A noter que la numérotation des paragraphes adoptée ici est calquée sur celle du cours oral
afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation
usuelles d'un document écrit.
COURS DE MECANIQUE - VIBRATIONS
1ère année
Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL
Chapitre 6.
VIBRATIONS - OSCILLATEURS HARMONIQUES
Université du Maine - UFR Sciences et Techniques
Catherine Potel, Philippe Gatignol
Université du Maine, Le Mans
Catherine Potel, Philippe Gatignol
Université du Maine, Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
Les points importants de ce chapitre sont :
Distinction entre mouvement libre/mouvement forcé, régime
transitoire/régime permanent, fréquence propre/fréquence de
résonance/fréquence d'excitation,
régime apériodique/critique/pseudo-périodique
I
INTRODUCTION
1
Généralités
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
Un exemple pratique d'un tel oscillateur est celui de la suspension d'un véhicule automobile.
2
Schématisation
Beaucoup de mécanismes, comme une voiture (figure 6.1), peuvent se ramener à un système
masse-ressort dont on étudie les vibrations.
1ère étape :
pas d'amortissement
⇔
Rappel : Une fonction f est périodique de période T si et seulement si :
∀ x ∈ D f , f (x + T ) = f (x ) .
Exemples : les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2 π , la fonction tangente
Nous allons développer ces idées générales par l'étude du cas particulier fondamental de
l'oscillateur à un seul degré de liberté. Nous étudierons tour à tour les mouvements libres de
cet oscillateur quand il n'est pas amorti, puis avec de l'amortissement. Nous étudierons ensuite
les vibrations forcées de cet oscillateur, en distinguant à nouveau le cas non amorti et le cas
amorti. On mettra en particulier en évidence le phénomène de résonance.
- 6.1 -
3ème étape :
vibrations forcées
⇔
F
sol inégal
⇒ oscillations forcées, amorties
ou non
c
)
Figure 6.1 : Etapes de schématisation d'un mécanisme par un système masse-ressort
Le déplacement de la roue, dû à l'inégalité du sol et à la vitesse d'avancement de la voiture,
peut s'exprimer comme un déplacement imposé dépendant du temps, provoquant ainsi une
oscillation forcée du mécanisme de suspension. On verra comment exprimer cette excitation
en fonction du temps t .
(6.1)
est périodique de période π .
Catherine Potel
⇒ oscillations libres amorties
b)
→
V
En général, les systèmes mécaniques présentent de l'amortissement et les vibrations libres
décroissent au cours du temps pour devenir plus ou moins insignifiantes. Au contraire, les
vibrations forcées subsistent tant qu'il y a excitation.
propres : ce n'est pas en général un mouvement périodique.
2ème étape :
avec amortissement
⇔
Un tel mouvement peut
- soit être provoqué par une excitation : on parle alors de vibrations forcées ;
- soit être le résultat d'une action imposée à un instant donné (telle que déplacer le système
de sa position de repos, ou lui imposer une impulsion initiale) : on parle alors d'oscillations
libres.
Un système mécanique non amorti possède des vibrations libres particulières qui ont la
particularité d'être périodiques par rapport au temps : c'est ce que l'on appelle les vibrations
propres. Les fréquences correspondantes sont les fréquences propres du système. Le
mouvement libre le plus général pour un système est une combinaison de ces vibrations
⇒ oscillations libres non amorties
a)
Une vibration est le mouvement d'un système mécanique qui reste voisin d'un état de repos.
Université du Maine - Le Mans
L'application du Principe Fondamental de la Dynamique permet d'obtenir une équation
différentielle du second ordre à coefficients constants, avec ou sans second membre, que
l'on résout pour obtenir la loi horaire cherchée :
a &x& + b x& + c x = 0 ,
ou
a &x& + b x& + c x = f (t) , avec
(a, b, c ) ∈
3
.
(6.2-a)
(6.2-b)
L'exemple du mouvement du pendule circulaire, étudié au chapitre 4, § III.1, conduit à
l'équation
a &θ& + g θ = 0 ,
(6.3)
qui est de la forme (6.2-a) avec b = 0 .
Catherine Potel
- 6.2 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
II
OSCILLATIONS LINEAIRES LIBRES NON AMORTIES
1.
Définitions
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
ω0 =
où
c
a
(6.8)
2π
ω0
(6.9)
est la pulsation propre (ou pulsation naturelle)
9 Oscillations libres
Si un système, abandonné à lui-même autour d'une situation d'équilibre stable, évolue ensuite
de part et d'autre de cet état, on parle alors d'oscillations libres.
T0 =
et
la période propre.
L'état instantané du système est caractérisé par l'évolution d'une grandeur physique mesurable
(déplacement x (t ) ou angle θ(t ) ) qui rend compte de l'écart du système par rapport à la
position d'équilibre.
9 La solution générale de l'équation (6.7) est de la forme (figure 6.2)
x (t ) = A cos ω 0 t + ϕ ,
(
15
9 Oscillateur linéaire
L'équation différentielle qui régit l'évolution de la grandeur caractéristique x (t ) (ou θ ) est
où x t est la loi horaire du mouvement, A
A
son amplitude (de même dimension que x ),
ω 0 la pulsation propre (en rad.s −1 ) et ϕ la
t
10
phase (en rad).
Les grandeurs A et ϕ sont des constantes
T0
-15
déterminées à partir des conditions initiales.
Figure 6.2
linéaire.
Remarques.
Rappel : Fonction linéaire (dans )
L'application f de dans est linéaire si et seulement si
(
)
∀ x 1, x 2 ∈
2
(
9 x (t ) est la grandeur physique mesurable, mais si un angle est mesuré, il est d'usage
) ( ) ( )
, f x1+x 2 =f x1 +f x 2 ,
(6.4-a)
∀ λ ∈ , ∀ x ∈ , f (λ x ) = λ f (x ) ,
et
ce qui peut se résumer par
(
)
∀ x 1, x 2 ∈
2
(6.4-b)
d'utiliser une lettre grecque telle θ , et l'équation (6.7) s'écrit alors
&θ& + ω 2 θ = 0 ,
0
(6.11)
ce qui ne change rien à la généralité de l'exposé qui précède.
(
)
, ∀ λ 1, λ 2 ∈
2
(
)
( )
( )
, f λ1x1 +λ 2 x 2 = λ1f x1 +λ 2 f x 2
. (6.5)
9 L'équation (6.7) est bien linéaire (voir définitions (6.4) ou (6.5)) : si les fonctions x 1 (t ) et
(
)
x 2 (t ) sont solutions de cette équation, ∀ λ 1, λ 2 ∈
Exemple de fonction linéaire : f (x ) = a x .
Exemple de fonction non linéaire : f (x ) = a x + b .
2.
(6.10)
bg
x
9 Oscillations non amorties
Si, pendant la durée des mesures, les phénomènes de dissipation de l'énergie sous forme de
chaleur (frottements) provoquent une diminution de l'amplitude des oscillations, inférieure à
la sensibilité des appareils de mesure, on peut qualifier les oscillations de non amorties.
)
2
, la fonction λ 1 x 1 + λ 2 x 2 est
également solution de l'équation.
9 La solution (6.10) de l'équation (6.7) peut également s'écrire
x (t ) = A 1 cos ω 0 t − ϕ 1 ,
Forme de l'équation du mouvement
(
)
x (t ) = A 2 sin (ω 0 t + ϕ 2 ) ,
x (t ) = A 3 sin (ω 0 t − ϕ 3 ) .
(6.12-a)
(6.12-b)
9 L'équation du mouvement, comme on va le voir dans la suite de ce §, est de la forme
a &x& + c x = 0 ,
(6.6)
ou encore
que l'on écrit préférentiellement
Quelle que soit l'écriture, la solution est bien en définitive toujours la même, mais, a priori, les
constantes A , A 1 , A 2 et A 3 ne sont pas égales entre elles, tout comme les constantes ϕ ,
&x& + ω 02 x = 0 ,
Catherine Potel
- 6.3 -
(6.7)
Université du Maine - Le Mans
(6.12-c)
ϕ 1 , ϕ 2 et ϕ 3 ne le sont pas non plus. Il convient de noter de plus qu'écrire ± ϕ i n'est qu'une
Catherine Potel
- 6.4 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
question d'habitude qui n'a aucune incidence sur le résultat final, puisque les arguments ϕ i
sont algébriques et modulo 2 π .
Rappel.
(
)
( )
(
) ( )
sin (ω 0 t + π 2 ) = cos(ω 0 t ) ,
sin (ω 0 t − π 2 ) = − cos(ω 0 t ) .
cos ω 0 t + π 2 = − sin ω 0 t ,
cos ω 0 t − π 2 = sin ω 0 t ,
3.
R (ext → M ) =
soit
(6.13-a)
(6.13-b)
(6.13-c)
(6.13-d)
0
O
r
ex
r
ey
r
e x1
0
A
x0
θ
0
y0
l
→
T
(
)
position du fil est repérée par l'axe O x 1 , faisant un
M
→
P
laquelle est accrochée une masse m considérée
comme ponctuelle au point M . La tige est en liaison
r
pivot sans frottements d'axe O, e z 0 avec le bâti. La
x1
angle θ avec l'axe O x 0 (figure 6.3). Le repère
r r r
R 0 = O, e x 0 , e y 0 , e z 0 est galiléen, l'accélération de
r
r
la pesanteur étant telle que g = g e x 0 .
(
)
Figure 6.3
Les conditions initiales sont les suivantes : à t = 0 , le point M est lancé au point A ( θ = 0)
avec une certaine vitesse v 0 = l θ& 0 ( θ& 0 > 0 par exemple).
™ Système étudié : { le point M }.
m g cos θ
− m g sin θ .
B1
0
r
- Action du fil sur M : {fil → M} = M, T , avec
r
r
T = −T e x 1 , T > 0 .
(
Catherine Potel
- 6.5 -
(
)
(
(
(
)
(6.18)
)
(6.19)
)
(6.20)
x L'accélération du point M par rapport au repère R 0 s'écrit
r
⎛ d V M /R 0 ⎞
r
⎟
,
Γ M /R 0 = ⎜
⎟
⎜
dt
⎠/B 0
⎝
(
(
)
)
(6.21)
soit, en appliquant la formule de changement de base de dérivation
r
⎛ d V M /R 0 ⎞
r
r
r
⎟
⎜
+ Ω B 1 /B 0 ∧ V M /R 0
Γ M /R 0 =
⎟
⎜
dt
⎠/B 1
⎝
r
r
r
r
Γ M / R 0 = l &θ& e y 1 + θ& e z 0 ∧ l θ& e y 1 ,
soit
r
r
r
Γ M / R 0 = −l θ& 2 e x 1 + l &θ& e y 1 .
d'où
(
(
)
(
(
™ PFD pour le point matériel
(6.14)
)
La résultante des actions mécaniques est donc
r r
R (ext → M ) = P + T ,
⎞
⎟
,
⎟
⎠/B 0
soit, en appliquant la formule de changement de base de dérivation
r
r
⎛ d OM ⎞
⎟
V M /R 0 = ⎜
+ Ω B 1 / B 0 ∧ OM ,
⎜ dt ⎟
⎝
⎠/B 1
r
r
r
r
r
&
soit
V M / R 0 = 0 + θ e z 0 ∧ l e x 1 = l θ& e y 1 .
(
)
r
r
P = mge x 0 =
)
)
)
(
) (
(
)
)
)
x La résultante dynamique du point M par rapport au repère R 0 s'écrit donc :
r
r
r
d M / R 0 = − m l θ& 2 e x 1 + m l &θ& e y 1 .
™ Inventaire des forces :
r
- Action de la gravité : {ϖ → M} = M, P , avec
(
)
x La vitesse du point M par rapport au repère R 0 s'écrit
(
Le système de la figure 6.3 est constitué d'un fil
inextensible et sans masse de longueur OM = l à
y1
(6.16-b)
(
r
⎛ d OM
V M /R 0 = ⎜
⎜ dt
⎝
Ce système a déjà été étudié au chapitre 4, § III.
r
ey1
m g cos θ − T
− m g sin θ .
B1
0
™ Résultante dynamique :
r r r
x Le vecteur position OM est donné par ses composantes sur la base B1 = e x 1 , e y 1 , e z 0 :
r
OM = l e x 1 .
(6.17)
Retour sur le pendule circulaire
r
ez
DEUST VAS1
Université du Maine - Le Mans
(
r
R (ext → M ) = d M / R 0
r
r
soit, en projection sur e x 1 et sur e y 1 ,
)
⎧⎪m g cos θ − T = − m l θ& 2 ,
⎨
⎪⎩ − m g sin θ = m l &θ& .
(6.15)
(6.16-a)
)
L'équation du mouvement (6.27-b) s'écrit encore
l &θ& + g sin θ = 0 .
Catherine Potel
- 6.6 -
,
,
(6.22)
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
(6.27-a)
(6.27-b)
(6.28)
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
Dans le cas des petits angles (petites oscillations),
sin θ ≈ θ ,
(6.29)
avec θ exprimé en radian. Cette approximation est appelée approximation harmonique.
L'équation (6.28) s'écrit alors, compte tenu de (6.29)
l &θ& + g θ = 0 ,
(6.30)
qui est de la forme (6.6) avec a = l et c = g , et se met préférentiellement sous la forme
&θ& + ω 2 θ = 0 ,
(6.31-a)
0
ω0 = g l .
où
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
Remarques.
9 Le choix ϕ = − π 2 aurait conduit à A = + θ& 0 ω 0 , dont les reports dans l'équation (6.32)
donnent
θ(t ) = +
et aux conditions initiales
(
)
)
(6.32)
les constantes A et ϕ étant déterminées par les conditions initiales (6.31-c).
à t=0 ,
(
(6.33)
permet d'exprimer les conditions initiales (6.31-c) sous la forme :
⎧θ(0) = 0 = A cos ϕ ,
à t=0 ,
⎨θ& (0) = θ& = −A ω sin ϕ.
0
0
⎩
(6.34-a)
(6.34-b)
(6.35-b)
ce qui conduit finalement à
θ(t ) = −
Catherine Potel
θ& 0
ω0
(
)
cos ω 0 t + π 2 =
- 6.7 -
θ& 0
ω0
(
)
sin ω 0 t .
)
)
⎧θ(0) = 0 = A 2 sin ϕ ,
⎨θ& (0) = θ& = A ω cos ϕ.
0
2 0
⎩
(6.38-a)
(6.38-b)
(
(6.37-a)
)
L'équation (6.38-a) conduit
- soit à A 2 = 0 (solution physiquement inintéressante puisque conduisant à θ(t ) = 0 , ∀ t ),
ϕ2 =0
(6.39-a)
et son report dans l'équation (6.38-b) conduisent à
A 2 = θ& 0 ω 0 ,
(6.39-b)
θ& 0
ω0
(
)
sin ω 0 t ,
(6.40)
qui n'est autre que la solution (6.36).
9 De même que précédemment, le choix ϕ 2 = π aurait conduit à A 2 = − θ& 0 ω 0 , dont les
reports dans l'équation (6.37-a) donnent
θ& 0
θ& 0
θ(t ) = −
sin ω 0 t − π =
sin ω 0 t ,
ω0
ω0
(
L'équation (6.34-a) conduit
- soit à A = 0 (solution physiquement inintéressante puisque conduisant à θ(t ) = 0 , ∀ t ),
- soit à ϕ = π 2 (π) .
ϕ=π 2
(6.35-a)
Le choix
et son report dans l'équation (6.34-b) conduisent à
A = − θ& 0 ω 0 ,
(
sin ω 0 t ,
ce qui conduit finalement à
L'usage de l'équation (6.32) et de la dérivée par rapport au temps
θ& (t ) = − A ω 0 sin ω 0 t + ϕ ,
)
ω0
(6.37-b)
θ(t ) =
(
θ& 0
θ(t ) = A 2 sin ω 0 t + ϕ 2
θ& (t ) = − A 2 ω 0 cos ω 0 t + ϕ 2 ,
- soit à ϕ 2 = 0 (π) .
Le choix
™ Solution de l'équation du mouvement linéarisée (problème 6.31)
D'après l'équation (6.10), la solution de l'équation du mouvement (6.31-a) s'écrit
θ(t ) = A cos ω 0 t + ϕ ,
ω0
(
cos ω 0 t − π 2 =
9 Le choix de la solution (6.12-b)
conduit à
En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du
mouvement et les conditions initiales, soit
(6.31-a)
⎧⎪&θ& + ω 2 θ = 0 , ∀ t ≥ 0 ,
0
⎨
&
&
(6.31-c)
⎪⎩θ(0) = 0 , θ(0) = θ 0 , t = 0 .
θ& 0
résultat identique à l'expression (6.36).
(6.31-b)
L'équation du mouvement (6.31-a) est dite linéarisée.
DEUST VAS1
)
(
)
résultat identique à l'expression (6.40).
Conclusion.
Le choix de la forme de la solution n'est qu'une question d'habitude et ne change bien
évidemment pas le résultat final, puisque le problème bien posé (6.31) a une solution unique).
(6.36)
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 6.8 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
4.
Ressort horizontal
y
M
l0
O
0
→
Un ressort linéaire de masse
négligeable, de raideur k et de
longueur libre l 0 est attaché à
l'une de ses extrémités, au point
O , à un bâti (figure 6.4). La
position d'une masselotte de
masse m, attachée à son autre
extrémité M et supposée
ponctuelle en ce point, est
repérée par son abscisse x(t).
Cette masselotte peut se
déplacer sans frottements sur
un plan horizontal (non
représenté).
g
a)
x
→ M
T
O
0
x (t)
M
O
0
x (t)
b)
l0
x
→
T
c)
l0
x
Figure 6.4 : Système masse / ressort horizontal. Ressort a)
ni tendu ni comprimé, b) tendu, c) comprimé
A l'instant t = 0 , la masselotte
est écartée d'une distance a
vers la droite ( a > 0 ) et lâchée
sans vitesse initiale.
Au cours du temps, la masselotte oscille de part et d'autre de sa position à l'équilibre, ce qui
étire ou comprime le ressort.
L'action d'un ressort linéaire sur un objet est de la forme (voir chapitre 3, § III.1)
r
r
T = −k x − l 0 e x ,
(
)
(figure 6.4).
Il convient de noter que le signe - devant k au second membre de l'équation (6.41)
est toujours présent, que le ressort soit en traction ou en compression.
(
)
Ainsi, dans le cas de la figure 6.4-b, le ressort est étiré, x − l 0 > 0 , donc − k x − l 0 < 0 , et
r
r
T = −k x − l 0 e x est bien dirigé vers la gauche. Dans le cas de la figure 6.4-c, le ressort est
r
r
comprimé, x − l 0 < 0 , donc − k x − l 0 > 0 , et T = − k x − l 0 e x est bien dirigé vers la
)
(
(
)
)
droite.
Catherine Potel
™ Inventaire des forces :
r
- Action de la gravité : {ϖ → M} = M, P , avec
r
r
P = −m g e y .
(6.43)
r
r
- Action du ressort : {ressort → M} = M, T , avec l'action T donnée par l'équation
- 6.9 -
Université du Maine - Le Mans
)
(
(6.41)
(
)
)
r
r
T = −k x − l 0 e x .
r
- Action du plan : {plan → M} = M, N , avec
r
r
N = N e y et N > 0 .
(
)
(6.41)
(6.44)
La résultante des actions mécaniques est donc
r r r
R (ext → M ) = P + T + N ,
soit
(
−k x −l 0
R (ext → M ) =
B
(6.45-a)
)
−mg + N
0
.
(6.45-b)
™ Résultante dynamique :
r r r
x Le vecteur position OM est donné par ses composantes sur la base B = e x , e y , e z :
r
OM = x e x .
(6.46)
(
)
x La vitesse du point M par rapport au repère R = (O,B ) s'écrit
soit
(6.41)
où k est la raideur du ressort (exprimée en N.m −1 ) et l 0 est sa longueur libre (ou à vide)
(
DEUST VAS1
(
→
ex
k
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
™ Système étudié : { le point M }.
Cas important du ressort linéaire
a)
z
DEUST VAS1
r
⎛ d OM ⎞
⎟
,
V(M / R ) = ⎜
⎜ dt ⎟
⎝
⎠/B
r
r
V(M / R ) = x& e x .
(6.47-a)
(6.47-b)
x L'accélération du point M par rapport au repère R s'écrit
r
r
⎛ d V(M / R ) ⎞
⎟
,
Γ(M / R ) = ⎜⎜
⎟
dt
⎠/B
⎝
r
r
soit
Γ(M / R ) = &x& e x .
(6.48-a)
(6.48-b)
x La résultante dynamique du point M par rapport au repère R s'écrit donc :
r
r
d M / R 0 = m &x& e x .
(
™ PFD pour le point matériel
)
(
r
R (ext → M ) = d M / R 0
r
r
soit, en projection sur e x et sur e y ,
Catherine Potel
- 6.10 -
)
,
(6.49)
(6.50)
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
(
)
⎧− k x − l 0 = m &x& ,
⎨
⎩ −mg + N = 0 .
(6.51-a)
(6.51-b)
L'équation du mouvement (6.51-b) s'écrit encore
m &x& + k x − l 0 = 0 .
(
)
Remarquons tout d'abord qu'à l'équilibre, l'équation (6.52) s'écrit, pour x = x 0 (position
k
M
x0=l0
O
0
position d'équilibre
g
x (t)
X = x−x0
x
→ M
T
x0
D'après l'équation (6.10), la solution de l'équation du mouvement (6.56-a) s'écrit
X(t ) = A cos ω 0 t + ϕ ,
(
Le changement de variable
x
X (t)
va permettre d'exprimer l'équation du
mouvement (6.52) en fonction de la
variable X(t ) dont l'origine est la
position d'équilibre x 0 du système
étudié (figure 6.5), et ainsi obtenir
une équation sans second membre.
Figure 6.5
&& dans l'équation du
Le report de x = X + x 0 = X + l 0 et de sa dérivée seconde &x& = X
mouvement (6.52) permet d'obtenir finalement
&& + k X = 0 ,
mX
(6.55)
écrite préférentiellement sous la forme
&& + ω 2 X = 0 ,
X
0
ω0 =
(6.57)
(6.54)
Cette méthode sera systématiquement employée par la suite.
avec
)
les constantes A et ϕ étant déterminées par les conditions initiales (6.56-c).
O
0
En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du
mouvement et les conditions initiales, soit
(6.56-a)
⎧⎪X
&& + ω 2 X = 0 , ∀ t ≥ 0 ,
0
⎨
&
⎪⎩X(0) = a , X(0) = 0 , t = 0 .
(6.56-c)
(6.53)
→
→
ex
oscillant sous l'effet du vent par exemple). Une modélisation plus fine consisterait à modéliser
un tel système avec un ensemble de masses réparties, ce qui augmenterait le nombre de degrés
de liberté, et sort du cadre de ce cours.
™ Solution de l'équation du mouvement (problème 6.56)
x0 =l0 .
y
z
DEUST VAS1
(6.52)
Ecrite sous la forme (6.52), l'équation du mouvement n'est plus de la forme (6.6), soit
a &x& + c x = 0 , puisqu'il y a ici un second membre : m &x& + k x = k l 0 .
d'équilibre) et donc pour &x& = 0 ,
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
k
,
m
(6.56-a)
L'usage de l'équation (6.57) et de la dérivée par rapport au temps
& (t ) = − A ω sin ω t + ϕ ,
X
0
0
(6.58)
permet d'exprimer les conditions initiales (6.56-c) sous la forme :
⎧X(0) = a = A cos ϕ ,
à t=0 ,
⎨X
&
⎩ (0) = 0 = − A ω 0 sin ϕ.
(6.59-a)
(6.59-b)
(
)
L'équation (6.59-b) conduit
- soit à A = 0 (solution physiquement inintéressante puisque conduisant à X(t ) = 0 , ∀ t ),
- soit à ϕ = 0 (π) .
ϕ=0
(6.60-a)
Le choix
et son report dans l'équation (6.59-a) conduisent à
A=a ,
ce qui conduit finalement à
(
(6.60-b)
)
X(t ) = a cos ω 0 t ,
(6.61-a)
soit, en faisant usage de la relation (6.54),
x (t ) = X(t ) + l 0 = l 0 + a cos ω 0 t .
(
)
(6.61-b)
(6.56-b)
pulsation propre du système.
Ainsi, par exemple, si la masse m augmente, la pulsation propre ω 0 diminue. Il convient de
Remarque.
Le choix ϕ = π aurait conduit à A = −a , dont les reports dans l'équation (6.57) donnent
X(t ) = −a cos ω 0 t + π = a cos ω 0 t ,
(
)
(
)
résultat identique à l'expression (6.61-a).
noter qu'il existe dans la nature bon nombre de systèmes dont les comportements
s'apparentent en première approximation à des systèmes à 1 degré de liberté (branche d'arbre
Catherine Potel
- 6.11 -
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 6.12 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
b)
O
DEUST VAS1
Ressort vertical
O
O
→
ex
x (t)
l0
→
g
M
x0
x
M
a)
position
d'équilibre
b)
X (t)
M
c)
Figure 6.6 : Système masse / ressort vertical a) ressort
seul ni tendu ni comprimé, b) système à l'équilibre, c)
système au cours de son mouvement
Un
ressort
de
masse
négligeable, de raideur k et de
longueur libre l 0 est suspendu
par son extrémité O à un point
fixe d'un bâti, origine d'un axe
vertical dirigé vers le bas,
comme le montre la figure 6.6.
La position d'une masselotte de
masse m, attachée à son autre
extrémité M et supposée
ponctuelle en ce point, est
repérée par son abscisse x(t).
A l'instant t = 0 , la masselotte
est écartée d'une distance a
vers le bas ( a > 0 ) et lâchée
sans vitesse initiale.
De manière générale, l'étude des vibrations d'un système commence souvent par la recherche
de la position d'équilibre, ce qui permet ensuite d'effectuer un changement de variable, pour
étudier le mouvement du système autour de la position d'équilibre. Avec l'habitude, les
équations sont souvent écrites de manière systématique.
i)
Recherche de la position d'équilibre x 0
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
™ Principe Fondamental de la statique :
r
R (ext → M ) = 0
soit
mg − k x 0 −l 0 = 0 ;
d'où
ii)
)
x0 =l0+
mg
.
k
(6.65)
(6.66)
Equation du mouvement
™ Système étudié : { le point M }.
™ Inventaire des forces :
r
- Action de la gravité : {ϖ → M} = M, P , avec
r
r
P = mge x .
(6.67)
r
r
- Action du ressort : {ressort → M} = M, T , avec l'action T donnée par l'équation
(
)
(
(6.41)
)
(
)
r
r
T = −k x − l 0 e x .
(6.68)
La résultante des actions mécaniques est donc
r r
R (ext → M ) = P + T ,
soit
[
(
(6.68-a)
)]
r
R (ext → M ) = m g − k x − l 0 e x .
(6.68-b)
(
™ Inventaire des forces :
r
- Action de la gravité : {ϖ → M} = M, P , avec
r
r
P = mge x .
(6.62)
r
r
- Action du ressort : {ressort → M} = M, T , avec l'action T donnée par l'équation
(6.41) pour la position d'équilibre x = x 0
r
r
T = −k x 0 − l 0 e x .
(6.63)
(
)
(
)
(
)
[
(
)]
(6.64-a)
r
R (ext → M ) = m g − k x 0 − l 0 e x .
(6.70)
x La résultante dynamique du point M par rapport au repère R s'écrit donc :
r
r
d M / R 0 = m &x& e x .
(6.71)
(
r
soit, en projection sur e x ,
Université du Maine - Le Mans
)
(
r
R (ext → M ) = d M / R 0
(
)
,
(6.72)
)
m g − k x − l 0 = m &x& ,
(6.64-b)
d'où
- 6.13 -
)
x et l'accélération du point M par rapport au repère R s'écrit
r
r
Γ(M / R ) = &x& e x .
™ PFD pour le point matériel
La résultante des actions mécaniques est donc
r r
R (ext → M ) = P + T ,
Catherine Potel
(
™ Résultante dynamique :
r r r
x Le vecteur position OM est donné par ses composantes sur la base B = e x , e y , e z :
r
OM = x e x ,
(6.69)
™ Système étudié : { le point M }.
soit
DEUST VAS1
Catherine Potel
m &x& + k x = m g + k l 0 .
- 6.14 -
(6.73)
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
De même que précédemment, écrite sous la forme (6.73), l'équation du mouvement n'est plus
de la forme (6.6), soit a &x& + c x = 0 , puisqu'il y a ici un second membre.
X = x−x0
Le changement de variable
(6.74)
va permettre d'exprimer l'équation du mouvement (6.73) en fonction d'une variable dont
l'origine est la position à l'équilibre x 0 .
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
Par anticipation sur le cours de mécanique du solide de VAS2, l'application du Principe
Fondamental de la Dynamique au solide S pour les moments au point O conduit à
r
M O (ext → S) ⋅ e z 0 = C &θ& ,
(6.77)
bg
où M O (ext → S) est le moment au point O du torseur des actions mécaniques extérieures
r
s'exerçant sur le solide S et C est le moment d'inertie de S par rapport à O, e z 0 (unité
bg
(6.75)
r
ez
ω0 =
avec
,
(6.76-a)
k
,
m
r
ey1
0
D
(6.76-b)
O
a
r
ex
r
ey
r
e x1
0
pulsation propre du système.
θ
Avec l'habitude, ce genre d'équation est écrit de manière assez systématique, mais il ne
faut pas oublier que l'équation différentielle du mouvement a la forme (6.75) uniquement
quand la grandeur caractéristique X(t ) est référencée par rapport à la position d'équilibre.
5.
0
a
θ
→
ex
→
ez
G
0
0
→
→
P
y
Figure 6.7
Catherine Potel
e
B0
O
(S)
Figure 6.8
g
j
position du centre de masse G est repérée par l'axe
O y , faisant un angle θ avec l'axe O y 0 . Le repère
r r r
R 0 = O, e x 0 , e y 0 , e z 0
est galiléen, le repère
r r r
R = O,B avec B = e x , e y , e z 0 est lié au solide
brSg ,
b
(
g
)
e
j
et l'accélération de la pesanteur est telle que
r
g = −g e y 0 .
- 6.15 -
Université du Maine - Le Mans
B
Le moment dynamique est donné par
r
r
δO M / R 0 = m a 2 &θ& e z 0
(6.78-a)
(
→
R
)
et le moment au point O du torseur des
actions mécaniques extérieures par
r
M O (ext → M ) = − m g a sin θ e z 0 , (6.78-b)
ce qui conduit à
x1
− m g a sin θ = m a 2 &θ& ,
(
)
(6.79)
la quantité m a 2 , caractéristique de la
répartition de masse du système, étant appelée
moment d'inertie du point M par rapport à
r
l'axe O, e z 0
(
)
Lorsque le solide étudié n'est pas un point matériel, le moment d'inertie n'est plus simplement
le produit de la masse du point M par le carré de la distance au carré entre le point M et
l'axe de rotation (voir § I.6).
Définition : on appelle pendule composé le système oscillant formé par un objet solide
quelconque, susceptible d'osciller sous le seul effet de son poids autour d'un axe fixe
schématisant une liaison pivot parfaite (sans frottements).
bg
Le solide S de la figure 6.7 est en liaison pivot sans
frottements avec un bâti (non représenté) d'axe
r
O, e z 0 , ce qui le met en rotation autour de cet axe. La
j
y1
y0
→
P
x0
Cas particulier de la rotation autour d'un axe fixe
→
ey
0
M
A
En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du
mouvement et les conditions initiales, soit
(6.76-a)
⎧⎪X
&& + ω 2 X = 0 , ∀ t ≥ 0 ,
0
⎨
& (0) = 0 , t = 0 .
⎪⎩X(0) = a , X
(6.76-c)
e
Ce genre d'équation a déjà été obtenu au
Chapitre 4, § III/2, lors de l'étude du pendule
circulaire pour un point matériel M
(figure 6.8).
C
écrite préférentiellement sous la forme
&& + ω 2 X = 0
X
0
bg
kg.m 2 ).
&& dans l'équation du
Le report de x = X + x 0 = X + l 0 + m g k et de sa dérivée seconde &x& = X
mouvement (6.73) permet d'obtenir finalement
&& + k X = 0 ,
mX
DEUST VAS1
Le torseur des actions extérieures est donc la somme du torseur des actions de la gravité
{ω → S} et du torseur des actions du bâti {bâti → S},
{ext → S} = {ω → S} + {bâti → S} .
soit
(6.80)
En posant OG = a (figure 6.7), le moment au point O des actions mécanique extérieures
s'écrit
Catherine Potel
r
M O {ext → S} = OG ∧ P + M O {bâti → S} ,
- 6.16 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
soit
DEUST VAS1
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
L
0
L
0
asin θ
− acos θ ∧
− mg +
+
M O {ext → S} =
M ,
0
M=
B0
B0 0
B 0 0 B 0 − mgasin θ B 0 0
0
écrite préférentiellement sous la forme
&θ& + ω 2 θ = 0 ,
0
(6.83-a)
mga
.
C
(6.83-b)
→
ez
Figure 6.10-a)
(6.81)
Dans le cas des petites oscillations (approximation harmonique), sin θ ≈ θ , et l'équation
(6.81) devient
C &θ& + m g a θ = 0 ,
(6.82)
ω0 =
2
1
→
ez
d'où, en faisant usage de l'équation (6.77),
− m g a sin θ= C &θ& ,
C &θ& + m g a sin θ = 0 .
soit
avec
DEUST VAS1
Figure 6.10-b)
Si l'on veut faire tourner chacun des deux systèmes, l'expérience montre qu'il faudra dépenser
beaucoup plus d'énergie pour communiquer une vitesse de rotation donnée au système c
(figure 6.10-a) qu'au système d (figure 6.10-b), alors que chacun des deux systèmes a la
même masse.
On peut donc en conclure que la distance de la masse par rapport à l'axe est un élément
important dans l'étude de la dynamique des systèmes.
Moment d'inertie par rapport à une droite ∆
b)
L'équation (6.83) est à savoir retrouver et non à apprendre par coeur !
En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du
mouvement et les conditions initiales, soit
(6.83-a)
⎧⎪&θ& + ω 2 θ = 0 , ∀ t ≥ 0 ,
0
⎨
(6.83-c)
⎪⎩θ(0) = θ 0 , θ& (0 ) = θ& 0 , t = 0 .
d2
d1
A1
A2
bg
(∆)
di
Soit une droite ∆ (figure 6.11). Si l'on désigne par d i les
distances des points A i du solide S par rapport à ∆ , on
bg
bg
bg
bg
définit le moment d'inertie de S par rapport à ∆ par :
Ai
bg
I ∆ S = ∑ m i d 2i
Figure 6.11
.
(6.84)
i
6.
Dans le cas d'une seule masse (figure 6.8), I Oz 0 (S) = m a 2 .
Calcul de moments d'inertie
Remarques :
Ce paragraphe est traité par anticipation sur le cours de mécanique du solide.
a)
ƒ Un moment d'inertie est toujours positif.
ƒ Dimension : I ∆ = M L 2 ⇒ unité : kg. m 2 .
Introduction
d
r r r
Soit K un point quelconque. On considère la base B = e x , e y , e z
→
ez
Le solide de la figure 6.9 est constitué d'un disque de grand
diamètre et d'un axe de plus faible diamètre, le tout pouvant tourner
r
autour de e z .
b
g
est
Figure 6.9
On considère quatre anneaux identiques (donc de même masse), que l'on dispose de deux
manières différentes (figure 6.10) ; sur la figure 6.10-a), ils sont collés sur la face avant du
disque, et sur la figure 6.10-b), ils sont fixés sur l'axe du disque.
Catherine Potel
- 6.17 -
Université du Maine - Le Mans
bg
i associée au repère
R = K,B , ce repère n'étant pas nécessairement lié à S . Par habitude, lorsque la droite (∆ )
(
(
(
)
)
)
r
- l'axe K, e x , le moment d'inertie
r
- l'axe K, e y , le moment d'inertie
r
- l'axe K, e z , le moment d'inertie
I ∆ (S) est noté A ,
I ∆ (S) est noté B ,
I ∆ (S) est noté C .
- On pourra se reporter au tableau de la figure 6.12 pour connaître les éléments d'inertie en un
point O , et les centres de masse de quelques solides homogènes.
Catherine Potel
- 6.18 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
Théorème de Huygens : Le moment d'inertie d'un solide par
rapport à une droite est égal à la somme du moment
d'inertie par rapport à cette droite de la masse du solide
concentrée au centre de masse G et du moment d'inertie du
solide par rapport à la droite parallèle passant par G .
G
(∆)
(∆ G )
Figure 6.13
bg
md
y1
Centre O
(6.85)
Le système de la figure 6.14 est constitué d'une tige pesante
homogène S de masse m de longueur l . Le centre de masse G
est donc situé à une distance l 2 du point O. La tige est en
r
liaison pivot sans frottements d'axe O, e z 0 avec le bâti. La
O
y0
l
z0
G
(
→
g
y
)
position de la tige est repérée par l'axe O x 1 , faisant un angle
x1
θ avec l'axe O x 0 (figure 6.14).
- D'après le tableau 6.12, et avec les notations employées dans
ce tableau (figure 6.15),
1
I Ox = I Oy = Ml 2.
(6.86)
12
z
O
Figure 6.15
- Dans le cas présent, et avec les notations employées (figure 6.14), le moment d'inertie par
rapport à l'axe G z 0 , noté I G z 0 s'écrit, en faisant usage de la relation (6.86)
Cône creux
Boule (pleine)
(
Sphère (creuse)
Parallélépipède rectangle
Centre O
Centre O
,
Exemple.
x
Cylindre plein
g
2
(figure 6.13)
Figure 6.14
Centre O
b
où ∆ G est la droite parallèle à ∆ et passant par G , et d est la distance entre ∆ et ∆ G
x0
cylindre creux
bg
I ∆ S = I ∆ G S + I ∆ m, G
1424
3
θ
Centre O
DEUST VAS1
Théorème de Huygens pour les moments d'inertie
d
N.B. : les solides "creux" sont supposés d'épaisseur négligeable.
Tore creux
On remarquera qu'il est possible de déduire de ce tableau d'autres résultats : Ainsi la
tige s'obtient en faisant
dans le cylindre plein, la plaque en faisant
dans le
parallélépipède rectangle, etc...
Secteur circulaire
Demi-sphère (creuse)
Quart de cercle matériel
Quart de plaque elliptique
Centre O
Centre de masse G
Solide homogène de masse M
d)
Eléments d'inertie
Centre de masse et éléments d'inertie au point O de quelques solides homogènes usuels
Centre de masse G
Solide homogène de masse M
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
Eléments d'inertie de quelques solides homogènes usuels
Eléments d'inertie
c)
DEUST VAS1
)
(
1
I Gz0 = ml 2 .
(6.87)
12
r
et O, e z 0 étant égale à l 2 , le moment d'inertie par
) (
)
r
La distance entre les axes G, e z 0
r
rapport à l'axe O, e z 0 s'écrit, par usage du théorème de Huygens (6.85)
(
)
2
l 2 ml 2
1
⎛l⎞
=
,
I Oz 0 = I Gz 0 + m⎜ ⎟ = ml 2 + m
12
4
3
⎝2⎠
Figure 6.12
(6.88)
quantité notée C .
!
Lorsque l'on cherche un élément d'inertie en un autre point que le point O , il faut utiliser
le théorème de Huygens (§ II.6.d).
Catherine Potel
- 6.19 -
Université du Maine - Le Mans
L'usage de la relation (6.77) permet alors d'écrire
r
m l 2 &&
M O {ext → S}⋅ e z 0 =
θ .
3
Catherine Potel
- 6.20 -
(6.89)
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
7.
DEUST VAS1
b)
Le ressort spiral et le fil de torsion
Le ressort spiral et le fil de torsion sont deux exemples de pièces mécaniques pouvant exercer
un moment de rappel (communément appelé couple de rappel et noté C ) sur le système
auquel ils sont liés, fonction de l'angle de rotation θ autour d'un axe de rotation. Ils sont
caractérisés par une constante de torsion, pouvant être appelée raideur (par analogie avec la
raideur des ressorts en translation étudiés jusqu'à présent dans ce cours) et notée K .
a)
r
ez
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
Le ressort spiral
O
0
B
Figure 6.16-a
Le fil de torsion
Le fil de torsion quant à lui est un fil rectiligne pouvant être contraint en
r
rotation autour de son axe e z 0 (torsion). Sa raideur K (en N.m.rad −1 )
l
est donnée par
K =GIO l ,
matériau constituant le fil, le moment polaire de la section droite
( I O = π D 4 32 pour une section circulaire de diamètre D ) et la longueur
0
Figure 6.17
c)
Figure 6.16-c : Réalisation du mécanisme de la
première montre à ressort spiral (tel qu'imaginé par
Huygens) par Isaac Thuret, l'un des meilleurs
horlogers de Paris, en 1675.
http://www.louisg.net/mesure_temps5.htm
Sa raideur K (en N.m.rad −1 et non en N.m −1 comme dans le cas des ressorts en translation
précédemment étudiés) est donnée par
K = EIq l ,
(6.90)
où E , I q et l désignent respectivement le module d'Young du matériau constituant le
ressort, le moment quadratique de la section droite ( I q = π D 4 64 pour une section circulaire
de diamètre D et I q = b h 3 12 pour une section rectangulaire de largeur b et d'épaisseur h )
et la longueur du ressort.
Catherine Potel
- 6.21 -
Université du Maine - Le Mans
du fil.
Couple de rappel
Dans la suite, le terme "ressort" ou "ressort spiral" désigne indifféremment le ressort spiral ou
le fil de torsion.
Dans les deux cas, si θ 0 désigne l'angle au repos de la torsion (libre de toute contrainte), la
r
torsion d'un angle θ autour de l'axe (O, e z 0 ) provoque un couple de rappel C
r
(correspondant à la projection sur le vecteur e z 0 de l'action du ressort sur le système auquel
il est lié) tel que
Figure 6.16-b : Balancier avec
ressort spiral. Gravure extraite de
PRIVAT-DESCHANEL et
FOCILLON, Dictionnaire général
des sciences techniques et
appliquées, 1883
(6.91)
où G , I O et l désignent respectivement le module de Coulomb du
r
ez
La figure 6.16-a représente un ressort spiral. Essentiellement
utilisé dans l'appareillage de précision (montres, appareils
électriques, ...) et inventé par Christiaan Huygens (16291695) en 1675 (figures 6.16-b et c), un ressort spiral est
composé d'un ruban de section rectangulaire ou circulaire,
encastré à une extrémité B et solidaire à l'autre extrémité O
r
d'un axe (O, e z 0 ) perpendiculaire au plan d'enroulement.
DEUST VAS1
(
r
C = M O (ressort → système) ⋅ e z 0 = − K θ − θ 0
)
.
(6.92)
Il convient de bien noter l'analogie de l'expression (6.92) du couple de rappel avec
l'expression (6.41) de l'action d'un ressort en translation de raideur k et de longueur à vide
l 0 sur un système :
r
R (ressort → système) = −k x − l 0 e x .
(6.93)
(
)
Si le ressort spiral est de masse négligeable par rapport aux systèmes auxquels il est lié, sa
fonction se réduit à transmettre les efforts mécaniques, notamment son couple de rappel.
d)
Exemple de mise en équation d'un problème
Le système de la figure 6.18-a est constitué d'une tige 1 sans masse, en liaison avec un bâti 0
r
par l'intermédiaire d'une liaison pivot sans frottement d'axe O, e z 0 , son axe de rotation étant
e
j
soumis au couple de rappel d'un ressort spiral ou d'un fil de torsion de constante de torsion K
(supposé sans masse). Le torseur des actions du bâti 0 sur la tige 1 peut donc s'écrire :
Catherine Potel
- 6.22 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
{0 → 1} =
DEUST VAS1
⎧X O
⎪
⎨ YO
⎪
O⎩ ZO
LO ⎫
⎪
MO⎬
C ⎪⎭B
1
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
- Action du bâti : {0 → 1} =
(6.94)
⎧XO
⎪
⎨ YO
⎪
O ⎩ ZO
DEUST VAS1
LO ⎫
⎪
MO ⎬
C ⎪⎭B
1
où C est le couple de rappel exercé par le ressort sur la tige.
z0
On introduit les repères suivants :
r r r
- repère fixe R 0 = O, e x 0 , e y 0 , e z 0 = O,B0 lié au bâti 0, et
e
y1
y0
O
1
θ0
j c
h
supposé galiléen.
r r r
- repère R1 = O, e x 1 , e y 1 , e z 0 = O,B1 lié à la tige 1.
e
j c
h
r
Au repos, la tige 1 fait un angle θ 0 avec l'axe e x 0 et l'ensemble
r
r
est soumis au champ de pesanteur terrestre g = g e x 0 .
M
™ Moment au point O des actions mécaniques extérieures exercées sur le système Σ
M O (ext → Σ ) = M O (ϖ → Σ ) + M O (bâti → Σ ) ,
(6.97-a)
a
m g cos θ
LO
r
0 ∧
− m g sin θ +
MO ,
soit M O (ext → Σ ) = O M ∧ P + M O (bâti → Σ ) =
0
B1 0 B1
B1 C
M O (ext → Σ ) =
d'où
LO
MO
.
B 1 − m g a sin θ + C
(6.97-b)
x1
x0
Figure 6.18-a
Le couple de rappel C exercé par le ressort spiral sur la tige lorsque celle-ci est écartée d'un
r r
angle orienté θ = e x 0 , e x 1 est donné par
e
j
(
C = −K θ − θ 0
)
.
™ Principe Fondamental de la statique
r
M O (ext → Σ ) = 0
(6.98-a)
r
soit, en projection sur l'axe e z 0 et en reportant l'expression (6.95) du couple de rappel C
pour θ = θ 1 ,
z0
d'où
y1
y0
O
1
a
θ1
M
bille
Une bille de masse m, assimilée à une masse ponctuelle, est
maintenant fixée à l'extrémité M de la tige c, située à une
distance "a" de son autre extrémité O (figure 6.18-b). On note
Σ l'ensemble constitué de la tige c et de la bille. A l'équilibre,
r
la tige OM fait un angle θ 1 avec l'axe O, e x 0 .
e
j
x1
x0
Figure 6.18-b
(
comprime le ressort spiral ce qui rapproche la tige de la verticale.
™ Principe Fondamental de la dynamique
L'usage de l'équation (6.77) provenant de l'application du PFD pour les moments au point O
conduit à, lorsque la tige est écartée d'un angle θ de l'axe O x 0 ,
r
M O (ext → Σ ) ⋅ e z 0 = m a 2 &θ& ,
(6.99)
e
)
- 6.23 -
(6.98-b)
Il convient de noter que, d'après l'équation (6.98-b), θ 1 − θ 0 < 0 . La position d'équilibre a
donc lieu pour θ 1 < θ 0 , du fait que l'action de la gravité sur la bille exerce une action qui
j
l'équation du mouvement s'écrit
Université du Maine - Le Mans
(
)
m a 2 &θ& = − m g a sin θ − K θ − θ 0 ,
(6.96)
soit
Catherine Potel
)
où m a 2 représente le moment d'inertie de la masse ponctuelle m par rapport à l'axe
r
O, e z 0 . Par suite, en reportant les équations (6.97-b) et (6.95) dans l'équation (6.99),
™ Système étudié : le système Σ constitué de la tige 1 et de la bille.
™ Inventaire des actions mécaniques extérieures :
r
- Action de la gravité : {ϖ → M} = M, P , avec
r
r
P = mge x 0 .
(
− m g a sin θ 1 − K θ 1 − θ 0 = 0 ;
mga
θ1 − θ 0 = −
sin θ 1 .
K
(6.95)
Catherine Potel
(
)
m a 2 &θ& + m g a sin θ + K θ − θ 0 = 0 .
- 6.24 -
(6.100)
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
™ Etude des petits mouvements autour de la position d'équilibre θ = θ 1
e)
Le changement de variable
Θ = θ − θ1
(6.101)
et un développement limité de la fonction sin θ autour de θ = θ 1 vont permettre d'exprimer
l'équation du mouvement (6.100) en fonction d'une variable dont l'origine est la position à
l'équilibre.
&& dans l'équation du mouvement
Le report de θ = Θ + θ 1 et de sa dérivée seconde &θ& = Θ
(6.100) permet d'écrire
(
) (
)
&& + m g a sin Θ + θ + K Θ + θ − θ = 0 ,
ma 2 Θ
1
1
0
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
Pendule de Pohl
Un pendule de Pohl est un oscillateur harmonique constitué d'un disque en rotation autour de
son centre, relié à un ressort spiral qui tend à ramener le disque vers sa position d'équilibre.
Le dispositif de la figure 6.19 (distribué par la société Leybold Didactic GmbH) comporte
ainsi un pointeur placé sur le disque qui permet de suivre les oscillations et de mesurer les
amplitudes, d'un petit moteur relié au ressort spiral qui impose une excitation sinusoïdale et
force ainsi les oscillations à une fréquence ajustable par l'utilisateur, et d'un frein
électromagnétique permettant de régler l'effet d'amortissement (par courants de Foucault).
(6.102-a)
soit, en reportant l'expression (6.98-b) de θ 1 − θ 0
(
)
&& + m g a sin Θ + θ + K ⎛⎜ Θ − m g a sin θ ⎞⎟ = 0 .
ma 2 Θ
1
1
K
⎠
⎝
(
(6.102-b)
)
Le développement à l'ordre 1 de sin θ 1 + Θ s'écrit, en appliquant la formule de Taylor
(
) ( ) ( ) h2 f " (x 0 )+ K
sin (θ 1 + Θ ) ≈ sin θ 1 + Θ cos θ 1 ,
f x 0 +h = f x 0 +hf x 0 +
2
,
(6.103-a)
(6.103-b)
et son report dans l'équation (6.102-b) conduisent à
&& + m g a cos θ + K Θ = 0 ,
ma 2 Θ
1
(
soit
où
)
&& + ω 2 Θ = 0 ,
Θ
0
ω0 =
(6.104-a)
m g a cos θ 1 + K
ma 2
.
(6.104-b)
Nota Bene 1. Même en écrivant l'équation du mouvement en fonction d'une variable dont
l'origine est la position à l'équilibre θ = θ 1 , contrairement au cas des oscillateurs étudiés
jusqu'à présent, l'angle θ 1 intervient encore dans l'équation du mouvement.
Nota Bene 2. Si θ 0 = 0 , l'équation (6.98-b) s'écrit
mga
(6.105)
sin θ 1 < 0 ,
K
alors que θ 1 ≥ 0 . Par suite, si θ 0 = 0 , alors θ 1 = 0 , et la pulsation propre s'écrit alors
θ1 = −
ω0 =
Catherine Potel
mga + K
ma 2
- 6.25 -
.
(6.106)
Université du Maine - Le Mans
Figure 6.19 : Pendule de Pohl distribué par la société Leybold Didactic GmbH.
http://www.leybold-didactic.de ; http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_de_Pohl
1. Echelle circulaire.
2. Corps du pendule : index pour la déviation (2a), index pour la position de phase (2b),
ressort spiral (2c).
3. Excitateur : index pour la position de phase de l’excitateur (3a), fente (3b), vis (3c), barre
de poussée (3d), poulie avec excentrique (3e).
4. Electroaimant pour frein à courants de Foucault. Douilles de connexion (4a).
5. Moteur de l’excitateur.
Catherine Potel
- 6.26 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
8.
DEUST VAS1
Représentation de l'oscillateur harmonique non amorti dans le plan des phases
Il est possible de représenter les oscillations du système dans le plan des phases, c'est-à-dire
dans un repère dont l'axe des abscisses est l'élongation x , et l'axe des ordonnées est sa dérivée
x& par rapport au temps t (ou θ et θ& ).
Exemple : Système masse-ressort horizontal étudié au § II.4-a)
x0=l0
La solution (6.57) de l'équation du mouvement
M
O
(6.56-a) s'écrit
0
x
x (t)
X(t ) = A cos ω 0 t + ϕ
(6.107-a)
(
X (t)
Figure 6.20
)
et sa dérivée par rapport au temps
& (t ) = − A ω sin ω t + ϕ . (6.107-b)
X
0
0
(
)
2
& ⎞2
⎛ X
⎛X⎞
⎟⎟ = 1 ,
(6.108)
⎜ ⎟ + ⎜⎜
⎝A⎠
⎝ A ω0 ⎠
équation d'une ellipse de demi-grand-axe A et de demi-petit axe A ω0 (figure 6.20). Il en
Par suite,
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
& (0) = 0 , ce qui correspond au point B .
- A t = 0 , X(0 ) = A et X
& (t ) = − A ω , ce qui correspond au point C .
- A ω 0 t = π 2 , X(t ) = 0 et X
0
&
- A ω 0 t = π , X(t ) = − A et X(t ) = 0 , ce qui correspond au point D .
- Etc.
L'intérêt des représentations dans le plan des phases est d'obtenir un comportement qualitatif
sur le système étudié, par comparaison avec le cas où le système est amorti.
Ce type de représentation offre en particulier l'avantage de représenter la position en fonction
de la vitesse, deux grandeurs devant être définies pour connaître l'état d'un système.
III
OSCILLATIONS LINEAIRES LIBRES AMORTIES
L'oscillateur est abandonné à lui-même et est soumis à un amortissement dû à l'existence
d'une force de frottement fluide. Cette force de frottement dissipe l'énergie mécanique sous
forme de chaleur.
résulte donc, pour l'ensemble des conditions initiales (pour un système masse-ressort donné),
une famille d'ellipses concentriques, décrites dans le sens des aiguilles d'une montre lorsque le
temps t augmente (figure 6.20). Par suite, la connaissance d'une seule grandeur, l'amplitude
1
A , permet de savoir sur quelle ellipse se déplace le point représentatif du système dans le
plan des phases.
9 L'équation du mouvement, comme on va le voir dans la suite de ce §, est de la forme
a &x& + b x& + c x = 0 ,
(6.109)
Forme de l'équation du mouvement
que l'on écrit préférentiellement
Si la courbe ainsi obtenue est fermée, le mouvement est périodique. On verra en particulier
que, pour les oscillateurs libres amortis, la courbe n'est plus fermée (voir § III.5).
.
X
&x& + 2 γ x& + ω 02 x = 0 ,
(6.110)
où b est un facteur d'amortissement positif,
|A| ω0
ω0 =
c
a
(6.111)
est la pulsation propre (ou pulsation naturelle) des oscillations libres non amorties,
B
D
-|A|
|A|
X
et
γ=
b
2a
(6.112)
caractérise l'amortissement (en s −1 ).
C -|A| ω0
Il convient de noter que la terminologie en ce qui concerne l'amortissement n'est pas bien
définie et que les grandeurs b et γ sont des grandeurs caractérisant toutes deux
Figure 6.21
l'amortissement sans qu'une dénomination précise leur soit associée.
Pour se convaincre du sens de parcours des ellipses, il suffit, pour simplifier, de prendre
ϕ = 0 et A > 0 dans les équations (6.107).
Catherine Potel
- 6.27 -
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 6.28 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
ƒ 1er exemple : système masse-ressort amorti
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
r+γ =0 ,
⎧⎪
⎨r 2 + 2 γ r + ω 2 = 0 .
⎪⎩
0
ou
r
La force de frottement visqueux est de la forme − λ x& e x , ce qui conduit à
l'équation :
m &x& + λ x& + k x = 0 ,
où le facteur d'amortissement λ a pour dimension [λ ] = M T −1 et pour unité
λ
k
(6.113)
λ
γ=
,
2m
Figure 6.22
(6.114)
et pour unité s −1 .
θ
→
P
9 Le report de x b (t ) et de ses dérivées successives par rapport au temps x& b (t ) = B r e r t et
à l'équation :
&x& b (t ) = B r 2 e r t dans l'équation (6.110) conduit à
C &θ& + µ θ& + m g a θ = 0 ,
(6.115)
soit
expression
ou
γ=
−1
µ
,
2C
(6.116)
et pour unité s −1 .
La résolution de l'équation (6.110) s'obtient en cherchant des solutions indépendantes x a et
x b de la forme x a (t ) = A t e r t et x b (t ) = B e r t .
x a (t ) et de ses dérivées successives par rapport au temps
x& a (t ) = A (1 + r t ) e r t et &x& a (t ) = A [ r + (1 + r t ) r ]e r t dans l'équation (6.110) conduit à
[
(
) ]e
A 2 (r + γ ) + r 2 + 2 γ r + ω 02 t
Catherine Potel
r
+ 2 γ r + ω 02 = 0
(6.119-a)
,
(6.119-b)
qui n'est autre que l'équation caractéristique (6.117-c) déjà trouvée.
caractéristique, et donc à calculer son discriminant réduit ∆ ' donné par l'équation (6.118).
Ce paragraphe ne remplace nullement le cours de mathématiques consacré à la résolution
des équations différentielles du second ordre à coefficients constants.
9 Le report de
B=0
2
La solution (6.119-a) étant physiquement inintéressante puisque conduisant à
x b (t ) = 0 , ∀ t ≥ 0 , il ne reste plus qu'à résoudre l'équation (6.119-b), appelée équation
Résolution mathématique de l'équation
soit
B r 2 e r t + 2 γ B r e r t + ω 02 B e r t = 0 , ∀ t ≥ 0 ,
où le facteur d'amortissement µ a pour dimension [µ] = M L T et pour
unité associée N.s.m , et où le terme γ défini par l'équation (6.112) a pour
Figure 6.23
2
revient à écrire r = − γ et r 2 = ω 02 , c'est-à-dire r = − γ = −ω 0 .
conditions (6.117-b) et (6.117-c) sont satisfaites, c'est-à-dire si r = − γ et si ∆' = γ 2 − ω 02 = 0 .
2
G
(6.118)
r
Le moment de frottement visqueux est de la forme − µ θ& e z 0 , ce qui conduit
0
a
(S)
∆' = γ 2 − ω 02 ,
La solution x a (t ) = A t e r t est donc solution de l'équation (6.110) uniquement si les
ƒ 2ème exemple : pendule composé avec pivot réel
O
La résolution de l'équation (6.117-c), appelée équation caractéristique, conduit à calculer son
nul ici, puisque le report de la condition (6.117-b) dans l'équation caractéristique (6.117-c)
expression
→
ez
(6.117-b)
(6.117-c)
discriminant réduit
associée N.s.m −1 , et où le terme γ défini par l'équation (6.112) a pour
m
DEUST VAS1
A=0
- 6.29 -
rt
=0 , ∀ t≥0 ,
(6.117-a)
Université du Maine - Le Mans
Œ Lorsque le discriminant réduit ∆' = γ 2 − ω 02 = 0 , la solution de l'équation (6.119-b)
est donnée par la racine double r = − γ (ce qui correspond de plus aux conditions (6.117-b,c)),
et la solution générale de l'équation (6.110) est alors donnée par la somme x a (t ) + x b (t ) .
Œ Lorsque le discriminant réduit ∆' ≠ 0 , la solution de l'équation (6.119-b) est donnée
par deux racines distinctes r1 et r 2 , et la solution générale de l'équation (6.110) est alors
r t
r t
donnée par la somme B̂ 1 e 1 + B̂ 2 e 2 (les conditions (6.117-b,c) ne sont alors plus
satisfaites et la fonction x a (t ) n'est pas solution).
Finalement, la recherche de la solution générale d'une équation différentielle du second ordre
à coefficients constants telle que l'équation (6.110) conduit à écrire l'équation caractéristique
(6.119-b) et à en calculer son discriminant réduit (6.118), ce qui mène aux deux cas suivants.
Catherine Potel
- 6.30 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
a)
DEUST VAS1
Premier cas : ∆' = 0 c'est-à-dire γ = ω0
soit
x (t ) = (A t + B) e
soit
x (t ) = (A t + B) e
(6.121)
où les constantes A et B dépendent des conditions initiales. Ce cas correspond au régime
critique (voir § 3 suivant).
b)
La solution x (t ) de l'équation (6.110), donnée par son expression (6.122) s'écrit finalement
x (t ) = e − γ t ⎛⎜ B̂ 1 e
⎝
,
−iωa t
+ B̂ 2 e
iωa t ⎞
⎟ .
⎠
(6.127)
Il est usuel d'exprimer la solution (6.122) à l'aide des fonctions trigonométriques circulaires.
Ainsi, en remplaçant les exponentielles complexes par leurs expressions en fonction des
fonctions trigonométriques circulaires, l'équation (6.127) peut s'écrire
(
)
x (t ) = C e − γ t cos ω a t + ϕ ,
Deuxième cas : ∆' ≠ 0
Lorsque le discriminant réduit ∆ ' est non nul, les solutions r1 et r 2 de l'équation
caractéristique (6.119-b) peuvent être soit toutes les deux réelles, soit toutes les deux
complexes conjuguées (en fonction du signe de ∆ ' ), et, dans les deux cas, la solution peut
s'écrire
x (t ) = B̂ 1 e
(6.126)
est une grandeur appelée pseudo-pulsation (l'indice "a" n'ayant aucun rapport avec la solution
x a précédemment écrite).
,
−γ t
DEUST VAS1
ω a = ω 02 − γ 2
où
Lorsque le discriminant réduit ∆ ' est nul, la solution r est donnée par la racine double de
l'équation caractéristique (6.117-c)
r = −γ ,
(6.120)
et la solution x (t ) est donnée par x a (t ) + x b (t ) ,
rt
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
r1 t
+ B̂ 2 e
r2 t
,
(6.122)
où les constantes B̂ 1 et B̂ 2 dépendent des conditions initiales et sont complexes dans le cas
) (
) ( ) (
) ( )
(6.129-a)
soit C cos(ω a t )cos ϕ − C sin (ω a t )sin ϕ = (B̂ 1 + B̂ 2 )cos(ω a t ) + i (B̂ 2 − B̂ 1 )sin (ω a t ) . (6.129-b)
(
C cos ω a t + ϕ = B̂ 1 + B̂ 2 cos ω a t + i B̂ 2 − B̂ 1 sin ω a t ,
où
Pour que l'équation (6.129-b) soit vérifiée quel que soit t , il faut que
⎧⎪ C cos ϕ = B̂ 1 + B̂ 2 ,
⎨
⎪⎩− C sin ϕ = i B̂ 2 − B̂ 1 ,
(
)
⎧ C 2 = 4 B̂ 1 B̂ 2 ,
⎪⎪
B̂ 1 − B̂ 2
⎨
.
⎪tan ϕ = i
B̂ 1 + B̂ 2
⎩⎪
soit
général (ce que symbolise la notation ^ ).
i) Si ∆ ' > 0 c'est-à-dire γ > ω 0
(6.128)
(6.130-a)
(6.130-b)
Les constantes C et ϕ sont réelles et dépendent (tout comme B̂ 1 et B̂ 2 qui sont complexes)
Les racines r1 et r 2 sont réelles (les constantes B̂ 1 et B̂ 2 également)
r1 = − γ − ∆' et
r 2 = − γ + ∆' ,
(6.123)
des conditions initiales.
La notation C n'a bien sur rien à voir avec le moment d'inertie
des équations (6.77) ou (6.115)...
et le régime correspondant est appelé régime apériodique (voir § 3 suivant).
Remarque. Du fait que la solution x (t ) est réelle, elle est égale à son complexe conjugué
ii) Si ∆'< 0 c'est-à-dire γ < ω 0
x * (t ) , ce qui, par usage de l'équation (6.127), conduit à
Les racines r1 et r 2 sont complexes conjuguées et le régime correspondant est appelé régime
pseudo-périodique (voir § 3 suivant). Ces racines s'obtiennent en les écrivant sous la forme
r1 = − γ − δ et r 2 = − γ + δ ,
(6.124-a)
où
Le choix
δ 2 = ∆' .
(6.124-b)
δ = i ω 02 − γ 2
(6.124-c)
et son report dans les expressions (6.107-a) des racines conduisent finalement à
⎧ r1 = − γ − i ω a ,
⎨r = − γ + i ω ,
et
a
⎩ 2
B̂ 1 e
−iωa t
iωa t
= B̂ 1 * e
iωa t
+ B̂ 2 * e
B̂ 1 = B̂ 2 * et B̂ 2 = B̂ 1 * .
soit
3
+ B̂ 2 e
−iωa t
,∀t ,
(6.131)
Les trois régimes
En résumé, l'équation du mouvement étant de la forme
(6.125-a)
(6.125-b)
&x& + 2 γ x& + ω 02 x = 0 ,
(6.132)
la recherche des solutions de la forme x a (t ) = A t e r t et x b (t ) = B e r t conduit à résoudre
l'équation caractéristique
Catherine Potel
- 6.31 -
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 6.32 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
r 2 + 2 γ r + ω 02 = 0
(6.133)
dont le discriminant réduit est donné par
∆' = γ 2 − ω 02 .
(6.134)
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
L'amortissement est fort et le retour à l'équilibre se fait asymptotiquement pour un temps
infini, sans que jamais le mobile ne passe par la position d'équilibre. Il n'y a pas
d'oscillations.
x(t)
x0
Suivant le signe de ce discriminant réduit ∆' , trois types de régimes sont obtenus :
ƒ régime critique,
ƒ régime apériodique,
ƒ régime pseudo-périodique.
0
a)
t
∆' = 0 : régime critique
Remarque. Dans le cas de la figure 6.24,
Figure 6.24
bg
bg
x& 0 = 0 .
x 0 = x 0 et
L'amortissement, caractérisé par
γ = ω0 ,
(6.135)
c)
∆' < 0 : régime pseudo-périodique
est qualifié d'amortissement critique.
L'amortissement, caractérisé par
γ < ω0 ,
La solution de l'équation du mouvement (6.132) est de la forme :
x (t ) = (A t + B) e
−γ t
,
(6.136)
(6.140)
est qualifié d'amortissement faible.
où A et B dépendent des conditions initiales.
La solution de l'équation du mouvement (6.132) est de la forme :
bg
(
d'un amortissement fort (voir § III.3-b suivant). On peut cependant montrer que le retour vers
la position d'équilibre est le plus rapide.
b)
)
x (t ) = C e − γ t cos ω a t + ϕ ,
Le retour à l'équilibre se fait sans oscillation, et l'allure de x t est la même que dans le cas
(6.141)
où C et ϕ dépendent des conditions initiales,
et où la pseudo-pulsation ω a est définie par
ω a = ω 02 − γ 2 ,
∆' > 0 : régime apériodique
(6.142-a)
de pseudo-période T a associée
L'amortissement, caractérisé par
γ > ω0 ,
Ta =
(6.137)
est qualifié d'amortissement fort.
2π
.
ωa
(6.142-b)
i) Représentation graphique
La multiplication des fonctions
La solution de l'équation du mouvement (6.132) est de la forme :
x (t ) = B 1 e
r1 t
+B2e
r2 t
,
(6.138)
où B 1 et B 2 dépendent des conditions initiales,
et où les racines de l'équation caractéristique
r1 = − γ − ∆' et
(
C cos ω a t + ϕ
)
(figure 6.25-a) par les fonctions
exponentielles ± e − γ t (figure 6.25-b), permet d'obtenir l'allure de la solution (6.1414)
(figure 6.26).
r 2 = − γ + ∆' ,
+ e−γ
(6.139)
sont toutes deux négatives.
0
t
0
t
-e
a)
Catherine Potel
- 6.33 -
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
t
−γ t
b)
- 6.34 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
Figure 6.25
est la durée au bout de laquelle
l'amplitude est divisée par e ;
cette constante de temps
augmente si l'amortissement
diminue.
DEUST VAS1
τ=
où
Le
mouvement
est
un
mouvement oscillant dont
l'amplitude décroît avec une
1
constante de temps τ =
qui
γ
Figure 6.26
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
1
γ
(6.146)
est la durée au bout de laquelle l'amplitude est divisée par e .
9 Le report de l'expression du facteur d'amortissement γ déterminé en fonction du décrément
logarithmique en faisant usage de l'équation (6.145) par
ωa
δ
γ=
=δ
,
Ta
2π
(6.147)
dans l'expression (6.142-a) au carré de la pseudo-pulsation ω a permet d'écrire
ωa = ω0
1 + [δ (2 π )] 2 .
(6.148)
Si le rapport δ (2 π ) << 1 (c'est-à-dire si ω a τ >> 1 ), le développement à l'ordre 2 de la
ii) Rapport entre deux maximums (resp. minimums) successifs - Décrément logarithmique
relation (6.148) permet d'écrire
L'amplitude du mouvement, à un ou plusieurs intervalles de pseudo-période T a , peut être une
donnée expérimentale qui permet de déduire les caractéristiques de l'oscillateur, et notamment
son facteur d'amortissement γ , en fonction de la pseudo-période T a .
amorti et sa fréquence propre ω 0 (même oscillateur mais non amorti).
9 Ainsi, le rapport entre deux maximums
(resp. minimums) successifs est-il donné
par (figure 6.27)
A2
α=
,
(6.143-a)
A1
soit, en faisant usage de la solution
(6.144), et puisque cos ω a t + ϕ = 1
(resp. -1) pour t = t 1 et t = t 2 ,
(
α=
Ce
Ce
Figure 6.27
d'où
−γ t 2
−γ t 1
α=e
=e
− γ (t 2 − t 1 )
− γ Ta
.
9 De même, on peut également définir le décrément logarithmique δ par
A1 1
A1
δ = ln
= ln
,
A 2 n A n +1
)
Facteur de qualité du système
Le facteur de qualité Q d'un système est une grandeur qui tient compte de la faculté du
système considéré à osciller ; il est défini par
Q = ω 0 (2 γ ) .
(6.150)
Par suite,
- si γ > ω 0 , c'est-à-dire si Q < 1 2 , le régime est apériodique,
- si γ < ω 0 , c'est-à-dire si Q > 1 2 , le régime est pseudo-périodique.
(6.143-b)
L'usage des relations (6.142) permet d'écrire la pseudo-période T a sous la forme
Ta = T0
(6.144)
[
1− γ ω 0
]2
,
(6.151)
soit, en reportant l'expression du facteur de qualité (6.133),
( )
T a = T 0 1−1 4 Q 2
,
où T 0 = 2 π ω 0 est la période propre des oscillations libres non amorties.
Le report de l'expression (6.143) du rapport α dans la relation (6.144) conduit à
Ta
δ = − ln α = γ T a =
,
τ
- 6.35 -
4
- si γ = ω 0 , c'est-à-dire si Q = 1 2 , le régime est critique,
,
où n désigne la nième élongation (du même côté).
Catherine Potel
ωa −ω0
δ2
≈−
.
(6.149)
ω0
8π 2
La relation (6.149) donne la mesure de l'écart entre la pseudo-pulsation ω a de l'oscillateur
(6.145)
Université du Maine - Le Mans
(6.152)
L'interprétation du facteur de qualité en termes de bande passante en régime permanent pour
les oscillations forcées sera donnée au § III.5-c).
Catherine Potel
- 6.36 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
5
DEUST VAS1
Représentation de l'oscillateur harmonique amorti dans le plan des phases
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
.
x
DEUST VAS1
x0
0
Figure 6.29 :
x
.
x
9 L'évolution d'un oscillateur non amorti
dans le plan des phases est une ellipse (voir
§ II.8) d'équation
0
x
2
⎛ x& ⎞
⎛x⎞
⎟⎟
⎜ ⎟ + ⎜⎜
⎝A⎠
⎝ A ω0 ⎠
qui est donc une courbe fermée (figure 6.27).
a)
c)
Mouvement pseudo-périodique
La solution (6.141) et sa dérivée par rapport au temps s'écrivent
⎧⎪x (t ) = C e − γ t cos ω a t + ϕ ,
⎨
−γ t
γ cos ω a t + ϕ + ω a sin ω a t + ϕ ,
⎪⎩x& (t ) = − C e
Ce n'est en revanche plus le cas en présence d'amortissement.
[
Mouvement critique
amorti,
Quand t → +∞ , x et x& tendent vers 0.
(6.153)
Figure 6.27 : Oscillateur libre non amorti
libre
et x& (0 ) = 0 .
2
=1
Oscillateur
régime apériodique. Cas où les conditions
initiales sont telles que, à t = 0 , x (0 ) = x 0
(
(
)
)
(
)]
(6.156-a)
(6.156-b)
ce qui conduit à la courbe paramétrique en fonction du temps t de la figure 6.30.
La solution (6.136) et sa dérivée par rapport au temps s'écrivent
⎧⎪x (t ) = (A t + B) e − γ t ,
⎨
⎪⎩x& (t ) = [− γ (A t + B) + A ]e − γ t ,
(6.154-a)
.
x
(6.154-b)
ce qui conduit à la courbe paramétrique en fonction du temps t de la figure 6.28.
.
x
x0
x0
0
x
Figure 6.28 : Oscillateur libre amorti,
régime critique. Cas où les conditions
initiales sont telles que, à t = 0 , x (0 ) = x 0
0
et x& (0 ) = 0 .
x
Figure 6.30 : Oscillateur libre amorti,
régime pseudo-périodique. Cas où les
conditions initiales sont telles que, à t = 0 ,
x (0 ) = x 0 et x& (0 ) = 0 .
Quand t → +∞ , x et x& tendent vers 0.
Quand t → +∞ , x et x& tendent vers 0.
b)
Mouvement apériodique
La solution (6.127) et sa dérivée par rapport au temps s'écrivent
⎧ x (t ) = B e r 1 t + B e r 2 t ,
(6.155-a)
⎪
1
2
⎨
r1 t
r2 t
(6.155-b)
,
⎪⎩x& (t ) = B 1 r1 e + B 2 r 2 e
avec r1, r 2 < 0 , ce qui conduit à la courbe paramétrique en fonction du temps t de la
figure 6.29.
Catherine Potel
- 6.37 -
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 6.38 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
IV
DEUST VAS1
OSCILLATIONS FORCEES SOUS EXCITATION PERIODIQUE (SYSTEME
AMORTI)
1.
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
2.
DEUST VAS1
Solution générale de l'équation
Comme toute équation différentielle comportant un second membre, la solution générale x (t )
de l'équation avec second membre est la somme de la solution générale x 1 (t ) de l'équation
Equation du mouvement
Les oscillateurs étudiés dans les paragraphes précédents sont maintenant soumis à une action
mécanique extérieure (force d'amplitude F 0 ou moment d'amplitude C 0 ) supposée
sinusoïdale de pulsation ω . L'excitation de l'oscillateur est alors périodique (de période
T = 2 π ω ), et les oscillations sont dites forcées (par opposition aux oscillations libres des § II
sans second membre et d'une solution particulière x 2 (t ) de l'équation avec second membre,
x (t ) = x 1 (t ) + x 2 (t ) ,
(6.158)
soit
où la solution x 1 (t ) correspond aux oscillations libres du système, est donc de la forme
(6.121), (6.127) ou (6.128) et tend donc vers 0 au bout d'un certain temps, et où la solution
particulière x 2 (t ) correspond au régime appelé stationnaire ou permanent.
et III).
- Il ne faut pas confondre la notation ω 0 qui désigne la pulsation propre des oscillations
libres non amorties, et la notation ω qui désigne la pulsation des oscillations forcées.
- Il convient également de noter que le terme "sinusoïdal" désigne une fonction circulaire qui
peut être soit la fonction sinus, soit la fonction cosinus. C'est la fonction cosinus qui est
choisie dans la suite de ce paragraphe par commodité, mais la fonction sinus aurait tout
aussi bien pu être utilisée.
- Il convient par ailleurs de noter qu'en toute rigueur, le signal d'excitation n'est pas
réellement sinusoïdal, puisque mis en service à t = 0 ...
L'équation du mouvement est alors de la forme
⎧&x& + 2 γ x& + ω 2 x = 0
, si t < 0 ,
⎪
0
⎨
2
⎪⎩&x& + 2 γ x& + ω 0 x = f 0 cos (ω t ) , si t ≥ 0 ,
Deux régimes sont à distinguer.
ƒ Régime transitoire
Le régime transitoire est la première partie du mouvement pendant laquelle les vibrations
libres (fonction x 1 (t ) ) s'atténuent de plus en plus pour tendre vers zéro. Ce régime est bien
entendu constitué à la fois de x 1 (t ) mais également de x 2 (t ) .
ƒ Régime stationnaire (ou permanent) :
Le régime stationnaire est la deuxième partie du mouvement, régulier, périodique, puisque la
cause du mouvement est une force elle-même périodique, et correspond donc uniquement à la
fonction x 2 (t ) .
(6.157-a)
(6.157-b)
où f 0 est homogène à une accélération si x est homogène à une longueur ( f 0 = F 0 m ), ou
à une accélération angulaire si x (noté alors préférentiellement θ ) est un angle
( f 0 = C 0 I ), I étant homogène à un moment d'inertie.
En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du
mouvement et les conditions initiales, soit
(6.157-a)
⎧&x& + 2 γ x& + ω 2 x = 0
, si t < 0 ,
0
⎪
⎪
2
(6.157-b)
⎨&x& + 2 γ x& + ω 0 x = f 0 cos (ω t ) , si t ≥ 0 ,
⎪
(6.157-c)
⎪⎩x (0) = x 0 , x& (0 ) = x& 0 , t = 0 .
La durée du régime transitoire est le temps pendant lequel le système se "souvient" de son état
initial, avant que la force n'entre en action. Passé ce temps, rien dans l'état du système ne
permet de retrouver cet état initial. L'ordre de grandeur de la durée de ce régime transitoire est
donné par la constante de temps τ = 1 γ (voir Eq. (6.146)).
Dans le cas d'un système faiblement amorti, cette période transitoire pourra être très longue,
voire de durée infinie dans le cas d'un système sans amortissement γ = 0 ⇒ τ → ∞ .
b
3.
g
Méthode d'étude du régime stationnaire (ou permanent)
L'étude du régime stationnaire consiste à chercher une solution particulière x 2 (t ) de
l'équation (6.157-b)
&x& + 2 γ x& + ω 02 x = f 0 cos (ω t ) .
(6.159)
Pour cela, il est commode de lui associer l'équation
&y& + 2 γ y& + ω 02 y = f 0 sin (ω t ) ,
Catherine Potel
- 6.39 -
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 6.40 -
(6.160)
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
X̂ = x + i y .
et de poser
(6.161)
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
4.
Mise en évidence du phénomène de résonance sur un exemple
a)
Par suite, les dérivées première et seconde de la nouvelle variable X̂ s'écrivent
&ˆ = x& + i y& et X
&ˆ& = &x& + i &y& , et la somme de l'équation (6.159) et de l'équation
respectivement X
(6.160) multipliée par (i ) s'écrit
ˆ& + ω 2 X̂ = f e i ω t
&ˆ& + 2 γ X
X
,
(6.162)
0
0
équation dont il est aisé de trouver une solution particulière en la cherchant sous la forme
X̂(t ) = Â 2 e
iωt
,
DEUST VAS1
Oscillateur non amorti
k
Une masse ponctuelle m est suspendue à un ressort de masse
négligeable et de raideur k . Un mécanisme (non représenté) soumet la
masse à une force F sinusoïdale de pulsation ω (figure 6.31) de la
forme F = F 0 cos (ω t ) .
m
La position de la masse m est repérée par l'abscisse x (t ) dont l'origine
(6.163)
où Â 2 est une amplitude complexe.
est prise à la position d'équilibre de la masse.
La solution particulière x 2 (t ) de l'équation (6.159) est ainsi la partie réelle de la solution
X̂(t ) de l'équation (6.162) :
[
x 2 (t ) = Re X̂(t )
Figure 6.31
]
,
(6.164)
 2 =  2 e
dans l'expression (6.163) de X̂(t ) , soit
X̂ (t ) = Â 2 e
il vient
i (ω t + ϕ 2 )
,
[ (
)
(
)
(
= Â 2 cos ω t + ϕ 2 + i sin ω t + ϕ 2
x 2 (t ) = Â 2 cos ω t + ϕ 2
)]
.
,
9 L'équation du mouvement s'obtient, de la même manière qu'au
§ II.4-b), en tenant compte de la force F et s'écrit donc
m &x& + k x = F 0 cos (ω t ) ,
(6.168)
soit
&x& + ω 02 x = f 0 cos (ω t ) ,
(6.169-a)
(6.165)
où
ω0 = k m
(6.169-b)
(6.166)
est la pulsation propre des oscillations libres non amorties,
et
f 0 = F0 m .
soit, en reportant l'amplitude complexe  2 sous forme trigonométrique,
iϕ2
F = F0 cos (ω t)
(6.167)
Remarques.
9 La méthode de recherche d'une solution particulière d'une équation différentielle à
coefficients constants, exposée dans ce paragraphe, est bien adaptée au cas où le second
membre de l'équation différentielle a la forme d'une exponentielle complexe. Il existe d'autres
méthodes qui font l'objet d'un cours de mathématiques.
Remarque.
Il convient de bien noter qu'ici, la position de la masse par rapport à la position d'équilibre est
notée x (t ) , alors qu'elle était notée X (t ) au § II.4-b), et que, dans ce même §, x (t ) désignait
la position de la masse par rapport au bâti. C'est une situation très courante de changer ainsi
de notation, et il faut bien se souvenir que l'équation du mouvement a la forme (6.169-a)
uniquement parce que x (t ) est repéré par rapport à la position d'équilibre.
9 La solution générale de l'équation sans second membre
&x& + ω 02 x = 0
9 L'amplitude complexe  2 est l'amplitude complexe du régime permanent, et son étude
(en module et en phase), fait l'objet du § 4 suivant. Les grandeurs  2 et ϕ 2 ne dépendent
pas des conditions initiales (6.157-c).
9 Dans le cas où le second membre de l'équation du mouvement (6.159) est f 0 sin (ω t )
(cf. la remarque du § IV.1, juste avant les équations (6.157)), il suffit d'échanger les rôles de
x et de y dans les équations (6.159) et (6.160), et de choisir pour solution particulière la
[
- 6.41 -
(
)
solution totale x (t ) = x 1 (t ) + x 2 (t ) de l'équation (6.169-a).
9 La solution particulière de l'équation
&x& + ω 02 x = f 0 cos (ω t ) ,
]
Université du Maine - Le Mans
(6.170-a)
est donnée par exemple par l'équation (6.10)
x 1 (t ) = A 1 cos ω 0 t + ϕ 1 ,
(6170-b)
où les constantes A 1 et ϕ 1 sont déterminées par les conditions initiales portant sur la
partie imaginaire (et non plus la partie réelle) de X̂(t ) : x 2 (t ) = I m X̂(t ) .
Catherine Potel
(6.169-c)
Catherine Potel
- 6.42 -
(6.171-a)
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
correspondant au régime permanent, est déterminée par la méthode exposée au § IV.3
précédent, en associant à l'équation (6.171-a) l'équation
&y& + ω 02 y = f 0 sin (ω t ) ,
X̂(t ) ,
x 2 (t ) =
(6.172)
&ˆ& = &x& + i &y& , et la somme de
Par suite, la dérivée seconde de la nouvelle variable X̂ s'écrit X
l'équation (6.171-a) et de l'équation (6.171-b) multipliée par (i ) s'écrit
&ˆ& + ω 2 X̂ = f e i ω t ,
X
(6.173)
0
0
équation dont il est aisé de trouver une solution particulière en la cherchant sous la forme
X̂(t ) = Â 2 e i ω t ,
(6.174)
DEUST VAS1
soit, en reportant l'expression (6.1758-a) de l'amplitude  2 dans l'expression (6.174) de
(6.171-b)
X̂ = x + i y .
et en posant
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
f0
ω 02 − ω 2
cos (ω t ) .
(6.177)
La solution générale de l'équation du mouvement (6.171-a) est donc, d'après les équations
(6.158), (6.172-b) et (6.177)
(
)
x (t ) = A 1 cos ω 0 t + ϕ 1 +
f0
ω 02
−ω2
cos (ω t ) ,
(6.178)
où seules les constantes A 1 et ϕ 1 dépendent des conditions initiales (6.157-c).
où Â 2 est une amplitude complexe.
&ˆ& = −ω 2 Â e i ω t dans l'équation
Le report de l'expression (6.174) et de sa dérivée seconde X
2
Figure 6.32 :
(6.173) conduit à
normalisée
(
− ω 2 + ω 02
)Â
2e
iωt
= f 0 e iωt , ∀ t ≥ 0 ,
équation vérifiée ∀ t ≥ 0 uniquement si la fonction du temps (ici e
[(
facteur d'un terme (ici − ω
2
]
)
 2 =
f0
) peut être mise en
−ω +ω0
2
 2
ω0
f0
=
,
2
2
(
1
)
1− ω ω 0 2
en
fonction de la pulsation réduite
ω ω 0 pour un oscillateur non
amorti.
+ ω 02 Â 2 − f 0 ) qui doit alors être nul,
soit
ou encore
iωt
Amplitude
2
 2 ω 0 f 0
(6.175-a)
Figure 6.33 : Module a) et phase b)
de
l'amplitude
normalisée
(6.175-b)
.
2
 2 ω 0 f 0 en fonction de la
pulsation réduite ω ω 0 pour un
oscillateur non amorti.
L'amplitude  2 du régime permanent est ici une quantité réelle, positive lorsque ω < ω 0 ,
négative lorsque ω > ω 0 , et tendant vers l'infini lorsque ω → ω 0 (figure 6.32).
La représentation de telles grandeurs
normalisées sans dimension permet
d'obtenir des courbes valables quels
que soient les paramètres ( m , k ,
F 0 ) de l'oscillateur.
Il est commode, en vue de superposer ces courbes à celles obtenues lorsque l'oscillateur est
amorti (voir § IV.4-b) suivant), de représenter l'amplitude réelle  2 sous forme de module et
de phase ϕ 2 , cette dernière étant égale à 0 lorsque  2 > 0 et à π (ou − π ) lorsque  2 < 0
(figure 6.33).
La solution particulière x 2 (t ) de l'équation (6.171-a) est ainsi la partie réelle de la solution
X̂(t ) de l'équation (6.173) :
[
x 2 (t ) = Re X̂ (t )
]
,
(6.176)
Lorsque ω → ω 0 , Â 2 → ∞ : ce phénomène est appelé phénomène de résonance (bien noter
l'orthographe et le nombre de n...), et la pulsation ω (resp. fréquence) de l'oscillation forcée à
laquelle ce phénomène se produit est appelée pulsation (resp. fréquence) de résonance. La
pulsation de résonance ω est ici égale à la pulsation propre ω 0 des oscillations libres non
amorties.
Catherine Potel
- 6.43 -
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 6.44 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
Cela explique pourquoi il est interdit à une troupe entière (militaires) de marcher au pas
cadencé (qui favorise une fréquence précise) pour éviter la destruction éventuelle du pont qui
peut se produire si la fréquence du pas se trouve être celle de résonance du pont (le pont est
un système continu mais en première approximation il est doté d'un mouvement propre global
associé à sa masse et son élasticité : mouvement transversal d'une poutre encastrée à ses deux
extrémités).
soit
&x& + 2 γ x& + ω 02 x = f 0 cos (ω t ) ,
(6.180-a)
où
ω0 = k m
(6.180-b)
L'exemple le plus connu de ce phénomène est celui de l'effondrement du pont de Tacoma
dans l'Etat de Washington (USA) en Novembre 1940. En toute première approximation, la
masse m (ou le moment d'inertie C ) du pont est celle (ou celui) du tablier, l'élasticité étant
9 La solution générale de l'équation sans second membre
donnée par les câbles. Ce pont était entré en résonance par l'effet des forces dues au vent sur
le profil du tablier (mouvement forcé). Une fois que le pont a commencé à se tordre (mode de
torsion, figure 6.34-a) avec une fréquence environ égale à 1.4 Hz, l'amplitude a augmenté,
conduisant à l'effondrement du pont (figure 6.34-b).
est la pulsation propre des oscillations libres non amorties,
γ = λ (2 m ) ,
et
f 0 = F0 m .
(6.180-c)
(6.180-d)
&x& + 2 γ x& + ω 02 x = 0
(6.181)
est donnée, selon les valeurs relatives de γ et de ω 0 (voir § III), par l'une des équations
(6.121), (6.127) ou (6.128)
(
)
x 1 (t ) = A 1 t + B 1 e − γ t ,
ou
ou
x 1 (t ) = A 1 e
x 1 (t ) = C 1 e
r1 t
−γ t
+ B1 e
r2 t
(
(6.182-a)
,
(6.182-b)
)
(6.182-c)
cos ω a t + ϕ 1 ,
où les constantes A 1 et B 1 , ou C 1 et ϕ 1 , sont déterminées par les conditions initiales
(6.157-c) portant sur la solution totale x (t ) = x 1 (t ) + x 2 (t ) de l'équation (6.180-a).
a)
Figure 6.34 : Torsion a) puis effondrement b) du Pont de Tacoma.
http://www.nrc-cnrc.gc.ca/highlights/2003/0306tacoma_f.html
b)
9 La solution particulière de l'équation
&x& + 2 γ x& + ω 02 x = f 0 cos (ω t ) ,
Une solution au problème est d'optimiser le profil du tablier pour que l'effet du vent ne se
traduise pas par une force qui entretient le mouvement oscillatoire...
b)
Une masse ponctuelle m est suspendue à un ressort de masse
négligeable et de raideur k et à un amortisseur de constante λ . Un
k
λ
mécanisme (non représenté) soumet la masse à une force F sinusoïdale
de pulsation ω (figure 6.35) de la forme F = F 0 cos (ω t ) . La position
de la masse m est repérée par l'abscisse x (t ) dont l'origine est prise à
m
correspondant au régime permanent, est déterminée par la méthode exposée au § IV.3
précédent, en associant à l'équation (6.183-a) l'équation
&y& + 2 γ y& + ω 02 y = f 0 sin (ω t ) ,
et en posant
Oscillateur amorti
Figure 6.35
Catherine Potel
- 6.45 -
(6.184)
équation dont il est aisé de trouver une solution particulière en la cherchant sous la forme
X̂(t ) = Â 2 e i ω t ,
9 L'équation du mouvement s'obtient, de la même manière qu'au
§ II.4-b), en tenant compte de la force F et s'écrit donc
m &x& + λ x& + k x = F 0 cos (ω t ) ,
X̂ = x + i y .
(6.183-b)
Par suite, les dérivées première et seconde de la nouvelle variable X̂ s'écrivent
&ˆ = x& + i y& et X
&ˆ& = &x& + i &y& , et la somme de l'équation (6.183-a) et de l'équation
respectivement X
(6.183-b) multipliée par (i ) s'écrit
&ˆ& + 2 γ X
&ˆ + ω 2 X̂ = f e i ω t ,
X
(6.185)
0
0
la position d'équilibre de la masse.
F = F0 cos (ω t)
(6.183-a)
(6.186)
où Â 2 est une amplitude complexe.
&ˆ = i ω Â e i ω t et seconde
Le report de l'expression (6.186) et de ses dérivées première X
2
(6.179)
Université du Maine - Le Mans
&ˆ& = −ω 2 Â e i ω t dans l'équation (6.185) conduit à
X
2
Catherine Potel
- 6.46 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
(− ω
2
DEUST VAS1
)
+ 2 i ω γ + ω 02 Â 2 e i ω t = f 0 e i ω t , ∀ t ≥ 0 ,
équation vérifiée ∀ t ≥ 0 uniquement si la fonction du temps (ici e i ω t ) peut être mise en
[(
)
facteur d'un terme (ici − ω 2 + 2 i ω γ + ω 02 Â 2 − f 0
 2 =
soit
] ) qui doit alors être nul,
f0
ω 02 − ω 2 + 2 i ω γ
,
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
La solution générale de l'équation du mouvement (6.183-a) est donc, d'après les équations
(6.1581), (6.191) et par exemple (6.182-c),
(
)
(
x (t ) = C 1 e − γ t cos ω a t + ϕ 1 + Â 2 cos ω t + ϕ 2
avec
et
 2 =
tan ϕ 2 =
(ω
2
0
iϕ2
−2γω
ω 02 − ω 2
)
2
fonction
réduite
(6.188-a)
,
+ 4γ 2 ω2
.
(
)
= f 0 ω 02
La représentation de telles
grandeurs normalisées sans
dimension permet d'obtenir
des courbes valables quels
que soient les paramètres ( m ,
k , λ , F 0 ) de l'oscillateur.
,
(6.189-b)
Pour un oscillateur non amorti ( ξ = 0 ), la résonance est atteinte lorsque ω → ω 0 (voir § IV.4-
(6.189-c)
a) ; lorsque l'amortissement est suffisamment faible (régime pseudo-périodique de l'oscillateur
libre), le module  2 de l'amplitude du régime permanent présente un maximum
ce qui conduit à
 2
A0
et
=
tan ϕ 2 =
1
,
(1 − v 2 )2 + 4 ξ 2 v 2
− 2ξ v
1− v 2
.
(6.190-a)
d'amortissement ξ (régime critique pour ξ = 1 , régime apériodique pour ξ > 1 et régime
pseudo-périodique pour ξ < 1 et oscillateur non amorti pour ξ = 0 ).
La solution particulière x 2 (t ) de l'équation (6.183-a) est ainsi la partie réelle de la solution
[
x 2 (t ) = Re X̂(t )
soit
Catherine Potel
(résonance) pour une pulsation ω m proche de la pulsation propre ω 0 . La résonance
d'amplitude n'a donc pas lieu précisément pour la pulsation propre des oscillations libres
non amorties. Par anticipation sur le § IV.5.e), la pulsation ω m est donnée par la relation
(6.190-b)
Les figures 6.36 présentent les courbes représentatives de l'amplitude normalisée  2 A 0 en
module et en phase en fonction de la pulsation réduite v = ω ω 0 , pour différentes valeurs
X̂(t ) de l'équation (6.185) :
valeurs
du
d'amortissement
(6.188-c)
ξ = γ ω0 = λ 2mω0 ,
A 0 = Â 2 (ω = 0 )
de la pulsation
ω ω0
pour
différentes
paramètre
ξ.
(6.188-b)
Il est commode, afin d'obtenir des expressions indépendantes des caractéristiques de
l'oscillateur, d'exprimer les relations (6.188) en fonction des variable et paramètres
adimensionnels
v = ω ω0
(6.189-a)
et
(6.192)
Figure 6.36 : Module a) et
phase b) de l'amplitude
 2 A 0 en
normalisée
,
f0
−ω2
,
(6.187)
soit, sous forme trigonométrique,
 2 =  2 e
)
où seules les constantes C 1 et ϕ 1 dépendent des conditions initiales (6.157-c).
(
]
,
x 2 (t ) = Â 2 cos ω t + ϕ 2
- 6.47 -
(6.191-a)
)
.
ω m = ω 02 − 2 γ 2 .
Remarque.
(
(6.193)
)
D'après l'équation (6.187), et puisque l'argument de ω 02 − ω 2 + 2 i ω γ est compris entre 0 et
π , l'argument ϕ 2 de l'amplitude complexe  2 est tel que
ce qui implique
ϕ 2 ∈ [− π , 0] ,
(6.194-a)
sin ϕ 2 < 0 .
(6.194-b)
(
)
Comme par ailleurs, d'après l'équation (6.188-c), tan ϕ 2 est du signe de ω − ω 0 , il s'ensuit
que cos ϕ 2 = sin ϕ 2 tan ϕ 2 est du signe de ω 0 − ω .
(
)
(6.191-b)
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 6.48 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
5.
DEUST VAS1
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
b)
Puissance transmise au système par la source excitatrice en régime permanent
(6.195)
est une grandeur rendant compte de la faculté d'un système à osciller.
Le but de ce § est d'interpréter maintenant cette grandeur en termes de puissance et de bande
passante (en régime permanent).
(
)
(
)
v 2 (t ) = −ω Â 2 sin ω t + ϕ 2 ,
(
soit
v 2 (t ) = V̂ 2 cos ω t + ϕ 2 + π 2
où
V̂ 2 = ω Â 2
)
1 T
(6.1200)
P (t ) d t ,
T ∫0
où T = 2 π ω , soit, en reportant l'expression (6.199-b) de la puissance instantanée dans
P =
l'équation (6.200) et en utilisant la relation trigonométrique classique
1
cos a cos b = [ cos (a + b ) + cos (a − b ) ] ,
2
F 0 V̂ 2 T
cos 2 ω t + ϕ 2 + π 2 + cos ϕ 2 + π 2 d t ,
P =
2 T ∫0
[ (
Puissance instantanée transmise par la source au système
La solution particulière de l'équation du mouvement (correspondant au régime permanent),
donnant la position du système oscillant, est donnée par (§ IV.4)
x 2 (t ) = Â 2 cos ω t + ϕ 2
(6.196)
et sa vitesse par
Puissance moyenne
La puissance moyenne, notée P , est, par définition,
Comme souligné au § III.4, le facteur de qualité
Q = ω 0 (2 γ )
a)
DEUST VAS1
(6.197-a)
(6.197-b)
est le module de l'amplitude de la vitesse.
)
)]
(
d'où
(
)
F 0 V̂ 2
sin ϕ 2 .
cos ϕ 2 + π 2 = −
(6.201)
2
2
D'après l'équation (6.194-b), sin ϕ 2 < 0 , ce qui implique que P > 0 ; cela signifie bien
P =
F 0 V̂ 2
qu'en moyenne dans le temps (sur une période) l'énergie est donc bien fournie positive par la
source au système et non pas l'inverse.
9 Calcul de sin ϕ 2 en fonction de v et ξ .
Le report de l'expression (6.190-b) de tan ϕ 2 dans l'équation
D'après l'équation (5.1) du chapitre 5 (§ I.1-a), la puissance instantanée de la force excitatrice
F(t ) = F 0 cos (ω t )
(6.198)
sin ϕ 2 = tan ϕ 2 cos ϕ 2 = ±
appliquée au point en lequel est calculée la vitesse v 2 (t ) , relativement au repère (galiléen)
− 2ξ v
R est telle que
1− v 2
P (t ) = F(t ) v 2 (t ) ,
(6.199-a)
soit, en faisant usage des relations (6.197) et (6.198-a)
P (t ) = F 0 V̂ 2 cos (ω t ) cos ω t + ϕ 2 + π 2 .
(
)
conduit à
sin ϕ 2 = ±
1+
(6.199-b)
soit
sin ϕ 2 =
Remarque. Le calcul d'une puissance s'effectue avec des quantités réelles et non complexes,
car la partie réelle d'un produit n'est pas égale au produit des parties réelles.
tan ϕ 2
1 + tan 2 ϕ 2
,
4ξ 2 v 2
(1 − v 2 )2
− 2ξ v
(1 − v )
2 2
,
<0 .
2
+ 4ξ v
(6.202)
2
Le report des expressions (6.1202) de sin ϕ 2 , (6.197-b) de V̂ 2 , (6.190-a) de  2 A 0 et
(6.180-d) de F 0 = m f 0 dans l'expression (6.201) de la puissance moyenne conduit finalement
à (voir figure 6.37)
P =m
Catherine Potel
- 6.49 -
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
f 02
ω0
ξv 2
(1 − v 2 )2 + 4 ξ 2 v 2
- 6.50 -
.
(6.203)
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
La dérivée de la puissance moyenne P par rapport à la pulsation réduite v = ω ω 0 est
[ (
)
)
]
⎤
⎡
2 2
+ 4 ξ 2 v 2 ⎥ − v 2 − 4 v 1− v 2 + 8ξ 2 v
f 02 2 v ⎢⎣ 1 − v
dP
⎦
.
=m
ξ
2
dv
ω0
2
⎡
2
2 2⎤
+ 4ξ v ⎥
⎢ 1− v
⎦
⎣
(
)
(6.204)
Le report des expressions (6.203) et (6.205) dans l'équation
P = P max 2
,
v = −1 (solution physiquement impossible)
soit
2
v =1 .
ou
Par suite, la puissance moyenne P
ξv 2
=
m f 02
soit
soit
v = −ξ ± ξ 2 + 1 ou v = ξ ± ξ 2 + 1 ,
ω0
,
soit, en ne gardant que les deux racines positives
v 1 = −ξ + ξ 2 + 1 et v 2 = ξ + ξ 2 + 1 ,
est maximale (résonance de puissance) pour v = 1 ,
soit ω = ω 0 , pulsation propre des oscillations libres non amorties (figure 6.34), qui ne
il vient
et
La valeur P max correspondante s'obtient en remplaçant v par 1 dans l'équation (6.203), ce
qui conduit à
m f 02
=
P max =
4ξω 0
4γ
.
(6.205)
(6.208)
2γ
,
ω0
(6.209-a)
ω 2 − ω1 = ∆ ω = 2 γ .
(6.209-b)
v 2 − v1 = 2ξ =
dépend par du facteur d'amortissement ξ .
m f 02
f 02
(1 − v 2 )2 + 4 ξ 2 v 2 8 ξ ω 0
(v 2 + 2 ξ v − 1)(v 2 − 2 ξ v − 1) = 0 ,
m
2
(6.207)
conduit à
L'annulation du numérateur du second membre de l'équation (6.204) conduit à
(1 − v 2 )(1 + v 2 ) = 0
DEUST VAS1
9 Recherche des pulsations ω 1 et ω 2 telles que P = P max 2
9 Recherche de la pulsation rendant P maximale (résonance)
(
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
Par suite, l'expression (6.206) du facteur de qualité est
1 ω0
Q=
=
,
2ξ 2γ
(6.210)
expression donnée sans démonstration au § III.4.
c)
Bande passante - facteur de qualité
L'acuité de la résonance (c'est-à-dire le caractère plus ou moins aigu de la courbe
représentative de la puissance moyenne P autour de la résonance) est décrite en termes de
bande passante ou de facteur de qualité.
Définitions :
- La bande passante est l'intervalle de fréquence (ou de pulsation), noté ∆ ω = ω 2 − ω 1 ,
où la puissance moyenne P fournie par la force excitatrice est supérieure à la moitié
de sa valeur maximale P max .
- Le facteur de qualité est le rapport de la fréquence de résonance sur la largeur de la
bande passante :
ω0
Q=
.
(6.206)
∆ω
Catherine Potel
- 6.51 -
Université du Maine - Le Mans
Figure 6.37 : Puissance moyenne P fournie par la force excitatrice en fonction de la
pulsation réduite ω ω 0 pour différentes valeurs du paramètre d'amortissement ξ .
Catherine Potel
- 6.52 -
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
d)
DEUST VAS1
Contrairement au cas de la puissance moyenne fournie au système par la force excitatrice, le
module  2 de l'amplitude complexe du régime permanent n'est pas maximal pour v = 1 ,
soit ω = ω 0 (voir figure 6.36 et § IV.4-b).
pour l'amplitude  2 du régime permanent, la bande passante correspond à l'intervalle de
La dérivée du module  2 de l'amplitude complexe par rapport à la pulsation réduite
v = ω ω 0 est, en faisant usage de l'expression (6.190-a)
[ (
D'après la définition de la bande passante donnée au § IV.5-c), la bande passante correspond à
l'intervalle de fréquence où la puissance moyenne est supérieure à P max 2 . L'expression
(6.201) de la puissance moyenne, en faisant usage de l'expression (6.197-b) de l'amplitude de
la vitesse, montre que la puissance moyenne est proportionnelle au carré de  2 . Par suite,
9 Recherche de la pulsation v m rendant  2 maximale (résonance d'amplitude)
dv
DEUST VAS1
9 Bande passante en termes d'amplitude
Bande passante et amplitude
d  2
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
](
)
)
−3 / 2
2
1
⎡
⎤
= − A 0 − 4 v 1− v 2 + 8ξ 2 v ⎢ 1− v 2 + 4ξ 2 v 2 ⎥
.
2
⎣
⎦
fréquence où l'amplitude est supérieure à Â 2
max
2 (figure (6.38).
(6.211)
L'annulation du numérateur du second membre de l'équation (6.211) conduit à
v = 0 ou v 2 = 1 − 2 ξ 2 ,
soit, en ne retenant pas la solution v = 0 qui n'offre que peu d'intérêt,
v m = 1− 2 ξ 2
ξ <1
si
2 .
(6.212)
Par suite, le module de l'amplitude complexe  2 du régime permanent est maximal
(résonance d'amplitude) pour v m = 1 − 2 ξ 2 , soit ω m = ω 02 − 2 γ 2 = ω a2 − γ 2 . La
résonance d'amplitude n'a donc lieu ni pour la pulsation propre ω 0 des oscillations libres
non amorties, ni pour la pseudo-pulsation ω a du régime pseudo-périodique des oscillations
9 Recherche des pulsations ω 1 et ω 2 telles que  2 =  2
libres amorties (figure 6.38).
La valeur
 2
max
Figure 6.38 : Module de l'amplitude  2 du régime permanent en fonction de la pulsation
réduite ω ω 0 , pour une valeur d'amortissement telle que ξ = 0.2 .
2)
correspondante s'obtient en remplaçant v par v m dans l'équation
Le report des expressions (6.190-a) et (6.213) dans l'équation
 2 =  2
2
(6.190-a), ce qui conduit à
 2
max
A0
=
1
2 ξ 1− ξ 2
.
(6.213)
conduit à
1
 2
max
A 0 ≈ 1 (2 ξ ) ,
(6.214-a)
max
A0 ≈Q .
soit
=
2
v
2
1
2 2 ξ 1− ξ 2
,
( )
= (1 − 2 ξ 2 )+ 2 ξ
v 4 + 2 2 ξ 2 −1 v 2 +1− 8 ξ 2 1− ξ 2 = 0 ,
ou v
2
1− ξ 2 ,
v 2 ≈ 1 − 2 ξ ou v 2 ≈ 1 + 2 ξ
(6.214-b)
soit, en ne gardant que les deux racines positives
v 1 ≈ 1 − 2 ξ ≈ 1 − ξ et v 2 ≈ 1 + 2 ξ ≈ 1 + ξ ,
- 6.53 -
(6.216)
soit, au premier ordre en ξ
soit, en faisant usage de l'expression (6.210) du facteur de qualité Q ,
 2
(1 − v ) + 4 ξ
( )
2
2
v = (1 − 2 ξ )− 2 ξ 1 − ξ 2
2 2
soit
(6.213) conduit à
(6.215)
max
Si le facteur d'amortissement ξ << 1 , un développement au premier ordre en ξ de l'expression
Catherine Potel
2 (pour ξ < 1
max
Université du Maine - Le Mans
Catherine Potel
- 6.54 -
(6.217)
Université du Maine - Le Mans
Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique
DEUST VAS1
il vient
2γ
,
ω0
(6.218-a)
ω 2 − ω1 = ∆ ω ≈ 2 γ .
(6.218-b)
v 2 − v1 ≈ 2ξ =
et
Par suite, si ξ << 1 (en pratique ξ < 0.38 , voir remarque ci-après), la bande passante en
amplitude est égale à la bande passante en amplitude.
Remarque.
Les racines v 1 et v 2 n'ont d'existence que si les expressions (6.216) de v 2 de l'équation
(
)
sont positives, ce qui est manifestement vrai pour v 2 = 1 − 2 ξ 2 + 2 ξ 1 − ξ 2 , mais ne l'est
2
(
pas toujours pour v = 1 − 2 ξ
2
)− 2 ξ
2
1 − ξ . En effet, pour que ce dernier carré soit positif,
il faut que le polynôme P(ξ ) = 8 ξ − 8 ξ 2 + 1 soit positif. Le tracé de P(ξ ) en fonction de ξ
4
(figure 6.39) montre que cette condition n'est respectée que pour ξ < 1 − 2 ≈ 0.38 (puisque
2
ξ <1
4
2 ).
Figure 6.39. Tracé de P(ξ ) = 8 ξ 4 − 8 ξ 2 + 1ξ en fonction de ξ
Catherine Potel
- 6.55 -
Université du Maine - Le Mans