Les nombres complexes
Définition:
Prof. Smail BOUGUERCH


L’ensemble des nombres complexes s’écrit :   z  a  ib / (a;b )  2 et i 2  1
L’écriture algébrique d’un nombre complexe:
 a  ib un nombre complexe avec : (a;b )  2
a  ib est l’écriture algébrique du nombre complexe z
Le nombre a est la partie réelle de z , notée : Re(z )
Le nombre b est la partie imaginaire de z , notée : Im(z )
Cas particulier:
 Si Im(z )  0 , alors z est un nombre réel
 Si Re(z )  0 , alors z est un nombre imaginaire pur
Soit z



Egalité de deux nombres complexes:
Soit z et z  deux nombres complexes
z  z   Re(z )  Re(z ) et Im(z )  Im(z )
Représentation graphique d’un nombre complexe:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
 
(O;e1;e2 )
Soit z  a  ib un nombre complexe avec : (a;b )  2
On relie le nombre complexe z avec le point M (a; b)
Le nombre z s’appelle l’affixe du point M et le point M
s’appelle l’image du nombre z et on écrit : M (z )
Conjugué d’un nombre complexe:
Soit z  a  ib un nombre complexe avec : (a;b )  2
Le conjugué du nombre complexe z est le complexe noté
z avec z  a  ib





z z  z z
z z  z z
z n  z n ( n  * )
1 1
  
z  z

z z 

z  z 

z  z  2 Re(z )

z  z  2 Im(z )
z  z
(z   0)
  
z  z

z  z   Re(z )   Im(z )
2
Module d’un nombre complexe:
Soit z  a  ib un nombre complexe avec : (a;b )  2
Le module du nombre complexe z est le nombre réel positif
z avec : z  zz  a 2  b 2
zn  z
n
; n  *
z z
z  z
z z   z  z 
1
1

 z   0
z z
z
z

 z   0
z z
2
L’argument d’un nombre complexe non nul:
Soit z un nombre complexe non nul et M son image
L’argument du nombre complexe z est  l’un des
 
 
mesures de l’angle orienté e1 ;OM
On le note: arg(z ) et on écrit: arg(z )    2 
La forme trigonométrique et la notation exponentielle d’un nombre complexe non
nul:
Soit z un nombre complexe non nul
On pose : r  z et arg(z )    2 

La forme trigonométrique du complexe z est : z  r  cos   i sin     r , 

La notation exponentielle du complexe z est : z  re i 
Cas particulier:
L’écriture trigonométrique (réduite) d’un nombre réel a non nul
a0
a  a, 0
a0
a   a,  


ai  a,  
2



ai   a,  
2

arg(zz )  (arg(z)  arg(z))  2 
arg(z n )  n arg(z)  2 
 r ,   r ,   r  r ,    re i   r e i    (r  r ) ei (  )
 r ,    r ,  
re i   re i 
  r ,    r ,    
re i   re i (  )
n
n
 r ,   r n , n 
 re i    r ne in
1
arg     arg(z)  2 
z 
1
1

  ,  
 r ,   r 
arg(z )   arg(z)  2 
 arg(z )    arg(z)   2 
z 
arg     arg(z)  arg(z)   2 
z 

 r ,     r ,    

 r ,   r 
k  ;  r ,  2k     r , 
 cos  i sin  
re i 
r
 ei (  )
i 
r e
r

arg (z )  k   z est un réel ( k  )

arg (z ) 
Formule de MOIVRE:
n
1
1
 ei 
i
re
r

2
 k   z est un imaginaire pur ( k  )
Formules d’EULER:
 
n 
 cos n  i sin n
cos  
i
e e
2
i 
et sin  
e i   e i 
2i
Résolution de l’équation z 2  a (z ) avec (a  ) :
L’équation
z  ; z 2  a
Ensembles de solutions


a0
S  i a ; i a
a0
S  0
a0
S  i a ; i a


Résolution de l’équation z  ; az 2  bz  c  0 avec a et b et c des réels et a  0 :
L’équation
Ensembles de solutions
 b  i  b  i  


S 
;

2a
2a




 b 
S  
 2a 
0
z  ; az 2  bz  c  0
(   b 2  4ac )
0

 b  i  b  i  

S 
;

2a
2a




0
Notions géométriques:
La notion géométrique
La distance AB
La relation complexe
AB  z B  z A
I centre du segment  AB 
zI 




Mesure de l’angle AB ; AC

A et B et C des points alignés
A et B et C et D des points cocycliques
La relation complexe
z  z A  r ; ( r  0)
z zA  z zB
zC
zB
zC
zB
zA 

 r ;  
zA 
2
zA
 1; 
zA
zC  z A   
 1;  
z B  z A 
2
zC  z A   
 1;  
z B  z A 
3
zA zB
2


 z zA 

AB ; AC  arg  C
  2 
 zB zA 
zC  z A

zB zA


z D  z A z D  zC


z B  z A z B  zC
z  z A z B  zC
ou D


z B  z A z D  zC
La notion géométrique
AM  r
M appartient au cercle de centre A et de rayon r
AM  AB
M appartient à la médiatrice du segment  AB 
ABC est un triangle rectangle au point A
ABC est un triangle isocèle au point A
ABC est un triangle rectangle et isocèle au point A
ABC est un triangle équilatéral
La représentation complexe de quelques transformations usuelles:
La transformation
La translation : t u
L’homothétie : h (; k)
La rotation : R (; )
La représentation complexe

z   z  b , avec b est l’affixe du vecteur u
z     k (z  ) , avec  l’affixe du point 
z     e i  (z  ) , avec  l’affixe du point 