Álgebra:
Capítulo 1:
1.- Números Complejos
Doroteo Verastegui Rayo
Dpto. de Matemáticas
www.uclm.es/profesorado/dverastegui/index.htm
E-mail: doroteo.verastegui@uclm.es
*
Tfno: 926 295 300-Ext 6049
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1.- Introducción (1/2)
▪
Números naturales : Son los números 1, 2, 3, 4, 5, …
▪
Números enteros: Incluyen todos los naturales, los negativos y el 0.
▪
Números racionales. Incluyen todos los números enteros y los fraccionarios
(decimales exactos, decimales periódicos mixtos y periódicos puros).
▪
Números irracionales: Incluyen los números que se expresan mediante una
serie de decimales ilimitados no periódicos:
▪
Números reales: Conjunto de números que incluye los números racionales y
los números irracionales
▪
Números complejos: Son los números representados mediante la
expresión a+bi, con a y b números reales.
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1.- Introducción (2/2)
• Los números complejos son el conjunto numérico más grande que se suele
emplear en matemáticas.
• Se introducen para poder extender la raíz “par” a los números negativos.
• Tanto R como C son cuerpos, sin embargo C es “ algebraicamente
cerrado” pues “Todo polinomio con coeficientes complejos
tiene tantas raíces (complejas) como indique su grado”
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2.- El cuerpo (C,+,·) (1/13)
• Para que un conjunto (E,+,·) en el que se han definido 2 operaciones tenga
estructura de Cuerpo se ha de cumplir:
•
(E,+) tenga estructura de Grupo Abeliano:
• Asociativa (a+b)+c=a+(b+c)
• Conmutativa a+b=b+c
• Elemento Neutro a+0=0+a=a
• Elemento Opuesto: Dado a, exista –a tal que a+(-a)=(-a)+a=0
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2.- El cuerpo (C,+,·) (2/13)
• Para que un conjunto (E,+,·) en el que se han definido 2 operaciones tenga
estructura de Cuerpo se ha de cumplir:
•
(E,+) tenga estructura de Grupo Abeliano:
•
(E,·) tenga estructura de Grupo Abeliano:
• Asociativa (a·b)·c=a·(b·c)
• Conmutativa a·b=b·c
• Elemento Neutro a·1=1·a=a
• Elemento Simétrico: Dado a, exista a -1 tal que a·(a -1)=(a-1)·a=1
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2.- El cuerpo (C,+,·) (3/13)
• Para que un conjunto (E,+,·) en el que se han definido 2 operaciones tenga
estructura de Cuerpo se ha de cumplir:
•
(E,+) tenga estructura de Grupo Abeliano:
•
(E,·) tenga estructura de Grupo Abeliano:
•
Distributiva del producto (·) respecto de la suma (+):
• a·(b+c)=a·b+a·c
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2.- El cuerpo (C,+,·) (4/13)
• En C se definen las mismas operaciones que en R:
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2.- El cuerpo (C,+,·) (5/13)
•
C(+):
(Se propone como ejercicio)
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2.- El cuerpo (C,+,·) (6/13)
•
C(+):
(Se propone como ejercicio)
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2.- El cuerpo (C,+,·) (7/13)
•
C(+):
10 de 27
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2.- El cuerpo (C,+,·) (8/13)
•
C(,+):
Por tanto C(+): tiene
estructura de Grupo Abeliano
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2.- El cuerpo (C,+,·) (9/13)
•
C(·):
•
Las propiedades asociativa y conmutativa se verifican
evidentemente
(Su demostración se propone como ejercicio)
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2.- El cuerpo (C,+,·) (10/13)
•
C(·):
•
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2.- El cuerpo (C,+,·) (11/13)
•
C(·):
•
14 de 27
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2.- El cuerpo (C,+,·) (11/13)
•
Ejercicio propuesto:
C(·):
•
Comprobar que
-1
z·z = 1
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2.- El cuerpo (C,+,·) (12/13)
•
C(·):
•
Por tanto C(·): tiene
estructura de Grupo Abeliano
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2.- El cuerpo (C,+,·) (13/13)
•
C(+,·):
•
Es fácil demostrar que se verifica la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma (Se propone como ejercicio), es decir:
Por tanto C(+,·): tiene
estructura de Cuerpo
Abeliano
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2.- El cuerpo (C,+,·) (12/13)
•
Conjugado de un número complejo:
Dado el número complejo
Su conjugado sería :
Verificándose:
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3.- Representación geométrica de los
Números Complejos
• Un número complejo z=x+yi se puede
representar en unos ejes cartesianos
como sigue:
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3.- Representación geométrica de los
Números Complejos
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3.- Representación geométrica de los
Números Complejos
Al vector de R2 (x,y) se le
denomina AFIJO del
número complejo z=x+yi
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4.- Formas polar y trigonométrica de un
número complejo
• Básicamente, los números complejos se
pueden representar de dos formas:
• Forma binómica (x+yi)
• Forma polar rφ
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4.- Formas polar y trigonométrica de un
número complejo
y
z=x+yi
x
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5.- Números complejos (Operaciones)
Con K = 0, …., (n-1)
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5.- Números complejos (Operaciones)
Potencias
de i
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5.- Números complejos (Operaciones)
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5.- Números complejos (Operaciones)
(a+bi)n=
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GRACIAS
POR SU
ATENCIÓN
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1.- Números Complejos
Doroteo Verastegui Rayo
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