Introducción
a la mecánica
de sólidos
Mag. Ing. Christian Díaz
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE SÓLIDOS - CICLO 2023-2
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Resumen de la clase previa
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La relación entre la deformación axial y la deformación
lateral se conoce como relación de Poisson (ratio de
Poisson) (𝜈) y es característica del material
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝜈=−
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
𝜀𝑥
Si el material es isotrópico, se cumple 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 y la relación
de Poisson se mantiene en todas las direcciones
https://www.youtube.com/watch?v=uBupfw_rgS0
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La LdHG se cumple para materiales homogéneos e
isotrópicos en el rango elástico
Ley de Hooke generalizada
para carga multiaxial
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Los materiales sometidos a carga multiaxial pueden
cambiar de volumen
La dilatación se relaciona con los esfuerzos
actuantes:
σy
σ𝑥
σz
ε𝑥 =
− ν
−ν
E
E
E
σ𝑥
εy = −ν
E
σy
σz
−
ν
+
E
E
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜀𝑧 = −𝜈
−𝜈
𝐸
𝐸
𝜎𝑧
+
𝐸
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧
𝑒=
− 2𝜈
𝐸
𝐸
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La dilatación e representa el cambio de volumen por
unidad de volumen, y es independiente de la orientación
del elemento
Las cantidades (𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧) y (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)
también son independientes de la orientación
del elemento: son los invariantes de
deformación y de esfuerzo.
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Un caso especial es el de los sólidos sometidos a
presión hidrostática
𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = −𝑝
𝑒=
1 − 2𝜈
3 1 − 2𝜈
(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧) = −
𝑝
𝐸
𝐸
Si definimos el módulo de elasticidad volumétrico
(o módulo de compresibilidad) como:
Entonces, la dilatación e será:
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Imaginemos algunos casos extremos para materiales
ideales…
𝜈=
1
El material sería incompresible (𝑘 = ∞)
2
𝜈=0
+
carga axial pura
El sólido se estiraría en una dirección sin
presentar deformaciones transversales
.
(𝜎𝑥 =
𝑃
; 𝜎𝑦
𝐴
= 𝜎𝑧 = 0)
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Objetivos de la semana 14
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En la semana 14, el estudiante será capaz de:
• Establecer una relación entre el módulo de elasticidad, el módulo de corte y
el coeficiente de Poisson.
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CAPÍTULO 2: ESFUERZO Y DEFORMACIÓN: CARGA AXIAL
2.7. Deformación unitaria cortante
2.8. Relación entre E, G y ν
2.9. Principio de Saint Venant
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2.7. Deformación unitaria cortante
2.8. Relación entre E, G y 
2.9. Principio de Saint-Venant
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El estado de esfuerzos en un punto de un sólido
sometido a cargas está descrito por 6 componentes
El estado de esfuerzos en el punto Q queda definido por
los esfuerzos normales σx , σy , σz , y
los esfuerzos cortantes τxy , τxz , y τyz (con τxy = τyx , etc.)
Si las deformaciones son pequeñas, los esfuerzos cortantes no
interfieren con los esfuerzos normales, y la LdHGpCMa se cumple
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Los esfuerzos cortantes producen deformaciones
angulares
Los esfuerzos cortantes deforman el cubo elemental en un
paralelepípedo oblicuo.
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Los esfuerzos cortantes producen
deformaciones angulares
Si observamos una cara del cubo
perpendicular al eje z, vemos que se
deforman los ángulos rectos que hacen
las caras paralelas a los ejes x e y.
Dos ángulos opuestos disminuyen un ángulo γxy
y los adyacentes aumentan un ángulo γxy
γxy es la deformación angular (en radianes) del
cubo, causada por los esfuerzos cortantes τxy.
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Los esfuerzos cortantes producen
deformaciones angulares
γxy es positivo si el ángulo recto
formado por las caras paralelas a los
ejes x e y disminuye
La deformación angular no incluye los
desplazamientos de cuerpo rígido
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La relación entre esfuerzos cortantes y deformaciones angulares
de un material se puede evaluar mediante ensayos de torsión
https://qph.is.quoracdn.net/main-qimg
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Si los esfuerzos cortantes no sobrepasan el límite de
proporcionalidad respectivo, entonces se cumple la
ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes
G es el módulo de corte (o módulo de rigidez) del material
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El principio de superposición, aplicado a los estados de
esfuerzo multiaxial y de esfuerzo cortante, conduce a la
Ley de Hooke Generalizada
La LdHG se cumple para materiales elásticos, homogéneos e isotrópicos,
sometidos a cualquier condición de carga
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Ejemplo
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r
R1
R2
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2.7. Deformación unitaria cortante
2.8. Relación entre E, G y 
2.9. Principio de Saint-Venant
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Aplicamos la ley de Hooke generalizada a una
barra recta y elástica en tracción pura
Las componentes del estado de
esfuerzo respecto a los ejes xy son
σx = P/A
σy = 0
(No consideramos esfuerzos y
deformaciones relativas al eje z)
Las componentes del estado de
deformación respecto a los ejes xy son
εx = σx/E
ε y = -ν εx
El cubo se deforma en un paralelepípedo recto
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Aplicamos la ley de Hooke generalizada a una
barra recta y elástica en tracción pura
Rotamos 45° los ejes xy.
Las componentes del estado de
esfuerzos son ahora
σ x’ = σ y’ = P/2A
τx’y’ = τm = P/2A
Las componentes del estado de
deformaciones son ahora
ε x’ , ε y’ , γx’y’ = γm
El cubo rotado 45°se deforma en
un paralelepípedo oblicuo
Tanto el esfuerzo cortante como la
deformación angular son máximos
para estos ejes
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Las componentes de los estados de esfuerzos y
deformaciones cambian cuando rotamos los
ejes de coordenadas
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Analicemos la deformación de cuadrados en la cara
visible del cubo
Trazamos la diagonal y estudiamos el triángulo inferior
para medir como se deforman los dos cuadrados en
línea punteada
Antes de la deformación el ángulo inferior mide π/4
Después de la deformación el ángulo inferior mide
β= π/4 – γ’/2 = atan [(1 – νεx)/(1+ εx)]
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Ahora hay que hacer algunos trucos matemáticos
𝛾′ = 𝛾𝑚
𝛽 = 𝜋 − 𝛾 𝑚 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 1−𝑣𝗌 𝑥
4
2
𝜋 𝛾𝑚
Expandemos 𝑡𝑎𝑛𝛽 = 𝑡𝑎𝑛
−
4
2
1+𝗌 𝑥
𝛾𝑚
𝛾𝑚
𝑡𝑎𝑛 𝜋
−
𝑡𝑎𝑛
1
−
𝑡𝑎𝑛
4
2 =
2
=
𝛾
𝜋
𝛾
1 + 𝑡𝑎𝑛 4 𝑡𝑎𝑛 2𝑚 1 + 𝑡𝑎𝑛 2𝑚
1 − 𝛾𝑚
2
Como 𝛾𝑚es un ángulo muy pequeño, 𝑡𝑎𝑛𝛽 =
1 + 𝛾𝑚
2
1 − 𝜈𝜀𝑥
Pero también 𝑡𝑎𝑛𝛽 =
1 + 𝜀𝑥
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Ahora hay que hacer algunos trucos matemáticos
𝛾′ = 𝛾𝑚
𝛽=
𝜋
4
−
𝛾𝑚
2
1 − 𝛾𝑚
2
Habíamos encontrado que 𝑡𝑎𝑛𝛽 =
1 + 𝛾𝑚
2
Entonces
𝛾
1 − 2𝑚 1 − 𝜈𝜀𝑥
𝛾𝑚 = 1 + 𝜀
𝑥
1+ 2
Pero como 𝜀𝑥 << 1, obtenemos
1 − 𝜈𝜀 𝑥
y también que 𝑡𝑎𝑛𝛽 =
1 + 𝜀𝑥
de donde 𝛾𝑚 =
1 + 𝜈 𝜀𝑥
1−𝜈
1+
𝜀
2 𝑥
𝛾𝑚 = 1 + 𝜈 𝜀𝑥
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Ahora hay que hacer algunos trucos matemáticos
𝛾′ = 𝛾𝑚
Hemos encontrado que la deformación axial (máxima deformación normal)
y la máxima deformación angular están relacionadas por
𝛾𝑚 = 1 + 𝜈 𝜀𝑥
Pero de acuerdo a la Ley de Hooke Generalizada
Por lo tanto
𝑟𝑚
𝜎
= 1+𝜈 𝑥
𝐸
𝐺
Pero σ x = P/A y τ m = P/2A
Finalmente
de donde
entonces
𝛾𝑚 =
𝑐𝑚
𝐺
y 𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
𝐸
𝜎𝑥
= 1+𝜈
𝐺
𝑟𝑚
𝐸
= 1+𝜈
2𝐺
E, G y 𝜈 no son independientes
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La Ley de Hooke Generalizada es entonces
La LdHG se cumple para materiales elásticos, homogéneos e isotrópicos
sometidos a cualquier condición de carga.
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Ejemplo
Solución
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41
Ejemplo
Solución
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4242
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El caso de los materiales compuestos reforzados con
fibras es interesante
• Estos materiales consisten en un material
(matriz) en el que están embebidas fibras
paralelas de otro material. Las fibras
generalmente tienen una alta resistencia a la
tracción.
• El material compuesto es ortotrópico. Sus
propiedades mecánicas son diferentes en las
direcciones paralela y perpendicular a las
fibras.
• Se requieren, por tanto, más constantes
elásticas para definir las relaciones esfuerzodeformación en las direcciones principales.
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La Ley de Hooke para materiales ortotrópicos
requiere más constantes elásticas
Se ha demostrado que los materiales ortotrópicos
también cumplen que
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Propiedades típicas de algunos materiales
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2.7. Deformación unitaria cortante
2.8. Relación entre E, G y 
2.9. Principio de Saint-Venant
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Finalmente, recordemos el principio de Saint-Vénant
En elementos cargados
axialmente, las
secciones planas se
mantienen planas, y los
esfuerzos normales son
uniformes en la sección,
solo lejos de los puntos
de aplicación de carga.
(A menos que se garantice
condiciones de borde perfectas)
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Cerca de los puntos de la aplicación de
carga no se puede asumir que σ = P/A
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Cuando hay cambios bruscos en la forma de la
sección transversal se producen concentraciones
de esfuerzos
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Cuando hay cambios bruscos en la forma de la
sección transversal se producen concentraciones
de esfuerzos
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Principio de Saint-Vénant
Adhémar Jean Claude
Barré de Saint-Venant
(Francia 1797 – 1886)
http://classes.mst.edu/civeng120/lessons/flexure/elastic/saint_venant/index.html
http://sabix.revues.org/docannexe/image/603/img-4.jpg
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Cierre de la clase
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El principio de superposición, aplicado a los estados de
esfuerzo multiaxial y de esfuerzo cortante, conduce a la
Ley de Hooke Generalizada
La LdHG se cumple para materiales elásticos, homogéneos e isotrópicos,
sometidos a cualquier condición de carga
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La Ley de Hooke Generalizada es entonces
La LdHG se cumple para materiales elásticos, homogéneos e isotrópicos
sometidos a cualquier condición de carga.
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Principio de Saint-Vénant
Adhémar Jean Claude
Barré de Saint-Venant
(Francia 1797 – 1886)
http://classes.mst.edu/civeng120/lessons/flexure/elastic/saint_venant/index.html
http://sabix.revues.org/docannexe/image/603/img-4.jpg
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Referencias bibliográficas
• R. C. Hibbeler. (2013) Engineering mechanics: statics and dynamics (13th
Edition).
• J. L. Meriam. (2012) Engineering Mechanics: Statics (12th Edition).
• E. P. Popov. (1999) Engineering Mechanics of Solids (2nd Edition). Prentice
Hall.
• B. J. Goodno and J. M. Gere. (2018) Mechanics of Materials (9th Edition).
Cengage Learning.
• F. P. Beer, R. R. Johnston, J. T. DeWolf and D.F. Mazurek (2015) Mechanics
of Materials (7th Edition). McGraw-Hill Education.
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