НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
“КИЄВО-МОГИЛЯНСЬКА АКАДЕМІЯ”
Факультет інформатики
Кафедра математики
Городній М.Ф., Митник Ю.В.
Основи математичного
аналізу
Частина II
Інтеграли. Ряди.
Київ - 2007
Навчальний посібник є продовженням книги «Основи математичного
аналізу. Частина 1. Диференціальне числення функцій однієї змінної» і
містить основи інтегрального числення функцій однієї змінної та ряди.
Зміст тем відповідає матеріалу, який читається в другому триместрі на
першому курсі факультету інформатики університету “КиєвоМогилянська Академія”.
Для студентів факультетів інформатики вищих навчальних закладів.
Рецензент:
доктор фізико-математичних наук, професор
Шевчук І.О.
Рекомендовано до друку
Вченою радою Національного університету
«Києво-Могилянська академія»
Протокол №4 від 29 листопада 2006 року
© Городній М.Ф., Митник Ю.В. 2007 р.
Зміст
ЗМІСТ
Передмова ......................................................................................................................................5
8. Невизначений інтеграл ..........................................................................................................6
8.1. Основні означення…...............................................................................................................6
8.2. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.………………..…………….……….. 6
8.3. Таблиця основних невизначених інтегралів........…………………………………….…….7
8.4. Основні методи інтегрування. ........…………………………………….…………………...8
8.5. Приклад функції, яка не має первісної.........…………………………………….………….9
8.6. Функції, первісні яких не виражаються через основні елементарні функції. ........……...9
8.7. Інтегрування раціональних функцій. ........…………………………………….……………9
Задачі
8А............................................................................................................................................14
8Б ............................................................................................................................................14
8Д ............................................................................................................................................15
9. Інтеграл Рімана (визначений інтеграл) …..………………………………………………16
9.1. Означення інтеграла Рімана… .........…………………………………….…………………16
9.2. Геометрична інтерпретація. ........…………………………………….…………………….17
9.3. Властивості інтеграла Рімана. ........…………………………………….………………….18
9.4. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). ........….…...21
9.5. Формули заміни змінної та інтегрування частинами. ........………………………………22
9.6. Приклади застосування визначеного інтеграла. ........……………………………..……...24
9.7. Інтеграл як функція верхньої межі. ........…………………………………….…….………26
9.8. Невласні інтеграли. ........…………………………………….……………………….……..28
Задачі
9А............................................................................................................................................29
9Б ............................................................................................................................................30
9Д ............................................................................................................................................31
10. Числові ряди ........…………………..……………………….……………………….……..32
10.1. Основні означення. Необхідні умови збіжності числового ряду. ...……………………32
10.2. Критерій Коші збіжності числового ряду…………………… ....………………….……33
10.3. Властивості збіжних рядів. ...………………….………………………………………….34
10.4. Ряди з невід’ємними членами. ...………………….………………………………………35
10.5. Ряди з довільними членами. ...………………….…………………………………………42
10.6. Групування і перестановка членів ряду. ...………………….……………………………44
Задачі
10А..........................................................................................................................................45
10Б ..........................................................................................................................................46
10Д ..........................................................................................................................................47
11. Функціональні ряди………………………………………………………………………..48
11.1 Основні означення. …………………………….…………………………………………..48
11.2 Поточкова і рівномірна збіжність послідовності функцій. ……………………………..49
11.3 Рівномірна збіжність функціонального ряду. ……………..……………………………..50
11.4. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів………………………………..52
Задачі
11А..........................................................................................................................................54
3
3
4
Зміст
11Б ..........................................................................................................................................54
11Д ..........................................................................................................................................55
12. Степеневі ряди.…………………….……………………………………………………….56
12.1. Область збіжності степеневого ряду. .………………………..….………………………56
12..2. Основні властивості степеневих рядів. .…………………..……………………………58
12..3. Ряд Тейлора. .…………………….………………………..……..……………………….59
Задачі
12А..........................................................................................................................................61
12Б ..........................................................................................................................................62
12Д ..........................................................................................................................................63
13. Ряди Фур’є.…………………….…………………………………………………………….64
13.1. Означення коефіцієнтів Фур’є та ряду Фур’є. .…………………….……………………64
13..2. Властивості ряду Фур’є.…………………….…………………………………………….64
Задачі
13А..........................................................................................................................................68
13Б ..........................................................................................................................................68
13Д ..........................................................................................................................................69
14. Відношення “О” і “о”. Еквівалентні функції…………………………………………..70
Список рекомендованої літератури.……………………………………………………………72
4
ПЕРЕДМОВА
Посібник є продовженням книги «Основи математичного аналізу.
Частина 1. Диференціальне числення функцій однієї змінної. / Ю.В.
Митник, М.Ф. Городній, О.І. Кашпіровський // К:, Вид. дім “КМ
Академія”, 2004» і написаний на основі курсу лекцій і практичних
занять, які проводились в другому триместрі на першому курсі
факультету інформатики НаУКМА. Містить основи інтегрального
числення функцій однієї змінної (первісна, визначений інтеграл і його
застосування) і теорії рядів (числові ряди, функціональні ряди та їх
важливі класи – степеневі ряди і ряди Фур’є).
Структура посібника збережена попередньою: за стислим викладом
теоретичного матеріалу з розглядом відповідних типових прикладів,
зауважень і методичних настанов йдуть задачі для аудиторної роботи
(група А), домашні завдання (група Б) і додаткові задачі та задачі
підвищеної складності (група Д). В кінці посібника наведено список
літератури, якою доцільно скористатися для більш поглибленого
оволодіння матеріалом.
5
Розділ 8. Невизначений інтеграл
8.1. Основні означення.
Нехай I позначає одну з множин виду ( a; b) , [ a; b] , ( a; b] , [ a; b) , ( −∞; b) , ( −∞; b] ,
(a;+∞) , [a;+∞) , R .
Означення 1. Нехай f : I → R . Функція F : I → R називається первісною або
примітивною функції f на I , якщо для кожного x ∈ I існує F ' ( x) і F ' ( x) = f ( x ) .
Зауваження 1. Якщо F – первісна деякої функції f на I , то F – неперервна
функція на множині I .
Означення 2. Невизначеним інтегралом функції F : I → R називається сукупність
усіх первісних f на I .
Позначення: ∫ f ( x) dx .
Теорема 1. Якщо F – фіксована первісна f на I , то
∫ f ( x)dx = F ( x) + C ,
де С – довільна стала, тобто дві первісні можуть відрізнятися тільки на сталу.
Доведення. Нехай G – відмінна від F первісна f на I . Розглянемо функцію
ϕ ( x) = G ( x) − F ( x), x ∈ I . Внаслідок означення первісної
(1)
∀x ∈ I : ϕ ' ( x) = G ' ( x) − F ' ( x) = f ( x) − f ( x) = 0.
Зафіксуємо x0 ∈ I . Нехай x ∈ I , x ≠ x0 . Застосувавши до функції ϕ на відрізку з кінцями
x0 і x теорему Лагранжа про скінчений приріст і врахувавши (1), дістанемо:
ϕ ( x) − ϕ ( x0 ) = ϕ ' (c)( x − x0 ) = 0,
тобто, ϕ ( x ) = ϕ ( x0 ), x ∈ I . Тому, поклавши C := ϕ ( x 0 ) , отримаємо G ( x) = F ( x) + C ,
x ∈ I . Теорему 1 доведено.
8.2. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.
1) ( ∫ f ( x) dx)' = f ( x), x ∈ I .
2) ∫ F ' ( x)dx = F ( x) + C ,
x ∈ I.
3) ∀α ∈ R : ∫ αf ( x)dx = α ∫ f ( x)dx, x ∈ I .
4) ∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx, x ∈ I .
5) Нехай F – первісна f на I ,
a ≠ 0, b − фіксовані дійсні числа,
J := {x ∈ R | (ax + b) ∈ I }. Тоді
∫ f (ax + b)dx = 1a F (ax + b) + C , x ∈ J .
Для перевірки властивостей 1) – 5) досить скористатися означенням невизначеного
інтеграла і властивостями похідної.
Приклад 1. Обчислити ∫ cos(3 − 2 x) dx.
Розв’язання. Оскільки sin x – первісна функції cos x на R , то внаслідок елементарної
властивості 5)
6
∫ cos(3 − 2 x)dx = − 12 sin(3 − 2 x) + C , x ∈ R .
8.3. Таблиця основних невизначених інтегралів.
x n +1
n
1. ∫ x dx =
+ C , n ∈ Z , n ≠ 1, I = R .
n +1
xα +1
α
2. ∫ x dx =
+ C , α ∈ R \ Z , I = (0; + ∞) .
α +1
dx
= ln x + C , I = (−∞; 0) або I = (0;+∞) .
3. ∫
x
4. ∫ cos xdx = sin x + C , I = R .
π
⎛ π
⎞
I = R . ⎜ − + nπ ; + nπ ⎟, n ∈ Z
2
⎝ 2
⎠
π
⎛ π
⎞
I − будь-який з інтервалів ⎜ − + nπ ; + nπ ⎟, n ∈ Z .
2
⎝ 2
⎠
5. ∫ sin xdx = − cos x + C ,
dx
= tgx + C ,
cos 2 x
dx
= −ctgx + C ,
7. ∫
sin 2 x
8. Для a > 0, a ≠ 1
6. ∫
ax
∫ a dx = ln a + C ,
I − будь-який з інтервалів (nπ ;π + nπ ), n ∈ Z .
I = R,
x
зокрема,
∫ e dx = e + C ,
x
x
I = R.
dx
= arctgx + C , I = R.
1+ x2
dx
= arcsin x + C , I = (−1;1).
10. ∫
2
1− x
9. ∫
11. Короткий логарифм:
dx
1
x +1
∫ 1 − x 2 = 2 ln x − 1 + C ,
I – один з інтервалів (− ∞; − 1), (− 1;1),
12. Довгі логарифми:
dx
∫ x 2 + 1 = ln x +
∫
dx
x −1
2
x2 +1 ,
I = R;
= ln x + x 2 − 1 , I = (− ∞; − 1), або I = (1;+∞) .
7
(1; + ∞ ) .
8.4 Основні методи інтегрування.
Теорема 2 (метод заміни змінної). Нехай F – первісна f на I , ϕ : J → I така
функція, що для кожного x ∈ J існує ϕ ' ( x ) . Тоді
∫ f (ϕ ( x))ϕ ' ( x)dx = F (ϕ ( x)) + C , x ∈ J .
Доведення. Згідно з означенням невизначеного інтеграла треба переконатися, що
F (ϕ ( x)) є первісною для f (ϕ ( x))ϕ ' ( x) на J . Для цього відзначимо, що F – первісна f на
I , а отже,
∀x ∈ J : ( F (ϕ ( x))' = F ' (ϕ ( x))ϕ ' ( x) = f (ϕ ( x))ϕ ' ( x).
Теорему 2 доведено.
Зауваження 2. При виконанні умов теореми 2 для обчислення невизначеного інтеграла
∫ f (ϕ ( x))ϕ ' ( x)dx використовується заміна змінної t = ϕ (x) . Тоді dt = ϕ ' ( x)dx , а отже,
t = ϕ ( x)
∫ f (ϕ ( x))ϕ ' ( x)dx = dt = ϕ ' ( x)dx = ∫ f (t )dt = F (t ) + C = F (ϕ ( x)) + C , x ∈ J .
Приклад 2. Обчислити ∫ xe
x 2 −4
dx.
Розв’язання. Застосуємо заміну змінної t = x − 4 :
2
t = x2 − 4
∫ xe
x 2 −4
dx = dt = 2 xdx = ∫ e t
xdx =
dt
2
dx 1 t
1
1 2
= ∫ e dt = e t + C = e x −4 + C , x ∈ R.
2 2
2
2
Вправа 1. Довести елементарну властивість 5) невизначеного інтеграла за допомогою
заміни змінної t = ax + b .
Теорема 3 (метод інтегрування частинами). Нехай функції u : I → R, v : I → R
задовольняють такі умови:
1) для кожного x ∈ I існують u ' ( x) та v ' ( x);
2) функція u' v має первісну на I .
Тоді функція u' v також має первісну на I і справджується рівність:
(2)
∫ u ( x)v' ( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ v( x)u ' ( x)dx, x ∈ I .
Доведення. Внаслідок умови 1) функція uv є первісною функції u ' v + uv' на I . Тому з
елементарної властивості 4) невизначеного інтеграла й умови 2) випливає, що функція
u ' v = (u ' v + uv' ) − u ' v також має первісну на I і виконується рівність (2). Теорему 3
доведено.
Зауваження. Формулу інтегрування частинами (2) коротко записують так:
∫ udv = uv − ∫ vdu .
Приклад 3. Обчислити ∫ x ln xdx .
2
Розв’язання. Застосуємо метод інтегрування частинами:
8
dx
x3
x 3 dx x 3
1 2
x
2
x
x
xdx
ln
=
ln
−
⋅
=
x
−
ln
=
∫
∫
∫ x dx =
3
3
3
3
3
x
x
dv = x 2 dx, v =
3
3
3
x
x
= ln x −
+ C , x ∈ (0; + ∞).
3
9
u = ln x, du =
8.5. Приклад функції, яка не має первісної.
Приклад 4. Довести, що функція
⎧1, x > 0,
⎪
f ( x) = signx := ⎨0, x = 0,
⎪− 1, x < 0.
⎩
не має первісної на R .
Розв’язання. Нехай, від супротивного, функція f ( x ) = signx має первісну F на R .
Зафіксуємо x > 0 і застосуємо до функції F теорему Лагранжа про скінчений приріст на
відрізку [0; x ] . Дістанемо:
F ( x) − F (0) = F ' (c)( x − 0) = x,
бо F ' (c) = signc = 1 для кожного c > 0 . Тому, згідно з означенням похідної,
F ( x) − F (0)
x
F ' (0) = lim
= lim = 1.
x →0 + 0
x →0 + 0 x
x−0
Це суперечить рівності F ' (0) = f (0) = 0 .
8.6. Функції, первісні яких не виражаються через основні елементарні
функції.
Пізніше буде доведена така теорема.
Теорема 4 (про існування первісної для неперервної функції). Якщо функція f
неперервна на I , то f має первісну на I .
Корисно запам’ятати, що первісні неперервних на (0; + ∞) функцій
sin x cos x
,
,
x
x
ex
x
ax 2
,
, e , a ≠ 0 , не виражаються через основні елементарні
sin( x ) , cos( x ) ,
x ln x
2
2
функції.
8.7. Інтегрування раціональних функцій.
Раціональною функцією називається відношення двох многочленів.
Невизначений інтеграл від раціональної функції завжди виражається через основні
елементарні функції.
Для інтегрування раціональних функцій використовуються такі теореми.
9
Теорема 5. Раціональну функцію
P( x)
завжди можна зобразити у вигляді
Q( x)
P ( x)
P ( x)
= P1 ( x) + 2
, де P1 ( x) , P2 ( x) – такі многочлени, що степінь многочлена
Q( x)
Q( x)
P ( x)
правильний.
P2 ( x) менший за степінь многочленна Q (x) , тобто дріб 2
Q ( x)
n −1
Теорема 6. Для кожного многочлена Q ( x ) = a0 x + a1 x + ... + a n −1 + a n з дійсними
коефіцієнтами існує єдиний з точністю до перестановки множників розклад
n
m
j
k =1
i =1
Q( x) = a0 ∏ ( x − xk ) lk ∏ ( x 2 + pi x + qi ) ri ,
у якому x k , pi , qi – дійсні
(3)
числа, l k , ri – натуральні числа і квадратні тричлени
x + pi x + qi не мають дійсних коренів.
2
Теорема 7. Будь-який правильний раціональний дріб
суми елементарних дробів, тобто дробів виду
P( x)
можна зобразити у вигляді
Q( x)
Bx + C
,
( x + px + q ) m
A
,
( x − a) m
2
де A, B, C , a, p, q – дійсні числа, m ∈ N , і квадратний тричлен x + px + q не має дійсних
2
(
)
коренів При цьому вирази вигляду x − a , x + px + q беруться із розкладу многочлена
Q( x) – знаменника дробу
2
P( x)
.
Q( x)
Внаслідок теорем 6,7 для правильного дробу
P( x)
, знаменник Q ( x ) якого має розклад
Q( x)
(3), загальний вигляд зображення за допомогою суми елементарних дробів такий:
lm
l2
A1,k
A2,k
Am ,k
P ( x) l1
=∑
+
+
...
+
∑
∑
k
Q( x) i =1 ( x − x1 ) k k =1 ( x − x2 ) k
i =1 ( x − x m )
rj
r1
r2
B j ,i x + C j ,i
B x + C1,i
B2,i x + C2,i
+
...
+
.
+ ∑ 2 1,i
+
∑
∑
i
i
2
i
2
i =1 ( x + p1 x + q1 )
i =1 ( x + p 2 x + q 2 )
i =1 ( x + p j x + q j )
(4)
Al ,r , Bl ,r , Cl ,r – невизначені коефіцієнти. Відзначимо, що множнику ( x − xr ) lr
Ar , k
r
2
, 1 ≤ k ≤ l r , а множнику ( x + pi x + qi ) i
відповідає l r елементарних дробів
k
( x − xr )
Тут
10
відповідає ri
елементарних дробів
Bi ,k x + Ci ,k
( x 2 + pi x + q i ) k
,
1 ≤ k ≤ ri , а також кількість
невизначених коефіцієнтів дорівнює степеню многочлена Q (x ) .
Приклад 5. Записати загальний вигляд зображення
правильного
дробу
x +3
за допомогою суми елементарних дробів.
x 3 ( x − 1)( x + 2) 2 ( x 2 − 2 x + 2) 2
2
Розв’язання. Оскільки квадратний тричлен x − 2 x + 2 не має дійсних коренів, то
згідно з формулою (4)
2
E
F
x2 + 3
A B C
D
=
+
+
+
+
+
+
x 3 ( x − 1)( x + 2) 2 ( x 2 − 2 x + 2) 2 x x 2 x 3 x − 1 x + 2 ( x + 2) 2
Mx + N
Tx + S
,
+ 2
x − 2 x + 2 ( x − 2 x + 2) 2
де A, B, C , D, E , F , M , N , T , S – невизначені коефіцієнти.
+
2
Для інтегрування раціональної функції треба:
1. виділити правильний дріб;
2. розкласти знаменник правильного дробу на множники і отримати розклад виду (3);
3. методом невизначених коефіцієнтів розкласти правильний дріб на елементарні
дроби;
4. записати раціональну функцію у вигляді суми многочлена і елементарних дробів і
кожен з них інтегрувати окремо.
Приклад 6. Обчислити ∫
x 4 + 2x3 + 3
dx.
x 3 − 3x + 2
Розв’язання. Спочатку виділимо правильний дріб:
а отже,
3x 2 + 4 x − 1
x 4 + 2x3 + 3
.
=
x
+
2
+
x 3 − 3x + 2
x 3 − 3x + 2
Враховуючи, що
x 3 − 3x + 2 = ( x 3 − x) − 2( x − 1) = ( x − 1)( x 2 + x − 2) = ( x − 1) 2 ( x + 2) ,
для правильного дробу матимемо:
11
3x 2 + 4 x − 1
A
B
C
.
=
+
+
2
2
( x − 1) ( x + 2) x − 1 ( x − 1)
x+2
(5)
Знайдемо коефіцієнти A, B, C. Після зведення правої частини (5) до спільного
знаменника дістанемо тотожність
(6)
3x 2 + 4 x − 1 = A( x − 1)( x + 2) + B( x + 2) + C ( x − 1) 2 .
Наведемо два способи визначення коефіцієнтів A, B, C з тотожності (6).
1 спосіб. Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях x , складемо систему
рівнянь для визначення A, B, C :
⎧ A + C = 3,
⎪
⎨ A + B − 2C = 4,
⎪− 2 A + 2 B + C = −1.
⎩
Звідси знаходимо: A = 8 3 , B = 2, C = 1 3 .
2 спосіб. Тотожність (6) виконується для всіх x ∈ R . Підставимо замість x корені
знаменника.
При x = 1 дістанемо 3 + 4 − 1 = 0 ⋅ A + 3B + 0 ⋅ C , звідки B = 2 .
При x = −2 матимемо 12 − 8 − 1 = 0 ⋅ A + 0 ⋅ B + 9C , тобто, C = 1 3 .
Тому (6) записується у вигляді 3 x + 4 x − 1 = A( x − 1)( x + 2) + 2( x + 2) +
2
Звідси, підставивши, наприклад, x = 0 , одержимо − 1 = −1A + 4 +
Отже,
Тому
1
( x − 1) 2 .
3
1
, тобто, A = 8 3 .
3
3x 2 + 4 x − 1
83
2
13
.
=
+
+
2
2
( x − 1) ( x + 2) x − 1 ( x − 1)
x+2
8 dx
x 4 + 2x3 + 3
dx
∫ x 3 − 3x + 2 dx = ∫ ( x + 2)dx + 3 ∫ x − 1 + 2∫ ( x − 1) 2 +
1 dx
8
2
1
x2
+ ∫
=
+ 2 x + ln x − 1 −
+ ln x + 2 + C , x ∈ I ,
3 x+2 2
3
x −1 3
де I = (− ∞; − 2 ) , або I = (− 2;1) , або I = (1; + ∞ ) .
( x + 1)dx
.
( x 2 − 4 x + 5) 2
( x + 1)
Розв’язання. Відзначимо, що дріб
елементарний. Виділивши повний
2
( x − 4 x + 5) 2
Приклад 7. Обчислити ∫
квадрат у знаменнику і зробивши заміну змінної, дістанемо:
12
( x + 1)dx
t = x−2
( x + 1)dx
∫ ( x 2 − 4 x + 5) 2 = ∫ (( x − 2) 2 + 1) 2 = dt = dx =
=∫
(t + 3)dt
tdt
dt
.
=
+
3
∫
∫
(t 2 + 1) 2
(t 2 + 1) 2
(t 2 + 1) 2
(7)
Обчислимо окремо кожен з останніх інтегралів.
y = t 2 +1
tdt
1 dy
1
1
∫ (t 2 + 1) 2 = dy = 2tdt = 2 ∫ y 2 = − 2 y + C = − 2(t 2 + 1) + C .
(8)
dy
2
tdt
dt
Для обчислення ∫ 2
проінтегруємо
частинами
∫ t 2 +1 . Одержимо:
(t + 1) 2
− 2tdt
1
u= 2
, du =
t
dt
t 2 dt
2
2
+
t
1
=
+
2
=
(t + 1) t 2 + 1 ∫ 2 2 = t 2 t+1 +
∫ t 2 +1
(t + 1)
dv = dt ,
v=t
tdt =
(t + 1) − 1 dt = t + 2 dt − 2 dt .
+ 2∫
∫ t +1 ∫
t +1
(t + 1)
(t + 1)
2
2
2
2
2
2
2
Звідси
1⎛ t
dt ⎞ 1 ⎛ t
⎞
=
+
⎜
∫ 2 2 2 ⎝ t 2 + 1 ∫ t 2 + 1 ⎟⎠ = 2 ⎜⎝ t 2 + 1 + arctg t ⎟⎠ + C.
(t + 1)
dt
Оскільки t = x − 2 , то з (7-9) випливає, що
∫
( x + 1)dx
1⎛
1
3t
⎞
= ⎜− 2
+ 2
+ 3arctg t ⎟ + C =
⎠
(x 2 − 4 x + 5) 2 ⎝ t + 1 t + 1
2
1 ⎛ 3x − 7
⎞
= ⎜ 2
+ 3arctg ( x − 2) ⎟ + C , x ∈ R.
2 ⎝ x − 4x + 5
⎠
Більш детально різні способи інтегрування розглядаються, наприклад, в [1, 2].
13
(9)
Задачі
8A
Обчислити невизначені інтеграли:
1.
∫ (2 − x ) dx ;
2.
∫ (1 − 3x) ;
∫ xe dx ;
12. ∫ x cos xdx ;
13. ∫ x ln xdx ;
14. ∫ arctgxdx ;
2 3
dx
3
3
∫
4. ∫ 2 − 5xdx ;
2
3. tg xdx ;
5
5.
dx
;
x + 2 x + 10
2x + 3
16. ∫ 2
dx ;
x + 3 x − 10
dx
17. ∫
;
x( x 2 + 1)
( x + 1)dx
18. ∫
;
x 2 − 4 x + 13
19. ∫ sin 5 x cos 3xdx ;
15. ∫
dx
∫ 9x − 4 ;
2
xdx
6.
∫ 3x − 2 ;
7.
∫ xe dx ;
2
− x2
8. ∫ cos 2 5xdx ;
9. ∫ sin 7 x cos xdx ;
arctgx
10. ∫
dx ;
1 + x2
2x
11.
2
20. ∫ cos5 xdx .
⎧ 2, x < 1,
знайти первісну, яка проходить:
⎩ 2 x, x ≥ 1
21. Для функції f ( x) = ⎨
а) через точку M(2;4);
б) через точку N(0;0).
8Б
Обчислити невизначені інтеграли:
⎛
∫⎝
1. ⎜ 2 x −
2.
∫2
3.
∫ 2 − 3x ;
4.
∫ 2 − 3x ;
1−3 x
∫
3
2⎞
− 3 ⎟dx ;
x−3 x ⎠
6. ctgxdx ;
5e x dx
;
7. ∫ x
3e + 2
8. ∫ x 2 e − x dx ;
dx ;
dx
2
9. ∫ x 2 sin xdx ;
xdx
∫
10. arcsin xdx ;
2
5. ∫ sin 2 7xdx ;
14
dx
;
x − x−6
2x + 3
12. ∫ 2
dx ;
x + 6 x + 10
2 x3 + 1
dx ;
13. ∫ 2
x +1
14. sin 4 x sin 6 xdx ;
11. ∫
15. ∫
2
∫
( x − 2)
x2 + x
dx
16. ∫
.
1+ x
dx ;
⎧ 2 x, x < 0,
знайти первісну, яка проходить:
⎩sin x, x ≥ 0
17. Для функції f ( x) = ⎨
а) через точку M(
б) через точку N(
π
2
π
2
;1);
;0).
18. Знайти первісну функції f ( x) = max {1, x 2 } .
8Д
Обчислити невизначені інтеграли:
dx
;
sin x cos x
dx
2. ∫
;
sin x
dx
3. ∫
;
cos x
4. e ax cos bxdx , якщо ab ≠ 0 ;
1. ∫
8.
dx
;
(1 − x 2 )3/ 2
dx
10. ∫ 2
;
( x − 1) 2
9. ∫
∫
5. ∫ e sin bxdx , якщо ab ≠ 0 ;
11. ∫ a 2 − x 2 dx , якщо a ≠ 0 ;
ax
12. ∫ a 2 + x 2 dx , якщо a ≠ 0 ;
dx
6.
∫ x x +1 ;
7.
∫ 1+ e ;
dx
∫ x +1 + x −1 ;
dx
;
2 + cos x
dx
;
14. ∫
3cos x + sin x + 1
13. ∫
2
dx
x
15
Розділ 9. Інтеграл Рімана (визначений інтеграл)
9.1. Означення інтеграла Рімана.
Нехай [a; b] – фіксований відрізок.
Означення
x0 , x1 , ..., x n , що
1.
Розбиттям
відрізка
[ a; b ]
називається
такий
набір
точок
x 0 = a < x1 < x 2 < ... < x n = b.
Позначення: λ або λ( [a; b] ) або λ={ x0 , x1 , ..., x n }.
Розбиття λ з означення 1 ділить відрізок [a; b] на n відрізків. Довжину k-го відрізка
[ x k ; x r +1 ] з розбиття λ позначимо Δx k . Таким чином, Δx k = x k +1 − x k .
Означення 2. Діаметром розбиття λ називається число
λ := max Δx k .
0 ≤ k ≤ n −1
Відзначимо, що λ – це довжина найбільшого з відрізків розбиття λ, а також
n −1
∑ Δx k = b − a .
k =0
Нехай f : [a; b] → R – обмежена на [a; b] функція. У кожному з відрізків розбиття λ
зафіксуємо по точці:
ξ k ∈ [ x k , x k +1 ] ,
0 ≤ k ≤ n − 1.
Означення 3. Інтегральною сумою для функції f , що відповідає розбиттю λ і
набору точок {ξ k ,0 ≤ k ≤ n − 1} називається число
n −1
S ( f , λ , {ξ k }) := f (ξ 0 )Δx 0 + f (ξ 1 )Δx1 + ... + f (ξ n −1 )Δx n −1 = ∑ f (ξ k )Δxk
k =0
Означення 4. Число I називається границею інтегральних сум S ( f , λ , {ξ k }) при
λ → 0 , якщо для довільного ε > 0 знайдеться таке δ > 0 , що для довільного розбиття λ
відрізка [ a; b] , такого, що λ < δ і для будь-якого набору точок {ξ k ,0 ≤ k ≤ n − 1} , що
відповідає розбиттю λ , справджується нерівність S ( f , λ , {ξ k }) − I < ε .
Якщо границя I
інтегральних сум S ( f , λ , {ξ k }) існує, то вона називається
інтегралом Рімана (або визначеним інтегралом) від функції f по відрізку [a; b] і
16
b
позначається ∫ f ( x) dx , а функція f називається інтегровною за Ріманом по відрізку
a
[a; b] .
Позначення: f ∈ R ([a; b]) ⇔ f інтегровна за Ріманом по відрізку [a; b]
Вправа 1. Нехай f ( x) = c, x ∈ [a, b] , де c – фіксоване дійсне число. Довести, що
b
f ∈ R([a; b]) і ∫ f ( x)dx = c(b − a ) .
a
Вправа 2. Нехай
⎧1, x ∈ [0;1] ∩ Q;
f ( x) = ⎨
⎩0, x ∈ [0;1] \ Q.
Довести, що функція f не інтегровна за Ріманом по [0;1].
9.2. Геометрична інтерпретація.
Нехай f : [ a; b] → R – невід’ємна та неперервна на [a; b] функція. Покладемо
M := {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x)} .
Фігура M зображена на рис. 1 і називається криволінійною трапецією. Спробуємо
обчислити її площу.
Рис.1.
Нехай S ( f , λ , {ξ k }) – інтегральна сума для функції f , що відповідає розбиттю
λ = { x 0 , x1 , x 2 ,..., x n } відрізка [a; b] і набору точок {ξ k ,0 ≤ k ≤ n − 1} . Відзначимо, що
S ( f , λ , {ξ k }) рівна сумі площ n прямокутників зі сторонами f (ξ k ) і Δx k , 0 ≤ k ≤ n − 1 .
17
Зокрема при n=5 і відповідному виборі
λ та ξ 0 , ξ1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 інтегральна сума
S ( f , λ , {ξ k }) рівна сумі площ прямокутників, зображених на рис. 2.
ξ 0 x1 ξ1 x2 ξ 2 x3 ξ 3 x4 ξ 4 x5 ξ 5 x6 ξ 6 x7 ξ 7
Рис. 2.
Інтуїтивно здається очевидним, що при малих значеннях
λ інтегральна сума
S ( f , λ , {ξ k }) мало залежить від вибору точок x 0 , x1 , x 2 ,..., x n −1 і стає близькою до деякого
числа, яке природно вважати площею S (M ) криволінійної трапеції M .
Таким чином, площу S (M ) можна визначити як границю інтегральних сум
S ( f , λ , {ξ k }) при λ → 0 , якщо остання границя існує.
9.3. Властивості інтеграла Рімана.
Справджуються такі твердження.
Теорема 1. Якщо f : [a; b] → R – монотонна або неперервна на [ a; b] функція, то
f ∈ R([a; b]) .
Теорема 2. Інтеграл Рімана не залежить від значень функції f у скінченному числі
точок.
Теорема 3. Нехай
f ∈ R([a; b]) , λ n = { x 0 (n), x1 (n),..., x m ( n ) (n)} , n ≥ 1 , – така
λ n → 0 , n → ∞ , і для кожного n ≥ 1
{ξ k (n), 0 ≤ k ≤ m(n) − 1} – набір точок, що відповідає розбиттю λ n .Тоді
послідовність розбиттів відрізка [a; b] , що
b
lim S ( f , λ n , {ξ k (n)}) = ∫ f ( x)dx .
n →∞
a
18
Теорема 4 (лінійність інтеграла Рімана). Якщо { f , g} ⊂ R ([a; b]), c ∈ R , то
{cf , f ± g} ⊂ R([a; b]) і
b
b
a
a
∫ (cf ( x))dx = c ∫ f ( x)dx ;
b
b
b
a
a
a
∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx.
Теорема 5 (адитивність інтеграла Рімана). Якщо f ∈ R ([a; b]) і a < c < b , то
f ∈ R([a; c]) і f ∈ R([c; b]) , причому
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx.
Теорема 6 (про нерівності для інтегралів Рімана). Нехай { f , g} ⊂ R ([a; b]) , а
також ∀x ∈ [ a; b] : f ( x ) ≤ g ( x). Тоді
b
b
a
a
∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx.
Теорема 7. Якщо f ∈ R ([a; b]) , то | f |∈ R ([a; b]) і справджується нерівність
b
b
a
a
| ∫ f ( x)dx | ≤ ∫ | f ( x) | dx.
Теорема 8 (про середнє значення). Нехай f ∈ C ([a; b]). Тоді
b
∃θ ∈ [a; b] : ∫ f ( x)dx = f (θ )(b − a ).
a
Доведення цих теорем можна знайти, наприклад, в [1,2]. Наведемо тут деякі з них.
Доведення теореми 3. Нехай ε > 0 задано. Треба вказати такий номер n0 , що
b
∀n ≥ 0 : | S ( f , λn ,{ξ k (n)}) − ∫ f ( x)dx |< ε .
(1)
a
Нехай δ > 0 – відповідне до ε число з означення 4. Оскільки | λ n |→ 0, n → ∞ , то
внаслідок означення границі послідовності
19
∃n0 ∀n ≥ n0 : | λn |< δ .
Тому, згідно з означенням 4, при n ≥ n 0 справджуються нерівності (1). Теорему 3 доведено.
Доведення
теореми
Зафіксуємо
таку
послідовність
розбиттів
λ n = { x 0 (n), x1 (n),..., x m ( n ) (n)} , n ≥ 1 , відрізка [a; b] , що | λ n |→ 0, n → ∞ , і відповідні до
6.
λ n набори точок {ξ k (n),0 ≤ k ≤ m(n) − 1} , n ≥ 1 . Оскільки
∀n ≥ 0
∀0 ≤ k ≤ m(n) − 1 :
f (ξ k (n)) ≤ g (ξ k (n)),
то для кожного n ≥ 0 :
m ( n ) −1
m ( n ) −1
k =0
k =0
S ( f , λ n , {ξ k (n)}) = ∑ f (ξ k (n))Δx k (n) ≤
∑ g (ξ k (n))Δx k (n) = S ( f , λ n , {ξ k (n)}) .
Також внаслідок теореми 3
b
S ( f , λn ,{ξ k (n)}) → ∫ f ( x)dx ,
a
b
S ( g , λn ,{ξ k (n)}) → ∫ g ( x)dx ; n → ∞.
a
Тому, згідно з теоремою про нерівності для границь,
b
b
a
a
∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx. Теорему 6
доведено.
Доведення теореми 8. З другої теореми Вейєрштрасса випливає, що досягаються
m := min f ( x),
x∈[ a ;b ]
M := max f ( x) .
x∈[ a ;b ]
При цьому
∀x ∈ [a; b] : m ≤ f ( x) ≤ M .
Тому, скориставшись твердженням теореми 6 і вправи 1, робимо висновок, що
b
m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a).
(2)
a
Якщо хоча б одна з нерівностей (2) виконується зі знаком “=”, то твердження теореми
8 справджується внаслідок другої теореми Вейєрштрасса.
Нехай
b
m(b − a) < ∫ f ( x)dx < M (b − a).
a
20
Покладемо L :=
b
1
b−a
∫ f ( x)dx. Тоді m<L<M, а отже, функція h( x) = f ( x) − L, x ∈ [a; b],
a
неперервна на [a; b] і
min h( x) = m − L < 0 < M − L = max h( x).
x∈[ a ;b ]
x∈[ a ;b ]
Тому згідно з теоремою Коші про проміжне значення існує таке θ ∈ [ a; b] , що h(θ ) = 0 ,
b
тобто ∫ f ( x )dx = f (θ )(b − a ). Теорему 8 доведено.
a
9.4. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального
числення).
Наступна теорема дає простий зв’язок між поняттям первісної і поняттям інтеграла
Рімана.
Теорема 9 (формула Ньютона-Лейбніца). Припустимо, що функція
задовольняє такі умови:
f : [a; b] → R
1) f ∈ R ([a; b]) ;
2) f має первісну на [ a; b] .
Нехай F – деяка первісна функції f на [ a; b] . Тоді
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a).
a
Доведення. Нехай λ = { x0 , x1 , x 2 ,..., x n } – деяке розбиття відрізка [ a; b] . Внаслідок
умови 2) для кожного 0 ≤ k ≤ n − 1 до функції F на відрізку [ x k ; x k +1 ] можна застосувати
теорему Лагранжа про скінченний приріст, згідно з якою
∃ξ k ∈ [ xk ; x k +1 ] :
F ( x k +1 ) − F ( x k ) = F ′(ξ k )( x k +1 − x k ) = f (ξ k )Δx k .
Тому для інтегральної суми S ( f , λ ,{ξ k }) , що відповідає розбиттю λ і побудованому вище
набору точок {ξ k , 0 ≤ k ≤ n − 1} , справджується такий ланцюг рівностей:
S ( f , λ ,{ξ k }) = f (ξ 0 )Δx0 + f (ξ1 )Δx1 + ... + f (ξ n −1 )Δxn −1 =
= F ( x1 ) − F ( x0 ) + F ( x 2 ) − F ( x1 ) + ... + F ( x n ) − F ( x n −1 ) =
F ( x n ) − F ( x0 ) = F (b) − F (a ).
21
λn = { x0 (n), x1 (n),..., x m ( n ) (n)} ,
n ≥ 1 , розбиттів
відрізка [ a; b] , що | λ n |→ 0, n → ∞ , і підберемо для кожного
λn набір точок
Зафіксуємо тепер таку послідовність
{ξ k (n), 0 ≤ k ≤ m(n) − 1} вказаним вище способом. Тоді
∀n ≥ 1 : S ( f , λ n , {ξ k (n)}) = F (b) − F (a).
Тому, внаслідок умови 1 і теореми 3,
b
F (b) − F (a ) = lim S ( f , λn , {ξ k (n)}) = ∫ f ( x)dx .
n →∞
a
Теорему 9 доведено.
Зауваження 9. Часто використовується таке позначення:
b
F (b) − F (a ) := F ( x)|a .
Відзначимо, що формула Ньютона-Лейбніца дає простий метод обчислення інтеграла
Рімана і робить інтегральне числення одним з найбільш ефективних знарядь математики при
розв’язуванні різноманітних задач.
9.5. Формули заміни змінної та інтегрування частинами.
Означення 6. Для довільної функції f визначеної на множині, яка включає точку a ,
a
покладемо ∫ f ( x)dx := 0 .
a
a
b
b
a
Для f ∈ R ([a; b]) , де a < b, покладемо ∫ f ( x) dx := − ∫ f ( x) dx .
При обчисленні інтеграла Рімана використовуються наступні твердження.
Теорема 10 (формула інтегрування частинами). Нехай функції u : [a; b] → R,
v : [a; b] → R, мають неперервні похідні на [a; b] . Тоді
a
b
b
∫ u ( x)v ′( x)dx = u ( x)v( x) |a − ∫ v( x)u ′( x)dx.
b
a
Зауваження. Коротко формулу інтегрування частинами записують так:
a
b
b
∫ udv = uv |a − ∫ vdu.
b
a
22
Теорема 11 (формула заміни змінної). Припустимо, що:
1) f ∈ C ([c; d ]) ;
2) функція ϕ : [α ; β ] → [c; d ] має неперервну похідну на [α;β].
Позначимо ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b . Тоді
t = ϕ ( x)
dt = ϕ ′( x)dx
β
∫ f (ϕ ( x))ϕ ′( x)dx =
x = α ⇒ t = a,
x = β ⇒ t = b.
α
b
= ∫ f (t )dt.
a
Наведемо приклади обчислення інтеграла Рімана.
1
Приклад 1. Обчислити ∫ xe dx.
x
0
Розв’язання. Застосуємо формулу інтегрування частинами:
1
x
∫ xe dx =
0
u = x, du = dx
1
dv = e x dx, v = e
1
1
= xe x |0 − ∫ e x dx = e − 0 − e x |0 = e − (e − 1) = 1
x
0
1
Приклад 2. Обчислити ∫ 1 − x dx.
2
0
Розв’язання. 1 спосіб. Застосуємо формулу заміни змінної:
π
1
∫
0
x = sin t , t ∈ [0; ], dx = cos tdt ,
2
π /2
2
1 − x dx = t = arcsin x, x = 0 ⇒ t = 0,
= ∫ cos 2 tdt =
x =1⇒ t =
π
2
0
.
1 + cos 2t
1
sin 2t π 2 π
)| = .
dt = (t +
2
2
2 0
4
0
π /2
= ∫
2 спосіб. Використаємо геометричну інтерпретацію інтеграла Рімана. Шуканий
інтеграл дорівнює площі частини круга x 2 + y 2 ≤ 1, яка лежить у першому квадранті. Тому
23
π
1
∫ 1 − x dx = 4 .
2
0
Наступний приклад показує, як інтеграл Рімана використовується для обчислення
границь деяких числових послідовностей.
Приклад 3. Обчислити lim a n , якщо a n =
n→∞
1
1
1
1
+
+
+ ... + .
n n +1 n + 2
3n
Розв’язання. Зауважимо, що
⎛ 1 1
1 1
1 1
1
1⎞ 1
⎟⎟ + .
an = ⎜⎜
...
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
0
2 n −1
1
2
1
n
1
n
1
n
1
n
+
+
+
+
n
n
n
n
⎠ 3n
⎝
(3)
2n − 1 2n
, } задає розбиття відрізка [a; b] = [0;2] на 2n
n
n
1
однакових відрізків, кожен з яких має довжину . Покладемо
n
Набір точок
f ( x) =
0 1 2
n n n
λn = { , , ,...,
1
, x ∈ [0;2];
1+ x
k
n
k k +1
], 0 ≤ k ≤ 2n − 1.
n n
ξ k ( n) = ∈ [ ;
Тоді, згідно з (3),
1
1
, λn ,{ξ k (n)}) + .
∀n ≥ 1 : a n = S (
1+ x
3n
Оскільки
| λn |=
f ∈ C ([0;2]) ,
то
внаслідок
теореми
1
f ∈ R([0;2]).
Також
1
→ 0, n → ∞. Тому з теореми 3 і теореми про арифметичні дії над границями
n
випливає, що
2
2
dx
+ 0 = ln(1 + x) |0 = ln 3 .
0 1+ x
lim a n = ∫
n →∞
9.6. Приклади застосування визначеного інтеграла.
1. Площа криволінійної трапеції. Якщо f : [ a; b] → R – невід’ємна і неперервна
на [ a; b] функція, то площа криволінійної трапеції
M = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x)}
обчислюється за формулою
24
b
S ( M ) = ∫ f ( x)dx.
a
2. Нехай { f , g} = C ([a; b]) і
∀x ∈ [a; b] : f ( x) ≤ g ( x).
Тоді площа фігури M = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, f ( x ) ≤ y ≤ g ( x )} обчислюється за формулою
b
S ( M ) = ∫ ( g ( x) − f ( x))dx.
a
3.
Довжина
кривої.
f ∈ C (1) ([a; b]),
Якщо
то
довжина
кривої
Γ = {( x, f ( x)) | a ≤ x ≤ b} обчислюється за формулою
b
l (Γ) = ∫ 1 + ( f ′( x)) 2 dx.
a
4. Нехай {ϕ ,ψ } ⊂ C
рівнянням
(1)
([a, b]). Тоді довжина кривої Γ , заданої параметричним
⎧ x = ϕ (t ),
t ∈ [a, b],
⎨
=
ψ
y
(
t
),
⎩
обчислюється за формулою
b
l (Γ) = ∫ (ϕ ′(t )) 2 + (ψ ′(t )) 2 dt.
a
5. Об’єм тіла обертання. Нехай f : [ a; b] → R – невід’ємна і неперервна на [ a; b]
функція. Тоді об’єм тіла T , утвореного обертанням навколо осі Ox криволінійної трапеції
{( x, y ) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x)} , обчислюється за формулою
b
V (T ) = π ∫ f 2 ( x)dx .
a
25
6. Площа поверхні обертання. Нехай f : [a; b] → R – невід’ємна і неперервно
диференційовна на [ a; b] функція. Тоді площа поверхні P, утвореної обертанням навколо
осі Ox кривої {( x, f ( x)) | a ≤ x ≤ b}, обчислюється за формулою
b
S ( P) = 2π ∫ f ( x) 1 + ( f ′( x)) 2 dx. .
a
7. Площа криволінійного сектора. Нехай 0 ≤ α ≤ β ≤ 2π , r ∈ C ([α , β ]). Фігура
яка
визначається
в
полярних
координатах
співвідношенням
F,
F = {< ρ ,ϕ >| α ≤ ϕ ≤ β , 0 ≤ ρ ≤ r (ϕ )} і зображена на рис. 3, називається криволінійним
сектором.
r (ϕ )
β
α
рис. 3
Площа криволінійного сектора F обчислюється за формулою
S (F ) =
заданої
в
полярних
координатах.
Нехай
0 ≤ α ≤ β ≤ 2π , r ∈ C ([α , β ]). Довжина кривої Γ = {< r (ϕ ), ϕ >| α ≤ ϕ ≤ β } , заданої в
полярних координатах, визначається за формулою
8.
Довжина
1β 2
∫ r (ϕ )dϕ .
2α
кривої,
(1)
β
l (Γ) = ∫ r 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ )) 2 dϕ .
α
9.7. Інтеграл як функція верхньої межі.
Нехай f ∈ R ([a; b]). Внаслідок теореми 5 f ∈ R ([a; x]) для кожного x ∈ (a; b], а
отже коректно визначена функція
26
x
ϕ ( x) = ∫ f (t )dt , x ∈ [a; b].
a
Відзначимо, що ϕ (a ) = 0.
x3
Приклад 1. Якщо f ( x) = x , x ∈ [0,1], то ϕ ( x ) = ∫ t dt =
, x ∈ [0,1].
3
0
x
2
2
x
Приклад 2. Нехай f ( x) = e , x ∈ [0,1], тоді ϕ ( x ) = ∫ e dt , x ∈ [0,1], причому
x2
функція ϕ не виражається через елементарні функції.
t2
0
Теорема 10. Якщо f ∈ R ([a; b]), то ϕ ∈ C ([a, b]) .
Доведення. Неперервність функції ϕ в точці x0 випливає з того, що з урахуванням
теорем 5, 6, 7 для кожного x ∈ [ a; b] , x ≥ x0
x
x0
x
a
a
x0
| ϕ ( x) − ϕ ( x0 ) |=| ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt | =| ∫ f (t )dt |≤
x
| f (t ) | ⋅( x − x0 ) → 0 , x → x0 ,
∫ | f (t ) | dt ≤ tsup
∈[ a ,b ]
x0
а для x ∈ [a; b] , x < x0 справджуються аналогічні співвідношення. Теорему 10 доведено.
Теорема 11. Якщо f ∈ C ([a, b]) , то ϕ неперервно диференційована на [ a, b] ,
причому
∀x ∈ [a; b] :
x
ϕ ′( x) = ( ∫ f (t )dt )′ = f ( x).
a
Доведення. Зафіксуємо x ∈ [ a; b]. Якщо Δx – таке, що ( x − Δx ) ∈ [a; b], Δx ≠ 0, то
внаслідок теореми про середнє значення
ϕ ( x + Δx ) − ϕ ( x )
Δx
=
=
x
1 x + Δx
1 x + Δx
( ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt ) =
∫ f (t )dt =
Δx a
Δ
x
a
x
1
f (θ (Δx)) ⋅ Δx → f ( x), Δx → 0 ,
Δx
бо θ ( Δx) лежить між x та x + Δx , а також функція f неперервна в точці x. Теорему 11
доведено.
27
Теорема 12 (про існування первісної). Якщо f ∈ C ([a, b]) , то f має первісну на
[ a, b] .
Доведення. З теореми 11 випливає, що первісною для f на [a, b] є функція ϕ . Теорему
12 доведено.
sin x
Приклад. Нехай F ( x) = ∫ e dt , t ∈ R. Обчислимо F ′(x) .
t2
0
y
Покладемо ϕ ( y ) = ∫ e dt , y ∈ R. Тоді F ( x ) = ϕ (sin x), x ∈ R, звідки з урахуванням
t2
0
теореми 11 матимемо F ′( x) = ϕ ′(sin x) cos x = e
sin 2 x
cos x .
9.8. Невласні інтеграли.
1. Невласний інтеграл по необмеженому інтервалу. Нехай f : [ a; ∞) → R – така
функція, що f ∈ R ([a, A]) для кожного A > a.
Означення 7. Якщо існує скінченна границя
A
lim ∫ f ( x)dx,
A→ +∞
(4)
a
то вона називається невласним інтегралом від функції
позначається
f по множині [a; ∞) і
+∞
+∞
a
a
∫ f ( x)dx. При цьому кажуть, що невласний інтеграл ∫ f ( x)dx збігається.
+∞
Якщо границя (4) не існує або нескінченна, то кажуть, що невласний інтеграл
∫ f ( x)dx
a
розбігається.
+∞
−x
Приклад 1. Невласний інтеграл ∫ e dx збігається, бо
0
+∞
−x
A
−x A
−x
(−e |0 ) = lim (1 − e
∫ e dx = Alim
∫ e dx = Alim
A→ +∞
→ +∞
→ +∞
0
−A
) = 1.
0
+∞
dx
збігається при α > 1 і розбігається при α ≤ 1.
α
1 x
Вправа 1. Довести, що ∫
28
2. Невласний інтеграл від необмеженої функції. Нехай f : [ a; b) → R – така
функція, що f ∈ R ([a, c]) для кожного c ∈ ( a, b) і f необмежена на множині [a, b) .
Означення 8. Якщо існує скінченна
c
lim ∫ f ( x)dx,
c →b − 0
(5)
a
то вона називається невласним інтегралом від функції f по множині [a, b) і позначається
b
b
a
a
∫ f ( x)dx . При цьому кажуть, що невласний інтеграл ∫ f ( x)dx збігається. Якщо границя
b
(5) не існує або нескінченна, то кажуть, що невласний інтеграл ∫ f ( x )dx розбігається.
a
Зауваження. Якщо f : ( a; b] → R
c ∈ (a, b) і f необмежена на (a, b] , то
– така функція, що f ∈ R ([c, b]) для кожного
b
b
∫ f ( x)dx := lim ∫ f ( x)dx,
c →a + 0
a
c
якщо ця границя існує і скінченна.
1
Приклад 2. Невласний інтеграл ∫ ln xdx збігається, бо
0
1
1
1
∫ ln xdx = lim ∫ ln xdx = lim ( x ln x − x |c) = lim (−1 − c ln c + c) = −1.
0
c →0 + 0
c →0 + 0
c
c →0+ 0
1
dx
збігається при α < 1 і розбігається при α ≥ 1.
α
0 x
Вправа 2. Довести, що ∫
Задачі
9A
Обчислити визначені інтеграли (1-4):
2
1.
∫ |1 − x | dx ;
0
π
2.
∫ x sin xdx ;
0
29
9
3.
xdx
∫1+ x ;
2
1
π
4.
∫ sin mx sin nxdx , якщо m, n – цілі числа.
−π
Обчислити площі фігур, обмежених кривими (5-7):
5. y = x 2 , x + y = 2 ;
6. y = 2 x − x 2 , x + y = 0 ;
7. ρ 2 = 18cos 2ϕ .
Обчислити довжини дуг кривих (8-10):
8. y = x 3/ 2 , x ∈ [ 0; 4] ;
9. x = a (t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) , t ∈ [ 0; 2π ] ;
10. ρ = 4eϕ , ϕ ∈ [ 0; α ] .
11. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями y = 2 x − x 2 ,
y = 0 , навколо: 1) осі Ox; 2) осі Oy.
12. Обчислити площу поверхні, отриманої обертанням кривої y = 2 x , x ∈ [1; 2] , навколо
осі Ox .
Обчислити невласні інтеграли (або встановити їх розбіжність) (13-16):
+∞
dx
∫ 1+ x ;
13.
2
0
1
dx
∫ 1− x ;
14.
−1
2
15. ∫
1
+∞
2
dx
;
x −1
16. ∫ sin xdx .
0
9Б
Обчислити визначені інтеграли (1-4):
2
1.
∫ 4 − x dx ;
2
−2
2
2.
∫ xe dx ;
3x
0
30
9
xdx
∫ 1+ x ;
3.
4
1
2π
∫ sin mx cos nxdx , якщо m, n – цілі числа.
4.
0
Обчислити площі фігур, обмежених кривими (5-7):
5. y = lg x , y = 0 , x = 10 , x = 1/10 ;
6. y = ( x + 1) 2 x = sin π y , y = 0 , 0 ≤ y ≤ 1 ;
7. ρ = 9 cos 2ϕ .
Обчислити довжини дуг кривих (8-10):
8. y 2 = 4 x, x ∈ [ 0; 4] ;
9. x = a(cos t + t sin t ) , y = a (sin t − t cos t ) , t ∈ [ 0; 2π ] ;
10. ρ = 5ϕ , ϕ ∈ [ 0; π ] .
x2 y 2
+
= 1 навколо:
a 2 b2
11. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням еліпса
2) осі Oy.
1) осі Ox;
12. Обчислити площу поверхні, отриманої обертанням кривої y = sin x, x ∈ [ 0; π / 3] , навколо
осі Ox .
Обчислити невласні інтеграли (або встановити їх розбіжність) (13-14):
+∞
13.
∫ x2 dx ;
−x
0
2
dx
.
1 x ln x
14. ∫
9Д
Обчислити границі послідовностей:
2 n −1
1 n k
;
∑
n →∞ n
k =1 k + n
n →∞
1
3. Порівняти числа
n
.
2
k =0 k + n
2. lim ∑
1. lim
2
1
−x
∫ e dx та ∫ e dx .
−x
0
2
0
4. Обчислити довжину дуги кривої ρ = aebϕ , ϕ ∈ ( −∞;0] , де a, b – фіксовані додатні числа.
31
Розділ 10. Числові ряди
10.1 Основні означення. Необхідні умови збіжності числового ряду.
Нехай {a n : n ≥ 1} – числова послідовність. Числовим рядом називається вираз
∞
a1 + a 2 + ... + a n + ... =: ∑ a n .
(1)
n =1
Додати звичайним чином нескінченну кількість чисел не можна. Тому треба визначити,
яким чином підсумовувати числовий ряд.
Для кожного n ∈ N покладемо
n
S n := a1 + a2 + ... + an =: ∑ ak .
k =1
Число an називається n -м членом, а число S n – n -ою частковою сумою ряду (1).
Означення 1. Якщо послідовність ( S n ) збігається до дійсного числа S , то кажуть, що ряд
(1) збігається і його сума дорівнює S . Якщо послідовність ( S n ) не має скінченої границі, то
ряд (1) називається розбіжним.
∞
1
збігається і його сума дорівнює 1.
n =1 n( n + 1)
Приклад 1. Доведемо, що ряд ∑
Справді, для кожного n ≥ 1
1 ⎞
1
1
1
1
⎛1
⎛ 1⎞ ⎛ 1 1⎞
,
+
+ ... +
= ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ −
⎟ = 1−
1⋅ 2 2 ⋅ 3
n(n + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠
n +1
⎝ n n + 1⎠
а отже, lim S n = 1.
Sn =
n →∞
Теорема 1 (перша необхідна умова збіжності числового ряду). Якщо ряд
∞
∑ an
n =1
збігається, то a n → 0, n → ∞ .
Доведення. Для кожного n ≥ 2
S n − S n−1 = (a1 + a2 + ... + an ) − (a1 + a2 + ... + an−1 ) = an ,
а також за умовою теореми існує таке S ∈ R , що S n → S , n → ∞ .
Тому an = S n − S n −1 → S − S = 0, n → ∞ . Теорему 1 доведено.
∞
Наслідок 1. Якщо an →
/ 0, n → ∞ , то ряд ∑ an розбігається.
n =1
Теорема 2 (друга необхідна умова збіжності числового ряду). Якщо ряд
∞
∑ an
n =1
збігається, то S 2 n − S n → 0, n → ∞ .
32
Доведення. За умовою теореми існує таке S ∈ R , що S n → S , n → ∞ . Тому
S 2 n − S n → S − S = 0, n → ∞ . Теорему 2 доведено.
Приклад 2. Геометричний ряд. Зафіксуємо дійсні числа a ≠ 0, q . Геометричним рядом
називається ряд
a + aq + aq + ... + aq
2
n −1
∞
+ ... = ∑ aq n −1 .
n =1
Доведемо, що геометричний ряд розбігається при q ≥ 1 і збігається при q < 1 до суми
a
.
1− q
Якщо q ≥ 1 , то a n = aq
n −1
→
/ 0, n → ∞ , а отже, геометричний ряд розбігається.
Нехай q < 1 . Скориставшись формулою суми n перших членів геометричної прогресії,
матимемо:
S n = a + aq + ... + aq n −1 =
a (1 − q n )
a
→
, n → ∞.
1− q
1− q
∞
1
називається гармонійним рядом. Доведемо, що
n =1 n
Приклад 3. Гармонійний ряд. Ряд ∑
гармонійний ряд розбігається.
Справді, для кожного n ≥ 1
1
1
1
1
1
1
+ ... + +
+ ... + ) − (1 + + ... + ) =
n
2
n n +1
2n
2
1
1
1
1 1
=
+
+ ... +
≥n⋅
= .
n +1 n + 2
2n
2n 2
Тому S 2 n − S n →
/ 0, n → ∞ , тобто для гармонійного ряду не виконується друга
S 2 n − S n = (1 +
необхідна умова збіжності числового ряду.
Зауваження 1. Приклад 3 показує, що коли a n → 0 , n → ∞ , то ряд
обов’язково збігається.
∞
∑ an не
n =1
10.2. Критерій Коші збіжності числового ряду.
Застосувавши до послідовності часткових сум ряду критерій Коші, збіжності числової
послідовності, можна переконатися, що справджується така теорема.
∞
Теорема 3 (критерій Коші збіжності числового ряду). Для того, щоб ряд ∑ a n збігався,
n =1
необхідно і достатньо, щоб
∀ε > 0
∃ n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∀p ≥ 1 : a n +1 + a n + 2 + ... + a n + p < ε .
33
∞
sin n
.
n =1 n ( n + 1)
Вправа 1. Довести збіжність ряду ∑
10.3. Властивості збіжних рядів.
∞
∞
Теорема 4 (про арифметичні дії з рядами). Нехай ∑ a n , ∑ bn – збіжні ряди. Тоді:
n =1
n =1
∞
∞
∞
1) для довільного c ∈ R ряд ∑ (can ) збігається і ∑ (can ) = c ∑ a n ;
n =1
n =1
n =1
∞
∞
∞
∞
n =1
n =1
n =1
n =1
2) ряд ∑ ( a n + bn ) збігається і ∑ ( a n + bn ) = ∑ a n + ∑ bn .
Доведення теореми 4 випливає з означення збіжного ряду і теореми про арифметичні дії з
границями для послідовностей.
Вправа 2. Довести, що коли ряд
∞
∞
n =1
n =1
∑ an збігається, а ряд ∑ bn розбігається, то ряд
∞
∑ (an + bn ) розбігається, тобто ряд, отриманий почленним додаванням збіжного та
n =1
розбіжного ряду, обов’язково розбігається.
Вправа 3. Навести приклад двох розбіжних рядів, для яких отриманий їхнім почленним
додаванням ряд збігається.
∞
Означення 2. Для ряду ∑ a n і числа m ∈ N ряд
n =1
∞
a m +1 + a m + 2 + ... + a m+ p + ... = ∑ a k
(2)
k = m +1
називається m -им залишком початкового ряду.
Теорема 5 (про залишок ряду). Справджуються такі твердження.
∞
1) Якщо ряд ∑ a n збігається, то будь-який його залишок теж збігається.
n =1
2) Якщо для деякого m ∈ N залишок (2) збігається, то початковий ряд теж збігається.
3) Якщо ряд
m→∞.
∞
∑ an збігається, то сума його m -ого залишка прямує до нуля при
n =1
∞
Доведення. 1) Нехай ряд ∑ an збігається до суми S . Зафіксуємо m ∈ N і позначимо
n =1
S p (m) p -ту часткову суму залишку (2), тобто S p (m) = am +1 + am + 2 + ... + am + p .
Якщо S n → S , n → ∞ , то S p (m) → S − S m , p → ∞ , тобто залишок (2) збігається.
через
Позначивши його суму через rm , робимо висновок, що
34
rm = S − S m .
(3)
2) Нехай при фіксованому m залишок (2) збігається, і його сума дорівнює rm , тобто
S p (m) → rm , p → ∞ . Оскільки при n ≥ m + 1
S n = (a1 + a2 + ... + am ) + (am +1 + am + 2 + ... + an ) = Sm + Sn − m (m) ,
∞
то S n → S m + rm , n → ∞ , тобто ряд ∑ an збігається до суми S = S m + rm .
n =1
∞
3) Якщо ряд ∑ a n збігається, то внаслідок (3) rm = S − S m → S − S = 0, m → ∞ . Теорему 5
n =1
доведено.
10.4. Ряди з невід’ємними членами.
∞
Якщо a n ≥ 0 для кожного n ≥ 1 , то ряд ∑ an називається рядом з невід’ємними
n =1
членами. У цьому пункті вивчається питання про збіжність такого ряду.
Теорема 6 (критерій збіжності ряду з невід’ємними членами). Нехай a n ≥ 0 для
∞
кожного n ≥ 1 . Для того, щоб ряд ∑ a n збігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність
n =1
його часткових сум ( S n ) була обмеженою.
∞
Доведення. Необхідність. Нехай ряд ∑ an збігається. Тоді послідовність ( S n ) збіжна, а
n =1
отже, вона обмежена.
Достатність. Нехай послідовність ( S n ) обмежена. Оскільки
∀n ≥ 1 : Sn +1 = Sn + an +1 ≥ Sn ,
то послідовність ( S n ) також неспадна. Тому послідовність ( S n ) збіжна за теоремою про
границю монотонної послідовності. Теорему 6 доведено.
Зауваження 2. Із доведення теореми 6 випливає, що коли ряд з невід’ємними членами
∞
∑ an збігається до суми S , то Sn ≤ S для кожного n ≥ 1 .
n =1
У подальшому використовується така лема.
Лема 1. Нехай
послідовність, що
∞
∑ an – збіжний ряд з невід’ємними членами, {d n : n ≥ 1} – така
n =1
∃ α > 0 ∀n ≥ 1: 0 ≤ d n ≤ α .
∞
Тоді ряд ∑ d n a n збігається.
n =1
35
∞
∞
n =1
n =1
~
Доведення. Позначимо часткові суми рядів ∑ a n і ∑ d n a n відповідно через S n та S n . Із
умов леми і зауваження 2 випливає, що
n
n
~
∀n ≥ 1 : Sn = ∑ d k ak ≤ ∑ α ak = α S n ≤ α S ,
k =1
∞
де S – сума ряду ∑ an . Тому ряд
n =1
k =1
∞
∑ d n an збігається за критерієм збіжності ряду з
n =1
невід’ємними доданками. Лему 1 доведено.
Теорема 7 (1-ша ознака порівняння). Нехай ∀n ≥ 1 : 0 ≤ an ≤ bn . Тоді справджуються
такі твердження.
∞
∞
n =1
n =1
1) якщо ряд ∑ bn збігається, то ряд ∑ an теж збігається;
∞
∞
2) якщо ряд ∑ an розбігається, то ряд ∑ bn теж розбігається.
n =1
n =1
∞
Доведення. 1) Нехай ряд ∑ bn збігається. Покладемо d n =
n =1
bn = 0 . Тоді внаслідок умови теореми
∀n ≥ 1 : 0 ≤ d n ≤ 1,
an
, bn ≠ 0 , і d n = 0 , коли
bn
d n ⋅ bn = an .
∞
Тому ряд ∑ an збігається за лемою 1.
n =1
Твердження 2) теореми рівносильне твердженню 1). Теорему 7 доведено.
Теорема 8 (2-га ознака порівняння). Припустимо, що виконуються такі умови:
1) ∀n ≥ 1 : an > 0, bn > 0 ;
an
= α , причому 0 < α < +∞ .
n →∞ b
n
2) існує lim
∞
∞
n =1
n =1
Тоді ряди ∑ an і ∑ bn одночасно або збігаються, або розбігаються.
Доведення. Нехай
∞
∞
n =1
n =1
α < +∞ і ряд ∑ bn збігається. Перевіримо, що ряд ∑ an теж
збігається. Покладемо d n =
an
, n ≥ 1 . Із умов теореми випливає, що послідовність (d n )
bn
∞
∞
n =1
n =1
невід’ємна й обмежена. Тому внаслідок леми 1 ряд ∑ d n bn = ∑ a n збігається.
36
∞
bn 1
= < +∞ , а отже, із збіжності ряду ∑ an за доведеним
n →∞ a
α
n =1
n
Якщо α > 0 , то існує lim
∞
вище випливає, що ряд ∑ bn теж збігається. Теорему 8 доведено.
n =1
Зауваження 3. Із доведення теореми 8 випливає, що коли an > 0, bn > 0 для кожного
n ≥1 і
∞
∞
an
→ 0 , n → ∞ , то зі збіжності ряду ∑ bn випливає збіжність ряду ∑ an .
bn
n =1
n =1
Теорема 9 (ознака Коші збіжності ряду з невід’ємними членами). Нехай члени ряду
∞
∑ an задовольняють такі умови:
n =1
1) ∀n ≥ 1 : an ≥ 0 ;
2) існує lim n an = ρ .
n→∞
Якщо ρ < 1 , то початковий ряд збігається.
Якщо ρ > 1, то початковий ряд розбігається.
Доведення. Нехай ρ < 1 . Зафіксуємо дійсне число r , яке задовольняє нерівність
ρ < r < 1 . Із умови 2 і означення границі послідовності випливає, що
∃ n0 ∈ N
звідки 0 ≤ a n ≤ r
n
∀n ≥ n0 : n an ≤ r ,
для кожного n ≥ n0 . Оскільки r < 1 , то геометричний ряд
∞
∑rn
n =1
збігається. Тому з 1-шої ознаки порівняння і теореми про залишок ряду випливає, що ряд
∞
∑ an теж збігається.
n =1
Якщо ρ > 1 , то із умови 2 і означення границі послідовності випливає, що
∃ n0 ∈ N ∀n ≥ n0 :
an ≥ 1 .
Тому a n ≥ 1 для кожного n ≥ n0 . Звідси робимо висновок, що a n →
/ 0 , n → ∞ , а отже, ряд
n
∞
∑ an розбігається. Теорему 9 доведено.
n =1
Зауваження 4. якщо при перевірці умов ознаки Коші дістанемо ρ = 1, то про поведінку
початкового ряду нічого певного сказати не можна.
∞
1
, але перший з них розбігається, а
n =1 n ( n + 1)
Справді, ρ = 1 для рядів 1 + 1 + ... + 1 + ... і ∑
другий – збігається.
37
Теорема 10 (ознака д’Аламбера збіжності ряду з невід’ємними членами). Нехай члени
∞
ряду ∑ a n задовольняють такі умови:
n =1
1) ∀n ≥ 1 : an > 0 ;
an +1
= ρ.
n →∞ a
n
Якщо ρ < 1 , то початковий ряд збігається.
Якщо ρ > 1 , то початковий ряд розбігається.
2) існує lim
Зауваження 5. Якщо при перевірці умов ознаки д’Аламбера дістанемо ρ = 1, то про
поведінку початкового ряду нічого певного сказати не можна.
Зауваження 6. Відзначимо, що коли в ознаці Коші або ознаці д’Аламбера ρ > 1, то
додатково an →
/ 0, n → ∞ .
Теорема 11 (інтегральна ознака Маклорена-Коші). Нехай m – фіксоване натуральне
∞
число, f : [ m;+∞) → R – невід’ємна і незростаюча на [ m;+∞) функція. Тоді ряд ∑ f ( n)
n=m
+∞
збігається у тому і тільки в тому випадку, коли збігається невласний інтеграл ∫ f ( x) dx .
1
Ідея доведення. Нехай m = 1 . З геометричної точки зору
+∞
∫ f ( x)dx дорівнює площі
1
S (M ) , зображеної на рис.1 необмеженої криволінійної трапеції M .
Рис. 1
Y
1
Нехай ряд
2
3
4
5
6
7
X
∞
∑ f (n) збігається. Сума цього ряду дорівнює сумі площ прямокутників,
n=m
зображених на рис.2.
38
Рис. 2
Y
1
2
3
4
5
7
6
∞
+∞
n =1
1
X
Оскільки S (M ) ≤ ∑ f ( n) , то ∫ f ( x)dx збігається.
∞
∞
+∞
n =1
n=2
1
Нехай ряд ∑ f ( n) розбігається. Згідно з рис. 3, S ( M ) ≥ ∑ f (n) , а отже, ∫ f ( x)dx теж
розбігається.
Рис. 3
Y
1
2
3
4
5
6
7
X
Приклад 4. Узагальнений гармонійний ряд. Ряд
∞
1
∑ nα , де α ∈ R , називається
n =1
узагальненим гармонійним рядом. Доведемо, що цей ряд збігається при α > 1 і розбігається
при α ≤ 1 .
Нехай α > 1 . Тоді функція f ( x ) =
1
, x ∈ [1;+∞) , невід’ємна і незростаюча на [1;+∞) ,
xα
+∞
а також
∞
dx
1
збігається
.
Тому
ряд
збігається за інтегральною ознакою Маклорена∑
∫ xα
α
n
=1
n
1
Коші.
∞
1
Якщо α = 1 , то отримаємо гармонійний ряд ∑ , який розбігається (див. приклад 3).
n =1 n
Нехай α < 1 . Тоді 0 <
шою ознакою порівняння.
∞
1 1
1
≤ α для кожного n ≥ 1 . Тому ряд ∑ α розбігається за 1n n
n =1 n
39
Вправа 4.
∞
За допомогою інтегральної ознаки Маклорена-Коші довести, що ряд
1
∑ n lnα n , де α ∈ R , збігається при α > 1 і розбігається при α ≤ 1 .
n=2
У наступних прикладах показано, як досліджувати на збіжність числові ряди за
допомогою наведених вище ознак порівняння та ознак збіжності.
∞
n
.
n =1 ln(n + 1)
Приклад 5. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑
Розв’язання. Оскільки an =
an →
/ 0, n → ∞ .
n
→ +∞ , n → ∞ , то початковий ряд розбігається, бо
ln(n + 1)
∞
2n
.
n =1 n!
Приклад 6. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑
Розв’язання. Скористаємося ознакою д’Аламбера. Відзначимо, що a n =
кожного n ≥ 1 , а також
2n
>0
n!
an +1
2n +1 n!
2
=
⋅ n=
→ 0, n → ∞ .
an
(n + 1)! 2 n + 1
Отже, ρ = 0 < 1 , тому початковий ряд збігається за ознакою д’Аламбера.
n − 2 cos 2 n − 1
Приклад 7. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑
.
4
n =1 3n + ln n + 1
∞
Розв’язання. 1 спосіб. Скористаємося 2-гою ознакою порівняння. Оскільки
2 cos 2 n 1
−
n − 2 cos n − 1 1
n
n,
an =
= 3⋅
4
ln
n
1
3n + ln n + 1 n
3+ 4 + 4
n
n
1
то a n > 0 при кожному n ≥ 3 і an → 0, n → ∞ . Покладемо bn = 3 , n ≥ 3 . Тоді
n
2
2 cos n 1
−
1−
an
n
n → 1, n→∞,
=
ln n 1
3
bn
3+ 4 + 4
n
n
1−
2
40
для
причому ряд
∞
∞
1
збігається як залишок узагальненого гармонійного ряду з
3
n =3 n
∑ bn = ∑
n =3
α = 3 > 1. Тому, з урахуванням теореми про залишок ряду, початковий ряд збігається за 2гою ознакою порівняння.
2 спосіб. Скористаємося 1-шою ознакою порівняння. Відзначимо, що
причому ряд
∞
n − 2 cos 2 n − 1
n
1
∀n ≥ 3 : 0 ≤ an =
≤ 4 ≤ 3,
4
3n + ln n + 1 3n
3n
1
∑ n збігається. Отже, з урахуванням теореми про залишок ряду, початковий
n =3
3
ряд збігається за 1-шою ознакою порівняння.
∞
ln 2 n
.
3/ 2
n =3 n
Приклад 8. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑
Розв’язання. 1 спосіб. Скористаємося 1-шою ознакою порівняння. Зауважимо, що
∀n ≥ 1: an =
ln 2 n
1 ln 2 n
=
⋅
≥ 0,
n 3 / 2 n 5 / 4 n1/ 4
(4)
ln 2 n
а також 1 / 4 → 0 , n → ∞ . Тому
n
∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : 0 ≤ an ≤
∞
∞
1
n =1
n =1
n5 / 4
Оскільки ряд ∑ bn = ∑
1
n5 / 4
.
збігається, то, з урахуванням теореми про залишок ряду,
початковий ряд збігається за 1-шою ознакою порівняння.
2 спосіб. Покладемо bn =
1
, n ≥ 1 . Внаслідок (4)
n5 4
a n ln 2 n
= 1/ 4 → 0 , n → ∞ .
bn
n
Тому початковий ряд збігається за зауваженням 3.
∞
1
.
n =1 n ln(n + 1)
Приклад 9. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑
Розв’язання. Відзначимо, що an =
n → ∞ . Покладемо bn =
1
> 0 при кожному n ≥ 1 і a n → 0 ,
n ln(n + 1)
1
, n ≥ 2 . Тоді
n ln n
an
ln n
=
→ 1, n → ∞ ,
bn ln(n + 1)
41
(5)
бо за 2-м правилом Лопіталя
ln x
1/ x
1
= lim
= lim (1 + ) = 1 .
x → +∞ ln( x + 1)
x → +∞ 1 /( x + 1)
x → +∞
x
lim
Ряд
∞
∞
n=2
n=2
1
∑ bn = ∑ n ln n розбігається за інтегральною ознакою Маклорена-Коші (див.
вправу 4). Тому внаслідок (5) початковий ряд збігається за 2-гою ознакою порівняння.
Зауваження 7. Відзначимо, що ряд із прикладу 9 не можна дослідити на збіжність за
допомогою ознаки Коші або ознаки д’Аламбера (отримаємо ρ = 1 ), а пряме застосування
інтегральної ознаки Маклорена-Коші зводить початкову задачу до рівносильної за
+∞
dx
.
x
ln(x
+
1
)
1
складністю задачі щодо дослідження на збіжність невласного інтеграла ∫
10.5. Ряди з довільними членами.
Якщо члени ряду починаючи з деякого номера зберігають знак, то за допомогою теореми
про арифметичні дії з рядами та теореми про залишок ряду задача про дослідження на
збіжність такого ряду зводиться до задачі про дослідження на збіжність ряду з невід’ємними
доданками. Суттєво новий випадок виникає, коли ряд має нескінченну кількість як додатних,
так і від’ємних членів.
∞
∞
Означення 3. Ряд ∑ an називається абсолютно збіжним якщо збігається ряд ∑ a n .
n =1
n =1
∞
∞
n =1
n =1
Означення 4 . Ряд ∑ a n називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд ∑ an
розбігається.
Вправа 5. Довести, що коли члени ряду, починаючи з деякого номера, зберігають знак, то
ряд не може збігатися умовно.
∞
Теорема 12. Якщо ряд ∑ an абсолютно збігається, то він збігається, а також
n =1
∞
∞
n =1
n =1
∑ an ≤ ∑ an .
(6)
∞
Доведення. За умовою теореми ряд ∑ an збігається. Оскільки
n =1
∀n ∈ N ∀p ∈ N : an +1 + an + 2 + ... + an + p ≤ an +1 + an + 2 + ... + an + p ,
∞
то, скориставшись критерієм Коші збіжності числового ряду, робимо висновок, що ряд ∑ an
n =1
збігається.
42
n
n
k =1
k =1
Перейшовши в нерівностях ∑ a k ≤ ∑ a k , n ≥ 1 , до границі при n → ∞ і врахувавши
означення суми ряду, дістанемо нерівність (6). Теорему 12 доведено.
Теорема 13 (ознака Лейбніца збіжності знакопочергового ряду). Нехай послідовність
{β n : n ≥ 1} задовольняє такі умови:
1) ∀n ≥ 1 : 0 ≤ β n +1 ≤ β n ;
2) β n → 0, n → ∞ .
Тоді ряд
∞
β1 − β 2 + β 3 − ... + (−1) n +1 β n + ... = ∑ (−1) n +1 β n
(7)
n =1
збігається.
Доведення. Спочатку перевіримо, що послідовність часткових сум ряду (7) з парними
номерами ( S 2k ) збіжна. Справді,
∀k ≥ 1 : S 2 ( k +1) = S 2 k + β 2 k +1 − β 2 ( k +1) ≥ S 2 k ,
бо β 2 k +1 − β 2 ( k +1) ≥ 0 за умовою 1). Також внаслідок умови 1) для кожного k ≥ 1
S2 k = β1 − ( β 2 − β 3 ) − ( β 4 − β 5 ) − ... − ( β 2 k − 2 − β 2 k −1 ) − β 2 k ≤ β1 .
(8)
Тому послідовність ( S 2 k ) неспадна і обмежена, а отже, ця послідовність збіжна за теоремою
про границю монотонної послідовності.
Таким чином, існує таке S ∈ R , що
S2 k → S , k → ∞ .
Також, з урахуванням умови 2,
S2k +1 = S 2 k + β 2 k +1 → S , k → ∞
Доведемо, що S n → S , n → ∞ . Нехай ε > 0 задано. Внаслідок (9), (10)
∃k1 ∈ N ∀k ≥ k1 : S 2 k − S < ε ;
(9)
(10)
∃k 2 ∈ N ∀k ≥ k 2 : S 2 k +1 − S < ε .
Покладемо n0 = 2 max{k1 , k2 } + 1 . Тоді
∀n ≥ n0 : S n − S < ε .
Теорему 13 доведено.
Зауваження 8. Аналогічно (8) можна перевірити, що при виконанні умов 1), 2) теореми 13
для m -го залишку ряду (7) справджується оцінка rm ≤ β m +1 . Ця оцінка важлива для
наближеного обчислення суми ряду (7).
(−1) n +1
, який називається рядом Лейбніца, збігається
n
n =1
∞
Вправа 5. Довести, що ряд ∑
умовно.
43
Приклад
Дослідити
11.
∞
на
абсолютну
й
умовну
збіжність
збігається
заданий
ряд
числовий
ряд
1
∑ (−1)n +1 n sin n2 .
n =1
Розв’язання.
1)
an = (−1) n +1 n sin
∞
Перевіримо,
чи
абсолютно.
Оскільки
1
1
1
, то | a n |= n sin 2 , n ≥ 1 . Покладемо bn = , n ≥ 1. Тоді
2
n
n
n
1
sin
an
n 2 → 1, n → ∞ .
=
1
bn
n2
∞
∞
1
розбігається (це гармонійний ряд). Тому ряд ∑ a n розбігається за 2-гою
n =1 n
n =1
Ряд ∑ bn = ∑
n =1
ознакою порівняння.
Отже, початковий ряд не збігається абсолютно.
2) Перевіримо, чи збігається початковий ряд умовно. Цей ряд є знакопочерговим з
1
β n = n sin 2 , n ≥ 1 . Застосуємо ознаку Лейбніца збіжності знакопочергового ряду. Для
n
1
перевірки умови 1) цієї ознаки розглянемо функцію f ( x) = x sin 2 , x ∈ [1;+∞) . Зауважимо,
x
що
1
2
1
1
2
1
1 ⎛
2⎞
⎟<0
f ' ( x) = sin 2 − 2 cos 2 ≤ 2 − 2 cos 2 ≤ 2 ⎜⎜1 − 2
2 ⎟⎠
x
x
x
x
x
x
x ⎝
при 0 <
2
π
1 π
при 0 < t ≤ . Тому функція f строго спадає на
≤ , бо sin t < t , cos t ≥
2
4
x
2
4
⎛ 2
⎞
,+∞ ⎟ , а отже,
⎜
⎝ π
⎠
Також β n =
∞
1
.
n
∀n ≥ 2 : 0 < β n +1 < β n .
1
n 2 → 0, n → ∞ . Отже, з урахуванням теореми про залишок ряду, ряд
1
n2
sin
1
∑ (−1) n +1n sin n 2 збігається за ознакою Лейбніца збіжності знакопочергового ряду.
n =1
Таким чином, початковий ряд збігається умовно.
10.6. Групування і перестановка членів ряду.
Значення скінченної суми чисел не зміниться, якщо згрупувати або переставити
доданки. Для числового ряду це, взагалі кажучи, неправильно. Наприклад, ряд 1-1+1-1+…
розбігається, але отриманий з нього групуванням доданків (тобто, розстановкою дужок) ряд
44
(1 − 1) + (1 − 1) + ... + (1 − 1) + ...
збігається. Відзначимо, що членами останнього ряду є значення скінченних сум, записаних в
дужках.
Справджуються такі теореми.
Теорема 14. У збіжному ряді можна довільним чином розставляти дужки (тобто,
групувати доданки без зміни їхнього порядку). Отриманий ряд збігається до тієї самої суми,
що й початковий.
Теорема 15. У ряді з невід’ємними членами можна довільним чином переставляти члени
ряду. Отриманий ряд збігається до тієї ж суми, що й початковий, якщо початковий ряд
збігається, і розбігається у випадку, коли початковий ряд розбігається.
Теорема 16. В абсолютно збіжному ряді можна довільним чином переставляти доданки.
Отриманий ряд збігається до тієї самої суми, що ї початковий.
Теорема 17 (теорема Рімана). Якщо числовий ряд збігається умовно, то для кожного
S ∈ R ∪ {− ∞;+∞} існує така перестановка членів ряду, що отриманий після цієї
перестановки ряд збігається до S .
Доведення усіх теорем, а також інші ознаки збіжності числових рядів та приклади їхнього
застосування можна знайти, наприклад, в [1,2].
Задачі
10А
Обчислити суми рядів (1-4):
∞
(−1) n−1
;
∑
2n
n =1
∞
1
2. ∑ n / 2 ;
n =1 3
∞
3.
1.
1
∑ (2n − 1)(2n + 1) ;
n =1
∞
4.
1
∑ n(n + 2) .
n =1
Використовуючи необхідну ознаку збіжності та ознаки порівняння дослідити на збіжність
такі ряди (5-10):
∞
∞
sin n
5. ∑ n ;
n =1 2
8.
∞
n
6. ∑
;
n = 2 ln n
∞
n + cos n
;
7. ∑
n3n
n =1
9.
n
∑ n − n +1 ;
n =1
4
∞
ln n
∑ n ;
n=2
∞
10.
l
∑ n (e
1/ n
− 1) .
n=2
Використовуючи ознаки д’Ааламбера або Коші дослідити на збіжність такі ряди (11-16):
2n + 1
;
∑
2n
n =1
∞
11.
∞
12.
45
5n / 3
;
∑
n =1 n !
∞
13.
nn
;
∑
n
n =1 n !2
n
⎛ n +1 ⎞
15. ∑ ⎜
⎟ ;
n =1 ⎝ 2 n + 1 ⎠
∞
n3
16. ∑
.
n
n
(2
+
1)
n =1
∞
n
∞
l⎞
⎛
14. ∑ ⎜ arcsin ⎟ ;
n⎠
n =1 ⎝
Використовуючи інтегральну ознаку Маклорена-Коші дослідити на збіжність такі ряди
(17-18):
∞
17.
∞
1
;
∑
n = 2 n ln n
18.
1
∑ n ln n .
n=2
2
Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряди (19-22):
(−1) n−1
19. ∑
;
n =1 2n + 1
∞
(−1) n
(−1) n 2n
21. ∑
;
n4
n =1
∞
(−1) n−1
.
22. ∑
n =1 ln( n + 1)
∞
20.
∞
∑ n +1 ;
3
n =1
10Б
Обчислити суми рядів (1-3):
2n + 1
;
∑
2
2
n =1 n ( n + 1)
∞
1.
∞
2.
∞
1
;
∑
n =1 (3n − 2)(3n + 1)
3.
n =1
Дослідити на збіжність ряди (3-11):
∞
4.
n
∑ n − 4n + 3
n =1
∞
5.
8.
1
∑ n sin 2 ;
n =1
∞
6.
6
2n + 1
;
∑
n!
n =1
∞
n!
9. ∑ n ;
n =1 n
∞
n
10. ∑ tg n ;
2
n =1
∞
1
11. ∑
.
2
n =1 n ln ( n + 2)
∞
;
n
1 ⋅ 3 ⋅K ⋅ (2n − 1)
;
3 n n!
n =1
∑
n2
1 ⎛ n +1⎞
7. ∑ n ⎜
⎟ ;
n =1 3 ⎝ n ⎠
∞
Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряди (12-15):
∞
(−1) n−1
12. ∑
;
2
n =1 (2n + 1)
∞
(−1) n
∞
13.
14.
n
n =1
(−1) n −1 n
.
∑
n =1 ln( n + 1)
∞
∑ 2n + 1 ;
n =1
1
∑ (−1) sin n ;
15.
2
46
1
∑ n(n + 3) .
10Д
Дослідити на збіжність ряди (1-4):
∞
n +1 − n
;
1. ∑
2n + 1
n =1
∞
nn
;
2. ∑
n =1 (2n)!
∞
3.
n =1
∞
4.
1
∑2
n
;
1
∑ n ln n ln(ln n) .
n =1
∞
∞
5. Довести, що коли ряд ∑ an абсолютно збігається, то ряд ∑ an2 теж збігається.
n +1
n +1
∞
∞
∞
n +1
n +1
n +1
6. Нехай ряди ∑ an2 та ∑ bn2 збігаються. Довести, що тоді ряд ∑ anbn абсолютно
збігається.
Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряди (7-8):
(−1) n−1 sin(1/ n)
;
∑
n
n =1
∞
7.
(−1) n−1 cos(1/ n)
.
∑
n
n =1
∞
8.
47
Розділ 11. Функціональні ряди
11.1 Основні означення.
Нехай A ⊂ R ; a n : A → R, n ≥ 1, – задана послідовність функцій. Ряд
∞
∑ an ( x), x ∈ A,
(1)
n =1
називається функціональним рядом. Ряд (1) може збігатися при одних значеннях x ∈ A і
розбігатися при інших.
Означення 1. Множина всіх тих точок x ∈ A , для яких ряд (1) збігається, називається
областю збіжності функціонального ряду (1).
Означення 2. Множина всіх тих точок x ∈ A , для яких ряд (1) збігається абсолютно
(збігається умовно), називається областю абсолютної збіжності (областю умовної
збіжності) функціонального ряду (1).
Приклад 1. Знайти область абсолютної і умовної збіжності функціонального ряду
2 n sin n x
∑ n , x ∈ R.
n =1
∞
(2)
Розв’язання. Знайдемо область абсолютної збіжності цього ряду. Зауважимо, що
∀x ∈ R :
∞
∞
∑ a n ( x) = ∑
n =1
( 2 sin x ) n
n =1
n
(3)
.
При кожному x ∈ R застосуємо до ряду (3) ознаку Коші збіжності ряду з невід’ємними
доданками. Оскільки
n
an ( x) =
2 sin x
n
n
→ 2 sin x , n → ∞,
тобто ρ = 2 sin x , то ряд (3) збігається, коли
2 sin x < 1 ⇔ x ∈ ( −
π
6
+ nπ ;
π
6
+ nπ ), n ∈ Ζ,
і розбігається, коли 2 sin x > 1.
∞
1
n =1 n
Якщо 2 sin x = 1 , то ряд (3) записується у вигляді ∑ , а отже, він розбігається.
Таким чином, областю абсолютної збіжності функціонального ряду (2) є множина
⎛ π
n∈Ζ⎝
π
⎞
⎠
U ⎜ − 6 + nπ ; 6 + nπ ⎟.
Знайдемо область умовної збіжності ряду (2). Спочатку відзначимо, що коли
ρ = 2 sin x > 1, то внаслідок зауваження 6 розділу 10 додатково an ( x) →
/ 0, n → ∞.
Звідси випливає, що a n ( x ) →
/ 0, n → ∞, а отже, при 2 sin x > 1 ряд (2) розбігається.
Таким чином, залишилось з’ясувати поведінку ряду (2) при ρ = 2 sin x = 1.
∞
1
n =1 n
Якщо 2 sin x = 1, то ряд (2) розбігається, бо він записується у вигляді ∑ .
48
Якщо 2 sin x = −1 ⇔ x = ( −1)
n +1
π
6
+ nπ , n ∈ Ζ, то ряд (2) записується у вигляді
(−1) n
∑ n і збігається за ознакою Лейбніца збіжності знакопочергового ряду. Отже, областю
n =1
⎫
⎧
n +1 π
умовної збіжності ряду (2) є множина ⎨( −1)
+ nπ | n ∈ Ζ⎬.
6
⎭
⎩
∞
∞
Нехай областю збіжності функціонального ряду ∑ a n ( x ), x ∈ A, є вся множина A .
n =1
Тоді визначена функція
∞
a ( x) := ∑ an ( x), x ∈ A. Для дослідження цієї функції на
n =1
неперервність, диференційовність і т.д. використовується поняття рівномірної збіжності
послідовності функцій та функціонального ряду.
11.2 Поточкова і рівномірна збіжність послідовності функцій.
Нехай A ⊂ R; f n : A → R, n ≥ 1; f : A → R.
Означення 3. Послідовність функцій ( f n ) збігається поточково на множині A до
функції f , якщо
∀x ∈ A : f n ( x) → f ( x), n → ∞ .
Означення 4. Послідовність функцій ( f n ) збігається рівномірно на множині A до
функції f , якщо
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∀x ∈ A : f n ( x) − f ( x) < ε .
Означення 4 рівносильне такому означенню.
Означення 5. Послідовність функцій ( f n ) збігається рівномірно на множині A до
функції f , якщо
d n := sup f n ( x) − f ( x) → 0, n → ∞.
x∈ A
Зауваження 1. Із рівномірної збіжності на множині A послідовності функцій
випливає її поточкова збіжність на A .
Зауваження 2. Послідовність функцій може збігатися рівномірно на множині A
тільки до своєї поточкової границі на A .
Приклад 2. Дослідимо на поточкову і рівномірну збіжність послідовність функцій
f n ( x) = x n , x ∈ (0;1), n ≥ 1, на множині A = (0;1) .
Оскільки x → 0, n → ∞ для кожного фіксованого x ∈ (0;1), то ця послідовність
функцій збігається поточково на (0;1) до функції f ( x) = 0, x ∈ (0;1).
Внаслідок зауваження 2 рівномірною границею на (0;1) цієї послідовності може
бути тільки функція f ( x) = 0, x ∈ (0;1). Але з того, що
n
d n := sup f n ( x) − f ( x) = sup x n − 0 = 1 →
/ 0, n → ∞,
x∈( 0;1)
x∈( 0;1)
робимо висновок, що початкова послідовність не є рівномірно збіжною на множині (0;1).
Приклад 3. Нехай α ∈ (0;1), Aα := (0;α ). Дослідимо на поточкову і рівномірну
збіжність послідовність функцій f n ( x) = x , x ∈ Aα , n ≥ 1, на множині Aα .
n
Під час розв’язування прикладу 2 встановлено, що послідовність ( f n ) збігається
поточково на (0; α ) до функції f ( x ) = 0, x ∈ (0; α ). Також
49
d n = sup f n ( x) − f ( x) = sup x n − 0 = α n → 0, n → ∞,
x∈( 0;α )
x∈( 0;α )
а отже, послідовність ( f n ) збігається рівномірно на (0;α ) до функції f ( x) = 0, x ∈ (0; α ).
11.3 Рівномірна збіжність функціонального ряду.
Означення 6. Функціональний ряд
∞
∑ an ( x), x ∈ A,
(4)
n =1
називається рівномірно збіжним на множині A , якщо послідовність його часткових сум
n
S n ( x) = ∑ ak ( x), x ∈ A,
k =1
збігається рівномірно на A .
Зауваження 3. Рівномірно збіжний ряд на множині A є збіжним для кожного
x ∈ A.
∞
Покладемо a ( x ) := ∑ a n ( x ), x ∈ A.
n =1
Зауваження 4. Функціональний ряд (4) може збігатися рівномірно тільки до функції
a( x), x ∈ A.
Наступне означення рівносильне означенню 6 і більш зручне для застосувань.
Означення 7. Функціональний ряд (4) називається рівномірно збіжним на множині
A , якщо
∞
d n = sup a ( x) − S n ( x) = sup ∑ ak ( x) → 0, n → ∞.
x∈ A
x∈ A
k = n +1
Наведемо ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду.
Теорема 1 (ознака Вейєрштрасса). Нехай функції an : A → R, n ≥ 1, і дійсні
числа C n , n ≥ 1, задовольняють такі умови:
1) ∀n ≥ 1 ∀x ∈ A :
an ( x ) ≤ Cn ;
∞
2) ряд ∑ C n збігається.
n =1
∞
Тоді функціональний ряд ∑ an ( x), x ∈ A, збігається рівномірно на множині A .
n =1
Доведення. Внаслідок умов 1), 2) і 1-шої ознаки порівняння для кожного
∞
фіксованого x ∈ A числовий ряд ∑ a n ( x) абсолютно збігається. З теореми 12 розділу 10 і
умови 1) випливає, що
n =1
∀n ≥ 1 ∀x ∈ A :
∞
∞
∞
k = n +1
k = n +1
k = n +1
∑ ak ( x ) ≤ ∑ ak ( x ) ≤ ∑ C k .
Тому
∞
∞
k = n +1
k = n +1
d n = sup ∑ ak ( x) ≤ ∑ C k → 0, n → ∞,
x∈ A
за теоремою про залишок ряду. Теорему 1 доведено.
Приклад 3. Доведемо, що функціональний ряд
рівномірно на R .
50
∞
cos nx
, x ∈ R, збігається
n2
n =1
∑
Справді,
∀n ≥ 1 ∀x ∈ R : an ( x) =
cos nx 1
≤ 2,
n2
n
∞
1
збігається. Тому початковий ряд збігається рівномірно на R за ознакою
2
n =1 n
причому ряд ∑
Вейєрштрасса.
Приклад 4. Доведемо, що функціональний ряд
∞
nx
∑ n 5 x 2 + 1, x ∈ R, збігається
n =1
рівномірно на R .
5 2
52
Із нерівності Коші для двох доданків випливає, що n x + 1 ≥ 2n x
для
довільних n ∈ N , x ∈ R. Тому
nx
2n 5 2 x
1
1 n5 x 2 + 1
1
an ( x) = 5 2
= 32 ⋅ 5 2
≤ 32 ⋅ 5 2
= 32.
n x + 1 2n
n x + 1 2n
n x + 1 2n
∀n ≥ 1 ∀x ∈ R :
∞
1
збігається, то початковий ряд збігається рівномірно на R за ознакою
32
n =1 2n
Оскільки ряд ∑
Вейєрштрасса.
Теорема 2 (ознака Діріхле). Нехай функції an : A → R, bn : A → R, n ≥ 1,
задовольняють такі умови:
1) для кожного x ∈ A послідовність {an ( x) : n ≥ 1} монотонна;
2) sup a n ( x ) → 0, n → ∞;
x∈ A
n
∑ bk ( x) ≤ C.
3) ∃C > 0 ∀n ≥ 1 ∀x ∈ A :
k =1
∞
Тоді функціональний ряд ∑ a n ( x )bn ( x), x ∈ A, збігається рівномірно на множині A .
n =1
Приклад
5.
Зафіксуємо
δ ∈ (0;π ).
Доведемо,
що
функціональний
ряд
∞
sin nx
, x ∈ [δ ;2π − δ ], збігається рівномірно на множині [δ ;2π − δ ].
n
n =1
1
Застосуємо ознаку Діріхле. Покладемо an ( x) = , bn ( x) = sin nx, x ∈ [δ ;2π − δ ],
n
n ≥ 1. Умови 1, 2 для послідовності функцій (an ) виконуються. Для перевірки умови 3
зауважимо, що для кожного x ∈ (0;2π )
∑
n
1
n
x
⎛
k =1 ⎝
n
1
1
1
⎞
⎠
∑ sin kx = 2 sin( x 2) ⋅ ∑ 2 sin kx ⋅ sin 2 = 2 sin( x 2) ⋅ ∑ ⎜ cos(k − 2 ) x − cos(k + 2 ) x ⎟ =
k =1
k =1
cos( x 2) − cos(n + 1 ) x
1
2 ≤
=
.
2 sin( x 2)
sin( x 2)
Тому
∀n ≥ 1 ∀x ∈ [δ ;2π − δ ] :
n
1
1
∑ sin kx ≤ sin( x 2) ≤ sin(δ 2) ,
k =1
51
тобто умова 3) виконується з C =
1
. Отже, початковий ряд збігається рівномірно на
sin(δ 2)
множині [δ ;2π − δ ] за ознакою Діріхле.
Теорема 3 (ознака Абеля). Нехай функції a n ( x) : A → R, bn ( x ) : A → R, n ≥ 1,
задовольняють такі умови:
1) для кожного x ∈ A послідовність {an ( x) : n ≥ 1} монотонна;
2) ∃C > 0 ∀n ≥ 1 ∀x ∈ A :
a n ( x) ≤ C ;
∞
3) функціональний ряд ∑ bn ( x), x ∈ A, збігається рівномірно на A .
n =1
∞
Тоді функціональний ряд ∑ a n ( x )bn ( x), x ∈ A, збігається рівномірно на множині A .
n =1
sin(nx) ⋅ arctg (nx)
, x ∈ [δ ;2π − δ ],
n
n =1
збігається рівномірно на множині [δ ;2π − δ ] . Тут δ ∈ (0; π ).
∞
Вправа 1. Довести, що функціональний ряд ∑
11.4
Теорема
Властивості
рівномірно
збіжних
функціональних
неперервність суми функціонального
an : A → R, n ≥ 1, задовольняють такі умови:
4
(про
ряду).
Нехай
рядів.
функції
1) ∀n ≥ 1 : an ∈ C (A);
∞
2) функціональний ряд ∑ an ( x ), x ∈ A, рівномірно збігається на множині A .
n =1
∞
Тоді функція a ( x ) = ∑ a n ( x), x ∈ A, неперервна на множині A .
n =1
Приклад 6. Доведемо, що функція
∞
n
, x ∈ (1;+∞),
n
n =1 x
f ( x) = ∑
(5)
неперервна на (1;+∞).
Зафіксуємо γ >1 і застосуємо до функціонального ряду (5) теорему про
неперервність суми функціонального ряду на множині A = [γ ;+∞). Зауважимо, що для
n
, x ∈ [γ ;+∞) неперервна на [γ ;+∞), а також
xn
n
n
∀n ≥ 1 ∀x ∈ [γ ;+∞) : an ( x) = n ≤ n ,
γ
x
кожного n ≥ 1 функція an ( x) =
∞
n
n =1
γn
причому ряд ∑
збігається, а отже, функціональний ряд (5) рівномірно збігається на
[γ ;+∞) за ознакою Вейєрштрасса. Тому f ∈ C ([γ ;+∞)) за теоремою про неперервність
суми функціонального ряду.
Оскільки для кожного x ∈ (1;+∞) знайдеться таке γ > 1, що точка x разом з
деяким своїм околом міститься в [γ ;+∞), то з доведеного вище випливає, що функція f
неперервна в кожній точці x ∈ (1;+∞), тобто f неперервна на інтервалі (1;+∞).
Зауваження 5. Функціональний ряд (5) не збігається рівномірно на (1;+∞), бо для
кожного n ≥ 1
52
1
d n = sup
∞
1⎞
⎛
⎠
x∈(1; +∞ ) ⎝ k = n +1
∞
k
n +1
1
∑ x k ≥ sup ⎜ ∑ x k ⎟ = sup 1 x− 1 x = sup x n ( x − 1) = +∞.
x∈(1; +∞ ) k = n +1
x∈(1; +∞ )
x∈(1; +∞ )
Тому приклад 6 свідчить, що умова 2) теореми про неперервність суми функціонального
ряду не є необхідною. Також цей приклад демонструє загальний метод перевірки
неперервності у такій ситуації.
Теорема 5 (про почленне інтегрування функціонального ряду). Нехай функції
an : [α ; β ] → R, n ≥ 1, задовольняють такі умови:
1) ∀n ≥ 1 : an ∈ R ([a, b]);
2)
функціональний
∞
∑ an ( x), x ∈ [α , β ],
ряд
рівномірно
збігається
на
n =1
відрізку [α ; β ].
∞
Тоді функція a ( x) = ∑ a n ( x), x ∈ [α , β ], інтегровна за Ріманом на відрізку [α , β ],
n =1
причому
β
β
β
∞
⎛∞
⎞
an ( x) ⎟dx = ∑ ∫ an ( x)dx.
∫ a( x)dx = ∫ ⎜⎝ ∑
⎠
n =1 α
α
α n =1
Теорема 6 (про почленне диференціювання функціонального ряду). Нехай
функції a n : [α ; β ] → R, n ≥ 1, задовольняють такі умови:
∞
1) існує таке x0 ∈ [α , β ], що ряд ∑ a n ( x0 ) збігається;
n =1
2) для кожного n ≥ 1 функція a n має неперервну похідну на [α ; β ];
∞
3) функціональний ряд ∑ an′ ( x) рівномірно збігається на відрізку [α ; β ].
n =1
∞
∞
n =1
n =1
Тоді для кожного x ∈ [α ; β ] ряд ∑ a n ( x) збігається, функція a ( x) = ∑ a n ( x ), x ∈ [α ; β ],
має неперервну похідну на [α , β ] і
′ ∞
∞
⎛
⎞
∀x ∈ [α ; β ] : a′( x) = ⎜ ∑ an ( x) ⎟ = ∑ an′ ( x).
⎝ n =1
⎠ n =1
Приклад 7. Доведемо, що функція
∞
sin nx
, x ∈ R,
3
n =1 n
f ( x) = ∑
(6)
має неперервну похідну на R .
Зафіксуємо α > 0 і застосуємо теорему про почленне диференціювання
функціонального ряду на відрізку [ −α ;α ]. Зауважимо, що для кожного n ≥ 1 функція
sin nx
cos nx
′
a
(
x
)
має
неперервну
похідну
=
на [ −α ;α ]. Також при x = 0 ряд
n
n3
n2
∞
∞
∞
cos nx
′
a
(
0
)
=
0
+
0
+
...
збігається
і
функціональний
ряд
a
(
x
)
=
∑ n
∑ n
∑ n 2 , x ∈ [−α ;α ],
n =1
n =1
n =1
рівномірно збігається на [ −α ;α ] за ознакою Вейєрштрасса. Тому функція f має
неперервну похідну на [ −α ;α ] за теоремою про почленне диференціювання
an ( x) =
функціонального ряду.
53
Оскільки для кожного x ∈ R знайдеться таке α > 0, що точка x разом з деяким
своїм околом міститься в [ −α ;α ], то, міркуючи як і в прикладі 6, робимо висновок, що f
має неперервну похідну на R .
Задачі
11А
Знайти область абсолютної і умовної збіжності функціональних рядів:
∞
1.
∞
2n sin n x
;
∑
n2
n =1
4. Відомо, що ряд
(−1) n
.
∑
n
n
n =1 n 2 ( x − 5)
∞
1
;
∑
n
n =1 ( nx )
2.
3.
∞
∑ a ( x) має область збіжності ( −1; 2] . Знайти область збіжності рядів:
n
n =1
а)
∞
∑ an (5 − 2 x)
б)
n =1
∞
∑ an (1/ x)
в)
n =1
∞
∑ a (sin x)
n
n =1
5. Дослідити послідовності функцій на поточкову і рівномірну збіжність на вказаних
множинах:
а) f n ( x) = x n − x n +1 , A = [ 0;1] ;
x
, A = [ 0;1] ;
n
sin nx
в) f n ( x ) =
, A = [ 0;1] ;
n
xn
г) f n ( x) = n
, A = [ 0;1/ 2] ; B = [ 0;1] ; C = [ 2; +∞ ) .
x +1
6. Застосувавши ознаку Веєрштраса, довести, що наступні ряди рівномірно збігаються на
вказаних множинах:
б) f n ( x) = n sin
(−1) n
а) ∑ 2
A= R;
2 ,
n =1 x + n
∞
б)
в)
г)
∞
∑x e
n =1
∞
2 − nx
A = [ 0; +∞ ] ;
,
sin nx
∑ n + x , A= R;
n =1
4
∞
x
4
∑1+ x n , A = R .
n =1
2
4
11Б
Знайти область абсолютної і умовної збіжності функціональних рядів:
( −1) n+1
;
1. ∑
nx
n =1
4. Відомо, що ряд
n
∞
∞
∞
n ⎛ x ⎞
⋅⎜
2. ∑
⎟ ;
n =1 n + 1 ⎝ 2 x + 1 ⎠
∞
3.
∑ ne .
nx
n =1
∑ a ( x) має область збіжності [ −1;1) . Знайти область збіжності рядів:
n
n =1
а)
∞
∑ an (3x − 1)
n =1
б)
∞
∑ an (1/ x 2 )
в)
n =1
∞
∑ a (cos x)
n
n =1
5. Дослідити послідовності функцій на поточкову і рівномірну збіжність на вказаних
множинах:
54
A = [ 0;1] ;
а) f n ( x) = x n − x 2 n ,
2nx
, A = [ 0;1] ; B = [1; +∞ ) ;
1 + n2 x2
x
в) f n ( x) = sin ,
A= R;
n
1
г) f n ( x) = x 2 + , A = R .
n
6. Застосувавши ознаку Веєрштраса, довести, що наступні ряди рівномірно збігаються на
вказаних множинах:
б) f n ( x) =
⎛ (−1) n ⎞
sin
а) ∑
A= R;
⎜ 2
2 ⎟,
n =1
⎝ x +n ⎠
∞
n sin nx
∞
б)
∑ 2 + x , A= R;
n =1
в)
∞
n
2
⎛
⎞
x
∑ arctg ⎜⎝ x + n ⎟⎠ , A = R .
n =1
2
4
11Д
1. Застосувавши ознаку Діріхле або Абеля, довести, що наступні ряди рівномірно збігаються
на вказаних множинах:
(−1) n arctgnx
а) ∑
, A= R;
x2 + n
n =1
∞
(−1)n
б) ∑ x ,
A = [ε ; +∞ ) , де ε ∈ ( 0; +∞ ) ;
n =1 n
∞
sin x ⋅ sin nx
, A = [ 0; +∞ ) .
в) ∑
n+ x
n =1
∞
∞
2. Довести, що ряд
∑ x (1 − x) нерівномірно збігається на [0;1] .
n
n =1
55
Розділ 12. Степеневі ряди
12.1 Область збіжності степеневого ряду.
Нехай {a n : n ≥ 0} – числова послідовність, x0 ∈ R . Степеневим рядом називається
функціональний ряд виду
∞
∑ a n ( x − x0 ) n , x ∈ R .
(1)
n =0
Для знаходження області збіжності степеневого ряду використовується поняття
верхньої границі числової послідовності.
Нехай {β n : n ≥ 1} – фіксована числова послідовність.
Означення 1. Кажуть, що α ∈ R ∪ {−∞;+∞} є частковою границею послідовності
{β n : n ≥ 1} , якщо знайдеться така її послідовність {β nk : k ≥ 1} , що β nk → α , k → ∞ .
Теорема 1. Кожна числова послідовність має непорожню множину часткових границь.
Позначимо через B множину усіх часткових границь послідовності {β n : n ≥ 1} .
Означення 2. Верхньою границею послідовності {β n : n ≥ 1} називається величина
, якщо послідовність {β n : n ≥ 1} необмежена зверху;
⎧+ ∞
⎪
lim β n := ⎨sup B , якщо {β n : n ≥ 1} обмежена зверху, B ≠ {−∞};
n→∞
⎪− ∞
, якщо B = {−∞}.
⎩
Приклад 1. Нехай
β 2 k → u , β 2 k +1 → v, k → ∞, де u , v – такі дійсні числа, що
u < v . Доведемо, що limβ n = v .
n →∞
Внаслідок означення 2 досить переконатися, що у цьому випадку B = {u , v} . Для
перевірки останньої рівності зауважимо, що кожна підпослідовність послідовності
{β n : n ≥ 1} містить або скінченну кількість елементів з парними індексами, або скінченну
кількість елементів з непарними індексами, або нескінченну кількість елементів з парними і
нескінченну кількість елементів з непарними індексами. У першому випадку
підпослідовніcть збігається до v , у другому – до u , а в третьому не має границі. Таким
чином, частковими границями {β n : n ≥ 1} є тільки числа u і v .
Для знаходження області збіжності степеневого ряду (1) використовуються величини
ρ := lim n an ,
n→∞
0 ≤ ρ ≤ +∞;
⎧0, ρ = +∞;
⎪
r := ⎨1 / ρ , 0 < ρ < +∞;
⎪+ ∞, ρ = 0.
⎩
Означення 3. Величина r називається радіусом збіжності степеневого ряду (1).
Зауваження 1. Якщо існує lim n an , то ρ = lim n an .
Зауваження 2. Якщо
n →∞
n →∞
∃n0 ≥ 0 ∀n ≥ n0 : an ≠ 0,
56
an
a
, то r = lim n .
n→∞ a
n →∞ a
n +1
n +1
а також існує lim
Теорема 2 (Коші - Адамара). Справджуються такі твердження.
Якщо r = 0, то степеневий ряд (1) розбігається для кожного x ≠ x0 .
1)
Якщо r = +∞, то ряд (1) збігається абсолютно для кожного x ∈ R .
Якщо 0 < r < +∞, то ряд (1) збігається абсолютно для всіх таких x , що
| x − x0 |< r , і розбігається для всіх таких x , що | x − x0 |> r.
2)
3)
Зауваження 3. Для встановлення поведінки ряду при | x − x0 |= r треба проводити
додаткове дослідження.
Приклад 2. Знайдемо радіус збіжності і область абсолютної та умовної збіжності
степеневого ряду
( x − 1) 2 n +1
∑ 4n .
n=0
∞
Для
заданого
ряду
x0 = 1 ,
a2 n +1 =
(2)
1
,
4n
a2 n = 0, n ≥ 0 .
Оскільки
n
1
1
⎛ 1 ⎞ 2 n +1
2 n +1 a
=
→ , 2 n a2 n = 0 → 0, n → ∞ , то, згідно з прикладом 1, ρ = . Тому
⎜ ⎟
2 n +1
2
2
⎝4⎠
r = 2 , і скориставшись теоремою Коші-Адамара робимо висновок, що степеневий ряд (2)
абсолютно збігається при | x − 1 |< 2 ⇔ x ∈ (1;3) і розбігається при | x − 2 |< 2 .
Нехай | x − 1 |= 1 . Тоді x = 1 або x = 3 . При x = 3 ряд (2) записується у вигляді
2+2+2+..., а при x = 1 – у вигляді -2-2-2-2-.... Отже, в точках x = 1 та x = 3 ряд розбігається.
Таким чином, для степеневого ряду (2) радіус збіжності r = 2 , область абсолютної
збіжності – інтервал (1;3), область умовної збіжності порожня.
Приклад 3. Знайдемо радіус збіжності і область абсолютної та умовної збіжності
степеневого ряду
((−5) n + 2 n ) x n
.
(3)
∑
n
n =1
(−5) n + 2 n
x0 = 0, a0 = 0, an =
, n ≥ 1. Згідно із зауваn
∞
Для
женням 2,
заданого
ряду
1 ⎛ 1 ⎞ 1 + (− 2 5)
1
a
5n + (−2) n
n +1
= .
⋅ n +1
= lim ⋅ ⎜1 + ⎟ ⋅
r = lim n = lim
n
+
1
n
+
1
n→∞ a
n→∞
n →∞ 5
5 + (−2)
5
n
⎝ n ⎠ 1 + (− 2 5)
n +1
n
Тому з теореми Коші-Адамара випливає, що степеневий ряд (3) абсолютно збігається при
x<
1
1
і розбігається при x > .
5
5
1
Якщо x = − , то ряд (3) записується у вигляді
5
57
n
(−5) n + 2 n ∞ ⎛ 1 (− 2 5) ⎞
⎜
∑ n(−5) n =∑ ⎜ n + n ⎟⎟.
n =1
n =1 ⎝
⎠
∞
(4)
∞
1
n =1 n
Цей ряд розбігається, бо він отриманий почленним додаванням розбіжного ряду ∑
∞
1
n
⋅ (− 2 5) .
n =1 n
та абсолютно збіжного ряду ∑
Якщо x =
1
, то ряд (3) записується у вигляді
5
⎛ (−1) n (2 5)n ⎞
∑ ⎜⎜ n + n ⎟⎟. Цей ряд
n =1 ⎝
⎠
∞
збігається умовно, бо він отриманий почленним додаванням двох збіжних рядів, а ряд з
модулів його членів співпадає з рядом (4) і розбігається.
1
, область абсолютної збіжності
5
⎛ 1 1⎞
⎧1 ⎫
– інтервал ⎜ − ; ⎟ , а область умовної збіжності – одноточкова множина ⎨ ⎬ .
⎝ 5 5⎠
⎩5 ⎭
Отже, для степеневого ряду (3) радіус збіжності r =
12.2. Основні властивості степеневих рядів.
Теорема 3 (про неперервність суми степеневого ряду). Сума степеневого ряду є
неперервною функцією на області його збіжності.
Теорема 4 (про арифметичні дії зі степеневими рядами). Степеневі ряди
∞
∞
n =0
n =0
a( x) = ∑ an ( x − x0 ) n , b( x) = ∑ bn ( x − x0 ) n
(5)
мають непорожній перетин областей абсолютної збіжності (інколи це тільки точка x0 ). Для
кожного x з цього перетину
∞
a( x) + b( x) = ∑ (an + bn )( x − x0 ) n ,
n=0
∞
a( x)b( x) = ∑ cn ( x − x0 ) n ,
де
n=0
c0 = a0 b0 ,
c1 = a0 b1 + a1b0 ,
...........................................................
cn = a0bn + a1bn −1 + ... + an −1b1 + anb,
........................................................ .
Теорема 5 (про єдиність степеневого ряду). Нехай степеневі ряди (5) мають
ненульові радіуси збіжності і
∃δ > 0 ∀x ∈ ( x0 − δ ; x0 + δ ) : a ( x) = b( x).
Тоді a n = bn для кожного n ≥ 0.
58
Теорема
6
почленне
(про
інтегрування
степеневого
ряду).
Нехай
∞
a( x) = ∑ an ( x − x0 ) n – степеневий ряд з радіусом збіжності r > 0. Тоді
n=0
∞
x
an
( x − x0 ) n +1 ,
n=0 n + 1
x0
причому радіус збіжності степеневого ряду із (6) дорівнює r .
∀x ∈ ( x0 − r ; x0 + r ) :
Теорема
7
∫ a(t )dt = ∑
почленне
(про
диференціювання
степеневого
(6)
ряду).
Нехай
∞
a( x) = ∑ an ( x − x0 ) n – степеневий ряд з радіусом збіжності r > 0. Тоді функція a має
n=0
неперервну похідну на ( x0 − r ; x0 + r ) і
∀x ∈ ( x0 − r ; x0 + r ) :
∞
a′(t ) = ∑ nan ( x − x0 ) n −1 ,
(7)
n =1
причому радіус збіжності степеневого ряду із (7) дорівнює r .
Наслідок 1. При виконанні умови теореми 7 функція а нескінченно диференційовна на
( x0 − r ; x0 + r ) і її похідні можна отримати почленним диференціюванням початкового
ряду.
Наслідок 2. При виконанні умови теореми 7 справджуються такі рівності:
a0 = a ( x0 );
an =
a ( n ) ( x0 )
, n ≥ 1.
n!
12.3. Ряд Тейлора.
Часткові суми степеневого ряду є многочленами, а також, згідно з наслідком 2,
основними частинами формули Тейлора для суми початкового степеневого ряду. Тому
степеневий ряд є природним узагальненням многочлена і, як свідчать попередні пункти,
найбільш простим функціональним рядом. Отже, важливе таке питання: які функції є сумами
степеневих рядів?
Означення 4. Нехай x0 ∈ R, 0 < r ≤ +∞, функція
f : ( x0 − r ; x0 + r ) → R
нескінченно диференційовна на ( x0 − r ; x0 + r ) . Степеневий ряд
∞
f ( n ) ( x0 )
f ′( x0 )
f ( n ) ( x0 )
n
f ( x0 ) +
( x − x0 ) + ... +
( x − x0 ) + ... = ∑
( x − x0 ) n
n!
1!
n!
n=0
називається рядом Тейлора функції f в околі точки x0 .
При x0 = 0 ряд Тейлора часто називають рядом Маклорена.
Наступні теореми містять умови, при виконанні яких функція f є сумою свого ряду
Тейлора.
Теорема 8. Припустимо, що x0 ∈ R, 0 < r ≤ +∞, функція
f : ( x0 − r; x0 + r ) → R задовольняє такі умови:
1) f нескінченно диференційовна на ( x0 − r ; x0 + r ) ;
2) ∃C > 0 ∀n ≥ 1
∀x ∈ ( x0 − r ; x0 + r ) :
Тоді
59
f ( n ) ( x) ≤ C n .
∞
суми.
f ( n ) ( x0 )
∀x ∈ ( x0 − r ; x0 + r ) : f ( x) = ∑
( x − x0 ) n .
n!
n =0
Теорема 9. Степеневий ряд з радіусом збіжності r > 0 є рядом Тейлора для своєї
Наведемо шість основних розкладів функцій у ряд Тейлора.
∞
x2
xn
xn
+ ... + + ... = ∑ , x ∈ R.
1. e = 1 + x +
2!
n!
n = 0 n!
∞
(−1) n x 2 n +1
(−1) n x 2 n +1
x3 x5
+ − ... +
2. sin x = x −
+ ... = ∑
, x ∈ R.
3! 5!
(2n + 1)!
n = 0 ( 2n + 1)!
∞
(−1) n x 2 n
x2 x4
(−1) n x 2 n
3. cos x = 1 −
+ − ... +
+ ... = ∑
, x ∈ R.
2! 4!
(2n)!
(2n)!
n =0
∞
x 2 x3
(−1) n +1 x n
(−1) n +1 x n
4. ln(1 + x ) = x −
+ − ... +
+ ... = ∑
, x ∈ (−1;1].
n
2 3
n
n =1
∞
1
5.
= 1 + x + x 2 + ... + x n + ... = ∑ x n , x ∈ (−1;1).
1− x
n =0
6. Для довільного фіксованого α ∈ R
∞
α (α − 1)(α − 2)...(α − n + 1) x n
α
(1 + x) = 1 + ∑
, x ∈ (−1;1).
n!
n =1
x
Наступні приклади демонструють деякі методи, які використовуються для розкладу
функцій у ряд Тейлора.
x
Приклад 4. Розкладемо у ряд Тейлора в околі точки x0 = 1 Функцію f ( x) = 2 .
Скориставшись основним розкладом 1, дістанемо:
t n ∞ 2 ln n 2
2 = 2⋅2 = 2⋅e
=| t = ( x − 2) ln 2 |= 2e = 2 ∑ = ∑
( x − 1) n .
n!
n = 0 n!
n =0
Цей ланцюг рівностей виконується для кожного t ∈ R, а отже і для кожного x ∈ R.
x
Залишилось зауважити, що ми розклали функцію 2 в степеневий ряд по степенях ( x − 1) ,
x
x −1
( x −1) ln 2
t
∞
який, згідно з теоремою 9, є рядом Тейлора для цієї функції.
Приклад 5. Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки x0 = 0 функцію
⎧ sin x
, x ≠ 0,
⎪
f ( x) = ⎨ x
⎪⎩1, x = 0.
Помноживши при x ≠ 0 рівність з основного розкладу 2 на 1 x , дістанемо:
sin x ∞ (−1) n x 2 n
=∑
, x ≠ 0.
x
n = 0 ( 2n + 1)!
(8)
Зауважимо, що при x = 0 сума ряду з (8) дорівнює 1. Тому, з урахуванням теореми 11,
розклад функції f в ряд Тейлора в околі точки x0 = 0 такий:
60
(−1) n x 2 n
f (x) = ∑
, x ∈ R.
n = 0 ( 2n + 1)!
Приклад 6. Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки x0 = 0 функцію f ( x) = arctgx.
∞
Скориставшись основним розкладом 5, дістанемо:
1
1
=| t = − x 2 |=
= 1 + t + t 2 + ... + t n + ... =
2
1+ x
1− t
2
4
= 1 − x + x − ... + (−1) n x 2 n + ...
при t ∈ (−1;1) ⇔ x ∈ (−1;1) . Тому, внаслідок теореми про почленне інтегрування
f ′( x) =
степеневого ряду,
x
x
1
∀x ∈ (−1;1) : arctgx = ∫
dy = ∫ (1 − y 2 + y 4 − ... + (−1) n y 2 n + ...)dy =
2
0 1+ y
0
x
x
x
x
= ∫ dy − ∫ y 2 dy + ∫ y 4 dy − ... + (−1) n ∫ y 2 n dy + ... =
0
= x−
0
0
0
2 n +1
x
x
(−1) x
+ − ... +
3 5
2n + 1
3
5
(9)
n
+ ... .
Але останній ряд має область збіжності [−1;1] (перевірте самостійно!). Отже, за теоремою
про неперервність суми степеневого ряду, його сума є неперервною функцією на [−1;1] .
Оскільки функція arctgx теж неперервна на [−1;1] , то рівність (9) виконується і при x = 1 та
x = −1. Тому розклад функції arctgx в ряд Тейлора в околі точки x0 = 0 такий:
(−1) n x 2 n +1
, x ∈ [−1;1].
2n + 1
n=0
Зауваження 4. Із рівності (10) при x = 1 випливає, що
π
(−1) n
1 1
+ ... .
= 1 − + − ... +
2n + 1
3 5
4
∞
arctgx = ∑
(10)
Задачі
12A
Знайти радіус збіжності і область абсолютної і умовної збіжності степеневих рядів
(1-6):
∞
xn
;
1. ∑
n
n =1 n ⋅ 10
∞
∞
2.
2
xn
4. ∑ n ;
n=0 5
∑ n! x n ;
∞
⎛ 1⎞
5. ∑ ⎜ 1 + ⎟
n⎠
n=0 ⎝
2n
∞
x
6. ∑
.
n
n =1 n ⋅ 9
n=0
(−1) n ( x − 1) 2 n+1
3. ∑
;
n = 0 (2n + 1)(2n + 1)!
∞
61
− n2
( x + 2) n .
Розкласти наступні функції в ряди Тейлора в околі точки x0 (7-14):
7. f ( x) = ln x , x0 = 1 ;
8. f ( x) = x 2 e 2 x , x0 = 0 ;
9. f ( x) = ln 1 − 3x 2 , x0 = 0 ;
10. f ( x) = sin 2 x , x0 = 0 ;
11. f ( x) = 4 − x 2 , x0 = 0 ;
x +1
, x0 = 0 ;
x −1
⎧ sin 2 x
, x ≠ 0;
⎪
x0 = 0 ;
13. f ( x) = ⎨ x
⎪⎩ 2 , x = 0.
12. f ( x) = ln
x
∫
2
14. f ( x) = et dt ,
x0 = 0 .
0
Застосувавши почленне диференціювання або інтегрування, визначити суми рядів (1517):
x2 x4
15. 1 +
+ +K ;
3
5
2
16. x + 2 x + 3 x 3 +K ;
17. 1 ⋅ 2 x + 2 ⋅ 3 x 2 + 3 ⋅ 4 x 3 +K .
−5
18. Обчислити з точністю до 10 значення виразів(15-18):
1
а) cos1 ;
б)
10
29 ;
в) ∫ e − x dx .
2
0
12Б
Знайти радіус збіжності і область абсолютної і умовної збіжності степеневих рядів
(1-6):
(−1) n+1 x n
;
∑
n
n=0
∞
∞
1.
∞
2.
4.
∞
n
⎛ 1⎞
n
∑
⎜1 + ⎟ ( x + 2) .
n⎠
n=0 ⎝
2 n +1
∞
x
6. ∑ n .
n=0 4
∑ 2 ( x + 4) ;
n
xn
;
∑
n
n = 0 5 ln( n + 2)
2n
5.
n=0
( x − 1) n
;
3. ∑
n = 0 ( n + 1)( n + 1)
∞
Розкласти наступні функції в ряди Тейлора в околі точки x0 (7-14):
7. f ( x) = e 2 x , x0 = 1 ;
8. f ( x) = ( x 2 + 1) sin 3x , x0 = 0 ;
9. f ( x) = ln 4 − x , x0 = 0 ;
62
⎧ ln(1 − x)
, x ≠ 0;
⎪
10. f ( x) = ⎨ x
⎪⎩ −1 , x = 0.
x0 = 0 ;
x
11. f ( x) =
sin t
∫0 t dt ,
x0 = 0 .
12. Обчислити з точністю до 10
−5
значення виразів(15-18):
2
а) sin1 ;
в) ∫ e −1/ x dx .
б) 18 ;
1
12Д
Знайти радіус збіжності і область абсолютної і умовної збіжності степеневих рядів
(1-2):
n2
∞
⎛ 1⎞
1. ∑ ⎜1 + ⎟ ( x − 1) n ;
n⎠
n =1 ⎝
n
∞
x
.
2. ∑
n
n =1 sin n
3. Визначити суми ряду
4. Нехай ряд
∞
1+
x2 x4
+ +K .
2! 4!
∑ a x має радіус збіжності r ∈ ( 0; ∞ ) . Визначити радіуси збіжності рядів
n
n
n=0
∞
∑ 2 a ( x + 4) ;
n
n
n
n=0
∞
∑2 a x ;
−n
n
n
n=0
∞
an x n
.
∑
n=0 n !
63
Розділ 13. Ряди Фур’є
13.1. Означення коефіцієнтів Фур’є та ряду Фур’є.
Теорія рядів Фур’є, основи якої розглядаються у цьому розділі, відіграє важливу роль
як у самій математиці, так і в її застосуваннях.
Зафіксуємо число l > 0 . Набір функцій
πx
πx
πnx
πnx
1
; sin
; ...;
; cos ; sin ; ...; cos
l
l
l
l
2
(1)
називається основною тригонометричною системою на відрізку [− l; l ] .
Вправа 1. Довести, що дві довільні функції g1 ≠ g 2 з основної тригонометричної
l
системи ортогональні на відрізку [− l; l ] , тобто ∫ g1 ( x) g 2 ( x)dx = 0.
−l
Означення 1. Нехай функція f : R → R 2l -періодична і f ∈ R([− l ; l ]) . Числа
1l
a0 = ∫ f ( x )dx,
l −l
an =
πnx
1l
f ( x )cos
dx, n ≥ 1,
∫
l −l
l
bn =
πnx
1l
f ( x )sin
dx, n ≥ 1,
∫
l −l
l
називаються коефіцієнтами Фур‘є функції f за основною тригонометричною системою, а
функціональний ряд
a0 ∞ ⎛
πnx
πnx ⎞
+ ∑ ⎜ a n cos
+ bn sin
⎟
l
2 n =1 ⎝
l ⎠
називається рядом Фур‘є функції f .
Зауваження 1. Якщо додатково функція f парна, то bn = 0 для кожного n = 1 ; якщо
f непарна, то a n = 0 для кожного n ≥ 0 .
13.2. Властивості ряду Фур’є.
Ряд Фур’є функції f не обов’язково збігається до f навіть поточково. Наступні
теореми відповідають на такі питання: у якому сенсі можна гарантувати збіжність ряду Фур’є
функції f до f ? При яких умовах ряд Фур’є функції f збігається в заданій точці? Яка його
сума? Коли ряд Фур’є можна інтегрувати або диференціювати почленно?
Теорема 1. Якщо функція f : R → R 2l -періодична і f ∈ R ([− l ; l ]) , то ряд Фур’є
функції f збігається до f у середньому квадратичному, тобто
2
a0 n ⎛
πkx
πkx ⎞ ⎞
⎛
(
)
f
x
−
− ∑ ⎜ ak cos
+ bk sin
⎜
⎟ ⎟ dx → 0, n → ∞,
∫
2 k =1 ⎝
l
l ⎠⎠
−l ⎝
l
64
а також виконується рівність Парсеваля
a 02 ∞ 2
1l 2
(
)
f
x
dx
=
+ ∑ (a n + bn2 ).
∫
l −l
2 n =1
Теорема 2 (про збіжність ряду Фур’є в точці). Нехай функція
f :R→R
2l -періодична і f ∈ R([− l ; l ]) . Тоді справджуються такі твердження.
Якщо функція f має похідну в точці x 0 , то ряд Фур’є функції f
1).
збігається в точці x 0 до f ( x 0 ) .
2).
Припустимо, що існують скінченні границі
f ( x0 + ) = lim f ( x ) ,
f ( x0 − ) = lim f ( x ) ,
x → x0 + 0
x → x0 − 0
f ( x0 + u ) − f ( x0 +)
.
u
f ( x 0 + ) + f ( x 0 −)
Тоді ряд Фур’є функції f збігається в точці x 0 до числа
.
2
Нехай {α n : n ≥ 0}, {β n : n ≥ 0} – фіксовані числові послідовності. Функціональний
lim
u →0 − 0
f ( x 0 + u ) − f ( x 0 −)
,
u
lim
u →0 + 0
ряд
⎛
n =1 ⎝
∞
α 0 + ∑ ⎜ α n cos
πnx
l
+ β n sin
πnx ⎞
⎟, x ∈ R,
l ⎠
називається тригонометричним рядом відносно основної тригонометричної системи (1).
Теорема 3. Рівномірно збіжний на R тригонометричний ряд є рядом Фур’є для своєї
суми.
Теорема 4 (про рівномірну збіжність ряду Фур’є). Нехай функція f ∈ C (R )
періодична з періодом 2l , диференційована на [− l; l ] крім, можливо, скінченного числа
точок, а також f ′ ∈ R([− l ; l ]) . Тоді
a0 ∞ ⎛
πnx
πnx ⎞
+ ∑ ⎜ a n cos
+ bn sin
⎟,
l
l ⎠
2 n =1 ⎝
причому ряд Фур’є функції f збігається рівномірно на R .
∀x ∈ R :
f (x ) =
Теорема 5 (про почленне диференціювання ряду Фур’є). Нехай функція
f : R → R 2l -періодична, має неперервну похідну на R , на [− l ; l ] крім, можливо,
скінченного числа точок існує f ′′ , а також f ′′ ∈ R ([− l ; l ]) . Тоді ряд Фур’є функції f
можна почленно диференціювати, причому
∞
πnx πnbn
πnx ⎞
⎛ πna n
f ′( x ) = ∑ ⎜ −
sin
cos
+
⎟,
l
l
l
l ⎠
n =1 ⎝
і ряд із (2) збігається рівномірно на R .
∀x ∈ R :
(2)
Теорема 6 (про по членне інтегрування ряду Фур’є). Нехай функція f : R → R
2l -періодична і f ∈ R([− l ; l ]) . Тоді ряд Фур’є функції f можна почленно інтегрувати,
65
причому отриманий за допомогою почленного інтегрування ряд ряд рівномірно на R
x
збігається до функції F ( x ) = ∫ f (t )dt , x ∈ R .
0
Приклад 1. Розкладемо в ряд Фур’є 2π -періодичну функцію f ( x ) = sin x, x ∈ R .
3
Оскільки sin 3 x = 3 sin x − 4 sin x , то
тригонометричного ряду:
3
f є сумою рівномірно збіжного на R
3
1
f ( x ) = sin x − sin 3 x + 0 + 0 + K .
4
4
3
1
Отже, згідно з теоремою 3 ряд Фур’є функції f має вигляд sin x − sin 3 x .
4
4
Приклад 2. Нехай l = π , f : R → R – така 2π -періодична функція, що f ( x ) = x ,
x ∈ [− π ; π ) (див. рис. 1).
Розкладемо функцію f в ряд Фур’є і дослідимо його на поточкову збіжність.
Зауважимо, що l = π , а також інтеграл Рімана не залежить від значень підінтегральної
функції в скінченій кількості точок. Тому
a0 =
an =
1 π
∫ f (x )dx =
π −π
1 π
π −∫π
1 π
π −∫π
xdx = 0 ,
f ( x ) cos nxdx =
1 π
π −∫π
x cos nxdx = 0, n ≥ 1,
бо інтеграл від непарної функції по симетричному відносно нуля відрізку [− π ; π ] дорівнює
нулю. Також інтеграл від парної функції по [− π ; π ] дорівнює двом інтегралам від цієї
функції по відрізку [0; π ], а отже, для кожного n ≥ 1
bn =
1 π
1 π
π −π
π −π
∫ f (x )sin nxdx =
∫ x sin xdx =
66
2π
π ∫0
x sin nxdx =
u = x,
π
du = dx
⎞
2 ⎛⎜ x cos nx
1π
cos
nx
=
=
−
+ ∫ cos nxdx ⎟ =
⎟
dv = sin nxdx, v = −
π ⎜⎝
n
n0
0
⎠
n
π
2 ⎛⎜ π cos nπ sin nx ⎞⎟ 2(−1) n +1
.
=
−
+
=
π ⎜⎝
n
n
n 2 0 ⎟⎠
Тому ряд Фур’є функції f такий:
2(−1) n +1
∑ n sin nx .
n =1
∞
(3)
Дослідимо ряд Фур’є (3) на поточкову збіжність. Якщо x ≠ π + 2nπ , n ∈ Z , то існує
′
f ( x ) , бо в деякому околі точки x функція f співпадає з лінійною функцією. Тому,
внаслідок твердження 1 теореми про збіжність ряду Фур’є в точці, при x ≠ π + 2nπ , n ∈ Z ,
ряд Фур‘є (3) збігається до числа f ( x ) .
Оскільки функція f 2π -періодична, то поведінка її ряду Фур’є у всіх точках виду
π + 2nπ , n ∈ Z , однакова. Дослідимо його на збіжність в точці x = π .
1 спосіб. Скористаємося твердженням 2 теореми про збіжність ряду Фур’є в точці.
Зауважимо, що
f (π − ) = lim x = π ,
f (π + ) = lim ( x − 2π ) = −π .
x →π − 0
x →π + 0
f (π + u ) − f (π −)
співпадає з похідною
u →0 − 0
u
Також, з урахуванням означення похідної, lim
функції x в точці π , а отже, дорівнює 1. Аналогічно
f (π + u ) − f (π +)
′
= ( x − 2π )
= 1.
u →0 + 0
u
x =π
lim
f (π + ) + f (π − ) π − π
=
= 0.
2
2
2 спосіб. При x = π ряд (3) записується у вигляді 0 + 0 + K . Отже, його сума
Тому ряд Фур’є (3) збігається в точці x = π до числа
дорівнює нулю.
Таким чином, ряд Фур’є функції f збігається до f ( x ) , коли x ≠ π + 2nπ , n ∈ Z , і
збігається до нуля, коли x = π + 2nπ , n ∈ Z .
Зауваження 2. Рівність Парсеваля для функції f із прикладу 2 має вигляд
1 π
∞
4
x dx = ∑ 2 .
π ∫
n =1 n
2
−π
1 π
.
=
2
6
n =1 n
∞
З цієї рівності випливає, що ∑
2
67
Задачі
13A
Розкласти в ряд Фур’є 2l-періодичну функцію f і дослідити отриманий ряд на поточкову
збіжність(1-3):
⎧⎪4, x ∈ [ −2;0] ,
⎪⎩0, x ∈ ( 0;2 ) ,
1. f ( x) = ⎨
⎧−
⎪ x, x ∈ [ −3;0] ,
⎪⎩0, x ∈ ( 0;3) ,
2. f ( x) = ⎨
l = 2;
l = 3;
⎧⎪ x, x ∈ [ −2; 2] ,
⎪⎩0, x ∈ ( −4; 4] \ [ −2; 2 ) ,
3. f ( x) = ⎨
l = 4.
4. На інтервалі (0; π ) розкласти функцію f ( x) = x 2 в ряд:
a) за косинусами кратних дуг;
б) за синусами кратних дуг.
(−1) n +1
sin nx , x ∈ (−π ; π ) , по членним інтегруванням
∑
n
n =1
отримати розклад в ряд Фур’є на ( −π ; π ) функцій x 2 , x 3 .
∞
5. Скориставшись розкладом
13Б
Розкласти в ряд Фур’є 2l-періодичну функцію f і дослідити отриманий ряд на поточкову
збіжність(1-4):
⎧⎪−3, x ∈ [ −2;0] ,
⎪⎩3, x ∈ ( 0; 2 ) ,
1. f ( x) = ⎨
l = 2;
2. f ( x) = x 2 , x ∈ ( −5;5] ,
l = 5;
⎧⎪4, x ∈ [ −2; 2] ,
⎪⎩0, x ∈ ( −4; 4] \ [ −2; 2 ) ,
3. f ( x) = ⎨
l = 4;
4. f ( x) = sin x , x ∈ ( −π / 2; π / 2]
l =π /2.
⎛π
⎞
− x ⎟ в ряд:
⎝2
⎠
5. На інтервалі (0; π / 2) розкласти функцію f ( x) = x ⎜
a) за косинусами непарних дуг дуг;
б) за синусами непарних дуг.
⎧⎪1, x < α ,
⎪⎩0, α ≤ x ≤ π .
6. Нехай α ∈ (0; π ) . Розкласти в ряд Фур’є 2π -періодичну функцію f ( x) = ⎨
Скориставшись рівністю Парсеваля для отриманого ряду, обчислити суми рядів
sin 2 nα
;
∑
n2
n =1
∞
cos 2 nα
.
∑
n2
n =1
∞
68
13Д
Розкласти в ряд Фур’є такі періодичні функції:
1. f ( x) = x − [ x ] ;
2. f ( x) = arcsin(sin x) ;
3. f ( x) = x - відстань від x до найближчого цілого числа.
4. Які особливості має ряд Фур’є 2π -періодичної функції f , якщо
∀x ∈ R : f ( x + π ) = − f ( x) ?
69
Розділ 14. Відношення “О” і “о”. Еквівалентні функції.
Відношення “О” і “о” та поняття еквівалентних функцій часто використовуються
в сучасній математиці та її застосуваннях. Наприклад, спеціалістам з програмування
3
відомо, що метод Гаусса для розв’язання системи з n лінійних рівнянь вимагає О( n )
арифметичних операцій. Що означає це твердження?
У загальній ситуації властивості відношень “О” і “о” та еквівалентних функцій
викладені в [1]. У цьому розділі наведено їх означення у випадку, достатньому для
застосувань, а також розглянуто кілька прикладів.
Нехай A ⊂ R, x0 – гранична точка A , f : A → R, g : A → R – такі функції,
що g ( x ) ≠ 0 для кожного x ∈ A.
Означення 1. Нехай x0 ∈ R. кажуть, що f ( x) = O ( g ( x)), x → x0 , якщо
f ( x)
≤ L.
g ( x)
Означення 2. Нехай x0 = +∞. Кажуть, що f ( x) = O ( g ( x)), x → +∞, якщо
∃L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ A, x − x0 < δ , x ≠ x0 :
f ( x)
≤ α.
g ( x)
Аналогічно визначається відношення f ( x) = O ( g ( x )), x → −∞.
∃L > 0 ∃c > 0 ∀x ∈ A, x > c :
Зауваження
1.
Якщо
існує
скінченна
границя
f ( x)
то
,
lim
x→ x g ( x )
0
f ( x) = O( g ( x)), x → x0 .
Означення 3. Нехай x 0 ∈ R ∪ {− ∞;+∞}. Кажуть, що f ( x) = o( g ( x)), x → x0 ,
f ( x)
= 0.
x → x0 g ( x )
якщо lim
x0 ∈ R ∪ {− ∞;+∞}. Кажуть, що функції f
f ( x)
еквівалентні при x → x0 , якщо lim
= 1. Позначення: f ~ g , x → x0 .
x → x0 g ( x )
Приклад 1. x sin x = O ( x), x → +∞, бо
x sin x
∀x > 1 :
= sin x ≤ 1.
x
Приклад 2. arctgx = O (1), x → +∞, бо
arctgx π
∀x > 1 :
< .
1
2
Приклад 3. arctgx ~ x, x → 0, бо внаслідок 1-ого правила Лопіталя
1
arctgx
1 + x 2 = 1.
=
lim
lim
x
1
x →0
x →0
Означення 4. Нехай
ln n
= 0.
n →∞ n
Приклад 4. ln n = o(n), n → ∞, бо lim
70
і
g
Приклад 5. Твердження, сформульоване на початку розділу, означає, що коли
позначити через f (n) кількість арифметичних операцій, які треба виконати для
розв’язання системи з n лінійних рівнянь методом Гауса, то f ( n) = O (n ), n → ∞,
тобто
3
∃L > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : f (n) ≤ Ln 3 .
Вправа 1. Нехай A = N . Довести, що f ( n) = O ( g ( n)), n → ∞, тоді і тільки
тоді, коли
∃C > 0 ∀n ≥ 1 :
f ( n ) ≤ C g ( n) .
71
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. Краткий курс в современном
изложении.- К. Факт, 2004 – 560 с.
2. Вишенський В.А., Оленко А.Я. Основи координатного методу. Функції
однієї змінної. Навч. посібник. - Київ: НаУКМА, 1994 – 90 с.
3. Вишенський В.А., Оленко А.Я. Ряди. Навч. посібник. - Київ: НаУКМА,
1995 – 36 с.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. - М.: Наука, 1969 – 544 с.
5. Основи математичного аналізу. Частина 1. Диференціальне числення
функцій однієї змінної. / Ю.В. Митник, М.Ф. Городній, О.І.
Кашпіровський // навчальний посібник, К:, Вид. дім “КМ Академія”,
2004. - 101 с.
6. Босс В. Лекции по математике: анализ. – М.: Едиториал УРСС, 2004. –
216с.
7. Банах С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: ГИФМЛ,
1958 – 404 с.
8. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. - М.: Наука, 1981 – 544 с.
9. Радченко О.М. Математичний аналіз.Ч.1. Диференціальне та інтегральне
числення функцій однієї змінної - Київ: ТВІМС, 1999 – 152 с.
72