Pré-cálculo
Operações, equações, funções e trigonometria
Francisco Magalhães Gomes
Respostas dos exercícios
Respostas.indd 1
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Respostas dos exercícios
 1
Números reais
1.1 Conjuntos de números
1.
a) F
b) V
2.
a)
b)
c)
d)
e)
3.
c) F
d) F
a) 16 e − 36
b) 78 e 32
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3, 5
−4
− 3, 4
7, 4
− 42
− 42
− 9, 6
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
− 9, 6
− 1300
− 1300
− 900
84xy
72
− 72
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
30 + 5 x
35 − 7x
− 3x − 24
8x − 40
6x − 8
8 − 6x
30 + 75 x − 90y
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
1.3
Respostas.indd 2
4.
a)
b)
c)
d)
e)
√2
3
3, 5
0, 0625
− 2, 1666666 . . .
1, 333333 . . .
− 8, 4
f)
g)
h)
i)
j)
0, 454545 . . .
− 2, 375
0, 222222 . . .
0, 323232 . . .
0, 432432 . . .
Soma, subtração e multiplicação de números reais
1.
1.
d) √5 e
Por exemplo, 123 e 13489
Por exemplo, −3 e 250
Por exemplo, − 4/ 3 e − 0, 255
Por exemplo, 3√2 e 4π
Por exemplo, − 1 e 0, 5
a) 10000000 e √4
1.2
3.
b) − 2, 10000000, 0 e √4
c) 5,3; − 2; 10000000; 632
75 ; 0; − 8,75; √4 e 125,666...
e) V
f) V
c) 0 e 50
d) 72 e 12222
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
72
0
60
−2− x
16 + 2 y
x− 6
3y − 8
− 6x + 12 y − 42z + 54
11x − 20
48 − 24x
20xy − 10x − 12y + 6
18x − 44
− 30x
− 20
4.
a)
b)
c)
d)
5(x + w)
12(x + 1)
3(x − y + z )
y(x − z )
e)
f)
g)
h)
2x (w − v)
x (y+2 s− 5v)
2(1 + x )
5(6 + x )
i) 7(5 − x )
j) − 2(5 + x )
5.
a)
b)
c)
d)
5+ x
1− x
24y
− 14x
e)
f)
g)
h)
4+3x
8 − 5y
27xy
− 18xy
i) − 16xy
j) 10xy
6. − 160 reais
7. − 4 °C
8. 3246 anos. Note que 1324 a.C. corresponde ao ano
− 1323 da era comum, em virtude do fato de o ano 1
a.C. ter sido sucedido por 1.d.C.
9. − 52, 7 °C
10. − 5 gols
Divisão e frações
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Um quinto
Três oitavos
Sete vinte avos
Nove treze avos
Cinco centésimos
Cento e vinte e cinco milésimos
Mil mil e um avos
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a)
23
2
b) 52
c) 81
256
Azuis: 1/3. Amarelos: 2/3
117
240
a) 25/7
b) 23/4
c) 33/12
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 3
Respostas dos exercícios
8.
9.
15.
a) Por exemplo, 2/6 e 3/9
b) Por exemplo, 4/10 e 8/20
c) Por exemplo, − 125/ 100 e − 25/ 20
a) 0, 33...
a)
3x
4
b) −
b) 0, 4
c) 1, 25
16.
a)
15
8
+
6
20
1
3 (x
+
c)
2x
15
d)
2
2x
21 − 7
40 x
5
6 − 4
b) 3( x2 − 1)
+ 2)
f)
2xy
3
12 x
5
+
c)
2
5 (4
− x)
e)
+
x
18
4y
8
5 + 15
10. Para x positivo, 1/x decresce à medida que x cresce.
4
3
34
21
41
20
11.
a) 2
b) 54
c) 74
12.
a)
b)
c)
1
10
35
24
2
9
d) 28
19
e) 40
7
f) − 55
6
13.
a)
11
30
b)
14.
a)
b)
c)
d)
2
15
9
16
21
2
32
3
e) 12
25
f) 54
g) − 21
16
h) − 10
99
1.4
d)
e)
f)
g) 16
7
h) − 20
i) 13
30
j) − 45
14
k) 31
30
l) 13
60
g) − 27
10
7
h) 18
8
i) 90
35
24
c)
18. 1/15
19. 78.000 habitantes
13
20
i) 12
5
j) − 24
35
k) 6
l) 32
12 =
17. A lista toda terá consumido 56 minutos, dos quais 14
minutos terão sido gastos para fazer os exercícios que
faltam.
d)
5
36
m)
2
5
20. R$ 120,00
21. R$ 600.000,00
22. A quinta casa
8
3
23. 615 mm
Simplificação de frações
15.
1. 16/ 64 = 8 / 32 = 4 / 16 = 2 / 8 = 1 / 4
a) 2
b) 12
c) 43
30
d) −
e) 18
f) −
16.
a) 1
b) 4
c) 52
d) −
17.
a)
18.
a) 25
b) 78
c) 16
d) 3
2. 36/ 54 = 18 / 27 = 6 / 9 = 2 / 3
3.
a) 3/7
4.
a) V
b) V
c) F
d) V
5.
a) V
b) F
c) V
d) F
6.
a)
b)
c)
d)
1
2
3
5
1
6
5
2
e) 57
f) 52
g) 25
h) 0
i) − 3
j) − 3
k) 15
1
l) 15
m) − 23
n) − 8
o) 12
5
p) 53
b) 3/4
c) 1/5
7. São primos: 23, 31, 53, 67, 71.
19.
8. Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Divisores comuns: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
9.
10.
20.
a) 9
b) 15
c) 21
a) 32
b) 6
c) 4
a) 6
13.
a) 450
14.
a) 9/6 e 4/6
b) 2/6 e 4/6
Respostas.indd 3
22
3
e) 8
f) −
7
5
c)
e) 20
9
f) 8
g) 2
h) 55
2
b) 5x − 10y
d)
a) 3x + 2
c)
3− 8y
5
b)
−
2x
3
3x +7
2
c)
2
3
11
20
i) 45
j) −
k) 1
l) 16
5x
4 − 3
x
21
5 − 4
a)
1
2
b)
25
24
g) 17
30
h) 3
i) 0
2
5
d) x + 6 y + 9
g)
h)
8
33
1
35
d)
7
4
m) 4
3
2
n)
o) 26
4x
9
+ 53
e) − 16xy −
f)
4x
3
e)
3x − 8y − 15
2
2− 3x +4 y
8
f)
+
4y
9
21. Após 90 minutos.
22. ...
11. São equivalentes.
12.
5
2
1
15
b) 6
c) 12
b) 840
d) 30
c) 210
c) 9/12 e 10/12
d) 15/30, 10/30 e 6/30
23. Dos moradores, 3/10 bebem café Serrano e 9/20
bebem café de outra marca.
24. João gastou 1/6 do dinheiro com a pipoca. O dinheiro
que sobrou corresponde à metade do que ele possuía
antes de comprar o ingresso.
25.
a)
1
2x
b)
5y
2
c)
14 y
√3
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4  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
1.5
A reta real
1. − 2, 5; − 2; − 1, 5; − 3/ 4; 0; 4/ 5; π ; 5; 8.
4
2. 10
; 12 ; 35 ; 34 ; 45 .
3.
a) Dois ( − 2 e − 1).
b) Infinitos.
4.
a) Pos.
c) Pos.
b) Neg.
5.
a) V
b) F
c) F
6.
a) >
b) >
c) >
d) >
e) <
f) >
g) <
h) <
i) >
d) Neg.
d) V
j) <
k) <
l) <
1.6 Razões e taxas
1. Cerca de 48 cm.
10.
2. 100 parafusos
a) Fluorescente: 60,5 lm/W. LED: 81,25 lm/W.
b) A lâmpada LED é mais econômica.
3. R$ 52.631,58
11. Devo comprar a Ultracell.
4. R$ 1.065,00
12. (b)
13. Preto AR e Colorido BR.
5. 7.274 kg/h
6. O carro trafegou a 86,7 km/h, em média,
ultrapassando o limite de velocidade.
7.
a) 3G: 1,333 Mb/s. 4G: 10 Mb/s
b) 7,5.
14. O modelo Jumbo.
15.
a) Id$ 2,02
b) Id$ 3,38
8. Cerca de 1,27 aparelhos por habitante.
16. A razão entre as quantidades dos extratos de
Malagueta e Jalapeño será igual a 17:23.
9. A de 3 kg é mais econômica.
17. 50 km/h
1.7
Porcentagem
1.
a) 70%
b) 20%
c) 15%
d) 75%
e) 12,5%
f) 120%
2.
a) 450
b) 14,4
c) 243
d) 165
e) 441
f) 750
g) 66,7%
h) 125%
b) 147,5 milhões de pessoas.
c) 7,7 milhões de habitantes.
18. 20%.
19.
a) R$ 93,60
b) 4%
3. 18 meninos e 22 meninas.
20.
a) R$ 1752,00
b) 3,06%
4. 5,56%
21. 5.000 domicílios.
5. R$ 58.250,00
6. R$ 1.080,00
7. R$ 759,50
8. R$ 2,60 por quilo.
9. R$ 457,43.
10. 6,3%
11. 36%
12. Não. Apenas Laura participou da prova.
13.
a) 240.000 domicílios.
b) 3.500 domicílios por ano.
22. R$ 124.256,88
23. (b)
24. 6%
25. Houve um aumento de R$ 42,00.
26. Dos brasileiros 45% têm aglutinogênio A. Desses,
cerca de 75,6% têm sange A+.
27. 12,1 milhões de domicílios.
28. 69%
29.
a) 2,5%
b) Houve uma redução de 10%.
c) 54.000 pessoas
30.
a) R$ 1944,00
b) 8%
31.
a) R$ 3,688
b) 54,6%
14. 154%
15.
a) 14.800 acidentes de trânsito em 2003.
b) 2.880 acidentes com vítimas em 2002.
16. 16,7%
17.
Respostas.indd 4
a) 6,23%.
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 5
Respostas dos exercícios
1.8
1.
Potências
a)
b)
c)
d)
e)
f)
13.
1/ 8, 1/ 4, 1/ 2, 1, 2, 4, 8
− 1/ 8, 1/ 4, − 1/ 2, 1, − 2, 4, − 8
− 1/ 8, − 1/ 4, − 1/ 2, − 1, − 2, − 4, − 8
8, 4, 2, 1, 1/ 2, 1/ 4, 1/ 8
− 8, 4, − 2, 1, − 1/ 2, 1/ 4, − 1/ 8
− 8, − 4, − 2, − 1, − 1/ 2, − 1/ 4, − 1/ 8
14.
2. As três potências valem 1.
3. As três potências valem 1.
4. As três potências valem 0.
5. Só podemos calcular ( 15 ) 0 , que vale 1.
6. 3
25
=3
7. (2 + 3)
8.
32
2
2 5
15.
10
e (3 ) = 3 . O primeiro é maior.
= 5 2 = 25, enquanto 22 + 3 2 = 4 + 9 = 13.
16
a) 2 − 1 = 65.535
b) 232 − 1 = 4 .294.967.295
c) 264 − 1 = 18.446.744.073.709.551.615
g)
a) 27
b) − 27
c) 27
d) − 27
e) − 27
f) 2
g) 12
h) 2
i) − 2
a) 512
b) 56
c) 54
d) 313
e) 82
f) 512
g) − 413
h) 32
i) 111 2
k) 4 213 3
l) 33 42
m) 512
3
n) 5 3 25
o) 40
42
33
j)
310
3− 10
3− 10
− 310
h)
k) x13
l) y 5
m) y14
f)
g)
h)
i)
j)
2x − y
1
x3
x7
1
x7
n) 1
o) y15
e)
f)
g)
h)
− 3− 10
310
x 12
x − 12
i) 1
j) x42
k) 516
l) 56
a) 6x 5 y 7
b) x 2 y 4
c) x 2 y 2 z 6
d) x3y3
f)
10. O prefixo quilo- é usado para indicar um milhar.
Assim, 1 kg = 1000 g e 1 km = 1000 m. Entretanto,
quando se trata de bytes, o prefixo equivale a 1024, de
modo que 1 kB = 1024 B.
12.
a)
b)
c)
d)
e)
9. 1 kB = 2 10 bytes = 1.024 bytes.
1 MB = 2 20 bytes = 1.048.576 bytes.
11.
a) x 7
b) x13
c) x17
d) y 2
e) v1
1+ x 2
3x
t)
x3
23
m)
n)
1
32 x 2
o)
x6
52
16 z 4
81 x 4 y 8
6
p) x 2 −
k)
27
x6y3
r) 2v w x y
l)
7
i)
m)
n)
o)
40 y z
x
2
5xy
x2z
2
x2
− 4y
3
x− y
y3
s)
3
t)
v7w3
27 x 3
16 t 5
s 2 u 12
3x
2
2
x2y2
4 5 4 7
q)
j) 16y
2x 7
y5
1
2yx 3
2
y
x2
3u + u 2
v2
p) z
q) x12
r) 1
s) x − x2
u)
v) 1 −
y3
x3
16.
a) 4,7 × 104
b) 8,13 × 108
c) 4,3 × 1012
d) 1,05 × 10− 4
f) 3,392 × 1014
e) − 6,782 ×1014 g) − 2,738 × 108
17.
a) − 2 × 104
b) 1,7 × 10− 14
c) − 4,5 × 102
18. 4,64 × 10−5 m.
2
3
5
p) 3·2
2
1
q) 6
r) 34
s) 5 · 450
t) 3100
19. 0,000000035 mol/L.
20. 1,496 × 108 km.
21. 487,7 s, ou 8 min 7,7 s.
22. 113,097 litros.
23. 1,083 × 1012 km 3 .
1.9 Raízes
7.
1. 30 m.
2. 5 e − 5. Somente 5 é a raiz quadrada de 25.
3. Aproximadamente 89 km.
4. 1 − √2, √3 − 2, 2 − √3, √2 − 1
5.
6.
a) 32
b) 42
c) 45
d) 16
e) 10
f) 21
g) 13
h) −
i) 0
a) 2√5
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
b)
2
7
c)
√2
5
2
3
d)
Respostas.indd 5
−6
− 43
36
5
1
5
1
3
81
4
12
4
2
j) 3
k) − 1
l) − 12
o)
3
2
8.
a)
b)
c)
d)
6
30
5√3
15√2
a) 2x
b) 2√x
c) 2x
r) 2
4
5 √3 4
3 √3 5
3
d) 2√2
x
e) xy 2
f) x 3 y 2
i) √7
j) 32
k) √103
l) 1
g)
y2
z
h)
√w
v
m) 30
n) 14
o) 2
p) 23
i) y 2 √x
j)
4
x
√
y4
9. Exemplo:
√122 + 5 2 = √144 + 25 = √169 = 13,
p) 4
q) 3
e)
f)
g)
h)
enquanto
√144 + √25 = 12 + 5 = 17.
14/12/2018 20:49:16
6  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
10.
a)
b)
c)
d)
3√3
3 − √5
2√8
7√2
11.
a) √32
d)
b) √55
e)
c)
√(− 3) 5
3
a) 0,6
 2
2.1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
i) 2√15
5√2
√3
c) 2
d) 51/ 2
5
13.
f) 5 + √5
1/ 3
a) 3
b) 3− 1/ 2
12.
h) 0
g)
1/ 2
14.
e) 2 + 2 √2
f)
1
√3 5
1
√2
1
3
√4 2
b) 0,2
j) 4√3
− 3/ 2
e) 2
f) − 21/ 3
g) √42
3
h) − √3
i)
1
√2 3
c) 0,3
a) √11
11
b) √5
a) 55
b) √6 3
c) 29
1
d) 25
e) 3y 2 √x
17. ...
16.
i) 2√ x
j)
√x
2
k)
1
5 √5
c) x √ x
d) √2
e)
√3 4
3
f) 2x √xy
g) x 2
h) y1
i) x 2
k) √x 3
j)
l)
m)
5
7
f) √53
4
p)
q)
6
l) √ww
m) x5
n)
o)
5
x 3 √y 4
y
1
2x 3
2
x3
7x 5
16
1
xy
8
x3
2
r)
s) 6x
t) 32
uv 4
2
2
3y4
Equações
7.
a)
b)
c)
d)
e)
8.
a) x + 34 = 12 , x = −
b) 23 x = 54 , x = 15
8
c) x2 + 5 = 8, x = 6
x
y
x
x
x
= 17
= 56
= − 53
= − 18
5
= −5
f)
g)
h)
i)
j)
x = 32
x = 54
z = 17
3
y=1
a = −7
1
4
k)
l)
m)
n)
o)
x
x
x
x
x
= 83
= − 12
= 52
= 15
=3
d) 2x + 3 x = 125, x = 25
e) x + x4 = 15, x = 12
f) x2 + x3 = 30, x = 36
Proporções e a regra de três
1. R$ 396,00
2. 124,2 kg
3. 80 funcionários
4. 800 mg
5. 28,571 litros
6. Pouco mais de 147 minutos
7. Ela consome 16,2 caixas por ano e gasta 270 dias
para consumir 12 caixas.
8. R$ 25,20
9. 16 m 9 s
10. 11,875 horas, ou 11h52m30s
11. 120 litros por pessoa por dia
12. R$ 84,00
13. 4,5 meses
Respostas.indd 6
e) 25
16
f) 81
16
g) 3
h) 7
Equações e inequações
Sim
Sim
Não
O número 3 é solução. Já 2 não é solução.
Os dois valores são solução.
a) x = 190
e) x = 3
i) a = 9
20
b) y = 20
f) x = − 27
j) x = 3
c) y = − 20
g) x = 56
k) x = − 4
d) x = 14
h) a = 14
l) x = 15
2.2
15.
a) 64
b) 9
c) 15
1
d) 32
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
33,75 minutos, ou 33m45s
R$ 7,20
15 marceneiros
56 h
2,4 h = 2 h 24 m
R$ 8,00
12,5 min
175 min
5 dias
22 viagens
3500 kg
2,560 kg
12 dias
65 baldes
45 minutos
14/12/2018 20:49:17
Respostas dos exercícios
29. 4,25h, ou 4h15m
31. 1 m 30,7 s
44. a) A escala é 1:425.000
b) No quilômetro 34
c) A uma distância de 6,8 cm
32. 5,76 litros
45. a) 70 s
30. Em 17,14 minutos
33. 30 funcionários
b) 1650 s
 7
c) 9428 m
46. 61 anos ou mais
34. 495 litros
35. Em 26 m 15 s
47. a) 100 m por minuto
36. 500 s, ou 8 m 20 s
48. a) R$ 15,75
b) 480 m 2
49. a) 30.000 pessoas
b) 560.000 habitantes
37. Cerca de 162 milhões de habitantes
38. a) Cerca de 4 m 21 s
b) 84 dias
39. 11,25 cm
40. a) 21 voltas
41. a) 12 km/l
b) 192,5 litros
b) O álcool
c) 540 km
42. R$ 25.000,00
43.
a) A variação de preço foi de 12,5%
b) R$ 3,15
b) 5000 m
50. 40 barras
51. 10 litros.
52. a) 71,43 casos por 10.000 habitantes
b) 6 casos
c) 2730 casos
53. Robson: 104 dias; Rodney: 172 dias; Lúcio: 89 dias.
54. 22.023.872 pessoas
2.3 Regrea de três composta
1. 8 dias
6. 7,35 dias.
2. 26,25 kWh
7. 0,48 litros
3. R$ 2.835,00
8. 6 dias
4. 125 trabalhadores
9. 1,8 tonelada
5. 46,2 kWh
2.4
10. 2 dias
Equações lineares
1. F =
3J +2 E
5
. E = 9,5
2. 1,6 m e 4,4 m
3. A mulher recebe R$ 960,00, e o marido, R$ 800,00.
4. O terreno tem 15 m × 45 m.
5. Cada um poupou R$ 180,00.
6. Nasci com 52 cm.
7. Daqui a 14 anos.
8. Daqui a 23 anos.
9. O terceiro colocado ganha R$ 50.000,00, o segundo
ganha R$ 100.000,00 e o campeão leva R$ 200.000,00.
15. 22 km
16. A marca A obteve 270 votos e a marca B alcançou
450 votos.
17. 135 mensagens
18. Fabiana gastou R$ 12,00, Luciana gastou R$ 18,00 e
Mariana gastou R$ 23,00.
19. Cartucho preto: R$25,00. Cartucho colorido:
R$ 31,25.
20. A partir do dia 13.
21. Pedro gastou R$ 140,00, Lucas gastou R$ 190,00 e
Rafael gastou R$ 56,00.
10. O ovo de 200g custava R$ 15,00 e o de 500g custava
R$ 30,00.
22. Rogério comprou 300 kg, Roberto comprou 450 kg e
Renato comprou 250 kg.
11. Adão marcou 29, Amauri 19 e Aldo 38 pontos.
12. 0,09 kWh
23. Ana enviou 30 mensagens, Lúcia outras 90 e Teresa
mais 50 mensagens.
13. Lucas pagou R$ 3,20 pelo bombom clássico, R$ 4,00
pelo de amêndoas e R$ 4,80 pelo de cereja.
25. R$ 11.825,00
14.
Respostas.indd 7
3p 1 +3 p 2 +4 p 3
10
. Marilisa precisa tirar 4,25.
24. 274, 276 e 278
26. Joana trabalhou 8 horas extras.
14/12/2018 20:49:18
8  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
27. US$ 125
28. Mariana possuía R$ 1800,00 e gastou R$ 216,00
comprando livros.
29. a) 27 m
b) 15 min
30.
2.5
Sistemas de equações lineares
1.
x
x
x
x
2.
3.
4.
5.
6.
a)
b)
c)
d)
= 3 / 2, y = 5
=4, y =5
= − 2, y = − 6
= 8, y = 4
e)
f)
g)
h)
x
x
x
x
7. 140 bombons normais e 60 trufados.
= 3, y = 2
= 6, y = 2 / 3
= 9, y = − 3
= 2, 4; y = 3
8. 14 embalagens de 5 litros e 13 de 8 litros.
9. 164 pessoas compraram a meia entrada e 76 pessoas
compraram a inteira.
{ 6x4x
+ 8 y = 1600
+ 5 y = 1350
b) Esfirra: 100 kcal; quibe: 150 kcal
400 peixes da espécie A e 200 peixes da espécie B.
4.500 ingressos para as cadeiras numeradas e 500
ingressos para as cadeiras de pista.
36 cebolas pequenas e 4 cebolas grandes.
Robson deve investir R$ 2.500,00 na primeira e
R$ 4.000,00 na segunda aplicação.
a)
a) 72 l de purapolpa e 8 l de lactosex.
b) 48 l de lactosex, perfazendo um volume de 120 l
de polpalact.
10. 7,5 g de ouro e 2,5 g de prata.
11. 185 milhões em 2006 e 190 milhões em 2009.
12. O casadinho A custa R$ 4,50 e o casadinho B custa
R$ 5,10.
13. A lanchonete cobrará R$ 4,80 pelo novo casadinho.
14. Ana trabalhou 27 horas além de seu expediente
normal, enquanto Beatriz fez 24 horas extras.
15. 2 litros da solução a 30% e 4 litros da solução a 3%.
2.6 Conjuntos
1.
a) {3}
b) {− 1, 0, 3}
c) {− 1; − 15 ; 0; 0, 621; 23 ; 3}
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
d) {√2, π }
2.
a)
b)
c)
d)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, . . . }
{− 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
3.
a)
b)
c)
d)
{x
{x
{x
{x
∈ |x
∈ |x
∈ |x
∈ |x
é
é
é
é
par }
múltiplo de 5}
primo e menor que 30}
menor que 1000}
9.
4.
a) F
b) V
c) F
d) V
e) F
f) V
5.
a) F
b) V
c) V
d) F
e) V
f) F
g) V
h) F
i) V
j) F
k) V
l) F
a) F
b) V
c) V
d) V
e) V
f) V
g) V
h) F
i) F
a) ⊄
b) ⊂
c) ⊄
d) ⊂
e) ⊂
f) ⊂
g) ⊂
h) ⊄
i) ⊂
6.
7.
8.
Respostas.indd 8
a) {− 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) {− 9, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 9}
{− 1, 1}
{1, 3}
{− 9, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9}
{1}
{− 3, 1, 3}
{− 3, − 1, 1}
{− 9, − 3, − 1, 1, 3, 9}
{− 3, − 1, 1, 3, 5}
{− 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4}
{− 1, 1, 3}
10.
a) V
b) F
11.
a) (A ∩ C ) ∪ B
b) (A ∪ B ) ∩ C
c) A ∩ B ∩ C
d) A ∪ B ∪ C
12.
a) W
c) U ∩ V ∩ W
13.
a) A \ B
b) A \ (B ∪ C )
c) V
d) F
b) U
e) V
f) V
c) A \ (B ∩ C )
d) (A ∪ B )\ C
14/12/2018 20:49:19
Respostas dos exercícios
14.
15.
a) {a, e, i, j}
b) {b, c, d, f, g, h, j }
c) {o, u}
d) { j}
e) {a, e, i }
f) {o, u}
a) {2, 32}
b) {4, 12, 20}
c) {64}
d) {32, 64}
e) ∅
f) {2, 8, 16, 32, 64}
16.
a) {3, 9, 15}
b) {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
c) ∅
d) {1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 17, 18, 19}
17. 4 jovens
18. A firma tem 217 funcionários, dos quais 54 falam
exatamente uma das duas línguas.
19.
a) 20 sócios
2.7
b) 150 sócios
c) 400 sócios
20. 23 pessoas
21. a) 116 espectadores
b) 135 espectadores
c) 320 espectadores
d) 88 espectadores
e) 380 espectadores
22. 270 entrevistados.
23. a) Tigre: 54%,
b) 7%
c) O tigre
24. a) 820 pessoas
Jacaré: 53%,
Cobra: 32%
b) 205 pessoas
c) 775 pessoas
25. Esse problema, que é insolúvel, ilustra o paradoxo de
Russell, que mostra as contradições da teoria
Cantoriana dos conjuntos.
Intervalos
1.
a) {x ∈ | − 2 < x < 0}
b) {x ∈ | 1 ≤ x < 6}
c) {x ∈ | x > − 3}
d) {x ∈ | x ≤ 12, 5}
e) {x ∈ | − 4 ≤ x ≤ 5}
f) {x ∈ | − 5 < x ≤ − 2}
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3.
a) V
b) F
4.
a) {x ∈ | x > − 2}
b) {x ∈ | x ≤ 4}
c) d) {x ∈ | 1 ≤ x ≤ 4}
e) {x ∈ | − 2 ≤ x < 2}
f) {x ∈ | 1 ≤ x < 2}
5.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
6.
 9
[0, 17; ∞)
(−∞, 4]
(− 3, − 1)
[− 1, 0]
c) F
d) F
[− 4,5]
[− 2,4]
(0,8]
(− 1,4) ∪ (4,6)
1
[ 100
, 100)
(−∞, − 2] ∪ (5,∞)
(− 4, ∞)
(−∞, √3)
e) V
f) F
[− 4, 2]
[− 4, − 2)
(−∞, 7)
7.
d) {x ∈ | − 2 < x ≤ 0}
e) {x ∈ | x ≤ − 2 ou x ≥ 3}
f) ∅
a)
b)
c)
d)
[1,7]
(− 2,5)
[− 8, ∞)
(−∞, 12 )
8.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
9.
a)
b)
c)
d)
e)
(−∞, 6]
[− 5,7)
[− 5, − 3]
(− 1,6]
(−∞, 7)
a) {x ∈ | − 3 < x < 2}
b) {x ∈ | 21 < x < 2}
c) {x ∈ | 1 ≤ x ≤ 6}
∈|
∈|
∈|
∈|
∈|
∈|
∈|
∈|
e)
f)
g)
h)
(− 4, − 1]
[− 3, 0)
(−∞, − 5] ∪ [1, ∞ )
[− 1, 0] ∪ [2, 3]
1 ≤ x ≤ 7}
− 2 < x < 5}
x ≥ − 8}
x < 21 }
− 4 < x ≤ − 1}
− 3 ≤ x < 0}
x ≤ − 5 ou x ≥ 1}
− 1 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 3}
f) ∅
g) [− 5, − 3] ∪ (− 1,6]
h) (−∞ , − 3] ∪ (− 1,6]
i) [− 5,6]
2.8 Inequações
1.
a) Chamando de p o preço da gasolina (em reais),
temos 2, 39 ≤ p ≤ 2, 79.
b) Chamando de p o preço (em reais) de algum
produto da loja, temos p ≤ 4, 99.
c) Usando A para representar a altura de Rosana,
em metros, temos A ≥ 1, 5.
Respostas.indd 9
d) Chamando de s o saldo bancário, temos s > 0.
2.
a)
b)
c)
d)
x > 3/ 2
x ≥ − 5/ 8
x ≤ 9
a < 14
e)
f)
g)
h)
z > 1/ 4
x ≥− 2
x ≥− 6
x ≥ − 1/ 3
i) w < − 5/ 2
j) y > − 2
14/12/2018 20:49:20
10  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
3.
4.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x > 1/ 2
x ≤− 3
v≤ 3
z < − 7/ 4
x < 9/ 7
x > − 3/ 5
x ≤ 1/ 3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1
2
3
2
<x<
− ≤ x ≤ 2
−3≤ x ≤ 3
1≤ x ≤ 4
1≤ x ≤ 4
6 ≤ x < 12
3
4
5.
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
x ≤ 2
x> 0
x < 3/ 7
x ≥ 5/ 11
x < − 1/ 2
x ≤ − 1/ 3
x > 2/ 3
o) x < 9
8. 6, 7 ≤ x < 10
p) x > 8/ 9
9. Ela terá que produzir mais de 75 camisetas.
q) x > 10/ 3
r) x > −
s) x ≥ −
3
5
1
8
t) x ≤ − 1
−2<x ≤ 4
3
5
4 ≤ x ≤ 2
15
21
2 <x< 2
−2≤ x ≤ 0
−4≤ x ≤ 2
− 12 ≤ x ≤ 1
m)
n)
o)
p)
1
4
1
4
1
4
4
5
≤
≤
≤
≤
13.
14.
15.
7. João pode ficar hospedado por um número de dias
menor ou igual a 25/3. Como esse valor não é inteiro,
João pode passar, no máximo, 8 dias hospedado no
hotel.
1.
2.
3.
4.
5.
Polinômio de grau 0
Polinômio de grau 4
Não é polinômio
Não é polinômio
Polinômio de grau 100
a)
b)
c)
d)
8x − 2
2 − 2y
y 3 − 7y 2 + 5
14x − 2z
a)
2x
2x 2
15 − 5
3x 2
8 − x
2
2
x +
5/ 2
f)
g)
h)
i)
j)
a) O gasto com a lâmpada incandescente atinge
R$ 37,50, enquanto o gasto com a lâmpada
fluorescente é igual a R$ 9,00
b) Depois de 100 dias, Fernando terá gasto mais com
iluminação do que João.
x > 175 km
59, 94 kg ≤ m ≤ 81 kg.
A iguana deve permanecer a uma temperatura entre
26,1 °C e 35 °C .
27 cm ≤ b ≤ 32 cm
112 mg/dl ≤ LDL ≤ 130 mg/dl
A embalagem de 2,5 kg deve custar não mais que
R$ 22,86.
d) 9x 3 + 3 x 2 − 14x + 10
e) − 3x 5 − 6x 4 + 7 x 3 + 12 x 2 − 2x
Não é polinômio
Polinômio de grau 6
Polinômio de grau 2
Polinômio de grau 1
Não é polinômio
e) 8a + 2 ab − 5b
f) − 10a + 14 ab
g) 23 x − 3
h) 2
i) 1 +
j)
5
6a
x
6
−
+2y
ab
6
g) − x 2 + 5x6 − 16
43 x
2
h) 15
4 − 8 + x
10x + 14 x − 12
− 3x 3 + 8 x 2 − 18x + 48
x2 + 5 x − 6
0,42 x2 + 2,68x − 0,8
a) 3x +
i)
j)
k)
l)
7
b) − 3x
+ 18 x 2 − 2√x + 12
c) x − 81
d) − 5√x − √x2 + 7
e) x13 − x12 + x4 − 4
a) 3x 5 − 6x 4 − 12x 3 + 15 x 2
b) − 4x 5 − 8x 4 + 4 x 3
c) 3x 2 y 3 + 2 x 2 y 2 + 4 xy 3
Respostas.indd 10
16.
17.
18.
a) O plano C é mais vantajoso.
b) o plano A é o mais vantajoso a partir de 50 min.
Polinômios e expressões algébricas
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
f)
11.
x ≤ 4
x ≤ 5 12.
x < 11
4
x < 10
3
6. O lado menor deve medir 20 m ou menos.
2.9
10. A oferta da primeira empresa só é vantajosa se
Carminha conseguir vender mais de R$ 8.000,00 por
mês. Caso contrário, a segunda proposta é a mais
atraente.
2
− 2x9 + x − 98
144x 2 − 25
9x 2 + 24 x + 16
x 2 − 2√3x + 3
6.
2
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
− 32 + 112x + 2 x 4
2 − 3x 2 + 2 x 3 + x 4 − 3x 5 + x 7
2y 4 − 9y 3 + 20 y 2 − 23y + 12
2x 2 − 6xy + 8 x + 4 y 2 − 10y + 6
3x 3 + 6 xy − x 2 y − 2x 3 y − 2y 2 − 4xy 2
8x 3 − 12x 2 + 6 x − 1
x 3 − 2x 2 − 9x + 18
6 − w − 11w 2 + 6 w 3
30 − 17x 2 − 3x 4 + 2 x 6
6a3 + 19 a2 b + 11 ab2 − 6b3
a4 − b4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
4 + 4 x + x2
9x 2 + 48 x + 64
x 4 − 2√5x 2 + 5
4u 2 + 28 uv + 49 v 2
y 2 − 8y + 16
9 − 12y + 4 y 2
4 + 4 x + x2
4 + 2 x + x2/ 4
1 + 2 √2x + 2 x 2
25
30
x2 − x + 9
2
4x + x12 − 4
16 − 8x 2 + x 4
x 2 − 2x 3 + x 4
14/12/2018 20:49:21
Respostas dos exercícios
n) 4x 4 − 4x 2 y + y 2
o) x + 2 x 5/2 + x 4
p) 36 − 60x + 37 x 2 − 10x 3 + x 4
q) 1−3 x + 1−x x
12.
r) 8x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1
s) − y 3 + 9 y 2 − 27y + 27
t) − 36x 2/ 3 + 54 √3 x + 8 x − 27
7.
a)
b)
c)
d)
8. x =
x 2 − 16
25x 2 − 36
4x 2 − 49y 2
4 − x2
e)
f)
g)
h)
2
− 19 + 9x4
− x12 + x 2
− 16 + y 4
− 3 + z2
i) x − 25
j) − 5 + 4 x .
13.
1+ √5
2
9. A = (60 − 2x )(30 − 2x ) = 1800 − 180x + 4 x2
10. ...
11.
a) 25
b) 9y − 4x
c) x1
2.10
1.
2.
3.
4.
Respostas.indd 11
d) 1
e) √x − 25
f) − 15
h) 1
x
2 (5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2(2 − y)
3(2x − 1)
− 2(5 + 2 x )
5(7x − z + 3 y)
2a(− 5 + 7b)
x (x − 2).
4b(2a − 3 + ab)
3x 4 (x − 3 + 6 x3 )
3 x
)
(
4 8 − 7
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
− x)
xy (1 + xy )
−4y(3w 2 − x − 2z )
y 2 (x + y 3 + 3 yz )
5 ( 1
2 )
3x − 4 + x 2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(x − 3)( x + 3)
(4x − 1)(4 x + 1)
(3 − x2 )(3 + x2 )
(x − 8y)( x + 8 y)
(2y − √5)(2 y + √5)
4(3x − 5)(3 x + 5)
(4 − 7x )(4 + 7 x)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
( √2u − v)( √2u + v)
(5 − x 4 )(5 + x 4 )
(x − 1)x 2 (x + 1)
1
36 (9x − 2)(9 x + 2)
( √x − 4)(√x + 4)
( y6 − 13 )( y6 + 13 )
(4x − 1)(7 x − 1)
(5x − 3)( x − 2)
2x − 8
3 − 2x
n) (x − 9)( x − 5)
d) (x − 12 ) 2
e) (4x + 5 y) 2
f) (4x + 5 y) 2
a) (x + 5) 2
b) (2x − 3) 2
c) 3(x + 2) 2
g) (xy − 1) 2
h) (x − √3) 2
i) ( x2 + 13 ) 2
Equações quadráticas
= 34 , x 2 = 6
=9
= 5, x 2 = 2
= 0, x 2 = − 8
a)
b)
c)
d)
x1
x1
x1
x1
a)
b)
c)
d)
4x 2 − 27x + 18
x 2 − 18x + 81
− x 2 + 7 x − 10
4x 2 + 32 x
a) x 1 = √10,
x 2 = − √10
b) x 1 = 5, x 2 = − 5
c) Não há solução real.
d) x 1 = 4 , x 2 = − 4
a)
b)
c)
d)
14.
g) 6
 11
x1
x1
x1
x1
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
x2
x2
x2
x2
=4
= − 15
= −7
= 32
= − 12 , x 2 = 4
= − 35 , x 2 = − 72
= 6, x 2 = 12
= − √2, x 2 = √2
e)
f)
g)
h)
x1
x1
x1
x1
e)
f)
g)
h)
8x 2 − 28x − 16
10x 2 + 41 x + 21
− x 2 + 18 x − 72
x2 − 2
6.
7.
e) x 1 = − 2, x 2 = 6
g) x 1 = −
, x2 = −
h) x 1 = − 5, x 2 = 1
e) x 1 = 0, x 2 = −
f) x 1 = 0, x 2 = 12
1
6
g) x 1 = 0, x 2 = √2
h) x 1 = 0, x 2 = 3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
x1 = 2 , x2 = 4
x 1 = − 3, x 2 = 5
x = −3
x 1 = − 2, x 2 = − 6
x 1 = − 5, x 2 = 1
Não há solução real.
x 1 = − 12 , x 2 = 4
x 1 = 12 , x 2 = 13
Não há solução real.
a) 1
b) 0
c) 2
j) x =
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
a) m ≥ − 16
b) m ≤ 9
x = √5
x 1 = − 2√2, x 2 = 3 √2
x 1 = − 0,3; x 2 = 0,4
x = 1,2
Não há solução real.
x 1 = − 16, x 2 = − 4
x 1 = − 3, x2 = 34
x 1 = 2 , x 2 = 76
d) 0
16
5
c) m ≤
d) m ≥ −
3
5
2
5
e) 1
f) 2
5
8
e) m ≤
f) m ≤ 1
8. m = 7 ou m = − 1
f) x 1 = − 2, x 2 = 3
10
3
5.
9. m < −
8
3
10. x 1 =
11.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
25
8
1
2,
x2 =
5
2,
c=5
x 1 = − √2, x 2 = − √23 , x 3 = √23 , x 4 = √2
x 1 = − 1, x 2 = 1
x 1 = − 2, x 2 = 2
Não há solução real.
x 1 = 12 , x 2 = − 12 , x 3 = 3, x 4 = − 3
x 1 = − 5, x 2 = 5
12. x = 8 .
14/12/2018 20:49:21
12  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
13.
2
d) 3n4 − 7n
2 +4
e) n = 8
f) 48 brigadeiros.
a) 2n + 2( m − 2)
b) (n − 2)( m − 2)
c) 7n
2 − 4
2.11 Inequações quadráticas
1.
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(x − 11)( x + 11)
(x − 6)( x − 1)
(x − 2)( x + 7)
(x + 3) 2
− x (x − 3)
2x ( x − 52 )
Impossível
−3 ( x + 13 ) (x − 1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
|
|
|
|
|
|
|
|
i) − 16(x −
1 2
4)
g) {x ∈ | −
j) 4 ( x − 34 ) (x − 5)
k) x ( x − 2√2 )
l) Impossível
m) 9(x −
n) 5(x −
2 2
3)
4
5 )( x
+
o) x (x + 6)
4
5)
x ≤ 2 ou x ≥ 4}
− 1 ≤ x ≤ 3}
x ≤ 0 ou x ≥ 21 }
0 ≤ x ≤ 14 }
x < − 2 ou x > 3}
− 3 ≤ x ≤ 35 }
− 52 ≤ x ≤ 12 }
x ≠ 6}
3. 30 km/h ≤ v ≤ 50 km/h
4.
a) {x ∈ | x ≤ 0 ou x ≥ 3}
b) {x ∈ | 0 ≤ x ≤ 53 }
c) {x ∈ | − 2√2 ≤ x ≤ 2√2}
d) {x ∈ | − 6 ≤ x ≤ 0}
e) {x ∈ | x ≤ 0 ou x ≥ √53 }
f) {x ∈ | x < − 3 ou x > 1}
2.12
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
2. a)
b)
c)
d)
Respostas.indd 12
h) {x ∈ |
i) {x ∈ |
j) ∅
k) x = − 1
l) {x ∈ |
m) {x ∈ |
n) o) {x ∈ |
p) ∅
q) r) {x ∈ |
s) {x ∈ |
t) {x ∈ |
u) {x ∈ |
v) {x ∈ |
5. a) {x ∈ |
b) {x ∈ |
c) {x ∈ |
d) {x ∈ |
e) {x ∈ |
f) {x ∈ |
6. 0 < k < 16
3
7
≤ x ≤
3
7}
x ≤ − √5 ou x ≥ √5}
− 32 ≤ x ≤ 2}
x ≤ − 5 ou x ≥ 2}
− 6 ≤ x ≤ − 3}
x ≤ 1/ 3 ou x ≥ 5}
− 1 ≤ x ≤ 53 }
x ≤ − 2 ou x ≥ 6}
2 ≤ x ≤ 18}
x ≤ − 12 ou x ≥ 3}
x ≤ 4 ou x ≥ 8}
− 4 ≤ x ≤ − 3 ou 1 ≤ x ≤ 2}
− 2 ≤ x ≤ − √2 ou √2 ≤ x ≤ 2}
− 1 ≤ x ≤ 1 ou 3 ≤ x ≤ 5}
− 1 ≤ x ≤ − 12 }
3 ≤ x ≤ 4 ou 8 ≤ x ≤ 9}
− 4 ≤ x ≤ 0 ou 1 ≤ x ≤ 5}
Equações racionais e irracionais
{x ∈ |
{y ∈ |
{x ∈ |
{x ∈ |
{x ∈ |
{x ∈ |
{x ∈ |
{x ∈ |
{x ∈ |
{x ∈ |
{x ∈ |
2
−2
x
4
y− 4
2( y − 3)
x ≠ 83 }
y ≠ − 4 e y ≠ 4}
x ≠ − 5 e x ≠ 3}
3.
b)
c)
d)
x ≥ 45 }
x ≤ 5}
x ≤ − 2√2 ou x ≥ 2√2}
4.
2
a)
b)
x ≥ 52 }
− 3 ≤ x < 1 ou 1 < x ≤ 3}
x > 5}
0 < x ≤ 7}
2 < x ≤ 3}
i) xy
e) 23
2
j) x +3
f) x − x
x
g) 1+3xx
h) x − y
a)
k) 2( xx−2 5)
l) x − 1
4x +10
5x
6− 20 x
15 x
15 x +11
35 x − 7
3x +1
1− x
√3x
3
√2+ x
2 +x
e)
f)
5x 2 +8x − 12
( x − 4)(x +1)
2
− 3x − 7x +3
( x − 3)( x +3)
g) 2x + 1
h) x +4
2
c)
d)
2− √2x
2− x
x + √x − 20
x −16
i) 14
j) 152x
k)
l)
e)
f)
3u + u 2
v2
3w 3
2y 2
√ 2x − 1+1
2
x √3+3 √ x
x− 3
5. Suponhamos que √a + √b = √a + b e que a ≥ 0 e
b ≥ 0. Nesse caso,
( √a + √b) 2 = (√a + b) 2
( √a) 2 + 2 √a√b + (√b) 2 = a + b
a + 2 √ab + b = a + b
2√ab = 0
√ab = 0
(√ab) 2 = 0 2
14/12/2018 20:49:23
 13
Respostas dos exercícios
8.
ab = 0
a = 0 ou b = 0
Portanto, √a + √b = √a + b apenas se a = 0 ou b = 0 .
6.
7.
i) x =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x
x
x
x
x
x
x
x
=2
=8
= 12
= 45
= 23
=8
=0
= −
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x
x
x
x
x
x
= −3
= 85
= − 13 ou x = 2
= 3 ou x = 16
3
= 9 ou x = 72
= 10
2
5
ou x = 1
j) x = 1
k) x = −
8
3
ou x =
8
3
l) x = − √5 ou x = √5
m) x = 0 ou x =
n) x =
5
2
ou x = 5
5
3
o) x = 1 ou x =
g)
h)
i)
j)
k)
l)
3
4
9.
9
2
1
ou x = 2
x = − 12
1
x = −2
x = − 94 ou x = 1
Não há solução.
x = 32
x = 14
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
= 20
= 54
=4
=7
= 11
9
= 13
= 25
=0
=8
= − 32
a) x = 25
b) x = 2
c) x = − 8 ou x = 8
k) x = −
l) x = 2
11
9
ou x = − 1
m) x = 6
n) x = 3
o)
p)
q)
r)
s)
x
x
x
x
x
= − 52
= − 43 ou x =
= 11
5
= 12
= − 34
4
3
d) x = 1 ou x = 20736
e) x = 1
f) x = 64
10. x = 18 km
11. Em 40/9 horas (cerca de 4,444 h, ou 4 h 27 m).
12. 60/23 horas (cerca de 2,609 h, ou 2 h 37 m).
13. Mayara gasta 2h e Genival consome 3h.
14. A 69,23 km/h.
2.13 Inequações racionais e irracionais
1.
2.
−3<x ≤ 2
x ≤ − 4 ou x > 2
1 < x ≤ 32
x < − 2 ou x ≥ −
−3<x ≤ 3
1
4
2 <x ≤ 5
−3≤ x< −2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
x < − 1 ou 0 < x ≤ 1 ou x ≥ 2
x ≤ − 8 ou − 4 < x < − 3
− 52 ≤ x < − 2 ou 2 < x ≤ 52
x ≤ − 2 ou x ≥ 2
− 2 ≤ x < − 1 ou 0 < x ≤ 1
x ≤ − 83 ou x > − 2
− 1 ≤ x ≤ 43
x < 52
− 2 < x ≤ 1 ou x ≥ 3
− 4 < x ≤ 12 ou 52 ≤ x < 5
− √5 ≤ x < − 1 ou √5 ≤ x < 3
2.14
1.
a)
b)
2. 4 e
3. 14,
4. a)
Respostas.indd 13
2
3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
≤ x<
5
2
l) x < − 15 ou − 4 ≤ x ≤ 3
m) x ≤ − 7 ou − 2 < x ≤ − 1 ou x > 5
i) 4 < x ≤ 8
5
4
j) − 1 ≤ x < 2
k) x ≤
l) x <
5
9
1
6
ou x >
ou x ≥
m) 4 < x ≤ 5
5
2
2
5
3.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
0 ≤ x ≤ 64
x ≥ 9
x ≥ 0
x ≤− 2
3
2 ≤ x ≤ 14
x ≥− 4
−2≤ x ≤ 7
3 ≤ x ≤ 10
3
i) x ≥ 2
j) x ≥
5
12
k) − √2 ≤ x ≤
1 ≤ x ≤ √2
1
5
ou
5
2
≤ x ≤ 7
l) x ≥ 6
m) x ≤ 2
n) x = − 2 ou
4. 5.000 unidades ou mais.
5.
a) 3, 5 ≤ √h/ 5 + h/ 340 ≤ 4.
b) 55, 7 m ≤ h ≤ 71, 8 m
6. A potência varia entre um mínimo de 75,0 W e um
máximo de 104,8 W.
7.
a) y = 200 /x .
b) 10 ≤ x ≤ 20
Valor absoluto
8
c)
8
d)
5
6, 0 e 5
− x, se x ≥
x, se x <
{
−8
π− 3
0;
0.
e) π − 3
f) 4 − √8
g) 25
h) 2
{ − xx −− 5,5, sese xx <≥ 0;0.
5 − x, se x ≥ 0;
c) {
5 + x, se x < 0.
x − 5, se x ≥ 5;
d) {
5 − x, se x < 5.
b)
14/12/2018 20:49:24
14  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
{ 5x −− x,5, sese xx <≥ 5.5;
5x + 1 , se x ≥ − 1/ 5;
f) {
− 5x − 1, se x < − 1/ 5.
4 − 3x, se x ≤ 4/ 3;
g) {
3x − 4, se x > 4/ 3.
b) x = − 3 ou x = −
e)
h) x 2 + 7
x 2 − 9,
i)
3x − 4,
{
5.
1/x,
{ − 1/x,
a) 15
b) − 15
7.
a) 3
8.
a) 24|x |
9.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
18.
a)
se x ≤ − 3 ou x ≥ 3;
se − 3 < x < 3.
c)
d)
1
2
4
3
b) 20
e) 32
f) 3
c) 3,5
d) 12|x |
e) 0
|x |
2
1
2| x |
f)
d) 14
g)
|x |
2| y |
h) 1
i) |x | √ 2
|x |
2
c) |a − t| = 5
d) |c − f | = |c − p|
a) |x − 2| = 3
b) |s + 3 | = 4
10. x = − 4 e x = 16
11. x = −
12.
13.
14.
Respostas.indd 14
ex =
1
2
a) x = − 4 ou x = 4
b) Não há solução.
c) x = 4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
x = − 1 ou x = 7
x = − 32 ou x = 52
x = 3 , 9 ou x = 4 , 1
x = − 53 ou x = 73
Não há solução
x = − 45 ou x = 51
x = 1 ou x = 32
x = − 11
5 ou x = 3
x = − 6 ou x = 22
3
d) x = 4
e) x = − 4 ou x = 4
f) x = − 4 ou x = 4
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
= − 1 ou x = 73
= 9 ou x = − 32
=1
= 14
= 8 ou x = − 22
7
= − 4 ou x = − 12
= 17 ou x = 1
= − 3 ou x = 2
= 12
x
x
x
x
x
x
x
x
= − 1 ou x = 7 ou x = 3 − √2 ou x = 3 + √2
= 0 ou x = 4
= − 32 ou x = − 12 ou x = 0 ou x = 2
= − 6 ou x = 1 ou x = 2 ou x = 3
= 3 ou x = − 3 − √2
= − 2 ou x = 2
= − 7 ou x = 2 ou x = 3
= − √7 ou x = √7 ou x = − √13 ou x = √13
a) x = − 7 ou x = − 1 ou x = 1 ou x = 7
ou x =
1
2
ou x = 3
d) |x − 5| ≤ 0,01
e) |x − 68| ≤ 3,4
Não há solução
x =4
−1≤ x ≤ 7
− 3/ 2 < x < 52
2≤ x ≤ 8
3
2 ≤ x ≤ 3
x ≤ − 4 ou x ≥ 8
x < − 43 ou x > 2
− 11
3 ≤ x ≤− 1
6
≤
x ≤ 2
5
x ≤ − 2 ou x ≥ 5
− 6 ≤ x ≤ 34
5
− 6 ≤ x ≤ − 1 ou 3 ≤ x ≤ 8
1
5
2 ≤ x ≤ 1 ou 2 ≤ x ≤ 3
1
− 1 ≤ x ≤ 3 ou 3 ≤ x ≤ 13
3
x ≤ 3
x ≤ − 4 ou x ≥ 2
1 ≤ x ≤ 53
− 4 ≤ x ≤ 14
3
x ≤− 1
6 ≤ x ≤ 12
b)
c)
d)
e)
a) x = − 4 ou x = − 2 ou x = 2 ou x = 4
b) x = − 32 ou x = 32
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
15.
5
2
a) |x − 5| > 3
b) |x − 32| ≤ 2
c) |x − 50| ≤ 2
17.
se x > 0;
se x < 0.
6.
b)
c)
16.
1
2
f)
19.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x ≤ − 2 ou − √2 ≤ x ≤ √2 ou x ≥ 2
− 4 ≤ x ≤ − 2 ou x = 3
−2≤ x ≤ 4
x ≤ − 3 ou x ≥ 32
− √5 − 2 ≤ x ≤ − √3 − 2 ou √3 − 2 ≤ x ≤ √5 − 2
−1≤ x ≤ 1
x = 0 ou 2 ≤ x ≤ 8
− √3 ≤ x ≤ √3
i) x ≤ −
1
4
ou 1 −
√2
2
≤ x ≤ 1+
√2
2
14/12/2018 20:49:24
Respostas dos exercícios
j) 0 ≤ x ≤ 2
 15
20. x ≤ 42 ou x ≥ 92, em que x corresponde ao
quilômetro da estrada.
 3 Funções
3.1 Coordenadas no plano
1.
6.
2.
7. x é negativo e y é positivo
8.
a)
3.
4.
b)
5. A (1, 8); B (− 8, 8); C (− 5, 6); D (− 8, 3); E (− 7, − 2);
F (2, − 3); G(6, − 5); H (7, 4); I (− 2, 5); J (4, 2);
K (7, 7); L (− 3, − 4); M (− 7, − 6); N (7, − 2); P (7, 0);
Q(0, − 8); R (0, 3); S (− 4, 0).
Respostas.indd 15
14/12/2018 20:49:25
16  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
c)
g)
h)
d)
9.
a)
e)
f)
Respostas.indd 16
b)
14/12/2018 20:49:25
Respostas dos exercícios
c)
 17
d)
10. {(x, y ) | x > 0 e y > 0}
3.2
1.
a)
Equações no plano
t (a)
0
1
2
3
4
5
6
7
b)
v (R$) 175 150 125 100 75 50 25 0
b)
c)
c) A vida útil corresponde a 6,2 anos
2.
a) F, V
b) V, F
3.
a)
c) F, V
d) V, F
e) V, F
f) V, V
d)
Respostas.indd 17
14/12/2018 20:49:25
18  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
e)
b)
c)
f)
d)
4.
a)
e)
f)
Respostas.indd 18
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Respostas dos exercícios
d)
5.
6.
 19
a)
7.
a) Falso. A equação y = x 2 − x + 1, cujo gráfico é
dado abaixo, não tem intercepto-x .
b) Falso. A equação x = 1 + y 2 , cujo gráfico é dado
abaixo, não tem intercepto- y.
b)
8.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
9.
a) Intercepto- x : − 2 Interceptos-y: −
c)
Intercepto- x : 1, 5 Intercepto- y: 3
Intercepto- x : 1, 5 Intercepto- y: − 1
Intercepto-x : 2 Intercepto-y: 1
Interceptos- x : − 1 e 1 Intercepto- y: − 1
Interceptos-x : − 2 e 2 Intercepto- y: 2
Interceptos-x : 0 e 1 Intercepto- y: 0
1
2
e
1
2
b) Intercepto- x : √3 4 Intercepto-y: √3 4
c) Interceptos-x : − 2 e 2 Interceptos- y: − 2 e 2
d) Interceptos- x : − 2√2 e 2√2 Interceptos-y: − 2 e 2
Respostas.indd 19
14/12/2018 20:49:26
20  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
10.
3.3
Solução gráfica de equações e inequações em uma variável
1. t = 2,5 horas
2. 1,6 m
3.
a) x =
b) x =
4.
a)
b)
c)
d)
x =
x =
x =
Não
5
2
8
3
c) x = 10
d) x = − 6
−3 e x =3
−6 e x =0
−1 e x =5/2
há solução real.
e)
f)
g)
h)
e) x = 8
f) x = 32
7. Observando a figura abaixo, notamos que o plano da
companhia B é mais vantajoso para ligações de menos
de 4 minutos. Para ligações de mais de 4 minutos, a
companhia A tem o melhor plano.
x =1
x =1 ex =4
x =3
Não há solução real.
5. Soluções: x 1 = − 1 e x 2 = 2 .
8. Observando a figura abaixo, notamos que o transporte
por trem é mais vantajoso quando a distância é
superior a 175 km.
6. Soluções: x 1 = − 3 e x 2 =
1
2.
9.
a) x ≥ − 1
b) x ≤ 3/ 2
c) x ≥ 5/ 2
d) x ≤ 4
e) x ≥ 3
f) x ≥ 2
2
10. O gráfico da equação y = − t2 + 12 t − 64 é dado
a seguir. Dele, deduzimos que a concentração é maior
Respostas.indd 20
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Respostas dos exercícios
11.
ou igual a 64 mg/ml para t entre 8 e 16 horas.
a)
b)
c)
d)
−3≤
x ≤−
0≤ x
0≤ x
x ≤ 1
5 ou x ≥ 5
≤ 2
≤ 3
e)
f)
g)
h)
 21
x = −1
Não há solução real
x ≤ − 1 ou x ≥ 1/ 2
3.4 Retas no plano
1. Azul:
2.
3.
4.
5.
2
3.
a) − 1
b) 2
a) y =
b) y =
c) 0
d) − 3
4
5x − 1
− 34 x + 2
a) y = 3 x − 7
b) y = − 3x + 8
c) y = x/3 + 5/3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
y
y
y
y
y
y
a) Azul
b) Verde
Vermelha: − 3.
=4x +1
=3 − x
= −2
= 32 x + 3
= − 2x + 2
= x2 − 5
e) 13
f) −
g) 7
h) −
1
5
c) y = − 3x + 4
d) y = x3 x − 3
e) y = 2 x +
f) y = − x
d) y = − x/3 − 2
e) y = − 2x
f) y = 3 x/2 + 5/2
g)
h)
i)
j)
k)
l)
y = − 5x8 + 14
y = − 4x5 + 32
5
y = −x − 5
y =6x − 4
3x + 72
− 0, 6x + 1,5
6. Azul: y = 2 x + 3 . Vermelha: y = −
1
2
x
2
+
1
2
c) Preta
d) Vermelha
8.
a) x = − 2
9.
a) ...
b) y = − 34 x +
10.
b) y = 8
5
4
e) Lilás
f) Laranja
c) x = 3
d) y = − 4
c) y = 1/2
d) x = 5/3
a) y = 1200 + 0 ,09x
b) R$ 12.000,00 em roupas.
11.
a) y − 3 =
1
2 (x
− 5) ou y =
x
2
+
1
2
b) Meio metro
c) 29 anos
12.
a)
7
2
7. As retas são mostradas no gráfico abaixo.
b) y = 700 x + 10800
c) A inclinação da reta corresponde ao crescimento
anual da população. O intercepto-y é o número de
habitantes em 2000.
d) 24.800 habitantes.
A relação entre o item e a cor da reta é:
Respostas.indd 21
13.
a) 0, 4x + 0 , 2y = 10
14/12/2018 20:49:27
22  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
17.
b)
a) 140 kg
b) y = 140 − 0, 85x
c) 47 semanas
18. O primeiro distrito a receber a nebulização será o
noroeste, como mostra o gráfico.
c) 12 kg
d) 25 kg
a)
14.
19.
b) y = 13 x + 900
c) A inclinação da reta corresponde ao custo de
produção por cadeira. O intercepto-y é o custo
fixo de produção.
d) R$ 6 100,00.
15.
16.
a) y = 50000 − 24009x
b) Após 20 anos.
a) y = 28 − 2x
b) R$ 6,50
c) 4 pulseiras
3.5
1.
1;
1;
5;
1;
− 72 ; x − x2 ; − 2x + x1 ; 2z −
1
1
4
9 ; 25; 4x 2 ; x
7; 15
2 ; 5 + √x
1 2
1
1
;
3 3 ; 1+3 √x ; 1+ √x − 1
h) − 5; 13 ; 0;
| 2− x |
2+ x
;
21.
a) r = − 0,0125t + 0,8
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
1
z
|x |
4− x
2.
a) Sim
b) Sim
c) Não
3.
a) b) {x ∈ | x ≠ 2}
c) {x ∈ | x ≠ − 5/ 2}
Respostas.indd 22
20. Ademar: 32,75%; Juarez: 34,25%; Juscelino: 33%.
b) 64 dias
Funções
a) 2; 0; − 2; − 4; − 2 − a; − 2 + a
b) 48; 27; 12; 3; 0
a
1
c) − 1; − 13 ; − 2; a1+
2 − 1 ; a− 2
d)
e)
f)
g)
a) Crescerá mais rápido entre 2010 e 2020, e
decrescerá mais rápido entre 2040 e 2050.
b) Haverá uma redução de 1,8% da população entre
2040 e 2050.
c) P1 = 40 + 1,2t, supondo que t é o número de anos
decorridos a partir de 2030.
d) P2 = 45 − 0,5t
e) Aproximadamente em 2032.
d) Sim
e) Sim
f) Não
g) Sim
h) Sim
i) Sim
j) Não
4.
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
{x
∈ | x ≥ − 9}
∈ | x ≤ 5/ 2}
∈ | x ≥ 3/ 4}
∈|
∈|
∈|
∈|
∈|
∈|
∈|
∈|
x ≠ 13 / 5}
x ≠ − 3/ 2}
x ≥ 1/ 2}
x ≤ 3, x ≠ − 1}
x ≤ 1/ 5}
x ≥ 0, x ≠ 9}
x ≥ 7/ 2}
x ≠ − 6 e x ≠ 6}
∈ | − 4 ≤ x ≤ 4}
∈ | 1 ≤ x ≤ 5}
a) Não representa função
14/12/2018 20:49:28
Respostas dos exercícios
5.
b) Representa função
c) Não representa função
d) Representa função
a)
 23
d)
6.
a) P (x ) = 1 + x/10 (considerando que a
profundidade é um número positivo)
b) 8,5 atm
b)
7.
a) C (t) = 50 + 75t
b) R$ 312,50
8.
a) V (t) = 216000 − 200t
b) 18 horas
9.
a) V (t) = 2900 − 348t
b) Após cerca de 6 anos de uso
10.
a) x 1 = − 1 e x 2 = 3/2
b)
c)
11.
a) 3
12.
a)
12
h
b) x + 4
b)
2( h − 1)
h
3.6 Obtenção de informações a partir do gráfico
1.
Respostas.indd 23
a) f (− 2) = 6; f (0) = 2; f (4) = 1,5
b) Im = {y ∈ | y ≥ 0}
c) x = 0 e x = 5
d) 0, 5 < x < 3.
e) x = 1 é ponto de mínimo local, com f (1) = 0.
Não há máximo local.
14/12/2018 20:49:28
24  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
f) f é decrescente em (−∞, 1) e crescente em (1, ∞).
2. − 4 ≤ x ≤ − 1 e x ≥ 2
3. a)
b)
c)
d)
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Respostas.indd 24
d) Nas décadas de 1970 e 1980.
e) Norte: máximo em 1991 e mínimo em 2000.
Centro-oeste: máximo em 1970 e mínimo em 2000.
Im = {y ∈ | y ≤ 3}
11. a) Nas safras de 2007/08 e 2009/10 em diante.
x = − 1 e x = 2,5
b) A partir da safra de 2011/12.
[− 2, − 1] ∩ [2, 5; 5].
c) Crescente entre as safras de 2005/06 e 2007/08,
x = 0 é ponto de máximo local, com f (0) = 3.
entre 2008/09 e 2010/11 e de 2011/12 em diante.
Não há mínimo local.
Decrescente entre as safras de 2007/2008 e
e) f é crescente em (−∞, 0) e decrescente em (0, ∞).
2008/2009 e entre 2010/11 e 2011/12.
a) f (0) ≈ 1,7; f (0, 5) ≈ 1,9; f (2) ≈ 1,7
d) Entre as safras de 2010/11 e 2011/12. O
b) D = {x ∈ | − 1 ≤ x ≤ 3}
crescimento foi de cerca de 15 milhões de
c) Im = {y ∈ | 0 ≤ y ≤ 2}
toneladas.
d) x = − 1 e x = 3
e) Entre as safras de 2010/11 e 2011/12. A queda foi
e) f é crescente em (− 1, 1) e decrescente em (1, 3).
de cerca de 9 milhões de toneladas.
f) x = 1 é ponto de máximo local, com f (1) = 2.
f) Milho: cerca de 100%. Soja: cerca de 75%.
Não há mínimo local.
g) Milho: máximos nas safras de 2007/08 e 2012/13;
mínimos nas safras de 2008/09 e 2013/14.
a) f (− 1) = − 1,5; f (2) = − 1; f (3) = − 2
Soja: máximos nas safras de 2007/08 e 2010/11;
b) x = − 1,4; x = − 0,5; x = 1,5 e x = 3,3
mínimos
nas safras de 2008/09 e 2011/12.
c) − 1,2 ≤ x ≤ 0,75 e 2,666... ≤ x ≤ 3,1
12. a) Entre 2014 e 2015.
d) Crescente em (− 1; 0, 5) e (3; 3,5).
b) Entre 2004 e 2005. Nesse período, a taxa de
Decrescente em (− 2; − 1), (0,5; 3) e (3, 5; 4).
ocupação subiu 2,8%.
e) Pontos de máximo local: x = 0,5 (f (0,5) = 1, 5) e
c)
De
2008 a 2015.
x = 3,5 (f (3,5) = 0,5). Pontos de mínimo local:
d) Crescente de 2003 a 2005, de 2006 a 2008, de 2009
x = − 1 (f (− 1) = − 1,5) e x = 3 (f (3) = − 2).
a 2012 e de 2013 a 2014. Decrescente entre 2002 e
a) D = {x ∈ | − ∞ < x ≤ 0 ou 1 ≤ x < ∞}
2003, 2005 e 2006, 2008 e 2009, 2012 e 2013 e
b) Im = {y ∈ | y ≤ 5}
entre 2014 e 2015.
c) [− 2, 0] ∩ [1, 4]
e) A menor taxa de ocupação ocorreu em 2003
d) Crescente em (−∞,0) e decrescente em (1,∞).
(85,5%) e a maior em 2014 (94,9%).
a) Im = {y ∈ | y ≥ 0}
13. a)
b) x = − 1
c) Crescente em (− 1; 1) e (3; ∞).
Decrescente em (−∞; − 1) e (1; 3) .
d) Ponto de máximo local: x = 1 (f (1) = 5).
Pontos de mínimo local: x = − 1 (f (− 1) = 0) e
x = 3 (f (3) = 2).
a) Im = {y ∈ | y ≥ 1/ 2}
b) [− 1, 2]
c) Decrescente em (−∞; 0) e crescente em (1, ∞)
d) Pontos de mínimo local: x ∈ [0, 1].
Não há ponto de máximo local.
a) D = {x ∈ | x ≠ 1}
b) Im = {y ∈ | y ≤ − 1 ou y ≥ 1}
b) x ≤ 6
c) Crescente em (−∞; 0) e (2; ∞).
Decrescente em (0; 1) e (1; 2) .
14. a) − 1 ≤ x ≤ 1,5 e x ≥ 3
d) Ponto de máximo local: x = 0 (f (0) = − 1).
b) − 1 ≤ x ≤ 0,8 e 3 ≤ x ≤ 3,9
Ponto de mínimo local: x = 2 (f (2) = 1 )
c) x ≤ − 1 e 1 ≤ x ≤ 3
a) De 1976 a 2010.
d) Crescente em (0; 2,25). Decrescente em (− 2, 0) e
b) De 1964 a 1981.
em (2, 25; 4).
e)
Crescente
em (− 2, 0) e em (1, 5; 3, 5). Decrescente
c) Norte: crescente de 1960 a 1991 e de 2000 a 2010;
em
(0;
1,
5)
e (3, 5; 4).
decrescente entre 1991 e 2000.
f)
Ponto
de
máximo
local: x = 2,25 (f (2,25) = 0,7).
Centro-oeste: crescente de 1960 a 1970 e de 2000
Ponto
de
mínimo
local:
x = 0 (f (0) = − 1).
a 2010; decrescente entre 1970 e 2000.
14/12/2018 20:49:29
Respostas dos exercícios
g) Pontos de máximo local: x = 0 (f (0) = 1,5) e
x = 3,5 (f (3, 5) = 1). Ponto de mínimo local:
x = 1,5 (f (1,5) = − 1,5).
h) x = − 2; x = 1; x = 2,8; x = 3,95
15. 14,4 anos
16. a) R (x ) = 1200 x − 12x 2
b)
 25
c)
d)
17.
18.
Respostas.indd 25
c)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
50 pessoas
A T = πr 2
A L = 2 πrh
A = 2 A T + A L = 2 πr 2 + 2 πrh
h = 1000
πr 2
A (r) = 2 πr 2 + 2000
r
D = {r ∈ | r > 0}
19.
a) Par
b) Ímpar
c) Nada
20.
a)
h) Decrescente em (0; 5,42) e crescente em (5,42; ∞).
i) r ≈ 5,42 cm e h ≈ 10,84 cm.
a)
b)
b)
c)
d) Par
e) Nada
f) Ímpar
g) Ímpar
h) Par
i) Par
j) Ímpar
k) Nada
l) Par
14/12/2018 20:49:29
26  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
d)
3.7
1.
Funções usuais
a)
c)
d)
b)
e)
Respostas.indd 26
14/12/2018 20:49:30
Respostas dos exercícios
f)
5.
2.
3.
a) f
f
b) f
f
(− 2) = 1; f (− 1) = 2; f (0) = 2; f (0,5) = 0,5;
(1) = − 1; f (2) = − 4.
(− 2) = − 2; f (− 1) = − 1; f (0) = 0; f (0,5) = 0,5;
(1) = 1; f (2) = 4.
a)
 27
e) Ponto de máximo local: x = 2 .
Não há pontos de mínimo local.
se x < 0,
 − 1,
a) f (x ) =  2x − 1, se 0 ≤ x < 2;
se x ≥ 2.
 3,
se x < − 1,
 1,
b) f (x ) =  32 x + 23 , se − 1 ≤ x < 2;
 8 − 2x, se x ≥ 2.
 − x + 1, se x < 2,
2
c) f (x ) = 
se x ≥ 2.
 x − 2,
6.
a) Im (f ) = {y ∈ | − 1 ≤ y ≤ 3}
b) Im (f ) = {y ∈ | y ≤ 4}
c) Im (f ) = {y ∈ | y ≥ 0}
7.
a) V (t) = 160 + 60t
b) t = 24 horas
8.
a) f (t) = 120 + 7,5t
b) 120 mil veículos
c) Em 2032
9.
a) E (t) = 0,225t + 5,2
b) Em 2028
10.
a) f (t) = 47 + 11t
b) 47 km
11.
a) E (t) = 342 + 458, 75t
b)
12.
a) c(t) = 2350 − 75t
b) Em 2010
13.
a) F (x ) = 75 x
b) 32 cm
14.
a) 1640
15.
a) p(t) = 125 t + 450
b) 450 euros
c)
c) Em 23 meses
b)
c)
4.
Respostas.indd 27
a) D = {x ∈ | − 1, 5 ≤ x ≤ 3,5}
Im = {y ∈ | y ≤ 4}
b) f (− 1, 5) = 1,5; f (0) = − 0,5; f (2) = 2
c) − 1,5 ≤ x ≤ − 0,5 e 1,5 ≤ x ≤ 2
d) Crescente em (0, 2).
Decrescente em (− 1,5; 0) e em (2; 3,5).
b) d =
t
66
c) 2036
d) 38 meses
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28  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
16.
a) P (t) = 25 + 15 t
17.
a) P (T ) = 5 T / 2 + 750
b)
b) 5 meses
23.
2t
3
50
3
a) S (t) = −
19.
a) T (t) = 0,03t + 13,2
b) 13,86 °C
c)
+
b) 60,5 m
24.








c(x ) = 









c) 962,5 mmHg
d) − 20 °C
18.
v2
a) D (v) = 200
0, 75;
1, 15;
1, 60;
2, 00;
2, 45;
2, 85;
3, 30;
3, 70;
4, 15;
4, 55;
5, 00;
se
se
se
se
se
se
se
se
se
se
se
x ≤ 20;
20 < x ≤ 50;
50 < x ≤ 100;
100 < x ≤ 150;
150 < x ≤ 200;
200 < x ≤ 250;
250 < x ≤ 300;
300 < x ≤ 350;
350 < x ≤ 400;
400 < x ≤ 450;
450 < x ≤ 500.
b) Em 2022
25.
a) C (x ) =
{
50,
50 + 0 ,08(x − 750),
se x ≤ 750,
se x > 750.
b) 1000 MB
c)
d) A inclinação corresponde ao aumento anual de
temperatura. O intercepto do eixo-y é a temperatura
em 1990.
20.
a) 91°
21.
a) F (c) =
22.
a) 13,2%
b) f (x ) =
c)
b) v(x ) = 0,9x + 2
145,2
x
b) 580,8 Hz
26.
13200
x
{
40,
40 + 6 , 5(v − 10),
se v ≤ 10,
se v > 10.
b) R$ 79,00
c)
27.
Respostas.indd 28
a) c(v) =
a) r = 20 reais por hora
20h,
b) S (h) =
720 + 30( h − 36),
c) R$ 45 horas
{
se h ≤ 36,
se h > 36.
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Respostas dos exercícios
 29
d)
28. a) C (p) =
{
20,
20 + 2 , 5(p − 2),
se p ≤ 2,
se p > 2.
b) 52 kg
c)
31. a)
I (r) =
{
0;
se
0, 075r − 122,78; se
0, 150r − 306,80; se
0, 225r − 552,15; se
0, 275r − 756,35; se
r ≤ 1637,11;
1637, 11 < r ≤ 2453,50;
2453, 50 < r ≤ 3271,38;
3271, 38 < r ≤ 4087,65;
r > 4087,65.
b) Joana: R$ 27,22. Lucas: R$ 480,97.
c)
29. a) R (t) =
{
8t,
12t − 160,
se t ≤ 40,
se t > 40.
b) A partir de 40 h.
c) R$ 8,00 pela hora normal e R$ 12,00 pela hora
extra.
30. a) cS (d) = 30 + 0,4d
b) cM (d) =
{
32. a) Em A: R$ 15,84. Em B: R$ 17,50
b)
90,
se t ≤ 200,
90 + 0,6(d − 200),se t > 200.
c)
33. a) I (s) =
b) $ 6800
34. a) f (x ) =
d) A locadora Mercúrio é a mais barata para
150 km < d < 300 km. Por sua vez, a locadora
Saturno é mais vantajosa para d < 150 km e para
d > 300 km.
e) A locadora Saturno deve cobrar R$ 0,30 por
quilômetro rodado (vide gráfico a seguir).
Respostas.indd 29
{
0, 15s;
se s ≤ 2000,
0, 25s − 200; se s > 2000.
{
3x + p,
x − p,
{
0,
se t ≤ 1971,
2187,5(t − 1971), se 1971 < t ≤ 1987
380(t − 1987), se t > 1987
se x ≥ − p,
se x < − p.
b) p = − 1
c) x = 5
35. a) Japão:
J (t) =
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30  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
URSS/Rússia:
R (t) =
3.8
1.
{
Brasil:
0,
se t ≤ 1972,
2280(t − 1972),se 1972 < t ≤ 1987
34200,
se t > 1987
B (t) =
{
675(t − 1965),se t ≤ 1985
13500,
se t > 1985
b) 83840 baleias
Transformação de funções
a) g(x ) = 2 x − 4; h(x ) = 2( x − 5) − 1
c)
b) g(x ) = x 2 − x − 3; h(x ) = ( x − 5) 2 − (x − 5)
2.
a) g(x ) =
h(x ) =
√ x 2 − | x | + 14 + 4 ;
√ (x + 8) 2 − | x + 8 | +
1
4
b) g(x ) = x 3 − 5x + 4 ;
h(x ) = ( x + 8) 3 − 5(x + 8)
3.
a)
b)
d)
Respostas.indd 30
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Respostas dos exercícios
 31
c)
4.
a)
d)
b)
5.
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a)
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32  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
b)
f)
6.
a)
b)
c)
c)
d)
e)
d)
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Respostas dos exercícios
e)
 33
c)
f)
d)
7.
a)
e)
b)
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34  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
8.
a) g(x ) = − x 3
b) g(x ) = x 3 + 2
c) g(x ) = ( x + 2) 3
d) g(x ) = ( x − 2) 3 − 1
9.
a) g(x ) = 2 x 2
b) g(x ) =
10.
a) g(x ) = √3x
b) g(x ) = √x/ 2
f)
x2
4
11. g(x ) = ( x + 4) 2 − 5
12. g(x ) = 3 − x 3
13. g(x ) = − √ 4 − (x − 1) 2
14. g(x ) = √ − (x + 2) + 6
15. g(x ) = − √ − x − 2
3.9 Combinação e composição de funções
1.
b) 2x 2 + √ x + 1; 2√ x 5 + √ x ;
√x
1+2 x 2
c) √ x + 1 + √ x − 1; √ x 2 − 1;
√ xx −+11
d)
1
x
+
3
2+ x
;
3
2x + x 2
e) 2x ; x 2 − 9;
;
x +2
3x
g)
x 2 + x +1
x2
;
x +1
x3
b)
x− 3
x +3
f) x 2 + √ 1 − x ; x 2 √ 1 − x ;
2.
x− 2
x2− 1
a) x 2 + x − 3; x 3 − 2x 2 − x + 2;
√ 1− x
x2
; x2 + x
a) R (p) = p(1000 − 500p + 60 p2 )
b) l(p) = ( p − 0, 4)(1000 − 500p + 60 p2 ) − 80
c) l(0,50) = R$ − 3, 50
l(1,50) = R$ 343,50
l(2,50) = R$ 182,50
O preço que fornece o
3.
a) cpre (x ) + cpos (x )
b)
c pre ( x ) + c pos ( x )
p( t )
4.
a) p(x ) = 0,95x
b) q(x ) = 0,95x − 100
5.
a)
l(1,00) = R$ 256,00
l(2,00) = R$ 304,00
l(3,00) = R$ 24,00
maior lucro é R$ 1,50.
c)
6.
a) x < − 5/ 2 ou x > 0
b) p ≤ − 3
8.
a) 17
d) 14
9.
a) f (g(x )) = x 2 1− 4
g(f (x )) = ( x −14) 2
D (f (g(x )) = {x ∈ | x ≠ − 2 e x ≠ 2}
D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≠ 4}
7.
100 c pre ( x)
c pre ( x ) + c pos ( x)
c) d(x ) = 100 −
100 q( x )
x
b) 7
b) f (g(− 3)) =
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c) 97
1
5
e g(f (7)) =
e) − 7
f) 1
1
9
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Respostas dos exercícios
10.
a) f (g(x )) = − 6x + 16
g(f (x )) = − 6x + 17
f (f (x )) = 9 x − 20
g(g(x )) = 4 x − 7
b) f (g(x )) = x 2
g(f (x )) = 4 x 2
f (f (x )) = 16 x
4
g(g(x )) = x64
11.
c) f (g(x )) =
x
g(f (x )) =
f (f (x )) = √4 x
g(g(x )) = x9
d) f (g(x )) = 251x 2
g(f (x )) = 5x1 2
f (f (x )) = x 4
g(g(x )) = x
a) f (g(x )) = 3 x 2 + 6 x − 1
g(f (x )) = 9 x 2 − 1
D (f (g(x )) = D (g(f (x )) = b) f (g(x )) = 3 + x2
g(f (x )) = 3+21 x
D (f (g(x )) = {x ∈ | x ≠ 0}
D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≠ − 3/ 2}
c) f (g(x )) = √ 2x − 1
g(f (x )) = 2 √ x − 1
D (f (g(x )) = {x ∈ | x ≥ 1/ 2}
D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≥ 0}
12.
a) f (g(x )) = 2x1 − 1
1
g(f (x )) = x/2−
1
D (f (g(x ))) = {x ∈ | x ≠ 0}
D (g(f (x ))) = {x ∈ | x ≠ 2}
b) f (g(1/ 2)) = 0 e g(f (4)) = 1
13.
a) f (g(x )) = 3 − 2x3 2 − 1
g(f (x )) = (6 − 43x ) 2
D (f (g(x ))) = {x ∈ | x ≠ 0}
D (g(f (x ))) = {x ∈ | x ≠ 2}
b) f (g(− 1)) = 32 e g(f (3/ 2)) = 16
9
14.
a) f (g(5)) = 2
b) f (x ) = 1 − x3
2x
c) g(f (x )) = 6−
2+ x
D (g(f (x ))) = {x ∈ | x ≠ − 2}
15.
a) f (x ) =
16.
a) f (x ) = 2 x − 1 e g(x ) = 3 − x
b) f (g(x )) = 5 − 2x
c)
17.
a)
b)
c)
d)
g(f (2, 5)) = 0
f (x ) = x − 3 e g(x ) =
f (g(x )) = − 4x3 − 11
3
g(f (x )) = − 4x3 + 10
3
18.
a)
b)
c)
d)
f
f
f
f
19.
a) c(d(t)) =
1154, 7t 4 − 32091t 3 + 270108 t 2 − 648900t + 514422
b) A função composta fornece o gasto mensal com o
tratamento dos infectados pela doença em
Salicilina.
c) Aproximadamente R$ 482.329,00
2
j) f (g(x )) = x x− 4
g(f (x )) = 1− x4x 2
D (f (g(x )) = {x ∈ | x ≠ − 2, x ≠ 0, x ≠ 2}
D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≠ − 12 , x ≠ 0, x ≠ 12 }
D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≥ − 4}
k) f (g(x )) = √ 3x 2 − 25
g(f (x )) = √ 3x 2 − 9
D (f (g(x )) = {x ∈ | x ≤ − 53 ou x ≥ 53 }
√
√
D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≤ − √ 3 ou x ≥ √ 3}
g(f (x )) =
Respostas.indd 35
− 2
x2
x2− 1
x2
( x − 1) 2
g(f (x )) =
D (f (g(x )) = {x ∈ | x ≠ 1 e x ≠ − 1}
D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≠ 1}
g) f (g(x )) = x 4
g(f (x )) = x 4
D (f (g(x )) = D (g(f (x )) = h) f (g(x )) = − 1 + 1+2x 2
g(f (x )) = x 2 − 22x +2
D (f (g(x )) = D (g(f (x )) = i) f (g(x )) = √ x 2 − 2
g(f (x )) = x − 2
D (f (g(x )) = {x ∈ | x ≤ − √ 2 ou x ≥ √ 2}
D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≥ − 4}
l) f (g(x )) =
2x
3
b) g(f (6)) = √ 2; f (g(9)) = 0
c) h(f (x )) = 2x3
D (h(f (x ))) = {x ∈ | x ≠ 0}
d) f (g(x )) = √ 3x 2 = |x | √ 3
g(f (x )) = 3 x − 2
D (f (g(x )) = D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≥ 1}
e) f (g(x )) = √ x 2 + 1
g(f (x )) = x + 1
D (f (g(x )) = D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≥ 2}
f) f (g(x )) =
D (f (g(x )) = {x ∈ | x < − 5 ou 0 ≤ x < 5}
D (g(f (x )) = {x ∈ | x ≥ 0 e x ≠ 25}
√3
√x
3
 35
x
√ 25 − x
√x
25 − x
2
− 4x
3
−
2
3
(x ) = x 2 e g(x ) = 3 x − 2
(x ) = √ x e g(x ) = x 2 − 1
(x ) = |x | e g(x ) = 4 − x
(x ) = x1 e g(x ) = 2 x − 5
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36  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
 4
4.1
Funções polinomiais
Funções quadráticas
1. 3 + 7 x .
2.
d)
a) x = 0 e x = 3
b) x = 1 e x = 2
c)
6.
d) {x ∈ | x ≤ 1 ou x ≥ 2}
3.
a) x = 0 e x =
b) x =
1
2
7.
a) x = − 25 e x = 13
1
b) {x ∈ | − 15
≤ x ≤ 0}
c) Ponto de mínimo: x = −
Não há máximo.
1
30
. f (−
1
30
)= −
121
60
a) Mínimo em x = − 1/ 2
5
2
ex =2
c)
b) Máximo em x = − 3
d) {x ∈ |
4.
1
2
≤ x ≤ 2}
a) x = 0 e x = 4,5
b) {x ∈ | 1,5 ≤ x ≤ 3}
c) Ponto de máximo: x = 2 , 25. f (2,25) = 10,125
Não há mínimo.
d)
5.
c) Mínimo em x = 1,5
a) x = 0 e x = 5
b) {x ∈ | 1 ≤ x ≤ 4}
c) Ponto de máximo:
Não há mínimo.
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x = 2,5. f (2,5) = 18,75
d) Máximo em x = 3 / 4
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Respostas dos exercícios
 37
b)
e) Mínimo em x = − 2
f) Máximo em x = 0
c)
10. t = 12 h, C (12) = 72 mg/ml
11. 40 km/h
12.
a) 1,1 m
b) Altura máxima: 3,6 m. Distância: 5 m
c) 11 m
13.
a) 6 pés
b) Altura máxima: 12,25 pés. Distância: 12,5 pés
c) 20 pés
d)
14.
a) x = 1 / 3 m. A (1/ 3) = √ 3/ 12 m 2
b)
15.
a) Gasto com propaganda: R$ 3 milhões.
Lucro: R$ 10,5 milhões
b) 2 milhões ≤ x ≤ 4 milhões
a) A (x ) = x (50 − 2x )
b) 12,5 cm
g) Máximo em x = 3 / 2
8.
9.
a) f (x ) = 5( x − 1) 2 − 2
b) f (x ) = − 3(x − 3) 2 + 4
a)
16.
Respostas.indd 37
14/12/2018 20:49:36
38  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
17.
a) R$ 32,00. Receita: R$ 3072,00
b) R$ 14,00 ≤ p ≤ R$ 50,00
c)
24.
a) 8 − x
b) A (x ) = x 2/ 8 − x + 4
c) 0 ≤ x ≤ 8
d)
18.
a) R (p) = p(60 − 2p)
b) R$ 5,00 ou R$ 25,00
c) Preço do CD: R$ 15,00. Receita: R$ 450 mil.
19.
a) Desconto: R$ 4,50
b) R$ 3,00 ≤ x ≤ R$ 6,00
20.
a)
b)
c)
d)
e)
20 + x
5000 − 100x
R (x ) = (20 + x )(5000 − 100x )
R$ 35,00. Receita: R$ 122.500,00
{x ∈ | 0 ≤ x ≤ 30}
a)
b)
c)
d)
e)
2x + πy = 400
x = 200 − πy/ 2
A (y) = 200 y − πy 2 / 2
200/π m. Área: 20.000/π m 2
21.
22.
a) a = 0,3 e b = 20
b) V (t) = 0,3(20 − t) 2
c)
e) A área é mínima quando os dois pedaços medem
4 cm.
25.
a) y = 100 − x
b) A (x ) = 100 x − x 2
c) x = 50 m
d) A (50) = 2500 m 2
e)
26.
a) R (p) = 115 p − 0, 25p2
b) p ≤ 140 reais
27.
a) R (x ) = − 2000x 2 + 10000 x + 100000
c) R$ 230,00
b) x = 2 , 5. Valor do ingresso R$ 7,50
28.
a) C (x ) = (15 − x )(100 + 10 x );
b) x = 2 , 5. Preço da camiseta: R$ 12,50.
Receita: R$ 1562,50.
c)
23.
a) c = 0
b) a = −
1
100
e b=
2
2
5
2x
5
x
c) f (x ) = − 100
+
d) x = 20 m. Altura: 4 m
Respostas.indd 38
29.
a) L (p) = −
p2
10
+ 120 p − 27000;
b) R$ 600,00. Lucro: R$ 9000,00.
14/12/2018 20:49:36
Respostas dos exercícios
b)
c)
30.
a) p1 (a) = 18 , 5a; p2 (a) = 25 a
4.2
Divisão de polinômios
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
q(x ) = 2 x − 3. r(x ) = 4 x
q(x ) = 2 x + 2 . r(x ) = 7
q(x ) = x 3 − 2x 2 + 4 x − 6. r(x ) = 0
q(x ) = 2 x + 1 . r(x ) = 5 x − 3
q(x ) = 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 2 / 3. r(x ) = 4 / 3
q(x ) = 2 x 2 + 4 x + 11 . r(x ) = 34
q(x ) = x − 2. r(x ) = 2
q(x ) = 3 . r(x ) = − 5
q(x ) = x 3 + x 2 + x + 1 . r(x ) = − 1
q(x ) = 12 x 2 + 6 x + 1 . r(x ) = 0
q(x ) = 2 x 2 + x + 32 . r(x ) = 12
q(x ) = x 2 + x + 8 . r(x ) = 27
q(x ) = 2 x 2 − 4x + 8 . r(x ) = 15 − 15x
q(x ) = x 2 − 4x − 2. r(x ) = − 18x − 3
q(x ) = x 2 − 4. r(x ) = 0
q(x ) = 3 x 2 + 7 . r(x ) = 10 x
q(x ) = 3 . r(x ) = 22 x + 6
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
p(x ) = ( x 2 − 2)(2 x − 3) + 4 x
p(x ) = (3 x − 5)(2 x + 2) + 7
p(x ) = ( x + 2)( x 3 − 2x 2 + 4 x − 6)
p(x ) = (2 x 2 + 3)(2 x + 1) + 5 x − 3
p(x ) = (3 x − 2)(2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 2 / 3) + 4 / 3
p(x ) = (2 x − 4)(2 x 2 + 4 x + 11) + 34
p(x ) = ( x − 3)( x − 2) + 2
p(x ) = ( x + 4)3 − 5
p(x ) = ( x − 1)( x 3 + x 2 + x + 1) − 1
p(x ) = (2 x − 1)(12 x 2 + 6 x + 1)
p(x ) = (4 x − 8)(2 x 2 + x + 32 ) + 12
p(x ) = ( x − 4)( x 2 + x + 8) + 27
p(x ) = ( x 2 − 4)(2 x 2 − 4x + 8) − 15x + 15
p(x ) = ( x 2 − 2x − 3)( x 2 − 4x − 2) − 18x − 3
p(x ) = ( x 2 − 1)( x 2 − 4)
p(x ) = ( x 3 − 3x )(3 x 2 + 7) + 10 x
p(x ) = (2 x 2 − 5x + 1)3 + 22 x + 6
Respostas.indd 39
 39
31.
3.
c) 59,94 kg ≤ p ≤ 81 kg
a) x ≤ − 5 ou x ≥ 2
b) − 4 < x < 13
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
4. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
5. a)
b)
c)
d)
c) x ≠ 12
d) Não há solução.
q(x ) = x 3 − 2x 2 + 4 x − 6. r(x ) = 0
q(x ) = 3 x + 8 . r(x ) = 11
q(x ) = 4 x 3 − 6x 2 + 10 x − 8. r(x ) = 0
q(x ) = − 2x 2 − 5x − 8. r(x ) = − 7
q(x ) = x 4 + 3 x 3 + 2 . r(x ) = 6
q(x ) = − 6x 2 + 2 x − 13 . r(x ) = 17
9
q(x ) = 2 x 2 − 6x − 3. r(x ) = 12
q(x ) = x − 6. r(x ) = 0
q(x ) = − 4x − 5. r(x ) = 6
q(x ) = 6 x − 10. r(x ) = − 4
q(x ) = x 2 − 6x − 18. r(x ) = − 54
q(x ) = 5 x 3 + 10 x 2 + 20 x + 40 . r(x ) = 79
q(x ) = 8 x 3 + 10 x 2 + 8 x + 4 . r(x ) = 3
q(x ) = x 3 + 5 x 2 + 5 x + 25 . r(x ) = 75
q(x ) = x 3 + 3 x 2 + 9 x + 27 . r(x ) = 81
q(x ) = 2 x 4 − 2x 3 + 7 x 2 + 2 x + 3 . r(x ) = 0
p(x )/d (x ) = x 3 − 2x 2 + 4 x − 6
p(x )/d (x ) = 3 x + 8 + 11 / (x − 2)
p(x )/d (x ) = 4 x 3 − 6x 2 + 10 x − 8
p(x )/d (x ) = − 2x 2 − 5x − 8 − 7/ (x − 4)
p(x )/d (x ) = x 4 + 3 x 3 + 2 + 6 / (x − 3)
p(x )/d (x ) = − 6x 2 + 2 x − 13 + 17 / (9x − 3)
p(x )/d (x ) = 2 x 2 − 6x − 3 + 1 / (2x − 3)
p(x )/d (x ) = x − 6
p(x )/d (x ) = − 4x − 5 + 6 / (x − 4)
p(x )/d (x ) = 6 x − 10 − 4/ (x + 12 )
p(x )/d (x ) = x 2 − 6x − 18 − 54/ (x − 3)
p(x )/d (x ) = 5 x 3 + 10 x 2 + 20 x + 40 + 79 / (x − 2)
p(x )/d (x ) = 8 x 3 + 10 x 2 + 8 x + 4 + 3 / (x − 12 )
p(x )/d (x ) = x 3 + 5 x 2 + 5 x + 25 + 75 / (x − 5)
p(x )/d (x ) = x 3 + 3 x 2 + 9 x + 27 + 81 / (x − 3)
p(x )/d (x ) = 2 x 4 − 2x 3 + 7 x 2 + 2 x + 3
Nenhum valor é um zero da função.
Só − 1/ 2 é um zero de f .
− 4 e 0 são zeros de f .
Nenhum valor é um zero da função.
14/12/2018 20:49:37
40  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
Só 3 é um zero de f .
Só − 1 é um zero de f .
− 4 e 3 são zeros de f .
Nenhum valor é um zero da função.
e)
f)
g)
h)
4.3
6.
a) c = 8
b) c = 18
2.
a) p(x ) = x ( x − 2)( x + 2)
Raízes: 0, 2 e − 2
b) p(x ) = x (x + 3)( x − 7)
Raízes: 0, − 3 e 7
c) p(x ) = 2 x ( x − 12 ) (x + 6)
Raízes: 0, 12 e − 6
d) p(x ) = − 3x (x − 3)( x + 1)
Raízes: 0, 3 e − 1
e) p(x ) = x 2 (x − 5)( x + 4)
Raízes: 5, − 4 e 0 (multiplicidade 2)
f) p(x ) = x 2 (x − 4) 2
Raízes: 4 (mult. 2) e 0 (mult. 2)
g) p(x ) = 5 x 2 ( x − 35 ) (x − 1)
Raízes: 35 , 1 e 0 (multiplicidade 2)
h) p(x ) = 8 x 2 ( x − 32 ) ( x + 14 )
Raízes: 32 , − 14 e 0 (multiplicidade 2)
4.
Só 4/ 3 é um zero de f .
Só 5 é um zero de f .
8
c) − 4
1
d) 2
e) 3
f) − 20
Zeros reais de funções polinomiais
1.
3.
i)
j)
a)
b)
c) c = 10
d) c = 7
e) c = − 15
f) c = 4
a) p(x ) = ( x + 1)( x − √ 2)( x + √ 2)
Raízes: − 1, √ 2 e − √ 2
b) p(x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 8)
Raízes: 1, 2 e 8
c) p(x ) = ( x + 3)( x − 1)( x − 3)( x − 8)
Raízes: − 3, 1, 3 e 8
d) p(x ) = ( x + 3)( x − 2)( x − 4)
Raízes: − 3, 2 e 4
e) p(x ) = ( x + 4)( x − 3)( x − 5)
Raízes: − 4, 3 e 5
f) p(x ) = 4( x + 41 )x (x + 1)( x − 6)
Raízes: − 1, 0, 14 e 6
g) p(x ) = 4 ( x −
Raízes: 1 e 23
)
3 2
2
6.
7.
(x − 1)
a) p(x ) = ( x + 5) (x 2 + 2 x + 3)
Raiz: − 5
b) p(x ) = 3 ( x − 13 ) (x 2 + x + 6)
Raiz: 13
c) p(x ) = ( x + 4) (x 2 + 3 x + 8)
Raiz: − 4
d) p(x ) = ( x − 3) (x 2 + 9)
Raiz: 3
e) p(x ) = ( x − 7) (2x 2 + 4 x + 15)
Raiz: 7
f) p(x ) = ( x − 2) 2 (x 2 + 6 x + 1)
Raiz: 2 (multiplicidade 2)
Respostas.indd 40
5.
8.
9.
10.
11.
12.
g) p(x ) = x (x − 6) (x 2 + 25)
Raizes: 0 e 6
h) p(x ) = 6 ( x + 12 ) ( x − 13 ) (x 2 + x + 1)
Raizes: − 12 e 13
a) x = − 3, x = 3 , x = − 2 e x = 2
p(x ) = ( x + 3)( x − 3)( x + 2)( x − 2)
b) x = − 12 , x = 12 , x = − 4 e x = 4
p(x ) = 4( x + 12 )( x − 12 )( x + 4)( x − 4)
c) x = − 13 , x = 13 , x = − 1 e x = 1
p(x ) = 9( x + 13 )( x − 13 )( x + 1)( x − 1)
d) x = − 5 e x = 5
p(x ) = ( x + 5)( x − 5)( x 2 + 1)
e) x = − 4 e x = 4
p(x ) = ( x + 4)( x − 4) (2x 2 + 5)
f) x = − 6 e x = 6
p(x ) = ( x + 6)( x − 6) (x 2 + 4)
a) x (x + 4)
b) − (x − 12 )( x − 2)
c) x (x − 1)( x − 3)
d) (x + 2)( x − 1) 2
e) (x − 8) 3
f) x (x + 3)( x + 2)( x − 5)
g) (x + 6)( x − 6)( x − √ 3) 2
h) (x + 5)( x + 4)( x + 1)( x − 3)
i) (x + 13 )( x + 23 )( x − 43 )( x − 53 ) 2
j) x (x − 12 ) 3 (x + √ 2)( x − √ 2)
a) p(x ) = x 2 + 4 x
b) p(x ) = − x 2 + 52 x − 1
c) p(x ) = x 3 − 4x 2 + 3 x
d) p(x ) = x 3 − 3x + 2
e) p(x ) = x 3 − 24x 2 + 192 x − 512
f) p(x ) = x 4 − 19x 2 − 30x
a) x ≤ − 2 ou 1 ≤ x ≤ 4
b) − 1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2
c) − √ 2 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2
d) x ≤ − 3 ou 0 ≤ x ≤ 3
a) x = − 4, x = 1 e x = 3
b) x ≤ − 4 ou 1 ≤ x ≤ 3
a) x = − 5, x = − 12 e x = 2
b) − 5 ≤ x ≤ − 12 ou x ≥ 2
a) x = − 3, x = 12 e x = 4
b) f (x ) = 2( x + 3)( x − 12 )( x − 4)
c) x ≤ − 3 ou 12 ≤ x ≤ 4
a) x = − 2, x = 2 e x = 5
14/12/2018 20:49:38
Respostas dos exercícios
b) f (x ) = − (x + 2)( x − 2)( x − 5)
c) − 2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 5
13.
a) x = − 6 e x =
)
1 2
4
a) x = 7 e x = − 1 (multiplicidade 2)
2
b) p(x ) = ( x − 7) ( x + 1)
c) x ≤ 7
15.
23. x ≈ 1,26795
24. x ≈ − 1,87939
27. x = 5 √3 100 ≈ 23,2 cm
28. O grupo tem 15 homens e 25 mulheres.
29.
a) Vc (r) = 5 πr 3
3
b) V (r) = 19
3 πr
c) r = 3 , 69 m
30. Aproximadamente 3,3 × 3,3 × 1,65 m
Gráficos de funções polinomiais
a) A curva não corresponde ao gráfico de uma função
polinomial, pois não é suave.
b) A curva não corresponde ao gráfico de uma função
polinomial, pois não é contínua.
c) A curva pode corresponder ao gráfico de uma
função polinomial.
d) A curva não corresponde ao gráfico de uma função
polinomial, pois não é contínua.
2.
a) IV
3.
a) Cresce quando x → −∞
Decresce quando x → ∞
b) Decresce quando x → −∞
Cresce quando x → ∞
c) Decresce quando x → −∞ e x → ∞
d) Cresce quando x → −∞ e x → ∞
e) Decresce quando x → −∞
Cresce quando x → ∞
f) Cresce quando x → −∞
Decresce quando x → ∞
g) Decresce quando x → −∞ e x → ∞
h) Cresce quando x → −∞ e x → ∞
a) Máximo local: x ≈ 2
Mínimos locais: x ≈ − 1, 5 e x ≈ 6, 3
b) Máximos locais: x ≈ − 1, 6 e x ≈ 0, 5
Mínimos locais: x ≈ − 0, 5 e x ≈ 1, 3
c) Máximo local: x ≈ − 0, 6
Mínimo local: x ≈ 0, 6
Respostas.indd 41
26. x ≈ 2, 79129
a) x = 0 , x = 3 e x = − 4 (multiplic. 2)
b) f (x ) = 2 x (x − 3)( x + 4) 2
c) x = − 4 ou 0 ≤ x ≤ 3
4.4
4.
25. x ≈ 2,59431
a) x = 0 , x = − 3, x = 2 e x = 4
b) p(x ) = x (x + 3)( x − 2)( x − 4)
c) x ≤ − 3 ou 0 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4
18.
a) x = 1 e x = − 2
b) f (x ) = ( x − 1)( x + 2) (x 2 + 3 x + 8)
c) − 2 ≤ x ≤ 1
22. x ≈ 3,81912
a) x = − 3 é a única raiz real
b) p(x ) = ( x + 3) (x 2 + 2 x + 4)
c) x ≥ − 3
17.
20.
21. x ≈ 2,20557
a) x = 2 é a única raiz real
b) p(x ) = ( x − 2) (x 2 + 16)
c) x ≤ 2
16.
a) x = 0 , x = 6 e x = − 12 (multiplic. 2)
b) f (x ) = 4 x (x − 6)( x + 12 ) 2
c) x ≤ 0 ou x ≥ 6
(multiplicidade 2)
b) p(x ) = 16( x + 6) ( x −
c) x ≤ − 6 ou x = 14
14.
1.
1
4
19.
 41
b) II
c) I
5.
d) III
6.
d) Máximo local: x ≈ 2, 2
Não há mínimos locais
a) Mínimo local no intervalo (3, 4)
b) Máximo local em (− 14 , √ 5)
c) Mínimo em (0, 2). Máximo em (− 3, 0)
d) Mínimo em (− 5, − 3). Máximo em (− 3, 2)
e) Mínimo em x = 1 . Máximo em (− 12 , 1)
f) Mínimos nos intervalos (− 2, 0) e ( √ 2, 3).
Máximo em (0, √ 2)
g) Mínimo em (− 1, 1). Máximos em (− 4, − 1) e (1, 4)
h) Mínimos em x = − 5 e x = 2 . Máximo em (− 5, 2)
i) Mínimos em (− 1, 12 ) e em ( 12 , √ 3).
Máximos em x = 12 e em (− 2, − 1)
j) Mínimos em (− 4, − 2) e em (0, 3).
Máximos em (− 2, 0) e em (3, 5)
k) Mínimos em (− 3, − 32 ) e em ( 32 , 4).
Máximos em (− 6, − 3) e em (− 32 , 32 )
l) Mínimos em (− 52 , 0) e em ( 52 , 5).
Máximos em (− 5, − 52 ), (0, 52 ) e (5, 7)
a)
14/12/2018 20:49:39
42  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
b)
g)
c)
h)
d)
i)
e)
j)
f)
k)
Respostas.indd 42
14/12/2018 20:49:39
 43
Respostas dos exercícios
Um mínimo local no intervalo ( 12 , 3) e um máximo
no intervalo (− 12 , 12 )
l)
8.
7.
a) f (x ) = x (x − 3)( x + 4)
Um mínimo local no intervalo
no intervalo (− 4, 0)
(0, 3) e um máximo
b) f (x ) = − 2x (x − 1)( x + 3)
Um mínimo local no intervalo
máximo no intervalo (0, 1)
(− 3, 0) e um
c) f (x ) = x 2 (x + 1)( x − 2)
Um mínimo local no intervalo
mínimo no intervalo (0, 2)
(− 1, 0) e outro
d) f (x ) = 4 ( x −
4.5
1
2
) ( x + 12 ) (x −
e) x = 50 cm. v(50) = 125 .000 cm 3 .
3)
Números complexos
1.
a) 7i
b) − 9i
c) 2i √ 2
d) 3i4
e) i √5 6
f) 10i
g) − 10
h) − 6
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Parte real:
Parte real:
Parte real:
Parte real:
Parte real:
Parte real:
Parte real:
Parte real:
Parte real:
8; Parte imaginária: − 6
− 7; Parte imaginária: 5
0; Parte imaginária: 16
25; Parte imaginária: 0
6; Parte imaginária: 0
0; Parte imaginária: − 54
3
7 ; Parte imaginária: − 2
4; Parte imaginária: − 83
11; Parte imaginária: 3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x
x
x
x
x
x
= − 3i , x̄ = 3i
= − 4i5 , x̄ = 4i5
= 2 − i, x̄ = 2 + i
= − 1 − 3i, x̄ = − 1 + 3i
= 6 − 2i, x̄ = 6 + 2 i
= 4 − 3i, x̄ = 4 + 3 i
g)
h)
i)
j)
k)
l)
x
x
x
x
x
x
= 5− 2i √ 3 , x̄ = 5+ 2i √ 3
= 2 − 5i, x̄ = 2 + 5 i
= − 12 − i, x̄ = − 12 + i
= 3−23i , x̄ = 3+32 i
= − 3 − 7i2 , x̄ = − 3 + 7i2
= 1−57i , x̄ = 1+75 i
3.
4.
Respostas.indd 43
a) h(x ) = 150 − 2x
b) v(x ) = x 2 (150 − 2x )
c) x ∈ [0, 75]
d)
a) 7+56 i
b) − 4i − 3
c)
d)
i)
j)
k)
l)
i√5
4
4i
9
− 8
m) 8
n) − 2i
6i
6
− 10
6
e) − 23
f) − 6i
5.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
12 + 3 i
1+3i
3 + 12 i
− 7 − 14i
x = 2, y = − 8
x = 3, y = 1
e)
f)
g)
h)
−3+2i
i)
7+ i
j)
− 5 + 72 i
k)
4+2i
l)
c) x = 5,
d) x = 2,
7.
a)
b)
c)
d)
e)
12 − 2i
28 + 20 i
− 10 − 15i
27 + 14 i
41 − 61i
f)
g)
h)
i)
j)
5i
22 − 7i
5 − i √3
12 + 16 i
− 11 + 60 i
8.
a)
b)
c)
d)
e)
9 − 5i
7i
1− i
7
i
+ 21
− 10
10
8
4i
−5+ 5
f) − 12 − 3i2
g) 52 − 3i
h) 75 + 4i5
i) 2 + 3 i
24 i
j) − 10
13 − 13
6.
4+5i
6 − 10i
2 + i√3
− 1,2 − 4,2i
y =6
y = −1
k) − 16 − 30i
l) 34
m) − 34
k) −
20
29
+
21 i
29
l) 2 − 2i
m) − i
n)
4
5
− 4i
9. i 1 = i, i 2 = − 1, i 3 = − i, i 4 = 1 ,
i 5 = i, i 6 = − 1, i 7 = − i, i 8 = 1 .
Após a divisão do expoente por 4, observa-se que:
• Se o resto for 1, a potência valerá i.
• Se o resto for 2, a potência valerá − 1.
• Se o resto for 3, a potência valerá − i.
• Se o resto for 0, a potência valerá 1.
Usando essa regra, obtemos i 25 = i, i 50 = − 1, i 76 = 1
e i 155 = − i.
10. a) S
b) S
c) N
d) S
e) N
f) N
11. z = 10 + 5 i Ω
14/12/2018 20:49:40
44  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
4.6
1.
2.
3.
Zeros complexos de funções polinomiais
a) Zeros: 2 (com multiplicidade 2) e − 72 (com
multiplicidade 3). Grau: 5.
b) Zeros: 2 + 5 i, 2 − 5i, − 3 + 4 i e − 3 − 4i. Grau: 4.
c) Zeros: − 4 (com multiplicidade 3), 5 + 5 i e 5 − 5i.
Grau: 5.
d) Zeros: 1 (com multiplicidade 2), 1 + i e 1 − i.
Grau: 4.
e) Zeros: 8 + 2 i e 8 − 2i, ambos com multiplicidade
4. Grau: 8.
f) Zeros: 0, 13 , 3i (com multiplicidade 2) e − 3i (com
multiplicidade 2). Grau: 6.
a) x = 9 i/4 e x = − 9i/4.
Polinômio: 16(x − 9i2 )( x + 9i2 )
b) x = 0 , x = 3 e x = − 3.
Polinômio: x (x − 3)( x + 3)
c) x = 0 , x = 5 i/2 e x = − 5i/2.
Polinômio: 4x (x − 5i2 )( x + 5i2 )
d) x = 0 , x = − 1 + 2 i e x = − 1 − 2i.
Polinômio: x (x + 1 − 2i)( x + 1 + 2 i)
e) x = 0 , x = 4 + 3 i e x = 4 − 3i.
Polinômio: 2x (x − 4 − 3i)( x − 4 + 3i)
f) x = 0 , x = 2 i e x = − 2i.
Polinômio: x 2 (x − 2i)( x + 2 i)
g) x = 0, x = i/16 e x = − i/16.
Polinômio: 256x 2 (x − 16i )( x + 16i )
h) x = 0 , x = i/8 e x = − i/8.
Polinômio: x 3 (x − 8i)( x + 8 i)
i) x = 2 , x = − 2, x = i √ 6 e x = − i √ 6.
Polinômio: (x − 2)( x + 2)( x − i √ 6)( x + i √ 6)
j) x = i, x = − i, x = 2 i e x = − 2i.
Polinômio: (x − i)( x + i)( x − 2i)( x + 2 i)
a) x = 2 , x = − 2 + i e x = − 2 − i.
Polinômio: (x − 2)( x + 2 − i)( x + 2 + i)
 5
b) x = 23 , x = 5 i e x = − 5i.
Polinômio: 2(x − 32 )( x − 5i)( x + 5 i)
c) x = − 1, x = 4 + 6 i e x = 4 − 6i.
Polinômio: (x + 1)( x − 4 − 6i)( x − 4 + 6 i)
d) x = − 3, x = 3 + 4 i e x = 3 − 4i.
Polinômio: (x + 3)( x − 3 + 4 i)( x − 3 − 4i)
e) x = 5 , x = 12 + i e x = 12 − i.
Polinômio: 4(x − 5)( x − 12 − i)( x − 12 + i)
f) x = 4 , x = − 2 + 2 i √ 3 e x = − 2 − 2i √ 3.
Polinômio: (x − 4)( x + 2 − 2i √ 3)( x + 2 + 2 i √ 3)
g) x = 1 , x = − 1, x = i e x = − i.
Polinômio: (x − 1)( x + 1)( x − i)( x + i)
h) x = 2 , x = − 6, x = 3 i e x = − 3i.
Polinômio: (x − 2)( x + 6)( x − 3i)( x + 3 i)
i) x = 2i3 , x = − 2i3 , x = 2 + 2 i e x = 2 − 2i
Polinômio: 9(x − 2i3 )( x + 2i3 )( x − 2 − 2i)( x − 2 + 2 i)
j) x = 0 , x = 4 , x = 1 + 2i e x = 1 − 2i .
Polinômio: 4x (x − 4)( x − 1 − 2i )( x − 1 +
4.
a) (x − 1)( x − 4i)( x + 4 i)
b) 12 (x − 12 )( x − 2 − 2i)( x − 2 + 2 i)
c) 2x (x − 4)( x + 1 − i)( x + 1 + i)
d) 3(x + 3)( x + 5)( x − 2 −
5.
i
2)
2i
3 )( x
2i
3 )
− 2+
+ 3i )
b) x (x − 5 − 2i)( x − 5 + 2 i)
a) (x − 6)( x −
i
3 )( x
c) (x + 2)( x − 7)( x − 1 −
5i
2 )( x
− 1+
5i
2 )
d) (x − 5) 2 (x − 4 − i √ 2)( x − 4 + i √ 2)
e) (x − 6 − i) 2 (x − 6 + i) 2
f) (x − 34 ) 3 (x + 3 − i)( x + 3 + i)
g) x 2 (x − 4)( x − 2 − 3i)( x − 2 + 3 i)
Funções exponenciais e logarítmicas
5.1 Função inversa
1.
a) V
b) F
2.
a) V
b) V
c) V
d) F
3.
Respostas.indd 44
c) V
e) V
f) V
d) F
g) F
h) V
4.
a) f − 1 (y) = 2+3 y
D (f ) = D (f − 1 ) = b) f − 1 (y) = 9 − y 2
D (f ) = {x | x ≤ 9} D (f − 1 ) = {y | y ≥ 0}
c) f − 1 (y) = y 2 − 1
D (f ) = {x | x ≥ − 1} D (f − 1 ) = {y | y ≥ 0}
d) f − 1 (y) = y 3 − 4
D (f ) = D (f − 1 ) = e) f − 1 (y) = 1 / √ y
D (f ) = {x | x > 0} D (f − 1 ) = {y | y > 0}
f) f − 1 (y) = 5 + 3 y
14/12/2018 20:49:41
Respostas dos exercícios
D (f ) = D (f
−1
5− y
y
−1
1+2 y
y− 1
−1
b)
)= g) f (y) =
D (f ) = {x | x ≠ − 1}
h) f (y) =
D (f ) = {x | x ≠ 2}
 45
D (f
−1
) = {y | y ≠ 0}
D (f
−1
) = {y | y ≠ 1}
D (f
−1
) = {y | y ≥ 1}
−1
i) f (y) = √ y − 1
D (f ) = {x | x ≥ 0}
4− y
25
−1
2
j) f (y) =
D (f ) = {x | x ≤
4
25
}
D (f
−1
) = {y | y ≥ 0}
49
16
}
D (f
−1
) = {y | y ≥ 0}
12
5
}
D (f
−1
) = {y | y ≠
2
k) f − 1 (y) = 49+16y
D (f ) = {x | x ≥
7+12 y
5y − 4
−1
l) f (y) =
D (f ) = {x | x ≠
y
m) f − 1 (y) = 4+6
2y +3
D (f ) = {x | x ≠ 3}
4y
n) f − 1 (y) = 3−
y +2
D (f ) = {x | x ≠ − 4}
80 y − 400
2y − 25
−1
o) f (y) =
D (f ) = {x | x ≠ 40}
D (f
−1
D (f
D (f
4
5}
c) − 40 °C = − 40 °F
10.
a) b(a) = ( a + 19) / 0,733
b) 35
c)
11.
a) A (t) = 1,5 + 0,6t
b) A − 1 (y) = 1 , 667y − 2, 5 A inversa fornece o tempo
necessário para que a árvore atinja um altura y,
em metros.
c)
) = {y | y ≠ − 32 }
−1
−1
) = {y | y ≠ − 2}
) = {y | y ≠
25
2
}
2
p) f − 1 (y) = 3y2y2 − 1
D (f ) = {x | x ≤ 0 ou x > 23 }
D (f
−1
5. b = 4 , f
−1
6.
) = {y | y ≥ 0 e y ≠ √ 13 }
4− y
5
(y) =
a) P (x ) = 0 , 9x − 900
b) P − 1 (y) = y +900
0.9 . A inversa fornece o custo
original do carro que se pode comprar, nessa
semana, com y reais.
c)
d) 17,5 anos
12. a) D (f ) = {x | x ≥ 2}; f
b) D (f ) = {x | x ≥ 0}; f
13. ...
d) R$ 31.000,00.
7.
8.
a) v(h) = 50 h
b) h(v) = v/50
c) v(t) = 10 + 2,5t
Respostas.indd 45
10 + 2,5t
50
a) F (C ) =
9
5C
+ 32
−1
(y) = √ y + 2
(y) = y
14.
a) C (x ) = 50 + 0,5x
b) C − 1 (y) = 2 y − 100. Essa função fornece a
distância que se pode percorrer, por dia, com y
reais.
c) C − 1 (175) = 250; C − 1 (300) = 500
15.
a) B (x ) = 2000 + 10 x
y
− 200. A função fornece o quanto
b) B − 1 (y) = 10
Marta deve gastar na loja para conseguir y pontos
do programa de fidelidade.
c) B − 1 (10000) = 800 reais
e) 32 horas
a) f − 1 (y) = 20 y − 1000. Essa função fornece o
quanto você deve vender por dia (em reais) para
que seu rendimento diário seja igual a y.
b) R$ 600,00
9.
d) h(t) =
−1
14/12/2018 20:49:42
46  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
16.
17.
18.
a)
b)
a)
b)
c− 1 (y) = y1500
D (c− 1 ) = {y | y ≠ 12 }
− 12
500 carrinhos
d − 1 (y) = 0 , 0000785y 2 D (d − 1 ) = {y | y ≥ 0}
0,00785 km, ou 7,85 m
a) f (x ) = 2 −
19. O gráfico de f
20. O gráfico de f
21.
5.2
1.
Respostas.indd 46
a) D (f
−1
2x
3
−1
−1
b) f
−1
(y) = 3 −
b) D (f
−1
) = {y | y ≥ 0}, Im (f
−1
c) D (f
−1
) = {y | y ≠ 0}, Im (f
−1
d) D (f
−1
) = Im (f
) = {x | x ≥ − 2}
3y
2
aparece em verde na figura a seguir.
) = {x | x ≠ 0}
aparece em verde na figura a seguir.
) = Im (f
−1
−1
)= )= Função exponencial
a) f (0) = 1, f (− 1) = 1/4, f (1) = 4,
f (0, 5) = 2, f (2) = 16
c) f (0) = 1, f (− 1) = 3, f (1) = 1/3,
f (0,5) = 1/√ 3, f (2) = 1/9
b) f (0) = 1, f (− 1) = 3, f (1) = 1/3,
f (0, 5) = 1/√ 3, f (2) = 1/9
d) f (0) = 1/2, f (0, 5) = √ 2/2,
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 4
14/12/2018 20:49:43
Respostas dos exercícios
e) f (0) = 1 / 2, f (0, 5) = √ 2/ 2,
f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 4
 47
c)
f) f (0) = 5 / 8, f (− 1) = 9 / 16, f (6) = 17 / 2
g) f (− 2) = 25, f (− 0, 5) = √ 5,
f (3) = 1 / 125
h) f (0) = 1, f (− 2) = 1 / 16,
f (0, 5) = 2, f (2) = 16
2. As respostas dos itens (b) e (c) são iguais, assim como
as respostas dos itens (d) e (e), uma vez que
3− x = 1 / 3x = (1 / 3) x , e que
(1/ 2) · 2x = 2 − 1 · 2x = 2 x − 1 .
3.
a) 0,367879; 2,71828; 1,64872; 7,38906
b) 20,0855; 0,049787; 0,22313; 0,002479
c) 0,606531; 1,64872; 1,28403; 2,71828
d) 3,95285; 0,632456; 0,0532834
e) 0,187575; 0,701975; 1,0321
f) 0,479317; 1,53569; 4,35266
4.
5.
a)
a)
b)
b)
Respostas.indd 47
14/12/2018 20:49:43
48  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
c)
6.
a) III
7.
a) D (t) = 2500 · 1, 05t
8.
a) P (t) = 600 · 1, 5t
b) IV
c) II
d) I
b) R$ 4489,64
b) Cerca de 2025, 6834 e 77848 bactérias.
9. M (t) = 16 · 2− t/75
10.
a) 100 anfíbios
b)
d)
c) 1600 anfíbios. y = 1600
11.
a) b = 1 / 29
b) 52,22 becquerels
12.
a) C (t) = 377, 4 · 1, 005t
b) C (6) ≈ 388, 9 ppm
13.
a) T (t) = 30 − 9 · 10− t/
e)
4
b) 29, 1 °C
c)
5.3
Função logarítmica
1.
53 = 125
85 = 32768
92 = 81
2− 3 = 18
a)
b)
c)
d)
Respostas.indd 48
e) 2561/ 4 = 4
f) 70 = 1
1
g) 10− 2 = 100
1
h) 27 3 = 3
2.
a)
b)
c)
d)
log2 (512) = 9
log6 (7776) = 5
1
)= −3
log( 1000
1
log1/ 4 ( 64 ) = 3
e) log135 (1) = 0
f) log729 (3) = 16
g) log √ 2 (16) = 8
h) log125 (5) =
1
3
14/12/2018 20:49:44
Respostas dos exercícios
3.
a) 0,30103
b) 1,30103
c) 2,30103
d) − 0,30103
e) − 0,69897
f) − 1,69897
g) 0,238561
h) 0,755875
i) 0,196295
4.
a) 1,09861
b) 3,4012
c) 6, 80239
d) − 1,09861
e) − 3,50656
f) 1,00001
5.
a) 2
b) 5
c) 2
d) − 1
e) 2
f) 4
g) 7
h) 10
i) 15
6.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) − 3
j) − 2
k) 12
l) 14
7.
a) 1,58496
b) 0,430677
c) 1,52832
d) − 1,38685
e) − 1,89279
f) 1,23476
g) − 2
h) 4,64386
i) − 1,20412
8.
a) 100,3010 x
b) 51,4307 x
c) 29,2878 x
d) e1,3863 x
e) 100,4343 x
f) 3− 0,6309 x
9.
a) Use a = 1 e b = 1 .
0
0
1
1
3
−
5
4
1
3
 49
c)
j) − 6
k)
4
5
m) 35
n) 12
o) 13
p) 2
q) 5
r) 7
s) 8
t) 13
d)
b) Use a = 2 e b = 1 .
10. 2a + 3 b + c
11.
a)
12.
a) x >
b) −
5
2
√ 15
2
<x<
√ 15
2
c) − 1 < x < 3
13.
b)
Respostas.indd 49
14/12/2018 20:49:44
50  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
17.
14.
b) y = 1 / 2 e z = 1 / 2
a)
a) I (β ) = 10 β/10 − 12
15.
b) 10− 10 W/m
2
16. c
5.4 Equações exponenciais e logarítmicas
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
2.
3.
log(4) + log( x )
4 + 3 log 2 (x )
log3 (y) + 3 log 3 (x )
1 + log 2 (x + 1) + log 2 (x − 12 )
log(x − 4) − 2 log(x )
ln( x ) − 1
3 − 2 log2 (x )
log(x + 3) − log(x − 2)
log2 (x ) − 5 log2 (w) − 3 log2 (z )
3
2 log(x )
log 2 ( x )+log 2 ( y )
2
4.
log2 (x/y)
log2 (25x 3 )
log(9x 2 (x + 1))
log2 ( √ x/z 3 )
log4 (1/x 2 )
log2 ( √3 x )
x
log2 ( 6−
)
√x
h) log2 (x − 1)
i) log(5x 3 )
j) log(√ x2 )
Respostas.indd 50
log2 ( x2 )
1 + log( x )
4 + log 3 (x )
log5 ( √ x )
e) log(e)
h) log3 (5x )
f) log2 ( √ x )
i) log(x )
a) x = 4
≈
b) x =
1, 8684
c) x ≈ − 1, 71882
d) x ≈ 4, 77378
e) x = 2
f) x = 10 / 3
g) x = 3
h) x = − 8/ 5
i) x = − 1 + 21 log5 (10)
j) 2 + log 4 (3)
k) log2 (9) − 4
2
( )
(√ )
(√ )
l) x = −
2
y √x
3
√z
k) log2
( x − 1) 4
x +1
3
l) log2
(2 x +3) 3
x +2
m) log2
3
n) ln( 27
8 x )
o) log
( xz y )
p) log
(
2
4
4( x +3) 2
√x7
)
5.
3
g) log( √ x 2 )
1+ln(100)
3
l) log5 (x + 2) − log 5 ( x2 +1)
m) 32 log3 (x )
n) 23 log3 (x ) + 13 log3 (w)
o) 13 ln( y) − 43 ln( w)
p) log(6) − 23 log(x )
q) 21 log2 (x ) + 12 log2 (x + 1)
r) log5 (x ) + 12 − 12 log5 (y)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
log 2 (3)
1− log 2 (3)
j) 1
n) x = − 3
o) x = 5
p) x =
− 1− 3 log 3 (2)
1− 2 log 3 (2)
q) Não há solução.
r) x =
s) x =
t) x =
log(3)
2 log(3) − log(5)
11
3
2 log(2)+log(5)
4 log(2) − log(5)
4
5
u) x =
v) x = 2
w) x =
x) x =
y) x =
log(6) − log(2)
2 log(3)+log(6)
10
9
3(log(3)+log(5))
7 log(3)+8 log(5)
3
4
m) x = − 7
z) x =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) x = 40 / 11
1, 999
x = (1 + e2 )/ 3
x =1/4
x = 13
x =5/2
x =5/4
x = 5 ou x = − 1/ 2
i) x = 3
j) x = −
k) x = −
7
9
1
2
l) x = − 1 ou x = 4
m) x =
9
4
14/12/2018 20:49:45
Respostas dos exercícios
6.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x
x
x
x
x
x
= 1024
=3
=7
=4
= 12
= 1+ √29+4
g) x = 10
7.
a) x =
b) x =
h) x =
1
2
 51
8. x ≈ 3, 19
i) x = 3
j) x = 2
k) x = 4
e
l) x = 9
5 log(3) log(4)
log(3)+log(4)
m) x = 4
a
5
a− 1 , x = 4
a2
9
a− 1 , x = 2
1/ (ln( a ) − 1)
c) x = a
, x = e2
d) x = 1 ou x = 100
9. 3 anos
5.5 Inequações exponenciais e logarítmicas
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x
x
x
x
x
x
≤ 32
≥− 3
≥ 12
≥ 7, 80178
≥ 25
≥ 8
g) x ≥
h) x ≥
i) x ≥
j) x ≤
k) x ≤
m) x ≥
n)
1
4
1
3
6.
a) 74 ≤ x ≤
b) 0 ≤ x ≤
7.
a) 0 < x ≤ 4 ou x ≥ 8
b) 19 ≤ x ≤ 3
≤ x ≤ 1
1
2
≤ x ≤ 1
q) x ≤ 5
r) x ≥ −
− 12 log(3) − 2 log(5)
log(3)+4 log(5)
7
2
− 25
19
2
3 log(2) − log(3)
log(2)+log(3)
3
2
s) x ≤ − 3 ou x ≥ 3
t) x ≥ 3 +
2
3
ln(5)
u) x ≤ 6 − log2 (3)
v) x ≥
log 3 (2)
4
− 14
−
1
2
l) x > 18, 0196
w) x ≥
2.
a) x ≥ 6 − log2 (3)
b) x ≥ 4 − log3 (13)
3.
a) 12 ≤ x ≤ 35
b) 4 ≤ x ≤ 7
c)
4.
a) x ≥ − ln(2)
b) log2 (3) ≤ x ≤ log2 (5)
c) x ≥ 1 + log 3 (2)
5.6
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
o) x ≤ − 1 ou x ≥ 3
p) −
7
4
≤ x ≤
7
2
0 < x ≤ e3
0<x ≤ 4
1
0 < x ≤ 16
− 3 < x ≤ 97
x ≥ 39
− 14 < x ≤ 12
− 16 < x ≤ 48
x ≥ − 15
2
x ≤ 52
x ≥ − 45
3
17
2 <x ≤ 2
1
− 3 ≤ x < 32
4 ≤ x < 12
5.
11
2
1
8
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
− 2 < x ≤ 126
x ≥− 4
1 < x ≤ √5
x ≥ 12
0 < x ≤ 37
−1≤ x ≤ 5
x ≥ 4
√2 < x ≤ 2
x ≥ 7
3<x ≤ 4
1<x ≤ 2
3<x ≤ 5
c) 1 ≤ x ≤ 40
d) 5 ≤ x ≤ 11
c) 0 < x ≤
d) 0 < x ≤
1
2
1
4
ou x ≥ 16
ou x ≥ 1
8. Para t ≤ 3, 65663
9. De 2,925 a 5 horas
Problemas com funções exponenciais e logarítmicas
8.
1. Em cerca de 9 meses.
2. Em 20 anos.
3. c = − 0, 019
2
a) a = 120 , b = − ln(2)
b) 3 m
c)
2
4.
a) Avião: I = 10 4 W/m , tráfego: I = 10 − 4 W/m .
b) O ruído do avião tem intensidade igual a 108
vezes a intensidade do ruído do tráfego.
5.
a) 75,4 milhões de transistores
b) Em 2010
6. x < − 2 ou x > 1/ 7
7.
Respostas.indd 51
a) P (t) = 170 .000.000e0,0111 t
b) Aproximadamente 207.640.000 habitantes.
14/12/2018 20:49:46
52  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
9.
a) a = 400, b = − 1/ 2
b) Em 8,64 h
10.
a) [H+ ] = 3,162 × 10− 11 mol/l
b) O suco de limão.
c) Vinagre: pH = 3,52 (ácido)
Sangue: pH = 7,41 (básico)
11.
a) p(t) = F · (0,81) t
12.
a) P (t) =
13.
a) a = 54 e b = − 1/ 90
14.
a)
1000
1+9 e − t · ln(3) /
c)
b) 15 anos
3
b) 12 meses
18.
a) a = 64, b = − 0,805012
b) 2000 computadores
b) 360 minutos.
19.
a) 2,64 minutos
b) T (0) = 1100 °C, T (12) = 200 °C
c)
20.
a) b = 1 / 30
b) P 0 = 1000
c)
b) a = 1 , 6 e b ≈ 0, 01994
15.
a) a = 75 e b = − 0, 061
16.
a) b = 1 / 8
b)
b) Cerca de 37 °C.
21. a = 80, b ≈ 0, 04875, c(20) = 157, 2 mil m 2
22. a = 1500 e b = 15
17.
Respostas.indd 52
23.
a) 70,4 cm
c) Em 32 dias.
24.
a) a = 1024 e b = 1 / 5
b) 15 anos
a) 1,22 telefones per capita
b) Em 2023
25. a = 2, b = 0,504744
b) 17 meses
14/12/2018 20:49:46
Respostas dos exercícios
 6
 53
Trigonometria
6.1 Trigonometria do triângulo retângulo
1.
5
a) sen (α ) = cos( β ) = 13
, cos(α ) = sen(β ) =
5
tan( α ) = 12 , tan( β ) = 12
5
12
13
,
b) sen (α ) = cos( β ) = 3√1313 , cos(α ) = sen(β ) = 2√1313 ,
tan( α ) = 23 , tan( β ) = 23
8
c) sen (α ) = cos( β ) = 17
, cos(α ) = sen(β ) = 15
17 ,
8
tan( α ) = 15 , tan( β ) = 15
8
2.
d) sen (α ) = cos( β ) = √22 , cos(α ) = sen(β ) = √22 ,
tan( α ) = tan( β ) = 1
13
a) csc(α ) = sec( β ) = 13
5 , sec(α ) = csc( β ) = 12 ,
12
5
cot( α ) = 5 , cot( β ) = 12
√ 13
b) csc(α ) = sec( β ) = √ 13
3 , sec(α ) = csc( β ) =
2 ,
2
3
cot( α ) = 3 , cot( β ) = 2
17
c) csc(α ) = sec( β ) = 17
8 , sec(α ) = csc( β ) = 15 ,
15
8
cot( α ) = 8 , cot( β ) = 15
d) csc(α ) = sec( β ) = √ 2, sec(α ) = csc( β ) = √ 2,
cot( α ) = cot( β ) = 1
3.
4. 4 3√ 5 e 10
3
5. 3 e 1
6. √ 5 e 2√ 5
7. a) cos(θ) =
csc(θ) =
3
5,
5
4,
9.
a) cos(22°)
b) cos(52,5°)
12.
a) 0,2588
b) 0,3827
c) 0,1736
14. a) sen (β ) =
cos(x ) =
cot( x ) =
1
7,
√3
12
sec(x ) = 7,
3
√7
4 , cos(β ) = 4 , tan( β ) =
1
4 √3
7 , cos(β ) =
7 , tan( β ) =
√7
3
√3
12
b) sen (β ) =
c) sen (β ) = 0,6; cos(β ) = 0,8; tan( β ) = 0,75
15. 2,9 m
16. 33,46 m
18. c = 5 , 97 m
4
3,
3
4
160
3
√3 m2
√ 23 , tan( θ) =
√ 32 , cot( θ) =
23. 89 √3 + 169 / 2 cm 2
√ 2, sec(θ) = √ 3,
24. 60 m
√2
2
25. 9,12 m
2 √ 13
13
, cos(θ) =
cot( θ) =
22. 72 + 140 √3 cm 2
5
3,
sec(θ) =
, sec(θ) =
√ 13
2
,
2
3
c) cos(41° 45' )
d) sen (79°)
c) 84,8
d) 35,24
d) 0,5556
e) 572,96
f) 0,3365
26. 21,94 m
27. 75 √3 cm 2
28. x ≈ 5,196 cm, y ≈ 7,464 cm, z = 6 cm,
A ≈ 44,783 cm 2
b) 7,55 cm
e) sen (2,7°)
f) sen(69°12')
29. h = 45 m. c ≈ 64, 03 m
30. x ≈ 2,89 m, y ≈ 5,02 m, z ≈ 2,90 m
31. a) z = 1,225 m
b) x (θ) = 1,4 cot( θ) − 1,2
a) h = 4 , x = 4 + 4 √ 3, y = 4 √ 2
b) x = 20 √ 3, y = 60
c) x ≈ 25, 32, y ≈ 18,79
a) 13,5
b) 47,35
Respostas.indd 53
tan( θ) =
cot( θ) =
3 √ 13
13
√ 13
3 ,
a) 33,62 cm
11.
csc(x ) =
4√3
7 ,
7√3
12 ,
21. A T ≈ 7, 656 cm 2 . A ≈ 76, 56 cm 2
8.
10.
d) sen (x ) =
20. 143,9 cm
csc(θ) =
csc(θ) =
csc(x ) =
c) sen (x ) ≈ 0, 714; tan( x ) ≈ 1, 020; sec(x ) ≈ 1, 429 ;
csc(x ) ≈ 1, 400; cot( x ) ≈ 0, 980
19.
b) sen (θ) =
c) sen (θ) =
b) sen (x ) =
24
7
25
25 , tan( x ) = 24 , sec(x ) = 24 ,
25
24
7 , cot( x ) = 7
2√ 5
5 , tan( x ) = 2 , sec(x ) = √ 5,
1
√5
2 , cot( x ) = 2
17. 11,6 m
c) 203√3 e 403√3
d) 20, 01 e 12, 01
a) 25 e 25√ 3
b) 12 e 12√ 2
13. a) cos(x ) =
csc(x ) =
32. 60 m
e) 56,375
f) 61,6025
g) 1,2208
h) 1,1091
i) 572,96
j) 1,1248
k) 1,0913
l) 0,3206
33. 1018 m
34. w ≈ 618 m. y ≈ 420 m
35. x ≈ 16,1 m
36. x = 4 √3 m, y = 4 m, z = 2 m
37. Aproximadamente 388.400 km
14/12/2018 20:49:47
54  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
6.2
Medidas de ângulos e a circunferência unitária
1.
a)
b)
π
12
2π
5
2.
a) 36°
b) 135°
c) 150°
3.
4.
a)
b)
a)
b)
c)
d)
4π
5
5π
4
e)
f)
13 π
15
29 π
18
d) 420°
e) 360°
f) 114,592°
9π cm
0,9π cm
π/ 3 ou 60°
4,4 ou 252,10°
c)
d)
c)
d)
7.
a) x = −
g) 45,837°
8.
a) x = 0 , y = 1
b) x = 0 , y = − 1
c) x = − 1, y = 0
h) 20°
d) x = −
15π cm
45π cm
1,3 ou 74,48°
1/ 2 ou 28,65°
e) x = −
9.
5.
y= −
=
1
2
a) 85°
b) 80°
c) 12°
d) 70°
e) 68°
f) 15°
a) 3π/ 7
b) 3π/ 8
c) π/ 4
d) π/ 6
e) π/ 3
f) π/ 4
a)
b)
c)
(0, 9749; 0, 2225)
(0, 9239; − 0, 3827)
( √2/ 2, − √2/ 2)
d) (− 1/ 2, − √3/ 2)
e) (− √3/ 2, − 1/ 2)
f) (− √2/ 2, √2/ 2)
6.
√3
2
i) x =
a) 10,59°
= −
y=
√3
2
− √22
b) 6,1 cm
7. sen(150° ) =
8. cos(240° ) =
1
2 , sen(210° ) = −
− 12 , cos(300° ) =
1
2,
1
2
sen(330° ) = −
1
2
9. tan(45°) = 1, tan(135°) = − 1, tan(225°) = 1
10. sec(150° ) = −
a) 180°
b) 343°
c) 330°
2 √3
3 ,
13.
a) 4o
b) 3o
14.
a) − √2/ 2
b) − 1/ 2
c) √2/ 2
d) √2/ 2
e) − √ 3/ 2
f) − √ 3/ 2
g) − 1/ 2
h) − √ 3/ 2
15.
a) − √3
b) − 1
c) − √ 3/ 3
d) 2
e) 2
f) − 1
g) −2√3/ 3
h) −2√3/ 3
16.
a) 70°
b) 50°
c) 60°
d) 80°
e) 20°
f) 10°
17.
a) π/ 3
b) π/ 6
c) π/ 4
d) π/ 6
e) π/ 4
f) π/ 3
18.
a) ( 12 , −
e)
f)
g)
h)
480° e − 240°
285° e − 435°
585° e − 135°
27° e − 63°
c) 1o
d) 4o
√3
2
√3
2
,−
)
e) 2o
f) 4o
c) ( √22 ,
1
2)
d)
g) 5π/ 4
h) 3π/ 4
i) 2π/ 3
j) 9π/ 8
k) π/ 6
l) 9π/ 5
g) 2o
h) 2o
√2
2
1
2)
)
21.
22.
a)
b)
c)
d)
−1
−1
− √3/ 2
−1
a) − 1/ 2
b) √3/ 2
e)
f)
g)
h)
,
√2
2 ,
tan(765°) = 1
0
−2
√3/ 2
1/ 2
c) − 1/ 2
d) − √ 2/ 2
f) (−
√3 ,
2
i)
j)
k)
l)
i) 3o
j) 1o
e) (−
( √32
20. sen(− 30°) = − 12 , cos(− 30°) =
csc(150° ) = 2, cot(150°) = − √3
d) 350°
e) 201°
f) 257°
7π
e − 5π
3
3
π
7π
2 e − 5 .
7π
e − 176π
6
15 π
e − π4
4
a)
b)
c)
d)
19. sen(765° ) = cos(765°) =
Respostas.indd 54
1
2 y
√2
2
12.
b) (−
11.
h) x =
√2
2
Funções trigonométricas de qualquer ângulo
2. 1o (+ ), 2o (− ), 2o (− ), 3o (− ) e 4o (+ )
4.
f) x = − √22 y = −
g) x ≈ − 0,809
y ≈ 0,588
12. 3519 km
b) 19 cm
1. 2o (+ ), 3o (− ), 3o (− ), 4o (− ) e 4o (− )
3.
√3
2
1
2 y
d) y = √35
e) x = − 15
17
11. 2763 km
a) 20π/3
6.3
2√2
3
1
2
b) y =
c) x =
10. Raio = 6366,2 km. Circunferência = 40.000 km
5. 30°
6.
3
5
11 π
6
23 π
12
g)
h)
√2 ,
2
1
2,−
√2
2
√3
2
tan( − 30°) = −
)
)
√3
3
√3/ 3
√2/ 2
√2/ 2
2 √3/ 3
m) − √ 3
e) − √2/ 2
f) √3/ 2
g) 1/ 2
h) − 1/ 2
n) θ ∈/ D
o) √3/ 3
14/12/2018 20:49:48
 55
Respostas dos exercícios
23.
c) − 2
d) − √3/ 3
a) 2
b) − √3/ 3
π
4
24. sen(− ) = −
sen( 8π
3
25.
)=
a) − √2/ 2
b) 1/ 2
c) 1
27.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
28.
a)
c)
d)
e)
f)
π
4
cos(− ) =
cos( 8π
3
)= −
1
2,
√2
2 ,
g) − 1
h) 2 √3/ 3
cot( θ) =
π
4
tan( − ) = − 1
tan(
8π
3
√7
3 ,
g) sen (θ) = −
√ 27 , sec(θ) =
h) sen (θ) = −
) = − √3
cos(θ) = −
3 √5
7 ,
2 √5
15 ,
−
cos(θ) =
√2
3 ,
3 √2
2 ,
2
7,
7
2,
tan( θ) =
√ 72 ,
csc(θ) = −
tan( θ) = −
3 √7
7
3 √5
2 ,
7 √5
15
sec(θ) =
csc(θ) = −
cot( θ) = −
j) θ ∈/ D 29. sen(θ) = ± 4/ 5. θ está no 1° ou no 4° quadrante.
k) √3
30. cos(θ) = ± √7/ 4. θ está no 3° ou no 4° quadrante.
l) − 1
31. tan( θ) = ± 2 √2. θ está no 1° ou no 4° quadrante.
0, 0175
g) − 0, 0262
m) 0, 4339
32. sen(θ) = − √26/ 26, cos(θ) = 5 √ 26/ 26.
− 0, 2588
h) − 0, 3090
n) 0, 8090
33. cot( θ) = 3/4
0, 8391
i) − 0, 0612
o) 0, 1679
− 1, 3764
j) 0, 0000
p) 146, 7395 34. tan( θ) = − √2/4
1, 3054
k) 1, 0154
q) 1, 0824
35. cos(θ) = − √15/ 4, tan( θ) = − √15/15
1, 1547
l) − 1, 0108
r) − 10, 0167
36. sen(θ) = − 1/ 2, cos(θ) = √3/2
12
5
12
sen (θ) = 13 , cos(θ) = 13 , tan( θ) = 5 ,
37. sen(θ) = − √17/17, cos(θ) = − 4 √17/ 7
5
13
cot( θ) = 12
, sec(θ) = 13
,
csc(θ)
=
5
12
38. cos(x ) = 5/13, cos(x + 180°) = − 5/13
√3
√6
sen (θ) = 3 , cos(θ) = 3 , tan( θ) = √22 ,
39. Há muitas formas de provar o resultado.
cot( θ) = √2, sec(θ) = √26 , csc(θ) = √3
40. 1 + tan 2 (θ) = sec 2 (θ)
2 √5
√5
sen (θ) = 5 , cos(θ) = − 5 , tan( θ) = − 2,
41. Há muitas formas de provar o resultado.
cot( θ) = − 12 , sec(θ) = − √5, csc(θ) = √25
42. sen(π/ 9) ≈ 0, 34202. cos(π/ 9) ≈ 0, 93969
sen (θ) = − 45 , cos(θ) = 35 , tan( θ) = − 34 ,
43. sen(π/ 6) ≈ 0, 50000
cot( θ) = − 34 , sec(θ) = 53 , csc(θ) = − 54
44. cos(π/ 6) ≈ 0, 86603
√ 10
sen (θ) = − √1010 , cos(θ) = − 3 10
, tan( θ) = 13 ,
45. sen(π/ 3) = cos( π/ 6) ≈ 0, 86603
cot( θ) = 3 , sec(θ) = − √310 , csc(θ) = − √10
cos(π/ 3) = sen(π/ 6) ≈ 0, 50000
8
15
sen(θ) = 15
sen(5π/ 6) = sen(π/ 6) ≈ 0, 50000
17 , cos(θ) = − 17 , tan( θ) = − 8 ,
8
17
cot( θ) = − 15
, sec(θ) = − 17
,
csc(θ)
=
cos(4π/ 3) = − sen(π/ 6) ≈ − 0, 50000
8
15
26.
b)
√3
2 ,
√2
2 ,
e) 2
f) 1
g) 0
h) − √2/ 2
i) −2 √3/ 3
d) 2 √3/ 3
e) − √3/ 3
f) − 1
6.4 Gráficos do seno e do cosseno
1. c
a) 2π , 2
b) 6π , 1
c) 7π , 1
d) 2π
3 , 5
7.
a) 2π , 2, π2
b) 2π , 6, −
8.
a) f vale zero para todos os valores de
2. c
3. Período: 4,8. Amplitude: 1,6.
4.
i) 2, 15
j) 12 , 1
k) 4, 34
l) 23 , 13
6.
a)
e) 16π , 4
f) π2 , 12
g) π , 32
2
h) 8π
5 , 3
c) 4π , 2, π
1
d) 2π
3 , 3, −
π
6
3
e) 3π
4 , 8, −
1 1
f) 1, 2 , 2
2π
3
π
2
x fornecidos.
b) O período é π .
c)
5.
Respostas.indd 55
b) f (99) = − 2
a) Ímpar
b) Par
c) Par
d) Ímpar
x
f (x )
0
0 −
π
8
√2
2
π
4
−1 −
3π
8
√2
2
π
2
5π
8
3π
4
7π
8
π
0
√2
2
1
√2
2
0
14/12/2018 20:49:49
56  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
d)
9.
b)
a) Período: 2π . Amplitude: 3
c)
d)
3
2
b) Período: 4π . Amplitude:
e)
c) Período: 4π . Amplitude: 2
f)
d) Período: π . Amplitude:
1
2
g)
10.
Respostas.indd 56
a)
h)
14/12/2018 20:49:50
Respostas dos exercícios
i)
c)
j)
d)
k)
e)
 57
f)
l)
12.
a) k =
1
2,
a=
1
2,
b = 0 , c = 1, f (x ) =
b) k = 0, a = 2 , b =
c) k = 0, a =
11.
3
2,
π
4
+
1
2 sen(x )
, c = 1, f (x ) = 2 sen(x −
b= 0, c=
1
2,
f (x ) =
π
4
)
3
x
2 sen( 2 )
d) k = − 54 , a = 34 , b = π6 , c = 2
f (x ) = 43 sen(2x − π3 ) − 54
a)
13.
a) k = 0 , a =
1
4,
b) k = − 32 , a =
b= 0, c=
5
2,
3
2,
d) k =
a=
f (x ) = 23 +
2
3,
f (x ) =
1
4
π
3
cos( 2x3 )
cos(x ) −
3
2
, c = 1, f (x ) = 1 − cos(x −
π
3
b = 0 , c = 1, f (x ) =
c) k = 1 , a = − 1, b =
b)
1
2
5
2
)
1
π
1
2, b= − 2, c = 2
1
x
π
2 cos( 2 + 4 )
14. g(x ) = 10 + 4 sen( 2x5 )
4π
3
15. g(x ) = 0,8 sen(8x −
) − 0,6
16. g(x ) = 0,4 cos( πx2 − π )
17. g(x ) = 3 cos(
Respostas.indd 57
2x
3
+
π
9
)− 4
14/12/2018 20:49:50
58  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
18.
a)
d)
19.
a) máximo: 151 m; mínimo: 1 m
b) 30 minutos
c)
20.
a) mínima: 80 mm Hg; máxima: 120 mm Hg.
b) 1/55 minutos
c) 55 batimentos por minuto.
b)
c)
21.
t(s)
h(m )
0
3
7
10
14
17
65
12,5
54,4
20,4
47,5
25,5
6.5 Gráficos das demais funções trigonométricas
1.
a) IV
2.
a)
Respostas.indd 58
b) VI
c) I
d) III
e) V
f) II
b)
14/12/2018 20:49:51
Respostas dos exercícios
c)
j)
d)
k)
e)
 59
l)
f)
3.
a) π3
b) 3π
c) π2
d) 2π
4.
a) {x ∈ | x ≠
nπ
3
}
b) {x ∈ | x ≠
3π
2
+ 3 nπ }
c) {x ∈ | x ≠
π
8
e)
f)
π
2
5π
2
g) 8π
h) 3π
2
i) 14
j) 5
k) 1
l) 12
g)
h)
i)
Respostas.indd 59
+
nπ
4
}
14/12/2018 20:49:51
60  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
π
4
d) {x ∈ | x ≠ −
e) {x ∈ | x ≠
5π
12
+ nπ }
nπ
2
+
j) {x ∈ | x ≠ − 1 + 5 n }
k) {x ∈ | x ≠
}
1
4
+
n
2
}
l) {x ∈ | x ≠ 2 + 6 n }
f) {x ∈ | x ≠
5nπ
2
}
5.
a)
g) {x ∈ | x ≠ 2 π + 4 nπ }
b)
h) {x ∈ | x ≠
3nπ
4
}
c)
i) {x ∈ | x ≠
Respostas.indd 60
1
8
+
n
4
}
d)
14/12/2018 20:49:52
Respostas dos exercícios
6. d(θ) = 30 sec( θ)
 61
7. d(θ) = 50 + 40 tan( θ)
O ângulo máximo é θ ≈ 0, 9 rad (cerca de 51°).
6.6 Funções trigonométricas inversas
1.
a) π2
b) −
c) π6
π
2
d) π3
e) −
f) π4
g) π
h) π3
i) −
π
6
j) 3π
4
k) π4
l) 0
π
3
m) 5π
6
n) π6
o) − π6
2.
a)
b)
c)
d)
e)
3.
a) 38, 66°
b) 65, 38°
c) 45, 00°
d) 57, 38°
e) 42, 07°
x
f) arccos ( 12
)
4.
a) 0,8763
b) − 0,275
c) 27
d) 1
e) 3π
4
f) − π6
5.
a)
0,2527
1,8606
1,1072
− 0,3398
1,5208
4
5
b) 2√2
c)
6.
4 √2
9
f)
g)
h)
i)
j)
d)
e)
f)
5
12
15
17
c)
b) √1 − 9x 2
d)
1,0004
0,4636
− 1,1198
Indefinido
− 0,8330
j)
h) 2√6
k)
i)
2
√x 2 +4
1− x
2x − x 2
k)
l)
m)
n)
o)
√15
4
g)
√13
7
√1− x 2
x
a)
1,5608
0,1002
2, 4741
− 1,3734
Indefinido
3 √10
10
l)
e)
2 √13
13
√5
3
5 √6
12
√x
√x +1
x2 −
f) √
14.
a) θ ≈ 49,17°
b) d ≈ 39,3 mm
15. θ(7) = − 55,5591; θ(8) = − 34,0888; θ(9) = − 21,3421;
θ(10) = − 12,7125; θ(11) = − 5,97687; θ(12) = 0 ;
θ(13) = 5 ,97687; θ(14) = 12 ,7125; θ(15) = 21,3421;
θ(16) = 34 ,0888; θ(17) = 55 ,5591.
A calculadora deve exibir uma mensagem de erro para
θ(6) e θ(18) , pois não há como calcular tan(90°) ou
tan( − 90°).
16.
17.
3
7. Aproximadamente 80, 4°
8. Aproximadamente 40, 6°
9. Cerca de 58°
10. α ≈ 23, 962°; x ≈ 9, 85 m; z ≈ 2, 67 m; w ≈ 3, 28 m
11.
h
)
a) θ(h) = arctan ( 1,6
18.
b) θ(5) ≈ 72,26°
12. 39, 81°
13.
Respostas.indd 61
a) θ(x ) = arctan( 3000
x )
b) θ(10000) = 16 ,70° e θ(1000) = 71,57°
14/12/2018 20:49:52
62  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
6.7
A lei dos senos e a lei dos cossenos
1.
a)
b)
c)
d)
5, 15 cm; 8, 57 cm; 66°
30, 74 cm; 20, 36 cm; 35°
46, 42°; 58, 58°; 10, 60 cm
8, 32 cm; 12, 31 cm; 72°
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
33, 09 cm; 46, 91 cm; 36°
66, 42 cm; 74, 49 cm; 50°
73, 90 cm; 58, 19 cm; 68°
52, 10 cm; 29, 78 cm; 44°
20, 79 cm; 9, 12 cm; 40°
63, 57 cm; 36, 00 cm; 28°
68, 30 cm; 35, 36 cm; 30°
104, 00 cm; 60, 81 cm; 34°
32, 08 cm; 93, 43 cm; 95°
44, 54 cm; 55, 66 cm; 80°
17, 59 cm; 37, 01 cm; 147°
8, 85 cm; 10, 85 cm; 70°
a)
b)
c)
d)
e)
20, 69°; 127, 31°; 22, 51 cm
Não há solução
90°; 30°; 9 cm
90°; 60°; 12, 12 cm
71, 02°; 56, 98°; 10, 64 cm e 108, 98°; 19, 02°;
4,13 cm
60°; 60°; 33 cm
22, 52°; 27, 48°; 72, 28 cm
Não há solução
60, 49°; 74, 51°; 17, 72 cm e 119, 51°; 15, 49°;
4,91 cm
2.
3.
f)
g)
h)
i)
4.
5.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3,88 cm; 84, 02°; 55, 98°
49, 46°; 58, 75°; 71, 79°
113,78 m; 19, 67°; 30, 33°
34, 05°; 44, 42°; 101, 54°
7,46 m; 90, 25°; 33, 75°
46, 97°; 55, 94°; 77, 08°
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
50, 37 cm; 42, 20°; 27, 80°
76, 46 cm; 65, 04°; 32, 96°
72, 19 cm; 79, 63°; 40, 37°
16, 05 cm; 40, 48°; 95, 52°
68, 89 cm; 120, 52°; 27, 48°
13, 65 cm; 51, 26°; 73, 74°
26, 56°; 42, 13°; 111, 31°
55, 43°; 74, 70°; 49, 87°
24, 05°; 128, 19°; 27, 76
43, 60°; 46, 40°; 90, 00°
6.
a) 320 √3 m 2
b) 72 √2 cm 2
7.
2
a) 306,89 m
b) 2363,54 m 2
Respostas.indd 62
8. dA ≈ 6, 83 km. dB ≈ 3, 54 km
9. 42,5 cm
10. 1385,4 m 2
11. 256,95 m
12. x ≈ 9, 24 m. y ≈ 10, 02 m
13. 8, 333 m 2
14. x ≈ 52, 91 m
15. 4,61 km
16. No quilômetro 25.
17. 8, 35 × 1011 m
18. AB = 5 √ 3 m. BD = 5 √ 7 m
19. AB = 75 √ 2 m
20. x ≈ 95, 42. y ≈ 71, 52m. α ≈ 36,4°
21. x ≈ 169, 9 m. h ≈ 144, 1 m
22. Da casa ao portão: 126,79 m.
Da casa ao celeiro: 74,84 m.
23. x ≈ 6, 65 km. α ≈ 37, 88°
24. Passando por A : 85,85 km. Passando por B: 87,84 km
25. x ≈ 0,933 km. y ≈ 0,609 km. z ≈ 0,693 km.
O caminho por B é mais curto.
26.
b) 6400√2 km
27. x ≈ 86, 34 m. θ ≈ 54, 39°
28.
a) 6,46 m
29.
a) f ≈ 2, 69 m. g ≈ 2, 50 m
b) c = 2 m. α ≈ 20°. β = 45°
c) a ≈ 2, 345 m. θ ≈ 37, 3°
b) 3,33 m
30. α ≈ 26, 64°. β ≈ 33, 36°
31. x ≈ 296, 4 m. y ≈ 133, 8 m. α = 105° . β ≈ 37,7°
32. y = 10 √3/ 3 m. A = 25 √3/ 3 m 2
33. x ≈ 86, 6 m. y = 100 , 0 m. z ≈ 57,5 m.
β ≈ 64,7°. γ ≈ 31,3°
34.
a) y ≈ 1, 494 cm. A ≈ 2, 642 cm 2
b) x ≈ 3, 128 cm. z ≈ 3, 506 cm
35.
a) BC ≈ 4,91 cm
b) r ≈ 3,47 cm
c) x ≈ 9, 08 cm
36. x ≈ 35, 46 m. y ≈ 39, 10 m. z ≈ 53,29 m
Área: 766 m 2 . Perímetro: 138,75 m
37. 10( √3 + 1) m ≈ 27,32 m
c) 30 √3 cm 2
d) 52,63 m 2
c) 1604,91 m
d) 28,76 m 2
a) 12800π/ 3 km
38. d ≈ 4,46 km. h ≈ 2,23 km
2
2
e) 169,49 m
f) 1950,36 m 2
39. d ≈ 5,7 km
40. 173.459 m 2
14/12/2018 20:49:53
Respostas dos exercícios
a2
a2
a2
a2
a2
41. 632 m
42. Os passos da demonstração são os seguintes:
sen(180° − Â ) = h/b e cos(180° − Â ) = m/b
h = b sen(180° − Â ) e m = b cos(180° − Â )
sen(180° − Â ) = sen( Â ) e cos(180° − Â ) = − cos( Â )
h = b sen( Â ) e m = − b cos( Â )
a2 = h 2 + ( c + m ) 2
=
=
=
=
=
 63
h 2 + c2 + 2 cm + m 2
b2 sen 2 ( Â ) + c2 + 2 c[− b cos( Â )] + [ − bcos( Â )]2
b2 sen 2 ( Â ) + b2 cos2 ( Â ) + c2 − 2bc cos( Â )
b2 [sen 2 ( Â ) + cos 2 ( Â )] + c2 − 2bc cos( Â )
b2 + c2 − 2bc cos( Â )
43. 173.459 m 2
6.8 Identidades trigonométricas
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
cos(x ) = − 3/ 5; tan( x ) = − 4/ 3
cos(x ) = 2 √6/ 5; tan( x ) = − √6/ 12
sen (x ) = − 2 √2/ 3; tan( x ) = 2 √2
sen (x ) = 12 / 13; tan( x ) = − 12/ 5
sen (x ) = − √3/ 2; cos(x ) = 1 / 2
sen(x ) = − 2 √2/ 3; cos(x ) = − 1/ 3
2. 25/ 24
10.
a) É uma identidade
b) Não é uma identidade
3. 3/ 4
4. 3
5.
6.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
sen (x )
cos(x )
csc(x )
− cos(x )sen(x )
− sen 3 (x )
1
sen (x )
1 + 2 sen(x ) cos( x )
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
− cos(x )
− sen(x )
−1
sec2 (x )
cos2 (x )
cos2 (x )
sen 2 (x )
1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
cot( x )
sec(x )
cot 2 (x )
2 csc2 (x )
2 sec(x )
2 sec(x ) csc( x )
sen (x ) tan( x )
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
csc(x )
1 − sen(x ) cos( x )
1 + cot( x )
sen 2 (x )
2(csc( x ) − sec(x ))
− cos3 (x )
sen 2 (x )
c) É uma identidade
d) É uma identidade
11. Para 0 ≤ x < 2π , a igualdade só é válida se x = 0 ou
x = π2 . Qualquer outro valor de x pode ser usado para
8. Há muitas formas de provar as identidades.
mostrar que não se trata de uma identidade.
9. a) sen (θ)
c) sec(θ)
e) 5sen(θ)
12. tan( x ) = cot(90° − θ) = xy , cot( x ) = tan(90° − θ) = xy ,
b) 2 cos(θ)
d) tan( θ)
f) tan( θ)/ 2
sec(x ) = csc(90° − θ) = xz , csc(x ) = sec(90° − θ) = yz
7. Há muitas formas de provar as identidades.
6.9
1.
Equações trigonométricas
a) x =
π
3
+ 2 kπ e x =
b) x = 2 kπ
c) x =
3π
4
d) x = −
2π
3
+ 2 kπ e x = −
π
4
+ kπ
+ 2 kπ
π
6
+ kπ
g) x ≈ 1, 41214 + kπ
3π
4
+ 2 kπ
e) x ≈ 0, 25268 + 2 kπ e x ≈ 2, 88891 + 2 kπ
Respostas.indd 63
f) x =
h) x = −
3π
4
+ 2 kπ e x = −
π
4
+ 2 kπ
i) x ≈ − 2, 2143 + 2 kπ e x ≈ 2, 2143 + 2 kπ
j) x = −
π
2
+ 2 kπ
14/12/2018 20:49:54
64  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
k)
l)
m)
n)
2.
x
x
x
x
π
8
4kπ
3
3kπ
2
d) x = − 0, 42900 +
e) x = 0 , 73494 +
3.
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
4.
5.
q)
r)
s)
t)
a)
b)
c)
d)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
c) x
d) x
e)
f)
g)
a)
b)
Respostas.indd 64
e x = 2 , 5234 +
a) x = 0 , x = π , x =
b) x =
π
4
π
6
e x = −
, x = − π4 , x =
3π
4
π
6
e x = −
3π
4
c) Não há solução.
d) x =
3π
8
+ kπ
a) x = + kπ e x =
b) x = 2 π + 6 kπ e x = − 2π + 6 kπ
c) x = 5π
3 + 5 kπ
f)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
6.
5π
= 5π
6 + 2 kπ e x = − 6 + 2 kπ
≈ − 0, 18284 + 2 kπ e x ≈ 3, 32443 + 2 kπ
2π
= 2π
3 + 2 kπ e x = − 3 + 2 kπ
≈ − 1, 40565 + kπ
π
2
e) x = − π4 , x =
3π
4
, x ≈ 1,1071 e x ≈ − 2,0344
f) x ≈ 1, 1437 e x ≈ − 1,1437
g) x =
4kπ
3
h) x =
π
π
= 16
+ kπ2 e x = − 16
+ kπ2
14 π
= − 2π
3 + 8 kπ e x =
3 + 8 kπ
= 4 , 8377 + 4 kπ e x = − 4, 8377 + 4 kπ
= 1 , 1844 + 6 kπ
= π2 e x = − π2
= π3 , x = − π3 , x = 2π
e x = − 2π
3
3
= π6 , x = − π6 , x = 5π
e x = − 5π
6
6
= 0 , x = π2 e x = π
= π3 , x = − π3 , x = π2 e x = − π2
= π3 , x = − π3 , x ≈ 1, 3694 e x ≈ − 1, 3694
e
= π2 , x = − π2 , x = π4 , x = − π4 , x = 3π
4
= − 3π
4
= 0 , x = π , x = π6 e x = − 5π
6
= π6 , x = 5π
,
x
≈
0,
25268
e
x ≈ 2, 8889
6
= π4 e x = 3π
4
≈ 1, 3181 e x ≈ − 1, 3181
≈ 0, 55357; x ≈ − 0, 55357; x ≈ 1, 0172 e
≈ − 1, 0172
= − π6 e x = − 5π
6
2π
= π3 , x = − π3 , x = 2π
3 , x = − 3 , x ≈ 1,1903 e
≈ − 1, 9513
= π2 e x ≈ 2,0608
≈ 1,1593; x ≈ − 1,1593; x ≈ 1,8546 e
≈ − 1,8546
≈ 0, 92730 e x ≈ − 2,2143
≈ 2,1966 e x ≈ − 2,1966
π
π
= 0 , x = π , x = π6 , x = 5π
6 , x = 2 e x = − 2
π
3π
= − 4 , x = 4 , x ≈ 1, 3734 e x ≈ − 1, 7682
= − π3 + kπ
= − π6 + 2 kπ e x = − 5π
6 + 2 kπ
≈ − 1,15928 + 2 kπ e x ≈ 1,15928 + 2 kπ
= π6 + 2 kπ e x = 5π
6 + 2 kπ
= 0 , 9339 + 2kπ
e x = 0 , 1133 + 2kπ
3
3
= 5 π + 12 kπ e x = − 5π + 12 kπ
= π + 8 kπ
= π3 , x = − π3 , x ≈ 0,98279 e x ≈ − 2,1588
≈ 2,4119; x ≈ 0,72973; x ≈ 1,4595 e
≈ − 1, 4595
= π2 e x = − π2
= 0 , x = π , x = π3 , x = − π3 , x = π2 e x = −
π
2
π
3
π
3
e x =
2π
3
, x = − π3 , x =
2π
3
e x = −
2π
3
i) x ≈ 0,95532; x ≈ − 0,95532; x ≈ 2,1863 e
x ≈ − 2,1863
j) x = π , x ≈ 0,84107 e x ≈ − 0,84107
k) x = − π2 , x ≈ 2,8018 e x ≈ 0,33984
l) x =
π
6
π
2
,x =
5π
6
, x ≈ 0,72973 e x ≈ 2,4119
π
2
π
6
m) x = , x = − , x =
x = − 2π
3
n) x =
π
6
e x =
5π
6
o) x = 0 , x = π , x =
p) x = − π6 , x = −
q) x =
π
3
5π
6
π
4
,x = −
5π
6
,x =
, x = − π4 , x =
e x =
, x = − π3 , x =
2π
3
π
2
e x = −
π
3
3π
4
e
e x = −
3π
4
2π
3
r) x ≈ 1,1071; x ≈ − 1,1071; x ≈ 2,0344 e
x ≈ − 2,0344
s) x = 0 , x ≈ 2, 4189 e x ≈ − 2,4189
t) x ≈ 0, 39192 e x ≈ 2, 7497
u) x ≈ 1, 2310 e x ≈ − 1, 2310
v) x =
π
2
e x ≈ − 0, 64350
w) x ≈ 1, 1593 e x ≈ − 1, 1593
a) x =
π
2
π
2
b) x =
π
3
,x = π e x =
c) x =
π
4
,x =
x) x =
7.
e x = π
3π
6
,x =
5π
3
5π
4
e x =
7π
4
14/12/2018 20:49:55
Respostas dos exercícios
 65
8. θ ≈ 31° (ou 0,5411 rad)
9. Aos 9,06 min e aos 20,94 min
π
6
d) x =
,x =
5π
6
,x =
7π
6
e x =
10. θ ≈ 0, 77553 (44, 43°) e θ ≈ 1, 33421 (76, 44°)
11 π
6
11. x =
π
2
e x ≈ 2, 2143
6.10 Transformações trigonométricas
1.
a)
b)
c)
2.
√3
2 , −
√2
2 , −
− √2
2 ,
1
2 , − √3
√2
2 , −1
− √2
2 , 1
d) −
e) −
a) √6 4+ √2
b) √3 − 2
c) √2 4− √6
e)
√6 + √2
4
f)
√3
3
√3
2 ,
√2
2 ,
− 12 , √3
√2
2 ,
h) −
i)
g)
h)
−1
12.
√2
2
1
2
13.
d) − √64− √2
g) √6 4− √2
j) 2 − √3
3. Há muitas formas de provar as identidades.
4.
5.
2 √5
√5
5 , − 5 , −
21
220
21
221 , 221 , 220
6. sen(θ − 30°) =
7. − 3
8.
2
√2
2
−
√3
6 ,
cos(θ − 30°) =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(x + 2) / (√5 √x 2 + 1)
( √1 − x 2 + x )/ √2
(2 √1 − x 2 + x )/ √5
(√3 − 3x 2 − x )/ 2
(√1 − x 2 + x )/ (x − √1 − x 2 )
(x + 1) / (1 − x )
(x − 2 √1 − x 2 )/ ( √1 − x 2 + 2x )
10.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x
x
x
x
x
x
a)
24
7
24
25 , 25 , 7
24
7
24
25 , − 25 , − 7
3 √7
1
8 , − 8 , − 3√7
b)
c)
Respostas.indd 65
+
√6
6
√3+3
1− 3 √3
9.
11.
1
2
= π3 e x = π
= − π2 e x = π
e x ≈ 0, 14190
= 3π
4
π
= 2 e x ≈ 2, 8578
≈ 0, 38990 e x ≈ − 2, 0720
≈ 0, 61548
d)
e)
f)
60
11
60
61 , − 61 , − 11
4
3
4
5, − 5, − 3
4 √5
1
9 , − 9 , − 4 √5
a)
b)
c)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
4 √2
7
4 √2
9 , − 9, − 7
√7 3
√7
4 , 4, 3
x = π3
x = π6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
i)
2 √2 1
3 , 3,
2√2
g) x = π6
d) x = π3
e) x ≈ 0,51099
f) x ≈ 0,41652
≈ 0,35374
π
π
j) x ≈ 0,6435 e
= 6 e x = 2
x ≈ 1,3258
= 0 e x = π6
=0
k) x = 0 e x ≈ 1,0949
= 0 e x ≈ 0,84107
l) x ≈ 0,46365
= 0 e x = π3
m) x = 0 e x = π6
= π3
n) x = π4
= 0 e x ≈ 1,3181
= 0 e x = π6
o) x = π2 e
≈ 0,33984
x ≈ 0,37473
14. Há muitas formas de provar as identidades.
15.
a) 18 (3 + 4 cos(2 x ) + cos(4 x ))
b) [3 − 4 cos(2x ) + cos(4 x )]/ [3 + 4 cos(2 x ) + cos(4 x )]
c) 18 (1 − cos(4x ))
1
(2 − cos(4x ) − 2 cos(8x ) + cos(12 x ))
d) 32
1
e) 128 (3 − 4 cos(4x ) + cos(8 x ))
1
(10 − 15 cos(6x ) + 6 cos(12 x ) − cos(18x ))
f) 32
1
g) 4 sen 2 (4x )
h) 4 sen 4 (x )
16.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
√2 − √3, 12 √2 + √3, 2 − √3
√2 − √2, 12 √2 + √2, − 1 + √2
√2 + √3, − 12 √2 − √3, − 2 − √3
√2 + √3, 12 √2 − √3, 2 + √3
√2 + √2, − 12 √2 − √2, − 1 − √2
√2 − √3, − 12 √2 + √3, − 2 + √3
14/12/2018 20:49:56
66  PRÉ-CÁLCULO - Operações, equações, funções e trigonometria
17.
c)
2 √13 3 √13 2
13 , 13 , 3
√10 3 √10 1
10 , 10 , 3
√5 2 √5 1
5 , 5 , 2
a)
b)
c)
d)
x
x
x
x
a)
b)
c)
1
2 (sen(6x ) − sen(2x ))
1
2 (cos(4 x ) + cos(6 x ))
1
2 (cos(8 x ) − cos(2x ))
d)
e)
f)
1
x
3x
2 ( cos 4 ) + cos
4
1
2 (sen(x ) + sen(7x ))
1
x
5x
2 ( cos 3 ) − cos 3
a)
b)
c)
d)
2 sen(3x ) cos( x )
2 sen(x ) cos(2 x )
2 cos ( 3x2 ) cos (132x)
− 2 sen(x )
e)
f)
g)
h)
2 sen ( 8x3 ) cos ( x3 )
2 sen(2x ) sen(4x )
− 2 sen(4x ) cos(5 x )
2 cos( x ) cos (3x2 )
a)
b)
c)
d)
x
x
x
x
a)
b)
18.
19.
20.
21.
= π3
=0 e x =
= π2
=0
d)
e)
f)
π
3
√6
6 ,
√3
3 ,
√14
7 ,
√30
√5
6 , 5
√6
√2
3 , 2
√35
√10
7 , 5
g) x = 0 e x ≈ 1,2310
(
( ))
(
( ))
24. α = 30°
26.
π
4
d) α ≈ 51,4°, x ≈ 67,08 m
f) x ≈ 0,72273
c) θ ≈ 38,45°
. f ( π4 ) =
1
2
a) Use a figura abaixo para provar a identidade.
y − 2r sen(α )
.
cos(α )
Substituindo, então, essa expressão na fórmula do
item (b), obtemos o resultado desejado.
= kπ e x = π8 + kπ4
= kπ2 e x = kπ5
= π4 + kπ2 , x = π3 + 2 kπ e x = − π3 + 2 kπ
= kπ , x = π2 + 4 kπ e x = − π2 + 4 kπ
a) t max = v 0 sen(θ)/g
b) a(θ) = v 02 sen(2θ)/g
25. x =
x =
e) x ≈ 0,84107
22. Há muitas formas de provar as identidades.
23.
c) Isolando x na fórmula do item (a), obtemos
27. Há muitas formas de provar a identidade.
28. Há muitas formas de provar a identidade.
29. Há muitas formas de provar a identidade.
30.
a)
cos(2a) = cos( a) cos( a) − sen(a) sen(a)
= cos 2 (a) − sen 2 (a)
= 1 − sen 2 (a) − sen 2 (a)
= 1 − 2 sen 2 (a)
b)
tan( a) + tan( a)
1 − tan( a) tan( a)
2 tan( a)
=
1 − tan 2 (a)
tan(2 a) =
31. De posse da fórmula de redução de potência
1 − cos(2x )
,
tan 2 (x ) =
1 + cos(2 x )
e tomando x = a2 , escrevemos
tan
cos(a)
( a2 ) = ± √ 11 −+ cos(
a)
= ±
= ±
= ±
√
√
√
[
1 − cos(a)
1 − cos(a)
·
1 + cos( a)
1 − cos(a)
]
[1 − cos(a)]2
1 − cos2 (a)
[1 − cos(a)]2
sen 2 (a)
Considerando, agora, que 1 − cos(a) ≥ 0 e que sen (a) e
tan ( a2 ) têm o mesmo sinal, concluímos que
b) Use a figura acima para provar a identidade.
Respostas.indd 66
tan
cos(a)
.
( a2 ) = 1 −sen(a)
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