Álgebra Linear
Carla Mendes
2020/2021
Departamento de Matemáti a
Determinantes
Determinantes
Denição e propriedades
O determinante de uma matriz quadrada sobre K , K 2 fR; C g, é um
elemento de K que, entre outras apli ações, pode ser usado na resolução
de ertos sistemas de equações lineares e para de idir sobre a
invertibilidade de uma matriz.
O determinante de uma matriz pode ser denido de diversas formas.
Apresenta-se seguidamente uma denição indutiva deste on eito.
Para uma matriz de ordem 1 1
A = [a ]
é fá il on luir que a matriz é invertível se e só se
a=
6 0.
1
Determinantes
Dada uma matriz quadrada de ordem 2 2
"
A=
a b
d
#
é também simples on luir em que ondições a matriz é invertível;
apli ando o método de eliminação de Gauss à matriz A, on lui-se que
é invertível se e só se ad b 6= 0.
A
A qualquer matriz A 2 Mn (K ), n 2 N , podemos asso iar um elemento
de K que permite de idir sobre a invertibilidade da matriz A. A este
elemento de K damos a designação de determinante de A.
2
Determinantes
Para matrizes de ordem superior apresentamos uma denição indutiva
para o determinante de uma matriz, i.e., dene-se o determinante de
uma matriz 2 2 em função do determinante de matrizes de ordem
1 1, dene-se o determinante de uma matriz 3 3 em função do
determinante de matrizes de ordem 2 2, e assim su essivamente.
Dada uma matriz A = [ai j ] 2 Mn (K ), n 2 N , representa-se por A(i jj ) a
matriz quadrada de ordem n 1; obtida de A retirando a linha i e a
oluna j .
Exemplo
2
1 2
6
Se A = 4 4 5
7 8
3
"
3
4
7
6 5 então A(1j3) =
7
9
5
8
#
:
3
Determinantes
Denição
Sejam n 2 N e A 2 Mn (K ). Chama-se determinante de A, e
representa-se por det A ou jAj, ao elemento de K obtido da seguinte
forma:
i) Se
n = 1; então det A = a11 ;
ii) Se
n > 1, então det A =
n
P
j
=1
( 1)1+j a1j det A(1jj ).
4
Determinantes
Exemplo
"
Se
A=
det A
1 2
3 4
#
; então
1+1
= ( 1)
= 4 6
=
2:
1 det [4] + (
1+2
1)
2 det [3]
5
Determinantes
Exemplo
2
3
1 0
6
Se A = 4 1 1
2 3
det A
0
7
2 5 ; então
4
1+1
= ( 1)
"
= det
=
2:
1 det
1 2
3 4
#
"
1 2
3 4
#
+0+0
6
Determinantes
De a ordo om a denição que apresentámos de determinante de uma
matriz A 2 Mnn (K ), o deteminante é al ulado onsiderando a
expansão ao longo da linha 1. No entanto, tal omo se pode veri ar no
resultado seguinte, se prode ermos de forma análoga para uma qualquer
linha ou uma qualquer oluna de A obtem-se ainda o determinante de A.
7
Determinantes
Teorema (Teorema de Lapla e)
n 2 N tal que n 2 e A = [a ] 2 M
k 2 f1; 2; :::; ng
Sejam
ij
det A =
n
X
j
ou
det A =
(K ). Então, para qualquer
( 1)k +j ak j det A(k jj )
=1
n
X
i
n
i
( 1)
+k
a
ik
det A(i jk )
=1
A primeira expressão do teorema de Lapla e designa-se por
desenvolvimento do determinante de A ao longo da linha k ; a segunda
expressão designa-se por desenvolvimento do determinante de A ao longo
da oluna k .
8
Determinantes
Exemplo
2
1 2
6
Seja A = 4 4 0
7 8
3
3
7
0 5 : Por denição, temos
9
det A
= 1
0 0
8 9
= 1 (0
2
0)
2 (36
4
7
0
9
+3
0) + 3 (32
4
7
0
8
0)
= 24:
Apli ando o teorema de Lapla e, desenvolvendo o determinante ao longo
da linha k = 2; vem
det A
2+1
= ( 1)
=
4 (18
= 24:
4
2 3
8 9
24)
9
Determinantes
Proposição
Sejam
n2N eA2M
n
(K ). Então, det AT = det A.
Demonstração.
Por indução sobre a ordem
n da matriz.
Proposição
Sejam n 2 N e A = [ai j ] 2 Mn (K ) uma matriz triangular superior
(respetivamente, inferior). Então det A = a11 a22 ann :
Demonstração.
Por indução sobre a ordem
n da matriz.
10
Determinantes
Proposição
Sejam n 2 N , A = [ai j ],
para todo i 6= k; então,
B = [b ] 2 M
ij
2
det A + det B
6
6
6
6
6
6
= det 6
6
6
6
6
4
n
(K ) e 1 k
a11
..
.
a
11
k
a
k
a12
1
a
+ bk 1
k
+1 1
a
..
.
n
1
..
.
a
22
a
k
k
2
a
+ bk 2
k
+1 2
a
..
.
n
2
n. Se a
..
a1
..
.
.
ij
3
n
a 1
a + b
a +1
n
k
kn
..
kn
k
.
= bi j;
a
..
.
n
7
7
7
7
7
7
7:
7
7
7
7
5
nn
11
Determinantes
Demonstração:
2
6
6
6
6
6
Sejam A = 6
6
6
6
6
4
2
e
B
6
6
6
6
6
=6
6
6
6
6
4
a11
a12
.
.
.
.
.
.
ak 1 1 ak 2 2
ak 2
ak 1
ak +1 1 ak +1 2
.
.
.
.
.
.
an 1
an 2
a11
a12
.
.
.
.
.
.
ak 1 1 ak 2 2
bk 1
bk 2
ak +1 1 ak +1 2
.
.
.
an1
.
.
.
an2
a1n
.
.
.
ak 1 n
akn
ak +1 n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
ann
.
.
.
.
3
.
a1n
.
.
.
ak 1 n
bkn
ak +1 n
.
.
.
ann
3
7
7
7
7
7
7:
7
7
7
7
5
12
Determinantes
Demonstração ( ontinuação):
2
Então, se
M
6
6
6
6
6
6
=6
6
6
6
6
4
a11
a
a
..
.
11
k
k 1 + bk 1
a
k
=
=
=
Pn
j
=1
Pn
j
=1
Pn
j
=1
a
a
22
k
a
k
..
.
n
..
.
k 2 + bk 2
+1 1
a
det M
a12
+1 2
a
..
.
1
n
2
..
a1
..
.
.
a 1
a + b
a +1
k
..
.
a
(ak j + bk j ) det M (k jj )
k
+j
a
k
( 1)
kj
+j
= det A + det B:
a
kj
det M (k jj ) +
det A(k jj ) +
kn
k
+j
( 1)
n
kn
k
( 1)
3
n
Pn
j
Pn
j
nn
k
=1
=1
..
.
n
7
7
7
7
7
7
7, temos
7
7
7
7
5
( 1)
k
( 1)
+j
+j
b
b
kj
kj
det M (k jj )
det B (k jj )
13
Determinantes
Corolário
Sejam n 2 N , A = [ai j ],
para todo j 6= k; então,
2
det A+det B
6
6
= det 6
6
4
B = [b ] 2 M
ij
a11 a1
a2 1 a2
a
..
.
n
..
1
.
a
k
1
k
1
..
.
nk
1
n
(K ) e 1 k
a1
a2
a
k
k
nk
+ b1 k
+ b2 k
..
.
+ bn k
n. Se a
a1
a2
a
k
+1
k
+1
..
.
nk
+1
ij
= bi j;
a1
a 1
3
n
..
k
.
a
..
.
n
7
7
7:
7
5
nn
14
Determinantes
Proposição
Sejam n 2 N e A 2 Mn (K ). Se B é uma matriz obtida de A,
multipli ando uma sua linha por 2 K . Então,
det B =
det A:
3
2
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
6
6
6
6
6
=6
6
6
6
6
4
Demonstração:
Sejam
2
6
6
6
6
6
A=6
6
6
6
6
4
n2N
e
a11
a12
.
.
.
.
.
.
ak 1 1 ak 2 2
ak 2
ak 1
ak +1 1 ak +1 2
.
.
.
an1
.
.
.
an2
.
.
.
.
.
.
a1n
.
.
.
ak 1 n
akn
ak +1 n
.
.
.
ann
e
B
a11
a12
.
.
.
.
.
.
ak
11
ak 1
ak
.
22
ak 2
ak +1 1
ak +1 2
.
.
.
.
.
.
an 1
an 2
.
a1n
.
ak
.
.
.
.
.
.
1n
akn
ak +1 n
.
.
.
3
7
7
7
7
7
7:
7
7
7
7
5
ann
15
Determinantes
Demonstração:
Então, desenvolvendo o determinante de
temos que
det B
=
n
X
j
=
+j
(
a
kj
) det B (k jj )
=1
n
X
j
=
k
( 1)
B ao longo da sua linha k;
k
( 1)
+j
a
kj
det A(k jj )
=1
det A:
Corolário
Sejam n 2 N e A 2 Mn (K ). Se B é uma matriz obtida de
multipli ando uma sua oluna por 2 K . Então,
det B =
det A:
A;
16
Determinantes
Corolário
Sejam n 2 N e A 2 Mn (K ). Se
zeros, então det A = 0: Corolário
Sejam
n 2 N, A 2 M
n
(K ) e
det (
A tem uma linha ou
oluna só om
2 K : Então,
A) =
n
det A:
17
Determinantes
Proposição
Sejam n 2 N tal que n 2 e seja A 2 Mn (K ). Se
obtida de A, tro ando duas das suas linhas, então
det B =
B é uma matriz
det A:
Demonstração:
A prova segue por indução sobre a ordem
Corolário
Sejam n 2 N e A 2 Mn (K ). Se
duas das suas olunas, então
n da matriz.
B é uma matriz obtida de A tro
det B =
det A:
ando
18
Determinantes
Corolário
n2N eA2M
det A = 0:
Sejam
n
(K ). Se
A tem duas linhas iguais, então
Demonstração.
Se tro armos as duas linhas iguais da matriz A, obtemos a mesma matriz
det A, pelo que
A: Mas, pela proposição anterior, det A =
det A = 0.
Corolário
Sejam
n2N eA2M
det A = 0:
n
(K ). Se
A tem duas
olunas iguais, então
19
Determinantes
Proposição
Sejam n 2 N e A 2 Mn (K ). Se B é uma matriz obtida de A; substituindo
uma sua linha pela sua soma om um múltiplo de outra linha, então
det B = det A:
Demonstração:
Sejam
tais que 1 k
n; k; p 2 N
2 a
11
6
6 a
6 k1
6
A=6
6 a
6 p1
4
ak 2
an1
an2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a12
.
.
.
.
.
.
ap 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a1n
2
3
< p n; 2 K
a11
a12
6
7
6
7
ak 1
6
7 B=6
6
7
6 a + a
ap n 7
k1
6 p1
7
4
5
.
.
.
.
.
.
ak n 7
.
.
.
e
.
.
.
.
.
.
ann
.
.
.
an1
e
.
.
.
.
ak 2
ap 2 +
.
.
.
.
.
.
.
an2
.
.
ak 2
.
.
.
.
.
3
a1n
.
.
.
ak n
ap n +
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7:
7
akn 7
7
5
ann
20
Determinantes
Demonstração:
Então
2
a12
a11
6
6
ak 1
6
6
det 6
6 a + a
k1
6 p1
4
.
.
.
det
B
=
ak 2
.
.
.
ap 2 +
.
.
.
2 a
11
6
6 a
6 k1
6
det 6
6 a
6 p1
4
.
.
.
=
.
.
.
.
.
.
an1
=
det
A+
.
.
.
.
.
an2
a12
.
.
.
ak 2
.
.
.
ap 2
.
.
.
an2
0 = det
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a1n
ak 2
.
ak n
ann
.
ap n +
.
3
.
.
.
.
.
.
.
2
7
7
7
7
7
akn 7
7
5
ann
ak n 7
.
.
.
.
.
7
7
7+
7
ap n 7
7
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1
.
3
a1n
.
.
.
a11
6
6
6 ak 1
6
det 6
6 a
6 k1
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1
a12
.
.
.
ak 2
.
.
.
ak 2
.
.
.
an2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a1n
3
7
7
7
7
7
akn 7
5
.
.
.
ak n 7
.
.
.
.
.
.
ann
A:
21
Determinantes
Proposição
Sejam
n 2 N e A; B 2 M
n
(K ). Então,
det (AB ) = det A det B:
Tendo em onta as propriedades sobre determinantes, o ál ulo do
determinante de uma matriz pode ser reduzido ao problema do ál ulo do
determinante de uma matriz triangular. Considerando A 2 Mn (K ),
n 2 N , efe tuam-se operações elementares sobre as linhas (ou olunas)
de A até se obter uma matriz uma matriz triangular superior (inferior)
U = [ui j ] 2 Mn (K ). Assim,
det A = ( 1)l
u11 u22 u ;
nn
onde l é o número de vezes que tro amos duas linhas ou duas olunas e
é o inverso do produto dos es alares pelos quais multipli amos as linhas
ou olunas.
22
Determinantes
Exemplo
2
1 2
6
Seja A = 4 3 1
2 3
3
1
7
3 5.
1
Então,
2
det A
1
6
= det 4 0
0
2
=
1
6
det 4 0
0
3
2
5
1
1
7
0 5=
1
2
1
0
2
1
6
det 4 0
0
2
1
5
3
1
7
1 5
0
3
1
7
1 5=
5
1 ( 1) (5) = 5:
23
Determinantes
Apli ação ao ál ulo da inversa de uma
matriz
A = [ai j ] 2 Mn (K ), n 2 N . Ao elemento de K dado por
( 1)i +j det A(i jj ), i; j 2 f1; : : : ; ng, damos a designação de
Seja
omplemento algébri o do elemento a e representamo-lo por ab .
ij
ij
Denição
Sejam n 2 N e A = [ai j ] 2 Mn (K ). Chama-se
representa-se por Adj A, à matriz
AdjA = [âi j ]
T
matriz adjunta de A, e
:
24
Determinantes
Exemplo
2
1 2
6
Seja A = 4 4 5
7 8
3
3
7
6 5:
9
Como
â11 = (
1)
â13 = (
1)
â22 = (
1)
2
4
4
5 6
8 9
=
3;
â12 = (
1)
4 5
7 8
=
3;
â21 = (
1)
1 3
7 9
=
12;
â23 = (
3
3
5
1)
4
7
6
9
=6
2
8
3
9
=6
1 2
7 8
=6
25
Determinantes
Exemplo ( ontinuação):
â31 = (
1)4
â33 = (
1)
temos que
6
2 3
5 6
=
3;
1 2
4 5
=
3;
â32 = (
2
6
AdjA = 4
3
6
3
1)5
6
12
6
1
4
3
6
=6
3
3
7
6 5:
3
26
Determinantes
Proposição
n 2 N e A uma matriz quadrada de ordem n sobre K .
6 0:
i) A é invertível se e só se det A =
ii) Se A é invertível, então
Sejam
A
1
=
Então,
1
AdjA:
det A
27
Determinantes
Exemplo
Seja
A a matriz do exemplo anterior.
2
det A =
1
6
det 4 4
7
=
1 (45
on luímos que a matriz
Então, omo
3
2 3
7
5 6 5
8 9
48)
2 (36
42) + 3 (32
35) = 0
A não admite inversa.
28
Determinantes
Exemplo
Seja
A=
"
1 2
3 4
#
: Como det A = 4
â11 = 4; â12 =
temos
A
1
1
=
2
"
3;
4
3
6=
â21 =
2
1
#
2 e
"
=
2e
2
3
2
â22 = 1;
1
1
2
#
:
29
Determinantes
Apli ação à resolução de sistema de
equações lineares
Denição
Seja n 2 N . Um sistema de n equações em
6 0:
um sistema de Cramer se det A =
n in
ógnitas, Ax = b; diz-se
Proposição
Sejam n 2 N e Ax = b um sistema de n equações em n in ógnitas. Se
det A 6= 0; então o sistema Ax = b tem solução úni a (x1 ; x2 ; :::; xn ),
dada por
x
i
det A(i )
=
det A
;
i = 1; 2; :::; n;
onde A(i ) é a matriz quadrada de ordem n obtida de
oluna orrespondente à variável xi pela oluna b:
A substituíndo a
30
Determinantes
Exemplo
Consideremos o seguinte sistema de 3 equações lineares em 3 in ógnitas:
8
>
< 5x1
>
:
Como
3x1
+
+
x1
2
5
6
det 4 3
1
2x2
2x2
+
x2
2
2
1
x3
x3
=
=
=
1
3
0
:
3
1
7
0 5=
1
15;
o sistema é possível determinado e a solução é (x1 ; x2 ; x3 ) onde
x1
=
1
3
0
2
2
1
15
1
0
1
=
5
1
= ;
15
3
31
Determinantes
Exemplo ( ontinuação):
x2
x3
=
=
5
3
1
1
3
0
1
0
1
15
5
3
1
2 1
2 3
1 0
15
=
15
= 1;
15
=
20
4
= :
15
3
32