\documentclass{article}
\usepackage{graphicx} % Required for inserting images
\usepackage{mathtools}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[utf8]{vietnam}
\usepackage[english]{babel}
\begin{document}
\textbf{Bài 6.3. Xét các tính chất của quan hệ $\mathcal{R}$ trên S nếu} \\
\\
d) \textit{S} = $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}, \forall (x,u), (y,v) \in S : (x,u) \mathcal{R} (y,v)
\Leftrightarrow x \leq y.$
\begin{itemize}
\item $\forall (x,u) \in S$, ta luôn có $x = x$ nên (x,u)$\mathcal{R}$(x,u) (vì thỏa $x \leq x$)
$\Rightarrow \mathcal{R}$ phản xạ.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $\forall (x,u),(y,v) \in S$, $(\frac{1}{2};1)\mathcal{R}(1;\frac{3}{2})$ nhưng $(1;\frac{3}{2})
\not\mathcal{R} (\frac{1}{2};1)$ $\Rightarrow \mathcal{R}$ không mang tính đối xứng.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $\forall (x,u),(y,v) \in S$, để $x\mathcal{R}y$ và $y\mathcal{R}x$ thì x phải bằng y $\Rightarrow
\mathcal{R}$ có tính phản xứng.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $\forall (x,u),(y,v),(r,t) \in S$, ta có $(x,u)\mathcal{R}(y,v)$ và $(y,v)\mathcal{R}(r,t)
\Leftrightarrow x \leq y$ và $y \leq z \Leftrightarrow x \leq z \Leftrightarrow (x,u)\mathcal{R}(r,t) \
Rightarrow \mathcal{R}$ có tính bắt cầu.
\end{itemize}
Vậy $\mathcal{R}$ thỏa mãn các tính chất phản xạ, phản xứng, bắt cầu nhưng không thỏa mãn tính chất
đối xứng.
\\
\\
e) \textit{S} = $\mathbb{R}, \forall x,y \in S : x\mathcal{R}y \Leftrightarrow x \neq y.$
\begin{itemize}
\item $\forall x \in S$, ta luôn có $x = x$ nên x$\not\mathcal{R}$x $\Rightarrow \mathcal{R}$ không
phản xạ.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $\forall x, y \in S$, ta có $x \neq y$ thì $y \neq x$ (hiển nhiên) $\Rightarrow x\mathcal{R}y$ và
$y\mathcal{R}x$. Do đó $\mathcal{R}$ đối xứng.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $\forall x, y \in S$, để $x\mathcal{R}y$ và $y\mathcal{R}x$ thì $x \neq y$ và $y \neq x$. Do đó
$\mathcal{R}$ không phản xứng.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $\forall x, y, z \in S$, ta có $x\mathcal{R}y$ và $y\mathcal{R}z$ thì $x \neq y$ và $y \neq z$,
nhưng x vẫn có thể bằng z $ \Leftrightarrow \mathcal{R}$ không bắt cầu.
\end{itemize}
Vậy $\mathcal{R}$ chỉ thỏa mãn tính chất đối xứng, không thỏa mãn các tính chất phản xạ, phản xứng,
bắt cầu.
\\
\\
f) \textit{S} = $\mathbb{R}, \forall x,y \in S : x\mathcal{R}y \Leftrightarrow x = 2^y.$
\begin{itemize}
\item $\forall x \in S$, ta luôn có $2^x \> x$ nên $x \neq 2^x$ $\Rightarrow x\not\mathcal{R} x$. Do
đó $\mathcal{R}$ không phản xạ.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $\forall x, y \in S$, ta có $1 \mathcal{R} 0$ nhưng $0 \not\mathcal{R} 1$. Do đó $\mathcal{R}$
không đối xứng.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $\forall x, y \in S$, giả sử $x = y$ để $x\mathcal{R}y$ thì $x=2^y \Leftrightarrow x = 2^x$, nhưng
$2^x$ luôn lớn hơn $x \forall x \in S \Leftrightarrow x \neq y$ . Do đó $\mathcal{R}$ không phản xứng.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item $\forall x, y, z \in S$, ta có $x\mathcal{R}y$ và $y\mathcal{R}z$ thì $x = y^2$ và $y = z^2$. Mà
$2\mathcal{R}1$ và $1\mathcal{R}0$ nhưng $2 \not\mathcal{R}0$ $ \Leftrightarrow \mathcal{R}$ không
bắt cầu.
\end{itemize}
Vậy $\mathcal{R}$ không thỏa mãn bất kỳ tính chất nào.
\\
\\
\\
\textbf{Bài 6.6. Cho \textit{S = {a, b, c, d, e, f}} \\
\\
a) $\mathcal{R} = { (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (f,f), (a,d), (a,f), (c,e), (e,c), (d,a), (f,a), (d,f), (f,d)}$ \\
b) Để chia S thành 3 lớp tương đương có số phần tử của các lớp lần lượt là 3, 2, 1, ta cần chọn trước 3
phần tử trong \textif{S} $(C_6^3)$, tiếp đến sẽ chọn thêm 2 phần tử trong số 3 phần tử còn lại
$(C_3^2)$, phần tử duy nhất còn lại chỉ có một cách chọn. //
Vậy số quan hệ tương đương chia S thỏa yêu cầu đề bài là:
$C_6^3 \times C_3^2 = 60 (quan hệ) $ //
c) Ta xét các trường hợp:
\begin{itemize}
\item \textbf{TH1.} Một lớp 3 phần tử, một lớp 2 phần tử, một lớp 1 phần tử.
Dựa trên câu b), có 60 quan hệ.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item \textbf{TH2.} Một lớp 4 phần tử, hai lớp còn lại mỗi lớp 1 phần tử.
+ Chọn 4 trong số 6 phần tử: $C_6^4$.
+ Chọn 1 trong số 2 phần tử: $C_2^1$.
$\Leftrightarrow C_6^4 \times C_2^1 = 30 (quan hệ).$
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item \textbf{TH3.} Ba lớp, mỗi lớp hai phần tử.
+ Chọn 2 trong số 6 phần tử: $C_6^2$.
+ Chọn 2 trong số 4 phần tử: $C_4^2$.
$\Leftrightarrow C_6^2 \times C_4^2 = 90 (quan hệ).$
\end{itemize}
Vậy có tổng $60 + 30 + 90 = 180$ quan hệ tương đương chia S thành 3 lớp tương đương.
\\
\\
\\
\textbf{Bài 6.8. Cho \textit{S} = ${a = 2^m\times3^n | m, n \in \mathbb{N}, m \leq 3 và n \leq 2}$ với các
quan hệ thứ tự | và $\vdots$. \\
$\Leftrightarrow \textit{S} = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72}$
\end{document}