טורים
∞∑ מתכנס אם הגבול של סדרת הסכומים
עבור סדרה 𝑛𝑎 נאמר שהטור 𝑛𝑎 𝑛=1
∞∑
החלקיים 𝑛𝑎 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 … +קיים ,ונסמן 𝑛𝑆 𝑛=1 𝑎𝑛 = lim
∞→𝑛
תנאי הכרחי (אך לא מספיק) להתכנסות טור –
∞∑ מתכנס ,אז מתקיים lim 𝑎𝑛 = 0
אם הטור 𝑛𝑎 𝑛=1
∞→מ
כלומר ,אם האיבר הכללי של הסדרה אינו שואף ל ,0-הטור בהכרח
מתבדר.
טורים נפוצים
טור הנדסי –
כאשר יש טור המתקדם בכפולה קבועה ,נשתמש בנוסחאת סכום טור
הנדסי
𝑎1
𝑞1−
=𝑆
דוגמא:
1
1
1 1
1
= 𝑆𝑛 = ∑ 2𝑛 = + … = 9
1 12
3
9 27
1−
𝑛=1
3
טור טלסקופי –
כאשר כל איברי הסדרה ,למעט האיבר הראשון והאחרון ,הם איברים
זהים עם חילופי סימן ,ניתן לצמצמם את כל הסדרה לשתי איברים.
דוגמא:
∞
1
1 1
1
1 1
1
1
= + … = (1 − ) + ( − ) … + ( +
)
𝑛(𝑛 + 1) 2 6
2
2 3
𝑛 𝑛−1
1
→ 1−0= 1
𝑛−1
=1−
טור טיילור –
כאשר מתקבל טור טיילור מוכר ,נשתמש בו לפתרון הטור.
דוגמא:
1
1 1 1
=1+ + + …=𝑒−1
!𝑛
!1! 2! 3
∞
∑ = 𝑛S
𝑛=1
∞
∑ = 𝑛𝑆
𝑛=1
טורים
התכנסות או התבדרות
מלבד מבחני ההשוואה המופיעים בדף הנוסחאות ,ניתן להיעזר גם בטענות
הבאות:
תהי 𝑛𝑎 סדרה חיובית ,כך שקיים 0 < 𝑞 < 1
𝑎𝑛+1
∞∑ מתכנס
אם מתקיים 𝑞 ≤
limאז הטור 𝑛𝑎 𝑛=1
𝑛𝑎 ∞→𝑛
𝑎𝑛+1
∞∑
𝑛𝑎 𝑛=1
אם מתקיים 𝑞 =
limאז הטור
אם מתקיים 𝑞 ≥
∞∑ מתבדר
𝑞 > 1 , limאז הטור 𝑛𝑎 𝑛=1
𝑛𝑎 ∞→𝑛
𝑎𝑛+1
מתכנס
𝑛𝑎 ∞→𝑛
𝑝 > 1מתכנס
{=
עבור טור מהצורה
𝑝 ≤ 1מתבדר
1
𝑝𝑛
∞∑
𝑛=1
זהויות לזכור:
cos 𝑥 − 1
1
𝑥 sin
𝑒𝑥 − 1
lim
→ − , lim
→ 1 , lim
→1
𝑥→0
𝑥→0
𝑥2
𝑥 2 𝑥→0
𝑥
הטור ההרמוני
1
𝑛
∞∑ מתבדר
𝑛=1
טורים
טורים כללים
התכנסות בהחלט –
∞∑ מתכנס.
טור נקרא מתכנס בהחלט אם | 𝑛𝑎| 𝑛=1
אם טור מתכנס בהחלט ,אז הוא גם מתכנס.
מבחני מנה וקושי לטורים כלליים –
אם הסדרה 𝑛𝑎 מקיימת 𝑞 = |
𝑎𝑛+1
𝑛𝑎
𝑛
| limאו 𝑞 = | 𝑛𝑎|√ , limאז:
∞→𝑛
∞→𝑛
אם q<1הטור מתכנס בהחלט ולכן מתכנס
אם q>1הטור מתבדר
מבחן לייבניץ לטורים מתחלפים –
𝑛
∞∑.
תהי 𝑛𝑎 סדרה חיובית ,נתבונן בטור 𝑛𝑎 )𝑛=1(−1
אם מתקיים lim 𝑎𝑛 = 0והסדרה היא סדרה יורדת ,אז הטור הנ"ל מתכנס.
∞→𝑛
דוגמא:
1
𝑛
= 𝑛𝑎 ,זוהי סדרה יורדת ושואפת ל ,0-לכן הטור
𝑛)(−1
𝑛
∞∑ מתכנס
𝑛=1
התכנסות בתנאי –
∞∑ מתכנס ,אך לא מתכנס בהחלט ,אז הוא נקרא מתכנס
אם הטור 𝑛𝑎 𝑛=1
בתנאי.
משפט רימן –
אם טור הוא טור מתכנס בתנאי ,אז ניתן לסדר את איברי הסדרה בצורה שונה
כך שהטור יתכנס לערך אחר.
לכל מספר ממשי קיים סידור ייחודי של איברי הסדרה כך שהטור ייתכנס אליו.
טורים
סדרות וטורים של פונקציות
דוגמאות לטורים של סדרות פונקציות:
∞
𝑛 𝑥
)אוילר( 𝑥 𝑒 = )𝑥( 𝑛𝑓 ∑ 𝑓𝑛 (𝑥) = (1 + ) → lim
∞→𝑛
𝑛
𝑛=1
∞
0 0≤𝑥<1
1
𝑥=1
1
𝑥1−
{ = )𝑥( 𝑛𝑓 ∑ 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 → lim
∞→𝑛
𝑛=1
∞
= )𝑥( 𝑛𝑓 ∑ 𝑓𝑛 (𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 … + 𝑥 𝑛 , 0 ≤ 𝑥 < 1 → lim
∞→𝑛
𝑛=1
התכנסות נקודתית –
∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ סדרה של פונקציות.
תהי 𝑛=1
נאמר שהסדרה )𝑥( 𝑛𝑓 מתכנסת נקודתית ל ,𝑓(𝑥) -אם לכל xבתחום ההגדרה
מתקייםlim 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥) :
∞→𝑛
דוגמא:
00≤𝑥 <1
1
𝑥=1
{ = 𝑛 𝑥 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 , lim
∞→𝑛
∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ מתכנסת נקודתית ל-
הסדרה 𝑛=1
00≤𝑥 <1
{ = )𝑥(𝑓 = )𝑥( 𝑛𝑓 lim
∞→𝑛
1
𝑥=1
התכנסות במידה שווה –
∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ מתכנסת במידה שווה ל𝑓(𝑥) -על הקטע []a,b
נאמר שהסדרה 𝑛=1
אם לכל 𝜀 > 0קיים Nכך שלכל n>Nולכל ] 𝑥 ∈ [a, bמתקיים:
𝜀 < |)𝑥(𝑓 |𝑓𝑛 (𝑥) −
טורים
טורי חזקות
𝑛
∞∑
טור פונקציות נקרא טור חזקות סביב 𝑥0אם הוא מהצורה ) 𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0
אם הטור מתכנס ל 𝑓(𝑥) -אז הוא נקרא טור חזקות/טיילור של )𝑥(𝑓
הטור של הנגזרות של הפונקציות מתכנס לנגזרת של הטור ,ומתקיים:
)𝑥(𝑆 ∫ = )𝑥(𝑆 ∫ lim 𝑆 ′ (𝑥) = 𝑆′(𝑥) ↔ lim
∞→𝑛
∞→𝑛
לכל טור חזקות קיים רדיוס התכנסות Rשעבורו הטור מתכנס לכל xשמקיים
𝑅 < | ,|𝑥 − 𝑥0כלומר שהמרחק בין xלבין 𝑥0קטן מ.R-
כאשר המרחק שווה ל ,R-יש לבדוק את ההתכנסות באמצעות מבחני
ההתכנסות.
כאשר המרחק גדול מ R-הטור מתבדר.
מציאת רדיוס התכנסות –
.1אם הגבול |
𝑛𝑎
| limקיים ,אז רדיוס ההתכנסות של הטור הוא ערך
𝑛→∞ 𝑎𝑛+1
הגבול.
.2אם הגבול | 𝑛𝑎|√ limקיים ,אז רדיוס ההתכנסות של הטור הוא
𝑛
∞→𝑛
1
𝑛
| 𝑛𝑎|√ lim
∞→𝑛
דוגמאות:
𝑅=1
𝑛𝑎
𝑛2
𝑛2
| lim
=
→1
=|
𝑛→∞ 𝑎𝑛+1
(𝑛 + 1)2 𝑛2 + 2𝑛 + 1
∞
𝑛 2
𝑥 𝑛∑
𝑛=1
𝑛 2
∞∑ lim
עבור 𝑛=1 𝑛 1 = ∞ :𝑥 = 1
∞→𝑛
2
𝑛
∞∑ limלא מתקיים תנאי הכרחי ,לכן לא מתכנס.
עבור 𝑛=1 𝑛 (−1) :𝑥 = −1
∞→𝑛
𝑛𝑥 2
𝑛2
∞∑
𝑛=1
X -לא בחזקת ,nלכן לא נוכל להשתמש מיידית בטענה .נסמן 𝑡 = 𝑥 2
(𝑛 + 1)2
𝑛𝑎
| lim
=1
=|
𝑛→∞ 𝑎𝑛+1
𝑛2
∞
𝑛𝑡
∑ 2
𝑛
עבור tרדיוס ההתכנסות הוא ,R=1לכן עבור |𝑥 2 | < 1הטור מתכנס עבור
|𝑥| < 1
𝑛=1
טורים
התכנסות במידה שווה (מבחן Mשל ויינשטראס) –
∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ סדרה של פונקציות שמוגדרות על תחום .D
תהי 𝑛=1
נניח שלכל 𝑁𝜖𝑛 קיים טור מתכנס 𝑀𝑛 > 0כך ש |𝑓𝑛 (𝑥)| ≤ 𝑀𝑛 -לכל 𝐷𝜖𝑥 ,אז
∞ })𝑥( 𝑛𝑓{ מתכנס במידה שווה.
הטור 𝑛=1
דוגמא:
)𝑥(sin
𝑛2
מכיוון ש-
1
𝑛2
≤ |)𝑥( 𝑛𝑓| והטור
1
𝑛2
= )𝑥( 𝑛𝑓
∞∑ מתכנס ,אז הטור
𝑛=1
במידה שווה לפונקציה רציפה כלשהי.
)𝑥(sin
𝑛2
∞∑ מתכנס
𝑛=1
