MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
1- Resolução de Sistemas
Lineares.
1.1- Matrizes e Vetores.
1.2- Resolução de Sistemas Lineares de
Equações Algébricas por Métodos Exatos
(Diretos).
1.3- Resolução de Sistemas Lineares de
Equações
Algébricas
por
Métodos
Iterativos.
1.4- Convergência dos Métodos Iterativos.
1.2- Sistemas Lineares de Equações Algébricas
Solução de um sistema linear de m equações algébricas
com n incógnitas via métodos exatos (diretos).
a11 x1 + a12 x 2 + " a1 n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + " a 2 n x n = b2
"""""""""""
a m 1 x1 + a m 2 x 2 + " a m n x n = b m
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢"
⎢
⎣ am1
a12
a22
"
am 2
a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
" a2n ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢b2 ⎥
=
ou
" " ⎥⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
" amn ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣bn ⎦
"
Ax = b
1.2.1- Quando existe solução?
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢"
⎢
⎣ am1
a12
a22
"
am 2
a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
" a2n ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢b2 ⎥⎥
=
ou
" " ⎥⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
" amn ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣bn ⎦
"
Ax = b
Se n > m (mais incógnitas que equações) o sistema tem
mais de uma solução. Se n = m(matriz quadrada) segue.
1
x
Lema: Se é solução do sistema Ax = b, então qualquer
outra solução deste sistema tem a forma x2 = x1 + y, onde y
é solução do sistema homogêneo Ay = 0 .
Ou seja, se Ax1 = b e Ax2 = b segue que: y = x2 −x1
Ay = A(x2 − x1) = Ax2 − Ax1 = b − b = 0
1.2.1- Quando existe solução?
O Lema anterior implica no seguinte teorema.
Teorema: O sistema linear Ax = b tem uma única solução (se
existir) se e somente se o correspondente sistema
homogêneo Ax = 0 tem somente a solução x = 0.
Pode ser mostrado que Ax = 0 tem somente a solução x = 0
se d e t A ≠ 0 .
Nesta disciplina estamos interessados em resolver sistema de
equações lineares representados por uma matriz quadrada
com determinante diferente de zero (não singular).
a 11 x1 + a12 x 2 + " a1 n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + " a 2 n x n = b 2
"""""""""""
a n 1 x1 + a n 2 x 2 + " a n n x n = b n
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢"
⎢
⎣ an1
a12 " a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
a22 " a2n ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢b2 ⎥⎥
=
" " "⎥⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
an 2 " ann ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣bn ⎦
1.2.1- Tipos de Métodos para resolver Ax = b
Métodos Diretos: Produzem a solução exata do sistema
após um número finito de operações aritméticas (algoritmo
finito) e livre de erro. Na prática, devido a Aritmética com
Precisão Finita do computador estes métodos não produzem
a solução exata. Quando a ordem da matriz é muito grande o
erro devido a precisão finita do computador pode tornar a
solução destes métodos sem utilidade prática. Alguns
métodos: Regra de Cramer, Eliminação de Gauss, Eliminação
pelo Elemento Principal.
Métodos Iterativos: Produzem a solução exata do sistema
após um número infinito de operações aritméticas (algoritmo
infinito). Como isto é impossível de ser feito, o algoritmo
infinito é transformado em finito e conseqüentemente a
solução é sempre aproximada. Alguns métodos: Método da
Iteração, Método de Seidel, Método do Relaxamento.
1.2.2- Regra de Cramer (Inversão de matriz)
Seja Ax = b. Se det A ≠ 0 (matriz não singular), então o sistema
tem uma única solução. A matriz A possui inversa A−.1
Logo A−1Ax = A−1b e x = A−1b .
Usando este resultado podemos obter as formulas de Cramer.
Entretanto, este resultado tem pouca utilidade prática para
matrizes de ordem superior a 4. Resolver um sistema linear de
n incógnitas pela Regra de Cramer requer calcular n+1
determinantes de ordem n. Calcular determinantes para n
grande pode ser muito trabalhoso (demorado).
Isto motivou o desenvolvimento de outros métodos para
resolver sistemas lineares.
1.2.3- Método de Gauss
Método mais usado que consiste em eliminação sucessiva
das incógnitas.
Seja U n×n x = b com U n×n uma matriz triangular superior.
u11 x1 + u12 x2 + "+ u1n−1 xn−1 + u1n xn = b1
0x1 + u22 x2 + "+ u2n−1 xn−1 + u2n xn = b2
""""""""""""""""""
0x1 + 0x2 + "+ un−1n−1 xn−1 + un−1n xn = bn−1
0x1 + 0x2 + "+
0xn−1 + unn xn = bn
⎡u11 u12
⎢0 u
22
⎢
⎢" "
⎢
⎢0 0
⎢⎣ 0 0
" u1n−1
" u2n−1
" "
" un−1n−1
"
0
u1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
u2n ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢ b2 ⎥⎥
" ⎥⎢ # ⎥ = ⎢ # ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎢
un−1n ⎥ ⎢ xn−1 ⎥ ⎢bn−1 ⎥
unn ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎥⎦ ⎢⎣ bn ⎥⎦
Se ukk ≠ 0 ∀k a solução do sistema pode ser obtida fazendo
x n → x n−1 → " → x 1
sucessivas substituição
no
sentido
n
bk −
xk =
∑
u kj x
j= k +1
u kk
j
Back-substitution
Teorema: Uma matriz triangular superior tem inversa se e
somente se todos os elementos da diagonal são diferente de
zero.
1.2.3- Método de Gauss
Seja A n×n x = b com A n×n uma matriz não triangular.
a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ Se a11 ≠0 multiplique a linha
⎡ a11 a12 " a1n−1
⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ b ⎥ 1 por 1/ a e elimine x da
⎢a
a
a
a
"
11
1
22
2n−1
2n ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎢ 2⎥
⎢ 21
⎢"
" " "
" ⎥ ⎢ # ⎥ = ⎢ # ⎥ linha j multiplicando a nova
⎥ ⎢ ⎥ linha 1 por a e subtraindo
⎥⎢
⎢
j1
⎢an−11 an−12 " an−1n−1 an−1n ⎥ ⎢ xn−1 ⎥ ⎢bn−1 ⎥
⎢a
a
a ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ b ⎥ da linha j>1.
" a
⎣
n1
nn−1
n2
nn
⎦⎣
n
⎦ ⎣
n
⎦
A matriz obtida é equivalente à inicial e ambos sistema
possuem a mesma solução.
⎧
a1 j
⎡1
⎢
⎢0
⎢"
⎢
⎢0
⎢0
⎣
u
" u
a
"
" a
" "
1
12
1
22
1
1n−1
1
2n−1
an1−12 " an1−1n−1
an12
1
" ann
−1
u11 j =
∀ j ≥ 2, n
⎪
⎤
⎡
⎤
x
u ⎡ 1⎤
b
a11
(1)⎨
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎪a 1 = a − a u1 ∀i , j ≥ 2, n
a ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ b ⎥
ij
i1 1 j
⎩ ij
1
1n
1
2n
1
1
1
2
" ⎥⎢ # ⎥ = ⎢ # ⎥
⎥⎢
⎧⎪b11 = u11n +1 com a1n +1 = b1
⎥ ⎢ 1 ⎥
1
an−1n ⎥ ⎢ xn−1 ⎥ ⎢bn−1 ⎥ ( 2)⎨
1
1
1 ⎥⎢
1 ⎥
⎪
=
−
b
b
a
u
⎢
⎥
i
i
i
n + 1 ∀ i ≥ 2, n
1
1
⎩
ann ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣ bn ⎦
Note que (2)=(1) se em (2) a in +1 = bi , ou seja, se usamos a
matriz ampliada em lugar da matriz original j>1,n+1.
1.2.3- Método de Gauss
1
⎡ 1 u12
⎢
1
a
0
22
⎢
⎢" "
⎢
1
⎢ 0 an−12
⎢ 0 a1
n2
⎣
⎡1
⎢
⎢0
⎢"
⎢
⎢0
⎢0
⎣
1
u12
1
"
0
0
"
u
"
"
a
"
1
1n−1
1
2n−1
" an1−1n−1
"
"
"
"
"
"
1
ann
−1
u ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11n+1 ⎤
⎥⎢
⎥
⎥ ⎢
a ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ a21n+1 ⎥
" ⎥⎢ # ⎥ = ⎢ # ⎥
⎥⎢
⎥
⎥ ⎢
an1−1n ⎥ ⎢ xn−1 ⎥ ⎢an1−1n+1 ⎥
1 ⎥⎢
⎥ ⎢ 1 ⎥
ann
⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣ ann+1 ⎦
1
1n
1
2n
u11n−1
u11n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11n+1 ⎤
⎥ ⎢ 2 ⎥
2
2 ⎥⎢
x
u2n−1 u2n ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ a2n+1 ⎥
"
" ⎥⎢ # ⎥ = ⎢ # ⎥
⎥⎢
⎥
⎥ ⎢ 2
2
2
an−1n−1 an−1n ⎥ ⎢ xn−1 ⎥ ⎢an−1n+1 ⎥
2
2 ⎥⎢
⎥ ⎢ 2 ⎥
ann
ann
−1
⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣ ann+1 ⎦
1
≠ 0 multiplique a linha
Se a22
1
2 por 1/ a22
e elimine x2 da
linha j multiplicando a nova
linha 2 por a1j 2 e subtraindo
de linha j>2.
⎧ 2 a 21 j
⎪ u2 j = 1 ∀j ≥ 3, n + 1
a 22
⎨
⎪ a 2 = a 1 − a 1 u 2 ∀ i , j ≥ 3, n + 1
ij
i2 2 j
⎩ ij
Se a iii − 1 ≠ 0 i > 3 podemos repetir este algoritmo
sucessivamente até i=n-1 e obtemos:
1.2.3- Método de Gauss
⎡1
⎢
⎢0
⎢"
⎢
⎢0
⎢0
⎣
1
u12
" u11n−1
1 " u22n−1
" " "
0
"
1
0
"
0
ann−−12j
u11n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11n+1 ⎤ ⎧ n−1
⎥⎢
⎥ u
=
∀j ≥ n, n + 1
⎥ ⎢
u22n ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ a22n+1 ⎥ ⎪ n−1 j a n− 2
⎨
n−1n−1
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
#
=
"
#
⎪a n−1 = a n−2 − a n−2 un−1 ∀j ≥ n, n + 1
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
nj
nn−1 n−1 j
unn−−11n ⎥ ⎢ xn−1 ⎥ ⎢ann−−11n+1 ⎥ ⎩ nj
n−1 ⎥ ⎢
⎢ an−1 ⎥ Se an−1 ≠ 0 multiplique a linha
⎥
x
ann
nn
⎦ ⎣ n ⎦ ⎣ nn+1 ⎦
n −1
n−1 e
a nn + 1
n
n por 1/ ann
x n = n −1 = a nn
+1
a nn
Logo, a eliminação de Gauss
resulta numa matriz triangular
superior com elementos da
diagonal 1. Este sistema pode
ser resolvido realizando o
processo de Back-Substitution.
⎡1
⎢
⎢0
⎢"
⎢
⎢0
⎢0
⎣
1
u12
" u11n−1
1 " u22n−1
" " "
0
"
1
0
"
0
n −1
a nn
n
k
x n = n −+11 = a nn
e
x
=
a
k
kn + 1 −
+1
a nn
n
k
u
∑ kj x j
j = k +1
u11n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ a11n+1 ⎤
⎥
⎥⎢
⎥ ⎢
u22n ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ a22n+1 ⎥
" ⎥⎢ # ⎥ = ⎢ # ⎥
⎥ ⎢ n−1 ⎥
n−1 ⎥ ⎢
un−1n ⎥ ⎢ xn−1 ⎥ ⎢an−1n+1 ⎥
n
⎥
1 ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎥⎦ ⎢⎣ ann
+1 ⎦
n> j≥1
1.2.3- Método de Gauss
Note que a matriz triangular superior obtida com a eliminação
de Gauss tem todos os elementos da diagonal diferente de
zero. Logo, pode ser realizado o processo de BackSubstitution. Entretanto, a condição necessária e suficiente
para obter esta matriz triangular foi:
1
1
1
a11 ≠ 0
1
a22
≠ 0 ⇔ a11a22 − a21a12 ≠ 0
2
1 1
1 1
a33
≠ 0 ⇔ a22
a33 − a32
a23 ≠ 0
#
#
#
#
#
⎡1
⎢
⎢0
⎢"
⎢
⎢0
⎢0
⎣
u12 " u1n−1
1 " u22n−1
" "
0 "
"
1
"
0
0
u1n ⎤
⎥
u22n ⎥
"⎥
⎥
unn−−11n ⎥
1 ⎥⎦
n −1
n− 2
n− 2 n− 2
ann
≠ 0 ⇔ ann−−12n−1ann
− ann
−1a n −1 n ≠ 0
k −1
Se algum destes coeficientes é zero akk
= 0 o processo pode
ser feito trocando este coeficiente por algum a kjk −1 ≠ 0 . Isto se
chama pivotar e é essencial para reduzir erros de round-off.
1.2.3- Método de Gauss
Podemos estimar o número de operações aritméticas N
necessárias para obter a solução de um sistema de ordem n
pelo Método de Gauss (sem considerar pivoteamento).
⎧ k a kjk −1
Forward-Substitution ⎪ ukj =
∀j ≥ k + 1, n + 1
k −1
a kk
⎨
(multiplicação e divisão)
⎪a k = a k −1 − a k −1 u k ∀i , j ≥ k + 1, n + 1
ij
ik
kj
⎩ ij
= n div.+ n ∗ n mult.
n ( n + 1)( n + 2)
n ( n + 1) + ( n − 1) n + " + ( n − ( k − 1))( n − k ) + 1 ⋅ 2 =
3
Passo 1
Passo 2
Passo k
Back-Substitution
(multiplicação e divisão)
n ( n − 1)
k=
∑
2
k =1
n −1
n−1
⎧
a nn
n
+1
=
=
x
a
⎪ n
nn + 1
n−1
a
⎪
nn
⎨
n
k
k
⎪x = a
−
u
∑
kn + 1
kj x j
⎪⎩ k
j= k +1
n> j≥1
Considerando o mesmo número de soma e subtração em cada
processo segue: N = 2 n ( n + 1)( n + 2 ) + 2 n ( n − 1) < n 3 ∀ n > 7
3
2
1.2.3- Método de Gauss
Ou seja, o número de operações aritméticas N necessárias
para obter a solução de um sistema de ordem n pelo Método
de Gauss (sem considerar pivoteamento) é proporcional ao
cubo do número de incógnitas.
n ( n + 1)( n + 2 )
n ( n − 1)
N =2
+2
< n 3 ∀n > 7
2
3
Consequentemente, para resolver um sistema com 10000
incógnitas num computador capaz de realizar 106 operações
por segundo serão necessário no mínimo T=(104)3 /106=106s.
Este esforço computacional pode ser otimizado para casos
particulares de matrizes simétricas e esparsas.
Matriz Esparsa: são aquelas com muitos elementos zeros
(método de diferença finita e método de elemento finito).
Matriz Densa: são aquelas com poucos elementos zeros.
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)
Considere a matriz ampliada e escolha o elemento não zero
com maior valor absoluto apq (elemento principal) que não
aiq
pertença ao termo independente. Calcule o fator ui = −
∀i ≠ p
apq
Adicione a cada linha, diferente da linha p, a linha p
multiplicada pelo fator ui . Isto produz uma nova matriz com a
coluna q formada por zeros e mantendo a linha p inalterada.
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢"
⎢
⎢ a i1
U = ⎢"
⎢
⎢ a p1
⎢
⎢"
⎢a
⎣ n1
a12
a 22
"
ai 2
"
"
"
"
"
"
a1 j
a2 j
"
a ij
"
"
"
"
"
"
a1q
a2 q
"
a iq
"
"
"
"
"
"
a p2
"
a pj
"
a pq
"
"
an 2
"
"
"
a nj
"
"
"
a nq
"
"
a1n a
1n +1 = b1 ⎤
⎥
a2n a
b
=
2 n +1
2 ⎥
"
⎥
"
⎥
a in a
in + 1 = bi ⎥
"
⎥
"
⎥
a pn a pn +1 = b p ⎥
⎥
"
"
⎥
a nn a nn +1 = bn ⎥⎦
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)
Descartando a coluna q e a linha p obtemos uma nova matriz
de ordem (n-1)x(n-1). Repetimos o procedimento para U 1
obtemos U 2, e assim sucessivamente até U n −1 , onde
chegamos a uma matriz linha com dois elementos.
⎡ a11
⎢ a
⎢ 21
⎢ "
⎢
a i1
⎢
U1 = ⎢ "
⎢
⎢ descartar
⎢
⎢ "
⎢ a
⎣ n1
a12
a 22
"
ai 2
"
"
"
"
"
"
a1 j
a2 j
"
a ij
"
esta
linha
p
"
an 2
"
"
"
a nj
U 1 → " → U n −1
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
a pq
"
"
"
"
a1n a
1n + 1 = b1 ⎤
⎥
a2 n a
b
=
2 n +1
2⎥
"
⎥
"
⎥
a in a
=
b
in + 1
i ⎥
"
⎥
"
⎥
⎥
⎥
"
"
⎥
a nn a nn +1 = bn ⎥⎦
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)
Para determinar as incógnitas xi combine num sistema todas
n −1
1
as linhas descartadas em ordem inversa U → " → U . A
primeira vista não parece ser uma matriz triangular, mas
basta reordenar o número das incógnitas para obter um
sistema com matriz triangular. Esta matriz será triangular
superior ou inferior dependendo de como é feito o
reordenamento.
#
+
+ " + a np −j 2 x j + "
+" +
= a npn−+21
⎧ passo n-1 (último)
⎨
⎩ chega a uma linha com 2 elementos
+
+ " + a inp −j 3 x j + "
+ " + a inpn− 3 x n = a inpn−+31
⎧ passo n-2 (penúltimo) elimina coluna n
⎨
⎩ descartando a linha p
#
sucessiv amente até chegar no penúltimo passo
a l2p 1 x1 +
+ " + a l2p j x j + "
+ " + a l2pn x n = a l2pn +1
a 1p 1 x1 + a 1p 2 x 2 + " + a 1p j x j + "
⎧⎪ passo 3, elimina outra coluna
⎨
⎪⎩ descartando a linha p
+ " + a 1pn x n = a 1pn +1
⎧ passo 2, elimina coluna 2
⎨
⎩ descartando a linha p
a p 1 x1 + a p 2 x 2 + " + a pj x j + " a pq x q + " + a pn x n = a pn +1
⎧ passo 1, elimina coluna q
⎨
⎩ descartando a linha p
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)
Reordenando o sistema anterior obtemos:
+
+ " + a np −j 2 x j + "
+" +
= a npn−+21 {passo n-1 sem reordenação
reordenando j→ n e p → n a linha acima se transforma em
+
n−2
+ " + a nn
xn + "
+" +
n−2
= a nn
+ 1 {passo n-1 reordenado
+
+ " + a inp −j 3 x j + "
+ " + a inpn− 3 x n = a inpn−+31
⎧ passo n-2 sem
⎨
⎩ reordenação
reordenando j → n, n → n-1 e p → n-1 a linha acima se transforma em
+
#
+ " + a nn−−13n x n + "
+ " + a nn−−13n −1 x n −1 = a nn−−13n +1 {passo n-1 reord enado
sucessivamente até chegar no passo 1
#
a p 1 x1 + a p 2 x 2 + " + a pj x j + " a pq x q + " + a pn x n = a pn +1 {passo 1 sem reordenação
reordenando j → n, n → n-1, 1 → 3, 2 → 2, q → 1 e p → 1 a linha acima se transforma em
a13 x3 + a12 x 2 + " + a1 n x n + " a1 1 x1 + " + a1 n −1 x n −1 = a1 n +1 {passo 1 reo rden ado
Note que invertendo a ordem das linhas obtemos uma matriz
triangular superior.
1.2.3- Método do Elemento Principal (Estratégia do Pivô)
Este método pode ser aplicado sempre que det A ≠ 0 .
Note que o método de Gauss é um caso particular deste
método, que pode ser obtido sempre que escolhermos o
elemento esquerdo superior da matriz correspondente em
cada passo.
Exemplo 4.4 (Conte) Suponha uma precisão de 4 casas
decimais.
⎡ 0.0003 1. 566 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1. 569 ⎤
⎢ 0.3454
⎣
=⎢
⎢
⎥
⎥
− 2.436 ⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣1.018 ⎥⎦
⎡ 0. 0003
⎢
⎣ 0.3454
1. 566 1. 569 ⎤
− 2. 436 1. 018 ⎦⎥
Como tarefa resolver este sistema usando:
-Método de Gauss sem pivoteamento,
-Método do Elemento Principal.
1.2.4- Método de Gauss para calcular a inversa
Suponha que queremos calcular a matriz inversa de uma
matriz não singular A n×n ( det A ≠ 0 ).
A n×n A n−×1 n = E
Este é um sistema de n2 incógnitas xij ( i , j = 1," , n) .
n
⎧ 1 se i = j
a ik x kj = δ ij ( i , j = 1 , " , n ) e δ ij = ⎨
∑
k =1
⎩ 0 se i ≠ j
a11 x11 + a12 x21 + " + a1n xn1 = 1
a21 x11 + a22 x21 + " + a2 n xn1 = 0
(i = j = 1)
(i = 2, j = 1)
""""""""""""
an1 x11 + an 2 x21 + " + ann xn1 = 0
(i = n, j = 1)
a11 x12 + a12 x22 + " + a1n xn 2 = 0
(i = 1, j = 2)
""""""""""""
a11 x1n + a12 x2 n + " + a1n xnn = 1
(i = 1, j = n )
Os n sistemas
resultantes tem a
mesma matriz e
vetor b distintos e
podem ser
resolvidos
simultaneamente
pelo método de
Gauss.
1.2.4- Método de Gauss para calcular a inversa
Exemplo: Encontre a inversa de A 2×2 : A 2×2 A 2−×12 = E
⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ x11
⎢a
⎥ ⎢x
a
⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 21
x12 ⎤
⎡1 0⎤
=E=⎢
⎥
⎥
x22 ⎦
0
1
⎣
⎦
⎧ a11 x11 + a12 x21 = 1 (i = 1, j = 1)
(1) ⎨
⎩ a21 x11 + a22 x21 = 0 (i = 2, j = 1)
⎧ a11 x12 + a12 x22 = 0 (i = 1, j = 2)
( 2) ⎨
⎩ a21 x12 + a22 x22 = 1 (i = 2, j = 2)
Matriz
Triangular
⎡1 u ⎤
⎢
⎥
⎣0 1 ⎦
1
12
A 2×2
det A ≠ 0
⎡ a11 a12 ⎤ ⎡2 1⎤
=⎢
=⎢
⎥
⎥
a
a
1
2
⎦
⎣ 21 22 ⎦ ⎣
Os 2 sistemas tem a mesma
matriz e vetor b distintos e
podem ser resolvidos
simultaneamente pelo método
de Gauss.
1
a23
x21 = 1
a22
a
x22 = 1
a22
1
23
1
1
x11 = a13
− u12
x21
1
1
x12 = a13 − u12
x22
A matriz triangular superior é a mesma e o procedimento para obter ela
é o mesmo. Logo, só precisa ser feito uma única vez. O processo de
Back-Substitution deve ser feito por separado porque os termos
independentes são diferentes.
1.2.5- Erro da Solução e Condicionamento da
matriz
Seja um sistema descrito por uma matriz não singular A n×n
( det A ≠ 0 ). Como o sistema é resolvido com aritmética de
precisão finita a solução pelo método de Gauss terá erro do
tipo round-off. Também, nosso sistema pode ter incertezas
devido a incertezas no termo independente e nos elementos
da matriz. Queremos estimar como estas incertezas ou a
aritmética de precisão finita pode influenciar a solução do
sistema Ax = b .
Primeiro consideramos a matriz exata e incertezas no termo
independente: b + Δb logo A (x + Δx) = b + Δb estimaremos
−1
ou
A
Δ
x
=
Δ
b
Δ
x
=
A
Δb
quão grande pode ser esta incerteza.
Δx ≤ A −1 Δb
Δx b ≤ A −1 A
b ≤ A
x multiplicando ambas
Δx
−1 Δb
Δb x se x ≠ 0 segue
≤ A A
x
b
1.2.5- Erro da Solução e Condicionamento da
matriz
Para toda matriz não singular definimos um número chamado
−1
Condicionamento da Matriz como: cond( A ) = A A
logo
Δx
x
≤ cond( A)
Δb
b
Δx
Δb
Note que
b
é uma medida do erro
relativo do dado b .
é uma medida do erro relativo em x devido á incerteza
em b. Note que quanto mais próximo de 1 for o cond(A) as
incertezas em b terão menor influenza no erro da solução
(matriz bem condicionada). Se cond(A)>>1 (muito grande)
consequentemente o erro da solução será grande (mal
condicionamento). Agora consideramos a matriz com
incertezas e o termo independente exato: A + ΔA
estimaremos quão grande pode ser esta incerteza.
x
( A + ΔA )(x + Δx) = b
(x + Δx) = ( A + ΔA) −1b
1.2.5- Erro da Solução e Condicionamento da
matriz
−1
−1
Δx = [( A + ΔA ) − A ]b
Denotando B = A + ΔA e usando a identidade abaixo segue
B −1 − A −1 = A −1 ( A − B)B −1
Δx = − A −1 (ΔA )( A + ΔA ) −1b = − A −1 (ΔA )(x + Δx)
Δx
ΔA
−1
Δx ≤ A ΔA x + Δx ou
≤ cond( A)
x + Δx
A
Novamente quanto mais próximo de 1 for o cond(A) as
incertezas na matriz terão menor influenza no erro da solução
(matriz bem condicionada). Se cond(A)>>1 (muito grande)
consequentemente o erro da solução será grande (mal
condicionamento).
Frase do Dia
“As long as algebra and geometry proceed
along separate paths, their advance was
slow and their applications were limited. But
when these sciences joined company, they
drew from each other fresh vitality and
hence forward marched on at a rapid pace
towards perfection.”
Joseph Louis Lagrange