UNIVERSIDAD DE MAGALLANES
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FÍSICA
CARRERA : INGENIERÍA CIVIL
PROFESOR: Emedin Montaño Rojas
GUIA N 14 DE EJERCICIOS - LÍMITE Y CONTINUIDAD
MATEMÁTICA I
1. Dado
1
0
f (x) =
si x 2 Z
si x 2
=Z
(a) Gra…que f (x) :
(b) ¿Existe lim f (x)?
x!3
(c) ¿Existe lim f (x)?
x!3:5
(d) ¿Para que valores de a existe lim f (x)?
x!a
2. Dada
f (x) =
4x
1
1
si x 6= 4
si x = 4
Encontrar el lim f (x) y demostrar que lim f (x) 6= f (4)
x!4
x!4
3. Calcular los siguientes límites
x3 + 1
x! 1 x + 1
3x2 17x + 20
c) lim 2
x!4 4x
p 25x + 36
2x + 1 3
p
e) lim p
x!4
x 2
2
cos ( x=4)
g) lim
x!2
x 2
1 cos x
i) lim
x!0
x2
sen x
k) lim+
x!0 sen3 x
m) lim
1
x 1
x
n
~ ) lim p
x!0
1 cos x
senx
p) lim
x!0 tgx
x!1
1
x2 + x + 1
x!1 px3
1 p
x+3
3
d) lim
x!0
x
jx 2j (x + 9)
f ) lim
2 xp
x!2
p
x+5
5
h) lim
x!0
x
sen (2x 2)
j) lim
x!1
x3 1
senx
l) lim
x!
x2
1
p 2
x2 + p2 p
n) lim p
x!0
x2 + q 2 q
senx
o) lim
x!0+ jxj
2x2 x 3
q) lim
x! 1
x+1
b) lim
a) lim
3
x3
1
4. Para cada una de las siguientes funciones calcular lim
h!0
f (x + h)
h
f (x)
p
a) f (x) = ax2 + bx b) f (x) = x
1
c) f (x) =
d) f (x) = x2
1+x
5. Dadas las siguientes funciones determine ( si existen) asíntotas horizontales y/o verticales.
x+5
x 3
1
c) f (x) =
x (x 1)
a) f (x) =
x2 + 5
x2 4
4x
d) f (x) =
4 x2
b) f (x) =
6. Dadas las siguientes funciones, encuentre los puntos (si existen) de discontinuidad. Determine cuáles son evitables.
a) f (x) =
c) f (x) =
x2
x2
b) f (x) =
36
x2
2x
4x + 1
x2
x+2
3x 10
si x 2
si x > 2
7. Calcular
p
x2 3
a) lim p
3
x!+1
r x3 + 1
3x + 5
c) lim
x!+1
6x
p 8
a
a2 + bx2
d) lim
x!0
x2
b) lim
x!+1
e)
lim
x!+1
p
p
x2 + 1
(2x
20
3)
x2
1
30
(3x + 2)
50
(2x + 1)
8. Determinar si la función f es continua en todo su dominio
8
< x2
2x si x 1
a) f (x) =
b) f (x) =
1
si x > 1
: x4
8
< x2 5x + 6
2x
si x 6= 2
d) f (x) =
c) f (x) =
x 2
8
:
1
si x = 2
4
2
si x 6= 2
si x = 2
1
x
si x < 3
si x 3
9. Determinar los valores de M y N de modo que la función f (x) sea continua
en todo su dominio
8
4 cos 3x
si x 0
>
>
<
M
cos
2x
+
N
si
0<x<
f (x) =
2
>
>
: senx 5M
si x
2
2
x 9
10. ¿Como debería de…nirse f (x) = p
en x = 9 para que sea continua
x 3
en x = 9?
11. Si f es continua en x = a y lim f (x) = 10, hallar f (a).
x !a
12. ¿Para que valor de k, f (x) =
13. Si lim g (x) =
x! 5
kx 1
9 3xk
si x 3
es continua en x = 3?
si x > 3
9 y f (x) = x2 , calcule lim f (g (x)).
x! 5
14. Suponga que lim f (x) = 4 y lim g (x) = 2. Obtenga el límite dado, si
x !a
x !a
es que existe:
3
a) lim [5f (x) + 6] b) lim [f (x)]
x !a
x !a s
1
f (x)
c) lim
d) lim
x !a g (x)
x !a
g (x)
2
2
[f (x)]
4 [g (x)]
f (x)
f ) lim
e) lim
x !a
x !a g (x)
2
2g (x) f (x)
f (x)
g) lim
h) lim f (x) g (x)
x !a+ g (x)
x !a
6x + 3
i) lim xg (x)
j) lim
x !a
x !a xg (x) + f (x)
15. Para las siguientes funciones, identi…que las asíntotas verticales y las horizontales, si existen.
1
3
a) f (x) =
b) f (x) =
x+3
5 x
3x + 1
x
d) f (x) =
c) f (x) =
x 3
x+2
1
1
e) f (x) =
f ) f (x) = 2
2
x +p
3
(x + 5)
r
x
1
x
h) f (x) = p
g) f (x) =
x 1
x
16. Determine, si existen, puntos en los que la función dada es discontinua,
indicando el tipo de discontinuidad.
x
1
a) f (x) = 2
b) f (x) = x2 9x + 18
x +4
x2 1
x 1
c) f (x) = 4
d) f (x) =
x
1
senx
tgx
e) f (x) =
x+4
3
17. Sea la función h cuya ley de correspondencia esta dada por
8
x
si 0 x < 1
>
>
>
>
2
si 1 x < 2
>
>
>
>
2x
1
si
2 x<3
<
6
si 3 x < 4
h (x) =
>
>
si x = 4
> 9
>
>
>
7
si
4<x<4
>
>
:
8
si x = 5
Analice la continuidad de h en su dominio
1
18. Demuestre que f (x) = 1 + x2 sen , con x 6= 0 posee límite en x =
x
0.Calcular su límite.
19. Estudiar la continuidad de la función f (x) =
2
x
x
jxj
c x
si x < 1
. Determinar todos los valores de c de
3cx 2 si x 1
modo que f (x) sea continua sobre R.
20. Sea f (x) =
4