Edvaldo
ASSUNÇÃO
Marcelo C. M.
TEIXEIRA
CONTROLE LINEAR
Sistemas Contínuos e Discretos no Tempo
VOLUME
1
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
Laboratório de Pesquisa em Controle
CONTROLE LINEAR
Sistemas Contínuos e Discretos no Tempo
VOLUME 1
Sistemas Contínuos no Tempo
Prof. Dr. Edvaldo Assunção
Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira
2018
AGRADECIMENTOS
Os autores desejam agradecer ao aluno Pierre Goebel, que em uma tarde de verão decidiu digitar
toda apostila de forma voluntária e com o prazer de proporcionar uma leitura agradável aos demais
alunos.
Agradecem também ao Eng. Bruno Sereni que elevou esse material à excelência didática por seu
brilhantismo e vocação natural para arte de uma docência inovadora.
Muito obrigado Bruno e Pierre!
PREFÁCIO
O Material
Esta apostila foi elaborada com o intuito de ser um material complementar aos estudos da teoria de
controle, na disciplina Controle Linear I, ministrada no curso de Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia
de Ilha Solteira, FEIS-UNESP.
Aqui, são abordados os fundamentos da teoria de controle de sistema lineares e contínuos no tempo,
através do conceito de realimentação de sistemas. São discutidos o conceito de estabilidade de um sistema, os
métodos para avaliar a condição de estabilidade de um sistema, e métodos para o projeto de controladores.
Abordam-se, também, os conceitos de função de transferência de sistemas e da representação de sistemas
através de diagrama de blocos. Um foco especial é dado ao estudo da resposta transitória de sistemas de 1ª e 2ª
ordem e ao projeto de controladores utilizando o método do lugar das raízes, visando garantia da estabilidade e
atendimento a critérios de desempenho.
Nos apêndices desta apostila são apresentados os roteiros para as aulas práticas previstas na ementa da
disciplina de Controle Linear I. Os experimentos visam embasar os conceitos teóricos apresentados, aperfeiçoar
a formação dos alunos, além de, especialmente, promover estímulo e motivação para o contínuo aprendizado ao
longo do curso.
Os Autores
Edvaldo Assunção é Professor Adjunto da Universidade Estadual Paulista Júlio de
Mesquita Filho. Possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual
Paulista Júlio de Mesquita Filho (1989), mestrado em Engenharia Eletrônica e
Computação pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (1991) e doutorado em
Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (2000). Tem experiência
na área de Engenharia Elétrica, com ênfase em Teoria de Controle e Automação
Eletrônica, atuando principalmente nos seguintes temas: LMIs, controle ótimo e
robusto 𝐻2 e 𝐻∞ e controle linear. É membro pesquisador do Grupo de Pesquisa
Sistemas de Controle e Automação, cadastrado no Diretório de Grupos de Pesquisa no
Brasil - CNPq.
Marcelo Carvalho Minhoto Teixeixa é Professor Titular do Departamento de
Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (FEIS) da Universidade
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP), onde atua desde 1982. Possui
graduação em Engenharia Elétrica pela Escola de Engenharia de Lins (1979), mestrado
em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (1982) e doutorado
em Engenharia Elétrica pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (1989).
Adicionalmente, fez um estágio de Pós-doutoramento na Purdue University, nos Estados
Unidos, em 1996 e 1997. Tem experiência na área de Engenharia Elétrica, com ênfase em
Teoria de Sistemas de Controle e Automação, atuando principalmente nos seguintes
temas: controle com modelos fuzzy Takagi-Sugeno, LMIs, controle com estrutura
variável, controle adaptativo, controle não-linear, controle com redes neurais, controle
linear, controle clássico e aplicações de controle automático.
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 5
1.1
CONCEITOS BÁSICOS EM CONTROLE ........................................................................................................ 6
2
CLASSIFICAÇÃO E LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS ............................................................... 11
2.1
SISTEMAS LINEARES........................................................................................................................... 12
2.2
LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS ................................................................................................................ 21
2.3
LINEARIZAÇÃO ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................................... 27
2.4
LINEARIZAÇÃO EXATA POR REALIMENTAÇÃO ............................................................................................ 29
3
TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................................................................................ 31
3.1
DEFINIÇÃO ..................................................................................................................................... 32
3.2
PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE .................................................................................... 35
3.3
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ................................................................................................... 40
3.4
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO ................................................... 49
4
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ......................................................................................... 53
4.1
DEFINIÇÃO ..................................................................................................................................... 54
4.2
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CIRCUITOS COM AMPLIFICADOR OPERACIONAL (A.O.) ........................................ 63
4.3
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA ROTACIONAL MECÂNICO ............................................................ 71
4.4
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA ............................................................ 72
5
DIAGRAMA DE BLOCOS.................................................................................................. 76
5.1
INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 77
5.2
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA ..................................................................................... 78
5.3
MANIPULAÇÃO NO DIAGRAMA DE BLOCOS............................................................................................... 81
5.4
SIMPLIFICAÇÃO DE DIAGRAMA DE BLOCOS COM O MATLAB ........................................................................ 90
6
MODELO EM DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAL .................................................................. 92
6.1
DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAL ............................................................................................................ 93
7
ESTABILIDADE DE SISTEMAS DINÂMICOS ......................................................................... 99
7.1
DEFINIÇÃO DE ESTABILIDADE ............................................................................................................. 100
7.2
CRITÉRIO DE BIBO ESTABILIDADE ....................................................................................................... 104
7.3
O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ ................................................................................. 111
7.4
PROJETO DE CONTROLADORES ATRAVÉS DO MÉTODO DE ROUTH-HURWITZ ..................................................... 114
7.5
ESTABILIDADE RELATIVA ................................................................................................................... 118
8
RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SISTEMAS DE 1ª E 2ª ORDEM .............................................. 128
8.1
ENTRADA DEGRAU ......................................................................................................................... 129
8.2
RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SISTEMA DE 1ª ORDEM .................................................................................. 129
8.3
RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM ................................................................................. 133
8.4
RESPOSTA TRANSITÓRIA × LOCALIZAÇÃO DOS POLOS NO PLANO-S.............................................................. 143
8.5
RESPOSTA AO DEGRAU DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR ......................................................................... 147
8.6
RESPOSTA TRANSITÓRIA USANDO O MATLAB ....................................................................................... 150
8.7
ÍNDICES DE DESEMPENHO ITAE, ISE, IAE.............................................................................................. 152
9
ERRO DE REGIME PERMANENTE .................................................................................... 155
9.1
EXEMPLOS DE ERRO DE REGIME PERMANENTE ......................................................................................... 156
9.2
ANÁLISE DE ERROS DE REGIME PERMANENTE .......................................................................................... 158
10
SINAIS DE PERTURBAÇÃO EM SISTEMAS DE CONTROLE .................................................. 166
10.1 SINAIS DE PERTURBAÇÃO .................................................................................................................. 167
11
MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES .................................................................................. 173
11.1 DEFINIÇÃO DE ROOT-LOCUS ............................................................................................................. 174
11.2 AS REGRAS DO ROOT-LOCUS ............................................................................................................ 177
11.3 PROJETO DE CONTROLADORES UTILIZANDO ROOT-LOCUS ......................................................................... 193
11.4 TÉCNICA DE CANCELAMENTO DE POLOS E ZEROS...................................................................................... 201
11.5 OBTENDO O ROOT-LOCUS ATRAVÉS DO MATLAB ................................................................................... 204
APÊNDICE A – LABORATÓRIO 1: INTRODUÇÃO AO MATLAB .................................................... 210
APÊNDICE B – LABORATÓRIO 2: INTRODUÇÃO À ROBÓTICA ................................................... 236
APÊNDICE C – LABORATÓRIO 3: CONTROLE DE MOTOR C.C.................................................... 239
APÊNDICE D – LABORATÓRIO 4: PROJETO E IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLADORES USANDO A
TÉCNICA DO LUGAR DAS RAÍZES PARA O SISTEMA BALL BALANCER......................................... 242
APÊNDICE E – LABORATÓRIO 5: RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SISTEMAS DINÂMICOS E ERROS DE
REGIME PERMANENTE ........................................................................................................... 255
BIBLIOGRAFIA BÁSICA ........................................................................................................... 261
CAPÍTULO 1 - Introdução
CAPÍTULO
1
1 Introdução
INTRODUÇÃO
Neste Capítulo...
Não é difícil pensar em
situações do dia-a-dia
nas quais usamos os
conceitos relacionados à
teoria de controle. Por
exemplo, quando
dirigimos um carro nós
realizamos o controle da
velocidade ao medi-la
através do velocímetro.
Então, a partir desta
medida, decidimos se
devemos pisar mais no
acelerador, ou se
devemos tirar o pé, para
que a velocidade que
desejamos seja atingida.
Este é o preceito básico
de realimentação, algo
que discutiremos em
detalhes neste capítulo.
Roberto Nickson – Unsplash (CC0)
Controle está
em toda parte
Iremos dar início ao estudo na busca de compreender o que é e como
controlar um sistema. Veremos, também, a ideia de como representar
um sistema através de seu modelo matemático, e apresentaremos um
conceito fundamental da teoria de controle: a realimentação.
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
1.1
Conceitos Básicos em Controle
A engenharia diz respeito ao conhecimento e ao controle de materiais e forças da natureza
para o benefício da humanidade. Dizem respeito aos engenheiros de sistemas de controle
o conhecimento e controle de segmentos à sua volta, chamados de sistemas, com a
finalidade de dotar a sociedade de produtos úteis e econômicos. Os objetivos duplos de
conhecimento e controle são complementares, uma vez que o controle efetivo de sistemas
requer que os sistemas sejam compreendidos e modelados. Além disso, a engenharia de
controle deve considerar muitas vezes o controle de sistemas mal conhecidos, como
sistemas de processos químicos. O presente desafio ao engenheiro de controle é a
modelagem e o controle de sistemas modernos, complexos e interligados, como sistemas
de controle de tráfego, processos químicos, sistemas robóticos e automação industrial e
controla-los em benefício da sociedade.
Um sistema de controle é uma interconexão de componentes formando uma
configuração de sistemas que produzirá uma resposta desejada do sistema. A base para
análise de um sistema é formada pelos fundamentos fornecidos pela teoria dos sistemas
lineares, que supõe uma relação de causa e efeito para os componentes de um sistema.
Apresentamos a seguir uma definição de sistema.
Sistema: é qualquer coisa que interage com o meio ambiente, recebendo deste
informações ou ações chamadas entradas ou excitações e reagindo sobre ele dando uma
resposta ou saída. Isto está sintetizado na figura abaixo:
Figura 1.1 Representação de um sistema e da relação entrada-saída.
Geralmente, u(t) e y(t) são relacionados matematicamente através de uma equação
diferencial.
Exemplos de sistemas: i) um avião cuja entrada é o combustível e a saída é seu
deslocamento, ii)uma caldeira cujas entradas são ar e combustível e a saída é a
temperatura da água, iii) um automóvel cuja entrada é o ângulo do acelerador e a saída é
a velocidade do automóvel, iv) o rastreador solar cuja entrada é a posição relativa do sol
e a saída é a posição angular das placas conversoras de energia solar.
O modelo matemático de um sistema é muito importante (fundamental) para o
projeto de controle automático. O modelo de um sistema é a relação entre a entrada u(t)
e a saída y(t) do sistema. O modelo pode ser obtido usando-se leis físicas, por exemplo,
leis de Newton, leis de Kirchoff, etc. Ou então usando-se metodologias experimentais, com
por exemplo respostas transitórias, respostas em frequência etc.
6
CAPÍTULO 1 – Introdução
O controle de um sistema baseia-se em medir uma variável de interesse do sistema
e, a partir desta leitura, atuar sobre o mesmo de forma a conduzir o valor medido até um
certo valor desejado. Um fundamento básico da teoria de controle é o uso da
realimentação. Através de exemplos, iremos introduzir o conceito de realimentação.
Exemplo 1.1 Considere o seguinte problema no qual uma pessoa deseja aquecer o
interior de uma sala, tendo em vista que a temperatura externa é 0 °C. Para isto ele dispõe
de um aquecedor superdimensionado e um termômetro para leitura da temperatura
interna da sala.
Figura 1.2 Problema de controle de temperatura.
O objetivo de controle é manter a temperatura da sala em Ts=22 °C, mesmo na
ocorrência de alguns eventos: abrir a porta, desligar o fogão etc. E que a pessoa possa
dormir, isto é, que ela não precise se preocupar com o controle da temperatura.
1ª Estratégia: o homem fecha a chave e então vai dormir. O sistema de controle
pode ser esquematizado no seguinte diagrama:
Figura 1.3 Diagrama de blocos do sistema de controle de temperatura em malha aberta.
Neste caso temos que o sistema de controle é uma conexão série de três outros
sistemas: HOMEM-CHAVE-AQUECEDOR. Esta configuração é chamada de sistema de
malha aberta.
7
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
O resultado é que a temperatura da sala irá crescer indefinidamente se o aquecedor
estiver superdimensionado e Ts >> 22 °C. Essa estratégia falhou. Neste caso:
Figura 1.4 Comportamento da resposta Ts (°C) para a primeira estratégia de controle.
2a estratégia: o homem lê o termômetro e usa a seguinte tática:
Se Ts  22 °C ele liga a chave
Se Ts > 22 °C ele desliga a chave
Neste caso teremos:
Figura 1.5 Comportamento da resposta Ts (°C) para a segunda estratégia de controle.
Neste caso o homem não terá altas temperaturas, esta estratégia é melhor que a 1º
porém, o homem não dormirá. O diagrama de blocos deste sistema de controle é:
Figura 1.6 Diagrama de blocos do sistema de controle de temperatura em malha fechada.
8
CAPÍTULO 1 – Introdução
3a estratégia: controle automático usando um bimetal.
O bimetal é composto de dois metais com coeficientes de dilatação térmica
diferentes.
Figura 1.7 Princípio de funcionamento do bimetal.
Vemos que o bimetal sofre deformações caso a temperatura esteja acima de um
certo valor, que varia de bimetal para bimetal. No exemplo apresentado pela Figura 7 (a),
vemos que quando a temperatura está abaixo de 22 °C, o bimetal curva-se para cima. Caso
a temperatura do bimetal esteja acima de 22 °C, então o mesmo encurva-se para baixo.
Este comportamento pode ser usado para realizar a automação do aquecedor,
conforme mostra a Figura 1.7(b), onde o contato elétrico do circuito é fechado sempre
que a temperatura estiver abaixo de 22 °C.
O diagrama de blocos deste sistema de controle é:
Figura 1.8 Diagrama de blocos do sistema de controle de temperatura em malha fechada sem intervenção do homem.
Note que este é um sistema de malha fechada.
Esta é a melhor tática, pois o homem poderá dormir e a temperatura da sala será
mantida em Ts  22 °C.
Fator de sucesso: a decisão é tomada após a comparação entre o que queremos e o
realmente temos, ou seja, existe realimentação.
9
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
O esquema genérico de um sistema de malha fechada é:
Figura 1.9 Representação gráfica de um sistema em malha fechada.
Exemplo 1.2 sistema de controle biológico, consistindo de um ser humano que tenta
apanhar um objeto.
Figura 1.10 Sistema de controle biológico: apanhando um objeto com as mãos.
O sistema de malha aberta tem as seguintes vantagens:
i.)
Simples construção;
ii.)
Mais barato que a malha fechada;
iii.)
Conveniente quando a saída é de difícil acesso ou economicamente não disponível.
E ter as seguintes desvantagens:
i.)
Distúrbios e variações na calibração acarretam erros e a saída pode ser diferente
da desejada;
ii.)
Para manter a qualidade na saída é necessária uma recalibração periódica;
iii.)
Inviável para sistemas instáveis
10
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
2
2 Classificação e Linearização de Sistemas
CLASSIFICAÇÃO E
LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS
Neste Capítulo...
As equações diferenciais
que regem a dinâmica de
voo de um helicóptero
militar de carga são não
lineares. Entretanto,
quando se objetiva
desenvolver um controle
de voo automático para
uma máquina dessas, seu
modelo matemático pode
ser linearizado, e
técnicas de controle
linear podem ser
aplicadas, tornando o
projeto de controle mais
simples. O renomado
matemático russo
Alexander M. Lyapunov
(1857-1918) provou, a
mais de 100 anos, a
validade da estabilização
de sistemas não lineares
via modelos lineares
obtidos a partir de
linearização em torno de
um ponto de operação
(ou equilíbrio).
Wes Calder – Defense Images - Flickr (CC BY-NC 2.0)
Controle de voo
Veremos que os sistemas de interesse em controle podem ser
classificados como lineares ou não lineares, de acordo com o
princípio de superposição. Entretanto, veremos que com a técnica de
linearização poderemos aplicar teoria de controle linear para
controlar sistemas sistema não lineares.
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
2.1
Sistemas Lineares
Seja o sistema abaixo, considerando com condições iniciais nulas, I.C.=0. Em um
sistema físico isto equivale a dizer que o sistema não possui energia armazenada em t=0
(o sistema estará em repouso).
Figura 2.1 Sistema com condições iniciais nulas.
Suponha que a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t) e que a entrada u(t)=u2(t)
gera a saída y(t)=y2(t), tal como mostra a Figura 2.2.
Figura 2.2 Representação do sistema com condições iniciais nulas para duas entradas distintas.
A partir das considerações apresentadas, podemos agora definir o conceito de
sistema linear.
Definição: um sistema é dito linear em termos da sua excitação u(t) (entrada) e sua
resposta y(t) (saída) se o princípio de superposição for “respeitado” pelo sistema.
Princípio de Superposição
Se a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t), se a entrada u(t)=u2(t) gera a saída
y(t)=y2(t) e se aplicarmos no sistema uma combinação linear das entradas u1(t) e u2(t),
ou seja, u(t)=u1(t)+u2(t) a saída y(t) será a mesma combinação linear das saídas y1(t)
e y2(t), ou seja, y(t)=y1(t)+y2(t),   e .
Figura 2.3 Representação do princípio de superposição.
Desta forma, para verificar se um sistema é linear aplica-se o Princípio da
Superposição.
12
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas
Exemplo 2.1: Verifique se o sistema y(t)=a∙u(t) é linear.
Figura 2.4 Representação do sistema y(t)=a∙u(t).
Solução: Para verificar se o sistema é linear, utilizaremos o princípio da superposição,
supondo a existência de duas entradas distintas,
u(t)= u1(t) e u(t)=u2(t), e em seguida aplicando a
seguinte combinação linear:
𝑢(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑢1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2 (𝑡)
no sistema 𝑦(𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢(𝑡). Na Figura 2.5, temos
uma representação gráfica deste sistema.
Figura 2.5 Característica de saída do sistema y(t)=a∙u(t).
Seguindo o raciocínio apresentado, temos:
Para 𝑢1 (𝑡) tem-se 𝑦1 (𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢1 (𝑡)
Para 𝑢2 (𝑡) tem-se 𝑦2 (𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢2 (𝑡)
(2.2)
Para 𝑢(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑢1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2 (𝑡) tem-se 𝑦(𝑡) = 𝑎[𝛼 ∙ 𝑢1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2 (𝑡)]
Ainda, 𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑎 ∙ 𝑢1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑎 ∙ 𝑢2 (𝑡)]
(2.3)
(2.1)
Substituindo (2.1) e (2.2) em (2.3) tem-se:
𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2 (𝑡)
Portanto o princípio da superposição foi respeitado, logo o sistema em questão é
linear.
Exemplo 2.2: Verifique se o sistema dado por y(t)= a∙u(t)+b é linear ou não.
Figura 2.6 Representação do sistema y(t)=a∙u(t)+b.
13
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Solução: De forma análoga ao realizado no Exemplo 2.1, vamos observar se o sistema em
questão respeita o princípio de superposição.
Considerando, então, duas entradas distintas,
temos:
𝑢1 (𝑡) ⇒ 𝑦1 (𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢1 (𝑡) + 𝑏 ⇒ 𝑢1 (𝑡) =
𝑦1 (𝑡)−𝑏
(2.4)
𝑢2 (𝑡) ⇒ 𝑦2 (𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢2 (𝑡) + 𝑏 ⇒ 𝑢2 (𝑡) =
𝑦2 (𝑡)−𝑏
(2.5)
e,
Figura 2.7 Característica de saída do sistema y(t)=a∙u(t)+b.
𝑎
𝑎
Agora, considerando uma entrada dada
por uma combinação linear das entradas
anteriormente apresentadas, obtém-se:
𝑢(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑢1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2 (𝑡) ⇒ 𝑦(𝑡) = 𝑎[𝛼 ∙ 𝑢1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2 (𝑡)] + 𝑏
(2.6)
Substituindo (2.4) e (2.5) em (2.6) tem-se:
ou ainda,
𝑦(𝑡) = 𝑎 [
𝛼(𝑦1 (𝑡) − 𝑏) 𝛽(𝑦2 (𝑡) − 𝑏)
+
]+𝑏
𝑎
𝑎
𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2 (𝑡) + 𝑏(1 − 𝛼 − 𝛽)
(2.7)
Observe que (2.7) será igual a 𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2 (𝑡) se, e somente se,
b=0
ou
(1--)=0  =1-
Porém, no enunciado foi suposto que b0. Note que, assim, a expressão =1-
restringe os valores de  e . Entretanto, vimos que para que seja um sistema seja linear
é necessário que 𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2 (𝑡),   e   , portanto concluímos que o
sistema
não é linear.
𝑦(𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝑏
Assim, a partir dos resultados obtidos nos Exemplos 2.1 e 2.2, podemos concluir
que, equações lineares em suas respectivas variáveis, não necessariamente se encaixarão
na definição de sistema linear apresentada.
14
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas
A figura ao lado resume as conclusões obtidas.
Veja que ambas as retas são lineares em u(t), porém o
termo b≠0 derruba o princípio de superposição para o
sistema do Exemplo 2.2.
Uma característica interessante de se observar é
que b=0 implica no fato de que a reta y(t)
necessariamente passa pela origem do plano.
Figura 2.8 Sistemas definidos por retas não
necessariamente enquadram-se no conceito de
sistema linear
Exemplo 2.3: Mostre que o sistema chamado integrador eletrônico é linear.
Figura 2.9 Sistema integrador eletrônico
Solução: Ao avaliar o princípio de superposição, consideramos as seguintes entradas
distintas:
𝑡𝑓
𝑢(𝑡) = 𝑢1 (𝑡) ⇒ 𝑦1 (𝑡) = ∫ 𝑢1 (𝑡)𝑑𝑡
(2.8)
𝑢(𝑡) = 𝑢2 (𝑡) ⇒ 𝑦2 (𝑡) = ∫ 𝑢2 (𝑡)𝑑𝑡
(2.9)
0
𝑡𝑓
0
Assim, uma entrada dada por uma combinação linear de 𝑢1 (𝑡) e 𝑢2 (𝑡) gera uma
saída y(t) tal que
𝑡𝑓
𝑢(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑢1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2 (𝑡) ⇒ 𝑦(𝑡) = ∫ [𝛼 ∙ 𝑢1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2 (𝑡)]𝑑𝑡
0
e, devido as propriedades lineares da integral, 𝑦(𝑡) pode ser reescrita como
𝑡𝑓
𝑡𝑓
𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ (∫ 𝑢1 (𝑡)𝑑𝑡) + 𝛽 ∙ (∫ 𝑢2 (𝑡)𝑑𝑡)
0
Substituindo (2.8) e (2.9) em (2.10) tem-se
0
𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1 (𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2 (𝑡)
e, portanto, o sistema integrador eletrônico é um sistema linear.
15
(2.10)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Informações Complementares
O circuito eletrônico que implementa o integrador utiliza amplificadores operacionais (A.O.). Tal
circuito é representado abaixo.
Figura 2.10 Circuito eletrônico que implementa o sistema integrador
O amplificador operacional será alvo de estudos mais detalhados, uma vez que este possui um
papel fundamental no desenvolvimento da teoria de controle.
Exercícios
2.1
Determine se os sistemas a seguir são lineares.
a) y(t) = 𝑢2 (𝑡).
b) y(t) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑢(𝑡)).
c) y(t) = cos(𝑢(𝑡)).
d) y(t) =
1
𝑢(𝑡)
, 𝑢(𝑡) ≠ 0.
e) y(t) = u(t).
f)
𝑡
y(t) = 5 ∫0 𝑓 𝑢(𝑡)𝑑𝑡 + 2
g) 𝑦(𝑡) = √𝑢(𝑡).
h) 𝑦(𝑡) =
i)
1
.
𝑢2 (𝑡)
y(t) = 10 ∙ u(t) + 22
𝑑
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
(𝑢(𝑡)).
𝑡
(𝑢(𝑡)) + 3 ∫0 𝑓 𝑢(𝑡)𝑑𝑡.
Observação
O sistema apresentado no Exercício 2.1-i) é um controlador industrial conhecido como
controlador PID. O projeto de um controlador PID consiste em ajustar três parâmetros conhecidos
como ganhos (Proporcional, Integral e Derivativo). Tal ajustes são feitos forma recursiva para
fornecer a dinâmica desejada ao sistema que se deseja controlar.
Devido a facilidade que apresenta para ser implementado, os PIDs são largamente utilizados
na indústria. Iremos estudar em maiores detalhes o projeto de controladores PID no Volume 2 deste
curso.
16
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas
Sistemas Dinâmicos
Controle baseia-se no intento de garantir determinadas características de
interesse aos mais diversos tipos de sistemas. Via de regra, os sistemas de interesse neste
curso são sistemas dinâmicos, isto é, sistemas que apresentam comportamentos que
variam durante sua operação.
Esta classe de sistemas é facilmente encontrada nas mais diversas áreas e
aplicações, como as máquinas elétricas em nas indústrias, os aviões-caça na área militar,
ônibus espaciais na área da pesquisa espacial, as reações químicas no campo da biologia,
o mercado de ações na área da economia, e assim por diante.
De forma geral, os sistemas dinâmicos podem ser expressos por equações
diferenciais da forma
𝑛
𝑚
𝑖=0
𝑗=0
∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦 𝑖 (𝑡) = ∑ 𝑏𝑗 (𝑡) 𝑢 𝑗 (𝑡)
(2.11)
sendo que, u(t) é a entrada do sistema, y(t) a saída do sistema, yi(t) denota a i-ésima
derivada de y(t) e uj(t) denota a j-ésima derivada de u(t).
Utilizando a estratégia baseada no princípio de superposição, podemos
demonstrar que sistemas representados segundo a forma (2.11) são lineares.
Suponha que para a entrada u(t)= u1(t) a solução de (2.11) proporciona y(t)=y1(t)
e que para u(t)= u2(t)  y(t)= y2(t), temos:
𝑛
𝑚
𝑖=0
𝑗=0
𝑢1 (𝑡) ⇒ ∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦1 𝑖 (𝑡) = ∑ 𝑏𝑗 (𝑡) 𝑢1 𝑗 (𝑡)
(2.12)
𝑢2 (𝑡) ⇒ ∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦2 𝑖 (𝑡) = ∑ 𝑏𝑗 (𝑡) 𝑢2 𝑗 (𝑡)
(2.13)
𝑚
𝑛
𝑗=0
𝑖=0
Para u(t)= u1(t)+u2(t), como  e  são constantes então uj(t)= u1j(t)+u2j(t),
então obtém-se
𝑛
𝑚
𝑖=0
𝑗=0
∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦 𝑖 (𝑡) = ∑ 𝑏𝑗 (𝑡) [𝛼𝑢1 𝑗 (𝑡) + 𝛽𝑢2 𝑗 (𝑡)]
ou ainda,
𝑛
∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦
𝑖=0
𝑖 (𝑡)
𝑚
= 𝛼 (∑ 𝑏𝑗 (𝑡) 𝑢1
𝑗=0
𝑗 (𝑡))
𝑚
+ 𝛽 (∑ 𝑏𝑗 (𝑡) 𝑢2 𝑗 (𝑡))
𝑗=0
Mas, por (2.12) e (2.13), podemos reescrever (2.14) como
17
(2.14)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
𝑛
∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦
𝑖=0
𝑖 (𝑡)
𝑛
= 𝛼 (∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦1
𝑖=0
𝑖 (𝑡))
𝑛
+ 𝛽 (∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦2 𝑖 (𝑡)).
𝑖=0
E, lembrando que 𝛼 é uma constante, esta pode ser incluída nos somatórios, sem
comprometer o resultado das operações. Assim, chega-se a
𝑛
∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦
𝑖=0
linear.
𝑖 (𝑡)
𝑛
= ∑ 𝑎𝑖 (𝑡) [𝛼𝑦1 𝑖 (𝑡) + 𝛽𝑦2 𝑖 (𝑡)].
(2.15)
𝑖=0
Por (2.15), podemos concluir que 𝑦 𝑖 (𝑡) = 𝛼𝑦1 𝑖 (𝑡) + 𝛽𝑦2 𝑖 (𝑡), logo o sistema é
Sistemas Lineares Variantes e Invariantes no Tempo
Considerando a representação de sistemas dinâmicos através de equações
diferenciais, tal como apresentamos anteriormente, podemos fazer algumas observações
importantes a respeito dos elementos ai(t) e bj(t). Tais elementos são denominados
parâmetros do sistema, e carregam as informações que descrevem o sistema. Com base
na característica destes parâmetros, os sistemas apresentam diferentes dinâmicas.
Quando todos os parâmetros ai(t) e bj(t) são constantes (isto é, para todo i=1, 2, ...,
n e j=1, 2, ... , m), então temos um sistema linear e invariante no tempo (SLIT). Isso
significa que as características do sistema não sofrem mudanças ao longo do tempo. Por
exemplo, uma esfera caindo em queda livre sob ação da força gravitacional pode ser
considerado como um SLIT, uma vez que a massa (parâmetro do sistema) não varia com
o tempo.
Agora, caso algum dos parâmetros ai(t) e bj(t) sofram variações ao longo do tempo
tempo (para algum i=1, 2, ... , n e/ou j=1, 2, ... , m), então temos um sistema linear
variante no tempo (SLVT). Este tipo de sistema apresenta características que não se
mantem constantes. Um foguete lançador de nave espacial é um SLVT, pois ao longo do
lançamento sua massa sofre drástica diminuição a medida que o combustível do
propulsor vai sendo consumido.
Vejamos, em maiores detalhes, estes exemplos de sistemas SLIT e SLVT.
Exemplo 2.4: Sistema linear invariante no tempo (SLIT)
O levitador magnético é um sistema físico muito interessante, cujo objetivo
consiste em manter uma esfera suspensa no ar, através da compensação da força
gravitacional por meio da ação de uma força de origem magnética.
Isso é obtido por meio do uso de uma bobina elétrica que, ao ser percorrida por
uma corrente elétrica, produzirá um campo magnético (𝐵) em seu interior e no espaço ao
seu redor.
Ao posicionar uma esfera de material ferromagnético, em uma posição
suficientemente próxima à bobina, a ação do campo magnético induz uma força magnética
18
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas
que tenderá a aproximar a esfera da bobina. A Figura 2.11 apresenta uma montagem que
permite utilizar este fenômeno para a construção do levitador magnético.
Assim, podemos equacionar este sistema
através da força resultante que atua sobre a esfera.
Seja 𝐹(𝑡) a força resultante que atua sobre a esfera.
Sendo 𝑀 a massa da esfera, 𝑔 o módulo da aceleração
gravitacional, 𝑓𝑚𝑎𝑔 o módulo da força magnética que
atua sob a esfera e 𝑦̈ (𝑡) a aceleração resultante da
esfera, temos
𝐹(𝑡) = 𝑓𝑚𝑎𝑔 − 𝑀𝑔 = 𝑀𝑦̈ (𝑡)
(2.16)
Então, adotando a força resultante 𝐹(𝑡) como
entrada do sistema 𝑢(𝑡) e considerando como saída
𝑦(𝑡) a posição vertical da esfera, podemos descrever
este sistema segundo
Figura 2.11 Diagrama esquemático: levitador
magnético
1
𝑦̈ (𝑡) = 𝑢(𝑡)
𝑀
(2.17)
Podemos observar que a equação diferencial dada em (2.17) está na forma padrão
que for apresentada anteriormente, isto é
𝑛
𝑚
𝑖=0
𝑗=0
∑ 𝑎𝑖 (𝑡) 𝑦 𝑖 (𝑡) = ∑ 𝑏𝑗 (𝑡) 𝑢 𝑗 (𝑡)
pois, para 𝑛 = 2 e 𝑚 = 0, temos
SLIT.
Portanto, como os parâmetros 𝑎𝑖 e 𝑏𝑗 são todos constantes no tempo, este é um
Exemplo 2.5: Sistema linear variante no tempo (SLVT)
Analisaremos, agora, o exemplo do foguete lançador de nave espacial. O
combustível é consumido durante o percurso e, portanto, a massa total do sistema varia
ao longo do tempo.
Para descrever este sistema, faremos uso de um modelo simplificado do problema,
que aborda apenas as variáveis de interesse no momento. Para tanto, consideremos a
19
(2.18)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
representação gráfica apresentada na Figura 2.12.
Figura 2.12 Foguete lançador e seu modelo simplificado
Na construção do modelo matemático do foguete lançador, descreveremos a força
resultante em termos da variação do momento linear em relação ao tempo, ou seja:
𝑓(𝑡) − 𝑓𝑔 (𝑡) − 𝑓𝑎 (𝑡) =
de forma que
𝑑ℎ(𝑡)
𝑑𝑡
(2.19)
ℎ(𝑡) = 𝑚(𝑡) ∙ 𝑣(𝑡)
(2.20)
𝑢𝑟 (𝑡) = 𝑓(𝑡) − 𝑓𝑔 (𝑡) − 𝑓𝑎 (𝑡)
(2.21)
onde 𝑚(𝑡) é a massa e 𝑣(𝑡) a velocidade.
Seja 𝑢𝑟 (𝑡) a força resultante, ou seja:
Substituindo (2.19) e (2.20) em (2.21) temos:
ou ainda,
𝑢𝑟 (𝑡) =
𝑑
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑚(𝑡)
(𝑚(𝑡) ∙ 𝑣(𝑡)) =
∙ 𝑣(𝑡) + 𝑚(𝑡) ∙
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑚(𝑡)
∙ 𝑦̇ (𝑡) + 𝑚(𝑡) ∙ 𝑦̈ (𝑡) = 𝑢𝑟 (𝑡)
𝑑𝑡
(2.22)
E, colocando a expressão (2.22) forma padrão para sistemas dinâmicos, observase que
20
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas
(2.23)
Por (2.23), vemos que os parâmetros a1 e a2 são dependentes do tempo, ou seja,
concluímos que, de fato, este é um SLVT.
Exercícios
2.2 Descreva 5 sistemas que sejam SLIT e 5 sistemas que sejam SLVT. Não se esqueça
de mostrar qual é a entrada e qual é a saída de cada sistema.
2.3 Suponha que o sistema de deslocamento de um trem de metrô seja linear, e
considere que o trem utiliza energia elétrica para se mover. Analisando o
movimento entre uma estação e a próxima pode, este sistema classifica-se como
SLIT ou SLVT? E se a análise for feita no movimento entre as duas estações
extremas da linha?
2.4 Demonstre a equação diferencial na forma padronizada do integrador eletrônico
estudado neste capitulo, considerando que
1 𝑡𝑓
∫ 𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡) = −
𝑅𝐶 𝑜
é a expressão da saída y(t) fornecida pelo integrador. (Repare que a forma padrão
é apresentada em termo apenas das derivadas da entrada e da saída do sistema).
2.2
Linearização de Sistemas
Na engenharia de controle, uma operação normal do sistema pode ser em torno do
que chamamos de ponto de equilíbrio. Nestas condições, o sistema apresenta variações
bem pequenas em seus sinais.
Para entender melhor este conceito, imagine-se
equilibrando uma vareta na palma de sua mão. É possível
observar (se você for bom em equilibrar coisas) que uma
vez colocada na posição vertical, você acaba precisando
fazer apenas pequenas correções na posição de sua mão
para mantê-la equilibrada. Note, também, que o ângulo
que a vareta faz com a vertical sofre variações bem
pequenas enquanto você a mantém equilibrada. Este
sistema que acabamos de imaginar é chamado de
pêndulo invertido (Figura 2.13), e é caracterizado como
Figura 2.13 Sistema não linear: pêndulo invertido
sendo não linear, e a posição em que a vareta faz 90° com
a palma da sua mão (𝜃 = 0°) é um ponto de equilíbrio deste sistema.
21
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
A grande questão é que se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e
se os sinais envolvidos forem pequenos, então é possível aproximar o sistema não linear
por um sistema linear, ou seja, linearizar o sistema. Assim, o sistema linear obtido é
equivalente ao sistema não linear, considerado dentro de um conjunto limitado de
operações.
Existem várias formas de se obter um modelo linear de um sistema. O processo
de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento da função não
linear em uma série de Taylor em torno de um ponto de operação e a retenção somente
do termo linear.
Como vimos, a linearização de um sistema não linear supõe que o sistema operará
próximo de um ponto de equilíbrio, também chamado de ponto de operação (P.O.).
Considere que o sistema:
Figura 2.14 Sistema y(t)=f(x).
opera próximo ao ponto de operação (P.O.):
Expandindo y=f(x) em uma série de Taylor em torno deste ponto, teremos:
(𝑥 − 𝑥𝑜 )2
𝜕 2 𝑓(𝑥)
𝜕𝑓(𝑥)
)
(𝑥
| ) − 𝑥𝑜 + (
| )
+⋯
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)|𝑃.𝑂. + (
𝜕𝑥 2 𝑃.𝑂.
2!
𝜕𝑥 𝑃.𝑂.
(2.24)
sendo P.O.=(xo,yo), que é o ponto de operação do sistema.
A suposição de que o sistema não linear irá operar em torno do P.O., implica que x
ficará próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando elevado a 2, 3, ... será menor ainda,
portanto:
(𝑥 − 𝑥𝑜 )2
(𝑥 − 𝑥𝑜 )3
≅0,
≅ 0, ⋯
2!
3!
(2.25)
Substituindo (2.25) em (2.24) tem-se:
ou
𝜕𝑓(𝑥)
𝑦 ≅ 𝑓(𝑥)|𝑃.𝑂. + (
| ) (𝑥 − 𝑥𝑜 )
𝜕𝑥 𝑃.𝑂.
22
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas
𝑦 ≅ 𝑓(𝑥𝑜 ) + (
𝒚𝒐
𝜕𝑓(𝑥)
) (𝑥 − 𝑥𝑜 ) ⇒ 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑚𝛥𝑥 ⇒ 𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝑚𝛥𝑥
|
𝜕𝑥 𝑥=𝑥
𝒎
E, finalmente:
𝑜
𝚫𝒙
Δ𝑦 = 𝑚Δ𝑥
(2.26)
Note que (2.26) define um sistema linear, tal como verificamos no Exemplo 2.1.
Na Figura 2.12, temos uma interpretação geométrica do procedimento de linearização
descrito acima.
Figura 2.15 Linearização em torno do ponto de operação P.O.
Se tivermos uma função de várias variáveis:
𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) 𝑒 𝑃. 𝑂. = (𝑥1𝑜 , 𝑥2𝑜 , ⋯ , 𝑥𝑛𝑜 , 𝑦𝑜 )
a expansão em série de Taylor desprezando-se potências maiores que 1 é dada por:
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
| ) (𝑥1 − 𝑥1𝑜 ) + (
| ) (𝑥2 − 𝑥2𝑜 ) + ⋯ + (
| ) (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛𝑜 )
𝑦(𝑡) ≅ ⏟
𝑓(∙)|𝑃.𝑂. + (
𝜕𝑥1 𝑃.𝑂.
𝜕𝑥2 𝑃.𝑂.
𝜕𝑥𝑛 𝑃.𝑂.
⏟
⏟
⏟
𝑦0
ou ainda,
𝑚1
𝑚2
𝑦⏟− 𝑦0 ≅ 𝑚1 𝛥𝑥1 + 𝑚2 𝛥𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝛥𝑥𝑛 .
∆𝑦
23
𝑚𝑛
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
E, assim,
∆𝑦 = 𝑚1 𝛥𝑥1 + 𝑚2 𝛥𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝛥𝑥𝑛
Observação
Se o cálculo de y0, m1, m2, ... , mn não for possível de ser realizado devido à ocorrência de
divisão por zero, diz-se que o sistema não é linearizável em torno do P.O. em questão.
que é um sistema linear.
Exemplo 2.6: Linearize a função que corresponde ao momento (torque) que a massa m
faz com relação ao ponto “P” do pêndulo simples abaixo. Linearizar em torno do ponto de
operação  = 0.
O momento é dado por:
𝐼 =𝐹∙𝑟
Neste caso, a força perpendicular à alavanca
(formada pela corda que prende a esfera ao ponto P)
corresponde a componente da força peso dada por
𝐹 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)
E, o comprimento do braço de alavanca é dado pela
extensão do fio. Logo, o momento pode ser reescrito tal
como
Figura 2.16 Diagrama do sistema
pêndulo simples.
𝐼 = 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Observação
Note que 𝑔(𝜃) é não linear:
𝜃 = 𝜃1 ⇒ 𝑠𝑒𝑛(𝜃1 )
e
𝜃 = 𝜃2 ⇒ 𝑠𝑒𝑛(𝜃2 )
𝜃 = 𝛼 ∙ 𝜃1 + 𝛽 ∙ 𝜃2 ⇒ 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ∙ 𝜃1 + 𝛽 ∙ 𝜃2 ) ≠ 𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃1 ) + 𝛽 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃2 )
Logo, este fato implicará na não linearidade de 𝑔(𝜃).
Definimos, assim, uma função 𝑔(𝜃) tal que
𝑔(𝜃) = 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Como neste caso, o ponto de operação é =0, a expansão em série de Taylor,
descartando os termos de ordem superior a 1, fornece:
24
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas
mas,
e,
logo,
𝑔(𝜃) ≅ 𝑔(𝜃)|𝜃=0 + (
𝜕𝑔(𝜃)
| ) (𝜃 − 0)
𝜕𝜃 𝜃=0
𝑔(𝜃)|𝜃=0 = 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(0) = 0
(2.28)
𝜕𝑔(𝜃)
= 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝜕𝜃
(2.29)
𝜕𝑔(𝜃)
|
= 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠(0) = 𝑚𝑔𝑙
𝜕𝜃 𝜃=0
Assim, substituindo (2.28) e (2.29) em (2.27), temos
𝑔(𝜃) = 𝑚𝑔𝑙𝜃
A Figura 2.17 apresenta a característica do sistema pêndulo simples e sua
linearização em torno do ponto de operação 𝜃 = 0, com o auxílio do software MATLAB®.
𝜋
𝜋
Estes gráficos mostram que para − ≤ 𝜃 ≤ o sistema linearizado é uma boa
aproximação do sistema não linear.
4
4
Figura 2.17 Gráficos para o sistema pêndulo simples e sua linearização em torno do P.O. 𝜃 = 0.
25
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Exemplo 2.7: Linearize a função 𝑃(𝑖) = 𝑅 ∙ 𝑖 2 em torno do P.O. 𝑖𝑜 = 1 𝐴, e apresente sua
interpretação geométrica.
Solução: Expandindo a função 𝑃(𝑖) em sua série de
Taylor, descartando os termos de ordem superior a 1:
𝑃(𝑖) ≅ 𝑃(𝑖)|𝑖𝑜 +
𝜕𝑃(𝑖)
| (𝑖 − 𝑖𝑜 )
𝜕𝑖 𝑖𝑜
Figura 2.18 Sistema P(i)=Ri² : Potência
elétrica dissipada por um resistor.
Derivando 𝑃(𝑖) com respeito a 𝑖 obtemos
𝜕𝑃 𝜕𝑅𝑖 2
=
= 2𝑅𝑖
𝜕𝑖
𝜕𝑖
Logo, no ponto de operação considerado, temos:
𝑃|𝑖𝑜 =1 = 𝑅 ∙ 12 𝑒
𝜕𝑃
|
= 2𝑅 ∙ 1
𝜕𝑖 𝑖𝑜 =1
e, substituindo estes resultados na expressão linearizada de 𝑃(𝑖), chega-se a
𝑷|𝒊𝒐=𝟏
⏞ ∙ 12 = 2𝑅
⏟ ∙ 1 (𝑖
𝑃(𝑖) = 𝑅 ∙ 12 + 2𝑅 ∙ 1(𝑖 − 1) ⇒ 𝑃(𝑖)
⏟ −𝑅
⏟ − 1)
𝜟𝑷
ou, equivalentemente:
𝑅=100 𝛺
𝛥𝑃 = 2𝑅 ∙ 𝛥𝑖 →
Interpretação geométrica:
𝒎
𝜟𝒊
𝜟𝑷 = 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝜟𝒊
Figura 2.19 Representação gráfica de P(i) e sua linearização em torno de io=1 A.
26
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas
Exercícios
𝜋
2.5 Repita o Exemplo 2.6 para 𝑔(𝜃) = 0,1 cos(𝜃), e 𝜃𝑜 = . Use o MATLAB para
2
Adaptado de (MORITA et. al. 2002)1
desenhar os gráficos da função não linear e a linearizada.
2.6 Linearize as funções a seguir em torno P.O. 𝑥𝑜 = 1.
a) 𝑦(𝑥) = 5𝑥 + 2
b) 𝑦(𝑥) = 3√𝑥 + 1
c) 𝑦(𝑥) = 2𝑥 3
2.7 Uma área tecnológica de grande importância atualmente são as pesquisas para o
desenvolvimento de micro e macro sistemas. A teoria de controle é fundamental
para o seu avanço tecnológico. Considere o micro levitador dado na figura abaixo.
O atuador é construído de PZT com um imã permanente na ponta. A bola é de
material ferromagnético e tem distância de 2mm.
Figura 2.20 Sistema de micro levitação utilizando controle de movimento
Na Figura 2.20 a força de atração é dada por:
𝐹(𝑥) =
𝑘
𝑥2
sendo k=4,98x10-8N/m2.
Linearize o sistema no ponto de operação xo=1mm, considere como saída de
interesse y(x)=f(x). É possível linearizar este sistema em torno do ponto xo=0mm?
2.3
Linearização Envolvendo Equações Diferenciais
No método de linearização mostrado, as funções não envolvem funções
diferenciais. Nestas situações é necessário calcular o ponto de operação do sistema que é
um ponto de equilíbrio (P.E.), obtido supondo que o sistema esteja em equilíbrio e,
1MORITA,
T., SHIMIZU, K. ,HASEGAWA, M., OKA, K. HIGUCHI,T . A Miniaturized Levitation System With Motion Control Using a Piezoelectric Actuator.
Publicado em IEEE Transactions on Control Systems Technology, V.10. No. 5, Setembro de 2002.
27
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
portanto, não está variando ao longo do tempo, ou seja, todas as derivadas são nulas.
Depois, expande-se o sistema em função das variáveis e suas derivadas:
𝑔(𝑥, 𝑥̇ ) ≅ 𝑔|𝑃.𝐸. +
𝜕𝑔
𝜕𝑔
| (𝑥̇ − 𝑥̇ 𝑃.𝐸. ) + | (𝑥 − 𝑥𝑃.𝐸. )
𝜕𝑥 𝑃.𝐸.
𝜕𝑥̇ 𝑃.𝐸.
(2.30)
Exemplo 2.8: Supondo o seguinte sistema não-linear:
𝑦̇ = 2𝑥(𝑡) − 𝑥 2 (𝑡)
(2.31)
sendo, 𝑥(𝑡) a entrada e 𝑦(𝑡) a saída, o linearize em torno do ponto de equilíbrio (P.E.).
Solução: É necessário primeiramente determinar o P.E., para isso supõe-se todas
derivadas nulas, isto é, 𝑦̇ (𝑡) = 0. Assim, obtém-se:
0 = 2𝑥𝑃.𝐸. (𝑡) − 𝑥𝑃.𝐸.
2 (𝑡)
𝑥𝑃.𝐸. (𝑡) = 2 𝑒 𝑦̇ 𝑃.𝐸. (𝑡) = 0
𝑜𝑢
⇒ {
𝑥𝑃.𝐸. (𝑡) = 0 𝑒 𝑦̇ 𝑃.𝐸. (𝑡) = 0
Rescrevendo o sistema (2.31) na forma 𝑔(𝑥, 𝑦̇ ) = 0, teremos:
𝑔(𝑥, 𝑦̇ ) = −𝑦̇ (𝑡) + 2𝑥(𝑡) − 𝑥 2 (𝑡) = 0
Logo, o modelo linear dado segundo (2.30), considerando o P.E. (𝑥𝑃.𝐸. (𝑡) =
2, 𝑦̇ 𝑃.𝐸. (𝑡) = 0), apresentará:
𝑔|𝑃.𝐸. = 𝑔|𝑥𝑃.𝐸.(𝑡)=2 = −(0) + 2(2) − (2)2 = 4 − 4 = 0
𝑦̇𝑃.𝐸. (𝑡)=0
𝜕𝑔
𝜕𝑔
= −1
= −1 ⇒
|
𝜕𝑦̇
𝜕𝑦̇ 𝑥𝑃.𝐸. (𝑡)=2
𝑦̇𝑃.𝐸. (𝑡)=0
{
𝜕𝑔
𝜕𝑔
= 2 − 2𝑥(𝑡) ⇒
|
= 2 − 2(2) = −2
𝜕𝑥̇ 𝑥𝑃.𝐸. (𝑡)=2
𝜕𝑥
E, assim, teremos:
𝑦̇𝑃.𝐸. (𝑡)=0
(x − 2)
𝑔(𝑥, 𝑦̇ ) ≅ −(0) + (−1) (𝑦̇
⏟ − 0) + (−2) ⏟
Δ𝑦̇
𝑔(𝑥, 𝑦̇ ) = −Δẏ − 2Δ𝑥
Δ𝑥
Finalmente, o sistema linearizado será dado por
Δẏ = −2Δ𝑥,
pois 𝑔(𝑥, 𝑦̇ ) = 0, conforme assumimos no princípio.
28
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas
Observação
Quando colocado no ponto de equilíbrio, o sistema tende a permanecer neste ponto, uma vez
que todas as derivadas associadas à sua dinâmica são nulas.
2.4
Linearização Exata por Realimentação
Linearização por realimentação é obtida subtraindo-se os termos não lineares das
equações do sistema e adicionando-o ao controle. Vamos entender como esta técnica
funciona através de um exemplo.
Exemplo 2.9: Considere o pêndulo que possui o torque de entrada 𝑇𝑐 (𝜃) (controle)
agindo no eixo de rotação, de forma que 𝑇𝑐 (𝜃) seja definido tal como:
𝑇𝑐 (𝜃) − 𝑚𝑔𝑙 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝐼θ̈
(2.32)
𝐼 = 𝑚𝑙 2
(2.33)
sendo I o momento de inércia em torno do eixo, que neste caso
vale
Figura 2.21 Sistema pêndulo
simples com torque de controle
Suponha que o ângulo  possa ser medido, e projete
𝑇𝑐 (𝜃) tal que o sistema tenha linearização exata.
Solução: A partir de (2.32) e (2.33), temos a seguinte equação
diferencial:
(2.34)
𝑇𝑐 (𝜃) = 𝑚𝑙 2 θ̈ + 𝑚𝑔𝑙 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Definindo o torque 𝑇𝑐 (𝜃) como
𝑇𝑐 (𝜃) = 𝑚𝑔𝑙 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑢
(2.35)
𝑢 = 𝑚𝑙 2 θ̈
(2.36)
e substituindo (2.35) em (2.34), tem-se:
que é um sistema linear.
A equação (2.36) é linear, não importando quão grande o ângulo o seja. A
realimentação proporciona um torque 𝑇𝑐 (𝜃) baseado na medida de  tal que o sistema
realimentado seja linear. A Figura 2.22 apresenta um esquema que ilustra este
procedimento.
29
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 2.22 Linearização exata para o sistema pêndulo simples com torque de controle
Exercício
2.8
Linearize o seguinte sistema na forma exata.
Figura 2.23 Sistema para o Exercício 2.8.
30
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
3
3 Transformada de Laplace
TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Neste Capítulo...
Como vimos, sistemas
físicos podem ser
modelados através de
equações diferenciais.
Por exemplo, obter a
corrente elétrica que
atravessa algum dos
indutores, ou a tensão
elétrica em um dado
capacitor no circuito ao
lado, por meio da
solução de suas
equações diferenciais,
pode ser uma tarefa
(muito) difícil.
Felizmente, existe uma
ferramenta muito
poderosa pode ser
usada para representar
a dinâmica destes
sistemas através de
equações algébricas,
tornando nosso trabalho
consideravelmente mais
simples, e esta é a
Transformada de
Laplace.
Faremos uma revisão dos conceitos e principais propriedades da
Transformada de Laplace e da Transformada Inversa de Laplace,
ferramentas essenciais para teoria de controle linear. Veremos,
também, como obter a solução de Equações Diferenciais Lineares e
Invariantes no Tempo através da Transformada de Laplace.
Pixabay (CC BY-NC 2.0)
A Ferramenta
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
3.1
Definição
A capacidade de obter aproximações lineares de sistemas físicos permite ao
projetista de sistemas de controle o uso de Transforma de Laplace. O método da
transformada de Laplace substitui a solução mais difícil de equações diferenciais pela
solução mais fácil de equações algébricas.
Como os sistemas de controle são altamente complexos e largamente
interconectados, o uso da Transformada de
Laplace
será
crucial
para
o
desenvolvimento dos conceitos abordados
ao longo deste curso.
A ideia é a de, primeiramente, aplicar
a Transformada de Laplace (denotada
pelo símbolo 𝓛{∙}) às equações diferenciais
que modelam o sistema dinâmico de
interesse, e depois, projetar o controlador
no domínio “s”. Finalmente, implanta-se o
controlador e analisa-se o resultado obtido
no domínio do tempo, percorrendo o
caminho contrário, isto é, lançando-se mão
da Transformada Inversa de Laplace
Figura 3.1 Conceito de Transformada de Laplace e da
(denotada pelo símbolo 𝓛−𝟏 {∙}). A Figura
Transformada Inversa de Laplace
3.1 traduz a essência deste raciocínio.
Observação
Nesse curso a maioria das transformadas ℒ{∙} e ℒ−1 {∙} serão utilizadas diretamente das tabelas.
Seja 𝑓(𝑡) uma função no tempo em que 𝑓(𝑡) = 0, 𝑡 < 0. A Transformada de
Laplace da função f(t) é dada por:
ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫
+∞
0
𝑓(𝑡) ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑠)
sendo que o ‘s’ é uma variável complexa que não depende de t, descrita como
𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
(3.1)
(3.2)
onde 𝜎 é a parte real e 𝜔 é a parte imaginária.
32
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
Exemplo 3.1: Uma função que será muito utilizada neste curso é a função degrau. Iremos
calcular sua Transformada de Laplace. Um exemplo da função degrau é o fechamento da
chave “S” no circuito abaixo:
Supondo
que
os
capacitores
estão
descarregados e os indutores
têm corrente nula no instante
inicial t=0s, ao fechar a chave s,
a
tensão
𝑣(𝑡)
passará,
instantaneamente, de 0 volts
para A volts.
Figura 3.2 Circuito elétrico com resistores, capacitores e indutores.
Assim, dizemos que a tensão 𝑣(𝑡) é do tipo degrau, de amplitude A, pois
𝑣(𝑡) = {
0,
𝐴,
𝑡<0
𝑡≥0
(3.3)
Logo, assumindo que a chave é fechada no instante t=0, a tensão 𝑣(𝑡) pode ser
representada graficamente segundo a Figura 3.3.
Figura 3.3 Sinal v(t) - degrau de amplitude A.
Aplicando-se a Transformada de Laplace à função 𝑣(𝑡) tem-se
𝑉(𝑠) = ℒ{𝑣(𝑡)} = ∫
Substituindo-se (3.3) em (3.4) tem-se
𝑉(𝑠) = ∫
+∞
0
𝐴∙𝑒
−𝑠𝑡
+∞
𝑣(𝑡) ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0
+∞
𝑒 −𝑠𝑡
𝑑𝑡 = 𝐴 ∙
|
−𝑠 0
∴ 𝑉(𝑠) =
𝐴
𝑠
=
𝐴
[ 𝑙𝑖𝑚 𝑒 −𝑠𝑡 − 𝑒 −𝑠∙0 ]
−𝑠 𝑡→+∞
A Tabela 3.1 apresenta pares de Transformada de Laplace para algumas funções.
Veja que, pela linha 2, a Transformada de Laplace da função degrau unitário (A=1) é dada
1
por ℒ{1(𝑡)} = 𝑠 .
33
(3.4)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Tabela 3.1 Pares de Transformada de Laplace
𝒇(𝒕)
Impulso Unitário 𝛿(𝑡)
1
𝑡 𝑛−1
, (𝑛 = 1,2,3, … )
(𝑛 − 1)!
𝑡 𝑛 , (𝑛 = 1,2,3, … )
𝑒 −𝑎𝑡
6
𝑡𝑒 −𝑎𝑡
7
8
9
10
1
𝑡 𝑛−1 𝑒 −𝑎𝑡 , (𝑛 = 1,2,3, … )
(𝑛 − 1)!
𝑡 𝑛 𝑒 −𝑎𝑡 , (𝑛 = 1,2,3, … )
sen 𝜔𝑡
cos 𝜔𝑡
11
senh 𝜔𝑡
12
cosh 𝜔𝑡
13
1
(1 − 𝑒 −𝑎𝑡 )
𝑎
14
15
16
17
18
19
20
1
(𝑒 −𝑎𝑡 − 𝑒 −𝑏𝑡 )
𝑏−𝑎
1
(𝑏𝑒 −𝑎𝑡 − 𝑎𝑒 −𝑏𝑡 )
𝑏−𝑎
1
1
[1 +
(𝑏𝑒 −𝑎𝑡 − 𝑎𝑒 −𝑏𝑡 )]
𝑎𝑏
(𝑎 − 𝑏)
1
(1 − 𝑒 −𝑎𝑡 − 𝑎𝑡𝑒 −𝑏𝑡 )
𝑎2
1
(𝑎𝑡 − 1 + 𝑒 −𝑎𝑡 )
𝑎2
𝑒 −𝑎𝑡 sen 𝜔𝑡
21
22*
23*
1
𝑠
1
𝑠2
1
𝑠𝑛
𝑛!
𝑡
3
5
1
Degrau Unitário 𝑙(𝑡)
2
4
𝑭(𝒔)
𝜔𝑛
√1 −
𝜉2
𝑒 −𝑎𝑡 cos 𝜔𝑡
𝑒 −𝜉𝜔𝑛 𝑡 sen (𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2 𝑡)
1 − 𝑒 −𝜉𝜔𝑛 𝑡 [cos (𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2 𝑡) +
𝜉𝜔𝑛
𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2
*As regras 22 e 23 são válidas para 0 < 𝜉 < 1.
sen (𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2 𝑡)]
𝑠 𝑛+1
1
𝑠+𝑎
1
(𝑠 + 𝑎)2
1
(𝑠 + 𝑎)𝑛
𝑛!
(𝑠 + 𝑎)𝑛+1
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
𝑠
2
𝑠 + 𝜔2
𝜔
2
𝑠 − 𝜔2
𝑠
2
𝑠 − 𝜔2
1
𝑠(𝑠 + 𝑎)
1
(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)
𝑠
(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)
1
𝑠(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)
1
𝑠(𝑠 + 𝑎)2
1
2
𝑠 (𝑠 + 𝑎)
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔 2
(𝑠 + 𝑎)
(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔 2
𝜔𝑛 2
𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2
𝜔𝑛 2
1
∙
2
2
𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 𝑠
34
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
3.2
Propriedades das Transformadas de Laplace
Nesta seção, iremos abordar as principais propriedades relacionadas à
Transformada de Laplace. Essas propriedades serão extremamente úteis nas
manipulações matemáticas e análises que faremos ao longo de nossos estudos em
controle. Porém, antes iremos fazer algumas observações acerca do formato no qual a
transformada 𝐹(𝑠) se apresenta.
Observando a Tabela 3.1 nota-se que genericamente F(s) é composta pela divisão
de dois polinômios em ‘s’, ou seja:
𝑁(𝑠) 𝑠 𝑚 + 𝑏𝑚 𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1
𝐹(𝑠) =
=
𝐷(𝑠) 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑚 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1
Consideremos, como exemplo, uma 𝐹(𝑠) tal que
𝐹(𝑠) =
𝑠+1
𝑁(𝑠) = 𝑠 + 1
⟹{
𝐷(𝑠) = 𝑠 + 2
𝑠+2
Nestes termos, apresentaremos uma definição de polos e zeros, fundamental em
nossos estudos daqui para frente.
Definição: Denominamos como zeros as raízes de N(s) (numerador de F(s)). E, por sua
vez, denominamos como polos as raízes de D(s) (denominador de F(s)).
.
Em nosso exemplo, F(s) apresenta um polo e um zero, tais quais
{
𝑧1 = −1
𝑝1 = −2
Uma vez compreendido o conceito matemático de polos e zeros, partimos para o
estudo de algumas das propriedades da Transformada de Laplace.
Considere uma função 𝑓(𝑡) no tempo em que 𝑓(𝑡) = 0, 𝑡 < 0, e que 𝐹(𝑠) é a sua
Transformada de Laplace.
i.) Propriedade da Linearidade
ℒ{𝛼𝑓1 (𝑡) + 𝛽𝑓2 (𝑡)} = 𝛼𝐹1 (𝑠) + 𝛽𝐹2 (𝑠)
Prova:
ℒ{𝛼𝑓1 (𝑡) + 𝛽𝑓2 (𝑡)} = ∫
= 𝛼∫
+∞
0
35
𝑓1
(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡
+∞
0
[𝛼𝑓1 (𝑡) + 𝛽𝑓2 (𝑡)]𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =
𝑑𝑡 + 𝛽 ∫
+∞
0
𝑓1 (𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =
= 𝛼𝐹1 (𝑠) + 𝛽𝐹2 (𝑠)
(3.5)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
ii.) Transformada de Laplace da Derivada Primeira
ℒ{
Prova:
𝑑
𝑓(𝑡)} = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)
𝑑𝑡
+∞
+∞
𝑑
−𝑠𝑡
ℒ { 𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
0
0
Integrando por partes, temos:
{
Logo
∫
+∞
0
𝑒
−𝑠𝑡
𝑑𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑒
−𝑠𝑡
|
+∞
0
𝑣 = 𝑒 −𝑠𝑡 ⇒ 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒 −𝑠𝑡
𝑑𝑢 = 𝑑𝑓(𝑡) ⇒ 𝑢 = 𝑓(𝑡)
−∫
= [0 − 𝑓(0) ∙ 1] + 𝑠 [∫
+∞
0
+∞
0
𝑓(𝑡)(−𝑠𝑒 −𝑠𝑡 )𝑑𝑡 =
Lembrete
𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡] =
𝑏
𝑏
𝑏
∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑣| − ∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣
𝑎
= 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)
𝑎
𝑎
iii.) Transformada de Laplace da Derivada Segunda
ℒ{
Prova:
𝑑2
𝑑
𝑓(𝑡)} = 𝑠 2 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓(𝑡)|
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑡=0
𝑑2
𝑑 𝑑
ℒ { 2 𝑓(𝑡)} = ℒ { ( 𝑓(𝑡))}
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Transformada da derivada
𝑑
primeira de 𝑓(𝑡) (Prop. ii)
Utilizando a Propriedade ii), temos:
ℒ{
Transformada da derivada
primeira de 𝑓(𝑡) (Prop. ii)
𝑑𝑡
𝑑 𝑑
𝑑
𝒅
( 𝑓(𝑡))} = 𝑠 ∙ 𝓛 { 𝒇(𝒕)} − ( 𝑓(𝑡))|
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝒅𝒕
= 𝒔 ∙ [𝒔𝑭(𝒔) − 𝒇(𝟎)] − (
𝑑
𝑓(𝑡))|
𝑑𝑡
= 𝑠 2 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − (
𝑡=0
𝑑
𝑓(𝑡))|
𝑑𝑡
𝑡=0
𝑡=0
=
=
36
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
iv.) Transformada de Laplace da Derivada n-ésima
𝑛
𝑑𝑛
𝑑
ℒ { 𝑛 𝑓(𝑡)} = 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − ∑ (𝑠 𝑛−𝑘 𝑓(𝑡)| )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑡=0
v.) Teorema do Valor Final – T.V.F
𝑘=1
Se os polos de 𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) possuem parte real negativa, então, é válida a seguinte
relação:
lim 𝑓(𝑡) = lim 𝑠 ∙ 𝐹(𝑠)
𝑡→+∞
𝑠→0
Obs.: mais adiante neste curso, veremos que um sistema que tem todos os polos
com parte real negativa, é dito estável.
Exemplo 3.1: Sabendo que
1
𝑠(𝑠 + 1)
determine o valor de 𝑓(𝑡)|𝑡→+∞ (também chamado de valor de regime permanente).
Solução: Neste caso,
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) =
𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) = 𝑠 ∙
1
1
=
𝑠(𝑠 + 1) 𝑠 + 1
que possui apenas um pólo: 𝑝1 = −1. E, como 𝑝1 < 0, pode-se aplicar o T.V.F.:
1
=1
𝑠→0 𝑠 + 1
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
𝑠⟶0
∴ 𝑓(+∞) = 1
Para simples verificação, segundo a Tabela 3.1, linha 14, tem-se:
Logo
𝑓(𝑡) = ℒ −1 {
1
} = 1 − 𝑒 −𝑡
𝑠+1
𝑓(𝑡)|𝑡→+∞ (1 − 𝑒 −𝑡 )|𝑡→+∞ = 1
que é o mesmo resultado obtido aplicando-se o T.V.F.
Observação
O T.V.F. permite obter o valor de regime de um sistema tendo-se apenas a sua
Transformada de Laplace (F(s)), sem a necessidade do conhecimento da função temporal (f(t)).
Ou seja, o T.V.F. é útil para determinar o valor de regime de f(t), conhecendo-se apenas F(s).
37
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Exemplo 3.2: Avalie a possibilidade de aplicar o T.V.F. à função
𝑓(𝑡) = sen 𝑡
Solução: A Figura 3.3 apresenta uma representação gráfica de 𝑓(𝑡) = sen 𝑡. Note que para
𝑡 → +∞, 𝑓(𝑡) não tem um único valor.
1.5
1
f(t)=sen t
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
t [rad]
Figura 3.4 Gráfico de f(t)=sen t.
Segundo a Tabela 3.1, linha 10, temos que:
Analisando 𝑠 ∙ 𝐹(𝑠), obtemos
ℒ{𝑓(𝑡)} =
𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) = 𝑠 ∙
𝑠2
1
+1
1
⟹ 𝑝1,2 = ±𝑗
𝑠2 + 1
Logo 𝑅𝑒{𝑝1 , 𝑝2 } = 0, e assim, não pode-se aplicar o T.V.F.
Se erroneamente aplicarmos o T.V.F. teremos:
𝑠
=0
𝑠→0 𝑠 2 + 1
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
𝑠⟶0
Porém, a senóide não tende a zero quando 𝑡 → +∞. O erro foi aplicar o T.V.F. sendo
que os polos de F(s) não têm parte real negativa.
Exemplo 3.3: Determinar a Transformada de Laplace da função impulso, 𝜹(𝒕). Uma ideia
de entrada impulsiva é o choque do taco de baseball com a bola, o choque tem uma grande
intensidade e curtíssima duração.
A função 𝛿(𝑡) é definida como
0, 𝑡 ≠ 0
𝛿(𝑡) = {
+∞, 𝑡 = 0
𝑒
∫
+∞
−∞
𝛿(𝑡) = 1
38
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
Podemos avaliar a função impulso como sendo o caso limite da função pulso de
área unitária, 𝚫(𝒕), definida como
1
Δ(𝑡) = { ,
𝑎
𝑡<0
𝑎≤𝑡≤0
0, 𝑡 > 𝑎
Temos na Figura 3.4 uma representação gráfica da função impulso e da função
pulso de área unitária.
Figura 3.5 Gráficos das funções 𝛥(𝑡) e 𝛿(𝑡).
Veja que sendo A área sob a curva Δ(𝑡) (Figura 3.4 (a) ), então
1
𝐴= ∙𝑎 =1
𝑎
E, no caso limite em que 𝑎 → 0, temos
𝑙𝑖𝑚 Δ(𝑡) = 𝛿(𝑡)
𝑡→+∞
Solução: Aplicando a definição da Transformada de Laplace à função 𝛿(𝑡):
ℒ{𝛿(𝑡)} = ∫
+∞
0
𝛿(𝑡)𝑒
−𝑠𝑡
0+
𝑑𝑡 = ∫ 𝛿(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫
0−
+∞
0+
Como para 0− < 𝑡 < 0+ , 𝛿(𝑡) = 1 e para 𝑡 ≠ 0, 𝛿(𝑡) = 0
0+
ℒ{𝛿(𝑡)} = ∫ 1 ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫
0−
0+
𝛿(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
+∞
0+
0 ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
ℒ{𝛿(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0−
E, no intervalo 0− < 𝑡 < 0+ , 𝑒 −𝑠𝑡 (𝑡) = 1. Logo,
ℒ{𝛿(𝑡)} = 1
Veja que este é o mesmo resultado apresentado na Linha 1 da Tabela 3.1.
39
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Exercícios
3.1
Calcule a transformada de Laplace de um sinal u(t) de controle típico de um
sistema automático digital, ou seja controle por computador.
Figura 3.6 Sinal de controle u(t) - Exercício 3.1
3.2
3.3
Determine o valor de regime permanente de 𝑓(𝑡), tal que sua Transformada de
Laplace 𝐹(𝑠) seja dada por
1
𝐹(𝑠) =
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
Avalie a possibilidade de aplicar o teorema do valor final à função 𝑓(𝑡) tal que sua
Transformada de Laplace 𝐹(𝑠) seja dada por
1
𝐹(𝑠) = 2 2
𝑠 (𝑠 + 4𝑠 + 4)
3.3
Transformada Inversa de Laplace
A ideia por trás da Transformada Inversa de Laplace é a de sair do domínio da
variável complexa (s) para o domínio do tempo (t).
Figura 3.7 O conceito básico da transformada inversa de Laplace
A técnica que iremos utilizar consiste em expandir a função 𝐹(𝑠) em frações
parciais e, então, utilizar a Tabela 3.1, que apresenta os pares de transformada de
Laplace, para encontrar a função 𝑓(𝑡) correspondente.
Como vimos, 𝐹(𝑠) frequentemente pode ser escrita como sendo uma relação de
dois polinômios, tal como:
𝑃(𝑠)
𝐹(𝑠) =
𝑄(𝑠)
40
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
sendo que 𝑃(𝑠) e 𝑄(𝑠) são polinômios tais que
𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)] ≥ 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)]
Ainda, o polinômio 𝑄(𝑠) é da forma:
𝑄(𝑠) = 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛
sendo 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = {1,2, … , 𝑛}, que pode ser expresso na forma:
𝑄(𝑠) = (𝑠 + 𝑠1 )(𝑠 + 𝑠2 ) ⋯ (𝑠 + 𝑠𝑛−1 )(𝑠 + 𝑠𝑛 )
de forma que −𝑠𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 são quantidades que podem reais ou complexas e que
correspondem às raízes de 𝑄(𝑠).
O método de expansão em frações parciais para determinação das transformadas
inversas de Laplace passa pela análise de 3 casos distintos que podem ocorrer com 𝑄(𝑠).
Estes casos estão ligados à natureza das raízes de 𝑄(𝑠), que podem ser todas distintas,
apresentar multiplicidade ou serem complexas.
1ºCaso: O polinômio 𝑸(𝒔) possui apenas raízes distintas.
Neste caso, a função 𝐹(𝑠) pode ser expandida da seguinte forma:
𝐹(𝑠) =
𝑃(𝑠)
𝑘1
𝑘2
𝑘𝑛
=
+
+⋯+
𝑠 + 𝑠𝑛
𝑄(𝑠) 𝑠 + 𝑠1 𝑠 + 𝑠2
sendo 𝑘𝑖 os chamados resíduos da raiz 𝑠 = −𝑠𝑖 , e são determinados por:
𝑘𝑖 = [(𝑠 + 𝑠𝑖 ) ∙ 𝐹(𝑠)]|𝑠=−𝑠𝑖 = [(𝑠 + 𝑠𝑖 ) ∙
para 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Exemplo 3.4: Determine 𝑓(𝑡) sendo
𝐹(𝑠) =
𝑃(𝑠)
]|
𝑄(𝑠) 𝑠=−𝑠
5𝑠 + 3
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
𝑖
Solução: Neste caso, 𝑃(𝑠) = 5𝑠 + 3 e 𝑄(𝑠) = (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3). Logo, temos
e os resíduos 𝑘𝑖 = [(𝑠 + 𝑠𝑖 ) ∙
41
𝐹(𝑠) =
𝑃(𝑠)
]|
𝑘1
𝑘2
𝑘3
+
+
𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3
𝑄(𝑠) 𝑠=−𝑠
𝑖
são:
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
𝑘1 = [(𝑠 + 1) ∙
5𝑠 + 3
5(−1) + 3
2
]|
=
= − = −1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑠=−1 [(−1) + 2)][(−1) + 3)]
2
𝑘2 = [(𝑠 + 2) ∙
𝑘3 = [(𝑠 + 3) ∙
Assim,
5(−2) + 3
−7
5𝑠 + 3
]|
=
=
=7
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑠=−2 [(−2) + 1)][(−2) + 3)] −1
5(−3) + 3
−12
5𝑠 + 3
]|
=
=
= −6
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑠=−3 [(−3) + 1)][(−3) + 2)]
2
𝐹(𝑠) = −
1
7
6
+
−
𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3
Finalmente, usando a Linha 6 da Tabela 3.1, tem-se:
ℒ −1 {𝐹(𝑠)} = −𝑒 −𝑡 + 7𝑒 −2𝑡 − 6𝑒 −3𝑡 , 𝑡 ≥ 0.
2ºCaso: O polinômio 𝑸(𝒔) possuir raízes não distintas.
Neste caso, se a raiz 𝑠 = −𝑠𝑖 tiver multiplicidade ‘r’, teremos:
𝐹(𝑠) =
𝑘1
𝑘𝑖−1
𝐴1
𝐴2
𝐴1
+ ⋯+
+[
+
+ ⋯+
]+⋯+
2
(𝑠 + 𝑠𝑖 )𝑟
𝑠 + 𝑠1
𝑠 + 𝑠𝑖−1
𝑠 + 𝑠𝑖 (𝑠 + 𝑠𝑖 )
+
sendo:
𝐴𝑟 = [(𝑠 + 𝑠𝑖 )𝑟 ∙
𝐴𝑟−1 = {
𝐴𝑟−𝑗
𝐴1 =
𝑘𝑖+1
𝑘𝑛
+ ⋯+
𝑠 + 𝑠𝑖+1
𝑠 + 𝑠𝑛
𝑃(𝑠)
]|
𝑄(𝑠) 𝑠=−𝑠
𝑖
𝑃(𝑠)
𝑑
[(𝑠 + 𝑠𝑖 )𝑟 ∙
]}|
𝑄(𝑠) 𝑠=−𝑠
𝑑𝑠
⋯
𝑖
1 𝑑𝑗
𝑃(𝑠)
= { 𝑗 [(𝑠 + 𝑠𝑖 )𝑟 ∙
]}|
𝑗! 𝑑𝑠
𝑄(𝑠) 𝑠=−𝑠
⋯
𝑖
𝑃(𝑠)
𝑑𝑟−1
1
{ 𝑟−1 [(𝑠 + 𝑠𝑖 )𝑟 ∙
]}|
(𝑟 − 1)! 𝑑𝑠
𝑄(𝑠) 𝑠=−𝑠
𝑖
42
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
Exemplo 3.4: Determine 𝑓(𝑡) sendo
𝐹(𝑠) =
1
𝑠(𝑠 + 1)3 (𝑠 + 2)
Solução: Veja que a raiz 𝑠 = −1 tem multiplicidade 𝑟 = 3, logo,
𝐹(𝑠) =
𝑘2
𝐴1
𝐴2
𝐴3
𝑘1
+
+
+
+
2
(𝑠 + 1)3
𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 1 (𝑠 + 1)
Neste caso, os resíduos das raízes simples (de multiplicidade 1) são:
𝑘1 = 𝑠 ∙ 𝐹(𝑠)|𝑠=0 = [𝑠 ∙
1
1
]|
=
3
𝑠(𝑠 + 1) (𝑠 + 2) 𝑠=0 2
𝑘2 = (𝑠 + 2) ∙ 𝐹(𝑠)|𝑠=−2 = [(𝑠 + 2) ∙
1
1
]|
=
3
𝑠(𝑠 + 1) (𝑠 + 2) 𝑠=−2 2
Agora, para determinar os resíduos das raízes múltiplas, fazemos:
𝐺(𝑠) = (𝑠 + 1)3 ∙ 𝐹(𝑠) = (𝑠 + 1)3 ∙
1
1
=
𝑠(𝑠 + 1)3 (𝑠 + 2) 𝑠(𝑠 + 2)
Então, teremos:
𝐴1 = 𝐺(𝑠)|𝑠=−1 = [
Mas,
𝐴2 =
1
]|
= −1
𝑠(𝑠 + 2) 𝑠=−1
𝑑
𝐺(𝑠)|
𝑑𝑠
𝑠=−1
𝑑 −1
𝑑
−(𝑠 + 2) − 𝑠
[𝑠 (𝑠 + 2)−1 ] = 2
𝐺(𝑠) =
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑠 (𝑠 + 2)2
Logo:
E, seguindo:
43
𝐴2 =
−(𝑠 + 2) − 𝑠
|
=0
𝑠 2 (𝑠 + 2)2 𝑠=−1
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
𝐴3 =
1
𝑑 3−1
1 𝑑2
1 𝑑 𝑑
[ 3−1 𝐺(𝑠)]|
= [ 2 𝐺(𝑠)]|
= { [ 𝐺(𝑠)]}|
(3 − 1)! 𝑑𝑠
2! 𝑑𝑠
2 𝑑𝑠 𝑑𝑠
𝑠=−1
𝑠=−1
𝑠=−1
Assim, utilizando o resultado obtido no cálculo de 𝐴2 :
𝐴3 =
1 𝑑 −(𝑠 + 2) − 𝑠
{ [
]}|
= −1
2 𝑑𝑠 𝑠 2 (𝑠 + 2)2
𝑠=−1
Finalmente, teremos:
1⁄
1⁄
1
2
2 + 1 −
𝐹(𝑠) =
+
𝑠
𝑠 + 2 𝑠 + 1 (𝑠 + 1)3
Segundo as linhas 2, 6 e 8 da Tabela 3.1, tem-se:
*função degrau unitário
𝑓(𝑡) =
1
1
1
1(𝑡)∗ + 𝑒 −2𝑎𝑡 − 𝑡 2 𝑒 −𝑡 , 𝑡 ≥ 0
2
2
2
3ºCaso: O polinômio 𝑸(𝒔) possuir raízes complexas distintas
Vamos ilustrar o método, aplicado a este caso, através de um exemplo.
Exemplo 3.5: Determine a ℒ −1 {∙} de
𝐹(𝑠) =
𝑠(𝑠 2
1
+ 𝑠 + 1)
Solução: Temos que as raízes de 𝑄(𝑠) são:
𝑠1 = 0
1
√3
(𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠)
𝑠2,3 = − ± 𝑗
2
2
Neste caso é mais interessante usar a componente relativa ás raízes complexas na
forma polinomial, ou seja:
𝐹(𝑠) =
𝑠(𝑠 2
1
𝐶1
𝐶2 𝑠 + 𝐶3
= + 2
+ 𝑠 + 1)
𝑠 𝑠 +𝑠+1
Calculamos 𝐶1 conforme já aprendemos:
𝐶1 = [𝑠 ∙ 𝐹(𝑠)]|𝑠=0 = [𝑠 ∙
𝑠(𝑠 2
1
]|
=1
+ 𝑠 + 1) 𝑠=0
44
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
Assim, a função 𝐹(𝑠) fica tal como:
Ou, ainda:
𝐹(𝑠) =
𝑠(𝑠 2
1
𝐶2 𝑠 + 𝐶3
1
= + 2
+ 𝑠 + 1) 𝑠 𝑠 + 𝑠 + 1
𝟏
𝒔𝟐 + 𝒔 + 𝟏 + 𝑪𝟐 𝒔𝟐 + 𝑪𝟑 𝒔
𝐹(𝑠) =
=
𝑠(𝑠 2 + 𝑠 + 1)
𝑠(𝑠 2 + 𝑠 + 1)
Logo, para que a relação anterior seja satisfeita, é necessário que:
1 = 𝑠 2 + 𝑠 + 1 + 𝐶2 𝑠 2 + 𝐶3 𝑠
Agrupando os termos em 𝑠 2 𝑒 𝑠1 , obtém-se:
𝑠 2 ∙ 0 + 𝑠 ∙ 0 + 1 = 𝑠 2 (1 + 𝐶2 ) + 𝑠(𝐶3 + 1) + 1
E, analisando a correspondência entre os coeficientes que multiplicam as potências
em 𝑠, temos:
0 = 𝐶2 + 1 ⟹ 𝐶2 = −1
0 = 𝐶3 + 1 ⟹ 𝐶3 = −1
Assim:
Ou:
𝐹(𝑠) =
1
−𝑠 − 1
1
𝑠+1
+ 2
= − 2
𝑠 𝑠 +𝑠+1 𝑠 𝑠 +𝑠+1
1
1 1
1
𝑠+ +
𝑠+
1
1
2
2
2
2
𝐹(𝑠) = −
= −
−
2
2
𝑠
1
3 𝑠
1
3
1 2 3
(𝑠 + ) +
(𝑠 + ) +
(𝑠 + ) +
2
4
2
4
2
4
Finalmente, das linhas 20 e 21 da Tabela 3.1, temos:
𝑡
3
3
1 −𝑡
𝑓(𝑡) = 1(𝑡) − 𝑒 −2 cos (√ 𝑡 ) −
𝑒 2 sen (√ 𝑡 )
4
4
√3
45
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Observação
Se em algum dos casos anteriores, com 𝐹(𝑠) =
primeiro realizamos a divisão polinomial:
𝑃(𝑠)
, com 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)] = 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑃(𝑠)], então,
𝑄(𝑠)
𝑅(𝑠)
sendo 𝐴 o quociente e 𝑅(𝑠) o resto. Depois, proceda a expansão em frações parciais de 𝑄(𝑠).
Exemplo 3.6: Determine a ℒ −1 {∙} de
𝐹(𝑠) =
𝑠
𝑠+1
Solução: Neste caso, 𝑃(𝑠) = 𝑠 e 𝑄(𝑠) = 𝑠 + 1. Logo, 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)] = 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑃(𝑠)], então é
necessário fazer:
∴ 𝐹(𝑠) = 1 +
−1
⟹ 𝑓(𝑡) = ℒ −1 {𝐹(𝑠)} = 𝛿(𝑡) − 𝑒 −𝑡
𝑠+1
Observação
Se 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)] = 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑃(𝑠)], então sempre aparecerá uma componente impulsiva
(𝛿(𝑡)) 𝑒𝑚 𝑓(𝑡).
O gráfico de f(t) do exemplo anterior é:
0
-0.1
-0.2
-0.3
f(t)
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
-1
0
1
2
3
4
5
6
t [segundos]
Figura 3.8 Gráfico de f(t) segundo Exemplo 3.6.
46
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
Expansão em Frações parciais usando o MATLAB
Apresentaremos, através de exemplos, o procedimento para realizar expansão em
frações parciais utilizando o software MATLAB®. Este artifício se dá através do comando
residue, cuja sintaxe é apresentada abaixo:
[r,p,k]=residue(num,den)
Informando os coeficientes dos polinômios 𝑃(𝑠) e 𝑄(𝑠) em 𝐹(𝑠) =
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
através dos
vetores num e den, obtém-se os resíduos (r) da expansão em frações parciais de 𝐹(𝑠), os
polos de cada fração parcial (p) e o termo direto (k).
Vejamos, então, o primeiro exemplo, retirado de OGATA1.
Exemplo 3.6 Considere a seguinte função
𝐵(𝑠) 2𝑠 3 + 5𝑠 2 + 3𝑠 + 6
=
𝐴(𝑠) 𝑠 3 + 6𝑠 2 + 11𝑠 + 6
Solução: Para essa função, digitamos o seguinte comando no MATLAB®:
num=[2 5 3 6];
den=[1 6 11 6];
[r,p,k]=residue(num,den)
Assim, como resultado, o MATLAB® devolve:
r = [-6.0000 -4.0000 3.0000]'
p = [-3.0000 -2.0000 -1.0000]'
k = 2
Essa é a representação na linguagem utilizada pelo MATLAB® da seguinte
expansão em parciais:
𝐵(𝑠) 2𝑠 3 + 5𝑠 2 + 3𝑠 + 6
−6
−4
3
= 3
=
+
+
+2
2
𝐴(𝑠) 𝑠 + 6𝑠 + 11𝑠 + 6 𝑠 + 3 𝑠 + 2 𝑠 + 1
Agora, para encontrar ℒ −1 {∙} basta utilizar os resultados da Tabela 3.1.
Para sistemas que tenham polos com multiplicidade, deve-se observar a sequência
dos elementos de r e p fornecidos pelo MATLAB®. Veja o Exemplo 3.7 para entender esse
detalhe.
Exemplo 3.7 Expanda a seguinte função polinomial em frações parciais:
𝐵(𝑠) 𝑠 2 + 2𝑠 + 3
𝑠 2 + 2𝑠 + 3
=
=
(𝑠 + 1)3
𝐴(𝑠)
𝑠 3 + 3𝑠 2 + 3𝑠 + 1
Solução: Para essa função, temos:
47
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
num=[1 2 3];
den=[1 3 3 1];
[r,p,k]=residue(num,den)
O resultado fornecido pelo MATLAB® é mostrado a seguir.
r = [1.0000 0.0000 2.0000]'
p = [-1.0000 -1.0000 -1.0000]'
k = 0
Essa é a representação na linguagem utilizada pelo MATLAB® da seguinte
expansão em parciais:
𝐵(𝑠) 2𝑠 3 + 5𝑠 2 + 3𝑠 + 6
1
0
2
= 3
=
+
+
2
2
(𝑠 + 1)3
𝐴(𝑠) 𝑠 + 6𝑠 + 11𝑠 + 6 𝑠 + 1 (𝑠 + 1)
Note que o termo direito k é zero.
Para obter a função original 𝐵(𝑠)/𝐴(𝑠) a partir de r, p e k, utilizamos as seguintes
linhas de programação:
num,den = residue(r,p,k);
printsys(num,den,'s ')
Assim, como resposta, o computador apresentará a relação de polinômios
denominada por num/den, como se segue:
num/den =
s ^2 + 2 s + 3
--------------s ^2 + 2 s + 3
Por último, apresentamos um exemplo considerando um sistema com polos
complexos.
Exemplo 3.7 Determine a expansão em frações parciais da função 𝐹(𝑠):
𝐹(𝑠) =
𝑠(𝑠 2
1
+ 𝑠 + 1)
Solução: Tal como realizado nos exemplos anteriores, informamos os coeficientes dos
polinômios do numerador e do denominador de 𝐹(𝑠), e utilizamos a função residue
para obter os parâmetros da expansão, isto é:
num=[1];
den=[1 1 1 0];
[r,p,k]=residue(num,den)
Como resultado, temos:
r=[-0.5000+0.2887i -0.5000-0.2887i 1.0000 + 0.0000i]'
p= [-0.5000+0.8660i -0.5000-0.8660i 0.0000 + 0.0000i]'
k=0
48
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
Assim, a representação de 𝐹(𝑠) em expansão em parciais assume a forma:
𝐹(𝑠) =
𝑠(𝑠 2
1
−0,5 + 0,2887𝑖
−0,5 − 0,2887𝑖
1
=
+
+
+ 𝑠 + 1) 𝑠 + 0,5 − 0,8660𝑖 𝑠 + 0,5 + 0,8660𝑖 𝑠
O caminho inverso, por sua vez, seria:
[num,den]=residue(r,p,k)
printsys(num,den,'s')
Como resultado, obtem-se:
num/den =
2.2204e-16 s^2 + 2.2204e-16 s + 1
--------------------------------s^3 + s^2 + 1 s
Note que os coeficientes de 𝑠 2 e 𝑠 são valores extremamente pequenos,
correspondentes a zero, mas que por questões de aproximações numéricas não retorna
como tal pelo MATLAB®. Assim, entendemos como:
1
𝑛𝑢𝑚 2.2204𝑒 −16 𝑠 2 + 2.2204𝑒 −16 𝑠 + 1
=
= 3
3
2
𝑠 + 𝑠 + 1𝑠
𝑠 + 𝑠 2 + 1𝑠
𝑑𝑒𝑛
Exercícios
3.4. Sendo
calcule f(t).
3.4
𝐹(𝑠) =
1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)2
Resolução de Equações Diferenciais Lineares e
Invariantes no Tempo
Conforme mencionamos no início deste capítulo, uma das aplicações da
transformada de Laplace é a resolução de equações diferenciais lineares.
Via de regra, a solução de equações diferenciais lineares pode ser bastante
complexa. Assim, a estratégia consiste em aplicar a transformada de Laplace às equações
diferenciais do problema em questão, encontrar a solução no domínio da variável
complexa “s”, e então aplicar a transformada inversa de Laplace para obter a solução
desejada no domínio do tempo. Vejamos como esta estratégia funciona através de um
exemplo.
49
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Exemplo 3.9 Considere o circuito na Figura 3.9. A tensão sobre o capacitor é 𝑣𝑐 (𝑡).
Suponha que o capacitor esteja descarregado
inicialmente, ou seja:
𝑣𝑐 (𝑡)|𝑡=0 𝑜𝑢 𝑣𝑐 (0) = 0
Suponha que a chave seja fechada em
t=0, isto é, o comportamento da tensão 𝑣(𝑡) é tal
como o de uma função degrau (Figura 3.3). Logo,
temos
Figura 3.9 Circuito RC
que
determine
𝐴
ℒ{𝑣(𝑡)} = .
𝑠
Nestas
condições,
o comportamento da tensão no
capacitor, 𝑣𝑐 (𝑡), para 𝑡 > 0.
Solução: Para o capacitor tem-se:
𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑣𝑐 (𝑡)
Derivando a expressão acima com respeito ao tempo, obtém-se:
𝑑𝑣𝑐 (𝑡)
𝑑𝑣𝑐 (𝑡)
𝑑𝑞
=𝐶
⟹ 𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Fazendo a análise das tensões na malha que compõe o circuito, tem-se:
Ou, então:
𝑣(𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) + 𝑣𝑐 (𝑡)
𝑣(𝑡) = 𝑅 ∙ 𝐶
𝑑𝑣𝑐 (𝑡)
+ 𝑣𝑐 (𝑡)
𝑑𝑡
Equação diferencial que
descreve o comportamento
dinâmico do sistema
Aplicando a transformada de Laplace à expressão acima:
Logo,
ℒ{𝑣(𝑡)} = 𝑅𝐶 ∙ ℒ {
𝑑𝑣𝑐 (𝑡)
} + ℒ{𝑣𝑐 (𝑡)}
𝑑𝑡
𝐴
= 𝑅𝐶 ∙ [𝑠𝑉𝐶 (𝑠) − 𝑣𝑐 (0)] + 𝑉𝑐 (𝑠)
𝑠
Como, conforme o enunciado, a condição inicial 𝑣𝑐 (0) é nula, temos:
𝐴
𝐴
= [𝑅𝐶𝑠 + 1] ∙ 𝑉𝑐 (𝑠) ⟹ 𝑉𝑐 (𝑠) =
𝑠
𝑠(𝑅𝐶𝑠 + 1)
Dividindo o numerador e o denominador de 𝑉𝑐 (𝑠) e realizando expansão em
frações parciais:
50
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace
𝑉𝑐 (𝑠) =
sendo,
Logo, obtemos:
𝐴
𝑅𝐶
𝑠 (𝑠 +
1
)
𝑅𝐶
=
𝑘1
𝑘2
+
𝑠 𝑠+ 1
𝑅𝐶
𝑘1 = [𝑠 ∙ 𝑉𝑐 (𝑠)]|𝑠=0 = 𝐴
1
= −𝐴
𝑘2 = [(𝑠 + ) ∙ 𝑉𝑐 (𝑠)]|
1
𝑅𝐶
𝑠=−
𝑅𝐶
𝐴
𝐴
−
𝑠 𝑠+ 1
𝑅𝐶
Aplicando a transformada inversa de Laplace, com o auxílio da Tabela 3.1, chega𝑉𝑐 (𝑠) =
se a:
𝑡
3.10.
𝑡
ℒ −1 {𝑉𝑐 (𝑠)} = 𝐴 − 𝐴𝑒 −𝑅𝐶 = 𝐴 (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 )
Assim, o comportamento de 𝑣𝑐 (𝑡) ao longo do tempo tal como ilustrado na Figura
Figura 3.10 Comportamento da tensão no capacitor do circuito do Exemplo 3.9.
Exercícios
3.5. Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito da Figura 3.11,
considerando que a chave S é fechada em 𝑡 = 0 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, e 𝑣𝑐 (0) = 0 𝑉.
3.6. Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito da Figura 3.12. Suponha
que não haja energia armazenada no circuito antes da chave se fechar, ou seja,
vc(t)=0 e i(t)=0. Aplique o T.V.F. para determinar os valores de regime.
51
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
São dados:
R1=R2=1 Ω
C=10-3 F
Figura 3.11 Circuito para o Exercício 3.5.
São dados:
R=1 Ω
L=0,2 H
C=10-3 F
Figura 3.12 Circuito para o Exercício 3.6.
3.7. Resolva a seguinte equação diferencial:
sendo:
e,
𝑥̈ (𝑡) + 3𝑥̇ (𝑡) + 2𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡)
𝑥̈ (0) = 𝑥̇ (0) = 𝑥(0) = 0
𝑢(𝑡) = {
0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 ≥ 0
52
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
4
4 Função de Transferência
FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA
Neste Capítulo...
Presente nas mais
diversas aplicações, os
motores de corrente
contínua também
aparecem como
protagonistas em muitos
sistemas de controle.
Uma das aplicações mais
importantes (e empolgantes!) dos motores C.C.
é a robótica.
Manipuladores
robóticos presentes na
indústria ganham vida
com articulações
formadas por elementos
constituídos por motores
C.C. Esses são escolhidos
por possuírem elevado
torque (necessário em
operações industriais) e
a possibilidade de
controle de velocidade
e posição angular.
Contudo, para projetar
um controlador para um
motor C.C. precisamos,
primeiramente, conhecer
sua função de
transferência.
Estudaremos um conceito fundamental no projeto de
controladores: a função de transferência. Veremos como obter
a função de transferência de um sistema. Além disso, faremos
um estudo do motor de corrente contínua, um sistema
eletromecânico de extrema importância na aplicação prática da
teoria de controle.
RobtShop Inc ©
O Motor C.C.
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
4.1
Definição
Conforme vimos no Capítulo 3, passar do domínio do tempo para o domínio da
variável complexa ‘s’ através da transformada de Laplace traz significativas vantagens por
permitir realizar o estudo de equações
diferenciais por meio de equações
algébricas.
Tratando-se de sistemas dinâmicos,
esta simplicidade fica evidenciada na forma
pela qual podemos relacionar a saída de um
sistema para uma determinada entrada. No
domínio de Laplace, esta relação é dada por:
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠) ∙ 𝑈(𝑠)
(4.1)
Em (4.1), 𝒀(𝒔) é a transformada de
Laplace da saída 𝑦(𝑡), 𝑿(𝒔) é a transformada
um sistema dinâmico e sua função de
de Laplace da entrada 𝑥(𝑡) e, por sua vez, Figura 4.1 Associação entre
transferência.
𝑮(𝒔) representa a função de transferência
do um sistema.
A função de transferência de um sistema de equações diferenciais lineares
invariantes no tempo é definida como a relação entre a transformada de Laplace da
saída 𝒀(𝒔) (função resposta) e a transformada de Laplace da entrada 𝑿(𝒔) (função
excitação) sob a hipótese de que todas as condições iniciais são nulas.
Assim, a função de transferência de um sistema é dada por:
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
(4.2)
Vejamos o exemplo a seguir para melhor entender o conceito de função de
transferência.
Exemplo 4.1: Considere o satélite da
Figura 4.2. Deseja-se estabelecer o
controle da posição angular 𝜃(𝑡) do
satélite, através do acionamento de
propulsores laterais que, quando
ligados, provocam a rotação do
satélite em torno de seu centro de
massa. O acionamento de um dos
propulsores implica no surgimento
de uma força 𝐹(𝑡), que por sua vez,
gera o torque 𝑇(𝑡) do propulsor.
Figura 4.2 Controle de posição angular de satélite através de torque
propulsor.
54
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Assim, consideremos que saída que se deseja controlar é a posição angular 𝜃(𝑡) do
satélite e que a entrada de controle é o torque 𝑇(𝑡). Admita que a velocidade de rotação
𝜃̇(𝑡) e a posição angular 𝜃(𝑡) são nulas em 𝑡 = 0, ou seja: 𝜃̇(𝑡) = 0 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 e 𝜃(𝑡) = 0 𝑟𝑎𝑑
(C.I. nulas).
Neste caso, o torque é dado por:
𝑇(𝑡) = 𝐿 ∙ 𝐹(𝑡)
(4.3)
Aplicando a segunda lei de Newton ao presente sistema e observando que não há
nenhum atrito no ambiente dos satélites temos:
∑ 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒𝑠 = (
Ou seja,
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜
)∙(
)
𝑑𝑒
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
𝑑 2 𝜃(𝑡)
𝑇(𝑡) = 𝐽 ∙
𝑑𝑡 2
(4.4)
(4.5)
sendo que 𝐽 é o momento de inércia do satélite. Nosso objetivo é encontrar a função de
transferência que relaciona a entrada 𝑇(𝑡) com a saída 𝜃(𝑡). Para isso, aplicamos a
transformada de Laplace em (4.4):
ℒ{𝑇(𝑡)} = 𝐽 ∙ ℒ {
𝑑 2 𝜃(𝑡)
}⇒
𝑑𝑡 2
⇒ 𝑇(𝑠) = 𝐽 ∙ [𝑠 2 𝜃(𝑠) − 𝑠𝜃(𝑡)|𝑡=0 − 𝜃̇(𝑡)|𝑡=0 ]
𝑇(𝑠) = 𝐽 ∙ 𝑠 2 𝜃(𝑠)
(4.6)
Assim, podemos observar que a saída se relaciona com a entrada da seguinte
forma:
𝜃(𝑠) =
1
𝑇(𝑠)
𝐽𝑠 2
(4.7)
Como comentamos, a função de transferência de um sistema é definida através de
uma relação entre a saída e a entrada do sistema. Assim, neste caso, temos:
𝐺(𝑠) =
𝜃(𝑠)
1
=
𝑇(𝑠) 𝐽 ∙ 𝑠 2
sendo 𝐺(𝑠) a função de transferência do satélite.
55
(4.8)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Esquematicamente, podemos representar o sistema estudado no Exemplo 4.1 tal
como ilustra a Figura 4.3.
Figura 4.3 Representação esquemática: Função de transferência entre a posição angular de um satélite e o torque produzido
por seu sistema de propulsão.
Observação
Note que no Exemplo 4.1 nada se assumiu a respeito da entrada 𝑇(𝑡), ou seja, essa é uma
entrada qualquer ou genérica. Podemos dizer, de forma geral, que a função de transferência do
sistema,𝐺(𝑠), NÃO depende da entrada.
O conceito de função de transferência será muito útil neste curso. Conhecer a
função de transferência de um sistema permitirá que façamos uma análise do mesmo e, a
partir disto, projetaremos sistemas de controle automático, de forma que o sistema
passe a operar segundo as especificações que nós determinaremos.
Exercício
4.1. Determine a função de transferência do circuito da Figura 4.4, sendo 𝑣𝑒 (𝑡) a entrada
e 𝑣𝑐 (𝑡) a saída, supondo condições iniciais nulas.
Figura 4.4 Circuito RC
Generalização da Função de Transferência
Agora que passamos a entender o significado de função de transferência a partir
de um exemplo aplicado a um sistema particular, mostraremos, a seguir, uma
generalização do conceito de função de transferência.
56
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Considere um sistema linear invariante no tempo (SLIT), descrito pela equação
diferencial:
∙(𝑛−1)
∙(𝑛)
∙
(𝑡)
𝑎0 𝑦(𝑡) + 𝑎1 𝑦̇ (𝑡) + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑡) + 𝑦 (𝑡) = 𝑏0 𝑢(𝑡) + 𝑏1 𝑢̇ (𝑡) + ⋯ + 𝑏𝑚 (𝑚)
(4.9)
𝑢
Considere, também, que suas condições iniciais são nulas, isto é:
∙(𝑛)
∙
(0) = 0
𝑦(0) = 𝑦̇ (0) = ⋯ = 𝑦 (0) = 0 𝑒 𝑢(0) = 𝑢̇ (0) = ⋯ = (𝑚)
𝑢
(4.10)
Vale lembrar que já provamos, no Capítulo 3, que um sistema dinâmico descrito
conforme (4.8) é um sistema linear. Adicionalmente, se 𝑎𝑖 e 𝑏𝑖 são constantes, então o
sistema é dito linear invariante no tempo.
Aplicando a Transformada de Laplace em (4.9), temos:
𝑎0 𝑌(𝑠) + 𝑎1 [𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0)] + ⋯ + [𝑠 𝑛 𝑌(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑦(0) −
∙(𝑛−1)
𝑦 (0)]
= 𝑏0 𝑈(𝑠) + 𝑏1 [𝑠𝑈(𝑠) − 𝑢(0)] + ⋯ + 𝑏𝑚 [𝑠 𝑛 𝑈(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑢(0) −
(4.11)
∙(𝑛−1)
(0)]
𝑢
Como por (4.10) as condições iniciais são nulas, a equação (4.11) torna-se
𝑎0 𝑌(𝑠) + 𝑎1 𝑠𝑌(𝑠) + ⋯ + 𝑠 𝑛 𝑌(𝑠) = 𝑏0 𝑈(𝑠) + 𝑏1 𝑠𝑈(𝑠) + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑠 𝑚 𝑈(𝑠)
(4.12)
𝑌(𝑠)[𝑎0 + 𝑎1 𝑠 + ⋯ + 𝑠 𝑛 ] = 𝑈(𝑠)[𝑏0 + 𝑏𝑠 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑠 𝑚 ]
(4.13)
Agora, agrupando adequadamente os termos de (4.12), obtém-se:
E, como sabemos, a função de transferência 𝑮(𝒔) é dada pela relação entre a
transformada de Laplace da saída 𝑌(𝑠) e a transformada de Laplace da entrada 𝑈(𝑠),
considerando que todas as condições iniciais são nulas (tal como fizemos em nossa
dedução). Nestes termos, a partir de (4.13), chega-se a:
𝑌(𝑠) 𝑏0 + 𝑏𝑠 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑠 𝑚
=
𝑎0 + 𝑎1 𝑠 + ⋯ + 𝑠 𝑛
𝑈(𝑠)
A relação (4.14) corresponde à forma genérica da função de transferência de um
sistema. Sua representação gráfica pode ser feita tal como ilustra a Figura 4.5.
Figura 4.5 Representação gráfica: função de transferência de um sistema genérico
57
(4.14)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Observações
1) Note que a função de transferência genérica é uma razão entre dois polinômios
genéricos. Ou seja, a função de transferência relaciona entrada e saída do sistema de
forma geral.
2) Mais uma vez, enfatizamos: G(s) independe do valor da entrada. Logo, é uma
característica intrínseca ao sistema.
3) Sendo 𝑢(𝑡) = 𝛿(𝑡) (impulso unitário), temos 𝑈(𝑠) = 1. Assim:
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠) ∙ 𝑈(𝑠) = 𝐺(𝑠) ∙ 1
∴ 𝒀(𝒔) = 𝑮(𝒔)
Ou seja, a resposta 𝑌(𝑠) ao impulso é matematicamente igual à função de transferência
𝐺(𝑠) do sistema.
Obtendo a função de transferência de um sistema
Basicamente, existem duas formas de se obter a função de transferência de um
sistema, sendo elas:
A- Experimentalmente- estudaremos a metodologia experimental nas aulas
práticas, em laboratório.
B- Teoricamente- consiste em seguir os seguintes passos:
Passo 1- Escreva a equação diferencial do sistema, utilizando as leis físicas,
mecânicas, circuitos elétricos, etc.
Passo 2- Aplique a transformada de Laplace na equação encontrada, considerando
todas as condições iniciais nulas.
Passo 3- Isole a saída da entrada, fazendo:
ℒ{𝑠𝑎í𝑑𝑎}
= 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
ℒ{𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎}
ou seja,
𝑌(𝑠)
= 𝐺(𝑠)
𝑈(𝑠)
Exemplo 4.2: Pesquisas recentes em controle automático vêm desenvolvendo o piloto
automático para automóveis. É de suma importância que se tenha conhecimento da
função de transferência de um sistema para realizar o projeto de um controlador para o
mesmo. Sendo assim, vejamos um modelo para o sistema dinâmico: automóvel,
apresentado na Figura 4.6 (a).
58
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Figura 4.6 Sistema automóvel e seu modelo.
Na Figura 4.6 (b) temos um modelo esquematizado do sistema, no qual indicamos
as forças que atuam sobre o carro, sendo elas: a força realizada pelo motor (𝑢(𝑡)) e força
de atrito (𝑓𝑎 (𝑡)).
A entrada do sistema é a força 𝒖(𝒕) realizada pelo motor e a saída é a posição 𝒙(𝒕)
do carro. Entretanto, a velocidade 𝒗(𝒕) = 𝒙̇ (𝒕) também pode ser considerada como uma
saída de interesse do sistema, uma vez que a força 𝑢(𝑡) produz uma mudança na
velocidade 𝑣(𝑡) .
Suponha que o carro esteja parado em 𝑡 ≤ 0, logo, 𝑥(0) = 𝑥̇ (0) = 𝑥̈ (𝑡) = 0 e que o
motor esteja em ponto morto, ou seja, 𝑢(𝑡) = 0 para 𝑡 ≤ 0.
Por simplicidade, nós assumiremos que o momento de inércia das rodas é
desprezível. Assim, aplicando a lei de Newton ao modelo do sistema:
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙ 𝑥̈ (𝑡)
(4.15)
𝑢(𝑡) − 𝑏𝑥̇ (𝑡) = 𝑚𝑥̈ (𝑡)
(4.16)
A força de atrito se opõe à força de impulsão 𝑢(𝑡) gerada pelo motor, logo:
Como comentado acima, o impacto provocado pela entrada 𝑢(𝑡) ao ser aplicada ao
sistema pode ser analisado sob dois pontos de vista:
i.
ii.
como a força 𝒖(𝒕) gerada pelo motor (entrada) influencia na posição 𝒙(𝒕) do veículo
(saída), ou;
como a força 𝒖(𝒕) gerada pelo motor (entrada) influencia na velocidade 𝒗(𝒕) do
veículo (saída).
Faremos, assim, duas análises separadas.
1ª Análise: Suponha que a saída de interesse é a posição 𝒙(𝒕) do carro e que desejamos
obter a função de transferência entre a força 𝒖(𝒕) do motor e a posição 𝒙(𝒕) do carro:
𝑋(𝑠)
=
𝑈(𝑠)
59
?
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Segundo a estratégia apresentada anteriormente, cumprimos o Passo 1 ao
determinar a equação dinâmica do sistema, apresentada em (4.16). Agora, para o Passo 2,
aplicamos a transformada de Laplace em (4.16), supondo condições iniciais nulas, para
obter:
𝑈(𝑠) − 𝑏 ∙ 𝑠𝑋(𝑠) = 𝑚 ∙ 𝑠 2 𝑋(𝑠)
(4.17)
Por fim, cumprindo o Passo 3, podemos isolar a saída da entrada:
O que conduz à relação:
𝑋(𝑠)[𝑚 ∙ 𝑠 2 + 𝑏 ∙ 𝑠] = 𝑈(𝑠)
1
𝑋(𝑠)
=
= 𝐺𝑃𝑂𝑆 (𝑠)
𝑈(𝑠) 𝑚𝑠 2 + 𝑏𝑠
(4.18)
sendo 𝐺𝑃𝑂𝑆 (𝑠) a função de transferência do sistema, entre saída posição 𝒙(𝒕) e a
entrada força 𝒖(𝒕).
Figura 4.7 Representação da função de transferência entre a força de impulsão e a posição do automóvel.
2ª Análise: Suponha que a saída de interesse é a velocidade 𝒗(𝒕) do carro e que desejamos
obter a função de transferência entre a força 𝒖(𝒕) do motor e a velocidade 𝒗(𝒕) do
carro:
𝑉(𝑠)
=
𝑈(𝑠)
?
Primeiramente, precisamos readequar a equação diferencial que representa a
dinâmica do sistema para que essa esteja em termos dos parâmetros considerados na
nova análise (força 𝑢(𝑡) e velocidade 𝑣(𝑡)). Para tanto, substituímos 𝑣(𝑡) = 𝑥̇ (𝑡) em
(4.16). Assim, temos:
𝑢(𝑡) − 𝑏𝑣(𝑡) = 𝑚𝑣̇ (𝑡)
(4.19)
𝑈(𝑠) − 𝑏𝑉(𝑠) = 𝑚 ∙ 𝑠𝑉(𝑠)
(4.20)
pois 𝑣̇ (𝑡) = 𝑥̈ (𝑡). Cumprimos, assim, o Passo 1. Dando sequência, aplicamos a
transformada de Laplace na equação dinâmica (4.19), tal como indica o Passo 2 para,
então, obter:
60
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Agora, isolando a entrada da saída (Passo 3), (4.20) pode ser reescrita como:
E, assim, temos:
𝑉(𝑠)[𝑏 + 𝑚𝑠] = 𝑈(𝑠)
1
𝑉(𝑠)
=
= 𝐺𝑉𝐸𝐿 (𝑠)
𝑈(𝑠) 𝑚𝑠 + 𝑏
sendo 𝐺𝑉𝐸𝐿 (𝑠) a função de transferência do sistema, entre saída velocidade 𝒗(𝒕) e a
entrada força 𝒖(𝒕).
Figura 4.8 Representação da função de transferência entre a força de impulsão e a velocidade do automóvel.
Das análises, podemos concluir que um mesmo sistema pode ter sua dinâmica
analisada de diferentes pontos de vista, a depender de qual saída teremos o interesse em
investigar. Neste caso, vimos que uma mesma entrada (força) produz impactos em duas
grandezas relacionadas ao sistema (posição e velocidade), sendo que estas relações são
caracterizadas por funções de transferências diferentes.
Exemplo 4.3: Considere o sistema de suspensão de um automóvel, ilustrado na Figura 4.8
(b).
Mola
Figura 4.9 Sistema de suspensão de um automóvel.
A entrada do sistema corresponde ao perfil da pista 𝒙(𝒕) ao passo que a saída de
interesse é o deslocamento 𝒚(𝒕) da carroceria do carro. O modelo apresentado
corresponde a
61
1
4
de automóvel, isto é, ao comportamento de uma das quatro rodas do
(4.21)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
automóvel, referente a uma massa que corresponde a
1
4
da massa total. Como mostra a
Figura 4.8 (a) diagrama, o sistema de suspensão é composto por uma mola e um
amortecedor.
O cilindro do amortecedor contém ar que passa de um lado para o outro, quando
ocorre um movimento relativo. Ele aplica sempre uma força de reação, ou seja, contrária
ao movimento de suas extremidades.
Figura 4.10 Funcionamento do amortecedor.
O amortecedor viscoso proporciona fricção viscosa, ou seja, ele se opõe a qualquer
movimento relativo das duas extremidades, dissipando energia na forma de calor.
A relação entre a força atrito e o deslocamento do pistão do amortecedor é dada
por:
𝐹𝑎 (𝑡) = 𝑓 ∙ 𝑑̇(𝑡)
forma:
Sendo assim, podemos identificar as forças que atuam sobre a massa 𝑚 da seguinte
São as forças:
𝐹𝑚 = 𝑘(𝑦 − 𝑥)
a força exercida pela mola, e;
𝐹𝑎 = 𝑓(𝑦̇ − 𝑥̇ )
a força exercida pelo amortecedor.
Figura 4.11 Diagrama de forças atuantes na massa 𝑚,
no instante inicial.
Nesta análise supomos que as condições
iniciais são nulas. Desta forma, inicialmente o
sistema está em equilíbrio, e o peso (𝑚𝑔) está
sendo sustentado pela deflexão inicial do
amortecedor e da mola.
Sabemos que:
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑎
62
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Logo:
𝑚𝑔 − 𝑓(𝑦̇ − 𝑥̇ ) − 𝑚𝑔 − 𝑘(𝑦 − 𝑥) = 𝑚𝑦̈
(4.22)
−𝑓(𝑠𝑌(𝑠) − 𝑠𝑋(𝑠)) − 𝑘(𝑌(𝑠) − 𝑋(𝑠)) = 𝑚 ∙ 𝑠 2 𝑌(𝑠)
(4.23)
Assim, aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas, obtemos:
E, isolando a saída da entrada:
Levando a:
𝑌(𝑠)(𝑚 ∙ 𝑠 2 + 𝑓𝑠 + 𝑘) = (𝑠𝑓 + 𝑘)𝑋(𝑠)
𝑌(𝑠)
𝑠𝑓 + 𝑘
=
= 𝐺(𝑠)
2
𝑋(𝑠) 𝑚𝑠 + 𝑓𝑠 + 𝑘
4.2
(4.24)
Figura 4.12 Representação da função de transferência entre o perfil
da pista 𝑥(𝑡) e o deslocamento da carcaça do automóvel 𝑦(𝑡).
Função
de
Transferência
de
Circuitos
com
Amplificador Operacional (A.O.)
O amplificador operacional (A.O.) tem a característica de alta impedância de
entrada e baixa impedância de saída. Idealmente, a impedância de entrada é infinita, logo
a corrente de entrada é nula. A Figura 4.13 mostra o circuito do A.O. na configuração
inversora.
P
Figura 4.13 Amplificador operacional na configuração inversora.
63
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Função de Transferência do Amplificador Operacional
Como 𝑅𝑒→ + ∞, tem-se que 𝑖1 0 𝐴, logo a tensão no nó 𝑃 é igual a 0 𝑉. Dizemos,
então, que o nó P está conectado a um terra virtual.
Levando em conta estas considerações, o circuito da Figura 4.13 pode ser
representado, de forma equivalente, tal como apresenta a Figura 4.14.
Figura 4.14 Circuito equivalente do amplificador operacional em configuração inversora.
Pelo circuito da Figura 1.14, tem-se:
𝑒(𝑡) = 𝑅1 𝑖(𝑡) ⇒ 𝑖 =
𝑒(𝑡)
𝑅1
0 = 𝑅2 𝑖(𝑡) + 𝑣(𝑡) ⇒ 𝑣(𝑡) = −𝑅2 ∙ 𝑖(𝑡)
(4.25)
(4.26)
Substituindo (4.25) em (4.26):
𝑣(𝑡) = −
𝑅2
𝑒(𝑡)
𝑅1
(4.27)
𝑉(𝑠) = −
𝑅2
𝐸(𝑠)
𝑅1
(4.28)
Aplicando a transformada em (4.27), obtém-se:
Assim:
𝑅2
𝑉(𝑠)
=−
= 𝐺(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝑅1
(4.29)
A partir da função de transferência obtida, podemos notar que circuito
amplificador operacional na configuração inversora inverte o sinal da entrada e provê a
𝑹
ela um ganho 𝑹𝟐 .
𝟏
Figura 4.15 Representação esquemática do amplificador operacional.
64
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Função de Transferência do Amplificador Operacional Integrador
Um importante circuito construído a partir de um amplificador operacional é o
amplificador operacional integral. Sua importância em controle deriva, especialmente
de sua função de transferência. Para determina-la, analisemos o circuito da Figura 4.15
(a).
Figura 4.16 Circuito amplificador operacional integrador.
Seguindo a ideia de terra virtual apresentada anteriormente, o circuito da Figura
4.15 (a) pode ser representado de forma equivalente tal como apresentado na Figura 4.15
(b).
Representando os elementos do circuito da Figura 4.15(b) como impedâncias no
domínio ‘s’ (ver curso de Circuitos Elétricos), temos:
Figura 4.17 Representação no domínio da variável 's' do circuito equivalente A.O. integrador.
Da Figura 4.16, podemos obter:
𝐸(𝑠) = 𝑅 ∙ 𝐼(𝑠) + 0 ⇒ 𝐼(𝑠) =
0=
1
𝐼(𝑠) + 𝑉(𝑠)
𝑠𝐶
𝐸(𝑠)
𝑅
(4.30)
(4.31)
E, substituindo (4.30) em (4.31):
𝑉(𝑠) = −
65
1
𝐸(𝑠)
𝑅𝐶𝑠
(4.32)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
O que leva a:
𝑉(𝑠)
1
=−
= 𝐺(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝑅𝐶𝑠
(4.33)
Esta é a função de transferência do
integrador. Note que a relação (4.33) possui
um polinômio de 1ª ordem no
denominador, com apenas ‘s’, o que
proporciona o polo 𝑠1 = 0. Ou seja, a função
Figura 4.18 Representação gráfica da função de transferência
de transferência do integrador mostra que
do circuito amplificador integrador.
este sistema tem, por característica própria,
um polo na origem. Este conceito será muito útil ao longo deste curso.
O amplificador operacional integrador tem este nome pois, na prática, a saída 𝑣(𝑡)
é igual à integral da entrada 𝑢(𝑡). De uma forma genérica, representamos:
Figura 4.19 O integrador.
É possível realizar a verificação desta afirmação a partir da simples verificação
apresentada abaixo.
a) Para entrada degrau unitário:
b) Para entrada rampa
66
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Exercício
4.2. Determine as funções de transferência dos circuitos abaixo:
a)
b)
c)
MATLAB em Controle Linear
O MATLAB possui um “toolbox” com uma grande diversidade de funções
apropriadas para a análise de sistemas de controle. Estas funções estão disponíveis
através do comando: help control.
Para ilustrar a utilidade do MATLAB nesta análise, utilizaremos o sistema de
suspensão de um automóvel que estudamos no Exemplo 4.3, cujo modelo e função de
transferência são reapresentados nas Figuras 4.20 (a) e (b), respectivamente.
67
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 4.20 Sistema de suspensão e sua função de transferência.
Faremos a análise do comportamento do sistema para dois casos de perfis de
pistas: degrau e rampa, cujos detalhes veremos logo adiante.
Neste estudo, consideremos que as constante do sistema, em unidades do SI, são:
𝑘 = 200; 𝑓 = 500; 𝑚 = 1000.
1ª Análise: Suponha que o automóvel passe pela elevação apresenta na Figura 4.21.
Figura 4.21 Sistema de suspensão e a entrada degrau.
Esta elevação corresponde à entrada do sistema e é chamada de entrada degrau.
Consideremos que o automóvel desloca-se em um perfil de pista 𝑥(𝑡) constante de, com
valor 0 𝑐𝑚. Em um certo instante, o carro encontra um degrau de 25 𝑐𝑚, de forma que o
perfil da pista 𝑥(𝑡) assume, de forma instantânea, o valor 25 𝑐𝑚.
Para observar a resposta do sistema (movimento do sistema massa-mola,
amortecedor, ou seja, o suposto automóvel) executemos um programa no MATLAB. Aqui,
utilizamos a função step, que promove a aplicação de uma entrada degrau ao sistema
de interesse e fornece a respectiva resposta, ou comportamento da saída 𝑦(𝑡). O sistema
é informado à função step através dos polinômios do numerador e denominador de sua
função de transferência.
Utilizando o programa da Tabela 4.1, via software MATLAB, para implementamos
o degrau considerado neste problema.
68
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Tabela 4.1 Programa no MATLAB para simulação do sistema de suspensão: entrada degrau.
%Parâmetros do sistema
m=1000;
f=500;
k=200;
%Numerador
num=[f,k];
%Denominador
den=[m,f,k];
%Tempo de simulação
tempo=0:0.1:30;
%Função degrau
y=0.25*step(num,den,tempo);
%Gráfico
plot(tempo,y,'b')
xlabel('Tempo[s]');
ylabel('y(t)[m]');
Assim, obtemos a resposta do sistema tal como mostra a Figura 4.22.
0.35
0.3
y(t)[m]
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Tempo[s]
Figura 4.22 Resposta do sistema de suspensão a uma entrada degrau de 20 cm.
2ª Análise: Agora, suponha que o automóvel passe por um tipo diferente de elevação,
apresentado na Figura 4.23.
Consideraremos que, ao
longo da rampa, a variação do
perfil da pista seguirá a seguinte
função do tempo:
𝑥(𝑡) = 0,025 ∙ 𝑡
Para verificar a saída do
sistema 𝑦(𝑡) (posição da massa)
através de um programa no
MATLAB,
precisaremos
construir o vetor de entrada que
Figura 4.23 Sistema de suspensão sujeito a entrada rampa.
implemente a rampa da qual
69
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
estamos tratando nesta segunda análise. A partir disso, utilizaremos a função lsim para
obter a saída 𝑦(𝑡).
De forma bastante parecida à função step, a lsim fornece a saída de um sistema,
sendo informados o numerador e o denominador de sua função de transferência.
Por outro lado, enquanto a função step considera, de forma padrão, que a entrada tratase de uma entrada degrau, a função lsim permite a simular a resposta do sistema para
qualquer tipo de entrada. Para isso, o usuário deve especificar, através de vetores, as
informações da entrada e de tempo. O par de vetores indicam, elemento a elemento, a
característica da entrada para um determinado valor de tempo.
A sintaxe da função lsim é apresentada abaixo:
Figura 4.24 Função lsim.
O programa abaixo realiza a simulação do comportamento da posição 𝑦(𝑡) considerando
a entrada rampa tratada nesta análise.
Tabela 4.2 Programa no MATLAB para simulação do sistema de suspensão: entrada rampa.
%Parâmetros do sistema
m=1000;
f=500;
k=200;
num=[f,k];
den=[m,f,k];
%Tempo de simulação
tempo=0:1:10; %Tempo até que x(t)=25 cm
%Tempo total de simulação
t=0:1:40;
%Construção do vetor entrada
u=0.025*tempo;
u=u';
a=0.25*ones(1,30); %Criando elementos com valor cte. 25cm
a=a';
u=[u; a];
y=lsim(num,den,u,t);
plot(t,y,'b',t,u,'r')
xlabel('Tempo[s]');
ylabel('y(t)[m]');
text(18,0.28,'y(t)');
text(13,0.24,'u(t)');
70
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Como resultado, obtemos a resposta 𝑦(𝑡) apresentada na Figura 4.25.
0.35
0.3
y(t)
y(t)[m] e u(t)[m]
0.25
u(t)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Tempo[s]
4.3 Função de Transferência de um Sistema Rotacional Mecânico
Um sistema rotacional mecânico representa a carga que um motor elétrico tem
em seu eixo. A Figura 4.25 apresenta uma ilustração deste sistema.
Figura 4.25 Sistema rotacional mecânico.
Sabemos que:
logo,
∑ 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒𝑠 = (𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎) ∙ (𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟)
̇ = 𝐽𝜃̈(𝑡)
𝑇(𝑡) − 𝑓𝜃(𝑡)
71
(4.34)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Aplicando a transformada de Laplace, considerando condições iniciais nulas,
temos:
𝑇(𝑠) − 𝑠𝑓𝜃(𝑠) = 𝐽𝑠 2 𝜃(𝑠)
(4.35)
Assim, considerando como entrada o torque aplicado 𝑇(𝑡) e como saída a posição
angular do eixo do motor 𝜃(𝑡), pode-se obter a função de transferência do sistema a partir
de (4.35) como segue:
𝜃(𝑠)
1
= 2
= 𝐺(𝑠)
𝑇(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝑓𝑠
Figura 4.26 Representação da função de transferência de um
sistema rotacional mecânico.
Exercício
4.3. Prove que se a saída de interesse fosse a velocidade de rotação (𝑡) = 𝜃̇(𝑡), então
a função de transferência será dada por:
𝐺(𝑠) =
1
𝜔(𝑠)
=
𝑇(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝑓
4.4 Função de Transferência de um Motor de Corrente Contínua
O motor CC converte energia elétrica de corrente contínua em energia mecânica de
movimento rotativo, vide Dorf 8ºed, pg. 40. A Figura 4.27 apresenta um esquema
ilustrativo de um motor de corrente contínua.
Figura 4.27 Motor de corrente contínua.
72
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Este tipo de motor é largamente utilizado em numerosas aplicações de controle,
incluindo manipuladores robóticos, mecanismos de transporte e fitas, acionadores de
disco, máquinas-ferramentas e atuadores de senso válvulas.
Isso se dá devido ao fato de os motores CC apresentam características específicas,
tais como torque elevado, possibilidade de controle de velocidade ou posição angular
sobre uma ampla faixa de valores, portabilidade, característica velocidade-torque “bem
comportada” e adaptabilidade a vários tipos de métodos de controle.
A função de transferência do motor CC será deduzida por meio de uma
aproximação linear do motor real, construída sob a hipótese de que os efeitos de histerese
e queda de tensões nas escovas serão desprezados. Para tanto, consideremos a Figura
4.28, que nos traz um modelo do circuito elétrico que representa o motor CC da Figura
4.27.
A tensão 𝑉𝑓 (𝑡) é aplicada ao enrolamento do estator (também chamado de
enrolamento de campo), e atua como controle, pois é ela quem regula a intensidade do
campo magnético gerado pelo
estator, que por sua vez, será
responsável por induzir a
movimentação do rotor. Logo,
consideraremos 𝑉𝑓 (𝑡) como a
entrada do sistema, e por sua
vez, 𝜃(𝑡) será a saída de
interesse.
Com a aplicação da
tensão 𝑉𝑓 (𝑡), uma corrente
𝑖𝑓 (𝑡) passa a circular no
enrolamento
de
campo.
Assim, um campo magnético é
criado. Consequentemente,
um fluxo magnético passa a
Figura 4.28 Modelo do motor de corrente contínua.
existir no entreferro do
motor.
O fluxo no entreferro do motor é proporcional à corrente de campo, podendo ser
descrito por:
𝜙(𝑡) = 𝑘𝑓 𝑖𝑓 (𝑡)
Quando existe uma corrente 𝑖𝑎 (𝑡) circulando nos enrolamentos do rotor (também
chamado de enrolamento de armadura), ocorre uma interação entre esta e o campo
magnético do estator. Como resultado, uma força de natureza magnética passa a atuar nos
condutores do enrolamento do rotor. As espiras deste enrolamento são dispostas de
forma que as forças que atuam sobre seus condutores apareçam em forma binária, o que
dá origem a um torque, responsável por produzir o movimento do eixo do rotor. A Figura
4.29 apresenta uma melhor visualização deste fenômeno.
73
(4.36)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 4.29 Funcionamento do motor de corrente contínua.
Logo, o torque 𝑇𝑚 (𝑡) desenvolvido pelo motor é admitido como sendo
proporcional ao fluxo 𝜙(𝑡) e à corrente de armadura 𝑖𝑎 (𝑡), podendo ser expresso por:
𝑇𝑚 (𝑡) = 𝑘𝑖 𝜙(𝑡)𝑖𝑎 (𝑡) = 𝑘𝑓 𝑘𝑓 𝑖𝑓 (𝑡)𝑖𝑎 (𝑡)
(4.37)
Como o controle do motor é feito através da corrente de campo, ia(t) é considerada
como uma constante: 𝑖𝑎 (𝑡) = 𝐼𝑎 . Logo:
𝑇𝑚 (𝑡) = 𝑘𝑓 𝑘𝑓 𝐼𝑎 𝑖𝑓 (𝑡)
(4.38)
𝑉𝑓 (𝑡) = (𝑅𝑓 + 𝑠𝐿𝑓 )𝐼𝑓 (𝑠)
(4.39)
𝑇𝑎 (𝑡) = 𝑏𝜃̇(𝑡)
(4.40)
Por sua vez, a corrente de campo se relaciona com a tensão de campo através da
relação
E, o torque de atrito dos rolamentos é dado por:
Como sabemos,
Logo:
∑ 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒𝑠 = (𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎) ∙ (𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟)
(4.41)
𝑇𝑚 (𝑡) − 𝑇𝑎 (𝑡) = 𝐽 ∙ 𝜃̈(𝑡)
Substituindo (4.38) e (4.40) em (4.41):
sendo 𝑘𝑚 = 𝑘𝑖 𝑘𝑓 𝐼𝑎 .
𝑘𝑚 𝑖𝑓 (𝑡) − 𝑏𝜃̇ (𝑡) = 𝐽 ∙ 𝜃̈(𝑡)
(4.42)
74
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência
Aplicando a transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas em (4.42):
𝑘𝑚 𝐼𝑓 (𝑠) = 𝑠𝑏𝜃(𝑠) + 𝐽𝑠 2 𝜃(𝑠)
(4.43)
𝑘𝑚
𝑉 (𝑠) = (𝑠𝑏 + 𝐽𝑠 2 )𝜃(𝑠)
𝑅𝑓 + 𝐿𝑓 𝑠 𝑓
(4.44)
Isolando-se 𝐼𝑓 (𝑠) em (4.39) e substituindo em (4.43):
ou ainda,
𝑘𝑚
𝑘𝑚
𝜃(𝑠)
=
=
𝑉𝑓 (𝑠) (𝑅𝑓 + 𝐿𝑓 𝑠)(𝑠𝑏 + 𝐽𝑠 2 ) 𝑠(𝑅𝑓 + 𝐿𝑓 𝑠)(𝑏 + 𝐽𝑠)
(4.45)
Normalmente, 𝐿𝑓 é muito pequeno. Assim, (4.45) pode ser resumida a:
𝑘𝑚
⁄𝑅
𝜃(𝑠)
𝑓
=
𝑉𝑓 (𝑠) 𝑠(𝑏 + 𝐽𝑠)
sendo, então (4.45) a função de transferência de um motor de corrente contínua.
Exercício
4.4. Como seria a F.T. do motor CC se a saída de interesse fosse 𝜔(𝑡) = 𝜃̇(𝑡), ou seja, a
velocidade de rotação do eixo?
75
(4.45)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
5
5 Diagrama de Blocos
DIAGRAMA DE
BLOCOS
Neste Capítulo...
A importância da relação
causa e efeito da função
de transferência é
evidenciada pela
facilidade de representar
a ligação entre as
variáveis do sistema
através de diagramas. A
representação das
relações de sistemas em
diagrama de blocos é
predominante na engenharia de sistemas de
controle. O helicóptero
de bancada da
Quanser®, equipamento
adquirido pelo LPC-FEIS,
é um sistema
extremamente complexo.
A dinâmica que relaciona
a tensão elétrica (𝑣)
aplicada aos motores do
helicóptero e a angulação
de pitch (𝜌) ao longo de
seu voo pode ser
representada de forma
simples através de um
diagrama de blocos.
𝑽(𝒔)
𝑮(𝒔)
𝚸(𝒔)
LPC – Laboratório de Pesquisa em Controle – FEIS - UNESP
Simplificação
Conheceremos uma forma gráfica de representar a relação entre um
sistema e suas variáveis de interesse: o diagrama de blocos. Veremos
quais são os blocos que permitem representar os elementos em um
sistema de controle, bem como as regras para simplificar diagramas
de blocos. Esta técnica pode ser útil quando queremos encontrar a
função de transferência de um sistema com inter-relações mais
complexas.
CAPÍTULO 5 – Diagrama de Blocos
5.1
Introdução
Como vimos até então, os sistemas dinâmicos que abrangem os sistemas de
controle automático são representados matematicamente por um conjunto de equações
diferenciais. O uso da transformada de Laplace reduz o problema à solução de um
conjunto de equações algébricas lineares, facilitando sua manipulação.
Um sistema de controle tem como objetivo o controle de variáveis específicas em
um dado sistema. Para isto, torna-se necessário obter conhecimento acerca da interrelação entre as variáveis controladas e as variáveis de controle. Esta relação é
representada pela função de transferência do sistema, que relaciona as variáveis de
entrada e de saída.
Veremos, a seguir, três elementos básicas de construção dos diagramas de blocos,
sendo elas: a função de transferência, o detector de erros, e o sistema em malha fechada.
A Função de Transferência
Já viemos trabalhando com este elemento de representação nos últimos capítulos.
A função de transferência elemento básico de um diagrama de blocos e traduz a relação
entre a saída do sistema e a entrada aplicada.
Figura 5.1 Diagrama de blocos: função de transferência.
O Detector de Erro
O processo de controlar o valor de uma determinada variável de um sistema
envolve a comparação do valor medido com uma determinada referência. Na
representação em diagrama de blocos, esta comparação é representada através do
elemento detector de erro, apresentado na Figura 5.2.
Figura 5.2 Diagrama de blocos: o detector de erro.
77
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
5.2 Função de Transferência de Malha Fechada
Conforme vimos no Capítulo 1, o fator de sucesso de um sistema de controle está na
realimentação. A realimentação consiste em comparar o valor da saída que se tem
interesse em controlar com um certo valor de referência. Então, a partir do erro calculado,
atuar sobre o sistema de forma a minimizar o erro, isto é, modificar o valor da saída até
que este esteja o mais próximo quanto possível do valor de referência.
Desta forma, um sistema de controle pode ser representado através de uma
configuração básica em diagrama de blocos conforme apresentada na Figura 5.3. Esta
configuração é comumente referida como sistema em malha fechada.
Figura 5.3 Diagrama de blocos: sistema em malha fechada.
Esta configuração é extremamente importante em controle. Agora, iremos em
busca de definir a relação entre a entrada e a saída de um sistema em malha fechada. A
função de transferência que relaciona 𝑌(𝑠) com 𝑈(𝑠) no sistema da Figura 5.3 é conhecida
como função de transferência de malha fechada.
Pela Figura 5.1, temos que a saída 𝑌(𝑠) e dada por:
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠). 𝐸(𝑠)
(5.1)
𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝑌(𝑠)
(5.2)
E, pela Figura 5.2, o erro calculado 𝐸(𝑠) é:
Substituindo (5.2) em (5.1) temos:
ou ainda,
ainda:
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠). [𝑈(𝑠) − 𝑌(𝑠)]
𝑌(𝑠) + 𝐺(𝑠)𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠). 𝑈(𝑠)
𝑌(𝑠)[1 + 𝐺(𝑠)] = 𝐺(𝑠). 𝑈(𝑠)
(5.3)
78
CAPÍTULO 5 – Diagrama de Blocos
Logo, isolando a saída da entrada em (5.3), obtemos:
𝑌(𝑠) =
𝐺(𝑠)
𝑈(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)
(5.4)
Assim, a entrada 𝑈(𝑠) é relacionada com a saída 𝑌(𝑠) através da função 𝐹(𝑠):
Ou seja:
𝐹(𝑠) =
𝐺(𝑠)
⟹ 𝑌(𝑠) = 𝐹(𝑠) ∙ 𝑈(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)
Figura 5.4 Função de transferência de malha fechada.
Uma forma mais genérica e completa de um sistema em malha fechada apresenta
um elemento na realimentação, entre a saída 𝑌(𝑠) e a entrada negativa do detector de
erro, conforme mostra a Figura 5.5. Este elemento, cuja função de transferência é
denominada por 𝐻(𝑠), e representa a influência que o sensor, responsável por realizar a
leitura da saída, exerce sobre a resposta global do sistema.
Figura 5.5 Sistema em malha fechada: representação completa.
Veja que este diagrama representa o diagrama de controle de temperatura
mostrado no Capítulo 1.
Do diagrama da Figura 5.5, temos:
e
79
𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝐻(𝑠)𝑌(𝑠)
(5.5)
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝐸(𝑠)
(5.6)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Substituindo (5.5) em (5.6):
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)[𝑈(𝑠) − 𝐻(𝑠)𝑌(𝑠)]
Expandindo o termo em colchetes:
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠) − 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)𝑌(𝑠)
Isolando os termos com 𝑌(𝑠) dos termos com 𝑈(𝑠):
𝑌(𝑠) + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)
Colocando 𝑌(𝑠) em evidência,
𝑌(𝑠)[1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)] = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)
E, finalmente, isolando saída da entrada, obtemos:
𝑌(𝑠) =
𝐺(𝑠)
𝑈(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
(5.7)
Exercício
5.1. Mostre que a F.T.M.F. do sistema da Figura 5.6 é
𝐺(𝑠)
𝑌(𝑠)
=
𝑈(𝑠) 1 − 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
Figura 5.6 Sistema em malha fechada: realimentação positiva.
80
CAPÍTULO 5 – Diagrama de Blocos
5.3 Manipulação no Diagrama de Blocos
Os diagramas de blocos podem ser simplificados de forma a serem representados,
ao final, por uma única função de transferência, na forma apresentada na Figura 5.1.
Muitas vezes, entretanto, algumas manipulações devem ser feitas no diagrama original
para que possamos simplificá-lo.
Apresentamos, agora, algumas regras úteis que nos permitirão manipular um
diagrama de blocos.
a)
Verificação: De (𝑖) tem-se
𝑌1 (𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)
} (𝑎)
𝑌2 (𝑠) = 𝑈(𝑠)
E, a partir de (𝑖𝑖), tem-se
𝑌1 (𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)
1
} (𝑏)
. 𝑈(𝑠) = 𝑈(𝑠)
𝑌2 (𝑠) = 𝐺(𝑠).
𝐺(𝑠)
Como (a) é equivalente a (b), então (𝑖) é equivalente a (𝑖𝑖).
b)
Verificação: De (𝑖) ⇒ {
𝑌2 (𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)
𝑌 (𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)
e, por (𝑖𝑖) ⇒ { 2
𝑌1 (𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)
𝑌1 (𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)
Logo, (𝑖) e (𝑖𝑖) são equivalentes.
81
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
c)
Verificação: Pelos diagramas apresentados, temos:
(𝑖) ⇒ 𝑌(𝑠) = 𝑼𝟏 (𝒔)𝑮(𝒔) − 𝑼𝟐 (𝒔)
𝑈2 (𝑠)
(𝑖𝑖) ⇒ 𝑌(𝑠) = (𝑈1 (𝑠) −
) 𝐺(𝑠) = 𝑼𝟏 (𝒔)𝑮(𝒔) − 𝑼𝟐 (𝒔)
𝐺(𝑠)
Logo, (𝑖) e (𝑖𝑖) são equivalentes.
Na Tabela 5.1 são apresentadas as principais regras para redução de diagramas de
blocos, extraídas de Ogata.
Tabela 5.5.1 Regras para redução de diagramas de blocos.
Regra
Diagrama Original
Diagrama de Bloco Equivalente
1
2
3
4
5
82
CAPÍTULO 5 – Diagrama de Blocos
Tabela 5.1 Continuação: Regras para redução de diagramas de blocos
Regra
Diagrama Original
Diagrama de Bloco Equivalente
6
7
8
9
10
11
12
13
Obs.: A regra 13 já foi demonstrada nas páginas anteriores.
83
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Exercício
5.2. Demonstre todas as regras da tabela anterior que ainda não foram demonstradas.
Exemplo 5.1: Determine a F.T.M.F. do diagrama de blocos da Figura 5.7.
Figura 5.7 Diagrama de blocos para o Exemplo 5.1.
Solução: Usando a regra 9 da Tabela 5.1, temos:
Agrupando os blocos que estão em série (regra 4 da Tabela 5.1), tem-se:
Usando a regra 13, tem-se:
84
CAPÍTULO 5 – Diagrama de Blocos
Usando a regra 4:
Usando a regra 13:
ou ainda,
Aplicando novamente a regra 13 temos:
Exercício: Determine a função de transferência de malha fechada de:
85
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Resposta:
A representação em diagramas de blocos também pode ser útil quando buscamos
a função de transferência de circuitos envolvendo amplificadores operacionais. Vejamos,
através do Exemplo 5.2, uma aplicação desta ideia.
Exemplo 5.2: Determine a F.T.M.F. do circuito abaixo. Em seguida, obtenha o
comportamento de 𝑣𝑠 (𝑡) através de uma simulação do circuito utilizando o MATLAB. Para
a simulação, considere que R=103Ω e C=10-6F, e que 𝑣𝑒 (𝑡) seja uma entrada degrau
unitário.
Figura 5.8 Circuito para o Exemplo 5.2.
Solução: Dividiremos o circuito da Figura 5.8 em partes, e faremos uma análise individual
para cada uma delas.
Primeira Parte:
Figura 5.9 Circuito para o Exemplo 5.2: Somador.
Primeiramente, será necessário introduzir o equacionamento do amplificador
operacional na configuração somador.
86
CAPÍTULO 5 – Diagrama de Blocos
Pelo circuito da Figura 5.9, tem-se:
𝑖1 (𝑡) =
Adicionalmente:
𝑣𝑒 (𝑡)
;
𝑅
𝑖2 (𝑡) =
𝑣3 (𝑡)
;
𝑅
𝑖3 (𝑡) =
𝑣4 (𝑡)
𝑅
𝑖(𝑡) = 𝑖1 (𝑡) + 𝑖2 (𝑡) + 𝑖3 (𝑡)
0 = 𝑖(𝑡)𝑅 + 𝑣1 (𝑡) ⟹ 𝑣1 (𝑡) = −𝑅𝑖(𝑡)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Logo, substituindo (5.9) em (5.10):
𝑣1 (𝑡) = −𝑅 (
𝑣𝑒 (𝑡) 𝑣3 (𝑡) 𝑣4 (𝑡)
+
+
) = −(𝑣𝑒 (𝑡) + 𝑣3 (𝑡) + 𝑣4 (𝑡))
𝑅
𝑅
𝑅
(5.11)
Aplicando a transformada de Laplace, supondo condições iniciais nulas em (5.11):
𝑉1 (𝑠) = −(𝑉𝑒 (𝑠) + 𝑉3 (𝑠) + 𝑉4 (𝑠))
Assim, por (5.12), concluímos que o modelo em diagrama de blocos do A.O.
somador é apresentado na Figura 5.10.
Figura 5.10 Diagrama de blocos: circuito AO somador do Exemplo 5.2.
Segunda Parte:
Portanto, o diagrama de bloco deste trecho do circuito é:
87
(5.12)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Terceira Parte:
Portanto, o diagrama de bloco deste trecho do circuito é:
Os demais trechos do circuito são análogos às análises já efetuadas. Assim,
podemos representar o circuito da Figura 5.8 através do diagrama de blocos da Figura
5.11.
Figura 5.11 Diagrama de blocos do circuito da Figura 5.8.
Agora, a fim de obter a função de transferência entre 𝑉𝑠 (𝑠) e 𝑉𝑒 (𝑠), prosseguimos
com a redução do diagrama da Figura 5.11, utilizando as regras da Tabela 5.1.
Fazendo associações série e depois usando a regra 13:
E, aplicando a regra 13 novamente:
88
CAPÍTULO 5 – Diagrama de Blocos
Realizando as simplificações necessárias, obtemos:
O último diagrama de blocos obtido sinaliza, diretamente, a função de
transferência entre a entrada 𝑉𝑒 (𝑠) e a saída 𝑉𝑠 (𝑠). A partir da função de transferência
obtida, podemos utilizar o MATLAB para simular a resposta do sistema à uma entrada
degrau unitário. O resultado da simulação está mostrado na Figura 5.12, e o programa
utilizado é apresentado na Tabela 5.2.
1.4
𝒗𝒔 (𝒕)
Tensão de Saída [volts]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
Tempo [segundos]
Figura 5.12 Resposta da saída vs(t) para entrada degrau unitário.
Tabela 5.2 Programação em MATLAB para o Exemplo 5.2.
% Parâmetros do sistema
R=1e3;
C=1e-6;
%Função de transferência
num=1;
den=[(r*c)^2 r*c 1];
%Tempo de simulação
tempo=0:0.0001:0.02;
%Resposta ao degrau
y=step(num,den,tempo);
%Plotando o gráfico de ve(t)
plot(tempo,y,'b')
xlabel('Tempo [segundos]')
ylabel('Tensão de Saída [volts]')
89
0.018
0.02
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
5.4 Simplificação de Diagrama de Blocos com o MATLAB
O MATLAB apresenta algumas funções para simplificação de diagrama de blocos.
Suponha as seguintes funções de transferência.
𝐺1 (𝑠) =
num1
;
den1
𝐺2 (𝑠) =
num2
den2
Como determinar a função de transferência entre 𝐶(𝑠) e 𝑅(𝑠) dos diagramas a seguir,
utilizando o MATLAB?
a)
b)
c)
(a) sistema em cascata; (b) sistema em paralelo; (c) sistema com realimentação (de
malha fechada).
As funções que possibilitam determinar a função de transferências dos diagramas
apresentados são:
series
parallel
feedback
Basicamente, cada uma delas trabalha com um padrão de ligação entre dois blocos
de função de transferência diferentes. Fornecendo duas funções de transferência que
estejam ligadas em série, como no diagrama a), ou em paralelo, como no diagrama b),
ou ainda, constituindo uma realimentação de malha fechada, como no diagrama c),
series, parallel e feedback retornam, respectivamente, a função de transferência
resultante.
90
CAPÍTULO 5 – Diagrama de Blocos
A sintaxe para trabalhar com estas funções, considerando o exemplo dado, seria:
[num, den] = series(num1, den1, num2, den2)
[num, den] = parallel(num1, den1, num2, den2)
[num, den] = feedback(num1, den1, num2, den2)
Assim, num e den recebem o polinômio do numerador e do denominador,
respectivamente, da função de transferência resultante de cada associação.
Atribuindo valores à num1, den1, num2 e den2, apresentamos um programa que
realiza todas as associações acima, a fim de melhor ilustrar o funcionamento destas
funções.
Tabela 5.3 Programação em MATLAB: funções para simplificação de diagrama de blocos.
num1=[0 0 10];
den1=[1 2 10];
num2=[0 5];
den2=[1 5];
[num,den]=series(num1,den1,num2,den2);
printsys(num,den)
[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2);
printsys(num,den)
[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2);
printsys(num,den)
Como resposta, o MATLAB exibirá em sua Command Window, os seguintes
resultados:
num/den =
50
----------------------s^3 + 7 s^2 + 20 s + 50
num/den =
5 s^2 + 20 s + 100
----------------------s^3 + 7 s^2 + 20 s + 50
Série
Diagrama a)
Paralelo
Diagrama b)
num/den =
10 s + 50
-----------------------s^3 + 7 s^2 + 20 s + 100
Malha Fechada
Diagrama c)
Para maiores detalhes digite no MATLAB: help series, ou help parallel
ou ainda, help feedback.
91
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
6
6 Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal
MODELO EM DIAGRAMA DE
FLUXO DE SINAL
Neste Capítulo...
Fluxo de Sinal
Os diagramas de blocos
são adequados para a
representação das interrelações entre variáveis
controladas e de entrada.
Contudo, para um
sistema com interrelações razoavelmente
complexas, o
procedimento de redução
do diagrama de blocos é
trabalhoso. Um método
alternativo para se
determinar a relação
entre variáveis de um
sistema foi desenvolvido
por Samuel Jefferson
Mason e é baseado em
uma representação do
sistema por meio de
segmentos de arcos. Este
método é chamado de
diagrama de fluxo de
sinal e sua vantagem é a
disponibilidade de uma
fórmula geral para
determinar a função de
transferência equivalente
do sistema.
Conheceremos uma maneira alternativa de representar sistemas,
especialmente aqueles que possuem complexas relações entre suas
variáveis: o modelo em digrama de fluxo de sinal.
CAPÍTULO 6 – Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal
6.1
Diagrama de Fluxo de Sinal
Para compreender o mecanismo dos diagramas de fluxo de sinal, iremos
apresentar as regras de sua construção e exemplos ao longo do capítulo. Inicialmente,
consideremos:
𝑋𝑖 (𝑠) = 𝐺𝑖𝑗 (𝑠)𝑋𝑗 (𝑠)
(6.1)
sendo 𝑋𝑖 (𝑠) e 𝑋𝑗 (𝑠) sinais e 𝐺𝑖𝑗 (𝑠) função de transferência.
O diagrama de fluxo de sinal de (6.1) é apresentado na Figura 6.1.
Figura 6.1 Modelo de um diagrama de fluxo de sinal.
Toda variável num diagrama de fluxo de sinal é designada por um nó, e cada função
de transferência por um ramo.
Existem algumas regras que traduzem as ligações de um diagrama de fluxo de sinal
em equações algébricas. Apresentamos, a seguir, as regras da adição e a regra da
multiplicação.
Regra da adição
Para o diagrama da Figura 6.2, a regra da
adição diz que:
𝑋3 (𝑠) = 𝐺13 (𝑠)𝑋1 (𝑠) + 𝐺23 (𝑠)𝑋2 (𝑠)
Figura 6.2 Regra da adição em diagramas de
fluxo de sinal.
Regra de Multiplicação
Considerando o digrama de fluxo
de sinal da Figura 6.2, e a regra
Figura 6.3 Regra da multiplicação em diagramas de fluxo de sinal.
93
(6.2)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
da multiplicação, temos que:
𝑋4 (𝑠) = 𝐺12 (𝑠)𝐺23 (𝑠)𝐺34 (𝑠)𝑋1 (𝑠)
(6.3)
Compreendido o conceito básico de diagramas de fluxo de sinal, apresentamos
algumas definições a respeito das estruturas encontradas neste tipo de representação de
sistemas.
Definições:
Percurso: é um ramo ou sequência contínua de ramos que podem ser
atravessados de um sinal (nó) a outro sinal (nó).
Laço: é um percurso fechado que se origina e termina em um mesmo nó de modo
que ao longo do percurso nenhum nó seja encontrado duas vezes.
Laços disjuntos: dois laços são ditos disjuntos quando não possuem um nó
comum. Dois laços que se tocam são não disjuntos e compartilham um ou mais nós
comuns.
Exemplo de construção de diagrama e fluxo a partir do diagrama de blocos
Na Figura 6.4 temos um sistema em malha fechada em sua representação em
diagrama de blocos e, ao lado, sua representação equivalente em diagrama de fluxo de
sinais.
Figura 6.4 Sistema em malha fechada.
Neste caso, entre a entrada 𝑅(𝑠) e a saída 𝐶(𝑠) temos um único percurso:
Figura 6.5 Percurso existente em um diagrama de fluxo de sinais de um sistema em malha fechada.
Também temos um único laço:
Figura 6.6 Laço existente em um diagrama de fluxo de sinais de um sistema em malha fechada.
94
CAPÍTULO 6 – Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal
Como temos apenas um laço, não existem laços disjuntos.
Ganhos em um diagrama de fluxo de sinal
Na representação em diagrama de fluxo de sinal podemos definir dois tipos de
ganhos, sendo eles:
Ganho do Laço: é o produto dos ganhos dos ramos do laço.
Por exemplo, para o diagrama da Figura 6.4, o ganho do laço é:
𝐿1 = −𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
Ganho de Percurso: é o produto dos ganhos dos ramos encontrados
atravessando-se o percurso.
Por exemplo, o ganho do percurso entre a entrada e a saída do diagrama da Figura
6.4 é:
𝑃1 = 𝐺(𝑠)
Fórmula de Mason
A função de transferência 𝑇𝑖𝑗 (𝑠) entre a variável 𝑋𝑖 (𝑠) e 𝑋𝑗 (𝑠) de um diagrama de
fluxos é dada pela fórmula de Mason:
∑𝑡𝑘=1 𝑃𝑖𝑗𝑘 Δ𝑖𝑗𝑘
(6.4)
𝑇𝑖𝑗 (𝑠) =
Δ
sendo
𝑃𝑖𝑗𝑘 = 𝑘-ésimo percurso entre a variável 𝑋𝑖 (𝑠) e a variável 𝑋𝑗 (𝑠).
𝑡 = número total de percursos entre 𝑋𝑖 (𝑠) e 𝑋𝑗 (𝑠).
Δ = determinante do diagrama.
Δ𝑖𝑗𝑘 = cofator do percurso 𝑃𝑖𝑗𝑘 .
O somatório é feito para todos os 𝑘 percursos possíveis entre 𝑋𝑖 (𝑠) e 𝑋𝑗 (𝑠). O
cofator Δ𝑖𝑗𝑘 é o determinante com todos os laços que tocam o percurso k removidos (Dorf
8ºed.). O determinante Δ é:
𝑁
𝑀,𝑄
𝑛=1
𝑚=1
𝑞=1
Δ = 1 − ∑ 𝐿𝑛 + ∑ 𝐿𝑚 𝐿𝑞 − ∑ 𝐿𝑟 𝐿𝑠 𝐿𝑝 + ⋯,
sendo 𝐿𝑞 igual ao valor da transmitância do 𝑞-ésimo laço. Portanto, a regra para calcular
Δ em termos dos laços 𝐿1 , 𝐿2 , 𝐿3 , ⋯, 𝐿𝑁 , é (Dorf 8º ed.):
Δ = 1 - (soma de todos os ganhos de laços distintos)
+ (soma dos produtos de ganhos de todas as combinações de laços disjuntos 2 à 2)
95
(6.5)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
- (soma dos produtos de ganhos de todos as combinações de laços disjuntos 3 à 3)
+⋯
Podemos representar a função de transferência entre a entrada 𝑅(𝑠) e a saída 𝑌(𝑠)
é sob uma forma simplificada:
∑𝑘 𝑃𝑘 Δ𝑘
(6.6)
𝑇(𝑠) =
Δ
sendo 𝑇(𝑠) =
𝑌(𝑠)
.
𝑅(𝑠)
Exemplo (Dorf 8ºed.): Um diagrama do fluxo de sinal com dois percursos está mostrado
na Figura 6.7. Um exemplo de sistema de controle com múltiplos percursos de sinal é o de
um robô com diversas pernas.
Figura 6.7 Diagrama de fluxo de sinal para o Exemplo 6.1.
Os dois percursos conectando a entrada 𝑅(𝑠) e a saída 𝑌(𝑠) são:
Figura 6.8 Percursos do diagrama da Figura 6.7.
Os ganhos de percurso são:
𝑃 = 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4
{ 1
𝑃2 = 𝐺5 𝐺6 𝐺7 𝐺8
96
CAPÍTULO 6 – Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal
(6.7)
Na Figura 6.8 apresentam-se os quatro
laços independentes (distintos) do diagrama
completo.
Assim, os ganhos dos laços são:
𝐿1 = 𝐺2 𝐻2
𝐿
{ 3 = 𝐺6 𝐻6
𝐿4 = 𝐺7 𝐻7
Figura 6.9 Laços do diagrama da Figura 6.7.
(6.8)
Veja que os laços L1 e L2 não tocam L3 e
L4, logo o determinante é:
Δ = 1 − (𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 ) + (𝐿1 𝐿3 + 𝐿1 𝐿4 + 𝐿2 𝐿3 + 𝐿2 𝐿4 )
(6.9)
𝐿1 = 𝐿2 = 0 e Δ1 = 1 − (𝐿3 + 𝐿4 )
(6.10)
𝛥2 = 1 − (𝐿1 + 𝐿2 )
(6.11)
pois não há combinações de laços disjuntos 3 a 3, ou maiores.
O cofator do determinante ao longo do percurso 1 (𝑃1 ) é calculado, a partir de Δ,
removendo-se os laços que tocam o percurso 1, assim
De modo semelhante, o cofator para o percurso 2 (𝑃2 ) é fazendo-se 𝐿3 = 𝐿4 = 0 em
Δ, obtendo-se:
Portanto a função de transferência do sistema é
𝑃1 Δ1 + 𝑃2 Δ2
𝑃1 (1 − 𝐿3 − 𝐿4 ) + 𝑃2 (1 − 𝐿1 − 𝐿2 )
𝑌(𝑠)
= 𝑇(𝑠) =
=
1 − 𝐿1 − 𝐿2 − 𝐿3 − 𝐿4 + 𝐿1 𝐿3 + 𝐿1 𝐿4 + 𝐿2 𝐿3 + 𝐿2 𝐿4
Δ
𝑅(𝑠)
(6.12)
Substituindo-se (6.7) e (6.8) em (6.12):
𝑇(𝑠) =
𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4 (1 − 𝐺6 𝐻6 − 𝐺7 𝐻7 ) + 𝐺5 𝐺6 𝐺7 𝐺8 (1 − 𝐺2 𝐻2 − 𝐺3 𝐻3 )
1 − 𝐺2 𝐻2 − 𝐺3 𝐻3 − 𝐺6 𝐻6 − 𝐺7 𝐻7 + 𝐺2 𝐻2 𝐺6 𝐻6 + 𝐺2 𝐻2 𝐺7 𝐻7 + 𝐺3 𝐻3 𝐺6 𝐻6 + 𝐺3 𝐻3 𝐺7 𝐻7
Exercícios
6.1. Mostre que a função de transferência entre 𝑌(𝑠) e 𝑅(𝑠) do diagrama da Figura 6.10
é dada por:
𝑇(𝑠) =
97
𝑌(𝑠)
𝐺1 𝐺4 (𝐺2 + 𝐺3 )
=
𝑅(𝑠) 1 − 𝐺1 𝐺4 𝐻1 + 𝐺1 𝐺2 𝐺4 𝐻2 + 𝐺1 𝐺3 𝐺4 𝐻2
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 6.10 Diagrama de fluxo de sinal para o Exercício 6.1.
6.2. Determine a função de transferência de malha fechada 𝑇(𝑠) =
abaixo, sendo: 𝑘1 = 3; 𝑘2 = 2; 𝑘3 = 5:
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
para o sistema
Figura 6.11 Diagrama de fluxo de sinal para o Exercício 6.2.
6.3. Para o sistema em diagrama de blocos da Figura 6.12, encontre o diagrama de fluxo
equivalente e utilize a regra de Mason para determinar a F.T. entre 𝑌(𝑠) e 𝑅(𝑠):
𝑇(𝑠) =
𝑌(𝑠)
.
𝑅(𝑠)
Figura 6.12 Diagrama de blocos para o Exercício 6.3.
98
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
7
7 Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
ESTABILIDADE DE
SISTEMAS DINÂMICOS
Neste Capítulo...
A Ponte de
Tacoma Narrows
No estado de Washington,
no dia 7 de Novembro de
1940, a ponte suspensa
sobre o estreito de
Tacoma, apenas 4 meses
depois de ter sido aberta
ao tráfego, foi destruída
durante um vendaval. A
ação do vento sobre a
ponte deu início a um
movimento de oscilação
da pista, que passou a
ganhar amplitudes cada
vez maiores, o que
culminou em seu colapso.
A ponte apresentava um
comprimento total de
1530 m, com um vão
central de 850 m. Como
poderíamos caracterizar a
estabilidade do sistema
ponte de Tacoma?
Estável? Instável? Por
que?
Apresentaremos o conceito de estabilidade através da BIBO
estabilidade e de um teorema que analisa a resposta impulsiva do
sistema. Veremos, também, como aplicar o critério de Routh-Hurwitz
para caracterizar a estabilidade de um sistema, assim como para
realizar o projeto de controladores.
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
7.1
Definição de Estabilidade
Um requisito fundamental de um sistema de controle é a sua estabilidade. Uma
definição, sem rigor, de estabilidade é: um sistema é dito estável, se sua resposta a
qualquer excitação “razoável”, não sair do controle.
Para entendermos melhor o conceito de estabilidade, consideremos o sistema da
Figura 7.1, considerando com condições iniciais nulas. Vale lembrar que, em um sistema
físico, isto equivale a dizer que o sistema não possui energia armazenada em 𝑡 = 0 (o
sistema estará em repouso).
Figura 7.1 Sistema aeronave com controle automático de altitude: conceituando estabilidade.
sendo ℎ(𝑡) a altitude do avião ao longo do tempo.
O sistema da Figura 7.1 consiste em um avião que possui um sistema de controle
automático de altitude. Suponha que, em um determinado instante, o avião sofra uma
perturbação, caracterizada por uma rajada de vento. A partir do comportamento do
avião após esta perturbação, podemos avaliar a sua estabilidade.
Se, após a ocorrência da perturbação, o avião conseguir se manter a uma altitude
constante (ℎ1 ), então o sistema é dito estável.
Contudo, o sistema é dito instável se, após a atuação da rajada de vento, o avião
passar a perder altitude indeterminadamente, até fatalmente colidir com a terra. Veja que,
neste caso, o avião não foi capaz de manter uma altitude constante.
Vejamos, através da Figura 7.2, um outro exemplo para compreendermos o conceito
de estabilidade.
Se movermos lentamente os cones, o cone “a” voltará à posição original e o cone “b”
não vai retornar à posição original. Desta forma, o cone “a” está na posição estável e o
cone “b” na posição instável.
100
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
a
b
Instável
Estável
Figura 7.2 Conceito de estabilidade: Posição de cones.
A realimentação de sistemas é uma técnica que permite estabilizar sistemas
instáveis, se utilizada corretamente. O exemplo abaixo ilustra a utilização da
realimentação para estabilizar um sistema instável.
Exemplo 7.1: Considere o circuito com A.O. da Figura 7.3.
Figura 7.3 Circuito com amplificadores operacionais para o Exemplo 7.1.
Vemos que a função de transferência do circuito é dada por:
O que implica em
1
𝑉𝑠 (𝑠)
=
𝑉𝑒 (𝑠)
𝑅𝐶𝑠
1
𝑉 (𝑠)
𝑅𝐶𝑠 𝑒
Assim, se 𝑣𝑒 (𝑡) for um degrau unitário, então:
𝑉𝑠 (𝑠) =
E, consequentemente,
𝑉𝑒 (𝑠) =
𝑉𝑠 (𝑠) =
101
1
𝑠
1 1
∙
𝑅𝐶𝑠 𝑠
(7.1)
(7.2)
(7.3)
(7.4)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Para obter 𝑣𝑠 (𝑡), aplicamos a transformada inversa de Laplace em (7.4), obtemos:
𝑣𝑠 (𝑡) = ℒ −1 {𝑉𝑠 (𝑠)} = ℒ −1 {
𝑡
1
}=
2
𝑅𝐶
𝑅𝐶𝑠
(7.5)
Note que 𝑣𝑠 (𝑡) corresponde a uma reta passando pela origem, com inclinação
1/𝑅𝐶. Podemos, assim, fazer a seguinte associação:
Figura 7.4 Formas dos sinais 𝑣𝑒 (𝑡) e 𝑣𝑠 (𝑡) para o circuito da Figura 7.3.
Veja que, ao aplicar um degrau unitário, a saída crescerá indeterminadamente.
Logo, o sistema é naturalmente instável.
No intento de estabilizar o circuito, faremos a realimentação do mesmo, criando um
sistema em malha fechada. Para tanto, necessitaremos de mais um A.O. para implementar
o somador (detector de erro). A Figura 7.5 apresenta o circuito realimentado.
Observação
No Exemplo 7.1, vimos que a saída tende a assumir um valor cada vez maior, na medida
que o tempo 𝒕 avança. Porém, na prática, um circuito amplificador operacional não pode fornecer
uma tensão de saída infinitamente grande.
A saída é limitada a um valor máximo. Este valor é sempre inferior à tensão externa de
alimentação do A.O. Quando a saída atinge este valor máximo, dizemos que o amplificador
operacional saturou.
Figura 7.5 Circuito com realimentação.
A representação em diagrama de blocos do circuito da Figura 7.5 é:
102
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
Figura 7.6 Representação em diagrama de blocos.
Assim, utilizando as regras de redução de diagramas de blocos temos:
1
−
𝑉𝑠 (𝑠)
−1
𝑅𝐶𝑠
=
=
1
𝑉𝑒 (𝑠)
𝑅𝐶𝑠 + 1
1+
𝑅𝐶𝑠
(7.6)
Aplicando a entrada degrau unitário ao circuito com realimentação:
𝑉𝑠 (𝑠) =
−1
−1
1
1
1
. 𝑉𝑒 (𝑠) =
. = −
.
𝑅𝐶𝑠 + 1 𝑠
𝑅𝐶𝑠 + 1
𝑅𝐶 (𝑠 + 1 ) 𝑠
𝑅𝐶
(7.7)
Logo, para obter o sinal 𝑣𝑠 (𝑡), aplicamos a transformada inversa de Laplace em
(7.7), obtendo:
𝑣𝑠 (𝑡) = ℒ −1 {𝑉𝑠 (𝑠)} = ℒ −1 {−
1
1
.
}
𝑅𝐶 (𝑠 + 1 ) 𝑠
𝑅𝐶
(7.8)
E, finalmente, pela de acordo com a Linha 14 da Tabela 3.1, chegamos a:
𝑣𝑠 (𝑡) = −
𝑡
1 1
∙
(1 − 𝑒 − 𝑅𝐶 )
𝑅𝐶 1
𝑅𝐶
𝑡
𝑣𝑠 (𝑡) = − (1 − 𝑒 − 𝑅𝐶 )
(7.9)
A partir do resultado encontrado, podemos fazer a associação apresentada na Figura
7.6.
Figura 7.7 Formas dos sinais 𝑣𝑒 (𝑡) e 𝑣𝑠 (𝑡) para o circuito da Figura 7.4.
Podemos, assim, tirar as seguintes conclusões:
• Conclusão 1: Provavelmente, este sistema é estável, uma vez que o valor de 𝑣𝑠 (𝑡)
tende a um valor constante.
• Conclusão 2: a realimentação pode estabilizar sistemas instáveis desde que seja feita
convenientemente.
103
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Exercício
7.1. Verifique se o sistema da Figura 7.8 é estável ou instável. (Note que este sistema é
semelhante ao anterior, a única diferença é que a realimentação não foi feita pela saída
do último A.O. e sim na saída do integrador).
Figura 7.8 Circuito para o Exercício 7.1.
7.2 Critério de BIBO Estabilidade
Até agora, não foi estabelecido um critério matemático para estabilidade de
sistemas. Assim, nos exemplos anteriores, aplicamos um degrau na entrada e analisamos
a característica da saída. Se esta fosse crescente indeterminadamente (sempre), o sistema
é dito instável.
Contudo, é importante que tenhamos um critério sistemático para determinar a
estabilidade (ou instabilidade) de sistemas lineares. Assim, apresentamos uma definição
mais formal para a caracterização da estabilidade: o critério de BIBO estabilidade.
Definição: Um sistema qualquer é dito estável se, e somente se, para qualquer entrada
limitada (Bounded-Input) a saída correspondente é limitada (Bounded-Output).
IBO
Vejamos, agora, um exemplo aplicando o critério BIBO para avaliar a estabilidade
de um sistema.
Exemplo 7.2: Considere o sistema tipo integrador apresentado abaixo:
Para testar sua estabilidade, coloquemos uma entrada degrau, que é limitada, e
verificaremos se a saída é limitada.
Neste caso, teremos:
1 1
1
1
𝑌(𝑠) = 𝑈(𝑠) = ∙ = 2
𝑠 𝑠 𝑠
𝑠
104
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
Logo, para obter a saída no tempo:
1
𝑦(𝑡) = ℒ −1 { 2 } = 𝑡
𝑠
Assim, podemos analisar o comportamento da saída 𝑦(𝑡).
Figura 7.9 Análise de estabilidade do sistema tipo integrador.
Como para uma entrada limitada, a saída foi ilimitada então concluímos que o
sistema tipo integrador é instável.
Observação
O critério de BIBO estabilidade é valido tanto para sistemas lineares quanto para sistemas
não lineares. 2. De acordo com sua própria definição, para verificar se o sistema é estável através
do critério da BIBO estabilidade, devemos aplicar todas as entradas limitadas e verificar se
todas as saídas correspondentes são limitadas.
Um exemplo de sistema que aparentemente era estável para algumas entradas, e
achava-se que era para todas as entradas limitadas é a ponte de Tacoma Narrows,
apresentada na capa deste capítulo e na Figura 7.10. Ela recebe um vento com tal
intensidade que começou a oscilar e, então se rompeu. Para esta entrada limitada a saída
foi ilimitada (rompimento).
Figura 7.10 Ponte de Tacoma Narrow: uma certa entrada limitada gerou saída ilimitada.
105
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Podemos concluir que, utilizando o critério de BIBO estabilidade precisamos
encontrar pelo menos uma entrada limitada que produza uma saída ilimitada para provar
que um sistema é instável. Por sua vez , caso a tarefa seja provar que um dado sistema é
estável, temos que nos certificar de que a saída é limitada para todo tipo de entrada
limitada.
É fácil observar que este procedimento pode se tornar muito trabalhoso e pouco
prático. Assim, para evitar isto, passaremos a utilizar o Teorema 7.1.
Teorema 7.1: “Um SLIT é estável se, e somente se, o módulo da sua resposta ao impulso for
integrável em um intervalo infinito”, ou seja:
∫
+∞
0
|𝑔(𝑡)| 𝑑𝑡 < +∞
(7.10)
A seguir será demonstrada apenas a suficiência deste teorema.
Prova: Se o sistema tem entrada 𝑢(𝑡), saída 𝑦(𝑡) e resposta impulsiva 𝑔(𝑡), então
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑔(𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
supondo que 𝑦(𝑡) = 0 e 𝑢(𝑡) = 0 para 𝑡 < 0.
Se 𝑢(𝑡) é limitada, então existe uma constante 𝑀 tal que |𝑢| ≤ 𝑀 < +∞, logo a
saída será limitada por
(7.11)
(7.12)
|𝑦(𝑡)| = |∫ 𝑔(𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏| ≤ ∫|𝑔(𝜏)| |𝑢(𝑡 − 𝜏)| 𝑑𝜏 ≤ ∫|𝑔(𝜏)| 𝑀 𝑑𝜏 = 𝑀 ∫|𝑔(𝜏)| 𝑑𝜏
então, a saída será limitada se ∫|𝑔(𝜏)| 𝑑𝜏 for limitada.
Exemplo 7.3: Utilizando o Teorema 7.1, prove que o integrador é um sistema instável.
Solução: Para o sistema integrador, temos que
𝑌(𝑠) =
Como 𝑈(𝑠) é um impulso, então:
Logo, tem-se que
𝑌(𝑠) =
1
𝑈(𝑠)
𝑠
𝑈(𝑠) = 1
1
1
1
∙ 1 = ⇒ 𝑦(𝑡) = ℒ{𝑌(𝑠)} = ℒ { } = 1
𝑠
𝑠
𝑠
vide linha 2 da Tabela 3.1, sendo 𝑦(𝑡) é a resposta ao impulso.
106
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
Assim:
Figura 7.11 Comportamento da sistema integrador: entrada impulso gera saída degrau.
+∞
+∞
+∞
Pelo Teorema temos: ∫0 |𝑦(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫0 |1| 𝑑𝑡 = ∫0
 O integrador é instável.
= +∞
1 𝑑𝑡 = 𝑡|+∞
0
Este procedimento para determinar se um sistema é estável ou instável ainda é um
tanto quanto trabalhoso. Uma estratégia muito mais prática e definitiva para avaliar a
estabilidade de um sistema será apresentada por meio do corolário a segui.
Antes, porém, convém fazermos um estudo a respeito dos polos e os zeros de uma
função de transferência, no plano-𝑠, por meio de um exemplo.
Exemplo 7.4: Considere a seguinte função de transferência:
(𝑠 + 1)(𝑠 − 4)
𝐺(𝑠) =
(𝑠 + 3 + 𝑗)(𝑠 + 3 − 𝑗)
Analisando as raízes do numerador da função apresentada, temos que os zeros de
𝐺(𝑠) são:
𝑧1 = −1 e 𝑧2 = 4
Por sua vez, o denominador da função de transferência considerada indicar que os
polos de 𝐺(𝑠) são:
𝑝1 = −3 + 𝑗 e 𝑝2 = −3 − 𝑗
Assim, utilizando a notação apresentada na Figura 7.12,
Figura 7.12 Notação para representação de polos e zeros no plano-s.
podemos representar os polos e zeros no plano-𝑠 conforme a Figura 7.13.
107
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 7.13 Localização de polos e zeros do sistema do Exemplo 7.3, no plano-s.
Agora, tendo em mente os conceitos discutidos acima, apresentamos o seguinte
corolário do Teorema 7.1.
Corolário 7.1: “Um SLIT é estável se, e somente se, todos os polos da função de
transferência do sistema tiverem parte real negativa”.
Para
ilustrar
o
corolário,
consideremos o sistema do Exemplo 7.1, que
trata de um circuito com amplificadores
operacionais.
Vimos que sem realimentação o
circuito é um sistema instável, e sua função
de transferência é 𝐺1 (𝑠) =
1
𝑅𝐶𝑠
. E, com
realimentação, o circuito é um sistema
estável, e sua função de transferência é 𝐺2 (𝑠) =
Figura 7.14 Região de estabilidade no plano-s.
−1
. Adicionalmente, no Exercício 7.1
𝑅𝐶𝑠+1
temos um sistema instável, cuja função de transferência é 𝐺3 (𝑠) =
−1
𝑅𝐶𝑠−1
.
Os polos dessas funções de transferência, bem como sua representação no plano-𝑠
são apresentados na Figura 7.15.
Figura 7.15 Análise de estabilidade.
108
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
Vejamos a forma da resposta ao impulso de 𝐺2 (𝑠) e 𝐺3 (𝑠):
𝑔2 (𝑡) = ℒ −1 {𝐺2 (𝑠)} = ℒ −1 {
−1
}
𝑅𝐶𝑠 + 1
Linha 6 da Tabela 3.1
=
−𝑡
−1
∙ 𝑒 𝑅𝐶
𝑅𝐶
𝑔3 (𝑡) = ℒ −1 {𝐺3 (𝑠)} = ℒ −1 {
−1
}
𝑅𝐶𝑠 − 1
Linha 6 da Tabela 3.1
=
𝑡
−1
∙ 𝑒 𝑅𝐶
𝑅𝐶
+∞
que é limitada: ∫0 |𝑔2 (𝑡)| 𝑑𝑡 < 𝑀.
que tende a −∞ quando 𝑡 tende a +∞, portanto ilimitada.
Note que 𝑔2 (𝑡) =
−1
−𝟏
−𝟏
∙ 𝑒 𝑹𝑪 𝑡 sendo 𝑹𝑪 o polo de 𝐺2 (𝑠), e 𝑔3 (𝑡) =
𝑅𝐶
−1
𝑅𝐶
𝟏
𝟏
𝑒 𝑹𝑪𝑡 sendo 𝑹𝑪 o
polo de 𝐺3 (𝑠). Então, para um sistema que tenha polos reais, o coeficiente da exponencial
está diretamente ligado ao valor do polo, de forma que podemos fazer a seguinte
associação:
• Se polo< 0 ⇒ exponencialmente limitada, sistema estável;
• Se polo> 0 ⇒ exponencial ilimitada, sistema instável.
Exemplo 7.5: Determine se o sistema abaixo é estável ou instável.
1
𝐺(𝑠) = 2
𝑠 + 0,2𝑠 + 1
Solução: Os polos são obtidos através de:
𝑠 2 + 0,2𝑠 + 1 = 0 ⇒ Δ = 0,22 − 4 = −3,96
Portanto, os polos do sistema são:
Assim, temos
𝑝1,2 =
−0,2 ± √−3,96
⇒ 𝑝1,2 = −0,1 ± 𝑗0,995
2
Figura 7.16 Representação dos polos do sistema do Exemplo 7.5, no plano-s.
Façamos, agora, uma verificação da resposta impulsiva de 𝐺(𝑠). Segundo a linha 22
da Tabela 3.1, com 𝜔𝑛 = 1  e 𝜉 = 0,1.
1
𝑔(𝑡) = ℒ −1 {𝐺(𝑠)} =
∙ 𝑒 −0,1𝑡 ∙ sen ((1. √1 − 0,12 ) ∙ 𝑡)
2
√1 − 0,1
109
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Então,
Logo:
𝑔(𝑡) =
1
. 𝑒 −0,1𝑡 . sen(1,005𝑡)
1,005
Figura 7.17 Resposta ao impulso do circuito do Exemplo 7.5.
Como 𝑔(𝑡) → 0 quando 𝑡 → +∞, então a integral de |𝑔(𝑡)|é limitada, ou seja,
+∞
∫0 |𝑦(𝑡)|
𝑑𝑡 < ∞ ⇒ sistema estável.
Da Figura 7.17, percebe-se que a parte real dos polos (−0,1) proporciona o
conteúdo exponencial (𝑒 −0,1𝑡 ) da resposta e, portanto, é a parte real dos polos é quem
faz a resposta 𝒈(𝒕) decrescer.
Na Figura 7.18, apresentamos alguns exemplos de configurações de polos e zeros
de sistemas e as respectivas conclusões a respeito da estabilidade.
Figura 7.18 Exemplos de configurações de polos e zeros de sistemas.
110
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
7.3 O critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Um problema de analisar a estabilidade de um sistema a partir dos polos de sua
função de transferência é que determinar as raízes de polinômio de ordem maior que 2.
Uma estratégia simples e prática para driblar este problema é utilizar o critério de
estabilidade de Routh-Hurwitz.
Adolf Hurwitz e Edward John Routh publicaram, independentemente, um método
de investigar a estabilidade de um sistema linear. O critério de estabilidade de RouthHurwiitz verifica se todos os polos de uma função de transferência pertencem ao
semiplano esquerdo do plano-𝑠.
Suponha que a função de transferência de um dado sistema é da forma:
𝑏0 𝑠 𝑚 + 𝑏1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚−1 𝑠 + 𝑏𝑚
𝐺(𝑠) =
, 𝑎0 ≠ 0
𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑠 + 𝑎𝑛
(7.12)
1º Passo: Identifique o denominador de G(s):
𝐷(𝑠) = 𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑠 + 𝑎𝑛
(7.13)
2º Passo: Verifique se qualquer destas constantes (𝑎𝑖 ) é igual a zero ou, negativa na
presença de pela menos uma constante positiva. Se isto ocorrer, conclua que o sistema é
instável e não é necessário executar os próximos passos. Do contrário, nada pode-se
concluir, vá para o 3º Passo.
3º Passo: Construa a seguinte tabela:
𝑠𝑛
𝑛−1
𝑎0
𝑎1
𝑏1
𝑐1
𝑠
𝑠 𝑛−2
𝑠 𝑛−3
⋮
1
𝐼1
𝑠
0
𝑞1
𝑠
𝑎2
𝑎3
𝑏2
𝑐2
𝐼2
0
𝑎4
𝑎5
𝑏3
𝑐3
0
0
⋯
⋯
⋯
⋯
1ª Coluna
Os elementos 𝑎𝑜 , 𝑎1 , ⋯, 𝑎𝑛 são os
coeficientes
do
polinômio
do
denominador, 𝐷(𝑠).
Os elementos 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , ⋯, 𝑐1, 𝑐2 , ⋯
e todos os demais são calculados através
das seguintes expressões:
𝑎1 𝑎2 − 𝑎0 𝑎3
𝑏1 =
𝑎1
𝑎1 𝑎4 − 𝑎0 𝑎5
𝑏2 =
𝑎1
⋮
𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2
𝑐1 =
𝑏1
𝑏1 𝑎5 − 𝑎1 𝑏3
𝑐2 =
𝑏1
⋮
4º Passo: Aplique o seguinte critério de estabilidade de Routh-Hurwitz:
Definição: “O número de raízes de 𝐷(𝑠) (polos de 𝐺(𝑠)) com parte real maior que zero (positiva)
é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna da tabela construída
no 3º Passo.”
111
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Exemplo 7.6: Estude a estabilidade de um sistema cuja função de transferência é dada
por:
2𝑠 + 1
𝐺(𝑠) = 4
3
𝑠 + 2𝑠 + 3𝑠 2 + 4𝑠 + 5
Solução: Neste caso, o denominador de 𝐺(𝑠) é um polinômio de ordem 5. Vamos, então,
executar os passos para aplicar o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.
1º Passo: 𝐷(𝑠) = 𝑠 4 + 2𝑠 3 + 3𝑠 2 + 4𝑠 + 5
2º Passo: Todos coeficientes de 𝐷(𝑠) são positivos, portanto nada pode-se concluir.
3º Passo:
𝑠4
1
3
5
𝑠2
2.3 − 1.4
=1
2
2.5 − 1.0
=5
2
0
𝑠3
𝑠1
𝑠0
2
1.4 − 2.5
= −6
1
−6.5 − 1.0
=5
−6
4
0
0
Neste caso, os elementos da 1ºcoluna são:
1ª Coluna
𝑠4
𝑠3
1
2
𝑠2 1
𝑠1
𝑠0
Perceba que ocorreram duas mudanças de sinais,
uma de 1 para -6 e outra de -6 para 5. Logo este
sistema tem dois polos do lado direito do plano-𝒔
e, assim, o sistema é INSTÁVEL.
−𝟔
5
Exemplo 7.7: Determine se o sistema é estável ou instável:
𝑠2 + 𝑠 − 1
𝐺(𝑠) = 3
𝑠 + 3𝑠 2 − 𝑠 + 5
Solução: Seguindo os passos para aplicar o critério de Routh-Hurwitz, temos:
1º passo: 𝐷(𝑠) = 𝑠 3 + 3𝑠 2 − 𝑠 + 5
2ºpasso: existe um coeficiente negativo na presença de outro positivo, logo o sistema é
instável e não precisa ir ao passo seguinte.
112
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
Caso Especial do critério de Routh-Hurwitz
Se o primeiro elemento de uma linha é zero, e pelo menos um elemento na mesma
linha é diferente de zero, então substituiu-se o primeiro elemento de linha, que é zero, por
um pequeno número Δ, que poderá ser negativo ou positivo, e continua-se o cálculo das
próximas linhas da tabela. O Exemplo 7.8 ilustra este caso.
Exemplo 7.8: Estude a estabilidade de
𝐺(𝑠) =
𝑠5
+
2𝑠 4
+
2𝑠 3
5
+ 4𝑠 2 + 11𝑠 + 10
1ºpasso: 𝐷(𝑠) = 𝑠 5 + 2𝑠 4 + 2𝑠 3 + 4𝑠 2 + 11𝑠 + 10
2ºpasso: Todos os coeficientes são positivos, nada pode-se concluir.
3ºpasso: Construção da tabela:
𝑠5
𝑠4
𝑠3
𝑠2
1
2
11
2
4
10
2.2 − 1.4
2.11 − 1.10
=0
=6
2
2
0
𝑠1
𝑠0
Neste caso aparece um zero na 1ª coluna e outros elementos desta linha são
diferentes de zero. Veja que não é possível calcular os elementos da linha 𝑠 2 pois seria
necessário dividir por 0. Substitua o 0 por 𝚫 e continue.
𝑠5
1
2
11
𝑠3
2
Δ
4
10
𝑠4
0
𝑠2
𝑠4
𝑠2
𝑠1
𝑠0
113
6
Δ. 4 − 2.6
10
Δ
0
𝑠5
1
2
11
𝑠3
2
Δ
4
10
10
0
𝑠
1
𝑠0
−12
Δ
−12
. 6 − 10Δ
Δ
−12
Δ
6
0
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Para Δ pequeno, Δ ≈ 0, tem-se a tabela final:
𝑠5
1
2
11
𝑠3
2
Δ
4
10
10
0
𝑠4
𝑠2
𝑠1
𝑠0
−12
Δ
6
0
6
10
Se Δ → 0 pela esquerda, ou seja, Δ < 0, temos 2 trocas de sinais na primeira coluna.
Se Δ → 0 pela direita, ou seja, Δ > 0, temos também 2 trocas de sinais na primeira
coluna.
Assim, o sistema é instável.
Exercícios
7.2. Verifique a estabilidade de:
7
+
+
+ 6𝑠 2 + 6𝑠 + 9
7.3. O piloto automático de um avião tem a seguinte F.T.M.F.:
𝐺(𝑠) =
𝑠5
3𝑠 4
2𝑠 3
𝜃(𝑠)
150𝑠 3 + 900𝑠 2 + 165𝑠 + 900
= 5
𝜃𝑟 (𝑠) 𝑠 + 15𝑠 4 + 240,5𝑠 3 + 1303,6𝑠 2 + 1667,4𝑠 + 924
verifique se o sistema é estável ou instável.
7.4 Projeto de controladores através do método de RouthHurwitz
O cálculo dos polos de um sistema (raízes de um polinômio) é fácil para os usuários
do MATLAB ou das calculadoras científicas atuais. Por exemplo, os polos do exemplo
acima são calculados pelo MATLAB com o comando:
>> den=[1 3 -1 5];
>> roots(den)
Logo, aparentemente o método de Routh-Hurwitz seria desnecessário, porém ele
é extremamente útil para projetar controladores, o Exemplo 7.9 ilustra esta aplicação.
114
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
Exemplo 7.9: Determine o intervalo de K, ganho do controlador, para o qual o sistema
realimentado seja estável.
Figura 7.19 Sistema para o Exemplo 7.9.
Solução: A F.T.M.F. do sistema da Figura 7.19 é dada por:
𝑌(𝑠)
=
𝑈(𝑠)
(𝑠 + 1)
𝐾(𝑠 + 1)
𝐾(𝑠 + 1)
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6)
=
= 3
2
(𝑠 + 1)
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6) + 𝐾(𝑠 + 1) 𝑠 + 5𝑠 + (𝐾 − 6)𝑠 + 𝐾
1+𝐾
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6)
𝐾
Note que não é possível obter os polos da F.T.M.F. usando a calculadora. Usemos,
assim, o método de Routh-Hurwitz:
1ºpasso: 𝐷(𝑠) = 𝑠 3 + 5𝑠 2 + (𝑘 − 6)𝑠 + 𝐾
2ºpasso: Para que todos os coeficientes sejam positivos:
(I)
𝐾−6>0 ⇒ 𝐾 >6
e,
𝐾>0
Logo, por (I) e (II):
(II)
(III)
𝑲>𝟔
3ºpasso: Construindo o arranjo tabular:
𝑠3
1
𝐾−6
𝑠1
5(𝐾 − 6) − 1 ∙ 𝐾
5
0
𝑠2
𝑠0
5
𝐾
𝐾
Para que os elementos da 1ª coluna sejam todos positivos, é necessário que:
5(𝐾 − 6) − 𝐾
> 0 ⇒ 5𝐾 − 30 − 𝐾 > 0
5
⇒ 4𝐾 − 30 > 0
30
⇒ 𝐾>
4
(IV)
⇒ 𝑲 > 𝟕, 𝟓
115
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
e
𝑲>𝟎
(V)
Assim, considerando as condições (III), (IV) e (V),
garante que o sistema será estável.
𝑲 > 𝟕, 𝟓
Projeto de controlador dependente de dois parâmetros
Um controlador industrial muito utilizado é o controlador P.I. (proporcional e
integral). Neste caso, a estabilidade fica dependente de dois parâmetros. Um exemplo de
projeto ilustra o uso do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz para este caso, e está
mostrado a seguir.
Exemplo 7.10: Para o sistema controlado por um controlador P.I. dado na Figura 7.20,
encontre as faixas de 𝐾𝑃 e 𝐾𝐼 do controlador tal que o sistema seja estável.
Figura 7.20 Sistema com controlador PI, para o Exemplo 7.10.
Solução: A F.T.M.F. é
1
𝑠𝐾 + 𝐾𝐼
].[
]
[ 𝑃
𝑌(𝑠)
𝑠
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
=
⇒
1
𝑅(𝑠) 1 + [𝑠𝐾𝑃 + 𝐾𝐼 ] . [
]
𝑠
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
⇒
𝑌(𝑠)
𝑠𝐾𝑃 + 𝐾𝐼
=
⇒
𝑅(𝑠) 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) + 𝑠𝐾𝑃 + 𝐾𝐼
⇒
𝑌(𝑠)
𝑠𝐾𝑃 + 𝐾𝐼
= 3
2
𝑅(𝑠) 𝑠 + 3𝑠 + (2 + 𝐾𝑃 )𝑠 + 𝐾𝐼
1º passo: 𝐷(𝑠) = 𝑠 3 + 3𝑠 2 + (2 + 𝐾𝑃 )𝑠 + 𝐾𝐼
2º passo: Para que todos os coeficientes sejam positivos é necessário que:
𝐾𝐼 > 0
e
2 + 𝐾𝑃 > 0
(I)
⇒ 𝑲𝑷 > −𝟐
116
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
3ºpasso:
𝑠3
1
𝑠1
3(2 + 𝐾𝑃 ) − 𝑘𝐼
3
𝑠2
𝑠0
3
𝐾𝐼
Assim, para elementos da 1ª
coluna sejam todos positivos:
2 + 𝐾𝑃
𝐾𝐼
3(2 + 𝐾𝑃 ) − 𝐾𝐼 > 0 ⇒
0
De (I), (II) e (III) tem-se a região:
𝐾𝐼 > 0
𝑲𝑷 >
𝑲𝑰
𝟑
−𝟐
Figura 7.21 Região de estabilidade do sistema do Exemplo 7.10 em função de 𝐾𝑖 e 𝐾𝑝 .
Exercícios
7.4. Encontre a faixa de 𝑘 tal que o sistema abaixo seja estável
Figura 7.22 Sistema para o Exercício 7.4.
7.5. Encontre a faixa de 𝐾𝑝 e 𝐾𝑖 do controlador abaixo tal que o sistema seja estável.
Figura 7.23 Sistema para o Exercício 7.5.
117
(II)
(III)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
7.5 Estabilidade Relativa
A estabilidade estudada até agora neste curso é conhecida como estabilidade
absoluta pois tem-se como referência o lado esquerdo do plano-𝑠. Um outro conceito é o
conceito de estabilidade relativa.
Este novo conceito está relacionado à margem de segurança de um sistema no
tocante à sua estabilidade. Por exemplo, no plano-𝑠 da Figura 7.24, pode-se dizer que os
polos 𝑝1 e 𝑝1 ′ tem menor margem de estabilidade que os polos 𝑝2 e 𝑝3 .
Figura 7.24 Conceito de margem de estabilidade relativa.
Podemos usar o critério de Routh-Hurwitz para estudar a margem de estabilidade
relativa de um sistema, neste caso é necessário realizar uma translação de eixo
imaginário, tal como mostra a Figura 7.25.
Os ao lado são relacionados através da seguinte
equação de translação de eixos:
ou, ainda
Figura 7.25 Translação do eixo imaginário.
𝑠′ = 𝑠 + 𝛿
(7.14)
𝑠 = 𝑠′ − 𝛿
(7.15)
Exemplo 7.11: Verifique se o sistema abaixo tem todos os polos à esquerda de 𝑠 = −1.
𝐺(𝑠) =
𝑠3
+
9𝑠 2
1
+ 26𝑠 + 24
(7.16)
Solução: Neste caso, deve-se realizar a translação de
eixos indicada na Figura 7.26.
Figura 7.26 Translação do eixo imaginário
para o Exemplo 7.11.
118
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
A translação do eixo imaginário é feita substituindo 𝑠 = 𝑠′ − 1 em 𝐺(𝑠):
𝐺(𝑠) =
Então,
𝐺(𝑠) =
(𝑠 ′
−
(𝑠′ −
1)(𝑠 ′2
−
1)3
2𝑠 ′
1
+ 9(𝑠′ − 1)2 + 26(𝑠′ − 1) + 24
+ 1) +
⇒ 𝐺(𝑠) =
1
9(𝑠 ′2
− 2𝑠 ′ + 1) + 26𝑠 ′ − 26 + 24
1
𝑠 ′3 + 6𝑠 ′2 + 11𝑠 ′ + 6
⇒
Vemos que os coeficientes do denominador de 𝐺(𝑠) são todos positivos. Assim,
construindo o arranjo tabular e aplicando o critério de Routh:
𝑠′3
1
𝑠′1
66 − 6 60
=
= 10
6
6
𝑠′2
𝑠′0
6
11
6
0
6
∴ Este sistema é estável, sua estabilidade relativa engloba o eixo 𝑠 = −1. Portanto
sua margem de estabilidade é > 1. Isto é, todos polos do sistema (7.16) têm parte real
menor do que −1.
Observação
Para determinar a margem de estabilidade (total) de um sistema é necessário ir
transladando o eixo 𝑠 (imaginário) até o surgimento de um zero na 1º coluna da tabela de RouthHurwitz, indicando que existe polo sobre o eixo imaginário 𝑠′.
Este trabalho pode ser evitado, utilizando-se as calculadoras científicas para obter todos
os polos do sistema (ou o MATLAB).
A margem de estabilidade será igual ao módulo da parte real do polo mais próximo ao
eixo imaginário, supondo-se que todos os polos são de sistema estáveis.
Exercícios
7.6. Use o MATLAB para determinar a margem de estabilidade do sistema:
𝑠
𝐺(𝑠) = 3
𝑠 + 4𝑠 2 + 6𝑠 + 4
119
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
7.7. Verifique, usando o critério de Routh-Hurwitz, se o sistema abaixo tem todos seus
polos à esquerda de 𝑠 = −2.
𝐺(𝑠) =
𝑠 + 0,1
𝑠 4 + 3𝑠 3 + 𝑠 2 + 2𝑠 + 4
7.8. Projete K tal que o sistema abaixo tenha margem de estabilidade maior que 4.
Figura 7.27 Sistema para o Exercício 7.8.
Exemplo Completo de Projeto: Levitador Magnético
Como forma de fixar os conceitos apresentados neste capítulo, veremos agora um
projeto de controle completo para o sistema físico levitador magnético. No estudo a ser
realizado, iremos projetar um controlador que estabilize o sistema e, também, especificar
o circuito eletrônico que implementa o sistema de controle projetado.
Exemplo 7.12: Consideremos o levitador magnético apresentado na Figura 7.28.
Figura 7.28 Sistema levitador magnético.
A passagem da corrente 𝑖(𝑡) através da bobina enrolada no núcleo de material
ferromagnético cria um campo magnético que, ao interagir com a esfera, também feita de
material ferromagnético, cria uma força de atração sobre a mesma, atraindo-a na direção
da espira. Se a corrente 𝑖(𝑡) diminui, a intensidade do campo magnético diminui, assim
como a intensidade da força de atração, fazendo com a que esfera volte a se afastar da
bobina.
120
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
A posição 𝑥(𝑡) da esfera é medida através de um sensor, constituído por circuito
composto por um LED (Light Emiting Diode ou Diodo Emissor de Luz) e um fototransistor.
O fototransistor é um transistor cujo terminal base é formado por uma célula sensível a
luz. A corrente de emissor é controlada através da intensidade luminosa recebida na base.
Assim, dependendo da posição 𝑥(𝑡) da esfera, a base do fototransistor recebe mais ou
menos luz. Consequentemente, a corrente de emissor depende da posição da esfera, e
assim, a tensão 𝑣𝑥 (𝑡) é uma medida proporcional a 𝑥(𝑡).
Um projeto de controlador para este sistema visa, através da leitura de 𝑣𝑥 (𝑡),
controlar a corrente 𝑖(𝑡) de modo a manter a esfera suspensa no ar.
O diagrama de blocos deste sistema é:
Figura 7.29 Diagrama de blocos do sistema levitador.
Assim, os polos da planta 𝐺(𝑠) (levitador) são dados por:
𝑠 2 − 10 = 0 ⇒ 𝑃1,2 = ±√10
Logo, a representação dos polos do sistema no plano-𝑠 é dada na Figura 7.30.
Como um dos polos possui parte real positiva, o sistema é
instável.
No intento de estabilizar o sistema, faremos a
realimentação do mesmo. Iremos impor que uma
referência para a posição 𝑥(𝑡) seja dada através de um
sinal 𝑥𝑑 (𝑡). O erro entre a posição real, lida pelo sensor e a
posição de referência será alimentado a um controlador,
Figura 7.30 Polos do sistema levitador.
que por sua vez, determinará a corrente 𝑖(𝑡) a ser
fornecida para a bobina do levitador. A Figura 7.31 apresenta o sistema realimentado.
Figura 7.31 Sistema de controle do levitador magnético.
a)
b)
121
Verifique se é possível estabilizar o sistema com um dos seguintes controladores:
𝐶(𝑠) = 𝐾 (proporcional);
(𝑠+1)
𝐶(𝑠) = 𝑘 (𝑠+2).
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Solução: A primeira tentativa de controlar o sistema é supor um controlador
proporcional K. Assim, verifiquemos se é possível estabilizar o levitador usando
realimentação com o controlador
𝐶(𝑠) = 𝐾
Neste caso, a função de transferência de malha fechada do sistema é:
2𝐾
𝑋(𝑠)
2𝐾
2 − 10
𝑠
=
= 2
𝑋𝑑 (𝑠) 1 + 2𝐾
𝑠 − 10 + 2𝐾
𝑠 2 − 10
Aplicando o método de Routh-Hurwitz:
1º passo: 𝐷(𝑠) = 𝑠 2 − 10 + 2𝑘
2º passo: Um dos coeficientes do polinômio é igual a zero, ou seja,
𝑠 2 + 𝟎. 𝒔 − (10 + 2𝐾)
Portanto não é possível estabilizar o sistema, pois nenhum valor de 𝐾 consegue
reverter esta situação modificando o valor deste coeficiente.
∴ Não é possível estabilizar o levitador com um controlador do tipo 𝑪(𝒔) = 𝑲.
Uma nova tentativa é feita utilizando o controlador
𝐶(𝑠) = 𝐾
(𝑠 + 1)
(𝑠 + 2)
Para este novo caso, tem-se a seguinte F.T.M.F.:
𝐾(𝑠 + 1)
2
. 2
𝑋𝑑 (𝑠)
2𝐾𝑠 + 2𝐾
(𝑠 + 2) (𝑠 − 10)
=
=
𝐾(𝑠 + 1)
2
(𝑠 + 2)(𝑠 2 − 10) + 2𝐾𝑠 + 2𝐾
𝑋(𝑠)
1+
. 2
(𝑠 + 2) (𝑠 − 10)
=
𝑠3
+
2𝑠 2
2𝐾𝑠 + 2𝐾
+ (2𝐾 − 10)𝑠 + 2𝐾 − 20
Seguindo o critério de Routh:
1º passo: 𝐷(𝑠) = 𝑠 3 + 2𝑠 2 + (2𝐾 − 10)𝑠 + 2𝐾 − 20
2º passo: É necessário que
2𝐾 − 10 > 0 ⇒ 𝑲 > 𝟓
e
2𝐾 − 20 > 0 ⇒ 𝑲 > 𝟏𝟎
∴ 𝑲 > 𝟏𝟎
(I)
122
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
3º passo: Montando o arranjo tabular:
𝑠3
1
𝑠1
2 ∙ (2𝐾 − 10) − 1 ∙ (2𝐾 − 20)
2
𝑠2
𝑠0
2𝐾 − 10
2
2𝐾 − 20
0
2𝐾 − 20
Assim, para que não haja alternância de sinal entre os elementos da primeira
coluna, é necessário que
2 ∙ (2𝐾 − 10) − 1 ∙ (2𝐾 − 20)
>0 ⇒𝐾>0
2
e
2𝐾 − 20 > 0 ⇒ 𝐾 > 10
(II)
(III)
De (I), (II) e (III), este controlador estabiliza o levitador com 𝐾 > 10. Para
especificar o controlador, escolhemos 𝐾 = 20, logo
𝐶(𝑠) =
20(𝑠 + 1)
(𝑠 + 2)
Para implementar o controlador fazemos a divisão polinomial indicada em 𝐶(𝑠):
𝐶(𝑠) =
Logo,
que equivale a:
𝐶(𝑠) =
20(𝑠 + 1)
⇒
(𝑠 + 2)
20𝑠 + 20 𝑠 + 2
20𝑠 + 40 20
−20
20(𝑠 + 1)
20
= 20 −
(𝑠 + 2)
𝑠+2
Figura 7.32 Representação equivalente do controlador C(s).
Desta forma, o diagrama completo fica:
123
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 7.33 Diagrama de blocos equivalente do sistema.
O circuito do controlador é implementado utilizando amplificadores operacionais.
Cada um dos blocos do controlador podem ser implementados pelos circuitos abaixo:
Figura 7.34 Circuitos com A.O. para implementar o controlador C(s).
Veja que, sendo 𝐻(𝑠) a função de transferência do circuito da Figura (b), teremos:
1
𝑅𝐶
𝐻(𝑠) =
𝑎
𝑠+
𝑅𝐶
124
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
1
2
Assim, escolhemos: 𝑅𝐶 = 20 e 𝑎 = 20.
O circuito de controle completo do Exemplo 7.12 é apresentado na Figura 7.35.
Figura 7.35 Circuito de controle para o sistema levitador magnético, implementado com amplificadores operacionais.
Os sinais 𝑥𝑑 (𝑡), 𝑣𝑥 (𝑡) e 𝑖(𝑡) serão conectados com o levitador mostrado na Figura
7.28. Como a corrente de saída do A.O é pequena, o sinal 𝑖(𝑡) de saída do controlador
deverá ter um amplificador de corrente antes de ser conectado na bobina.
Outra alternativa é usar o A.O. da saída como sendo o amplificador LH0101,
indicado na Figura 7.35. Ele é um amplificador cuja potência nominal é de 60 W, com pico
de corrente de saída de 5A, e tensão de alimentação Vcc=  15 V e necessita de dissipador
de calor. Ou ainda, pode-se utilizar o amplificador operacional de potência LM 675.
Exercícios
7.9. Considere o rastreador solar mostrado na Figura 7.36.
Figura 7.36 Sistema rastreador solar.
125
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Este sistema possui o seguinte diagrama de blocos:
Figura 7.37 Diagrama de blocos do rastreador solar.
Note que este sistema é instável, pois 𝑃1 = 0 e 𝑃2 = −2.
A ideia é que a angulação da placa 𝜃𝑝 (𝑠) coincida com a angulação dos raios solares
𝜃𝑠 (𝑠), ou seja, que a placa siga o Sol. Realimente o sistema conforme o diagrama abaixo e
determine a faixa de 𝐾 para que o sistema seja estável. Projete o circuito do controlador
usando A.O.
Figura 7.38 Diagrama de blocos do sistema para o Exercício 7.9.
7.10. No sistema abaixo, qual a faixa de k que resulta em estabilidade?
Figura 7.39 Diagrama de blocos do sistema para o Exercício 7.10.
7.11. O veículo explorador de Marte, Sojourner,
1997, é mostrado na Figura 7.40. Este veículo é
alimentado através de painéis solares, e também
pode ser controlado da Terra, enviando-lhe
comandos 𝑟(𝑡). O diagrama de blocos do sistema é
apresentado na Figura 7.41.
Encontre a faixa de 𝐾 tal que o sistema seja
estável. Este diagrama de blocos não inclui a
presença de ruídos.
Figura 7.40 Explorador de Marte, Sojourner.
126
CAPÍTULO 7 – Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
Figura 7.41 Diagrama de blocos do explorador de Marte, Sojourner (OGATA).
7.12. Um projeto de uma estação espacial orbital está mostrado na Figura 7.41. É crítico
o problema de manter a estação com uma orientação 𝜃𝑒 (𝑡) aproximadamente na direção
do sol 𝜃𝑠 (𝑡) para obter máxima capacidade de geração de energia. O diagrama de blocos
do sistema de controle é dado na Figura 7.42.
Figura 7.42 Projeto de estação espacial.
Figura 7.43 Diagrama de blocos para o sistema de orientação da estação espacial.
Determine a faixa de 𝐾 tal que o sistema seja estável.
127
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
8
8 Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
RESPOSTA TRANSITÓRIA DE
SISTEMAS DE 1ª E 2ª ORDEM
Neste Capítulo...
As indústrias modernas
estão exigindo, cada vez
mais, sistemas de controle
automático com alto
desempenho. Por
exemplo, no caso de robôs
utilizados para soldagem
em uma fábrica de
automóveis, o processo da
fabricação exige que o
robô solde vários pontos
em um certo período de
tempo relativamente
curto, especificado
previamente. Para
solucionar estes
problemas de controle
automático foram
adotados alguns índices
de desempenho, que
permitem a especificação
do comportamento
desejado do sistema
controlado, para a
elaboração de um projeto.
Wikipedia - KUKA Systems GmbH (CC BY-SA 3.0)
Controle na
Indústria
Apresentaremos alguns índices de desempenho de resposta
transitória de sistemas dinâmicos de 1ª e 2ª ordem em função de
parâmetros de sua função de transferência. Faremos, também, uma
associação direta de tais índices com a posição dos polos do sistema,
no plano-𝒔.
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
8.1
Entrada Degrau
Os índices de desempenho dos sistemas de controle são estudados em função da
resposta transitória do sistema devido a uma entrada degrau. Este tipo de entrada é
muito presente em diversas aplicações práticas.
Por exemplo, quando apertamos um botão no painel de um elevador, solicitando que
este saia, suponha, do primeiro para o segundo andar, estamos aplicando uma entrada
referência do tipo degrau. Ou, então, quando damos um comando a um aparelho
condicionador de ar através de seu controle remoto para que a temperatura passe dos
25°C para 15°C, temos outro exemplo de entrada do tipo degrau. Estes, e outros exemplos,
são ilustrados na Figura 8.1.
Figura 8.1 Exemplos de entrada tipo degrau.
Agora, passaremos a investigar como um sistema responde quando uma entrada do
tipo degrau é aplicada. Em particular, estudaremos o comportamento de sistemas de 1ª
e 2ª ordem.
A ordem de um sistema é caracterizada pelo número de polos em sua função de
transferência.
Conforme veremos, sistemas de 1ª e 2ª ordem possuem respostas ao degrau muito
bem definidas. Este fato nos possibilitará realizar manipulações na característica natural
de um sistema, através do projeto de controladores. Assim, poderemos melhorar o
desempenho de um dado sistema de interesse.
8.2 Resposta Transitória de Sistema de 1ª Ordem
Estudaremos as características da resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem
através do Exemplo 8.1.
129
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Exemplo 8.1: Considere o sistema de 1ª ordem: tanque d’agua controlado por chave boia
da Figura 8.2.
Figura 8.2 Sistema de controle de nível de água por chave boia.
A taxa de variação de altura é proporcional a 𝐴(𝑡) − ℎ(𝑡), isto é:
𝑑
ℎ(𝑡) = 𝑘[𝐴(𝑡) − ℎ(𝑡)]
𝑑𝑥
(8.1)
Aplicando a transformada de Laplace em (8.1), obtém-se:
𝑠𝐻(𝑠) = 𝑘𝐴(𝑠) − 𝑘𝐻(𝑠), C.I. nulas (sem água)
Neste caso, 𝐴(𝑡) é a entrada e ℎ(𝑡) e saída. Logo, a função de transferência será:
𝐻(𝑠)
𝑘
=
𝐴(𝑠) 𝑘 + 𝑠
(8.2)
(8.3)
Confirmamos, assim, que este é um sistema de 1ª ordem, pois o polinômio do
denominador é de primeira ordem (tem apenas 1 polo).
Como a base da boia é constante, 𝐴(𝑡) é constante, então a transformada de Laplace
de 𝐴(𝑡) é,
𝐴
𝐴(𝑠) =
𝑠
Assim, temos:
𝐴
𝑘
(8.4)
∙
𝐻(𝑠) =
𝑘+𝑠 𝑠
Assim, a resposta do sistema a essa entrada é obtida usando-se a transformada
inversa de Laplace em (8.4):
𝐴
𝑘
ℎ(𝑡) = ℒ −1 {𝐻(𝑠)} = ℒ −1 {
∙ }⇒
𝑘+𝑠 𝑠
⇒ ℎ(𝑡) = 𝐴(1 − 𝑒 −𝑘𝑡 )
(8.5)
A Figura 8.3 apresenta o gráfico da resposta do sistema considerando entrada
degrau.
130
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
De acordo com o gráfico da Figura 8.3, se
desejar que o reservatório se encha mais
rapidamente, devemos aumentar o valor 𝑘. Note
que o polo deste sistema é:
(𝑠 + 𝑘) = 0 ⇒ 𝑠1 = −𝑘
Logo, para variar a velocidade de
enchimento deve-se variar o valor do polo de
sistema.
Figura 8.3 Resposta do sistema tanque com controle
de nível por chave boia para entrada degrau.
Caso Genérico: Sistemas de 1ª Ordem
De forma genérica, um sistema de 1ª ordem pode ser representado conforme Figura
8.4.
Figura 8.4 Representações de um sistema de primeira ordem.
Suponha que este sistema seja estável, ou seja, 𝑎 > 0 pois assim, teremos
𝑝𝑜𝑙𝑜 = −𝑎 < 0.
Agora, suponha que 𝑢(𝑡) = 𝐴, 𝑡 ≥ 0 ou seja uma entrada degrau:
Figura 8.5 Entrada degrau.
𝐴
Assim, tem-se que 𝑈(𝑠) = .
𝑠
Como sabemos, a saída 𝑌(𝑠) pode ser expressa por 𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠) ∙ 𝑈(𝑠). Logo:
𝑌(𝑠) =
𝑎𝑘
𝐴
.
(𝑠 + 𝑎) 𝑠
(8.6)
Segundo com a linha 14 da Tabela 3.1, aplicando a transformada de Laplace em (8.6):
𝑦(𝑡) = ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = 𝑘 ∙ 𝐴(1 − 𝑒 −𝑎𝑡 )
131
(8.7)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
A expressão (8.7) representa a resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem
genérico. De forma geral, podemos fazer a seguinte análise da resposta obtida em (8.7):
Figura 8.6 Análise da resposta característica de um sistema de 1ª ordem.
4
Em termos práticos, considera-se que para 𝑡 ≥ , o sistema já está em regime
𝑎
permanente.
O tempo 𝑡 =
1
𝑎
é chamado de constante de tempo do sistema, simbolizado por 𝜏:
𝜏=
1
𝑎
Por sua vez, o instante de tempo 𝒕 = 𝟒𝝉 é chamado de tempo de estabelecimento.
1
Note que o polo de 𝐺(𝑠) é 𝑃1 = −𝑎, ou seja, 𝑃1 = − , e ainda se 𝜏 é pequeno, o
𝜏
sistema entra em regime mais rapidamente do que outro com 𝜏 maior, o diagrama da
Figura 8.7 ilustra este fato.
Figura 8.7 Influência do valor de 𝜏 (ou, equivalentemente, do polo ) na rapidez da resposta transitória em um sistema de 1ª
ordem.
Uma (valiosa) utilidade de se conhecer a característica da resposta de um sistema
de 1ª ordem para entrada degrau é a possibilidade se obter-se a função de transferência
do sistema a partir de um simples ensaio. O Exemplo 8.2 a metodologia de se medir uma
função de transferência G(s) a partir de sua resposta transitória a uma entrada degrau.
132
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
Exemplo 8.2: Um motor de corrente contínua (C.C) possui a seguinte função de
transferência, tendo como saída de interesse a velocidade de rotação do eixo (Ω(𝑠)):
𝑘𝑎
Ω(𝑠)
= 𝐺(𝑠) =
𝑉(𝑠)
𝑠+𝑎
sendo 𝑉(𝑠) a tensão de alimentação do motor C.C. Deseja-se medir experimentalmente a
sua função de transferência, ou seja, determinar os parâmetros 𝑎 e 𝑘.
Para isto, aplica-se uma entrada degrau de amplitude 𝐴 = 2 volts, por exemplo. A
saída foi registrada pelo osciloscópio digital foi tal como apresenta a Figura 8.8.
Figura 8.8 Resposta ao degrau: motor C.C.
Comparando-se esta curva experimental com a teórica dada na página anterior,
tem-se
𝑘. 𝐴 = 1000
𝑟𝑝𝑚
Adicionalmente, 𝐴 = 2. Logo, 𝑘 = 500
⁄𝑉 e, ainda:
1
= 2s ⇒ 𝑎 = 0,5[s−1 ]
𝑎
Finalmente:
𝐺(𝑠) =
8.3
500.0,5
250
=
(Função de transferência do Motor C.C.)
𝑠 + 0,5 𝑠 + 0,5
Resposta Transitória de sistemas de 2ª ordem
Agora, passaremos ao estudo das características da resposta ao degrau de uma nova
classe de sistemas: sistemas de 2ª ordem. Vejamos o Exemplo 8.3.
Exemplo 8.3: Considere o sistema de suspensão de um automóvel (já estudado no
Capítulo 4), apresentado na Figura 8.9. Sua função de transferência é apresentada abaixo:
𝑓𝑠 + 𝑘
𝑌(𝑠)
= 𝐺(𝑠) =
𝑋(𝑠)
𝑚𝑠 2 + 𝑓𝑠 + 𝑘
133
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Note que este sistema é de 2ª ordem pois G(s) possui 2 polos.
Em uma simulação realizada com o MATLAB, a resposta a entrada degrau indica na
Figura 8.9 é apresentada na Figura 8.10. Os parâmetros considerados foram 𝑚 =
1000 𝑘𝑔, 𝑓 = 500
𝑁
𝑚⁄
𝑠
e 𝑘 = 200 𝑁/𝑚.
0.35
0.3
y(t)[m]
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Tempo[s]
Figura 8.10 Resposta do sistema de amortecimento a um
degrau de 25 cm.
Figura 8.9 Sistema de amortecimento.
Nitidamente, percebe-se que esta resposta é diferente da resposta do sistema de 1ª
ordem. Novas simulações foram feitas no intuito de investigar o impacto do valor do
coeficiente do amortecedor 𝑓 na resposta do sistema a entrada degrau. Nas Figuras 8.11
e 8.12 apresentam-se as respostas do sistema para 𝑓 = 300
respectivamente.
0.4
𝑁
𝑚⁄
𝑠
e 𝑓 = 1500
𝑁
𝑚⁄
𝑠
,
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
y(t)[m]
y(t)[m]
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Tempo[s]
0
0
5
10
15
20
25
30
Tempo[s]
Figura 8.12 Resposta do sistema de amortecimento a um degrau
𝑁
de 25 cm, para 𝑓 = 300 𝑚⁄ .
𝑠
Figura 8.11 Resposta do sistema de amortecimento a um degrau
𝑁
de 25 cm, para 𝑓 = 1500 𝑚⁄ .
𝑠
Veja, pela Figura 8.11, que um valor menor para o coeficiente 𝑓 o sistema apresenta
maiores oscilações durante o transitório. E, por sua vez, um aumento no valor de 𝑓 faz
com que as oscilações ao longo do transitório sejam atenuadas.
Na prática, especifica-se por meio de um parâmetro quão grande devem ser as
oscilações ou o amortecimento do sistema. E, então, o projeto de controlador deverá ser
feito de modo a atender a essas especificações.
134
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
Caso genérico: Sistemas de 2ª Ordem
Um sistema de 2ª ordem genérico pode ser representado conforme apresenta a
Figura 8.13.
Figura 8.13 Representação genérica de um sistema de 2ª ordem.
Os parâmetros da função de transferência de um sistema de 2ª ordem genérico,
conforme apresentado na Figura 8.13, são denominados como sendo:
𝜔𝑛 = frequência natural não-amortecida, 𝜔𝑛 > 0
𝜉 = coeficiente de amortecimento, 𝜉 > 0
Dependendo do valor de 𝜉, recebe uma classificação diferente. O caso de interesse é
o caso de subamortecimento, para o qual 0 < 𝜉 < 1.
Para este caso, os polos de 𝐺(𝑠) são encontrados fazendo:
𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0
Logo :
(8.8)
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 4𝜔𝑛2 (𝜉 2 − 1)
E, assim, os polos (raízes de (8.8)) serão:
Ou ainda,
𝑃1,2 = −
2𝜉𝜔𝑛 ± √4𝜔𝑛2 (𝜉 2 − 1)
= −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √𝜉 2 − 1
2
𝑃1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √(1 − 𝜉 2 ). (−1)
(8.9)
Mas, como 0 < 𝜉 < 1, então 𝜉1 < 1 . Logo, (1 − 𝜉 2 ) > 0, e, portanto:
𝑃1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √(1 − 𝜉 2 ). √(−1)
𝒋
Finalmente, os polos de 𝐺(𝑠) são:
𝑃1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 √(1 − 𝜉 2 )
A Figura 8.14 temos a representação no plano-𝑠 dos polos de um sistema de 2ª
ordem genérico, obtidos conforme (8.10).
135
(8.10)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 8.14 Polos de um sistema de 2ª ordem genérico subamortecido, representados no plano-s.
Segundo a Figura 8.14, temos:
2
𝑟 2 = (𝜔𝑛 √(1 − 𝜉 2 )) + (𝜉𝜔𝑛 )2 ⇒ 𝒓 = 𝝎𝒏
cos 𝜃 =
Observações
𝜉𝜔𝑛 𝜉𝜔𝑛
=
= 𝜉 ⇒ 𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝝃
𝑟
𝜔𝑛
i. Se 𝜉 = 1, temos um sistema criticamente amortecido. Neste caso, os polos são: 𝑃1,2 = 𝜔𝑛
ii.
Para 𝜉 > 1 temos o caso de um sistema superamortecido. Neste caso, os polos são:
𝑃1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 √(𝜉 2 − 1), que não tem componente imaginário:
que correspondem a dois polos de dois sistemas de primeira ordem. Assim, a resposta transitória
será a composição das respostas de cada sistema de primeira ordem calculadas separadamente.
iii. Se 𝜉 = 0 temos um sistema não amortecido. Neste caso, os polos são: 𝑃1,2 = ±𝑗𝜔𝑛
Lembre-se: 𝜔𝑛 é a frequência natural não amortecida.
136
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
As deduções mostradas a seguir referem-se apenas ao caso 0 < 𝜉 < 1 (sistema
subamortecido).
A resposta do sistema apresentado na Figura 8.13 a uma entrada degrau unitário,
1
𝑈(𝑠) = , é:
𝑠
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠) ∙ 𝑈(𝑠) =
1
𝑘𝜔𝑛2
∙
2
2
𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 𝑠
(8.11)
Segundo a linha 23 da Tabela 3.1, a transformada de Laplace de (8.11) é
𝑦(𝑡) = 𝑘 {1 − 𝑒 −𝜉𝜔𝑛𝑡 . [cos (𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2 . 𝑡) +
sendo 0 < 𝜉 < 1.
Por simplicidade, definimos:
𝜉ω𝑛
𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2
. sen (𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2 . 𝑡)]}
(8.12)
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2 e 𝜎 = 𝜉𝜔𝑛
Logo, (8.12) pode ser reescrito como:
que tem a forma:
𝑦(𝑡) = 𝑘 {1 − 𝑒 −𝜎𝑡 . [cos(𝜔𝑑 . 𝑡) +
𝜎
. sen(𝜔𝑑 . 𝑡)]}
𝜔𝑑
Figura 8.15 Resposta de um sistema de 2ª ordem genérico a entrada degrau.
A resposta 𝑦(𝑡) acima indica que podemos definir os seguintes índices de
desempenho:
𝒕𝒔 → tempo de subida
𝒕𝒑 → tempo de pico ou instante de pico
𝒕𝒆 → tempo de estabelecimento (ou de estabilização ou de acomodação ou de
assentamento).
𝑴𝑺 → máximo sobressinal ou “overshoot”
Os cálculos desses índices são mostrados a seguir:
137
(8.13)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
a) Tempo de pico ou instante de pico (𝒕𝒑 )
Para determinar o instante de pico devemos determinar o instante em que 𝑦(𝑡) é
máximo, para isto achamos
𝑑
𝑑𝑡
𝑦(𝑡) = 0:
𝑑
𝜎
𝑦(𝑡) = 𝑘 {𝜎𝑒 −𝜎𝑡 ∙ [cos(𝜔𝑑 𝑡) +
sen(𝜔𝑑 𝑡)] − 𝑒 −𝜎𝑡 [−𝜔𝑑 sen(𝜔𝑑 𝑡) + 𝜎 cos(𝜔𝑑 𝑡)]} = 0
𝑑𝑡
𝜔𝑑
Ou ainda:
𝜎𝑒
−𝜎𝑡
𝜎 2 𝑒 −𝜎𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 𝑡) + 𝜔𝑑 𝑒 −𝜎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 𝑡) − 𝜎𝑒 −𝜎𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑 𝑡) = 0
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑 𝑡) +
𝜔𝑑
Portanto
𝑒 −𝜎𝑡 ∙ [
𝜎2
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 𝑡) + 𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 𝑡)] = 0
𝜔𝑑
(8.14)
Como 𝑒 −𝜎𝑡 ≠ 0 para 𝑡 < +∞, então (8.14) torna-se:
Ou ainda,
𝜎2
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 𝑡) + 𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 𝑡) = 0
𝜔𝑑
(
Veja que (8.16) implica em
𝜎2
+ 𝜔𝑑 ) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 𝑡) = 0
𝜔𝑑
(8.16)
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 𝑡) = 0 ⇒ 𝜔𝑑 = 0 , 𝜋 , 2𝜋 , 3𝜋 ⋯
Assim, temos:
• Se 𝑡 = 0 ⇒ ponto de mínimo (não serve)
𝜋
⇒ é o primeiro instante de derivada nula, logo este é o instante de pico.
• Se 𝑡 =
𝜔𝑑
Mas, como 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2 , então:
𝒕𝒑 =
𝝅
𝝎𝒏 √𝟏 − 𝝃𝟐
Tempo de Pico (𝑡𝑝 )
b) Porcentagem de Overshoot (P.O.)
A porcentagem de overshoot é definida como a porcentagem do máximo
sobressinal (𝑀𝑆) em relação ao valor de regime de 𝑦(𝑡), ou seja:
𝑀𝑆
𝑃. 𝑂. (%) =
∙ 100 (%)
𝑘
138
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
Lembre-se:
Como 𝑀𝑆 corresponde a diferença entre o valor de 𝑦(𝑡) no instante 𝑡 = 𝑡𝑝 e o valor
de regime permanente 𝑘, isto é:
𝑀𝑆 = 𝑦(𝑡)|𝑡=𝑡𝑝 − 𝑘,
teremos:
-1
𝑀𝑆 = −𝑘 + 𝑘 {1 − 𝑒
Logo,
−𝜎(
𝜋
)
𝜔𝑑
∙ [cos (𝜔𝑑 ∙ (
⇒ 𝑀𝑆 = 𝑘𝑒
0
𝜎
𝜋
𝜋
)) +
∙ sen (𝜔𝑑 ∙ ( ))]} ⇒
𝜔𝑑
𝜔𝑑
𝜔𝑑
−𝜎(
𝜋
)
𝜔𝑑
−𝜎(
𝜋
)
𝑀𝑆
𝑘𝑒 𝜔𝑑
(%)
(%)
𝑃. 𝑂.
=
∙ 100
=
. 100 (%)
𝑘
𝑘
Mas, 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2 e 𝜎 = 𝜉𝜔𝑛 .
Então, finalmente:
𝑃. 𝑂. (%) = 𝑒
−(
𝜉𝜔𝑛 𝜋
)
𝜔𝑛 √1−𝜉 2 . 100
𝑷. 𝑶. (%) = 𝒆
−(
𝝃𝝅
)
√𝟏−𝝃𝟐 . 𝟏𝟎𝟎
(%) ⇒
(%)
para 0 < 𝜉 < 1.
Porcentagem de
Overshoot (𝑃𝑂(%))
Observe que 𝑃. 𝑂. só depende de 𝜉 e que quanto menor 𝜉, maior será o valor de 𝑃. 𝑂.
A Figura 8.16 mostra o gráfico de 𝑃. 𝑂.× 𝜉 , enquanto que a Figura 8.17 apresenta a
resposta ao degrau de 𝐺(𝑠) para diversos valores de 𝜉.
Note que P.O. diminui com o aumento de  , ou seja, quanto maior o coeficiente de
amortecimento, 𝜉, menor é a oscilação da resposta.
139
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 8.16 Comportamento da resposta y(t) para diferentes valores de 𝜉.
Figura 8.17 Relação entre a porcentagem de overshoot e o coeficiente de amortecimento 𝜉 .
c) Tempo de estabelecimento (𝒕𝒆 )
A função
𝑦(𝑡) = 𝑘 {1 − 𝑒 −𝜎𝑡 . [cos(𝜔𝑑 . 𝑡) +
𝜎
. sen(𝜔𝑑 . 𝑡)]}
𝜔𝑑
pode ser interpretada como um sinal oscilatório com a amplitude que decresce ao longo
do tempo, conforme ilustra a Figura 8.18.
Podemos provar este fato ao notarmos que vimos em a) tempo de pico, que os
pontos de derivada nula de 𝑦(𝑡), isto é:
𝑑
𝑦(𝑡) = 0
𝑑𝑥
k𝜋
ocorrem para 𝑡𝑖 = 𝑖 , 𝑘𝑖 = 0, 1, 2 , 3, ⋯ e assim,
𝜔
𝑑
𝑦(𝑡) = 𝑘 {1 − 𝑒 −𝜎𝑡 . [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡𝑖 ) +
𝜎
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡𝑖 )]}
𝜔𝑑
(8.17)
140
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
Note que
𝜎
1, se k 𝑖 é par
∙ sen(𝜔𝑑 ∙ 𝑡𝑖 )] = {
−1, se k 𝑖 é par
𝜔𝑑
Logo, por (8.18) temos que (8.17) pode ser reescrito como
(8.18)
[cos(𝜔𝑑 ∙ 𝑡𝑖 ) +
Ou
𝑦(𝑡) = 𝑘{1 − 𝑒 −𝜎𝑡 }
(8.19)
𝑦(𝑡) = 𝑘{1 + 𝑒 −𝜎𝑡 }
(8.20)
que correspondem as envoltórias exponenciais.
Assim, para determinar 𝑡𝑒 , basta igualar (8.19) ou (8.20) ao valor assumido pela
resposta 𝑦(𝑡) que consideramos suficiente para afirmar que o sistema entrou em regime
permanente. Neste sentido, admitindo que nosso critério é que 𝑦(𝑡) esteja contido em
uma faixa de ±1% do valor de regime (tal como indica a Figura 8.18), fazemos:
𝑘(1 + 𝑒 −𝜎𝑡 ) = 𝑘 ∙ (1 + 0.01)
Logo,
𝑒 −𝜎𝑡𝑒 = 0,01 ⇒ ⇒ −𝜎𝑡𝑒 = 𝑙𝑛 0,01 ⇒ 𝑡𝑒 = −
Caso utilize a envoltória inferior, então teremos:
Ou
𝑙𝑛 0,01
𝜎
𝑘(1 − 𝑒 −𝜎𝑡 ) = 𝑘 ∙ (1 − 0.01) ⇒ 𝑒 −𝜎𝑡𝑒 = 0,01
−𝜎𝑡𝑒 = ln 0,01 ⇒ 𝑡𝑒 = −
Porém, 𝜎 = 𝜔𝑛 𝜉. Logo,
𝒕𝒆 = −
ln 0,01
𝜎
𝐥𝐧 𝟎, 𝟎𝟏 𝟒, 𝟔
=
𝝎𝒏 𝝃
𝝎𝒏 𝝃
Figura 8.18 Análise da característica decrescente da amplitude da resposta y(t).
141
Tempo de
Estabelecimento (𝑡𝑒 )
(critério de 1%)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Se desejar que o critério para considerar entrada em regime permanente seja de 2%,
tem-se:
𝒕𝒆 = −
𝐥𝐧 𝟎, 𝟎𝟐 𝟑, 𝟗
=
𝝎𝒏 𝝃
𝝎𝒏 𝝃
Tempo de
Estabelecimento (𝑡𝑒 )
(critério de 2%)
Se desejar 5%, tem-se:
𝐥𝐧 𝟎, 𝟎𝟓
𝟑
𝒕𝒆 = −
=
𝝎𝒏 𝝃
𝝎𝒏 𝝃
Tempo de
Estabelecimento (𝑡𝑒 )
(critério de 5%)
Note que aumentando o coeficiente de amortecimento (𝜉 ↑), o tempo de
estabelecimento diminui (𝑡𝑒 ↓).
d) Tempo de subida (𝒕𝒔 )
O tempo de subida é dado por:
𝒕𝒔 ≈
𝟏, 𝟖
𝝎𝒏
Tempo de Subida
que é uma aproximação considerando 𝜉 = 0,5, (veja OGATA para mais detalhes).
Exercícios
8.1. Determine os valores de 𝑃. 𝑂. %, 𝑡𝑒 , 𝑡𝑝 e 𝑡𝑠 para um sistema cuja função de
transferência é dada por
a)
1
𝐺(𝑠) = 2
𝑠 + 1,2𝑠 + 1
b)
100
𝐺(𝑠) = 2
𝑠 + 10𝑠 + 100
c)
8
𝐺(𝑠) = 2
𝑠 + 0,8𝑠 + 4
142
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
8.4 Resposta Transitória × Localização dos Polos no Plano-s
Como já foi visto, o sistema de 2ª ordem genérico tem a seguinte função de
transferência
𝑘𝜔𝑛2
𝑌(𝑠) = 2
𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2
com os polos:
𝑃1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2 ,
0<𝜉<1
que são os polos de 𝐺(𝑠) para o caso subamortecido. No plano-𝑠 os polos são
representados conforme a Figura 8.19:
Figura 8.19 Representação dos polos de um sistema de 2ª ordem genérico, no plano-s.
Como a localização dos polos no plano-𝑠 depende de 𝜉 e 𝜔𝑛 , e as especificações 𝑃. 𝑂.,
𝑡𝑠 , 𝑡𝑒 também dependem de 𝜉 e 𝜔𝑛 , podemos relacionar essas especificações com a
localização dos polos.
a) Tempo de subida: 𝒕𝒔 ≈
𝟏,𝟖
𝝎𝒏
Suponha, por exemplo, que 𝑡𝑠 = 1,8 segundos. Assim, teremos 𝜔𝑛 = 1, para
qualquer valor de 𝜉. Veja, pela Figura 8.19, que o valor de 𝜔𝑛 define a distância radial da
origem até a posição do polo.
Portanto, para 𝑡𝑠 = 1,8 os polos deverão estar sobre o semicírculo destacado na
Figura 8.20.
Figura 8.20 Região de posicionamento dos polos de um sistema de 2ª ordem para que 𝑡𝑠 seja igual a 1,8 𝑠𝑒𝑔.
143
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Agora, caso queiramos que 𝑡𝑠 ≤ 1,8 𝑠𝑒𝑔, então 𝜔𝑛 ≥ 1. Portanto, para 𝑡𝑠 ≤ 1,8 𝑠𝑒𝑔
os polos deverão estar dentro da região hachurada da Figura 8.21.
Região para
𝝎𝒏 ≥ 𝟏
(𝒕𝒔 ≤ 𝟏, 𝟖𝒔𝒆𝒈)
−𝟏
𝟏
𝜽
−𝟏
Figura 8.21 Região de posicionamento dos polos de um sistema de 2ª ordem para que 𝑡𝑠 seja menor ou igual a 1,8 𝑠𝑒𝑔.
b) Porcentagem de Overshoot: 𝑷. 𝑶. = 𝟏𝟎𝟎 𝒆
−(
𝝃𝝅
√𝟏−𝝃𝟐
)
Por exemplo, supondo que 𝑃. 𝑂. = 16% , então 𝜉 = 0,5, qualquer que seja o valor de
𝜔𝑛 . Logo:
arccos 𝜉 = arccos 0,5 = 60°
que no plano-𝑠 é representado por semirretas.
Para 𝑃. 𝑂. = 16%, os polos deverão estar sobre as semirretas mostradas na Figura
8.22.
Figura 8.22 Região de posicionamento dos polos de um sistema de 2ª ordem para que a P.O. seja igual a 16 %.
E, se impormos 𝑃. 𝑂. ≤ 16% então, consequentemente, 𝜉 ≥ 0,5. Neste caso:
arccos 𝜉 ≤ 60°
pois, cos 𝜃 cresce com a diminuição de 𝜃.
Assim, para 𝑃. 𝑂. ≤ 16% os polos deverão estar dentro da região hachurada da
Figura 8.23.
144
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
Figura 8.23 Região de posicionamento dos polos de um sistema de 2ª ordem para que a P.O. seja menor ou igual a 16 %.
c) Tempo de estabelecimento: 𝒕𝒆 =
8.24.
𝟒,𝟔
𝝎𝒏 𝝃
(critério de 1%)
Por exemplo, sendo 𝑡𝑒 = 2,6 s, então teremos 𝜉𝜔𝑛 = 1,8, para quaisquer 𝜔𝑛 e 𝜉.
Assim, para 𝑡𝑒 = 2,6 os polos deverão estar sobre a reta vertical mostrada na Figura
Figura 8.24 Região de posicionamento dos polos de um sistema de 2ª ordem para que 𝑡𝑒 seja igual a 1,8 s.
Agora, se 𝑡𝑒 ≤ 2,6, então consequentemente 𝜔𝑛 𝜉 ≥ 1,8. Logo, para 𝑡𝑒 ≤ 2,6 os
polos deverão estar sobre a região hachurada da Figura 8.25.
Figura 8.25 Região de posicionamento dos polos de um sistema de 2ª ordem para que 𝑡𝑒 seja menor ou igual a 1,8 s.
Exemplo 8.4: Desenhe a região do plano-𝑠 na qual os polos do sistema de 2ª ordem
deverão estar para atender às seguintes especificações: 𝑡𝑠 ≤ 0,9s, 𝑃. 𝑂. ≤ 16% e 𝑡𝑒 ≤ 3s.
Considerando que os polos do sistema são 𝑃1,2 = −4 ± 1,5, podemos afirmar que o
sistema cumpre as especificações?
145
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Solução: As especificações de desempenho
implicam nas seguintes restrições para os
parâmetros 𝜉 e 𝜔𝑛 :
•
•
•
𝑡𝑠 ≤ 0,9 s ⇒ 𝜔𝑛 ≥ 2
𝑃. 𝑂. ≤ 16% ⇒ 𝜉 ≥ 0,5
𝑡𝑒 ≤ 3 s ⇒ 𝜔𝑛 𝜉 ≥ 1,5
A região que satisfaz todos esses requisitos
está mostrada na Figura 8.26. Como os polos 𝑃1 e
𝑃2 estão dentro da região então o desempenho
natural do sistema 𝐺(𝑠) atende às especificações.
Figura 8.26 Região de especificação do Exemplo 8.4.
Observação
Em muitos casos práticos os polos do sistema NÃO se encontram dentro da região que
garante que os parâmetros de desempenho requisitados sejam atendidos. Nos próximos
capítulos estudaremos uma maneira de modificar a posição 𝑃1 e 𝑃2 dos polos utilizando a
realimentação. Isto será possível através da técnica de projeto conhecida como Método Root
Locus ou Método do Lugar das Raízes.
Exemplo 8.5: Um braço mecânico deve sair de 𝑥 = 0 cm em 𝑡 = 0 s, estar nas
proximidades de 𝑥 = 50 cm em 𝑡 = 2 s, parar (critério 1%) em 𝑥 = 50 cm em 𝑡 = 3 s e
não esbarrar no parafuso.
Solução: De acordo com o enunciado,
a resposta transitória do sistema
deverá ter o formato apresentado na
Figura 8.27.
Assim,
neste
caso,
as
especificações de projeto deverão ser:
•
•
•
𝑃. 𝑂. <
5
50
. 100 = 10%
𝑡𝑠 ≤ 2s ⇒
⇒ 𝜉 > 0,6
1,8
𝜔𝑛
≤2
⇒ 𝜔𝑛 ≥ 0,9 rad/s
𝑡𝑒 ≤ 3s ⇒
4,6
𝜉𝜔𝑛
≤ 3 (1%)
⇒ 𝜉𝜔𝑛 ≥ 1,5
Figura 8.27 Sistema de braço mecânico e transitório desejado.
146
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
Como um resumo geral, apresentamos na Figura 8.28 diversas características que
um polo pode fornecer à resposta do sistema mediante sua posição no plano-𝑠. As
respostas apresentadas são referentes a uma entrada impulsiva.
Figura 8.28 Característica transitória mediante posição dos polos do sistema.
Exercícios
8.2. Desenhe a região do plano-𝑠 na qual os polos do sistema de segunda ordem deverão
estar para atender as seguintes especificações:
a) 𝑡𝑠 ≤ 1,2s, 𝑃. 𝑂. ≤ 10% e 𝑡𝑒 ≤ 4s;
b) 𝑡𝑠 ≤ 1,1s, 𝑃. 𝑂. ≤ 20% e 1s ≤ 𝑡𝑒 ≤ 6s;
c) 𝑡𝑠 ≤ 4s, 𝑃. 𝑂. ≤ 15% e 1s ≤ 𝑡𝑒 ≤ 4s;
d) 𝑡𝑠 ≤ 0,9s, 10% ≤ 𝑃. 𝑂. ≤ 20% e 1s ≤ 𝑡𝑒 ≤ 4s.
8.3. Desenhe no plano-𝑠 a região que satisfaz a todas as restrições de desempenho dados
no Exemplo 8.5.
8.5 Resposta ao Degrau de Sistemas de Ordem Superior
Os polos de uma 𝐺(𝑠) ou são reais ou pares complexos conjugados, então, uma
função de transferência com número de polos maior que 2 é dada por:
𝑚
1
𝑘 ∏𝑖=1(𝑠 + 𝑘𝑖 )
𝑌(𝑠)
= 𝐺(𝑠) = 𝑞
𝑟
𝑈(𝑠)
∏𝑗=1(𝑠 + 𝑝𝑗 ) ∏𝑘=1(𝑠 2 + 2𝜉𝑘 𝜔𝑘 𝑠 + 𝜔𝑘2 )
Se os polos forem distintos e a entrada tipo degrau unitário, a resposta será: 𝑌(𝑠) =
𝐺(𝑠). , que expandida em funções parciais:
s
𝑞
𝑟
𝑗=1
𝑘=1
𝑎𝑗
𝑎
𝑏𝑘 (𝑠 + 𝜉𝑘 𝜔𝑘 ) + 𝑐𝑘 𝜔𝑘 √1 − 𝜉𝑘2
𝑌(𝑠) = + ∑
+∑
𝑠 + 𝑝𝑗
𝑠
𝑠 2 + 2𝜉𝑘 𝜔𝑘 𝑠 + 𝜔𝑘2
1a ordem
147
(8.21)
2a ordem
(8.22)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Percebe-se que a resposta 𝑌(𝑠) em (8.22) é composta de respostas de 1ª ordem e 2ª
ordem. A curva de resposta de um sistema estável de ordem superior é a soma de certo
número de curvas exponenciais (1ª ordem) e curvas senoidais amortecidas (2ª
ordem).
Assim, pequenas oscilações são superpostas em oscilações maiores ou sobre as
curvas exponenciais, conforme mostra a Figura 8.29.
Figura 8.29 Diferentes tipos de respostas de um sistema: combinação de características oscilatórias e/ou exponenciais.
Percebe-se que, às vezes, a resposta exponencial prevalece sobre a oscilatória ou
vice-versa. Isto indica que as respostas de alguns polos podem ser mais significativas que
as de outros. A este fato damos o nome de dominância de polos.
De maneira simples, podemos dizer que dominância de polos é determinada pela
relação das partes reais dos polos. Se as relações das partes reais excedem cinco, então
os polos de malha fechada
mais perto do eixo 𝑗𝜔
dominarão no desempenho
da resposta transitória
porque estes polos correspondem a termos de
resposta transitória que
decaem lentamente.
Na Figura 8.30 (a)
temos a representação dos
Figura 8.30 Dominância de polos: polos próximos ao eixo imaginário serão dominantes sobre polos de um sistema de 3ª
polos mais afastados.
ordem. Note que um deles
representa um polo característico de 1ª ordem, enquanto os outros dois formam um par
de polos complexos conjugados, típicos de sistemas de 2ª ordem.
Como vemos, os polos complexos estão mais próximos do eixo imaginário, e ao
mesmo tempo, o polo real está significativamente afastado dos primeiros. Isto é
𝑏
−6
quantitativamente traduzido pela razão = −1 = 6 > 5. Assim, a resposta do sistema será
𝑎
dominada pelos polos complexos, e, portanto, 𝑦(𝑡) apresentará uma forma bastante
próxima a resposta de um sistema de 2ª ordem, conforme apresenta a Figura 8.30(b).
148
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
Outro fator que influencia na dominância de polos é a presença de zeros. Polos que
possuem zeros em suas proximidades tendem a se “enfraquecer”. Isto é, sua resposta será
menos dominante em detrimento a resposta de outros polos.
Por exemplo, a Figura
8.31(a) mostra os mesmos
polos do sistema de 3ª
ordem
apresentado
anteriormente. Contudo,
agora o sistema conta com
um par de zeros complexos
conjugados,
localizados
próximos
aos
polos
complexos conjugados.
Na situação da Figura
Figura 8.31 Dominância de polos: os zeros complexos conjugados enfraquecem os polos
8.30(a),
os
polos
complexos conjugados, passando a dominância para o polo real.
complexos detinham a
dominância sobre o polo real. Porém, neste novo caso, os polos complexos são
enfraquecidos pelos zeros, e assim, o polo real, mesmo estando mais longe do eixo
imaginário, passa a ter a dominância sobre a resposta do sistema.
Uma vez que o polo dominante é um polo característico de um sistema de 1ª ordem,
a resposta do sistema será muito próxima a resposta exponencial, típica de sistemas de 1ª
ordem, conforme mostra a Figura 8.31(b).
Contudo, quando a razão entre as partes reais dos polos do sistema não é grande
(maior do que 5), e não existem zeros nas proximidades (veja Figura 8.32(a) ), não existe
dominância, e assim a saída será uma composição das contribuições de cada um dos polos
(Figura 8.32(b)).
Figura 8.32 Dominância de polos: os pares complexos conjugados encontram-se próximos e não existem zeros nas
proximidades, logo não existe dominância.
Exemplo 8.6: Considere 𝐺(𝑠) =
Temos:
5
(𝑠+1)(𝑠+5)
1
e entrada degrau: 𝑈(𝑠) = .
𝑠
1
5
−
1
5
1
4
4
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠). =
= +
+
𝑠 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 5) 𝑠 (𝑠 + 1) (𝑠 + 5)
149
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Logo:
5
1
𝑦(𝑡) = 1 − 𝑒 −𝑡 + 𝑒 −5𝑡 ,
4
4
referente referente
ao polo -1 ao polo -5
𝑡≥0
(8.23)
Na Figura 8.33(a) temos uma representação gráfica da resposta (8.23). Note a
configuração dos polos do sistema na Figura 8.33(b).
Figura 8.33 Composição da resposta y(t) do Exemplo 8.6.
Observação
Como os projetos dos controladores sempre terão as especificações 𝑃. 𝑂., 𝑡𝑠 e 𝑡𝑒 retiradas
da resposta de 2ª ordem, sempre deverá ser observada a existência de dominância de polos.
8.6 Resposta Transitória Usando o MATLAB
O programa apresentado na Tabela 8.1 mostra como a resposta ao degrau usando o
MATLAB (vide Ogata). Neste caso, consideremos
25
𝑌(𝑠)
= 𝐺(𝑠) = 2
𝑠 + 4𝑠 + 25
𝑈(𝑠)
Para uma entrada tipo rampa usa-se o comando lsim. A título de exemplo, na Tabela
8.2 apresentamos um programa que permite obter a resposta do sistema para uma
entrada rampa, aplicada a um sistema cuja função de transferência é:
𝑌(𝑠)
1
= 𝐺(𝑠) = 2
𝑈(𝑠)
𝑠 +𝑠+1
Por fim, as Figura 8.34 e 8.35 mostram os gráficos resultantes da execução de cada
um dos dois programas.
150
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
Tabela 8.1 Programa no MATLAB para gerar gráfico da resposta ao degrau unitário de um certo sistema (OGATA).
%----------------Resposta ao degrau unitário-----------------------%**Digite o numerador e o denominador da função de transferência**
num=[0 0 25];
den=[1 4 25];
%**Digite o seguinte comando de resposta ao degrau**
step(num,den)
%**Digite os comandos para inserir a grade e o título do gráfico**
grid
title (‘Resposta ao Degrau de G(s)=25/(s^2+4s+25)’)
Tabela 8.2 Programa no MATLAB para gerar gráfico da resposta a rampa de um certo sistema (OGATA).
%----------------
Resposta a rampa
------------------------
%**Digite o numerador e o denominador da função de transferência**
num=[0 0 25];
den=[1 4 25];
%**Tempo de simulação**
t=0:0.1:8;
%**Definindo a rampa**
r=t;
%**Definindo a saída via lsim
y=lsim(num,den,r,t);
%**Plotando. Traço(-):rampa; Bolinha(o): saída
plot(t,r, '-',t,y, 'o')
grid
title('Resposta à Rampa Unitária Obtida com o Uso do Comando “Isim” ')
xlabel('t(s) ')
ylabel('Entrada e Saída do Sistema')
text(2.1,4.65, 'Entrada em Rampa Unitária')
text(4.5,2.0,’Saída’)
151
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Resposta ao Degrau de G(s)=25/(s2+4s+25)
1.4
1.2
1
y(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Tempo (seconds)
Figura 8.34 Gráfico gerado a partir do programa da Tabela 8.1.
Resposta à Rampa Unitária Obtida com o Uso do Comando “Isim”
2
Entrada e Saída do Sistema
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tempo (s)
Figura 8.35 Gráfico gerado a partir do programa da Tabela 8.2.
8.7 Índices de Desempenho ITAE, ISE, IAE
Além dos índices de especificações 𝑃. 𝑂., 𝑡𝑒 , 𝑡𝑠 e 𝑡𝑝 , tem-se outros índices baseados
na integral da variável em questão.
152
CAPÍTULO 8 – Resposta Transitória de Sistemas de 1ª e 2ª Ordem
Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um
sistema e escolhido de modo que a ênfase seja dada às especificações (DORF).
Um índice de desempenho adequado é a integral do quadrado de erro, 𝐼𝑆𝐸 (Integral
of the Square of the Error):
𝑇
𝐼𝑆𝐸 = ∫ 𝑒(𝑡)2 𝑑𝑡
(8.24)
0
Sendo 𝑒(𝑡) o erro entre a referência e a saída, conforme mostrado na Figura 8.36.
Figura 8.36 Erro 𝑒(𝑡) em sua representação no domínio “𝑠”.
Segundo DORF, este critério discrimina sistemas excessivamente superamortecidos
de sistemas excessivamente subamortecidos.
De um modo genérico, o cálculo desta integral é ilustrado na Figura 8.37, extraída
de DORF.
Outro critério de desempenho é o 𝐼𝐴𝐸 (Integral of
the Absolute magnitude of the Error):
𝑇
𝐼𝐴𝐸 = ∫ |𝑒(𝑡)| 𝑑𝑡
(8.25)
𝑇
(8.26)
0
Para reduzir a contribuição de grandes erros
iniciais no valor da integral e aumentar a contribuição
para tempos maiores, adota-se:
𝐼𝑇𝐴𝐸 = ∫ 𝑡. |𝑒(𝑡)| 𝑑𝑡
0
O peso temporal para o ISE é:
𝑇
𝐼𝑇𝑆𝐸 = ∫ 𝑡. 𝑒(𝑡)2 𝑑𝑡
0
Em Dorf, 8ª. ed., é mostrado um exemplo de uso
destes índices de desempenho, repetido a seguir.
Figura 8.37 Procedimento de cálculo do
índice ISE.
153
(8.27)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Exemplo 8.7: Considere o sistema abaixo:
Figura 8.38 Sistema para o Exemplo 8.7.
cuja função de transferência de malha fechada é:
1
𝐺(𝑠) = 2
𝑠 + 2𝜉𝑠 + 1
Em DORF, foram calculados todos os índices de desempenho, em função do valor de
𝜉 e, reproduzidos segundo a Figura 8.39 (calculadas para uma entrada degrau).
Figura 8.39 Comportamento dos índices ITAE, ITSE e ISE em função do parâmetro 𝜉.
Desta análise, temos que o valor ótimo de 𝜉 que minimiza o 𝐼𝑇𝐴𝐸 é 𝜉 = 0,6.Para
maiores detalhes, veja DORF.
154
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
9
9 Erro de Regime Permanente
ERRO DE REGIME
PERMANENTE
Neste Capítulo...
Muitos problemas
práticos, especialmente
envolvendo tarefas
industriais, exigem que o
erro na execução de um
comando seja nulo ou
muito pequeno. Na
confecção de placas de
equipamentos
eletrônicos, como
computadores e
celulares, braços
mecânicos são
incumbidos de fixar
circuitos integrados
(C.I.’s) em uma posição
minuciosamente
determinada,
deslocando-se de um
lado a outro da placa.
Graças ao desenvolvimento da teoria de
controle, a precisão na
execução de manobras
como esta podem ser
atingidas com perfeição.
MCF Electronics ©
O erro nulo
Iremos estudar a relação entre precisão de sistemas de controle com
os parâmetros do sistema. Será analisado o erro entre a entrada
referência do sistema e a saída, verificando como diminuí-lo ou tornálo nulo.
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
9.1
Exemplos de Erro de Regime Permanente
Os dois exemplos que serão apresentados a seguir tratam de dois tipos de entrada
muito utilizadas em controle e o erro da saída em relação a elas: entrada degrau e
entrada rampa.
É importante salientar que esses erros são sempre tomados após ter ocorrido
todos os transitórios, ou seja, são erros de regime permanente.
Exemplo 9.1 O braço mecânico que ilustra a capa deste capítulo tem a função de colocar
C.I.’s sobre a placa de circuito impresso (PCI) e não deve ter erro no posicionamento. A
Figura 9.1 apresenta uma ilustração deste problema.
Figura 9.1 - Posicionamento de CI em PCI
De acordo com a problemática exposta, sendo 𝑒(𝑡) o erro entre a referência 𝑢(𝑡) e a
posição do CI 𝑥(𝑡), temos como imposição:
𝑒(𝑡)|𝑡→∞ = [𝑢(𝑡) − 𝑥(𝑡)]|𝑡→∞ = 0
(9.1)
O diagrama de blocos que representa o sistema é apresentado na Figura 9.2.
Figura 9.2 Diagrama de blocos do sistema do braço mecânico de posicionamento de CIs.
156
CAPÍTULO 9 – Erro de Regime Permanente
Note que no Exemplo 9.1 𝑢(𝑡) é uma entrada tipo degrau (Figura 9.4 (a)), sendo
assim, esse foi um exemplo de sistema que deve ter pequeno erro de regime permanente
para uma entrada tipo degrau. Agora, vejamos um novo exemplo, que envolve um tipo
diferente de entrada.
Figura 9.3 Sinal de referência do sistema do braço mecânico - entrada degrau (a). Sinal de referência do sistema
posicionador - entrada rampa (b).
Exemplo 9.2 A antena rastreadora de satélite tem o objetivo de se posicionar tornando
muito pequeno o erro entre seu ângulo e o ângulo do satélite.
Suponha que o satélite realize um movimento com velocidade constante 𝜔(𝑡) =
0,01rad/s.
Desta forma, a variação do ângulo 𝜃𝑠 (𝑡) no tempo é
obtida fazendo:
𝜔(𝑡) = 𝜃̇𝑠 (𝑡) ⇒ 𝜃̇𝑠 (𝑡) = 0,01 ⇒
𝑡
∴ ∫
0
𝑑
𝜃 (𝑡) = 0,01
𝑑𝑡 𝑠
𝑡
𝑑
𝜃𝑠 (𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 0,01 𝑑𝑡 ⇒
𝑑𝑡
0
𝜃𝑠 (𝑡) − 𝜃𝑠 (0) = 0,01. 𝑡 ⇒ 𝜃𝑠 (𝑡) = 0,01. 𝑡
Sendo assim, podemos representar 𝜃𝑆 (𝑡) segundo Figura 9.4 Problema de alinhamento entre satélite e antena.
a Figura 9.4 (b).
Note que 𝜃𝑠 (𝑡) é uma entrada do tipo rampa. O diagrama de blocos do sistema
posicionador é apresentado na Figura 9.5.
Figura 9.5 Diagrama de blocos do sistema posicionador.
157
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 9.6 Sinal de saída seguindo entrada de referência
rampa.
9.2
O rastreamento apresentado no
Exemplo 9.2 pode ser ilustrado no gráfico da
Figura 9.6, onde a saída 𝜃𝐴 (𝑡) busca a
referência 𝜃𝑠 (𝑡), ou seja: 𝑒(𝑡) = 𝜃𝑠 (𝑡) −
𝜃𝐴 (𝑡) = 0 quando 𝑡 → ∞.
Este é um exemplo de sistema que deve
ter pequeno erro de regime permanente para
uma entrada tipo rampa.
A
seguir
mostraremos
algumas
condições necessárias de 𝐷(𝑠) e 𝐺(𝑠) para que
essas especificações de erros de regime
permanente sejam atendidas.
Análise de Erros de Regime Permanente
Nos Exemplos 9.1 e 9.2, o sistema de controle é do tipo cujo diagrama de blocos é
apresentado na Figura 9.7.
Figura 9.7 Diagrama de blocos de sistema de controle padrão para análise do erro de regime permanente.
Para determinar o erro de regime permanente para uma determinada entrada,
descreveremos o erro 𝐸(𝑠) em função de 𝑈(𝑠) utilizando as regras de diagrama de blocos:
𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝑌(𝑠)
(9.2)
𝑌(𝑠) = 𝐷(𝑠) ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐸(𝑠)
(9.3)
Mas, também pelo diagrama da Figura 9.7, temos:
Logo, substituindo (9.3) em (9.2):
𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠) − 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)𝐸(𝑠) ⇒
𝐸(𝑠) + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)𝐸(𝑠) = 𝑈(𝑠) ⇒
𝐸(𝑠)[1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)] = 𝑈(𝑠) ⇒
𝐸(𝑠) =
1
∙ 𝑈(𝑠)
1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
(9.4)
Para determinar o erro no regime permanente (𝑡 → ∞), aplica-se o teorema do valor
final (T.V.F.) a (9.4):
158
CAPÍTULO 9 – Erro de Regime Permanente
𝑒(+∞) = lim 𝑠 ∙ 𝐸(𝑠)
(9.5)
𝑠→0
Porém, para aplicarmos o T.V.F, os polos de 𝑠 ∙ 𝐸(𝑠) deverão ter parte real menor
que zero. Entretanto, observe que a F.T.M.F. do diagrama da Figura 9.7
𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
𝑌(𝑠)
(9.6)
=
,
𝑈(𝑠) 1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
que possui os mesmos polos de
𝐸(𝑠)
𝑈(𝑠)
. Portanto pode-se aplicar o T.V.F. se for verificado que
o sistema realimentado é estável e a entrada é do tipo degrau. Assim, por (9.5) e (9.4):
𝑒(+∞) = lim 𝑠. 𝐸(𝑠) = lim 𝑠. (
𝑠→0
𝑠→0
1
supondo entrada degrau, ou seja, 𝑈(𝑠) = .
𝑠
1
. 𝑈(𝑠))
1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
(9.7)
Vamos analisar 𝑒(+∞) para três tipos de entrada: degrau, rampa e parábola.
a) Entrada degrau
Neste caso,
𝑈(𝑠) =
Substituindo (9.8) em (9.7), tem-se
Então,
𝐴
𝑠
(9.8)
𝐴
1
∙ )
𝑒(+∞) = lim 𝑠. 𝐸(𝑠) = lim 𝑠 ∙ (
𝑠→0
𝑠→0
1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) 𝑠
𝐴
𝐴
=
𝑠→0 1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
1 + lim 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
𝑒(+∞) = lim
(9.9)
𝑠→0
Sabemos que, genericamente, 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) é uma razão entre dois polinômios de
variável 𝑠, ou seja:
∏𝑚
𝑖=1(𝑠 + 𝑧𝑖 )
𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) = 𝑛
(9.10)
∏𝑗=1(𝑠 + 𝑝𝑗 )
Sendo assim, analisaremos os subcasos envolvendo, ou não, a presença de polos na
origem de 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠).
a1) Se 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) não possuir polos na origem, ou seja, 𝑝𝑗 ≠ 0, 𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛, então:
lim 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) = 𝑘𝑃
𝑠→0
(9.11)
Substituindo (9.11) em (9.9) temos:
𝑒(+∞) =
159
𝐴
≠0
1 + 𝑘𝑃
(9.12)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Portanto o erro de regime permanente não será nulo.
a2) Se 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) possuir um polo na origem, ou seja, 𝑃1 = 0, então
𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) =
𝑚
∏𝑖=1(𝑠 + 𝑧𝑖 )
∏𝑛𝑗=1(𝑠 + 𝑝𝑗 )
, 𝑧𝑖 e 𝑝𝑗 ≠ 0
(9.13)
Obs.: é suposto que também não exista nenhum zero na origem do plano 𝒔.
Neste caso, temos:
(9.14)
lim 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) = +∞
𝑠→0
Substituindo (9.14) em (9.9) temos
𝐴
𝑒(+∞) =
=0
1 + 𝑘𝑃
(9.15)
portanto, o erro de regime será nulo.
Uma interpretação dos resultados obtidos em a1) e a2) é apresentada na Figura 9.8.
Figura 9.8 Interpretação do erro de regime permanente considerando entrada degrau: sem polo na origem (a) em D(s)G(s);
com um polo na origem (b) em D(s)G(s)
b) Entrada rampa
Neste caso,
𝑈(s) =
Substituindo (9.16) em (9.9), tem-se
A
s2
(9.16)
A
1
∙ 2)
𝑒(+∞) = lim 𝑠 ∙ (
(9.17)
𝑠→0
1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) s
Para todas as deduções mostradas a seguir, supõe-se que 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) não tenha zeros
na origem do plano-s, ou seja, 𝑧𝑖 ≠ 0 em (9.10).
b1) Se 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) não possuir polos na origem, ou seja, 𝑃𝑗 ≠ 0, 𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 em (9.10)
então o denominador de 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) não cancelará o ‘𝑠’ que restará no denominador de
(9.17). Assim não pode-se aplicar o T.V.F. pois
160
CAPÍTULO 9 – Erro de Regime Permanente
𝑠 ∙ 𝐸(𝑠) = 𝑠 ∙
1
A
1
A
∙ 2=
∙
1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) s
1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) s
possui um polo instável: 𝑠 = 0.
Assim, para encontrar 𝑒(+∞) expande-se 𝐸(𝑠) em frações parciais:
1
𝐴1 𝐴2
𝐸(𝑠) =
∙= 2 +
+ 𝐻(𝑠)
1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
𝑠
𝑠
(9.18)
(9.19)
𝐴
Neste caso ℒ −1 { 𝑠21 } = 𝐴1 𝑡, que é uma rampa logo, 𝑒(𝑡) → ∞ para 𝑡 → ∞.
Na Figura 9.9 apresentamos uma interpretação do resultado obtido acima.
Figura 9.9 Interpretação do erro de regime permanente considerando entrada rampa e sem polo na origem em D(s)G(s).
Para estudar os casos seguintes, vamos simplificar (9.17):
1
𝐴
𝐴
𝑒(+∞) = lim
. = lim
𝑠→0 [1 + 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)] 𝑠
𝑠→0 𝑠 + 𝑠𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
𝐴
∴ 𝑒(+∞) =
lim 𝑠𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
(9.20)
𝑠→0
b2) Se 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) possuir um polo na origem, ou seja: 𝑃1 = 0, então
𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) =
Neste caso temos:
𝑚
∏𝑖=1(𝑠 + 𝑧𝑖 )
𝑠. ∏𝑛𝑗=2(𝑠 + 𝑝𝑗 )
, 𝑧𝑖 e 𝑝𝑗 ≠ 0
lim 𝑠𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) = 𝑘𝑉
𝑠→0
(9.21)
Substituindo (9.21) em (9.20), obtemos:
𝐴
=0
(9.22)
𝑘𝑉
Portanto, o erro de regime permanente não será nulo e nem infinito. Na Figura 9.10
apresentamos uma interpretação do resultado acima.
𝑒(+∞) =
Figura 9.10 - Interpretação do erro de regime permanente considerando entrada rampa e com um polo na origem em
D(s)G(s).
161
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
b3) Se 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) possuir dois polos na origem, ou seja, 𝑃1 = 0 e 𝑃2 = 0, então:
𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) =
Neste caso temos;
𝑚
∏𝑖=1(𝑠 + 𝑧𝑖 )
𝑠 2 . ∏𝑛𝑗=3(𝑠 + 𝑝𝑗 )
, 𝑧𝑖 e 𝑝𝑗 ≠ 0
lim 𝑠𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) = +∞
𝑠→0
(9.23)
Substituindo (9.23) em (9.20):
𝐴
≠0
𝑘𝑉
Assim, concluímos que o erro de regime permanente será nulo, como ilustra a Figura
𝑒(+∞) =
9.11.
Figura 9.11 - Interpretação do erro de regime permanente considerando entrada rampa e com dois polos na origem em
D(s)G(s).
c) Entrada tipo parábola:
c1) Se 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) não possuir polos na origem, então:
𝑒(+∞) → ∞
c2) Se 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) possuir um polo na origem, então:
𝑒(+∞) → ∞
c3) Se 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) possuir dois polos na origem, então:
𝐴
≠ 0,
𝑘𝐴 = lim 𝑠 2 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠)
𝑒(+∞) =
𝑠→0
𝑘𝐴
c4) Se 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) possuir três polos na origem, então:
𝑒(+∞) = 0
Exercícios
9.1.
Mostre que se 𝐷(𝑠) ∙ 𝐺(𝑠) tiver 2 ou mais polos na origem do plano-s, o erro de
regime também será nulo para uma entrada degrau.
9.2.
Mostre que se 𝐷(𝑠) ∙ 𝐺(𝑠) tiver 3 ou mais polos na origem do plano-s, o erro
de regime também será nulo para uma entrada rampa.
9.3.
Deduza os resultados para entrada tipo parábola.
162
CAPÍTULO 9 – Erro de Regime Permanente
Os resultados obtidos podem ser resumidos na Tabela 9.1.
Tabela 9.1 - Erros de regime permanente.
Nº de polos na
origem
0
1
Degrau
𝑨
𝑼(𝒔) =
𝒔
𝐴
1 + 𝑘𝑃
0
2
0
≥3
0
Rampa
𝑨
𝑼(𝒔) = 𝟐
𝒔
∞
𝐴
𝑘𝑉
0
0
Parábola
𝑨
𝑼(𝒔) = 𝟑
𝒔
∞
∞
𝐴
𝑘𝐴
0
Sendo: 𝑘𝑃 = lim 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠), 𝑘𝑉 = lim 𝑠 ∙ 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) e 𝑘𝐴 = lim 𝑠 2 ∙ 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠).
𝑠→0
𝑠→0
𝑠→0
Observações
1. Foi suposto que 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) não possui zeros na origem do plano-𝑠. Caso 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) tenha
zero na origem, então efetuar primeiramente o possível cancelamento com os polos de
𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) na origem e então depois aplicar a tabela acima.
2. Inicialmente, foi suposto que o sistema
fosse estável para que se pudesse aplicar o T.V.F., portanto esta tabela só é válida se o
sistema de malha fechada for estável.
3. Foi suposto que o sistema realimentado tivesse realimentação unitária, sensor com
ganho unitário. Se isto não ocorrer, a tabela acima não é válida.
Exemplo 9.3: Considere o sistema de controle da antena rastreadora de satélite que foi
apresentado na Figura 9.5. Sendo
1
𝐺(𝑠) = 2
,
𝐽𝑠 + 𝐵𝑠
quantos polos na origem o controlador 𝐷(𝑠) deverá possuir para que o erro de regime
permanente entre 𝜃𝐴 (𝑡) e 𝜃𝑆 (𝑡) seja nulo para uma entrada tipo rampa?
Solução: Segundo a Tabela 9.1, o erro de regime será nulo para uma entrada tipo rampa
se o número de polos de 𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) na origem for igual a 2, no mínimo.
163
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Temos:
𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) = 𝐷(𝑠).
𝐽𝑠 2
1
1
= 𝐷(𝑠).
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵)
+ 𝐵𝑠
1 polo na
origem
Assim, concluímos que 𝐷(𝑠) deverá ter um polo na origem para que o erro de
regime seja nulo.
Exercícios
9.4. O sistema de controle do braço mecânico da linha de montagem de circuito impresso
é representado pelo diagrama da Figura 9.12.
Figura 9.12 Diagrama para o Exercício 9.4.
a) Determine a faixa de 𝐾 para que seja estável.
b) Este sistema tem erro de regime permanente
nulo para entrada degrau?
c) Calcule o valor de 𝐾 para que o erro em
regime permanente para entrada rampa seja menor
que 1mm (não há necessidade que o erro seja nulo).
Considere que a entrada rampa 𝑢(𝑡) tenha a forma
apresentada na Figura 9.13.
d) Utilize o MATLAB para verificar os
resultados dos itens a, b, c, simulando o sistema.
Figura 9.13 Sinal de entrada para o Exercício
9.4.
9.5. Considerando o sistema da Figura 9.14, calcule o erro de regime permanente para
entrada degrau unitário e para entrada rampa de inclinação unitária.
Figura 9.14 Diagrama para o Exercício 9.5.
164
CAPÍTULO 9 – Erro de Regime Permanente
9.6. Considerando o sistema da Figura 9.15, determine o erro de regime permanente
para uma entrada degrau unitário e para rampa unitária.
Figura 9.15 Diagrama para o Exercício 9.6.
9.7. Projete 𝐷(𝑠) tal que o sistema de controle de posição do veículo explorador de Marte
(abordado na Pág. 126) tenha erro de regime permanente nulo para entrada degrau
e seja estável:
Figura 9.16 Diagrama para o Exercício 9.7.
165
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
10
10 Sinais de Perturbação em Sistemas de Controle
SINAIS DE PERTURBAÇÃO EM
SISTEMAS DE CONTROLE
Neste Capítulo...
Em muitas ocasiões,
entradas indesejadas
chamadas distúrbios
atuam sobre sistemas
dinâmicos influenciando
no comportamento de
sua saída. A exemplo
disto, a ação do vento
sobre o refletor de uma
antena rastreadora de
satélite provoca desvios
indesejados em sua
posição angular.
Seria muito interessante
se a influência do
distúrbio na saída do
sistema pudesse ser
minimizada ou até
mesmo eliminada. O
projeto de sistemas de
controle tem se
mostrado como uma
saída muito eficiente
para este típico problema
prático. Vejamos, neste
capítulo, como isto
funciona.
National Aeronautics and Space Administration (NASA)
Entrada Distúrbio
Veremos que existem situações nas quais sinais indesejados, chamados
distúrbios, atuam sobre o sistema, interferindo em seu funcionamento.
Estudaremos maneiras de se minimizar o impacto de sinais de
distúrbio na saída de um sistema através do projeto de controladores.
CAPÍTULO 10 – Sinais de Perturbação em Sistemas de Controle
10.1
Sinais de Perturbação
Um sinal de perturbação é um sinal de entrada indesejável que afeta a saída do
sistema (DORF). Muitos sistemas de controle são submetidos a sinais de perturbação
externos que fazem com que o sistema forneça uma saída inexata.
Por exemplo, os amplificadores operacionais possuem ruído inerente, gerado no
interior dos circuitos integrados ou dos transistores; as antenas de radar são submetidas
às rajadas de ventos, que atrapalha o seu alinhamento com satélites, etc.
A implementação de um sistema de controle com realimentação é uma estratégia
que pode reduzir os efeitos de perturbação ou ruídos indesejáveis.
Exemplo 10.1: Considere a antena rastreadora de satélite da Figura 10.1. A posição 𝜃(𝑡)
da antena é ajustada através de um motor que provoca a rotação do refletor. A antena está
sujeita a ação do vento, e existe atrito entre o mancal e o eixo de rotação do refletor
Neste caso, tem-se presente na antena o
torque do motor (𝑇𝑚 (𝑡)) que aciona o giro da
antena, o torque de atrito (𝑇𝑎 (𝑡)) do eixo da
antena e o torque devido à ação do vento 𝑇𝑣 (𝑡) na
parte superior da antena.
Seja 𝐽 o momento de inércia da antena em
torno ao eixo e 𝐵 o coeficiente de atrito temos:
Figura 10.1 Representação da ação do vento em
uma antena rastreadora de satélite.
∑ torques = 𝐽 ∙ 𝜃̈ (𝑡)
(10.1)
𝑇𝑚 (𝑡) − 𝑇𝑎 (𝑡) − 𝑇𝑣 (𝑡) = 𝐽 ∙ 𝜃̈(𝑡)
(10.2)
Assim, para o exemplo em questão e
considerando os sentidos de atuação dos torques
na Figura 10.1, temos:
Mas, sendo o torque de atrito proporcional a velocidade angular de rotação da
antena, isto é 𝑇𝑎 (𝑡) = 𝐵 𝜃̇ (𝑡), então:
𝑇𝑚 (𝑡) − 𝐵 𝜃̇(𝑡) − 𝑇𝑣 (𝑡) = 𝐽 ∙ 𝜃̈(𝑡)
(10.3)
Aplicando-se a Transformada de Laplace em (10.3), supondo condições iniciais
nulas, tem-se:
𝑇𝑚 (𝑠) − 𝑠𝐵𝜃(𝑠) − 𝑇𝑣 (𝑠) = 𝐽𝑠 2 ∙ 𝜃(𝑠)
(10.4)
Ainda, separando os termos referentes ao torque dos referentes à posição angular:
𝑇𝑚 (𝑠) − 𝑇𝑣 (𝑠) = (𝐽𝑠 2 + 𝑠𝐵)𝜃(𝑠)
167
(10.5)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Por fim, isolando 𝜃(𝑠) em (10.5):
𝜃(𝑠) =
1
[𝑇 (𝑠) − 𝑇𝑣 (𝑠)]
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵) 𝑚
(10.6)
O diagrama de blocos que representa este sistema é apresentado na Figura 10.2.
Figura 10.2 Diagrama de blocos do sistema antena rastreadora sob ação de distúrbio.
Neste caso, o torque do vento é chamado de distúrbio, pois ele atrapalha o controle
da posição angular (𝜃(𝑠)) da antena realizada pelo torque do motor (𝑇𝑚 (𝑠)).
Assim, um projeto de controle eficiente deverá levar em consideração a atuação do
distúrbio para que o sistema apresente um comportamento adequado. A Figura 10.3
apresenta o diagrama de blocos de tal sistema de controle com realimentação.
Figura 10.3 Diagrama de blocos do sistema de controle para a antena rastreadora sob ação de distúrbio.
Note que agora o sistema tem duas entradas, sendo elas a referência 𝜃(𝑠)
(desejada) e 𝑇𝑣 (𝑠), que é o distúrbio provindo do vento (indesejável). A função de
transferência entre a saída (𝜃(𝑠)) e as duas entradas 𝜃𝑠 (𝑠) e 𝑇𝑣 (𝑠) é dada por
Porém,
𝜃 (𝑠 ) =
1
[𝑇 (𝑠) − 𝑇𝑣 (𝑠)]
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵) 𝑚
𝑇𝑚 (𝑠) = 𝑘(𝜃𝑠 (𝑠) − 𝜃(𝑠))
(10.7)
(10.8)
Substituindo (10.8) em (10.7), tem-se:
𝜃(𝑠) =
1
[𝑘(𝜃𝑠 (𝑠) − 𝜃(𝑠)) − 𝑇𝑣 (𝑠)]
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵)
(10.9)
168
CAPÍTULO 10 – Sinais de Perturbação em Sistemas de Controle
Ou ainda:
Então, obtém-se:
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵)𝜃(𝑠) + 𝑘𝜃(𝑠) = 𝑘𝜃𝑠 (𝑠) − 𝑇𝑣 (𝑠),
𝜃(𝑠) =
𝑘
1
𝜃𝑠 (𝑠) −
𝑇 (𝑠)
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵) + 𝑘
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵) + 𝑘 𝑣
Concluímos, assim, que este sistema tem duas funções de transferência, uma de
𝜃𝑠 (𝑠) para 𝜃(𝑠) e outra de 𝑇𝑣 (𝑠)para 𝜃(𝑠), isto é:
Sendo
𝜃(𝑠) = 𝐺1 (𝑠)𝜃𝑠 (𝑠) + 𝐺2 (𝑠)𝑇𝑣 (𝑠)
𝐺1 (𝑠) =
𝐺2 (𝑠) =
𝑘
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵) + 𝑘
−1
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵) + 𝑘
(10.10)
(10.11)
(10.12)
(10.13-a)
(10.13-b)
No projeto do controlador 𝑘, para que a perturbação 𝑇𝑣 (𝑠) influencie o mínimo
possível na saída 𝜃(𝑠), faz 𝑘 suficientemente grande e ainda, deve garantir a estabilidade
do sistema.
Para que 𝜃(𝑠) rastreie 𝜃𝑠 (𝑠), sendo 𝜃𝑠 (𝑠) uma entrada rampa, deseja-se que o erro
de regime seja o menor possível. Usando-se a Tabela 9.1, tem-se:
𝑒(+∞) =
𝐴
,
𝐾𝑉
(10.14)
pois o sistema de malha aberta tem apenas um polo na origem, sendo
Logo:
𝐾𝑉 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝐷(𝑠)𝐺(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑘
𝑠→0
𝑠→0
𝑒(+∞) =
𝑘
1
=
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵) 𝐵
𝐴. 𝐵
𝑘
(10.15)
Assim, para que o erro de regime seja pequeno, 𝑘 tem que ser suficientemente
grande. Desta forma, valor grande de 𝑘 é adequado que este sistema possa rejeitar o
distúrbio e ter erro de regime pequeno.
Podemos, adicionalmente, verificar se o sistema é estável. Para este caso, analisamos
o denominador de 𝐺1 (𝑠) e 𝐺2 (𝑠):
𝐷(𝑠) = 𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵) + 𝑘 = 𝐽𝑠 2 + 𝐵𝑠 + 𝑘
169
(10.16)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz:
1ºpasso: 𝐷(𝑠) = 𝐽𝑠 2 + 𝐵𝑠 + 𝑘
2ºpasso: como 𝐽 e 𝐵 são positivos então é necessário que: 𝑘 > 0
3ºpasso:
𝐽
𝑘
𝑠2
1
𝐵
0
𝑠
𝑠0
𝑘
⇒𝑘>0
Logo, basta que 𝑘 seja positivo para a estabilidade.
O projeto do controlador para rejeição do ruído (ou perturbação) pode ser feito
supondo que o distúrbio seja do tipo degrau e então analisa-se o valor de regime
permanente de saída 𝑦(+∞).
Suponha que o vento seja uma entrada tipo degrau:
1
𝑇𝑣 =
𝑠
1
Então, 𝜃(𝑠) = 𝐺2 (𝑠) ∙ 𝑇𝑣 (𝑠) = 𝐺2 (𝑠) ∙
𝑠
No regime permanente:
𝜃(𝑡)|𝑡→∞ = lim 𝑠.
𝑠→0
1
∴ |𝜃(𝑡)|𝑡→∞ = |− |, logo 𝑘 deve ser grande.
𝑘
(−1)
1
.
𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵) + 𝑘 𝑠
Exemplo 10.2: Foi construído um túnel sob o Canal da Macha, ligando a Inglaterra à
França (Dorf, 2ºed.). Duas máquinas perfuratrizes foram usadas, saindo ambas das
extremidades do canal, indo em direção ao centro, um total de 23,5 milhas. Para obter a
precisão necessária para o encontro delas no meio do túnel foi montado um sistema de
orientação a laser, um modelo do controle das máquinas é dado conforme a Figura 10.4.
Figura 10.4 Sistema de controle das máquinas perfuratrizes.
sendo 𝐷(𝑠) o efeito de carga sobre a máquina, que é um distúrbio.
Neste caso tem-se
𝑌(𝑠) =
𝑘 + 11𝑠
1
∙
𝑅(𝑠)
+
∙ 𝐷(𝑠)
𝑠 2 + 12𝑠 + 𝑘
𝑠 2 + 12𝑠 + 𝑘
(10.17)
Para projetar 𝑘 tal que ocorra rejeição do distúrbio 𝐷(𝑠) fez-se 𝑅(𝑠) = 0 em (10.17)
e 𝐷(𝑠) uma entrada tipo degrau, obtendo:
170
CAPÍTULO 10 – Sinais de Perturbação em Sistemas de Controle
1
1
∙
+ 12𝑠 + 𝑘 𝑠
Assim, o valor de regime permanente da saída é:
𝑌(𝑠) =
𝑠2
𝑦(+∞) = lim 𝑠𝑌(𝑠) = lim 𝑠.
𝑠→0
𝑠→0
𝑠2
1
1
.
+ 12𝑠 + 𝑘 𝑠
1
𝑘
Então, é necessário que 𝑘 seja grande para que a saída 𝑦(+∞) seja pequeno,
rejeitando a perturbação.
É necessário também que o sistema 𝑠 2 + 12𝑠 + 𝑘 tenha raízes do lado esquerdo do
plano-𝑠. Logo, para verificar a estabilidade, utilizamos o critério de Routh-Hurwitz:
𝑦(+∞) =
1º passo: 𝐷(𝑠) = 𝑠 2 + 12𝑠 + 𝑘
2º passo: 𝑘 > 0
3ºpasso:
1
𝑠2
1
12
𝑠
𝑠0
𝑘
𝑘
0
⇒𝑘>0
Portanto é necessário que 𝑘 > 0.
Em Dorf. (2ºed.), seleciona-se 𝑘 = 20 para uma boa rejeição de ruído 𝐷(𝑠)
(Perturbação).
Exercícios
10.1. Considere o veículo explorador de Marte abordado no Capítulo 8. O modelo do
sistema considerando-se perturbações no seu deslocamento, tais como pedras, é
apresentado na Figura 10.5.
Figura 10.5 Diagrama de blocos do sistema de controle e rejeição de distúrbio do veículo explorador de Marte.
Projete 𝑘 tal que o sistema seja estável e tenha uma boa rejeição do distúrbio 𝐷(𝑠).
10.2. O telescópio Hubble tem um sistema de posicionamento preciso, pois pode
focalizar uma moeda a uma distância de 400 milhas (Dorf. 8ºed.). O diagrama que
ilustra o sistema de controle deste sistema é apresentado na Figura 10.6.
171
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 10.6 Diagrama do sistema telescópio Hubble.
Projete o amplificador 𝑘 tal que sejam atendidos todos os itens baixo:
a) Seja estável;
b) 𝑃𝑂% ≤ 10%, sendo 𝑅(𝑠) um degrau;
c) Erro de regime permanente, para 𝑅(𝑠) uma entrada rampa, menor possível;
d) O efeito de uma perturbação 𝐷(𝑠) do tipo degrau seja reduzida.
10.3. Suponha que o sistema de controle da Figura 10.7 sofra ação de um sinal de
distúrbio 𝐷(𝑠). Projete 𝑘 tal que o sistema tenha a menor influência do distúrbio, em
relação à saída 𝑌(𝑠) e, ainda, tenha erro de regime permanente nulo para entrada
degrau em 𝑅(𝑠).
Figura 10.7 Sistema de controle para o Exercício 10.3.
172
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
CAPÍTULO
11
MÉTODO DO LUGAR
11 Método do Lugar das Raízes
DAS RAÍZES
Neste Capítulo...
Em 1953, Walter Richard
Evans desenvolveu um
importante método
dentro da teoria de
controle clássico para o
estudo da estabilidade de
sistemas e projeto de
controladores: o método
root-locus.
Utilizando esta técnica é
possível, por exemplo,
projetar controladores
para um complexo
sistema chamado Ball
Balancer. Aqui, a
inclinação ordenada da
placa sob a qual são
montados dois
servomotores pode fazer
com que uma esfera seja
equilibrada e realize
diversas trajetórias sobre
a mesma. O LPC possui
um modelo deste equipamento, e este curso
propõe o desafio ao
aluno de realizar tal
projeto de controladores
com os conceitos apresentados neste capítulo.
Estudaremos o método do lugar das raízes ou root-locus. Veremos que
com este método podemos realizar o estudo da estabilidade de
sistemas dinâmicos e o projeto de controladores.
LPC – Laboratório de Pesquisa em Controle. Equipamento Quanser®.
Ball Balancer
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
11.1
Definição de Root-Locus
O método do lugar das Raízes foi criado por R. Evans em 1953. Tal método permite
estudar a evolução das raízes de uma equação quando um parâmetro é variado
continuamente. Com a escolha adequada desse parâmetro podemos fornecer a um dado
sistema um comportamento dinâmico desejado.
As funções de transferência de sistemas contínuos e discretos são funções
complexas, ou seja, funções que possuem variáveis complexas: 𝑠 ou 𝑧, respectivamente.
Por consequência, as regras do método do lugar das raízes são as mesmas para as duas
classes de sistemas.
O princípio do método está baseado na realimentação mostrada na Figura 11.1.
Figura 11.1 Diagrama de Blocos do Sistema Realimentado.
Neste ponto, queremos determinar a influência do ganho 𝐾 (0 < 𝐾 < +∞) sobre os
polos do sistema em malha fechada. Com os conhecimentos adquiridos até aqui, podemos
constatar que a função de transferência de malha fechada do sistema da figura acima é
dada por
𝑌(𝑠)
𝐾 ∙ 𝐺(𝑠)
=
𝑈(𝑠) 1 + 𝐾 ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠)
(11.1)
A ideia é estabelecer regras simples para traçar o lugar geométrico formado pelas
raízes de 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) quando 𝐾 variar de 0 a +∞, sem o conhecimento explícito das
raízes de malha fechada. Isto é, iremos estudar a equação:
1 + 𝐾 ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝐾 < +∞
(11.2)
cuja soluções são os polos de malha fechada do sistema da Figura 11.1.
Ilustremos este pensamento através do Exemplo 11.1.
Exemplo 11.1 Considere um acionador de disco rígido mostrado na Figura 11.2, retirado
de Dorf (8ª. Ed.). O objetivo do dispositivo leitor do acionador de disco é posicionar o
cabeçote de leitura das trilhas de dados armazenados. Para tanto, deve-se controlar com
precisão a posição angular do cabeçote. Segundo Dorf, o disco gira com uma velocidade
entre 1.800 e 7.200 rpm, e a cabeça “voa” acima do disco a uma distância menor que
100nm. A especificação de projeto é que o cabeçote vá da trilha A para a trilha B em
50ms.
174
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Figura 11.2 Sistema de um acionador de disco rígido.
O sistema de malha fechada deste sistema posicionador do cabeçote apresentado na
Figura 11.3.
Figura 11.3 Diagrama de blocos do sistema acionador de disco rígido.
Em Dorf, é admitido que o sensor possui função de transferência 𝐻(𝑠) = 1 e a função
de transferência do motor e cabeçote é
𝐺(𝑠) =
𝐾𝑚
𝑠(𝐽𝑠 + 𝑏)(𝐿𝑠 + 𝑅)
sendo 𝐽 momento de inércia, 𝑏 coeficiente de atrito viscoso, 𝐿 indutância do motor, 𝑅
resistência elétrica e 𝐾𝑚 a constante de torque do motor.
Admitindo que a constante elétrica do motor é desprezada (𝐿 ≈ 0) e substituindo os
valores de 𝐽, 𝐵, 𝑅 e 𝐾𝑚 , apresentados em Dorf, tem-se:
𝐺(𝑠) =
175
5
𝑠(𝑠 + 20)
(11.3)
(11.4)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Podemos verificar que a posição dos polos de malha fechada do sistema
realimentado depende do valor de 𝐾𝑎 . Desejamos estudar os polos de malha fechada
quando 𝐾𝑎 assume os valores 𝐾𝑎 = 0 até 𝐾𝑎 → +∞. Vamos desenhar o root-locus do
sistema calculando-se as raízes do denominador da função de transferência de malha
fechada (F.T.M.F.), para cada valor de 𝐾𝑎 .
Figura 11.4 Diagrama de blocos do sistema acionador de disco rígido atualizado com valores.
Considerando o diagrama atualizado, mostrado na Figura 11.4, temos
5
𝐾𝑎 ∙
5𝐾𝑎
𝑌(𝑠)
𝑠(𝑠 + 20)
=
= 2
5
𝑠 + 20𝑠 + 5𝐾𝑎
𝑈(𝑠) 1 + 𝐾 ∙
𝑎 𝑠(𝑠 + 20)
(11.5)
Assim, os polos de malha fechada são dados por:
−20 ± √202 − 4 ∙ 5 ∙ 𝐾𝑎
𝑠1,2 =
= −10 ± √100 − 5 ∙ 𝐾𝑎
2
(11.6)
Variando-se o valor de 𝐾𝑎 a partir de 0 até ∞, é possível montar a Tabela 11.1 com
os valores dos polos 𝑠1,2 em função de 𝐾𝑎 .
Tabela 11.1 Valores dos polos do sistema em função do parâmetro 𝐾𝑎 .
𝑲𝒂
0
1
5
10
20
30
60
→ +∞
𝒔𝟏
-20
-19,75
-18,66
-17,07
-10
-10+j7,07
-10+j14,14
-10+𝑗∞
𝒔𝟐
0
-0,25
-1,34
-2,93
-10
-10-j7,07
-10-j14,14
-10- 𝑗∞
E, a partir das informações da Tabela 11.1, podemos então traçar o root-locus do
sistema acionador de disco rígido, conforme mostra a Figura 11.5.
O lugar geométrico representado pelo traçado laranja na Figura 11.5 é o lugar
geométrico das raízes da F.T.M.F., chamado de root-locus. Veja que com a análise realizada
pode-se determinar o lugar geométrico que os polos de malha fechada do sistema
realimentado ocupam a medida em que 𝐾𝑎 variar de 0 a +∞ .
176
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Figura 11.5 Lugar das raízes do sistema acionador de disco rígido.
Em bora tenhamos obtido êxito, é fácil notar que esta abordagem é bastante
trabalhosa e pode se tornar impraticável para casos mais complexos. Felizmente, existe
na literatura uma metodologia prática muito consolidada para a obtenção do lugar das
raízes de um sistema.
11.2
As regras do Root-Locus
Richard Evans propôs um método genérico para levantar estes lugares geométricos,
baseado em algumas regras simples. Assim, torna-se possível conhecer o root-locus de um
sistema sem a necessidade de determinar analiticamente as suas raízes.
Regra Nº1 – Os ramos do root-locus começam nos polos de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠), nos quais 𝐾 = 0. Os
ramos terminam nos zeros de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠), inclusive zeros no infinito. O número de “zeros no
infinito” é igual a
𝑁𝑧∞ = 𝑁𝑝 − 𝑁𝑧
sendo 𝑁𝑝 o nº de polos de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) e 𝑁𝑧 o nº de zeros de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠).
Exemplo 11.2: Suponha que no sistema da Figura 11.1, G(s) e H(s) são dados por
𝐺(𝑠) =
177
𝑠+2
𝑠+5
𝑒 𝐻(𝑠) =
2
𝑠
𝑠+4
(11.7)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Sendo assim, as raízes de 1 + 𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) serão determinadas fazendo:
Ou ainda:
1+𝐾∙
(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)
=0
𝑠 2 (𝑠 + 4)
𝑠 2 (𝑠 + 4) + 𝐾(𝑠 + 2)(𝑠 + 5) = 0
(11.8)
(11.9)
A partir de (11.9), analisemos duas circunstâncias distintas:
i – K=0. Neste caso, a equação (11.9) assume a forma:
Logo: 𝒔𝟏 = 𝒔𝟐 = 𝟎 𝒆 𝒔𝟑 = −𝟒
𝑠 2 (𝑠 + 4) = 0
(11.10)
Note que esses são os polos de G(s)H(s).
ii – Se K→+∞. Para analisar este intervalo, vamos reescrever (11.9) como:
𝐾=
𝑠 2 (𝑠 + 4)
(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)
(11.11)
Assim, a medida que K→+∞, o lado direito de (11.11) tende à +∞ se, e somente se:
𝑠 → −2 (𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎),
𝑠 → −5 (𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎)
𝑜𝑢
𝑠 → −∞
Com isto, temos que s1=-2 e s2=-5 são os zeros de 𝑮(𝒔)𝑯(𝒔) e 𝑠 → −∞ é um “zero
no infinito”.
Ou seja, para este sistema, teremos: 𝑁𝑝 = 3 e 𝑁𝑧 = 2
Logo:
𝑵𝒛∞ = 𝟑 − 𝟐 = 𝟏
Regra Nº2 – As regiões do eixo real à esquerda de um número ímpar de polos mais zeros de
𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) pertencem ao “root-locus”.
Exemplo 11.3: Considerando-se os valores do exemplo anterior teremos
𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 𝐾 ∙
(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)
𝑠 2 (𝑠 + 4)
Assim, os zeros são: 𝑧1 = −2 e 𝑧2 = −5, ao passo que os polos são: 𝑃1 = 𝑃2 = 0 e
𝑃3 = −4.
178
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Como já vimos, os polos são representados por “X” e os zeros por “O” no plano
imaginário. Assim, aplicação da regra 2 neste caso teremos o root-locus da Figura 11.6.
Figura 11.6 Aplicação da Regra Nº2 ao Exemplo 11.3.
Esta regra é facilmente obtida verificando-se a condição de ângulo da equação
1 + 𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 0, que pode ser reescrita na forma:
𝐾 ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠) = −1,
𝐾>0
Para que esta equação seja verdadeira, a condição de ângulo impõe que:
⌊𝐾 ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠) = ⌊−1 = (2𝑖 + 1) ∙ 180°,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0, ±1, ±2, …
Observações
A condição de ângulo da equação característica do root-locus é
⌊𝐾 ∙ 𝐺(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠) = ⌊−1 = 1
Na Figura 11.6, 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) é avaliada em um ponto 𝑠 = 𝑠𝑜 através do uso de vetores que
unem cada polo e cada zero ao ponto so em H(s) G(s). Vamos ilustrar com um exemplo
numérico:
Seja 𝐻(𝑠)𝐺(𝑠) =
𝑠+3
𝑠+8
e assuma que queiramos avaliar 𝐻(𝑠)𝐺(𝑠)|𝑠=𝑠𝑜 :
Neste caso,
𝐻(𝑠𝑜 )𝐺(𝑠𝑜 ) =
179
𝑠𝑜 + 3
⟹ ⌊𝐻(𝑠𝑜 )𝐺(𝑠𝑜 ) = ⌊𝑠𝑜 + 3 − ⌊𝑠𝑜 + 8
𝑠𝑜 + 8
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Mas, (so+3) e (so+8) são os vetores x e y, respectivamente, mostrados abaixo:
Logo,
⌊𝐻(𝑠𝑜 )𝐺(𝑠𝑜 ) = 𝛼 − 𝛽
Se transladarmos x horizontalmente de -3 e y de -8 teremos
O que não muda os ângulos 𝛼 e 𝛽 e resulta nos vetores 𝑥′ e 𝑦′ que ligam o zero e polo de
G(s)H(s) ao ponto so.
Note que os módulos de x e y não mudam com a translação ou seja: |𝑥| = |𝑥 ′ | e |𝑦| = |𝑦 ′ |.
Regra Nº3 – Quando 𝐾 se aproxima de +∞, os ramos do root-locus que tendem a infinito
assintotam retas com inclinação
2𝑖 + 1
∙ 180°, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0, ±1, ±2, … , ± (𝑁𝑝 − 𝑁𝑧 − 1)
𝑁𝑝 − 𝑁𝑧
sendo 𝑁𝑝 o nº de polos de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) e 𝑁𝑧 o nº de zeros de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠).
Exemplo 11.4: Considere 𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾
. Logo, temos: 𝑁𝑝 = 3 e 𝑁𝑧 = 0. Assim,
𝑠(𝑠+1)(𝑠+4)
no plano complexo os polos terão representação segundo a Figura 11.4 (a).
180
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Figura 11.7 (a) Configuração de polos do sistema considerado; (b) Análise de ponto P distante dos polos.
Considerando, agora, um ponto 𝑃 que se distancia infinitamente dos polos
representados, podemos redesenhar a Figura 11.7(a) de acordo com a Figura 11.7(b).
Fazemos isto pois queremos analisar as características dos ramos do root-locus que vão
para infinito.
A condição para que o ponto 𝑃 pertença ao root-locus, é
⌊𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|
𝑠=𝑃
= (2𝑖 + 1) ∙ 180°,
𝑖 = 0, ±1, …
A medida que o ponto P tende a infinito, isto é 𝑃 → ∞, observa-se que 𝜃1 ≅ 𝜃2 ≅
𝜃3 ≅ 𝜃, logo:
⌊𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|
𝑠=𝑃→∞
= −𝜃1 − 𝜃2 − 𝜃3 = −3𝜃 = (2𝑖 + 1) ∙ 180°
Assim, o ângulo 𝜃 que descreve pode ser descrito por
𝜃=
(2𝑖 + 1) ∙ (−180°) (2𝑖 + 1) ∙ (180°)
=
3
3
Porém, neste caso, 𝑁𝑝 = 𝑁𝑧 = 3, então podemos escrever:
𝜃=
(2𝑖 + 1) ∙ (180°)
,
𝑁𝑝 − 𝑁𝑧
𝑖 = 0, ±1, …
Retornando ao exemplo considerado, os ângulos das assíntotas serão:
𝜃=
(2𝑖 + 1) ∙ (180°)
= (2𝑖 + 1) ∙ 60°,
3−0
Analisando possíveis casos para valores de 𝑖:
𝑖 = 0 ⇒ 𝜃 = 60°
{𝑖 = 1 ⇒ 𝜃 = 180°
𝑖 = 2 ⇒ 𝜃 = 300°
181
𝑖 = 0, ±1, …
𝑖 = −1 ⇒ 𝜃 = −60°
{𝑖 = −2 ⇒ 𝜃 = −180°
𝑖 = −3 ⇒ 𝜃 = −300°
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Porém, das relações trigonométricas, temos as seguintes equivalências:
180° = −180°
60° = −300°
−60° = 300°
Portanto, 𝜽𝟏 = 𝟔𝟎°, 𝜽𝟐 = −𝟔𝟎° 𝒆 𝜽𝟑 = 𝟏𝟖𝟎°.
Regra Nº4 – O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade (C.G.) da
configuração de polos e zeros de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠), ou seja:
𝐶𝐺 =
∑ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 − ∑ 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑁𝑝 − 𝑁𝑧
Exemplo 11.5: Para o sistema do Exemplo 11.4, onde 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
- 𝑵𝒑 = 𝟑 e 𝑵𝒛 = 𝟎;
- os polos são: 𝒑𝟏 = 𝟎, 𝒑𝟐 = −𝟏 𝒆 𝒑𝟑 = −𝟒;
- os zeros são: nenhum.
Logo, para conhecer o centro de gravidade
da referida configuração de polos e zeros,
fazemos:
𝐶𝐺 =
1
𝑠(𝑠+1)(𝑠+4)
, teremos:
∑ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 − ∑ 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 (0 − 1 − 4) − 0
5
=
=−
3−0
3
𝑁𝑝 − 𝑁𝑧
Então, os ramos do root-locus do sistema em
questão que tendem a infinito o farão
assintoticamente ás retas representadas na Figura
11.8.
Figura 11.8 Configuração das retas assíntotas dos
ramos que tendem a infinito do sistema considerado.
Regra Nº5 – Os pontos nos quais os ramos do root-locus deixam (entram) o (no) eixo real
são determinados a partir da relação
𝑑
−1
[(𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)) ] = 0
𝑑𝑠
Exemplo 11.6: No Exemplo 11.5 tínhamos:
Então, podemos obter
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
(𝐺(𝑠)𝐻(𝑠))
−1
1
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 4)
= 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 4) = 𝑠 3 + 5𝑠 2 + 4𝑠
182
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Logo, derivando a expressão com respeito a variável 𝑠, tem-se:
𝑑 3
𝑑
−1
(𝑠 + 5𝑠 2 + 4𝑠) = 3𝑠 2 + 10𝑠 + 4
[(𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)) ] =
𝑑𝑠
𝑑𝑠
cujas soluções são: 𝑠1 = −0,4648 e 𝑠2 = −2,8685
Dentre as raízes encontradas, apenas a raiz 𝑠1 tem sentido lógico, uma vez que a raiz
𝑠2 não pertence ao root-locus logo não pode ser considerado como um ponto de
partida/chegada.
Assim, combinando os resultados obtidos até então, um esboço do root-locus do
sistema é apresentado na Figura 11.9.
Figura 11.9 Root-locus do sistema considerado no Exemplo 11.6.
Regra Nº6 – Duas raízes deixam ou entram no eixo real com ângulos ±90° .
Regra Nº7 – O “root-locus” é simétrico em relação ao eixo real.
OBS: A Regra Nº7 decorre do fato de que as raízes de um polinômio de coeficientes reais
ou são reais ou pares complexos conjugados.
Regra Nº8 – O ganho 𝐾𝑝 associado a um ponto 𝑃 do root-locus pode ser obtido a partir da
relação
𝐾𝑝 =
183
1
|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)||
𝑠=𝑃
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Simples verificação: Considere a equação
que pode ser colocada na forma
1 + 𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 0
𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = −1
Pela condição de módulo, temos:
|𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = |−1|
Uma vez que 0 < 𝐾 < +∞, então podemos verificar que:
𝐾|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 1
Assim, para um dado ponto 𝑃 do root-locus, teremos:
𝐾𝑃 |𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)||𝑠=𝑃 = 1
⟹ 𝐾𝑝 =
1
|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)||
𝑠=𝑃
Exemplo 11.7: Suponha que no sistema da Figura 11.1 as funções de transferência são:
𝐺(𝑠) =
1
1
𝑒 𝐻(𝑠) = .
𝑠−1
𝑠
Calcule o máximo valor de 𝐾 de tal forma que os polos de malha fechada do sistema
fiquem dentro do círculo de raio unitário, centrado na origem do plano complexo. Trace o
root-locus do sistema para ajudar.
Solução: Neste caso, teremos: 𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠−1)
.
A partir disto, podemos obter as seguintes informações a respeito da característica
do sistema:
- Zeros no infinito
• Polos: 𝑝1 = 0 𝑒 𝑝2 = 1;
• Zeros: nenhum;
Logo, o número de zeros no infinito é obtido segundo a Regra Nº1:
𝑁𝑧∞ = 𝑁𝑝 − 𝑁𝑧 = 2 − 0 ⟹ 𝑵𝒛∞ = 𝟐
- Ângulo das assíntotas
A partir da expressão dada pela Regra Nº3, obtemos:
(2𝑖 + 1) ∙ (180°)
𝜃=
= ±90°
𝑁𝑝 − 𝑁𝑧
184
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
- CG das assíntotas
O centro de gravidade da configuração de polos e zeros é obtido através da Regra
Nº4:
𝐶𝐺 =
∑ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 − ∑ 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 (0 + 1) − (0) 1
=
=
2−0
2
𝑁𝑝 − 𝑁𝑧
- Ponto de partida
Utilizando a relação dada pela Regra Nº5, temos:
𝑑
𝑑 2
𝟏
−1
(𝑠 − 𝑠) = 2𝑠 − 1 = 0 ⇒ 𝒔 =
[(𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)) ] = 0 ⇒
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝟐
E, juntando as informações obtidas, o root-locus do sistema pode ser traçado
segundo mostra a Figura 11.10.
Figura 11.10 Root-locus do sistema do Exemplo 11.7.
Seja, na Figura 11.10, 𝐾0 o valor do ganho 𝐾 tal que os polos de malha fechada do
sistema encontram-se no ponto do root-locus
o qual encontra-se no limite da região circular
especificada. Para determinar 𝐾0 , iremos
utilizar a Regra Nº8.
De forma mais específica, podemos
observar (Figura 11.11) que o ponto 𝑠0 de
cruzamento do root-locus com o círculo
unitário é descrito por
1
√3
𝑠0 = + 𝑗
2
2
Figura 11.11 Determinando o ponto 𝑠0 .
185
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Assim, pela Regra Nº8, a condição de módulo implica em:
𝐾0 =
1
|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)||
𝑠=𝑠0
1
1
√3
√3
= |𝑠(𝑠 − 1)||𝑠=𝑠 = |( + 𝑗 )| ∙ |( + 𝑗
− 1)| = 1
0
2
2
2
2
Logo, para que os polos de malha fechada do sistema fiquem dentro do círculo de
raio unitário, centrado na origem do plano complexo, é necessário que:
𝟎 < 𝑲 < 𝟏.
Observações
Veremos mais adiante que um sistema discreto no tempo será estável se as raízes da F.T.M.F.
ficar dentro do círculo unitário estudado no Exemplo 11.7. Note, assim, que o critério de
estabilidade assume formas distintas para sistemas contínuos e sistemas discretos,
respectivamente.
Regra Nº9: Os ângulos de saída (chegada) de polos (aos zeros) são determinados a partir
do condição geral de ângulo.
Exemplo 11.8: Considere o sistema tal que
𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝑘(𝑠 + 2)
𝑠(𝑠 + 1 + 𝑗4)(𝑠 + 1 − 𝑗4)
Neste caso, temos que 𝑁𝑧∞ = 3 − 1 = 𝟐, portanto teremos 2 assíntotas.
O esboço inicial do root-locus é apresentado na Figura 11.12 (a).
O objetivo agora é determinar o ângulo 𝜃 com o qual o root-locus deixa os polos
complexos. Para isto, verificamos qual é o ângulo de um ponto 𝑃 próximo a esse polo,
segundo mostra a Figura 11.12 (b).
Figura 11.12 (a) Esboço inicial do root-locus do sistema; (b) Análise pela condição de ângulo.
186
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Pela condição de ângulo, para que o ponto 𝑃
pertença ao root-locus do sistema, temos:
⌊𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|
𝑠=𝑃
= 𝜃2 − 𝜃 − 𝜃1 − 𝜃3 = (2𝑖 + 1) ∙ 180°,
𝑖 = 0, ±1, …
Se a distância entre o ponto 𝑃 e o polo for nula, ou
seja, se 𝑟 → 0, os ângulos serão:
1
𝜃1 = arctg ( ) + 90° = 104,04°
4
4
𝜃2 = arctg ( ) = 75,96°
1
𝜃3 = 90°
{
𝜃 =?
Logo, substituindo esses valores na equação de
ângulo, teremos:
⌊𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|
𝑠=𝑃
Figura 11.13 Root-locus do sistema do Exemplo 11.8.
= 75,96° − 𝜃 − 104,04° − 90° = (2𝑖 + 1) ∙ 180°,
𝑖 = 0, ±1, …
Para 𝑖 = 0 ⇒ 𝜽 = −𝟐𝟗𝟖, 𝟎𝟖° , que é ângulo de partida dos polos.
Assim, o root-locus do sistema será tal como mostra a Figura 11.13.
Exemplo 11.9: Trace o root-locus considerando o sistema da Figura 11.1, tal que:
𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾(𝑠 + 0,5)
𝑠(𝑠 − 1)
Solução: Note que, em particular, este sistema tem dois polos e um zero. Adianta-se a
informação de que, neste caso, o root-locus apresentará um círculo centrado no zero do
sistema (𝑧1 = −0,5, no caso considerado). Para determinar o raio deste circulo, basta
calcular o ponto de partida por meio da relação dada na Regra Nº5 que, para este caso,
apresentará a forma
(2𝑠 − 1)(𝑠 + 0,5) − (𝑠 2 − 𝑠)
𝑑 𝑠(𝑠 − 1)
𝑑
−1
[(𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)) ] = 0 ⇒
(
)=
=0⇒
(𝑠 + 0,5)2
𝑑𝑠 𝑠 + 0,5
𝑑𝑠
𝑠 2 + 𝑠 − 0,5 = 0
Como as raízes desta equação são: 𝑠1 = 0,366 e 𝑠2 = −1,366. Note que ambas
pertencem a região descrita pelo root-locus do sistema. Logo, 𝑠1 e 𝑠2 representam pontos
de partida. A Figura 11.14 apresenta o root-locus completo.
187
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 11.14 Root-locus do sistema abordado no Exemplo 11.9.
Este sistema tem os mesmos polos que o sistema abordado no Exemplo 11.7,
acrescido de um zero em -0,5. Comparando os root-locus das Figuras 11.14 e 11.10,
percebe-se que a presença do zero “atrai” o root-locus.
Veremos, na próxima seção deste capítulo, que esta propriedade será fundamental
para realizar o projeto de controladores via o método do root-locus, assim como as
principais estratégias de projeto.
Regra Nº10 – O ponto onde o root-locus cruza o eixo imaginário é obtido fazendo-se 𝑠 = 𝑗𝜔
na equação característica.
Exemplo 11.10: Na Figura 11.1, suponha que
𝐾𝐺(𝑠) =
𝑠3
𝐾
𝑒 𝐻(𝑠) = 1.
+ 3𝑠 2 + 2𝑠
Uma vez que a equação característica é dada por:
1 + 𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 0
Então, teremos:
1+
𝐾
= 0 ⇒ 𝑠 3 + 3𝑠 2 + 2𝑠 + 𝐾 = 0
3
2
𝑠 + 3𝑠 + 2𝑠
Fazendo 𝑠 = 𝑗𝜔, obtemos:
(𝑗𝜔)3 + 3(𝑗𝜔)2 + 2(𝑗𝜔) + 𝐾 = 0 ⇒
188
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
−𝑗𝜔3 − 3𝜔2 + 2𝑗𝜔 + 𝐾 = 0 ⇒
𝑗(2𝜔 − 𝜔3 ) + (𝐾 − 3𝜔2 ) = 0
o que será verdadeiro se, e somente se:
2𝜔 − 𝜔3 = 0 𝑬 𝐾 − 3𝜔2 = 0
Logo, da primeira condição, temos:
2𝜔 − 𝜔3 = 0 ⇒ 𝜔(2 − 𝜔2 ) = 0 ⇒
𝝎 = 𝟎 𝒐𝒖 𝝎 = ±√𝟐
E, analogamente, da segunda condição:
𝐾 − 3𝜔2 = 0 ⇒
𝑲 = 𝟑𝝎𝟐
Observe que 𝜔 = 0 não é aceito, pois ocorre quando 𝐾 = 0. Assim, a solução é
𝜔 = √2
Isto é, o root-locus intercepta o eixo imaginário em 𝑠 = ±√2, e o valor de 𝐾
associado a este ponto é obtido fazendo:
2
𝐾 = 3𝜔2 = 3(√2) ⇒
𝑲 = 𝟔.
Para traçar o root-locus completo, lançamos mão da abordagem apresentada nos
exemplos anteriores. Assim, sendo
𝐾
𝐾
𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 3
=
2
𝑠 + 3𝑠 + 2𝑠 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)𝑠
Então, podemos concluir que:
-Polos do sistema: 𝑝1 = −1; 𝑝2 = −2; 𝑝3 = 0
-Zeros do sistema: nenhum
-Zeros no infinito: 𝑁𝑧∞ = 𝑁𝑝 − 𝑁𝑧 = 3 − 0 ⇒ 𝑁𝑧∞ = 3
-Ângulos das assíntotas:
𝜃=
189
(2𝑖 + 1) ∙ (180°)
= (2𝑖 + 1) ∙ 60° ⇒
𝑁𝑝 − 𝑁𝑧
𝜃 = 60°, −60°, 180°
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
-Ponto de ramificação (de partida):
𝑑
𝑑 3
−1
(𝑠 + 3𝑠 2 + 2𝑠) = 3𝑠 2 + 6𝑠 + 2 = 0 ⇒
[(𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)) ] = 0 ⇒
𝑑𝑠
𝑑𝑠
-CG das assíntotas:
𝐶𝐺 =
𝑠1 = −1,58 𝑒 𝑠2 = −0,42
∑ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 − ∑ 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 (−1 − 2 + 0) − (0)
=
= −1
3−0
𝑁𝑝 − 𝑁𝑧
Assim, o resultado final é apresentado na Figura 11.15.
Figura 11.15 Root-locus do sistema do Exemplo 11.10.
Pode-se concluir pelo root-locus que o sistema é estável para 0 < 𝐾 < 6.
O cruzamento do root-locus com o eixo imaginário também pode ser determinado
usando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, dado nos capítulos anteriores. O
exemplo abaixo ilustra esta abordagem alternativa.
Exemplo 11.11: Considerando o sistema do Exemplo 11.10, utilize o critério de Routh
para determinar o valor de 𝐾 tal que os polos de malha fechada do sistema encontram-se
sobre o eixo imaginário, isto é, quando o root-locus cruza o eixo imaginário.
Solução: Primeiramente, descrevamos a função de transferência de malha fechada do
sistema:
190
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
𝐾
3 + 3𝑠 2 + 2𝑠
𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
𝐾
𝑠
=
= 3
𝐾
1 + 𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 1 +
𝑠 + 3𝑠 2 + 2𝑠 + 𝐾
3
2
𝑠 + 3𝑠 + 2𝑠
Agora, pelo critério de Routh-Hurwitz:
1º) Identificando o denominador da F.T.M.F: 𝑠 3 + 3𝑠 2 + 2𝑠 + 𝐾
2º) Para não haver troca de sinais: 𝑲 > 𝟎
3º) Montando o arranjo tabular:
𝑠3
1
𝑠1
3∙2−1∙𝐾
3
𝑠2
𝑠0
2
3
𝐾
∴
𝐾
0
6−𝐾
>0 ⇒𝑲<𝟔
3
Portanto, pelas condições do 2º e 3º passo da análise, o sistema será estável se
0<𝐾<6
e, quando K=6, a raiz da F.T.M.F estará sobre o eixo imaginário, quando o R-L cruza o eixo
imaginário.
Regra Nº11 – Se pelo menos dois ramos do root-locus vão para o infinito (ou seja, se existem
ao menos 2 assíntotas), então a soma dos polos de malha fechada correspondentes a um
mesmo valor de 𝐾 é uma constante independente de 𝐾.
Exemplo 11.12: Considerando as informações do Exemplo 11,11, calcule todos os polos
do sistema de malha fechada quando 𝐾 = 6.
Solução: Deseja-se determinar o terceiro polo de malha fechada do sistema quando 𝐾 =
6 a partir do conhecimento das duas outras: 𝑠1,2 = ±√2 .
191
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 11.16 Problemática abordada pelo Exemplo 11.11.
Neste caso temos 3 assíntotas, portanto podemos aplicar a Regra Nº11:
∑ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠|
𝐾=0
= ∑ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠|
𝐾=6
⇒
−2 − 1 + 0 = −𝑗√2 + 𝑗√2 + 𝛿 ⇒
∴ 𝜹 = −𝟑
Exercícios
11.1. Trace o root-locus de cada um dos sistemas:
1
𝑠(𝑠 + 1)
𝑠+4
𝐺2 (𝑠)𝐻2 (𝑠) =
𝑠(𝑠 + 1)
1
𝐺3 (𝑠)𝐻3 (𝑠) =
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 4)
𝐺1 (𝑠)𝐻1 (𝑠) =
Analise as diferenças entre as configurações de polos e zeros de cada sistema e tire
conclusões a respeito do comportamento do root-locus em função da presença de
polos/zeros.
11.2. Um sistema de controle é apresentado na Figura 11.17. Esboce o root-locus do
sistema para cada caso de controlador 𝐶(𝑠) indicados.
192
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
a) 𝐶(𝑠) = 𝐾
b) 𝐶(𝑠) = 𝐾(𝑠 + 1)
c) 𝐶(𝑠) =
d) 𝐶(𝑠) =
𝐾(𝑠+1)
(𝑠+10)
𝐾(𝑠+1)(𝑠+3)
(𝑠+10)
*
Figura 11.17 Sistema de controle para o Exercício 11.2.
* O projeto de um controlador real não deverá apresentar mais zeros que polos, devido à
dificuldade de implementação prática.
11.3. Trace o root-locus do sistema de controle apresentado na Figura 11.18.
Figura 11.18 Sistema de controle para o Exercício 11.3.
11.3
Projeto de Controladores utilizando Root-Locus
Uma propriedade importante do Root-Locus, ilustrada através do Exemplo 11.9 e
melhor explorada no Exercício 11.1, é que zeros atraem o root-locus e polos repelem o
root-locus.
Sendo assim, utiliza-se esta propriedade para projetar controladores que, em
conjunto a técnica de realimentação (sistema de malha fechada), estabilizem a planta e,
ainda, atendam as especificações de desempenho: 𝑃𝑂%, 𝑡𝑒 e erro de regime permanente,
por exemplo. Iremos ilustrar esta estratégia por meio do Exemplo 11.13.
Exemplo 11.13: Projete um controlador 𝐶(𝑠), tal que o sistema da Figura 11.19 seja
estável:
Figura 11.19 Sistema de controle para o Exemplo 11.13.
193
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Solução:
1º tentativa: propõem-se que o controlador 𝐶(𝑠) seja o mais simples possível, ou seja,
𝐶(𝑠) = 𝐾 (apenas um ganho 𝐾).
A pergunta agora torna-se: Será que existe um ganho K, tal que o sistema de malha fechada
seja estável? Analisemos o root-locus do sistema para verificar:
A partir da relação:
𝐶(𝑆)𝐺(𝑆) =
𝐾
(𝑠 − 2)(𝑠 − 4)
Podemos tirar as seguintes informações e esboçar o root-locus do sistema (Figura 11.20).
•
•
•
•
Número de polos: 𝑁𝑝 = 2
Número de zeros: 𝑁𝑧 = 0
Zeros no infinito: 𝑁𝑧∞ = 𝑁𝑝 − 𝑁𝑧 = 2 − 0 = 2
•
Ângulo das assíntotas: 𝜃𝑎𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡. =
•
Ponto de Partida:
Centro de gravidade: 𝐶𝐺 =
𝑑
𝑑𝑠
2𝑖+1
𝑁𝑝 −𝑁𝑧
∙ 180° =
∑ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠−∑ 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑁𝑝 −𝑁𝑧
=
2𝑖+1
2
(2+4)−0
2
∙ 180° = ±90°
=3
(𝑠 2 − 6𝑠 + 8) = 0 = 2𝑠 − 6 ⇒ 𝑠 = 3
Note, pela Figura 11.20, que para qualquer
valor de K os ramos do root-locus do sistema
sempre estarão localizados no semi-plano
direito do plano complexo. Isto é, os polos de
malha fechada do sistema sempre possuirão
parte real positiva, logo o sistema sempre
apresentará característica de instabilidade.
Portanto, não é possível estabilizar o
sistema com C(s) igual a apenas um ganho K.
Figura 11.20 Root-locus do sistema considerando C(s)=K.
2º tentativa: atrair o root-locus para a região de estabilidade colocando zeros no lado
esquerdo do plano-𝑠, zeros do controlador 𝐶(𝑠).
Então, tentemos adicionar um zero no lado esquerdo do plano-𝑠, por exemplo, em
𝑠 = −3. Como o controlador deve ser implementado na prática, o número de zeros não
pode ser maior que o número de polos. Logo, nosso controlador precisa possuir, também,
pelo menos um polo. Assim, neste caso, nossa próxima tentativa pode ser o controlador:
Então, teremos:
𝐶(𝑆) =
𝐾(𝑠 + 3)
𝑠 + 19
194
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
𝐶(𝑆)𝐺(𝑆) =
𝐾(𝑠 + 3)
1
∙
𝑠 + 19 (𝑠 − 2)(𝑠 − 4)
Agora, tracemos o root-locus do sistema para o novo controlador considerado:
•
•
•
•
•
•
•
•
Polos: 𝑝1 = −19 , 𝑝2 = 2 𝑒 𝑝3 = 4
Número de polos: 𝑁𝑝 = 3
Zeros: 𝑧1 = −3
Número de zeros: 𝑁𝑧 = 1
Zeros no infinito: 𝑁𝑧∞ = 𝑁𝑝 − 𝑁𝑧 = 3 − 1 = 2
Ângulo das assíntotas: 𝜃𝑎𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡. =
2𝑖+1
𝑁𝑝 −𝑁𝑧
Centro de gravidade assíntotas: 𝐶𝐺 =
Ponto de partida:
𝑑
𝑑𝑠
[
(𝑠+19)(𝑠−2)(𝑠−4)
𝑠+3
∙ 180° =
2𝑖+1
2
∑ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠−∑ 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑁𝑝 −𝑁𝑧
∙ 180° = ±90°
=
] = 0 ⇒ 𝑠 ≅ 2,94
(−19+2+4)−(−3)
2
=−
10
2
= −5
E, assim, podemos traçar o root-locus apresentado na Figura 11.21.
Figura 11.21 Root-locus do sistema considerando controlador C(s) da 2ª tentativa.
Note, pela Figura 11.21, que com o novo controlador proposto o root-locus do
sistema pode ser “atraído” para a região de estabilidade (semi-plano esquerdo). Agora,
existem valores de ganho K tais que todos os polos de malha fechada possuam parte real
negativa.
OBSERVAÇÃO
A escolha do polo 𝑝1 = −19 para o controlador proposto não pode ser feita de forma
totalmente aleatória. Veja que pelo fato de que a inclinação das assíntotas ser de 90°, a
posição do CG é fundamental para o sucesso desta tentativa. Para melhor ilustrar, suponha
que o polo escolhido fosse 𝑝1 = −7.
195
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 11.22 Configuração do root-locus caso o polo escolhido para o controlador
fosse 𝑝1 = −7.
Neste caso, o CG das
assíntotas estaria localizado
em 𝑠 = 1. Logo, quando 𝐾 →
∞ os ramos do root-locus que
vão para os zeros no infinito
não entrariam no semiplano
esquerdo, e portanto, não
seria possível condicionar
todos os polos de malha
fechada a terem apenas
parte
real
negativa,
conforme mostra a Figura
11.22.
Agora, precisamos verificar qual a faixa de valores para K que permite tornar o
sistema estável. Veja, pela Figura 11.21, que escolhendo o controlador
obtemos sucesso em atrair o root-locus para a região de estabilidade. Contudo, não são
todos os valores de 𝐾 que resulta em polos de malha fechada com parte real negativa (uma
porção do root-locus permanece do lado direito do plano-𝑠).
Para encontrar o valor de K tal que os polos de malha fechada estarão sobre o eixo
imaginário, ou seja, na fronteira entre a região de estabilidade e a região de instabilidade
(𝑠 = 𝑗𝜔), podemos fazer uso da Regra Nº10 ou utilizar o critério de Routh-Hurwitz. Pela
segunda abordagem, analisamos o denominador da FTMF do sistema:
𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)
=
1 + 𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)
𝐾(𝑠 + 3)
𝐾(𝑠 + 3)
(𝑠 + 19)(𝑠 − 2)(𝑠 − 4)
= 3
2
𝐾(𝑠 + 3)
𝑠 + 13𝑠 + 𝑠(𝐾 − 105) + 152 + 3𝐾
1+
(𝑠 + 19)(𝑠 − 2)(𝑠 − 4)
Agora, pelo critério de Routh-Hurwitz:
1º) Identificando o denominador da F.T.M.F: 𝑠 3 + 13𝑠 2 + 𝑠(𝐾 − 105) + 152 + 3𝐾
2º) Para não haver troca de sinais: 𝐾 > 105 𝑒 𝐾 > −
3º) Montando o arranjo tabular:
𝑠3
𝑠2
𝑠1
𝑠0
152
3
⟹ 𝑲 > 𝟏𝟎𝟓 (𝑰)
1
(𝐾 − 105)
13 ∙ (𝐾 − 105) − (152 + 3𝐾)
13
0
𝐾 > 151,7
13
152 + 3𝐾
𝑒 𝐾>−
152 + 3𝐾
152
⇒ 𝑲 > 𝟏𝟓𝟏, 𝟕 (𝑰𝑰)
3
196
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Portanto, por (I) e (II), precisamos de 𝐾 > 151,7 para que o sistema apresente
apenas polos de malha fechada com parte real negativa (isto é, para que o sistema seja
estável).
Sendo assim, podemos escolher, em nosso projeto, por exemplo, 𝐾 = 155.
Pelo Exemplo 11.13, podemos ver que utilizando o root-locus podemos realizar o
projeto de um controlador que torna um sistema instável em um sistema estável. Contudo,
não é apenas a estabilidade uma necessidade de projeto de sistemas de controle, mas
também, os índices de desempenho estudados no Capítulo 8, PO% e te. Sugerimos que o
leitor faça uma revisão destes conceitos.
Vejamos, agora, um exemplo que ilustra a definição da região para o posicionamento
de polos de malha fechada de um sistema no intento de atribuir ao mesmo características
desejadas de desempenho.
Exemplo 11.14: Deseja-se que, para um sinal de entrada do tipo degrau, o sinal de
resposta na saída apresente 𝑃𝑂% ≤ 5% e 𝑡𝑒 ≤ 2. Especifique a região na qual os polos do
sistema devem estar no plano-s. Use o critério de 2% para o tempo de estabelecimento.
Solução:
Quanto ao tempo de estabelecimento, teremos a seguinte condição:
𝑡𝑒 =
4
≤ 2 ⇒ 𝜉𝜔𝑛 ≥ 2 ⇒
𝜉𝜔𝑛
−𝜉𝜔𝑛 ≤ −2
O que implica na definição da região de
especificação da Figura 11.23.
Figura 11.23 Região de especificação para 𝑡𝑒 ≤ 2𝑠.
Agora, analisando a imposição para
a porcentagem de Overshoot, teremos:
𝑃𝑂% ≤ 5% ⇒ 𝜉 ≥ 0,7 ⇒
𝜃 < 45°
Figura 11.24 Região de especificação para PO%≤5%.
197
resultando, assim, na região da Figura
11.24.
As
duas
especificações
são
satisfeitas na intersecção das regiões
acima, conforme mostra a Figura 11.25.
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 11.25 Região de especificação para 𝑃𝑂% ≤ 5% 𝑒 𝑡𝑒 ≤ 4𝑠.
Assim, os polos de malha fechada do sistema de controle, para o qual necessita-se
de 𝑃𝑂% ≤ 5% e 𝑡𝑒 ≤ 2, deverão estar dentro da região hachurada da Figura 11.25.
Desta forma, no projeto do controlador, os ramos do root-locus do sistema
realimentado deverão passar dentro desta região. E, então, deveremos escolher um valor
de K tal que os polos de malha fechada sejam alocados em tal região.
Exemplo 11.15: Determine a região de especificação para o projeto de um controlador
que garanta uma resposta a entrada degrau com tempo de subida entre 0,9 s e 1,8 s.
Solução:
Como visto no Capítulo 8, o tempo de subida associado a resposta ao degrau é dado por:
𝑡𝑠 ≅
1,8
𝜔𝑛
, que é uma aproximação considerando 𝜉 = 0,5.
Assim, as condições para atender às especificações indicadas serão:
•
•
1,8
𝜔𝑛
1,8
𝜔𝑛
≤ 1,8 ⇒ 𝜔𝑛 ≥ 1
≥ 0,9 ⇒ 𝜔𝑛 ≤ 2
E, sendo assim, a região no plano-s que satisfaz as especificações é apresentada na
Figura 11.26.
Figura 11.26 Região de especificação para 0,9 𝑠 ≤ 𝑡𝑠 ≤ 1,8 𝑠 .
198
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Agora, iremos abordar um exemplo completo no qual projetaremos um
controlador de forma a atender não somente a estabilidade, mas também índices de
desempenho.
Exemplo 11.16 Projete o controlador C(s) para o sistema de controle da Figura 11.27 tal
que o sistema tenha 𝑃𝑂% ≤ 5% e 𝑡𝑒 ≤ 4𝑠 na resposta para entrada degrau, considerando
critério de 2% para tempo de estabelecimento.
Figura 11.27 Sistema de controle para o Exemplo 11.16.
Solução: Primeiramente, iremos desenhar a região do plano-s que satisfaz todas as
especificações de projeto. Para tanto, calculemos as condições de desempenho:
𝑷𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒈𝒆𝒎 𝒅𝒆 𝑶𝒗𝒆𝒓𝒔𝒉𝒐𝒐𝒕: 𝑃𝑂% ≤ 5% ⇒ 𝜉 ≥ 0,7 ⇒ 𝜃 ≤ 45°
4
≤ 4 ⇒ 𝜉𝜔𝑛 ≥ 1 ⇒ −𝜉𝜔𝑛 ≤ −1
𝜉𝜔𝑛
Assim, região que satisfaz todas especificações é tal como mostra a Figura 11.28(a).
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒃𝒆𝒍𝒆𝒄𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐: 𝑡𝑒 ≤ 4 ⇒
Figura 11.28 (a)Região de especificação para 𝑃𝑂% < 5% e 𝑡𝑒 < 4 𝑠; (b) Root-locus do sistema para 𝐶(𝑠) = 𝐾.
Agora, começando o projeto do controlador, partimos da 1ª tentativa, a mais simples
de todas: C(s)=K. Assim, teremos:
𝐾
𝐶(𝑆)𝐺(𝑆) =
𝑠(𝑠 + 4)
Então, traçamos o root-locus do sistema para o controlador considerado conforme
Figura 11.28(b), a partir das informações abaixo:
199
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
•
•
•
•
•
•
•
Polos: 𝑝1 = 0 𝑒 𝑝2 = −4
Número de polos: 𝑁𝑝 = 2
Zeros: 𝑛𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚
Número de zeros: 𝑁𝑧 = 0
Zeros no infinito: 𝑁𝑧∞ = 𝑁𝑝 − 𝑁𝑧 = 2 − 0 = 2
Ângulo das assíntotas: 𝜃𝑎𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡. =
Centro de gravidade: 𝐶𝐺 =
2𝑖+1
𝑁𝑝 −𝑁𝑧
∙ 180° =
∑ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠−∑ 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑁𝑝 −𝑁𝑧
=
2𝑖+1
2
∙ 180° = ±90°
(−4+0)−(0)
2
= −2
Observe, pela Figura 11.28(b), que o sistema em malha fechada é sempre estável,
uma vez que todo o root-locus encontra-se no semi-plano esquerdo.
Contudo, é necessário determinar a faixa de valores para K de forma que os polos de
malha fechada se situem dentro da região de especificação de projeto. Esta faixa é descrita
a partir dos valores máximo e mínimo para K: 𝐾𝑚á𝑥 e 𝐾𝑚𝑖𝑛 , respectivamente.
O valor de 𝐾𝑚á𝑥 é associado ao valor máximo de K tal que os polos de malha fechada
ainda permaneçam dentro da região de especificação. Por sua vez, o 𝐾𝑚𝑖𝑛 é o valor limiar
tal que para 𝐾 > 𝐾𝑚𝑖𝑛 o sistema passa a possuir polos de malha fechada complexos
conjugados. Isto se faz necessário pois a teoria que estamos utilizando para a análise do
comportamento transitório de sistemas assume que o sistema é do tipo subamortecido,
ou seja, 0 < 𝜉 < 1 (reveja a subseção 8.3.1 deste material).
Pela Figura 11.28(b), observamos que para 𝐾 = 𝐾𝑚á𝑥 , tem-se 𝑠 = −2 + 𝑗2, pois
 = 45°. E, para 𝐾 = 𝐾𝑚𝑖𝑛 , temos 𝑠 = −2. Desta forma, pela condição de módulo,
considerando a equação característica 1 + 𝐺(𝑠)𝐶(𝑠) = 0, teremos:
𝐾𝑚á𝑥
1
|
= |−1| ⇒
|𝑠(𝑠 + 4)| 𝑠=−2+𝑗2
𝐾𝑚á𝑥 = |−2 + 𝑗2| ∙ |−2 + 𝑗2 + 4| = √8 ∙ √8 ⇒ ∴ 𝑲𝒎á𝒙 = 𝟖
E, por usa vez:
𝐾𝑚𝑖𝑛
1
|
= |−1| ⇒∴ 𝑲𝒎𝒊𝒏 = 𝟒
|𝑠(𝑠 + 4)| 𝑠=−2
Assim, a faixa de K que atende as especificações de projeto é 4 < 𝐾 ≤ 8. Logo,
podemos escolher para nosso controlador, 𝐾 = 6. Então: 𝐶(𝑠) = 6 é o controlador que
garante o sucesso neste projeto de controle.
Observações
Não usamos 𝐾 = 𝐾𝑚𝑖𝑛 , pois assim teríamos dois polos reais e iguais, caracterizando sistema
criticamente amortecido (𝜉 = 0). Assim, é necessário que 𝐾 > 𝐾𝑚𝑖𝑛 para que o sistema apresente
0 < 𝜉 < 1.
200
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
11.4
Técnica de cancelamento de polos e zeros
Conhecendo as características originais de polos e zeros de um sistema podemos
promover o cancelamento estratégico de polos e zeros de forma que o root-locus do
sistema passe dentro da região de especificação de um projeto de controle.
Esta é uma técnica de projeto bastante intuitiva e versátil, tornando possível
resolver uma vasta gama de problemas de controle, como mostraremos através dos
exemplos a seguir e exercícios ao final deste capítulo.
Exemplo 11.17: Considere o sistema rastreador solar, abordado no Capítulo 7, que
apresenta a estrutura de controle da Figura 11.29.
Figura 11.29 Sistema de controle para o rastreador solar.
Projete o controlador 𝐶(𝑠) tal que o sistema de malha fechada tenha, 𝑃𝑂% < 5% e 𝑡𝑒 <
4 𝑠 (critério 2%).
Solução:
Primeiramente, note que a região das especificações são as mesmas do Exemplo 11.16
anterior. Assim, partimos direto para o projeto do controlador.
Primeira tentativa: 𝐶(𝑠) = 𝐾
Teremos, assim:
𝐾𝐺(𝑠)𝐶(𝑠) = 𝐾 ∙
𝐾𝑐
10
=
, 𝐾𝑐 = 10 ∙ 𝐾
𝑠(𝑠 + 0,8) 𝑠(𝑠 + 0,8)
Desta forma, root-locus do sistema
será tal como mostrado na Figura 11.30.
Note que o root-locus não passa
dentro da região das especificações, logo
não existe 𝐾𝑐 tal que as especificações
sejam atendidas.
Segunda tentativa: Iremos projetar
um controlador 𝐶(𝑠) de forma que este
possua: i) um zero que virá a cancelar o
polo em 𝑠 = −0,8 da planta; ii) um polo
Figura 11.30 Root-locus do sistema rastreador solar para C(s)=Kc.
que será escolhido de modo que o novo
root-locus do sistema realimentado passe dentro da região de especificação de projeto.
201
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Assim, uma sugestão de controlador para atender a este fim é:
𝐾(𝑠 + 0,8)
𝐶(𝑠) =
(𝑠 + 4)
Desta forma, teremos:
10
𝐾(𝑠 + 0,8) 𝐾(𝑠 + 0,8)
𝐾𝐺(𝑠)𝐶(𝑠) =
∙
=
, 𝐾𝑐 = 10 ∙ 𝐾
𝑠(𝑠 + 0,8) (𝑠 + 4)
𝑠(𝑠 + 0,8)
Neste caso o novo root-locus será tal como mostra a Figura 11.31.
Figura 11.31 Root-locus do sistema após cancelamento de polo.
Para esta configuração de root-locus e especificações de projeto, já conhecemos os
valores máximo e mínimo de 𝐾𝑐 , segundo Exemplo 11.16. Logo, teremos:
Porém, temos que
𝐾𝑐 𝑚𝑎𝑥 = 8 𝑒 𝐾𝑐 𝑚𝑖𝑛 = 4.
Assim:
𝐾𝑐 = 10 ∙ 𝐾
𝐾𝑚𝑎𝑥 = 0,8 𝑒 𝐾𝑚𝑖𝑛 = 0,4.
Podemos escolher, então:
𝐶(𝑠) =
e o problema de controle estará resolvido.
0,7(𝑠 + 0,8)
(𝑠 + 4)
202
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Observações
O cancelamento de polos e zeros mostrado anteriormente não pode ocorrer no lado direito do
plano-s ou no eixo imaginário. Isto se deve ao fato de que o controlador 𝐶(𝑠) projetado nunca
poderá ser implementado na prática com um erro nulo. Isto é, na prática a implementação de
𝐶(𝑠) não será ideal.
Por exemplo, poderíamos propor o cancelamento de polos e zeros para o Exemplo 11.13, onde
Assim, para atrair o R-L para o lado esquerdo do plano-s e colocá-lo dentro da região
de estabilidade e especificações, podemos propor o simples controlador, cancelando o polo
𝑝1 = 2:
𝐶(𝑠) =
𝐾(𝑠 − 2)
(𝑠 + 10)
Entretanto, na prática existirá um erro de implementação do controlador, de forma que
o zero 𝑧1 = 2 não será, exatamente, posicionado em 𝑠 = 2.
203
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Observações
Ao projetar um controlador, deve-se observar a dominância dos polos que ficam dentro
das regiões das especificações. A dominância de polos já foi estudada no Capítulo 8 desta
apostila. No Exemplo 11.13, os polos do controlador foram colocados em -100 e -200, para que
os polos de malha fechada mais próximos da origem fossem dominantes.
11.5
Obtendo o root-locus através do MATLAB
Podemos utilizar o software MATLAB para traçar facilmente o root-locus de
sistemas. Por exemplo, vamos traçar o root-locus de um sistema de controle tal como
apresentado na Figura 11.32.
Figura 11.32 Sistema para exemplo utilizando MATLAB.
Basta, inicialmente, definir o numerador e o denominador de G(s)H(s):
𝐺(𝑆)𝐻(𝑆) =
(𝑠 + 1)
𝑠+1
= 3
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑠 + 5𝑠 2 + 6𝑠
que, para este caso, pode ser feito utilizando os comandos
>> num=[1 1];
>> den=[1 5 6];
E, então, usar a função
>> rlocus(num,den )
para obter o root-locus da Figura 11.33.
Caso desejemos obter o valor do ganho K associado a determinado um ponto sobre
a root-locus, devemos usar a função
>> rlocfind(num,den)
E, então, posicionar o cursor sobre o root-locus e pressione ‘Enter’. Desta forma, na
tela irá aparecerão aparecer as informações:
selected_point =
-2.0449 - 4.4078i
ans =
21.3252 (este é o valor de K quando os polos forem −2,0449 ± 𝑗4,4078).
204
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Figura 11.33 Root-locus obtido através do comando rlocus, no MATLAB.
Observações
As regiões de especificações de projeto também podem ser colocadas no root-locus do
MATLAB usando-se a função “sgrid”. Digite: Help sgrid para maiores detalhes.
Após ter projetado o controlador usando MATLAB, o aluno pode simular o sistema para uma
entrada degrau (ou outras) usando a função “step” vista nos capítulos anteriores desta apostila.
O MATLAB tem ainda uma ferramenta muito completa para projetar e traçar o rootlocus chamada ”rltool”. Através dela, podemos traçar o root-locus de um sistema,
observar sua resposta ao degrau, analisar os diagramas de Bode, Nyquist, etc.
Vejamos o Exemplo 11.18 que ilustra a aplicação desta toolbox do MATLAB.
Exemplo 11.18: Considere um sistema tal que
𝐺(𝑆)𝐻(𝑆) =
(𝑠 + 1)
𝑠+1
= 3
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑠 + 5𝑠 2 + 6𝑠
Digitando no MATLAB os seguintes comandos:
>>
>>
>>
>>
num=[1 1];
den=[1 5 6 0];
sys=tf(num,den);
rltool(sys)
Irá abrir a janela do rltool, como mostrado na Figura 11.34(a).
205
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura 11.34 RL-Tool (a) root-locus do sistema de exemplo; (b) resposta ao degrau do sistema analisado.
Na janela do Root-Locus, dê um clique com o botão direito do mouse e selecione:
“Design Requirements” → “New” → “Settling Time (sec) = 8”. Repita, agora fazendo: “Design
Requirements” → “New” → “Porcent Overshoot = 20”. Observe que na janela do root-locus
foi desenhada a região que atende a essas especificações.
A resposta ao degrau apresentada na Figura 11.34(b) foi obtida usando a ferramenta
“Analysis”, através de uma janela do “rltool”.
Observações
A Figura 11.34 foi obtida utilizando o software MATLAB. Diferentes versões podem
apresentar layouts diferentes.
Um estudo mais profundo do rltool é realizado no Experimento 4, apresentado no Anexo D
deste material.
Exercícios
11.4. Projete um circuito com A.O. (Amplificador Operacional) que implemente o
controlador projetado no Exemplo 11.17.
11.5. Lasers podem ser usados para perfurar o colo do fêmur na bacia visando a inserção
apropriada de uma prótese. O uso de laser na cirurgia requer alta precisão na resposta
de posição e de velocidade. O sistema de controle que usa um manipulador com motor
CC é dado pela Figura 11.35.
206
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
Figura 11.35 Sistema de controle para procedimento cirúrgico a laser.
O ganho K do amplificador deve ser projetado de modo que o erro estacionário para
uma entrada rampa 𝑢(𝑡) = 𝐴𝑡, com 𝐴 = 1 𝑚𝑚/𝑠, seja menor ou igual a 0,3 mm. Além
disso, o sistema precisa ser estável, e apresentar 𝑃𝑂% < 20% 𝑒 𝑡𝑒 < 8 𝑠 (para 2% de
regime). Use o root-locus e o conceito de polos dominantes.
11.6.
O sistema de controle de posição angular de um satélite é apresentado na
Figura 11.36.
Figura 11.36 Sistema de controle de posição angular de um satélite.
Projete 𝐶(𝑠) tal que o sistema seja estável, apresentando 𝑃𝑂% < 5% e 𝑡𝑒 < 0,1 𝑠.
11.7. Nos últimos anos, muitos sistemas de controle automáticos para veículos
autoguiados vêm sendo utilizados em fábricas. O sistema de controle de um deles é
dado na Figura 11.37.
Figura 11.37 Sistema de controle de veículos autoguiados.
Monte o root-locus deste sistema e determine um valor adequado para o ganho K de
modo que o coeficiente de amortecimento seja 𝜉 = 0,707.
11.8. Um avião a jato de elevado desempenho tem sistema de controle tal como
apresentado na Figura 11.38.
Figura 11.38 Sistema de controle de um avião a jato de alto desempenho.
Monte o lugar das raízes e determine o ganho K de modo que o 𝜉 dos polos
complexos conjugados próximos ao eixo imaginário (polos dominantes) seja o maior
207
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
possível. Calcular as raízes para este valor de K e prever a resposta ao degrau do sistema,
isto é, preveja os valores de 𝑃𝑂% e 𝑡𝑒 ). Use o MATLAB para obter 𝑦(𝑡) para 𝑢(𝑡) degrau e
compare com o esperado. Existe dominância?
11.9. O diagrama de blocos do sistema de controle da velocidade de um automóvel
autônomo é mostrado na Figura 11.39.
Figura 11.39 Sistema de controle de velocidade de um veículo autônomo.
Para melhorar a resposta do veículo, é necessário projetar o controlador tal que o
sistema de malha fechada não tenha overshoot, ou seja, 𝜉 ≥ 0,9 e que o tempo de subida
esteja entre 3,0 e 6,0 segundos.
11.10.
O sistema de controle de um elevador de cargas automático é mostrado na
Figura 11.40.
Figura 11.40 Sistema de controle de um elevador de cargas.
Projete o controlador tal que o sistema tenha 𝑃𝑂% ≤ 10%, tempo de subida de
aproximadamente 0,5 s e erro de regime nulo para entrada degrau.
11.11.
Para o sistema posicionador do cabeçote do disco rígido (HD) dos
computadores, dado na Figura 11.41, projete o controlador tal que o sistema tenha
tempo de subida de entre 18 e 22 ms e porcentagem de overshoot inferior a 20 %.
Figura 11.41 Sistema posicionador do cabeçote de um HD.
208
CAPÍTULO 11 – Método do Lugar das Raízes
11.12.
Use o MATLAB para traçar o root-locus do sistema abaixo, e selecione o
valor de K tal que a resposta ao degrau tenha PO%<20% e tempo de estabelecimento
menor que 5 segundos.
Figura 11.42 Sistema de controle para o Exercício 11.12.
Simule o sistema com o ganho K projetado e verifique se realmente ocorreu a
dominância. Em seguida, modifique os polos ou zeros do controlador de tal forma a
ocorrer a dominância.
209
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
APÊNDICE
A
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
LABORATÓRIO 1:
Introdução ao MATLAB
1. Curso de Introdução ao MATLAB
1.1. Introdução
O nome MATLAB vem de Matrix Laboratory e faz referência a um software para
computação numérica e visualização de alta performance. É bastante conhecido por ter
uma forma muito simples de comunicação, onde o usuário consegue descrever operações
matemáticas de maneira análoga a qual escrevemos no papel, o que facilita enormemente
a programação.
A fazer jus ao seu nome, o MATLAB trabalha fundamentalmente com matrizes para
realizar as mais variadas tarefas e programas de cálculo computacional. Suas aplicações
estão presentes em diversas áreas, passando pelas engenharias e pelos teóricos
matemáticos. Os problemas aos quais têm se utilizado o MATLAB para buscar uma
solução envolvem assuntos como controle, otimização, manipulação algébrica, redes
neurais, processamento de sinais, simulação de sistemas dinâmicos, entre outros.
1.2. Interface do Usuário
Para darmos início ao estudo desta importante ferramenta que é o MATLAB,
partiremos para o conhecimento dos principais itens que existem na janela principal
do software e que aparecem por default quando ele é inicializado.
A Figura 1 apresenta a janela principal do MATLAB. Vamos, então, identificar os
seus principais elementos.
210
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
3
4
1
2
Figura L1. 1 Janela principal do MATLAB (versão R2010a).
•
Command Window
A Command Window funciona como um prompt, onde o usuário pode digitar
comandos diretamente, e obter as respostas mediante a estes instantaneamente. Ela é
utilizada, normalmente, quando precisamos de respostas rápidas para tarefas mais
simples.
O símbolo “>>” caracteriza o estado de “espera de comando” do MATLAB. Os
comandos só serão executados pelo programa quando a tecla Enter for pressionada.
Assim, vários comandos podem ser digitados em uma mesma sequência se forem
informados de maneira correta, muito embora esta seja uma maneira não muito adequada
para executar tarefas com um nível de complexidade superior. A Command Window está
destacada com o número “1” na Figura L1.1.
•
Command History
À medida que o usuário vai fornecendo comandos para que o MATLAB os execute,
uma lista com a exata data e hora em que tais comandos foram executados vai sendo
gerada e armazenada pelo próprio software. O usuário pode visualizar esta lista através
da janela Command History, que se apresenta destacada com o número “2” na Figura
L1.1.
Estas informações podem ser “limpas” do histórico a qualquer momento pelo
usuário, simplesmente clicando com o botão direito do mouse na janela do Command
History e selecionando Clear Command History.
211
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
•
Workspace
É na Workspace que são exibidos todos dados (variáveis) que você vai criando à
medida que executa programas e instruções. Lá, é possível verificar as principais
informações a respeito de cada um destes dados, como seu tipo, tamanho e forma.
Através desta janela é possível, também, importar conjuntos de dados que estejam
armazenados em seu computador ou outra mídia acessível, assim como exportar as
variáveis que você criou, para serem utilizadas em outro computador. Você pode
identificar a janela Workspace destacada com o número “3” na Figura L1.1.
•
Current Folder
É fundamental que, antes de iniciar as operações no MATLAB, que o usuário faça a
seleção do diretório com o qual irá trabalhar. O MATLAB, durante a sessão que foi aberta
pelo usuário, irá salvar todos os arquivos gerados durante a mesma no diretório que
estiver selecionado. O detalhe apresentado pela Figura L1.2 mostra onde o software
indica com qual pasta do sistema ele está trabalhando.
Figura L1. 2 Localização do campo Current Folder.
Clicando no botão , destacado pela seta na Figura L1.2, o usuário pode selecionar,
dentre as pastas do sistema, qual será o diretório de trabalho que pretende usar para
que o MATLAB automaticamente salve os arquivos que venham a ser, eventualmente,
gerados durante a sessão.
Na janela Current Folder, em detalhe com número “4” na Figura 1, são exibidos
todos os arquivos que se encontram dentro do diretório selecionado pelo usuário,
conforme explicado no parágrafo anterior. Assim, conforme será explanado mais adiante,
poderemos selecionar arquivos específicos que executam instruções predeterminadas
para trabalhar durante a sessão aberta do MATLAB.
1.3. Comandos e Variáveis
Agora, estamos prontos para conhecer importantes comandos que, sem dúvida,
estarão presentes durante quaisquer operações que realizamos com o MATLAB, ou
mesmo que são ferramentas muito úteis quando estamos perdidos ou confusos com
alguma funcionalidade do software.
212
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
Executando instruções por meio da Command Window
Uma das vantagens que tornam o MATLAB tão poderoso é a sua simplicidade. Em
boa parte dos softwares que fazem uso de programação, seja em qual linguem for,
algumas configurações prévias devem ser feitas para que uma operação simples como
uma adição possa ser feita. Contudo, dentro do MATLAB, podemos trabalhar de forma
livre e intuitiva.
Como um exemplo extremamente simples, podemos adicionar dois números,
digamos 7 e 9 por simplesmente clicando com o botão direito na Command Window (que
de agora em diante, nos referiremos como prompt de comando, por simplicidade),
para selecionarmos e digitamos:
>> 7 + 9
Pressionando a tecla Enter, damos ordem ao software para executar a(s) linha(s)
de comando digitada(s) no prompt. Imediatamente depois, a resposta é fornecida ali
mesmo, na tela do prompt, com o seguinte aspecto:
>> ans = 16
O MATLAB utiliza a variável ans para armazenar o resultado a última operação
realizada pelo programa. Assim, de digitarmos
>> ans
e pressionarmos Enter, veremos que o prompt retornará o valor armazenado nesta
variável, que neste momento, é o número “16”.
Comando Atribuição (=)
Outra forte evidência da simplicidade no MATLAB é que não existe necessidade
de declarar uma variável antes de cria-la, como é de praxe em muitas linguagens de
programação. Assim, caso queiramos criar uma variável “a”, cujo valor seja “256”,
utilizamos o comando de atribuição (=):
>> a = 256
Desta forma, estamos informando ao software que “a” é uma variável, e seu valor
deve ser “256”.
Existirá situação em que não será interessante que a resposta de uma determinada
instrução seja exibida no prompt (por apresentar um número muito grande de elementos,
por exemplo). Assim, para impedir que o MATLAB exiba o conteúdo de uma variável que
acaba de ser criada, ou o resultado de alguma operação, basta que encerremos a linha de
programa com um “;”, da seguinte forma:
>> v=50
213
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Observe que, digitando o código acima no prompt e pressionando Enter, uma nova
variável é criada (conforme se pode observar na janela Workspace), porém, nenhuma
informação é retornada no prompt. Mais adiante neste curso, veremos que usar o “pontoe-vírgula” será muito conveniente.
Comentários (%)
À medida que nossas habilidades progridem, o nível de complexidade dos
programas que escrevemos no MATLAB evolui proporcionalmente. Poderá chegar um
ponto em que os programas ganhem um volume de linhas de programação muito grande,
e que se tornará fundamental utilizar algum recurso para descrever de forma fácil o que
determinados trechos da programação realiza, a fim de facilitar sua leitura em situações
posteriores.
Nesta linha de pensamento, o MATLAB possibilita o usuário a escrever comentários
ao longo da programação, ou seja, inserir linhas com informações que não serão
executadas (interpretadas) como programas.
Assim, ao utilizar o “%” antes de qualquer linha de programa, o software entenderá
que o que vier a frente não é uma instrução, e sim, apenas um comentário feito pelo
usuário, e assim, simplesmente irá ignorar a informação.
>> a + b
% Realiza a soma de a com b
Perceba que todo texto comentado será pintado com a cor verde ao longo do
programa.
Comando HELP
Sempre que nos encontramos em uma situação onde desconhecemos o
comportamento de determinada ferramenta ou função do MATLAB, o comando help é
a melhor saída. Acontece que o próprio MATLAB dispõe de um bando de dados com
completa descrição de todas as funções que possui, assim como de outras ferramentas
que são executadas em conjunto com o software.
O help pode ser utilizado muito facilmente através do prompt de comando. Para
tanto, basta digitar help seguido da função sobre a qual se deseja saber mais. Por
exemplo, digitando:
>> help exp
O prompt devolve as seguintes inscrições:
EXP
Exponential.
EXP(X) is the exponential of the elements of X, e to the X.
For complex Z=X+i*Y, EXP(Z) = EXP(X)*(COS(Y)+i*SIN(Y)).
Assim, vemos que a função exp representa a função exponencial.
214
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
Comandos clc e clear
Para encerrar a apresentação dos comandos básicos no MATLAB, apresentamos o
clc e o clear.
Na medida em que digitamos instruções no prompt de comando e as respostas a
estas instruções são exibidas, as mesmas vão se acumulando na tela. Por vezes, este
acumulo polui a exibição do prompt, e também não se faz necessário de ser mantido.
Assim, sempre que julgarmos necessário limpar a janela do Command
History, digitamos a instrução clc.
>> clc
E, de forma similar, de acordo com a execução de instruções, diversas variáveis vão
sendo criadas e armazenadas. Em algumas situações podemos ter não ter mais a
necessidade de manter estes dados, e por questão de organização, queremos limpar estas
informações da memória do software. Nestes casos, lançamos mão do comando clear:
>>
clear
Ao ser digitado no prompt, o comando clear irá apagar todas as variáveis que
estão armazenadas provisoriamente na memória do MATLAB. Portanto, tenha o
cuidado de não digitar este comando “acidentalmente”.
Variáveis Matriciais
Conforme vimos no tópico anterior, no MATLAB® podemos declarar variáveis de
maneira bem dinâmica, sem precisar declarar seu tipo, como é de praxe em muitas
linguagens de programação.
O que precisar ser entendido pelo usuário desde o início de seus trabalhos com este
software é que sua raiz está na operação com matrizes, isto quer dizer que o MATLAB
trabalha, fundamentalmente, com variáveis matriciais.
Ou seja, embora tenhamos a liberdade de trabalhar com números reais (ou
mesmo imaginários) de maneira bem direta, no fundo, estamos armazenando na
memória do programa variáveis que são enxergadas por ele na forma de matrizes.
Desta forma, quando digitamos no prompt
>> b = 1500
estamos definindo “b” como uma matriz de dimensão 1x1.
Ao ser digitado no prompt, o comando clear irá apagar todas as variáveis que
estão armazenadas provisoriamente na memória do MATLAB. Portanto, tenha o
cuidado de não digitar este comando “acidentalmente”.
Similarmente a algumas linguagens de programação, sempre que precisarmos
declarar uma variável matricial, procederemos da seguinte forma:
215
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
>>
>>
>>
>>
A
B
C
D
=
=
=
=
[1 2 3]; Definimos um vetor linha, com 3 colunas
[1; 2; 3]; Definimos um vetor coluna, com 3 linhas
[5 5; 6 6]; Definimos uma matriz 2x2 (duas linhas e duas colunas)
[1 2 3; 4 5 6]; Definimos uma matriz 2x3 (duas linhas e três colunas)
Note que diferenciamos uma variável “escalar” de uma matricial quando
escrevemos os elementos dentro de colchetes [ ]. Observe que no exemplo mais acima
neste documento que ao declarar “b” como uma variável “escalar” cujo valor era “1500”
não precisamos fazer uso dos colchetes, muito embora o mesmo resultado teria sido
alcançado se tivéssemos digitado
>> b = [1500]
Veja que sempre que separamos uma coluna de outra ao escrever uma matriz
utilizamos um espaço simples. E, ao terminar de escrever os elementos de uma
determinada linha, informamos ao MATLAB que uma nova linha será inclusa na matriz
simplesmente por colocar ; (ponto-e-vírgula) após o último elemento inserido.
Assim, após ter digitado a sequência de códigos acima, as seguintes variáveis teriam
sido criadas:
5 5
𝐴 = (1 2 3)
𝐶=(
)
6 6
1
1 2 3
𝐵 = (2 )
𝐷=(
)
4 5 6
3
Procedendo desta forma, podemos declarar matrizes de quaisquer dimensões que
queiramos.
Manipulando Matrizes
Depois de criadas, as matrizes dentro do MATLAB podem ser alteradas ou até
mesmo expandidas por meio de alguns comandos.
Podemos, eventualmente, desejar alterar um único elemento de uma matriz.
Neste caso, podemos utilizar a seguinte sintaxe:
>> A(i,j) = k
Fazendo isto, estamos informando ao MATLAB que queremos que o elemento da
linha i, coluna j da matriz passe a assumir o valor representado por k.
Ou, se simplesmente digitarmos
>> A(i,j)
teremos como retorno no prompt (armazenado na variável ans), o valor que está
atualmente guardado na posição i,j da matriz A.
Existem algumas maneiras através das quais podemos criar ou alterar variáveis de
maneira muito inteligente e estratégica. Observe os exemplos:
216
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 6 9]; Cria uma matriz A 3x3
>> A = [A; 10 11 12];
Observe que digitando das duas instruções acima definimos uma
matriz A3x3 tal como apresentado, e em seguida, a alteramos por adicionar
uma nova linha a ela, tal como ilustra a Figura L1.3.
Figura L1. 3 Inserção de uma nova linha em uma matriz já existente.
Outro exemplo é apresentado abaixo:
>> A = [1 1; 1 1];
>> B = [2 2; 2 2];
>> C = [A B];
>> D = [A; B];
Neste caso um pouco mais elaborado, estamos criando novas matrizes a partir de
outras já existentes. Contudo, ambos os exemplos apresentados caracterizam a
concatenação de matrizes, isto é, a união de matrizes (ou vetores, digamos) para
criação de outras matrizes. No segundo exemplo, duas matrizes 2x2 são definidas e a
partir delas, outras duas são criadas. A Figura L1.4 ilustra o raciocínio usado.
Figura L1. 4 Concatenando matrizes.
Isto quer dizer que, no primeiro exemplo não poderíamos executar um comando
tal como:
217
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 6 9];
Cria uma matriz A 3x3
>> A = [A; 10 11 12 13];
Veja que estaríamos tentando adicionar uma linha com 4 colunas a uma matriz que,
originalmente, só possui 3 colunas. O mesmo raciocínio vale para o segundo exemplo,
pois seria impossível concatenar uma matriz 2x2 com uma matriz 3x3 da seguinte forma:
>> A = [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1];
>> B = [2 2; 2 2];
>> C = [A B];
Vetor com Incremento
Outro recurso muito útil é a criação de vetores com incremento. Esse artifício é
particularmente essencial quando precisamos definir um vetor que constituirá o
domínio de uma determinada função.
Por exemplo, ao entrarmos com o comando:
>> x = [1:2:9]
estamos definindo um vetor x, cujo primeiro elemento começa com “1”, e o último
elemento é “9”. Os elementos que “preenchem” o vetor são espaçados de “dois em dois”
entre si, conforme ilustra a Figura L1.5.
Figura L1. 5 Criando um vetor com incremento.
Esta ferramenta é muito usada quando queremos criar um vetor que constitua o
domínio de uma função trigonométrica:
>> X = [0:pi/3:pi]
Teremos um vetor x tal ilustrado como:
𝜋
2𝜋
𝑋 = [0
𝜋 ]
3
3
Que poderá ser usado em conjunto como a apresentada abaixo, por exemplo.
>> y = sin (X)
Veja que o vetor X é o argumento da função seno, constituindo os elementos do
domínio desta função y=f(X).
218
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
Operador Dois Pontos
Por fim, apresentamos outra ferramenta cuja uma das funções é possibilitar a
criação e edição de matrizes: o operador dois pontos. Observe o exemplo abaixo:
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>>A(1,:) = [1 1 1]
Ao digitar os comandos acima, estaremos informando ao MATLAB que queremos
que os elementos englobados pela primeira linha, da primeira até a última coluna devem
ser substituídos pelos elementos [1 1 1]. A ideia por trás deste código é ilustrada na
Figura L1.6.
Figura L1. 6 Operador dois pontos.
A mesma operação poderia ser feita entrando com:
>> A(1,1:3) = [1 1 1]
Neste caso, a instrução seria compreendia pelo MATLAB como o pedido para que
na linha 1 da matriz A, no espaço compreendido entre a coluna 1 e a coluna 3, substitua
os elementos presentes por : 1 1 1
Com esta ferramenta, podemos acessar submatrizes dentro de uma matriz
qualquer. Num último exemplo neste âmbito, ao digitarmos:
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> A(2:3,1:2) = [10 10; 10 10];
estaríamos solicitando que os elementos compreendidos no subconjunto formado entre
as linhas 2 e 3, e as colunas 1 e 2, sejam substituídos pelos elementos [10 10; 10 10]. A
Figura L1.7 ilustra esta ideia.
Figura L1. 7 Utilizando o operador dois pontos para acessar sub-blocos de matrizes.
219
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
1.4. Operações com matrizes
Uma vez que já sabemos como definir matrizes e atribuí-las a variáveis no MATLAB,
estamos prontos para começar a trabalhar com elas e começar a compreender
os mecanismos de funcionamentos das operações com matrizes mais básicas, porém
muito poderosas com as quais este software trabalha.
No MATLAB®, as principais operações matemáticas com matrizes que iremos
trabalhar são a adição, subtração e multiplicação de matrizes; exponenciação com
matrizes; “divisão” de matrizes; e determinação da trasposta e da inversa de uma
matriz.
Adição, subtração e multiplicação de matrizes
A adição, subtração e multiplicação matriciais são as mais simples dentre as
operações matriciais executadas pelo MATLAB. Obviamente, as regras quanto à execução
destas operações seguem as regras matemáticas já conhecidas, e por isso, faz-se de
extrema necessidade observar se as dimensões das matrizes envolvidas em cada
operação satisfaçam os critérios para que estas sejam validas.
Computando através do prompt, por exemplo, o seguinte comando:
>> A + B
%Adição da matriz A com a matriz B
onde 𝐴 e 𝐵 são matrizes, o MATLAB fará a adição das mesmas, contanto que estas sejam
matrizes de mesma dimensão. De forma completamente análoga, se dá a subtração de
duas matrizes:
>> A – B
%Subtração entre as matrizes A e B
Com respeito à multiplicação, devemos nos lembrar de que para multiplicar uma
determinada matriz 𝐴 por outra matriz 𝐵, é necessário que o número de colunas de A
seja igual ao número de linhas de 𝐵. Ou seja:
𝐴1𝑥𝟐 ∙ 𝐵𝟐𝑥2
No caso do exemplo acima, os números em destaque mostram a compatibilidade
necessária para que exista o produto de 𝐴 por 𝐵. No MATLAB, este comando é feito
utilizando o operador *:
>> A*B
%Multiplica a matriz A pela matriz B
Exponencial matricial
Quando se fala de exponencial envolvendo uma matriz, deve-se tomar atenção que
a operação 𝐴^𝐵, onde 𝐴 é uma matriz, só tem sentido se 𝐴 for uma matriz quadrada, e 𝐵
for um escalar.
Assim, por exemplo, se temos:
1 2 3
𝐴 = (4 5 6 ) 𝑒 𝐵 = 2
7 8 9
220
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
a seguinte operação será realizada:
1 2 3
1 2 3
𝐴𝐵 = 𝐴2 = 𝐴 ∙ 𝐴 = (4 5 6) ∙ (4 5 6)
7 8 9
7 8 9
Observe que, no fundo, fazemos a multiplicação da matriz 𝐴 por ela mesma. Desta
forma, é justificado a necessidade de 𝐴 ser uma matriz quadrada, pois do contrário, não
seria possível realizar a multiplicação matricial. (Note que só existe compatibilidade no
produto de 𝐴𝑖,𝑗 por 𝐴𝑖,𝑗 se 𝑖 = 𝑗, ou seja, 𝐴 for quadrada).
Divisão matricial
A divisão matricial, propriamente dita, não é definida matematicamente, e assim, é
“enxergada” como operação de inversão matricial pelo MATLAB. Desta forma, ao digitar
um comando tal como:
>> A\B
o MATLAB irá interpretar o comando como sendo uma multiplicação entre a inversa da
matriz 𝐴 pela matriz 𝐵, ou seja:
𝐴\𝐵 = 𝑖𝑛𝑣(𝐴) ∗ 𝐵
É muito importante notar que a inclinação da barra de divisão fará diferença na
operação realizada pelo MATLAB. Se o comando dado for:
>> A/B = A*inv (B)
o MATLAB irá interpretar o comando como sendo uma multiplicação entre a matriz 𝐴 e
a inversa da matriz 𝐵, isto é:
𝐴/𝐵 = 𝐴 ∗ 𝑖𝑛𝑣(𝐵)
Isto acontece pois quando estamos falando de matrizes, existe uma questão
referente aos termos pré e pós multiplicação. Estes termos existem pois a propriedade
comutativa não é valida em operações matriciais, ou seja:
A*B ≠ B*A
Transposta e inversa de uma matriz
Obter a trasposta ou a inversa de uma determinada matriz no MATLAB é bem
simples, e basta que as exigências matemáticas para a existência das mesmas sejam
cumpridas.
A trasposta de uma matriz 𝐴 qualquer pode ser encontrada simplesmente por
digitar no prompt :
>> A'
Já para o cálculo da inversa de uma matriz 𝐴, devemos respeitar a condição de que
A seja uma matriz quadrada não singular. Assim, calcula-se a inversa de 𝐴 fazendo
>> inv(A)
221
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Operação com escalares e operações elemento-a-elemento
Uma última gama de operações que vamos explorar envolvendo diretamente
matrizes é a que diz respeito às operações entre uma matriz e um escalar, e as operações
elemento a elemento, que são fundamentais em muitas aplicações práticas.
Com relação às operações matriciais que envolvem escalares, citaremos as duas
mais importantes: soma por um escalar e multiplicação com um escalar.
Em muitas situações, dispomos de dados armazenados em uma matriz, e
precisamos fazer uma alteração global a todos os elementos desta. Por exemplo, ao
realizar um experimento, podemos fazer a aquisição de certo grupo de dados, e estes
podem necessitar de ajustes, como um offset ou uma mudança de escala.
No caso de um offset, podemos somar (ou subtrair) um escalar de todos os
elementos da matriz, de uma só vez, entrando com o seguinte código:
>> A + k
onde A é uma matriz qualquer e 𝑘 é um escalar.
Desta forma, o MATLAB somará “𝑘” em cada um dos 𝐴𝑖,𝑗 elementos da matriz 𝐴.
E, na situação em que é necessário multiplicar todos os elementos de uma matriz
𝐴 qualquer por um escalar 𝑘, basta fazer
>> A*k
Com isso, cada um dos 𝐴𝑖,𝑗 elementos da matriz 𝐴 será multiplicado por 𝑘.
Agora, uma operação que pode causar confusão aos iniciantes no MATLAB é a
operação elemento a elemento. Pois, por vezes, confunde-se o uso da multiplicação por
um escalar com essa e vice-versa, resultando em erros na programação e execução de
uma determinada tarefa.
Para explicar o funcionamento deste tipo de operação, vamos supor o exemplo de
um experimento, onde deseja-se determinar a potência elétrica dissipada por um
resistor ao longo da variação de tensão elétrica aplicada a ele. Uma forma de realizar este
experimento é medir, simultaneamente, a tensão aplicada ao resistor e a corrente que
circula através dele em consequência desta tensão. Assim, para cada valor de tensão, será
associado um valor de corrente elétrica.
Por fim, fazendo a multiplicação da tensão pela corrente, para cada um dos pares
ordenados gerados, obtém-se o valor de potência elétrica associado.
Supondo que tais valores de tensão e corrente foram armazenados nos vetores 𝑉 e
𝐼, respectivamente, para gerar um vetor 𝑃 tal que cada elemento 𝑃𝑖,𝑗 corresponda ao
produto 𝑉𝑖,𝑗 ∗ 𝐼𝑖,𝑗 , devemos executar o seguinte código:
>> P = V.*I
Assim, por exemplo, podemos obteremos um vetor tal como
𝑃1,1
𝑉1,1 ∗ 𝐼1,1
(
)=(
)
𝑃2,1
𝑉2,1 ∗ 𝐼2,1
222
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
Observe que, diferentemente da multiplicação entre uma matriz por outra, ou de
uma matriz por um escalar, antes do símbolo de multiplicação * temos a presença de um
ponto (.). Este ponto é um indicador que a multiplicação a ser feita deverá ser elemento
a elemento.
Vale ressaltar que este tipo de operação pode ser feito entre duas matrizes
quaisquer de mesmas dimensões, isto é, não necessariamente um vetor. Assim, sendo 𝐴
e 𝐵 duas matrizes 2x2, por exemplo digitando:
>> C = A.*B
obtemos:
(
𝐶1,1
𝐶2,1
𝐶1,2
𝐴1,1 ∙ 𝐵1,1
)=(
𝐶2,2
𝐴2,1 ∙ 𝐵2,1
𝐴1,2 ∙ 𝐵1,2
)
𝐴2,2 ∙ 𝐵2,2
Formação de matrizes especiais
Agora, por fim, apresentaremos comandos que podem, facilmente, montar matrizes
específicas, tais como veremos abaixo.
>> A=eye(3)
%Forma uma matriz IDENTIDADE 3x3
>> A=zeros(3)
%Forma uma matriz NULA 3x3
>> A=ones(3)
%Forma uma matriz UNITÁRIA 3x3
>> A=rand(2,3)
>> d=det(A)
%Forma uma matriz com ELEMENTOS ALEATÓRIOS,
%cuja dimensão é 2x3
%Calcula o DETERMINANTE da matriz A
1.5. Construção de gráficos
Sem dúvidas, um dos pontos em que o MATLAB pode ser realmente poderoso e
versátil é na elaboração de gráficos. Dizemos isto pois podemos construir gráficos com
muita facilidade, quer sejam de baixa ou alta complexidade.
No MATLAB, é possível plotar gráficos em 2D ou 3D. Contudo, nos atentaremos aos
gráficos 2D, pois são estes que nos depararemos em construir em situações práticas ao
longo do curso de graduação.
Iremos construir gráficos através do comando plot. Podemos utilizá-lo para plotar
uma função determinada, dentro de um certo domínio de interesse, ou para plotar dados
colhidos experimentalmente, por exemplo.
Por exemplo, para plotar o gráfico de uma função cosseno, primeiramente
determinamos o intervalo no qual vamos representar a função. Podemos fazer isto
utilizando a criação de vetores com incremento:
>> t = [0:0.01:2*pi];
223
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Com isto, definimos um vetor t com valores de t que variam de 0 a 2π.
Declarado uma variável 𝑦 tal como
>> y = cos(t)
criamos um vetor que cada elemento representa o valor do cosseno aplicado ao elemento
de posição correspondente no vetor 𝑡.
Então, para visualizarmos o gráfico, fazemos:
>> plot(t,y)
Feito isto, na janela “Figure 1” devemos obter, agora, a seguinte imagem,
correspondente ao plot que fizemos.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Figura L1. 8 Plot da função cosseno utilizando o MATLAB.
Observe que dentro da estrutura do plot(a,b), “a” representa o vetor com os
pontos referentes ao eixo das abcissas, enquanto que “b” representa o vetor com os
pontos referentes ao eixo das ordenadas. O comando plot permite também que façamos
customizações nas curvas plotadas. Isso pode ser facilmente feito digitando códigos
adequados após especificar o par de vetores da curva a ser plotada. Por exemplo, ao
digitar
>> plot(t,y,’r’)
estaremos indicando que a curva formada pelos pares txy deve ser pintada na cor
vermelha.
Cada cor possui um código que, se digitado após um par de vetores no plot, sempre
entre apostrofes, alterará a cor da linha em questão. Algumas das cores possíveis são
apresentadas a seguir.
224
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
• k – black
• w – white
• c – cyan
• m – magenta
• r- red
• b – blue
• g – green
• y – yellow
Além de alterar a cor, podemos alterar o aspecto da curva, isto é, podemos definir
se os pontos serão ligados por linhas cheias, linhas tracejadas, ponto e traço, ou mesmo
se os pontos terão outras formas, com bolinhas, triângulos, ou mesmo asteriscos.
Este tipo de customização é feito da seguinte forma:
>> plot(t,y,’r-.‘)
O “-.” que foi inserido após o código “r”, que determina cor da linha, informa ao
programa que a linha a ser plotada em função dos pares 𝑡 𝑥 𝑦, deverá ser do tipo ponto e
traço. A imagem a seguir mostra o resultado do plot em questão.
Existem várias formas de alterar os formatos das curvas, sendo eles
’-’ Linha contínua
’ˆ’ Triângulos
’-’ Linha tracejada
’v’ Triângulos
’:’ Pontilhado
’>’ Triângulos
’-.’ Traço e ponto
’<’ Triângulos
’.’ Pontos
’s’ Quadrados
’+’ Cruzes
’d’ Losangos
’*’ Asteriscos
’p’ Pentágonos
’o’ Círculos
’h’ Hexágonos
’x’ X
Podemos, também, plotar mais de uma curva em uma mesma janela, simplesmente
adicionando informações ao comando plot.
Definindo um outro vetor 𝑧 (já tendo definido com 𝑡 e 𝑦 mencionados
anteriormente), tal como
>> z = sin(t);
criamos um vetor similar a 𝑦, porém, que contém os valores de seno aplicado aos
elementos do vetor 𝑡.
Então, digitando
>> plot(t,y,’b’,t,z,’r-.’)
obtemos o seguinte gráfico.
225
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Figura L1. 9 Plotando dois gráficos simultaneamente.
Por fim, mostraremos como deixar a aparência do plot mais apresentável e
completa. Isto pode ser feito por meio da inserção de títulos e rótulos.
O título de um plot pode ser colocado após o mesmo ter sido feito. Ou seja, primeiro
criamos a curva, e depois definimos qual será o título da mesma, que aparecerá na janela
Figure aberta.
>> plot(t,y,’b’,t,z,’r-.’)
>> title(‘ Gráfico das Funções Sen(wt) e Cos(wt)’ )
Observe a necessidade de digitar o texto entre apóstrofes.
Além disso, podemos definir os eixos por meio do xlabel e do ylabel:
>> xlabel (‘ Radianos ‘)
>> ylabel (‘ Sen(wt) e Cos(wt)’)
Outro ponto que pode ser acrescentado ao plot é uma “grade”, feita digitando o
comando grid on.
Por fim, apresentamos como inserir legendas na imagem. Para tanto, na janela
Figure na qual o plot foi feito, localize e clique na aba superior “Insert”, e então, selecione
“Legend”. Com isso, uma pequena legenda deve aparecer na área de plot. Você pode
arrastá-la para posicioná-la onde melhor convier, e é possível alterar as legendas dando
um clique duplo no texto. O resultado final do plot com esses adornos é apresentado a
seguir.
226
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
Gráfico das Funções Sen(wt) e Cos(wt)
1
0.8
0.6
Sen(wt) e Cos(wt)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
Radianos
5
6
7
Figura L1. 10 Edição de gráficos.
1.6. Aquisição de dados
Especialmente falando a respeito da disciplina de Controle Linear I, a aquisição de
dados a partir de um osciloscópio digital é de suma importância.
Nesse contexto, utilizaremos dois programas desenvolvidos pelo Prof. Dr. Ricardo
Tokio, que serão muito úteis na obtenção experimental de funções de transferência dos
sistemas que iremos estudar ao longo do curso. São eles:
•
•
curva
filtdeg
O curva será utilizado na primeira etapa: aquisição dos dados à partir do
osciloscópio digital (Tektronix). A sintaxe do curva é apresentada abaixo:
>>
[t,v]=curva(1);
Digitando o comando acima, guardaremos nos vetores 𝑡 e 𝑣 valores de tempo e
tensão, cada um deles com 2500 elementos. Juntos, formarão 2500 pares ordenados,
referentes ao nível de tensão aferido pela ponteira 1 do osciloscópio, em um dado
instante de tempo.
Desta forma, criamos uma forma de estabelecer um protocolo de comunicação entre
osciloscópio e computador.
Figura L1. 11 Curva: Link de comunicação entre osciloscópio e computador.
227
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
OBS: O protocolo de comunicação que o curva estabelece entre o osciloscópio e o
microcomputador retorna os dados de tensão em “volts” e os dados de tempo em
“segundos”. Sendo assim, é fundamental informar essas unidades nos gráficos
apresentados nos relatórios!
Dados Canal 1
1.5
1.4
1.3
Tensão (V)
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (s)
2.5
3
3.5
4
Figura L1. 12 Não se esqueça de colocar as legendas corretamente!
Em seguida, damos início ao tratamento destes dados. Primeiramente, uma correção
no vetor 𝒕 deve ser feita, pois normalmente a aquisição fornece o primeiro elemento no
vetor t (t1) diferente de zero.
Com isso, a curva v x t plotada teria início em um t≠0. Para contornar isto, criamos
um novo vetor tempo. Inicialmente, identificamos o menor valor dentro do vetor tempo
original:
>>
tmin=min(t);
Digitando a linha acima, atribuímos à variável tmin o mínimo valor de tempo que
foi salvo na aquisição com o curva.
Em seguida, digitamos:
>>
tnovo = t-tmin
Este procedimento corresponde a dar um offset no vetor 𝑡, pois estamos subtraindo
de todos os elementos de t um valor escalar constante.
Só assim, damos o plot. Agora, estamos construindo uma curva cujo primeiro valor
de tempo será:
t0 = tmin – tmin = 0
>>
plot(tnovo,v)
228
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
O procedimento completo seria:
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
[t,v] = curva(1);
tmin = min(t);
tnovo = t-tmin;
Figure(1)
plot(tnovo,v);
xlabel(‘Tempo(s)’);
ylabel(‘Tensão (V)’);
title (‘Curva 1 – Canal 1’);
grid on
Outro procedimento importantíssimo a ser executado durante os laboratórios de
Controle Linear I é o de salvar os dados adquiridos.
>>
save DadosCanal1
Este comando criará um arquivo .mat contendo todas as variáveis (vetores, matrizes
e escalares) que você possui armazenadas temporariamente na memória do MATLAB®.
É imprescindível realizar este passo, pois você não será capaz de redigir seu
relatório em casa sem os dados obtidos com o curva.
IMPORTANTE: Evite caracteres especiais na escolha do nome do seu arquivo. Procure
usar um nome intuitivo e simples, não sendo permitido utilizar espaços.
Depois, em casa, basta você executar o comando:
>>
load DadosCanal1
É possível, também, fazer a aquisição de dados dos dois canais do osciloscópio,
simultaneamente:
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
[t,v]=curva([1,2]);
tmin = min(t);
tnovo = t-tmin;
Figure(1)
plot(tnovo,v);
xlabel(‘Tempo(s)’);
ylabel(‘Tensão (V)’);
title (‘Curva 1 – Canal 1 e 2’);
grid on
save DadosCanal12
E, para finalizar o tratamento dos dados, utilizamos o segundo programa
desenvolvido pelo Prof. Tokio: o filtdeg. Sua sintaxe é apresentada abaixo:
>>
vfiltrado=filtdeg(v,60);
Com o comando acima, estaremos criando um vetor que carregará o sinal filtrado
do vetor 𝑣.
229
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Abaixo, encontra-se um exemplo de programa para realizar o tratamento de dados
colhidos em laboratórios.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
load DadosCanal1;
tmin = min(t);
tnovo = t-tmin;
vfiltrado=filtdeg(v,60);
Figure(1)
plot(tnovo,v,’y’,tnovo,vfiltrado,’b’);
xlabel(‘Tempo(s)’);
ylabel(‘Tensão (V)’);
title (‘Curva 1 – Canal 1’);
grid on
Com este programa, obteremos uma curva sem os ruídos que são naturalmente
intrínsecos aos sinais medidos durante os experimentos.
Figura L1. 13 Sinais experimentais com filtragem digital.
230
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
2. Parte Prática: Lista de Exercícios e Manuseio do Osciloscópio
IMPORTANTE!
O relatório deste experimento deverá conter:
1. Descrição de 8 comandos (ou conjuntos) que você achou mais interessantes;
2. Plot de curvas cuja aquisição foi feita utilizando o osciloscópio digital Tektronix e tratadas
com o MATLAB, referentes a:
2.1. Senóide de 2 V de pico e 500 Hz;
2.2. Onda quadrada fornecida pelo osciloscópio (Canal 1) e senóide de 3 V de pico e 1kHz
(Canal 2);
2.3. Curvas dos itens 2.1 e 2.2 filtradas utilizando o “filtdeg”.
Não esquecer de levar o programa “filtdeg.m” para casa!
2.1. Lista de Exercícios: Comandos Básicos do MATLAB
Execute os seguintes comandos e interprete os resultados. As linhas que começam
com um ‘%’ não precisam ser digitadas – são apenas comentários de orientação.
Inicialmente mude para o seu diretório de trabalho, selecionando seu diretório de
trabalho modificando o campo do MATLAB: “current diretory”.
% COMANDOS BÁSICOS
a= 2500/20
a=2500/20;
b=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]
c=[1 2 3 ; 4 5 6; 7 8 9]
c=[c ; [10 11 12]]
c(2,2)=0
d=c(1:2,1:3)
l=length(b)
[m,n]=size(b)
[m,n]=size(c)
x=1:2:9
x=(0:pi/10:2*pi);
y=sin(x)
help sin
a=2^3
a=4/3
format long
a=4/3
format short
clear
a=[1 2 3; 4 5 6 ; 7 8 9];
b=a'
231
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
c=a+b
c=a-b
a(1,:)=[-1 -2 -3]
c=a(:,2)
c=a(2:3,2:3)
clear
% RECURSOS DE GRAVAÇÃO (ARMAZENAGEM) DE DADOS
help save
help load
a=[1 2 3 4 5 6 7 8];
b=a*2;
c=a-1;
save arquivo1 a b c
% Confira a janela Workspace
Clear
% Confira, novamente, a janela Workspace
load arquivo1
% O que aconteceu com as variáveis a, b e c?
clear
% RECURSOS GRÁFICOS
y=[0 2 5 4 1 0];
plot(y)
help pi
t=0:pi/10:4*pi
y=sin(t)
z=cos(t);
plot(t,y,'--',t,z,'-.')
title('Funções')
xlabel('t')
ylabel('Seno e Cosseno')
text(3,0.5,'Seno')
% Após o próximo comando, selecione a posição que deseja
%colocar o texto ‘Cosseno’ com o mouse
gtext('Cosseno')
Ao chegar a este ponto, realizar o item 2 da pg 231: aquisição de dados com o
osciloscópio digital (ver detalhes na pg 227). Continue a estudar os demais comandos em
casa.
% VETORES
x=[-1 0 2];
232
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
y=[-2 -1 1];
x.*y
x*y'
c=x+2
a=[1 0 2; 0 3 4; 5 6 0];
size(a)
b=inv(a);
c=b*a
c=b/a
c=b\a
% Confira a janela Workspace
clear a b c x y
% Confira, novamente, a janela Workspace
% NÚMEROS COMPLEXOS
i=sqrt(-1)
z=3+4*i
a=[1 2; 3 4]+i*[5 6 ; 7 8]
realz=real(z)
imagz=imag(z)
modz=abs(z)
fasez=angle(z)
% MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
% x3 = (x^2
+ 3x
+
2).(x^2
x3=conv([1 3 2],[1 -2 1])
- 2x
+1)
% Como ele faz isto?
% DETERMINAÇÃO DAS RAÍZES DE UM POLINÔMIO
roots([1 3 2])
roots([1 -2 1])
roots(x3)
% UTILITÁRIOS PARA MATRIZES
a=eye(4)
a=rand(5)
help rand
b=[2 0 0; 0 3 0; 0 0 -1];
d= det(b)
l=eig(b)
help det
help eig
233
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
% AJUSTE DE CURVAS DE DADOS EXPERIMENTAIS
t=(-1:.1:1);
x=t.^2;
xr=x+0.2*(rand(size(x))-.5);
figure(1);plot(t,xr,'g*')
p=polyfit(t,xr,2)
xa=polyval(p,t);
figure(1);plot(t,xr,'g*',t,xa)
% Após a próxima instrução, clique em dois pontos do gráfico,
%e os valores das coordenadas serão retornados em [x,y]
[x,y]=ginput(2)
% PROGRAMANDO COM O MATLAB
Abra um arquivo a partir do Matlab (File→New→M-File) e você estará trabalhando
no editor de texto do Matlab.
Digite os seguintes comandos e grave o arquivo com o nome teste1.m, no
diretório de usuários, ou seu diretório particular.
n=3;
m=3;
for i=1:m
for j=1:n
a(i,j)=i+j;
end;
end
disp('Matriz A')
disp(a)
%final do programa teste1.m
Para executar o programa acima, certifique-se que o Matlab está trabalhando com
o diretório no qual foi gravado o seu programa.
Para verificar qual o diretório o Matlab está trabalhando, veja o campo “Current
Directory”, na parte superior da janela do MATLAB.
Para modificar o seu diretório de trabalho, selecione seu diretório de trabalho
modificando o campo do MATLAB: “Current Directory”.
%
Para executar o programa teste1.m, digite:
teste1
% CRIANDO UMA SUBROTINA
234
APÊNDICE A – Laboratório 1: Introdução ao MATLAB
Abra outro arquivo, salvando-o com nome de teste2.m. Em seguida, digite os seguintes
comandos neste arquivo
v=1:1:10;
m=media(v);
s=sprintf('\n A média é: %4.2f',m);
disp(s);
%final do programa teste2.m
Agora crie o seguinte arquivo, com o nome de media.m
function x = media(u)
%function x=media(u) calcula a média do vetor u, colocando o
%resultado em x
x=sum(u)/length(u);
%final da sub-rotina media.m
%Na “Command Window” do Matlab, digite:
teste2
echo on
teste2
echo off
% CRIANDO UM PROGRAMA EXEMPLO DE GRÁFICO 3D
Abra outro arquivo, gravando-o com nome de teste3.m. Digite os seguintes
comandos neste arquivo
clear
n=30;
m=30;
for i=1:m
for j=1:n
a(i,j)=sqrt(i+j);
end
end
b=[a+0.5 a'-0.5;
(a.^2)/5 ((a'-0.1).^2)/2];
figure(1)
mesh(b)
figure(2)
surf(b)
235
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
APÊNDICE
B
APÊNDICE B – Laboratório 2: Introdução à Robótica
LABORATÓRIO 2:
Introdução à Robótica
1. Objetivos
Esta experiência tem o objetivo de introduzir conceitos de robótica industrial.
Serão montados robôs acionados por computador. O elemento básico do robô é o
servomotor.
2. Introdução
O servomotor é um motor de corrente contínua que possui internamente ao
invólucro um sensor de posição angular. Não há nenhuma realimentação do servomotor
para o microcomputador que o aciona. Há um sistema de realimentação que usa um
potenciômetro como sensor de posição angular do eixo, dentro do próprio servomotor,
que permite manter a posição que o microcomputador determinou. O alcance da rotação
do eixo do servomotor é 1800. Para maiores detalhes sobre o funcionamento interno do
servomotor vide pg. 30 e 31 do Manual do RCS-6. O servomotor também é conhecido como
“servo”.
Na indústria, uma forma que os técnicos e engenheiros fazem os robôs operarem é
o uso do treinamento manual. Primeiro eles manualmente acionam os servomotores e
gravam a operação realizada em um programa. Depois executa-se o programa gravado e
o robô repete as operações realizadas pelo treinador.
3. Segurança Pessoal
Os robôs podem mover-se repentinamente e sem aviso, mantenha sua face, ombro,
perna etc. fora do limite do alcance do braço do robô.
Nunca faça o robô atirar algo pesado, use apenas bola de tênis de mesa ou objeto
leve e macio. Não use pedras, bolas de vidro ou ferro.
236
APÊNDICE B – Laboratório 2: Introdução à Robótica
4. Segurança do Equipamento
Não deixe os servomotores em posição que os force muito, pois poderá
superaquecê-lo. Se o braço do robô ficar esticado por muito tempo irá superaquecer o
servomotor.
Não aperte demais os parafusos ou roscas.
Não bata as partes metálicas.
Não retire os cabos segurando nos fios, mas sim puxando o conector suavemente.
Não prenda inicialmente os fios ao robô e sim apenas no final da montagem.
Note que os servomotores tem cabos com diferente tamanhos.
Não deixe equipamentos próximos ao robô nos quais ele poderá colidir.
5. Inicializando e treinando o robô
Na tela do Windows, execute o programa: “RASCAL”.
Leia as precauções de segurança e clique em “OK”. Aparece o ambiente do programa
ROBIX RASCAL CONFIGURATION. A configuração já está adequada.
Selecione o “ícone” que representa um braço mecânico azul, sobre plano laranja e
em seguida selecione “CONTROL” e dentro de “CONTROL” selecione “OPEN ROBOT
CONSOLE”. Aparece o ambiente ROBIX RASCAL CONSOLE.
Selecione “VIEW” e em seguida “OPEN TEACH WINDOW”. Aparece o ambiente
ROBOT1 – TEACH. Você encontra uma barra vertical para cada um dos servomotores. Com
o mouse deslize-o para cima ou para baixo verificando que o servomotor selecionado gira
seu eixo. Se o servomotor não responder ao seu comando, alguma coisa está errada. Teste
todos os servomotores que conectou no adaptador.
Volte à tela ROBIX RASCAL CONSOLE, selecione “CONTROL” e em seguida “RESTART
ROBOT”. Com esta operação você colocou todos os eixos dos motores na posição de 00. O
eixo poderá se mover para + 900 ou para - 900, totalizando 1800. Importante, o seu robô
será montado inicialmente com os motores na posição angular dos eixos em 00.
Retorne novamente à tela ROBIX RASCAL CONSOLE, selecione “VIEW” e em seguida
“OPEN TEACH WINDOW”. Acione os servomotores para a próxima posição que deseja
para cada servomotor, dando assim o primeiro “passo” da trajetória que o robô deverá
executar, grave este “passo” clicando (na janela ROBOT1 – TEACH) em “ADD TO SCRIPT”.
Note que na tela ROBIX RASCAL CONSOLE foi colocada uma linha de programa que
executa a operação que você treinou seu robô. Faça outro “passo” do robô e grave o
comando. Ensine quantos passos desejar. Para que ele repita todos os passos já gravados
no programa, entre na tela ROBIX RASCAL CONSOLE, selecione “CONTROL” e então “RUN
FROM TOP”.
237
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
6. COMPLEMENTO PARA ROBIX NOVO – 2009
6.1.
Objetivos
Este complemento serve para o Robô ROBIX, comprado em 2008 e começou a ser
utilizado em 2009. Nele foi montado o segundo manipulador industrial de 6
servomotores. A placa de interface tem comunicação com o PC do tipo USB.
6.2.
Inicializando e treinando o robô
Na tela do Windows, execute o programa: “USBOR”.
A configuração na placa foi feita para se usar o Pod1, que corresponde ao primeiro
conjunto de 6 servomotores da placa de interface do ROBIX. A placa pode acionar os
grupos: Pod1, Pod2, Pod3 e Pod4. Sendo que cada um desses grupos pode-se colocar 6
servomotores.
No Windows selecione o ícone “USBOR NEXUS”, executando-o. Abrirá a tela “USBOR
NEXUS 1.1.0” e os motores já estão ativados pelo programa Usbor.
Volte ao Windows e execute o programa “USBOR NEXWAY”, abrirá a tela “USBOR
NEXWAY 1.1.0”. Entre na pasta “LOCALHOST” e clique em “OK”. Entre na pasta
“3QB97P6SWQP”. Selecione “POD1”. Selecione “CONTROL”, “OPEN POD GUI”, e em
seguida selecione “CONTROL” e então “OPEN TEACH MODE”. Aparece o ambiente TEACH.
Você encontra uma tabela com teclas associadas a cada um dos servomotores.
Acione o teclado segundo a tabela abaixo, verificando que o servomotor selecionado gira
seu eixo. Se o servomotor não responder ao seu comando, alguma coisa está errada. Teste
todos os servomotores que conectou no adaptador.
NÚMERO DO
MOTOR
GIRO GROSSO +
GIRO GROSSO GIRO FINO +
GIRO FINO -
1
1
Q
A
Z
2
3
4
5
2
3
4
5
W
E
R
T
S
D
F
G
X
C
V
B
UTILIZE ESSAS TECLAS PARA ACIONAR OS MOTORES
6
6
Y
H
N
Retorne novamente à tela Pod1-Usbor”, selecione “CONTROL” e em seguida “OPEN
TEACH MODE”. Aparece o ambiente TEACH. Acione os servomotores para a próxima
posição que deseja para cada servomotor, dando assim o primeiro “passo” da trajetória
que o robô deverá executar, grave este “passo” clicando em “ADD TO SCRIPT”. Note que
na tela ROBIX CONSOLE foi colocada uma linha de programa que executa a operação que
você treinou seu robô. Faça outro “passo” do robô e grave o comando. Ensine quantos
passos desejar. Para que ele repita todos os passos já gravados no programa, entre na tela
ROBIX CONSOLE, selecione “CONTROL” e então “RUN FROM TOP”.
238
APÊNDICE C – Laboratório 3: Controle de Motor C.C.
APÊNDICE
C
APÊNDICE C – Laboratório 3: Controle de Motor C.C.
LABORATÓRIO 3:
Controle de Motor C.C.
1. Objetivos
Este laboratório tem o objetivo de apresentar um sistema de controle analógico,
determinar a função de transferência do motor C.C. e projetar e implementar um
controlador proporcional analógico.
2.
Determinação da Função de Transferência do Motor C.C.
2.1.
Fundamentos Teóricos
Como foi visto no curso teórico, o motor C.C. é um sistema dinâmico de 1a ordem,
cuja função de transferência é dada por
Figura L3.1 - Função de Transferência do Motor C. C.
sendo V - tensão aplicada no motor, 𝜔 - velocidade angular do motor, 𝜏 - constante de
tempo do motor, K - ganho do motor em regime, KT - ganho do tacômetro, 𝜔𝑚 - velocidade
medida.
Para a determinação da função de transferência do motor c.c., será aplicada uma
tensão v(t) do tipo degrau e então, a partir de medidas da saída 𝜔𝑚 (𝑡), serão calculados
os parâmetros e KKT e 𝜏.
A Figura L3.2 mostra o gráfico da função 𝜔𝑚 (𝑡) × 𝑡, quando a chave CH é fechada em
𝑡 = 0. Os parâmetros 𝜏 e KKT da função de transferência do motor podem ser calculados
pelas seguintes expressões:
𝜔𝑚á𝑥
𝑡2 − 𝑡1
𝑒 𝐾𝐾𝑇 =
𝜏=
𝐴
ln 3
Agora, sabendo que
𝑡
deduza as equações acima.
239
𝜔𝑚 (𝑡) = 𝐴𝐾𝐾𝑇 (1 − 𝑒 −𝜏 ),
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Figura L3.2 - Montagem para a obtenção experimental da função de transferência.
2.2.
Procedimento Experimental.
1. Preparando o módulo experimental:
1.1. Certifique-se de que o interruptor S1 está na posição NORMAL.
1.2. Conectar a saída do potenciômetro do nível de referência P2 à entrada da interface
do motor.
1.3. Conectar a saída do gerador tacométrico (VT) à entrada positiva IN2 do detector
de erro.
1.4. Conectar a saída da tensão de offset à entrada negativa IN1 do detector de erro.
1.5. Conectar a saída do detector de erro ao osciloscópio digital.
2. Colocar o interruptor de tensão da unidade de controle em ON.
3. Certifique-se de que o interruptor de perturbação do nível de referência está em OFF.
4. Fixar a velocidade do motor em 800 rpm, em sentido horário, por meio do
potenciômetro do nível de referência.
5. Ajustar as escalas do osciloscópio digital. Ajustar a tensão de offset de tal forma a
proporcionar a maior amplitude do sinal na tela do osciloscópio.
6. Aplicar um degrau de tensão ao motor, passando a ON o interruptor de perturbação
do nível de referência. Registre a resposta transitória no osciloscópio. Use o MATLAB
para armazenar a resposta transitória. Não salve a figura, mas sim os dados com
“save”.
7. Voltar à posição OFF o interruptor de tensão da unidade de controle. Desligue o
módulo.
8. Tratamento dos dados:
8.1. Use o filtro digital filtdeg.m (Prof. Tokio) para retirar o ruído do sinal armazenado
no MATLAB. Digite help filtdeg para aprender a usar o filtro digital. Use N=60
(ordem do filtro).
8.2. Usando os resultados acima, faça um programa MATLAB para identificar a
função de transferência do motor-tacômetro. Use o comando “find”, por
exemplo: índice=find(v>=0.25*Wmax). Para truncar os pontos da curva
indesejáveis use o operador “:”.
9. No relatório, plotar no mesmo gráfico a resposta ao degrau experimental filtrada e a
resposta ao degrau da função de transferência obtida com seu programa. Discutir os
resultados obtidos.
240
APÊNDICE C – Laboratório 3: Controle de Motor C.C.
3.
Controle Proporcional de um Motor C. C.
3.1.
Projeto
Projete um sistema de controle proporcional, especificando o ganho 𝐾𝑅 na
configuração abaixo, de modo que o sistema atinja a velocidade de regime mais
rapidamente, em menos de 1 segundo.
Figura L3.3 Controle Proporcional de um motor C.C.
Lembre-se que o tempo de estabelecimento para sistemas de 1a ordem é: Te=4r,
sendo r a constante de tempo do sistema realimentado acima.
Desconecte todos os cabos da montagem anterior.
3.2.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
241
Implementação
Implemente no amplificador somador o ganho Kr projetado.
Preparando o módulo experimental:
1.1. Verificar se o interruptor S1 está na posição NORMAL.
1.2. Conectar a saída do potenciômetro do nível de referência P2 à entrada positiva
(IN2) do detector de erro.
1.3. Conectar a saída do gerador tacométrico a entrada negativa (IN1) do detector de
erro.
1.4. Conectar a saída do detector de erro a entrada IN1 do amplificador somador.
1.5. Conectar a saída do amplificador somador à entrada da interface do motor.
1.6. Conectar a saída do gerador tacométrico a entrada do osciloscópio digital.
1.7. Certifique-se que esta montagem implementa o sistema realimentado da figura 3.
1.8. Certifique-se de que o interruptor de perturbação do nível de referência S3 está
em OFF.
Colocar na posição ON o interruptor de tensão da unidade de controle.
Ajustar a velocidade do motor em 800 rpm (giro no sentido horário) mediante o ajuste
do potenciômetro do nível de referência P2.
Aplicar um degrau passando o interruptor S3 para posição ON. Ajustar as escalas do
osciloscópio digital e registrar a resposta ao degrau com o MATLAB.
Passar para OFF o interruptor de tensão da unidade de controle.
Usar o programa criado no item 8.2 da parte 2.2 do experimento para identificar a
função de transferência do sistema realimentado.
Determinar as constantes de tempo para cada um dos casos analisados e compará-los
com os valores teóricos esperados.
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
APÊNDICE
D
APÊNDICE D – Laboratório 4: Projeto e implementação de
controladores usando a técnica do lugar das raízes para o sistema
Ball Balancer
Projeto e implementação de controladores usando
LABORATÓRIO 4:
a técnica do lugar das raízes para o sistema
Ball Balancer
1. Objetivos
Este laboratório tem por objetivos apresentar uma aplicação prática de
controladores para motores CC em um sistema físico denominado Ball Balancer, ou
Sistema Bola-Placa, além de projetar controladores utilizando a teoria do lugar das raízes
a fim de garantir que alguns parâmetros de desempenho sejam atendidos, e avaliar o
resultado da implementação do controlador projetado, observando a resposta real do
sistema.
2. Introdução
O controle de sistemas físicos, em muitos casos, é projetado através de modelos
representativos mais simples, pois algumas características dinâmicas do sistema podem
ser relevadas de acordo com o problema de controle envolvido. Um bom exemplo disso é
o controle automático de trajetória de aeronaves.
O voo de um avião de uma localidade à outra é um processo dinâmico de extrema
complexidade. Diversas questões relacionadas à aerodinâmica são levadas em
consideração no projeto de um sistema físico como este. Contudo, no que se diz respeito
à problemática do desenvolvimento de controle automático que visa conduzir a aeronave
a seguir uma determinada trajetória, algumas questões dinâmicas são, por simplicidade,
relevadas, e lança-se mão de uma abordagem do ponto de vista da cinemática,
assumindo que a aeronave torna-se uma partícula puntiforme que se movimenta nos três
eixos coordenados do espaço: x, y e z.
Em muitas ocasiões é necessário que o avião faça um desvio em sua trajetória, por
exemplo, em decorrência de uma tempestade que atravessa a rota original. Poder-se-ia
optar por estudar esta problemática através de um sistema físico representativo moderno
e sofisticado de uma aeronave, que traga para dentro do laboratório um modelo fiel para
testar técnicas de controle que objetivam resolver este problema. Mas, além de
acrescentar maior - e, neste caso, desnecessária - dificuldade ao projeto por ser um
modelo físico completo, o custo de um aparato como este pode ser um fator que inviabilize
o projeto de estudo e desenvolvimento de controladores.
242
APÊNDICE D – Laboratório 4: Projeto e implementação de controladores usando a técnica do
lugar das raízes para o sistema Ball Balancer
Figura L4.1 – Esquema da representação da posição de uma aeronave.
Assim, é comum que sistemas mais simples, e que envolvam a problemática em
questão, sejam utilizados para a elaboração e testes de projetos de controle. Um sistema
que trata do controle de posição e trajetória de partículas é o Ball Balancer.
A Figura L4.2 apresenta o equipamento instalado no Laboratório de Pesquisa em
Controle da FEIS e que será explorado neste experimento. O Ball Balancer é um sistema
composto por uma placa sobre a qual uma esfera é equilibrada e conduzida mediante a
ação de motores de corrente contínua. Uma micro câmera instalada na parte superior do
equipamento é responsável por “medir” a posição instantânea da esfera sobre a placa. A
imagem é processada digitalmente por um sistema de aquisição de dados conectado a um
microcomputador. Assim, conhecendo a posição da esfera em cada instante, é possível
desenvolver controladores que, utilizando estas informações, atuarão sobre cada um dos
motores CC de modo a conduzir a esfera através de uma trajetória específica.
A simplicidade do equipamento, comparado
a um modelo mais sofisticado, mostra-se em
virtude de o controle da posição da esfera ser feito
em apenas duas dimensões e no fato de não levar
em consideração outras variáveis dinâmicas (no
caso de um avião em pleno voo, este apresenta
liberdade para se locomover nos três eixos, e que
a
sua
locomoção
envolve
questões
aerodinâmicas).
Contudo, é justamente sua relativa
simplicidade que torna o Ball Balancer um
excelente modelo para o problema de controle de
trajetória (como no exemplo citado do voo de um
avião, onde a esfera passa a representar o avião a
ser guiado), e especialmente útil para realizar os
primeiros estudos acerca do desempenho de
Figura L4.2 – O Ball Balancer.
controladores que, futuramente, caso apresentem
eficiência e resposta satisfatória, virem a ser testados em modelos mais complexos e
próximos dos sistemas reais.
243
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Ball Balancer
O sistema Ball Balancer possui dois servomotores (aqui referidos como SRV02), que
atuam de modo a movimentar a placa em dois graus de liberdade, x e y. Todavia, com
exceção do eixo em que cada um deles atua, o sistema dinâmico de ambos é exatamente
igual. Logo, o projeto do controlador para os servomotores será feito em relação a um dos
eixos e será igualmente implementado para o segundo eixo.
No Experimento 3, foi levantada a função de transferência que relaciona a
velocidade angular 𝜔𝑚 (𝑠) de rotação do eixo de um servomotor, com a tensão de entrada
𝑉(𝑠) aplicada ao mesmo, representada em (1). Naquela ocasião, os parâmetros do motor,
𝜏 e 𝑘, foram determinados experimentalmente, e os mesmos correspondiam única e
exclusivamente ao servomotor ensaiado no experimento.
𝑘
𝜔(𝑠)
=
𝑉(𝑠) 𝜏𝑠 + 1
(1)
Contudo, os motores de corrente contínua do Ball Balancer não são idênticos aos
utilizados no Experimento 4, os quais possuem suas próprias constantes, visto que são
inerentes às suas próprias estruturas. Outra diferença que será levada em consideração
neste experimento é a forma sob a qual a função de transferência do servomotor será
apresentada.
No projeto do controlador para o SRV02, a saída de interesse não é a velocidade
angular do motor (𝜔𝑚 ), mas sim a posição angular (𝜃) do eixo do motor, com respeito a
um dado referencial. A Figura L4.3 ilustra esta nova abordagem.
Figura L4.3 – Esquema da representação da posição de uma aeronave.
A aplicação de uma tensão específica, durante um determinado intervalo de tempo,
produzirá velocidade angular 𝜔, girando o eixo do servomotor a partir de uma posição de
repouso (𝜃𝑙 = 0°) para uma nova posição 𝜃𝑙 = 𝜃𝑑 , onde 𝜃𝑑 representa o “𝜃 desejado”. É
a partir deste conceito que o Ball Balancer opera: aplicando tensão elétrica apropriada
(calculada pelos controladores), produz-se uma rotação no eixo dos motores, que por sua
vez, provocará a inclinação da placa, conduzindo a esfera até a posição desejada.
244
APÊNDICE D – Laboratório 4: Projeto e implementação de controladores usando a técnica do
lugar das raízes para o sistema Ball Balancer
Justificada a necessidade da mudança, uma sutil manipulação na função de
transferência se faz necessária.
Levando em consideração que:
𝜔𝑚 (𝑡) = 𝜃̇𝑙 (𝑡)
(2)
𝜔𝑚 (𝑠) = 𝑠𝜃𝑙 (𝑠)
(3)
e supondo condições iniciais nulas, aplicando a Transformada de Laplace, obtemos:
Logo, substituindo (3) em (1), temos:
𝑠𝜃𝑙 (𝑠)
𝑘
=
𝑉(𝑠)
𝜏𝑠 + 1
E, desta forma,
𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠) =
𝑘
𝜃𝑙 (𝑠)
=
𝑉(𝑠) 𝑠(𝜏𝑠 + 1)
onde 𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠) passa a ser a função de transferência do servomotor que relaciona a
posição angular de seu eixo com a tensão elétrica aplicada.
Abaixo, a Figura L4.4 traz uma representação da relação entre a tensão de
alimentação do servomotor e a posição angular do eixo do mesmo.
Figura L4.4 – Esquema da representação da posição de uma aeronave
3.
Parte Experimental
Agora, com estas informações em mente, parte-se para o projeto do controlador que
deverá ser implementado. A Figura L4.5 apresenta o diagrama de blocos que ilustra a
proposta de controle.
Figura L4.5 – Diagrama do sistema de malha fechada do servomotor.
245
(4)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
3.1.
Requisitos de Projeto
A partir de ensaios prévios, os parâmetros intrínsecos aos servomotores que
constituem o Ball Balancer foram determinados, sendo estes:
𝝉 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟖 e 𝒌 = 𝟏, 𝟓𝟑.
Para o bom desempenho do sistema, propõe-se que o projeto do controlador 𝐶𝑚 (𝑠)
deva ser realizado de forma que as seguintes especificações sejam atendidas:
•
•
•
1.
Erro de Regime Permanente: nulo para Entrada Degrau;
Tempo de Estabelecimento: menor ou igual a 0,13 segundos (critério de 2%);
Porcentagem de Overshoot: menor ou igual a 5,0%.
Determinar os índices de desempenho (𝜉𝑒 𝜉𝜔𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠) .
𝑷. 𝑶. ≤ 𝟓%
𝑻𝒆 ≤ 𝟎, 𝟏𝟑 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔
𝝃 ≥ _______
Que implica em 𝜽∗ ≤ _______
𝝃𝝎𝒏 ≥ _______
*sendo 𝜃 a angulação das semirretas que descrevem a região de especificação no plano-𝑠.
2.
3.
Suponha o controlador 𝐶(𝑠) = 𝐾 na Figura L4.5, controlador proporcional. Trace o
root-locus do sistema, incluindo a região de especificação de transitório conforme
parâmetros determinados no passo anterior, utilizando as regras do root-locus
apresentadas em sala de aula. No relatório, anexar esses resultados.
Este controlador é suficiente para que o sistema realimentado atinja as
especificações acima? Fundamente a sua resposta.
3.2.
Levantando o root-locus do sistema via ferramenta rltool
O desenvolvimento deste experimento dar-se-á através de três partes: projeto,
simulação e implementação. Para tanto, utilizaremos o MATLAB e algumas ferramentas
(toolboxes) importantes.
4.
Inicie o software MATLAB, através do ícone na Área de Trabalho do Windows ou
através do Menu Iniciar. Em seguida, selecione o diretório que você irá usar para
armazenar todos os dados e programas durante o experimento (Sugestão:
Selecione como diretório alguma pasta dentro de seu pen drive). A Figura L4.6
indica onde fazer esta seleção.
Figura L4.6 – Seleção do diretório de trabalho no MATLAB.
5.
No canto esquerdo da janela do MATLAB, clique na aba “File” e selecione “New >
Script”.
Para traçar o Root-Locus da função de transferência do servomotor que dispomos
no módulo real do Ball Balancer, primeiro precisamos carregar a função de transferência
246
APÊNDICE D – Laboratório 4: Projeto e implementação de controladores usando a técnica do
lugar das raízes para o sistema Ball Balancer
𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠) no MATLAB. Para tanto, usaremos a função tf que irá carregar 𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠) a partir
de dois vetores que representarão os coeficientes dos polinômios, tanto do numerador,
quanto do denominador, da função de transferência desejada.
6.
Na janela Editor, digite as linhas de código abaixo.
% Parte 1 - Levantamento do Root-Locus de Gmotor(s)
clc
clear
%Parâmetros do Motor
k = 1.53;
tau = 0.0248;
%Numerador e Denominador da TF do Motor
num=[k];
den=[tau 1 0];
%Função de Transferência do Motor
Gmotor = tf(num,den)
As linhas acima, além de constituírem o início do programa que auxiliará no projeto
do controlador, ilustram o funcionamento da função tf do MATLAB. Observe que
atribuímos à variável Gmotor a função de transferência cujo numerador e denominador
prescrevem a função de transferência do servomotor que utilizaremos na prática na
forma de relação de polinômios com expoentes em s decrescentes.
7.
Execute seu programa, clicando no botão "Save and Run..." ou apertando a Tecla F5
no teclado. Escolha um nome adequado para seu arquivo, evitando espaços e
caracteres especiais.
Observe que na tela Command Window a função de transferência armazenada na
variável Gmotor passa a ser exibida. Note, ainda, que esta corresponde a (4), substituídos
os respectivos valores de 𝑘 e 𝜏.
A partir de agora, podemos iniciar o rltool, que irá nos auxiliar no projeto de
controle deste experimento.
8.
Adicione as seguintes linhas de comando no seu programa (na janela Editor, logo
abaixo do código que usamos para carregar a função de transferência 𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠)):
%Inicializar o RLTOOL
rltool(Gmotor)
Observe que usamos como "argumento" da função rltool a função 𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠) que
acabamos de carregar. Isto indicará ao programa que queremos visualizar o root-locus
desta função de transferência em específico.
9.
Clique no botão "Save and Run..." novamente.
Com isto, ao rodar o programa, além de mostrar a função de transferência
𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠) na Command Window, a ferramenta rltool será inicializada, e suas
247
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
janelas principais serão abertas, sendo elas Control and Estimation Tools Manager
e SISO Desing for SISO Desing Task. Note que nesta segunda já é possível visualizar
o root- locus da função de transferência 𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠). Nesta representação, as linhas em
azul representam o root-locus e os pontos em cor de rosa representam a posição dos
polos de malha fechada.
10.
O resultado obtido condiz com o esboço feito anteriormente, usando as regras do
root-locus apresentadas em sala de aula? Comente em seu relatório.
3.3.
Projeto do Controlador para o servomotor
Agora, com o auxílio do rltool, daremos sequência ao projeto de um controlador
que atenda as especificações exigidas, conforme índices de desempenhos determinados
no passo 2.
Levantar a região de especificação
11.
De um clique com o botão direito do mouse na região branca tela SISO Design, e
selecione a opção “Properties...”. Então, selecione a aba “Limits“ e configure os
limites de ambos os eixos: real entre -60 e 0 e, imaginário entre -50 e 50.
Observação: Repita este procedimento sempre que a janela do rltool estiver com
uma escala que não contribua para uma boa visualização do root-locus).
12.
13.
14.
Novamente na região branca tela SISO Design, clique com o botão direito do mouse
e selecione a opção “Design Requirements > New...”.
No campo “Design requirement type”, selecione “Settling time” e informe o tempo de
estabelecimento desejado e, então, clique em OK
Atenção: Usar “.” e não “,”).
Repita o passo 13, porém agora, selecione Percent Overshoot e insira o valor da
porcentagem de overshoot mínima exigida para o projeto.
Primeira tentativa de controle: controlador Cm(s) Proporcional
Ao ser iniciado, o rltool apresenta como default um controlador proporcional
𝐶𝑚 (𝑠) = 𝐾, onde 𝐾 pode variar de 0 à infinito. Os pontos cor-de-rosa que podem ser
observados na janela do SISO Design representam os polos de malha fechada do sistema,
considerando o controlador atual (𝐶𝑚 (𝑠) = 𝐾, neste caso).
A medida que o parâmetro 𝐾 varia, estes polos de malha fechada se deslocam ao
longo do root-locus. Assim, para averiguar se existe algum valor de 𝐾 que possa: i)
estabilizar o sistema; e ii) atender os requisitos de resposta transitória, devemos observar
se algum valor de 𝐾 colocará os polos de malha fechada do lado esquerdo do plano
complexo, e dentro da região de especificação construída anteriormente.
15.
Clique, segure e arraste um dos polos de malha fechada (pontos cor-de-rosa na tela
SISO Design) para deslocar os mesmos ao longo do root-locus do sistema 𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠)
realimentado, buscando colocar ambos os polos em uma posição que atenda os
248
APÊNDICE D – Laboratório 4: Projeto e implementação de controladores usando a técnica do
lugar das raízes para o sistema Ball Balancer
requisitos de estabilidade de dinâmica. Este controlador (𝐶𝑚 (𝑠) = 𝐾) é suficiente
para resolver o problema de controle proposto? (lembre-se que a posição dos polos
de malha fechada está associada a um determinado valor de ganho K do
controlador). Fundamente sua conclusão e registre a imagem da configuração do
root-locus que comprova sua verificação.
Estudo da Resposta ao Degrau
Para avaliar o impacto que o controlador projetado terá sobre a resposta do sistema,
o rltool fornece uma ferramenta chamada Analysis Plots, onde o usuário pode
analisar a resposta do sistema controlado a partir de uma entrada degrau, dentre outras
mais.
16.
Na janela Control and Estimation Tools Manager, clique na aba Analysis Plots.
Localize na coluna Responses a linha Closed Loop r to y, e marque a caixa de seleção
na coluna “All”, referente a esta linha em questão. Em seguida, logo acima, escolha
na caixa de seleção para o “Plot 1” o Plot Type “Step”.
A janela que se abre apresenta a resposta ao degrau para o sistema controlado,
segundo os parâmetros atuais do controlador (polos, zeros e 𝐾). É possível observar a
mudança da resposta ao degrau instantaneamente ao variar tais parâmetros.
17.
Clique, segure e arraste os polos de malha fechada e veja que como a resposta ao
degrau varia dependendo de onde os polos são alocados. Convalide as suas
conclusões obtidas no item 15, verificando através da visualização da resposta ao
degrau, qual o menor tempo de estabelecimento possível de ser obtido utilizando
apenas um controlador proporcional 𝐶𝑚 (𝑠) = 𝐾. Registre a figura da resposta ao
degrau que atesta sua conclusão.
Segunda tentativa de controle: controlador Cm(s) com polo(s) e zero(s)
18.
19.
20.
249
Na janela Control and Estimation Tools Manager, clique na aba Compensator Editor.
Procure o “quadrado” intitulado Dynamics e clique com o botão direito em seu
interior. Selecione a opção Add Pole/Zero > Real Zero. (Este comando é usado para
adicionar zeros reais ao controlador). Observe que, agora, surge no “quadrado”
Dynamics a indicação de um Zero Real com localização -1, damping 1 e
frequência 1.
Ainda no “quadrado” Dynamics, clique com o botão esquerdo na linha que indica o
zero real que acabou de ser inserido no controlador, para selecioná-la. No
“quadrado” ao lado, intitulado Edit Selected Dynamics, altere a posição deste zero
para −𝟒𝟎. 𝟑𝟐𝟑 (pressione a tecla Enter para confirmar a nova posição). Volte para a
janela SISO Desing e veja como o root-locus foi alterado. O que ocorreu?
Novamente, na janela Control and Estimation Tools Manager, clique na aba
Compensator Editor. Clique com o botão direito no quadrado Dynamics, selecione
a opção Add Pole/Zero > Real Pole. (Este comando é usado para adicionar polos reais
ao controlador). Observe que, agora, surge no “quadrado” Dynamics a indicação de
um Polo Real com localização -1, damping 1 e frequência 1.
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
21.
De maneira análoga ao passo 17, altere a posição do polo que acabou de ser inserido
para -55. Volte para a janela SISO Desing e observe como o root-locus foi alterado.
Qual procedimento foi executado através dos passos 18-21? Como isto alterou o
root-locus do sistema? Foi suficiente para resolver o problema de controle em questão?
Disserte sobre estas conclusões parciais em seu relatório.
22.
Determine uma posição para o polo inserido no passo 20 de modo que o root-locus
do sistema esteja dentro da região de especificação.
𝒑𝟏 =
_____________
Agora, é necessário definir um valor de 𝑲 que posicione os polos de malha fechada
em uma posição que atenda as especificações impostas. Antes, é importante fazer uma
alteração nas configurações na janela Control and Estimation Tools Manager. Acesse o
menu Edit, localizado na porção extrema superior esquerda da janela, e selecione SISO
Tool Preferences...
Na janela que se abre, selecione a aba Options e na caixa Tuned Parameters marque a
terceira opção para parametrização do controlador (Zero/pole/gain). Clique em Apply
para aplicar a nova configuração.
23.
Informe a faixa de valores de 𝐾 (𝐾𝑚𝑖𝑛 𝑒 𝐾𝑚á𝑥) de forma que o sistema seja
estável, atenda as especificações exigidas e tenha polos complexos conjugados.
(Arraste os polos de malha fechada até as posições extremas e identifique o valor de
K associado).
<𝑲<
_____________
_____________
24.
Similarmente ao realizado nos passos 16 e 17, utilize o sistema de visualização da
resposta ao degrau para verificar como se comporta o sinal de saída quando o valor
de K está: i) dentro da faixa especificada; ii) fora da faixa especifica. Faça
observações quanto ao tempo de estabelecimento e porcentagem de Overshoot
verificados em cada um dos dois casos e registre imagens que atestem sua
conclusão.
25.
Defina um valor para o ganho 𝐾 para o seu controlador 𝐶𝑚 (𝑠) que posicione os polos
em uma de forma a resolver o problema de controle. Registre uma imagem do rootlocus final.
𝑲=
_____________
Complete o quadro abaixo com as funções de transferência do servomotor 𝐺𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝑠)
𝑒 do controlador 𝐶𝑚 (𝑠) projetado, na forma de relação de polinômios.
Função de Transferência do
Controlador Projetado 𝑪𝒎 (𝒔)
Função de Transferência do
Servomotor SRV02 𝑮𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 (𝒔)
250
APÊNDICE D – Laboratório 4: Projeto e implementação de controladores usando a técnica do
lugar das raízes para o sistema Ball Balancer
3.4.
Simulação da Resposta do Sistema em Malha Fechada via Simulink
Uma importante parte de todo projeto de controle é a simulação. Nela, verificaremos
se o controlador que projetamos:
i) Garante a estabilidade;
ii) Atente às especificações;
iii) Não causa esforços físicos excessivos ao sistema a ser controlado.
No caso do Ball Balancer, um fato que deve ser atentado é quanto à tensão elétrica
de entrada que será enviada ao motor. Muitas vezes, o controlador, em suas
fundamentações matemáticas, garante que os parâmetros e especificações de
desempenho sejam atendidas.
Mas, não podemos nos esquecer de que trabalhamos com sistemas reais estes estão
sujeitos a limitações e esforços físicos máximos, que quando excedidos podem danificar
ou comprometer permanentemente o equipamento. Assim, os motores utilizados no
Ball Balancer não devem receber sinais fora da faixa de ±6 volts.
Para a execução e análise das simulações, utilizaremos a toolbox SIMULINK.
26.
27.
28.
Será necessário, primeiramente, alterar a pasta de trabalho em execução no
MATLAB. Para tanto, analogamente ao executado no passo 4, altere a pasta de
trabalho para o diretório da pasta intitulada SISTEMA BALL BALANCER, localizada
na Área de Trabalho de seu computador.
Na janela principal do MATLAB, localize a caixa “Current Folder...” onde estão
exibidos os arquivos contidos na nova pasta de trabalho selecionada no passo
anterior.
Com
um
clique
duplo,
execute
o
script
intitulado
“setup_srv02_exp17_2dbb.m”.
(ATENÇÃO: Não altere, mova ou delete nenhum arquivo desta pasta!)
Clique no botão “Run setup_srv02_exp17_2dbb”, localizado na área Editor, para
executar o programa. Note que uma série de variáveis foram criadas, conforme
exibido na caixa Workspace.
O script em questão apresenta o programa que carregará todos os parâmetros e
configurações necessárias para a interface da máquina com o sistema Ball Balancer.
29.
30.
Na caixa “Current Folder...”, execute o arquivo s_2dbb_pos.mdl e aguarde pela
inicialização da interface do SIMULINK. Após aberto, a janela principal será exibida,
onde os blocos Parâmetros Desejados, Controle, Planta e Observadores poderão ser
visualizados.
Dê um clique duplo no bloco Controle para visualizar o sistema de controle
completo do Ball Balancer.
A Figura L4.7 apresenta o diagrama completo do controle do Ball Balancer,
envolvendo não somente o servomotor, mas também malha externa, onde efetivamente
controla-se a posição da esfera sobre a placa. Observe que o controle é feito em duas
etapas: controle do sistema 2DBB (2 degrees of freedom Ball Balancer), – referente a
251
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
dinâmica de movimentação da placa com respeito a posição desejada para esfera – e
controle do servomotor SRV02. Neste experimento, contudo, nossa preocupação dar-se-á
apenas em controlar o servomotor.
Figura L4.7 – Diagrama completo do controle do 2DBB: Malha Interna e Malha Externa.
31.
32.
Dê um clique duplo no bloco Controlador do SRV02 Eixo X. Nesta nova janela que se
abrirá, você deverá configurar o controlador projetado na etapa 3.3 deste
experimento.
Dê um clique duplo na caixa 𝐶𝑚 (𝑠) e insira os valores dos coeficientes do numerador
e denominador do controlador projetado, seguindo o exemplo:
𝐶𝑚 (𝑠) =
33.
34.
35.
𝑠 + 23
𝑠 + 15
⇒
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑠: [1 23]
𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑠: [1 15]
Analogamente ao passo anterior, insira o valor do ganho K, dando um clique duplo
na caixa Ganho K.
Repita os passos de 35 a 37, porém agora, para configurar o controlador para o Eixo
Y.
Salve as alterações, clicando no botão Save localizado na barra superior da janela do
SIMULINK, e clique em Start simulation para rodar a simulação.
Agora, o sistema de controle está devidamente configurado e podemos realizar uma
simulação para avaliar a resposta do sistema.
36.
Clique no botão Start Simulation, localizado na barra superior da tela de interface
do SIMULINK. Aguarde alguns segundos.
ATENÇÃO: ao realizar a simulação/implementação via SIMULINK, 3(três) arquivo .mat
serão gerados na pasta de trabalho que você estiver trabalhando no MATLAB. Cada um
destes arquivos contém os dados colhidos na simulação/implementação referentes a cada
uma das variáveis de interesse (ângulo do eixo do servomotor x (ou y), posição da esfera
sobre a placa com respeito ao eixo e (ou y) e tensão elétrica enviada aos servomotores). Cada
vez que a simulação é rodada, os arquivos criados na simulação anterior são sobrescritos,
esteja atento para não perder seus dados!
Procedimento para tratamento de dados:
1- Após realizar cada simulação solicitada no roteiro, copie estes arquivos em uma pasta
devidamente identificada, para que você leve estes dados de forma organizada para
casa. Crie uma pasta nova para cada nova simulação.
2- Em casa, utilize o comando load para carregar os arquivos .mat que você levou para
casa. Exemplo: load s_theta_x.mat
252
APÊNDICE D – Laboratório 4: Projeto e implementação de controladores usando a técnica do
lugar das raízes para o sistema Ball Balancer
OBS: Cada arquivo contém os dados referentes a uma determinada variável de interesse:
s_theta_x
Dados do controle do ângulo 𝜃 do servomotor x.
s_pos_x
Dados do controle da posição da esfera sobre a placa com respeito ao eixo x.
s_vm
Dados do sinal de tensão elétrica aplicada aos servomotores.
Cada um destes arquivos organizam estes dados em uma matriz 3x20001 de forma que: na
LINHA 1 estão alocados os valores de t (tempo) para cada amostra gerada na
simulação/implementação; na LINHA 2 estão os valores estabelecidos como referência a
ser seguida, para cada instante de tempo t, e; na LINHA 3, estão os valores reais medidos
com respeito à variável analisada.
OBS: A exceção é para a matriz s_vm, pois a linha 2 refere-se a tensão enviada ao servomotor
x, e a linha 3 refere-se aos valores de tensão enviados ao servomotor y.
3-
Para organizar o plot, separe este conjunto de dados em três vetores diferentes,
respectivos à cada variável analisada. Faça isso utilizando o operador dois pontos.
Exemplo: Vamos trabalhar com o arquivo s_theta_x (ângulo do servomotor x). Sejam:
• t = vetor com os valores de tempo;
• theta_ref_x = vetor com os valores de referência para o ângulo 𝜃 do servomotor x;
• theta_x = vetor com os valores reais medidos para o ângulo 𝜃 do servomoto x.
Assim, faça, no MATLAB (crie um script para isto):
t = s_theta_x(1,:);
theta_ref_x = s_theta_x(2,:);
theta_x = s_theta_x(3,:);
Repita, de forma análoga, para as outras variáveis de interesse.
4Plote, para cada variável de interesse, as curvas real e referência juntas, utilizando os
vetores obtidos no passo 3.
OBS: os arquivos gerados na implementação prática possuem nomes diferentes dos gerados
na simulação. Esteja atento a isto.
37.
Após executada a simulação, volte à janela principal do SIMULINK e acesse o bloco
Observadores. Localize e abra a caixa theta_l_x (deg). Este observador apresenta
o comportamento do ângulo 𝜃𝑙 correspondente à rotação do eixo do motor CC. O
sinal em amarelo representa o valor de 𝜃 ideal para que o motor siga (𝜃𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 ),
enquanto que o sinal em magenta representa os valores de 𝜃 que foram alcançados
pelo controlador projetado.
(Dica: Caso seja necessário, clique com o botão direito na imagem da simulação e
selecione Autoscale para ajustar a figura).
38.
253
Ainda na janela Observadores, abra a caixa x (cm). Aqui será possível observar a
posição da esfera sobre a placa com respeito ao eixo x. O sinal em amarelo
representa a posição desejada para o posicionamento da esfera sobre a placa,
enquanto que o sinal em magenta representa o deslocamento da esfera com relação
ao eixo x, em virtude da variação de 𝜃 provocada pela atuação do controlador
projetado.
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
39.
40.
41.
Abra a caixa V(volts) na janela Observadores do SIMULINK e visualize a resposta do
controlador quanto a tensão aplicada ao motor. Ela está dentro dos limites préestabelecidos?
Qual parâmetro no controlador influencia diretamente no valor final de tensão a ser
aplicada ao motor CC? Faça alterações no projeto do controlador de forma que tanto
as especificações de desempenho sejam atingidas, quanto os limites físicos dos
motores sejam respeitados.
Ao obter um controlador 𝐶𝑚 (𝑠) que resolva o problema de controle e não produza
sinais de tensão maiores do que o especificado, grave os arquivos resultantes da
simulação em seu pendrive e apresente os sinais colhidos na simulação em seu
relatório.
Complete o quadro abaixo com a função de transferência final do controlador 𝐶𝑚 (𝑠)
projetado.
Função de Transferência do
Controlador Projetado 𝑪𝒎 (𝒔) FINAL
3.5.
Implementação no módulo real
Após certificado de que o controlador apresenta uma resposta que esteja dentro dos
limites físicos do sistema, o próximo passo é implementá-lo na prática e observar seu
comportamento. Aguarde as instruções do professor para colocar seu projeto de
controlador para operar o Ball Balancer.
Leve os arquivos com os dados da implementação prática de seu controlador no
sistema físico real do Ball Balancer e prepare gráficos para a posição da esfera com relação
ao eixo X, ao deslocamento do ângulo do eixo do motor, à tensão aplicada ao motor, e ao
deslocamento da esfera ao seguir uma trajetória pré-estabelecida. Faça observações em
seu relatório e compare os resultados obtidos na prática com as simulações feitas no
SIMULINK.
254
APÊNDICE E– Laboratório 5: Resposta transitória de sistemas dinâmicos e erros de
regime permanente
APÊNDICE
E
APÊNDICE E – Laboratório 5: Resposta transitória de sistemas
dinâmicos e erros de regime permanente
LABORATÓRIO 5:
Resposta transitória de sistemas dinâmicos e
erros de regime permanente
1. Objetivos
Este laboratório tem o objetivo de estudar a resposta transitória de sistemas de 1ª
e 2ª ordem e aplicar os resultados teóricos na identificação de funções de transferência
implementadas em um computador analógico.
2. Introdução à Simulação Analógica
A função de transferência de um motor de corrente contínua (C.C) é representada
abaixo:
Figura L5.1 –Função de transferência de um motor C.C.
Outra representação matemática deste motor, adequada para simulações em
computadores analógicos é dada a seguir:
𝑑𝜔(𝑡) 𝐾
𝜔(𝑡)
𝑑𝜔(𝑡)
= 𝐾𝑣(𝑡) − 𝜔(𝑡) ⇒
= 𝑣(𝑡) −
𝜏
𝑑𝑡
𝜏
𝜏
𝑑𝑡
Como no computador analógico o elemento básico é o integrador, é conveniente
representar a equação (1) como:
𝑡
𝑡
𝑑𝜔(𝑡)
𝐾
𝜔(𝑡)
∫
𝑑𝑡 = ∫ ( 𝑣(𝑡) −
) 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜏
𝜏
0
0
255
(1)
(2)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
Integral e a derivada são funções inversas e considerando-se que a velocidade inicial
do motor seja 𝜔(0) = 0, tem-se de (2) que
𝑡
𝑡
𝐾
𝜔(𝑡)
∫ 𝑑𝜔(𝑡) = 𝜔(𝑡) − 𝜔(𝑜) = ∫ ( 𝑣(𝑡) −
) 𝑑𝑡
𝜏
𝜏
0
0
A equação (3) pode ser representada através do seguinte diagrama de blocos:
(3)
Figura L5.2 - Representação Analógica de um Sistema de Primeira Ordem.
O Computador Analógico possui vários elementos eletrônicos que implementam
os blocos acima, tais como integradores, somadores, subtratores, amplificadores e fontes
de tensão. Desta forma, com o Computador Analógico é possível estudar o comportamento de sistemas dinâmicos mecânicos, elétricos, hidráulicos, térmicos, etc.,
implementando eletricamente os seus modelos matemáticos.
3. Parte Experimental
Observação: Antes de cada montagem, o aluno deverá obter teoricamente todas as
respostas transitórias.
3.1. Sistemas de 1ª Ordem
1 - Conecte os sinais C1 e C2 (control output) da placa 7/1 com os respectivos
terminais C1 e C2 (control input) da placa 7/2.
2 - Coloque as chaves nas seguintes posições:
Chave
Placa
Posição
TRIGGER
7/1
int.
S1
7/2
x100
S2
7/2
x100
3 - A seguir será obtida experimentalmente a resposta transitória do sistema de
primeira ordem, cuja função de transferência é descrita a seguir:
𝜔(𝑠)
0,25
=
𝑉(𝑠) 0,25𝑠 + 1
(4)
256
APÊNDICE E– Laboratório 5: Resposta transitória de sistemas dinâmicos e erros de
regime permanente
Para uma entrada degrau 𝑣(𝑡) com amplitude 𝑣(𝑡) = 10 𝑉. Comparando-se a
equação (4) com a Figura L5.1, identifica-se 𝜏 = 0,25 e 𝐾 = 0,25.
Agora, implemente este sistema dinâmico, montando o esquema eletrônico abaixo,
que corresponde ao diagrama da Figura L5.2, já estudado, com 𝜏 = 𝐾 = 0,25.
Figura L5.3 –implementação de (4) no computador analógico.
4 - Coloque a chave TIME da placa 7/1 na posição 0,1 s. Ligue o osciloscópio. Ligue
o módulo e ajuste a chave TIME-FINE até obter uma boa figura no osciloscópio. Assegure
que o modo de operação do módulo esteja em REPETIÇÃO (REP).
5 - Copie o sinal 𝜔(𝑡) × 𝑡 ligado no osciloscópio, utilizando o MATLAB. Anote aqui o
nome do arquivo que gravou os dados: _______________________ .
Observação: Se as chaves S1 e S2 estiverem na posição x100, os intervalos de tempo lidos
no osciloscópio deverão ser multiplicados por 100.
6 - Compare a curva levantada experimentalmente com a curva teórica, mostrando
no relatório a curva experimental e a teórica, plotando-as em um mesmo gráfico.
7 - Desligue o módulo e retire todas as ligações, excetuando-se C1 e C2.
3.2. Sistemas de 2ª Ordem
3.2.1. Introdução
Nesta experiência será estudada a resposta transitória de sistemas de 2ª ordem,
dados pela função de transferência abaixo
𝑌(𝑠)
𝐾𝜔𝑛2
= 2
𝑉(𝑠) 𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2
para entradas 𝑣(𝑡) do tipo degrau.
Para a simulação no computador analógico é necessária a representação de (5) em
termos de uma equação diferencial. Desta forma, a partir de (5), temos:
257
(5)
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
E assim,
(𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 )𝑌(𝑠) = 𝐾𝜔𝑛2 𝑉(𝑠)
𝑑2 𝑦(𝑡)
𝑑𝑦(𝑡)
+
2𝜉𝜔
+ 𝜔𝑛2 𝑦(𝑡) = 𝐾𝜔𝑛2 𝑣(𝑡)
𝑛
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
(6)
(7)
3.2.2. Simulação Analógica
Agora, obteremos as respostas transitórias experimentais do sistema abaixo,
𝑑2 𝑦(𝑡)
𝑑𝑦(𝑡)
+
100𝑘
+ 100𝑦(𝑡) = 𝑣(𝑡), 𝑡 ≥ 0
1
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
segundo as condições:
𝑑𝑦(𝑡)
𝑦(0) =
|
=0
𝑑𝑡 𝑡=0
(8)
(9)
𝑒 𝑣(𝑡) = 10 𝑉
Comparando-se estas equações com a equação (7), observa-se que:
𝜔𝑛2 = 100 ⇒ 𝜔𝑛 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠
(10)
𝐾𝜔𝑛2 = 1 ⇒ 𝐾 = 0,01
(12)
2𝜉𝜔𝑛 = 100𝑘1 ⇒ 𝜉 = 5𝑘1
(11)
O sistema dado em (8) e (9) pode ser implementado no computador analógico como
mostra a Figura L5.4.
Figura L5.4 - Implementação do Sistema (8) e (9) no Computador Analógico.
1 - Monte o circuito da Figura L5.4 no computador analógico.
2 - Ligue o osciloscópio, assegure que o módulo esteja no modo REP, coloque a chave
258
APÊNDICE E– Laboratório 5: Resposta transitória de sistemas dinâmicos e erros de
regime permanente
TIME na posição 0,1 segundos e atue no potenciômetro 𝐾1 e na chave TIME-FINE de modo
que apareça na tela um sinal com overshoot.
3 - Varie 𝐾1 de modo a obter as porcentagens de overshoot dadas na tabela abaixo
e anote os outros valores solicitados na tabela. Grave os dados de cada curva obtida
utilizando o MATLAB.
Observação: Se as chaves S1 e S2 estão na posição x100, então os intervalos de tempo
lidos no osciloscópio deverão ser multiplicados por 100.
P.O.=10%
Nome do arquivo
P.O.=50%
Nome do arquivo
K1(medido)=
Tempo de Pico
(medido) =
K1(medido)=
Tempo de Pico
(medido) =
P.O.=70%
Nome do arquivo
K1(medido)=
Tempo de Pico
(medido) =

P.O
10%
50%
70%
Teórico
(Tabela)
Experimental
(𝜉𝑒𝑥𝑝 = 5𝑘1 )
Tempo de Pico
Erro %
Teórico
(Tabela)
Experimental
Erro %
4 – Usando o MATLAB, plote os três gráficos 𝑦(𝑡) × 𝑡 em um mesmo gráfico.
5 - Plote com o MATLAB as curvas teóricas e experimentais, em um mesmo gráfico,
porém um gráfico para cada porcentagem de overshoot.
6 - Qual a influência do coeficiente de amortecimento 𝜉 na porcentagem de
overshoot?
7 - Desligue o módulo, o osciloscópio e retire todas as ligações.
3.3. Erro de regime permanente
3.3.1. Sistema sem distúrbio
Projete um controlador 𝐷(𝑠) tal que o motor C.C. dado, tenha erro de regime
permanente nulo para entrada degrau. A função de transferência do motor C.C. foi dada
pela equação (4).
Projete o circuito do computador analógico que implementa o controlador 𝐷(𝑠)
projetado. Implemente todo o sistema realimentado e meça a resposta transitória, o nome
do arquivo de dados é: ___________________.
No módulo, coloque as chaves S1 e S2 na posição x1. Utilize os botões “I.C.” e
259
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo
“Compute” da placa 7/1 para realizar a simulação. Ajuste a escala temporal do
osciloscópio digital tal que todo transitório e parte do regime permanente apareçam na
tela. Plote no mesmo gráfico a curva teórica e a experimental, para entrada degrau
unitário. Mostre no relatório o circuito completo.
3.3.2. Sistema com distúrbio
Com o controlador anterior, suponha a presença de um distúrbio na entrada do
motor, tal como mostra a Figura L5.5.
Figura L5.5 – Sistema do motor C.C. com entrada distúrbio.
Projete 𝐾 tal que se obtenha boa rejeição do distúrbio 𝑚(𝑡) sobre 𝜔(𝑡). Tome
cuidado para não especificar K muito grande, pois poderá causar saturação dos A. O. No
módulo, coloque as chaves S1 e S2 na posição x1. Utilize os botões “I.C.” e “Compute” da
placa 7/1 para realizar a simulação. Ajuste a escala temporal do osciloscópio digital tal
que todo transitório e parte do regime permanente apareçam na tela.
Aplique um degrau unitário em 𝑢(𝑡) e faça 𝑚(𝑡) uma senóide de amplitude 5 volts,
sem nível DC e com 100 Hz. Meça 𝜔(𝑡) e salve os referentes dados. O nome do arquivo de
que contem os dados do sinal 𝜔(𝑡) é ________________.
3.4. Resposta transitória e erro de regime permanente
Projete um controlador que atenda a todos os requisitos de projeto dados nos itens
3.1 e 3.2 e ainda, apresente resposta ao degrau com 𝑃. 𝑂. % ≤ 20% 𝑒 𝑇𝑒 ≤ 4 𝑠.
Implemente o sistema completo no computador analógico e registre a resposta
transitória no MATLAB. Não se esqueça de aplicar o degrau 𝑈(𝑠) e a senóide do distúrbio
𝑀(𝑠). O nome do arquivo de dados é ___________________. Use o Root-Locus para realizar seu
projeto (MATLAB).
260
APÊNDICE
F
Bibliografia Básica
BIBLIOGRAFICA
BÁSICA
Bibliografia
OGATA, K. – Engenharia de Controle Moderno, 5a ed., Pearson Education do Brasil, São
Paulo, 2010.
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. – Sistemas de Controle Modernos, 8a ed., LTC, Rio de Janeiro,
1998.
KUO, B. C. – Sistemas de Controle Automático, 4a ed ., PHB, Rio de Janeiro, 1985.
FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, A. – Feedback Control of Dynamic
Systems, 3a ed., Addilson Wesley, New York,1994.
CHEN, C. T. – Analog and Digital Control System Design Transfer-function, State-space,
and Algebraic Methods, Saunders College Publishing, New York , 1993.
261