З А Д А Н И Е 7 НЕЛИНЕЙНЬЕ ЦЕПИ
ЗАДАЧА 7.1: Ц е пи с ве нт ил ям и
Рассматривается нелинейная электрическая цепь, содержащая линейные резисторы, идеальные источники ЭДС и идеальные диоды, работающие в режиме ключей. Вольтамперная характеристика диодов аппроксимируется двумя прямолинейными отрезками (сопротивление в прямом направлении равно нулю, в обратном бесконечности); значения сопротивлений резисторов и ЭДС источников заданы в
табл.7.2. Во всех вариантах цепь имеет одну структуру (три ветви, два узла), но ее
элементы выбираются из таблицы 7.1. В ней знаком плюс или минус отмечено присутствие или отсутствие элемента в цепи, буквами С или В - согласная или встречная направлению тока полярность включения диодов и источников. На рис.7.1 показана схема цепи, соответствующая первому варианту табл. 7.1, по которой можно
ориентироваться в изображении других вариантов цепи.
Требуется:
1. Используя графоаналитический метод сложения характеристик, по вольтамперным характеристикам элементов построить вольтамперную характеристику
каждой ветви, а затем входную характеристику всей цепи. Привести законы, по которым складываются характеристики. Графики характеристик построить в удобочитаемом масштабе. На входной кусочно- линейной характеристике указать координаты точек излома и угловые коэффициенты относительно оси тока.
2. Для каждого линейного участка входной характеристики изобразить заданную схему цепи, заменив диод замкнутым либо разомкнутым ключом, соответствующим состоянию диода на рассматриваемом участке.
3. Качественно построить кривую входного тока цепи при синусоидальном
напряжении на входе, выбрав амплитуду напряжения превосходящей напряжения
всех точек излома. При наличии в цепи идеализированных ветвей (R=0, например,
ветвь 3 на рис. 7.1), сделать наоборот: построить кривую напряжения на входе цепи,
задавшись входным синусоидальным током, с амплитудой, превышающей токи всех
точек излома.
Рис. 7.1
Вариант
схемы
R
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
Ветвь 1
Д
E
С
̶
̶
̶
С
В
С
̶
В
С
R
+
̶
+
̶
+
Ветвь 2
Д
E
С
В
С
В
̶
̶
С
В
В
С
R
̶
+
+
+
+
Таблица. 7.1
Ветвь 3
Д
E
В
В
С
С
В
В
В
С
̶
̶
6
7
8
9
10
Вариант
пар-в
1
2
3
4
5
6
7
̶
С
С
В
̶
+
+
+
+
+
̶
̶
В
С
̶
В
С
С
̶
С
+
+
+
+
+
R1,
Ом
R2,
Ом
R3,
Ом
E1,
В
E2,
В
2
5
4
10
1
2
4
2
10
4
10
2
3
8
1
5
2
5
4
3
12
3
8
5
6
5
6
10
4
4
5
3
10
8
8
Вариант
пар-в
8
9
10
11
12
13
14
2
С
В
В
̶
В
С
С
̶
В
С
+
+
+
+
+
С
В
̶
В
С
R1,
Ом
R2,
Ом
R3,
Ом
Таблица 7.2
E1,
E2,
В
В
100
150
200
300
100
200
150
200
200
100
200
200
100
200
100
200
150
300
100
150
150
10
15
20
30
15
10
10
20
30
25
50
30
20
20
ЗАДАЧА 7.2 Ус т ан о в ив ш ие с я р е ж и м ы в н е л и не йн ых це п ях
п е р е м е н но г о т о ка
Катушка с ферромагнитным сердечником, линейные резистор и конденсатор,
соединенные последовательно, подключены к источнику синусоидального тока J =
Imsint (рис. 7.2). Сопротивление резистора, емкость конденсатора и частота источника приведены в таблице 7.4, а веберамперная характеристика катушки задана степенным полиномом вида  = ai ̶ bi3, коэффициенты которого указаны в табл.7.3
Рис. 7.2
Требуется проанализировать режим работы цепи:
1. Проверить, до какого значения тока справедлива предлагаемая аппроксимация веберамперной характеристики (помня о том, что магнитный поток катушки с
ростом тока не должен убывать).
1. Пользуясь методом гармонической линеаризации, найти амплитуду тока Im
, при которой в цепи наступает резонанс напряжений. Если рассчитанная амплитуда
окажется больше предельного тока для заданной аппроксимации, то рекомендуется
изменить емкость конденсатора так, чтобы устранить это противоречие.
2. Для режима резонанса определить действующие значения напряжений на
всех элементах цепи: резисторе, катушке, конденсаторе и источнике. Проверить выполнение баланса активной мощности в цепи.
Примечание: вариант из таблицы 7.3 выбирается в соответствии с первой цифрой варианта студента, а вариант из таблицы 7.4 - в соответствии со второй цифрой
варианта студента.
Таблица 7.3
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a, Вб/А
b, Вб/А3
Вариант
R, Ом
С, мкФ
, с-1
0,4
0,03
0,4
0,04
0,3
0,04
0,3
0,04
0,35
0,04
0,3
0,05
0,4
0,03
0,5
0,05
1
2
3
4
5
6
7
8
20
35
314
16
20
314
8
40
314
10
45
400
6
30
400
22
25
400
14
50
250
10
35
250
3
0,4
0,05
0,4
0,04
Таблица 7.4
9
10
12
45
250
18
40
300
ЗАДАЧА 7.3: Ка т у ш к а с ф е р р о м а г н ит н ым с е р де ч н и ко м
Анализируется установившийся режим нелинейной катушки со стальным сердечником в двух аспектах.
1. Катушка рассматривается как нелинейная магнитная цепь с постоянными
источниками МДС, показана на рис.7.3. Сердечник (магнитопровод) выполнен из
электротехнической стали с основной кривой намагничивания B(H), приведенной в
табл. 7.5. У сердечника имеется воздушный зазор размером δ, длина стального
участка ℓ, площадь поперечного сечения на всем протяжении S. По обмотке катушки с числом витков w протекает постоянный ток I. Значения этих величин указаны в
табл. 7.6. Требуется:
1.1. Пользуясь графоаналитическим методом сложения характеристик, рассчитать магнитный поток и индукцию Ф, В, в сердечнике.
1.2. Вычислить на участках магнитной цепи - в стали и воздушном зазоре –
напряженность магнитного поля Нс, Нδ , магнитное напряжение Uмс, Uмδ , магнитное сопротивление участков Rмс, Rмδ , энергию магнитного поля в стали и зазоре
Wмс, Wмδ . Сопоставить результаты и сделать выводы.
2. Катушка рассматривается как нелинейный элемент электрической цепи, по
которой протекает переменный ток, частотой ω=2πf, возбуждающий в сердечнике
переменный магнитный поток, в общем случае, несинусоидальной формы. Если несинусоидальные величины методом гармонической линеаризации заменить эквивалентными синусоидами, то полная схема замещения линеаризованной катушки
будет содержать (см. рис. 7.3) четыре параметра: резисторы Rs и Rо, учитывающие
тепловые потери в проводе и в сердечнике (на гистерезис и вихревые токи) соответственно, и индуктивные сопротивления Xо=ωLо и Xs=ωLs, учитывающие магнитные потоки, основной (в сердечнике), и поток рассеяния (малый, замыкающийся,
главным образом, по воздуху). В табл. 7.7 приведены сопротивление провода катушки Rs , ее напряжение U , ток I и мощность P , измеренные в некотором установившемся режиме. Приняв частоту f= 50 Гц, амплитуду основного магнитного потока равную Фm=12۰10-4 Вб, необходимо:
2.1. Вычислить ЭДС Е, индуцируемую в обмотке основным магнитным потоком, потери мощности в проводе Ps (в резисторе Rs, условно электрические), и в
сердечнике Pс (в резисторе Rо, условно магнитные), мощность намагничивания сердечника Qн (в сопротивлении Xо), и недостающие параметры схемы замещения: сопротивления Rо, Xо и Xs. Изобразить полную схему замещения катушки с рассчитанными параметрами и традиционную, заменив четыре параметра эквивалентными
двумя R и X.
2.2. Построить полную векторную диаграмму катушки, для удобства записав
напряжения, токи и магнитный поток в комплексной форме.
2.3. Пренебрегая параметрами катушки Rs , Xs=0, ответить на вопрос: как и почему изменятся основные параметры схемы замещения Rо, Xо при изменении величины, указанной по варианту в табл.7.8, с сохранением остальных величин, если до
изменения режим катушки характеризовался точкой Bm=0,8 Тл в районе «колена
насыщения» кривой B(H). При ответе иметь в виду, что Rо, Xо определяются вели4
чинами Е=U и Pс=к۰f1,3۰Bm2, где к = const при заданных размерах и сорте стали
сердечника, у частоты дробная степень.
i(t)
A
δ
w
*
W
*
I
u(t)
I
V
Rs
U
Xs
-E
IC
R0
IН
X0
S
Рис. 7.3
В, Тл
Н, А/м
В, Тл
Н, А/м
вариант
I, А
w
ℓ, см
δ, мм
S, см2
вариант
U, В
I, А
P, Вт
RS, Ом
вариант
0
0
1,3
800
0,25
50
1,35
1000
1
2,2
380
44
1,0
12
1
130
1,2
60
5
0,4
64
1,4
1500
2
2,4
420
48
1,2
14
2
140
1,4
70
6
0,6
88
1,42
2000
3
2,6
460
52
1,4
16
3
150
1,6
80
7
0,7
113
1,45
3000
4
2,8
500
56
1,6
18
4
160
1,8
130
8
1,2
3,4
Напряжение U
Частота f
возрастает в уменьшается
2раза
в 2раза
0,8
138
1,5
4200
5
3
560
60
1,8
20
5
170
2
180
9
0,9
170
1,55
6000
6
3,2
580
64
2,0
22
6
180
2,2
200
10
5,6
Кол. витков
w уменьшается в 2раза
1,0
220
1,6
7800
7
3,4
600
68
2,2
24
7
190
2,4
220
11
1,1
340
8
3,6
620
72
2,4
26
8
200
2,6
240
12
Таблица 7.5
1,2 1,25
490 620
Таблица 7.6
9
10
3,8
4
640 660
76
80
2,6
2,8
28
30
Таблица 7.7
9
10
210
220
2,8
3
260
280
13
14
Таблица 7.8
7,8
9,10
Пл. сечения В сердечник
сердечника S
введен δ
уменьшается малый возв 2раза
душный зазор
Примечания:
1) Значения индукции B и напряженности магнитного поля H в промежуточных
точках кривой B(H) следует находить, используя линейную интерполяцию.
2) В пункте 1 задачи 7.3 вариант выбирается по номеру схемы, а в пункте 2 –по
номеру параметров, закрепленного двузначного варианта КР студента.
5
ЗАДАЧА 7.4: П е р е х о д н ые п р о це с с ы в не л и не й ных ц е п ях
с ис т о ч ни к а м и п о с т о я н но г о на п р я же н и я
В цепи, показанной на рис. 7.4, содержащей резисторы, катушку с ферромагнитным сердечником и источник постоянного напряжения, происходит замыкание
либо размыкание ключа. Задача заключается в анализе возникающего при этом переходного процесса.
Сердечник катушки представляет собой тороид с сечением S, длиной средней
линии ℓ; катушка имеет w витков и сопротивление провода Rкат. Напряжение источника U и параметры цепи указаны в табл. 7.10 и
а)
б)
г)
д)
в)
Рис. 7.4
Требуется:
1. Рассчитать и построить веберамперную характеристику (i) нелинейной катушки по заданной кривой намагничивания В(H) сердечника (см. табл.7.5), его размерам и числу витков катушки.
2. Используя метод кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик с сопряжением временных интервалов, рассчитать переходный процесс в
катушке, т.е. найти зависимость от времени тока i, потокосцепления  и напряжения
uкат(t) на зажимах катушки; построить графики указанных величин.
3. Рассчитать и построить графики этих же величин, выполнив численное интегрирование методом Эйлера нелинейного дифференциального уравнения переходного процесса цепи. Сопоставить результаты расчётов переходного процесса,
полученных двумя методами.
Таблица 7.9
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
схемы
Рис.8.4
а)
а)
б)
б)
в)
в)
г)
г)
д)
д)
6
Вариант
1
парам-в
U, В
60
Rкат, Ом
2
R1, Ом
10
R2, Ом
20
ℓ, см
60
S, см2
40
w
200
2
3
4
5
50
6
18
70
55
35
400
40
3
12
40
80
50
250
70
4
16
50
50
30
300
80
6
20
80
30
10
400
6
90
1.5
10
16
40
25
150
7
8
30
2
12
30
30
15
200
36
5
16
60
90
55
350
Таблица 7.10
9
10
64
1
8
10
35
20
100
48
3
14
50
70
45
250
Библиографический список методических пособий кафедры
1. Методы анализа нелинейных цепей: Методические указания по курсу "Теоретические основы электротехники"/А.В. Агеносов, Ф.И. Андреев, А.М. Вейнгер,
В.Ю. Зуев, И.М. Серый. Свердловск: УПИ, 1990.32 с.
2. Методы анализа нелинейных цепей при периодических воздействиях: Методические указания по курсу "Теоретические основы электротехники" / А.В. Агеносов, Ф.И. Андреев, А.М. Вейнгер, В.Ю. Зуев, И.М. Серый. Свердловск: УПИ, 1990.
34 с.
3. Громов В.В. Магнитные цепи. Катушка с ферромагнитным сердечником: Методические указания по курсу "Теоретические основы электротехники". Свердловск:
УПИ, 1989. 32 с.
4. Громов В.В. Цепи со сталью: Методические указания по курсу "Теоретические основы электротехники". Свердловск: УПИ, 1989, 21 с.
5. Громов В.В. Цепи с вентилями: Методические указания по курсу "Теоретические основы электротехники". Свердловск: УПИ, 1990. 29 с.
7