Е.А.Бажміна, НУ «Запорізька політехніка» Лицензия Creative Commons Лекція 1. ПРОЄКЦІЇ ТОЧКИ І ПРЯМОЇ ЗМІСТ 1 МЕТОДИ ПРОЄКЦІЮВАННЯ ........................................... 3 1.1 Центральне проєкціювання .................................................. 3 1.2 Паралельне проєкціювання .................................................. 4 2 ПРОЄКЦІЮВАННЯ ТОЧКИ ............................................... 8 3 ПРОЄКЦІЮВАННЯ ПРЯМОЇ ЛІНІЇ ................................ 11 3.1 Положення прямих відносно площин проєкцій ............... 11 3.1.1 Прямі особливого положення – прямі рівня .................. 12 3.1.2 Прямі особливого положення – прямі проєкціювальні 13 3.1.3 Прямі загального положення........................................... 15 3.2 Точка на прямій ................................................................... 16 3.3 Знаходження натуральної величини прямої загального положення ...................................................................................... 16 3.4 Сліди прямої ........................................................................ 17 3.5 Взаємне положення прямих ............................................... 18 3.6 Проєкціювання прямого кута ............................................. 20 Запитання для самоконтролю................................................... 21 4 МЕТРИЧНА ЗАДАЧА «ПІРАМІДА» ............................... 22 4.1 Побудова умови задачі........................................................ 22 4.2 Знаходження натуральної величини прямої на горизонтальній площині проєкцій ............................................... 23 2 4.2 Знаходження натуральної величини прямої на фронтальній площині проєкцій .................................................... 24 4.3 Знаходження натуральної величини прямої на профільній площині проєкцій .......................................................................... 25 4.4 Самостійна перевірка розв’язання задачі .......................... 26 4.5 Оформлення основного напису задачі .............................. 28 ОСНОВИ НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЇ Нарисна геометрія – це розділ геометрії, в якому просторові форми з їх геометричними закономірностями вивчаються у вигляді їх зображень на площині. Предметом цієї дисципліни є розробка наукових основ побудови і дослідження геометричних моделей інженерних об’єктів і процесів та їх геометричного відображення. Зображення, побудовані за правилами, що вивчаються в нарисній геометрії, дозволяють уявити форму предметів та їх взаємне розташування в просторі, визначити їх розміри, дослідити геометричні властивості, притаманні зображуваному предмету. 3 1 МЕТОДИ ПРОЄКЦІЮВАННЯ Для побудови зображень предметів на площині використовуються методи проєкціювання, які поділяються на центральні та паралельні. При використанні даних методів отримуються проєкції геометричного образу (точки, прямої, тощо). Проєкція з латинської мови означає «кидати вперед». Зображення (відбиток) предмета на площину за допомогою проєкціювальних променів називається проєкцією. Спроєкціювати предмет на площину це означає побудувати зображення на площині. На основі наукових даних представлено класифікацію методів проєкціювання на рис. 1. МЕТОДИ ПРОЄКЦІЮВАННЯ Центральне проєкціювання Паралельне проєкціювання Косокутне проєкціювання Ортогональне проєкціювання Рисунок 1.1 – Класифікація методів проєкціювання 1.1 Центральне проєкціювання Візьмемо точку А і проведемо через S і A пряму лінію до перетину її з площиною π1, отримаємо точку А′. Ця пряма називається проєкціювальним променем. Подібно побудуємо точки В′ і С′. Точка B′ збігається з точкою A′ → A′ ≡ B′. Крім цього, точки А і В утворюють пряму 4 (відрізок) АВ. Через кожну точку простору можна провести єдиний проєкціювальний промінь (рис. 1.2). Рисунок 1.2 – Центральне проекціювання Елементи центрального проєкціювання: S – центр проєкцій; π1 – площина проєкцій; A, B, C – точки простору (об’єкт проєкціювання); A′, B′, C′ – центральні проєкції точок A, B, C на площину π1. Проєкціювання називається центральним, якщо всі проєкціювальні промені виходять з однієї точки (центру проєкцій). Застосовується в архітектурно-будівельній техніці, живопису, фотографії. 1.2 Паралельне проєкціювання Паралельне проєкціювання застосовується при вивченні курсу нарисної геометрії. Замість центру проєкцій задається напрям проєкціювання S. Якщо проєкціювальні промені паралельні між собою, таке проєкціювання називається паралельним. Паралельне проєкціювання може бути косокутним, якщо проєкціювальні промені не перпендикулярні до площини проєкцій (рис. 1.3, а) та ортогональним, якщо проєкціювальні промені перпендикулярні до площини проєкцій (рис. 1.3, б, в). 5 Слово ортогональний утворений зі слів древньогрецької мови, які означають «прямий» і «кут». Надалі термін ортогональні проєкції буде використовуватися для позначення системи прямокутних проєкцій на взаємно перпендикулярних площинах. а б в а – косокутне проєкціювання; б, в – ортогональне проєкціювання Рисунок 1.3 – Паралельне проєкціювання Розглянемо основні властивості паралельного проєкціювання: а) проєкція точки є точка (C → C′); б) проєкція прямої (відрізка) є пряма (BC→B′C′); в) проєкція прямої, якщо пряма збігається з напрямком променю, є точка (AB → A′ ≡ B′), а фіксовані на ній точки є конкуруючими; г) інцидентність точки прямій – проєкція точки, що лежить на прямій, належить цій прямій; д) паралельні проєкції мають властивість оборотності, тому в технічному кресленні застосовують паралельне проєкціювання. Ортогональна проєкція предмета на одну площину не визначає його положення в просторі, тому застосовується прямокутне проєкціювання на дві і три площини проєкцій. Розглянемо три взаємно перпендикулярні площини. Горизонтальна площина проєкцій розташована горизонтально, позначається π1. 6 Фронтальна площина проєкцій – розташована вертикально, позначається π2. Профільна площина проєкцій – розташована вертикально, перпендикулярна до π1 і π2, позначається π3. Площини π1 і π2 перетинаються між собою по прямій і ділять простір на чотири двогранних кута (чверті) – метод Монжа 1 (рис. 1.4, а). а б а – просторовий рисунок на дві площини проєкцій; б – просторовий рисунок на три площини проєкцій Рисунок 1.4 – Основні площини проєкцій Три взаємно перпендикулярні площини, які перетинаються між собою, поділяють простір на вісім тригранних кута (октантів). ОX, ОY, ОZ – осі проєкцій або прямі перетину площин проєкцій π1, π2, π3. Точка перетину осей координат називається початком координат і позначається цифрою 0 (нуль) або точкою О. Для спрощення побудов використовується епюр, який забезпечує точність і зручність вимірювання зображень. Три площини проєкцій поєднуються в одну площину, при цьому площина π2 залишається нерухомою (напрям суміщення показано стрілками на рис. 1.4, б). 1 Гаспар Монж (1746-1818) – французький вчений 7 Епюр (від франц. epure – кресленик) – це плоский кресленик, отриманий в результаті суміщення площин проєкцій в одну площину разом з проєкціями геометричних образів (наприклад, з проєкціями точки), що знаходяться на відповідних площинах проєкцій. Епюр – це комплексний кресленик. 8 2 ПРОЄКЦІЮВАННЯ ТОЧКИ Точка – абстрактний об’єкт у просторі, що має координати, але не має розмірів, маси, напрямку і будь-яких інших геометричних або фізичних характеристик. Точка позначається великою латинською літерою або цифрою. Візьмемо в просторі в І октанті довільну точку А і спроєкціюємо її на площини π1, π2 і π3, тобто у відповідності з ортогональним паралельним проєкціюванням опустимо перпендикуляри з точки А на площини проєкцій. Одержимо горизонтальну А′, фронтальну А″ і профільну А′′′ проєкції точки А (рис. 2.1, а). а б а – точка А в І октанті простору; б – епюр точки А Рисунок 2.1 – Ортогональне проекціювання точки Зображення трьох проєкцій точки А на епюрі показано на рис. 2.1, б. Відстань від точки А до фронтальної площини проєкцій π2 в просторі визначається координатою y; на епюрі – це відстань від горизонтальної проєкції точки А′ до осі проєкцій ОХ (вимірюється відрізком А′Ах). Відстань від точки А до горизонтальної площини проєкцій π1 в просторі визначається координатою z; на епюрі – це відстань 9 від фронтальної проєкції точки А′′ до осі проєкцій ОХ (вимірюється відрізком А′′Ах). Відстань від точки А до профільної площини проєкцій π3 в просторі визначається координатою х; на епюрі – це відстань від профільної проєкції точки А′′′ до осі проєкцій ОZ (вимірюється відрізком А′′′Аz). На епюрі профільна проєкція точки будується за допомогою циркуля. Самої точки на епюрі немає, але її положення в просторі можливо відновити за епюром. Положення точки в просторі визначається декартовими координатами x, y, z (рис. 2.2, а, б). А′(x, y) A′A′′ ⊥ OX A′′(x, z) A′′′(y, z) → A′′A′′′ ⊥ OZ а б а – епюр точки А, побудований за координатами; б – схема побудови точки Рисунок 2.2 – Правило побудови точки на епюрі Горизонтальна і фронтальна проєкції (А′ і А′′) розташовані на одному перпендикулярі до осі ОХ – на лінії зв’язку А′А′′, фронтальна і профільна проєкції (А′′ і А′′′) – на одному перпендикулярі до осі ОZ – на лінії зв’язку А′′А′′′. Розглянемо положення точок відносно площин проєкцій. Приклади побудови цих точок зображено на рис. 2.3. Точка в просторі визначається трьома координатами. Наприклад, точка A (25, 30, 21) лежить в І октанті, оскільки всі координати додатні. 10 Точка на площині визначається двома координатами. Наприклад, точка B (x, 0, z) належить площині π2, оскільки координата y = 0 . Точка на осі визначається однією координатою. Наприклад, точка C (x, 0, 0) лежить на осі ОХ. Рисунок 2.3 – Приклади побудови точок на епюрі Точки, які розташовані на одному проєкціювальному промені називаються конкуруючими. За допомогою конкуруючих точок визначається видимість геометричних образів (рис. 2.4). Точки А і В конкурують (збігаються) на π2, точка В невидима, оскільки ближче розташована до площини π2 ніж точка А. Точки С і D конкурують на π1, точка D невидима, оскільки ближче розташована до площини π1 ніж точка С. На епюрі невидимі точки зображуються в дужках. Рисунок 2.4 – Визначення видимості геометричних образів 11 3 ПРОЄКЦІЮВАННЯ ПРЯМОЇ ЛІНІЇ Пряма лінія – це простий геометричний об’єкт, що являє собою сукупність точок. Геометричні характеристики прямої: - пряма безмежна; - через дві точки можна провести тільки одну пряму; - дві прямі можуть перетинатися тільки в одній точці; - через одну точку можна провести безліч прямих. Нарисна геометрія вивчає пряму на проєкціях відрізка. 3.1 Положення прямих відносно площин проєкцій За своїм положенням в просторі прямі поділяються на прямі загального та особливого положення. Прямі особливого положення можуть бути проєкціювальними та прямими рівня. Класифікація прямих за ознаками представлена на рис. 3.1. ПРЯМІ ЛІНІЇ Прямі особливого положення Рисунок 3.1 – Класифікація прямих ліній Профільнопроєкціювальна Проєкціювальні прямі Фронтальнопроєкціювальна Профільна Фронтальна Горизонтальна Прямі рівня Горизонтальнопроєкціювальна Прямі загального положення 12 3.1.1 Прямі особливого положення – прямі рівня Пряма паралельна одній площині проєкцій називається прямою рівня. Горизонтальною прямою або горизонталлю називається пряма паралельна горизонтальній площині проєкцій π1 (рис. 3.2). Ознаки горизонтальної прямої (АВ || π1) на епюрі: а) фронтальна проєкція паралельна осі ОХ, а горизонтальна дорівнює натуральній величині самого відрізка; б) кут ϕ2 нахилу прямої до площини π2. а б а – пряма АВ в просторі; б – пряма АВ на епюрі Рисунок 3.2 – Горизонтальна пряма (горизонталь) Фронтальною прямою або фронталлю називається пряма паралельна фронтальній площині проєкцій π2 (рис. 3.3). Рисунок 3.3 – Фронтальна пряма (фронталь) 13 Ознаки фронтальної прямої (АВ || π2) на епюрі: а) горизонтальна проєкція паралельна осі ОХ, а фронтальна дорівнює натуральній величині самого відрізка; б) кут ϕ1 нахилу прямої до площини π1. Профільною прямою називається пряма паралельна профільній площині проєкцій π3 (рис. 3.4). Ознаки профільної прямої (АВ || π3) на епюрі: а) фронтальна та горизонтальна проєкції перпендикулярні осі ОХ, а профільна дорівнює натуральній величині самого відрізка; б) кут ϕ2 нахилу прямої до площини π2 і кут ϕ1 нахилу прямої до площини π1. Рисунок 3.4 – Профільна пряма 3.1.2 Прямі особливого положення – прямі проєкціювальні Прямі перпендикулярні одній площині проєкцій і водночас паралельні до двох інших називаються прямими проєкціювальними. Горизонтально-проєкціювальна пряма – це пряма перпендикулярна π1 і паралельна π2 і π3 (рис. 3.5). Ознаки горизонтально-проєкціювальної прямої на епюрі: а) горизонтальна проєкція на площину проєкцій π1 є точка; б) фронтальна проєкція перпендикулярна осі ОХ і дорівнює натуральній величині самого відрізка; 14 Рисунок 3.5 – Горизонтально-проєкціювальна пряма Фронтально-проєкціювальна пряма – це пряма перпендикулярна π2 і паралельна π1 і π3 (рис. 3.6). Ознаки фронтально-проєкціювальної прямої на епюрі: а) фронтальна проєкція на площину проєкцій π2 є точка; б) горизонтальна проєкція перпендикулярна осі ОХ і дорівнює натуральній величині самого відрізка. Рисунок 3.6 – Фронтально-проєкціювальна пряма Профільно-проєкціювальна пряма – це пряма перпендикулярна π3 і паралельна π2 і π1 (рис. 3.7). Ознаки профільно-проєкціювальної прямої на епюрі: а) профільна проєкція на площину проєкцій π3 є точка; б) фронтальна та горизонтальна проєкції паралельні осі ОХ і дорівнюють натуральній величині самого відрізка. 15 Рисунок 3.7 – Профільно-проєкціювальна пряма 3.1.3 Прямі загального положення Пряма, довільно розташована по відношенню до площин проєкцій, називається прямою загального положення (рис. 3.8). Ознаки прямої загального положення в просторі: пряма не паралельна і не перпендикулярна жодній з площин проєкцій. Рисунок 3.8 – Пряма загального положення Ознаки прямої загального положення на епюрі: а) кожна з проєкцій менше самої прямої в просторі; б) жодна з проєкцій прямої не паралельна осі проєкцій і не перпендикулярна до неї. 16 3.2 Точка на прямій Якщо точка лежить на прямій (наприклад, точка С), то її проєкції (С′,С″,С′′′) лежать на однойменних проєкціях прямої це є ознакою приналежності точки прямій (рис. 3.9). Рисунок 3.9 – Ознака приналежності точки прямій 3.3 Знаходження натуральної величини прямої загального положення Розглянемо визначення натуральної величини (Н.В.) прямої загального положення на прикладі прямої BS на горизонтальну площину проєкцій π1, яка належить піраміді ABCS. Натуральна величина прямої загального положення визначається як гіпотенуза прямокутного трикутника, у якого один катет – це проєкція прямої на одну з площин проєкцій, а другий – алгебраїчна різниця координат віддалення кінців відрізка від тієї площини проєкцій, на котрій взятий перший катет. Такий метод називається методом прямокутного трикутника (рис. 3.10). Кут між першим катетом (проєкцією відрізка) і гіпотенузою визначає нахил прямої до відповідної площини проєкцій. Розв’язання задачі на знаходження Н.В. прямої загального положення на горизонтальну, фронтальну та профільну площини проєкцій детально розглядаються в розділі 4. 17 Рисунок 3.10 – Визначення натуральної величини прямої BS 3.4 Сліди прямої Слідом прямої називається точка перетину прямої з площиною проєкцій. На рис. 3.11, а показані точки М і N, які є слідами: М – горизонтальний слід прямої, N – фронтальний слід. Відповідно до положення точок М і N можна судити до яких октантів простору відноситься дана пряма. На рис. 3.11, а пряма АВ проходить через IV-I-II октанти. а а – в просторі; б – на епюрі Рисунок 3.11 – Сліди прямої б 18 Пряма не має сліду на площині проєкції в тому випадку, коли вона паралельна цій площині. Для побудови горизонтального сліду прямої М на епюрі (рис. 3.11, б) необхідно продовжити фронтальну проекцію відрізка AB до перетину з віссю ОХ в точці М″ (фронтальній проєкції горизонтального сліду) і з отриманої точки провести перпендикуляр до осі ОХ до перетину з продовженням горизонтальної проєкції відрізка AB – A′B′. Точка М′ – горизонтальна проєкція горизонтального сліду, яка збігається з самим слідом М′≡М. Аналогічно визначається фронтальний слід прямої (рис. 3.11, б). Горизонтальну проекцію відрізка AB продовжуємо до перетину з віссю ОХ в точці N′ (горизонтальній проєкції фронтального сліду) і з отриманої точки проводимо перпендикуляр до осі ОХ до перетину з продовженням фронтальної проєкції відрізка AB – A′′B′′. Точка N″ – фронтальна проєкція фронтального сліду, яка збігається з самим слідом N″ ≡ N. 3.5 Взаємне положення прямих Прямі в просторі відносно одна одної можуть бути: а) паралельними; б) перетинними; в) мимобіжними. Паралельні прямі – це прямі, що лежать в одній площині і не перетинаються (геометрія Евкліда). Якщо прямі паралельні в просторі, то на епюрі їх однойменні проєкції паралельні. Для прямих загального положення достатньо двох проєкцій, щоб судити про паралельність цих прямих в просторі. Розглянемо приклад. Дано: Прямі АВ і СD (рис. 3.12). Визначити взаємне положення в просторі цих прямих. Розв’язання: Прямі АВ і СD є прямими загального положення, тому заданих двох проєкцій достатньо, щоб судити про їх паралельність в просторі. 19 Оскільки однойменні проєкції прямих АВ і СD на епюрі паралельні (А′В′ || С′D′ і А″В″ || С″D″), то ці прямі в просторі є паралельними (АВ || CD). Рисунок 3.12 – Паралельні прямі Перетинні прямі – це прямі, що лежать в одній площині і мають спільну точку, яка належить одночасно обом прямим. На рис. 3.13 точка К (К′, К″) є спільною точкою обом прямим АВ і СD за ознакою приналежності точки прямій. Тому прямі АВ і СD є перетинними прямими. Рисунок 3.13 – Перетинні прямі 20 Мимобіжними прямими називаються прямі, які не лежать в одній площині і не мають спільної точки. Точки 1,2 і 3,4 на рис. 3.14 є конкуруючими точками. Рисунок 3.14 – Мимобіжні прямі 3.6 Проєкціювання прямого кута Якщо хоча б одна сторона прямого кута паралельна площині проєкцій, то прямий кут проєкціюється в натуральну величину (без пошкодження). На рис. 3.15 заданий кут АВС проєкціюється в Н.В., оскільки пряма BC є горизонталлю. І кут DBC теж проєкціюється в Н.В., оскільки положення прямих DВ і BC відносно площин проєкцій не змінилося, пряма DВ залишилася прямою загального положення. Точка D має меншу координату z ніж точка А. Рисунок 3.15 – Проєкціювання прямого кута 21 Запитання для самоконтролю 1. Який метод проєкціювання використовують при побудові кресленика? 2. Скільки проєкцій визначають положення точки в просторі? 3. В чому полягає суть методу Монжа? 4. Як побудувати точку на епюрі? 5. Як визначити натуральну величину відрізка прямої? 6. Як можуть бути розташовані прямі в просторі відносно одна одної? 7. Коли прямий кут проєкціюється в натуральну величину? 22 4 МЕТРИЧНА ЗАДАЧА «ПІРАМІДА» До метричних задач належать задачі на визначення відстаней, кутів, а також площ плоских фігур між геометричними образами. Розглянемо поетапне розв’язання задачі. Індивідуальні варіанти задачі приведено в Додатку А. Завдання: а) побудувати три проєкції неправильної піраміди ABCS; б) знайти натуральну величину ребра BS; в) визначити кути нахилу прямої BS до площин проєкцій π1, π2 і π3 . 4.1 Побудова умови задачі Будуємо за координатами точок ABCS (рис. 4.1) умову задачі (рис. 4.2) тонкими лініями і визначаємо видимість ребер за допомогою конкуруючих точок (див. розділ 2, рис. 2.4). Рисунок 4.1 – Координати точок піраміди Побудова умови задачі на форматі А3 за QR-кодом: 23 Рисунок 4.2 – Побудова умови задачі Ребро ВS – це пряма загального положення. Натуральна величина прямої загального знаходиться методом прямокутного трикутника. положення 4.2 Знаходження натуральної величини прямої на горизонтальній площині проєкцій Знаходимо натуральну величину ВS на площині проєкцій π1. 1-й катет – це горизонтальна проєкція відрізка ВS (В′S′). 2-й катет – це відрізок, проведений з точки S (або В) перпендикулярно до В′S′. На цьому відрізку відкладаємо різницю координат ∆ z з фронтальної проєкції. Отримаємо нову точку S* (або В*, якщо 2-й катет будуємо з точки В). Гіпотенуза прямокутного трикутника і є натуральною величиною прямої ВS. Кут φ1 є кутом нахилу прямої ВS до площини проєкцій π1. Позначається між проекцією відрізка В′S′ і гіпотенузою (рис. 4.3). 24 Рисунок 4.3 – Побудова натуральної величини прямої ВS на горизонтальній площині проєкцій 4.2 Знаходження натуральної величини прямої на фронтальній площині проєкцій Знаходимо натуральну величину ВS на площині проєкцій π2 аналогічно побудові на площині π1. 1-й катет – це фронтальна проєкція відрізка ВS (В″S″). 2-й катет – це відрізок, на якому відкладаємо різницю координат ∆ y з горизонтальної проєкції. Н.В. прямої ВS є гіпотенузою прямокутного трикутника. Кут φ2 є кутом нахилу прямої ВS до площини проєкцій π2 (рис. 4.4). 25 Рисунок 4.4 – Побудова натуральної величини прямої ВS на фронтальній площині проєкцій 4.3 Знаходження натуральної величини прямої на профільній площині проєкцій Знаходимо натуральну величину ВS на площині проєкцій π3 аналогічно побудові на площині π1. 1-й катет – це профільна проєкція відрізка ВS (В′′′S′′′). 2-й катет – це відрізок, на якому відкладаємо різницю координат ∆ х з горизонтальної (фронтальної) проєкції. Н.В. прямої ВS є гіпотенузою прямокутного трикутника. Кут φ3 є кутом нахилу прямої ВS до площини проєкцій π3 (рис. 4.5). 26 Рисунок 4.5 – Побудова натуральної величини прямої ВS на профільній площині проєкцій 4.4 Самостійна перевірка розв’язання задачі Перевірка розв’язання задачі: Н.В. відрізка ВS на всіх трьох проєкціях повинна бути однаковою (рис. 4.6). Довжина відрізка вимірюється циркулем. 27 Рисунок 4.6 – Приклад розв’язання задачі «Піраміда» 4.5 Оформлення основного напису задачі Основний напис задачі (рис. 4.7) оформлюється відповідно до ДСТУ ГОСТ 2.104:2006 : а) позначення документа (ГОСТ 2.201-80) виконується шрифтом № 7 з інтервалом після крапки НУЗП. 01ХХ19. 001 , де НУЗП – чотирьохлітерний код організації; 01 – номер семестру (01 – 1-й семестр, 02 – 2-й семестр); ХХ – варіант завдання (замінюється двозначним числом); 19 – останні дві цифри року виконання робіт (2019 рік); 001 – порядковий номер кресленика; б) назва задачі (деталі) виконується шрифтом № 7; в) позначення матеріалу деталі (графа заповнюється тільки на креслениках деталей) – шрифтом № 5; г) прізвища студента та викладача – шрифтом № 3,5; д) масштаб, абревіатуру кафедри, на якій викреслюється навчальна робота, літеру даного документа «Н», групу студента – шрифтом № 5. Рисунок 4.7 – Приклад оформлення основного напису кресленика (номер шрифта вказано в червоних колах)
