é uma parte da interação entre você
e o colchão (a outra parte é a força que você exerce sobre o colchão). O segundo ponto é que,
para um objeto que está participando de uma interação, a força exercida sobre o objeto é a
taxa de variação temporal do momento do objeto:
∆pobjeto dpobjeto
=
.
dt
∆t→0 ∆t
Fobjeto ≡ lim
Como a força está relacionada com a mudança no momento, esta grandeza fı́sica é um vetor
e também tem direção. Sua unidade no SI é kg· m/s2 , que é definido como newton (N) em
homenagem ao cientista inglês Isaac Newton.
Questão 7.1 Imagine que você empurra um objeto ao longo de uma trajetória horizontal sobre uma superfı́cie com velocidade constante de 1 m/s. Qual é a taxa temporal
da variação do momento do objeto?
Embora os argumentos da relação entre força e variação temporal do momento
são bastante plausı́veis, esta relação às vezes difere da nossa intuição sobre forças.
Considere, por exemplo, que você puxa um
objeto numa linha horizontal numa velocidade constante de 1 m/s, como na Figura
7.1. Apesar de você estar puxando o objeto a taxa de variação do momento do objeto é zero. O problema é que o objeto não
está interagindo só com você mas também Figura 7.1: Quando você empurra um objeto ao
com a superfı́cie na qual ele está apoiado. longo de uma superfı́cie, duas forças opostas são
As direções e módulos das duas interações é exercidas sobre o objeto: uma por você e outra
tal que a ação combinada (ou resultante) não pela superfı́cie (atrito). Se estas forças têm módulo
igual, o objeto se move com velocidade constante.
causa variação no momento do objeto.
Este resultado é geral: para um objeto A
interagindo com mais de um objeto, o efeito resultante no momento do objeto A é devido
à ação combinada de um número de forças, uma para cada interação. Experimentalmente,
as forças obedecem ao princı́pio de superposição: a soma vetorial das forças exercidas sobre A (denominada de Fres ) é igual à soma vetorial das forças causadas por cada interação
individual:
X
dp
Fres ≡
Fobjeto =
.
(7.1)
dt
A equação 7.1 é chamada de equação de movimento para o objeto. Para uma dada força
resultante, a equação acima determina o movimento do objeto.
Para um objeto com inércia constante, a variação no momento implica uma variação na
velocidade. Desta forma,
dp d(mv)
dv
Fres =
=
=m
= ma.
dt
dt
dt
60
7.2
7.2. A reciprocidade das forças
A reciprocidade das forças
Um outro aspecto surpreendente da definição de força é que, por causa da natureza recı́proca
das interações, as forças sempre vêm em pares: quando dois objetos interagem, cada um
exerce uma força sobre o outro. Para ver isso, considere a Figura 7.2 que ilustra duas colisões
elásticas. Em ambas as colisões, o carrinho 1 tem inércia m1 = 0, 12 kg e está inicialmente em
repouso enquanto o carrinho 2 tem inércia m2 = 0, 24 kg e está inicialmente se movendo a
0,60 m/s. Em ambas as colisões, a velocidade final do carrinho 1 é 0,80 m/s e do carrinho 2
é 0,20 m/s, de forma que a variação do momento do carrinho 1 é compensada pela variação
de momento oposta do carrinho 2: ∆p1 = −∆p2 . Logo,
Fpor 2 em 1 =
∆p2
∆p
= − 1 = −Fpor 1 em 2 .
∆t(a)
∆t(a)
Em outras palavras, a força exercida pelo carrinho 1 sobre o carrinho 2 é igual em módulo à
força exercida pelo carrinho 2 sobre o carrinho 1, e na direção oposta.
A única diferença entre as duas colisões da Figura 7.2 é que na Figura 7.2(a) o impacto
é amortecido pela mola, de forma que o tempo no qual o momento muda é maior nesta
primeira colisão. Logo, para a colisão da Figura 7.2(b) o intervalo de tempo é muito menor,
e podemos esperar forças de interação muito maiores para esta segunda situação. Ainda
assim, a força exercida pelo carrinho 1 sobre o carrinho 2 é igual em módulo à força exercida
pelo carrinho 2 sobre o carrinho 1, e na direção oposta. †
Figura 7.2: Dois exemplos de colisões entre dois carrinhos num trilho de ar.
Capı́tulo 7. Forças
61
De forma geral, podemos concluir que quando dois objetos interagem, eles exercem
forças um sobre o outro que são iguais em módulo mas com direções opostas. O par de
forças que dois objetos exercem um sobre o outro é chamado de par de interação. Esta
conclusão é um resultado direto da conservação de momento e da nossa definição de força.
Questão 7.2 A conclusão acima também se aplica a colisões inelásticas?
7.3
Equilı́brio translacional
Um objeto ou um sistema no qual o movimento ou estado não está mudando é dito em
equilı́brio. Para um objeto em repouso ou com velocidade constante, dizemos que o mesmo
está em equilı́brio translacional. Mas isso não significa que não há forças exercidas sobre o
objeto. Significa apenas que todos os vetores de força se somam de forma a dar zero.
Um exemplo de um objeto em equilı́brio translacional é um livro sobre uma mesa (Figura
7.3). Nesse caso, o momento do livro não muda, de forma que a soma vetorial das forças
exercidas sobre o livro deve ser zero. No caso da Figura 7.3, há a força da gravidade puxando
o livro para baixo. Além da força da gravidade, há uma força de contato exercida pela mesa
sobre o livro - a força que “empura” o livro para cima. Estas são as únicas duas forças
exercidas sobre o livro. Porque a soma vetorial destas forças deve ser zero, concluı́mos que a
força de contato exercida pela mesa deve ser igual em módulo à força gravitacional exercida
pela Terra, mas em direção oposta.
Figura 7.3: Livro em repouso sobre uma mesa (a soma vetorial das forças exercidas sobre o
livro são zero).
Questão 7.3 Na Figura 7.3, a força de contato exercida pela mesa sobre o livro e a
força gravitacional exercida pela Terra sobre o livro são um par de interação?
Um objeto também está em equilı́brio translacional se estiver se movendo com velocidade constante. É o caso da Figura 7.1. Velocidade constante implica em zero variação no
momento, e portanto a força resultante exercida sobre o objeto deve ser zero.
62
7.4. Diagrama de corpo livre
7.4
Diagrama de corpo livre
Conhecer as forças nos dá uma ferramenta poderosa para analisar as situações fı́sicas, pois se
a soma vetorial das forças exercidas sobre um objeto é conhecida, a variação temporal do
momento do objeto também é conhecida, e portanto o movimento subsequente do objeto
pode ser calculado.
Note que para calcular o movimento do
objeto você precisa saber as forças exercidas sobre o objeto. As forças exercidas pelo
objeto na vizinhança não entram na conta
porque elas não contribuem para a variação
do momento do objeto. Sempre que estivermos interessados num objeto dentro de uma
coleção de vários objetos, devemos separar
o objeto e analisar as forças exercidas sobre
ele do resto dos objetos. Para facilitar esta Figura 7.4: Diagrama do corpo livre para um liseparação, você deve usar o que chamamos vro em repouso sobre uma mesa.
de diagrama do corpo livre. O diagrama do
corpo livre para o livro sobre a mesa da Figura 7.3 está representado na Figura 7.4.
A importância de diagramas de corpo livre não pode ser menosprezada. Sem um bom
diagrama é muito difı́cil analisar corretamente qualquer problema envolvendo forças.
7.5
Tipos de forças
Na natureza vemos várias manifestações de forças exercidas sobre objetos, provenientes de
diferentes tipos de interações: planetas orbitam estrelas; uma folha “dança” com o vento;
carbono e oxigênio reagem para formam CO2 , etc. Apesar da variedade de efeitos das forças,
ao longo do século XX se tornou claro que todos os processos se devem a 4 interações diferentes:
• A interação gravitacional é responsável pela atração entre objetos que têm massa;
• A interação eletromagnética é responsável pela atração ou repulsão entre objetos que
têm carga elétrica. São as forças elétricas que mantém os prótons e elétrons num átomo,
e são responsáveis pelas ligações quı́micas entre átomos nas moléculas. A força de uma
mola esticada ou comprimida também é devido às forças elétricas entre os átomos que
compõem a mola;
• A interação forte ou nuclear ocorre entre objetos feitos de quarks, como prótons e neutrons, e os mantém juntos no núcleo de um átomo (apesar da forte repulsão elétrica
entre os prótons);
• A interação fraca afeta todos os tipos de partı́culas elementares mas é muito mais fraca
que as interações forte e eletromagnética.
Nesta disciplina vamos nos focar primariamente nas interações gravitacional e eletromagnética, e nas forças que manifestam estas interações.
63
Capı́tulo 7. Forças
7.6
A força gravitacional
O movimento das estrelas e dos planetas
é de certa forma mais simples do que outros fenômenos mecânicos porque não precisamos nos preocupar com o atrito. Estes
corpos massivos interagem através da força
gravitacional, que é sempre atrativa. Ainda
no século XVI, Isaac Newton deduziu que
deve haver uma força atrativa associada à Figura 7.5: Força gravitacional exercida pelo objeto 1 sobre o objeto 2.
interação gravitacional, que age ao longo de
uma linha que conecta dois objetos, é proporcional às massas dos objetos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre
os objetos:
m m
Fgrav = −G 1 2 2 ,
(7.2)
r
onde G = 6, 7 × 10−11 N·m2 /kg2 é uma constante, dita “universal” porque é a mesma para
qualquer par de massas que interagem entre si. O valor de G foi medido pela primeira vez
por Cavendish entre 1797-1798.
7.6.1
A força gravitacional próxima da superfı́cie da Terra
A partir da equação 7.2 podemos calcular a
força exercida pela Terra sobre qualquer objeto de massa m próxima à sua superfı́cie.
Considerando a Figura 7.6,
Fg = G
ME m
,
(RE + y)2
onde y é a altura do objeto acima da su6
Figura 7.6: Força gravitacional exercida pela perfı́cie da Terra, RE = 6, 4 × 10 m é o raio
Terra sobre um objeto de massa m próximo à sua da Terra, e ME é a massa da Terra. Como nas
proximidades da superfı́cie y RE , então
superfı́cie.
podemos aproximar a equação acima como:
!
ME m
ME
Fg = G
≈ G 2 m.
(RE + y)2
RE
O valor entre parênteses é uma constante e vale
G
2 6 × 1024 kg
ME
−11 N · m
=
6,
7
×
10
= 9, 8m/s2 .
2
2
6
2
kg (6, 4 × 10 m)
RE
Definimos esta constante como g ≡ +9, 8m/s2 , de forma que a força exercida pela Terra sobre
um objeto de massa m tem módulo Fg = mg.
64
7.7
7.7. Forças de contato
Forças de contato
Sólidos exercem forças de contato em qualquer objeto devido às interações entre a superfı́cie
do objeto e a superfı́cie do sólido. Do ponto de vista fundamental, as interações de contato
são interações de origem eletromagnética e deformam as posições dos átomos ou moléculas
da superfı́cie que compõe o sólido.
7.7.1
Molas
Para melhor entender a origem das forças de
contato, vamos primeiro examinar o comportamento de uma mola. Considere por
exemplo a Figura 7.7, que ilustra o comportamento de uma mola quando conectada a
um objeto. Na figura 7.7(a) o objeto comprime a mola e chega a uma posição de
equilı́brio abaixo do comprimento da mola
relaxada. No caso do objeto ser suspenso
pela mola, como na Figura 7.7(b), a mola
se distende ao “puxar” o objeto. De forma
Figura 7.7: Diagrama do corpo livre para um obgeral, a força exercida pela mola sempre
jeto no caso da mola (a) empurrar ou (b) puxar o
tende a retornar a mola para sua posição re- objeto.
laxada. Considerando x0 a posição relaxada
da mola, dentro da região elástica da mola, é um fato experimental que a força exercida pela
mola no objeto é linearmente proporcional ao deslocamento da mola em relação a x0 ,
Fmola no objeto = −k(x − x0 ),
(7.3)
onde k é chamada a constante de mola. A equação acima é chamada de lei de Hooke, descobridor desta relação.
7.7.2
Força de tensão
Considere uma bola pesada presa a um fio como mostra a Figura 7.8. Como a bola está
parada, e a Terra puxa a bola para baixo, então o fio deve estar puxando a bola para cima.
A força exercida pelo fio é geralmente chamada de tensão, FT . Microscopicamente, um fio
pode ser considerado uma cadeia de molas e pequenas bolas (representando átomos conectados por ligações quı́micas). Quando o fio está em repouso em cima de uma mesa, por
exemplo, as “molas” que compõem o fio estão relaxadas. Mas quando prendemos uma bola
pesada na extremidade do fio, as molas se distendem de forma significativa. Podemos, portanto, interpretar a força de tensão como a força macroscópica que surge quando as ligações
interatômicas do sólido (no caso, o fio) são distendidas.
Capı́tulo 7. Forças
65
Figura 7.8: (a) Uma bola pesada presa a um fio fino. (b) Modelo fı́sico representando as
ligações interatômicas num fio quando a massa é presa ao mesmo.
7.7.3
Força de compressão ou normal
Podemos voltar a analisar o caso de um
bloco em repouso sobre uma mesa. Nesta
situação, a mesa exerce uma força sobre o
bloco, de forma a evitar deixar que o mesmo
caia devido à ação da força da gravidade sobre o bloco. Mas como a mesa exerce uma
força sobre o bloco?
Microscopicamente, podemos pensar
nas moléculas que compõem a superfı́cie
da mesa, e no fato destas serem “empurradas” para baixo pelas moléculas que
compõem a superfı́cie do bloco. A mesa
de fato é deformada (em distâncias interatômicas) conforme as “molas” representando as ligações entre os átomos da superfı́cie da mesa são comprimidas (Figura
7.9(c). Seria mais apropriado chamar a força
que a mesa exerce no bloco de força de
compressão, mas na prática chamamos esta
força de força normal, FN . A palavra normal é utilizada no seu sentido matemático,
Figura 7.9: Força gravitacional exercida pela significando que a força é perpendicular à
Terra sobre um objeto de massa m próximo à sua superfı́cie da mesa. Podemos, portanto, interpretar a força normal como a força masuperfı́cie.
croscópica que surge quando as ligações interatômicas do sólido são comprimidas.
66
7.8
7.8. Impulso
Impulso
Na seção 3.5 definimos a mudança no momento de um sistema ou objeto como o impulso
realizado sobre o sistema ou objeto. Nesta seção vamos determinar a relação entre força e
impulso, que nos permite determinar o efeito que as forças têm sobre o momento.
Vamos considerar um caso simples: um objeto sujeito à forças constantes. Para calcular
o que acontece com o momento do objeto, vamos considerar seu movimento durante um
intervalo de tempo ∆t = tf − ti . As forças constantes exercidas sobre o objeto aceleram o
objeto com uma aceleração constante a. Como a aceleração é constante,
a=
∆v
.
∆t
Multiplicando os lados da equação acima pela inércia m do objeto, temos
ma = m
X ∆v ∆p
=
−→ ∆p = ma∆t =
F ∆t.
∆t
∆t
Comparando a equação acima com a lei do momento (∆p = J, equação 3.5), vemos que o
impulso exercido pelas forças no objeto é
X J=
F ∆t (força constante).
(7.4)
A equação 7.4 estabelece que o impulso exercido num objeto durante um intervalo de tempo
∆t é igual ao produto da força resultante exercida sobre o objeto e a duração do intervalo de
tempo.
A relação entre impulso e força é verdadeira mesmo quando a força resultante não é
constante. Neste caso, análogo ao que vimos na seção 2.7, que a área sob a curva a(t) de
um objeto nos fornece a variação na velocidade, podemos calcular o impulso exercida por
qualquer força resultante Fres (t) como:
Z tf
∆p = J =
ti
7.9
Fres (t)dt (força variando no tempo).
Sistemas de objetos interagindo entre si
Até o momento consideramos somente o caso simples de um objeto sujeito a uma força. Para
o caso de dois objetos que interagem entre si é útil distinguirmos entre as forças exercidas
dentro do sistema e as forças exercidas sobre o sistema por objetos externos ao sistema. As
primeiras são genericamente chamadas de forças internas, enquanto as últimas são conhecidas como forças externas.
7.9.1
Sistemas de dois objetos
Na Figura 7.10, dois carros com imãs que se repelem se movem num trilho de ar enquanto
o carro 1 é empurrado. Por causa da repulsão magnética os carros nunca se toca; o carro 2
acelera para a direita quando o carro 1 se aproxima. Se escolhermos os 2 carros como nosso
sistema, as forças que os carros exercem um no outro são internas, e o empurrão no carro 1 é
uma força externa.
67
Capı́tulo 7. Forças
Figura 7.10: Dois carros com imãs que se repelem movendo sob influência de uma força
externa exercida no carro 1.
O momento do sistema de dois carros é
psistema = p1 + p2 .
Diferenciando a equação acima em relação ao tempo temos que:
X
dpsistema dp1 dp2 X
=
+
=
F1 +
F2 .
dt
dt
dt
A soma vetorial das forças exercidas sobre o carro 1 consiste de duas partes: a força externa
exercida no carro 1 e a força interna exercida pelo carro 2 sobre o carro 1 (devido à repulsão
magnética):
X
F1 = Fext,1 + F2,1 .
Como não há força externa no carro 2,
P
F2 = F1,2 . Substituindo isto na equação 7.9.1,
dpsistema
= Fext,1 + F2,1 + F1,2 .
dt
Como F1,2 e F2,1 formam um par de interação, temos que F1,2 = −F2,1 . Logo,
dpsistema
= Fext,1
dt
(7.5)
A equação acima mostra que somente a força externa exercida sobre o carro 1 muda o momento do sistema. As forças internas não têm nenhum efeito sobre o momento do sistema.
68
7.10. Centro de massa
7.9.2
Sistemas de vários objetos interagindo entre si
Podemos generalizar o caso analisado acima para um sistema com vários objetos. Não é
complicado mostrar que
psistema = p1 + p2 + ...,
de forma que
X
X
dpsistema dp1 dp2
=
+
+ ... =
F1 +
F2 + ....
dt
dt
dt
A soma vetorial das forças exercidas sobre cada um dos objetos pode ser sempre dividida
numa parte força externa e uma parte interna, de forma que
X
dpsistema X
=
Fext,1 + Fext,2 + ... +
Fint,1 + Fint,2 + ... .
dt
Pela mesma razão da seção anterior, todas as forças internas se cancelam, pois são sempre
pares de forças interagentes (ou pares de ação e reação). Uma outra forma de visualizar isso é
verificar que para um sistema isolado (onde não há forças externas) o momento se conserva.
Logo,
X
dpsistema
= 0 −→
Fint,1 + Fint,2 + ... = 0!
dt
Logo, a taxa de variação do momento do sistema é a soma das forças externas:
X
dpsistema X
=
Fext,1 + Fext,2 + ... ≡
Fext
dt
Ou seja, num sistema de objetos que interagem entre si, somente a força externa exercida
sobre algum dos objetos é capaz de mudar o momento do sistema. As forças internas não
têm nenhum efeito sobre o momento do sistema.
7.10
Centro de massa
Podemos descrever o movimento de um sistema com mais de um objeto em relação a um
ponto especial chamado centro de massa do sistema. Podemos considerar que toda a massa
do sistema M = m1 + m2 + ... esteja concentrada neste ponto, e matematicamente “trocar” o
problema do movimento de vários objetos de um sistema pelo movimento de uma partı́cula
“fictı́cia” com massa M localizada no centro de massa.
Consideremos um sistema de dois objetos com massa m1 e m2 localizadas inicialmente
nas posições x1 e x2 , respectivamente. O centro de massa deste sistema é definido como
xCM =
m1 x1 + m2 x2
.
m1 + m2
Ao derivar a equação 7.10 em relação ao tempo, temos,
dxCM
1
1
(m1 v1 + m2 v2 ) = (p1 + p2 ).
= vCM =
dt
M
M
Logo, vemos que psistema = MvCM , com M = m1 + m2 . Como a inércia do sistema permanece
constante durante uma interação,
dpsistema d(MvCM )
dv
=
= M CM = MaCM ,
dt
dt
dt
69
Capı́tulo 7. Forças
e podemos reescrever a equação 7.5 como
Fext,1 = MaCM .
(7.6)
A equação 7.6 é a equação de movimento para o centro de massa de um sistema com 2
objetos. Em outras palavras, o centro de massa de um sistema com 2 objetos acelera como
se ambos os objetos estivessem localizados no centro de massa e uma força externa fosse
exercida neste ponto.
Vemos o poder do conceito do centro de massa. Embora não podemos determinar a
aceleração de cada um dos carros individualmente sem saber mais detalhes sobre a interação
magnética, a equação 7.6 nos permite calcular o movimento do centro de massa dos objetos,
independente dos detalhes da interação.
7.10.1
Generalização para um sistema com vários objetos
Podemos estender o conceito de centro de massa a um sistema de vários objetos:
xCM =
1 X
mi xi ,
M
i
onde xi é a posição x da i-ésimo objeto, e a massa total é M =
mesmo raciocı́nio da seção anterior, pode-se mostrar que
X
Fext = MaCM .
P
i mi . Neste caso, seguindo o
(7.7)
Logo, a conclusão da seção anterior também é válida para um sistema com mais de 2 objetos:
independente das interações que ocorrem entre os objetos dentro do sistema e independente
de onde o sistema as forças externas são realizadas, podemos determinar o movimento do
centro de massa dos objetos.
7.11
Outras questões de revisão
Questão 7.4 Se você deixa um livro cair de uma certa altura, ele é acelerado durante
a queda por causa da força gravitacional exercida pela Terra sobre o livro. Porque as
forças sempre existem em pares de interação, o livro deve exercer uma força sobre a
Terra. (a) Como o módulo da força feita pelo livro sobre a Terra compara com o módulo
da força feita pela Terra sobre o livro? (b) A Terra está acelerando durante a interação?
Questão 7.5 Identifique todas as forças exercidas nos objetos destacados em cada uma
das situações: (a) um livro em cima de uma revista sobre uma mesa. (b) Uma bola se
movimento ao longo de uma trajetória através do ar. (c) Uma pessoa sentada em uma
cadeira sobre o chão de um quarto. (d) um imã levita em cima de outro imã que está
sobre uma mesa.
70
7.12. Problemas
7.12
Problemas
7.1 Um caminhão está viajando com velocidade constante de 25 m/s
quando é ultrapassado por uma motocicleta com velocidade constante de 40 m/s. Em
qual veı́culo o módulo da força resultante sobre o veı́culo é maior?
Atividade
Atividade 7.2 Durante uma partida de tênis, uma bola que chega a um jogador com 40
m/s é rebatida pela raquete de tênis e retornada a 40 m/s. O outro jogador, percebendo
que a bola está fora da área de jogo, pega a bola na mão. Assumindo que o intervalo de
tempo de contato é o mesmo nos dois casos, compare a força exercida pela raquete do
primeiro jogador sobre a bola com a força exercida pela mão do segundo jogador sobre
a bola.
Atividade 7.3 Dois carrinhos de 5,00 kg cada, um vermelho e outro verde, estão a 1,00
m de distância um do outro sobre uma superfı́cie na qual cada carrinho está sujeito à
uma força de atrito de 5,00 N quando se movem. O carrinho vermelho é puxado com
uma força constante de 12,0 N em direção ao carrinho verde. Qual é a aceleração (a)
do centro de massa antes dos dois carros colidirem? (b) do carrinho vermelho antes
da colisão, e (c) do centro de massa após a colisão? (d) Que conclusão você chega ao
comparar suas respostas para os itens (a) e (c)? Considere que a força de 12,0 N deixe
de atuar quando os carrinhos colidem.
Exercı́cio 7.1 Todos os blocos da figura abaixo são idênticos e você pode ignorar qual-
quer atrito nas polias. Coloque a tensão nas corda nas quatro situações em ordem
crescente.
Exercı́cio 7.2 Um estudante de 60 kg está num elevador se movendo para baixo com
velocidade constante. Ele usa uma balança de banheiro para medir a força exercida
sobre seus pés. Qual é a força lida pela balança (a) quando o elevador tem velocidade
constante, (b) quando o elevador desacelera com módulo de 2,0 m/s2 , e (c) quando o
elevador volta a descer acelerando a 2,0 m/s2 ?
Capı́tulo 7. Forças
Exercı́cio 7.3 A figura abaixo mostra dois blocos. Um dos blocos está em cima de uma
mesa sem atrito, e segura o outro bloco a partir de uma corda de massa desprezı́vel que
passa por uma polia de baixo atrito. O segundo bloco está suspenso no ar. (a) Se você
segura o bloco suspenso, e depois o libera, qual deve ser a inércia deste bloco para que
o sistema comece a deslizar? (b) Nesse caso, qual deveria ser a aceleração do sistema,
em termos de g, m e M?
Exercı́cio 7.4 Um martelo pneumático é coberto com um absorvedor de impacto com
o objetivo de diminuir o impacto sobre o usuário do martelo. O deslocamento vertical
do martelo como função do tempo é dado por x(t) = at 2 − bt 3 (durante o movimento
do martelo), onde a = 15 m/s2 e b = 20 m/s3 . O eixo x positivo está orientado para
cima. (a) Escreva uma expressão para a força resultante exercida sobre o martelo como
função do tempo. (b) Em quais valores de t a força resultante é positiva, negativa e
igual a zero?
Exercı́cio 7.5 Imediatamente antes de bater no chão, uma bola de basquete parcialmente cheia de 0,625 kg tem velocidade de 3,30 m/s. A bola perde metade de sua
energia cinética ao quicar no chão. (a) Qual é a velocidade da bola imediatamente após
quicar no chão? (b) Se a bola fica em contato com o chão por 9,25 ms, qual é o módulo
da força média exercida pelo chão sobre a bola?
Exercı́cio 7.6 Uma caminhonete de 1500 kg e um carro de 1000 kg estão estacionados com suas traseiras tocando uma a outra num estacionamento nivelado. Ambos
os veı́culos estão sem o freio de mão puxado de forma que podem se mover de forma
livre. Um homem sentado na parte de trás da caminhonete exercia uma força horizontal constante sobre a parte de trás do carro com seu pé, e o carro acelera a 1,2
m/s2 . (a) Qual é a aceleração (módulo e direção) do centro de massa do sistema carrocaminhonete? (b) Qual a força resultante exercida em cada um dos veı́culos? (c) Qual a
aceleração (módulo e direção) da caminhonete? Ignore qualquer atrito entre os pneus
e o chão.
Exercı́cio 7.7 Duas molas são conectadas conforme mostra a figura abaixo. Quando
um bloco de 4,0 kg é suspenso a partir da extremidade da combinação, o conjunto de
molas se estica 15 cm em relação ao seu ponto relaxado. (a) Qual é a constante de mola
do conjunto? (b) Se a mola de cima se alonga 10 cm, qual é a constante de mola de cada
mola?
71
72
7.12. Problemas
Exercı́cio 7.8 Um trem é composto de um vagão-motor de inércia M e 3 outros vagões
de inércias m1 , m2 e m3 , respectivamente. A aceleração do trem é a, e o atrito pode
ser ignorado. (a) Qual é a força resultante agindo sobre o trem? (b) Qual é a força no
contato que puxa o último carro (m3 )? (c) Qual é a força no contato entre o vagão-motor
e o primeiro vagão (m1 )?
Problema 7.1 Um carrinho de 2,34 kg num trilho de ar longo e nivelado, sem atrito,
está se movendo em direção a um ventilador elétrico com velocidade de 0,23 m/s. O
ventilador, que estava inicialmente desligado, é ligado. Enquanto o ventilador acelera,
o módulo da força que ele exerce sobre o carro é dado por at 2 , onde a = 0, 02 N/s2 .
(a) Qual é a velocidade do carro 3,5 s após o ventilador ter sido ligado? (b) Depois de
quantos segundos o carro pára?
Problema 7.2 Um livro vermelho de 5,0 kg é suspenso com uma mola presa ao teto
de um elevador que está acelerando para baixo. Ao prender o livro vermelho na mola,
a mola se alonga 71 mm em relação ao seu comprimento quando relaxada. Mas você
também tem um livro amarelo de inércia desconhecida. Quando você prende os livros
amarelo e vermelho na mola ao mesmo tempo, a mola se alonga 110 mm em relação ao
seu comprimento quando relaxada. Quando o elevador está em repouso, a combinação
dos dois livros faz a mola se alongar 140 mm em relação à posição relaxada. (a) Qual é
a constante da mola? (b) Qual é a inércia do livro amarelo? (c) Qual é a aceleração do
elevador?
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Exercı́cio 7.1, Exercı́cio 7.2, Exercı́cio 7.5, Exercı́cio 7.7, Exercı́cio 7.8, Problema 7.1
8. Trabalho
Como vimos no capı́tulo anterior, um sistema sujeito à forças externas - isto é, forças exercidas por objetos fora do sistema sobre os objetos do sistema - não está isolado. A relação entre
o momento de um sistema não isolado e a força resultante exercida sobre o sistema é simples:
a força resultante é igual à variação temporal no momento do sistema. Mas além de afetar o
momento, as forças externas podem alterar a energia do sistema. No caso mais simples, uma
única força exercida sobre um sistema consistindo de um único objeto faz o objeto acelerar, e a
força muda a energia cinética do sistema. As forças também podem mudar o estado fı́sico dos
objetos (comprimir ou alongar uma mola, ou amassar uma folha de papel). Como o estado
do sistema está relacionado com a energia interna, vemos que as forças podem mudar não só
a energia cinética mas também a energia interna do sistema. Para descrever essas mudanças
na energia, os fı́sicos usam o conceito de trabalho: o trabalho é a variação de energia num
sistema devido às forças externas.
Referências para leitura: Halliday (cap. 7) e Bauer (cap. 5).
8.1
Força e deslocamento
Considere um sistema composto por você e sua bicicleta. Se um amigo seu (parte da vizinhança)
empurra você sobre a bicicleta, e você acelera, a força exercida pelo seu amigo sobre você
transfere energia do corpo do seu amigo para você, aumentando sua energia cinética. Se
você comprime uma mola, você transfere energia do seu corpo para a mola, que é armazenada na forma de energia potencial elástica. Em ambos os casos, a variação na energia do
sistema é causada por uma força externa.
Para entender porque a força deve ser externa para realizar trabalho sobre o sistema,
lembre-se que forças representam interações entre objetos. Qualquer interação entre objetos
dentro do sistema rearranja a energia entre estes objetos mas não muda a quantidade total de
energia no sistema. Mas as forças externas sempre causam variações na energia do sistema?
Questão 8.1 Imagine que você esteja empurrando uma parede, conforme a Figura
8.1(a). (a) Considerando a parede como o sistema, a força que você exerce sobre a
parede é interna ou externa? (b) A energia da parede muda com a força que você
exerce nela? (c) A força que você realiza na parede realiza trabalho sobre a parede?
73
74
8.2. Trabalho positivo e negativo
Figura 8.1: Uma força externa realiza trabalho sobre o sistema somente se a força faz o ponto
no qual ela é aplicada se mover.
Como o exemplo acima ilustra, as forças externas exercidas sobre um sistema nem sempre realizam trabalho sobre o sistema. No caso da Figura 8.1(a) não há trabalho realizado
sobre o sistema. Já no caso da Figura 8.1(b) a força aplicada sobre algo que tem rodas faz
o objeto ser acelerado, alterando sua energia cinética. Por fim, se você empurra um objeto
deformável, como um colchão na Figura 8.1(c), o objeto muda sua forma e, com isso, sua
energia potencial. Nos dois últimos casos, há trabalho sendo realizado sobre o sistema.
A chave para entender a diferença entre a primeira e as duas últimas situações está no
ponto de aplicação da força (isto é, no ponto onde a força é exercida sobre o sistema). Nos dois
últimos casos da Figura 8.1, o ponto de aplicação da força é deslocado. Para que uma força
realize trabalho, o ponto no qual a força está sendo aplicada precisa se mover. Em 1D,
quando o deslocamento é diferente de zero, a força realiza trabalho sobre o sistema, fazendo
com que a energia do sistema mude. (Em mais de uma dimensão, veremos que o ângulo
entre a força e o deslocamento também é importante.) Para distinguir o deslocamento no
ponto onde a força é aplicada de qualquer outro deslocamento, vamos adicionar o subscrito
F no deslocamento: ∆rF .
8.2
Trabalho positivo e negativo
Quando a energia de um sistema aumenta
como resultado de uma força externa exercida sobre o sistema, a variação na energia
do sistema é positiva, e portanto o trabalho
realizado pela força externa sobre o sistema
é positivo. Mas uma força externa também
pode diminuir a energia de um sistema.
Considere o exemplo do seu amigo tentando
parar você sobre uma bicicleta. Neste caso,
a energia cinética do sistema diminui, e a
variação da energia é negativa, de forma que
o trabalho realizado pela força externa (isto
é, pelo seu amigo sobre você) sobre o sistema
é negativo.
Figura 8.2: O trabalho realizado sobre um sistema
é positivo se o sistema ganha energia e negativo se
o sistema perde energia.
75
Capı́tulo 8. Trabalho
Dizemos que o trabalho realizado por
uma força sobre um sistema é positivo
quando a força e o deslocamento produzido pela força estão na mesma direção, e
negativo quando eles apontam na direção
oposta um do outro.
8.3
Trabalho realizado sobre uma única partı́cula
Matematicamente, representamos o trabalho realizado por uma força sobre um sistema por
W . A unidade no SI para o trabalho é a mesma da enegia, J. Quando o trabalho é realizado
por forças externas sobre um sistema, a energia do sistema muda de forma que
∆Esist = W .
(8.1)
Esta equação é chamada de lei da energia e engloba a conservação de energia; como energia
não pode ser criada ou destruı́da, a energia de um sistema somente muda se energia é transferida para dentro ou para fora do sistema. Para um sistema fechado, W = 0 e a energia do
sistema toma a forma já vista no capı́tulo 4: ∆Esist = 0.
Para ilustrar o uso da equação acima, vamos considerar uma partı́cula de inércia m como
nosso sistema; suponha que a partı́cula está sujeita a uma força constante F.
Definição 8.1 (Partı́cula) O termo partı́cula se refere a qualquer objeto que não tem
estrutura interna. Justamente por não ter estrutura interna, uma partı́cula não pode
mudar sua forma, e portanto sua energia interna é fixa (∆Eint = 0). Apenas a energia
cinética pode mudar numa partı́cula.
A aceleração imprimida à partı́cula pela força constante num intervalo de tempo ∆t =
tf − ti é dada por:
F
a= .
m
Ao final do intervalo ∆t, a velocidade da partı́cula é dada por:
vf = vi + a∆t
e o deslocamento da partı́cula pode ser descrito como:
1
∆x = vi ∆t + a(∆t)2 .
2
A partir destas equações, podemos avaliar a mudança na energia cinética da partı́cula:
i
1 h
1
∆K = Kf − Ki = m(vf2 − vi2 ) = m (vi + a∆t)2 − vi2 = ma∆x = F · ∆x.
2
2
Mas como, pela definição de trabalho, ∆E = W , então chegamos à conclusão que:
W = F · ∆x
(8.2)
para o caso de uma força constante exercida sobre uma partı́cula em 1D. Se a força externa e
o deslocamento apontam na mesma direção, então o produto F∆x é positivo, e consequentemente a energia cinética aumenta. Se a força e o deslocamento estão em direções opostas, o
trabalho realizado pela força sobre a partı́cula é negativo, e a energia cinética diminui.
A equação 8.2 é chamada de equação do trabalho. Junto com a lei de energia, equação
8.1, esta equação nos permite lidar com sistemas que não são fechados.
76
8.4. Escolha do sistema
Figura 8.3: Variações de momento e energia para sistemas.
Note o paralelo entre os tratamentos do momento/impulso e da energia/trabalho (Figura
8.3). A conservação de momento dá origem à lei do momento, ∆p = J, onde J é o impulso
feito no sistema. Para um sistema isolado, o impulso é zero e portanto o momento não varia.
P
Se o sistema não está isolado, podemos usar a equação do impulso, J = ( F)∆t, para calcular
a variação no momento do sistema. A conservação da energia dá origem à lei da energia,
∆E = W . O trabalho realizado sobre um sistema fechado é zero, e portanto a energia do
sistema não varia nestas condições. Se o sistema não é fechado, podemos usar a equação
P
do trabalho, W = ( F)∆x, para calcular a variação de energia no sistema. Ao resolver um
determinado problema, é possı́vel escolher um sistema fechado ou um sistema que não está
fechado; ambas as escolhas devem levar ao mesmo resultado.
8.4
Escolha do sistema
Como mencionado na seção anterior, podemos fazer diferentes escolhas para definir um sistema. Cada escolha terá uma interpretação diferente, mas ao final qualquer escolha deve
fornecer o mesmo resultado. Para ilustrar este ponto, considere a situação mostrada na Figura 8.4, que mostra uma pessoa abaixando um balde com uma corda. O balde inicialmente
se move para baixo com velocidade vi , mas o atrito entre as mãos da pessoa e a corda faz o
balde diminuir sua velocidade de forma que ele termina em repouso no chão. Para simplificar, vamos assumir que não há fonte de energia consumida, ou seja, a pessoa apenas deixa a
corda deslizar, sem demandar nenhum esforço fı́sico.
Vamos inicialmente considerar o balde e a Terra como sistema, Figura 8.4(a). Como o
balde termina em repouso, sua energia cinética diminui. Como a distância entre o balde e
a Terra diminui, a energia potencial do sistema Terra-balde diminui. Não há conversão de
fontes de energia ou qualquer dissipação de energia dentro do sistema. Mas a pessoa exerce
força sobre o sistema através da corda, que envolve deslocamento sobre o balde, então há
trabalho realizado sobre o sistema. Este trabalho é negativo porque a força exercida pela
corda sobre o balde é para cima, e o deslocamento do balde provocado pela força é para
baixo. De forma a obedecer a lei da energia, o trabalho realizado deve ser igual à soma
de ∆K e ∆Ug . O que esta equação nos diz é que a energia do sistema Terra-balde diminui
conforme a energia é transferida para fora do sistema. Porque a energia é transferida para
fora do sistema, o trabalho realizado pela pessoa sobre o sistema é negativo.
Capı́tulo 8. Trabalho
77
Figura 8.4: Diferentes escolhas para o sistema levam a diferentes situações.
Se incluirmos a pessoa e a corda no sistema, Figura 8.4(b), as variações nas energias
cinética e potencial são as mesmas de antes, mas agora a pessoa não exerce forças externas e
portanto não pode realizar trabalho sobre o sistema. De fato, incluı́mos todos os objetos no
sistema, então não há forças externas e portanto não há trabalho realizado por forças externas
- o sistema está fechado. Para esta escolha de sistema, devemos considerar a dissipação de
energia devido ao atrito entre as mãos da pessoa e a corda, de forma que ∆Eth é positivo. A
conservação de energia nos diz que a energia cinética inicial do baldo e a energia potencial
inicial do sistema são convertidas em energia térmica. Esta conclusão é consistente com a
primeira situação, mas no processo obtivemos mais informação de onde foi parar a energia
inicial do sistema.
Finalmente, vamos analisar a Figura 8.4(c) que considera o balde, a pessoa e a corda como
sistema. As variações nas energias cinética e térmica são as mesmas. No entanto, para esta
escolha de sistema não há variação na energia potencial gravitacional, pois, por definição,
a energia potencial se refere à configuração dos objetos do sistema, e a energia potencial
gravitacional se refere à configuração do balde e da Terra - mas a Terra não faz mais parte
do sistema. O que foi considerado como energia potencial gravitacional nas duas primeiras
situações aparece aqui como trabalho realizado pela força gravitacional sobre o sistema. A
Terra exerce uma força externa para baixo sobre o balde, e portanto realiza trabalho positivo
sobre o balde. (Note que a Terra também exerce uma força sobre a pessoa mas esta força não
envolve deslocamento.)
Todas as 3 escolhas de sistema levam a uma conclusão válida. Ao olhar para a situação
de diferentes pontos de vista, você ganha um melhor entendimento de quais conversões e
transferências de energia ocorrem. Além disso, olhar para a situação de diferentes formas e
verificar se suas respostas são consistentes vai lhe convencer de que você não está esquecendo
de nada.
78
8.5
8.5. Trabalho realizado sobre um sistema de várias partı́culas
Trabalho realizado sobre um sistema de várias partı́culas
Como já vimos, em várias situações temos objetos que não podem sempre ser tratados como
uma única partı́cula, ou um sistema com várias partı́culas que interagem entre si. Vimos
que a aceleração do centro de massa de um sistema é dada pela equação 7.7. A partir deste
resultado podemos avaliar o trabalho realizado pelas forças externas num sistema de várias
partı́culas.
Considere o movimento de um sistema de 2 partı́culas durante o intervalo de tempo
∆t = tf − ti . Se o centro de massa do sistema se move com velocidade vcm,i em algum instante
inicial ti e tem aceleração constante acm , então a velocidade do centro de massa ao final do
intervalo é
vcm,f = vcm,i + acm ∆t
e o deslocamento é
1
∆xcm = vcm,i ∆t + acm (∆t)2 .
2
Usando as equações acima podemos calcular a variação na energia cinética do sistema:
X
1
2
2
Fext ∆xcm .
− vcm,i
= macm ∆xcm =
∆Kcm = Kcm,f − Kcm,i = m(vcm,f
2
Embora a equação acima seja similar à equação que obtivemos para o caso de uma única
partı́cula, ∆Kcm não representa o trabalho realizado por uma força externa sobre o sistema.
O motivo para tal é que a energia cinética Kcm é apenas uma parte da energia cinética
do sistema; para um sistema com várias partı́culas que interagem entre si podem ocorrer
mudanças em outras formas de energia. Logo, ∆Kcm , ∆E. Como, pela definição, o trabalho
é o responsável pela variação de energia do sistema (equação 8.1, ∆E = W ), vemos que ∆Kcm
da equação 8.5 não pode ser igual a todo o trabalho realizado pela força externa sobre o sistema com mais de um objeto. Nestes casos, quando uma força externa é exercida sobre uma
das partı́culas do sistema, sabemos que:
W = Fext,1 ∆x1 .
Podemos generalizar o resultado acima para um sistema com várias partı́culas sujeitas a
diferentes forças constantes:
W = W1 + W2 + ... = Fext,1 ∆x1 + Fext,2 ∆x2 + ...,
ou
W=
X
Fext,n ∆xn .
n
Note que para calcular o trabalho devemos tomar o produto de cada força externa e o
deslocamento realizado por esta força. Se o sistema é um objeto que se deforma, os valores
de deslocamento são diferentes em diferentes partes do sistema. Por esta razão, a equação
acima envolve uma soma sobra n.
Se a força é dissipativa, não podemos usar esta expressão porque a energia dissipada é
distribuı́da ao redor da extremidade do sistema.
79
Capı́tulo 8. Trabalho
8.6
Forças variáveis
Os resultados obtidos até aqui se aplicam somente a forças constantes e que são aplicadas
em locais bem definidos de um sistema. Se as forças não são constantes ou se não podemos
determinar o deslocamento produzido pela força então precisamos de uma outra abordagem.
Por exemplo, suponha que queremos calcular o
trabalho feito por uma força variável sobre um sistema enquanto o ponto de aplicação da força se move
de xi até xf , como na Figura 8.5. Como já fizemos
inúmeras vezes, podemos dividir o deslocamento xf −
xi em N pequenos deslocamentos iguais δx de forma
que a força é aproximadamente constante ao longo de
cada δx. Desta forma, para cada pequeno intervalo o
trabalho realizado é dado por
Wn = Fx (xn )δx,
onde Fx (xn ) é a força em xn . Geometricamente, este
trabalho é a área do retângulo mais escuro na Figura
8.5(a).
O trabalho realizado pela força em todo o deslocamento é aproximadamente igual à soma de cada trabalho Wn entre xi e xf :
X
X
W≈
Wn =
Fx (xn )δx.
n
n
O resultado exato é obtido se fizemos δx tender a
zero, que é precisamente a definição da integral da
Figura 8.5: Trabalho realizado por uma força externa em relação a x de xi a xf :
força variável F(x) sobre um sistema.
Z xf
W=
F(x)dx.
xi
Um exemplo de uma força que varia com a posição é a força exercida por uma mola, onde
Fmola = −k(x − x0 ). Através da equação 8.6 podemos facilmente calcular o trabalho realizado
por uma força como esta:
Zx
Zx
1
W=
F(x)dx =
k(x − x0 )dx = k(x − x0 )2 .
2
x0
x0
No caso de forças dissipativas, como o atrito, a situação é um pouco mais complicada.
Primeiro, porque a energia dissipada pelo atrito acaba sendo dividida entre dois objetos;
segundo, porque não há um único ponto de aplicação da força nestes casos - a força é distribuı́da sobre duas superfı́cies que se movem uma em relação à outra.
80
8.7. Potência
Considere o bloco deslizando sobre uma superfı́cie rugosa, como na Figura 8.6. O bloco está inicialmente se movendo com velocidade v mas eventualmente vai parar por causa do atrito entre o bloco
e a superfı́cie. Como há processos irreversı́veis na
configuração e não há nenhuma fonte de energia,
toda a energia cinética do bloco será convertida em
energia térmica:
∆E = ∆K + ∆Eth = 0 −→ ∆Eth = −∆K = Ki .
Como estas variações na energia estão relacionadas
com o deslocamento δrcm sobre o qual o cloco desliza
até parar? Sabemos que a variação na energia cinética
do bloco deve ser igual ao produto da força externa Figura 8.6: Trabalho realizado por um
exercida Fatr sobre o bloco e o deslocamento do seu bloco sobre uma superfı́cie.
centro de massa:
∆Kcm = Fatr ∆xcm .
Porque a força de atrito e o deslocamento do bloco apontam em direções opostas, o lado
direita da equação acima é negativo. E porque o bloco é um objeto rı́gido, a energia cinética
translacional é toda a sua energia cinética, de forma que ∆Kcm = ∆K. Portanto, a partir das
equações acima podemos concluir que
∆Eth = Fatr ∆xcm .
(8.3)
Quando usar esta equação, lembre-se que a energia é dissipada nos dois lados da superfı́cie
onde o atrito ocorre. Logo, embora o lado direito das duas últimas equações são o produto
de uma força constante e o deslocamento, não seria correto se referir a este produto como “o
trabalho realizado pela força de atrito exercida sobre o bloco.”. Além disso, a equação 8.3 só
funciona para o deslocamento em uma direção; se o bloco muda a direção do seu movimento,
você deve aplicar a equação 8.3 para cada direção separadamente.
8.7
Potência
Frequentemente estamos interessados não só em saber quanta energia é convertida dentro
de um sistema ou transferida para um sistema, mas também em saber quão rápida a energia é
convertida ou transferida. A taxa na qual a energia é transferida ou convertida é chamada de
potência. Se a energia de um sistema varia de uma quantidade ∆E ao longo de um intervalo
de tempo ∆t, a potência média é definida como:
Pmed =
∆E
.
∆t
(8.4)
A unidade no SI para a potência é o watt (W), que é igual a 1 J de energia por segundo: 1 W ≡
1 J/s. Uma pessoa em boa condição fı́sica pode entregar aproximadamente 75 W de trabalho
médio sobre um intervalo de tempo prolongado. Isto significa que uma pessoa saudável pode
realizar trabalho numa taxa de aproximadamente 75 J/s. Um atleta pode entregar aproximadamente 400 W durante um intervalo de tempo longo, e até 1000 W durante intervalos
curtos de tempo.
81
Capı́tulo 8. Trabalho
A potência instantânea é
P = lim
∆E
∆t→0 ∆t
=
dE
.
dt
(8.5)
A equação 8.5 dá a taxa na qual a energia do sistema varia. O conceito de potência pode ser
aplicado à taxa na qual qualquer tipo de energia varia. Por exemplo, a potência na qual a
energia térmica é gerada é dada por
dEth
P=
.
dt
Numa situação onde a energia de um sistema é alterada por uma força externa constante
Fext , podemos escrever
!
∆x
∆E W
=
= Fext
= Fext vmed ,
Pmed =
∆t ∆t
∆t
onde vmed é a velocidade média do ponto de aplicação da força. Para obter a potência instantânea tomamos o limite de ∆t indo a zero, chegando a
P = Fext v
8.8
Outras questões de revisão
Questão 8.2 Uma bola é jogada verticalmente para cima. (a) Enquanto a bola se
move para cima, e diminui sua velocidade sob influência da gravidade, o trabalho
realizado pela Terra sobre a bola é positivo ou negativo? (b) Depois de chegar na sua
altura máxima, a bola começa a descer, ganhando velocidade. Neste caso, o trabalho
realizado pela força gravitacional sobre a bola é positivo ou negativo?
Questão 8.3 (a) Um galão de gasolina contém aproximadamente 1, 4×108 J de energia
quı́mica. Um carro consome esta quantidade de gasolina em aproximadamente 30 min
quando viaja numa rodovia; um avião consome a mesma quantidade em 1 s quando
viajando a uma altura estável. Qual é a potência média da liberação de energia em
cada caso?
82
8.9. Problemas
8.9
Problemas
Atividade 8.1 A figura abaixo mostra a componente x da velocidade de uma partı́cula
em função do tempo. Em quais intervalos o trabalho realizado sobre a partı́cula é (a)
positivo, (b) negativo, (c) zero?
Atividade 8.2 Você está levantando uma bola com velocidade constante. (a) Quando
o sistema é a bola, há trabalho realizado sobre o sistema? Se sim, quem realiza o
trabalho? (b) Descreva a energia potencial deste sistema durante o levantamento. (c)
Quando tomamos a bola e a Terra como sistema, há trabalho realizado sobre o sistema?
Se sim, quem realiza o trabalho? (d) Descreva como a energia potencial do sistema
Terra-bola muda durante o levantamento.
Atividade 8.3 Qual é o trabalho realizado pela gravidade sobre uma gota de chuva de
2,0 mg quando a gota cai de uma nuvem a 2000 m de altura até o chão?
Atividade 8.4 Um carro de 1000 kg viajando a 5 m/s bate numa parede. A parede de
concreto da passagem não é afetada, mas o carro é amassado de forma que no intervalo
de tempo entre o impacto e o momento que o carro para seu centro de massa se desloca
0,50 m para frente. Qual é (a) a força média exercida sobre o carro, (b) o trabalho
realizado pela parede sobre o carro, e (c) a variação na energia cinética do centro de
massa do carro?
Atividade 8.5 Um corredor tem que fazer uma força de 25 N contra a resistência do ar
para manter uma velocidade de +5 m/s. A qual taxa o corredor está gastando energia?
Exercı́cio 8.1 No arranjo mostrado na figura abaixo, três segmentos de uma corda
c exercida por uma pessoa sobre
puxam o bloco. (a) Mostre que o módulo da força Fpr
a corda para levantar o bloco a uma velocidade constante é mg/3, onde m é a inércia
do bloco. (b) Um trabalhador usa este mesmo arranjo para levantar um bloco pesado,
enquanto outro trabalhador transporta um bloco idêntico com uma corda reta. Após
os dois blocos terrem sido levantados até a mesma janela do segundo andar, qual dos
dois trabalhadores realizou mais trabalho?
Capı́tulo 8. Trabalho
Exercı́cio 8.2 Dois carrinhos de 0,50 kg, um vermelho e um verde, estão a 0,5 m um
do outro num trilho de ar sem atrito. Você empurra o carrinho vermelho com uma
força constante de 2,0 N por 0,15 m e depois retira sua mão. O carrinho move 0,35
m no trilho até colidir com o carrinho verde. (a) Qual é o trabalho realizado por você
sobre o sistema dos dois carrinhos? (b) Quanto o centro de massa do sistema se move
enquanto você está empurrando o carrinho vermelho? (c) Qual é a variação da energia
cinética do centro de massa do sistema devido à força que você faz?
Exercı́cio 8.3 Num jogo, o jogador atira uma bola contra um palheiro. Para uma jogada
tı́pica, a bola deixa o palheiro com metade da velocidade de entrada. (a) Se a força de
atrito exercida pelo palheiro é constante e vale 6,0 N, e o palheiro tem espessura de 1,2
m, derive uma expressão para a velocidade de entrada como função da massa da bola.
Assuma que o movimento seja apenas na horizontal, e ignore os efeitos da gravidade.
(b) Qual é a velocidade de entrada tı́pica se a bola tem uma inércia de 0,50 kg?
Exercı́cio 8.4 Você desenvolve um carro a corda, que é impulsionado por uma mola,
para viagens até o supermercado. O carro tem 4,2 m de comprimento e uma inércia de
500 kg, e é capaz de ir do repouso a 20 m/s pelo menos 50 vezes antes de ser necessário
”dar corda”novamente, ou seja, comprimir novamente a mola. A corda tem o tamanho
do carro, e uma vez comprimida por completo tem metade deste tamanho. A fim de
ter a aceleração necessária, qual deve ser a constante de mola?
Exercı́cio 8.5 Um carro de 1000 kg se movendo a 7,0 m/s se aproxima da base de uma
montanha de 20 m de altura. Para economizar gasolina, o motorista usa uma média de
3,3 kW de potência do motor, percebendo que metade da energia proporcionada pelo
motor e metade da energia cinética inicial serão dissipadas. Qual é o menor intervalo
de tempo necessário para o carro ir da base ao topo da montanha?
83
84
8.9. Problemas
Problema 8.1 Um artista de circo de inércia m é lançado ao ar por um “canhão humano” que contém uma plataforma acionada por uma mola de constante elástica k. O
artista entra no canhão, comprimindo a mola. A mola é comprimida ainda mais de
forma que a posição inicial da plataforma está a uma distância d abaixo da posição da
plataforma quando a mola está relaxada. (a) Qual é a velocidade máxima adquirida
pelo artista após o lançamento? (b) Qual é a altura máxima alcançada pelo artista, em
relação à posição relaxada da plataforma?
Problema 8.2 Uma bala de inércia m e velocidade v é atirada contra um bloco de
madeira que tem inércia 4m e está parado sobre uma superfı́cie horizontal. A bala
atravessa o bloco e sai com velocidade v/3, levando um pedaço desprezı́vel de madeira
consigo. O bloco se move para a direita mas para depois de viajar uma distância d. (a)
Qual é o módulo da força de atrito entre o bloco e a superfı́cie enquanto o bloco está
se movendo? (b) Qual é a razão entre a energia dissipada conforme a bala atravessa o
bloco e a energia dissipada pelo atrito entre a superfı́cie e o bloco?
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 8.2, Atividade 8.4, Exercı́cio 8.1, Exercı́cio 8.2, Exercı́cio 8.5, Problema 8.2
9. Movimento no Plano
Até o momento, nos restringimos ao estudo de eventos na fı́sica que acontecem ao longo de
uma linha reta - ou seja, em uma dimensão (1D). Neste capı́tulo vamos desenvolver as ferramentas que nos permite lidar com o movimento no plano - em outras palavras, movimento
que acontece em duas dimensões (2D). Como você vai ver, qualquer problema em duas dimensões pode ser reduzido a dois problemas em uma dimensão (que nós já sabemos resolver).
Após discutir as técnicas que nos permite lidar com quantidades vetoriais em duas dimensões,
vamos estudar a decomposição de vetores de força em duas dimensões. Esta decomposição nos
permite examinar mais de perto as forças de contato que ocorrem na superfı́cie entre dois objetos, que leva ao tema do atrito. Finalmente, vamos estender o conceito de trabalho de forma
que ele se aplique a situações onde a força e o deslocamento não estão na mesma direção.
Referências para leitura: Halliday (cap. 3, 4 e seção seção 7.2) e Bauer (seção 1.6, cap. 3 e
seção 5.2).
9.1
O termo “em linha reta” é relativo
No capı́tulo 2 discutimos que sempre quando falamos de movimento, devemos especificar
um eixo de referência no qual o movimento ocorre e sua origem. Combinados, o eixo e
a origem são chamados de um sistema de referência. Nos sistemas que analisamos até o
momento, assumimos que o movimento foi visto a partir de um sistema de referência em
repouso em relação à superfı́cie da Terra. O sistema de referência da Terra ou qualquer outro
sistema de referência se movendo com velocidade constante em relação à Terra é chamado
de um sistema de referência inercial.
Podemos verificar se um sistema de referência é ou não inercial a partir da lei da inércia:
num sistema de referência inercial, qualquer objeto isolado que está em repouso se mantém
em repouso, e qualquer objeto isolado em movimento se mantém em movimento com velocidade constante. Este fato não ocorre se o sistema de referência estiver acelerando em relação
à Terra. Nos sistemas de referência inerciais as leis da Fı́sica devem ser as mesmas, independente do sistema de referência estar em repouso ou se movendo com velocidade constante
em relação à superfı́cie da Terra.
85
86
9.2. Vetores num plano
Considere por exemplo o que ocorre
quando você deixa uma bola cair dentro de
um carro se movendo com velocidade constante. No sistema de referência do carro,
o movimento da bola é um movimento de
queda livre, como ilustrado na Figura 9.1(a).
A situação é diferente se você estiver parado
em algum lugar do lado de fora do carro - ou
seja, no sistema de referência da Terra. Porque o carro está se movendo para a direita,
a trajetória da bola não pode ser uma linha
vertical neste sistema de referência. A Fi- Figura 9.1: Movimento de uma bola como visto
gura 9.1(b) ilustra o movimento da bola no por (a) alguém se movendo junto com o carro e (b)
em repouso.
sistema de referência da Terra.
A análise do problema acima sugere que
o problema do movimento da bola no sistema de referência da Terra pode ser quebrado em
duas partes: o movimento de queda livre na direção vertical (chamada de componente vertical do movimento) e o movimento com velocidade constante na direção horizontal (chamada
de componente horizontal do movimento). Você já sabe como analisar cada um destes movimentos separadamente. Portanto, tudo o que temos que fazer é desenvolver uma forma de
descrever ambos os movimentos ao mesmo tempo.
9.2
Vetores num plano
Para descrever o movimento da bola na Figura 9.1 precisamos generalizar nossa definição de vetores. Primeiramente, precisamos agora de não um, mas dois eixos de
referência - um para cada componente do movimento. A
Figura 9.2 mostra uma escolha possı́vel para o conjunto
de eixos de referência perpendiculares. Para distinguir os
dois eixos, vamos chamar o eixo horizontal de x e o vertical de y. As origens dos dois eixos coincidem no ponto
onde o bola foi liberado.
Para especificar a posição da bola em cada instante de
tempo, precisamos de duas coordenadas: a coordenada x
e a coordenada y. Estas coordenadas especificam o vetor
Figura 9.2: Vetor posição para a posição da bola, que aponta da origem até a posição da
bola num determinado momento bola, como mostrado na Figura 9.2.
da Figura 9.1, usando eixos de reAo contrário dos vetores em uma dimensão (descreferência no sistema de referência da vendo o movimento ao longo de uma linha reta), vetoTerra.
res em duas dimensões (descrevendo o movimento num
plano) não necessariamente apontam ao longo do eixo.
Precisamos usar o princı́pio de adição e subtração de vetores para decompor um vetor em
~ pode ser decomposto em vetores componentes A~x
suas componentes. Qualquer vetor A
e A~y ao longo dos eixos escolhidos convenientemente, mutuamente perpendiculares, que
compõem um sistema de coordenadas retangulares (também chamado de sistema de coordenadas cartesianas.
87
Capı́tulo 9. Movimento no Plano
~ em três sistemas de coordenadas. Em cada sistema
Figura 9.3: Decomposição de um vetor A
de coordenadas as componentes do vetor A~x e A~y especificam completamente a posição do
ponto P em relação à origem. Qual sistema de coordenadas é mais conveniente depende do
problema em questão.
~ em três sistemas de coordenadas difeA Figura 9.3 mostra a deposição de um vetor A
rentes. Em cada sistema de coordenadas as componentes dos vetores A~x e A~y especificam
complementamente a posição do ponto P em relação à origem O. Na Figura 9.3(c) o sistema
~ se alinha com o eixo x. Agora a componente do vetor
de coordenadas é tal que o vetor A
~
ao longo do eixo x é A e a componente do vetor ao longo do eixo y é zero. Qual sistema de
coordenadas é mais conveniente depende do problema em questão.
Num sistema de coordenadas retangular, a posição de
um ponto P é especificado pelas coordenadas retangulares
x e y. Alternativamente, podemos especificar um ponto
usando coordenadas polares. A coordenada radial r dá a
distância do ponto a partir da origem e é sempre positiva.
A coordenada angular θ especifica o ângulo entre r e o
eixo x, e é medida na direção anti-horária a partir do eixo
x positivo (0 ⩽ θ < 360o ). Qualquer ponto P é totalmente
especificado por (x, y) ou por (r, θ).
Como pode ser visto pela Figura 9.4(c), a componente
radial r é a hipotenusa de um triângulo retângulo com lados x e y, logo:
q
r = + x2 + y 2 .
O sinal positivo na frente da raiz indica que r nunca é
negativo. A trigonometria nos diz que tg θ = y/x, logo:
y
θ = arctg
,
x
onde os sinais de x e y determinam o quadrante de θ. As
equações acima nos permite determinar as coordenadas
polares a partir das coordenadas retangulares. Usando
trigonometria podemos também expressar as coordenadas
retangulares em termos das coordenadas polares:
x = r cos θ
y = rsenθ.
Figura 9.4: Sistemas de coordenadas retangular e polar.
88
9.3. Movimento de um objeto em duas dimensões
Em coordenadas retangulares, o vetor posição de um
ponto P é
ˆ
~r ≡ xî + y j,
onde î e jˆ representam vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente.
ˆ GeOs vetores componentes de ~r são xî e y j.
nericamente, a decomposição de um vetor ar~ pode ser escrita como
bitrário A
ˆ
~ = A~x + A~y = Ax î + Ay j,
A
~
onde A~x e A~y são componentes do vetor A.
Usando o teorema de Pitágoras, podemos es~ como
crever o módulo de A
q
Figura 9.5: Decomposição de um vetor qual~
A ≡ |A| = + A2x + A2y .
~ em suas componentes.
quer A
~ com respeito ao eixo x é especifiO ângulo de A
cado por
tgθ =
9.3
Ay
Ax
.
Movimento de um objeto em duas dimensões
Podemos generalizar a descrição do movimento num plano começando com o vetor posição
de um objeto:
ˆ
~r = xî + y j.
(9.1)
Como em uma dimensão, a velocidade instantânea de qualquer objeto é
v~ ≡
d~r
∆~r
ˆ
= lim
= vx î + vy j,
dt ∆t→0 ∆t
onde
(9.2)
dy
dx
e vy =
.
dt
dt
O deslocamento, a velocidade instantânea e
a aceleração da bola da Figura 9.1 são mostrados na Figura 9.6. Como a velocidade média da
bola é o deslocamento dividido pelo intervalo de
tempo durante o qual o deslocamento ocorre, a
velocidade média (não mostrada na Figura 9.6
aponta na mesma direção do deslocamento. A
velocidade instantânea da bola é a velocidade
média avaliada durante um perı́odo de tempo
infinitesimal, e como a bola não se move em liFigura 9.6: Deslocamento, velocidade ins- nha reta, a velocidade instantânea não necessatantânea e aceleração da bola da Figura 9.1.
riamente aponta na mesma direção do deslocamento.
vx =
89
Capı́tulo 9. Movimento no Plano
As componentes da aceleração são dadas genericamente por
ax =
dvy d 2 y
dvx d 2 x
= 2 e ay =
= 2.
dt
dt
dt
dt
Mas no caso da aceleração, por definição, a aceleração da bola aponta na direção da mudança
na velocidade. Como no caso da bola a componente horizontal da sua velocidade é igual à
velocidade do carro e é constante, não há aceleração na direção horizontal (ax = 0). Somente
a componente vertical da velocidade da bola muda, de forma que a aceleração da bola aponta
para baixo, e não na direção de v~.
O que significa a aceleração de um objeto
apontar numa direção diferente da sua velocidade instantânea? Para responder esta questão,
precisamos decompor a aceleração em duas componentes: uma paralela à velocidade instantânea
e outra perpendicular à velocidade instantânea
(Figura 9.7). A componente paralela causa a
variação do módulo da velocidade instantânea.
Figura 9.7: Vetores velocidade e aceleração Assim como no movimento 1D, o módulo da veda bola da Figura 9.1. Decomposição do vetor locidade aumenta quando a componente para~
a em vetores paralelos e perpendiculares a v~. lela da aceleração aponta na mesma direção da
velocidade instantânea e diminui quando apontam em direções diferentes. A componente perpendicular da aceleração causa uma mudança
na direção da velocidade instantânea, que no nosso exemplo significa que a bola não se move
numa linha horizontal reta como o carro.
Para obter a posição da bola em qualquer instante arbitrário tf = ti +∆t, podemos escrever
a condição inicial para o movimento da bola no sistema de referência da Terra no instante
ti . Porque a aceleração da bola é sempre verticalmente para baixo, escolhemos um sistema
de coordenadas que tem o eixo x horizontal e o eixo y vertical. No sistema de referência da
Terra, a velocidade inicial da bola é
ˆ
v~i = vx,i î + vy,i j.
A velocidade da bola na direção horizontal é constante; na direção vertical, a bola tem
aceleração constante para baixo (ay = −g). A componente x da velocidade instantânea da
bola não muda. Podemos obter a componente y no instante tf como:
vx,f = vx,i
vy,f = vy,i − g∆t
A partir das equações acima podemos determinar as posições horizontal e vertical da bola
em qualqeur instante:
xf = xi + vx,i ∆t
1
yf = yi + vy,i ∆t − g(∆t)2 .
2
Estas equações determinam completamente a trajetória de um projétil lançado com velocidade inicial v~i a partir do ponto (xi , yi ). As equações acima fornecem xf e yf como função
do tempo, ∆t. Ao eliminar ∆t das equações, obtemos uma função y(x) que depende quadraticamente de x e descreve uma parábola. Por isso a trajetória de um projétil cuja velocidade
inicial não é vertical é uma parábola.
90
9.4
9.4. Colisões e momento em duas dimensões
Colisões e momento em duas dimensões
Como vimos no capı́tulo 4, as colisões em uma dimensão são completamente descritas por
duas equações: ∆~
p = ~0, que diz que o momento de um sistema isolado de objetos que colidem
não muda, e e ≡ v12,f /v12,i , que define o coeficiente de restituição. As mesmas duas equações
se aplicam a colisões em duas dimensões, mas como o momento é um vetor, a conservação
de momento leva a duas equações separadas: uma para o momento na direção x e outra para
o momento na direção y. Considere, por exemplo, uma colisão num sistema isolado de dois
objetos com inércia m1 e m2 . Para este sistema,
∆px = ∆p1,x + ∆p2,x = m1 (v1x,f − v1x,i ) + m2 (v2x,f − v2x,i ) = 0
∆py = ∆p1,y + ∆p2,y = m1 (v1y,f − v1y,i ) + m2 (v2y,f − v2y,i ) = 0.
Mesmo se soubermos as velocidades iniciais dos objetos, ainda temos quatro variáveis nestas duas equações (v1x,f , v1y,f , v2x,f e v2y,f ). Para obter as quatro variáveis precisamos de
quatro equações. Mesmo se soubermos o coeficiente de restituição da colisão, somente teremos 3 equações. Ao contrário das colisões em uma dimensão, não podemos determinar o
resultado da colisão em duas dimensões sem alguma informação adicional sobre as velocidades finais.
9.5
Decomposição de forças
Agora que sabemos como decompor vetores em componentes, podemos aplicar o mesmo
princı́pio com forças. Considere, por exemplo, um tijolo sobre uma prancha de madeira e,
aos poucos, vamos inclinando a prancha. Inicialmente, o tijolo se mantém em repouso, mas
quando o ângulo de inclinação θ excede um valor máximo θmax , o tijolo começa a descer a
prancha.
Quando a prancha está na horizontal, as forças exercidas sobre o tijolo são a força gravitacional exercida pela Terra e a força de contato exercida pela prancha. Mas quando a
prancha é inclinada a partir do ângulo θmax a situação muda, e sabemos que a soma vetorial
das forças exercidas sobre o tijolo devem apontar na mesma direção da aceleração do tijolo.
Como o tijolo está limitado a se mover ao longo da superfı́cie da prancha, sua aceleração
deve ser sempre paralela à prancha. Por esta razão, faz sentido analisar as forças em termos
das componentes paralelas e perpendiculares à prancha, apontando o eixo x ao longo da
superfı́cie que contem o movimento como na Figura 9.8. As componentes das forças perpendiculares à superfı́cie da prancha são chamadas de componentes normais; as componentes
paralelas à superfı́cie são chamadas de componentes tangenciais. Porque a aceleração do
tijolo deve ser paralela à prancha, as componentes normais dos vetores devem ser igual em
módulo - independente se o tijolo estiver parado ou se movendo.
Por outro lado, as componentes tangenciais das forças gravitacional e de contato só são
iguais em módulo quando o tijolo não está acelerando. Note na Figura 9.8 que conforme
o ângulo de inclinação vai aumentando, o módulo da componente tangencial da força da
gravidade aumenta. Para não permitir o tijolo descer, o módulo da componente tangencial
da força de contato exercida pela prancha sobre o tijolo deve aumentar. Quando o ângulo
de inclinação atinge θmax , a prancha não é mais capaz de segurar o tijolo; as componentes
tangenciais não são mais iguais, e a soma das forças exercidas sobre o tijolo são direcionadas
para baixo.
91
Capı́tulo 9. Movimento no Plano
Figura 9.8: Diagramas de corpo livre para um tijolo sobre uma prancha em diferentes
ângulos de inclinação da prancha.
9.6
Trabalho como produto de dois vetores
Vimos no capı́tulo 8 que o trabalho realizado por uma força constante sobre uma partı́cula é
igual ao produto da força pela deslocamento:
W = F∆x.
O trabalho é um escalar, mas a força e o deslocamento são vetores. Discutimos que o deslocamento ∆x na equação acima deve ser provocada pelo trabalho. Logo, no caso da força e
o deslocamento não apontarem na mesma direção, podemos decompor a força nas direções
paralela e perpendicular ao deslocamento provocado. É possı́vel perceber que a componente
da força perpendicular ao deslocamento não causa nenhum deslocamento e portanto não
realiza trabalho sobre o objeto. Apenas a componente da força paralela ao deslocamento é
capaz de realizar trabalho sobre o objeto.
Este resultado pode ser escrito de forma mais
compacta usando a definição do produto escalar en~eB
~
tre dois vetores. Se o ângulo entre dois vetores A
é φ, o produto escalar é
~·B
~ ≡ AB cos φ.
A
Geometricamente, o produto escalar fornece a
~ sobre o vetor B.
~ E como o produto
projeção do vetor A
~·B
~ a projeção de
~=B
~ · A),
escalar é comutativo (i.e., A
~
~
~
~
Figura 9.9: Produto escalar de dois veA em B é igual a projeção de B em A.
Usando a definição do produto escalar, podemos tores.
escrever o trabalho como um produto escalar:
~
~ · ∆r.
W =F
(9.3)
92
9.7. Atrito
Em uma dimensão, quando a força e o deslocamento apontam ao longo da mesma linha,
a equação acima se reduz para W = Fx ∆x. Note que se a força e o deslocamento estão em
direções opostas, φ = 180o e cos φ = −1, que faz o trabalho ser negativo.
Porque cos 90o = 0, o trabalho realizado por qualquer força perpendicular ao deslocamento ∆~r é zero, como havı́amos discutido acima.
9.7
Atrito
Considere novamente o caso de um tijolo sobre uma prancha horizontal. Suponha agora que
você tente empurrar o tijolo ao longo da prancha com a sua mão. Se não houvesse o atrito
o tijolo se moveria facilmente sobre a prancha. No entanto, você tem que fazer uma força
razoável para fazer o tijolo começar a se mover; uma vez que o tijolo começou a se mover,
você deve continuar empurrando para manter o movimento. Se você parar de empurrar, o
atrito vai fazer o movimento parar.
A interação entre o tijolo e a prancha se manifesta através da força de contato exercida
pela prancha sobre o tijolo. A componente normal desta força de contato é chamada de
força normal e já discutimos esta força no capı́tulo 7. A componente tangencial da força
de contato é chamada de força de atrito. Embora ambas são decomposições da força de
contato, o comportamento macroscópico destas componentes é bastante diferente, e por isso
são tratadas como duas forças separadas.
Para entender a diferença, considere a componente normal da força de contato do tijolo
com a prancha. Como o tijolo não se move nesta direção, o módulo da força normal deve
ser igual ao módulo da força gravitacional. Ao empurrar o tijolo para baixo você aumentará a força total para baixo sobre o tijolo, e, como uma mola sob compressão, a prancha
pode começar a se entortar até a força normal que ela exerce sobre o tijolo iguala as forças
exercidas pela Terra e pela sua mão sobre o tijolo. Se você empurrar mais forte para baixo,
a prancha vai entortar ainda mais, e a força normal continua a aumentar até o ponto que
você excede a capacidade da prancha de dar suporte ao tijolo e se quebra, fazendo com que a
força normal desapareça. Logo, forças normais assumem qualquer valor necessário para não
deixar um objeto empurrado para baixo não se mover através da superfı́cie - até o ponto em
que a superfı́cie quebra.
Imagine agora que o empurrão seja feito na horizontal, para a direita, como na Figura
9.10. Se você não empurrar muito forte, o tijolo permanece em repouso, o que significa que
as forças horizontais exercidas sobre o tijolo se somam para obter zero, e portanto a prancha
deve fazer uma força que é igual em módulo a força do seu empurrão mas na direção oposta.
Esta força horizontal é causada pelas ligações microscópicas entre as superfı́cies em contato.
Quando dois objetos estão em contato, estas ligações se formam nas extremidades das superfı́cies dos objetos. Quando você tentar empurrar o tijolo para a direita, estas pequenas
ligações microscópicas agem como pequenas molas, exercendo uma força para a esquerda.
O resultado macroscópico da força originada por estas ligações é segurar o tijolo no lugar.
Se você aumentar a força do seu empurrão, as superfı́cies resistem mais e a componente tangencial da força de contato aumenta. Este atrito exercido pelas superfı́cies que não estão se
movendo uma em relação a outra é chamado de atrito estático.
93
Capı́tulo 9. Movimento no Plano
Figura 9.10: Base microscópica para as forças de atrito cinética e estática (b = tijolo, p =
prancha, h = mão).
Estas ligações microscópicas não conseguem aguentar forças muito grandes, de forma
que se você continuar aumentando a força do seu empurrão as ligações são quebradas e o
tijolo começa a se mover. Uma vez que o tijolo passa a se mover em relação a prancha,
o contato entre as superfı́cies ainda existe, e as superfı́cies continuam a formar e quebrar
ligações microscópicas. Esta constante formação e quebra das ligações microscópicas entre
as superfı́cies é chamada de atrito cinético ou dinâmico. Se você parar de empurrar o tijolo,
a força de atrito cinético vai desacelerar o tijolo. Se você quiser manter o tijolo se movendo,
a força necessária para manter o movimento é menor do que a força necessária para fazer o
tijolo começar a se mover.
Para descrever o movimento de objetos ao longo de superfı́cies precisamos de uma expressão quantitativa para a força de atrito. A partir do exemplo da Figura 9.10, vemos que
a força de atrito estática tem um valor máximo, uma vez que se você empurrar o tijolo com
uma força alta o suficiente ele vai começar a se mover. O valor máximo da força de atrito
estática exercida por uma superfı́cie sobre um objeto é proporcional à força normal exercida pelo objeto sobre a superfı́cie, e não depende da área de contato. A constante de
proporcionalidade é adimensional, µs , e é chamada de coeficiente de atrito estático.
Uma vez que o objeto passa a se mover em relação à superfı́cie, a força de atrito cinético é
constante e também é proporcional à força normal, além de ser independente da velocidade
relativa entre as duas superfı́cies:
c
n
F12
= µc F12
,
(9.4)
onde µc é chamado de coeficiente de atrito cinético. O coeficiente de atrito cinético é sempre menor do que µs . Note que, ao contrário da força de atrito estática, que pode assumir
qualquer valor até o seu valor máximo definido por µs , a força de atrito cinética é constante
e portanto sempre igual ao valor dado pela equação 9.4.
94
9.8. Trabalho e atrito
9.8
Trabalho e atrito
Assim como a força normal, a força de atrito estática é uma força elástica: ela não causa
mudanças irreversı́veis. Se você parar de puxar o tijolo antes do tijolo se mover, o tijolo não
arranha a prancha. Já o atrito cinético causa dano, mesmo que microscopicamente. A força
de atrito cinética não é uma força elástica e causa dissipação de energia.
A afirmação acima nos leva a perguntar se a força
de atrito estática pode realizar trabalho sobre um sistema. Para responder esta pergunta, vamos considerar duas situações equivalentes. Considere primeiro a
situação da Figura 9.11(a). Para determinar se a força
de atrito estática exercida pelo chão sobre a pessoa
realiza trabalho sobre a pessoa, devemos olhar para
o deslocamento causado pela força. Como a força de
atrito estático é aplicado no pé, que não se move em
nenhuma direção enquanto está sobre o chão, o deslocamento causado pela força é zero. Portanto, a su- Figura 9.11: Duas situações equivalentes na qual um objeto é acelerado pelo
perfı́cie não realiza trabalho sobre a pessoa.
atrito estático.
Vamos agora olhar para a situação da Figura
9.11(b). O diagrama do corpo livre para esta situação
é o mesmo da situação anterior. As duas forças exercidas sobre o pacote são a força da gravidade e a força de contato exercida pela esteira. O módulo da componente normal da força
de contato é igual ao módulo da força da gravidade; a componente tangencial (a força de
atrito estático) é o que faz o pacote acelerar. O ponto de aplicação da força de atrito estático
se move com o pacote, e portanto a força de atrito estático realiza trabalho sobre o pacote.
9.9
Problemas
Atividade 9.1 Dentro de um trem você percebe um garoto deixando cair uma bola de
tênis do telhado da casa dele. (a) Qual é a trajetória que você vê a bola fazendo se o
trem está se movendo com velocidade constante? (b) Você veria a trajetória como uma
linha reta se o trem estivesse acelerando? Justifique.
ˆ determine (a) A
~ = 3, 0î + 2, 0jˆ e B
~+B
~ = −2, 0î + 2, 0j,
~e
Atividade 9.2 Para os vetores A
~ + B|.
~
(b) o módulo de |A
Atividade 9.3 Um rifle é posicionado a 100 m de um alvo, e a bala deixa o rifle a 650
m/s. Se o rifle e o alvo estão alinhados horizontalmente, e o rifle está posicionado para
atingir o centro do alvo, por quanto a bala erra o alvo? Qual seria a mudança no seu
cálculo se o rifle e o alvo seguissem alinhados porém com uma certa inclinação em
relação à horizontal?
ˆ com Fx = 50 N e Fy = 12 N, é exercida sobre
~ = Fx î + Fy j,
Atividade 9.4 Uma força F
uma partı́cula que se move ao longo do eixo x, de x = 1, 0 m a x = −5, 0 m. (a) Determine
Capı́tulo 9. Movimento no Plano
o trabalho realizado pela força sobre a partı́cula. (b) Qual é o ângulo entre a força e o
deslocamento da partı́cula?
Atividade 9.5 Ao mover uma caixa de 51 kg num piso, você descobre que precisa de
uma força de 200 N para conseguir fazer a caixa se mover, e 100 N para manter a caixa
em movimento com velocidade constante. Quais são os coeficientes de atrito estático e
cinético entre a caixa e o piso?
Exercı́cio 9.1 Um avião viaja em linha reta da posição A até a posição B em 65 min,
se movendo com velocidade média de 400 km/h. Em um carro viajando de A até B,
um motorista descobre que a viagem tem 600 km pelo caminho que ele é obrigado a
seguir, que é ir em linha reta para o sul por uma certa distância e depois em linha reta
para oeste por uma distância maior. Qual é o ângulo a sudoeste que o avião viaja?
ˆ
Exercı́cio 9.2 A velocidade de um objeto é dada nas unidades SI por v
~ = (At−Bt 2 )î+C j,
com A = 14m/s2 , B = 10m/s3 e C = 22m/s. (a) Se a posição inicial do objeto em t = 0
é a origem (xi = yi = 0), quando o objeto retorna a origem? (b) Quando a velocidade é
zero? (c) Quando o objeto tem aceleração zero?
Exercı́cio 9.3 Conforme um metal derretido respinga, uma gotı́cula voa para o leste
com velocidade inicial vi a um ângulo θi acima da horizontal, e outra gotı́cula voa para
o oeste com a mesma velocidade e ângulo acima da horizontal, como mostra a figura
abaixo. Em termos de vi e θi , encontre a distância entre as duas gotı́culas como função
do tempo.
Exercı́cio 9.4 Uma mola (k = 3800 N/m) é comprimida entre dois blocos: bloco 1, de
inércia 1,40 kg, e bloco 2, de inércia 2,00 kg. O conjunto se move na direção horizontal
numa pista de gelo a 2,90 m/s quando, de repente, a mola quebra, permitindo sua
expansão e a separação dos blocos. O bloco 2 passa a se mover num ângulo de 34o
em relação ao seu movimento inicial com velocidade de 3,50 m/s, enquanto o bloco
1 se move com velocidade e ângulo desconhecidos. Nenhum bloco roda, e você pode
ignorar a inércia da mola. (a) Determine a velocidade do bloco 1 após a separação. (b)
Determine a compressão original da mola em relação ao seu comprimento relaxado.
95
96
9.9. Problemas
Exercı́cio 9.5 Um plano inclinado que faz um ângulo de 30o com a horizontal tem
uma mola de constante elástica 4500 N/m no seu ponto mais baixo. Um bloco de 2,2
kg é liberado próximo ao topo do plano inclinado e se move para baixo, comprimindo
a mola de até 0,0240 m em relação ao seu tamanho relaxado. (a) Ignorando qualquer
efeito de atrito, calcule a distância que o bloco percorre do momento que é liberado até
o momento que ele para no ponto máximo de compressão da mola. (b) Suponha agora
há atrito entre o bloco e a superfı́cie do plano inclinado, com µc = 0, 10. Se o bloco é
novamente colocado em algum lugar do plano e permitido escorregar para baixo até
comprimir a mola pelos mesmos 0,0240 m, quão longe o bloco deve viajar agora?
Problema 9.1 A figura abaixo mostra um amigo em pé no topo de um prédio a 51,8
m de altura. O teto é quadrado e mede 20 m em cada lado. Você quer jogar uma bola
de forma que ela atinja o teto e usa para isso uma pistola de paintball que atira bolas a
42 m/s. O único problema é que há um painel publicitário de 67,5 m de altura entre
você e o prédio, a 20 m na frente do prédio. Você se posiciona na frente do painel
publicitário de forma que quando você segura a pistola a 1,5 m do chão e atira, a bola
passa raspando o painel, no ponto mais alto da trajetória. (a) Qual ângulo θ em relação
à horizontal você precisa atirar a bola para passar o painel publicitário? (b) Qual é
a distância que você precisa estar do painel publicitário? (c) Quanto tempo a bola
demora para chegar do ponto mais alto da sua trajetória até o telhado do prédio? (d) A
bola atinge o telhado? (e) Qual é a velocidade da bola quando ela atinge o telhado?
Capı́tulo 9. Movimento no Plano
Problema 9.2 Você sabe que você pode fornecer 500 W de potência para mover objetos
grandes. Você precisa mover um cofre de 50 kg para o andar de cima, a 10 m do chão.
(a) Com qual velocidade média você pude puxar o cofre na direção vertical para cima?
(b) Quanto trabalho você faz sobre o cofre para puxa-lo como no item anterior? (c)
Com qual velocidade média você pode puxar o cofre se puxa-lo com um ângulo de 30o
em relação à direção do seu movimento? (d) Quanto trabalho você faz sobre o cofre
nesta última situação?
Problema 9.3 Você empurra para baixo um livro de inércia m inicialmente parado
sobre uma mesa com uma força direcionada num ângulo θ com a vertical. O coeficiente
de atrito estático entre o livro e a mesa é µs . Se θ não for maior que um determinado
valor crı́tico, você não consegue fazer o livro deslizar sobre a mesa, não importa o quão
forte você empurra. Qual é este valor crı́tico?
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 9.4, Exercı́cio 9.2, Exercı́cio 9.3, Exercı́cio 9.4, Problema 9.3
97
10. Movimento num Cı́rculo
Até o momento temos lidado apenas com o movimento translacional, que não envolve
nenhuma mudança na orientação do objeto. Em outras palavras, todas as partı́culas do objeto se movem em trajetórias paralelas idênticas. Durante o movimento rotacional, que
vamos começar a estudar nesta semana, a orientação do objeto muda, e as partı́culas num
objeto seguem trajetórias circulares diferentes centradas numa linha reta chamada de eixo
de rotação. Geralmente, o movimento de objetos rı́gidos é uma combinação destes dois tipos
de movimento, mas como vamos ver na próxima semana este movimento pode ser quebrado
em partes translacionais e rotacionais que podem ser analisadas separadamente. Como já
sabemos descrever o movimento translacional, vamos focar nesta semana em descrever o movimento rotacional dos objetos.
Referências para leitura: Halliday (cap. 10 e seção 11.5) e Bauer (cap. 9 e seção 10.7).
10.1
Cinemática rotacional
A Figura 10.1 mostra um exemplo de movimento circular: um bloco é arrastado ao
longo de um cı́rculo por uma mesa rodando.
O bloco está girando ao redor de um eixo
vertical no centro da mesa. O eixo em torno
do qual o bloco está girando é externo ao
bloco, e perpendicular ao plano de rotação.
Já a mesa gira em torno de um eixo interno. Em ambos os casos, o objeto que gira
pode ser considerado como um sistema com
uma quantidade enorme de partı́culas, cada
partı́cula girando ao redor de um eixo de
rotação.
Figura 10.1: Exemplo de movimento circular.
98
99
Capı́tulo 10. Movimento num Cı́rculo
A Figura 10.2 mostra uma visão de cima
do objeto se movimentando no sentido antihorário ao longo de um arco de cı́rculo.
A velocidade média do bloco aponta na
mesma direção do deslocamento do bloco,
∆~r. Se considerarmos um intervalo de
tempo suficientemente pequeno, o ângulo
entre os vetores das posições inicial e final,
r~i e r~f , medidos a partir do centro da traFigura 10.2: Exemplo de movimento circular.
jetória circular, se aproxima de zero e ∆~r se
torna tangente à trajetória circular. Logo, a
velocidade instantânea v~ de um objeto em movimento circular é sempre perpendicular à
posição ~r medida a partir do centro da trajetória circular.
Como o movimento ocorre totalmente
num plano, podemos usar coordenadas cartesianas para descrever a posição e a velocidade do bloco em qualquer instante de
tempo. Na Figura 10.3(a), a posição do bloco
é especificada por (x1 , y1 ) no instante t1 e
por (x2 , y2 ) no instante t2 . No entanto, porque o módulo do vetor posição ~r é sempre
igual ao raio do cı́rculo, podemos também
Figura 10.3: Exemplo de movimento circular.
dar o módulo r e a direção do vetor para especificar a posição do bloco, como indicado
pelos ângulos θ1 e θ2 na Figura 10.3(b). Para especificar a direção, definimos a posição angular ou coordenada rotacional do bloco, que é um número sem unidade que aumenta 2π a
cada cı́rculo completado pelo bloco. A posição angular está relacionada com o ângulo polar
θ. Mas, ao contrário da posição angular, o ângulo polar não é um número sem unidade; ele
é expresso em unidades de revoluções, graus ou radianos.
De forma geral, a posição angular de um objeto
se movimentando ao redor de um cı́rculo de raio r
é definida como o comprimento de arco s na qual o
objeto se moveu dividido pelo raio:
s
θ= .
r
O sinal e o módulo de s depende da escolha do sistema de coordenadas rotacional. No caso da Figura
10.4, podemos tomar a direção anti-horária como positiva.
A mudança na posição angular de um objeto, ∆θ,
pode ser expressa como uma diferença entre os comprimentos de arco:
∆θ =
∆s
,
r
onde ∆s é definido como o comprimento de arco entre
Figura 10.4: Relações entre a posição as posições final e inicial do objeto, como mostrado na
angular θ, o raio r e o comprimento de
arco s.
100
10.1. Cinemática rotacional
Figura 10.4. Em analogia com a definição de velocidade média, podemos definir uma velocidade angular
média, ωm , como sendo igual à variação na posição
angular dividida pelo intervalo de tempo no qual esta variação ocorre:
ωm ≡
∆θ
.
∆t
A unidade no SI para a velocidade angular é s−1 . A velocidade angular pode ser positiva ou
negativa, dependendo da escolha da direção positiva para a rotação de θ (horária ou antihorária).
A velocidade angular ωθ é obtida no limite em que o intervalo de tempo vai a zero
∆θ dθ
=
.
dt
∆t→0 ∆t
ωθ ≡ lim
(10.1)
Na equação acima, o subscrito θ indica que a velocidade angular depende da escolha da
direção para θ, da mesma forma que o sinal de vx depende da escolha do eixo x no movimento de translação. De fato, assim como vx é a componente do vetor velocidade v~ na
direção do eixo x, ωθ é a componente do vetor velocidade angular ω,
~ que vamos discutir no
próximo capı́tulo.
A relação entre a velocidade angular instantânea e a velocidade instantânea pode ser
obtida substituindo as equações anteriores na equação acima:
ω=
dθ 1 ds vt
=
= ,
dt
r dt
r
onde vt é a componente tangencial da velocidade do objeto.
A vantagem de usar a velocidade angular para
descrever o movimento de rotação de objetos se torna
clara quando olhamos para o disco rodando da Figura
10.5. Como os vetores velocidade v~ mostram, cada
ponto do disco tem uma velocidade diferente, com os
pontos mais longe do eixo de revolução tendo maior
velocidade (devido ao maior raio). Ainda assim, todos os pontos no disco executam o mesmo número de
revoluções por unidade de tempo, de forma que todos
eles têm a mesma velocidade angular ωθ .
Figura 10.5: Velocidades instantânea
Como também pode ser visto na Figura 10.5, a ve- e angular para pontos de um disco rolocidade de um objeto em movimento circular cons- dando.
tantemente muda sua direção. Mesmo que o módulo
das velocidades inicial e final do objeto sejam os mesmos, os vetores v~i e v~f apontam em
direções diferentes. Portanto, há uma mudança na velocidade ∆~
v , o que implica que o objeto
acelera. De fato,
objetos em movimento circular têm aceleração diferente de zero mesmo se eles estejam
se movendo com velocidade constante.
101
Capı́tulo 10. Movimento num Cı́rculo
Porque ~r e v~ são sempre perpendiculares entre si,
quando ~r roda um ângulo θ, v~ roda o mesmo ângulo,
o que significa que os triângulos na Figura 10.6(b)
são similares. Para determinar a variação na velocidade, ∆~
v = v~f − v~i . Portanto, a aceleração média
a~m ≡ ∆~
v /∆t também deve apontar para o centro do
cı́rculo. Se deixarmos o intervalo de tempo ∆t se
aproximar de zero, como na Figura 10.6(c), veremos
que a aceleração instantânea ~
a é perpendicular à velocidade v~. Esta aceleração é chamada de aceleração
centrı́peta.
Para calcular o módulo da aceleração centrı́peta,
podemos usar novamente a semelhança entre os
triângulos da Figura 10.6(b), de forma que
|∆~r| |∆~
v|
=
,
r
v
ou, rearranjando os termos e dividindo os dois lados
pelo intervalo de tempo ∆t, chegamos a
Figura 10.6: Aceleração média e ins-
|∆~
v | v |∆~r|
=
.
∆t
r ∆t
tantânea de um objeto em movimento
circular.
v|
No limite de ∆t → 0, o termo |∆~
∆t se aproxima do
r|
módulo da aceleração (centripeta), que vamos denotar por ac , e o termo |∆~
∆t se aproximada
da velocidade instantânea v, de forma que
ac =
v2
.
r
(10.2)
Esta é a aceleração necessária para manter um objeto se movendo com velocidade v ao redor
de um cı́rculo de raio r.
Quando a velocidade escalar do objeto não é constante, além da componente radial da
aceleração vamos ter também uma componente paralela à velocidade. Esta componente é
chamada de aceleração tangencial porque ela é sempre tangente à trajetória:
at =
dv
.
dt
(10.3)
Quando o movimento circular é feito com velocidade escalar constante, a componente
tangencial da aceleração é zero (at = 0). Neste caso, o tempo que um objeto demora para
percorrer um cı́rculo completo (chamado de perı́odo e denotado pela letra T ) é
T =
2πr 2π
=
.
v
ω
(10.4)
Se o objeto muda o módulo da velocidade ao longo do movimento circular, ambas as
componentes da aceleração são diferentes de zero. Neste caso, a aceleração resultante não
aponta mais para o centro do cı́rculo, e seu módulo é dado por
q
a = a2c + a2t .
(10.5)
102
10.1. Cinemática rotacional
Quando a aceleração tangencial é diferente de zero, podemos definir a aceleração angular α
∆ω dω
α ≡ lim
=
,
(10.6)
dt
∆t→0 dt
com unidade no SI igual a s−2 . A aceleração angular é uma medida da taxa na qual a velocidade angular muda, e pode ser escrita como:
at =
dvt
dω
=r
= rα.
dt
dt
Logo, a aceleração tangencial está relacionada com a aceleração angular
10.1.1
Movimento circular com velocidade constante
Para objetos em movimento circular com velocidade escalar constante, o módulo da velocidade instantânea do objeto não muda. Isto implica em dizer que a velocidade angular ω = v/r
é constante, de forma que a aceleração angular é zero. Mas vimos acima que qualquer objeto
num movimento circular deve ter uma aceleração.
A aparente contradição se desfaz porque a aceleração angular mede a variação do módulo
da velocidade v~ na qual um objeto descreve uma trajetória circular, enquanto a aceleração
que mencionamos está relacionada com a mudança na direção da velocidade (aceleração
centrı́peta).
10.1.2
Sistema de coordenadas
Para descrever o movimento circular é conveniente
escolher um sistema de coordenadas que roda com
o objeto em consideração, como ilustrado na Figura
10.7. O eixo radial, denotado pela letra r, aponta
na direção do raio da trajetória circular, no sentido
contrário à direção do eixo de rotação. O eixo tangencial, denotado pela letra t, aponta na direção em que
v aumenta, tangente à trajetória. Porque a direção
tangente a um cı́rculo é perpendicular ao raio, os eixos r e t são sempre perpendiculares um em relação
ao outro. Geralmente vamos precisar de um terceiro
eixo, denotado pela letra z, para descrever a direção
de forças exercidas sobre o objeto. Este eixo é perpen- Figura 10.7: Sistema de coordenadas
dicular ao plano do movimento, geralmente paralelo em rotação usado para descrever o moao eixo de rotação.
vimento circular.
Com esta escolha de sistemas de coordenadas, a
velocidade de um objeto em movimento circular uniforme é sempre direcionada ao longo do
eixo t, e a aceleração do objeto é sempre direcionada na direção do eixo −r.
Capı́tulo 10. Movimento num Cı́rculo
10.2
103
Forças e movimento circular
A aceleração centrı́peta de um objeto em movimento circular com velocidade escalar constante nos diz que a força resultante exercida sobre um objeto deve ser direcionada para o
centro do cı́rculo, de forma a continuamente ajustar a direção do objeto. Sem esta força
resultante o objeto iria se mover em linha reta.
A força requerida para um objeto fazer uma
curva pode ser um empurrão ou um puxão ou uma
combinação das duas. O módulo desta força depende
da velocidade do objeto e do raio da trajetória, uma
P
~ = m~
vez que F
a, e no caso de um movimento circular uniforme |~
a| = ac = v 2 /r. Logo, quanto maior for o
raio da trajetória menor será a força necessária para
o objeto se mover em cı́rculo. Conforme o raio tende
a infinito, o objeto se move um linha reta e nenhuma
força é necessária para mudar a direção da sua veloFigura 10.8: Quanto menor o raio, mais
cidade (Figura 10.8).
Como você pode notar desta discussão, pratica- acentuada será a curva e maior será a
força necessária para fazer o objeto semente qualquer força pode atuar como a força resguir a curva.
ponsável pelo movimento circular de um objeto. É
o caso da força de atrito estático para o caso de um
bloco sobre uma mesa girante que discutimos, ou da componente horizontal da tensão sobre
uma corda de um objeto preso a uma corda que gira em torno de um eixo. Esta força também
pode ser a força gravitacional, que força os planetas em órbitas (quase) circulares ao redor
do Sol, ou a força de Coulomb atuando sobre os elétrons nos átomos.
Definição 10.1 (Força centrı́fuga) Essa é uma boa chance de esclarecer um ponto importante considerando a direção da força responsável pelo movimento circular. Você
frequentemente ouve pessoas falando sobre aceleração centrı́fuga (ou “fugindo do
centro”, na direção radial externa) ou força centrı́fuga. Você pode experimentar a
sensação de ser puxado aparentemente para fora em muitos brinquedos em parques
de diversões. Essa sensação se deve à inércia de seu corpo, o qual resiste à aceleração
centrı́peta (em direção ao centro). Assim, você sente uma aparente força apontando
para fora - a dita força centrı́fuga. Mantenha em mente que essa percepção resulta do
movimento de seu corpo num sistema referencial acelerado; não há força centrı́fuga.
A força que realmente atua sobre seu corpo e o obriga a mover-se sobre um caminho
circular é a força que te puxa para o centro do cı́rculo.
Você também experimentou um efeito similar no movimento em linha reta. Quando
você está sentado em seu carro, em repouso, e pisa no pedal do acelerador, você sente
como se estivesse sendo pressionado de encontro ao banco do carro. Essa sensação, de
uma força que o pressiona para trás, também vem da inércia do seu corpo, o qual é
acelerado para frente pelo seu carro. Ambas as sensações de forças atuando sobre seu
corpo são o resultado de seu corpo experimentando uma aceleração na direção oposta
e colocando resistência - inércia - contra essa aceleração.
104
10.3
10.3. Inércia rotacional
Inércia rotacional
Agora que estabelecemos os princı́pios do movimento
circular com velocidade constante, vamos examinar
as variações na velocidade angular. Considere dois
discos idênticos A e B numa mesa de ar horizontal.
O disco B está inicialmente em repouso e preso a
um poste vertical no meio da mesa por uma corda
que restringe o movimento do disco a um cı́rculo de
raio rB . Suponha que o disco A atinge o disco B com
velocidade v, como ilustrado na Figura 10.9(a). Os
dois discos colidem elasticamente, e imediatamente
após a colisão o disco A está em repouso e o disco B
tem velocidade v. O disco B começa então a se mover num cı́rculo com velocidade v. Se a mudança na Figura 10.9: Quando um disco em moposição angular durante o intervalo de tempo ∆t é vimento atinge um disco parado conec∆θB , então após a colisão sua velocidade angular é tado a uma corda, a velocidade angular
do disco sobre a corda depende do comωB,θ = ∆θB /∆t.
Suponha agora que empurramos o disco A com a primento da corda.
mesma velocidade v em direção a um terceiro disco
C inicialmente em repouso e preso a uma corda de comprimento rC > rB , como na Figura
10.9(b). Como antes, o disco A fica em repouso após a colisão, e o disco C se move com velocidade v. Porque os dois discos B e C têm a mesma velocidade após a colisão, eles vão viajar
o mesmo comprimento de arco no mesmo intervalo de tempo ∆t. Contudo, suas velocidades
angulares são diferentes porque os raios das suas trajetórias são diferentes. O módulo da
variação ∆θC é menor do que o de B, e a velocidade angular de C, ωC,θ = ∆θC /∆t, é menor
do que a velocidade angular de B.
Para o disco C ter a mesma velocidade angular de B, é necessário atingi-lo com um disco
A mais rápido. Colocando de outra forma, é mais difı́cil mudar a velocidade angular de C
do que de B. Note que B e C têm a mesma inércia. Se não fosse pela presença das cordas
de diferentes comprimentos, não seria possı́vel distingui-los. Mas a tendência de um objeto
de resistir a uma mudança na velocidade angular, a inércia rotacional, não é dada simplesmente pela inércia do objeto. A corda mais longa de C causa a velocidade angular de C
mudar menos do que B, sugerindo que a inércia rotacional depende da localização do objeto
em relação ao eixo de rotação. Quanto maior for a distância em relação ao eixo de rotação,
maior será a inércia rotacional.
Ao contrário da inércia, que tem um único valor (dado pela massa), a inércia rotacional
depende da localização em relação ao eixo de rotação. Um objeto pode ter uma inércia rotacional pequena em relação a um eixo e uma inércia rotacional grande em relação a outro eixo.
Logo, o valor da inércia rotacional não pode ser determinado a menos que você especifique
o eixo de rotação.
10.3.1
Energia cinética de rotação
Vamos retornar ao experimento da seção anterior. Por simplicidade, vamos ignorar o tamanho dos discos e trata-los como partı́culas. Após a colisão elástica, o disco C se move
em movimento circular com velocidade constante v. Chamando a inércia do disco de m,
Capı́tulo 10. Movimento num Cı́rculo
105
podemos dizer que sua energia cinética é
1
1
1
K = mv 2 = m(rω)2 = (mr 2 )ω2 .
2
2
2
Podemos definir o termo entre parênteses como a inércia rotacional I do disco C em relação
ao eixo de rotação:
I ≡ mr 2 (partı́cula),
(10.7)
de forma que
1
Krot = Iω2 .
(10.8)
2
A inércia rotacional de um objeto em relação a um eixo se opõe à mudança no movimento de
rotação em torno deste eixo, da mesma forma que a inércia se opõe à mudança no movimento
de translação. A unidade no SI da inércia rotacional é kg·m2 , e porque a unidade no SI para
ω é s−1 , obtemos kg·m2 /s2 para a energia cinética de rotação, que é o joule (J).
10.4
Momento angular
Note a semelhança entre a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação.
Considerando as variáveis corretas, onde substituindo m por I e v por ω, temos exatamente
a mesma relação para energia cinética: o produto de uma inércia por uma velocidade ao
quadrado:
2
1 2
1 2 1
1
2 v
mv −→ Iω = (mr )
= mv 2 .
2
2
2
r
2
Esta relação nos diz que a colisão elástica faz toda a energia cinética (translacional) inicialmente em A ser convertida em energia cinética rotacional do disco C. A soma da energia
cinética do disco A e a energia cinética de rotação do disco C permanece constante, como
deveria.
O que acontece se fizermos o mesmo raciocı́nio na expressão do momento, mv?
v
mv −→ Iω = (mr 2 )
= rmv.
(10.9)
r
O resultado agora é diferente de uma simples substituição. A quantidade Iω não é igual ao
módulo mv do momento do disco A. Agora Iω é igual ao produto mv e a distância de A em
relação ao eixo de rotação no momento da colisão. Este “momento rotacional” Iω representa
precisamente o que chamamos da habilidade de colocar em movimento.
A quantidade Iω tem um papel fundamental na Fı́sica. Quanto maior o valor Iω para um
objeto se movendo, mais fácil para o objeto colocar outro objeto em movimento de rotação.
Por causa da analogia com o momento, que mede a capacidade do objeto de colocar outros
objetos em movimento ao longo de uma linha reta, esta quantidade é chamada de momento
angular e é denotada pela letra L:
Lθ ≡ Iωθ .
(10.10)
No SI, a unidade do momento angular é kg·m2 /s. Como antes, o subscrito θ significa que o
momento angular é uma grandeza que pode ter sinal positivo ou negativo, dependendo da
escolha da direção positiva de rotação de θ.
106
10.4. Momento angular
Um objeto não precisa rodar ou girar para ter
momento angular diferente de zero. Por exemplo,
mesmo que um objeto se mova numa linha reta, o
disco A do exemplo anterior tem momento angular
diferente de zero - ele tem a capacidade de colocar
outro disco em rotação. Mas qual é o momento angular de um objeto que se move em linha reta? A primeira coisa a observar é que não faz sentido falar de
momento angular de um objeto sem especificar um
eixo de rotação. A Figura 10.10 mostra como calcular
o momento angular de um objeto se movendo em linha reta. Para um dado eixo de rotação, o valor de r
na equação 10.9 é dada pela distância perpendicular
r⊥ entre o eixo de rotação e a linha reta definida pelo
momento do objeto (o raio do cı́rculo no qual esta linha, chamada de linha de ação do momento, é tangente; veja a figura ao lado). O módulo do momento
angular de uma partı́cula que se move em linha reta
é então
v
L = Iω = (mr 2 )
= r⊥ mv (partı́cula).
(10.11)
r
Figura 10.10: Em relação a um eixo
de rotação, uma partı́cula de inércia m
se movendo em linha reta tem um momento angular de módulo r⊥ mv.
O sinal do momento angular é determinado pela escolha da direção positiva de θ. Por exemplo, no caso da Figura 10.10 a posição angular da partı́cula está aumentando conforme se
move ao longo da trajetória, e portanto o momento angular é positivo.
Se nós substituirmos os valores de m, r⊥ e v para o disco A logo antes do impacto, veremos
que o momento angular do disco A antes do impacto é igual ao momento angular do disco B
após o impacto:
LA,i = LB,f = +rB mv.
A variação do momento angular do disco A é ∆LA = LA,f −LA,i = 0−rB mv = −rB mv. A variação
do momento angular do disco B é LB = +rB mv − 0 = +rB mv. Como você pode verificar, o momento angular é uma quantidade extensiva, e portanto podemos definir o momento angular
do sistema contendo os dois discos como Lsist = LA + LB . É possı́vel perceber que o momento
angular do sistema não muda com a colisão:
∆Lsist = 0 .
Esta observação sugere que o momento angular, assim como o momento, é uma quantidade conservada. De fato, se não fosse pelo atrito, objetos em movimento circular tenderiam
a continuar a se mover em movimento circular, assim como objetos em movimento translacional tenderiam a se mover em linha reta.
O fato do momento angular de dois discos colidindo permanecer constante é uma consequência da conservação do momento - a mudança no momento do disco B é compensada
por uma mudança no momento de A. A conservação do momento angular é tão fundamental
quanto a conservação do momento e a conservação da energia.
107
Capı́tulo 10. Movimento num Cı́rculo
10.5
Inércia rotacional de objetos extensos
Até o momento analisamos o movimento de rotação
de partı́culas; mesmo quando tı́nhamos objetos extensos (como discos) ignoramos suas dimensões e tratamos o objeto como uma partı́cula. Mas podemos
aplicar todos os conceitos de inércia rotacional para
objetos rı́gidos extensos. Considere, por exemplo, o
objeto rodando na Figura 10.11. Podemos quebrar o
objeto em vários pequenos segmentos de inércia δm,
cada segmento com uma velocidade v~ diferente, mas
todos se movendo em cı́rculos em torno do eixo de
rotação com mesma velocidade angular ω.
A energia cinética de rotação do objeto é a soma
da energia cinética de todos os segmentos
X1
1
1
Krot = δm1 v12 + δm2 v22 + ... =
δmn vn2 .
2
2
2
n
Como cada segmento tem uma velocidade diferente,
Krot =
n
Figura 10.11: Procedimento para de-


X

1


δmn rn2  ω2 ,
δmn (ωrn )2 = 
2
2 n
X1
onde rn mede a distância do segmento n ao eixo de
rotação. O termo entre colchetes é a inércia rotacional
In do segmento n, portanto
terminar a inércia rotacional de um objeto extenso.


1 X  2 1 2
Krot = 
I  ω = Iω ,
2 n n
2
onde I é a inércia rotacional do objeto inteiro. As
equações acima mostram que a inércia rotacional de
um objeto extenso pode ser obtida dividindo o objeto
em segmentos pequenos e calculando a soma das contribuições de cada segmento:
I=
X
δmn rn2 .
(10.12)
n
Se tomarmos o limite da expressão quando δmn → 0, a soma se torna uma integral:
I = lim
δmn →0
X
δmn rn2 ≡
Z
r 2 dm (objeto extenso).
(10.13)
n
Esta integral é difı́cil de avaliar para um objeto de forma arbitrária. Contudo, a integral
é relativamente fácil de calcular para objetos que exibem alguma simetria e são uniformes
(isto é, a inércia está uniformemente distribuı́da ao longo do volume do objeto). A Figura
10.12 lista os resultados de alguns objetos.
108
10.5. Inércia rotacional de objetos extensos
Figura 10.12: Inércia rotacional de objetos uniformes de inércia M em relação a eixos que
passam pelo centro de massa.
Como a inércia rotacional depende do eixo de
rotação, a tabela da Figura 10.12 parece de utilidade
limitada. Contudo, há uma relação simples entre
a inércia rotacional de um objeto em torno de um
eixo que passa pelo centro de massa e a inércia rotacional em torno de um eixo paralelo ao centro de
massa. Considere o objeto da Figura 10.13. Vimos
que a inércia rotacional do objeto em torno do eixo
que passa pelo centro de massa é
X
X
2
Icm =
δmn rcm,n
=
δmn (xn2 + yn2 ).
n
n
A inércia rotacional em torno do eixo paralelo que
passa pelo ponto P, a uma distância d do centro de
massa, é:
X
X
IP =
δmn rP2,n =
δmn [(dx + xn )2 + (dy + yn )2 ].
n
n
Figura 10.13: O teorema dos eixos paralelos.
109
Capı́tulo 10. Movimento num Cı́rculo
Como, pela definição do centro de massa, se o centro
de massa estiver na origem temos que
X
X
δmn xn =
δmn yn = 0,
n
n
de forma que a equação de IP pode ser reduzida a
X
X
IP =
δmn [(dx2 + dy2 ) + (xn2 + yn2 )] =
δmn d 2 + Icm .
n
n
O fator d 2 pode ser retirado da somatória, e com isto podemos ver que a inércia rotacional
em torno do eixo paralelo é
I = Icm + md 2 .
(10.14)
Esta relação é conhecida como teorema dos eixos paralelos.
10.6
Outras questões de revisão
Questão 10.1 Quais das seguintes situações estão em equilı́brio translacional? (a) Um
objeto que roda em torno do seu centro de massa com velocidade constante. (b) Uma
roda girando em torno do seu centro de massa.
Questão 10.2 Determine a posição angular de cada um dos seguintes objetos para as
escolhas do sistema de coordenadas de rotação: (a) a ponta do ponteiro das horas de
um relógio às 4:30, quando zero está a meio-dia do mesmo dia e θ aumenta na direção
horária. (b) uma torneira após ter sido girada de 3/4 de uma volta na direção horária,
começando do zero e com θ crescendo na direção anti-horária. (c) O objeto na Figura
10.3 se θ = 78, 3o , quando zero está em θ = 0o e θ aumenta na direção anti-horária.
Questão 10.3 Suponha que o objeto na Figura 10.6 está em movimento circular acele-
rado, de forma que |v~f | > |~
vi |. Em qual direção a aceleração média do objeto vai apontar?
Questão 10.4 Um bloco está em cima de uma mesa que gira inicialmente com ve-
locidade constante. A velocidade angular da mesa começa a aumentar, e em algum
instante o bloco sai da mesa. Explique porque isto ocorre.
Questão 10.5 Uma bicicleta sempre tem que se curvar toda vez que vai fazer uma
curva?
110
10.7
10.7. Problemas
Problemas
Atividade 10.1 Qual é a razão entre a velocidade angular da Terra em torno do seu
próprio eixo e a velocidade angular da Terra em torno do Sol?
Atividade 10.2 Mostre que a aceleração centrı́peta de um objeto se movendo num
cı́rculo de raio r com velocidade constante pode ser expressa como
ac =
4π2 r
,
T2
onde T é o perı́odo do movimento.
Atividade 10.3 Determine a velocidade angular (a) do ponteiro dos minutos de um
relógio e (b) do ponteiro das horas de um relógio.
Atividade 10.4 Determine a inércia rotacional em torno do eixo x do objeto rı́gido na
figura abaixo? Desconsidere a massa das hastes, e considere as esferas como partı́culas.
Atividade 10.5 Três esferas pequenas e idênticas, com inércia de 1,0 kg, são conectadas
a cordas idênticas de 0,50 m de comprimento. Quando o sistema todo começa a girar
em torno do centro com velocidade angular de 3,0 s−1 , qual é (a) a energia cinética de
rotação e (b) o módulo do momento angular em torno do centro do sistema?
Capı́tulo 10. Movimento num Cı́rculo
111
Exercı́cio 10.1 A pista de carrinhos de brinquedo da figura abaixo tem 3 trilhos, e os
carrinhos não podem mudar de trilho. A distância entre dois trilhos adjacentes é de
100 mm, e o trilho mais interno tem um raio de 1,00 m. (a) Se cada carrinho tem a
mesma velocidade média, calcule e compare os intervalos de tempo necessários para
cada um dos carrinhos completarem 20 voltas. (b) Se todos os três carrinhos começam
um ao lado do outro e terminam a prova no mesmo instante, calcule e compare as
velocidades médias de cada carrinho.
Exercı́cio 10.2 Seu trabalho de final de semana é selecionar placas de velocidade
máxima para colocar em curvas nas rodovias de uma cidade. Para uma curva de
raio 400 m e angulação de 7o , qual é a velocidade máxima que você deve colocar na
placa, de forma que qualquer carro viajando a esta velocidade complete a curva mesmo
quando a estrada estiver molhada e escorregadia?
Exercı́cio 10.3 Você prende uma bola pequena de inércia m numa das extremidades
de uma corda de comprimento l. A outra extremidade da corda você prende com um
parafuso numa parede. Você segura a bola ao lado do parafuso, com a corda distendida
numa linha horizontal, conforme a figura abaixo. (a) Se você liberar a bola a partir do
repouso, qual é a tensão T na corda, em função do ângulo θ? (b) Qual é a tensão
máxima que a corda deve suportar se você não quiser que a corda se rompa durante
todo o movimento da bola?
Exercı́cio 10.4 Um carro acelera do repouso em t = 0, de forma que seus pneus têm
aceleração angular constante α = 5, 8 s−2 cada. O raio de cada pneu é 0,33 m. Em
t = 10 s, calcule (a) a velocidade angular ω dos pneus, (b) o deslocamento angular ∆θ
de cada pneu, (c) a velocidade v do carro (assumindo que os pneus são perfeitamente
esféricos), e (d) a distância viajada pelo carro.
112
10.7. Problemas
Exercı́cio 10.5 Na figura abaixo, dois blocos idênticos B e C, cada um com inércia m,
estão conectados por uma haste de comprimento l e inércia desprezı́vel. O sistema está
livre para rodar em torno do seu centro. Um bloco A, de inércia m/2, atinge o bloco
B. Após a colisão, na qual nenhuma energia é dissipada, quais são (a) a velocidade
angular do sistema blocos+haste e (b) a velocidade v~ de A?
Exercı́cio 10.6 Uma porta destrancada de inércia mp e comprimento lp está em re-
pouso quando é atingida por uma bola de argila de massa mb que está se movendo
com velocidade vb no instante em que atinge a porta. O local do impacto ocorre a
uma distância d = 32 lp do eixo de rotação da porta. A bola atinge a frente da porta de
forma perpendicular e fica presa à porta. Qual é a velocidade rotacional ω do sistema
porta-bola após a colisão?
Exercı́cio 10.7 Um bloco de inércia m é preso a um bloco de inércia 2m por uma corda
que passa por um disco uniforme de inércia 3m e raio R que pode rodar em torno do
seu eixo. Inicialmente, o bloco de inérica m é colocado de tal forma que a corda está
tensionada. Quando este bloco é liberado e livre para se mover, qual é a sua velocidade
depois de ter subido uma altura h? Ignore o atrito entre o disco e o eixo.
Exercı́cio 10.8 Uma folha retangular de 0,15 kg tem arestas de 40 mm e 80 mm de
comprimento. Determine sua inércia rotacional em torno de um eixo perpendicular
localizado (a) no centro do lado maior, (b) no centro do lado menor, e (c) numa das
extremidades.
Capı́tulo 10. Movimento num Cı́rculo
113
Problema 10.1 Um carro de montanha-russa inicialmente a uma altura h acima do
chão começa uma descida ı́ngreme na pista e então entra num loop circular de raio R
cuja parte mais baixa está a uma distância d acima do chão. Ignore o atrito. (a) Qual é a
velocidade do carro quando ele atinge a parte mais baixa do loop? (b) Qual é o módulo
da força normal exercida sobre o carro neste instante? (c) Qual é a velocidade do carro
quando este está a 1/4 dentro do loop? (d) Qual é o módulo da força normal exercida
nesta posição? (e) Qual é a aceleração do carro nesta posição?
Problema 10.2 Uma esfera é colocada dentro de um cone e colocada para se mover
com velocidade constante de 3,00 m/s num cı́rculo horizontal de raio 0,500 m. (a)
Qual é a componente centrı́peta da aceleração da esfera? (b) Qual é a componente
tangencial da aceleração da esfera? (c) Que força age contra a força da gravidade para
manter a esfera se movendo num cı́rculo horizontal? (d) Determine a altura h na qual
a bola está se movendo em relação à parte mais baixa do cone.
Problema 10.3 Um dardo de inércia md é atirado contra um alvo com velocidade vd . O
alvo é um disco uniforme de inércia ma e raio Ra . O alvo está inicialmente rodando na
direção horária com velocidade rotacional ω em torno de um eixo que passa pelo seu
centro e é perpendicular ao seu plano. Assuma que a inércia do dardo está concentrada
na sua ponta. Qual é a velocidade angular do alvo após a colisão se o dardo (a) atinge o
alvo de forma apenas tangente, grudando no alvo, e (b) atinge o alvo de forma normal,
também grudando no alvo?
114
10.7. Problemas
Problema 10.4 Um bloco de inércia m está conectado a uma corda leve que passa por
um disco uniforme também de inércia m. O disco tem raio R e roda em torno de um
eixo que passa pelo seu centro. O lado oposto do bloco está conectado a uma mola de
constante k e comprimento relaxado l presa na base de um plano inclinado que faz
um ângulo θ com a horizontal. O bloco está em repouso com a mola esticada uma
distância d em relação ao seu comprimento relaxado, com o bloco posicionado nesta
posição por uma braçadeira. Quando a braçadeira é desapertada, de forma que o bloco
fica livre para se mover, o bloco desce o plano. Qual é a velocidade do bloco quando
a mola está na metade do seu comprimento relaxado? Ignore o atrito entre o bloco e o
plano inclinado.
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 10.4, Atividade 10.5, Exercı́cio 10.2, Exercı́cio 10.5, Exercı́cio 10.7, Problema 10.4
11. Torque
Agora que descrevemos os princı́pios básicos do movimento de rotação, vamos discutir a causa
das mudanças deste tipo de movimento. Continuando nossa analogia entre os movimentos de
translação e de rotação, vamos introduzir o análogo rotacional de força, chamado de torque. Um torque faz o momento angular de um objeto variar, da mesma força que uma força
faz o momento linear do objeto variar. Vamos também estudar como descrever rotações que
ocorrem em torno de um eixo que não está fixo. Por fim, para completar nossa descrição de
rotações, vamos examinar a rotação em mais de uma dimensão.
Referências para leitura: Halliday (cap. 11) e Bauer (cap. 10).
11.1
Torque
No capı́tulo anterior estudamos como os objetos podem rodar:
as componentes tangenciais das forças fazem o momento angular de um objeto variar. Se você exercer uma força na ponta de
uma roda estacionária numa direção tangencial, a roda começa
a rodar (Figura 11.1).
Quando você exerce uma força sobre um objeto para
coloca-lo em movimento de translação, apenas o módulo e
a direção da força importam: o objeto acelera na direção da
força, e quanto maior for a força maior será a aceleração.
Quando você exerce uma força sobre um objeto para coloca- Figura 11.1: Para fazer uma
lo em rotação, não só a direção e o módulo da força importam roda girar você deve exercer
mas também o ponto no qual você exerce a força determina uma força tangencial ao aro.
quão efetiva esta força é em rodar o objeto.
A razão pela qual a capacidade de uma força em rodar objetos depende do ponto de
aplicação é mais facilmente vista em termos de energia e trabalho. Suponha que você tente
~ para baixo no lado oposto da
levantar uma criança numa gangorra exercendo uma força F
gangorra, como na Figura 11.2(a). Levantar a criança por uma distância vertical ∆y significa aumentar a energia potencial gravitacional do sistema Terra-criança por uma quantidade mg∆y, onde m é a inércia da criança. Este aumento na energia potencial é de115
116
11.1. Torque
vido ao trabalho realizado por você sobre o sistema. Conforme você levanta a criança uma
distância ∆y, seu lado da gangorra desce a mesma quantidade. O trabalho realizado por
você sobre o sistema é igual ao módulo da força vezes o deslocamento causado no ponto
de aplicação da força, ou F∆y. Se a criança começa e termina em repouso, de forma que
não haja mudança na energia cinética do sistema, o trabalho realizado por você sobre o
sistema deve ser igual à mudança na energia potencial do sistema Terra-criança: mg∆y =
F∆y. Logo, vemos que para levantar a criança empurrando do outro lado da gangorra
precisamos fazer uma força de módulo mg, igual a força da gravidade sobre a criança.
Suponha que ao invés de empurrar no
extremo da tábua da gangorra você tente levantar a criança fazendo uma força no meio
entre o pivô da gangorra e a extremidade.
Como a Figura 11.2(b) mostra, neste ponto
a gangorra se move apenas metade do deslocamento original, então para fazer o mesmo
trabalho a força que você deve exercer é
duas vezes maior que na situação anterior.
Quanto mais perto do pivô você empurra,
mais força você precisará fazer para levantar a criança.
Podemos usar o mesmo raciocı́nio para
entender porque a força é mais efetiva
quando está orientada perpendicular à gangorra. Se a força exercida aponta em qualquer outra direção, podemos decompor a
Figura 11.2: A razão pela qual você consegue rodar uma gangorra empurrando para baixo no final força nas componentes paralela e perpendicular à gangorra (Figura 11.2(c)). A compoda tábua.
nente paralela à gangorra somente empurra
a gangorra contra o pivô, e não contribui para qualquer deslocamento angular da gangorra:
no caso extremo que a força está direcionada completamente ao longo da gangorra, nada
~⊥ , faz a gangorra girar.
acontece. Somente a componente perpendicular à gangorra, F
Para encontrar mais precisamente o que
determina a capacidade de rodar de uma
força, considere o bastão da Figura 11.3. O
bastão está suspenso por um pivô posicionado num ponto fora do centro, e o bastão
está livre para rodar em torno deste ponto.
Dois objetos de inércias diferentes m1 e m2
são suspensos nas extremidades do bastão,
mantendo o bastão em equilı́brio. Por simplicidade vamos assumir que a inércia do
bastão é desprezı́vel comparado a m1 e m2 .
As forças exercidas pelos dois objetos na
Figura 11.3 têm a capacidade de rodar o Figura 11.3: Pesos diferentes equilibram o bastão
bastão: o objeto 1 tende a rodar o bastão na que está suspenso fora do centro.
direção anti-horária e o objeto 2 na direção
horária.
117
Capı́tulo 11. Torque
Definição 11.1 (Torque) A capacidade de uma força rodar um objeto em torno de um
eixo é chamado de torque em torno deste eixo. O torque é o análogo rotacional da
força: forças causam aceleração (translacional); torques causam aceleração angular em
torno de um eixo.
O bastão na Figura 11.3 está em equilı́brio porque os torques causados pelas duas forças
são iguais em módulo, mas as rotações que cada torque tendem a causar estão em direções
opostas, de forma que elas se somam a zero. Note que os módulos das duas forças não são
iguais: F1 = m1 g e F2 = m2 g, com m1 , m2 . Do experimento sabemos, contudo, que o bastão
está em equilı́brio quando r1 F1 = r2 F2 . Isto sugere que o torque causado por cada força é
r⊥ F, o produto do módulo da força e a distância perpendicular da força em relação ao eixo
de rotação.
Considere a situação mostrada na Figura
~ é exercida sobre uma
11.4. Uma força F
partı́cula de inércia m que se move numa
trajetória circular de raio r em torno de um
~ tem uma componente que é
pivô. Como F
tangencial à trajetória circular, a partı́cula
acelera. Ou seja, a aceleração angular da
~ causa
partı́cula é diferente de zero porque F
um torque sobre a partı́cula em torno do
pivô. O módulo deste torque, que vamos denotar pela letra grega τ (tau), é dado por
τ ≡ rF sin θ = r⊥ F = rF⊥ ,
(11.1)
~
~ e Figura 11.4: Uma força F é exercida sobre uma
onde θ é o ângulo entre o vetor raio ~r e F
partı́cula que se move num cı́rculo.
onde F⊥ é o módulo da componente tangencial da força: F⊥ = |Ft |. Como o torque é o
produto de uma força por uma distância, ele tem unidades de N·m.
Vamos relacionar este torque com a aceleração tangencial da partı́cula, at (que é perpendicular ao vetor raio ~r). Esta aceleração é dada por
Ft = mat ,
de forma que o troque pode ser escrito como
τ = r(mat ).
O sinal do torque é determinado pelo sinal da aceleração angular que o torque causa. O
~ na Figura 11.4, por exemplo, é positivo porque faz a partı́cula
torque causado pela força F
acelerar na direção positiva de θ (at > 0).
Como a aceleração tangencial está relacionada com a aceleração angular (at = rα), podemos escrever ainda
τ = rm(rα) = mr 2 α = Iα.
A equação 11.1 mostra como o torque causado por uma força exercida sobre uma partı́cula se
relaciona com a aceleração angular da partı́cula. Repare no paralelo entre a 2a lei de Newton
e a equação acima: no lugar de “força igual inércia vezes aceleração” temos “torque é igual à
118
11.1. Torque
inércia rotacional vezes aceleração angular”. O torque é para rotação o que a força é para a
translação, e por isso a equação 11.1 é chamada de equação de movimento rotacional ou 2a lei
de Newton para rotação.
Para encontrar uma expressão similar para objetos extensos, podemos dividir o objeto em
pequenas partı́culas de massa δmn , cada uma localizada a uma distância rn do eixo de rotação
e com velocidade v~n . Se cada partı́cula está sujeita a um torque τn , a soma dos torques sobre
todas as partı́culas é dada por:


X
X
X

2
2
τn =
(δmn rn αn ) = 
δmn rn  α,
n
n
n
onde usamos o fato que todas as partı́culas num objeto rı́gido devem ter a mesma aceleração
angular α. A soma do lado direito é a inércia rotacional I do objeto extenso, e portanto
X
τn = Iα.
(11.2)
n
A soma do lado esquerdo contém todos os torques causados por forças externas (torques
externos). Vemos que a expressão que obtemos para um objeto extenso é idêntica à expressão
que obtemos para uma partı́cula.
Uma outra expressão útil pode ser obtida reconhecendo que a velocidade angular da
partı́cula e a aceleração angular da partı́cula estão relacionadas por α = dω/dt. Substituindo
esta expressão na expressão do torque, temos
X
d
dL
dω
= (Iω) =
.
(11.3)
τext = I
dt
dt
dt
Logo, o torque é a taxa de variação do momento angular, da mesma forma que a força é a
taxa de variação do momento linear. A equação acima mostra que se a soma dos torques
causados por forças externas exercidas sobre um objeto é zero, então o momento angular do
objeto não muda:
X
dL
τext =
= 0 −→ ∆L = 0.
dt
Quando a soma dos torques causados por forças externas exercidas sobre um objeto é zero
- em outras palavras, quando o momento angular é constante - o objeto está em equilı́brio
rotacional. No capı́tulo 7 aprendemos que um objeto está em equilı́brio translacional quando
seu momento linear é constante e esta condição é atendida quando a soma vetorial das forças
externas exercidas sobre o objeto é zero. Agora podemos expandir esta noção para incluir o
momento angular, que se mantém constante quando a soma dos torques causados por forças
externas exercidas sobre o objeto é zero. Um objeto que está em equilı́brio translacional e
rotacional está em equilı́brio mecânico:
X
X
~ext = ~0.
τext = 0 e
F
(11.4)
Para um sistema que não está em equilibrio rotacional, temos que
∆L = Jθ ,
(11.5)
onde Jθ representa a transferência de momento angular da vizinhança para o sistema. A
quantidade Jθ é chamada de impulso rotacional entregue ao sistema. Como a equação de
conservação de momento linear e da energia, a equação 11.5 é chamada de lei do momento
angular e engloba a conservação de momento angular.
Capı́tulo 11. Torque
11.2
119
Rotação livre
Até o momento consideramos apenas rotações em torno de um eixo fixo, que limita o objeto
a rodar em torno deste eixo e não deixa o objeto se mover para longe deste eixo. Mas os
objetos não precisam de um eixo fı́sico para rodar. Coloque um lápis sobre sua mesa e dê
um peteleco numa das suas extremidades. O lápis vai se mover para longe da sua mão
executando um movimento de rotação. A rotação de objetos que não estão presos por um
eixo fı́sico é chamada de rotação livre.
A Figura 11.5 mostra o movimento
de uma chave inglesa logo após ter sido
lançada para cima, como mostrado na parte
de baixo da figura. Conforme a chave se
move para cima ela executa uma rotação livre. A foto estroboscópica na Figura 11.5
nos permite analisar este movimento. Como
você pode ver, a trajetória da extremidade
da chave não é nem linear nem circular.
Note, contudo, que o movimento do ponto
branco na chave é simples: o ponto se move
para cima.
No capı́tulo 7 mostramos que quando
forças externas são exercidas sobre partı́culas
num sistema de muitas partı́culas, o centro de massa do sistema se move como se
todas as partı́culas do sistema estivessem
concentradas no centro de massa e todas
as forças externas fossem exercidas neste
ponto. Esta afirmação é um resultado direto
da conservação de momento e da definição
do centro de massa. A chave inglesa, que
consiste de vários átomos, é um sistema
de muitas partı́culas, e conforme ela se
move para cima, a Terra exerce uma força
gravitacional para baixo sobre cada átomo
da chave. O resultado que obtivemos no
capı́tulo 7 afirma que o centro de massa
da chave deve se mover para cima como
se fosse uma partı́cula se movendo sob influência da gravidade. De fato, se você examinar com cuidado o espaçamento dos ponFigura 11.5: Movimento de uma chave inglesa tos na Figura 11.5, você pode ver que o
lançada para cima.
espaço diminui. Isto diz que o ponto desacelera conforme se move para cima. Análise
quantitativa do movimento do ponto mostra que o módulo da aceleração do ponto para baixo
é exatamente g - isto é, igual a de um objeto lançado sem rotação.
Logo, o ponto branco na chave inglesa é o centro de massa da chave, e os outros pontos
da chave rodam em torno dele. O centro de massa está em movimento translacional com
aceleração constante e não pode rodar. Isto é verdade de forma geral: objetos que estão
120
11.3. Extensão dos diagramas de corpo livre
rodando sem vı́nculos sempre rodam em torno do centro de massa. Esta frase mostra quão
poderoso é o conceito de centro de massa. Ele nos permite quebrar um movimento complexo
de rotação livre de uma chave inglesa em duas partes: o movimento translacional do centro
de massa e o movimento de rotação da chave em torno do centro de massa. Esta separação
simplifica a análise do movimento porque podemos tratar cada parte separadamente com as
ferramentas que já desenvolvemos.
11.3
Extensão dos diagramas de corpo livre
Em aulas anteriores foi apresentado um procedimento para desenhar diagramas de corpo
livre. Estes diagramas ajudam a determinar a soma vetorial das forças em um objeto, que
por sua vez determinam o movimento do seu centro de massa. No entanto tais diagramas não
ajudam a entender a rotação do objeto. Para descrever rotações, nós precisamos determinar
quais torques são causados pelas forças que agem no objeto, e portanto precisamos conhecer
o braço de cada força, informação que não consta no diagrama de corpo livre. Precisamos
portanto desenvolver um novo diagrama que mostre não somente as forças, mas também
a localização do ponto de aplicação de cada força referente a um ponto de referência. A
estes diagramas chamamos de diagrama estendido de corpo livre. O procedimento pode
ser descrito através dos seguintes passos:
1. faça o diagrama de corpo livre do objeto
2. desenhe uma seção do objeto no plano de rotação (o plano perpendicular ao eixo de
rotação)
3. escolha um ponto de referência. Se o objeto está em movimento de rotação em torno
de um ponto fixo, escolha este ponto. Se o objeto está rodando livremente, escolha o
centro de massa. Se o objeto não está rodando, você pode escolher qualquer ponto.
4. desenhe vetores que representam as forças que atuam no objeto. Localize a ponta da
flecha indicativa de cada força no ponto onde a força é exercida no objeto.
5. indique a aceleração angular no diagrama.
Exemplo: Você está segurando uma bola na palma de sua mão, como mostrado na figura
11.6. Os ossos de seu antebraço agem como um eixo fixo de rotação no cotovelo. Os ossos são
mantidos parados pela ação do músculo bı́ceps, que forma um ângulo de 15o com a vertical.
Na figura 11.6 à direita é apresentado o diagrama de corpo livre (a), com a força gravitacional
~ G , a força de contato da bola em sua mão F
~ c , a força de contato
que age no seu antebraço F
ef
bf
c
~
~c .
entre os ossos do antebraço e do braço F e a força que o bı́ceps exerce no antebraço F
hf
mf
Para que tenhamos equilı́brio transacional é necessário que a soma vetorial de todas estas
~ c foram desenhados de forma a garantir
forças seja nula, e portanto a direção e módulo de F
hf
tal soma nula.
Agora, partindo para o diagrama de corpo livre estendido, temos que escolher um ponto
de rotação a partir do qual localizamos os pontos de aplicação das forças. Como o corpo está
parado, podemos escolher qualquer ponto como eixo de rotação. É conveniente localizar tal
eixo no ponto de contato entre o braço e o antebraço, pois com esta escolha o torque da força
~ c , da qual não conhecemos a princı́pio nem sua magnitude ou direção, é nulo.
de contato F
hf
121
Capı́tulo 11. Torque
Figura 11.6: Exemplo do diagrama de corpo livre estendido para o caso de uma mão segurando uma bola.
Na figura 11.6 é apresentado o diagrama de corpo livre estendido. Como dito, o torque
~ c é nulo, e escolhendo como positivo uma rotação no sentido anti-horário, a
associado à F
hf
c
~ c em um torque negativo. A
~
~G e F
força F resulta em um torque positivo, e as forças F
mf
Ef
bf
soma destes torques deve ser nulo.
A informação contida no diagrama de corpo livre está toda presente no diagrama de
corpo livre estendido. Porém até que se desenvolva uma certa prática, é recomendável fazer
os dois diagramas para resolver um problema. O primeiro fornece de maneira mais clara
a força resultante que age no sistema, e portanto permite calcular o movimento do centro
de massa. Porém somente o diagrama de corpo livre estendido fornece informações sobre a
dinâmica de rotação do seu sistema.
11.4
Movimento de rolamento
As rotações que consideramos até o momento caem em duas classes: rotações em torno de
um eixo fixo e rotações livres. Forças exercidas sobre objetos que estão restritos a rodar em
torno de um eixo fixo causam movimento rotacional somente porque o eixo não permite
nenhum movimento translacional. Forças exercidas sobre objetos com rotação livre causam
tanto movimento translacional do centro de massa e rotação em torno deste ponto. Estes
dois movimentos são independentes um do outro. Quando você joga um frisbee, por exemplo,
sua velocidade translacional vcm é independente da sua velocidade angular ω. O frisbee
pode ter qualquer combinação de velocidade translacional e de rotação: você pode jogar o
frisbee de forma a girar rápido e translacionalmente se mover devagar, ou girar devagar e
com velocidade translacional alta.
O movimento de rolamento de uma roda ou uma bola representa um caso intermediário
entre as rotações fixas e as rotações livres porque o rolamento coloca um vı́nculo na relação
entre os movimentos de translação e de rotação. Além disso, uma roda ou bola rolando
sempre roda em torno do seu centro geométrico. Vamos restringir nossa discussão a objetos
simétricos no qual o centro de massa é o centro geométrico.
Considere a roda de raio R rolando em torno de uma linha reta numa superfı́cie plana
como na Figura 11.7. Para descrever este movimento de rotação precisamos escolher tanto a
direção de rotação e a direção do eixo x. Usualmente é aconselhável escolher estas direções
de forma que uma mudança positiva em θ corresponda a uma mudança positiva em x, como
mostrado na Figura 11.7. Se a rola não desliza, seu centro avança uma distância igual à sua
122
11.4. Movimento de rolamento
circunferência, 2πR, durante uma revolução completa. Como o deslocamento angular da
roda numa revolução completa é 2π, o deslocamento do centro de massa ∆xcm causado pelo
rolamento está relacionado com o deslocamento angular:
∆xcm = R∆θ.
(11.6)
Figura 11.7: Quando um objeto rola sem deslizar, seus movimentos de rotação e translação
estão acoplados.
Note que esta expressão é válida para qualquer deslocamento. Dividindo ambos os lados
pelo intervalo de tempo ∆t e tomando o limite ∆t → 0 em ambos os lados nos leva a:
vcm,x = Rωθ .
(11.7)
Esta equação expressa a condição para o movimento de rolamento sem deslizamento. Ao
acoplar as velocidades de translação e de rotação, esta condição impõe um vı́nculo sobre o
movimento de qualquer objeto que rola sem deslizar. Diferentemente de um frisbee, cuja
velocidade translacional é independente da velocidade angular, a velocidade de um carro
em movimento é proporcional à velocidade angular das suas rodas.
A equação 11.7 relembra a equação 10.1 de um objeto em movimento circular do capı́tulo
anterior (vt = rωθ ). No entanto, estas equações significam coisas totalmente diferentes. A
equação 11.7 descreve o movimento de translação de uma roda no sistema de referência da
Terra, enquanto a equação 10.1 dá a velocidade tangencial de qualquer ponto numa roda
girando num sistema de referência se movendo com o centro de massa da roda. A velocidade de um ponto na roda no sistema de referência da Terra é obtida somando estas duas
velocidades, como mostrado na Figura 11.8. Um ponto na extremidade da roda se move com
uma velocidade mudando continuamente ao longo de sua trajetória. Note em particular que
quando um ponto na extremidade está em contato com a superfı́cie sobre a qual a roda rola,
este ponto tem velocidade instantânea zero. Este resultado é uma consequência direta da
imposição de que o objeto rola sem deslizar: a velocidade relativa de duas superfı́cies em
contato deve ser zero para que não haja deslizamento.
Vamos analisar a dinâmica do movimento de rolamento. Considere um objeto redondo
de inércia m e raio R liberado a partir do repouso numa rampa como mostrado na Figura
11.9(a). Por que o objeto rola para baixo no lugar de deslizar, como faria um bloco de madeira? A razão é que a força de atrito estática, que força o ponto de contato a não ter movimento, causa um torque em torno do centro do objeto. Para entender o movimento do objeto,
devemos encontrar a soma vetorial das forças exercidas sobre ele e a soma dos torques causados por estas forças. A Figura 11.9(b) mostra o diagrama do corpo livre para o objeto, que
está sujeito a duas forças: a força da gravidade e a força de contato exercida pela rampa, que
123
Capı́tulo 11. Torque
Figura 11.8: Trajetória de um ponto na extremidade de uma roda rolando. Tal trajetória é
chamada de ciclóide.
Figura 11.9: Um objeto redondo rola para baixo de uma rampa.
n na direção y e a componente tangencial F
s na direção x
~ro
~ro
tem uma componente normal F
devido ao atrito estático. Como fizemos em todos os problemas anteriores envolvendo rampas, escolhemos o eixo x na direção da rampa. Para que o objeto acelere para baixo, a soma
vetorial das forças devem apontar na direção positiva de x, de forma que
X
G
n
Fy = FEo,y
− Fro
=0
e
X
G
s
Fx = FEo,x
− Fro
>0
A soma vetorial das forças e a aceleração do centro de massa estão relacionadas por
X
G
s
s
Fx = FEo,x
− Fro
= mg sin θ − Fro
= macm,x .
(11.8)
s ea
Esta equação contém duas incógnitas: o módulo da força de atrito estática Fro
cm,x . Tudo
s
s )
que sabemos sobre Fro é que ela deve ser menor ou igual ao seu valor máximo, (Fro
max ,
mas este fato não nos ajuda a resolver a equação acima. Vamos então olhar o diagrama do
corpo livre estendido como mostrado na Figura 11.9(c), que mostra o objeto com as forças
exercidas nos seus pontos de aplicação. Como o objeto gira em torno do centro de massa,
n causam um
~ G nem F
~ro
vamos determinar os torques em relação ao centro de massa. Nem F
Eo
torque porque suas linhas de ação passam pelo centro de massa, e portanto a distância do
s causa um torque, pois esta força é aplicada a uma
~ro
braço para estas forças é zero. Somente F
distância R do centro de massa do objeto. Logo, a equação 11.1 nos dá
X
s
τext = +Fro
R = Iα,
(11.9)
onde I é a inércia rotacional do objeto e α é a sua aceleração angular. Como o objeto está
rolando sem deslizar, seus movimentos de translação e rotação estão acoplados, e portanto
124
11.5. Torque e energia
as acelerações do centro de massa e rotacional devem estar relacionadas. Diferenciando os
dois lados da relação das velocidades (vcm,x = Rωθ ) em relação ao tempo, temos
acm,x = Rα.
s ,
Substituindo a equação acima nas expressões do torque e da força, e resolvendo para Fro
encontramos:
I
s
Fro
= 2 acm,x ,
R
que nos leva a
g sin θ
g sin θ
=+
acm,x = +
,
I
1+c
1+ 2
mR
onde c ≡ I/mR2 é o fator de forma do objeto (0 < c ≤ 1). O numerador na equação acima é a
aceleração do objeto deslizando uma rampa com atrito desprezı́vel. O denominador mostra
pro qual fator a aceleração é reduzida para o movimento de rolamento.
s . Substi~ro
Podemos também encontrar uma expressão para a força de atrito estático, F
tuindo acm,x da equação acima obtemos
s
Fro
=
mg sin θ
I
acm,x =
.
2
R
1 + 1c
Note que a força de atrito estática tem um papel dual. Ela diminui a velocidade e a aceleração
do centro de massa do objeto rolando reduzindo o módulo da soma vetorial das forças exerP
G
s . Mas ela também causa o torque que acelera a rotação
cidas sobre o objeto: Fx = FEo,x
− Fro
do objeto. Na ausência de atrito estático, não haveria nenhum torque e os objetos nunca
rolariam - eles só deslizariam!
11.5
Torque e energia
Torques vazem os objetos acelerarem angularmente e portanto
causa uma mudança na sua energia cinética rotacional. Para
calcular esta mudança na energia, considere o objeto mostrado
~ é exercida no ponto P sobre o obna Figura 11.10. Uma força F
jeto, a uma distância r do eixo de rotação. Deixe esta força ser
tal que o módulo de sua componente perpendicular a r permanece constante quando o objeto roda. Esta componente causa
um torque constante τ = +rF⊥ em torno do eixo. Aplicando a Figura 11.10: Um objeto
regra da cadeia para a equação de movimento de rotação
rı́gido sujeito a um torque
constante causado por uma
X
dω dθ
dω
dω
~ exercida sobre ele soforça F
=I
= Iω
.
τext = Iα = I
dt
dθ dt
dθ
fre um deslocamento angular
∆θ.
ou
X
τext dθ = Iωdω.
Integrando o lado esquerdo da equação:
Z θf X
Z θf
X
X
(
τext )dθ = (
τext )
dθ = (
τext )∆θ.
θi
θi
125
Capı́tulo 11. Torque
Integrando o lado direito da equação:
Z ωf
Z ωf
ωf
1
1
1
Iωdω = I
ωdω = I ω2
= Iωf2 − Iωi2 .
2
2
2
ωi
ωi
ωi
Logo, podemos concluir que a variação na energia cinética de rotação, ∆Krot ≡ Krot,f − Krot,i ,
é dada por
X
∆Krot =
τext ∆θ.
(11.10)
Esta equação afirma que a variação na energia cinética de rotação de um objeto é igual ao
produto da soma dos torques sobre o objeto pelo deslocamento angular do objeto. Note
novamente a analogia com a relação que obtivemos para o centro de massa no capı́tulo 8, que
relacionava a mudança na energia cinética do centro de massa de um objeto com o produto
da soma vetorial das forças exercidas sobre o objeto pelo deslocamento do objeto:
X
∆Kcm =
Fext ∆xcm .
A energia cinética de um objeto ou sistema que tem movimento tanto translacional quanto
rotacional é igual à soma das energias cinéticas de rotação e do centro de massa,
1 2
1
K = Kcm + Krot = mvcm
+ Iω2 .
2
2
11.6
(11.11)
A natureza vetorial da rotação
Até o momento tratamos todas as grandezas rotacionais como se fossem escalares. Mas as
rotações têm direções, e o eixo de rotação tem uma orientação definida no espaço. Para
rotações num plano, o sinal algébrico é suficiente para indicar a direção de rotação da mesma
forma que um sinal algébrico indica a direção no movimento unidimensional.
Para rotações em 3 dimensões, o sinal
algébrico não é suficiente para determinar
a direção de rotação. Considere, por exemplo, os dois discos girantes na Figura 11.11.
Se você olhar a partir do ângulo na Figura
11.11(a), você pode dizer que o disco A gira
no sentido anti-horário e o disco B no sentido horário. Mas visto por baixo, como na
Figura 11.11(b), o disco A gira no sentido
horário e a rotação do disco B, agora vista
Figura 11.11: Para rotações em 3 dimensões,
de lado, não é nem no sentido horário nem
não é possı́vel especificar a direção da rotação
no anti-horário. Em três dimensões os terapenas com o sinal algébrico ou com os termos
mos horário e anti-horário não são suficientes
horário e anti-horário.
para especificar a direção de uma rotação,
assim como positivo e negativo não são suficientes para especificar o vetor deslocamento em
mais de uma dimensão.
Os vetores ~r, v~ e ~
a de um objeto em movimento circular com velocidade constante estão
todos no plano de rotação. Suas direções mudam a todo instante, e porque todas as direções
no plano são equivalentes, não faz sentido associar um vetor neste plano com a rotação.
A direção do eixo de rotação, uma direção na qual os vetores ~r, v~ e ~
a nunca apontam, é a
126
11.7. O produto vetorial
única direção associada com a rotação que se mantém constante. Nós podemos especificar a
orientação do eixo de rotação por um vetor. Dado este vetor, você sabe a orientação do plano
na qual a rotação acontece.
Se nós usarmos um vetor para especificar a orientação do eixo de rotação no espaço,
podemos usar duas direções possı́veis ao longo deste eixo para representar as duas possı́veis
direções de rotação em torno do eixo. A convenção para associar um vetor ao longo do eixo
de rotação com a direção de rotação é chamada de regra da mão direita:
Definição 11.2 (Regra da mão direita) Quando você gira seus dedos da sua mão direita
na direção de rotação, seu polegar aponta na direção do vetor que especifica a direção
de rotação.
A partir desta regra podemos especificar
a direção de qualquer rotação e a orientação
do eixo em torno do qual a rotação acontece com um vetor e evitar a ambiguidade
dos termos horário e anti-horário. Por exemplo, para o caso dos dois discos da Figura
11.11 a regra da mão direita nos fornece as
direções dadas pelos dois vetores azuis na
Figura 11.12. A vantagem dos vetores é que
nós podemos especifica-los dando as componentes x, y e z. O vetor representando a
rotação do disco A aponta na direção positiva de z, e portanto tem a forma (0, 0, +A).
O vetor representando a rotação do disco
Figura 11.12: Aplicação da regra da mão di- B tem a forma (0, −B, 0), onde A e B são
reita para o caso dos discos girantes da Figura números positivos.
11.11.
Note que o vetor associado com uma
rotação sempre está ao longo do eixo da
rotação. Se você inverter a direção da rotação, o vetor aponta na direção oposta ao longo
do eixo. Por exemplo, se o disco A na Figura 11.12 estivesse rodando na direção oposta da
direção ilustrada, seu polegar apontaria na direção negativa de z, oposta à direção mostrada
na Figura.
Independente do ângulo de observação, a regra da mão direita sempre fornece a mesma
direção para uma dada rotação. A regra da mão direita pode ser usada não só para determinar a direção de um vetor representando uma rotação mas também do jeito inverso. Dado
um vetor, podemos usar a regra da mão direita para determinar a rotação correspondente.
11.7
O produto vetorial
Para completar nosso tratamento de rotações,
precisamos examinar o caráter vetorial de
suas componentes. Como vimos, as quantidades velocidade angular, momento angular, aceleração angular e torque, todos podem ser descritos como vetores.
127
Capı́tulo 11. Torque
Considerando por exemplo a fig. 11.13,
~ aumenta a velocidade de rotação
a força F
ω,
~ e portanto ∆ω
~ aponta na direção do eixo
de rotação. Consequentemente, também α
~e
τ~ apontam nesta direção.
A magnitude to torque é rF sin θ, onde
~ Para lidar com a
θ é o ângulo entre ~r e F.
natureza vetorial do torque, devemos introduzir uma nova operação vetorial, uma que
gere um novo vetor. No nosso caso, um pro~ deve gerar um vetor de magduto entre ~r e F
nitude rF sin θ e cuja direção é indicada na
figura 11.7. Tal produto é chamado de pro~ com
duto vetorial. O produto vetorial de A
~ × B,
~ é escrito como A
~ tem magnitude:
B
~ × B|
~ = AB sin θ
|A
~eB
~ quando são posicionados unindo seus inı́cios. Quando você
onde θ é o ângulo entre A
~ e os curva na direção de B,
~ seu polegar
aponta seus dedos da mão direita na direção de A
aponta na direção do produto vetorial.
Uma interpretação geométrica é que o módulo do produto vetorial é igual ao paralelograma definido por eles. Com essas definições, pode-se constatar que:
~×A
~=0 ; A
~×B
~
~ = −B
~ ×A
A
O torque pode ser escrito então como:
~
τ~ = ~r × F
Como o torque é a derivada temporal do momento angular, podemos escrever para
partı́culas com momento p
~ e localizada a na posição ~r em relação a um eixo de rotação:
τ~ =
p d(~r × p
~)
d~L
~ = ~r × d~
= ~r × F
=
dt
dt
dt
128
11.7. O produto vetorial
Figura 11.14: Tabela comparativa entre dinâmica translacional e rotacional
onde a última passagem é permitida uma vez que:
d~r
×p
~=0
dt
Portanto, podemos identificar:
~L = ~r × p
~
A tabela 11.14 resume os resultados apresentados aqui e destaca o paralelo que podemos
fazer entre a dinâmica translacional e a dinâmica rotacional.
Capı́tulo 11. Torque
11.8
129
Problemas
Atividade 11.1 Uma barra fina de comprimento l e inércia desprezı́vel conecta dois
blocos A e B que têm inércias 4m e m, respectivamente. Quando todo o sistema é colocado para girar sem movimento translacional, cada bloco faz um movimento circular
no espaço com circunferências CA e CB . Determine a razão CA /CB .
Atividade 11.2 Uma haste uniforme de 1,5 m de comprimento é utilizada para manter
dois baldes de tinta, cada um de inércia m, em equilı́brio. Cada balde ocupa um dos
extremos da haste. (a) Onde o pivô deve estar localizado? (b) Se removermos tinta de
um dos baldes até sua inércia ficar m/4, onde o pivô deve ser reposicionado a fim de
manter a haste em equilı́brio? Ignore a inércia da haste.
Atividade 11.3 Uma mesa giratória de 0,20 kg e raio 0,20 m gira em torno de um
eixo vertical que passa pelo seu centro. Uma aceleração angular constante faz a mesa
acelerar de 0 a 28 revoluções por segundo em 8,0 s. Calcule (a) a aceleração angular e
(b) o torque necessário para causar esta aceleração.
Atividade 11.4 Um cilindro sólido de 2,0 kg e raio 0,45 m rola para baixo sem des-
lizar uma rampa inclinada de um ângulo de 60o em relação à vertical. Calcule (a) a
aceleração do centro de massa do cilindro, (b) a aceleração angular do cilindro, e (c) o
intervalo de tempo necessário para o cilindro descer 35 m na rampa se ele começa do
repouso. (d) Qual é a velocidade angular do cilindro no final do intervalo de tempo do
item anterior?
Atividade 11.5 Um cilindro sólido de 50 kg tem um raio de 0,10 m. Qual é o mı́nimo
trabalho necessário para fazer o cilindro rolar sem deslizar com uma velocidade angular de 20 s−1 ?
Exercı́cio 11.1 Um sistema consiste de duas bolas A e B conectadas por uma haste fina
de inércia desprezı́vel. A bola A tem três vezes a inércia da bola B e a distância entre
as duas bolas é l. Se o sistema tem uma velocidade translacional de v na direção x e
está rodando na direção anti-horária com uma velocidade angular ω = 2v/l, determine
a razão das velocidades instantâneas das duas bolas, vA /vB , quando A está na parte de
baixo e B está no topo da rotação.
Exercı́cio 11.2 Uma criança de 44 kg corre a 3,0 m/s tangente a um carrossel de parque
de diversões de 180 kg que tem um raio de 1,2 m. A criança pula sobre o carrossel,
inicialmente parado, e se segura num dos brinquedos, fazendo com que o carrossel
comece a rodar. Determine a velocidade angular do carrossel.
130
11.8. Problemas
Exercı́cio 11.3 Duas bolas de mesmo raio e mesma inércia rolam para baixo num
plano inclinado a partir do repouso. Uma bola é oca, e a outra é sólida. Qual é a razão
dos intervalos de tempo que as duas bolas precisam para atingir a parte mais baixa do
plano inclinado?
Exercı́cio 11.4 Na máquina de Atwood da figura abaixo, a polia tem raio 0,10 m e
inércia rotacional de 0,15 kg·m2 . Calcule (a) a aceleração dos blocos, (b) a tensão na
corda da esquerda, e (c) a tensão na corda da direita. Ignore a inércia da corda.
Exercı́cio 11.5 Uma esfera de inércia m é colocada numa tigela semiesférica como
mostrado na figura abaixo, e então liberada. A esfera rola sem deslizar. A posição
inicial da esfera é tal que uma linha imaginária desenhada da esfera até o centro de
curvatura da tigela faz um ângulo de 30o com a vertical. O raio da esfera é Re = 10
mm, e o raio da tigela é Rt = 100 mm. Determine a velocidade angular da esfera em
torno do seu centro de massa quando a esfera toca a parte de baixo da tigela.
Problema 11.1 O disco A na figura abaixo, com raio RA e espessura h, está inicial-
mente rodando na direção horária, como visto de cima, a ωi /2. O disco B, feito do
mesmo material de A, tem raio RB = RA /2 e espessura h, e está inicialmente rodando
na direção anti-horária com velocidade ωi . Os dois discos estão restritos a rodar em
torno do mesmo eixo, que passa pelo centro de ambos os discos. Há atrito entre os
discos, de forma que quando B começa a girar e descer até tocar no disco A, eles giram
com a mesma velocidade angular. (a) Qual é a velocidade angular final dos dois discos?
(b) Se a força de atrito é a única força que faz o sistema perder energia, qual é a fração
da energia cinética do sistema que é perdida?
Capı́tulo 11. Torque
131
Problema 11.2 Um bloco de inércia m está sobre uma superfı́cie lisa como na figura
abaixo. Uma corda leve é conectada ao bloco e passada sobre uma polia de inércia 3m e
raio R. Uma bola de massa m é presa na outra extremidade da corda. (a) Se a corda não
desliza sobre a polia, determine o módulo da aceleração do bloco. (b) Se você retira a
bola e puxa a corda com uma força de módulo mg, qual é o módulo da aceleração do
bloco?
Problema 11.3 Você empurra um cubo de inércia m e aresta d de forma que ele des-
liza sobre uma mesa lisa com velocidade vi . O cubo então bate num pino no final da
mesa. Após atingir o pino, o cubo começa a rodar em torno do pino. (a) Mostre que o
módulo do momento angular do cubo em torno do pino antes da colisão é L = mdvi /2.
(b) Explique porque o momento angular ainda tem esse mesmo valor no instante da
colisão, antes do cubo ter tido tempo de rodar. (c) Qual é a aceleração angular do cubo
no instante após bater no pino? (d) Qual é a velocidade máxima que o cubo pode ter
de forma a não cair da mesa por sobre o pino.
132
11.8. Problemas
Lista de problemas escolhidos para aula exploratória:
Atividade 11.4, Exercı́cio 11.2, Exercı́cio 11.4, Problema 11.1, Problema 11.2
A. Respostas dos Problemas
Aula 1
Atividades
1.1 1 × 104 m2 /habitante
1.2
1.3 (a) 161 km; (b) 38 m/s = 85 mi/h > 75 mi/h. Portanto, o motorista está excedendo o
limite de velocidade
1.4 w = 1, 6 × 102
Exercı́cios
1.1 107 m−2
1.2 n = −1, m = 2
1.3 8, 62 × 1013
h i
L
1.4 (a) [A] = TL3 , [B] = TL ; (b) dx
dt = T
Problemas
1.1
1.2 Resposta depende dos valores estimados para o número de pessoas na cidade de
Campinas, o número de visitas ao dentista por pessoa e o tempo de cada consulta.
Aula 2
Atividades
2.1 (a) e (d)
133
134
2.2
2.3 (a) −2, 4 m/s; (b) −3, 8 m/s; (c) 4,0 s
2.4 1, 9 × 108 anos atrás
2.5 (a) Do primeiro ponto ao quinto ponto; (b) Do quinto ponto ao nono ponto; (c) As
respostas seriam as mesmas porque os pontos seriam designados “primeiro” até o “nono”
começando da extrema direita da sequência, ao invés da extrema esquerda.
Exercı́cios
2.1 (a) x(t = 2, 00s) = 16, 0 m; (b) x(t = 2, 00 + ∆t) = (16, 0 + 16, 0 · ∆t + 4(∆t)2 ) m; (c)
limDeltat→0 ∆x
∆t = 16, 0 m/s
2.2
2.3
2.4 (a) v(t = 4, 0s) = 20 m/s, v(t = 14, 0s) = 12 m/s; (b) 230 m.
Problemas
2.1
2.2
Aula 3
Atividades
3.1
3.2 (a) ∆vA = e ∆vB = ; (b) O objeto que tem menor variação de velocidade, ou seja, mB ;
(c) mA /mB = 2, 5
3.3 (a) Não, o número de passageiros muda quando as pessoas entram ou saem a cada
parada do ônibus. Em princı́pio, pessoas também podem nascer ou morrer no ônibus; (b)
Extensiva; (c) Não.
3.4
3.5
Exercı́cios
3.1
mb
3.2 (a) (b) (c) vm,f = m
vb,i − vb,f
m
3.3
3.4
3.5
Apêndice A. Respostas dos Problemas
135
Problemas
3.1
3.2
3.3
Aula 4
Atividades
4.1 (a) 3,0 m/s na direção negativa de x; (b) 4,0 m/s na direção positiva de x
4.2
4.3
Exercı́cios
2d/c
2d
4.1 (a) 1−v
2 /c2 ; (b) c (c) A viagem em água fluindo tem maior intervalo de tempo. O
nadador nada na corrente para cima por um intervalo de tempo mais longo, de modo que
sua velocidade média é reduzida para menos de c. Matematicamente, 1/(1 − v 2 /c2 é sempre
maior que 1. No extremo, conforme v → c, o intervalo de tempo torna-se infinito. Neste caso,
o estudante nunca pode retornar ao ponto de partida porque não consegue nadar rápido o
suficiente para superar a corrente do rio.
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Problemas
4.1
4.1
Aula 5
Atividades
5.1 a)a2 = 30/25 = 1, 2 m/s2 para a direita; b) o mesmo.
p
5.2 a)x = (mv 2 /2)/a = 0.56 m; b) não;
5.3 9.4%
136
Exercı́cios
5.1 1, 80 m/s2 , para a direita
5.2 = K/E = 66%
5.3 a) ∆K = mv 2 /2 = 7.6 × 109 J; b) ∆U = mgh = 2.2 × 1010 J
5.4 |pb | = 15kg.m/s = |pj1 | = |pj2 | → vj1 = 15/90 = 0.167m/s ; vj2 = 15/81 = 0.185kg.m/s
5.5 a) 0.35 × mgh = 3.675 J;pb) 0.35 × 0.653 × mgh = 1.009 J; c) energia térmica
5.6 mv 2 /2 = mgl/2 → v = gl
Problemas
5.1 (a) 0,59 J; (b) v0,36kg,f = 1, 1 m/s para a esquerda, v0,12kg,f = 3, 0 m/s para a direita
2 τ(1 − e−t/τ )2 = 1 − e−t/(5.68 s) 1276 W
5.2 dE
=
−mg
dt
q
q
7 2 E
7 2 E
v
−
v
+
para
a
direita,
v
=
+
−
v
+
5.3 v1kg,f = − 2v
2kg,f
3
9
2
3
9
2 para a direita
Aula 7
Atividades
7.1
7.2
7.3
Exercı́cios
7.1 Em módulo: TA = TB = mg. TD = 34 mg. TC = 2mg. TA = TB < TD < TC
7.2 sentido positivo: para baixo. g = +9.8 m/s2 a) Normal no estudante: -588 N. balança:
588 N. b) Normal no estudante: -708 N. balança: 708 N. c) Normal no estudante: 468 N.
balança: -468 N.
mg
7.3 a) zero; b) a = m+M
7.4 a) Fres = 30m(1 − 4t). b) Fres ¿ 0: t < 41 s. Fres < 0 : t > 14 s. Fres = 0 : t = 41 s.
√ =. Lembrando que o sinal da velocidade inverte. b) F = 3.81 · 102 N .
7.5 a) v = −3.3
2
7.6 a) aCM = 0. b) FC = 1200N e FT = −1200N . c) aT = −0.80m/s2 .
7.7 a) K = 261.3 N/m. b) K1 = 392N /m. c) K2 = 784N /m.
7.8 a)Fres = (M + m1 + m2 + m3 )a. b) Fm3 = m3 a. c) FM = (m1 + m2 + m3 )a.
Problemas
7.1 a) v = 0.11 m/s. b) t=4.3s,
7.2 a) K = 542.25 N/m. b) ma = 2.75kg. c) a = 2.1m/s2 .
Apêndice A. Respostas dos Problemas
137
Aula 8
Atividades
8.1 a) b ≤ t ≤ c e d ≤ t ≤ e; b) a ≤ t ≤ b, c ≤ t ≤ d e e ≤ t ≤ f ; c) f ≤ t ≤ g;
8.2 (a) Sim, ha trabalho sobre o sistema. Sobre a bola atuam duas forças externas, a força
exercida pela pessoa e pela terra. Cada uma dessas forças realiza trabalho, sendo Wp > 0 e
WT < 0.
(b) A variação da energia potencial gravitacional referente à configuração terra-bola é nula,
pois a terra não faz parte do sistema.
(c) Sim, há trabalho, e deve-se à força externa exercida pela pessoa sobre a bola. Wp > 0 e
WT = 0.
(d) Durante o levantamento a distância terra-bola aumenta, portanto a energia potencial do
sistema também aumenta.
8.3 -39.2 J.
8.4 a) Fm = −m(v0 2 /2∆xcm ) = −2.5 × 104 N; b) W = 0; c) ∆K = −Fm ∆xcm = −1.3 × 104 J
8.5 P = -62.5 W
Exercı́cios
c temos F c = 1 mg. b) ambos realizam o
8.1 a) 3T − mg = 0 ⇒ T = 13 mg, como T = Fpr
pr
3
mesmo trabalho
8.2 a) W = F.∆x
q = 0.3J; b) ∆xCM = 0.075m ou 75mm. c) ∆KCM = 0.15J.
8.3 a) vb,i = 19.2
mb ; b) vb,i = 6.19m/s .
8.4
8.5 ∆t = 111.4 s
Problemas
q
8.1 a) v =
k
kd 2
m d; b) h= 2mg
8.2 a) F = W /d = ∆K/d = mv 2 /18d; b) Ebala /EBloco = 7
Aula 9
Atividades
9.1 a) A trajetória vista de dentro do trem seria uma linha reta (trem com v = const. ⇒
referencial inercial.) b) Não, pois o trem em movimento acelerado não é mais um referencial
inercial.
√
~+B
~ + B|
~ = 1.0î + 4.0jˆ b) |A
~ = 17 = 4.1
9.2 a) A
9.3 Na primeira situação o projétil ira errar o centro do alvo por uma distância de ≈
0.11m. segunda pergunta: mesmo resultado.
9.4 (a) W=−300 J, (b) θ = 167◦
138
9.5 µe = 0.4 e µc = 0.2
Exercı́cios
9.1 θ = 71, 570 , Catetos: a = 450km, b = 150km
9.2 (a) x(t) = (A/2)t 2 − (B/3)t 3 ; y(t) = Ct. Como y(t) , 0 para todo t > 0, o objeto não
retorna a origem
(b) vx (t) = At − Bt 2 ; vy = C. Como vy (t) , 0 para todo t > 0, a velocidade v~ do objeto nunca é
zero.
(c) ax = A − 2Bt, ay = 0. A aceleração do objeto será zero em t = A/2B = 0.70 s.
9.3 As coord. de cada gota são: x(t) = vi t cos θi . y(t) = vi t sin θi − gt 2 /2. Na vertical a
distância relativa entre as gotas é zero. Portanto, elas só se separam horizontalmente, sendo
d(t) = 2x(t) = 2vi t cos θi a distância entre elas.
9.4 a) 4 m/s; b) 69 mm
9.5 a) d = 0, 12m. b) d = 0, 15m.
Problemas
?? a) θ = 58, 910 ; b) d = 79, 60m; c) t = 3, 67s; d) d = 38, 82m < 40m, portanto a bola atinge
o telhado; e) v = (21, 689i − 17, 542j)m/s.
P ot
9.2 a) vmed = PPot = 1, 02m/s; b) W = P h = 4900J; c) vmed = F cos
= 2, 36m/s; d) W = F ·h =
300
0
0
0
F cos 30 h = P sin 30 cos 30 h = 2121, 76J.
9.3
sin θ > µs cos θ → tan θ > µs
Aula 10
Atividades
10.1 ωRot /ωT r = 365
10.2 v = 2πr/T ; aC = 4π2 r/T 2
10.3 ωmin = 2π/1h; ωh = 2π/24h
10.4 2mr 2 sin2 θ
10.5 a) 3.4 J; b) 2.3 kg.m2 /s
Exercı́cios
10.1
10.2 22 m/s
10.3 a) 3mg sin θ; b) 3mg
10.4 a) 58 s−1 ; b)2.9 × 102 ; c) 19 m/s; d) 96 m
10.5 a) 4vi /5l; b) −3v/5î (direção de v~i
10.6 6m
p b vb /[(3md + 4mb )ld ]
10.7 2 gh/3
139
Apêndice A. Respostas dos Problemas
2
2
m 2 a
m 2
2 b
2
10.8 a)I = m
3 [a + 4 ]; b)I = 3 [b + 4 ]; c)I = 3 [a + b ]
Problemas
p
p
2mg
10.1 a) v = 2g(h − d); b) N = mg + 2mg h−d
;
c)
v
=
2g(h − d − R); d) N = R (h − d − R);
R
2g
e) a = aC = R (h − d − R)
2
10.2 a) aC = vL = 18m/s2 ; b) 0; c) A componente horizontal da normal é a responsável
pelo movimento circular; d) 0.92 m;
d
a
a
10.3 a) ωf = 2v
( md ) − ( 2mm+m
)ω; b)ωf = −( 2mm+m
)ω
d
a
d
a
q Ra 2md +ma
4g
k
(4d 2 − ` 2 ) + 3 sin θ(d + 2` )
10.4 v = 6m
Aula 11
Atividades
11.1 CA /CB = 1/4
11.2 a) 0.75 m das extremidades; b) 0.30 m do balde mais pesado;
11.3
q
g sin θ
2
2∆x
2 ; b) α = acm = 7, 3 rad/s2 ; c) ∆t =
11.4 a) acm =
=
g
sin
θ
=
3,
27
m/s
acm =
R
1 + I/mR2 3
4, 63 s ; d) ω = α∆t = 33, 8 rad/s ;
11.5
Exercı́cios
11.1
11.2 √
0, 82 s−1 √
11.3 th /ts = 25/21 m1 −m2
2
11.4 a) a = m +m
2 g = 1, 34 m/s ; b) T1 = m1 (g − a) = 42, 3 N ; c) T2 = m2 (g + a) =
1
2 +I/R
22, 3 N ;
11.5 43 s−1
Problemas
11.1 a) 7ωi /17, direção ”horária”; b) −0.42
11.2 a) 2g/7; b) 2g/5
11.3 a) cubo localizado no C.M.; b) torque externo é nulo; c) 3g/4d; d)
q
16gd
√
3 2
140