Cálculo Combinatório
14 dezembro 2021
Permutações de n elementos n!
N x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ….. 1
Permutações de 3 elementos = 3!
3! = 3 x 2 x 1 = 6
Permutações de 4 elementos = 4!
4! = 4x3x2x1 = 24
Permutações de n elementos = Pn
=n!
Permutações com repetição a, b, …Pn = n!/
Arranjos de n elementos p a p = nAp
a! b! …
= n!/ (n-p)!
Combinações de n elementos p a p nCp = n! / p! (n-p)!
18 – Uma força naval, constituída por um porta-aviões, um cruzador, uma fragata, uma
corveta e um petroleiro, navega em coluna. Qual o número de formações que se
podem construir?
Vamos utilizar todos os elementos? Sim
A ordem interessa? Sim
Então, são….. PERMUTAÇÕES
Quantos elementos temos? 5 embarcações diferentes, ou seja n=5
P5 =5! = 5x4x3x2x1 = 120
Podemos fazer 120 formações diferentes com estas 5 embarcações.
Se não interessasse a ordem, são combinações… e como vamos utilizar todos os n=5,
p=5
5C
5
=
5!
5! (5-5)!
= 5! = 5! = 1
5! 0!
5!
19 – O problema anterior, sabendo que o cruzador e a fragata têm de ocupar as duas
primeiras posições na coluna.
porta-aviões
cruzador fragata
corveta
petroleiro
1) Quero todos os 5
2) A ordem interessa
3) Mas as duas primeiras posições já estão definidas à partida (fixos)
cruzador
fragata
??
???
????
cruzador
??
???
????
OU
Fragata
Temos dois grupos de posições:
a duas primeiras para duas embarcações +
as três últimas para as restantes três embarcações
Para as duas primeiras posições, temos 2! Opções P2 = 2! = 2x1=2
Então, para os dois primeiros lugares, temos 2 opções diferentes:
Cruzador
fragata OU fragata
cruzador
Para os restantes três lugares temos 3! Opções, P3 = 3! = 3x2x1=6
No total teremos P2 x P3 = 2! X 3! = 2 x 6 = 12
SE fizermos arranjos com todos os elementos, então n=p:
nA
n
= n!/ (n-n)! = n!/0!=n! = Pn
8 – Simplifique:
a)
58! = 58x57x56! = 58 x 57 = 3306
56!
56!
Lógica: desenvolver o maior fatorial (58!) até ao mais pequeno (56!)
c)
12! / (10! x 3!) =
12!
=
12!
(10! x 3!)
12x11x10x9x8x7x6x5x4x3!
12x11x10x9x8x7x6x5x4
10! x 3!
10! 3!
=
10! 3!
d)
= 12x11x10! = 12x11 = 132 = 22
10!
(n-1)!
(n+1)! (n+1) n (n-1)!
= .
6
12x11x10x9x8x7x6x5x4
1 . =
(n+1) n
=
10x9x8x7x6x5x4x3x2
(n - 1)! / (n + 1)!
(n-1)! =
3x2
1
n2 + n
.
16 dezembro 2021
25 – Dez jogadores de ténis competem num torneio. Existe apenas um campo de
jogos.
De quantas maneiras distintas se pode organizar o primeiro jogo do torneio.
Ana
Maria
Carla
1º jogo:
José
Manuel
Abel
Paulo
Carlos
Mariana
Pedro
a) Ana e a Maria
b) Ana e Paulo
c) José e Carlos
d) Paulo e o Pedro
e) ……
Combinações?
Subconjunto – queremos apenas 2 dos 10 disponíveis;
Não interessa a ordem, porque jogar a Ana e a Maria é o mesmo que jogar a Maria e
a Ana..
Ou seja, são combinações de 10, 2 a 2.
nC
10C
p
2
= n! / p! (n-p)!
neste caso n= 10 e p = 2
= 10! / 2! (10-2)! = 10!/ 2! 8! = 10x9x8!/ 2x 8! = 10x9 / 2 = 45
10!= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 10x9x8!
7 – Determine o número de comissões com 3 membros (sem diferenciação de
funções) que podem ser formadas escolhendo entre 5 rapazes e 5 raparigas?
a)
sem qualquer restrição
b)
com duas raparigas e um rapaz
a) Arranjos? Arranjos interessa a ordem. Mas neste caso não faz diferença.
Permutações também não porque não vamos utilizar todos, NEM interessa a ordem.
Combinações de
nC
= n! / p! (n-p)!
p
10C
3
neste caso n= 10 e p = 3
= 10! / 3! (10-3)!= 10!/ 3! 7! = 10x9x8x7!/3!7!=
= 10x9x8/3x2= 120
SE 10!/3!5! = 10x9x8x7x6x5!/ 3!5! = 10x9x8x7x6/3!
b)
Arranjo? Subconjunto, sim. Interessa a ordem?
Maria, a Ana e o Manel ou Manel, a Maria e a Ana é igual => não interessa a
ordem… não pode ser arranjo
Combinações, mas… sem misturar rapazes e raparigas, para podermos “controlar”
quantos escolho de cada grupo.
Cp = n! / p! (n-p)!
Para as raparigas: n
neste caso n= 5 e p = 2
Temos 5 e queremos escolher apenas
2
5C
= 5! / 2! (5-2)! = 5!/ 2! 3! = 5x4x3!/ 2 x 3! = 5x4/2
= 20/2 = 10
2
Se não simplificássemos 5x4x3x2x1/ (2x1 x 3x2x1)
C1 = 5! / 1! (5-1)!
Para os rapazes: 5
neste caso n= 5 e p = 1
Temos 5 e queremos escolher apenas
1
5C
1
= 5! / 1! (5-1)! = 5!/ 1 x 4! = 5x4!/4! = 5
Então temos 10 x 5 = 50 comissões de (2 raparigas
+ 1 rapaz) diferentes.
Ou indicar logo 5C2 x 5C1 = 50
10 – De quantas formas diferentes é possível tirar 4 cartas de um baralho de 52?
Permutações – não porque não vamos usar todos os 52 elementos e não interessa a
ordem
Arranjos – não interessa a ordem
Combinações de 52 e queremos 4
52C
4
=
52!
=
52!
=
52x51x50x49x48!
52x51x50x49
4! (52-4)!
= 270 725
4! 48!
4!
48!
4x3x2x1
=
12 – Suponha que pretende distribuir 5 doentes cardíacos e 3 com neurose. Na nova
clínica onde os vai alojar existem ainda 20 quartos com vista de mar e 40 com vista de
jardim.
a)
de quantos modos diferentes pode distribuir os doentes pelos quartos,
sabendo que os cardíacos devem ficar nos quartos com vista de mar?
b)
se, um destes doentes cardíacos tiver de ocupar, dos quartos com vista de
mar, o que tem um equipamento especial (em resultado do estado critico
em que se encontra), determine de quantas formas diferentes pode
distribuir os doentes?
a)
n=20 e p= 5 para os cardíacos e ainda… para os 3 neuróticos, temos 40
quartos com vista para o jardim e + os quartos que não foram ocupados pelos
cardíacos – então teremos 40 + 15 quartos disponíveis para os 3 doentes neuróticos.
Temos 20 quartos com vista mar, mas 5 deles vão ser ocupados por doentes
cardíacos – então ficam 15 quartos com vista mar livres – quer dizer que podem ser
ocupados por doentes neuróticos.
Os doentes neuróticos podem ocupar os 40 quartos vista jardim + 15 vista mar que
sobraram.
20C
5
x 40+15C3 =20C5 x 55C3 =
20!
x
5! (20-5)!
=
20! X
5! 15!
55!
= 20x19x18x17x16x15!
3! 52!
= 20x19x18x17x16 x
5x4x3x2
5!
15!
X
55!
3! (55-3)!
55x54x53x52!
3!
=
=
52!
55x54x53 = 15 504 x 26 235 = 406 747 440
3x2
Temos 406 747 440 formas diferentes de distribuir os doentes pelos quartos,
respeitando a restrição de doentes cardíacos em quartos com vista de mar.
21 dezembro 2021
b)
19C
4
x 40+15C3 = 19!
X
26 235 =
4! (19-4)!
= 19x18x17x16x15! X 26
4! 15!
235 = 3876 x 26235 = 101686860
Temos 20 quartos com vista para o mar. Um deles (o do equipamento especial) vai
para o doente que precisa dele. Sobram 19 quartos com vista para o mar, para os
restantes 4 doentes cardíacos. Esse vão ser distribuídos com 19C Sobram por isso
4.
15 quartos (20 – 1 doentes especial – 4 para os restantes cardíacos).
3 – Quantos números de quatro algarismos diferentes podem ser representados no
sistema decimal com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Combinações? Não porque interessa a ordem: 1234 ≠ 4321
Permutação? Temos 6 dígitos disponíveis mas apenas vamos usar 4
Então temos arranjos.
nA
=> n = 6, p= 4 =>
p
6A
4
nA
p
= n! / (n-p)!
= 6! / (6-4)! = 6! / 2! = 6x5x4x3x2x1 / 2x1 = 360
4 - Determinar de quantas formas diferentes se podem dispor em linha sobre uma
mesa 8 cartas extraídas de um baralho com 40 cartas de modo a que os três primeiros
lugares sejam ocupados apenas por figuras (considere os ases como figuras) e os
cinco restantes não sejam ocupados por qualquer figura
figura
figura
figura
Interessa a ordem; mas não usamos todas as cartas
Temos 40 cartas disponíveis; queremos 8 cartas; queremos 3 figuras + 5 não-figuras.
As figuras são ás, dama, rei, valete, e existem 4 naipes = ao todo, temos 4x4=16
figuras;
O baralho tem 40 cartas – 16 figuras = 24 não-figuras.
As 5 não-figuras vão ser escolhidas das 24 não figuras.
Primeiro (quadrados zuis):
escolher (com ordem) as 3 figuras total de 16:
nA
p
=> n = 16, p= 3 =>
16A
3
nA
p
= n! / (n-p)!
= 16! / (16-3)! = 16! / 13! = 16x15x14x13!/13! =
3360
Segundo (quadrados laranjas):
Escolher (com ordem) as 5 não-figuras de um total de 24:
nA
p
=> n = 24, p= 5 =>
24A
5
nA
p
= n! / (n-p)!
= 24! / (24-5)! = 24! / 19! =
= 24x23x22x21x20x19!/19! = 5 100 480
A solução total é
1,71376128e10
16A
3
x
24A
5
= 17 137 612 800 ou
17 – Numa pizzaria preparam-se as pizzas com pelo menos cinco variedades de
ingredientes. Havendo 8 ingredientes quantas pizzas diferentes se podem preparar?
Máximo 8 ingredientes; mínimo 5 ingredientes (pelo menos 5) => podemos ter
pizzas de 5, 6, 7 ou 8 ingredientes.
A ordem não interessa (pizza de fiambre, cogumelos e anchovas = pizza de
anchovas, cogumelos e fiambre)
Pizzas de 5 ingredientes
8C
5
= 8!/ 5! (8-5)! = 8!/ 5!3! = 8x7x6x5!/ 5!3!=8x7x6/ 3x2 = 56
Pizzas de 6 ingredientes
8C
6
= 8!/ 6! (8-6)! = 8!/ 6!2! = 28
Pizzas de 7 ingredientes
8C
7
= 8!/ 7! (8-7)! = 8!/ 7!1! = 8
Pizzas de 8 ingredientes
8C
8
= 8!/ 8! (8-8)! = 8!/ 8!1! = 1
No total, teremos 8C5 + 8C6 + 8C7 + 8C8 = 56+28+8+1 = 93
22 – Numa estante estão colocados 3 livros de Inglês, quatro de História e dois de
Filosofia. De quantas maneiras se podem dispor os livros na estante para que fiquem
juntos os da mesma disciplina.
Interessa a ordem e são utilizados todos => permutações
inglês
inglês
inglês
HIST
HIST
HIST
HIST
FIL
FIL
inglês
inglês
inglês
HIST
HIST
HIST
HIST
FIL
FIL
HIST
HIST
HIST
HIST
inglês
inglês
FIL
FIL
Tenho 3 livros de inglês, logo 3! Formas de os ordenar entre si Pn, n=3
Tenho 4 livros de história, logo 4! Formas de os ordenar entre si
Pn, n=4
Tenho 2 livros de filosofia, logo 2! Formas de os ordenar entre si
Pn, n=2
Tenho ainda 3! Formas de ordenar os grupos de livros
3! (3!4!2!) = 3x2 (3x2 x4x3x2 x 2) = 1728 formas diferentes
P3 (P3 x P4 x P2)
P3 (P3 x P4 x P2) = 3! (3! 4! 2!) = 3x2x1 x (…
Pn = n! = n (n-1) (n-2) (n-3) …..
P3 = 3! = 3 x 2 x 1
inglês
4 janeiro 2022
Exercício 20
Numa turma existem 24 alunos, dos quais 10 pretendem tirar o curso de medicina, 9 o
curso de engenharia e 5 o de farmácia. Qual o n.º de grupos de trabalho que se
podem constituir de modo a que integrem 6 alunos que pretendem medicina, 4 que
pretendem engenharia e 2 que pretendem farmácia.
Combinações – não interessa a ordem dos participantes no grupo e não vamos utilizar
todos os alunos de cada subgrupo.
nC
p
= n!
=>
10C
6
9C
4
5C
2
=
p! (n-p)!
=
10!
6! 4!
10!
X
6! (10-6)!
X
9!
4! 5!
X
5!
2! 3!
= 210 x 126 x 10 = 264 600
9!
4! (9-4)!
= 10x9x8x7x6!
6!
4x3x2
X
5!
=
2! (5-2)!
X 9x8x7x6x5!
5! 4x3x2
X 5x4x3! =
3! 2
Exercício 27
Suponha que pretende distribuir 10 raparigas e 8 rapazes por duas salas de aula onde
ainda há carteiras vagas. Sabendo que as salas não são mistas e há 20 carteiras
disponíveis na sala das meninas e 15 na sala dos rapazes, de quantas maneiras
diferentes pode distribuir as crianças pelas salas?
nC
p
= n!
=>
20C
10
x
15C
8
=
20! / 10! (20-10)! X 15! / 8! (15-8)! =
p! (n-p)!
=
20! / 10! 10! X 15! / 8! 7! =
= 20x19x18x17x16x15x14x13x12x11x10!/ 10! 10! X 15x14x13x12x11x10x9x8!/ 8!7! =
=
20x19x18x17x16x15x14x13x12x11/ 10! X 15x14x13x12x11x10x9 / 7! =
= 184 756 x 6435 = 1 188 904 860
Exercício 29 b)
29 –
b)
Ck
-------n
n
mostre que
C k-1
-------------k
n-1
=
A lógica pode ser eliminarmos as frações. Para tal, basta multiplicar
por n e por k (os dois lados da igualdade).
= nk
Ck
-------n
=
n k n-1 C k-1
-------------- = k
n
 k n!
K! (n-k)!
 k n!
K! (n-k)!
n
Ck =
n n-1 C k-1 =
k
= n (n-1)!
 k n!
(k-1)! (n-1-(k-1))!
= n (n-1)!
K! (n-k)!
= n (n-1)!
(k-1)! (n-1-k+1)!

(k-1)! (n-k)!
n! = n x (n-1)!
 k n! (k-1)! (n-k)! = n (n-1)! K! (n-k)! 
6! = 6x5!
20! = 20x19!
 k n! (k-1)! = n (n-1)! K! 
 k (k-1)! = K!  k! = k!
6

Exercício 30
Determine o número de grupos de 5 pessoas que podem ser formados, com duas
mulheres e três homens, escolhendo entre 20 homens e 10 mulheres.
nC
p
= n!
=>
10C
2
x 20C3 = 10! / 2! (10-2)! X 20! / 3! (20-3)! =
p! (n-p)!
= 10x9x8! / 2! 8! X 20x19x18x17! / 3! 17! = 90/ 2 x 20x19x18/ 3x2 = 51 300
Exercício 31
Numa festa de jovens organizou-se um baile entrando nele 6 rapazes e 4 raparigas.
Quantos pares diferentes se podem formar para dançar durante o baile.
Nota: ser conservador, e considerar um par = 1 rapaz + 1 rapariga
6C
x 4C1 = 6!/ 1! (6-1)! X 4!/ 1! (4-1)! = 6!/5! X 4! / 3! =
1
= 6x5!/5! X 4x3!/ 3! = 6 x 4 = 24
EXERCÍCIO 32
Determine n por forma a que:
nA
k
n-2
n-2
A4 = 7 n-3 A 3
= n! / (n-k)!
A4 = 7 n-3 A 3  (n-2)!/ (n-2-4)! = 7 (n-3)! / (n-3-3)! 
 (n-2)!/ (n-6)! = 7 (n-3)! / (n-6)! 
 (n-2) (n-3) (n-4) (n-5) (n-6)! / (n-6)! = 7 (n-3) (n-4) (n-5) (n-6)! / (n-6)! 
 (n-2) (n-3) (n-4) (n-5) = 7 (n-3) (n-4) (n-5) n – 2= 7  n = 7+2 = 9