indica que para cada condición inicial x0 ∈ Rn, el sistema descrito por la ecuación
(6.19) es estable en el sentido de L2 de ganancia finita, y su ganancia L2 es menor o
igual a γ.
La ganancia L2 del sistema se refiere a la amplificación de la señal de entrada en el
sentido de la norma L2 (raíz cuadrada media).
La declaración sugiere que sin importar la condición inicial, el sistema descrito por
la ecuación (6.19) mostrará una salida acotada y tendrá un factor de amplificación
máximo (ganancia L2) de γ.
\begin{center}
$\left(1 + \frac{1}{2\delta}\right)u^Tu - \left(\frac{\delta}{2} - \delta^2\right)y^Ty \delta^2y^Tu$
$= \frac{1}{2\delta}u^Tu + \frac{1}{2}y^Tu + \frac{1}{2}\delta u^Ty - \delta y^Ty$
$u^Ty - y^Tu = u \cdot y - y \cdot u$
\end{center}
%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\section{Lema 6.2}
\begin{frame}
\frametitle{Lema 6.2}
Suponga que los supuestos del Lema 6.1 se cumplen para $x \in D \subset R^n$ y $u \in D_u
\subset R^m$, donde $D$ y $D_u$ son dominios que contienen $x=0$ y $u=0$, respectivamente.
Suponga además que $x=0$ es un \textbf{\textit{punto de equilibrio asintóticamente estable}} de
$\dot{x}=f(x,0)$. Entonces, hay un $r > 0$ tal que para cada $x_0$ con $||x_0|| \leq r$, el sistema
(3) es $\mathcal{L}_2$ estable de ganancia finita, de señal pequeña con ganancia:
\begin{center}
$\mathcal{L}_2\leq\hspace{0.2 cm}$$\gamma$.
\end{center}
\end{frame}
%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\section{Prueba Lema 6.2}
\begin{frame}
\frametitle{Prueba Lema 6.2}
Del Lema 4.7, el sistema $\dot{x}=f(x,u)$ es localmente estable de entrada a estado.
Por lo tanto, existen constantes positivas $k_1$ y $k_2$, una función $\beta$ de clase
$\mathcal{KL}$ y una función $\gamma_0$ de clase $\mathcal{K}$ tales que para cualquier estado
inicial $x_0$ con $||x_0|| \leq k_1$ y cualquier entrada $u(t)$ con $\sup_{\hspace{0.05 cm}0\leq
t\leq\tau} ||u(t)|| \leq k_2$, \textbf{\textit{la solución}} $x(t)$ satisface:
\begin{equation}
||x(t)||\leq max \left\lbrace\beta(||x_0||,t),\gamma_0\left(\sup _{0 \leq \sigma \leq
t}\|u(\sigma)\|\right)\right\rbrace
\end{equation}
para todo $0 \leq t \leq \tau$ .
\end{frame}
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\section{Prueba Lema 6.2}
\begin{frame}
\frametitle{Prueba Lema 6.2}
Por lo tanto, al elegir $k_1$ y $k_2$ lo suficientemente pequeños, podemos estar seguros de que
$x(t) \in D$ y $u(t) \in D_u$ para todo $0 \leq t \leq \tau$. Procediendo como en la demostración
del Lema 6.1 llegamos a (5).
Con la ayuda del Lema 6.2, podemos enunciar versiones de los Teoremas 6.5 y 6.6 de pequeña
señal.
\end{frame}