Réf. : A720 V1
Date de publication :
10 mai 1982
Écoulements diphasiques
- Lois générales
Cet article est issu de : Sciences fondamentales | Physique Chimie
par Jean-Michel FITREMANN
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Écoulements diphasiques
Lois générales
par
Jean-Michel FITREMANN
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A 720
5 - 1982
Agrégé de Sciences Physiques
Docteur ès Sciences
Directeur de la Division Écoulements Diphasiques Industriels, Société Hydroscience
tiwekacontentpdf_a720 v1
1.
1.1
1.2
1.3
Principes de base .....................................................................................
Écoulements polyphasiques et systèmes industriels...............................
Écoulements diphasiques et suspensions.................................................
Phénomènes de transfert............................................................................
A 720 - 2
—
2
—
2
—
2
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Cinématique ..............................................................................................
Distribution des phases...............................................................................
Distribution de l’interface............................................................................
Équation de transport d’une grandeur interfaciale...................................
Moyennes statistiques ................................................................................
Moyennes volumiques. Moyennes sur une variété..................................
Doubles moyennes......................................................................................
Transformation des dérivées surfaciques .................................................
—
—
—
—
—
—
—
—
2
2
2
3
4
4
5
5
3.
3.1
3.2
3.3
Théorèmes de conservation..................................................................
Équations locales de conservation.............................................................
Équations volumiques de conservation ....................................................
Moyennes statistiques ................................................................................
—
—
—
—
5
5
6
6
4.
4.1
4.2
4.3
Lois de conservation usuelles ..............................................................
Simplifications courantes ...........................................................................
Cas particuliers ............................................................................................
4.2.1 Écoulements laminaires.....................................................................
4.2.2 Écoulements sans transfert de masse ..............................................
4.2.3 Écoulements dispersés ......................................................................
Équations de l’énergie.................................................................................
—
—
—
—
—
—
—
6
6
7
7
7
7
7
5.
5.1
5.2
5.3
Équations complémentaires .................................................................
Conditions aux limites.................................................................................
Relations thermodynamiques ....................................................................
Lois rhéologiques ........................................................................................
—
—
—
—
7
7
8
8
6.
6.1
6.2
Lois phénoménologiques .......................................................................
Dilatation, granularité, coalescence ...........................................................
Transferts de masse, de quantité de mouvement et d’énergie entre
phases...........................................................................................................
Transferts externes ......................................................................................
—
—
8
8
—
—
9
9
Références bibliographiques .........................................................................
—
11
6.3
Formulaire ...........................................................................................................
Form. A 721
e présent article donne les définitions et les théorèmes de base nécessaires
au traitement des différents problèmes d’écoulements diphasiques. Le formalisme utilisé nécessite, pour sa compréhension, les notions exposées dans
l’article Mécanique des fluides [A 1 870] de ce traité.
Le lecteur trouvera des applications aux cas d’un mélange gaz-liquide et d’un
mélange fluide-solide (suspension) dans les articles qui suivent.
L
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A 720 − 1
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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________
1. Principes de base
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1.1 Écoulements polyphasiques
et systèmes industriels
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Dans de nombreuses situations industrielles, on est amené à
véhiculer des mélanges de plusieurs fluides ou de fluides et de
solides, dans des proportions extrêmement variées, ou encore un
constituant présent sous deux phases plus ou moins en équilibre
thermodynamique.
Des exemples courants sont :
— les écoulements eau-vapeur (ébullition, condensation) en production d’énergie et propulsion ;
— les mélanges d’hydrocarbures (extraction et transport du
pétrole et du gaz naturel) ;
— les fluides cryogéniques (fréon, hydrogène, hélium) ;
— les mélanges solides-gaz (transport pneumatique) et
liquide-solide (transport hydraulique).
1.2 Écoulements diphasiques
et suspensions
La complexité de ces systèmes est en général telle qu’il est impossible de les décrire dans le détail à l’aide des concepts de la
mécanique des fluides habituelle (monophasique). Un formalisme
approprié, décrit dans le présent article, permet alors une description
globalisée, mais utilisant des grandeurs physiques accessibles.
Même en se limitant au cas d’un mélange de deux phases, les
phénomènes sont très complexes. Les écoulements d’un mélange
gaz-liquide et ceux d’un mélange fluide-solide (suspension) sont
décrits dans les articles spécialisés du présent traité.
Divers noms ont été donnés à des mélanges particuliers, par
exemple :
— émulsion : mélange liquide-liquide finement divisé ; ce terme
est parfois appliqué à un mélange gaz-liquide sous forme de très
petites bulles très nombreuses ;
— mousse : mélange gaz-liquide à très fort taux de gaz ; interfaces
à géométrie polyédrique ;
— brouillard, aérosol : suspension dans un gaz de très fines gouttelettes de liquide ; l’appellation dépend de la taille des particules ;
— lit fluidisé : suspension de corps pulvérulents par un faible
courant de gaz.
— un échange d’énergie entre phases, qui peut être accompagné
d’échange de masse (réaction, changement d’état) ou non (transfert
de chaleur) ;
— un échange d’énergie entre l’extérieur et le système, qui peut
provenir de la convection des effluents ou des déséquilibres entre
le système et l’extérieur.
Le transfert entre phases s’effectue à travers les interfaces : c’est
en général le phénomène le plus difficile à analyser. Le transfert
aux parois du système est un des résultats recherchés mais
nécessite d’abord l’analyse du transfert entre phases.
Le cas de deux fluides sert de modèle dans les articles suivants
car c’est le cas le plus complexe.
2. Cinématique
2.1 Distribution des phases
Avec les variables de Lagrange, dans des relations telles que
r = G (a 0 , t ), la mécanique diphasique diffère très peu de la
mécanique monophasique, à ceci près que l’interface séparant les
deux phases peut être traversée par les particules matérielles ; la
particule subit alors des discontinuités de propriétés physiques à
l’instant de son passage à travers l’interface.
Avec les variables d’Euler, on doit définir en premier lieu le
domaine occupé par chaque phase par leur distribution eulérienne
(figure 1) :
χ 1 ( r, t ) = 1 ;
χ2 ( r , t ) = 0
si
χ1 ( r , t ) = 0 ;
χ2 ( r , t ) = 1
si
χ 1 et χ 2
si
non définis
i ( r , t ) > 0




i ( r , t ) = 0 
i ( r , t ) < 0
(1)
(la première distribution signifiant, par exemple, que le point de
coordonnées r est dans la phase 1 à l’instant t ),
avec
i ( r, t ) = 0
(2)
équation de l’interface, choisie de telle sorte que i ( r, t ) > 0 dans
la phase 1 et < 0 dans la phase 2.
On a alors :
(3)
χ 1 + χ 2 = 1 si i ( r, t ) ≠ 0
2.2 Distribution de l’interface
1.3 Phénomènes de transfert
Il peut exister des systèmes diphasiques en équilibre (par
exemple : superposition de deux fluides de densités différentes au
repos) mais la plupart du temps, il y a mouvement et transfert entre
phases et entre les phases et l’extérieur du système. On constate
en général :
— un échange de masse entre l’extérieur et le système : c’est le
plus souvent le but recherché ou le résultat des forces appliquées ;
— un échange de masse entre phases provenant d’un déséquilibre
chimique ou thermique entre les phases ; cet échange peut ne pas
avoir lieu et ne pas être recherché ; en génie chimique, il est le but
essentiel du processus ;
— un échange de quantité de mouvement avec l’extérieur,
pouvant s’accompagner d’échange d’énergie (propulsion ou non des
effluents, efforts sur les parois du système) ;
— un échange de quantité de mouvement entre phases, dû à
leur différence de densité ; cet échange est lié au glissement entre
phases qui est une notion essentielle de la mécanique diphasique ;
On conservera le nom d’interface même lorsque celle-ci est divisée
en plusieurs éléments. L’équation (2), qui est une représentation
lagrangienne de l’interface, peut se mettre sous la forme paramétrique :
r = S (a, t ) ;
a = (a1 , a 2 , a 3)
Figure 1 – Distribution des phases
A 720 − 2
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___________________________________________________________________________________________________________
L’élimination des paramètres a1 , a 2 , a 3 de ces équations
redonne (2). Dans le cas où l’interface est également une surface
matérielle, a peut être identifié aux coordonnées initiales des
particules.
Pour obtenir une forme eulérienne de (2), on introduit une distribution de Dirac δi sur l’interface, c’est-à-dire une masse uniforme
de densité 1 sur l’interface i . Si l’on cherche à visualiser l’interface comme une pellicule d’épaisseur finie infime ε, δi est alors une
densité égale à 1/ε dans toute la pellicule et à 0 hors de celle-ci.
En fait, δi est la limite de la distribution définie ci-dessus lorsque
ε → 0, soit :
δi (r, t ) = ∞ si i ( r, t ) = 0 (le point de coordonnées r est sur
l’interface à l’instant t ) ;
δi (r, t ) = 0 si i ( r, t ) ≠ 0 .
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La propriété fondamentale de δi est de transformer les intégrales
de volume en intégrales de surface sur i selon le théorème :
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f δ i d =
i ∩ (4)
f d
On ne peut définir la vitesse d’une surface géométrique, mais on
peut définir sa vitesse normale :
∂ i
v i ⋅ n = – ----------- grad i
∂t
(5)
Comme grad i est normal à i , cela entraîne aussi, quelle que
soit la définition utilisée pour la vitesse tangentielle d’interface :
∂
----------i- + v i ⋅ grad i = 0
∂t
(6)
On peut alors utiliser les définitions de χk et δi pour obtenir les
théorèmes fondamentaux :
∂χ k
---------- + v i ⋅ grad χ k = 0
∂t
( k = 1, 2 )
(7)
∂δ
---------i + v i ⋅ grad δ i = 0
∂t
(8)
avec
f et [T ]
n
n
respectivement fonction et tenseur quelconques,
normale à ,
normale à dans le plan tangent à ,
1
1
-------- + -------- (que l’on pose parfois égal à 2 ) double de la
1 2 courbure moyenne de la surface .
Notons que l’on a également :
1
1
divn = – -------- + -------1 2
Ces dernières équations expriment sous forme eulérienne l’identité de l’interface. Ce sont les équations eulériennes de conservation
géométrique.
(11)
1 et 2 sont comptés algébriquement le long de n , vers le
centre de courbure (respectivement C 1 ou C 2).
Les opérateurs grad et Div des équations (9) et (10) sont des
opérateurs surfaciques, par exemple :
1 ∂
1 ∂
grad = e 1 -------- ----------- + e 2 -------- ----------h 1 ∂x 1
h 2 ∂x 2
avec
e 1 et e 2 vecteurs unitaires tangents à la surface ,
h 1 et h 2 longueurs des arcs unitaires dans le système de
coordonnées curvilignes orthogonal (x 1 , x 2) choisi
sur .
Cependant, si les quantités f et [T ] sont des grandeurs surfaciques, c’est-à-dire ne dépendant que de x 1 et x 2 , on a identiquement ∂f / ∂x 3 = ∂f /∂n = 0, ainsi que pour les composantes de [T ].
Dans ce cas, on peut confondre les opérateurs surfaciques avec les
opérateurs tridimensionnels usuels.
La signification du second membre de (10) est plus claire si l’on
remarque que, pour une quantité surfacique F :
divF – F · n divn = div[F – n (F · n)] + n · grad (F · n) = divF t
avec F t composante tangentielle de F.
À l’aide de (9), la règle de Leibniz devient, pour un élément de
surface :
d
-------dt
f d =
∂f
------- d +
∂t
f v ⋅ n d
–
Pour cela, il suffit de remarquer que l’on peut écrire
χ 1 = H [ i ( r, t ) ] où H est la distribution d’Heaviside égale à 0
si l’argument est négatif et à 1 si l’argument est positif ; sa dérivée
est dH /dx = δ où δ est une distribution de Dirac à l’origine. En
dérivant χ1 , en prenant son gradient et en utilisant (6), on
obtient (7).
ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
1
1
f v ⋅ n -------- + -------- d 1 2
(12)
v ⋅ n vitesse normale de la courbe ,
vitesse normale de la surface .
v ⋅ n
Lorsque la courbe est une courbe matérielle, il y a avantage
à définir une vitesse d’interface v i par :
avec
v i = (v i · n)n + v t
(13)
en prenant pour v t la vitesse matérielle tangentielle, ce qui assure
que v , v et v i sont identifiables dans les calculs.
2.3 Équation de transport
d’une grandeur interfaciale
Les théorèmes de Gauss et d’Ostrogradski sont applicables à
une surface gauche limitée par une courbe (figure 2) sous les
formes suivantes :
f n d =
[ T ] ⋅ n d =
1
1
grad f + f n -------- + -------1 2
(9)
d
1
1
Div [ T ] + [ T ] ⋅ n -------- + -------1 2
d
(10)
Figure 2 – Coordonnées interfaciales. Courbure
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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________
2.4 Moyennes statistiques
La moyenne statistique f d’une grandeur f est, par définition :
1
f = -----N
N
Le même procédé peut être utilisé pour définir une moyenne
spatiale. Pour un volume diphasique, on notera les moyennes
phasiques spatiales :
∑ fj
j=1
où l’indice j se réfère à N réalisations indépendantes du phénomène avec des conditions aux limites identiques. Dans le cas
d’écoulements stationnaires, la moyenne f est identique à la
moyenne temporelle. Les moyennes des distributions élémentaires
sont particulièrement importantes et notées :
α1 = χ 1 ,
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αi = δ i
(14)
α1 + α2 = 1
avec
tiwekacontentpdf_a720 v1
α2 = χ 2 ,
2.5 Moyennes volumiques.
Moyennes sur une variété
(15)




 (20)
f1 d f2 d f
d

1
2
i i
f 1 = -------------------------- , f 2 = -------------------------- , f i = ----------------------- 

1
2
i

α 2 = N 2 /N ,
=
1
f 1 = --------N1
ou encore
∑ f1j ,
j=1
f1
=
1
f 2 = --------N2
R i = ------i
1 et 2 volumes des phases 1 et 2,
aire d’interface contenue dans .
i
On a aussi la moyenne diphasique :
f d
< f > = R 1 f 1 + R 2 f 2 + R i f i = ---------------------
(21)
N→∞
et les moyennes phasiques dans les phases 1 et 2 :
N1
2
R 2 = --------- ,
avec
Les moyennes des grandeurs extensives (volumiques pour une
phase et surfaciques pour l’interface) sont également importantes.
Cependant, ce que l’on mesure couramment, ce sont des moyennes
phasiques, moyennes sur le seul nombre de réalisations où la phase
considérée est présente au point de référence. Si, sur N réalisations,
on en a N1 où la phase 1 est présente et N 2 = N – N1 où la phase 2
est présente, on aura :
α1 = N1 /N,
1
R 1 = --------,
N2
N→∞
∑ f2j ,
j=1
=
=
= α 1 f 1 et f 2 = α 2 f 2







(16)
Le nombre de réalisations où le point de référence est sur l’interface est un infiniment petit par rapport à N mais, pondérées par δi
qui est infiniment grand, les moyennes surfaciques gardent un
sens et l’on peut définir une moyenne interfaciale par :
=
f i δi
f i δi
- = -----------f i = -----------αi
δi
(17)
Pour toute grandeur définie dans chaque phase par les fonctions f1
et f2 (volumiques) et sur l’interface par f i (surfacique), on peut alors
définir en tout point une grandeur diphasique par :
f = f1 χ 1 + f2 χ 2 + fi δ i
1
Remarque : la notation < > = -----n’est pas ambiguë, de
même que les moyennes phasiques volumiques. En cas de
besoin, on utilisera des indices pour d’autres éléments
d’intégration.
On peut remarquer que R1 = < χ1 >, R2 = < χ2 > et R i = < δ i >, donc
que < f > est bien la moyenne de (18), puisque grâce à (4) et (20) :
< f > = < f1 χ1 + f2 χ2 + fi δi > = R1 f1 + R2 f2 + Ri fi R i = < δ i > est l’aire interfaciale volumique, grandeur importante
dans les échanges interfaciaux.
On a des formules équivalentes pour des moyennes sur une surface ou sur une courbe contenues dans le domaine diphasique,
mais les définitions de R i sont plus complexes. Il vaudra mieux
utiliser (21) dans tous les cas en faisant tendre le volume vers
une surface ou une courbe. On peut aussi s’aider de :
(18)
et sa moyenne, à l’aide de (16) et (17), par :
=
=
=
f = α1 f1 + α2 f2 + αi fi
(19)
La figure 3 donne une image de ces définitions. Le sens des
moyennes d’interface apparaîtra plus clairement dans le
paragraphe 2.5.
et
f δ i d =
f δ i d =
∑ ----------------------n ⋅ n
d
f --------------------- (figure 4a)
n ⋅ n
fp
p
p
(figure 4b)
i
On désigne par ρ1 , ρ2 les masses volumiques des phases et par
ρi la masse surfacique de l’interface. Les grandeurs extensives f1 ,
f2 , f i peuvent alors s’exprimer en fonction des grandeurs massiques
ψ1 , ψ2 , ψi par :
f1 = ρ 1 ψ 1 ,
f2 = ρ 2 ψ 2 ,
f i = ρi ψi
On remarque que, cette fois, ψi est de même nature et a les
mêmes dimensions (grandeur par unité de masse) que ψ1 et ψ2 .
Figure 3 – Définition des moyennes phasiques
dans le cas d’un écoulement stationnaire
A 720 − 4
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___________________________________________________________________________________________________________
ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
2.7 Transformation des dérivées surfaciques
Afin de simplifier l’écriture de certaines relations et de mettre en
évidence les termes de transfert interfaciaux, il nous faut les
théorèmes suivants :
1
1
Div ( [ T i ]δ i ) = δ i Div [ T i ] + [ T i ] ⋅ n --------- + --------1 2
1
1
grad ( f i δ i ) = δ i grad f i + f i n --------- + --------1 2
(27)
(28)
La démonstration de ces formules est faite dans la référence
bibliographique [1].
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3. Théorèmes de conservation
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3.1 Équations locales de conservation
La loi de conservation d’une grandeur volumique f s’écrit :
d
-------dt
f d =
[ T ] ⋅ n d +
Q d
(29)
volume matériel limité par la surface ,
[T ] densité de flux de la quantité f,
Q source volumique de cette même quantité f.
À présent, f, [T ] et Q sont des grandeurs diphasiques parfaitement définies par (18), d’où :
avec
d
-------dt
Figure 4 – Définitions pour les intersections d’une interface i
avec des surfaces et des courbes
( f 1 χ 1 + f 2 χ 2 + f i δ i )d
=
2.6 Doubles moyennes
+
On ne peut pas composer les moyennes spatiales et les moyennes
statistiques pour les grandeurs phasiques telles que f k , f i , etc. C’est
par contre possible pour des distributions définies partout telles que
f1 χ1, fi δi , ou f1 χ1 + f2 χ2 + fi δi . On obtient alors par un calcul simple :
=
< f 1 χ 1 > = < f 1 χ 1 > ou R 1 f 1 = < α 1 f 1 >
(22)
=
< f i δ i > = < f i δ i > ou R i f i = < α i f i >
(23)
(30)
( [ T 1 ] χ 1 + [ T 2 ] χ 2 + [ T i ] δ i ) ⋅ nd
( Q 1 χ 1 + Q 2 χ 2 + Q i δ i ) d
On transforme facilement les intégrales de surface par le théorème
de Gauss, les intégrales sur δi par les théorèmes (4), (27) et (28) ; on
utilise aussi la règle de Leibnitz volumique et (12) et, en remarquant
que les distributions χk sont quelconques, on obtient la loi de
conservation volumique locale usuelle :
∂f k
--------+ div f k v k = div [ T k ] + Q k
∂t
( k = 1, 2 )
(31)
et son équivalent surfacique :
et, si f est donné par (18) :
<f> = <f >
(24)
=
En général on n’a pas f 1 = < f 1 > .
En turbulence, on est amené à calculer des moyennes phasiques,
= =
ρ 1 v 1 ou ρ 1 v 1 ⊗ v 1 identiques aux moyennes
produits du type
statistiques utilisées en mécanique monophasique. Il est alors
avantageux d’employer des moyennes massiques, notées :
=
ρ1 v1
v 1 = --------------,
=
ρ1
~
v ⊗v
1
1
=
ρ1 v1 ⊗ v1
= ---------------------------=
ρ1
(25)
et les fluctuations v 1′ définies par :
=
v 1 = v 1 + v 1′ ; ρ 1 v 1′ = 0
(26)
∂f
f 1 ( v i – v 1 ) ⋅ n 1 + f 2 ( v i – v 2 ) ⋅ n 2 + --------i + div f i v i
∂t
1
1
= – [ T 1 ] ⋅ n 1 – [ T 2 ] ⋅ n 2 + div [ T i ] + [ T i ] ⋅ n --------- + --------- + Q i
1 2
(32)
Il n’y a pas d’ambiguïté sur vi qui n’intervient, en fait, que par sa
composante normale. Les opérateurs div sont des opérateurs surfaciques dans (32) comme au paragraphe 2.3.
En ne développant qu’une partie des termes de (30), on obtient
deux autres formes des équations locales de conservation :
— l’équation diphasique de conservation :
∂
------- ( f 1 χ 1 + f 2 χ 2 ) + div ( f 1 v 1 χ 1 + f 2 v 2 χ 2 )
∂t
– div ( [ T 1 ] χ 1 + [ T 2 ] χ 2 ) – Q 1 χ 1 – Q 2 χ 2
(33)
∂f
1
1
= – --------i + div f i v i – div [ T i ] – [ T i ] ⋅ n --------- + --------- – Q i δ i
∂t
1 2
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A 720 − 5
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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________
— l’équation phasique de conservation :
∂
------- f k χ k + div f k χ k v k – div [ T k ] χ k – Q k χ k
∂t
(34)
= [ f k ( v i – v k ) ⋅ n k + [ T k ] ⋅ n k ]δ i
Dans les équations (33) et (34), le second membre définit les
sources interfaciales respectivement diphasique et phasique de la
quantité f . Ces sources sont les quantités qui assurent le transfert
entre phases et jouent un rôle essentiel dans la mécanique
diphasique.
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3.2 Équations volumiques de conservation
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En intégrant les équations locales (33) et (34) sur un volume
fixe 0 , on obtient la forme volumique des théorèmes de conservation (l’indice 0 indiquant des quantités fixes) :
— équation diphasique :
d
-------dt
=
+
0
( f 1 χ 1 + f 2 χ 2 )d +
0
~
( Q 1 χ 1 + Q 2 χ 2 )d
(35)
— équation phasique :
d
-------dt
f
0 k
χ k d +
=
+
f
0 k
0
Le tableau 1 de [Form. A 721] résume les définitions utilisées.
Le tableau 2 de [Form. A 721] donne les lois de conservation
locales, pour chaque phase, pour la masse, la quantité de mouvement, l’énergie cinétique et l’énergie totale (1er principe) sous la
forme enthalpie et sous la forme entropie. Ces équations expriment
les lois classiques des milieux fluides continus monophasiques. On
y trouve également les lois de conservation interfaciales de la masse,
de la quantité de mouvement, de l’énergie (1er principe) et de la
croissance de l’entropie (2e principe).
Dans les tableaux 3 et 4 de [Form. A 721], on a les théorèmes de
conservation de la masse et de la quantité de mouvement sous les
formes statistiques locale et volumique. La turbulence a été mise
en évidence par les contraintes de Reynolds :
=
=
[ k′ ] = – ρ k [ v k′ ⊗ v k′ ] = – ρ k [ v k′ ⊗ v k′ ]
∂f
1
1
– --------i – div f i v i + div [ T i ] + [ T i ] ⋅ n --------- + --------- + Q i d
∂t
1 2
i ∩ 0
On a regroupé dans [Form. A 721] les lois les plus usuelles de
conservation diphasiques pour le cas d’un mélange gaz-liquide,
ceci afin de mettre en évidence certaines lois d’état que l’on verra
au paragraphe 5.
( f 1 v 1 χ 1 + f 2 v 2 χ 2 ) ⋅ n d
0
( [ T 1 ] χ 1 + [ T 2 ] χ 2 ) ⋅ n d +
0
4. Lois de conservation usuelles
v k χ k ⋅ n d
[ T k ] χ k ⋅ n d +
i ∩ 0
0
Q k χ k d
Enfin, le tableau 5 de [Form. A 721] donne les équations phasiques
de conservation de l’énergie mécanique pour l’ensemble du fluide,
puis pour le mouvement moyen (l’équation de conservation de
l’énergie turbulente est alors déduite de l’équation du mouvement
d’ensemble). Cette dernière est semblable à l’équation de conservation de l’énergie mécanique pour un écoulement laminaire avec
en sus :
=
— le travail des contraintes de Reynolds : v k ⋅ [ ′k ] ;
— la production d’énergie turbulente :
(36)
fk ( vi – vk ) ⋅ nk + [ Tk ] ⋅ nk d
(39)
=
=
k = [ ′k ] : [ Grad v k ]
(40)
La variété des théorèmes de l’énergie totale est telle qu’il est
impossible de les citer tous ou de faire un choix. Les équations
indiquées dans les tableaux peuvent servir de base au développement de théorèmes particuliers à chaque situation.
3.3 Moyennes statistiques
On peut moyenner statistiquement les équations précédentes
puisque, pour une distribution, dérivation et sommation commutent
(cela n’est pas vrai pour une fonction continue par morceaux, non
définie partout). On obtient alors, par exemple, pour une équation
phasique locale :
=
=
=
=
∂
------- α k f k + div α k f k v k – div α k [ T k ] – α k Q k
∂t
4.1 Simplifications courantes
■ ρi = 0
: il faut prendre garde toutefois que les produits ρi e i
et ρi s i , qui sont des grandeurs surfaciques, restent
finis.
■ [ i ] = 0
: les contraintes visqueuses interfaciales ne semblent jouer un rôle que lors des coalescences, des
ruptures de jets et des phénomènes de films minces.
■ λi = 0
: on peut négliger la conduction thermique interfaciale.
■ grad σ = 0
: on néglige l’effet Marangoni (celui-ci intervient
surtout lors des coalescences).
(37)
= αi fk ( vi – vk ) ⋅ nk + [ Tk ] ⋅ nk et, pour une équation phasique volumique :
d
-------dt
0
=
α k f k d +
+
0
A 720 − 6
0
=
α k f k v k ⋅ n d =
=
α k Q k d +
0
0
=
α k [ T k ] ⋅ n d
(38)
α i f k ( v i – v k ) ⋅ n k + [ T k ] ⋅ n k d
=
=
■ p G ≈ p L ≈ p : la différence des pressions phasiques est faible.
=
■ σ αi p
: cela revient à négliger les termes interfaciaux dans
les bilans diphasiques de quantité de mouvement.
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___________________________________________________________________________________________________________
4.2 Cas particuliers
ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
Si de plus l’écoulement est stationnaire, l’énergie turbulente est
constante et :
=
=
(47)
k = Φ′k
4.2.1 Écoulements laminaires
Dans ce cas, les termes turbulents sont nuls, en particulier les
contraintes de Reynolds. Il peut se produire que l’écoulement soit
laminaire dans une phase et turbulent dans l’autre.
Dans le cas d’écoulements finement dispersés, les mouvements
dans la phase dispersée (repérée par l’indice d ) sont quasiment
nuls : on a alors [ d ] ≈ 0 , mais l’intégrale des contraintes sur
l’interface garde une valeur finie non nulle.
ce qui montre que le puits d’énergie est égal à la somme de la dissipation moyenne et de la dissipation turbulente.
5. Équations complémentaires
L’ensemble des équations de bilan est insuffisant pour résoudre
un problème diphasique. D’autres relations provenant de la physique
ou de l’expérience sont nécessaires.
4.2.2 Écoulements sans transfert de masse
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En l’absence d’échange moléculaire entre phases, on a :
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=
ρ k ( v k – v i ) ⋅ n k = 0 et donc ṁ k = 0
=
Les termes proportionnels à ṁ k (donc aussi à ṁ k ) dans les bilans
interfaciaux de quantité de mouvement et d’énergie disparaissent
simultanément.
5.1 Conditions aux limites
Compte tenu du paragraphe 4.1 (ρi = 0), la conservation de la
masse à l’interface s’écrit sous la forme simplifiée :
ṁ 1 + ṁ 2 = 0
4.2.3 Écoulements dispersés
=
L’expression α i f˙k du terme de transfert de quantité de mouvement entre phases n’est pas facile à utiliser dans le cas des écoulements dispersés. Il vaut mieux introduire la force Fp exercée par la
phase continue (repérée par l’indice c ) sur une particule :
Fp = –
p
(41)
[ Tc ] ⋅ nc d En l’absence de transfert de masse entre phases, on a séparément :
ṁ 1 = 0
et
p
1
1
grad σ + σ n --------- + --------1 2
d
(49)
ṁ 2 = 0
La relation f˙1 + f˙2 = f˙i s’écrit, toujours dans le cas où ρi = 0 :
m˙ 1 v 1 ⋅ n 1 + m˙ 2 v 2 ⋅ n 2 + p 1 – p 2 – τ 1 nn + τ 2 nn
(50)
1
1
= σ --------- + --------- + τ i nn
1 2
et la force interfaciale Fi :
Fi =
(48)
1t – 2t = grad σ + it + ṁ 1 v 1t + ṁ 2 v 2t
(42)
(51)
Fc = – F p
(43)
où l’on a, pour simplifier l’écriture, rassemblé les forces visqueuses
d’interface dans le tenseur [ i ] .
L’indice t désigne les composantes tangentielles :
Fd = F p + F i
(44)
T t = [ T ] · n – n (n · [ T ] · n )
On a alors :
et l’indice nn les composantes normales :
et les identités :
=
=
α i f˙c = n F c
=
=
α i f˙d = n F d
=
=
α i f˙i = n F i







Tnn = n · [T ] · n
Compte tenu de (48), on peut encore écrire :
(45)
où n est le nombre de particules par unité de volume.
4.3 Équations de l’énergie
On remarque que les contraintes de Reynolds sont nulles sur la
paroi. La puissance des contraintes visqueuses n’est non nulle que
sur les surfaces mobiles éventuellement présentes (pompes,
turbines, agitateurs).
Le terme de production d’énergie turbulente est parfois difficile
à évaluer ; si l’on suppose que la turbulence est localement
homogène, on a :
=
=
∂ 1= k = ------- ----- ρ k v k′ 2 + Φ′k
(46)
∂t 2
=
où Φ′k est la dissipation turbulente volumique.
1
1
2 1
1
ṁ 1 ------- – ------- + p 1 – p 2 – τ 1nn + τ 2nn = σ --------- + --------- + τ i nn (52)
ρ1 ρ2
1 2
et, en anticipant sur la continuité des vitesses tangentielles :
1t – 2t = grad σ + it
(53)
Dans (52), les termes de transfert de masse et les contraintes
normales sont en général faibles devant les termes de pression, ce
qui généralise la loi de Laplace :
1
1
p 1 – p 2 = σ --------- + --------1 2
(54)
(les courbures étant comptées algébriquement dans le sens n2) au
cas dynamique lorsque la contrainte visqueuse interfaciale normale
est peu importante, ce qui est le cas dans les fluides ordinaires.
De la même façon, en l’absence d’effet Marangoni et de viscosité
interfaciale, on obtient la continuité des contraintes tangentielles :
1t – 2t = 0
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(55)
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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________
Les termes omis dans les équations (54) et (55) ne peuvent plus
être négligés lors des coalescences, des ruptures de jets ou lorsque
des substances tensio-actives (surfactants) créent des viscosités
interfaciales considérables.
En postulant que les sources d’entropie interfaciales sont nulles
(principe de réversibilité des transferts aux interfaces), on trouve :
v1t = v2t = vit
(56)
ce qui permet de définir la vitesse d’interface sans ambiguïté
par (13) :
vi = (vi · n)n + vit
puis les températures :
T 1 = T2 = T i
(57)
et enfin :
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ṁ 1
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e
1
p1
v1 – vi 2
+ ------- – T 1 s 1 + ------------------------- – τ 1nn
ρ1
2
p2
v2 – vi 2
– e 2 + ------- – T 2 s 2 + ------------------------- – τ 2 nn
ρ2
2
= 0
d’où l’on tire :
— soit ṁ 1 = 0 , qui est la condition de non transfert de masse ;
— soit, en introduisant les énergies libres diphasiques g k :
2
2
ṁ 2
ṁ 1
- – τ 1nn = g 2 + ---------- – τ 2nn
g 1 + ---------2
2
ρ1
ρ2
(58)
qui, dans la plupart des cas, peut également s’écrire sous la forme
simplifiée :
g 1 ( p 1 , T 1 ) = g 2 ( p 2 , T 2 ) ; m˙ 1 ≠ 0 ; T 1 = T 2 = T i
(59)
Exemple : sur la courbe de saturation, on a :
ps = ps (T )
Comme dg k = ( dp k /ρ k ) T à la température d’interface, on trouve
k
pour un mélange liquide-vapeur à fort contraste de densité (c’est-à-dire
loin du point critique) :
pG = ps ( Ti )
1
1
p L = p s ( T i ) – σ --------- + --------1 2
Les contraintes visqueuses et turbulentes doivent être liées aux
autres variables par des lois d’origine expérimentale. Dans le cas
des fluides newtoniens, les lois de contraintes visqueuses usuelles
s’appliquent (proportionnalité entre contraintes et déformations).
Dans le cas contraire, les lois rhéologiques appropriées doivent être
utilisées (article Fluides non newtoniens [A 710] dans le présent
traité). En ce qui concerne les contraintes turbulentes, on en sait trop
peu actuellement pour les exprimer directement, ce qui amène à
traiter les problèmes diphasiques par des méthodes intégrales où
seules les contraintes pariétales apparaissent : elles sont évaluées
par référence à des expériences convenables.
En ce qui concerne les contraintes interfaciales, la situation est
très complexe : la turbulence d’une des phases entraîne la turbulence
=
=
d’interface et l’on ne sait pas exprimer [ ρ i v i ⊗ v i ] ni [ i ] en fonction
des autres variables du système. Dans le cas où le mouvement à
l’interface est laminaire, on introduit deux coefficients de viscosité
interfaciale, l’un pour les effets du cisaillement et l’autre pour les
effets de dilatation surfacique.
6. Lois phénoménologiques
Lorsqu’on étudie un système diphasique dans le détail, à l’aide
des équations locales et des conditions aux limites, le système
d’équations est complet et les transferts interfaciaux sont solutions
du problème.
Dans le cas où l’on étudie le système globalement, à l’aide des
équations statistiques moyennées, les termes de transfert doivent
être donnés a priori. Ces relations complémentaires doivent être
obtenues par l’évaluation des grandeurs suivantes :
=
vi ⋅ nk
dilatation,
1
1
v i ⋅ n k --------- + --------1 2
=
ṁ i
=
ṁ k
=
f˙i
=
f˙k
ė i
g1 (ps , T ) = g 2 (ps , T )
et
5.3 Lois rhéologiques





(60)
ė k
5.2 Relations thermodynamiques
Les relations d’état des fluides et de l’interface :
pk = pk (ρk ,Tk )
granularité,
masse surfacique,
transfert de masse entre phases,
source d’impulsion interfaciale,
friction interphases,
source d’énergie interfaciale diphasique,
source d’énergie interfaciale phasique,
ou de leurs équivalents intégrés sur un volume d’installation.
C’est le problème le plus difficile à résoudre dans la prévision des
écoulements diphasiques. Il n’y a, hélas, pas de méthode générale
pour évaluer les termes inconnus des équations de bilans et l’on a
recours à l’expérience pour clore le problème. On peut toutefois
indiquer quelques lignes directrices assez générales.
σ = σ (Ti )
doivent être données, ainsi que les différents coefficients de transport (viscosités, conductibilités, etc.).
6.1 Dilatation, granularité, coalescence
Le cas le plus simple est celui d’un mélange isotherme de fluides
isovolumes ; il suffit alors de se donner les valeurs constantes de
ρ1 , ρ2 , σ, µ1 , µ2 . Si les variations de pression sont notables, on
utilisera une équation d’état simplifiée pk (ρk ) pour le gaz.
Il existe quelques cas simples où la dimension des interfaces est
connue d’avance (particules solides) ou dépend uniquement des
conditions aux limites (injection de bulles ou de gouttes dans un
milieu assez dilué ). En dehors de ces cas, on devra évaluer les
variations de taux de présence par analyse de la dilatation, le plus
souvent due à l’accélération du mélange.
A 720 − 8
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La granularité dépend, après oubli des conditions de mélange,
d’un équilibre entre l’écoulement dans la phase continue et les forces
de cohésion interfaciale, le plus souvent d’une interaction
turbulence-déformation. Des critères de stabilité sont alors utilisés
pour évaluer les distributions statistiques des dimensions de la
phase dispersée.
Dans le cas d’interfaces peu courbées (écoulements stratifiés ou
annulaires), il s’agit de prédire les ondulations de surface par analyse
de l’interaction écoulement-interface. Souvent, la pesanteur joue un
rôle dans ce phénomène.
La coalescence est un phénomène complexe qui met en jeu les
contraintes surfaciques et les interactions moléculaires dans les collisions entre particules. Les lois en sont mal connues et son incidence
sur les écoulements doit être prise en compte empiriquement.
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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
L’échange de masse est le plus souvent le débit de chaque phase
à travers les sections d’entrée et de sortie de l’installation ; on
définit alors le débit de masse qk :
qk =
Se
= =
vk >
α k ρ k v k ⋅ e d = S e < α k ρ k où la moyenne est effectuée sur la section d’entrée Se .
=
En général, on peut supposer ρ k constant dans la section et l’on
écrit couramment :
Qk
= < α k v k > vitesse débitante de la phase k
U k = --------------=
ρk Se
(64)
La covariance < αv > peut être évaluée en fonction des moyennes
< α > et < v > par des mesures.
L’échange de quantité de mouvement est plus complexe et conduit
au résultat net d’une perte de pression.
Signalons tout d’abord que la pression absolue n’intervient pas
dans les équations de quantité de mouvement grâce à la
combinaison :
6.2 Transferts de masse,
de quantité de mouvement
et d’énergie entre phases
L’analyse détaillée du transfert de masse entre phases est trop
longue pour être faite ici. Indiquons seulement qu’en règle générale,
la phase vapeur est dans les conditions de saturation (60). Dans ce
cas, on a un flux de masse proportionnel à la différence des
= =
températures moyennes T 1 – T 2 . Les coefficients de transfert sont
très différents pour une bulle, une goutte ou une interface plane et
on doit étudier séparément chaque cas.
Le transfert de quantité de mouvement entre phases dépend
largement de la configuration : écoulement stratifié ou annulaire,
écoulement dispersé, écoulement à poches de gaz, etc. Il dépend
aussi, pour les écoulements rapides, des phénomènes d’accélération, c’est-à-dire du gradient de pression moyenne. En l’absence de
lois bien établies pour ce type de transfert, on utilise la notion dérivée
de glissement : on remplace alors le système d’équations phasiques
de conservation de la quantité de mouvement par l’équation diphasique et une relation de glissement locale :
v 12 = v 1 – v 2
(61)
< v 12 > = < v 1 > – < v 2 >
(62)
ou globale :
Cette relation provient d’analogies avec des écoulements simples
ou de mesures directes.
Le transfert de chaleur entre phases suit une loi de proportionnalité
= =
en T 1 – T 2 avec un coefficient dépendant, ainsi que pour le transfert
de masse, de la courbure de l’interface. En conséquence, chaque cas
doit être étudié séparément.
Enfin, pour tous ces transferts, les coefficients dépendent de
l’état de turbulence des phases ainsi que les exemples choisis dans
les articles d’application du présent traité le montrent.
6.3 Transferts externes
Un système diphasique non statique échange toujours masse,
quantité de mouvement, énergie avec le milieu extérieur.
grad p1 χ1 + p1 n1 δi = χ1 grad p1
(65)
En négligeant la source interfaciale, le bilan de quantité de
mouvement s’écrit facilement pour un écoulement unidirectionnel
de direction e dans une conduite de section constante :
∆ < p >S
S
------------------------ ( 1 – m 2 ) = < ρ > g ⋅ e + ------ < e ⋅ [ ] ⋅ n > S
L
(66)
∆ < p > S variation de pression entre deux sections distantes
de L et de surface moyenne S.
Évaluer < ρ > revient à évaluer < αk >S dans chaque section à
l’aide des équations de conservation de la masse et de la quantité
de mouvement (ou de glissement).
Le calcul de la moyenne des contraintes sur la surface S du
système exige une analyse détaillée de l’écoulement. En général, la
contrainte pariétale k est proportionnelle à l’énergie cinétique
moyenne :
1=
2
----- ρ k v k αk
2
avec
2 est calculé extérieurement à la couche limite. Selon la
où v
k
configuration d’écoulement, on aboutit à des lois plus ou moins
complexes pour évaluer cette moyenne où intervient le taux de
présence αk .
L’intégrale du terme d’accélération est en général proportionnelle
à la différence de pression, d’où la forme de l’expression (66), où
les termes d’accélération valent – m 2 ∆ < p > S / L .
m 2 est une fonction du taux de vapeur de la phase compressible,
de la compressibilité (en général isotherme) du fluide et du glissement entre phases et joue le rôle d’un nombre de Mach. Il n’est négligeable, le plus souvent, que si les vitesses sont faibles, inférieures
à quelques m/s. Pour une installation complexe, lorsque l’écoulement n’est plus unidirectionnel, il est recommandé d’utiliser le bilan
d’énergie cinétique (c’est obligatoire lorsqu’il y a des surfaces
mobiles susceptibles d’échanger du travail avec le fluide).
Dans le cas d’un transfert de chaleur avec l’extérieur, il faut écrire
le bilan d’enthalpie. Les couches limites au voisinage des parois sont
assez souvent semblables aux couches limites monophasiques. On
pourra donc appliquer les mêmes lois de transfert locales, une fois
évalués les paramètres dynamiques, vitesse extérieure à la couche
limite et frottement pariétal.
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(63)
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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________
Notations et symboles
Symbole
Définition
Symbole
Définition
a = (a 1 , a 2 , a 3 )
k , i
coordonnées lagrangiennes
courbe
dissipation massique dans la phase k , à
l’interface
énergie massique de la phase k , de l’interface
source d’énergie interfaciale relative à la
phase k , diphasique
vecteurs unitaires du repère orthogonal local
vecteur unitaire axial d’une conduite
fonction courante, représentant en général
une grandeur volumique
grandeur volumique relative à la phase k ,
grandeur surfacique
source de quantité de mouvement interfaciale
relative à la phase k , relative à l’interface
forces agissant sur une particule
accélération de la pesanteur
énergie libre massique (fonction de Gibbs ) de
la phase k
enthalpie massique de la phase k , de
l’interface
distribution de Heaviside
courbure moyenne de l’interface
tenseur unité à deux ou trois dimensions
unités de longueur des coordonnées locales
x1, x2, x3
longueur d’une conduite
nombre de Mach diphasique
source de masse interfaciale relative à la
phase k , à l’interface
nombre de particules par unité de volume
vecteur unitaire, normale à l’interface
extérieure à la phase k
vecteur unitaire normal à une courbe, à une
surface
nombre de réalisations indépendantes d’une
expérience, numéro d’une des réalisations
périmètre d’une conduite
périmètre moyen phase k - paroi, périmètre
moyen interfacial
pression, pression dans la phase k
pression de vapeur saturante
production volumique d’énergie turbulente
dans la phase k
Rk
taux de présence moyen volumique de la
phase k
aire interfaciale volumique
rayons de courbure principaux d’une surface
entropie massique de la phase k, de l’interface
surface latérale d’une conduite, section d’une
conduite
vecteur définissant l’équation d’une surface
tenseur des vitesses de déformation
surface matérielle, surface fixe
interface
temps courant
température absolue de la phase k, de
l’interface
tenseur flux d’une grandeur physique
associée f dans la phase k, à l’interface
tenseur des contraintes complet de la phase k,
de l’interface
vitesse débitante de la phase k
vitesse locale de la phase k, de l’interface
vitesse de glissement de la phase 1 par
rapport à la phase 2 (moyenne massique)
ek , ei
ė k , ė i
e1, e2, e3
e
f
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fk , fi
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Notations et symboles
f˙k , f˙i
F
g
gk
hk , hi
H
[I]
1, 2,
3
L
m
ṁ k , ṁ i
n
n, n k
n , n
N, N j
P
P k , Pi
p, pk
ps
=
k
Q
Qk , Qi
qk, q
r
A 720 − 10
source volumique d’une grandeur physique
associée f
source volumique de la phase k, source
surfacique de l’interface
débit massique de la phase k, rapport de
débits
rayon vecteur courant
Ri
1 , 2
sk , si
S, S e
S
[Sk ]
, 0
i
t
Tk , Ti
[T k ], [T i ]
[T k ], [T i ]
Uk
vk , vi
v 12
, 0
k
x1, x2, x3
αk , αi
β
δ
δi
∆
ε
ψ
ψk , ψi
χk
ηk
λk , λ i
µk
πk
ρk
ρi
σ
[ k ], [ i ]
[ k′ ]
volume matériel, volume fixe
volume de la phase k
coordonnées curvilignes orthogonales locales
taux de présence local de phase k, d’interface
angle d’une conduite avec l’horizontale, positif
ascendant
distribution de Dirac
distribution de Dirac interfaciale
différence globale
infiniment petit
potentiel des forces de gravité
grandeur massique de la phase k, de
l’interface
distribution de présence de la phase k
deuxième viscosité (dilatation) de la phase k
diffusivité thermique de la phase k, de
l’interface
viscosité dynamique de la phase k
potentiel de pression de la phase k
masse volumique de la phase k
masse surfacique de l’interface
tension interfaciale
tenseur des contraintes visqueuses de la
phase k, de l’interface
tenseur des contraintes turbulentes
(contraintes de Reynolds) de la phase k
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Liste des Indices
0
1, 2
k
i
d, c
G, L
p
j
Opérateurs
indique un élément fixe
phase 1, phase 2
phase k, k = 1, 2
interfacial
phase dispersée, continue
gaz, liquide
particule
numération d’une suite
grad
[ Grad ]
div
Div
.
:
⊗
|
|
–
=
Parution : mai 1982 - Ce document a ete delivre pour le compte de 7200031704 - institut algerien du petrole // bourennani SAMIR // 105.101.231.249
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tiwekacontentpdf_a720 v1
ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES
’
t
gradient d’un scalaire
tenseur gradient d’un vecteur
divergence d’un vecteur
divergence vectorielle d’un tenseur
contraction sur un indice (produit scalaire)
contraction sur deux indices (double produit
scalaire)
produit tensoriel de deux vecteurs
module
moyenne statistique
moyenne statistique phasique (volumique ou
surfacique)
moyenne massique
moyenne sur une variété (indiquée en indice),
volume, surface, courbe
moyenne phasique sur une variété, volume,
surface, courbe
fluctuation turbulente par rapport à la
moyenne massique
transposition d’un tenseur
Références bibliographiques
[1]
[2]
[3]
[4]
FITREMANN (J.M.). – Écoulements diphasiques industriels. Cours de DEA ENSM (1980).
HINZE (J.O.). – Turbulence. Mac Graw Hill
(1959).
ISHII (M.). – Thermo-fluid dynamics of two
phase flow. Eyrolles (1975).
DELHAYE (J.M.). – Dans Two phase flow and
heat transfer. S. Kakaç et F. Mayinger éditeurs,
Hemisphere (1977).
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