GUÍA PRACTICA DEL TEMA:
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.
La 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑛, o de 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 orden, 𝑛 − 𝐸𝐷𝑂𝐿, es de la
forma:
𝑎𝑛 (𝑥)
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
(𝑥)
(𝑥)
(𝑥)
+
𝑎
+
⋯
+
𝑎
+
𝑎
+ 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑛−1
2
1
𝑑𝑥 𝑛
𝑑𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
(1)
El objetivo principal del presente tema a desarrollar, es encontrar las Soluciones Generales, 𝑦𝑆𝐺 ,
de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, 𝑛 − 𝐸𝐷𝑂𝐿; primero debemos profundizar
un poco de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales.
Inicialmente se debe tener presente la homogeneidad de la ecuación diferencial; es decir, cuando
tenemos una 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂 y cuando una 𝒏𝒐 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂, en algún
intervalo 𝐼.
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑎𝑛 (𝑥)
𝑑𝑛 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
(𝑥)
+
⋯
+
𝑎
+ 𝑎1 (𝑥)
+ 𝑎0 (𝑥)𝑦
2
𝑛
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑛 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
(𝑥)
(𝑥)
(𝑥)
𝑎𝑛
+
⋯
+
𝑎
+
𝑎
+ 𝑎0 (𝑥)𝑦
2
1
{
𝑑𝑥 𝑛
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
=
0
,
𝑯𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂
(2)
= 𝑔(𝑥), 𝑵𝒐 𝑯𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂
Importante, se debe tener presente, que todas las funciones 𝑎𝑖 (𝑥); 𝑖 = 0, 1, 2, ⋯ 𝑛; y la misma, 𝑔(𝑥),
son continuas. Y para que la ED, se considere que es de 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜, 𝑎𝑛 (𝑥) ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼.
La ecuación diferencial (1), puede ser expresada en función del 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝑫; así:
𝐿(𝑦) = 𝑎𝑛 (𝑥)𝐷𝑦𝑛 + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝐷𝑦𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 (𝑥)𝐷𝑦2 + 𝑎1 (𝑥)𝐷𝑦 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
Donde:
𝑑𝑦
𝐷𝑦 = 𝑑𝑥 ;
𝑑2 𝑦
𝐷𝑦2 = 𝑑𝑥2 ;
⋯
𝑑𝑛 𝑦
𝐷𝑦𝑛 = 𝑑𝑥𝑛 ;
recordando
que
la
variable
(3)
y
es
suficientemente derivable.
Y en general se define a 𝑳(𝒚), 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒏 − é𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝒖 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓
𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝑫.
Como es un operador diferencial Lineal, cumple con la propiedad de linealidad, es decir:
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𝐿{𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)} = 𝐿{𝛼𝑓(𝑥)} + 𝐿{𝛽𝑔(𝑥)} = 𝛼𝐿{𝑓(𝑥)} + 𝛽𝐿{𝑔(𝑥)}
(4)
Ahora, en función de este operador polinomial, 𝑳(𝒚); podemos redefinir la homogeneidad de una
ED:
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
{
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐿(𝑦) =
0
𝑯𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂
(5)
𝐿(𝑦)
= 𝑔(𝑥) 𝑵𝒐 𝑯𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂
 Ecuación Diferencial Homogénea, EDH.
Sea, la ecuación diferencial homogénea, EDH, con 𝑔(𝑥) = 0, 𝐿(𝑦) = 0, una ED, asociada a (1);
𝐿(𝑦) = 𝑎𝑛 (𝑥)
𝑑𝑛 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
(𝑥)
+
⋯
+
𝑎
+ 𝑎1 (𝑥)
+ 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0
2
𝑛
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
(6)
y supongamos ahora, que las siguientes funciones, 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), ⋯ , 𝑦𝑛−1 (𝑥), 𝑦𝑛 (𝑥); sean, unas
funciones únicas, distintas y diferentes entre sí, en un intervalo 𝐼; y que además, sean ellas las nsoluciones, de la ecuación diferencial homogénea EDH, 𝐿(𝑦) = 0. Entonces, definimos por tanto,
a el conjunto conformado por esas n-soluciones, como el conjunto fundamental de soluciones de
la 𝐄𝐃𝐇 = {𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), ⋯ , 𝑦𝑛−1 (𝑥), 𝑦𝑛 (𝑥)} .
Ahora, definimos también, a la combinación lineal conformada por estas n-soluciones, así:
𝐶𝐿(𝑥)𝑦𝑘 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑦𝑘 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑦𝑛−1 (𝑥) + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥)
(7)
Donde las 𝑐𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, ⋯ 𝑛; son constantes arbitrarias. Y, la combinación lineal 𝐶𝐿(𝑥)𝑦𝑘 , también
es una solución de la 𝐄𝐃𝐇, en el intervalo 𝐼.
Ahora, se dice que un conjunto de funciones 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ⋯ , 𝑓𝑛 (𝑥), es linealmente independiente,
LI, en un intervalo 𝐼 si existen constantes 𝑐1 , 𝑐2 , ⋯ , 𝑐𝑛 no todas cero, tales que
𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑓𝑘 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑓𝑛−1 (𝑥) + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0
para toda x en el intervalo, ∀𝒙 ∈ 𝑰. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el
intervalo, se dice que es linealmente independiente.
En otras palabras, un conjunto de funciones es 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝑳𝑰, en un
intervalo 𝐼, si las únicas constantes, para las que
𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑓𝑘 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑓𝑛−1 (𝑥) + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0
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para toda x, que pertenece al intervalo 𝐼, ∀𝑥 ∈ 𝐼, son 𝑐1 = 𝑐2 = ⋯ = 𝑐𝑛 = 0
Un conjunto de funciones 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ⋯ , 𝑓𝑛 (𝑥), es linealmente dependiente, LD, en un intervalo
𝐼, si existen constantes 𝑐𝑘 , 𝑘 = 1, 2, ⋯ , 𝑛: que no son cero, de manera tal, que existen algunas
constantes que son múltiplos constantes de otras, y esto para toda x que pertenece al intervalo 𝐼,
∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑓𝑘 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0. Por tanto, un conjunto de funciones se
dice que es linealmente dependiente, LD, es porque al menos una, de las constantes 𝑐𝑘 , no es
cero.
Un conjunto de funciones 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ⋯ , 𝑓𝑛 (𝑥), es linealmente independiente, LI, en un intervalo
𝐼, si existen constantes 𝐶𝑘 , 𝑘 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 que son cero; de manera tal, que no existen funciones
que son múltiplos constantes de otras, y esto para toda x que pertenece al intervalo 𝐼, ∀𝑥 ∈ 𝐼
𝐶1 𝑓1 (𝑥) + 𝐶2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑓𝑘 (𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0. Por tanto, un conjunto de funciones es
linealmente independiente, LI, es porque todas las constantes 𝐶𝑘 , son cero; es decir, 𝐶1 = 𝐶2 =
⋯ = 𝐶𝑛 = 0.
Entonces, el conjunto fundamental de soluciones de una 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂,
𝑬𝑫𝑯, de 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 se dice que es 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝑳𝑰, si el 𝑊𝑟𝑜𝑛𝑠𝑘𝑖𝑎𝑛𝑜
de las 𝑛 − 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑊{𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), ⋯ , 𝑦𝑛 (𝑥)} es no nulo o diferente de cero, 𝑊(𝑥) ≠ 0.
El 𝑊𝑟𝑜𝑛𝑠𝑘𝑖𝑎𝑛𝑜 de las 𝑛 − 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑊{𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), ⋯ , 𝑦𝑛 (𝑥)}, se define como el
determinante de la (𝑛 − 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠), 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑠 (𝑛 − 1) 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠, así:
𝑦1
𝑦1′
𝑊{𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), ⋯ , 𝑦𝑛 (𝑥)} = |
⋮
𝑦1𝑛−1
𝑦2 ⋯
𝑦𝑘
′
𝑦2 ⋯
𝑦𝑘′
⋮
⋱
⋮
𝑦2𝑛−1 ⋯ 𝑦𝑘𝑛−1
⋯
𝑦𝑛
⋯
𝑦𝑛′
|
⋱
⋮
⋯ 𝑦𝑛𝑛−1 𝑛 x 𝑛
(8)
Ahora, si 𝑊(𝑥) = 0; entonces, se dice el conjunto fundamental de soluciones de una
𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂, 𝑬𝑫𝑯, de n-ésimo orden, es linealmente dependiente, 𝑳𝑫.
La solución de una 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂, 𝑬𝑫𝑯, de 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛, en un
intervalo 𝐼, se conoce como 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈é𝒏𝒆𝒂 o 𝒚𝒉 . Y también, esta solución se conoce como
𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒊𝒂 o 𝒚𝑪 ; y se construye, a través de la superposición de las n-soluciones
de la EDH, es decir, a partir de la combinación linealmente independiente de las n-soluciones,
tomadas del conjunto fundamental de las n-soluciones de la homogénea asociada a (1),
[𝑔(𝑥) = 0]. Entonces,
𝑦ℎ = 𝑦𝐶 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑦𝑘 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝑦𝑛−1 (𝑥) + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥)
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(9)
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 Ecuación Diferencial no Homogénea, EDNH.
La ecuación diferencial no homogénea, 𝑬𝑫𝑵𝑯, es aquella que se define tomando a 𝑔(𝑥) ≠ 0,
𝐿(𝑦) = 𝑔(𝑥); es decir, tal y cual como ella viene o es dada, así como en (3):
𝐿(𝑦) = 𝑎𝑛 (𝑥)𝐷𝑦𝑛 + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝐷𝑦𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 (𝑥)𝐷𝑦2 + 𝑎1 (𝑥)𝐷𝑦 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
(10)
La solución, de la ecuación diferencial no homogénea, 𝑬𝑫𝑵𝑯, es la 𝒚𝒏𝒉 . Y es una solución, que
se conoce también, como Solución Integral particular, o Solución particular, 𝒚𝒑 ; y es una
solución que depende realmente de la forma que traiga o presente la función 𝑔(𝑥), y lógicamente
de su integral, ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Y en general, también se le dice así, a cualquier función 𝑦𝑝 , libre de
parámetros combinatorios, que satisfaga a la ecuación diferencial (10), 𝐿(𝑦) = 𝑔(𝑥), en un
intervalo 𝐼, ∀𝑥 ∈ 𝐼. Luego, 𝑦𝑛ℎ = 𝑦𝑝 .
 Solución General, de las Ecuaciones Diferenciales, no homogéneas.
Dada una ecuación diferencial lineal, de n-ésimo orden, no homogénea, EDNH, 𝐿(𝑦) = 𝑔(𝑥),
como en (10); y sea 𝑦𝑛ℎ = 𝑦𝑝 , cualquier solución particular que satisface a la EDNH. Y sean,
además, {𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), ⋯ , 𝑦𝑘 (𝑥), ⋯ , 𝑦𝑛 (𝑥)}, el conjunto fundamental de soluciones, de su
ecuación diferencial homogénea, EDH, asociada a ella, 𝐿(𝑦) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼, así como en (6); y cuya
solución homogénea o complementaria, está dada como en (9), 𝑦ℎ = 𝑦𝐶 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) +
⋯ + 𝑐𝑘 𝑦𝑘 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥). Entonces, la 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦𝑆𝐺 , de (10), en el intervalo 𝐼, se
construye mediante la superposición de los efectos homogéneos 𝑦ℎ , y no homogéneos 𝑦𝑛ℎ , así:
𝑦𝑆𝐺 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑛ℎ = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝 = [𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑦𝑘 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥)] + 𝑦𝑝
(11)
 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟏: Dada las funciones 𝒚𝟏 = 𝒆−𝟐𝒙 , y 𝒚𝟐 = 𝒆𝟐𝒙 , las soluciones de la EDLH : 𝒚’’ −
𝟒𝒚 = 𝟎, en el intervalo (−∞, ∞), ¿pruebe que las soluciones 𝒚𝟏 y 𝒚𝟐 , son soluciones
linealmente independientes?. ¿Si es así, obtenga 𝒚𝒄 ?
∎Para probar la independencia lineal de las soluciones 𝒚𝟏 y 𝒚𝟐 , hay que calcular el wronskiano,
𝑊(𝑦1 , 𝑦2 ):
−2𝑥
𝑊(𝑦1 , 𝑦2 ) = 𝑊(𝑒 −2𝑥 , 𝑒 2𝑥 ) = | 𝑒 −2𝑥
−2𝑒
𝑒 2𝑥 | = (𝑒 −2𝑥 )(2𝑒 2𝑥 ) − (𝑒 2𝑥 )(−2𝑒 −2𝑥 ) = 2 + 2
2𝑒 2𝑥
=4≠0
Entonces, el conjunto fundamental {𝑒 −2𝑥 , 𝑒 2𝑥 } es 𝑳𝑰. Luego, 𝒚𝑪 = 𝒄𝟏 𝒚𝟏 + 𝒄𝟐 𝒚𝟐 = 𝒄𝟏 𝒆−𝟐𝒙 +
𝒄𝟐 𝒆𝟐𝒙
∎
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 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟐: Sean las funciones 𝒚𝟏 = 𝒆𝒙 , 𝒚𝟐 = 𝒆𝟐𝒙 𝐲 𝒚𝟑 = 𝒆𝟑𝒙 , las cuales satisfacen a
𝒚′′′ − 𝟔𝒚′′ + 𝟏𝟏𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝟎, ¿pruebe la independencia lineal, y obtenga la solución 𝒚𝒄 ?
𝑥
2𝑥
𝑊(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 ) = 𝑊(𝑒 , 𝑒 , 𝑒
3𝑥 )
𝑒𝑥
= |𝑒 𝑥
𝑒𝑥
𝑒 2𝑥
2𝑒 2𝑥
4𝑒 2𝑥
𝑒 3𝑥
3𝑒 3𝑥 | = 2𝑒 6𝑥
9𝑒 3𝑥
≠ 0; entonces, {𝑒 𝑥 , 𝑒 2𝑥 , 𝑒 3𝑥 } 𝑒𝑠 𝑳𝑰.
Luego, 𝒚𝑪 = 𝒄𝟏 𝒚𝟏 + 𝒄𝟐 𝒚𝟐 + 𝒄𝟑 𝒚𝟑 = 𝒄𝟏 𝒆𝒙 + 𝒄𝟐 𝒆𝟐𝒙 + 𝒄𝟑 𝒆𝟑𝒙
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∎
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MÉTODOS DE SOLUCIÓN:
Los métodos de solución, aplicados en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, de n-ésimo orden, y que buscan obtener a 𝑦𝑆𝐺 ; se aplican en
función de la homogeneidad, y también de la calidad que presentan los coeficientes, de la EDL. Es decir, inicialmente se verifica si la ED, es una EDH
(𝑦ℎ ) o una EDNH (𝑦𝑛ℎ ); y además, si la ED, tiene o no, coeficientes variables, 𝑎𝑖 (𝑥). Entonces, debido a ello, hay que considerar lo siguiente:
𝑑𝑛 𝑦
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
+ ⋯ + 𝑎2 (𝑥) 2 + 𝑎1 (𝑥)
+ 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑛
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑖 (𝑥), 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝒆𝒅𝒖𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
[𝑔(𝑥) = 0] {
} 𝑦ℎ = 𝑦𝐶 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑦𝑘 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑦𝑛
= 𝒚𝒉 + 𝒚𝒏𝒉
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑖 , 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄. 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔
∴ 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑖 , 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄. 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒔, 𝒗𝒊𝒂 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑨𝒏𝒊𝒒𝒖𝒊𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓.
= 𝒚𝑪 + 𝒚𝒑
𝒚𝑺𝑮 =
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑁𝑜
[𝑔(𝑥) ≠ 0] {
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑖 (𝑥), 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑷𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
} 𝑦𝑛ℎ = 𝑦𝑝
𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑖 (𝑥), 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠: 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒖𝒄𝒉𝒚 − 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓.
{
}
𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷, 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:
𝑎𝑛 (𝑥)
Entonces, es de importancia tener en cuenta lo siguiente:
𝑑𝑛𝑦
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
𝟏 − 𝐂𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬: 𝑎𝑛 𝑑𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑑𝑥2 + 𝑎1 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥).
𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄. 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 → 𝑦ℎ = 𝑦𝐶 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑦𝑘 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑦𝑛
I-
Coeficientes constantes:{
𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄. 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒔, 𝒗𝒊𝒂 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑨𝒏𝒊𝒒𝒖𝒊𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓 → 𝑦𝑛ℎ = 𝑦𝑝
𝑑𝑛𝑦
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑2 𝑦
} → 𝒚𝑺𝑮 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑛ℎ = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝
𝑑𝑦
𝟐 − 𝐂𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬: 𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 (𝑥) 𝑑𝑥2 + 𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥).
𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝒆𝒅𝒖𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏 → 𝑦ℎ = 𝑦𝐶 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑦𝑘 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑦𝑛
II-
Coeficientes variables:{ 𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑷𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
}
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒖𝒄𝒉𝒚 − 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓
→ 𝐿𝑎 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
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→
𝑦𝑛ℎ = 𝑦𝑝
} → 𝒚𝑺𝑮 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑛ℎ = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝
𝒚𝑺𝑮 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑛ℎ = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝 = [𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑦𝑘 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑦𝑛 ] + 𝑦𝑝
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