CÂU HỎI TỔNG ÔN TẬP MÔN TOÁN KINH TẾ
1. Bài tập tổng ôn tập phần ĐSTT (chương I, II)
Bài 1: Một Công ty kinh doanh đồ ăn uống nhanh gồm nước suối (viết tắt NS), trà sữa (viết tắt TS), bánh bao
(viết tắt BB) và bánh mì thịt nguội (viết tắt BM) tại một Hội chợ dịp Giáng sinh Năm mới. Địa bàn diễn ra
Hội chợ có 4 khu vực Bắc, Nam, Đông, Tây. Số lượng đơn vị đồ ăn nêu trên được bán ra trong một ngày Hội
chợ và giá bán mỗi đơn vị (tính bằng: nghìn VNĐ) của NS (đơn vị tính: chai), ST (đơn vị tính: hộp), BB (đơn
vị tính: cái), BM (đơn vị tính: cái) được cho bởi bảng dưới đây.
Khu vực
NS
TS
BB
BM
Mặt hàng Giá mỗi đơn vị
100
50
80
90
5
Bắc
NS
150
80
120
100
10
Nam
TS
80
70
100
120
20
Đông
BB
70
100
50
90
15
Tây
BM
a) Lập mô hình ma trận cho vấn đề tính doanh thu của từng khu vực Bắc, Nam, Đông, Tây và tổng doanh
thu của Công ty đó.
b) Tính doanh thu của từng khu vực Bắc, Nam, Đông, Tây và tổng doanh thu chung cả 4 mặt hàng của
Công ty trong ngày đó.
Giải
a) Ma trận A về số lượng từng mặt hàng tại từng khu vực và ma trận giá từng đơn vị mặt hàng lần lượt là
100 50 80 90 
5
150 80 120 100 
10 


A
;B    .
 80 70 100 120 
 20 


 
 70 100 50 90 
15 
Để tính các doanh thu ta cần thực hiện phép nhân ma trận AB.
b) Doanh thu ở từng khu vực Bắc, Nam, Đông, Tây và tổng doanh thu chung cả 4 mặt hàng của Công ty
trong ngày đó được cho bởi
100 50 80 90   5  3950 
150 80 120 100  10  5450 
   
.
A B  
 80 70 100 120   20   4900 

  

 70 100 50 90  15  3700 
Kết luận
- Doanh thu của từng khu vực như sau
Bắc: 3,95 triệu VNĐ, Nam: 5,45 triệu VNĐ,
Đông: 4,9 triệu VNĐ, Tây: 3,7 triệu VNĐ.
- Tổng doanh thu của Công ty là: 3,95 + 5,45 + 4,9 + 3,7 = 18 triệu VNĐ.
Bài 2: Một quốc gia có ba ngành sản xuất Nông nghiệp (NN), Công nghiệp (CN) và Dịch vụ (DV). Biết rằng
để sản xuất ra 1 USD giá trị hàng hóa đầu ra ta có các thông tin dưới đây.
- Ngành NN cần sử dụng 0,2 USD hàng hóa chính mình; 0,3 USD mua hàng hóa ngành CN và 0,1 USD mua
hàng hóa ngành DV.
- Ngành CN cần sử dụng 0,4 USD hàng hóa chính mình; 0,2 USD mua hàng hóa ngành NN và 0,1 USD mua
hàng hóa ngành DV.
- Ngành DV cần sử dụng 0,3 USD hàng hóa chính mình; 0,2 USD mua hàng hóa ngành NN và 0,3 USD mua
hàng hóa ngành CN.
a) Lâp ma trận hệ số kỹ thuật đầu vào và tìm tỷ phần gia tăng của mỗi ngành.
b) Tìm tổng đầu ra x1, x2, x3 của mỗi ngành biết nhu cầu cuối cùng của các ngành lần lượt là 540, 30, 170
(đơn vị tính: tỷ USD).
Giải
a) (1 điểm) Ma trận hệ số kỹ thuật đầu vào là
 0, 2 0, 2 0, 2 
A =  0, 3 0, 4 0, 3  .


 0,1 0,1 0, 3 
Tỷ phần gia tăng cùa mỗi ngành lần lượt là:
a01 = 1 – (0,2 + 0,3 + 0,1) = 0,4; a02 = 1 – (0,2 + 0,4 + 0,1) = 0,3; a03 = 1 – (0,2 + 0,3 + 0,3) = 0,2.
b) (2 điểm) Xét mô hình I/O: (I – A)X = B với I là ma trận đơn vị cấp 3, B là cột cầu cuối mà Bt = (540,
30, 170), X là cột tổng đầu ra. Từ giữ liệu đề bài ta được
 0,8 x1 0, 2 x2 0, 2 x3  540
 x1  1000;
 0,8 0, 2 0, 2   x1  540 

 0, 3 0, 6 0, 3   x    30   0,3x 0, 6 x
0,3x3  30   x2  800;

1
2


 2 


 0,1 0,1 0, 7   x3  170 
 0,1x2 0,1x2 0, 7 x3  170
 x3  500.
Vậy tổng đầu ra của NN, CN, DV lần lượt là x1 = 1000, x2 = 800, x3 = 500 (tỷ USD).
Bài 3: Một quốc gia có ba ngành sản xuất Nông nghiệp (NN), Công nghiệp (CN) và Dịch vụ (DV). Biết rằng
để sản xuất ra 1 USD giá trị hàng hóa đầu ra ta có các thông tin dưới đây.
- Ngành NN cần sử dụng 0,1 USD hàng hóa chính mình, 0,4 USD mua hàng hóa ngành CN và 0,2 USD mua
hàng hóa ngành DV.
- Ngành CN cần sử dụng 0,2 USD hàng hóa chính mình, 0,3 USD mua hàng hóa ngành NN và 0,3 USD mua
hàng hóa ngành DV.
- Ngành DV cần sử dụng 0,1 USD hàng hóa chính mình, 0,2 USD mua hàng hóa ngành NN và 0,3 USD mua
hàng hóa ngành CN.
a) Lập ma trận hệ số kỹ thuật đầu vào và tìm tỷ phần gia tăng của mỗi ngành.
b) Tìm tổng đầu ra x1, x2, x3 của mỗi ngành biết nhu cầu cuối cùng của các ngành lần lượt là 270, 30, 50.
 270 
 x1 
 0,1 0, 3 0, 2 




Giải Ma trận hệ số đầu vào là A = 0, 4 0, 2 0, 3 , cột cầu cuối là B =  30  , cột đầu ra X =  x2  .


 50 
 x3 
 0, 2 0, 3 0,1 
a) Tỷ phần gia tăng của mỗi ngành lần lượt là
a01 = 1 – (0,1 + 0,4 + 0,2) = 0,3; a02 = 1 – (0,3 + 0,2 + 0,3) = 0,2; a03 = 1 – (0,2 + 0,3 + 0,1) = 0,4;
b) Mô hình I/O là (I – A)X = B với I là ma trận đơn vị cấp 3 cho ta
 0,9 x1 0,3 x2 0, 2 x3  270
 x1  500;
 0, 9 0, 3 0, 2   x1   270 






 0, 4 0,8 0, 3  x  30  0, 4 x 0,8 x
0,3x3  30   x2  400; .

1
2


 2 


 0, 2 0, 3 0, 9   x3   50 
0, 2 x2 0,3 x2 0,9 x3  50
 x3  300.
Vậy tổng đầu ra của mỗi ngành là x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300.
Bài 4: Giả sử tại một quốc gia trong năm nay, mức đầu tư cố định của chính phủ là I0 = 400000 (tỷ VNĐ),
mức chi tiêu cố định của chính phủ là G0 = 600000 (tỷ VNĐ); còn tổng thu nhập quốc dân Y, tổng mức tiêu
dùng dân cư C và tổng thuế T thỏa mãn các điều kiện
C = 1280000 + 0,4 (Y – T); T = 600000 + 0,2Y
Xác định tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng dân cư C, tổng thuế T ở trạng thái cân bằng kinh tế vĩ mô.
Giải Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô với I0 = 4000, G0 = 6000 cho ta hệ
Y  C  I 0  G0
C
 1000000

 Y
 Y  3000000;



C  1280000  0, 4 Y – T   0, 4Y C 0, 4T  1280000   C  2000000 ;


 T  1200000.
T  600000  0, 2Y
T  600000

0, 2Y

Vậy
- Tổng thu nhập quốc dân Y ở trạng thái cân bằng kinh tế vĩ mô là Y = 3000000 (tỷ VNĐ).
- Mức tiêu dùng dẫn cư C ở trạng thái cân bằng kinh tế vĩ mô là C = 2000000 (tỷ VNĐ).
- Tổng thuế T ở trạng thái cân bằng kinh tế vĩ mô là Y = 1200000 (tỷ VNĐ).
Bài 5: Xét một thị trường gồm ba loại hàng hóa. Hàm cung, hàm cầu và giá của chúng thỏa mãn các điều kiện
dưới đây
QS 1  8 p1  2 p2  p3  1; QS 2  p1  7 p2  p3  5; QS 3  2 p1  p2  7 p3  1;
Qd 1  2 p1  3 p2  p3  25; Qd 2  2 p1  2 p2  p3  19; Qd 3  p1  2 p2  p3  43.
Xác định điểm cân bằng thị trường và lượng cung, cầu cân bằng.
Giải Hệ cân bằng thị trường là
 Qs1  Qd 1
10 p1 5 p2 2 p3  24
 p1  6;



Qs 2  Qd 2    p1 9 p2 2 p3  14   p2  4;
Q
3 p  p
 p  8.
8 p3  42
1
2
 s 3  Qd 3

 3
Vậy điểm cân bằng thị trường là (p1, p2, p3) = (6, 4, 8). Suy ra
Qs1 = Qd1 = 33 (đvsp); Qs2 = Qd2 = 31 (đvsp); Qs3 = Qd3 = 49 (đvsp).
Bài 6* (Bí mật! Không bật mí!!)
Bài 7: Nền kinh tế một QG gồm 3 khu vực cốt yếu Công nghiệp (CN), Nông nghiệp (NN), Dịch vụ (DV). Để
chuyển đổi sang nền kinh tế số (CĐKTS) trong từng khu vực cốt yếu hay tại một Tỉnh hoặc một Công ty, tập
đoàn bất kỳ, người ta cần đầu tư đồng bộ tiền (đơn vị tính: triệu USD) mua phần mềm, thiết bị mới (TB), thuê
chuyên gia đào tạo (CG) và chi phí duy tu bảo trì thiết bị hàng năm (BT). Như vậy, mỗi khu vực cốt yêu CN,
NN, DV hay một Tỉnh hoặc một Công ty, tập đoàn khi thực hiện CĐKTS sẽ có dữ liệu được biểu thị bởi một
vectơ (x, y, z) nào đó trong 3 với x, y, z lần lượt là lượng tiền chi cho TB, CG, BT. Biết rằng CĐKTS ở từng
khu vực cốt yếu CN, NN, DV được cho bởi các vectơ như sau:
CN = (25000, 8000, 10000), NN = (10000, 5000, 600), DV = (6000, 4000, 800).
a) Chứng minh hệ (B) gồm 3 vectơ CN, NN, DV lập thành một cơ sở của 3 .
b) Tìm tọa độ trong cơ sở (B) của một Tỉnh biết vectơ CĐKTS của Tỉnh đó là (6700, 3100, 1340).
Giải
a) Ta thấy (B) gồm 3 vectơ trong 3 . Mà xếp 3 vectơ CN, NN, DV thành cột ta được ma trận B có định
thức detB = 1048  108  0 nên (B) đltt. Vậy (B) là cơ sở (đpcm).
b) Tọa độ (x1, x2, x3) của CT đó là nghiệm của hệ
25000 x1 10000 x2 6000 x3  6700
 x1  0,1;
 25000 10000 6000   x1  6700 






 8000 5000 4000  x  3100  8000 x
5000 x2 4000 x3  3100   x2  0,3;

1


 2 


10000 600
800   x3  1340 
600 x2
800 x3  1340
10000 x2
 x3  0, 2.
Vậy tọa độ cần tìm là (0,1; 0,3; 0,2).
Bài 8: Trường Đại học lớn có 3 Phòng chức năng cốt yếu là Phòng Đào tạo (ĐT), Phòng Kế hoạch – Tài chính
(TC) và Quản trị thiết bị (QT). Để chuyển đổi số (CĐS) trong mọi hoạt động của Trường ở từng Phòng chức
năng cốt yếu hay ở một Khoa, Phòng, Bộ phận bất kỳ trong Trường, ta cần đầu tư đồng bộ tiền (đơn vị tính:
triệu VNĐ) mua phần mềm mới (PM), thuê chuyên gia đào tạo hỗ trợ (CG) và chi phí bảo trì phát triển phần
mềm hàng năm (BT). Như vậy, mỗi Phòng chức năng cốt yếu ĐT, TC, QT hay một Khoa, Phòng, Bộ phận
bất kỳ khi thực hiện CĐS sẽ có dữ liệu được biểu thị bởi một vectơ (x, y, z) nào đó trong 3 với x, y, z lần lượt
là lượng tiền chi cho PM, CG, BT. Biết rằng CĐS ở từng Phòng chức năng cốt yếu ĐT, TC, QT được cho bởi
các vectơ như sau:
ĐT = (200, 500, 100), TC = (500, 800, 200), QT = (300, 100, 80).
a) Chứng minh hệ (B) gồm 3 vectơ CN, NN, DV lập thành một cơ sở của 3 .
b) Tìm tọa độ trong cơ sở (B) của một Khoa biết vectơ CĐS của Khoa đó là (280, 350, 102).
Giải
a) Ta thấy (B) gồm 3 vectơ trong 3 . Mà xếp 3 vectơ ĐT, TC, QT thành cột ta được ma trận B có định
thức detB = – 2 106  0 nên (B) đltt. Vậy (B) là cơ sở (đpcm).
b) Tọa độ (x1, x2, x3) của Khoa đó là nghiệm của hệ
 200 x1 500 x2 300 x3  280
 x1  0,3;
 200 500 300   x1   280 
 500 800 100   x    350   500 x 800 x 100 x  350   x  0, 2;

 2
1
2
3


 2 


100 200 80   x3  102 
100 x2 200 x2 80 x3  102
 x3  0, 4.
Vậy tọa độ cần tìm là (0,3; 0,2; 0,4).
2. Bài tập tổng ôn phần GT (Chương III, IV, V)
Bài 1: Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường. Giả sử hàm cầu là P =
4000 – 10Q, ở đây P là giá bán 1 đơn vị sản phẩm (đơn vị tính: VNĐ); còn hàm chi phí là C = 2Q3 – 7Q2 +
100Q + 20 (Q > 0). Tính chi phí biên và hệ số co giãn của giá theo lượng cầu tại mức sản lượng Q = 300 (đơn
vị sản phẩm – đvsp) và giải thích ý nghĩa kinh tế.
Giải Theo giả thiết, ta có P = P(Q) = 4000 – 10Q; C = C(Q) = 2Q3 – 7Q2 + 100Q + 20, Q > 0.
Suy ra
- Chi phí biên: MC  C’(Q) = 6Q2 – 14Q + 100; MC(300)  535900.
- Hệ số co giãn của giá theo cầu: PQ = MP.(Q/P)  – 10.Q/(4000 – 10Q); PQ(300)  – 3(%).
Giải thích ý nghĩa kinh tế
- MC(300) = 535900 (VNĐ): Ở mức sản lượng cầu Q = 300 (đvsp), nếu tăng sản lượng cầu thêm 1 đvsp
từ 300 lên 301 thì chi phí tăng xấp xỉ 535.900 VNĐ.
- PQ(300)  – 3(%): Ở mức sản lượng cầu Q = 300 (đvsp), nếu tăng sản lượng cầu thêm 1% từ 300 lên
300 + 1%300 = 303 (đvsp) thì giá một đvsp sẽ giảm xấp xỉ 3% VNĐ.
Bài 2: Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường với hàm cầu của sản phẩm
đó là Q = 800 – 0,2P và chi phí bình quân là AC = Q2 – 2Q + 115 + 20Q– 1, ở đây P là giá bán (đơn vị tiền:
nghìn VNĐ) 1 đơn vị sản phẩm (đvsp), Q (> 0) là lượng cầu (tính bằng đvsp) của sản phẩm đó.
a) Tính lợi nhuận biên và hệ số co giãn của lợi nhuận theo lượng cầu tại mức sản lượng cầu Q = 34
(đvsp) và giải thích ý nghĩa kinh tế.
b) Tìm mức sản lượng Q (> 0) làm tối ưu hóa lợi nhuận của công ty và xác định lợi nhuận tối ưu đó và
giá bán tương ứng mỗi đvsp.
U
Giải Vì tất cả các hàm đều được xét theo biến sản lượng Q nên ta cần đổi vai trò Q và P. Ta có
Q = 800 – 0,2P  P = 4000 – 5Q.
- Hàm doanh thu: R = R(Q) = PQ = (4000 – 5Q)Q = 4000Q – 5Q2.
- Hàm chi phí: C = C(Q) = AC.Q = (Q2 – 2Q + 115 + 20Q– 1)Q = Q3 – 2Q2 + 115Q + 20.
- Hàm lợi nhuận:  = R – C = – Q3 – 3Q2 + 3885Q – 20.
a) Ta có: M  ’ = – 3Q2 – 6Q + 3885; Q  ’  (Q/)
Ở mức Q = 34, M (34)  213, Q (34)  213  34 / 89298  0,0811 (%).
Giải thích ý nghĩa kinh tế
- M (34)  213 (nghìn VNĐ): Ở mức sản lượng cầu Q = 34 (đvsp), nếu tăng sản lượng cầu thêm 1 đvsp
từ 34 lên 35 thì lợi nhuận tăng xấp xỉ 213.000 VNĐ.
- Q (34)  0,0811 (%): Ở mức sản lượng cầu Q = 34 (đvsp), nếu tăng sản lượng cầu thêm 1% từ 34 lên
34 + 1%34 = 34,34 (đvsp) thì lợi nhuận tăng xấp xỉ 0,0811%.
b) M = ’ = – 3Q2 – 6Q + 3885; ” = – 6Q – 6 = – 6(Q + 1) < 0 (Q > 0).
M = 0  [(Q = 35)  (Q = – 37)]. Ta nhận Q = 35 > 0 và loại Q = – 37 (vì Q > 0).
Vì ”(35) = – 216 < 0 nên  đạt cực đại tại Q = 35 với max = 89,405 triệu VNĐ, P = 3,825 triệu VNĐ.
Kết luận kinh tế: Ở mức sản lượng Q = 35 (đvsp) thì công ty thu lợi nhuận tối đa max = 89,405 triệu VNĐ.
Giá bán tương ứng là P = 3,825 triệu VNĐ.
Bài 3: Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường có doanh thu theo sản
lượng cầu Q (> 0) đơn vị sản phẩm (đvsp) là R = aQ3 + bQ2 + 3240Q + 100 (đơn vị tiền: nghìn VNĐ), ở đây
a, b là hai hằng số chưa biết cần xác định
a) Tìm doanh thu biết doanh thu biên ở mức Q = 1 bằng 3219 và doanh thu biên ở mức Q = 2 bằng 3192.
b) Hãy tìm mức sản lượng Q (> 0) làm tối ưu hóa doanh thu của công ty và xác định doanh thu tối ưu đó.
U
Giải Theo giả thiết, hàm doanh thu: R = aQ3 + bQ2 + 3240Q + 109.
a) Ta có: MR  R’ = 3aQ2 + 2bQ + 3240. Theo giả thiết ta được
 3a 2b 3240  3219
 3a 2b  21
a  1;



12a 4b 3240  3192 12a 4b  48 b  9.
Vậy hàm doanh thu là R = – Q3 – 9Q2 + 3240Q + 100; Q > 0.
b) Ta cần tìm Q > 0 để R cực đại. Ta có
MR  R’ = – 3Q2 – 18Q + 3240; R” = – 6Q – 18 = – 6(Q + 3) < 0 (Q > 0).
MR = 0  [(Q = 30)  (Q = – 36)]. Ta nhận Q = 30 > 0 và loại Q = – 36 (vì Q > 0).
Vì R”(30) = – 198 < 0 nên R đạt cực đại tại Q = 30 với Rmax = 62,2 triệu VNĐ.
Kết luận kinh tế: Ở mức sản lượng Q = 30 (đvsp) thì doanh thu của công ty tối đa Rmax = 62,2 triệu VNĐ.
Bài 4: Một công ty sản xuất hai loại hàng hoá có hàm lợi nhuận như sau:
 = 2Q12  2Q1Q2  2Q22  496Q1  566Q2 ; Q1  0, Q2  0 (đơn vị tính : triệu VNĐ)
ở đây Q1, Q2 lần lượt là sản lượng cầu của hai loại hàng hóa đó (tính bằng đơn vị sản phẩm). Tìm mức sản
lượng Q1 (> 0), Q2 (> 0) để công ty thu được lợi nhuận tối đa.
Giải: Ta cần tìm Q1 > 0, Q2 > 0 để lợi nhuận cực đại.
Để tiện, đặt x = Q1 > 0, y = Q2 > 0 và z = . Ta quy về bài toán toán học tìm x > 0, y > 0 để hàm số z sau đây
đạt cực đại
z = z(x, y) = – 2x2 – 2xy – 2y2 + 496x + 566y.
Các đạo hàm riêng như sau
z x'  4 x  2 y  496; z 'y  2 x  4 y  566; z xx''  z ''yy  4, z xy''  2.
'

4 x  2 y  496  0
 x  71  0
 zx  0
Ta tìm điểm dừng  '
(Nhận).



 2 x  4 y  566  0
 y  106  0
zy  0
Ta được điểm dừng duy nhất M(71, 106). Kiểm tra điểm dừng này ta thấy
A = C = – 4, B = – 2;  = AC – B2 = 12 > 0.
Do đó M là điểm cực trị. Vì A = – 4 < 0 nên z đạt cực đại tại M với zmax = z(M) = 47606.
Kết luận về kinh tế: Ở mức sản lượng Q1 = 71 (đvsp) và Q2 = 106 (đvsp), công ty đó đạt lợi nhuận tối đa
max = 47606 (triệu VNĐ) = 47,606 (tỷ VNĐ).
Bài 5: Một doanh nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa với hàm chi phí kết hợp C ứng với mỗi mức sản lượng
Q1 ( 0), Q2 (  0) của từng loại hàng hóa thứ nhất, thứ hai được cho như sau:
C  C (Q1 , Q2 )  9996  8Q1  4Q12  Q22 .
Giả sử giá bán mỗi đơn vị hàng hóa thứ nhất, thứ hai lần lượt là 160 và 30 (đơn vị tính: triệu VNĐ).
a) Xác định hàm tổng doanh thu của doanh nghiệp ở mỗi mức sản lượng Q1 ( 0), Q2 (  0) .
b) Giả sử doanh nghiệp đó sản xuất trong điều kiện ngân sách không đổi B = 2,7 tỷ đồng. Hãy xác định
các lượng hàng hóa Q1 ( 0), Q2 (  0) mà doanh nghiệp cần sản xuất để tối đa hóa doanh thu và tính
mức doanh thu tối đa đó.
Giải
a) Vì mỗi đơn vị hàng hóa thứ nhất bán được 160 (triệu VNĐ), mỗi đơn vị hàng hóa thứ hai bán được 30
(triệu VNĐ) nên tổng doanh thu là
R  R (Q1 , Q2 )  160Q1  30Q2 ; Q1  0, Q2  0 (triệu VND)
b) Để tiện trong tính toán, ta đặt x = Q1 (> 0), y = Q2 (> 0). Khi đó ta có
C = C(x, y) = 9996 + 8x – 4x2 – y2; R = R(x, y) = 160x + 30y; x > 0, y > 0.
Từ vấn đề kinh kế đã đặt ra, ta có bài toán toán học tương ứng như sau:
Tìm x (> 0), y (> 0) để R = 160x + 30y đạt cực đại với điều kiện 9996 + 8x – 4x2 – y2 = 2700.
Ta sẽ giải bài toán tương ứng bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Trước hết ta cần đưa điều kiện về dạng vế
phải triệt tiêu:
9996 + 8x – 4x2 – y2 = 2700  4(x – 1)2 + y2 – 7300 = 0.
Ta được hàm điều kiện  = (x, y) = 4(x – 1)2 + y2 – 7300. Hàm Lagrange như sau
L = R +   L = L(x, y) = 160x + 30y + [4(x – 1)2 + y2 – 7300]; x > 0, y > 0.
Ta tính các đạo hàm riêng cấp 1, 2 của L và các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm điều kiện . Cụ thể ta có
L 'x = 160 + 8(x – 1) = 8[(x – 1) + 20]; L ' y = 30 + 2y;
''
L''x2 = 8, L y 2 = 2; L''xy = 0; ’x = 8(x – 1), ’y = 2y; x > 0, y > 0.
Ta tìm các điểm dừng và nhân tử Lagrange tương ứng
 L'x
0
(1)
  ( x  1)  20  0


 '
(2)
 0  2 y  30  0
 Ly
 4( x  1) 2  y 2  7300 (3)



 ( x, y )  0
Rút x, y theo  từ (1), (2) ta được
20

x 1  

 (1)


 
(2)
 y   30

2
(Hiển nhiên là   0)
(4)
Thay x – 1 và y trong (4) vào (3) ta được
2
2
1
   1/ 2  x  41, y  30;
 20   30 
2
4  
 
  7300   =
4
    2 
  1/ 2  x  39, y  30.
Vì x > 0, y > 0 nên ta chỉ nhận điểm dừng duy nhất M(41; 30) ứng với nhân tử  = – 1/2.
Ta dùng Hessian để kiểm tra điểm dừng M với nhân tử Lagrange  này. Ta có
H=
L''x2
L''xy
L''xy
L''y 2
'
y
'
x
'
x
'
y
0
4
=
0
320
x 41, y 30,
0
320
1
60
60
0
16800
0.
1/2
Do đó M(41; 30) là điểm cực đại điều kiện của doanh thu R = R(x, y) với doanh thu tối đa là
Rmax = R(41; 30) = 16041 + 3030 = 7460.
Kết luận: Trong điều kiện ngân sách sản xuất không đổi B = 2,7 tỷ đồng, doanh nghiệp cần sản xuất lượng
hàng hóa Q1  41; Q2  30 (đơn vị hàng hóa tương ứng) thì doanh thu sẽ tối đa
Rmax = 7460 (triệu VNĐ) = 7,46 (tỷ VNĐ).
Bài 6: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là Q = (K + 100)L (lượng đơn vị sản phẩm đvsp). Biết rằng giá thuê một đơn vị vốn là wK = 200$, giá thuê một nhân công giá wL = 100$ và doanh nghiệp
sản xuất trong điều kiện ngân sách cố định 380.000$. Xác định lượng cầu Marshall của vốn và nhân công mà
doanh nghiệp cần sử dụng để tối đa hóa sản lượng. Sản lượng tối đa đó là bao nhiêu?
Giải Gọi K (> 0) là lượng vốn đầu tư vào sản xuất và L (> 0) là lượng nhân công mà doanh nghiệp cần sử
dụng. Khi đó điều kiện ngân sách cố định B = 380.000$ trở thành
200K + 100L = 380.000  2K + L – 3800 = 0  L = 3800 – 2K.
Vấn đề kinh tế được đưa về bài toán: chọn K, L (K > 0, L > 0) để hàm Q(K,L) = (K + 100)L cực đại trong điều
kiện L = 3800 – 2K. Điều kiện K, L > 0 trở thành 0 < K < 1900.
Thay L = 3800 – 2K vào Q ta được hàm 1 biến Q = Q(K) = – 2K2 + 3600K + 380000; 0 < K < 1900.
Dễ thấy hàm này (đồ thị Parabol úp bề lõm xuống dưới hoặc dùng đạo hàm) đạt cực đại duy nhất tại
K = 900  L = 2000 với Qmax = Q(900, 2000) = 2.000.000 (đvsp)
Kết luận vấn đề kinh tế: Trong điều kiện ngân sách cố định B = 380.000$, doanh nghiệp đó cần sử dụng
lượng cầu Marshall với vốn K = 900 (đơn vị vốn) và nhân công L = 2000 để tối đa hóa sản lượng Qmax =
2.000.000 (đvsp).
Bài 7: Trên thị trường ta xét hai loại hàng hóa X, Y. Giả sử, với mỗi túi hàng hóa (x, y), người tiêu dùng hưởng
thụ một lợi ích U = U(x, y) = 3xy + 4x; ở đây, x và y lần lượt là lượng của hàng hóa X, Y (x  0, y  0). Giá
mỗi đơn vị từng loại hàng hóa X, Y tại thời điểm khảo sát tương ứng là p1 = 2USD, p2 = 3USD. Hãy tối ưu
hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick xˆ, yˆ tương ứng khi người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố
định U0 = 800.
Giải Với mỗi túi hàng (x, y), chi phí tiêu dùng là C = 2x + 3y; x  0, y  0. Vấn đề kinh tế trở thành bài toán:
tìm (x, y) để C = 2x + 3y cực tiểu với điều kiện U(x, y) = 3xy + 4x = 800; x  0, y  0.
Ta giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange. Ta có
- Điều kiện 3xy + 4x = 800  3xy + 4x – 800 = 0. Hàm điều kiện:  = 3xy + 4x – 800.
- Hàm Lagrange: L = 2x + 3y + (3xy + 4x – 800)
Các đạo hàm riêng của L và 
L’x = 2 + (3y + 4), L’y = 3 + 3x = 3(1 + x); x  0, y  0.
L”xx = 0 = L”yy, L”xy = 3; x  0, y  0.
’x = 3y + 4, ’y = 3x; x  0, y  0.
Tìm điểm dừng
 L'x
0
2   (3 y  4) = 0
  0, 05;



 '
  x  20; (vì x  0, y  0)
 0   1  x  0
 Ly
 3 xy  4 x  800
 y  12.




 ( x, y )  0
Do đó ta có duy nhất một điểm dừng (x;y) = (20;12) ứng với nhân từ Lagrange duy nhất  = – 0,05.
Kiểm điều kiện cực trị tại điểm (20;12) và  = – 0,05, ta có
L”xx = L”yy = 0, L”xy = – 0,15, ’x = 40,
'
L''xx L''xy
0
0,15
x
''
''
'
H = Lxy Lyy
0,15
0
y =
'x
'y 0
40
60
’y = 60;
40
60 = – 720 < 0.
0
Do đó (20;12) là điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 76 USD.
Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng là x = 20, y = 12 với chi phí tối thiểu
Cmin = 76 USD.
Bài 8: Giả sử một doanh nghiệp có quỹ vốn ban đầu là K0 = 150 và lượng đầu tư theo thời gian t cho bởi I(t)
= 450t2; t ≥ 0. Ở đây đơn vị tính là: triệu VNĐ. Hãy xác định quỹ vốn theo thời gian của doanh nghiệp đó.
Giải Quỹ vốn theo t là
K(t) =
I(t)dt = 450  t 2 dt = 150t3 + C; t ≥ 0.
Ở đây, C là hằng số thích hợp. Vì quỹ vốn ban đầu là K0 = 150 (theo giả thiết) nên ta có
K(0) = K0  1500 + C  C = 150.
Do đó quỹ vốn theo thời gian của doanh nghiệp đó là K(t) = 150t3 + 150 = 150(t3 + 1) (triệu VNĐ); t ≥ 0.
Bài 9* (Bí mật! Không bật mí!!)
Bài 10: Cho biết lượng cầu Qd và lượng cung Qs đối với một loại hàng hóa nào đó là
P
P
Qd = 193
; Qs =
5 (P là giá của loại hàng hóa đó).
3
3
Hãy tính thặng dư PS của nhà sản xuất và thặng dư CS của người tiêu dùng đối với loại hàng hóa đó.
Giải Tìm P theo Qs và Qd ta được các hàm cung, cầu ngược như sau
Qs =
P
3
5  P = S(Qs) = 3(Qs + 5)2; Qs  5
P
 P = D(Qd) = 3(193 – Qd2); Qd  0.
3
Qd = 193
Trước hết, ta tìm điểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Qs = Qd. Ta được
Qs = Qd 
P
3
P
3
5 = 193
(điều kiện 0 ≤ P ≤ 579)
 P = P0 = 432  Qs = Qd = Q0 = 7.
Q0
Thặng dư của nhà sản xuất là PS = P0 Q0
7
S(Qs )dQs
432 7 3 (Qs
0
Kết luận: PS = 1421, CS = 686.
7
D(Qd )dQd
0
1421 .
0
Q0
Thặng dư của người tiêu dùng là CS =
5) 2 dQs
P0Q0
3 (193 Qd2 )dQ d
0
432 7
686.