Réf. : BE8155 V1
Date de publication :
10 octobre 1999
Date de dernière validation :
04 janvier 2020
Écoulement des fluides Dynamique des fluides
parfaits
Cet article est issu de : Ingénierie des transports | Transport fluvial et maritime
par André LALLEMAND
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Écoulement des fluides
tiwekacontentpdf_be8155 v1
Dynamique des fluides parfaits
par
André LALLEMAND
Ingénieur, Docteur ès Sciences
Professeur des Universités à l’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
1.
1.1
1.2
1.3
Équations générales ................................................................................
Bilan de la masse.........................................................................................
Bilan de la quantité de mouvement ...........................................................
Équation de Bernoulli..................................................................................
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Applications ..............................................................................................
Écoulement à travers un orifice. Formule de Torricelli .............................
Mesure de la pression dans une conduite. Tube piézométrique..............
Pression en un point d’arrêt. Tube de Pitot ................................................
Phénomène de Venturi ................................................................................
Réaction d’un jet ..........................................................................................
Action d’un fluide sur un coude de conduite ............................................
BE 8 155 - 3
—
3
—
3
—
4
—
—
—
—
—
—
—
4
4
6
7
8
9
9
ous les fluides réels sont visqueux. Cependant, selon les situations pratiques, les forces de viscosité peuvent être plus ou moins importantes par
rapport aux autres forces qui interviennent dans les écoulements, telles que les
forces d’inertie, les forces de gravité ou encore les forces de pression. C’est en
général le cas dans beaucoup d’écoulements de gaz dont la viscosité est beaucoup plus faible que celle enregistrée dans la plupart des liquides. On peut alors,
dans les équations générales, négliger les termes dus à la viscosité. L’écoulement du fluide se traite alors comme celui d’un fluide parfait, c’est-à-dire, sans
viscosité.
Même lorsqu’un fluide a une viscosité importante, il est possible de se trouver
dans des situations d’écoulements pour lesquelles cette viscosité n’a plus
d’influence. Ce sont, pour l’essentiel, le cas des écoulements irrotationnels, dits
encore écoulements potentiels, d’un fluide incompressible et, plus particulièrement, le cas des écoulements loin de parois matérielles, hors ce que l’on appelle
les couches limites. Dans tous ces cas, malgré un coefficient de viscosité qui
peut être important, les gradients de vitesse sont tels que cette viscosité n’a plus
d’influence sur l’écoulement. L’écoulement se traite alors comme si le fluide était
un fluide parfait.
Bien que ces divers cas puissent apparaître comme des cas particuliers, on les
rencontre fréquemment en pratique. Ainsi, alors que le fluide parfait correspond
à un concept vide de réalité physique, la dynamique des fluides parfaits est une
partie réellement applicative de la mécanique des fluides.
L’article qui suit , basé sur une idée très théorique, revêt donc une importance
non négligeable pour beaucoup d’applications, que ce soit dans le domaine des
mesures dans les écoulements ou, par exemple, dans le cas des interactions
entre le fluide en écoulement et les parois des canalisations qui le contiennent.
T
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ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________
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Notations et symboles
Symbole
Unité
C
m
Cc
Définition
Symbole
Unité
Définition
Charge du fluide
v
m · s−1
Vecteur vitesse
Coefficient de contraction
vi
m · s−1
Composante de la vitesse
Réaction d’un jet, poussée
út
W
W
F
N
F’
N · kg−1
Force de volume (ou de champ)
par unité de masse
wt
J · kg−1
g
m · s−2
Accélération de la pesanteur
xi
m
Coordonnée
h
m
Hauteur
z
m
Altitude
He
m
Hauteur effective
γ
m · s−2
J
m
Perte de charge
∆
Mú
kg · s−1
Débit massique
η
Vecteur unitaire de la normale
extérieure d’un élémentde surface
ϕ
n
Puissance technique
Travail technique massique
Accélération
Différence
Pa · s
Viscosité de dilatation
Coefficient de vitesse
P
Pa
Pression
µ
Pa · s
P*
Pa
Pression étoilée
ρ
kg · m−3
Masse volumique
P*/ω
m
Hauteur piézométrique
ϖ
N · m−3
Poids volumique
Pa
Pa
Pression atmosphérique
Ω
m2
Surface frontière
Pr
Pa
Pression relative
R
N
Résultante des forces
Vú
m3 · s−1
Débit volumique
V
m · s−1
Vitesse de l’écoulement potentiel
Viscosité dynamique
Indices
i, j, k, n
1, 2
BE 8 155 − 2
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Direction de projection
Relatif à l’amont et à l’aval respectivement
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1. Équations générales
ÉCOULEMENT DES FLUIDES
On a alors :
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Dv
ργ = ρ -------- = Ð grad P + ρF ′
dt
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Dans les problèmes pratiques d’écoulement des fluides, on fait
l’hypothèse d’un écoulement d’un fluide parfait lorsque la viscosité
du fluide est négligeable ou lorsque, dans le cas de fluides visqueux, les gradients de vitesse sont nuls.
µ = η = 0
ou
∂v
--------i = 0
∂ xj
(1)
Ce cas se produit, en particulier, lorsque la zone d’écoulement
considérée est suffisamment loin de toute paroi matérielle tout
en étant de dimensions relativement importantes. On parle d’écoulement externe ou encore d’écoulement potentiel, puisque ce type
d’écoulement est irrotationnel ([BE 8151] § 5).
Inversement, dans l’écoulement d’un fluide parfait, on fait l’hypothèse que, dans une section droite à lignes de courant rectilignes, du
fait de l’absence de viscosité, la vitesse est constante.
L’hypothèse du fluide parfait conduit à des simplifications dans
certaines des équations générales de la mécanique des fluides.
avec
(5)
γ
l’accélération,
P
la pression,
F’
les forces de volume (ou de champ) par unité de
masse.
Cette équation, qui correspond à trois équations scalaires, est dite
« équation d’Euler ».
Pour un fluide pesant incompressible, l’équation (5) devient :
Dv
ρ -------- = Ð grad P *
dt
(6)
où P* = P + ϖz est la pression étoilée, qui est la somme des énergies
potentielles de pression et de position,
ϖ = ρg le poids volumique,
g l’accélération de la pesanteur,
z l’altitude.
Dans une canalisation cylindrique d’axe x1 (figure 2), la vitesse du
fluide étant unidirectionnelle, on a :
1.1 Bilan de la masse
v2 = v3 = 0
Le fait qu’un fluide soit parfait ou visqueux n’intervenant pas dans
l’étude de la conservation de la masse ([BE 8153] § 2), cette équation
ne diffère pas du cas général. On a, pour un écoulement
conservatif :
∂ρ
------ + div ρ v = 0
∂t
avec
v
le vecteur vitesse,
ρ
la masse volumique,
t
le temps.
Si le fluide parfait est incompressible, on obtient l’équation :
div v = 0
Ω
Figure 1 – Écoulement d’un fluide parfait dans une canalisation
(3)
En absence de viscosité, à la paroi, la vitesse v diffère de celle de
la paroi. On admet alors que la vitesse est constante sur une normale à la paroi. Ainsi, dans une canalisation cylindrique (figure 1), la
vitesse est constante sur une section droite. L’équation de la conservation de la masse, appliquée à un tube de courant entre les sections 1 et 2, s’écrit :
∫ρ v
z
x1
x2
1 1 dΩ 1
= ρ 1 v 1 Ω 1 = Mú = ρ 2 v 2 Ω 2
(4)
v
Ω1
avec
v
(2)
P*
Mú
le débit massique du fluide à travers une section
droite quelconque,
Ωi
l’aire de la section droite i.
x3
1.2 Bilan de la quantité de mouvement
Dans l’équation de Cauchy, valable pour l’écoulement conservatif
d’un fluide visqueux compressible ou incompressible ([BE 8153]
§ 3.2, équation (47)), il suffit de poser, pour un fluide parfait :
µ=η=0
Figure 2 – Constance de la hauteur piézométrique dans le cas de
l’écoulement d’un fluide parfait pesant incompressible dans une
canalisation cylindrique
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BE 8 155 − 3
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ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________
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Pour un écoulement permanent, les composantes de l’équation
de la quantité de mouvement s’écrivent :
P1* = Cte
ϖ
∂ v1
∂ P*
ρv 1 --------- = Ð --------∂ x1
∂ x1
v1
Ω1
Ω2
∂ P*
0 = Ð --------∂ x2
v2
P2* = Cte
ϖ
∂ P*
0 = Ð --------∂ x3
Figure 3 – Écoulement d’un fluide parfait dans un tube de courant
contenant une machine
Compte tenu de l’équation de la conservation de la masse :
Le fluide étant parfait, la puissance mécanique pondérale dissipée
par les frottements visqueux Jú12 est nulle. Les vitesses v et les hauteurs piézométriques P* / ϖ étant constantes dans une section droite
si cette section est située dans une partie cylindrique de canalisation, on peut écrire :
∂v
div v = --------1- = 0
∂ x1
on conclut que :
grad P* = 0
(7)
ú
v 12 P 1*
v2 P*
W
 ------ + ------ Vú =  ------2- + -----2- Vú Ð -------t
2g ϖ 
2g ϖ 
ϖ
soit P* = Cte dans tout l’écoulement.
L’équation (5) est valable en écoulement permanent ou non permanent. Par contre, l’établissement de l’équation intégrale du bilan
de la quantité de mouvement ([BE 8153] § 3.3) nécessite l’hypothèse
d’un écoulement conservatif et permanent. Dans cette expression, il
n’est fait aucune différence entre les différents types de forces. Cette
équation a donc la même écriture pour un fluide parfait que pour un
fluide réel, ce fluide pouvant être compressible ou incompressible.
Ainsi, pour une surface Ω quelconque délimitant le domaine fluide
considéré, on a :
R =
∫v
dMú
ou, en divisant par le débit volumique :
v2 P*
v2 P*
------1- + -----1- = ------2- + -----2- Ð H e
ϖ
2g
2g ϖ
avec
(13)
He = wt / g
la hauteur effective de la machine ([BE 8153]
§ 4.5),
wt
son travail technique massique.
(8)
2. Applications
Ω
Dans cette relation, R est la résultante des forces extérieures qui
sont appliquées au fluide et d Mú le débit massique élémentaire,
compté positivement si le fluide sort du volume considéré. Pour une
portion de tube de courant comprise entre les sections droites Ω1 et
Ω2, et pour un fluide parfait pour lequel les vitesses sont constantes
dans chacune des sections droites, on a :
R = Mú ( v 2 Ð v 1 )
(12)
(9)
1.3 Équation de Bernoulli
2.1 Écoulement à travers un orifice.
Formule de Torricelli
Soit un réservoir contenant un fluide incompressible pesant
(figure 4 a). Ce réservoir comporte un orifice, de petites dimensions
par rapport à celles du réservoir, qui laisse échapper le liquide. Le
problème consiste à calculer la vitesse des particules du jet de fluide
qui s’écoule dans l’atmosphère (figure 4 b).
L’hypothèse sur le rapport entre les dimensions de l’orifice et celles du réservoir entraîne deux conséquences :
L’équation de Bernoulli ([BE 8153] § 3.4) exprime la conservation
de l’énergie le long d’une ligne de courant de l’écoulement permanent et conservatif, d’un fluide incompressible, pesant. Dans le
cas où, de plus, le fluide est parfait, cette équation se réduit à
l’expression suivante, les pertes de charge dues à la viscosité
étant nulles :
v2 P
------- + ---- + z = Cte
2g ϖ
(10)
Ce résultat peut être généralisé à l’évolution du fluide entre deux
sections droites d’un tube de courant en vertu du théorème de
Bernoulli généralisé ([BE 8153] § 4.2). Entre ces sections Ω1 et Ω2
incluant éventuellement des éléments mobiles d’une machine
út
avec lesquels le fluide échange la puissance mécanique W
(figure 3), on a :
∫
Ω1
v 12 P 1*
 ------ + ------ v d Ω 1 =
2g ϖ  1
BE 8 155 − 4
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∫
Ω2
ú
v 22 P 2*
W
 ------ + ------ v d Ω 2 Ð -------t + Jú12
2g ϖ  2
ϖ
(11)
a) pendant un temps ∆t suffisamment court, le déplacement de la
surface libre est négligeable ;
b) pendant ce même temps ∆t, l’écoulement est permanent.
On suppose aussi qu’un tel écoulement présente les caractéristiques suivantes :
— tout le fluide contenu dans le réservoir participe au mouvement ;
— dans le réservoir, l’écoulement est convergent ;
— à la sortie de l’orifice (figure 4 b) le jet présente une partie
contractée en écoulement rectiligne.
C’est dans cette région particulière (entre les sections 1 et 2) que
se fait le calcul de la vitesse des particules. Le jet se développant à
l’air libre, la pression dans le jet est constante en tout point d’un
plan normal aux trajectoires (à la variation d’altitude − très faible −
près). Ainsi, dans la section considérée, on peut écrire :
PM = Cte = Pa
avec Pa la pression atmosphérique.
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ÉCOULEMENT DES FLUIDES
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A
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e
D
Sens de
l'écoulement
∆h
M
a
a écoulement global
orifice en forme
de tuyère
c
orifice rentrant ou
orifice de Borda
Bien que différente de 0, la vitesse en A est cependant très faible
à cause des hypothèses de dimensions : son carré est ainsi négligea2 . Comme, par
ble vis-à-vis des autres termes et en particulier de v M
hypothèse, la dimension de l’orifice est faible, en prenant l’origine
des altitudes sur l’axe du jet, on peut écrire à partir de l’équation
(14), pour tout point M du jet :
M'
M
b
Figure 5 – Orifices particuliers
(2)
(1)
orifice en paroi
mince
σ
2
vM
z A = ------2g
Ω
sachant que :
PM
P
PA
-------- = -----a- = -----ϖ
ϖ
ϖ
Ainsi, la vitesse en M est donnée par l’équation suivante :
b
vM =
écoulement du jet
(15)
en notant par ∆h, la hauteur de la surface libre au-dessus du jet.
C’est la formule de Torricelli.
Figure 4 – Écoulement à travers un orifice
Supposons que le fluide utilisé soit un fluide réel, c’est-à-dire visqueux. L’air étant également un fluide visqueux, il y a, à la frontière
entre les deux milieux, échange de quantité de mouvement ou effet
de cisaillement entre les différentes couches des fluides. Cependant,
si les deux fluides (air et fluide étudié) ont des coefficients de viscosité très différents avec prépondérance pour celui du fluide étudié,
celui-ci ne se trouve pratiquement pas « freiné » par la présence
d’air en contact avec lui. C’est par contre cet air « frontalier » qui est
mis en mouvement. Ainsi, pour tous les points du plan normal aux
filets de courant, on peut faire l’hypothèse que la vitesse est constante. Dans le jet, le fluide réel se comporte donc comme un fluide
parfait. À cause des grandes dimensions du réservoir, la vitesse du
fluide dans le réservoir reste pratiquement nulle. Le fluide peut
donc, là encore, être assimilé à un fluide parfait. Seul l’écoulement
au voisinage de l’orifice ne peut pas être assimilé à celui d’un fluide
parfait car les variations de vitesse dans cette zone sont importantes.
Si on fait abstraction de cette difficulté et que l’on fait l’hypothèse
qu’entre A et M, qui sont deux points supposés être sur la même
ligne de courant, l’écoulement est celui d’un fluide parfait, on peut
appliquer l’équation de Bernoulli (13), dans laquelle la hauteur effective He est nulle :
2
*
v A2 P A* v M
PM
------ + ------- = -------- + ------ϖ
2g ϖ
2g
2 g ∆h
(14)
La vitesse étant sensiblement constante dans le jet (à la dénivellation près à l’intérieur du jet), si on note par σ sa section, le débit
volumique est donné par :
Vú = σ v = σ
2 g ∆h
(16)
Le rapport entre σ et la section Ω de l’orifice dépend de la forme
de ce dernier. La valeur de ce rapport, appelé coefficient de contraction Cc, pour quelques formes d’orifices particulières est donnée cidessous.
a) Orifice en paroi mince (figure 5 a)
Le fluide ne touche l’orifice que selon une arête. Pour cela, il faut
que e << D.
Exemple : e/D << 1/100. On a alors : Cc = 0,6.
b) Orifice en forme de tuyère (figure 5 b)
Cet orifice doit épouser théoriquement la forme des filets de courant. Le jet ne présente alors plus de contraction : Cc = 1.
c) Orifice rentrant ou orifice de Borda (figure 5 c)
Dans ce cas, la contraction a lieu à l’intérieur du tube : Cc = 5.
D’une manière générale, on note que :
0,5 < Cc < 1
La relation (15) donne la vitesse dans le jet d’un fluide parfait. En
toute rigueur, dans cette situation, un fluide réel ne peut pas être
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ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________
assimilé à un fluide parfait à cause des variations importantes de
vitesse, qui s’accompagnent de dissipation d’énergie due à la viscosité, dans la zone située juste à l’amont de l’orifice. On tient
compte de ce fait, dans le cas des fluides réels, en introduisant un
coefficient de vitesse ϕ dans la formule de Torricelli :
v M = ϕ 2 g ∆h
B
(17)
zB
En général ϕ est de l’ordre de 0,95 à 0,98.
A
Un orifice tel que ceux décrits ci-dessus peut servir de débitmètre.
En effet, si une paroi percée d’un orifice de faibles dimensions barre
l’écoulement d’un liquide, le débit peut être donné par la mesure de
∆h car :
Vú = ϕ C c Ω
2 g ∆h
B'
M
A'
(18)
Cette détermination suppose que les coefficients ϕ et Cc soient
connus.
Figure 6 – Mesure de la pression par la méthode du tube
piézométrique
2.2 Mesure de la pression dans une
conduite. Tube piézométrique
B
Soit un fluide pesant, incompressible s’écoulant dans une
canalisation cylindrique (figure 6). Dans un tel écoulement, la hauteur piézométrique P*/ ϖ est constante en tout point d’une section
droite, que le fluide soit parfait ou réel ([BE 8153] § 3.4.3). Si en A, on
perce la canalisation pour y fixer perpendiculairement (au moins au
point de contact) un tube, celui-ci se remplit de liquide jusqu’à une
certaine hauteur repérée par le point B. Dans tout le tube, où la
vitesse du fluide est nulle et où la viscosité n’a plus d’influence, la
relation de Bernoulli (13) montre que la hauteur piézométrique reste
constante (répartition hydrostatique des pressions). Ainsi, on peut
écrire l’égalité des pressions étoilées :
* = P*
P B* = P A* = P M
A′
D
C
v
A
(19)
Si en B le tube est ouvert à l’atmosphère, on a :
PB = Pa
et
PrB = 0
où Pr est la pression relative, c’est-à-dire mesurée par rapport à la
pression atmosphérique.
Figure 7 – Mesure de la pression par tubes piézométriques pour un
écoulement de fluide parfait
L’équation (19) devient :
*
P rA
P rM
P * P rA
z B = -------- + z A = --------- + z M = -----r- = ----------′ + z A ′ = z B ′
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
(20)
La hauteur zB = zB ’ correspond à la hauteur piézométrique relative du fluide en A ou en A’ ou en M, c’est-à-dire en tout point de la
section droite passant par A. Si on fixe un tube en A’, la hauteur du
fluide dans ce nouveau tube atteind le même niveau que B. Ces
tubes sont appelés tubes piézométriques. Le trou pratiqué, en A ou
en A’, dans la canalisation est une prise de pression statique.
C’est ce type de mesure de la pression dans un liquide qui est
à l’origine de l’appellation « hauteur piézométrique » pour
l’ensemble :
P/ϖ + z = P*/ϖ
Si le fluide qui s’écoule dans la canalisation est parfait, la vitesse
en tout point d’une section droite est constante. Comme la canalisation est cylindrique, l’aire Ω des sections passant par A et C est la
BE 8 155 − 6
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même (figure 7). Alors l’équation du bilan de la masse (4) permet
d’écrire vA = vC et l’équation de Bernoulli (13) indique que :
P A*
P C*
------- = -----ϖ
ϖ
ou
*
*
P rA
P rC
z B = --------- = --------- = z D
ϖ
ϖ
(21)
Lorsqu’un fluide parfait, pesant, incompressible s’écoule en
régime permanent, dans une canalisation cylindrique, la vitesse
et la hauteur piézométrique sont constantes dans tout l’écoulement.
Cette conclusion peut être schématisée comme cela est fait sur la
figure 8 qui représente, de manière classique, l’évolution de la
charge, de la ligne piézométrique et de l’altitude ([BE 8153] § 3.4.2)
pour l’écoulement d’un fluide parfait dans une canalisation de section constante. Cette représentation fait apparaître clairement
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ÉCOULEMENT DES FLUIDES
Ligne de charge
v2
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Ligne piézométrique
P
ϖ
M
z
Référence des altitudes
A
V
Figure 8 – Représentation des diverses formes d’énergie mécanique
d’un écoulement d’un fluide parfait dans une canalisation de section
constante
Figure 9 – Écoulement autour d’un obstacle
l’énergie cinétique de l’écoulement [ν2/(2g)], son énergie potentielle
de pression (P/ϖ) et son énergie potentielle de position (z).
Il faut noter que, si un tube piézométrique donne une indication
indépendante de la position de la prise de pression dans la section,
il n’en est pas de même si la mesure de la pression a lieu à l’aide
d’un manomètre. En effet, ce dernier appareil donnant une mesure
de P et non de P*, son indication dépend de l’altitude z à laquelle est
située la prise de pression.
H2
V 2M
2g
H1
Enfin, la détermination de P r* ⁄ ϖ suppose essentiellement que la
prise de pression ne perturbe pas l’écoulement. Elle doit donc être
réalisée avec soin et être aussi petite que possible afin de ne pas
modifier localement les trajectoires. On constate en effet expérimentalement que, si sur une surface parallèle à l’écoulement, on
crée une cavité petite C, cette cavité se remplit de fluide immobile et
ne perturbe pas l’écoulement.
2.3 Pression en un point d’arrêt.
Tube de Pitot
L’application de l’équation de Bernoulli le long de cette ligne de
courant entre M et A donne :
(22)
Des prises de pression statiques reliées à des tubes piézométriques sont pratiquées en M et A (figure 10). Afin de ne pas perturber
l’écoulement en M du côté de la prise de pression, celle-ci est faite
sur un disque placé dans le sens de l’écoulement suffisamment en
amont du point A. La hauteur du fluide dans chacun des tubes piézométriques donne une mesure de la hauteur piézométrique relative en M et A [équation (20)] et la différence ∆z entre les niveaux H2
et H1 donne, selon l’équation (22), l’expression de l’énergie cinétique par unité de poids du fluide en M :
2
vM
∆z = ------2g
A
M
Figure 10 – Mesure de la pression par tubes piézométriques
dans l’écoulement et en un point d’arrêt
Soit un obstacle immobile placé dans l’écoulement permanent
d’un fluide parfait, pesant, incompressible (figure 9). Dans cet écoulement, il existe une ligne de courant particulière MA telle que la
vitesse soit nulle en A (A étant un point où la vitesse devrait avoir
deux sens opposés). Le point A est appelé point d’arrêt de la surface
de l’obstacle.
2
*
vM
PM
P A*
-------- + ------- = -----2g
ϖ
ϖ
*
PrA
ϖ
*
PrM
ϖ
(23)
La prise de pression située en A est appelée prise de pression
totale car elle donne la valeur totale de l’énergie mécanique ou
charge au point M, situé sur la même ligne de courant.
6D
0,3D
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2g
D
8D
M
R
1
2
Sens de l'écoulement
Figure 11 – Tube de Pitot
En pratique, pour mesurer la charge en un point et la vitesse de
l’écoulement d’un fluide, on n’utilise pas la disposition de la
figure 10, mais un appareil, appelé tube de Pitot, représenté sur la
figure 11. Dans l’écoulement, le tube de Pitot constitue l’obstacle. Il
doit être orienté dans la direction des lignes de courant. Si le fluide
est parfait, sa vitesse en M est celle de toutes les particules de
l’écoulement, sauf celles qui sont situées au point d’arrêt A, qui ont
une vitesse nulle. Ainsi, si l’écoulement est permanent et le fluide
pesant est incompressible, le raisonnement relatif à la figure 10
s’applique. Le tube piézométrique relié au point d’arrêt mesure la
hauteur piézométrique relative en A ou la charge (relative) en M,
alors que le tube relié au point M mesure la hauteur piézométrique
* ⁄ ϖ ) ou plus généralement en tout point de l’écourelative en M ( P M
lement. La différence de hauteur entre les niveaux des deux tubes
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BE 8 155 − 7
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ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________
1
v
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2
V
∆h
P r*1
Écoulement
ϖ
P r*2
M'
ϖ
N'
Couche limite
M
A
N
Tube de Pitot
Ω2
Figure 12 – Mesure de la vitesse d’un écoulement de fluide réel
par un tube de Pitot
permet d’obtenir la vitesse de l’écoulement potentiel V. Cependant,
le tube de Pitot doit être de dimensions suffisamment faibles pour
ne pas diminuer considérablement la section de passage du fluide à
l’extérieur du tube de Pitot sinon sa présence modifierait la vitesse
d’écoulement dans une section normale passant par M.
Dans le cas d’un fluide réel, bien que la vitesse des particules en
M soit nulle à cause de la viscosité, le résultat reste analogue. En
effet, dans ce cas il y a nécessairement au voisinage du tube, une
couche limite dans laquelle la vitesse varie de V à 0 (figure 12). Puisque vA = vM = 0, l’équation de Bernoulli ([BE 8153], § 3.4.2, équation
(69)) appliquée sur la ligne de courant AM donne :
*
P A*
PM
------- = ------- + J AM
ϖ
ϖ
(24)
où JAM représente les pertes de charge entre A et M. Cette relation
ne donne aucune indication sur la vitesse V. Cependant, les lignes
de courant étant presque parallèles entre elles dans la couche limite,
on peut admettre que la pression étoilée y est constante sur une
normale à la paroi. Ainsi :
*
*
PM
PM
′
-------- = --------ϖ
ϖ
*
*
2
*
2
*
PM
vN
PN
vM
PN
PM
′
--------′ + --------′ = --------′ + --------- ⇔ --------′ = ------ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
2g
2g
* ⁄
Comme la hauteur piézométrique en N est identique à P N
′ ϖ,
puisque dans cette zone les trajectoires sont rectilignes, on peut
écrire :
*
*
PM
PN
---------′ = -----ϖ
ϖ
(25)
Ainsi, la hauteur du niveau dans le tube piézométrique relié à M
représente bien la hauteur piézométrique relative au point N.
* ⁄ ϖ la différence vaut V 2 ⁄ 2 g , la difféComme entre P A* ⁄ ϖ et P N
rence des niveaux des deux tubes piézométriques permet de connaître,
même dans le cas de fluides réels, la vitesse de
l’écoulement :
2 g ∆h
(26)
si ∆h est la différence de niveau entre les deux tubes piézométriques.
BE 8 155 − 8
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Ω1
Figure 13 – Évolution de la hauteur piézométrique dans un tube
de Venturi
Le fait d’employer des manomètres à la place de tubes piézométriques pour la mesure des pressions ne change rien au résultat
final, sauf en ce qui concerne sa formulation : la variation d’altitude
entre les niveaux atteints par le fluide dans les tubes piézométriques
est à remplacer, à ϖ près, par la différence des pressions lues sur les
manomètres :
V =
PA Ð PM
2 --------------------ρ
(27)
2.4 Phénomène de Venturi
Or, le point M’, situé hors couche limite, appartient, comme le
point N’ situé sur la même ligne de courant, à la zone où le fluide
réel se comporte comme un fluide parfait puisque la vitesse y est
constante et égale à la vitesse V de l’écoulement. L’équation (13),
applicable entre N’ et M’, donne :
*
P A* P M
V2
------- Ð -------- = ------- ⇒ V =
ϖ
ϖ
2g
Ω 1'
Soit un fluide parfait, pesant, incompressible, en écoulement permanent dans une conduite cylindrique présentant localement un
rétrécissement (figure 13). On remarque que :
— dans les sections Ω1, Ω2 et Ω 1′ , les trajectoires sont rectilignes
(au moins sur une faible distance ∆, ), ce qui assure la constance de
la hauteur piézométrique dans une section droite ;
— le fluide étant parfait, la vitesse en tout point d’une section
droite est constante.
Ainsi, quels que soient les points considérés, la charge C est constante dans une section droite. L’application de la relation de Bernoulli (13) permet de généraliser ce résultat à tous les points de
l’écoulement :
v2 P*
C = ------- + ------ = Cte
2g ϖ
(28)
La conduite constituant un tube de courant particulier, le flux à
travers toute section droite est constant (équation de conservation
de la masse) :
vΩ = Vú = Cte
ce qui implique, comme Ω 1 = Ω 1′ > Ω 2 :
Ω1
v 1 = v 1′ et v 2 = ------- v 1 soit v 2 > v 1
Ω2
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(29)
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ÉCOULEMENT DES FLUIDES
Compte tenu de l’équation (28), il vient :
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P 2*
P*
------ < -----1ϖ
ϖ
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Ainsi, la hauteur atteinte par le liquide dans le tube piézométrique
2 est inférieure à celle atteinte dans le tube 1 d’une valeur ∆h.
∆h
Si on écrit la relation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 en y
remplaçant v2 par sa valeur en fonction de v1, on a :

-------  1 Ð
2g 
v 12
Ω 12 
-------2- 
Ω2
P 2*
σ
P 1*
Ð
= ------------------- = Ð ∆h
ϖ
v
Ω
soit :
Figure 14 – Réaction d’un jet
v1 =
2 g ∆h
----------------Ω 12
-------2- Ð 1
Ω2
(30)
Le débit est alors donné par la relation :
2 g ∆h
Vú = Ω 1 Ω 2 -------------------------Ω 12 Ð Ω 22
v1
(31)
Connaissant les sections Ω1 et Ω2, il suffit de mesurer la différence
des niveaux des tubes piézométriques ∆h pour obtenir la valeur du
débit. Ainsi, ce système, appelé tube de Venturi, est utilisé comme
débitmètre. Il est également utilisé, du fait de la chute de pression en
2, comme organe déprimogène, par exemple dans les carburateurs
de moteurs alternatifs à combustion interne.
2.5 Réaction d’un jet
Soit un réservoir de grandes dimensions percé d’un orifice par où
s’échappe un jet de liquide (figure 14). Appliquons l’équation intégrale de la quantité de mouvement (8) à la surface Ω :
R =
∑ Fe =
∫v
d Mú
(32)
Ω
où d Mú > 0 si le fluide sort du volume considéré.
Le fait d’avoir un réservoir de grandes dimensions permet de considérer que l’écoulement est permanent durant le temps d’observation. Cette même hypothèse implique un déplacement négligeable
de la surface libre. La seule portion de Ω qui soit traversée par le
fluide est alors la section σ liée à Ω’ par la relation σ = Ω’ Cc, où Cc
est le coefficient de contraction. Comme, dans la plupart des cas, on
peut considérer que la vitesse du fluide est constante en tout point
de σ, en notant par Mú le débit massique à travers l’orifice, on a :
Mú v = R
v2
F
(33)
La résultante R, constituée par les forces appliquées au volume de
fluide délimité par la surface Ω, a donc la même direction que celle
du jet. Si le jet est horizontal, la résultante des forces ne peut qu’être
due à l’action du récipient sur le fluide (l’action de la pesanteur étant
verticale). Réciproquement, le fluide exerce sur les parois du récipient une force F = − R qui est appelée réaction du jet ou encore
poussée du fluide sur le système. Comme Mú = ρσv , on a :
Figure 15 – Schématisation d’un turboréacteur et de la poussée
du fluide
à droite de la section Ω’ sur le volume du fluide contenu dans Ω.
Cette action est souvent négligeable. Il est également important de
souligner que l’équation intégrale du bilan de la quantité de mouvement ne faisant pas intervenir la nature visqueuse ou non du fluide,
le résultat trouvé est valable dans le cas des fluides réels. Dans ce
cas, il faut tenir compte du coefficient de vitesse ϕ qui apparaît dans
l’expression de Torricelli :
v=ϕ
2 g ∆h
Cette notion de réaction d’un jet est à la base notamment du principe de tous les systèmes propulsifs dits à réaction. On voit, d’après
la relation (34), que la « poussée » est proportionnelle à la masse
volumique du fluide et au carré de la vitesse d’éjection. Ceci montre
l’intérêt d’obtenir des vitesses d’éjection de fluide élevées, notamment dans les moteurs-fusée, où la relation (34) est directement
applicable, ou dans les turboréacteurs. Dans ce dernier cas, la relation donnant la poussée doit être modifiée pour tenir compte du
débit de quantité de mouvement du fluide entrant dans le turboréacteur (figure 15). L’application de la relation (9) donne, pour la poussée et à condition de considérer comme négligeables les actions du
fluide extérieur sur le fluide situé dans les sections d’entrée et de
sortie, la relation suivante :
F = Mú ( v 1 Ð v 2 ) = Ð ( ρ 2 v 22 Ω 2 Ð ρ 2 v 12 Ω 1 ) n
(35)
2.6 Action d’un fluide sur un coude
de conduite
(34)
Soit un coude de conduite dans lequel s’écoule, en régime permanent, un fluide pesant, parfait, incompressible (figure 16). Les sections sont situées dans deux portions rectilignes de la canalisation.
Cependant, le raisonnement précédent est entaché d’une légère
erreur car il ne tient pas compte de l’action de l’élément du jet situé
L’équation intégrale du bilan de la quantité de mouvement ne
nécessitant aucune hypothèse sur la nature du fluide (visqueux ou
parfait), le fait d’avoir un fluide parfait permet simplement de considérer que la vitesse est constante en tout point d’une section droite
F = Ð Mú v = Ð ρσ v 2 n
où n est la normale extérieure à la section de sortie.
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n
n2
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1
K1
Ω1
G1
G2
K2
v1
v2
Ω2
La résultante R des forces que le milieu extérieur exerce sur l’élément de fluide considéré peut être décomposée en :
— une action à distance : le poids Π du fluide ;
— une action de contact au niveau des sections droites Ω1 et Ω2
qui, pour un fluide parfait, se réduit aux forces de pression. Si on fait
l’hypothèse que dans une section droite où la hauteur piézométrique est constante la variation d’altitude a un effet énergétique négligeable, les pressions sont constantes. Cette action est alors donnée
par :
− P1 Ω 1 n 1 − P2 Ω 2 n 2
Figure 16 – Écoulement d’un fluide dans un coude de conduite
et donc d’assimiler la conduite à un filet de courant auquel on peut
appliquer la relation (9) :
R =
BE 8 155 − 10
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∑ Fe = Mú ( v2 Ð v1 )
— une action de contact fluide-paroi de la canalisation. Cette
action est notée par F si on considère l’action du fluide sur la paroi.
En utilisant cette décomposition, l’action du fluide sur le coude de
la conduite est donnée par l’équation :
F = Mú ( v 1 Ð v 2 ) + Π Ð P 1 Ω 1 n 1 Ð P 2 Ω 2 n 2
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