Fundamentos de Estatística e Geoestotístico José Leonardo Silva Andriotti 5501 A5fl, 535$ ISBN05-743ú71-5 9 778574 311716 Fundamentos de Estatística e Geoestatística Sobre o autor José Leonardo Silvo Andriotti graduou-seem Geologtc pela UFRGS, em J975, e obteve o títulode doutor pelo mesmo universidade em 1999, com tese versando sobre Estatisticae Na França especializou-se em Geoestafi5ticae depois em EypioroçöoMineral. Tem atuado como docef"tede grudooçáo e pós-groduaçáo na UFRGS, no UNIS/NOS e no FARGS bem como em mstitwçöes de outrospoises LeonardoSilva Andriotti 0 2003José e Geoestatística Fstatística Fundamentos de reservados 2003Direitos Universidade do Vale do Rio dos Sinos à Editora da UNIStNOS EnrT0RA Universitário Manual Colesäo ISBNs-7431-171$ veräo de 2004. Impressão, Class Tomb( Revisão Rui Bender 53538 Editoração Rafael Tarcísio Forneck Capa Gabnel Neto A reproduçäo, ainda que parcial, por qualquer meio, das páginas que compõem este livro, para uso nao-individual, mesmo para fins didåhcos,sem autonzaçä0 escrita do editor é ilícita e se constitui numa contrafaçäo danosdà Itura. Foifeitoodepósito legal, z/ Editorada Universidade do Vale do Rio dos Sinos EDITORA UNISINOS AV Unisinos, 950 93022-000 RS Brasil Telef: 51. 5908239 Fax: 51. 5908238 editora@unisinos.br Para Elma, minha mãe, para Eleonora,nttnha companheira, e para Rafael, meu filho, que são as pessoas que melhor representam três gerações que envolvema minha vtda: a anterior, a atual e a próxnna. SUMÁRIO Introduçäo à Estatística . 1.1 —Estatística e Teoria das Probabilidades —um Breve Histórico 1.2 —Pesquisas de Opiniäo...„...... 1.3 —Medidas de Tendência Central 1.3A —Média Aritmética (também referida como média, simplesmente). 132 —Média Ponderada .... 1.3.3 —Média 1.3.4 —Média Geométrica .....„.... 135 —Mediana, Quartis, Decis, Percentis 136 - Moda 1.4 —Medidas de Dispersão 1.4.1- Amplitude . 14.2 —Variância. 1.4.3 —Desvio-padräo . 17 17 20 25 25 26 27 27 28 29 . 1.4.4 —Coeficiente de Variação (CV) . 1.4.5 —Assimetria........ 14.6 —Curtose........ 1.4.7 —Erro-padräo da Média 1.4.8 —Desvio Entre Quartis.................„...... .. „ 1.5 —Representação Gráfica Distribuições e Testes de Hipótese . 2.1 —Distribuição Normal de Probabilidade........„................ 2.2 - Distribuição z.... 2.3 - Intervalos de Confiança................ 2.4 - Testes de Hipótese 2.5 —Testes de Hipótese com as Distribuiçöes z e t— 2.6 - Distribuição t..... 2.7 —Tamanho Mínimo de uma Amostra 31 31 31 33 33 33 34 35 35 36 41 41 47 52 55 59 61 65 10 Arx-ncA r e Rcgres.såo 3- Correlaçio Linear Simples Corrclaçä0 3A Linear Simples . 3 2 - Regressão Aplicaçä0. de 33 - Exemplos Linear Simples. 68 68 71 3.31 - Correlaçä0 Linear Simples 332 - Regressão Interpolaçåo 4- Métodos de 77 • 79 e Variáveis Regionalizadas . 81 — Matematiquices„. 4A da Quantificação em Geociências 42 - A Importância a Escolha de Métodos de Grid..„... 43 - ComentánosSobre Algumas Técmcas de Geraçäo de Grids 4 4 - Comentános Sobre 45 - Geoestatística • 4 6- VariáveisRegionalizadas..—.. 4.7- H:potesesRestnnvas 5- Vanogramas 5A - Conceituaçãode 52 - 5 6 - Análise Esb-utural 5 7- Modelos Teóncos de Variogramas .. 5.71 - Esquema Esférico (de Matheron) 5.72 - EsquemaExponencial (de Formery) . 573 - Esquema de Gauss (Parabólico) .. 5.75 - EsquemaLogarítmtco (de WIjs) 5 7.6 - Outros Modelos 5.8 - Efeito Proporcional . 5 9 - Estruturas Imbncadas 5A0- Efeito Buraco... 511 - Presença de Deriva... 512- Anisotropias.„ 5121 - Anisotropia Geométrica .. 5122 - Anisotropia Zonal . 513 - Cruz Geoestatístlca...„ 85 • 89 93 95 99 99 53 - Variogramaou Semivanograma— 5 4 - Comportamentona Vizinhança da Ongem 55 - Construçãode Semivariogramas Experimentais............ 5.7 4 - Esquema Linear 81 82 100 104 105 108 112 114 115 116 117 119 120 121 121 12 123 125 125 125 12.7 127 Estimaçao Geoestatística . 6.1 —Variâncias de Estimação e de 6.2 —Kngagem.... 6.3 —Krigagem Universal 6.4 - Krigagem da 6.5 —Cokrigagem.. 6.6 - Validaçäo Cruzada 6.7 —Simulaçðes Condicionais ...„ Vocabulário. 129 129 134 149 150 151 152 153 156 8- Referências 8.1 —Estatística........... 11 . . 82 - Geoestatística Anexos.....„.......... Tabela t„.... Tabela z Valores Críticos —Coeficiente de Correlação r de Pearson 158 158 159 161 163 164 165 16 glossáriocontendo algumas expressöes de Apresentamosum Geoestatística, apontando as Estatísticae comum em Inglês e francês. bibliográficas, listamos as fontes de em português. às referenoas ComrelaçåO como sempre que se faz uma relaçao mas, importantes obras e documentos de excelente sulta Julgadas falha de omitir 1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA na quase tipo incorre-se de que, se isso ocorreu, deveu-se ao fato de certeza a leitor lidade, tenha o tudo o que existe de qualidade sobre Impossível listar praticamente ser asunto. a todos os que nos honrarem ao consultar Por fim. agradecemos disposiçä0 para que nos selam encaminhadas 1.1 Estatística e teoria das probabilidades à esta obra e colocamo-nos de outras possíveis edições, pelo endereço melhoria à sugestöes que Visem eletrOmcoandn@portoweb.com.br Porto Alegre/ RS, outubro de 2003 Um breve histórico O aparecimento da palavra Estatística deve-se ao fato de que os chefes de Estado ou seus equivalentes na época (antes da era cristã) desejavam conhecer os dados q ue julgavam necessános para avaliar a sua potência, dados como população, potencial militar, riquezas e outros Os primeiros recenseamentos de que se tem referêncta ocorreram na época da civilizaçäo suméria, de 5000 a 2000 anos antes de Cristo (a. C,) (a contagem das pessoas passou a ser regular na Mesopotâmia em 3000 C), O Egito parece ter sido a primeira naçäo a ter recenseamentos sistemáticos da população desde 2900 a. C. Os recenseamentos, entretanto, continuaram sendo raros ainda por muitos séculos, sendo um dos mais conhecidos o de Paris no ano de 1590 da nossa era (quando foram recenseados aproximadamente 200 mil habitantes) Os progressos fundamentajs da Estatística däo-se especialmente na segunda metade do século 17 (a partir de 1650, aproximadamente), com a necessidade que os monarcas da época tinham de conhecer e explicar os fenómenos sociais e econômicos que es- tavam ocorrendo. No início, a teoria das probabilidades estava relacionada com os jogos de azar, especialmente com os jogos de dados. As informaçöes mais antigas de que se tem notícia são provenientes da Mesopotâmia e datam do início do século três. Os Jogos de dados unham um aspecto lúdico, tendo tido também utilização para fins religiosos, uma vez que a populaçäo da época acreditava que os dados poderiam permitir que se conhecesse a vontade dos deuses, com a evolução do cristianismo, esse pensamento acabou, pois ele se opunha idéia de uma divindade todo-poderosa, e seu uso com esse fim foi condenado pela Igreja. probabilidades deve-se a Blaise Pascal to da teona das(1601-1665). Pascal tinha interesse em Ptèrre de Fermat azar que se desenvolv„am em Várias (1623-1662) e a dos ,ogos de um jogo antes que um dos decifrar um problema necessáriointerromper ser de caso melhor maneira de efetuar a divtsao do partE no vitórta,qual a à chegasse reflexöes sobre esse tema e as exgadores Pascalfez Inúmeras apostado? dmherro a Fermat pôs em cartas ermadas ennqueceuelaborando esquema para ganhar a Em 1729,Voltaire prémios ultrapassava o preço de todos os bis valor dos loteria de Pans- O grupo que comprava todos os biVoltatrea formar um levou durante mais de um ano. lhetesto que més e, asstm. ganhou-a lhetes da lotena de um tambémteve importancia na evolução da teona A famíliaBernoulli (Suíça) Jacques (1654Essafamíliaera da Basiléia das probabilidades levaram até o primeiro teorema-limite (a lei dos 1748)fez estudosque o é conhecido pelo Daruel (1700-1782), seu sobrinho, grandes números), e matemáticainfinita e também por estudos da problemada esperança de observação em Astronomia. Um sobrinho na probabilísticados erros (1744- 1807), também se ocupou com a teoria de DaruebJean Bernoulli das probabilidades. de densidade contínuas, as curvas Lambert (1728- 1777)estudou de máxima verosimilhanconceito o Introdunu e e unimodals centro de uma distribuição contínua simétriça ao pesquisar a posição do da Demografia, e o cálculo No início do século 19 aparece a prática que os estados tinecessidade da função de probabilidades avança em Em março de nham em possutr dados numéricosde suas populações. 1800,o Ministro do Intenor da França cria um Bureau de Estatísticm No século 19,houve uma retomadados recenseamentos, que foram pouco numerosos no século anterior (em1801foram recenseadas as populações da Inglaterra, Dinamarca, França e Noruega). Entre 1885e 1925,a Estatísticatoma forma como uma teoria coerente. Entre 1920 e 1924,o inglês Arthur Bowley (1869 —1957) desenvolve a amostragem aleatória, a estratlficaçäo,estabelece a equação da Análise de Variânciaem universos estratificadose as fórmulas da variância nos casos Simples e estratificado.A partir de 1925,as discussões sobre a representauvidade das amostras não se centram mais sobre seus princípios, já untversalmenteaceitos,mas sobreseus modos de aplicação. Os astrônomosdo século 18 utilizaram medidas experimentais para deterrrunar a posição dos objetos celestes, o que se constituiu num estudo da distribuição dos erros de medida. 19 No século 19, houve o surgimento dos estudos sobre a variância com os mínimos quadrados, mas os nomes adotados atualmentenio são tao antigos; Karl Pearson (em 1893) introdunu o termo desvio-padräo, e Carl Fnednch Gauss (em 1816) propôs a expressão numénca para a mensuraçäo das variaçöes dos erros de medida em Astronomia As principais medidas de assimetria e de curtose (parâmetros de forma) surgiram pelos estudos desenvolvtdos por Karl Pearson e Ronald Aylmer Fisher; Pearson introduziu, no ano de 1895, um parâmetro basea- do na posiçäo relativa da média aritmética,da moda e da mediana. Em 9 de fevereiro de 1877,Francis Galton (que em 1875 desenvolvera o emprego da mediana) faz uma exposição na RoyalInstituhon ofGreat Britam intitulada Típicas Leis de Hereditariedadeno Homem, em que apresenta o coeficientede reversãor, que indicava a redução de variabilidade da família, termo que se transformou em Regressäo. Em 1896,Pearson, baseandose nos conceitos de Galton, formula o que atualmente se conhecepelo nome de Teoria da Regressão,estabelecendotambéma correlação,e, em 1904, Pearson introduzru o conceito do Qui Quadrado, Em 1922, A. Fisher escreve "O obJetivodo método estatísticoé a redução dos dados. Uma massa de dados deve ser substituída por um pequeno número de quantidades representando corretamente essa massa, e contendo tanto quanto possível a totalidade da informaçäo pertinente contida dentro dos dados originais" Os fundadores da teoria dos testes de hipóteses são Jerzy Neyman e Egon Pearson (filho de Karl Pearson), e ISSOocorreu entre 1926e 1933. Em 1928, aparecem os conceitos de hipóteses nula e alternativa. A partir do fim do século 19, a lei normal passou a ter grande desenvolvimento graças aos estudos desenvolvidos por Karl Pearson e Francis Galton (primo de Charles Darwin) L A Distribuiçåo Normal é, com freqüência. atribuída a Laplace e a Gauss, a quem ela deve seu nome, mas sua origem é antenor e está descrita nos trabalhos de Jacques Bernoulli, que estabeleceu que, em se repettndo um lançamento de uma peça de duas faces, por exemplo, a freqtiêncta de apariçä0 de uma face determinada se aproxima de um certo valor suscetível de ser qualificado de probabilidade de se obter esse resultado. A lei normal foi introduztda por Gauss, que recorreu ao método dos rnfnrmos quadrados, e o avanço devido a Gauss está relacionado ao caráter probabilístico de sua abordagem. Segundo ele, " ...se uma quantidade foi determinada por muitas observações diretas efetuadas nas mesmas condiçöese consticom o mesmo obyetivo,a média aritmética dos valores observados tui o valor mais provável,se nä0 rigorosamentepelomenoscom murta de se correto proximidade, de modo que ela possa sempre ser o valor mais pauta foi denominada de Normal por p A emIS93, de Estatística Congresso Internacional ocorreu emB O primeiro 1853 em (Bélgca) e da Estatistica Teoria xelas das aplicaçöesda Os usose primeira metade doProbabilid da partir a avanços Século tiveramgrandesaté o presente Os campos de aplicação e a aceitaçao quaiscontinuam sio cada vez mais amplos. gerados resultadospor elas opinião 1.2Pesquisas de Segundo as histónas de Sherazade, contidas em As mil e uma vestia de beduíno à noite e, sem ocalifaHaraum-al-Rachidse ser identid e ado, ia de porta em porta, em Bagdá, perguntava aos moradores a niäo sobre seu governo. O papelpnnapal das pesquisas de opinião cabe aos EstadosUm. dospormuo das pesqursasde opinião pública que foram realizadas paisem grandequantidade.Os Estados Unidos são, assim, o berço das de opiniäo,sobretudoem suas pesqutsas aplicações às eleiçöespresi- dencms nas coberturas feitas pela imprensa No dia 3 de março de 1936, foram publicados nos Estados Unidos os resultadosdas eleiçöespresidenciais. Literary Digest previu vitóna de Alfred Landon, mas F. D. Roosevelt foi eleito com 61 % dos votos, vitóna previstapor três outras sondagens, uma delas executada por George GaL lup, que cnou seu própno instituto de pesquisas em 1935. O LiteraryDigest havia previsto com acerto as eleições presidenciais americanas de 1924,1928e 1932;suas pesquusas baseavam-se em questionários enviados apenas para os propnetários de automóveis e telefones. Quanto a os questionárioseram enviados Gallup, a apenas 1.500 pessoas; ele acertou tatrr bém os resultados das eleiçöes de 1940 e 1944 e chegou a ser chamado de mágicopelos norte-americanos. Em 1948, entretanto, previu a ThomasDeweycontra Harry vitória de Truman por 49% a 46%, mas o 50%a 45%a resultado foi favorde HarryTruman. Segunda Guerra O que ocorreu foi que, em razãoda Mundial, as mudanças demográficas forammarcantes, dos Estados Unidos e as cotasconsideradas se baseavam no censo de 1940, aiemdea pesquisater realizada muito antes do dia da votação. pesquisaseleitorais do 0 tiveram seu início em 1945,quan• (InstitutoBrasileiro de Opinião Pública e Estatística, fundado 21 em 1942) previu a vitória de Eurico Gaspar Dutra sobre Eduardo Gomes para a presidência da República. O Instituto Karolinska (Suécia), por exemplo, pesqursou 500.000 suecos que viviam a 300 metros de uma linha de alta tensão por um período de 25 anos e foi constatado que as crianças tinham maior incidènaa de leucemia A revista Time publicou que "embora a pesquisa näo prove relaç50 de causa e efeito, mostra uma clara correlação entre o grau de exposiçåo e o risco de leucemia infantil". O governo sueco legislou reduzrndo o número de residências na proximidade das linhas de alta tensão. Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliados deseyavamsaber quantos tanques os alemäes tinham em operação e para isso utilizaram os conceitos de Probabilidades e Estatística,por meio de amostragem fizeram inferências, obtendo resultados muito próximos da realidade. Esses estudos evoluíram de tal forma que, no final do século 20, os norte-americanos definiram o seu adadão médiopor meio de tabulação feita de dados obtidos por meio de amostragem criteriosa; esse cidadãose chama Robert, tem 31 anos de idade, estatura de 1,75 m, pesa 78 kg, veste manequim 48, sapatos número 43, tem 85 centímetros de cintura e termina o seu dia dormindo 7,7 horas, começando o dia segurnte com 21 mmutos de transporte para o trabalho Quando a Meteorologia afirma que há 90% de possibilidades de ocorreremchuvas em determmado período,ela está utilizando um conceito mediante o qual se pode afirmar que, sob as mesmas condlçöes meteorológicas reinantes, deve chover em 90% dos casos. Isso quer dizer que previsöes desse tipo se baseiam em uma metodologia que fornece resultados corretos em 90% dos casos Inferência Estatísticaé o nome dado à generalizaçãode resultados de uma parte (ou seja, de uma amostra) para o todo (ou seja, para o universo ou população), sendo também o conjunto de procedimentos utilizados na verificação da validade de uma hipótese para a população a partir dos dados disponibilizados por uma amostra. 2 23 Sebç•o da AmM'ra Vabre• da Armstra dc fazer parte da amostra, e cada indivíduo pertencente à população tem, também, a mesma probabilidade de pertencer à amostra. Na amostragem estratificada, a população é dividida em subgrupos (denominados estratos), internamente mais homogéneos do que a po- pulação total; os estratos devem ser os mals homogéneos possíveis no Partrr•tro da Populaçåo amostra e Figura1 - Relaçioentre populaçå0 todo. sabemos como um processo funciona e desgaEm Probabilidades, mos predizer seus resultados, comportamento da variável estudada, o que demanda um conhecrmento prévio da população. Embora a amostragem sep contestada em alguns casos, sendo acunåo representar com fidelidade a população à qual pertence, em de sada não ocorre, como nos casos de exames de sangue, por exemplo, isso outros algumas gotas são consideradas suficientes para retratar o apenas que em em Estatisttca, não sabemos como funciona e Um caso tíPIC0de estudo feito por amostragem, cujos resultados säO utilizados para fazer inferências em Estatística, é o das pesquisas eleitorais. resultados observados (obtidos por amostra. buscamos,por mao dos processo. gem), conhecer a natureza do Em termos de probabilidade, há três tipos de eventos, que são os mutuamenteexclusivos(em que a ocorrência de um exclui a ocorrência do POPULAÇAO- eleitores AMOSTRAGEM outro), os independentes (a ocorrência de um evento não influencia a probabilldadede ocorrênciado outro) e os dependentes (a ocorrência de um evento Influenciaa probabilidade de ocorrência do outro). AMOSTRA dos eleitores Estatísticaé qualquer característica descritiva dos elementos de uma amostra,enquanto que parâmetro é uma característica descritiva dos elementosde uma população.Se uma estatística é usada para avaliar ou estimar o valor de algum parâmetro, é chamada de estimador Assim, parametro se refere à população e estatística se refere à amostra. Variáveissão as característicasmensuráveis em cada indivíduo que faz parte da população, mantidas as mesmas condições. A qualidade de uma estimativa depende basicamente da representativ:dade da amostra, ou sela, da condiçäo que tem essa amostra de reprodumras característicasda população à qual ela pertence. Amostragem pode não ser a melhor solução em determinadas situaçöes.Um desses casos é a existênciade uma população pequena, na qual não seyadifíciluma avaliaçãocompleta, ou em casos em que uma precisão multo elevada,exatidãomesmo, sela exigida (caso dos recenseamentos ou de eleiçöespara preenchimento de cargos na esfera política) Na amostragem aleatória simples, qualquer subcorwnto da popu• lação .com o mesmo número de indivíduos) tem a mesma probabilidade iNFERËNClA Figura 2 —Inferêncta em pesquisas eleitorais (adaptado de Barbctta, 2001) Variáveis Contínuas são as que podem assumir qualquer valor no seu intervalo de vanaçäo, entre seus valores máximo e mínimo. Aí se incluem pesos e estaturas de pessoas de um certo grupo populacional, valo- de certo resem reas produto que varia de preço no mercado, 25 1.3 Medidas de tendência central exemplo, o número de gols de um jogo de futecomo,por a quantidade de escolas de filhosde uma fazem parte de uma região um que cidades de quantidade propriedades aritméticas; se municípioe a nä0 têm certas regis. Nomtnms Dados 1, 2, 3 e 4, não valem as propnedades como raças exemplo, as de dureza dos minerais, trarmos, por os valo. outras, Na escala 1+3= 4e 2<3, 7 < 9, sendo, entretanto, falso tipo ou 3 do > 6 de afira propnedade res 1 a 10 tem diferença de dureza entre o diamante e o a POIS I, =2 mar que IO- 9 10e 9) não equivale à diferença de dureza entre a (respectivamente nndo (respectivamente2 e I - a pnmeira diferença é maior). gtpsttae o talco topázio é duas vezes mais sentidodizer-seque o duro Tambémnão tena valores são 8 e 4. Os da. respectivos seus porque apenas do que a fluonta por nomes ou categorias, não podem ser ordena. representados dos sä0 preferência clubística, se pode citar dos Como exemplos equipamentos. pessoas, países, tipos de sim/näo, sexo de podem-se formar diferenças, mas não Com DadosIntervalares, de temperaturas de dez graus as. multiplicarou dividir.Duasdiferenças mesma quantidade de calor semelham-setäo-somentepor demandar a exemplo, IO para 20 ou de 30 para 40 por de, parase elevarà temperatura não representa um calor duas vezes graus 40 graus.Uma temperaturade maior do que o existente a 20 graus, Dados de Razão são os obtidos por meio dedivisöes, como é o caso (em que a referência é o metro, por exemplo), peso (a uni. comprimento de volumes (metro cúbico), áreas (metro quadrado), tempo grama), é o dade (segundos, ou horas, ou anos) e muitos outros. Nesse tipo de dado, as diferenças e as razões têm significado, DadosOrdinaisestabelecemordem, não havendo sentido, entretanto,entre as diferençasde valores.A diferença entre primeiro e terceiro colocadosem um rankingnão equivale à diferença entre o sexagésimo e o sexagéstmo segundo do mesmo ranking. 1.3.1 Média Aritmética (também referida como média, simplesmente) É representada por X (que se lê X barra) para a amostra e por para a população; é obtida somando todos os valores disponíveis e dividindo o resultado por n, que representa a quantidade de valores seja, a quantidade de valores somados. Quatro pessoas disponíveis, ou com idades de 20. 22, 26 e 28 anos teräo uma média de idades igual a X = (20 +22 +26 + 28) / 4 = 24 anos Para um dado conjunto de dados, a média sempre existe, tem valor único e é sensível à presença de valores extremos; uma de suas vantagens é a facilidade de cálculo. A fórmula da média aritmética é dada por onde Xirepresenta cada uma das n observaçöes disponíveis na amostra, i varia de 1 (primeira observação) até n (última observação). A média aritmética é uma medida de fácilcompreensão e aplicaçåo, usa todos os valores da amostra, é valor único e fácilde incluir em fórmulas matemáticas, tendo a desvantagem de ser afetada por valores extremos. Consideremos um conjunto de valores que representam uma determinada populaçåo composta pelos 50 valores que seguem. 34B / 35,5 / 28,6/ 29,4 / 41,5 / 36,8 / 33,4 / 36,0/ 30,2 / 33,2 / 33,7 / 34,3 / / 31,0 / 27,4/ 33,9/ 37,6/ 39,9/ 27,2/34,2/ 30,2/ 30,4/ 39.9/ 40,0/ 40,6/ 33,9/ 325 / 29,6/ 30,6/ 40,4/ 30,1/ 35,3/ 41,4/ 28,5/ 40,1/ / 31,6 / 395/ 34,8/ 29,9/ 37,8/ 29/ / 37,4/ 27,4/ 365/ 40,8/ 32,9/ 40,0 / 44,1 / 41,4. Essa populaçao tem como valor mínimo 24,4e como valor máximo 44,1 e média aritmética igual a 34,5. A partir desse conjunto de valores, foram tomadas aleatoriamente doze amostras, e sobre elas se fez um estudo do comportamento dos valores da média aritmética Foram tornadas três amostras de 25 valores, uma amostra com 24 valores, duas amostras com 17 valores, duas com 13 valores, duas com 10 valores, uma com 9 valores e outra com 7 valores. Os valores obtidos para a média aritmética foram, respectivamente, 34,2, 34,2, 34,8, 34,9, 33,5, 35,8, 36,3, 355, 33,6,