Ejercicios de alfabetos, cadenas y lenguajes
Matemáticas Discretas II
Raúl Ernesto Gutierrez de Piñerez Reyes, Ph.D
October 21, 2023
1. El inverso de un lenguaje A es: AI = {xI /x ∈ A}
Demuestre que (A.B)I = B I .AI , para A y B lenguajes sobre un alfabeto Σ
2. Sean A y B dos lenguajes sobre Σ. Probar que (A ∩ B) = A ∪ B y que (A ∪ B) = A ∩ B
3. Probar que {ε}∗ = {ε} = {ε}+
4. Sea A un lenguaje sobre un alfabeto Σ. Bajo que condiciones A∗ = A+
5. Se supone que A = {ε}. Obtener An para un n arbitrario.
6. Considere el lenguaje A = {ab} entonces obtenga (A+ )i , para i ≥ 2.
7. Demuestre que para un lenguaje A sobre Σ, A∗ = A0 ∪ A+ .
8. Demostrar que:
!
[
Bi
·A=
i∈I
[
(Bi · A)
i∈I
(Sugerencia: La concatenación es distributiva con respecto a la unión. (B ∪ C) · A = B · A ∪ C · A
9. ¿Cuándo se cumple que A+ = A∗ − {ε}? Probar que pasa con: A = {ε}, A ̸= ∅, y para A = ∅
10. Sea N × N enumerable usando la función f : N × N → N definida como f (n, m) = 2n 3m determinar si
es una operación binaria, para n, m ∈ N.
11. Sea L = {0, 1, 00, 10} obtener LI
12. Dados los siguientes alfabetos: Σ1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y Σ2 = {a, b, c, d, e, f, g, h} y los lenguajes
L1 = {x|x ∈ Σ1 } y L2 = {x|x ∈ Σ2 }. Definir los lenguajes L1 ∪ L2 , L1 · L2 y (L1 · L2 )2 . Obtener
|(L1 · L2 )2 |
13. Determine si la cadena vacı́a ε es un prefijo propio de sı́ mismo.
14. Sea Σ = {1}. ¿Se puede decir que para todo número natural n hay alguna palabra w ∈ Σ∗ para la cual
|w| = n? Si w es una cadena de Σ∗ para la cual |w| = n,. ¿es única?
15. Muestre que Nk es enumerable para cualquier k = 1, 2, . . .
16. Muestre que todo alfabeto es un lenguaje.
17. Sea la función f : N → Z definida por
f (n) =
n
2
−(1+n)
2
si n es par
si n es impar
Determinar si Z es enumerable.
18. Demostrar que para un lenguaje A, (A∗ )I = (AI )∗
19. Demostrar que para un lenguaje A y A ⊆ Σ∗ , A+ = A∗ · A = A · A∗
1
20. Demostrar que para un lenguaje A y A ⊆ Σ∗ , (A∗ )∗ = A∗ , (A∗ )+ = A∗ , (A+ )∗ = A∗ y (A+ )+ = A+
21. Demostrar que para un lenguaje A, (A+ )I = (AI )+
22. Probar que para los lenguajes A y B, (A ∪ B)∗ = (A∗ B ∗ )∗
23. Sea Σ = {0, 1} y sean A = {01, 10} y B = {0m 10n : m ≤ 1, n ≤ 0} obtener AB y BA2
24. Sea Σ = {0, 1} y sean A = {01, 10} obtener A∗ y (A+ )+
25. Determine si para un lenguaje A, A+ · A+ = A+ , sino son iguales encuentre un contraejemplo.
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