Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen
Lambacher Schweizer 11/12
Lösungen Teil I
I
Grenzwerte
1
Folgen und Reihen
1.1
Folgen
1.2
Eigenschaften von Folgen
1.3
Grenzwert einer Folge
1.4
Grenzwertsätze
1.5
Reihen
Exkursion: Eine übergeordnete Beweismethode – die vollständige Induktion
2
Grenzwerte von Funktionen
2.1
Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle
2.2
Stetigkeit einer Funktion
2.3
Grenzwerte von Funktionen im Unendlichen
Exkursion: Das Unendliche in der Mathematik
© Klett und Balmer Verlag AG 2013
Alle Rechte vorbehalten
I Grenzwerte
1 Folgen und Reihen
1.1
Seite 11
1
a)
b)
Folgen
2
5
1
4
;
;
4
5
1
5
;
;
6
5
1
6
;
;
8
5
1
7
12
;
5
1
;
9
; 2;
1
8
;
;
14
;
5
1
;
10
c) –1; 1 –1; 1; –1; 1 –1; 1; –1; 1
;
1
4
e) 3 ;
7
2
d)
1
2
;
1
8
;
11
3
;
1
16
;
15
4
;
1
32
;
19
5
;
1
64
;
23
6
16 18
; ; 4
5
5
1
; 1 ; 1
11 12 13
;
1
128
;
27
7
;
;
1
256
31
8
;
;
35
9
1
512
;
wächst über alle Grenzen
Folgenglieder gehen gegen Null
alterniert zwischen –1 und 1
;
39
10
1
1024
Folgenglieder streben stark gegen
Null
Folgenglieder gehen gegen 4
2
a) 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19
a=
2n−1
n
b) 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512
an = 2n − 1
c) 2; 7; 14; 23; 34; 47; 62; 79; 98; 119
an =( n + 1) − 2
3
a)
b)
c)
d)
e)
2n+ 1
n−5
2n+ 1
n−5
2n+ 1
n−5
2n+ 1
n−5
2n+ 1
n−5
2
23
⇒ n = 11 ; die Zahl ist das elfte Glied der Folge
6
17
=
⇒ n = 8 ; die Zahl ist das achte Glied der Folge
3
18
7
=
− ⇒ n = ∉  ; die Zahl ist kein Glied der Folge
3
4
9
= ⇒ n = 49 ; die Zahl ist das 49. Glied der Folge
4
=
=1 ⇒ n =−6 ∉  ; die Zahl ist kein Glied der Folge
4 Man berechnet an − an − 1 .
a) an =an − 1 + 1; a1 =6
c) an =
− an − 1 ; a1 =
−1
2
b) an
=
3
=
a ; a1
2 n−1
3
2
d) an =an − 1 + n; a1 =1
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Seite 12
5
a) rekursiv: an =an − 1 + 4; a1 =4 ; explizit: an = 4 n
b) rekursiv:
=
an 2a
=
1 ; explizit: an = 2n − 1
n − 1 ; a1
an− 1 + ( 2 n − 1) ; a1 =
−1 ; explizit: an =( n − 1) − 1
c) rekursiv: an =
2
1
a ; a1
=
2 n−1
d) rekursiv:
an
=
2 ; explizit: an = 2
()
1
2
n−1
6
a) an =
8+2 n
1+ 6 n
4+ 4 n
b) an =
( n+ 2 )
c) an =
2
3 ⋅ 2n − 1
27 −5 n
7
a)
b)
2n2 − 1
n+ 7
3n+ 1
n2 + 2
191
2
=20 ⇒ n =5 +
1
10
=
=14, 8 (positive Lösung); ab dem 15. Folgenglied
⇒ n = 15 + 233 = 30, 3 (positive Lösung); ab dem 31. Folgenglied
8
a) an = 2 + ( n − 1) ⋅ 3; a7 = 20; a10 = 29
8, 25 − ( n − 1) ⋅ 6, 25; a7 =
−29, 25; a10 =
− 48
b) an =
46
14
38
80
c) an =
− + ( n + 1) ⋅ ; a7 = ; a10 =
3
3
3
3
d) an =−1 − ( n − 1) ⋅ 2; a7 =−13; a10 =−19
9
a) g n =
4 ⋅ 3n − 1 ; g 6 =
972; g 8 =
8748
b) g n =
0, 02 ⋅ 5n − 1 ; g 6 =
62,5; g 8 =
1562,5
()
n−1
729
32
6561
128
c) g n =
3⋅ 3
; g 6 ==
; g8
2
d) g n = −
208  1 
⋅ 3 
7 
 104 
10
(
a) K n = K 0 ⋅ 1 +
p
100
n−1
; g 6 ≈ −0, 0129; g 8 ≈ −0, 00058
)
n
b) Für p = 2,5 hat sich das Kapital nach 29 Jahren ( n ≈ 28, 07 ) verdoppelt; für p = 5
hat sich das Kapital nach 15 Jahren ( p ≈ 14, 21) verdoppelt.
11
(pn )
mit pn =
6 + 3, 8 ⋅ n ergibt
=
p20 82;
=
p36 142,=
8; p72 279,6
12
a) ln =
()
4
3
n
b) A n =
()
3
4
n
13
a) Das Volumen des Ausgangswürfels ist 1. Vn soll das Volumen nach der n-ten
9
Teilung sein. Dann ist V1 = 1 + 1 = 9 ; V2 = +
8
8
V3
73
=
64
+
1
1
8
=1 + +
83
1
8
b) Vn = 1 + +
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1
8
2
1
82
+… +
8
1
8
2
1
8
=1 + +
1
8
2
73
= ;
64
1
585
=
512
83
+
1
n−1
8
+
1
n
8
=
8n + 8n − 1 + 8n − 2 + … + 81 + 1
8n
3
14
a) 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55
b) 1 und 144 (als einzige)
c) 89 Geissen und 55 Zicklein, insgesamt 144 Tiere
4
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1.2
Seite 14
Eigenschaften von Folgen
1
1
n
a) 1 +
ist streng monoton fallend, da
an+ 1 − an =+
1
1
−
n+ 1
(1 + ) =
1
n
1
1
−
n+ 1 n
=−
1
n( n+ 1)
< 0 ist; die Folge ist beschränkt, z.B.
durch S = 2 und s = 0 .
b)
()
3
4
n
ist streng monoton fallend, da
an + 1 − a=
n
1) ( ) ⋅ ( − ) < 0 ist; die Folge ist beschränkt,
( ) −( =
) ( ) ⋅( − =
3
4
n+ 1
3
4
n
3
4
n
3
4
n
3
4
1
4
z.B. durch S = 1 und s = 0 .
c) ( an ) ist weder monoton fallend noch monoton steigend, da
a1 − a2 =−1 − 1 =−1 < 0 , aber a2 − a3 = 1 − ( −1) = 2 > 0 ist; die Folge ist beschränkt,
z.B. durch S = 3 und s = −3 .
d) 1 +
( −1)n
ist weder monoton fallend noch monoton steigend, da
n
a1 − a2 =0 − 1,5 < 0 , aber a2 − a3 = 3 − 2 > 0 ist; die Folge ist beschränkt, z.B. durch
2
3
S = 2 und s = 0 .
e) ( 2 ) ist sowohl monoton fallend als auch monoton steigend, da gilt:
aa+ 1 − an =0 ≤ 0 und gleichzeitig an + 1 − an =0 ≥ 0 ; die Folge ist beschränkt, z.B.
durch S = 3 und s = 1 .
f)
8n
n2 + 1
ist streng monoton fallend, da
( )
(
)
( 8 n+8 ) ⋅ n2 + 1 −8 n ⋅ n2 + 2 n+ 2
8 ⋅ ( n + 1)
8n
n2 +n− 1
=
−8
< 0 für alle
an + 1 − an = 2 − 2 =
2
2
( n + 1) + 1 n + 1
(n+ 1)2 + 1 ⋅ n2 + 1
( n + 1) + 1 ⋅ n + 1
(
)( )
(
)( )
n ∈  ; die Folge ist beschränkt durch S = 5 und nach unten sicher durch s = 0 .
g)
n2
100
+ n ist streng monoton steigend, da
 ( n + 1 )2
  n2
 2 n+ 1
an + 1 − a=
 100 + n + 1  −  100 + n=
n
 100 + 1 > 0 ist für alle n ∈  ; die Folge ist


 
nicht nach oben beschränkt, nach unten aber z.B. durch s = 0 .
h)
( ) ist streng monoton fallend, da a
1
n
n+ 1
− an=
1
n+ 1
−
1
=
n
n − n+ 1
n ⋅ ( n + 1)
< 0 ist für alle
n ∈  ; die Folge ist nach oben beschränkt, z.B. durch S = 1 , nach unten durch s = 0 ;
damit ist die Folge beschränkt.
i)
1+5 n2
n( n+ 1)
an + 1=
− an
ist streng monoton steigend, da
1+ 5 ( n + 1 ) 2
(n+ 1)(n+ 2 )
1+5 n2
(
5 n3 + 10 n2 +6 n− 5 n3 + 10 n2 +n+ 2
)
5 n− 2
− =
=
> 0 ist für alle
n( n+ 1)
n( n+ 1)( n+ 2 )
n( n+ 1)( n+ 2 )
n ∈  ; die Folge ist nach oben beschränkt, z.B. durch S = 100 , nach unten durch
s = 0 ; damit ist die Folge beschränkt.
j) sin ( π ⋅ n ) = 0 ist sowohl monoton steigend als auch monoton fallend, da
an + 1 − an ≥ 0 und an + 1 − an ≤ 0 gilt für alle n ∈  ; die Folge ist nach oben beschränkt,
z.B. durch S = 1 , nach unten durch s = −2 ; damit ist die Folge beschränkt.
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5
2
Folge an mit
nach oben
beschränkt
nach unten
beschränkt
beschränkt
( −1)n
an = n
an =−
( 1) ⋅ n
nein
nein
ja
ja
ja
nein
ja
ja
nein
nein
ja
ja
ja
nein
nein
ja
monoton
n
an =
an = 1 +
n
1
n
Die beiden ersten Folgen wachsen über alle Grenzen; Folge 3 strebt gegen 0; Folge 4
strebt gegen 1
3
a) Monoton steigend sind z.B.: −
b) Monoton fallend sind z.B.:
1
; 1−
n2
1
; −
n+ 1
c) Nicht monoton sind z.B.: ( −2 ) ; sin
n
( );3
1
2
n
n ; 2+
1
n
( ⋅ n) ; (
π
2
−1)n
n
d) Nicht nach oben beschränkt sind z.B.: n ; 2 ; ( −1) ⋅ n
2
n
n
e) Streng monoton fallend und nach unten beschränkt sind z.B.:
1
n
;
1
+1;
n+ 1
( )
9
13
n
f) Streng monoton steigend und nicht nach oben beschränkt sind z.B.: n3 ; n + 1 ; 4n
g) Streng monoton steigend und nach oben beschränkt sind z.B.: 1 −
1
n+ 2
( );
; −
2
3
n
n− 1
n
4
a) Wahr; Beispiel: ( −1) ist beschränkt, aber nicht monoton
n
b) Wahr, da wegen a1 > a2 > a3 > a4 > … zum Beispiel S = a1 eine obere Schranke
ist; Beispiel:
1
n
c) Falsch, da aus
an + 1
an
≤ 1 und an > 0 nur folgt an+ 1 ≤ an , nicht aber an+ 1 < an .
d) Falsch, da aus
an + 1
an
> 1 zwar an + 1 > an folgt, dies aber keinen Schluss auf die
n+ 1
Monotonie erlaubt; Beispiel: Für an =−
( 1) ⋅ n ist a=
n
an
( −1)n + 1 ⋅(n+ 1)
=
( −1)n ⋅n
n+ 1
n
> 1;
trotzdem ist die Folge nicht monoton.
6
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1.3
Seite 18
Grenzwert einer Folge
1
a) Vermuteter Grenzwert g = 1
1+
1
3n
− 1 < 0, 1
1
3n
<
1
10
3 n > 10
n>
10
3
⇒ n0 =
4;
Ab Folgenglied a4 beträgt die
Abweichung weniger als 0,1
b) Vermuteter Grenzwert g = 0
4⋅
()
1
3
n−1
− 0 < 0, 1
()
1
3
n−1
< 0, 025
n > 1+
log ( 0,025 )
 1
log  
3
≈ 4, 4 ⇒ n0 =
5
Ab Folgenglied a5 beträgt die
Abweichung weniger als 0,1
c) Vermuteter Grenzwert g = 2
6 n+ 2
3n
− 2 < 0, 1
2
1
<
3 n 10
20
n>
3
≈ 6, 7 ⇒ n0 =
7
Ab Folgenglied a7 beträgt die Abweichung
weniger als 0,1
d) Vermuteter Grenzwert g = 3
3 n2
n2 +5
− 3 < 0, 1
( ) < 0, 1
3 n2 −3 n2 +5
n2 +5
−15
2
n +5
<
n2 +5
15
1
10
> 10
n2 + 5 > 150
n2 > 145
n > 145 ≈ 12, 04 ⇒ n0 =
a13
Ab Folgenglied a13 beträgt die Abweichung weniger als 0,1
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7
e) Vermuteter Grenzwert g = 1
1+ n
2+ n
− 1 < 0, 1
−1
2+ n
1
10
<
2 + n > 10
n=8
n > 64 ⇒ n0 =
65
Ab Folgenglied a65 beträgt die Abweichung weniger als 0,1
2
a) an − 1 =
1+ n
n
b) an − 1 =
n2 − 1
c)
−1 =
2
n
< 0, 1 für n > 10
− 1 = 1−
100
n
an − 1 = 1 −
1
n
d) an − 1=
n− 1
n+ 2
e) an − 1 =
2 n2 −3
−1 =
−1 =
2
n
100
n
−1 =
1
n2
< 0, 1 für n > 10 ≈ 3, 16; also ab Nummer 4
< 0, 1 für n > 1000
−3
n+ 2
−3
=
n+ 2
− 1=
3 n2
1
−n2 −3
<
=
2
3n
1
10
n2 + 3
3 n2
für n + 2 > 30, also n > 28
1
3
= +
1
<
n2
1
10
1
für
n2
<−
7
30
Dies ist für kein n ∈  der Fall.
(
3 Vermuteter Grenzwert ist g = − 2 ; damit gilt: an − g=
3
für n >
1
3ε
1
3n
−
2
3
) − ( − )=
2
3
1
3n
<ε
, das heisst, für fast alle Folgenglieder ist der Abstand zu − 2 kleiner als
3
ε ; ist ε =0, 01 , so ist für alle Nummern n mit n > 33 der Abstand zu − 2 kleiner als
3
0,01; für ε =10 −6 sind alle Folgenglieder mit n > 333 333 zu wählen
4
a)
1
2n
ist eine Nullfolge, da
b)
1
ist eine Nullfolge, da
c)
2
n
1
2n
− 0=
1
− 0=
n2
()
ist eine Nullfolge, da
3 n− 2
n+ 2
−3 =
n2 +n
− =
1
2
n
1
2n
< ε für n >
1
2ε
1
< ε für n >
1
ε
n2
( ) −=0 ( )
1
2
n
1
2
n
< ε für n >
log ( ε )
log ( 0,5 )
5
a)
b)
c)
5 n2
2n + 1
2n + 1
−8
n+ 2
1
5
n
5 n2
− 2 =−
ist eine Nullfolge, da −
1
5n
=
2
2n + 1
ist eine Nullfolge, da
d)
8
3⋅2n + 2
2n + 1
( )
−=
0
1
5n
8
n+ 2
< ε für n > 8 − 2
ε
< ε für n >
1
5ε
ist eine Nullfolge, da der Zähler konstant ist, der Nenner aber
über alle Grenzen wächst oder da −
für n > log 2
8
n+ 2
2
2n + 1
< ε ist für 2 < ε ⋅ 2n + ε oder 2n >
2 −ε
ε
, also
2 −ε
ε
3
2
− =
1
2n
= 0,5n ist eine Nullfolge (Nachweis in Beispiel 2)
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Randspalte: Eine nicht beschränkte Folge kann nicht konvergent sein oder anders
ausgedrückt: Jede konvergente Folge ist auch beschränkt.
6
– beschränkt, monoton, konvergent:
1
2
n +1
,
(),
4
5
n
4
n+ 1
– beschränkt, monoton, nicht konvergent: keine Folge auffindbar
– beschränkt, nicht monoton, konvergent:
( −1)n
n2 + 1
– beschränkt, nicht monoton, nicht konvergent:
( ),(
, −
4
5
n
−1)n + 1
n+ 1
(( −1) ) , ( sin ( π4 ⋅ n)) , (( −1) ⋅ nn+1 )
n
n
– nicht beschränkt, monoton, konvergent: keine Folge auffindbar
– nicht beschränkt, monoton, nicht konvergent:
n + 1, n2 , ( −2 )
n
– nicht beschränkt, nicht monoton, konvergent: keine Folge auffindbar
– nicht beschränkt, nicht monoton, nicht konvergent:
( −1)
n
⋅ n + 1, ( −1n ) ⋅ n2 , ( −2 )
n
7
a) Da die Zahlenfolge 1 + n2 nicht beschränkt ist, ist sie auch nicht konvergent.
b) Da die Zahlenfolge ( −1) ⋅ ( n + 2 ) nicht beschränkt ist, ist sie auch nicht
konvergent.
n
c) Da die Zahlenfolge an mit an =
n2 + 1
n+ 2
=
n2 + 4 n+ 4 −3
n+ 2
=
( n + 2 )2 − 3
n+ 2
= n+2−
3
n+ 2
nicht
beschränkt ist, ist sie auch nicht konvergent.
d) an = 2 für ungerades n, an = 0 für gerades n; damit kann es keine Zahl ε > 0
geben, weder mit an − 2 < ε noch mit an − 0 < ε für fast alle n ∈ 
Die Folge in a) ist nach unten beschränkt.
Die Folge in b) ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.
Die Folge in d) ist beschränkt.
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9
8
n+ 1
5n
a)
n+ 2
−
ist monoton fallend, da an + 1 − an =
5 ( n + 1)
n+ 1
5n
1
5 n ( n + 1)
=
−
< 0 ist;
n+ 1
5n
beschränkt nach oben durch 1 und nach unten durch 0; damit ist
1
5
Grenzwert ist
n+ 1 1
−=
5n 5
, da
5n
=
n+ 1
b) an mit a=
n
5 ( n + 1) n + 1
⋅ =
n+ 2
5n
an + 1
=
an
1
5n
5n
=
n+ 1
5 n2 + 10 n
5
n+ 1
n n + 10
c) an mit a=
n
Folgen
1
n
2
n
10
und
1
n
=
5−
+
konvergent;
ist streng monoton steigend, da
> 1 ist; an ist beschränkt nach oben, z.B. durch 5,
5n
n+ 1
und nach unten durch 0; damit ist
an − 5 eine Nullfolge ist:
ist
< ε ist für alle n mit n > 1
5ε
5−
5 n2 + 10 n+5
n+ 1
5n
5
n+ 1
10
konvergent; Grenzwert ist
5−
− 5=
5−
5
n+ 1
5
n+ 1
−5
+ 5
=
−
(n+ 1)⋅
5 , da die Folge
5
5−
5
n+ 1
+ 5
ist streng monoton fallend, da die
n2
nur positive Folgenglieder besitzen und jeweils streng monoton
n2
fallend sind; die Folge an ist beschränkt z.B. durch 11 nach oben und 0 nach unten;
damit ist
n>
1
n
+
10
konvergent; Grenzwert ist 0, da
2
n
1
n
+
10
2
n
<
1
n
+
10
n
<
11
n
< ε ist für
121
ε2
d) an mit an =
a
an
sind =
und n + 1
n
2
n +1
ist streng monoton fallend, da die Folgenglieder alle positiv
( )
(
)
(n+ 1) n2 + 1
=
(n+ 1)2 + 1 ⋅n
n3 +n2 +n+ 1
(
n3 + 2 n2 +n
)
< 1 ist; die Folge an ist beschränkt z.B. durch 1
nach oben und 0 nach unten; damit ist
n
n2 + 1
<
n
n2
1
n
<
< ε ist für n >
n
n2 + 1
konvergent; Grenzwert ist 0, da
1
ε
9
b) an =−
( 1) ⋅ n1
n
a) an = n
d) an =
( −1)
f) an = − 1
n
10
n
c) an =
( −1)
n
e) an = 1 ; g = 0 nicht obere Schranke
n
g) an =
( −1)
n
⋅ −n
h) an = 1
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
1.4
Seite 20
Grenzwertsätze
1
a)
8 +n
4n
b)
8+ n
4 n
=
8 + 2n
=
c)
2
n
4⋅2n
6 + n4
d)
1 4
n
4
4 +n3
e)
n3
1
4
1
4
2
n
1
4
= + = + ; damit ist der Grenzwert g =
2
n
2
1
4
24
4
=
n3
1
4
+4 = 4+
n4
2
n
; damit ist der Grenzwert g =
1
4
1
; damit ist der Grenzwert g =
1
4
1
4
+ = +
2n
=
1
4
+ = +
+ 1 = 1+
2n − 1
24
; damit ist der Grenzwert g = 4
n4
4
; damit ist der Grenzwert g = 1
n3
2
a) lim
n →∞
1
n
b) lim
n →∞
=
n − 10
n →∞
lim =
n
1
3
n
1
7+
1
3
n →∞
3
1−
3
n
10
n
(n +2 n+1)⋅n1
lim =
(n +n+1)⋅n1
3
n →∞
=
n +n + 1
n →∞
2
1
n →∞ n
x →∞ n
lim 1+ lim + lim
n →∞ n n →∞ n
n →∞
1+ 0 + 0
=
1+ 0 + 0
2
=
1
1
lim 2
d) =
n + 2n
1
n →∞ n
2
1
2
n
1
n →∞
n →∞
2
n →∞
n5 −n4
=
5
6 n −1
n+ 1
=
n+ 1 + 2
2
=
10
n →∞
n →∞ n
lim 1− lim
n →∞
3
7 +0
=
1− 0
7
1− 0
=
6 −0
1
6
3
n →∞ n
 2 1 
lim  1+ + 
n n2 
 1 1 
lim  1+ + 
n n2 
n →∞ 
n →∞ 
 1 1 
lim  1+ +

n n n

2 
lim  1+

n n 
n →∞ 
n →∞ 
1
(n −n )⋅
=
lim
(6 n −1)⋅
4
1
2
n →∞
5
n
1
2
n →∞
(
1
n
=
1
6−
5
n
 1
lim  1− 
n
=

1 
lim  6 − 
5
n →∞ 
n 
n+ 1
=
1
)
n+ 1 + 2 ⋅
lim
n →∞
n+ 1
1
1+
=
2
n+ 1
4
1

n
lim 1
5
n →∞ n
=
2 

lim  1+

n+ 1 
n →∞ 
1
lim 1+ lim
n →∞
n →∞
=
2
1
=
1+ 0
1
n+ 1
4
( 0 − 1)4
= 1
( 0 + 1)4
=
4
5 
lim  + 1 

n →∞  n
10
1
lim 6 − lim
5 
lim  − 1 

1

( 2 +n)10 ⋅ 10
 ( 2 +n )⋅ 
( 2 +n)10
n

n
h) lim =
=
=
lim
lim
1
10
n →∞ ( 1+n )10
n →∞
( 1+n)10 ⋅ 10 n→∞  ( 1+n)⋅ 1 


n
=
1
n →∞
n →∞
1
n →∞ n
n →∞
n →∞  n
n

lim 1− lim
n →∞ 
1
n+ 1⋅
lim
lim
n →∞
1−
1

( 5 −n ) 4 ⋅ 4
 (5 −n )⋅ 
( 5 −n ) 4
n

n
lim =
lim
=
g) lim =
1
4
n →∞ ( 5 +n )4
n →∞
(5 +n)4 ⋅ 4 n→∞  (5 +n)⋅ 1 


n
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1
lim 7 + lim
3
n →∞ n n
n
f) lim
1
n
 1+ 1 + 1 
 n n n
=
lim
n →∞ 
2 
 1+

 n n 
2
1+ 0 + 0
=
1+ 0
=
5
e) lim
2
n →∞ n n →∞
1
n →∞ n n
lim 1+ lim
lim + lim + 1
2
n →∞
lim 1+ lim + lim
n →∞
n n2
=
1
1
n
=
1+ +
(n +n+ n )⋅
=
lim
(n + 2 n )⋅
n2 +n+ n
n →∞
2
2
lim 1+ lim + lim
n →∞
1
n n2
lim
=
1 1
n →∞
0+2
=
0+1
n →∞ n n →∞



=
 10 
lim  1− 
3
n →∞ 
n 
1+ +
2
c) lim
=
2

lim  7 +
n →∞ 
2
2
n2 + 2 n+ 1
1
lim + lim 2
n →∞  n
1
n
)⋅
(7 n +1=
lim
(n −10)⋅
7 n3 + 1
3
1 
lim  + 2 

=

lim  + 1 

n →∞  n
1
+2
( 1+ 2 n)⋅
n
n
lim
lim
=
=
1
n →∞
n →∞ 1
+1
( 1+n)⋅
1+ 2 n
=
1+ n
2 
lim  + 1 

n →∞  n
10
=
10
1 
lim  + 1 

( 0 + 1)10
= 1
( 0 + 1)10
n →∞  n
11
10
 1 +2 
lim
n →∞
( 1+ 2 n )10
n
 n2=
1+ 2n 

=
lim =
lim
lim


10

n →∞
n →∞  1+n2 
n →∞  1
1+n2
 2 +1 
lim
n 
n →∞
10
i)
( )
j)
3
(2 −1)⋅
n
2n − 1
a) lim =
lim
n
n →∞
2 ⋅
2
b) lim n=
lim
−1
n →∞
(2 −1)⋅
2n − 1 ⋅
n →∞
2
2
2n
c) lim
n →∞
lim
=
n
( )
1+ 2
n →∞
2
n
n
3
d) lim 2n −=
lim
n
n →∞
2 +3
n →∞
e) lim
n →∞
2−
lim
n →∞
2n
lim
=
2n
1+ 2
n →∞
(2 −3 )⋅
=
(2 +3 )⋅
(
1
2 −0
=
1
2
n
n
3
n 1
1
2
1+ 2
2n
1
2n
)
⋅
n
2
=
1
lim
=
1
n →∞
2
2n
2
2n
+1
0
=
0+1
0
n
2
  −1
lim  3 n=
n
n →∞
n
2
  +1
3
3
1
n
n+ 1
3
0 −1
=
1
1
n
1 2 
1
n+ 1
n+ 1
n →∞
n →∞  n
1
−1
2n=
1
2n ⋅
1
n
n
=
k
n−1
(2 +3 )⋅
lim
=
(2 ⋅ 3 ) ⋅
2 ⋅ 3n
1− 0
=
1
n
1
1
n−1
2
=
1
3
2n + 3n + 1
1 
lim  + 3 

2
3
n
n
2n − 1
()
( 0 + 2 )k
=
( 0 +3 )k
=
k
n
2
2
lim =
=
n →∞
0
1
1−
n
n 1
n →∞
2
1
10
0 +0
0+1
n
1 
lim  + 2 

n →∞  n
1

( 1+ 2 n )k ⋅ k
 ( 1+ 2 n )⋅ 
( 1+ 2 n )k
n

n
=
=
lim = lim
lim
1
k
n →∞ ( 1+ 3 n )k
n →∞
( 1+3 n)k ⋅ k n→∞  ( 1+3 n)⋅ 1 


n

10
2
+
n
n2
=
10
1
+1
2
k
k
1
( ) (=
)
( )
1
  +1
lim 3  32
n →∞
3
=
0+1
=
2
3
2
3
4
2
10
g − 2 folgt g = −
5
3
12
2
=
− g + 4 folgt g =
5
3
1− g
2
folgt
g
+
3
g
−
1=
0
=
2 +g
a) Aus =
g
b) Aus g
c) Aus g
d) Aus g =
2 −g 2
3 +g
und hieraus=
g
(
1
2
folgt 2g 2 + 3g − 2 =
0 und hieraus g =
e) Aus =
g
g + 4 folgt g 2 − g − 4 =
0 und hieraus=
g
f) Aus g =
8
g
1
2
1
2
)
13 − 3 ≈ 0, 3028
(
)
17 + 1 ≈ 2,5616
folgt g 3 = 8 und hieraus g = 2
5
a) Für 0 ≤ a1 < 1 ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert g = 0 ;
für a1 = 1 ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert g = 1 ;
für a1 > 1 ist die Folge divergent.
b) Für a1 = 1 ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert g = 1 ;
für a1 = −1 ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert g = −1 ;
a1 q mit q ∈  \ {−1; 1} ist die Folge divergent.
für =
c) Für a1 =
1: g =
2 ; für a1 =
−1 : g =
− 2
12
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6
a) lim
(
b) lim
( n ⋅(
n →∞
n →∞
=
)
(
n+
1 − n lim
=
n+ 1 + n )
) (=
n+ 1 − n ⋅
n+ 1 + n
n →∞
n+1 − n
)) =lim
(
n⋅
n
)(
n+ 1 − n ⋅
1
n+ 1 + n
n+ 1
n →∞
1
n
c) lim
n →∞
lim
n →∞
)
(
n2 − n − n =
lim
2
2
n −n −n
2
n −n + n
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= lim
n →∞
+1
1
n+ 1 + n
)
n →∞
1
1+ + 1
1
2
n
 2
 2

 n −n −n ⋅ n −n +n 



n →∞
−n
2
n+ 1 + n
n →∞
n+ 1 + n
n →∞
= lim
=
lim= lim
n →∞
n + 1 −n
n+ 1 + n
lim= lim= 0
n →∞
n −n + n
n2 −n +n
= lim
n →∞
−1
1
1− + 1
= −
1
2
n
13
1.5
Seite 24
Reihen
1
a) s=
a=
1
1
1
s2 = a1 + a2 = 1 + 3 = 4
s3 = a1 + a2 + a3 = 1 + 3 + 5 = 9
s 4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
s5 =a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =1 + 3 + 5 + 7 + 9 =25
b)=
s1 1;=
s2 5;=
s3 14;=
s 4 30;=
s5 55
c)=
s1 1;=
s2 3;=
s3 7;=
s 4 15;=
s5 31
d)=
s1 1;=
s2
e)=
s1 1;=
s2
3
=
; s3
2
5
=
; s3
4
2
a) 35
e)
i)
11
25
137
=
; s4
=
; s5
6
12
60
49
205
5269
=
; s4
=
; s5
36
144
3600
b)
40
27
90 +5 k
2 k +1
49
12
f) 210 k 2
c) 72
d) 45
g) 555
h) 6096
3323
27 720
j)
−
b)
∑2 k
3
6
a)
5
∑ (k + 2 )
k =1
∑9⋅(
6
e)
k =1
1
3
6
c)
k =1
)
4
k −1
f)
∑
∑2
d)
83
g)
500 500
b)
k
k =1
k =1
1
2 n+ 4
k =1
5
∑ (7 k − 4)
∑ 11 (k + 6 )
9
∑ ( −1)
h)
k +1
⋅
k =1
k =1
2 k +5
3 k +7
9
i)
∑ 37k k+5
k =1
4 13; 26; 39; 52
5
6
s6 =
a1 ⋅
2
1−  
3
a1 = 243
a6 = 243 ⋅
1−
2
=
665
3
()
2
3
5
= 32
6
1000
a) ∑ k
=
k =1
1000 ⋅ ( 1000 + 1)
=
2
99
c)
99
99
k)
∑ ( 2 + 4=
k =1
1
∑ (2 + 4 k ) = ∑ (2 + 4 k ) − ∑ (2 + 4 k ) =
99 ⋅ ( 6 + 398 )
=
2
19 998
19 998 − 6 = 19 992
=
k 2=
k 1=
k 1
23
d)
3⋅2
∑=
k =1
14
k −1
1− 2 23
=
3⋅
1− 2
=
25 165 821
e)
∑2 ⋅(
9
k =1
2
3
)
k −1
9
2
1−  
3
=
2⋅
1−
2
38 342
6561
=
3
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7
a)
∑ 9 ⋅ ( 21 )
∞
k −1
1
=⋅
9
1−
k =1
c)
∑ 50 ( 51 )
∞
k −1
=50 ⋅
k =1
8
∞
a) 0, 07 =∑
k =1
=
18
1
b)
∞
1
k −1
1
1−
1
1
1
2 1− 3
=⋅
k =1
2
2
=
4
125
2
=
5
( )
k −1
7
⋅ 1
100 100
∑ 2 ( 34 )
7
1
100 1− 1
= ⋅
7
99
=
100
b) 1, 7 = 1 + 0, 7 = 1 + 7 = 16
9
9
17
6011
c) 6, 017 =+
6 0, 017 =+
6
=
999
999
= 11, 23 + 0, 009345
d) 11, 239345
∞
=11, 23 + ∑ 0, 009345 ⋅
k =1
9
(
1
10 000
)
k −1
=11, 23 + 0, 009345 ⋅
1
1−
1
1 873 037
166 650
=
10 000
ln : Länge des n-ten Lotes
∞
()
⋅( )
n−1
ab b
⋅
c
c
l=
n
∑c
ab
n=1
b
c
n−1
ab
c −b
=
3⋅4
5−4
=
=12
c
10
a) an= a1 ⋅
∞
∑a
n= 1
ab
1
c 1− b
= ⋅
1
⋅
( )
2
2
( )
2
2
n−1
n−1
;
a1
=⋅
1
1−
2
a1
=⋅
2⋅( 2 + 2 )
a 2+
=
( 2 − 2 )( 2 + 2 ) 1 (
2
)
2
b) A n = an2 ;
∞
=
∑ an2
∞
∑a
n 1=
n 1
=
2
1
(=
)
1
2
n−1
1
2
a=
2a21
1
1
1−
2
11
∞
∑q
n−1
= 60 ⇒
n=1
1
1− q
= 60 ⇒ q =
59
60
≈ 0, 983 ; der jährliche Verbrauch müsste um 1,7%
verringert werden.
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15
Exkursion: Eine übergeordnete Beweismethode – die vollständige Induktion
Seite 26
1
a) 11 Punkte  24 Dreiecke
b) Beweis mithilfe von vollständiger Induktion. Es entstehen 2n + 2 Dreiecke;
n∈  ;
(I) Induktionsanfang: n = 1 ; es entstehen 4 Dreiecke
(II) Induktionsschritt: wenn man annimmt, dass die Aussage für eine Zahl k ∈  gilt,
dann kann man beweisen, dass die Aussage auch für k + 1 gilt; für k Punkte
entstehen 2k + 2 Dreiecke; für k + 1 Punkte entstehen 2k + 2 + 2= 2 ( k + 1) + 2
Dreiecke; damit gilt die Aussage.
2 Behauptung: Bei n Geraden entstehen höchstens
a=
n
1
n
2
( n + 1) + 1
Teile; Beweis durch vollständige Induktion:
(I) Induktionsanfang: für n = 1 ist die Aussage wahr, da a1 =
1
⋅ 1⋅
2
( 1 + 1) + 1 =
2
(II) Induktionsschritt: es sei k ∈  mit k ≥ 1 und man nimmt an, dass die Aussage
für k gilt; dies besagt, dass bei k Geraden höchstens a=
k
1
k
2
( k + 1) + 1
Teile
entstehen.
Wenn nun eine weitere Gerade hinzukommt, so kann diese stets so gelegt werden,
dass sie durch keinen der vorhandenen Schnittpunkte läuft und auch zu keiner
vorhandenen Geraden parallel ist. Deshalb wird die neue Gerade durch die
vorhandenen k Geraden in k+1 Abschnitte zerlegt. Jeder dieser Abschnitte zerlegt
einen bereits vorhandenen Teil in zwei neue Teile. Also ist:
k ( k + 1) + 2 ( k + 1)  + 1 = ( k + 1)( k + 2 ) + 1
2
Somit gilt die Aussage auch für k+1. Damit ist gezeigt, dass die Aussage für alle
n ∈  mit n ≥ 1 wahr ist.
ak + 1 = ak + ( k + 1) =
16
1
k
2
( k + 1) + 1 + ( k + 1) =
1
2
1
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Seite 27
3
a) Behauptung: 2 + 4 + 6 + … + 2n= n ( n + 1)
Beweis durch vollständige Induktion:
(I) Induktionsanfang: für n = 1 ist die Aussage wahr, da 2 =1 ⋅ ( 1 + 1) gilt.
(II) Induktionsschritt: Es sei k ∈  mit k ≥ 1 und man nimmt an, dass die Aussage
für k gilt; dies besagt: 2 + 4 + 6 + …+ 2k= k ( k + 1) .
Dann ist 2 + 4 + 6 + …2k + 2 ( k + 1) = k ( k + 1) + 2 ( k + 1) = ( k + 1)( k + 2 ) . Somit gilt die
Aussage auch für k+1. Damit ist gezeigt, dass die Aussage für alle n ∈  mit n ≥ 1
wahr ist.
b) (I) Induktionsanfang:=
n 1;=
1 12 ; die Aussage ist wahr
(II) Induktionsschritt: Voraussetzung ist, dass die Formel für n = k gilt. Behauptung:
Die Formel gilt auch für n= k + 1
1 + 3 + 5 +…
=
+ 2k − 1
k2
+2 ( k + 1) − 1
1 + 3 + 5 + … + 2 ( k + 1) − 1 = k 2 + 2 ( k + 1) − 1
1 + 3 + 5 + … + 2 ( k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + 2 ( k + 1) − 1 = ( k + 1)
Damit gilt die Formel für alle natürlichen Zahlen.
2
c) Behauptung: 1 + 4 + 7 + … + ( 3 n −
=
2)
Beweis durch vollständige Induktion:
1
n
2
( 3 n − 1)
(I) Induktionsanfang: für n = 1 ist die Aussage wahr, da 1 =
1
⋅ 1⋅
2
( 3 ⋅ 1 − 1)
gilt.
(II) Induktionsschritt: es sei k ∈  mit k ≥ 1 und man nimmt an, dass die Aussage
für k gilt; dies besagt: 1 + 4 + 7 + … + ( 3 k −
=
2)
1 + 4 + 7 + … + ( 3 k − 2 ) + ( 3 ( k + 1) − 2=
)
=
3 2
k
2
5
2
+ k + 1=
1
2
(3 k
2
+ 5 k + 2=
)
1
2
1
k
2
1
k
2
( 3 k − 1) ; dann ist:
( 3 k − 1) + ( 3 k + 1)
(k + 1)( 3 k + 2 )
Somit gilt die Aussage auch für k + 1 . Damit ist gezeigt, dass die Aussage für alle
n ∈  mit n ≥ 1 wahr ist.
1
⋅ 1⋅ 2 ⋅3
6
d) (I) Induktionsanfang: n = 1; 12 =
; Aussage ist wahr.
(II) Induktionsschritt: Voraussetzung ist, dass die Formel für n = k richtig ist.
Behauptung: die Formel gilt auch für n= k + 1 .
12 + 2 2 + 32 + … + k 2
=
12 + 2 2 + 32 + … + ( k + 1)=
2
12 + 2 2 + 32 + … + ( k + 1=
)
2
12 + 2 2 + 32 + … + ( k + 1)=
2
12 + 2 2 + 32 + … + ( k + 1) =
2
1
k
6
(k + 1)( 2 k + 1)
(
)(
(
) (
(
)(
+ ( k + 1)
) (
)
2
1
k k+1 2k+1 + k+1
6
1
k k + 1 k 2 k + 1 + 6 k + 1
6
1
k k + 1 2 k2 + 2 k + 6 k + 6
6
1
k +1 k +2 2k +3
6
(
)(
2
)
(
)
)
)(
)
Damit gilt die Formel für alle natürlichen Zahlen.
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17
4
a) Induktionsverankerung: n = 1 ; f1 + 2 f2 = 1 + 2 ⋅ 1 = 3 = f4 ;
Annahme: die Behauptung stimmt für n.
Induktionsschritt: n → n + 1
fn + 1 + 2 fn + 2 = ( fn − 1 + fn ) + 2 ( fn + fn + 1 ) = ( fn − 1 + 2 fn ) + ( fn + 2 fn + 1 ) = fn + 2 + fn + 3 = f4
b) Induktionsverankerung: n = 1 ; f12 = 12 = 1 = 1 ⋅ 1 = f1 ⋅ f2 ;
Annahme: die Behauptung stimmt für n.
Induktionsschritt: n → n + 1
f12 + f22 + …fn2 + fn2+ 1 =( f12 + f22 + … + fn2 ) + fn2+ 1 =fn ⋅ fn + 1 + fn2+ 1 =( fn + fn + 1 ) ⋅ fn + 1 =fn + 2 ⋅ fn + 1
c) Induktionsverankerung: n = 2 ; f1 ⋅ f3 − f22 = 1 ⋅ 2 − 12 = 1 = ( −1) ;
2
Annahme: die Behauptung stimmt für n
Induktionsschritt: n → n + 1
fn ⋅ fn+ 2 − fn2+ 1 =
fn ( fn + fn + 1 ) − fn2+ 1 =
fn2 + fn ⋅ fn + 1 − fn2+ 1 =
− ( fn2+ 1 − fn ⋅ fn + 1 − fn2 )
=
− ( fn+ 1 ⋅ ( fn + 1 − fn ) − fn2 ) =
− ( fn + 1 ⋅ fn − 1 − fn2 ) =
− ( −1) =
( −1)
n
n+ 1
d) Induktionsverankerung: n = 1 ;
1
1
 1 1+ 5 − 1+ 5
1  1+ 5
1 2 5
f1 =
− 1− 5  =
=
= 1;

2
2
2
5 2
5
5

Annahme: die Behauptung stimmt für n.
Induktionsschritt: n → n + 1
n−1
n−1
 1  1+ 5 n 1− 5 n 
1  1+ 5
fn + 1 = fn − 1 + fn =
− 1− 5
−

+ 5  2

2
2
2
5



n−1
n−1


1
1+ 5   1− 5 
1+ 5
 1− 5 
=
⋅  1 +
−
 2
 ⋅  1 + 2 
2 
2
5



 



( ) ( )
(
) ( )
( ) ( )
=
1
5
=
1
5
( ) ( )
( )


⋅(
−(
⋅(
)
)
)
)
(





−(
)
)
(



1+ 5
2
1+ 5
2
n−1
1+ 5
2
n+ 1
1− 5
2
2
1− 5
2
n−1
1− 5
2
2
n+ 1
5
f ( x ) = xn ; f ' ( x )= n ⋅ x n − 1
Induktionsanfang: n = 1 ; f ( x ) =x; f ' ( x ) =1 ⋅ x 0 =1 ; die Aussage ist wahr
Induktionsschritt: Voraussetzung ist, dass die Formel für n = k richtig ist;
Behauptung: die Formel gilt auch für n= k + 1
f ( x )= xk ; f ' ( x )= k ⋅ x k − 1
f ( x )= xk + 1= x ⋅ xk
f ' ( x ) = x k + x ⋅ k ⋅ x k − 1 = x k + k ⋅ x k = ( k + 1) ⋅ x k
Damit gilt die Formel für alle natürlichen Zahlen.
18
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2 Grenzwerte von Funktionen
2.1
Seite 31
Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle
1
a) lim f ( x ) = 0
b) Der Grenzwert existiert nicht.
x →1
2
a) Für alle x 0 ∈  \ {−1}
b) Für alle x 0 ∈  \ {−1; 1}
c
lim f ( x ) = 1
x →1
c) Für alle x 0 ∈ 
3
a) lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = −12
b) lim
f ( x ) lim
f ( x ) lim
f (x) 9
=
=
=
−3; lim =
−2
c) lim =
d) lim f ( x ) = 1; lim = −1
x ↓−1
x ↑−1
x ↓−2
x →−1
x ↑−2
x ↓3
x →3
x ↑3
x ↓0
x ↑0
4
a) Die Urbildfolge −2 +
1
n
hat die Bildfolge
1
=
4


 −2 + + 2 
n


1
1
=
n4
4
1
 
n
Die Urbildfolge hat den Grenzwert –2; die Bildfolge ist divergent.
b) Für alle x mit −2, 1 ≤ x ≤ −1, 9; x ≠ −2 sind die Funktionswerte von f grösser als
10 000 .
5
a) f ( x ) =
x
x −1
. Definitionslücke ist x 0 = 1 . Es gilt
für x > 1 und x → 1 : f ( x ) → +∞ und für x < 1
und x → 1 : f ( x ) → −∞ .
b) f ( x )=
lim
x →1
x2 −1
=
−1
x2 −1
=
x −1
x + 1 . Definitionslücke ist x 0 = 1 .
lim ( x + 1=
) 2.
x →1
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19
x3 − 1
x −1
c) f ( x ) =
= x 2 + x + 1 . Definitionslücke ist
x 0 = 1 . lim = lim ( x 2 + x +
=
1) 3 .
x →1
x3 − 1
x −1
x →1
x 2 − a2
=
x −a
d) f ( x )=
x 0 = a . lim
x →a
x + a . Definitionslücke ist
x 2 − a2
=
x −a
lim ( x + a=
) 2a . Beispiel:
x →a
Graph für a = 1
e) f ( x ) =
x 4 − 16
x −2
= x 3 + 2x 2 + 4x + 8 .
Definitionslücke ist x 0 = 2 .
x 4 − 16
8 ) 32 .
= lim ( x 3 + 2x 2 + 4x + =
x →2 x − 2
x →2
lim
6
a) lim ( x 2 − 2 x )= lim ( x n2 − 2 x n )= lim x n2 − lim 2 x n
x →5
x n →5
x n →5
x n →5
= lim x n ⋅ lim x n − lim 2 ⋅ lim x n = 5 ⋅ 5 − 2 ⋅ 5 = 15
x n →5
x n →5
x n →5
b) lim ( x − 5 x + 10=
)
4
2
x →−3
=
c)
d)
=
20
x n →5
lim ( x n4 − 5x n2 + 10=
)
xn →−3
lim x n4 − lim 5 x n2 + 10
xn →−3
xn →−3
( lim x ) − 5 ⋅ ( lim x =
) + 10 46
lim ( x − ) =
lim ( x − ) =
lim x − lim
=
( lim x ) − lim
lim ( + x −=
) lim  + x −= lim + lim x − lim
4
xn →−3
3
x →−2
n
n
xn →−3
1
x
xn →−2
10
x →−3
2
20
x
x3
10
3


 lim xn 
 x →−3 
 n

1
xn
3
n
xn →−2
10
xn →−3
xn3
+ ( −3 ) −=
20
lim xn
xn →−3
20
xn
n
3
n
xn →−2
1
xn
xn →−3
xn3
3
n
xn →−2
xn →−2
10
xn →−3
n
xn →−3
1
xn
15
2
=
−
20
xn
89
27
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
2.2
Seite 33
Stetigkeit einer Funktion
1
a) Der Graph ist stetig in  \ {3; 8}
b) Der Graph ist stetig in  \ {0; 6}
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21
Seite 34
2
a) Die Funktion Tageszeit  Temperatur ist stetig. Die Temperatur an einem
bestimmten Ort kann sich zwar schnell ändern, aber nicht sprunghaft.
b) Die Funktion Lebensjahr  Monatsbeitrag ist unstetig. Für jedes neue Lebensjahr
ändert sich der Monatsbeitrag in Sprüngen.
3
3 ) 0; lim f ( =
x ) lim 3 − −=
3 0
a) f ( =
x →3
1
n
n →∞
lim f ( x ) = lim 3 + − 3 = 0 ⇒ lim f ( x ) = 0 = f ( 3 ) ;
1
n
n →∞
x ↓3
x →3
f ist stetig an der Stelle 3.
b)=
=
=
f ( 2 ) lim
f ( x ) lim
f (x) 4 ;
x↓2
x↑2
f ist stetig an der Stelle 2.
c) f ( −2 ) = + 1 =− ;
5
−2
3
2
lim f ( x ) =lim
n →∞
x ↑−2
(
5
−2 −
lim f ( x=
) lim −2 +
x ↓−2
n →∞
1
+ 1 =−
3
2
n
1
n
) + ( −2 + ) −=1
2
1
n
1;
f ist unstetig an der Stelle –2.
d) f (5 ) lim f ( x ) = lim f ( x ) = −2,5;
x ↓5
x ↑5
f ist stetig an der Stelle 5.
22
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4
f ( 0 ) 0 existiert; rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert haben
Fig.=
1: x 0 0;=
den Wert 0.
1

lim f ( x ) =lim sin  0 ±  =0 ⇒ f ist bei x 0 = 0 stetig.
x →±0
n →∞
n

f ( 1) 0 existiert;
Fig.=
2: x 0 1;=
(
)
2
x ) lim 1 + − 1= 0
rechtsseitiger Grenzwert: lim f (=
x →1
x >1
n →∞
1
n
( ) − 2 ( 1 − )  =−1 ⇒ unstetig bei
1

linksseitiger Grenzwert: lim f ( x ) =lim  1 −
n
x →1
n →∞ 
x<1
2
1
n
x0 = 1
f ( 1) 1 existiert; rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert haben
Fig.=
3: x 0 1;=
den Wert 1.
lim f=
( x ) lim
x↓1
n →∞
( ( 1 + ) +=)
1
2
1
n
1 ; lim f ( x ) =lim
1
2
x↑1
n →∞
( 1 − ) =1 ⇒ f ist bei x
1
n
0
= 1 stetig.
f ( 0 ) 1 existiert; rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert haben
Fig.=
4: x 0 0;=
den Wert 2.
2
1 

lim f ( x ) = lim  2 − 0 ±
= 2 ⇒ f ist bei x 0 = 0 unstetig.
n 
x →1
n →∞ 

x≠1
(
)
5
(( ) )
( )
2
1


1
+ t  =1 + t; lim f ( x ) = lim 1 − + 1 = 2 ⇒ für
a) f ( 1) = 2; lim f ( x ) =lim  1 +
n
n
n →∞ 
n →∞
x↓1
x↑1

1+ t =
2 , also t = 1 stetig.
2
1
1 

lim  t +
−2 t t +  =
−t 2 ;
b) f ( t ) − t 2 ; lim f ( x ) =
n
n 
n →∞ 
x↓t
( )
− t)
( ( )=
lim f=
( x ) lim 2 t −
x↑t
n →∞
1
n
( )
t;
−t 2 ⇒ t ( t + 1) =
0 ⇒ t1 =
0; t 2 =
−1
Bedingung: t =
6
x ⋅ x ; x0 =
0; f ( 0 ) =
0
a) f ( x ) =
)
(
lim ( ⋅ =
) 0
lim f (=
x ) lim − ⋅ − = 0 ;
x ↑0
lim f ( x=
)
x ↓0
1
n
n →∞
n →∞
1
n
1
n
1
n
⇒ f ( x ) ist bei x 0 = 0 stetig
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23
3; f ( 3 ) =
0;
b) f ( x ) =x ( x − 3 ) ; x 0 =
) ( ))
((
lim ( ( 3 + − 3 ) ⋅ ( 3 +=
))
lim f=
( x ) lim 3 − − 3 ⋅ 3 −= 0 ;
x ↑3
lim f=
(x)
x ↓3
n →∞
1
n
1
n
n →∞
1
n
1
n
0
⇒ f ( x ) ist bei x 0 = 3 stetig
1 − x 2 für x ≤ 1
c) f ( x ) =
=
; x 0 1 ; f ( 1) = 0
2
x − 1 für x > 1
lim f ( x )= lim ( 1 − x 2 )= 0;
x↑1
n →∞
x↓1
n →∞
lim f (=
x ) lim ( x 2 −=
1) 0
⇒ f ( x ) ist bei x 0 = 1 stetig
7
2
lim f ( x ) =lim
x →±1
1

 −1±  − 1
n

1
n →∞
−1± + 1
(
2
n
=lim ± n 1  +
n →∞
n
1
n2
)
− 1 =−2 ⇒ k =−2
8
x
für x ≤ 2

; A (x) = 2
A (x) = 
2 + 2 ( x − 2 ) für x > 2
(
)
( (
))
lim A ( x=
x ) lim 2 + 2 2 − − 2= 2
) lim 2 − = 2; lim A (=
x →2
x<2
n →∞
1
n
x →2
x >2
n →∞
1
n
Die Funktion A ist im gesamten Definitionsbereich stetig.
9
Für die Folge x n =
1
2 πn
für die Folge x n =
1
2 π n+
( =) sin (2 π n=) 0 und
gilt: lim sin ( =
) sin (2 π n + =) 1 ; somit besitzt die
gilt:
π
2
xn → 0
1
xn
xn → 0
1
xn
lim sin
π
2
Folge keinen rechtsseitigen Grenzwert (analog linksseitiger Grenzwert).
24
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2.3
Seite 36
1
Grenzwerte von Funktionen im Unendlichen
a)
Urbildfolge
n2
 2 n2 + 4 
 2 
 n +3 
Bildfolge
b)
2n−1
n
(
2 n +4
n +3
(
 2 3n + 2
 n
 3 +3

) ( )
2 n +1
n+ 1
Grenzwert
2
2
2
Urbildfolge
−n
−10n
( −n)
 −2⋅10n + 4 


 −10n +3 
 −2⋅nn + 4 
 n 
 −n + 3 
2
2
(
Bildfolge
2 n+ 4
−n + 3
Grenzwert
)
2
3n
) 


2
nn
 2 nn + 4 
 n 
 n +3 
2
n
2
a) lim
x →∞
2
=
x +1
2⋅
lim
xn →∞
 1 
lim  2⋅ 
xn →∞ xn 
=

1 
lim  1+ 
xn →∞ xn 
1
xn
=
1
1+
xn
mit ( x n ) → ∞ die Folge
lim
x →−∞
( )
2
=
x +1
1
x
1
xn
c)
2⋅0
=
1+ 0
d) lim
x →∞
+ )
(=
4
x + x +1
1
3
xn
xn →∞

 3 
lim  x5 −3  =lim 
x →±∞ x

 xn →±∞ 
lim 1+ lim
xn →∞ xn →∞ xn
2⋅0
=
1+ 0
0 , da für jede Folge ( x n )
1
xn
 2⋅ 1 

lim  x1n=

xn →−∞ 
1
+
 x 
 n
xn →∞
=
1
( ) eine Nullfolge ist.
1
b) lim = lim = lim =
x →∞
1
lim 2 ⋅ lim
xn →∞ xn →∞ xn
0
=
0 0 , da
( ) − 3  =0 − 3 =−3
1
xn
1
xn
2
4
1
lim  =
+ 
3
x
x
1
+
+
 n n

xn →∞
( ) eine Nullfolge ist.
1
3
, da mit
( ) auch 
1
xn

4

xn + xn + 1 
eine
Nullfolge ist.
 1  0 , da mit x → ∞ auch gilt 2 xn → ∞ und daher
e) =
=
lim  x1  lim


n
x →∞  2 + 1 
xn →∞  2 x n + 1 
 1  eine Nullfolge ist.
 xn 
 2 +1 
 1  1 , da 2 − xn =  1  für eine positive
lim  1  =
lim  1  lim
=
=
( )  2xn 


x →−∞  2 x + 1 
xn →−∞  2 x n + 1 
xn →∞  2 − x n + 1 
nicht beschränkte Folge ( x n ) eine Nullfolge ist.
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25
3
a) lim
x →±∞
+3
x →±∞
3
=
x
lim
3 x +6 x + 1
xn →±∞
c) lim
x →∞
3+
+
2
x →±∞
=
1
2 x −1
xn →±∞
2 x − 19
e) lim
x →±∞
+
xn
lim
2
2−
0 +0
=
2 −0
2
0
2
xn
2+
xn →±∞
1
12
xn
=
1
= lim
x 2 + 19
3
xn
1+ 0
=
1
x
n
=
lim
xn →∞
1
d) lim
2
3
8
1+
x + 12
2 +0
=
3 +0 +0
2
n
=
6
1
xn
x −8
=
x
2
4
2+
2 x +4 x
b) lim
6 +0
=
0 +3
xn
=
lim
xn →±∞ 4
xn
3
5
6+
6x +5
=
4 + 3x
19
xn
± 1+
2 +0
=
19
± 1+ 0
= ±2
2
xn
4
2
x + 4 x +1
a) lim
x →±∞
2
x + x −1
x →±∞
lim
xn →±∞
=
6 x +1
1
x
−
xn
1
2
xn
1
1− 0
=
6 +0
2
xn
=
1
xn →±∞
1+ 0 + 0
=
1+ 0 − 0
2
n
=
1
1
1+
lim
4
+
xn
1−
x 4 − x2
b) lim
4
1+
6+
1
6
4
xn
1
c)
x 4 − x2
lim
x →±∞
d) lim
x →∞
f)
lim
6 x −1
x 4 + x2
x →±∞
e) lim
=
5
5 x3 + 3
xn
xn →±∞
6−
xn →±∞
5+
1−
x −8
=
x
lim
xn →∞
(3+ x )
lim =
x →±∞ ( 3 − x )2
2
0 −0
=
6 −0
3
xn
=
1
1
xn
3
existiert nicht
3
xn
8
1+ 0
1
xn
=
= 1
1
 3 
 +1
 xn 
2
=
2
lim
x →±∞
0
5
xn
xn +
= lim
1
−
 3 
 −1 
 xn 
( 0 + 1 )2
= 1
( 0 − 1 )2
3
 3 
 +1

x
( 3 + x )3
= lim  n
g) lim
x →±∞ ( 3 − x )3
xn →±∞ 
3
3

 −1 
 xn 
3x − 1
h) lim x= lim
x →∞
3 −1
xn →∞
1
3−
=
1
3
26
x −1
=
1
=
3 −0
( 0 + 1)3
= −1
( 0 −1)3
1
3
; lim
x →−∞
3x − 1
=
x
3 −1
lim
xn →−∞
3− xn − 1
=
3− xn − 1
0
=
0 −1
0
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i)
lim ( 3 + 6 x )=
⋅ 3 − x lim
x →∞
3 + 2 xn ⋅3xn
= lim
3xn
xn →∞
( 2 ) unbeschränkt ist;
xn →∞
(
1
3xn − 1
+ 2 xn
) existiert nicht, da die Folge
xn
lim
=
( 3 + 6 x ) ⋅ 3− x
x →−∞
lim
3 + 2 xn ⋅3xn
3xn
xn →−∞
( 3 ) unbeschränkt ist.
lim ( 3 ⋅ 3 − xn + 2 xn ) existiert nicht, da die Folge
xn →−∞
− xn
5
a) f ( x ) =
1
x +1
3 ⋅( x + 1)
x
c) f ( x ) =
e) f ( x ) =
6
Es ist sin
; g (x) =
− x2
4 x 2 + x −6
( )<
1
x
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1
x
b) f ( x )= 2 +
1
2x +2− x
; g (x) = 3
d) f ( x ) =
; g ( x ) =− +
1
4
; da lim
x →±∞
1
x
1− x
x
2
x2
; g (x) =
; g (x) =
2 x +4
x
x
−2 −3
2x
1
n
= 0 ist, ist lim sin
x →±∞
( )=0
1
x
27
Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen
Lambacher Schweizer 11/12
Lösungen Teil II
II
Differenzialrechnung
3
Die Ableitung
3.1
Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
3.2
Differenzialquotient und lokale Änderungsrate
3.3
Differenzierbarkeit
3.4
Die Ableitungsfunktion
3.5
Die Ableitung der Potenzfunktion
3.6
Summenregel und Faktorregel
3.7
Produktregel und Quotientenregel
Exkursion: Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit
4
Kurvendiskussion von Polynomfunktionen
4.1
Verhalten im Unendlichen
4.2
Nullstellen und Faktorisieren
4.3
Gerade und ungerade Funktionen; Symmetrie
4.4
Monotonie
4.5
Extrempunkte
4.6
Bedingungen für Extremstellen
4.7
Wendepunkte
4.8
Kurvendiskussion
4.9
Bestimmung von Polynomfunktionen
4.10 Extremwertprobleme
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Alle Rechte vorbehalten
II Differenzialrechnung
3 Die Ableitung
3.1
Seite 43
Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
1
f ( 0 ) − f ( −1)
0 −( −1)
a) D f =  ; m1 =
=
−2 + 1
1
= −1 ; m2 = 1 ; m3 = 4 ; m4 = 3
b) D f =  ; m1 = −9 ; m2 = −7 ; m3 = −4 ; m4 = −5
c) D f = [ −2; + ∞[ ; m=
1
m3 =
1
4
(
)
1
2
2−
5 − 3 ≈ 0, 13 ; m4 =
1
2
1
6
≈ 0, 21 ; m2 =
(
)
1
2
3−
1
2
2 ≈ 0, 16 ;
5 − 2 ≈ 0, 14
d) =
D f  \ {−2} ; m1 = −6 ; m2 = −2 ; m3 = −0, 8 ; m4 = −1, 2
2
a)
Steigung durch P1 ( 0 0 ) und Q 1 ( 3 −3 ) :
m1 = −0, 1 grösste Steigung :
Steigung durch P3 ( 0 0 ) und Q3 ( 5 7,5 ) :
m2 = 0, 6  Sekante durch P4 und Q 4

m3 = 1,5  kleinste Steigung :

Steigung durch P2 ( 0 0 ) und Q 2 ( 4 2, 4 ) :
Steigung durch P4 ( 1 −0, 9 ) und Q 4 ( 5 7,5 ) :
m4 = 2, 1  Sekante durch P1 und Q 1

Steigung durch P5 ( 1 −0, 9 ) und Q5 ( 4 2, 4 ) : m5 = 0, 3 

b) 1. Möglichkeit: Berechnung
(
)(
2. Möglichkeit: Skizze des Graphen y= 0, 1 x 3 − x= 0, 1 x ⋅ x − 10 ⋅ x + 10
)
erstellen und die Punkte P1 ; P4 ; P5 und Q1 ; Q2 ; Q3 ; Q5 markieren. Es wird deutlich,
dass nur die Steigung der Sekante durch P1 und Q1 negativ und somit die kleinste
Steigung ist. Die Sekante durch P4 und Q 4 hat die grösste Steigung.
c) Sekante 1: y = −0, 1 x ;
Sekante 3: y = 1,5 x ;
y 0, 3 x + 1, 2
Sekante 5:=
3
a)
T ( 40 ) − T (5 )
40 −5
≈
28,33 − 76,99
35
≈ −1, 4
Sekante 2: y = 0,6 x ;
y 2, 1 x − 3 ;
Sekante 4: =
( );
°C
min
T (50 ) − T ( 15 )
50 − 15
≈
24,81−52,90
35
≈ −0, 8
( );
°C
min
In der Zeit zwischen 5 min und 40 min sinkt die Temperatur im Mittel pro Minute um
1,4 °C, in der Zeit zwischen 15 min und 50 min um 0,8 °C pro Minute.
b) Die Gerade g 1 verläuft steiler als g 2 und zeigt damit
an, dass die mittlere Temperaturabnahme grösser ist.
2
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4
a) 0 ≤ t < 6 s :
6 ≤ t < 13 s :
13 ≤ t < 16 s :
16 ≤ t < 26 s :
26 ≤ t < 29 s :
29 ≤ t < 32 s :
32 ≤ t < 36 s :
Der Lift beschleunigt aus dem Stillstand (aufwärts).
Der Lift fährt mit konstanter Geschwindigkeit.
Der Lift bremst bis zum Stillstand.
Der Lift steht still.
Der Lift beschleunigt (abwärts).
Der Lift fährt mit konstanter Geschwindigkeit.
Der Lift bremst bis zum Stillstand.
( 10 −10 ) m
( 10 −0 ) m
(5 −10 ) m
m
m
m
= 0 ; [ 26; 36 ] :
= 0,625 ; [ 16; 26 ] :
= −0,5
s
s
s
( 26 −16 ) s
( 16 −0 ) s
( 36 −26 ) s
Die Werte geben jeweils die durchschnittliche Geschwindigkeit des Lifts im
angegebenen Intervall an. Der negative Wert drückt aus, dass sich der Lift nach
unten bewegt.
c) Der Lift braucht weniger als 80 s, da er nur einmal beschleunigt und einmal
bremst. Ines berücksichtigt bei ihren Überlegungen je fünf Beschleunigungs- und
Bremsphasen. In diesen Phasen ist die durchschnittliche Geschwindigkeit jeweils
geringer als in Phasen mit konstanter Geschwindigkeit.
b)
[0; 16 ] :
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3
3.2
Seite 46
Differenzialquotient und lokale Änderungsrate
1
siehe Tabelle unten
2
siehe Tabelle unten
Zu Aufgabe 1:
x
2,5
2,9
2,99
2,999
… x0 = 3 …
3,001
3,01
3,1
3,5
a)
0,25 x − 2 −0,25
x −3
1,375
1,475
1,4975
1,49975
1,5
1,50025
1,5025
1,525
1,625
b)
x −0,1x3 −0,3
x −3
–1,275
–1,611
–1,69101
–1,699
–1,7
–1,7009
–1,70901
–1,791
–2,175
c)
0,5 − 2 x − 4
x −3
sin ( x ) −0,141
x −3
2,343
2,6787
2,763
2,7716
2,773
2,774
2,7822
2,871
3,3137
–0,915
–0,98
–0,989
–0,990
–0,99
–0,990
–0,991
–0,995
–0,984
2
d)
Zu Aufgabe 2:
s ( 1) = 2 ; s ( 2 ) = 8 ; s ( 3 ) = 18
t
2
2t −2
t−1
t
2t −8
2
t−2
t
2 t − 18
2
t −3
4
0
0,5
0,9
0,99
0,999
……
1,001
1,01
1,1
1,5
2
2
3
3,8
3,98
3,998
4
4,002
4,02
4,2
5
6
1
1,5
1,9
1,99
1,999
……
2,001
2,01
2,2
2,5
3
6
7
7,8
7,98
7,998
8
8,002
8,02
8,4
9
10
2
2,5
2,9
2,99
2,999
……
3,001
3,01
3,3
3,5
4
10
11
11,8
11,98
11,998
12
12,002
12,02
12,6
13
14
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Seite 47
3
c) Steigung der Tangente an G f : 0,5 ; Steigung der Tangente an Gg : − 2 ;
individuelle Lösungen für die Steigungsdreiecke; die Steigungen beschreiben die
lokale Änderungsrate von f bzw. von g an der Stelle x = −2 .
d) Die beiden Tangenten sind zueinander senkrecht; der Wert des Produkts ihrer
0,5 ⋅ ( 2 ) =−1
Steigungen ist −1 : f ' ( −2 ) ⋅ g ' ( −2 ) =
4
x 1 = −2
−3, 9
G
x 2 = −1
1, 2
I
x3 = 0
2, 0
T
x4 = 1
0, 6
H
x5 = 2
−1, 2
C
x6 = 3
−1, 5
I
x7 = 4
1, 6
R
Lösungswort (von hinten gelesen): RICHTIG
5 Individuelle Lösungen.
Lösungsidee mithilfe der Temperatur einer Wassermenge. Diese kühlt zum Beispiel
von 90 °C auf 25 °C ab. Mittlere Änderungsrate m: sie gibt an, um wie viel °C sich das
Wasser im Mittel pro Zeiteinheit (zum Beispiel Sekunde) innerhalb der Zeit t 1 − t 0
abgekühlt hat.
Lokale (oder im Fall der Zeit momentane) Änderungsrate mt0 : sie gibt an, wie stark
die Änderung der Wassertemperatur zum festen Zeitpunkt t 0 ist.
Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Änderung der Temperatur zwischen zwei
unterschiedlichen Zeitpunkten.
Die lokale Änderungsrate beschreibt die Änderung der Temperatur zu einem festen
Zeitpunkt.
Zusammenhang: Die ideale Änderungsrate mt0 ergibt sich anschaulich mithilfe der
mittleren Änderungsrate m durch „Heranrücken“ von t 1 an t 0 .
Mathematisch geschieht dies durch Grenzwertbildung: mt0 = lim m
t →t0
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5
6
a) Nullstellen für
x1 =
−3; x 2 =
−1; x 3 =
1; x 4 =
3;
3 Stellen, für die die lokale Änderungsrate
den Wert 0 annimmt.
b) Nullstellen für:
x1 =
−3; x 2 =
2 − 3; x 3 =
2+ 3 ;
2 Stellen, für die die lokale Änderungsrate
den Wert 0 annimmt.
−2; x 2 =
0
c) Nullstellen für: x 1 =
(dreifach); x 3 = 2 ;
3 Stellen, für die die lokale Änderungsrate den Wert 0 annimmt.
7
a) h ( t ) =− 19 ⋅ t ⋅ ( t − 4 ) =−4, 75 t 2 + 19 t ; mithilfe einer Tabelle kann die
4
h t −h t
Geschwindigkeit zu den verschiedenen Zeitpunkten mit ( ) ( 0 ) bestimmt werden;
t −t0
Geschwindigkeiten zu verschiedenen Zeitpunkten:
t0 = 0
19
t1 = 1
9,5
t2 = 2
0
t3 = 3
−9,5
Das negative Vorzeichen drückt aus, dass der Körper nach unten fällt.
8
a)
( 1) V ( a) = a3
(2) Im Tetraeder teilt der Fusspunkt der Tetraederhöhe hT die Höhe hG der
für hT
Dreiecksgrundfläche im Verhältnis 1 : 2 ; somit gilt=
(gleichseitiges Dreieck).
VT ( a ) = ⋅ G ⋅ hT = ⋅
1
3
1 a
3 3
6⋅
a2
4
3=
1 3
a
12
a
=
6; G
3
a2
4
3
⋅ 2
b) Lokale Änderungsrate an der Stelle a0 = 3
6
für (1):
a3 − 27
a −3
1 3
9
für (2):
12
4
;
a ⋅ 2−
a −3
mithilfe einer Tabelle: 27
2
;
mithilfe einer Tabelle:
9
4
2 ≈ 3, 182
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9
a) k ( 0 ) =
2
92
k (t ) = 0 ⇔
− 2 = 8 cm ; die Kerze war zu Beginn 8 cm hoch.
2
0,05 t + 0,2
k 16 −k 0
b) m = ( ) ( ) =
16 −0
− 2 = 0 ⇒ 2 ( 0, 05 t + 0, 2 ) = 2 ⇒ 0, 1 t + 0, 4 = 2 ⇒ t = 16
−8 cm
16 h
= −0,5
cm
h
; das negative Vorzeichen drückt das
Herabbrennen aus.
c) Der Graph von k wird mit zunehmenden tWerten immer flacher, also ist zum Zeitpunkt
t = 0 der maximale Wert der
Abbrenngeschwindigkeit vorhanden und zum
Zeitpunkt t = 16 der minimale Wert der
Abbrenngeschwindigkeit. Beide Werte können
mithilfe einer Tabelle ermittelt werden. Alternativ
könnte man die Tangenten an den Graphen von k
zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 16 einzeichnen
und jeweils deren Steigung bestimmen.
Randspalte: Die gelbe Kerze hat am ehesten das beschriebene Abbrennverhalten, da
sie kegelförmig ist. Somit nimmt die abzubrennende Wachsmenge mit steigender
Brenndauer immer mehr zu. Die Abbrenngeschwindigkeit wird immer geringer. Dies
entspricht der Tatsache, dass der Graph von k mit zunehmender Zeit immer flacher
wird.
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7
3.3
Seite 50
Differenzierbarkeit
1
a) f ( 3 ) = 9
b) f =
( a) 2 a2 − 3 a
2
c) f (r + 2 ) = 2 r + 5 r + 2
2
2
2
d) f ( x 0 + h )= 2 x 0 − 3 x 0 + 4 x 0h + 2 h − 3 h; f ( 2 + h )= 2 h + 5 h + 2
2
2
2
e) f ( x ) − f ( x 0 ) = 2 x − 3 x − 2 x 0 + 3 x 0 ; f ( x ) − f ( 2 ) = 2 x − 3 x − 2
2
2
2
2
f) f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) = 2 x 0 − 3 x 0 + 4 x 0h + 2 h − 3 h − 2 x 0 + 3 x 0 = 4 x 0h + 2 h − 3 h ;
f ( 2 + h ) − f ( 2 ) = 8 h + 2 h2 − 3 h = 2 h2 + 5 h
g)
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
=
2 x 2 −3 x − 2 x02 + 3 x0
x − x0
(Polynomdivision);
h)
f ( x 0 +h ) − f ( x 0 )
h
=
f ( x )− f ( 2 )
x −2
=
4 x0h+ 2 h2 −3 h
h
= ( 2 x 2 − 3 x − 2 x 02 + 3 x 0 ) : ( x − x 0 ) = 2 x + 2 x 0 − 3
2 x 2 −3 x − 2
x −2
= ( 2 x2 − 3 x − 2 ) : ( x − 2 ) = 2 x + 1
= 4 x 0 + 2 h − 3;
f ( 2 +h ) − f ( 2 )
h
= 2 h+5
2
a) Der Graph von f hat für x = −3 und für 2,5 < x ≤ 3,5 eine waagrechte Tangente.
b) Die Funktion f ist für folgende Punkte nicht differenzierbar:
x 1 = −4 : es existiert offensichtlich keine (eindeutige) Tangente an den Graphen
im Punkt P1 ( 4 0 ) ; alternativ: linksseitiger Grenzwert ( −6 ) ≠
rechtsseitiger Grenzwert ( 6 )
x 2 = −2 :
Begründung wie x 1 ; linksseitiger Grenzwert ( −6 ) ≠ rechtsseitiger
Grenzwert ( 1,5 )
x 3 = −1 :
Begründung wie x 1 ; linksseitiger Grenzwert ( 1,5 ) ≠ rechtsseitiger
Grenzwert ( −2 )
x4 = 1 :
Begründung wie x 1 ; linksseitiger Grenzwert ( −2 ) ≠ rechtsseitiger
Grenzwert ( 0 )
x5 = 2,5 :
Begründung wie x 1 ; linksseitiger Grenzwert ( 6 ) ≠ rechtsseitiger
Grenzwert ( 0 )
3 1. Möglichkeit: f ' ( x 0 ) = lim
x → x0
a) f ' ( 4 ) = 16
d) f '
8
( )=
4
3
5
3
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
f x +h − f x
2. Möglichkeit: f ' ( x 0 ) = lim ( 0 ) ( 0 )
h→0
−1,5
b) f ' ( −2 ) =
c) f ' ( 2 ) = 10
e) f ' ( 1) = −1
f) f ' ( 10 ) = 0
h
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4
3
a) lim
h→0
−
3
h+ 2 2
h
= lim
3−
h→0
3
2
( h+ 2 )
h( h+ 2 )
3
= lim
h→0
− h
2
h( h+ 2 )
= lim
h→0
−
3
2
h+ 2
= −
3
4
b) Die Tangente im Punkt A ( 2 1,5 ) hat die
−0, 75 x + 3 .
Gleichung y =
5
x ↓0
0,5 x
x
x ↓0
x −2
a) lim
= 0,5 ; lim
x ↑0
−0,5 x
x
= −0,5 ; f ist für x = 0
nicht differenzierbar, da die Grenzwerte
unterschiedlich sind.
−( x − 2 )
x −2
b) lim
= −1 ; f ist für x = 2
= 1 ; lim
x ↑0
x −2
nicht differenzierbar, da die Grenzwerte
unterschiedlich sind.
6
a) m=
lim
T
x2 − 4
=
x −2
1
4
1
4
x →2
lim
x →2
( x −2 ) ( x + 2 )
= lim ( x + 2=
) 4;
x −2
x →2
4 =⋅
4 2+t ⇒ t =
−4
Tangente t : =
y 4x − 4
mn = ; 4 =− ⋅ 2 + t − 4 ⇒ t =4,5 ; Normale n: =
y
1
x + 4,5
4
α 76, 0°
Schnittwinkel Tangente mit x-Achse: =
α 14, 0°
Schnittwinkel Normale mit x-Achse: =
* wird im Nachdruck korrigiert
b) Fehler im Lehrbuch: Es muss heissen P ( −2 −0,5 ) *
α 26,6°
y 0,5x + 0,5 ; Schnittwinkel mit x-Achse: =
Tangente t: =
Normale n:
c) Tangente t:
Normale n:
d) Tangente t:
y=
−2 x − 4,5 ;
y = −5 x ;
1
5
α 63, 4°
Schnittwinkel mit x-Achse: =
α 78, 7°
Schnittwinkel mit x-Achse: =
α 11, 3°
Schnittwinkel mit x-Achse: =
y= x;
1
y=
− x + 1,5 ; Schnittwinkel mit x-Achse: α= 9,5°
6
y 6 x − 17 ;
Normale n: =
7
a) Geradenanstieg ist
1
2
α 80,5°
Schnittwinkel mit x-Achse: =
; f ' ( x 0 ) = 0,5
Lösung: P1 ( −0, 7071 0, 3536 ) ; P2 ( 0, 7071 −0, 3536 )
(
) ( )
b) P1 3 − 3 ; P2 −3 3
2
2
c) Wegen f ' ( x )= 4 ≠
1
2
gibt es keine solche Gerade.
−6 x 2 ≠ 0,5 gibt es keine solche Gerade.
d) Wegen f ' ( x ) =
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9
3.4
Seite 53
Die Ableitungsfunktion
1
a) f ' ( x ) = 4 x ; 4 x = 2 für x = 0,5 ; Steigung 2 im Punkt P ( 0,5 0,5 )
b) f ' ( x ) = 0 ; kein Punkt P hat die Steigung 2
c) f ' ( x ) = 2 ; alle Punkte haben die Steigung 2 ( x ∈  )
d) f ' ( x ) = −4 ; kein Punkt P hat die Steigung 2
e) f ' ( x )= x − 2 ; x − 2 =
2 für x = 4 ; Steigung 2 im Punkt P ( 4 0 )
2
a) f ' ( x 0 =
) lim
x → x0
x 2 − x02
=
x − x0
2,5 ; B ( −2,5 6, 25 )
lim x + x 0= 2 x 0 ; 2 x 0 =−5 ⇔ x 0 =
x → x0
−5 x − 6, 25
Tangentengleichung: 6, 25 =−5 ⋅ ( −2,5 ) + t ⇒ t =−6, 25 ; t : y =
0 ⇒ x=
−1, 25
b) Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse: −5 x − 6, 25 =
1
2
A =⋅ 1, 25 ⋅ 6, 25 =
3, 90625
3
(
x 2 − 4 − x02 − 4
)
=
= lim
a) f ' ( x ) lim
x → x0
x − x0
x → x0
( x + x0 )( x − x0 )
x − x0
= lim x + x 0= 2 x 0
x → x0
' ( x ) h'=
analog: g=
(x) 2 x
b) f0 ' ( x=
) lim
x → x0
10
( =)
x 2 −c − x02 −c
x − x0
lim x + x 0= 2 x 0
x → x0
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4
a) Falsch; es existieren bereits vier Nullstellen (eine doppelte Nullstelle bei ( 0 0 ) ).
Mehr Nullstellen kann eine Polynomfunktion vierten Grades nicht besitzen und
somit kann der Graph die x-Achse nicht mehr kreuzen.
b) Richtig; der Graph der Funktion hat an der Stelle x 0 = 0 eine waagrechte
Tangente, somit f ' ( c ) = 0 .
c) Richtig; der Grad von f ' ( x ) ist 3 und somit kann f ' ( x ) maximal drei Nullstellen
haben; f‘ hat genau drei Nullstellen, weil f an drei Stellen waagrechte Tangenten
besitzt.
d) Richtig; f ' ( x ) hat eine weitere Nullstelle für x ∈ ]0; 4[ , also gibt es in diesem
Intervall auch einen negativen Bereich für f.
e) Falsch; der Graph von f ' ( x ) verläuft bis –2 unterhalb der x-Achse. Die beiden
Graphen schneiden sich im III. Quadranten.
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11
Seite 54
5 Individuelle Lösungen.
a) keine Nullstelle: zum Beispiel f ( x ) = 4 x ; ( f ' ( x ) = 4 )
2
eine Nullstelle: zum Beispiel f ( x ) = x ; ( f ' ( x ) = 2 x )
(
1
−x 2 + 2
zwei Nullstellen: zum Beispiel f ( x ) =
− x3 + 2 x ; f ' ( x ) =
3
)
b) zum Beispiel f ( x ) = −x ; ( f ' ( x ) = −2 x )
2
c) zum Beispiel f ( x ) = sin ( x ) ; ( f ' ( x ) = cos ( x ) )
6 Der hellblaue Graph scheidet aus, da der Wasserstand erst abnimmt (  t = 1) ,
dann bis ungefähr t = 4,5 ansteigt und anschliessend bis ungefähr t = 8 wieder
abnimmt.
Der Anstieg von p ist an der Stelle 2,5 ungefähr 0,7.
Der orangefarbene Graph siegelt die Pegelstandänderung am genauesten wieder.
7
a) 1,5 x 2 − 4 x = 2 ⇔ 1,5 x 2 − 4 x − 2 = 0 ;
4
3
x 1 =+
2
3
7 ≈ 3, 1 ; x 2 =
4
3
−
2
3
7 ≈ −0, 43 (mit Lösungsformel)
y 1 ≈ −2, 31 ; y 2 ≈ 1,59
b) A
(
4
3
−
10
27
) A ( 1, 3 −0, 4)
2
c) f ' ( x ) > 0 wenn 1,5x − 4 x > 0 ⇒ x ⋅ ( 1,5 x − 4 ) > 0 ; der Graph der Funktion
steigt für x < 0 oder x >
8
3
.
0 ; die Steigung des Graphen ist für x < 4 −
d) f ' ( x ) > 3 wenn 1,5 x 2 − 4 x − 3 =
3
oder x > 4 +
3
34
3
34
3
grösser als 3.
8
A–4: die Ableitung hat Nullstelle bei x = 2 ; sie ist negativ für x < 2 und positiv für
x>2
B–3: die Ableitung hat keine Nullstelle; sie steigt stetig an
C–5: die Ableitung hat Nullstelle bei x = 2
D–2: die Ableitung hat zwei Nullstellen
E–1: Polstelle bei x = 2 ; keine Nullstellen
12
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9
fa ' ( x ) 0=
für x 0, 75
a) =
fa ' ( x ) > 0 für x > 0, 75
fa ' ( x ) < 0 für x < 0, 75
0 für x =
−2 und x =
2
b) fb ' ( x ) =
fb ' ( x ) > 0 für x ∈  \ [ − 2; 2 ]
fb ' ( x ) < 0 für x ∈  \ ] − 2; 2 [
0 für x =
−2; x =
0 und x =
3
c) fc ' ( x ) =
fc ' ( x ) > 0 für x ∈ ] − 2; 0 [ ∪ ] 3; + ∞[
fc ' ( x ) < 0 für x ∈ ] − ∞ ; − 2 [ ∪ ] 0; 3[
0 für x =
−1 und x =
0,67
d) fd ' ( x ) =
fd ' ( x ) > 0 für x > 0,67
fd ' ( x ) < 0 für x ∈ ] − ∞ ; 0,67 [ \ {−1}
zu a)
zu b)
zu c)
zu d)
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13
3.5
Seite 56
Die Ableitung der Potenzfunktion
1
3
a) f ' ( x ) = 4 x
5
b) f ' ( x ) = 6 x
8
c) f ' ( x ) = 9 x
11
d) f ' ( x ) = 12 x
34
e) f ' ( x ) = 35 x
−6
f) f ' ( x ) = −5 x
−9
g) f ' ( x ) = −8 x
99
h) f ' ( x ) = 100 x
2
x)
a) f ' (=
b) f ' ( x=
)
c)
d)
( 2 k + 1) x 2 k
f ' ( x=
) ( 1 − 3 n) x −3 n
3
3
a) f ' ( x ) = 4 x ; f ' ( x ) − 4
( 3 − m ) x 2 −m
f ' (=
x ) ( 2 k − 3 ) x2 k −4
4 x 3 = −4
⇔
1;
x = −1 ; f ( −1) =
⇔
Tangente: 1 =−1 ⋅ ( −4 ) + t ⇒ t =−3; t : y =−4 x − 3
Analoge Vorgehensweise bei den anderen Teilaufgaben.
: y 12 x + 16 oder t 2 =
: y 12 x − 16
b) t 1 =
3
3
c) t 1 : y =
− x+ 3
− x − 3 oder t 2 : y =
4
1
3
x+
4
4
d) t : =
y
4
4
2
a) Tangente t in B ( 1 1) : m =h' ( 1) =3 ⋅ 1 =3 ;
1 =3 ⋅ 1 + t ⇒ t =−2 ⇒ t : y =3 x − 2
Schnittpunkt: 3 x − 2 = x 3 ⇒ x 3 − 3 x + 2 = 0 ; Lösen der Gleichung führt auf den
Schnittpunkt P ( −2 −8 )
b) m = 3 a2 ; a3 =⋅
a 3 a2 + t ⇒ t =
− 2 a3 ⇒ t a : y =
3 a2 x − 2 a3
5
2
a) f ' ( x ) = 3 x ; m
= tan 30=
°
3 x2 =
=
x2
1
3
⇒ x1 = −
1
3 3
1
3 3
1
3
≈ 0,58 ;
≈ −0, 44 ;
≈ 0, 44
Analoge Vorgehensweise bei den anderen
Teilaufgaben.
b) =
x
3
1
4
≈ 0,63
c) x 1 = − 4
d) x = − 5
3
5
x2
≈ −0, 77 ; =
4
tan 21°
4
3
5
≈ 0, 77
≈ −1,6
6
f ( x ) − f ( x0 )
=
x − x0
=
n
x − n x0
=
x − x0
z − z0
=
zn − zn0
1
zn − 1 + zn − 2 z01 + … + z 1zn0 − 2 + zn0 − 1
( z − z0 )
(z
n−1
z − z0
n−2 1
+ z z0 + …+ z 1zn0 − 2 + zn0 − 1
z →z0
1

→
n
14
1 z0
⋅
n zn
=
n⋅zn0 − 1
1
Rücksubstitution: z 0 = n x 0 ; f ' ( x 0 ) =⋅
n
x0
x0
)
0
1
n
1
=⋅ x n
−1
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3.6
Seite 58
Summenregel und Faktorregel
1
a) f ' ( x ) = −
b) g ' ( x=
) 2x+
1
x2
5
c) f ' ( x ) = 8 z
2
x3
x ) 3 x 2 − 5 x −6
d) f ' (=
−8 u−9 − 24 u2
e) g ' ( u ) =
g) f ' ( x ) = −
h) h' ( x ) = −
3
2 x3
f) f ' ( x )=
2
5
−
10
x3
5
x 11
2
2
a) f ' ( x ) = 12 x − 10 x − 3
b) f ' ( x ) = 6 x 7 − 10 x 4 + 5 x 2 − 2 x
f ' ( 0 ) = −3
f ' (0) = 0
Graph fällt
keine Steigung
f ' ( 1) = −1
f ' ( 1) = −
3
c) f ' ( x ) = 3, 2 x − 2,6 x + a
2
3
13
6
−3 x 2 + 3 x − 3,5
d) f ' ( x ) =
f ' (0) = a
f ' ( 0 ) = −3,5
Graph fällt für a < 0 ; Graph steigt für a > 0
Graph fällt
' ( x ) 3 ax 2 − 25 x 4
e) f=
6
5
4
3
f) f ' ( x ) = 7 x − 6 x + 5 x − 4 x + 1
f ' (=
1) 0,6 + a
f ' ( 1) = −3,5
f ' (0) = 0
f ' (0) = 1
keine Steigung
Graph steigt
f ' (=
1) 3 a − 25
3
a) h' (=
x ) 12 x −
d) h' ( a ) = −6 a
g) h'=
(x)
j)
16
3
3
2 x2
x3 −
h' ( x ) = 6 x
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f ' ( 1) = 3
1
x
2
3
b) f ' ( a ) =
− a−4 − 3
c) g ' ( x ) = 4 x
−4 t −2 − a
e) f ' ( t ) =
f) g ' ( x ) = 0
h) f ' (=
z)
i)
2
3 3
z
2
−3 z
f ' (=
t ) 6 t2 − 6 t
5
k) g ' ( x ) = 7, 8 x
15
Seite 59
4
a) g hat den Grad 3 und h somit den Grad 2; h2 kommt somit nicht in Frage. An der
Stelle x = 0 fällt der Graph, daher kommt h1 wegen h1 ( 0 ) > 0 nicht in Frage. Da g
für betragsmässig grosse x steigt, muss h für betragsmässig grosse x positiv sein;
damit scheidet h4 aus und es bleibt h3 übrig.
P1 ( −1 −4 ) und P2 ( 1 4 )
5
6
Vorgehen wie im Lehrbuch, Seite 52, beschrieben.
7
a) f ( x ) =⇔
0
x ( 4 − x2 ) =
0 ⇒ x1 =
0; x 2 =
−2; x 3 =
2;
f ' ( x )= 4 − 3 x 2 ; f ' ( 0 ) = 4 ; f ' ( −2 ) =
−8 ; f ' ( 2 ) = −8
2
b) f ( x ) = 0 ⇔ 4 x − x − 3 = 0 ⇒ x 1 = 1 ; x 2 = −0, 75 ;
−7 ; f ' ( 0 ) = −1
f ' ( x=
) 8 x − 1 ; f ' ( 1) = 7 ; f ' ( −0, 75 ) =
c) f ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 3 x + 2 = 0 ⇒ x 1 = 1 (Probieren);
(x
3
− 3 x + 2 ) : ( x − 1) =x 2 + x − 2 ⇒ x 2 =1; x 3 =−2 ;
f ' (=
x ) 3 x 2 − 3 ; f ' ( 0 ) = −3 ; f ' ( 1) = 0 ; f ' ( −2 ) =
9
d) f ( x ) = 0 ⇒ 3 x 2 − 1 = 0 ⇒ x 1 =
f '(x) = 6 x ; f '
( ) = 2 3 ; f '  −
3
3
3
3
3
3
; x2 = −
3
3
;
=
 −2 3 ; f ' ( 0 ) = 0

e) f ( x ) =0 ⇒ 3 x 2 − x 4 =0 ⇒ x 2 ( 3 − x 2 ) =0 ⇒ x 1 = x 2 =0; x 3 =− 3 ;
f ' ( x=
) 6 x − 4 x3 ; f ' (0 ) = 0 ; f '
( 3 ) = −6
(
)
3 ; f' − 3 =
6 3
f) f ( x ) = 0 ⇒ x − 5 x + 4 = 0 ;
4
2
Substitution x 2 = u ⇒ u2 − 5 u + 4 = 0 ⇒ u1 = 4; u2 = 1
⇒ x1 =
2; x 2 =
−2; x 3 =
1; x 4 =
−1;
6
f ' (=
x ) 4 x − 10 x; f ' ( 0 ) = 0 ; f ' ( 2 ) = 12 ; f ' ( −2 ) =
−12 ; f ' ( 1) = −6 ; f ' ( −1) =
3
16
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8
a) f ( x ) = 0 ⇔
f ' (=
x)
2
3
2
9
x
2
x3 − = 0 ⇔ x ⋅
(
2
9
1
2
x2 −
)= 0 ⇒ x
3
2
3
2
; x3 = − ;
1
1
1
x 2 − ; f ' ( 0 ) = − ; Schnittwinkel α : tan α = − ⇒ α = 153, 43° ;
2
2
2
( ) = f ' ( ) = 1 ; Schnittwinkel α : tan α=
g ( x ) =0 ⇔ − x + 2 x =0
⇔ x (−
3
−
2
3
2
f'
= 0; x 2 =
1
1
18
1 ⇒ α= 45° ;
)
1 2
x
18
3
+ 2 =0
⇒
x 1 =0; x 2 =6; x 3 =−6
1
g '(x) =
− x 2 + 2 ; g ' ( 0 ) = 2 ; Schnittwinkel α : tan α= 2 ⇒ α= 63, 43° ;
6
g ' (6 ) =
g ' ( −6 ) =
−4 ; Schnittwinkel α : tan α = −4 ⇒ α = 104, 04°
b) f ( x ) =
g (x) ⇒
2
9
x3 −
x
2
=−
1
18
5
18
x3 + 2 x ⇒
S 1 ( 0 0 ) ; S 2 ( −3 −4,5 ) ; S3 ( 3 4,5 ) ;
f ' (0) = −
x 3 − 2,5 x =
0 ⇒ x
(
5
18
)
x 2 − 2,5 =
0;
⇒ α = 153, 43° ; g ' ( 0 )= 2 ⇒ α= 63, 43° , also Schnittwinkel
1
2
γ= 153, 43° − 63, 43°= 90° ;
f ' ( −=
3 ) 5,5 ⇒ =
α 79, 7° ; g ' ( −3 )=
1
2
=
γ 53, 13° ;
f ' ( 3 ) = 5,5 g ' ( 3=
)
1
2
⇒ α= 26,57° , also Schnittwinkel
ϕ 53, 13°
⇒ Schnittwinkel=
c) Waagrechte Tangente heisst Steigung gleich Null;
g ' ( x ) =0 ⇔ − x 2 + 2 =0 ⇒ x 1 =2 3 ; x 2 =−2 3 ;
(
1
6
)
g 2 3 =−
(
P 2 3
8
3
9
a) f ' (=
x)
1
⋅
18
)
(2 3 )
3
8
3
+ 2⋅2 3 =
3 ; die Gerade h geht durch den Punkt
3 und hat die Steigung 0 ⇒ h ( x ) =
0
1
2
x 4 + x 2 ; f '' (=
x ) 6 x2 +
x ) 2x 3 + x ; f ''' (=
4
3
8
3
8
3
2
−3
−4
−4
−5
6 + 24 x −5 + 60 x −6
b) f ' ( x ) =3 x + 2 x + 3 x ; f '' ( x ) =6 x − 6 x − 12 x ; f ''' ( x ) =
1
c) f ' ( x ) =
− 2−
x
d) f ' ( x )= 4 x −
3
4
x3
1
x3
−
+
9
x4
4
x6
−
16
x5
; f '' ( x ) =
2
x3
; f '' ( x=
) 12 x +
2
e) f ' ( x=
) 2 x − 1 ; f '' ( x ) = 2 ; f ''' ( x ) = 0
f) f ' ( x ) =+
2 3 x2 −
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1
x2
+
; f '' ( x=
) 6x+
2
x3
12
+
36
x4
x5
3
24
x4
−
x7
+
80
x6
6
48 180 480
; f ''' ( x ) =
− 4− 5− 6 − 7
; f ''' ( x )= 24 x −
; f ''' ( x )= 6 −
x
12
x5
+
x
168
x
x
x8
6
x4
17
10
a) A ' (r )= 2 π r ; A (r ) Kreisinhalt; A ' (r ) Kreisumfang; A '' (r )= 2 π
b) U' ( a ) = 2 ; U ( a ) Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b;
U'' ( a ) = 0
c) O ' ( h )= 2 π r ; O ( h ) Oberfläche eines Zylinders; O ' ( h ) Umfang der Standfläche;
O '' ( h ) = 0
2
d) V ' (r )= 4 π r ; V (r ) Volumen der Kugel; V ' (r ) Oberfläche der Kugel;
V '' (r )= 8 π r
e) V ' ( h )=
1
π r2
3
; V ( h ) Volumen eines Kegels; V '' ( h ) = 0
f) A ' ( a ) = a ; A ( a ) Inhalt eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit der
Schenkellänge a; A ' ( a ) Länge eines Schenkels; A '' ( a ) = 1
g) O ' (r ) = 4 π r + 2 π h ; O (r ) Oberfläche eines Zylinders; O '' (r )= 4 π
h) O ' (r ) =π s + 2 π r ; O (r ) Oberfläche eines Kegels mit Grundkreisradius r und
Mantellinie s; O '' (r )= 2 π
11
a)
b)
c)
d)
12 n ( x ) = 1 x
2
13
α 26,6° ; Schnittwinkel bei x 3 = −1 :
a) Schnittwinkel bei x 1 = 0 und x 2 = −2 : =
α= 45°
b) Schnittwinkel bei x 1; 2 = ±2 =
: α 59, 04°
18
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3.7
Seite 62
Produktregel und Quotientenregel
1 Berechnung analog Lehrbuch, Seite 61, Beispiel 1.
b) f ' ( x ) = 4 x 3 − 7,5 x 2 − 8 x + 1
a) f ' ( x ) = 5 x 4 + 3 x 2 − 2 x − 6
c) f ' ( x=
) 2x+2
d) f ' ( x ) = 6 x5 − 10 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 − 2 x − 2
e) f ' ( x ) = 6 x5 + 9 x 2 + 16 x 3 + 12
f) f ' (=
x ) 2 x3 − x
2
a) f ' ( x ) =
d) f ' ( t ) =
b) g ' ( x ) =
1
( x + 1)
2
−t 2 − 4 t −1
( t − 1)
2
e) g ' ( x ) =
2
2
( 1+ 3 x )
2
(
6 x 2 + 15
(15−x )
2
)
2
c) f ' ( z ) =
−z2 − 4 z −1
f) h' ( z ) =
8 z 2 + 8 z + 10
( z + 2 )2
( 2 + 1 )2
3
f ' (=
x)
x2 ⋅ 0 −1 ⋅ 2 x
(x )
2
=
4
a) f ( x ) =−x −
1
2x
−2 x
−2
x
x3
=
4
2
oder f ( x ) =x −2 ⇒ f ' ( x ) =−2 ⋅ x −3 =−32
x
; f ' ( x ) =−1 +
b) f ( x ) = 3 x ; f ' ( x ) = 3
1
2 x2
d) f ( x=
)
c) f ( x=
) 2 x + 1 ; f '(x) = 2
e) f ( x )= 2 x 3 −
x2
5
3
x3
−
4
x
; f ' ( x=
)
−9
x4
+
4
x2
x ) 6 x2 − x
+ ; f ' (=
2
5
1
5
f) (mit Quotientenregel) f ' ( x ) =
12
( 2 x + 3 )2
5
f ( −2 ) =
1,5 ; f ( 0 ) = 2 ; f ( 1,5 ) = 5 ; f ( 2,5 ) = −3 ;
f ( 6 ) = 0,5
f '(x) =
f ' (0) =
2
( 2 − x )2
1
2
(Quotientenregel); f ' ( −2 ) =
0, 125 ;
; f ' ( 1,5 ) = 8 f ' ( 2,5 ) = 8 ; f ' ( 6 ) = 0, 125
6
a) f ' ( x )=
1
2
−
3
2 x2
1
b) f ' ( x ) =−1 −
c) f ' ( x ) =
x2
;
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( x +2 )
−
3
2 x2
1
; −1 −
x2 + 4 x +9
2
1
2
x2
=
−
1
2
3
⇒
=−5 ⇒ −
2 x2
1
x2
=
1 ⇒
=−4 ⇒ x
2
1
=
4
x1 =
+ 3 ; x2 =
− 3
2
⇒ x1
1
=
2
2
; x 2 =−
1
2
; x 2 + 4 x + 9 = 6 ( x + 2 ) ⇒ − x 2 − 4 x + 21 =0 ⇒ x 1 =−7; x 2 =3
2
5
19
7 Geometrisch betrachtet sind an den
berechneten Stellen die Tangenten an den beiden
Graphen parallel.
a) f ' ( x ) = 2 x ; g ' ( x ) = 23 ;
x
2
2x=
⇒ x =
1 ⇒ x1 =
−1; x 2 =
1
3
4
x
b) f ' ( x ) =
−1
−1
( x + 1 )2
−1
= 2
( x + 1)
( x − 1)
⇒ x=
0
2
; g '(x) =
⇒
−1
( x − 1 )2
− ( x − 1) =
− ( x + 1)
2
c) f ' ( x ) =
−2 x + 2 ; g ' ( x ) =
−=
2x+2
8
( x − 2 )2
;
⇒
8
( x − 2 )2
2
;
−2 x 3 + 10 x 2=
− 16 x 0
−2 x ( x 2 − 5 x + 8 ) = 0 ⇒ x = 0
( x 2 − 5 x + 8 wird nicht Null)
8 Zum oberen Graphen kann nur f ' ( x ) =
6
( 2 x + 4 )2
gehören; zum unteren Graphen
kann nur u' ( x ) = 3 x 2 − 6 x − 1 gehören.
9
a) Tangente: t ( x=
)
3
2
−
x + 11 ; Normale: n ( x ) =
3
27
b) Tangente: t ( x ) =
− x + ; Normale: n (
4
4
c) Tangente: t ( x=
) 3 x + 2 ; Normale: n ( x )
2
46
+
3x
3
4
1
x=
x+
3
2
1
4
=
− x−
3
3
)
10
a) Schnittpunkt: S ( −0,5 −1) ; Schnittwinkel: 28, 07°
b) Schnittpunkt: S ( 2 6 ) ; Schnittwinkel: 23,63° ;
Schnittpunkt: S ( −2 −6 ) ; Schnittwinkel: 23,63°
20
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
11
( ) ; P (0 0)
f ' ( x ) =−1 ⇒ P1 −2
12 a =
2
3
2
1
10
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
21
Exkursion: Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Seite 63
1
G f : Er lässt sich ohne Absetzen des Zeichenstiftes zeichnen, somit ist f im
gesamten gezeichneten Bereich stetig. Da der Graph an den Stellen x = 1 und
x = 2 einen Knick hat, ist er dort nicht differenzierbar. An allen anderen Stellen
ist f differenzierbar.
Gg : Die Funktion g ist für x = 0 nicht definiert; für x < 0 und x > 0 ist g stetig und
differenzierbar.
2 Der Auf- und Abstieg am nächsten Tag können durch
stetige Funktionen f und g wie in der Skizze
veranschaulicht werden. Es gilt: f ( 8 ) < g ( 8 ) und
f ( 15 ) > g ( 15 ) ; es muss also eine stelle geben, an der er
zur gleichen Zeit vorbeikommt, weil sich die Graphen
schneiden.
3
a) Die Aussage ist wahr. Der Graph in einer in x 0 stetigen Funktion kann dort einen
Knick haben. Dann ist f in x 0 nicht differenzierbar.
Beispiel:=
f ( x ) x=
in x 0 0
b) Die Aussage ist wahr. Ist f differenzierbar, so existiert lim
x →∞x0
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
. Dazu ist
notwendig, dass lim f ( x ) = f ( x 0 ) existiert, das heisst, dass auch der Zähler im
x → x0
Differenzenquotienten gegen Null strebt x → x 0 .
22
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4 Kurvendiskussion von Polynomfunktionen
4.1
Seite 66
Verhalten im Unendlichen
1
a=
a=
0
a) Polynom mit Grad 5: a5 = 1 ; a3 = −2 ; a0 = 2 ; a=
4
2
1
b) Polynom mit Grad 1: a1 = 5 ; a0 = 1
c) kein Polynom
a=
a=
a=
0 ; d(x) =
d) Polynom mit Grad 5: a5 = −1 ; a1 = −3 ; a=
− x5 − 3 x
4
3
2
0
e) Polynom mit Grad 2: a2 = 1 ; a1 = − 1 ; a0 = 0
3
f) kein Polynom
g) Polynom mit Grad 3: a3 = 1 ; a2 = −9 ; a1 = 15 ; a0 = −7 ; g ( x ) =x 3 − 9 x 2 + 15 x − 7
h) kein Polynom
2
a) entscheidende Potenz: −2 x 6
b) f ( x ) =
− x5 + x 3
„von links unten nach rechts unten“
„von links oben nach rechts unten“
„von links unten nach rechts oben“
c) entscheidende Potenz: x 3
−7
7
„von links unten nach rechts oben“
d) entscheidende Potenz: 10 ⋅ x
„von links oben nach rechts oben“
e) entscheidende Potenz: x 4
(Grad des Klammerterms ist 3, ausmultiplizieren ist deshalb unnötig)
1
„von links oben nach rechts unten“
f) f ( x ) =
− x3 − 1
2
g) f ( x ) =
−x n + x 3 für
n = 0 , 1 oder 2:
=
n 3;=
f (x) 0 :
n > 3 ; n gerade:
n > 3 ; n ungerade:
h) f ( x ) =
−x 3 + x 2 :
i)
„von links unten nach rechts oben“
kein charakteristischer Verlauf
„von links unten nach rechts unten“
„von links oben nach rechts unten“
„von links oben nach rechts unten“
f ( x ) = 18 x 4 − 48 x 3 + 32 x 2 :
„von links oben nach rechts oben“
j) für n = 0; f ( x ) = −1 :
n>0:
kein charakteristischer Verlauf
„von links oben nach rechts oben“;
der Exponent ist stets gerade
k) f ( x ) = x 7 + 2 x 6 − 4 x5 + x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 : „von links unten nach rechts oben“
3 Nullstelle bei x = 0 : e, f, h
Graph schneidet die x-Achse (ohne Berührung): a, f, p, h, b
Graph berührt die x-Achse: d, e
charakteristischer Verlauf: „von links oben nach rechts oben“: d, e, g
„von links unten nach rechts oben“: b
„von links unten nach rechts unten“: p
„von links oben nach rechts unten“: a, f, h
Polynomfunktion: a, b, d, e, f, g, h, p
Graph ist eine Parabel: d, g, p
Graph ist eine Gerade: h, b
Graph hat eine Asymptote: c, k
4
a)
5
b) 3
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c)
1
d)
2
e)
4
23
4.2
Seite 71
1
a)
Nullstellen und Faktorisieren
1
2
b) − 1 ;
;2
2
d) 0; − 3
e) 0;
g) –3; 3; –2; 2
h)
j) 0; –4; 4
k) –2; 3
4
2
a) x 2 + 5 x − 2
3
2
c) 3
1
1
+
2 2
3
− ; 3;
2 2
f) 0; –3; 3
2
1
2
− ;
b) 2 x 2 − 6 x + 3
1
2
3
4
− ;
i)
3
4
l) –4; –1; 1
c) x 2 − 3 x − 2
d) x 3 − 4 x − 1
3
a) 1; 2; 3; ⇒ f ( x ) =
( x − 1)( x − 2 )( x − 3 )
b) –1; –2; 2 ⇒ f ( x ) =
( x + 1)( x + 2 )( x − 2 )
c) –2; 0,5; 1,5 ⇒ f ( x ) =4 ( x + 2 )( x − 0,5 )( x − 1,5 )
d) 3; –0,5 (doppelt); ⇒ f ( x ) =4 ( x − 3 )( x + 0,5 )2
e) 1; –0,5 (doppelt); ⇒ f ( x ) = 4 ( x − 1)( x + 0,5 )2
f) –1; 0,2 (doppelt); ⇒ f ( x ) = 25 ( x + 1)( x − 0, 2 )2
4
2
a) f ( x ) = ( x − 1)( x − 2 ) = x − 3 x + 2
3
b) f ( x ) = ( x + 9 )( x + 7 )( x − 9 ) = x − 81 x − 567
c) f ( x ) =
( x − 2 )( x − 1 − 2 )( x − 1 + 2 ) =
(
)
(
)
x3 − 2 + 2 2 x2 − 1 − 2 2 x + 2
5 f ( x ) gehört zum grünen Graphen; g ( x ) gehört zum gelben Graphen (NS bei 2
und –2); h ( x ) gehört zum blauen Graphen; k ( x ) gehört zum schwarzen Graphen
(nach oben geöffnet)
6
a) Da 1n − 1 = 1 − 1 = 0 ist, ist die Zahl 1 Nullstelle des Terms xn − 1 . xn − 1 lässt sich
1 g ( x ) ⋅ ( x − 1) und somit enthält xn − 1 den Linearfaktor
somit schreiben als x −=
x − 1.
b) xn + 1 enthält den Linearfaktor x + 1 , wenn –1 eine Nullstelle von xn + 1 ist; dies
ist nur der Fall, wenn n ungerade ist.
n
7 Funktion g: g ( x=
) 0, 25 ( x + 2 )( x − 1)( x − 3 )
Funktion f:
es existiert keine Lösung
Funktion k:
wegen der Symmetrie muss die doppelte Nullstelle bei x = 0
liegen, die einfachen NS liegen dann bei x = a und x = − a , also
k ( x ) = x 2 ( x − a )( x + a )
Funktion p:
für eine doppelte Nullstelle muss ( x + a ) gelten
Fall 1: der Graph besitzt noch drei weitere einzelne NS, zum Beispiel
2
p1 ( x ) =
− ( x + 3 ) x ( x − 2 )( x − 4 )
Fall 2: der Graph besitzt noch eine weitere doppelte NS, zum
2
− ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x − 1)
Beispiel p2 ( x ) =
der Graph besitzt eine doppelte und zwei einfache Nullstellen, zum
Beispiel h ( x ) = x 2 ( x − 3 )( x − 2, 25 )
Fall 1: der Graph besitzt eine zweifache und eine vierfache NS, zum
2
Funktion h:
Funktion r:
2
Beispiel r1 ( x ) =−
( x 2 ) ( x + 1)
Fall 2: der Graph besitzt zwei dreifache NS, zum Beispiel
2
24
4
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
r2 ( x=
) 0, 05 ( x + 3 ) ( −2 )
Fall 3: der Graph besitzt eine zweifache, eine dreifache und eine
3
3
einfache NS, zum Beispiel r3 ( x ) = 0, 05 ( x + 3 ) ( x − 2 ) ( x − 5 )
Fall 4: der Graph besitzt zwei zweifache und zwei einfache NS, zum
3
2
Beispiel r4 ( x ) = 0, 25 ( x − 1) ( x + 3 ) ( x − 4 ) x
Graphen zu Funktion g bis h:
Graphen zu Funktion r:
2
2
8
a) Wahr; für betragsmässig grosse x-Werte wird bei einer Polynomfunktion dritten
Grades der Wert durch den Summanden a x 3 bestimmt, wobei a ∈  \ {0} gilt; das
bedeutet, dass der Graph entweder „von links unten nach rechts oben“ ( a > 0 ) oder
„von rechts oben nach links unten“ ( a < 0 ) verläuft; in beiden Fällen muss der Graph
also die x-Achse überqueren und somit hat die Funktion mindestens eine Nullstelle.
b) Falsch; zum Beispiel ist ( x + 1)( x − 2 ) x 2 + 1 der Term einer Polynomfunktion
(
)
vierten Grades, besteht aber nur aus zwei Linearfaktoren ( x + 1)( x − 2 ) und einem
weiteren Faktor x 2 + 1 , der nicht mehr in zwei Linearfaktoren zerlegt werden kann.
c) Wahr; allgemeine Terme der beiden Funktionen a x 3 + b x 2 + c x + d und
e x 2 + f x + g ; aus
(II) a x 3 + b x 2 + c x + d= e x 2 + f x + g folgt
(II) a x 3 + ( b − e ) x 2 + ( c − f ) x + d − g =
0 ; nun kann wie in a) argumentiert werden,
dass die Funktion f ( x =
) a x 3 + (b − e ) x 2 + ( c − f ) x + d − g als Polynomfunktion
dritten Grades auf jeden Fall eine Nullstelle hat und somit Gleichung (I) eine Lösung
und daher die beiden Funktionen zweiten bzw. dritten Grades einen Schnittpunkt
besitzen.
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25
4.3
Seite 73
Gerade und ungerade Funktionen; Symmetrie
1
a)
gerade
b)
c)
d)
e)
×
f)
×
ungerade
×
weder noch
×
×
×
mit
2
d) f ( x ) = x − 3 x + 2
1 − 6 x2 + 9 x4
e) f ( x ) =
2
3
4
f) f ( x ) =x − 2 x + x
2
a)
b)
Achsensymmetrie zur x-Achse
c)
d)
×
Punktsymmetrie zum Ursprung
keine spez. Symmetrie
erkennbar
×
×
g)
×
×
h)
×
×
c)
d)
e); f)
g)
h)
( ) = ( ) + 3 = f ( x ) ; f ist eine gerade Funktion
−( ) =
( ) − 3 =− 3 − ( )  =−f ( x ) ; f ist eine ungerade
a) f ( −x ) = 3 − x +
1
3
b) f ( −x ) =
3− x
1
3
Funktion
f)
×
a); b)
3
e)
c) f ( −x ) = 3 − x +
−x
−x
()
1
3
1
3
−x+1
1
3
=
x
x
x
()
1
3
x
x
1
3
+ ⋅
1
3
x
()
1
3
−x
1
3
x
= ⋅ 3x +
( ) ; f ist weder gerade noch
1
3
x
ungerade
d) f ( −x )=
1+ ( − x )3
=
−x
e) f ( −x ) =( −x ) −
4
x)
f) f ( =
26
1− x 3
−1+ x3
; f ist weder gerade noch ungerade
=
−x
x
1
1
=x 4 + ; f ist weder gerade noch ungerade
x
−x
x + 1 ; f ist weder gerade noch ungerade, da D f =  +0 ist
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4
a)
b)
c)
d)
t = 0 ; punktsymmetrisch zum Ursprung
t ∈  ; achsensymmetrisch zur y-Achse
t = 0 ; achsensymmetrisch zur y-Achse
t ∈  ; punktsymmetrisch zum Ursprung
2
e) f ( x ) = x + ( 1 − t ) x − t ; t = 1 ; achsensymmetrisch zur y-Achse
f) t = 1 ; f ( x ) = 0 : sowohl achsensymmetrisch als auch punktsymmetrisch;
t ungerade; punktsymmetrisch zum Ursprung
5
n
n−1
a) f ( x )= an x + an − 1 x + … + a1 x + a0 ; an ≠ 0 ; für eine ungerade Funktion gilt
insbesondere f ( 0 ) = 0 ; dies ist hier nicht erfüllt, da f ( 0=
) a0 ≠ 0 ist; also kann f
nicht ungerade sein; f kann dennoch gerade sein, wenn n gerade ist und
an−=
an−=
…
= a=
0 ist
1
3
1
b) Die Nullfunktion f ( x ) = 0
( x ∈  ) ist sowohl gerade als auch ungerade, da
f ( −x ) =
f (x) =
−f ( x ) gilt für alle x ∈ 
6
x ) f ( x − c ) gilt:
a) Für die Funktion g (=
g ( c − h ) = f ( c − h − c ) = f ( −h ) und
f ( h ) gilt, gilt
g ( c + h )= f ( x + h − c )= f ( h ) ; da f ( −h ) =
also g ( c − h ) = g ( c + h )
b) Für die Funktion g ( x ) = f ( x − x 0 ) + y 0 gilt:
y 0 − g ( x 0 − h ) =y 0 −  f ( x 0 − h − x 0 ) + y 0  =−f ( −h ) und
g ( x 0 + h ) − y=
f (h) ;
 f ( x 0 + h − x 0 ) − y 0  − y=
0
0
f ( h ) gilt, gilt also
da −f ( −h ) =
y 0 − g ( x 0 − h=
) g ( x0 + h) − y0
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
27
4.4
Seite 75
1
Monotonie
a) f ( x ) = x ist monoton
wachsend für x ≥ 0 und
monoton fallend für
x≤0
b) f ( x ) = x ist monoton
wachsend für x ≥ 0 und
monoton fallend für
x≤0
c) f ( x ) = x ist monoton
wachsend für alle x ∈ 
d) f ( x ) = x ist monoton
wachsend für alle x ∈ 
e) f ( x ) = −x ist
monoton fallend für alle
x∈
f) f ( x ) =
g) f ( x ) = −
h) f ( x=
) 4 x + x ist
streng monoton
wachsend für x > −2 und
streng monoton fallend
für x < −2
2
1
x
2
ist
monoton fallend für
x < 0 und x > 0
3
2
5
1
x
ist monoton
1
3
x 3 − 9 x + 1 ist
fallend für x < 0 und
x>0
i) f ( x ) =
streng monoton
wachsend für x > 3 und
streng monoton fallend
für x < 3
j) f ( x ) = 1 x5 ist streng
1
k) f ( x ) =
− x 4 + 4 x ist
l) f ( x ) =
monoton wachsend für
x > 1 und x < 0
streng monoton
wachsend für x < 2 und
streng monoton fallend
für x > 2
monoton wachsend für
x < −1 und x > −1
5
28
4
8
x
x +1
ist streng
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2
a) fa ( x ) = ax − x 2 = x ( a − x ) ; fa ' ( x )= a − 2 x ; fa ' ( x ) = 0
für=
x0
(a ∈ )
a
2
Monotonieverhalten von fa für a ∈  :
 −∞ ;

a
2
 a ; ∞
2

streng monoton zunehmend
streng monotonabnehmend
b) g a ( x ) = x 3 − ax = x ( x 2 − a ) ; g a ' (=
x ) 3 x2 − a ;
a
; x2 =
− a (a ≠ 0)
g a ' ( x ) = 0 für x 1 =
3
a>0:
x ∈  − ∞; −

a=0:
3
g a ist streng monoton zunehmend für
a

3
und x ∈ 

a
;
3
∞  und streng

monoton abnehmend für x ∈  − a ; a 
 3
3

g a ist streng monoton zunehmend für
x ∈ ]− ∞ ; ∞[
c) ha ( x ) = ax 3 − ax 2 = ax 2 ( x − 1) ;
(
ha ' ( x ) = 3 ax 2 − 2 ax = 3 ax x −
=
x 1 0;=
x2
2
3
2
3
) ; h ' ( x ) = 0 für
a
(a ∈ )
a>0:
ha ist streng monoton zunehmend für
a<0:
2
x ∈ ]− ∞ ; 0 ] und x ∈  ; ∞  und streng
3

monoton abnehmend für x ∈ 0; 2 
 3
ha ist streng monoton abnehmend für
a=0:
2
x ∈ ]− ∞ ; 0[ und x ∈  ; ∞  und streng monoton zunehmend für
3

2
x ∈ 0; 
 3
ha ( x =
) 0 ⇒ ha ist eine konstante Funktion
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29
d) k a ( x ) =x 4 + ax 2 =x 2 ( x 2 + a ) ;
(
k a ' ( x ) = 4 x 3 + 2 ax = 4 x x 2 +
a
2
);
a ≥ 0 : k a ' ( x ) = 0 für x 1 = 0 ; a < 0 : k a ' ( x ) = 0 für
a
2
x 1 =0; x 2 = − ; x 3 =− −
a≥0:
a
2
k a ist streng monoton abnehmend für
x ∈ ]− ∞ ; 0 ] und streng monoton zunehmend
für x ∈ [0; ∞[
a<0:
k a ist streng monoton zunehmend für
a
a
x ∈  − ∞ ; − −  und x ∈ 0; −  und
2
2


a
a
streng monoton zunehmend für x ∈  − − ; 0  und x ∈  − ; ∞ 
2
2




3 Man bestimmt von der Ableitungsfunktion f‘ der Funktion f die Nullstellen
x 1 ; x 2 ; x 3 usw.; sodann wählt man aus jedem der Intervalle [ x 1 ; x 2 ] ; [ x 2 ; x 3 ] usw.
eine Stelle x 01 ; x 02 usw. und bestimmt das Vorzeichen von f ' ( x 01 ) ; f ' ( x 02 ) usw. Ist
zum Beispiel f ' ( x 01 ) < 0 , so ist f in [ x 1 ; x 2 ] streng monoton fallend; ist f ' ( x 02 ) > 0 ,
so ist f in [ x 2 ; x 3 ] streng monoton wachsend. Die Funktion
f (x) =
1 4
x
4
− x 3 − x 2 + x + 1 hat die Ableitung f ' ( x ) = x 3 − x 2 − x + . Die
5
6
1
2
5
2
5
2
5
2
−13,5 < 0 ist f
Nullstellen von f‘ sind x 1 = −1 ; x 2 = 1 und x 3 = 2,5 . Wegen f ' ( −2 ) =
0 ) 2,5 > 0 in [ −1; 1] streng
in [ − ∞ ; − 1] streng monoton fallend, wegen f ' (=
−1,5 < 0 in [ 1; 2,5 ] streng monoton fallend und
monoton wachsend, wegen f ' ( 2 ) =
schliesslich wegen f '=
( 4 ) 22,5 > 0 in [2,5; ∞ ] steng monoton wachsend.
30
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4.5
Seite 77
Extrempunkte
1
a) Extremstellen:
x 1 = 0 ; x 2 = 2 ; x 3 = 5 ; x 4 = 8 ; x5 = 10
Tiefpunkte:
( 0 5 ) ; (5 3 ) ; ( 10 4 )
( 2 1) ; ( 8 0 )
Lokale Maxima:
f ( 0 ) = 5 ; f (5 ) = 3 ; f ( 10 ) = 4
Hochpunkte:
Globales Maximum: f ( 0 ) = 5 (globales Randmaximum)
Lokale Minima:
f ( 2 ) = 1 ; f (8) = 0
Globales Minimum:
f (8) = 0
b) Extremstellen:
x 1 = 0 ; x 2 = 3 ; x 3 = 5 ; x 4 = 8 ; x5 = 11
Tiefpunkte:
(0 3) ; (8 2 )
( 3 −2 ) ; (5 −2 ) ; ( 11 −2 )
Lokale Maxima:
f (0) = 3 ; f (8) = 2
Hochpunkte:
Globales Maximum: f ( 0 ) = 3 (globales Randmaximum)
Lokale Minima:
f ( 3 ) = 2 ; f (5 ) = −2 ; f ( 11) = −2
Globale Minima:
f ( 3 ) = 2 ; f (5 ) = −2 ; f ( 11) = −2 (globales Randminimum)
2
Nullstellen:
x 1 = 0 (doppelte Nullstelle) 
 Berührpunkte mit der x - Achse
x 2 = 3 (doppelte Nullstelle) 
f ( x ) ≥ 0 für alle x ∈  , also auch in der Umgebung von x 1 und x 2 ⇒ f ( 0 ) =
0 und
f ( 3 ) = 0 sind lokale Minima; dazwischen gibt es ein lokales Maximum.
Skizze:
3
Extremstelle: x 0 = 0 ;
keine Extremstelle
keine Extremstelle
Extremwert: f ( 0 ) = 0 ;
Tiefpunkt: T ( 0 0 )
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31
Extremstellen: x 1 =
π
2
3
2
; x 2=
π;
( ) = 1 ; f ( π) =−1 ;:
Hochpunkt: ( 1) ;
Tiefpunkt: ( π −1)
Extremwerte: f
π
2
3
2
π
2
Extremstelle: x 0 = 0 ;
Extremwert: f ( 0 ) = 0 ;
Tiefpunkt: T ( 0 0 )
3
2
Extremstelle: x 0 = 0 ;
keine Extremstelle
Extremwert: f ( 0 ) = 0 ;
Tiefpunkt: T ( 0 0 )
h) Extremstellen: x 1 = − π ; x 2 = 0 ; x 3 = π ; x 4= 2 π ;
Extremwerte: f ( − π ) = −1 ; f ( 0 ) = 1 ; f ( π ) =−1 ; f ( 2 π ) =1 ;
Hochpunkte: ( 0 1) ; ( 2 π 1) ; Tiefpunkte: ( − π −1) ; ( π −1)
4 Nullstellen: x 1 = 0 ; x 2 = 2 ; x 3 = 5 ;
Verhalten im Unendlichen: lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = − ∞ ;
x →−∞
x →+∞
da zwischen den Nullstellen ein Monotoniewechsel erforderlich ist, gibt es folgende
Extremstellen: lokales Minimum für x ∈ ]0; 2[ und lokales Maximum für x ∈ ]2; 5[ ;
da W =  gilt, gibt es keine globalen Extrema
Skizze:
32
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
5
a) f ( x ) = − 1 x 2 (Fig. 1)
b) f ( x=
) x3 − 3 x (Fig. 1)
c) f ( x=
) x3 − 3 x (Fig. 1)
d) f ( x )= 3 ⋅ sin ( x ) (Fig. 2)
4
Fig. 1
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
Fig. 2
33
4.6
Seite 80
Bedingungen für Extremstellen
1
4
2
a) f ( x ) =x − 6 x + 1 ; f '=
( x ) 4 x3 − 12 x ;
0; x 2 =
− 3; x 3 =
3 ; es ist =
f ' ( x ) 4 x ( x2 − 3)
f ' ( x ) = 0 liefert x 1 =
Untersuchung an der Stelle 0: für Werte x aus der Umgebung von 0 ist der Faktor
x 2 − 3 negativ, während 4 x das Vorzeichen von – nach + wechselt; f ' ( x ) hat an der
Stelle 0 einen Vorzeichenwechsel von + nach –, also hat f das lokale Maximum
f (0) = 1 .
Untersuchung der Stellen − 3 und 3 : an der Stelle − 3 wechselt der Faktor
x 2 − 3 das Vorzeichen von + nach –, während 4 x negativ ist; f ' ( x ) hat dort einen
(
)
VZW von – nach +; f hat das lokale Minimum f − 3 =
−8 ; entsprechend wechselt
3 der Faktor x 2 − 3 das Vorzeichen von – nach +, während 4 x positiv ist.
5
4
x ) 5 x 4 − 20 x 3 ;
b) f ( x ) =x − 5 x − 2 ; f ' (=
bei
=
x 1 0;=
x2 4
Nullstellen von f‘:
f ' ( x ) 5 x3 ( x − 4 )
Faktorzerlegung: =
1) Stelle 0: x − 4 ist negativ; 5 x 3 hat VZW von – nach +; f ' ( x ) hat bei 0 einen VZW
von + nach –; lokales Maximum f ( 4 ) = −2
2) Stelle 4: x − 4 hat VZW von – nach +; 5 x 3 ist positiv; f ' ( x ) hat bei 4 einen VZW
von – nach +; lokales Minimum f ( 4 ) = −258
3
2
x ) 3 x 2 − 6 x ; f ' ( x ) = 0 liefert
=
x 1 0;=
x2 2
c) f ( x ) =x − 3 x + 1 ; f ' (=
f '(x) 3 x (x − 2)
Faktorzerlegung: =
1) x 1 = 0 : 3 x hat VZW von – nach+; x − 2 ist negativ; f ' ( x ) hat bei 0 einen VZW
von + nach –; lokales Maximum f ( 0 ) = 1
2) x 2 = 2 : 3 x ist positiv; x − 2 wechselt von – nach +; f ' ( x ) hat bei 2 einen VZW
von – nach +; lokales Minimum f ( 2 ) = −3
4
x ) 4 x3 + 4
d) f ( x ) = x + 4 x + 3 ; f ' (=
Nullstelle von f ' : x 1 = −1
(
' ( x ) 4 x3 + 1
Faktorzerlegung: f =
)
0
f ' ( x ) wechselt bei –1 das Vorzeichen von – nach+; lokales Minimum f ( −1) =
3
2
2
e) f ( x ) = 2 x − 9 x + 12 x − 4 ; f ' ( x ) = 6 x − 18 x + 12
: x 1 1;=
x2 2
Nullstellen von f '=
Faktorzerlegung: f ' ( x ) =6 ( x − 1)( x − 2 )
x 1 1 : x − 1 hat VZW von – nach +; x − 2 ist negativ; f ' ( x ) hat bei 1 einen VZW
1) =
von + nach –; lokales Maximum f ( 1) = 1
2)=
x 2 : x − 1 ist positiv; x − 2 wechselt das Vorzeichen von – nach +; lokales
Minimum f ( 2 ) = 0
34
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f) f (=
x)
(x
2
x) 4 x − 4 x
− 1) ; f ' (=
2
3
Nullstellen von f‘: x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = −1
Faktorzerlegung: f ' ( x ) = 4 x ( x − 1)( x + 1)
1) x 0 = 0 : f ' ( x ) hat VZW von + nach –; lokales Maximum f ( 0 ) = 1
2) x 1 = 1 : f ' ( x ) hat VZW von – nach +; lokales Minimum f ( 1) = 0 ; da f eine gerade
0 lokales Minimum
Funktion ist, ist auch f ( −1) =
2
2
a) f ( x ) = x − 5 x + 5 ; f ' ( x=
) 2 x − 5 ; f '' ( x ) = 2 ; notwendige Bedingung f ' ( x ) = 0
liefert x 0 = 5 ;
2
wegen f ''
( )=
5
2
2 > 0 ist f
( )= −
5
2
5
4
lokales Minimum
−6 x + 2 ; f '' ( x ) = −6
b) f ( x=
) 2 x − 3 x2 ; f ' ( x ) =
1
3
Nullstellen von f ' : x 0 =
1
; wegen f ''   =−6 < 0 ist f
3
( )=
1
3
1
3
lokales Maximum
x ) 3 x 2 − 6 ; f '' ( x ) = 6 x
c) f ( x=
) x3 − 6 x ; f ' (=
Nullstellen von f ' : x 1 =
2 ; x2 = − 2 ;
( 2 ) = −4 2 ;
( )
2 : f '' ( − 2 ) =−6 < 0 ; lokales Maximum f ( − 2 ) =
4 2
x 1 = 2 : f '' =
2
6 2 > 0 ; lokales Minimum f
x2 = −
4
2
x ) 4 x 3 − 8 x ; f ''=
d) f ( x ) =x − 4 x + 3 ; f ' (=
( x ) 12 x 2 − 8
Nullstellen von f ' : x 1 = 0 ; x 2 = 2 ; x 3 = − 2 ;
x 1 = 0 : f '' ( 0 ) = −8 ; lokales Maximum f ( 0 ) = 3 ;
( 2 ) = 16 ; lokales Minimum f ( 2 ) = −1 ; x
lokales Minimum f ( − 2 ) =
−1
x 2 = 2 : f ''
3
(
)
= − 2 : f '' − 2 =
16 ;
e) f ( x ) = 4 x5 − 10 x 3 + 9 x ; f ' ( x ) =4 x 4 − 10 x 2 + 9 ; f ''=
( x ) 16 x3 − 20 x
5
3
Nullstellen von f ' : x 1 =
x3
x4
3
−
2
4
; x2 =
1
−
2
1
2
; x3 = ; x 4 = 3 ;
2
( ) =−24 < 0 ; lokales Maximum f ( ) =;
= − : f '' ( − ) =8 > 0 ; lokales Minimum f ( − ) =;
= : f '' ( ) =−8 < 0 ; lokales Maximum f ( ) = ;
= : f '' ( =
) 24 > 0 ; lokales Minimum f ( ) = −
x1 =
x2
4
3
−
2
: f ''
1
2
3
−
2
3
−
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
9
5
11
15
11
15
9
5
5
3
4
2
'' ( x ) 60 x 3 − 60 x
f) f ( x ) =3 x − 10 x − 45 x ; f ' ( x ) = 15 x − 30 x − 45 ; f =
Nullstellen von f ' : x 1 = 3 ; x 2 = − 3 ;
( )
3 : f '' ( − 3 ) =
−120
x 1 = 3 : f ''=
3
120 3 > 0 ; lokales Minimum f 3 = −48 3 ;
x2 = −
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(
)
3 < 0 ; lokales Maximum f − 3 =
48 3
35
3 f ist
– streng monoton zunehmend für x ∈ ]− ∞ ; − 2 ]
– streng monoton abnehmend für x ∈ [ −2; 4]
– streng monoton zunehmend für x ∈ ]4; ∞[
und hat für x 2 = −2 ein lokales Maximum und für x 2 = 4 ein
lokales Minimum
4
x ) 3 x2 − a
a) f ( x=
) x3 − a x ; f ' (=
x ) 4 x3 + 2 a x
b) f ( x=
) x 4 + ax 2 ; f ' (=
f ' ( x ) = 0 liefert x 1 = 1 3a und
3
f ' ( x ) = 0 liefert x 1 = 0 ; x 2 = −
1
−
3
x2 =
3a
x3 =
Stellen mit waagrechter Tangente in
Abhängigkeit von a:
a<0:
a=0:
a>0:
keine
eine
zwei
c) f ( x ) =
1
3
−2 a
2
:
−2 a
2
Stellen mit waagrechter Tangente in
Abhängigkeit von a:
a<0:
a≥0:
drei
eine
x3 + x2 + a x ; f ' ( x ) =x + 2 x + a
2
f ' ( x ) = 0 liefert x 1 =−1 + 1 − a ; x 2 =−1 − 1 − a ;
Stellen mit waagrechter Tangente in Abhängigkeit von a:
a > 1: a = 1:
a < 1:
keine
zwei
eine
( x1 =
x 2 = −1)
5
2
a) Ansatz: f ( x ) = a x + b x + c ; a ≠ 0 ; f ' ( x ) = 0 liefert x 0 = −
( ) =2 a ≠ 0
f '' −
b
2a
mit
b
2a
b) Die Ableitung f’ einer Polynomfunktion f mit geradem Grad hat einen ungeraden
Grad. Für x → + ∞ und x → − ∞ streben die Funktionswerte f ( x ) gegen − ∞ und
+ ∞ (oder gegen ∞ und − ∞ ). Da f eine stetige Funktion ist, schneidet ihr Graph
mindestens einmal die x-Achse.
c) Die drei verschiedenen Extremstellen müssen Nullstellen von f‘ sein. Deshalb hat
f‘ mindestens den Grad 3 (Linearfaktorzerlegung) und damit f mindestens den Grad
4.
d) Da sich beim Ableiten der Grad einer Polynomfunktion vom Grad n um 1
erniedrigt, ist die Ableitungsfunktion eine Polynomfunktion vom Grad n − 1 . Diese
hat damit höchstens n − 1 Nullstellen. Damit kann f höchstens n − 1 Extremstellen
aufweisen.
36
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6
1
a) h (=
) v 0 − g t ; h'' ( t ) = −g ; aus h' ( t ) = v 0 − g t =0 ergibt sich
t ) v 0 t − gt 2 ; h' ( t=
2
t0 =
v0
g
; dies ist ein Maximum wegen f '' ( t 0 ) < 0 ; die maximale Höhe ist also
( )
v0
=
H h=
g
v 02
2g
; für v 0 = 12 m und g = 9, 81 m2 erhält man H ≈ 7, 3 m .
s
b) h ( t ) = 0 für t 1 = 0 und t 2 =
s
2 v0
g
; damit dauert es
2 v0
g
Zeiteinheiten, bis der
Gegenstand wieder die Ausgangshöhe 0 erreicht hat; für v 0 = 12 m und g = 9, 81 m2
s
s
erhält man T ≈ 2, 4 s .
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37
4.7
Seite 83
Wendepunkte
1
a) Linkskrümmung in [ −2; 1] und [ 4; ∞ ] ; Rechtskrümmung in [ − ∞ ; − 2 ] und
[1; 4]
b) Linkskrümmung in [ − ∞ ; 0 ] und [ 2; ∞ ] ; Rechtskrümmung in [0; 2 ]
c) Linkskrümmung in [ − ∞ ; 2 ] , [ 4; 6 ] und [8; ∞ ] ; Rechtskrümmung in [ 2; 4] und
[6; 8]
Randspalte:
Ob eine Links- oder Rechtskrümmung vorliegt, hängt auch von der Blickrichtung ab.
2
2
a) f ( x ) =4 + 2 x − x ; f ' ( x )= 2 − 2 x ; f '' ( x ) = −2 ; kein Wendepunkt wegen
f '' ( x ) =−2 < 0 Rechtskurve
x ) 3 x 2 − 1 ; f '' ( x ) = 6 x ; f ''' ( x ) = 6 ; 6 x = 0 ; also x 1 = 0 ;
b) f ( x=
) x3 − x ; f ' (=
f '' ( 0 ) = 0 und f ''' ( 0 )= 6 ≠ 0 ergibt Wendepunkt W ( 0 0 ) ; x < 0 Rechtskurve; x > 0
Linkskurve
c) f ( x=
x ) 3 x 2 + 6 ; f '' ( x ) = 6 x ; f ''' ( x ) = 6 ; 6 x = 0 ; also x 1 = 0 ;
) x 3 + 6 x ; f ' (=
f '' ( 0 ) = 0 und f ''' ( 0 )= 6 ≠ 0 ergibt Wendepunkt W ( 0 0 ) ; x < 0 Rechtskurve; x > 0
Linkskurve
d) f ( x=
x ) 4 x 3 + 2 x ; f ''=
) x 4 + x 2 ; f ' (=
( x ) 12 x 2 + 2 ; 12 x 2 + 2 > 0 ; also kein
Wendepunkt; Linkskurve
e) f ( x=
x ) 4 x 3 − 12 x ; f ''=
) x 4 − 6 x 2 ; f ' (=
( x ) 12 x 2 − 12 ; f ''' ( x ) = 24 x ;
12 x 2 − 12 =
0 ; also x 2 = 1 ergibt x 1 = −1 und x 2 = 1 ; wegen f ''' ( ±1) ≠ 0 liegen die
Wendepunkte W1 ( −1 −5 ) und W2 ( 1 −5 ) vor; damit ist der Graph für x < −1 eine
Linkskurve, in −1 < x < 1 eine Rechtskurve und für x > 1 wieder eine Linkskurve
x)
f) f (=
1 6
x
3
− 20 x 2 ; f ' (=
x ) 2 x5 − 40 x ; f ''=
( x ) 10 x 4 − 40 ; f ''' ( x ) = 40 x 3 ;
(
)
f '' ( x )= 10 x 4 − 40= 0 ergibt x 1 = − 2 und x 2 = 2 ; wegen f ''' ± 2 ≠ 0 liegen die
(
Wendepunkte W1 − 2 −
W2
(
2 −
112
3
112
3
) ≈ W ( −1, 414 −37, 333) und
1
) ≈ W ( 1, 414 −37, 353) vor; damit ist der Graph für x < −
2
2 eine
Linkskurve, in − 2 < x < 2 eine Rechtskurve und für x > 2 wieder eine
Linkskurve.
g) f ( x ) = x5 − x 4 + x 3 ; f ' ( x ) = 5 x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 ; f '' ( x ) = 20 x 3 − 12 x 2 + 6 x ;
f ''' ( x ) = 60 x 2 − 24 x + 6 ; f '' ( x )= 20 x 3 − 12 x 2 + 6 x= 0 ergibt nur x 0 = 0 ; damit ist
wegen f ''' ( 0 ) ≠ 0 der einzige Wendepunkt W ( 0 0 ) ; der Graph ist für x < 0 eine
Rechtskurve, für x > 0 eine Linkskurve.
h) f=
( x ) x3
(
1
20
1
4
x2 + x +
1
3
) ; f ' ( x )=
1 4
x
4
+ x 3 + x 2 ; f '' ( x ) =x 3 + 3 x 2 + 2 x ;
f ''' ( x ) = 3 x 2 + 6 x + 2 ; f '' ( x ) =x 3 + 3 x 2 + 2 x =0 ergibt x 1 = −2 ; x 2 = −1 und x 3 = 0 ;
wegen f ''' ( −2 ) = 2 ≠ 0 ; f ''' ( −1) =−1 ≠ 0 und f ''' ( 0 )= 2 ≠ 0 liegen die Wendepunkte
(
W1 −2 −
4
15
) ; W ( −1 − ) und W (0 0) vor; der Graph ist für x < −2 eine
2
2
15
3
Rechtskurve, in ( −2; − 1) eine Linkskurve, in ( −1; 0 ) eine Rechtskurve und für x > 0
eine Linkskurve.
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i)
f (x) =
3 5
x
10
− 4 x 3 + 10 ; f ' (=
x)
f '''=
( x ) 18 x 2 − 24 ;
3
2
x ) 6 x 3 − 24 x ;
x 4 − 12 x 2 ; f '' (=
f '' ( x ) = 6 x 3 − 24 x = 0 ergibt x 1 = −2 ; x 2 = 2 und x 3 = 0 ; wegen f ''' ( ±2 ) = 48 ≠ 0
und f ''' ( 0 ) =
−24 ≠ 0 liegen die Wendepunkte W1 ( −2 32, 4 ) ; W2 ( 2 −12, 4 ) und
W3 ( 0 10 ) vor; der Graph ist für x < −2 eine Rechtskurve; in ( −2 0 ) eine Linkskurve;
in ( 0 2 ) eine Rechtskurve; für x > 2 eine Linkskurve
3
a) f ( x ) =x 3 − 6 x 2 + 20 ; f ' (=
x ) 3 x 2 − 12 x ; f '' ( x=
) 6 x − 12 ; f ''' ( x ) = 6 ;
f '' ( x ) = 6 x − 12 = 0 ergibt x 0 = 2 ; wegen f ''' ( 2 )= 6 ≠ 0 ist W ( 2 4 ) Wendepunkt;
Steigung in W: f ' ( 2 ) = −12 ; Gleichung der Wendetangente: y =
−12 ( x − 2 ) + 4 oder
y=
−12 x + 28
b) f (=
x ) 2 x 3 + x 4 ; f ' (=
x ) 6 x 2 + 4 x 3 ; f '' (=
x ) 12 x + 12 x 2 ; f ''' ( x=
) 12 + 24 x ;
f '' ( x ) =12 x + 12 x 2 =0 ergibt x 1 = −1 und x 2 = 0 ; wegen f ''' ( −1) =
−12 ≠ 0 und
f ''' ( 0=
) 12 ≠ 0 sind W1 ( −1 −1) und W2 ( 0 0 ) Wendepunkte; Steigung in
y 2 x +1;
W1 : f ' ( −1) =
2 ; Gleichung der Wendetangente: y= 2 ( x + 1) − 1 oder =
Steigung in W2 : f ' ( 0 ) = 0 : Gleichung der Wendetangente: y = 0
c) f (=
x)
1
2
x ) 12 x − 6 ;
x ) 2 x 3 − 3 x 2 ; f f '' (=
x ) 6 x 2 − 6 x ; f ''' (=
x 4 − x 3 ; f ' (=
f '' ( x ) = 6 x 2 − 6 x = 0 ergibt x 1 = 1 und x 2 = 0 ; wegen f ''' ( 1)= 6 ≠ 0 und
( ) Wendepunkte; Steigung in
f ''' ( 0 ) =− 6 ≠ 0 sind W1 ( 1 0 ) und W2 0
1
2
W1 : f ' ( 1) = −1 ; Gleichung der Wendetangente: y =
−1 ( x − 1) oder y =−x + 1 ;
Steigung in W2 : f ' ( 0 ) = 0 ; Gleichung der Wendetangente: y =
1
2
d) f ( x ) = x5 − x + 1 ; f ' (=
x ) 5 x 4 − 1 ; f '' ( x ) = 20 x 3 ; f ''' ( x ) = 60 x 2 ; f =
'' ( x ) 20
=
x3 0
ergibt x 0 = 0 ; wegen f '' ( x ) < 0 für x < 0 und f '' ( x ) > 0 für x > 0 ist W ( 0 1)
Wendepunkt; Steigung in W : f ' ( 0 ) = −1 ; Gleichung der Wendetangente: y =−x + 1
4
' ( x ) 3 ax 2 − 2 x ; f '' =
a) f=
( x ) 6 ax − 2 ; f '' ( 2 ) = 12 a − 2 = 0 ⇒ a =
b) f ' ( x ) = −
ax 2 + a+ 4 x
( x − 1)
2
2
; f '' ( x ) =
(
2 ax3 + 3 ax +6 x 2 + 2
( x − 1)
2
3
) ; f '' ( 0 ) ⇒
1
6
13
7
14 a + 26 =
0 ⇒ a=
−
5
a) f ( x ) = a x 2 + b x + c ; f '=
( x ) 2 a x + b ; f '' ( x ) = 2 a ;
ist a > 0 , so ist f '' ( =
x ) 2 a > 0 für alle x ∈  ; damit ist der Graph von f überall
linksgekrümmt;
ist a < 0 , so ist f '' ( x=
) 2 a < 0 für alle x ∈  ; damit ist der Graph von f überall
rechtsgekrümmt
n( n+ 1)
b) f ( x ) = 1n ; f ' ( x ) = − nn+ 1 ; f '' ( x ) = n + 2 ;
x
f ''=
(x)
n( +1)
xn + 2
x
x
> 0 für gerades n; damit ist für gerades n der Graph von f in  \ {0}
überall linksgekrümmt
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39
6
a) f ( x ) = −x 4
b) f ( x=
)
(x − 2)
3
c) f ( x=
) x3 − 3 x
7
2
a) f ' ( x ) = 3 ax + 2 b x + c ; f '' =
( x ) 6 ax + 2 b ; f ''' ( x=) 6 a ≠ 0
(eine Lösung)
f '' ( x ) =
0 ⇒ xw =
−
b
3a
b) b =0 ⇒ x w =0
−2 b ± 4 b2 −3 ac
6a
0 ; x 1; 2 =
c) f ' ( x ) = 0 ; 3 ax 2 + 2 b x + c =
b
3a
=
−
±
4 b2 −3 ac
a 

6
=
x ±d
w
d
d)
f ( x w + p ) + f ( x w −p )
2
=
1
2
 a  ( x + p )3 + ( x − p )3  + b  ( x + p ) 2 + ( x − p ) 2  + c  ( x + p ) + ( x − p )  + d + d 
w
w
w
 w


 w

  w

a ( 2 x 3w + 6 x w p2 ) + b ( 2 x 2w + 2 p2 ) + c ⋅ 2 x w + 2 d


3
2
2
2
= ax w + 3 ax w p + bx w + bp + cx w + d
=
1
2
(mit x w = −
b
3a
3
2
f ( xw )
folgt: 3 ax w p2 + bp2 =
0) ⇒ ax w + bx w + c w + d =
8
a) f ( x ) = x 3 + b x 2 + c x + d ; f ' ( x ) =3 x 2 + 2 b x + c ; f '' ( x=
) 6 x + 2 b ; f ''' ( x ) = 6 ;
f '' ( x ) = 6 x + 2 b = 0 ergibt x = − ; in die Gleichung f ' ( x=
) 3 x 2 + 2 b x + c= 0
b
3
eingesetzt:
b2
3
−2
b2
3
+c =
0 oder c =
b2
3
b) f ( x ) = a x5 − b x 3 + c x ; f ' ( x ) = 5 a x 4 − 3 b x 2 + c ; =
f '' ( x ) 20 a x 3 − 6 b x ;
=
f ''' ( x ) 60 a x 2 − 6 b ;
f '' ( x )= 20 a x 3 − 6 b x= 0 ergibt x 1 = 0 ; x 2 = −
3b
10 a
; x3 =
3b
10 a
;
wegen f ''' ( 0 ) =
−6 b ≠ 0 und f '''  ± 3 b  =
12 b ≠ 0 liegen dort Wendepunkte vor;
 12 a 
da der Graph symmetrisch zum Ursprung ist, liegen die Wendepunkte auf einer

21 b2 
Ursprungsgeraden; ihre Gleichung ist =
y c −
x
100 a 


40
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4.8
Seite 85
Kurvendiskussion
1
a) Symmetrie zu O; N1 ( 0 0 )= S= W ; N2
1
8 32
3 27
27
4
1
6
) ≈ W ( −0,65 1, 13)
S= T ; W ( 1 ) ; W ( 2 2 )
163
144
15
e) N1 ( 0 0 )=
(
7
8
1
2 ; W1 1 −
7
60
zu d)
2
(
1
2
5
7
16
) ; T (−
1
2
) (
1
2
5
7
16
); W (
1
1
6
15
163
144
);
2
(
1
3
) (
0 0 ; N3 − 30 0 ; T
3
) ; W  −1 607 
2−
2
15
)
2 ;
3
zu e)
zu f)
( )
( )
; Symmetrie zu x = 0 ; S ( 0 ) = T
; N ( −1 0 ) =
T ; S ( 0 ) = W ; W ( − 50
)
1
1
W1 ; T 1 −
H ; N2 ( 2 0 ) ; S 0 − =
x 3 − x − ; N1 ( −1 0 ) =
3
3
1
6
h) f ( x ) =
1
10
x4 + x2 +
1
5
1
10
f (x) =
1
10
x6 + x3 +
1
5
1
10
zu d)
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2
1
g) f ( x ) =
i)
2
3
2
) (
2
15
2
3
zu c)
f) Symmetrie zu O; N1 ( 0 0 )= S= W ; N2
H − 2
( ) ; H ( −1 )
)
zu b)
d) Symmetrie zu x = 0 ; S ( 0 2 ) = H ; T1
(
(
4 16
3 27
2
zu a)
W2 −
)
3 0 ; N3 − 3 0 ; T1 1 −
( ); W( )
W ; N ( −4 0 ) ; T ( −3 − ) ; W ( −2 −4 )
b) N1 ( 0 0 )= S= T ; N2 ( 4 0 ) ; H
c) N1 ( 0 0 )= S=
(
2
3
1
10
1
10
zu e)
1
2
1
5
3
1
125
zu f)
41
2 Die Figur zeigt einen Graphen mit den gewünschten Eigenschaften; in W ( 4 0 )
muss ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente
vorliegen.
a) Der Graph muss mindestens zwei
Extrempunkte haben, da er drei Nullstellen
aufweist.
b) Der Graph muss mindestens drei
Wendepunkte haben: verläuft er von links unten
durch die erste Nullstelle, so muss er seine
Krümmung ändern, wenn er in den Wendepunkt
W ( 4 0 ) waagrecht „einbiegen“ soll;
anschliessend muss die Rechtskrümmung aber
wieder in eine Linkskrümmung übergehen, da
sonst die dritte Nullstelle nicht möglich ist.
c) Der Graph kann auch von „links oben nach rechts unten“ verlaufen; dann würde
die y-Achse unterhalb der x-Achse geschnitten werden.
3
a) f ( x ) =
1
20
x ) 3 x2 − 4 ;
x5 − x 3 + 3 x ; f ' ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 3 ; f '' ( x=
) x 3 − 4 x ; f ''' (=
1
4
2
3
) − 2 2 < 0 ist, liegt in x = 2 ein lokales
( 2 ) = 1 − 4 + 3 = 0 und f '' ( 2 ) =
Maximum vor; da f ' ( 6 ) = 9 − 12 + 3 = 0 und f '' ( =
6 ) 2 6 > 0 ist, liegt in x = 6
da f '
0
1
ein lokales Minimum vor; da f '' ( 2 ) = 8 − 8 = 0 ist und f ''' ( 2 )= 8 ≠ 0 ist, liegt in
x 2 = 2 eine Wendestelle vor
b) Da die Funktion ungerade ist, ist ihr Graph
punktsymmetrisch zum Ursprung; damit liegt an der
Stelle x 3 = − 2 ein lokales Minimum, an der Stelle
x 4 = − 6 ein lokales Maximum und an der Stelle
x5 = −2 eine Wendestelle vor.
( )
c) f =
2
28
15
( )
6
2 ≈ 2,640 ; f =
4
5
6 ≈ 1, 960
4
a) Falsch, da die 2. Ableitung eine Polynomfunktion vom Grad 2 ist und daher
maximal zwei Nullstellen haben kann.
b) Falsch, da die Ableitungsfunktion zwar eine Polynomfunktion vom Grad 4 ist, die
vier Nullstellen besitzen kann, aber nicht muss; so hat die Funktion f mit
1
f ( x )= x5 + x + 2 die Ableitung f ' ( x=
) x 4 + 1 , die gar keine Nullstellen besitzt;
5
f hat daher gar keine Extremwerte.
c) Richtig, da die 2. Ableitung eine Polynomfunktion vom Grad 3 ist und daher
immer mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat.
d) Falsch, da die 2. Ableitung zwar auch einen ungeraden Grad hat, jedoch nicht
unbedingt die Nullstelle x 0 = 0 mit der Eigenschaft f ( 0 ) = 0 ; Beispiel:
f ( x ) =x 3 − 3 x 2 + 1 hat den ungeraden Grad 3, jedoch nur den Wendepunkt
W ( 1 −1) .
5 Zwei waagrechte Tangenten für b2 − 3 c > 0 ;
0;
eine waagrechte Tangente für b2 − 3 c =
2
keine waagrechte Tangente für b − 3 c < 0
42
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6 Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f
a) durch Multiplikation der „y-Werte“ von f ( x ) mit dem Faktor c; für alle
besonderen Punkte bleiben die x-Koordinaten erhalten.
b) durch Verschiebung parallel zur y-Achse um c; für Extrem- und Wendepunkte
sowie den Schnittpunkt mit der y-Achse bleiben die x-Koordinaten erhalten; zu den
y-Koordinaten wird c addiert.
c) durch Verschiebung parallel zur x-Achse um c; für Extrem- und Wendepunkte
sowie Schnittpunkte mit der x-Achse bleiben die y-Koordinaten erhalten; zu den xKoordinaten muss c addiert werden.
d) durch Multiplikation der y-Werte von f ( x ) mit dem Faktor c und anschliessende
Verschiebung parallel zur x-Achse um c; damit bleiben hier Extrem- und
Wendepunkte sowie Schnittpunkte mit der x-Achse erhalten; allerdings muss zu den
x-Koordinaten c addiert werden und die y-Werte sind mit c zu multiplizieren.
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43
4.9
Seite 88
Bestimmung von Polynomfunktionen
1
a) f ( x=
) x2 − 1
b) f (=
x)
2
6
3
1
1
11
c) f ( x ) =
− x2 + x +
3
2
x2 − x
4
2
4
( ) ist aber Maximumpunkt; Bedingungen nicht
1
5
16
a) f ( x ) =
− x3 − x2 + ; A 0
4
3
2
16
3
erfüllbar
b) f ( x ) =x 3 − 3 x 2 + 3 x ; A ( 1 1) ist aber Wendepunkt mit waagrechter Tangente;
Bedingungen nicht erfüllbar
3
a) f ( x ) = x 2 − 2 x + 1
b) f ( x ) = x
c) f ( x=
) x2 + x
d) f ( x ) = 1 x 3 − 1 x 2 + 1 x
6
4
a) Die Extremstelle muss bei x =
1
2
1
2
b) Die Wendestelle muss bei x =
5
a) f (=
x)
c) f ( x ) =
2 3
x
3
2 3
x
3
2
(2 + 4) =
3 liegen.
(0 + 3) =
1,5 liegen.
3
b) f ( x ) =
−x 3 + 3 x + 2
+ 2 x2
+ 2 x2 +
d) f ( x ) =
2
3
1 3
x
3
+ x2 − 3 x +
2
3
(Berührpunkt B ( −2 8 )
6
a) f (=
x ) a x 3 − 12 a x
b) f (=
x ) a x3 + x
7
a) f (=
x ) 6 x 4 + 8 x3
b) f ( x ) = 3 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2
c) f ( x ) = 2 x − 4 x + 2
d) f ( x ) =
4
8
a) f ( x ) =
1
2
b) f (=
x)
3
8
(
B −
2
3
30
2
x 2 − 2 x + 2 ; B ( −6 0 ) oder f ( x )=
3 ( x3 − 4 x ) + 2 ; B
)
(
2
3
)
8
1
48
1
2
x4 − x2 +
1 2
x
18
5
3
+ x + 2 ; B (2 0)
2
3
3
3 0 oder f ( x ) =
−
3 ( x3 − 4 x ) + 2 ;
8
9 Ansatz: f ( x ) = a x 2 + b x + c
a) Bedingungen:
=
A ( 0 0 ) : f ( 0 ) 0=
:
c 0
B (50 10 )=
: f (50 ) 10 : 2500 a +=
50 b + c 10
und=
f ' (50 ) 1 :
Ergebnis: =
f (x)
2
125
=
100 a + b 1
3
5
x − x
2
b) Bestimmung des Punktes T: Bedingung f ' ( x ) = 0 liefert T
Bestimmung des Punktes D: d ist das Maximum von d ( x=
)
(
75
4
1
x−f
5
−
45
8
)
(x) ;
Ergebnis: d = 10 (Stelle x 0 = 25 )
44
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4.10
Seite 90
Extremwertprobleme
1
a) f=
( x ) x ( 12 − x ) ; xmax = 6
b) f (=
x ) x ( x + 2 ) ; –1; 1
2
a) Fall A: F=
für x 25
=
=
m; Fmax 625 m2
( x ) x (50 − x ) maximal
für x 50
Fall B: =
=
=
m; Fmax 2500 m2
F ( x ) x ( 100 − x ) maximal
x ) x ( 100 − x − ( x − 5 ) ) maximal
Fall C: F (=
für x 26,
=
=
25 m; Fmax 1378, 125 m2
b) Ohne Differenzialrechnung über die Scheitelbestimmung:
Fall A: S ( 25 625 ) ; Fall B: S (50 2500 ) ; Fall C: S ( 26, 25 1378, 125 )
3
2 u −u2 + 9 =
−2 u3 + 18 u ; A ' ( u ) =
a) A ( u ) =
−6 u2 − 18 ; A '' ( u ) = −12 u ;
(
)
A ' (u) =
−6 u2 − 18 =
0 ergibt wegen 0 ≤ u ≤ 3 : u =3 ; wegen A ''
( 3 ) < 0 liegt ein
relatives Maximum vor, das wegen A=
( 0 ) A=
( 3 ) 0 auch ein absolutes Maximum
ist; A max = 12 3
(
)
2 2 u − u2 + 9 =
−2 u2 + 4 u + 18 ; U' ( u ) =
b) U ( u ) =
−4 u + 4 ; U'' ( u ) = −4 ;
U' ( u ) =−4 u + 4 =0 ergibt u = 1 ; wegen U'' ( 1) < 0 liegt ein relatives Maximum vor:
U=
U=
( 1) 20 , das wegen U ( 0 ) = 18 und U ( 3 ) = 12 auch ein absolutes Maximum
max
ist
4
a) V ( x ) =
( 16 − 2 x )( 10 − 2 x ) x wird maximal für x = 2 ; Vmax = 144 cm3
b) Masse eines A4-Blattes: 21,0 cm x 29,7 cm; Volumen der Schachtel:
V (x) =
( 29, 7 − 2 x )( 21, 0 − 2 x ) x mit x ∈ ( 0; 10,5 ) ; x in cm;
Aus V ' ( xE ) = 0 erhält man 12 xE 2 − 202, 8 xE + 623, 7 =
0 und hieraus die Lösungen
xE1 = 4, 042 und xE2 = 12, 858 ; nur xE1 liegt im zulässigen Definitionsbereich und es
ist V '' ( xE1 ) < 0 ; Untersuchung der Ränder: lim V ( x ) = 0 und lim V ( x ) = 0 ;
x → 10,5
x →0
maximaler Wert des Volumens an der Stelle xE1 = 4, 042 mit Vmax = 1128,5 cm3
( ) ; aus V ' ( x ) = 0 erhält man
c) V ( x ) =
( a − 2 x )( a − 2 x ) x mit x ∈ 0;
a
2
E
12 xE 2 − 8 a xE + a2 =
0 und hieraus die Lösungen xE1 =
a
6
und xE2 = a ; nur xE1 liegt
2
im zulässigen Definitionsbereich und es ist V '' ( xE1 ) < 0 ; Untersuchung der Ränder:
lim V ( x ) = 0 und lima V ( x ) = 0 ; maximaler Wert des Volumens an der Stelle xE1 = a
6
x →0
x→
mit Vmax =
5
2
27
a
f ( 0 )+ f (u)
f ( u ) + f (5 )
u+
5 −u
2
2
125
135
3+
≈ 22, 89 ; A 0
36
8
A=
A max=
2
3
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(
)
wird maximal für u =
; A (5 ) = 135
( ) = 135
8
8
5
3
3;
(absolutes Maximum)
45
Seite 91
6
(u
a) g ( u ) =
− 1,5 ) + u2 ; die Ersatzfunktion f: f ( u ) =( u2 − 1,5 ) + u2 wird
2
2
2
minimal für u = ±1 ; kleinster Abstand:
(u ) + (u − 3 )
2 2
b) g (=
u)
2
; die Ersatzfunktion f: f ( u ) = u4 + ( u − 3 ) wird minimal
2
für u = 1 ; kleinster Abstand:
2
5
u + ( u − a ) ; die Ersatzfunktion f: f ( u ) =u + ( u − a ) wird minimal für
c) g ( u=
)
2
2
1
2
1
2
u= a − ; kleinster Abstand:
g (x) =
7
1, 25
4 a−1
x 2 + ( 15 − x ) ; die Ersatzfunktion f: f ( x ) =x 2 + ( 15 − x ) wird minimal
2
2
für x = 7,5 ; kürzeste Diagonale: 7,5 2 ; allgemein muss das Rechteck ein Quadrat
sein; x =
a
4
a
4
2
()
=
; kürzeste Diagonale:
8
h = Höhe des Dreiecks
g = Grundseite des Dreiecks
d = Diagonale des Quadrats
d = c + h ⇒ h =d − c
d = 2 a ; g = 2 x ; c = x2 −
g
2
2
x
2
1
1
Fläche des Dreiecks: A ( x ) =
gh=
− x2 + a x
2
2
(Zielfunktion);
' ( xE ) 0=
: xE a ;
A ' ( x ) =− x + a ; A '' ( x ) = −1 ; A =
A '' ( xE ) =−1 < 0 → Maximumstelle; A ( xE ) = a2 ; maximaler Flächeninhalt:
1
2
1
2
A max = a2
9
a) A = x h ;
b −h
b
(
x
a
b
a
= ⇔ h =b − x ;
)
A ( x ) =x b − x =b x − x 2 wird maximal für x =
b
a
b
a
a
2
; h=
b
2
; A max = 1 a b ;
4
=
=
m; b 60 m ist xmax = 40 m ; hmax = 30 m ; A max = 1200 m2 ;
für a 80
A =gh;
A ( x=
)
g
2
2
x
a
= ;
a +b
b
b x − x2 ,
a
h
H
=
a− x
a
; H=
ab
2
a +b
2
; A ( x=
)
x
a
a2 + b2 ⋅
ab
2
a +b
2
⋅
a− x
=
a
b
x
a
(a − x)
siehe oben, gleicher Wert für x max ; A max
b) Das Problem von a) muss nur für das kleinere Dreieck
P1P2P3 gelöst werden;
d
3
v=
a2 +b2
b
=
3
a
; d=
a2 + b2 =
3
b
a2 + b2=
3⋅ 100
=
80
15
4
3 ⋅ 100
=
60
5;
v
3
=
a2 +b2
a
;
; das kleinere Dreieck hat die Katheten a = 80 − 3 − 5 = 72 ;
15
b = 60 − 3 − = 53, 25 ; x max = 36 von P1 aus gemessen für (A) und (B);
A max
46
4
1
= ⋅ 72 ⋅ 53, 25
4
=358,5
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10
( )=
h
2
a) T = K ⋅ b ⋅ h2 ;
2
r2 −
b2
4
;

b2 
T ( b ) = K ⋅ b ⋅ 4  r 2 −  = K ⋅ b ( 4 r 2 − b2 ) wird
4


maximal für b =
2
3
3 r ; hmax =
(
2
3
6 r ; für r = 50
)
(
)
K ⋅ b 10 000 − b2 ; b ∈ [0; 100 ]=
erhält man T ( b ) =
; T ' ( b ) K 10 000 − 3 b2 ;
T '' ( b ) = −6 K b ; T ' ( b ) = 0 ergibt
=
b
100
3
6 ≈ 81,65 ; da
(
100
3
3 < 0 und=
T ( 0 ) T=
( 100 ) 0 liegt an der Stelle
b=
100
3
3 ein absolutes Maximum vor; die Lösung mit dem GTR ist ebenfalls
T ''
)
=
h
3 ≈ 57, 74 und
100
3
möglich
b) Aus dem Kathetensatz ergibt sich für allgemeinen Radius r: b = 2 r ⋅ 2 r = 4 r 2 ; also
3
=
b
2
=
3r
3
3
b ; für r = 50 erhält man damit b= b= 57,5 cm ; die Zimmermannsregel
ergibt also eine exakte Lösung.
11 E =
(5000 + 300 x )( 25 − x ) wird maximal für x = 4, 25 ;
x: Stückpreissenkung in Franken; maximale Einnahmen bei einer Stückpreissenkung
von 4,25 Fr. (neuer Stückpreis 20,75 Fr.).
12
a) Skizzen:
3
Mit dem Strahlensatz folgt: =
y 30 − x ; A =
( 80 − x )(60 − y ) ;
(
A ( x ) =−
( 80 x ) 30 + x
3
2
)
2
3
=
− x2
2
+ 90 x + 2400 wird maximal für x = 30 ; da aber
0 ≤ x ≤ 20 , folgt aus A ( 0 ) = 2400 und A ( 20 ) = 3600 ,dass x max = 20 und
A max = 3600 cm2
b) Skizze
x in cm
A in cm
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
600
594
576
546
504
490
384
306
216
114
Vermutung:
A max = 600 cm2
(
)
A (x) =
− x 2 + 600 wird maximal für x = 0
( 20 − x ) 30 + x =
3
2
3
2
A max = 600 cm2
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47
13
a) Skizze:
hx =
x
2
3 ; G=
Trapez
⇒ Va ( x )=
=
1
x
8
b)
(a
2
−x
1  a2
3 4

2
)
a2
4
3−
3−
x2
4
x2
4
3
 x
3 ⋅ 3
 2
=
a 3 : x max ≈ 1, 7
=
a 6 : x max ≈ 3,5
48
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Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen
Lambacher Schweizer 11/12
Lösungen Teil III
5
Graphen rationaler Funktionen
5.1
Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken
5.2
Verhalten im Unendlichen
5.3
Kurvendiskussion rationaler Funktionen
5.4
Anwendungen rationaler Funktionen
6
Weitere Ableitungsregeln
6.1
Ableiten der trigonometrischen Funktionen
Exkursion: Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion – eine Beweisführung
6.2
Verkettung von Funktionen und ihre Ableitung
6.3
Ableitung der Umkehrfunktion
6.4
Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihre Ableitung
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Alle Rechte vorbehalten
5 Graphen rationaler Funktionen
5.1
Seite 96
Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken
1 von links:
a) Polstelle mit Vorzeichenwechsel; x = 1 ; f ( x ) =
1
1− x
−2
b) Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; x = 2 ; f ( x ) =
( x − 2 )2
c) Polstelle mit Vorzeichenwechsel; x = 0,5 ; f ( x ) =
1
x −0,5
d) Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; x = 0 ; f ( x ) =
1,5
e) Polstelle mit Vorzeichenwechsel; x = −1 ; f ( x ) =
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x2
1
2 ( x + 1)
Polstellen mit Vorzeichenwechsel +/– bei x = − 3 und –/+ bei x = 3
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x = 2 mit Verhalten –/–
Polstellen mit Vorzeichenwechsel +/– bei x = 0 und –/+ bei x = 3
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x = 0,5 mit Verhalten –/–
keine Polstelle
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x = −1 mit Verhalten +/+
mit Vorzeichenwechsel +/– bei x = 0
3
a) D f =  \ {2} ; lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = − ∞ ; keine Nullstelle
x↓2
x↑2
b) =
D f  \ {−1} ; lim f ( x ) = − ∞ ; lim f ( x ) = − ∞ ; Nullstelle bei x = 0,5
x ↓−1
x ↑−1
c) D f=  \ {−1; + 1} ; lim f ( t ) = −1 ; lim f ( t ) = −1 ; lim f ( t ) = − ∞ ; lim f ( t ) = + ∞ ;
t ↓−1
t ↑−1
keine Nullstelle
d) D f =  ; Nullstellen: =
x1
{
e) =
Df  \ − 2 ;
}
1− 5
2
t ↑1
≈ −0,62 ;=
x2
1+ 5
2
t ↓1
≈ 1,62
2 ; lim f ( z ) = + ∞ ; lim f ( z ) = − ∞ ; lim f ( z ) = − ∞ ;
z ↓− 2
z ↑− 2
lim f ( z ) = + ∞ ; keine Nullstelle
z↑ 2
z↓ 2
f) =
D f  \ {−1; 3} ; lim f ( t ) = − ∞ ; lim f ( t ) = + ∞ ; lim f ( t ) = − ∞ ; lim f ( t ) = + ∞ ;
Nullstelle bei x = 0,5
t ↑−1
t ↓−1
t ↑3
t ↓3
g) D f =  \ {1} ; lim f ( x ) = − ∞ ; lim f ( x ) = + ∞ ; Nullstelle bei x = −
x↓1
x↑1
1
8
h) =
D f  \ {−1; 2} ; lim f ( z ) = + ∞ ; lim f ( z ) = − ∞ ; lim f ( z ) = ; lim f ( z ) = ;
Nullstelle bei x = 1
z ↑−1
z ↓−1
z↑2
1
3
z↓2
1
3
4
2
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5
a) Zum Beispiel: f ( x ) =
1
x +3
b) Zum Beispiel:
=
f (x)
=
( x + 2 )( x −2 )
c) Zum Beispiel:
=
f (x)
=
( x + 2 )( x −3 )
; −
1
2 x +6
; −
1
1
x2 − 4
1
d) Zum Beispiel: f ( x ) =
1
x2 + 1
; −
2
3+ x
; −
1
x 2 − x −6
1
2 x2 + 2
;
1
2 x 2 −8
; −
;
2
x2 − 4
1
2 x 2 − 2 x − 12
;
2
x 2 − x −6
2
1+ x 2
6
a) f ( x ) =
2 x +3
( x −1)( x − 4 )
; D f =  \ {1; 4}
lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = − ∞
x↑1
x↓1
x↑4
x↓4
lim f ( x ) = − ∞ ; lim f ( x ) = + ∞
Nullstelle: x = −
b) f ( x ) =
3
2
2 x( x −2 )
2 ( x − 2 )2
; D f =  \ {2}
lim f ( x ) = − ∞ ; lim f ( x ) = + ∞
x↑2
Nullstelle: x = 0
c) f ( x ) =
x↓2
x 2 +5 x + 2
( x + 1 )2
;=
D f  \ {−1}
lim f ( x ) = − ∞ ; lim f ( x ) = − ∞
x ↓−1
x ↑−1
Nullstellen:
=
x1
=
x
−5 + 17
2
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−5 − 17
2
≈ −4,6 ;
≈ −0, 4
3
d) f ( x ) =
3x
( x + 2 )( x −1)2
;=
D f  \ {−2; 1}
lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = − ∞
x ↑−2
x ↓−2
x↑1
x↓1
lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = + ∞
Nullstelle: x = 0
7
a) f ( x ) =
d) f ( x ) =
1
x +2
x −1
( x − 3 )2
b) f ( x ) =
e) =
f (x)
1
( x + 2 )2
x2 −2 x
=
x −2
x( x −2 )
x −2
8
{
c) f ( x ) = −
x −1
x −3
f) f ( x ) =
x ( x + 1)
( x + 1)( x −1)2
a) t < 0 : 2 Definitionslücken bei x =± −t ⇒ D f = \ − −t ; + −t
}
t = 0 : 1 Definitionslücke bei x =0 ⇒ D f = \ {0}

t > 0 : keine Definitionslücke ⇒ D f =
b)
4
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5.2
Seite 99
Verhalten im Unendlichen
1
waagrechte Asymptote
senkrechte Asymptote
schräge Asymptote
y=0
x = −0,5
–
b)
y=1
x = −1
–
c)
y=0
x = −0,5 ; x = 0,5
–
d)
y = 0,5
–
–
a)
e)
y = −2
f)
–
x = 0,5
g)
–
x=1
h)
y=0
x=2
–
x=0; x=4
=
y 1,5x − 0, 25
y=x
–
2
f1 ; f3 ; f4 und f6 kommen nicht in Frage, da sie wegen Zählergrad = Nennergrad
waagrechte Asymptoten besitzen und keine schrägen; f2 kommt ebenso nicht in
Frage, da deren senkrechte Asymptote x = −2 und nicht x = 2 wäre; daher muss es
x ) 0,5 x + 1 +
f5 sein; formt man f5 um, so sieht man: f5 ( =
1
4−2 x
3
b) f ( x ) = x − 2 +
a) f ( x ) =
1
x −1
c) f ( x )
=
=
( x −2 )( x + 2 )
1
d) f ( x ) =
1
x2 − 4
1
x +1
=
x2 − x −1
x +1
1
x− 2
4 1. Aussage: Bei einer waagrechten Asymptote stimmt das, da x = x 0 nicht in den
Funktionsterm eingesetzt werden darf.
x2
x2
1
2. Aussage: =
1 ist waagrechte
lim
lim
= lim
=
1 ⇒ y=
4 4
x →±∞ ( x − 2 )2
x →±∞ x 2 − 4 x + 4
x →±∞
1− +
x x2
Asymptote; aber f ( 1) = 1 ; auch diese Aussage stimmt.
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5
Seite 100
5 Zu den Funktionen (3) und (5) liegen keine Graphen vor, da bei diesen in x 0 = 2
ein Pol ohne Vorzeichenwechsel vorliegt, ein solcher Graph aber nicht abgedruckt
ist.
Zu Graph (a) gehört die Funktion (2), zu (b) die Funktion (4) und zu (c) die Funktion
(1).
6 Waagrechte Asymptote: y = 0 : f2 ; f7 ; f9
Waagrechte Asymptote y = −2 : f1 ; f3
Schräge Asymptote: y= x − 3 : f4 ; f5 ; f10
f5 ( x ) = x − 3 +
1
1− 2 x
7
Funktion
Graph
Begründung
f
rot
x 1;=
y 1,5
Asymptoten:=
g
blau
−1; y =
−0,5
Asymptoten: x =
h
–
x 1;=
y 0
Asymptoten:=
k
–
x 1;=
y 0
Asymptoten:=
m
schwarz
Asymptoten: y = 3
n
grün
nach unten geöffnete Parabel
p
violett
Sinusfunktion; Streckung um 2 in x-Richtung
r
–
nach oben geöffnete Parabel
8 Entweder sind Zählergrad und Nennergrad gleich, dann gibt es eine waagrechte
Asymptote, aber keine schräge, oder der Zählergrad ist um 1 grösser als der
Nennergrad, dann gibt es eine schräge Asymptote, aber keine waagrechte; beides
kann nicht gleichzeitig eintreten.
6
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9
a) f ( x ) =
−2
x −4
; D f =  \ {4} ; Polstelle mit VZW x 0 = 4 ; keine Schnittpunkte mit der
x-Achse; Asymptoten x = 4 und y = 0
b) f ( x ) =
−4
x −2
; D f =  \ {2} ; Polstelle mit VZW x 0 = 2 ; keine Schnittpunkte mit der
1
; D f =  \ {2} ; Polstelle ohne VZW x 0 = 2 ; keine Schnittpunkte mit
x-Achse; Asymptoten x = 2 und y = 0
c) f ( x ) =
( x − 2 )2
der x-Achse; Asymptoten x = 2 und y = 0
d) f ( x ) =
x
x −3
; D f =  \ {3} ; Polstelle mit VZW x 0 = 3 ; Schnittpunkt mit der x-Achse
x +2
x
; D f =  \ {0} ; Polstelle mit VZW x 0 = 0 ; Schnittpunkt mit der x-Achse
x +2
x+4
;=
D f  \ {−4} ; Polstelle mit VZW x 0 = −4 ; Schnittpunkt mit der x-
x +1
x
; D f =  \ {0} ; Polstelle mit VZW x 0 = 0 ; Schnittpunkt mit der x-Achse
x +2
x −4
; D f =  \ {4} ; Polstelle mit VZW x 0 = 4 ; Schnittpunkt mit der x-Achse
X ( 0 0 ) ; Asymptoten x = 3 und y = 1
e) f ( x ) =
X ( −2 0 ) ; Asymptoten x = 0 und y = 1
f) f ( x ) =
Achse X ( −2 0 ) ; Asymptoten x = −4 und y = 1
g) f ( x ) =
X ( −1 0 ) ; Asymptoten x = 0 und y = 1
h) f ( x ) =
X ( −2 0 ) ; Asymptoten x = 4 und y = 1
i)
f (x) =
x −1
; D f =  \ {4} ; Polstelle mit VZW x 0 = 4 ; Schnittpunkt mit der x-
( x − 4 )2
Achse X ( 1 0 ) ; Asymptoten x = 4 und y = 0
j)
f (x) =
x2
2 ( x −3 )
; D f =  \ {3} ; Polstelle ohne VZW x 0 = 3 ; Schnittpunkt mit der x-
Achse X ( 0 0 ) ; Asymptote x = 3
10
a) f ( x ) =−
8
1,9
0,5 x + 2
3
b) f ( x )
3
=−
2
c) g ( x )
1
1
= x−
4
8
−
2
⇒ y=
8; x =
−4
x−
7
2
−2 x 2 − x + 3
3
2
3
2
⇒ y =− ; x 1 =− ; x 2 =1
17
+
8
2 x +1
1
4
1
8
⇒ y = x − ; x =−0,5
5
d) g ( x ) =− +
5
2
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2− x
2
2 x2 − x
5
2
⇒ y =− ; x 1 =0; x 2 =0,5
7
11
a) g ( x ) =
1
2
1
4
9
8
x2 − x + ;
17
f ( 10 ) − g ( 10 ) =
17
8
≈ 0, 101 ; f ( 100 ) − g ( 100 ) =
8
≈ 0, 011
1
=
≈ −0, 01 ; f ( 100 ) − g ( 100
)
1
≈ −0, 0001
2⋅10 + 1
2⋅100 + 1
b) g =
( x ) 2 x2 − 3 ;
f ( 10 ) − g ( 10
=
)
102 + 1
c) g ( x ) =
−2 x 2 − 4 x 2 − 6 x − 7,5 ;
1002 + 1
45
45
f ( 10 ) − g ( 10 ) =
d) g ( x ) =
− x2
3
2
f ( 10 ) − g ( 10 ) =
2
≈ 1, 324 ; f ( 100 ) − g ( 100 ) =
2⋅10−3
3
3
− x−
4
8
3
8
−2⋅10 + 1
2
2⋅100−3
≈ 0, 114
;
≈ 0, 02 ; f ( 100 ) − g ( 100 ) =
3
8
2⋅100 + 1
≈ 0, 002
Zu beachten: die Differenz der beiden Funktionswerte entspricht dem Wert des
Restterms bei der Polynomdivision.
8
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5.3
Seite 103
Kurvendiskussion rationaler Funktionen
1
a) =
D f  \ {−3; 3} ; da f ( −x =
)
2 − ( − x )2
2 − x2
( −x )
x 2 −9
2
=
−9
= f ( x ) , ist der Graph
achsensymmetrisch zur y-Achse; Polstellen mit VZW sind x 0 = −3 und x 1 = 3 ;
Nullstellen sind x 2 = − 2 und x 3 = 2 ; Asymptoten sind die Geraden mit den
Gleichungen x = − 2 ; x = 2 und y = −1
9 )( −2 x ) − 2 x ( 2 − x )
( x −=
−2 x + 18 x − 4 x + 2 x
14 x
=
;
( x −9 )
( x −9 )
( x −9 )
( x −9) ⋅ 14−14 x ⋅ 4 x( x −9) =
x −9 − 4 x
x +3
;
f '' ( x ) =
14 ⋅
=
− 42 ⋅
( x −9 )
( x −9 )
( x −9 )
2
=
b) f ' ( x )
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
( ) ; damit ist −
f ' ( x ) = 0 für x 0 = 0 ; f '' ( 0 ) = 0 für x 0 = 0 ; f '' ( 0 ) > 0 ; also T 0 −
2
9
2
9
ein relativer Extremwert; absolute Extremwerte besitzt f nicht
c) Wegen f '' ( x ) ≠ 0 für alle x ∈ D f gibt es keine Wendestellen
2
a) f ( x ) =
x
x −1
f; D f =  \ {1} ; keine Symmetrie; Polstelle
mit VZW ist x 0 = 1 ; Nullstelle ist x 1 = 0 ; Asymptoten
sind die Geraden mit den Gleichungen x = 1 und y = 1 ;
f=
'(x)
x − 1− x
1
=
< 0 für alle x ∈ D f ; damit ist f in
( x − 1 )2 ( x − 1 )2
ganz D f streng monoton fallend und besitzt keine
Extremwerte
b) f ( x ) =
2 x +1
x −2
; D f =  \ {2} ; keine Symmetrie; Polstelle
mit VZW ist x 0 = 2 ; Nullstelle ist x 1 = −0,5 ; Asymptoten
sind die Geraden mit den Gleichungen x = 2 und y = 2 ;
( x − 2 ) ⋅ 2 −( 2 x + 1)
5
f '(x) = 2
=
−
< 0 ; damit ist f streng
( x − 2 )2
( x −2 )
monoton fallend in D f
c) f ( x ) =
x 2 + 2 x +5
2 ( x + 1)
;=
D f  \ {−1} ; keine Symmetrie;
Polstelle mit VZW ist x 0 = −1 ; keine Nullstelle;
senkrechte Asymptote ist die Gerade mit der Gleichung
x = −1 ; Polynomdivision ergibt f ( x ) =
ist die Gerade mit der Gleichung
=
y 0,5 x + 0,5 Asymptote für x → ∞ ;
f ' ( x )=
1
2
−
2
( x + 1 )2
; f '' ( x ) =
4
( x + 1)3
x
2
1
2
+ +
2
;
x +1
damit
4 ; also
; aus f ' ( x ) = 0 erhält man ( x + 1) =
2
x 1 = −3 ; x 2 = 1 ; wegen f '' ( −3 ) < 0 ist f ( −3 ) =
−2 relatives Maximum und wegen
f '' ( 1) > 0 ist f ( 1) = 2 relatives Minimum der Funktion
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9
x2 − 4
d) f ( x ) =
x2 + 1
; D f =  ; wegen f ( −x ) =
f (x)
Symmetrie zur y-Achse; keine Polstelle; Nullstellen sind
x 0 = −2 und x 1 = 2 ; Asymptote y = 1 für x → ∞ ;
x + 1) ⋅ 2 x −( x − 4 ) ⋅ 2 x
(=
10 x
;
x
+
1
x
+
1
( )
( )
( x + 1 ) − x ⋅ 4 x ( x + 1 ) 1− 3 x
10
= 10
( x + 1)
( x + 1)
2
=
f '(x)
2
2
x3 − x
( x + 1)
2
4
2
4
2
f ''' ( x ) = 120
2
2
2
2
f '' ( x )
=
f '''
2
2
2
3
;
; aus f '' ( x ) = 0 ergibt sich x 2 = −
1
3
( ) ≠ 0 und der Symmetrie zur y-Achse sind W ( −
1
3
1
und x 3 =
1
3
−
11
4
1
3
; wegen
) und W (
2
1
3
−
11
4
)
Wendepunkte
3
a) f ( x ) =
8
4− x2
;=
D f  \ {−2; 2} ; Symmetrie zur y-Achse; Polstellen x 0 = −2 ;
x 1 = 2 ; Gleichungen der Asymptoten: x = −2 ; x = 2 ; y = 0 ; Tiefpunkt T ( 0 2 ) ; da
der Graph von f‘‘ keine Nullstelle besitzt, liegt kein Wendepunkt vor
b) f ( x ) =
4+ x2
x 2 −9
;=
D f  \ {−3; 3} ; Symmetrie zur y-Achse; Polstellen x 0 = −3 ;
x 1 = 3 ; keine Nullstellen; Gleichungen der Asymptoten: x = −3 ; x = 3 ; y = 1 ;
( ) ; da der Graph von f‘‘ keine Nullstelle besitzt, liegt kein
Hochpunkt H 0 −
4
9
Wendepunkt vor
c) f ( x ) =
x2 − 4
x2 + 2
; D f =  ; Symmetrie zur y-Achse; keine Polstellen; Nullstellen
x 0 = −2 ; x 1 = 2 ; Gleichung der Asymptote: y = 1 ; Tiefpunkt T ( 0 −2 ) ; da der Graph
von f‘‘ die Nullstellen x 2 = −
W1  −

6
3
5
−  und W2 
4

d) f ( x ) =
3 x 3 −3 x
( x − 2 )2
6
3
6
3
und x 3 =
6
3
besitzt, liegen zwei Wendepunkte vor:
5
− 
4
; D f =  \ {2} ; keine Symmetrie; Polstelle ohne VZW x 0 = 2 ;
y 3x + 12 ; Extrem- und
Nullstellen x 1 = −1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1 ; schräge Asymptote: =
Wendestellen können mit einem geeigneten TR gefunden werden;
H ( −0, 483612 0, 180197 ) ; T1 ( 0, 717176 −0,634956 ) ; T2 (5, 76644 39, 3298 ) ;
W
(
4
11
−
35
99
e) f ( x ) =
)
x2
x −1
= x + 1+
1
;
x −1
D f =  \ {1} ; keine Symmetrie; Polstelle: x 1 = 1 ; N ( 0 0 ) ;
Asymptoten: x = 1 ; y= x + 1 ; f ' ( x ) =
x( x −2 )
( x − 1 )2
; f '' ( x ) =
2
( x −1)3
; H ( 0 0 ) ; T ( 2 4 ) ; keine
Wendestellen
f) f ( x )=
x3
2
= x+
x −1
x
x2 −1
;=
D f  \ {−1; 1} ; Punktsymmetrie zum Ursprung;
Polstellen: x 1 = −1 ; x 2 = 1 ; N ( 0 0 ) ; Asymptoten: x = −1 ; x = 1 ; y = x ;
f '(x) =
10
( ) ; f '' ( x ) = 2 x( x +3) ; H −
(
( x − 1)
( x − 1)
2
x 2 x 2 −3
2
2
2
3
3−
3
2
) (
3 ; T
3
3
2
)
3 ; W (0 0)
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( 1− x ) 2
g) f ( x ) =
=−x +
2−x
1
2−x
; D f =  \ {2} ; keine Symmetrie; Polstelle: x 1 = 2 ; N ( 1 0 ) ;
( ) ; Asymptoten: x = 2 ; y = −x ; f ' ( x ) = ( ( )( )
S 0
x −3 − x + 1)
1
2
2−x
2
; f '' ( x ) =
2
( 2 − x )3
; T (1 0) ;
H ( 3 −4 ) ; keine Wendestellen
h) f ( x )=
x3
2
= x−
x +6
6x
x 2 +6
; D f =  ; Punktsymmetrie zum Ursprung; keine Polstellen;
(
N ( 0 0 ) ; Asymptote: y = x ; W1 −3 2 −
9
4
)
(
2 ; W2 ( 0 0 ) ; W3 3 2
4
a) Definitionsmenge:
Symmetrie:
Schnittpunkt mit x-Achse:
D f =  \ {0}
keine
S (1 0)
Ableitungen:
f '(x) =
Extrempunkte:
Wendepunkte:
2 x3 + 1
x

T  −3 1 33
 2
W (1 0)
2
1
4
; f '' ( x ) =
9
4
2
)
( )
2 x3 − 1
x3



Verhalten an den Definitionslücken: Polstellen bei x 1 = 0
Verhalten im Unendlichen:
Graph:
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y = x 2 als asymptotische Funktion
11
b) Definitionsmenge:
Symmetrie:
D f =  \ {0}
keine
Schnittpunkt mit x-Achse:
S
Ableitungen:
f '(x) =
Extrempunkte:
H −1 −
Wendepunkte:
W
(
(
3
(
20
3
)
− x3 − 1
x
3
2
20
2
; f '' ( x ) =
− x3 + 2
)
x3
)
Verhalten an den Definitionslücken: Polstellen bei x 1 = 0
Verhalten im Unendlichen:
1
2
y = − x 2 als asymptotische Funktion
Graph:
c) Definitionsmenge:
Symmetrie:
Schnittpunkt mit x-Achse:
Ableitungen:
=
D f  \ {−1; 1}
symmetrisch zur y-Achse
S (0 5)
f ' ( x=
) 2x−
f ''' ( x ) = −
Extrempunkte:
(
)
8x
( x − 1)
2
f '' ( x )
;=
( )
( x − 1)
( ) +2;
( x − 1)
8 3 x2 + 1
2
3
−96 x x 2 + 1
2
4
T ± 3 4 ; H ( 0 −5 )
Wendepunkte:
keine
Verhalten an den Definitionslücken: Polstellen bei x = ±1
Verhalten im Unendlichen:
=
y x 2 − 2 als asymptotische Funktion
Graph:
12
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5
f (x) =
a +b x + x 2
x3
; a; b ∈  ;
f ( x )= a x −3 + b x + x −1 ;
3 a+ 2 b x + x 2
f '(x) =
−3 a x −4 − 2 b x −3 − x −2 =
−
f '' ( x )= 12 a x −5 + 6 b x −4 + 2 x −3=
x4
;
12 a+6 b x + 2 x 2
x5
Es muss gelten: f ' ( 1) = 0 : −3 a − 2 b − 1 = 0 und
f ''=
+ 2 0;
( 1) 0 :12 a + 6 b=
daraus erhält man: a =
1
3
und b = −1 ;
1
gesuchte Funktion:=
f (x)
6
− x + x2
=
3
3
x
1− 3 x + 3 x 2
3 x3
a=
−1; b =
1; c =
3
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13
5.4
Seite 104
Anwendungen rationaler Funktionen
1
A = x y ; Nebenbedingung: ( x + 2 )( y + 3 ) =
6000 ;
A (=
x) x
(
)
6000
x +2
−=
3
5994 x −3 x 2
x +2
; A '(x) =
(
−3 x 2 + 4 x −3996
( x + 2 )2
) ; A '' ( x ) = −24 000
( x + 2 )3
x 2 + 4 x − 3996 =
0 ergibt x =−2 + 20 10 ≈ 61, 2 (negative Lösung entfällt)
A '' ( x ) < 0 ; A ( x ) ≈ 5626,5 ; die maximale Fläche des Geheges beträgt ungefähr
5626,5m2 .
2
(
U = u 1+
u1 =
π
2
) + 2 v ; =A
8
; v1
=
4 +π
4
4 +π
=
π
8
u v + u2 ; v=
1
u ;
2 1
8
u
π
4
16
u
; U' ( u ) = 0 gibt
( )−
umin ≈ 3 m ; v min ≈ 1,5 m ; aus U' ( u ) = 1 +
mit VZW, dass ein Minimum vorliegt; auch U'' ( u=
)
14
( )u+
π
8
− u ; U ( u ) =1 +
32
u3
π
4
16
u2
folgt
4 4 + π ≈ 10,69
> 0 ; U=
min
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Seite 105
3
a)
=
V
π 2
=
x h
4
2 ; also h =
8
π x2
mit x > 0 ;
Nahtlinie: M =π x + h ; also M ( x ) =π x +
8
π x3
; M' ( x ) = π −
16
π x3
; M'' (=
x)
48
π x4
>0;
1
3
M' ( x ) = π − 3 = 0 ergibt
x  162  ≈ 1, 175 ; wegen M'' ( x ) > 0 liegt ein lokales
=
πx
π 
Minimum vor, das wegen M ( x ) → ∞ für x → 0 und für x → ∞ ein absolutes
16
1
Minimum ist; h = ( 2 π ) 3 ≈ 1, 845 ; bei absolut kürzester Schweissnaht muss der
Durchmesser des Topfes ca. 11,7 cm, seine Höhe 18,5 cm betragen.
b) =
O
π 2
x
4
+ π x h mit h =
O '' ( x )=
π
2
O '(x) =
π
8
x− 2
2
x
+
16
x3
8
π x2
π 2
x
4
mit x > 0 ; also O (=
x)
8
x
+ ; O ' ( x=
)
8
π
x− 2
2
x
;
;
=
x
= 0 ergibt
( )
16
π
1
3
≈ 1, 721 ; wegen O '' ( x ) > 0 liegt ein lokales
Minimum vor, das wegen O ( x ) → ∞ für x → 0 und x → ∞ ein absolutes Minimum
=
h
ist;
()
2
π
1
3
≈ 0, 860 ; Radius r=
x
=
2
0, 860 ; damit liegt dann ein minimaler
Materialverbrauch vor, wenn Grundkreisradius und Höhe übereinstimmen und
jeweils etwa 8,6 cm lang sind.
4
mit
; V x 2 (h − 2 ) ;
( 4 x + 0,5 )(h + x + 2 )=
V = 1000 wird A ( x ) = 4000 + 16,5 x + 4 x 2 + 500
+2 ;
2
x
A=
x
A '(x) =
−
4000
x2
+ 16,5 + 8 x −
1000
x3
; A '' ( x=
)
8000
x3
+8+
3000
x4
;
A ' ( x ) = 0 liefert x ≈ 7, 39 und h = 20, 29 ; A '' ( 7, 39 ) ≈ 28, 79
5
a)
b
y
x
a
= ; y=
ab
x
; PQ = l ( x )=
( x + b)
2
(
+ a+
ab
x
)
2
;
l bzw. die Ersatzfunktion l 2 wird minimal für
=
x 3=
a2 b 3 2 (für a = 1 ; b = 2 )
b) Die Minimallänge von l ist die grösstmögliche
Schienenlänge:
l ( x min ) ≈ 4, 1619 ( m )
6
a) Schwimmgeschwindigkeit relativ zum Land (in
100
x −2
; Energieaufwand (in J): E ( x ) = 100 c
minimaler Energieaufwand bei x min =
2k
k −l
; x 'min=
(k )
xk
x −2
m
s
): x − 2 ; Schwimmzeit (in s):
; E ' ( x ) = 100 c x k − 1
(k −l)x −2 k
;
( x − 2 )2
2k
k −l
−2
< 0 für k > 2 ; x min ist also streng monoton
(k −l)2
abnehmend, das heisst, je grösser k, desto kleiner ist die energiesparendste
Geschwindigkeit.
b) x min =
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15
7 Es ist die kürzeste Entfernung eines Punktes der Kurve von H zu ermitteln;
Entfernung von H ( 1 1) zu einem beliebigen Kurvenpunkt P x x − x −1 :
(
d ( x )=
( x − 1)
2
)
+ ( x − x − 1) ; d ( x ) ist minimal, wenn ( d ( x ) ) minimal ist, das
−1
2
heisst, es ist das Minimum von D ( x ) =
2
( x − 1)
2
+ ( x − 1 − x −1 ) zu bestimmen; dabei
2
soll ein geeigneter TR verwendet werden; man erhält als positive Lösung x = 1, 4215 ;
der Punkt P ( 1, 4215 0, 7810 ) des Graphen der Funktion f ( x )= x + x −1 liegt dem
Punkt H am nächsten; das Quadrat seines Abstands von H beträgt 0,2572; damit ist
der Abstand d = 0,5071 ; die Trasse läuft also in etwas mehr als 500 m Entfernung
am Haus vorbei, damit haben die Anwohner keinen Grund zu klagen.
16
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6 Weitere Ableitungsregeln
6.1
Seite 107
1
Ableiten der trigonometrischen Funktionen
( ) = π+
f ' ( x ) =−9 ⋅ cos ( x ) ; f ' ( ) = 0
a) f ' ( x=
) 2 x + sin ( x ) ; f '
1
2
b)
π
2
1
2
π
2
c) f ' ( x )=
5 ⋅ cos ( x ) − 5 ⋅ x ⋅ sin ( x ) ; f '
( )= −
π
2
π 5
2
( ) =−2 −
e) f ' ( x ) = 18 x ⋅ cos ( x ) − 6 x ⋅ sin ( x ) ; f ' ( ) = −
f) =
f ' ( x ) cos ( x ) − sin ( x ) ; f ' ( ) = −1
g) f ' ( x ) =
− x ⋅ sin ( x ) − x ⋅ cos ( x ) ; f ' ( ) = −
h) f ' ( x ) =
⋅ cos ( x ) + ; f ' ( ) =
−
d) f ' ( x ) =
1
x
−2
2
cos2 ( x )
sin2 ( x )
−2 ; f'
2
1
3
1
8
2
π
2
2
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sin ( x ) 
=
 cos ( x )  '


π
2
3 π3
4
π
2
π
3
π
2
2
2
3
=
( x )) '
( tan
4
π2
3
2
3
4
π
2
cos
2
1
8
 1
2 (x)
 cos
( x )+ sin ( x ) 
=

sin2 x
cos2 ( x )
1 + 2 ( ) =
1 + tan2 ( x )
 cos ( x )
2
17
Seite 108
3
a) cos ( x ) =1 ⇒ x n =2 n π mit n ∈ 
(
b) cos ( x ) = 0 ⇒ x n = n +
1
2
) π mit n ∈ 
c) cos ( x ) =−1 ⇒ x n =( 2 n + 1) π mit n ∈ 
d) cos ( x ) = ; Überlegung: cos ( x ) =
1
2
π
3
π
3
π
3
1
2
für
π
3
x =1 ⋅ ; 5 ⋅ ; 7 ⋅ ; 11 ⋅ ; … ⇒ x n =( 6 n − 1) ⋅
π
3
und x n=
( 6 n + 1) ⋅
π
mit n ∈ 
3
4
a) Man müsste die Funktion f viermal ableiten.
b) Man müsste die Funktion f viermal ableiten.
5
a) f ' ( x ) = 1 + tan2 ( x ) − 1 = tan2 ( x ) = 0 ⇒ x = 0; π; 2 π ; an diesen Stellen befinden
'' ( x ) 2 tan ( x ) ⋅ ( 1 + tan2 ( x ) ) und f '' ( 0 ) = f ( π ) = f ( 2 π ) = 0
sich Wendepunkte, da f=
mit VZW
b) Nein; f ' ( x ) ≥ 0 für alle x ∈ 
6
a) f ( x ) = cos ( x ) ; P  1, 75 π

2
2
Tangente: t p =
:y
Normale: mn =
−
y = − 2 x+
7
4
2
2
 ; f ' x = − sin x ; f ' 1, 75 π = 2 ;
( )
( ) (
) 2


( x − 1, 75 π ) +
2
2
oder y =
2
2
2
2
x+
2
oder
2
=
− 2 ; np : y =− 2 ( x − 1, 75 π ) +
2
2
2 π+
2
2
3 3
5
b) f ( x ) = 3 sin ( x ) ; P  π −
; f ' ( x ) = 3 cos ( x ) ; f '
3
2 


3
2
y
Tangente: t p : =
( x − π) −
5
3
2
3
Normale: mn = − ; np : y =−
c) =
f ( x ) tan ( x ) + ; P
x
2
5
2
Tangente: t p : y=
( 1 − 1, 75 π ) ;
(
1
π
4
3 3
2
2
3
1+
(x − ) + 1 +
π
4
2
5
Normale: mn = − ; np : y =−
2
5
oder =
y
( x − π) −
5
3
π
8
; f '(x)
)=
π
8
oder y =
3 3
2
(x − ) + 1 +
π
4
3
2
5
2
x− π−
( π) = ;
5
3
3
2
3 3
2
;
oder y = − 2 x + 10 π − 3
3
tan2 ( x ) + ; f '
3
2
5
2
π
8
9
( )=
π
4
5
2
3
2
;
π
2
x− +1;
2
5
oder y =
− x+
9π
40
+1
7
a) f ( t )= a ⋅ sin ( t ) ; da die Sinusfunktion die Nullstellen π; 2 π; 3 π; … hat, wird die
Ausgangslage wieder nach der Zeit π Zeiteinheiten (ZE) erreicht.
b) Nach
cos
π
2
ZE und
3
2
π ZE sind die Ausschläge maximal; wegen x ' ( t )= a ⋅ cos ( t ) ;
( ) = 0 und cos ( π) =0 ist die Momentangeschwindigkeit an den Stellen mit
π
2
3
2
dem grössten Ausschlag 0.
c) Beim Durchgang durch die Nulllage hat der Körper die Geschwindigkeit
x ' ( π ) =− a oder x ' ( 2 π ) =a ; also absolut gerechnet die Geschwindigkeit a
durch das Vorzeichen wird die Richtung angegeben.
18
LE
ZE
;
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8
a) Den Graphen G f erhält man, wenn man die zum
selben x-Wert gehörenden y-Werte der Funktionen
p : f ( x ) = sin ( x ) und q : f ( x ) = x addiert.
b) Grafisch:
Zeichnen Sie den Graphen von
h ( x ) = 2 x und vergleichen Sie die
Steigung dieser Geraden mit den
Tangentensteigungen;
Bei x = −
Vermutung:
π
2
3
2
und x=
π könnte die
Tangentensteigung 2 sein;
π
2
g ' ( x ) =2 ⇒ 1 − sin ( x ) =2 ⇒ sin ( x ) =−1 ⇒ x 1 =− ; x 2 =
Rechnerisch:
( ) =−
g −
π
2
π
2
(
⇒ P2 −
π
2
−
π
2
) ; g( ) =
3π
2
3
2
π ⇒ P2
(
3π 3π
2 2
)
3π
2
;
c) f ' ( x ) =
1 + cos ( x ) ≥ 0 , da −1 ≤ cos ( x ) ≤ 1
g '(x) =
1 − sin ( x ) ≥ 0 , da −1 ≤ sin ( x ) ≤ 1
Schnittpunkt: tan ( x ) = cos ( x ) ; sin ( x ) = cos 2 ( x ) ; sin ( x )= 1 − sin2 ( x ) ;
9
sin
=
(x)
1
2
(
)
5 − 1 ; x = 0,67 ; S ( 0,67 0, 79 ) ;
Winkel: tan ( α
=
α 58,5° ;
) f ' ( 0,67=) 1,63 ⇒ =
tan ( β ) = g ' ( 0,67 ) = −0,62 ⇒ β = −31, 8°
10
a) =
f ( x ) sin ( x ) + cos ( x ) ; also f ' ( x ) = cos ( x ) − sin ( x ) = 0 ergibt tan ( x ) = 1 ;
π
=
; x2
4
also
=
x1
5π
4
; damit P1
(
) (
π
4
2 ; P2
5π
4
− 2
)
b)=
f ( x ) 2 sin ( x ) − cos ( x ) ; also f ' ( x )= 2 cos ( x ) + sin ( x )= 0 ergibt tan ( x ) = −2 ;
Lösung mit Taschenrechner: P1 ( 2, 0344 2, 2361) ; P2 (5, 1760 −2, 2361)
c)=
f ( x ) 4 cos ( x ) + 2 x ; also f ' ( x ) =−4 sin ( x ) + 2 =0 ergibt sin ( x ) =
also
=
x1
π
=
; x2
6
5π
6
; damit P1
(
π
6
2 3+
π
3
); P (
2
5
6
5
3
π π−2 3
)
1
2
;
d) =
f ( x ) tan ( x ) − 2 x ; also f=
' ( x ) tan2 ( x=
) − 1 0 ergibt tan ( x ) = ±1 ;
π
=
; x2
4
also
=
x1
P1
(
π
4
1−
π
2
); P (
2
3π
=
; x3
4
3
π
4
3
2
5π
=
; x4
4
) (
−1 − π ; P3
5
π
4
7π
4
; damit
5
2
) (
1 − π ; P4
7
π
4
7
2
−1 − π
)
11
a) f ( x ) = 0 für x = k ⋅ π ( k ∈  ) , also Nullstellen x 1 = − π; x 2 = 0; x 3 = π ;
f ( x=
) f ( −x ) , also ist G f achsensymmetrisch zur y-Achse;
f ' ( x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) ; f ' ( x ) = 0 für x = π ( k ∈  ) , also
k
2
3
2
1
2
1
2
3
2
x 4 =− π; x5 =−π; x 6 =− π; x 7 =0; x 8 = π; x 9 = π ;
(
3
2
) (
1
2
) ( π=) f ( π=)
f − π= f − π= f
1
2
3
2
1
Monotonieverhalten von f:
(
) (
) (
Maxima: H1 − 3 π 1 ; H2 − 1 π 1 ; H3
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2
2
1
2
) (
π 1 ; H4
3
2
π1
)
19
Minima: T1 ( −π 0 ) ; T2 ( 0 0 ) ; T3 ( π 0 )
b) Keine Nullstellen, da f ( x ) > 0 für alle x ∈ D ; f ( x =
) f ( −x ) , also ist G f
achsensymmetrisch zur y-Achse;
f ' ( x ) = sin ( x ) ; f ' ( x ) = 0 für x = k ⋅ π ( k ∈  ) , also
x 1 = −2 π; x 2 = −π; x 3 = 0; x 4 = π; x5 = 2 π
Monotonieverhalten von f:
Maxima: H1 ( −2 π π + 1) ; H2 ( 0 π + 1) ; H3 ( 2 π π + 1)
Minima: T1 ( −π π − 1) ; T2 ( π π − 1)
c) f ( x ) = ( sin ( x ) ) + ( cos ( x ) ) = 1 (konstanteFunktion); keine Nullstellen, da
2
2
f ( x ) > 0 für alle x ∈ D ; f ( x =
) f ( −x ) , also ist G f achsensymmetrisch zur y-Achse;
f ' ( x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) − 2 sin ( x ) cos ( x ) = 0 für alle x ∈ D , also keine Extrema;
d) =
f (x)
sin( x )
=
cos( x )
tan ( x ) ; x ≠ ( 2 k + 1)
π
2
(k ∈  ) ;
f ( x ) = 0 für x = k π (∈  ) , also Nullstellen
x 1 = −2 π; x 2 = −π; x 3 = 0; x 4 = π; x5 = 2 π ;
f ( −x ) =
−f ( x ) , also ist G f punktsymmetrisch zum Ursprung;
f '(x)
=
20
( cos( x ) )2 +( sin( x ) )2
1
; keine Extrema, da f ' ( x ) > 0 für alle x ∈ D
=
2
cos
x
cos
( ( ))
( ( x ) )2
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Exkursion: Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion – eine Beweisführung
Seite 109
1 Zunächst wird mit dem Differenzenquotienten die Ableitung an einer Stelle x 0
(
zu=
f ' ( x 0 ) lim cos x 0 +
h→0
h
2
)
⋅
h
sin 
2
gebildet; eine Betrachtung des Grenzwertes
h
2
lim =
h
sin 
2
mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lässt den Wert 1 vermuten;
h
h→0
2
um dies näher zu begründen, wird der Flächeninhalt eines Kreissektors mit der
Bogenlänge x und dem Radius r = 1 mit den Flächeninhalten eines dem Kreissektor
einbeschriebenen Dreiecks und eines dem Kreissektor umschriebenen Dreiecks
verglichen; daraus ergibt sich die Ungleichung
sin( x )
1
>
> cos ( x ) ; aus der Grenzwertbetrachtung der oberen und unteren
cos( x )
1
Schranke für x → 0 folgt lim
x →0
sin( x )
x
= 1 ; somit gilt für die Ableitung von
f ( x ) = sin ( x ) : f ' ( x 0 ) = cos ( x 0 )
g ( x ) = cos ( x )
cos( x0 +h ) −cos( x0 )
g ' ( x 0 ) = lim
2
h
h→0
 x +h+ x0   x0 +h− x0 
−2 sin 0
 sin

2
2

 

= lim
h
h→0
= lim
h

h
sin x0 +  sin 
2

2
h→0
−
h
2
(
= lim sin x 0 +
h→0
Mit lim
x →0
sin( x )
x
h
2
)
 sin h  
− 2 
h


2


(
lim sin x 0 +
= 1 folgt g ' ( x 0 ) =
h→0
h
2
) ( −1) =− sin ( x ) ⇒ g ' ( x ) =− sin ( x )
0
0
π
3 Für jedes x ∈  − ; 0  ist der Inhalt I1 des Dreiecks
 2

OPB kleiner als der Inhalt I des Kreisausschnitts OPA
und der Inhalt I2 des Dreiecks OQA grösser als I :
I1 < I < I2 ; da BP = − sin ( x ) und OP = cos ( x ) , gilt
=
I1
1
2
cos ( x ) ( − sin ( x ) ) und=I
QA : PB = OA : OB ist QA =
1
2
1
2
− sin( x )
cos( x )
( −x ) ; wegen
und dann I2 =
− sin( x )
1
⋅ 1⋅
2
cos( x )
; also gilt:
( − sin ( x ) ) ⋅ cos ( x ) < − 21 x < 21 ⋅ −cossin((xx)) ;
wegen − sin ( x ) > 0 ist dann cos ( x ) <
Kehrwerten ergibt
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1
cos( x )
>
sin( x )
x
x
sin( x )
<
1
cos( x )
und der Übergang zu den
> cos ( x )
21
6.2
Seite 112
Verkettung von Funktionen und ihre Ableitung
1
f  g (x)
g  f (x)
( x − 1)
a)
x2
b)
(2 x + 3)
c)
1
2
x2 − 4
e)
2 sin2 ( x )
2
x
f)
2
+1
2 x2 + 3
1
x
d)
2
2
1− 4 x 2
sin ( 2 x 2 )
1
2 x −3
−3
v (x)
u(x)
a)
b)
2−x
x3
x3
2−x
c)
x2 − 1
1
x
d)
x2
e)
sin ( x )
f)
x2
g)
h)
x4 + 2
3+4x
i)
x −1
1
x
D f g
Dg f






\


0<x≤
{}
1
2

2
3
x>
3
2
−1
x2
sin ( x )
x
−1
x
x
2
3
a) f ' ( x ) =6 x ( 1 + x 2 ) =6 x + 12 x 3 + 6 x5
2
b) f ' (=
x)
(3 x + x )
c) f ' ( x=
)
(6 x
5
− 2 )( 1 − x + x 3 =
) 6 x5 − 8 x 3 + 6 x 2 + 2 x − 2
2
−8 ( 8 t − 7 )
d) f ' ( x ) =
−2
e) f ' ( x ) =
6 x − 6 x ( x 2 − 1) =
−6 x5 + 12 x 3
2
−6 x ⋅ sin ( x 2 )
f) f ' ( x ) =
g) f ' ( x ) = 2 cos ( 2 x )
h)
=
f '(x)
i)
j)
22
( 2 x + 1)
6
(5 −t )3
f '(x) = −
k) f ' ( x ) =
l)
1
cos
2
15
2 ( 5 x − 7 )4
sin( x )
( cos( x ) )2
f '(x) =
−
2
t
3
−
1
t2
cos
()
1
t
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4
g ' ( x ) = 5 ⋅ ( −2 ) ( x 2 − 1) ⋅ 2 x =
−3
−20 x
( x − 1)
3
2
h' ( x ) =
− sin ( 3 x 2 − 4 ) ⋅ ( 6 x ) =
−6 x ⋅ sin ( 3 x 2 − 4 )
k ' ( t ) =− sin
=
p' ( x )
( ) ⋅(− ) + x
1
1
t
t2
2
1
= 2 ⋅ sin
t
( )+x
1
t
2
(Ableitung nach t)
2 ( x − sin( x ) ) ⋅ ( 1 −cos ( x ) )⋅x 2 −( x − sin( x ) ) ⋅2 x
2 x 2 ( x − sin( x ) )⋅( 1−cos( x ) ) −( x − sin( x ) ) ⋅2 x
x
x4
2
=
4
2
5
a) f ' (=
x)
f ' (2) =
2
2
x+
25
5
b) f ' ( x ) =
−2 (5 − x )
14
25
f ' ( 2 ) = −6
c) f ' ( x ) = ( −9 + 6 x ) ( 2 − 3 x + x 2 )
2
d) f ' (=
x ) 2 (5 − x )
2
9
f ' (2) =
−2
e) f ' ( x ) =( −21 + 18 x 2 )( 7 x − 2 x 3 )
f) f ' ( x ) = −
f ' (2) = 0
−4
f ' (2) =
51
16
f ' (2) = 2
2
( x −3 )3
g) f ' ( x ) =
−2 cos ( 2 − x ) f ' ( 2 ) = −2
h) =
f ' ( x ) 12 ( 4 x − 7 )
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2
f ' ( 2 ) = 12
23
Seite 113
6
=
a) f ' ( t ) 6 a t 2 ( a t 3 + 1)
c) f ' ( t ) =
b) f ' ( x ) = −
−6 a x
( 1+ x )
2
−2 a b
d) f ' ( t x ) =
2
b
( a + b x )2
(b t + 1)3
e) f '=
( t ) 2 a t ⋅ cos ( a t 2 )
' ( x ) 2 a2 x ⋅ cos ( a x )
f) f =
g) f ' ( t ) =
2 a ⋅ sin ( a x ) ⋅ cos ( a x )
h) f ' ( t ) = sin ( a x )
2
2
7
f ' ( x ) = 2 ⋅ sin ( 2 x ) ⋅ cos ( 2 x ) ⋅ 2 = 4 sin ( 2 x ) ⋅ cos ( 2 x )
8
a) f ' ( x ) =
−6 ( x − 4 ) ; mt = f ' ( 2 ) = − ;
−4
3
8
3
8
(
Tangente: y =
− x + b durch P 2 −
(
π
2
)
1
4
) ⇒ y=
3
1
x+
8
2
b) f =
( x ) cos 2 x −= sin ( 2 x ) ; f ' ( x ) = 2 cos ( 2 x ) ; f '' ( x ) = −4 sin ( 2 x ) ;
f ''' ( x ) = −8 cos ( 2 x ) ; f '' ( x ) = 0 ⇒ x =
Tangente:=
y m x + b mit m = f '
9 Asymptote von g: y =
()
Schnittwinkel: f ' π=
3
4
3
10 f ' ( x ) =2
(
x
3
−2
)
2
1
2
π
2
; f '''
( ) =8 ≠ 0 ⇒ Wendepunkt in W ( 0 ) ;
π
2
π
2
( ) = −2 ⇒ − 2 x + π
π
2
; Schnittpunkt: sin
⇒ tan ( α=
)
3
4
( x) =
1
2
1
2
⇒ x=
π
3
⇒ S
( );
π 1
3 2
⇒=
α 23, 4°
=2 ⇒ x 1 =3; x 2 =9 ;
P1 ( 3 −2 ) ; t 1 ( x=
) 2 x − 8 ; P2 ( 9 2 ) ; t 2 ( x=) 2 x − 16
11 R ( 3 1) : 1=
(3 a + b)
−2
⇒ 3 a + b= 1 ;
f ' ( 3 ) = 4 : −4 =−2 a ( 3 a + b )
−3
⇒ − 4 =−2 a ⇒ a =2 ⇒ b =−5
12
a) f ' ( x ) 6 a b x ( b x 2 − 4 ) ; f '' ( x ) = 6 a b ( b x 2 − 4 )(5 b x 2 − 4 ) ;
=
2
2
f ' ( 1) = 2 : 6 a b ( b − 4 ) =
2
f ''
( 2 ) = 0 : 6 a b ( 2 b − 4 )( 10 b − 4 ) = 0 ⇒ b = 2 (∈  ) ⇒ a = 241
( ) Hochpunkt: a =
b) P x
f
24
1
3
( ) =0:
π
4
(
1
bπ
sin
3
4
)
1
3
;
+c =
0 ; f'
( )=
π
4
1
3
:
(
1
bπ
b
3
4
)
1
3
+ c =; b = 1; c = −
π
4
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13
a) f ( x ) =
1
4
(x
4
− 6 x2 + 9) ;
Definitionsbereich:
Symmetrie:
Nullstellen:
Ableitungen:
Df =  ;
f ist achsensymmetrisch zur y-Achse
x1 =
− 3 ; x2 =
3;
f ' ( x=
) x3 − 3 x
f '' (=
x ) 3 x2 − 3
f ''' ( x ) = 6 x
( ) ; T ( − 3 0) ; T ( 3 0)
9
4
Extrempunkte:
H 0
Wendepunkte:
Graph:
W1 ( −1 1) ; W2 ( 1 1)
b) f ( x ) =
1
2
3( 2 x −3 )
( x − 3 )2
Definitionsbereich:
D f =  \ {3}
Nullstelle:
x=
Ableitungen:
f '(x) = −
2
3
f '' ( x ) =
6x
( x −3 )3
12 x + 18
( x −3 )4
f ''' ( x ) = −
Extrempunkt:
T ( 0 −1)
Wendepunkt:
W −
Verhalten im Unendlichen:
Verhalten an den
Definitionslücken:
Graph:
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(
3
2
−
8
9
36 x + 108
( x −3 )5
)
lim f ( x ) = 0
x →±∞
x = 3 ist Polstelle von + nach +
25
( a + ) ; V ' ( a) =
14 V ( a=
)
3
1
a
( )( )
3 a2 − 1 a2 + 1
a
2
4
; V '' ( a ) =
(
6 a6 + a2 + 2
5
a
);
V ' ( a ) = 0 ⇒ a = 1 ; V '' ( 1) = 24 > 0 ⇒ Minimum bei a = 1
15 V= a2 ⋅ b mit b = f ( a ) ;
V ( a) =
a2 ⋅
1
10
( −a
2
+ 6 a) =
−
1 3
a
10
(a − 6) ;
V=
' ( a)
V '' ( a ) =
− a ( a − 3 ) ; V ' ( a ) = 0 ⇒ a = ; V ''
()
9
=
b f=
2
6
5
9
2
( ) =−
9
2
( 9 − 2 a) ;
81
10
< 0 ⇒ Maximum bei a =
9
2
;
27
40
16 A= a ⋅ b mit a= 2 π − 2 x und b = sin
x2
2
17 A= x ⋅ y ; A ( x=
)
+
x
2 x −1
( 2 π − 2 x ) ⋅ sin ( 21 x ) ;
( x ) ; A ( x=)
1
2
( π − x ) ⋅ cos ( 21 x ) − 2 sin ( 21 x ) ; A ' ( x ) = 0
A '(x) =
1 2
a
5
; A ' ( x )= x −
⇒ x = 1, 42 ; a = 3, 44 ; b = 0,65
1
( 2 x − 1)
2
; A '' ( x ) =
8 x3 − 12 x 2 +6 x + 3
( 2 x −1)3
;
( )
A ' ( x ) = 0 ⇒ x = 1 ; A '' ( 1) =5 > 0 ⇒ Minimum bei x = 1 ; Q 1
3
2
18
a) Es gilt nach dem Strahlensatz:
V ( t=
)
1
r
3
(t )
2
⋅ π ⋅ h ( t=
)
1
27
π (h ( t ) )
r(t )
h( t )
= ⇒ r (t ) = h(t ) ;
10
30
3
b) Mit V ( t=
) 20 ⋅ t ( cm3 ) folgt aus a): 20 =t
Seiten ergibt: 20=
1
27
1
3
1
27
π ( h ( t ) ) ; Differenzieren der beiden
π ⋅ 3 ( h ( t ) ) ⋅ h' ( t ) ⇒ h' ( t =
)
Geschwindigkeit 2, 29
2
3
180
π⋅( h( t ) )
2
; mit h ( t ) = 5 folgt die
cm
s
f=
( x ) tan ( a x + b ) + c
19 Ableitungen:
f '(x) =
a ( 1 + tan2 ( a x + b ) )
( )= 3 −
(2) f ' ( ) = 3
(3) f '' ( ) = 0
(1) f
π
6
π
6
=
f '' ( x ) 2 a2 tan ( a x + b ) ( 1 + tan2 ( a x + b ) )
π
3
=
π
6
π
6
π
6
Aus (3) folgt: tan
(1) ergibt c =
26
(
aπ
6
)
+b =
0 ⇒ b=
−
aπ
6
π
2
; (2) ergibt a =⇒
− ;
3
b=
π
6
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6.3
Seite 115
Ableitung der Umkehrfunktion
1
a) Da f ' ( x=
) 3 x 2 + 1 > 0 ist für x ∈  , ist f streng monoton zunehmend und somit
umkehrbar.
b) Da f ' ( x ) =
−
< 0 ist für x ∈  \ {−1} , ist f streng monoton abnehmend und
( x + 1 )2
somit umkehrbar.
2
c) Da f ' ( x=
) 3 x 2 − 1 > 0 ist für x >
1
3
, ist f streng monoton zunehmend und somit
umkehrbar.
2
a) f=
'(x)
−2
< 0 für x > 3 ; f ist in ]3; + ∞[ streng monoton fallend und also
( x − 3 )2
umkehrbar; y =
Also: f −1 ( x )=
( x )) '
( f=
−1
2
x −3
2
+3;
x
1
 x + 3 −3 


2

−4
( x − 2 )2
umkehrbar;
Also: f −1 ( x )=
( x )) '
( f=
−1
+ ∞[ ; Wf −=
D=
1
f
]3;
+ ∞[ ;
2
x2
2
< 0 für x > 2 ; f ist in ]− ∞ ; 2[ streng monoton fallend und also
4
+2
x
1
; D f −1 = ]− ∞ ; 0[ ; Wf −1 = ]− ∞ ; 2[ ;
=
−4
 x +2 −2 


2

6
x2
]0;
D f=
W=
−1
f
=
−2
b) =
f '(x)
c) f ' ( x=
)
2
y
⇔ x = +3;
−4
x2
2
> 0 für x < 0 ; f ist in ]− ∞ ; 0[ streng monoton steigend und also
umkehrbar;
Also: f −1 ( x ) =
6
4−x
1
; D=
f −1
f ( x )) ' =
(=
2 ( 3 + x −3 )
−1
3
a)
( arc cos ( x ) ) ' =
( x )) '
(f =
−1
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1
2 x
=
1
− 1−cos2 ( arc cos( x ) )
1
1
1+ tan2 ( arc tan( x ) )
1+ x 2
=
1
=
(
+ ∞[ ; Wf −1 = ]− ∞ ; 0[ ;
1
− sin( arc cos( x ) )
b) =
( arc tan ( x ) ) '
4
]4;
f ' f −1 ( x )
1
=
) (
f f −1 ( x )
)
= −
1
1− x 2
1
x
27
6.4
Seite 118
Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihre Ableitung
1
1
−
1
f ' ( 1) =
b) f ' ( x ) = x 3
a) f ' (=
x ) 0, 2 ⋅ x −0,8 ; f ' ( 1) = 0, 2
4
3
4
3
c) f ' ( x ) = x 4 ;
f ' ( 1) =
e) f ' ( x ) = −x −p − 1
f ' ( 1) = −1
f) f ' ( x ) = x 4
f ' ( 1) =
h) f '=
( x ) 0, 07 ⋅ x5 ; f ' ( 1) = 0, 07
3
4
−
1
g) f ' ( x ) = x 5 ;
4
5
i)
f '(x) = − x
1
3
−
4
7
k) f ' ( x =
)
f ' ( 1) =
11
⋅x4
4
1
5
4
4
5
f ' ( 1) = −
3
d) f ' ( x=
) 1, 4 ⋅ x −0,3 ; f ' ( 1) = 1, 4
3
4
1
3
11
4
f ' ( 1) =
j)
f ' ( x ) = −5 x
−
8
3
l)
f ' ( x ) = −16 x
−
5
4
f ' ( 1) = −5
7
3
f ' ( 1) = −16
2
x)
a) f ' (=
2
3
(1 + 2 x)
c) =
f ' (t )
3 −2
t
2
1
−
b) g ' ( x ) =
( 11, 2 x − 0, 8 ) ( 7 x 2 − x )
2
3
(1 + t )
d) f ' ( x ) = cos ( x ) ( sin ( x ) )
2
1
4
−
−
1
5
3
4
1
3
− 

e) f ' ( x ) = 8 x − 6 x 2  x 2 − 3 x =8 x 3 − 30 x 2 + 18


(
(
)
)
f) f ' ( x ) =2 1 + 3 x + 2 ⋅
( ) ( 3 x + 1)
g) f ' ( x ) =8 −
3
8
−
1
2
11
8
(3 x + 2 )
(
a) f ' ( x ) =
2
2 x +1
1
2
)
−3
(
1
)
⋅ 3 =3 ( 3 x + 2 ) 2 ⋅ 1 + 3 x + 2 =
−
⋅ 3 =−9 ( 3 x + 1)
1
− 

h) f ' ( x ) =
−2  3 x 2 − x 2  x 3 − 2 x


3
−
−
i)
3
3 x +2
+3
11
8
−
3
f ' ( t ) = t 2 ⋅ sin
1
2
( )
1
t
; f ' ( 0 ) = 2 ; Tangente und Normale in Punkt B ( 0 2 ) :
− x+2
t ( x=
) 2 x + 2 ; n(x) =
1
2
b) f ' ( x ) =
3 ( 3 x + 1)
2 x
; f ' ( 3 ) = 5 ; Tangente und Normale in Punkt B ( 3 12 ) :
− x+
t ( x=
) 5 x − 3 ; n(x) =
1
5
63
5
4
a) f ( x ) = g ( x ) ; ( 2 x − 1) + 2 =
3
x+8 ⇒ x= 1;
f=
' ( x ) 6 ( 2 x − 1) ; f ' ( 1) = 6 ; g ' ( x ) =
2
tan ( α=
)
6−
1
6=
1
1+ 6 ⋅
35
12
1
2 x +8
; g ' ( 1) = ;
1
6
⇒ α
= 71, 08°
6
b) (1) senkrechte Tangente mit Berührpunkt B ( 2 0 ) : x = 2 ;
(2) schiefe Tangente durch R ( 2 1) : t ( x ) = a x − 2 a + 1 ; es gilt: t ( x ) = f ( x ) und
t '(x) = f '(x) ;
Berührpunkt: B ( 4 2 ) ; Tangentengleichung: a =⇒ t ( x ) =x
1
2
28
1
2
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5
a) Kosten: K = AD ⋅ 300 + DB ⋅ 500 ; mit A (50 0 ) ; B ( 0 10 ) ; C ( 0 0 ) ; D ( x 0 )
(x)
( x ∈ [0; 50]) folgt: K =
K '' ( x ) =
50 000
( x +100)
2
3
300 (50 − x ) + 500 x 2 + 102 ;=
K '(x)
500 x
x 2 + 100
− 300 ;
;
2
( ) = > 0 ⇒ Minimum bei =x
b) minimale Kosten: K ( ) = 19 000 (Fr. ) ;
K '(x) = 0 ⇒ x =
15
2
; K ''
15
2
128
5
15
2
⇒ D
( 0)
15
2
15
2
Kosten bei geradliniger Verlegung: K g =AB ⋅ 500 = 502 + 102 ⋅ 500 =25 495 (Fr. ) ;
Kosten über C: K C =AC ⋅ 300 + CB ⋅ 500 =50 ⋅ 300 + 10 ⋅ 500 =20 000 (Fr. )
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29
6
a) D f =  +0 ; keine Symmetrie
Nullstellen:
N1 ( 0 0 ) ; N2
(
2 x − x 2 =0 ⇒ x 4 =2 x ⇒ x =0 ∨ x 3 =2 ⇒ x 1 =0; x 2 =3 2 ;
3
20
)
1
−
2
=
f ' ( x ) ( 2 x ) − 2 x ; f ' ( x ) = 0 für x 3 = 0,5 ;
Monotonieverhalten von f:
lim f ' ( x ) = + ∞
x →0
f ( 0=
) 0 ⇒ T (0 0)
f (=
0,5 ) 0, 75 ⇒ H ( 0,5 0, 75 )
[ −4; 4]
b) D g =
g ( −x ) =
1
3
( −x )
16 − ( −x ) =− x 16 − x 2 =−g ( x ) , also ist Gg punktsymetrisch
1
3
2
zum Ursprung;
Nullstellen:
1
x
3
(1 − x)
1
2
= 0 ⇒ x = 0 ∨ 16 − x 2 = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −4; x 3 = 4
N1 ( 0 0 ) ; N2 ( −4 0 ) ; N3 ( 4 0 )
1
2
1
2 −2
g ( x )=
1
3
( 16 − x )
=
1
3
1
1
− 

( 16 − x 2 ) 2 − x 2 ( 16 − x 2 ) 2 


2
1 16 − x 2 − x 2
1
3
16 − x 2 2
=
⋅
(
)
1
3
+ x⋅
2
3
1
2
( 16 − x ) ( −2 x )
8− x2
=
⋅
16 − x
2
g ' ( x ) = 0 für x 4 =
−2 2 ; x5 =
2 2
Monotonieverhalten von g:
( ) 83 ⇒ T ( −2 2 − 83 )
g ( 2 2=
) 83 ⇒ H ( 2 2 83 )
g −2 2 =
−
30
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c) Dh =  ; h ( −x ) =
3( − x )
9 +( − x )
=
−
2
3x
9+ x2
=
−h ( x ) , also ist Gh punktsymmetrisch zum
Ursprung;
3x
Nullstellen:
h' ( x )
=
9 + x2
( )
1
( )
1
3 9 + x 2 2 −3 x⋅ ⋅ 9 + x 2
2
9 + x2
1
1

− 

3  9+ x2 2 − x2 9+ x2 2 


( )
=
=0 ⇒ x 1 =0 ; N ( 0 0 ) ;
( )
9+ x
−
1
2 ⋅2 x
9+ x2 − x2
= 3=
3
2
(9+ x )
2 2
27
(9+ x )
3
2 2
h' ( x ) > 0 für alle x ∈ Dh , also ist Gh in Dh
streng monoton steigend ⇒ Dh besitzt
keine Extrempunkte
7
a) f ' ( x ) =
−x
25 − x 2
; Df =
[ −5; 5] ; D'f =
]−5; 5[
b) A ( 3 4 ) ; B ( 4 3 ) ;
Tangente im Punkt A:
mt A = f ' ( 3 ) = − ; 4 =− ⋅ 3 + aA ⇒ aA =
tA :
Normale im Punkt A:
mnA
3
4
3
25
y=
− x+
4
4
1
4
; 4
=
−
=
f '( 3 )
3
3
4
=
4
⋅ 3 + bA
3
25
4
⇒ bA = 0
4
3
nA : y = x
Tangente im Punkt B: mtB = f ' ( 4 ) = − ; 4 =− ⋅ 4 + aB ⇒ aB =
tB :
Normale im Punkt B:
mnB
4
3
4
25
y=
− x+
3
3
1
3
; 4
=
−
=
f '( 4 )
4
4
3
=
3
⋅ 3 + bB
4
25
3
⇒ bB = 0
3
4
nB : y = x
c) Wird die Normale nA an der
Winkelhalbierenden des I. und II.
Quadranten gespiegelt, ergibt sich die
Normale nB und umgekehrt; somit ist die
eine Normale Umkehrfunktion der jeweils
anderen.
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31
d) tan ( α )= mnB=
3
4
⇒ α ≈ 36, 87° ; r = 5 LE ; =
A
e) Vektorgleichung:
 x 1   0  
  −   
 x 2   0  
α
⋅r2
360°
⋅ π ≈ 8, 04 FE
2
=
52
2
 x 1  
   = 25
 x 2  
Koordinatenform: x 21 + x 22 =
25
8
a) Aus =
g '(x)
f '( x 0 )
=
2 f ( x0 )
0 erhält man f ' ( x 0 ) = 0 ; da 2 f ( x 0 ) > 0 , haben g ( x ) und
f ' ( x ) das gleiche Vorzeichen und damit das gleiche Monotonieverhalten; also
haben sie auch ihre Maximalstelle an der Stelle x 0 .
b =
f ( x ) 8,64 x − 1, 25 x 4 ; f '=
( x ) 8,64 − 5 x 3 ; aus f ' ( x ) = 0 folgt 5 x 3 = 8,64 ;
3
x=
1, 728 ⇒ x=
1, 2
0
Monotonieverhalten von f:
Damit hat g ( x ) bei x 0 = 1, 2 eine Maximalstelle.
32
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Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen
Lösungen Teil IV
7
Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion
7.1
Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung
Exkursion: Die Euler’sche Zahl e
7.2
Die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Ableitung
7.3
Ableiten zusammengesetzter Funktionen
7.4
Gleichungen, Funktionen mit beliebigen Basen
7.5
Kurvendiskussion von Exponentialfunktionen
7.6
Kurvendiskussion von Logarithmusfunktionen
7.7
Funktionen mit Parameter
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Lambacher Schweizer 11/12
7 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion
7.1
Seite 121
Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung
1 Ein A4-Blatt ist 21 cm breit und 29,7 cm hoch.
a) Gesucht ist x so, dass e x ≈ 29, 7 ; durch Probieren mit dem TR: e3,39 ≈ 29,67 ; der
Graph passt bis x = 3, 39 auf das Blatt.
b) e21 1 318 815 734 cm ≈ 13 000 km ; das Blatt müsste rund 13 000 km hoch sein.
=
2
a) f ' ( x ) = 4 e x
f ' ( −2=
) 4 e−2 ≈ 0,54
b) f ' ( x ) = −3 e x
f ' ( 0,5 ) = −3 e0,5 ≈ −4, 95
c) f ' (=
x)
f ' ( 1) =e − 2 e =
−1,5 e
1 x
e
2
1
2
−2 e x
x ) 4 ex − 3 e x e−1 f ' ( 0 ) = 4
d) f ' (=
3
a) f ' ( x ) = e x
f ' ( −1)
Ansatz für g :=
y m x + t , wobei mA = f ' ( 1) und m=
B
f ' ( 1) = e
( )
b)
1
f ' −1 =
e
1
mN = −
mA
e = e⋅1+ t ⇒ t = 0
tA : y = e x
1
e
tB : =
y
1
=−
e
+t ⇒ t =
bzw. mN = −
1
mB
2
e
1
e
x+
2
e
; Steigung der Normalen in A: mN = − 1 ; Steigung der
e
Normalen in B: mN = −e
4 Parallele Tangenten haben dieselbe Steigung, also f ' ( x ) = g ' ( x )
a) f ' ( x ) = e x
g '(x) = 1
⇒
e x = 1 P ( 0 1) ; Q ( 0 0 )
b) f ' ( x ) = 2 e x
g ' ( x ) = −4
⇒
2 e x = −4
c) f ' ( x ) = e
g ' ( x ) = ex
⇒
e = ex
5
keine Lösung
P
(
1 1
2 2
)
1 1

e ; Q  2 e 2 − 2 


fc ( x ) = c e x Schnittpunkt mit der y-Achse: c e0= c → ( 0 c )
fc ' ( x ) = c e x fc ' ( 0 )= c= 0, 4
f0,4 ( x ) = 0, 4 e x
6
a) Gleichung der Tangente im Punkt P a ea ;
(
)
=
mP f=
' ( a ) e ; e = e ⋅ a + t ⇒=
t e ( 1 − a ) ⇒ t : y= ea x + ( 1 − a ) ea ;
a
a
a
a
Q : ea x + ( 1 − a ) ea =
0 ⇒ x= a − 1
b) Die x-Koordinate des Punktes Q ist um 1 kleiner als die x-Koordinate des Punktes
P.
c) tan ( α ) =ea 
 a
ea
xP − 1
1 oder x=
⇒ xP − x=
Q
Q
ea  e=
tan ( α ) =
xP − xQ 

xP − xQ
(
)
d) Zu jedem Punkt P a f ( a ) findet man immer einen 2. Punkt Q ( a − 1 0 ) , der auch
auf der Tangente liegt; die Verbindungsgerade PQ stellt die Tangente dar.
7 Vgl. Aufgabe 6; wenn die Tangente durch ( 0 0 ) geht, hat der Berührpunkt die
Koordinaten ( 1 e ) ; die Tangente hat die Gleichung y = e x .
2
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8
a) Der Graph von f ( x ) wird an der y-Achse gespiegelt und um 1 nach oben
verschoben.
b) Der Graph von f ( x ) verschiebt sich um 1 nach links.
c) Der Graph von f ( x ) wird an der x- und an der y-Achse gespiegelt.
d) Der Graph von f ( x ) verschiebt sich um 1 nach links und wird an der y-Achse
gespiegelt.
9
f1 ( x ) gehört zu dem lilafarbigen Graphen; f1 ( 0 ) = 0
f2 ( x ) gehört zu dem blauen Graphen; f2 ( 0 ) = 1
f3 ( x ) gehört zu dem orangefarbigen Graphen; Spiegelung von y = e x an der yAchse und Verschiebung um 1 nach oben
f4 ( x ) gehört zu dem roten Graphen; f4 ( 2 ) = 0 ; es handelt sich um eine um 2
nach rechts verschobene und mit dem Faktor 0,5 gestauchte Normalparabel
10
a) f ( 2 ) = 1 ⇒ c e2 + a =
1 ; a= 1 − c e2
f (ln ( 2 ) )= 3 − e2
⇒ 2c+a
=−
3 e2
⇒ 2 c + 1 − c e2 = 3 − e2
⇒ c ( 2 − e2 )
=
2 − e2
⇒ c = 1 ⇒ a = 1 − e2 ⇒ f ( x ) = e x + 1 − e2
b) f ( 0 ) = 1 ⇒ c e0 + a = 1; a = 1 − c 
 a = −1
f ' ( 0 ) =2 ⇒ c e0 =2 ⇒ c =2

x
f (=
x) 2 e − 1
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3
7.2 Die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Ableitung
Seite 126
1
a) Schätzung: 1 + 2 =
3 ln ( 24 )= ln ( 3 ⋅ 8 )= ln ( 3 ) + ln ( 8 ) ≈ 1, 10 + 2, 08= 3, 18
b) Schätzung: 2 : 3 =
2
3
=
ln ( 2 )
( )
1
=
ln 8
3
0,693
c) Schätzung: 2 + 2 =
4 ln ( 72 ) = ln ( 8 ) + ln ( 9 ) = ln ( 8 ) + 2ln ( 3 ) = 4, 28
()
d) Schätzung: 1 − 2 =−1 ln ( 0, 375 ) =
ln 3 =
ln ( 3 ) − ln ( 8 ) ≈ 1, 10 + 2, 08 =
−0, 98
8
e) Schätzung: −1
ln
( ) = ln ( 1) − ln (3 ) = − ln (3 ) ≈ −1, 10
1
3
8
f) Schätzung: 4 ⋅ 2 =
ln
=
( 16 )
3
3
( )
4
=
ln 8
3
2, 77
2
a) nur mit TR lösbar
b) ln ( e −1 ) =−1 ⋅ ln ( e ) =−1
c) ln ( e3 ) =
3 ⋅ ln ( e ) =
3
d) ln
e) nur mit TR lösbar
g)
( 2 ⋅ ln ( e ) )
(ln ( e ) ) =
2
3
3
=
2 =
8
3
1
1
⋅ ln ( e ) =
( e) =
2
2
f) nur mit TR lösbar
5
h) ln ( e −2 )  = ln ( e −10 ) = −10


i) nur mit TR lösbar
3
a) D f =  + ; f ' ( x ) =
c) D f =  + ; f ' ( x ) =
e) D f =  − ; f ' ( x ) =
4
f '(x) =
1
x
h' ( x=
) 2x+
u' ( x ) =
3
x
1
2x
Das Kärtchen
3
8x
b) D f =  + ; f ' ( x ) =
2
x
1
x
1
x
d) D f =  + ; f ' ( x ) =
1
x
3
x
f) D f =  + ; f ' ( x ) = − 1
x
gelbes Kärtchen
g ' ( x )= 1 +
rotes Kärtchen
k '(x) = −
grünes Kärtchen
braunes Kärtchen
v ' ( x )=
blaues Kärtchen
2
x
2
x
3 1
⋅
2 x
lila Kärtchen
gehört zu keiner gegebenen Funktion.
5
a) Vermutung: g ( x ) ist eine Tangente an G f mit
Berührpunkt bei x ≈ e
b) Schnittpunkt (grafisch): A ( e 1) ;
rechnerisch muss gelten: ln ( x ) = 1 x ;
e
für x = e : ln ( e ) =
1
e
e
1 = 1 w.A.
Tangente an G f in ( e 1) : y = 1 x
e
4
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Seite 127
6
a) f ' ( 0,5 ) = 2 ; f ' ( 1) = 1 ; f ' ( 2 ) = 0,5 ; f ' ( 4 ) = 0, 25
b) abgelesen: f ' ( 1, 75 ) ≈ f ( 1, 75 ) ; mit TR: f ' ( 1, 76 ) ≈ 0,568 ; f ( 1, 76 ) ≈ 0,565
7 Ansatz:=
y mx+t
a) m = f ' ( e2 ) =
1
 ⇒ 2 = e2 ⋅ 1 + t ⇒ t = 1
tP : y = 2 x + 1

e2
e


f ( e2 ) = 2

b) Tangentengleichung an einem beliebigen Punkt P ( xP ln ( xP ) ) ∈ G f :
1
e2
Steigung: f ' ( xP ) =
1
xP
⇒ ln ( xP ) =
1
xP
xP + t ⇒ t = ln ( xP − 1)
tP : y = x + ln ( xP − 1)
1
xP
A ∈t : 2=
1
⋅ 0 + ln ( xP − 1) ⇒ 3 = ln ( xP ) ⇒ xP = e3
xP
tA =
: y e −3 x + 2
c) Tangentengleichung siehe b): tB : y =1 x + ln ( xP − 1)
xP
B ( 0 n) ∈ t : n =
1
xP
⋅ 0 + ln ( xP − 1) ⇒ n + 1 = ln ( xP ) ⇒ xP = en + 1
t B : y e − ( n + 1) x + n
=
8
y ln ( x ) + 3
a)=
y ln ( x + 3 )
b)=
c) y= 2 ⋅ ln ( x )
d) y = ln
( x)
1
2
y ln ( x + 3 )
9=
=
y ln ( x ) + 3
y = ln ( 3 x )
y=
x +1
x +3
violetter Graph, da Nullstelle bei x = −2
blauer Graph, Verschiebung von ln ( x ) um +3 in y-Richtung
gelber Graph, da Nullstelle bei x =
roter Graph, Nullstelle bei x = −1
y
Keine Graphen für y = 3 ln ( x ) ; =
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1
3
x + 1=
; y ln ( x ) + ln ( 3 )
5
10 Für die Schnittstelle x 0 muss gelten:
(1) ln ( x=
a x 02 + c
0)
(2)
1
xP
⋅ 2 a x 0 =−1 (orthogonal) ⇒ a =−
1
2

1 2

 alle Parabe ln mit y = − x schneiden orthogonal
2

Schnittpunkt auf x-Achse:
ln ( x 0 ) =0 ⇒ x 0 =1 ⇒ c =
1
also: für y =
− x2 +
2
1
2
1
2
11
a) x = ln ( x ) nicht lösbar ⇒ keine Nullstelle
1
1
f ' ( x )= 1 − ; 1 − =
0 für x = 1 ; Minimum für T ( 1 1) ,
x
x
da
f ' ( x ) < 0 für x < 1 und
f ' ( x ) > 0 für x > 1
b) f ( x ) = −e für 1 −
P
(
1
1
1+ e 1+ e
)
1
x1
1
1+ e
=−e ⇒ x 1 =
+ ln ( 1 + e ) ≈ ( 0, 27 1,58 )
f ' ( x ) = e für 1 −
1
x2
= e ⇒ x2 =
1
1− e
<0
da x 2 ∉ D f gibt es keinen solchen Punkt
(
c) Berührpunkt: xB xB − ln ( xB )
)
Tangente durch Ursprung mit Steigung m = f ' ( xB ) :
(
xB − ln ( xB ) = 1 −
1
xB
)⋅x
B
⇒ ln ( xB ) = 1 , also xB = e
B ( e e − 1)
12
a) D f =  +
b)
=
f '(x)
4
− 4ln( x )
x
=
2
x
x
4 ( 1−ln( x ) )
x2
Extremwert für 4 ( 1 − ln ( x ) ) =
0 ⇒ ln ( x ) =
1 , also x = e ,
da f ' ( x ) > 0 für x < e und f ' ( x ) < 0 für x > e
⇒
( )
H e
4
e
c) f ( x ) → ∞ für x → 0 , da f ' ( x ) > 0 für x < e und einzige Nullstelle bei x = 1
6
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7.3
Seite 128
Ableiten zusammengesetzter Funktionen
1
a) f ' ( x )= 1 − e x
c) f ' ( x ) =
3
1
3
e) f ' (=
x)
b) f ' ( x ) = 2 e2 x
1
3
x
1
1 2
x +1
2
1 x2 + 2
e
2
h) f ' ( x ) =
1
x
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⋅
( −1)
x2
1
2
x
⋅2⋅ =
g) f ' ( x=
)
1
d) f ' ( x ) = 3 e3 x + 4
3
x
⋅ =
x
1 2
x +1
2
x x ex
⋅ 2=
= −
1
x
2
f) f ' ( x ) = −2 e −2 x
+2
oder f=
( x ) ln ( 1) − ln ( x ) ; f ' ( x ) = − 1
x
7
Seite 129
2
a) D f =  ; f ' ( x ) =2 e x + 2 x e x =2 e x ( 1 + x )
b) D f =  + ; f ' ( x )= ln ( x ) + x 1= ln ( x ) + 1
x
c) D f =  ; f ' ( x ) = 2 x ⋅ e − x + x 2 ⋅ e − x ( −1) = x ⋅ e − x ( 2 − x )
d) D f =  + ; f ' ( x ) =
e) D f =  + ; f ' ( x )=
1
1
⋅
x 2 x
1
2 x
1
2x
=
1
1 1
oder f ( x ) =
ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) =
⋅
2
⋅ ln ( x ) + x ⋅ =
1
x
ln( x )
2 x
1
=
x
+
1
x
(
2 x
1
ln
2
( x ) + 1)
4 2 e4 x ( 1 + 4 x )
f) D f =  ; f ( x=
) 2 x ⋅ e4 x ; f ' ( x=) 2 e4 x + 2 x ⋅ e4 x ⋅=
 x −1− x  ( x −1)( −1)
=
 =
( x − 1 )2  x ( x − 1 )2

x +1
g) D f =  \ {0; 1}=
; f '(x)
D f  \ {=
−1} ; f ' ( x )
h) =
1
x
( x + 1)⋅2⋅e2 x −e2 x
=
( x + 1 )2
−1
x ( x − 1)
e2 x ( 2 ( x + 1) − 1)
=
( x + 1 )2
e2 x ( 2 x + 1)
( x + 1 )2
i) D f =  ; f ( x=
) 2 x − ex ; f ' ( x )= 2 − ex
j) D f =  + ; f ( x ) = ln ( x ) − ln ( x + 1) ; ( x > 0 ) ; f ' ( x ) =
(
)
k) D f =  +=
; f ( x ) 3 ln ( 2 ) + 1 ln ( x ) ; f ' ( x ) =
2
1
x2 + x
3
2x
l) D f =  ; f ( x ) =e − x + x e − x =e − x ( 1 + x ) ; f ' ( x ) = −x e − x
3 Waagrechte Tangente, wenn f ' ( x ) = 0
a) f ' ( x )= 1 − e − x ; 1 − e − x =
0 wenn 1 = e − x ⇒ x = 0; P ( 0 1)
(
x =e; P ( e )
0 wenn 1 + x =0 ⇒ x =−1; P −1 − 1
b) f ' ( x ) =e x + x e x =e x ( 1 + x ) ; e x ( 1 + x ) =
1
c) =
f '(x)
x −ln( x )
1−ln( x )
x
x2
x
=
2
0 wenn ln ( x ) =1 ⇒
; 1 − ln ( x ) =
2 e2 x1 ( 1 + 2 x ) ;
d) f ' ( x=
) e2 x + 1 + x e2 x + 1 ⋅=
(
1
1
1
e x+1 ( 1 + 2 x ) =
0 wenn 1 + 2 x =
0 ⇒ x=
− ; P − −
2
2
2
4
a) Sei v monoton steigend; f ( x ) = v ' ( x ) ⋅ e
steigend; analog für v monoton fallend
b) Sei v monoton steigend; f '=
(x)
v '( x )
v( x )
v(x)
e
)
1
e
)
≥ 0 , da v ' ( x ) ≥ 0 , also ist f monoton
≥ 0 , da v ( x ) > 0 und v ' ( x ) ≥ 0 , also ist f
monoton steigend; analog für v monoton fallend
5
v ' ( x ) = 0 für x 1 = 0 und x 2 = 3 ; v ' ( x ) > 0 für
x < 0 und x > 3 ; v ' ( x ) < 0 für 0 < x < 3 ; somit
gilt für v ( x ) : v hat bei x 1 = 0 einen Hochpunkt
und bei x 2 = 3 einen Tiefpunkt; ebenso gilt für
f ( x ) = e v ( x ) : f hat Hochpunkt bei x 1 und
Tiefpunkt bei x 2
8
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6
f ' ( x ) = −2 x e − x
+1
TP : m = f ' ( −3 ) = 6 e
1
(
P1 −3 e
−8
(
P2 3 e
−8
−8

 e = 6 e ( −3 ) + t ⇒ t = e + 18 e = 19 e


 e =−6 e ⋅ 3 + t ⇒ t =e + 18 e =19 e ;

−8
)
TP : m = f ' ( 3 ) = −6 e
2
; Gleichung einer Tangente:=
y mx+t ;
−8
−8
−8
)
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
; TP : y = 6 e x + 19 e
−8
TP : y =−6 e x + 19 e
f '(x) =
2
x2 −1
−8
2
(
Schnittpunkt: TP1 =
TP2 : 6 e −8 x + 19 e =
−6 e −8 x + 19 e −8 ⇒ x =
0; S 0 19 e −8
7
−8
1
)
1
; f ' (3) =
) ⇒ mn =
−4 ;
4
(
)
Normale in Punkt P 3 − ln ( 2 ) : y =
−4 x + b ⇒ y =
−4 x + 12 − ln ( 2 )
8 Tangente an g in A ( 0 1) : y= x + 1 ; Schnittstellen:
−x 2 + 3 =x + 1 ⇒ x 1 =−2;
x 2 =1 ;
4; f ' ( 1) =
−2 ;
Steigung von f in den Schnittstellen: f ' ( −2 ) =
Schnittwinkel in x = −2 : tan ( α ) =
tan ( α ) =
Schnittwinkel in x = 1 :
9
4−1
1+ 4⋅1
=
3
5
⇒ α ≈ 31°
−2 − 1
1− 2⋅1
=
3
1
⇒ α ≈ 71,6°
t ( x ) = a x mit f ' ( x ) = a und f ( x )= t ( x ) ⇒ 1= a und
x
ln ( x ) =a x ⇒ ln ( x ) =1 ⇒ x =e ⇒ P ( e 1)
(
)
10 Für r ∈  und x > 0 gilt: ( xr ) = er ⋅ln( x ) ' = r ⋅ 1 ⋅ er ⋅ln( x ) = r ⋅ 1 xr = r xr − 1
11 U ( x ) =
2 x + 2 f (x) =
2 x + 4 ln
x
x
( ) ; U' ( x ) = ( ( ) ) ; U'' ( x ) =
x +1
x
2 x2 + x −2
8 x+4
x x +1
x ( x + 1 )2
2
;
U' ( x ) =0 ⇒ x =1 ( x =−2 < 0 ) ; U'' ( 1) = 3 < 0 ⇒ Minimum bei
(
)
(
)
x=
1 ⇒ P 1 f ( 1) =
P 1 2 + ln ( 16 ) ≈ P ( 2 4, 8 )
12
a) Gesucht ist die Stelle, an der f dieselbe Steigung wie g hat;
f ' ( x ) =e x =1 ⇒ x =0 ⇒ B ( 0 1)
b) Normale durch B ( 0 1) : n : y =−x + 1 ;
Schnittpunkt zwischen n und g:
−x + 1 = x − 1 ⇒ x = 1 ; S ( 1 0 ) ; Abstand zwischen B und S ist Radius:
r = BS =
12 + 12 =
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2 ; minimale Fläche: A =
π r 2 =π
2
9
( ):
13 Gerade durch Q ( 1 e ) und R −1
g (=
x ) m x + b ;=
m
b=
e−
e2 − 1
2e
e2 + 1
2e
e−
1
e
=
1+ 1
= ; g ( x=
)
e2 − 1
2e
1
e
;
e2 − 1
e2 + 1
⋅x +
2e
2e
;
gesucht ist die Stelle, an der f dieselbe Steigung wie g hat:
  2   2 
e2 − 1
 2 
⇒ x =ln  e −1  ⇒ P  ln  e −1   e −1   ≈ P ( 0, 161 1, 175 ) ;
f ' ( x ) = ex =
2e
 2e 
  2 e   2 e 
t ( x ) 1, 175 x + c
Tangente durch P:=
mit c = 1, 175 − ( 1, 175 ⋅ 0, 161) = 0, 985 ⇒ t ( x ) = 1, 175 x + 0, 985
10
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7.4
Seite 131
Gleichungen, Funktionen mit beliebigen Basen
1
a) eln( 4) = 4
b) e − ln( 2 ) =
( )
c) ln 1=
e3
ln ( 2 ) + 3
d) ln
2
(
1
3
1
2
)
e =
− ln ( 3 ) +
1
2
2
a)
c)

( )
=
ln( as )
r ⋅ln( a )
=
s⋅ ln( a )
ln ( b )
 ln( b ) 
 ln a 
ln a ( ) 




ln ar
1

ln a
b)
ln a ( ) 
1
1
⋅ln( a )


ln ( a )


a
e=
e ln( a)
=
r
s
ln ( b )
⋅ln( a)
ln( b )
ln ( a )
a=
e = e ln( a)= e=
b
3
( )
a)=
x ln =
2
ln( 2 )
2
≈ 0, 3466
b) x 1 = − 3 ln ( 10 ) ≈ −2,6283;x 2 = 3 ln ( 10 ) ≈ 2,6283
c) e x − 2 = 0 ⇔ x = ln ( 2 )
ln( 1,5 )
ln( 3 ) − 2 ln( 2 )
d) x
=
ln( 3 )
ln( 2 )
e)=
x
f) x = −
≈ −1, 4094
≈ 1,5850
ln( 2 )
ln( 1,5 )
≈ −1, 7095
g) x 1 = −e −2 ≈ −0, 1353; x 2 = e −2 ≈ 0, 1353
2
h) x = 1 − ee ≈ −1617, 1780
4
1
1
2
a) e − x =
e2 ⇒ x =
− Exponentenvergleich
b) e x =
e −2 ⇒ x =
−2 Exponentenvergleich
x
x
c) e ( e − 2 ) = 0 ⇒ e x = 2 ⇒ x = ln ( 2 ) ; e x > 0 , Produktwert = 0
wenn mindestens 1 Faktor = 0
d) ( e x − 1) (ln ( x − 1) ) =
⇒ e x 1 oder=
ln ( x ) 1 , also x 1 = 0 oder x 2 = e *
e) e2 x − 3 e x = 0 ⇒ e x ( e x − 3 ) = 0 ⇒ e x = 3 ⇒ x = ln ( 3 ) *
f) ln ( x ) (ln ( x − 3 ) ) =0 ⇒ ln ( x ) =0 oder ln ( x ) =3 ⇒ x 1 =1 oder x 2 =e3 *
* Begründung wie bei Aufgabe c)
5
a) u = e x ; u2 − 7 u + 12 =
0 ; u1; 2 =
7 ± 49 − 48
2
; u1 = 4 ; u2 = 3 ;
e x =4 ⇒ x 1 =ln ( 4 ) ; e x =3 ⇒ x 2 =
ln ( 3 )
b)
(e )
x 2
− 2 e x − 15 = 0 ⇒ e x = u ; u2 − 2 u − 15
= 0; u1;=
2
e x =5 ⇒ x =ln (5 ) ( e x = −3 nicht lösbar)
c) e2 x = u ; u2 − 3 u −=
10 0; u=
1; 2
e2 x =5
⇒
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3 ± 9 + 40
2
2 ± 4 +60
2
; u1 = 5; u2 = −3 ;
; u1 = 5; u2 = −2 ;
x = ln (5 ) ( e2 x = −2 nicht lösbar)
1
2
11
6
a) f ( x ) = e
2
x ⋅ ln 
3
; f ' ( x ) = ln
b) f ( x ) = e(
x − 2 )⋅ln( 2 )
c) f ( x ) = e(
−2 x + 1)⋅ln( 2 )
f '(x) =
−2 ln ( 2 ) ⋅ e
d) f ( x ) = e
7
3 x ⋅ln( 2 )
()
2
3
⋅e
2
x ⋅ln 
3
ln ( 2 ) ⋅ e(
; f '(x) =
= ln
( )⋅( )
2
3
2
3
x
= − ln
( )⋅( )
3
2
3
2
−x
=
ln ( 2 ) ⋅ 2 x − 2
x − 2 )⋅ln( 2 )
;
( −2 x + 1)⋅ln( 2 )
=
−2 ln ( 2 ) ⋅ 0,52 x − 1 =
−2 ln ( 2 ) ⋅ 2 −2 x + 1 =
− ln ( 2 ) ⋅ 2 −2 x+2
; f ' ( x ) = 3 ln ( 2 ) ⋅ e
3 x ⋅ln( 2 )
= 3 ln ( 2 ) ⋅ 2 3 x
f ' ( x=
2 6 e2 x ; f ' ( x ) =
12 ⇒ 6 e2 x =
12 ⇒ e2 x =
2 ⇒ ln ( e2 x ) =
ln ( 2 )
) 3 e2 x ⋅=
somit x =
ln( 2 )
2
8
a)
1
( ln ( 4) 4)
ln (5 ) ; C ( ln (5 ) 5 )
b) e3 x = 4 ⇒ e x = 4 3 ⇒ x = ln ( 4 ) ; B
1
1
3
c) e3 x =5 ⇒ e x =5 3 ⇒ x =
1
3
1
3
1
3
1
1
d) f ' ( x ) =
3 e3 x ; 3 e3 x =
1 ⇒ e3 x = ⇒ x =ln
3
9
12
e −2 ,875⋅10
−5
⋅t
=
1
2
; −2, 875 ⋅ 10 −5 ⋅ t =
ln
3
( ) =− ln (3 ) ; D ( −
1
3
1
3
1
ln
3
( 3 ) 31
)
( ) ; t = 24 109,5 (Jahre)
1
2
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7.5
Seite 134
Kurvendiskussion von Exponentialfunktionen
1
a) f ( x ) → 6 für x → − ∞ ; Asymptote: y = 6 für x → − ∞
b) f ( x ) → −7 für x → ∞ ; Asymptote: y = 7 für x → ∞
c) f ( x ) → 0 für x → ∞ ; Asymptote: y = 0 für x → ∞
d) f ( x ) → 0 für x → ∞ ; Asymptote: y = 0 für x → ∞
e) f ( x ) → ∞ für x → ∞ ; Asymptote: =
y
f)
1
2
x+3
f ( x ) → ∞ für x → ∞ ; Asymptote: y = x
g) f ( x ) → ∞ für x → ∞ ; keine Asymptote
h) f ( x ) → 0 für x → − ∞ ; Asymptote: y = 0 für x → − ∞
2
a); b)
3
c); d)
f ( x ) =( x − 2 ) ⋅ e x
2
a) f hat bei x = 2 eine doppelte Nullstelle, somit hat G f im Punkt P ( 2 0 ) einen
Extrempunkt; der obere Graph gehört zu G f
b) der untere Graph ist der an der y-Achse gespiegelte G f ; also g ( x ) =( x + 2 ) ⋅ e − x
2
4
a) lim
x
ex
x
lim x
x →0 e
= 0 ist richtig, da e x schneller wächst als jede Potenz xr
x →∞
b)
c) lim
x →0
d) lim
x →∞
x
= ∞ ist falsch, da lim =
x
x2 + x
ex
x →0
= 0 ist richtig, da
x2 + x
ex
e
02 + 0
e0
0
=
e0
0
=0
= 0 ist richtig, da e x schneller wächst als jede Potenz xr
5
a) D f =  ; lim
x2 − 4
ex
x →+∞
= 0 ; Asymptote: y = 0
1
1
b) D f =  \ {0} ; lim e x = 1 ; lim e x = 1 ; Asymptote: y = 1
x →+∞
x →−∞
1
x
lime = +∞
(
x ↓0
Asymptote: x = 0
)
0 ; Asymptote: y = 0
c) D f =  ; lim x 2 + x ⋅ e − x =
x →+∞
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13
6
f ( x ) = a ek x ; f ' ( x ) = k a ek x

I. f ( 3 ) =3 e ⇒ 3 e =a e3 k 
a 3;=
k
=
II. f ' ( 0 ) = 1 ⇒ 1 = a k


7
a)
1.
2.
3.
1
3
f ( x=
) 2 x − ex ; D f = 
Keine Symmetrie
Keine Nullstelle, da e x > 2 x
Für x → − ∞ geht e → 0 , also ist y = 2 x Asymptote
4. Ableitungen: f ' ( x )= 2 − e x ; f '' ( x ) = −e x
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert x 1 = ln ( 2 ) ;
wegen f '' ( x 1 ) =−2 < 0 liegt in x 1 = ln ( 2 ) ein
Maximum vor;
Hochpunkt H ln ( 2 ) 2 ln ( 2 ) − 2
(
)
6. Wegen f '' ( x ) ≠ 0 gibt es keine Wendestellen
b) f ( x )= x + 1 e − x ; D f = 
2
1. Keine Symmetrie
2. Keine Nullstellen, da Tiefpunkt oberhalb der x-Achse
und f ( x ) → ∞ für x → ∞ und x → − ∞
3. Für x → ∞ geht e − x → 0 , also ist y = x Asymptote
4. Ableitungen: f ' ( x )= 1 − 1 e − x ; f '' ( x ) = 1 e − x
2
2
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert e
−x
= 2 , also
−x =
ln ( 2 ) oder x 1 =
− ln ( 2 ) ≈ 0,6931 ; wegen
f '' ( − ln ( 2 ) ) =
1 > 0 liegt in x 1 = − ln ( 2 ) ein Minimum vor; Tiefpunkt ist
(
)
T − ln ( 2 ) − ln ( 2 ) + 1 = T ( ≈ −0,6931 ≈ 0, 3069 )
6. Wegen f '' ( x ) ≠ 0 gibt es keine Wendestellen
c) f ( x=
) e x + e− x ; D f = 
1. Keine Symmetrie
2. Eine Nullstelle, da Tiefpunkt auf der x-Achse: x 1 = −1
und f ( x ) → ∞ für x → ∞ und x → − ∞
3. Für x → ∞ geht e − x → 0 , also ist y = e x Asymptote
4. Ableitungen: f ' ( x )= e − e − x ; f '' ( x ) = e − x
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert e − x = e , also x 1 = −1 ;
wegen f '' ( −1) = e > 0 liegt in x 1 = −1 ein Minimum;
Tiefpunkt ist T ( −1 0 )
6. Wegen f '' ( x ) ≠ 0 gibt es keine Wendestellen
14
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d) f ( x=
) ex + e− x ; D f = 
f ( x ) ist der Graph symmetrisch zur x1. Da f ( −x ) =
Achse
2. Da e x > 0 für alle x ist, existiert keine Nullstelle
3. Für x → ∞ geht e − x → 0 , aber e x → + ∞ , also keine
Asymptoten
4. Ableitungen: f ' ( x=
) ex − e− x ; f '' ( x ) = ex ,
5. Extremstellen:
f ' ( x ) = 0 liefert e − x = e x , also
−x =
x oder x 1 = 0 ; wegen f '' ( x )= 2 > 0 liegt in x 1 = 0 ein Minimum; Tiefpunkt
ist T ( 0 2 )
6. Wegen f '' ( x ) ≠ 0 gibt es keine Wendestellen
e) f ( x ) = 5 x e x ; D f = 
1. Keine Symmetrie
2. x 1 = 0 ist einzige Nullstelle
3. Für x → − ∞ geht x e x → 0 , also ist die Gerade mit
der Gleichung y = 0 Asymptote
4. Ableitungen: f ' ( x ) = 5 ( e x + x e x ) = 5 e x ( 1 + x ) ;
f '' ( x=
) 5 ex ( 1 + x ) + 5 e=x 5 ex ( 2 + x ) ;
f=
''' ( x ) 5 e x ( 3 + x )
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert x 2 = −1 ; wegen f '' ( −1=
) 5 e−1 > 0 liegt in x 2 = −1
(
)
ein Minimum vor; Tiefpunkt ist T −1 − 5 = T ( −1 ≈ −1, 8394 )
e
6. Wendestellen: f '' ( x ) = 0 liefert x 3 = −2 ; wegen f ''' ( −2=
) 5 e−2 ≠ 0 liegt in
10 

x 3 = −2 eine Wendestelle vor; Wendepunkt ist W  −2 − 2 = W ( −2 ≈ −1, 3534 )
e 

f) f ( x=
) ( x − 2 ) ex ; D f = 
1. Keine Symmetrie
2. x 1 = 2 ist einzige Nullstelle
3. Für x → − ∞ geht ( x − 2 ) e x → 0 , also ist die Gerade
mit der Gleichung y = 0 Asymptote
4. Ableitungen: f ' ( x ) = e x + ( x − 2 ) e x = ( x − 1) e x ;
f '' ( x ) = x e x ; f ''' ( x=
)
( x + 1) e x
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert x 2 = 1 ; wegen
f '' ( 1)= e > 0 liegt in x 2 ein Minimum vor; Tiefpunkt ist
T (1 − =
e ) T ( 1 ≈ −2, 7183 )
6. Wendestellen: f '' ( x ) = 0 liefert x 3 = 0 ; wegen f ''' ( 0 ) ≠ 0 liegt in x 3 = 0 eine
Wendestelle vor; Wendepunkt ist W ( 0 −2 )
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15
g) f ( x ) = 3 x e − x + 1 ; D f = 
1. Keine Symmetrie
2. x 1 = 0 ist einzige Nullstelle
3. Für x → ∞ geht x e − x + 1 → 0 , also ist die Gerade mit
der Gleichung y = 0 Asymptote
4. Ableitungen: f ' ( x ) =3 e − x + 1 − 3 x e − x + 1 =3 e − x + 1 ( 1 − x ) ;
=
f '' ( x ) 3 e − x + 1 ( x − 2 ) =
; f ''' ( x ) 3 e − x + 1 ( 3 − x )
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert x 2 = 1 ; wegen
f '' ( 1) =−3 < 0 liegt in x 2 = 1 ein Maximum vor; Hochpunkt ist H ( 1 3 )
6. Wendestellen: f '' ( x ) = 0 liefert x 3 = 2 ; wegen f ''' ( −2=
) 3 e−1 ≠ 0 liegt in x3 = 2
( )
6
eine Wendestelle vor; Wendepunkt ist W 2=
W ( 2 ≈ 2, 2073 )
e
h) f ( x ) = x e −2 x ; D f = 
1. Keine Symmetrie
2. Nullstellen können nicht direkt berechnet werden;
aus dem Graphen erkennt man eine Nullstelle für x < 0 ;
da f ( −1) =−e2 + 2 < 0 und f ( 0 ) = 2 ist, liegt in
{−1; 0} eine Nullstelle:
x 0 ≈ −0,6011 ; die
näherungsweise Berechnung erfolgt nach dem
Newton-Verfahren: x n +=
xn −
1
xn e−2 xn + 2
e−2 xn ( 1− 2 xn )
oder
mithilfe des Computers
3. Für x → ∞ geht x e −2 x → 0 , also ist die Gerade mit der Gleichung y = 2
Asymptote
e −2 x − 2 x e −2 x =
e −2 x ( 1 − 2 x )=
; f '' ( x ) 4 e −2 x ( x − 1) ;
4. Ableitungen: f ' ( x ) =
=
f ''' ( x ) 4 e − x + 1 ( 3 − 2 x )
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert x 1 =
Maximum vor; Hochpunkt ist H
(
1
2
1 1
2 2e
; wegen f ''
) (
+2 = H
1
2
( ) =−
1
2
≈ 2, 1839
6. Wendestellen: f '' ( x ) = 0 liefert x 2 = 1 ; wegen f ''' ( 1=
)

Wendestelle; Wendepunkt ist W  1

16
1
e2
2
e
< 0 liegt in x 1 =
)
4
e2
1
2
ein
≠ 0 liegt in x 2 = 1 eine
+ 2 = W ( 1 ≈ 2, 1353 )

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i) f ( x ) = x 2 e − x ; D f = 
1. Keine Symmetrie
2. x 1 = 0 ist einzige Nullstelle
3. Für x → ∞ geht x 2 e − x → 0 , also ist die Gerade mit
der Gleichung y = 0 Asymptote
4. Ableitungen:
f ' (=
x ) ( 2 x − x 2 ) e − x ; f '' ( x ) = ( x 2 − 4 x + 2 ) e − x ;
f ''' ( x ) =
− ( x 2 − 6 x + 6 ) e− x
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert x 2 = 0 und x 3 = 2 ;
wegen f '' ( x )= 2 > 0 liegt in x 2 ein Maximum vor; Tiefpunkt T ( 0 0 ) ; wegen
(
f '' ( x ) =
−2 e −2 < 0 liegt in x 3 ein Maximum vor; Hochpunkt H 2 4 e −2
)
6. Wendestellen: f '' ( x ) = 0 liefert x 2 − 4 x + 2 =
0 ; damit ergibt sich x 4= 2 + 2
(
)
und x5= 2 − 2 ; wegen f ''' 2 + 2 ≈ 0, 093 ≠ 0 liegt in x 4 eine Wendestelle;
(
)
− 2+ 2 ) 
Wendepunkt W1  2 + 2 6 + 4 2 e (
W1 ( ≈ 3, 414 ≈ 0, 383 ) ; wegen
=


(
)
f ''' 2 − 2 ≈ −1,575 ≠ 0 liegt in x5 eine Wendestelle; Wendepunkt
(
(
)
W2 2 − 2 6 − 4 2 e
j)
f (x) = 3 e
2 −2
) =W ( ≈ 0,586 ≈ 0, 191)
2
( − x2 ) ; D = 
f
f ( x ) Symmetrie zur y-Achse
1. Da f ( −x ) =
2. Keine Nullstelle
( − x2 )
→ 0 , also ist die
3. Für x → ∞ und x → − ∞ gilt e
Gerade mit der Gleichung y = 0 Asymptote
( − x2 ) ;
4. Ableitungen: f ' ( x ) = −6 x e
( − x2 )
( − x2 )
( − x2 )
f '' ( x ) =
−6 e
+ 12 x 2 e
=
e
( 12 x 2 − 6 ) ;
=
f ''' ( x ) 12 e
( − x2 )
(3 x − 2 x )
3
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert x 1 = 0 ; wegen f '' ( 0 ) =−6 < 0 liegt in x 1 ein
Maximum; Hochpunkt H ( 0 3 )
6. Wendestellen: f '' ( x ) = 0 liefert x 2 = 1 ; damit ergibt sich x 2 =
2
wegen f '''
( ) ≈ 10, 2931 ≠ 0 liegt in x
1
2
2
1
2
und x 3 = −
1
2
;
eine Wendestelle vor; Wendepunkt ist
1 3 
W2 
W2 ( ≈ 0, 7071 ≈ 1, 8196 ) ; wegen der Symmetrie zur y-Achse ist
=
 2 e
1 3 
W1  −
=
 W1 ( ≈ −0, 7071 ≈ 1, 8196 ) der zweite Wendepunkt
 2 e
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17
 1 4
− x 
4 
k) f ( x ) = 4 e
; Df = 
f ( x ) Symmetrie zur y-Achse
1. Da f ( −x ) =
2. Keine Nullstelle
 1 4
− x 
 4 
3. Für x → ∞ und x → − ∞ gilt e
→ 0 , also ist die
Gerade mit der Gleichung y = 0 Asymptote
 1 4
− x 
4 
4. Ableitungen: f ' ( x ) = −4 x 3 e
 1 4
− x 
 4 
f '' ( x ) =
−12 x 2 e
 1 4
− x 
4 
f ''' ( x ) =
−4 x e
+ 4 x6 e
(x
8
 1 4
− x 
 4 
;
 1 4
− x 
=
4 e 4  ( x 6 − 3 x 2 ) ;
− 9 x4 + 6 )
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert x 1 = 0 ; wegen f '' ( 0 ) = 0 ist keine Aussage
möglich; da f ' ( x ) > 0 für x < 0 und f ' ( x ) < 0 für x > 0 , liegt in x 1 = 0 ein
Vorzeichenwechsel von + nach – vor; damit ist in x 1 ein Maximum; Hochpunkt ist
H (0 4)
6. Wendestellen: f '' ( x ) = 0 liefert x 2 = 0 und x 4 = 3 , also x 1 = 0 (Hochpunkt) und
x 2 = 4 3 und x 3 = − 4 3 ; wegen f '''
( 3 ) ≈ 29, 8401 ≠ 0 liegt in x
4
2
eine
3

− 
W2 ( ≈ 1, 3161 ≈ 1, 8895 ) ; wegen
Wendestelle vor; Wendepunkt ist W2  4 3 4 e 4  =


3

− 
der Symmetrie zur y-Achse ist W1  − 4 3 4 e 4=
 W1 ( ≈ −1, 3161 ≈ 1, 8895 ) der


zweite Wendepunkt
l) f ( x ) = x 3 e − x ; D f = 
1. Keine Symmetrie
2. x 1 = 0 ist einzige Nullstelle
3. Für x → ∞ geht x 3 e − x → 0 , also ist die Gerade mit
der Gleichung y = 0 Asymptote
4. Ableitungen: f ' ( x ) = 3 x 2 e − x − x 3 e − x = e − x ( 3 x 2 − x 3 ) ;
f '' ( x ) =
e− x ( x3 − 6 x 2 + 6 x ) ;
−e − x ( 3 x 2 − x 3 ) + e − x ( 6 x − 3 x 2 ) =
f ''' ( x ) =
−e − x ( x 3 − 9 x 2 + 18 x ) − 6
5. Extremstellen: f ' ( x ) = 0 liefert x 2 = 0 und x 3 = 3 ; wegen f '' ( 0 ) = 0 und
f ''' ( 0 )= 6 ≠ 0 liegt in x 2 ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente vor:
−9 e − x < 0 liegt in x 3 ein Maximum vor; Hochpunkt ist
W1 ( 0 0 ) ; wegen f '' ( 3 ) =


H  3 27
=
H ( 3 ≈ 1, 3443 )
3 
 e 
6. Wendestellen: f '' ( x ) = 0 liefert x 3 − 6 x 2 + 6 x =
0 ; damit ergibt sich x 4= 3 + 3
(
)
und x5= 3 − 3 ; wegen f ''' 2 + 3 ≈ 0, 1444 ≠ 0 liegt in x 4= 3 + 3 eine
Wendestelle vor;
(
Wendepunkt ist W2 3 + 3 e −3 −
(
)
3
( 30
3 + 54
)) = W ( ≈ 4, 7321 ≈ 0, 9334 ) ;
2
wegen f ''' 3 − 3 ≈ −1, 2360 ≠ 0 liegt in x5= 3 − 3 eine Wendestelle vor;
(
Wendepunkt ist W3 3 − 3 e −3 +
18
3
( −30
3 + 54
) ) = W ( ≈ 1, 2679 ≈ 0,5736 )
3
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8
f ( x ) = xx ; Df = +
Wegen f ( x=
) x=x e
x ⋅ln( x )
gilt: f ' ( x ) =⋅
x x (ln ( x ) + 1) ;
(
)
=
f '' ( x ) e x ⋅ln( x ) (ln ( x ) + 1) +=
e x ⋅ln( x ) ⋅
x x − 1 x (ln ( x ) ) + 2 x ⋅ ln ( x ) + x + 1 ;
1
x
2
2
f ' ( x ) = 0 ergibt e0 = e −1 ; wegen f '' (=
e −1 ) e1− e > 0 ist
−1
T  e −1 e

( )
 ≈ T ( 0, 3679 0,6922 ) ;

− e−1
(
)
es ist f '' =
1 0 genau dann, wenn
( x ) x x − 1 x ⋅ (ln ( x ) ) + 2 x ⋅ ln ( x ) + x +=
2
x (ln ( x ) ) + 2 x ⋅ ln ( x ) + x + 1 =
0 ist; wir zeigen, dass
2
=
h ( x ) x (ln ( x ) ) + 2 x ⋅ ln ( x ) + x + 1 für alle x > 0 positiv ist durch Berechnung des
2
Minimums der Funktion h; es ist h' ( x ) =
(ln ( x ) )
2
+ 4 ln ( x ) + 3 und h'' ( x ) =
2 (ln( x ) + 2 )
x
h' ( x ) = 0 für ln ( x ) = −1 und ln ( x ) = −3 , also x 1 = e −1 und x 2 = e −3 ;
;
1
wegen h'' ( e −=
) 2 e > 0 liegt in x 1 ein relatives Minimum vor mit h ( e−1 ) = 1 ;
wegen h'' ( −3 ) =
−2 e3 < 0 liegt in x 2 ein relatives Maximum vor mit
(
)
3
h ( e −=
) 4 e−3 + 1 ≈ 0, 19914 ; da lim x ⋅ (ln ( x ) ) + 2 x ⋅ ln ( x ) + x + 1 =1 und h ( x ) → ∞
x →0
2
für x → ∞ ist, ist h eine positive Funktion; daher gibt es keine Stelle mit h ( x ) = 0 ,
d.h. es kann keinen Wendepunkt von f geben; Vermutung zum Grenzwert: lim x x = 1
x →0
9 Sei c = 0, 0257
a) f ( −x ) =
−
1
2c
(e
−c x
− 11, 866 + ec x ) =
f ( x ) ; also ist f achsensymmetrisch zur y-
Achse;
=
h f ( 0 ) ≈ 192 ; Spannweite ist der Abstand zwischen den Nullstellen:
b) Höhe:
f ( x ) = 0 ; ec x − 11, 866 + e − c x =
0 ; die Substitution u = ec x ergibt:
u − 11, 866 + u−1 = 0 ⋅u
u2 − 11, 866 + 1 =
0
⇒ u=
0, 085; ⇒ u=
11, 781
1
2
Rücksubstitution:
0,=
085 e0,0257 x ⇒ x 1 ≈ −96
11, 781
= e0,0257 x ⇒ x 2 ≈ 96
Spannweite: x 2 − x 1 ≈ 192 ( m )
=
c) Ja, denn: f ( 27,5
) 181, 8 < 126
hmax f=
d) =
( 35 ) 175 (m)
1
e) f ( x ) =
− ( ec x − 11, 866 + e − c x ) ; =
f '(x)
2c
1
2
(e
−c x
− ec x ) ;
1
f ' ( 96 ) =
−5, 852 ; tan ( α ) = −5, 852 ⇒ α = 80, 3°
( e−0,0257⋅96 − e0,0257⋅96 ) =
2
f) f ( x ) = 100 ⇒ x = 73 ; f ' ( 73 ) = −3, 187 ; tan ( α ) = −3, 187 ⇒ α = 72,6°
f ( 34, 3 ) =
175, 8 ( m )
1
x=
−34, 3 ; h =−
g) f ' ( x ) =⇒
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19
7.6
Seite 136
Kurvendiskussion von Logarithmusfunktionen
1
(
a) lim 8
x →∞
b) lim
)=0;
( ) =0
ln x 2
x
x →∞
lim
ln( x )
x
( ) = ∞;
ln x
c) lim 5 x 3 ⋅ ln ( x ) = + ∞ ;
x →∞
x →0
lim
x →− ∞
2
x
x ↑0
(
lim 8
lim
ln( x )
x
)= −∞
( ) =0;
ln x 2
x
( ) = −∞
ln x
2
x
x ↓0
lim5 x 3 ⋅ ln ( x ) =
0
x →0
1
d) lim 1 ( 1 + ln ( x ) ) =
lim ( 1 + ln ( x ) ) = − ∞
0;
x →∞
20
x
x →0
x
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2 Die drei Graphen sind achsensymmetrisch zur
y-Achse; es gilt:
lim f ( x ) = + ∞ für alle drei Funktionen; die yx →±∞
Achse ist senkrechte Asymptote; D =  \ {0} für f
Dh  \ {−1; 1}
und g; =
3
x)
a) h ( =
x + ln ( x ) ; Dh =  + ; limh ( x ) = − ∞ ;
x →0
lim h ( x ) = + ∞ ;
x →+ ∞
b) h ( x=
)
x ⋅ ln ( x ) ; Dh =  + ; limh ( x ) = 0 ;
x →0
lim h ( x ) = + ∞
x →+ ∞
x)
c) h ( =
x − ln ( x ) ; Dh =  + ; limh ( x ) = + ∞ ;
x →0
lim h ( x ) = + ∞
x →+ ∞
d) h ( x ) =
x
ln( x )
; Dh =  + \ [ 1] ; limh ( x ) = 0 ;
x →0
limh ( x ) = − ∞ ; limh ( x ) = + ∞ ; lim h ( x ) = ∞
x↑1
x →+ ∞
x↓1
e) h ( x ) = ln
( x) ; D
h
=  + ; limh ( x ) = − ∞ ;
x →0
lim h ( x ) = + ∞
x →+ ∞
f) h ( x ) = ln ( x ) ; D=
h
[1;
+ ∞[ ; lim h ( x ) = + ∞
x →+ ∞
4
a) f ( x ) =
8 ln( x )
x
; D f =  + ; für x → 0 gilt f ( x ) → − ∞ ;
für x → + ∞ gilt f ( x ) → 0 ;
Ableitungen: f ' ( x ) =
f ''' ( x ) =
88 − 48 ln( x )
x4
8 −8 ln( x )
x2
; f '' ( x ) =
−24 + 16 ln( x )
x3
;
;
 1

 2 12 
Graph: N ( 1 0 ) ; H e ; W  e 3  ≈ W ( 4, 48 2,68 ) ;


 e2 
die y-Achse ist senkrechte, die x-Achse waagrechte Asymptote
( )
8
e
b) f ( x ) = −10
ln( x )
x2
; D f =  + ; für x → 0 gilt
f ( x ) → + ∞ ; für x → + ∞ gilt f ( x ) → 0 ;
−10 + 20 ln( x )
Ableitungen: f ' ( x ) =
f ''' ( x ) =
−260 + 240 ln( x )
x5
Graph: N ( 1 0 ) ; T
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(
x3
; f '' ( x ) =
50 −60 ln( x )
x4
;
;
e−
5
e
);
21
 5

 6 −25 
≈ W ( 2, 30 −0, 76 ) ; senkrechte Asymptote: x = 0 ; waagrechte
We
5 


 3 e6 
Asymptote: y = 0
x ) 5 x 3 ⋅ ln ( x ) ; D f =  +
c) f (=
Für x → ∞ gilt f ( x ) → ∞ ;
Ableitungen: f ' ( x ) =10 x ⋅ ln ( x ) + 5 x ;
=
f '' ( x ) 10 ln ( x ) + 15 ; f ''' ( x ) =
Graph: N ( 1 0 ) ; T
(
1
e
−
5
2e
10
x
) ≈ T (0,61 −0, 92 ) ;
 −3
15 
W  e 2 − 3  ≈ W ( 0, 22 −0, 37 )
2e 

d) f (=
x ) ln ( 1 + x 2 ) ; D f = 
Für x → ±∞ gilt f ( x ) → ∞ ; es gilt f ( x =
) f ( −x ) für alle
x ∈  ; der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse;
Ableitungen: f ' ( x ) =
f ''' ( x ) = 4
( )
( 1+ x )
; f '' ( x ) =
2x
1+ x 2
2 −2 x2
( 1+ x )
2
2
;
x x 2 −3
2
3
(
)
(
)
Graph: N ( 0 0 ) = T ; W1 1 ln ( 2 ) ; W2 −1 ln ( 2 ) ≈ W2 ( −1 −0,69 )
e) f ( x ) =
( );D
ln x
2
x
f
=  \ {0}
Für x → 0 ( x > 0 ) gilt f ( x ) → − ∞ ; für x → 0 ( x < 0 )
gilt f ( x ) → + ∞ ; für x → ± ∞ gilt f ( x ) → 0 ;
Ableitungen: f ' ( x ) =
f ''' ( x ) =
( )
( ) ; f '' ( x ) = −6+2 ln( x ) ;
2 −ln x 2
2
x2
x3
22 −6 ln x 2
x
4
( ) ≈ H ( 2, 72 0, 74) ; T ( −e − ) ≈ T ( −2, 72 −0, 74) ;
Graph: N1 ( 1 0 ) N2 ( −1 0 ) ; H e
2
e
2
e
 3

 3

 2 3 
 2
3 
W1  e 3  ≈ W1 ( 4, 48 0,67 ) ; W2  −e − 3  ≈ W2 ( −4, 48 −0,67 ) ; der Graph ist




e2 

 e2 
punktsymmetrisch zum Ursprung; senkrechte Asymptote: x = 0 ; waagrechte
Asymptote: y = 0
1

f) =
f ( x ) ln ( 2 x − 1) : =
Df  ; ∞
2

Für x →
1
2
gilt f ( x ) → − ∞ ; für x → ∞ gilt f ( x ) → ∞ ;
Ableitungen: f ' ( x ) =
Graph: N ( 1 0 ) ; x =
1
2
2
2 x −1
; f '' ( x ) =
−4
( 2 x − 1 )2
;
ist senkrechte Asymptote; der
Graph hat keine Extrempunkte und keine Wendepunkte
22
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(
)
2
g) f=
( x ) ln ( x − 1) ; D f =  \ {1} ;
Für x → 1 gilt f ( x ) → − ∞ ; für x → ± ∞ gilt f ( x ) → ∞ ;
Ableitungen: f ' ( x ) =
f ''' ( x ) =
4
( x −1)3
2 x −2
( x − 1)
2
−2
; f '' ( x ) =
;
( x − 1 )2
;
Graph: N1 ( 0 0 ) ; N2 ( 2 0 ) ; es gibt keine Extrempunkte und keine Wendepunkte; die
Gerade x = 1 ist senkrechte Asymptote
h) f ( x ) = 1 ⋅ ( 1 + ln ( x ) ) ; D f =  + ;
x
Für x → + ∞ gilt f ( x ) → 0 ; y = 0 ist Asymptote;
Schnittpunkt mit der x-Achse: A ( e −1 0 ) ;
Ableitungen: f ' ( x ) = −
f ''' ( x ) =
5 −6 ln( x )
ln( x )
; f '' ( x ) =
x2
2 ln( x ) − 1
x3
;
;
x4
Extremwerte: f=
' ( x ) 0=
: x 0 1 ; da f '' ( 1) < 0 , ist f ( 1) = 1 Maximum; Wendestellen:
f ''=
: x1
( x ) 0=

W e


5
( x )=
1
3 −2
e
2
e ; da f '''
( e ) ≠ 0 ist, liegt ein Wendepunkt vor; H ( 1 1) ;

 ≈ W ( 1,65 0, 91)

x − ln ( x ) f; D f =  + ;
a) Für x → 0 gilt f ( x ) → ∞ ; für x → ∞ gilt f ( x ) → ∞ ;
Ableitungen: f ' ( x )= 1 − 1 ; f '' ( x ) =
x
1
x2
; f ''' ( x ) = −
2
x3
;
Graph: T ( 1 1) ; senkrechte Asymptote x = 0 ; der Ansatz
f ' ( x ) = e ergibt die Bedingung x 1 =
wegen x 1 < 0 gibt es keine Lösung
b) Der Ansatz f ' ( x ) = −e ergibt x 0
mit f ( x 0 ) =
der Ansatz
f ( x ) −0
x −0
1
;
1− e
1
=
1+ e
1
1+ e
+ ln ( 1 − e ) ; P ( 0, 27 1,58 ) ;
= f ' ( x ) ergibt x 1 = e und P ( e e − 1)
(
)
(
)
6 Die Normale geht durch die Punkte P u ln ( 3 u ) und Q 0 u2 + 2 ; Steigung der
Normalen: m1 =
1
u
ln( 3 u ) −u2 − 2
u
=
; mit f ' ( u ) = − 1 folgt:
m
n
−u
ln( 3 u ) −u2 − 2
ln ( 3 u ) − u2 − 2 =
−u2
ln ( 3 u )
u
=2
=
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e2
3
 e2 
⇒ P 2
 3 
23
7
( ) ; einsetzen von L = 20 ergibt 2 = log ( ) , also I
= 100 I ; einsetzen von L = 40 ergibt 4 = log ( ) , also I = 10 I
a) L = 10 log 10
I20
1
I0
10
10
0
I40
I0
I20
I0
20
= 102 I0 oder
0
oder
4
40
I40 = 10 000 I0 ; damit ist I40 = 100 I20 , das heisst, die Schallintensität ist beim
normalen Reden 100-mal grösser gegenüber dem Flüstern.
L
b) I (L ) = 10 10 I0 ; es ist I ( 20 ) = 100 I0 und I ( 40 ) = 10 000 I0 ; damit beträgt die mittlere
Änderungsrate
m
=
10 000 I0 − 100 I0
=
20
9900
I
=
20 0
495 I0 ; Interpretation: Im Mittel verändert
sich bei einer Zunahme um 1 db die Intensität um das etwa 500-fache
24
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7.7
Seite 139
Funktionen mit Parameter
1
a) ft ( x )= t + e x ; t = 1; 2; 3; 4
Die Graphen sind verschobene Graphen der
natürlichen Exponentialfunktion; Erhöhung von T:
Verschiebung des Graphen in positive y-Richtung
b) ft ( x=
) t x + 1 ; t = 1; 2; 3; 4
Die Graphen sind Geraden durch den Punkt
S ( 0 1) ; Erhöhung von t: Höhere Steigung der
Geraden
c) ft ( x=
) x 2 + t x ; t = 1; 2; 3; 4
Die Graphen sind verschobene Normalparabeln
durch den Ursprung; Erhöhung von t: Der
Scheitelpunkt wird in negative x- und y-Richtung
verschoben
d) ft ( x ) = e x − t ; t = 1; 2; 3; 4
Die Graphen sind verschobene Graphen der
natürlichen Exponentialfunktion; Erhöhung von t:
Verschiebung des Graphen in positive x-Richtung
sin ( x − t ) ; t = 1; 2; 3; 4
e) f=
t (x)
Es handelt sich um verschobene Graphen der
Sinusfunktion; Erhöhung von t: Der Graph wird in
positive x-Richtung verschoben
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25
f) ft ( x )= t − e − x ; t = 1; 2; 3; 4
Die Graphen sind Graphen der natürlichen
Exponentialfunktion, jedoch punktgespiegelt am
Ursprung und verschoben; Erhöhung von t:
Verschiebung des Graphen in positive y-Richtung
x ) t x 2 − 1 ; t = 1; 2; 3; 4
g) ft (=
Die Graphen sind nach oben geöffnete Parabeln
mit Scheitel in S ( 0 1) ; Erhöhung von t: Die
Öffnung der Parabel wird kleiner
h) ft ( x=
)
3
( x + t ) ; t = 1; 2; 3; 4
Es handelt sich um verschobene kubische
Parabeln mit Sattelpunkt auf der x-Achse;
Erhöhung von t: die Parabeln werden in Richtung
der negativen y-Achse verschoben
i) ft ( x ) = sin ( t x ) ; t = 1; 2; 3; 4
Die Graphen gehören zu periodischen Funktionen
mit Wertebereich  −1 1 sie gehen durch den
Ursprung; Erhöhung von t: die Periode wird
kleiner
2
t;f=
1=
für t 1
a) f=
t ' (0)
t ' (0)
t;f=
1=
für t 1
b) f=
t ' (0)
t ' (0)
1
c) ft ' ( 0 ) =
−3 t; ft ' ( 0 ) =
1 für t =
−
t; f=
1für
=
t 1
d) f=
t ' (0)
t ' (0)
3
e) ft ' =
( 0 ) t 2 ; ft '=
( 0 ) 1 für=t 1 ( t > 0 )
f) ft ' =
( 0 ) t 2 ; ft '=
( 0 ) 1 für=t 1 ( t > 0 )
26
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Seite 140
3
a)
b) Für t =
14
3
liegt der Punkt P ( 3 −5 ) auf dem Graphen von ft
c) Ortskurve der Extrempunkte y = −x 2
d) Wegen ft ( 0 ) = 0 gehen alle Graphen durch den Punkt P ( 0 0 )
4
a
a2 
a) Tiefpunkte Ta  4 −  ; auf der x-Achse für a = ±4
2
4



2 
b) Tiefpunkte Ta  3 a 3 3 a  für a ≠ 0 ; keine Extrempunkte auf der x-Achse
 4
16 


c) Hochpunkte Ha ( 2 a 1 − a ) auf der x-Achse für a = 1
5
a)=
fc ( x ) 2,5 ( ec x + e − c x )
b)=
fc ' ( x ) 2,5 ( c ec x − c e − c x ) ;
=
fc '' ( x ) 2,5 ( c 2 ec x + c 2 e − c x ) ; notwendige Bedingung: fc ' ( x ) = 0 nur für x = 0 ;
0 ) 5 c 2 > 0 ; fc ( 0 ) = 5 , also Tiefpunkt T ( 0 5 )
hinreichende Bedingung: fc '' (=
=
=
c) f0,015 ( −100
) f0,015 ( 100
) 11, 76 (m)
d) fc ( 100=
) 2,5 ( e100 c + e−100 c =) 30 für c = 0, 0248 ; diese Gleichung kann auch mit
der Substitution u = e100 c gelöst werden; dies führt auf u2 − 12 u + 1 =
0 mit den
(
)
Lösungen u1; 2 = 6 ± 35 ; somit =
c 0, 01 ln 6 + 35 ≈ 0, 0248
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27
6
a) Achsensymmetrie zur y-Achse; keine
Nullstellen;
Asymptoten: t < 0 : x =− − 1 ; x =+ − 1 ; y = 0 ;
t
t
t >0: y =
0;
Ableitungen: f1 ' ( x ) =
f2 '' ( x ) =
(
2
8 t 3 t x −1
( t x − 1)
2
3
);
(
−8 t x
t x2 + 1
)
;
2
Extrempunkte: t < 0 : Emin ( 0 4 ) ; t > 0 : Emax ( 0 4 ) ;
3 ; Wt ; 2  +

1
3t
Wendepunkte: t < 0 : keine; t > 0 : Wt ; 1 ( −
b) y = 3
c) t =
1
3t
3 

12
81
7
a) f1 ( x ) und f−1 ( x )
b) f
c) f0 ( x )
d) zum Beispiel h1 ( x ) =
2
(x)
t2 x +1
x −1
8
a) keine Symmetrie; Schnittpunkte mit den Achsen: S 1 ( − t 0 ) und S 2 ( 0 t ) ;
Verhalten im Unendlichen: lim f1 ( x ) = − ∞ und lim f1 ( x ) = 0 ;
x →− ∞
x →∞
lokale Extrempunkte und Wendepunkte: f1 ' ( x=
) e − x ( − x − t + 1) ;
(
)
(
f1 '' =
( x ) e− x ( x + t − 2 ) ; f1 ''' ( x=) e− x ( −x − t + 3 ) ; Emax 1 − t et − 1 ; Pw 1 − 1 et − 2
)
b) Gleichung der Ortskurve: y = e − x
c) Grundseite des Dreiecks: g = 2 a ; Höhe des Dreiecks: h = a et − a ; aus der
1
1
Zielfunktion A = g h = 2 a ⋅ a et − 2 = a2 et − a folgt amax = 2
2
2
d) Gleichung der Wendetangente: y =
−et − 2 x + et − a ( 4 − t ) ; Flächeninhalt des
Dreiecks:
=
A (t )
9
ft ( x ) =
1
2
et − 2 ( 4 − t ) ; A wird maximal für t = 2
2
2 +ln( t x )
x
Definitionsbereich: t x muss positiv sein; D f =  + für t > 0 und D f =  − für t < 0 ;
6 ln( t x ) + 1
ln( t x ) + 1
2 ln( t x ) + 1
Ableitungen: ft ' ( x ) =
; ft '' ( x ) =
; ft ''' ( x ) =
4
2
3
x
x
x
 e−2 
Nullstelle: x 0 =
; Sx 
0 ;
 t 
lim+ ft ( x ) = − ∞ für t > 0 ; lim ft ( x ) = 0 für t > 0 ; lim− ft ( x ) = ∞ für t < 0 ;
e−2
t
x →+∞
x →0
x →0
x 0;=
y 0
lim ft ( x ) = 0 für t < 0 ; Asymptoten:=
x →−∞
 e−1

Extrempunkt: E 
e t  ; Maximum für t > 0 ; Minimum für t < 0 ;
 t

 −1
e
Wendepunkt: W  2
 t

28
3
2
1 
t e2 


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3π 2k π
10 Nullstellen: x 0 =
+
2t
lokale Extrempunkte: Emax
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t
(
π
2t
(k ∈  ) ;
+
2k π
t
f ' ( x ) = t 2 cos ( t x ) ; ft '' ( x ) = −t 3 sin ( t x ) ;
)
2 t ; Emin
(
3π
2t
+
2k π
t
0
) (k ∈  )
29
Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen
Lösungen Teil V
III
Integralrechnung
8
Das Integral
8.1
Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung
8.2
Definition des Integrals als Grenzwert einer Summe
8.3
Das Integral als Flächenbilanz
8.4
Die Integralfunktion
8.5
Stammfunktionen
8.6
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
8.7
Eigenschaften von Stammfunktionen und Integralen
8.8
Flächenberechnungen mit dem Integral
9
Anwendungen und Ergänzungen der Integralrechnung
9.1
Volumen von Rotationskörpern
9.2
Mittelwerte von Funktionen
9.3
Uneigentliche Integrale
9.4
Partielle Integration
9.5
Integration durch Substitution
Exkursion: Numerische Integration – die Fassregel von Kepler
Exkursion: Die Bogenlänge einer Kurve
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Lambacher Schweizer 11/12
III Integralrechnung
8 Das Integral
8.1
Seite 144
Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung
1
(
)
1
2
a) Zwischen 16 Uhr und 16:30 Uhr:
s1 =
Zwischen 16:30 Uhr und 17 Uhr:
s2 =
20 km
( 0,5 ⋅ 40 ) km =
Zwischen 17 Uhr und 17:30 Uhr:
s3 =
Zwischen 17:30 Uhr und 18 Uhr:
s4
(
=(
⋅ 40 ⋅ 0,5 km = 10 km
)
⋅ 10 ⋅ 0,5 ) km = 2,5 km
40 + 10
2
1
2
⋅ 0,5 km =
12,5 km
s = s1 + s2 + s3 + s 4 = 45 km
b) Man nähert die Kurve zum Beispiel durch Geradenstücke an.
Zwischen 7 Uhr und 7:15 Uhr:
s1 = 6, 25 km
Zwischen 7:15 Uhr und 7:30 Uhr: s2 = 15,625 km
Zwischen 7:30 Uhr und 7:45 Uhr: s3 = 21, 875 km
Zwischen 7:45 Uhr und 8:30 Uhr: s 4 = 75 km
s5 = 25 km
Zwischen 8:30 Uhr und 9 Uhr:
s = s1 + s2 + s3 + s 4 + s5 = 143, 750 km
2 Zwischen 0 Uhr und 9:36 Uhr (576 min):
Mittlere momentane Abflussmenge: 33
Zwischen 9:36 Uhr und 24 Uhr (864 min):
Mittlere momentane Abflussmenge: 32
m3
h
19 008 m3
; W1 =
(576 ⋅ 33 ) m3 =
m3
h
27 648 m3
; W2 =
( 864 ⋅ 32 ) m3 =
Abgeflossene Wassermenge: W = W1 + W2 = 46 656 m3
3
a) F-s-Diagramm:
W = F ⋅ s = ( 300 ⋅ 50 ) J = 1500 J
W entspricht dem Flächeninhalt A
10 1,5 ) J 15 J
(=
W2 = ( 20 ⋅ 1) J = 20 J
W3 ≈ ( 10 ⋅ 1, 2 ) J =
12 J
=
W1
b) Für 0 m ≤ s < 1,5 m gilt:
Für 1,5 m ≤ s < 2,5 m gilt:
Für 2,5 m ≤ s < 4 m gilt:
W ≈ W1 + W2 + W3 =
47 J
2
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4 Es sind verschiedene Lösungswege möglich, zum Beispiel: Man bestimmt
Näherungswerte für die eingestrahlte Durchschnittsleistung in den einzelnen
Zeiträumen (diese Näherungswerte kann man als Flächeninhalte von Rechtecken
entsprechend Beispiel 2 deuten).
Zeitraum
6–7
7–8
8–9
9–10
10–11
11–12
1
1,5
2
2,5
4
5,5
12–13
13–14
14–15
15–16
16–17
17–18
6,5
6,5
5
3
1,5
1
J
Durchschnittsleistung in
s
Zeitraum
J
Durchschnittsleistung in
s
Ein Näherungswert für die durchschnittliche Leistung auf 1 dm2 zwischen 6 Uhr und
18 Uhr ist: D=
1
12
( 1 + 1,5 + 2 + 2,5 + 4 + 5,5 + 6,5 + 6,5 + 5 + 3 + 1,5 + 1=)
40
12
( ) ; diese
J
s
Leistung wird während 12 h = 43 200 s auf 30 m2 = 3000 dm2 erbracht; daraus
40
12
4, 32 ⋅ 108 ; davon
ergibt sich die eingestrahlte Energie E (in J): E = ⋅ 43 200 ⋅ 3000 =
sind 30% nutzbar, das entspricht 1, 30 ⋅ 108 J =
36 kWh
5 Es sind verschiedene Lösungswege möglich, zum Beispiel: durchschnittliche
Abflussmenge ohne Gewitterregen: 5
l
s
; man bestimmt Näherungswerte für die
zusätzliche Abflussmenge in den einzelnen Zeiträumen:
Zeitraum (min)
zusätzliche Abflussmenge
(in
l
)
s
10–20
20–25
25–30
30–35
35–45
45–55
2
6,5
9
6
2
0,5
zusätzlich abgeflossene Wassermenge in Litern:
10 ⋅ 2 + 5 ⋅ 6,5 + 9 ⋅ 5 + 6 ⋅ 5 + 2 ⋅ 10 + 0,5 ⋅ 10 =
152,5 (l )
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3
8.2 Definition des Integrals als Grenzwert einer Summe
Seite 148
1
a)
b)
5
∫ 0, 25 x dx =
1
1
2
⋅
(
5
4
+
1
4
)
c)
4
⋅4 = 3
∫ 1, 8 dx = 9
−1
0
∫ 2 t dt =
−25
5
d)
e)
2
−40
∫ ( 2 x + 2 ) dx =
6
−2
−2, 25
∫ ( 0,5 u − 1) du =
−5
2
2 ,5
a)
∫
−2 ,5
2
5
∫ (− 2 x
3
b)
( 2 − x ) dx=
−3
1
2
1
2
( 3 + 1) ⋅ 5=
10
)
+ 4,5 dx =
18 (Vorgehen wie Beispiel 2)
3
a) U8 =0,5 ⋅ ( 2 + 2, 0625 + 2, 25 + 2,5625 + 3 + 3,5625 + 4, 25 + 5, 0625 ) =12, 375
O 8 =0,5 ⋅ ( 2, 0625 + 2, 25 + 2,5625 + 3 + 3,5625 + 4, 25 + 5, 0625 + 6 ) =14, 375
4
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b)
x
f (x)
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
2,5
2,75
3
4,5
4,21875
3,875
3,46875
3
2,46875
1,875
1,21875
0,5
O 8= 0, 25 ⋅ ( 4,5 + … + 1, 21875 )= 6, 15625 ; U8= 0, 25 ⋅ ( 4, 21875 + … + 0,5 )= 5, 15625
U8 =0,5 ⋅ ( 2 + 2, 0625 + 2, 25 + 2,5625 + 3 + 3,5625 + 4, 25 + 5, 0625 )
= 12, 375
O 8 =0,5 ⋅ ( 2, 0625 + 2, 25 + 2,5625 + 3 + 3,5625 + 4, 25 + 5, 0625 + 6 )
= 14, 375
c) O 8 = 6, 15625 
 genau wie b), nur um 2 nach rechts verschoben
U8 = 5, 15625 
d) Mit Wertetabelle erhält man: O 8 = 12, 794 ; U8 = 12, 413
4
a) U10 = 0, 2 ⋅ ( 0 + 0, 04 + … + 3, 24 ) = 2, 28
2
b)
∫x
0
2
()+ ()
( )⋅ ⋅( )
dx =
1 1
n n
2
1 2 n− 1 2 n
6
n
n
1
lim Un = ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 4
6
n →∞
=
1 3
n n
2
+… +
( )
1 2 n− 1
n
n
2
=
1 1
⋅ ⋅
n3 6
( 2 n − 1)( 2 n )( 4 n − 1)
4 n− 1
n
8
=
3
5
12 ,5
a) v = 0 wenn t = 12,5
b)
∫ ( − 0, 8 t + 10 ) dt ≈ 62,5 (m)
0
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5
6
a)
2
On = 
n
=
16
n4
( ) + ( 2 ⋅ ) + … + (n ⋅ )  =
2
n
3
2
n
3
2
n
⋅ ⋅ n2 ( n + 1 ) = 4 ⋅
1
4
2
3
n+ 1 n+ 1
⋅
n
n
24
n4
⋅ ( 13 + 2 3 + … + n3 )
( ) ⋅ (1 + ) ;
=4 ⋅ 1 +
1
n
1
n
lim On = 4 ; der gesuchte Flächeninhalt ist A = 4
n →∞
( ) + ( 2 ⋅ ) + … + ((n − 1) ⋅ )  = ⋅ ( 1 + 2
( n − 1) ⋅ n = 4 ⋅ ⋅ = 4 ⋅ ( 1 − ) ⋅ ( 1 − ) ;
b) Un =2 ⋅ 03 +
n 
=
16
n4
⋅
1
4
2
n
3
2
2
n
2
3
2
n
n− 1 n− 1
n
n
3
1
n
24
n4
3
3
+ … + ( n − 1)
3
)
1
n
lim Un = 4
n →∞
6
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8.3
Seite 150
Das Integral als Flächenbilanz
1
0
a)
−0, 3 + 0, 8 =
0,5
∫ f ( x ) dx =
b) …
= 0, 8 + 2,=
9 3, 7
−2
c) …
= 2, 9 − 1,=
1 1, 8
d) … = −0, 3 + 0, 8 + 2, 9 − 1, 1 = 2, 3
2
a)
b)
3
1
3
∫ − x dx =
−4
1
2
⋅
(
4
1
⋅4 −9⋅
3
3
)=
7
6
c)
1
1
∫ ( 2 t − 1) dt= 2 ( −1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 )=
6
3
0
d)
−4
∫ 2 dx =−2 ⋅ 5 =−10
1
5
(Integrationsgrenzen sind vertauscht)
∫ ( −x
2
+ 5 ) dx ≈ 14, 9
− 5
3
a)
b)
c)
d)
Negativ:
Null:
Negativ:
Negativ:
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keine Nullstelle im Integrationsbereich; Graph unterhalb der x-Achse
da gleich grosse Flächen ober- und unterhalb der x-Achse
die Fläche unterhalb der x-Achse ist grösser als die oberhalb der x-Achse
da gesamte Fläche oberhalb der x-Achse, aber untere Integrationsgrenze
grösser als obere
7
8.4
Seite 152
Die Integralfunktion
1
2x
a) Ι 0 ( x ) =
8
−x 2
c) Ι 0 ( x ) =
x2
b) Ι 0 ( x ) =
1
2
d) Ι 0 ( x ) = x 2 + x
1
2
2
a)
b)
3
a)
b)
c)
d)
Abnahme von 0 bis 6 Uhr; dann Zunahme bis 18 Uhr; dann wieder Abnahme
schnellste Änderung um 12 Uhr und um 0 Uhr
minimal t = 6 ; maximal t = 18
die Differenz ist 8 °C
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8.5
Seite 154
Stammfunktionen
1
x)
a) F (=
3 2
x
2
+c
x)
b) F (=
1 3
x
6
1 4
x
2
+c
c) F=
(x)
+c
f) F ( x )=
2
2
x2 + c
d) F ( x ) = c
x)
e) F (=
−2 x −1 + c
g) F ( x ) =
−5 x −1 + c
h) F ( x ) =
F ( x ) 0, 3 x −2 + c
i) =
j) F (=
x)
+c
k) F ( x )=
l)
x4 + c
n) =
F ( x ) 3 3 x7 + c
F (x)
m) =
8
3 x3
3
4
3
−
p) F ( x ) =
4
3 x
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4
x
+c
1 3
x
12
f ( X=
)
2
9X
F (x)
o) =
20
3
1
2
− x+c
+c
5
x3 + c
+c
9
Seite 155
2
a) F ( x ) =
d) F ( x ) =
g) F ( x ) =
1
xn + 1
n+1
1
x2 − 2 k
2−2k
−3
x− n + 2
−2n+4
b) F ( x ) = x n
1
n
c) F ( x ) =
e) F ( x ) =
1
x− 1 − n
−2−2n
c
−
xn + 1
n+1
f) F ( x ) =
h) F ( x ) =
1
x2 n + 1
2n+1
−2
x− n + 1
−n+ 1
3
x ) 4 ex + c
a) F (=
b) F ( x ) =x 2 − cos ( x ) + c
c) F ( x ) = x 6 − 2 e x + c
3 x + 2 cos ( x ) + c
d) F ( x ) =
=
F ( x ) 2 ln ( x
e)
f) F ( x ) =x 2 − x 3 + c
g)
− sin ( x ) + c
h) F ( x ) =
1
2
1
2
)+c
F=
( x ) 34 ln ( x ) + 31 x + c
5
3
4
a) F ( x ) =
1 3
x
3
− x2 + c
3
b) G ( t ) = t 2 + c ⇒
2
3
c) K ( z ) = z 2 + 5 z + c
7
3
⇒
−
1
6
1
3
−1+c
d) H ( x ) =x5 + x 4 − 2 x + c
()
5
2
=
2
⇒
c=
−2, 36
5
2
c=
27
2
7 =−1 + 1 + 2 + c ⇒
⇒
f) F ( x ) =2 x + c
2 =2 ⋅ 3 + c
⇒
c= 3
+ 5⋅ +c ⇒
⇒
2 a + 4 a+c
e) R ( a ) =
2
⇒
3
2
3
8 =⋅ 22 + c
21
4
⇒
=
2=
18 − 12 + c
⇒
⇒
c =5
c=
−4
c =−4
5
a)
1 8
x
8
+c
b)
d) k ln ( u ) + c
a2 −3
z
−3
+c
c) − et + c
e) − sin ( x ) + c
6
a) in e
f)
b) in a
2 3,5
r
7
c) in a
+c
d) in b
7
(1) stimmt, da die Ableitung f von F in diesem Intervall immer negativ ist
(2) falsch – hier ist die Stelle grösster negativer Steigung; ausserdem ist hier ein
Wendepunkt
(3) stimmt, da die 1. Ableitung gleich Null ist und f von negativen zu positiven
Funktionswerten wechselt
(4) nein – muss nicht sein – hängt von der Konstanten ab
8
x)
a) Stammfunktionen von f ( x ) = x 3 sind F (=
=
m1; 2
x 1; 2 =± 4 −4 c ; für die Steigungen
also
4
1
−4 c =
4
x)
ist F (=
−4 c
1 4
x
4
−
10
+ c mit den Nullstellen
F ( x ) ) ' f ( x ) muss m
(=
1; 2
1; 2
1
=
1
m2
sein,
1
4
; Lösung dieser Gleichung c = − ; die gesuchte Stammfunktion
1
4
x
x 2 + c ; Maximum in H
b) F ( x ) =−
3
2
1 4
x
4
(
1
3
c+
1
6
)
⇒
c<−
1
6
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9
a) F ( x ) = x 3 − x 2 +
(
b) G ( x )
( )
bei x 1 =
) = f ( − 2 ) =6
1
1
44
; F' − 2
3
2
3
1
1
= x3 − x2 + c ; G ' x =
3
2
1
; G 1 = 1 − 1 +c = 2 ;
2
24 8
2
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()
f ( x ) ; G '' ( x=
) f ' ( x=) 2 x − 1 ; G hat Wendestelle
c=
25
12
; G ( x ) = x3 − x2 +
1
3
1
2
25
12
11
8.6
Seite 158
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
1
4
 4
b)  x  = 60
 4  −2
4
1
a)  x 2  = 7,5
 2 1
2
1
c)  −  =
1,5
 x  0,5
−10
6
992
 3
d) 2 x = 2 6 − 2 ≈ 2, 899 e)  x  = −

1
3
3
  −2
0
0

x3 
g) ∫ ( 4 + 4 x + x ) dx =  4 x + 2 x 2 +  =
3

 −2
−2
2
−4
−444
f)  x − x 3  =
−8
2
 x2 1 
1
h)  +  =
 2 x 1
8
3
−3
i)
 x6 
 2  = 0
3
l)
2 4
k
3
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
j)
k) 20 − 10 =
10
5 k − 1k =
4k
falsch; die Grenzen müssen in Klammern und „–„ untere Grenze fehlt
richtig
„–„ vor x 2 vergessen
„–„ vor dem ersten x 2 fehlt
„–„ vorne vergessen
richtig; nur die Schreibweise bei der ersten Grenze ist unvollständig
3
∫(
4
a) A =
0
5
c) A = ∫
1
1 2
x
4
)
+ 2 dx =
3
40
3
1
x dx
∫=
2
b) A
=
2
−2
( + 1) dx = 4, 8
35
6
1
x2
4
a)
1 2
x
4
= 4−x
−2  2 5
−2+2 5
b)
∫
0
1 2
x
4
1 2
x
4
⇒
+x−4 = 0
(
⇒ S −2 + 2 5 1,53
4
dx +
∫
−2+2 5
⇒
x 1; 2 =
−1 1+ 4
1
=
2
)
−2+2 5
1
− x ) dx  x 3 
(4=
 12  0
4

x2 
+ 4 x − 
2

− 2 + 2
5
= 1, 259 + 8 − 6, 833
= 2, 426
12
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Seite 159
5
4
−x 3 + 3 x ;  − 1 x 4 + 1,5 x 2  =−
a) F ' ( x ) =
( 64 + 24 ) − ( − 64 + 24 ) =0
 4
 −4
bei den restlichen Aufgaben muss wie in a) durch Ableitung von F ( x ) wieder f ( x )
herauskommen; im Folgenden werden nur noch die Ergebnisse der Integrale
angegeben
b) − 2
8
9
c)
d) −7, 27
f) − 27
e) 1, 44
6
4π
a)
4π
cos ( x ) dx =
sin ( x )  0
0
∫=
0
−1
1
1
1
3
b)  − x −2  =− + =−
2 8
8
 2
 −2
−1
c) ln ( x )  1 = 1
e
− 54, 23
e −1 − e 4 =
d) e x  =
4
e)  x ln ( x − x )  4 =− 1 − 4 ln ( 4 ) + 4 =− 2,55
1
f)
2π
1 − cos ( 0,5 ) =
0, 12
cos ( t )  0,5 =
−289
 3
g)  1 x 2 
3

0
=
4913
3
4
4
h)  x 0,75 ⋅  =
1,53
3 2

7
ln ( 2 )
a)
∫ f ( x ) dx =F (ln ( 2 ) ) − F ( 0 ) =2 − 1,5 =0,5 ; Fläche = 0,5
0
−1
b)
∫ f ( x ) dx = 1,6 − 0, 2 = 1, 4 ; Fläche = 1, 4
0,75
0,5
c)
∫ f ( x ) dx = 1,6 − 0, 7 + 0, 8 − 0, 7 = 1 ; Fläche = 1
−1,5
8
s ( t ) =⋅ 9, 81 ⋅ t 2 ⇒
9
L = ⋅ 40 ⋅ 25 + ⋅ 30 ⋅ 25 = 875 ( cm )
1
2
1
2
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s (t ) =
44, 14 ( m )
1
2
13
10
2
2
a)
1
 1 x2  =
2 − k2 =
0 ⇒
∫k x dx =
2
 2 k
b)
∫x
k
2
0
2k
1
c)
∫x
d)
∫(
2
1
k
2
k
1
1
dx =  x 3  = k 3 = 5
 3 0 3
1
x3
2k
)
∫ (− k x
k
∫ (− x
0
k
5
3
⇒
k=
(
) ( ) =−( )
1
− 1 + x2  =
+ 2 x dx =
− 2 + k2 −
 2 x2
 2
2k
2
31
8
2
 − k x 3 + k x  =k =
4 ⇒
+ k ) dx =
3
 3

1
4
1
0
14
1
k=
±4
2
k=
3
− x3 + k x2  =
+ k x ) dx =
− k 3 + k 3 =k 3 =
288
2
3
2
6
 3
0
a
Ι ''
⇒
−1
(
)
1
k
1
1
0
11 Ι ( a ) =
− a2 + a ; Ι ' ( a ) =− 2 a + =
∫ − a dx =
x
a
( ) =− 2 < 0
1
4
31
8
1
−1
f)
k = 3 15
1
1
7
dx = −  =− + 1 =
2k
10
 x 1
1
e)
⇒
k=
±2
⇒
1
2
1
2
1
⇒
⇒
k=
12
1
4
a= ;
1
4
Maximum bei a =
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8.7
Seite 162
Eigenschaften von Stammfunktionen und Integralen
1
1,2
a)  3 x2

x
2
x
17, 41
−
+

 =
2

 −2
c)
e)
4
d)
3
f)
 1 x 2 ( 2 + t )2  =
0
4
 −4
1
2  − + ln ( t )  =− 1, 03
 t
 4,5
g) ln ( z 2 + 2 z + 1)  =
− 1, 83
4
1
i)
5
b) 3 5 ln ( z ) + z 2  =
96, 14
1
2 u2 − 2 ( u ln ( u ) − u )  =
13, 41
1
3
k) ln ( t 2 + 1)  =
2, 14
1
4
2
a)
2
3
4
2


3
6, 31
( 2 x + 4 )  =
2
−1
− 1 x 4 + 2 ex  =
20,64
 4
 −3
0,5
h) e6 x − 1  = 7, 39
−1
π
j)
4, 23
ln ( x ) − 2 cos ( x )  1 =
l)
 2  = −4
3
 1− x  0
−2
b)
( )
3π
1, 10
ln ( x − 2 )  3 =
2 sin t − π  =
0

2 
π
c)
d)
5
0,53
2 u ln ( u ) − 2 u − 2 u e =
4
0
 1 3 x2

10
−
 3 x + 2 − 2 x =
3

 −2
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15
Seite 163
3
−2
(1)
 1 x 4 + x −1  =
7
2
1
(2)
 1 ln ( 4 a2 + 1)  =
0, 31
4
 −1
(3)
nur mit Rechner: 8, 39
(4)
2,69
 x + ln ( x )  2 =
(5)
nur mit Rechner: 0, 72
(6)
44
 1 u5 − u =
5
 −2 5
(7)
 1 3 e2 2 
10,56
 12 r + 8 r  =

0
(8)
 4 32 4 52 
− 0, 75
3 v − 5 v  =

0
(9)
1
2
2
4
2
3
2
ln ( 2 eb + 2 )  =

 −1 −0, 15
−4
(10) nur mit Rechner: 6, 71
2
3
1
(12)  x 4 + x 2  =
0
2
4
 −2
(11) nur mit Rechner: 6, 22
4
b) sin ( 4 x ) + c
1
2
a) − e2 − 2 t + c
c)
1
ln
2
b)
∫(
d) − 2 cos ( 3 t + 3 ) + c
(t ) + c
5
5
a)
4
∫ (6 x + 4 ) dx = 96
−1
3
)
x− x =
dx 3 3 4 −
1
65
12
≈ −0,65
6
a
a)
∫x
2
dx =
−a
∫( 4 x
a
b)
1
3
1
∫ (− u
a
c)
−2
2
2
2 3
a
3
= 10 ⇒
)
1
16
a=
3
15
− 8 x dx =( a4 − 64 a2 + 63 ) =
90
)
2
a
+ 2 u du =a2 + − 3 =− 3
⇒
a
d)
∫ 3 sin ( x ) dx = − 3 ( cos ( a) + 1) = 0
⇒
⇒
a=
±9
a =− 3 2
a = 2 π n − π (n ∈  )
−π
7
3
a)
3
3
3
2
3
2
3
∫− 3 x dx =  3 x  − 3 = 9 + 9 = 18 ; 2 ⋅ ∫0 x dx = 2 ⋅  3 x 0 = 2 ⋅ 9 = 18 ;
1
1
Der Graph von f ( x ) = x 2 ist symmetrisch zur y-Achse; wenn man die
Integrationsgrenzen symmetrisch wählt, wird die Fläche von der y-Achse halbiert.
b) Individuelle Lösung; Beispiel in a) (Funktion muss symmetrisch zur y-Achse sein)
16
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8
a) f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d ;
f ( 0 ) =0 ⇒
d =0 ;
f ( − 3 )= 0 ⇒ − 27 a + 9 b − 3 c = 0 
0
 ⇒ b=
f ( 3 ) = 0 ⇒ 27 a + 9 b + 3 c

f ( 1) =− 1 ⇒ − 1 =a + c ⇒ c =− 1 − a ⇒ 27 a − 3 − 3 a =24 a − 3 =0
1
8
9
8
⇒ a= ⇒
c=
−
b) f ( x ) =
9
8
1
8
x3 − x − f ( x )
c) Wegen Punktsymmetrie sind die Flächen unter- und oberhalb der x-Achse gleich
gross.
1
d) Weil die Fläche
∫ f ( x ) dx = 0
ist (wegen c)).
−1
9 Es sei F eine Stammfunktion von f.
b
∫ k ⋅ f ( x ) dx = (k ⋅ F (b ) ) − (k ⋅ F ( a) )
Faktorregel:
a
b
= k (F ( b ) − F ( a ) ) = k ∫ f ( x ) dx
a
Summenregel:
siehe Lehrbuch Seite 161
Vertauschungsregel:
F (b ) − F ( a) =
− F ( a) − F (b ) =
− ∫ f ( x ) dx
∫ f ( x ) dx =
b
a
a
b
b
Intervalladditivität:
∫ f ( x ) dx = F (b ) − F ( a) = F (b ) − F ( c ) + F ( c ) − F ( a)
a
=
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b
c
c
a
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
17
8.8
Seite 167
Flächenberechnungen mit dem Integral
1
a) Nullstellen: x 1; 2; =
0; ± 2
3
0
⇒
=
A
2
−1
=
3
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
1
8
0
2
0
x4 − x2  +
 −1
 1 x4
8
2
=
+
0, 875
2
b) Nullstellen: x 1; 2 =− 2; 1 ⇒
c) Nullstellen: x 1; 2 = 1; 3 ⇒
d) Nullstellen: x =
π
;
4
…
−4 ⇒
e) Nullstelle: x =
f) Nullstelle: x =0,5 ⇒
3
1
− x2  +  x4 − x2 
0  8
2
+
= 6
3, 125
A =3,67 + 9 + 17, 33 =30
A = 0, 42 + 0, 2 + 0, 31 = 0, 93
⇒
A = 3, 99 + 1, 78 = 5, 77
A=
1, 17
A = 1, 15 + 0, 28 = 1, 43
2
a) Nullstellen: x 1; 2;=
0; ± 2 ;
3
0
2
A = ∫ ( − x 3 + 4 x ) dx + ∫ ( − x 3 + 4 x ) dx =2 ⋅  − x 4 + 2 x 2  =8
 4
0
0
−2
3
b) Nullstellen: x 1; 2 = 1; 3 ; A=
2
1
∫ (x
1
2
1
− 4 x + 3 ) dx =  x 3 − 2 x 2 + 3 x  =
3
1
3
9
3
2
c) Nullstellen: x 1; 2 = ± 2 ; A = 2 ⋅  − x 3 + 2 x  dx = 3, 77
 3
0
1
2+ 3
1
d) Nullstellen: x 1; 2= 2 ± 3 ; A =  x 2 + ln ( x ) − 4 x 
2
2−
3
≈ 4, 294
2
1
4
2 ⋅  x5 − x 3  =
8,53
e) Nullstellen: x 1; 2;=
0; ± 2 ; A =
3
3
5
0
2 ,25
3
 3

2 2
−
x
+
x
− 2 x
=
0, 33
f) Nullstellen: x 1; 2 = 0, 25; 2, 25 ; A =
 2
3

 0,25
18
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3
2
2
1
1

A ∫ ( 0, 1 x − x + 1)=
dx  x 3 + 3 x − x 2 =
7, 8
a) =
30
2


−1
2
−1
∫(
5
A
b)=
e
4
A
c) =
∫(
0
5
)
ln ( x ) − =
dx  x ln ( x ) − x −=
x  2, 44
x
1
e
4
)
3
3

=  ( x + 2 ) 2 + 5 e − 0,2 x + x = 9, 16
x + 2 − e − 0,2 x + 1 dx
2

0
−2
d) A =∫ x 2 −
−4
−2
1
1
221
dx = x 3 +  = ≈ 18, 4
x − 4
12
3
(− x)
1
2
4
(
2
k
)
k
k
a)  − 0, 25 x 2 + 2 x  =− + 2 k =k − + 2 =0
0
4
4
k
1
b)  x 3 − x 2 − 3 x  =
3
0
1
3
k3 − k2 − 3 k = k
(
1
3
k
1
4
1
4
k 4 − k=
k
1
3
d)  x 4 + x 2 − 2 x  =
4
4
0
1
4
k ( k 3 − 4 )= 0
3
4
k =8
)
k −k −3 = 0
(die anderen möglichen Lösungen sind 0 und
1
c)  x 4 − x  =
4
0
⇒
k4 + k2 − 2 k = 0
⇒
⇒
3
2
−
k=
3
2
3
⇒
k=
3
2
+
3
2
5 ≈ 4, 854
5 , also nicht die gesuchte)
4 ≈ 1, 32
k ≈ 1,512 (mit Rechner durch
Probieren)
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19
5
a)
2
 2 x 3 + 2 x 2  =8
A =∫ ( − x 2 + 4 x − x 2 ) dx =−
 3
0 3
0
2
b)
Schnittpunkte: x = − 2; 0; 1,5
0
=
A
∫ (x
3
+ x 2 − 2 x − x − 0,5 x 2 ) dx +
−2
1,5
∫ (− x
3
− 0,5 x 2 + 3 x=
) 3, 33 + 1,55= 4, 88
0
c)
Schnittpunkte: x = 0,5; 2
∫ (− x
2
A=
1
2
)
− 2,5 x + 5, 25 dx = 1,69
0,5
d)
Schnittpunkte: x = 2; 3
∫(
3
=
A
2
20
)
x − 2 − ( x − 2 ) dx
= 0, 33
2
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6
a) g ' ( x ) = x ⇒ g ' ( 3 ) = 3 ⇒
3
⇒ =
A
∫ 0,5 x
4,5 = 3 ⋅ 3 + t ⇒ t = 4,5 ⇒ t ( x ) = 3 x − 4,5
3
dx −
2
0
=
∫ ( 3 x − 4,5 ) dx
1,5
b) g ' ( x ) =4 ( x − 2 )
3
3
 1 x 3  −  3 x 2 − 4,5 x  = 1, 125
 6 0  2
 1,5
⇒ g ' ( 0 ) =− 32 ⇒ 16 =− 32 ⋅ 0 + t
3
2
⇒ t (x) =
− 32 x + 16 ⇒
A =−
∫ ( x 2 ) dx −
4
∫ ( − 32 x + 16 ) dx
0
1
5
2
⇒ t =16
0,5
0
 −  − 16 x + 16 x  = 6, 4 − 4= 2, 4
0
0 
−3
c) g ' ( x ) =
− 2 x ⇒ g ' ( 0,5 ) =
− 16 ⇒ 3, 75 =
− 16 ⋅ 0,5 + t ⇒
=
(x − 2)
5
0,5
2
⇒ t (x) =
− 16 x + 11, 75 ⇒
3,75
47
64
0,5
0,5
−2
A=
∫ ( x − 0, 25 ) dx −
t=
11, 75
∫ ( − 16 x + 11, 75 ) dx
47
3,75
=  − x − 1 − 0, 25 x  −  − 8 x 2 + 11, 75 x  64 = 0, 96 − 0, 44 = 0,52
0,5
0,5
−3 x +6 ;
W ( 1 3 ) ; Wendetangente: t ( x ) =
7 Wendepunkt:
1
1
Fläche: A = ∫ ( − 3 x + 6 ) − ( x 3 − 3 x 2 + 5 ) dx =
4
0
8
7
a) A =
∫
x + 2 dx −
−1
1
1
1
⋅ 1⋅ 2 − ⋅3 ⋅3 + ⋅ 1⋅3 =
2
2
2
7
3
2

2
+
x
2
(
)
 3
 − 4 =
−1
52
3
− 4=
40
3
b) Parabelgleichung:
y = a ( x − 3) + 1 ⇒
1,5 = a (5 − 3 ) + 1 ⇒
2
2
a=
1
8
⇒
t (x) =
1
8
(x − 3)
2
+1
1
1
f ' ( x ) =( x − 3 ) ; f ' (5 ) = ⇒ g ( x ) =
0,5 x − 1
4
2
∫ ( 8 ( x − 3)
5
⇒
1
2
)
+ 1 − 0,5 x + 1 dx =
5, 21
0
− 2 x + 6;
9 Normale durch P ( 2 2 ) : n ( x ) =
2
3
Fläche: A = ∫ − 2 + 3 dx + ∫ − 2 x + 6 dx = 4 − 2 ln ( 3 ) + 1 = 5 − 2 ln ( 3 )
2
3
x
2
x = mx
10 Schnittstellen:
⇒
x 1 = 0; x 2 =
1
m2
;
1
m2
∫
x − m x dx =
0
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1
3
6m
=
a
2
⇒ m=
1
3
21
Seite 168
11
2
a) A ( t ) =∫
1
t
x
2
2
t
t
t
dx = −  =− + t = ; A ( t ) = 8 ⇔
2
2
 x 1
t = 16
b) Nullstellen: x = ± t
t
 t3
 4
A ( t ) =⋅
2 ∫ ( x 2 − t 2 ) dx =
2  − t 3  =t 3 ; A ( t ) = 36
3

 3
0
⇔
t= 3
12
4
a) A
=
1
x dx
∫=
4
2
0
b) Grenze:
1 2
x
4 1
4
1 3
=
x
 12  0
=a
⇒
16
3
; gesucht: a, damit
x1 = 4 a ; A2 =
4
∫
4a
(
1 3
a
12
1 2
x
4
=
8
3
)
⇒
− a dx =
8
3
a=
⇒
3
32 ≈ 3, 175
a=1
13
a) Volumen = Gesamtfläche · Länge
=
y
Parabelgleichung:
1 2
x
20
− 80 ;
∫ ( 20 x
40
Parabelfläche: A =1002 + 2
17 200
3
cm2
2
⇒
)
12 800
3
− 80 dx =
0
Restgrundfläche:
G=
1
( cm ) ;
2
Volumen : V = 573, 3 dm3 ≈ 0,57 m3
⇒
Masse : m ≈ 1, 3 t
− ( x − 100 )( x − 300 )
b) Parabelgleichung: y =
1
40
Parabelfläche: A =
10
3
Restfläche: 9,67 m2
m2 ;
⇒
Volumen : V =
96, 7 m3
⇒
Masse : m ≈ 222, 3 t
14
1
k
1
3
2 2
a) Nullstellen: x 1 = 0 ; x 2 = ; Fläche: A =
∫ (k x − k x ) dx = =
1
k
6k
0
4
⇒
2
9
k=
1
a
b) Schnittstellen: x 1 = 0 ; x 2 = ;
1
a
2
Fläche: A =
∫ ( x − a x ) dx = 2 =24
0
b
1
6a
6
⇒
1
12
a=
 2 e − 0,5 x  =− 2 e − 0,5 b + 2 =1
c) A =∫ e − 0,5 x dx =−
0
⇒
b =2 ln ( 2 ) ≈ 1, 39
0
22
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15
a) fa ( x ) = x 2 − a =0
1
a
⇒
x =± a
fa ( x ) und ha ( − x ) =
ha ( x )
b) fa ( − x ) =
0
⇔
c) ha ( x ) =
a
d) A ( a ) =2 ∫
0
A ' ( a)
(
1 2
x
a
8
4
=
− a + a2
3
3
4
=
− a 2−a
3
(
x=
±a
⇒ beide haben gleiche Nullstellen
)
− a − x 2 + a2 dx =2  a2 − a2 − a3 + a3  =− a2 + a3
3
3
9
3
3
9
3

1
1
1
=
0 ⇔
a1 =
0
)
a2 =
2
⇔
a
<2
2
>2
A ' ( a)
<0
0
>0
1
1
4
4
( )
⇒ Minimum der Fläche in 2
16
9
A ( a)
16 Sei E
(
a
− a2
)
+ 3 und F
(
a+ 2
− a2
)
− 4a−1 ;
1. Möglichkeit: eingeschlossene Fläche zwischen f und Gerade g durch E und F:
g ( x ) =− ( 2a + 2 ) ⋅ x + ( a2 + 2 a + 3 ) ⇒
a+ 2
A =∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =
4
3
a
2. Möglichkeit: Fläche unter f von a bis a+2 abzüglich Trapezfläche:
a+ 2
a+ 2
f ( a ) + f ( a+ 2 )
= ∫ f ( x ) dx − A Trapez = ∫ ( − x 2 + 3 ) dx −
⋅2
A
a
=− 2 a2 − 4 a +
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2
a
10
3
−
− 2 a2 − 4 a+ 2
⋅2
2
4
3
=
23
9 Anwendungen und Ergänzungen der Integralrechnung
9.1
Seite 172
Volumen von Rotationskörpern
1
a)
=
V
b)
683
π
30
≈ 71,5236
=
V 360 π ≈ 1130, 9734
c)
V ≈ 24, 101 π ≈ 75, 715
2
a)
b)
Integration von − 2 bis 2 ergibt:
V=
512
π
15
≈ 107, 2330
c)
24
=
V
324
π
5
≈ 203,5752
d)
Integration von − 2 bis 0 ergibt:
V
=
Integration von 0 bis 6 ergibt:
128
π
105
≈ 3, 8298
Integration von 0 bis 4 ergibt:
V=
64
π
3
≈ 67, 0206
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
Seite 173
3
a)
V=
b)
55
π
2
≈ 86, 3938
V=
4
a)
π ≈ 33,510
b)
Integration von 0 bis 4 ergibt:
V=
32
3
8
π
3
Integration von 0 bis 2 ergibt:
V
=
≈ 8, 3776
192
π
35
≈ 17, 2339
c)
Integration von 0 bis 1 und von 1 bis 2 ergibt:
V = 2 π ≈ 6, 2832
5
a)
5
V = π ⋅ ∫ 2 2 dx = 20 π ; mit V = π ⋅ r 2 ⋅ h gilt: V = π ⋅ 2 2 ⋅ 5 = 20 π
0
x ) r (r ≥ 0 ) über dem Intervall [0; h] um die xb) Rotiert der Graph von f mit f (=
Achse, so entsteht ein Zylinder mit Grundkreisradius r und Höhe h; für sein Volumen
h
h
gilt: V = π∫ r 2 dx = π r 2 ⋅ x  = π ⋅ r 2 ⋅ h
0
0
b
6 Aus π∫ ( f ( x ) ) dx = π b2 =30 folgt
=
b 2
2
0
2
1
15
π
≈ 4, 3702 ; die Flüssigkeit steht in
dem Gefäss bis zu einer Höhe von etwa 4,37.
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25
7
a) Man wählt das Koordinatensystem so, dass der Ursprung im Mittelpunkt des
Fasses und die Mittelachse des Fasses auf der x-Achse liegt; bei der Längeneinheit
− x 2 + 1 und für V ( in m3 ) gilt:
1 m erhält man f mit f ( x ) =
5
9
0,6
V=π
∫ ( f ( x ))
2
dx =
− 0,6
b) V=
1
243
π
250
656
π
625
≈ 3, 2974
≈ 3, 0536
V=
2
prozentuale Abweichung 7, 39 %
392
375
π ≈ 3, 2840
prozentuale Abweichung 0, 41 %
8
5
a)
∫ (c x + c )
2
2
5
b)
∫ ( f ( x ))
0
2
5
 1 ( c x + c )3  =
dx =
63 c 2 =
7 ⇒
3c
2
u
1
3
c=
±
π
40
u5 −
dx − 2 ∫ ( f ( x ) ) dx =
0 führt auf
2
0
25 π 3
u
24
+
625
24
π =0 ;
Ergebnis: u ≈ 3, 2157
9 Man erhält:
r
r
r
Kugel: V =
π ∫ ( f ( x ) ) dx =
2 π ∫ ( f ( x ) ) dx =
2 π r 2 x − x 3  = r 3
3
3

0
0
−r
2
1
2
r
4π
r
2
1
π 2
Kugelabschnitt: V =
a ( 3 r − a) ;
π ∫ ( f ( x ) ) dx =
π r 2 x − x 3  =
3
3


r −a
r −a
V
dann ist=
π 2
a
3
a)
( 3 r −=
π
a
6
(6 a r − 2 a ) und nach dem Satz des Pythagoras gilt:
2
r 2 = r12 + (r − a ) und folglich 2 a =
r r12 + a2 ; dies ergibt dann
2
V=
π
a
6
(6 a r − 2 a =)
10 Ring I: V1 =
2
9
2
π
a
6
( 3 (r
π ≈ 14, 1372
9
π ≈ 14, 1372
2
9
Ring III: VIII =
π ≈ 14, 1372
2
Ring II: VII =
26
2
1
)
+ a2 ) − 2 a2 =
π
a
6
(3 r
2
1
Ring IV: V=
IV
VV
Ring V:=
+ a2 )
(e
11
5
2
− 3 ) π ≈ 13, 7886
6 π ≈ 16, 9297
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9.2
Seite 175
Mittelwerte von Funktionen
1
a) f =
1
4
4
∫ (− x
2
+ 4 x ) dx =
0
3
−
( )  dx =
1 
b) f =
1− 2
2 ∫
x
1
8
3
2
1
3
2 Individuelle Lösungen, zum Beispiel: f ( x ) = 1 ; g=
( x ) 0,5 x + 1 ; h ( x ) = 0, 75 x 2
3
a) Da 2 der Mittelwert ist, gilt: 2 =
b)
6
6
6
1
1
1
1
5
6
∫ f ( x ) dx ; also
1
6
∫ f ( x ) dx = 10
1
∫ ( f ( x ) − f ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ 2 dx = 10 − 10 = 0
c) A=
A=
2, 4
2
1
4
a) Wenn f der gesuchte Mittelwert ist, dann
begrenzt die Parallele zur x-Achse mit der Gleichung
y = f über [0; 10 ] ein Rechteck; der Flächeninhalt
dieses Rechtecks ist gleich dem Inhalt der Fläche
unter y = v ( t ) über [0; 10 ] ; man versucht, die
Parallele so zu legen, dass die genannte Bedingung
näherungsweise erfüllt ist.
b) v
=
1
10
10
∫ v ( t ) dt ≈ 18,519
0
c) Für die zwischen 0 und 10 s gefahrene Strecke S
gilt:
10
=
S
∫ v ( t ) dt ≈ 185, 195 m (oder: S =
10 ⋅ f ≈ 185, 19 m )
0
5
a) v 2=
1
3
( 15
2
+ 27 2 + 312 ) ≈ 638
2
 1 ( 15 + 27 + 31)  ≈ 592
b) v=
3

Die beiden Mittelwerte sind im Allgemeinen nicht gleich.
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27
9.3
Seite 177
Uneigentliche Integrale
1
a) lim 3 ln ( x )  1 = lim 3 ln ( x ) = ∞
a
a →∞
a →∞
0
b) lim 2 e  = 2
a
a →∞
x
c)
−1
lim 2 x − 2  = 2
a
a →− ∞ 
2
8
1
x

b) lim  −2 e 2  =
2 e − 1 ≈ 0, 74
a →∞

2
a
1
1
a) lim  −  =
2
a →∞  x + 1  1
1
1
∞
c) lim  − 2  =
a →∞ 
 k  − a
4
d) lim 8 x  = 16
a
a →− ∞ 
3
a) Asymptote: y =
1
2
a
x ; lim ∫
a →∞
2
2
x2
2
2
dx = lim  −  = 1
a →∞  x  a
1
3
b) Asymptote ( y = e x für x → + ∞ ): y = − x für x → − ∞
1
x
=
lim
∫ e dx
a →− ∞
a
1
e x  e
=
lim
a
a →− ∞
4 Der Abfluss der Quelle (in m3 ) zur Zeit t (in min) beträgt
S (=
t ) 4, 0 ⋅ e − k t mit k =( ) ≈ 7, 2203 ⋅ 10 − 5
9600
ln 2
a) Da 30 d = 43 200 min , beträgt die in 30 Tagen gelieferte Wassermenge
43 200
W ( 30=
)
∫ S ( t ) dt=
0
1200
ln( 2 )
(32 − 2 ) ≈ 52 951 ; in 30 Tagen werden etwa 5, 3 ⋅ 10
4
m3
Wasser geliefert.
b) Die in der Zeit T (in min) gelieferte Wassermenge (in m3 ) ist
W (=
T)
T
dt
∫ S ( t )=
0
4
k
( 1 − e ) ; für T → + ∞ gilt: W ( T ) →=k4
−k T
38 400
ln( 2 )
≈ 55 399 ;
insgesamt liefert die Quelle etwa 5,5 ⋅ 10 4 m3 Wasser
28
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5
a
a) Es ist
1
−x
−x
∫ e dx= e − e und
1
∞
∫e
−x
dx = e − 1 ;
1
a
Anteil
2
5
10
20
50
100
≈ 63, 21 %
≈ 98, 168 %
≈ 99, 987 66 %
≈ 99, 999 999 439 720 %
≈ 99, 999 999 999 999 999 999 947 57 %
≈ 100 %
Bemerkung: Der Prozentsatz bei a = 100 beträgt etwa 99, 999 … % , wobei nach
dem Komma 40-mal die Ziffer 9 und dann die Ziffernfolge 898 877 … auftritt.
a
b) Es ist
−2
∫ x dx= 1 −
1
a
Anteil
2
5
10
20
50
100
≈ 50 %
1
a
∞
und
∫x
−2
dx = 1
1
≈ 80 %
≈ 90 %
≈ 95 %
≈ 98 %
≈ 99 %
6
a) Tangente im Punkt P ( 2 1) : t ( x )= x − 1 ; Fläche:
=
A
2
∫
−∞
∫(
∞
b) V
)
2
=
π 1 dx
x
1
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2
e x − 2 dx − ∫ x −=
1 dx
1
1
2
=
π
29
9.4
Seite 179
Partielle Integration
1
a)
2
e
(Stammfunktion F mit F=
( x ) e x ( x − 1) )
≈ 0, 7358
F ( x ) sin ( x ) − x cos ( x ) )
(Stammfunktion F mit =
b) π ≈ 3, 1416
c) −
729
14
(Stammfunktion F mit F ( x )=
( 2 x + 1) ( x − 3 )
=
F ( x ) e 2 x + 1 ( 2 x − 1) )
(Stammfunktion F mit
≈ − 52, 0714
d) e ≈ 2, 7183
e2
e)
∫ 2 ln ( x ) dx =
f)
1
4
1
(e
2
1
14
6
)
2  x ln ( x ) − x  1 = 2 ( e2 + 1)
e2
+ 1) ≈ 2, 0973
(Stammfunktion=
F mit F ( x )
1
4
x 2 ( 2 ln ( x ) − 1) )
2 Durch Produktintegration ist zum Beispiel berechenbar:
1
1
x e x dx  x e x  − ∫ e x dx ; man setzt v ' ( x ) = e x ; dann ist v ( x ) = e x ; für u setzt
∫=
−1
1
−1
−1
man zum Beispiel u ( x ) = x , damit u' ( x ) = 1 ; durch zwei hintereinander ausgeführte
Produktintegrationen sind zum Beispiel berechenbar:
1
∫x
1
1
2
e x dx und
−1
∫ cos ( x ) e
x
dx ; ausserdem sind berechenbar
∫e
−1
−1
1
x
2x
⋅ e x dx =
∫ e dx
−1
1
durch lineare Verkettung und
∫ce
x
dx mit c = kons tant
−1
3
a) 2 ( e2 − 1) ≈ 12, 7781
(Stammfunktion F mit F ( x=
) ex ( x 2 − 2 x + 2 ) )
b) 4 π ≈ 12,5664
(Stammfunktion F mit
F (x) =
c)
15 625
168
≈ 93, 0060
− 2 ) ⋅ sin ( x ) + 2 x ⋅ cos ( x ) )
2
(Stammfunktion F mit
=
F (x)
d) π2 − 2 π ≈ 1,5864
(x
( 12 x
1
168
2
+ 10 x + 5 ) ( 2 x − +5 ) )
5
(Stammfunktion F mit
F ( x ) = ( 2 − x 2 ) ⋅ cos ( x + 1) + 2 x ⋅ sin ( x + 1) )
4
a)
π
2
≈ 1,5708
(Stammfunktion F mit
F ( x ) = ( x − sin ( x ) ⋅ cos ( x ) ) )
1
2
(Stammfunktion F mit
b) 1
F ( x )=
c) −
1
2
(e
π
+ 1) ≈ − 12, 0703
π
π2 + 4
( 1 − e ) ≈ − 12, 1405
4
1
2
e x ( sin ( x ) + cos ( x ) ) )
(Stammfunktion F mit
=
F (x)
30
( π x + sin ( π x ) ⋅ cos ( π x ) ) )
(Stammfunktion F mit
=
F (x)
d)
1
2π
e2 x
π2 + 4
( 2 sin ( π x ) − π cos ( x ) ) )
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5
Es ist
1
15 −0
15
15
15
8
 − 4 e − 0,2 t ⋅ ( sin ( t ) + 5 cos ( t ) )  ≈ 0,5289
e − 0,2 t ⋅ sin ( t ) dt =
∫0 a ( t ) dt =
15 ∫
 39
0
0
Damit ist der Mittelwert der Auslenkung im Zeitintervall 0 s ≤ t ≤ 15 s etwa 0,53 cm .
6
1
a) Inhalt der oberen Teilfläche: A 1 =
∫ ( 1 − x ⋅ e ) dx = 3 − e ; Inhalt der unteren
1− x
0
1
Teilfläche: A 2=
∫ ( x e ) dx=
1− x
0
3 −e
e −2
≈ 0, 3922
( ) ; Gleichung der Wendetangente: y =− x +
b) Wendepunkt: W 2
1
e
2
e
∫ (− e x + e − x e
2
Flächeninhalt: A =
A2
e − 2 ; Verhältnis A 1 : =
1
4
1− x
0
) dx =
9
e
4
e
;
− e ≈ 0,5926
7 Für b > 0 hat die Fläche zwischen G, der x-Achse und der Geraden mit der
b
Gleichung x = b den Inhalt A ( b ) =
4 4 ( b + 1) e − b ; für b → ∞ gilt
∫ f ( x ) dx =−
0
A ( b ) → 4 , also ist A = 4 ; rotiert die Fläche mit dem Inhalt A ( b ) um die x-Achse, so
hat der entstehende Rotationskörper das Volumen
b
V ( b ) = π ∫ ( f ( x ) ) dx = 4 π − 4 π ( 2 b2 + 2 b + 1) e − 2 b ; für b → ∞ gilt V ( b ) → 4 π , also
2
0
ist V = 4 π ≈ 12,5664
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31
9.5
Seite 181
Integration durch Substitution
1
2
a)
∫
0
1+ 2 x
2 x
∫x e
3
2
+1
1
2
dx=
0
d)
1
1
z
dx 4
∫=
=
dx
1
c)
9
4x
1
∫3e
z
1
0
0
∫
−1
1
3
dz=
1
1
b)
(e
2
1
−2x
=
dx
2
( 4 −3 x )
2
1
dz
∫=
3z
0
2
1
− e ) ≈ 1,5569
2
∫ x sin ( x ) dx =
∫ sin ( z ) dz =( 1 − cos ( 1) ) ≈ 0, 2298
1
2
1
2
2
a) g ( x=
) 3 x + 1 ; f (z) =
1
z
b) g ( x=
) 4 x − 5 ; f (z) =
2
; Stammfunktion: F ( x )
1
z
4
5
12
F (x)
c) g ( x )= 5 + x ; f ( z ) = ; Stammfunktion: =
d) g ( x ) = x 4 ; f ( z ) = ln ( z ) ; Stammfunktion: F ( x )
3 Stammfunktion F mit:
a) F ( x ) =
=
− ( 3 x + 1)
− ( 4 x − 5)
; Stammfunktion: F ( x ) =
1
z
2
−1
3 x +1
(
)
( )−x )
1
2
3
F ( x ) 2 ln ( 2 x + 5 )
c)=
4 ln ( 3 ) − 2 ln (5 ) ≈ 1, 1756
3
2
1
2
4
Integral:
− 10
3( 3 x + 1)
−
1− 4 x
b) F ( x ) =
d) F ( x ) =
−3
1
ln 5 + x 2
2
1
= x 4 ⋅ ln x 4
4
(
−1
(
−x+ x−
x ) ln ( 1 + x 2 )
e) F (=
f) F =
( x ) ln ( 2 + ex )
(
g) F ( x ) = 4 ln ln ( x )
(
1
2
) ⋅ ln (
2
5
x−
1
5
)
7
ln
2
( 7 ) − 3 ln (5 ) − 3 ≈ − 1, 0176
ln ( 2 ) + ln (5 ) ≈ 2, 3026
ln ( 2 + e2 ) − ln ( 2 + e − 1 ) ≈ 1, 3775
)
F ( x ) ln sin ( π x )
h)=
4 ln ( 2 ) ≈ 2, 7726
)
ln ( 2 ) − ln ( 3 ) ≈ 0, 1438
1
2
4 Für r ∈  \ {0} und s ∈  sind folgende Funktionen u möglich:
32
a) u=
( x ) r ( 2 x + 1)
b) u ( x ) = r x
c) u ( x ) = r
d) u ( x ) = r x
x ) r x3 + s
e) u (=
x ) r x4 + s
f) u (=
g) u ( x ) = r ( x 4 + x 2 ) + s
h) u ( x ) = r ( x 3 + 3 x ) + s
π
x
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5
a)
(ln ( 2 e ) )
1
2
2
2e
≈ 1, 4334 ; Substitution z = ln ( x ) ergibt
∫
1
2e
Produktintegration ergibt
∫ x ln ( x ) dx =ln ( x ) ⋅ ln ( x )
1
1
1,5 π
b) 0 ; Substitution z = cos ( x ) ergibt
∫
0,5 π
2e
1
ln ( x ) dx =
1
x
ln( 2 e )
∫
z dz ;
0
2e
− ∫ ln ( x ) ⋅ dx
1
x
1
0
sin ( x ) cos ( x ) dx = ∫ z dz ;
0
Produktintegration ergibt
1,5 π
1,5 π
sin ( x ) cos ( x ) dx sin ( x ) sin ( x )  0,5 π −
∫=
0,5 π
c) 0 ; Substitution z = sin ( x ) ergibt
π
2
0
∫
cos ( x ) sin ( x ) dx
0,5 π
π
0
0
0
2
2
∫ sin ( x ) cos ( x ) dx = ∫ z dz ;
Produktintegration ergibt
=
( x ) cos ( x ) dx
∫ sin
1,5 π
π
π
2
sin ( x ) sin ( x )  0 − ∫ 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x ) dx
0
d) 0 ; Substitution z = cos ( x ) ergibt
π
−1
0
1
3
3
∫ sin ( x ) cos ( x ) dx = − ∫ z dz ;
Produktintegration ergibt
π
π
π
 − cos ( x ) cos ( x )  − ∫ 3 cos ( x ) sin ( x ) dx
∫ sin ( x ) cos ( x ) dx =
3
3
3
0
0
0
6
∞
a)
∫
0
e
b)
∫
0
∞
c)
∫
π
1
d)
∫
0
x3
(1 + x )
4
ln( x )
x
1
x2
b
1
2
dx = , da
4
∫
0
x3
(1 + x )
4
dx =
2
e
dx existiert nicht, da
a
sin
1−2 x
x−x
∫
2
( ) dx=
1
x
1 − cos
b
dx = 0 , da
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∫
a
b
π
1−2 x
x−x
2
4 1 + b4
ln( x )
=
dx
x
( ) , da ∫
1
π
(
b4
1
x2
dx= 2
(
1
2
)
gilt
( 1 − (ln ( a)) ) gilt
()
1
sin =
dx cos
x
2
( ) − cos ( ) gilt
1
b
b − b 2 − a − a2
1
π
) gilt
33
Exkursion: Numerische Integration – die Fassregel von Kepler
Seite 183
1
2
a) Hauptsatz:
∫ x dx = 2 ; Kepler’sche Fasssregel: 2
0
2
b) Hauptsatz:
∫x
8
3
8
3
2
dx = ; Kepler’sche Fasssregel:
3
dx = 4 ; Kepler’sche Fasssregel: 4
4
dx
=
32
5
≈ 6, 4 ; Kepler’sche Fasssregel:
5
dx
=
32
3
≈ 10, 7 ; Kepler’sche Fasssregel: 12
0
2
c) Hauptsatz:
∫x
0
2
d) Hauptsatz:
∫x
0
2
e) Hauptsatz:
∫x
0
20
3
≈ 6, 7
2
1
a)
∫ 10 x ( x − 1) ( x + 1)
2
2
2
dx ≈ 1,524 (mit GTR); Kepler’sche Fasssregel: 0
−1
1
∫x
2
e − x dx ≈ 0, 879 (mit GTR); Kepler’sche Fasssregel: ≈ 1, 029
−1
b) Erstes Integral: man legt eine Parabel g ( x ) = a x 2 + b x + c durch die Punkte
A ( − 1 0 ) ; B ( 0 0 ) ; C ( 1 0 ) des Graphen von f mit f ( x ) = x 2 ( x − 1) ( x + 1) ;
2
Ergebnis: g ( x ) = 0 und
2
1
∫ g ( x ) dx = 0 ; es ergibt sich dasselbe Ergebnis wie bei der
−1
Kepler’schen Fassregel.
x ) a x 2 + b x + c durch die Punkte
Zweites Integral: Man legt eine Parabel g (=
(
)
A ( − 1 e ) ; B ( 0 0 ) ; C 1 e − 1 des Graphen von f mit f ( x ) = x 2 e − 1
=
g ( x ) 1,543 x 2 − 1, 175 x und
Ergebnis:
1
∫ g ( x ) dx ≈ 1, 029 ; es ergibt sich dasselbe
−1
Ergebnis wie bei der Kepler’schen Fassregel.
3 Zylinder mit Radius r und Höhe h:
exaktes Volumen: V = π r 2 h ;
1
6
(
)
π r2 h
Volumen nach der Kepler-Formel: V = h π r 2 + 4 π r 2 + π r 2 =
Kegel mit Grundkreisradius r und Höhe h:
exaktes Volumen: V=
1
π r2
3
h;
Volumen nach der Kepler-Formel: V =
34
()
1
0+4π r
6
2

2

+ π r2 =

1
π r2
3
h
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Exkursion: Die Bogenlänge einer Kurve
Seite 184
1
a) PQ =
42 + 2 2 = 2 5
6
b) PQ =
∫
1+
2
2
a)
2
6
1
dx =  5 ⋅ x  = 2 5
2

2
Messung: etwa 3,5 Einheiten
2
b) s = ∫ 1 +
0
1
3
()
1
2
u= 4∫
0
(
3
2
x

1+−

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)
2
dx =
2
x
1− x
2
1
2
2
2
3
1

9 x + 4 dx =  ( 9 x + 4 ) 2  ≈ 3,53
27

0
∫
0
1

 = 4∫

0
1− x
2
π
2
= 4 arcsin ( x )  0 = 4 = 2 π
1
1
35
Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen
Lösungen Teil VI
IV
Wahrscheinlichkeitsrechnung
10 Wahrscheinlichkeiten und Abzählverfahren
10.1 Zufallsexperimente und Ereignisse
10.2 Wahrscheinlichkeiten
10.3 Laplace’scher Wahrscheinlichkeitsbegriff
10.4 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
10.5 Kombinatorik – Abzählverfahren am Urnenmodell
Exkursion: Peinliche Fragen
Exkursion: Die Würfel von Efron
11
Zusammengesetzte Ereignisse
11.1 Ereignisse und Vierfeldertafel
11.2 Vierfeldertafel und Baumdiagramm
11.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
11.4 Unabhängigkeit von Ereignissen
11.5 Regel von Bayes
Exkursion: Das Ziegenproblem
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Lambacher Schweizer 11/12
IV Wahrscheinlichkeitsrechnung
10 Wahrscheinlichkeiten und Abzählverfahren
10.1
Zufallsexperimente und Ereignisse
1
a) Zufallsexperiment: jede Zahl auf dem Würfel kann auftreten; man kann keine
Vorhersage treffen; Ω ={1; 2; 3; 4; 5; 6}
b) Kein Zufallsexperiment: wenn man davon ausgeht, dass das Ergebnis eindeutig
bestimmt werden kann (keine Messfehler), ist eine Vorhersage möglich und daher
das Ergebnis nicht zufällig.
c) Zufallsexperiment: jedes Sternzeichen kann auftreten; man kann keine
Vorhersage treffen; Ω={Widder; Stier; Zwillinge; Krebs; Löwe; Jungfrau; Waage;
Skorpion; Schütze; Steinbock; Wassermann; Fische}
d) Zufallsexperiment: jeder Buchstabe kann auftreten; man kann keine Vorhersage
treffen; Ω={a; b; c; d; e; f; g; …; x; y; z; ä; ö; ü}
e) Kein Zufallsexperiment: das Ergebnis lässt sich, sofern der gregorianische
Kalender nicht geändert wird, vorhersagen: Der 1. Mai 2020 wird ein Freitag sein.
2
a) Bei drei Ergebnissen endet das Knobeln unentschieden.
b) Bei drei Ergebnissen gewinnt Jean (Papier schlägt Stein; Schere schlägt Papier;
Stein schlägt Schere).
c) Jean und Ben haben die gleichen Chancen; das Spiel ist fair.
3
a) Welches Geschlecht hat Ihr erstgeborenes Kind, welches Ihr zweitgeborenes?
b) Welches Geschlecht haben Ihre Kinder?
4
a) Ω={(1; 1); (1; 2); …; (1; 6); (2; 1); …; (2; 6); (3; 1); …(3; 6); …; (6; 1); …; (6; 6)}
b) Ω={2; 3; 4; …; 11; 12}
5
Ω={(0; 0; 0); (0; 0; 1); (0; 1; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 0);
(1; 0; 1); (1; 1; 0); (1; 1; 1)}
6 Man nimmt an, dass ein gleichzeitiger Einlauf zweier Boote ausgeschlossen ist;
werden die Boote mit a; b; c benannt, so lautet Ω={abc; acb; bac; bca; cab; cba}
2
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Seite 191
7
a) 2; 3; 5
b) A={3; 4; 5; 6}
8
A: ungerade Zahl
B: gerade Zahl
C: Zahl >3 (º4)
D: Primzahl <5
E: Quadratzahl
F: Primzahl
Es sind auch andere Beschreibungen denkbar zum Beispiel: D: zwischen 1 und 4
9
a) Ω={11; 21; 22; 31; 32; 33; 41; 42; 43; 44; 51; 52; 53; 54; 55; 61; 62; 63; 64; 65; 66}
b) A={11; 22; 33; 44; 55; 66}
B={41; 42; 43; 44; 54; 64}
C={21; 42; 63}
D= {55; 61; 62; 63; 64; 65; 66}
E={33; 42; 51}
F={Ω
10
a)
b) A={KKK; ZZZ}
B={KZZ; ZKZ; ZZK}
C={KKK; KKZ; KZK; ZKK}
D={KKK; KKZ; KZK; ZKK}=C
Hinweis: „Höchstens einmal“ enthält auch den Fall „keinmal“
11
a) A={2; 3; 5; 7}
D={9}
b) A ={0;1; 4; 6; 8; 9}
B ={1; 2; 3; 4; 56; 7; 8; 9}
C ={1; 3; 5; 7; 9}
D ={0; 1; 2; …; 8}
E ={2; 3; 5; 6; 7; 8}
F ={4; 5; 6; …; 9}
B={0; 5}
E={0; 1; 4; 9}
A : keine Primzahl
B : Zahl nicht teilbar durch 5
C : ungerade Zahl
D : Zahl <9 (ª8)
E : Zahl ist keine Quadratzahl
F : Zahl ist >3 (º4)
C={0; 2; 4; 6; 8}
F={0; 1; 2; 3}
12 Jedes Ergebnis lässt sich als Paar darstellen, die erste gibt die
Zusteigemöglichkeiten an der Kronenstrasse, die zweite am Hauptbahnhof an.
Ω={(T11; S5); (T11; S9); (T11; S14); (T11; S15); (T14; S5); (T14; S9); (T14; S14); (T14; S15)}
A={(T11; S5); (T11; S9); (T11; S14); (T11; S15)}
B={(T11; S5); (T11; S9); (T11; S15); (T14;S5); (T14; S9); (T14; S15)}
13 A={1}; B={2}; C={3}; D={4};
E={1; 2}; F={1; 3} G={1; 4} H={2; 3}; I={2; 4}; J={3; 4}
K={1; 2; 3}; L={1; 2; 4}; M={1; 3; 4}; N={2; 3; 4}
O={1; 2; 3; 4}; P={ }
Es gibt 16 mögliche Ereignisse
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3
10.2
Seite 194
Wahrscheinlichkeiten
1
a) Schätzungen:
Nach 25 Versuchen:
P ( 1) = 0, 24
P ( 2 ) = 0, 12
P ( 3 ) = 0,64
Nach 50 Versuchen:
P ( 1) = 0, 20
P ( 2 ) = 0, 10
P ( 3 ) = 0, 70
Nach 100 Versuchen:
P ( 1) = 0, 22
P ( 2 ) = 0, 10
P ( 3 ) = 0,68
Nach 200 Versuchen:
b)
P ( 1) = 0, 22
P ( 2 ) = 0, 08
P ( 3 ) = 0, 70
2
a)
P ( a)
P (b )
P (c )
P ( d)
7
25
4
25
6
25
8
25
b) P ( b ) + P ( c ) =
4
25
+
6
25
=
2
5
c) P ( “nicht a” ) =1 − P ( a ) =1 −
7
25
18
25
=
3
a) C ∩ D =
{5}
b) C ∪ D =
{1; 3; 4; 5; 6}
c) C ∪ D =
{2}
d)
( C \ D ) ∪ (D \ C ) =
{1; 3; 4; 6}
e) D \ C = {4; 6}
4
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Seite 195
C = A;
4
(
)
F = ( A ∩ B) ∪ A ∩ B ;
D= A ∩ B;
E= A ∩ B
G= A ∩ B;
H=G
5
a) P ({ω2 } ) =1 − ( 0, 2 + 0, 45 ) =0, 35
P ({ω1 } ) =
0, 2 ;
b) P ({
}) = 0;
P ({ω1 , ω2 } ) =
0,55 ;
P ({ω1 , ω2 , ω3 } ) =
1
P ({ω2 } ) =
0, 35 ;
P ({ω3 } ) =
0, 45 ;
0, 8
P ({ω1 , ω3 } ) =
0,65 ; P ({ω2 , ω3 } ) =
6
a) P ( a=
)
2
=
2 +3 + 4+3
b) P ( A ) = P ({a, b} )
P ( C ) = P ({c, d} )
2
1
= ;
12
6
1 1
= + =
6 4
1 1
= + =
3 4
P ( b=
)
3
=
12
1
4
;
P ( c=
)
P (B ) = P ({b, c} )
5
12
7
12
P ( A ∩ B )= P ( b )=
4
=
12
1
=
4
1
4
1
; P
3
1
7
+ =
3
12
( d=)
3
=
12
P ( A ∪ B ) = P ({a, b, c} ) = + + =
=
P ( A ∪ C ) P ({a,=
b, c, d} ) 1
1
6
1
4
1
3
1
4
3
4
7
a) „mindestens eines“
P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B )
b) „keines“
1 − P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) 
c) „höchstens eines“
1 − P ( A ∩ B)
d) „genau eines“
P ( A ) − P ( A ∩ B ) + P (B ) − P ( A ∩ B )
e) „nicht beide“ = „höchstens eines“
1 − P ( A ∩ B)
f) „A und nicht zugleich B“
P ( A ) − P ( A ∩ B)
g) „entweder beide oder keines der beiden“
P ( A ∩ B ) + 1 − P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) 
8 N: T-Shirt hat Nähfehler; D: T-Shirt hat Druckfehler
N
D
6
D
2
8
N
5
67
72
11
69
80
a) P (N ∪ D ) =
6 + 2 +5
80
=
13
80
b) P (N ∪ D ) =
≈ 16, 25 %
( )
67
P (N ∩ D ) = = 83, 75 %
80
6
80
= 7,5 %
c) P N ∪ D =1 − P (D ∩ N ) = =92,5 %
d)
e) P (N ∪ D ) − P (N ∩ D ) =
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
13
80
74
80
−
6
80
=
7
80
= 8, 75 %
5
9 Ein Gegenbeispiel
Beim einmaligen Werfen eines Würfels sei:
A: Augenzahl ist ungerade; B: Augenzahl ist Primzahl; C: Augenzahl ist kleiner 4.
4
6
Es gilt: P(A ∪ B ∪ C) = P (1; 2; 3; 5) =
=
2
3
Nach der Formel von Alena würde aber gelten:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B ∩ C)
= P(1; 3; 5) + P(2; 3; 5) + P(1; 2; 3) – P(3)
=
1
2
1
2
1
2
1
6
4
3
+ + − = , was nicht sein kann.
Die korrekte Formel für drei Ereignisse lautet:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Diese ergibt im obigen Beispiel auch das richtige Ergebnis:
P(A ∪ B ∪ C) = P(1;3;5) + P(2;3;5) + P(1;2;3) – P(3;5) – P(1;3) – P(2;3) + P(3)
=
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
6
2
3
+ + − − − + =
10
a) Es gilt A ∩ A =
∅ und A ∪ A =
Ω;
(
)
( )
1 = P (Ω) = P A ∪ A = P (A ) + P A
b) Aus a) folgt: P ( A ) ≤ 1 ;
⇒
( )
( )
P (A) = 1 −P A
1 ≥ P ( A ∩ B ) =P ( A ) + P (B ) =1 − P A + P (B ) ⇒
( )
P A ≥ P (B )
( A \ B ) ∪ (B \ A ) ∪ ( A ∩ B ) (Schnittmengen sind leer);
P (A ∪
=
B ) P ( A \ B ) + P (B \ A ) + P ( A ∩ B ) ; mit Beispiel Seite 194 folgt:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) − P ( A ∩ B ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B )
=
B
c) Es gilt A ∪
11 Das Ereignis „Produkt der beiden Augenzahlen ist grösser als 9“ besteht aus 19
Ereignissen. Das Ereignis „Die erste Augenzahl ist grösser als die zweite“ besteht aus
15 Ergebnissen. Daher würde man eher auf „Produkt der beiden Augenzahlen ist
grösser als 9“ wetten.
6
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10.3
Seite 198
Laplace’scher Wahrscheinlichkeitsbegriff
1
a) Ja, da alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
b) Nein, da die Flächen des Legosteins unterschiedlich gross sind und somit die
Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Flächen unterschiedlich sind.
c) Nein, da der Reissnagel nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf der Spitze
landet wie auf der flachen Seite.
d) Ja, da alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
2
a) (1) P ( 6 ) = ; (2) P ( 6 ) = ; (3) P ( 6 ) =
1
6
1
8
1
12
b) (1) etwa 30-mal; (2) etwa 22–23-mal; (3) etwa 15-mal
c) Fehler am Glücksrad, beispielsweise defekte Achse (Rad dreht sich
unregelmässig), unterschiedlich grosse Felder
3
a)
Farbe
Gelb
Blau
Rot
1
3
1
6
1
2
Wahrscheinlichkeit
b)
4
a)
1
2
b)
9
20
c)
3
20
5
a) P (R ) =
b) P (E ) =
1
18
d) P ( Vokal) =
e) P (L, E=
)
1
3
c) P (Konsonant=
)
1
9
3
=
18
12
=
18
2
3
1
6
Gleiche Buchstaben werden unterschieden (falls sie mehrfach auftreten), sonst liegt
kein Laplace-Experiment vor.
6
a) P ( Ass=
)
4
=
36
b) P (Herz=
)
1
9
d) P (Herz ohne Ass=
)
f) P (Herz, Ass=
)
12
=
36
8
=
36
1
3
2
9
9
=
36
1
4
c) P (Herz­Ass ) =
e) P ( nicht Herz, nicht Ass=
)
g) P ( Ass, kein Herz=
)
3
=
36
24
=
36
1
36
2
3
1
12
7
a) P ( Gewinn
=
)
b) P ( Trostpreis
=
)
c) P (Niete
=
)
d) P ( keine Niete ) = 0,5
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40
= 0, 1
400
200
= 0,5
400
160
=
400
0, 4
7
8
a)
b) Jedes Ergebnis lässt sich als geordnetes Paar darstellen; die 1. Zahl sei die
Kästchennummer der roten, die 2. Zahl die Kästchennummer der blauen Kugel;
Ω={(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)
c) P ( A ) = ; P (B ) =
4
9
8
2
9
; P ( C )=
6
=
9
2
3
; P (D )=
3
=
9
1
3
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
10.4
Seite 202
Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
1
a) „Nacheinander“ bedeutet, dass die Reihenfolge zu beachten
ist; Ω =9
Bemerkung: Die Laplace-Annahme ist nicht gerechtfertigt, da
beispielsweise eine weisse Kugel beim 1. Zug dazu führt, dass
für den 2. Zug nur noch 9 weisse Kugeln, aber jeweils 10 rote
und schwarze Kugeln vorhanden sind.
b) A={(w; w); (r: r); (s; s)}; B={(r; r); (r; w); (r; s); (w; r); (s; r)}
2
=
a) P ( ( zzz
))
(=)
1
2
3
1
8
=
b) P ( ( www
))
(=)
1
2
3
1
8
Das Ergebnis „nie Zahl“ ist nicht das Gegenereignis von „stets Zahl“; das
Gegenereignis von „nie Zahl“ ist „mindestens einmal Wappen“.
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
9
Seite 203
3
a) P ( “keine einzige Sechs”
=
)
()
6
5
6
≈ 33,5 %
1 − P ( “keine einzige Sechs” ) ≈ 66,5 %
b) P ( “mindestens eine Sechs” ) =
()
=
c) P ( “nur Sechser”
)
6
1
6
≈ 0, 002 %
( )=
d) P ( “nur gerade Zahlen”=
)
1
2
6
1
64
≈ 1,6 %
4
a) P ( “2007” ) =
5
a) P (KKK
=
)
(=)
1
2
3
c) siehe Teilaufgabe b)
d) P ({ZZK; ZKZ; KZZ} ) =
Chris
1 1 1
1
⋅ ⋅ ⋅1 =
4 2 4
64
1
8
( ) +( ) +( )
b) P ({KKZ; KZK; ZKK} ) =
6
a)
b) P ( “2007” ) =
1 2 1
1
⋅ ⋅ ⋅1 =
4 3 2
12
1
2
3
1
2
3
1
2
( ) +( ) +( )
1
2
Georg
3
1
2
3
1
2
3
3
=
3
8
=
3
8
Chris
P(“Chris trifft zuerst, wenn er beginnt”)
=
b)
1
3
2 3 1
3 4 3
+ ⋅ ⋅ =
Chris
1
3
1
6
+ =
Georg
1
2
Chris
Georg
P(“Georg trifft zuerst, wenn Chris beginnt”)
=
2 1
⋅
3 4
2 3 2 1
3 4 3 4
+ ⋅ ⋅ ⋅ =
1
4
7
a) Treffer: 1; Fehlschuss: 0
P(„höchstens 1 Fehlschuss“)
= P ({11111; 11110; 11101; 11011; 10111; 01111}=
) 0, 95 + 5 ⋅ 0, 94 ⋅ 0, 1 ≈ 0, 92
b) Eine Minute Strafzeit bekommt er bei genau einem Fehlschuss.
P(„genau 1 Fehlschuss“) =⋅
5 0, 9 4 ⋅ 0, 1 ≈ 0, 33 ; vgl. Teilaufgabe a)
c) Strategie: Gegenereignis; das Gegenereignis zu „mindestens 1 Minute Strafzeit“
ist „keine Strafzeit“:
= P=
P(„keine Strafzeit“)
( 11111) 0, 95
P(„mindestens 1 Minute Strafzeit“) = 1 − P ( „keine Strafzeit” ) =
1 − 0, 95 ≈ 0, 41
10
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
8
a) Der Arzt bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament alle drei
Patienten heilt, als Produkt der einzelnen (gleichen) Heilungswahrscheinlichkeiten,
0,512
also 0, 8 ⋅ 0, 8 ⋅ 0, 8 =
b) Mindestens zwei Patienten werden geheilt, wenn zwei oder drei Patienten
geheilt werden; die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt deshalb
0, 8 ⋅ 0, 8 ⋅ 0, 2 + 0, 8 ⋅ 0, 2 ⋅ 0, 8 + 0, 2 ⋅ 0, 8 ⋅ 0, 8 + 0, 8 ⋅ 0, 8 ⋅ 0, 8 =
0, 896
c) Man gibt zehn Kugeln in eine Urne, acht grüne für geheilte und zwei rote für
nicht geheilte Patienten; man zieht dreimal mit Zurücklegen, weil es sinnvoll ist, für
alle drei Patienten gleiche Heilungschancen anzunehmen.
9
a)
P ( „PAP” ) =
b)
Es ist nur der Teil des Baumes gezeichnet,
der von Bedeutung ist;
P ( „PAP” ) =
=
4 6 3
⋅ ⋅
14 13 12
=
3
91
≈ 0, 033
4 3 6
4 6 3
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
14 13 12 14 13 12
9
≈ 0, 099
91
+
6 4 3
⋅ ⋅
14 13 12
10 f: Funktion, die die Treffsicherheit beschreibt; f ist eine lineare Funktion;
Ansatz: f ( t ) = m ⋅ t + n , wobei t die Zeit in Minuten angibt; es gilt:
f ( 0 ) = 95 % ; f ( 90 ) = 65 %
⇒ n=
95 % ; m =65 % −95 % =− 1 % ⇒ f ( t ) =− 1 % ⋅ t + 95 %
90
3
3
Treffsicherheit nach 10 Minuten: f ( 10 ) =
− % ⋅ 10 + 95 % = %
1
3
1
Treffsicherheit nach 70 Minuten: f 70 =
− % ⋅ 70 + 95 %
3
275
215
a) P(„beide Elfmeter verwandelt“) =
%⋅
% ≈ 66 %
3
3
( )
295
3
215
=
3
%
b) P(„nur 1 Elfmeter verwandelt“)
=
275
3
%⋅
85
3
%+
25
3
% ≈ 32 %
c) P(„beide Elfmeter verschossen“)
=
25
3
%⋅
85
3
%≈2%
d) f ( 89 ) =
− % ⋅ 89 + 95 % ≈
1
3
=
275
3
215
%⋅
3
196
%⋅
3
196
3
% ; P(„alle 3 Elfmeter verwandelt“)
% ≈ 43 %
Bemerkung: Da es sich bei der Modellierung der Treffsicherheit nur um die grobe
Annäherung an die Realität handeln kann, würde es genügen, die Treffsicherheit
prinzipiell nur auf Prozent genau anzugeben.
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
11
10.5
Seite 209
Kombinatorik – Abzählverfahren am Urnenmodell
1
( ) = 35 ; ( ) = 462 ; ( ) = 66 ; ( ) = 66 ; ( ) = 15 504 ; ( ) = 499 500
b) =
( ) = = (=
); =
( ) ( )
a)
7
4
11
5
11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
4!
11
4
12
10
12
2
n
 
k 
11
7
11!
4! ⋅ 7!
20
15
1000
928
n
n −k
n!
k! n−k !
2
a) Urne mit 3 unterschiedlichen Kugeln, 8-mal ziehen mit Zurücklegen: 38 = 6561
b) Urne mit 5 Kugeln, 3-mal ziehen
3
(1) ohne Zurücklegen: 5 ⋅ 4 ⋅ 3 =
60 ; (2) mit Zurücklegen: 5 = 125
c) Urne mit 2 Kugeln, 8-mal ziehen mit Zurücklegen: 2 8 = 256 ;
mit genau 3 Nullen: In einer Urne sind 8 nummerierte Kugeln, sie stehen für die
( ) = 56
8
3
verschiedenen Plätze der Nuller; 3 Kugeln ziehen mit einem Griff:
d) Urne mit 8 Kugeln, 3-mal ziehen ohne Zurücklegen: 8 ⋅ 7 ⋅ 6 =
336
e) Urne mit 10 Kugeln, 4 Kugeln ziehen mit einem Griff:
( ) = 210
10
4
f) Uren mit 15 weissen und 10 schwarzen Kugeln, 4 Kugeln ziehen mit einem Griff:
4725
( )⋅( ) =
15
2
10
2
3
a) 2 10 = 1024
2
1
=
b)
=
210
29
1
512
1
c)
210
=
1
1024
d)
1
25
=
1
32
=
1
8
4
a) Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
1
b) (i)
c) (i)
(ii)
3
4
4
3
4
9
1
(ii) =
3
93
9
=
1
16
1
=
2
9
1
81
(iii)
15
16
(iv)
(iii)
80
81
(iv)
b)
 17 
 
3
=
 20 
 
3
1
2
3
()
4
9
3
5
a)
12
1
=
 20 
 
3
1
1140
≈ 0, 088 %
680
1140
≈ 59,6 %
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
Seite 210
6
a) 7 5 = 16 807
b)
7 ⋅6 ⋅5 ⋅ 4 ⋅ 3
75
= 15, 0 %
c) Mindestens 2 am gleichen Tag bedeutet, dass 2, 3, 4 oder 5 am gleichen Tag
Geburtstag haben; rechnet sich leichter über das Gegenergebnis:
1 − P ( keiner )  =
1 − 15 % =
85 %
7
=
00042 0, 42 ‰
d) 5 0,=
7
7 Insgesamt gibt es 26 = 64 Wege; zu A ist es ein Weg, zu B sind es 6 Wege =
zu C sind es
( ) = 15 Wege zu D ( ) = 20 , zu E =15, F=6 und G=1 Weg
6
2
Begründung:
( ),
6
1
6
3
Weg nach A: 6-mal links, 0-mal rechts
Weg nach B: 5-mal links, 1-mal rechts
Weg nach C: 4-mal links, 2-mal rechts
8
a) Ω
=
()
12
5
b) P (=
K)
⇒
7
 
5
=
 12 
 
5
d) P (P +=
T)
5
 
5
=
 12 
 
5
P (M=
)
c) P ( 3 K + 2 M )=
2, 7 %
 10 
1⋅ 1⋅ 
3
=
 12 
 
5
 
0, 0013 ≈ 1, 3 ‰
7 5
 ⋅ 
3 2
=
 12 
 
5
44, 2 %
15, 2 %
Urnenmodell: ziehen von 5 Kugeln „mit einem Griff“
9
a) 2 4 = 16
30
b) 2 1 + 2 2 + 32 + 42 =
10 Gewinnklasse I:
1
15⋅14⋅13
=
1
2730
Gewinnklasse II:
3!
15⋅14⋅13
=
1
455
11
a) 5 ! = 120
b)
1
5
c)
1
5⋅4
=
1
20
12
a)
=
P (5 )
 50   150 
 ⋅ 
 5   15 
 200 


 20 
b) P=
(0)
 150 
 
 20 
=
 200 


 20 
≈ 21, 3 %
0, 225 %
c) P ( X ≥ 1) =1 − P ( 0 ) =99, 775 %
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13
13
a)=
P (5 )
 6   39 
 ⋅ 
3  3 
=
 45 
 
6
2, 24 %
6
 
6
 45 
 
6
 6   39 
 ⋅ 
5  1 
 45 
 
6
c) P ( X ≥ 3 ) =
d) P =
(0)
 39 
 
6
=
 45 
 
6
+
 6   39 
 ⋅ 
 1  5 
=
 45 
 
6
b)=
P ( 1)
+
 6   39 
 ⋅ 
 4  2 
 45 
 
6
+
 6   39 
 ⋅ 
3  3 
 45 
 
6
42, 41 %
= 2, 38 %
40, 06 %
14 Urnenmodell: 2 schwarze und 4 weisse Kugeln; es werden 10 Kugeln mit
Zurücklegen gezogen
a) P ( genau 6 schwarze Kugeln ) =
( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ≈ 5, 7 %
10
6
1
3
6
2
3
4
6
4
7
3
 10   1   2   10   1   2 
b) P ( mehr als 6 schwarze Kugeln ) =   ⋅   ⋅   +   ⋅   ⋅  
 6  3 3  7  3 3
8
2
9
1
 10   1   2   10   1   2 
+ ⋅  ⋅  +  ⋅  ⋅ 
 8  3 3  9  3 3
10
 10   1 
+   ⋅   ≈ 7, 7 %
 10   3 
15 (Kombinatorischer) Beweis des binomischen Satzes:
 
n
a + b ) ∑ k =0   an − k ⋅ bk
(=
k 
n
n
, denn ( a + b ) ist ein Produkt aus n Klammern:
n
( a + b ) ⋅ ( a + b ) ⋅… ⋅ ( a + b ) ; ein solches Produkt wird ausmultipliziert, indem man
nacheinander aus jeder Klammer entweder a oder b nimmt, daraus ein Produkt aus
n Faktoren bildet und dann alle diese Produkte addiert; ordnet man diese 2n
Produkte nach Potenzen von a, dann stellt man fest, dass sie alle von der Form ar bs
mit r + s =
n sind und natürlich erhält man ar bs genau
( ) - mal , genau so oft wie
n
r
man aus den n Klammern r auswählen und dort das a nehmen kann; daraus ergibt
sich die obige Summe, die mit an beginnt und mit bn endet.
14
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Exkursion: Peinliche Fragen
Seite 211
1 Dies ist nicht möglich, da P ( ja ) =
1
1
p+
2
2
( 1 − p) =
1
2
wäre und somit die unbekannte Grösse p nicht mehr in der Gleichung enthalten
wäre; bei diesem Glücksrad würde unabhängig von p jeweils ungefähr die Hälfte
der Personen mit „ja“ antworten.
P ( ja ) = w = r ⋅ p + ( 1 − r ) ⋅ s
Diese Gleichung lässt sich nach p auflösen, wenn r ≠ 0 ;
das heisst, auch der Fall r = 0,5 ist möglich; je grösser r
ist, desto mehr Personen beantworten Frage 1, desto
genauer wird die Umfrage; bei r = 1 wären alle Diebe
erkannt. Je kleiner r ist, desto weniger Personen
beantworten Frage 1, die Wahrscheinlichkeit p wird also
wenige genau bestimmt.
2
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15
Exkursion: Die Würfel von Efron
Seite 212
1 Vor Beantwortung der Fragen könnten einige Runden gespielt werden; hierzu
werden präparierte Würfel oder eine geeignete PC-Simulation benötigt.
a) Es gibt keinen ausgezeichneten Würfel, der besonders günstig ist; der 2. Spieler
kann seinen Würfel immer so wählen, dass er im Vorteil ist.
b)
Der 2. Spieler sollte den roten Würfel
wählen;
der 2. Spieler gewinnt mit der
Wahrscheinlichkeit
c)
Würde der 2. Spieler den grünen
Würfel wählen, wäre er im Nachteil;
der 2. Spieler würde hier nur mit der
2
3
Wahrscheinlichkeit
Spieler 1
blau
grün
rot
Spieler 2
rot
blau
grün
4
9
gewinnen
2
a) Spieler 2 gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit
2
3
;
prüft man alle möglichen Kombinationen, so ist
folgende Strategie für Spieler 2 optimal:
Spieler 1
grün
rot
blau
weiss
Spieler 2
rot
weiss
grün
blau
b) Beim Berechnen aller Kombinationen, zum Beispiel wie in a) mithilfe geeigneter
Baumdiagramme, zeigt sich, dass bei optimaler Strategie des Spielers 2 seine
Gewinnwahrscheinlichkeit jeweils
16
2
3
beträgt.
4
c) P(„Spieler 1 gewinnt in 4 Runden“) =
 1
 
3
d) P(„Spieler 2 gewinnt in 4 Runden“) =
2
 
3
4
=
1
81
=
16
81
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11 Zusammengesetzte Ereignisse
11.1
Seite 215
Ereignisse und Vierfeldertafel
1
a) M: „Mountainbike“; R: „Rückstrahler“
M
R
120
M
60
180
R
30
30
60
150
90
240
R = 0, 75 ⋅ 240 = 180
b)
R ∩M
30
=
240
=
Ω
1
8
2
a) Tabelle: Fett = Lösungen
Kurs A
Kurs B
gesamt
18
18
36
12
10
22
30
28
58
spielt ein
Instrument
spielt kein
Instrument
gesamt
b) 18
c) 46
3 Mit den in der Tabelle von Aufgabe 2 ergänzten Zahlen ergibt sich:
()
30
58
P E =
; P (E ∪ F ) = ; P (E ∩ F ) =
18
58
46
58
4 Tabelle: L: „Latein“; S: „Spanisch“
S
L
20
L
40
60
S
30
0
30
50
40
90
b)
L ∩S
=
Ω
20
=
90
2
9
5
a) M: „Masse stimmt“; F: „Form stimmt“
F
M
420
M
50
470
F
20
10
30
440
60
500
F = 0, 06 ⋅ 500 = 30 ; M ∩ F =
10
b)
F ∩M + F ∩M
Ω
=
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20 + 50
=
500
70
=
500
14
=
100
14 %
17
6 F: „Frau“; S: „Schnarcher“
F
S
F =M
24
25
17
8
25
18
32
50
F
1
F = 0, 36 ⋅ 50= 18 ; F = 50 − 18 = 32 ; F ∩ S= 0, 75 ⋅ 32= 24 ; S = 0,5 ⋅ 50 = 25 ;
S ∩ F = S − S ∩ F = 25 − 24 = 1
7
a) R: „Raucher“, W: „weiblich“
W
R
26
R
104
130
W =M
36
84
120
62
188
250
W ∩ R = 0, 2 ⋅ 130 = 26 ; W ∩ R = 0, 3 ⋅ 120 = 36
b) R = 188
18
c)
W ∩R =
26
d) W ∪ R = 36 + 84 + 26 = 146
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11.2
Seite 218
Vierfeldertafel und Baumdiagramm
1
a)
A
B
1S
35
15
2S
25
25
50
60
40
100
b) i) P ( A
=
)
50
60
= 60 %
100
25
= =25 %
100
35 + 25 + 15
75
=
=
100
100
ii) P ( A ∩ 2 S )
iii) P ( A ∪ 1 S )
=75 % ;
alternativ: P ( A ∪ 1 S ) =−
1 P (B ∩ 2 S ) =−
1
iv) P (B ∩ 2 S ) =
25
100
25
100
=
75 %
=25 %
2
a) L: „benötigt Lesebrille“; M: „Mann“
L
L
M
25
25
50
M=W
15
25
40
50
90
40
( )
b) i) P M=
40
=
90
4
9
(
)
ii) P M ∩ L =
25
90
=
5
18
(
)
iii) P M ∪ L =
15 + 25 + 25
90
=
65
90
=
13
18
3
a)
R
T
R
0,15
0,55
0,7
T
0,25
0,05
0,3
0,4
0,6
1
0, 15
b) P (R ∩ T ) =
c)
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19
4
0, 2
a) P ( A ∩ B ) =
b)
A
B
A
0,2
0,1
0,3
B
0,4
0,3
0,7
0,6
0,4
1
c)
5
a) 30 % ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eingetreten ist und das
Ereignis B nicht
b)
A
B
8%
B
30 %
38 %
A
32 %
30 %
62 %
40 %
60 %
100 %
c) P ( A ∪ B ) = 8 % + 30 % + 32 % = 70 % ;
(
)
alternativ: P ( A ∪ B ) =1 − P A ∩ B =1 − 30 % =70 %
d)
6
a) Beispiel: In einer Klasse sind gleich viele Mädchen wie Jungen; von den Mädchen
tragen 30 % eine Bluejeans, von den Jungen 60 %
b) P ( A ∩ B ) = 0,5 ⋅ 0, 3 = 0, 15
c) P (B ) = 0,5 ⋅ 0, 3 + 0,5 ⋅ 0,6 = 0, 45
d) P ( A ∪ B ) = 0,5 ⋅ 0, 3 + 0,5 ⋅ 0, 7 + 0,5 ⋅ 0,6 = 0, 8 ;
(
)
alternativ: P ( A ∪ B ) =1 − P A ∩ B =1 − 0,5 ⋅ 0, 4 =0, 8
e)
20
B
A
0,15
A
0,3
0,45
B
0,35
0,2
0,55
0,5
0,5
1
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11.3
Seite 222
Bedingte Wahrscheinlichkeit
1
a) 0, 4 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit PK (L ) für das Eintreten von L, wenn K
bereits eingetreten ist
(
)
b) PK (L ) = 0, 2 ; P K ∩ L = 0, 3 ⋅ 0, 2 = 0, 06
c)
K
L
0,28
L
0,42
0,7
K
0,06
0,24
0,3
0,34
0,66
1
P (K ∩ L ) = 0, 7 ⋅ 0, 4 = 0, 28
L ∩K
=
L
K)
d) P (L ) = 0, 34 ; PL (=
0,28
=
0,34
14
17
2 K: „Knabe“; O: „Obergymnasium“
a) P (K =
∩ O)
10
=
8 + 10 + 16 +6
O ∩K
c) PO =
(K )
=
O
16
=
8 + 16
1
4
b) PO =
(K )
O ∩K
=
O
b) PG ( 2 ) =
1
3
10
=
10 +6
5
8
2
3
3 P: „Primzahl“; G: „gerade“
a) PP ( 2 ) =
1
3
4
a)
Kinogänger
kein Kinogänger
Sportverein
20
28
48
nicht in SV
4
68
72
24
96
120
b)
c) P (K
=
)
24
=
120
1
5
d) P (K ∩ SV ) =
20
120
=
e) PSV (K=
)
1
6
20
=
48
5
12
5
a) L: „Lesebrille“; M: „Mann“
M
L
12
L
12
24
M
28
8
36
40
20
60
b) i)
c) PL (
( )
24
2
P M= =
60
5
28
7
M= =
40
10
ii) P (M ∩ L ) =
12
60
=
1
5
iii) PM (L=
)
28
=
36
7
9
)
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21
Seite 223
6 Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn Ω = 6 ⋅ 6 = 36
a) A: „Augensumme zeigt mindestens 8; F: „1. Wurf zeigt 5“
A= {(2|6); (3|5); (3|6); (4|4); (4|5); (4|6);
(5|3); (5|4); (5|5); (5|6); (6|2); (6|3); (6|4); (6|5); (6|6)} ⇒
{(5|3); (5|4); (5|5); (5|6)}
A ∩F =
A ∩F =
4
⇒
|A|=15
PA (F ) =
⇒
4
15
b) E: „1. Wurf zeigt 1“; V: „Augensumme zeigt höchstens 4“
|E|=6
E={(1|1); (1|2); (1|3); (1|4); (1|5);(1|6)} ⇒
{(1|1); (1|2); (1|3)}
E∩V =
E∩V =
3
⇒
PE ( V )=
⇒
3
=
6
1
2
7
a) 50%
b) Es liegt ein Laplace-Experiment vor, da jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit
1
8
besitzt;
mithilfe eines Baumdiagrammes lassen sich folgende Wahrscheinlichkeiten
ermitteln:
i)
4
7
ii)
1
3
iii)
1
4
iv)
2
4
=
1
2
v)
0
1
=0
vi)
3
4
vii)
3
7
8
a) Es liegt ein Laplace-Experiment vor, da alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich
sind; G: „Zahl ist gerade“; für das Lösen der einzelnen Teilaufgaben ist es sinnvoll, ein
geeignetes Baumdiagramm zu erstellen.
i) Z: „Zweite Kugel trägt die Ziffer 2“
Z = 3 ⋅ 2 = 6 ; Z ∩ G = {124; 324} ⇒
Z ∩G = 2
⇒
PZ ( G ) =
2
6
=
1
3
ii) E: „Erste Kugel trägt eine ungerade Ziffer“
E = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12 ;
E ∩ G = {124; 132; 134; 142; 312; 314; 324; 342} ⇒
iii) P (=
G)
12
=
4⋅3⋅2
E ∩G = 8
⇒
PE ( G ) =
8
12
2
3
=
1
2
b) Die Wahrscheinlichkeit für die zuletzt gezogene Zahl ist unabhängig von den
vorher gezogenen, deshalb ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl jeweils
22
1
2
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9 Damit ein Laplace-Experiment vorliegt, werden die Würfel unterschieden
Ω = ( 1 1) ; ( 1 2 ) ; …; ( 1 6 ) ; …; ( 6 1) ; ( 6 2 ) ; …; ( 6 6 ) ; S: „Augensumme zeigt 7“
{
}
a) EV: „Erster Wurf zeigt eine 4“
EV = 1 ⋅ 6 = 6 ; EV ∩ S=
{( 4 3 )}
⇒
EV ∩ S= 1
⇒
PEV ( S =
)
1
6
Bemerkung: Die Betrachtung einer bedingten Wahrscheinlichkeit ist nicht
notwendig, da beide Würfe unabhängig sind und somit nur die Wahrscheinlichkeit
für die Augenzahl drei beim einfachen Würfelwurf zu bestimmen ist
b) UG: „ein Wurf zeigt eine gerade Zahl und der andere eine ungerade“
UG = 3 ⋅ 3
+
3⋅3
= 18
1 Wurf
gerade
=
UG ∩ S
⇒
2. Wurf
ungerade
1. Wurf
ungerade
2. Wurf
gerade
1) ; ( 1 6 ) ; ( 3 4 ) ; ( 2 5 )} ⇒ UG ∩ S
{( 2 5 ) ; ( 4 3 ) ; (6 =
6
PUG ( S ) =
=
6
18
1
3
c) BU: „beide Würfel zeigen eine ungerade Zahl“
BU = 3 ⋅ 3 = 9 ; BU ∩ S = {
}
⇒
BU ∩ S = 0
⇒
PBU ( S ) =
0
9
=0
=
1
6
d) ZD: „zweiter Wurf zeigt eine Augenzahl kleiner als 3“
ZD = 2 ⋅ 6
=
12
1 Wurf
gerade
ZD ∩ S =
2. Wurf
ungerade
{(5 2 ) ; (6 1)}
10
a) PK (POS ) :
b) PK (POS) :
c) PPOS (K ) :
()
d) PPOS K :
()
⇒
ZD ∩ S = 2
⇒
PZD ( SD ) =
2
12
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis positiv ist, wenn
die Krankheit vorhanden ist; (gross)
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis positiv ist, wenn
die Krankheit nicht vorhanden ist; (klein)
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Person krank ist, wenn das
Ergebnis positiv ist; (gross)
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Person nicht krank ist, wenn
das Ergebnis positiv ist; (klein)
e) PPOS K :
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Person nicht krank ist, wenn
f) PPOS (K ) :
das Ergebnis negativ ist; (gross)
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Person krank ist, wenn das
Ergebnis negativ ist; (klein)
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
23
11.4
Seite 226
Unabhängigkeit von Ereignissen
1
a) P ( A ) =
; P (B ) =
;
P ({a} ) + P ({d} ) ==
P ({c} ) + P ({d} ) ==
4
16
P ( A ) ⋅ P (B ) = ⋅ =
P ( A ∩ B ) = P ({d} )
1 1
4 2
2
=
16
=
1
8
1
8
1
4
8
16
1
2


 da P ( A ) ⋅ P (B ) = P ( A ∩ B ) , sind A und B unabhängig

P ( A ) = ; P (B ) = ; P ( C ) = ;
1
6
2
P ( A ∩ B) =
1
6
1
6
= P ( A ) ⋅ P (B )
1
36
⇒
A und B sind unabhängig
P ( A ∩ C ) =0 ≠ P ( A ) ⋅ P ( C )
⇒
A und C sind unabhängig
P (B ∩ C ) =
⇒
B und C sind abhängig
2
36
≠ P (B ) ⋅ P ( C )
P (A) =
0, 7
3
(
( )
P A =
0, 3; P (B ) =
0, 4
⇒
)
( )
P B ∩ A = 0, 18; P A ⋅ P (B ) = 0, 4 ⋅ 0, 3 = 0, 12
⇒
A und B sind unabhängig, somit auch A und B
4 =
P (A)
471 + 151
=
1000
622
1000
; P (B )
=
471 + 148
=
1000
619
1000
;
P ( A ) ⋅ P (B ) = 0,622 ⋅ 0,619 = 0, 385 018 ≈ 38,5 % 

471
P ( A ∩ B )=
= 0, 471 ≈ 47, 1 %

1000
5
P ( „Knabe”
=
)
P (K ) ⋅ P (B=
)
P (K ∩ B )=
24
4445
8824
4445 ⋅ 524
88242
268
8824
A und B sind abhängig
≈ 50, 37 % ; P ( „Brillenträger”
=
)
≈ 2, 99 %
≈ 3, 04 %





524
8824
≈ 5, 94 % ;
K und B sind abhängig
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Seite 227
6 Zwei Ereignisse sind unvereinbar, wenn
A ∩=
B { } ⇒ P (A ∩B
=
) 0


P ( A ) ≠ 0; P (B ) ≠ 0 ⇒ P ( A ) ⋅ P (B ) ≠ 0 
7
P ( A ) = ; P (B ) = ;
3
4
1
2
P ( A ) ⋅ P (B ) = ⋅ =
3 1
4 2




3
8
P ( A ∩ B) =
1
2
8
P ( Z ) = ; P (S ) =
1
6
1
2
A und B sind abhängig
; P (F ) =
1
15
;
a) P ( Z ) ⋅ P ( S ) = ⋅ =
(Z ∩ S) =
b) P (F ) ⋅ P ( S )
(F ∩ S ) =
c) P ( Z ) ⋅ P (F )
9
A und B sind abhängig
1 1
2 6
1 1
=
⋅
15 6
1 1
= ⋅
2 15
1
;P
12
1
;P
=
90
1
= ;P
30
P ( „Besserung”
=
) P=
(B )
P ( „Medikament”
=
) P=
(M )
P (B ) ⋅ P ( M ) =
P (B ∩ M )
893 ⋅ 435
13632
285
=
1363
=
285
1363
(Z ∩F) =
1
6
1
30
1
30
⇒
Z und S sind abhängig
⇒
F und S sind abhängig
⇒
Z und F sind unabhängig
285 + 608
=
285 + 608 + 150 + 320
285 + 150
435
;
=
1363
1363





893
1363
;
B und M sind unabhängig
10 A = {31; 32; 33; 34; 35; 36} ; P (B=
)
6
=
36
1
6
B = {11; 13; 15; 22; 24; 26; 31; 33; 35; 42; 44; 46; 51; 53; 55; 62; 64; 66} ;
P (B=
)
18
=
36
1
2
C = {14; 15; 23; 24; 32; 33; 41; 42; 46; 51; 55; 64} ; P ( C=
)
a) P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P ( C ) =
b) P ( A ) ⋅ P (B ) = ⋅
P ( A ) ⋅P (C ) =
P (B ) ⋅ P ( C ) =
1 1
6 2
1 1
⋅
6 3
1 1
⋅
2 3
1 1 1
⋅ ⋅
6 2 3
1
= ;
12
1
= ;
18
1
= ;
6
=
1
36
12
=
36
1
3
; P (A ∩B ∩ C) =
P ( A ∩ B) =
P (A ∩ C) =
P (B ∩ C ) =
1
36
3
36
2
36
8
36
=
=
=
1
12
1
18
2
9
⇒
A und B sind unabhängig
⇒
A und C sind unabhängig
⇒
B und C sind abhängig
c) Würde man die Gleichung „ P ( A ) ⋅ P (B ) ⋅ P ( C=
) P ( A ∩ B ∩ C ) “ als Definition für die
Unabhängigkeit von 3-er-Ereignissen verwenden, so könnte man daraus nicht auf die
paarweise Unabhängigkeit der einzelnen Ereignisse schliessen; daher wäre die
genannte Festlegung ungeeignet.
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25
11
a) P (R ∩ S ) =P (R ) ⋅ P ( S ) =r ⋅ s
( ) ( )
P (R ∩ S ) = P (R ) ⋅ P ( S ) = ( 1 − r )( 1 − s )
b) P R ∩ S ∪ P R ∩ S = r ⋅ ( 1 − s ) + ( 1 − r ) ⋅ s = r − r s + s − r s = r + s − 2 r s
c)
d) = b) = r + s − 2 r s
P (R ∩ S )
=
e) PR ( S=
)
P (R )
rs
=
r
s
12 M: Anzahl Treffer Muriel; J: Anzahl Treffer Johannes
a) P (M
= 2=
)
( )=
1
2
2
1
4
; P ( J =1) =0, 4 ⋅ 0,6 + 0,6 ⋅ 0, 4 =0, 48 ;
P (M = 2 ) ∩ ( J = 1) = P (M = 2 ) ⋅ P ( J = 1) = 0, 25 ⋅ 0, 48 = 0, 12 = 12 %
1) ⋅ P (M =
0) + P (J =
2 ) ⋅ P (M =
1) + P ( J =
2 ) ⋅ P (M =
0)
b) P ( J =
= 0, 48 ⋅ 0,52 + 0, 42 ⋅ 2 ⋅ 0,52 + 0, 42 ⋅ 0,52 = 0, 24= 24 %
c) Wird keine Unabhängigkeit vorausgesetzt, so würden sich die
Trefferwahrscheinlichkeiten je nach vorhergegangenem Ereignis ändern, das heisst
zum Beispiel:
PTreffer J ( Treffer M ) ≠ PTreffer M ( Treffer J) ; somit könnten obige Wahrscheinlichkeiten
nicht berechnet werden
26
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
11.5
Seite 230
Regel von Bayes
1 Als totale Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein defekter Schalter geliefert wurde,
0, 05 ; die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A einen defekten
ergibt sich 1 − 0, 95 =
0, 04 ; damit erhält man für die gesuchte
Schalter montiert, beträgt 0, 4 ⋅ 0, 1 =
Wahrscheinlichkeit
0,04
0,05
= 0, 8
2 Die totale Wahrscheinlichkeit dafür, dass er pünktlich zu Hause ankommt,
beträgt
3
5
; die Wahrscheinlichkeit, bei Benutzung der Bahn pünktlich anzukommen,
2
3
8
15
beträgt 0, 8 ⋅ = ; damit erhält man für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
3 Man erhält für die gesuchte Wahrscheinlichkeit 0, 000 05 ⋅
0,8
0,000 01
8 3
⋅
15 5
8
9
=.
=
0, 4 .
4 Wahrscheinlichkeit zum Indiz „Test nicht bestanden“:
über „Abschluss erreicht“: 0,65 ⋅ 0, 02 =
0, 013 ;
0, 2975 ; Summe: 0, 3105 ;
über „Abschluss nicht erreicht“: 0, 35 ⋅ 0, 85 =
0, 9581
A-posteriori-Wahrscheinlichkeit: „Abschluss nicht erreicht“: 0, 2975 ⋅ 0, 3105 =
die Wahrscheinlichkeit, dass ein Studierender mit negativem Testergebnis den
Studienabschluss nicht erreicht, beträgt etwa 95, 8 % .
5
a) Wahrscheinlichkeit zum Indiz „2 – 3– 2“:
Würfel:
()
1 1
⋅
2 6
3
1
432
=; Münze:
1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅
2 4 8 4
1
256
= ; Summe:
43
6912
;
A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten:
Würfel:
1
432
:
43
6912
= 0, 372 ; Münze:
1
256
43
6912
:
= 0,6279
b) Wahrscheinlichkeit zum Indiz „3 – 4– 6“:
Würfel:
()
1 1
⋅
2 6
3
=
1
432
≈ 0, 002 315 ; Münze:
1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅=
2 8 16 64
1
16 384
≈ 0, 000 061 0 ;
Summe: 0, 002 376
A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten:
Würfel:
1
432
: 0, 002 376 ≈ 0, 974 ; Münze:
1
16 384
: 0, 002 376 = 0, 0256
c) Wahrscheinlichkeit zum Indiz „6 – 6– 6“:
Würfel:
()
1 1
⋅
2 6
3
=
1
432
≈ 0, 002 315 ; Münze:
1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅=
2 64 64 64
1
524 288
≈ 0, 000 001 9
Summe: 0, 002 317
A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten:
Würfel:
0,002 315
0,002 317
≈ 0, 9991 ; Münze:
0,000 001 9
0,002 317
≈ 0, 000 82
d) Wahrscheinlichkeit zum Indiz „3 – 3– 1“:
Würfel:
()
1 1
⋅
2 6
3
1
432
=; Münze:
1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅
2 8 8 2
1
256
= ; Summe:
43
6912
;
A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten:
Würfel:
1
432
:
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
43
6912
= 0, 372 ; Münze:
1
256
:
43
6912
= 0,6279
27
e) Wahrscheinlichkeit zum Indiz „2 – 3– 1“:
Würfel:
()
1 1
⋅
2 6
3
1
432
=; Münze:
1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅
2 4 8 2
1
128
35
3456
= ; Summe:
;
A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten:
Würfel:
1
432
:
35
3456
1
128
= 0, 229 ; Münze:
35
3456
:
= 0, 771
f) Wahrscheinlichkeit zum Indiz „4 – 2– 1“:
Würfel:
()
1 1
⋅
2 6
3
1
432
=; Münze:
1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅
2 16 4 2
1
256
= ; Summe:
43
6912
;
A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten:
Würfel:
1
432
:
43
6912
1
256
= 0, 372 ; Münze:
:
43
6912
= 0,6279
6 Wahrscheinlichkeit zum Indiz „Diagnose positiv“:
über „Säugling hat die Krankheit“: 0, 000 09 ⋅ 0, 9999 = 8, 9991 ⋅ 10 − 5
über „Säugling hat die Krankheit nicht“: 0, 999 991 ⋅ 0, 001 = 9, 9991 ⋅ 10 − 4 ;
Summe: 1, 089 901 ⋅ 10 − 3 ;
die Wahrscheinlichkeit, dass ein als krank diagnostizierter Säugling diese
Stoffwechselkrankheit hat, beträgt somit
8, 9991 ⋅ 10 − 5 : 1, 089 901 ⋅ 10 − 3= 0, 0825 ≈ 8, 3 %
7 Wahrscheinlichkeit zum Indiz „goldenes Schmuckstück“:
Schrank 1:
1
1
⋅1 =
2
2
; Schrank 2:
1 1
⋅
2 2
1
4
= ; Schrank 3:
1
⋅0
2
=
0 ; Summe:
3
4
;
A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten:
Schrank 1:
28
1
2
:
3
4
=
2
3
; Schrank 2:
1
4
:
3
4
=
1
3
; Schrank 3: 0 :
3
4
=0
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Exkursion: Das Ziegenproblem
Seite 231
1 Individuelle Lösungen
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
29
Seite 232
2
a) Die 2. Stufe stellt in beiden Fällen keinen Zufallsprozess dar, da die
Entscheidung(„bleiben“ bzw. „wechseln“) jeweils feststeht und somit sicher ist.
b) Strategie „bleiben“:
P (A) = P (A ∩ A) =
1
1
⋅1 =
3
3
Strategie „wechseln“: P ( A ) = P ( Z 1 ∩ A ) + P ( Z 2 ∩ A ) =
1
1
2
⋅1+ ⋅1 =
3
3
3
3
a) A 1 ∩ K 1 ∩ M3 : das Auto steht hinter Tür 1 und der Kandidat wählt Türe 1 und der
Moderator öffnet Türe 3; P ( A 1 ∩ K 1 ∩ M3 ) =
b) P ( A 1 ∩ K 1 ∩ M3 ) =
1 1 1
⋅ ⋅
3 3 2
=
1
18
1 1
1
⋅ ⋅1 =
3 3
9
c) PK1 ∩M2 ( A 1 ) gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit an, dass das Auto hinter der
Türe 1 steht, wenn der Kandidat die Türe 1 gewählt hat und der Moderator Türe 2
geöffnet hat;
PK1 ∩M2 ( A 1=
)
P ( A 1 ∩K 1 ∩M2 )
=
P (K 1 ∩M2 )
1 1 1
1
⋅ ⋅
=
1
1 1 1
3 3 2
1 1
1
3 3 2
3 3
3 3
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅0 + ⋅ ⋅1
18
=
3
1
3
;
18
PK1 ∩M2 ( A 3 ) PK1 ∩M2 ( A 1 ) gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit an, dass das Auto hinter
der Türe 3 steht, wenn der Kandidat die Türe 1 gewählt hat und der Moderator Türe
2 geöffnet hat;
PK1 ∩M2 =
( A3 )
P ( A3 ∩K 1 ∩M2 )
=
P (K 1 ∩M2 )
1 1
⋅ ⋅1
3 3
=
3
2
3
;
18
Folgerung: Es ist günstiger, im 2. Schritt die Türe zu wechseln.
30
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Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen
Lösungen Teil VII
12
13
Zufallsvariablen und Verteilungsfunktion
12.1 Zufallsvariablen
12.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen
12.3 Erwartungswert einer Zufallsvariablen
12.4 Varianz einer Zufallsvariablen
Bernoulli-Experiment und Binomialverteilung
13.1 Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette
13.2 Binomialverteilung
13.3 Modellieren mit der Binomialverteilung
13.4 Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung
13.5 Die Gauss’sche Glockenfunktion
13.6 Normalverteilung – Modell und Wirklichkeit
Exkursion: Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Alle Rechte vorbehalten
Lambacher Schweizer 11/12
12 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktion
12.1
Seite 234
Zufallsvariablen
1
a)
ω
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
X ( ω)
1
2
2
3
2
4
2
4
3
4
2
6
2
4
4
5
b)
c)
X 2=
(=
) {2; 3; 5; 7; 11; 13}
( X= 3=) {4; 9}
X 4=
(=
) {6; 8; 10; 14; 15}
P (=
X 2=
) 37,5 % ; P ( X= 3=)
→ Pr imzahlen
→
Quadratzahlen
12,5 %
2
a)
ω
G ( ω)
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
2
2
1
–3
1
–3
b) G = 2 : Man gewinnt 2 Fr., wenn A als erster Buchstabe gezogen wird
G = − 3 : Man verliert 3 Fr., wenn A als letzter Buchstabe gezogen wird
G ≤ 2 : Jedes Ereignis kann eintreten
c) P ( G ≤ 1) =
2
3
3
…;
…;
…;
a) Ω ={GGGG; GGGG;

GGGG;

 GGGG;
GGGG;

 GGGG;

 GGGG}
4×
⇒
b)
( X=
1×
Ω =16 (oder 2 )
0=
) {GGGG}
Der Bogenschütze trifft nie ins Gelbe;
X= 2= {GGGG; …; GGGG}
{GGGG;
( X ≤ 1) =
c) P ( X
= 0=
)
2
4×
6×
4
1
16
Der Bogenschütze trifft genau zweimal Gelb
GGGG; …; GGGG}
; P (X
= 2=
)
6
=
16
Der Bogenschütze trifft höchstens
einmal ins Gelbe
37,5 % ; P ( X ≤ 1) =
5
16
= 31, 25 %
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12.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen
Seite 237
3; P (r ) 0,6;
=
P ( s ) 0, 1)
1=
(P ( w ) 0,=
P ( − 1) =; P ( 0, 2 ) =
1
5
2
5
; P ( 0, 25 ) = ; P ( 1) =
1
3
1
15
2
a)
b)
xi
P ( X = xi )
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
–2
1
0
12
27
7
27
8
27
3
Seite 238
3 P ( X ≥ x ) ist die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens so gross ist wie ein
vorgegebener Wert x.
4 Durch „Addition der Werte“: Der Graph der kumulativen Verteilungsfunktion
verläuft auf der x-Achse bis zum ersten Stab des zugehörigen Stabdiagramms; an
dieser Stelle springt der Graph gerade um die Höhe des Stabes in y-Richtung (auf
der die Wahrscheinlichkeit P(X≤x) angetragen ist), um dann parallel zur x-Achse bis
zur Stelle des nächsten Stabes zu laufen; nun springt der Graph erneut um die Höhe
des dortigen Stabes in y-Richtung, um anschliessend wieder parallel zur x-Achse zu
laufen; am letzten Stab springt der Graph der kumulativen Verteilungsfunktion
schliesslich auf den Wert 1.
5
( ) ⋅ 3 = 34, 7 % ; P ( − 1)= ( ) = 0,579= 57, 9 % ;
‰ 0, 46 %
( 3 ) (=
( ) ⋅ ⋅ 3= 6, 9 % ; P=
) 4,6=
a) P ( 1) = ⋅
1
6
P ( 2=
)
1
6
2
5
6
2
5
6
5
6
1
6
3
3
6
0,6 ; P ( X > 3 ) =1 − 0, 9 =0, 1
a) P ( X ≤ 2 ) =
b) P ( 0 < x ≤ 4 ) = 1 − 0, 1 = 0, 9
c)
7
a)
X
P (X )
3
0, 6
2
3
= 21, 6 %
1
2
2
0, 4 ⋅ 0, 6 ⋅ 3 0, 4 ⋅ 0, 6 ⋅
= 43, 2 %
= 28, 8 %
0
0, 43
= 6, 4 %
b) P ( X ≥ 2=
) 0, 216 + 0, 432= 0,648= 64, 8 %
c)
4
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8
a)
{(0 0 ) ; (0 2 ) ; (0
− 2) ; (2 0) ; ( − 2 0) ;
( 1 1) ; ( 1 − 1) ; ( − 1 1) ; ( − 1 − 1) }
1
1
P ( 0 0 ) =4 ⋅ =
16
4
1
P (0 2 ) = = P (0 − 2 ) = P ( 2 0) = P ( − 2 0)
16
1
1
P ( 1 1) = P ( − 1 1) = P ( 1 − 1) = P ( − 1 − 1) = 2 ⋅ =
16
8
b)
X
0
P (X )
1
4
2
2
4
8
=
4
16
1
2
=
1
4
c) Es gibt insgesamt 64 ( = 43 ) mögliche Wege, die
alle gleich wahrscheinlich sind; die
Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Punkt
anzukommen, wird durch die Anzahl der möglichen
Wege festgelegt.
P[( 0 3 ) ; ( 0 − 3 ) ; ( 3 0 )] =P ( 3 ) =4 ⋅
1
64
1
16
=
P[( 2 1) ; ( 1 2 ) ; ( − 1 2 ) ; ( 2 − 1) ; ( − 2 1) ; ( 1 − 2 ) ; ( − 2 − 1) ; ( − 1 − 2 )]
=P
( 5 ) = 8 ⋅ 3 ⋅ 641 = 38
P[( 1 0 ) ; ( − 1 0 ) ; ( 0 − 1) ; ( 0 1) = P ( 1) = 4 ⋅ 9 ⋅
1
64
=
9
16
9
a) Es gibt 4+3+2+1=10 Möglichkeiten oder: 5⋅4:2=10
b)
Summe X
3
4
5
6
7
8
9
P (X = x)
1
10
1
10
2
10
2
10
2
10
1
10
1
10
da
3 =1 + 2 =2 + 1
4 =1 + 3 =3 + 1
5 = 1+ 4 = 3 + 2 = 4 + 1 = 2 +3
6 = 1+5 = 2 + 4 = 5 + 1 = 4 + 2
7 = 5 + 2 = 2 +5 = 3 + 4 = 4 +3
8 = 3 +5 = 5 +3
9 = 4 +5 = 5 + 4
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5
12.3
Seite 240
1
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
E (X ) = ⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =
1
6
21
6
= 3,5
2
a) E=
40 ) 25
( X ) 0, 25 ( 10 + 20 + 30 +=
b) E ( X )= 0, 05 ⋅ 15 + 0, 2 ⋅ 20 + 0,5 ⋅ 25 + 0, 2 ⋅ 30 + 0, 05 ⋅ 35= 25
3
a) P ( X ≥ 1) =1 − 0, 3 =0, 7
b) P ( 0 ) = 0, 3 ; P ( 1) = 0, 3 ; P ( 2 ) = 0, 2 ; P ( 3 ) = 0, 1 ; P ( 4 ) = 0, 1
⇒ E ( X ) = 0 ⋅ 0, 3 + 1 ⋅ 0, 3 + 2 ⋅ 0, 2 + 3 ⋅ 0, 1 + 4 ⋅ 0, 1 = 1, 4
c) Ω ={ ( 0000 ) ; ( 1000 ) ; ( 0100 ) ; ( 0010 ) ; ( 0001) ; ( 1100 ) ; ( 1010 ) ; ( 1001) ;
( 0110 ) ; ( 0101) ; ( 0011) ; ( 1110 ) ; ( 1101) ; ( 1011) ; ( 0111) ; ( 1111) }
1  Haushalt „besetzt” ; 0  „keiner da”
6
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Seite 241
4
a) P ( 1) = ; P ( 2 ) = ⋅ =
1
6
5 1
6 6
b) E ( V ) = 1 ⋅ + 2 ⋅ ⋅ + 3 ⋅
1
6
5 1
6 6
5
36
; P (3) = ⋅ =
()
5
6
5 5
6 6
2
=
91
36
25
36
≈ 2,5
⇒ Auf lange Sicht muss man im Durchschnitt 25mal würfeln, obwohl dann immer noch nicht sicher
ist, ob man ins Spiel kommt oder nicht.
5
a) E ( X ) = 2 ⋅ + 4 ⋅ + 8 ⋅ = 3,5
1
4
1
4
1
4
⇒ Man müsste 3.50 Franken einsetzen.
b) Einsatz verringern bedeutet zum Beispiel, den Sektor „8“ zu verkleinern und den
Sektor „0“ zu vergrössern.
⇒
I:
P ( − 2,5 ) + ⋅ ( 2 − 2,5 ) + ⋅ ( 4 − 2,5 ) + q ⋅ ( 8 − 2,5 ) =
0
1
4
II : p + q =
⇒
=
p
3
8
⇒
1
2
1
4
⇒
q=
1
2
−p
in I
3
8
1
8
Sektor „0” : 360° ⋅= 135° ; Sektor „8” : 360° ⋅ = 45° ;
die beiden anderen Sektoren bleiben unverändert bei 45°.
6
P  Verkaufspreis ; erwarteter Gewinn: 0,5
Erwartungswert: P ( −10 ) ⋅ 0, 95 + (P − 20 ) ⋅ 0, 05
7
⇒
0,5 = (P − 10 ) ⋅ 0, 95 + (P − 20 ) ⋅ 0, 05
⇒
P=
11 ; Man muss das Teil zu 11 Franken verkaufen.
P (X ) =
1 − ( 0, 05 + 0, 25 + 0, 45 ) =
0, 25
E ( X ) =− 2 ⋅ 0, 05 + 1 ⋅ 0, 25 + 3,5 ⋅ 0, 45 =1, 725
8 Die Werte der Zufallsgrösse können ganzzahlig sein, aber durch Multiplikation
mit den Wahrscheinlichkeiten sind „krumme“ Werte möglich.
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7
9
⇒
E (X ) = 1⋅
9
72
+3⋅
90
720
9⋅8⋅7
9⋅8⋅7
+4 ⋅
+…9 ⋅
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3
1
=
⋅ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 9 ⋅2
10
1
= ⋅ 54 = 5, 4
10
1
10
⇒
(
+2⋅
(
)
) ( ⋅⋅ + ⋅⋅)
+ 4 ⋅ ( ⋅ ⋅ ) ⋅ 2

= 3 ⋅ ( + + ) + 4 ⋅  ⋅ 2 =
3, 4


5 2 1
10 5 2
5 2 1
10 5 2
5 3 2
10 5 3
1
10
1
10
1
10
1
5
Strategie 2 ist günstiger, da der Erwartungswert kleiner ist.
10 E ( X ) = 1 ⋅
da
⇒ maximal 4 Fragen,
minimal 3 Fragen
5 3 1
E ( X ) = 3 ⋅ ⋅ ⋅ +
 10 5 3
maximal 9 Fragen,
minimal 1 Frage
3
b
2
b
1
b
4 −1
4 −2
+2⋅
b
b
+3⋅
+ + =
1 sein muss
4 −3
b
=
1
b
( 3 + 4 + 3 ) = 10b ;
⇒ b = 6 ⇒ E (X ) =
5
3
11 Weil sich dann Gewinn und Verlust genau ausgleichen und das Spiel „fair“ ist.
12 E ( X ) = 1 ⋅ 0, 25 + 2 ⋅ 0, 25 + 4 ⋅ 0, 25 = = 1, 75 ⇒ mindestens 1,75 Franken
7
4
8
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12.4
Seite 243
Varianz einer Zufallsvariablen
1
( 11)
( 12 )( 21)
P (2) =
1
36
P ( 3=
)
;
( 13 )( 31)( 22 )
2
=
36
1
18
P ( 4=
)
;
3
=
36
1
12
( 14 )( 41)( 32 )( 23 )
( 15 )(51)( 24 )( 42 )( 33 )
( 16 )(61)( 25 )(52 )( 34 )( 43 )
P (5=
)
P (6 ) =
P ( 7=
)
4
=
36
1
9
5
36
6
=
36
1
6
( 26 )(62 )( 35 )(53 )( 44 )
( 36 )(63 )( 45 )(54 )
( 46 )(64 )(55 )
P (8) =
P ( 9=
)
P ( 10 ) =
5
36
4
=
36
(56 )( 65 )
(66 )
P ( 11) =
P ( 12 ) =
E (X ) =
Var ( X )
1
18
1
9
1
12
1
36
1
1
1
1
5
1
5
1
1
1
1
2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ + 6 ⋅ + 7 ⋅ + 8 ⋅ + 9 ⋅ + 10 ⋅ + 11 ⋅ + 12 ⋅ = 7
36
18
12
9
36
6
36
9
12
18
36
2
2
2
2 1
2
2 1
1
1
1
5
=2 − 7 ⋅ + 3 − 7 ⋅ + 4 − 7 ⋅ + 5 − 7 ⋅ + 6 − 7 ⋅ + 7 − 7 ⋅
36
18
12
9
36
6
2
2 1
2
2
2
5
1
1
1
35
+ 8 − 7 ⋅ + 9 − 7 ⋅ + 10 − 7 ⋅ + 11 − 7 ⋅ + 12 − 7 ⋅ =
36
9
12
18
36
6
(
)
(
(
)
⇒
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
σ ≈ 2, 42
2
a) E ( X ) =− 2 ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 0, 2 + 4 ⋅ 0, 1 =− 0, 2 ;
Var ( X )
=
4, 36
( − 2 + 0, 2 ) ⋅ 0,5 + ( 0 + 0, 2 ) ⋅ 0, 2 + ( 2 + 0, 2 ) ⋅ 0, 2 + ( 4 + 0, 2 ) ⋅ 0, 1 =
2
2
2
2
⇒ σ ≈ 2, 09
b) E ( Y ) =
− 3 ⋅ 0, 1 − 2 ⋅ 0, 1 − 0, 3 ⋅ 0, 2 + 2 ⋅ 0, 1 =
− 0, 4 ;
Var ( Y ) =
( − 3 + 0, 4 ) ⋅ 0, 1 + ( − 2 + 0, 4 ) ⋅ 0, 1 + ( − 1 + 0, 4 ) ⋅ 0, 3 + ( 0 + 0, 4 ) ⋅ 0, 2
2
2
2
+ ( 1 + 0, 4 ) ⋅ 0, 2 + ( 2 + 0, 4 ) ⋅ 0, 1 = 2, 04
2
2
⇒
2
σ ≈ 1, 43
3
X
P(X)
3
2
6
=
4
6
7
1
1
1
1
3
3
6
6
Y
9
⇒ E ( X ) = P(
2
Y)
1
2
3
4
1
1
1
1
6
3
6
3
( ) + ( 4 − ) + (6 − ) + ( 7 − )
Var ( Y ) =( 1 − ) ⋅ + ( 2 − ) ⋅ + ( 3 − ) ⋅ + ( 4 − ) ⋅
Var ( X ) = 3 −
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9
2
2
1
⋅
3
9
2
2
1
⋅
3
9
2
2
1
⋅
6
9
2
7
3
2
1
3
7
3
2
1
6
7
3
2
1
3
7
3
2
2
1
⋅
6
1
6
⇒ E (Y ) =
7
3
=2, 25 ( ⇒ σ ≈ 1,50 )
11
9
=
(⇒
σ ≈ 1, 11)
9
4
X
1
2
P(X)
1
1
3
1
2
4
4
⇒ E (X ) =
7
4
( ) ⋅ + (2 − ) ⋅ + (3 − ) ⋅
Var ( X ) = 1 −
5
7
4
2
1
2
7
4
2
1
4
7
4
2
1
4
11
16
=
E (X ) = p ;
Var ( X ) =( 1 − p ) ⋅ p + ( 0 − p ) ⋅ ( 1 − p ) =
p − 2 p 2 + p3 − p3 + p 2 =
p ( 1 − p) σ = p (1 − p)
2
2
6 Hinweis: Zur Lösung dieser Aufgabe ist Kenntnis der Roulette-Regeln erforderlich.
a) E ( C ) =
− 10 ⋅
E (H )
36
37
19
=
− 10 ⋅
37
1
10
=
−
37
37
18
10
+ 10 ⋅ =
−
37
37
+ 350 ⋅
⇒
⇒
Var ( C ) =
3408
Var (H ) =
99, 9
b) Carmen und Samuel haben auf lange Sicht den gleichen Verlust, da der
Erwartungswert gleich ist; Carmen ist wegen der grösseren Varianz risikofreudiger.
7 Dieses „Experiment“ gibt es nicht – das heisst, es besteht nur aus einem einzigen
Ereignis (zum Beispiel ein Würfel mit allseitig gleicher Augenzahl).
10
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13 Bernoulli-Experiment und Binomialverteilung
13.1
Seite 245
1
a)
c)
d)
e)
g)
Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette
kein Bernoulli, da sich p ändert b) Bernoulli: n = 5 ; p sollte gegeben sein
Bernoulli, da innerhalb einer Familie gleiche Situation
kein Bernoulli, da keine konstante Wahrscheinlichkeit für Sieg
f) Bernoulli: n = 10 ; p = 0,5
Bernoulli: n = 10 ; p = 0,5
Bernoulli: n = 10 ; p = ? (experimentell zu ermitteln)
2
a) n = 4 ; p =
1
2
b) n = 20 ; p = 70 % (bzw. 30 % )
c) n = 30 ; p = 2 % (bzw. 98 % )
3
a) 0, 4 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,6 3 =
3, 456 %
b) 3, 456 %
4
c) 0, 4 ⋅ 0,6=
0, 05184
= 5, 18 %
d)
5⋅4⋅3⋅2 ⋅1
=
5 ⋅5 ⋅5 ⋅5 ⋅5
( =)
0, 0384=
5!
55
3, 84 %
4 Die Eins kann an 1., 2. oder 3. Stelle stehen ⇒ muss noch mit 3 multipliziert
werden
5
a) 0, 996 7 ⋅ 0, 004 ≈ 0, 39 %
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b) 0, 925 ⋅ 0, 08 ≈ 5, 3 %
11
13.2
Seite 248
1
Binomialverteilung
(
B (5;
a) B 5;
1
6
c)
1
6
)
; 5 ) = 0, 000 127 6
; 2 = 0, 16075
e) P ( X ≥ 3 ) =
0, 03549
2
a) Tabelle:
k
P (X = k )
P (X ≤ k )
0
0,3164
0,3164
1
0,42187
0,73828
2
0,21094
0,94922
3
0,046875
0,99609
4
0,003906
1,00000
Stabdiagramm:
b) Tabelle:
12
1
6
)
; 3 = 0, 03215
d) P ( X ≥ 1) =1 − P ( X =0 ) =0,59812
f) P ( X ≤ 2 ) =
0, 9645
Kumulative Verteilungsfunktion
k
P (X = k )
P (X ≤ k )
0
0,04666
0,04666
1
0,18662
0,23328
2
0,31104
0,54432
3
0,27648
0,82080
4
0,13824
0,95904
5
0,03686
0,99590
6
0,004096
1,00000
Stabdiagramm:
(
b) B 5;
Kumulative Verteilungsfunktion
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c) Tabelle:
k
P (X = k )
P (X ≤ k )
0
0,0039
0,0039
1
0,03125
0,03515
2
0,10938
0,14453
3
0,21875
0,36328
4
0,27344
0,63672
5
0,21875
0,85547
6
0,10938
0,96485
7
0,03125
0,9961
8
0,0039
1,00000
Stabdiagramm:
d) Tabelle:
k
0
1
P (X = k )
1, 24 ⋅ 10
−7
4, 096 ⋅ 10
−6
Kumulative Verteilungsfunktion
P (X ≤ k )
≈0
≈0
7, 37 ⋅ 10
−5
3
7, 86 ⋅ 10
−4
4
0,005505
0,00637
5
0,026424
0,03279
6
0,08808
0,12087
7
0,20133
0,32220
8
0,30199
0,62419
9
0,26844
0,89263
10
0,10737
1,00000
2
Stabdiagramm:
3
≈0
0,000864
Kumulative Verteilungsfunktion
B ( n; p; k ) ≤ B ( n; p; 0 ) + B ( n; p; 1) + … B ( n; p; k ) =
Fpn ( k )
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13
4
a) B ( 4; 0, 03; 0 ) = 0, 8853
b) B ( 10; 0, 03; 4 ) = 0, 000142
8
c) =
F0,03
( 3 ) 0, 99995 ≈ 100 %
d) P=
( 2 ≤ x ≤ 3 ) B ( 15; 0, 03; 3 ) + B ( 15; 0, 03; 3 ) ≈ 7, 2 %
5 n = 25 ; p = 0, 15
a) 0, 07587
c) 0, 25374
b) 1 − 0, 01720 =
0, 9828
d) 1 − 0, 47112 =
0,52888
6 n = 10 ; p = 0, 1
a) B ( 10 ; 0, 1; 10 ) = 0, 34868
b) B ( 12; 0, 34868; 2 ) = 0, 11024
7
a) Unter 12 Versuchen mit der Wahrscheinlichkeit
⇒
P (X ≥ 3) =
0, 81887
b) Unter 12 Versuchen mit p =
⇒
14
1
3
1
3
gibt es mindestens 3 Treffer
gibt es mindestens 3 und höchstens 5 Treffer
P (X ≤ X ≤ 5) =
0,64115
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Seite 249
8
X−4 < 2
⇔
2<x<6
⇒
F112 (5 ) − F112 ( 2 ) =
0,641155
3
9
(p=
a) n = 4 ; p = 0, 2
1 − 4 0, 4096
3
)
b) n = 3 ; p = 0,6 ; p ≈ 1 − 0, 06
c) n = 3 ; p = 0,6
3
10
a) n = 6 ; p = 0, 4 ;
2
∑ B (n; p; k ) = 0,54432
k =0
2
0, 45568
b) n = 6 ; p = 0, 4 ; 1 − ∑ B ( n; p; k ) =
k =0
c) 0,5 =
4
1
16
d)
11 Tabelle:
(
1
k
B 8;
0
0,00391
1
0,03125
2
0,10938
3
0,21875
4
0,27344
5
0,21875
6
0,10938
7
0,03125
8
0,00931
2
; k
(
1
64
e) B 6;
)
; 3 =
5
16
f)
1
16
Stabdiagramm:
)
15
12
1
2
2
1 − ∑ B ( 15; 0, 02; k ) =
0, 00304 ⇒ die Firma muss 0, 304 %
∑ B ( 15; 0, 02; k ) =
=
k 3=
k 0
unberechnet kalkulieren
13 Individuelle Lösungen; zum Beispiel: wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in
einer Gruppe von 30 Schülerinnen und Schülern mehr als 5 sind, die regelmässig
lesen?
14 Gesucht: n: „mindestens einer“  „keiner“
⇒
∑ B (n;
n
k =1
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
1
;
3
)
k =1 −
()
2
3
n
≥ 0, 99 ⇒ n ≥ 12
15
13.3
Seite 252
Modellieren mit der Binomialverteilung
1
a) P ( =
X 4=
) 0, 250 823
b) P ( X ≤ 4 ) =
0,633 103
c) P ( X < 4 ) =
0, 382 280
d) P ( X ≥ 4 ) =
0,617 720
e) P ( X > 4 ) =
0, 366 897
f) P ( 3 ≤ X ≤ 5 ) =
0,666 472
g) P ( 3 < X ≤ 5 ) =
0, 451 481
h) P ( 3 < X < 5 ) =
0, 250 823
=
2 für k 7=
(B ( 10; 0, 7; 7 ) 0, 26683 )
3
P ( „rot” ) = 0,64 ; n = 5
5 
3
2
a) B (5; 0,64; 3 ) =
0, 3397
  ⋅ 0,64 ⋅ 0, 36 =
3
b)
 64  36 
 3  2 
  
 100 
 5 
 
= 0, 34864
4
a) für k ≥ 38
c) für k ≥ 46
5
a) 0, 38766
b) für k ≤ 33 und k ≥ 47
d) für k ≥ 44
b) 0, 0119
c) 0, 7007
6
a) B ( 20; 0, 1; 1) = 0, 39174
b) Bei 18 Schaltern sind mit 73, 38 % mindestens 16 einwandfreie dabei
18
⇒ die Wahrscheinlichkeit P0,1
( X > 2 ) ist grösser als Null
7
a) P(„mindestens 16“)=0,9568
P(„höchsten 14“)=0,0113
b) durch Probieren, beispielsweise mit Excel
⇒ P ( X ≤ 11) < 0, 05 erst bei n = 16 möglich
P(„alle 20“)=0,1216
8
a) B (5; 0, 9;=
5 ) 0,=
95 59, 0 %
2
99, 1 %
b) 1 − ∑ B (5; 0, 9; k ) =
k =0
c) 0, 13 ⋅ 0, 92 =
d) 0, 12 ⋅ 0, 9 =
0, 081 %
0, 9 %
2
e) 1 − 0, 1 =
0, 99 oder 0, 9 + 0, 1 ⋅ 0, 9= 0, 99= 99, 0 %
f) 0, 13 ⋅ 0, 92 + 0, 12 ⋅ 0, 93= 0, 0081= 0, 81 %
9
a) 0,40327
16
b) 0,14104
c) 0,00406
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
Seite 253
10
n
a) 1 −  5  ≥ 0, 9
⇔
6
5
 
6
n
≤ 0, 1
⇔ n ln  5  ≤ ln ( 0, 1)
6
⇔ n ≥ 12,6 ⇒
b) analog: n ≥ 25, 3 ⇔ n ≥ 26
c) analog: n ≥ 37, 9 ⇔ n ≥ 38
n ≥ 13
11
a) X: Anzahl der Sechser; n: Anzahl der Würfel; p =
1
6
b) X: Anzahl defekter Bauteile; n: Anzahl der Bauteile; p: Wahrscheinlichkeit des
Ausschuss
c) X: Anzahl der Treffer; n: Anzahl der Versuche; p: Trefferwahrscheinlichkeit
d) X: Anzahl der Treffer; n: Anzahl der Drehungen; p: Trefferwahrscheinlichkeit
e) X: Anzahl der Schülerinnen/Schüler, die die Zunge einrollen können; n: Anzahl
der Schülerinnen/Schüler; P: 0,7 (P(„Zunge einrollen“))
f) X: Anzahl falsch übertragener Zeichen; n: Anzahl der Zeichen; p: 0,05
12
8
14, 9 %
b) 1 − ∑ B ( 25; 0, 25; k ) =
a) 6 Personen
k =0
13
(
a) B 100;
1
3
) - verteilt : P ( X ≤ k ) ≥ 0, 90
⇒ F1100 ( k ) ≥ 0, 9 für k ≥ 39 (Tabelle)
3
b) P ( X ≤ 32
=
) F1100 ( 32 ) ≈ 0, 434
3
14 p=0,08
a) P ( X > 0 ) =1 − P ( X =0 ) =1 −
 40   460 
 0 ⋅ 3 
  

 500 
 3 
 
≈ 0, 222
b) P ( X > 0 ) =1 − B ( 3; 0, 08; 0 ) =1 − 0, 92 3 ≈ 0, 221
15
2
1 − ∑ B (5; 0, 1; k ) =
0, 991
a) P ( A ) = 0, 93 ⋅ 0, 12 = 0, 00729 ≈ 0, 73 % ; P (B ) =
k =0
1
99, 97 %
b) 1 − ∑ B ( 100; 0, 1; k ) =
k =0
c) 65,61 %
d) 1 − ( 1 − 0, 9 4 ) ≥ 0, 99
n
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⇒ 0, 01 ≤ ( 1 − 0, 9 4 )
n
⇒
4, 31 ≤ n ; also n ≥ 5
17
13.4
Seite 255
Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung
1
a)
n
10
20
50
100
E (X )
4
8
20
40
2,4
4,8
12
24
1,55
2,19
3,46
4,90
n
10
20
50
100
E (X )  k
4
8
20
40
σ
σ
2
b)
2
n = 25 ; P ( X ) = 0, 75 ; P ( Y ) = 0, 25
a) E ( X ) = 18, 75 ; σ2 =4,69 ; E ( Y ) = 6, 25 ; σ2 =4,69
25
b) 1 − F0,25
7, 13 %
(9) =
3
a)
1
⋅ 630
15
b)
( )
c)
 14 
 
 15 
14
25
29
28
⋅
=
42
( )
1
⋅ 30 + 14
15
15
⋅  1 
 15 
2
 30 
⋅  
2
30
≈ 0, 397 ≈ 39, 7 % bzw. F 30
1
1 ( )
(
=
28 % bzw. B 30;
1
15
; 2
)
15
4 Die Werte von X weichen um höchstens σ vom Erwartungswert ab.
5
a) µ =5 ; es gibt auf lange Sicht im Durchschnitt 5 Fehlentscheidungen.
=
P (3 ≤ X ≤ 7 )
b)
7
∑ B ( 100; 0, 05; k ) ≈ 75, 4 %
k =2
18
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
Seite 256
6
a)
b)
c)
d)
e)
f)
n
100
10
300
2000
1000
240
p
1
1
1
1
5
3
4
6
0,4
7
a) k = 1, 86
c)
k
B ( 4; p*; k ) in %
h ( k ) in %
h( k ) − B( 4; p*; k )
B( 4; 0,65; k )
1
4
b) p* = 46,5 %
0
1
2
3
4
8,2
28,5
37,1
21,5
4,7
7
32
33
24
4
–15
12
–11
12
–15
8 Individuelle Lösungen
Zum Beispiel: 10 Kugeln; X= Anzahl der roten mit P(„rot“)=0,4 (q=0,6; p=0,4; n=10 )
9
a) =
σ
12 ≈ 3,5 ; µ =20
k = 1 ⇒ 16,5 ≤ X ≤ 23,5 k = 2 ⇒ 14 ≤ X ≤ 26
23
b)
∑ B (50; 0, 4; k ) = 68, 8 %
k = 17
26
∑ B (50; 0, 4; k ) = 94, 1 %
k = 14
k = 3 ⇒ 9,5 ≤ X ≤ 30,5
30
∑ B (50; 0, 4; k ) = 99, 8 %
k = 10
10
a) µ =15 ; σ =2, 74
12, 26 ≤ X ≤ 17, 74 ⇒
17
63, 8 %
∑ B ( 30; 0,5; k ) =
k = 13
9,52 ≤ X ≤ 20, 48
⇒
20
95, 7 %
∑ B ( 30; 0,5; k ) =
k = 10
6, 78 ≤ X ≤ 23, 22
⇒
23
99, 9 %
∑ B ( 30; 0,5; k ) =
k =7
11
a)
E ( X ) =µ ≈ 0 ⋅ 0, 03 + 1 ⋅ 0, 12 + 2 ⋅ 0, 24 + 3 ⋅ 0, 26 + 4 ⋅ 0, 20 + 5 ⋅ 0, 1 + 6 ⋅ 0, 04 + 7 ⋅ 0, 01 =2, 99
Für die Länge der Bernoulli-Kette liegt n = 10 nahe; dann folgt: p = 0, 3 ; σ ≈ 1, 45
b) P ( X − µ ≤ σ ) =
P (X =
2) + P (X =
3) + P (X =
4 ) ≈ 0, 7
12 σ=
n⋅p ⋅q ; σ' =
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4 ⋅n⋅p ⋅q = 2 n⋅p ⋅q = 2 σ
19
n
n
n
n
=∑ k ⋅ P ( X =k ) =∑ k ⋅ P ( X =k ) =∑ k ⋅   ⋅ pk ⋅ qn − k
13 E ( X )
k 0=
k 1=
k 1
=
n
 n− 1 
∑ n ⋅  k −1  ⋅ p
=
k
n
k 1=
k
=
n−1
 n − 1 k
 ⋅p
k 
k= 0 
= n p ⋅ ∑ 
E ( X 2 =)
n
∑k
2
n
⋅ qn − 1 − k = n p ⋅ ( p + q )
⋅   ⋅ pk ⋅ qn − k=
k 
n−1
n
∑k
k 0=
k 1
=
=
n
k
=
k 
 n − 1
k−1
= n p ( p + q )

n−1
⋅ qn − 1 − (k − 1)
1
 n − 1 k

⋅ qn − 1 − k n p 
 ⋅ p=
 k =

k
k =0
= np
n
∑ k  k − 1  ⋅ p
n−1
⋅ qn − 1 − (k − 1)
⋅   ⋅ pk ⋅ qn − k
n
= n p ∑ ( k + 1) ⋅ 
20
2
 n − 1 k
n−k
= np
 ⋅ p ⋅ q
 k − 1
1=
k
∑ k ⋅ n 
 n − 1 k − 1
 ⋅p
k − 1 

1
⋅ qn − k = n p ⋅ ∑ 
k 
n−1
n−1
 n − 1 k
n−1−k
+
 ⋅p ⋅q
k 
0=
k
∑ 
 n − 1 k
 ⋅p
k 
∑ k 
0
+ ( n − 1) p = n p ( 1 + n p − p )= n p ( q + n p )= n p q + ( n p )


⋅ qn − 1 − k 

2
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Exkursion: Sigma-Regel
Seite 257
1 Wenn die 1-Franken-Münze eine Laplace-Münze ist, dann ist die Zufallsgrösse
(
X „Anzahl von Kopf“ nach B 425;
1
1
2
) verteilt; somit gilt:
1 1
2 2
=
µ 425 ⋅= 212,5 sowie=
σ
2
425 ⋅ ⋅
≈ 10, 3
Die Trefferanzahl 245 liegt nicht in der 3σ-Umgebung. Das ist für eine LaplaceMünze sehr unwahrscheinlich. Also sind die Zweifel berechtigt.
2
µ =16,6 ; =
σ
1 2
3 3
50 ⋅ ⋅=
10
3
⇒ Die Trefferanzahl 20 liegt in der 1σ-Umgebung. Die Antworten könnten also
geraten sein.
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
21
13.5
Seite 259
Die Gauss’sche Glockenfunktion
1
a) Nötig sind: eine Verschiebung um den Erwartungswert µ =8 , dann eine Streckung
in Richtung der y-Achse mit dem Faktor
1
σ
= 0, 456 und dann noch eine Streckung in
Richtung der x-Achse mit dem Faktor σ =2, 19


b) B ( 20; 0, 4; k ) ≈ 0, 456 ⋅ ϕ  k − 8 
 2,19 
c) Bei –Excel werden die Näherungswerte durch einen Streckenzug verbunden, sodass
die Gauss-Kurve näherungsweise sichtbar wird.
22
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
2
a)
b)
n
p
10
0,7
k
c)
σ
1,449
n
p
σ
2,049
n
20
0,7
p
40
0,7
P (X = k )
Näherung
k
P (X = k )
Näherung
k
P (X = k )
Näherung
0
0,0000
0,0000
10
0,0308
0,0290
24
0,0518
0,0531
1
0,0001
2
0,0014
0,0001
11
0,0654
0,0667
25
0,0774
0,0806
0,0007
12
0,1144
0,1209
26
0,1042
0,1085
3
0,0090
0,0061
13
0,1643
0,1728
27
0,1261
0,1297
4
5
0,0368
0,0323
14
0,1916
0,1947
28
0,1366
0,1376
0,1029
0,1062
15
0,1789
0,1728
29
0,1319
0,1297
6
0,2001
0,2170
16
0,1304
0,1209
30
0,1128
0,1085
7
0,2668
0,2753
17
0,0716
0,0667
31
0,0849
0,0806
8
0,2335
0,2170
18
0,0278
0,0290
32
0,0557
0,0531
9
0,1211
0,1062
19
0,0068
0,0099
33
0,0315
0,0311
10
0,0282
0,0323
20
0,0008
0,0027
34
0,0151
0,0161
µ
7
d)
µ
14
e)
n
p
80
0,7
k
µ
28
σ
2,898
f)
σ
4,099
n
p
40
0,1
σ
1,897
n
p
40
0,25
P (X = k )
Näherung
k
P (X = k )
Näherung
k
P (X = k )
Näherung
51
0,0451
0,0463
0
0,0148
0,0228
5
0,0272
0,0275
52
0,0587
53
0,0723
0,0605
1
0,0657
0,0602
6
0,0530
0,0501
0,0745
2
0,1423
0,1206
7
0,0857
0,0799
54
0,0844
0,0864
3
0,2003
0,1830
8
0,1179
0,1116
55
0,0931
0,0945
4
0,2059
0,2103
9
0,1397
0,1363
56
0,0970
0,0973
5
0,1647
0,1830
10
0,1444
0,1457
57
0,0953
0,0945
6
0,1068
0,1206
11
0,1312
0,1363
58
0,0881
0.0864
7
0,0576
0,0602
12
0,1057
0,1116
59
0,0767
0,0745
8
0,0264
0,0228
13
0,0759
0,0799
60
0,0626
0,0605
9
0,0104
0,0065
14
0,0488
0,0501
61
0,0479
0,0463
10
0,0036
0,0014
15
0,0282
0,0275
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
µ
56
µ
4
µ
10
σ
2,739
23
g)
h)
n
p
σ
3,098
40
0,4
n
p
40
0,75
k
P (X = k )
Näherung
k
P (X = k )
Näherung
11
0,0357
0,0350
25
0,0282
0,0275
12
0.0576
0,0560
26
0,0488
0,0501
13
0,0827
0,0806
27
0,0759
0,0799
14
0,1063
0,1045
28
0,1057
0,1116
15
0,1228
0,1222
29
0,1312
0,1363
16
0,1279
0,1288
30
0,1444
0,1457
17
0,1204
0,1222
31
0,1397
0,1363
µ
16
µ
30
σ
2,739
18
0,1026
0,1045
32
0,1179
0,1116
19
0,0792
0,0806
33
0,0857
0,0799
20
0,0554
0,0560
34
0,0530
0,0501
21
0,0352
0,0350
35
0,0272
0,0275
3
a) P =
=
( X 90
) 0, 1319 ; Näherung 0, 1330
b) P ( X > 95 ) =
0, 0237 ; Näherung 0, 0325
c) P ( 87 ≤ X ≤ 93 ) =
0, 7590 ; Näherung 0, 7588
d) P ( X ≥ 90 ) =
0,5832 ; Näherung 0,5663
4
a) P ( X
= 6=
) 0, 1916 ; Näherung 0, 1947
b) P =
( X 15=) 0, 1223 ; Näherung 0, 1231
c) P =
=
( X 30
) 0, 0868 ; Näherung 0, 0871
d) P =
=
( X 60
) 0, 0615 ; Näherung 0, 0616
5
a) Der Graph der Gaussfunktion ϕµ ; σ
– hat keine Nullstellen;
– ist symmetrisch zur Geraden x = µ ;
(
– hat eine Maximalstelle bei x = µ  Hochpunkt µ

1
σ 2π
)  ;
(
– besitzt je eine Wendestelle bei x = µ + σ bzw. x = µ − σ (y-Wert y − Wert
1
σ 2πe
)
– schliesst mit der x-Achse eine nach beiden Seiten ins Unendliche reichende Fläche
mit dem Wert 1 ein:
– hat die x-Achse als Asymptote für x → ± ∞
b)
u
u
∫ ϕ ( x ) dx
1
2
5
10
100
0,6827
0,9545
1
1
1
−u
Es fällt auf:
– schon für u > 2 ergibt das Integral praktisch 1;
– für u = 1 und u = 2 (und u = 3 ) ergeben sich die Werte für die σ-Intervalle;
letztere Eigenschaft hängt damit zusammen, dass bei der (Normal-)Gaussfunktion
gerade µ =0 und σ =1 ist
24
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
13.6
Seite 262
Normalverteilung – Modell und Wirklichkeit
1
a) 0.500
d) 0,4772
b) 0,500
e) 0,1587
c) 0,6827
2
a) 0,4801
d) 0,4998
b) 0,5199
e) 0,1711
c) 0,7063
f) 0,0242
3
f) 0,0000
0, 022 750
4
a) Wahrscheinlichkeiten:
Knaben:
P ( X ≤ 47,5 ) =
9,69 % ; P ( X ≥ 87,5 ) =
7, 75 %
Mädchen: P ( X ≤ 47,5 ) =
16, 46 % ; P ( X ≥ 87,5 ) =
1, 14 %
b) Relative Häufigkeiten:
Auf der horizontalen Achse sind die Klassenmitten notiert; man addiert die relativen
Häufigkeiten aller Säulen bis zur Klassenmitte 45 bzw. ab Klassenmitte 90:
Knaben
0, 3 % + 1, 1 % + 3, 7 % = 5, 1 % ; also h ( X ≤ 47,5 ) =
5, 1 %
3, 1 % + 2,5% + 1, 4 % + 0, 7 % + 0, 8 % + 0, 7 % + 0, 2 % + 0, 1 % =
9,5 %
also h ( X ≥ 87,5 ) =
9,5 %
1, 3 % + 3, 7 % =
5 % also h ( X ≤ 47,5 ) =
5%
Mädchen
1, 8 % + 0, 9 % + 0, 7 % + 0, 4 % + 0, 2 % + 0, 1 % + 0, 2 % + 0, 2 % + 0, 1 % = 4,6 % ;
also h ( X ≥ 87,5 ) =
4,6 %
c) Das Gewicht liegt bei beiden Geschlechtern
– „viel häufiger“ über 87,5 kg
– „viel seltener“ unter 47,5 kg
als bei Vorliegen einer Normalverteilung zu erwarten wäre; tatsächlich ist das
Körpergewicht nicht normalverteilt, da die Gewichtsverteilung nicht
achsensymmetrisch ist
5
a) 0, 9545 ( 2 σ - Intervall)
b) Wenn (bei gleichem µ ) σ wächst, wird diese Wahrscheinlichkeit kleiner
c) Wenn sich (bei gleichem σ ) µ ändert, wird die Wahrscheinlichkeit kleiner
6
linke
rechte Intervallgrenze
a)
6,99
9,41
b)
5,89
10,51
c)
5,24
11,16
d)
4,67
11,73
e)
3,56
12,83
7
a) Zwischen − 0, 102 und + 0, 102
b) 0, 25 ist mehr als das Sechsfache der Standardabweichung; auch bei 1000
Messungen sollte ein solcher Wert nicht so häufig vorkommen; der Spiegel wurde
fehlerhaft produziert.
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25
Lambacher Schweizer 11/12
Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen
Lösungen Teil VIII
V
Statistik
14 Beschreibende Statistik
14.1 Daten erheben und darstellen
14.2 Statistische Kennzahlen
14.3 Regression
14.4 Korrelation
15
Beurteilende Statistik
15.1 Grundproblem der beurteilenden Statistik
15.2 Hypothesen testen – Alternativtests
15.3 Hypothesen testen – Signifikanztests
15.4 Fehlerwahrscheinlichkeiten bei Signifikanztests
Exkursion: Das Taxiproblem
© Klett und Balmer Verlag AG 2013
Alle Rechte vorbehalten
V Statistik
14 Beschreibende Statistik
14.1
Seite 269
Daten erheben und darstellen
1
a) Grundgesamtheit: Alle wahlberechtigten Bürgerinnen und Bürger;
Merkmalsträger: Wahlberechtigte Bürgerin/wahlberechtigter Bürger;
Merkmal: Partei; Merkmalsausprägungen: Antretende Parteien
b) Wahlbeteiligung 2008: 79,0 %; Wahlbeteiligung 2012: 45,8 %
c) Relativ haben zugelegt: Partei B; Partei D; Partei E;
absolut hat nur die Partei E zugelegt.
d)
e) Wie sich der Rückzug ausgewirkt hat, ist aufgrund der vorliegenden Zahlen nicht
schlüssig zu beurteilen.
2
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
Seite 270
2
0:
7
29
≈ 24 % ; 1 :
10
29
≈ 34,5 % ; 2 :
2
29
≈ 7 % ; 3:
10
29
≈ 34,5 %
3
0
3
5
2
3
9
7
1
7
1
7
4
0
5
2
0
8
3
2
8
3
8
5
2
0
2
8
4
5
2
6
0
7
1
8
9
Die Hälfte der Schweizer Kantone hat eine Fläche von unter 100 km2 , und drei
Viertel der Schweizer Kantone haben eine Fläche von unter 200 km2 ; somit besteht
die Schweiz mehrheitlich aus kleinen Kantonen; flächenmässig grosse Kantone sind
Graubünden, Bern und Valais
4
a)
b) 16 Minuten; ungewichteter Durchschnitt aus den drei höchsten Säulen:
16
( 11 + 17 + 20 ) : 3 =
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3
5
a)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
8
8
7
4
4
5
3
5
4
8%
13 %
13 %
11 %
6%
6%
8%
5%
8%
6%
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2
0
4
0
2
0
1
0
1
3%
0%
6%
0%
3%
0%
2%
0%
2%
b) Klasse [0; 2 ] :
Klasse
[
Klasse
[
Klasse
[
Klasse
[
Klasse
[
Klasse
[
21
≈ 33 %
63
15
3; 5 :
≈ 24 %
63
13
6; 8 :
≈ 21 %
63
6
9; 11 :
≈ 9,5 %
63
6
12; 14 :
≈ 9,5 %
63
1
15; 17 :
≈ 1,5 %
63
1
18; 20 :
≈ 1,5 %
63
]
]
]
]
]
]
c) Ende durch Maries Fehler: 30-mal, also 47,6 %
4
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Exkursion: Mogeln mit Statistik
Seite 272
1
Oben links:
Das angebliche Aussterben der Jugend wird durch Verkürzung der y-Achse
dramatischer dargestellt, als es in Wirklichkeit ist. Aussagekräftig wäre hier auch der
relative Anteil der Jugendlichen an der Bevölkerung (statt absolute Zahlen).
Oben rechts:
Der optische Eindruck des rasant wachsenden Kindergeldes wird durch die flächige
Darstellung verstärkt, die die tatsächliche Steigerung quadriert. Des weiteren
beginnt die y-Achse bei 100 und nicht bei 0. Ein Kindergeld von 100 Euro würde also
grafisch nicht erscheinen.
Unten links:
Der Rückgang in den Jahren 1972–1979 erscheint viel dramatischer als er in
Wirklichkeit war. Dies wurde durch Manipulation der x-Achse erreicht. Die acht Jahre
des Rückgangs sind genauso breit wie drei Jahre (1980–1982) der Stagnation
dargestellt.
Unten rechts:
Der vermeintliche Aufwärtstrend wird durch drei grösser werdende Balken
dargestellt. Allerdings symbolisieren die Balken unvergleichbare Werte. Die Höhen
der Balken sind also völlig willkürlich.
Auch die Beschriftung weist einen Fehler auf. Die Zahl 158 060 gibt die Zahl der
Aussteller exakt an und nicht in Tausend. Das wären dann nämlich 158 Millionen
Aussteller auf 6,2 Millionen Quadratmeter. Also über 25 Aussteller auf einen
Quadratmeter.
Besonders frech gelogen: Den angeblichen Aufwärtstrend beschliesst ausgerechnet
der Balken, der eigentlich einen Abwärtstrend (–2,2%) aufweist.
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
5
14.2
Seite 277
Statistische Kennzahlen
1 Insgesamt 1183 Hölzer in 30 Schachteln; Mittelwert: 39,4
2
a) Im Diagramm handelt es sich um gerundete Angaben mit der Summe 100, 1 % ;
als Näherungswert für den Mittelwert erhält man
15, 9 ⋅ 0, 059 + 16,5 ⋅ 0, 363 + … + 19,5 ⋅ 0, 01 ≈ 17, 0 (Jahre)
b) Die Abweichung ist sehr gering
c) Wenn alle Stichprobenwerte der Urliste durch die zugehörige rechte (linke)
Klassengrenze ersetzt würden, erhielte man „gerade noch“ das gleiche
Säulendiagramm; die aus der Urliste errechneten Mittelwerte wären dann um die
halbe Klassenbreite grösser (kleiner) als der aus dem Diagramm errechnete
Mittelwert.
3
a) Die Abweichungen vom Mittelwert 2,5 sind:
− 1,5; 2,5; − 2,5; − 0,5; − 1,5; 5,5; − 2,5; 0,5 ; ihre Summe ist Null
1
n
b)
(( x − x ) + ( x
1
2
)
))
(
− x +… + xn − x =
1
x
n
 1
+ x 2 + … + x  − x= 0
n 
4
a) Mittelwert 5,5 ; Median 5,5 ; Modus 5 ;
mittlere absolute Abweichung 2, 17 ; s2 = 8, 25 ; s = 2, 87
b) Mittelwert 3 ; Median 3 ; Modus 3 ;
mittlere absolute Abweichung 0 ; s2 = 0 ; s = 0
c) Mittelwert 2 ; Median 2 ; Modus 1 und 3 ;
mittlere absolute Abweichung 1 ; s2 = 1 ; s = 1
5 Banker Joe war im letzten Jahr erfolgreicher, verglichen mit allen
Bankangestellten. Begründung: Im letzten Jahr lag er im Bereich von drei
Standardabweichungen über dem Durchschnitt, im vorletzten Jahr aber nur im
Bereich von deren zwei.
6
1
n
x +3 =
n
∑(x
+ 3) =
1
n
∑x
i
n
=i 1 =i 1
i
1
n
+ 3 n =x + 3 ; die durchschnittliche Punktzahl erhöht
sich um 3;
s +3=
1
⋅
n− 1
∑ ( ( xi + 3 ) − ( x + 3 ) ) =
n
2
1
⋅
n− 1
∑(x + x) =
n
=i 1 =i 1
2
i
s ; die Standardabweichung
ändert sich nicht
6
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
Seite 278
7
a) In der Tabelle unten bedeuten:
Spalte L1: Mittelwerte; Spalte L2: mittlere absolute Abweichungen;
L3: Varianzen (am grössten in Teil b); Spalte L4: Standardabweichungen
b) Siehe Zeile Su.: 21,55 bzw. 4,64
SS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
a:
8
6
8
7
7
7
7
8
3
8
6
5
8
5
b:
5
2
5
8
4
5
1
7
0
3
8
2
7
2
c:
6
7
4
4
5
3
4
7
0
5
5
6
2
3
Su.
19
15
17
19
16
15
12
22
3
16
19
13
17
10
SS
15
16
17
18
19
20
L1
L2
L3
L4
a:
5
6
8
8
8
6
6,70
1,16
1,91
1,38
b:
2
4
3
5
7
7
4,35
2,05
5,63
2,37
c:
2
4
3
4
10
4
4,40
1,58
4,44
2,11
Su.
9
14
14
17
25
17
15,45
3,41
21,55
4,64
8
a) Die Zahlen in den Diagrammen sind gerundete Werte; die Summe der
Prozentangaben in Fig. 1 ist 99, 9 % , in Fig. 2 100, 1 % ;
Jahrgangsstufe 5: Mittelwert 10, 70 (Jahre) ; Standardabweichung 0, 43 (Jahre)
Jahrgangsstufe 13: Mittelwert 19, 03 (Jahre) ; Standardabweichung 0,655 (Jahre)
b) Durch Auslandaufenthalte/Leistungsdefizite usw. durchlaufen einzelne
Schülerinnen/Schüler Jahrgangsstufen mehrfach; dies führt zu höheren Werten in
der Streuung der Altersverteilung.
9 Filiale A: x A = 7, 15 Minuten; s = 0, 48 Minuten;
Filiale B: x A = 7, 15 Minuten; s = 1, 82 Minuten;
In beiden Filialen wartet man durchschnittlich gleich lang, allerdings variiert die
einzelne Wartezeit in Filiale B viel stärker als in Filiale A.
10 Durchschnittliche Änderung pro Aktie: Kursgewinn 1, 95 %
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
7
14.3
Seite 281
Regression
1
a) Individuelle Lösungen
( )
Mitte: M ( x y ) = M ( 3 5 ) und
=
y 0, 7 x + 2, 9 ;
rechts: M ( x y ) = M ( 6 3 ) und
=
y 0, 2 x + 1, 8
− 1, 2 x + 11, 4 ;
b) links: M x y = M ( 7 3 ) und y =
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3
A '=
(x)
1
2
n
( x 1 − x ) ( − 1) + … + 2 ( xn − x ) ( − 1)
=0 ⇒
−2
n
( x 1 − x ) + … + ( x n − x )  = 0
⇒ x 1 + … + xn − n x = 0
8
⇒ x=
x 1 + … +xn
n
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Seite 282
4
a)
Mia
Lena
Elena
b) 11, 13 cm ; 10, 4 cm ; 2,54 cm
c) 21,61 cm ; 16, 96 cm ; 37,58 cm
d) Die Steigung gibt an, um wie viele Zentimeter die Ausdehnung schätzungsweise
wächst, wenn man eine weitere Tafel anhängt
e) Elena verwendete das Gummiband, denn Belastung und Ausdehnung hängen
nicht linear zusammen
5
=
a) y 12, 87 x + 5, 29 ; y = 0 bei x = − 0, 41
=
b) y 8, 15 x + 13, 92 ; y = 0 bei x = − 1, 71
c) y =
− 26, 02 x + 514, 42 ; y = 0 bei x = 19, 77
d) Die Steigungen geben an, um wie viel km/h sich die Geschwindigkeit des Autos
schätzungsweise in jeder Sekunde verändert;
der y-Achsenabschnitt gibt an, welche Geschwindigkeit das Auto zur Zeit t = 0 hätte
haben müssen, wenn es die ganze Zeit konstant beschleunigt (gebremst) hätte;
der x-Achsenabschnitt gibt an, wann das Auto die Geschwindigkeit 0 gehabt hätte
(haben würde), wenn es die ganze Zeit konstant beschleunigt (gebremst) würde.
6
a) y 6, 93 x + 30, 36
=
=
y 8, 31 x + 10, 09
b)
c) Die Kartoffeln ( 8, 2 cm; 124 g ) ; ( 8, 7 cm; 110 g ) ; ( 8, 8 cm; 102 g ) ; ( 9, 2 cm; 90 g )
liefern die Regressionsgerade y =
− 34, 38 x + 406,5
d) Das geschätzte lineare Modell ist nur für hinreichend grosse Kartoffeln
brauchbar.
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
9
14.4
Seite 286
Korrelation
1
a)
b) r = −
1
5
2
a), b)
rechts: r = − 0, 984 ; links: r = − 0, 757 ; Mitte links: r = 0, 316 ; Mitte rechts: r = 1
3 Frau Steiner sucht vergeblich; wenn die Korrelation Null ist, muss auch die
Steigung Null sein.
4 Die lineare Korrelation ist mit r = 0, 16 tief, somit bestünde eine schwache
lineare Korrelation; die Punktwolke zeigt aber eine ausgeprägte Parabelform, was
einen hohen quadratischen Zusammenhang vermuten lässt.
10
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Seite 287
5
r = 0, 737
6
Korrelation
Kausalität
Autos in einer Stadt
verkaufte Benzinmenge
Pos
eher Ja
Ausbildungsdauer
Jahreseinkommen
Pos
Ja
Abwesenheit der Eltern
Fernsehkonsum der Kinder
Pos
eher Ja
Duschgelkonsum
Ausgaben für Kleider
Pos
eher Ja
Alkoholkonsum
Tabakkonsum
Pos
Nein
Freizeit
Einkommen
Neg
Nein
Bierkonsum
mittlere Tagestemperatur
Pos
Nein
Alter des Ehemanns
Alter der Ehefrau
Pos
Nein
Pos
Nein
2
Anzahl der Störche je km
2
Bevölkerungszahl je km
7
a) Wallis hat die tiefste Dichte, Genf hat eine sehr hohe Dichte.
b)
c)
Freiburg
13%
Freiburg
225'585
Waadt
613'492
Waadt
35,36%
Wallis
266'424
Wallis
15,36%
Neuenburg
165'418
Neuenburg
9.53%
Genf
396'210
Genf
22,84%
Jura
67'716
Jura
3,9%
d) r = − 0, 49
e) negative Korrelation: je grösser die Fläche, desto kleiner die Einwohnerdichte;
mittlere Korrelation: Aus der Fläche kann nicht unmittelbar auf die Einwohnerdichte
geschlossen werden und umgekehrt.
 andere Faktoren wie Landschaft, öffentlicher Verkehr, Arbeitsplätze, Siedlungsart
usw. beeinflussen die Einwohnerdichte
8
a) y =
− 0, 0069 x + 12, 2630
b) Temperaturanstieg pro einen Höhenmeter
c) Gemäss Modell von Aufgabe a) müsste die Temperatur auf dem Jungfraujoch
− 12, 29 °C betragen; obwohl die Korrelation von r = − 0, 7532 stark ist, gibt es
neben der Meereshöhe noch andere Faktoren (Winde, Landschaftsformationen
usw.), welche die Temperatur beeinflussen; andererseits weist das
Regressionsmodell nur im Bereich der gegebenen Daten hohe Gültigkeit auf;
3580 m liegt weit ausserhalb der Daten in der Tabelle.
d) r = − 0, 99 ; der Grund für diese starke Zunahme ist ein Ausreisser wie das
Jungfraujoch, der die Regression und die Korrelation stark beeinflusst.
© Klett und Balmer Verlag AG, 2013
11
15 Beurteilende Statistik
15.1
Seite 289
Grundproblem der beurteilenden Statistik
1
a) 1. Möglichkeit: es war ein schlechtes Zuckerrübenjahr;
2. Möglichkeit: es war ein normales Zuckerrübenjahr, dieses extreme Ereignis kam
nur zufällig zustande
b) Angenommen, es liege ein normales Zuckerrübenjahr vor: beschreibt X die
Anzahl der süssen Rüben, dann ist X hier B (50; 0, 4 ) -verteilt; die Wahrscheinlichkeit
für zehn oder weniger süsse Rüben ist P ( X ≤ 10 ) =
0, 0022 ; aufgrund dieser geringen
Wahrscheinlichkeit wird man sich für die 1. Möglichkeit entscheiden.
2
a) Für den Fall 1 bzw. den Fall 2 sei A bzw. A* die Anzahl der weissen Kugeln;
(
A ist B 20;
1
3
) -verteilt bzw . A* ist B ( 20; ) -verteilt;
2
3
es gilt: P ( A ≥ 12 ) =
0, 0130 und P ( A* ≥ 12 ) =
0, 8095
b) Man wird sich für den Fall 2 entscheiden, denn im Fall 1 ist das Ziehen einer
grossen Anzahl von weissen Kugeln unwahrscheinlich.
3
a) Nicht stichhaltig; dies ist ein verbreitetes Argumentationsmuster, das die
subjektive Sichtweise überschätzt.
b) Nicht stichhaltig; dieser Aussage liegt eine Fehlinterpretation des Begriffs
„Erwartungswert“ zugrunde; der Erwartungswert ist nicht der Wert, dessen Eintreten
stets erwartet werden kann.
c) Nicht stichhaltig; die Wahrscheinlichkeit, dass genau 40 der 100 Befragten
SOMAC kennen, ist auch nur P=
=
( X 40
) 0, 0812 .
d) Stichhaltig; würden von 100 Befragten beispielsweise nur noch 30 das Produkt
SOMAC kennen, hätte man eher Anlass, einen gesunkenen Bekanntheitsgrad zu
vermuten: P ( X ≤ 30 ) =
0, 0248 .
12
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15.2
Seite 292
Hypothesen testen – Alternativtests
1 Die Trefferzahl X unter H0 ist B ( 100 ; 0, 3 ) -verteilt; =
α P ( X ≥ 50 ) ≈ 0,540 ; unter
H1 gilt:=
β P ( X < 50 ) ≈ 0, 460
2
n
g
α
β
50
10
0,025
0,040
100
20
0,002
0,009
Für n = 100 und g = 20 liegen α und β unter 1 % .
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13
Seite 293
3 Testplan: 1. Erfolg bedeutet, dass Rolf seine Sorte erkennt
2. Nullhypothese H0 : p = 0,5 (raten);
Gegenhypothese H1 : p = 0, 75 (schmecken);
Ablehnung von H0 bei kleinen Erfolgsanzahlen
3. Länge der Bernoulli-Kette: 10
4. Der kritische Wert ist so zu wählen, dass die Fehler 1. und 2. Art
etwa gleich gross sind; laut Tabelle ist das bei der Wahl g = 13 der
Fall; wenn Rolf mindestens 13 Erfolge hat, wird die Ratehypothese
abgelehnt.
α
0,252
0,132
0,058
g
12
13
14
β
0,041
0,102
0,786
H0 : p = 0, 05 ; H1 : p = 0, 01 ; α ≈ 0, 02 % ; β ≈ 3, 1 %
4
5
a) Journalist A will die Nullhypothese H0 : p = 0, 4 für den Befürworteranteil p beim
Stichprobenumfang 20 mit dem kritischen Wert 15 ablehnen; damit beträgt sein
Irrtumsrisiko etwa 0, 2 %
b) Wird H0 so gewählt wie in a), so beträgt das Irrtumsrisiko bei der Ablehnung von
H0 etwa 2, 7 % und bei der Ablehnung von H1 etwa 1, 7 %
6
a) σ
=
0
100 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,6 ≈ 4, 8990 ; σ
=
0
Teilpunkt: t = 40 +
4,899
⋅
8,899
100 ⋅ 0, 8 ⋅ 0,=
2 4;
( 80 − 40 ) ≈ 62, 02 ;
mit g = 62 ergeben sich α ≈ 7, 4 ⋅ 10 − 6 und α ≈ 9, 7 ⋅ 10 − 6 ; die Werte sind von der
gleichen Grössenordnung
7 Das Fallen auf eine grosse Seite gilt als Erfolg; unter der Nullhypothese H0 ist die
Erfolgsanzahl X bei n Würfen B ( n; 0,5 ) -verteilt, unter der Gegenhypothese ist die
Erfolgsanzahl X B ( n; 0, 4 ) -verteilt; die Nullhypothese wird bei dem kritischen Wert g
oder noch kleineren Werten abgelehnt; also muss gelten: P ( X ≤ g ) < 0, 1 , das heisst


Φ  g − 0,5 n  ≤ − 1, 18 ;
 n 0,52 


 g − 0,4 n 


 n⋅0,4⋅0,6 
ausserdem soll unter H1 gelten: P ( X* > g ) < 0, 1 , das heisst F 
daraus ergeben sich:
0,5 n − g
0,5 n
≤ − 1, 18 und g
− 0,4 n
n⋅0,4⋅0,6
< 0, 1 ;
≥ 1, 19 ;
der kleinste Stichprobenumfang, für den sich eine ganzzahlige Zahl g wählen lässt,
ist n = 137
8
a) Falsch; das Ergebnis kann im Ablehnungsbereich liegen, aber die Hypothese
trotzdem stimmen
b) Falsch; die Nullhypothese kann nicht verworfen werden, sie ist sehr
wahrscheinlich wahr, aber sie könnte auch falsch sein
c) Falsch; Begründung wie in a)
d) Stimmt; wie man an den Aufgaben a)–c) sieht
e) Falsch; α‘ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der man die Nullhypothese verwirft,
obwohl sie falsch ist
f) Falsch; sie kann auch falsch sein  Fehler 2. Art!
14
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15.3
Seite 298
Hypothesen testen – Signifikanztests
1
a)=
g 2=
(g 6 )
b)=
g 0=
(g 6 )
c)=
g 0=
(g 5)
d)=
g 3=
(g 9)
e)=
g 4=
( g 12 )
f)=
g 13
=
( g 19 )
g) g existiert nicht ( g = 5 )
h)=
g 1=
(g 9)
2
a) K = [0; 7 ]
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b) K = [0; 8 ]
c) K = [ 18; 50 ]
d) K = [ 10; 100 ]
15
3 Erfolg bedeutet, dass ein befragter Kunde unzufrieden ist; H0 : p = 0, 1 wird für
Erfolgsanzahlen zugunsten von H1 : p < 0, 1 abgelehnt; ist H0 wahr, so ist die
Zufallsvariable X(Erfolgsanzahl) B ( 100; 0, 1) -verteilt; als Ablehnungsbereich ergibt
sich K = [0; 6 ] ; da 6 ∈ K ist, kann man schliessen, dass die Behauptung des Werks
zutrifft.
4 Erfolg bedeutet, dass ein befragter Kunde sich für WAM entschieden hat;
H0 : p = 0, 3 wird für grosse Erfolgsanzahlen zugunsten von H1 : p > 0, 3 abgelehnt;
ist H0 wahr, so ist die Zufallsvariable X(Erfolgsanzahl) B (50; 0, 3 ) -verteilt; als
Ablehnungsbereich ergibt sich K = [ 21; 50 ] ; da 21 ∈ K ist, kann man von einem
erhöhten Marktanteil ausgehen.
5 Erfolg bedeutet, dass bei einem Versuchsdurchgang die richtige Farbe
angegeben wurde; H0 : p =
p>
1
3
1
3
wird für grosse Erfolgsanzahlen zugunsten von H1 :
(
abgelehnt; ist H0 wahr, so ist die Zufallsvariable X(Erfolgsanzahl) B 100;
1
3
)-
verteilt; als Ablehnungsbereich ergibt sich K = [ 45; 100 ] , die Versuchsperson muss
also mindestens 45-mal die richtige Farbe angeben, damit der Verdacht des blossen
Ratens als widerlegt gelten kann.
6
a) Die Zuschauerquote sei p, X sei die beobachtete Zuschaueranzahl;
Hypothesen: H0 : p = 0, 3 ; H1 : p < 0, 3
b) Bestimmung des Ablehnungsbereichs K = [0; g ] ; gesucht ist die grösste ganze
Zahl g mit P ( X ≤ g ) ≤ 0, 05 ; da P ( X ≤ 9 ) =
0, 0506 und P ( X ≤ 48 ) =
0, 0359 ist, ergibt
sich g = 48 ; also ist K = [0; 48 ]
Entscheidungsregel: werden weniger als 48 Zuschauer der Sendung gefunden, so
wird die Zuschauerquote für kleiner als 30 % gehalten.
16
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Seite 299
7 Erfolg bedeutet, dass ein Patient angibt, in der Woche besser geschlafen zu
haben, in der DORMA verabreicht wurde; H0 : p = 0,5 wird für grosse
Erfolgsanzahlen zugunsten von H1 : p > 0,5 abgelehnt; ist H0 wahr, so ist die
Zufallsvariable X(Erfolgsanzahl) B ( 200; 0,5 ) -verteilt; als Ablehnungsbereich ergibt
sich K = [ 116; 200 ] ; da 115 ∉ K ist, kann man nicht auf eine Wirksamkeit von
DORMA schliessen.
Randspalte:
controlled
eine Woche lang wird ein Placebo verabreicht
double-blind weder der Patient noch der behandelnde Arzt kennt die Reihenfolge
randomized die Reihenfolge der Einnahme DORMA/Placebo wird zufällig bestimmt
8 Für n = 16 lässt sich das Signifikanzniveau von 10 % mit 9, 94 % am besten
realisieren; der Ablehnungsbereich lautet in diesem Fall K = [0; 2 ]
9
a) Man ermittelt den Ablehnungsbereich K = [ 72; 200 ]
b) Man würde die Nullhypothese ablehnen
c) α ' =4, 0 %
10
a) Richtig; siehe Definition
b) Richtig; der Streifen um den Erwartungswert wird vergrössert
c) Richtig; siehe b)
11
a)=
g l 1;=
gr 9
b)=
g l 2;=
g r 10
c)=
g l 2;=
g r 10
d)=
g l 0;=
gr 8
12 Bei vorgegebenem Ablehnungsbereich kann man die Irrtumswahrscheinlichkeit
als P ( X ∈ K ) berechnen; also ist
=
α P ( X ≤ 16 ) + P ( X ≥ 44
=
= 0, 0031
) 0, 0010 + 0, 0021
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17
13 Erfolg bedeutet Kopf; H0 : p = 0,5 wird für grosse bzw. kleine Erfolgsanzahlen
von H1 : p ≠ 0,5 abgelehnt; ist H0 wahr, so ist die Zufallsvariable X(Erfolgsanzahl)
B ( 100; 0,5 ) -verteilt; als Ablehnungsbereich ergibt sich
=
K
[0;
35 ] ∪ [65; 100 ] ; da
41 ∉ K ist, kann man H0 nicht ablehnen.
14 Erfolg bedeutet, dass ein Tier männlich ist; H0 : p = 0,5 p = 0,5 wird für grosse
bzw. kleine Erfolgsanzahlen von H1 : p ≠ 0,5 abgelehnt; ist H0 wahr, so ist die
Zufallsvariable X(Erfolgsanzahl) B ( 100; 0,5 ) -verteilt; als Ablehnungsbereich ergibt
sich
=
K [0; 36 ] ∪ [64; 100 ] ; da 64 ∈ K ist, kann man bei der vorgegebenen
Irrtumswahrscheinlichkeit schliessen, dass die Geschlechter unter den Nachkommen
nicht gleich häufig sind.
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15.4
Seite 301
Fehlerwahrscheinlichkeiten bei Signifikanztests
1
a) Erfolg bedeutet, dass ein befragter Zeitungsleser die betreffende Anzeige liest;
H0 : p = 0, 4 wird für grosse Erfolgsanzahlen zugunsten von H1 : p > 0, 4 abgelehnt;
ist H0 wahr, so ist die Zufallsvariable X(Erfolgsanzahl) B ( 100; 0, 4 ) -verteilt; als
Ablehnungsbereich ergibt sich K = [ 47; 100 ] .
b) Ist p = 0,5 , so ist H1 wahr und die Zufallsvariable X (Erfolg sanzahl) ist
β P ( X ≤ 46
=
B ( 100; 0,5 ) -verteilt; es gilt:=
) 0, 2421 ≈ 24 % .
2 Beim Test H0 : p = 0, 1 gegen H1 : p > 0, 1 sollen die beiden Risiken bestimmt
werden; der Ablehnungsbereich lautet K = [8; 50 ]
a) Ist H0 wahr, so ist die Zufallsvariable X(Erfolgsanzahl) B (50; 0, 1) -verteilt; es gilt:
α = P ( X ≥ 8 ) = 1 − P ( X ≤ 7 ) = 1 − 0, 8779 = 0, 1221 ≈ 12 %
b) Gilt p = 0, 2 ( p = 0, 3 ), so ist H1 wahr und die Zufallsvariable X ist B (50; 0, 2 ) verteilt ( B (50; 0, 3 ) -verteilt); es gilt:=
β P (X ≤=
7 ) 0, 1940 ≈ 19 % ( 0, 0073 ≈ 1 % )
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19
Seite 302
3
a) Erfolg bedeutet, dass der Virus-Test einen Nicht-Infizierten richtig erkennt;
H0 : p = 0, 9 wird für grosse Erfolgsanzahlen zugunsten von H1 : p > 0, 9 abgelehnt;
ist H0 wahr, so ist die Zufallsvariable X(Erfolgsanzahl) B ( 100; 0, 9 ) -verteilt; als
Ablehnungsbereich ergibt sich K = [96; 100 ] .
b) Ist p = 0, 95 ( p = 0, 98 ), so ist H1 wahr und die Erfolgsanzahl X ist B ( 100; 0, 95 ) verteilt ( B ( 100; 0, 98 ) -verteilt); es gilt:=
β P ( X ≤ 95
=
) 0,5640 ≈ 56 % ( 0, 0508 ≈ 5 % )
4 Fasst man das Vorgehen des Händlers als zweiseitiges Testen auf, so lässt sich
die Aufgabe a) bzw. b) als Frage nach dem Risiko 1. bzw. 2. Art interpretieren; Erfolg
soll bedeuten, dass eine 15-Watt-Birne gezogen wurde;
es gilt: H0 : p = 0,5 ; H1 : p ≠ 0,5=
; K [0; 2 ] ∪ [8; 10 ]
a) Ist H0 wahr, so ist die Zufallsvariable X B ( 10; 0,5 ) -verteilt;
es gilt: =
α P (X ≤ 2) + P (X ≥ =
8 ) 0, 1094 ≈ 11 %
b) Gilt p =
2
3
(
, so ist H1 wahr und die Erfolgsanzahl X ist B 10;
2
3
) -verteilt;
es gilt:=
β P (3 ≤ X ≤ =
7 ) P (X ≤ 7 ) − P (X ≤ =
2 ) 0,6975 ≈ 70 % ;
die Aufgabe lässt sich natürlich auch ohne die hier beschriebene Interpretation
lösen.
5
a) Ist X die Anzahl der Zwetschgen mit Wurm, so ist X hier B (50; 0, 1) -verteilt;
P (X ≥ 8) =
0, 1221 ; das Risiko des Lieferanten beträgt in diesem Fall etwa 12 %.
b) Ist X die Anzahl der Zwetschgen mit Wurm, so ist X hier B (50; 0, 2 ) -verteilt;
P (X ≥ 7 ) =
0, 1904 ; das Risiko des Küchenchef beträgt in diesem Fall etwa 19 %.
c) Der Küchenchef erhält zu Unrecht einen Preisnachlass, wenn p = 0, 1 ist und in
der Stichprobe sich mindestens g Zwetschgen mit Wurm finden; gesucht ist deshalb
die kleinste ganze Zahl g mit P ( X ≥ g ) ≤ 0, 05 ; da P ( X ≥ 9 ) =
0, 0579 und
P ( X ≥ 10 ) =
0, 0245 ist, muss die Entscheidungsregel lauten: Enthalten mindestens
zehn Zwetschgen einen Wurm, so wird angenommen, p sei grösser als 10 %
6 164 ⇒ 10100100
8
1) Richtig; F0,5
( 1) = 3,52 %
Falsch; p0 = 0,5
Richtig
Falsch (wenn sie abgelehnt wird)
Falsch; wäre die Summe der beiden Fehler α‘ und β‘
Richtig; p (H1 ) muss gegeben sein
Falsch; wenn die eine Fehlerwahrscheinlichkeit grösser wird, wird die andere
kleiner
8) Falsch; richtig wäre: aus der gegebenen Stichprobe kann man eine Aussage über
p machen
2)
3)
4)
5)
6)
7)
20
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Exkursion: Das Taxiproblem
Seite 303
1
(2)
n+ 1
⋅2
2
= n+1
⇒
man muss 1 abziehen
(3) beobachtetes Maximum = n ⇒
n−1 n
⇒ nicht ändern
(4) 1 + =
(5) n +
( 1− 1 ) + ( 2 − 1 ) + ( 3 − 2 ) + … + ( n − ( n − 1 ) )
n
= n+
nicht ändern
n− 1
n
⇒ zieht man hiervon 1 ab und lässt
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1
n
=
n+ 1
1
⋅n −
n
n
= n+ 1−
1
n
weg, dann ergibt sich auch wieder n
21
Seite 304
2 Individuelle Lösungen
3
137 ; (3) ≈ 200 ; (4) ≈ 204 ; (5) ≈ 239
a) (1) ≈ 154 ; (2) bleibt bei 2 ⋅ 69 − 1 =
⇒ das Verfahren 2 liegt weit von einer möglichen Obergrenze entfernt.
b) Zum Beispiel durch Einfügen weiterer Werte zwischen x 4 und x5 oder indem
man den oberen Bereich mehr gewichtet oder indem man untere Werte weglässt.
22
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