Guı́a para ETS de análisis vectorial
Elaboró: A.
Evalúese con detalle las siguientes integrales:
1).-
ZZ
~u · n̂dS, en donde ~u = (x2 − y)î + xĵ + z 2 exp(xy)k̂,
S es el elipsoide 2x2 +
S
y 2 + 9z 2 = 6, definido sobre el plano xy donde n̂ la normal unitaria exterior a S.
I
2
2
2).~u · d~r, en donde ~u = (ez −xy)î+yz ĵ +(y 2 +2xzez )k̂, C es la curva de intersección
C
de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 con el plano y = z recorrido en el sentido de giro de las
manecillas del reloj cuando se ve desde arriba del plano.
ZZ
3).~u · n̂dS, en donde ~u = ( 13 xy − x2 )î − 16 y 2 ĵ + (2x + 2xz)k̂,
S es la superficie
S
que consiste en el disco y = 0, x2 + z 2 ≤ 1 y la porción de la esfera elipsoide
x2 + y 2 + z 2 = 1, para 0 ≤ y.
4).- Obténgase el volumen de la región acotada contenida entre las dos superficies 4x2 +
y 2 = 4 y 4x2 + z 2 = 4.
5).- Utilı́cese la sustitución u = y/x, v = y + x para evaluar
Rxy
ZZ
y + 2x2
dxdy, donde
2
Rxy x + xy
es la región en el primer cuadrante acotada por las curvas y = 3 − x2, y = 8 − x2 ,
2
y = 0, e y = 2x.
6).- Z
Sea
Z ~r = xî + y ĵ + z k̂, y φ(x, y, z) una función escalar, demuestre:
~ = 0.
(a)
~r × dS
S
I
ZZ
~ × ∇φ.
(b)
φd~r =
dS
C
S
!! Buena suerte !!
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