Області Діріхле.
Для кожного вузла плоских ґрат знайдемо множину всіх точок на площини, відстань від яких до цього вузла не більше, чим відстань до всіх інших
вузлів. Такі області називаються областями Діріхле.
Як приклад розглянемо ґрати, фундаментальним паралелограмом яких є
ромб із кутом 60◦. Для того щоб знайти області Діріхле, виконаємо наступне
побудування. У всіх фундаментальних паралелограмах даних ґрат проведемо
менші діагоналі; в результаті ми одержимо розбивку площини на рівні правильні трикутники (рис. ). Усередині кожного трикутника відзначимо центр
його описаної окружності. Потім з’єднаємо відрізками центри трикутників,
які мають загальну сторону(рис).
У підсумку отримали розбивку площини на рівні шестикутники. Всередині кожного з них лежить рівно один вузол ґрат, який є його центром симетрії й центром його описаної окружності.
Отримані шестикутники і є областями Діріхле. Насправді,розглянемо
який-небудь шестикутник з центром у вузлі O (рис.). Кожна його сторона є
перпендикуляром до відрізка, який з'єднує вузол з одним із сусідніх до нього
вузлів. Причому цей перпендикуляр проходить через середину відповідного
відрізка (рис).
Рис.
Отже,точки шестикутника знаходяться від точки O на відстані не більшій, ніж від вузлів ґрат, що оточують точку O. Це отримали з того, що серединний перпендикуляр відрізка AB розбиває площину на дві частини: одна
із цих частин складається із точок, які ближче до A, чим до B, а інша — із точок, які ближче до B, чим до A.
Таким чином, область Діріхле є частиною цього шестикутника. Щоб довести,
що вона збігається із шестикутником, помітимо,що область Діріхле для кожного з вузлів також лежить у відповідних їм шестикутниках. Але по своєму
визначенню області Дірихле повинні покривати всю площину, тому що будьяка точка площини знаходиться на відстані від одного вузла не більш, ніж від
усіх інших. Отже, кожна область Діріхле заповнює весь шестикутник.
Області Діріхле можуть бути задані й по-іншому. Якщо в ґрат можна вибрати ортогональний базис, то областями Діріхле будуть прямокутники або
квадрати. У всіх інших випадках будуть виходити шестикутники з попарно
паралельними протилежними сторонами.
Задача. Розглянемо функцію
f ( x, y)  x 2  xy  y 2
1. Довести, що для будь-якої точки (x, y) найдеться така пари цілих
чисел (m, n), що
f ( x  m, y  n)  x  m   ( x  m)( y  n)   y  n  
2
2
1
2
2. Позначимо через f ( x, y ) найменше із чисел f ( x  m, y  n) при цілих m і n.
Твердження задачі полягало в тому, що виконується нерівність
f ( x, y ) 
1
для всіх (x, y).
2
Доведемо, що насправді вірна більш сильна нерівність
f ( x, y ) 
1
3
і знайдіть усі точки, для яких має місце рівність
f ( x, y ) 
1
3
3. Розглянемо функцію
f a ( x, y )  x 2  axy  y 2
Знайдіть яке-небудь число C (залежне від a) таке, щоб для всіх (x, y) виконувалася нерівність
f a ( x, y)  C
Постараємося знайти точну оцінку.
Розглянемо (див. [5], [10]) відразу пункт 3. Для цього, починаючи з ромба зі
стороною 1 і з гострим або прямим кутом f ( вважаючи його фундаменталь-
ним), побудуємо ґрати. Задамо косокутну систему координат, вибравши дві
прямі Ox і Oy різні сторони, що містять один такий ромб (рис.). Тепер розглянемо будь-який вузол грат M. Через нього проходять дві прямі побудованих ґрат, одна з яких перетинає вісь Ox у точці Mx, а інша — вісь Oy у точці
My; точки Mx і My мають відповідно на осях Ox і Oy цілі координати.
Інакше кажучи, усі цілі точки (m, n) у такий косокутній системі координат
задають ґрати. Ясно, що й будь-який точці M площини (не обов'язково вузлу
ґрат) можна поставити у відповідність пару дійсних чисел (x, y), які виникають як координати проекцій точки M на прямі Ox і Oy відповідно (рис.). У
зворотному напрямку, кожним двом дійсним числам x, y можна поставити у
відповідність деяку точку площини, у якої x і y будуть координатами. Таким
чином, ми встановили взаємно однозначну відповідність між точками площини й парами чисел,тобто побудували так звану косокутну систему координат.
Відстань між двома крапками A(x1, y1) і B(x2, y2) можна знайти по теоремі косинусів із трикутника ABC (рис.): AB — діагональ деякого паралелограма зі
сторонами, паралельними осям координат, і його сторони дорівнюють
|x1 − x2| і |y1 − y2| відповідно. Маємо:
AB 2  x1  x 2  2 cos  x1  x 2 y1  y 2  y1  y 2
2
2
зважаючи на те, що |x1 − x2||y1 − y2| = −(x1 − x2)(y1 − y2), одержуємо формулу
AB 2  x1  x 2   2 cos  x1  x 2  y1  y 2    y1  y 2 
2
2
Або
AB 2   x1  x 2   ax1  x 2  y1  y 2    y1  y 2 
2
2
де 0  a  2 cos   2
Тепер стає зрозумілим, що — квадрат відстані від f a ( x, y) точки (x, y) до
найближчого вузла побудованих ґрат. Тому задача зводиться до знаходження
максимуму функції f a ( x, y) .
Рис.
Нехай 0 < a < 2. Для кожного вузла ґрат побудуємо область Діріхле, яка є шестикутником, показаний на рис.
Найбільш віддалені від вузлів ґрати точок розташовані, мабуть, у вершинах
таких шестикутників.Відстань від кожної з вершин шестикутника до найближчого вузла грат (центру цього шестикутника) дорівнює радіусу окружності, описаної близько рівнобедреного трикутника з бічними сторонами 1 і
кутом  при вершині. Отже, найбільша відстань дорівнює
1
2 cos / 2
Квадрат відстані для цих точок дорівнює
1
4 cos  / 2
2

1
1

2cos   1 a  2
Тому для всіх точок (x, y) площини
f a ( x, y ) 
1
a2
При a = 1 одержуємо твердження з п. 2 задачі; у цьому випадку  = 60◦і область Діріхле представляє собою правильний шестикутник зі стороною 3 / 3 ,
а рівність досягається у вершинах цих шестикутників, координати яких задаються двома формулами
1
1

  m,  n ,
3
3


1
 1

   m,  n ,
3
3


де m і n — довільні цілі числа.
При a = 0 усі наші міркування зберігаються, тільки в цьому випадку ми маємо справу з прямокутною системою координат і областями Діріхле служать
квадрати; тому f 0 ( x, y )  . Випадок a = 2, коли f 2 ( x, y)  x  y 2 , приводить до
1
2
питання про квадрат різниці між числами x + y і найближчим до нього цілим
числом, так що f 2 ( x, y)  1 / 4 .