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SINAIS
E
SISTEMAS
LINEARES
•
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SOBRE O AUTOR
n .P. Lathi é professor emérito de l!ngcnharia Elétrica da Culifomiu SUIIC University, S:teramcnto. É autor de Sig·
nal Pn)cessi11g mui Unear Sysrem.t (OUP, 2000) c Mod~n• Digira/ atul Am•log Communic01ion Sy$r.enr.r. 3/e
(OUP, 1998).
L3Sl)(
L;1th i. B.P.
Sínais e sis1e.mas line.:1re~ I O.P. L;~thi : trad u~!iu Gusta\'0
Guim:u;\es P:.lrma. - 2. cd. - J>ollo Alegre: 6 ookmtm, 2007.
856 p. : il. : 25 em.
ISBN 85-6003 1· 13·8
I. Engenharia elétrka-Comunic<•ção détrka- Sinais. I. Titulo.
CDU 611.391
CataJoguçãó na publicação: Júlía Ang._q Coe.lh<> - CRB 10il7 12
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B. P. LATH I
SINAIS
E
SISTEMAS
LINEARES
SEGUNDA EDIÇÃO
TrJduçiio:
Gusw.vo Guimaf.ies Parma
Doutor em Enge-.nharia Elétrk.a (CPOEE- UFMG)
Professor Adjumo dQ Dcpnrcamcmo de Engenharia Eletrônica da UFMO
Consultoria, supervisão e rel•isão técnica desta edição:
Anto nio Pe-r tence Júnior
Engenheirl) Eletronico e de Telecomunk.ações
EspeciaJista em Processameruo de Sinais fR)·erson Uni\'ei'Siry - Canadá)
Professor de Telecomunicações da FUM-EC (MO)
Professor Titular da F<K-uld.ade de Sabará/MG
2007
Th 1 e
One
Obra orig.i nalmenle publicada sob O IÍlulo
Unear Systems and Signnls. Second Edilion
ISBN 0. 19-S 15833-4
Copyright e 2004 by Oxford Uni\'ei'Sity Press
Tradução do original Linrar Systtms aud Signnls. 2E. publicado em 2004 em língua ingJesa autorizada por acordo
assin<~do com Oxford
Unhtnhy Press, Inc.
Capa: G1utO\'O !Rmarchi. an.e sobre a capa original
Supervisão editorilll: Arysi,lla Jacques Affonso e !Hnise \\~ber Nowaczsk
Editomção cletrônica: Laser House
Resef\•ados todos os direitos de publicaçSo. em Hngua portUguesa, à
ARTMED• EDITORA SA
(BOOKMA~ COMPANHIA EDITORA é uma divi.OO da ARTMED• EDITORA S. A.)
Av. Jer&imo de Ornelas. 670 - Santana
90040.340- Porto Alegre RS
Fone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070
t proibida a dupHcação ou reproduçi'lo deste \'Oiume, no todo ou em pane. sob quaisquer
formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação. fotocópia, distribuição na Web
e outros), sem pennissão expressa da Edhora..
SÃO PAULO
Av. Angélica. 1.091- Higienópolis
OI227· 100- SAo Paulo- S P
F()OC: (li) 3665- 1100 Fax: (11) 3667-1333
SAC 0800 703-3444
IMPRESSO NO BRASIL
PRINTED IN BRAZ/L
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P REFÁCIO
Este lh•ro. Sinais~ Sbu~mas LiMD~s. apresenta uma trntamcnto abrangente de sinais(: sistemas lineares em um
nível introdutório. Assim como em meus outros livros. é enfatizOOa a apreciaçlo fTsic:a dQs conceitos através de
razôes heuriSlicas. al~m do uso de met:UorM. analogillS e explicações criativas. Tal abordagem~ muito diferente
de técnicas purumente dedutivas que utilizam menuncnte manipuluções matemá.ticu de símbolos. ExiSte uma
tentativu de tntar assuntos dt: en&enharia como um s·implcs ramo da matemática aplic.ada. E.'lsa abordagem colabora perfeitamente com a imngem pt'lbtica da engenharia como scndQ uma disciplina r.eca e cola. Ela ignom o
significado ffsico por uú de vários resultados e priva o aluno de um entendimento intuili\'0 e da maravilhosa e:<·
periénc:ia de descobrir o real idgnificado do tópico estudado. Neste li\•ro, utiJiu:i a matemática n.So somente para
pru\•ar a teoria. mas tamb(:m pam fornrcrr o supon e nccessárKt e paro promo\·e r o enlendirru:nto t'isico e intuiti·
vo. Sempre que possh·el, os resultados teóricos sSo iatetptetados heuristicamente e apoiados por exemplos e
analogias cuidadosamente escolhidas.
Estn segunda cdi~iio, a qual segue a organi1.açio dn primeira. foi melhorada pela incorporaçio de $Ugestões
c alterações de vários revisores. Os tópioos inclufdos abrongcm djagrom.as de Bode. utili1..açio de filtros digitais
em um mélodo de iovariâ.ncia ao impulso para o projeto de s-istemas analógicos. convergência de séries infini·
tàS. sistemas passa-faixa. atmso de grupo e fase c aplicações de Fourier em sistemas de comunicação. Urna. ooo~
tribuição s:ignificatiw c considerável na área do MATLAB• (marca regis.t:rada da Thc Malh Works, Inc.) foi
fomocida pelo Dr. ltoger Creen da North Dakota Stnle Univcrsity. O Dr. Grttn discute !iUa contribuição ao fim
deslc prefácio.
ÚRGANIZAÇÀO
O livro pode ser concebido como sendo dividido em cinco partes:
I. lnlrod~o (Bacl<ground e Capf11Jio I)
2. Análise no domínio do tempO de sistemas linea.res invariantes no tempo (LIT) (Capítulos 2 e 3)
3. Análise no domfnio da freqUência (transfonnada) de sistemas LJT (Ca.pfrulos 4 e .S)
4. Análise de sinais (Cnpirul~ 6. 7, 8 e 9)
S. And.LL<>e por espaço de: estados de .sis1cmas LIT (Capftulo 10)
A organ~ do livro permite muita Oex.ibilidade no ensino de con(-eitos em tempo contínuo e tempo di!·
ereto. A seqüência natUJ'lll dos capítulos 6 mantida para integrut u análise em tempo contínuo e tempo djscreto.
Tambmll! pOslíivel uúli1.ar unw abordagem ~üencial na qual toda a análise de tempo oontínuo i feiLa inidulment.e (Capítulos 1, 2, 4, 6. 7 e 8). seguida peln análise em tempo discreto (Capftulos 3. 5 e 9).
SUGESTÕF.S PARA A UTILIZAÇÃO DEST E LIVRO
O li..,•ro pode ser racilmeme fonnatado para uma varietbde de cursos, em uma faixa de 30 a .SO horas/aula. A
maior pane do materinl nos primeiros oito capítulos pOde ser rapidamerue apresentada em, apro;c.irrutdamente..
45 horas. O livro também pôde ser utilizado em um curso de 30 boraslaula apresentando apenas m:uerial
ana~ico (Capflulos I, Z. 4, 6. 7 e, possivelmente, tópicos selcdonados do Capftulo 8). Altemaú\•amentt. pOdese também sc:Jecionar os Capituk>5 1 a S para um curso puramente dedic:Kto l análise de sistemas ou t6cnicas de
tmn.c;formada. Para tratar de sistemas em k:mpo contfnuo e dir.creto usando uma abordagem intepada (ou paralela), 3 seqüência apropriada de Capftulos 6 I, 2, 3. 4, S. 6, 7 c 8. Para uma aborda,gem seqtlencial, ns qual a
análise em 1empo cootfnuo 6 seguida pela an,lise em tempo disc~o . a seqO!ncia apropriada de c;apftulos é I, 2,
4, 6. 7, S. 3 • .S e, possi~lmeme.• 9 (dependendo da dis-ponibilidade de tempo).
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vi
PREFkto
Em termos lógicos.. a transformada de Four~ de\'Cria preoeder a rrnnsfonnada de Laplace. Utilizei essa abor·
dàgem no livro Signal Prou:uing a11d Unror Systmrs (Oxford. l998), Entretanto. uma quantidade consi<ler;i\•el
de instrutores sente que é msis fácil para os ~1udante5 aprender Fourier apó$ Lapl.nce. Tal abordagem tem wn oer·
to apelo. devido à ptogressào gradual de dificuldade. no sentido dos conceitos relati\'ameme mais difioeis de
FOW'iet serem trmados após a m mais simples de Laplace. Este Livro é escrito pata atender 11 esse ponto de \•ista,
Para aqueles que querem \'er Fourier ante.\ de Laplace, existe o Sign11l ProcesJing iutd Unt'ar Systt'nrs.
C ARACTERÍST ICAS NOTÁVEIS
As C11tacterfstic:tS dignas de noca de~e th•ro incluem:
I. A rompreensao imuiti\'a e heurfstica dos conceitos e o signil'icado fisioo dos resultados matemáticos s.'l.o
enfatiZDdos duru.nte todo o livro. Tol abordagem não apenas le"a a urna apreciação mais profunda e en·
tendimeoto mais fácil dos conceitos. como também toma o aprend.i;-..ado mais :.gradá\'cl p.1ra os c.stu·
dantes.
2. VVios estudantes são prejudicados pela falta de conhecimento prévio (btr<·kgroum() em ~reas oorno
números complexos. senóides. como rascunhar t<lpidameme funções. regra. de Cr-.uner. e:cpan.slkl em
fruçõe..<> p:u-ciais e álgebra mnuicial. Adicionci um capitulo que enfoc.u esses tópicos básicos c constantes
na engenharia détrica~ A rcspoita dos eswd:tntes tem sidQ, por unanimidade. entus:iástic.n.
3. E.xistern ntais de 200 exernpJos uabaltutdos, além de exetektos (getalmente com resposta~) para que os
tll'udames testem se ele..o; compreenderam os a."Sslmtns. Também há um grande número de pi'Qblc.mas ~
leciom•dos com ni\'ds de dificuldnde variados ao final de cada capítulo.
4. rata instrutores que gostam que seus esrud:lntescrabalhem com oomputndotes. vários exemplos ~o lta·
balhadós atro ~s do MATLAB. o quaJ tem se tomado um P.,"'COte de software padl'lo no currículo da en·
!,>enhariu elétrica. Também existe um:~ soç.iic> sobre o MATLAB ao final de cada capítulo. O conjuJltOde
problemas contém ":frios problemas de computiKior. O exerddo nos exemplos de c.:omput.udor ou prob·
lemas. apesar de.' não ser cs.o;cncial para o lL"D deste lívro. ~altamente rcromendndo.
S. Sistemas em tempo discreto e tempo contínuo podeln ser tratados em seqliência ou ser integ.r<~dos usan·
do uma abordagem parnlcln.
6. O resumo ao final de cada capítulo é lltil aos alunos ao referenciar os desenvolvimentos essenciais do
capítulo.
1. f:xistem \'árias notas h i~tóricas p:uanumentar o interesse dos tltudan te~ no assunto. Es..o;a.,. informações
apresentam os estudantes so pano de fundo histórico que inn uenciou o desen\"olvimento da engenharia
elétrica.
CRtorros
As figuras de Gauss (p. 19). Laplace (p. 322). He.-.viside (p. 322). Fouriet(p. 544) e Mtchelson (p. 552) foran~ im·
pressas corno rortesia das Smithsoninn lnslitutton LibrMies, As imagens de Cõlrdano (p, 19) e Gibbs (p. SS2)
for.1m imprcssa.o; como cortesia da Librury ofCongn:ss (Biblioteca do Congresso). A pinturu de Napoleão (p. S44)
foi impn~s..'>a como cortesia de 8cttmanw'Corbis.
AGRADECIMENTOS
Várias pe,sSQss me ajudaram na prcp:uaçtlo des te livro. Sou g.rnto pelas suges tões úteis de vdrios revisores.
Sou especial nlCntc grato ao Prof. Yannis Tr;:ividis da Columbia Uni\•ersily, o qual fomcceu umfeedW,<:k
complela.tllenle perfeito e criterioso do livro. Também estimo outra rc\'isão geral feita pelo Prof. Roger
Grten. Agradeço aos Profs. Joe Anderson da Tennessee Technological University. Kay S. Yeung: da Uni.
versity of Texas ern Arlington e Alexandet Poularikis da Uuivei'Sity of Alabama em Huntsville pelas
\'lllios.as revisões. Agradeço pel11s sugestões úteis dos Profs. llabajide fami loni da University o( Mcm phis.
Leslic Collin.s da Dukc: Univcrsity. R . Rajgopa lan d~• Uni\'ersity of Arizona e Willinm Edward Picrson da
U. S. A ir Force Re$eurch Labomtory. Apenao; aquele~ c1ue escrevem um livro compreendem que escrever
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PREFÁCIO
VIl
um livro como este~ uma ath •idade que consome um h:mpo e.nonne. o que «:suhn em muilo .sofrimento
para os me-mbros dn família. dentre os q uais a e~posa é quem mais sofre. Portanto. o que eu posso dizer. ex·
ccto agradecer a minha esposa. Rajani. pelos enonnes mas i•wisfvei.s sacrilicios.
MATLAB
O MATLAB ~ um:.'l linguagem sofistk<•da que Sc:r ve c.omv um<• po<kros.a ferramenta P<•m um melhor en·
tendimento de uma miríade de tópicos. incluindo a teoria de contrók. projeco de fihrO$ e, obvi<tmente. SÍS·
temas lineare;s e sinais . A estrutura de- progr.unação fkxín!'l do MATLAO promove um r.ípido de~ nvotvi.
mt.nto c análise-. A capaddade impressionante de visuaJi?.<•ção possibilita uma apreciação Unic-a do compor·
camento do sistema c <::mtcu:riuu;ão do sinal. Explorando conceitos t.'Om o MATLAB. você licará subsum·
ci.-tlmente mais confonflvtl e melhorará sua comJ)retns.ão de c6picos do curso.
Como em qualquer lingua&oem. o uprendizado do MA11-AB é incrementai e requer prática. Este livro posSi·
bilita dois ní\'eis de expusiç-ão ao MA11-A8. Inicialmente. pequenos exemplos de L-.Jmputadot são c-nlr<:lllt',ados
ao longo do texto parn n:fbrç.u os collOeitos e exccu1nr vários a! leulos. E~ses exemplos utilizam funções padrões
do M ATLAB. além de funçôes OOs tooi\\Ol!;CS de conuole de sis.tcmas. pnxcssamemo de sinais c m:ucmálic.a
simbóHca. O MATLAB possui diversos outros toolboxes disponívtis. mas esses ttês {!cralmerue s!io disponibi·
lizados em vários dep.vlamemos de engenhatia.
Um segundo e mais profundo nívt-1 Je e~pOS-i\fiO no MATLAB é J)n.'lpórcionado na eonclu:são de c<WJ., eapf·
tu lo. <:om uma seção separada par.t o MA11.AB. Em L'OOjunto. ~sas onze SI!'\~S fornecem uma introdução uu·
tocon tid~ oo ambiente do MATLAB. pennitindo que mesmo usuários no\'atos rapidamente ganhem proficiên·
eia c eompetCncia. Essali seções t'ornccem instruçõe-s dctalhndas de como utili7.llr o MA'l'LA B para re-.sol\'cr
problemas de sistemas lineares e sinflis. Exccw pelo tíhimo cflphulo. foi 10mado um cuidado especial para que
funções de toolboxes nn.o fossem utili 7.ad;~s nas 8e\'ÔeS do Mt\Tl..AB. ao conlrário. é mostradQ ao leitor como
f;uet ,,ara desen\'Oiver seus ,,roprios e<idigol'. Dessa forma. os leit.:.res :;em acesso aos toolboxes não fiC".un em
des"amagem,
Todo código de c.ompuladof está Jjsponivd online (\11\t'" '. mathworks.<:ont/supportlbooks). O t:ódigo para O!t
exemplos de L'OfTlput:ldor em um d:tdQ capítulo. digamos, C1pítulo xx. ê ch:.m..1do de CE.xx.m. O programa yy
dn scçõo xx do ~MTl..AB ~ eh:unndo de MsxxP)•y.m. Além disse). o c:ódigo completo para cod:t !OCÇÕO individ·
ual do MATLAB é c-hamnOO de Ms:(x.m.
RQgc•r Grt:t'n
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SUMÁRIO
BACKúROJ !N D
B.l Números Complexos 17
J.!istórir11 11
8.1-2 Álgebra de Números Complexos 20
B 1.1 NNa
R 2 Srnójdcs
l.Q
8.2· 1 Adiç!lodeseoo;des 31
8.2-2
Sen6ides em Termos de Ex.ponen<.::iu.is: A F6nnula de Eukr 35
R 1 Rnscuobnodo Sin;ljs
3~
8 .3· I Exponenciais Monotônicas 35
8.3-2 Senóides Variando &poneucialmenle 36
8.4 Resm de Cramer 38
8.5 Expansão em Fri'ÇÕes Parciais 39
8 .5· J MétOOo de Eliminnçlio de Frações 40
R 5-2 Méfodo de Heavisicle 4 1
8 .5-3
B.S-4
8 .5·5
8 .5·6
Fatores Re!?e!idos de Q(x) 44
Misturo dos Métodos de Heavi.side e Elimin!!Ç-iio de FraçÕc."s 45
FCxl Imprópria com m - ,. 47
Frações Parciais Modificado 47
B 6 Vdnrrs (' Mmrizcs
48
8 .6-1
8 .6-2
8 .6-3
BJ)-4
AlgurruL" Definições e Propriedades 49
Âlgebrn Matricial 50
Deri\'adas e Integrais de Matrizes 53
Eaui!C".âO Caratterístiea de uma Matriz: Teorema de Cavley-~lamitton 55
6 .6-S Oc-termin.acão da Exponencial e Po1enciad io de uma Matriz 56
B 7 Miscc!iincas
8 .7·1
8 .7·2
n 7.3
B 1.4
8.7·5
8 .7·6
8 .7-7
8 .7·8
8 .7·9
B.7-l0
57
Regra L'H6piUll 57
Séries de 'hylor e Mac laurin 58
SW es de forênfitl ss
Snm?tórjns '58
Números Complexos 58
Identidades TrigOMmé1ricas 59
lntep.rail\ Indefinidas 59
Fónnu.las Comuns de Derivação 60
AJgumasConslames Úleis 61
Soluçilo de &1u!!!.':ÕeS Qu:.d.r.itieas e Cúbic:.s
61
Rdrrincla.r 61
MATú\8 Sq:iio 8: Ovrroçõt'. t Ell'mnllllrt'.t
Pmhfemm
62
11
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10
SVMÁJI.IO
1.1· 1 Energia do Sinal 76
I 1-2 Por(:nçh do Sin11l 76
1.2 Ah;um••" ()pcmç~ lÍccis rom Sinais &I
1.2- 1 Oes1ocamento '1êmooral S I
1.2·2 Escn1omunento Tem()0!;!1 83
1.2·3 Re\'er&.W Temporal 85
1.2-4 OperaçõesCombinadõls 86
L3 Cla.,.sifica<.·ão de Sinais 87
1.3- 1 Sinais Contínuoil e Disc:ret(8 no Tempo 87
1.3-2 Sinaís Analógkx.s e Digitais 88
I 1- 1 %mis Ptriódims r N ào Periódico" 88
1 . 3~4 Sinais de Energia c P01ência 90
I 3-5 Sill3is Dereonifli'SJi ms c AleaJórjo-: 90
1.4 Algun...; Modelos Úteis de Sinais 90
1.4- 1 Função Oég111u Unitáriou(l) 90
1.4-2 A t='uncão Impulso Unitlirio & (ll 9 1
1.4-3 r:unçâo ~ponendaJ t!" 96
1.5 Funções Pare.H Ímpares 98
1.5· 1 Alguma.; Propricd:tdcs de Funsõe.'\ Pares e fmparcs 98
1.5-2 Compontntes Pares e Ínlpares de um Sinal 99
I
6
Sidemss
10 1
I .7 Clu$sifit:<tç5o de Sistemas 102
1 1- J Sisrr·nws I intmrs .~ Nlio I i1wares I02
1.7-2 Sis1cmas lnvariames e Variantes no Tempo
Sistemac: ln;;Jantânr(!c: f
I 1.4
1.7-5
1.7-6
I 7. 7
I 1-8
Sisrem••s C !!!lsn l t• Nijo Consrtl 108
Sisrcma_ç em Tempo Con1fnuo c. r m Tempo Di ~.reto
Sistcm!L<O AnoJógicos e Digitais 111
Sisrcmas lnwrsfvris l ' Não lnycrsíwis I I I
Sistemas ESJflytjs r hlS!áwis 111
Djníimjcps
I 07
1.8 Moc.lclodeSistema: Desc.:riçãoEntrada-Saída
I 8-' Sis'tmas E!érri•'os
112
I 18
1.9 Descriç-llo lntcmn e Ex1erru1 de um Sistema
119
I, !O Dcscriçiio lnu~ma: Descrição em Espaço de Estado
1 I I Resu mo
121
I?"
Rt>feri?nciru 127
MATLAB S!(do 1: Trabalhantlocom Funções
l lmhlruw r
110
! I?
1 8·' Sjstem;•s Mcc·ân jruc: 115
I 8-'\ Sj<01cm;as EktrO!D!.'!!.·.ânjM
127
I U
2.1 Introdução
2.2
106
I 1-'\
145
Res~tá do
Sis{ema a Condições lnlcrnas: Rcspost.a de Entrndn Nul:1 146
2.2-1 Algumas lnfo1maçôcs sobre o Comportamento de Entrada Nula de um Sistema 155
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2.3 A Resposca /,(t)ao lonpuloo Unitário
1;6
2.4 Resposta do Sis•ema à Emroda Extel'na: Resposta de- Estado Nulo 160
2 .4- 1 A lmegr.ll de Convolução
162
2.4--2 Enlendimento Gráfico do• Operaçfio de.Co•wuloÇão 169
? 4-'3 Sis•emas hllert<'m et·rados !80
2.4-4 Umà Funs·fio muito E,.pcc;ial pan• Sistemas LCIT: a Expom:nçiul de Ouras·fio Infinito i'
2 .+5 Res!?O§t::t 1btal
2.5 Solução Cláo;;sic.u de Equuçck-" Di!'('rcncini"
185
2.5.- 1 Re!\poS(rt r'On:.ada: Mc5wdo tle Coefk i~nt~ lntktémiÍIKldOS
'6 E" !l!hj!jcbdc ,.k, S j.;tcma
F~~l;tbilid.'lde
2.6- 1
182
184
185
JQ1
lmetll:t (Al!Silllótic-a)
194
2.6·2 Rcl:çio entre Estabilid.'lde 6160 e ''"~int óüca
195
2.7 Visão lntuiti\·a sobre.': o Compprtmnento d~ Si stt':m ~ts 1 9~
2.7-1 De-pendência do Comporlamento do S istc:nm «."orn ~ Modos Cmocterísticos 198
2.7-2 Tempo de Reo;oosta de um Sistema: a Constante ck Tempo do Sistema 200
2.7-3 A Constante de Tempo c Tempo de Subida de um Sistcmu 20 1
2.7-4 A Con"Stamc de Tempo e Fillrngcm 201
2.7·5 A Constante de Tempo c Dispcr:üo (E!'polh.amcmo) do Pulso 203
2.1·6 t\ Con~t ame de Temt>O e Taxa de Tmm;-mis......~o de lnfoml:lçâo 203
21.1 O Eew)m;:no dfl
R .~ssoofjnçj;)
203
2.& AI?ÇndiL-e 2.1 : Determinação da Rt'SJ>th ta ao lmpul~o
2 9 R ··sumo
Rdúinât~s
WS
206
208
MATLAIJ St>nit l1: Amuhyu .M
Prt~Mnrw ~ 114
208
C APÍT!li.O 3 ANÁLISE NO DOMÍNIO IX! T EMI>O DF. SISTEMAS F.M T EMPO 0 JSCKf.TO
3.1 Introdução 224
3.1-1 'J'am;Jnho de um Sinal em t~:mpo di.screto
225
3.2 Opcraçôc!> Úteis com Sin:~is 227
3.3 Alguns Modelos Úteis e m Tempo Discreto 230
3.3· 1 !!unção Impulso 8l11l Discreta no Tempo 23 1
3.3·2 Função l)egrau Unitário Di-.crcta no Tempo ul1tl 'D I
3.3·3 Expo•)encial Oi""-'fCta no Tempo y·' 232
3.3-4 Senóide Discreta oo Tempo cos (1111 +(f) 233
3.3-5 Exponencial Complexa Discreta 1lO Tempo r'·"- 236
3.4 Ext·mplo.." dl." Sistema" em Tempo Discreto 237
3.4-- 1 Classifkas·ão de Sistemas ~m (~mpo I.JiSc., ·eto
244
3.S f.(JUaçõe!i de Sistemas l!m TempO Di~rt"tO 246
3.5- 1 Solusão Rttu~iva (lntemtiva} da E9u <~\â0 Diferença
246
3.6 Resposta do S is•ema n Cundi!;Õl":> lnternns: Resposttl de El1tr.1da ;-:ul<l 251
3.7 Rl"•.,posta hl"l ao Impulso Unitário 256
3.8
&umda EX!ern<t; a Respost<~ de Estado N~•lo 259
3.8· 1 Procedimento Gráfi co para o Soma1ório de Co•woh~o 2(,()
Respo~ta do S istema ti
3 8-2
Sish~m;•>
lnlcn=flnecmdos
27 1
3.8-3 Uma Função Muito Especial potra S istemas L.OIT: :. E:~tponeoc-i a l de Duraç:llo l nfini1a :.• '273
3.8-4 Resposta Total 274
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12
SUMÁRIO
3.9 Solução C lássica de Equ!!ÇÕes Diferença Uneares
275
3.1 O Estabilidade dn Sistema: Crirério de E.'ttnbilklnde Externa (BffiQ)
3.10·1 E.<illlbi lidade Interna (Ao;sintótical 282
3.1().2 Relaç!lo entre Estabilidade 8 180 c Assintótica 282
3.1 1 VisiíO lntuili\'à sobre Comportamento de Sistemas
286
3.12 Apêndice 3.1: Resposta ao Impulso pom um Caso Especja)
1 13 Rcsump
281
286
' 87
MATlAB Secllo J: Sinais e Si.uema.J em Tempo IJiscretQ 288
Pmhlemas ? 9 {
CAPÍTULO 4 A NÁLISE DE SISTEMAS EM T EMPO CONTINUO U SANDO A TRANSFORMADA
DE LAPLACE
4. 1 Transfcmnada de Laplace 307
4 1.1 Derennill2lndo a Transformada Inversa
314
4.2 Algumas Propriedndes da Trans fonnadn de laploce 324
4.2·1 Deslocamento no Tempo 324
4.2-2 Dedocamento rua Frroüência 327
4.2·3 Propriedade de Diferenciação no Tempot 328
4.2-4 Prooriedade de lmegrnç:lo no Tempo 330
4.2·5 Convoluçiio no Tempo e Convolução rw. Freqüência
4.3 SoiUC'!lo de Equações l)iferenciais e Integro-Diferenciais
4.3·1 Resposta de EstOOo Nulo 339
4 3-1 F sta b ilidndc
4 '\. 3
Sj<~tcmas
335
344
lnycrsns
"46
4 4 AnáJ j(e de Cirn•jtos f lérrjn w p Círruj!o Tmnsfoonado
4 4-1 An§Usr de Cjn=u itos Arim s
3 54
4.S Diae:ramas de Blocos
332
346
357
4.6 Realiz!Ç!iO de Sistemas 360
4.6-1 Realizaç-lloo na Fotma Direm I 360
4.6-2 Re.aJização na Forma Direta U 361
4.6-3 Re-.tlizações em Cascata e ParoJeJo 364
4.6-4 Rc--dlizacn.o Tr<msposta 367
4.6-S Utilização de Amplificadores Operacionais p:tra:. ReaUz.nçlo de Sis1e.mas 369
4. 7 Aplicação em Realimcnlll(ilo e Controle 374
4.7-1 AnAiisedeum Sistema deControleSirnple."i
376
4.8 Resposta em Prcgüênda de um Sistema LCIT 380
4.8-1 Resposta em Regime Pennanen1e p:lta Entntdas Senoidais Causais
4.9 Diagramas de Bode 387
4.9·1 Coostamc Kn,nJb,b,
4,9:2
4 9-1
4.9-4
4.9-5
386
388
"J)(\Io (ou 7..eml na Origem 3R&
Pólo Cou Zero>de. Prj mejra Ordem WO
Pólo (ou Zero) de Segunda Ordem 392
Função de Trans ferência da Respost;~, em fteQ Uência
400
4.1 0 Proje1o de Fillros pela Aloc!!S'iio de Pólos e Zeros de Jl(s) 400
4. 10..1 OC'pendênciu dn Respostu em Freqüência com 0$ Pólos e Zeros de H(s)
4 10.2. Ejl!ro-. Pil«a-Dajxall 401
4 10..1 fjJtms Pnssu-foixn 41\4
400
Copyrighted material
S UM.Â.RK>
)3
4.10-4 Fihros Noteh (J>l1ra.Fai.xa) 40S
4.l0.5 Filtros Práticos e Suas Especificí!CÕes 407
4. 11
Tr.\nsform~dn de Laplace
Bilateral
408
4. 11 · 1 Propriedades da Transformada de Laplace Biltuc:ral 4 14
4. L1·2 Usando a Tmnsfonnada Bilateral para il Análise de Sistemas Lineares 4J5
4 )? Resu mo
4 17
Referinclas 4/8
MATLAB &çlio 4: Filtros ~m T~mpo ConlÍmJO
Pmhlertras
419
4 ?8
CApfrr n o 5
A NÁr
!SE o e S rsrFMAS EM T FMPD DrscR pro l l SANDO a TRANSt-"QRMAO A z
S I A TrunsfOTJD4da ~ 442
5. 1· 1 Determinação d:t Tr:tnsfonn.ada lm•ersa
5.2 AJ,:umas Propriedades da Tmnsfonnada t
448
453
5.3 Soluç-d.o de Equ~s Diferença Lineàtts pela TrunsfonnOO:~ 4 460
5.3·1 Resposta dt- E."itOOo Nulo dt- Sistema..'> LDIT: A Função de Transferência 464
S.3·2 E.-.tabilidllde 467
5.3·3 Sistem.'IS lnversos 468
S.4 Reu.lir.ação de Sistemas 469
5.5
Re.~;posla em Fregüênci.u. de Sí.uemas em Tempo
Di!OCreto 474
S..S·l Na1ure1..a Periódic.a dn Resposta em i!regüência
5.5·2 Aliasing e Taxa de Amos«mgem 483
480
5.6 Resposta em Freqüência a Partir da Posição dos P61os.Zeros 485
S.1 Proce.~;samento Oigilfil de Sinais AnnJógkos
493
5.8 Conexão en.tre a Transfonnada de Laplac.:e e a Transfonnada z 499
'1i
9 A Irnn.;;fomljKta t Bila1eml
SOl
5.9~ I Propriedades da Tr.tnsfonn.'lda ;. Bil,:ueral 505
5.9-2 Utilizi!Çiio da Transfocm.uda ~ Bilateml paro a Análist' de Sistemas LDIT
5.10 Resumo
S06
508
Rf!erincins J08
MATI.AB Stção 5: Filtms /IR em T~mpo Discrelll 508
Pmhfnrrm
f 16
CAPITuLO
6
ANAuSE DE SINAIS NO TEMPO CoNTINUO: A SÉRIE DE FOURIER
6. 1 Representa.Ção de Sinais Perióc:)jcos pela Série Tri,gooométric:a de Fooriet 528
6.1·1 Espes;uodefourier $32
61.2 Efd Joda Sjmctdo ~41
6 .1·3 Dc1ermjnnçâo da Freqüência e Pcrf()dc) Fundsmcntal 543
6.2 Ex.istênda e Convergê ncia da SW:e de Fourier
6.2~1 Convergência de uma Série 546
545
6.2·2 Papel do Espectro de Amplitude e Fase na Fonna da Ond:a 547
6..3 Série Exponendal de fourier 5S3
6.3·1 Espectro Exponencial de Fourier 556
6
~-?
Tco rrrnn de l'llr:srynl
561
6.4 Resposta de Sistema LCIT a Entradas PeriódicttS 563
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14
SUMÁRIO
6 'i Sérir etc Eo51(jçr Grncmljz;,da· Sinais cnmn Vr•flfiO:s•
'iM
6.5·1 Componente de um Vetor 567
6.5~2 Comparoçào de Sinal e Componente de Sinal 568
6.5·3 Extensão para Sinnis Complexos 570
6.5-4 Rcp~~t.açâo de Sinai$ por um Conjunto de Sinais Onogonais 57 1
6.6 Detenninação Nurn6ica de 0 ,
67
Resumo
582
584
Rdnindas 584
MA11.A8 Seçllo 6: Aplicac*.v de SJ.rie de Ftmrier 585
Problemas 590
7.l Representação de Sinais não Periódicos pela Integral de Fourie-r 599
7.l·l Avaliaç-ão ~ísica da TransfonnOOa de f"ourier 60S
7.2 Transformada.'\ de Algumas Funccks Úteis 606
7.2· 1 Conexão entre us Tr.msfonn:klas de Fourier e Laphtt.-e 61S
7.3 Algumas Propriedade.<~> da Transfonnac.bde Fourier 616
7 .4 T[;)n'\roj'\'\i'io de Sj!J;ll t\tmvés d e Sj '\temn ~t !.ClT 6 '\2
7.4· 1 Distorção do Sinal Durante a Transmissão 633
7.4-2 Sistemas Pa5Síl.-FaixaeAt.rasodeGrupo 636
1.5 filtros Ideais e Prátkos
639
7.6 Energia do Sinal 642
7. 7 AplicaçOO em Comunicações: Modu~o em Amplitude 644
7.7·1 Modul:!cão em Faixa Later.rJ Dupla, Ponadora Suptimidà (0SB·SC)"'
7.7·2 Modulaç-ão em Amplitude (AM) 649
7.7·3 Modul~ão ~m Faixa Lalero.l Simples (SSB) 652
7.74 Muhipleuçiio por Divisão nu freqüência 655
M~
7.8 Trunc~gem de DaOOs: FunçOes de Janeln 656
7.8·1 Usando Janelss no Projclo de Fihros 660
7.9 Resumo 662
Rd11rrnl'it~s
663
MATLAB St-rtio 7: TtJpicm sobre Trwu(om!(ldil tlt• Fmm'er 663
Pmhfenvts
CAPiTUlO
668
8
AMOSTRAGEM: A PONTE ENTRE CON1ÍNU0 E DISCRETO
8.1 Teorema da Amostragem 678
8.1-1 Amoslràgem Prátka 682
8.2 Reconstrução do Sinal 685
8.2·1 Dificuktades N ticas na Re<:ons:truc,.iio do Sinal 688
8.2·2 Algumas Aplk.nções do Teorema da Amoslrugem 69S
8.3 Convers.i oAnalógico pnra Digital (AJO) 697
8.4 Dual da Amostragem no Tempo: Amos:1 rag~m E,_c;-pcclrnl
7()()
8 5 C;1Jcu!o N umérico d;, Tmnsform3da de Eouâç r· a Tro nsComwd3 DiSC!rJ3 de EoSJrju liDE\
702
8.5·1 Algumas l:tropried:ldes da 11)F 7 14
8.5 -2 Algumal\ ApiK':l!ções da TDF 716
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St:MÁRIO
15
8.6 A Tmn~formada Rápida de Fourier (FFT) 7 19
8 7 Resumo
723
Refe" ncia.f 723
MATLAH SeçiJo 8: TranJ(()rnttulll Di.~Ul'lil til' Ftmril'r- 724
PmbltmrtL( 730
CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO
9.1 Série de Fourier em Tempo Discreto (SFTO) 738
9.1-1 Represent?Çl\Q de um SinaJ Periódico pelo Série de Fourier em Tempo Discreto 73S
9.1·2 Esoec•ro de Fourier de um Sinnl Periódico.dnl 740
9.2 Representação de Sinal Não P.:riódic:o pela Integral de Fourier 74 7
9.2·1 Nature:t.adt-' f!spectrode rourier 749
9.2-2 Conexão entn: a TFTD e o 'rransfonnadn z. 757
9.3 Propricdu<k.s da Tf'TD 757
9.4 Análise. de Sistemn LIT em Tempo Discrtlo pela TFTD
9.4-1 Transmis~iosem Distorção 7()R
Q 4 -2 Fjltms ldç:ajs r P'dliros
769
766
9.5 Conexão dn TFTD CQm a T..IC 771
9.5-1 Utili1.aç!lo da TOF e FFT pm=J o Cálculo Numéri<:o da ·rl--1"0 772
9.6 Gelleralizaçik) da TFJ'D para a Tran sformada~ 773
9 7 R esumo
775
Rdáhttlll 776
MATUtB Sf'dio 9: Tmbalhmult1 com a SJ-'TD t! a TFTIJ
Problema., 783
CAPiTULO
10
776
ANÁLISE NO EsPAÇO DE ESTADOS
10. 1 lntrod1!C.lto 792
10.2 Procedimemo Sistem:í1ioo parn a Determina<:OO d:lS &uas-õcs dt- ~stndo
I O 2-1 C jrcniros fl.~trj ros
7~
794
10.2-2 &iunçõcs de Estado n panir cL'l Fu nç..~o de Tran.sfetência 796
10.3 Soluçiio de Equações de E.s1.:.do 803
I 0.3· 1 Soh.ç:to pela TfansfonnOOa de Uplace de &Ju"\i'le!i de Estndo 803
I 0.3·2 Soluç.lto no Domínio do Tempo de E~) Wl<,."õe.;;; de &lado 809
I0.4 Transformação Linear do Ve1or de Estado 8 1S
l0.4ol Dia.gonaliULçâo da Matriz. A 8 18
JO 5 Con1mlah jl jd ade e O hse®bjJjda,lt
8 22
IOS· I loc.apacid:.lde da Descrição por Fu1lÇllro de Tr:~nsfe-rência de um Sistema 826
10.6 Análise J>OJ' Es-J)aço de Estados de Siste•nas em Tempo Discreto 827
10.6· 1 Soluçilo oo E<~ooço de: E~tado<: 828
10.6·2 Solu~o pela Tt;:tnsfonna<.!a o: 833
I O. 7 Resumo
834
Rderém·ias 835
MATLAB $-eçbo 10:
Problema.t 84 I
ÍNDICE
Toolbo.~f!.f e A11dll.w• por E.\(NI('t) tltr E.Jttulo.\·
835
g.n
Copyrighted material
Copyrighted material
B ACKGROUND
s
O
este material
tópicos discutidos neste caphulo nao são totálmentc novos. Você pro,'a\-elmente já de\.oe ter estudado gmn·
de parte deles em cursos ameriores ou deve conhecer o :u.1.unto de treinament05 anteriores. Apesar disso,
b~ico tt'lel'ere uma ~isão, devida a sun imponilncia oo. ~ren de sinais e sistemas. lo,•estir algum
ten~po nesta revisão renderá gi""Jndes dh•idcndos pcmeriormcme. Além disso, eMe materia1 t dtil nn.o apenas a es.
te curso, mas também a \•ários outros que se seguüio. Este material também 5C.'rá Util posterionnente, como um
material de referência na sua c.·.ruTti.ra profi.ssional.
8 .1 N úMEROS COMPLEXOS
Nlímeros rompiaos s!kt uma extens$() de ntin)tr()S ordiM.rioo e são uma parte inLegnll do moderno sistema numé-
rico. Os m~meros oomplexos. panjcularmente os mimuos inragürârios. al,guma.~ \'e:zcs parecem misteriOSO$ e irreais. Esse sentimento de irrealidade t mais funçio de sWJ não ramilia.ric.bde e oovid:lde do que de sua suposta n.,o
exiStência! Mattm.átléó5 emuam em chamar estes número.; de "imagjno:úiO§... pois esse 1enno el-attu)lellte prej\Kii ~
~ Sll:l per<:epçâo. Se esses nú.rneros fos..'>em chama~ por qu.'llqucr outro nome. eks teriam sido desl1tiscific00os a
mojto tempo.lal como os númerôS irrucionaisou os números ncg:lri\'OS foram. Enuetanto. esse esforço é desneces-sário. Nalmllemátic.u.. ao;sodamos a sJmbolos c opernçôes <1ua.lquer significado que quisermos. desde que a ronsis..
tência interna seja manricb. A ttiMória da matemáliet~ é cheia deentidad.:s com as quai$ não lemOs fam.iJiaridude e
que nos uborret"e. até que a utili7,aç30 os torna ~itáveis. Esse fato i:iç ru;i maU ciiU'O oom a segujnte naca hist6rka.
8.1-1 Nota Histórica
Para as pe~"'S de tempos rem01os. o sistl.'ma numérico em Ci)nstiluido apenas dos números n:t1ur:Us (in1ei·
ros positivos). necessários para expn-ssar o número de c.riaoças. de animais e de nechas. Estas pessoas n~ li·
nhruu necessidade de fràçõe$. Quem já ouviu algo como duas e meia crianças ou lrês e um quru1o de ''aca?
EntrtAanto. com o mh-emo d3 agricultura. as pessoas nocessiwam medir quantidades COI:tLUluamente cre!iCentes. tais como o tamanho de um campo e o peso de uma certá quantidade de manteiga O sistciTI3 numérico. portanto, foi ampliado p3rn incluir as fr:tçõcs. Os antigos Egípcios e Babilônios sabiam oomo tr.tbalhar rum f~'ÕCS.
mas Pitdg,Qms descobriu que alguns números (!ais tomo a diagooa.l de um quadrado unitário) não podjam ser expressados OOO.lO um número lnteiró ou fraçâf.). Vitágorus, um mfstko dos números, que associa"a aos m1mcros a es~
sência e o princípio de todas 3s oolsa.o; do universo, ficou tão dcscooccnado com sua desooben.1 que ele juroo aos
seus seguidotes segredo e impOs uma pena de mme p;~rn aqucJe que divulgasse o segredo.' Esses números. enue·
tanto, for.un illeluídos no sL-s:temà numérico M tpoca d~ l)cscancs. sendo conhecióos como m1meros irracionais.
Até recentemente, 0$ mlmems m~gari, •os não eram pa.rte do sistema llu.mérioo. O oon«i1o de núme:ros negativos dcviu pu.roccr um absurdo para os homens. Entretanto. Hindus ml!dievais tinham um claro conhecimento
do significado de números positi\'OS e negtativos.u Etc:s também forom os primeiros a recon.hec.."tt a c:xistf nci.a de
quanli<.bdcs absolutaolente negativas.~ Os tràbalhos de 8ha.fkar ( 1114-1 185) em aritmética (~'lavam) c álgebra
(Bijogtmil) n4o apen..s utUb..avtun ()sistema decim.aJ. mao; lnmbém forneciam as regr.~s pam trabalhar com quantidades negativas. Bh.askar reconheceu que os números posilh''OS possuíam raúcs quadradas..' Muito tempo de·
pois. na Europa. os homens quedescnvolvcrum <.> sisu~ma bancário surgido em Florenç.;. e Veneza dt.•raote :t pat•
te final do Rcnuscimcnto ($éculo quin7.e) possuem o c•'édi(Ode a.presenw uma for1na rudimentut de números:
Gopynghted r1atenal
18
StNI\IS E SISTE.\W l.JNEARES
negali\'OS. A aparente subuaçJo absurcl3 de.7 de S pareceu ruzoá\·c.l quando os bllOqueiros oomeçaram a perrni·
ti r que os clientes retirassem ~te ducados de ouro enquanto que em suas contas bancárias ba\•iam upena\ cinco.
Tudo o que foi D«C:ssário para este propósito foi escrever a diferel'lça. 2. na coluM de débito do livro contábil.6
Portanlo. o sis•ema numérico foi mais umn \'eZ ampliado (generalizado) para incluir os números negath'Qs..
A adoçlio dos nlimeros negativos possibilitou a resolução de equações ~ais comox + 5 = O. a quaJ não possufa
solução. Apt!Sar disso. equações cais oorno :1 + I ;;;: resullando em I = - 1. ainda não passuíam soluçAo no
sistema de numeração real. Portanto. foi oecess«rio dermir um n(imero totalmente no\'o, cujo quadriKto fosse
igual a - 1. Durante o tempo de l>escartes e Newton. os números imaginários (ou complexos) se tomaram acei·
Cá\'eis oomo parte 00 sisu~mn de numernçkt. mas ele$ ainda eram oonsidemdos rumo ficção algébrica. O mace-mático suíço leoohard Euler i.nuoduziu a 001açlo i (pcara imaginário), nos idos de 1777. para representar J=T.
Engenheiros eletricistas utilizam a not~ão j oo lugar de i para evitar oonfus!kl rom a notação i geralmente uli·
litad:l para corrente elécricn. Portanto,
o.
P= - •
e
Essa nocação nos permite detenninar a rait quac:ltada de quaJquer número negativo, por exemplo.
N = ../4 X
,/-j = ±2j
Quando os números imaginários são incluídos no sistema numérico, os rnlmeros I'(Sultantes s!kl chamados
de rn1meros complexos.
ÜRIOENS DOS N úMEROS CoMPLEXOS
ironicamente (e nQ contrário da crença popular). olo foi a sol~ de uma equação quadrática, tal CQmo :I + 1
O. mas sim uma equaç3o cúbica com raí.zes reais, que tomou os números imt~.ginários plausíveis e aceih1veis
aos matemáticos. Eles podjam CQI\Sidernr -J=T como uma pura falta de senso qu.àDdo foi introduzida como uma
solução de; + I = O. pois esu1equ.1çSo n.!o possui solução real. M:t.... em I545. Gerolamo Carduno de Milão.
publicou a Ar:r Magna (A Ora,.de Arte), o mais lmporcante trabalho algébrico da Renascença. Em seu livro ele
propôs um mélodo p.va a resolução de umu equação cúbica genérica na qual a raiz de um nt.1mero negati\'0 apa·
recia em um passo intermediário. De acordo com o seu m6r.odo, a solução de uma equ~ào de cetc.eira otdem'
s.
x' + ax +b=O
é dada por
j
x=
b
fbl7
Por exe-mplo. para encontràl' a soluçlio de :l
tc:r ior para obtermos
X
1
b
fbl7
-2+V4+27+ -2- y4 +27
+ 6.t -
=</J0 + Ji'õ8 + </I0 -
20 = O, substituímos a = 6. b = - 20 na equaçiio an·
Ji'õ8 =,)/20,392 -
,)'o, 392
=2
' EMa cquaçlo é ooobecid:• come> equnç3u cclbica mltu:idlt. Umá equaç,IC) cúbica tc'U&ica
J'+pi+qy+r=O
pode ~I(H'e ~ ttdu1.ida a u:tllll forma c~Sbico reduli!b pcl;a s ••iu,Ii('i..:. de y • x - (pll). Porbnt(). qualquer equaçlc'> cúbica podt ser
r;:sulv'illa ~ SOOOm'IKIS a SOIUÇio da Cliblca rtduzid~ A nibico rcdot.ida foi redvida indqlendmli:mente, primein1
Scipiont del
rc-
Fcrm (14~1526) c~ ~(ka. por NiC\."'Oo fou•aBa (14\)9-1SS7). O illtimo t maiulonheciOO r111 hislóri;a dn mascrn:iai.:.r. alfll(l T:trlasJ:i;t.
OttdmMl aprendeu o sqrcttl• d:a soluç5o & cdbicao~ ~Ulldas de l'al1aglia. Elc.. t'Oiao. moslrou ~ utililando a suhslituiçic) y • :t (Ji/3). uma cóbica gt:nérica pode !i<'I re<buzidu t uma dibica rcdutida.
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CAt>rrt..'l.O R
8 AC;t<:QROONO
19
K:ul Friedrich Gauss
Úl·rolamo Cardano
Pode·.sc f:teilmcntc \•erificar que 2 rc:tlmcntc C soluçâ<l de ..? + (\.'1' - 2t) = O. Ma-., quando C:~rdano tcnlou
resolver a equaç~ i - 15.r - 4 ::: O I>OC' &~.13 fóm1ula. sua solu~-1io foi
O que Card;.tno fez com cs~.a cquaoçAo no :u1o de 1545';• N3quelcs dias, os nllmeros ncgativm ainda emm suspeitos c a rai1. quadrada de um número ncgath•o ern um absurdo .
Atualmente sabemos que
(2±jf=2±j l 1 =2±J-J21
Port.aJtlO. a fórmula dt Cart1ttnu re:ruha .:m
X=(2+j) + (2-j)=4
Podemos fucilmcnte \'CI'Íiic.-arque x = 4 é realmente unut solução de:? - I.Sx- 4 =O. Curdano Lemou ex·
plicar sem muito enul5i:t$mQa presença de J=i2T c nnalmcnte descartou toda atcnuuivn como sendo ··tão obs·
Cl,lr!l 'luanto sem sentido'". Em uma gcraçtlo po&terior, cntrctamo, Raphacl Bnmbclli ( 1 52~1573 ). :tpós cxami·
nar os resultados de Cõlrdano, propôs ~i t{lr os mlmeros imagiR.'lrios como um vcfculo ncccss.i rio que podcrin
lronsponar os matemáli\.~S da equ;)Ç~ c~íbica real paro sua solução real. Em outras pala\'ra._(;, apesar de começar
e temünar com números reais. \'Cll.lOS a neoessid<tde de nos movem.os pam o mm1do não familiar de im..-1gjná·
rios p<tra c.:.ornplew.r nossa jumada. P..tnr os znate.máticos da épOCa. e.o;t:~ PfOi>OM<~ p.·U'tCia imt~.·redita...-ehnetne es·
tr.mh::~.' Apes.v diSSó. des não pOdiam <k$catlar a idéia dos nltntoeros imaginários tão fncihnezue. pois seu C(,.,•
\.-eito resultava ntl .soiU\'âO real da .:quação. Foram nece..s.sários rnais de dois séculos para que a it'nportância total
dO!!; nUmcn)s coml)lexos se ldrnal)sc C\•idcntc IH)S tr:lbalhos de F.uler, Oaus.~ c Cmtehy. Mesmo :lSsim. Bombclli
merece o crédizo por reconhecer que tai$ númcro.s possufom um importante papel na álgebra.
Em 1799. o matemático alcm5o Karl Friedrich Ú:tlL-.s. no auge dos seus 22 onos.. provou um teorema fundamental da álgebra, no qual toda cqu.'lção ulgébrica de uma incógniLa possui uma rnii'. na forma dC' um nUmC'ro
complexo. Ele mostrou que toda equaç{lo de 11o.ésinw ordem possui exat:tmente '' sotuçilo (rnízes). não mais e
rtiio menoo. Gauss também foi um dos pl'itueiros á rOtrlecer uma cotteote análise de tulmeros comple;cos e a itl·
lcrpre.tá-loo oocno pontos no pl<tno complexo. foi ele quem apresentou o termo "números oomplexos" e ronnoo
a base para o uso geral e sistenl.-ítico, O sistema n u méri ~..-o.mai.s uma vez foi ampliado ou gene;~-aliz3do pilf'J in·
ctuir os. números imaginários. Os número,.. ordln6rios (ou reais) se tom;m\m um caso especial dos O\Ím.:ros gentralizOOos (ou c.:onlplt.x~) .
1\ utilíd<Jde dos núrnt.ros complexos pode ser racilrnente compreendida ;J.tr-a,•és da analogia eonl dois p.'Úses
X e Y \'ititthos. como apresentado 1\à Fig. B. I. Se quisemKl$ viaj <"rt-da cidade <t paro a cidade b (as duas no país
Copyngiltea rJai nal
20
SL'IIAIS E SISTEMAS LU.'EAR.ES
Pab.
X
-
-
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'
\ R(l(a
i altemoth\o.s
;
i
I
I
....
y
b
Figura B.l A utilização de números: complexos pode reduzir o ltabalho.
X) , o caminho mais curto i atràvés do país Y. apesar da jornada começar e tetmi.nar no paiS X. Podemos. se qujsennos, fn:zer uma rola alternativa que fique exolush•amente em X, mas esta rota alternativa seni maior. Na mutemálica temos si1uações similares com números reais (país X) e números complexos (país Y). Todos os problemas do mundo real podem COfl'te\'8! com mlmeros reais, e todos os resultados finais tamb6m podem ser números reais. Mas a obtenç!lo dos resultados será consideravelmente simplificada se utili1.annos números complexos como um interme<Húio. Também é possrve.J resohu qualquer problema dQ mundQ n::sl por um mélodQ ai·
temativo, usando apenas números reais.. mas tais procedimentos i.to aumeni.M desnecess:uiamente o trabalho.
8 .1·2 Álgebra de Números Complexos
O nOmero complexo (a. b) ou a+ jb pode ser representado graficamente-por uoo pomo cujas coordenadas cartesianas s§o (o, b) em um plano complexo (Fig. 8 .2). Vamos cham11r esse nt'imcro compkx.o de,::. tal que
~=á+
jb
(B.I )
Os números o e b (a abscí$$él e a ordenada) de ~ são a pane real e a porte inragindri<l. respectivamente. de z ,
Eles 1am~m podem ser expressos por
Rez=o
lm .t =b
Note que DC.'$te plano todOi os números reais permanecem no eixo horizontal e lodos os m1meros imaginários
pcrmancx:em oo eixo vertical.
Os números complexos também pOde ser exprtssó$ em termó$ de ooordtnOOas polares.. Se (r. 0) s:io as eoor·
denudas polares de: um ponto~ =a + jb ('·eja Fig. 8.2). e ntão
o = r t."'S (J
b=r sen (J
T
lrnagitlátlo
b
'
'
.....
-b
•
(I
Real ~
'-....... '•
''':.j z:•
Figura 8.2 Representaçlkl de um nOmero oo pl:mo comp1c:xo.
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t ==o + jb == r cos (} + jr sen 8
= r (cos {} + j sen b)
( 8 .2)
Aj6nnula de Eull!r afinna que
elB ::::: cos fJ
+ j sen O
Parn provar a fórmula de EuJer. utilizamos a sétie de M3claurin para e~pandir ?. ros Se sen 8:
( 'O)'
CO)' CO)' CO)'
e'' = I + 1'O+ COJ'
.J__ + .J__ + .J__ + .J__ + .J__ + "·
2!
3!
4!
S!
6!
81
{}3
(/4
8) 86
= l + j 8 - - - j - +-+i---_,,
2!
3! 4!
5! 6!
1
6
0
o.. 9 B'
cosO= 1 - - + - - - + - ···
2!
03
4!
9)
6!
81
3!
5!
7!
8!
sen8::0- - +- - - + ···
1!;.
= oos 9 + jsen O
(8 .3)
Usando a Eq. (13.3) em (8.2). teremos
z =a+ jb
= re-1'
(8.4)
Portanto, um número oomplcxo pode sete..Kpresso na fomu Canesian."' a+ jb ou na forma polar rt", sendo
a= rcos8.
b=rsenO
(B.S)
<
r=Ja!+b:.
(} =
can·'(;)
(8 .6)
Obser.-e que ré a diM!lnci3 do ponto la origem. Por est;t raz5o, r 6 chamado de ntddulo (ou tVJlorobslJfutQ)
dez. sendo represent.ado por Iti. Similannente. 9~ chamodo de ôngulo de .c; e representado por Lz.. Portnnto.
I' I= r.
L;; = ()
e
•.. - 1•1·
. .1L:
(8.7)
(8.8)
' Pode JU mastNK!o que q!Wldo imp!lfllM M Jejj.uinto trb proprie<bdl'll ~ji•;ei.!o p11r11111 eAponencial ,;, onck t
cooctu.., q~~~e e1' • ~ y +i kn y (equuçilo ck Euler). Ar. propriodlldes $lo:
I. i Ufnl funçAI)dc vnlor tlntcoe O!».lfticl de t.
2. dildt = ~·
3. r~· reduzida para~ kl y = o.
•
x + jy. éhlo.g:U'IIO$l
r
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22
S I}{AtS E S ISTEMAS LL~EA.RES
CoNJUGAOO DE UM NúMERO COMPLEXO
Define-se: .c:·, o conjugado ck l = a+ jb pt.Jr
z• =a- jb =
re -18
(B.9a)
= lz.le- JL:
(8.9b)
A rept'('scmaçl\o gr:iftea de um número te seu conjugado z·é moslr.ld.'l na Fig. 8 .2. Observe que z· é uma im:~gem
reOetida de .c: com rek1çOO ao ei.xo horizontal. Aua dl!.femrinllr o cmrjllg(lrdt> d~ qmr/(JIU'r m1mero. prt!d samos upe·
1ta.ç substimir j por- j 1to mlmero (sendo o mesmo que a!temr o sinal de scu ânguk>).
A soma de um número complexo com o seu coqjugado é um númcR> real igual a duas vc1.es a p:ute real do mímcro.
'+ z' =(a + jb) + (a - jb) = 2a = 2 Re,
O ProdutO de um ndmero complexo t
( B.I!la)
pot seu conjugado é um m1mero •-eaJizl:. o qu3drododo módulo do nllmero:
« ' = (a + jb)(a - jb) =a' + b2 = lzl'
( B.I ~)
COMPREENDENOO ALGUMAS IDENTID.,DES ÚTEIS
No plano complexo. r? representa um ponto a urn.a distância r dà origem e 4:orn um ânguk> Odo ei~~;o horizontal. como mostrado na Fig. 8.3a. Por ext'mplo, o número - 1 c:stá a uma distância unitária da origem e possui um
ângulo ;r ou - tr (de fato, qualquer máhiplo ímpar de ±l'r), como \'i~o na Fig. 8.3b.
Por1an1o.
de fato.
t! i;JIIJf
=-
I
n inteiro (mpat
( 8.11)
O námem I , por outro lado, tarnlx:m está u uma distância unitária da origem. mas JXISJ;u.i ângulo 2>'f (de fato.
± 2111T, pa.ru q ualqUt'r valor inteiro de n). Ponnpnto.
11
inteiro
(8 .12 )
O númc:roj está a uma distând.a unitária da origem e seu ângulo é ;r/2 (veja Fig. 8 .3b). Portanto.
Simil;umente.
e-J:ofl
= -j
e1:.l•J'l
= ±j
logo.
r
(8 . 13a)
,,.j/1
lm
j
'
•
•
R<_.
- I
-·
t
lm
•12
Re. ~
-j
{o)
{b)
}~igura H.3 Compreendendo algumas idemidndes úteis em termos de ,..~.
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CAl'fnJLO B
BAC!<OROUND
23
De (mo.
n = I. 5. 9. I J. •••
n=3,7, 11 , 15, ...
(B.Ilb)
ESUJ. discussão mostra a utilidade do g:rálico de r?. Esta figum também ~útil ~m várias outras aplicações.
Por exemplo. para detenninar o Limite de i 0 ... ;...11. quando r - oo. observaroos que
~l'll+fMt
Agora, O módulo de
r
=
~~~1 1>11
é uoit~rto, independente do valor de wou I, pois ?*= ~com r= I. Ponanto, ~·
detennina u oompon.an~n to de e1" •
/11111.
quando t .,... ex:> e
(B.1 4)
Em futuras discussões. você irá descobrir que é muito Util le mbtar ~ como um número a distância rd3 origem e com ângulo 8 do ei.xo horizontal do plano complexo.
UM AVISO SOBRE A UTIUZAÇÃO DE CALCULADORAS ELETRÔNICAS NA DETERMINAÇÃO
DE ÂNGUlOS
A partir da fonnn Cancsiana de a + jb. pode mos fuc ilmente determi nar a forma polar ~ (veja A Eq. (8.6)].
Calculndoras e letr6nica5 fornecem uma t.'OO\'ersão fáci l ds forma reumgular para a polar e vice ve-rsa. En-
tretanto, se uma calculadora calcular um ângulo de "m námcro complelCO usando a função trigonométrica
inversa 8:: tan -'(b/a). deve-se tet uma ateoç.ão adequada com relação ao quadr:uue no qual o número está
localiz.ado. Por exemplo, O correspondendo ao número - 2- ]3 é •an - •(-3/-2). Este resultado nllo é o
mesmo que (an "1(3/2). O primeiro é - 123.J+. e o segundo é 56.31). Urrw calculadora ell!trônic-.a não pode
faze r esta distinção c pode fornecer uma respo.stól oorretól apenas para ângulos no primeiro e quarto qundran·
tes. Ela irá entender tan _,( -3/-2) ro•no tan -'(3/2). o que está clarameme errado. Quando \'ocê estiver determinando funções trigonométricas inversas, se o ângulo estiver no segundo ou terceirO quadrante ares.
posta da c:ulculadora estará desi0<.':1Kin de 1800. A respostu correta é obtida somando ou subtraindo 180' do
valor encontrado pda calculadora (n SQma ou subc~ resultará na resposta correta). Por CSJi.3 razão, é de·
sej á\·el que \'ocê desenhe o ponto no plano complexo e determine o quadrante no qual o ponto está. contido.
E.o;ta dica será melhor excmplific.uda pelos seguin1es exemplos.
Determine os seguintes m1mcros na forma polar:
(a ) 2 + j3
(b) - 2 + j l
(<) - 2- J3
(d) I - j3
(a)
1•1= / 2' + J' =
Ji3
,, = •••-· m= s6,3"
Neste caso. o nOmero es•~ no primeiro quadranle e a c-..tlc.uladora irá fomece:r o vaklr correto de 56,3•.
Portanto (\•eja Fig. B.4a), podemos escrever
2
+ j3 = JiJ<'"·'
(b)
lzl =
V(
2)' + I'=
./5
tz
=,••-•C,l = 153,4'
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24
SI.NAIS 6 S ISTiiMAS LINEARES
Neste caso. o ponlo C$UÍ. no segundo qwtdrante (~ja Fig. 8.4b) e, portllnto. a resposla data pela c:alcu.ln1
dora, 1an - (1/ - 2) = -26,6.. está deslocada de 180". A resposta correta é (-26.6± tsor = 153.4° ou
- 206.6... Ambos valores esdto corTetos, pois eles representam o mesmo llngulo.
I
I
lm
lm
' 6·-· -·-·! 2+f)
4U
i
'
56.)•
- 2 ... j l .
i
_,
2
,.,
"'
1
'"'
(d )
'"
Figura 8.4 Da rorma C:trtesiana para a forma polar.
é uma pnitica comum C$Colher um ângukl çujo valor numlrlt.-o seja meoor do que 180". Esse tipO de ..-a~or é
chamado de mlor prind p<d do ânguJo. o quaJ, nes~e caso. é 153,4... Portamo.
-2 + jl =
Jse''"'''
(c)
lzl =
V(
2)1 + ( 3)' = JTi
lz = >an
' (::J =
-123.7'
Neste caso. o iingulo está no terceiro quadrante(veja Fig. B.4c) e. port.àntO. Aresposta obc.ida pelA calcu·
looom (1an -•(-31- 2) S6.30j es» deslocada de 180'. A respos1a correta t (56.3 ± 180r 236.3• ou 123,7°. Escolhemos o \'alor principal - 123,,. tal que (veja a lig,. 8 .4<:).
=
=
-2- j3 =
JTI..-,m.>
(d)
kl = /P + ( 3)' = Jiõ
Lz
= tan-• (=;I) = - 71.6'
Nesu~ caso o ângulo está no quarto quadratne (veja Fig. 8 .4d) e. ponanto, a resposta dada pela calculadom. um - 1( - 3/ 1) = - 71.6° esta oorrtt., (\'eja a Fig. 8 .4d):
I - j3 =
./j'"""jN-i'L6'
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CAPiTULO n
B.M:'KoROONo
25
EXEMPLO DE CO MPUTADOR Cll . l
Usando a função cart2 pol do MATLAB, converta os scguinles números da fonna Can esiana parn a forma polar:
(a )
(b)
' =2 +3
' =- 2 +j 1
(a )
>> ( z_rad,
>> ~_dog •
z _mAgJ • c•rt2pol(2,3 l :
z_rad • f l&O/pi) ;
>> diepf( ' (a} z_mag • •, numlstr( t_mag), ': z _rad • • , num2str (z _rad) , . . .
>>
' ; z_deg • •, num2str(z_deglll;
(a) z_mag • 3 . 6056: z _rad • 0.91279: z _deg • 56.1099
Portanto. .:= 2 + }3 = 3.605~19 = 3.605&-~»W
(b)
>> (z_rad, z_mag]
cart2pol( 0 2,l);
>> %_deg • z_rad • (180/pi);
>> disp(l ' (b) z_mag • • , num2~tr ( z_mag), •; z_r•d • • ,
>>
• ; z_d•g • • , num2etr(z_degl]);
(b) z_~g • 2.2361; z_rad • 2.6779: z_deg • 153.43t9
Punan1o, ~ = - 2
+j l
~
n~2$tr(z _r•d },., ,
= 2.236J~m = 2.236 1r.'UlA~
EXEMPLOB.Z
Represente os segu.imes mlmeros no plano complexo e expcesse-ôS nu forma Cltrtesiana:
(a) 2e,_,l
(b) 4e .,1.-4
(c) 2e~2
(d) 3e ·il:o
(t )
(I)
2e"'
(a)
2?" = 2(cos "'3 +i sen "13) = 1 +i j j
2e -i'"
(veja a Fõg. B.5a)
(b) 4t' -~,.... = J(oos 3Jtf4 - jsen 3Jtf4) = - 2./2 - )1 ../2 (\•eja a Fig. B.Sb)
{c) 2~ = 2{cos rrf2 + j scn trf2} = 2(0 + jl) = j2
(d) 3e _,,,
= 3(cos 3" -
j sen 3")
(veja a Fig. 8.5c)
= 3(- 1 + }O)= - 3
(veja a Fõg. B.5d)
=3(oos 4;r + j sen 4:r):; 2(1 +}O) • 2 (Vej3 a Fig. 8 .5e}
2e -f'" = 3(cos 4n - j sen 4JT) =2(1 - jO)-=; 2 (Vej a a Fig. B.Sf)
{e) 2ei-l•
(I)
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SINAJS fi S~IOIAS Lll\EAR6S
26
t
......
f
""
'"'
_lJ!
'
4
2
<•l
(b)
f
.f.
lm
'h~""- j?.
•
T
......
....
(c)
(d)
f
f
lm
lm
.•.
.
.....,,...._
.....
z..-~·-
2
(r)
(<)
Figura 11.5 Forma polar paru a fonna Cartesiana.
EXEMPLO DE COMPUTADOR C B.2
Usando a funçJo pol2ç<tre do MATLAB, converta o número : = 4~-J-w•> da fonnn polar parou fonna Car-
1esiana.
>>(~_r$al , z_ i~g) = pol2çare (-3 •p i / 4, 4 ) ;
disp ( (' z_real = ', num::astr (~_r$al ) , ': z_iffl<'g •
z_ real = -2.8284: z_ imag-= -2.8284
num2st~(z_imng)J):
Ponanto, t • 4e·»"'') ,.. -2,8284 - ]2,8284.
ÜPERAÇ0ES ARITMÉTICAS, P OTENCIAÇÃO E R ADICIAÇÃO DE NúMEROS COMPLEXOS
Pàra executar a adiçâo e a subttaçâo, os números complexos devem e:stat expressos nn formn Cartesiann.
Portanto. se
z1 = 3 + j4 =
5em.r
e
" ~ 2 + j3 =
./iJei''"'
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CAt>fruLó B
BACKOROIJI\1)
27
Então
,, + ,,
= (3 + j 4) +
(2 + j3)
=5+
j7
se ;:1 e :::1 estão na forma polttr. p~cilwmos oonvertê·los para a fonnu Canesiana pam podennos M>má· los (ou
subt.raí·IOS). A multiplicação e divisão. entretanto. podem str ex.eeutadas tanto na fonna Cartesiana quanto na
fomw. polar. op<.-sar do fonna polar ser muito mais conveniente. Isso ocorre porque se ;:1 e .::z csti\'erem na forma
polar como
•
- 'I"'
.,)(11
..._,-
(8.15al
(0 . 1Sb)
Além disso.
(8 . 15<)
e
(B.I Sd)
Isso J»>St.r..\ que as opetações de muhiplicação. divisão. potenciação e mdje-iação podem serefetuadols de ma·
neiru consideravelmente simples se. os números esth·e-rem na formo polar.
l!s.uitamente falando. existem 11 \•afores para :."" ( com tl·ésimas raizes de z). Paro de(crminar toda.o; us '' r.ti·
l.CS, rccxaminamos a Eq. (8. I Sd).
k=0. 1.2 . .. .. 11 -
1
( 0 . 1Se)
O V3)orde :l"' dado pelo F.q. (8. 15d) é o mlor prim•iplll de :.lf". obtido otr:wês dan~ima rniz do valor prin·
cipal dez. corrcspondend(l ao <:aw de k = On.:. Eq. ( R. ISe}.
EXEMPLO 8 .3
Determine ;:1 .C: e .;:1 I;;! para os números
+j 4 =
,, = 2 + j3 =
.:, = 3
Se-1'-J·•
Ji3..1"-!
Nós devemos resolver este problcmo tamo na formo polar quamo na forms Can csians.
MULTIPLICAÇÃO: FORMA CARTESIANA
, ,,, = (3+ j4)(2
+ j3) = (6- 12) + j($ + 9) = -6 + j l7
MULTIPLICAÇ'ÁO: FORMA PoLAR
.::,.::: = (5f"'s'·' ){ li"3t·'s',~) = sJiJ._.,.(IO...
D tVJSÁO: FoRJ.tA CAKI'EsiA,"'M
.!.1
3 + j4
:;=2+j3
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28
SlNAIS E SISTEMAS L.o<.."EA.R6S
Páta elimin.ar o número oompJexo no denominador, multiplk-amos tanto o numerador quanto o dmomi·
nador do IOOo direito por 2 - j3. ou seja, pelo conjugado do denominador. Isso resulta em
,,
(3 + j4)(2
-=
,,
(2 + }3)(2
- j3)
18-jl
= 22 +32
j3)
18-jl
=
13
18
. I
=13 -'13
Fica claro a partir deste exemplo que a multiplleaçli.o e divisão são mais fáceis de serem detc:rminadss na
forma polar.
Para z,
(a)
=
2~ e'::: 8rpn. decermine:
2t, - t,
(b) 1/z,
(<) Z/t~
(d) ~
(a) como a subtração não pode ser execuwla din:tamente na forma polar. precisamos converter z e z
'
Cartestana;
·
I
2
para a 10nn11
2( oos ~ + sen ~) • ../i+ j~
ll =8ei•J3 = s( CóS~+ jseni) = 4+ j4v'3
1
'' :: ;u/" • : :
j
Portanto.
:I<o- Z2 = 2{../2 + J./2) - (4+ j4J3}
= {2../2- 4)
=
+ j(2../2- 4J3}
-1 ,17- }4, 1
(b)
I
I .,.1,
-liI :: -=-e-'
2e'"'~
2
(<)
~
_
d-
"~.C-i•t•
_
,_;,.,.s
-~:·
_
I
I
-e'~fi-':.I'J) _ _
(lkl•fl)Z - 64eJ2af3 - 32
-J(it'Jil)
- 32 e
(d) Existem três raízes cúbk.as de ~·= ~ • l'ilt'l. k = O, 1. 2.
.y;; = zJ') = (Se-iLTil+lTA') '" = g•J)(e.IH'.duv.'l)'n = ~·n. 'U""". 2e-''1a"
O valor principal (valor correspondente a k = 0) ~ 2~'119
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CAPil \ILO 8
8 ACKOROUND
29
EXEMPLO DE COMPUTA DO R CB .3
>>z_l • l + j •.; ; z+2 • 2+j ~ );
:»z_ lz_2 • z_P z_ 2;
nzld.in_2 = z_l/ z_2;
>>disp f ( ' z_l • z_ 2 = •. num2str(z_ lz_2) . ': z_ll z_2 ' •, num2str (z_ldivz_2) ) ) :
z_1•z_2 =- 6 + 171; z_l/ z_2 = 1. 3846 - o.076923i
Portaruo. z, z,; (3 + j4)(2 + j3);
- 6 + j l1 e '• I;.,; (3
+ j4)1(2 + j.l); 1">486- j0.076923.
Considere X(lQ) uma funç.io complexa de uma variável rcsl w:
2 + jtu
+ j4w
3
X(w) ;
(a) Oe1ennine X(w) na forma Cartesiana e decennine sua pane n:al e imaginária
(b) Detennine X(w) na forma polar e determine seu módulo IX(w)l e seu ângulo X<w).
(a) Para determinara ,,ane re::~J e imagjnária de X(<v). deYcmos elimjnar os rennos imaginários do dc n~r
min:tdor de X(w). Pode-se focilmente eliminá-lo rnultjplicando tanto o numetadorquamo o denominador de
X(w) por 3 - j4llJ, o conjugado do denominador 3 + j4w, cal que
X(w) ;
(2 + jw)(3 - j 4w)
(6 + 4w') - j 5w
6 + 4w'
. 5w
(3 + j 4w)(3- j4w) ;
9 + 16w'
; 9 + 16w' - ' '9"+7}
Esta é a forma Cilt'lesian.-. de X(w). O~M ..se facilmente Qlle a pane~~ de
são dadas por
-5<u
e
x ,(w) ;
im~in.:tria. X,(w)
e X,((v).
9 + 16cu'
(b)
X (w) ;
2 + jct)
;
3 + j4w
J4 + W ~J un l.;.m
./9 + 16(1)1 eJ..,.
'(4oo/ ll
Estn ~a represtntãç.ão polar de X(w). Obser\•e que
{4+:i"
IX<wJI ;V~
l X (w)
= tan "' 1 (~)- t<ln "' 1 (~)
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30
SINAIS E SISTEJ.tAS LINEARES
LoGARITMO DE NllM~ROS COMPU!XOS
Temos que
+ log:2
(8. 16a)
log Zt - log t ?
(8 . 16b)
log("•:V = logt,
log(Zifl'l)
=
(B.l6c)
(8.16d)
(B.l6c)
Se
k
=o. l. 2. 3....
então
In := ln (reil:it bl))
= ln r:l:j(O +2nk)
O \'alor de l.n: para k = Oé chamado de mlr>r principal de In
In I = ln( J t>*..itT~) = :l:j2rrk
k =O, I. 2. 3.. ..
.z, sendo representando por Ln :.
k =O, 1, 2, 3 • ...
ln(-1) = lnlle''',.."l = ±j(2k + l );r
(8. 17a)
k = O. I. 2. 3. ...
k=0. 1.2.3.. ..
k
(B. l6Q
=o. I. 2. 3.. ..
(B.I7b)
( B.I7c)
(B.I 7d)
Em todas essas e.x.pressões. o caso de k ::~ O~ o valor principal da expressão.
B.2 SF.NÓIDES
Considere a senóide
X(r)
= Ccos(211'/o1 +8)
(8 . 18)
Sabemos que
cos lfJ = cos ('P + 2mr)
"=o, :1:1.:1:2, ±3....
PMaruo. cos rp se repete a <.1\dà mudança de 2JT do ângulo 9'· P'oU""d a sen6ide da Eq. (B.IS), o ilngulo 2nfrJ +
()é alterado de 2.if quando t "ariu de 11/o- Claramente. C$Sil sen6ide se repete a cada lifo seg.undos. Como rcsul·
lado. exis tem/o repetições por segundo. Essu é ujrt!qiiência da senóide e o intervalo de repetição Ttl dado por
To= -
I
lo
(8.19)
é o perirxlr>. Parn a S('nóide d.a Eq. (B. J8). C 6 a amplillldt>.f0 é afreqtUttcia (em benz) e 8 é u fuse. V3mos con·
siderar dois casos es.pociais da sen6ide quando 9 = Oc 8 = - rrfl , mostrudos a seguir:
(a ) "1') = C cos 21f/J
(9 = 0)
(b) ~1) = C cos (2n/<J - rr/2) = C sen Znf<J
(9 = - rr/2)
O ângulo ou a fase pode ser expresso em unidlldes de graus ou rndianos. Apesar de radianos ser uma unida·
de adequada, neste livro iremos uüli.zat freqOememetne a unidade de.gnau.s pOrque os estudantes. geralmente,
possuem um melhor sentimemo pat'll valores de ângulos expressos em graus do que em radianos. Por exemplo,
re.Jll.c ionarnos melhor o ângulo 24., do que 0.4 19 radianos. Lembn:.· se. entretanto, quando em dúvida, ut ili?.e a
unidade de radianos e. adm.a de tudo. seja consis(ente. Em outras palovms. em um dado probfema ou expressão,
não podemos mlstur.tr as duas unidades.
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CM•frut.o B
BACKGROOND
31
É con,·cnicme uliliz.ar a variá\'el (t/o {frcqoênc1a angul3r) p.va expressar 2rr.J~:
= 2rr/0
%
c()IU
( 8 .20)
esta notnçüo, a senóide da Eq. (8.18) pode ser expressn por
x(l)
= C <'OS(""" + 0)
n-a qual o perfodo T0 é dado por !veja :as Eqs.(8 .19) e (8.20)1
I
2rr
To= =wo/lrt %
(0.2la)
2rr
(tJCj
= -
(8 .2 l b)
'10
Emdiscussões fUwr:as. gemlmcmc utilizaremos w" oomo freqt!.ênc-i:t do sinal oos ((~ I + f/), mas deve cs•ar c l:t·
n:. que a freqüêncin de..;;sa senóide éfo Hz (4 = wJ2te) e «'o é n~ realidade a freqüência angular.
Os sinais C <:.os WJ e C sen wJ c:stfio mostntdos na f'ig. B.6a e ll.6b. respocth·amc:nte. A sc:nóid\! gené'Jka C
cos(tJJJ + H) pode ser rapidamente rascunhadn deslocando o sinal C cos tJJJ do Fig. U.OO pelo totalnpropriado.
Considere, por exemplo,
x(t )
= C cos (wt,l
- 60 )
Esse sinal pode ser obcid() deslocando (atrasando) 1.) sinal C cos WJ (Fig. 8 .6.1) para n direit:. corn uma fase
(á:nj!ulo) de 6('1', Sàbeftl()S que a se•'óide execut<"t uma mu d;~nç~ de f:t.,_IOe de 360" em um ciclo. Um quano de ci·
elo corresponde a un\a mudanç.a de ângulo de 90"'. Pona.nto. deslocamo~ (;Jtr;ts.a_.nos) o sinal da fil!. 8 .00 pot'
dois tC-TÇos de urn quarto de ciclo para obter C oos<av - 6Cr). como mostmd~ na. Fig. B.6c:.
Observe (JlM! se atrasaJJl()S C cos ('+/da. Fig. 8.6<.1 por um (Jl1<u1o de ciclo (ângulo de 90* ou ;r/2 rJdi;u.os). obtemos o sinal C sen w,~. mostrado n:• Fig. 8.6c. Isso n.·rilk a a bem roohedda identidude trigonométrica
C cós {~ -
1r /2)
= C St.n Wo.JI
(8 .22;o)
Ahcrnativamcme, se :wa.nçannos C scn Wt,l por um quano de ciclo, obtemos C cos <<JJ. (X>I"tanto.
Cstn (r4._!/
+ rt/ 2) =
Cct~ illol
(ll.22b)
Esst~ observaç!l.o implica. que sen w.1 esa:11 atrns.i•dt.-. de c~lS (IJJ por 9<r (;rfl r3{1i:mos) ou cos 'fJJ está :.diólnW·
do de sen w,l por 90",
8.2· 1 Adição de Senóides
Duas senóides com a mesma freqüêcl(;itt mas diferentes ângulos de fase se somanl par-.:. romw uma única senóide
de mesma fn:qüênda. Esse l'ato é (adhncnlc l'Ufnpru\'ado a JXII1Ír da bem L"OOhc."éida identidade trigonoméllka
C cos (wot + 8) = Ccos (J
=
C()."
fl C()S (CitJ/
'tJo' -
Cscn (J scn tl)ot
+ /) SC ll (IJul
(8.2);o)
na qua l
11
= Ccos O
b= - CM"n 0
PQn.amo.
( B.2.1b)
(8.23<)
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c
-r.
To· -loI - 1v
-..,
c .... "<>'
-r.
To
T
T
o
,_
To
<•)
CIICI'l~
C ·· - ···--···-
- To
To
T
T
,_
{b)
c
-•
To
(c)
FI&UJ'8 8.6 Rascunhando uma senólde.
As equações (8 .23b) e (B.23c) mostram que C e8 são o m6du.lo c o ângulo, respa.:tivamente. de um número
complexo a - jb. Em c~nra\ pala\'ras, a - jb = «". Ponanto. para dccenninar C e 8, comtenc:mos a - }h para a
fonna polar e o módulo e ângulo do m1mero polar resultante será C e tJ, re:spectjvamente.
Resumindo,
o cos Wo' + b sen wot : C cos (wot +O)
(8.23d)
na quaJ C e 8do dados pelas Eqs. (8.23b) e (B.23c), respectivamcnle. ~es nómcros, por sua vez. sio o módu~
lo e ângulo. respoctivamente. de a- jb.
O processo de udiçio de duas senóídes de mesma freqüência pode. ser me-lhor explicado usando fasores parú
rcprt$entar as senóides. Representamos a senóide C cos (~ + tJ) por um fasor de comprimento C e ângulo()
oom o eixo horiz.ontaL Claramerue. a senóide a cos %'i represe.n1ada por um fasor horizontal de tamanho a (9
= 0). enquanto b sen w.; = b oos (Wt; - Rl2) é representado por um fasor vertical de camanho b no ângulo nn. com a horizontal (Fig. 8.7). A soma de~~.SeS dois fà.SOres resulla em um rasor de tamanho C e no ângulo 8.
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CA.PtrULO B 8ACKGROC~.'D
33
~omo moscr;.\00 na Fig. 6.7. A partir déSia figura. e.ompr(wamos os \'alores de C e Odecenninados pé las Eqs.
(b.23b) e (8.2k). respx-ti vu.men1e.
T
lm
"
Rc~
-h
figura 0 .7
Adiç-ão fasorial de $Cnóidcs.
l)e\'C·.SC ler um cuidado especial na dc1crmin:.çlo de(), romo c.xplicado na p:tgin.:t 24 <Um Aviso sobre a uli·
liz:~çJo de Calculadorns Eleuônic:as ''~ Decemlin:·IIÇ5o de: Angulos}.
EXEMPLO 8 .6
Nos casos u seguir, expresse x(t) como uma única scnoide:
(a) x(1) = cos iJV - - ./3 scn Wof
(b) x(l) = - 3 cos 4.V + 4 sen WJ
(a) Neste caso. a = I, b = e -
JJ. das f.qs. ( B.23)
C=
l •' +(J3)'=2
(} = l.an- • {
X(l)
~?) =
60
= 2 COS (Wt>l + 60 )
Podemos \'erilic.·.ar este resuhado d($('.nh<JOdó \m fasores C:ófJ'('spondénh!S tis duas st1l6ide-$. A s~noide cos
~»{/é rcprc.."CnlacL'l pelo fa.sor de comprimcn1o unicãrio llO 5ngulo 1,cro com a hori"ZOfll.:tl. O fasor scn 'àt/ é rc·
presentado pelo fa.sor unhário no ângulo de - 9Q'> c.Xln• a horiwntal. Portanto. - ../3 sen Wrl é represenwOO
pelo fasorde comprimento- ./3 em9(Y com a horiw m:l.l. como mostra do na Fig. B.8a. Os dois faso•-es som:Kio.<> resultam em um fasor de oomprimcnlo 2 em 6ít com a horiumtal (também mostrado na f.'ig. B.8a).
I
T
f
lm
-3
'"'
··~
... ' "........... - 4
(o)
(b)
Figura 8.8 Adição t'asoriol de scnóides.
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34
SlNAIS E SISTEMAS UNEAR.F.S
Altemati\•amente, observamos que a - jb = I + j = ~- Portanto, C= 2 c8 = Trl3.
0~ que o des locamento de fase de ±x resulta na multiplicação de- I. Portanto, x(t) também pode
ser expressado. altemati\'amente, por
.t(t)
= - 2cos("'>' + 60"± ISO")
= - 2 cos ("'>' - 120')
= - 2 cos ("'>' + 240")
Na prática, o valor principal, ou seja, -12tr 6 preferido.
(b) Neste cllSO, a= - 3. b = 4. e das Eq•. (8 .23), teJOOS
c= v'<-3)' + 4' = 5
e= ...-• (~) =
- 126.9'
Obsel'\·e que
...-• (:j) # ... -• (j) = 53. 1•
Ponruno,
x(t)
= Sc:os("-'lt- 126,9')
Este resultado é focilmente \•cri ficado no diagrama fasorial da f ig. B.Sb. Altemati\•amentc, a- jb = -3
- j4 5e .,.,.•. logo. C= 5e8= - 126,9•.
=
E XEMPLO D E COMPUTA DO R CB .4
E.xpresscf(t) = -3 cos (w.,t)
+ 4 sen (UV) como uma ónica scnoide.
Note que a oos (â\)1') + b sen (~) = C cos (CtV + tan"' (-c/a)). Logo, a amplitude C e o ângulo 8da scnoide
resuhante slo o módulo e o l ngu.lo do odmero comp~xo o - jb.
1
>>a c -3 ; b=4;
» !theta,C) = ca.rt:iplo(a, -b) ;
>>theta_deg = (18 0/p i) • theta;
>>diep (I' c = •, nW'I'I2etr (C) , • 1 t .heta = • . n\1!'12etr (theta} .. . .
»
': theea_de-g = ', num2strCtheea_degl )) 1
C • $; theu • -2.214 3; tbet-$-_deg • - 126 . 8699
I'Mruno,f(r) • - 3 oos(w,r) + 4 sell(w,t) = 5 CO<(w,t -2.2143) = 5 oos(w,r - 126.8699").
Podemos. tam ~m. e-fetuar a operação inversa. expressando
x(t ) = Ccos("'>' +8)
em 1e:rmos de cos w,; e sen wq onravés cW identidade 1rigonomé1rica
C cos (Wo' +O)
= C cos 8 cos ruot - C sen 8 sen ruot
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CAP!rVL.O B IIACKOROOND
35
Por exemplo,
IOcos(~- 60' ) = S<-os Wot
+ SJ3,.n wot
8.2-2 Senóides em Termos de Exponendais: A Fórmula de Euler
Sen6ides pOdem ser expre.ua.s em lennos de exponcndui.s utiliua.ndo a fórmula de Euler [\'eja a Eq, (B.3)J
I
.
cos fP = - (el" + e-1~)
(B.24a)
::: ~(e,. -e· 1•)
(B.24b)
2
sen rp
2
A inversAo dessas equações resuha em
ei• = cos rp + j SA!-0 rp
e· l• = cos rp - ) sen 11
8.3
(B.2Sa)
(8.2Sb)
R ASCUNHANDO SINAIS
Nesta seção. iremos discutir o ruscunho de alguns sinais útei!i. oomt'çando com t1 exponenC-ial
8.3-1 Exponenciais Monotônicas
O sinal e-· de<:ai monotonicamente. e o sinal e• cresce nk)Oó(onkamente com t (assumindo a> 0). como •nos·
trado na Fig, 8.9. Por questões de simplicidnde. irtmQS considerar uma expooeodal e·• começando de t =O,
como mosttndo n.a Fig. 8 .103.
••
,_
o
o
( b)
(•)
Flgura 8.9
,_
~ponenciais moootõnicas.
~-"' M(.l )
~ W 0..)7
~a 0,135
o
1
J.
,_
•
•
(1)
0.133
o
o.s
,_
( b)
Figura 8.10 (a) Rascunho de e-. (b) Rascunho de e-:.-.
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36
S I.SAlS e S ISTEMAS LINEARES
O sin~J tt•' I>OSsui v;~ Jor llllit:1rio l)ar.• 1 ;;; O. P'Jr.l t • 1/tJ. o valor cai par;• 1/e (upro~ i madam<:.nte 37% cJe sel•
va.lor inidaiJ. t.x»oo rnostr.-do na Fig. B. IOa. E!>te intervalô de tempo oo qual a exponencial reduz por um fatOr
e (i.sto é. t.·.ui para :.pro:\Ímadamente 37% de Seu Y.tlór) é c hamado dt' consumte dtt tempo da exponencial. Por
lnnto. o c:onsuwte de tempo de t!..,., é lia. Observe que a t'Jtponcncial é reduzida paro 37% de seu vulor in icial para qualquer intervalo de tempo de durnçõo 1/a. f..~t c fato pode ser mostr.tdo considcrando se qualquer conjunto
de in.stamcs r1 t: ' : scpamdos por uma constanlc de tempo, tal que
4
4
I
1! ' - I J
=n
Agoru. a r.11,iio de t!-z paru e • • é dada por
Nós podemo~ utilizar este fato para desenhar rn&,idamente <I e-xponencial. Por exemplo. ('Onsidcn:.f(l)
= ~ -21
A constante de tempo deste caso é 0.5. O valor de .-·(I) p3m1 = I. Paro 1 = 0,5 (umn consranle de tempo). o
valo r de .l"fl) é 1/c· (aprt.)xim ndamcn~e 0 .37). O '':;\lof de .t(r) comi.nua c;~jndo po•· um r:uOC' de 1/e ( 37%) a cada
intervalo de tempo de meio ~undo (uma constante de tempo). Ponanto, .t(IJ par;J 1 :s I é< 1/t')l. Continl1ando
de!.ta t'unna. olbc.tv.unos que .t(l) = ( 1/e) \ pam t :::: 1.5 e assim pór diante. O c:onhedmento dos \':\lores de x(l)
parn t = 0: O.S: I e I.S nos pcnnitc tr.-çar o sinal desejado como mostrndo no Fig. H.IOb.'
l>:tru a exponencial moncnonicamcntc cres<."t'nte e• . a forma de onda aumenta por um fator e a cadn inter\'alo
de 1/u segundos.
8.3·2 Senóides Variando Exponencialme.n te
Agora. di.scutin:mos como traç<•r um.a sen6ide com variação cxpóncncial de amplitude
,\"(1)
= Ae-.1 cos(wor +0)
(8.26)
Vamo..; <:onsiderar um exemplo específico:
X(t)
=
4t! -2t COS (ÓI -
60 )
(8.27)
Dc\'cmos lrliÇtlr 4e ~ c cos(6t- 60") scparOOamcnte e. então. m ultiplk<i-los:
(i) Traçando 41!-Jr. Esu1exponencial monoconicamente dccre.,.centc possui um:. con.stanlc de tempo de
0.5 segundos c um valor inicial de 4 parn t =O. Ponanlo. seus vnlorC$ para 1 = 0.5; I; 1.5 e 2 silo 4/e,
4//, 4/t' ', 4//, o u. aprQximadmnenle, I ,47: 0.54; 0.2 e 0.07, rcspccli.,.•:•mcntc, Utilizando estes vnlo·
rc.;; comC'I um guia, podemos traçar 4e"'!' como mostmdo n::t Fig. B.l In.
(li) 'l'rlu;ando cos(6t - 60j. O procedimento de desenhar 005(6r - 60"') é dis&::ulido na seç.!lo 6 .2 ( Fig.
r.,=
2;r/6;::: I. exi.stindo U tn atraso de rase. de 6f1'. ou dois
B.6c:). Neste C-aso o pt'Óod() da s..:nóide é
terços de um qu:1rto de ddo. o qual é equivalente il um atr.·lSô de. aproximadamente-. (601360)( I )~ l/6
segundos (\'cja Fi:;. B.l l b).
(iil) Trl1~ando
4e-lt cos(6t - 60~). l)cvcmos. agora, mulliplicar as formas de onda dos IXLSSOS i e ii. Esl:t
tnuhiplic-a\".à<l resuha em rorç-ar a scnóide 4 cos(6t - 60") tt decai•· exponcncialmetHe com uma COilS·
tante de tempo de 0.5. A amplitude inicial (p.o1ra t lQ_ 0) é 4. de,·aindó para 4/e ( = 1.47) pam 1= 0.5.
' Se ~~jarm()< rdin:w a il'l(l;1 ~i,;nr.a."~Cunlli>. !IOI!o.":!!I("'C.'ilf'l"-ill<!r.lr intavnl<,.dc mda c:<,n.•Umtc 11.!! tcmp.1, '"''qual" <inal lll*\-ai
.. pctr un1
fator If .,fi. 1\>Mn.ll). p;uu = 0.2S. 1111 = 1/../i < rnr.u = 0.75. •lr> ,.._ 1/( ,fi <:•s!oim p!)f' <.limMç,
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CAPf'M.o B
BACKOROut-:0
37
•
0.:>4
o
0,2
u
05
2
(o)
( b)
4
,_
(c)
Figura 8 .11
Desenhando um.'l. senóide vnriando e.;.:poneoci:dmeme.
parn I ,47/e (-== 0.54) para 1 ;;a I e :.ssim por dja.ue. Es1e gr:t.lico é mostr.~do na Fig. B. l i c. No1e que
quando eos(6t- 60") possui u1n valor unitário (amplitude de pico).
(8 .28)
Ponruuo. 4«--~ cos(6t - ~) {l)can~~a 4«-·<~~ nóS iMta.ntes nos quais a senóide oos(6t - 60") eSI~ em seus
pioos positivos. Claramente4e~ é um cm-elopr para as amplitudes positivas de 4e..Jr c:os(6l-6(r). Ar
gumentos s.imilares mos1rnm que 4e...:. CQS(6t- 60") a1in~c -4<...:. em ~us picos nega1ivos. Ponmuo.
-le-+lt é um envdopc para 3.\ amplitudes ncga1ivns de~-"' CQs((W- 60"). l...ogo. paro 1ruçar 4("-:. cos(6l
- 60"). primeiro devemos desenhar os en\'eklpe.s 4t>-~ e ~-!1 (imagem refletida de 4e-lt considerando
o eixo horizontal) e. então. desenhar a senóide oos(6l - 64J'). com es1es envelopes runcionando corno
restrições da ampliludé d.a senóide (veja Fig. B.llc).
Em geral. Ke-rosf.Wt~+(/) pode ser desenhada desta maneiru. com Kc"" e - Ke- restringüKio a amplilude de
4
OO<(w,t+U).
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B .4 R EGRA DE CRAMER
;\ regrn de Cramer é um~ fc>tma muito com-eniente p.va resoh-er eqUàÇ6es Lineares simultfu)Ca:S, Considere um
conj unto de n eq"açôes linenres simultâneas com n incógnitas x1• x~ .... x.:
n u.tl
a11X1
+ OuX: + · · · + a ... x..
+ anx2 + · · · + a111 x~
:;;; Y•
= Y2
(8 ,29)
Es1as equações podem ser colocadns nn forma matricial como
(B,JO)
Chamamos a matriz do lado esquerdo. (onn:Kia pelos e lementos a11 de A. O detcnninante de A é representa-
do por IAI. Se o dctenninnnte IAI for nâQ nulo. o conjunto de equações ( 8 .29) possui uma '1nica soluç4o dada
pela fónnuta de C1'3mer
k = l. 2 .. .. , ,.
(8 ,3 1)
onde: ID11é obtido substituindo a k-ésima coluna de IAI pela coh.1na do lado direito da Eq. (B.JO) (com e.Jemen·
lOS )'1, y!'"" )'.,).
OemoosU"aremos esta regra atr'3vés de um exemplo.
Utiliz.e a Regra de Cro.mer para resolver ns seguintes equações lineru'eS simultâneas com ttb incógniw.
2x, +xt +.X'J ;:;:J
.t 1 + 3xl- x 3
=7
A fonna matricia l dessas rquações pode SC! t escrita por
onde
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Como IAI = 4 • O. uma única solução existe para x1,
~ c xJ..
Esta solução~ dada pc:la regra de Cramer
)Eq. (8.3 1)]. mo•;tOid:la seguir:
,(, ::: -
3 I
1 3 - I
I
IAI
I
I
2 3
=-84 =2
I
4
x.. = I 1 - I = - = 1
• IAI
4
I
XJ = -
IAI
2 I 3
-8
I 3 1 = - =-2
4
8.5 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
Durante a 1t0$Jise de sistemas Lineares invariantes no tempo encontramos funções que são razões de dois polinô·
mios de uma cena variá\'cl, digamos x. Tais funções são chamadas defiUiçi'kt rocionai.J. Uma função ro~eional
fl;c) pode ser descrita por
F(x)
= b, x"' + b,_,x•-• + ... + b 1.t + bo
x• + a,._, x .. - • + · · · +a 1x + ao
( 8.32)
P(x)
=
(8 .33)
Q(x)
A funçãQ FV") é imprdpria se m ~ 11 c prdpria sem < n. UrM funçjo imprópria pode ser sempre separada na
soma de um polinômio em x e wna funç!lo própria. Considere. por exemplo. a funçlkJ
F (x )
=
2
2xJ + 9x + l lx
,tl + 4x + 3
+2
(B.34a)
Como essa é uma funçlo imprópria. dividimos o numerador pelo denominador até que Q
grau menor do que o denominador.
~to
possun um
2x +I
x' + 4x + 3 )zx• + 9x' + l lx + 2
2x3 + &x1 + 6:c
x 2 + Sx + 2
x 2 +4x+3
x - 1
Ponanto. F(x) pode ser escrita por
F(x) =
2.rJ +9x 2 +1 1x+2
=
xl + 4x + 3
x-1
+ I + .....-.,....,.-,--:
._,_....
x 1 + 4x + 3
~ tm J
-....,.._..
2T
--
(8.34b)
Uma funç5o própria pode ser expendidà, posterionnente, em frações parciais. O rtStante desta seçlo irá dis·
cutir as diversas fonnas de se fazer isto.
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8.5·1 Método de Eliminação de Frações
Uma função mcional pode ser escrita como a soma de frações parciais apropri:Kias oom c:ocficienu.•s desconhe·
ddos. os quais são tletermin!M.Ios pda climinac.-.üo de frações e igualnndo os coeficientes de potência similar dos
dois lados. E.•ac:: procctlime.nto é demonstr.Jdo pelo exemplo a seguir.
Apesor desrc método poder ser aplicado diretamenrc em todas as situações. ele n.!l.o é necessariamcme o
mais eiicicnlc. Discutiremos outros métodos (JUC podem reduzir con.sideravelmeme o tr.~balho numético.
EXEMPLO 8 .8
Exi)Mda a seguin1e funç-ão racional F(x) em fr.lções parciais:
F(.<) =
r+ ).,·1 + 4x + 6
,....::.,....;.,.::::..,....:,77-.:,...:;,-,
(.< + I)(.< + 2)(.< + 3)'
Esut função pode ser escrita como a soma de frnções parcinis com denominadores (X + 1). (X
( x + 3) e (x +3)'. como mostrado a seguir:
F( x)
x' +3x1 + 4x + 6
k~
k
k;;
+ 2),
k4
= (x + l)(x + 2)(x + 3)' = -x +1 I + .<+2
- ·- + - - + .,...-...:..,."
x + 3 (.<+3)'
Para detemlinar as incógnitas k 1• k -z- k, t k ,. eliminamos as frações multiplicando os dois I:Kios por
(x + I) (x + 2)(x + 3): obtepndo
xl
+ 3A'~ + 4x + 6 =
k 1 (x.l + 8x 1 + 21x
+ 18) + Adx~ + lx~ + 15x + 9)
+ k.l(x 3 + 6.~~ + l lx + 6) + k4(x 1 + 3x + 2}
= x'o:, + k1 + kJl + x2(8k, + Jk1 + 6kJ + k.~)
+x(2 U:1 + 15k~ + l lkJ + 3k.a) + (18k 1 + 9k2 + 6k, + 2k.-)
Igualando os cocl1dentes de mesma pocêodn dos dois IOOos teremos
k1
8k,
21k,
+ k: + k,
:=
I
+ 7k! + 6k,J + k"' = 3
+ 15k1 + l lk, + 3k.a =
18kt + 9k1 + 6k, +2k"'
4
=6
A solução dessas qua11o equações simultôlle".us result.a em
k,
=
k.- :;:; -3
I.
Logo.
I
F(x)
2
2
3
= x- + I - -x + 2 + .<- + 3 - -:-""'",;
(x + 3)'
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B.S-2 Método de Heavislde
FATORES DISTINTOS DE Q(X)
Iremos.. intcialmerne. considerar a expansão em frações part-iais de F(x) e
P(x)IQ(A). na qual todos os ftuores de
Q(x) são dis tintos (nlio repelidos). Considere a seguinte função própria
+ b,.._,,r"'- 1 + · · · + b1X + IJo
x" + a,_,x... -• + · · · + a,x +ao
F(,x) = b,..:r-
m <n
(8 .35a)
PCx)
= "'"_,(-_--:-l-:)..,-(x ---"J.-:,)'-.-. "'
· (,..._,-_-,:-:.•,)
1
Podemos mo..'itrlll' que F(x) da Eq. (8.3$:1) pode: ser escrita como a soma das t'ntçõcs parciais
k,
x - À1
F(x)= -
k-z.
k,.
+
- +···+ X - À~
X - À
(B.35b)
11
Para detern\inMo cotfteiente k,. m ultipli~mos 1)$ dois lados da Eq. (6 .3S:b) por x-À, e, emlio, fazemos x =
).•• res.ultando em
_ k
k,(x - l 1)
k,(x- ),1)
( x _).)F(
1
1
xL.,,1 + , __ )..) +
( -l J +
...,.
-
X
)
•••
k. (x- ). 1
+ , _ _ ). l
'v'
•
)1
••;.,
No lado direito. todo os tennos exceto k, dc:saparcccm. Ponruuo.
k,
=
(.< -l,)F(x)l,:>.
(0.36)
Shnilanne-nte. podemos mostrar que
k, =(X- À, ) P (x)IJ ...;..
r=l. 2, ...• n
(0 .37)
Este procedjmento também recebe o nome de miuxlo dos resid110J.
EXEMPLO B.t
Expanda a seguinte func;OO mcional F(x) em fmçõc:s parciais:
F(X)
2x 2 +9.r - l l
k
k:
k,
= (.r + I)(X 2)(X + 3) = .<
-+1-I + X-- + X+
- -3
2
Para deaem1jnar k1 , fazemos :r ~ .. ) em (x + I)F(x). Note que (x + I)F(~) é oblido de F():) omitindo o ler·
mo(.\'+ I) de seu denominador. Ponamo, pam calcular k, OOI'respondente ao fator (X+ 1), escondemos o
tenno (x + I) do de.nominad()J' de F(x) e. e ntão. substituímos x = -I na expl'eSSàO restante. [Mentalmente
Otuhe o lenM(x + I) de F(x) c.:om um dedo e, e ntàl), f3Çli X • - I na e:~~prc:ssão rc:saame.J Os pas80s paro tra•
balh.v a funç4o
2x' +9x-l l
l)(x - 2)(.r + 3)
F (x) • .,-.,=:,.,.:....:.:.:.,.,.,.:..:~
(X+
estio mostrudos a seguir.
Pa.<t'iO
I. Esconda o fator (.r + I) de F(.r):
2x 2 + 9x - l i
- ( x - 2)(x + 3)
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42
StNAJS E SISTEMAS LL"ll!ARES
Passo 1. Substitun x a - I rw expre$$!1o res1ante para obCer k,:
2 - 9 - 11
(- 1 - 2)(- 1 + 3)
k, =
- 18
= -- 6 ::3
De: fonn:a equivalente, par3 detenninar ~escondemos o latQr (x- 2) em F(x) e fa1.cmos x = 2 na função
reS(IU'Ilt, como IUO$ll'ado a seguir.
k,
a
I
2x2 + 9x - ll
8 + 18 - 11
15
1
(x + 1)(x + 3) _ , • (2 + 1)(2 + 3) ; 15 ;
e
I
2x1 +9x- 11
k, = (x + l)(x - 2-
=
, __,
18-27-11
(-3+ 1)(-3-2)
-20
=lO= - 2
Ponanto.
2x1 +9x-11
3
f' (x) =
= -(x + l)(x 2)(x+3)
x+ I
I
2
+- - -x -2 x +3
fATORES C OMPLEXOS DE Q(X)
O prOCtdimcnto rt'ée:m apre:~entado funciona. independentemente se os f·tt1ores de Q{.t) são reais ou complexos..
Con.<•idcre. por exemplo.
f'
2
4x +2x+ l8
X_
( ) - (x+ l)(,r' +4x
+
13)
1
=
4x + 2x+ l8
-;(x- +:-;-;
1)';'"
(x""+:C2:;'-~J3;;-i)-(x
;-:"+:-2;;-+-:-;J 3~)
k, = [
4x + 2x + 18
=2
(x' + 4x + 13) ••-•
onde
l
2
-
(8.38)
Similarmente.
= 1 - j2 =
./5.-'" ·'7
Ponruuo.
2
F (.t) = X+ I
.;s~/63.4.)'
..!5~ -Jt..}. 4l '
+ x + 2 - J'3 + x + 2 +J' 3
(ll.39)
Os coeficiente kt c k.) correspondentes aos fa1ores oomplexo.'i conjugados tam btm são conjugados. este fato
geralmente é verdadeiro quando os ~fic icntes da funçio racional são reais. Em tais casos., precisamos determinar apenas um dos coeficie ntes.
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CArtruLO B
6 ACKGROUND
43
FATORES Q UADRÁ1'1COS
Geralmente precisamos combinar doi.s ttmiOS result:'utles de fat ore~ oompkxo.s cunj ugad~ em um únic.:o fator
quadrático. Por exemplo . .t'(.t) da Eq. (B.38} pode ser e!\Crita por
F()
X=
4,t 2 +lt+l8
~
(x+ l)(x• + 4x+l3)
c 1 .~ + ()
k,
; :x+
- -l +x '· +4x+l3
O coeficiente k, é detenninaOO pelo 1nélodo de Hea\'iside. sendo igu;d a 2. Portantó.
4.t1 + 2.t + 18
2
c 1x + cz
(x + l)(x' + 4.r + 13) = ;:;) + ,-,;-'+
'7";4.;.
x-;+"-l;-:;3
(11.40)
Ol:i valores de c, c c: são detcnninados eliminando as frações c igualando os cocfictcme.s de mesma pocéncia de
xdos dois ktOOs da cqu., ção resulwnte. ;\ eli min!)Ç.~O d.1s frações nos dois 13di)S da Eq. (8 .40) resulw em
4.tz + 2x + 18 = 2(x! + 4.t + 13) + k 1.w-+q)(.t + I)
(0.4 11
Igualando os tenn~ de mesma potCndo tc:.mos c,= 2. '-'! = -8 <:.
4x 2 +2x+
l8
2.t-8
2
(x + l)(.r ' + 4x + 13) = x-+-1 +
x~''+:::.,4x_:+""l"'3
(8.42)
ATALHOS
Os valores de c1 e c1 da Eq. (B.40) também podem ser determinados: utilizando atalhos. Após determinar k, =
2 pelo método de Heovi.side. fazemos x =O nos dois lados da Eq. fB.40) para eliminar cl' resultando em
18 - ., c:
13 - -+ 13
l>onanto.
Cl
= -8
Para dcteoninar c 1, muhiplic:unos 0\S dois lados da Eq. (6.40) por xt. entãO, fazemos x -oo. Ltmbre-se de
que quando x - oo apenas ó!i tenn~ <k pl)tênéin mais alta .1>00 significativos. Portanto.
4 =2+c:,
e
r,= 2
No procedimento discutido. fizemos x = O para detenninar c, e. então. muhiplicatnós os dois lados pOr x e
fizemos x _., oo para cktenninar t·1• Entn.~ta.ntl). c~ ' oalort'S não são sagrados (x =O ou .f = oo ). Utilizamo· nos
porque eles reduziram a quantidade de cálculo en\'olvida. Poderíamos utili1.ar. também. outtm "alores com·e·
nient.es para x. tal como x = I. Considere o c-u.so
F(.r) = 2<' + 4.< + 5
x(,r 1 + 2x
k
= ;
+ S)
c 1.f +c2
+ x-'c-+'-:2'-x""+~S
Oe•ecmü\a.mos k::: I oocmalmcmc pelo n\é1odo de He~w iside. Como resultado.
2.t 2 + 4x+ 5
x(x' +2x +5)
-=';-"--;;';....:.-.::,.
t· 1.t+c:
= -I + -7'-::...:.~
x
x' + 2.< + 5
(8 .43)
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44
S IN,\IS R SIS'I1oMAS LINF.ARES
Paro dctermin~r c, e C'~. se tc:ntarm~ fattr x -=: O m• Eq. (8 ,4'3) iremos obcttoo nos dois ladQS. Ponamo. ire·
m«' s csc."'ihoer ·" = I. re.o;ulwndo em
-I I = 1+-.<,!...+;-c::'
8
8
ou
C1 +(.'l
=3
Pu<kmo.s. ilg(lfa. eS<.·olher a lgum ouuo valor pam ·"· tal com o x = 2 t>ara o~cr mais uma n::l:.çi•o u ser utili·
z:tda paro detenninar c, c c' r· Neste coso. e ntretanto. wn nléiodo simples é muhiplicar os dois lados da Eq, (B.43)
pnr .t' c, cntdo. fazermos x -oo. resultando em
2= I
+c 1
de tal forma que
c
J' mtnnto.
F (X )
I
:
-
x
+ -,..·;;..'_c.+..::2:......,
x l + l.c- + S
8.5·3 Fato,..,s Repetidos de Q(x)
Se uma função Frx) ~u i fa tores rq>etidos e m seu denominador. e la terá a foml:l
F(X)
p-'.(:;..
.<1~~~--~
= (.t
":-~~--~
"" - ).Y(.c- - c:r,)(.c- « l) .. ·(X - « )
(8 .44)
1
Su" e,: pa•l.S.~c) e m fr:~s parei ai. . é dada por
...
~
r(.<)=
ao
+
(.<- ),)'
a,
(.<- ).)'·'
.:•:c··:::•,.
+ ··· +c(.<).)
(8.45)
+--k-'-+~+ .. ·+~
x-a 1
.c--a1
x - a1
Os c:odidcntes k 1, k!..... k1 <:O~sponderues aos fatOtes n!iQ l'epelidos nes•a equ:.çâo s!So dctcrmin:.dos pelo
método Hca\•isidc:. \.'Omo mostrndo ant~:riurmenle [Eq. (B.37)). Para dt.lemünar os cutficiemes ''q 11 1, ú:,..·• a,.._.,
nmltiplicmnns os dois lodos d11 l!q. ( 8.45) por (x- .\)'. resullando em
(x - À ) ' F(.t)
I.)+ t11(.c- - I.f+ .. · + a,_ 1(.r - .\)'- 1
= ti(!+ 111(;c -
•. (.t - ),)'
+ ... 1
Se fizennus .r
= ),
J)I.)S: dois
.t -
«1
+
k (.t - ),)'
'!
X - &!
•. (.< - }.)'
+ ··· +/("
.l: -
(8.46)
«
11
lados d<l Eq, (8.46) iremos obter
(.r-Ã)' F(x)l .~
= n0
(0.47a\
Pol1tml0. t'6 é obtido csc.:(lndcndo u fatoc (x- ).)' ~:m F(x) e faundo x = .\ na t.Xpte..-s!\o resumtc (méuxlo de
He:wis:ide). Se fizermos a dcrivad:!l ( \."'ffi relação a x) dos dois lados da Eq. (8 .46). o tudo direi10 serli a 1 + let·
m~ contendo o futOI' (x - À) em seus numcr:Kiorcs. f'-:U7.cndo.c- =A nus dois lados desta equa~iio. iremos obcer
!!._ 1( .r
dx
- .t)' F(.r)JI
~ ...;.
= Ut
Porlunto. a, é obtido ocullando o fa1or (,(-Atem F(x), dcccrminando
cão. fnz.:ndu .c- = À. C(Hitinuando de~L'-' maneira. ircmo.o; obter
I til ((x - ),y F (.t))
a 1 = -:; d-
J.
xJ
I
~=-.
tt dcrh•adn da ex p~são res.t<Jntee.
en-
( 8 .47b)
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CAl'lrul.o B
BACKGOOOND
45
Obscr\'e que (x- l.fF(x) é obtido de F(x) omjtindo o fmor (X->.)' de seu denominador. Portanto, o coetiden),.)'de F(.r). delemtinando a j-ésim.a deri\':.da da expressão I'C·&tnnte c. cntii.o,
te a 1 é oblido ocultando o fator (X -
razendox =À (enquanto dividimos por j !).
EXEMPLO 8.10
Expanaa ~)em frações ~Xtteiais se
F(x) =
4x,
+ 16.r1 + 23x + 13
(.< + l)' (x + 2)
As fruçôes parciais são
F (X)=
llo
!x+l)'
+
a,
~
(x + l)·
+ ~ + _• _
x+2
x+l
O roeOCicntc k é obcido ocultando o !'ator (.r+ 2) dpc fl.r) c. então. sub&lituindox = -2 n.u expressão restsnte:
4.rJ + t6.r~
k=
+ 23.r + 13
(x + l)'-
= I
.o-•-l
Para detemtü~ar ao> ocultamos o fmor (x + I)~ em F'(x) e fazen'fOS x c - I rw. express!l.o reswnte:
ao =
4.rl
+ 16x 2 + 23x + 13
- (.< +2)
=2
A• -1
Pata dccem1jnar o., ocultamos o fator (x + I)! em F(X), detenninanlOS n derivada d.'l e.xpre:ssllo restante e.
em3o. fazemos x - I :
=
a, =.!!.... [4x'+ 16x'+23x + 13]1
= 1
dx
-(x+21
•• · •
Similarmente,
a, = .!. d' [4x'+ l6x' +23x + l311
-
2 !dx
1
-(x+2)
=J
A• - I
Ponanto,
F(x)=
2
(x+ l)'
+
I
(x +
3
ll 1
I
++x+ l x+2
8.5-4 Mistura dos Métodos de Heaviside e Eliminaç-Jo de Frações
P.dfll ''á:rias raízes. especialmente paro ordens mais altas, o métoc.lo de expansOO de Hea\•iside, o qual De<.'USita
de repetidas d.ife~nciuções, pode ser trabalhoso. Pnrn uma função q ue contém diversa.-. raí1.cs repetidas e não repetidas, um método híbrido dos dois procedimentos é melhor. Os coeficientes s imples são determinOOos pelo
método de Heaviside c os ooeficientes restames s!io determinados pelo método de climinaçOO de fruçõe.o; ou atn·
lhos. incorporando. ponanto. o melhor dos dois métodos. Demonstraremos este procedimento resolvendo o
Exemplo 8. IOnovamente usando es:ta n~todologia.
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46
S INAIS E SISTEMAS LIX.f.AAES
No Exemplo 6.10. os coe-ficientes k e 0-o são relativamente simples de ~m detenninados pelo método de
expanS-ão de Heaviside. Estes valores foram detenninados como k 1 = I e a6 = 2. Pol1anto,
4x3 + 16x 2 + 23x+l3
(.r + 1) (.r + 2)
--:-.,.-,"""--,--;::'-=
3
2
(.r+ 1)3
a1
a
l
+ (.r+ I)' + x-+1-I + x+2
Agoro. muhiplicaremos os dois lados deSia equ:ação por (x + l),(x + 2) para eliminar 3S frações. Essa mui·
ciplieação resuiUI ern
4x.l + 16.-.:~
+ 23x + 13
= 2(x + 2) +llo(x + l)(x +2) + ll,(x + 1) 1 (.< + 2) + (x + I)'
=( I + a:)x3 + (a 1 + 4(12 + 3)x1 + (5 + 3a 1 + 5aJ)x + (4 + 2tt 1 + 2ll2 + I)
JguaJ::mdo os eodidente:s <k' pOt~n<:i a dois e três de x dos dois lados obtemos
Podemos p:u"::r aqui se quisermos. pois os dois rocficicntcs, a1 e (I! já foram decerminados. Entretanco. igua·
l:mdo os coeficientes das duas potências resmmes de x result::. em uma conveniente verificação da resposta. Igualando os coelieientes dos ternKtS de .t 1 ex"'. obtemos
23 = 5 + 3a 1 + 5az
13 = 4
+ 2a 1 + 2o 2 +
I
Essas equações sio satisfeitas pelos valores a1 = I e a: = 3. dc-tenninados ooterionnentc, funcionando como
uma vt:rifi(.:·nção de nossas resposta'>. Portanto.
F (x)=
2
(x+l)l
I
3
I
+ (x+ l)J +--+-x + l
x +2
a qu~J é a mesma cespos1a obtida anletiOfmeme.
UMA MISTURA DO MÉTODO DE H EAVISIDE E DE ATALHOS
No Exemplo B. IO. np6s delenninarmos os coeficientes a0 = 2 e k = 1 pelo método de Hcavisidc~ Dessa forma
temos
l::
6.:,•',.+;-:2::3x':::'+_:::
l3 =
2
a 1 + - a1 + - I
-4.x:..'..,+:....:
+
(x + l)>(x + 2)
(x + I)> (.t + I)' .< + I x + 2
E.xistem apenas dois coeficientes a sereru determinados, a, e a 2• Se rnuhiplkannos os dois lados desta equa·
\'âO por x e fizermos x - oo. poderemos eliminar a,. resullnndo em
Portanto,
4x + 16.rJ + 23.r + 13
.:::..-+c.:.,::.;.,.;c-=::;.;:....:::.
=
(.t + l)' (x + 2)
3
2
(.<+IJ'
+
a1
3
1
+ -- + -(x + l)' .<+1 .r+2
E.xistc:. agora. apenas uma incógnita <1 1• a qual pôde ser facibue.nte determim~kt se 11zennos .t igual u qual·
<:Juer "alor c:unvc:niente. digamos x = O.
13
I
2 :;;; 2+<1t+3+2
==>
"' ='
a qual é a mesma respoSI<'I encontrada anteriormente.
&istem ootros possíveis atalhos. Por exemplo. f)O(Jemos determin:lt ao (OOI.:Iidenle dôl pc.nencia de mais alta
urdem du roiz repetida) subtr.lindo este termo dos dois lados e. então. repetindo o proc:tdimento.
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CAiofrULO B
B.S·S F (x ) Imprópria com m
8ACKCitOIJSI)
47
=
11
Um mécodo genérico para crabalh.ur com uma fui)Ç!o imprópria é mostrado 1'10 começo desta seção.
Entret:.nto, pM3 o caso especiaJ dos polinômios do numerador e drnominador de F(x) terem o mcsJl)() g:rnu (m
= 11), o procedimcnco é o mesmo do utilizado para uma função própria. Pode-St" mostrar que parn
:...:1>:.
•..:•.::
·'_"-~'_+.:..._·_·_·+.:...:bc:'::x_+:..:::!bo
F(x): h-·•
- ::'':_"+
1
.... + a,..,x" + · · · + a 1x + au
h
k
k
= h. + -...!..... + --=- + ... + - ·X - )q
X -À.,
).2
.t -
Os coeficientes k 1, k:-.... k., são determinados se F(x) fos.'ôe própria. Portanto.
k, : (x- )..) f'(.r)),. ,
Para facores quadráticos ou repetidos. os prOCedimc::ntos aproprindos mostrudos nas Seções B.5·1 ou 8 .5-3
de\'em ser utilizados se F(x) for pcúpria. E.m oucras palavras, quandonr =''·a única diferença entre o caso pró·
prio e impróprio e!ltá no aparecimento de uma conscsnte exiD b,. no último caso. O procedimento petmMeee o
mesmo. A prova~ dei.x:tdn como um e.:ercfcio ao leitor.
8.5-6 Frações Parciais Modificado
Ns dctcnninação da transformada z inversa (Capítulo 5). ser.i ne<:essário detenninar a..~ fraçôes porei ais dn fonnn
k.'tl(x- À,)' em ~de kl(,r- )./, Pode·se oblet as frações 1mrdais exp>tndindo F(x)lx. Considere. por exemplo.
F(x)
--:
x
5x 1 + lOx
x{x
+ 18
+ 2)(x + 3)~
EXEMPLO 8.11
Expanda F(.x) em frações pardai.s se
F(x) :
3.,.! + 9.r - 20
-
,
.r· +.r- 6
3.rJ + 9x- 20
(X - 2)(,f
+ 3)
Onde m;:; 11;;; 2 com b":: b: = 3. Portanto.
F(x):
Jx! +.r - 20
1.:1
k·
: 3 + - - + -·(.r - 2)(x + 3)
x - 2 x +3
na qual
12+18 - 20
10
(2+3)
: 5: 2
:
27-27-20
-20
:-:4
(-3-2)
-5
Ponruuo.
F (x)
=
lx~
+ 9.\' - 20
(X - 2)(x + 3)
=a
3+
-
2
X -
2
+.f
4
+3
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48
SINAIS E S I.SlV.IAS LlNEARI'.S
Dividindo os dois lados por x teremos
F(x)
+ 20.<+ 18
Sx'
--=
X(X +2)(X +3)'
A c.xpans!kt do 1300 direi10 em fraçôcs p:udais resulta em
F~)
5.r 2 +20.r+ l8
a1
7
- ., - = x(x + 2)(x + 3)' =
a3
a~
+ x + 2 + (x + 3) + (x + 3)'
a2
Usando o procedimento disculido anteriormente. decc:rminamos o 1 = 1, ot = I, a) = - 2 c o,= 1. Portanto.
I
F (x)
- ., - = ;
I
2
+ X+ 2 -
I
-X-+-) + ':""(x-+'"""'J)"'
Agora. muhiplicando os dois lados pot x. obc.emos
F (x) = I
+ -X
X
+2
- -X
2x
X
+ ;-7-:;:;
+3
(.f + 3)'
Esta equação descre\'e F(X) romo a sonw de frações p.'lrtiais tendo a fonn.1 kx/(x -
8.6
).y,
VETORES E M ATRI ZF.S
Uma entid.1de espeçificada poc rt·mlmeros em uma certa ordem (~t~uplo orden:ldo) é um ~~wr n-dimensional.
Ponanto. urna n-uplo ordenado (..1-1, "'1' '"' x.) representa um \'ttor x n ·dimensiona). Um \'Ctor pode set repteSen·
t:ado t m uma linha (•'t'tor linlla):
X =
[.c,
X:
.. .
x.. I
ou e m umn coluna (\-elOrcoluna):
-
X-
[;;]
•
·'·
Equações lir-.e.ms simultâneas r)()dcm .ser vistas como a transformação de um \'CI(I( em outro. Considere. por
exemplo. as n equações lineares simuiUlneas
(6.48)
Se definirmos dois vetores coluna x e )' OOfll(l
- [;;]
X-
,
x.
e
y=
;:]
[
.
(6.49)
y.
enliio, as Eqs. (8.48) podem ser entendidas <:.orno a rdnçiió ou função que trunsforma o ,·etor x no vteor y. Tal
trnnsfonn:w;-ilo é chamada de ll'allf/onnaçifo linear (lc. vetores.. Pma executar uma lnms(onnaçOO linear, precisumostrada nas Eqs. (B.48).
mos defini r um :arr:.njo de coefic-ientes
a.,.
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CAJ'frul.O B BACKGROUSD
49
Esse amllljOl chamado de matri_z. sendo represc:nlando por A por conveniência:
A=
I·~~
""
au
ll! l
.
a.,, a...
~
a,.
"'a~" ]
(8.50)
..
uma matriz com m linhas c n colunas é chamada de matriz de ordem (m, 11) ou uma matriz (m x n). P..tra OCàSV
especial de m = ' '·a mulriz é ctuunada de matriz. quotlraJ/n de ordem 11 .
Devemos ressttllar. neste pomo. que uma m:nri:t n!io é um mlmero utl oon_
lo o dctcrminamc. mas um arran·
jo de números organizados em uma ordem particular. É conveniente abreviar a representaçio da mauit A d:a
Eq. (8 .50) pma a fomut (a..,).,K,. implic.andoem umu m:uri1.. de ordem m x n com av oomo .seu ij'-6imod emen*
10. Nn prálica. qu:mdo a ordem mx" é conheci~ ou nOO precisa ser especificada. a nocnção pode ser nbreviada para (a~. Not·e tlue o primeiro Cndice; de aii indica a linha e o segundo índicej indica a coluna do elemcn·
to ''v na matriz A.
As equações simultâneas (8.48) podem. agora. ser escritas na rorma simbóUca por
y = Ax
(8 .51)
ou
y..,l - [""..
.
[
a 21
) '1
'
. lx..,l
au .· .· .· "'•]
tl;l..
a,
..
a.., 1 a...~
y.,
t1..,,.
-"l
(B.52)
'
x.-
A Equaç~ (6.51) é a reprcsentaçOO simbóljca da Eq, (8.48). Ainda nJo definJmos a operação de multiplica\ âO de uma matriz por um \ 'f!l (lr. A quantida.de Ax niio possui significOOo at~ que a opcruç.ão tenha sido definida.
B.6-l Algumas Definições e Propriedades
Uma matriz quadrada cujos elementos são zero em todas as posições menos na diagonal principal é ch:uuad:t de
nrm riz diagot~tll. Um exemplo de urna matriz diagonal é
oo]
2
O I 0
[o o 5
Uma m:uri:r. di-...gonaJ cQm todos os elementos da diago.nal iguais a um é c hamada de mmriz idem idade ou
mlllrit. 'mildria, re:presemad.'t por J. Ela é um.1 m.1ttiz quadrada:
1=
I O O
O I 0
O O I
o
o
o
(8 .53)
o o o
A ordc:m de uma matriz unitária é àlgurnas \'ezes indicado por um subscrito. Pott:mto. 1. representa uma ma·
triz unitária (ou matriz ide ntidade) 11 x n, &uretanto. podemos omitir o subscrito. A <>roem da mauiz unitária
será entendida do cootcxto.
Uma mutriztcndo todos os elementos iguais ::1 zero é uma matriz m1la.
Uma matrit quadrada A é uma matriz.$imllrica se a..,:: aJI (simetria com relação a diagoo:~l princ-ipal).
Du<ls matrizes de rnesma ()(((em s~o di1as igutJis se elas forem iguais elemento por elemento. Portanto. se
A = (a;1) .. ,...
c
então A = B somente se."..,= b.; para todo i c:j.
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50
SINAIS E SISTEMAS LtSEARES
Se !L'> linhas c colunas de uma m:uriz.m x n A são inlcrc.ambióvcis de tal formn que os elementos da i-.ésima
linha se tomam os elementos cL1 ;.ési.ma coluna (paro i :;;; I, 2..... m), a m;ttriz resultante é chamada de 1 ronspo~··
In de A , se-ndo n-p.n:scnl.uda por A r. Ê evide-nte que A' é um.n matriz n x m. Por exemplo. se
[H]
A=
Ar -_ [2I 32 3I]
então
então. se
en1t1o
(8 .54)
Observe que
(A 1 ) 1 = A
(8.55)
8.6-2 Algebra Matricial
Agom. definiremos a.> opc~"Õe." tom rnatrizes. Lais c:umo adiçió. subtr-..ç~o. multiplic~M;OO e dh•isiio de ITUltri·
zes. As delini,&.s devem ser fl'wmuladas de tal formlt que elas sejam úteis nu manipulaç-lio de maLri7.cs.
ADIÇÃO DE :l-tATRIZES
P..tro duas mu.trizes A e 8 . :unb:u de mesma J)Ofdem (m x n).
azz
a 21
A =
.
•••
define·se a soma A
•...,. ]
.,
[...
+ B por
.., ·...
...
(au + bu)
(a! ,
A+ B=
[
(n,., 1
8 =
e
(lll2
[b"
b.,
bu
bu
.
"~~
b"'z
+ b,J)
(a,. + b 0, ) ]
(a,. + b,.)
+ b. ?)
(a.....
+ b21)
(a, + b:u)
+ b.., 1)
(a.., 2
.
b
,.]
b,
IJu
~ b..,'")
(lU
Note que us duas mntrize.<i podem ser somndll.<i somente: se elas tiverem a mesma ordem.
M lJLTWl.lCAÇAO 0€ UMA MAiRI7. POR UM EsCAlAR
Muhiplicamos uma matrit A por um escalar c como mostrado a seguir:
.., ...] ['""
["" . . - .
a,,
Ct\ = C
~
•••
au
..,
tl!lo
Ctl21
..
..
a..,,.
t:a,..l
C/11 2
ca 22
Cli,.~
'"•·]
ca1.
.
= Ac
ca"'~
Observe que o escalat ("e a ma1riz A conllltam. 01.1 seja,
cA = A c
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CMtr~;LO
8
B ACKGKOUNU
5J
M ULTIPl..ICAÇo\0 MATRICIAL
Define-se o prod~• t o
AH = C
no qual r.0 • o elemento de C d!l i·ésima linhs cj-ésima colu na.~ determinado somando&.> produtos dos elemen-
tos de A daj-~sima linh.a com os (.'(lrrcspondcntes elementos de B daj-ésim.'l coluna. PQrtanto.
(8.56)
e_.,te r~ultndo é descrito como m()6trndo a seguir:
b,,
blj
=
b;;
Obstf''e cuidadosan)tnte que par.• este procedimento funcionar oorretamente, o número de colunas de A deve ser igual ao nUmero de linhas de U. l!m ootrao; p<~ l ovras. AO. o produto das matrizes A c 8 é definido apenas
se o número de columl5 de A for igunl ao nUmero de linhos de R. Se esU1 cond.içiio não for S!Lli!ofeito. u produto
AB nllo é definido, ficando sem sentido. Quando o mJmero de f.'Oiuna" de A é igual no número de linhas de U. a
m.ntri:e A é dita estar em <'<mfonllitldtle eom a m!llrit n paro o produto A R. Observe que se A é uma matrizm x
,. e n é uma •na•ti:e , x ,,, A c 8 estão em confoonidadc JXtra o produto c C será uma marl'it m x p.
lremos demonstr:tt a regra da Eq. (8.56) com os seguintes exemplos.
n [~
m
=
(2
3]
9
4
5
2
lO 4
~]
=8
Nos dois <~asos. as duas matrizes ~llt:ioem conformidade. Entrtt<mto. se ;'Literann()S a ordem das nwtrizes. (;().
mo mostrado a seguir.
I 3
[2 I
ru> matrizes n5o mais C$tar~ em confonnidade p.va o prOduto. Fica. portmltó. evidente que e•n geral.
AB ;é BA
(8.57)
De fato. AB pode exi&tit e 8A pode ftll.o existir, e \•ice-versa. como em nos..~ exemplos. Iremos eswda.r mais
totrde que para algumas mmri.zes especiais A6 = BA, Quando is.o ocorre. dizemos que as matrizes A e B t·umu~
tam. Lren)()S enfatizar llO\'amente q1.1e. de form;,t ger.tl as llli'ltrizes não oomutam~
No produto A.U. n matriz A é dita ser p6s-mu/liplic.ada pela matriz B. ou a matriz U é dita sc:.r prt-mu/tiJtlicada purA. Também podemos \'Criticar as :>eguintes relações:
(A + B)C = AC + BC
C(A + R) = CA + CU
(8.58)
(8.59)
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PI.'Kk.mos: verilt~~ar que qua.lquer rnatriz A pre-multiplic;ada. ou pós-multiplicada J>ela rnatrit idel'llidade I per·
mmliX'C não alterada:
(8 .60)
AI = IA o A
Obviame nte. de\'emos g<H:.ntir que:. ordem de I seja tal que as mauizes estejam em conformid.adc para
o prOduto.
Iremos t1prcscmar aqui, sem qualquer pro\'a. outra importante: propriedade de: m<atri7.e..<;:
IABI = IAIIBI
(B.61)
Onde IAI c IBI representam O!' determinantes das matri7A'S A c 11.
M !,;LTIPliC.-\ÇÃO OE Ufi.M M ATRIZ POR UM VETOR
Considere a matriz li<• Eq . (6.52). ~· Ql•<.l ll'tpl\':senla !I Eq. (B.48). O lado d irei~o di• E(l, (8.52) é um p•'()(hno de
uma matriz A m x 11 pelo vetOr x. Se oonsideramos o ve1or x oomo um:. sendo uma m:ttrit ,. x I. então o produ·
to Ax. de ocordo1."00t a regra de muhiplkãc;âó de nmtri1.e$. resulta nó lado direito da Ell· (0.48). Portanto. pode·
n10S multiplicar uma matriz pOr um veror tnuru•do o \'étor como se ele fosse unta matriz 11 x. I. Obsen-'t. que ares-triçõo de conformidilde ainda penn.anocc. Port.:mto. neste ~·u.w xA não é dcfinid;L. pennanccendo sem se-ntido.
lNVERS..\.0 DE M ATRlZ
P'.l.rn definir a inversa de uma mutri 1~ vtum~ considerar um conjunto de equa<;ôes represen1ados pela Eq. (6 .52).
..I I"" "" .."·I '·I
,\:~
:
= ":•
:
(':~
:
y.,
,..
a~.,
~~
.
"
:
•••
a.,.,
:
:r,.
''"'
a.,2
(B.62a)
Podemos resolvt'r e~ <.'ó njunto de equ:.ções piua x1• •fi..... x., em 1em10S de y1• y~..... r .. utilizando a regra de
Cramcr jvcja n Eq. (b.3 1)]. resultando em
,l
x,
·'·
=
-
IDul
IAI
IDd
IAI
ID,.I
IAI
IOd
IAI
10..,.1
IDo. l
IAI
ID, (
IAI
ID,,I
IAI
IAI
lO...! I
IAI
l
[)'o
:r.
(B.62b)
n~ (lua! IAI é o dctcmlinamc d'•m.:uriz A c 10 ,1é o cofawr do ele mento a, da matriz A. O cofmor do elemento
a., é dado por (- 1)--t \'eles o decetmjname da mmriz (u - I) x (m - I) ob!ida quando a i-ésima linhn e j ·ésima
(·oluna d:. m~triz A são remo,•idas.
Podc:n10s desc:revtr a Eq. (9.62a) na fonruanHltticial por
y = Ax
(8.63)
.Dc:finimos. agora. A_,. a inversa d:. matl'it. qu;.u h;.tda A com a prop.-icd:.de
A-•A = I
(malriz unitárin)
(8.64)
Então. prê-muhiplicando os dois lados da Eq. (9.63) por A· • tt"rcml~
A"1y = A-1AX = IX = X
ou
(8.65)
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CAPf'M.o B
llM.'KOROUND
53
A oomparll\iio da Eq. (0 .65) com o Eq. (6.62b) mostra que
A '"' - -
IDul
llld
1
- IAI
ID,ol
ID.,I l
(8.66)
:
[
10 ...1
ID•• I
Uma dns condições necess:irias par:~ uma sol uç~o ánica dn f.q. ( B.62n) é que o número de equaç-ões de,·e
ser igunl ao número de incógnitas. Isto impli~ em que a matri-z A seja uma ITUltri;r. quadmdll. Além di.sto. obser\'e q~ a solução dada pela Eq, (B.62b) só existirá se IAI "J~ 0.' Poruuno, n im-ersa existe somente para mntri7.es quadradas e somente na condição de detenninonte da matriz ser dife:rente de zero. Uma matriz cujo detennin:unc seja ntlo nulo é uma m~uri z. mio singular. Po•1:.mo. a inversa somente exis1e para mntrize.\ quadro·
das n/iQ singulares.
Pela delinjç5o temos.
A-1A = I
Pós-multiplic-ando esta equaçl\o pot A-• e. enLào. pré-muhiplicando por A. podemos mos.trw' que
AA· • = I
(8 .67a)
( B.67b)
Clanuuente. us matri1.es A e A· • comutam.
A operação de divisão matricial pode ser efetuada atravis da inveNão matricial.
8 .6-3 Derivadas e Integrais de Matrizes
Os dcmcntos de umn m.atri7. não prccisnm ser necessariamente constantes, eles podem ser func;õcs de uma va·
ri:h-el. Por exemplo. se
A
,->
sen t
= [ e'
e-' + r:.
l
(8 .68)
então os elementos da matriz são fun('.ües de 1. Logo. é úLil represemàt A por A(l). Além djsso. sem útil definir'
a derivuda c a integral de A(t).
A derh':lda da malriz A(t) (com relação a t) é delinjda como se•ldo a matriz cujo •J-és.imo elemento é a derivndu (com rel:.çiio u t) do ij-6iimo elemento du mutriz A. J'>onnnto, se
A(t)
= la;1 (t)l. ,.
cntllo
!_IA(t)( =
dt
[dd a,1(1)]
I
(8 .69a)
"'""
ou
Á(t)
= 1«., (111•••
Logo. a deri\'ad.a da ntatriz da f.q. (8 .68) é dada por
. = [-2·-·
A (t )
~~
COSI
- e ' - 2r ..z..
(8 .69b)
l
De maneira cqui\•alcmc, define-se a integro! de A(t) (com relução a 1) como st"ndo 11 nutlrlz cujo 1}-ésimóelcmcnto é a integral (com respeito a t) do ij-êsimo elemento da matri7. A:
j A(t)til = (Ja;;(t)tl<).,.
(8.70)
' fusus du~ ~'(Jndições hnplk11m que o númcrncJ..o t!QU~IS ~;a i;u:d a.:• nünxro dt incógniw e q11e lodas t i ~ações ~j:un indc·
pendeft~t;S..
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54
SINAIS E SISTEMAS LINEARES
Portllnto. para a malriz A da Eq. (8 .68), Lemos
f
A(r)dr
=
[ f e' dr
J•-~ dt
Podemos facihneme provar M seguintes identidades:
dA dB
+dt
dt
dt
d
dA
-(cA) = c dt
dt
d
dA
dB
- (AB) = - B + A dt
dt
dt
d
- (A + B)
(8.71a)
2-
(8.7 1b)
.
= AB +
.
AB
(8 .7 1c)
As provas d.as ide-ntidades (8 .71 a) e (B.71b) W triviais. Podemos prOVar a Eq. (B.71c) como mostmdo a seguir.
Seja A uma matriz m x n e B uma matri'l n x p. Então. se
C = AB
• partir da &j. (8 .56) temos
•
•
•
c,. = L à,1b'*+ L al,b1,
,. .
J•l
--..--...,.,
(8.72)
~·
Vamos determinar A· • S<:
Onde
IDul = - 4 .
IDIII = I.
ID>ol = I.
IDul = 8.
IDnl = - I.
10,1 = - 5.
10 , 1 = - 4
ID, I • -1
ID»I = 3
e IAI == - 4. Portanto,
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CAPinJLo B
9M:l(OROIJND
55
ou
= d,J + e,,
t;J
A Equaç5o (8 .72) junt.:uncotc com a regro da m ultiplicaç3o indica claramente que d~~. é o J'k-ésimo ~ lemento
da matriz e ea é o ik-l:simo eJemento da matriz. A Equ.a<,iio (B.71 c) est'. desta ronna. provada.
Se fizermos B = A"1 na Eq. (0.71<:) obleremos
~(AA" 1 ) = ~A- 1 + A ~A" 1
dt
dt
dt
Mas como
d
_,
d
- (AA ) = - 1 =
(/t
dt
o
temos
( 8 .73)
B.6-4 Equação Característica de uma Matriz: Teorema de Cayley-Hamilton
Para uma matriz A (n
x
n) quadrada. qualquu \'etor x b: Jt 0) que satisfaz a equaçlo
Ax = l x
é um o111onrtor (ou
w~tor cctmctttrlstico)
( 8 .74)
e).. é o OJitOWJio r éom:spondente (ou mlor caroctu€sllco) de A. A
EquaçOO (8.74) pode ser e..~rita por
(A -l.l)x =O
(9.75)
A solução deste ooajunto de eqWl.ções bol~neas existe se e somente se
IA - Ãll = IÃI - AI =O
ou
.,
a 11
- À
au
(lll - À
.., ..,
...•••
(8 .763)
=0
(8 .76b)
a... - J..
A Eq. (0.76a) (ou (B.76b)) ét.~ham.ada de equação caml:tenStica da matriz A e pode ser escrita por
Q().) = I). I - AI= i."+ a.. ... ;....-•
+ · · · + a 1). + aj)Ã0
=O
( 8.77)
Q(J.) é chamado de poliniJmio caroct~risrico dn matriz A. Os 111cros do polinômio Cill'3cteríslloo são os autovalores de A e, corre:spondenOO n cada autovalor. e.xi.stc um autovetor que satisf3Z a Eq. (8.74).
O 1eorema de Coyley·-Hmnilton afirma que toda matriz A n x '' satisfaz sun própria equação caraclcrí~ica.
Em Ou tr.IS (Xl)avras.:. Eq, (8 .77) é \•:11ida se À for subs1iruído por A:
Q(A) =A" + li.-1A"- 1 + ··· +li1A +aoA0 =Ú
(B.78)
FuNr;:õES DE UMA M ATRIZ
Podemos. agora. demonsutr o uso do 1eoremn de Cayley..Hamihon para calcular funções dn matriz qu3dr00n A.
Considere uma funç5o/(À) nà fOOl'Là de uma s6ie infinita de potêncià:
/(À)
= fJo +/loÀ + flll•i + · · · + · · · =
L
.... {l;l.'
(9.79)
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56
SINAIS R S IS1'11>tAS L INEAIU!.<
Como À. sendo um autovalor (rait caructcrfstlca) de A. satisfaz a equ <:~ção car<K·ceríscié~l (Eq. (8. 77)1. pode-
mos escrevec
(8.80}
Se multiplic-artnos os dois lados por )., o lado direito é À."'""' e o lado dirdto contém os tcm10S À". I.,_,..... >..
U~nc.lo a Eq. (8.80). substituímos.\" em tecmos de ;.- •, i."-1,.... ).de 1al (Qrma que a maior potência do Indo dircitllé rcdu1.ida pam ,, _ I. Coolinuando desta fomla, vemos que À~ pode ser escrito em termos de i." ' .À" 2....,
l. para qualquer k. Logo. a série infinita do litdo dirtito d.a Eq. (8 .79} pode sempre ser expressa em termos de
À- . À--..... À c uma constante
(8 .81)
Se Msumirmos que existem n .:JUtovnlorcs distintos. i••• Àr-···· À.,. e.nt5o a Eq.t 6 .81) é \•álid<l para os nvalores
de À. A substituiç-Ao destes valores na Eq. (8.8 1) resulta em n cquoçõcs simultâneas
[/().1)]
f(l.:l
.
!.:
-
f(},.)
;.,~ - ·
1.'I
À~
ÀI
ÀÍ
À"- 1
À'
À.
I
"
"
[jJ
e
[jJ
).I
~. ,
).i,
).i
=
)..
)
..;,
'··-·
·.,• -·
)"
)"- ·
-I
[ f(l.,)
j(l.,}
l
(B.82a)
(8.82b)
f().• )
'•
Como A t.a.mbé.m satisfaz a Eq. ( 8.80), podemos utilizar um orgumento similar pam mostr::~r que sej(A) é
uma fu nçãO (le ll n\a m:uri:t quadrada A escrita oomo uma séria infinita de pol~nda. então
(B.83a)
c. c..·omo ar,;_umcntudo aJltes.. o IOOV direiw pode ser escrito usando os tennos de pocénda menores ou iguai.s a ,, _ I.
(ll.83b)
na qual os coc:-licicntcs P1 são determinados a pattir da Eq. (8 .82b). Se alguns dos out oY-~Iorcs sõo repetidos (roi·
:~:cs múltiplas). o resultado será. de alguma forma. modificado.
Demonstraremos a utilidade-deste resultado nos sc.guintes dois exemplO$.
8.6-5 !Xterminação da Exponencial e Potenciação de uma Matriz
Vamos determinar e,.,' definido por
~ At11
=L:k!
( ..(1
A partir da Eq, (6 .83b), podcll'l(IS escrever
• ·I
~Ar
=L
{J;(A)'
i:l
na qual os tcnnos {J, são dados pela Eq. (8.82b), com/(Ã,) =e....
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CAPhlJLO 8
.
.
B ACKGROU!\"0
57
.
..·.
Consideremos
A equ3Çiio (,:aractcristica é
11-1 - AI =
I;
~.-:.\ 1 = À'+ 3J. +2 = (). +
1)(1.+2) =0
Logo. os autOvalores s5o ;.., = -I. .\1 = -2. e
(/'' = flui +{!,A
na qual
[fio]=['I -1
- 2 ]"'[<"']
~ - 2r
/JI
=
[2 -I] [•"
e - ' l = [2<"' -·-·]
I
t''"' - ~ -'b
21
- I
•
l
ae-tt
(e"' - , - >)
-e-• +
DETERMINAÇÃO DE
( 8 .84)
A'
Como a Eq. (B.83b) indica. podemos escrever A~ por
A' = flol + fi,A + · · · + {l... , A"" '
na qual os {J,.siiiJ dados pela Eq. (B.82b) oomf( À;) = l.,4• Para um exemplo completo da detenninação de A' uti·
lizando es1e método, ''eja o Exemplo I0. 12.
B. 7 M ISCELÂNEAS
B.7-l Regra L'Hôpllal
Se limf(.()lg(.r) resulta em uma indetenninaç1io na forma 010 ou oolo:;., então
. /(.t)
hm - g(x)
. j (x )
= 1•m
-gttl
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58
StsAlS e SISTbMAS LmEARES
8.7·2 Séries de Taylor e Maclaurin
f(x) =
f(a) +
+
(.<-a)'!
!
2
(a)+ · · ·
'
+;\i!O) + ;;/(0)+
···
= /(0)
/(x )
(x-a) .
1! f(a)
8.7-3 Série• de Potência
x1
.,..}
x"
2!
3!
n!
ll=l+ .r+-+~+···+-+···
xJ
xs
x1
l;cn x = .r - - + - - - + · ··
3!
5!
7!
_.,. ! x4 .\'6 xt
cos..r=l--+---+-- ·· ·
2 ! 4!
6!
8!
3
5
1
x
lr
17x
tan x = x +- +- + - - + ···
3
15
315
x1 lxs
11x 1
ranh x = ~:--+----+ ···
•
3
)5
315
+ n.-· + r1 ( 112!-
(I+ r)" = I
.
l.t I «
+ 11.\'
=::. I
I)
I
,
- - = I + :r+ .r
I - ,\'
x2 +
x: < trl/4
x1 <n 2f4
11(11 -
1)(rt - 2) )
3!
X
+ ···+
(")
k
xl + · · · + x"
I
J
+.t + .. .
lxl < I
8.7-4 Somatórios
•
r"""• -r•
I>'
=
•r I
,., I
.(;- k=""'('::_,'+~I)
L.
....
2
te= ,,<,• +
•...,
J)( 2n
+ I)
6
~
• r+ ( 11 (r - I ) - li r"+I
L kr =
~
(r- I)·
taO
.
r-F I
L•..., k1r, = -c'~[(~l~+cr~)~(~l--c'_"~)--~27n~(~l~-~r~)r~·--~"-'(~1--_')~'~r·~j
( I - r) S
8.7-5 Números Complexos
('!tj llf:
= ±j
. = {I
- I
e .,.J""
e tJ'
npar
11 im(XIr
= ros 8 ± j sen 9
a + jb
=rel~
r=
V•' + b1 .8 = tan"' (;)
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CAPfrULO B
8ACKVROIJND
59
(rei' )*= r1 e'''
(r1e1"' )(r~l"'"') = r1 r?e-' 111'~)
8.7·6 Identidades Trigonométricas
e:!;J~
= cos ,\' :!:: j scn
<»S ),'
=
~(e l-'
x
+ e -J.r)
sen .f =~jeP -e-'~ 1
cos(X ±
j) = ::r sen .f
sen(.f ±j)= ± cosx
2scn xcos x = ~n 1x
sen1x + cos2 x = 1
cos1 x - sen1 x = cos 2f
cos1 x
=!<I+ cos lx)
scn1 x = ~(I - cos 2x)
rosJ x == ~(3 cos x + cu.;. 3x)
senJ x = ! (3 sen .x - se-•~ 3.f)
l)CO (X :1: )') = SCD X CQS )' :1: COS
X SC-0
)'
cos (x :1: y) = oos x oos y =F sen x sen y
( ± ) :;::
lanxy
sen .f sen y
1anX± lan y
I=Ftanxtan y
=!lcos (x -
y) - cos (x
+ y )l
couros y ~ ltcos(x - y) + cos (x + y))
senxcos y=jlsen(x- y) + sen (x + y)J
ocos x +bseo ,\' = Ccos(x +8)
C= J a: + b2. 8
=- tan- • (7)
8.7-7 Integrais Indefinidas
judv =uv -
f
J
f
J
ud11
f(x)i;(x) dx = j(.<)s(.<) -
scn nx d.x = - ; cos ax
1
l)ena.fdx=
x
2-
j /tx>stx) dx
J
cosaxdx-.!senax
(I
scn2ax
4<J
j x sc-n ax dx = ~1 (sen nx - a.r cos ax)
j
x
cos a.fd.f =
~(Có'S nx + axsen ax)
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60
SINAJS E SISlEMA!i LINEARES
f 'sen
x·
nx d:r
I
= ""j(2ax
sen tu- + 2 cos a.t - ' ' ' .t-' oos ax)
"
se.u (a - b)x sen (a + b):r
sen a:r sen b.t dx = ?(
b
,_(a + b)
_a - )
f
.
.
.
_
.
f
f
f ~· = "~('.......
f
f x.!e"~
...
f
f cos
f +.\' ,,. = f
-[c:os(a - b)x
..._
"(a - b)
SC:-0 IJ.l I: OS
b.t d.l
cos
bx dx =
tJX cus
-
l
(
+ cos(a+b)x
b
2a+ )
scn (a - b)x sen (a + b)x
,
+ :_:;;~.,:-;:ç:.
_(a - b)
2 (a + b)
d:c
.re'u tl.r
= -, (ax a·
I)
dx = : : (a 2x 1 - 2tu
ti'' scn b:r d :r =
I
,
a
.l'·
.,
1
.~ · + (I
02
I
, dx
~(a scn
a· +Ir
bx dx ==
t-"'
~
:
tan
+ 2)
bx - bc:os bx)
bl (tt cos b.t + b sen b .t)
1
.r
-
''
1
,
2
ln(x ~ + o )
2
d.l( = -
8.7-8 Fórmulas Comuns de Oerivação
d
- f(u )
dx
d
- (•w) =
d :r
-ti ("
-) =
dx
d
dll
dv
tlu
d,\'
d.r
= tlu
- f(u )d-:t
u - +v!f: - '' .11
!!!.
IJ ;/,o.
v
vl
-dx"
= 111("'-'
dx
·
d
- ln (t~.r)
dX
J
-
tlx
I
= -
X
log e
log(a.r) = - -
x
d
-~· = IJe"'
dx
ti
- d""'
(/X
= b(ln a ia&.1
ti
-
dx
Soell
tU
= (I COS ífX
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CAlofrui.O B l!ACKGROOND
d
- oos ttx
dx
61
= - a sen ax
d tan ax = .,..,.:;-.
a
__
-
dx
t.'OSl ax
!!._(scn- 1 ttx) =
dx
a
./J -
a:xz
-a
d
-dx ecos·' <ox) = r.=:TS'
JJ - 0 ix2
ti
-
dx
(Lan-• ax)
=
a
1 1
l + a:r
8 .7-9 Algumas Constantes Úteis
" "' 3.1415926535
• "' 2.71828 18284
!. "'0.3678794411
•
log11> 2 = 0.30103
log11>3 = 0.47712
8 .7-10 Solução de Equações Quadráticas e Cúbicas
Qualquer equação quodrr!tü:o pode ser redu~id:~ para o forma
ax 2 +bx + c = O
A solução desta cqua\ãO é dada por
-b ±
./b'
4ar
Uma equaç!lo ctt/Jico genérica
y' + py' + qy +r= O
pode !Oer rcdu7..idu para n forn13 CJíbica Tf!d1t:ida
pela substituição de
p
y::.rt - 3
Resultando e.m
b = j;C2f"- 9pq
+ Z7r)
Conside~, ngOJa
X
= A+ 8 ,
A+B
A-8
x = --2-+-2-.r-3.
A+B
A-8
x=-----.r-3
2
2
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62
SINAL'i E S ISTEMAS L O\'EARES
e
p
y = x-3
R EFERI!NCIAS
I. Asimo''· lsl:Lac. Asimov M Nunrbtrs. Bell Publishing, New YOtk, 1982.
2. Calinger. R.. ed. Q(usics ofMathemaricL Moore Publishing, Oak Park, IL. 1982.
J. Hogbcn. l.ancclot. Matllernolics in 1M Making. Ooubleday, New Yort, 1%0.
4. Cajori, Aorian. A History ofMathemarics, 4th ed. Chclo;ea, New York, 1985.
S. E.ncyclopaedin Britannica. Micropoedia rv. ISth ed, \'OI. I I, p. 1043. Chica,go. 1982.
6. Singh. J agjit. Grrmldeas ofModt!rn Malhtmratics. Do\'er. New Yort. 1959.
7, Dunham. William. Juumey 17uvugh Gt!niu.s. Wiley. Ncrw York.. 1990.
Matlab Seção B: Operações Elementares
MB.I Visão G<:ral do MATLAB
Apesar do MATL.Aa • (uma marca rea:i~mda pela T1te Mathl\brkl. Inc.) se1' rácil de ser utilizado, ele pode lnli·
midar novos usuários. Ao longo dos anos. o MATLAB e\-'Oiuiu para um sofisticado pacoce computaciorutl com
milhares de funções e mi lhares de ~gin.as de documentaç3o. Esta sessno fornecent uma rápida intrOdução ao
ambiente do softwan.
Quando o MATLAB é iniciado, sua janela de comando aparece. Quando o MATL.AB está pmn1o para aoo.i·
tar uma inSb'Uç5o ou ent:rad.'\, um promJM de comando(:.,.)~ mostrado na janela de comando. Quase toda ativi·
dade do !'oiATI...AB é iniciada pelo prompt de comando.
A e--ntrada de inSiruÇões no prompt de comando geralmente rtsulla na criação de um ou vários obje:los. Várias
classes de objetos sio possíveis, inc.luindo funções e strings (textos). mas g:eralmen1e os objeros são apenas dados. Os objetos sAo colocados no que~ chamado de espaço de trabalho (vorke~ce) do MATLAB. Se n!lo eslh-er vilifvel, 11 án:!ll de lnlbalbo pode t;er viSQI em uma janela separad<a d igitando M'Or*Jpoce no promp1de comando. A área de tr.lbalho fornece impoiUlntcs inrormações sobre cada o bjeto. incluindo o no me, tamanho e
elas..~ do objeto.
Outra fonna de \'Cr a área de trnbalho é atnt\'t$ do comando whos. Quando vhos é digitado no prompc de comando. um resumo das variáveis da área de trabalho t mowaOO na janela de oomando. O comando vho ~uma
''erstio curta de whos e mosrn apenas os nomes dos objecos da área de uaba100.
V<lrias funç&s existem para eliminar dados desnecessários e para ajudar a liberu recursos do siscema. Parare·
mover varif,-ei:s espedficas da úu de trabalho, o comando clear é digitado. seguido pelos nomes das vario!i\'eis
u serem removidas. Se digitarmos simplesmente clear removeremos todos os objccos da área de ltllbalbo. Adi·
cionaJmcnte, o comando ele limpa a janela de comando e o oonutndo el t limpa a janela de figura aaual.
Geralmente., dados importantes e objetos criados em uma sessão precisam ser sah'os para uso futuro. O oomando e•ve seguido pelo nome do arqui,•o desejado. salva todo a ;irea de trabalho em um arqui\'0, o qual pos.sui a e.x.tenslo .mat. Ta.mbtm ~ possfvel selecionar os objetos a serem sah'OS diglt.ando o comando eave segui·
do pelo nome do arqui''O e pelos nomes dos objetos a serem ~I vos. O c:om:uK!o load seguklo pelo nome do arquivo é utilizado para carregar os dados e objetos comidos em um arquh•o de dados do MATt.AB (arquivo .mat).
Apesar de o MATI..AB não salvar automaticamente os dados d3tirea de lnlbalho de uma sessão pam outra.
as linhas digiladas no pr0mpc de comando sio gravadas no hist6riéo de tomando. Linhas de comiUldo anteriores podem ser visw. copiadas e execuwtns diretamente da janela de hiMórico deoomnndo. A partir da jane.ln de
comando. pres.si.onu.ndo as teclas de na, •egaçio para cim a e para baixo percom:mos tt lista de comandos digitados, mostrando-os OO\'amente no prompt deCQmandQ. Digitando os primeiros ca.ract:cres e depois pres.sionando
as teclas de navegaçio peroorremo5 os comandos anteriores que começam com os mesmos carac(eres. As 1eclas
de mt,oeg3Ç!lo permitem que seqOI@ncias de comandos sejam repetidas sem digiW~Ios novamente.
Tahu o comando mais Unponante e útil P'lf'8 n0\'05 usuruios seja o help. Para aprender mais sobre uma funçlio. simplesmente digite helpseguido pelo nome d3 funçt\o. Um texto de ajuda sen1. ent1io. mosUõldo na janela de
comando. A deficil@ncia óbvia do comando be 1p I. que o nome d3 função tem que ser previamente COnhecido-. Es·
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te fato é especialmente litnitante para it~iciruues no MATI.AB. Felittnente as janelas de aj uda gel"i\lmeme tenninrun
referend ando funções simil.u.res ou relacionada-;. Estas referências são uma excelente maneira de conhecer novos
COfJ\Mdos do MATI..AB. Digitar belp belp, por exemplo. mostra informações detalhadas do comando help c
1mn~m fornece re(erênt.":ia a funções relevantes. w.is com o comando look!or. O comando look!or localiza fun·
\"ÕCS do MA11.AB baseadas em uma busc.a por palavro-cha\'e. Simpb mente digite lookfor seguido por Uf'lUI pa"
lavra chnve Gnica c o MA11..A8 procurará por funções que contenham cl\la palavnt<ha"e.
O M ATLAB também possui um help compreensivo baseado em HTML. O hclp HTML 6 acessado utilizando um navegador de belp integrado do MATI.AB. o qual também funciona como um navtgador padrâo d" wtb.
A.o; facilidades do help em HTLM incluem um fndi ce por funçâo c tópico. alt m da capacidade de busca por texto. Como os documentO$ HTML podem conter gráficos e caracteres especiais, o hclp em HTML pode fornecer
mais informaçGo 00 que o help de linha de C(Kn;lndQ, Com um pouco de pt:llica, o MATL.AB faz com que seja
fácil encontrar infonnações.
Quando um grá.fico do MATLAB é crindo. o com.1.ndo pr int pOOe salvar figuras em fonnatos de arquivo cGmuns, tais como P»'SCripl, postscript encapsulado. JPEG ou TIFF. O ronuaro dos dados ID06tr'fldos.. tais como
o nl1mero de dCgi1os apresen1ado. é selecíonado usando o oomaodo for.at . O belp do M.ATI..AB f0tt1ece todos
os detalhes nec..:uárlos para esta$ duas fullCjôes. Quando a sessão do MA11..•AB estA compleca. o eornando ex .
it finalh:a o MATL.AB.
~ffi.l
Opei"Bçiíes de Calculadorn
O MATLAB pode funcionar como uma simples caJculadom. truOOihando l!io fa.cllmel'lte com ndmeros complexos quanto com números reais. A adição, subtraçOO. muhiplk-..<;ão, divisio e expOnenciação escalares slkl efetundas utili1.ando os uadicion.ai.s símbolos para as operações: •• · , •, I e .... Como o MAn.AB prcdefine
i= j = J=T. uma constante complexa~ automaticamente criada utilizando coonleoadas Cartesianas. Por
eumplo.
>> z
% •
~ 3 -j •.f.
c
-3.0000 - 4.00001
associa a consUtnte -3 - j4l ''ariável z.
A.o; t...-omponcnte.'i real e imaginAria dez: são extraída.-; u.sando os operadores re.al e imag. No MATLAB. a
entrada de uma função c colocada após o I'10ftlC da função, entre parênteses.
Quando uma linha ~ tenninada com ponto-e-vírgula. o comando f executado rruu os: rt$Uitados n3o sno mostrados na tela. Esta car-déterística é útil quando se está calculando "alores intennediúios, além de pennitir várias instruções em uma única lin_ha. Apesar de não ser mostrndo. os resultados %_reeal • -3 e -z_1ug • -4
stlo calculados e disponibilizados para operações adicionais. 1ais como o d leulo de 1z1.
Existem ''ilrias maneiras de de.tenninar o módulo. ou amplitude. de um.;~; grandeza complexa. A uig<>nometria confirma que z • - 3 - j4. o qual OóiTeSponde a um triângulo 3 - 4 - 5. possu.i um módulo
l.zl = J-3 - j41 = J< Jr! + ( 4)1 = 5. O oonutndo sqrt do MATLAB fornece uma maneira de se deter·
minar a raiz quadrada ooccssária.
>>
•
z~~o
sqrtcz._~ecl~2
•
z_ imag ~2)
z._mag = S
N(l MATLAB, ,•ários com:r.ndos, induíndoo eqr~. acciuun entr.tdns em diversas fomus,lncluindo constao·
tes. vari~veis. funçOes, expressões e combinaçôes entre es1es.
O mesmo rcwltado também é obtido calculando lz:l = B . Neste cnso. o complexo conjugado é. excx1.11a·
do usando o comando conj.
>>
• aqrttz · conj(z))
%~9
Z...,JDaO
=
5
Ou. de ronna mais simples. o MATLAB cal01lla valores absolutos diretamente U$Dndo o comando a.bs.
>> z_mag * abstzl
Z_.IIIC.9 •
5
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64
SINAIS E SIST'E.\Wi LINEARES
Além da magnitude. a notação polar necessita da informação de fase. O comando angl e fornece o flngulo de
um mhnero complexo.
>> ~-r~d • angletz}
= -2 . 2143
z_rad
O MATI..AB espera e retoma ângulos e m radianos. Ângulos em graus nttcssitam de um fntor de com·crsão
apropriado.
>>
:_deg •
óng 1~(t) • l80tpt
= - 126.8699
z_deg
Obsen-e que o MATLAH prcdefinc a vnriá,·cl pi = 1t.
Também é possi\'cl obter o ângulo de .t usando a (unção de dois argumentos de arco tangente. ata.n2.
>> z_rad: atan2<z_imag .z_real }
%_r'lld • -2 . 2143
Ao comtário da função de mo langeme de um argumento. a funç:to arc()otangeme de dois argumentos ga·
rnnte que o ângulo esteja no quadrante adequado. O MATLAB suporta todo um conjunto de funçõe$ trigonométricas: funções trigonométricas p:tdrões coa. sln. ean: funções trigonomf!tricus recíprocas see. esc, cot; funções trigonoméuicas im·ersas acos, as i n, atan. uec. acsc. acot: c variações hiperbólicas coah. sin~
t.anh. sech. cech. ooth. acoeh. aeinh, atanh. aeech. acsch e acoth.. Ob\'iameme. o MAll..AB oonfona·
\'elmente supórta arguntentó$ complexos para qualquer função lrigonocnétrica. Tal oomo o comando angle. as
(unçõc:s trigonométricas do M.All.AB utiliT.am mdianos como unid!Kte.
O conceito de funções trigonoméuicas com argumentos rompk.xos ~ bastante intrigante. Os resultndos podem
contrnditcr o que é geralmente pensado em cursos introdutórios de mstcmálica. Por CJ~:cmplo. um pensamento comum diz. que lcos<x)l S I. Esla afirmatÍ\'3 ~ vflida para um x real. mas nAo é neccssari:t.meole verdadeira para x
oomple.xo. Este fato é faeilmenle verificado u~o o MATI...AB e a fuoçilo oos.
» eosf j t
n.ns : 1.54H
O Pr<.>blema 8. 19 investiga mais essa idéia.
Símilannente. a afinnaúva que diz ser impossh-el detemúnar o logtuitmo de um nUmero negodvo é falsa. Por
exemplo, o valor principal de-In(-I) éjTt, um (ato facilmente ,·eriftc-ado atr.:wés da equação de Euler. No MA1l...AB. logarilmos de base lO e base: ~ slio cak::ulados usando os comandos 10910 c 1og, ~pectivumente.
»
log( · l>
ans =O+ 3 . 14161
MB.3 Operações Vttorlals
O poder do MATLAB fic<t evidente qWLndo argumentos vetoriais substituem argumentos escalares. Ao ooatrário de caJculur um \'alor por \'e1.. uma únka expressiio calcula V".t.rios vaJort-S. Normalme-nte. \'etores soo classi·
ticados como veuxes linha ou vetores coluna. Por enquanto iremos considerar a criaçüo de vetores linha com
elementos n::ais igualmente espaçados. P..1ra criur tal \'etor. a notaçüo a:b:c i- uLiliz.ada. onde a 6 o ''alor inicial.
bdetcrmioa o tamanho do passo c c é o valor final. Por exemplo. 0:2:11 cria um vetor de tamanho 6 de inteiros
pares variando de Oa I O.
»
k
k •
a
o
0:2 : 11
2
4
6
8
lO
Neste caso. o valor final não a,.-..rece como elememo do ' 'etor. Tamanhos de passo r.egati\'OS e fracion:irios
1ambém são permitidos.
= 11: · 10/ 3:0
k: 11.0000
7.6667
>> k
4. 3333
1.0000
Se o tamanho do passo não for espocilicado, o vaJor - um'" é oonsidemdo como padrão.
>> k • 0 : 11
k •
I
o
2
•
6
7
8
lO
li
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CAPfruLO B
B ACKOROUND
65
A nocação vetorial possibilita a base para a resolução de uma grande variedade de problemas.
1
Por exemplo, considere a detenninaçâo das tl'ês tafus cúbic.as de menos I. vJ c - I c
para k inteiro.
De.cenninando u raiz t:úbica de» dois Indo$ resull.a em w = eil.r).+!~'. Para detennin.ar as três única-. soluç&s.,
utili7.c qualquer três valores inteiros consccutiws de k c a função exp do MATLAB.
rh>l
>> k
= 0:2;
>> ~ • e xp (j • lpi/3 •
w • 0 . 5000 ~ 0 . 86601
2 · pi •k/3)1
- 1.0000 • O. OOOOi
0 . 5000- O. SóóOI
As soh)ÇÕC:s. pan icularmeote w = - I, s!lo fáceis de serem \·erilicOOas.
A 00etminaç3o das 100 ráfzes únicas de w100 ::a: - I é tão simples quanto o caso anterior.
>> k • 0 : 99 :
>> w • exp(j •
tpt/LOO
~
2 •Pi • k/100l) ;
O ponto-e-vírgula no final da instrução imptde que todas 11$ I00 soluções sejam mostrnda.s. Para \'er uma solução particular, o usuário deverá especificar um fndice. No MATLAB, índices inteiros positivos crescentes especificam element06 particulares de um vecor. POf exempkJ. o quinto ele.n-.ento ele w é eJCtrafdo usando o fndice 5.
>> w (S)
ans = 0 . 9603 • 0 . 27901
Observe que esta solução corresponde a k = 4. A variável independente da função, neste caso k. raramente
serve c.:omo índk-e. Como k também é um \'CIOf. ele uunbé.m pode ser indexado. Neste cuso. podemos \'erificar
que o quinto elemento de k realmente é 4.
»
kCS>
a.ns =- •
Também é possh·el utili1,11r um índice de \'Ctor p:u'3 aceSS.'IJ vários \':llores. Por exemplo, o \'etor de fndioe
98:1oo identifica a& três llltima-s soluções correspondentes a k == )97. 98. 99).
»
w<98: 1001
• 0 . 9877 - O. lS64i
~ns
0 .9956 • 0.094Li
0.999S • 0.03L4i
As representações vecoriais fornecem a base para o criação rápida e utiliz~ de v4rios sinais. Considere a
simple.s sen6ide de lO Hz descrita por/(1) = sen(2Jrt + rrf6). Oois ciclos desta senóidc estão dentro do intervalo OS: t < 0,2 . Um vetor t 6 utilizado paro representar uniformemente 5(X) poot05 dentro de~e intervalo.
>> t
= 0:0.2/S00:0.2• 0 . 2tSOO :
A seguir. a funç!i.o f(t) é calculada para esses pontos.
t • $lnt2 •pi • l0 • t•P1/6) :
>>
o v-.tJor de/(t) para 1 =O é o primeiro elemento do vetor e. p<>nanto. obtido usando o fndk-c I.
»
f(l)
ana
= O. SOOO
Infelizmente.<:~ sintaxe de
indeuç.ão do MATLAB entra em conflito c.xJtn a ootaçlio padrlo de funçõe$ tnatemá.tica!.' Ou seja. o comando de indexaçiio f (1) do MATLAfJ não é o mesmo que a notação padr:io/(1) =/(1)~
.. 1. Deve~se. ponanto. ter cuidado para cvitat oonfusOO. lembre-se de que o par.lmctro de índice rMamente reflete a variável independente de uma ful)\-ào.
MB.4 Gráficos Simples
O co•nando plo t do MATLAB fornece uma mandra oozweniente de viwalizar dildos. t<•l QOmQ o grálioo de
/(t) em funç-ão da variável independente t.
»
plot (t.. f t :
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66
S1.-...:AlS e S tsrBMAS L u."EARES
lrr~-------.~------•
os
0.6
f/\
(\
OA
0.2
~
o
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-I
o
O.IJ.I
\/
\!
0.08
0.12
0.16
0.2
Figura MB.I /(1} = scn (2.rrt + rr/6).
Os rótulos dos dxosllâo adicionados utilizando os comandos xlabel e ylabel. sendo que: o texto desejado
deve ser colocado entre <tSpas simplu. O resultado6 mostrado na f ig. MB. I.
»
xlttboll 'l;. ' ) ; ylttbol( ' f(U ' l
O rosnando t i tle é UliliUido para adicionar um lfluJo acima do eixo corrente.
Por p.1dnio. o MATLAB conecua os poatos dos dados usando linh.1 sólida. O gr:1ftro de pontos djsc:retos, tais
oomo as 100 dnjcas rafm de w100 • - 1 é obcido fornecendo oo romando p l ot argumemos adicionais. Por
exemplo. o cardetere •o • avisa ao MATLAB para marcar cada ponto oom um círculo ao ínvés de conectá-los
c:orn uma linha. um.. destriçOO geral das OpÇões suportOOas pelo comando plot esui disponi,•el através das facilidades de ajuda do MATLAB.
>> plot(real•w), imag{v}, ' o ' ) ;
» xlabelt'Re<w) ' ) ; ylabel('ltiii(W) ' ) ;
>> axla e<rual
O COfT\Illld O axü equa 1 gsramc que 11 escala utili7;Jda pelo eixo hori7..ontnl seja igual a escala utili1..."1da pelo
eixo venical. Sem a.xie equ<'l , o gr.iftCO iria parecer clfptico e nAo circular. A figura MB.2 mostra que as 100
raízes únicas de w100 • - I estão igualnleme es~das no círculo uni1Jrio. um fato que nJlo ~ fac-ilmente observOOo dos dados numéricos puros.
O MATLAB também J>O$Sui funçües de gráfioo espe<:ializ.adàs. Por exemplo. os Côlnilndos eenU logx. semi logy e loglog do MATI..AB operam similurmente ao comando plot, mas utilizam e.sculas logarítmicas em
base IOcomo e$Cilla para o eixo horh:ontaJ. \'ertical c hori7.0nlal e ''en ic-al, respectivamente. Imagens monocro·
málic.'tS 01.1 coloridas podem ser mosmldas usando o comando illlf.ge. e gráficos de contorno silo fnci lmeme cria··
dos usando o con\ando contou.r. Além disso, urnl'l variedade de rotinas para gr4ficos lridlmension:tis sao dispo.
•••••
••
•••
••
I
0.8
0.6
OA
0.2
o
0.2
0.4
0.6
0.8
•••••
•••
..••
•••
••
••••
••
•••
••••
•••
•••
•
••I
•
•
••••
••
_,
•••••
•••
-0.5
o
•
••
•
••
•••
0.5
Rc:(w)
Figura MB.l Rafus únicas de w !Q) :z - I.
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CAPÍnJlO 8
BACKGROUND
67
nibilizad:.s.. t:tiscomo plot J, con~ourJ . mesh e surf. lnfOI"'l\aÇões sobte estas instn.•ções.. inch•indoexemplos
e funções correlatas e;stão disponivei.s u partir do h4:lp do MATLAB.
MB.S
O~nu,'i.es
de Elemento por Elemento
Suponha que uma nova f unção h{t) é necessária par.• fon:;ar um en\'elope exponencial na senóide /(t). h(t) •
f(t)R(I), onde g(r) = e"101• Primeiro. um vetor linha .q(t) é criado.
1)3da a representação \'Ctorial do MATLAB de g(r) ef(t). o cálculo de IJ(r) requer alguma fom1a de multiplic.açlo de vctOf. ExiSicm três maneiras padrões de muhiplicar \'Ctt)tCS: produto imemo, produto cx1e:mo (ou produto
\~Orial) e produto elemento IX)f' e&emento. Sendo uma lingl•~,gem ori(!:llt.·•do• a nl.'l"i;,o., o MA1l..A6 defi ne: o operador pádr5o de mllltiplicaçSo ··•" de acordo com as reg.ros da álgebra m~tricial: o multiplicando de\'e esw em coofonnidade <:Om o muhipl i(~OOof. Uma \'Ctor linha I x N va.es um \'CtOf lXllurw•N x I rtiüll.<l no produto interno (Ou
prodLUo esc.alor). Um vccor coluna N x I ve1..cs um \'<.'1or linha I x M n:sulla no produtoe.xtcmo. o qual é umn ma-
triz N x M. A álgebra rrnuri ci:ll prolbc a muhipltcnção de dois \"Ch)rc:s linh:1 ou a multipltcnção de dois \'CCOrt:SC()·
Iuna. PManto. o operador • n!\Q é utili'la(lo p.va cxe<;ut:tr :'1 mulliplic~o de c.lemcmo por cl~•ncmo.'
Operações elemento por elemento r~wercm \'Ct(l(es ,we tenham as mesmas dimensões. Um erro ooorrc :se
tentarmos realil.àr as operações de elemento por elemento entre vetores linha e coh•na. Nestes casos. um vetor
deve. primeiro. ser tnm:;posto para garantir que os doi$operondos \'ttoriais tenha as mesmas dimensões. A mui·
tiplicaç;lo. divis;'lo e e-xponenciação elemento por elemento s.'i.o realizadas usando os ope:r;)(lores .•. J e .A. res·
pecth•amente. A adiç--ão e s.ubtrtlção vetorial são intrinsecamente ele•nento pot elemento e 1l~O ''ec:essitam do
ponto. Intuitivamente. sabemos que h(l) deve ter o 1nesmo tamanho deg(t) e h(t). Pon.amo. h(r)é calwlado u~m­
do a multiplicação dcmemo pot elemento.
>>h=f. •g ;
O c:omaodo plot é capaz de troçar múltiplas curvas. além de pennitir. também., modificaçóe$ n.a!'i propriedades das linhas. Esta característica f:~dlita a c-omJXlraç3o de diferentes fu i)Ç'Ões. tais como h(r) c /(1). A s caracte:·
rls.tiC11s de linha s!kl esp::cific:.d:lS usando opções que seguem cada par de vetor. cootid.1& entre .'lS!XlS simples.
>> plot(t,f, ' ·k '. t,h,': k ' ) ;
>> x lbbti( ' t ' l : yl~belt'Amplitude ' ) ;
>'> legend( ' f I t i ', ' hCtt ' I :
Aqui. '-k' infonna para o MA11..AO tm(-ar}tr) usando urrw linha sólida prec<~.cnquanto ': k · inform<'l ao MA·
T LAB para utilh .ar uma linha preta pontilhada p~ra troçar h(t). A legendo 4: os rótulos dos dxos completam o
gráiiro mostrudo na Fig. M8.3. Também é possivel. upesarde mais uabaJhoso. utilizor os menus para modificar
ns propriedades das linhns e paru :~dicionor rótulos e leg<'nda.s dirccomcnte u P'lnir da janela d:J figura.
I
0.6
o.•
v
~
·ªl
<
0.2
·.
\
o
/
.•
-0.2
-'l.•
-'l.6
- 0.8
-I
tlgura MB.J
•
o
\ ...../
...-·····
' ·. \
~...
......., /
//
\}
0.(1.1
Compara~o grálic.:l
1.-.. . {~:~I
I\
o.si~
0.08
0 .12
\/
0.16
0.2
de fit) e Ir(I).
• AJ)Çl>ar 6e !õa' muilo inef.cicnce, 11 rMII:Iiplio:11":1o dcme1141) por ekme1141) "'-~ Kr re.al i~AA e..:CJaindo 11 dQj:onaJ principal do prudu.-w CllctnOdc doi~ \ 'CiortS dt latnallho N.
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68
SINAIS E SISTEMAS LI}."L\RBS
~·ID.6
OpcruçUês Mntriciais
Várias uplic(I\'Ões net"CSsitam m~is do que vetores linha com ekmcnlos isualmentc opoçados: velort's linhn. ve.
torcs ~,.-oluna e matrizes t.'Om clcmcntQS srbilr.irinl) são tipic:unentc nccessári~.
O MATI,.A6 ~u i diveNO.as funções para gerar as m ~nri;:cs mais comuns. Dado os inteiros m. n c o veu>r
x, :t fun~o cyo ( m) c ria a matriz idçmidadç m x m, a funç-llo onc& (m. n J crio s matriz m x u com ele me••·
tos uniuirios. :1 funç!o zero s t111, n) cria 3 matrit m x "de 1.eros e a funç!}o d i .-g t x) u t ili:l:~ o vetor x p.1ro
criar uma matriz. diagonnl. A criação de malril!es c veu)res genéricas. e n1nmtn10. nett".Ssil;t que cada elemcn·
to seja C:SfK>cificado.
Vecorcs e malri:t.es podem ser criados em um estilo de planilha usando o edi1or de ''etor do MA1'L.AB. Esw
abon:Lagcm gráticJté gcrnlmcmc mai.c; trabalhQS:t., não sendo muito u1ili1.:ida. Um método mais direto é prctCrfvcl.
Considere um simples vetor linha r.
r =l l
O 01
A notação do MATLAO a : b: c não cria e.o~:te vetor linluL No lugar dela. <:olchetcs são utili1..ad0 para tri~r r.
» r .. (lOCJ
r • l
(I
O
Colchetes limitam o.s dcml!ntos 00 \-c:Wr e csp~-us ou vírgulas são utili:t.ndos para separar o.s elementos da
linha.
A $CSuir. t.'OOsidcre 11 mJttriz A 3 x 2.
A matri7. A pode ser viJ'-1!1 CQmO uma pilha de trés andares de vctores linha de dois clcmcmo.,.. Com o pontoe· vfrgula p.1m separar as linhas. colchetes são utililados para criar a nm rit.
>> h :
(2 3 ;4 S;O 61
.:.. = 2
~
'o
s6
Cada vetor linha pr«isa ter o mesmo tamanho paro~ <:riar uma matriz <:om senlido.
Além de fcehar nrgumcntos de texto. aspas simples tnmbém e.xc<:Ulam a opcroção de tron..;posta de comple·
xo CQnjugndo. Desta forma. vctous linha se tomam \'CtOfes coluna e viro-\·crsn. POf exemplo. o vetor coluna c
é f:.lCilmente criado uanspondo o velOr linha r .
>>
c
c = r'
=1
o
o
Como o vetor r é n::al, a transpostn complc:>:o <:onjugado é somenle a tran...;posta. Se r fosse <:omplc>:o. a trn.nspostn simples seria reali1.ada us.1ndo r . ' ou tc:onj Ir )) · .
Mais fotm;.dmente. colchetes s..,o tuiliUldos como opcro~ilo de concstcnnç~o. A eooc:ucnaç-llo combina ou ~
ne<:t<t pedaços pequenos e m um t04ul maior. A concmcnaçilo e n\'(1)\'c númems simples. wis <."'mo :t concatcn3·
ç5o utili~:oa.·, para "·riar a 1nat•·iz A 3 x 2. Também é possfvel concatenar objc1os maiores. ~:tis como vc•ores e
matri1.es. Port'"'émplo. o vetOr- c e;~ mutriz A podem serooncs1enados paro fotm~r ~matriz 8 3 x 3.
»
•
1
te A)
2
o
4
o
o
D •
3
'
6
lriio ()(:(Jfrt'rcn~ se àS dimensões dos COillJX)OentCS não fl)(cm oompat fvc is~ um~ mmri:t 2 x 2 não pode ser
<:oncatenodu <:om uma maLri:r. 3 x 3. por exemplo.
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Os elementos de uma mauizsllo indexados tal como \'etores. exceto pelo f;~.~.o de dois fndioes serem tipicameo·
te uti1i7.ados para e.o;pecificar a linha e a coluna.' O elemento ( I, 2) da matriz B. por exemplo, ~ 2.
» Bfl . 2J
60S • 2
Os índices podem ser ''etores... Por exemplo. um índke. vetor permite extro:ir os elementos da i1lterseçâo entre
us duns primcira'ilinhas c as duas primeiras colunas da matriz B.
,.,. 911 : 2 . 2 : 3)
""$ • z
'
3
s
Uma técnica de indexação é p:~ntcul smu::nt e útil e merece stcnçâo especial. Dois pontos pode ser utilizado
paru cspecific.u todos os elememos tiO longo de uma dimettSlk'l especificada. Por uemplo. e (2, : ) seleciona os
ele mentos de todas as colunas da sesunda linh.a de B.
»
8{2 , :)
ans • O
Agora que compreendetnos a criação básica de "etores e matrizes. iremos vohar OOSSà atenção paro a ulili·
ução dest.ns feiT'Jmenlas em problciTUIS reais. Considere a resolução de um conjunto de ui:s equ:~ções lineares
simultâneas com três incógnitas.
x 1 - 2.x1 + 3x, = I
- f:ix, + ·''- J5x, ~ rr
3.1' 1 - ...fix'l + .t'J ::: ~
Este sistema de equações é representado na f01mt1 mt~tric:ial de :~col'do com Ax • y, onde
A =[-~
-2
I
-../7
Apew da regra de Crumer poder ser utilizacb para resolver Ax = y, é mais oooventcnte rtS<llvcr este si.ste·
mn pré·multipHcando os dols l:.dos pela matriz inversa de A. OU seja, x • A-•Ax • A· •y. ;-\ determinaç3o de x
llQ papel ou na calculadora seria. no mínimo. entediante. de tal fomm que o MATL.AB serli utilizado. Inicial·
me.nte criamos AS matri:-.es A e y.
» A = (l ·2 J : .. sqrt()) 1 •SQrtt5);.) •SQrtl7)
y = (1 : pl;e)(J)<1)) ;
1) ;
»
O \'éll'lr Sôlu~ão é detc:nninado usando a funç.ikl ! nv do MATLAS
>>
x • inv(A) • y
X: •1 . 9999
-3 . 8998
-LS999
T:unbém é possfvcl utm ~ar o operador de di\'isor a esquerd:t do MATLAB x • A\ y p:t.rn ellC(lntrar :~ mesma
501uç<lo. A di,•isão a csqucnlu t g:enlmenle mai.s cfkieme computacionalmente do que a in"ersOO de matriz. Tal
como nu multiplicação, a divisão a esquerda necessita que os dois argumcntQS cstcjnm em conformidade.
Obviamente, a regra de Damcr uunbém pode ser utilizada pura dctenninar as soluções individuais. tal como
x,, usando a indexaç.llo de vetor. concatenação e o comando det do MATI..AB pru'a calcular os determinantes.
» xl = d et( [y.A(: .2 : 31} 1/det lAt
xl -= ·1. 9999
' o, e.lcnk'tlltlll da nur~rit. 1:wlbém podem lliCr ncc~~ com um tlnioo indicc. o q~l é nwnctlldo 1!0 lonr> da" culunn~~o. IUmalmente.
o deme"*'> cb linlu "'e dl ~I~U~n n lk uma molriz M x N pode~ oblitlo uosando o dniro fndiox Vt -I).M +""' f\)1' e..~mplo. o e&oe.
m..'fi!O ( I. 2) ~ cn:.ult 8 t ~ado US*'IOO o Ú'ldice ('2 - I )l + I = • . (N sejA. B( 4 I 1\.>tOmll 2.
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70
SINAIS E SISTEMAS Lu..'EARES
Outra apliç.açiio interessante de matrizes~ a criaçllo simuhlnea de uma fatru.1ia de curvaS-. Considere h,/.,1) c
,.·• sen{21tt + ~r/6) para OS t S 0.2. A figura MB.3 moslr.l h,J..r) para a= Oe a= 10. Vamos inve.uigar a família de curvas h.,(t) pon ex= (0. I,..., 10).
U•na maneira ineficiente de l'eSOiver es1e problen~a 6 criar hJ,t) para cada a de interesse. Is•o ir4 requerer l i
casos individuais. Em \'C:Z dis!iO, a abordagem matricinl pennile que as l i ourn.il sejam determinada\ simultaneamente. inicialmente. um vetor que contenha os valores desejados de a~ criado.
>> ~lfo •
CO:lOl :
Utilimndo o intervalo de amostragem de um milissq;undo, âJ = 0.001. um •ietor de tempo lllmbém é criadQ
»c= (0 : 0 . 001 : 0 . 2) ';
O resultado 6 um vetor coh.1M de uunanho 201 . Copiando o \'etor de 1empo para cada uma das l i curvas necess4rias, uma m~uriz de lt-mpo T ~criada. Esta cópia~ realizada usando o produto externo e~~ner e um vetor de
unsdel x 11.'
>> T
= t • onestl . ll);
O resuhado é uma nuuriz 20 I x l i que possui colunas idênticas. A muhipl.icaç3o direta de T pela matriz dia.
gooaJ criada a pa.n.ir de a faz ooro que as oolunas de T sejam individualmente tsc<tlonadas. cak:ulando o resul·
tOOo final.
>>H=
exp(-~~diag(alfaJJ .
• sin<2• pi • l0 •T+pit6J :
Logo. U ~ uma matriz 201 x 11. na qual wda coluna comsponde a um valor diferente de CL Ou seja. H =
l i curva..; ~juda.o; são simultaneamente moslf3daS usando o comando pl()l 00 MATLAB, o qual pennite um argumento matriciaL
(h.. h1. .... h1,J, onde hu Siio vetCioJ'es coluna. Como mostrado na Fig. M8.4. as
» plot<t,H); x label( ' t') ; yla.beU ' h(t) ' ) ;
Esu~ e.xempiC) ilu.strn uma 1écnica importante c hamada de vctorizaçlo. a qual aumenta a eficiência de execuç;io paro linguagens interpretadas como o MATLAB.1 Algoritmos de vetoriz.ação utilizam operaçOes matriciais
e vecorin.is par21 evitar repetição manual e estruturas de lac;:os (loops). É ne<::es.:Wio prática e esforço para se tornlll' nl•cntc em vetoriuçio. mas o resultado é. um código eficiC'nte e compacto.
MB.7 Expansão em Frações Parciais
Existe uma grande variedade de técnicas e atalhos pata caJcular a e.xpansOO em ft1çOes parciais de uma funçtlo
racional F(x) a B(X)IA(x), mas poucas silo mais sim!)Jes do que o oom.n.ndo reeidue do MATLAB. A rorma b;i.
slca do comando é
>>
(R, P, K] = residue(B, A>
figul1l MB.4 h,.(r) para a= (0. 1..... 10).
' O co•naftdo repmat ~ wn ~lodo mais nC'J;f\-el de~ objelos. 1\xti.a SC'futilillldo. T • repnat (t, 1 , ll) .
Os bend'rdos da '~orilaçio fio n~ proo~ nas'~ 1nais rtttntcs 00 MA11..AB.
1
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CAPfn.ILo 8
8 ACKOROUND
71
Os dois vetores de entrada Be Aespecificam 0:$ coeficientes do polinômio do numerador e do deoomin.ador,
rcs(>l!ctivamente. Estes vetores são órdenados em potência decrescente da variá\-el independente. Três vetorts
são caJcul:tdos. O vecor ~contém os coeficientes de ~da fraç.!o parcial, o vetor P contém as rnf1.es correspoo·
dentes de cad<i frnçào pru"Cia.L P~ a miz. repetida r vezes. as r fmções parciais silo O«<enadas e m polência crcs·
cente. Quando a função racional não é própriu. o vetor Kconh~m os term()S diretos, os quais são ordenados em
potências descendentes da variável indepeDdente.
Para demonstrnr o poder do comando residue. considere delenninat a expansão em fraQOes parciais de
F (i<) -
x' + "
- -.,.--7-x>:-+-'---"""-Jsx• + ./J2.t- 4
- (x + ./i)(x- ./2)' - x'-
faJ..endo no papeJ. a txPQnsão em froçôes parciais de F(x) é difícil de ser detemlinada. O MATL.AB. entre·
tanto, faz com que o trabalho seja muito re<hrtido.
»
(R. P, K) -= residue ( ( 1 O O O O pi ) , (1 -s qrtt8J
R.: 7 . 8888
S . 9 713
3 . 1107
o. 1112
p • 1.4142
1 . 4142
- 1 . 4142
1 . 4142
K
oz
LOOOO
O sqrt t l 2)
2 . 8284
Escrevendo nn forma padrão. a expansão em frnções parciais de F(.x) é
···c>
r x
, ••
28
=X+.">"+
7.8888
s.9713
3.1107
o.1112
,.+
r. +
r. +
r.
x - v2 (.t - v2)' (x - v2)' x + v2
A funç3o residuez do toolbox de processamento <11! sinais é similàl' ao comando res idue e oferece a ex·
pansão mais c.-on\'e niente de cenas funÇ'Ões ractonai.s, tais como a.~ freqüentemente encontrodas no esrudo de siS·
temas em tempo discreao. lnfonnações adicionais sobre os oom."'lndos res idue e resid\Je • estão di.sponfvcis
no help do MATLAB.
8.1 Dado um número complexo w =x + j y, o oom·
plexo conjugado de w é definido em coordena·
das reuUJgulares como w• = x .. ))', Use este fa·
to para detenninar o complexo conjugndo nu
(onna polnr.
8 .2 E$.·:reva os seguintes números na fonna polar:
(n) l +j
(b)-4+j3
(c) (I+ j)(- 4 + j3)
2e_,,,.
(d) e'"'" +
(e)ej+ l
(I) ( I+ j)/(-4 + j3)
8.5 Dado w = x- jy, detennine
(a) Re(<'")
(b) lm(e")
8.6 Para DS oonstantes complexas arbi1n1rias w, e ~·
\'Critique se as seguintes iguuld:Kies são verda·
dci ra.~ ou falsas
(n) Re(jw1 ) = -lm(w 1)
(b) lm(jw.) = Re(w1)
(c) Re(w1 ) + Re(w,) = Re(w1 + w,)
(d) lm(w1 ) + 1m(.,)= lm(w1 + w,)
(c) Re(w1)Rc (w1) = Rc(w, WJ)
(0 lm(w1 )/lm (ll'2) lm(w.JWJ)
=
=
8 .3 Escrer.. os seg uinlc:s OIÍmerQS na rornl:l Cur1e·
sinna_:
(a) 'j,.i•t•
(b) I
(C) (I + j)( -4 + )3)
(d) t!j"' " + 2t'-i"l"
(e) e 1 + I
(I) I / 2'
0 .7 Dado w, 3 + j4 c w~ = 2e,_.
(a) Escrewt. w, ml forma polar.
(b) Escreva w l nu forma rec.angular.
1
(c) Determine lw,l e lwl.
(d) E.1ereva w, + w: na fOfflla retangulur.
(c) Escre\•a
w1 ru forma polar
( I) Escreva w, w1 rul fOtma rtlanguJat
(g) Esc.:reva w.tw:• na forma polar.
8 .4 Para a constanle complexa w. prove:
(n) Re(w) = ( w + w')/2
(b) lm(w) a (w - w')/2}
8.8 Repita o Problema 8 .7 usando '" • =
w~ = 2.5ji....
I•'
w,-
(3 +
j4f e
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72
S INAIS E SISTEMAS LI~'F..ARE.S
8.9 RepitaoProblemaB.7 usandow1 =i+ e~ e w 2
; cos (J).
8 . 10 Utilize a identidade de Euler para resolver ou
provar as seguintes proposic;:úe~
(a) Detenninc as L'OflStantes reais e positi\•as c
c ,P paro todo r~l t tal que 2,5 cos(3r) - 1,5
sen (31 + llf3) ; n:os (31 + ~).
(b) Prove que''" (0 ± </>); oos (O) oos (~) ±
scn (9) sen (~).
(c) Dadas :ss constantes a, b e Cl. e :s oonsuuue
complexa w. e o fmo de que
'
1
~u tlx
o
I
= -(e•,.~"4 }
"
Figura PB.ll Soluçõc:=s distintas de.(w-
w
Detennine a integral
l
lt e,._•
sen (cu) dx
"
8.11 Além dns trudiciooais funções seno e cosseno,
existem as funções de seno c cosseno hiperbdlicos. as quais são definidas por scnh(w) =
(ct -e.... )12 e cosh(w) =(e"' + e''-)12. emgemi. o argumento é uma constante complexa
w=:r+jy.
(a) MO<tn: que oosh(w) = co.<h(.<) ro<(y) + j
w,r
8.14 DetermJne as soluções diStintas de (j- w)'., = 2
+ j2. Utiliu o MA1LAB paru traçar o conjunto
solução no plano complexo.
B.JS
S.:í=
./=l.oqucé.jJ·I
8 .16 Determine todos os valores de In(~). escrevcn·
do sua respos1a oa ronna cartesiana.
8.17 Detemline todos os valores de ktg 10(- 1). escre·
\~ndo sua R:Sposta na forma Cartesiana. Obser·
\'C que o logaritmo é na ba.'OC lOe não ns lxlSC' e.
scnh(.r) sen(y}.
(h) Dcu~rmine uma expressAo similar para
scnh(w) na fonna rctnngu l:tr que utili?..e
apenas funções de argumentos rc:~ i s, utis
como sen(;r), cosh(.)·) e assim por diame.
8.18 Obtenha as seguintes expressõe$ na fonnn de
coorde.nOOas retangulares:
8.12 Usando o plano complexo:
(a) CalcuJc c localize as soluções distintas de
8 .19 limjt:mdo w a imagintírio puro. m~ue que a
oq~ão COS( w) = 2 pode ser represenlàda como
uma equação quadrática padrlo. Resolva esta
equuçiío paru w.
w~
;;;:r
- I.
(b) Calcule e localize as soluções distintas de
(u;-( 1 + }2))'=<32/ ./2)( 1 +j).
(c) Tr~ a solução de lw- ~I• 3,
(d) f'aç,uogr.Sfimdew(l)=( l + t)r" par.t
(-I O!fl!f 10).
0.13 As soluções dislinws de (w -
wS' = u;! estãQ
em um cfreulo no plàno complexo. como mos·
tmdo na Fig. P8.13. Urna solu,iio eslá loc:alh·.:ada no d;(O real em ./j + I = 2.732 e uma solu·
çiio está localizada no eho imaginário em ./3 I = 0,732. Determine w1• w! c n.
(a) In( I/( I + J))
(b) cos(l + J)
(C) ( I - j)'
8..20 Determine UllUl expressão para uma senoidc exponencialmente decrescente que oscila três vel.C'S
por segundo e <."UjO envelope de amplitude decai
50% n cada 2 segundos. Use o MATLAB para
mostror o gráfico do sinnl no i.n1cn•alo - 2 ~ 1 ~ 2.
8 .21 Faç.a o 111scunOO. no papel. d.1s seguimes e.xpres·
sões em rm>Çào da "aritivel t:
(a) .r 1(s) = Re (2eH+Jb 1')
(b) Xz(l) = lm{3- r l-jh)ll
(e) x3 (t) = 3- lm(e(l-J2")'
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CAJ>frt;L() B
8.22 U1ilize o MATLAB (XU'll pcoduzir os grálioos SO·
licilndos no Problema 13.21.
U.2J Ulilizc o MATLAB para cr.•çar o gr.itiço(le.r(l) cos(l) se.•,('201) em urna raixa <~dequ adil de 1.
B ACKQR(MJNO
73
sinais podem ser gerndos simultaneamente alf3·
vé.o; de- um simpks prot."tdimento: (I) f...'>Ct>lha
um (Xlflto 111 no drtulo unitário. (2) multiplique
w por ele mesmo c annazenc o rcsuhadQ, (3)
muhiplique w pelo último res.ultado e annazene
8.24 Utilize o M ATLAB JXII'. t tr:1çnr x(t) =
!:!~ 1 1."t)S (21tkt) em um" faixa adequad~ de t , O
comando &umdo MATLAB pode set 1í1il.
e (4) repim ._, JXISSO 3.
ta) Mostre que este método pode gemr o par
8 .25 Quand() um sino é b.11ido por uma baq ueu~. ele
produ1. um som. E.~rc\'a um:. equnçi'lo que
nproxime o som produ;'.ido pQr um pequeno e
leve sino. Cuidadosamcmc identi fique suas
consi<lernçôes. Con)O" s u" equ"ção seria alie·
roda !>e o sino fosse gmnde c pc-!>ado'? \ 't)cé po·
de vcritic:tr :1 qualidade do se u modelo usando
o comath.10 eound do MATLAB pm~ escuta•· o
seu "sino".
sinais pcri6dic.'Us de boa qualidade de 2JT x
I (K).()(X) rad/s sejam gerados.. Qunnto lem·
po é disponibilizado paro q ~ :.1 unid<.tc.le de
processnmenhl calcule cada amostm'!
(c) Simule este procedimento usando o MA·
1l..AR c relute seu~ rcsulludos.
(d) Identifique o m:~ior nllmero possívelta•uo
<k considcroçõcs quanto de limitações prua
eiw técnica. Por exemplo, o seu sistema
pode operar c.:um::tamc:nte por um período
de tempo indefinidQ'!
8.26 Cenas integrais. "pesar de e.-.l)(ess.:•s em uma
forma relath·amcnlc simples ).ãu di(i<:cis <k• se·
ll!m ·~solvidas. Por eJ~:elllJ)Io, J ,.-.. ~ nâ~) pode
ser calculada em lenllOS de funções clcm<:nla·
res; \'árias c;.tkuJado~s que t.K.e..:utam incegr;to\flo
não podem trabalhar com esta imcgml indefinida. f.'el i:t.nl('ntc. voe«! é mais intclígenle do que a
maioria <tas c.'l.lculadores.
(a) Escre\·a e-~ us..'IJldo a expansão em série de
T.'lyiOf.
(b) Usando a sua cxpan:>Ao em série paro e....:.
dCtCI'IllÍilC
J l'- J:.l d ~.
(c) Usando um.a série adcquud:uncmc truncada, calcule o \'a lorda intcgml definida
t' ,.,dx.
J;
J e • •) ilx.
Repita o Problema B.26 p:mt J Ct'tS.~ d.f .
U.27 Repitn o Problema 8.26 pata
R.28
2
8.29 Par.:t cad.'l uma das seguintes fu nções. dctem1inc
a e:c.,,ans.io em série adequada:
(' )
r'
!ovl=(2-x2
(b) fl(x) = (0.5)'
8.30 V01..'ê está tr:.lb.'l.lhando em um re(;epcor rom uma
modulação dig.ilal de amplitude em (1Uat.1ratura
(QAM). O recepcor QAM ~~sit~• de um JXtr
de sin.ai.s c.m qlltldrmura: cos Wtl e sen Ml. E..<>tes
desejado de senóidcs em quadrmuro.
(b) !Xtermine um vaiOI" adequado de w tal (jue
H.31 Ç.-msidcre o seguinte sis1em:1 de equações
+ .\'~ + X J = I
x, + 2fl + l \') = 3
Xt
.r 1 -x1 = -3
Use a regta de Cramer para dt.témlin:.lr:
(a)
(b)
X1
.r,
(c) x,
Os decc m1inan t~s das motrizc~ podem ser calco·
lados usando o c.'Qffi:mdo det do MATtAB.
R ..l2 Um sistemn de equ:.çõcs e m termos de incóg·
ni1:1s ..:, ex! e COilStames al'bitrárias a, b, c. ti, e
e f é da<JI.) pc)r
+ bx, = c
dx1 + ex1 = f
ll.f1
(a) ReJ)(e-sente este- sis te-ma de eq u <"•~·oc~ na
fonna matriciol.
(b) ldcmifiquc constantes especflica.s pa~ a. b.
c. d, e cf tal que x1 = 3 c x1 = -2. As cons·
tamcs sclocionadas s.llo llnkas'!
(C) Identifique constantes não nul ~s pam (1. h.
, .• d. t" cftnl que um número infinito de soluções p.1.ra x, c ..:1 existam.
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x 1+x1 +xJ+X4 • 4
-z, = 2
x, - x.- • O
,r1 +.r2 +.rJ
x 1 + XJ x 1 -x1 -x, -x4 = -2
D.34 Rc,;.ol\'a o ~gui nte si.stema lle equJt(jÔCS:
x, - 2x:+l.r,- 2
z 1 - ZJ + 7z4 = 3
Z1 - XJ + 7.r_, = 3
-à.z+J.rJ-4.&.- . ..
B.JS Dcemrune a ~ em fraçÔC':' pvdaiJ.. no
pcapcl. d.M seguintes funçôe$ mdooais:
(11) 1/1($) • (/ + Ss + 6)f(i + l +I+ I ),
cujos pólm do <knominOOor ~Ilo em s •
UtiJi:zt o comando re•l~ do MATLAB
pan colcubr a e>po!»ii <m Cnoçó<s I*·
ciaó de H,,(J),
8.39 Quando lraç:Kl4 no plano complexo para - :r S
w :S 1r, n fu nçlo/(k?) • ~w) + jO.I sen(2111)
resulu em uma liaura <:hlmlàdajiguro de UI·
sa}QI,,f que se a:t..~me l hll a umu hé-lko.ede um bimoc.or.
(a) No MATLAU. c:rie dois \'eLOI't$ 1inha f r e
f i com~;;pondentcs 1 pGne real e i~­
ria de/(.r). rbpecth·amente.. para uma oO·
mero aôeqU>do de N....,.,... de "'· Trace
a par1t' real e-m Cunçlo da pane imat,iúria
~ otssen'e R
(b) Sejaaronswnecompku .,=z+ jyrepresrncada ft3 form:a ''etorial por
w a [; ]
±jes•-1.
(b) /11(1) = l / 111(s) =
(.\·J + s 2 + s + l)/(s 1 + Ss + 6)
(c) 11,(,) • 1/((s + ll'<s' + I))
(d)
o rwmaeo cb r~ lembra •
hélice de um bunotor.
Considem u nuttrb. R 2 x 2 de r(lC<"'lç3o:
IJ,(s) a (s' + 5s + 6)/(3<2 + 21 + I J
8...36 Uiindoocomandoresiduedo MAn.AB.
(a) VmfiQU< os ...WI>dos do Problema 8.35a
(b) Verif- os...WI>dosdo l'rob4cma8.35b
(c) VnirJQUC os resultados do Pfobltma BJ.k
(d) V<nf"fU" os ,...,,..... do Prob4cma B.lSd
8.37 De1ermine as consuntes a... a, e aJ d4 exp~tnsllo
1
em rrãÇões p31'\'"iais de F(s) a sl(s + t ) - nJCs
+ t)'+ • /(s+ l)' +of(s + 1).
H•.:\8 Seja N • 1,.,. nff , ,. .•.. " r n 1) a rtprescnlaç:lo dos
se1e 61timos d(a,jlos do seu número de tdeJone.
Coru.lrua uma função racional de acoeOO com
~105Ur que
Rw rouaoaa o '"CllO w por (I
l'*fi~
(c) Crit> ums mJmt de rotaÇiO R correspooden.tr a I o- t" M muhiplktuc. pela matriz
2 x N. t • U r 1 fi). Tract" o rnult:Kio
e "erifique ..e a hllicc foi r~almente rou·
ciQnru:la e m !iencido anti-horário.
(d} Dada u nl~trit. R, dctcrmimtd:a na parte (c),
qual é o e reilo de c:..;ccul:tt RRf? E o c:ik::ulo
de R.RRf? Gencmllt..e o rcsult.udo.
(e) Jn"escigu~ o OOf'nportamcftlo da muttiplicaçio de/(••J pda funçlo ."
Copyngnted matcnal
SINAIS E SISTEMAS
Ne.<>te capitulo. discuti~mos certos aspc<:(Q!i fund:uuenwis dos sinais. Também apresemareJOOS co•lceitos Msi·
cos impor1antcs e explicações qu.alitati\'3S sobre M razões tos ntétódos d.u teoria de sistem.u. Dessa foomlà,
consU'Uiremos uma sólida base pat"il a oomprecnsão da análise quantitntiw do rt'.."tante do livro.
S INAIS
Um Jinal é
um conjunto de dOOos ou infocmaçâo. Cornoucmplo. temos um sinal de telefone ou televisão. ore·
gi~tro de \'efldas de uma c:o~o ou os valores de fetbamento da bolsa de DC'l.oócios (por exemplo. o valor un~·
diodo índice BOVESPA). Em todos esses CJ.tmplos. os sinais são funções da \'ari~\·el i.ndepcndr.nte umpo, cn·
t.retanto. ~le nem sempre é o caw. Qu.'lndo Um.3 carga clétricn é disuibufda sobre um corpo. por exemplo. o si·
nal é a densidade de carga. uma função do esptl(tl em \'CZ do tempo. Ne11te livro. crabalh.a.remos quase que ex.<:lusivameme com sinais qoe slio função do tempO. A distu..'>sào. cnlrc.tanlo. se aplica de maneira t'QUivalente paro OOtroS tipOs de variáveis i odependente.~.
SIST1!MAS
Os si_
nais podem ser posterionneme ptocess..1dos por listt'mas. os quais pOdem modificá-los ou e.~Lrair infonna-
ç.ão adicionaL Por ex.emplo. um operador de nrtilh.uria onti-aérca pode querer saber a posiçi\Q (utum de um alvo
hostil que es1' .sendo seguido por seu md:ar. Conhecendo o s.inat do mdw-. ele &'\be a posiç$o passada e a veloci·
dade do alvo. Através do ptocessamenco do sinal do riadàr (a erumda), ele pode e-srlmar a posi~-ão futura do alvo.
Ponanto. um sistema é u.ma en lidt~de que pf'O(':esso um conjunto de sinais (~ntradas) resuhando em um outro
conjunto de sina.is (saldas). Unl íii~e-ma pode ser c.-oJL-.truido C()ffi compon('.fltes ffsko.s. elétr~. mecânicos ou
sistemas bidráulkos (reali;o.aç-00 em ho.rdh·arr) ou pode ser um :.lgoritmo que: calada uma safda de um sin.:tJ de
e ntrada (realiz.aç~o em softwart).
1. 1 T AMANHO DO SINAL
O tamanho de qualquer entidade~ um número que indica a largura QU Q comprimento da entidade. Genericamenté ralàndo. a am.plitude do sinal vuria oom o tempo. Como um sinal que e:dstc em um ceno inlerv;do de temPQ com amplitude vatianle pode ser medido pOr um número que irú indicar o tamanho ou :a força do sinul? Tnl
•nedida dt\'e <·onsider.ll não apenas n amplitude do sinal. mas 1ambém sua duração. Por exemplo. se quiscnoos
u1ili1.ar um único número V como medida do tnmanho de um :oer huma.,o. dC\'tmos considerar nlo somente seu
pe:so, mas tamlx:m sua ahura. Se fi~nnos. uma CQI)Sidcrat;!io que a (Qrma da pesSC>4 é um cilindro cuja \•ariáveJ
to m_io r (o qual \'arin com a altura Ir). ent~ uma possfvel medida do uunanM de uma pessoa de al!ura 11 é o
\'Oiumc V da pessoa. dado por
( I. I)
Copynghted r1atenal
1.1 -1 Energia do Sinal
Argumentando del>ta forma. 1>ódemos considerar:~ áre~ al:xlixo dQ sinal ,t{t) como uma pos..•*'cl medida de seu
tnm:mho, pois a áre;• iní considc:.rnr não soménte a amplitude. mas ta.mbém sua dur3Çilo. Entretamo. es1:1 medi·
da ainda é defeituosa. pois mesmo para um sinal ~'Tande x(t). suali área$ positi\·as e n~gaüvas J>OdeiU se c.:uM!ela.r.
indicando um sin:d de 1:mmnho pequeno. Esta dificuldade pode ser conigid::a p<-la dt~finição do tamanho do Si·
nal como a áre<~ debailtO Jci(IJ a qunl é sempre positiva. Pode~ ch11mar e..o;sa medida de energia do ,\'inalE,.
de.finj da (para um sinal real) JX~r
(1 .2-1)
Ess:t defini\:âl.) pode ser gwcrnliznd.'t p.1m um sinal complexo x(t), ~ndo d:Kin por
E,
= (" IX(t)l' dt
( I.Zb)
L.
Também ex,iS(em omrns possfvci.s medidas do tnmanho de um sinaJ. tal como a área sob lx(t)!. A medida dt
e.nergia. entrtll'uUó. é mais fácil de ser trabalhada m:uematicamcmc c cc>m mais scntid(l (como será mostradu
posterionnente). com a idéia de ser um indtca.Livo da ene~ia que pode ser extrafda do sinal.
1.1 -2 Potência do Sinal
A energia do sinal deve se-r finitn para q ue .seja uma medida signifi cati.,.n do tamanho do sinal. Uma COfl<.!iç!'ío ne·
ccssári:t paru c1uc a e nergia seja finita é que a amplitude dó sinal - Oqu:mdo I•I - 00 (Fig_. l.la). Caso comrá·
•·io :• imegral da Eq. ( 1.2.'1) n3o irá convergir.
Quà•ldOa amplitude dosinal :t(t) não- Oquando 1•1- oo (Fig. l .lb). n energiudo ~iru1l é infinita. Uma medida mai..s ~igniticntiva do tamanho do sinal neste caso é a energia média. se cl:t e~ist i r. Esta medida é chamada
de pt)rPncit• d(l sinnL Pt~rn um sinal x(t). definimos sua potência P, por
( I .3a)
Podemos gen.:ralit.ar esta defini,...no paro um sinal complexo .1.{1). sendo dada por.
( 1.3b)
.r(t)
(I)
(b)
Fi ~u ra
1.1
Exemplos de sinais: (a) um sinnl com t nergia fi nita e (b) um sinal com potência finita
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CAPÍT\JlO I
O~rve que
S tN!JS E SISTEMAS
17
3 potência do sin<ll P~ é uma média ternJ)Or.ll do quadr.klo da amplitude do sinaJ. ou seja. o valor
métlio qtl(u/rdtico de X(I). De fato, a raiz quadrada de P~. é o já conhecido ~·aJor mr.r (mi:z mé<lia quadrática) de :c(t).
Gernlmente. a média de uma entidade oo loog() de um grande intervalo de tempo aproximando do infinito
ex i ~e se a emidOOe for periódica ou possuir uma regularidade estatística. Se ud condição não for satisfeita. a m6·
diu não existirá. PQr exemplo . um sinal em rampa. x(r) = t. aumenta indefinidamente quando ltl - oo e nem a
energia nem a potência existirão para este &inal. Eotretanto. a função degrau unilário, a qu.al não é periódica nem
possui rc:gul:uidade estatfs.tica. possui um:t potência finita.
Quando x(r) é periódica, l.r(r)l! também é periódic-a. Portanto, a polênda de x(t) pode ser calculada da Eq.
(1.3b) efetuando a média de lx(r)f em um peóodo.
Comentários. A energia do sinal. tal como definida pe:las Eqs. ( 1.2) não indica a energia rn.l (no sentido con·
vcncion.al) do sinal, pois a energia do sinal depende não somente do sinal, rruts também da carga. Ela pode. cn·
treumto, ser interpretada como a energia dissipada em uma carga nóml.illi:tada de um resistor de 1.-ohm. se a tC:n·
são x(t) fosse aplicada ao rcsiSior de l ·otun (ou se a corrente x(l) passasse a1ru~'és de um resistor de 1-ohm). A
medida de "'energia"' é, portanto, illdicatiw dn cap;.lcid~de de energia do sinaL, não da e:nergia re.al. Por essa ra·
ziio. os conceitos de conscrwçio de energia nllo devem ser aplica.d(IIS a "EneJ:g.ia do sinal", Uma obsér.·ação pa·
rulelu se aplica à "'potência do sinal", detinjda pelas Eq, ( 1.3). Essas medidas são indicadores oon,•encionais do
tamanho do sinnl. sendo bastante úteis e m várias apHcaçôes. Por exemplo. se aproximannos um sinal x(l) por
outro sinal g(t). o erro de aproximação é e(t) = .r(t)- g(t), A e nergia (ou potê•lC:ia) de t'(t) 6 um indicador oonvcniente de quão boa foi a a.prox.im3Ç3o. Ela nos fornece uma n\édida quantiwiva para detenninannos quiio per·
10 c:sui n aproximnção. Em sistemas de comunicaçl\<1, durante :t transmiss:\o em um c~nal . sinais de mensagem
são com>mpidos por sinais indesejados (rufdo). A qualidade do sinal recebido é. ;h·aiWda aoa,·é.l! dos tamanhos
rdath'OS do sinal desejado e do sinal indesejado (ruído). Nesse C<'ISO. a tWo entre a potência do sinal de mensagem e do sinal de ruido (rel:w;ilo sinalru,do) é um bom indicador da qualidade do sinal recebido.
Unid&dts dt Enugia e Potência. As Eqs.. ( I.2) não est!io dimensionalmente corTetas. Isso ocorre porque es~<l­
rnos usando o lermo energia não em seu sentido con\'cncionaJ. ruas para indicar o tamauho do sinal. A mesma
observi!ÇOO é aplicada às Eqs. ( I.3) para potência. As unidades de energia e pot~ncia. oomo definidas aqui, de·
pendem da natureza do sinal x(t). Se .r(l) for um sinnJ de tensllo. Srnl energia E~ possui unid"des de volls quadrados.segundo ( Y:s). e sua potência P. possui unidade de \'OI1s quadrados. Se X(r) for um sinal de corTeme. suas
unidades serão ampem; qundrndos·scgundo (A 1s) e amperes quadrados, respectivamente.
Decermine as medid.as adt:quadu.s dos 1tinais da Fig. 1.2 •
.l (l)
- I
o
l
4
,_
( a)
- I
,_
( b)
Figura 1.2
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Na 1-lg. 1.2-a. a amplitude do sil't.lll - Oquundo !ti- oo. Ponanco, a mc:dida adcquadn p:ara esse sinal é sua
energia. E•• dada por
Na Fig. 1.2b. a amplitude do sinal não- Oquando Ir! - oo. En t~tan to, ela é periódica e. ponunto, sua
pocência existe. Podemos utili1...a.r a Eq, (1 .3a) p.m detenninar sua potência. Podemos simplificar o procedi·
mento para sinais periódicos observando qüe um sinal periódico se repece regulanne.nte a cada período (2
segundos neste c.âso). Portanto. fazendo a mé<B<a de .~(t) em um inter,•alo inlinilmnente grande 6 identico a
~.-akul ar a
média em um periodo (2 segundos neSI.e caso). Portanto.
_
I
P.. - i
1-·'
1
_
1
.r (t ) dt- i
J'-·
I
2
_I
dt - j
Lembre-se de 4oe o sinal de pot~ncia é o quadrado de seu valor rrns. Ponamo. o ''aklt nns desse sinal6
lf ./3.
,,
.,
Determine n potê.ncia c o valor rms de
(b ) .t(l)
=C COS(t~l +0)
= C, oos (w 01 + 00) + C 2 oos ("''i + 8,)
{C) X(l)
= D~JOif,l
( a) X(l)
(a) Esle é um sinal periódico com período T0 = 2::rfr~Ju. A medida ndcquads dcs!>e sinal é sua potência.
Como ele é peri6dko. podemos cakular sua pocênc:ia calculanOO a média de sua energia em um periodo T4J
= 2.;'th~. Entretanto. par.:. efeito de demonstração. resolveremos esle problema caLculando a média e m um
imcn•alo intiniwmcmc grande, ur..nndo a F...q. (13n).
1 J T/! 2
C1
P, = lim ,.C «>.< 1 (%1 + O)d1 = lim lT
T ""'
:c
T
lim -C'
2T
T-'<t;
~ T{l
j'
f2
- t i '.:
l -')(1
dr
+
lim -ç.-:.
2f
T- 1'10
j "'
~ T/2
~ (lM,t
jm +
(I
-f/2
cos (2%t
+ 20)) d1
+ 20) dt
O pri111eiro ttm\0 do lado direito é igual a C12. O seguOOo tem1o. entrçcsnto. é igual a zero. pois a intc·
gnd que aparec:t neste termo represe-nta a ;irea ab."lixo de umo'l se-nóidc em um imen•alo de tempo T muito
grande. com T - oo. Essa árc;l é. no máximo. igual a .trea de meio periodo, devido aos cancel:unemos das
:in:=as positivas e negati\'as da sen6idc. O segundo termo i a área multipiK:àda por C !/2T com T - oo. Cla:.
mmcntc este lermo é nulo e
P -C'
•- 2
( 1.4a)
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CAPhtll.O I
SINAIS E SISTEMAS
79
ES$11 equação mostra que uma senóide com amplinKie C possui pOtência igual a Cn. independente do
valor de sua freqüência% (ruo~~t O) e ra~e 8. O "ator nns é Cf ..ti. Se a frtqüência do sinal rosse uro (um
si.na.J CC ou um sinal constante de amplitude C). o leitor pode mostl":l!que a poclncia é C.
(b) No Capitulo 6. iremos mos.~rar qoo a soma de suas senóides pOde ou não ser peri6dica. dependeo·
do da rtla.ç!io w 1/w1 ser um número r.Idonal ou não. Pon.nnto, o período deste s.inal n:ão é conhecido. Logo. s:ua potência será determinad.1 calculando a média da energia em T segundos. com T- oo. Portanto.
. 2C,C:
+ hm
-
r -oo
T
lrtl
- rn
oos(w1t +01)cos(w,t
+~) dt
A ptimeira e a segund.a integrnis do lado direito s3o as potências das duas senóides.. as qllàis são c ,:/2 e
C1~n. como detenninado no item (a). O terceiro tenuo. o produto das duas senóides. pode ser escrito como
a soma de duas senóidcs cos l(w1 + w:)t + ( 81 + 8JJ e C'O$ [(w, - ~)l + (8 1 - 8JI. respecth•amentc. Ago-ra, argumentando tal oomo no item (a). vemos que o terceiro tenno é nulo. Logo. teremos:'
(1.4b)
Eo.ruo,nnst V(C,' + C,2)/2.
Podemos focilmcnte estender este resultado para uma soma de qualquer número de senóides com fre·
qüências distimas. Portanto, se
~
.t(r)
= L c. oos (w, r + 0,)
•••
assumindo que nenhuma das senóides tenham [reqüências idémica5 c w" Jt O, entllo,
(1.4<)
Se X(l ) também possuir um valor CC. cal oomo
~
x(r) =c,+ I;c.cos(w..r +8,)
•• •
En1ão
~
P~=C~+! L C..Z
( 1.4<1)
•••
(c) Neste caSQ, o sinal é complexo e ulilitarernos a F.q. ( 1.3b) para calcular u potência.
P~
=
lim -I
r--o T
j"'
tDt'i...,.l d t
-rn
2
E.~~ afirmati\11. ~ wr~l'ro ti(lf'tlenlc: &e~• .,. 1:9:· Se 0!>1 = w,. o i!McgnuuJu do tcrwiru w:rmo ini c:oo1er a C(lll)tiii!Ge 0011 (81 eeiro IC:nno ..... 'lC• C: cos <S. - O:> quando 1'- oo.
9J c o l(:t .
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80
SINAIS I! SISTI!MAS tJNeARf.~
Lemb<e·se que 1•'""1= l. tál que 10"""1' =I DI' e
Px = 10 11
( 1.4<)
O V31or rms é IDI.
Comentário. N~ p.mc tbJ do Exemplo I.2 mosu"t~mos que a potência de uma soma de duas senóides é igual à
som.a d3s potências das senóidcs. Pode parecer que a potência de x,(l) + :ct.t) é P,1 + P,'!. lnfcli1.men1c esta conclusão geralmente niio é \'Crdndeira. Ela é válida apena.." para uma ocnn condição (on ogonalidadc), disculida
postcriollllC'ntc (Seção 6.5·3).
EXERCÍCIO El.l
Mosue que as energias dos sinais d:t Fig. 1.)3, 1.3b, 1.3c e l.Jd o;ão 4, I, 4/3 e 4/J., rcspecth·amcmc. Ob-:cr\e
que o dobro do sinal quadruplica sua energia e o deslocamento no tempo de mn ,)ioal não possui efeito ern )Ua
enetg.ia. Mostre •ambém que a pot(;ocin do si.nal da Fig. I.3e é 0.4323. Qual é o valor m1s do sinal da fig. 1.3e'!
2
1
o
o
- 1
(b)
( a)
(e)
.
-·
-3
-2
- l
r~
o
(d)
'
o
2
3
• ,_
(e)
Figura 1.3
EXERC ÍCIO EI .2
Refaça o Exemplo I.la para detennin:.r a potênda da ~eo6ide C I:O')(WJ + 0) calculando a média dá energia do
o;iMI em um período T0 = 2>t% (em ve.t de calcul3r a nul!dia c:m um intcrv.llo inlinilamenlc: grontle de tempo).
Moscre também que a pocência de um "innl CC x(t) = C0 é e sc:u v:~Jor rm1o é Co-
c;
EXE RCÍ CIO E l.3
Mosuc que sc w1 = w./' a JX.,lCência de C, c~(w1t + 8,) + <; cos(w1t +~)é fC1:+ C:l+2C, C1 00)(8, - 81 )ln. o
qual n3o é igual a (C,·+ C; )l2.
CAPhl.!LO 1 SlNAtS e S ISTEMAS
81
1.2 ALGUMAS OPERAÇÕES ÚTEIS COM SINAIS
Discutiremos aqui três operações úteis CQm sinais: dcsJ~mento, escalonamento e im'ef'São.. Como a variá\'cl in·
dependente na nossa de:scriç.!lo de sinal é o tempo. estas operações serJó t~hamadns de d~s/OC(~.mLnto temportll. ~s­
c:alonanrc rto tc~tqJOrof e "~v:r:;iio (itl'Versiio) lempoml. Entretanto, estu discus.!iio ~ Wlkla para funções tendo OU·
trus vnri.áveis independente.-; que Diio o tempo (por exemplo. a freqüência ou :t dislância).
1.2-1 Deslocamento Temporal
Considere um sinal x(t) (Fig. 1.4a) e o mesmQ sin:'ll atras.:tdo por r segundos (Fig. 1.4b), o qual chamarem06 de.
(J (t). O q ue 3C(lfltecer em X(t) (Fig. 1.4a) etn algum tempo / também 3001Ueceri com t/1{1) (Fíg. 1.4b) T segundos
após. no instante t + T. Portamo.
4>(1
+ T) = .<(1)
( 1.5)
e
= x(l
q,(l )
- T)
( 1.6)
.t{t)
o
1-
(>)
~(1)
;...r ~
= X(l -
·-
o
!' .'
( b)
X( l
i
o
(c)
T)
+ T)
·-
tlgura IA DeslocarnenlO temporal de um sinal.
Logo. no deslocamcmo temporal de um siDll.l por T sesundos, substiJUfmos t por r - T. Logo .l{t - 7) representa .\1t) ckslocado no tempo por T segunôos. Se T for positi\'0. o deslocamento é para a direita (otraso). como
na Fig. 1.4b. Se T for nega1ivo. o desloc.:ollnento é polr.l a. esquerdu (uVõl.J~"Q). como na Fig. 1.4c. Claramenle, .t(t
- 2) é .x(t) atrasado (dcsiOC'l'ldo para a d.ireita) de 2 segundos e x(t + 2) é .t(t) avançado (adiarnado. deslocado 1)3·
r.t a esquerda) por 2 segundos.
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82
SINAIS 6 StSfEMAS Ll.t.'EAR6S
EXEMPLO 1.3
A runçOO exponencl:.l x(1) = ~~ll mostrudn nn Fig. I.Sn é ntrasOOa por I segundo. TmC<' e descrevo matematicamente a fu nçilo tltta$Sda. Repila o problema com .f(l) ndiants(IQ por I to:cgundo.
.dt)
'"<__
,_
o
(:t)
~(t-1)
I
~·
,_
o
(b)
I
.-:(l i- 1)
o
- I
'(Ct
•l~ura
1.5 (a) Sinal.\"(1). (b) Sinnl x(t) alr3s:tdo em I ~gundo. (t:) Sinal x(t) udiruundo em I segundo.
A função .t(l) pode ser n~<ttematk.amen te descrita por
x(t)
=
{·-"
0
1 !=0
' <
( 1.7)
o
Seja xj.l) 11 rcpc-esenwção da fullÇ'.ãO x(t) alr.\sada (deslocada pàt:l direita) em I segundo. como ilu:Sltàdo
na }<ig. I .5b. Esta função é .f(t - I). Sua descri,Jo m:uemátiç.a pode ser oblidtl de.\"(1) substituindo 1 por 1 I "' Eq. ( 1.7). Logo
:rJ(I)
= X(l
-
I)
=
{
e ~lv
O
n
1 - 1 :;: 0 ou t :;: l
1- I <Oou t < l
(1.8)
Sejo x.,(t) a represenmção da fun\iiO x(t) :"ldiantada (desloca& p.m esquerda) e-m I segundo. como moslrndo na Fig. 1.5c. Esta função é.t(t + 1). Sua desc.~ri~·ão matemática pode ser obtldtt de .t(t) subStilllindo 1
por 1 + I na Eq. (1.7). Logo
x.(t)=.<O+Il=
{
~ ~ !v + l i
O
1+ 1 ~0
ou
1 ~- 1
t + I < OOU I <- 1
( 1.9)
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EXE R C Í C IO E I.4
&ttt..a a ck~ matcm:íti('3 00 sinal \ ;(1) da HJ . 1-"k- Este ~inal ~ uua~dot"m:! sc~undos . ~o ~anal ~do,
~·J o,tn: q ue~ <;.inal aua-;adoXJI) pode !Oer dcv:riLO m:itl!lnariCamc-ntc por tJtl = 2(1 - 2) para 2 S t S 3 ~ 1~uõll a tJ!1'0 1..'aso .;;OIICrfuio. Repiw. ~oona. o pi'O\.~imento com o ,jnal3ditlnc000 (~locado p;n n c~oqLu:1da ) cru I -;e~undo, Mo"u~ qUé 1!.\IC \Íntil tldiam:Kio x.<n pode ser <.k....""rito por t.,(r) = 2(1 + I). para - I S r S Ot i~ual CllO"OtaloO com.r.írio.
1.2· 2 Escalonamento Temporal
A compress5o ou expansllo de um s:inal no tempo é chamada de t!.fcalonameruo remporal. Considere o sinal x(r)
da Fig. 1.63. O sinalt;!l(r) da Fig. 1.6b é .\'(1) comprimido no tempo por um fator de 2. Portanto, o que IIC()ntcccr
com x{r) e m algum instante 1 tamb6m acon1ecerá oom f/J(I) no instante r/2. logo
~m = x (l )
(1.10)
~ (I ) = x(2t)
( 1.1 1)
e
Observe que como .r(l) :;;; O (XIta 1 ~ T, e T1, temos que tet (I(I) ~ O par.~ r = r,n e T{2. como mostrndo na
Fig. l.ób. Se .nt) for graW~do em uma tiw e reprodutido com o dobro da velocidade de gnwaç!kl. iremos obcer
.x(2t). Em geral. sex(r) for comprimido no tempo por um fator a (o> I), o sinaJ resulltlnte t/1(1) ~dado por
= x(m)
~ (1 )
( 1.1 2)
USMdo um argumemo similar, poóe•OOIS •nostrar que quando x(r) ~ expandido Cdesace~rado) no tempo por
um fator tr (o> 1). temos
~(1)
=xG)
( 1.13)
A Fis:. 1.6c mostra .r(r/2), o qunl 6 .t(r) v:pandido no tempo por um (ator de 2. Observe que na operação de es·
calonamento oo tem po a origem 1 = O é um ponto fixo. o qual pennancce sem alteração para wna operaç.Ao de
escalonamento, pois parat =O. x(r) = x(aJ) =O.
.t(l )
(a)
r,
o
i
,_
r,
!'
l
I 'i'
dtoll) j• -'12t)
( b)
r,
r,
''
2
j
!
,_
!
(<)
2r,
Figura 1.6 Esealonamento temporal de um sinal.
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84
SINAIS E S !.S TfMAS LII'EARBS
Em resumo, para escalonarmos no tempo um sinal por um fator a, subsliluimos t por ar. Se a> I, o ttc;ultu
do de escaklna.mento é uma comprcss.Ao c se a < I o resultado do escalonamento é um.n expansão.
4
.
. ·.•··
.
O l.í,<l
.
. :-....,.
. ·Ç. : .·
~.u... ..
.....
..
A Fig. I. 7a ~m um sinal x(r}. Tmce e descreva matematicamente este sinal comprimido no tempo por um
fator 3. Repila o problema para o mesmo sinal expandido no tempo por um fator 2.
o
- I .S
(a)
1
A.-(1)
-o.s o
( b)
,..----2
x, (t)
o
-J
(C)
Figura 1.7 (a) Sirwl x(t). (b) S inal x(Jr) e (c) sinal x(r/2).
O sinal x(t) pode ~descrito por
x(l)
=
U
- 1.5 ~ 1 < 0
e·•/l
0S t <3
caso contrário
(1.14)
A Fig. 1.7b mosuux~(r). o qual éx(t) comprimido no tempo por um fator 3. Conseqüentemente, ele pode ser
descri lo maJematicnmenle por x(3t). o qual é obtido subsli!Uindo 1 por 3t no lado direito da Eq. ( 1. 14). Logo
- 1 .5 ~ 31
< 0 ou
0~3t < 3ou
- 0.5 $ 1 < 0
O ~t < l
caso contrário
( U Sa)
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C APiTULO 1
St){Ats e StsrEMAS
85
Observe que os instantes 1 = - 1.5 c 3 em x(r) corrcspoodcm aos instantes r = -0.5 c I no sinal compômido.~'( 3 r).
A Fig . 1.7c mostra x~(t). o quaJ é x(l) expandido 110 tempo por um fator 2. Conseq(lerUemente. ele pode
ser deS(:rito matematicamente por .f(l/2). o qual é obtido substituindo r 1>0r t/2 em .t(t ),
x,(t ) : x
m
=
I
- 1•5 -<-<
2 0 ou
2
-3::: 1 < 0
I
2 ('_,,,
o <-< 3 ou
O ::; t < 6
- 2
caso contrário
o
(1.15b)
Observe que os in~t antes 1 = - 1.5 e 3 em .f(I) çon-espondem oos in s.~ antes 1 = - 3 e 6 oo sinal e.xpandido
.\'(1/2).
EXER CÍ CIO E 1.5
M ostre que a compressão tcmpc>ml por um fatOf " (11 > I) de umn scnóide resulta em uma sen6idc com mesma
amplitude e fu.sc. mas com uma freqfu!ncia aumentad;~ n vezes. Simil.armc:nte. a expansão no tempo por um fator
n (n > I ) de uma senóide rcsulln em uma scnóide com mesma amplitude e fase, mas com (reqüência redu.Lida por
um (tJtor n. Verifique sua conclusOO traçando a senóide scn2t c a mel'.ma scnóide comprimida por um fator 3 e ex-
pandida por um fator2.
1.2-3 Re,·ersão Temporal
Considere o l'>inalx(l) dn Fig. 1.8u. Pudemos ver x(l) como umn fonna rigida presa ao d xo \·enkrd. Na fl!\'ersão
tcm po~al de X(r). rotacion:mlOS csu• forma em IS<r com relação ao eixo vcttical. Essa reversão tcmporul la rcfle.x!'io de Jt r) com rei;)Ç.'lo ao e.i;<o vcnicall nos fornece o sinal tfi(I) ( Fig. I.Sb). Observe que o que .scontocer na
Fíg. l.&a em algum instante I também acontecerá na Fig. I.Sb oo i1lSH'UHe - r. e vk"'e•versa. f\ln,i~mO.
4>(1) =.<(-I)
( 1. 16)
;rtl)
_,
5
-·
1-
ta)
'
~(t) • x( - t)
2
-5
o
1-
- I
( b)
Figura 1.8 Reversão 1c mporal de um :>inal.
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86
SlNAlS E SISTOtA.S LINEARES
Logo. pan revener no tempo um sinal, substiiUímos 1 por
-1 e
o sinal revenido .r{l) result:l.ri no sinal
x(- r). De\·c:mos lembrar que a reversão é rc.alizaclu com relação ao eixo vmical, o qual runciona como uma
Ancora ou eixo de referência. Lembre-se também que a reversão de .\'(t) com relação ao eixo boriwntal re-
suha em -x(t),
Para o sinal x(t) mostrOOo na Fig. 1.9a, tmcex(-t). o qual é a m'Cf'S;ÜO tempoml dex(t).
-7
(a)
I
3
S
7 ·-
(b)
Figura 1.9
E:templo de revers5o temporal.
Os instantes - 1 e - 5 em .t(t) são mapeados nos inscantes I e 5 tmx(-1), Comox(t) • e.r.. ttm0$.x(-t) e e..n.
O sinal x(-t) ~mostrado na Fig. 1.9b. Podemos descrever x(t) ex(-1) pór
x(t)
ti''
= {O
-I
~ I
> -5
caso contrário
c a ''ers5o rcvenida no tempo dex(-t) ~obti da substituindo t por -1 em x(t), logo
x(-t)
=
{•"'"
0
- 1 ~-1 >-5
ou
1 ~1 < 5
caso contr4tio
1.2-4 Operações Combinadas
Cenas oper.-ções romplexas ncccuitam do uso simultâneo de rnais de urna das operações de$criw. A operuçiio mais
geral envQh--endo loda.'õ a' trê..o; opc:r.-çôcs ~x(at - b), a qual é realizada em duas pOSsíveis seqüências de oper.-.'ão:
I. Deslocamento temporuJ de x(t) por b para obter x(t - b). Realize. agor.:.. o escalonamento temporal do
sinal desklcandox(t- b) por n (islo é. substitun t por at) para obcc:r x(at- b).
2. Escalon;unemo 1emporal de x(1) por a p.m oblu .l{(.lt). Reali~e. agora. o deslocamento temporal de x(at )
pOr bln (isto é. sub.uitua 1 por 1 - (b/a)) para obcer x{(t(t- btn)) • x(ot- b). Em qualquer um dosC'.asos.
se o (or negativo. o tsl·.alonamento nO tempo também envol.,.e uma re,·e~ tempoml,
Porex.e.mplo. o sinal x(2r - 6) pode ser obtido de du:tS rorm{IS, PodemO$ atrasar .r(t) por 6 para obcer x(r - 6)
e. então, comprimir no tempo e.o;te sinal por um fator de 2 (substitua t por 2t) para obter :c(li - 6). Ahemath·a·
mente. podemos primeiro comprimir x(t) por um fatOr 2 para obter .t(2J) e. en(j(), atr-.tsa.r este sinal por 3 (substituindo t por t - 3) para obter x(2J- 6).
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l.J
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS
Ex.is•em diversas classes de sinais. Consideraremos aqui apenas as seguintes classes. as quais são adequadas para o escopo <1es1e nvro:
1. Sinais contínuos e discretos no tempo
2. Sinais anaJógjcos e djgitais
3. Sinais peri6dicos e não periódicos
4, Sinais de energia e potênd<~
S. Sinais dctcnninísticos c probabilfsticos
1.3- l Sinais Contínuos e Oiseretos no Temp<•
Um sinal q...e é especificado jXU'It vnlores contínuos de tempo t (1-i g. 1, 103) é um sinal comfnu<> m> tempo. e um
sinal especificado apenas paro valores discretos de t (Fig. 1.1 Ob) é um sinal discrtto 110 t~mpo. A s.'lfda de um IC·
lcfone ou câmeta de vfdeo é um sinal contínuo no tempo. enqlW.nto que o produto interno bruto trimestral. us
\'endas mensais de uma COrpórução e us médias diárias do mercado de ação s.âo sinais discretos no tempo.
x(t)
o
10)
Plll Trimestral: O retorno da recessão
Em sllcJ<u~:"Ôe\ t'lél'lXniUJh, I(KJa~ au0011\ OJU\Iokl..a-,:om a:s:t:.IA!.~
footc· c. . rnmcn:c l)ep.mnw:rtt. fl("\\o'> r'Cpc!fb
12
•
-
8
~
'
o
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J)U:l.')
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I
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.J.
1111
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( b)
Figura 1.10 (ll) Sinal oon.línuo no ccmpo c (b) sina l discreto no tempo.
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1.3·2 Sinais Analógicos e Digitais
O conceito de tempo continuo é geralmente c:onfundido com o conceito de analógico. Os dois conceitos são
difertntes. O mesmo é \'álido para os conceitos de tempo discreto e dig.ital. Um sinal cuja amplitude pode
:~ssu m ir qualquer valor em uma faixa contínua é um si11al <:omfn,o. Isto sig.oiíica que a ampliiUde de um sinal analógk"tl pode ~sumir infinitos ' 'alores. Um s;,wl digital, por outro lado, é aquele cuja amplitude pode
assumir apenas alguns números finitos de. valores. Sinais associados tom um computador digital sãQ dig.i·
tais porque eles podem ass umir apcnns dois valon:s (sinais binários). Um sinaJ digital cuja amplitude pode
assumir M valores é um sinal M-ário no qual o binário (M = 2) é um caso especial. 0,:; termos cot~tímto no
"mptJ e discn•w 110 ttmftO qualificam a n:uureza do sin.al ao longo do eixo de 1cmpu fe.ixo horizontal). Os
t('mlOS anaMgico e <llgiwl. po~ outro 1:.'1\10. qualific:un a n:uurcza da nmpliludc do ~inal (eixo vc.r tkal). A Fig.
1. 11 mostra exemplos de. sinais de.- vários tipos. Fica claro que um si.1l:;\l analógico n!io é necessariamente um
sinal -.:on1ínuo no 1cmpo e que um ~inal d igital não é necessariamente um sinal discreto no tempo. A Fig.
1.1 1c mowa um exemplo de um ~inal analógico discreto no h:mpo. Um sinal analógioo pode ser com'e.ni·
do em um sinal diS.ital(con\'cr~!io anr~ l ógico/d i gi tul (A/0)) através da quantiz.açãu (arredondtunemo). como
str.i explie<t(lo na Scçlio 8.3.
1.3·3 Sinais Periódlcos e Não Periódicos
Um sinal x(t) é dito periikllco se para algumta OOfl!>tantc posi1iva 7~
.r.'(l)
= .\'(1 + 7~)
para todo 1
( 1.17)
0 m~•tu)r or.tJ~w de Tu que sali~faz a condição de periodicidade da Eq. ( 1. 17) é Op~rüxltl fimdmnemal de.t(r), Os Si·
nais das figs, 1.2b e 1.3e s..-'to sin:tis periódicos com períodos 2 e I, I"C'specth•amentc. Um sinal é não pen'ódicose
de não pOSSUir urn período. Os sin.;Lis das Figs. I
1.3.1. 1.3b. 1.3c c 1.3d são todt.ls n5o periódicos.
Peta ddiniç-ão. um sinal periódico x(t) permanece nlo alterado qunndo dcsloc:.dQ no 1cmpo por um pcriodo.
P•lr esto ruzõo. um sina l pcri6di-.:o de\'e lXlmeçar em 1 = -oo: se ele começar em algum inslantc de tempo tini·
10. digamos t =O. o 5inal deslocado no tempo :r(t + To) COlni!\<Uia em 1 =- T0 e .t(t +To> Mo se~i a. o mesmo que
.:za.
.r(I). l\lr'l;ullO. ltm sillltll>erl6di<'fJ, pordejiniçdo. de\V! COIIII!ftlr em 1 = - 00 I! rominuar para Sl.'mpn:. como mos·
tmtlo nn Flg. 1. 12.
.t{l)
X(l)
-
r-
,_
,_
'-
•••
(' )
x(r)
.dt)
1
-
(C')
t'igura 1.11 Exempl o~ de sinais: (a) analógi('O. ('OiliÍI'lUó no tempo, (b) dis:ital, contfnuo no tcmpu, (c) ana16gico. discreto no 1empo c (d) digital. discreto nu tempo.
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CAPiTUW I
SINAIS E SISTEMAS
89
.f(t)
4-- - r, _ ____,..;
Fi~:turn
1.12 U.n sinal periódico com periotl(> Tq
Outrn propriedade import:mtc de um sinal peti6dic..'O :t(IJ é llue ·''(I) pod~ ser gerado 1>eht ext~tr.'((it! paitXIit'<' dc
qualquer ~grnen1o de .t{t) com duração Tu{o pcrfodo). Como re$uh:.do. podemos _g('rJr .f(l) de qual(Jutr segmento de x(t) oonlcndo a durnção de um pcrfodl) colo(.'ando a reprOOuç!'ío otOfino1J do segmenlO e continuando desta formo inddlnidnmcntc dos dois lados do scgmen1o. A Fig. I, 13 mostra um sinal periódico .x(l) OOnl períltdO T0 = 6.
A porçãu liOmbreada da 1-l g. 1.1 3a mo...lra um scgmcn1n ck! ,t{t)comcçando em t - 1e •eOOo adur~ode um P-e·
ríodo (6 segundos). Esse se<~mento. qF.Ulndo ~pctido indefinidamemc nas duas direções rcsuha no sinal peti6dico
.rll). A Fig. 1.13b mostr.t outro segmento sombreado de .ttt) com duração T6 começandQ em t =O. Novamente vemo..:: q ue e!>te segmento. quando repelido indefinidamente nos dois sentidos. rc$ulla em X(t). O leiror pode veriti·
cat que e~ta COfl"tru..'tlo é póS.liível com qualquer segmento de X( r) comL-çando em qualquer in s.~ant c de tempo, desde que a du•'3Çà0 cJo segmento seja de um pe,riodo.
Uma propriedade útil <ldicional de um s.-iual p.;•riódico X( r) com período T0 é (! ut" a áreo abaixo de x(r) e m quol·
qak!r intervalo de duração ~~é sempre a mesma. Ou seja. para q uü.iSquer núm.:ros reills a e. b
=
[
H1> X(t ) t/1 =
1~o+r., ,X {t)dt
(1. 18)
Esse resultado \'Cm do fato de que um sinal periódico assume os mesmos val()feS em i.me"'•alos de 7 0 , Logo.
os valore." em qualquer segmento de duração T0 s~o repelidos em l)tlal-quer Ot•tr!J intervalo de 1nt!Sma dl•ril\~0.
Por conveniência. a área abaixo de .x(r) em qualquer inten•alo de duração Ttl l)er:i rcprcsenlada por
1..
x(t ) dt
É útil idenLificar sinais que começam em 1 = -oo e <·ontinu:un pm-a s.ernpre como sinais de <lttro(ào injim'ta.
Portamo. um sinaJ de duraçâ<l infinita e.>:isle em todo o intcr,•alo - oo < t < oo. Os sinais das Pigs. l.lb c 1.2b
são exemplos de sinais de duraçl.o infinita. Clatamente. um sinal pe.riódito. pOf definição. é um sinal ck durnç!lo inlinita.
,,,
(b)
Figura. 1.13 Gera~iio de um sinal pcricMiic-o atruvts da extcn."â<l periódica de seu sc~mcnto com um 1>erfodo
de duração.
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90
5 1:-<ALS B S ISTEMAS
LUõiWti:.S
Um sinal que não começar antes de 1 =O t um sinal cou.sal. Em ou1ras paJavras, x(t) é um si11al t11usal se
X(l)
=0
1 <0
( 1.1 9)
Os s-inais di1 Fig. 1.3a•l.3c sllo sinais causai ~:. Um ~:inn l que começar :mies de 1 =O é um ,f inal não-carmll.
Todos os sinais da Fig . 1.1 e 1.2 s1o n!kl-c:lusais.. Obo;cn -e que um sinal de duru.çiió infinita é sempre n3ocausal.
mas um sinal não causal não é necessariamente deduraç5o infiniua. O sinal de duração infinita da F'ig. 1.2bé não
causal, enl:n:lanlo, o sinal não causal dà Fig. I .la n5.o é de duraçAo infinita. Um sinal que é tcro par.1 lodo t ~ O
é cham.1do de sinal (lllli·ctmsal.
Comtntários. Urn sinal de duração infiniua \'erdadeiro n!io pode ser gerado na prática por rlll.Ões (lb,·ias. Por
que devemos, entiio. nus preocupar em eswcL'lf tal sinal'! Nos óltimos capitulos veremos que certos ~inaL" (pOr
vcemplo. um impulso c uma scnóide de duraçiio infinita) que não podem ser gerados na pnhjc.-. realmente são
m~1j1o úteis no esrudo de sinais e sistemas.
1.3-4 Sinais de Energia e Potência
Um sinal com energia finita é um sinal de t'fll!rgia e um s-inal corn potência •'!lo nul;,~ ftn i1a é um sil•al de (H>tDtJ·
cio. Os sinni" das Figl:i. 1.2a e 1.2b são exemplos de ~inais de t l)ergia e potência. respectivamente. Observe que
a po1ê1lcia é a médiatempoml da energia. Como a média t ~.--akuladn e m um intetv.'lló ínfin.ilamente grande. um
sinal com ene.tgia fini ta possui potência nula e um ~:ina l com potência finita possui energia infinita. Portanto, um
sinal não pode ser tanló de ene:rg,ia quanto de potência. Se ele for de um tipo. ele não pode ser do outro. Por ouli'Q lado. exislcm sinais que não são nem de energia nem de J)O(ênl:i.,, O sinal em rampa é um desses casos.
Comentários. Todos os s inais práticos p0$$uem energia finita e. ponao1o. s3o sioail:i de energia. Um sinal de
pocência deve necessariamente ler duruçiio infinita. caso 1.-ontrário Su.'l pocênc:in. a qual é su.1 energia média e m
um intervalo de tempo infinitamente grande, nâQ ulingirá um limile (nOO nulo). Claramente. é impossfvel gernr
um sinal puramente de potêllcia na prática. pois tal sinal teria duração infi nila e uma energia infinita.
Além dism. de\•ido à repetição ptriódica. sinais periódicos. nos quais a área sob tx(t)l: em um período é fini·
ta. srio sinais de potênc-ia. F..ntrctruuo, nem todos os sinais de potência são periódicos.
EX E R C ÍC IO E l.6
Mostrt que a c:<ponendal de dur.tçào inftnita e- ooio é nem um sinal de energia nem <k potênda para qualquer \'aJor
rc:nJ de a. E:cnreoo1u. .!<a fOJ 1magmário. ela é ucn 11inal cJe: pocênciôl por poténcia P, = I, independente do valor de a.
1.3-5 Sinai.• Determlnístlcos e Aleatórios
Um s inal c.uja descrição l'ísica ~ oompletameme conhecida, seja na fonna matemátka ou na fonna l,.'láfica é um
sinal de.ttmnil1ú tico. Um sinal cujos vaJores nOO podem ser preditos prcc.is.amcnte, mas s.iio conhecidos upena\
em termos de uma de:sc.~ção probabilística, tal como o valor médio ou valor médio quadrático. são sh1ais alca·
t6ri()j. Neste livro, t:r3balharemos exC-lusivamente corn sinais detern'linfsticos. Os sinais aleatórios csaão além do
escopo deste estudo.
1.4 ALGUNS MODELOS ÚTt i.S DE SINAIS
Na área de siJ~ais e sistemas, as funções ckgrau, impulso e exponencial possuem um papel muito imponame.
Elas não apenas &ef\'em oomQ a base pam a represcntaç,ã o de outros sinais. mas também pOdem ser utilizadas
para simplificar vários aspeçcos de sinais c sisteiTUJS.
VI- l Função Degrau Unitário u(l)
E.m \'árias de nossas discussões, os sinais oomeçam em 1 = O(sinais eau~is). This sinais podem ser convcnientemenlc ~tos e m tennos da função degrau unitário u(t). mostra® na Fig, 1.14a. Esta funç5o é dcfiniM por
u(l)= {~
I~
0
1 <0
(1.20)
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C.>\PiTULO I
o
S INAIS E SISTEMAS
91
o
(>)
(b)
f<igurn 1.14 (a) Fm.y.~odegr:m uni1áriouú). (b) E:<pon(nci al <"- uv).
Se qui.sennos um sinal qu..: comece em 1 = O(de ml forma que ele possua valor nulo par<~ t < 0). precisamos
apc:-nas muftjplicar o sinal por 11(r). Por exemplo. o sinal e •.., representa uma exponencial com dumção infi nita
que (,."((nleça e m t ;:; -oo. r\ fl)J'RUI caus.·ll desta exponenc-i ~LI (Fig. 1.14b) pc._lde: ser desc•·iJa Cl)!Ul) e- ·u{t).
A fmlç-!io degrau unitário t<.lmbém é muito útil p~ra especilié<'lr uma fl•nÇàl• com difere-ntes dese;rições lll:\·
temáticas en• diferente$ inten·alos. Exemplos de tais funções silo mosln•das na Fig. I.7. Essas funções pó$·
suem difere.nte.s de~:riçõe!i •n atemátka~ em di ferente~ segmentos de te.mpO. como \'i~to nas Eqs. ( 1. 14).
( I. ISa) e ( 1.1 5b). Tais descri\'ÕCS geralmente siio trobalhosas c inconvenientes de serem malcmatkamcnte
trabalhada.-.. Podemos utili7.nr a (unção degrau unitário paro descrever tais funções por uma única cxprcss.~io
válida para todo t.
Con si dcr~. por cxcm.plo. o pulso rcum.guhu mcmr3(1o na Fi.g. I, ISa. Podemos d...--s.crc\·er estc pulso e m tcmlQS
de fu nc,.-ões degr:tu observando que o pulwx(t) pode ser des('rito t.X'In\0 a soma de dois deg,aus unitários atr.tSa~
dos,l'"OtUO mostrado ná Fíg,. 1.15b. A fun<;5o degr."m unitário ll{r) all'<lS<ldà em r .segundos é Ufl A partir da
F'ig. I. 15b, é fácil \'Cr que
.1:(1) = 11(1 - 2)- IJ(I - 4)
n.
1.4-2 A Função lmpulso Unitário J (t)
A fun\'ão imiJ'.II!;O unitário S{t) é uma da!) mai!:i i mportant e~ fu fl\X\c!:i no c!)tudo de sinoi!) c s-i!:itcmn$. Esta função
foi inicialmente definida por P. A. M. Dir.1c por
~(1)=0
[
6{t) di
1 ...............
o
I#O
=I
( 1.2 1)
I ··············, - - - - - - -
2
4
·-
o
·-
2
- r
(O )
Jb)
Figura J.IS Representação de um pulso retangular ulravés de funçôcs degra u unilório.
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92
SO'AIS E S ISTEMAS LINEARES
EXEMPLO
1.~ ..
_
.<(l)pl
Descreva o sinaJ da Fig. I.J6a.
.r,(l}
:;r{
/ "
2
\;3)
2
I
o
7
o
2
( b)
K2(l)
2
..........
1\
o
3\
2
1 -
2
2
3
1-
(<)
Figurll 1.16
Rc:pre5enla<,:<1o de um sinal definido intt-IY.alo pcw int~r\'alo.
O sinal ilustrado na Fig. 1.16a pode ser convenientemente trabalhado se.p arando-o em dlULS componentes
Fig. 1. 16b e I.16c. respectivame-nte. Desta fonnax1(t) pode ser obtido pela multi-
.r1(t) e.tN). mostradas na
plicação da mmpat pelo pulso u(t) - 11(1- 2). como mostmdo nu f'ig. 1.1 6b. Logo
x,(r) = 1(11(1) -11(1- 2))
O sinal x.2(t) pode ser obcido pela multiplicação de outrn rampa pelo pulso ilus trado nu Fig. 1.16c. Esta
mmpa possui ioclinação -2. logo d a pode ser de.!icritn por - 21 +c. Agorn. como a rampa possui valor zero p.•tn.H = 3. c.ntOO c = 6 e a rampa pode ser dcscrits por -2{1- 3). Além disso, o pulso da Fig. 1. 16c é u(z
- 2) -
11(1-
3). Ponamo.
x1(1) =
- 2(1 - l)[11(1 - 21- 11(1 - 3) 1
e
X (l ) =X1(1)
+ Xl(l)
= 1 (11(1) - 11(1 - 2)] - 2(1 - 3) [11(1 - 2) - 11(1 - 3) 1
=111(1) - 3(1 - 2) 11(1 - 2)
+ 2(1 -
3)u(l - 3)
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CAPIT\ILO I
SINAIS E SISTEMAS
93
EXEMPLO 1.7
Descre•<':l o sinal da Fig. 1.7a através de uma Unicn expressão \'álid!l para todo t.
Consider.mdo o intervalo de -I.S a O. o sinal pode ser dl.....;crito pela constante 2 e IX\ról o inter\'aiO de O a 3,
ele pode ser cbcrito por 2e'"*1• Logo.
x(l)
=
2 fu ( l
+ 1.5) -
u(I)J
+ 2[ '12fu(l) -
u(l -
3)1
A i(U
= l 1t(t + 1.5)
- 2(1 -
t' -
111 )u(t)
- lt>-' 11 ., (1- 3)
Compare eslà ell.pressào com a expressão pata a mesma funçOO encontrada M Eq. ( I, 14).
EXE RCÍC IO E l.7
M ost~ que os
sinai;; apresentados. na Fig. 1. 17:t e 1. 17b podem serdc~tos como u( -I) c e
11( -1),
rc-spccti
4
\';!mente.
,_
OI
...
o
(b)
EXER C ÍCIO El. S
Mostre que o .sinál dn Fíg. I .18 pôde ..cr Jesc.'fito por
.t'(l)
2
=V - I )ull -
I ) - ( l - 2)u(t - 1 ) - u(l - 4l
,_
Figura US
Podemos visualizar um impulso como um pulso retangular alto e .estreito com área unit:iria. comC> iluSir..UIQ
na P:ig. 1. 19b. A larguru deste pulso n:t.angular é um vtllor muito pequeno l - O. Conseqllentemente, su~ alturn
é um "alor muito grande 1/f: - Oô. O impulso unitário pode. portanto, ser imaginado oomo um pulso retangu·
lar oom larguta infinitamente pequena e al1urn infinitamente grande e com uma área total que é mnntK!n igual a
um. Ponamo, 6 (r) = Oem todo tempo mcoos pura 1 =O, onde ele é indefinido . Por esta r.tzii.o. um impulso uni·
1ário é representado pela seta da Fig. 1.9a.
94
SINAIS E SISTEMAS L IXEAR.ES
. .... o
·-
o
(a)
Figu ra 1.19
_.!, .!.
2 2
1-
(b)
Um impulso uni1ário e sua npmximac,iio.
Outros pulsos, lais como o e~ponencial. triangular ou Gaus.!li:mo 1ambim podem ser utilizados como uma
aproximação do impulso. A caral(..1crfslica imponruuc d.'l funçllo impulso uni1:i.rio nl\oé sua forma, mas o f:uo de
que sua duraçOO efe1ivn (largura do pulso) 1ende para zero enquanco que a sua área pem1anece unjtária. Por
e~ern plo. o pu ISó l!l(pC:IIk:,ndal m·-•u(l) da Fig. 1.20a se h)llUI alto e estreito quando a numenta.. No limite de a
-oo <I altura do pulso -ro e ~ua Largura. ou duração- O. Ainda ass.im. a (treà debaixo do pulso é.unitária. indept:Jtd~nte do \'alor <bsumido par<~ a. pois
~
!.
(U-v~ dl
= I
(1.22)
0
Os l)ulsos da Fig. l.lOb e 1.20c I>OS$ucm um oom1)011amemo sim i IM. Ob\·iamemc, a funç!io impulso exmn
oilo pode sei' gerodo1m1pt:icica, ela pOOe apen3s set api'Oximada.
A p."'rtir da Eq. (1.2 1). temos que.A'&(r)= Opar.tlOdo 1 ;t; Oe sua área é k. Portanto. k8(t) é uma função impul·
so cuja área t k (ao contrário da fu ~~l.o impul!lo unitário. cuja li.rea é I).
M ULTIPLICAÇÃO DE UMA F UNÇÃO POR UM IMPULSO
Vamos ('ónsiderar o que acontece qu:uk:lo mulliplicanlOS o impulso Wlicário &(r) por um~ fullÇ<iO ~t) que sabemos ~r C:OfiLínua paro t = O. Como o impulso possui valór rlik't nutó apena.s para 1 = O. .: o '':ll()f ~I) par.tl O
é 41'(:o>. obcerníiS
=
<,1(1)~(1)
= ,P(0)6(1)
( l.23a)
Ponamo. a mulliplicaç3o de um:. funç!k.l comfnua no 1empo ~t) pelo impt•lso unitário locali.tado em t • O
re:mlla em um impulso, o qual é locali7.:-do em 1 = Oe possui força õ(O) lo vn_lor de «r) nt~localizaç3o do im·
pu l-sol. O uso do mesmo argumento resuha na genernlizaç:iio deste resultado. afirntMdo que d~<b ~1) oooúnuo\
em I = T. tiJ{l) muhiplicado púl' Ulll impulSO a(t - 1) (impulSO localizado em I : resuha em Ulll impulSO )().
ct.lizado em 1 = Te com forç-a 41(7) (o valor de (/J(t) na localização do impulso].
n
4>(1)6(1- T) = 4>(T)6(f- T)
(l.23b)
PROPRIEDADE DE AMOSTRAGEM DA FuNÇÃO DEGRAU UNITÃRIO
A prutit da &1. ( 1.233). temos que
1:
</1(1)6(1) dl
= 4>(0)
L:
6(1)dl
(l.24a)
= 1'>(0)
<k.sde que 41(1) seja contínua par.t t = O. Este resultado significa que u drtCI wb o produto de um(l fimçõo n.mr o
impr~/so 3(1) i igual at' \'alordafimcão 1w inname no qual o inqmlso i loealí;.ado. Esl.'l propriedade t muito importante e útil. sendo conhecida c:omo prnprieda(/t' de ammtrag~m do impulso unitário.
U1ili7,ando a Eq. ( 1.23b), temos que
1:
4'(1)6(1 - T)dl
= o'(T)
( l.24b)
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CAPI11JLO I
SINAIS E StSTE.\tAS
95
l
•
o
"'
o
,'_
(C)
( bl
figura 1..20 Ou1 n1~ posst\ 'c is npmximaçôes do impulw unitário.
A t::q. ( 1.24b) é outrn forma da pmpri~o•dadc de :unostrngcm. No caso da Eq. ( 1.24b}. o impulso 4(t - T) está
IOC1lliznck) em t = T. Pon.:tmo, a tlrca sob tjl(t)6(r - 7) é .;<7). o \'lllor de .Xr) no insl:lntc no qual o impulSQ c.stá
localitnOO (pata r = 7). Na obtc.nç!K) (lessn cqu:•çtio, Cflll.Sidcr;unos que :1 funçüo ~ oofllfnna no insmmc de locnlizaçà<t do impulso.
IMPUI-~0 UNITÁRIO COMO FuNÇÃO G ENF.RAl.IZADA
A delln~iio da função impulso unil!írio <lllcl<t pe-lu F.q. ( 1.2 I) wio é ITI<ttemalkamente ri1:,ooro:>a. à <tual resulla em sérias dificuldndes. Inicialmente, n funçikl impulso n.llodelinc um:• única fu nção: por c.~cmplo. pode roer mn<>tr.Kioquc
8(1} + t<t) 1..1mbém s.nist:tz a Eq. ( 1.21 }, 1Além disw. 8(1} nilo é nem mcs:mn uma funçiiQ vcrd:tdcir:t no scmi<k> ordinárH:•. Um."t fmw;Jo (lf'dinária é tsJ)C(;ificada por seus \~CS p:.r:tlOOOo tempo t. A fUJll,"àO impulso é 1..cro em 1.-..
do cempo exwo t • Oe. snes.mo ,... úni.::a jXlne imercss~uue de Sl•il faixa. el:• é indefinida. E~ws diliculd:ndes silo reSOI\'idas pelit definjçãO d(l impuiS() como uma funç5l) generalií'.;•do• nu lug~r \le uma funç;'l() ordin.1ti:L, Um:~Jimç(M
g<'lt'nrll':tt</a é definido·• po.- seu efeito ern outras fUI)ÇôeS em vez de seu.s YOLlon::s em todo in~arue de tempo.
Nessn abordagem. a função impulso é dtlinida J>ela prop•iedade da a.tnO&Lragem (Eqs. ( 1.24)1. Desta forma
não dizemos nadu sobre o que é a função impulso ou como ela .se partx."C. Em \ 'C1. disso. a funç-00 impulso é.deJlnjd:t em fcrmo.s de seu efeito cmum:1função de teste ~(1). Definimos o impul~o uni1.:írio como uma funç.ão na
qu.-.1 a :ire.-. sob o seu produto com n funçi\oo 6(1) é igunl ao \·ator da fnnçào~P(r) no inslantc no qu:tl o impulso cst.11ocali ~do . Assum.e-se que tf>(t) é oontínu3 na 1\X.~ati :wçàl) do impulso. Ponamo. lólmo a Eq. ( 1.24a) quanto 3
f.q. { 1.24b) sern~m como dcliniçM d<~ função impu!:>() n..::o.La àbordagem. Lembre-se de que a propriedade de
nmos1mgcm (Eqs. ( 1.2·m ê '-'On..<•cqüência dn ddiniçãQ d ó..~--'•ica (Oi me} do impulso da Eq. ( 1.2 1). f.m coolms.lc:-.
(ltn vprietltul•• tlt- tullosrragt-m (eq.s.( I .24)1 dtjint- a Jmu;liQ impuiSJJ •Ih abottlngtm 1lt> ftmçtlQ gtmeroli:.tldtl.
Agora. apcesentaremos uma apliçaçâo imeressante da definição de função generalizada de um impul,.o. Como a fun<;fio degmu uniláriOrd,t) é desoontínua paro 1 = O. sua derivada duldt não existe para 1 • O no sem ido or·
dínário. Mostntrc.mos. agora. que sua derivad:~ existt· no sentido generalizado e vale, de fato. 8(1). Como pc-ova.
vtuno.o; c:•kuhrr a integral de (dllldt)tfJ(I). usando integmç.ão p<>r (Xlrles
! . .,
(lO
tfl, (jl(t)tlr = u(r}cP(I)I'
dt
--:..
= \>(OO)- 0-
-1"' u(l)~(t)dl
- ,.;.
f.'
= ~(00) - ~(IJig'
= 1,!(0)
( 1.2S)
4>(t) tlt
( 1.26)
Esse resuha<lo mostra que tlultlt s:uisf:tz.a propriedade de amo~traJ!:cm de 8{1). P~mamQ, ele é um impulso 6(t)
no sentido gerlerallz.ado. ou seja.
du
-
dt
= 8(1}
( 1.27)
Conseqüentemente.
[ '..., 8(r)t/r c u(t)
(1.28)
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96
S INAIS E SISTEMAS L I:'IIEARES
Esses resultados também podem s.er oblidM graficamente a panir da Fig. I, 19b. Obser,•e que a área de
-oo a t sob o limite imposto por 8(1) da Fig. 1. 19b é zero se t < -(n e unitário se 1 &:t/2 c.om f - O. ConseqUentemente,
L
8(r )dr =
{~
t<O
t ~O
(1.29)
= '*)
Esse ~whado mostra que a funç.oo de:grau unjtário pode ser obtida integrando a funçflo impulso unitário. Si~
1nilarmente. á func;.ão l"".tmpa uni !.ária x(t) = tll(t) pode ser obtida integrando a função degrau unitário. Podemos
continuar com a função parábola unilária ,~12. obcida pela imegr~o da rampa unitária e assim por diánte. Por
ou1ro lado, temos as deri'•adas do'l funçAo impulso. que podem ser definidas c.X~mo funções gt.ne.raJizadas (veja o
PI"Qblcma 1.4-9). Todas essas ful'lções. derh·àdas da função impulso unitário (sucesshca.s diferenciais e integrais)
s!o chamadas dtfimçiks d.- 5illgul<,ridadtt!
EX ER CÍC IO EJ.9
Mostre que
(a) (r'+ 3}&(1) = J.l(r)
("<"n (r: - I)] ~(t) = -~(t)
(hl
(c) e-:.ó(t);::: 8ft)
<ri+l
(d) -,-~(<v- I) •
w-+9
I
-~Hw-.
;
I}
EXE R CÍC IO E!. IO
1:
M(l'lre que
(a)
Cbl
(c)
8(ne · /d <lt = I
J>r
J:
- 2)ros
('T)d• =O
~-~l.x~,,~(2- r)dr = ~-!~.--!)
1.4·3 Função Exponencial e"
Outro importante função na área de sin3iSe sis-cmas é o sin.'d exponencial t'a, Ol'lde sé. gtr.dmente. um número
complexo, daOO por
-~
=a+ jw
l ogo,
e''= t'(o+i..,.,
•
t"'e'""" •
e'"(OOS w t
+ jsen wt)
( 1.30a)
Fu~sd~ slngulari~ ror;,n, dtl'inidm. pdô Pn.1t. S. J. Mawn onmco ~l.l'ado • !>Cflli r. Umu !lineuWidltck é um pontonoqt&al uma
funçio nãb t)(Jssui dtrh·-.1;,. CaW. IIttWI dóiS fu~ de singuluridadt (lle olo ror a própria funç~. CllliiO a funçJo dlf~ru:.aw u.m nU·
nv:ro findo de \'Clell) pos~ui um poo1o singular na origem. SCt'ldo ouJa em todas as dernais ~.1
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Como s• = o - jw (o oonjugado de .t), entãü
e'''= e"-i• =~~e-i*" = c>01'(cos (1)1- j scn M)
(LJOb)
e
( 1.30c)
CompamnOOesta equaçiioeont a Fónnula de Euler vemos que t'.. é a gener.Uiz~o da funçlo I ti/ . n~ qual a
variável de frcqíiêociaj(l.) é generalizada ptem u wriávcl complexa .t =a + jw. Por esta ru.ão. iremos ch.amar a
variável s defrrq/Jlncia complexa. A partir das Eqs. ( 1.30 ). temos que a funç!IQ? englob.n uma grande classe de
funções. As se.guimes funções s.'io um caso especial ou podem ser descritas em termos de e"':
1. U111a constante k = k~f/1 (s = O)
2. Uma cxponcneiaJ monotônica ~- (w :c O. s = o)
3. Uma se.nóide t."\'IS wt (o= O. s = ±jw)
4. Uma senóidc variando cxponencialmeme ~...cos Wl (s c; o
± jw)
Essas funções es•ão l'nOISll'adas na Fig. 1.21.
A freqüênda complexas pode ser n:'pn~.:;c,ntOOa com'Cnientcmente em uma pltmo def~qiiinc:ia complero (pla
nos). CQmo mostmdo na Fig. 1.22. O eixo horizontal é o eixo real (eixo o-) e o eixo \'er1ical é o eixo imnginário
(eixo j(rJ). O \'al.Or absoluto da parte imaginária de s l fwl (a freqüência angul.tlr). a quallndtca a freqü!ncia de oscilação de e". A parte real q (frcqüénc ia 11eperiann) pos$Ui informação SQbrc a mx.a de crew:imento ou decn."Sei
mento (decaimento) da amplitude de ? . Para sin.1is cuja frcqUência complexa es1á oo dxo real (eixoq, no qual fAJ
= 0), a freqUência de oscilação é zero. Conseqüentemente-. esses s.inais são ex,poneneiais monOtooicamente cres·
centes ou dec.:rcscentcs (Fig.. l.2 lu). Paro sinais cuja rroqüênda está no eho imaginário (eixo jw, com O'= 0). e'"
= I. Ponamo, esses sinais s.'lo senóick:s convencionais com amplitude cocmames (Fig. 1.21b). O c:LW s =O (w =
a= 0) correspondc n um s.inal consuunc (CC) pois i"= I. P;.)(a os sina1&ilustrados na Fig. 1.2 lc c 1.21d. •anto o
quanto w são não nulos. e a freqüê.ncia sé complexa e não está sobre nt'11hwn eixo. O sinal da Fig.. 1.21c def..'tli tx·
ponencialrnente. Portanto. a l negath'ó e s c..o;;tá u e.squerda do eixo imnginário. Em contrapartida. o sinal dn Fíg.
1.21d cresce exponencialmente. logo q é positi\'0 e s está no lado direito do e i;<o imaginário. PoiU:nto, o plano s
(Fig. l.22) pode ser sepruado em duas panes: o semi-plano esquerdo (SPE). corrtspondendo a sinais e.xponen·
eialmente decrescentes. e o semii>lano direito (SPD). rorrespondeodo a sinais exponencialmente crtsc.:entes. O
eixo imaginário di\'idc as duas regiões c C(IIT'CS.pondc :a sin:als de amplitude constante.
4
4
( b)
(o)
'
-.........
tr
q >O~
..
<o
,_
........
'·
/
(d)
(<)
F igura 1.21
Senóides de frcqtlência complexas :::: q
+ jw.
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St~'AIS E SISTEMAS LINEARES
98
S<-mi·pl:mn~;umf.a
li
,
•E
:-----·
Figuru 1.22
t
~~
·-
Plnno da freqüência complexa.
Urna senóide e:<pc:KlCncialmente cresceme e'-ros 5t. por e.x.emplo. pode ser descrita como uma combinaç5o
lineat das exponenciais t-fl ~fl~ ~~r: -ft." com freqüências complexas 2 + j5 e 2-]5, respec,ivaroenre. as Qllais
estão no SPD. A senóide exponenc-ialmente dceresétnle e-1~ (."()S St pode ser descril.a pela combi.nw,"iio linear d.as
c.-llpnnt:nciais e~•-:+.1'!1 e t -u - P" t."'m freqüências complexas - 2 + jS e - 2 - jS. rc:spectivamerlle. :l-" quais estão
no SPE:. A senóide com amplitude oon..'itante cos 5t pode ser expressa como a combinação linear das exponenciais e 1" e t' · 1'1 com freqüências complexas ±jS,;u quais estão sobre o eixo i.l1l:lginário.. Übscl"\"e que exponenciais monotõnic.as ~n também siio scnóides g.e.nentlizadas com &eqüência..o; complexas ±2.
1.5
FtJNÇÕF,~ PARF~ E
fMPARF.')
Umn funç!lo realx,(r) é dita ser umnfunçAQ par do 1 so'
.r,(t) = .r, (-1)
(1.3 1)
e uma função real x.(r) é dita ser u.majimçdo fnrparde 1 se
x.(t)
= -.<.(-1)
(1.32)
Uma runçiiO par pOSSuj o mesmo vt~Jor p.:~~à os ins.ro.ntes te - 1 para todos os valores de 1. CJarwuente., x~{l) I.
sim6Lrico com rela<;iio ao eixo vertical. como mostrado ntl Fig. 1.23<1. Por outro Indo. o \'alor de umá funt;ão ím~ no instante 1 i o negativo de seu valor 00 instante - t. PonJnlo•.r,.(t) é anti-si~trico com relação ao d,:o vertical, como iluslmdo na f!ig. 1.23b.
1.5-1 Algumas Propriedades de Funções Pares e Ímpares
As f1u1çôes. p.'lfts e fmp;lres possuem as seguintes propriedades:
funçiiQ par X função fmp:~r =(unção Cmpar
fuJ~lio
(mp:lf x runç:k» fmpar =
função par X funçiio FW" =
fu~ p~r
fun~·ão P<1f
'Um s.i-.1oompkxo.rtt) ~ d:IIO srt N)'ljuç,odó tJm/rrktt se J.{IJ .,. ,1 ~-t), Um sin11l eoojupdo simétrico rtoJ é um sinal par, Umsihll é
UN.P,~ulou"JhtiMitrit:rJ se .f{() = '"<.f~-1). Um sinal wt~juplllllniJ·$lmtlttko rtal t u.m sinal tu~.
Gopynghted matenal
CAPf'TUI.o 1
0
- cr
(I
SINAIS E S1S"JntAS
99
,_
(•)
·".,(1)
-·
(b)
F1gura 1.23 Fw.çôes de t: (a) função par e (b) funçM ímpar.
As proVil.'\: sOO trivhlis e seguem diretamente da definição de (unções ímpares e pares (Eqs. (1.31) e (1.32)).
ÁREA
Como x#(l) 6 simétrica com relação no eixo "erti<:al. u partir da Fig:. 1.23a. Lemos
r x,(t)dl = 2[x.(l
) dl
o
( ).JJ•)
} _,
làmbém é claro a p:IJ1jr d3 Fig. 1.23b que
[ x. (t)dt =O
(1.33b)
Esses resuhiMJos siio v6Jidos se considerormos que niio existe um impulso (ou .!tUtlS derivadas) nu origem. A
prova del>tas nfinnath•as é óbviu a partir dos gráficos das funções p:tt e ímpar. A provu (onnal. deixada como um
exercfcio par:a o leitor. pode sa- obtida usando as definições das Eqs. (I .31) e ( L.32).
Em fu~.:io de suas propriedades. o estudo de funções ímpares e pares se 1DOSLra útil em diversas aplicações..
tomo será evKiente nos capítulos seguintes.
1.5-2 Componentes Pares e Ímpares de um Sinal
Todo sinal .r(I) pode ser descrito como a soma de componentes p:u'ts e fmparcs poi.s
-
x(1) = Jlx(l) + x(-1)) + Jlx(t)- x(-1)]
"'
( ).34)
A partir das dctiniçôe$ das Eq$.. ( 1.31) c ( 1.32), podemos \'ercluramente que a primeira componente do lado
direito é uma funç!io JXll. enquanto que n segunda componente é ímpar. Isso~ evidente pois a substituH;.ão de t
por - t na primeira COHl()()nente n::suha na mesma runçlo. O mesmo anirfcto na segunda C<lmponente resulta PCJ
negativo da oomponente.
Constdere a função
x(t) ;;;: e · "'u(t)
Escte'o'endo essa função como a som.a de componentes pares e ímpares x~(t) e x.(t), obte1nos
.t(l)
= .t,(t) + x.(l )
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I00
SINAIS E SISTEMAS L1$EARE-S
ú<lde f• part;r da&,. ( 1.34)1
( 1.353)
e
x..(t) = i lf' -"'11(1)- e"'u (-t)l
(1.35b)
A função e "'11Ct) c s uas romponcn1es pares c impan:s são mostnuln.s na !':'ia;. 1.24
••
,_
o
,,,
!
!,...
'
.t,.(t)
'
! ,.-..,
'
o
,_
(b)
.~Jt;
.!. (' ...
'
,_
(c)
Fi~urn
1.24
Detennin<J<;5o das componentes pares e ímpares de um sinal.
EXEMPLO 1.8
Detennine as C\lmi>Onentts pares e ímp:Lres de e'.
A pan.ir dn F.q. t 1.34)
c
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CAPi11JI.O I
1.6
SINAIS f: SIS11::..\tt\S
o
I I
SISTEMAS
Como mencionado na Scçlo 1. 1. sistcm.'IS silo utilii'..ádos pa13 p~sal' l>inàis para pel'mitil' modificação ou ex·
tra<;ãó de inforrnJçOO<tdic:iunnl dos sinais. Um sistema. pode: ser constiiUído por componc:mcs físicos (implementação em lwrdiWJil! ) uu pude ser um uJgoritmo que calcula o sinal de .saida a partir de um sinol de entrndu (implcmcntnção em s<iftwaft').
Falando gcncriet~nlCmc. um si.stem:. ff.sii..'O é OOtlSiiiUído por OOillf>OI'lentes imerconeclll.dos. os quais sAo ca·
r<te~erizados J>Or sua relil<,<ió terminal (entr.~dalsaída) . ;-\lém disso. o :.istem<
•é gó\'<'mado pelas leis dé inten.Xmé·
.xãu. f-Jur exemplo. em sistemas clécricos. a.-. relações 1cnninois são as relações ccnsãofcorrentc que conhecemos
paro n:sistorcs. c:upociturcs, i ndutorcs.tr.msfonnndorcs, lruns iS~orcs c assim por di::mlc.nlém dnslcis de interconexão (por exemplo, leis de Kirchhoro. Usando CSI:tS: leis. podemos <k•enninar cqu::tçõcs rn:uem:iücas rdacionandQ as safdas às entradas. Estas cqunçõcs. então. representam o modflú m<lfeiiUfliM do sistcm:l.
Um sis1em:t pode ser co•wenicntemcn•e ihtStl'ado IX>I' t1m:1 "caixõ.l P•"eC:r". como um conjumo de u::rmin:1is
:~cessfve is lk)S quais as ''ariávcis de enuad.-lx1(r), .r::(l)..... ..tp) s~ aplicad:.s e OUlt'O cOtljumo de •erm ir.,~i s :rces.sfvei'> nos quais as ''ar•iáveis de Sõ.lída y1(t) • .r:fl)..... y1(1) st•o obser,•;t(t;)s (Fig. I.25).
O eSiudo de sistemas ..-onsi.:;le e•n lds gi'Mdes áreas: ruodelagem mtttelltátita. análise e proje1o. Apesar de es-l!lmlOSir.lbalh:tnc.le>com modelagem m:uem:ítica. nosso nhjc1ivo principal está na análise c projc1o. A maior par·
te deste livro é dedicada :.o J>roble ma de análise - como determinar as safdas do sistema pM::t d:~da.s e ntradas.
dOOo o modelo malemático do sis1ema (ou n.~gr<o. que go"em:•m ó sistema). Em uma proporção mtnOr. lambém
iremos con..'\Jdcmr o problema de pwjcco ou sintcse - como ronstruir um sistema que ir.:í prudu7.Ír um dccemli·
nado conjunto de said:L-. de dadas cntmdas.
D AoOs N~cessARIOS PARA D trr€RMtNAR A ResPOSTA 00 SIS1'h'-IA
compreender qu.'liSd.'l<.los são necessáriO" par3 çakular a rcspost;~ <k um sistema. considere um circuih) RC
simple:H:om uma ron1e de ..-orrenle.t(l) como entrada (Fig. I.26). '' tensão de s.'lída ,\H; é dt~da. por
~r.•
y(t)= Rx<n+ CI
r·'
( L36a)
xcr)d r
'
Os limiles <k intcgr.•ção do lodo direilo l>-iio de - oo o t. pois <.~--sa inl<.-gml represema a c:;ttga do ~o·.upae..~ilor de\'idu no 11u.xo d;t c:om:ntc x(r) no ~o·.upac:itor e sua carsa é o n:suhado do c:orn:nte Ouindo no cupadtor desse - oo.
Dcs.-.a forma, a Eq. ( I .3()u) pode scr escril.-. comQ
f
11'
·\'(I )= RX(I ) +-cI _,.,. .t(r)llr +c,, .r(r)t/r
( Llúb)
O termo nt&tio do l:•do direito é t~<.(O). ntens:io do capadtor para t =O. 1,011:mto,
y( t )
=
t•c(O)
+ Rx(t) + C
I
f.'
x(r)cl r
I ~
0
(L36c)
0
.~,(IJ ­
Xz(IJ-
- .r,~,V)
Figura 1.25
Rcprescntaç,:io de um si$-tcrna.
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+
•
y(t)
c
Figura 1.26 Exemt)IO de um sisrenw déu·ico simples.
Essa cquaçikl JX>de ser faci lmente gcnerali:~,:tda para
y(r)
=
vc(t(l) +
R.~(l)
+CI /.' x(r)dr
I ~ In
(1.36d)
10
A p:mir <L'll;q. ( l.J.6a). a 1cnsOOdc safda )"(t) no instante t pode ser calcula<L'l se S<M.Ibcrmos a corrente de en·
crada nuinckl no cnpacitor durnnlc lodo o seu passado (-oo a i). Ahcmati\'amcntc. se soubermos a corren1e de
elltta.da ,t(l) em :~1~um momclllo 'u· então ajnda podemos c:t.lculM >(r) ~ro t ~lu a pàrtir do conhecin'lento da corrente de cmroda. desde que saib:lmos Vc-(111). :a tensão inicial do cap..'lcitot (tensão em 10) . Pon.anto vc<ro> oom&n
toda infonnaçiio rek\'ante sobre tc.xkl o pas53do do circuito (-oo .a tJ que prt<:isamoo para calcular ,\'(t) para 1 ~
tfl' Oessa forma.n resposta do sistemo para t ~ 1 pode ser dc.•1crminada de sua entrOOa(s} durante o inter\'alo pll·
0
ru r0 a 1 e <k certas condições iniciais c.m r = 10•
No exemplo anterior. precisamos de apenas uma condição inicial. Entretanto, em sis.tcmas mais complexos..
várias condições i_niciais podem ser necessárias. Sabemos, por exemplo. que em c1rcuitos RLC passh'OS, os val(l(eS iniciais de todas as corremes nos indutorcs e todas as tenSOes nos capacitores' são necessárias P<'ttà deter·
minar a stúda em qu:llquer instante t ~O se as entradas forem fornecidas oo intef'•alo (O.t}.
Os sistemas podem ser cla.ssificados genericamente na.o; ~gui ntcs c<Jtcgorias:
I. Si.!>tc:m;.s línt:<•res e niio lincarts
2. Sistemas com parâmetros CQn!>tantcs ou com parâmetros varinndo no tempo
J. Sistemas instant5neos (sem memória) ou dinlmicos (com men\ória)
4. Sistemas c--ausais ou não caus.'Lis
5. Sistemas 1."00tinoos ou d illcretos no tempo
6. Sistemas analógicos ou digitais
7. Sistemas inverSíveis ou não inversíveis
S. S istemas cstá\'eis ou instó\•ds
Outra.o; classitic-11\'ÕCS. tais como si!>temas detenninístioos e probabilísticos. estão 3lém do escopo de~e li\'ro
c não serão considerodas.
1.7- 1 Sistemas l ..ineares e Não Lineares
CONCEITO OE l iNEARIDAl>E
Um sisacma cuja saida ~ja proporcional a sua cntr.kia é um exemplo de um sistema linear. Mas a linearicbck impli·
<1'1 em mais do que isto. elil1ambém implica a prvprietlatlf: tNlítlra. Ou .sejn. se '-"riiiS enttad.1s estão awando em um
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CArfruw 1 StNAis e SISWv.s
103
sistema. entiio o efeito tocai no sistema de,•ido a toda..; estas entrada.; pode ser determinado considerando uma entra·
da por \'a e assumindo todM as outras enrradas iguais a zero. O efeito total é. então. a soma de toda.~ us c:o mponentts de efeito. Estn própried3de pode ser dcscrit:t por. par.1 um sistema linear. se uma entrada :r1esd 81U311do sozinha.
e possui efeito y 1• e se outru entrada :r! uunbém utuu so:r.inh.a e possui efeito y 2• entl\0. qWUldo as duas e•~tr.~das esti·
\-cttm au•ondo no sistema. o efeito tocai sem y, + Y:· Ponamo. se
e
( 1.37)
então, parn 1odo x1 e t :
( 1.38)
Além d.isso. urn siStema tineM de..-e satisfaur <1 propriedade de honwgt'nehladt! ou escalonamento. a qual
afinna q~ para uma número rea.l uu imaginário arbitrário k. se uma e.ntnlda. aumentar k vezes. seu efeito tam~
bém aumentará k ve1.es. Portanto, se
então para. todo k real ou imaginário
( 1.39)
Logo. a linearidade implica duas pc-opriedades: homogeneidade (escalonamento) e aditivtdaôe.' As duas propriedades pOdem ser combinadas em uma único propriedade (:rupapóslção). a qual é descrita como mostrado a
seguir. Se.
e
( 1.40)
~.<;su equtw;ão é válida para todo x1 c x 1•
Pode parecer que a OOith,iOOde implica a homogeneidade. lllfelit_;jnente, a homogencidndt nem sempre é eon~
seqüência da aditividade. O E.x.udcio El. l l demonsuatá eSte caso.
EXERCIC IO E l. ll
Mo,rreque um si~tcmn ~;"Oill cntr.tJ.:a 'l'(l)e ~nfda Hll rela.cionada-; pot )i li= Rd ti til "ata~ fatll rropncdade tlc
.•ditivid:ade ma., \'i<~la a propried:w;tc 1.le hoologcnccdade. J..ogo. tal \istcmu ~ nilo lincõif. ll)aca· \ 1Q<..tre que a Cq.
( 1.39) n$11 6 'Jtt i~f~l!.í1 q~anOO ! é Nrnplc-.(0.1
R ESPOSTA OE UM SISTEMA LINEAR
Por questões de simplicidade.• iremos diSC1.1tir apc:nM sis•emas SISO (slngl~·inpm, .fingi~·Oulp•u•). Mas a discusslo pode ser facilmeme estencHda para siStemas MIMO (muflip/t:·inpul. mulliple·Oulpul••).
A saída de um sistema para 1 2: Oé o resultado de duas c.:ôlusas irtdependentes: a condiçlo inicial do sistema
(ou o e$tadodo sistema) para 1 =O e a enlrudax(l) para r ~ O. Se um sistema é linear. a saída de,·e ser a soma das
suas eompooences reaullantes <k:5~.as dutas cau.s:as: ptimeiro, ;J. componeme de rrpos1a a enrradn nula que resulw. somente d~s condições iniciai,s para 1 a Ocom a eouad.a x(t) =a O para 1 ~ O e.. em~. a componencc de respo.r·
1<1 o ~stallo m1lo que resuha apenas da entrada x(t) para 1 2: O quando ns coodições iniciais (para 1 ;;; 0) slo con·
sidcrada..; iguais a zero. Quando 1odas as condições iniciais apropriudas são nutas. o sistema. ~dito estar em estadQ nulo. A safda do sistema é nula quando a entrada é nula somente se o sistema estiver oo estado nulo.
'Um$'sl<mn linear t:unbtm ck\·e Q!isft•7er a c(mdiçic)lldicion:l1 ele t.l'f.l\-idnd~. ~Jndc pequeM) ai~~ cMI'lldti dó.1is~ ~l ­
Iam ~m pcqurJW ahCf'19(1c:$ ~m suas 5afdas..}
• N. do.' T.: Üt1k:a entrada. tlnka saida. Apes111 &o h:wn llmil tradução pora Oln'IOO. n'ICO!Itnl·jot mais fi"Cq((eMttl'leftiC'. na li~ernm111. o lct·
n:IO em i nglts, o qual seti adol:ado IIICS!e bYn'l.
,._. N. de T.: Vári~ mttada.<o, ,'iri.., iafdb.. Apeslll' de-tu.,-cr utua tr.l..tu..'io paro o r.enno. cne<lft~ m3is fttqlkllk~Mt. na lltcnltUt1l. o
IC11'111C> em i11a:lb.. o qUAl ~ adollldo ~~«te liw~
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1(}4
S ISAlS E S ISTEMAS LI}.'EA.RES
Em resumo. u resposta de um sistema linear pode ser expressn como a soma das componente5 de entrada nula e estado nulo:
n·sposta lotai =
~posta entrada
nula
+ rt:SpOSta estado nulo
(1.4 1)
Essa pmpriedsdc de sislcm.'lS lineares. a qual pennitc a scpamção de uma saidn em CQffiponentcs resultantes
das condições intciais e da entrada. é chamada de propried/Jdt de derontpo$i(llo.
P.ara o circuito RC da Fig. 1.26. u resposta y(t) foi determinada como sendo (veja Eq. (I .36c)1
y(l)
=
~ + Rx(t ) + ~ [
.<lr)dr
(1.42)
ron.~~ •ull
A partir da f.q. 1.42. fica claro que se a m trada x(t) =O p3r111 ~0. a said3 será y(t) = vc(O). Logo vc(O) é a
componcmc de cnlr-Jcb nula da resposta )'(t). Similanneme. se o est:klo do sistema (a tens4o vc neste caso) for
zero para t = O. n safda é dada pela scgundn componeme do Indo direito da Eq. (1 .42). Claramente, esta é a com·
ponerue de estado nulo da resposta )~1).
Alc!m da propriedade de decómposiçOO. n linearidade lmplica que lúllto a componente de entruda nula quanto cst:tdo nulo devem obedecer o princípio da superposiçOO CQm relação a cad.'l uma das respecti\135 caust~s. l'or
exemplo. se aumcmarnl{l(ll; a condição inicial k vem, a componente de cntl'3da nula dc'-.·e aumentar também k vezes. Similanneote. se <tumentMmos ~ entr.ldtl A: \'CUS, a componente de estOOo nu~ deve aumwtar também k ..-e1.tS. Esses r;uos são facilmente ''l!rificados a partir da Eq. (1.42) pàra o circuito RC da Fig. 1.26. Por exempk),
se dobrannos a condiçiió inicial uc(O). a compOnente de entrada nula tambim dobra. Se dobrannos u entrada
x(t), a componente de estudo nulo também dobrurá.
EXEMPLO t .t
Mos1re que o s.istcma descrito pela equaç5o
dy
di
+ 3y(t) = .<(1)
(1.43)
é linear.•
dy,
-dt + 3y1(t)
d)':
=.<1(1)
-·- + 3y,(t) ;
dt
.r,(t)
multiplicando a primeira cqunção por k1• n segunda poc ~c somando os resuiUtdos teremos
' &tuw.;\Jes lah '1'1100( 1.4)J c (1.44) do cllnjioJertnJa.~ pa-a ~pn"St'lllâr ~~t~ema.~ Iin~ nadefiniçioclbsicu de line.Jridack.AIJISII" loU·
ll)fd; comoicknm 111U «!~' pur.a ~!ôentur t>i~lern:a.' ;,JCUW•..ruaim.-nu Urlf'(ltn, De ucordo Cl.liOCSU\ ddiniçllo. um dru-ltlltor
po!oSui upcrm~ a oomponence de esmOO nu Jo, A ()()fllp(lnCOIIÇ de entrJI(b. nul11 ê IIUSCMC. l.of;o. • R:$1)(*1a de um sis1crna l~n)t'JIIIlln~n·
IC linear pode jJCf rt~nlada oorno a ttSposu dt wn .d~ma llf'ltllr (lltiCilr neM& n()'o'a dttlnl(IC>J 111õl.i' a ootnponertle de crtlr.ada nulll.
Preferin~ • &:liniç5o tiJ\sic:l :a o t:l 00\-:t ddlniçic). I-S."'> é S(JmCnu: um:1qll:::§tio de defini~ c nioafCiu (l resuiUldo final,
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CAPfl\ILO I
màS essa é
StNAJS E SIS'f'Elo.lAS
I 05
a equaçOO do sistema r&l. (1.43)1 com
c
y(/) = k , y,(t )
Port4lnt4>. quando a entrada é k1x 1(1)
+ k,y,(/)
+krz(t). a rc:$poSta dó sis.lema é k1y 1(t) + kz.l'l(t). Con;S((Jüé.ntemen·
te. o sistema é linear. Usando esse urgumento, podemos fac ilmente generalillLT o resuhudo para mostrar que
um siSI.ema descrito por uma equitÇ-âo diferencial na forma
d•'' v
d·'~-1 v
d•w:r
dx
(lo--· +a,--,-· + ••• + (lfo')'(t ) : b,\· - ~1 -+
•
•
•
+
b11-1- + bNX(l)
11
dtN
<fr!\ -1
d1
dl
(1.44)
é um sistema linear. Os coeficiente a, e b1 desca cqunção sôo ronscamcs ou func,'Ões do tempo. Apc:sar de termos provado apenas lin~dade de eSiado nulo. pode ser mostl'ildo que tais sistemas também sào lineares
paru entrikla nula e que possuem a propriedade d.a decomposição.
d/J
<I
+ r'y(t) = (21 + J)x(t)
M<htrc qu~ ~•l>il>tema de..cnto pela M"gumteequa<;ão não é linear:
MAIS CO,\IENTÂRIOS SOBRE SI~"TEMAS LINEARES
Qu:.se todos os si:uem:.s obsen•ados na prática se tornam não line<~res quando sinais grandes o suficiente são
aplj ~.~.ados a eles. Entretanto. é possível apmximnr a maioria dos sistemas não lineares por sistemas lioeares
para :.nálises de pequtnos silmis. ;\ ;.~n.áli se de si\\:lemas ntio lineares é geralmente difl'cil. Não lineouidades podem apatccer de tamas formas qüe des.erevé-la.s por uma fonna mau:.mática comum~ praticamente impossí·
\•el. Cada sistema é não apenas urna categoria ele mesmo. mas mesmo pam um dado sistema. mudanç-as nas
condiçõe-s iniciais ou nas amplitudes das entradas podem alterar a n.atun::zs do problema. Por outro lttdo. a
propriedade de superposição de sistemas lineares é um poderoso prioc-fp io unific-.ador que pennitc uma solu·
çiio ge-ral. A p(opriedade de superposiçâo (Line-aridade) simplifica em muito a .análise de sistemas lioeares.
Devido iJ propriedade de decomposição. podemos calcular se.paràdamente as duas componentes da saída. A
componente de entradunula pOde ser c:-a.lculada considerando a entrada igual a zero e a <:omponente de estado nulo pode se-r calculad.n assu mindo condições iniciais nulas. Além disso. se descrevermos a entroda X(t) pc:·
la soma de: funções mais simples.
X(l)
= a 1.r,(l ) + a 2x 2(1) + · · · + ll..x .,(l)
106
SINA I S~ SIST&\tA.S L INEARES
e.m3o. pela Linearidade. a resposta >{t) é dada por
y(t)
= u,y,(l) + u m
(<) + .. · + a..y.(t)
( 1.45)
onde y,(l) ta resposta decslado nulo a entrada xl(t). Eslll. observação apart.ntemente trivial possui profundas implicações. Como ,·en:mos repetidnmente nos próximos capitulos. essa observação é extremamwte útil e abrirll
novos caminhos p3ra a análise de sisccmas lineares.
Por exemplo, oonsiderc uma en1r:tda arbitrária .r(t) t:!l como a mostrada nn Fis. 1.27a. Podemos aproximar .r(t)
pela soma de pulsos retangulares de largurn ate alturas variáveis. A aproximaç~ melhora qu.:mdo ar ~ O. quan·
do os pulsos retangulares se comam impulsos ar segundos separndos um dos outros (com ar ~ 0).' Poctanto. u1na
Cfltmda arbitrária pode ser substituida pda soma ponderada de impulsos uniuirios espaçados &t (&t - O) segun·
dos um dos out:ro.'i. Portanto. se soubcnnos a re.~ra do si!itema a um impul.so unitário, podemos detenninar imediatamente a respost!l do sistema a uma entrOOa .r(t) arbitrária atmvés da soma das respostas do sistema a cada
componente impulso de X(J}. Uma situaçllo similar~ mostrada na Fis. I .27b, 1'\.'l qual.r(r) é aprox.imadn pela soma de Funções degrau oom amplitudes \•ariando e espaçadas segundos uma da outra. A aproximaçkl melhoro
quando& se toma menOr. Portanto. se conhecermos a respos1a do sistema a entrada em degrau uni1.ário. podemos
ca.lcular a resposta do sistema a qualquer entrada x(t) arbitrária com relativa facilidade. A análise do dom(nio do
tempo (di ~SCutida no Capitulo 2) utili1..a essa abordngem.
Os Capftulos 4 a 7 uti.liur!M> a mesma abordagem mas uliliurão senóides ou exponenciais como componen·
tes de sinal básicas. Mostraremos que qualquer sinal de entrada arbitrátio pode ser descrito con~o a SOrrul. poo·
derada de scnóides (ou exponendais) com várias freqüências. Portanto. o <:onhecimento da respOSta do sistem.a
a uma scnóidc nos pennite dctenninar a resposta do sistema a um11 enuada x(t) arbitrária.
at
1.7·2 Sistemas I nvariantes e Variantes no Tempo
Sistemas cujos parâmetros nllo sllo alterados com o tempo são im'drianu.f JW tempt> (wmbém c hamacb de sis·
/(!mos com JKirlimerTOs cOnSIMtes). Para tais sistemas. se a entrada for atrasada por T segundos. a safda é a mes·
ma anterior. portm arrasada também por T segundos (assumindo que as oondições iniciais também sejam atrasadas 1' segundos). Esta propriedade t mosm.cta grafkamente na Fig. 1.28. Também podemos ilustrar esta propriedade como apre~ntado na Fig. 1.29. Podemos atrU.<;ar u saída y(t) de um sistemaS aplicando um uLrasO de T
.segundos à saidll ) (/) (Fig. 1.29a). Se o sistema for invariante no tempo. então a saída atru.sadn y(t - 1) pode ser
obtida. também. atrasando primeiro a entrada x(t) antes de aplicl 1a oo sistema. oomó mostrado na Fíg. 1.29b.
Em outras palavras. o sistemaS e o atraso de tempo são comutativos se o sistema for invariante no tempo. Essa
caracccrística n4o é válida parn s:istcmas variantes no tempo. Consklc:re, por exemplo, o si.'itcma \'ariante no tem
0x{t - 7), enquanto que a JaJda do
poespecificado por )(t) = e-'.~(r). A sarda desse sistema na Fig. 1.29a é
sistema na Fig.., 1.29b é(!-•.t(t - 1),
É possivel verificar que o sistema da Fig. 1.26 é invariante no tempO. Cir<:uitos oompostos por elementos
RLC e outros componentes ativos tais como transistore-s são sistemas invariantes no tempo. Um sistem:. com
uma rc:laçOO de entradalsaida descrita por uma equaç.ikl diferencial linear rw. fonna dada no Exemplo 1.9 [Eq.
4
4
e_,,_
.o(I)
>'(<)
·-
••
(O)
- :"''
·(b)
..lgura 1.27 Represenu1ç!\o de sinais em tetmos de componentes de impulso e degrau.
• Ncs•~ ~. a dbc~siú de um pubo J\'tansutar ~ apri)Ain131100 de u•n icnputs.ó quando & - Oé de alguma fooru1 impn-cl!i&. Ela st:n1
e1:ptic.ad:a na Seçlct 2.4 alm mai.c riaor.
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CAF'fnJLO I
StNAJS E SI.S1DtAS
107
y(l)
.<(1)
,_
o
o
(•)
y(t - n
X(l - T)
O
,_
T
O T
(b)
F4;ura 1.28
Propriedade de im•ariünci.u no tempo.
A(l)
•' (I I
$
( i!)
-·
)'( I - T)
){t-T)
(b)
Ftgun. 1.29 llustrnçào dn propriedade de invariância oo tempo.
(1.44)1 é um sis1emn linear invariante no tempo (LIT) quando os coefi cientes a, c b1 sioconswntes. Se estes coeficientes forem funções do tempo, endlo o sistema é um siScttma linear vnriante no tempo.
O sistema descrito no Exerclcio E1.12 é linear \'ariante no tempo. Outro cxcmpk> ramili.nr dc um sis1emn varirune no tempo é o microfone de carbono, no qual a resistência R é um.'l funç!lo d:t prUS!kl n)OC!nica gerada pclas ondas sonoras nos glios de carbono do microfone. A OOITt.nte de saída do microfone é. portamo. modulada
pelas ondas sonoros. como desej ado.
E XE R C ÍC IO El.1 4
Mosue que um si.o;tema descnto pela sc~uiote equ.ação é um ..istem.a com parilmetrus \'amante:-' no tempo:
y ( t)
=(«n t ).t( t
2)
LDica; mostre que o sislcma falha no .-.ati,fw.cr o pcopricd:.dc dl.' in\•ari!lncia no tempo.)
1.7-3 Sistemas Instantâneos e Dinâmicos
Como observado anteriormente. a s.afda de um sistema e m um in~ante 1 quaJquer JCralmente depende de todo o
pas.<>ado da e ntrada. Entrelanto. e-m uma closse especial de sislcmas. a saída a qualquer instante 1 depende ape-
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nas da entrnd.u ruqude inslnnle. l::m circuitos resisti•;os., por CJ~:empl o, qualquer safda do circuito em qu.alquer
instante de temPQ 1 depende apcn..'J.S da entrada no instante r. Nestes si~emas. ôl história passada é irrelevnnte na
dctcmlin:.ç!l<> dn resposta. Tais si seemas s!io chamados de sl.slf!mas ln.:ttonliJm'ttn' <>usem mt'mória. M:ús precisa·
mcme, um siStema é dito instantâneo (ou sem memória) se sua sarda a quaJquer lns1At1te 1 de~.ndcr. oo m~x.imo.
d<l força de sua(s) entrnd:a(s) no mesmo instante re. não de qualquer "11-lor paSSlldo ou futuro dn(s) cntrada(s). Ca·
so rontrário. o sistema é chamado de diiJámit:o (ou sistema com memória). Um sistema c uja resposta e m t é
complctnmentc dctenninada pelos sinais de· emrada oos T segundos pas,,~ados (intcn'alo de (I -1) ~ TI é um si.\•.
tema de mem6ritJjinita com uma memória de T segundos.. Circuitos CQntendo elementos indmivos e cap:1ç11ivos
geralmente possuem memória infinita potque a resposta de tais circuitos a qualquer instante 1 é délenninlkla por
todo o passaOO de suas entradas (-00.1). Essa característica é vál.ida para o circuito RC da Fig_. l.26.
Neste livro geralmente trubalharcmos com sistemu.s dinâmicos. Os sistemas instantânoos são um caso espc.·
dal de sistemii.'i dinâmicos.
1.7-4 Sistemas Causal c Não Causal
Um sistema «msol (cam~m conhecido como j7J.ito ou mió antccljJ<Iti\-o) é aquele no qual a saída em qualqutt in,s..
tame '" deperlde apenas do valor dà au.rt~d<'l x(r) paro 1 S r(JI' Em outras palàvl"'.aS.. o valor da saída no inscanle presente depende apenn!i do valor presente e p<1ssado da ent.ruda x(t). e n.iio de seus vaklres futUl'OS. P..t!3 simpliftcat, em
um sistema causal. a lk'lid.u não pode oomeçor antes da entrnda ser nplicsdn.. Se.a res.pos1a começn.r antes dn entro~
da. signif~ea que o s.is.tcmn conhece a entmd:l no futuro c atua com base neste conhecimento antes d.'l entrada ser
aplicada. Um sistema que viola a condição de: cau~lid:tde é ctwmado de sistema 1tlio t:<lll$(1/ (oo (mle.t.·ipulii-Y_,).
Qualquer sis.u.:ma prático qll(: opera oo 1cmpo real' dC\'C. necessariamente. su causaL Ainda não sabemos
corno COElSlruir um sistema que possa responder a enlt'adas futuras (t.ntr.tdas que aiDda não focam aplicadas).
Um sistcmn não c-ausal é. um sistema hipotético que conhece a cntmdu fulura e alua ncl3 no prcscnle. Portan·
to. se upli1.·.armos uma e ntrada começando e m 1 =O a um sistema não cou.!•al. a saidiJ pode romeç-nr mesmo an·
tcs de r = O. Por e.xt":mplo. c.considere o sistema e$pcc-ilicado por
y(t)
= x(t -
2) + x(t
+ 2)
( 1.46)
Paro a cmroda "·(r) mostrnda na Fig. I.30a, a Sitfda y(r). calculada a pattir da Eq. ( 1.46) (mos-trada na Fig.
I .30b). começa ~ntes mesm<> da e-ntrada ser aplicada. A Eq. (1 .4ó) mos-tra que >~r). a saída em 1. é dada pela
soma dos valotes de emrada 2 segundos antes e 2 segundos após t (para 1 - 2 e 1 + 2. respectiv<~mente). Mas
se t sti\'errnos operando t~om um !iistemtl no tempo real r. niio sabemos ainda qual será o \'alor da e ntmd.:E2 se·
jÜ)
-
-
,_
o
-2
-1
l:'t)
o
2
3
,_
( b)
j(l)
o
2
J
4
5
,_
(<)
Figura I .30
Um sistema n3Q causal e sua realização por um siStell\a caus.'ll atra&'ldU.
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CAPf'rUull
SINAIS E SISTEMAS
I09
gundos após t . Poruuuo. é impossfvel implementar este sistema em tempo real. Por essa razão, sls«cmas não
cuusais não são reali:r.á~is em tempo ~a/.
POR QUE EsTUDAR SISTEMAS NÃO CAUSAIS'/
A discussão :mt<.-rior pode sugerir que sistema•• n5o causai~ não JX.l"SUCill objetivos Jriticns. E.<>te não é o caso. Ek•s
são import.untes no estudo de si.st.emas por di,-crsns razões. Primeiro. si&lemas não causais são re:t_l_i;táv~is quando a
vari:ivcl independente for oow que não o "tempo" (por e.xemplo. o esp~-o). ~idete. por exemplo, um3 CMga elé·
ui~ de densidade q(x) colocada oo longo do eixo x para·"~ O. Esta densidade de l..-.rgtt produz um l<t.mpo elitrico
ê(.t) que e:s.tá p~se:nte em lodo ponto do ei xo x de x = - oo a oo. Neste C:l.SQ, a entrJda [isto é, a densicbdc de c-arga
q(.r)J começa em x =O. mas sua saída lo tampo elétrico E(x)J começa antes dex :a: O. Claromeme. este s.is-ema de
ca~ esp3Cial é não causal. Esta discussão mostnJ que apenas sis1enw ltmpor-...is (sistemas oom o tempo como va.
rio1ve1 independente) de\.-em ser causais para serem reali7..óveis. Os tcnnos '"antes.. e "'&..-pois" possuem uma cone.xlio
espedal c.vm a cau.-.alidade.apenao; quando a vuriávcl independente é o tempo. Essa conexão é perdida paro variáveis
diferentes do 1empo. Sis1etnas não 1emporais. como aqude.ot llue apl~It!Cern ern ~ca. podem ser não causais e mes·
mo assim realiz.1veis.
Além dis.w. mesmo para sis«cmas temporais, Utis C(K1lO os ulili;-...'ldos para Q pn)i."C:$samcnto de sinais, o estudo
de sistemas n.io causais é imponame. Em t~is sistemas.. lemos lodos os dados de entl':"ldol gravados ameriormcmc.
(lsso geralmente ocorre com sinas de fala.. gooffs:icQS c meieorológicos e com sondas csp:~~ei uis..) Em tuis l'tlsos. os
valores futuros da enlmd11 csliio disponrvcis pmu nosso uso. Por exemplo. suponha que tcnh:mlOS um cc:mjun1o de
sinais de cntrnd..1 grnV3dos disponíveis para o sistema descrito pela Eq. ( 1.46). Podemos calcular y(t) pois.. para
qualquer 1. precisamos apenas uüli~.ar a gr.l\'a<;ào para encontrur o valor de entruda 2 segundos antes e 2 segun·
dos após t. JJonanto, um sistema n~o cau ~J pode ser re:.Jiitável. a.pesar de ntlo ser em 1empo n;-nt Podemos.. por·
tllnto, ser ctapazcs de implementar um sistema nào c~usal desde que estejamos dispoMos a a,çeitnr um mr.tso de
te.mpo na safda. Considet'e um sistema (ltja s.úda é a me..,ma que y(t) da Eq. ( 1.46) atr;~S<tda pór 2 segundos (Fig
1.30c). lo! que
,Y(I)
= y(l = .<(1 -
2)
4) + x(l)
Neste caso. o ''alor da saíd.a em qualquer instante 1 é a soma dos '':llore.o; d.a cntrndn .rem te c-m4 sc:.g undu.o;
anteriores (para (r- 4)1. Neste ctaso. a saída a quakjucr instante r nOO depende de \'alorcs ru1uros. da cntrod:• e o
sistema é Cllusal. A safda do sistem:~ . a qual é idêntica tlquekt d~ Eq. (1.46) ou Fig. 1.30b. exceto pelo arrnso de
2 segundos. PortaJilO. um sistema não causal pode ser implcmentodo ou sati.sfruoriamente apr(lximucll., no tempo real usando um sistema c.uusal com um atruso.
Oh grnndc m.'W'!!
Me dig.l COMO ('!;1;1~ O
~o
de á(Õejdaqui a
um;lno.
Sistemas não cnu.o;ais são rc-nli:'!ivcis com um otraso de tempo!
Uma terceiro ra::r.ão para o estudo de sistemas ni\o <:11USais é que eles fornecem um limite superior p:lm o de·
sempenho de si.stemns causais. Por exemplo, se quisermos projetar um liltro para scp.'lror um sinal de ruído, cn·
tiro o tihro ócimo é. invariavelmente., um sistema n5o <.:ausal. Apesar de ele não puder ser implementado. o desempenho do sistema não causal funciona como um limite superior do l) ue J>óde ser alcanç--ado. nos fonleeéndo
un\ padrão para ill'Ompantção do desem1>enho de fi ltn:>-"l<IUsais.
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À prirne.itt~ vist-a. sistemas não causais podem parecer diflceis de serem entendidos. Mas. de fato. nâo existe
nada de misterioso sobre esses sistemas ou sobre suas implementações aproximadas a~ravés de sistemas fisicos
com atraso. Se qui:Se:nUOS saber o que u.<:onteceri daqui a um ano, temos duas escolhas: ir a um profeta (uma pes·
soa não reali1.ável) que nos dirá as respostas ioSlantaneamente ou ir u um sábio e pennitir a e-le um atraso de um
ano para nos dar llS re-spostas! Se o sábio for realmente s'bio. ek pode s~r Càpaz. estudando te.ndênc:ias. de apro·
xirnar o futuro. com uma cena tolerância. com um atraso menor do que um ano. Esse é o caso com sistemas não
causais.. nada mais, nadn menos.
E XE R CÍC IO El. lS
MO.\(I'e <1ue um :-.io;.tema de.~rito pela c;.cguimc equaçio é não caus.:.J:
+>
y(t) e
[
x(<)df
'
'
1.7·5 Sistemas em Tempo Continuo e em Tempo Dl~reto
Sinais definidos ou especific.adO$ em uma faixa de valores contfnua de tempo são.tinai.s romfnuo.s n() rempo. re~
presentados pelos s-ímbolos x(r). y(t) e assim por diante. sis1emas cujas entradas e s.afdas &lo sinais oc:Kufnuos no
tempo são sist~mas tm tempo tonrínuo. Por outro lado. sinais dctinjdos apenas em instantes discretos de tempo
1.; 11. t zo.. , t.,. .... sAo .sinais dísCff!I(}S no temfK), representados pelos sfmbolos .x(t.). y(r.) e assim por diante, oode
n i. algum inteiro. Sistemas cujas entradas e saldas s5o sinais. discretos no 1cmpo sJo sisrenMs em utmpo discJT·
to (ou sistr-mas di.saetos r1(.1 ttmJXJ), Um computador digil.al ~ u m exemplo comum desse tipo de sistema. Na
prática, sinais discretos oo tempo sl1o oriundos da amostragem de sinais CQntinuos no tempo. Por exemplo, quan·
do a amostragem ~ unifonne. os instarlles t0 r,. '~· .. sJo unjfonnemcrue espaçados.. de tal forma que
paro lodo k
Nestes c-a.~. os sinais discretos 110 tempo representados pelas amostras de sinais condnoos no tempo x(t).
)(n e assim por diante. Por conveniência. iremos simpli ~
ficar esta now.çOO paraxfn]. >in]..... onde fica entendido quextnl = X(111) e que n é algum inleiro. Um sinal dis·
n·eto no tempo típico~ mOStnldo na Fig. 1.31. Um sinal discreto no tempo pode também ser visrocomo uma se·
q()ência de nl1meros.... X[- I], x(Ol. x)IJ, ,r{2J.... Ponanto, um sistema disc~t o no tempo pode ser visto como
I)C'OCessando uma seql1ência de números .x(11) e resultando na saida de outra seqüência de números )'{'1).
Sinais discretos no tempo ap11reccm natut:!llmentc em situações que siio inerentemente em tempo discreto.
tais como o esludo populacional, problemas de amonização. modelos de balança comercial e rastreaml!nto por
radar. EI~ também podem aparecer oomo o resultado da atllOStr.agc-m de sinais <:ontínuos no te-mpO em sistemas
de dados amostrados ou fi ltragem digitaLA tiltr~em digital é uma lnteress.mte aplkação particular na (Juill si·
naiJ> contínuos no tempo são processados por sistemas em tempo discreto. como mosuado na Fig. 1.32. Um si·
nal continuo no tempo x(t) é ioid ulmenle amostrado para OOR\'tl1ê~lo em um sinal discreto no tempo..r[n J, o qual
é. então. proces....ooo por um sistema djsc:reto no tempO. resultando em urnn safda yfnl em tempo discrelo. Um
sinal em tempO contínuo y(t) é finalmente conslt\lído a partir de )'[11 ). Dessa fOf'ma. podemQS prQCCSsar um sinal
oontínoo no tempo com um sistema apropriado em 1empo discreto. Utl como um compu1ador digi1al. Como sis·
J(!) e assim pOT diante pOdem st.f escritos por x(n
A'(n)
n. n
()U .t(nl')
...
... _,
- 2t
Figura I.JJ
T
Um s-inal em 1empo discreto.
5T
!OT
·-
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CAt>tTULO 1
StNAJS
e SISTEMAS
111
.
ilJililur,
h
\
I
\
x(t)
Continuo p1.n11
di~reto.
'
.ol•l
CJI)
SiStema em
tempo discreto
'
l4•1
I
Discn:co pgn
>1n
oontínoo,
OI(;
•lgura 1.32 Processamento de sinais oonllnuos no tempo pot sistemas discretos no tempo.
temas disc.Tetos no tempo possuem significantes vt~nta.gens quando comparados com sistema! em tempo contf·
nuo. existe uma forte: tendência na direção de processamen10 de sinais contínuos no tempO aUU\'és de siStemas
discret06 no tempo.
1.7-6 Sistemas Analógicos e Digitais
Os $inais analógicos e diJitais forom discmidos na Seção I.3·2. Um sistema cujos sinais de entrada e sarda são
anaJógicos é um sistono m•ol6gkó. Um siste-ma cujos sinais de e-ntrada e saída slo digitais é um si.sumw digi·
rol. Um computador digital é um exemplo de um sisu::mn digital (binário). Observe que um computador digital
é um sistema digital e em tempo discreto.
1.7-7 Sistemas Inversrveis e Não Inversrvels
Um sistemn S executa uma certa operação em um sinal detnlruda. Se pude:rn_losobter a entrada x(r)da s:úda >{1) oor·
respondcnte atra\'és de algumn operução. o sistemaS é dito sc:r in~'t.'ni\•t>l. Quando \'l1ri:t.S entradas diferentes resul·
uun nn mesma sarda (tnl como em um rctiticadQr), é impossfvel obter a entrada da safda e o sistema é ndo irn't!rsf·
w!l. Po11anto. pera um sistema inversh~l. é ~ial que u:xL'l ent:mda possuu uma única safdn.. de cal forms que exi~­
ta um mapeamento de wn..para-wn entre a emrada e a safda correspondente. O sistema que ererua a operaç3o inversa (de obtenção dex(t) a pru'lir de J(l)) ~o süUJJt(t itwt'r:.-o de S. Por exemplo, seS é um integrador ideal. en~ o sislema inverso é wn diferendador ideal. Considere um sistemu S conedado em ~rie com o seu s.isu:nu in,'el"SSS1• <:omo nmstrndo na Fig. I.33. A cni.Tada .\{t) deste sistema série resulta no sinal )'(t) na saida ck Se o s.ina.l )'(t), agora a
entrada de S,. resulca OO\•amente no sinnl .t{t) na safda de 51• Poruuuo, S,. desfaz a operaçllo de Sem x(t). recomando
ax(r), Um s.iSiema cuja safda é igual a en1J"3da (para todas as entradas possfveis) é wn siStema ilkntidiJd~. O cascateamento de um sistema com sua inversa, como mostrado nn Fig. I.33, resultn em um sistema identidade.
1.7-8 Sistemas Estáveis e Instáveis
Os si.stemss também podem ser classifteados como uftf~·eis ou itJSUh•eis. A esubiJidade pode ser intema ou aremo. Se a~da t.ntrtul(' limiU1do aplicada ao tenninal de entrOOa resuhar em uma sofd(t Um/todo, o siStema é di·
to ser ~.xttrnamtmte está,-el. A estabilidade externa pode ser verifict~da pela medição dos terminais exteroos (en~
ll'tlda e salda) do sis.1e.ma. Este tipo de e~abllidade t3mbém é conhecida como estabiJidade no sentido 8 180
(lxxmd~d-it~putlbound~d·oulp•,~). O oonceito de embilidOOe inte-rna ser:í dei.:c.ado (.'lQta o Capflulo 2. pois requer algum conhecimento do comportamento interno do sistema a ser apresentado no próximo capítulo.
x(t)
F~ur11
1.33 O cascateamento de um sistem11 com sua in\'ersn resulta em um sistem.n identidade.
• N. tk T.: E ntruda limilad.VW!b limitad11. Apet~nr de lwlvc:t um11 1:n11bu;llo p&r.ll) termo, entomtli•K m:1i1 rmJOemcrnm~e, M lileniiU•
na, o lermo em i nilh,, o qml] !lCnt ndoludo nC$1C livro.
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112
SINAIS E SiSTEMAS LI ~'E..\RBS
EXERCÍCIO E1. 16
1.8
MODELO DE S ISTEMA : D ESCRIÇÃO ENTRADA-SAíDA
A d~:.s~.·rição de um si!>lema .:m lennos de mC'didas nos IC'-rrninnis de C'nlrnd:~ c <>:tida é eh:•m.1d:1 de di!.W'rir/10 ~mm ­
da-safdtJ. Como mencionado nn1crionncn1e. a teoria de sis1c.m:L:S cm-olvc uma gra.nde varie~de: di: sistcmo·•s. tais
como cll!tricos. m\.'c:'tniro:-, hidráulials, acústicos. ele tromcclinioos e qufm~ aléml.le sislen\itS sociais. polúicos. ecooi.'•miCC'I::- e biológic(lS. O rwimeiro jX1SSOM ;u,álise de u•n sistem11 ~ il com.trução do modc=ló do sistC'ma.
o tl\Jàl é à C.\PI'eSS<io Olittem.áli('a ou regra <tOC àJ)roxjma satlsfatoriamcnle o <:ómportaJllento dinâmirodo sistema.
Ne:ote CaJJÍtulo l.ltlflSi<kr.•n.~•nos apt'Jt;~.~.~i~tcmas ('ontínuos no tempO. (A •noddagem de sistt.~111;1s dh>crclos no tempO é aprescntaJ.t no Capúulo 3.)
1.8·1 Sistemas Elélricos
Pata tOib truir um modelo de si ~tcma. dé\'é lllO): estudar as telrt<;ões entre as difc."ré nlcs variáveis do sislem:t.
Em si)tcm :L~ elétricos. por .:xcmplo. dc\'emos de«e-nninnr um modelo s.:tlisl'atório para 11 rclaç!iotens.flo-<:or·
reme de cad.!l clememo. t:•l como~ lei de Ohm para o re:;:islor. Além disso, devemos detetminar as várias rel:•çôes nas 1 en sc.~s e co1Yen1es t)tl..-ndo váfios elcmen1os eStão co•le~.:utdo.!>. Es.1a:. são :ts leb. de inler<:()nell:5óas jj çOflhecid;.l!) Leis de Kirchhoff J)ara ténS5ó e <.-orrtntl;! (LK Te LKC). t\ pitrtir de totbs es.ta.o; equações. eliminamós U> \'àriá\•cis. indc)C!jad.as par.t obcér a(S) equoção(ões) rdodónandu n(s) vuriú'fel(ei s) de saída c..-om
o(s) de entrada(.<>). 0<. cx.cmplos a !Õeguir ilustrum o pro":cdimento de c>blençâ<> dlL" relações de cmnada-snfda
p:tr:• alguns si'ilcmas clétriC'os.
EXEM PLO 1.10
P:tfà (I (·if.;uito RJ.r ~rie d.:1 Fig. 1.34, delermine a ec.wação de e•urod;HHl.fda <1ue refi)CilH\il a tensão de cn113dá .vUJ l~u.uo a t:orreulé d< ~ída (corrente de malha) ;o(r}.
1-
I 11
+
figura 1.34
Aplicando a ld de Kin.:hhoff d~s tcnWes P'•ra ~~ nm1ha teremos,
V.a.(t ) +.,,.(r)+ l'c(l) = .r(l)
(1.47)
U1ili1...:mdo a.o; leis de 1ensiio-corn-mc de ,;;ada dcmt:nto (indutor. n-sistOf e capndlor). podemos <."Sc:n:vt'r
es1;~ cqunçào C(lmO
-li)' + 3\'(t ) +
tlt
2
f'
·''( r )dr = .\'(1)
(1.48)
"'
CopynghtE'C miltenal
CAP'fnJLO I
SU..'AIS E S ISTEMAS
11 3
Difercncinndo os dois lados dcstn cqu....çio, obtemos
d 2)'
dy
d.'(
+3- + 2)'(1) = dt1
dt
dt
( 1.49)
Esta equaçiió direrenda16 a relação de en tmda-s:~ída enl.n: u saída){t) e a entradà x(l).
É t."'flveniente utiJizannos a notação oomp:M.-'1.11D ,,ar.. o oper.1dor diferenci~d dldt, logo.
-=
(/)'
(/I
( 1.50)
1))' (1)
(f! l'
•
----'
dl·> " o->·<n
( I.SI)
e assim por diunle. Com esta n01açâo a Eq. (1.49) pod.;: ser escrita por
(D'
+ 30 + 2)y(l) = D.r(l)
( 1.52)
O operador diferencial é o in\'CI'SO do operadof integmJ. de tal forma que podemos utiJizaro operador 110 pa·
ra representar a i•negraç!•o!
'1
y(r)dr
• to:>
=vI
- y(1)
( 1.53)
Conseqüentemente. a equação de malha ( 1.48) pode ser cscritu por
(o+J+
Muhipli ~ndo os dois
~)y(IJ = <<Il
( 1.54)
lados pot O. ou seja. diferenciando a Eq. ( 1.54). teremos
(Ol
+ Jl) + 2)y(l) =
/)X(I)
( 1.55)
a qual é idêntica" Eq. ( 1.52).
Lembre-se de que ú Eq. (I .55) não é uma equação algébrica e 0 1 + 30 + 2 não é um tcnno algébrico que
multplica y(t). Este tenno é um opcrOOor que opera em )'{t). l.sto signitk.a que de\'emos excxutar us seguintes ope·
mçõcs e m )'(t): cnlcular a segund.1 derivada de J(l) e somá-la com 3 vezes a primeira derivada de y(t) e 2 vezes
J-~1) . CIMamente. um polinômio em D muhiplicOOo por y(l) represen1a uma certa operoçàó diferencial em )'(1).
1
O uso do opetadOI' l/O p:.ra • inccgraçüo ~ra alguma." dli'ku.ldlnlb l'tlalt:.n:'iLic:b 1'10'• o cp:ndor O 1:· 1/D '*>são ~'OII'It.datlV(K.. P«
e~111100. sabcma.~ que O( Ifi))
• I pois
~ [f~ y (r)df] = y (O
n::va
Encrcmnlo, ( 110)/) alo é necu:s~uUmente uni~rio. A u1ilir.-;lo dll
de Çnmer na maluç&o de equaçôel; 11imullil~ inlc:s:ro.dilom'ICiai~ ~ n:sukar:1 110 WK'clnmcn110 do:!§ opc:~ 110 e O. Esce ~cdltnci'IIO pode ~lw em resultados f1'fÓBOO!> quando o
fawr D Ck'tlm.'f no oorttero~OOr e no cbtominab. lsu. CK.'tJITC. pôr eJu.~n'lpk,, em cin:uitt» t'OI'tl maU1a$ l'OIUp~~ $CIIItettle J10f indu1~
ou ~~~cit0m1. P:u·u d iminar c:scc probl.:ro&. c:o.·itç 11 (IJ!Cf'aÇ!Io de i~WC:gt~M,"\\o em sistemas de C'Q~ de: 1111 rorma que as eq~ rewiUt'*'S sejam dlftrtndal~ e n!lo iru~ifcret'l('iais. Etn cln:ul!Oi t láriOO§..Is•o l'lQdc sn" rel.o usando a YIIIÍI\'tl cwp (110 lupr dAoor·
tl.'tlle) IXIt'l 1M ihlli OOtllendó ~~3Ci~ e b•.:olhendo V".lfÍi\'t'is oorreme p:1m mal~ km Of!aCÍ.1t:lfr:'. N11. lherntul"ii. cw pmblen~a de
«~m-..llt:iYidadc de De IID é ~menu: i;eoon•do.. Como mencionado ruwcriormcmc. tal ~cdimcnto lt$Ukll em ~~~s(:JTJI(Ios
:~pt~ cn1slsll."tn.7S csptd•ls.. ~s ootno titalhCt~ 00111 01atbas S01ntml' ~'(111'1 itlduOOres w capacl10n:s. Fcfi.tmtntc-. cal~ sls.11'm11S ('I()DS(l·
IUó.'1ll uma (ntÇÜI) muito pc.-quena ckli!S )i)ltm:~~ 001n 01~ quai$ lr.abalh:uno:J. P.trJ ma~ diK'U~ li!Cibrt' e~~ topa. e um nlttódú ~'\lf1"t'IO de
cn.l);ll!w com prOOicmns çn~\1h'C:nd() inw:p-u~ ''Cja a Rereréncia 4.
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EXEMPLO 1.11
Determine a equação relacionando a enlruda e a saída para o clrcuito RC ~rie da Fíg. 1.35 se a entrada for
a tensão .t'(t) e a saída fQr
(a) a coiTeote de malha i(r)
(b) a ten$00 do capaeitor y(t)
R • IS O
X(I)
':)
•
)'{I)
C=jF
Figura 1.35
(a) A equaç.üo de malha para o ci~ui to ~
R 1(1) +
.!.c j'- l(r)<lr = .<(1)
(1 .56)
[~l{r)dr =x(l)
{1.57)
OU
151(1) +5
Com a nocaç-3o operacional. essa equaçio pode ser expressa por
151(1)+
(b)
~l{l)=x(l)
{1.58)
Multiplicando os dois lados da Eq. ( 1.58) por D (isto~. diferencinndo a equru,-.ão), obtemos
(150
+ 5) 1{1) =
di
15dt
Ox(l)
dx
+ 51(1) =dt
{1.59a)
( 1.59b)
Além disso.
.
1(1)
=c d-dry
= lOy(r)
Substituindo esta rel;t\!i.o na Eq, C1.59a) resulla em
(30
+ l )y{l ) = .<(1)
( 1.60)
ou
dy
3+ .\'(t) = x(t)
dl
{1.61)
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CArtnrLO I
115
StNALS sSt~TEMAS
EXERCÍCIO El. 17
Pam o circuito RLC d.1 Fis.. 1.34, dcccrmiDO a relaç."'> de emrada-Sãida se a ~da for a teru.ão vr.(l) do iOOuLor.
RESPOSTA
(D1 + 30 + 2)vdt) = D1x(t)
EXE RCÍCIO El.l8
Par.~
o ctrx:uilo RLC da Fig. 1.34. d"t"nnine a tei3Ç.OO de entmda~s.'Lfda se a s.a.Ida fat a tens3o vc(r) do c-.ap:.ciror.
RESPOSTA
(D' +3D+ 2)vc(l) e 2.t(l)
I .8-2 Sistemas MecJinicos
O mo,·imeoco planar pode ser resolvido em movimcn1o translucion;)J (rc:-lilineo) e mo,•imemo rocaciQOal. O mo·
\•iJnemo lr.lOSiac-iooaJ será considerado inidalmcn1e. Iremos nos restringir a movimentos em uma dimens:to.
S ISTEMAS TRANSI.ACIONAIS
Os demcn1os básrcos utili7..ados na modelagem de sis.tema:s tmns.l:lcio•lsis sllo massas i~LiS. molas lineares e
amortecedores com nmorcccimcnto ''iscoso. As leis paro vátios elementos mecânicos serão discuLidas agoru.
Pnm a massa !tt (Fig. 1.36a), uma forç:t .t(r) c:~usa um movimemo y(l) e umatKeleração. A partir d.a lei de
Newton para movirnemo.
(1 .62)
A força .r(t) necessária para alongar (ou COOlptimjr) uma IIK}/a lint'llr (fig. 1.36b) por uma certa qu.a01idade
dn(L't por
.\~1) é
.<(t)
=
Ky(l )
( 1.63)
onde K é a c·onswme da molt1.
P..tra o t•mortt!ct!dtJr linetlr (1-l g. I.36c). o qual opera em funçâo do au·ito ''isooso. 3 for'Çtl mc.w endo o amor·
tecedor é proporcional n ''elocid:wk relativa de uma superflcie em relaçtto a Ou(f;). Logo.
x(l)
=
B.i·(t)
d}'
= 8 -·
dt = BDr(l)
.
(1.64)
onde 8 é o nxfiâeml! de amortecimmto do nmorteccdor por atrito visc()S(l.
,-)~I)
.o(I)
- x<•)
8
( b)
Figura 1.36 Alguns elementos em 5i.stemn.'\ mecânicos lranslaci•)nais.
(CJ
I 16
S I.~AlS E S ISTEMAS
LU.'E.ARES
EXEMPLO 1. 12
DeLennine a relaÇ'J.O entrada·safda pata o sistema med.oico uanslaciooal IT'NY-)trado na Fig. 1-l7u ou seu
cquiv-illenle da Fíg. 1.37b. A entrada é a força x{t) e a saJd~ ~a posiç~ d~ massa y(t).
r---"''
(oi
( b)
I
) '(1)
K>( ()
Bj(l)
M
,\"())
(c)
Figura 1.37
Em sistemas mecânicos é úlil desenJlar um diagrama de CQrpo livre de cada junção. o qual é um ponto oo
qual dois ou mais elementos estão conectados. Na Fig. 1.37. o ponto reprcsentanOO a mas:m é umoaj unç~o.
O deslocruncmo da massa é rcprcseouado por y (t). A mola tnmbém é alongada por ,\'(t) e. portanto. exer<.:e
uma força - K)~t ) na massa. O amonecedor exerce um.'l força - 8 j(t) na massa. como mostrado no diugr~t­
mude corpo livre (Pig. 1.37c). Usando a segunda lei de NeWlon, a força total de\-e ser M. Logo.
M j)(1) = -Bj>(l)- K y(1) +x(l)
ou
<MD' + BD+ K ))' (l) =
.<(1)
(1.65)
S ISTEMAS ROTACIONAIS
E.m sistemas rcxocionais. o mo\•imento de um corpo pode ser defini(.io como o movimento em um ccno eixo. As
varióveiJt utili1.ada.o; para descrt':'IU o movimento rocactonal são o torque (no lugat da força). a posiçAo angular (no
lugar da po5içào linear), u velocidade angular (no lugar da velocidade linw) e a aceleroçlio angular (tlO lugar cb't
aceler~o linear). Os elementos 00 siS1ema são :1 mn.u.a rotadf)n(J/ ou momemo d~ inéll'ia (no lugar da massa) e
moláJ d-e ton.':(Jo e tltrn'Jrtft'edOil!S d~ 101'\'dfl ( no lugar de molas e n.mortcx:edores lineares). A$ c:qu::açõc:s tenninais
destes elementos são análogas às equações COf'l"eSJ>Oildentes p:a.ra elementos tnlllSiacionai~ Se J é o momento de
inércia (Ou massa rotacional) de um corpo gi.tando e m um oeno eixo, em® o torquc ex.teroo necessário parn este
movimento é igual a J (massa rotacional) vezes a aceleração angular. Se 6 é a posiç~ anguJar do corpo 8é su~
acclernçiio angular c
(1.6())
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CAPinJLO I
SINAIS ti StSll!MAS
117
Similarmente, se K é a consJanLe de uma moi:• de torção (por unidade de tcwçOO angular), e 8i o deslocamento angular de um terminal da mola oom relaç-ão ao outro. então.
torquc = KIJ
( 1.67)
Por fim, o torquc devido ao smoncc-imento viSC0$0 de um smoncccdor de torção com coeficiente de amortecimento 8 é
torqnc
= BÕ(I) = 8 DO(t)
( 1.68)
EXEMPLO 1.13
O movimento de umn aeronave 1xxle ser CQOlrOiado por tri!s conjuntos de supcrffcies (mostradus sombreadas na Fig . 1.38): profundores. leme e ailerons. Manipulando essas superffcies.. pode-se colocar a aeronave em uma roc.a de vôo desejada. O ângulo de giro 4J pode ser controlado pela deOe:diO em direções
opoSULS da superlicic dos doi.s ailerons como mosuado na Fig . I.38. Considerando apcnns o mo\'Ímcnto de
rotaç'-o. determine a equaçlkl relacionando o ângulo de giro fJ com a entrada (denedo) 8.
Figura 1.38
As superl'ícies dó aUer<>n geram um torque com relação ao eixo de róLaçàO propon:-ional oo ângulo Ode de·
ncxiio do aileron. Vamos considerur este torquc igual a r.(), onde r. é a cons1antc de proporcionalidade. O atrito do ar provocn o torqoo 81/(1). O IOfque disponf\·el para o movimcnro de rotaç!l.o é. cntOO, c~t) - 84{1..1).
Se J é o momento de inércía do plano sobre o ei~~.o x (<:i"o de rOLOI.\<iO). e mão.
1~(1 )
=Iorque rotal
= cll(t)
- B,P(t)
(1.69)
e
d''l'
d'l'
J - 1 + 8 -d = cO(t)
dt
I
u o' + BJ>l<P<'l
= cll(tl
(1 .70)
( 1.7 1)
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118
SINAIS E SISTEMAS L INEAJlf.S
Es1a é a equ~ deseíada relaciooruldo a salda (lngulo de rou>çlio q>) oou> a eot~dda (ângulo 8do aileroa).
A velocidade de rotação w é ~(t). Se a $U.Ída desejada for a \'elocidttde de rotação w em vez do ângulo de
rowção IP· então a equação de entrad3·&'lída seri
dw
Jdt
+ Bw; ciJ
( 1.72)
ou
CJ D + B )w(r) ; <IJ(r)
(1.73)
t:XERCÍCJ() EJ.I9
Um lOO.l\lle 111) é opllcado ao ~cm.1 mecânico rotoc•ooal &UO!!I.I'I.IOO 011Fig. I.39ti. A cooswJuc I.I.J c.ooJ.. é A. u. ma'""
~ ruwuQ!lltJ (momento de •néreaa do obndro cum rel~iio oo c:1J<u ~ t J, o (.'udicicnk de. WlU)rtt'CUlkllW \'I'>~ en~ o oJindm t' IJ !luperffcrc ~ /J Detanune a equ~ rdxKnmdu n (Ulgulo Ode !>llída cum u tontuc.- T de e.mmd.a.
IDi~: Um di.a~m" de corpo lh·'rt t moc;~r.1do ll4l fig. l .~l9bl.
f}( f)
1'(1)
K
lb)
folgura 1.39
Sistern~• rotaciOI~ll
RF.SI'()~õA
ti'O
t/11
J ât1 +B dt +KliU)='T(t)
IJV
lJ D' + BD + K )IJ(t) ~ 7(1)
1.8-3 Sístemas Elflromecânicos
Uma g.nu~de variedade de siStemas detrOmecânicos COn\'erte sinais elttrkos t •n movlmenh>mc:éânico (energia
mecfulk"'U) e vk"C·VCfSa. Consideraremos. aqui. um exemplo simples de u.m moiOf CC controlado pela armadura, alimentado por umn (unte de corrente .t~r). romo mostrado na Fig. 1.40a. O Iorque "1{r) gerado pc1o motor é
proporcional n corrente de am1aduru x(t). Pooanto.
7(1) = Kr X(I)
( 1.74)
onde K r é n conSiame do motor. Esle torque alimenta uma ~rg:a n:aocànica cujo díogl';l.ma de corpo Livre é •nosuado
na F'.g. 1.40b. O amoneci.nleltto viscoso (com OCICftciente 8) dissipa um torque 8. SeJ ~ o mocne11t0de inén::ia da clb'·
ga (incluindo o tOCOt 00 rnotot), eoUio o torque tolàl '1{1) - 8 deve ser iguala J6(r):
J O(t) ; 7 (r ) - Bil(r)
( 1.75)
Copyngh,eo ma •nal
CAI'fruLO I SINAIS e SISTI!MAS
tJ
119
Ttr)
. ))jQ J,..
8
86(t)
( b)
(o)
figura 1.40 Motor CC ("Ontrolado pela arm.udura.
Logo,
(J o'
+ 8 D)O(r) = T(r)
( 1.76)
a qual pode ser expcessa ns ronna convcnc1onal por
á'O
1 -;
dt
1.9
dO
+ 8 -,,, =
Krx(t)
( l. 77)
DESCRIÇ.~O INTERNA E Exn:RNA llE UM SISTEMA
A relação de emrada·safda de um s.islcma é umalÚ!,fCriÇt1Q ou~rna do sistema. l)dcnninamos a dc:scrição extemu
(não a de:scriçJo interna) de sistemas em todos os exemplos discutidos mé agQra. Isto pod;;: confuodir o leitor, pois,
em cada um dos casos.. dtcenninamos a reJaçüo ent.rnda-saídtl. anali~ndo a esuururn imema do sis.tema. Por que es·
ta não t uma dC'scriçio interna? O que i uma dc~:rição intemZI'? Apesar de "trdadeiro o ftuo de termos detenninado
a relação de cntracb-saJda através cb uná.Jjsc interna do sistema. n66 o fi7.emo5 apenas por c01weniênci.a. Podíamos
ter obtido a descriç!oo enuad.'l...safda falCndo observações nos terminais exu:roos (entrada e saf<b), por eumplo. medindo a sarda para uma cerm enuada. tal como um impulso ou seJ)Óide. Uma ~o que pode ser obtida a.trovés
de mediçõe! de tenninuis cxtc:mos (mesmo quando o t\':Slo do s.istema está selado dentro de uma caixa prt:ta inàCCS·
SÍ\-el) 6 uma descrição extem:t. Cl.ur.unente, a descriçiio c)e. entrnda-saída é uma descrição extm1a. O que, então. 6
uma descriçllo intc:nl3? Uma descriçlo interna é a~p.n de fornecer a informaçilo completa sobre IOdos os po.."-•,;i\-cis
sinais do sis•e:ma. Uma de:scô\!io externa pode não fomecer uma infonu~o completa oomo esta.. Uma descriçfio
externa pOde sempre Sí!t" detemlinada de ull\a desl~-;-ão interna, mas o inverso não é nece:ssariarnente válido. Apre·
sentaremos um exemplo para ilusttar n distinç.ão entre uma de:sc.:rição externa e uma de:scriç-.00 incemà.
Con!iidere o circuito da Fig. 1.41a com entrada .t(t) e saída )~I) confimulo dentro de uma •·caixa preta.. com
apena<j os terminais de entrnda c saida nces.o;:fvcis.. Pata dc:tem1inar sua descrição externa iremos apli<.Xlr uma ten·
st\o .t(l) conhecida nos 1em1ümis de entrada e. em!LO, mediremos a 1ens.'lo de safda )'{I) resu l tante~
Vrunos m umit, làlnbém, que exjste alguma (!;àfga injcià.l Qo presente llO ~i tOt. A •ensJio de sa!da geral·
mente depende tanto d.a entr.Jdu .\~t) quanto da carga inicial Q0• Pam. caléular a saídu resuhànte devido a carga
Q0 assuma a entr.lidn x(l) =O (curto d.rtuito na entruda).
Ne.o;te CILS(). as correntes DOS doi.s resistores de 20 nos ramos superior e inferior nó$ tenninais de sa(da são
iguais e opootnS, devido a na1ure1.a balanceada do circuito. Clam1nente. a carga do cnpacitor resulta em ten!W.o
nula na s.'lfda.'
Ag0r.1. pou-a caleular a S3.ÍW. >(1) resuhame da tcn.s.'lo de entrada x(t). assumimos carga inicial do capaci1·or nu·
la (curto circuito l'lOS tenninais do capac-ilot). A corrente i( I) (Fig. l .41a), neSt.e caso, se divide igualmente entre
os dois r.unos paralelos. pOis o circuito est4 balanceado. Portanto. a 1ensão no capacitOr 0011tinua igu.'IJ a zero.
Portanto, para o propósito de detenninaçãn da COl'TCnte i(t), o capacitor pode ser removido ou substituído por um
' A lendo de 1111lda )(t) reMJhante de\idn a OfSII doeapacilor laswmindo.t(t) • O) é 11 m.o~a de entr.Lda nub . a qlalll. como aJ'&UI'MIIlado t flui
J!Ofltr'llede 61lfda deYãdo Ac!IU'lldA .dt) (&!i1tln)iJM.Ioo carp inicial 00 capoci•or oob)é a rt~fXKI• de acDOO n~~Jo. A lfl41ise QOnlllldn ~ pnlbler.
semada ~teri<wn~~tt~ll' 110 lli.emplo 1.1S.
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120
S l:'tlALS Ei SISTEMAS LL''EARES
J !l
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2
•
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2
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·""
,111'
,\-lt)
lO
H!
2 11
Figurll 1.41
.u i)
( b)
'"'
Um sistema que não pode ser descri lo por medidas externas.
curto drcuito. O circuito rt"sultame é equivalente ao mostraOO na Fig. 1.41 b. o qual mosua que a emrada.t(l) en·
xerga uma carg.u de 50 e
i(t)
Além disso. como y(l)
= fx(l)
=2i(r).
( 1.78)
y (t) = j .((l)
E~ é a resposU1total. Clarnmcntc, p:l.r.l a descrição externa. o cupncitor não e.xisle. Nenhu m~~. mcdiçfio Q\l obsei"VaÇ!lo e.x-tema pode: detectar a presenç.'l docapGCitor. Além djsso, se o cin;uitoestiver encapsulado dentro de urno'l
"c:lixa pret.'l", de tal forma que apcn3s os tcnninais externos c~ejam acessh-eis, é impossf\-el detenninar as corren·
tes (ou tensões) dentro do cin;uito a panir de medjçôes ou observações ex1cmas. Uma descriç~' intem."'l. cruretan·
10. pode fornec:er todo sinal possí"el dentro do sis1ema. No Exemplo 1.15 iremos detenninar a descric.<iO intenaa
deste sistema c: m0$1.m.remos que:~ possível delt..'1TTlinlll' c.·uda possível sinal do sistema.
P:tru a maioria dos sistemas. as descriçõ.:s intem<J e externa são equivaJ..-nte. mas existem algumas exccç6es.
como no caso upre.,.enludo. nos qu :~i~ a descrição ex lema fornece um quadro inadequado do si~te:ma. Isso ()COr·
n: quando o ~ iste:m a é tu7o controld\•ttl ou 11/Jt>(}/uen·á~·~l.
A Fig. 1.42 mostm represent.ações es1rutumis de sis1em.'tS simples nSo comrolti.,.eis e n!kl obset\•:ivei.s. Na Fig.
I.42a. obsc:r.,.amos que pane do sistema (subsistemaS:) demro da caixo'l n:-.o pode ser controiOOa pela erurada ,t(t),
Na Fig.. I.42t>. algumas das safdas do sistema (t~quelas no subsistema $ 1) não podem ser observad<ls a partir dos
)lll
s,
,.,
f<~igur-d
· -~--·--
(b)
1.42 E&!ruturas de sistemas n:lo controláveis c nllo observáveis.
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CAPfruLO I
SuwSE SIS'IllMAS
12 1
tenninais de saída. Se tentarmos descrever qualquer um destes sistemas nplicando umn entrada extemax(I) e. então. medindo a saída )(t), a medida n~ irá caracterizar oomplemmeme o sistema. apenas parte dele (neste ca.so
5 1) que é tan.to coal:tOláve,J quanto observável (conectada tanto a cntr.tda quanto a saída). Tais sistenw não são de-
sejáveis n.a prática e devem ser evitados no projeto de qualquer sisu:ma. Pode-se moslrur que o sistema da Fig..
1.4 1 nio é nem controldvcl nem obseMvel. Ele pode ser representado estruturnlmente como a combinação dos
sistenutS dá Fig. 1.42a e 1.42b.
1.10 D F.SCRIÇÃO INTERNA: D ESCRIÇÃO EM ESI'AÇO DE ESTADO
Agom. apresentaremos a descriç5o em esp(tÇo d~ e:.·todtJ de um sistema linear. a qual é uma descriçâo imem.a
de um s-istema. Nesta abocdagem.. identificamos crrtiL" variáveis chave, chamadas de variá~·eis de esutdo. f..s..
sas variáveis possuem a propriedade de que todo sinaJ possivel no sistema pode ser expresso como a combinaçiio linear destas variáveis de es-tado. Por exemplo. podemos mostrar que todo possfvel sinal em um circuito
RLC passivo pode se.r expresso como a combinnção linear das tensõe.~ independentes dos capacitores e das correntes dos indutores, as quais são. por sua vez, \'ariávcis de estado do c-ircuito.
Para ilustrar este tópico, considere o cirwito da Fig. 1.43. ldetnilicamos duas variá\'eis de estado: 11 tens5o
do c.apacitor q 1 e a oom::nte do iodutOJ q z. Se os valores de q,, q1 e da entrada .t(t) (orem conhecidos e m algum
ins-tante t, podcrTlO$ dcmonstrnr que todo possh'el sinal (corrente ou tensâo) noci.n:uito pode ser detenninado pa·
rn 1. Por cxcmplo. scq, = 10. q1 I e a entrndax = 20em algum instante. as demais tensOese correntes no mes·
=
mo instante set!io
i, =(x-q0)/ l =20 - 10= I OA
v• =:r -q1 =20-10= lO V
v, =qo=IOV
i,=qof2= 5A
ic =i;
-h
- q~
(1.79)
= 10 - S- 1 =4A
i3 = ql = I A
o,= 5q,= 5V
t11, ;;:: Q1 - VJ. :
10 - 5 : 5 V
Ponamo, todos os sinais nes.e c-ireujto são determinados. Claramente . .,....ná,-eis de est:tdos siio l'tuiál't'is d la·
sistema. O conhecimento das variáveis de cstodo pcrmi1e que 1oda possí\•c l saído do sistema seja cal·
culuda. Note que a de.w:rição em espaço de esrodo j 1tma descriçdo iluu 11n de um sistema pois ela é capaz de
dcscte\'Cr todos os possfvcis sinais do sistema.
l 't' em um
10
11(1)
•
>(l)
",ttJ
2H
·~l)
i("(l)
+
i:(t)
+
i.J(t)
' 't il I
+
q ,W
lf
•·:(IJ
+
~ (!
sn
\')(1)
Figura 1.43 Escothendo condições iniciais adequadas em um circuito.
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12'2
SINAIS E SISTEMAS
Lll"EAKBS
Es1e exemplo ilustra como equ,a.çôes de estado podem ser na1urais c mais fáceis de serem determinadas do
q ue o utras descrições. tais como equações de malha ou nó. Considere, novamente. o circuito da Fig. 1.43
com q 1 e q ! como \'arithl:i.s <k estudo e esc.Te\'ll as O(JW}ÇÕCS de esado.
Isso pode ser feito pela simples inspeçjo da Fig. 1.43. Como é a ootTCntc através do capocitor.
q, =ic = i, -
i2- q?
= (x -q,) -0,5q, -q,
= - 1.5q, -q'l +X
Além disso. 2lj 1a tenslkl do indutor. é dada por
242c q, -
U)
= Qo - Sq,
ou
q, = 0.5q,- 2.5q,
Ponanto. as equações de estado sOO
q, :;- -1.5q, -Q?+X
q, = O.Sq, - 2,51/l
(1 .80)
Este 6 um conjunto de duas equ;ações diferenciais simuh!tneas de primeira ordem. Este conjunto de equações é conhecido como eq110Çiks de esuldo. Uma vt".t que tsWS equa(ões tenham s ido resolvtdas para q, e q1•
todo o resto do circuito pode ser de1erminado usando das Eqs. (I.79). O oonjunto de equiiÇÕCS de saído. ( I. 79)
é thiunado de ~uaçiws d~ saMa. Poruuuo. oesta abofdagem. temos dois conjunt06 de equações.. as equações
de cs:Utdo c as eqwçõt.s de saída. Uma \U q ue as equações de es~ado sejam resolvidas. todas as possf\'Cis saf·
dns podem ~obtidas das equações de sakla. Na descrição entr..cla·suída, um sistema de ordem N 6 descrito
por uma equ~o de ordem N. Na técnicn de variáveis de estado. o mesmo sistema 6 descrito por N equat;ões
de eswdo simultâneas de primeira ordem.'
Neste exemplo. invcS~igarcmos u natul't':i'..U das equações de C$tado e a questão de cóntrolabilidade e óMerwbilidade pnra o circuito da Fig. 1.4 1a. Este circuito possui apenas um capac.itur e nenhum indutor. Logo.
exiSte apenas uma vari4vel de estado. a tensão do capacitor q(t). Como C= I r, a corrente do capucitur 6 q.
Existem duas fomes .,este circuito: a entrada .t{t) e a 1ensllo do capacitor q(t). A resposta devido a x(t) assumindo q(t) = Oé a respos1a de estado nulo, a qual pode set detenninada da Fig. 1.44a. na qual curto--circui·
tamos u capadtor (q(t) = 01. A respos.tn devido a q(t) aS$Umindox(t) = Oi. a resposta de entrada nula, a qual
pode ser detenninada da 1-ig. 1.44b, na qual c.urto-drcuitamos :c(t) pàra garantir x(t) =O. Desta fomta é trivial de1ernlinar as dua-s componentes.
' AíisumlnOOqut o s;isl,.tna t 1,'01\tl\\lável e abSI.'f'\''"'tl. Se llão f~v o caso. a cq~dc dcscriçto de ('flnda·safda 1cnl uma Miem
nor do que o mimcn> axT~.:cpcu.clcn1e de eqlliiÇÕeS lk e,..adc1-.
me-
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CAJ'irULO I
SI....AlS E SISTEMAS
123
A Figura 1.44:. mostra as COITemes de es.~ado nulo em cada ramo. É evtdcnte que a cntrad.'l .-·(1) enxerga uma
resistência equivalente de 50 e. portanto, a corrente auavés de "'') é xiS A, a qual se divide em doi:s ramos
paralelos result:.ndo em uma comnte de ~/I Oem cad~ nuoo.
Ex.aminando o circuito da Fig. 1.44b. pnra .1. resposta de emrad:. nula. observamos que a ums$o do capacilot é q e a oorreme é q.Também observamos que o cai>;)Citot enxerga duas malhas em para.klo. C1l<.l.'l uma
com resistência de 40 e comrue (jf2. Curiosame.nte. o ramo de 30 est:i efeti\•ameme cutto·circ:uitado pois
o circuito~ balan<.:tado e. portanto, a tensãO nos te.nninais cd é ~.ero. A corrente total em quaJquer tamo é a
soma das correntes do ramo da Fig. 1.44a c 1.441) (principio da superposição).
Rorno
Tc:nsOO
Corrente
Q
X
('''
Uo +Ü
2
cb
iõ + 2
q
--" 2
lO
{~--<L)
- 10 2
tu/
q
--"lO 2
2(;~-
q
X
bd
10 +
<C
"-5
td
·'
2
ü
( 1.81)
z(~
+<L)
10 2
3m
"
5
P..tra determinar a cqu<•ção de estado. obser"amos que a corren1e no ramo cn é (x/10) + tjf2 e a corren1e
oo ramo t'b é (.f/10) - Q/2. Logo. à equaçã4.' da malha odNI é
..
Hl
'
!!.
s
'
'
_L
.L
lO
lO
+
20
20
'
30
,,
<
+
20
)
qn
+
~ ,'
•
b
.L
lO
'
lõ
20
20
d
d
(•)
Figura 1.44
•11
<
•
qn
20
=20
~ ~
•
+ q
qn
-
b
qn
~ ~ : ~ 20
d
d
( b)
AMiise de um sis•em.a que nd.o é nem controlável nem observável.
)
'"
124
5 1:-l'AIS E! S ISfE!MAS Lu>EARES
00
q=
-{), Sq
( 1.32)
E!Un é a ~LUtção de es1ado descj:.uln.
A subs.tituiç:ão de 4 = -0.5q nas Eqs.. (1.8 1) mostra que toda possível corrente c tensão do circuito pode ser express.'l em termos da '':sri:1vel de escaOO q e da entrnda x. oomo desejado. Logo, o conjunto de Eqs.
( 1.81) é a equa<;ão de saída para este circuito. Uma \'eZ que tenhamos resolvido a eqlULÇào de estado (1.82)
para q. poderemos detenninar eada po$$Í\-el saída do circuito.
A saída )'{I) é d.nda por
\'(/) =
'
2[.:..~] +2[.:..
+~]
10 2
10 2
2
(1 .83)
a 5-t(l )
Urn breve exame das equações de e~ádo e salda indica a natureza deSte sisterlla, 1\ equ.açfto de estado
( 1.82) mostra que o estudo q(t) é independente da entrada .t(t) e. portanto. o estado do sistema q não pode ser
conti'QIOOo pela cntracb. Alé m disso. a Eq. (1.83) mostro que a saída )'(r) niiQ depende do estado q(1). Logo, o
eStado do sistema não pode ser obser,·õk.1o a partir dos 1enninais de saída. 0e5':a forma, o si.stema n!io é nem
control4vel e ntm OOservá,-eL Esle não é o caso OOs outros sistemas examinados anterionnente. Considere.
por exemplo. o cin:uito da Fig. 1.43. A equação de estado ( I.80) 1nostr.- que os C'Stados são influe11ciados pela entrilda, diretamente óu indiretamente. Logo, o siStema é controlável. Além disso. como á$ equ:~ções de saí~
d.n (1.79) mostram. cuda possfvcl saída é expressa em tem1os das variáveis de estudo e da entrada. Logo, os
estados trurtbém são obscn·áveis.
Técnic.'l.S <le espaço de estó'IOO são llteis n.'l.o somente devido à habilid:lde de fOtnccer a <lescriçilo iluema 00
sistema. mas por ,·árias outras razões. incluindo as seguintes:
I, Equações de estado de um sistenua forncttm um modelo m:atcm:ítioo de grunde $enernlidade que pode descre"er 11l1o somen1e sistemas lineares. mas também sistcnla.s n!\o lineares~ não somente sis<emas
in\lariante-s no tempo. mas tan,bém sisternas com pMlmetros val'iames no tempo: não somente siste·
mas SISO (sinslt'·inp~tll.\·i,glt' ·mltpllt*). mas também s-istemas MIMO (multiple -inplttslnu,fliplt's-outpws••). De falo , ~uações de es.t.ndo são idealmente adequadas par.t análise. símese e otimização de
sistemas MIMO.
2. A noláçà<l matricial compacta e as poderosas técnicas de ;11gebra linear facilitam em muito m.Mipulações
compk..lütS. Sem tais çaracteristk"U. muilOS ~ultados impoo.an1es da u'odema teoriu de sistemas teriam si·
do difkcis de serem obcidos. ê.qu:.."ÕeS de estado podem resulltlr em uma grunde quantidade de infonnuçio
sobre um sistema. mesmo quando ela~ não são explicitrunente resol\·idll.'i.
3.
uma fácil situaçlío para usimuJ3Ç'llo em comput:ldores digitai~ de sistema."
complexO$ de alw Otdem. com ou sem n!k)..linearidadcs e com móltiplas entradas e safdas.
.a.
Pnru s-i.s1emas de segunda ordem (N 2). um método gráfico chamado de análi~ 110 pla11u de f as~
de sc-t utiliz:ldo nas equações de estado. SC'jam elas lincrues ou não.
Eq\~S de cstndo n:sultnm em
=
po..
Os benefídos I'C'<Jis da :tbt'Kd<~gem de espaço de escado, entretanco, são mais óbvios para sistemas muito oomplexos ou de alta ordem. Cntndc parte dcs1e li,•ro é dedicada à introdução dos concx-:itos básicos de análise de
.si.stcmns lir)Carcs. os (Juais devem. l'loCCCs:sarinmente, CQmcçar com si~cmas simples sem a utiliUJÇão da técnica
de espnço de cst:tdo. O Capitulo IOtrab.1lha com a análise em espaço de estados paro sis1emas lineares. invarian·
tes oo tempo. comfnuos e discretos no tempo.
• N . de T.: Ú11iça c:rnrodllh'in.içu safdll. A~ (lc: ~oc:r ullQ tmdui,-Go para o lent~C.J, a lliJI.& SISO é urnpt.vneme udliuda n.1 l irt:Jan,J,. e .K'I' ' mun1ida _.. kwlgo 00 l i\'nJo,
•• N. de T.: Mü.h.iplas~•llr.tdasllnü.lliplas saídas. AJ!(-s3r de hil•\.'1 utlla trodu~Jo PifaO W:t ltft). a s.igta MlMO é ru•'l'lb•ne•lltO: u111l:w..ta na li·
IC:r"dtun. e
scri 1n:m1ida oo lonii.<J 00 lh·ro.
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CAtofruL.O 1 SINAIS e SIS11!M,,s
125
EX ERCÍ CIO EJ.2 0
E~rc,·a a.. equ:IÇÕC'i de c'wdo p.1.ro o ~I [CUltO RLC série mostmdo na '!:ig, 1AS ot1111.1ndo <~ .:orrente do indutor
q .( t) c a h:n~Jo do capac-ito• tf-fl) <.'Onlo ..·ru'iá,•eis de es1ado. 6.xpresse cada h::.n'it'• ~ cc~rrcm c ,~c<.I ~ circuu,, como
:1 rombmaçãolinc;~rdcq,
q!cx.
I H
.l.fI )
+
f iguro 1.45
R!iSP<lSTA
1.11 REsUMO
Um ailml é um conjunto de d.'ldO$ ou informaç:'lo. Um $l.flt>ma pi'()Ce$sa um sinal de cmr:td3. modil'icando-o ou
extraindo infomu•ç3o adicion<JI p.'lr.l produúr sin:tis de s.'l(d;) <resposta). Um sistema pode ser implcment3do uti·
lizando con_
lponentes físicos (implemeruaçilo em Jmrdwcmr) ou pode ser um ~lgorilmo que cakula um sinnl ck
:taída a partir de um sinal de entroda (implementação em .wifnmrr).
Uma medidn CQnveniente do mmanho de um sinal é sun e nergia. se cl3 for finiLU. Se 3 encrsia do sinal fe>r infini l.1. a me<Hda apropriada é sua potênci~. se el~ existir. A potência do sinal é a média temporal de sua energia
<midia determinada em todo inter"alo de tc:Jnpo. de - oo " 00). Pu.r.l sinais periódicos. a média tempoml pode
5er detenninuda em apenas um período, em funç:io dn repetição periódica do sinal. A potência do sinal também
é igual no WLior médio quadrático 00 sinal (média de:cemlinada em todo intcl'\'310 de tempo, de r= -oo a oo).
Sinàis podem serclassifiéados de diversas formos.
I. Um l'inaJ com imw no tempo é especificado paro contínuos valores da variú'lel independente (tal corno o
tempo 1). Um sinnl (/isrn:Jr) 110 t tmpcé cspccilicndo apcnn.i a conjuntos finitos ou com,vei~ de inst3ntes
de tempo.
2. Um JinaJ aiJ(Jiógim é um sinal cuja amplitude assume qualquer ' 'alor oontínoo, Por outro lado. um sinal
cujiiS amplitudes s.6 podem ao;sumirum núme-ro fin ito de valores é umsitwl digital. Os tennos dist·n-totiO
umtJ)() e rot~rfmu> JU) 1empo qualilicam a nature7..a do siMI ao longo do cixo de tempo (ei_xo hori;~.onual ) .
Os tenoos (mctf6gico e digilal. por outro l <~dó. qualificam a natureza da amplitude do si1ml (eixo vettlc.'l.l).
3. Um Jinal peri&lico X(t) é definido pelo fato de que X(t) =).(r+ '/;,) p:U'a algum 7'c,. O menor ''aiOf de r,.
para o quaJ esta relaç5o é satisleira é chamado de fJt•ríoJo fimdm,.tmaf. Um sinal periódico 1>ermanccc
inalterado quando deslocado por um lllúhiplo inteiro de seu perfodo. Um sinal periódico .<(t) pode ser
gerado pela extensão peri6;dica de qualquer segmento contínuo de x(t) de duruc;.ão T0• Fin ;~lmente. um Si·
nal periódico, por definição. deve existir e m todo intervalo de lempo de -oo < t < 00. Um sinal é dito
ser n:'lo periódico se ele não for I>Criódioo. Um sinal de duraçllo infinita começ3 e m r = -co c continua
para sempre até t = oo. Logo. sin3iii periódicos são sinais de dumçúo infinita. Um sino/ auual é um si·
nal que 61.ero para 1 <O.
4. Um sinal com encrgin fin ils é um .titwl d.- t'nt!l"$ia. Similanncntc, um sina l com potência (\'aloc médio
qwadrtilico) fin it3 e nilo nula é um sinal d~ p01b1cia. Um sin31 pode ser um sinal de e nergia ou um sinal
de 1>0tência, mas nà<l os dois. Ent.-euuno, exis.tem sinais que não s~o nem de energia nem de pocencin.
126
SINAI S~ SIS1'f,..ldAS LI N~R..::S
5. Um sin:d cuja descrição fT:roicn é C(»llplctamcnte conhecida de forma rn:uem:1tica ou gráfiC<'I ~ wn sinlll
deu:nninl.$1iro. Um si11al oletlf6rio é conhecido apenas em termos de suas descri~ probabilísticas, tais
como valo!' médio ou valor médio quadr.ttit.'"O. no lugar de sua fonnn matemática ou g:r.ifica.
Um sioa.l ,\'(1) <1tras.•do por T segundos (deslocame nto pan'l a di.reita) pude ser exprt'sso por x(1 - 1); por
ootro lado ..t(l) adiantado por T (deslocomenlo parn a esquerda) é x(1 + 1). Um sinal .l{l) comptimido no tem·
po por um f<JtOr li (li> I) é expresso por ;r(at). por outro I!Kio, o mesmo ~inn l expandido llQ 1empo por um fa.
tor a (a> I ) é x(lla). O sino.l .\'(r) qu:mdo revertido no 1cmpo pode ser expresso t)()r .t(- 1).
A função degrau unitário u(r) é muito útil na represcn1açi'lo de sinais causais e sinais com diferentes descri·
ttões matemdticas e m imcn ':tlos disrintos.
Na dctinição clássica (Dirac). <1 função impulso unitário 6(1) é C3ti'I.Cteriwda por iirea unitária t.-.or•cenlr3da em
um único ins1:u11e 1 = O. A funç!ío impulso possui a propriedade de amostragem. a qual afirma que a áre3 sob o
produto de uma fun<;ãó com o impulso unitário é igual :w valor da funçiio oo ins.1n.n1e no qunl o impulso está localizado (assumindo que a (unção seja ccmtinua na locali7..nção do impulso). Na abord.1gem moderna. à função
impulso é visto como unu fuDÇ'!Io gcncrali7,.nd:t, sendo dcfinid.1 pela ptoptiedàde de amostrngem.
A funç:\o cxpoocncial e... onde sé complexo. engloba uma grJnde classe de- sinais. induindo o sinal constante. a exponencial monotônica. a senóide e a se•tóide com ''arinçio e.xponeodal.
Um si1\al rta.l simé'tricocom rel..ç-âó ao dxo vertical (t = 0) é uma função pardo 1empo c um s.inal que é anti -sin~oo <·o•n relação ;ti) dxo vertical é uma função fmpar do tempo. O produto de umn fnnç!kl par e um.a fun.
<;i10 ímpar é uma rnm;ão impar. l'::.mrecomo. o produ lo de dWLS funções pares ou duas funções fmpares ~ uma função par. A án."a sob um:. função fmpar de 1 = -o até o é sempre zero. independente do "aiOr de o. Por outro la·
do. n án."a sob uma funç!lo par de 1 = -a até a é duas \'eUS a área sob a mesma fun~:OO de t =O ate! (I (ou de 1 =
- ( l :ué 0). Todo siMI pode ser ex,)resso como a sorrw. de funções do tempo !X'r e ímpar.
Um sistema J)tOCCSStt si.n:~is de entroda e produz sinais de saída (resposca). A entrada é a causa e a safda o seu
efeito, Em geral. a saída é afetad<~ pOr duas causas: a c.-ondiçOO interna do si.stemn (ln.l como condições iniciais)
e a entrada tXI t:"mã.
Os ~L.,tema.'i podem ser du.ssiflc:ndos de diversas (onnas.
I. S i.stl~mas lim~ares são c:.:mK·teriz:tdos pela propricdnde da line.'lrid.'lde, a qual implica na .superpos:iç!io. Se
várias. C.'lusn.~ (ta i ~ como \lári:IS efll.radas e condições iniciais) est~o atumldo em um sistemalinenr. n sa.í·
da (respOsta) total é a soma das respostas de cada causa, 3S~umindo que todas :tS demais caus.'IS nlo eS·
tão presentes. Um sistema é não linear se a s.uperposiç3o não for válida.
2. Em sistcm:t.s invarian1es no 1empo, os p.vâmetros do siscem.a não s..l\o alterados como tempo. Os ptlfâme·
lfO.S de sistcmns. com p.1rfu11ctros variantes no tempo. obviamente, se alteram com o tempo.
3. Para sis1emas sem memória (ou instanttll'ltOS), a resposta do sistema par.t qualquer instante I depende apc·
ll:IS do vaiOt da entrada em r. Para sistenlAS com memória (também t.'hamados de sistemas dinâm_ioos).n
resposta do siStema pant qualquer instante t depende não upena." do valor atual da e nlrnd.1, mas também
de seus v.dores passados (v..dores anlcs de t).
4. Em contra~tc. se a n."sposln ck um sistema em 1 também depe.ndet dos valores fUiuros da e.uroda (v-.tlo·
res de entrada além de 1), o sisrema é n&o causal. Sem sistemas eausais. a respúSta ru1o depende de 'VUlo-res futuros da entr*.ia. Em função da depen~nci n da teSposta com v-.tlores t'Uturu:s. o efdto (resposta) ck:
um siscem.a•l!IO C3USõll ocon-e <lnles da causa.. Quando a variável independente é o tempo (sistemas tem·
pomis). si~emas nllo Cftusais são siMe•nas profidcos e. portan1o. não reali:clyei.s. ape$1lT de uma aproxi·
ll\:l.Çi\0 pt6xim3 ser pos.sh·el com algum atraso de 1ernpo na respol>ta. SistellUIS não causais oom vtuiá\'eis
independentes diferentes do tempo (por e~emplo. espaço) são re:dizá"eis..
5. Sistemas cujas entrtldas e safda são sinais continuos no tempo são sislcmss em 1cmpo contínuo (ou sis·
temas coatínuos). Sistemas cuja.<; entradas e snJd11." si'lo sinais discre1os no rempo s:lo s.istemas e1n cempo
discreto (ou sistemns discretos). Se um sinal em cempo contínuo for amosuado, o s-inal resuhance é um
sinal em tempo discrc1o. Podemos proc<:ss:tr um sinal em tempo cofuínoo pt"ocessando as amostras deste sinal em um sis1ema em tempo discreto.
6.
Sis.tcn~as cujas enuadas e
saídas são sinais analóg_ieos são si $temas unalóglcus. Aqueks cujns entrndas e
saídas são sinais djgitais são sis.temas digitais.
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1. Se p1.1detmos obcer a emrod~• ...:(1) a panir d.n saidn ,\~1) de um sistemaS atrn"és de algum~• uper.-;I•o. o sislc:m::~ Sé dito s:e.r inversível. Caso contr.ítio o sistema é não invcrsrvel.
8. Um sistema é estável se um~ cntmda limitll(l:l resull:tr em um:t saídJIIimiiJlda. Isto define a estabilidade
externa. pois ela pode ser obcida aua\'és de medições nos tcnninais c:cterno.'> do sisl'ema. A tslàbilidade
c:cterm• é truniXm chamada de tsLabilid.'lde no sentido 131130 (hounded int>mlbmmded tJlllpul•). A <'SUl·
bilidndc interna. discutida posteriormente no Capítulo 2. é medida em ttnoos do CXtnlfiOI1amcmo inter·
ll(l do l'.i.<ncma.
O modelo de sistema dctcnnimtdo a pllRir do conhecimento da e.strotu.rn intern~t de um sistema é sua descri·
çtío intema. Em contraste.. a descrição c:ctcrno é n rcprcsenlll(j5o de um sistema visto atrJ\'éS de seus tenninais
de entrnda e soída. Elu po<k ser obtida aplicarldO unHt e mmda COtlhecid.'l e medindo a saídn resultante. No maio.
ria dos sistemas práticos. uma descrição cxterm•de urn sistema assim obtida é equivalente n sun descrição inter·
na. Algumas vc7.cs. cnlrctanto. a descrição cx11:ma l'alh;1ao ~re"c:ro :o.istem~ <tdequ~•damcme . Isto ocorre com
os c.hnmados sistcmns Mo observáveis c não controlá\'ci.'>.
Um sistema pode ser descriJO.também. em lcmlos de um ccno conjunto de vuriá\-ei.s dtá,'tS c:ham~d.as de va·
riá,•e is de esládo. Nessa descric;.ão. uul sistema de ordem N pode ser a~mct criz:.'ldo por um conjunto de N CI.JUa·
çõcs difcrcoci:t.is de primeira ordem simultâneas oom N variá\'eis de estado. Equações de e~ Indo de um sb.tc:m.a
representam uma descrição interna do sis.tema.
R EFERÊNCIAS
Papoulis. A. 1'/rr Fourier lmt'grof Md 11$ At}l)ll('Ml<ms. Mc{iraw·Hill. New York. I%2.
Mason. S. J. Elt'CII'()rrh· Cin·uil$.. Sig110IJ. lmd ~)'stem.s. Wiley. New Yorl:. 1960.
Kailalb. T. Urw(~rS)•Jtt>ttl$. Prenticc-Hall. Englcwood CliiYs. NJ. 1980.
Lalhi. B. I~ Signals mrd Systems. lkrl:eley-Cambridge Press. Ca,•michael, CA. 1987.
I.
2.
3.
4.
MATLAB Seção 1: Trabalhando com Funções
Sabe-r 1mb.'llhar com fnnçc'\cs é fundamental c:m aplicações de sin;ris e si.Memas. O MATL:\ 8 ofcrtx'e \'lirins mé·
tOOos pam definir e ~Jcular (unções. O conhecimcmo c uso compeiC"ntc dt.sses rné"todO) é. 1X>r1:ltl10. necessário
e bcné-fk'O.
Ml.l Funções Inline
Várias funções simples são facilmenle repr~..ntàd::~s us.àndo objetos it~lint- do MATLAU. Um objeto inli11e for·
nece um:1 represe mação :>imbólico de umu função de.linida em tem10S dt. Optl'<'l<ktres e funções dQ MATLAR.
Por exemplo. considere a definição cl:l scoóidc exponencialmente amortecidaf(t) = ~-· cos (l.·n).
»
~
( •
= .i nlint:t( ' • xp(-I.) . • COSt2 •p1 .. t l
',' t ' )
I~line r~nction :
(I ti
,.
expt-ti .•COSl2 • pi • t)
O s<gurldo irrgumento do oomatldO inline idcmiltca o argumento de cntrnda da fu~.ão como sendo 1. At·
gumcntos de entrnda.o;. tais como t . S.'ió loc~is ao objeto i,/i,t> e não es•llo rcl:.cion:tdos a quaisquer outms v;Lriá·
vei~ da área de trabalho com os mestnO.'> nomes.
Uma ve.z ck.finida./(t) pode ser cah.~ul~da passando. simplcsmemc. os valores de enlrnda de in1eresse. Por
exemplo,
>> t=O ;
»
&M;
!(t)
1
• N. de 1', : tnva~l:1 litnit.-.l:lil.ailb hmil;llla.
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128
SINAIS 1:. SIS'I t.MAS I~I NeA!íl:€5
deccrmioaf(t} p:~m 1 =O. confinnando o rcsuhndo unitário cspcmdo. O mesmo rcsullado C oblido p.'L~ando 1 =
Odire1amcn1c,
>> r(O>
ans : I
Enlr.ld<tS na fonna de: vetores pennitem o cált.·ulo de múltiplos valores simultanet'lmt'nte. Considere" tarc.fa
de troçar/ ( t) no inletvalo ( -2 S 1 S 2). O rus.c.-unho d.u funçiio é fáci l de ser visuali7...tldo:j(r) deve oscilut quatro
ve1..cs com um envelope de amon ecimcn1o. Como um grático dctalh:!ldQC m.1is traOOihoso. gráficos ~rodos pe·
lo MATLAR sll.o uma ahctn:uiva :urncnle. Como os seguintes exemplos nl0$1r:tm, deve-se ter cuida<lo paro ga~
rnn1ir resultados C(lnfiá\·eis.
Suponha que o \'eiOr t seja escolh ido para incluir :\penas os irueiros conJjcJos em (- 2 s t s 2). ou seja. r-2.
- 1.0.1 . 21.
Este \'C:tor de entrada é utili7..ado para de1cnnim1rmos o \'e tor de saída.
""' f(t)
ans
= 1 . 3891
2 . 71.8).
1 . 0000
o. 36?9
O. 13Sl
O oomando p l o t IT;lÇa o grálk"' do resullado. o qual cshi mostrado na Fig. M 1. 1.
» p lot l.t , f(t)) ;
>> xlabel~ ' t ' ) ;
ylabel< ' f(t) ' t : gdd:
As linha$ quadriculadas, inseridas com o comando grid. faci lilam a visualil...,'lÇ:lo. lnfcli7,meme, o gráfico nào
ilustrn o componamcmo oscilauírio cspcrndo. 1\1:Jis pontos são necessários para representar :tdequa(bmerue{(I).
A questão é. entlio. qu~niQS J>O•ltOS são sufic-ientes?• Se poucos pontos f(l(Cill escolhidos petde··se infonna.
ç:lo. Se muitos potltos f(l(em escolhidos. pctderemos memóri~ e tempo, É necessário atingir urn equilíbrio. Pa·
r-..t ft.•nções oscil:llól'iõ'ls . ,. ~· tili1.o'IÇ5o de 20 a 200 pomos 1>0r oscilaçãO getalmeme é adequada. Pilttl o caso ern es·
tudo. 1 é estolhido rx•ra fon•« ·er I00 pontos por oscilação.
>:>
t . 1-2 : 0 . 0 1: 2) :
Novame•ue. a funç!ío é detetminada e traç-ada.
>> plo t(t , fitll ;
» x l abell ' t ' t : ylabel< ' !n> ' t ; ori d ;
O ~suhOOo. mostmdo na •O:ig. M 1.2 é uma liguro fiel de/(1).
•.------------------.
5
â;.s
3
l
~2
FiguraMI.I
- 15
/(i) ::: ~ ....cos(2;ri)J.Xlrat
-1 - 0.5
o
0.5
1.5
2
. <- 2:2) .
Copyrighted material
CAJ•tnn..o
I
SINAIS E S I STEMAS
129
8,----------------.
1
•
5
l
I
~2~-~~~.5~-~~~-0~..~,~0~~0~5::;:~15~~2
'
Fi,::urQI\'11,2 /(l)=f'- 1("US(2rrt)p."'rât = (-2 : 0 ,01 : 2).
M1.2 Opcrddores Rehu.·ionais e ~• Função Degrau Unitário
A funçlo degrau unilário 11(1) ap:u"~:ce nmurolmcmc em di\'ersal) aplicações práticas. J'or exemplo. um deg.rnu
unil:í.rio pode modelar a :tçlo de se lig:tr um sis.cema. Com a :ajud:t de operadores relacionais. objetos inlinr> po·
dem represenlólr õl funçt.o (l.egrtm Milário.
No MATLAB. um operador relac::iom•l com~•ra dois itens. Se a ~-om pan•ç5o for \ttdadeim. um ''erd~dci ro
lógic:.o (L) é retomado, Se a c:ompara<;ão for falsa. um fabo lógito (O) é 1\':(0nla.dO. Algumas \'ei'.es ch aJI\000~ de
(unções indic:<Jdores. open.clores reladon:tis indkam se uma <·ondiçiio ~ ''trd:Hk:ho;J uu não. Seis operadores •"e·
I:K:i on41 i se~.iiodisponívcis: <, >, <• , >• , .... e ... .
A fu nç!lo degrau unil:hio é facilmcnle dctinida us:mdo o opcrndor
~~
o a
relacion:cl >•.
u"' initnet ' (l:>-=O) ', ' t ' J
lnllne tuncLlOO :
1,1(1,.)
•
(t;. 0)
Qualquer func;OO t-om um salto de dt:.S~XIfllinuidade. tal eomo o degrau uni1t'írio. é difí<:il de str lr,)Ç.ada em t•m
gráfico. Considc=re u gr.ífico de u(l) usando t • ( - 2 : 2 • .
>>
t.:
l-2 : 2) ;
,.,. plottt. . u(t.)) ;
;.;. x lab~U ' L ' ) ; ylabelt ' uitl ' ) ;
Dois problemas signific:t•h•os são aparentes no ttr:ilic..'O I'C$UII:tnle, mostrado na Fig. M 1.;\. Primeiro. o MA·
TLAB at•tommic::unentc (1ctermin~ :as e..~al :as dos eixos paro comer adcc1uadamcn1e a quamidadc de dndos. Ncs·
I
i
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
o- l
- 1-'i
- 1 - O.S
O
O.S
1.5
2
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J3Q
S1;-.IAIS E SISTEMAS ll}r.'F.ARES
te caso. esta carncteristica geru.hnente desejada obscurece gn;nde pane do gror.oo. Segundo. o MATLAB conocta os dados do gráfico oom linhas.. fazendo com que um salto de desconlinuidade seja difícil de ser conseguido.
A fruc.a resol~iio do vttor t enfatiu este efeito mostrundo uma li.nha iodinada. erruda. entre t = -I e 1 = O.
O primeiro problema é corrigido aumentando verttcalmente o limite do gráfico com o comnndo axie. O segundo problemn é reduzido. mas Mo eHminado. adicionando pomos ao vetor t.
»
t
=
(~2:0 . 01 : 2t ;
>> plot(t,u(t));
>> xlabelt ' t ' ) : ylabel ( ' oltl ');
>> axisl t -2 2 -0.1 1 . 1J>:
O vetor de qu3trO argumentos de axl e especifica o valor mfnimo e múimo do eiAO x. e o valor mínimo e
mhimo do dxo y. re$pectivrunente. O resultado melhorado estd mostrado na Fig. M 1.4.
Opc:r.Kton:$ rdocionais podem ser combinados usando ANO Jógk"', OR lógk"' oo a neguçio lógka: &. 1..., respcctivamcnte. Porexemplo.um.to (t >O)
& (t <
l ) quanto .. ((t <= OlHt>=UJ t«."$Ulmse0<t<l. P:ua
11(1 - 1), como mostrado na Fíg. M1.5:
demonstrar. considere a definiçlo e o gráfico do pulso unitário p(t) = u(t) -
» p = inline(' tt>=0Hdt<l) ' , ' t ' l ;
»
»
t • (-1 : 0 . 01 : 2) ; ploctt.p(t)) :
xlabel< ' t ' ) : ylabelt'p(t) • u(t)-u(t~ll
>> ~xisl(-1 2 - . L 1 . 1));
' ) ;
Para operadores escalares.. o MAT'LAB também possui dois operadores lógicos de cuno-çircuito. O operador
lógico de curto-circuito ANO~ exe<:uta.do usando u e o curto-çitcuilo OR é executado usando 11. Operadores
&ógkos de cuno-cirtui1o slo geraJmer11e mais e.ficientes do que os tradicionais operadores lógioos porque eles
testam a segunda porçiio da expressão apenas quando ror necessruio. Ou seja. quando a expresslo escalar A for
f"alsa em (A&&B). a expressão escalar a não é calculada. pois um rtsultado falso já esu$ garantido. Similarmenlc. a expressio escalat B não é calculada quando a expre5Sio cscalat A for "erdadc:ita em (A 1I 9 ) , pois um resultado verdadeiro já está garanlido.
MI .3 Visualizando Operações na Variável Independente
Duas operações na "ariável independente siO geralmente encontradas: desloc-amento e escalonrunento. Objetos
inlür~ são úteis para investigar as dua.~ Opemçúe!l.
Considero g(t) = j(t)u{t) = ~-'cos(2.trt)u(t) uma versão reali:t.i\·el de/(t).' lnfelizmeme. o MATLAB não pode multiplicar objetos irtllne. Ou seja, o MATI..AB retoma um erro para g • f • u qu3lldo f e u sOO objetos In/in('. Ou seja. g(t) precisa ser definido explicilame:nte.
»
9 •
9 •
inline( ' expt-tl . ~ cost2 •pi • t) .• (t>:0) ', 't'J
I~l!ne
g(t) •
tunet!on :
t;xp(~tl.
•COS(2 · pi • t) . • ft>•O)
0.8
O.l
of--- - - - 1
- l - Ls - • -o.s o o.s
I.S
2
Figura M1.4 u(l) pw.:n • (-2 to. 01: 2) com modificaçOO nos eiJI.óS.
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CAPf'M.o I SINAIS E S1srm.tAS
131
1
=o,8
i ' o.6
.,'
'i' o.•
•
2
o
-1
o
-O.S
1.5
2
1.5
F"JguraMI.5 p(l)= u(l)- u(t- l) para (-1 $1 $2).
Um" ope:roçtlo de deslocamento e esca.lonamento combinadas ~ representada por g(a1 + b), onde o e b ~
constantes .arbitrárias reais. Por exemplo, cons-idere o g.nifico de g(2r + I) panl (-2 s t s 2). Com a= 2. a funçiio ~comprimida por um fator de 2, rt5ultando no dobro de oscilações por unidOOe de 1. Adicionando a oon·
di~ão b > O. a fonna de onde é deslocada para a e!iquerda. Dada a função inline g. um gráfico coll't'tO é. rrh•ial
de ser obtido.
>>t
c
(-2 : 0 . 01 : 2);
» plot (t,9t2 • t+U J: xlabelt ot o) : ylabel ( '9 t2t+l> o}: qrid:
A Fig. M I.6 oonfirma a oompresslioesperoda dà fonna de onda e o deslocamento para a esquerda. Como \'e·
rificaç.ão final. perceba que a função g( ·)é. ligada quando o argumento de entruda é uro. Portanto. g(2t + I) deve ser ligllda quando 2t + I =O, ou sejn t = 0.5. Um faro novamc.nte confinnndo na Fig. M 1.6.
A .seguir. CQnsidcre o gráfteo de g( -r + I) para (-2 S r S 2). Como a < O. a forma de onda será refletida.
Acn:scenumdo a ooodiçlo b >O. a forma de onda flnal será. deslocada para a ditt:ira.
» plot(t,gt-t+l)): xlabel1°t
0
)
;
ylabel( ' g(-t•l) ' ) : gri d;
A Fig. M 1.7 confirma tanto a rtflexio quando o deslocamento para a dire:ira.
Alé este momento, a.o; Figs. M I.6 e M1.7 podiam ~r m1.oovelmente ~nh.adas no papel. Considere o grflico
de ums funçã<> ""''' compl.,.da h(I) = g(21 + I) + g( -1 + I) para ( -2 S 1 S 2) (fig. M1.8). Nes<e """· um gráfico rascunhado no papel é bem complicado. Com o MATLAB o trab3.1ho é muito meoor.
> plottt,g(2 • t+l)-+-g( · t +l)) ; xlabel( ' t
0
)
:
ylabel<'h(t ) 'J; grid:
1
o.8
•
o.
OA
o.2
o
-O.2
-0.4
-0.
8
\fv'
•
-O._z -t.s -• -o..s o o.s
l oS
2
Figura M 1.6 g(21 + I) para (-2S 1 S 2).
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132
Se•lAlS 6 SISTI:MAS LINEARES
1,---------------.----,
0.8
0.6
0.4
0.2
o
- 0.2
-0.4
-0.6
-0.8\--.,.,---,---;;.,--::---;;-,,--,-.,.,---!
-'2 -1.5 - I - OS O O.S
l.S 2
flguraM 1.7
,~:( -t +
l) paro ( - 2S. rS.2).
1.2:.---------------------,
0.8
0.6
0.4
o.~k
/\
-021 '-.../ \
- 0.4
0.6
\)
-0.8- 2!--;7--,-,,---,;----;:-:---:----:.,--!
- 1.5 - 1 - 0.5 o 0.5
1.5 2
fi~:uraM 1 .8
h(t)=g(21+ l)+g(-t + l)para(- 2StS2).
M1.4 lnteg.r ação Numérica e Krtimação da Energia do Sinal
Sinais interessa.ntes gt:r.'llmente possuem representações matemálicas nlkl triviais. A ~etm i nação da energia do
sinal. a q ual envolve a integração do quadrado destas expressões. pode ser uma tarefa dese-ncornjadora. FeJi:z.
mente. várias inte.grnis difíceis podem se: r estimadas. com unul. cena precisão. atnl\'6s de t6cnícas de integ;mção
numerica. MesmoS< a intcg:roção ap:lrentemente (or s·imples. a integraç-ão numéric.u é uma boa maneira deve·
rificar resuhados nnalfticos.
J>ara começar. considere o sinal simples .t(t) =e '(11(1) - 14(1- I )). A energia de x(t) é c:dculnda por. lntc·
grando. teremos E. = 0.5( 1 - ~ 1) ~ 0.4323. A integral de cnc.rgi.a também pode ser calculada numericamente.
A Fi~ 1.27 :aj ud:. 3 ilusuar esse método simples de 3proxirnaç:lo reL'l.ngular: determine o integnndo em pontos
uniformemente espaçados por ôJ. muhiplique cada um pot ôJ para deter•ninar a área do retângulo e. então. so.
me todos os retângulos. Primeiro crimuos a função .r(I).
»
x
=
inline( ' exPt-tt.o-((t:>=OI&(t<lH' , ' t ' ) ;
Fazendo /li
>> t. a
=0.0 I. um \'t:lOt •ernt)() adequado é criado.
!O : O. Ot : l) ;
O resuhado lin.al é calculando usMdo o comando .rum.
»
E_ X
=
SWA(X(t) .•X:(t) • 0 . 01)
E_x • 0 . 4)67
O resul1ado não é perfeilo. mas e.le est:í próximo com um erro n:tati,,o de 1%. Reduzindo AI a aproximac_'"i&O é
melhotada. l>t)l' e:ttemplo. 1M • 0.001 resulla tm s_x • o. 4 3-Z&. ou urn eiTO rel:lti\'O de 0.1 %.
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CAPf'n;LO I
SINAIS E SISTf~IAS
133
Apesar de ser simples de visualiz.1t. a aproxi.mação recangular não é a melhor técnica de in1egração numérifunção quad do MATLAB implementa uma téc-nica de integração md hor. chamadà deqU11dromro rtcur,1i1•a adaprmil'a de Simpso11.' Paro operar. quad ne<:essil3 de uma fUnção descte\'endo o integrando. o limite inferiOf de integr~ão e o limite superi« de integruç<lo. Note que DJ não precisa ser especificado.
P3ra utili1.ar qu11d para es-timar E •• o integrondo clc\"C, primeiro, ser descritO.
Câ. A
> x_squared = inlinet'exp(-2 ' tt . • (tt>=0J'dt<l))' ,' t ' );
A estimaç-J.o de
E,. é feita usando
» E_x = quadtx_squared . O, 1)
E_x • 0 . 4323
Neste caso, o erro relati\'O é -0.0026%.
As mesma.'> t6cnicas podem ser utili1.udas para csaimur n energia de sinais mais complexos. Consjdere g(r) definido anteriunnente. A energin é dctenninad.!l por Ex
Jõ~ e ..~ cos1 (2Jrt) dt. É posSÍ\'el obter uma fonna fe-
=
ch!Kia para a soiO\iiO, mas isto req uer ulgum esforço. O MATLAB fornece u ma respostu rapidamente.
>> g..squ.1red
~
inline( ' ex-pt-2 • t) .• lco&(2·pi•t•-"'2) .• 1t>:0) ' ,•t•l;
Apesar do limite superior da integração ser infinito. o en\'elor>e exponenci.a1 decrescente gnmntc que g{l) será el'e·
tiv:unente zero arupes de 1 100. Ponanto. um ljmite s upel'iord e r ;:; IOOé ulilit:~do,jumamcme com tlJ = 0 .0 01.
=
»
»
t
= (0 : 0 . 001 : 100) ;
= 8Ull'!I9_Squaredtt.J • O. OOlJ
E_9
S_g • O. 2'567
Uma aproximação um pouco melhor é obtida u~ndo a função qua.d.
>> E_g = quadtg_squared,O,l00)
E_g = 0 . 2S62
Como cxcrcfcios. \'Cril'ique q ue a cncrgis do s inal/t(t) defin ido amcriormcntc é E• = 0.3768.
l.l·l Determine a e.nergia dos sinais moslrados na
Fig. Pl.l-1. Comente o efeito na energí:. dn
mudança de sinaL deslocamento temporal ou
escaiQfl.lllT)C;nto (dobm) do sinal. Qual é o cfci·
to na encrg:ia se o sinal for mulüpltcado por k?
1.1·2 Refaça o Prob. 1. 1· 1 para os sin;tis da Fig.
Pl.l-2.
1.1·3 (u) Oetennine n energia do par de sinais.\'(I) c
}'{I) mostrados nn Fia. l) f.I .Ja c Pl. l-3b.
Trace e detemtir)t a energia dos sinai..:; .ttt)
+ ){t) e .t(t) - )(r). Você consegue fw.cr ai·
guma ob!;m•!lÇiio a partir destes resulwdos'!
(b) Rc,p ita u parte (a) para o par de sinais
mostrndos 1K1 Fig . Pl. l ·3c. '' suj obser·
vação da p.1ne (a) ainda é v.tlid<t1
1.1·4 Detennine a potência do sinal periódico .t(r)
mostro<k't na Fig. Pl.l--4. Oecermine, també•n,
u potência e o vnlor rms de:
(a) -x(t)
(b) 2x(l)
(C) c•(l).
Comente.
1.1-5 Detcmlinc u poténcin c o v:llor rms pura cud!t
um dos seguintes s inais:
(a) 5 + IOcos(IOOt + JtfJ)
(b) I Ocos( I ()()1 + n/3) + >6 sen(l501 + 1!15)
(c) 10cos51COS 10t
(d) 10S<n51COSIOI
(e) IOseo Srcos 101
(I) .,.. ""' '41
' Um e$1udo (lel~hldo 6c: in1q:raçAo numéri..-.a$ fora 00 ($ÇqlO desre IC',\"10, Dculhes <bsc: n)Óiodo:t ~kular Mo 5IQ imponnMCJ
paro a dbcu~!iO ••ual. f'! ~ullclcnte dl.ttt QU<' de I! 1t'1tlbof do que a ~.'(lll'laçao rctat~gular.
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134
SI:OALS
e SISTEMAS LmEARES
b -~1----'[p
l f----,
( b)
(o)
o
b
-
-2
(d)
(ç)
Figura Pl.l·l
.<(<)
o
,_
_,
,_
- ·-·-··-·-·-·-··
·-·-·-·-··-·-·-·-
Xi,l)
o
-I
~(I)
2
( b)
( o)
.1!(1)
,....
o
·-
o
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,
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Fõgura Pl .l-2
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o
·-
(b)
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""'
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Figura Pl.l-3
•
J(l)
,....
o
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CAPhlJLO I
SINAISESrsrEMAS
135
*)
8 -·-··-·-·-·-··
-4
,_
•
,,
- 8 , ...- -......~
flgura Pl.l-4
A
...
•••
o
-T
T
Figura Pl.l·6 Forma de onda .t'{r) dente de serra coco duty cicie de 50% eojji~t.
1.1·6 A Fig_. PJ.I-6 mostra uma onda x(t) dente de.
sem peri6dicu com um dury cid~· de 50% e
offsef.-., com amplitude de pico A. Delenuina
a energia c potência de .r(r).
J. 1·7 (a) Ex.istem dh·ersas propriedades Uteis rela·
cionadas a sinais de energia. Prow: <:adu
uma das seguintes afinnath•as. f!m cada
ca'>O, con.t;ick:re um sinal de. energia x1(t)
com energia E[x,(r)Jc um sinal de energia
xtf_r) com energia ElA";:(t)J. e considere T
um:~ constante real. não nuJa. finita.
(i) ProvequeE!Tx,(t)] ~ r' E(x,(t)]. Ou
seja. o escalonarnc:nto d:~ amplitude
de um sinal por uma c:oostunte T cscalona .. energiu do sinal por
r.
(ii) Prove que E(x,(l)] ~ 1>1x,(l - nJ.
Ou seja. o desl()(."M)C::UO de um sinàl
n.\Q afeta sua energia.
(iii) Se(K,(t) • 0) => (>Wl = 0) e {.r,(t) ~
0) => (.r,(t) = 0). emio prove que
E(x,(t) + x,(t)) = El,•,(t)) + E!x, (t)J.
Ou seja. a cner1ia da soma de dois
sinais que n.OO ~ sobrcplkm é a soma das duas e-nergias individuais.
(iv) Prove que E!x,(1l)J ~ (11171)
E{.t..CI)J. Ou seja, o escalonamento
temporal de um sinal por escalona. reciprocamente. a energia do si·
nal por 11171.
r
• N. de T.: Cielo dt lralxllbo. Na~-a.me!lt.e, cncontnH;r na tirem.
tura l:nsUdra o lermo em inslib. <t qual liC'R mnr11i do,
.,. N. de T.: ~1mto QC)l'JMJ '~rdc11L
(b) Considett~ o sinsl .l{r) mostrado na Fig.
Pl. l·7. Fora do imervalo mcmrndo .\'(1) é
z.ero. Determine a energ.ia do sinal El.t(r)J,
2.Sr- - - - - - - - - - ,
2
o.s
o
-O.S - 2
-I
o
)
2
figura Pl.l·7 Sinal de energia x(t).
1.1·8 (a) Mostre que. a pocêncitt de um si.nal
•
•
.t(t) -
E o,ei...'
•••
é
...
P. e Í : IDtl!
assumindo que todns as rreqllêncins ~
distinw. ou seja, w, ~ w1 pnmtodo; ;t J:.
(b) Usando o resultado dn p.mc (a). de1enni·
ne n potência de cada um dos sinais 00
Problemn I.J •5.
l.J-9 Um sinal binário ~x(t) =O pan:t t<O. Par11. teur
pos positivos. x(r) altera entre um e zero da se·
guinte fonna: um por I segu:ndo. zero por I sogundo. um por 1 segundo, 7J!ro por 2 segundos.
um por I segundo. zero por 3 segundos e asslm
por diaote. Ou seja. o tempo ..Ligado"~ sempre
um segundo. mas o 1empo ''deslig;<tdo" aumenta
sucessivamenLe pot um segundo eoue cada al·
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136
S IXAIS 6 S ISTEMAS LtJóEARES
temância.. Unm IXUlC de X(I) é mostrada na Fig.
1.1·9. Oetenninc tt potência e cncrgi.u de .((I).
1.2-1
l~ro
tt invcr~iio tempoml c o deslocamento tempo-
rol 1l!iO afetam a energia do sinal. Por ouuo
lado, a compressão oo tempo de um sinal (a
> I) reduz u energia c a e:<pansiio no tempo
de um sinal (o < I ) aumenta a energia. QuaJ é
o efeito n:~ energia 00 sinal se o siMI ror mui·
tip1i<:ado póf uma oonstatlle u?
o sinal "'(1) mosuado na Fig. Pl.2·1, lrn·
ce os seguintes sin.uis
(a) .<(- 1)
(b) X(l
+ 6)
(c) x(31)
(d) X(l/2)
1.2-2
P'.lrJ Osinal x(l) nlOSll'õldo l't:l
Fig. P1.2-2. li'3Ce,
(a) x(l - 4 )
(b) ,r(l/ 1.5)
(c) x(-1)
(d) x(21 - 4)
(e) x(2 - I)
1.2-3 Na Fig. P1.2-3. up~.sse os sinais x1(1). x.:(t)..
x,(r). .T,(r) ex,(r) em cetmos do sinal x(r) e suas
versões desl~dlLS no tempo, cscalonacbs no
tempo oo re\'ertidas no tempO.
I .24 Pl!rn um sinal de encrgio x{r) com e nergia/:.~.
mostre que .. energia de qualqoor um dos si·
n.ais - .\'(1). x( -1) c ·''(1 - 7) é E'•. MostR." também q ue a energi:a dex(clf) ex(<ll - b) é Eja,
mas :1 e.ner~i:l de cLt(r) é o! E-r lstQ mostra que
1.2·5 Odina 2:c(-31 + I )= l(u(-r - 1)- u{-r +
I)). onde u(l) é a função degrnu unitário.
(a) Trace lc(-3r + I) PQta uma faixa aOOqu:r
da de 1.
(b) Tracex(l) para untà faixa adequada de 1.
1.2-6 Considere um sinal x(t) = T"",. onde 11(r) é à
fu.nçiio degrau unitário.
(a) Faça o gráfico de*> paro (- I S 1 S l ).
(b) Faça o gráfico de )\1) = O.Sx(l - 2t) pora
(- 1S t S I),
1.3-1 Cktenninc se cada uma das seguintes afirma.
tivas é verdadeira QU (nlsa. Se a aflrm:uiva
for falsa. demonstl'e por PfO\'õli analftica ou
exemplo.
(a) Todo sinal continuo no tempo 6 um sinal
:malógico.
(b) Todo sinal discreto no tempo é 1.1m sinal
digi tal.
...
f1gura Pl.l-9 Sinal binátiox(l).
x(l)
o.s ................. ,................ .
o
•
24
-I ~...- ........
Figura Pl.2· 1
F1gura P1.2-2
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- I
-························- 2 ······-·····-················
-2
o
2
os
1.5
Figunt Pl.l-3
(c) Se um sinal não for um sinal de e nergia.
emâo ele deve ser um si•~al de pot~ncia e
\'ice-versa.
(d) Urn sinal de enetgia deve ter durnção fi.
ni1.n.
(e) Um siJlal de potência nâo pode ser cau~J.
(I) Um sina.l periódico não pode ser anti-
causal.
1.3·2 Determine se cada unut da..; seguintes afinn.ati\·as é verdadeira ou falsa. Se a alil'mativa for
f al sa. demonstre por prova ou exemplo por -
que a atirm:uh•a é fal&.'l.
(n) Todo sinal peri6dko limitado é um sinal
de potê•lcia.
(b) iodo s inal de potênc ia limitado é um si-
1.3-4 Pnra qualquer c..'OOsCunte w. a fwlÇàó /(t) =
scn(wt) é uma funçâQ periódica da variável independente 1? JllScifique sua resposta.
I.J-5 O si na! moslttldo na Fig. P1.3· 5 é definido por
.<(1) =
o
caso t."Onlnúio
- I
1S t < '2
2 S t <3
A energia de .t(r) é ê • 1.0417,
(a) Qual ~ u energia de y 0(1) = ( 113).-(21)1
(b) um sinnl periódico y1(r) é definido por
X(I)
))(I)= { )':(1
n.al pcriódic()
(c) Se um sinal de energi:t x(t) possui energia
E, então a energia de .t(at) é Ela. Cons idere lt um número rtàl positivo.
(d) Se um sinal de potência x(t) possui poténcia
P. eruiio a potência dex(al) é P/(1, Coníiidere o um número n:a.l positi\'O,
{
~.5
+ O.Soos(b<l)
3
0S t < l
+ 4)
Qual é a potênci~ de J':(1)1
(e)
Qual ~ a
potência de y,(l) ~ (113)y1(21)?
1.3-3 Dado x,(r) = cos(t). x~(l) = scn(m) e ·"J(t) =
x,(l) + x,(1):
(a) Detennine os períodos fundamentais r, e
T: dQS sinnis x,(r) e .c~( r).
(b) Mostrt que x,(r) 1\30 é periódico. o que
n::quer T, = k 1T 1 = k!T1 por.i algum inLei·
rok1 e'1.
(c) Decetmi1M! as potências P.1• P72 e
s inais .f1(t). x1(t) e
P~, dos
o
o~~o~.s--~,--~,~.5---2.-~2~
.5---{3
xN>·
TC'mpo (segundoS)
FiJ:ura P1.3-S
S inaJ de energia .t(r).
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138
SL"AIS E S ISTEMAS LINEARES
1.3-6 Seja y•(t) = y 2(t) = i para O 5t 5 I. Observe
que esrn. afinn:ulva rulo implica em y,(l) =
y 1(t) par.l todo I,
(a) DefiM y,(t) con\Q um sinaJ pnr periódico
com período T, = 2. Ra..o;cunhe y 1{t) e determine $U!l potência.
(b) Projete um s inal peri6dioo ímpar y;.t)
1.~3
(f)
- Til
(a)
(b)
z(r)z•(r)dr
1.4-.1 Rascunhe o segui.me sinal:
(a) u(l - S) - u(t - 7)
(b) u(l - 5) + u(t - 7)
(c) t 2lu(!- I)- u(t- 2) 1
(d) (I - 4)[u(t - 2) - u(t - 4))
(h)
1:
1:
1:
1:
1:
6(t
(t
+ 3)e_, dl
3 + 4)6(1 - t) d t
x(2- t)&{3- t) dt
eu-• 1 cos [ J<x- 5)]6(x- 3)dx
(a) Detemüoe e rascunhe d.cldt
par:~ o sinal
.t'(r) m<mrado na Fig. P1.2·2.
(b) Determine e raS<:unhe tfxJdl para o sinal
x(t) mostrado na Fig. Pl.4-2a.
1.4-<1 Detennine e rascunhe paru o sinal x(t) ilustra·
do na Fig. Pl .4·6.
4
(b)
flgun PIA-2
1 :x(r)8(t- r)dr
6(21 - 3) se.n rr 1 dt
(g)
1.4-5
8(r)x(t - c) t/r
(d)
1.4-.2 Expresse cada um dos s inai15 da fig. Pl.4-2
por uma ánica ~presdo parn todo t.
.tz(t)
--·---··..·-·
1:
8 (t)e'"'"' dt
(f)
4
Cw'+2 )6(w +3)
(se:kw)&(w)
(c) 1 :
(e)
(a)
(sen [Í(I2)] ) 8( 1 - I)
+4
1.4-4 Calcule as seguinces integrais:
\•alor com plexo Z(t) é
T- oe T
(jw
+ 2 )8(w)
wl+9
(e)
(c) Podemos criar u.~na função de \•aklr com·
1T(l
(b)
tl
problema - você só preci!la enoornrar
uma ck:l.as!J.
I
c~: ;)6(1)
(d)
do completo. (Dica; Existe um número
infinii'O de possfvds soluções para este
P = lim -
(a)
(c) )<'"' oos (31 - 60' )18(1)
com pcrfodo r, = 3 e pocência igual a
um. Descreva complelllmente y,(t) e rascunhe o sinal por. pelo menos, um perfo.
plexo y1(t) = y 1(t) + j y/.,t). Determine se
esle si.l'lal é periódico ou nao. Se sim. de.tcrmine o período Tl. Se não, justifique
por que o sinal n!io é periódico.
(d) Determine a potCnda de y 3(t) definido na
p;me (c). A potênc-ia de uma funçlo de
Simplifique as seguintes expresst5es
, _
1.4-7 Usando a deftniç3o de funçlo gencmHzada do
impulso [Eq. ( J.24a)J. ~te que 6(1) é um•t
função IX'' de t.
1.4-8 Usando a dc.finiçào de funç.\o generalizada do
impulso [Eq, (1 .24a)l. mostrt: <lüe
I
6(01) = -8(2)
I•I
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CAPiTuLO I
2
_,
3
I
139
·-·
1.5· 3 (a) SexAI)exJ.r)sãocomponenlesparcím·
par de um sinal real x(t). en1iio mostre que
x<(r).t.,(t) dt =O
[
(b)
M ~tre que
[
o
-I
( b)
f.'igura P1.4-6
1.4· 9 Most•-e que
[
E SiSTEMAS
(c.) Genendize o tesuhado da pan e (b) para
qualquer sinal de: energia finita.
(j)
o
SINAIS
~(l)'f/(1)<11 = -~(0)
X(l)dt = [
oo
Xt(l}dt
- oo
1.5·4 Um sinnl n!io periódico é definido por x(t) =
scn(m)11(1), onde u(t) é a função degrau cooli·
nu:a no tem1>0. A porção fmJXlr deste sinal,
.tJt). é periódica? Justifique sua reSJ>OSta.
1.5·5 Um sinal n:lo periódico é defiJ,iOO por ,,'(1) =
éos(nt)JI(t). onde: uft) é a fun<;ão degmu COCilÍ·
nua no tempo. A porção par deste sinal. xJ..t).
é periódica'! Jus tifique sua ~posta.
1.5-6 Considere o sinal.t(r) 1~rndo na Fig. PI .S-6.
onde 4J{r) c t/JP{t) são cool inua~ para 1 =O c 4'(t)
-;+ O quando 1 ~ ±oo. l::sta inlcgrul define
6(l ) como uma função general i7.ada. IDica: Use
integração por ponc$.1
1.4· 10 Um.'l scnóide t-'"'cOSc:ot pode ~r e,.;pt"ess:a como
a som.'l (bs exponenciais e" e e-" (Eq. ( 1.30c)]
com freqOOneiascomplexass • o+ jwe s • o
- jw. Loc.:alize oo plano oompf.e.xo as freqüên·
cias das seguinte.-. scnóidcs:
(a) t."óS 3r
(b) t' - )t cos 3t
(c) e':l C0$3t
(d)
(e)
e 21
e11
(I) 5
1.5- 1 D::1cnnine c ru.scunhc as cQmponcnte." pares c
fmparcs de:
(a) u (/)
(b) / u(t)
(é) sen~t
(d) cos..,,
(c) cos (<·~'
+ ())
(f) SCP%1U(l)
(g) C()S(~I/4(1)
1_.5·2 (a) De1ermjnc a componemc par c fmpar do
sinal X(t) :: t -!!, (r).
(b) Mostre que a e nergia de x(l) é a som..'l das
e nergias de $U3S componemes par e fm·
par determinadas na pane (a).
_,
Fi~u ra
Pt.S--6
o
Entrada.tít).
(a) Determine c cuidadosamente rascunhe
o~/)=3.<(-( 1 /2)(1 + I))
(b} Octcrminc a crtergiu c po1ênda de 1'(1).
(c) Occcrmine e cuidadosamente rascunhe 11
~iiu par de 1'(1). ''~(t).
(d) Seja o = 2 c b = 3. rascunhe 1'(a1 + b).
l"'(tll} + b. tn'( l + b} e tn•(l) + b.
(t) Sejn tt = -3 e b o -2. rascunhe \'(ar+
b). \'(at) +h. m'(t + b) e tn'(t) + b.
I .S· 7 COO$idcre o sin!ll)(t) = ( 1/5)..:(- 21 - 3) mo.s·
trodo na Figura Pl.S-7.
(:~) y(t) po~sui um IXIrte fmp:a.r,
yJ.t)'? Se sim,
determine e cuidadosamente rascunhe
y6(1}. Caso contrário explique porque a
parte ímpar não exis te.
(b) fXtcrmine e t·uidac.losamente rascunhe o
sinal original x(r).
1.5·8 Considere o sina.l -( l/2}t'(-31 + 2) mos1rado
na Fig. P15-8.
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L40
St1'AIS E SISTEMAS LU.'EARES
( iii) w(t) for um sin;.~l conjugJdo simétrico (Dica: Veja (l Prob. 1.5~9. 1
(iv)
for um sinal conjugado anti-si·
•,<,)
_,
métrico IDica: Veja o Prob. I.;,. 10.1
(b) No plano complexo. trace o que você pu·
o
HguroPJ.5-7
2
der de w(31),
)~1)=( 1 /5)A1-21-3)
(n) Oetcnnine c cuidados.nmcnte rascunhe. o
sinal original.t(t).
(b) Oetennine e cuidndosamcnte rnscunhe a
porção pardo s inal original .r(t).
(c) Octcnninc c cuidndosamcnle rascunhe a
porç!io fm par <kl sinal original x(1) .
I .S-12 DefiM o sinal complexo x(r) • i< I + j) no intervalo (I S 1 S 2). A porção 1\!Stante é definida
de tal fonna que x(r) é um sinal skew-Hermitiano de minima energia.
(a) Oesc:n~'<<t completamente ·'~r) par.t todo t.
(b) Rn.scunhc )'(1) = Re fx(r) l em função da
vari:1..·el independente t.
(c) Rasclmhe <:(1) = Re(.j., (-21 + l)l efn
funÇã(l da variável independen(e t.
(d) Determjne a e nergia e potência de .t(t).
-1
0
f i.gura PI.S-8
I
1.6-1 Escreva o rclnçâo entmdo-Jmido p:113 um integrndor ideal. l)cterminc ns componentes de
entrnda nulo e cstodo nulo da resposta.
I
1.6-l Uma força .t{ t) otWJ. em uma bob de massa M
(Hg. P I .6· 2). Mostre que a \'ekx:idudc ~o'(I) cL1
-(lf2)x(-31 + 2).
l.S-9 A porção do conjugado sim é(rÍt.Xl (ou Hermitiano) de um sinnl é definido por w..(t) = (w(t)
+ w•(-t))/2. Mostre que a pan e real de w..(t)
é par e a pane imagin:iria de w~.(t) é fmpar.
1.5-10 A porção do conjugaOO anti-simétrico (ou
skew-Henniliano) de um sinal é detinido por
"·,.,(1) = (M'(t) - w"( - 1))12. MusLre que a parte real de w,.(t) é ímpar e :1 pan.e imaginária
bokt em quuJ.qu.e.r instante 1 >O pode ser decer·
minada se collhect•'lnOS a força x(r) dur.une
todo o intervalos de O a 1 e a velocidOOe inicial
da bola •·(0).
X(l) --+~
de: h ',.(t) é par.
1.5-11 A J::"igunt PI.S-1 1 aprtS(nta um sinal COI11plexo ~'(1) oo plano complexo paro o faix a de
tempo (0 S 1 S I). O tempo t = O com:::spoodc
a origem, e nquamo que o tempo t = I CQrre&pondc :to pomo (2.1 ).
)'(1}
Figura P1 .6-l
1.7-1 Pam us s is temas de.scrÍltlS pelll.o; seguintes
cquo~·õcs. com e ntrada x(t) e sa(da )'(t), determine quais sistc ma.o; são lineares c quais são
não lincnre.s.
d\'
E
o
2 Re
f igura 1.5-11
w( t) para (OS 1 S I).
(a) No plan(l complexo. trn<·e w(r) paro ( - 1
StS1)se:
(i) u(t) r(l( u m Sill:l! J):lr.
( i i) 1~(1)
for um sinal fmp.1r.
(a) -'tlt
tly
(b) d t
(c)
+ 2r(l)
= x"(~ l)
'
+ 31)"(1) =
~
I" X(l)
3_,·<•) + 2 = x(1)
dy
(d) dt
(e) (
+ i (t ) = X(t )
t r+
2y(l)
= x(l)
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CAf'trul.O 1 SINAIS E $ ISTf!MAS
d\•
(I) ~
dt
d)'
(g) -d
'
d:c
+ (sen r)y(r) = - + 2x(r)
I
dt
I
(/X
+ 2>•(r) = .< (r).
,
-5
tlgura Pl.7·3
J~ x(r)dr
=
(h) y(r)
dt
l 41
.
1.7·4 Um sbtema i espe<:ificado pela seguinte rela1.7-2 P:lrn os sistemas descritO$ pelas seguintes equ..1·
çôcs. com cntrada ~r) c: sakla )(1). explique com
,·azaes <1uais dos sistenl<tS são sistemas oom p;•rlmet.ros im.-uriantcs no tempo e qwüs siio sistemas com parjmetros variantes no tempo.
(a) y (t ) e .<(r - 2)
(b) y(t) = x(-t )
(<) y(t) = x(at )
(d) y(r) = r x(t - 2)
j'_,
(e) y(r) =
(I) y (r) e (
çtio cmmdil·s::tfdtt
y
~~ ) '
o
o
)'(I)
11(1)
q,(O)
y(t)
- I
l' 1u(r)
o,
.
- I
- I
c
•.
211
e-'(3t + 2)u(t)
2
dx/ dt
1.7-5 MoJ;Ire. que o circuito da Fig. 1.7-S é linear
de estado oulo. mas não é linear de entrnda
nula. Assuma que. todos os diodos possuem
cnr:tcteóslicas idênticas (casadas). A 1111fda é
a correme y(l),
x(r) dr
q,(O)
x (r)
Mostre que o 11istem3 satisfaz u propriedade
de homogeneidade, mli.S oflo a propriedade
.adili\'11,
1.7-3 Para um certo sistema LIT <.'Om entrudo x(r)
e s.1fda y(r) c as duas condições iniciais q,CO)
e <Jz(O), as seguimes observações fomm re;,.
lizadas:
X(t)
2
=
(r)
211
R
2u(t )
Oetctmü,ç >(t) quando as duas condições ini·
ciàis s3o tero e <"~ t:IUI'tlda x(t) é corno nk'Jslrado
na Fig. P1.7·3 [Dica: Existem três causas: -.
entrada e cada uma dn...c: duas condições ini·
ci:1i.s. Devido a propriedade de linearidade. se
um.1 c:.usa for aumentada por um fru:or k. ares·
posta -. aquela c:.ausa também aumenta pelo
mesmo fator k. Além dis.w, se :tS causas (orem
somadas. as resposcas COI'l'tSpondentes Ul.m·
bém serão somadJs.]
1.7·6 O indutor L e o cap:tcitor C da Fig. P l.7·6
são não lineares. o que tornu o circuito o5o
linear. Os tds elementos restantes são lineares. Mmnre que a saída y(r) deste circuito
n!l.o linear .sMisf:. t as cond ições de lincari·
dade com relação a entrada x(l) e condições
iniciais (todas as corrente.~ inicia.is dos indutores e tensões iniciais dos capacitores).
c
O, I f-1
L
A(r)
IF
20
y(r)
Figura P1 .7·6
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142
SINAIS f. SISTE.\tAS L l:-.tF.AJcf'.S
(d) O siSitmà é sem 1uem6ria? Justifique sua
resposta.
(e) O siscema é ~usar? Justiftque Su3 rtSpOSl<L
(0 O sistema é invariante 00 tempo? lustifi·
que sua resposta.
I. 7. 7 Pàta os siStemas descritos pelas seguintes
equ.uções, com entrudu .t(r) e saida y(t), detc:r·
mine qu:1is são l.".U.Usais e quai.:> são não causais.
(a) y(r) = x(r - 2)
=x(- 1)
)'(1) =X(<ll)
(b) J'(t )
(C) y(t) :: X(lll)
li
> I
(d)
(I
< I
1.7-1 1 Um sistemaédadopor
I.7 .S Par.1 os s.istemas deSc.:ritos pc las SC'guintes equações. CQm cntrnda .l'(t) c saJda y(t), <Lctennine
quais são inv«Sívtis e quais são não in\'t'rsh-eis.
Para (liS sis.ema:s i_m-c~í\'eis. dctem1ine a relaçilo
er1ttadà· Saídll dosis1ema itn'ei'SO.
(a) )'(I)
=
r
1-~
dere a ernr:ldà do sistema A'(1) uma ond:t
quadmda.)
(b) O sbtemà é linear? Justifique í>U31't'sposta.
(c) O sistema é sem mcmóri!l'? JUSiif.que sua
11
inlc-i m
(d) O sis.ema é C.1US.'ll? Justifique sua respoSta.
(e) O sistema é im'3tiante no tempo? Justifi-
d .r(r)
dt
que sua resposta.
=.<(3r -
(c) y(r)
= coo ).<(r))
(f) y(t) • t>..-<rl
6)
1.7-1 2 Um sistemaédadopor
x(t) real
)'(I)= {
1.7·9 Considt-re um sistema que multiplica un1;1da·
da entrada por um:! (unção ramp<at{l) = tu(t).
Ou seja. J~l) = .•1r)~r).
(a) Este sistemu é linear? Ju.:>tifique su:t ressistema é sem memória? Justifi que sua
se x(t) > O
se
x(l)
::$ O
(d) Osi &~cma é causal? Justifique sua !'tsposut.
(e) O sistem ~ é invariante no tempo? Justifi-
resposta..
(c) O sistema é cuusal? Jus1ifique sua reJ>·
posta.
(d) O si!l>tem3 é invarinnte no 1empo? Jusdfi.
que sua resposta.
que sua resposta.
1.7-13 A l-I sura P1.7-13 rnc)S.I1'31lftl:l Clllt:.ld!l.r1(t)de
um sistema H linear invarianle no tempo
(LIT). a saídn correspondente y ,(t) c um:t se·
gund!l cmrad!l .t'!(t).
(a) Andrésug_crcque ..:'2(1) = 2x1(31) - :c1(tI). André está COtTCto'? Se sim, pro•tc. Se
não. <."Urrija seu erro.
(b) 6s.pcnmdo impressionar André, Samanta
quer saber a rcspos.1a y_.(r) paro o sinal de
cntrodn .l'~(l). Forneça a ela urn:t cxprc-ss!io
parn )'_.(t) em termos de y1(1). Utilize o
MATL..AB J)'lta traçar ~'~/..t).
1.7·10 Um Si$1cmn em tempo contfnuo é dado por
= 0.5 ~~x(r)[a(r- r) -J(r + r) )d<
Lembre-~ que ~(1) rcpi"C$Cnla
x(r)
Q
(3} O sistema é estável OIUO'? Justilique sua
resposta.
(b) O sistema é linear'? Juslifique sua ~posla.
(c) O sistema é sem memória? Justifi.que sua
resposta.
pos1~.
y(r)
I)
I'CSJ)06'3.
.r(t) I'C3J c
(d) y (r)
(b) O
r/
= dtX(I-
(a) O si.sccms é est.á•tcl Bl 80? 1Dica: Consi-
x(r) dr
(b) y(t) = x"(t)
(c) y(l) =
)'(1)
u função delta de
Dimc.
(a) ~x pl iquc o que este sis1ema faz,.
(b) O sis1ema é está\'el BISO'! Justifique su.'l
resposta.
(c) O si.slcm.'l é lille;lr'! Justifique sua resposta.
.r~t)
2
11
I)
2
3
4
t
o
2
3
..
t
o
2
,l
4
t
figura Pl.7·13
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CAPITuLO I
1.8-1 Para o c.ircu.ito mosrrOOo na Fig. P 18.8-1. dctenninc as cquaçõe$ diferenciais relacionando
as saldas y 1(t) e y,(t) com • entmda x(t).
Hl
+
I H )'2(1)
x(l)
Flgura Pt.S-1
1.8-2 Repita o Problema 1.8-1 paru o circuito da
~ig. Pl .8·2.
SIXAIS E SISTI!MAS
143
Fig. Pl.8-3. Nes1c caso, a entrada não~ uma
força. mas um deslocamento .l(r) (o contorno
da rodovia). Oc:tennint a eqwtção diferencial
que relaciona a saída y(r) (deslocamento do
corpo do automÓ'o-el) com a entrada x(t) (contorno da rodovia).
1.8-4 Um mou'll" CC controlado pelo campo es.~A
mostrado na Fig.. P. IS-4. Sua conente de: armsdurn i. é mantida cons1ante. O torque gerado pelo lll()tor é proporcional a corrcme de
cruupo ;1(torque -a kJ}· Detennine a equaç5o
diferencial relacionando a posiçiío de Sàfda 8
oom a tensão deentrdda x(t). O motor e a carga, juntO$. possuem um momento de inércia J.
1.8-5 A água Oui para um tanque com uma taxa de
q, unidudesfs e fui através de uma válvula de
Figura PI.S-2
safd:l a uma raxa de q~ u.nidades/s (Fi.g. P I.85). Determine a. oqu.açlo relacionando o Ouxo
de: saída q0 com o Oux6 de entrada q1• O Ouxo
de saída é proporcional a altura h. Logo, q., =
Rh, onde R é a resiscência da válvula. Dctcnni·
1.8-3 U.n modelo unidimensional simplificado da
suspensão de um automóvel está mos1rado na
ne. também. a equaçlo diferencial que relaciona a altura h oom a entrada q" [Dica: O nux6
líquido de água no tempo llJ ~ (q, - q~. & -
Yz(l)
IF
xO)
J.--
, , (Ekvaçlo do automóvel)
8
Figura PU-3
i.. = c.:onsaame
.X(I)
figura Pl.S-4
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te nu~o também é AAit. onde A é a stçio
tmn~vtt!illl do tanque.)
I.U Considere o circuito fl'IO§CradQ na Fig. P1.8--6,
com ttn~ de cnlnda .r(t) c CCJn'C:Q&tS de QJ.
cb),(ll. J/.lh YJ(i).
(a) Qual c! a Ofl'km de5cc Sl\lem:&? E.xpliqut
sua re\posla.
(b) Dl!t.:rmh.e a reprt:S('ntmç3o m:nridal de~:·
IC: ;.i5.1em&.
(c)
u.. 1 rcp11 de Cnmrr pora delenninar a
com.ntc dr: saída yl,t) pora a 1msio ck
<nlrloda .I{r) = (2 - ICO>II)I)u(r-1 ~
1.10-2 Escn:wu :t~ C<IUaçôes de escaOO paro o circuito
f;lc ICJ"'Ciru ordem mosJrndo 11:1 t-I s.. P I.I0-2.
usando as cont:naes do indulor q 1• q1 e a te:nslo
do UJ)X'ttor 4 t como \ari,.. ci~ de ~.
MMR qur cada possi\·cl kMio ou corrence
ntS4c cín:uho pode: ~ e\~ como uma
combin.'lç(lo linear de q 1• flt- '11 c da cntracb
.l'(1), Atén1 disso. em algum Instante 1. foi ohservudoqueq1 = 5. q1 • I, q, • 2ex ~ 10.
~ennine • lendo e a corR:ntC' atm.'és de C.•
cb ekmmco do circuito.
••
1.1O· 1 Esc::revu ~~~ c.qu.aç&s de c:SilUio parn Q circui·
to NLC paralelo da Fig. Pl M-·2. Use a tens!\o
do c~pachor q1 c a c."'fl'entc: do i.ndutor q1 como suas ••Jrijvcis de CA:ado. \losr.n- que cada pM)f~cl conerne ou tc:n~ do cimai1o
pode 'Ct C:\Pf'CMI em tcrmCM dt q 1• q1 c da
c nu·:.da X(I).
Figura PI.I0-2
1
lo
•.===~-j__...:::Jc::- ..
dt)
'
lO
1--,-
flgun P IJI-5
! u
ANÁLISE DO D OMÍNIO DO TEMPO DE
SISTEMAS EM T EMPO C ONTÍNUO
Neste livro, C()n.sidcrnrcmos dois métodos de an51i~ de si~tem.as line:~res inv:uiantes no tempo (Lil): o mélodo
no dontfnio do tempo e o método oo domínio da frettüênc:ia. Neste capítulo. discutiremos a crntflise uo domíuio
tio tempo de sistemas lineares contínuos invnriantes no te-mpo ( LCI1").
2 .1 I NTRODUÇÃO
Pnm o propósito de nn::ilis~. consider:trcmos s!Jttmos lint'(tfl"S difrret~dtlis. Estn é ::t classe de sistemas LCrT
:•prcsentados no Capftulo I. paro os ,,ua.is a entrada .t(r) t a s:.ída .\·ú ) estiio relacionadas por equações difecen..
ciá.is lineares na forma
tJ·Y)'
Jy
tJN - I )'
+··· + a"'_, -d/
-dl" + a 1-dt·'Y - I
d"'- 1x
dux
Q
blo'- .W
+a,..l'(J)
.
dx
(2.1a)
d'i'M + b ,'Y -,tH I ;;;;;::i + '' · + b ,\'- l dt + b~tX(I)
onde todos os cocfkicmes a, c b, são consumtes. Usando a nocnção do opcr.1dor D paru ret>R"SCntar dltll, pode·
mos expressar CS$JI t:quaçâo por
(O'"'
+ llt o N- t + ... + a ,Y- 1D + iiN)J'(I)
;;; (bli- M DJJ
+ b rt- 11-1 o""-' + ... + bN-1D + b,.,.)x(l)
Q (D)y(t) = P ( D).<(t)
(2.1b)
(Z. Jc)
na qual os poliOOmi~ Q(O) e /'(0) são
Q ( D) :
Df( +a, o"'-' +···+a,.. _1 D+a....
(2.2a)
(2.2b)
1'eoriC11mcnlc·, as poténcins Me N nas equações anteriores podem assumir qualquer v:Lior. Entretanto. con·
sickraçôcs práti<:as tornam M > N não desejável por duas razões. Na Seçao 4.3·2 itetn()S I~Lror que um siste·
ma LCIT especificado pel" Eq. (2.1) funciona como um difere-tlciador de ordem (M -N). Um diferendador re·
presenla um sir.tema insuivd. pois uma enlruda limitada tal como o a cntr.nda em degrau resulta~~~~ umJt saída
n5o limitadu &(t). Sesundo. o ruído é aumentudo por um difcrcnciador. O rufdo é um sin:tl de banda larg:t con·
tendo componentes em todas as freqt:lêncins. de Oa fteqUências nmito altas tendetldo a oo. 1 Logo. o ru(do COtl~
1
KufOO t qua)q.ucr' ~~~ai tlliO lksc.'j:tOO. lllllllnl ou pl\ldw:IOO. 'fUI.' intet(m• l'(ll1'1 ~ ;.inais dc:~jild!W ok ud'l l!ÍSklflll. Alguni3S 1001~ de:
tllickt liiO a r.-di.tr,·ió cktron.:.gnétic-"' ~!Mdal, I) n)lr<timl'ni(J nla16ritJ lle elétn:wl~> em nJnlpllnt'Mes do l'llokmll,. a imcrl'en!oda devãdo •
prox imid;~(lc de ~lnçôe~ de l'l)(lio e WIC'·i ~. ll'\\IISiiÓI'iOIS produzidos pelo .si~cma de i,lll'liçQo de \ ÓCU)OS c iluminaçOo n \IOI't':SÇCfiiC..
Copynghted matenal
SINA I S~ SI.S1'Et\IAS I..JNF.ARES
146
lém uma quanlid.ndc significotiw de componentes que \'ariam rnpidomcnte. S:Lbcmo$ que a derivada de um si·
nal que varia mpid.nmcntc é grande. l'onanto. qualquer sistema especificado pela Eq. (2.1) na qual M > N irá
aumenuat as comp._K.entes de alta fteqtlência do rufdo atr;wés d!! difetet.ciaçt\o. É muito J>OSsfvel que o mfdo
seja ampliado de tal forma que ele mascare cornplwuneme a s•tfda do sistema. mesmo se o sinal de rufdo na
entrad:~ do sistema for pequeno. dentro da tolerância. Desta fonna. si~temns prátkos geralmeute utilizam M S
N. No re.stnnte ~te texto. iremos assumir impli<:il.anlente <1ue M S N. Para efeito de generaliz:açikl. iren~ as·
sumir M = N na Eq. (2.1).
No Copftulo I. demonstrnmos que um sistema descrito pelo f':q. (2.1) é lineor. Ponnnto. sua rcspostu pode ser
expressa como a SOina de d~•as: compo1~ntes : a COLnponente de emrad!1 1tula e a C(Knponente de estado nulo (propriedode d:l decomposição).' Pol'u .nto.
Resposta total
= resposta e-ntrada nula + resposta estado nulo
(2.3)
A componcme de entrad~ nula é :t resposta 00 sistema quando a entrad..'l ;l"(t) =O c, portanto. ê resultado
somente das condições internas do sistema (tal como :~s energias armazenadas. as condições iniciais). Em
oontr.aste. a çomponente de estado nulo é a resposta do siste.~na a eotr.tda externa .l"(t) quando o sislema está
e-m esrado nulo. signific-ando a au~ncia de quaJquer energia interna annazenada: ou seja. 1odas as (.X'Jndiçôes
inicinis são zero.
2.2 REsi'OSTA 00 SISfEMA A COI\'DIÇÕES INTERNAS: REsPOSTA DE E NTRADA NULA
A
resposta de enl r:ld.'l nula y11(1) é a soluç-!io da Eq. (2.1) qu"ndo a emmdà .x(t) • O. tal que
Q(D)), (t) ; O
(2.4a)
ou
(2.41>)
1
A solução de.c:sa ~unção po<k ser obtida sistematicamente. Enl~tanto. i~mos adotar um at:.dho. usando a
heurística. A Eq. (2.4) mosua que a combinaçJo linear de yJ..t) c suos N derivadas succs.~iYn.s ê 1.em , não em al gum vaJor de 1. ma"' para todo 1. i ai resull.adO é possh-el se t! somt!nlf: St' Yrl.l) e todas as SUilS N deôvOOas SUCCS·
sivn.c: forem da mesma fonna. Caso <:onl.rário. a soma não será zero paro todos os vulorcs de 1. S.ubemos que so·
mcme :1função exponencial I" possui cstn propriedade. A~sim. vamos presumir que
)b(t) = ceõ.l
é a soluçâo da Eq. (2.4b). Erullo
' f'OOt•n~ iacdtN.'1'11C \C11fkar <IUC o si"cma dcw;riiQ ~I.;, 6q, (2.1) I)(IMui !I propriedade da deool:n~i~ Se yJ.r) i
!I ~pos111
ck co·
tr.ad:ti)Ub. cotkl. p:w ddinfçio
Q(D)y,(l) =O
Se- ,-(r) t a ro.--sposca de cs.~ado nula. ('tlt6() }(I) é• soluç-Ao de:
Q ( /)))'V) • P (l>)x(t)
suJ('ha a colldl~õc:~ iniciais nui.M
(e;s.._.., JM.1lo). Som:u'll}(l ~ms
rtllll'i ~puu;õo. tcrn('l~
Q(O)[) b(l) + yttll
•
P( 0).<(1)
Cw-:rncntc. y,j.t) + J(l)~ a ~uç;llo ~ral da Eq, 12,1).
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CAI'trut.o 2
ANÁLISl! t.'O 0oMb.'IO DO TEMPO 0 8 SISTEMAS f!.\11'1!MPo Col'tT'fNUO
147
Substituindo esses resuhtldos na Eq. (2.4b). obtemos
c():'' + a 1).-"- •
+ ·· · +aN_ ,J. +a,.,.)~= O
Para uma soluçSo não ui,•ial desSél equação.
11
).
+ a 1). N"- I + · · · + a11_, ). + a,v =O
(2.5a)
E.'t.'iC resultado mostra que cl' realmente é a soluçOO da Eq. (2.4), desde que À satisfaça a Eq. (2..5a). Note que
o polínôntio da Eq, (2.5a) 6 ;.Jêntico ao poHnclmío Q(D) du Eq. (2.4) c:om Asubsti!Uíndo D. Poruuuo. a E()., (2.5a)
pode ser escrita 00100
Q(A) =
0
(2.5b)
quando Q().) é expressa em tell'll05 de fatores.. a Eq. (2.5b) pode ser representada por
Q (l.) = (A -l., )(l.- l.,) · · · (l.- À N) = 0
(2.Sc)
Claramente~- possui N _soluções.. )." Àr;;·· )."ú.assumi~o que todos os À1 s!o dislintos. Conseq~ent~metue. a
Eq. (2.4) possuJ N poss:fve1s soluções-: c,e . c2e ..... ctor . oorn c 1, c:-.... c,_sendo OOMI.ànLC:S arbttr.trias. Pode·
mos tapidamente mostr.t.r que uma soluçiiO genérica é dnda pela soma destas N soluções.' tal que
(2.6)
onde c,, c~ · ··· cN são consumtes arbitririns detemti.nadas pelas N restrições (coodiçOes auxiliares) da soluçAo.
Obsel'\'t que o polinômio Q(J.). o qual é caracteristioo do sis:tema. n.ão tem ntldà a \'t.r oorn a entr.t~da. Pores·
ta raz..~o. o polinômio Q(Ã) é chamàdo de polinômio Cltraclerútiw do s·istema. A cqua.c;.ão
Q(l.)
=o
(2.7)
é chamada de e.q1wção cart~ct~ristica do sistema A Eq. (2-'Sc) claramente indica que à 1• l....... l., são f1S r.a.í7.es da
equ:.ção camcterlsticu.. Conseqüentemente. ck:s são chamados de rafu s COIYlCfe.ri...flicosdo sistema. Os termos m/ons caractulfiicos. amm'OIOI'r!S C/f"rUIIlincias norurois t.1.mbém s!k) utHitados para ns rab.es camcterfSiicas.• As
11
exponenciais i (i = I, 2, ... , n) da res~a de entrada nuJa s:io os modos tartJCftrlsrlcos (também tbamOOos de
modo.r nowrolsou simplesmente modos) do sistema. ExiSie um modo característico para cada raiz can1cteristica
do siSiema e tf rtSf>OJI(J de entrado nullt é 11 combinação lim~ar do.ç modos caracterlstkos do sistema.
Os 1nodos característicos de um sistema LCIT incluem CJipecialmente um de seus atribut05 mais important~. Os modos carncccrisaicos não apenas determinam a resposta de entroda nula, mas também possuem um lm*
po11ame papel fUI. detenniO."'I.Ç;io da reSJ)OISta de estado nulo. Em ootras palavras. todo o comportamento de um
sistemn é djtado prit~ci palmente pelos modos característioos. No restante deste capítulo iremos per<:eber a presença oonstante dós modos c:aracteristioos em todos os aspectos do comportamento dos sistemas.
RAIZES REPETIDAS
A solução dal!q. (2.4). como mostrada na Eq. (2.6), assume c1uc as N rafzcs caractc:ris«icas Ã1,l.2.... , À,,. silo dis·
tintas. Se existirem raizes repecid:Ls (a mesma rai:t c.>oofl'endo mais de uma \U), a forma da soluçAo será um pc>u·
CQ modificada. Através da substiluição direta podemos mostt:U" que a solu~o da equaç!l.o
' l'llfll pt'O\ut~ta llfimlalh'A, li.~WII"IIIIJUt> )'t(r). )'",t(t),..., y,(7) l1iQ tOdas )()lliÇÓe:l dll Eq. ( 2.4), ~110.
Q ( D)y,(t ) = o
Q( D)y,(t l =O
Multlplieando(".5sas «J\IIIÇ'Oc$ pot c,. t·:-.... c.·~ lt"Sp«l i•'atlltl..'llle e S(Jmaodo-IIS.. Ii.'r~.mtl!O
Q( O)Ic 1y 1(1) + €1.~(1) + · · · + ""')'.(1)1 =O
E.~!e rbl.lltaOO niOWlil que:; c J ',(l) + O:..Jj (l) +... + c...y_(l) também~ li(lluçilo da equaçOO holnQiêi\Ca IBq. (2.4) ).
1O termo tiR'"''OI.t~e (2A11()">1Lk.lrH o lermo 11JefDk) pnrn "\'Aior çnmctcrfstk.'O"'.
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é dad~ por
Yo(t) = (c1
+ e:r)e),'
Ne.."'e caso. a raiz I. repe(e duas \'tzes. Observe que os modos c.amcterfsllcos neste caso sào i' e tell. Conti·
nuando neste padr:W. podenlOS n1osuar <1ue paro a e<JUãÇào diftrenéi:tl
(D - 1.)' Jo(l)
=O
(2.8)
. . • ".Á
' .1.1..... I' e-·
" casoIuçuoser
'
á
os modoscamctenstrcossnoe
te /.re
Yo(l)
= (c, + c:r + · · · + c~,~-• )t'),
(2.9)
Conseqüentemente. pam um s-istema com o polinõmio caracleristico
. ...1.• •
•
~··
H f
,., Uf
..... .,
- é
os lhvuus
~.~amctensllcos sao e . le ..... 1 e . e
..... ev.~ e-a SOI uç-ao
R AiZES COMPLEXAS
O procedintt."nto para lidar com roh:cs complex:u é o mesmo para raízes reai.s. Par.t raízes l.'Omplexas, o proce·
dimento nomml resulta em modos carac:teristicos complexos c em solução na forma complexa. Entrct.nnto, é
possível e\'itar a fonna complexa selecionando a fonnn renl dn solução. CQmO descrito a seguir.
Paro um sistema real. ~s raízes complexas de\•em oçom:r em pares conjugados se os coeficiemes do polinômio '-'<lfoc1t-rfs.lic:o Q(í,) forem reais. Pooanto. se a +jfJ é uma raiz. c.·arJCterística. tntão a- j{J também de\•e ser
uma r.tiz caracteristica. A rcspostu de cntrll!da nula cOO"CSpondeOic o es1e par de roí.,.cs complc:xns conjugad!IS é
(2. 100)
Par.l um sist..-:ma real. a respOSta yJt) t<Jmbém deve ser real. IS$10 é pOSSÍ\'el apen3s se t'1 e c~ (()fem <.·onjug:l·
ckn:. Seja
,.
l'1
= -efll
2
e
t•.
c .,.
= -t'
2
O que resulta em
<
\ '(I)= - t!J' efii+Jitt
~ (I
2
,.
+ 2-~ -J~e<• -JI'JI
::: ~t·"l [r"H"·· + c ·JI,ib•tl))
= u"' cos (Ih
+ 6)
(2. 10b)
Potlanto. a tespo:.u• de emmda nula corTespondente às mfus complexas conjugadas a ± )/J pode ser exptes·
sa na fonna <:omplexa (2, H},)) ou n~ forma real (l. IOb).
EXEMPLO 2.1
(a) Octennine y0(1). a componente de emmda nula da resposta de um sistema LCJT descrito pel~ seguin·
te equ~lç.OO diferenc-iaJ:
CD' +3D+ 2)y(l) = DX(I)
quando as <·ondi.;ües inkiais são yJO> a O. _);, (0) ~;;- 5. N(l(e <1ue yJ_r). seodo a compooente de entrada nu·
la ).nl) = 0) la soluçAo de (D' + 3D+ 2)}>!r) = O.
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CAPtnn.o 2
ANÁLISE ~'O Do~tiNK> no n:.MPO DE Stmt\tA.S EM TEMPO Cm."Tf~o
149
O polinômio característic.·o do sistema é À 1 + 3.\ + 2. Pon:mto. a equação caracteristica do sistema~
). ! + 3l. + 2 = (). + 1)(). + 2) =O. As rafzes ~U'tlcterfstic-as do sistema s!o )., = - I e J..1 = - 2. e os modos c~u'ltc1erf.stioos do sistema s.io ~·• e ('~. Conseqoente mente. a respoSta de ent.tt~da nula é
J'o(l)
= c,t>-.~ + t··~.f'-u
(2. lla)
Pal"3 deu:rminar as constantes arbitr.1rias c, e ("t· diftrencianKtS a Eq. (2.11a) pal':l obtet
·' 'o<t) =
- t·,e- ' - ü ·1e- :r
(2. l lb)
Fazendo 1 =O nas Eqs. (l.l l a) e (2.11b) e. wbstituindo as condições iniciais yo(O) =O e jo(O) = - 5. ob·
temos
O:::c, +t·J
- 5 = -c1 - 2t·z
Resolvendo estas duas equações simuluineiL.; para as su.ns iocógnita'i c, e c1• teremos
c,= -5
('~
=5
Po11anto,
(2. llc)
Esta é n componente de cntrnda nuln de )~1). Como y11(1) está presente pnra 1 =o·. estamos justificndos
p:tm considerar que ela existe para 1 ~O. •
(b) um procedimento similar pode ser seguido l)aro·at:lízes repelidas. Po.- exemplo. JXIt'll. um sistema es·
pedficiKio por
(O' + 60 + 9)y(r) = (30 + 5)x(r)
vamos decerminar y0(1). a <."'mpo•~n te de entrada nula da resposta se as condições iniciais forem y0(0)
yJO) =-7.
=3 e
O polinômio cnractcrfstiCQ é ).l + 6). + 9 = (À + 3)!. e as 1'3fzes can~cterrstJca.s são ). 1 = - 3 e >..1 = - J
(raí1.e$ repetidas). ConseqOentemente. os modos csr.teteristioos do siS-tema são ~-,. e r~· )f. Como a resposta
de entrJd.a nula é a combin3ç-OO linear dos modos c,amcterísticos, temos
Yo(t)
= (c1 + c 1t )e-)l
Podemos determinar as coniit.antes arbitrária.;; c1 e c: n pa11ir das condiçõe.o; iniciais yJO) = 3 e )o (O) =
-7. adocando o mesrno procedimento da pa11e (a). O ldtor pode mostrar que c, = 3 e c1 = 2. Logo,
Yo(r) = (3 + 211<"'
1 ;,:
O
(c) P..1ra o caso de raízes complexas. wmos de-terminar n resposta de c ntrnda nula de um sistema LCIT
descrito pela equaç!kl
(0 2 + 40 + 40)y(r) = (0 + 2)<(1)
=
com condições inic-iais yJO) 2 e ~(0} • 16.78.
1
O polinômio caracteris.tJco é ). + 4).. + 40 = (l. + 2 -j6X>.. + 2 + jf:t). e as raízes car:~cteristica.s sr.o -2
±j6.: A solução pode ser escrita na forma complexa I&J. (2.10â)l ou nít ronna real lf.q. (2.10b)j. A fomla
' J'Jt) pode CSI.IIr ~nll! momo nnti!S lk: r • (f. En.tt"I!IJinco. I)Odelfll.l5 let n tcl'kt.ll de .wn preKnÇn II(IE'IQ<.\ de r • O p.1n1 (tal~.
1ru mi1cs comple~~;115 Ç()Qju.f!lldll!> pora um polinômio de: 5ef!unda ordem podem ~ dc!CtmiMdas u:saftdo • fórmub da Scçlo 8. 7·lO 01.1
t'Xpn'S~ O tlOU~ío C"<KKO 11 Wtna de o.kJb quadr.tdclei. l"ode« oonscguir 11 )()rna de oJob q~ "'(Ir~ o> qu~O COill
os doli prime~ lmno:IS, cocnu 1~1Mndo a s.quir
).2
+ 4k + 40 =
(}.!
+4l. + 4) + 36 = (l, + 2)~ + (6)! =(À + 2 - }6)(), + '2 + }6>
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150
SINAIS E SISl l!MAS L INEARES
complexa é yJ.t) =c/''+ cl':I. onde .i., = -2 + j6 e .\1 = -2- j6. Como tl= -2 e fJ = 6. a soluçio na forma real é l,·eja Eq. (2. 10b)}.
(2.12a)
ondt c e Osão eonscantes arbitrárias a serem detenninadas a partir das condições iniciais yJ..O) = 2 e jo
(0) = 16,78. Diferenciando a Eq. (2. 12a), teremos
ju(l) = -lce-~ oos 161
+ 9)- IJ<e• > sen 161 + 9)
(2.12b)
Fazendo r = O nas Eqs. (2. 12a) e (2. 12b) e substimindo as rondjções iniciais obtemos
2 = coosO
16.78 = - 2ccos0 - 6csen0
A solução destas dWLS equações simull.âoeas de duas incóg:niUtS c oos 9e c: sen (J rcsulln e m
c cose= 2
csen9 = -3,463
(2.13.')
(2.13b)
Fazendo o qu-adrado e somando os dois lados das Eqs. (2.13). teremos
c'= (2)' + (-3.464l' = 16 ==>c= •
A seguir, dividindo a Eq. (2.13b) pela Eq. (2.13a), ou sc:ja, di-..•idindo c sen (J por c cos IJ. 1eremos
tan 8 =
- 3.463
2
e
fi=um·• ( - 3.463)
2
~
=-J
Logo,
)'o(t)
= ~-lJ cos ( 6t - ~}
Para o gráfico de yJ.t) refira-se novamente à F'ig. B. l lc.
EXEM PLO DE COMPUT ADOR C2.1
Determine as rdizes ). 1 t
(a)k=3
).l
do polinômio). 2 + 4,\
+ k )Xlra tr!s valores de k;
(b) k - 4
(e) k :40
(a)
~>r
• roo~s( l l 4 3)) ;
dbpt( ' Case t k=l) : roots = t ' . num2strcr. ' ). ' ) ' ) t :
case t k • )J : roots = 1-3 -11
>~
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CAPI'rll1.0 2
ANÁI..IS6 t-."0 DoMi NIO 00 TEMPO D6 StSTtiMAS O t TEMPO CoXJiNUO
para k = 3 as rarus do polinômio slio, ponamo, >.1 =- 3 e )"'l
;;:;
I sI
- 1.
(b)
r = rootat(L 4 4 )) :
disp(( 'C,ae (:k=4t: roots = ( ' ,num2str<r . ' ) , 'l'J) ;
Case <k=-4) : roots = 1·2 -21
»
»
para k
=4 a5 rnJzes do polinômio são. portanto. J., =l.., =-2.
(<)
>> r = rootst fl 4 40)} :
» d1$p(( ' Cllse (kc40): roots = ( ' ,nu."ff2str(r .' ,' tO . Sg'), ') ' }) ;
~se
<k• 40): roots
= (•2+6i
-2·6i)
paru k = 40 as raf1.es do polinômjo sll.o. portan1o. ), 1 = -2
+j6 e À l = -2-j6.
EXEM PLO D E COM PUTADOR C2.2
Considere um 5iSiema LCIT especificado pela equação diferencial
(0
1
+ 40 + k ))'(l ) =
(3 0
+ 5)X(/ )
Usnndo 35 condições iniciais yJ,.OJ = 3 e = -7. detennine u compooe01c de= entrada nul.a da resposta para
!rês ' 'a lares de k:
(a)k = J
(b) k = 4
(<) k=40
(a)
>> y_O = dsolve<'D2y+4 • Dy~3·y•O' , ' y(O>•l ' , '0y(0): •7 ', ' t ' );
disp( I ' (cU k • 3: y_O • ' . ch.or<y_O)))
(a) k • 3: y_O • 2• expf · } • t)•eXP< · t)
»
para k = 3 a n::s.po&ta de en1racbl nula é. portanto. yJt) = 2t'" +e'"'.
(b)
>> y_O = dsolve( ' 02y..-, • Dy•4 •y•O','y(0)•3 ','1}f(0) : •7 ' ,' t ' ) ;
>> dhp< I ' (b) k • 4; y_O = ' ,char <y_O) l >
(b) k • 4; y_O • 3 • exp{·2 • t)·expt - 2 • t> ~ t
para k = 4 a resposta ck entrada nula é. portamo. yJ..t) = à -:.- 1~-:..
(<)
y_o • dsolve( ' D2y•4 • Dv•40•y=0 ' . ' y(OJ=l ' . ' Oy(OJ=-1 ' . ·e·J:
disp(f'fcJ k = 40; y_O = • , char(y_OJJI
fc• k = 40: y_O = ·1/6•exp (-2 •t) • sint6 • tl .. 3 •e xt.H·2 • t> • cos(6 • t)
>>
>>
para k = 4() a resposta de en1rada nula é. ponanlo.
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EXER CÍCIO E2.1
OeccmlJrl<.' a n:sposc;~ de cntruda oui:J para um 'l'>tem<t LCJT de.'lcrito por CD + 5)JÚ1 = '10 :.C' a rond.çãu inJdal
for ,\(01 = 5.
R ESPOSTA
)11(1)
, ~ ()
= y -"
EXE RC Í CIO E2.2
RES I'OSTA
)'CI(r~: 3 -lt-U
I~ 0
CONDIÇÕES I NICIAIS P RÁTICAS E O SIGNIFICADO DE 0" E
o•
Nv Exemplo 2. I. as condições iniciais yJ.O) e ju(O) for.un fOftlecidàs, Em problemas práti<:os. de\·emos detenni·
nar tais condições a panir da situação fís ica. Por ~emplo. em um éircuilo ll.LC. podemos tecr as oondições ini·
dais diretamente ( tensek~ iniciais dos capadtores. coerentes iniciais dos induton:s. eu:.).
Destas infollnllÇÕCS, pteeÍ.liamos determinar yo(O). 5h(Ú), ... para as variá~is desejadas. como dcmon.<>trudo no
próximo exemplo.
Em grande pane ck: OOS$11 discu~!io. assume-se que a cnttOOa oomcçt~ em 1 = O. a não ser que seja mencionado. Logo, t Oé o pooto de rtferêncin. As oondiçôes imedi:.uamcruc ames de 1 O(ex:u:unen1e :unes da en·
trada ser aplie<~da) ~o as condições par3 t s: o·. e as imediatamente :~pós 1 : O (ex:u.amente após a e-ntrada set
aplicada) são as condições para 1 =o+ (oornpare essa referênc-ia com a referência hist&ica AC e DC). Na prática. prov-.avclmentc subc~.fllOii as condi.c,.-ões para t = o· ao invé$ de t = o+. Os dois oonjuntos de condições gCJalmcnte são diferentes. apeSár de. em alguns casos. eles serem idênticos.
A respOsta total y(t) ~ constituída de duas t:Ofnpone«ues: a oornpone.nte de ernrada nula yJ._t) (respóS'là devido
apenas às condições iniciais com .t(t) = 0 1e a componente de: e-Stado nulo n::suhante apenas da e ntrada e com todas as condições iniciais iguais a 1.cro. Pnrn t = o·, u resposta total )-'( t) oonsiste apenas da componente de entro·
da nula y11(l), pois s cntradn aind:r nãn foi aplicada. Logo. us coodiç{)(:s iniciais para y(r) sãn idêntica<; àquelas pa·
rn yJ.t). Pon~nh), y(O) = yJO-), _j: (0-) = j o(O-). c ass.im por di11me. Além disso, yJ.t) é a resposta devido ape·
nas às condições iniciais e n!io depende da emr;l.da "~'), logo, a a.plicar;!lo da entrnda e1n 1 ;r;: O nlo po~u i efeito
em y0 (1). 1s.-so significa que as oondições ini ciai~ para y,Jl) e.rn 1 :z o· e o+ s5o idênticas. ou seja. yJO-). ) (. (0-)....
são idênticos a yJ,..O+)..\~(0 ..)..... res~ti vamen te . Desta fonna fi ca claro que poLn'l y0(l) não e:<.is:te distinção entre as oondiç-ões inic.~iai:s par.J. r = o·e o·. Elas são iguais. MM este não é o caso corn a resposta tocuJ y(l). a qual
é con.o:tituidn tanto da compont"ntc de entr!Kia nul3 quanto da componente de est:Kio nulo. Portanto. c:m geral.
)'(0 ) 7> )'(0.). j;.,(O") $ )t(O") e a~im por diante.
=
=
CAPfruLO 2
ANÁLISB NO DoMÍNIO DO TEMPO OB SISTEMAS D I TF.MPO CON11NUO
153
EXEMPLO 2. 2
Uma tensão.\'(t} = lOe..Jtu(r) t aplicad.a na e ntrada do circuito RLC mostrado n:t Fig. 2.13. Determine a cor·
teme de malha y(r) para 1-':: Ose a corre•ue inicial no indutor for 7ero. ou seja. J(Ol =O c a tensão inicial no
eapacitor for 5 volts. ou seja. vc<Ol = 5.
A equação difemldal de malha relacionando )'(t} com x(t) foi determinada n.a Eq. ( 1.55) como sendo
<v'+ 30 + 2)y(r) =
O x(t )
A compOnente de estado nula de y(_t) resuhanteda entr.'ld.a x(t). assumindo que todas as condições iniciais
são zero, ou seja, )'(Ú") = "r(Ol = O. ser.'i obtida poste.rionnenle no E:templo 2.6. Neste exemplo iremO$ de·
termin.u a componente de entrada nula. yJ.r). P:lra isso. precisamos de dua.~ condições iniciais yJO) e )j,(O).
=
Estas oondiQÕes pOdem ser obtidas das condições inic-iais dadas.. y(Ol • Oe v)Ol 5. Lembre-se que )'ó(t)
6 u corrente de malha quando os terminais de entrada estão curto-dn~uitados. de 1al forma que a emrada SC•
ja x(t) =O (entrada nula). CQmO mos1rndo I'Ul Fig. 2. 1b.
n
"'
x(r)
g
+
Vt•(t}
lF
'
la\
Jn
IH
g
+
vc(t}
J.F
'
( b)
Jol gura 2.1
Podemos.. agQf'a, determinar yu(O) e os vaiQf'CS da corrente de malha e sua derivada para 1 = O. n panir dos
''alores iniciais da oorrente do indu1or e da tenst\o do ca.pacitOf'. l.embre que a corrente do iodutor nOO pode
variar instantaneamente na. ausência de um impulso de te.nsão. Da mesma fOtma. a tensllo do capacitor n.'lo
pode \ '3 1'i:'lr insaanumeamcme n.aau~ncia de um impulso de OQJ'r'entc. Ponru11o, qu..nndo os tenninais de en·
trada sAo cuno-c,ireuitados em 1 =O, a corrcmc do indutor ainda será u:ro e n tensão do capncitor ainda se·
rá 5 volts. Logo.
y,(O) =O
Para delenninar MO) otilil.llfemos a equação de malha do circuito da Fig. 2.1 b. Como a ten~ 00 indu·
tort L(d y0 /dt) ou ~t), e.<>ta equação pode .ser escrita como
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I S4
S I~AIS E SISTEMAS
Lr.NEAR.ES
Fazendo t e O. obcemos
Mas y0(0) = Oe v~(O)
= 5. oonseque.ntenlente..p
i'o(O) = -5
Portanto. ns condições i•~iciais desejacW do
e
j;,(O) = -5
De:sm fonna o prob~ma se reduz. agora. a detenninar yJ..l). a componente de entr.da nula de y(l) do sistema especificado pela cqu3Çào (fi + 3D+ 1))'(1) = Dx(t), q uando a<; coodiçõe.o; iniciais yJ.O) = Oe YJO) = -S.
J á rcwlvemos es1e probkma no Exemplo 2.la, no q uaJ dctenninamos
(2. 14)
E.o;ta é a componenlc de entrada nula da corrente de malha y(r).
0~ e
para 11 resposla tocal )'(1). Vamos comparar >~01 e jo(01 com y(O~ e >'(0'') . Os dois pares podem ser comparados escrevendo a equaç5o de malha
p.va oci.rcuito da fig. 2. 1a ptta I :; e I = 0"'. A llnica diferença entre ns duas Situações é que para I -:; 0-,
a enlr3da é x(t) = O. e nq uanto que para 1 ::~ o•, a entrada éA(t) = 10 (porque .t(l) = IOt-,.]. Logo. as duas
equ~s de malha são
ê interessante determinar a.<; condições iniciais para t =
o•
o·
+ 3>·(0-) + uc(O- >=O
j •(O+) + 3y(0+) + vc(O+) = lO
y(O-)
A corrente de malha y(O j = y(O') =O porque ela não pode variar inslantaneamente na ausência de uma
tens!k) impuls iva. O mesmo argumento é vflido para a tens3o do capacitor. Logo. vc (O+) = vc(O- ) = S.
Substituindo CSICS \'alon:::s nas equ<tçõcs antcriorc8, obtemos )'(OI= - 5 e f(O'") = S.
Logo.
(2.15)
EXERCICIO E2.3
No ciramo da Fis;. 2. la, a mdutãncial,. =O c a tcn ~o inicial no capacitor t•('(Ol = 30 volt<>.
Mos.cre que a compooeme de emrad:\ nuJa da corren1e de m:~lba ~dada por .\J..I) = -IOt·-!lfl (XIta 12: O.
INDEPENDÊNCIA DA REsPOSTA DE ENTRADA N ULA E RESPOSTA DE EsTADO N ULO
No E.K.emplo 2.2. calculamos a componente de enu-ada nula sem uSM • entrada x(l). A componente de estado nu·
lo pode ser detenninada apenas do conhecimento da entrada .t(t). pois as condições iniciais são cons ideradas
iguais a zero (sis1cma no estado zero). As d uas componentes da resposta do sis tema (componentes de entrada
nula e estiKio nulo) são independentes uma da outra. Os dois mundos de resposta de mtrada nula e rt'Sposta de
estado mrlo co~m·srt!m lado a lado. unr nõo Sllbe e nem se prrocupo c.on• o q•ul o ootro estd fa:,.t!ndo. Para cada
comportente, a 011tra i totalmente i~le•vante.
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CAPh\ILO 2
ANÁUSE NO Do.'ti~lO 00 fuJPO DE StSru.\tAS EM Tf.MPO CONTÍNOO
155
PAPI'.L DE C ONDIÇOES A UXILIARES NA S OLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
A soluç.ão de equações diferem.iais requer peç41s adkionais de infO«nação (as cmrdiçútls ol.o;r"liort'.s). Por q uê?
Mos1raremos agúfa. heutisticarneme. potque urna equaç.Ao diferenc1al nAo possui. geralmente. um.1 única soluçãu a não sei' que alguma resttiçlkl (ou condiç:kl) adicional d3 soluçOO seja conhecida.
A operação de diferenciação não~ inversí\lel a menos que urna i.nfotrnaçao sobre y(r) seja cWda. Para obter
y(r) de dyldl. devemos conhecer urna informação. tal como y(O). POrt:ttliO. a diferenciaç.ào é uma opetaçào nào
invcrsfvel durnnte 3 qu.nl oena in formação~. perdida. Para reverter C$La opera<;ão é néX-esslirio que uma infonnaç3o $Qbre y(r) l)Cj:.l fornecid:.l psra n:s.tnurar )'(t) original. Usando um argumento similar. podemos mostrar que.
dado tfyldr!. podemos dctcm1inar y(t) unic:.1mente somente se dWLS informações (restrições) de y(l) forem forn«idas. Em geral. para detetminar unicamente ,)(t) de su:t N-4ims dcriwda. precisamos de N informnçôc~" adicionais (resttições) sobre y(r). Estas resttiçbes também são chamadas de COIIdirlh>s auxiliares. Quando estas
condições siio dadas para r = O. ebs são chamadas de ~orrdiçik.s iJriâais.
2.2·1 Algumas Informações sobre o Comportamento de Entrada Nula de um Sistema
Por definiçiio, a re.sposta de entrada nula é a ~sposta do sistema .. suas c.:~:mdíçõc.s internas. assumindo que a tn·
trodn é 1.cro. A compreen."OO deste fenômeno fornece infomutções interessantes sobre o <:Omportarnertto do sis.
terna. Se um sistema for momentaneamcme pt"l1urbado de seu est:•OO de repouw e se a penurbação for removi~
da, o sistema n5o irá retomar ao repouso in.stant::meamente. Em gC"raJ. ele de.mOrJrá um (:eno periodo para retor·
nar ao repouso c fará um caminho espedtico que é o mteteristk"CJ ao sistema.' Por exemplo. se press-ionarmos o
pára-J;una de um automó\·el momentaneamente e então o soltarmos C"m r= O, não h3 ron;a no automóvel em r>
O.' O oorpo do aUlomó\'el evemuaJrne.nte irá retomar a sua pos.ição de repouso (CI.lUilfbrio). mas nfiQ atrovés de
qualquer mo\'irne.nto arbitrátio. Ele deve fazê-lo usando apenas uma forma de respos1a que é sustent3d:.l pelo sistema e m si. sem qualquer fonte externa. pois a t.ntràda é nula. Apenas os modos caracte.rl'Sli<.:os satisfazem esta
rondição. O si.ftema miliZP 1una combinação própria dos moá11s coracrufsticos para retomar o pos;çao dt' re·
/H>f',(Q enquan.ro sati.~fat. as ccmdiç41e.~ de
limite (ou iniciaü) apropriadas.
Se o pára-choqoe de um \''e-Í<.:ulo e~i\'er em boos condições (alto coeficiente de amortecimento). os modos ca·
r.r.<:cerístioos serlio exponenciais mQilOtooic:unerue decrescentes. e o corpo do automóvel irá retomar ao repouso rapidamente e sern oscil~ . Por outro lado, paro pára..choqu.es roins (baixo coeliciente de amonecimento).
os mudos t.<tr.teteristioos serão seuóides exp:menoiahnente arnor1ecidas e o corpo do automóvel retornará ao repouso atm''és de um mo\•imento osdlatórlô. Quando um drcuito RC série com carga iojci<tl do cap."lcitot é cur·
to-circuitado. o capacitor come.;-<~ a descarregar exponenciahnente iltravés do resistor. Essa resposta do circuito
RC é causnda apenas ~ las condições internb e ~ mantida pelo sistema sem a ajuda de nenhuma t.ntràda e..xter·
n.n. A fonna de. onda expooe,ncial da co!Tente é. ponanto. o modo característioo do circuito RC.
Mntcmaticarnente. sabemos que q1wlquer t'tJmbinaçõll dos motltJs t·,mu:tl'ri.sticos pode str mantido pt'lo si..sre.mn a{Hmas, sem a "ecessidade de uma emrada exrema. Esse fato pode ser (adlme.nle verifiéodo para o cin~u i­
to RL.série mostrOOo na Fig. 2.2. A equ..1ção de malha paro esse sistema é
(O+ 2))'(1) = .<(1)
Ela possui uma única miz éaruc.t eristica à = -2 e o modo c.a.racteristico é t'· !:. \~ficrunos. agora. que a cor·
rente de malha y{t) = ce.:;:, pode ser mantida através deste cirt-uilo S.:fll qualquer lens.ão de entr:tda.
A tensâo de entrod.n x(t) neces:sória pam manter uma corrente de mnlha y(r) =u~~ é dada por
X(l)
dy
= L-+
Ry(1)
d/
d
•.
•
= - (n·-"") + 2ce-·'
d/
= -2ce-b + 2ce- 2'
=O
' rre!»uuundo que o JUtc•UII acabflrli rctom11ndol w11 condlo;-.tu otlglnal <lc 1\"fll0$0 (OU «Julllbrlo).
• 1g.nornrçmor. ti f0rç11 d ;1 Jrt~\'idacJe, ll QUlll ~impl~mentl! C.1U.~ll Uni di!:(IIQC:Inll'nt<l aln>CII\11! 111) COrpCI dO IIUillii'IÔ\'tl !oetn afet:lr ClutJU.<
11'10\'h~ílt(l!õ.
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156
SU.'AIS E S ISTEMAS LL'<EARES
I 11
Hl
Figurá 2.2 Os modos sempre conseguem uma volto grátis.
CIMamente. a corrente de malha y(l) c n t:. é mamida pelo próprio citCllito RL. sem a necessida.de de um;)
entn•da e-xterna.
0
FENO>tENO DA RESSONÂNCIA
Vimos que qualque-r sinal constituído pdo modo característico de um si~tem:t é mantido pelo próprio si~tema.
que nãoofc~ obstáculo a tais sinais. Imagine o que acontece se aJimcntarmos o sistema com urnn entrada cxtemu que é um de seus modos carnctl!rf~ticos. lsto serin equi\':tknte 3jog3r gasolina em uma flore.o;ta secn em
ch.1.mas ou solicitar a um alcólatra que l:lfO\'e liC(It. Um alcólatra aceitaria de bom grado o uab:ltho sem receber
t>agamemo. Pense agora no que ::~cooteceria se ele aindu recebesse um pagamento por cada licor provado! Ele
iria lr.tbalhar sem folga, Ele tmbalh:tria di;•e noite, ;ué se destruir. A rr.esma coisa ~tOOIIloct oom um sistema alimentado por uma e,ntrnda na forma de urn modo caracretístico. A resposta do sistema c~ce sem limite. até se
qudmu.r.~ 0\amamos este c.:umport::Url(.nto de fenômt!no da rrssonância. Um:a disc:us~o mais abrangente de-ste
importante fC'nômeno requer a compreensão da ~ta de estado nulo. Por essa nu.ão deixaremos ~te tópic.'O
paro a Seção 2.7-7.
2.3 A R~POSTA h(t) AO IMI'ULSO U NITÁRIO
No Capitulo 1. explicamos como a resposta do .si!ltemu a um impulso .l"(t) pode se-r determinada substituindo a
entmd.n por pulsos retangulares estreitos. como mostmdo na tlg. 1.27a, c, entôo. somando todas as rcsposl:lS do
sistema a cad.'l componente. Os pulsos retangulares se tmnsformam em impulsos quando as: largm-:ts rendem a
zero. Portanto. a. resposu do sistema é a soma de todas as rcspos.tas aos vários componentes de im1>'11so. Esta
discuss!Lc:t moma que se St:K•bc:nnos a resposta do sistema a um.a entrada impulsiva podemos dcrerminar a rt&posla 00 sis:1ema a um;~ ent.rt~da atbittária .t(r). Agom. discutiremos um método de detenninaç5o de h(r), arespost<'l ao impulso unitário de um sisrem.1. LCIT descrito pela equaçtto diferencial de otdem N [Eq. (2.1a)J
Q ( D)y(t )
= P(DJx(t)
(2. 16a)
onde Q(D) e P(D) s:io os polinómios mostrndos na f...q. (2.'2). Lembre-se de que as considerações a respeito do
ntido limitam os sistemas práticos o M S N. Considerando este limite. o caso mais geral é M = N. Portanto, a Eq.
( 2. 16) pode ser escrita por
(Dy + a 1 D'' ._ 1 + ··· + a,y_1 D + a N))'(I)
= (boD'\ ' +b. D''' -t + ··· + hN- ID + bN).t(t)
(2. 16b)
Antes de detenninannos unta expressão genérk:a para a resposta h(l) ao impulso wlitdrio. é inreressanle <:omprecoc.lennos qualitativame.n te a naturei'~ de lr{l). A resposta h(t) ao impulso é a resposta do si~emn a uma cnlmda impulsiv:t ~(r) aplicada em t =O. com lodas as eondiçõe..:; iniciais zero para t = 0". Uma entrada em impulso &{1) é como um raio. o qual atinge instantaneamcme c então some. Mas em seu caminho. naqude momento
singular. os objetos atingidos sdo reor:gani1.ndos. Similarmente:-. umn e ntrada em impulso <S(r) aparece momemoneamentc em r=() e então dcsapaR~ para sempre. Ma.o; naquele momento ela resulta no arma;o.cnamcnto de
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=
energin. QU seja, crin condições iniciais niio nulns instani!Utemnentc dentro do sistema para t o•. Apesar de a
enttada em inlpulso 8(1) sumir para t > O. de fonna que o sistem.'l h!<> possui mais cncmda após a aplicação do
irnputso, o sistema ainda possui um.tt resposta gerada pelas oondi~s iniciais recém-criadas. A resposta ao impulso. poctaniO, deve constituir OS modoS C-Uracteristicos pâr.ll ~ 0 *. Como resuhitdO
Jl(t) = tcmtos dos modos corac-tcrisücos
r ~ o~
Essa ~'JX)Sta é "álida para t >O. Mas o que oconte<:e em 1 = O? No únioo momento 1 • O, só pode haver um
impulso,' de: forma que a resposta cc,mpldu h(t) ~
h(t) • Au8{t) +
cennos dos •noclos coractetistjcos t ~ O
como /t(l) é o resposta ao im1>t•l.so unitário. fmndo.x(t) =6(r) e >'(t) =h(t) na Eq. (2.16b). teremos
co·'' +a, o·"-·+·. ·+«11-1D+ar~)h(t) :: (~DJ( +h, o «-l +· .. +bN-1 O+bN)S(t)
(2.17)
(2.18)
Nesco equação substituímos h(t) da Eq. (2.17) e compatamos os coeficiemes de termos impulsi"os similares
dos dois lados.. A derivada do impulso de nuôs alta ordem nos dois lados é N. com os valores de coeficiente A0 no
ladó esquerdo e b0 no lado direito. Os dois \'3kxe.o: devt:m coincidir. Portanto. Ao: b0 e
(2. 19)
N:a Eq. (2.16b). se M< N. b0 =O. Logo. os lermos de impulso b~(l) C;\:iSicm :tpcn:t.'i se !t1 = N. As irK-'Ógni·
tas dos coeftciemes dos N modos carncterfsticos de h(t) da Eq. (2.19) podem ser dcccmlinOOas usnndo s técnic.a
de C<'ISi'UneniO de impulso. oonk'J explic.<Jda oo ('JI.émplo a seguir.
EXEMPLO Z.l
Detennine-a respo~a h(t) ao impulso par.t um sistema de.o:crito por
(D '
+ SD + 6)y(r)
= ( /J
+ I )x(r)
(2.20)
Neste ca.so. b0 = O. Logo. h(t) é constituído apenu..,. dos modos carocteristk-os. O polinômio carncteristi·
co é 1.2 + 5Ã + 6 =(i. + 2){Ã + 3). As rnizcs são -2 c -3. Logo. a resposta h(t) ao impulso~
lt(t )
Fszendox(t)
= (t·1 t·- 21 + t"lt'-Jt)u(t )
(2.2 1)
=8(t) e y(t) = h(t) na Eq, (2-.20). obtemos
li(rl
+ sir(r) + 6/r(r) = S(rl + 6(r)
(2.22)
Lembre que as condições inici:.is 11(01 c /;(01 s!lo zero.l\•la.s a aplicaçOOde um impulso em r= Ocria no-~:~~
Seja lr(0"1:: K1 e li(O-) = K::. Este salto de descontinuidade em h(r)e Ji(t)
para r= O resulta oos termos impulsivos Ji(O) = KJi(t) <: Jt(O) = K1ik.t) + Kii<t) no làdo esquerdo da equa·
ç;lo. ComparorKIO os (;()eficientes~ termvs impuh;i"os n~ <kli:s l<.tdO~ dõ'l Sq. (2.22) teremóoS
\'3.$ condições iniciais !XIta t
o•.
SK, + K1 = I.
=
K 1 = 1.K1 =-4
• Thmbém t possivd que •s deri, •tdasdc cS(r)llf"llll:'Çam na crig_cn). Ent:retal'lto. ~ /t-1 S N.~ imposscfvd para li(r) ter deri\-adllsde 8<r). Er
111 Co:melusào -Sq'uc dll ScJ. (2.16b)Oóell.l{l) = .S(t)~ ,T(I) = h(l). ~ t"U~eftciio'!tlle! 00 imp ubó ~ tod:e ~e sUti dcrMKI~ ~'t'•l'l coincidir
nu5 dni~ tn!hldoll>a o:tWIÇic>. Se I!(I) contém cfl'(t). t> Indo ctiq!;lt'rdn da Eq. (2.1()b) i ráCQniCI' 1u:n c.ermo N"'..'~t). Musn c.ermo d:•lkri·
' 'ada de mais aJtt ordem do t.do di~i to ~ s~·'(l). Ponan1o. os dois '-la! nAo ooincidcm. Allllll'lc:B10! simil:.ares podem ~ feitos Ql.lntn
a llfi.'~••·;·a de dCri\'b!b.>l de •nais lllta orde•n 00 i•nt:..bó em hl,t).
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158
SINAIS e SISTEMAS L u.'EARES
Utilizamos os valores lr(O') = K1 = I e 1~0~ = K1 = -4 M Eq. (2.2 1) para determinarmos c1 e~~. Fazendo I = o• na Eq. (2.21), substituímos c 1 + l"1 = I. fazendo Utmbém I= 0• em JÍ(r), obccmos -4~, -3·~ = --4.
Essas duas equações simultâneas resultam em c 1 = - I e c, = 2. Logo
h(t)
=
<-·-" + 2<--~)..(1)
Apesar de o método utilizado MSte exempJo ser rel:uivrunente simples. podemos simplificá· lo ainda mais uti·
lizando uma versão modificada de casamento de impulso.
MIITooo S JMPU R CAOO DE CASAMENTO DE IMPULSO
A t&:nicu altemati..•a que apresenmremos agora nos permite reduur o procedimento em uma rotina simples pa·
ra a detcm1inação de h(t). Para eviw a disuaçlio do le itor, a pf'Qva deste procedimento será oolocada na Seçlo
2.8. Nela moma.reroos que para um sistema LCJT especificado pela Eq. (2.1 6). a respos~.a h(t) a entrada e m im·
pulso unit,rio é dada por
h(t)
= b,S(t) + [P(D)y. (t)),.(l)
(2.23)
oode y,.(l) é a combinação tineM do$ modos carocterfstK»s do sistema sujeito 1ks seguintes condiçi'íes iniciais:
y.(O)
= j·.(O) = .)•.(0) = · · · =
.v!·'- "(0) = O
e
(2.24a)
na qual y~"(t) é o valor da k~simu derivnda de y,.(t) p;ara t =O. Podemos expressar este conjunto de condições
para váriO$ valores de N (a ordem do sistema) como mo~trado a seguir.
N = I : y.(O) = I
N = 2 : y.(O) =O, j•.(O) = I
(2.24b)
N = 3: y.(O) = y.(O) =O, )'.(0) = I
e assim por djante.
Como aflll'rUido amerionnente. se a Otdem de P(D) é meoor do que a ordem de Q(D). ou seja. se M < N. en~
1llo b0 x Oe o 1enno b,P(t) em h(/)~ zero.
De(ennine a resposta h(t) ao impuOO unit!Uio para o sistema especificado pela equação
( D'
+3D + 2) y(t) =
D.<(l)
(2.25)
Este é um sistema de segunda ordem (N = 2), possuindo o seguinte polin6mio caracterisl:ico
As raízes Clll'3cteristicas deste sistema são l. =-I e À = -2. Portanto,
(2.2()3)
Diferenciando es1a equaçlk> teremos
(2.26b)
Copynghted matenal
A NÁLISE NO l.}r(».tfx•o oo TEMPO oe SI.STEMASI!M TEMPO CON11NOO
CAPrn.ILO 2
159
As condições iniciais são (\'eja Eq. (2 .24b) para N = 21
y.!O) = 1
e
)'.(0)
=o
Fazendo r = O nas Eqs. (2.26a) e (2.26b) e substituindo as condições inid Ws anteriOreS. obtemos
O= c,+ez
I = - c. - 2c:
A solução dessas duas equações simullâneas resuJta em
e
C. = I
c2
= - I
PonMtO.
y,.(l ) =~-~-~-!f
Além dLo;so. de acordo com a Eq. (2.25). P(D) = D. de tal fonna que:
P ( D)y.(t) = Dy.(t) = j.(t) =
-e-• + 2e-•
Tam~m nes te caso, b0 = O (o termo de segunda ordem está ausente em P(D)]. Portanto,
h (t)
=
IP( D )y.(t )Ju (t )
= (-e -• + 2e- •)u(l)
Comentário. Na discussGo amerior. assumimos M S: N, 001no especificado pela Eq. (2. 16b). O Ap!ndice 2. 1 (is·
to é, Seção 2.8) mosua que a exprcsslo para h(l) aplic:h·el a todos os possh<ei.s \'alore$ de M e N i, dada por
h (t )
=
P( D) l y. (t )u (t)l
onde )',.(r) é n combinaçAQ linear dos modos característicos do sistema sujeito ls condições iniciais (2.24). Es.la
e<pre..OO se reduz • Eq. (2.23) quando M S N.
A ~erminaç.llo da rt$posta h(l) ao impulso usando o prOCedimento desta seçio ~ re-lati vamente simples. En·
tretanto. o Capítulo 4 irá discutir outro método, ainda mais simples, usando a transformada de Laplace.
E XE R C ÍC IO E 2.4
Oi:ttmun<- a ll!".!>posta oo impulso um1áriu dc1s .snlema.." L(TI's dc,critt1olí pcl.a.... JICSU&ni.e!<. equaçõe~:
(a) ID+:n.Ht)=(3D+51x(r)
(bl D(J) +2).v(t) a tD
1
(t') (JJ
+ 4).r(t)
+ ~D + O.nt) =
Dx(ll
II.ES POSTAS
(11)
3ô(tl-,
;:,11(11
(h ) (2 - ,-1')11(1)
((') (l - ti~
I'* I
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160
StNAJS E SISTEM.AS LINEARES
EXEMPLO DE COM PUTADOR C2 .3
()e{ermine a resposta lt(t) ao impulso paro um sis{ema LCIT especifi cOOo pela equaç~o diferencial
(0 1
+ JD + 2)y(1) =
DX(I)
Este é um sistema de segund:l orde-m com b(l ; O. Inicialmente, determinamos a componente de entrada
nula ptua as condições iniciais .\~01 = Oe j(Ol = I. Corno P(D) = O. a respostn a tJUrada nula é difereo.
ci:ivcl c a respos.la :\0 impulso é irnediatamen!e Qbcida
d!lOlv~( ' D2y•l • Dy+2 • y • O ',' y(OI • O ',' DytOI • l ' ,'t');
>> y.n •
»
»
Dy_n
diff!y_nl ;
<11!lp( l ' h(tl • ( ' , ehart!)y_n) . 'lu(t) ' 1):
h ( t l : (-expl-t) ..2•expC-2q:,))ultl
Portanto. l1(1) == bw1Ct) + I Oy0(t)Ju(t) = ( -e-• + 2e-21 )u(t).
RESPOSTA DO SISTEMA AO [MPVLSO ATRASADO
Se h(t) é a re!lpOsta de urn sistema LCIT n entr.•da 8{t). então l1(1-1) ~a resposta desce mesmo sistema a entrada
8(t-1). Esta t"'nclusão é obtid:• da propried~•de de invarifmcia no tempo de sistemas LClT. Pon<anto. se ooahocer·
mos a resposta h(I) ao i.rnpulso unitário. podemos determinat a •esposta do sistema ao impulso attasado ~~ -
n.
2 .4 R ESPOSTA DO SISTF~IA À ENTRADA EXTERNA : REsPOSTA DE E STADO N ULO
Esta s1..-ç.üo é dedicadn a detenninução da resposta de estado nulo de um sistema LCIT. Esta ~ a resposta y(t) do
si.sterna a uma entrada x(t) quando o sistema está no estiK.Io nulo. ou seja. quando todas as condições são zero.
Ass11mif-emo$ que tJS sistemas disc•llidos tl<>t•l<l st-çtio t!.Stiio no t•swdo nulo. lt t~<io ser quf' mt!'l(~lonado o CCHilrá·
rio. Com e~a oondição. a respostn de estàdo nulo irá ser a respo~a ta~á.l do sistema.
Ut.iliz:aremos:a propriedade da superposiçOO para detennina.r a resposta do sistema a u rm~ ent:rada atbitt:1ria.t(1). 'Va·
mos definir um pulso básico p(t) de al1ura unitário e IMgUra Al. começando em r =O. como mosuado na Fig. 2.Ja.. A
Fig. 2.3b moscrn a emrnd.1.f(r) como a soma de pulsos n:cangulnn::s Cl)lreit(I'S.. O pul<OQ c(lf'riCçando em r = nót <.11 Fig.
2.3b po6Slli :dmra .-~'•At) c pode ser ex~ por .\{nât)p(r -tltit). Agoro. .t(1) é a $00\tl de.todoo os pulsos. Logo
X(l)
=
. L x(nór)p(l -nt. r ) = hm
. "['("Ar)
] p(t -tiAt)At
L
A
hm
ór-0
M-O
'
t
'
(2.27)
O temM> (.t~nât}l t.\t iP(r - n.àt) represtnta um puls o p(l- nât) com ahuta l.t(mltV L\tJ, Quando ~t.....:. O. a
altura desta faixa .....,. co. mas sua átea permanece .((nót). Logo, esta faixa se aproxima do impulso X(m\t )6(l ''.6t) paro ó t .....,. O (Fig. 2.3e). Portanto,
x(t)
= J!~'o L ·r(uA r)8(r -
u tl.r) á r
(2.28)
'
P..u-J dell!nninar a re:Spostà par.- esse intpulso .\(t), iremos considerar a entrada e os pares de saíd<l corresponden-
tes.. como moor.klo na Fig. 2.3c-2.3f. e tamWm mostrados peta nomç~o de secas direcion.:Lis mosuadas a seguir:
-
entrada => saídn
6(1)
6(t -tt6r)
lx(nór)6r l6(1 -11Ar)
lim L: x(n6r)8(r ,_,_{1
'
A'!l)
116T) 6f
l\'11 l!.q. 12.~))
=>
11(1)
h (t - fi Ar)
=> [,<(nAr)Ar [h(t-.,Ar)
=
..
,,lim
,_ L.x<,,ó.r)h(l -116f)6t
'
yir)
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CAMlllLO 2
AN.>\us:E NO Oo~dx1o I)() T1~MPO oe SISTEMAS EM TI!MPO Co:-rri'Nvo
161
p(l)
o
.,
,_
__,_
,,
I
r • n.l't
·-
( b)
(' )
11ft)
61•)
·-
o
·-
o
(<)
.$(1 - tl.:l1)
r
·-
O ml.r
-...:ll(t - n.:l:)
,_
(dJ
.l(n.l: )h(t -
·-
n~:).:l:
·-
O rt.l1
(()
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162
SINAIS E SIST'E.\lAS LINEARES
Portanto,'
y(l) ~ lim "
4r-O L..J
x(n ll.r)h(t- nll.r)ll.r
•
(2.29)
:: r : .t(r)h(t- r)dr
Esac é o resultado que.procu:ramQ5. ()bcjvemos a resposta do sistema)~/) o uma entrodo orbitrária x(1) em le11UD$
da resposta h( r) do imp.also uniráric>. Conhecendo h(t) podemos detenninar a resposta y(t) a qualquer entrada. Obs.en-e Jwvammte a 1101urc-.p ptrsuashVJ dM modos carocierlsricos. A rtsposm do 5isrema a qualquer c urada I de·
temu'nlula pela FrJPi»lll ao implllso, a qual, por JUO l'el. é t"()nsliruída dos modos t•(troct~risticos do sisremo.
É importante tennos em mente as oonsideraçües utiliz!Kta" na detem1lnação da Eq. (2.29). Assumimos um
sistema linear, contínuo. invariante no tempo. A linearidade nos pmnitiu utiliUl! o principio da supcorpos~ e
a invariância no tempo possibili1ou expressar a respo&ta do sistema a 6(1 - m1t ) oomo sendo l!(t- ltât).
2.4-1 A Integral de Convolução
A resposta }'{1) de estado nulo obtida na Eq. (2.29) ~dada por uma integral que aparece freqUememente em ciên·
da$ fTsica.s, cogenhruia e matemática. Por essa rariio, essa integral possui um nome espttial: integral de conwr
luçdo. A integral de convoluçiodc duas funçõesx1(t) e .til ) é n:prcsentllda simbolicamente por x1(t) • xl(r), sendo definida por
(2.30)
AJgumas propried<ade:s importantes da lntegral de convoluçãQ serlio moSttadü a seguir.
PROPRIEDADE COMUTATIVA
A operoçOO oonvolução é comutativa. Ou seja, x1(r) • .11(1) = :r~t) • x1(r). Eisa propriedade pode ser provada pelo mudM\-1 de variável. Na Eq. (2.,30). se faermos z = 1- r. de 1aJ fonna que -r = 1- z e d r = -dz, obteremos
x1(t) *x2(1) = - [oo x2(z)x 1(1 - z)dz
= [x2(;.>x.(l- z) d z
( 2.31)
= x2(t ) • x 1(t )
PROPRIEDADE D ISTRIBUTIVA
De aool'do com a propriedade dislributiva,
x1(1) * fx 2 (t )
+ x3(1)] =
x 1(1) u ,(t)
+ x 1(1) u
,(l)
(2.32)
PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
De aoordo com a propriec.bde associativa.
x 1(1) * (x2(t) • x3 (t)l =
lx1{1) • x 2(1) I• XJ(l)
(2.33)
' Na dctennlniiÇIIO deste resu)lado assumiii'N)§ utn 5is1ema invlllliante no tempo. Se o ~Mcma (Of ' 'llriantc no tem~ t:nl&o • rcspos~ 6o
sbt.tm1111. eolt'ail:lll 6(1 - 11At) nno pode ser U.JII\'Ssa pot ll(t - llAt)e de\~ 1cr a forma h(). 116t). Utiliundoessa forma. a Eq. (2.29) §C·
rj modificada paoa
y(t ) • J :x(t}l!(t , r)dt
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ANALISE :\0 0oMU..'10 DO TEMPO OI! SISTEMAS ~\4 TEMPO Co:-.Tf~UO
CAPi llllO 2
163
As provas da." Eq ~. (2.32) c (2.33) seguem dirclamentc da definição da ime-gral de convolução. EIILS são dd-
x:tdas como excrdcio parn flleilor.
PROPRIEDADE DE DF.SLOCAMENTO
Se
.w-1(r) • x~ (f)
= é(I)
Então,
(2.34a)
•
(2.34b)
Pnm1. Considerando
.--,(r) • .\'1(1) =
Poo:anto.
x 1 (r) •xz(l- T)
jcv_,.,
x 1('r).r 1(1- r)dt =C(/)
=r:
= t•(t
,r,(r).r:(r -1·- r)t/r
- T)
A Eq. (2.34b) segue da Eq. (2.34a).
CONVOLUÇÃO COM UM IMPULSO
A co•wolução de uma função.r(t) com o impulso uniulrio resulw na própria funçAo .t'(l). Pela dcliniç5o d.'l con·
\'Oiução.
x(t)•4(1)
=
1:
x(r}6(r - r)t/r
(2.35)
Como 8(1 - 7) é um impulso locaJi:eado em r= 1. de :H.'(Irdo com a propriedade de amosuagcm do impt~lso
IEq. ( 1.24)1, a itneg.f31 d<J Eq. (2.35) é o valor de x( r) para r = 1, ou seja. ,t~t). Ponanto.
x<t) + 8(1)
Es...~
= x(l)
(2.36)
resultado. na rcaliWide, foi obtido anteriormente IEq. (2.28)).
PROPRIEDADE DA LARGURA
Se a duração (latgut:l) de .~1 (1) e .--1 (1) forem finiw. dadas pot T, e T:. •'eS.J>eetiv:uneme. em!i.o a duroç~ (l:u-guf'J)
de x 1(1) • xt(t) será T, + T: (Fig. 2.4), A prova dessa propriedade S(gue direta.~lk!n le das conside-ra~lões gníficas
dist.-"Utidas anttricmne-nle na S~ão 2.4·2.
x 2(1)
.rl(t) • .r~t)
•
,_
Flgura 2.4
=
,_
Propriedade da l~uf'J de cOrw(llll(à_o.
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164
SL'iAIS E StSU:M.AS LINEARES
R ESPOSTA DE ESTADO NULO E CAUSALIDADE
A resposta (de estado nulo) )'(t) doe um sistema LCrr é
y(t)
= x(l)*h(l) = [
.t(r)ll(r - r)dr
(237)
Na determin:t~;ão da Eq. (2.37). tonsidertunos o sistema linear e invariante no tempo. N5o hou"e outras restri ~
ç6cs sobre o sistema ou o sinal d~! entmda .t(l). Na pnhica. o maioria dos siste<mas é c-ausal. de. forma que suas
respostas nOO pc'll:lcm ('(lfTlCÇOr :tntcs da cnlr.Jda. Além d.i~l. a maiorin d:us cntrudas também llilo cou.l>ais, o que
significa Ql•e elas começam em 1 =O.
A reslriç5o de C:Jusatidàde ta n to dO$ !:ina.is quanto dos sistem<ls simplifi~ ainda rtliliSos limites da integração du Eq. (2.37). Pela definição. a resposta de um sistema c.~ausal nãó pode...'t}meç.ar anteJ' d-a entmda começar.
Conscqiicntcmcnte, u respostu de um sistcmu causal ao impulso unitário ts(r) (o quul está loc.ali1..ado em 1 =O)
n!ío pode começou 3n!CS de t =O. Portanto, tJ resposta lr{t) (10 imf1ul.sQ u,itóriQ dtt rmr sistttntll (;(ttM'lll t um 3itwl
('Uit.slll.
É importante lembrnr que o intc.gra<;ão na Eq. (2.37) é ex~.x·utodu com relação a r (c nlio r). Se a enu:tda .\~t)
é causal. ,\1t) =O pam r< O. Portanto. .t(T,I =O paro r< O. como mostrado rut J::"ig. 2.5a. Similamlcntc. se h(l) é
caus-11, I•( r - r) = () para 1 - r < (). ou seja. paro r> 1. como mostrodo na Fig. 2.5a. P()n:ultO, o produto"' r)h(rr)= Oem uxl<> lugar exceto sobre o intervalo nâo sombre.1doO~ rS r rnQSir..ldO na Fig. 2.5a (presuminOOt ~ 0).
Obser:e (l lte se r for negativo,"·( r)l•(r - f)= Op:u':l todo rCQmo mosu·ado na Fii;. 2.5b. Logo. a Eq. (2.37) sereduz a
y(r) ;:: .t(r)* /1(1)
=
r ,r(r)ll(t - t)dr
J•.
=0
(2.38al
I <
0
O limite inferior da int~,gr~.ão da &J. (2.38a) é considentdo como $otndo O~ para evilar a difkulda<k de integrnçOO que podemos tc.r se .t'(t) contiver um impulso no origem. Esse resultado mostm que se .r(r) c l•(r) são am·
bos caus.-'li~. a resposta y(t) t3mbém ser:i causal
Por causa da própritd!Kte \:umulmiva da con,•oluç3o (Eq, (2.31 )). também podemos expressar a Eq (2.38a).
como ( J)I'CS'um illdo .x(r) e h(t) causais
)'(I )=
f.'
o-
h(<)X(I- t)dr
(2.38b)
=0
Daqui J)Of dimue. o limite inferior de o· selá deduzido mesmo quando o tscre\'ermos ~.~no O. Como na Eq.
(2.38al. c•.,se resultndo ptei>ume que a tnlrada e o sis.tema são C<lusaiS-.
h(t - r) • O
~tt\\1:\\U\11\1:\\W\\\l~
<•l
J.(f')
«O
=
I
(b)
figul"'.t 2.5
Limites da integral de corwoluçJo.
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CAPfruLO 2
ANÁUSR NO Do~tiNlO JJO T EMPO DE SISTEMAS EM i'I!MJ'O Corm'xuo
165
Paru um sistema LC.n' com resposta ao impul.so unitário d:.d3 por h(l) = ~~rl(t). determine a resposta y(t)
paro a entrada
X(t )
= t-
' u(t )
(2.39)
Nes(e c.aso. lAiltox(t) quanto /r(l) sOOc.ausais (Fig. 2.6). Lógtt. a partir da Eq. (2.38a), obtemos
y(r)
Como .nt)
=
1'
x(r)h(r - r ) dr
r ;:: O
=e""11(1) e h(t) =t'-lfu(t).
h (t - r ) = e -lV-nu (t - r )
Lembre que a integração é calculado com rclnção n r (e não 1), e que a rtgifto de integração é OS r S t .
Logo. ,. ~ O e t -
r ~ O.
Portanto. u( ~ ;: I e u(t - 1') c I. Conseqütnte-•nente.
A(t)
h(t )
,-•
·-
o
(a)
,_
o
(b)
)(I)
··.j
,-.
- I
(<)
flgura 2.6 Con•"Olução de .<(r) e h(r).
Como essa integraçãó 6 rtaliwdu t-om n::l.açiio a r. podemos cok>car e·~ para foru da integral. resultando em
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166
SINAIS E SIS"I"Et.tAS LINEAkES
Além disso.)'{l) = OquanOO r< OIveja Eq. (2.38:1)1. Portanto,
)'(1)
= (<"'
- , · •)u(l)
A resposta está mostrada na Fig. 2.6c.
EXERCÍC I O E2.5
Pruu um §j~Le-ma LCIT <:om re~ta ao impulso d.ada por ll(r)
entrndas:
=6- u(t). determine a resposta do sistema para as
(• ) 2u(1)
(b) Je-'o(l)
RESPOSTAS
(a) 12(1 - <~)U(I )
(b) 9(e ~ - ,-~)o (l)
EXERCÍCIO E2.6
Repita o Exerdcio 2.5 parn a cntrnd:u(r) = e""u(r).
RESI'OSTA
6r ~-' u(t)
TABELA DE CONVOLUÇÃO
A tarefa de oonvoluir sinais é simplifit:'.tda se utilizarmos uma tabela já pronta de <:On, ·olução. (Tabela 2. 1). &tu Utbel:t. a quallisw vários pares de sinais e suas c:onvoluções, pode decerminar convenientemente y(t), a n:spostá do s·istema. u uma entrad.u .\'(t). sem termos que pa.o;sar pelo entediante trabalho de integração. Por exemplo. pcxleriamos te.r oblido rapidamenle a convolução do Exemplo 2.5 usando o par 4 (com ).1 = - I c .l~ = -2),
o qual fornece o resultOOo (e'"' - ~~)u(l). O exemplo a seguir demonwa a u1ilidadc desta tabela.
iabe.la 2.1 Tabela de c.~nvolução
N"
• X 1 (t) = X 1 (t) • X 1(t)
x.(t)
X:(t)
X 1(t)
X(t )
6(t - T)
.r(t - T)
2
tr"' u(l )
ll(t)
- - u(l )
3
u(l )
u(r)
tu(t)
4
e 1 •' u(t )
~~· .,(r )
e11 u(l)
.."u(l)
5
I - ..'-'
-~
~,, -
Àl -
('1.:•
J.:
u .l.t 11 (r)
.,(r)
Àt
>F À?
CAPfTUt.O 2
ANÁUSE NO DoMiNIO 00 TEM f'O VE S~õ'f.MAS EM T EM J'O CO)I."Tf~1JO
6
. U (l )
-I 1 ' t"i.I
,;.•u(t}
2
v
'
N ! ,?-•
~ u(t)
1
167
p+i u(t)-
...
L
N! t'-v-J.
).f+1(N-
k)! u(t)
M !/tl!
1JI+N•I (
(M +N+ I )!
ui )
8
, ,.).,, 11(1)
9
M !N!
lO
CN + M + I)!
t
...,_,..~,
n
r ~ u(t)
II
+ (} -
COS (0 - ~)1'.._, -e· ;.• C'OS (/JI
4P)
;;.:.:_,;__c=?=';7,==~_:_.:_-= u(l)
12
Jca + >.)' + fJ'
.P ~ oan-' 1-fJ/(a + i.)l
~··u (l)
eÁl'u(-t )
14
~·' 11( - I )
+ é:• 11( -1)
À)- ;.,
,...•• - i"l'
~~· lt ( - t )
Àl
i.,
Re ).z > Re l.1
11(- t )
EXEMPL02.6
Dete-nnine ;'llXlrrente dt malhày(l) do drcuito RLC do Exemplo 2.2 par-.1 a e ntrdda x(l)
= IOt-""u(t). quando
todas as condi\"ÕeS iniciais são zero.
A cquaç!k> de mttlh.'l p:tr..l esse circuito Iveja o Ex~;: mplo 1.10 ou Eq. ( 1.55)1é
(O'+ 30 + 2)y(r) ~ OxCr)
A tespos•a h(t) ao iml)ulso para e~e siStema.. como obttd<'l no Exemplo 2.4. é
h(t)
= (21'- lf -
("- 1 )11 (1)
A cmrod-'1 é .r(t) = I ~..)rJ,(t) c ta teSposl:t y(t) é
.v(r)
= x(r) • h (r)
=
IOe-llu (t )
* (2e - 21 -
t"-' Ju(i)
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Usando a propriedade disuibuliv:a ©
y(t) ;
cot~volu<;$o
J(}r- J.r 11(1)
(Eq. 9232)]. obtemos
* Ze..-11 11(1) -
= 20h~-Jtu(t) • e'"'?lll(l) l -
I Ot-"'31 u(t)
* e"'' 11(1)
IOit''"'J.r"(l) • t - ', (t))
A,gorn. usando o par 4 da Tabela 2. 1. teremos
)'(1) ;
3
20
( 2)
I•""
-
•""J" (1) - -~I.:C,O--,:It""<" ' )u(l )
3 ( I)
= - 20(r - ll - e-21 )11(1) + S(,.-.1' = (-5l"_, + Wt!""~ - 15e-:t.~)u(t}
e - ')u(t)
E XE R C Í C IO 2.8
l"tdue :. tatx-ta d~ oon\·Qiuçfio p;1m dclcnni.nar
t' :tu(l) • ( I - C' ')«11)
R ES POSTA
E XE R C Í C IO E2. 9
Par.. um sistem;a LCI'r com rc-.po..tall(r) =r !ru(t) oo !mpul:;o uni1ário, alctcnnine :1rec;:po~;ta de c<:ladt'l nuld \'(1)
seu emrnd.l for t(rJ = scn 3tii(J), 1Dica- utih1,c Q ))~ar ll
d~ Thbel:& 2. 1 1
KES I'OSTA
A-13r _., + Ji3oo:HJt - 1.46.32 H•Hn
ou
REsPOSTA A ENTRADAS Co~JPLEXAS
A resposta do slst~m.a LCIT discutida até este mome•no se apli~ a sinais dé entl'".lda genéricos. re.tús ou complexos. Entretanto, se um sistema r0r real. ou seja. se lt(t) ror real. então de""t-mos mostrar que a parte re--al da entra·
da gern a paste real da S<Úda e uma conclusão similar se nplica a parte imagin(ui3.
Se a entrada for .t(/) = x,{l) + jx,(t). onde.t,(t) ex,(t} são us partes real e imaginárinde x(t). e ntão para um lt{1)
R'.al,
)'(/) = /1(1) •lx, (l) + jx1(t)] = h (t ) ox,(l ) + j h (t) ox,(t) = y,(t) + jy1(1)
~ Oj:Jyngiltecl rJat~;.nal
onde y,(l) e yf,r) são as panes real e itn:lginária de y(r). Usandu u notuçiio de sc:uas dio..-cioonis JXtra indicar um IX'If
de e ntrada e a su<• saída correspondente. o resultado ::anterior pode ser escrito 4..-"Qill() mQoStl'ado a stgl•ir. Se
x (l) = x, (l) + jx;(t)
=
)'(I)= y,(I)
+ jy;(t )
e ntão
=
.t,(l)
Xí ll)
ENTRADAS M úLTIPLAS
>'• V)
(2.40)
y, (I)
E.ntrod:as múltiplas de um si~tcma UT podem ser anali~ àplk<Indo-:oc:-.. principio di• .superposição. ("ad.!a cntm ·
da é conside•"ad:a separod:.mente. ~'Om tod~s as outrm. en trada~ iguais <• ze.ro. A sonm de todas u.~ re.sposuas indivi·
du.'li.S do sisaema constitui a saída toL<t.l do .sistema quando todas as entr.-das !Orem nplicadas simultaneamente.
2.4·2 Entendimento Gráfico da Operação de Corwolu~iio
A Optr.te;:OO de l"'n\'tllução pcxk ser fucilmentc comprcendid:a :an:a.J is~mdo a interpretação gráfica da ime.gtal de ron·
'-uluçüo. E..-;te entendimento ê útil na dcteantin:aç!io da integral de convoiUÇ<iO de sirl3iS mais compk.xos. Além &!$(>.
ncon,vlução gr.ific.1 oos permite compreender visua.Jrnerue ou mentalmente o re~.;:ufludo da integruJ de coovoluç5o. o
qual pode SCf de gmn(lc vali :a na amo~u~m. lil tr~>t-m e ~m mujtos uutros probk mas. !'.'inatmentc-. \'ário.-; sinais não
possuem umadescti~ào m.·uemáti~"a exaw. logoe ks podem ser descritos :Lpcn:as g.r aticnmcntc. Se dois <kstes tipos de
sinais tivtrem que ser ~x-m'ófu íd<b. não teremos esrolha a n:i o ser cxe<.'Utnr a cnnvolução g.r.tli<:amcntc.
Agora. explicaremos a opcmçãode coovolução us:ando os sin:ais ,,·(t) e g(t). i l ustr~tdos tl:l Fig . 2.1ae 2.7b. rtS·
pecli"amentc. Se c(t) for a convolução de x{I) com g(r), entllo.
c (l) =
J:
x(r)g(l - r)t/r
(2A I )
Um dos pontos cruciais a serem lcmbr:u.IO$ é (l lt>Ç css;r integr~•çno é executad~t com respeito a r. de t<•J furm:•
que. / é apcnm; um parâmetro (tal como um:1conSJ:mte). Esta çorlsider;tçtto é espé<: i ~al mentc importante quando
traçamQS as rcprcscnwções gráficas das funçôes.t( t) e g(l - fí que : tp<lfl!'(.'ttn c:omo intcgmndos da Eq. (2.4 I). As
duas funções dc"cm ser lf3Çaodas C(IIOO funç~s ..Je f c n5o 1.
A função .l'( r) é idêntica a .t(t). lXHn r subsaituindo 1 (Fig_. 2.7c). Purtllnto. x(r) e x( r) terão as mesmas rcpre·
sentaç.."íts gráficas. Considerações similares se aplicam u gi1) c g( r) (f:is. 2. 7d).
P::tra s:abennos como g(t- t) ~ parece , vmnos começar rom .1 fu nç-llo g( t) (Fig , 2.7d). A revetsãu rro tempo
desta função (rellexão com rclnção a~l eixo \'enic::.l r = 0) result<.l em g(- r) (Fig. 2.7e). Vamos rtpresenlar .:.sto
função por t/1( T)
</J(r)
= g(-
r)
Agora, 4J{T) d~sloc.1do 1 segunOOs é ,'I( r - r). dado por
.P<r
-I)
= .<1-(r
-I) I
= R(r - r)
Ponanto. initiohnente fozemos a reversão no tempo de s( r) para <>bccrmos g(- r) e. então. o deslocamos no
tempO JX-•r r p;ua obtermos g(r - r). Para 1 positi\'O. o dcsiOI.•umcmo é parti a dircit::. (Fig. 2 . 7f). pal'tl/ n.í:-'ativo. o
deslocamento é l):ll'.1 a esquerda (fig . 2.7g. 2.7h).
A discuss5o anterior nos fonkX"é uma interpn-tac;-ão gráfica das fu nções x( r) c g(t- iJ. A convoluç!lo c(I) é a
o'írea debaixo do produto dessas duas fuDÇões. f>onamo. par.:. calc-ular c(I) e m algum instamc positivo 1 ;;;;: 11, pri·
meiro obtemos g(- r) in\'el'tcndo g( r) no e ixo vertical. A seguir. dcsloc.1mos
.1 direit:t. oo atl':lSamos. g(- O
pOr r,. obtendo g(l1 - T) (Fig_. 2.7t) c:. c:ntão. multiplicamo.« cst!l função por A r), resullandl) no produto.\'( 'f)g(11 r) (pon;iio sombre.<tda da •':'ig. 2.7(). A área A1 sob este produto é c(t1). o vah:l( de c(t) para t = t,. Podemos. por·
tanto. traçor c(r1) =A, e m um3 cul'\"3 ~rc,·endo C"(r), como mostl';~do na Fig. 2.7i. ;\área :sob o produto x(t)g(r) na fig. 2. 7e é c(O). n \'alor da convol uç.~o pa1tt 1 =t O (na o•igtm),
Um procedimento sim i l ~r é utili1.ado na determ irla~ào do ''r~Jor de ('(I) para t = 1! . onde 11 ê ncgati\'o tFig.
2. 7g). Neste coso, a fu f't\-AO g(- r) é deslocada pi.Wum:t ql•muida<k. ncg<Ithr;;l (ou :s<ja. deslocada para a esquerda)
paro obter g(tl- r) . A multil>licaç!k) <1es1:1 funçàl) ~-xnn ,t(f) resulta no prOOuto x(r)g(t! - T). A área debaixo des·
IX''"'
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170
StNAJS eStS'I'EMAS Lt,..EAJcF.S
.
te produto é c(l,)
. =A,.. nos fomcx."t.odo outro ponto da cur"a c(r) para 1 = t... (fig. 2.7i). Esse ptocedjmemo pode
ser repelido para todos os valores de 1. de -oo a oo. O resultado ser.1 a éurva descrevendo d.r) para todo o tem·
po r. Nrne que quanto 1 S -3. .f( l) c g(t - l) niio se sobrepõem (\'cja Pig. 2.7h) . logo c(r) =O paro t S -3.
g(t)
'
·-
- I
(a)
·-
o
-2
(bl
g('l')
2
- I
·-
o
(<I
·-
o
-2
(d)
.l11')
g( -T)
(<)
,_
2
-I
.
- '·--1
i
-'(<)
g(l - '1')
'"
t
= r1 > O
••
2
2 + '•
,_
;._,'
2~
;
.,
g(t - T')
(g_l
, _ ,'2< 0
o
( h)
s!•-y
-'(<)
,_
2 +'1 2
,, ~
l
t = r; < -3
-I
.,
(i)
,,
·-
o
r(I)
-3
.<{ i )
'
I
2 +I~
,,
'
o
'•
f'igur11 2.7 e.xplic:aç.OO gráfica par.• a operaçflo de co•woluçlo.
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CAPfl\JLO 2
A NÁU Sfl NO DoMíi'IO oo T~MPO ue SI$TEMAS E.\t T EM PO Co.:.:TfN\10
171
RESUMO 00 PROCEOIMêl<rO ÜRÂflCO
O procedimento para 3 convoluçlkt i!r:1tica pode ser 1'esumido por
I. Mantenha n função .\( t) fixa.
2 . Visualize 3 funçiio g(1') como um obje-to rígido c o rutucione (oo inverta} com relação 30 eixo vercicnl
(f = 0) para ob«r g(-I).
3. Desloque a funç-ã o invenido O() longo do eixo r por 10 segundos. A figura <leSI(I(;3d3 agora repreSc!nta
g(l,- r).
4. A área debaixo do produto de x( r) com g(l0 - r) (figura deslocada) é c(r0 ) , o vaJQr da oonvoluç!lo paro
I=
'o·
5. Repita este procedimemo desl (l(;;~ndo a figurJ por dife-rerltes valores (positivos e ncg:.tivos) p;~ra obter
c(r) ~Xtta todos os \'310fes de r.
O procedimemo gráfico discutido pode P.,"tttct'r muito romplicado e ~ncoraj3dor a primeira vis•n. Oc fa·
to. algumas pessoas afirmam que a t.'Onvolução levou muitos el\tudnntes de engenharia elétrica a estudarem teologia 00100 sal.,..<~ção ou como cam:im altematiw (IEJtt Spectrum, março 1991. p. (i(l).' No rcnlidade, o latido
da convolução 6 pior do que sua lllOfdida. Na convoluçiio gráfica. prccissmos determinar a área sob o produto
.f(f)g(l - r) para todos os \·alores de r, de. -oo a oo. Entretanto, s descrição matemática de ,t( r)g(t - f) é. gemi·
mente. válida somente paru uma faixa de 1. Porconto, a repetição do ptQCcdimcmo p.113 qualquer \'a1or de 1 rcsul·
ta em rt'pc:ti·lo apenas algumas ,.e1.es pnm diferentes fai xas de r.
Também podemos utilizar 3 propriedade comutativa d.3 tom·olu~o t m noss:a vantagem para calcular x(t) •
g(1) ou g(l) • .t(l). a qu.al ror tuais simples. Como uma rtgm. o cákultl da corwtllurt1tl i simplificado se eJcolller·
ttUJ.'i p<tra i m't:'ner (rt>n't'r.wio temporal) afunçiio mai.f .fimple.{ t!a.f dJlO.f. Porexcmplo,l\C a d~ção m:ucm.áti·
c-a de J.."(l) for mais simples do que de :r( r). cntão.-il) • g(t) será mais l)implcs do queg(t) • :c(r). Em contraste, se
a descrição matemática de .t{r) for n mais siml)les. então o inverso set:1 vel'd.adeiro.
Oemons1rarcmos a convolução gr.ifica atra\'éS dos segui.ntes exelllplos. Vamos co1neçar usando este método
gr.ifico paro re:faz.et o Exemplo 2.5.
'
'
... 1
Oltlt
;I
COn\'Oi u<;~o:
seu latido é pior do que sua mordida!
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172
SWAIS E StSTEMAS l.JNEAR.ES
Dc.tennine graficamente )'(I)= x(r) •lt(l) para .t(l) =
l!...u(l) e h(l)
= e'.a-.,(1).
Na Fig. 2.8a e 2.8b temos x(l) e h(r), respecth·amerue. A Fig. 2.8c: mostra x(r) e h(- r) oonl(J funções de 1'.
A funç5o h(t - r) é ob1ida deslocando h(- -r) por 1. Se t for positi\'0, o deslocamemo é pata a direita (atra·
so); se 1 for negativo. então o deslocamc~to 6 par-.1. a esquerda (a,•anço). A f.:ig.. 2.8d mostra que para t negativo.lr(t - r) I obtido deslocando para a esquerda /t(-t)] não sobrepõem x(r) e o produto .\~ r)ll(t- r)= O,
tal que
)'(1)=0
1<0
A Fig . 2.8e mostro a situaç.ão para 1 ~O. quando x(f) e h(r - 1') se sobrepõem. mas o produto é não nulo
apenas no intervalo OS r S r(intt."'V.tlo sombreado). Portanto.
)'(I)=
1'
x(r)h(t- t)dt
t
~O
Tudo o que preciSálnóS fazer agora 6 substituir as expressões <:orreta.s para x( f) e h(t- 1) na integ;r.d. A
panir da f.:ig. 2.8.a e 2.8b, é daro que os ~gmentos dex(t) e g(l) a serem utili.7..ados na con\•olução (Fig. 2Jie)
são descritos por
x(t)
= ~ -'
e
= ~ -U
h (t)
Logo.
= t>"''
x(r)
e
Ir (I - r) = t<~r -u
Conseqüentemente.
y (l)
= [ ,.-•e - l () - r) dr
= e- 11 [ e' dr
= e-• -
, - 11
I >
0
Além disso, }'(t) =O paru t <O. logo
)'(t)
= (t>_, -
h(I)
,<(I)
o
(a>
Figu ra 2.8
t"- !1')11(1)
Convoluç~o de .r(t)
·-
,_
o
( b)
e g(t).
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CAPI'nJLO 2 ANAuss ~o oo,.dt-'10 oo Tm.1ro DE SIST'Dt.AS e.. Tm.1ro Co~f)lo'\!0
173
o
(<)
1< 0
o
, __
(d)
1 00 0
J/(1 - 1')
(e)
(f)
Figura 2.8 Continuação.
Delermine c(t) • x(l) • g(t) para os sinais mostrados na Fig. 2.9a e 2.9b.
CoQ)O x(l) ~mais simpks do qu.e g(l). é mais f:kil determinar g(t) • x(l) do que X{l) • g(t). Entretanto, ire~
intencionalmente. tomar a rota mais difícil c iremQs cakular x(t) • g(t).
•nos..
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174
SlNAJS E SlSln.tA.S liNEARES
Analisando x(t) e g(t) (Fig. 2.9a e 2.9b. respeccivamente). observe que g(l) ~ composto por dois segmentos. Como resultado, ele pode ser de5erito por
2e· •
g(t) = {
segmento A
-2e21
segmentoS
Ponanto.
segmento A
segmentoS
O segmento de x(t) que é utilizndo na convolução é x(t) = I. de taJ fonna que x(t) = I. A FiB. 2.9c mosua x(tl e g(- <).
Para calcular<*) para 1 ~O. deslcx:amos para a düeita g(- 1) para obc.cr g(t - 1). como mosar:Kio na F's,.
2.9d. Claramente. g(t- t) sobrepõe x(" no intervalo sombreado. ou seja. DO intervalo de -r ~ O. O segmento
A sobn::põex(T) no intervalo (O, t). enquanto que o 5egmento 8 sobrepõex(t) no inteML!o (t. o:>). LembrandQ que .t( t) = 1, temos
c(r) = [
x(r)g(r- r)dr
= [~~·r-ri dt +
l oo
- U(I-r) dt
= 2(1 - e ~) - I
= I - ü _,
' >o
A Fig. 2.9e mosua a situação pana t <O. Neste caso. a sobrt-póSiÇ"-itO está no intervalo sombreado, ou se·
ja. na faixa de r~ O. no qual apenas o segmento 8 de g(t) esui envolvido. Logo.
c(r)
= J.~ x(r)g(r- r)d<
=
1oq
g(t- r)dr
= J.~ -2.U•· ••dr
= -e'll
t <O
g(r)
·-
o
2
o
(b)
(o)
-2
F'igura 2.9 Corwoh>Çào de -*l e g(r).
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ANÁLISE 1\'0 0mi ÍNlO DO T EMPO DE S ISTEMAS EM T EMPO CON11NUO
C APÍTULO 2
175
o
(C)
.\(!')
,_
(d)
« O
g{t - T)
I
,_
o
(<)
I
t'{t)
,_
(()
Fi~:ura
_,
2.9 Coo1inuução
Ponamo.
c(t)
=
)-z.-•
_,
{ li
I ~
0
1 ~0
A Fig. 2.9f mostra o gnifiro de ('(t).
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176
SINAIS E SL~V.S LINEARES
Detennine x(t) • g(r) par.l ti! funções .r(/) e g(t) moolrodas na Fig. 2 . IOa e 2 .10b.
Ne..o;te caso, x(l} pos.sui n descriç-00 matcmátka mai5 simple5 do queg(t}. sendo pteferi\'CI utilizar X(t) na in\'erslo temporal. logo, irema& de:tcnninar g(t) • .r(t). Portnnto.
<"(/)
= g (l) U(l)
:i:
g(t)X(I - t )dt
Jnidalmentedetenninamos as txpressões para os segmenta& de .l'(t} e g(l) utiliUidoti pam calcular c(t). De
acordo com a Fig. 2 .10a e 2.10b. esses segmentos pOdem ser expressos JX.lt
x (t ) = I
e
g (t)
= it
de utl fonna que
.r(l - r) = l
g(r )=~ r
e
A Fig. 2. JOc mostrag(r) e :c(-1), enquanto que a Fig. 2. IOd I»>SU'tl g( r) e.x(t .. r). a qual é ,\'(- f) desloca-
® por 1. Como os limites de .t(-t) esliioem r = -I e 1. os limites de x(t - r) estão em - I + 1 e I + t . As duas
funções se sobrepõem no intervalo (0. I + t} (inter\•alo sombreado). tal que
c (t )
..
!....
=
1 jr
=
g(t)." (' - t)dr
0
dr
(2.42a)
= !(1+1 )~
- 1 !5: 1 !5: 1
Essa situação, mostrada na Fíg. 2.10d. é "álida apenas para - I S t s I. Para 1 ~ I mas S 2, a situnçAo é
mostroda n;;t Fig. 2. 10e. As duas funções se sobrepõem apenas na faixa -1 + 1 até I + 1 (mter\•alo
sombte.'ldO). Note que as expi"C$SÕC~ pam g(r) ex(t- t) não mudam. Apenas a faixa de integração é altera·
da. Logo.
c (t ) =
'"
! ,. j r
dr
(2.42b)
= !,
l ~ t ;$ 2
'
Observe, também. que <15 e~press.ões das Eqs, (2A2a) e (2.42b) se aplicam pam 1 = I, o ponto de transi\ão entre suM respectivas faixas. Podemos facilmente ve rificar que as duas expressões re.o:ultam no wlor de
213 paro t = I. de tal fonna que c( I) 213. A oominuidade de c(t) nos pontos de ttans:içilc> indica uma alta
probabilidade de uma rcspo-.'ita com:ta. A continuidade de c(t) nos J)Or'ltOS de tmnsiçllo é garantKb enquanto
n5o hQu\'Cr impulsos nas bordas de x(t) e g(t).
Para 1 ~ 2 mas S 4, a situação é mostrada na Fig. 2.10f. As fun\ôeS g(t) ex(t - T) se sobrepõem no inter·
valo de - I + t ttté 3 (intervalo sombreado), logo.
=
f ...., i r d r
./_
= -i(t1 -21 -
c(I)=
8)
(2.42c)
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CAPiTUJ.o 2
A NÁLISE
!\O Dof.dNIO oo ThMPO DE Stsn:.M AS EM1F.MPO Com bmo
177
g\1)
- I
·-
o
(o)
o
- l :sí • S I
g(1')
-"' ~,--t.:_-, '-..,
- I
,_
o
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I +I
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J
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........
o
- I
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}
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""
I< -
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I +I
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........
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F~ura 2.10
'
)
o
3
·4
Convohl(iio de .\~t) c g(r).
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178
S INAIS HSISTEMAS LINEARES
Novamente, as Eqs. ( 2.42b) c ( 2.42c) siio válidas no ponto de transiçlo 1 = 2. Podemos facilmente veri·
ficar que c(2) = 4/3 quando qualquer uma das funções é utilizada.
Para 1 ~ 4. X{t - 1) foi desloct~da tâo longe para a direita q ue eLa não se sobrepõe mais a g( r), como m<>-"·
tr<~do na Fig. 2.10g. Conseqüentemente.
t•(t)
=o
2:; 4
I
(2.42d)
Agora. vohamos nossa atenção para valore.o; negath•os de 1. Já determinamos c(t) até 1 = -I. Para r < - 1
não existe sobreposição entre as duas funções... como mQStraOO na Fig. 2.10h. logo
c(l) = O
I
5 -I
(2.42e)
A f:ig. 2.10i mostra c(1) de acordo com as Eqs. (2.423) a (2.42e).
L ARGURA DA f UNÇÃO CONVOLUCIONADA
As larguráS (durações) de .x(l). g(t) e c(t) nó E;\;emplo 2.9 (Fig. 2. 10) são 2. 3 e 5. respccthr.1mente. Note que n
largura de !"(1). neste caso. ta soma das largUJus dex(t) e g(l). Essa observaç.OO não é coincidênc ia. Us:~ndo o
conceito da convoloç.ão gráfica, podemos ver prontamente que se A'(t) e g(t) têm
Jatguras infinitas de e Tl,
res pectivamen te. a largura de c( t) é igual a r, + r!. A razão é que o tempo que leV11 pata um sinal corn largura
as
r,
(duraç!lo) T, pass.:~t compl ~:.me.ue o~• trO sina.l com largura (durnção) T: de modo (Jue eles se tornem não-sobre
pos1as é T1 + T1, Quando OS dois sinais se IOn,am não-sobrepostos~ r 1 + T:. Quando os dois sinais .se tomam
nà()osobreposlos. a convoluçOO \'ai a zero.
4
EX ER CÍ CIO E2 . 1O
Refaç~'\ o
Exemplo 2.8 calculando g(l)
• .\'(1).
EXERC ÍCIO E2.11
Utilize a CQn\'Oiuç!lo grálka p:~rn mQ..<;tmr qUt" :c(t) • g(t) =
f(I)
X(t)
•••
o
g(l) •
•
·-
x(l) =c(I) na Fig. 2.1 I.
<ft)
I - ('_,
=
o
figura 2.1 J ConvoluçOOdc x(t) e g(t).
·-
o
EXERCÍ CIO E2.1 2
Repi1~
o E1Cerçfcio El.LIIXlfa as funções d:~ Fig. 2.12.
g(t)
•
o
,_
ii'igura 2.12 CocwoluçâQdcx(r)c.g(t).
=
o ,_
o
,_
CArtTULO 2
ANÁUSE NO OoMfNJO DO TEMPO DE SISTEMAS EM futPO Corffl!..'VO
179
EXERCÍC IO E2.13
Repll3 o Exercfcio E2.1 1 para as fu ~ dn Fig. 2.13.
I sVJ
•
o
r
,_
=
-T 0
l'' igum 2.13 Con\'oluçào de .ril) eg(t),
0
FANTASMA DA ÓPERA DE S INAIS E S ISTEMAS
No estudo de sinais e s:Lçtemas geralmente cru.z.mnos com a'gun!> sinnis tais como o impulso, o qual não pode ser
gerado na prática e que nunca foi \'isto por ninguém.' As.sim sendo. alguém pode quest~ o por que de consi·
derar tais sinais idealizaOOs. A resposta de\•e estar clara pelas discussôes feiUJS até agora neste capítulo. Mesmo
que a função impul.sô não tenha uma exjstênda física. podemos catculur a resposta h(l) do sislema a esta entra·
da fantaçma de acordo com o procedimento da Seção 2..3 e, com o conhecimento de h(1), podemos calcular a ~­
po.o;ta do sistema a qualquer entrodn arbitrária. O conceito da resposta ao impulso. portanto. fornece um resulta·
do intennediário p:tra o cálculo da respo&ta do sistema a uma enltllda arbilriria. Além disso. a própria rcs~a
J1(t) ao impulso fornece muita infonnaçAo sobre o componamento do sistema. Na Seçi\o 2. 7 mostraremos que o
oonhecimento da resposta oo impulso (Of'tl('(:e muita informação \'aliou. tal como o tempO de resposlà, a disper·
sSo do pulso e propriedades de fi ltrngem do .sistema. Vária.o; oot:ras indicações úteis sobre o comportamenlOdo
sistema pOdem ser obtidas por inspeção de h(l).
Da me.o;mn forma. na análise no domfnio da freqüência (discutida nos próximos capftulos). utilizamos uma
apon~ncial d~ duraç/Jo irtfiniw (ou sen6ide) para detenninar a resposta do sistema. Uma exponencial de dura·
çllo infinita (ou senóide) uunb6n é um fántasma, que ninguém ''iu ainda e que nio possui existência ffsica. Mas
ela fornece OUU'O resultado intennel(limo na detenninação da resposta do sjst.e-ma a uma enln'ldn nrbiLr.iria. Al6:n1
disso. a resposta do sistema :a uma exponencial de duração infi nita (ou scnóide) fornece infonnações valiosas relaciorutda.o; uo componam~to do sistema. Claramente, o impulso ideali1.oWo e senóides de duraçlo infinita slo
espíritos amigáveis e óteis.
De maneira interessante, o impulso unitário e a exponencial de duraçll.o infinita (ou sen6ide) são duais uma
da OUlNI na dualidade lempo-freqüência. :a ser estudada no Capílulo 7. Na real.idade. os métodos de domínio do
tempo e dornlnio da freqüênda de análi!\e são duais.
PoR QJJE CoNVOJ.IJÇJ\O? UMA ExP~ICAÇÃO !NrumvA DA REsPOSTA oo SISTEMA
SuperfteiaJmente, pode parecer estranho que a resposaa de sistemas lineares (os mais gentis dos gentis sis,emas) seja dada por uma opernçGo t!kl tortUOSa quanto a oonvoluçlo, na qual um sinal ~ fixado e o outrO invertido e des1ocado. P'.lra compreender esse componamento (mpar. considere a h.ipotética r'tSJX15U h(t) oo impulso que decai Linerumente com o tempo (fig. 2. 14a). Esta f'tS)>08ttl é mais forte para 1 =O. o momento no qual o impulso~ aplicado. e decai lineanneate par.t inseant~ futuros. de tal fonna que um SC1,'Undo após (pala 1 = I e alán). ela deiu de
existir. l~o signific-a que qWUJto mais peno o impulso estiver de um inliWltc r. mais fnrte a sua ~ta em t.
Ag<.lfll considere a e ntrada .r(l) mosrrada na Fig. 2.14b. Pata calcular a respo~a do sisaema. sepsramos a entrada em pu.L~ retanau.lares e aproximamos es.tes pulsos por impuJsos.. Geralmente·. a respos.~a de um sistema
cau.o;al em algum instante t pode ser detenninada por tOdas as componentes impuJsivas da entrada ames de 1. Ca·
da urna de5ta~ componentes impulsivas possui um peso djfererue na detenninaç:.O da resposta no instante t, de.~
pendendo de sua proxirnklade com r. Como visto anteriotmente. quanto mais peno o impulso esli\·er de 1. maiOt
.:a sua i1~nuêneia em'· O impulso em 1 possui o maior peso (unitário) na detennirwção da resposta em t. O peso
rror. S. J. Ma~. q in,-ml{lf dw; 16:niar.s Jf11ficas de f1u.1.0 de 11inlll. coscW~VVa \lontar 11 históri.l de um estudante fl'll.Stnill.kl
funçto impulso. O CSUidarue di.tia ''O impul:so urtltárlo t algo &ao pequeno que Y('Jd 1110 pode v~-lo. a 1'110 tti t:m utn kul (a ori·
~nn). onde d e t liO srande Que~ nàó podt '~lo. E•n OOlllb pab'\'r.lll, \V:ê nunca pode , 'ê-1(1, ao menos eu nlo 1)01..'10!"
' O l'alt"ddo
çcm •
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] 80
SINAIS E SISTEMAS LINEARES
,_
o
r
I I .TI
'
' - I
I segundo
(b)
(a)
flgura 2.14 Explicação intuitiva da ootwoluçSo.
diminui linearmente para todos os impulsos antes de 1 até o instante 1- I. A entruda antes de 1- I não possui in·
Ouêncin (peso 1.c:ro). Ponanto, paru detenninar a resposta do !tistema em t. devemos associar um peso lineannentc dccrcsccntc aos impulsos que ocorrem antes de 1. como mostrado na F'ig. 2. I 4b. Esta função ponde-rada é preciS.1J»eme a funç&:l h(r - f) . A resposta do sistema p:l1a 1 é. enl."o. dc:tcnnioada n.~ pela entrada x( r), mas pelas
entradas ponderOOas x( Oh(t - f). e o som.;uório de todas essa-s e111radàs pouderOOas é a integral de oonvotuçào.
2.4-3 Sistemas lnterconectados
Si.o;temas maiores. mais complexos. ge-ralmente podem SC:f" vistos oomo a interconexão de diversos subslS(emáS
menore~. cllda um mais fácil de ser carucccrizado. Conhettndo as caracteri7.3ÇÕCS destes subsistemas. f.cu mais
simples analisar os sistemas muiores. Oc"emos considerar aqui duas cont'.XÕC:$ básicas, em série (ou CllSCatn) e
em paralelo. A Fig. 2. 15a mOSLnt S, e 5 2, dois subsis•emas LCIT conectados em paralelo e a Fig. 2. 1Sb mostras
os mesmos dôis ~bsi stemas conectados em cas<::tta.
Na Fig. 2.1 Sa. o dispositivo representOOo pelo símbolo I dentro de um drcuJo represenUt um somador. o qual
soma sinais em suas entradas. Alé m dis.o;o, ajurw;ão na qual dois (ou mais) ramos se dividem t chamado de n6
de seplJraçdo. Cada ramo que sai de um nó de separação c--arrega o mesmo sinal (o sinal da junção). Na f ig.
2.15a, por exemplo, a junção na qual a entrada é apl)c.ada é um nó de separação no qual dois ramos são irradiados par.l fora. cada um contém o mesmo sinal de entrada do nó.
Sejam as respostas ;~~o impuJso de S 1 t S1 as funções h1(t) e h1(t), respec1ivamen1e. Alé m disso. assume--se que
a eonexão deste$ sistemas. como mostmOO na Fig_. 2. 15. não os çruyega. Isso significa que a resposta ao impul·
so de c.·ada um de$tc:s sistenUIS pennanece a mesma se os sistemas: es.iverem oonect.'\dos ou não.
Paru detemlinar h,(r). a respOSta ao impulso do sistema paraleloS, da Ag. 2.15a. aplicamos uma entrada impulsiva em SP. Isto resuhn no sinal 6(1) nus enuadas de S, e S 1. ~suhando nas saídas lt1(1) eht.,t). re....,ectivamente. Estes sinais são somndos pelo somador, rcsultMdo e m h 1(t) + h1(r) como saída de SP. Conseqüentemente,
(2.43•)
P3r:a dctenninar h~(l), a resposta do sistemaS~ em cascata da Fig. 2 .15b, aplicamos a entrada 6(1) na enrrada
de S,.. a qual também é a entrada de S,. l.Qgo, a safdn de $ 1 é h 1(t), a qual, por sua \'Cl-, é a entrada de S!. A rcs1)0$1.3 de S: a e.ntrnda h ,(r) é h1(r) • h~(r). Portamo.
/i( (I)= h t (l)
* h2(t )
(2.43b)
Devido a propriedade comutativa da con\'olução, podemos altemar os sistemas S 1 e St- como mostrado na
Fig, 2.15c, resultando na mesma rcspooL'I impulsiva 11 1(1) • li.f..t). lssosigniticn que, quando vários sistemas LCIT
estOO em série. a ordem dos sistemas não afe1a a resposta ao impulso do sistema composto. Em outras palavras.
oper;~çõe:s Lineares. exéQitad.as em série, comutam. A ordem na qual elas s~ executadas n~ é impon_ante. oo
menos teoric.1meme.•
Mostraremos: aqui outra aplicação interé$sante da propriedade oomutativa de sistemas LCIT. ;-\ Fig. 2.15d
mostr-.1 a C<>ne~ão em série de dois sis(emas LCIT: um sis(etna S oom respOsta li(t) ao impulso, seguido por um
' A rnudllftÇ-a da ordern. 4.-"'''I.KI#lló, pode àfctilr a 1-" «ronuance.dl" ' ldo illhni~ fis.icas e. scnS;ibilidadt a •l tcr.~~o-õe~ ..~ $uMi)'IC(M_~
cn\'QIV~
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CAriTULO 2
ANÁLISE NO OoMiNlO oo f uu'O t>E StSl'&.\tAS EM T a.u'O Co:-.TiJ.'\10
r ..·-··..
... -·····_,,,.,_,....................!
h,(l)
j
·~···--··· -·····-··
;
6(tJ
8(t)
i
8(t)
s,
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18 1
s
p
~.,.,_,., . ~....,_,,.,_,,,~..... -..... _,,,. ~~~~~. . ... -... .1
<•>
! - ... _..... _,... - ... ,_,... _,.......·-··..................,_,........
8ft~
I~
~
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i
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I !/rir~= h,(t) • IJ~t>
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L ....... -..... -~···-·····-···-·····-··· ..-···---···--..···-···-...:
(b)
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····-..,.,_.., .. ............ -.........
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i
i y(t)
I ~ "') H J~. ~; ·
•
····-.....................................
!
:
(()
FiJturlll.lS Sistemas i nh~rçooe<.·tados .
integ.mdor ideal. A Fig. 2.15e mostra a cas~·aLa dos mesmos dois sistemas na ordem im'érs.a: um integn.:tor ideal sc-guido por S. Na Fig. 2. ISd se a cntí.lda x(l) de S resultar na S<Jída y(t). <i saída do s-istem<i 2. 1Sd é a integral
de )'(t). N.:~ Fig. 2. 15c, a safda do integrador é n intcgrnl de l1/). A s.:.fd:t da Fig. 2.15c é idêntica n snfda da Fig.
2. 15d. Logo, lcflW)s que se a resposta de um sistcmu LC IT a umu entrada·'~') é )'(1). então a rcspos1s do mesmo
sistemas imcg.rul de A'(t) é a integral de y(t). Enl oulras pala,•rus.
se
;((1)
então
=
y(l)
[ .,., .r( r )t/r ==> [....: y (r) t/r
(2.44•)
Substituindo o intcgrndor ideal por um d iferenciodor ideal na Fig. 2. 15d e 2.l5c. c adotando um urgumcnto
similar, concluímos que
se
x{l) ==> y(l)
d .r(o)
I!OI.Ü O
dy(t)
-d t- = -d t-
(2.44b)
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182
SINAIS f: SIS'I'EMAS L l$..\kf.:S
Se ti1.ermos ,'é(t) = S(1) c )'(t) = ll(t) na Eq. (2.44a). obtemos que g(t). a resposta ao degruu unitário de um sis.
tema LCJT com respos1a h(t) ao impuiS<J é dada por
g(r) =
[~ h(r)dr
(2.44c)
Tàmbém podemos mostrar que a resposta do sistema :1 (r) é dh(tYdt. E&<es resull:~dos podem ser estendidos
panl outras funções dé singularidade. Por exemplo, 3 teSpos13 b. rampa. unit:1ria de um si seema LCIT é a integral
de sua re.o;posta uo degrau unitário e assim pOr diante.
SISTEMAS INVERSOS
Na Fig. l.l5b. se c~ são sistemas inversos com resposta h(t) e h,(r) ao impulso, n:spetcjvamente. tnlàO areS·
~a ao impulso da C3...(õC.:us destes si.stcnu1s é h(r) • 11/.t). MIL" n cascata do sistema com sua inversa é um sistem:J. identidade. cuja safda é n mesma d.1 entrada. Em outras palaVT'as, a resposta ao impulso unitário da ca'>Cata
de sistemas inversos t3mbém é um impulso unitilio 6(t). Logo.
s.
h (r) • h,(r) =&(r)
(2.45)
Apresentaremos UllUl interessante apl ic:a~·ão da propriedade <:01nutàtiva, Como visto na Eq. (2.45). a cascata
de sistemas inversos é. um sistema identidade. Alé m disso. na cascata de dh•ersus subsistemas LCIT. n ruud3n1,.~
de qualquer maneira na ordem dos lôubsistema'i não afeta a respos.ln ao impulso do sis.tema total. Usando esses
fatos, observamos que os dois sistemas., mosuados na Fig. 2.1 Sf são equivalentes. Podemos calcular a resposta
do sis1ema Cõ}S('<ll<l 00 l<'dO direito detennin3ndo a resposta do si.stema denlm d1l caixa pontilhada à cntrads. A
resposta ao impulso da caixa pomilhad.a é g{l), a integral de h(J), dada pela Eq. (2.44<:-).logo, tcmQS que
y(r) = x(l) • h(r) = .i (r) • &(rl
(2.46)
Lembre que g(t) é a resposta no dcgrnu unit:'irio do sistema. Logo. a resposta do sistema LCIT também pode
COfwoluçâo de (a derivada da entrada.) com a resposta ao degrau unitário do .sistem:t. Este n:sult~OO pode ser facilnlénte estendiOO p;lr.t derivad.'IS de mais ah a ordem. A resposta de um sistema LCfT é a
con,'Oiuç.ão da n-ésima derivada da entrada <:CHn a n·-ésima integrnJ da rtspos:lõl. ao impu 1St>.
Sér obtida (.'()rrlOà
2.4-4 Uma Fun~ão muito Especial para Sistemas LCIT: a Exponencial de Duração
Infinita e'
Existe uma Ct'lnexão muito especial de sistemas LCIT com a runç3o exponencial de duração infinita e"', onde s
é, em geral. uma ,,rui:í,·-:1 complexa. Agom. mostrate.mos que a resposta (de e~ado nulo) de sistemas LCIT a entrada da exponencial de dumç-iio infinita t"' também é uma C;\ponenc-iaJ de duração i.nfinit;l (multjplicada por uma
constnntc). Além diM<>. nenhuma outra função pode ter o mesmo tipo de CMOOieríStica O tipo de entrad.'l cuja
respcma do sistema possui a mesmn fonna da e ntrada é chamada de fimç(W cnroctuútico (ou (111/ofimção) do
sistema. Como a senóide é uma forma de exponencial (.t = ±jtv). a senóide de duruçiio infinita também é uma
funç-ão C1ltaCleri.uia. de .slstemas LCIT. Note que cs1amos falando de umn exponencial (ou senóide) de duruçiio
infinita. a qual romec,:a em t = -oo.
Se h(r) 6 a re_,~;posta ao impulso unilário. emno a resposta J(t) 00 sistemn a urnn exponencial de duração infinita t 11 é dach1por
)' (1) = 11(1) . ~~
= ~~ IJ(r)em-n dr
1-~
e t'"'
I:
11
lr(-r)t'"" dt
A integ:ml 00 lado direito é uma funçllo da variável complexa s. Vamos c ham6-la de H(s), a qual também é.
g_eralmente. oompLexa. Logo
y(r) = H ( .<)e"
(2.47)
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onde
H(s) = [
h(r)e-u dr
(2.48)
A Eq. (2.47) é válida apenas para os valore.'l de s nos qwús H(s) existe. ou seja. se existir {ou c:orwergi.r). A
região no planos para o qual a integra) con\•ergc 6 chamado de rrgidQ d~ OOIW~rgincia de 1/(s). Uma ex.pli<:ação
mais delalhada sobre regi5o de convergência sen1 apresenlada no Capítukl4.
Note que H(s) é uma c:onsc.ante paro um dados. Por1anto. a entrada e a salda possuem a tnc$ma fom1a (com
uma constante multipltcativa) paru o s·inal ex.ponenciaJ de duração infinita.
Jl(s). que é ufunção d~ transferirrcia do sistema.. é uma função da vari!,·d complexas. Uma definição aher·
nativa para a função de transferência H(.s) de um sLo;tema LCIT, \'ilila na Eq. (2.47). 6
H(s)
=
I
sinal de salda
~*...,
sinal de entrada --., .
..,.... .
(2.49)
A função de transferência é definida. e possui semido. p3ra apenas sis1emas LCIT. Ela nlo exi!õte. em geraL.
para sjstcmas n!lo lineares ou variante$ no tempo.
RessaJutremos novruneme que estamos falando da exponencial de dur.~.çlo infinita. a qual começa em t =
-oo. e não da exponencial oomum e"'u(l). a qual começa em t = O.
Para o sistema e.o>pccifk....OO pela Eq. (2. 1). a função de transferência t dada por
P (s)
H (.<)=
-Q
(s)
(2.50)
&ta equação é faéihnente obtida $C. considcrannos a entrada de duraçio infinita e". De acordo com a Eq.
(2.47). a saída é y(t) = U(sV. A substituição deste x(t) e y(t) na Eq. (2.1) resulta em
H (s)(Q(D)<"I = P(D)e"
Allmdísso.
rv .,
vt!
d ' t"J
= -
dt'
'
.JJ
= .te
Logo.
P(D)<'' = P(s)<"
e
Q(D)r' = Q(s)r'
CoclSeqüentemente.
P (s)
H (s)=-
Q (s)
EXERCÍCIO E2.14
Mo!<>treque a função de transferênc:iu de um intcg.raclor ideal é H{$)= lls e que para um difcrcndador i~al t H(.f)
= s. ÚbLenbn a n:s~ por doi.." caminhos: usando a Eq. (2.43) e n Eq. (2.50). (Dica: detmnine h(tl para o mte·
gr!ldor e di.fer-endador ideais. Você pode preci<;ar do resultado do Problcm3 1.4-9.1
UMA PROPRJEDADE FUNDAMENTAL DE S JS'ffiMAS LIT
Podemos tnOS1tlt que a Eq. (2.47) é Utrul propriedade fundamental de sistemas UT. obtida diretamente como
conseqüblcia da linearidade e da invariância no tempO. Para isso. vamos assumir que a l'e$p0$1.a de um sis1em.a
LIT a uma exponencial de duração infinita t!"' é y(u). Se defininnos
H (s t) :
)'(S, I )
•
<''
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184
StNAJS E Stsn:MAS L n-.'EA.RES
em!io
y(s . r) = H (s.r)e"
11
Devido à propriedade de inv:u"i!lncia oo tempo, a rcspo$13 do sistema 3 entruda e""" é 1/(:r. t - 1)e<(f- n. ou seja.
)'(S, t - T ) = H (.t, 1
-
T ) e' 1• - T)
(2.51)
7
•
A c naruda alnL"atla e•.- n n:presenta a entruda r" multiplicada pela constante e... Logo. de :K."'rdO com a propriOOade de linearidade, 11 re..o;posta do sistema n t!'t.... n deve ser y(s. t)e..r. Assim sendo,
y(s.t - T)
= y(s. l) , - •'
= H (s. t)r• - n
Compatando este resultado com a Eq. (2.5 1), temos que.
H (s.t) • H (s. l - T)
p.1!3 todo r
Isso significa que H(s. I) é independente de te que pOOemos escrever H(s. t) = H(s). Logo
y (s. t) ::::: H(s ) ~'
2.4-S Resposta Total
A resposta tocai de: um sistema linear pode ser C'$c::rit<• (;()lU() a soma ~IS oomponemcs de emruda nula c.estudo
nulo:
N
resposta tocai =
L; c,e'•' +
,_,
.t(l) • h(t )
assumindo rufze.s discintas. Para raízes repetidas. a componente de. e$tado nulo deve ser modific.uda apropriad:.·
mente.
Para o circuito RLC série do Exemplo 2.2. oom emr.td.'l ,1{1) = IOe-"'u(r) c condições iniciais )'{0") =O. v~(O} = S.
determinamos a componente de entrtld.a nula no Exemplo 2. 1a ff.q. (2. 11c)l. Também já detenninamos a componen·
te de escOOo nulo no Exemplo 2.6. Utili:t.ando os rtsultados dos E:<entplos '2.1a e 2.6. obcemos
corrente total = (- Se_,
+ St!-~) + (- se-•+ 20e"'!l -
15t ..Jt)
1
~O
(2.52a)
A Fig. 2.16a mostm a componente de entrada nulu, de estado nulo e a resposta total.
\
)il)
\/
Natural
\\ Tac:aJ
\
-.., . ........................:::·~·..............
.\
' ··...........,
....-·· ............................
I-
Enu#dll nula
/>·<..::~~~~..·.~.- ...............-... -..... .
../i"'
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:'
Ft.ç;<b
/
(a)
( b)
Figura 2.16 Resposta tOI111 c 5uas oomponenles.
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CAPiTULO 2
ANÁLISE NO 0oMU..IO DO TEMPO OE SISTEMAS EM fiM('() Cm.'Tf.SUO
185
R ESPOSTA NATURAL E FORÇADA
Parao circuito RLC 00 Exemplo 2.2. os moOOs Cái:.tcteri:>tioo-s s5o e... e c-::... Como esperado. a resposm de emroda nula é compustn excllL-.ivamentc pelos modos <..'nractcristk·os. Obscr\•e. cntrctonto . que mesmo u rt".Sposta d!!
estado nulo (Eq. (2.52o)J contém tennos de modos carnctcristicos. Esta obscrvoçOO. em geral. é \'t"rdadeira parn
siS-Iemas LCJT. A8ora. podemos juntar todos os termos de mo<Jos car:te~cris.t icos na respostntotal, fo~ndo
uma componente cham:tda de ~~3f)()Sia notw'<11 r . (t). O restante, constitufdo somente de termos com modos não
ca~tcterísticos. é chamado de ll'Sf~ru·tu fiur;mltt >it). A resposta total \lo circuito RL.C do Exemplo 2.2 pode ser
expressa em tennos das componentes natural e forç~da reagn1ptt.ndo os tennos da Eq. (2..52a) em
corrcnte tot.al =(-10e_, +2Se-1.t)
+
( - ISe-l')
---..--
""'"""~ llll!lnl o;,~t)
~~pco•u f~ h(rt
t ?;. O
(2.52b)
A Fig. 2.16b mostra as respostas naturJI. fW'çada e lOtai.
2.5 SOI.UÇÃO CLÁSSICA Df. EQUAÇÔF.S DIFf.Rf:NCIAIS
No método clássico resol\'cmos a equação diferencial para de terminar as componentes natu ral~ forçada ao in
vés das oomponentes de erutada nula e estado nulo. Apes.ar deste método ser rel:nh'3mcntc simples quandowm·
pamdo c.~n o método diS<.·utido <Jté agora. oomo \'éremos a seguir. ele possui vários incon\'ellientes.
Como u Seção 2.4-S mostrou. quando todos~ termos de rnodos c-arJCterístioos da respo~ta tocai do sistema
são ooloc.."-Udos j untos . eles fonnam a resposta IWWral do ~i stem.:.. y,.(l). (também chamadu de soluçti(Jiromog€·
lltil ou soht{'IIQ <'Qmplemenwr). A pane restante da resposta é constiluido t>omc:ntc de termos de mudos niio ca·
racterfs:ticos.. sendo chamada de 1'<'..\fJO-"''' fúrflul il do sistem::t, >ir) (ta_mbém chamadn de J()iltçtio parrit:ufar). A
Eq. (2 . S2b) mostr.J e!o:t~\S duas componentes p.va a oorl'('nte de malha do circuito RLC da Fig. 2. 1a.
A r<:S)Xbtll total do SÍ!itema é )~t) = x.<r> + yJr). Como )'(I) dt\'t s.:uidazer ,, equ<lç5o do Si.lotema (Eq. (2. 1)(,
4
Q(D)Iy.(l)
+ .r. (ll l =
P (D).r(l)
ou
M~s y,.(r) é composto <~.pen;~s OOs modos t:lf'.teterístic..'Os.
Q( D)y.,(l )
logo
=O
De tal ronna que
Q(IJ)) ..(I) = I' (IJ)x(l )
(2.53)
A resposu1 naturaJ • .sendo a combim•ç5o linear dos mod~ C:lta<:teris«i<·os do sistema. possui a mesma f01'Fná
Essas constantes s!io detemlina·
dns o rmnir da.o; condições auxiliai"C$. como explicado anteriomtt•nte. Agora. discutiremos um método de detér·
minaç:iio da resposta focça.da.
dn resposta de cntmc.la nula. Apenas suali .:om>tàntes arbitr.irias s.ão dife~ntes.
2.5- 1 Resposta Forçada: l\1étodo de Coeficientes l ndetem1jnados
A dete-••minaç~o de y.(r). ;~ resp..'Siá forç.1da do sis.tem::t. é uma tarefa rel:ttivamcnte simples quan~o n cntr:1da
.t(t) é tal que ~suh<t em l•m rlllmero finito de deri\'<ldas independe•ucs. Emradas tendo a forma i 1 ou I estilo
nesta categoria. Por exemplo. a difcrem:iaç5o re-petida de i ' resulta k mpre na mesma forma da entrJda. ou st·
ja. efi. Similormcntc. a di(erencioção n:petida de l resulta c::m apenas r derivadas independent!!li. A respoliC:t forçada a tais entradas pode ser cxprcs.."a como a combina<;iio linear da e ntrada de suas derivadas independentes.
Considere. por exemplo. t1 enu-adn arl + br + c. As dcri\'adns sucessiva..; destn entrnda silo 2ar + b e 2a. Ne.<>te
c~so . a emrada J>OSsui npcn:-ts. duas dcrimdas indcpcndcmcs. Pon:uuo, a resposta forçada pode ser considerada
como sendo a combinaçt10 linear de ,\'(I) c suas d u;.~s dcriv:ldlls. Uma form:l adequada paro y~(t) ncs1c c-a.so é.
J)OJ13nto.
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186
StNJJS E StSTf.M.AS l.JNEAR.ES
Os éoefidenles indetenninndos A, P1 e~ siio dclenninados ~bstitulndo esta exprt:ssào de ) 4-( t) na Eq. (2.53)
e. então. igualando os coeficientes de termos simjJares dos dois lados da expressão final
Apesar desse mécodo poder ser utilitacJo apenas com enlJ'acW: com um número finito de denvltdas. es1a c I.u-
se de entradas inclui uma grande variedade dos sinais mais comuns enc:onttados na prá1ica. A 'Thbe-la 2.2 mostra
uma variedade deste tipo de entradn e a forma da resposta forçada com:spoodcntc a cada entrada. Dcmonstrarom06 csac proccd_imcnto com um tJ~:emplo.
Tabela 2.2 Resposaa fo~dà
N'
Enl:rada x (t)
Res pos la rorçada
----------~------------<'' ( ;éÀ1 (i = 1.2. .... N)
fJe' '
2
<''
J
k
4
cos(wt
5
(1~
fJte''
(=À;
(uma 0065tame)
fJ
+ 6)
(uma oons:tanle)
Doos(wr
+ O'r- 11~ -· + ... + u,t + ao)e<'
(fJ~I~
+~l
+ /J, _ 1 r~-l + · · · + /J11 + j3o)e<1
Nota: por ddiniçllo. y.(t) n!io pode 1e:r IK'flhum letnlO camcle:rístko. Se al.um •em'IO na colun:l <.to lado direi lo para a
resposta forçada também for um modo caril!Cte:ristico do si.saema.. ~ rarma correua da resposca forç-ada deve ser modi·
ficada part ly4(t), onde i i o menor inteiro possf\·el que. pode ser utilizado e ain(b pode impedir que ly. (t) possua urn
l.ttmO como rn(I(Jc) ca.rac~.:risdoo. P\'lr exemplo. quando a enlr.ada for ~0• u respos1a forçada (coluna do lado direito)
po!ôSui a forma l}t-0. Mas se / 1 também for um modo carnc1erfstico do sistema, a form:1C()t'l'el.tl da resposca forçada é
!}te~ (veja o par 2). Se 1~:~ tlunbérn for wn n.OOo caractetfstioo do sistenlll. a f<mná CC'lrrcla da rt$pots4a (On;ada t plé 1•
e assim por diante.
Rewlva a seguinte eq~o diferencial
( D' + 3D + 2)y(t)
= Dx(t )
se a entrada
X(l)
= t 1 + St + 3
e as condições iniciais forem )'(0•) = 2 c j(O") = 3.
O polinômio earacteriSlioo des1e sis1ema é
J.'+ 3À + 2 =(À + I)(I.+ 2)
Ponanto, óS modos clu-açterístico.s são,"' e t!-11. A re.'>pos•a natural é. então. n combin.nçâo linear des1es
modos, tal q ue
y,(I)
=
K 1t!-1
+ K 2t!-1t
t ~
0
N~e ca'lO. a.o; constantes arbitt1iria.o; K1e K1 devem 5er dcterminadas a pan_it das coodiÇôeS iniciais do siSiema.
A resposta forçada a en1r:~.bt 1 + St + 3. de acordpo oom a Tabela 2.2 (par 5 oom Ç =- 0) é
)'o(rl = fjzr' + /Jot
+ fJo
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CAPhtlLO 2 ANA.us:e NO Do.MI}ao oo TEMPO os SISTEMAS ot TEMPO CC#TtNuo
187
Além disso. y,(r) satisfaz a equaç3o do sistema IEq. (2.53)1. 011 seja,
(D' +3D+ 2)y,(r) = Dx(r)
(2.54)
AgOta,
Dy0 (l)
=
d
>
dt (fi:r· + {J1r + fio) a 2{J2r + {!1
d'
D1y0(1) = - 1 (JJ,t 1 + /Jo t
dt
+ fio) = 2/i:
•
Dx(t)
= dt
~[r 2 + St +3) = 2t + S
Substituindo estes ..-e-sultados na eq. (2.54), teremos
2{J, + 3(2{J, r + /! 1) + 2(JJ, r' + {J1t +fio)
= 2r + 5
011
2{J1r' + (2/!1 + 6fil)t + (2fio + 3{J1 + 2/i:l
= 21 + 5
Jgu.alando os coeficientes de potêrl<:ia similar nos dois Lados: desta exprusliO ~-ulta em
2/i:
=o
+ 6{!, = 2
2Po + 3{!, + 2{!, = 5
A solução destas três e-quações simultâneas respulta em A,= t. {J, =
2/J,
Y•(t) =I
+I
I c~ = O. Portaoto.
I :=_ 0
A resposta tOOtl do sistema. )Ít) é a soma das soluções forçada e natural. Assim,
y(t)
= y.(r) + YoV)
=
K,~~
+ K,t'-'ll + 1 + I
1~O
logo
jr(t)
= -K 1 e~- 2K2e-2t + I
Fazendo t = Oc. subs.tituiDdo )'(0) = 2 c j(O) = 3 nestas equações, temos
2:;;: K 1 + K 2+ I
3:;;: -K 1 -2K:+ I
A solução para e$$3$ duas equações simullânell$ é K , = 4 e K! = -3. Logo.
y(l) = 4e-• - Je-~ + I + )
I
=: 0
COMENTÁRIOS SOBRE CONDIÇÕES INICIAIS
No m6todo él4ssiro. as condições ink:iais são ne<:essárias para t o o+. A raz.lo é porque para 1 =o·. apenas a com·
poncnte de entrada nula existe e. portanto. as condições iniciais para t == o-podem ser apltc:ldas apenas para componente de entrada nula. No mttodo cli\ssico. as componentes de entrada nula e eswlo nulo nAo podem ser sepa·
mdas. Con..~üent.emMte, as condições inKia.is devem 5Cf aplkadas na resposta tocai. a qual começa em 1 • o•.
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188
SINAIS E SISTEMAS Lr.SF.AkE.'\
EXER C ÍCIO E2.15
Um ~bt~ma lCIT é e'pecifi<:JOO pela equaçãO
W ' +50+ 6)y(r) =
(l) + l).<(t)
A entrada é.t(ll = 6l Dcrcm1inc:
(a) A re~posu forçadaydt)
A rt.~pu~a tola! y(t) se as condic,.Ws iniciais forem j~O \ = 2S/I Me (0•) = -213
( I))
RESPOST,\S
<•>',.• cn ;:; , l + r,l -
!!
••
(b} l'll)=5(' ~-3f' -lf+(t~ +{t-ij)
E~'TRADA EXPONENCIAL • "
O sinal exponencial é o sinal mais importante no estudo de sistemas LCIT. Curiosamente, a resposta forçada pa·
ra uma entrikla exponencial é muito simples. A partir da Tabela 2.2. vemos que a resposra forçada para a enlt1•
dá é' possui a focmn ~"· Mostran:mos agora que {.J = Q({)!P(Q.' Para determinar a constante P,. substituímos
Y(ÍI) =~o na equação do sistcmn (Eq. (2.5.1)] ob1cndo
Q(D)[/Ie''] = P(D)e''
Observe que
Conseqüentemente.
o<m•'' = Q<n-''
e
Ponnnto. a Eq. (253) se toma
/JQ(ç)e'' = P(ç)e''
fJ =
P (Ç)
Q (Ç)
Logo. para a entrada x(t);:; é 114(t), a respos.t:~ forçada~ d<tda p<w
(2.55)
onde
H (C) = P(n
Q<n
(2.56)
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A:'IÁI.ISE NO DOMINlO DO TEM.~ DB SISTE.\IAS EM fulPO CONTt...-oo
CAPrrUl.O 2
189
E.sse é um resulllt.do curioso e significante. Ele afirma que para uma entrada exponencial na forma é'. t1 resposta forçada y.<t> é a mesma e.xponencial multiplic.ada poC' H({)= P({)/Q(Ç). A resposta total do siStemay(r)
u entradu exponencial e~ é, enlào, dada por'
N
y(t)
=L
,_, K;~"'' + H (()t(l
(2.57)
na qual as constantes arbitrárias K 1, Kr"• KN sâo dctcmü nadas n partir das rondiçõt's auxili.àtes. A forma da Eq.
(2.57) assume N raCzes distintas. Se as raf.zes Mo forem dislintas. n fonna apropriada dos modos deve ser utili·
('.!Ida.
Lembre que o sirnll exponencial inclui uma grande qunntidade de sinais, tais como a coostante (~ = 0), a senóide (~ = ±jw) e a senóide com crt.seimento ou amortecimento e~ponenci al (~ = o ± j(J}). Vamos considerar
a respOSLa for-çada para alguns destes casos.
A ENTRADA CONSTANTE x(t) = C
Como C • cl'. a entrada constante é um caso espec1aJ d.1 entrada cxponenc.inl ce'' com Ç = O. A resposta for~~ad.a a esta entnlda é dada por
y.(l)
A EN'TRAOA
= CH(()e''
= CH(O)
com( =0
(2.58)
EXPONENCIA~ •"'
Neste caso Ç = ju1 ep
(2.59)
A ENTRADA SENOIDAL >~f)
=
COS wt
Sabemos que a reSpOSta fol\-adà a entràda <'~ é H(±jw)eJJ"'. Como cos Wl •
a cos M é-
Y•(l)
(?" + e-,..)12. a resposut forçada
= jfH(jw)e;.. + H(-j<v)e-iu J
Como os dois termos do lado direito são conjugados.
Y•(l)
= Re(H(jw)e1~ 1
Logo,
y.(l) = Re{l ll(jwJ!e'""+<"O•II}
12.60)
= I H(jltJ}j cos l(l)l + LH(jw))
E!ite resultado pode se-r generali;o..ado para a entrada x(t) = cóS (wr + 0). A respcM>Ul. focçada neste caso será
Y•(l) = Jll(j<v)l e<>S (w1 +O
+ lH(jru))
(2.61)
' ~·e a Pmilari<bdc <I~ ""'· (2.S7) e (1A7). PQr que ai.\k um:1difere....- enlre es.ta~o dua.\ l"q~'.' A f.q. (2.47) é
a m~a a
uma t'~potlencial que começa em ~ cnquMto que a Eq. (2.57) é a ~ o umo c.1:poncrw:illl que C)QTtlrOÇ& ~»n t • O. Qu:uxlo t ...,.
oo. a l!q. (2.57) upro~in~:WC da Eq. (2.47). Na Eq. (2.47) o t-enno y,{l). o qual COfllcçu·•n t = -oQ.j' amone<:c:u pM'a 1 = Oe. PQI111n•
10, csli f.alundo.
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190
SINAIS ESlS1&tAS l..IN6ARES
Resolva a equaç.ao difen:n<.;al
<0 2 + 30 + 2)y(r) = D.rcr)
se as condições iniciais forem )\0 ~) = 2 c )(0 '") = 3 e a entrada for
(a)
IOe -~
(b)
5
((')
e -~~
(d) IOC<l5 C3r
+ 30")
De aeordo oom o E:\emplo 2. 10. a rtSpósta nalural para este caso~
y.. (t) = K,t>-1
+ K 2t'-'JJ
Ptmt este c,aso
J _ PCO _
H(
( - Q(() -
(
ç' + J( + 2
(a) Paruaentrada.t(l) - 10e' ' .Ç=-3.e
>•(ll
=-
IOH (-3h·- Jt;:;; 10[
,
(-3)
-
3
+3(-3)+2
]e·J• = - 15e -.JJ
, :: O
A soluç-00 total (a soma da resposta natural e forçada) é.
jr(t) ,.
- K,e-1
-
2K:t>-!l + 4Se·"'
1~O
e
+ 4$e- 31
t ~0
j(O+) = 3. Fazendo t = O nas equações anteriores e substituindo as
j•(t ) = - K ,e-' - lK "e-1:1
As condições iniciais são y(O'') s 2 t
condi\'Õt:S iniciais tertmos
e
A soluç-iio destas equ~M.'Ões resulta e m K1 = -8 e K1 = 25. Porumto,
y(l)
=-
+ 25e- !.l -
st'- •
15.1'- Jt
' ~o
o
(b) Pllrn 3 entrada x(t) = 5 =s/".~= e
>'•(/) s 5/1(0)
=o
, ~o
a solução oompleta ~ K,,... + K~-:r. Usando as OOndi~ões inidai.s. detenninamos K 1 e K2 c.:omo na pane (a).
(c) Neste caso Ç = -2. o qual tambc!m é uma r.Uz can~cterístka do sistema. logo (\'eja o par 2. Tabda
2.2, ou observes not.a no final c.b tabela),
Y•(l)
= fj t e-:z
P..ar:. determinar /J. substituímos yJ.t) na eq~.~a~ do sis1ema. obcendo
C0 1
+ 30 + 2)y.(r) = Ox(r)
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CAPfTUl.O 2
A.'lÁLlSf. 1\'0 DoMINIO 00 Tr:::.\tPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO
191
00
Ma-s
D[Pte-• I =P< I - 21)•-"
D'(pte-" l = 4/i(t - 1)<- "
Conscqíicntcmcntc,
/1(4r- 4 + 3- 6t + 21)t' 11 = -lt> 1'
ou
'L
- {J(' ~11 = -~
Pon~nto./J =
1f
2. logo
Y•<l) = zu-11
A soluçao completa é K,t~ + K-}' !> + 21e-'!>. Usando as condições iniciais podemos determinar K1 c K!
4
como na parte (a).
(d) Para a entrada x(t) = lO cos (3t + 3({). 3 resposta forçàda (veja Eq. (2.61)) é
.r.(I) =
101 H(j3)1 «>S)3t + 30' + I H(j3)J
na qual
.
P (j3)
j3
j3
27-j2 1
H(JJI= Q(j3) = (j3)1 +3(j3)+2 = -7+j9 =
130
Portanto.
ll/(j3)1 = 0.263
l H lj3) = -37.9
e
Y•(l)
= 10(0.263)cos(3t + 30'- 37,9) = 2.63eo>(3t-7.9")
A soluçiio complelâ é K1e + Kle·':l + 2.63 eos (31- 7.~). Usando àS condi~s injciais podemos OOer·
minar K1 c K ! como na parte (a).
4
'
lt:X
Utilize o método clássioo pnra dctcnninar a corrente de malh:1 }'(t) no circuito RLC do Exemplo 2.2 (Fig.
2.1) se a tensão de entnWa dor x(t) = IOe.Jf e as oondições iniciais forem >'(01 =O e v.,( 01 = 5.
As rtSpOstas de entrada nula e estado nulo deste l)roblema foram determjnadas nos Exemplos 2.2 e 2.6. n:s·
pcx:tivamente. As respostas llatutal e forçada aparecem na Eq. (2.52b). Agora. resoh·eremos este problema
pelo método d óssico. o qual nO<:cssita das t'Ondiç.õe.s inidais para I = o+' Es-tas eoadições. já detel'minadas
na 12q. (2.15). são
)'(O')=
o
)'(0' ) = 5
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I92
S INAIS E S1STE.\.tAS Lrl\'EARES
A equ~çJo de malha par.. este sish~n\..1 (\'eja o exemplo 2.2 ou Eq, ( 1.55)) é
CD' + 3D + 2)y(1) = Dx(l)
O polinômio came1erísaico ~ ).: + 3Ã
+ 2 = (). + IX.\ + 2). Portamo. a respostu n.u1urul é
y.. (r) = K 1e · • + K :e· 'll
A resposta focça.da.já detennjna.da na parte (a) do Exemplo 2.1 1 é
Y• (t)
= - 15e · l•
y(t) e K 1 e ~
+ K1e - lr -
A respósta total é!
15-t'-Jt
Diferenciando c~1n cquaç:\Q le-remos
j•(r) = -K 1e-.' - 2K2e-?z + 45e· J•
Fazendo I
=
o-e substituindo y( O'*);:;; o. 5<0}
~
5. nestas equilçôes obcemos
O = K1 + K1 - 15 }
5 = - K, - 2 K, + 45
=
K1
K:
= -10
= 25
PI)J1anto.
y(r) =-lOto ~ + 25e- 11 - IS-t'-lt
a qua l COOC."Qrda com a soluçiio detenninuda nnlerionnentc: pela Eq. (2.S2b).
EXEMP LO DE COM PUTADOR C2.4
Resolva a equa.ção difettncial
<D' + 3D + 2)y(1) = x (t )
usando a enuooa .((t);;; 5t + 3 e condições iniciais y0(0) = 2 e j·J O) = 3.
>> y z d s olve( ' 02y •l • Dy.o-2 •y aS• t•3 ' , 'yC0) • 2 ' , ' 0yCOJ • 3 ' , •t·l :
,.,. d i sp( ( 'yCtJ • r' , chat'(y) , 'Ju(t) ' J• :
y(t) = t - 9t4 • S / 2 • tt9 •e xp {- t ) · l9/4 • eXPC • 2• t)>ultl
Logo.
AvALIAÇÃO oo Mtrooo CLAss•co
O dcscn,'Oivimemo desta seção mostrou que o método clássico f rt"l.nth'3mente simples quando comparado com
o método de detenninaç.'lo da respos1a como sendo a soma das oomponc.mcs de emrnda nula c estado nulo . lnfelil.mente. o mAodo cláissico possui um sério inconveniente. pois ele resulta na resposta tocai. a qual n~o pode ser
S<:panlda em oocnponentes oriundos das condi~:ões internas e da entrada ~ t em.a. No es.tudo de sistemas ~ impor·
tante semlos c-.apazes de del>Crever a resposta do siS~ema a uma enuada.x(r) oomo uma funçflo ellplícit<l dex(l). Ls·
so niio é! possível no mé!todo clássico. AJém disso. o método cláissioo é! restrito a cer1~1S t l;•s:stS: de ent.mdas. Ele n5o
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pode ser aplicado a qualquer entrada. Outro problema menor é que. como o método clássico resulta na resposta
total. as condições auxiliares devem ser fomccidas parn a rt'$po5t:l total. a qunl existe apenas puni 1 ~ o•. No prática. provavelmente conbe<:erema& as condições parn , = (antes da entrnda ser apli~da). Portanto. precisamos
descobrir um novo CQnjunto de condições auxiliares p.'l13l = 0.. a p:utir cllts condições conhecidas em 1 = 0~.
Se prccisam1os rt."SOI\·cr umn equação dife.n:nciul linear paniculur oo determinar n resposta de um sistema
I..CIT panicular. o método clássico pode ser o melhor. No estudo teóriCQ do si ~temas lineares. entretanto. o 1'06toOO d.issico ftOO é tão valioso.
o-
CuidlldO. MOIStr:unos na Eq. (2.S2a) que a resposta tocai de um sis1ema LIT pode ser descrita como a soma
das componentes de entrtlda nul11 e estado nulo. Na €q. (2.52b). mostrnmos que :1. mesma resposta t.lllnbém pode ser dc$critn como a som.n dus componentes natural e forçada. Também vimos que, geralmente, a rcspos.tn de
e ntrada nula não 6 a mesma resposta natural (apesar d:.s duas serem modos naturais). Similarmeme. a rcs~n.
de estlklo nulo nOO 6 a mesma du resposta forçada. lnfdizmc-ntc. alguns erros clássicos são en<.:ontmdos na literntum.
2.6
EsTABILIDADE DO SISTEMA
Pa.ra cornprcerw:ter a base intuitiva de est.abilid;)de 8 100 (bomtded-inputlbomtded~ttput)• de um sislerna apresentada nu Seç-ão 1.7. vamos examinar o conceito de e$tabilidade upHc:tda a um oone circular. Tal cone pode ser
mantido eternamente em pé sobre sua ba,_qo circular, sobre seu vénice (lU su:a lateml. Por esta rlllllo, estes três estados do cone sâo chamados de e.stndos de equillbrio. Qu:.Jitativamente. entretanto. os três e~ot3dos possuem
eomport.runentos muito distintos. Se o cone. estundo em pé sob~ sua bose drcuito. fOr ligeiramente perturbaOO
e então ddx.ndo solto. ele irá eventualmente retom.u fXita n posição de equilfbrio orig:insl. Neste caso, o cone é
dit<> t$tar em equilfl,io t:3tát't'l. Por mnro lado, se o cone esti\·e~ sobre o vértice. emtlo a meoor perturbaç1lo irá
fnzcr com que o oone se mo\'a cad:t vet mnis longe do seu estndo de equilibrio. O cone. oeste caso. 6 dito estar
ern um eq11ibõrio ittstáw~l. Esrando o eonc deitado sobre suu lotcraL se penurbado. ele nem irá \'óltar nem se
afastani do seu estado originnl de equihbrio. Portanto, neste caso. dit-sc que o cone es1á em um e.q11ilfl)rio neutro. Claramente. quando um sistema es.b1 no equiiJbrio e:stá\'el. ;;~ aplicaçllo de uma pequen.'l pettulb.1Çâo (entra·
da) produzir;i uma pequena resposta. Por outro IIKI<>. quando o sistema es.thu em seu equilibrio instáveL mesmo uma minús<:ula penuroo~~ão (cntrJd.a) produz.in1 urna reSpt)Sla ilimitada. A dtfin.ição de estabilidade BlBO
pode ser <:ompl't'Cndidu a luz deste conceito. Se cada cntrodn limit:Kia produ7.ir urrut wfda limitad.u. o s is.tl~ma '(8180) e:slável.' Em contraste, se mesmo uma entrada limitada resultarem uma ~posta ilimitndn, o sistema é
(BIBO) instável.
Para um sistema LCIT
y(l)
= lo(l) u(l)
= [
Ponanto.
(y(l)(
~
ll(r)x(t- r)dr
(2.62)
1:
1/0(T)I(.<(I- T)( ÓT
Além dim. sex(t) for limitado. cnli1o lx(t -l)l < K , < ooc
IJ(I)(
Logo. paro estabilid:.de: BIBO
~ K, j~ lh(T)( dT
J:
lh(r)l dr < 00
(2.63)
(2.64)
• N. de T.: EniJ~a tilniUI!Ia. ~flb ti1nilatb.
1
COO;.OOt."ra« que o $iJic:lt'll çMii no cs~o oolo,
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194
SI'OAIS F. S •sr~:MAS tu..'l:.A.Jt&S
Ess<l é tmta COI)diçlio sufi cie.me para es.abilidade 6180 . Podemos mostrar qui: ela também é uma coodiç:lo
neces.s:t.ria (veja Prob. 2.6·4), Ponamo. para um ~i.stema LCIT. se sun rcspos1a Jt(1) ao impulso for absolutamen·
te intcgrável. Q sistema é ( BI BO) c$1óvcl. Caso cofllrório, de é ( BI BO) instável. Além disso. iremos mostrar no
C:lpítulo 4 que a condição ncce$.<.1iria (mas niio 1\uficiente) paro um ~i.stem a l.CIT descrito pela Eq. (2. I) ser 8 1·
SO estável é MS N. Se M > N. o ~istem.u é inst' \'C:I. Esta é uma da.-. razões pam se e\•itar si.stemas t-om M > N.
Como a t'slabilid.ade BJ'BO de um sistema pOde ser dete-nninada :atra\'éS de medidas nos terminais ex temos
(ent.rJda e saíd:·a), ela é urn critério de estàbilidade t.;(tema. Não é coincidência que o critério 8180 em (2.64)
apareç.a em termos da resposta ao impulso. a q ual é uma descrtçlio externa oo siStema.
Como obstr\•ado rua Seç1lo 1.9. o componamento inte.mo de um Sil>tema n!lo é sempre obsetvado a pan.ir dos
tennjnais eA.ternos.. Portanto. a estabilidade externa (BIBO) pode n3o ser uma indieaç5o cOtTeu da estabilidade
imema. De fmo. alguns sistemas aparememenu: estáveis pelo critério 8180 podem ser imernamente instá\'eis.
lsco é como um;~ sod a dentro de lima casa em chamas: nenJwm 1raço de fogo é visÍ\·el de dentro da sala. mas tc>d.'l a casa será transfonnada em cin7..1S.
A estabilidade BIBO possui significado somente p:~m sistemas nos qunis a descrição interna c extcmn silo
equivalentes (sistemas controláveis c observáveis). f elizmente, n grande maioria dos sistemas prático$ estiio
dentro desta cates;oria e sempre que aplk:armos este critério. implicitamente assumiremos que o sistema de. (a to pertence a cs.o;a dnsse. A c.stabilidade interna é mais genériea (toda incht.o;ive) c n estabilidade. e.xtema pode
sempre ser determinada a partir da estabilidade interna. Por es ta razão. iremos in\'Cstigar. agora. o critério de estabilidade in tern~.
2.6·1 Estabilidade Interna (Assintótica)
Devido a grande variedade de possíveis compor1amentos de sistemas. existem di\'c::rs.as delini\õe$ de estabilidade interna na literatul'3. Aqui iremos considerar a definição adequada pata sistemas causais. lineares e invarian·
tes no tempo (UT).
Se. na ausCnd:a de um:~ entr.Wa e."erna. um sistenl.a peonru)OCtr em urn estado (ou condic:Jo) particular indeli.nido:unente, e ntão o est:ldo é dito ser um f'stculo de e<Juilíbr.'o do sistem:l. Para um sistema LIT. o estado nu·
lo. no qual todas as condições iniciais siao nulas. é um estado de equilíbrio. Agora suponha um sistema LIT no
est~do nulo e que mudemos este cstaOO criando algumns pcquen~s CQnd)Çõc:s iniciais não nulas (pequeno disnir·
bio). Estas oondições iniciais ir.lo gerar sinais constitufdos de mQdos característicos do sistema. Em analogia
cvm o <.~ne. se o sistema for est.'l\'el ele deve C::\'ellll.l:llmerue reto••nar ao e~adó nukt. Em Oul.nls paJ:avr.as. qu<m•
do deixado por ele mesmo. cada modo em um sistema eslável oriundo de uma condiçD.o inicial n:l.o nula de\'e
tender para Oqu:mdo 1 - oo. Entretanto.~- um único dos modos crescer com o tempo, o sistema nunca irá r<:·
tOJTUlt parn o estado nulo e o sistema será identifi cado oomu instá\'cl. No caso limite, alguns modos podem nem
decoir para 1.cro nem crescer indefinidatt'tt".ntc. e nquanto todos os outros modos decaem para zero. Este caso é
como u equilíbrio neutro do cone. Este-tipo de siste-ma é ditó ser marginalm~ntt- estáw-1. A estabilidade interna
também é <.·h;unada de é:Sta.bilidàde lus•'ntÓII'c(l ou estabilidade no se.uido de Lyttptmov.
Parn um sistema ca.r.acteriz.ado pela Eq. (2. 1). podemos reescre\·e r o critério de esu1bilid:lde intem.'l em ter·
mos da posição das N raízes carocterlscicas À 1, 4:..... À.v do sistem.1 oo plano complexo. Os modos carnc(etfstj·
cos slio na forma eu. ou tl•. A posiç!kt dils ra(:r~ no plano compleJCo c os modos corTCspondcntcs estio mos·
trados na F'ig. 2. 17. Estes modos - Oquando t -+ oo se R.e À.,< O. Em contraste, os modO-"' - oo qu.:.ndo 1 oo se Re).,> O.' Logo. um sistema~ (assintoc.icamcnte) cstá\'el ~- todas a.-. suas raf1.es c.uracterfstkus esdvercm
no SPI!. ou seja. se R.e À"< Opara todo k. Se uma única raiz caroetcrístita estiver no SPD. o si~tema 6 (assintotic.amente) instável. Os modos devido a raízes no eixo imaginá-rio p. ±jw.,) siklda fonn.a , •,.,.-. Logo. se àlgu~
mas raízes estio sobre o eixo ilna.gir1.1ri0 e 1odas as detnàiS es1tí0 no SPE. o si~erna é marginalmente esr.1vel (as·
sumindo que as raízes no eixo imag.inário não silo repelidas). Se as rahes do ei~o imaginário são repetidas en·
tllo o sis1ema é instável. A Fig. 2.18 mostro a.-. regiões de esuabilidudc no plooo complexo.
ResumiOOo:
=
1. Um sistema LCIT é assintoticamente est;i\'el se e somente se todas as rMzes eamcterfstiru esti\'erern no
SPE. As rafzes podem ser simples (nlo repetidas) ou repetidas.
lim 1-' = lim l•*N" = lim I"~~·,. {
·-~
·- 110)
~-~
0
00
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Pos.tçt.o d:a 111iz
Posiç!lo da raiz.
..-ar..clerh1ka
cm·.roc;~erisdca
......
o....__
o
(a)
L__._,•_ _.
o
lb)
o
(<)
,./
....
.····
,_
o
(e)
I•
o
(I
(g)
Figura 2.17 locali.7.11Çâo das rail.es car.teteristicas e dos modos caructc:risticos correspondentes.
2. U•n sistema LCIT ~ instável se e somecue se uma ou ambas das condiç&s a seguir existirem: (i) oo meDOS uma raiz esti-..-er no SPD: (i.i) exiStirem rafzts repetidas no eixo imagjn6.rio.
3. Um sistema LCJT é marginalmente estável se e somente se não existirem raízes no SPD e exjstirem ais umas r.sb.e$ não repetkla'\ no e ixo imaginário.
2.6·2 Relação entre EstabUidade BWO e Assintótica
A e~abilidade extema 6 detenninad:t pela a.plicaç!o de uma entrada externa com condições iniciais nulali, enquanto que a estabilidade interna é dctenninada apltcando concljções iniciais Mo nulas e nenhuma entrada extcmtL Isto é o porque de$tas estabilidades serem chamadas de estabilidode de e1.roáo nulo e eitabilidnde d~ e-n·
trado 11ultJ. respc:ctivamemc.
Lembre-se que h(r), a resposta ao impuiSQ de um sistema LCIT, é a combinaçlo linear dos modos carncteristicos do sistema. Paru um sistema LCIT, especificado pela Eq. (2.1 ), podcmo5 faci lmente mostrar que quando a
raiz CIUllCterí.o;tica Àt está no SPE. o modo correspondente i'k' é absoJutumente integntvet Em conltõlSte. se l.,
está no SPD ou no eiAo imaginário. ~u' nOO é absolutamente integrixel.' lsto significa que um sis1erna assinto-
ticamente estável é BffiO estáveLAt6m dii$0, um sistema marginalmente estável ou ass-intOticamente inst~\·el ~
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lm:.ginirlo
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Kr.A <O
U
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\l:ltfln>Llll'k'nt~ ~.-oqávd -1o
..._
_,c t.U t.h .~lmplo
Figur3 2.18
lmc.h..-t ~
~;w..;.. mulllpl"''
I .oc:ali i';•c;~o d:L" r::~ízcs c~Lrnctcrí,.t icas c: estabilidade do sistema.
Bl BO in::.Lá,•eL O inverSO •lâü .E net't'Ssariameme ''erdadeico. Ou sej a. a es tabilidade 8180 não necessariruneme
nos infonna sobn:" escabilid:1dé iratema do ~istern~L P..we.\;emplo. se umsis:temá for não oocl ttol ~ve l ou não obscrv~'h·d. algUJ\S motlos do sisu~ma são invisf\'eis e/ou nllo oonlfQiáveis ~· p.-.rtir dos terminai): externos.' logo. a
..·stabilidade mostrada pelu descrição ~tenla é de \'aiOt ques.liOflá\'e:l. A estabilidade BLBO (e;(tcrna) ni'lo g·nmn..
te t."Stabilidade if'uerua (assint óci<-~). como os exemplos a seguir moslrar;\o.
EXEM PLO 2.13
Um siste1W1 LCIT é constituido por doi:; &Ubsio;rcm :a~ S, e S! em c:~sc:l l!l (Fig. 2.1 !1). A rcspo$la uo impulso
dés.c~ si s1em a~ s5o lr 1(t)
c 111(1), respcc,ilr'õ'lmemc. d:r.das por
h .(t)
= J(t) - 2t'
' u(t)
c
«•>
F'lg uru 2. 1?
j(l )
Es1.:.bilid.ndl.' RIBO c assintócicn.
;: lu(t) -
2[t! ~ <'-'].,(1)
= c• ' u (t)
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CAPtruLO 2
A.s"ÁLt4iF. NO DoMINIO oo Tf.MPO DE StSTF~tAS EM TEMPO CoN'liNuo
197
Se o siscemn em cascata composto estivet denw de unu. caixa. pretn com 4penas os tenninais de entrada c
sru'da acessíveis. qualqutt medida destes tenninai.s irá mostrar que a res.postu oo impulso deste sistema ~­
e 'u(t). sem qualqUC"r dic-a sobre o perig05Q si.stema instável que e:uá dentro do s.istema tOCnl.
O sistema com posto~ 8180 estável. pOrque suti res~a ao impulso d.adu pOr r ...,(t) ~ absoluuunente in·
tegráw:.l. Observe. entretanto. que o subsistema S2 possui uma roiz c.arncterística igual a I. a qual estA: no SPD.
Logo. S1 ~assintoticamente i.nstá,-el. Eventualmente. Sz i.rá queimar (ou sarwar) devido a ca.mcteristica d<t res·
posta ilimitada gerada pela condição inkiuJ intencional ou niio, não import:n quiio pequena da seja. Mostra·
remos no Exemplo IO. I I que me si~erTUJ composto é observável, mas não controlá,•el. Se as posições de S,
e-S2 forem tmcnd:us, ($1 ~guido por S1). o si~cnu• ainda seria BLBO estável, mas assintocicamcntc instá"el.
Neste caso. a análise do Exemplo 10 . I I mostrorá que o sisccm.1 composto é controlá,-cl. mas não obscrv:i\'cl.
Este exemplo mostra que a estabilidade 8180 nemsempre impljca em estabiJjdnde assimócica. Emretan·
to. a ~tabilidOOe assintótica 5emprc implica em estabilidade 8180.
EXEMPLO 1. 14
A\·alie a estabilidade assintótica e BIHO do sistcm11 LCIT descrito pelas seguintes equações, assumilldo qt~
n.1 equações são descrições internas do sistema.
(a) (O+ 1)(01 + 40 + 8)y(t) = (0- J)x(t)
(b) (O- 1)(0 2 + 40 + 8))'(1)
(c)
(d)
= (D + 2)X(I)
(0 + 2)(0 + 4))'(1) = ( 0 + () + l ),r(/)
(0 + 1)(0' + 4) 2y(t ) = (01 + 20 + 8)x(l)
1
1
Os poHoôrnios caracterl'.stioos destes sistem."lS ~o
(a ) (), + 1)(1.'
(b)
(c)
+ 41. + 8) = (I.+ 1)(). + 2- j2)(1. + 2 + j2)
(I. + 41. + 8) = (I. - 1)(1. + 2 - j2)(1. + 2 + j2)
1
(I.+ 2)(1. + 4) = (1. + 2)(1. - j2)(1. + j21
(1. + 1)(1.1 + 4) 2 = (1, + 2)(1. - j2) 10 . + j2)'
1)(1. 1
(d)
Consoqtlememente, as rnfzes caracterlSti ~ destes sis1emas são (veja Fig. 2.20):
(a) - 1,-2 ± j2
(b) 1, - H j2
(c) - 2. ± j2
(d) -1. ±j2. ± j2
O siste1na (A) é assintotk··.amente está\'ti (todas as ra(zc:s no SPE). o sistema (b) ~ in:..tá\'tl (uma raiz. no SPO).
o sistema (c) i marginalmente estável (rníZC$ não repetidas no eixo imaginário e nenhuma raiz. no SPD) e ó sistema (d) é insW"el (raízes repetidas oo e.ixo imaginário). A cstubilidade BrR-0 ~ fncilrnentc: detc:nninada a prutir
da escabilidade assintótica. O s.is.cma (a)~ BIBO estável. o si.stc:mt~ (bl é lHBO insuivel. o sistema (c) 6 BIBO instável C OSisttm.:. (d) ~ QrBO instá\'el. A~u mi •oos que to00s CtõteS ~StemoLS Sio CQflh'OIMi$ ~ ob$e:rvávd.'l..
<
<
o
<
o
o
I
o
X
(a)
(b)
(c)
(d )
f1gura 2.20 Posiçllo das r.'lfzes CM3CierístiCM dos siSiemas.
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J98
SINAIS E SISTEMAS LU.'EARES
J::XERCÍCIO E2.16
Par.~
\.'Jd.a um do:<o !Í..'>Iemas espec:ificaOO:;. pelas t quaçã6 a .scguir.loc:ahu:
.!-1.1~
raí.t.t.s c-arJcterí.stitas no plano
oomplell.o e dcccnninc çe e le é a..~simoticamcnt c estável. ma~Jmalmentc esuh·cl ou m ..uh·cl, 3S<t.umindo que c:1da
cqu;u.;ão Je'>(;l't'\'C seu sistema interno. Também <lelernúne a estabilidade 8180 par.;a c:.uda !l.l'>tema
(a)
DiD + 2).\'(fJ •
(b)
O' (O ~ JJr(t )
(C) ( 0
3.-( r )
=(0 + 5)x(t)
+ l>t0 + 2)y(r) •
t20 + 3JX(f}
1
(d) <O'+ 1)(0 + 9J)CI J =(01 + 2D + 4)<(1)
(e) (0+1 )1D~ -4D+9)~(tl=tD+7).t(t)
RESI'OSTAS
ta) M<lll!inalmt·•nc e~t<hel. lll<t'l BlBO instá"el
(b) (n.\Uhcl O()<; do1~ liCPlldOs
lC') E'>lálf~l no' doi., '-C'nti~
(d ) Marginalmente ~tável. ~ BIBO in.stáH~I
te) l n~tj\<d no, doi, -.emi<.k».
Fe lizmenlC. sis1emas nilo oon tro!A~is c:loo nlo observá,·ei" nJo s5o freqUentemente observados na práttca.
Deste ponto em diante. na determinação da es1abilidade de siste mas. assuntiremos ((IJ('., a não ser que tntnctoclado o contririo. as d~i~ões interna e externa do sis{ema slo equivaknteS. implicando oo si&tema ser comrolá·
' 'ti e observiivel.
IMPLICAçOES DA ESTABrUDADE
Todos os sistemas de processamento de sinais práticos devem sc::r assintoticamente e.~tá\•ei!l. SistemàS instáveis
nio tem aplic-ução do ponto de vista de processamento de sinais porque qualquer conjunto de coodiçôe$ iniciais.
intencionais ou nãO, resulta em uma respos~a iUnU1ada qt.te pOde destruir o s:ist.ema ou (mai5 prov;1vclmente) resulta/ em alguma condiçlo de sarui'&Çio que mude a narurcz.a do Jii.stema. Mesmo que as condições iniciais posSÍ\'eis sejnm ;,;ero. a tenslo estática ou ruidos térmicos gemdo5 dentro do sistema ir.lo funcionar como condições
iniciais. Devido ao crescimento exponencial de: um ou vúios modos em um sis1ema in.saável. um sinal estético.
não impo11a quão pequeno, int e\·entualmente resultar em uma saída ilimitada.
Sistemas marginalmente estáveis. mesmo sendo B lBO insutveis. possuem uma imporumte aplicação como OS·
ciJador. o qual é um sis:tema que gera um sinal por ele mesmo. sem a aplicaçlio de enU'OOas externaS.. Coosequentemente. a saída do oscilador ~ a re~a de entrada nula. Se esta resposta deve ser uma senói<Se de rreqofncia Woo
o sisterua deve ser margin:dmeme estoi\·el com raízes caracterfS!jcas em ±}%. Pomanto, para projetar um oscila·
dor de freqUência Wo< devemos escolher um sisacma com polinômio caractcristko (). - fr~. + jc!Jo) =À1 + Wo'·
Um sistema descrito pela equação diferencial
(D' + ...1)y(t ) = X(l )
(2.65)
fan1 o trabalho. Entre1an1o. osciladores pnttiços são invariavelmente irnplcmemados utiliOZMdo sis1cntaS Mo li·
neru-es.
2.7 VISÃO INTUITIVA SOBRE O COMPORTAMENTO DE SISTEMAS
Esta seç-iio fomoce infonn~ sobre o que detenninu o comportamento de um siste-ma. Oe\•ido a sua natureza
intuitiva. a di..'>cussão será mais ou me-nos qualitati\'a. Mostruremos que os principais atributos de um sistema são
suas raízes e modos característicos. pois eles detenninam niio penas u resposta de entrada nula. mas também todo o comportamento do sisaema.
2.7-1 Dependência do Comportamento do Sistema com os Modos Característicos
Lembre-se de que a resposta de entrada nula de um sistemn é constituída dos modos característicos do siSiema.
Para um sistema estõivel. estes modos carocteristicos decaem exponencialnlente e e\'entualmente desaparecem.
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CAPiruto 2 AN.\usE NO Oo~tl ~lo oo Trr.\fPO os Stsrr.MAS r:M Tr~PO CONTJNuo
199
Este comportamC"nlo pode dar a imprc.ss5n de que esses modos não afecom substancialmente Q <:Qmpon:uncntl)
do sl&u;ma em geral e nem a respos•a do si~~(l\(ltm piUlic"l:u-. Essô'l impre.ss3oé tocalmcmeeiTada! Veremos que
~ rl't()(l(ls carncteristk'OS dQSÍ'itcma deixam s~ impressão em Hxlos QS ~•s:pcctos do componamento do sistema.
Putf~mQS oomparvr os modoJ (t>u rtrft.rs) t(uttettrl$rkus <lo sl~u·ma c_·Qm ttmu stmt'Jilt' QIU' ('1 't'IIIU(IÜtlt•t~r~ st dit·
solw• JUJ .wltJ. f}uretamo, a plmrw qut! na.fl'e ê Ullnlmmtt> dettmiiÍJialla peln semerue. A impress11o da sememe
e.dsre tm t:ildJJ til11ftt d•' plama.
P..tm t."'mprc:endereste interessante fc:nõmeno, lc:mbrc-se dr c1ue os modos car:.cterí.stic(JIS de um .!iÍ.stcma são
nlliÍIO especiais pa.ro ele. pois o sistema pode mamer estes sin~•js sem a :'lplicaç"o de qualquer emrod;~. e.lllcm:t.
Em outrus pJkl\'raS. o s í~tema oferoct' unw \'ól tu grátis e aces.so instantli.l'K.-"0 u este.'i sinais. Imagine. ogom. o que
acontct.-c:ria se você rcalmemc aliment.a•.:se o sistema com uma cntrnda tendo a fonna de um modo C1l.t3cterísti·
co! Podetfamos espera.r que o sistema respondesse fof'lemente (este é. de fato. o fenômeno de rcsso•,ância dis·
cutido unteriormeme ~te <:<~pítulo). Seu emr.~da não (or exalllmenle um modo t.w~teteristko. mas se ela ~li·
ver peno do modo, aindn podemos es.pcmr que a respos1a do sis1emn seja fone. l!ntrctnnto, se a cnuadnl'or mui·
co diferente de qu.alq~Jer um dos modos caructerfsticos. podemos esperar que o s.is:tema responda frat.'lmente.
Agom. mostraremos que cs~ deduções imuitioros realmente são vl."rdadcir.ls.
A intuição pode rortar alloresta da matemática inslantuneamentc!
Apc$-'lt de proponnP$ um:. medida de similarid:Kie posterioonente, no Capimlo 6 . adotaremos unua aborda·
gem m.U.S simples oo momento. V:unos restringir as emradas do sis1em:1. a expoocociô'lis na forma efl, onde~ é
4
gcmJmc.nte um número l'omplexo. A similaridade de dois sinais C'XpOflt.nc:lais é' e ~ ' será. entiio. a rnedid~ de
prw:imid.'lde de {e)., Se a difctcnça ' - ). forpc..oqucnn. os sinni.s: sôo similnre$. Se {-À ror grande. C)S sinais São
diferemes.
Considere, agorn.. um sistema de primeir.l ordc:m com um Uni.co mod9 C"aracteri~ko l' e cntruda ~{!. Ares·
posta ao impulso deste sisteru~ é. então. dada por Ai'. na qual o valor exato de A n~ é importat~te nesta diseus·
sâQ qualitativa A TC'sposta y(l) do si.stemn ~ dada por
y(l) a l1(1) 41 ,\'(1)
= Ar>'-'u(t) * et'u(l )
A jXIn.ir da tólbcla de C(lnvoluçâo (T!Lbela 2. 1), obtemos
A
{-A
)'(1) = - . lt,cr- e"-' iu(t )
(2.66)
Çlarnmemc. se a e ntrada i) fPf similar a elt, {- ).é pequeno c a respo:;ta do sistema é grande. Qunnw maif
perto o ntlrtula .t(r) ~Jtl1•a tlu modo ~llr'Vdaf,çtic<J. trw•'s forte a rup(JJta d<J sisu•tna. Em cOcllràSte, se a elllr;'Lda
(or muito diferente do modo naturaL Ç- i. 6 grande e a re.o;post<J do sistema será pobre. lsto é prccilt<lmente o qut"
nos propomos a pi'Qvar.
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200
S l;o.iAIS E SiSTEMAS LI~EAJtES
Acab.:unos de provat a afiml~ti\•a inicial parn urn sistem:~ com um '1nico modo (prirneirn ordem). Podemos ge..
neralizar es1e faro para. um sistema de ooleln N, o qual possui N modos carnctel'ísticos, A res.posca h(t) ao impul·
so de ral sistema é a combinação linear de $CUS N modos. Portanto, se .t(r) é similar a qualquer um dos modos, a
resposta CQt'l"eSpondcnlc será alt.a. Se ,\'(t) n:.O foi' similar a nenhum rno<fQ, n rcsposu1scr3 pequena. Clarnmenle.
os modos cara.cterístic.-os infl uenciam em mujto na determina~io da resposta do sistema a uma dada entrada.
Podemos ter a tendência de concluir. rom base na Eq. (2.66). que se à entrada for identica ao modoearacterfstioo. utl qu~ ( = i .. emlio a respos.tn irá JXtra infinito. Lcmbrc·<t.C, entretanto. que se { =)., o numerndordo lado d ireito ds Eq. (2.66) também vai pam 1.cro. Estudaremos este comportamento complexo (fenômeno da tn·
son:lncia) pcmeril)(nlente nesta seçllo.
Mostmremos. agora. que a mem l!upeçllo ITSposu• h(t} ao imJ),fso (a qruJi l conrposro doJ mO<Ios caroc·
terlstk os) rn :t"ftt muiws deutlltes sobn: o romportt•mcnro do sistt!mo .
"<'
2.7·2 Tempo de Respolita de um Sistema : a Con.<tante d e Tempo do Sistema
Tal como os se~s humanos, os sistemas possuem um certo tempo de resposta. Em outros pulnVT3s, quando uma
e.nlrada (estímulo) é aplicada a um sistema. uma cer1a quantidtldc de tempo passa antes que o s.istema responda
completamente àoquehl entràda. Este Ítltemtlo de tempo ou tempo de rtSpOSta é cham.-.00 de c:<nu ttmte de tt'mf!O
do sistema. Como \'Cremos. a consumte de tempo do sistema é igual oo tamanho da resposta h(l) oo impulso.
Uma entrada ó( t) é insaant.ânea (du.raçüo 1cro), mas a sun respust:. h(t) possui uma duração Ponanto. o sis·
tema necessita de um tempo r. p:U'a responder complct.:tmcntt a esta e ntrada c, desta fonnn., estamos justifie3·
dos a \'er T,. como o tempo de resposta ou consnuuc de tempo 00 sistema. Obtemos a mesma oonclus!\o por ou·
U'O ru-gumento. A Sttfda é a éOn,·oluç«o ~ em.md..'l com h(l). Se uma emrad:l é um pulso de durnç!lo r •• en~ a
duroç.oo do pulso de saída será T, + T.,. de uoordo com a propriedade da largura da con\'OiuÇOO. Est:t conclusão
mostm que o sistema prodsa de T,. segundó6 pam responder éOmple tamente à qualquer entrada. A !'OIIstamc de
lt'mpo do sistt~mtt indica qutlo rápido i o ,fisrtma. Um si.fttnro ctun uma COIIStottU dt lt mpo menor j 11m sistt ·
mo mais rdpitlo que t'tS{H)Iule mpidameme a qualq.,er emrtu/a. Um .tistema com 11ma constame de tt nrpl) rela·
r,..
tiwunnrlt! grcmd(' é 11m s.i.Jtt>mllft'IIIO l[Ut tliW ptXIe "tS('t> mlu bem a $inais Q11e o.'. (lriam mpidameme.
Eslritamente faJa,~do. a dur;lÇ!Io da res~a h(I) ao impulso é oo porque os modos C'.ltõlCterfsticos tendeln assin~
toticnmente para zero quando, _ oo. Entretanto. além de algum ''alor dei. ll(t) se toma desprezível. Portanto. é nt·
cessário utilizar alguma modida adeqwtda da la-rgunt cfeth·a da I'CS:pOSla oo impulso.
Não existe nenhuma defin~.ào satisfat6ria. da duraçlkl (ou largura) efeth·'tl do sinal aplic~h·el a toda situ3Çllo. Pa~
r.t a situação moslnKia nn Fig. 2.2 1. uma defini~-ào razoável da dur::tção de h(t) seria T.. a larguro do pulso retangul.ut Jr"(r). Este pulso mangular 11.(I) possui área igual a I!( r) e ahum i~ntica a /r(I) poru algum ins1antc ade-quado 1 =
10• Na Fig. 2.21. 1., é escolhido como sendo o in~ante no quaJ h(t) é máximo. De acordo com esta defin~Jio.
1
T.~ h (r0) = J :
h (t )dt
ou
(2,67)
' -Figura 2.21
Dur~M;.ão cfeth•a da resposta
ao impulso.
• ~ definiç3oi !<OIIIil.r..eóriu qwmdo /t(1) é um pul~ t.imple5, na nuior pane po,jti\'0 (ou llC'S:Mii\'Q). Tui$ ~ütenu~ do Ji<~lemJ!i. Jlll<i$11·
b.U x•· EMa ~iini~ n!lo de\"C ~ IIPf-kada indilioCrinlinadlllnCtltc • lodos l)§ s:is1cmars..
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CAPh'Ut.O 2
ANÁI.ISB
so Do~dNIO 00 T EMPO OE SISTEtt..tAS E.\t TEMPO Co.'01NUO
201
Agora. se o Si!Uerna possui um ónico roodo.
h(t)
=
Ae"'u(t)
com l. neg-mivo e real, então ,(r) é rná:<imo par:.' 1 • O. com vaJ()t h(O) • A. Ponamo. de :.eordo com :~ Eq. (2.67),
I
T~o:::: A
f
o
A~ tlt
= --I
(2.68)
I.
Logo, 3 con s.~ante de tempo. neste caso. é simplesmente o (nC~ati n) 00) recíproco dtt raiz f."'Uracterfstica do
sistem:t.. Pan~ o Cl'lS(I de v:1rios mod05. lr(t) é o somatório poodemdo dos moôos catacterlSLioos do sistcm~ e r. é
a média ponderada das oonstantes de tempo a.o;scx.;ada.o; com os N modos do sistema.
2.7· 3 A Constante de Tempo e Tempo de Subida de um Sistema
O tempo de subida de um sistema. delinido oomo o tempo r~e<:essário para que a resposta oo degt'.tu unit.ári<lau·
mente.de I0% pam 90% do valor de. regime ~ uma i ndicaçâo da vclocid11de da resposta.t A con.o;tantc de tempo do
sistema também pode ser vi~a como um.1 perspectiva do tempo de subida. A respcma ao degrnu unitário )~t) de
um sistema é a oonvol ~'ào de 11(1) com h(t). Seja a resposta h(t) ao impulso um pulso retangular de largura r•. co.
mo mostrado rut Fig. 2.22. l!stn considt.•rnçiio simplitk,n a discussiio. rcsullando, ainda. em resultados satisfatórios
para uma discussão qualitati•ttt. O rcsuhadQ dc:$1tt CQn\'QiuçãQ é mostmdQ na Fig. 2.22. Observe que 3 saídn não
nume-nta de zero a um vnlor fina l instantaneamente. tal como a cntrod:t. Em \'ct di.sso_. a saída k\'a r, segundos
pam atingir o \'aJor final. Logo. o tempo de subida T, de um sistema é igual h constante de terupo do siSlema
(2.69)
Este resultado e a Fig. 2.2'2 mostram claranlente que um sistema geralmente nlio responde instamaneameme
a uma e.ntr.lda. le,,ando T, segundos para responder completamente.
2.7-4 A Constante de Tempo c Filtragem
Uma oonstame de tempo grande implica urn sistema lt-nto. porque o sistema precisa de muito tempo parn res·
ponder completamente u uma entmda. Tal !)Ístcma não pode rc!)pondcr efetivamente a \'Uri3Çôes rápidas da en·
truda. Em contruste, uma constante de tempo pequena indi<."a em um sistema ca~ de responder a rápidas variações da entrada. Ponanto. existe uma çonexlto dlrem emre a çonstame de •empo do sistema e suas propriedades
de fi1lragem.
Uma senóide de alta freqüênda ''aria rapidamente com o tempo. Um sistema com uma constante de tempO
grande não serú capaz de responder be-m a esta entrada. Portonto. este si.stcma irá MJprimir senóidcs '"nriando rapidamente (alta freqüência) c outros sinsis de slla freqíiéncia. Mostraremos ngOf'l! que um sistema com con.c;tantc de tempo r. ntua como um fi.ltro possa·baix:ts com uma freqtlência de cone del = IIT, henz. de tal fonna
que senóides com freqoênc::ia menorU do quel são tmnsmilidas razoa"elmente bem enquanto que senóide:s 001n
freqüências ocima de};. são suprimidas.
Para demonstrar esse fato, VlUUO$ dctennimu a resposta do sistema 3 entrada scooidnl .l'(t) convoluindo esta
entrada com a resposta ,(r) efcth'a ao impulso da f ig. 2.23a. Nas Figs. 2.23b e 2.23<;. \'e mos o processo de convoluçào de h(t) t.'Om entr-.tdás senoidais ootn du:as freqüências diferentd. A sen6ide da Fig. 2.23b pOSSui uma fre.
h(•)
.t(t)
•
o
·-
o
Figura 2.22 Tempo de subi<W de um sisterna.
,,
·-
o
·-
· lk~ às várias defwk;ú-s dt 11:n1p0dc subida. ó killlf tlOde t'lll.'(lnlro~r difm:1110 ~ultadi)$ nulite:ru1uro~. A nllli!R'r.ll quahl:d:h~ e
in·
lui1iY;• ~u di!lCUs5&.'1 *''c Cl>lat sempre ('m mc'fllc.
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202
S INAIS E SISTEMAS L I:-IEARES
h(t)
·-
·r,
o
(a)
h(t - 1')
J(l)
~(;)
o
o
·-
,_
( b)
lr(r
- <f')
)'(f)
-*l
o
o
(c)
Figura 2.23 Constante de tempo e lihrngem.
qüência rdntivnmcnte alta. cnquruuo que a freqüência da senó ide da 1-l g. 2.23c é baix.-.. Lembre-se de que a oonvolução de x(t) c lt(t) é igunl a área sob o produtox(T)h(t - f) . Est:t 4rea é 1'00Str.1dà .sombreada na Fig. 2.23b e
2.2Je p:t.r3 os dois cas(IIS. Para a senóidc de alia freqüência, fica claro a partir da Fig, 2.23b que a áre-a sob.t( t)h(t
- r) é muito pequena pois as flfl!as positiva e negativa praticarne11te se cancelam. Isso acontece quando o periodo da se.nóide é muito menor 00 qüe a COnStante de tempO r_ do sis•ema. Por outro lado, para a scnóidc de bai·
:\3 freqüência. õ peóodo da senóide é maior do que T~>. resultando no c.ancelamento parcial da área sob x( t')lt(t 1') menos efetivu. Conseqüentemente, a saída y(t) é muito maior, como mostrada na Fi_g, 2.23c.
Entn: esses dois possíveis extremos oo compol1amcnto do sistema, um pomo de transiçlio ocorre q1w.ciO o pe·
ríodo <b scnóidc é igual à oon&~tmt e de tempo r., do sistema. A freql1ência na qual estu transição OCOil'e é chamada dcfreqiii!ncio de rorref.. do s.iS1ema. Como T,. é o perlodo da freqOência. de con efr.
I
!t =T,
(2.70)
A frcqOCncia.f.. também é cham.'lda de largura de faix~ do sis1ema porque o sistemtt ltans.mite ou deiu pas-sar componente$ senoi da~s com freqüências abaixo de f,.. enquamo atenua comJXKW!:ntes oom frequ~ncias acima
de ft. Ob\•iameme. a tmnsiç5o no componM'telttO do sisterna é grttdual. Não existe mudança. drástica no conlp<>l1.amento do sistema paràft = 1/T". Além disso. esses resuhados são baseados em uiTUl resposta ao impulso
idealizada (pulso n::tangular). Na pcátic.a estes resultados irão variar um pouco, dependendo da forma exata de
lt(t). Lcmlxc-se de que o -sentimento"' do oomp<>n.amcmo geral do sistema é mais importante do que a resposta
exata nesta discussão qualitali\'3.
Como a cons.~ruue de 1empo do sistema é igual 110 seu tempo de subida. temos
.
I
7, = -
J..
I
00
f, = -
r:
(2.71a)
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CAPiTULO '2
203
ANÁUSE NO 001\t(N)() 00 Tuwo DE SISTE.\fAS EM futPO CoNTiNUO
Portanto. a largum de faixa do sistema é inversamente propon:ional ao seu tempo de s-ubida. Apesar d;:. Eq.
(2.7 1u) ter sido determinada a par1ir de uma rc~posta no impuli\0 idealizada (rctongulur}, suas implicações são
válidas para siStemas LClT passa· baixas em geral. l'ara um caso genérico. podemos mostrar que
J.
k
= T,
(2.71b)
no qual o valor exato de k depende du nnturcza de J1(t). Um engenheiro experiente gernJmcntc pode estimar ru+
pidamente a largura de fa ixa de um sistema dcsconhccidQ simplesmente o~rvando em um Moe-iloscópio a rcll.·
posta <to sistema a uma entrada em degrau.
2.7-5 A Constante de Tempo e Dispersão (Espalhamento) do P ulso
Em geral. a tr.tnsmissão de um pul$0 atr.:l\'éS de um si~ttma <:au...;.a a dispersão (ou espalhamento) do pulso. Por.
tanto. o pulso de s::úda é geralmente mais largo do que o pulso d~ e ntrada. Esse romportamc:nto do siste-ma po·
de ter sérias conseqüências em sistemas de comunicação. nos quais a informação é Lr3nsmitida por pulsos. A dis·
pen;õo (ou esp::~lhumen to) <.'tlusa interlbi:ncia ou sobrcposiç:io c."i)m pulsos vi:-.inhos. distorc.-c:ndo. pois. as umpli·
tudes dos pu I~ c introdu:tindo crro.o; na informaçiio recebida.
Anteriormente. vimos que se uma entrddax(r) é u1n pulso de li'trgurJ T,. ent5<> T,. a largura 00 j)ulso de saíd~
y(t) é
T.,:T,+T~t
(2.72)
E.-.se rcsullado mostm que um pul-SO de cntr.tda é cspalhndo (OU di$pcrs:tdo) c.nquamo de passa através de um
sistema. Como T, também é a constame de tempo ou de subida. o t(l(al de: esp.'l.l.h<lmemo do pulso é igual t~ cons·
tante de tempo (ou temPQ de subida) do sistema.
2.7-6 A Constante de Tempo e Taxa de Transmis-<iio de Informação
Em sistemas de oomunknção pulsados. os quais trun:s-mitem infonnação atra\'é s (das amplitudes) dos pulsos. a taxa
de tmn$llli.s.<do de infOnnação é proporcional à tax.a de tr.m smis..~o do.-. pulsos. Ocmonstrurcmos que. pltU eviLnr n
destruição de informação causada pci:J di~pcrsão dos pul.o;os durnntc sua tr:msmissio atrnvés de um canal (midia de
trunsmiss~). a t:u:a de rransmiss!lo de informaç5o n!k) deve exceder al.ar$ul'tl de f:lixa do canal de oomunicaçilo.
Como um pulso de e-ntrada é dispersado por segundos.. J)ulsos consecmivos devem
espaç.ados segun·
r,.
ser
r,.
dos )XIra evitar a interl'efência e.Jilr"e pulsos. Pon:mto. .a taxa de tl':lnsmiss!k> de pulsos não pOOe exceder IIT. pu I·
soslse.gundo. Mas IIT,. a
lar~~n'a de r~ixa 00 canal. (Je lal fonna. que podemos ttansmitjr pulsos atn.wés de
um <:anal de comunic~.ão a uma taxa def.. pulsos por segundo e ainda u..:;sim evitar interferência significativa en·
ue os pulsos. A taxa de trunsmi.ssão de informação é . ptmanto. propon:iooal a largurn de faixa do canal (ou do
reciproco da l;Ua constante de tempo).t
Esta discussão (Seções 2 .7·2-2.7·6) mostra que a corL-.t:uue de tempo do sistema de1crmina muito do c:om·
pottamemo do si:,tema - suas "-at;M::terísljcas de fi h.ragem. lempo de subida. dis~o de pulso e assim rK>r djante. Por sua vet.. <1 c.XIftstante de té111rK> é detennin ~•da pelas raíJ:eS car:.lcterístit·u do sistema. Fica claro. ponanto.
que as raizes c-urocteristka~ c 5uas quantidades relath'as nu resposta h(l) ao impulso dc~c nnin om o comporta·
mcnro do siste ma.
J:. ••
2.7-7 O Fenômeno da Ressonância
Finalmente-. chegamos ao fa.scinante fenômeno da r<:5So0náncia. Como já havi~IOS menciom•do \'ánas \'C.US. ~·
te fenômeno é obser\'ado quando o sinal de entrad:• é id<ntico ou muito próximo ao tl)l)(lo c-arJCteristk"(J do si_s.
tema. Paro efeito de simplicidade e r:u.:.:ilíd;lde. i~niOS (.'Qnsiderar um sistema de primeira Ordem (:()111 <apenas Unl
únj<·o nlOdo, ~--·.Seja a rê.~jXJSta ao impulso déste. sistema dada por'
!t(t) ::: Ae..,
· T~oricumcnle. umc;m;:.l com IN)!ut.l de f~i~~f. PQ1.1e IM1W\itir o:orr~IMI~I\te m f
(2.73)
2J; !ltllptil\llk:5 til: i)'l4o IX'f' ~t:ul\do•. O \'.llor obtido
aqui.. sendo rnui1o limplcs~ qualitath'O. rcwhu M mrladc do tinlitc IC6noo. ~ki.tlltO :.sWm. na .n1ic-11 nao ~ f:k:ilat.ingit o liml~esupc~
ri\)r ~.
11\x 001'1\'t!t:lél).";ill.. ooulim~ a «wtllplka('.io:l de .r(t) ~ 11(1) por 111(t).. Ao tónsode).la d~u~Sàc) ti!>ounuJen~ que e les S;l(, c:-.wiiaiii;.
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e seja a e ntrada
x(r)
= eo.-lt
A respcma )~t) do siste.ma é dada por
Aei" * eu-"'
y (r) =
A punir da tabela de coovoluçilo, obtemos
y(r)
A
= - [e~- e''"'''J
•
= Ae"
c-,•-")
(1.74)
Agota, quando E - O. tanto o nurne.f3do quanto o denominador do tenno em parênteses tendem p:u'll :tero.
Aplicando a regra <k L'Hôpital a este termo obttomo.o;
·-·
lim y(t) ;: Atell
(2.7S)
Clàr.lrnente, a resposta não tente para o infinilo quando E - O, mas ela recebe um fator t, o qu:tl se aproxi·
ma de 00 c1uando t -+ oo. Se À possui uma parte m.l negativa (de tnl forma que ele est:l no SPE). i~ decai ma.is
nfpido do que te )~t) ~ Oquanto t - co. O fenômeno dn ressonSncia neste caso está pn::seme. ma-s sua mani·
festaçiio é abonada pelo próprio decaimento exponencial do siMI.
Esta di scus:~llo mos.ra que a ressomtncio I um fenônrt:IW Qr;.wnulllfil'O. nOO irlslantâneo. Ela cres<:e lineannen·
te f com/, Quando algum modo éai exponencialmente. o sinal de s:dda diminuj muito rapidamente, ncutrali;,..an·
do o crcSéimento da ressonância. Portanto, como resultado. o sinal de safda desap:u-ece antes que a resSClnitncill
tenha n chance de aparecer. Emrdanto, se o modo decai a um t.'IJ(3 menor do que 111. de\'ernos \'Cr élaramente o
fenômeno d3 ressonâ11cia. Essa coodic;lo especCfica é poss(\•el de Re ). ~O. Por exemplo, quando Rc.l = O. tnl
que i.. está no eixo imaginário do plano complexo e, portanto,
À
= j(l)
e a Eq. (2.75) se tor•la
(2.76)
entllo {I resposta realmeme vai para o infinito lineannente com t.
Pam um si.stema real. se À = jw é umu raiz. então À ' = -jw também deve ser uma rniz.. A resposta ao impul·
so é na fonnu Ae.hf + Ae•,jt>f = 2A cos ldl. A resposta deste sistcmn a uma entrada cos Wf é 2A cos Wl" cos Wl. O
leitor pode mostrar que esta convolução contém um tenno na forma At co~ wr. O fenômeno da res..l;(ln.fux;ia é ela·
ramentc visivel. A ~posta do sistema a este· modo característico aumenw lineottmente c.XIm o tempo. everllual·
mente atingindo oo. con1Q i.ndic.1do na Fig. 2.24.
.........
·v ·V.
,_
...........
···········
Figura 2.24 Construç-ão da respos.ttt do .sistema em re.,.sonânciu.
' Se a raiz earactc•fslit'u e •u (Jilel>làó n>pçdr ,. \ 'l';u'l'. o e feito cb n'I>$UIIând;a uu1nen.tul'll p.1m f ', En1~11n1Q, 1"1.-1.1- Oquar'IOO 1 -- co
p;uaqu:.lqu.er \·...te. de r. de,;clc que R.c! l < O (l tK> SPE").
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CAI!fn.ILO 2
AliÁLISE NO [)o).tÍNIO 00 TI!Mro Ot! SISll'!MAS EM TEMPO Co.''TfNUO
205
Lembre-se que quando l. = jwo sistema é m~rginalmente está\'el. Como já indicamos. o efeito oomplclo da
•-essonâ•'cia mio pode ser \•isto para um sistenm assimolicamente e:stá..-el. upenas em sistemas marg.ioalmeme es·
tá.veis o fenômeno da ressonândn aumcnt•• a resposta do sistema pn.rJ infinito quando a cntT'3da 00 sistema é um
modo camcteristiro. Mss mesmo em sis1cmn.s nssintoticamc:ntc estáve-is, vemos a manifestaçlo da ressonância
se as rnfzes caracteds•icas esti\'treLU muito próxima." do t'-ixu imaginário. de tal fonna qoe Re À tenha um peque.no valor negutivo. Podemos IDI.lStr.lr que quando as raizes caracte,ristkas de um sish~mu sio a ::1: i<JJo. então u resposta do sistema u entrndn e""~~ ou ta scnóide COSWJ é muim grande p:11a um pequeno o.t A resposw do sistema
cai mpid:.mcntc quando a frcqUência do sinal de entrada se afasta de Wo- Es•e comporuune•no seleti\'O à freqOên·
<:ia pode ser es•udado mais adequadamente após um mdho.-cnlendimento da análise no domínio du freqüêneia.
Por esta razão adiaremos a discussão complcla dcSlc assunto parn o Capftulo 4.
IMPORTÂNCIA DO fENÔMENO DA RESSONÂNCIA
O fenômeno da ressonânci a~ muito importante. porque ele nQS pennitc projetar sisacmaJ; seleti\vs à fnx.tüênda pcla C$00lha 3dequa00 das rnf7.es camc'lerlsticas. Fihros !)assa-baixas. pass<l-faixas, passa--alt'aS e pára-faixa stto exemt:~los de circuitos sektivos à freqOência. Em sisle-ma.'lmecúnicos. a presenç<a inad\'ertida da ressonânéi<t pode c.•usar
sinais d~ trtmenda amplitu~ com os qwús 05 sistemas podem quebr!ll. Um:t nota musical (vibração periódica) de
ftt:qliênda lklequalb pode explodir um vidro~ n freqüência coincidir oom as raf7.es carncterlsticas do vKiro. o qual
funcioQna OOIUOum sistema meclilliCO. Similam\C'nte. uma tropa de soldados •narehando em uma pOnte aplica uma
força periódica na pome. Se a freqüência dessa fo~a dt tJltrada for. p(lr coinc.;dência, próxima da rnit car.K:terlsti·
c:.a da ponte. a ponte pode responder (\•ibrur) vM;llcntumente, chegnndo a col upst~t. mesmo se ela fOr fone o suficiente pam carregar vários soldados marchando paro forn. Um C3SCI \-'Crfdico foi a ponte Ttu-vmo Nlm'OW!>'. em 1940. Ela
oolapsou com um sua\"e vendaval, não de\•ido a f~ do \"Cnto. mas d(':vido a freqüênc.;:~ dos vórtices b>tr:l.dos pelo
\'ento. os quais coincidimm com a freqüênc ia natur.d (rnius c.-aract(':rístic.as) da ponte. resultando n.u ressonância.
Devido oo grunde dano que.pode OCQrrer, a ressonãncin mcc!intca é gcralmen!c evitada, especialmente e m cs·
trutums ou mccani.sm<>s vibratórios. Se um motOC' com forç3 pel'iódi ~ (t:ll como o mo\'imento de um pistâo) for
montado em uma plat.afonna. a plaLnfonna com ~ua masl\.:1 e molas deve ser proj~:~da de tal fonna que suos rni·
m c.-aracteristicas não estejam perto da frcqíiência de vibração do motor. O projeto adequado desta plataforma
pode não apenas evitar n rcssonllnc-ia. mas também ;uenu.:l.r as vibrações se .-.s mbo.cs do sisu:ma ron:m coloc.oldas
longe dn freqüência de \'ibroç!io.
2.8 API\NDJCE 2.1: D t:l'ERMINAÇ,\0 DA RESPO~'TA AO I MI'ULSO
Na Eq. (2. 19). mostrrunos que para urn sistema LCIT S espec:ific:ado pcl:t Eq. (2,.1 6). a respos:ta/r(t) oo impulso
unit;iri() pode ser descrita por
(2.77)
h(t) = IJtP(t) + mod~ carocterís-ticos
Para determinar os termos dos modos caracteóiitico...; da Eq. (2.71). vaiOOS considerar um siMe,ma S0 cuJa entrada x(t) e a saída ){1) corrc.'Spoodc:nte são relacionados por
Q(D)w(r)
= x(r)
(2.78)
Observe que tanto o sis1ema S quan10 S11 possuem o mesmo polinômio carac•eristico Q(),) e. conseq üentemente. os mesmos modos caraclerísticos. Além disso. $0 é o mesmo que S a;Kn P(/)) = I, ou ~cja. b0 =O. Por·
tanto. de acordo <:om u Eq. (2.77), a resposta ao impulso de S0 é eons1imfda apenas dos termos dos modos carncterf~jcos, sem o impulso para 1 =O. Vamos repre.~n t::tr (':Sta resposta oo impul'IO de S0 ptX y..,(t). Ob.o;erve que y.,(l)
é oonstirufdo dos modos carac-teristkos de S c. portanto, pode ser visto como sendo a resposta de cntradu nula
de S. Ag0r.1)',(I) é a resposta de S0 a cntrodu 8(1). Por1Mto, de aoordo com a Eq. (2.78)
(D'\'
+ a, o"-'
Q(D)y"(r) =~(r)
(2.79a)
+ · · · + a,v 1 D + att)y_,.(t ) = 8(t )
(2.79b)
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206
SINAIS 15 SISTEMAS llJ."'EARES
,.,
(2.79c)
na qual y;,t'(l) representa a k·ésima derivada de r.(r) . O lado direito comém um llnico tenno com impulso. a(r).
1
1$10 é possível apenas se y!' • "(r) possui um salto de desoofuinuidadé pàrJ t • O. de cal forma que y~\)(t) = a(t).
Alé m disso, os cermos de mais baixa ordem não pode-m ter nenhum salto de de:.scofuinu.idade pOrque isto signi·
ficaria a pre.<>ença de deri\·11da." de a(t). Portanto, Y.,(O) = y!11(0) = ... = y!''-l'(O) =O (nenhuma descQnlinuidadc
PJ-111 t = 0). e as N condições inicinis de y.(r) são
Y!'., u(O) = I
y..,(O)
= Y!u(O) •
(2.80)
· · · • Y!N-~)(0) ::c O
Essa discu.,.,;ão implicn no fato de Y~(t) t"er a resposta de cntrod.'l. nula do si ~tcm a S sujeito às condições ini·
ciai.s (2.80).
Mostraremos a.go~ que para ;a ruesma entrada x(t) aplicada nos dois sis.tc.mas. S c: S0• sua.~ respccth•as saidas
y(1) e W(t) é."$tà:O relacion~'I(Ws pOf
y(t) = P(IJ)ut(l)
(2.81)
Para pro\'ar este resuhado. multiplicamos os dois lados da Eq. (2.78) por P(D) para obter
Q(D)P( D)w(t ) = P(D)x(t )
Çompurando tsl:a equação t,:om a Eq. (2. Jc) teremos imcdia1.amcmc a Eq. (2.81).
Agor.t, .se a entr<K!a.t(t) e a(t) e ntOOa saída deS" é y.,(t) e a saída de S. d~ ac«do com o Eq. (2.81 ) ~ P(D))•.(t).
Essa saída é /l(t). a resposta <tO impulso de S. Note. entretanto. que L"Oino c-~ta é uma rt:spostu de um sistema cuusal S0 ao impulso. a função ,\'~(r) é causal. Pura incorporar este fato. devemos reprcsem.ar e~ fnnç15c.> por y.,(r)u(t).
lX-ssa forma, scgue·l\C que h(t). a resposta uo impulso unitário do sistcm.a S. é dada por
h(t)
= P ( D)[ y.(t )u(t)i
(2.82)
onde y.(t) é a combin:.ç!~o linc:.r do$ 1nodos. característicM do si!l.u:ma sujeito~~ eon(l iç~ inidais (2:.80).
O lado direito da Eq. (2.82) é a combinação linear das de-rivadas <te y.,(t)u(t), A determinação des.as deri\'adas é troOOihosa devido a presença de 11(1) pois as derh,adas ir~ gerar um impulso e suas derivadas na urigem.
Ft-liLJnente. quando M S N r&J. (2. 16)). poden..:.s evitar esta dificuldade usando ;a obscn -ução da Eq. (2.77). a
qual afirma que. parJ t =O (a origem). /t(t) = bJ(t). Portanto. não precisamos oos preocupar em dctcm1inar ll(t)
na origem. Bsta simplillcaçOO implka que em \'CZ de derivar P(D)I)'.,(t)u(t)). podemos derivar P (D))'.,(I) c somar
!I isso o tcnno h/J(t), tal que
h(t)
2
bo6(t) + P ( D)r.(t )
t ~O
; bo6(t) + ( P (D)y.(t )l,. (t)
E~ta e.xpress5o é
(2.83)
válida Qll:lnc:IO M S Nla fOtma dttda pela Eq. (2, 16b)J. Quando M > N. <1 Eq. (2.82) de"e sc.r
utilizada.
2.9 RESUMO
E!s1e cupímlo di~utiu a ru1tilise no domínio do tempo de sistemll." LCIT. A res~1.a total de um sistema linear é
a soma da rcspostn de entr..dn nula eu resposta de estudo nulo. A resposta de entrada nulo é a resposta do siste·
ma gerada apenas pelas coodiçõcs imcrnas (condições ini ci ai~) do sistem:t, ronsidcmndo que todns as entradas
exu~.mas stao nulas. poc isto o tetmo•·ernrnd.'l nula'', A resposta de cs.wdo nulo é a respost:. do sistema gerada pe·
la en tn~d:t extenlà. assumindo que todas as condições iniciais s!o nulas. ou seja. quando o sistema está no esta·
do nulo (ou estado zero).
Tudo sistema pode rnant~r certas formas de resposta por ele rnesmo. sem tlUrJda externa (emrnda nula). Esta." formas são c:aractc:rí.stkas intrínse<:as no sistema. ou seja. elas não dependem de q ualquer e ntrada ex tema.
Por esta r:Wio elos ~'io chamadas <k modos coracteóstkos do ~istem a. A respo....ta de entr.lda. nulo é conitituídu
pelos modos caractcristicos c.soolhidos em uma combinação neccs..;ári:• p;11a satisfa7.cr ns condições iniciais do
sistema. P:.ro um sis-1cma de ordem N. existem N modos distimos.
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CAP(1\ILO 2
AN.i.I.ISP. NO DoMfp.;ro t)l) TtMPO oe StSTt;MAS EM TEMPO Co~n1Nuo
207
A função impul.so unitário é um modelo matemático idesli:t,ado de um sinnl que n11o pode ser gerado na pr:1.
cic3.' AptSar di~~.:. inti'Qduçiio de tal sin::ll como um imem1ediário é muito úül na análise de sinais e sistemas.
A resposta ao impulso unitário de um sistema é a C'ót:nbin~o 005 modos cantl.'lt-rísticoli do sistema• pois o im·
pulsoli(r) c O1)-:lt:l. t >O. Ponanto. a resposta do siMema p m111 >O de\'<" ncc.-cssariumente ser u resposta de entrada nula. a qual. <:orno vista 3nterionncntc, é :1 combinaç-ão dos modos carocterísticos.
A resposta de cs.u.do nulo (resposta devido ã entrada externa) de um sistema linear pode ser obtida sepamn·
do a entrada em componentes mais simples e, endio, somando as respostas de todas as componentes. Neste C<'l·
pitulo representamos uma cntrad~ arbitrária .A'(I) como a soma de pulsos ret:tngul a.re.~ estreitoslaproxirnaç!'oem
degrous de X(r)l. No limite.. quarldo a LargurJ do pulso - O. as componentes dos: pulws retangulares aproximam·
se de impulsos. Conhe<:eodo a resposta 3o impulw do sist~:ma. podemos detenninar a resposta do sistema a todas as éOinponentes impulsivas e. ent.ão. somá-las para termos a resposta final do sistema à entrada x(r). A soma
das n.-ll-pos1as das <:omponcnte.'> de impulso está na forma de uma integral, conhecida como integral de convolu·
ção. A n:spost:1dQ sistema ê obtida como a convolução da entrada .A1t) com a resposta lr(l) do sis.ema. ao impuI·
SQ , Pon:~nto. (l conhecin)emo da. resposta :.o iml)ul.so do sistem:t nos pennite decerminar a respoSt:.'l do sis.tcma a
quaJquer enLr.tda al'bitrária.
SiStemas LCIT possuem um;1relac;ão mujtu cspcdaJ com o sinal exponencial de dur~.ãu inl1nit.a e• , pois a
resposta de um sistema LCIT a este tipo de sinal de entrada é o mesmo sinal multiplicndo por uma consumte. A
respc.hta de um si!>lemu LCIT a um~ entrada exp<>ncncio.l de duração infinita? é H(S)i'. onde H(s) é a fu nç!lo
de transferência do sistema.
Equações diferenciais de si.stemns LCIT também podem ser solucionadas pelo método clá.ssioo, no qual a
respolita é obtida t.'Ofn() a soma d:tli resposta.'> natur:ll c forçada. Essas rcspost:~s não sâo as componentes de en·
trnda nula c estado nulo. apesar delas satisfazerem as mesmas equações. rtSpeéti\'amente. Apesar de simples. C$·
te método só pode ser aplicado a uma classe restrita de sinais de entrada e a ~rtposta não pOde st:rexpressa <.·om
uma funçao explícita d.a enlJ'ada. EstiLS limita~ões tomam este método inútil no esmdo teórico de sistemas.
Se cada entroda limitada resultar em uma saída limit:tda. o sistema é esativcl no sentido 8180 (entrada limi·
tada/saíd3 limit3dn). Um sistema LCIT é 6160 estável se c apenas se sua resposta ao impulso for absohu.a.men...
te imcg.rável. Caso contrário o sistema é BlBO instável. A estabilidade 8180 é a estabilidade vi...ta pelos termj.
n:tis externos do si.stema. Logo. ela 1ambém é chamada de estabilidade ex1emn ou estabilidade de estudo nulo.
Por <Kilro lado. a esutbilidade imema (Ou estabilidade de tntrada nula) anali.sa a e~tabilidade do sistema ''is·
UI por <k.ntro. Qu.mdo a.lguma c."'ndiç.OO inkioJ é aplicadn oo sistema n<> estado nulo. então. se o si.c;tema cvcn·
tualmente retomar aoestildo nulo. o silitcma t dit<> ser nssintoticamentc estável ou CS1ávcl no sentido Lyal)'mov.
Se a rcspos.Ul do sistema crc.sccr sem limite. ele é inslávcl. Se o sistcnu• nllo for JX'••':l o estado nulo e a respos1a
ni1<> cm;c;cr indefinidamcme. o sistema é margin:llmente cstjvel. O crilério de eS!tlbilidade interna. em termos
dn loct~.li 7.ação dos rnfzcs caroctcrf.slieas do sistema pode ser 1'esumido por.
I. Um sistema LCIT é a..-.sintmic:uncmc estável se e S<lr»Cnte se rcxtas as r.dzes carõlCCerís•icas tsti\'erem no
SPE. Asraí:t~ podem ser repetidas ou não.
2. Um sistema LCfT é instável se e somente se uma ou as duas condiçõe-s" seguir existirt.m: (i) ao menos
uma raiz est.i no SPO: (i i) existirem rab.es rtpetidas n<> eixo imnginório.
3. Um sistema LCfT é mnrgin.nlmt.'!nrc esuh·el se c .somente se não existirem mf1.es no SPO e existirem ai·
gumas r:~i7.cs nlio repetidas no eixo int,'lginário.
É pos.-.f\'cl a um si.stem:t ser externamente (BISO) eMá\-el. m3S internamente inst..i"e.l. Quando um sistema é
cootrulávcl c ob.sc!Vável. su a.~ dcscri~s imcrna c exrem:1Sõlo e(luivalentes. LügO. :h eswbilidad~ externa {UlBO) e intc:m<~ (a.o;sint6t.ica) são cquivalcnt~ c fornecem n mesma informação. Um sistem:. BIBO t:>l.ável tam.
bém é assintotic.amentc: estável c \'k-e-vcrsa. Similnnnemc. um sistema 6180 instável é ou marginalmente eslá·
vcl ou assintoticamente instável.
O compon.nmento cnractcristico eLe um sisrcma é extremamente im1>011<1t1te. pois ele determina não somente
a re.o;posta do sistcnu n condições interna.<; (comportamento de entrada lllll~). mas também a resposta do si!>lc:.ma
a entradas c.xtemas (componamcnto de eStado nulo) e :.'1 estabilidade do sistema. A resposta do siste.mn a entro·
dn.o; cxtcm.ns é dctemlinada pela l'eSI>0$1a :.o impulso. o qual é con:s1ituído dos modos c.·aro~cteristi oos. A larturn
' EMret:arrto. de pode 'il.'l' apro.drnii!W por urn pu.IMr l'l>tn'lln lk' á«~ unit.iri;a c J!il'"11in.ir) I;.I'JlU.nl lj\te ~j:r muitO mc-not do que • (l()tiW!JtU! rk ll'mpHicr ~oiMem:• l.CIT no IJI•:tl <le .sem utili~uOO.
11!.\l'\tt' ;1 póS..-ibiliibdc dl' um inxpulsc> :~o:liciunaoJcr 11(.,; mc.xl!x o:urnctc:riuio:os.,
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208
SINAIS E S\STf.,_'\L\S I.JNI!ARJ!S
da respos.M. ao impulso é chamada de oonsuune de teiJ\po do sistema. a qual indictl quão l'ápido o sistema pode
reS-ponder a uma tnlr.J.da. A constanle de tempo pOSSui um imponante papel n<1 delerminaçao de diveoos comportamentos do si.s1rma. tais oomo o 1empo de re.o;posta e as propried~drs de fillmgcm. dispersão de pulsos e a
lllxa de tmnsmiss.iQ de pulsos atrn..·és do sistema.
R EFERÊNCIAS
I. Lathi. Jl. P. Signals lllld Sysums. Jlerkeley-Cambódge Press. Camlichael. C1-\. 1987.
2. Mascm. S. J. Eltr.·trmric Circ11its. Signo/s. atul Sysrcms. Wiley. New York. 1960.
3.
4.
Kailatb. T. Lhrt:llr S)'Stt!m. Prenlice-Hall. Englewood ClitTs. NJ. 1980.
Lalhi. 8. P. Módern Digital aml Analog Communicasio" Systt!ms, Jrd ed. O:tfOf'd
University Press. New York. 1998.
MATLAB Seção 2: Arquivos .M
Arquivos .M armazcnnm seqüências de comandos do MA11..AB e ajudam a ~implificot tarefa~ compticadJLs.
E.xistem dois tipos de arquivos .M: scn'pt e funç!io. Os dois tipos são M.lUi\'OS tc:ttosimples e necessila.m de uma
extensão.m.
Apesar de arqui\'OS .m poderem ser t..'riildos usando qualquer editor de lé-X.IO. o editor 00 próprio MATLAB é a
melhor escolha.. pois de possui algumas cur..aeristicas cs.peciais.. Como em muitos progrwnas, comentários auxiliam na compreensão dQ orqui·vo .m. Comentários <.-umeçam com o c.u.mc.1ere \ c oontinuom até o fim da l inh~.
Paro se exccut..'lr um arqui..-o .m OOsta digitar o nome do a.rqui\'O (sem a e.xtcnsl\Q .m) na linha de comando do
MATLAB. Para serem executados. os arquivos .m devem estar no djret6rio ootrente 0t1 em qualquer düet6rio 1lO
path do MATI.AB. Novos diretórios são facihnetne a<Hcionados ao fJtJih do M;\11..AB usando o comando ad.d·
path.
M2.1 Scrilps em Arquh·os .M
ArquÍ\'0$ de scripJ. o tipo mais simples de arquivo .m. são <:ons.tiiUídos de uma série de t·omandós do MATLAB.
Arqui\'OS de script am\azcnam e auiOntatizam uma série de passos. além da facilidade de.serem alle.mdos. Pól.r.l
dcmonstrnr a sua utilidade. t.'UCISidcre o cirt.."llitO com amplificadOr óperacional mostrado na Fig. M2.1.
Os modos caroctcrísricos do 5istemJl definem e fornecem in(ormaçlk~ sobre-o comportamento do circuito.
UMndo amplificadores com CM3Cleris.ticas ideais. com ganhodifercncüd infinito, inicialmente obtemos a cqua·
ç5o diferencia.! que relaciona a silfda y(l) com a entn~d:1 .l'(t). A lei de corTeme de Kirchhoff (l.CK) oplicad.1 ao
nó romparti lhàdo por R1 e RJ fon.ece:
x(,:;
r )'-;-~v(::_:
r)
:.
RJ
+ y(r) -. v(r) + O- v(r) R~
•
-
X(I)
_L
R1
C .
21J(I) =
O
•
)1:1)
Flgura M.2.1 Circuito com :unpliHcador opc.rncional.
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A LCK na entroda inversora do a.mp-<~p fomece
v(t)
.
-R, + c,,,(t)
=O
.
Combinando e simplificando as equações da LCK. temos
(M2.1)
As rnfzes .l.1e>-: da Eq. (M2. 1) esta.bek~c:em a nmureza e os modos camclerísticos ~1'' e i~.
Como um primeiro cuso, vamos associar 0$ valores dosc:omponcnt~como R1 =R: = R3 = IOkO. e C,=
Cl = I pF. Uma série de comandos do MATLAB nos pcnnitc c.alculur convenie.ntemente as raízes l. = [.\. 1:
i.!). Apcsnr de l. poder ser determinado usando a equação quadrática. o comando roota do MA11.AB é mai.s
con"enicnte. O com.1.ndo roou necessita de um vetor de entrada coLuendo os coeficie~ues polinomiais em or-
dem descende11te. Mesmo se um coeficiente for zc:ro. t le oinda deve ser inclu.fdo no \•ecor.
t MS2P1.m; MATLAB S~çia 2. Programa 1
t Script em arquivo .m para determinar ae ra!tea earacteristicas de um
circuito com amp·op
t Ajustando o valor doe componentes:
R= tle4. 1e4 , 1e4):
C
\
=
(le· 6, le-6);
oo coeflçicnt•• õ. equ•çao
Dete~Lnando
ao =
ç~r~ct•ristica:
l;
+ l/R( 2 t + 1/ R(l ) ) / CI2);
1/( RU ) • R(2) • C(l } • C(2 )} :
A= (aO a1 a2);
al
a2
= 0/Ril)
=
\ Dete~inando as raizes características:
la!'llbda = roota (A) :
Um arquivo de .u:ripl é cri::tdo colocando es-es comandos em um arquivo texto. o qu~l . nes-e caso. é chama·
00 de MS2 Pl .10. Apesar das linhas de comando facilitarem o entendimentl) do programa. a rell'l()Çkt delas não
afeta o func-ionamento do programa. O programu é cxccutOOo digitando:
» MS2Pl
Após a exec:uç.ltt). todas as variá\'eis de- resultado.-. estão dispooí\'eiS na área de trabalho. Por exemplo, paro
vn n.s raí1.cs c::tracccrísa.icas. digite:
» lambda
lambda = -261 .80l11
·)8 . 1966
Portanto. nos modos caracteristkos são exponenciuis amortecidas simples: t'..Jt, ...,., e t'...-.•~.
Arquivos de script permitem aheroçõcs simples ou incrementais.. rcduz.indo. consideraYclmcnte-. o esforço nu
rcsoluç3o de probkmas.. Considere o que acontece quando o çapocitor C, é alterado de I .Olt F JXira I.OnF. A ai·
te~o de MS2Pt . mde tal fOtma que c = (te · 9. le-6) pennite a detenniMçAo das novas mfz.es caracterfs·
cicas:
>> M.S2Pl
>> lambda
lambda
= 1. 0e• 003
•
·0 . 1500 • 3. 1581i
· 0 . 1500 . 3 . t581l
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210
St.NAIS E StSll:MAS
Lt.'..'liAIU$
1'alvez,llllrprcendcntemenle, os modos carncteóslicQS agornl)ãQ exponenciais compleul) capaZC$ de manter
oscilações. A ~ne im..1.gint1ria de). resulla em uma taxa de oscil~ de 3 158,7 md/s ou. aprox.imacbmeme, 503
Hz.. A pane real rt$ulta em uma taxa de am()l'1ecimenlo. O 1empo espert~do para reduzi.r a :.mplirude a 25~ é
aproximadamente de 1 = In 0.25/Re(Ã) ~ 0.0 I segundos.
M2.2 Funções em Arquh·os .M
~ inoonveniente modificar e salv-M um arqui\'O de scripl toda vez que livermos que aJtemr um parâmetro. Arqui·
\'OS .m com (unções são uma sllemaliva possi\'el. Ao contrário de arquivos de scrip1, urqui\'OS de função podem
aceilar argumentos de entrada c retomar safdas. Funções realmente ampliam a linguagem MATLAB, enquanto
que arqui"os de :.wipl nâo.
Sínwtkamente. um ...-qui"o .m de func.iio ~idêntico a um scripl. exceto pela primeirn linha. A fonna 1:,>t-n1l da
primeiru linha ~:
f unetion lsafda I. S<lltl<12..... .sa/(/aNI D tl{)(t14Uio_mquh'O(t"mrad.a I. emrad.a2. .... emradoM)
POr exemplo. eoosidere modific--ar MS2Pl. mpara criat a função MS2P2 . m. Os valores dos componentes são
passados para n função como duas entrada." separadas: um vt'lllr de tamsnho 3 com os vnlorc.." dos res:istores e
um \'C:IOf de uunanho 2 com os valores dos capuci1ores. As rni.1.es carnccerislicas são o pnnimctro de ~lomo como um vetor complc.xQ 2 x I .
function (hcN>dilf = M$U2 IR . CI
1 MS2P2 .m; MATLAB Seçào 2. Programa 2
\ funç4o em arquivo . m para determinar as ra1ze~ caraeter1~tica~ de
\ circuito coa amp-op
t RNTAADAS:
R = Vetor de ta-manho l COfQ as reSistlncias
t
C & Vetor de tamanho 2 coca as capacit3.neiae
1 SAÍDAS:
lambda = rahes caractei'1sticas
u~
t Deter.inando os coeficientes da equação caraeteristica:
ao = 1:
al
=
a2
= 1/( RU) • R(2) • C(l l ,. C(2));
( 1/Rt l )
+
l / R(2 t
+
l / R(3))/C(2);
A;. (aO al a2);
\ Determinando as raizes caracter!atlcae:
lae.bda = roots tA);
Tnl como em um scrip1. um ::trquivo de funç.OO ~ exccuutdo di gitando-~ o nome nn linha ck comando. Entretamo, as cntrt1das 1ambém devem ser induidas. Por exemplo. MS2 P2 fnci lmcme confirma os modos oscilatórios
do exemplo anterior.
l ambda = KS2 P2( ( l e4 . 1e4, l e4 ) . (le• 9 . 1e •6)t
l ambda • 1 . oe ... 003 •
...':>
~ 0. 15 0 0 + ) . 1587 i
-0 . 1500 • 3. 1587 i
Apesar de scripls c funções serem similares, eles possuem nlgumas difcrcnçss distintas que de\'em ser men·
cionadas.. Sc ripu· operam coro dados da á~ de trabalho: fu oçOes de\·em receber seus d:ldos aLrnvés dos argu·
mentos dt entr.tdas ou. então. devem construir seus próprios dados. 1\ n!lo ser que passados como safdas. \'afiá·
vds e dados criados por funçõe$ permanecem locais à runção. Vrui;iveis e dados gerados por :.·criprs stto globais
e udicionodos a área de trabalho. Parn enfatizar este pOnto. oonsidere o veaor de coefi cientes pOlinomiais~. o
qual~ criado e utilizado taniO por MS2Pl . mquanto por KS2P2 .11\. Seguindo a eJtOI.'UÇ-00 da função MS2P2. a variávt'l A não~ adicionada a área de trabalho. Seguindo a exo1.:uçOO do script MS2 Pl. entretanto. a variá\'C::) A estará disponível na área de trabalho. Lembre-se que a área de trabalho~ foci lmenle visualizada digilando o com:.ndo who ou whos.
~U.3 La~os -
Comando FOR
Resistores e capaci1orcs reais nunca são exaJsmc,nte iguais nos seus \'alor~ nominni.s. Suponha que os t:-omponentes docii'Cuito I>OSSU:llt\ os se-guimcs \•aiQres medidos R1 = 10.3222 Kfl. R: = 9.952 KO c: Rl = 10, 115 KO.
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CAPh\llO 2
ANÁUSE NO Do>.li.SIO 00 T EMI'O DE SIS1ntAS EM T EMPO CoNTb\uo
2 11
C, = 1,120 nF, C: = 1,320 J.Lf. Eslcs valores es1ão coercmes com a tolerância de 10% e 25% para ·~sistores e
CaJXtCitorcs.. geralmente eftCOOtr:td.1 em componentes disponí\'eis no mettaOO. KS2P2 utiliza estes valores par;)
c.ak:ular os nO\'OS valo•-es de)•.
>> lambda: MS2P2((10322 , 9>92 , 1.011S),(l . l2e-9 , l . l2e-6!)
1~~bda
• l . Oe•OOJ •
-0 . 1136
2 . 6llli
-0 . 1136 - 2 . 6Jtli
#
Agora os modo$ naturais oscilam a 261 1.3 r.adls ()U aproximadamente 416 Ht. O decaimento para 25% da
amplitude é esperado em 1 In 0 .251( - 113.6) :;:: 0.012 seg:uOOOoS. Estes valores. Oi quais diferem sig.•li fi ~t i ~ ·
mente dos valo•~s oominais de 503 Uz. e 1:::::: 0.01 segundos. soli-citam uma in"estigaçã<> mais formal do efeito
dàs variações dos '-':Otnponenlts nas pOSi<;ôc:$ das r.tízes <::Jra<.1en'stkas.
É interc:;ssame verificar trés valores para Cllda componente: o valor nominal, o \'alor inferior c o valor s.upe·
rior. Os valores superior e inferior são b:t..~1dos nas •oler:lncias dos componentes. Por exemplo. com I ()~lo. um
resistor de IkO: pode ter um valor inte rior esperado de I(XX)( I - O. I)= 900 O e um valor superior esperado de
1000(1 +O. I )~ 1100 n. P.Jr.a os cinco componentes passivos do projeco. 31 • 243 permutações são possí,·eis.
A utllizaç!lo tanto de MS2Pl ou MS2P2 pru-a resolver cada um dos 243 C<'ISOS seria •nuito tediosa e aborre<:ida.
Comandos de lll.ço com o FOR ajudam u autonuuitur tarefas tais çomo tsta. No MATLAB. a estrutura geroJ do
comando for é:
=
f o r mriál't'l D t'.tprt-:uii<l. com<mdo..... com<mdo. e.nd
São nt.'<:essários cinco laço:; com o for, um parn cada t.'Qmponcnte passivo, p11ra rcsoh,crmos o problema.
t
M$2P3.~:
\ Arquivo
t
faix~
Progra~ 3
Script para determinar as raizes caracteríaticaa para uma
KATLAB $eç3o 2,
~
de valore$
~e ~onentes.
\ Alocação antecipada de memória para todas as raízes calculadas:
lambda = zeroa (2. 2H):
t
Inicializ~ç3o
p.o,
do indice
~r~
ide nt if ic~r c~ d• perm~t•cio:
!or Rl = le4 • 10.9 . l.O,l. lt.
for ft2 = le4 .. f0 .9,1.0,1.l),
for Rl = le4 • (0.9,1 . 0, 1.1 ) .
for Ci • lo-9 • (0 . 75 . 1.0.1.25) .
for C2 = 1e-6• 10.?S,l.O , L2S),
p : p->1 ;
l~mbõ~l :, p)
= KS2P2f(ftl R2 R3) . (Cl C2)1 ;
ond
end
end
end
end
plot(realtlambda( : ll . im4Qilambda(:ll . ' kx' , ...
reól ílrutlbdG ( : ,}li , imag 1lambda I; . 1)), · k..,.' , , , .
realllll!l\bda ( : , end 1). imao (iambda ( : . end) I . · k"' · )
xlabel ( 'Real' ) . ylabel ( 'lmaginêrlo'l
legend( "Rai:es coracter isticas •,·R~ i :es - v•lores min• ,
'Raizes - valores max•, 0) ;
O romando
)(l:nbd<'l •
zeros ( 2, 243) aloca antecipadamente uma matriz 2 x 243 !)Ma annazenar as ráf·
zcs ealculadaç. Quando necessário, o MA11..A6 execu1a:. alocação dinâmica de memória. de tll.l fonna ,we este comando nllo é esuitamcnte necessário. Entretanto. a alocação antecipada aumen t:~ signiticath•ameme a velocidOOe de execução do script. Note também que seria ptaticameme sem sentido chamar o script MS2Pl dentro
do laço m3is interno. pois os parâmetros doJcript Mo podem ser ahetll.dos durll.nte sua execuçlkl.
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212
S INAIS P. SISTIDotA.~ L ISF.ARI?.S
O comando plm é bem grande. Comandos longos podem ser qucbrndos em dhocrs.us linha.\ terminando a linha intennedjória com três pontos(...). Os bis pontos indicam para o MA1' LAB que o comando atual continua
na próxima l inha. A posição das raí1n de cada pcnnutaçio liC:f'li marcacta com um x preto. O oomando l&al'ibda. ( : J tmnsforma a matriz. de 2 X 243 em um \'Ctor de 486 x I. Isto i neces..;ário neste caso para garantir que a
legenda adequada seja criada. Devido a ordem dos l:tÇC>s. a pennutação p
I coiTcspondc 30 caso no qual todos
os componentes estão com o menor \'alor e a permutaç-ão = 243 corre.'iponde ao caso no qual todos os oomponcntes estão com o maior valor. EAtu informação é utiliu.da para destucar os extremos. separando os casos de
mínimo e máximo usando triângulos paru baixo (V) e triângulos pilnl dota (d}. respectivamente. Além disso. para tenninar cada laç.u. o comando end é utilizado par.t indicar o índice final oo longo de uma dimensão em particular. o que elimina a nece.ssidude de k:mbrar o tamanho particular de uma variável. Uma fuoç.ão 1aJ como e.nd
pOSSui diversas <iplic:.ações. SC'-ndo geralmente interpretada pekt COnlell.to.
O resultado gráfico fornecido pelo script MS2Pl est' mostrado na Fig. M2.2. Entre os extremos. as oscila~
ções das raí'l. es vOO de. 365 a 745 Hz e o tempo de decaimento para 25% d<J amplitude varia de 6.2 a 12.7 ms,
Clarolmente. o comportaU\tJUO do c iteuito é bastante sens.fvel a vari<'tçôes ordinárias dos compooemes.
=
M2.4 Compreensão Gráfica da Convolução
Os gráfkos do MATLAB ilustram efeli\•an~n te o processo de convolu~ão. Considere o l'USO de J{l} = .t(l) */r(l),
na qual x(l ) = sen (rrt)(li(t) - u(t - I)) e h(t) = 1.5(1A(t) - 11(1 - I.S)) - u(t - 2) + 11(1 - 2.5). O progrruna MS2P4.
executa .. coovolução oo intervalo (-0.25 s t s 3.75) passo a paSSô.
\ M$2P4 . m; MATLAB $eçio 2 . Programa4
t Arqui vo de Script que demonstra graf i camente o proeesso de
convol uç~o
tigure { l ) \ Cria uma j ane la de f igura tornando -a vi s í ve l na tel a
x = tnilne • ' l . 5 • sinf~1 • t). · (t>=O't<l)"J :
h • inlinq('l.S ~ tt>•Oiot<l . ~t~it>•2H<2 . 5)")
dtou • 0 . 005; t4V • -l:dtou:4 :
ti= O: tVOC: •.25 : . 1 : 3 . 7~ :
:
y = N~N · ~erosCl.length(tvqcJ) : \ Aloçaçlo pr6v i • de
for t • tv.-::.
ti • ti~t : \ tndic~ de t~
xtt-t•~,~;l . • h(t4U) :
xh •
yttl) =
8\U!\(Xh.
~•mória
bh • lçf19th lxh) :
•dtau) : í aproximaçào trapezo ichl d.tt. i ntegr..-1
subplot t2 , L ll , plot tt~~.t.hcuoul
, ' it~ ' . t.• u . x <t~tta\1) .
' k·-' . t.O, ' ok'J ;
axts<ltãu<ll Ltlu~endl -2 . 0 2 . S)) :
l)t'ltehlltéiU 11 : Md-11; Lau U : end-U : tau (2 : end) : tau (2 : end) I . . • .
tterottll , l xh-ll ; xh(l : el\d·U ; xhf2 : ene1) : terosU.lkh-1 I J • •••
(.8 . 8 . 8). ' cri<)<tÇolor-' , ' no ne ' ) :
5000
44)(X)
3<XXJ
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• Rafzes ranw:terisck as
• Rafzes- ''alon$ mln
• Rafzes - ''alofts max
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...,
-5000~~~~,~~~~~~~~~
-240 - 220 - 200 -180 - 160 - t40 - 120 -100
flgura M2.2
Efeito do "alor dos componentes na posição das raízes caraeterlsticas.
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CAPI'l'Ut.O 2
ANÁLISE NO
DoMfNK> oo Towo DE SIST"EMAS EM futPO CONTtr.-oo
2 13
xla~l ( • \ttlu ·) : let,JoncH ' h(\ t;)V.I · . 'x 1t .. \taut · . ' t ' .
' h(\tau) x (t-\tau)' .)) ;
c,. qet<gea.'ehilclron' ) ; &et<gea,'children·.
(c<2J;ç()l ; ç{41 ;e tl)JI ;
&ubplot(2,1.2) . plot ttvec. y , 'k'
xlabGll ' t ' l ; ylabelt'YIU
.c.v~c(ti)
. y(ti 1, ' ok') :
\int. hl\t.4UIX (t· \t4Ul d\tou ' l ;
ax18((Uu(l) t.!tou(e:-.<1) -1 . 0 2 . 011 : qrid;
a
dtb~OW:
ond
A <:ada passo, o programa traça lt( T). x(t - 1') e sombreia a área h( r):c(t - r) de dnza. Esut área cinza, a qunJ
rcOcrc a integral de h( r)x(t - f). também é o resultado dcsc:jado. y(t). As Fip . M2.3. M2.4 e M2..5 mostram o
processo da convoluç.ào )XIra os tempos 1 de 0.75; 2,25 e 2.35 segundos, respec1iw.mente. Estas figuras ajudam
a. ilustrar como as regiões de integração nllcram com o tempo. A Fig. M2.3 possui limites de in1egnç.OO de Oa (1
= 0.75). A Fig. M2.4 possui duas regiões de integ~"-iio com limites (I - I = 1.25) a 1.5 e 2.0 a (t = 2,25). O úl·
ti mo gráfico. Fig.. M2.5 . possui limi1es de 2.0 a 2,5.
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0.5
1.5
Figura Ml.3 Coo"olução gráfica para o passo 1 ::: O, 75 segundos.
2
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Figura M2.4
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-I
- 0.5
o
0.5
1.5
Convolução gráfl c:.a para o passo t = 2.25 segundos.
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2
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1.5
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- 0.5
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o
0.5
1.5
Figura M2.5 ConvoluçOO gráfic:. para o passo t = 2.85 scsundos.
Vários comentários com relação a MS2P4 estão a seguir. em ordem. O comando figure ( l l abre a primei·
ra j aoel.a de figura c, mais importante, gnrontc que elo es.tcju visível. Objetos il11ine são ulili'l.41dos para repre·
sentar as funçôes x(t) e ll(t ). NaN signifi ca iWI·a·numbe,.., geralmente o rcsuhado de uma operaçOO tal como
<WO ou oo- oo. O Mi\TLAB se recusa a U>lÇ3S valores NaN. l)c ta l forma que 3 aloc.ação antecipada de y(r)
com NaN garonte que o MATLAB mostrará apenáS valores de y(t) qüe tenham sido calculados. T:~ J como o nc)o
me sugere. length retoma o tamanho (comprimento) de um vetor de entrada. O comando aubplot Ca, b,
c) particiona a j :tnela de ligura :nual em uma m.ntriz a por b de gr:í.ficos e seleciona o gráfico e para uso. Subgráficos facilitam il <::omparliÇ.,O &r.ifiea, permi1indo mOhipiO$ gráfi cos e m uma únics janela de figura. O comundo patch é utjliz.ado par.'ll~riar a área sombteada de cit'lz.a para I1( T).t(1 - 1') . Em MS2P4, Oi comandO$ g ct
e •et Siió u li li ,o;:IC~ !Xi'a t'C(Irdcn:u·os objc1os p lot de tal fonnn que a área cinw nOo sobreponha ootras linhas.
Deul.lhes dos comandos p(ltch , get c s~t utilizados e m KS2P4, são de alguma (orm:t avanç-ados. sendo desnecess.1rios fteStC pomo.• O MATLAB também imprime muitas le-tras gregas. se o nome grego t'o r precedido
por uma ban'a in"enida (\). Por exemplo. \ t(lu no comando xlaMl produz o símbolo r no nome do eixo do
gr.ífie.o. Similannente. um sinal de integral é produzido por \int. Finalmente. o comando drawnow forç-u o
MATLAB a atualizar a janela de fi gura a cada iternçAo 00 laço. Apesar de lento. is to cria um efeito tipo animaç.ão. A substituiç.ãodo comando drawno--., por pause permite ao us.uário faz:cr a COO\'Oiuçlio p3."-SS a pa.~so manualmente. O com3ndo pause também força~ atuali.ulçtio da jane.Ja de figura, mas o prog.l'3m.a não irá conti·
nuar até que uma tecla seja pressionada.
1.2-1 Um sistema LCIT é especifi c.'IOO pela equaç!lo
(01 +50 + 6).,·(1) a ( D
+
l )x(l)
De.tennine o polinômio característico.
equaçãowactui'stjca. rafzes ct~roc:tcristi·
l"U e modos caracietfscicos deste sistema.
(b) Determine yJ.t). ., oomponen1e de entrada
nula dá resposl1t )(t) para r ;:: O se as coodi·
ções iniciais foremyo(O) = 2 e .\õ(O) =-I.
2.2·2 Repita o Prob. 2.2· 1 paru
( D1 + 40 + 4)y(1) = Ox(1)
(a)
C )·.,CO)
2.2~3
= 3eM01 = -4.
Repita o Prob. 2.2-1 para
D(D + l )y(I)=(D+1)X(1)
e y,(O)
=.i\,(0) =I.
• N.lk T.: N;lo u1n 1.Umcro.
' t:sn.tdatltC$ oorn int~li< dt\·em oonwhur o bdpdo MATLAB par.. filais mror.n:tçlk5. N• r;:aJidadc. os ;;.omanoos g:f!t- e •tot- &IC>
v;tte•na•nt•lk poderosos e podem ajOOar 11 moo.1i fte~~r pálk~» de qua..;e IOda.\ as fonn:u: intaSin:hri.~o-.
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CAPIT\ILO 2
ANÁLISE NO {)o).tbóiO 00 T.ID-ti'O DE SISTEMAS EM TEMPO CONTiNUO
dos no tempo por a, a con\'olução dcl~ cam-
2.2-4 Rcpim o Prob. 2.2· 1 paro
+ 9))'(1) = (30 + 2)X(I)
=Oe y0(0) =6.
bém será escalonada pot o (e muhiplicad:l por
(01
c .r0(0)
2.2-S Rc:pita o Prob. 2.2-1 parn
(01 + 40 + 13)y(l ) = 4 (0
c y,(OI
+ 2)X(1)
11/uiJ.
2.4· 3 Mostre que a con\'olução de uma função im·
par e uma runção pm é uma runção Cmpar e
que" convoluçi.io de duas runções fmp3res ou
duas run<;ões pares~ uma função par. (Dica:
= 5 e j0(0) = 15.98.
Utili7..c a propriedade de escalonamc:nto no
tempo d.1 con,'Ofuç!io do Prob. 2.4·2. 1
2.2--6 Rçpita o Prob. 2.2· 1 par:t
2.2~7
21S
D' (D + l)y(l) • (01 + 2Jx(l)
c y0(0) =4 c j;,(O) =3 c }'.,(01 =- I
2.4~4
Repita o Prob. 2.2- 1 parti
2.4-S Usando a integ,raçiiO direta. dt-ttm1ine 11(r) "'
I)(D1 + 5D + 6 )y(1) = D.r(l )
+
e y,(OI = 2 e );!01 =-I e )', (0") = 5
(D
2.2-8 Um sistema é descrito por uma equação linear
diferencial com coeficiente ronstame c possui
uma resposl<l de entrOOa nula dad.'l pot )'J t) !=i
2e"" + 3.
(a) É pos:sf\'el que a equaç~o característica
do sillte.Jna sej:• A + I • O?
Just.iti quc sua f'l."SposW.
(b) É possr\'cl que a equaç:llo caroctcrfstica
do sistema seja (i. : + ).) = O? Justifique
sua re.'i-posta.
(c) É poss(vel que a equação caraacrfst ica do
sistem.<l seja À( À + I ): = O? Justifique sua
Usando a intcg:raç~o dirc1a. determine e- •t(l)
•('""'11(1).
u(t), e '"'1t(t) • e- u (t) c tu(l) • 11(1).
2.4-6 Usando a integração dirNa. determine sen
2.4-7 A resposta ao impulso unitário de um sisacma
LCITé
11(1) :: t" - 1u(t)
Determine a ~SpOSta do sistema (est."ldo nulo)
y(r) se a entrada .t(r) for
(3) 11(1)
(b) e ~l u (t)
(c) e- 11 .,(1)
(d) scn 3r 11(1)
2..4--8 Repita o Prob. 2.4·7 par.t
te."~3.
2.3· 1 Oe.!etmine a resposl<l oo impulso unitário do
sistema espt.ocific.-ado pela equação
(D' + 40 + 3Jy(l) = (0 + 5).<(1)
1
u(t) • 11(1) c CQS llt( t) • u( r) .
l1(1) = [2e- lt - e- 21 lu(l)
e se a enttada x(t) for:
(u) 11(1)
(b) t-- •.,(r)
(c) e- ~ u(t)
2.3-2 Repita o PI'Qb. 2.3-1 para
!D' +50+ 6)y(l) = CD' + 1D + l l )x(l )
2.J.J Repita o PrQb. 2.3- 1 para o tiltro pnssa mdo de
primeiro1 ordem especificado peb equação
(D + l )y(1) = -(/)- 1).<(1)
2.3-4 Detennine
2.4-9 R.:pita o Prob. 2.4. 7 jXtra
l1(t ) = ( I - 2t)e - 11 u (1)
e ent.r:.ld<~ x{t) a u(l ),
2.4-10 Repila ó Prob. 24-7 pàf'a
a I'CSI)()Sta >"~O iml)ulso unitário de
um sis tema LCIT especificado pela equação
(D 1+ 6D + 9)y(l) = (20 + 9)x(r)
2.4·1 Se c(r) = x(r) • ,~:(r). e ntão mostre que A,. =
A,A 1, onde A ,. A, c Aç são a.., áreas sob x(l).
g(r) e c(r). respccli wuncntc. Veri fique tsla
propritdade d11 área da cmu'Oiuç!l.o nos
Ellempl05 2.7 e 2.9.
2.4· 2 Se .r(t) • g(t) = c(t) e ntão mostre que ,l(ot) •
g(ai) = 11/alc(m). l::..sla propriedade de esca·
/()namcmo 110 ttmpo da COil\'Oiuç3o '"'finna
que se tanto .t(r) quanto g(r) (ortm es<:aJona-
h(t) = 4e - 21 cos 3t u(t)
c cadu uma das seguintes entradas x(t):
(;t) u(l)
(b) , - •lt (l)
2.4- 11 RepiLa o Prub. 2.4-7 para
h(t) • e - •11(1 )
e c;.da uma das seguintes e ntradas x(t) :
(a) e - !Ju(l)
( b) ,.- ~·· -)111(1 )
(c) e- :.u(r - 3)
(d) O pulso lt)()S(J'adO na Fig, 2.4-1 1 - Forneça um rdSCunho de y(t).
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216
Sows o Strn.>1AS ~
1.4--16 A Fig. P2.4· 16 mosua .t(t) eg(r). Octenninc c
rascunhe c(t) • .('(t) • g(t).
1.4-11 Determine c mcvnhe c(t) =.t(t) • t(r) para as
funçõd IOO>tnwb• na Fig. P2.4-17.
,_
o
2.4-18 Dttennine e rtl\cunhe c(r) •
• X.(f) pa·
ru os pare!i de (unt;õc-" mo'\trad.as na Fi,a.
Flgura Vl.4· 11
.f 1(f)
P2.4-18.
1..4-ll A ~ao impu.b.o de um filtro ~ ludo
de pnmeua ordem< cbd> por
h (t) • - jH)
+ U_.w(r)
U-19 Utiliu: a Eq. (2.46) para dctmninar a coa·
\"'iução de .1~1) e tv(r) mostrados na Fig.
P2.4- 19.
(a) [)ct.enninc a rc~~ua de esa:ndo nukl dC:$It filtro p;ara a enu:KI;a
e"'u(..t).
( b) R.aK"Dnhe a enltld:a c a saída de t\.l.ado
nuto correspoll'kntc.
2.4-13 A Fia. P2.4-13 nlO!ltfll a entrada x(t) e n res.·
~tll lt(t) ao impuho ~:le um .sistenia LCIT.
Com~# S3id3 \'(t).
2.4-20 ()(termine:: 1/(.1 ), a func,~ de trun~Jerêncúa de
um 3Ull!l:ldor de trmpo ideal dt T segundo~.
Obctnha a WJ ~ dr dual formas: usando a Eq. (2,<8) e u....OO a Eq. (2.49).
2.4-21 Otte.nninc y (l) = x(r) • l1(1) J)ilra os sinni'<
mosr.rados ftll F'i,i:. P2.4-21 .
Dois Slstc:IRI"\ llnrares ÍJn-anAl'ltn DO tt:mpo.
cada um com resposta lt(r)., 1mpulso. dO
oonectad~ em t:érie. Rc:fira-11c ll Fig. P2.4·
(a) Por inspeção de .4-il) e ll(r}. ddmnine
><-' >·><o~ .>12>. ,o~ .><4~ ><~> • ><6J.
1>onamo, s:implc!lmellle elutmin<~ndo .r(t) e
deve dctennin.ar o ruuh:Kio da
COIWOiução piiltll I • - 1. 0. 1. 2. ), 4, 5 C6.
(bl Dto<nnioe a mpoou do sis<ema pwa a
22 Dada a entrada
entrada x(t).
2.4-14 A ~"\potrit3 de ~tOOu nulo de um shotemu
LCIT 11 entrada .x(t) • 2,~.,(1) ~ y(t) • (4e~
+ ~ " lu(t). Deccrrrune a resposu; 10 impulso
do J.ISICmL (Dica: &inda do dieltm'OI\"ftftOS
um método de ddcrmuuçio de h(t) a partir
do oonhocimento du entrada e da sakla corres·
pondente. Conhecendo u forma de ,,(1) e J(l)
\'OCl dcvt: udi\'inbar I (onna geral de h(I). I
,l'(t) •
u(t). determine
y( l ). Ou Kja. detmnine a ~posta ao degrau
para o ~mpo t e I para o si.s.kJnJ em~
h(t) \'OCê
tamostndo.
lA-23 Considere o cm:uito e~rico motilrndo na Ag.
P2.4-23.
(a) Dc1crmi1., a equaç!to di(e«"nciaJ q ue: n::laciona a cnuada .r(t) com a saicb J(t).
l..<mbf'<que
ir(l) -
d••c
c•
tlt
(b) tXtermine a equaç.OO c:.aructerfstica pa·
ra este circuito c exPf(:ne a(s) rai:c(c.s)
1
2..4-IS Ra!cunlleasfunç6<> ,.,)~ W + l)ett(l~
Detennine. ag(Jr&, .r(t) • u{t) c ra~oC:unhe o
d:a equaçlo carac1crfs1ica em 1mnos de
LeC.
~uhado.
' /o(t)
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flgu"' PU- I J
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Figu.ra 1'2." · 16
c
ed
CAPhlJLO 2
ANÁLISE NO ))O}.ÚNI<) 00 T EMI'O 00 SIS'mlooiAS E"o.\1 TEMPO Com1NUO
2l7
scn 1
.c{t)
1
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2ft
, _
Figura P2.4-17
•
x,(t}
A
o
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6
4
x 1(r)
X:(t)
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o
x.!(r)
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o
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1
x1(t)
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x.<•>
X-:(1)
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I
r2 +
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o
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o
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(f)
.r~r)
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_
o
1
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,
,_
(d)
x•(t)
_, o
o
1 xz(r)
(<)
o,_
-5 -3
( b)
x•(l)
-2
x~r)
8
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.tz(t)
.r.(l)
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o
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(JI)
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,_
(h)
Figura P2.4·18
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.<\I)
2
o
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( >t)
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Figura P.2.4·l9
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218
SlNAIS
e S ISTEMAS L tr.'EAJdlS
h(r)
_,
Fi~o-ura P2.4-21
2
(
(
-I
Sinais analógkus .f(I) e Ir(I).
I!(I)
.t(t} ~ y(t)
2
-I
figura 1'2.4-22
Rc~posta ao impulso e sistema em c-a scala.
(c) Detennine a respo:m1 a cntr.:acln nula dada
2.4-24 Dois sistemas possuem resposta ao impulso
dadas por lt 1(1) = (I - l)lr,(r) - u(t - I ) Je lr-:(1)
= rJu(t + 2) - 11(1 - 2)1.
uma te•~sào iniciaJ no C:Jpacitor de um
volt e liJna corrente inicial no indutor de
zero am perts. Ou seja. detertnine y,(l)
I V e ii.(O) = O A. [Dica:
d.ado ''r(O)
(a) Cuidadosamente trace as funções h 1(1) e
=
/r2(r).
(b) Assuma que-os dois si~tcm as !W.o conectados em paralelo. como mostrado n ~
O(s) cocficiemc(s) em ytf,.t) é (sllo ) indc-·
pendeme(sl de L e C. I
(d) Tr;)Ce yJ,_t) 1)31'3 t ~O. A respo6l3 de emrodu nula, a qual ~ c.aus.-.da somente pelas
condiÇÕC$ iniciai$, por acaso "morre"?
Fij:. P2.4-24a.
ctacc a
impulso.
(c) A!;suma que os dois ~i..-tcmas sãoconccurdos em c.uscn1n. romo mosuado na Fig.
P2.4-24b. Cuid3dosamcme truce a rcs.pos-
(e) Determine a res.posta total )~!) paro a enu·ada .1.{1) = i"'lt(t). Assuma uma corrente
iniciaJ no indutor de iL(Ol =O A e a tensão init.;al do e<~pac-i tor de "ÁO'');;;; LV. L
= lH eC=IF.
L
Çuids~:uncnte
respos.tu h,(t) do sistema equivalente àu
ca h,(t) dosi.stema equi"alente ao impulso.
2.4-15 Considere o circuito mostrado 1la Fig. PZA-25.
(a) Detetmine a salda J(t) dada uma
tens!<~
inic:-ial 00 ~pac-it (l( de y(O) = 2V e entl".t~
+
j(r)
da .f( I) = u(t),
(b) Dàdil uma entrt~daA(t) •
11(1-
l). d~;~ennine
a tensão inkial no Càpà<:itOr ) 11) tàl que ~
Figura P2.4-l3 C ircuito LC.
.<(rl --1
saídà.'(l) seja0.5 \'OILS paras= 2 segundos.
.t(l)
(o)
,r,(l)
(b)
Figura 1'2.4-24 ConcJCôcs em (a) p;ualelo e (b) série-.
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CAf'h'lJlO 2
A NÁ tJSP. so I)OMfs-to
=
+
2.4·29 O sinal 1>etiódicox(t) mostrado na F'ig. P2.4·
29 é ernrad~ de um sistema com função de
Circuito RC.
Figura P2.4-l5
r<'sposC<I ao impulso dad.a por 11(1)
c:
t(u(t) -
11(t - I.S)). também monrada na Fig. P2.4 ·
2.4-26 Um sinal n.nalógic.'O ê d~do por :r(t) = 1(u(1) u(t - 1)1, como mQStrado na Fig. P2.4-26. Oe-
h!r'mine e UõkX! )'(t) =
219
2.4-28 Um sistema LIT possui resposta ao degrau da·
du por g(t) = t'~ll(t)- e-->u{t). Determine a s:úda )~t) destc sistema dada a entradax(l) B(t :r)- cos ( .jj )u(l).
)Ü)
;r(I)
oo TEMPO 011 S tsrCMAS EM TEMPO Co~niNuo
19. Use a con,·olução para detenninar a SàÍ·
da y(t) dc~te sistema. Trnce y(t) no intervalo
,((1) ....:(2r).
(-3
~. ~
3).
2.4-3() Considere o circui1o elétrico mostmdo na Fig.
1'2.4·30.
-1
Jo~igura
(a) Occermine a equ~çâo diferencial que rela·
tiona a enlr<lda .t(r) C<Nn ~ safda )'(I).
(b) Oetc.-nnine a saída y{l) em resposta a e n·
troda x(l) = 4te~'-7,(1). Assuma. os valores
dos oomponen1es de R = I O. C 1 • IF e
C! = 2f' c 1ensões iniciais nos capacitOreS
I
1'2.4-26 Sinal X( t} em nunpa de curta du·
r:w;!io.
dc V0 =2VcV0 = 1V.
2.4·27 Cons.iderc o circuito c1étrico mostr:uio n:~ Fig.
1'2.4-27
(a) Detennine a equação diferencial que rcl!lcion:~ a cotTente de enlf:lda x(l) com a
cotTcntc de saida y(t). Lembrc-.k que
di,.
Vt, = L -
dt
ib) De~ennio>e a equação caroc1eristka pam <>·
re circuito e expresse a(s) rai7.(cs) d.'l cqua·
\ io camt."''erístiéa em cennos de L1• L.: e R.
(c) Otcc:rrnine a resposta a entroda nula dado
que u corrente inicial rws indutores é de
um ampere c:.ada. Ou seja. determine yJ,r)
dado iu(O) iCJ(O) :a IA.
f'igu l".t 1'2.4·30
2.4-3 1 Um pcsquis:~dor c n.rdiovascular está tentando
modelar o coração humano. l!lc gra\'ou a
l)l'eSS1kt \'entricul:tr. n qual ck acredita coiT'CS·
pond-era funçlio lt(l) de resposta ao impulso
do coroção. mosnad:a n:1 Fíg. P2.4·3 1. Co·
mente a funç!\o l1(1) mosuOOa na Fig. P2.4-3 1.
Você pode: estabelecer alguma propriedade do
si~erna. taJ como causalidade ou ~tabi l i da·
de'? Os dados sugerem qualquer rnzão para
você suspeitar que <Sla ~ uma resposta ao im·
pub>o verdadeira?
=
R
Fi~un\
1'2..4·27
1,i,)
~.
Circui10 R/,1,..
I!(r)
.<(1)
2
-
'
• • •
-I
Circuito RCC.
• ••
I
l
I
·'
•igura P2.4·29 A snída peri6dica .t(t).
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St~AlS E SISTEMAS Ll)!llo\Jles
220
~~,.---------------------~
120
100
liO
60
2..4-34 Obtenha o resultado da Eq. (2A6) por outro
caminho. Como mendun.ado no Capítulo I
(Fig.. I.27b). é possivel expressara entrada em
lermos de suas <."t:JmrxmentC$ em degrau., ccr
n\0 mostrado na Fig. P2.4-34. Detennine a
respos{a do sinema conlo a soma das respos(:lS às componl!nii."S em degrau da entrada.
oll)
20
o~~~~~~~~~
O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.3S 0.4 OAS 05
1 (se-auntk~\
Fi.:ura P2.4-3 1 F'unção de resposw. ao impulso
medida.
2.4-32 A uuto-<:orrelação de uma função x(t) é dada
por, Esta equaçfio é calculada de maneira qua·
se i dêmi~ à con,'Oiuçli.o,
(a) mostre que r••(t) = ,\'(1) • x(-1)
(b) Oetennine e trnOe r..(r) parn o sinah(r) nl()S.o
Indo na Fig.. P2.4-32. 1DietL:r.,.(r) =r..H ). I
,_
Figura 1'2.4·34
2.4·35 Mosue que a reS.JXl$ta de um siSiema LCIT a
uma sen6ide de duração infini{a oos wtl ~da­
da por
)'( I ) = I H (j~)l cos[<~r
+ ! H ( j~ ) J
onde
H (jw) =
-I
J :oo h(l)e "i..., dt
-~
2
tlgura P2.4-Jl Sinal analógiCOJ.'( t).
2.4-33 Considere o cin::uito IOOS:Ittldo na Fig. P2.4 •
33. Este cin·uilo funciona como um integrador. Assuma o CQmponamento de umamp·op
ideal e lembre q ue
dVc
dr
ic= C -
(a) Detennine 3 cquaçilo difcrc nciul q ue rela·
dona u entrada .t'{l) com a sa(da )'{t).
(b) Este cin:uito não se c:omporta be-m com
CC. Demonstre isto calC'ulando a rt:$pos·
w. ao estado nulo J(l) para um degrau uni·
tário x(t) = 14(1).
c
PftS-'unindo que a integral do ta.OO direito exista.
2.4-36 Uma linh.adecargaé oolocadaao longo doeixo x com densidade de cargu Q(x) coulombs
por metro. Mostre que o campo elétrico é {X)
produ7.ido por estn linha de carga no ponto :c é
dado por
E(.<)= Q(.t)• h(.<)
oode 11(1) = l/4zrel. I Dica: A cargu no inter·
valo .d r loc:alitada em r = n6T é Q(tu.1 r)4r.
Além d isso. pela Jei de Coulomb. o campo
elétrico E( r) a uma discânc:ia r de uma C<ltga q
ooulombs é dada por E(r ) q14n-el.)
=
2.4-37 Considere o circuito mo.sttàdo na. Fig . P2.437. Assuma o comportamento de um nmp-op
ideal e lembre-se q ~.te
•
dVc
IC .
•
•1(1)
_L
Figu ro P2.4·33 Cirtuito imeg.mdor com amp-op.
CJ,
Sem o resistor de ~Hmen taç~o Rr o circuito
funciona como um integtadot e é ins1tível.
panicularmeme em CC. Um resistor de reali·
memaç!io R1 corrige es1e proble ma e n::sulta
em umcircuito está\'el que funciona oorno um
integrudor ··oom penlas".
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CAPfN.IlO 2
ANÂJ.ISB NO DoMf.r.'"IO 00 T EMPO 011 StSW.IAS Elt 1'EMPO Com1NL'O
(a) Determine a equação diferencial que
relaciona :. entrada X(J) com a safd:t
y(r). Qua.l é a equoç.ãtt cara<:teristica
correspondente?
(b) Pnm demonstrar que C$tc integrador co·
22 1
2.4-39 Um si!Otema ~ charn.ado complexo se uma en·
1rnda de \'ator real produzir uma saíd.a de \'a·
lt'lr complexo. Suponha um sistema linear, in·
"ariante no tempo. complexo. com respoSt{l
ao impulso dada por h(r) = jlu(-1 + 2) -
mo petdas se con1pon.a bem com CC.
determine a resposta aó C$LIKio nulo y(l)
dada uma entrada em degrau unitário
.t~l) = u(t).
(c) lnV1.:Stiguc o efeito de uma tokr!Lncia de
I 0% paro o resistor e 25% pàrn o cap;.tcitor nas roízes Cilracteristicas 00 sistema.
11(-l) j,
(a) Este sistema~ Cãusa.l? E.xl)lique.
(b) Utilize a ('011\'0iução para detennina :~ res·
posta de estado nulo y1(1) deste si~ema em
resposta ao pulso de dll.r3Ção unitária x1(t)
&:
11(1) - lt(t - I ).
(c) UsandQ o resultado da parte b, detemtiDC
a resposta ao estado nuJo y.j.r) em resposta {l.r1(1) • 2u(1 - I) - u(t - 2)- u(1 - 3).
2.5·1 Utilize o método clássico JX't'a resolver
(D 2 + 7 D + 12)y(o) = ( D + 2)x(o)
•
considerando as condições inidois y(O ..) =O.
j(O) = I. e emrado X(l) de
(>) 11(1)
(b) (' _,ll(l)
(c) e -:tu(t)
•
A(I)
J(l)
Figunt P2.4-37 C ircuito integrador com perdas com amp-op.
2.4-38 Considere o circuito elétrico mostrado na fig .
P2.4·38. Considere C1 =C: = IO~f. R, = R:
= 100 1<0 e R,= SOkO.
(a) Oetennine a equaçiió di ferencial <:omspondcntc a este c-in:uito. O circuito é 81·
80 estAvel?
(.b) ))e(ennine a resposca a entrada nula yJ.t) se
a saída inicial de cada mnp-op for um volt
(c) DetcmtülC a resposta ao cSUido nulo y(I) a
uma emmda em degrau ~r) a ~r(l) .
(d) ln\'est.igue o efeito de uma tolerânciu de
JO% nos n:sistores e 2S% nos capodtrues
nns rafi'.cs caructcristicas do si stcm::~.
c,
2.5-2
Us::~ndo o
método c,lássioo rt'SOI\'a
(D' +60 + 2S)y(1) c (D + 3)x(1)
pan1 as condi\()es iojci:tis ){0") = O. j(O+) • 2
c e ntruda .t(r) = u(l).
2.5-3 Usando Q método cláiSico rcsolw
(D2 +4D+4)y(I)=(D+ I)X(I)
para :ts condições iniciais de )'(0 •) = 9/4,
.\(0+-) = 5 e entrada .t(t) de
(a) e-31u(I)
(b) ,.-,.,(/)
l.S-4 Usando o m6todo clássico resolva
<D' + 2D)y(o) = (D + 1).<(1)
c,
•
}Ú)
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222
SINAIS E SISTE.\t.AS L INEARES
para <Uroodic_'lÕC'.s inidais)10 ..) =
2.)(0~)
= 1
e entrnd;J x{t) = Jl(l).
2.5-5 Repita o Problema 2..5·1
.t~t)
par:~
a cturada
=f""""u(r)
2.6-1 E.~pliquc. com razões. qunndo um sistem:.
LCfT dcscrilo pelas seguintes equações é (i)
estável ou instá\'el no sentido BlBO:
(ii) assiruóCkamenle C.!>tlivd. instável ou marginalrnenle c-.slávcl. A.'>suma que os siste·
mzas s:lo controláveis e observl'i\-eis.
(a) (01 + 80 + 12)y(1) = (D- l )x(l)
(b) 0 (0 2 +3D+ 2)y(l ) ~ (0 + 5)x(l )
(c)
2)y(1) = x(1)
(d) (0+ 1)(0 2 -60 +5)y(1) = (3D +I)X(I)
o' co'+
2.6·2 Repita o Prob. 2.6-1 p;ua as .:quac;tks:
(a)
(b)
(c)
(d)
(b} Este .'>istema é e.<>tável'! Este siS!ema é
caw;al? Justifique suas respos:UJ.S.
2.6-6 Um sistema possui funçlo de resposta ao impulso corn forma semelhante u um pulso retangular. lt(t) = 11(1' - 11(1 - I). Este s:istema é
estável? Ele é causal?
2.6-7 Um :;istema LIT em tempo cootínuo possui
função de resposta ao impulso
(a) Esce sistema é causaJ? Prove sua resposta.
(b) Esce sistema é estável? Prove sua respos1a.
1.7· 1 Oados na la.xa de I milhão de pulsos por se·
gundo dl!"t-em ser lrnnsmitidos em um cenoett·
naI de comunicaçOO. A resposta ao degrau uni1ário g(r) desce canal é rncxruada 11.à Fig_. P2.7-1
g(t!
(D + 1)(0 2 + 20 + S)'y(l) = x(l)
(0+ 1)( 0 1 +9)y(l) ~ (20 + 9).<(1)
(O+ l )( 0 2 + 9)2 y(l) • (20 + 9)x(l)
(D' + I)(O ' + 4)(0' + 9)y(1) ~ 30.<(1)
2.6-3 Para um ce11o sistema LCrr, a resposta ao im·
pulso é ll(t) = u(t).
(a' Determine a(s) raiz(es) caracterfstica(s)
deste sistcn_
la.
(b) O sistema é assimoticarnerue ou nuttg_inal
mente estável ou t le é instávtl1
(c) O .'>Ístemu é 8180 estfivcl?
(d) Par..l o que este sis1ema pode ser uti.li1.ado?
o
,_
Figura Pl-.7• 1
(u) & 1e c-anal pode transmitir os dados na ta•
xa nece.'>sária'! Explique sua resposta.
(b) Um sinal de·áudjo, constituído por componentes oom freqUência até 15 khz, pode ser lransrnjlido neste <.'ltnal com umn
fidclidOOe razo.1vel?
2.6-4 Na Seçtto 2.6 demonscr.unos que par.t um sis-
2.7-2 Um ccno canal de comunicaç-lio possui largu-
tem:. LCJT. uoondição (2.64) ésufk iente parn
a cstabilid:'lde omo. ~ost~. que cl3 l:tmbém é
umacoodiç:iQ neceS$ária para e.stabilidndc 8 1·
BO e m tuis sistemas. Em outras palavras,
lllOSU't que se a corxJjção (2.64} nOO for satisfeila. em.llo e.x.is1e urna entrada Umitadct que
produz urna saída ilimitada. [Dka: Assuma
que existe um siS«!n~ no qual h(t} \•iola a oondiç/kl (2.64) e n)('smo assim pnXIuw uma saída que~ Jjmitada par.t toda entr.Kia limitada.
Estabeleça 3 controdi~ão nesta afinnaliva considerando uma emrndn .\'(t} detinida por .t~t, r)= I qu:mOO /r( r)~ Ocx(t,- (J = - I quando
h( l) <0. onde 1, é ~lgum instante lixo. f
ra de faixa de lO kHz. Urn pulso de O.S ms de
duraçà<l é Wlns:rnitido neste c.·.unal.
(a} Detem1jne a l.argura (duração) do pulso
recebido.
(b) Decenni~ a tala m:Uima n.1 qual estes pul.
sos podem ser tmnsm.itidos pelo c;\ll,al se.m
interfefência entreS os pulsos sucessivos.
2.6-S Um $is1ema LCIT M~)ógico com função de rts.posta ao impulso dada póf h(t) = u(t + 2}- u(t
- 2) lt'(~ebe uma enl.r.Kta x(r) = r(u(r) - u(r- 2}).
(a} Determine e trace a suida do sistema )"(t)
= .ÚJ) • h(l).
2.7-3 Um si~l em a LCIT de primeira ordem possui
mi 1. caroctcrísúca À = - I o~'
(a) Determine T,, o tempo de subida dares·
pcma .'lQ degrau unitlirio deste sistema.
al~rgura de faix.u do sistema
(c) Dttemline a ta:w na qual pulsos de inforrrw~ão podem ser transmilldos a1rav~s
des-te sjs:tcma.
2.7-4 Conliidcrc um sistem.n linear. itW:lliame no
tempo. com rcspost~ 11(1) oo impulso moscrada na Fig. P2.7...t. Forn do intervalo moslrudo.
(b) De•ennine
11(1)
=o.
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CAPI'I'Ul.O 2
ANÁUSS NO Oo:-tiXIO 00 TEMPO DE St$TEMAS F.M TEMPO CONtiNOO
(a) Qual é o tempo de subida.
I.2
223
T,. deste siste
4
ma"? Lcmbre se que o 1empo de subida é o
4
I
tl'mpo entre n aplic3çiio de um dcgruu uni
tário e o mocnento no qual o sistema rt$o
pOndeu oornpletamente.
(b) Suponh~ que lt(t) represcnt:l n re.spo!Ua de
um canal de comunicnçilo. Quaiscoodiçôcs
podem rou:er oom que o cantil tenha este ti
pode respo$1n ao impulso'! Qual é o maior
nllmcrQ médio de. pulsos por unidade de
tempo que podem ser ln1Jl.c;milidos sem <.~au4
4
o.8
§ o.6
o.•
o.2
o
-0.2
4
o
0.5
Flgun11 2.7·4
1.5
ReSIXl~a
2
l.5
J
3.5
h(r) <'O impulso.
4
sar intctfcrincin'? Justifique sua resposta
(c) Determine n sa(da do sist('ma ~{t) =,\"(I)"
h(r) para x(t) = (11(1- 2)- 11(1) ). Tmc-e o
grátieo exato de y(t) para (O S t S I 0).
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ANÁU SE NO D OMÍNIO DO T EMPO DE
S ISTEMAS EM T EMPO DISCRETO
Nc:st~ capítulo. aprcscnu11cmos os oonceit~ bá"icos de !tinai'i esistcmLS em
ccmpo discreto. Estud:ucmos o mé·
todo d:a oorwolu<;ào de sis:temas. line:tte..'- dJS...:tetO!. ~ ill,·íltlante, 1)0 cempo (LDlT). Mltodos c.lás.sioos de análise
destes sistemas também serJo c.'IJuninu~
3.1
I NTHODU(:,\0
Um titwl ern tempq dlxcre.tQé b.'lo,icnnlt:ntc uma ~Oênci:~ de: núm......-os. Tllis sinai!l aparet.'em nmur;~ lmcmc em
situ:tçtks inerentc:mente di.sc-retas. uu~ ctJmo ~üdos popul.tdunâb.. prob1erl'l41$ demnortiz~~Ç.ãO. modelos de renda na<:iorml e. rastreamento por r<~dar. 1!1~ também podem aparecer cumo n:os.ultadu da amostragem de ,'>imli.$
contJnuos no tempo em .sistemas •• •oo!m:<~d~.lS de fi l trng~m digital. TaL~; sin;1is podem ser representados por xi'•).
)'lt• l e assim por diame. no qual a vari1vel , assume vaiOf'es imeiros e ·"fnl repteserua o n·ésimo número na se·
qoênciax. Nessa ltOCúÇ5o. .-. v:ariáwd d.isereta , é m.ant.ida entre eokbetes tiU veLde parênteses. o qual t rtkf'V<l·
do para \'aJÍ~\'eis L~tln uas no tempo. tal conlo 1.
Sistemas cuja$ cnu~(las e snJdas s~o sinais em tempo di.SCI'tiO são chama.dQoS de :#J'lt:tri.(JI f'm lt:mf~t) fli:tf.'tt:W
o" simplesmenu: slsmt~lu distf'l!lus. Um co•nputador digj1aJ é um exemplo típico desn: tipo de sisten.ta. Um si·
nal em tempodiscteto é uma seqüência de nt1meros e um sisten~a em ternpo di~:relO pruc:essa umá seqüêncin de
uúml!ros x[~t_l ré"~uh.ando em ourra Stqüêoda y[nl na sa.ida.1
Um sinal em tempo disc.:n-to. quando obtido pela amostr.tgem unifonne de um sinal continuo no tempo x{1).
t::~.mbém pode ser cx_prcsso por .-'{n1), <IOdc T é o interv:do (pcriodo) de :..mostrogem e '' é a v:uiá\'el discreta que
u.ssume \'nlores inteiros.. Portnnto•.r(n1) representa os \'afores do sinal x(r) (Xltn 1 = uT. O sinal ,\'{111) é \11\\11 se·
q(lênc-ia de números (valores amosuados) e. ~o. por deJinjç~o. é um sinal em tempo discreto. Tal sinaJ também
pude ser represen1àdo pela notaçOO simplificada discreta no t('mpo por ·"Lnl. onde.~[nJ = .t(n n. Um sinal em
tempo discreto tipico é mostrndQ na F'ig. 3.1. a qual mostra as dua-. fonntL-. de n01açOO. Por exemplo. uma ex.poncncial contínua no tcmpox(t) =,-r. qwmdo amostrada a cad.a T = 0.1 segundos resultu em um sinal em t~.:m·
po d i!'C."reto x(n J) dado poT
x(" T)
= e-"r = e-U.In
Clmmeme. este sinal é uma função de" e pode ser expresso pot .rln-1. Tal representa<;ao é màis CO.l''énienté e
strá adotada ao Jongo deste lh•ró. mesmó p<aa s-inais rtsuhnntes da runostragem de sinais l'ontinuos no tempo.
Filtros digitais podem proL-essu.r sinais continuo.,;; no tempo através de ~Lo;temns-cm tempo discn::to, usando interfaces apmprindas n.a entroda e saídn. como mostrodo n:t rig. 3.2. Um sinal continuo no tempo .f(t) é inicial·
mente amostrado, sendo com•enido em um sirul em tempo discreto .t1~•J. o qual é, enlii<>, proccssadQ pelo siSJc·
mn em 1cmpo discre.1o res-ultando em uma .salda yln l. O sinnl C(Jfltfnuo no tempo é tionJmemc oon.strordo a par·
1jr de >1n). Ulilizaremos as notações CID e 0/C para a conv~o de comrnuo p.'lf3 discrew e de discre1o para
contínuo. Usando as i.nterfàces desta mandra. podemos utilizar um sistema em tempo discreto apropriado pa.ra
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CAPhtiLO 3
ANÁUSI! DO OmdNJO DO f uti'O DE SISTI!MAS DI l'EMPO DISCRETO
-2
- 2T
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5T
IOT
225
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tl gura 3.1 Sinal discreto no •empo.
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Contínuo p11111
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SiSlt'n\1 dl:S·
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Cft't O 00
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Olsc:rno para
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coot(nuo
DIC
lrtllpo
Figura 3.2 Proc:e ssando um sinal de tempo contínuo com um sistema de 1empo di:sc.Ttló.
processar um sinal conúnuo oo tempo, Como \'eremos posteriormente em nossas discussões. os sistemas em
tempO discreto possuem diversas vantagens quando comparados com sistemas contínuos no tempo. Por essa ra·
zão. exlste uma fone tendência no processamento de sin.ui.s contínuos no tt':mpo atruvés de sis1emas em tempo
discreto.
3.1·1 Tamanho de um Sinal em tempo discreto
Argume ntando de manei.ra semelhante a sinais contínuos no tempO. o u~manho de um sinal em tempo discreto
x[nl será tnedido atru,·6s de sun e nergia E~. definida por
~
E,
=
L '·''" ,,,
(3. 1)
Essa definiçAo é "'lida pata x) ~r] rea.l oo oomplell.o. P..sr.J que essa medidà cenha algum sentido. a energia do
sinal deve ser finita. Uma oondiç.ftO necessária para que a energia seja tinita 6 que a amplitude do sinal de"e -..
Oquando 1111- oo. Caso contrário. n somn dn E!q. (3.1) não irá convt"rgir. Se E~ ó fin ita. o sinal é chamlklo de si·
'.ai de. ~nugia.
Em alguns casos, por exemplo. quando 3 amplitude de .\'lttl n~ ~ Oqu.:mdQ lnl - oo. então a energia 00 si·
nal é infinita c outra medidn mais sia:nific:niv:. do sin:tl nes.tcs casos é a méd.ia temporal dn enocrgia (se ela cxis·
tir), a qual é a pocêncin do sinal P•• definida por
N
.
I
"L lxlnll,..
P• = hm
,v-r:o;; 2 N +I
•N
(3.2)
Nessa equaç3.o. a soma é dividida por 2N + I pOi$ txislem 2N + I amostr..s no inten •alode - Nu N. P..ar.l si·
nais periódicos. n média temporoJ pode ser calculuda apenas para um período. em função da repetição periódi·
ca do sinal. Se P. for fi nita c não nula. o sinal é chamado de sinal tle potlncia. T:d como no caso de contínuo no
tempo. um sinal em tempo discreto pode ser 01.1 um sinal de enetgjól ou um sina) de potência, m ::t.~ nunca os dois
ao mesmo tempo. Alguns sinais não sJo nem de e nergia ~m de polência.
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226
SrSAIS E
SISTEMA~ l.JNBARE.~
Delermi ne a energia do 5lnaJ .rinJ = n, motii.rudQ nu 1-ig. 3.3s r: a potência paru o sin.u I ~rilldiw >1 nI du Pig.
3.3b.
·(•)
~(nJ
(b)
Figura 3.3 Delenninaçao da (a) e•lergia e (b) pcnência de um sinal.
~la
dd1niçiió
E,=
I'>'= 55
...
Um sinul periódico.t{nl com período N0 6 caructerizado pelo fato ck
= .<(n +No(
O menor \'alor de N0 ooqual a eq~o ameriof t v:l.lida é (l f"tf'ÚX/() fwu/c;mental. T01l si o~ é chamado de
x(n)
N0 ptri6dico. A Fi.g. 3.3b moslr:t um exemplo de um sinal periódico y[nl de perfodo N0 • 6. pois cada perfC)do cootém 6 amostras. Observe que se .a prime-ira amostra é considerada em n =O . .atíltima am<nlrôi esuttá.
<'m ,. = N0 - I = 5 r: nãotm n = N0 = 6. Como o ílinul.)fnJ t pt"ri6dito. sua pacênc-ia P1 póde ser calculada
pela média de sua energia em um periodo. Calculando a m.!dia da energia em um perrodo temos
EXE Rc1C JO E3.1
1
Moslfe que o sinal x{trl =ti''utnl é um sinal de energia com energín E,= I/( I - la1 ) se lal < I. Ele se·
cl um
~il\:ll
de JX'I'I.êncin com polinciá P,
=0,5 ~ laf =
I. E ele núo scrfl nem de e.nergi:t nem de pO-
téncla se (ai > I.
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CAPiTULO 3 A:.;..\uSE oo DoMfNlO oo TEMPO DE SISTE\tAS EM Th.Mro DtscllETO
227
3.2 ÜPERAÇÕES ÚTEIS COM S INAIS
As operações de ti~$I<X:amrn.rQ e ~sct•hmttmrnrq, disculidas par;·• siniliScontínu(JIS no tempo l~llllbé.m s!i<> nplic:-.·
cLts par.t sinais em tempo discreto <.:om atgum"s m<XIifiç.-.çOes.
D ESLOCAMENTO
Considere o sinal.f(n l (Fig . 3.4a) e o mesmo sinal atrasado (deslocõ'IOO pa.rn ~ direiw) 1>01' 5 unid.'ldes (Fig. 3.4b).
o qual iremos representar por .t,(nJ, • Usando os argumentos adotad()S: para. a operaç!kt simjJat de sioais condnuos
no tempo (~ão I .2), obtemos
x. l"l =x(tt- 51
Portanto. p;~ra deshx:or ul'l'UI seqüência por M unidades (M imdro). substiiUÍn)I)S 11 p.K" - M . Portanto• .t(n
- MJ n.-prcsenta x(ttl deslocado por M unidndes. SeM t'o r po..-.iti\'o, o deslocamcn!o ~para il din-ita (atraso). Se
M for Degati\'O, o desiOC1Lmento é parn a el;querda (!lv:!l"'Ç"'). 0.::\Sa fonnu, xftt - 51 é xftt] atrasado (deslocodo
parn a dirciln) por 5 unidsdes e x (tr +51é .t1111 nvançsdo (deslocado par:. a esqucrdn) por 5 unidades.
RE\•ERSÃO NO TEMPO
Para fazer a revers11o temporal de ,\'(,,1da Fig. 3.4a, rotJcionamos ,tftt 1com relação ao eL~o ve11ical paro obter o
sinal revtniOO no ttmpo x.(nl m~tr.tdo na Fig. 3.4:. Vsondo o argumento adotado par::~ à <>petaçào simiiM em
sinais contínuos no tempO (Seção I.2). obtemos
.t,lnl = xl - nl
Pon.:uno. para revertermos no 1empo um sinnl• .subi>tilufmos" por _,,, wl que .t1-n I é x{11) re\'enido no tempo, Por exemplo. se ,t(nl:;:; (0.9)~ para 3 s n S 10. entãox,f r~ J :;; <0.9r• JX~ra 3 S _, > 10. ou seja. -3 ~ '' ~ -10.
como mostrado na Fig. 3.4<.·.
A origem n Oé o ponto fuo. o qual pem1anec.: inaherodo durante: a operoção de te\'érsào temporal pOis para n = O•.t(nJ = .t( - 11J = x(OJ. Note qUI." enquanto u I'C\'ersão de x(n) no ci:to \'C'rtical é .11- nJ, a ~n;õ.o de x(11 I
no eixo horizontal é -x(ttj.
=
EXEMPL032
Na operação de c:onvolução. discutida posteriormente. prcdsate'mos dctcnninar n função .t(k - n) dC' x[n).
Isso pode ser feito c:m dois passos: (i) n-versiio temporul do sinal .t{nl paru obter x( _ ,,): (ii) de-slocamento
para a direita de.t( - tt) por k. l.C'mbrc·se que o deslocamento para u dird ta i realizado substituindo'' pôr n
-l:.Logo, o deslocamento para u dircim ôe x( -nl por k unidades é ,rJ -(rt - k)J = x(k- 11). A Fig. 3.4d mos·
tra .l15 - n) oblida desta fonna. Primeiro faumos a n:'•etsio no tempo de xln l. obtendo x(-nl na Fig. 3.4c.
A seguir deslocamos x(-nl pCif k = 5 para obter .\1k- n l = xfS - nl. como mosuado na Fig. 3.4d.
Neste exemplo em pa11icular. a ordem das duus opcrnçôes pode ser altcrnda. Podemos primeiro deslocar
para a csquerdn .l{n) obtendo ,f(n + 5]. A seguir, faze mos a reversão temporal de .t1n + 51 para obcct xj-11
+ 5 1 -'15 - ' ' I· O leitor é enCQf'ajndo a verificar que este procedimento rcsu11a no mesmo sinal da Fig. 3.4cl
=
•
~tennc)S "mJaSO.. < "'avll"'\Q" po~>wem ~x.niflCIN.lQ somcme qutll'l(jQ 11 ~w,·-el iOOcpe!Kieo'C é o~empo. Plan oucnas vtll'iá\'Cis indcp::ftden•es.. tan OOil'IO (n:qUb'lcla 01.1 dlstlncla. i 111als apropri/100 utilu:.ar ~ lcn!O)S ~dtU.,.."\\IIII."ttiO pn a dhTita-e -dc.~l(l("ll•nc..o puro 11 e,..
QU~'tdll" oh se(Jilf:llt:'lll.
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228
SlNA.IS E SISTEMAS l.JNEARfS
z(n) I
(0.9)"
o
6
}
8
10
&
10
15
!•)
·-
.r.,(11) =XIII- SJ
o
12
15
( b)
.r,(n J • x(- nJ
- 10
-3
-6
o
6
15
6
15
(c)
- 10
-5
-}
o
2
(d)
·-
Figura 3.4 Desloc;unento e reversão temporal de urn sinal.
ALTERAÇÃO DA TAXA DE AMOSTRAGF. \1: D ECIMAÇÁO E INTERPOLAÇÃO
A ultt-"1"3Çào da t.u.x.a de amostragem é de oJguma fonna similar ao escnJonamento temporul de sinais con.línuos
no tempo. Considere um sinal .((nl comprimido por um fa1or M. A compressão de .11nJ pelo fator M resulta em
.(Jnl dado por
(3.3)
Devido 3 resu ição de que sin:lis em tempo discreto são definidos :Lpenas pru-a vaJores inteiros do argumento.
de\'ernos resuingir Ma valores inteiros. Os \'aiOI'tS de44fuJ pata n = O. I. 2. 3. .. sàoA10). x(M). x(2M). x(3M)....
Isso signific:t que x(Mtl) seleciona cad:t M·6sima arnostra dex(n) e remo\'e todas as amoslnls intermediários. Por
essa mzOO. esta operação é.chamada de decimaçtio. Ela redll1. o número de amoslms pdo fator M. Se :cfr~) é ob·
tido pela amostragem de um sinal contimN) llQ tempo, eSUI operação implica em rodu~ir n Utxa de amoscr..gem
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pot um fator M. Por estat<l11iO a de<:-imaç-.ão t~unbém é thamada de reduçlio do amosmtgem. A Fig,uta 3.5á mos·
lra um sinal xf11J e a Fig. 3.5b mostra o sinal x)2nJ. o qual é obcido removendo as umos:lra~ ímpares de x)11):
No C.'l...<>O de ccmpown1fnuo. a compressão temporal simplcs.memc acc1cta o sinal sem perda de qualquer da·
do. Pl)l' ou1ro lado. a OOcimaçno de .~1,• 1 gerJimeme •'Csulta na pctda de d~dos. Sob cenas condjçôes - pot ex:em·
pio. 5oe x(11l é o re$ultado de uma supc:r.lm()i.tragc:m de algum sinal contínuo no tempo - entiio xJnl ainda podeconter a informação completa de .f[n J.
Um s.inal imerpnladn é gcrndo em dois. p.:!SSQS-: primeiro exp.mdimos ,·I~t i pc:~r um fat or intcirn t
sinal cxpandido.r_.llll,
p:m~ obter o
,t(11)
2
4
6
~
l O 12 14 16 18 20
,_
ia)
2.!6810
n ( b)
,o:_.jnJ
.t,.(lll -
,1'111
Ex JX'Ib:i(>
2
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•
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20 22 24 26 28 30 32
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36 38 40
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10 ll 14 16 18 20 2l 2.1 Z6 2S JO 32 34 J6 38 40
(di
FiJ'urú 3.5 Compressão (del."ima"*:ão) e cxpo·msão (interpohl(j5v) de um sinal.
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230
S INAIS E S ISTDW L INEARES
x[n/ L]
11
.t..lnJ ::: { O
= O, ± L :1: 2t, .. ..
caso contrário
(3.4)
P..wo1 compreender essa expressão. <:Onsi~ o simples (.-a!IO de <"Jtpondir .tfnl por um !'ator 2 (L= 2). O sinal
expandido é x.(nl = x(n.l2l Qu.ando '' é ímpar, tt/2 não é imeiro. Mas .l1tt) é definido apcn.:t.\ p31a valores inteiros
de'' e zem ctLw<:ontrúrio. Ponantox.Jnl =O para n impar, ou scj-n, x,(l l = x, (J J = x,[51, ... são tod():$ lCrQS, CQmo
moslrado n:~ fíg. J ..X. Além disso. 1ú2 é inteiro p:l.f'3l n par e os \•akxes .-)n I ;;: A't tt/2( para " = O. 2. 3. 6.... sllo
,\10). x( I(, ...·(31. ,rf3).... como mos(rado na Fig. 3.5c. Em geraL. fXlr.l n :: O. I. 2..... x,fn] é d3da peJa seqoência
x[O). .__.._..
O. O. . ... O. O. x(l ). O. O. .••• O. O. x(2). .__.._..
O. O.. .. . O. O. ...
L - l lfflll<
Ponamo. a taxa de amoslragem de.t,(t~l é L vezes a laxa dex(n). l...og(). esta operação é c-hamada de a po.n·
siit). O sinal expondidox..)tt') contém todos os d:tdos de x(n}, apesar de estarem em umn fonna expandida.
No sinal expandido d.1 Fig. 3.5c. as amostras fmpGteS inexjstcmes (\•alor zero) podem ser reconstruídas das
runosuas difefejnes de zero usando alguma fórmula adequada de imei'J)OI3ç:.O. A Fíg.. 3.5d tUOSU'3 um sinal interpolado x,(n). oo qual as amostras que faltam são <:Onstruí<W: usando um filtro interpolndor. O filtro int:erpol3dor
ótimo é gemhnc:nte um fi ltro PIL"..'>a-baixas ideal, o qual é implementado apcnss nproximsdn.mente. Na prál:ica, podemO$ u~r uma imcrpolnção n!Lc) ó1ima mas re:dilávd . Uma discussJo mais decalh.Wa sobre interpolaç5o eStá
aJém do nosso escopo. Este processo de tiltrn.gem para imerpolaros valores nulos é c.ham3do de int~rpolaçcio. Como o dado interp:;,lado é cal<.:~• lado do (k)OO existente. a inteJpOI:w;J o nãO resuht~ em ganho de infonnac_-.ão.
EXER CÍ CIO E3.2
M~tre
que xtnJ da Fig. 3.4a deskx:ado parn.a e'>~Jnerda por 3 unKI.a~ pode ~r expres....o por 0,729(0.9)• p.'l.r.t O
S n :S 7. e tcro caso contrário. Trace o sioaf de<;locado.
EX E R C ÍC IO E3. 3
Trace o sinal.;rfnl • t . . . para-3 S n S 2 e cero ca.<;.()COcllt"'.trió Troce o ~ina.l rt:"'«tJOO oo tempo <:om-spoodcnte e. mostre que etc pode setdescrilOfl')r .c-,[11) a,....... p:u-a -2 S n S 3.
EXE RCÍ CIO E3. 4
MOStre que .tf - k- n] póde ser óblldo de x[n ) mtt:l.llmt.'llte ~.~c..lo..:ando paro a diretta t(nl por k unidades c, e ntlo.
I"C\'ertendo no tempo C<'le .;inal deslocndo.
EXER CÍ CIO E3.5
Um "i n:~l :cfn) é <"Xpandido por um l':uor ~ ~m obter o 'mal tlni'1J. A\ amo,.tru.·• fmparc" (n imparl ne.;ce ~i nal po&·
suem \'alor 'Zero. Moqre que a~ :unosrras fm~ lineannente interpolad3." slo dadas por n{nl • ( 1/2)1,t (n - I 1
+ >[n+ IJ).
3.3 ALGUNS M ODELOS ÚTEIS EM TEMPO D ISCRETO
Dl.;cutin:mos agora alguns modelos de sinais em tempO discreto importantes ql.lé são freqüentemente encontro)·
dos no estudo de sinais c si.;tema.s em tempo di.;creto.
CAJ>f'nJL() 3
ANÁLISE 00 Do.ufNIO 00 TEMPO DE 5 IS'rn1AS EM TEMPO DiSCRETO
231
3.3-1 Função Impulso S[n) Discreta no Tempo
A contrapattida di:scret:~. no lempo da funç:.O impulso contínua no tempo !(t) I. c1(nj. a funçlo delta de Kronet·
ker, dcfin.ida por
6[n)={~
11 = 0
(3.5)
n,OO
Essa funç-ão, também chamada de seqüência impulso unitário. é nlOStrnda na Fíg. 3.6a. A stqüêocia impulso de$.
locado ~(n - rn] t upresentada na Fig.. 3.6b. Ao conlt:irio da funçtlo delta de Oirac conúnua no tempod(t). a delta de
Kronccker ~ uma f'unçio muito simples que nllo requer nenhlllll conhecimento exocérico da teoria de di.suibuic;ão.
3.3-2 Função Degrau Unitário Discreta no Tempo u[n)
A contrupa11ida di$<.-reta no tcm.po da função degrau unitário u(r) é u(n 1(Fig. 3.7a), definida por
p:tru 11 ~ O
para n < O
11(nl = {~
(3.6)
Se quiscn:nos que.um sinal comece em 11 = O(de utJ forma qoo ek possua v:dor v:ro para todo n < 0), prcci·
samos apenas de multiplicar o sinal por u[nJ,
..
(a)
m
-
, _
( b)
figura 3.6 F-unçiio impulso discreta no tempo: (a) seqüênci-a impulso unit:lrio e (b) seqüência impulso uni·
1.1rio deskx:lldà.
ulnl
o
J
s
(a)
·-
.t(n)
•
2
.....
I
o
>
I
lO
·-
tigura 3.7 (a) f unção degrau unitário discreta no 1cmpo u[n l e (b) sua apJjcaçlo.
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232
5 1:-l'Ats E SISTEMAS L lr•'EARfS
EXEMPLO 3.3
.
[k.S(.."J'e\'a o sinnl.ffn l mostrado na Fig. 3.7b por uma Unicn expressão \'álida para todo n.
Existem divef1as ronnas de ver .r(nJ, Apes.v de cada ronn.1 resuhar em urna expres.s.~o dircrente. elas s.1o lodas equivnlemes. Iremos considel'át a.penas uma possf\'el expres~ão.
O sinal x{n) pode ser sepruado em três componentes: (I) uma componente em rampa :c,ln) de n Oa 4.
(2) uma componente em degrau Xz(n l de,. = S a lO e (3) uma componente em impulso xl-1,•1 representada
pelo puiSQ negati\'O em n = 8. Vamos C(ln'\idernr cOOa uma scp:tmdnmente.
Podemos expressar .r,rnJ a: n(u(nl - u(n - Sl) pata considel'ou· o sinal de ,. c: O a 4, Assumindo tempo·
rariamente que o pico em n = 8 não exi.'>te. pOdemos txpre.'>s:tr :c:[n l = 4(11{n - 51 - 11( " - li )) p3r.l ooa
sidemr o sinal de n = S a 10. Ul'1lli \'eZ que estas duas componentes tenham sido somadas.. u única parte ainda não considerada é o pico de amplitude 2 para " = 8. o qual pode ser representado por xJlnl =- 26(n 8 1(precisamos de um pioo negativo uma "ez que este sinal será somado a x71nJ e."Ctl8) = 4). Logo.
=
4
x(nJ = .r 1(n) + -'J:(11) + x,[nJ
= n(lt[nl - u[n - 51) + 4{lt[n-51 - ll[n - l i J) - 2afn - 8) para todo,..
Rmah.amos novruncnac que esta expressAo é váljda para todos os valores de n. O leitor pode deccnninar
várias outras e.xpt"essôes ~uivalentes !)Ma x[11]. POt exemplo. pode~se considerar uma runçlkl degrau de" ;
Oa 10. subcrainOO a rampa para u fa.ixa de, a Oa 3 e subtraindo o pioo e m , ;: 8. Você c.ambérn pode obter
uma ex.pn:ssfu> SC'.parando u em diversas faixas par3 sua «pressão.
3.3-3 Exponencial Discreta no Tempo y•
A exponencial <.."'ntínwt no tempo l" pode ser t.\prt:!i<s:'l em urna forma alternativa por
... =
y'
(r = <" ouÀ= In y)
Por exe-mplo. e -I\ )f = (0.7408)' petis e -cu = O. 7408. Alternativamente. 4' = ~·· ._. pois t'l.)M) = 4, ou seja. lu 4
= 1.386. No estudo de sinais e sistem.u.s em tempo cootínoo. preferimos a fonna é' ao invés de y'. Por ootro la·
do. a exponencial y' é pref«f\'el no estudo de sinais e sislcmas em tempo discreto, como ticará claro posterior·
mente. A exponencial disc~a no tempo y' também pode ser exp~ssu usando a base natur:.l por
(y =e;, oo
À
= In y)
De\'ido a não familiaridade com exponenc:iais de base diferente de e. exponenciais na fOfTIUl y' podem ser in·
convenientes e confusa!' a primeira vista. O leitor dcvt: u:.çar algumas exponenciais pam adquirir algum senti·
mento dcstns funções..
Natureu de y ... O sinal/" cresce exponencialmeme com" se Re À> O (À. no SPO). e decai e..x.ponenci.almen·
1e se Re À.< O(). no SP6). Ele é conSiante ou oscila com ampliludc eonsasnte se Rc ). =O(). no eixo iJN.&ift4·
rio). Claramente, a posiçio de). no plano complexo indjca se o sinal i .. irá Cn:sce1' exponencialmente. decair e.x
ponencinlmente ou oscilar com uma runplimde constamc (Fig. 3.8). Um sin.1J constante (À 0) também é 06Ci·
Lut6rio com freqüência :.-.ero. Agor.t encontramos um critério similar para à detennin.açào da nàture7.a de y• a p:tr·
tir da posição de y no plano complexo.
A Fig. J.&a mo-s-tra o plano complexo (plano À). COO$iderc o sinal ~. Neste casn À= jfl está no eixo i ma·
ginJirio {Fig. 3.8a) e,~amo. é um sinal oscilalório de nmplitude conSinnte. Este sinal e;o. pode ser expresso
como y•. onde y ;;; (' . Como a ampliwde de ~JO é unitária. IY 1 ; I. Logo. quando), está no eilto imagin4rio. o
y con-espondente está em um círculo eLe ra.io unitário. centrado na urigem (drc11lo w 1ít6rio ilustrado na Fig,
3.8b}. Portamo. um sinal y• oscila com amplitude construne se yesti,·er no círculo unitário. Logo. oeUo ima.gi·
nário no plano À é mapeado no (em d ma do) círt:ulo unitário no plano y.
4
=
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ANÁI..IS~ U0 0oMiMO 00 TEMPO UE SISTEMAS EM TEMI'O OtSCilETO
CAPI'n.ll.O 3
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SPO
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233
l.x.poncnc• ~lmcn1o:
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<.1(~(1)1(:
~
~ã
~-"~
~
.=:
..
--u---~---t ~'--.-,
~
A Plano
Pl
no
( b)
"'
figurn 3.8 O plano i.., o pl ~oo y e st'll mapeamtnto.
A scgllir. considere o sinal e"'. no qual À. cst3 no semiplano esquerdo da Fíg. 3.8.'1. l:~.eo signitica que~ = cr +
jb onde a é negativo (Q < 0). NCSle ca..~. o sinal decai exponenciahnente. Este sinal pOde ser expresso em tcnnos
de y"'.ondc
e
JyJ = k"IJei'J = <"
Além disso, tJ é nc~:•ti VQ (a< 0). Lozo IYI =- tl" < I, Este re:rultado sigtt i fi ct~ q ue o yéorrespOndente está den·
tro do circulo unitário. Ponanto. o si•tal y" decai exponençi;dmente se y <:$li''C'r dcmru do drculo unitário. Se
(OOSiderormos (I positi\•o no C<'ISO anterior (i. no semiplano d ireito). cntiio IYI > 1 c yc:st:trá fora do dr.:ulo uni·
tário (Fig . 3.8b).
Pam n.-sumir. o eixo imaginário do plano À é mapcad\l no c-frculo unitário do pi:11\0 y. O semiphu.o es4uerd..,
do plano À é mapeado dentro do circulo unil!irio do plano yc '-' semipla1lO direito do plano À é mapeado for.l do
círculo unitário do plano y, como mosuado na Fig. 3.8. Observe Qut
Os gráficos de (O,S)" c ( -O.S)" cs1iio na i!'ig. 3.9a c 3.9h. rc:;pcc~ i vamcme. O gráfico de (0.5)" e ( 1.1)" JIKtre·
~.-em na Fig. 3.9c c 3.9d. rcspccti\•amcntc. Este$ gráfiCQS compro~m nossas conclusões sobre J posiç--J.o de ye a
natureza do crescimento do sinal. Observe que a (unç5o ( - Yf' :.hemo u sin:.J sucessivamente (cl :~ é posith•a p:t·
ro ''al(l(tS pares de 11 e negath•a para valores impan::s de 11. como moslrudo na Fig. 3.9b). Além djsso. a e.xponen·
dal (O.S)" decai mais rapidamemc do que (0,8)" pois 0.5 c:;tá m:tis próximo da origem do que 0,8, i\ exponen.
cial (0.5)" pode ser descrita por 2 ~" porque (0.5)- ' = 2 .
3.3-4 Senóide Discreta no Tempo cos (!"lu + 0)
Uma sc,nóidc discreta no tempo genéri ~ pode ser descrita por C l':OSCÚ:u + 9). na qual C é a ampliuule e flé aftJse e m radi:mos:. Além disso, nu é o !ingull) e m rodianos, Logo. a dink~ns.ão da fn.-qüênda Q é nuJia,.o.ç por
amr)Jtm. Esta senóide também pOOe ser descrita por
C CQS (!lu
+ 0) =- C COS (2:r :F11 + 0)
Copynghted matenal
234
Sr.SAIS f SISTEMAS l.JNEARES
( - 0.3)'
'
(0.8)'
·...
o
2
3
4
s
6
o
II
·-
2
_
3
s
'
I61 l
·-
7 .8
(b)
(a)
-I
(I .W
(0.5)"
o
I
2
3
(d)
\C)
Figura 3.9
4
s
6
·-
E:c.ponenciais discreta$ ''0 te M J)() y".
EXER C ÍC IO E3.6
Obte-nha o gráfk:o d~ stguintes ~inais
(ti) ( 1)..
(b) (-1)'
<<>
.o.sr
(d) ( -0.5)"
(e) (0.5)-•
(0 2-·
\~)
<-2)"
Ex-pres..<>e essas v:pont:nciai-; como y" c lr.IIX" y no plano oomple.11:o parn cada caso. 'knfique que y• decai e\p<>ncncialmcmc com n !>C ycstivt'r dcncro do cin::ukl unitário c que y• cresce e:(ponenc1almcnte rom 'J se yesti .."t'r fora
do cfrculo unir.'lrlo. Se: y e:çtiver no dl\:'ulo unirário, y• será con..tantc ou ():S('ibrá ~om uma amplirudc C1)fl~.:tncc.
EXER CÍCIO E3. 7
(a) Mostre que (iJ (0,25 l '" = .J\ ci i)-" .. = (0,25t, (iii) i' = (7,389)'. (i v\ f' :r = 10, 1353)' = (7,389)_,, (v)
,. ~~ = (20,0S6,. c (Vi) ( I.S. =(0,123 I)* = (4.481 7) ".
.
()
b 1\tos•requef•J
z• =:~
"") (Q 5 •
.\n
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(UWl•
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. . . ) Q 8)"
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(, =f''ll'!\J".
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CAPI11JW 3
ANÁLISE 00 [)c)Mf:SIO DO TEMPO 06 S ISTEMAS EM TEMPO DiSCRETO
235
EXEM PLO DE COM PUTADOR C3 . 1
Trace os seguintes sinais discretos no tempo:
<•l '·'"' ~ <-o.sr
(b) .r,(n I ~ (2)- •
(C) .r, [, )~ ( - 2)"
>> n ,. IO : S);
:>> x_o.,. t~O.S>."'n; x_b
>:>
= l."'l·nl; x_c = (~2l."n :
sabplot<) . l.U : atemln,x_a,''<.') : yiab~tr•x_ainl
' >
>:o s.:.bplotO . l,2): !st~tn,x_b,'k'): i' l&bc-l('x_bin)')
>> !lubplot.() , l,l): :;t.cmtn,x_c,'k'); ylahel('x_clr. ' ) ; xhbell'n');
~ oi!
-o.so
o_,:
.. o.:f
~ ~to
Figura C3.l
I
'
1.$
1.5
l
2.5
'
1.5
l
'
2.5
1.5
>
J_,
;I
4
'
>
'
l
l: ~ :
J
35
4
4.5
'
0.5
:
J
.l.S
4
4.5
I
~
~ :: ~
'
4.5
'
0.5
;f
00
; : ;: ;
"
:
:
5
l
;
onde :F= M .T. Ponsnto. s d imcn.~ão ds froqilência discreta no tempo :F é (radi:ulO.s/l.T) por amosua, a qual é
igunl a ciclQs pol' amostro. Isto signilica que se N0 é o período (amoma..Vdclo) da scnóide, cmi1o a freqOência
da scnóidc é :F= IJN0 (ciclos/amos«ra).
A Fig. 3.10 moSira !I senóide discreta no 1empo COSl fi"+ i ). P.J.m este caso. a freqüência é O c .:r/12 radia·
noslam~lm. Altcmati"amente-. a lh:qüi'ncia ê :F= lf24 ciclos/nmosua. Em oolra'> palnvro.,., existem 24 amos·
t.ms em um ciclo da senóide.
CornQ oos (-.r) = cos(,t')
cos(-Q, +tJ) = cos ( Or• -8)
(3.7)
Isto mosua que 1amo cos(Qn + 0) quantocos( - fln + t}) possuem u 111esma freqüência (Q). Ponnnto. n/"tJiii n·
cllt dt: cos(Q" + 0) é 101.
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236
SINAIS E SISTEMAS I.JNE!AR.ES
I
ll-33
Ir
Ir
I
I
·-
I
Figura 3.10 Senóide discreta no tempo co:s ( is'' + 7) .
S EI'IÓil)E CoNTINUA NO futPO A MOSTRADA RESULTA EM UMA SENÓIDE DISCRETA NO TEMPO
A sc.o-n6idc: continua no tempo ros nr amoslrada a cOOa T segundos resulta em uma seqüência discreta no tempo
cujo n-ésimo elemento (parn 1 = n1) é cos flm. Ponruno. o sint~ l amostpradoxr1r] é dado por
x(n]
= roswt~T
(3.8)
Logo. uma senóidc contfnua no tempo oos
flt
onde O= tdT
amostradt~ a cadt~ T segundos resuha na senóide diSt-n:la no
tempo cos nt. na qual Q = Ot.'
3.3-5 Exponencial Complexa Discreta nu Tempu .!""
Usando a fónnula de Euler. podemos descrevtr a exponencial ;r'- em termos de seoóides n.a rorma cos(Ott + 8)
C VÍct"·V'Cf53
el C.. =
(ros Ott + j scn Qn)
=
(cos On- jsen On)
e -IC..
Essas equaç-ões mostram que a freqii2ncia dt> ?"' e e-~ '- Q (radianos/amostra). Portanto. a frcq(lência de
•"" é 1n1.
Observe que prua r= I e 6 = 11~l
e1o, = rei'
Essa equ3Çiio mostr.tm que a umplitudc (módulo) e o ângulo de ~ s~ I e nO. respectivamt~ue. No plrnlUCOmplcxo, ~ é um ponto no círculo unitário llO ângulo nO.
EXEMPLO DE COMPUTADOR C3.2
Trace a seguinte senóide discrela no tempO
xl" I = ros
" + lf)
4
(12"
• Supertid altneniC. Jl<llk pót(cctf que u•n• stnó«Je dl!l<'rcl2 no ttmpoé prima de Ull'lll knóitk a:mtin~ no tanp,> nu font'lllldc cslir11s.. &..
tn-u~ ul:guma~ dal!(lrOtlriedade$ de $enóides cli~l15 no tempo doo m-.:~i iQ diferen'" daquclll5 de ~nóidcs cootfl'luas no k •l'lpo. Pl:lr
exemplo. nem tc.ldl ~ide di~11 no tempo é p:riddica. Uma SC11Óide cos O.v é periódica SOI•-.entt se n rc. um ltnlllipll>raci()nal de
2Jr. Além disso. ~.:lklcs dlsert...s t10 tctlfC'lO ~ limitada! l-m rai.,a a n = :f. Qualquer M-"'*lc c:'I~Wn n ~ 1T .-.ernr~ pode: K'r dc:tiCrit~
« ll'IIO Ulna ~ide c.-um alguma (fCICJüêncin n ~ ;r. ~~~~~ pmpric:dlltk$ J)llrtiçularçs ~ consçqllências di mas do Cato de que u•n peri~>
do ck ••rn:• K'nóide di~ma ootempo dc\-e !i<Ct um iotriro. Estes tóJ!kos So.'fio discutido~ tiOS C~itulot. Se 9.
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CAt'iruLo 3
As:\usr: oo DoMINIO oo TEMJ'O oo SISU!MAS ID.t TEMPO OJSCkiiTO
237
» n -= (-l0 : 30J : x = cos(n •pitt2-.pl; 4 J :
>> clf ; &ternln . x, ' k ' • : xlabel< ' n ' ) :
•
Jiigura C3.2
3.4
EXEMPLOS DE SISTEMAS EM
TEMPO DISCRETO
Apresentaremos quatro exemplos de sis.tcmas ~m tempo di&ercto. Nos <lois p1•imeiros e.~empl os. os sinais Silo
inerentemente em tempo discn:to. No terceiro c quano exemplos. um sinaJ contf1lUO no tempo é pi'OC'tSsàdo pOf
um sistema em tempo discreto, como il usn:~o na Fig. 3.2. attavés dó'~ disc:retizaç.ão do sinal pela amostragem.
EXEMPLO 3.4 (Conta Bancária )
Uma pessoa faz regularmeme um depósito ta emrada) t 1n um txu100 a um intervalo T(digamos I mês). O
banco (Xlga um ceno juros 11.1 OOilW ban~~ária durante o período Te C:ll\'ia periodicamente um.a c.'Orrcspoodéncia com o saldo (a saída) ao depositante. Ott~rmine a equação c1ue rel t~ci<ma a saída Yl" l (o saldo) com a en~
tmda .\'(nl (ó depósito}.
Nt!Ste c."-âso. os sinais são increntc:menlc discretos no tempo. Scj1:1
xl11J = depósito tCito no ,.és.imll inqame discte•o
Yl" I = saldo d.1 ron1:~ no lt·ésimo ins1ante calculado imedi<•lamtme ap6s o recebimenu) do r~ -ésimo de~)(,s ito .tf11l
r= 13:1:3 de j UI'OS J>Or l'e~IJ 1)01' petíodo T
O saldo ylnl é a soma de (i) do s..1ldo :uuerior yln - 11. (ii) <Jl)S_ j uros ~.:ttntdos em J (u - 11 durame o pe.·
ríodo T t (iii) 00 depósito .tfnl.
y(n ) = y(11 - li+ ry(u - li + XIII)
=( I + r)y(n
-11 +.r(11 (
00
y(n] - ayln - I I = x (11 I
(l=l+r
(3.9a)
Neste exemplo, o depósi10 ,,·fnl é á entrada (cau ~• > e o saldo .ri" 1é a saida {efeito).
Uma n.'1 i r:td~l <b coma é um depós.itl., ntgativo. Pt,rtanto. esta (omlulação pode lidar 1nnto com depósitos qWln·
rocom recir:td~s. Ela também se ~pl;ca ao JXJ.gillnentode- um empréstimo com vnlor inici11l y(OJ= -M. onde 1\-1 é
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238
SI:NAIS E SI.S'Jn.t.AS l.JNEARES
o valor 00 empréstimo. Um empréstimo é um depósito inicial oom ' 'allor negali.,-o. Altemativamcnle. podemos
ltatarO emptéstimo óe/lf reais retirado em n =O como uma entracb de -M em n = O(veja o Prob. 3.8·16).
Podemos descrever :1 Eq, (3.9a) em um."t forma altemati,•a. A cSCQlh:t do indice 11 na Eq. (3.9a) é comple·
tamentc 3tbiu:tria. portanto podemos substituir n + I pOr n, obtendo
)'In+ li- O)'l•l = xln + li
(3.9b)
Eq. (3.9b) direcamente observando que )1" + I]. o saldo no insuuue (n + I) é a so-ma de )1nl mais ry(nl (os jut05 em >1nl) mais o depósito {entrada) xf,. + I) no instante (n + 1).
A equação diferença em (3.9a) utiliza a ope:raçlo atraso. enquanto que a f()n'TUI na Eq. (3.9b) utilâw a operação a~. Iremos cha.mar a fonna ( 3.9a) de forma o~rndor auwt> e a fonn."t (3.9b) de forma OJ~rod()r
awmço. A fonna operador arraso é mais natural. pois a opemçüo de atraso é causal e. ponanto. realiúvcl.
Por outR.> lado, a opertJÇão de avanço. sendo não causal. não é realizável. Utilizaremos a fonna operador
avanço principalmente por sua conveniência matemátic-a com relaç.ã o a fo rma atraso.t
Podia~ ter obtido a
y{n) = x(n) + ..1nJ
xf11J
•
>1nl • cufnl
~1n l
(b)
(•)
AI• I
I
•
yln) • J.in "' I I
]
D
(c)
AI•I
Al•l
•
l
•
.rlnJ
(d)
Flgura 3.11
Representações esqucm:1tica.1 das operações básicas em seqüências.
N
a
Jln -
figura 3.12
1J
lmple mentaÇiO do sistem:t de ooma bancá.ria.
Representaremos, agora, c~e sistema em um diagnuna de bkléos, o qual é basic;:unente um mapa rodoimplementaÇAo em I10IÚ'Il.-'Otr (ou .f.(J/Marr) do s:istema. Para isto. a forma operudor atraso. causal
(reali:ú\'el). será utilizada. Existem ttês opernções básicas nesta equação: adifdo, multiplicação ~sctJ/ar e
tJtraso. A Fig. 3.1 1 moslta suas representaçôes esquemáticas. Além disso, também temos um nó de derivação (Fig. 3.l ld), o qual é utilizado parn fornecer múltiplas cópias do sinal em sua entrada.
A Eq. (3.9a) pode ser reescrita por
''iár~ da.
yfnl = ay (n - IJ + ·"In)
(3.9c)
' A ut.ili;caçJo da f(lrn'lll opo.'ndoJ 11vat'IQO rbUhll efll Ctq\)a(ôes <le ~1n115 dis..~o~ no tempo que: s4oo idanticos em fOf'lN ?lquelll5 aw$i$temM CQndni.IQ8 oo lerllfiO. F.s1e fuo ~ni muis C\-idenlie ~tóornll.'flllt. Na análise por tr.:uuiOI'IYiada. a ucilizaçlo do ope1tldor tvan·
ço ptMnict o uso da yllfir,·~J mais coovenicl'lle ! do q~~e fi desojei1ndl t · • ~W:i• u fc.JITIV opcmc)Qr a.frul\C,I.
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A Fíg. 3.1 2 mnsam um <ÜIIJ,>ramaem blocos do sisaema ~ pelallq. (3.9c~ Pan c~reendcr- representaçlio, considere que a saSda >in) t5eeja d.iSpOnÍ\'t'J no nó de derh>aç:lio N. O atrasO unitário de >in) res:uha
em >in - 1). o qual é multiplicado pelo val<X" e.IOCalar a resultando em ay(n - 1). A seguir. geramos ){n) somando
1
a entrodax(n] comay(n - I) de accwdocom n Eq. (3.9c). Obscm: que o nóN6 um nó de derivação, em cuja saída ICIDQS duas cópias do sinaJ de entrada.. uma é o s:inaJ de realimencaçlo e o outro é o sinal de saSda do sistema.
de Veada1)
Em um scmewe r1, x(n) estudantes 5e inscreveram em um curso que Pf'I'Cisa de um ceno li\•ro-texto. Um:t.
edit()lf'3 vendeu >1n) cópias do livro no n-ésimo semestre. Na média. um q~o dos estudantes com o livro
em boas oond;çües re\'ende os livros no final do se-mest.re, sendo u vida m6:liu do livro de três semestre..;. Escreva a equaçOO que relaciona >in), os no\•oslivros vendidos pela editora, com .r(nj, o nómero de esrudanlcs
inscritos oo 11-ésimo semcsuc. cons.iderando que todos os estudantes compram livros.
No n-ésimo semestrt. o total de livros xfn) vt'odido nos estudantes de\·~ ser iguala >in) (livros nO\'OS da Mi·
tom) mais os livros utili7.ados pelos eS~udant es em OOis semeS~res anteriores (porque o tempo de vida de um
livro é de apenas 1rés semes.cres). Existem yln - li nOVOS livros vendidos no &emeStre (n - 1). e um quarto
destes livros.. ou seja, (1/4))'111 - 1), setto re\·e ndidos no SC-•nestre 11. Alé m disso. y [n - 2) novos livros ro-ram vendidos no semestre (rr - 2) e um quarto destes. oo seja, (114)y(n - 2) serão vendidos no semestre (r•
- I). Novamente. um quarto destes. ou ~ja. ( 1116)y(n - 21 serão rt:vendidos no semesue n. Ponanto• .rln l
deve ser igual a .soma de y(nJ, (l/4))1r• - 1) c (1116))'111 - 21.
y(rr) + ~y{11 - I)+ ~ylrr- 2) = x{rrJ
(3.10a)
A Eq. (3.10a) pode ser descrita em uma forma altemati\'a percebendo que est:l. equaçAQ é válida para
qualquer valor de 11. Portanto, Jrubstituindo " por 11 + 2, teremos
)'{11
+ 2) +
~y(n
+
I) + iiy(nJ
= A{n + 2)
(3. 10b)
Essa é a fonna ahematiw da Eq. (3.10!1).
P..tra a m1lizaçiio de um sistema com esta cquaçllo de emrnda··sruda. reescrevemos a rorma de alroso da
Eq.(3. 10a)pot
y JnJ = -iyltt- lj -
hYitr - 2] + X(tt)
(3. 10c)
A Fig. 3.13 mos1ru a realizaçlkl em hatTiworr da Eq. (3. 10c) usando dois atrnsos unilirios em c.ucata.'
, . - - - - )'1•1
.f(lf)
)fn - I)
)'(lf -
2)
7'
Figura 3.13 Realizaçiío do sist~rna representando a estimath•a de vendas do Exemplo 3.5.
' Um atr.lSo unitirio l't'pn!SC'nl;s uma unilbdc de 1at:ra.-.o de tempo. N~ ex~ urno \IB~ de liU'a~ u afdl ~ponde 110 período T parn 11 p (dD Dtual.
'Os COmtlli4ÂOS dl ftOQ de rodlpi an~trlor taJl'lbbn se apikam ne;;lf! ciUO. Apeur dr um~~~ unitário ne$lt' oemplo ser um 1t'me$o
In'. •IlM Ido pnoc~W» ulilizar ale '-alor tu re11ti7JIÇ'io em ltardM'ílrt', Qu~lt'f \'alor difa'\'IIIJC de um tanc:St:te I"C$Utll~ em IJ1l)l N~flb
acubmda no 1c:mpo.
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240
SINAIS E SISTI~L\S l iNtiARES
EXEMPLO 3.6 (Diferenciador Digital )
Projete un1sistema ern tempo disereio. tal como o mo.~:trudo n3 Fig. 3.2. (Xlra diferenciar .sin:.is oontínuo.s no
tempo. Esse diferendador i utili7.lldo em s-islemas de áudio c.-om uma l:ugurn de faixa do sinal de entrada in·
ferior a 20 kH7_
Nc:stc cal.)Q, a said:a )'(1) deve ser a derivada d.'l cmr:tda .t{t). O processador (sistema) em tempo d iscreto G
pi\')C(!s.sa as :lln(~li':'IS: de ,I;'(f) J)3rot produ~il':. safd.'l em 1e mpo discn:w yf11), Seja x(nJe ri"J a represen~açoo
das anl<l~ras separadas uma da oultll por T segundos dos s-inais ·'1t) e y (l). respcxti\·amente. ou seja.
.rln) = x(nT)
c
yl,rl = )'(nT)
(3.11)
Os sinais .l(tJI c )'In I silo a cntmda c l.iafda 00 sis1cm.'l em 1cmpo discreto G. Agora, precisamos que
J'(l)
=
tl.r
dt
Portanto. paro r • uT(veja Fíg. 3.14a)
li.<
''CIIn =-
I
dr •="T
I
= lim - (.l(n'f) -.rl(11 -1)7'1]
T-o T
·
.~Ir~TI
A'l (" - I )T)
,_
o
•
( c:)
o
5T
IOT
,_
(d)
·IOT
T
(<)
,_
1'
,_
( f)
Figurá 3. 14 Diferenci;Jdor digi1al e sua rea li z::~çlo.
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CAJ>fnn.o 3
ANÁLISE 00 DoMfNIO 00 f utPO DE SmntAS EM TEMPO DISCRETO
24 1
Usando a nowçâo da Eq. (3.11 ). a equ.a<;ão anterior pode ser esc:riw como
. ;-(X(IIII
)'(11) = ltm
.ffn- l i)
r - 11 T
Este é a relnção para G necess:iria parn atinginoos nosso objetivo. Na pr.1ticn. o intervn.lo de amosuagem
T niio pode ser 1.em. Assumindo T sufic:ientememe pequeoo. a equaç5o apresentada pode ser descrita pot
I
y[n l = T[.r[n ) - x )n - 1)1
(3.12)
A :tproximaç.ão melhoro quando 1'tcnde a O. O processador em tempo discreto(; parn impkmcnu11 s Eq.
(3. 12) está mostrndo dentro da csixa pontilhada da Fis. J, 14b. O sistema dlt Fig . 3.14b funeiof'w como um
di(crr:nciadof'. Es1e exemplo mostra 00100 um sinal em tempo 001Ui'nuo pode ser processado por um siste1na
em tempo discre10. ;-\$ <.'Ons-iderações para a dc-tcrminaç.iio do intei"Y"illo de amosar.agem T são di~tidas nos
CapítuloS e 8. nos quais'- mostrado que p:~m processar freqüênc-ias abaixo de 20kHz. a cscolh:tadcquada é
I
T <
- 2 x freQUenci:t mais alla
I
-=--~251-'S
40.CX>O
Pnr.t \'er como esse método de processamento de sinais trab:alha. vamos considerar o diferenciador da
Fig. 3.14b com a t'.ntrnda em rompa .x(t) = 1, mos:tr:td3 n;~ Fig. 3 .14c. Se o sis1ema funcionar como um di·
fercnciador, cnlilo a saída y(t) do sis1ema de\·e ser a função degrau unitário 11(t). Vamos analisar como o
sis1ezna e.xecuw essa ope.ra<;ão em partkulat c: quão bem o sistcmn alinge seu objt'-livo.
As amostros d.a entrada .t~t) = 1 no intervalo de T sq;undos funcionam como cntrodu do si.5tem3 em 1cm·
po disc:reto G. Es1as amoslrtl$. rcprt'.SC!nlsdus pcl.a notaçOO compacta .t[nl s.!lo. portamo,
xl,rJ =
x(t )l,,.,.T
=,,r
= t( , ... r
1~O
11?!0
A Fig. 3. f4d mostra o s-inal amostr.tdo x(n (. F..stc sinal funciona como cntmda do sistt'.ma em tempo dis·
ereto G. A Fig. 3.14b mostra que a opc:raçiio de G consis.le e m subtrair um3 amostra da amostra an1erior
(atrnsnda} e. ent1lo. muhiplicar ô'l diferença por 1/T. A partir d•• Fig. 3.14d. lico evidente que u difere-nç-a c:n·
Ire duas amostras sucessi\'aS é a constante nT - (11- I)T = Tpar.t todas as alDOS(r.ts. exceto para a amostro
em " • O(pois não há :utklSir.i .anterior a'' = 0). A saída de G é lfrvc7.c.s a diferença T. result.andot'-m I pa·
r.t todos os v-.tlores de n, exceto para 11 =O. no qual cl:i é :r.cro. Port:lntO, a safda )1111de G consiste nas amos·
tr.ls de valor unitário parn " ~ I, como mostrado na Fig. 3.14e. O convetSor DIC (lempo discre10 prua ICII'I·
po con1ínuo) OOR\'ertc cs1as amostms em um sinal de 1empo contínuo y(t), como mostrado na Fig. 3. 14f.
ldcalrnente. a saída dc,·eria ser )(1) ;;= 11(1). A diferença do ideal é devido ao DOSSO inttf'Valo de amostragem
Tntio nulo. Quando Tse aproxima de 1.ero, a saídn y(t} se aproxima da saída desejada 11(t).
O diferendador digi1aJ dal!q. (3.12) é um exemplo do que é CQnhccido como sistema de dife~n('ll alra·
.fada. A ralilo para es1c nome é óbYia analisando a Fig . 3.14a. Para calcular a deri\'ada de >(1). escan)I)S uti·
lizando ndiferenç3 enlre o vttlor a1ual dú amostrn e o v-.tlor anterior (.atraslldo). Se utilizllJmOS u diferença cn·
tre a prú.xima (údiantad.a) amostro para 1 = (n + 1)7' c o vslor atual em t = nT, obteremos uma forma de diferença adianlllda do difercnciador. dnda por
y[n)
=
I
T[x )n
+ 1) -
x )nJI
(3.13)
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Projete um integrador digital na mesma linha do diferenciador digital do Exemplo 3.6.
Para um integrador. a cntruda x(t) e a saída )~r) estão reladon!Jdas por
y(t ) = J _ x(r)dr
Portanto, para 1 = nT(veja Fis. 3.14a)
•
.
y(nT) = lim ~ x(kT)T
r-o LJ
~~
Usando a oocaç3o usu3.1 X(k7) :: xfkL >(n7).;;; >1ral e assim por diame. esta equaçll.o pode ser expressa por
y [n)
•
= lim T ~ x(kl
t-o
~
Assumindo q1~ T ~ pequeno o suficieme. pNa juscifi~r a consid<.r.tÇiM.l de T- O. remO$
Y(" l
=T
•
L x(kj
.t-- »
(3.14o)
Esta equação representa um uemplo de um sistema tlcwrmloril'o. Esta equaç-ão do intt.g:mdor digital pode ser expressa em uma ronna. alternativa. A partir d:t Eq. (3.1 -la). temos que
y(n)- y[n - I) = Tx[n)
(3.14b)
Esle ta dc:$criçio altemali\'ll do intq;rador digitn.l. As Eqs. (3. 14a) c (3.14b) sA.o equivalentes. Uma pode ser obtida da outra. Ob\serve que a forma d:t Eq. (). 14b) é similar a da Eq. (3.9a). l.Qgo, a n:prcscnt:tÇ!o
em diagrama de blocos do integrador digilal na fonna (3. 14b) ~ idêntica a mostrada na Fig. 3. 12 com a ;;;; I
e a entrada muJtiplicada por T.
FORMAS REcuRSIVA E N Ão REcuRSIVA DE EQuAÇÃO D IFERENÇA
Se a Eq. (3.14b) descre,,e a Eq. (3.14a) de outra forma. qual é a diferença entre estas duas formas'! Qual forma
~ pre:ferf\'el? Para respoodet a eSias questões. vamos examinar como a salda é calculada por cada uma destas for.
mas.. N:t Eq. (3.14a). a safday(nl em qualquer instante n é calculada somando todos os valores )XIS$11005 de en·
lr.lda até o itls."Uuue n. lsco pode significar uma grande quantidade de adjções, Em contraSte. a Eq, (3. 14b) pode
ser expressa por y(nl =>in - I) + T.xfn). Logo. a determinação de .'1n) em-olve a adição de somente dois vaJore~ o \•ator anterior da saída y(n - IJ e o valor atual du entmda x(11 J. Os cálculos sio realizados rccursivamc:nte
usando os valores anteriores d:a $3i'da. Por exemplo. se a entrada oomeç.ar em n = O. inicialmente calculamos
.'iO). EntJo. utilizantos o valor calculado par.t y[O) para cak:ular y[ 1). Conhecendo >11}. determinamos >12) e as·
sim por diante. Os cálculos siio recursivos. Este é o motivo pelo q·uala fonnu (3.14b) 6 chamada de formo recur·
sh'O c a fonna (3. 14a) t ajon11o não rttursil'a. Claramente. ..recu.rsivo" e " não rttursÍ\'0.. dcscre,•em duas for·
mas difc:remcs de apresentara mesma informação. As Eqs. (3.9). (3.10) e (3.14b) do exemplos de fonnas reeur·
sivas e as Eqs. (3.12) e (3.14a) slo exemplos de fOffllas n.lto recursivas..
RELAÇÃO ENTRE EQUAÇÃO D IFERENÇA E EQUAÇÃO DIFF.RENCIAL
Mostr..remos agt'll'à que a verSão digitaliutdá de umll equaçiodiferenciall'e$UhUem uma. equação difen:oç.u. Vamos considerar uma equtwtão diferencial simples de: primeira ordem
dy
- + cy(t ) = x(t )
dt
(l. ISa)
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C...PiruLO 3 ANAusE 00 DoMUôJO DO TEMPO DE Sl~"t'DIAS EM TEMPO DtSCA:eTO
24 3
Considere amostnlS uniformes de x(t) em intervalos dl! T segundos. Como sempre. utilizaremos na nocação
.t1,•1 para representar x<nn. a n-ésima amoscra de x(r). Similarmente. >in I representa )1n11. a n-ésima amo..o::tra
de )(1).
A partir da defini ~o b:isica de deri\'003, podemos esc:re\•cr 3 F.q. (3.15.a} para 1 = nTpor
lim
,_,
y(n l - y )n- I )
T
+ cy(nl =
x fn)
Removendo as frdÇÕC:S e organiumdo os lt:JTOOS temos (assumindo T muito pequeno mas n!lo nulo)
.>'in) + ay(" -li= I!> I• I
(3.15b)
onde
a=
- I
I +cT
Thmbém podemosescm..,.a Eq. (3.15b) na fonna operodor aY3liÇ(> po<
y )n + I) +ay[n)
= fjx[n
+ I)
(3.15c)
C>c$ta fonna fica claro que uma equação diferencial pode ser aproximada por uma equação diferença de mes.ma ordem. Desta fonna, podemos aproximar uma equa~o diferencial de ordem n por um3 equaçio difen-.nça
de ordem n. De fato. um cocnputOOOr digital resoh't.equações difereneiais usando uma equaçto diferença equi·
''alente. a qual pode ser ~lvidn atnwés de operações simple5 <..-orno adiçAo. multiplicaçlo e des!01:.:unemo.
Lembre·se que um computador só pode exec;utar est.'IS operações simples. Etc deve, noeccssariamente. aproximar
operações complexas tais como djferenciaçlo e in tegnç~em termos de operaç&s simples. A aproximação pode ficar o mail pr6x.ima possí,•el da resposta exata atrav~s da e:K:olha de valorel de Tsuf.eHmtemerne peQ\IeOOS..
Neste esuigio. ainda não desen,•olvemos as ft":rramentas neoessárias para a esrolha adequada de um valor pa·
ra Q intervaJQ de amostragem T. E~e assunto será discutido no CapítuloS e também no Capitulo 8. Na Seçio S.7
djSC\niremos um procedimento sistemátfoo (método d.a invariância ao impulso} para a de1emti~o de um si&·
tema em tempo dis<nto o qual realize um siscema LCIT de orde-m N.
ORDEM DE UMA EQUAÇÃO 01FEitENÇA
As E<)s. (3.9). (3. 10). (3. 14b) e (3. 15) s3o exemplos de equações diferença. A difer<nça de m:tis alu ordem oo sinal de saída ou do sinal de enlnlda. o que for maiOr. representa a ordt:m da equ:)Çfto diferença. Logo. as Eqs. (3.9),
(3.13), (3. 14) e (3.1S) sito equaçôes diferença de primeira ordem. enquanto que a Eq. (3.10) é de segunda ordem.
EXE RCÍ CIO E3.8
Projete um intefrndor diptal do E.'(emplo 3. 7 u<;.a_nOO o f mo de q~.~e p.:~ra um int~rador. 3 ..aida ~trl e a t":ntruda X\11
!-.3\l relociOMdas. por t~l'lt/1 • x(t). A aproxi.m:u;iio (SiJnilar :l do Exemplo 3.(1) de<.ta «jua<,'io para 1- nT re<;.ulla
nn (onna n-curswa da Bq. t:\.1-ib).
SISTEMAS ANALÓOICO, DIGITAL. CONTÍNUO NO TEMPO E EM TEM:PO DISCRETO
A diferenç.a básica entte sistemas oonúnuos no tempo e sistemas analógicos. ou de sistemas em tempo discre·
to e siS~emas digit.Us. ~ rompleta.•nenle explieáda nas SC\-"ÕeS I.7·Se 1.7 -6.' Historicamente. sis1ema.s em <em·
p0 discreto têm sido rc.ali.utdos aua,·é:s de: computadores digitais. nos quais sinais oontínuos oo tempo sao processados por amosnas digitalizadas ao invés de amostrns não quantizadas. Portanto. os tennos filtro digital e
sistema em tempo diJcrttOsilo usados como sinônimos na literatura. Essa di.stinçilo é irrelevante na análise de
sistemas em tempo discreco. Por esta ruJo, adotaremos esta co•wençAo simples neste livro. na qual o temo fil·
tro <ligiJOl implit<l em um sistema ~m t~mpo dis('f~ló e filtro ano16gíco signifacando siJU!tl't(l em Utmpo tonlfm,Q.
' Os termos di~rrt<J "" t~"1/)De ((Nltfnlt<J 1t0 ttn11J<1 q~Yiificwn 11 fiiii1Jn:la do sinal çom ~~~ 10 ei~dc: tc:rnpo (dolo hori1X)RIIII). Os
k'II'IO$ tJJtQ./6 firo t ·digiktl. etll CC'ltlltaSIL. qullllfiCIIIl'l a 1'1111\!rtta da atn(llitudt 00 sinal (dxo wttkal).
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244
SINAIS E SISTEMAS LINBhRES
Além disso. os tennos CIO (contínoo para discreto) e DIC (discreto para corufnuo) serão ocasionalmente utiH·
1..a<Jo5 em subscituiçOO nos tennos AIO (analógico para digi111..1) e O/A (digital para analógico). respectivamente,
e
VictA'eTSll.
VANTAGENS DO PROCESSAMENTO D IGITAL DB S INAIS
I. OpcrllÇôes em sistemas digitais podem colerar uma variaçOO considerá\'el nos \':tlore:s 00 sinal e. pon.an~
to. sâo menos sensíveis às mud.anc;as nos pardmetros dos componentes cau~das pela "arinção da tem·
pcratura. id:lde e outros fatores. Isto resuha em wn alto grau de preci~>iiO e estabilidlkle. Como eles ge·
rahnente são circuitos binários, a precL~OO pode ser aumentada usando circuitos mais C(»llplc~os para au~
mcn t:~r o ram<tnho cb palavra binária, sujeito apenas a limites de custo.
2. Sistemns d igiw.is não DCCcssiram de nenhum ajuste de Fábrica e podem ser fa.cilmente duplicados em V().
lume sem nos precx.:uparrnos oom valores preci.sos de componente.-;. Eles podem ser tot:dmente inccgra·
dos e mesmo sis.emas altamente complexos podem ser substituídos pt)f um únic.XI chip usando circuitos
VLSf
(l't'l)'
lt1rgt< scalt> iJJ/q:ratt'd).
3. Filtros digitais são mais nexJ'veis. Sua! camcterísciéas podem ser fakilmente altemdllS simplesmente
mudando o programa. A implementação em hordwal'(' dig.ilnl permjte o uso de microprocessadores, mi·
niprOt:essOOores. c.ha\•es digitais e circuitos VLSI.
4. Uma grande variedOOe de filtros pode ser implementada por sis.lemu.s digitais.
5. Sinais digitais podem ser facilmente am1azcnados. com custo muito baixo, em fiuas ou discos rnà.gnécicos sem deceriw-.-çOO da qualidade do sinal Também~ possível busc.ar e selecionar informação de eco·
l'mis de anntt7,.cnamcnto distantes.
6. Sinais digitais podem ser codificados. levando a taxas de erro cxtrcmameme baix:tS e alta fidelidade.
além de privacidade. Além disso, algorilmoo$ de proccss.ame.nto de sinais nwi& sofisticados podem ser uü·
li1.ados p:tra processar sinais digilllis.
7. Filtros digitais podem ser facilmente compartilhados e, portanto, podem servir psra vá.rias enlmdas si·
multancamcnte. Além disso, é mais f;iciJ e mais eficieme multiplexar diversos sinais digitais em um mes~
mo canal.
8. A repróduç5o de mensagens digitais é extremnrnentc confiável sem dctcriornção. Mensagens analógi·
cas. tais como fotocópias e filmes. J>Of exemplo, perdem qualidade a C'tlda estágio suC'essivo de reproduç~o e prélcisam ser fisicamente trllnsportiKias de um ponto diS-Izmlc a ouu·Q. gcralmcmc a um custo 1-e.la·
1ivameme aho.
Pon;uuo. de\'C:-st a\•aliar estas \'ànl<igt=ns contm desvantagens tnis como o oumcnto da complexidaóe do sis·
tema devido às interfaces AIO e DIA. faixa de freqOêooias Limitada na prática (aproximadamente: dezenas de me·
gahen:z). e o uso de m.ais potência do que t nccess.úrio p.~tro circuitos an:tlógico.s passivQs. Sistemas digitais uti·
Jizam dispositivos ntivos que ~ralmeme consomem poc~nci;~ ,
3.4-1 Classificação de Sistemas em tempo diS<:relo
Antes de e.uminarmos a natureza das cqlUIÇÕCS de sistemas em lempo discreto, ~mos considerar o OOfl(t.ito de
liDelll'idndc, invnriância no 1empo (ou in\'ariGncia de deslocameniO) e causalidade. os qu.ai.s também siio aplicados a sistemns em tempo diS4....-eto.
U KEAJUJ)ADE E INVARJÃNCIA NO TEMPO
Para si:uem.as em tempo diSc..'reto. a definiçãó de lim:aridade é idêntica a de sistemas coruinuos nQ rempo. como
apresentada na Eq. ( 1.40). Podemos mos1rarque os si~em.'IS dos Exemplos 3.4. 3.5. 3.6 e 3.7 são todo.o; linc:-.ares.
A in\'ariSncia (ou im•ariânl'itl de df'l'lot·mnemo) para i>Ístema...c: em tempo discreto também é dctinid.1 de for·
rn.u similar a de sistemas comfnuos no 1empo. Sistemas cujos p0tâmelros não são allerado.s c.:om o tempo (cxm
,) são si.stem.a.s im•ari(mtes tw t~mpo oo invariantes no deslocamento (também chamado de partJmetros t'Otr.J•
tallf«S), Para tais si.stern.us. se a entmd.a for atru.sada por k unidades ou amostras. a safdta é a mesma de àlltes po.
rém atrasada por k umo:stras (:~ssu mi ndo Q\IC as condições iniciais também são atrasadas por k). Os sistemas dos
Exemplos 3.4, 3.5, 3.6e 3.7 são invariantes no tempo porque os coelíciente.'> ntt.'> equações dos sistemas s~
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CAPI'nllO 3
A Ni.US:f. DO IX>~d.N IO I)() TEMPO OI! SISTF..MAS I!M TEMPO DISCReTO
24 5
const.a..ues (independentes de n). Se estes coeftde-ntes fossem fun~ões dé n (tempo). ent.5o os sistemas seriam li·
oeares WAritmus 1w tempo. Cons idere, por exemplo. o s istema ckscrito por
Yl,•l = t>' "x ln l
Pnra esse sistc:ma. seja um sinal x1[n l resultando na saída y 1lt1] c uutra entrada xJ(nJruultando na $ô'LÍda y1 fn ),
Então
.n ln]
= e--xdtrl
e
Se lizermosxl(n ) ex1(t• - N0].e-mão
C laramente, esse é um sist ema com parâmetros variantes no tempo.
SI~'TEMAS CAUSAL E N ÃO CAUSAL
Unl sistema c:a•u·t~l (também chamado de sistc:mafis ico uu não antedp(llivo) ~aquele para o qual a safd.'l em
qualquer instante n ::= k depende :.penas do valor da entrada xl t~ ) para" :S: k , Em outras pala't'ras, o vnJor cL'l saf·
d3 no ins1:~n t e atual depende apenas dos valores atuaJ e passado da enln'lda x [n ). n3o de seus wlores futuros. eo..
mo \'eremos. os Exemplos 3.4. 3.5. 3.6 e 3.7 são todos causais.
SISTEMAS lr<VERSfVEIS E NÃO (i'/VERSfVEIS
Um sistema discretoS" in..'CI'$lvel se um sisterrut inve-r.;o S, cxi.stir tnl que n cascatu de S com S; resultar em um
sistema idemidad~. Um sjstema identidade é definido como sendo uquele cuja saída~ idêntica à c:ntr;Kia. Em outras palavrus. para um sistema inversivcl. a entrada pode .ser unicamente detennin.ada da su.ída c.:orrespondente.
Paro c.·ada ent.mda existe uma única saída. Quando um sinal é processado aua""és de taJ sis•emu.. sua enuOOa pó·
de ser reconstruída da saida <.'Om-spondente. Não existe pcnLa de infonnação quando um sinal~ processado atna\'és de um sistema inversú·el.
A ca~ata de um atraso unitário com um avanço unitário resulta em um sis•ema identidade. pois a safda do s:is·
tema em ca~ata é idêntica à entrada. Obvi:uncnte, a inversa de um atm.._"<) unitário ideal t um avanço unilário ide·
ai. o qual~ um sistemu não causal (e niio realizá\'el). Em con.traste, um compressor y(nl = xiMn) nfio é inversível
porque esta ope:mçOO sempre perde infonnaçiio a não ser na M-ésima amostro da entrado e, geralmente. a entrada
não pode ser n:ronstruída. Similanncnte, uma operação tnl CQmo )1111] = cos xl~r) ou >fnl = J,x(tr}l é niio invc:rsí,·el.
E X E R C ÍC IO E3.9
Mo..lre tJU< um si~tcma e'peçificadó pela equat;;jo y{tl) =- a.r[n) + b é inH:rsh-d. m.;t\ o si:.h:ma ,.1,•1 = l.rl,•Ul é
não tn\t'ThÍ\el.
S ISTEMAS EsTÁVEL E INSTÁVEL
O conceito de estabilidade é similar ao de sistemas contfnuos no 1empo. A es1abilidadc pode ser inren•o ou e.r·
t&!nrll. Se coada etlfmdl' limiwda apUcada ao terminal de entrJdn resultar em uma sófdlllimiUJda. o sistema~ di"
to set exltriUJmttJte estoi\'tl. A estabilidade exten•a pode ser vtrifie<~da p0r med.ições nos terminais externos do
sistema. Esse tipo de cswbilidade é eonheddo oomo cs1a bilid.'l<Sc BlBO (boulllled·lnpuJ/boutrtled·outpul). Tan·
to a estabilidade interna qu:mto externa sAo d i$Culida$ com mais detalhes na Seçlo 3. 10.
S ISTEMAS SEM M EMÓRIA E C o " M EMóRIA
Os coooeitos de sistema sem memória (ou inst31ltfule0) e sis1ema.s com memória (w djnllmicos) so'lo ldênlicos
aos conceitos coiTCspondentcs p:lfa o caso de sistemas co1nínuos no tempo. Um sis1ema é sem memória se sua
resposta a qualquer in~ante n depende-r no máximo da emtad3 no mes.mo inst3llte n. A saída em qualquer ins·
tanlc de um sistema oom memória geralmente depende dos v~lores pas~dos.. prcscmes c futuros da cnt:rndn. Por
exemplo, y[11) = sen xf_n) é um exemplo de um sistema instantâneo e yi11J -)'I" - I ) = x{n) é um exempk> de
um sistema dinâmko ou sistema com memória.
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3.5 E;QUAÇÕES DE S C.õEMAS EM TEM PQ DISCRETO
Nesta soc,iio discutiremos a <:~nálist no domínio do tempo de LDIT (sisu!m:t li.rle3f, discreto. invariante DO 1empo).
Com algumas pequenas di(erençiL•t o procedimento~ p<UUlelo ao utilizado par.1 sistemas oontím.tos no tempo.
EQuAÇõES DII'ERI!NÇA
As Eqs. (3.9). ( 3. 10), (3. 12) c (3. 15) sikl cxcmplns de equ:w;no d;fercnço. As Eqs. (3.9). (3. 12) c (3. 15) são
equações diferença de primeif:.l ordem e a Eq. (3. 10) é uma equaç!Q diferença de segunda ordem. 1bdas e.'-o;as
equa~·ões são lineares oorn ooeficit.Jll~ constantes (invariantes no tempo).' Ames de apresentarmos a fonna geraJ para uma equação diferença linear de ordem N. lembre-se que a equaçlo diferença pode ser escrita em duas
formas: a prime-irn fonna usu termos em atraso taist-omo y(n - I}. y(n - 21. x[11 - 11• .tfn- 2) e assim por
diante c a fonna nhcmtUivu utiliza tcnnos em UV'.t.nÇO. tais c:umo .l'[n + I). y[r1 + 2] e assim por diante. Apesar
da fonna em arraso ser m.ais natural. geralmente preferiremos t1 fonna em "vanço. não somente por t.-onveniência de notaçAo. mas princip.'llmente por resuhar em uniformidade de nocação com a fonna operacional para
equa~ões diferenciais.. faci lilàJldo a generalizaç!lo de soluções c conceitos para sistemas em tempo continuo c
em tempo disçreto.
C()fl"W!Çaremos com uma equação diferença geor:rica. u."ando a forma Operador ava.n\O
+ NJ + a 1y(n + N - I )+· · · + a11 _1y[ll + I ) + atty[ll) = b,,,_..,x(u + M)
+ b11 M + 1x(u + M - I ) + · · · + b..,._,x(n + I l + b,,.x(nJ
>'(11
(3. 16)
E&ta é uma equaç5o linear diferença cuja ordem é Max(N, M). Assumimos que o coeficiente de >1n + N) 6
unitário ( o0 : I) sem perd~ de gcnaalidtlde. Se ai) ~ 1, podemos dividir toda t1 ~uação por ao- nonnalizan<»-a.
de tal forma que teremos u0 :::: I.
CONDIÇÃO DE CAUSALIOADF.
Paro um sistema causal, n ~ ida não pode depender de \•alores futuros da entrnda. J.sto signific-a que quttndo a
equ:aç~o do s:istcma está na fonna operndor avanço (3.16). a causnlidadc requer queM S N. Se M for maior do
qut,: N. e1111iQ r i" + Nl. a s:tfda oo inst.:tntc 1t + N dcpendcri dc .~Ln + M}. a qual é a cntroda em um instante posterior 11 + M . Para o caso geral. M = N e a Eq. (3.16) pode se-r descrita. por
.\'{11
+ Nl+t11)'(11 + N -11+·· · +a.v_1y(n + IJ +a,...y)n J = boxln +NJ
(3. 17a)
+ b1 .xln + N- I)+· ·· + b,,._,x)n + I I+ l>NX)It)
onde alguns dos coeticicmcs de c3dn Indo podem se-r zero. Nesca equação de ordem N. ao- o coeficiente de y(n
+ NJ é normali7.ado, sendo igual à unidade. A Eq. (3. 17a) é \·álida para todos os valores de"· Portanto. ela aind3 SCfá válida de subs•ituirmos n por " - N (\'eja f.q$. (3.9a) c (3.9b)). lbl substituição resultará na seguinte forma altem.·u.iva (fonna opera.dor atraso) da Eq. (3.17a):
yl~t )
+ a,y(TI- li+· ·· + a,,._,y (n- N
+ b 1..-t(ll - I I+ ··· + b,v_ 1x )n
- N
+ 11 + a,,.y[n -
+ li+ b..,.xJ" -
Nl =
N)
~t{n )
(3.17b)
3.5·1 Solução Recursim (Interativa) da Equaçiio Diferença
A Eq. (3.17b) pode scrcxpre..,sa por
)'(n ) = -a 1y(r1 - I] - 01)'(11 - 2) - · · · - a,vylr• - N)
+ IJoXIIII + b 1.c[n - I) + .. . +b.vx[u- N l
(3. J7c)
' Eq_uaçiki 1ais ('()(110 (3,9). <3. 10). (.}.12) c: (.}.1$) ll3o ctw~.;ider.u~ line:u~,; 1le ac"""' co1n :1- dall;wli~".ic"• éláM.te:l- de lwcaridadc. AI·
sumi au~ t ba.r.wno;w cquao,'\Jc~dc lll('tt:n~otJOIIIk'lllt' lii'W(ITt6 . Pfclcrim()§ 11 ddin_içil•> d(as~:•. 1 ~1(1 é :•pen:..~ um-. csci>tba pe~:l-1
e n;lo :.llcr.t ru: l'e)Uiti!OO!> linais.
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CAPh'Uto 3
ANÁLISE 00 0oMINK> DO TEMPO DE SISTEMAS EM 1'Dt PO OISCilBTO
24 7
Na Eq. (3. 17c), yfnJ ~ caJculado a panir de 2N + I inJormaçõc~~: Os N valores anteriores da safda: >1n 1), y)n - 2L ..., y[n- NL os N valores anteriores da entrada: x )n - 11. x(n - 2)..... x{n - N) e o valor atual da
entrada x[n). Inicialmente:. para cak ular y(O), as N condições iniciais r i - I L y(- 2), _,, y(- N) sen 'em como
N valores anteriores da saída. Logo. conhot:endo as N condições iniciais e a entrada podemos determinar to.da a saída y[O). >1 1), y[2l, )'(3] .... recursi\'amente, um valor a cada instante. Por exemplo, para determinar
y[OJ, fazcm1os n = O na Eq. (3.17c). O lado esquerdo é y(O) e o lado direito estar4 c:xpreSS() em tennos das N
condições iniciais >1- 1). y[- 2), .... >f- N] e da entrada xfOI se a entrada .r[n) for causal (devido a causalida
de os outros tennos de entrada.t1-nl = 0). Similarmente, conhecendo y(O) e a entrada, podemos calcular >1 I)
fazc:ndQ n = I na Eq. (3.17c). Conhecendo y(O) e y( I). determinamos y(2J e assim por dümte. Ponanto, podemos utilizar es1e procedimento recursi\'O para dctenninar a resposta compleca )'(01, y(l J. yt2], )1(3], ... Por es
sa rau'io. essa equaçilo t classificada como forma recursi\•a. Esse mc!lodo basicamente reflete a maneira pela
qual um computador pode resol...er uma equação diferença. dada a entrada e condições iniciais. A Eq. ( 3.17)
é n!lo recursiva se todos os N - I coeficientes a1 =O (i= I. 2 .... , N- I). Neste caso. pode ser vi.su>que >1n]
~ caJc:ulado u.sando apenas os valores de entrada sem nenhum valor anterior da sarda. Geralmente. o procedi
mento recursivo se aplica apenas a equações na forrna recursiva. O procedimento recursivo (imerativo) é demonstrado nos seguintes exemplos.
4
4
4
Resolva interath•amente
yfnl- O.Syln- I I = x(n l
(3.18a)
com condição ink:ial )'( - li = 16 e entrada caus.1.l x(nl = "! (começando para n = 0). Esta equaç!o pode
ser expressa por
y(nl =
O,Syln- li + x )n l
(3.18b)
Fazendo n = Onesta equação, obcc:mos
y!OI = O.Sy(- IJ + x[OI
= 0.5(16) + o= 8
Agora, fazendo n = I na Eq. (3. 18b) e usando o valor J10J = 8 (calculado oo primeiro par.so) c .til) =
(li = I. obtemos
(2/\=&e•t::=:o =
n
)'fi]= 0.5(8) + ( I)'= 5
2 na F.q. (3. 18b) e usando o valor yll J
y)2J = 0.5(5)
=
5 (calculado no pa'i.SO anterior e .rl 2) =
+ (2)' = 6,5
Continuando dessa fonn.a, intc:ruLivamente. obteremos
+ (3'/ = 12.25
y(4) = 0.5(12.25) + (4)' = 22.125
)'(3) = 0.5(6.5)
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248
SlNAIS E SISTEMAS LIXEAJU~
A safd:a y(nl cs.uí mostrada na Fi$. 3.1 5.
12.25
8
6.5
5
()
..-i~u ra 3.15
•••
4
Soluç-ão interaliva de equ:ttÇiio diferença.
Aptesenwemos {!gota mais um e.xemplo de sol uç~ i mernt i ~ -desta \-et para uma equaçllo de segunda or·
dcm. O método pode.ser aplie-lk'to a equa<;.ão diferença na fOmla ope.radof atraso ou uva~x.. No Exemplo 3.8
considernmos a fonnu operndor u1raso. Vamos aplicar, agora. o método interstivo nn forma opc.rador avanço.
EXEM PL O 3.9
Resolvn inlerativamenlc
)'(11
+ 2) - .VI"+ I)+ 0.24)'(11) =
X(ll
+ 2J- 2.\'(fJ
+
lj
(3. 19)
com condições iniciai<> >1- 11 = 2 e )'1-21 = I e entrads causal "'(ti ) =,. (começando em n ;;. 0).
A cqua.çilo do sistema pode ser e.xpress:t por
y(n
+ 21 = )'(11 + 11- 0,24y )tfl +
X( ti+ 2] - lxln
+ I(
(3.20)
Fsz:cndo 11 = -2 c então sub$1iluin<lo >1-11= 2. y(-21 = I, xJOI = ,_.(- 1I= OOcmbre·se que ..tl11l =n oo•»eç.'lndo em u = 0). obtemos
)'[0) =2- 0 .24( 1) + 0-0= 1.76
Faze•lOO" = - I na Eq. (3.20) e usando yrOI = 1,76. yl-1 1:: 2•.f( II .;; I ;; xtOl = O. obtemos
y(l] = 1.76- 0.24 (2) +I - O= 2.28
FazendO ti
=O na Eq. (3.20) c substituindo )'IOI = 1,76 . .'i IJ =2,28. x(21 = 2 = .t11) = I, temos
y(2(
= 2.28 - 0.24(1, 76) + 2 - 2(1) = I.8576
e assim por di;)me.
Obser"e cuidados.'lnlente a nawreza recursh•a dos cákulos. A panir de N condições iniciais (c da emrada) ob·
temos ptimeiro .'iOJ, Ent!lo. uSO'IOOo o valor de )'101c as N- I condições inic-iills anteriores (iumamemc com :a
entrada>. obtemos Jl l l. A seguir, us.'tndo >101. >111 e as N- 2 condições iniciais e a entr.'lda. otMen}C)S yf21 e a.-s·
sim por diante. Esse tnétodo é genérico e pode ser aplicado a equaç~ dife1-en~ recui'Siva de qu.alquer ordem. É
interessante que a rtalizaçào em lwrdwan• da Eq. (3, 18a), mostrada na Fig. 3.12 (com (I = 0.5). gera a solução
ex:.tamcmc nesta forma (interativa).
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A NÁLISE oo Dor.IINIO oo ThMro I>E S &STE\ tAS EM T'F.Mro Dlsaurro
CArflllto 3
EXERCÍC IO E3.10
Usando o méwdc. inlt:mli\'0, deiCmlÜié os primeiros três lermos de y[11] para
Yl" + li - 2yl" I ~ xl" I
A condição inicinl é yl-11 = l O c a cmmcb éxlnJ = 2 começando em,.= O.
RESI•OSTA
y[OJ = 20
y(21 = 86
y( l( = 42
EXEMPLO DE COM PUTADO R C3.3
Use o MATLAB p:ita resol\•cr o Exemplo 3.9.
>> 1l • (-2 : 101 ' ; y•!l : 2 : zero$1lengt-hlrtl-l . l)J ; x IO : O; nl3 : (:nd)J ;
>> ror k . 1 : hmgthfnl-2 .
» y<k..-2) = y(k.-1) - 0 . 24 •y0d .. xOt .. 21 - 2 •x (k .. 11 :
>> end ;
»
»
clf; stetn(n , y , ' k ' • : x laOe-ll'rt ' J ; yl&))c)l( ' ylrtJ'J :
diçp( · n
y ' l ; ditp((ni,Ul12:;trC(n. y)l tl :
n
y
·2
l
•I
2
o
1.76
I
2.28
2
1 . 8576
3
0 . 3104
-2 . 13542
4
5
6
7
8
9
lO
-5 . 20992
- 8 . 69'742
-12 . 447
-16 . 3597
·20 . 3'124
-24.4461
o
I I I I
I
'
I
_,5
-10
- 25
-2
Figur-.t C-1..3
o
2
4
n
6
lO
249
250
SINAIS E S ISTEMAS LtSEARES
Veremos posteriormente que a soluçào de uma oqWLÇão difere1•ça obüda deSla forma dírtta (interadva) é Util
em diversas situ~çõt:.s. Entretanto. apesar dos \'ários usos deste método. uma solução fechada de uma equaçJo
diferenç-a é muito mais útil no estudo do comportamctllO 00 sistema e sua dependência com a enuada e os v;i.
rios pnr.lmcum. do sistema. PQr essa mz:OO. desenvolveremos um pi"'<:edimento sbtentárko par.t :~nalisar sistemas em tempo djse:reto de forma semelhante a utilizada pànt sisterrws ('Ontínuos no tempo.
NOTAÇÃO OPERACIONAL
Em equ~-ões diferenç-a é conveniente utili1.ar a notação operacional similar a utiliz..'lda em equ3çôes djferenciais
para efeito de compuccação. Em si&~ emas contínuos no tempo. usamos o operador O para representM a operação
diferenc1açilo. Para sistemas em tempo discreto utiliuremos o opemdor E paro representar a operação de a\•an·
ço da seqOência por uma unidade de tempo. Portanto.
=.r[n +
E .f(nJ = + 21
E.r[n l
2
I)
x(11
(3.21 )
E" .r[nj "' .r[n
+ Nl
A equaç.ão de primeira ordem do problema de <:onta bancária pode ser descrita por Iveja Eq. (3.9b)l
y ln
+ 11 -
ay{n] = .f(n
+ I]
(3.22)
Usando n notaçâto operacional. JX)dcmos escrever essa equ,açâo por
é ylnl - ay ln]
= éxjn]
QU
(E - a )yinl = E:x[nl
(3.23)
A equação diferença de ~gundn ordem (3.1 ~)
y ltt + 21+ !yln
+ li + kYln) = .tlll + 2J
pode ser expressa n:1 no~o operacional por
(E'+ Jé+ ;i)y[n) = E'x[nl
A equação diferença g<'-néric.a de. ordem N da Eq. (3.17) pode ser escrita como
(ê'"'
=
+ '' 1 E"'- 1 + · · · + aN· I E+ aN)yln l
(br:JE"" + b 1E""- 1 + .. · +bN· I ê + b,..)xlnl
QIE iy[n l = PIElx[nl
(3.24a)
(3.24b)
onde Q[EJ e PIE] são os ope.mdores polinomiais de ordem N
E"'+ a 1E'"'- 1+ .. · + a .... _1E+ a"'
P( E] = boEJ( + bl EII- I + ... + b.v-1E + h,.
Q(EJ =
(3.25)
(3.26)
REsPOSTA OE SISTEMAS LINEARES EM TEMPO DISCRETO
Seguindo o proct:dimento ado1ado para siS'ternas contínuos no tempO. podl!m~ mostrar que 11 Eq. (3.24) é.
uma equação linear (com coeficientes constantes). Um sistem.a descrito por e-s te tipo de equação é. um sisle·
ma linear. discreto e invariante no tempo (LOIT). Podemos \•erific-.ar que. tal como em sistemas LClT {veja a
nota de rodapé da páginà 146). a solu\àO geral da Eq. (3.24) é constituída das componentes de.entrada nula c
estado nulo.
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CJ.I'f'rul..O 3
ANÃLI.Sii 00 0 0M1NK> 00 lB.tPO DG SIS'J"EMAS E.\1 l'D.tPO
l':ltscJurro
25 1
3.6 REsPOSTA DO SISTEMA A CONDIÇÕES INTERNAS: R ESPOSTA DE ENTRADA NULA
A resposu1 yJnl de entrada nula ta SQiuçiio da Eq. (3.24) com .t(nl =O. ou seja.
(3.27a)
ou
(3.27b)
ou
)õ(ll
+ N] +aayo(n + N- 11 + · · · +n,,·.. 1)u[n + I ] +o,vJofnl =O
(3.27c)
Podemos resoh·cr csca equação sistematic.a.mcntt-. Mas mesmo um exame rápido desta c:quaçiio aponta pa:n1 SU<'
soluçio. Estu. equtw;üo afi:nna que a combin:»çilo linear de yJn) e :mulÇ05 de yJnl t 7..erQ, mio parn algum wJlor
tle ''- mns ptu'O uxJt, n , T:ll J itu~ é possível se e somente se y11(n I e y,J.n} a\'ançaOO ti'·erem a mesma fOtma.
Apenas a runç5o exponencial y• possui esta propriedade. tal <:omo a seguinte t"qunção indica.
(3.28)
A Eq. (3.28) mostr.1 que y• uvnnçlldo por k unidade ê a constante (yt) vezes y". Portanto, a sohaçüo da Eq.
(3.21) deve ser n.'l forma '
)~ In )=
cy"
(3.29)
Para deti!nnin411 c e y, DÓs substituimo5 esta solução na Eq. (3.27b). A Eq. (3.29) resulta em
.t• )'oln) :: Yllln + .t J:: cy"-*'1
(3.30)
A substiluiç5o deste resuJtado n:. Eq, (3.27b) leva a
c(yH
+ a1 y•'' • l + · · · + a11-1 y + a11) y"
a
O
(3.3 1)
Para uma soluç5o ollo uiviaJ desw í!(]uaçlo
Y N +a1y--t
+ ••• + a.v- 1Y + a.v =0
(3.32a)
Q[y) =o
(3.32b)
00
Nona. soluçoocy• [Eq. (3..29) cstáGOfl'tUI desde que ysatb fllll.'11 a Eq. (3.22). Agora. QtyJ t um polinômio de
ortkm N e pode ser CXJnS.SO na ronna da fatores (assumindo raizes distinta.\) por
(3.32c)
Claramente. ypossui N soluções y,. y,..... y".e. pon.anlo. a Eq. (3.27) tàlnbém possui N soluções c1 y1• t~Yr··· ·
c.,·Y~ Neste caso. já tni>Str.tmos que a. soluçio geral é a combinução linear das N soluções (veja a nota de rodapé
da página l47). Portanto.
(3.33)
naqWll y1, Y:o···· Y,"sã.o as rufus du Eq. (3.32) c c,. c'Jo ... c,_ são consaantes arbi.ririas deccrmina«bs das N condi·
çôc:s auxilinres. geralmente dndas na forma de condições iojcitUs. O polinOmio Qfy) ~ ebamado de poii!Jbmi.o
caracterúriCQ do si.saema e
Qlrl = o
(3.34)
é a ttquação carocien:rJka do s:i!l:tema. AkEm disso. y,. Y:·.. ·• yl'o" as r3l.teS d3 tq~5o carac:u:-ríslic:a, são chama·
das de rnlz.e1 carucr~n:uictu ou m lono:s carocrerlslioos (ou :~uto,•alores) do siSkma. As exponenc:iai.s y1• (j = 1,
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252
SINAIS E SISTD.tA.S L INEARES
2..... N) sito os nrQdos Ctlrocteristkos ou nr<Jdo.J naturais d.o .N·tcma. Um modo car.tc1eriscico c-óiTeSpOOde a ça..
da rtúz curacterística do si51ema e a Tr.fposta d~ entmda nula i a conrbiJJaçiio linear do.f modo.f caract~rl.Jtictu
do Jistemo.
RAIZES REP~TIDAS
Até este momento. assumimos que o sistema possui N raízes catl'ICieristicas distintas y1• y2, .... r,,.com modos c:al".:tderínicos correspondentes y~. y;..... Y.:· Se duas ou mais r.úus coincidirem (raru:s repetidas). a f(m!U). dos
modos caroctrn'stieos é modificuda. A substituiç.ão direca mostra que se a raiz yrepete r vezes (raiz de mulúpli·
cidade r), os modos carnclerfslicos para esta raiz são y", ny". n2y •,...,ll' w 1y". Ponanto, se n equação caructc:rís·
ttca do sisu:ma for
Q(yl = (y- Yo)'(y - y,.,)(y - y,.,)···(Y- Y.v )
(3.3S)
a resposta a entt:)da nula do sistema senti
(3.36)
RAIZES COMPLI!XAS
Tal como no caso de sistemas contr.ooos no tempo, as r.~lzes complexas de um sistema em tempo discreto ainda
ocorrem em pares de conjugOOos se os ooeticientes cb equaç.llo do siSlema forem n:ais. Rarus oomplexns po.
dem ser tnltadas eutamcDte como tmtamos raízes reais. &tret.anto. tal como no caso de sistemas contínuoo oo
tempO.t.ambém podemos utilizar a forma reaJ da soluçã'-'t (;()11)1) alternativa.
lniciaJ10ente exprc:S$.1UU05 as mízcs conjugadas complex.us ye y• na fomw. polar. Se ly I é a amplitude (módulo) e /Jé o ângulo de y. entiio.
y = IYI~il'
e
y"
= IYIC"-il"
A respostas cmtrada nula é dada por
+ cl(y")"'
= c, lyl..ei"' + c2IYI"'e- 1"'
)'o[n l = c , y"
Para um sistema real. c, e c 1 devem ser conjugados. tal que yofnJ seJa umo função real de.'1. Seja
e
.l'o[ll l =
(3.37a)
~IYI" (e1(1" ....,) + e-i(l"..,.,}
(3.37b)
= <·iy I" COS (/in + 0)
na qual c e 9 são constantes arbitrárias detenninadas das condições nuxilinres. l!s1a é a soluçOO na fonna real. a
qual evita o trabnlho com números complexos.
(a) Pura um sis1ema LO li dc$Crilo pela equaç.OOdifereoça
yin
+ 21-
0.6yln
+ I) -
0.16y(n l = 5.r(n
+ 21
(3.3&.)
decemüne a resposw total se as condições iniciais forem >1- 11 • Oe y(-21 :o 25/4 e se a entrada for xfn) =
4-".,fn). Neste exemplo. dtcerminaremos apenas a compone.nte de e.ntrdda nulnyJ n), A componente de e~
tadó nulo i determinada posterionnente. no Exemplo 3. 14.
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CAPfUJLO 3
AN,\I. ISE UO DmtiXIO 00 T~;:MI'O OE S ISTEMAS EM T BMI'O
l)tSCHtnU
253
A equ:t~,·üo dó $Í.stemo nn not.ução opcrucional é
<E' - 0.6E - 0.16)y)n I = 5E' X[n J
13.38bJ
O polinômio camctcrfstico é
r'- 0.6y- 0. 16 = (y + 0.2)(y- 0.8)
A equa.,'ãO t•amctt'rístit.·.a é
(y + 0.2)\y- 0.8) =o
(3.39)
A.s raízes cardcterÍ!-i k<•s siio y1 = -0.2 c y~ = 0.8. A resposta de c ntmda nul:t é
>'I"I= c,(-0.2)' + c,(o.sr
0= - 5"1 + ~ti}
~
.
·~
.!.
~cl
.t -- 2:u·I + lb
(' J
=
=
~(-0.2)"
= ~
. ''i
'.z=
POitamo.
)'ü(nJ
(3.40)
+ ~(0.8)"
" :: o
(3.4 1)
O leitor pode \-erilic:ar e.o;ta solução dctcnnimmdo os primeiros termos usando o método imerativo ( n~ja
ExemplO$ 3.8 c 3.9).
(b) Um pi'(ICedimemo similar pode ser seg~•i do para raíze-s repétidas. Por exemplo. para o sis1e-ma c;ospecific:~do pda equação
(i:~ + 6/:;
+ 9))'(11 1 =
(2 E:
+ 6 E)x[nl
Vamos dt'tenninor y(ll,rl. u componente de cntmdn nula da rcspc)sta se ss eondiçôcs iniciais forem >1- 1I
= -1/J c y[- lJ = -'219.
(>polinômio car:•ctcrit:tico é y 2 + 6;r+ 9 = (y + 3)~. no ._1u.nl temos uma raiz csraclc.rís.tics •-cpe•ida pa·
ra y = -3. Os modo.H sr:telcrfs.licos s:lo (- Jt c n( -3)". Logo, a rcspos.1:. a em roda nukl é
Yo(" I = ((',
+ ('~11)( -3)'"'
l,odcmos dc1crminar as <.'(ln~l.:uliC:S arbitr:irins c, c C': seguindo o pmccdimcnlo da p:u1c (a). É deixado <."Q·
mo exercício para o lcilor que ('1 = 4 c c1 = 3. ~ai que
Yo(nl = ( 4 + 3n)(-3)"
(c) P..m·• o caw de: r.tízes <.·omplexas. vamos detcnninur a I"CSJ>O$lll de cntruda nula do siS'Icma L011' descrito pela cqnaçâo
+ 0.81),\')" ) = (E+ 3)X)" I
quando as coodições iniciais são .'·1-11 = 2 e;'! yJ - 2) = I.
(f' - I ,Só f
' A1~:.:mdiç\lt~> i Di~'l:<i!> .'·1 -1)~ ,vl-21«ào :a• n1udi.;ôc) d:nb• d:e lt'!f"l•Utlolal. i\1:~'<<-'iJnl(o :1 c1Mr..lb nâ~;~ co)ll~~ :\li quo::" • O, :1re,.;pnr.l~ dc I:'SI:Ido nulco é 1CI'tl p:ll':l ll < Q. L()J:O. (W:I II • - I o! - :!. :1 ~t:IIQI:d é COII'-1il uidllllpen;~s<J;, OOffipoi'IÇIMC di: CIMr'Jdli nu lol. IOg<t.
)1- 11 = ,.J- 11 c Jt-21= yJ - '21.
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254
StNAJS E SISTEMAS LINEARES
O poLi11ôonio caracteriSiico é (y'- L.Sóy + 0,8L) ~ (y- 0.78 - j0.45)(y - 0.78 +}0.45). As raizes c..
± j 0,45, ou seja. O.~. PodenlOS escre\'CJ" imediaw.mente a soluçto como sendo
ructerls-kas sâo 0,78
Yo[n) = c(0,9)nr'..~ + c*(0,9)nt--'~"'6
= - I .e• _111.17
- 2 e usando as condlções iniciaís y[ ec - 2,>'l-r •
Fazendo n
-:a .. _-JQ.n
2.. -
. _
~
1] = 2 e y[- 2) = I. nós det..::nninamos c =
Altemativnme.ntc, podemos dc:lenninar a soJuçAo usando a parte re~l da soluçâo, dnda pela Eq. (3.31b).
No caso atuaL as raizes sOO 0,9etPAt. Logo. b1 == 0.9e P=rrl6. e a rcspos,ca de entr3da nula. de acordo com
a Eq. (3.37b). será
)'o[•J = c(0.9)' <:OS (
~· +8)
P..tr.t determinar as cooslanles arbitririas c e 8, fau.mos n
= - I e - 2 nesta cqu.ação e substituímos as
condições iniciais y(- IJ = 2 e >i-21 = I para obter
c
( --+8
tr
)
1 = -cos
0.9
I c - c
(0,9)'
6
GtlS
(
- -tr
3
c
:;;~;-
0.9
l
[JJ
L
-cos0+-sen0
2
1
[L
+9 ) a - c
- cos (J
0.8L 2
l
+ -J3
sen 9
2
uu
J3
-ccosfJ
1,8
L
+ -1.8 csen8 • 2
J3
ecos
8 + • csen 8 =
62
1 62
I
,,
L
Essas dua.; equações simultâneas de duas incógnitas c oos 9e c scn 8 resultam em
ecos 9 = 2.308
cseo 8 = - 0.397
Dividindo c sen (J por c cos (J, teremos
8 - - 0.397 - - 0. 172
"'"
-
2.308 I
1
9 z oan- (-0. 171) = -0. 17 rad
Substituindo 9 = -'0. 17 radianos em c oos (J = 2,.308 resulta em c = 2.34 e
>•<•J = 2,34(o.9r cos ( ~· -
o.11}· =:. o
P
Observe q~ ne$1e caso usamos mdi~ OO«nn) unidade lrultO de quantoS. 1àmbém podeóamos ter utilizado graus.. apesar de não ser recomendado nu sQtica. A consklemção impOrtante~ ser oonsistenle e utilizar as mesmas unKiaôes pa.r3 jJ e 8.
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CAPtrul.o 3
ANÁLISE 00 Do>tú<IO 00 Til>IPO 00 SISll!MAS EM 1\MPO DiscRETO
255
EXERCÍCIO E3. 11
Determine c trace a resposla de entrada nula paru 0\ ~i,.tcm.:ts ~ritos pelas <.;e,:uint~ equaçllo:
(a) Jl'• + li - O.S.vl,•l = 3xl11 + li
(b) ,\li,. + li+ 0.8_,,1,.1• 3x(n + li
l:m cada caw, a condição inicial é yl-11
00 o método intcrath·o.
= 10. Vcriiiquc a soiLU;-fio detem1inando Oi trt'i' priml!aros te~ u.~;an-
RESPOSTAS
Cal 81o.sr
\hl -8<-0.sr
EXE RCÍCIO E3.12
Decennine a re..,po.:.ta de ernroda nula de um si'l.tema de-.!>C'rito pela equ:.çlk•
y(11 j
+0.;\,\'l'•- 11-0.h•ln- 21 =.rlnJ+2xtn -li
As condi\~les midais são "J - IJ = I e ~(ll-2f = 33. Verifique 3 o;olu"ão ddermin:rndo Ol' ttêi; pnmeiro.... term~ interativamente.
RES POSTA
Yul"l = (0.2)" + ~(-0. 5)•
EXERCÍCIO E.l3
Odcrminc a resposta de entroda nula de um sis.tema de~rit o pela equaçSo
ylnl + •h(n- 2) = ltlnl
A~ condic;ÕC'.s
iniciais sao y(lf I)-= - 1(2../2) e yJ-21= 1/(4./2). Verifique a liOiu(jão dttenninando ~crês
primeuos cennos inter.tti v~nte.
RESI'OSTA
EXEMPLO DE COM PUTADOR C3.4
Usando as oood~ iniciais >1- 1) :: 2 e >1 - 21s I. decerrnine e ltaCt a resposta de entrada nula par3 o sis·
lema descnlo por (E'- I. S6E + 0.81))'("] = (E:+ 3)xfn).
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256
$1}1'AlS E S ISTEMAS LL'"EARf.S
>> n • C-2 : 20) '; y • (l;2;zeroa(length(n•-2.1)};
>>for k • l : lengthtnJ -2.
>>
yfk•21
:
1 . 56 •y (k+l )-0 .81•y {k);
>> end;
>> clt;
~:temcn.}•,'k'l;
xlabel( ' n'l ; ylabelt'ytnJ't :
2.5
2
1.5
I
., o
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0.5
,11 iT
li
' I !I
I'
J
- 0.5
I
- LS
-5
o
lO
15
20
Fl.g ura C3.4
3.7 REsPOSTA 1!(11) AO IMPULSO UNITÁRIO
Coosídere um s·istema de onSem ,, especificado peJa equaçao
(E.v + a, E·"- ' + • ·• + a11- 1E+ a,...)y(n I
= (bgE"'
(3.42a)
+ b, EN- I + · ·· + bN- 1E+ b,...)x[n)
00
QIEiy[nl = P[EJx[n l
(3.42b)
A resposta /r[11) i!O impulso é a soluçiio desta tqWt<;fiO para a entrada $[11l como todl'IS as oondições iniciais
nulas. oo seja.
Q I EI/J [t~ l
= P I E I~l" l
(3.43)
sujciln às condições iniciais
hl - 11 = hl -21= ··· = h[- NI = 0
(3.44)
1\ Eq. (3.44) pode ser resolvida para delenninat frr11l imerativameme ou de forma fecb;)(la. O seguinte exemplo demonM.m à solução lnlennh•a.
EXEMPLO 3.U
(Determlaa~lo
l•teratha de Ar(•))
Detennine h(11 ). a ~posta no impulso unitário de um sistema desc.:rito pela equação
y[n] - 0.6y[n - 1] - 0. 16y{t1 - 2)
= Sxlnl
(3A5)
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CAPf11JLO 3
ANÂLISE 00 I)O}.tl)\10 00 TEMPO OE SIS'fa.1A$ F.M Tr:ltPO 0tSCRF.TO
257
Para determinar a resposta ao impulso unitário. \'amos c:onsiderar a entrada .t(n) • $ftt) e n saída >1") =
h[n) na Eq. (3.45). obccodo
h [n I - 0.6h[n - I( - O. 16h[n - 21= 5a(n)
(3.46)
sujeita no CSUldo inicin1nulo. ou scjs. h(- 1J = 1!(-2( =O.
Fa:ccndo 11 = Onesta cquaç!lo,
hIOI- 0.6(0)- 0. 16(0) = 5(1)
=
h[OJ = 5
A seguir. fazendo ,,= I na Eq. (3.46) e usando 11101 = 5. obtemos
lt(l] - 0.6(5) - 0.16(0) = 5(0)
-
h [I [ = 3
Continuando desta fOtma podemos detenniJ,ar qualquer número de tetmos de llln). lnfeliz;menle. cs.~c tipo de
soluç!io n!io resulta em uma express5o fechada para h(11 ]. De qualquer fonna. a detennioaç~ de alguns valores
dt l1(11] pode .ser útil n.a determinaç.iio de urrut soluçiio fechada. como o deseO\'OivimeniUa seguir 11\0ISlra..
A SOLUÇÃO FEcHADA DE h[n]
Lembre-se de que hlnl é a respos~a do sistema (XI;t:l 3 e:cura<Ja <lln). 3 qual é zero parn n >O. Sa~mos que quan-
do a entrada é zero. apenas os modos caracterís:tioos J)(l<km ser mantidos pelo s-istema. PManto. h[nl de\'e ser
constituído pelos modos éarocterfstkos do sistema para n > O. Para n = O. ele pode ter algum \'lllol" nik'l nulo AO'
de tal t'onna que a equ3Ção geral de ll(11 J pode ser descrita por'
(3.47)
na qual y4"1n l é a combinaç.\o linear dos modos caracterfstieos. Substiwrmos agora a Eq. (3.47) na Eq. (3.43) para obter Q{E](Ao81nl + y..fn)•l[n)) = P(EJ$(11], Como y~l 11l é OOilstiluroo peJos modos caraclerfsticos,
Q[E})'~[n ) ~t[nl =O e obtemos A0QIEJ&ln) = P(E]I1[nj. ou seja,
Ao(~[n
Fat.t.ndo n
:~ O
+ Nl +a 18[n +N -li+··· + ll.v81n)) =bo61n + N)+ ···
+b.v~ln l
nes(a equàÇãO e usando o fato de que 8[m] =O para todo m ;t; Oe 610] = I. obten1os
(3.48)
(3.49)
Os N coct"icientes desconhecidos de )',(r~ ) (lado din-ito da cqu.nção) podem ser decem1inados do conht:c;.hnen·
to de N valores de h(n). Feli1.me:n1e. a determinação interativa dos valores de IJI,•l é umatan:fa dhl!lll, oomo de·
monstrndo no Exemplo 3.1 1. Calculamos os N valores ''lO(, liLli, IIL2(, •.• h[N - 1] interativamente e, a seguir.
fa7..Cmos, =O, I. 2,..., N- I na Eq. (3.49) para delenninar as N incógnitas de )',.(tt). Eslc ponlQ fic::nr.i mais claro no exemplo a seguir.
• As.su•nimos q\Jt' o termo 1..1"1 0011sl~c dos •t'IOdos c~r~tkOi llf"C~ 5"afll " >O. Para rtflctlt tst(J oomponamcMo. os tcrn)()S QniC·
terisli~dl..·,.-~,•n !<e~ e.prn~ na rornu f, ~til• - 11. Mu eximO"'' - l i • •l(ll ) - (\11J, c1l(N(R - 11.: c1)í"~tl11 1 - 9 '1111. ~ J..llll pudt
~r cx""'""cro tertnMd:.ll§ exponCDCi~' l}"a.(11) (11 qu;a.l comcçn em 11 • 0). maiJ u:m irnpul!iO emn • O.
1 Se a,., • O. en1AoA n.:kJ pode ser dcw::rminado pcla Eq. <:l.48). N.eMe caso, Dkl!ill'l.ltetOOS 01 Scçlo 3.12 ~ lll11) é <b. forma ArAII'I •
0
A1~11 - li • )",)Rietllll. NcMe caw k"lll!M N • 2 incógnilll$, liS quai~ podem ser dc~erminllllti do8 N • 2 vuklt'c!>lttOI. hlll....• hi N • li
detcnninmJc.l!l inleflllivumente.
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EXEMPLO 3. 11
Ocfcmlinc a rtsposta hlnl ao impulso para o sistema do E:<:emplo 3.11especificado pela equ~o
y(n l - 0.6yJn - I] - O, J6yJn - 21 = S.rJnJ
Es.la equação pode set exprt$Sa na fonnà operador avanço por
y Jn + 2 1- 0 ,6y Jn + 11 - O. 16y(n J = 5x ln + 21
(3.50)
( E ' - 0 .6E - 0. 161y[n] = SE' .t (n I
(3.5 1)
ou
O polinômio carocterfstieo é
y'- 0.6y- 0. 16 = (y + 0. 2)(y
- 0.8)
Os modos caraeteristic:os são ( - 0.2t e (O.St . Portanto.
y, JnJ = c1 (-0,2Y' + c,(0.8Y'
(3.52)
Além disso. a JX!rtir d.'l Eq. (3..51 ). 1emos a,y = -0. 16 e b,,. ;;; O. Logo. de acordo oom a Eq. (3.49)
= (c1(-0.2Y' + c 1(0,8Y']"Jn)
(3.53)
Puta determinar c1c c,. prcc isamos decermin.nr dois ''atores de I• f''] i mera.1ivamente. Esu: passo já foi nY-1•
h lnJ
lizOOo no Exemplo 3.1 I, no qual determinamo5 que 1•101 = 5 c /til I = 3. Fazendo, agora." • Oe I 1UI Eq.
(3.53) e usanOO o f~uo de que 11101 = 5 e 11( li
=3, temos
Logo
lrJn J = J(-0,2Y' + 4(0,8Y' Jn ln 1
(3.54)
EXE MPLO DE CO MPUTA DO R C3 .5
Utilize o MATLAB para resOI\'er o Exemplo 3. 12.
E:<isa:em di\·ersas formas de se determin.'U' a respos.1a ao impulso usando o MATLAB. No mé1odo apresen~
tltdo primeiroes~cificamos .. entrada como a função impuI:;o uniLário, Os vtcoru a e b ~ão criados pilr'a u..
pcciflcar o sistema. O comando f i l ter é-. e ntão. u1ilizado paro dclcrmjnar a n-spostn ao impulso. De fato.
es1e método pode ser utiliz..'ldo pM3 de:tenninar a resposta de e~ado nulo para quaJquer entrad.t.
>> n = (0 : 1,) ; x = i nlinet'n==0 ' ) ;
» a = u ..o . 6 · 0 . 16) ; b = (S o O) :
>> h= f ilter (b,a,x <n) );
» cl f ; s tem(n.h.'k' ) ; x l abe l( ' n ' ) : y l a be lf 'h (n ) ' ) ;
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259
ANÁUSI:. 00 Do:.liNIO 00 T E\U'O DE St~rE,\t.AS EM T EMPO O tSCRHTO
CAI'tTVLO 3
l
4,5
4
3.5
3
.!.
~
2~~
1
15
I
0.5
00
1
4
lir
rr,.
s
6
10
n
12 14 lb 18 20
Figura CJ.S
Comentário. Apesar de ser relalivamcme simples determinar a resposta hlnl ao impulso usando o ptocedi·
mcnto desta seção. no Ol.pftulo 5 discutiremos um método muito m.;'Lis simples atravt's da cransfonnàda :.
EXERCÍCIO E3.14
Dc.tcnninc lti,•J." rc....posta ao impulso dos sislcmas LDIT especificados pel~s seguintes equações;
(o) yl11 + 1J - }[n) = x[n)
(b) >'In I - Syl11 - LI+ 6yl••- 21 • Sx[n - L) - L9x[n - 21
(<) y[11 + 2) - 4y[11 + I}+ 4y[n] = 2.<(11 + 21- 2x[n + I)
Ld) Yl• l = 2.> 1•1- 2xln -li
RESPOSTAS
(a) hl11] u(n li
tbJ '''"' = - ~a1..1+ [i!2l" +
(c) ltlnl = (2+Jt)2"uln)
(dl h(nJ = 2~1"1 2a[n - I)
3.8
lt3J"]•I•J
Jti:sJmõA DO S ISTEMA ,\ ENTRADA EXTERNA: A REsPOSTA DE EsTADO NULO
A resposUI ao est.ado nulo Yl"1é a resposta 00 sistema :1entr<Nda .tfnJqual'ldo "' sistemtl estoino estado nulo. Nes..
seçOO assumiremos que todos os sistemas t$tào no e$1ado nulo. a "00 ser que mençionado o contrário. de tal
fofma que u resposta de estudo nulo será a r'CSJ)()Sta total do l!oistcma. Seguiremos um procedimento semelhame
ao u1ili1.ado no caso de 1cmpo comrnuo. exprcss.tando uma entrada Mbitrária.-"fu l como a soma de componentes
impolsi\'as. O sinttl x[lll da Fig. 3.163 pode ser expresso como a soma de componentes de impulso ulis como as
mcmmdas na Fig. .l.16b-3.1 6f. Acomponente dc.f(nJJXItil" =m é .l'jmJ6[n - mJ, e x[t~ ) é a soma de tod(IS com·
1:-1
poocntes de 11 = -oo a oo.
Porc:-~n t o .
x l" I = xiOI<II" 1+ .<I L141" - LI+ xl2111" - 21 + · · ·
+A'I-IIII<t + 11 + .•1-2111" + 21 + ...
~
=L .r(m),SJ,r - ml
...
-~
(J.SS)
260
SlNAJS E StSTEMAS LINBARES
(o)
I
-2 - )
.t( -218(11 + 2)
(b)
·-
-2
·-
- )
40161•1
·-
(d)
1'"'161• - IJ
(o)
•
I . ·• •
I
x(2)6(n - 2)
(f')
2
·-
f'igura 3.16 Rcpresent~çâo de um sin:.l art>itrárioxfnl em tennos de componentes de impulso.
P'.l.rn um sistema linear. conhecendo a resposta oo impulso a(, I, a re.o;pust:~ u quafquerentrnda u.rbitrária pode
ser ub1ida pela soma da re..o;posca do si stema aos vários cumpoocntes impulsivos. Seja /tinia n::spost.'l ao impulsu de c ntrnda a(n}. Utilil•;aremos a notnç::io
x(n) ~ J [n)
par.t indkar •• cntr.td<t e tt saíd;t C(lfi"CSpondcnte do sistema. Portanto. se
8{11) ~ /r(11l
em5o, devido à inva,·iância oo tempo.
JJ(rt - m J == lt(lt -m l
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e. devido à Hnearidade.
novumc.nte, devido à line-.tridade.
~
®
L
,tfm l61n- mf
··-
==>
L x[m~lt{tl- m)
..,,.._:>)
·~·
O lado esquerdo é .t(11( (\'eja Eq. (3.55)) e o lado diréito é a resposta do s.istema >1'•) a cntrJda .t(, f. Logo'
~
y(n l =
. .L. ..:[m)h(tt - m]
(3.56)
O somatório do lado direito é chamado de $(Jmtll 6rio tifO M "''()/u(cio de .tini e hln (.sendo simboHc:uuemc rc·
prcsentado por xfuJ •lrftr]
~
~
,\'(n) alt(nf =
L
.t(m(ll(11-m)
(3.57)
... . ""'ll:
PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO OE CONVOLUÇÃO
A estrutura do somatório de convoluçào é similar à da integral de con\'oluçio. Além dislio, n.'i propriedude.o; do
somatório de C()f'IVOlução sOO similares às da integral de COIWOiuç3o. Iremos enumerur estas propriedades sem
provn. As provas sâo similares às para integral de COII\'OI~~io e podem ser desenvol\'idas pelo JeitOC'.
Proprit--dudt comutati\'11.
(3.58)
Proprk-d.adt> distributiva.
x 1(11l * (.tz[n) + .t)[ll})
= x 1{ttl • .rz[n) + x 1[n}• x 3[n]
(3.59)
Proprit'dadt a."socialivo.
X1(t1 J~ (.t'zfu } " XJ(Il J) o Cx1 [u i • .l'l (ll J) ,.. x,(,. I
(3.()())
Proprlt"dade de de.sloc1untnlo. Se
(3.61)
Com·olução com unt impulso.
(3.62)
l'ropried.-.M da largura. Se.t1{nf e .~(" ) possuem largur.1finiUI de W, ~ \Vl, resptX1i\õutltnte, entiic:J a l.:qun'l dc.t1(11)
• xJnl é \V1 + \Vr 1\ latgura de um sin:.l é menor du qu~ o número de: seus elementos (comprimento). Por exemplo.
o sinal da Fig. 3.17h possui seis elementos (comprimento 6). mas uma largum de apcttJlS 5. Altc:rnath'amentc., 3 propriedade pode ser dclierita em termos d<Wi comprimentO!;, como mosn'lKio a ~uir: se x1(n) e x![11j possuem c:omprimento finito de L1 e L-t.elemeotQS. respectivamente, cntAo ocomprio-,;:nto de X1(,J• ~ nl é Lr +L.,- I clcmentl)6..
a.,. -
' Na dl:tcnnlftaÇio dcsec ·~lltldo. assumlniO§ slsiCfllaS itl\'ariantn nu lt'!~ A rcSfli)Sb a t'nlrada
m 1para um siSit!Nl \'arillllk no
ll':1npo n~ pMe :~er expre..-.:llbaJfno h(n - 111). ~ndoC$1lf' m1fomu fi(~~o m), l,h;ando e.wa (nmv., a Eq. (;).S(i) é nM.~flcad:t (lilr-.a:
~
y lnl e
E,...
___
,t(m)h)n, m)
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262
SINAJS E SISTE.\IAS LI,.'EAilES
CAUSALIDADE E RESPOSTA DE EsTADO NULO
Na dtterminaçOO da Eq, (3.S6). consideramos que o sisLC:ma i linear e invariante no tempo. Nio c.l.Lo;tem outras
I'C$lriçõe.o; tanto oo sinal de enll"ada quanto ao sistema. E.m nossas aplicações., quase todos os sinais de entrada
s.ão causai5 e a maioria dos sistemas também~ causaL E&tas rcstriçócs sim.plificam ainda mais os limites dosomatório da Eq. (3.56). Se a eouada x[n] for causal, ..t(m] • O param< O. Similarmente. se o sistema for causal
(isto é. se h(n) for causal), então h[x) = O parax negath'O. tal que h[n - m) Oqu.ando m > n. Portanto. sex[n]
e lrfn) forem cau.sai.s. o produto x(m)h(n- m) =O quando,,.< Oe param> n e não nulo apenas para a faixa OS"
m S. n. Portanto, a Eq. (3.56) neste ca.o;o se reduz para
=
y[n]
•
= l::xfm]h[n- m)
...
(3.63)
Calcularemos inicialmente o sornatório de oonvoluç5o por um método analítico e posterionncnte com ajuda
gráftca..
..
.
.'
Detetmine cfrr) • x(rr]• gfrr)
. ':,
.....'
--.....
_
·,
.
.... ,
. ~-
.
. .. ~
~
...:
'
para
x(n] = (0.8f u[n(
e
g (nJ
= (0,3f ulnl
Temos
c(nJ
=
NOte que
x (ml
= (0 .8)"u(m]
L"
x(m]g(n - no)
··-
g[n- ml • (0,3f - u(n - m]
e
Tanto .t1 nJqua.nto gln I são causais, portanto, (veja Eq. (3.63 H
...
...
•
c(n)
= Lx(m]g[n -
m)
(3.64)
•
= Í::(0,8)"u(m](0,3f"" u[n- ml
Neste soma1ório, m esd entre Oe n (0 S m S n). Portamo. se n ~O. tnl1io tanto m quanto" - m C!: O.lal que
u[ml ;;;-u {n- ml ;;; I. Se n ~ 0. m é l'legativo, porque m esa:ohrure Ot n e urmJ • O. Logo, a Bq. (3.64) se toma
•
...
c(n) = 2::<0.8)" (0.3r-•
n?. O
n <O
=O
e
· (os)·
õ] u(n)
c)nJ = (0.3)" ~
Este é um., progressJo geomttrica com taxa (0.810.3). A partir da Seç!k) B.7-4. temos
(O,Sf" - (0,3)"+'
c(nl
= (0.3)" (0. 3)" (0. 8 _ 0,3)
ulnl
(3.65)
= 2[(0,8r+' - (0.3f ., )u(ul
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CAPfl1JLO 3
ANÁLISB DO Do.\tf.~IO DO TBMPO 06 SISTEMAS EM TEMPO D ISCRETO
263
EXERCICIO E3.1S
Mostreque(0.81"ulnl • ulnl s 5(1 - (0.8)"+l )u)n].
TABELA DE SOMATÓRIO DE CONVOLUÇÃO
Tal como 1.0 caso de tempo comínuo. prep:uamos urn:. labcl.-. (Tabela 3.1 ) na qual os soma•órios dt coovoluçllo
podem ser determinados diret:u nente par.. uma v-.rriedade de pares de siJlaill. Por exemplo. :. cotwo l ~ão do
Exemplo 3.13 pode ser dirclnmente lídD desiD Lttbela (par 4) como
Demonsttru-emos o uso da wbela de con\'(lluç!lo nos exemplos:. scgui•T
Tabela 3.1
r.~
Som3tório de com·oloção
x,(n I
x 2(n)
x 1(n ) • X!( ll ) =
&ln -kl
.tini
.r(n- k)
,,,. ,
[' -r..']
(11 + I )u(n I
,,,,
...
2
)'
3
lt (n)
' '"'
4
YÍ'''"'
Yi••ln l
5
11(n I
lll/ (11(
6
y"11(11J
7
nufn}
8
y"11(11)
""'"'
flll(nl
...
lO
n yj'u(n )
IY1r cos (J:In
"'"'
Yí 11 1'tl
+ 9)u(n J Yí 1111tl
"'"'
r:·•J
[ y• +< -
.
y,- n-
u (n
)'
9
I- y
+ I)
2
.r 2(n] • .r 1(11]
"'" '
Y1 # Y:
u(n)
[ y(y" -l)+n( l - y) ] u(nl
y)'
(I
! n(ll - l )(n
+
l )11(tJ(
(n+ l)y"u(n l
Yl>i: .,
(~ - r:) ·
[r:-r.· +n Y:- n:ny~
I
;;lfy,(,.+l
t."'s (j:l(n + I) +0 -
ws(O -'-'ll•lnl
f» I -
I"'"'
y, ,. Y:
y;+•
Y2 real
R=[
IYtl '
+ '
Yi- 21ydY? COS.8 ]'"
( )y1Jsen tJ)
9 = tan _, [ UydcosP
nl
11
yju(n]
y1" 11(-(11 + I))
Yl
r.-n
yju(11 j
+
Yl
n-n
I
y1" u ( - (11 + I) J
lr:l > IYII
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EUMPL03.14
Detennine a resposta (de estndo nulo) >fn) de um sistema LCrr descrito pela equação
_r(11
+ 21 -
0.6y [n
+ lj -
0.16)'(11 ( = Sx[11 + 21
se a entrad.u for:rlnl = 4 •utnJ.
A cntntda pode s.:rdescril.a por .t1,•l = 4-"•l(n) = ( 114} u(lrj = (0.2S)"u(n). A res~n oo impulso deste sistems (oi oblida no Exemplo 3.1 2.
hl•rl = ((-0.2f
+ 4(0.8f luluJ
Portanto.
y (tt)
= x (n) •Ir In I
= (0.2Sfu(n1• I(-0.2f
u(r~ l
+ 4(0.8)' u (11 O
= (0.2Sfu(n l• (-0.2Y'u{n l + (0.25fr•(r~ l •4(0.8)"ul"l
Us.1J)dOo par 4 (fabcla 3.1) podemos detenninar os somouórios de co•woluç.'kl anteriores.
. .,. ,=
[
co.2SY'" - c- o.2r•• 4 co.25)" ' - to.sr"]
0.25 - (- 0.2)
+
0.25 - 0,8
" 1" 1
= (2.22((0.25)"+1- (-0.2)"+1(- 7.27((0.25)"• ' - (O.Sf " J)u(ul
= 1-5.05(0.251*'- 2.22(-0.2f"' ' + 7.27(0.sr~' luln l
y"+'
= y(y)"
Podcmt>S expressar y(u( JX1f
Yl" l = 1- 1.26(0.25)' + 0.444( - 0,2)" + 5.81(0.8)' luln I
= 1-1.26(4)-" + 0.444(-0.2)" + 5.8 1(0.8)" lul .. l
EXEKCfCIO E3.16
F.XF.RCÍC I O F.3.17
Copynghted fTlatenal
C..wi11JLO
3
265
ANÁLISE 00 0oMi~to'IO 00 T 6M J'O 00 SISTEMAS EM TEMl'O D ISCRJITO
EXERCÍ C IO E3.18
Mo1>trcquc
EXE MPLO D E COM PUTADO R C3 .6
Determine e trace :. r'CSJ)O'I>1a de es1:.do 11ulo p.'l!a o si~tern:t de~rito 1>0~ ( tf + 6E + 9)yl" I •
pan1a emruda x{lll = 4 "u[ul.
<2E + 6E).T(11I
Apesar da tntrada ser ljmitatb c r<Jpid:unenle <:air jXlra .-.ew. o sistema propriamen1c di tu é instável. resol·
t:ando em umza safdn ilimit:ad3.
>> n = (0 : 11 1 : x = .i n line( ' l d.. "'l · niL ~ <n>-=0) ' 1 :
>> a = (1 6 91: b • ( 2 6 o 1:
>> y • t'ilt.er < h .<~,x i n l) :
>> cif ; stemtn . y, ' k ' l : x l ~beU
I. 5
'n' ) ;
y label( ' y(nJ ' l ;
X 1 0~
I
o. 5
o
I
- 0. 5
.:;.
I
" -1.5
2
- 2. 5
3
-3. 5o
2
6
lO
,
L
"
Figura CJ.6
RESPOSTA A ENTRADAS COMPLEXAS
Tal como no caso de si stem ~s contínuos nottmpo reais. J>Odemos mostr:~r que para urn sistema LOIT <:om hln)
~~~1. se ,a ellltad~ e,., saída são dtscritas em temtO$ de ~uas po·111cs re:rl c imaginárk•. então o IXIMe real da e ntrada geta a J)õ.\rte real d.1 C't$poSta e a pane inm~ inária d.a cmrJda gl.'ra n parte imaginária da resposta. Portanto. se
e
(3.66io)
usando a seta dirrtiontd pára a direita par:~ indic-<rr o par ~n u<~da·saída. podemos mostrar que
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266
Sl!'iAlS E SISTEMAS L O\"EARES
e
A prova i. similar a ulilizada paru determinar a Eq. (2.40) para s:islcmaJ> LCJT.
(3.15ób)
M llLTIPLAS ENTRADAS
MOhiplas enlt3das em sis1emas LIT podem ser tr.nadas pela aplicaçli.o do priDCfpio da superposiçllo. Cada en~
Irada é considerlda separadamente. como 1odas as ouuas entradas mantidas em t.tro. A soma de lodas as respostas individuaís do sislema constitui a saída total do sistema quando todas as ent:radus forem aplicadas simullaneamente.
3.8-1 Procedimento Gráfico para o Somatório de Com·olução
Os passos para a decerminaçlo do se>matório de conYOIPÇil<> sio semelhantes aos utilizados na integral de coovoluçlo. O somacório de convoluçlkt de sinais causais Atnl e grn1é dado por
C(lll =
•
...
L xlmlg(n -m (
Inicialmente, obtemos o gnifioo de x(m) e g[n - ml como funções de nr (e nao de n). pois o so•nat6riooc-orre em
nr. As funções x(m) e g[m) são as mesmas de xrn Je g(n). traç.adas respectivamente como funções de nr (veja Fig.
3.17). A operação de convolução pode ser executada da seguinte forma:
I. lno.'erta g(m) com relação ao e i.xo \'ertical (m = 0) para obter sl-ml (fig. 3.17d). A Fig. 3.17e mostra
UUltox{mj quanto gl-mJ.
2. Desloque gf-ml por n unidades para <>beer gln - mJ, Pata n >O. o deslocamento é paro a direita (alta·
so). para n <O. o deslocamento é para a esquerda (a\'tlnÇ()). A Fig. 3.17f mostrag(n - m) para n >O. pà·
m n <O \'eja a Fig 3.17g.
3. A seguir multiplique .rfm) com glr~ - m) e some todos os produtos para obterctnJ. O procedimemo é re·
pctido para cada valor de n na faixa de -oo a oo.
Demonslrnremos através de: um exemplo o procedimento gráfico de decenninaçio do somatório de corwoluçllo. Apesar das duas funções nes1e exemplo serem causais. o procedimento é aplicável ao caso geral.
Detennine
c(nl =xinl •ginl
ondex(n) e g[n) são mostrados na Fig. 3.1 7a e 3.1 7b. rcspecti\'amente.
Temos que
x [n)
= {0.8)"
e
g(n ]
= {0.31"
Ponanto,
x(ml = (0,8)"
c
g(n- mj =
(O.Jr-•
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ANÁI.ISE 00 DoMiXIO 00 TEMPO DE StSlliMAS D t TEMPO DISCRETO
CAPhlJLO 3
267
$[t1(
(0,8) ..
o
I
2
3
,.,•
I I ,_
I
(0.3)*
o
!
3
·-
•
~b)
.t(ml
sf-ml
(0.8)"'
(0.3) ...
o
I
2
3
•
II
-·
111 -
Ic )
-·
•
•
!
-3 - 2
I
- I
o
2
I
g(n -
(f)
gfn -
ml
o
!
o
J
•
, _r
"' -
4 11(
, < ()
)J
,. _
o
(g)
Figura 3.17
(d)
.......
.t
xfmJ
mJ
'
,. _
o
.......- xtml
Rl- ml ......._
I e)
-3 - 2 - I
2
4
( h)
·-
s
Emc-ndimcnlo grálic.-o da eonvoluçio de- x(n l e g(nl.
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268
S INAIS B SISTEMAS L I:.!I!AkES
A Figu 1~ 3.17( mosrra a siruaÇãb gtral para n ~O. As duas funçê>es .tlml e g(n - m l se sobrepõem no intcr\•alo OS m S n. Porta.nto.
•
...
...
cJn l = L :r )mfg(ll-m)
=
•
I)o.srto.Jr•
= (0,3Y
t
(0.8)"
•=O 0.3
= 2((0.8f' 1 - (O.J)"+'J
P~l'3 n <O. ni\o exis.~esobreposiç®e.mre."l ml
"~o
(veja seção 8 .7~)
c gfu - ml. como mostrado na Fig. 3.l7g. dé tal fonn.aq ue
, <o
e
C]li I = 2](0.8)" " - (0.3)"" 1]u]11]
il
qual é a mesma re.'iposta ob1ida pela Eq. (3.tí5).
EXI> RC iC JO E3.!9
Dclenmnt' IU.Sfuft•l • u{t•l gmficamen~ e Lmce n resultado.
RES POSTA
t0.8)",..1ltt(t1 J
St I
UMA f ORMA A LTERNATIVA DO PROCEDIMENTO ÚRÁFICO: O M ÉTODO 00 D ESLOCAMENTO DF.
FITA
Este aJgoritmo ~conveniente quando as seqüências .rlnl c gl"l siio pcqucn;~.s c elas estOO disponrveis 3pe:nas na
forma gráfica. O algoritmo é b.'ISic:unentc o mesmo do procedimento gráfico da Fig. 3. 17. A á nica diferente é
que ao in1t'é$ de aprcscn1ar QS dad(ls cro um gráfico. 1lÓ$ os mostmmos com vma seqüência de oúmeros em uma
fit!l.
Por omm 1ado o procedimen1o é o foesmo, COIOO ficará claro •'<> exemplo a seguir.
EXEMPLO 3.16
Uk o método do deslocamento de lita paro com•oluir as duM seqüencial; .t1r•J c glnl moS-Imdas n:. Fig. 3.18.'\
c 3.18b. n:spcclivnmcntc.
Copynghted fTlatenal
ANÁUSE DO DoMfN'IO DO TEMPO OI! StSTP.MAS EM TEMPO DtSCRETO
CAPfnrLo 3
•
269
l l l l l ·· ·
456711 -
_,fila .t 1-~- 1 o
...
(<)
_,
g
I
111
I
2 3
•
I
I
I
I
I
I' I .
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I
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I
2
31•1
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I
->n =2
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2 3
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I
2 3 4
I
I
I
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I
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(f)
· I•I'
.I'
(h)
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I
I
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I
I
I
I
I
clll• - 2
. I I li I '
ci2J • O
•I
<"131 .. 3
. .. I '
Figura 3.18
I
I
Olll2ll l•l
cl - 11 =-3
~~~= -•
(I )
_, 11 = 3
<'H I= 7
I
-
- I
o
I
2 3
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I
I
I
I
I
I
I
- I
ík)
cJ ~t]
(m)
(i)
-
'3
('151 = '
I
I
-3
2
·--
s
Algoritmo de dcslocamcmo de fit.a pm-a a com-oluç!io em tempo discreto.
Neste procedimento. cscre\·emos as S(qüêndas .\'{n) e g[n) e m quadros (s/oiS) em dWIS litas: a fitu x e n
fiLa g (Fig. 3.18c). Deixe u fita x cs UtCionária (para corresponder 3 .l')ml). A lita gl-ml é obtida im-ertcndo
g(m ) na origem (nt = 0). tul que o quadro oom::spondcntc 3 .\')0] e g(OI pcrmancçnm a linhado6 (Fig. 3 .18d).
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270
SI~ALS E S ISTEMAS LI}.'EAJtES
AgOta deskK:amos a fita in\'ertida pOr" quOOCO$, muhiplicamos us \•alort"s adjaccmes das duas fitas e soma•OOS todos os produtos para detenninar c(n]. As Figs. 3.18d- 3.18i mostram os ca.o;os para '' = 0- S. As fi~.
3. 18j, 3. ISk e 3.181 mostrom os t.-asos para n = - 1. - 2 e - 3, rcspectl\•amente.
Para o caso de n = O, por exemplo (Fig. 3.18d)
c[0[ = (-2 x 1)+(- 1 x I) + (O x 1) =-3
Pura • = I (Fig. 3.18e)
c( IJ = ( -2 x 1) +(-1
X
I) + (Ox 1) + ( 1 X 1)= - 2
SimiJannen1e.
c(2J = (-2x 1) + (- 1 x I) +(O x l) +(l x 1)+(2x 1)= 0
c[3)= (-2 x 1) + (- 1 x I)+(Ox 1)+ (1 x 1) + (2 x l) + (lx 1) = 3
c[4) = ( -2 x 1) + ( -1 x I)+ (Ox 1)+ (1 x 1) + (2 x 1) + (3x 1) + (4 x 1)= 7
cJ51 =(-2 x 1)+ (- 1 x I) + (O x 1)+(1 x 1)+(2 x 1)+(3 x 1)+(4 x 1)= 7
A Fig . 3. 18i moS'rn que c(11) = 7 p:u"a n C!: 4.
SimiJam1eme. cakuJamos cfnl para n negati\'0 deslocando a fila para trás. um quadro por vez. como mostrado DOS grifioos correspooden1es 1 n = - 1. - 2 e - 3. respec:tivamenle (Fig. 3. ISj . 3. J8k e 3. 181).
c( -l )= (-2 x 1) + (- 1 x 1)= - 3
c( - 2) = (- 2 X I)= - 2
c(- 3) =O
A Fig. 3. 181mosua que c[nl
~;;; O p:u-a
n S: 3. A Fig. 3.18m moscra o gráftOO de c(, J.
EX ER C ÍC IO E3.20
L'~ o procedunento gráfico do bcmplo 3.16 (técnica do deslocrtmento de fitaJ pura mostrar que x(nl • t:I" J =
c(nl na F1g. 3.1 9. Verifique a propriedade da largura da convolução.
3:·····
I
rl•l
i! ti ''-~
O
I 2 1
11 !11
2345
~56 n -
<al
, _
( bj
•
• (nl g
6
'
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" I
o
Figu.nt 3.19
l 2 ' J ~ h '
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" -
'"
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CAftruLO 3
ANÁUs.E 00 l:)(.»tL'OIO IX) T'&\ti'O Oe SISTEMAS et.t T».tPO DlSCileTO
27l
EXEM PLO DE COMPU TADOR C3 .7
Para os sinaisx(n) e g[n] m05t:rados nn Fig. 3.19, urili:(:e o MATLAB paracaJculare traçarc(n] =xf.n) • g(nl.
» X : (0 1 l ) l 1) : 0 ,.. fl 1 l l 1 1) l
>> n: (0 : 1: 1ength(x l•1engt h (g )•2) ;
>> c:conv• x. oJ ;
>> clf; stem(n, c , 'k'l : x l abe l( ' n ' ) ; ylabell'c(n ) ' ) ;
•
8
1
6
5
4
3
2
I
0
o
I
J
2
4
5
•
6
7
8
9
10
Figura C3.7
3.8-2 Sistemas lnterconec.1ados
Tal como no cuso de sistcnw cuntínuos no tempo, podemos detenninar u respostu ao impulso de sistemas oona.."llt·
dos em paralelo (Fig.. 3.20a) e cascata (Fig. 3.20b. 3.2():). Podemos usar argumentos tdênticos aos utili:1.ados para
sistemM cont(ouos no tempo da Seç!l.o 2.4· 3 para mosll3J' que se dois sistemas LDIT 5 1 e St com resposta hJnl e
~(n I ao impulso. respectivamente. sâo conect1ldos em paraJelo. a resposta do sistema. p:lr.llelo composto sem h 1) nl
+ lr1[,r). lX maneir.t semelhante. se estes sistemas fOR'::rn cooectudos em casc-.da (em qualquer ordt~.u). a resposta 00
impulso do sistema composto será h1(n) • hz(n). Além disso, corno h1[n] • Jr:[nj = hJn) • h1[n). os sistema~ Linc-à·
re..o; comutam. A ordem do.o; s.iSk'mas pode ser ulterada sem afelllr o comportrunento do sistema composto.
SISTEMAS INVERSOS
Se dois sistemas em cascata forem um o in\'ei'SO do outrO. oom res postas ao impulso 1!{11] e h.~n). respeeLivrunen·
te., enl!ío à resposta ao impulso da cascata dc::stes sistemas~ h(n) • lrJ n). Mas a cascata de um sistema com sua.
i.n,·ersa é um sistema identidade. cuja saída ta mesnw. da enlrnda.
Logo, a ~spostn :w impul!iO unitário de um sistema identidade é ~(11 J. Conseqüentemente,
I• f" I • h;l,r l = &(11 I
(3.67)
Como um exemplo, vamos mostrar que um sis•ema acumulador e um sistema diferença para trás são um o
in\'crso do outro. Um sistema acumuladof ~especificado por1
Yl• l =
•
L
·-
xtkl
(3.6S.)
x[n - I ]
(3.68b)
O si~ ema cJe.diferença para trás é especificado por
y[n]
= x[n] -
' As F.AJ$. (3.68a) e (l.6Sb)silo idêntica~ l1 F..q!l. (3.14a) e\), 12), re5pcc:IÍ\•nrncn1e, com T • I.
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272
SINAIS E SISTI;;.\lAS L INEARES
.Stnl '
61nl
. .............. _·····- ..................... -···.. -·····-·····- .
~·····
.~
(a)
S,.
,..
(<)
'
(d )
•
s
'
!
.1'111)
-·
(<)
A J)Jn i•· da Eq. (3.68o'l), temos que h_ rnl. a respos•:~ 30 impulso do acumulador é
lr,.-oc-[u)
=
L•
8[k)
•=--.o
= u(nJ
(3.69a)
S imil:umcnlc, a pnnir dn t!q. (3.68b), hhld,•J. a res posta ao impulso do sistema de di ferenç u p:1m 1nis é
dada !XII'
IJ ~In J
= 8(1l ) -
J[u - I J
(.l.69b)
Podemos vc:riflcar que
h ~. • llb.JI
= ulu J* (llln) -
&I r~ -
l U= u(u) - 11(n - I]= .S(u]
Gro:-.'SO modo. em sisaen\áS de 1empo discre•o. um :tcumulaOOr é análogo a um imcgrador cm si<õlcmas de tem·
po contínuo . ..-nquamo que um sisu:o..na de difetenÇ3 para trás é análogo a um diferençiador. Já
exemplos dc;s1cs sis1emas nOs E:\emplos 3.6 e 3.1 (difert•M.~i adore integr.l.dOrd igital),
Cnct.lnlramos
Et=-oo
RESPOSTA DO SISTEMA A
.t[k J
A F"ig. 3.20d mu..'itra a <:ilS(.<lla de dois siste•nas LDIT; um siste.n<.\ S oom resposa~ I• I" ). seguido pot um acumu·
lador. A Fíg. 3.20c mos1ra uma c.a.sca1a do,; mesmos dois sistemas em ordem inversa: um acumulador seguido
por S. N:t Fig. 3.2Qd, se a entmda .Y(n l de S n:suhar nn suiday(ul. então a s:•ída do sistem<J 3.20d é !..\1kl. Na Fig .
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CMofnrw 3
A.'iÁUSE DO DoMiNlO 00 TE..\li'O DE S istEMAS m.1TEMPO 0tSCRE1'0
273
3.2()e, a salda 00 ncumulador é a som :~ L f{ .I: J. Como a safdn do sistemn dn F'ig. 3.26: 6 idêntica a do sistema da
Fig. 3.20d. temos que
x (~t }
se
"
L
c:nt5o
=>
.rtkl-
•· -~
y(~t)
.
L
(3.70)
.l'tkl
~- -oo
Se fizcnoos.f(n) = 8(nj c y[rt] = 111111 na Bq. (3.70). temos que g(11). a resposta ao dcgmu unitário de um sistema LDfT com resposta hlnl ao impt•lso é dada por
L"
=
g (n j
lt(k j
t=-«-
(3.70b)
O leitor pode faci lmente proV".Jr a relaç5Q inver~o
h[ll)
= g{trl -
XIII - I]
(3.70c)
3.8·3 Uma Função Muito Especial para Sistemas LOIT: a Exponencial de Duração
ln6nitu t'
Na Seç5o 2.4-4 nos mostr:lnl(JS que e~iste um sinal p;tr.t o qual a res-posta de um sisaema LCJT é igual a cmrOOa
muhjpJicad:a por uma t.~stante. A resposta de um sistemo LCIT a uma exponencial de dumç:io infinjt;l e" é
H (s)l!', na c1ual H ($} é a função de trans rerêneia do sistema. MQstraremos agora que para um sistema LDJT. a
exponencial de duraç!lQ infinita -! possui o mesmo I)Qpel. A resposta 00 si&tc:ma )in) neste cn.w é dnda por
ylnl = hfnJ • t "
=
L""
ll{m lz'"-"'
w
L
= z'"
ll(m ).::-
Pa.roll l~rJ cau~l . os limites do som.àlório do lado direito estão na faix•• de O3 oo. De tlua.lquet m::meira. esta
soma é uma função de .::. Assumindo que e~te somatório <:om•erge. V".JIDOS representá-lo por 1/lz). logo.
(3.7 1a)
na qual
~
Hl zl =
L
---o.>
lt(m iz- •
(3.71b)
A f.q. (3.7 1a) é válida :tpcrut.,. para \'aloces de z nos quais o somatório no lado dirt.ito dn Eq. (3.7 1b) existe
(converge). Note que Hltl é uma constante para um dado ;:. l,ortanto. a entrada e a S.'lfda possuem a mesma ror·
ma (sendo diferentes pela m uhiplieaç~o de um3 OOI'Ista.nte) da e~pone•~ci31 de dun'lçào inlin.i1a de euu:td;,l {,
H(d. a qual ~ chamada de.fimçfi(, d~ mm,ift!rim:ia do sistc.~mas. i uma funçà<> da ' 'ariá.,-el comple:ta z, Uma
definição alttmntiva para a (unçi.'io de tr.m.sferência Hld de um sistema LDIT da &l. (3.71a) i
H( zJ =
sinaJ de salda.
:..c
_...=...:.:...c=7"
I
s1naJ de e.mrada ~11'141 =~·~lkld•onr.~il,_.t>
(J.n)
A funç~o de ttanslC:I'ência é definida. e possui serltido. apenas paro siSiemas LDIT. Ela nllo e.xiste parn sisce·
mas não lineares ou variantes oo tempo em geral.
É imponantc I'C$Saltar que nes.ta discussão cstamQs tr:llando da exponencial de duração infinita. a qual come·
ça em 11 = -oo, nliQ da exponcnclaJ causal z;•Jt(nl, a qu.uJ começa em 11 =O.
Para um sislema especificado pela Eq, (3.24), a fut}Ç!o de u-:msferênc-iu é dada por
H (d =
~:~:
(3.73)
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274
SINAIS E SISTa.tAS L tS'EAilES
ESJa equaçio é obtida racilmente considerando-se um.1 emr:.da de: duração infiruta xtnl =
a Eq. (3.72). a salda é y[n) = H[z);". Substituindo es~ex[nl e Jfn] na Eq. (3.24b).oeremos
H[z){Q[E]t')
t". De acordo com
= P(EJ;"
AJémdisso.
Logo.
P[ EJz" = P[zlz'
QIEJt' = Q[z)z"
e
Conseqüe-ntemente.
HI I= Plll
'
Qlzl
EXE RC ÍCIO E3.2l
Moc;;trt: que a função de tr.m ~t'erincia do di(erend ador digil•ll do E:templo 3.6 (!trttnd~ bloco sombreado da t:ig.
3.14b. é d.1da por H(: ) =C: - I )IT:. e a (unç5o de tmnc;;ferência de um :ttro.;.:ador unitário, e<;peeificado por .\In)
~ •ln- l ]idadapor
1/::.
3.8-4 Resposta Total
A resposta tOial de um sistema LJ)IT pode ser expressa como a soma das componentes de entrada nula c eslado nulo:
N
resposta total =
E c,rj +
~
x{rtJ •IIIn l
Nnlp.lfl(n~ót~ nlilo
...._la
4'001I'IJIIII'IIIr • •
Ne518 expre$São, a componente de en!Tada nuJa deve ser apropriadamente modificada para o caso de raízes
repetidas. Oescnvol~mos procedimentos para de1cnn.inar es.Ul$ duas componentes. A partir da equaçOO do sistema. detenninrunos as rab.es e modos caractedsticos. A resposw. de entrada nula é a combinaçlkl Linear dos 0)1).
dos Cil.n\Cter!sticos, A partir dà equaç3o do sisaema trunb6n determinamos hrn1. a resposca ao impulso. 00100 díscutido na Seção 3.7. Conhocendo hln) e a e-ntrada x(nl delerminarnos a respoSia de estado nulo como sendo a
eon"oluçiio dexfn) e h(n). As constante.\ rubi~ririas c,, c 1, .... c.. da reSpOsla de: enln'ldu nula $âo detenninada\ peJas" condições injciais.. Pam o sis1em.a desc.:rito pela equaçih'J
y [n
+ 2) -
0.6y ln + I) - 0. 16y[nl
= 5x(n + 2]
com condições iniciais y(-I J =O. yl -21= 25/4 c c.ntrada .l'(tr} = (4)"'•utn f, determinamos as duas compone:n·
tes da respost~ nos Exemplos 3. 1<kt e 3.14, respectiv<'meme. A panir dos resultados dw:es exemplos. a respc.'lsta tocal para n ~O é
resposta oooal = 0,2( -0.2r
+ 0,8(0.81
-1.26(4)-"
+ 0.444( -0,2)" + 5,81(0,8)"
(3.74)
R ESPOSTA NATURA~ E f ORÇADA
Os modos caracterissicos do sistema são ( -0.2)'" e (0.8)'". A componente decntr*'a nula é conslrufda exclusivamente dos modos earacceris•icos, como esperado, mas os modos caracterls-t ioos 1ambém aparecem na resposta
de estado nulo. Quando todos os termQs com modos caractcrfsticos da. resposta lotai são colocados juntos. a
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CAPtnn..o 3
ANÃUS~;
oo OoMfNIO oo 'li!>tro oo SISTI!MAS ""'li!>tro O.sct\llTO
275
componeme resull<lilte ~ a rtlfposta ''attmtl. A pane rt'$tante da resposta totaL constitufda de modos nOO caracterlsticos. é a rttSpostd fof'(.(Nia. Para o caso :11-ual. a Eq. (3. 74) rcsull:a em
.-esposta total
~
--
0.644(- 0.2r + 6.6 1(o.sr
(3.75)
3 .9 SOLUÇÃO CLÁSSICA DE EQUAÇÕES D IFERENÇA L INEARF.S
Tal como no caso de sistemas LCIT, nós podemos usar o mé1odo clássico. oo qual a respos1a tobtida como a soma das componemes natural e fotçada da resposta. para an::'llisar sistemas LOIT.
D ETERMINAÇÃO DA R ESPOSTA NATURAL E FORÇADA
Como explic.ado anteriormente. a rrsposta nat11ral de um s istema~ cons tituída por todos os termos de modos
natumis da resposta. Os tennos restantes com modos não caructerísticoo formam a rtsposta forçada . Se Y..lnl e
>'•I"J rep~ntam a respostn natural e rorçada respectivamente-, e ntão a resposta I'Oial t dada por
--
resposta total= .v((n l + y.rnJ
Como a resposta tOiál )'..fnl
(3.76)
lakl.oob
lltil<.b
+ yJnJ é a soluçao d.1 equaçik> do sistema (3.24b). temos que
Q[E](y, [ nl
+ y.(nl) =
P[E ~r(n l
(3.77)
Mas como y1(nl consaitui os modos caractcrlsticos.
QIE iy,(n l =0
(3.78)
A substituição deste resultado na Eq. (3.77) resullll em
Q[E iy.(n] = P[E )x[n]
(3.79)
A respos•:~ n3turJI é:~ combin3IÇ'llo line.'l:r dos modos C.'lf:)Cterlsckos. As constantes arbitrária' (multiplicadores) são dctenninadas das condições auxiliares adequadas. geralmente dad:ls como >10), yll ].... , y{N - I]. As ratões para o uso de oondtçôcs auxiliares uo invés de condições iniciais stioexplicadas pos•criormente. Se ti\'e~
as oondições ioiciais y(-1 Ly(-2]..... y( -NJ, poóe.mos fOC:ihneote utilizar o procedimeoto interati"'O po.ra deter·
minar a.s condições auxili..vcs >'10). >1 I)..... yfN- 1). Voltaremos nossa atenç!o a.pn para a resposta forçnda.
A resposta forç3da yjnl suisfJZ a Eq. (3. 79) e. por defit~Ao. contém apenas tenoos com modos nOO caractcrfsticos. Paro decennioar a re&(X)St.'l f()t'Çada. ireroos utilizar o método de coeficienteS indeterminados.. o mesmo mé·
todo uliliz.ado para sistemas cootfnuos no tempo. &treta~no. em \'et de passanuos por lOdos os po.ssos de siS*cmas
conttnuos no tempo. iremos apresentar uma tabela (fabe:l:a 3.2) List.ando as entradas e as formas correspondentes da
funç3o forçada oom coef.cientes indetennio3dos. EMes coeficientes podem ser detenninados subst:ituinOO y.p)11) na
Eq. (3.79) e igllalando os coeficientes de 1ennos similares.
Thbtla 3.2. Resposta rorçada
N'
f;ntrada .rln]
2
,.
,.
3
C()S (/Jrl
4
r
f' n (i
r s 1'1
+ 0)
(~a,n') ~
Resposca ro~ y.(n)
s
I. 2 .. . .. N)
cr"'
c:t~r"
ecos (/In+ •)
(te••')~
Noca: por ddiniç.lo.y,(JI I nAo pode JlOfiMrir nc:nhum lermo de modo auw.:tcriscico. Se &IJ,um tc1'mO di.J a.Jiu~» do l:do dimlo da !'C:Sfl01'111 ror.
('-Ida for um modo c.'8Ct(risdro do skrnna. «nAo afMna da ffSPOS!31ofçadt deve M:r altttadl para lll'yJ"I· orll.lc I é o OICII(ff inteiro possí·
wl (J~WJ irt rviu.r que ..j •.,llll ll'lll». u•n 1etm0 dt rtlOdo c-.uaetcrfstim. f\x- aftllf)lu. qi.Otldo a enb'llda r(JI' ,.·, a ~ ~ da (l()ft.Jna do
lado direiiO l du 10nnu ('.r•. M1b • J' r<lf urt~ltllldo noxuro~l do ~ a fonn;:a ~ da ~ r(lrta(la .w:ri t:11l ('itja o pBt 2),
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276
S INAIS E SISTEMAS LINEARES
EXEMPLO 3.17
Resolva
<E' -se + 6)yfnf = <E- 5)~·rn 1
(3.80)
se n entmda xlnl = (3• + 5).u[nl c ns condições a.uxHiares forem yiOI = 4, )'111 = 13.
r' - 5y + 6 = <r - 2l(r Pon:~mo,
3J =
o
a respcma n:uurol é
y,lnl• 8,(2)" + 8,(3)"
Para detenninamlOS a ~posta forçada yJn ). utili'.tamos a 'Thbt-la 3.2. p0t 4. 4~0ln r
Y•[u )
=I e m = I. resultando em
= c,n +co
Logo
+ I) + C()=,.• ,. + ,.• + L'o
c1(n + 2) +C()= c1 11 + 2c1 +co
y0 (n + I I = <'t(n
y~ (n
+ 2] =
Além disso
x(nl = 3n +5
e
Xln
+ li =
3(11
+ I) + 5 =
3n
+8
A substituição desses resuhudos na Eq. (3.79) resulta em
,.•,. + 2<·1 + c0 -
S(c1 11
+ c 1 + c0) + 6(c1 n +C()) = 311 + 8 -
S(Jn
+ S)
ou
üv• - 3c:1 + 2eo = - 12n- 17
Comparando os 1enoos similares dos dois lados da equaç5o ob1emos
=-12}
2t 1
-3(', +2co=- 17
c1 =
-6
=> c:1=-'r
"
Ponanto.
A resposta toud é
yln l = y..ln I + Y•ln I
= 8 ,(2).. + 81(3)" -
6n - ~
n ~O
Para determinar ns constantes tubitrárias 8 1 c 8~. fa1.cmos 11 =O c I c subslitufmos as condições auxilia·
res >i OI = 4. r lll ; 13. ob<endo
4 = 8 , + 8'1 - ~ }
13 = 28, + 38'1-
~
8, = 28
=>
~ = =p
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ANÁLIS6 00 Do~tiNIO DO TEMPO DE SISTDlAS BM 'T'l!MPO O ISC1lBTO
CAPI'n.JU) 3
277
Logo
(3.81)
c
....._._..T
yln} = 28(2)" - !j<3)'" - 6n-
,,
"''"'
.... ..
(3.82)
EXEMPLO DE COMPUTADOR C3.8
Utili1.e o MATLA8 parn resolver o Exemplo 3. 17.
>> n • (OtlOI' : y • (4 ; ll : x•ro~Hl41'19~hlnl·2,1t) ; x.:
for k • l : le~~h(nl-2 .
:-> yt): .. 21 ., ~ · )'11(•1) - 6 •yfkl • x Otdl • S • x ( k);
O • thS). · ~n>=-Ot ;
~>
>> end;
>>eU: etem(n,y,'k ' l : x labeU ' n ' l ; ylab$1t ' yrnl ' l ;
»
dl&p( ' n
n
y
o
4
1
•
l
4
••
7
•
'
y ' ) : di:;p((num2$tr((n.y)t)) ;
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-·~0~~2~~3~.~~5~6~,~~.~9~10
•
Figur11 C3.8
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278
SLNAJS E SISTFJo.tAS l.INBA.RES
Detennine o somatório >inI se
•
y[n] c
...
L;k'
(3.83)
làis problemas podem ser resolvidos determinando uma equaçSO diferença a~riada que tenha y[nJ como
a respostA. A ponír da Eq. (3.83), o~J,crvamos que y[n + I)= >1•1 + (n + I) . Logo.
yln +I)- ylnl =
(n
+ 1) 2
(3.84)
Esta é a equ~ que buscamos. Pata esta cquaçllo difo-cnçn de primeira orde-m. precisamos apenas de umn
eondiçoo awdlw. o >1ilOrde y(nl paran = O. A panir da Eq. (3.83~ lemos que >i01 =O.
A cqunção caracteóstica da Eq. {3.83) é y - I • O. a 11lit carocterfstk:a é y = I e o modo caraderfsalco
é c( I)• = cu)n J, na qual c t uma constante arbitnúia. Claramente. a resposta natural é c u[n).
A entrada, .r(nl = (11 + I)"= n + 2n + I est.li na fonna do par 4 (Tabela 3.2) com r = I em
.
'
= 2. Logo.
a rtsposta forçada desejada é
Y•l•l = JJ,n1 + {J1n + fJo
NOte. entretanto. que o tempo fJo em y.f_nl é da forma do modo camcteristico. Logo, a fonna correta é
yJn] = f3{o' + /J,n' +AJo. Portapc110.
Ey.[n ] = Y•ln + I)= jJ,(n + I)'+ flo(" + 1) 2 + lio(n + I)
A partir da Eq. (3.79) oi>«"""
ou
[J),(n + I)'+ fj ,(n + I)'+ fJo(n + I))- ({J, n ' + {i1n 2 + lion) = " ' + lto + I
Igualando os coefidenu:·..s de potência s:imilar. temos:
Logo.
2n'
y[n [ =c+
+ 3tt 2 + n
6
11(n
= <+
+ 1)(2n + I)
6
Fazendo n = OnesUJ. equ*i-ií.O e usando a condição aUAiliar >101 • O. determiruunos c ;;; O e
)'{ll )
= 2n·s + 3n 2 + n
6
;;: n (n
+ 1)(2n + I )
6
CO"ENTÁRIOS SOBRE CONDIÇÕES AUXILIARES
Esce m~todo (clássico) n«essita rondiçôes auxiliares ytOJ, y(l(, .... .>1N- I j. Isto ocom porque para,. = - 1.
- 2. ..., - N. apenas a componente de entrada ouls existe c el\.tas: condições iniciais podem ser apliciKias apenas para a compone-nte de entrada nula. No mé todo cláss-ico, as CC)mponentes de e ntreda nula e estado nulo
não podem ser separadas. ConseqUememenle, as condições iniciais devem ser aplic.adas a resposta total. a
qual começ-a em n =O. Logo. precisamos <b.s condições auxjliares ytO). >1 1],..., y[N- IJ. Se tivennQS as con·
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CAPf"n.II.O 3
ANÃI.IS'l 00 DoMÍNIO 00 ~IPO De SlS'T'DtAS l;.)t TEMPO DISCRETO
279
dições iniciais y(-1), y[-2]..... >f-J\1. podemos usat o método interativo para obtet as condjções auxiliares
y(O], y( I].•.•• >i" - I).
ENTRADA ExPONENCIAL
Tht COIIl(l no caso de sistemas contínuos no tempo. podemos mostr-& que para um siS!ema especificado pela
equação
Q(El.rl"l = P(E(x("l
a resposta Forçada para a entrada exponencial xln]
Y•l"l =
r
H (r) r"
(3.8S)
= r"~ dada por
#. 11 (urn modo camcterí.stico)
(3.S6)
na qual
=
H(r]
P(r)
Q(r]
(3.87)
A prova segue do (nto de que se a entr.Kta é x{nl = 1', então da Tabda 3.2 (par 4). yJnl= c?. Logo.
= x(n + i) = r"+1 = r' r"
E'y.[n) = >'•In + k) = cr"+< = cr1r '
E'.x[n]
P[EJx(n ) = P(r ]r"
e
e
Q(E)y(" l = cQ(r)r'
de tal forma que a Eq. (3.85) se rtduz para
t'Q(r]r'
= P(r(r "
a qual resulta em c= PlrYQ(r] = Hlrl.
E.~ resullado f. válido somente se r não for unw. rait camc,crfstica do s.is.te.ma. Se r for uma raiz carncteristica, cntio a respo.sm forçada é em·• na qual c é dctetminad(l sub&tituindo y.[n) oa Eq. (3. 79) e igu.1Jando os coe-ficientes de termos sintilares dos dois lados dà equ~"ào. Qbser.,.e que a o.pOnoencial r" incluj wna grande \'ariedade de sinais. tais como a oons1ante C. a senóide cos({Jn +(/)e a senóide exponencialme.nle crescente ou decrescente (yj"cos(,&r +f/).
Entrada Constante .rln) = C. Es•e é um caso especial da exponencial CI' com r:;:;: I, Ponao1o. a partir da Eq.
(3.86), 1emos
P{l]
)'•f• I= C - = C HIII
Qlll
(3.88)
Entrada Stnokllll. A entrada~ é urrw. exponencial /' com r= elA. Logo
)' [n j
•
P [ei"J
=H je1°Jein.o = Qki"J
t-i O.
Similarmente-, paru a entruda e ..;n,.
Conseqüentemente, se a cntrad:t for xl11) ;;:; oos Qn =
>'•(n]
=
i{
l/(e i 0
J (e/Oto + e-.no). emlo
Jelfltl + ll(t-"'mk- Jn.}
Como os d<:lis termos do lado direilo sOO oonjug;ados.
Se
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280
S INAIS E SISTEMAS L~'"f.AXES
eru.ão
J'• [n) = Re(I H[<' 0 Jiel<"*l ""'"")
(3.89a)
= [H[<'0 Ji cos(!ln + L H(,.Í0 ))
Usando um argmnento similar, podemos mosarnr que paro a cntruda
x[n) = cos(!ln + 9)
(3.89b)
y.fn I = IHfeiOJI cos(!l" + 9 + L Hf<' 0 ))
EXEMPLO 3.19
Para o s-istema especificado pela equ.a.ç!lo
(E 2 - 3E + 2)y[n) = (E+ 2).r[n I
de1enninc a rcspos1s (orç:.da para a cntradax(nl = (3tu[n).
Nesce uso
P[r J
r+2
:::1 -.~-=:-:;:
Q[r) r 1 3r + 2
H lr) a -
c a respos.1a forçuda a enuads (3)"utr•J é Ht3J(3)"utrJ]. ou seja.
y,.ln)
=
(J)l
~ ;(~) + 2 (3turnJ = ~ (3)"uln l
n
~O
EXEMPLO 3.Zt
Pata um sis.1ema LOIT descrito pela equaç5o
I E' - E+ 0. 16)y[" l = (E + 0.32)xln)
dele-nnine a respos4a forç1lda y.Jr•l se a emrada for
.r (11 I = cos ( 2.t1
+
3-) ult~ l
Logo
H [r 1=
-P[rl =
QlrJ
r + 0.32
r+0. 16
...,:.__:_:::.:;:~
r2
P<tra a enlruda oos (2r• + (nl3))«(nJ. a resposta fOf'\".llda é
.v. (n l = IH{~i1)1 cos (2r1 + ~ + l H (ei 1J) u[n]
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CAPiTCLO 3
ANÁLISE DO DoMÍNIO 00 Tl!MPO I>E SlSlt;;_\l.AS EMT'l:MI'O DISCRETO
28 1
na qual
o., 32
.,.....,.=,.--.:.(-,;;0·~·,,::.6..:+...:J;.:·o~.';909
.;~)..:+,_0::;·,3.::,2=:-:--:,.-;,
I= (•" )·e', - +, ,_
+ 0.16 = (- 0.654 - j0.151) - ( - 0.4 16 + j0.909) + 0.16
1
H {e
!2
= 0.548<-''·"'
Portanto.
111!<-'' 11 = 0.548
c
tal que
)~(111 = 0.548oos (2n + ~ + 3.294) 11lnl
3
= 0,548 L'O'S (211
+ 4, 34111111 1
AVALIAÇÃO DO MÉTODO CLÁSSICO
O.s comentários do Capítulo 2 a respeito <kl método clássico de resolução de equ3ÇÕCS diferenciais também se
uplicam a equações diferença.
3. 10 E STABILIDADE 00 SISTEMA: CRITÉRIO OE EsTABILIDADE E XTER;'IIA
(Bffi0)
O.s concdtos c <:ritérios paru estabilidade BISO (e.\le-ma) e irllen•a (àssintól.ica) p.va sis1e.mas em tempo discreto
são idêntic(ll" aot> apm;cntndos JXU"U sistemas contínuos no tempo. Os éUfl~tn.:írios da Seção 2.6 Pat:l sistemas LCIT
sobre a discinçt.o entre estabilidade extem;• e imcma l:unbém s3o \'áliOOs para sistemas LDIT.
l..c.mbre-se de. que
yltrJ = flltrl • •1'1111
X
=
L
..
ll[m)xln- ml
-- ~
e
l.r[n 11
l.t"
=
h(m ].<(n - m I
~
L
:S
lll(m)ll.\'ln - m 11
·=- "-
IYI"II!: K,
L'
lltlmll
Clarank.!nte. ~ saíd.'l é li mitad~• se o wm:1tflrio do l ~dn dircihl da cqu:•ç5o foc limitado. ou seja. se
~
L
.....
lltlrt ll < K2 <
00
(3.90)
~
Esta é uma condição sulicicntc p3r:1 csu•bilidt•dc BIBO. Podemos mostrnr que dn também ~ uma condiç-ão
Pmt>. 3. I()- I). Pon:mtQ. par:. um sistcm.n LDIT. se a resposta h(nl ao impubo fur n~J uttunen ­
te somá\'CI. o sistema é está\'cl (6160>. Ca.w <.:oncrário ele é instá\'d.
necess:i.ri~ (vej ~
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282
SL'(AIS I! SISTflMAS L1!11EA1Ul~
Todos os comentários sob~ u rw.turcua de estabilidade externa e intemu do Capítulo 2 são aplicados oo <.~aso
de tempo di.screto c, ponamo. nOO iremos elaboni·los novamente.
3.10-l Estabilidade Interna (Assintótica)
Para um sisrema LOIT, tal C()nlO no caso de si.su~mas LCIT. :. CSinbilidade intcm:., chn_m:tcla de estabilidade. assintótica ou es:tabilid.ade no Séntido Lyapunov (também chamada de estabilidade de entrod01 nula) é definida em
tenoos da resposta de entmda nula do sis•ema.
P.Jra um sislema LOIT eSptdlicadó por uma equaç-ão diferença na (onna (3. 17) (ou (.l24)J. a respOSta de entrada nula é.t.-unstituída dos modos carac1e:ri'!!tkos do sistema. O modo t.-urrtspondente para a raiz c.:aroc'terística
yé y•. Para ser mais genérico. seja ycomplexo. tal que
r= IrI<''
r"
c
=
lr l"<'""
Como o módulo de~ é sempre uniWio. independente do \•;li« de"· o módulo de y" é h'r. Ponamo.
se
lrl < I.
r"_.. o
se IrI > I.
e se lrl = I.
y~ ~
quando 11
quandon
para todó
00
lrl" =
1
-
00
~
oo
11
A Mg. 3.21 mostra os modos corrt"spondentes às roi7.es características em ..m;a.,. posições do plano complexo.
Esses resultados podem ser nt.'liS cfetl\•amcnle oomprecndidQS em lell1lOS da posição das mizc..t; curac1criscicas no plaooromplexo. A t-lg. 3.22 mQStra um círculo de raio unilário. centrado ft.'l origem no plaoo complc.xo.
Nossa <lise:uSSOO mosua que se lod.tS as mi1.es car:tth:rfscic3s do sistenur escive-rem dermo do cfn:ull' u'rir4ri(.l,
IYJI < l para todo i e o sis1ema é assimolicamenteestá\-tl. Pot outro lado. se tro menos uma úrlica raizcatacterlstica esti"er fóra do círtulo unitário. o sistema é inscMet Se nenhuma r.Liz característica esaiver forn do círculo
unitário. mas algumas r-.úzes simples (não repelidas) esti\'erem no círculo unitário. o sistema é m.arginalmenle
escávd. Se duas ou mais raizes coincidirem no drculo unitário (r.tízcs re~tidus). o sistema é in.o;tá\'CL A razão é
que para rafzc..o; repetidas. a resposta u entrada nu.la é da forma,,' 'y" e~ 1>1 = I. então In' 1y" I = ,,- • - oo
quando'' - oo. •
Obser\'e. entretanto, que rnf7.cs rcpetid1ls dentro do círculo unitário não causnm instabilicl1rdc. P:.t.m resumir.
I. Um sis1ema LOrT é assintoticamente está"el se. c somente se. todas os raizes camcte,ristkas esth'Ct't'm
dentro do efrculo unitário. As raízes podem ser simples ou repelidas..
2. Um sistemól LDIT é instá\-.:1 se. e somcme se. uma ou as duas condições a seguirexi~ i rcm: (i) ao menos
uma raiz estiver rora do cfrcuJo unitário; (ii) e"inirem rnJ'lcs repetid.'lS no círtulo unitário.
3. Um sistema LDIT é marginalmente estável se. e somente se, não existirem r.Uzes rora do cín::ulo unitoirio c.eltistin:m algumas raf't.c:S não repetidas no círculo unitário.
3.10·2 Relação entre Estabilidade BffiO e As.•intótica
P:rro siscemas LDIT, a relação entre os dois lipos de estabilidade é s-imilar a de sistemas LCIT. Para um sistema
especi ti~do pela Eq. (3.17), podemos mostmr faC-i lmente que se uma raiz curactcrislk",U y1 está dentro do circu·
k> unitário. o modo correspondente y; é absolutamente .somávcl. Em contms.te., se y( cst.ivcr foro do cin::ulo uni·
tário. ou no cCrculo unitário. não é nbsolutam~Cr~tc somávcl.1
y;
' Se 0 dt~ll\(l('Vi!UC'ntO .,..S siSI«<- dl\creQ (li) I~ i ponklo 00 p;!lll lli.SlellUI~~.lfllfBII~ 110 1empo.. JOSI!IriiiiTIO$ muil(l de PM
por qu.: o ~1r.1.klismcu'! inccmnlt(liodO IICfUL P« que. por ~'«'ll'lplo. o SPO e Si'E niio síio.l t i n.'!iôts que dctnan.-atn a estabilidade~ a ins·
tabilkbdc? A ra~ e.<d n:1 fonn:. ~ n101loscl\mcterit.1âal!l. Em ltói:CIIL'1la' ~m 1~ cuntinU(I. ewothcmo.; a ftlnn;a b rl'kldu8 .:ardi.'·
tttfstiootõ COti'IO sct100 t>'''. Etruis«lflti di~os no tctn(lO. por OOif\-cniehcia oomput~~Cionat. ~lhc:mos a forma comc.u cndo r,~. Se
th~mcl!' e!oC<lthido a forma l'ÚIOOt'"'. 113 qual y1= ,..., mlli:l o SPe e SI'O (pata a pos.lç~o tk J.J fiO\·amtMe dccnltiTariam a u1abili·
liatiC' e 11 inslllbilid:uk. A ntdu~ que llt' y • i . lyl • I implica k 'l = I. e cnllio À = jt>t. lno 1~1no que o dmdo unitAríooo plaro y
é tlla(le:tdo fiO eixo i m~ináõo do plano À.
• Eua roncludc, M"gut> du (1110 lk que (•'C'ja St(iO 0 .7·4)
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F1J,turu 3.2 1 Puslçno das roít.cs carocl erí~ic::.s e os modos C.'<truell'IÍMkos com:sponderu~.
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284
S 1."4AIS E SISTCMAS Ll:sr~\.KES
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lm
Re
Figunl3.l2 Posiç5o da.~ raizes C."'trac•crf-.;lic:t'\ e CSf<.lbilidade do Sil>h!nUl.
I$S() signilic.a que um o:is.temu as~intotican1t nte t-s.ávd é 0 100 estável. Além disso, um sjsh:ma ma.rginal·
n1e111e estável ou a..~sintoc ié:unente e~1áve l é BIBO inst:ívcl. O invci"'Q não é llOCCS!Oari:uuen1e verdadeiro. A figu·
ra de csubilklac.Je por <k:s~·riçõo ex;terna é questionável. Estabilid:ldc BlBO (CXttnta) não gar<inl<:" e.stabilid.:1dc in·
tema (assiniÕiicn), como O!O c:cemplos ~segu ir lllO:,ttar<io.
EXEMPLO 3.21
Um si ~temu LOIT é C.'Qil ~lituídu púf dois subsistemas S1e .<i! e m ca~c:ua (Fig. 3.23). A resposta ao inlpulw
dcs1cs sis1cmw.. é 11,1111c h:Ire}. feSpc.ctiV<uncnle-. dr.das por
/t 1 lnl
figura 3.l3
= 461nJ- 3(0.5)"ulu]
e
Esrobilidadc RIR() c :•s.-.intólica.
A r<:".sposta IIJr~) no impulso do s.is1cma ~'OnlJ)OS~o é dada por
lrlrrl =
/t 1 l ~rJ • h: l~t J =
h:lnl * /t 1lnJ = 2"u(n I* (41irul - J(O.Sf u(tr})
_o:;w-•)ulu
.,._, - co
= 4(2)"u(" I - .3 [ -
2
I
::r (0.5)" "In I
Se (J :,istê'ma c:o• cas.:ata composto cstin.-r dentro ck uma c:1ixa prctn, t.:om someme ~us tenninais de("·
uad:•e safd;L <lCi!''losívti)>. tfualqU<r 1ncdit.la c.kstt!s lt"rmin i•i~ irá mostr~r que a rc.~po~n ao impu I ~ deste siste•
n\a ~ (0.5 )...ul, l. sen) lfualquer dk-~ sobre o ~btc-ma instávd escondido dentro do si<;lcm::t C(lnlpo!'IO.
O si~•ema composto é 8180 <.~t<ÍYel pói.) suá resposta ao impulso. (<L~tulnl , ~ <~ bsolu wmcmc somávcl.
Erun,! t;tuto. o "i~cma SJ é ol!,ioillt(l(k~m.enté in~láV'C I. pois sua mu: caroch.•ristica. 2. C"Stá f<>m do circulo uni·
tório. F..;tc $i<>lcma cvcoH.talmçlUe -.e queimará h .ttl S:&hltar.í ) devidt) a n:.spOstà «:a r.tcleristkú ilimitnclll gera·
da por condiÇ4kS inici:•is inlcnci,)nais ou n!io, não imp011:l quão pequer~s elas stj;uu.
O l>islema éus.-.intrnkamente instável. npcs...'lr de RISO cst:i\'cl. F.s~c CJtemp-lo m~l".l que a e:.làbilidndé BlBO
n5o gar.uul." ne.t.·cs.~ri umcme a ~.stabilidlldo:: ns:-.intólica llWindo o si~rema é nlo comrolávcl ou não obse-" •:ivel. OtJ
um~. Ali dc:sc~~ intem:• c ex;1cma de um s.htema s.'io l"qUivaleme.-. w mcmc quando o :>istcma é con~rol:h-el
e Ob!ie'r\•:1\'el. ~'es.t.: éaSO. a el\tabilidadc: ll JBO .!>ignifica que O:<istcma é tiSl'Ínt()licamcntc C'\l:h-el C vicc~vers:1.
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CApf1\ILO 3
ANÁLISE oo OôMlf<IO L')() TF.MI'Q oe S •STEMAS I!M TEMPO DISCRETO
285
felizménte. sistemas nOO control;iveis ou niío obstr\'á\'eis não s~ comuns na prátiea. Portanto, na detenni·
nação da estabilidade do sistema, assumireffiQs que. a não ser que menc-ionndo. as descric_"'Ões interna e txtema
do sistema são equivalentes. implicando qtte o sislem<J seja <.-ontrolávtl e Obsetvá\'el.
EXE MPLO 3.:U
Dctenninc a estabilidade interna e externa dos sistemas especifkados pelas seguintes equações. Em cada ca·
sc.>. locali7..e as raízes no plano complexo.
(a} y[n + 21 + 2,Sy[n + 11 + l fn ] = xln + 11- 2.r(nl
(b} y(n l - y[n - 1] + 0.21y(n - 2)=2.r(n - 1) + 3.t(n - 2]
(c) y(n
+ 3) + 2y(n + 2] + ~yln + IJ + ~.''(n l = ·"(" + IJ
(d} (E1 -
E+ ll' .vl"l = (3E + ll.t[nl
(a) O polinômio cnrJCterístico é
r ' + 2.5r + I = Ir + O. S}(y + 2)
As raízes camcterísticu.s são -0,5 e -2. como 1-21> I ( - 2 está no lado de f()r.] do drculo unit;irio), o
sistema é 8180 instável c ass:intOiicamentc in.~ttivcl (Fig. 3.24a).
(b) O polinômio carocteris.tic:o é
r' - y +0.2 1 =r r- 0.3l<r -O.JJ
As rni;.o.es carsctcrísticas siio 0,3 c 0,7, as duas cSI.iio dentro do círculo unitário. 0 sistema é BIDO está"vel
e assimoticameme est:1\'el (fíg. 3.24b).
•
'
--
().3 0.7
I
I
(b)
(•J
' o/)
I
(<)
I
(d)
Figura 3.24 Posição das r.lÍ:t.es caracteristkâ$ dos sistemas.
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286
SINAIS E SISTI'.MAS LL'ôf.A.RES
(c) O polinômio e.urncteristico ~
r '+ ly' +!r + j =<r+ ll(r' + r + D=<r+ ll(y + 0.5- j0.5Hr + 0.5 + j0.5J
As raill"S carnctcristicas sOO - I , -0,.5 ± IJ,.5 (Fig. 3.24c). Uma das raízes camcterfsticas cslá no circulo
unitário c as dua.$ restanu:s estão dentro do drculo unitário. O sistema~ 8160 insuivel mns rnntgjMimente
estável.
(d ) O
polit~ônlio c~racterisc i co é
(y!- y
+
1)
1
2
=(r-!- j;s) (Y- ~+ri):
1\ s rJ.hes 1."'-ill'J.cterislic-.a.s são (112) ± j( ..13!2) • lt'""~ duas vezes repetidas e estão DO círculo unitário
(Fig. 3.24d). O sistemn é BlllO instú'<1:1e iWintoticamente instável.
3. 11 V ISÃO INTUITIVA SOBRE C OMPORTAMENTO DE SISTEMAS
A visão intuitiva sobre t"('lfnpOrtame-nto de sistr:.mas contínuos no tempo e suas provas qualitativas discutida.;; na
Seção 2 .7 uunbém se aplkam a sistemas e m tempo discreto. Por esta razão. iremos simpksmente mencioná -las.
sem n d.iscossiio de alguns pontos apttsenUldos na Seção 2.7.
Todo o CQmport:unemo do si$-tcma (entrada nula e ~tado nulo) é fon emente influenci:.do pelas raí~cs (ou
modos) carncterfsticos do sistema. O sistema responde: fonememe a sinais de entr.tda similares a seus modos ca·
r.teteóstk os e pobreme.nte a entrodàs muito diferentes de seus n.OOOS cmcteósticos. De fato. quando uma entrada~ um modo t"'ll.f':K"1e,ristico do s-istema. u resposta tende a lnfinjto. desde que o modo nOO seja um sinal de·
CI'C!'4"ellte. Este~ o fenômeno da ressonância. A largura da respos1a hfn) ao impulso indica o tempo de resposta
(tempo necessário para responder complcanmc.ntc a umn cntrndll) do $i.Stcma. Ela é n constante de tempo do sis·
tcm.n.' Pulsos em tempo discreto s!kJ gcrnlmcmc dispcrsndos quando passndos através de um si.stema e m tempo
discreto. O total de dis-pc:rs!lo (ou espalhamento) é igual a con~ant e de tempo do sistema (ou da l.argurn de h(111).
A constame de tempo do sistema t:ambém determina n tll.\a na qual o sistema pôde trans-mitir infunnaçio. Uma
Ct)OStame de tempo menor corre.~;p<>nde a uma tua maior de tmn.~;missão de informação e ''ice· ver.w.
3. 12 APÊNDICE 3 .1 : R ESPOSTA AO IMPULSO PARA UM CASO ESPECIAL
Quando a,,. = O. Ao = b1ia." fica indctcnnin:Kio e o procedimento preciss ser um pouco moditicado. Quando a.>~
• O. Q!Et poóe ser u presso como EIEt e a Eq. (3.53) pode ser descrita por
EQ[E[b[n[
= P)E)8[n] =
P[ E){E8[n - IIJ
= EP[EJ8[n-
I)
Logo
Q JE[h[n [ = P JE J6)n- 1)
Neste c:-aso. a e ntrada, de$pare<:e não p~ra n
~
I, mllS para 11 ~ 2. Portanto. a resposta é constituída não 54).
mente cJ4)s termos de entrada, nuhlmais um impulsoAJ(nJ (pata n • 0). mas também por um impulso A,$Jn l)(paran 11. Logo.
=
hJnl = Ao6(n l + A1&[n- IJ + y ..lnl11ln l
Podemos detem1inar as lncóg;li,as Ao. A, e os N- I coeficientes em .r,lnJ dos N + I valoces iniciais h{O).
1111),_., h(N). detennirwdos na funna usual pel;r. soluçao interativa da equação QtEJh[n) = P[ El$(11).' Similarmente, se a" = aA' .. 1 =O. prc:ciSIIJ'emos usnr a form:a h(n) = AJ{n) + A1d(11 - I J + A:&ln - 2) + y,.(n)r•(n}. As
N + I incógnitas constantes são detenninndus dos N + I valon:$ de h(OJ, h ( l},.... h(N). detenninados interativa·
mente, c a~im por diante.
' ~la p.111e d.l di<.cussio K 11plic.l :. ~1em:1' cup. ~ -"1"1 :10 impuho illtja uu• pulllO priocipulnK"Illt pl)iib'\o f ou pnndpalmmle nq;:.1no).
' Qly) é afOt1l um polinômio*' ordçm N - I. IA&o. u i.slem t~po~:•s N - I inOOcni~ em Y,L"I·
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CAPI11JLO 3
ANÁU SE 00 0oMf~'IO DO TEMPO Df: SISTEMAS EM TEMPO D ISCilETO
287
EX ER CÍC IO E3.22
DetermiDt e trace tL'> raíle~o ctl.f3c."terfit i ca~ no l)lano complexo do sistema especilicado pela seguinte equuç-.io:
(é+ I)(E' + 6E + 25)ylnl = 3ExinJ
DCICtlllitlC :. C!>~bilidadc externa c interna do r;istcma.
RESPOSTA
BIBO e a'simocicame.ote i.llSt:hcl
EXE RCÍCI O E3. 23
Rcpjm o E;.;crdcio E3.22 para
( E- IJ'(f + 0.5)\'(n]
=(f"+ 2E + 3)x{n]
RES I•OSTA
8180 c assintolicrunentc in~Uh·el.
3.13
REsUMO
Este capfn.ilo discute a análise no domfniodo tempo de siStema.~ LOIT (linear. discreto. imariante no tempo). A
anáJise é paralela a de sis.~emas LCIT. com algumas pequenas difercnçns. Sistcma.s em tempo disc:reto são descritos por equações difel'ença. Pata um sistema de: 01'dem N. N condições auxiliares devem ser esporiticadas para uma solu~~ão úniCà. Os modos ~racte.tfnicos s!ío exponenciais discretas no tempo na forma y" eoiTe.o;pondendo a raí:«:s nOO repetidas y e da fonna , ' y*correspondendo a ta.f.zes tepetidas y.
A função impulso unitárioS(r~) l uma seqüência de um único vaJor unitário ern n =O. A re;sposta h(n l oo im·
1
pulso unitário de um sis.tcma em 1empo discreto é a combinação linear de seus modos camc.'1c:ristkos.
.
A l't!Spos.ta de estado nulo (resposca devido n cnlrada externa) de um sistemn linear é obtida quebrando a entrada em compone.ntes de impulso e. ent5o. somando as respos.~~s do sistema a tod.'IS .'lS compollCntes impulsivas. A soma das respostas do sistema às componentes de impulso é à S(lmatórià de COil\'Oi uç~. A tesposta do
sistema é obtida como o somntório de convoloção da entrada .r(11j rom a resposta hlnJ ao impulso do sistema.
Pon anto. o conhe<:imento d~ resposta ao impulso do s.i stcm~ nos pennite dcce nninnr a resposta do sistema a
qualquer enti'Õida arbitrdria..
Sistem<•S LDIT possu<:m uma relaçiio muito especial com o sin:tl c~poncncin l de dumçllo infinita t' pois a
resposta de um sistema LDJT a este tipo de sinal de entrOOa é o mesmo sinal mtJhiplicndo por uma con s.~nntc. A
resposta de um si~ema LDIT a uma entrada expónc:·.ncial de duração inliniltl ;."é Hlz]~". onde H(t) é n função de
tr:msrcrência do sistema.
Equações diferença de siste mtLs LDIT também podem ser resoh•idas pelo método cloissico. no qual:. respos·
1a é obtida oomo a somndas componentes natural c forçnda. l!ssas componentes não são as mesmas componen·
tes de entrada nula e estado nulo, apesar de elas &atisfazercm as mesmas equações. respectivamente. Apesar de
simples. este métQ<k» é aplicável a uma classe rcsuita de sinais de entrada c n resposta do sistema Mo pode ser
C.XPfCS$a C(lffil) uma fu nç,OO c.xplicita da entrada. Essns limitações reduzem oonsidenwehne.nte o valor do mé1o·
do clássico oo esmdo 1eórico de sistemas.
O critério de estabilidade e.xtem.'l. ocri1ério BIBO (entrada limitadafsaida limitnda). afinna que um .sistema é
estáve-l se e some-nte se toda entrada limitada produzir urn.'l salda Limitada. Cnso comr:í.rio. o sis1ema é insuh-el.
O eri t~rio de estabilidade pode ser afinru•do em 1emtos <las postções das rafz:es caractcrfs:ticas do sistemn ~
mo n.oslr.IOO a seguir:
I. Um sistema LDIT é assinloticamente estável se e somente se todas as rart:es camcterfsticas estiverem
dentro do cín:ulo unitário. As raízes podem ser simplts ou repetidas.
288
SINAIS E Stsm.tAS
Lt:.O'F.ARE.~
2. Um sistema LDJT i instá\-el se e somente se uma ou as duas condições a seguir existirem: (i) no menos
umu raiz csti\'c:r foru do circulo unitário: (ii) existirem raf7.cs repetidas no c-frculo unitário.
3. Um sistema LDIT é marginalmente estA.vel se e somente se nOO existirem raízes fora do círt:uJo uuitlirio
e exiStirem algumas ro1íus niM> repetidas no círculo unitário.
Um sistema assintoticamente estável é sempre 8180 estável. O in••erso não é nect"Ssariumente \'erdadeiro.
MATLAB Seção 3: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
O MATLA8 é naturalme nte c idealmente adequado a sinais c sistemas em tempo discreto. Várias funções especiais estiio disponí"eis paru operaçcks com dados em lempO diS(-reto. incluindo os comandos atem. f 11 te.r e
conv. Nesta seção. im<tstigarernos esses e outrOS comandos.
MJ.l
tun~.õt!s
em Tempo Discreto e GráDC(JS de Barra
Considere a função em te-mpo discrcto/1,1) = e ...,cos(mi/S)I,InJ. No MATLAB existem diversas forma.~ de re·
prcscntarJ111), incluindo arquivos .M ou. para um 11 particuln.r, o cálculo el(piJcilo em linha de oom.1Jldo. Neste
exemplo, emretanto. utiliuu-en\OS um objeto ínlímr.
» f = inlir.ef ' exp(-n/S). •cos(pi•n/5J .•(n>=0t ' . 'n ' ) ;
Uma \'crdsdcira função em tempo dlscreto é indefinida (ou 1;cro) parn 11 não inteiro. Apesar do objeto útline
f pretender ser um.1 runçtlo em tempo discreto. sua coosm•ç5o an.1al n!kl res1tloge 11 a. um nllmero inteiro. podendo. portanto. ser utilizado de:. maneirJ errada. Por uemplo. o MATLAB retoma com pre.ueza 0.8606 para
f (O. S). quando um NaN (niio um mímcro) ou zero seria mai.\ adequado. O usuário é responsável pelo uso ade·
quado da fu.fl\00.
A seguir, coosidere a obcenç.'lo do gráftCO da funç:llo em 1empo discreto/In) JXlra (-10 S: '' S 10). O coman·
do atem simplifica esu rarera.
>> n • (-tO: l O) ';
>> stem(n. ftnl .'k' ) ;
->> xlabel( ' n'l ~ ylabelf' f (n] ' ) ;
Neste caso. o oomando atem. runciona de numeim similar ao <.:ornando plot: a v-Miá"el dependente t tn> i
trac;.ada em função da varith·el independeme n com uma Unha preta. O comando atem en(utiza a natureza di.s·
ereta no tempo dos dados. como a Fig. M3. I bem apresenUJ.
l':tra funções discretas no tempo, as operações de deslocamento, in't'CrsàO e escaloo:unento podem ler resultados surpreendentes. Compare Jl-2n) comfi- 2,r + 11. Ao comnlrio do caso contínuo. a segunda funçllo Lltio
é uma "ersão do desJocameruo da primeir.l. Podemos u1ilizru- subgr.(ficos sepru-ados. cada um pan:a (- IOs 11 s
10). para ajudar a ilustror este rato. Nóle que. ao contrário do comando p lot. o tomando stem não pode traçar
sjmultaneamente funções em um único eixo. De qualquer fonna. a sobreposição das linhas das barros resultaria
em um gr:ifico di(ídl de ser lido e cntc:ndído.
I
o.8
"i'
o.6
o.
•
<:: o. 2
I
-o. 2
-0.4
- 10 -8 -6
- .i
-2
o
2
I
j'
.t
6
'I
8
10
n
tiguraM3.1 /l nJpara (- 10 SIIS 10).
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CAI>i11JLO 3
ANÁUSE IX> Do"tÍ.'\10 00 TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO D ISCR.ItTO
289
'""' subplot.ll , l,t) : Sltlmlfl-.fl-2 • n), ' k'J; ylobcll ' fl-2n) ' J :
>> su.tplotl2 . !.21 : sten.fn, !l-2 · 1'1-ll , ' \: ' 1: ;dt\bE-1< ' !1-<n•il') : Xli!obo9ll ' n'' :
Os result3dos es1âo mostrndos nu Fig. M3.2. Curiosamcnlt-. a funç-ãoJl11 I original pode ser recuperada intercalando amol;tras dcfl-2nl cJ1-2n + li c. cnl•io. reOctindo no tempn o resultado.
De,·emos sempre 1er cuidado parn garnmir que o 1\<lt\"fl.t\ 8 ex~u te as opetaçôes descj..'lda~ . Nossa funç.!lo ltt·
lint f é um c:oo em questão. Apesar da. reduçtio da amostrogem (decim ::~çào) l"tcar COITeta. a funçt.o não pos.si •
bilita o aumenló d:. amo:str.-.ge.m (iruerpólação) (\'.:ja Prob. 3.M- 1). O MJ\11....\B sempre faz o Ql•e foi mandado.
ma!> nem sempre é di lOc.-omo ele de\'<' fazer 1udo t.'XIf'l't:lwncn lc!
M3.2 Respostas de Sistemas Aira,•(-s de Filtn:agcm
O t.'Om!lndo t ilterdo M ATLAB é uma formae-licient.: par.• çakulur a I'C'Spc>sta do sistema de urna equação diferença linear de cocficicnles <.·onslantcs rcprcscnluda na fonna utra.w <.'0010
N
N
L
..... lltJin - S: I = L b4.r(11 - k I
(M 3. 1)
Na forma mais simples. o comando fi lt~r ncccssila de Irês argumcmos de cnlmda; um ' 'ccor de tamanho
N + I com os coelidentes de alin\tni~O (b" b\_..... b,\1. um \'Ctorde tamanho N + I com os coeftcicmes de r-ca·
limenLa<tiiO (tro- a 1..... t•.~~l e um VéiOr dt entrJda. Como nenhuma condiç-Jo ini('ial foi especificada. a saída COf'·
responde à resposta de estado nulo do sistema.
A lituiQ dec.xcmpJo. considere um siS~cma dcsçrito por ylr•J- ylr1 - II + J (ll - 21= .tfnl. Qwmdox(rl) = $1tJI.
a rcs:~n de es1ado nulo é igual a resposta llln) no impulso. :1 qu.1l nós calculamos parn (0 ~ 11 ~ 30).
,_.,. b •
>> n •
ll O OI ; t1 • (i -1 li :
lO : lO I ·; delt.él
inlll'le( ' rt .... o '. ' r\ ' >:
>>h= filt$r(b . ~.delt~Cntt :
» &temln. h . ' :k ' ) : _,.xis((-.5 )O . S -1.1 1.1)) :
» .xlobeU'n ' ) ; yl.,bel( ' hln- · 1 ;
Como mostrndo n.a Fig. M3.3. h{nl é periódica <."'m N0 = 6 (pc.-riodo t'undamemal) para ti~ O. Como sinais
periódicús não são absolutnmenlc som;h·eis. E;;.-N llllnJI não é fini10 e o sis1ema nno é 8 18 0 eSIMel. Além
disso, a c.ntrada sc.noidalxln l = cos (21rn/6)ul,.). n qual é periódica t."'m N0 = 6 p.aro 11 ~O deve gerar u m tl saÍ·
da (le es1a(lo nulo res$0n:uuc.
lr---~----~-T----~~~--,
~
<:::
0.8
0.6
0.4
0.2
•
•
-o.~····•• ! ll
o o o o o o o o o
-M\,---,,--::--:--+--;,---,:--:---;---:,-~
- 10 -8 -6 -4 -2
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4
6
•
lO
1-lgura M3.2 / 1- 2,•1efi- 2JI + li paro (- 10 S" 5 10).
·é imporu.nw: p~r muitllliW:f"l\"lo :'ls inc~•iri\'ci.; difcn:nçu~de OOII•t<OO cnoontradOI~ nos di\•çl1i()'; documeniiOIS lk engenharia. NO$~
cun•ootm &- aJild:l do MAnAD. VI' .wbscnl~ (!(o!' tvo.·lkkilte$ C<lfloc-o:un cor" I ao lflvé's d(' O para f~aftfl'l ern confVnl'lidaok cvrn a
(.'(111\"ef"l\-;i() de index~l (k> ~IATLAU. Ou ~j:1. <I (t. IATLt\ ll re~nla tJ, p;ot a ( 1 t , b., por b ( 1) c ~-.~i mpor di:ultc.
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StNAJS E SLSTf.M.r\S LINEARES
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0.8
0.6
OA
0.2
o • • • • • • • • • •
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-OA
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F1gura M3.3 h[ n) parti J (nJ - .\11/ - I)
>:> x •
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+ y fn - 21•
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•
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25
30
.x[n),
ifliinei'Cô$(2 •pi • IV61. • (1'\>•0) ' . ' 1'\ ' ) :
» y = filtertb . a , x(n)) ;
» ste:n•n.y, ' k"• ; xlabeclf'n'l;
ylt~bel( ' y{n)'J ;
O envelope da respostn lioear, mostmda on Fig. M..3.4 coofinna uma rcspos1a ~o;on.nnte. A cqu::~ç3o carncterís·
tica do sistema é y~ + y- I. a qu:al possui as rurzcs y = e*J~rl. Como a enlr!id.'l ,~.·fn) = oos(2JT-,r/6)ufn) = ( In)( e1• 1l
+ "-J•'1)1l{nJ coincide (.'Om as r'dízes cataeterísticas. garruue-se uma resposta teSsonante.
Adicion:uldo as ct'lndiçõe~ iniciais. o comando ti 1ter tcunbém pOde cale ular a respus1a do sistema a entrada nula e a rcspm;tn 10c:.l. Continuando no ex.emplo anterior. considc:Je a determinac_iio dn rcspos!a de entrada nu·
bpara y(- 11 = I ey(-1) =2para(0SnS30).
>>
>>
z_i = filtic(b,a , (l 2)) ;
y_O = filter(b . ~ . zerosl&izetn)J
. z_i) :
» scemtn, y_O , ' k'J ; xlabel( ' n ' ) ; ylabe l( ' y_ (O) (n) ' ) :
» axisi[•O.S 30.5 .. 2 . 1 2.1)J :
Exi~em dive~ fonnas fískas dé se implemenuu· uma equaçao em patticular. O M1\TI..AB implementa a
F.q. (M3. 1) usando o popular es1ru1ura da forma 11 tnlnsposta.1 Conseqüentemente. as condições inkia.is <Jeo.·em
ser compntiveis com esta cstnllura de imp lemen~.tJÇão. A função tiltic do toolbox* de proceswnemo de si-
2U
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:3:
oI•
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f.· igu ra MJ... Resposta .''In) rcs..woantc de estudo nulo par:t x(") = COS(21Dtf6)urnJ.
' Eslroturns de: imrlc:meru:açlc" tai, tVmo:. fl,nn:i ll lr.tMPI!!<ta.. !oào discutida) tlll Cap(tulo 4,
• N, de T.: Çonjun1odc f~'Õell;. geralmtttiiO'l'ncat~ul~ d'llw lk-umiYIC'smo dln:Wrio. com um objctil\HlOm.tm, O MAT\...AB twnscltu(do por dh'tt'SO:S toollxt.rts. ~Ddo que o us!J!rio pude c~hn ' lw is tcx./btull'J adquirir.
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CAPiTuLo 3
ANÁ.USfi 00 0oMCNIO 00 TEMPO DE SIST&.\tAS EM Tf.MI'O 0 1SCR6TO
291
nais (singnal prtx:truing) coawene as co•ldiçôes iniciais yl - 1).. Jl - 2)..... y( - N] trJdicionais p:trJ uso com o OO·
mandó f ilter. Uma entrada de ze.ro é criuda usando o comando ~eros. As dimensões dcst.n cntrsda 7.cro são
feitas de forma a coinc-idir com o vetor " us:mdo o oom:mdo size. Finalmente._ ( } ro~ o 1exto em subscri·
to na Janela gráfica e"'{ } força o texao em sobrescrito. Os resultados sao most:rJdos na Fig. M3.5.
Dado y(- IJc I e y(-2] c 2 ~ u ma entl'tlda ,,[nJ = <·os(2mr/6)u(ll]. a resposta total é fjcil de se-r obtid:~ pelo
comando f i 1 ter.
>> y _total = filterlb.n.x lnl .z_i ) ;
Somando a res.pOSta de estado nuJo e a resposta de ~nlrJda nula. obtemós o mesmó resultado. O C-ákulo dó
erro total absoluto possibilita um11 verificação.
$umtabsty_ cotal-ty • y_O>J•
ans = l . 8430e-Ol4
>>
Dentro de um erro de arredondamento, 05 dois métodos foJTM:C(.m a mesma seqUêocia.
M3.3 Função de f11tro Adaptada
O comandá f iltic só estará disponívtl se o toolbox de prot:tssamento de sinais estiver instalado. Para insta·
lações sem o toolbox de processamento de sinais e pam ajudar a desenvolver suns habilidlldes no MATLAB.
con.-;idcre o desen\'olvimento de uma funçiLu similsr em sintaxe ao comando f il ter qur: utiliza diretamente ns
condições iniciais>i- 11. yi -2] ..... )1-NI. Normalizando tJr. = I c rcSQivcndo a Eq. (M3.1) parnJ lnl lcmos
N
#
y fn I = L),xfn - k I t..(J
L a y[n - k I
4
Á•l
Essa fómtà rt>l~rsi\'a fornece uma boa base para a oóSSa fu nÇ"-àO de lihro adaptada.
funet.ion (yl = MS3Pl (b, a, x . yi) :
\ MS3Pl.M: MATLAB Seçio 3, Programa 1
\ Arquivo . M com funçAo para filtrar os dados x para criar y
t 2NTRADAS:
b = vetor de coeficientes de alimentaçio
\
a = vetor de coeficientes de realimentaçAo
x = vetor de dados de entrfldtl
yi a vetor de condições iniciais (y(-11. y(-2) •..•. )
t SAÍDAS:
y = vetor dos dados de saida filtrados
••
yi = flipud(yil:) ) ; \ formAtaçio ad~quada ~$ condiçõe$ iniciai$
y = (yi; zeros<lengtb<x• .l) ;x(: ) ); 'Pré·inicializ• y. começando com as condi •
çoes iniciais
x
= (zerosllength(yil ,
nho
lJ; x (:) ) ; \ Concatena x com zeros
p~ra
coincidir o
tamA~
de y.
2r-.---.--.--. .
--~
1.5
0..1
•
~
o
-0..1
-I
-U
-2
Figu ra MJ.S
o
5
lO
""
ReS'JX)Sta dé entrJd.a nulayJn] para y( - I)
20
25
30
= I e y(- 2) = 2.
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292
SINAIS E S ISll!MAS LINEARE.S
b
=
b/a (U; a = a / aHJ; \ no rmaliza os coeficientes.
for n = lengt-h (y l) + 1: 1ength (y)
for nb = o: lengt.h (b ) - 1
y (n)
=
enc
for na::: 1:
y (n)
y (n)
+
b ( nb
-
1
- a (na
+
hngtb(t~}
= y In)
+
1) • x (n -
1)
nb ); \
termo5 d• 111 im~tn t•çio direta
• y (n - na>; ttennos de reaHmenu.çAo
e nd
end
y = y(1ell9th(yit
+
1: e nd) ; \retira a s condiçOes i niciai=:; da u.f(la f i nal .
Vrnnde p.u tc das instruções em KS3Pl já foram discutidas. 'klllo.rcmos nossaor; atenções parn a instnaç:Ao f 1 i ·
pud. O comando de im-ersão cima-baixo. f 1 ipud in\'erte a orden1 dos elementos em um \'etOr coluna. Apesar
de não ser utilizado neste caso. o COJna.ndo de invtNàO esquerda-<Hreita. f lipl r. inverte a ordem dos ekmentos em um \'etor linha. Note que se digiturmos help f!leMe~e, o primeiro conjunto de linhas contíguas em um
arquivo .M será mostrado. Porta nto, uma boa prática de progrwnaçilo é documentar arqui"os .M. tal como em
MS3Pl. ookx:omdo um bloco iniciaJ de linhas explicati\•as comentadas no arquivo.
Como um exerd<.; o. o leitor deve veriftearque NS3P1 cak:ula comtamente a resposta 1!(11) ao impulso, aresposta de estado nulo >11t). a resposta de entrada nula y0[nJ c a tc$posta total y)11) + yJ.n).
M3.4 Com:olução em Tempo Discreto
A con\'olução de doi.s sinnis ~ duração fi nita. em tempo discrc.1o, ê rt:alizacln usando o comando conv. Por
exemplo, a COR\'Oiuç3o em tempo discrelo de dois pulsos retangulares de largura 4, g )11) = (u(n) - u(n 41)*(uln) - u(11 - 4}), é um triângulo de tamanho (4 + 4 - I = 7). Representando u(11 ) - 11{11 - 41pelo vetor
(I. I, I. 1). a. ooo...'Oiuç-.30 t calculada usando
>> conv l ll 1 1 l L( l 1 l 1))
ans = 1
2
l
4
3
2
I
Noteque(JI[If+4( - u("))•(ufnl - ul"-4))1ambémécakul:.do usando conv ( ( l l l 1),(1 111] }
ob\'iamcnte. resulta na mesma respo.sta. A diferença entre estes dois casos~ a região de interesse: (0 s n s 6)
para o primeiro caso e (-4 S:" S 2) para o segundo. Apesar do comando conv n!k> calcular a rcgino de itncres·
se. ela é relativamente r4cil de ser obtida. Se o \"elOt'v começ.'lJ'em n • n., e o \"etor v começar em 11• ""' então
conv(w,v• começar<i emn :: "'" + n..Em gemL o oomandt't oonv não <:()QV()Iui adequadamc:nte sinais de duraçito infinita. Isto não é exatamente surpreendente, pois os próprios computadores nio podem armar.crw sinais de dur.~Ção infinita. Para casos especiais. entretanto. conv pode cnlcular c:onctmncnJc uma parcela destes tipos de problemas de convolur;llo. Considere o caso
comum de coovol ~o de dois sinais causais. P:lssando as primci.ras N amostr.iS de cada sinal. conv retoma uma se·
q(lência de 1amanbo 2N - I. As N primeiras amostras ~111. seqOêt'ICia Siio \'oilid:ts.. õ\S N - I :unoslnlS rtsflantes não.
P:~ta iluslrar esle ponto. re<:ons:idere a res-posta de es~ado nulo y( t~ l para (0 S n S J.O) paro o sistema .\i11) - >
in
- I] + y(n - 2) a x(nJdOOa a entrada xfnl • c~(2;rn/6)u(n ) . Os resuhados obtidos uS3ndo a lécnica de filtra·
gem $âO mostr.l.dos na Fig. M3.4.
A resposta também potle ser obtida usaOOo a com'Oloção de tK:ordo rom y(n) = IJfn) • .t{n). A resposta no im·
pulso do sistema t'
~.
11(")=
{cos(lHJ/3)+
~scn(JPr/3)}ulnl
Tanro lt(ll( quanlo xlt~) s3o C.'lusais e possuem duração intinila. de tal fonna que conv pode ser utilizado para ob1er uma pan.:ela da oonvoluçSo.
>>h • in l ine f ' (cos (pL •nt3l •Sin lpi •n/3)/sQrt t3 1) .• (n>• OI ' , 'n ' ):
>> y • conv (h ln) . x fn)l ;
>> stem<(O : óOl . y.•k ' ) ; x label( ' tl ' ) ; y lab&l( ' y (n ) ' l ;
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CAI>iTULO 3
A NÁLISE oo Do~tix•o 1>0 TeMPO ol'! SISTf!MAS
u.• TEMPO D ISCRETO
293
A S:lída tot:Jl de conv é mostrada na Fig. M3.6. Ctuno esperado. os resullndos estão c:om.-tos paru (0 S 11 S
30). <X ''aiOC'es restantes estão claramente inc.:orretos. O envelope de sMda tkve.ri<a continuar a Cl't'$C('r. não de.cair. Normalmente. esses valores iocorretos não são l'llOSlrOOos.
>> ste:mtn,yO : lll . ' k ' • ; xlabel<'n ' ) : ylabel('ylnl ' l :
O gráfico rcsuhantc ê idêntiC'O à Fig. ~B .4.
20
15
lO
5
-~
o . rr
- 5 111
Jt
ll
lJ
I'
- lO
- 15
-zoo!----:l::o--::2""o--::JO:c-----:40,----.,.lo,___,oo
"
fiJ:ura M3.6 )'In I p:u·a x (11 I = cos(l.TII/6)uflll calcul:ldO rom conv.
3.1-1
l.)c~ermine a
energia dos sinais mostrados~
Figs. P3.1· 1.
3.1·3 M~rc que a potência de um sinai 'Dt!:.<M~1,, é
I'DJ~. Portanto. mosu-eque a 5)0'ência de umsinal
,\'o-l
,.,,I= L V;("l"!.'i"'-"' c
3.1·2 l)c1cnninc a polênci3 dos sin:1is mo.str:1dos
nas fígs. J>J, I ·l
.1
,...,
J
o
3
(o)
·-
o
.l
6
·-
(b)
.flrrl
.d'll
9
4
- .l
3
,_
_,
o
·-
'
td)
Figura PJ.I·I
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,t(ll )
3
r r
-9
-·
l
I I
l
o
-3
3
I I
6
9
,_
12
(o)
,tfllj
3
-12
1
I
-9
-6
1
l
o
l
3
1 12
6
IS " -
-3
(b)
.l(ll)
·-
o
(c)
r := m
caso conlririo
3.1-4 (a) Decermjne as componentes p.v e fmpat
do sinal .t{n) e (0.8t u(ttl.
(b) Mostre que a energia de ,ç[n) é a soma das
energias de suas componentes par e i'm.
p:1r dccermin:Kias n:1parte (a).
(c) Genernliu o resullado da parte (b) para
qu:llquer sinal de energia fin ita.
3.1·5 (a) Se x,(n( e ,f,,(nl 500 a.s COnlJ>Onemes p.v e
fmpot de um sinal real .c'(ttl. emào mosue
que E.~, e E<fi • 0.5E4'
(b) Mostrt que a et.ergia ctu2adà de x~ e x. é
zero. ou seja.
~
L
.t , (n (.f.,(lll ; O
3.2*1 Se a energia de um sinal .t{nl é E,.• ent~detet•
mine a energia dos seguinles sinais :
(a) x(-n )
(b) x [n - ml
(c) x[m - tt)
(d) K x(n] (m inteiro e K conscame)
3.2-2 Se a pO(ência de um sinal perlódicox(n) é P~.
determine e comente a respeito das potências
e \'alores nns dos seguintes sinais:
(a) -x(ttl
(b) x ( -n)
(c) .1"[ n - m J (m inceiro)
(d) cx[n I
( e) .t(m- n] (m
inceiro)
3.2·3 Para o sinal mostrado na Fig. P3.L· Ib. trace
os seguintes sinais:
(a) .<J-n)
(b) ·''" + 6)
(c) .<Jn- 61
(d) x J3n)
(e)
•[i]
([) x[J- nl
3.2-4 Repila o Prob. 3.2-3 para o sinal mo.!>tru.do na
Fis. PJ. l- lc.
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J.J~J
Ob1enha o g.nUioo e detmnine a pxêru:ii1 dos
seguintes t inais.:
(1) (lf
(b) (-1)'
(c) •1•1
(d) (-1)'•1•1
(e) cos (in+~].
M~reqw
l..J..l
(a) ~f• I +~(•
(b) 2" ·I
-li= •f•I- •f•- 21
Je{:r)utnl =i~ ~;T3")uln-IJ
,,(,1 - l )y"11(n -21
<•1•1+!-l)'uf•l)ien(T) -o
(c) n(n - l)y "t~l,•l =
(d)
para IOdo•
(e)
!•1•1+<-lr''•f•l>ooo(T) =O
parn todon
J .J.J Rascunhe os squjmes sim'i":
•I• - 21- •I• - 61
Cbl •f•l•l- •I• - 711
(c) (n - 2)1•1• - 21- •I• - 611
(d) !-• + 8H•f•- 61- •I•- 911
(e) (n- 2)(ol11 - 2) - • I• -611
+ (-" + 8)(ul• - 61- ul11 - 911
(a)
lJ.4 ~-a cada um cJol iinai .. da Fig. Pl.l· l
por URII <laica opres<io ...ida para IOdo o.
J.J..5
ÜS :lq:UÍQI;t;\ &mais OISo na (onn:t i'". CXJn:V
SC-o5 na fonna
y".
(a) ~ -0..\tl
(b) ,....
(C)
~~Ju
(d) .,••
Em cada caso. mostre a.f! post\"6e5 de .\ e y
no plano complexo. Verifique ~ue uma exponenciol ~ cresc-ente se y cstivC'r forn do
círculo unh,rio (ou SC' l. c&tiver no S PD),
ela ~ decrescente .se y t'-thw dentro do
CÚ'C'U.fo
u.•utmo (ou se A üiJ\'ff oo SPE) e
tm ampliluôt t'OnSL&nte M )'UCI\''f t' nO rir•
cuk> unitllrio (ou se À estiVC1' no dxo im3gi·
n.ári o).
3J.6 Ex:presse 01 aquin.tes iirutis. os quais est5o na
forma~""'. na fonna y".
(I ) t'-thJotlol
{b)
,.-fi- J•Iol
(c) ,.~••J••
(d) ,(1- J•)It
(e) ,.-ll•Jiii'O>)II
(O ~~ Jllt/M•
J.J.7 Os conceitOS de funçOes par o fmpar para si·
naJs em tempo di.'õCretO Jlkl idênticos aos do
sinai!i oontfnuos DO ltmpo. diKUtidos na SeçAo I .J. Ut.ando estes CCJnC'.ietiOl. dctennint c
rucunhe ., . . , . _ , _ pw e lmpr oloo ~
guinte\ Jlnai~
(n) nufn
" ' "' I
(b)
(c)
~nC'4")
(d)
ros('•.,")
3A·l A sa(d:ldC'wnacainrqi~lrlldora)inJ ~
•a O(."U_{,10 lotai de n itens ~ai,tllldos pelo cai:-:a.
A enh'*ia x(n) ~ O CUSIO do 11-áamo ittm.
(a) E...,... 1 cquoçio difc:r<ftÇO od.tciocw>·
olo 71•1 """'>f•(.
(b) Rnh1e C'lle sisterrul uYftdo um eiemmto
de IUI'UO de tempo.
3.4-2 Seja plnl• populaçio de 11m ceno país no começo do n~imo ano.. As tau.s ck oascimen~
10 e mortabâlde dl populaçlo d......., qual·
quer ano olo J.J e I.J!t.mperu•-ameooe. Se
rln] I o ftúmcro lOtai de im1aran1es entrando
no pa(\ durante o ~~~imo ttno, e.'K'f'CVn 1
equaçflo diferença rtlncionando IJfn + 1t pfnl
e i(nJ. An uma que os imiJ:..ranleJ entram no
pais .a loftao do aoo on uma taU unifOflnr.
J.4.J A ratdia mó~•d I utilizada pera ôecaur uma
teftdi!ncta de um:a "-v\4'-et que: ,'llria rapida~
mente, u.J como a tl"'6;lla do n~n:ado de 3ÇOet.
A vari4,-el pode flutuar (pam cimu ou par1 blli·
xo) diari.umente. mascarando t~Ui lendência de
klnJO prazo. Podemos pe:rtebef a tt:Ddê:ocia de
looiiO pruo ....,izMdo ou obomolo 1 mécb
oloo IV •>J<ns p&<soolos ob van.hel. Pano o
mercado dt ~"ÕCS.. pOde~ considerar uma
m61ia nlÓ\'el y(n) de .5 diu~. sendo 1 m6diu de~
5 li h i mos dias dos vaiOtt$ de (ech.umento do
merc.aolosln~ >I•- 1~ ...• >f•- 41.
(a)
E.c-revo 1 equ.oçto dafc:r<ftÇO od.tciocw>·
olo >1•1"""' a eouaob >1•1
(b) Uulue dementos de acruo de cempo p:a~
ra implementar o fihro de média mó\·el
dddias.
3.4-4 O intc-arador digital elo Eacmplo J.71, especi·
6caolo por
•l•f- y(•- 11• Txf•l
Se uma entracb u(nl for aplk:uda DCSie integrador, mo~tre que a su.(da ~ (11 + I)TI,(n). a
qualliC aproAirNt da rampa deACjada nTutnl
quando T- O.
296
Suws E SrsTEMAS l.JNI!ARES
3.4-5 Aproxime u seguinte equação di(en:ncinl de
segunda ordem por uma equaç3o diferença.
d 1y
-~
dJ·
(b) Um sinal em tempo disc.::n::to com energia
fin ita tem que ser um sinal de pocêneia.
(c) O sistema descrito por y[n) = (n + l)x(nj
é causal.
(d) O sis1em.'l descrito por yln - li;; .r(nl6
dy
dt
+a,- + a 0 y(r) = x(l)
3.4-6 A tensão no n·és-imo nó da escada resisliva da.
Fig. P3.4-ó é v(n) (n =O. I, 2..... N). Mostre
que ~·l n l lWltisfuz a cqunç-Bo diferença de segund:~ ordem
v[n + 21- Avln +I) + 1![11 1 =O
~usal .
(e) Se um sinal de e nergia .t(n) possui ener~
gia E, e ntão a energia de .t(im ) é E/la!.
3.4-8 Um sistema lineM invuriante oo tempo produz
a safd.1 y,ln l e m resposta a entrada .t1lt1), como mostrado na Fig. P3.4·8. Determi.ne e t3&o
c...-unhe a saída y 21n] q uando a entrada x~( n) é
aplicada oo mesmo sistema.
I
A =2+ -
a
[Dica: considen: a cquuçiio do nó do ,H~simo
nó com tens!io t.t[n j.J
3.4·9 Um sisacma é descrito por
3.4·7 Determine se cada uma das seguintes afuma·
th·as é \'Crdackira uu fal.sa. Se a afinnali\'a ror
faJsa. de monstre por prova ou exe-mplo porq ue ela é fnba. Se a afirmati\'a for ~·erdudeiru,
ellplique porquê.
(a) Um s-inal e m tempo discreto com pot~ncia finita não pode ser um sinal de
energia.
~
v
"'~
R
R
~
:; aR
x)k)(6J"- k l +&In+ k))
(a) fupljquc o que o sistema fnz..
(b) O s-istema i estável BIBO? Juslifique sua
l't$posla.
(c)
O sistema é linear? Ju~i tiqucsua resposta.
>in- ti
...
·;·
~
F
aR
uR
L
~- -)..~
...... ..... .........·; · ...·; ·
R
l
Yl"l =
·;·
~ aR
aR
uR
...·; ·
aR
Figura P3.4-6
2
2
I
,;.
o
"' -2
rr
I
,;.
o
"' -2
-I
I
-2
o
2
•
-2
4
2
T
!
o
•
2
4
2
4
2
r
I
4'" o
I
.,.>,• o
l
-t
-2
-2
-2
o
2
"
Figura P3.4-8 Gr.ificos de eotrada-safda.
4
-2
o
"
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ANA.u se oo I)OMfKIO oo TEMPO oe SISTEMAS EM Tr:.MPO DISCREtO
CAf'f'1l!l.O 3
(d) O sistema é sem me1n6ria? Justifique sua
rcspos.1:..
(e) O sistema é tausal1 Justifique.sua 1\'SJ)óSta.
(f) O sistema é in,•ariante no tempo? Just.ifi-
xl11J do CMro. medida em melros. a partir do
pomo original de partida .ttOJ =O.
A partir da flsica. sa))(mos que a velocidade é
a deriv:tda da posição.
que sua resposta.
3.4·10 Um sistem:t discre•o é dado por
y(n
v(t)
x (nl
+ li ~ -7-!::-',:-:
X(fl + I)
d
= ;;;.t(t)
Além disso. sabemos que a aceleração é:~ de·
rivada da velocidade.
(a) O sistema é está,•ei BlBO? Juslifique liüa
d
a(t) = -u(t)
resposta.
til
(b) O sistema é sem memória? Justiliquc sua
n::sposr.:1.
(c) O sistema é causal? Jus1ifique sua res·
Podemos eslinult a \'elocidade do caiTO usan·
do os dados do filme alm~ de uma equac;-ão
diferença simples v{nl = k(xlnl - xtn - I))
(a) Determine a c·onstante k pam garantir
que v(nl possua unidade de metros por
segundo.
(b) l)ctc.rmine uma equação diferença com
coefieientts oonstantes na forma põ"Ldr.lo
que tenha como ~fda a cstinutliva da aceleração. ai"J, usando como entrada a posição. x(nJ. Identifique as 'r'anl:tJ,oe.ns e ttlíl·
lhos <k estimar a a<:eleraç-J.o cr(l) por aln1.
QuaJ é a resposta h[n} ao impulso deste
sistema?
posta.
3.4-11 Explique por que o sis1cma contínuo no tem·
po y(t) = x(2l) é sempre in\'Cr'SÍ\'CI c o sistema
correspondente em terupo discreto y(nl ==
xf2nJ nOO é inversíveL
3.4·1 2 Considere a rclnção de entradafsafda de dois
siSte1nas em tempo disere1o similares
Yt[n) = sen (in+
297
1) x{tl}
c
)'t(nl :: sen ( ~, + I) x{n)
E)l;plique por que l(nJ pode ser recu1:~erndo de
y 1{n) mas xfnl não pode ser rec-uperado de
)'~( tlj.
3.4-13 C01ls.idere um siStema que multiplica uma d<•·
da entrada por uma funç.ikl rampa r(n}. Ou seja, y]nJ = .1jnJ-fnJ.
(a) O sisterna é eSto1vel 8 1801 Justilique sua
resposta.
(b) O sistema é lincnr'! Justitlquc sua rcs·
post:~.
(c) O sistema é sem memória'? Justifique sua
resposta.
(d) O sistema é cnusnl'! Ju!ilitiquc s-u:l res·
pOSta.
(e) O sistema é invariame no tempo? Justifi·
que sua resposta.
3.4-14 Um cruTO com turbina de avião é fi lmado
usando uma <.-âmeru operando oom 60 qundros por segundo. Scjn a v:triávcl 11 rcprescn·
tando o quadro do filme, oo qual n = OCOft'ts.ponde à ignição da lutbina (filmado antts d:t
igniçiio ser descartada). Analisando c:adn quadro do filme. é. possí,•d dctenninar n posição
3.4~15 faça:~ pan e (a) do Prob.
3.M-2.
3.5·1 Resoh·a recursivamente (O'pe.n:ss os três pri·
meiros tennos) da.~ equa<;ões:
(a) yln + 11 -0.Syln l = O.oomyl- 11 = 10
(b)
)'(11
+ 11 + 2ylnl:::::: Xltt + 11. com xl,.l =
1"-"u(n) e
Yl-11 =O
3.5-2 Resolvn as ~guinlcs equações rocursh•tunente (apenas os três primeiros termos):
yln I - 0.6yln -
I! - 0.16y]n - 21 =O
com
)'(- 11 = - 25. y(- 2] =0.
J.S.3 Resol\õt recursivamente a equaçtodiJerença de
segunda ordem Eq. (3.1 0) para n estimativa de
\'tndas (ape:nus os ttés primeiros termos). assum.indo >1- 11= >1-21 =O e .t1nl = IOOil(,.).
3.5-4 Resolvo• as seguintes: tqu(IÇóes recursi\'amentc (upenas os lrê.'i primeirm tennos}:
y!n + 21+ 3y!n + I! + 2ylnl
= ;r(n + 21 + 3x(n + li + 3.f(n)
comxln) = (3)"'ufnl yl - 11 =3. e y(- 2)
=2
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298
S INAI:S 1:1 S I STtMA~ LI ~'KARES
3.6-6 l)('lmnuJC '1"1· a tcn~don-óunonóda G-
3.5-5 Repou o Prob. 3.$-4 pua
vl"l+2) 1" - 11+.1'1" - 21
= 2.<1111 - xln - 11
"""•1•1 = (3) '•1•1-rl- 11 = 2. <
>1- 21 = 3.
eada rcsisuva mostrudll na Fig. 1)3.4-6 se V •
100 ,·oh.s e" • 2. ID1ca I: coo5i<kre a equa:·
çtocleoóoo •-óimo oó<-om 1C11S1o >1•]. Di·
t:ll 2: ' 'eJU ú Prob. ) .-4..6 para 1a cquaç.io de
vl"l· As tóndi~'l"'cs uuxilinres são vlOI = 100 e
•IN) = 0.1
3.6- 1 R.esoha
.11n .,. 2] + 3yln + I] + 2yln] • O
3.6-7 Conc;;idcre o 'liifiiCm:t. crn tempo diseteiO )'(nl
+ yln - 11 + 0.25yln -
SC)I - 1)=0. vl- 2) = I.
.1111 + 2] + 2)'(11 + 11 + Ylll) •
o
"' vl- 11 =I . 11- 21 =I .
.1'[11 + 1I+ 2y(ll l • x[n I
(b) y(nl + lvln- ll •xtn l
(a)
\(n T ll - 2\ln +li + l y(n) • O
se>l - 11 =
I.
3.7-2 Rcpi~a ol'rob.3 .7· 1
>1- 21=0.
3.6--' Para a l'!Qua~Ção dl(trtft\ol ge~rka de ordem N
Eq 4) 17b). fu<ndo
n 1 = n2
•
• • • =ti,\ ' 1
=O
3.7-J Rcpota o Prob. 3.7·1 pu>
yln I - 6yl" -
ordem N UT, n4o IW'ul'siWI
huxinl + h 1x(11- I I+ ···
+ b.., _ t{~t - li + li + b,.ttn
P""
(f1 - 6f + 91ylnl e Ex(n]
n:"suh• em um:. cqtl31;âo dafereoça cau~l ck:
11 + 25yln -
2) =
2xln)-4xl• - I)
3.7·4 (a) Pam a t..'<Juaç-!lo diferença genérica de or·
d<1ll .v da eq. (3. 17). r....o<~o
iYl
M olilrt !JUC ~~~ mr:re~ car.IC:Icr('ilicas de~e sis·
tema ,5o zero~. pnnanto.. ::artsposta de e:P.U"3·
d:a nula é um. Con~nte. • r«poshh
tocai~ constiturda npM;h !.1.:1respo!~ta de esla·
dO I)UIO,
1...ooNrdo ~ Fibonax•. wn f~ mate-
m6tico do século treze. 5crou 11 scq~ncia de
intt'ÍI'O~ (0, I. I. 2. 3. S. 8. 13. 21 . 34 ....) en·
qu;an10 pensa:\~
esaranho o 'liUftdt:nlc. em um
probkrM em oi' endo a rel)f\XIuçlo de coeLhos. Um elemeruo da se,lllencia de Fibonacci
~a ...uma dOts llltimos dob
(a) lktenmne 1 ~U311i0d•fereoça Ot C<X'fi.
c-ientes COR\tllnles c:ujo respo~tll de e n·
truda nula/ l t~l com t,.•Qndiçóes au;dlia.res
fi I) = 0 e/)2) = 1 i • t<qü<n<,. de Fi·
bonlteci. Sabendo que f In] ~ 11 pfda.
c1ual é :1cn1rudJ do "i~tema1
(b) Quais $00 :u nízu caruete:rislicas de54C
..astema'! O '\1~ ~ ('St.Í\-el'!
(c)
1\ie
cqu>ÇOO
:1.6-J Rcsolv11
J.6-S
=·*' - 8]. Detcr·
.I J- IJ=Ic y,[l]=l.
3.7-1 Determine n respoSIU h(11) ao impulso parn
M sistemas espec-i(IC.ados pciJJ seguinces
3.6-2 Rooh-a
y(nJ •
2)
mine a r~ de: entrada nula yJn)
RepreSt'nlando O e I como o prtmeiro e
liCiundo nt1mcros de 1-lbonacd. dc=ccmti·
ao • o1 = a, •·· · = 11~
1
=0
resulta em um::. equ;açlo difertnçll causal. nliQ
UT de: ordem N
lft"anh"'O.
,,•(n}
= bu,l'llll + IJ1X(1t- 1) +'' '
+b" 1.t(n-N + l) +b,..t fn - NI
l)elenmne a ~a ll(n) ao impulso desle ,js.
1en\o'L rtJi.,;a: t1 equaçlkl C~lf'.te'ttrf~tk-à pata este
ttiO é y.. • 0.. J...oto. todas as tiÚ.les caractc:rlsliatssiOn:ro. ~caso.yJn) • Oea llbof'dl~
J.~m du Soç~o 3.1 não funci.onn. U10e um m~to­
do din:to puta dctemlin::~r /t(,t) percebendo que
•1•1-'•-•cllUlldaimpubo.-)
(b) Detcnnine a roposta ao i mpulso~ um
si.stcnu1LDIT nlkl recursivo descrito pela
tqllõtÇ'Io
11•1 • 3xln) - 5xl• - I] 2xln - 3)
Obscrv~ que n rt'.!lposta ao impulso possui
apenas um número finito (N) de tle.rDCnlOS
Mo nul~. Por esil mão. er.seto tipos de sistemas g!lo chamado,. de s h.te tn:u: conl ~?~>­
posta finita ao t'mtmlso (ftR•) Para o Cl\0
ne o qülDqwa.Jbimo nómuo de Fibooac·
c i. ~tnn•ne o mt1~'1i"•mo número ck F'i·
honacci.
..., pyr
rteo fY JIE'r
I
CAPhlJLo 3
1-\J..' .-'.us:E oo DoMi:o~Jo oo TE.\wo DE SiSTE.\thS EM TE.\tPO DtsCRP.TO
recurSivo genérico [Eq. (3.14)).i!!bposta uo
impulso possui um número infinito de ele·
memos nllo nulos. e estes sistemas slio chamados de siS-Iemas com r~.\posw inji11it(r ao
lmpui.Jo ( IJR*).
3.8-11 Determine a resposta (estado nulo) de um si.slcma U)JT se sua resposta ao impulso for
h[nJ (0.5)*u(111e a enlf'Jda .((111 for
=
(a) ru[nJ
(b) 2*-3 ~tlnl
(c)
3.8-1 Determine a ~sposla (estado nulo) y(nJ do
$istem::t LDIT cuja r'CSI:JOSta no impulso é
3.8· 12 Para um sistcm:. espcci tk~'ldo pela cquaçiio
y(nls x (nl - 2x(n - I)
Determine a
:ctn)
3.8--2 DctenrUne a resposta (estado nulo) >tnl do sis·
ll(n) = H&(tt - 21 - (-2t ~'l•4(n - 31
lr(n) = l (2f-l + 3(-5)"+11•t)11 - li
3.8-4 De1cnninc a resposta (csc:do nulo) yjn) do sistema LOI'l' SC' ucntrudu .l1n) = (3r·' 2uln + 3J e
=
res~La
do sistema a entmda
u(n). Qual ~ a l)f(lern deSte sistema?
Quul o tipo dQ sistema (recur.-;ivo t.lU nito recursi vo)'~ O conhecimento das condições ini·
ciais é necessário par.. de~enni n :u a resposta
do sis•ema? Explique.
terna LOIT se a entrada.f(n} s 3" - 1u{n + 2) e
3.8-3 Dettnnine a resposta (eslado nulo) .'in] do sistema LDii se a c:.ntmdax(,r) = (3f ' 111(11 + I I e
2"n(n- 2)
1Oic.a: Vocé pode prt:cisar da propriedade de
deslocamento (3.6 1) da convolução. l
lr(td = (-2)"u(n- 11
e a entrada é .r(11l = e -"ulrr + 11. Oc-tcrminc
sua respcma calculando o somatório de con·
voluç-llo e ta mbém usando a tabela de con\'oluç.'lo (Tobela 3.1).
299
3.8-13 (a) Um ~istema UT em tempodL"t.Ttto ~mós·
uudo no l~ig. P3.8-1 3. f.xPfe$S<: a m.posLa
IOUII oo impul.so do sistemn. lrl11), em termos de h,Jn(, ~ln l . h ,1"1. h~l,tl c h,(,(.
ltlt! l = 3(n- 2)(2)•-Juln- 4)
J.S.S Dctennine a resposta (estado nulo) )')11) 00 si&·
temaLDITseaemra<la .tln1 ==(2tultr-lle
l•(n] = (3)"cos
Jln)
xln)
(i" - o.s)u(n)
Determine sua resposta usàndo apenas a Tabela 3.1 . a Labcla de con\'Oiuç-ão.
3.8-6 Obtenha o.o; resultados das linhas I. 2 c. 3 da
Tabela 3.1. 1Dica: vocC pode
form.'lçtio da Seç;)o 8.7-4.).
pr~i.sar
d.a in·
Figuro P3.8·13
(b)
Doi~
sistemas LDIT em casc:<Ita possuem
rtSposta h1[11J e h~)11) no impulso, m>pec•i\-'Omente-. MO!$t~ que paro 11 1(11)=(0.9ruJ,I
3.8·7 Obtenha 0'5 rcsuhados das linhas 4, 5 e 6 d.'l Ta·
bela 3.1.
e /t!(nl=(0.5)"11[nl - 0.9(0.5Y,In- IJ, Q
sistcmn em easc.1t:t é umsi ~ema idcmid:adc.
3.8-8 Obtenha os resullados das linhas 7 e 8 & Ta·
bela 3.1. [Oiç-a: voc.:'ê pode l)rtcisar da inform~.ão da ~iio 9.7-4.).
J.IJ.-14 (a) Mostre que p:tr.l um siSlema cau~J . a Eq.
(3.70b) também pode ser descrita por
J.S-9 Obtcntul os resultados das linhas 9 c li da Ta·
bela :u. (Dica: você 1xxle precisar da infor·
maç.llo da Scçilo 8.7-4. 1.
se >1- 1I =
+ IJ + 2)111) =X(li+
=
...
Í::: lrl11- kl
(b) Ç(lm() a e.xprcss.<io da (XIrtC (a) seria alte-
3.8-10 Obtenha a respo!;ta tQt.al do sistema cspccili·
e11do 1~l<l equaç5o
)1tl
•
g [n)
IJ
l Oe o c ntrnda for x L11) =e
"ul11).
rndn se o sistem.a n!lo fosse caus:JI'?
.-t&-15 No problema de CQilt:r bancftria descrito no
Exemplo 3.4. um" 1>essoa deposita RS 500.00
no oomcço de cad:. mês. co-aneç.ando em 11 = O
oon1 uma cx~o em u ;;; 4, quando ao invés
de depositar R$ 500.00 ela saca RS 1000.00.
Detetrnine Yl") se a taxa de juros. é de 1.5% ao
mês. (r c 0.0 I),
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300
SINAIS E SISTEMAS LINEARES
JJJ.J6 Pma pag:u um e mpréstimo de M reais em N
parcelas. us:mdo um ~Jor fixo meMal de P
reais. mostre que
onde r ~ a tax;·a de- juros pOr re-ais pOr mês.
IDica: R-.tl! problema pode ser modc lndo pe·
la Eq. t3.9a) com o pagamento de P reais começando l!m u = I. O pr'oblema pode ser
analis.-.do de d l•~s for'llKIS ( I ) Considere o
empt'éscjmo tómó uma tóndic;--ão init ial y11[0)
-= - Me a entr<lda x(,l) Pol11 - 1). O s.;ddo
=
do c.~m prést imo é a ~oma da c.~omponeme. de
entrada nula (ck\'ido a condição inidal) e a
componenlc de cslndo nuln ltl ~t l • ,,·lnJ. (2)
Co11sidere o empl'éstinH.l c."'rno a tntrOOa - M
t'm n = O juntamente cum " entrada de,•ido
aos pagamento..-.. O s:aldo do cmprêstimo ago·
r:t é :1 compoocmc de cst::td«l nulo l1ltrl • ·"In I.
Como o emprés1imo é (Juiwdo em N paga.
lnt.!tUO:.. f:.l~a .'·INl
O núnler<.> de K !Xlf!;unen•os é o maiOI' in1eiro
s N. O pagamento residual é l.r(kJI.)
3.8-18
U ~anOO o <Ligoritmo de deslocamento de tit:a,
mostre que
(3) 11(11)4< ll(trl :,;;; (11 + 1)11(, )
(b) (u(nl - ul11 - mj) * ul11) =(ti+ I )u(n) (li - m + I }u[n - ml
3.8-19 Usando o :algorilmo de dcslocnmc.mo de lita,
determine .ttr•l * gl1111)31':1 os sinais rnosuados
na Fig. P3.8-t9.
3-S-20 Repit<.l o Pre."'lb. 3.8-19 pura ossinais mostr.k'los
na F;g, P3.8-20.
Repit<l o l'rob. 3.8· 19 par.t tlS sinais mOS:tr.ldos
na Fig. P3.8·21.
3-S-22 O som:auírio de convolução d:1 Eq. (3.63) per
de ser expresso em uma fom\ll mauicial por
QU
• 0.1
3.8-17 Uma pessoa ré(·ebe urn empn'slimo par.-. tOm·
prar um automóvel de: RS 10.000.00 Je um
banco ~.-om 13.'<:1 de j uros de 1.5% ao més. O
seu p:•ttamento mens:•l é de R$ 5(X).00, C(lm o
p•·irooiro pagamento sendo feito um mês após
o recebimento de.) emptéS!imo. Calcule o nú·
mero de mimero de pagamentos 11CXCSsários
pn.ra quil:tr o emprés1imo. Observe que o úhi·
mo pal!:-memo pode não ser' ex:uameme de
R$ 500.00. (Oic:t: sig~• o t>rocedimelllo do
Prub. 3.8-16 par.1c.k terminar o s.akJo J(n). Para determinar N. o número de pagamentos. faça .\'IN)= O. E.m gemi. N não será um imcim.
.riO)
h IOI
o
.rll l
" [ li
h IOI
_. ,r i !.
- 10
-s
• •
f= H
1
y
Conhecendo h[11Jc a saidn yln1. podemO$ deter·
mioora en1rnda XIIII. Esla opcroçiloé a revers:a da
·-
.! I r, . .
11 -
xiOJ
.• [ I J
e
IJ -
5
o
o
y -:; Hf
•
5
o
o
10
•
. .I.
-s
• •
.I. .
5
,. -
FiJ,::ura P3.8-20
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CAPh'ULO 3 ANÃusn oo Do~dNto oo futPO DESIS'TEMAS eM'T'lMPO 0 1satmo
30I
•
-J
3
-3
~~-
3
·-
(a)
slnJ
•
o
12
6
, _
- 12
o,.-
-6
(b)
Figura P3.8-21
oon,-oluc;.ão. sendo chamada de dt>CM\'Oiuçifo.
Além disso, CQI\hecendo .--(nJ e >1nJ, podemos
determinar hl t~ ( , lsso pode ser feito e:<pressandó
a (!Quaçio malriciul anterior como 11 + I L-quaÇiks simuttâneu.'i em tronos de'' + I incógni1as
lt(OI. hl 1L-., ll(n). Estas equações podem set ra.
ciln-.eme resolvidas in1er:ltivamente. Portanto.
podemos s:inteti7.ar um sistema q ue resulta em
uma t·c::rut saida >1nl paru uma dadu cntroda.l'l" l·
(a) Projete um sistema (isto é. determine
/ti"() que resultará na seqüência de sa(d<~
(8. 12, 15, 15. 15.5. 15.75.....) para as<qU~ncia de entrada ( I, 1. I. I. I. 1.. ....).
(b) Paru um sistema com seqüência de rcs·
pcma ao impulso (I. 2. 4,...). a seqüência
de safda é (I. 7/3. 4319....). Decermine a
seqüência de e ntrada.
3.8-23 Um sistema l..OfT de segunda ordem possui
resposta de entrada nula dad.1 por
'"''" = [3.2J.2j.2f, .... j
(b) Octcrnünc uma entrada causal limitada
com dufliÇ30 infinit:t que C3usará ull\à
rorte respOSta deste sis•c:ma. Justifique
sua ~sposta
(c) Dc1emüoe uma entrada causal limitada
COftl dutaç3o infinita que causaro1. uma
rrac.a re.~~l.a deste sistema. Justifique
~ua
I'CSpo!'lll.
3.8-24 Um filtro LDIT tem um:t função de resposta
no intpulsod:Kia por h,rnl = 61'' + 21- 6l112). Um seguOOo sistema LOJT possui uma
runç-00 de resposta ao impulso dada por lt1Lnl
= JJ(11It1 + 4]- 11 Jt1 - 4]),
(a} Cuidadosamente obteobn o grá.fico d$
runções /r1(11) e h-r(11) pílru (- 10 S n S 10)-.
(b} Assuma que os dois siste-mas sejam corlOOl~ em paralelo. como ~ra a
Fig.
P3.8-24. Detetmine a resposta h,.(n) ao
impulso do sistema em pam1elo em termos de 11 1ln l e lt!ln l. Rascunhe IIPinJ p3ru
(- IOSnS 10).
(c) Assuma que os dois sjstemas sejam corK'Ctados em s&;e, como I'I)()Stnl a Fig.
(a) Dctenninc a c.."quaç.!lo caracterfstica dc!!:tc
•
sts.tcma,
a0 y 2 + a1y +a2 = ().
4nl
yjnl
.<1•1
(>)
Figura P3.8-24
P3.8-24. Determine n resposta h,Lnl ao
impulso do sistema em sérte em terTnCM
de h ,(,.) e h 1[11). Rascul!he h,(nl para
(- IO SnS 10).
(b)
Sistemas com cooex.ões em p:tr.1lekt e em série.
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302
S1.SAL~ e S1STP.r.MS LtNBARE.~
3.8-25 Este problema analisa uma interessante aplicação da convoluçi1o em temp.t dí1;creto: a C:Jt·
panslio de cenas cxpressOcs polinomiais.
(a) Analiticamente. expanda (z~ + ._~ + ;: +
1) 1.Compareos <.·oeticientescom ( I. I .
1, 11' {1, 1, 1,1).
(b) FormuJe um.1 relação entre a coovolução
em tempo discteto e t1 e.xpw:\o de expres·
sôe'i polinomiais de <.-oeficientes oonswues.
(c) Utili7.e n coovoluç.iio parn expandir ( z -<~
- 2:-) + 3: -!)•.
(d) U1ilize a oonvoluçào p~a e:qxmdir (z' +
~~
+ 3l + 5) (~-· - 5z-1 + 13).
1
3.8-26 João go!ita de café, e prepara o seu de ocordu
com uma rotina muito particular. Co~a adicionando duas colheres de chá de açúcar em
su.1 xka.ra e a enche até a bord.1 com caf~ qutn·
te. Ele bebe 213 do café. ndiciona outros duas
col~ ck. :tÇÚc:~r c enche a xícnru nov-dmente
com café fervendo. Este pmccdimcmo cotlli·
nua algumas ' 'e1..es para \'árias e v:irins xfcara.~
de café. Jo;.lo observol• l)ue seu c.1.fé 1eOOe a fi.
carc.:ad.a \'t.z mais doce com o número de repetições do seu procedimento peculiar.
Considere a \'rtriável independeme n para represt.ntar o número da repetiç-Uo do procedi·
memo. Dessa formo. rJ = O indica a primeira
xicarn de c.afé, n = 1 é a primcim \ 'O . que ele
completa a xk ara e assim por dia1Ue. Seja
xfnl a representa<;ão do açúcar (Uledido etn
colheres de c:há) adkiooado nu s-i.stema (á xícara de café) na repetição n. Seja y(n) o lUtai
de açúcar (novamente e.m colheres de eM)
conlido na :dcam no repetição 11.
(a) O aç6car (colheres de c há) do café de
João pode ser represe-ntado usando liRUL
equaç-ão difercrn,"..l padrlO de segunda ordem com coeficientes t."'Unstantes y[n) +
Oj)'[n- I) + a !.\'!r• - 2) = b.,r[n) + b1x[n
- I I+ b~r[n- 2]. Dctcnninc asconstan·
tes ai' o, . 1>0; b1 e b~.
(b) Oetermir.e xf"l· a funç!\o de ali.memaç~o
deste sistema.
(c) Resolva a equação difert-IM.,'".i'l para J l"). lS·
to requer a detenninaçiio da solu~·ão total.
João sempre começa com uma xicaru
limpa do la\'a·louça.s, 1:11 que y[ - 1) (u
qu.-uuid.ade de açdcar ames do primeiro
copo) é zero.
(d) Oc1crmine u valor de n-gime de y(n). Ou
seja. quul é o valor de J(11) quando ,. co'! Se possfvcl, sugira um modo de modifiC'W' ,f(11) 1al que o conteúdo de açúcar
dv café d.:: Jt'JÔO seja cons1amc para todo 11
n~ nega.ivo.
3.8-2:7 Um sistem3 é chamado de oompltxo se uma en·
uuda dt: valor real puder produzir uma saida de
\":llor oompkxo. Consi<lefe o si.stema causnJ
complexo descrito pda equac;ão difen:nça Linear
de primc:.iru ordem com coeficientes constantes:
( jE + 0. 5)y(n] e ( - 5E).t(nl
(a) Octcnninc a função de respostn IIL11l ao
impulso des1e sistema.
(b) Dada a e.ntmda x[n] = u[n - 5]. e .a éOn·
d ição inicial y61- ll = j . detenninc ares·
posta total do sistema .rlrr) para rr 2: O.
3.8-28 Um sistema LIT em ltmpO discreto possui
funçõo de resposta :10 impulso igual n /1(11 I =
11(11[11- 2 ) - u)n + 21).
Cuidadosamente lroce a funçtto /r[li] p:u-a
( - 5SnS5).
(b) Determine a equação diferença que represenUI este s is.~ema us.1ndo) 'rr•I para re·
presentat a saída t x(n] para representar a
e ntr.Kia.
(ti)
3.8-29 faça a pane (a) do Prob. 3.M·3.
3.S.30 Cons-idere os lrê.S sinais em tempO diSCI"(tO:
x(n J, y(n ) c .zlnJ. Representando a con\'oluç.ào
por ~. identifiq ue a(s) express~ôes) que
~(são) equÍ\•alcnte(s) u x(nlú1nl • z[n )):
(a) (X)II) * J )IIJ).!(n )
(b) (x Ir• J.rln )) • (x (r1):;l11 J)
(c) (xJ,.ly(nJ) • d nl
(d) Ntnhunm
Ju,!,lifique sua resposta!
3.9-1 Utilize o método clássico para resolver
y(n +l l + 2y[nJ = x l" + IJ
rom a entrada .r(nf = e -"u(nJ c n condiç.:lo au·
xiliar >101 :;;;: I.
3.9-2 Utilize o 1nétodo cl:i.ssico pa.•~ resolver
y[n)+ 2y(n - I ) = X(ll - I )
oom e111rada .t(fll = e -.~~(n ) e 3 condiçl\o auJti-
liar >1 - 11 =O. (Dic-.n: você terá que determinar a ('Ondição .auxiliàT y(OI usando o método
intcmti\·o.J
3.9-J (n) Use o mé10do clássico para rcsohrer
)'f" + 21+ 3y )rt + li + 2y(nl =
xlt• + 2) + 3x111 + li + 3x[n )
CQm entrada .r(n) = 3• e a condições auxiliares y(OI :~ I e y( I ) • '3.
(b) Repit.1 a pru1e (3} paro~ as<.:OI~tçôesa.uxilia ·
res y[ - 1J • yl- 21• I. (Diéa: l•tiJi:.-:e Q nté·
todo intcrulivo par.- detenuinar >t0l e>{IJ,J
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CAP4tuLo 3
3.9-4
Ulili~c o
A~Ãusro oo I:><»•INlO oo
método clássico pam resol"er
ylt•l + 2y[n -
li
+ yln -
2] =
c01n entr<~da--1.nl = reu(nJ e condições au~i­
liarcs )10) = 2 c y{ li = - 1313.
3.9-5 Use o mélodo clássico p.1ra determinar os se·
guimes soma1ó•·ios:
Lk
.,
•
<b> I: k'
303
ticamente e-~t:h·ct. instávd ou marginalmente
estóvel.
(o) >'I"
lx[n) - x[n - li
+ 21 + 0.6y r, + I) - O. 16yrr• l =
x(tl + 11 - 2xlt1(
(b) y (rlj + 3yltr - IJ
+ 2)'(11- 2( =
.tln- I) + ltln - 2)
(c) (E - l)'(E + j)ylnl x ln)
!d) yln l + 2yln - li +0.96y(n- 2) = x(n)
te) y(n l + .r(n - 1) - 2y(n - 2) =
=
,tl'll+lt(tl - 1)
(I) (E1 - I)(F..' 2 + l)yl,l • ,t llll
(a)
'""
3.9-6 Repila o Prob. 3.9-5 pMa determinar
r:.;_..,krl..
3.9·7 Use o métódo clássico panl resolver
(E2- f: +0.16)y[n) = Ex(nl
com entrada .t(11j = (0.2)'uln Ie tXlíldiç.."tes au~i l iares>101 :;;; I ey[l) = 2.(Dica: aentrodaé
um modo n:nurol do si~tema.)
3.9·8 Use o mélodo clássico p.llra resolver
(I;"!- E + 0. 1 6)ylt~J •
E.<r[nl
com en1rndn
,t( t~l ==oos
n;.,wo oe SIS'I'&\ tAS SM Tf!.)II'O DISCRb-ro
("2n+J") u(nJ
e a oorMJi~·ões inidais y( - 1) = y(-2) =O.
[Dica: <kte-nnine y(OJ e )11 J interativamente.)
3.10-1 Na S~.ão 3.1 O foi mostrado que paru a e.stn·
bilidade 81130 de um sistema LCIT, é sufi·
ciente que s ua rcspos1a lt{t•l tiO impulso Sit•
tisfaça n Eq. (3.90). Mos tre llue esta condiç!lo cambém é umá condi\:5<> nectsstuia p;•ta que o sistema seja 8 100 estável. êm out.ras palavras. mostre que .seu Eq. (3.90) niio
for sathfc::ita . existe umu e ntrada limitoda
que produz uma saída ilimitado. 1Dica: as·
s umo que existe um sistema pnm o quul 1/[11)
viola o Eq. (3.90) mas mesmo as..~im s ua sa C·
da é limitod::t (XItn tod::t entrada limi1ada. Es·
tnbdcça a controdiçõo nes1a afitmativn cO•l·
side rando uma entrada xln) defin ida IXlf
.tfn1 -ml = I quandoltrml >Oex(n,- mJ
= - I quondo h[ml <O. onde 11 1 é ;~Jgum in·
1ciro fixo.)
3. 10-2 Cadn uma das seguintes equações a seguil' es·
pccifica um sis tema t.OIT. Oétetroine l!oe cada
um (le1;tes sistemas é BlBO es1ável vu insui-
vel. Determine t ~unbém. s.e ca<kl um é assiriiO·
3.10-3 Considere dois sistemas LDIT em cascata, como ilu.strado na Fig. 3.23. A resposta ao im·
pulso do sis1emn S, é ll 1(11) = Z'u{nl e aresposta i'IO impulso do s i~tema ~ "ti"J = .S[nl
- 23(11 - 1). O sistema em casemo é ussinto·
tic:mncmc el)távcl ou instável'! Dctcm1ine a es·
tabilidnde 0180 do sisterrw compo....to.
st
3.10-4 ;-\ l':'ig. P3.10-41uc<~.li t.a as raí1.CS(.'!Itacteris-ti·
t.-ns de nove sil';tcmas LOIT caus..1js, nome.1d()S
de A a I. Cad3 sistenta possui apenas duas raít.cs. sendo de..'>erito usando a n01ação opera·
dona I ~o-omo Q(f..))'lnl
P (E').t(ll]. Todos (JS
gl'áfacos elotão em escala. oom o círculo unitá·
rio mostr:ldO como referência. Para c.·.ada umu
das portes a seguir. identifique todas as res·
postas que est3o corret:ts.
(<l) Identifique tOOos os sistemas que são
instáveis.
(b) Assumindo que todos os sistemas pos·
suem P(E) • Tf. identifique todos os si~­
temas que são n!'ais. U:.mbre-se que um
siMema real sempre gcm uma resposta de
valor rtal a uma entrada de valor re-à l.
(C) ldentifiqué- todos os sistemas que supor·
tam modos n:uurnis oscil:uórios.
(d) ldcmifique todos os si51emas que possuem ao ruenos u•n modo cujo en\•elope
decaiu uma taxa de 2 ~ e.
(cJ Identifique tO<IOli os sistemas que possuem apeotiS um m<>do.
=
3. 10-5 Um sistema l.JT em tempo discreto possui
resposta ao impulso dada por
h lnl ~ 81n)
+ (j)" u(n -
I)
(a) Est.: sistem:• ~ e.'itável'! O sistema é causal'? Justilique s uas res(>(l61as.
(b) Trac..-e o sin.o.l xtnl = uln - 31 - ulll + 3).
(d Determine a resposta ylnl de es1ado nulo do sistem~ para a entrada x[n) = uLn
- 3) - 11(11 + 3). Trace y (tl] p.'lm (- lO :S:
, s 10).
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304
SINAIS E SISTEMAS L INEARES
··o
·
'[QJO '[QJO lo'CQ]
Jo
· ·
jo
-1
:
-1
o
-2
2
-1
-2
-2 - 1 O
2
I
R~al
""''
o'CQ]O
•
-ªw'o CQ]O -ew
-•. o'[QJO
-1
•
-1
-202
Rc"l
j_~l
o
2
""''
-2
-2
....
2
o
2
0
o
-2
2
R~al
""'
paro os sistemas de A u I.
3. 10·6 Um s.istcmal.OIT possui resposta :w1 impulso
dada por
~ (l)'''
(a) Este l)istema é causal'! JlL.;tiflque.sua n-s-
posta,
(b) Calcule. O sistema é HlHO eslá\·cl?
(c) Calcule a energia ç a pocêncin do sinal de
enLrada xfn) = 3u(n - 5).
(d) Usando a entf3da x(nl = Jul11 - 51. de.·
3.~·1 - 1
...,
-2 0 2
Go I ~_~I "O I tfO I
Rai~es cnrnc~eristica\
h[" I
-1
_,
-2
figura PJ.I0-4
~
1enninc a resposta de eslndo nulo do sistema para o 1emp0n = 10. Ou seja. deter·
mine Y~_.I OJ.
Considere a função em tempo discreto Jfn) ;:
~·•'cos(rrn/S)u(nj. A Seção 3 do MATI..AB
utiJi'l.'t um objeto ;,.une para descre\'er esta
(unção.
>>C . i nlinof ' oxp(-n/5)
. • cos(p i · n / SJ . • (n>=0) ' . ' n ' I ;
Enquanto o objeto inline opero adequadamente na operação de redução ck amos1rngcm
(d~im.:u,iio). ela não opera adequ~amente
para uma operação de aumento de u.mostra·
gcm (interpolação). tal como f (n/ 2]. Modifique o objeto inlinc f de tal fonna que ele
tud~nte \'iaja melade da distância para o exame :~n t cs de mudar de idéia. O estudante fat a
\'Olta e viaja metade da dist.'lncia entre sua posiçiio atual e sua cà.Sa. mudando de idéia novamente. Este processo de mudança de din:çiio e
\'iagcm pela metad~. do trajeto conlinua até
que o estudante atinge seu desüoo ou morre
de exaustão.
(a) Determine uma equ.açâo difereoç.a adequada para descn.,over c.ste sistema..
(b) Uülize o MATLAB para simulsr a equa·
çâo diferença da pane (a). Afinal. Otlde o
estudante tennina quando 11 _,. oo'? Como n suu respos1a muda se o estudante for
a dois terços do cnminho a cada ve1.., ao
in,·é s de meio caminho'!
(c) Dttennine urna solução fechada para a
equação da parte (a). Utilize esta solução
para verificar os result:.dos da parte (b).
J.M-3 A função de rciJ.ção cruzada entrexfll) e y(r.]
é dada pot
r..-1 1kl =
" Xlt•()·(n- k l
Í:
-~
Note a similaridade entre r,.,lkl e o somatório
de con\'Oil!Ç3o. A vn.tiáxel independente k COt·
n-SpOoda corretamente a oper~ões dt aumento de amostr..gem, Teste seu código calculsndo e traçando f ( n/ 2) para (- lOS,. S 10).
responde ao deslocamento reJ1njvo e.n1re as
duas entí.tda.s.
(~) Expresse r.•.,lkl em Lennos da t:oovoluç-ão.
3.M-2 Um aluno indeciso está pensativo sobre ficar
em ca~ ou fa1.cr o cume final. o qu:~ l QCOrTe·
r.í a 2 km de distância. Partindo de casa. o es-
milaridade e mre dois sinais. Você concor·
da? Porquê?
r..,l.t:J =r)llkJ?
(b) Diz-se que:. rclaç.'lo cru:t:ada indicn a si·
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C.\PiTlfi..O 3 ANÁLISe I);) [)()MINI<) 00 Tl!MI'O OE SISTEMAS t..\1TEMPO OtSCRtn'O
(<:) Se.Atn]ty(nl sãodeduraç-~io linita.uco·
mando conv du MATLAB é odcqu:tdo
para cakular r ,-.lkf.
(i) Escrc\•a uma função no MATLAB
que cakl•le a funçiio de c.·OtTthl~5o
ltS.ando o comando conv. Quatm
\'t'ton:s .são pas~dos par;• u (unçõo
(x. y. nx c ny). <.'OITC'Spondcodo à:o
entr<~dus x(r1). y (n Jc seu,,. rcspecti\'&.;
\'etores de tempo. Obsen-'é que x e y
nt.o r>OSsuesn necessariamente o
mesmo tumanho. Ouas saída'i de·
vem ser ger;1dns (rxy c k). corrcspondendo a ra.lkf c seu \'CIOr de dcs·
locamemo.
til) Teste o seu códi$0 d:. JXUlC c(i),
us...'lndo "I" I = "''' - 51 - u (11 10) para (Os" = ''· s 20) e .'1"1 =
11( -n - 1 5) - 11(-n- 1 0)+~(11-
21 p.u... ( -20 Sn = n, S 10). Trtlce o
~sultodtl rxy em fun.ç!lo do ''~tor
de deslocamento k. Qual d.:s l<x~a­
memo li. fo•·ncce o maior \';'tlor de
r nlli.l'l lsso faz sentido'?
3.M·4 Um lilu'O de máximo causal de Npontos associa a yfnl o valor máximo de lx[n( ..... xfn IN- 1)1).
ta) f.scrcva umn funç:io do MATLAB que
CXCCUIC :t fiJtfal!e m máxim~ de N porllt'S
em um vetOf x de en tro~J<• com tamanho
M. As duas entrnJ:t'> da função são o \"Ctor
x c o ese-al111 N. P;.ru cri:.r o \'dor y de la·
manho M dí: &Mda. inicialmeme enct\:1 (I
\'CII)r <le emtad"' com N - I zt.ros. O to·
mando max do MATLAB pod.: *' ütil.
{b) t~te o M'U liltro e o código do MATLAB
filtrando um \'t'tor de t'nLr<~du de tamanho
4S definiJo por x (,t] = cos(mt/5) + $lrr 30] - ~!11 - 35). Apresente scp:uud:1·
mente os gráficos dos rcsuhados para N
=4. N=8eN= 12.Comcnlcocompor·
t.nmemo do fihro.
3.~·1 ·5
Um filtro <k minimo cou...o;al de N pontos assodu a y[nl o \'alor mínimo de , ,rJ~tJ, M .. .q, (N- 1)I).
(n) Escreva
um ~
funçi'lo do Mr\TL,\8 <1ue
execute a tihr;.lgem máxima de N pontos
e m um ' 'et(l( x de e ntmda com !amanho
M. As duas entradas da funç!'lo são u ve.
tor x e o es<:~tl ar N. Para Ct'ia•· o vetor y
de tamanho 1'-'f de saída. inidohncnte
e ncha o vetor de entrada cmn N - I zc·
ros. O com.,.ndo min do MATLAB pode ser títil.
305
(b) tc:f'le <>seu tihro e o código do MATI..A.B
litwmdo um vetor de entrdda de tarn:mho
4S definido por xln l = <.:osUrn/5) + ó(11301 - ~~~~ - 351. Apresente separada·
mente os g,r.\lioos dos n:-S-ullados para N
= 4. N = 8 e N 12. Comente ot."Umpor·
tumcnto do fillro.
=
3..M-6 Um fi ltro de média causul de N pomos as:K>Cia
u yl,tl o vnlor médio de i .l;'fn (, .... "''" (N- 1)1). A ltll!dia é deterrninàda t.luloc:mldo a
St."qüência (x(n).. .... x(11 - (N-1)1} em ordem
c el'Colhcndo o vulor médio (N ímJXIr) ou n
média dos dois valores. médios (N (XIt).
(a) Escre,•a urna fur)\-ãO do MATLAO que
execute u l11tragcm nubimu de N pontns
em um vetor x de cnlrada com !amanho
M . As duas emrndas da futlÇào s.ào o vetor x e o escalar N. Para criar o \'c-tor y de
tamanho M de s:1ida. inici:•lmentc c nchn.
o vetor de emrad:. <.:om N - I 1..eros. Os
comandos sort e median do MA·
TLAB podem ser útd.s.
{b) te:.te. o seu tiltro e o côdigo do MATLAO
lillraodo um \'Ctor de cnlmdn de Iamanho
45 definido por .t"(n l = cos(:m/5) + 61" 30) - ól•• - 35J. Apreserne separadamente os g,r.ífic.~s d<)l> resultados para N
=4. N=8eN= 12.Comcntcocompor·
tnmento do filuo.
3.M·7 Lembre-se (JUC y(u l = xln/NI n:-presenta umi't
o~raç-iio õlumento de amostrugem por N. Um
filtro de intcrpolaçiiO li.ubostilui os zeros incluf·
dOti pOt valores mais realfstioos. Um lihro de
i nterpola~:ão lir.ear possui a ~u inte rcspostu
ao impul!>o:
ll(nJ=
.L
v-· ( 1 ~ .... ,V .
Ii I)
k
8(n - k)
t)
(a) l)ctcrminc :t cquaç!lo ditCrenç.'l. oom coefi.
<.:telltes constantes que possui a resposta
hlnl ao impulso.
( b) A res-po:.ta ll!rt) ~~o impulso é- não cau:.al.
Qu<'ll é o m~nor deslocamento de tempo
O<.'Cessário paro tomor este filtm causnl'!
Qunl é o cfeilo dcsle dcslocamen10 oo
componamcmo do filtto?
(~) E$~te\'::t um~ ftlllÇâO r.o MATLAD que iró
calcul~r os f)al'f'unetros nece.ss::írios pora :r
implementação d~ um liltro de interpuln·
ção usando o comando filter do MA·
TLAB. Ou seja. !lli.ua funçilo deve rcror·
nut os \'t'torcJ> a c b do fihro p:u:l uma da·
da cntmdn c.scalar N.
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(d) Tesle o st"U fi ltro e o código do MA·
TLAB. Para isto. crie xl ~t l = cos(rt) para
(O S: 11 S 9). Aumente a arno!ltr.tgem de
xfrt) por um fa1or N = lO JXtfa criar um
nc.wo sinal xJ_11). Projete u oorresponden.
te tillro de interpolação linear eom N =
10. filtre x.)11) para produzir )'1111 c trace
os resuhadus.
3.M·8 Um fihro de médj<"• móvel c-ilusal de N pon1os
possui uma furtc;-ão de n:sposla ao impulso da·
d l l por hln l = (u(nl- 11(11- NJYN.
(a) Detem\ine a equação diferença com coefieicntC$ cons1omes que possui a resposta
hlnl ao impulso.
(b) E!itrtva u111a fun<;ão n(• MATLAD que
c.alculc os par:imccros necessários pura
implementar um filtro de média móvel de
N pontos usondo o comando f ilter do
MATLi\B. Ou sej :~. sua função devere·
tomar os vetores b e a do lihro para wna
dodn enuadn escai:J.r N.
(c) Teste o seu tihroe o código do ~·I ATLAS
fi luandu uma en1rodt1 de 1amanho 45 de·
fi nida por .\'fn) = cos(Jrn/5) + 6(n - 301
- 8[,, - 35]. Apresente.separadamente os
gráficos dos •-esuhOOos pata N = 4, N ~:~~ 8
e N = 12. Comeme o componamen1o do
fi ltro.
(d) O Prvblem::l J.M.7 aprest-nt;• filtros de
intcrpolaç.io linear. paro uso posterior
da opernçõo de aumento de amostragem
por N. Dentro de um fa1or de escala.
mostre que:: u ca.o;cata de dois filtros de
mé<Ha móvel de N pon1os é equivalente
a um fi ltro de ime:rpolaç:!lo linear. Qual é
o fator de escala'? Teste esta idéia com o
MATLAB. Crie .tfr•] 12 cos(n) para (0 S
" S 9). Auu1ente a amonrngem de x[11)
com N = tO para criar um novo sinal
x.1.[n). Projete. um filtro de rnédja móvel
com N c: LO. Filtre xl'#lnl duas vezes e
escalone paro produt ir yln l. Tr.1.Ce ore·
sultado. A saída dos dois filtros de média móvel em cascata interpola linear.
men u~ Oll dados do vc1or com n nova
amosr.ragem?
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ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO
CONTÍNUO U SANDO A
T RANSFORMADA DE L APLACE
Devido à propriedade da linearidade (supc:rposiçlo) de .si&~cmas lineares invariantes no tt:mpo. podemos dete-r-
min.u a resposta destes siStemas dividindo a enlmda. .~t) em várias componentes e. ent~. somando a resposta
do sistema a tod3s estas compooentes de .t(t). Já uüli2AmOS esse prucedjmento oa Análise DO domfnio do tempo.
na qual a enllitdà x(t) t djvidida em cómpOnentes impulsivas. Na OJiáli.se no domfnio da frrqiilncia desel'lvolvi·
da nestC' capítulo. dividimos a e ntrada x(r) em c:xponcndnis na forma i'', na qual o panlmeLro sé a fn:qüênda
complexa do sinal ? , como cxplicadQ na Seção 1.4-3. Esse méuxiQ orertte uma visão do comportamc:nto do sL<;tcma complementar à cstud3da na análise. no domínio do tempo. De falo. os métodos de análise no domfnio do
tempo e no domínio da freqüência sao duais.
A fel1'11n'lt.nta que possibilita representar uma entrada urbitrárin x(t) em lermt)$ de c:omponentes exponenciais
6 a mmsformada d~ Lllplac~. tl qual é.discutida no seçio seguinte.
4.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Para um siMI.r(r). a transfonn.ada de Laplace X(.T) é definida por
X(s) .o
f:
x(s)t'- u ds
(4,1)
O sinal.r(r) é dj1o ser a tronsfiJmllula ,·n~·er,\'O de Luplot't! de: X(.Y). Pode ser mos~~t~do que
.r(l)
I
= ;-:
- If)
l r"}N
r-J~
X(s)~' ds
(4.2)
onde c é uma consumte escolhida pura garantir a convergência da integral da Eq. (4.1). como explic.ndo poste~
rionneme.
Esse par de equações é conheéido como par da rronsfonnada d~ Lop/ltCt' bilatual (ou simplesrnetHe /Ktr llt•
Loploce). no qual X(s) é a transformada direta de U.pltk-:e de .t{t) e x(r) é a trunsfonnada inversa de Laplace de
X(s). Simbolicamente,
X(s) = Cl.r(t)J
c
.<(r) = C 1JX(s)J
c-'ICJ.r(r)JJ = .r(tl
e
CIC- 'IX(s)JI = X(s)
(4.3)
Obsen•e <JUC
Também é prittca comum uüliw uma seta bidi~«iOnàl paro indicar o par da tnlllsfonnada de L:tplt'tee. como moStrado a seguir:
x(t)
<=> X (s)
A transformada de Laplace, dçfioida desta follnlJ, pode U'llbalhar com siMis que exil;tem em todo o inlel"\·n·
lo de tempo. de -oo a oo (sinais causais e n3o cnus:~is) . Por essa raz3o. ela é cbamnda de rransfonnada de Ln·
C;opy ngh
eo r
1tenal
308
SINAIS E SlSTilM.A.S UNEAIU!:S
plac:e bilateral (ou dt! dqi.f ltu/t)S). MQS1rarcmos postcrionncntc um c~so especial -a uansfonnada de Laplace
unilaU!ml ou de um ftulo - 3 qual pode trabalhar apenas oom sinaL" c.·ausais.
LINEARIDADE DA T RANSFOR"ADA DE LAPLACE
Provaremos agora que u transfomwl3 de Lapl:tee é um.n opernç5o linear. mostrando <1ue o princípio da superp~>
sição é vólido. implicando que se
e
x,(t)
<=>
x,(s)
e-ntão
IJ 1X1(I)
+ IJ~X~(l) ~ a,X ,(s)
+ O·t X1(s )
A prova é simples. Por definjç5o,
C (t1 1x 1(I) + a:x:(t)J
=[
; a,
[o 1.t 1(1)
+ a1x1(1)Je-" dt
j:q x,(t)e-'"
1
dt
+ a1
-OQ
•
[»x 2 (t)t'-~ dt
(4.4)
-«1
::a1X 1(s) + c,2X1:(s)
Es1e res.ultado pode ser estendido a qualquer soma finila.
A REGIÃO DE CONVERGENCIA (RDC)
A ~gião de ctNn-ergbrcicl (RDC'). também chamada de região de e.xisténdn. da uansforrnada de Laplace X(.1). é
o conjunto de YUIOI"C$ de s (a região no pla.nooomplexo) para os qllaiS a integral d.1 Eq, (4. 1) con\'erge. Este conceito ficará mais claro com o exemplo a seguir:
EXEMI'L04.1
Para um sinal.t(t) = t!· "'u(t), detcnnine a transformada de Lnplace X(s) e sua RDC.
Pel-3 definiçAo,
X (s) =
1:
e -•11 u(t)e- u d t
Como ''(t) =:; Oparn 1 < O. e 14(t) ::. 1parot :: O.
(4.5)
Note que sé oomplexo e quando 1 - oo. o 1enno e '' ~ "·" não necessariamente desaparece. Lembramos
que par.:a um número complexo .c= a+ j{J.
~ ·~
= ('
to +-ffJ)I
= t' -~t -J/U
agora. 1e~1•1 = I. independente do \'lllor de f*. Ponanto. quand() 1 ~ oo, ~-~ ~ O somente se a > O. e
e -:~- 00 se a < O. Pmtanto.
. ., {o
hm e-· =
·- ~
00
Re;: > O
Ke;e <0
(4.6)
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CAPh'lJJ..O 4
ANÁLISI! I)F. Sls-ro.tAS F.M T&\tPO CONTfNOO USA.-.'1)0 ATRANSf.ORMADA 00 LAPLACE
309
Claramente,
lim
t -tt:.
e·(J+.~)l = { 000
Re(s + t~ ) > O
Re(.r + (t) < O
Usando este resullado na Eq. (4.5). temos
I
X(sl = - -
s+ o
Rc(s + a) >O
(4.73)
ou
Res > -a
(4.7b)
Sinal .l{/)
I
I
:~+ F
lm
-·]
(o)
T'"+'··-+~:Real_,
~
t
IJn
o_,
- f' - -u(-t)
o
(b)
Figura 4.1 Os sinais (a) ew"'••(t) c (b) -e•u(-t) poss.ucm a mesma tmnsfonnOOa de Lapl.ncc. mas regiões de <:ón\'c:rgência di:«imas.
A RDCde X(s) é Re s > -a. como mostrado na área sombrcadn dn Fig... 4.1a. Es1e fato implica em que a
integral que define X(r) na Eq. (4.5) C.J~;i~e somente para os valores de s na regiOO sombn:ad.'l da Fig. 4.ln.
Paro outros valoteS de s. a imegml da Eq. (4.5) nüo converge. Por esta razão. a região sombreada é chamada
de RDC (ou rrgião de t!rt'st;ncia) de X(s).
REGIÃO DE CoNVERGÊNCIA PARA SINAIS DE D URAÇÃO FINITA
Um s-inal de duraç-ão finita .rj..t) é um sinal que é não nulo somente para t 1 ::; 1 ~ t1• em que tanto t 1 quanto 11 são
números finitos e t l > t 1• Para um sinal de dur!Mjii.O finita absolutamente integ:rlh'CI, a RDC ~todo o plano ,'i, Js.
to é claro do fato de que se x,co é absolu1ame:me inlegrá\'el e um sirutl de duração finita. en1So x(r),e -"' 1ambém
6 absolutamente imesrávcl paro qualquer valor de a, pois n imcsraçllo é paru apenas uma fuh:a fin ita de 1. Lo·
go. tJ lmRSfonn.ada de Laplace deste lipo de sinal converge paro lod() vaiOI"de s. ls1o signific~ que a RDC de um
s-inal ge•lérioo .r(r) permanece inalterada quando x(r) é somado a qualquer sinal xf.._r) de duraç.no finita e absolutamente imegrável. Em outr.IS pala,·ras. se 'R representa a RDC dó sinal :c(t), tntlio a RDC de um sinal .t(t)
+ .rjt) c:unbém t
'R,.
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o
31
S INAIS ti SISrbMAS L.tS"IV.R€S
PA PEL DA REGIÃO DE CoNvERceNc'"
,, RDC é necessária para a detennin:tt;!lo da transromwJa inversn de Laplace .f(J) de X(.~). definida pela Eq. (4.2).
A operaçao de determinolÇ~O d.'l trnnsformad.'l de Laplace requer uma inte.grnçâo nQ plano oomplcxQ. a qual precisa de algurrutS uplicaçôes. O caminho de iJnegroçâo é oo longo de. c + jw. com w ''ariando de. -oo a oo.' Além
disso. o caminho de integraçàóde,·e estar 11à RDC (ou existência) deX(.r). Para o sirwJ e""'u(t). isto é posslvel se
c> -a. Um posSÍ\o'tl caminho de integmção é mostrado (em pontilh.lldo) na Fig. 4.1a. Portanto, pam obLer x(l)
deX(s). a integraç~o da Eq. (4.2) é execulnd.'l ao longo deste caminho. Quando intc-gromos (1/(.r + a))e" ao longo deste c-aminho. o resuhltdo é~ -• ,(t). Essa inu:gração no plano conlp)exo necessita de um conhecimento pré·
\'iodo teoria de funções de vl.ui:i,,ds complexas. Podemos evitar esta integraç-ão detemünando uma wbela de
transformacbs de L:aplacc (f:tbcla 4.1), na qunl os p.'ltes de Laplace.$liQ tabulados para uma certa w riedadc de
sitlàis. Para detenninar a transfonnOOa inversa de Laplace de, digamos. 1/(s +a), aQ invés de utilizannos a integral t.'Omplexa da Eq. (4.2). procuramos n:a t~bel a e determinamos a tmnsfonnada invers.'l de Laplace eo~no
sendo e_,u(r) (assumindo que a RDC é Re s > - a). Apesar de a tabela apresentada ser bem curta. ela possui as
funç~ de maior inle-1-es..o;e prático. Uma tabela mais extensa apan.x-e em Doetsc:h.1
A T RANSFORMADA DE LAPLACE UNJLMERAL
Paro compreender a necessidade da determinaç.'lo da tr:msfornt:~da unilatcraJ, \'amos dctcnninar a transfC)flllada
de Laplace do sinal x(r) mostr.tdo na Fig. 4.1b:
.t(l)
Tabe-la 4.1
N'
= -t" -
1
u(- r)
Tabela (curua) de trnnsform<l~S de Lapl<lce (unilateral)
<(I)
X (1)
6(1)
2
ll( t )
3
W(t)
s
n!
4
;:+i
;
s- À
6
te1 ' u(1)
7
t" t"Ju(t)
8•
cos bt f.t ( t )
Sb
sen bt 11(1)
(s - Ã)2
n!
(.s - À)""'" '
s
b
s+ a
(s + a)2 + b2
9b
e - scn bt l.t(l )
b
' A discusskl s.tlbrt o cami.nboda OO!t\"eftkw:ia i maU compl iiC'-ada. ~itllndode c~""eitos de intcgml de coo1omo c a 1.1omprttnslo
dn leC)f'ia de v:.rU\·d~ l.:(lmplel:.h. P~w essa r.ttiió . a di~wSOO flCMC pollt<tkn1 ~ill\f'IIJfiC"ada.
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CAPfTULO 4
ANAusH DE SISTI!MAS E.\1 TEMPO Co..\'TINuo UsArmO A TllANSFORb.tADA DE L•\PI.Aa.
3 11
Tabela 4.1 Continuação
IOa
re'".., oos (bt
(r cos 6)1 +(arcos 6 - br sen 6)
s1 + 2as + (a 1 + b'l)
+ 9) 11(1)
0,5r~'
IOb
s+a-J'b
A.r+ 8
sl+ 2as + c
I ()c
o = .,.-• (
b=
IOcl
O.Srrl'
+ s+a+J'b
Aa -
8 )
A.JC=til
.JC=til
l
e-• [ A cos bt + 8-Aa
b
sen 111
b=
As + B
u(t)
s2 +2a.s+c
.JC=til
A lr..ltlSfonnada de Laplace desse sinal t
X(s) -=
J:
-c-"' u (-t)e- 01 dt
Como u( -t) s I pamt < Oe ll(- t) = Oparu > O.
X(s)
=
f' -~-.,~-· dt = - f' e -c•-+oo)tdt = -1 -~-tr.....,,,l•
Loo
J..oo
.J + a
_
A Eq. (4,6) IIIOSU'a que
fim
,_,.CC
t--(1.....,
X(s)
=O
I
= -s+u
Re (s +a) < O
Res<-o
O sinal - e•u( - t) e suu RDC (Re ,ç < -a) estão mQSt:rodos nn Fig. 4.1b. Note que a tJUSformada de La··
place para os sinais e_.,.u(t) e -e•u( -t) s!tO idênticas, ex~ o por suas regiões de convergência. Portanto. para um dado X(.r). elti.ste maLo; de uma lrunsformadn im-er.sa, <le.pcndeodo da ROC. Em outras paJa\IJ'as. a nOO
ser que a RDC seja especificada. não e.xis1c: urna con"-ergência de um·para-um entre X(s) eX(I). Esse falo au·
menl:t de complexidade. na utili7.3Çio da U':li)Sformad.'l de Laplace. A c.:on1plexidade ~o resultado de •enw tta..
ballw c.:om sinais causais e nao causais. Se re.stringinnos •odos os nossos s:inais ao tipO causa). e'ta ambigüidade desaparece. Exis•e apenas uma transfonntlda inversa de X(s) = l l(s + a). nocadamente f!_,u(t). Para detenni.nar .t(t) de X(s). nem precisamos especificar a I{OC. Em resumo, se lodos os sinais forem restritos~ tipo causal, enlão, para uma dada X(s) exisac uma única transform:td.'l. im'et'Sa .((1).'
' Na 'udadc X(J) rspcdf.ca A(t) den•ro de 1.11t1a l'bnç.lo nula l(r). 11 qwllem u proprietbde de que a •~~~ abWxo dt ..(rJf t tero sotlrt
qualquer intervu)í) rinioo de O a I(r> 0) (Teorema de Lercll). Por exemplo. ie duM fu~ do i~ftekti em qualq~~tr lupr ~o em
um número 6ni» de poniO!\. elas difcrt:m por uma fun..'to l'lull.
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312
SINAIS E SlSTD.lAS LINEARES
A tr.msfonnada de Laplace unilrueral i um CàSO especial da ltUSfOJ'D\ada. de Laplace bilatetal na qual todos os
s:in:Us são restritos a serem causais. Conscqüemcmcn.tc, os limites da integrnçiio da integral na Eq. (4.1) podem ser
c:oosiderndos de Oa oo. Logo. a tta1~sformOOa de Laplace unil.1teral X(s) de um s:in:l.l .1.'(1) é detlnicb por
x(t)e~'' dt
X(s);:; [
(4.8)
Escolhemos o- (no tugardc o+utili73docm alguns rextos) como limite inferior de integração. l:.sla cotl'\lmliâo
n;!lo apen.ns gru-ante a inclus.'lo de uma fu nçllo impulso em 1 = O. mas também pcnnitc utili7.ttnnos condições iniciais pata o- (00 h1g<~r de 0+) 1'1.41. SOh.IÇ!kl de equ;tQOes diferenciais pela l:mnsfonnada <Jc Laplace. Na prática provavelmente conhec..--en:mos as c:ondiçõe!t iniciais antelt dà enLrada ser aplic-ada (tm 0} e não após a entrada ser
aplicada (em 0 .. ). J)c falo, Q vcrdaddro sig.nificOOo do k'm1o ..coodiçõ:s iniciais" implka e-m <:ondiçõe$ p:uu t s
o- (condições Mies d.1 entrada ser a.plknda). A an:IJisedctalhnda da utilid4dc de 1 = O aparece na Scçito 4.3.
A ttansforntada de Laplace unilaleral simplifica c:onsider.wclmemc: o problema de antilisc de sistemas. devido a sua propriedade de exd1U1\·idade, a qual diz que pMa um dado X(s) exiSte uma t1nic.'luansfonnada inversa. Mas e:\Íste. um preço por esta simplificação: não podemos analisar sistentas ou entr<~das não l.".UUS:1iS. Entre·
tanto, na maioria dos problema... práticos, esta restriç.~ não tem con..~üência. Por esta mzito, iremos considerM primeiro a transfonnada de Laplace unil:ueral e sua apli~çl\o a análise de si.stcmas. (A tnmsfoonada de Laplace bilnterul é discutida posteriormente. na Seç!io 4.1 1).
Basicamente rui.o existe diferença entre a uansfonnuda de Laplace unilateral e bilater.tL A tr.ln:Sformadâ unilatel'al é a tl'ansfonnada bilateml que trabalha com um.1 subcla..c;.sc de sin:üs. começando em t = O (sinais causais), Portanto, a express.;1o (Eq. (4.2)1 para a tmnsformada in\'Crs:t de lsplncc pcmumccc inahcrnda. Na pr.ítica. o tel'mO trcmsformnda dC' Lttpl!u·c signi_fica a trcmsfonntJdó de Loploctt uniláteraf.
EXIST~NCIA DA T RANSFORMADA DE L APLACE
A variável s d:n transt'onnada de Utplace é. ger.t.lmente. c.."'mpleu e pode se-r desc.~t.a por s = o + jw. Por defi·
niçAo,
X (s)
=
=
1:
x(t)e~sr dt
J:(x(t)e-.,' Je~JI># dt
Como 1e""1• I. a integral do lado direito des1a equ.1çJo converge se
1~ lx(r)e~"'l tlt < oo
(4.9)
Logo. a existência da transfonnada de U.pi!M.-e está gaJ"<intida se a integntl na expressão ( 4.9) for finita para
algum valor de: q , Qualquer sinal que não c..Te:!c:e mais rápido do que o sinal exponencial M~.. )XU'à algum Me
o0 satisfaz a oondiç,ão (4.9). Pon.nnto. se paro algum Me o<r
l.r(t)l,:; Me""
(4.1 0)
1
pOdemos esçolher o > o0 para satisfaztr (4.9 ). O sinal / . àO OOfltroirio. cresce com uma tax.a nu.ior do que e,.
c. conseqüentemente. não possui ttansfonnadu de Laplace.' Feli;o.mente. tais sinais (que. nito possuem lransfor·
mnda de Laplace) $A() de pouca conseqüência do ponto de vista prático ou teórico. Se a 0 é o menor valor de a
para o qual a integral em (4.9) é tinita., a0 é chnmudo de ab.fCÜSIJ de cmn•ersblció e a ROC de X(.ç) é Re .f > av
A nbscil\Sil de con...ergência par3 e~"',(t) é -a (a RDC é Re s > -a).
• A oond~""'o (4.10)é suficicn1c ,._ n!lo ~i~ Jl(lt'a • cx.isn!oci;~ da nnmfonnolb de L.aplaoe. Por cx.(3l)J!Io,.X(r) =
rmm 1 • Oe (-'.10) niK) poxle ~t t~~~ti.,feii'JI. rnu.~ :• tnu~fonnadad~ 11./i c:r.i1>1e, 5endo clada PQf ..fii7i.
• Entrrtamo. ~ OOI'Is.li.knrmos um s;ioal ti'Ufl(ado (dwaçllo finitll) I. all'lmSfonno~ de Lnpl~ e.~tisairL
11./i é infini111
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(APf'n.n..o 4
A NÁIJSE DE StSln.V..S EM TEMPO Co!-oTL~UO USANDO A TRANS~ADA OS LAPLACE
3 13
Determine a transforma&. de Laplace dos seguintes sinais :
(o) 6(1)
(b) 1<(1)
(r) oos wor ''(')
(o)
Usando a propriedlklede amostragem fl3q. (1.24a)J. temos
para todo s
C[6(1) 1 = I
Ou seja,
6(1) => 1
para todo s
(4.11)
(b) Para detenninar n tru.nsfornw.da de Laplace de tt(l). lentbre·se que u(t) • I para t ~ O. Portamo,
(4.12)
=-
Res > O
s
Também podcriamos ter obcido este rcsuhado a panir da Eq. (4.7b), fa:~.endo a= O.
(c) Como
CQS
IUOI u(t)
.C icos ~~ u(t)l
=
~ l ei""'+ t'w}...' ]u(r)
(4.1 3)
=! Cfei-' ll(t ) + e - l...,ru (t)]
A partir da Eq. (4.7). obtemos
C[cos
"'>' ~<(1)) =
2_1 [,
$
=
I
Jwo
,...,,,...+'-..,--.,
+
I
s +i"'<>
]
Re (s±jwl= Rc s> O
(4. 14)
Re s > O
Parn a trnnsformada de Lapla<:e unil.aleral. e;(iste uma únicatransronnada in\'eBU de X(s), Conseqüentemen-
,e. não há necessidade de especificar a RDC explicitame nte. Por esta razão. gcrolmentc ignoramos qualquer
menção a ROC para tr'.msfonuadas unilll.te:tais. Lembte·se, também. qa.e ru transfonnada de Laplace unilatmd
subentende·seque todo sinal :c(t) t zero para r < O. sendo apropriado indicar este fato pela multipl'c:lÇão do si·
nal com 11(t).
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S1rows E StsTf_\ tAS L INEARf.S
314
EXE R C Í C IO E4. J
it11eg_r.1;;1lo. ~ latnine a lnatt,formiKI.i dt Upla..:c X~ l 1c a n:gulo ck ro~l'\o~l}!~i a dt X(1, r a1111 t.X , j.
n.us most.mllo\ n.J Pig. -L2.
Alr;t\~ d•
\VI
"
"
I
-
( bl
Joiguro 4.2
RESPOSTAS
~•)
I
•
t i - r - ')
'I
•
p.~r>llodo 1
(b) -t 1 - c ,... )to
•
..
p.Ui1 1ntkl .t
'
4.1·1 Determinando a Transformada Inversa
A detenninação lfu tronsform:1da inversa de l..nplac:e utiJiundo a Eq. (4.2) requer a imegração no plaoo compleXó, um tópico além do escopo deste livro (mas veja. por tAemplo. Ref. 3). P'J.ra o oosso prop6silo. pOdemos delemlin.ar as transformadas inversas a pan-irda tabela de transformadas (Tabela 4 .1). Tudo o que preciSiunQS é expressar X(s) oomo a som.1 de fu ~s mais simples, nas formas listadas n~ labela. A maioria das tra.nsfonnadas
X(s) de interesse l)rttiro são funçiks mclofltli.J, ou seja. razões de polinôrn.ios Ml s. Tais ftulÇões podem ser exprcs....adas CQmO a soma de funçOcs mai.'i simples usando a expanslio em fraçlks p.1reiais (vejtt 11 SeçSo 6 ..5).
Os vaiOI"Cs de s para os quais X(s) = OsAo chamados de Uf(JS de X(s) e os vaJotts dé t para os quo\is X(s) -oo são chamados de póloJ de X(s). Se X(s) 6 uma f\mçào racional na ronna P($)/Q(.t),M ta.ízes de P(s) s~ os ze..
ros e AS mítes de Q(s) são os pólos de X(s).
Determine a tra.nsformada in\o"el'Stt de ~pl.acc de:
7s- 6
(b)
(<)
s 2 + 3s + 2
6(s + 34)
* ' + l0s+34)
Ss + lO
(d ) (s
+ t ) (s + 2)'
Em nenhum desses casos a Lransforma<la inversa pode ser obtida diretamente da T:tbela 4.1. Precisamos expandir estas funções e.m rraç&s (XU'Ciais. como discutido na Seçâo B.S· I. Ne~a era do compuuador, é mu.ito f~il detenninar as frações p:u-ciais atrovés dos comput3dores. Enttetamo. tal como a fiiciJ disponibilida
4
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CAPtnn.o 4
ANAuse oo Smnw EM TEMJIO CONffNUO USM"OO"' TRANsfoRMADA DE LAPt.AcE
~ de computado~ de mão
315
não diminui a necessidnde de aprendermos a mccânk.a das operações ari(mtti·
cas (adição, multiplicação. etc.), a fana disponibilidade de oomputadores não elimina a necessidade de
aprendc:nnos a mecânica da expansão em (r..ções parciais.
(a)
7s - 6
X(s) = (s + 2)(s
3)
kl
k:
=--+-
s +2
s-3
Para dctcnninar k 1, correspondente ao termo (s + 2), ··mascaramos'" o ~ermo (s + 2) em X(s) e substituí-
mos s;;; -2 (o \'alOt de s que (a;z s + 2 ;;; 0) na expressJio restante (veja Seçkt 8..5·2):
1s - 6
I
-14 - 6
4
(s- 3) ••-l = -2 - 3 =
k, = -
Similarmente. p.:lrd detenninarmos ~. Cón'eSpón<k'-nte ao tempo (.r - 3), ~mos.. o tenno (.J - 3)
e m X(s) e substituímos s = -3 na exp~ restante
7s-6
k,
~ (s+2)-
I
21 -6
,,., ~ 3 +2 ~ 3
Ponant'O,
X(s)~
7s - 6
(, + 2)(s - 3)
4
s +2
3
s- 3
~ - + -
(4.15a)
VERIFICANDO A REsPOSTA
É muito fácil cometermos um erro na dccemti~o c1a1 frações parciais. Felizmente, é muito fácil verificarmos a resposu:. ao percebermos que X(.J) e suas fmções parciais de\·em ser iguais para todo valor desse as
(mções parciais estiverem COfTetnS. Vamos veri_
ficar este fato na Eq. (4. 1Sa) para algum vaJor con\t niente,
digamos :r= O. Substituindo s = O na Eq. (4.1Sa) tcrt:mos'
1 =2- 1 =1
Podemos, en1So, let ce.r1eza de que oossa resposta está eotre1a com uma grande m.a.rgem de confiança.
Usando o par S da Tàbela 4.1 na Eq. (4, 1Sa), obremos
X(l)
3
~C"' (s+2
-- + - - ) ~ (4<- > + 3t')u(l)
s-3
4
(4.1 Sb)
(b)
2s 1 +5
2s' +S
X(s) = s' + 3s + 2 - (s + l)(s + 2)
Obser"e que X(s) t uma função impr6priu com M = N. Neste ca.o;o podemos expressar X(s) como a so.
ma dos éoeficientt-s de mais alta potênc.:ia do numeradQr mais as frações parciais correspondentes aos pólos
deX(s) (~ja a Seção B.S-5). No caso atual, o coeficiente de mai~ alta poti!ncia do numerador~ 2. Portanto.
*•
*:
X(s)= 2 + + s + l .v + 2
1
Céwno X(l) = oo c-:m M:U~ pólos, dt\'c-:•!108 tvitat cs ..~ dM pOkJ6 ( - 2 e 3 III':Sit·caso) oa ..·mrJCaÇ~o. AS ~ podem $Ct as mesmas tne11110 se as fruç6cs parciai5 ~iverem ciTI:Idn. E5tll silu~ pc,-.k ooorrcr qu;aodo dois ou mais erru11 cancelam teld cfcn.... M21
as ~deste fl'Obkn'lll Ol.."<ll'm' pa111 ''alom. abr.Sno6 de 1 do utft:maft\Cdle pcqueftU.
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S INAIS E SISTEMAS LI~'W..ARE..'I
316
na qual
k, =
2r' +5
(s +I
I
J•-l
8+ 5
e
- 2+
I
= - 13
e
8+ 5
I
,._ 2 - - 2 + I = -13
PortantO,
7
13
s+ I
s+2
X(s) a 2 + - - -
A panirda Tabela 4.1, pares I e 5.1emos
,T(/ )
= U(t) + (7e-• - 13e- •)u(/)
(4.1 6)
(<)
X(s) =
6(s + 34)
s(s' + lOs+ 34)
6(.• + 34)
=,-,(;-s-:+-:5~'"j3;i)-:'(.•""+é-S;;-+~j'3)
-3
. 3- j4
Figura 4.3
tan 1( - 4/3) #- u.n 1(4/-3).
N01e que os ooeficien1es (k2 e kíl dos 1ermos conjugados lambém de\'em ser conjug:.dos (\'eja a Seçào
fJ.S). Agora
k, =
6(s
+ 34)
I
.(s' + lOs+ 34) ....
=~=6
34
' ••->•i>
=
29
+ j3 =- 3 + ).4
-3- j S
Logo
*i = -3- j 4
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CAI'h'Ul..O 4
A NÁU SE 00 StSTUMAS GM TP.MPO CoJ..'TI}(tJO USANOO A l'RANSf.Ofit.MAOA DB I..APLo\Oi
3I 7
. .
P..tru usar o pnr IOb da Tabela 4.1. precis:tmos expre$sar k, c k : nu forma polar.
-3 + j 4 = ( JJ~
Observe que 1an-'(41-3) * làn
+ 4!) el ..
'f•t·J )
= jel •.,·•••t-»
-•c -413). Esse f3tO é evidente oo Fig . 4.3. Pllra mais detalhes sobre esse
tópico. veja o Exem plo B.l.
A panir d.a Fig. 4.3. obsen•amos que:.
de tal forma que
*1 = $('
/ 116.'1"
Ponnnto
6
X (s) = -
+
.1
A partir da Tabela 4. 1 (p:ll'tS 2 e
1 ~).
Sei ' ltl.9
St'-Jil'&.9
s +5-j3
+ ..:..,._,....,...,
s + S+j3
obtem()S
X(l) ~ [6 + IOr"" oos (31 + 126.9')]«(1)
(4.17)
MÉTODO ALTERNATIVO USANDO FATORES Q UADRATICOS
O p~imento nnterior en\'olve uma cons iderável manipulsç!io de números comple.xos. O par Hk (fabcl.a
4.I) indica que a transformada in'"-ersa de tennos quadnhicos (com pólos conjugados complexos) pode: ser determinada d iretameme sem a neoessidade de de:tennin:.r f""'-ües parciais de primeira ordem. Apresentamos este procedimento rui Seção 8 ..5-2. P'.ua isto, iremos expressar X(s) por
X (s)
=
k,
As + 8
=
+
-;-:":-;:-":~
s(l'! + lOs + 34)
.f
s1 + lOs+ 34
6(s
+ 34)
Já detenninamos k1 = 6 pelo método de masc.aromcnto (Hcavisidc). Ponanto,
6(s+34)
6
s(J' + I Ur + 34)
=;
M +8
+ ,-,,,.-+:":-;
1Ur
;-:+~34
~
Remo\'cndQ as froçôes mulliplicando os dois lados por ,.(i+ Hb +34) obcemos.
6(.r + 34) = (6 + A)s' + (60 + B)s + 204
Agora, igualando os cocticicntes de i e s dos dois lados.
A :::: - 6
e
8 =-54
•
6
X (s) = -
s
+
-6s-54
...,...-=,,...:...,..,
s'+1Ur+34
Utili'w.mos. ttgõra. os pares 2 e IOc para detennin.ar o transfonnOOa inversa de Laplace:. Os panimc:tros
para o ptU' IOc são A = -6. 8 = - 54. a= S. c= 34, b = ..,1';'"=-ãi = 3 c
o= ,..,
_
1
Aa - 8
~
Avt· - a·
=
126.!1'
Logo
x(l)
= (6 +
ID.-• cos (31 + 126.9')Ju(1)
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A qu;~~ l é o mesmo rc~ltado obcido anteriormcn.cc~
ATALHOS
As frações parcisis com 1ermos qu;~~drá1icos 1smbém podem ser obcidas usando a1alhos. Temos
6(s + 34)
s(s1 + 10s+34)
X (s) =
Al + B
6
= -s + -;-~i-".-.
sl+ J0s+34
Podemos delerminar A eliminando 8 do lado direito da equnção. Este passo pode ser realizado tttra\'és da
multiplicação dos dois lados da equsçiio por se, então, (szcndo s - oo. Esse prococlimcnco resulla e m
=>
0=6+A
A=-6
Ponnnto.
6(s+34)
6
-6s+ 8
+ IO.S + 34) = $ + ~.,,:-+.,..:.,1"0.-'-,-+-:34:-;
s(.f:
Pttro detcm1iruu- 8, fazemos s a..;sumir quaJquer valor convcnicncc, digiUTlOS s = I, Jle$la cquaçio, oblcndo
=
8 =-54
um n:-suhOOo que \'erifica os respostas enroatrodas tmcerionnence.
(d)
S.v + 10
+ 2) 3
X(s) = (s + l)(s
kc
=--+
s +l
«
ao
a:
1
+
+ -s +2
(s+2)> (s+2)'
onde
ko
=
ao=
8s + lO
I
I
~s+2P ,._1
8s + 10
(s+ l ~
, __,
=2
=6
d [
S.v + 10
a,= { d; (s + I ~
2
I}
l}
2
,_, =-
I { d [
8s + 10
a 2 = 2 d.r 1 (s + 1~
, __
2
= -2
Portamo
2
X (s) = - - +
s +I
(s
6
+ 2)J
-
2
2
--(s + 2)2
s+2
e
(4. 18)
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MI!TOOO ALTERNATIVO: UM HIDR!OO ENTRE HEAVISIDE E ELIMINAÇÃO DE FRAÇ0Es
Neste método, os coeficientes simples k1 e ao são detenninados pelo procedimento de Heaviside. como discutido anterionnente. Pan. determirwr IM coc:ficientes restantes.. uülíla.mO$ o método de eUminação de fta·
ções. Usando os vaJores k 1 2 e a.,= 6 obcidos anterionneme pelo méu>do de Heavisidt, temos
=
8s + l O
2
6
••
7
(,-+-""IJ,.:,(,-'+-'-::2"')' = ,-+-1 + (s + 2)' + (s + 2)' +
.,
s-+-2
Agora, elimiJUUJlOIS as frações atr.:wés da multiplicaç!iQ dos dois lados desta equaç!Q por (s + I)(.f + 2)'.
Este procedimento resulta em'
8.r+ 10= 2(s+2) 3 +6(.r + l)+a,(.r + l)(s + 2) +a2 (s + 1)(s +2)2
= (2 + a2)s' + ( 12 +a, + .5a2)s2 + (30 + Ja, + 8a 2)s + (22 + 2a, + 4a,)
Igualando os coeficiemes? e i dos dois lados.. obtemos
==
Q;;(2+a~)
O= 12 + a1 + Sa:
<lz =-2
= 2 + a1
~
a1 = -2
Podemos parar por aqui se quisermos. pois os dois coeficientes a 1 e a 1 já for.am deu~~rmina.dos. Eotrc1anto, igualando os coeficientes de s' e l' podemos verificar nossas respostaS. Este passo lt\'B a
8 ~ 30 + 3ao + 8a2
10 ~ 22
A substituição de a1
+ 2a, + ..,
=a , = - 2. obtido anteriormente. satisfu e$CaS equações. Este passo <.-crtific:a nOS·
$il. respOsta.
Ü UTRA ALTERNATIVA: HIBRIOO ENTRE HE.WISIDE E ATALHOS
Nestes mélodos, ~ coefic.icntes s.implcs k, e a0 sllto determinados pe:1o procedimento de Heavi.sidc, como
discutido amerKlcmente. Os atalhos s~ utili7.ados pat:l de1errninat os coeücientes rtSwnes. Usando os va·
!ores de k• = 2 e a0 = 6 obtidos anterionnente pelo mécodo de Heaviside. temOil
8J + 10
2
Ó
a,
D1
.,..,:::;.,;-.:..:.=
= -- +
+
+
(s+ 1)(s+2)'
.r+ l (s+2)'
(s+2)2 s+2
ExiJUem duas incógnitas.. a 1 e a!. Se multiplica.nnos os dois lados p<>r se filCfTOQS
a,. Esse procedimento resulta em
s- ~.el im inamos
Portamo.
8s + lO
2
(7s""'+:'7,
1),7(5...:+.:._,2:;)>
= s-+-1 +
6
(S
a1
2
+ 2)' + ($ + 2) 2 - $-+-2
Agora existe apenas uma incógnita, o,. Es.te valor pode ser faci lmente determinado fau.ndo s igual a
qualquer valor CQnvenie mc, digaroos s = O. Este (XISSO resulla e m
10
- =
8
2
3
o,
+-4 +4
I
=> Dt = -2
' Pod!amos lc:f c:liminlll.lo as fraçOeJ ~m lertriOJ dctcnnludoi .t, e •oo Essa all('rnath'a. tnlf'ttanDO. ~ mait ua~OOA pois cll aummu o
ndmero de tncógrll,ai para 4. Alfi'I'Ó da pred<':ta>ml!V!('-IM> de .t, eu., rtdu%iiM8 lli IDI:'6gnk.u pwa 2. Aliém dlsao. nre m6lodo ~ uma 00.
mandru. ck l-eriflaf • du~-&1. f'..uc: pmcedimet~to hlbtido utilin o melhor dos doit mt'IOCD.
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320
SINAIS E S ISTEMAS LINEARES
EX EMPLO DE COM PUTADO R C4. 1
Usando o oomando residue do MATLAB. determine a transformada inverso de Laplík."é de cada uma das
seguintes funções:
+s
z.~.?
(a) X.!•l
= ,, + 3.< + 2
(bl X , ($ )
2.~· + 7s + 4
= (s.,.=---:.,..:.:--'-=
+ l)(s + 2)'
1
(a)
»num= (2 ó S) : den = 11 3 21 ;
ruldue (num, denJ ;
:»> I r . p . k 1
» dh;;)(( '
:.:. disp( ( ·
>'> diap(( '
(a)
r
=
(~)
r • ( ', nv.m2lõt.th' . ' , '
%0 . 5g ' ) , 'I' ll : . ..
p = ( · , num2str-tp. · , ·
k = ( '. num2str•k . ' , '
tO.So ' L ' ) ' .I : ••.
tO.So ' ), ' ) ' .t :
(-13 ?)
( -2 -l)
p ~
k : ( 21
P011~JIIO. X.,(s) ;:; - 13/(s + 2)
+ 7/(s + I) + 2 e .r.,(l) ;;;; ( -13t'-!o+ 7t<-·)u(t) + 28(1),
(b)
'>>num • {2 1 4): d•n ., lconv((l l).CQnv(ll 2) . (1 2jl)) ;
:.:. tr. p , k) = r9sidue(num,d9nJ ;
» dispC( ' (b) r= ( ' . num2auu . · , ' \O.Sg ' J,'J'Il : ...
:.:. d.isp(( '
p •
\0. ,9 . ). . ) . )I : ' • .
( ', num2strip. ' . '
k = ( ', nwn2str-(k .' , '
(bl r : I} 2 -11
p ~ (-2 -2 -li
'>> diap(( '
k •
tO.So ' ), ' )')l :
()
Ponanto. x .(.ç) = 3/(.s + 2)
+ 2/(s + 2): -
1/(s
+ 1) e -'•(r) = (3e-~ + 2u• -1' - e-•)lt(l).
(c)
»
= (8 21 191 : den = (conv((l 2J , (l 17ft! :
fr , p, k): residue(num, den) ;
nut!l
>>
>> Crad . mag)=cart2pol(real(rJ,imnglrl);
» disp(( ' (c) r= ( ' ,num2str(r .· ,· \O.Sg ' ) , ' l ' )l : .. .
:»> disp(( '
p = ( ' ,nu.m2atr (p . ' ,' tO.Sg ' ) , ' . ' ll ; .. .
:.:. Qisp(f '
'>> dil;p(( '
'>> <iisp(( '
(C)
p'
k
rod
~
k • ( ', nu.m2$tr(k. . ', '
tO . Sg ' >.'l'f) ; .. .
r"d • ( ' , m,l.m2tott(t'(I.(S .', '
\O . S.g ' l , ' l ' f) ; . . .
zwg = ( ' ,num2str(mc,g . ·. ·
\O . Sg ' ) , ' J ' ]l ;
(3 . 5-0 . 4.8113!
1-0 . 5•2 . 5981!
3. S .. 0 . <48113i
-o . s-2 . S98li
1+0i)
-2+0i)
• II
•
r-o. 13661
mog • (3 . 5329
Lvgu.
0 . 13661
) . 5329
OI
l(
•
I
.l.5329t<-'0• 1 ~1
3.5329d0• 1)1»1
Xt (s l = - - +
+ .,..:::;;=i:.;:...,;-;;,..
·' + 2 ·' + 0.5 - j2.5981 '+ 0.5 + j2.5981
Copyrighted material
x,(r) ~ k - u + 1.766s.-«• cos(2.598 1r - 0. 1366)1u(r).
EXEMPLO DE COMPUTADO R C 4. 2
Usando o toolbox de m:uem.1tict~ simb6li1.11 (:>ymbolic matlr) do MATLAB, determine:
(a) n tmnsfonn.1da direta de Laplace de A".,(t) • sen( tlt) + cos(bt)
(b) a tnansfonnada im-e.rsa de Lapi:M.:e de X11(s) = wh(i + b: )
(a)
>> x_a = &Ylf\( ' sinla • tJ +cos lbat ) · ) ;
>> x_a • lapiacec x_al :
>> dispc {'la) x_nlsJ = · ,ch~r(x_al . ·
Cal X-DtsJ
a / fsA2ta A21+s/C s A2+bA2l
=
=
' .c~r (s implify(x_atl }l :
=
(a • sA2~a · b~2~a~l•s • aA21/
1$~2~aA2)/ISA2th~2)
(b)
>>
X~
• sym( ' t n • sA2)/($A2•bA2) ' ) :
x_b • !iap l~ eccx_p) ;
displ('<bl x_blt) = · .charcx_b!, · = · ,char <eimpl i fy(x_b )t) l :
lbl x_b !t ) = a • (oi ~ac (t)- b • si~(b " t JI = a •oirac(t)-a • b •sinlb"tJ
>>
>>
Portanto. .11'4(1) = a~(t) - ab sen(bt) 11(1).
EX E RCÍ C IO E4.2
li) ~1os tre que a uansfonnada de L.aplncc de I~ v COS(41 + S3. Jl"') é (6s- 14llti- 61 + 15J. U~ o p.;~r I ();:I
d~ Tabela 4, I,
( ii) Oe1enninc n trnn~Jonnada io"eM de Laplace de:
,í + 17
( •l
-
l'+4) - .s
(b)
( <)
5
)s (S
+
1)(_~:
+ 2s + 5)
16s + ~3
(<
RESPOSTAS
'
( U) <3e1
(b) r-2e
2t>
f ..
~)u(t)
; ...
oos(21- 36,87 )]11ft)
te} I J~!t -11- ))e- 11 1u(t )
Copynghted matenal
322
SINAIS 13 SISTEMAS
L[II.'EA.RBS
NOTA HLSTÓRLCA:
MARQUtS PIERRE·SLMON DE LAPUICE ( 1749 • 1827)
A uansfor•n3dá de l3phl<"t recebeo t'~:te nome em homenagem oo grunde núltemático t: asuõnoo:.u fran<:b. La·
pi3CC, que foi o primeiro a a~ntar a trnnsl(IOtl;lda e su:t.." npbc:3ÇÕC:s em equ:tÇõc.-. dil'erendai-. c:m um artigo
public!Mto em 1779.
PietTe·Simoo dé' U..pla.:e
OJiver Heaviside
Laplace deserl\'OI\·eu as bases da teoria pocenci:al e possui importantes co.uribuições em funçúe$ especiais.
teoria da probàbilidade. a.~trOOOmia e mednk:á celeste. Em seu E.wosilion du sysl~me du monde (1796), Laplace formulou uma hip6tcse nebu~ da origem c6smka e tentou explicar o u nin~rso como um mecanismo puro.
Em sa1 Trai! I tle mkaniq11e célt.tte (cele.ttinl ntt!Citanics). o qual comple1ou Q l:rnbnlho de Newton.l.np1acc uti·
lil.OU a matemáti<:a e a ffsica p.m submeter o si~cma soln.re todos corpos celeste às leis do tuovimento e ao prin·
cfpio da gravidade. Newton foi i~paz. de explicar as iJl'etlularidades de alguns corpos celestes e. em desespe·
ro. ele concluiu que Deus deve intervir agOI'I e sempre para pctve.~ír taís c.:.ttáslf'()fts. OOtt\O Júpiter eventuàltt\én·
te cair dentro do sol (e. alua na tem), como predjto pekls c~cuJos de Newton. Lapla<.:t se propôs a moslrar que
estas irregularidiKies eram corrigidas por- elas mesmas p:riodicamente e que oom um pouoo de paciencin. - no
ca'iO de Jápiter, 929 anos - tudo retomaria automaticamente à ordem. Portanto, n.iio existia ratiQ pam que o sol
e o.s si.s:temas cstdares nt\o continuassem a operar pelas leis de Newton e L.a.place no final b •empos.~
Laplace apresentou uma cópia de Mlcaniqutcilt:$tt a NapoleSo. que. após 1er lido o livro qu~ion()u Lapla·
ce por Dkl ter indurdo Deus no seu esque11ta: '"Você escre\'eUes•e imenso livro sobre o sistema do muJ'OO sem
a() me1,oster mencion.ndo unw única. \'t:t o autot do univuso", "Sil't'', respo11deu Laplace...Eu não tetl.bo nenhuma necessidade desta hipótese... Napolcio n5o é$tava nem um pouoo fe-liz e (tuando ele rélatou c:st.a resposta u
outrO grande a.str()nomo matemático. Louis de Lagrange. este respondeu ''ah. mas 6 uma hipótese tão boa. Ela
explica tanras coisns:""
Napoleão, scguindq a sua política de honrnr e prom()Ve.r cientistas, fel. de Laplncc seu miniscro do interior.
Pm sus•o de Na1>0ldio, eLUteLanto. o n<wo indicado tentou trazer o "espírito dos infinitesimais" paro a adminisU'1Ç$o e. ponalltO. U.p130e foi u·ansferido ropidrunente pata o sel)ado.
ÚUVER HEAVLSLDE (1850- 1925)
Apesar de Laplace ter publicado seu método de uansfonnãÇ.ão pglra resolver equaçOes diferenciais en1 1779. o
método não emplacou at6 um .skulo depOis. Ele foi redescoberto independentemente de fomw. adversa. por um
excêntrico engenheiro britânico. OIi ver Hcaviside ( 1850-192.S), UrtUl da~ trágicttl\ figurà.<; na hist6ria da ciência
Copynghted matenal
e engenharia. Apesar de suas pR>Uficas contribuições à Engenharia Elélrica, ele foi sevmmenteaiticado duran··
te sua vida. sendo negligenciado posterionne.nte ao ponto dos livros djdá.ticos diCtCilmente mencionarem seu nome ou dar·lhe os de\•idos créditos por duas oontribuições. Apesar diMO. seus estudos tiveram um grande impacto em v;írios aspectos da engenharia d6trica moderna. Foi He.aviside quem possibilitou a comunicação t:ran.Sadântieu inventando o cabo de c.atg3. mas njn.guém jamais o menciooou como um piooeiro ou ino\•ndor d!l telefonia. Foi Heavisidc quem sugeriu a utilizaçao do cabo de c.arga i.nduth·o. mas os créditos slo dados a M. Pupin,
que nlo foi nem respot'ISá.vt:l pelo oonsl.ruÇiio da primdn• bobina de carga.' AJ!!m disso. Heavlsicle foi:•
• O primeirO a descobrir urt'Ul soluçikl para a linha de transmissão sem distorçOO.
• O inovador de filtros passa-baixas.
• O primeiro a C$C:Fe\-er as equações de Muwell na fonnn moderna.
• O co-descobridor da taxa de energ.ia transferida par um campo e letromagn~co.
• Um dos prirnt-iros campeões nu agora comum análise fa.sorial.
• Um importante contribuinte aQ dcscn••olvimcnto da an.11ise \'Ctorial. De fato. ele esseocialmentc criou o
assunto independentemente de Gibbs.'
• Um orig;inlldor do uso de matemática operacional parn n:sol\'er equações integro-di(erendais, o que eventualmente levou ao redesoobrimento da trnnsfQfTll:lda <.Se Laplace.
• O primeiro a teorizar (iunUllnente com Kennelly de Harvard) que uma camada condutiva (a camada Ken·
Df!'.Liy-l~eavlside) existe na atJnOS(eru, a qwtl p«mite que as ondas de rádk) sigam a curvntura da tem, ao
invob de viaja~m para o espaço em uma linha reta.
• O primeiro a sugerir que uma CàJl-n. elitrlca aumentaria de môkSsa quaOOO sua \'eloeidade aumenLMSe, uma
amecipaçlo de um aspecto da teoria dá relatividade especial de Einstein.• Ele uun~m previu a pOSsibili·
dade da superoonduúvLdade.
Heaviside foi wn autodidata. Apesar de sua cduc3Çdo fomutl ter terminado no primário. ele e\'entualmente se
tomou um ffsico matemático pragmático de sucesso. Ele começou sua carreira como um operador de. telégrafo,
mas uma surdez progressiva o forçou a se apo$efltar com 24 anos. Ele. enth se de\'OC.Ou ao esrudo da eiMci·
dade. Seu criativo tr1balbo foi desdenhado pOr váriôS mõltemá.tkos profissionais devido a sua falta de edoeaç5o
fonn.a.l e seu~ m~lodos nio ortodoxos.
Hea\•iside teVt- o 8:l8l de 5er criticado canto por matemáticos, 05 quais o ucusamm pela falta de rigor. e por
homens da prática. os quais o acusaram de utili2111 muita matemática e. ponaoto. por confundir os alunos.. Vá·
rios matem.áticos, tentando descobrir solu~~ões para a linha de trJnsmiüão sem distorção. falharam porque n.lio
haviam ferramenta.<; rigorosas disponíveis em seus tempos. Heavisidc obte\'e sucesso porque utili7.ou matemática sem rigor. mas com sentimento e i.nwiçlo. Usando seu método opc:racionaJ tão maldito, Heaviside conseguiu
com SOCC$.'i0 atacar problemas que os ITUI.Iemá.ticos rigorosos não conseguiam resoh-er, problemas tais como o
Ouxo de calor em um corpo com condutividade espacial variável. Hea\'isidc bôlharllemernc usou seu método em
1895, para demollSU'lll' uma faJha fatal na detenninaç&o da idade geológica da tem pelo resfriamento secular de
Lorde Kelvin. Ek utilizou o mesmo nuxo da teoria do calor paru a suu análise de cabo. Ainda assim. os mate·
rdtioos da Royal Socit!t)' permaneceram intransigentes e não ficaram impressionados pelo fato de Heaviside ter
descoberto a respo$lu para problemas que ninguém conseguia resoh'Cr. V6.rios matemáticos que examinaram
seus trabalhos os rejeitaram com desprew. cons·iderando que seus métodos ou eram completamente sem senti·
do ou reapresemaç&:s de idéias já conhecidas. 6
Sir William Preece. o engenheiro chefe da Briri.flt Post OffifY, um selvagem critico de Heaviside. ridiculari7.0U 5eu uabalho como sendo muito teórico e. ponanto. resultando em conclusões falhas. O trabalho de Hcaviside em linhas de tmnsmiss5o e ~a foi recusado pelo Brilish Po.rt Offrce e tala s.ido mantido eseoodido se Lof·
de Keh·in ntLO tivesse u pressado pubticrunente ele mesmo admiraçin peJ.o U'lbalbo.•
Os ClU<:Ukls operacionais de Hea"iside podem ser fOiltlAimente iroprec:ísos.. mas de fato eles anteciparam os
métodos operacionais desem'Oividos em anos mais atuais.' Apesar de seu m6todo Mo ser lOCalmente compreen·
dklo, ele fomcci.u resuJwdM com:los. Quando Hea\•iside foi aJacado peJo signif.torndo vago de seu cüculo Ope·
• Hca.vi$ide lbenvolveu • lii:OIU de cvp de arbo. ~e C'alopbe:U C0061Niu 1 primeft bobi• de Ca(J&. c os oelcfoncJ. IJWKio u bobinas de Clltlpbdl csuvam em operaç.IO an~ dt Pupio publicar seu .-liso.. Na briga lqli JObre 1 pWIIH:, ~tmaotO. 1\Jplft
a baUlha df:o('.d.) a i llll pr:n.ptcu autíJC!nlml),'âo c ptl;~ (alta ck su~ lepl a CAmpbell.
s:lltlbou
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324
SlNAIS E S IST!i.\IAS L IZ'IEARES
taci on ~LI. sua fespoSia pragmática era. '"Eu devo recus;Lr meu jruuar port1ue eu nltu compreendo compleLMlente
o proc."d>so dig.:stivoT
H t:"~Lviside \•iveu c-onm um ermitão solteiro. geralmente em condiçôes qunse.sub-hL
unamLS. c moiTcu inc:ógnitO, na pobrczo. Sua vida demonstrou o aiTQgilnda rx:rsi&IC111C c cs.nnbc do cs1ado intclccmal do mome.ruo. o qual
n!lo rcspci1avu a criaaividadc a nllo ser qpe ela fosse ~ prescmacL'l na lingu:agem teswiw do est:rtdo 00 momento.
4.2 A LGUMAS I)ROPRIEO,\OES DA TRAI'õSFORMAOA DE LAPLACE
As propriedud~:s du trunsfunnud:l de Laplaée são l.iteis não somen te nu determinação dulr.ln.o;formadu de t'un~ks, m!LS também n ~ solução de cqmL
ç()c.o; lineares integr(Hiifercnciais. Um r:ipido vislumbre n:1.s Eq:s. (4.2) c
(4. 1) mostra que existem nlgumas medidas de: simetria nn transformação de .((r) em X(...·) e ' 'ice-versa. Essa sim('tria ou du:tlidade tamb.,{m apare('e nas propriedades da tr;msforrn~da de Laplnc:e. Esse fato fiéar.'í evidente nos
desenvolvimentos a seguir.
Já apresentamos duas pmpricdJ1dcs: linearidade I Eq. (4.4) 1c n propriedade da unicidnde da ~rans l0nnn<L1 de
Láplac:t discutida anteriormente.
4.2~ 1
Deslocamento no Tempo
A pmpricd:Lc~ de deslocamento tempoml afim1n que se
x(t) <=> X(.f)
então p<ml t., ?.::: O
.r(I - 10 )
{:::=:) X(s)e~'"'
(4 .19a)
Observe que .t'(r) C'OflleÇ'tl em 1 =O e. ponanto. x(t - 111) começa em 1 = r11• Este rato é implfcito. mas não é e.x·
plkitamente indic.'-lldo na Eq. (4. 19a). h tu gerJiulénte resuha em erros inàdvtrtidos. P.Jra .:vitar esta armadilha.
clc\'Cmos renli rmar a propri<.-dade c."CliTIO mostrado a seguir. Se
x(I)Il(l)
~
X (s )
(4. 191>)
l'ron•
C [.l' (l - ro)u(l - lo) I = [
·"(t - ro )u(t - tok ••, <11
raundo r - t0 = r. ubtem(_' ps
C lx(l - to)tt(l
- lo)I= [
Como 1t( r)= Op.'Lm r < Oc u( r) = I pam
r~
-·
.f(r)u(r)e-•t•+.J~~I dr
O. os limites de inlcgroção podem ."Cr con.o;idcmdos de() n oo.
POrtanto.
C{.r(t - r0)1,(1 - 1<1)) =
1~ x(r)e~'u""") dr
= , -.,.,
=
1(1;) x(r)e-" dr
X(sk~""
Nocc q1te .l'(r- t 0 )u(t - to> é o sinalx(l)u(t) dc:slotadú r-> segundos. A prop.-i('dade de deslocamellto no tCnlJ>O
afinna qtu! lltr(Har-11111 sin(l/111 w:gwu/t)S :tit-:lliflt:llllllliliplicar sua u·afl.iftmtJa<ltr pnr e~--.,
Uss~• prOJ)riedade d:"L ll':lnsformuda de l..apl :~ce onii:Ltcrnl é vâlida upenas pamt0 positi\'o. se 10 ror n.:g:~tivo. o
sinal x( t - t0 )11( t - rJ pode sc.r nt1t> ~atL$il l.
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ANAuse oo SL~'Il!MAS F..M TeMPO Co:-."'l'INuo USANrx) A TRANSf.ORMAJ>A oe l..APa..AcE
CAPtnn..o 4
325
Podemos fuci lmcntc \'eriti cur esta propriedade no Excrcfc-io E4.1. Se o s inal du fig. 4.2a for x(t)u(t), e ntão ó
sinaJ do'l Fig. 4.2b é x(1 - 2~1(1- 2). A u·ansfoon.ada de Laplace do pulso da Fig. 4.~ é ( 1/.r)l( 1-e-r.). JJonan
to, u tr:msfonnnda de Laplace do pulso da 1-ig. 4.2b é (1/s)/( 1-r lt) r lt.
A proprledade de deslocamemo no tempo é muito oon,·e niente na detetminaç!lo da mmsfonnacb de Lnpl:tec
de funções <.'Om diferentes descrições para diferc.ntes inter"alos, tal como o exemplo a seguir demonstra.
4
EXEMPLO 4.5
Determine a transfonnadu de Laplace de x(t) mostrada na Fig. 4.4a.
"•(I)
~{f)
I
o
I
I
X!.f)
- I
I
2
3
o
4 , _
I
"'
la)
I
+
2
,_
o
2
4
,_
t - I
(b)
Flgura 4.4 Determinação da descrição matemátic-a da func;-àO.t(t).
A obtenção da descrição mstemá.tica de uma função tal como 3 mostrnd.a na Fij:. 4.43 ~discu tida na Seção
1.4. A funçãoX{t) da Fig . 4.4a pode serdescriHl romo a som.1 de duas componentes mostrndllS na Fig. 4.4b.
A equação para a primeira compone-nte é t - I pam I .::: 1 .::: 2. de t.al fonn:~ que esta componente pode ser
dtS(.'fita por (1 - l )l11(1 - I) - 11(1 - 2)). A ~gunda com ponente pode ser dcsc.:rita por 11(1 - 2) - 11(1 - 4).
Portanto,
x(t ) = (1- l )lu(t- I ) - u(t- 2)1
+ lu(t- 2)- u(t- 4)]
= (r- l )u(t - I ) - (1 - l )11(1- 2} + 11(1 - 2)- 11(1- 4)
(4,21}J)
O primeiro termo do lado direito é o sinal w(t) de;slocado por I segundo. Alé m disso. o terceiro e quano
termos são o sinal u ( l} desi()IC1ldo por 2 e 4 segundos, res.pec:tivameme. O segundo tenno, ent:retanto. n!lo per
<le ser imerpretado como uma \'ersão atrasada de qualquer shml da Tabel3 4.1. Por es~tt raz.ão. reorgrulita.mos
este termo por
(1 - l)11(1 - 2)
= (t -2
+ l )11(1
- 2) =(I - 2)u(t - 2)
+ u(t
- 2)
de expreSSllt o segundo tel'ml) na forrna desejltdo. c:.omo sendo IU(t) al.n'ISado por 2 segun~
mais u(t) atrasado por 2 segundos. Com CS1e result:.do. n Eq. (4.2&) pode !ICf de.o;criw. por
J\~ba.nos
X(l)
= (1 -
1)11(1 - I) - ( t - 2)11(1 - 2) - u(t - 4)
Aplicando a proprit-dsdc de dcs.locamcnto no tempo 3 w(r) <==>
(/ - l )u{l -
I )~
I
..2 t' -'
(4.20b)
lli. obtemos
(r - 2)u(r - 2) ~
I
1
s
,.-h
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326
SINAIS E SISTE>IAS LINEARES
AJtmdisso.
I
u(t) <==> -
c
s
u( 1 -4)
I _.,
~ -t
s
(4.21)
Logo.
(4.22)
.,.,.
.
•'
I< •
·•11:'
'
.i ....,_.,
•
!\.~~--~-I
Detennine a ttansfonnada inversa de Laplace de
X
.r+3+ 5e-21
(s) = (r+ l)(s +2)
Observe que o tel't1'lO exponencial,--:. no numerador de X(s) indi<:a um atrasO no tempO. Nes1euso. devemos sepru;v X(s) em dois termos.. com e sem o fator de alnlSO. ou seja.
I+ 3
5e-ú
+ .,--"",,--=:(r+ l)(s + 2) (s+ l)(s+2)
X (r) =
na qual
X(s1
) -
(s
s+3
2
+ l)(s + 2) = s + I - s + 2
5
X, (s)
= (s + l)(s + 2)
s
5
5
s + I - s+ 2
Portanto.
.t 1(1)
• (le_, - e- 21 )u(t)
xa(l) e S(e_, - , .. 21-)u(r)
AJbn disso, como
X(s) = X1(s) + X1(s)e-"
X(l)
= X1(1) + X: (l- 2)
= (2e -•- e- •)u(l) + 5 fe-«-n- , - >•-n] u(t -
2)
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CAI'trUl..O 4
ANÁLISE DE SIST'EMAS EM 'tntPO CONTf}iUO USANDO A TIM'SFORMADA DE LAPLACE
327
EX ER CÍ C IO E4.3
l)etcnninc alran_çformada de Laplace do sinal 10061rodo na Fig. 4.5 .
.<(1)
2
o
3
,_
F1gurn 4.5
RESPOSTA
EXE R CÍC IO E4 .4
Dc-1ermloc a lí.msformada tm-cna de Laplocc: de
3.t-h
X (Sl = .,...--':'-.,...--,.
(s- l )(s-2)
RESPOSTA
[<"' '-' '"
"ju(t -
2)
4.2-2 Deslocamento na Freqüência
A propriedade de deslocamento na freqüê-ncia afinna que se
x(t)
=>
X(s)
e.uão
x(t)e'" => X(s- ...,)
(4.23)
Obser.-e a simetria (ou dunlidade) enu·e es5ll proprie<bde e a propriedade de deslocamento no tempo (4. 19a).
Prova
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EXEMPLO 4.6
Obtenha u par 9u du Tabeta 4.1 a partir do par &t e da pmprit.XI~dc d(' dcslocamenlo na fmqilênda.
Opar 8n~
cos br u(l)
<;:::=>
~
.f
.,
s- + /j2
Us:mdo:. ptopriedade de dl!!~loe:unento llll frtquêllc i.a (&f. (4.23)) t.XIin s11 •
_
b (
e cos tun~
(
-<~ . obtttUOS.
s+a
.v + n)-, + h'-
EXE RCÍCJO E4.5
Obtenha o par b tU n•lx-lll4,1 .. p;~rtrrdo p;tr 3 c d.a propriedade de deslocamento nu lreqDêocl;._
Esuunos prontos patã considerar duas das mais impon.ames propriedades da u·ansformada de Laplace: dife.
reociaçtto e imegraç.io no tetnpo.
4.2-3 Propriedade de Dlferenclaçlio no Tempo'
A propriedade de difereociaçâo oo tempo afirma qoo se
.r(/)=> X(s)
dx
_
- = > .<XC<) -x(O)
dt
(4.24a)
A nplicaçlio rcpecid3 dessn Pfopriedade rcsuha em
tl'
.r
:
. (O
_
--,;- <=> s X(s)-.<.<(0 )-x - )
dt·
,. =
d's
-d
(4.24b)
s" X(s) - s•- 'x(O- ) - s-- '.i(O-)- ... - .<'"-"<o-)
= .f'' X (,f)
-
•
2:>
..-".xl.t-U(O-)
•••
(4.24c)
,,
• A d\W da propricdltde de difert:ncioção ootcnlpo é a propriedade de dlferenci:l('lO 1'111 fn:qil~la. a qual atlna\1 qur
IS(t)
~
- - X(t)
d .•
Copyngilted rJai nal
CAPfnn.o 4
ANÁLISE DE SISTE.\L\5 EM T EMPO CoNTOOIO USANDO A l'tt.M'SRJR1.1ADA DE. LAI'L.ACE
dx] = 1~ dx
C[-
-
o dt
dt
f'
329
_, dt
Integrando por pan.es. obcemos
L [
~·; ] = X(t k "I~ + $ 1"'1 X(l)t' ~· dl
P:lm que u integral de Laplucc oonvirjn listo é. para X( .ç) t'-ltistirJ, é ncce.'lsário que .t'(t)e- • - Oqu<andO t -+
oo para valores de s na ROC de: X(s). Logo.
(/X]
[ =
C dl
-x(O- )
+ sX (s)
A aplicação repc:tidn desse procedimemo resulta na Eq. (4.24c).
EXEMPLO 4.7
OctcmJine a t:nu~formada de U1placc dQsinal X(t) dn 1-+ig. 4.6n usnndo a Tabela 4. I e us propriedades de di
ferenci~.ãO e de$IOCamento no tempo da trJ.nsfonnàdn de Laplace.
4
As Figs. 4.6b e 4.6c mostram as duas primdrns deri\'adas de .l(t). Lembrt--se que a derh•ada em um ponto
de salto de continuidade é um impulso de força igual ..o total do salto (veja a Eq. (1.27). Ponanto.
d:x
-
dt l
= 6(1) -
3~(1
- 2) + 2.1(1 - 3)
A transfOOllnda de L.aplacc dcs1a equação resuha em
C
d'x) =
(d;i
C[~(l) -
:l.S(r - 2)+ U(r - 3))
US!mdo a propriedade de difercJlciação do tempo dn Eq. (4.24b). a propriedude dedeslcx·.amento no tempo (4. 19a) e o f::no de que x(O- ) .i(O-> Oc 6(1) <===* I, obtemos
=
=
.f~ X (s) - O- O = I -
Je- 4
+ 2f' - \.o
Portamo.
X (s )
= ~{I- 3e- 11 + 2e --'")
s
a qual confirma o resultado anlerior do Exercício E4.3.
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330
SINAIS E 51ST5MAS LU.lit\RES
2
>(I)
o
~
2
3
I - 1>
3
·~
(a)
d<
dl
I
u
o
2
-2
( b)
2
o
2
3
. ~
I
-3
tigun 4.6 Octermjnaçlio da lransronnada de Laplace de uma função linear por panes usando a proprie·
dade de diferenciaçlio oo 1empo.
4.2-4 Propriedade de Integração no Tempo
A propried.'lde de in1egraç!lo no 1empo afirma que se
X(l)
então'
'!.
o·
•
'
1
- K<
<= X(s)
x(r) dr
~
X (s)
--
(4.25)
.f
X(s)
:r( r) <Ir ~ -
s
J:.•J(f}dr
+ "-='"-:....:.-
(4.26)
$
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CAPf11.1t.O 4
ANÁUS:E DE SISTEMAS e l TEMPO CON11r.;W US:A)I.'UO A TRANSFORMADA DE LAPI..ACE
33 1
Pn:wa. DelinintOS
g(r)
f' .-:(r) dr
J•.
=
ral que
d
-g(t) = .r(t)
dr
·
c
Agora. se
g(t)
<==> C(s)
ent!io
X(s) =C [ :
1
g(l)l =
.<C(s)- g(O-) = .rG(s)
Portanto.
.
X (s)
Gv> = ou
·'
'!.
•
~nt
X(s)
.x(r)dr .;:= - $
provar a Eq. (4.26), obticrw que
~~ x(r )dr = [~ x(r)dr + [
x{r)dr
Note q ue o primeiro tenno do lado direito~ uma oonstarue !XII'a 1 ~ O . lXtem\inando a transfonnada de Laplace da equação anccrior c usando u Eq. (4.25). obtemos
f
'
-coo
x (r}dr e=;.
f-N x( r ) dr
X (s)
+ -3
$
EsCALONAMeNTO
A propriedade de CSC"Uion:uncmto afllllUl que se:
.r(t) <= X(s )
em!kl. para a > O
.t{at)
~ ~F(~)
a
"
(4.27)
A ptm"'3 é dada no Capitulo 7. NOle que at r(Slrito u \'akwt:s positi\'OS potqOO se .-'(r) for e:IU$31, c nt!\Q.t(tll) é omicau·
saJ (zero para r ::: 0) para a r.egati\•o c s.inab tut!ÍC'<Jusais nãó são pennitidos na transfool\ád3 de Laplace (unilotcraJ).
Lembre-se de que .\{ar) é o l.iin!tl x(r) comprimido no tempo pd o fotor a I! Xb-lll) é X(:.·) expandido ao longo
da t':SoCala s pelo mesmo fator a (veja :1 Scç!io 1.2 -2). A propried..t1de de esc-alonamenló afinna que o ,·umpn•sstiO
tiOtempo d~ um SÍtl(tl por um fmor tt cau~'(l o e.f1Jtl11.$clo ,te Slltl rrmujom1adt1 d~ LAplace na esca/t1 s pé!lo mesmtJ
fator. Similarmt•nte, á t'.tplliiSÕó 11() temfH) de ,\"(1) causa a t;Qmpre.uilo d~ X(.f) tttr e.foola s flelo ltlt'.fltiO fawr.
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332
St~ALS E SISTEMAS Lt:-<EARES
4.2~5
Convolução no Tempo e Convolução na Freqüê.ncia
Outro par de propriedade!> afirma que se
x 1(1) <==>
c
X 1(s)
cntüo fpropriedtide da t'tnn•oiiiÇtio 11t1 tempo)
.f 1(I) •
.r, (l) ~ X 1(s)X, (s )
(4.28)
c (propri~dade da cmm>lllçiio na freqlJinâa)
.<,(r)x,(ll
I
=
21r/X,(sl • X, (s)l
(4.29)
Observe a simetl'ia (OU dualidade) emJ\! as duas ptopl'iedades.. As provas destas propriedades sel'ào adiadas
para o Capítulo 7.
A Eq. (2.48) indk-.• qt»e Jl(s). a função de tr.ms-ferê-nci.a de um si.stenm LCIT. ~a uansformadn de Laplace da
rcspo~13 h(t) ao impulso do sistema. ou scj3.
il(tl
=
H (s)
(4.30)
Se o sis•cm.1 fOf ClluS31./t(t) é causnl c. de acordo com a Eq. (2.48). 1/($) é a tr.msformad.1 (k; L.1place unila·
teral de h(l). Similantlénte. se o sis.~ema for nilo causaJ. h(t) é não causal e 1/(s)é a transfonnada bilmeml de lr(t).
Podemo~ aplic.:ar u propriedade de. coo"oluç5o no tempo na rel~ão y(r) = x(t) • IJ(t) dc entrOOa e saída de um
LCIT p:.m obter
= X(l)ll(s)
Y(s)
(4.3 1)
A rc.~posta)'(t) é a rcl;po~ta de c~tado nulo do si.stcma LCrr a cntroda x(1). A ponir da F.q. (4.32). •cmos que
Y(s)
.C[I't'sposta de cslado nulo!
= ....:......:.-:::---:--:--- --'
X(.<)
Cjenorodal
11 (.<) = -
(4.32)
Esta pode ser corlsi<Jerod.1 uma deliniç:lo ólhcm3th·a d.1 função de uMsferência H(;~·) de sis•ernas LGrT. Ela é
a m:fill d<tlrtmsftJmt<lda d!ll't'SpóSUt df' r.~Uidó 111110 pt-1<1 tnmsfomrado da e~rtrad<t.
EXEMPLO 4.8
Usando u pruprietktde de L"-00\-oluçiio no tc.•mpO da transformada de Laphk"('. determine
('(t) = e• u(l) •t-1\-,1(1).
A partir da Eq. (-1.28). temos que
C(sl =
A
I
(S-tt)(s-b)
l
= -I- [ -I- - -Io-b s-n .J-b
uansfonn.1da irwef$.1 dcs.w equ:w;!lo resulta em
dt)
I
= --(t"' - t"').. (l)
a-b
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Thbr:1114.2
Propried!ldes da trunsfonn.àda de Laplace
X(s)
Openu,i io
x(()
Adição
x. (r)
Multiplicação escalar
h (r)
dx
Oiferenc.i~ no $C!npo
+ x2 (1)
X 1 (:;) + XJ(!â)
kX(s)
,,,
s X(s)-
xco-)
d1x
d/!
d'x
dt'
d":r:
,\• X(:t)-
dt"
Lnltgraçftt'J no tempo
'•'
L
I
- Xl<)
.r(r)dr
s
[~» x(r)dr
-I X(s)
De.o;;tocamenm 110 1empo
x(r - t 11)u(t - 1(1)
X (.f)t'- '"'
Deslocamento em
;r(t)f'lotl
X(s -so)
s
freqüência
Diferendaç.ão t.m
freqüência
lmegraçlio em freqüência
E.sc.alon.amento
"
L:.s•-•
xtt- IJ(O- )
+ -I
s
1".
x(r)dt
-o:
ru ~ O
d X (.f)
-tx(l)
ds
.~(r)
[
I
X(:)d:
~x(~)
a
x(m). a ?; O
a
x. {.f)Xl(.ç)
I
- . XI (s)•
2' l
linuX(.f)
Valor inicial
Valor final
· -~
lim s X(s)
·-·
x(oo)
Xz(S)
(11
> nr)
(pólo de sX(s) no SPEI
VALORES INICIAL E FINAL
Em çertas •~J)Iicaç{le:s. é neccs~tlo coahccer os valores dc.((t) quando, _ Oe t - oo Lvalores inicial e linal de
-'11)) a par1ir do conhecimento de sua. m nsfonnada de Laplace X(.s). Os teoremas do valor inicial e do valor fi.
nnl fornecem esta informação.
O teorema dJJ l'O/or inicial nfirm.a que se·'~') e sua derivada dxldt podem ser tr.tnsfoouad.-1S por Lólplnce. entOO
.t(O• ) = lim sX(s)
•-»
(4.33)
desde que o limite do lado direito dn tq. (4..33) exista.
O reorrma dl' ~·olor final a firma que se .f(l) e !;Ua dcri\'ad:. tlx/dt podem st.r transfom1ad:as por Làj)laoe, e ntão
lim x(z) = lim.fX(s)
1-<»
,-.(l
(4.34)
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334
SINAJS E S~v..s LINEARES
desde que sX(s) não possua pólos no SPO ou no e ixo imaginário. Para provar estes teoremas. utilizamos a Eq.
(4.24a)
Portanto,
e
.
,. + .
hm .sX (s) = x(u -)
•-CIO
:a x(o+)
lim
•-oo
!.~ dx ,
-~-· d1
O" dt
+ [ O'" ~
f lim e-') dt
dl \1--oo
= x(o+)
Comentário. O teorema do valor inicia] se aplica somente se X(s) for esuilame.nte próprio (/tf < /\'), porque pa··
ra M ~ N. Lim.,. _ {O;. sX(s) não ex.iste e o teorema não se aplica. Neste caso. ainda podemos detem1jnar a resposta
usando a divisão longa para descre,<er X(s) como um polinômio em s m.tús uma frn<;ão estritamente própria. na
qua l M < N. PQr exemplo, usando a divisão lonp.. podemos expressar
s3 +3J 1 +s+ l
s'+2s+ l
2s
~(•+ 1) - s'+2s+ l
A trllnSfoon;tda in\usa do poJjnõmio em s ~em termos de .5(,1) e SWJS derivadas. us quais são zero para t = o•.
Neste CllSO, a tronsfMnada inversa de s + I é (I) + &(t). Logo. o vaSor desejado de x(O") é o wb da froção (estritamente própria) desejada, pam a qual o teorema do \1llor final pode ser aplic-ildo. No C:t§O apresentado,
x (O'') = lim
.,
-2sl
2.t
•-~ s-+
+ I
= - 2
Pata provar o tcore~ do ''ator fimd. fazemos s ~ On:a Eq. (4.24a) parn obter
lim(sX(s) - x(O-)) = lim
,-o
•-O
[~e-"
dt = J.~ ddx dt
o dt
o-I
uma dedução que leva ao resuhado desejado, Eq. (4.34).
Comentário. O ceorema do Y.11or final se aplica someme se os pólos de X(s) estiverem oo SPE (incluindo s::
0). Se X(s) possuir pólos no SPD•.t(t) 4.'0ntém um termo exponencialmente cres<:enle e .r(oo) não existirá. Se
existir um pólo no eixo imaginlirio, então x(t) éontém um tenno oscilatório e x(oo) não existirá. Entretanto, se o
pólo esch·er rut origem. então .t(t) contém um tenno constante e. ponanto. x(oo) exislirá e será uma constante.
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EXEMPLO 4.9
Determine os valores inicial<'· final de .\'(r) se sua transfom101da de Lapl;tet: }'(s) for dada por
l'(s) =
IO(ls + 3)
s(.J~+2s+5)
As Eqs. (4.33) e (4.34) resultam em
.
.
10{21 + 3)
y(Q+) = hm sY(s) = hrn
=O
,_
·-~
,_,..., (s2 + .w + 5)
.
.
y(oo) = hm sY(s) = hm
10(2s
+ 3)
,_o (s1 + 2s
, ...o
+ 5) = 6
4 .3 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES D IFERENCIAIS E L'\'TEGR0 -01.-ERENCIAIS
A propriódade de difereocia~fl<> oo tempO da tmnsfonnada de Laplace pos:sibilitJ. a l'tSOiuç!io de equações difc·
rendnis (ou imegrn-difc:renciais) lineares com coeficientes c.-onstantes. Como d\ldtt <=> i l '(.J), a u·ansforma
da Laplace de umn equação difc:rendal t uma equação algébrica que pode ser fac:ilmente res())vida p..v a }'(s). A
seguir detcnninamos a tmnsfonnada inversa de Laplnce de Y(.t) paru obtermos a solução y(l) desejada. Os exem·
pios a seguir demonstram o procedimento da transfonn.nda de Laplocc nn resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes cons1sn1cs.
EXEMPLO 4.11
Resolva a equaç.àO difereoc-ial linettt de segunda ordem
(/)1
+50 + 6)y (t)= ! 0 + l )x(t)
(4.35a)
parn a..-. condições iniciais y(Ú-) = 2 e (0-) = I e emrodax(r) = t'_.', (t).
A cquaçâo é
(4.35b)
Considerando
.1·(1)
=
Y(s)
Então. a panir dns Bqs. (4.24).
11)'
-dt =
sY(s)- \' (0- ) = .tY(s) - 2
.
e
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336
St:-IAlS 6 StSll!MAS L n-.'EARES
Além djsso, para x(t) = t -",,(t).
I
s+4
X (s) = - -
c
dx
_
s
s
s X(s)-x(O 1 = - - - 0 = - s +4
.' i+ 4
- =
dt
fazendo a tmn..o;(ormadit de Lupi:KX' d:.n Eq. (4.35b), obtemos
s
I
Js1 Y(sl- 2s- li+ 51sY(s)- 21+ 6Y(s) = - - + - s+ 4 s +4
(4.36a)
Agrupando todos c>s tcntk)S de Y(_s) e milntendo os temlóS restames seporudos no ludo esquerdo. temos
~
.r+ l
(s- +5s+ 6)Y(s) -(2s+ 11)= - s+ 4
(4.36b)
Pon:anto.
,
s+ I
2s' + 20s + 45
(r+ 5s + 6)1'(s) = (2s +li) + - - = =--.:....::=--c...c:.
s+4
s+4
2
y ($ ) =
=
2s +203 + 45
Ti=--:,:...:=;,.;.-:=-:,
(s1 +5s+6)(s +4)
2.f 2 + 20s + 45
(s + 2)(.< + 3)(s + 4)
.,.--7';;:-;-::~-=--,.,
Expandindo o lado direito em fra<;ües pardais.
Y(s)
= 13/ 2 _
~ _ 3/ 2
.r + 2 s + 3 s+4
A trnosrormadn inversa de Laplnce dessn equaçllo resulta em
(4.37)
O Exemplo 4.1 Omosua a (acilidude com n qual a transformuda de Laplace pode rcsoh•er equações diferenciais
lineares com coefic ientes constantes. O método é gc.nérico c pode resolver uma cquaçlo difere•lcial linear com
coeficientes con~arues de qualquer ordem.
COMPONENT1õS DE ENTRADA NULA E ESTADO NUI.O DA RESPOSTA
O método da cransformiKia de Laplace fomoce a resposta tocai, a qual inclui 3S componentes de cntrnda nuln c
estado nulo. Bpossí,,e l separar as duas componentes lle for necessário. Os termos dn resposta rcfcrcotcs às condições inici3is s5o oriundos da resposl3 de entrndu nulu. Por exemplo, no Exemplo 4.1 O. os termos atribuídos à-s
condições iniciais )'(0~ ) = 2 c j(O'") = I da Eq. (4.36a) geram a resposta de entrada nula. Esses termos s.lio -(2.t
+ 11 ), CQmO visto nn Eq. (4.36b). Os tcnnos do lad-o direito d.'l cquaçOO s!lo cxe:l usi~meme devidos ti entrOOa.
A Bq. (4.36b) é reprodut ida a seguir identificando-se os temlQS
(s·' + 5s + 6) Y(s)- (2s + li )= s- + I
s +4
de tal fonna que
(•'+ 5s+6) Y(s)=
(2s + ll )
+
s+l
.t+ 4
'""'""" .... ('(WO>Ii~ ;~;,.;, -._...,...
......_ok CIIII'4o
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Ç ,.w iTtJl..CJ 4
ANÁU S:E OE SISTEM AS Efo.l Tl~\ti'O CONTiN UO USANOO A TRA.N"SFORMAIM. OE LAI'l.ACE
2s +l i
7
337
+ (,..· + 4)ls 2 +5.J + 6)
s
l[
- 1/ 2
2
3/ 2]
= [ s+ 2 - ,..· + 3 + s +2 + s+3- s+ .J
Ob1cndo u transfomlada invcrs:. destn cquução.
""'o- o·
CoM~NT,\Rios soo•G,,s CoNOI<:óEs INICIAis
G
As <.:ondiç..~~ iniciais 1)0 Exempl-o 4.10 s:i o yt.O-) = 2 e _\'(0-t = I. Se li:.o.emlOs r • O na res.1)()$la total da Eq.
(4.37). ob<eremos )( 0) • 2 e .\'{0) a 2. as (l u,ai~ n5o ~as <.·onJi,oc:-. inióais d<'ld.as.. Por quê? Porque a.s condições
init· iais soo dadas parit t = O (,exaumll"ntc: antt"s da entmda ser ~pl icad;J ). qu;mdo ~nas a n:$p05.lâ dt entrdda nulu está presente. A resposta de I!'St:tdo nulo C o n:suhudo da en1mda .r( I) aplkudu em t = O. Logo. essa <:omponen·
te não existe paru t = O . Conscqücntc:mcntc. as condições iniciaL-. p;mt t = O são sutisfdtas pelo resposta de en·
tradu nuI:'!. não pela I'C'SJ>I)SI!ltOI:tL Podemos faci lml!'me vcrific::.r neste exemplo que a rcs~:t de entr:~da nul:t
realmente S."'tis.fa7 d.1S co•~diçôes iniciais (l:ld.as p:H<l 1 ::= o·. Ê:. r"eS.I)OS1tltowl que satisfn as C'(lfl(jiçôcs inici:liS
I);U'!l I ::::; 0 +, 3.S QU<lb gerolmc.nte S<IO .;Jifereme:s J.:IS CMdiÇÕCS iniciaiJ> pai'J 0 ·.
Também ex i~te uma ''ers;io C , J•• tr:.tnJ>formada d.: Lapl<'l~"1:. a (IU <LI utiliMt as condiçÕl"s inid::.is tm 1 = o+em
''e"J. de o- (como no nosso c~so da C. ). A versão C •• '' qual estava em "oga att' o com~"' da <léX:t1da de 1960. é
idi'ntka ô versão C . exceto pelos limiti!'S da intc.•grol de U.placc I &J. (4.8)1 que siio de O"' a 00. Logo. por de li·
nição, !I origem 1 = Oê e..:duid:. do dominio. f'=_-u:. ' 'ersâocl aind:. est:í em lLW em alguns livros de mmcmática. ai·
guns com sérias dificuldades. l'>r exemplo, a~r:msformada de Laplace de 3(1) é 1.cro porque 6(1) = () p:~ra1 :! O' .
A lén1 disso. estn abórd.•l,wm é difícil no es1w:l0 te6riw de si~temas lineares. pois a ~pol>'ta <•btida não pode ser
separada em c."..flll)()rk'ntes de entmdn nu I<•t .estado nulo. Pêlo que salx:mos. a çompontnte de tstado nulo represe•u..-. a resposta do sisll!'tna a uma função explídua m• cnuuda e sem c.~nh~.:< r esta çomponente não é po~iwl
aces..;.ar os efeitos da cntr.ki;J na resposta do sis.tcma de t'onna geraLA versão C • pode scpamr a rc.'Spost.a e m ter·
mi)S de compollCntCS natur:~ l c forç-.:•da, :1.5 quais não s:lo tão intcrc<;.samcs qu:.ndo as componentes de c ntr:1d:t nu·
la c cs•:.do nulo. Obsertc que nós "Cmprc pcxfc•nos dctcnninnr as componente$ n.atuml c fo~d.1 das componc;n·
tcs de emroda 11ula e esmdo nulo 1vcj :•~s Eq:-. (2.52)1. mas o in"erso n!lo é verd<ldciro. De\•ido a este e outros prob1em~s. t.nge•lheiros elet•icistas (sabiamente) ('OI»eçaram a deM:anat a vers.'io C..- oo i!lÍcio da déc.'tlda de 60.
~ inten:ssnnte. obser,•ar os duai.s no domínio do tempo destas Ju~ ,.e.rsõcs de Lap1at'e. O método d6ssko é
dual :.o método C •• c o mé1odo da coovoluç5o (entrada nula/estado nulo) é o du.al do mêlodo C . O primeiro
)XIt (o método clássico c a \'CrsJo C.>é inadcqundo no estudo teórico de análise de sis.tcmas lineares. Não é
coincidência que:. \'Crs.1o C. _tenha sido imcdim:.mente ndowd."' após a introduç.io na comunidade d:. cngenha·
ria e~t•·ica da análise de CSI);)ÇO de estados <a qu:.l l•liliza a M:pal':.ção d<'i sa(d<'! e m e mrada 11ula/cswdo nulo).
EXE RCI C JO E4.6
Resol,·a
tfly ti\'
dx
-(/1 1 + 4-"+
3y(t) = 2 - + x(t)
dl
,,,
para a entradax(r) = ll(t). As condições iniciais siiO ) (0 ·} = I e j{O ) = 2.
RESPOSTA
y(t ) = j(l + 9e ' - 1e
')~<(I)
338
SINAIS E S ISTEMAS i...D.v.RES
Nocirc:u.ito da Fig. 4. 7a. a cbnve eslá na posiçio fechada por um longo tempo ante..; de t = O, quando I! liberta ios-llmtanc::amcnte. Determine a com:nte ,)(I) do indutor pan1: 1 ::: O.
Quando a chà"-e está na posição fectutdu (por um longo tempO). a corren.te do indutor 6 2 amperes e a tensAo
do capacitor ~ lO volts. Quando a ch3"e I! aberta, o circuito I! C"quivaJente ao moslr.lldo na Fig. 4,7b, com cor·
rente inicial no indutor )(0. ) = 2 e tensão inkial oo capacitor v~(O.) = 10. A tensão de entrada 6 lO volts.
começando em 1;;; Oe. portanto, pode ser representada por IOu(1) .
...
IH
20
IH
•••
)'(I)
+
IOV ~
10u(l)
(b)
!•)
2
y(~
,_
o
( C)
figura 4. 7 Anili~ de um circuito com u ação de uma chave.
A equação de malha do circuito da F'ig. 4.7b 6
dy
dt
+ 2)'(1) + 5
L
y(r) dr
=
IOu(l)
• Ot.>
Se
y(l)
<==>
Y(s)
(4.393)
e ntão
dy
- => s Y(s) dt
)'(0- )
= .<Y(s) - 2
(4.39b)
e !veja a Eq. (4.26)1
'1
- oc
Y(s)
y(r) dr c:::::> -
$
f<;:-,.~.:..>'
+-
•:..:
l d:..:.r
:c_(
f
(4.39<)
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Como y(r) é a corrente do capacitar. a integral é qt(O. ). a carga do c:apacitor para t = o~. dada por C ve..
te$ ôl tensão do Capacitor em I = o-. Portanto,
Do Eq. (4.39).1<0\0$
y(r ) dr
[
Y(s)
2
s
s
<= - + -
-
(4.40)
Obtendo a tnlnsfonnOOa de Laplace da Eq. (4.38) e usando as Eqs. (4.39-a). (4.39b) t' (4.40), obte-mos
,
5Y(s)
s l (s) -2+2Y(s) + - -
s
10
10
s
s
+- =-
ou
[s+ 2 + nY(s) = 2
c
Y(s) = •
2s
2s
s· +
+5
Para determinar a (fllnsfOnnada Ím'ers.n de Laplace de Y(s), usamos o par IOc (Tabela 4.1) com valores A
= 2. 8 = O, a = I c c = S. respuhando em
r= ~ = ../5.
b
= Jc- •' = 2
e
O = ,.,- • {!)
= 26.6'
Pon.anto,
y(t ) =
JSe-•cos(2t + 26.6' )o(t)
Esu• resposLa ená mostrada na Fig. 4.7c.
Comentário. Em nossas discussões até este pomo, multiplicamos os sinais de entrada por u(l) , indicando
que estes sinais s!o :zero antes de r = O. Esta é uma restrição sem oocessidnde. Estes sinais podem ter qual·
quer valor arbitt:bio antes de 1 = O. Enquanto as condiçõc:s iniciajs paru 1 = O fon:m especificadas. prccisn·
mos conbecer <Ipenas a enlnldil para t ::; O para calc:ular a resposta para 1 ::; O. Alguns autore." utilizam a notação I(I) par3 representar umu funçio que ~ igual a u (i) paro 1 ::: Oe que possui um valor arbitrário paro 1
negath'o. Nós nos abstemos de utilizar esta ootaçGo para eviw unw possf'lel confusll.o. desnecessária. cau,.
s:lda pela in lroduçào de uma nov:t função. a qual~ muito similnr a 11(1).
4.3-1 Resposta de Estado Nulo
Considere um sistema LCIT de Otdem N. especificado pela equaç-ão
Q(D) y(t ) = P ( D)x(t)
""
(4.4 1)
Determinart.mos. agon. a expressão genérica para a resposta de estado nulo de um sistema LC.rr. A res·
posta y(1) de eslado nulo. por definição. é a resposta do sistema a uma entrada quando o sistema eS(á ini.
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340
StNAIS ._ SlS1b.'tAS LINliA~< es
cialmcnlc rclox:tdo (em csl:tc.lo nulo). Porlanto. y(l) s.utisfaz a equação (4.41 ) do sistema com oondiç&s ini·
ciais nulas.
yWJ = j-(0-) = y(O-l = · · · = .1''"-"<o- J =O
Além di.sl>o. a t'ntmda.r(l) é causal. pona.mo,
Con.,idcmndo
y(t)
=
Y(s)
IX\'i(fo 1L" condicj'4ks iniciais nul:1s
O' y(f) =
dx(t)
=
ti'
)'(1) ~ .~' Y(.f)
-
dt'
d'
- x (t )
dt'
=> s' X(.<)
Purtantv. a transfonnad~t de Utpl""--e dn Eq. (4.41) resulta em
""
(4.42a)
=
f\tus tTWJstramos
P(.r)
X(s)
Q(s)
(H2b)
na Eq. (·t3l) que Y(.r) = H(.r)X(s). ConseqOcmemente.
P (.v)
H (.<)=
-Q(.f)
(4.43)
Esta é a futl(i50 de tr.msfe~nçi u de um sistema difcrencial lincarespecHic::!do na Eq. (4.41). O mesmo n:sul
tudo foi obtido anteriormente na Ell. (2.50) us.1.ndo uma abordngcm allcrnati\'a (dominio do tempo).
Mostramos q uc Y(s). a tr.uL.:;form~tda de Laplace dn respo$t:l y(I) de cstad(l nulo, é o prnduto de X(.t) c H(.f).
em que X(s) é a tronsform;~d.a <k Lapla,·e- da entmda ,\{t) e H (,t) é a funçllo de tronsferênci:a do sislcma lrclocion:mdo umn said:t y(r) paniculnr com a entrada x(r)).
4
(!<TERPRETAÇ'ÃO lt-•'UITIVA DA TRANSFORMADA De LAP~ACE
At~ este: momento. lrJto.lmos a tl'ansformnd.'l de L:tplacc oomo uma mãquino. a qual converle equações integro·
diferenciais line:lte.': em equa~:ões aJgébl'icas. Ainda n!k:t e..xis•c e ntendimento fi<;iro de c.•omtt a lr.tnsfonnnda fa7.
isto ou sobre o que da :>ig_nifica.
Nn Capfwlo '2. Eq. 42.47). moJitr<ttnOS que a resposta de utn sistema LIT a uma exponcncisl de duração inl'i·
nita e" é H(s)e". Se podcm1os expressar todo sinal conlO um..• oombin:tçllo linear de cxponcncisis. de dumção in·
linitn de forma cl'. emiio poderemos obter facilmente a respos.~ do si stem~ a qualquer entrada. l"or exemplo. se
X(l)
=L' X(•,le"
•••
A res:posta do sistema LCIT cuj.à t'lllrJd.a é .U:r) é d~~~ por
K
y(t) = Lx c.,·, )ll(s~>r"'
,_,
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>1#) .
.o(r)
Exprtsse .\Ú) como
11
S()(Da de çxpooencQ.i.s
ll(o)X(J)
A te!õ!)061B do sistc'ma
l componente uponcncial
de duta~ infinita
X(.t)to" ~ H(')X(i)t'"
A .soamo de 101.klls as
n:spos&IL1 ls Ç,ltponeociais
ft'Silha Ra sarda J{l)
(3)
( b)
Figura 4.8 lnlcrprctaçAo altemaüva da lransforma.U. de l..'l.place.
Infelizmente. apenas urná pequena classe de sinais pode ser ex.pressa nessa forma. &urec.anto. podemos ex·
pressar qlillSe todos os sinais de utilidade prátic<J com a soma de cxpooc.nciais de dumção infinit:a sobre um<J fai·
xa contínua de freqüências. Isso é pn::cis:mtcntc o que a cmnsfonnada de Laplnce da Eq. (4.2) faz,
I
x(r) = ,.....-:
- TrJ
r_•i"'
r-j~
X(s)t"'' d.'i
(4.44)
UaiJjlando a propriedade da Bnearidade da u·:msfOt'mada de U.place. nós podemos detenninar a resposm J(t)
do siste.ma a en tr~a x(r) da Bq. (4.44) como'
I l''~ir:<:J X(s ) H (s)<" ds
y(r) = ~
.-ti)
=
~-JO.:
(4.45)
c-•X(s) H (sl
Clarameme,
l'(s)
= X(>)H(>)
Podemos.. agorn. representar a "crsOO transformada dó SÍ$lcma, como most.rndo na Fig_. 4.8a. A entmda X(s)
~a truns(onnOOa de Laplace de x(t) eu saída Y(.l) é u trunsfonn.ada de Lnplace de )'{t) (resposla de cswdo nulo).
O siste-ma é descrito pela função de lmns(crência H(s). A safdn Y(s) é o produtO X(s)H (.f).
Lembre·se qoc sé a fn:qllêocia complexa de l'. Isso ..-.xptka o porque.do método da tranSformada. de Lapl-aoe taxn~
bém ser chamado de n~wdo OOdomíJiiOtklfreqiibrôa. Observe queX(s). Y(s) e H{.1) são ns representações nodouúniu da freqü~ncia de ,t(t). ){I) e h(I). respectivamente. Podemos imaginar as caixas marcadas com C e C_, da F'ig.
4.8a como inu::Jfnccs que com't'ttem ttSmtidudcs no domini-o 00 tempo nns entidades c:om:spoodcn1es no domfnio da
freqüência e ''ice·,usa. Todos os s.in.o·lis da. vida real CO.ne(:àln no domínio do tempo e as l'eSpuw!S fi nais 1arubém de·
\'e1D estar no domínio do tempo. ln.idai.Jnc:nte nOO oonvenemO$ as cntmdas oo domínio do 1empo para $Ui'IS tqui\'a·
lentes no domínio da freqoencia.. O problttoo ~.então, resol\'ido no domínio dá fn::qüênda, resultando na resposta
Y(s). Pinulmente, com''Cnemos Y(.f) para }(7). A resolução do problcrna é relativamente mais simples no domínio da
(reqüência do que no dominio do tempo. Oeste ponto em diante. iremos omitir a tq)reSellt.açOO explfcit.<t das caixas
de inrerfaoo C. c C. _, rcpn::scmando os sinais c slsremas no <lo.nfnio d1l freqGerx;ia, oomo mostrado na Fig. 4.8b.
A CONDIÇAO o~ D OMJNÃNCIA
Nesta interpretação intuitiva da transformada de Laplace. um problem a de\"e ter pennanecido na eü~ do leitor. Na Seção 2.5 (soluç!\o clássica de equações difen:.nciaiil). moslfamos na Eq. (2,37) que a resposta de um sistema UT a entrada e• é H(s)e" mais os temtos de modos cantcterístic.:os. Na interprettlÇiiO intuiti\'a. a resposta
do sistema LIT foi decenninlkta soman~se u.s respostas do sis1cma a tcxhts as inlinit.ns componcntes exponen
d ais da entrada. Estas componentes exponenciais s.ilo da formn (", começando em 1 = -oo. Mostrrunos M Eq.
(2.47) que a resposta a uma cntmda de durnçllo in tinira e• também é um11 exponencial de (lumçllro infinit.'l H(s)e".
Mas esse resultado oSo emra em conflito com o resuhado da Eq. (2.51)? Por que não exiStem te.rmos de modos
4
' Uenwbn:-·:>e dt (luc H(J) !X"i'Ui ~~~~~ pwópria rrgi.io dc viiiKbdt.L.oao, a.; li mitet~ de ink~ rarn a imepal da ijq. (4.44) $Ao modifi·
ciiC!ol na Eq. (4.45~ rarn tu.:omQdar 11 rqi21o de ~lliMencia (vulldad~) de X(f)~ H(&).
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342
SINAIS E SISlDW
UNEARES
caracu:rísticos na Eq. (2.47). como predito pela Eq. (2.57)? A respMta é que os tennos de modos tambtm esrlJo
presentes. A resposta do sistema a uma entrada de duração infinita e" de fato é uma exponencial de dumçlo in.
finha H(s)t"' mais termos de modos. Todos esses sinais começam em t = -oo. Agora. se um modo eJJt é tal que
decai mais rápido (ou eresoe mais letttO) do que e•. ou seja. seRe .\1 < Rc $, cotAo após algum interValo de lempo e11 será preponderantemente mais forte do que elll e. portanto, itá domjnar completamente este-termo de modo. Neste caso. para qualquer tempo finito (o qual é wn longo tempo após o começo em 1 ~ -oo), podemos igDOrllt os termos de modo e dizer que a reposta complda é H(.s}e". Logo. podemos reconciliar a Eq. (2.47) com
a Eq. (2.57) somente se a condlçJJo 1/e d()nlinbncia for satisfeita, i ~o é,lie Rc ).' < Re s para todo i. Se a condi10
ção de dominância não for satisfeita. o termo de modo domina e• c a Eq. (2.47) não Jõerá válida.
Um exame cuidadoso mostra que a oondlçllo de dominAncia es1<1 implfcita na Eq. (2.47). Em runçio do aviso da Eq. (2.47). na qual a resposta de um sistema LCIT a uma ~ponencial deduraçao infinita e• é H(s'}?, eles·
de que H(}) ellista (ou convirja). Podemos mostrar que esta condição leva à ooodição de dominâoc.ia.. Se um sistema possui raízes características. À 1, ).li'' "• ).,. enio h(t) 6 constituído de exponenciais na fón'rut i .. (i = I. 2.~ ...
N) e a con~ência de H(s) requer que Re·S > Re 11 para I'= I, 2,..., N. que é exatamente a condição de dominância. Claramente. a condição de domin1ncia estA i.mpUcita na. Eq. (2.47) e também em toda a fábrica de &rans·
fonnadas de Laplace. É interessante notar que a elegante estrutura de con,•etgência da transfonnada de Laplace
esteja encravada em uma oria.em tão mundana. de forma tão humilde. como a Eq. (257).
..
...............
:· ....
····-~
-~ :;::-..-..,,~,·~~;··~-:'-~~.,,~, ~..-,-
.
.
.
.
.'
.
<;>,
. ..
.
~..
.
Detennine a resposla J(t) de um si~c-ma LCIT descrito pela equaç-ão
d 1y
dy
dt' + 5 dt + 6y(l)
se a enlruda for x(t)
=
dx
di
+ x(l)
=3e__,u(l) e todas as cood;ções iniclais fo~m ~ro. ou seja. o sistema CSlá no esu~do nulo.
A equaçiiO do sistema. é
...,
(01 + SD + 6) y(t) = (D + l)x(t)
Portanto.
P(s)
s+ I
H(s)= Q(s) = s'+ 5• +6
Além disso.
X(s)
=C(Je- ' u(l)) =S+J
- 3 -.
e
Y(s)
J(s + I)
= X (s) H(sl = (s + 5)(s' +S.< + 6)
3(s + I)
7
= (s""'+"""5;.)(;::
s ..:.+.,;2),.,(s-+:-3:::-)
-2
I
3
=s+
----+-S .J+ 2 .t+3
A lr.Ut$(onnad.a invtrsa de Lapi:Lce dess:~ equaç.'lo é
y(t) = (-2e-'' -
e-:.+ 3e-)r)u(t)
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CAPf1\ILO 4
A.NÁLlSE DE SISTEMAS EM T EMPO CoNfiN"uo USANOO A T'Jt.AN"SfORMAOA DE i.APt.AcE
343
EXEMPl-04.13
Mostre que a runção de tran.sft:rênda de
(a) urn atràSOOór ide::tJ de Tscgundos é e_,,
(b) um diferenci3dór idéal és
(c) um integrador ideal é lls
(a) Atr~sador ideal. Para um atrasador ideal de T segundos. a entrada x(r) e a saíd:1 y(r) estão relacionadas por
)'(/) =
X(l - T)
Y(sl = X(sV ' 1
)veja Eq. (4. 19a)l
Portàntó.
Y( <)
fl (s ) = __.:_ = e -•r
X!s)
(4.46)
(b) l)lfereoclador ideal. Para um diferenciador ideal. a ent.mda x(r) e a saída .'-(r) escão relacionadas por
dx
l'(t) = -
·
dr
A tr:msfonnada de Lapl:lcc dcss:-t exprcss3o resulta em
Y(s)
= sX(s)
(x(O-) = Oparo um sinal causal)
e
l' (s)
Jl(l) = =.'i
X(s)
(4,47)
(( ) lrllt.1 tràdor ldt.1tl. P.tlra um integrador ideal com estado inicial nulo. ou seja. y(O-) = O.
y (r) = [
.r(r)t/r
c
Y(s)
=
I
- X (s)
s
Portanto.
)
H ( s)
=-
'
( 4.48)
F.XERCÍCIO F.4. 7
P-ara um .slstC'm.a LCJT cvm funç-ão de transferência
•+5
fl (s)= s2 + 4s+ 3
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344
SrNAIS e StSTI!MAS LI!I.'RARF.S
(a) l)ço;çl't!Vôl 11 cqu3Ç;fl(l dJftrcnci~LI que ttlaclon.,. a cntroda t(ll e .1 t-aid3 }it)
(b) Dctcmtinc :t te:">pthlot ) 'fi) dl) M~temla >~ entrlklli.tW =
do nul,l.
t
uU 1~~:o !)lstema C'Ml.,.Cr imdalmcme em o lu·
R ~;s POSTAS
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ltlu(tl
4.3-2 Estabilidade
A Eq. (4,43) n~nt (J\IC o deoominadOf de H{s) é Q(.1), o q11al 6 aparemerneme tdéntioo ao polinômio trU'acae:ríSiioo
Q().) definido no D.pftukl2. Isso signific.:a que o denominador de H(S) é o polinômio <:aracterbtie<' do sisu:ma? Isso
pode ou l)àO ser-o caso. St 1'(1) e Q(s) possuímo fa~ores <:mnuns:. ('lts imo se a m<:d:u- e o denominador cfeth'1.l de
1/(s) não stní necessariamente igual a Q(s). Lem!Jre..se lamb6n de que a fUUÇ"ãode t:ransfetênc.:la JJ(s) do sistema. 1al
como /t(r). é dd inid:t em tcmlus de mcdldtls nos tennil)a.i.S e;(temos. Conscqilenlcmcn!e. H(s) e h(t) são descrições
externas do sistetm~. Pw outro lado, o polinômio característico Q(s) é uma descrição imema. Clan1meme, podemos
detctminar ápenas a estabilidade~tel'no'l. ou seja, a esubilid3de BIBO. a panir de H(.s), Se todos~ 1>61~de H(s) é$Livtrtm no SPE. todos os termos em /1(1) sãot-,Kf)Onenciaisdecrtséentes e h(r)~ absolultlnu.:nte integ~\tl (veja a Eq.
(2.64)1.' 11Conseqiic:ntemente, o sililema é BIBO cm1\•eLca._<;O cQnuário o sis1.cmn é BIBO in:Sb'i\'el.
Até este momemo, 3ssumimos que H(s) é uma flmç:lo própria, ou seja, M ~ N. Moslt:u'tmos a.gora que se
H(s) for impfópria. ou seja. seM > N. o sistema é 8180 instável. Neste caso. us;mdo diYisào longa. obtemos
H(!i) = R(s) + JJ ~s). on<k- R(s) 6 um polinômio de ordem (M - N) e JJ X.s) é uma função de lransreréncia pffipria. Por exemplo,
H (s)
=
s 3 + 4-s! +4S + S
~·J + 2s + S
= s + 7'---7:....:..~
(4.49)
s1 +3s+2
s'+3s+2
Como mostrado na Eq. (4..47). o 1em1os6 a função de transferência de um difercnciador ideal. Se aplicnrmos
uma funçàQ degmu {emrada limitada) ao sis.ccma, a safd:l irá conter um imp"lso (sakla ilimitad.l) , Obviamente o
M ., d!c-rt. tlllCilbel cnto-ll
ll'A" o~ p(tl~ o la\'lltn m
$td'll·l)htlo c~
Tenha cuidndo CQm pólos no SPO!
1 Vak!n:~ <le .J nos 4um H(if) é ... são (lei pOI"~ <k: H!.,J, 1\:Jt'tllrllb. ~ póh.h lk ll(sJ ~ ~ vakwc.<~ d.., .J para"" quais o lkll(lntinad!..- de 1/(sj
·~~
Copynghted matenal
CAP'fnJLO 4
ANÁLISe DE S tSTI3MAS EM l'E\(f'() CoNTtwo USA.~oo A 'J"t.tA.~sFORMAOA oe l..APUCF.
345
sis1ema é BIBO iJmá,·el. Além disso, este tipo de $innl amplifica muito o rujdo, pOis a di.fereociaç~ amplifica
ahas freq~ncias. as quais gerab»e-Jlte são predominantes em um sinal de ruído. Estas são dua.<~ boas razões pa.
ra evitarmos sistemas impróprios (M > N), Em nossas discussões futuras assumiremos implicitamente que os
sistem ~s são pr6pri05. a não ser que dito o contrário.
Se P(.v) c Q(1) nOO possuírem fatores t:omuns, entOO o denominador de H(s) é idêntico a Q(s). o polinômio
carnccerfsüco do sistema. Nesae caso podemos de1cm1inar a estabilidade in tema usando o crilério descrito na Se·
çOO 2.6. Ponanto. se P(s) e Q(s) não possuírem fat<we.s comuns. o critério de esutbilidnde a.ssint6cica d.a Seçao
2.6 pode se-r rcafinnado em termos dóS pólos da função de transfe-rência do sistema. como mosarado a seguir:
I. Um sistema LCIT t assintoticamente está~ ! se e somente se todos os pólos de sua Função de crnnsferê-n·
cia Hb·) esti,-erem no SPE. Os pólos podem ser simples ou repetidos..
2. Um sistema LCJT é instá\•el se e somente se uma ou as duas condições a seguir exilU.irem: (i) ao me.nos
um pólo de H(s) está no SPD: (ii) e.x.istirem pólos repetidos de H(s) no eixo imaginário.
3. Um sistema LCIT é marginahuerue estável se e some me se n!kl existirem pólos de ll(s) no SPD e alguns
p61os não repetidos es:ti"erem no eixo imaginário.
A localizaçOO dos 1..cros de //(s) não é importante na deterrninaç-J.o da estabili<l_,de 00 :sistema.
EXEMPLO 4.14
A Fig. 4.9a mostra uma conexão em cascata de dois sistema LCIT. o sistema S , seguido pOr S 1• As fun·
çôes de c:ransrerência destes sistemas sio H,(.f) = 1/(s- I) e H!(s) = (s - l)/(.1 + 1), respecti\'ameme, Va·
mos determinar a estabilidade 8180 e assintótica do siSiema compoi(o .
.r(r)
(I)
x(r)
r·-...... -...... ···-·······-···
J(l)
(b)
figura 4.9 Oistinçio entre estabilidade BIBO e assintótica.
Se as respcmas ao impulso de S 1 e S ~silo lr1(1) e h:Ct). respcc~ i vnmcnte, então. n resposta ao impulso do sis.
tema total é lr(1) = h 1(t) *lrl (t). Logo, H(1) = H 1(s>H:<s). No ca-so apresentado,
1
H (.<)= ( -
)(~)
= ....!_
s+ l
s + l
s - 1
O pólo de S 1 em .v = I cancela rom o zero e m s = I de S to resultando em um sistem.1 composto com
um único pólo em 1 = -I . Se o sistemn composto for colocado dentro de um.-. caixa precól com apenas os
termiiUIS de entrada ç safdn disponfveis, qualquer medida n p:utir dcsu:s u:nninais externos ir.1 mostrar que
a função de transferênc-ia do siste•na é ll(s + I), sem q'1alquer dica sobre o futo do sistema englobar um sis·
terna instável (Fig. 4.9b).
A resposta ao impulso do sistema é /r(t) = t' _,fl(t), a qual é absolutamente integrávcl. Conseqüentcmcn·
te. o sistcmn é BIBO está\•el.
Para derenninar 3 csutbilidade sssintótic.n, observamos que S 1 possui uma raiz caraaerís1ica em I e S 1
lambém possui uma raiz em - I. Lembre-se que os dois sistemas são independentes (um não can-ega o OU•
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346
SINAIS E SIST&\W L tN6ARfS
tro), c Oti modos carnctcrisaicos gerados em cada subsistema são independentes do outro. Dcs1a fonna. o modo e' n!lo será e-liminado pela presença de S l ' Logo, o sistema composto terá duas rofzes características. lo.
cali2.:ldas em ± I. e o sistema i assintoticamente insuh'el. apesar de ser BlBO csui"el.
A aherução das posiçôe..; de S 1 e S 2 não far:i diferença nestn conclusão. Este exemplo mostra que a estabilicbdc 8 180 pode enganar. Se um sistema for assimocicamcme instável, ele ir:i se destruir (ou, mais prova\·elmeme. chegará a uma condiçAo de s::uuraç.\o) em flmç5o do crescimemo indetinido da resposta devido
a condições iniciais. desejadas ou nâo. A eS~abilidade BIBO nli<J irá salvar o sistema. Sistemas de cont.rOie
geruJmente são t:ompcns.udos para realizar certas caructerístícas desejadas. Nunc-a deve--se tentar estabilizar
um sistemu instá\'el pelo cancelamento de seus pólos no SPD através da colocação de 7.cros no S PD. Esta
tent:.Uh'a irá falhar. nlo devido a impossibilidade pr:ilica de cancelamemo exato, mas por uma rozOO mnis
fundamental. tal como explicado neste exempk>.
EXERCÍCIO E4.8
Mostre que um inte.grudor ideal~ rnn.rsinalmentc estável m~s 8 180 ins.táx-cl.
4.3-3 Sistemas Inversos
Se H(s) é :1 funç.io de lrru\Sferêne-iol de um sistema S. emão S ,. o sistema inverSO possui uma funç5o de l.n\ns·
feréncia H,(s) dac.b por
I
H1(s) = - H (s)
Estn equllÇâo segue do fnto de que n cascata ck S com seu sistema invenc.> S 1 é um sistema idcnlidadc, CQm
resposta irnpulsh•a 6(1). implicando que H(s)H/..s) = I. Por exemplo. um integrador ideal e sua inversa. um di·
rercnciiKior integrol. possuem runçõcs de transfert.ncia 1/s e s. n::spec:tivamente. resultando em 1/(s)U,(s) = I.
4.4 ANÁ USt: llE C IRCUITOS ELÉTRICOS : O CIRCUITO TRAI'iSfOKMAI)()
O F..xcmplo 4.1 Omostra como circuitos elétricos podem ser analisados escrevendo ns equações imegro-diferenc1ais do sistema e. entilo. resolvendo estas equações pela transfonnada de Lapl ::~ce. Mostraremos agora que tam·
bém é possível anaLisar c-ircuitos elétricos diretamente. sem ser oocessátio esc-re\·er as equaçôes integro-diferenciais. Este procedimeJIIO é OOC'l:Sideravelmente mais simples. pois ele nos pennite tratàt um circuito elétrico qualquer romo se ele fosse um circuito resístivo. P.ara isto. precisamos representar o drcuito no "domínio da freqüência" no quaJ todas as tensões e COrrentes São representadas pOr suas trMSformadl'I.S de Lapl::ace.
P..tro efeito de simplicidade. iremos discutir o caso de condições inkiais nulas. Se v(t) e i(r) são u tensão e corrente em um indutor de L henries. então
di
V(l)
A
~n~n.sformada de
= Ldi
Laplace desta equação (assumindo cotre.nte inicial wo) é
V(.<)= L.<l(s)
=
Similannentc. parta um c-apacitor de C famds. a relaçOO t.::nsão..oorrente é i (t) rl,dtl/dt) e sua tr.msfonnada
de Laplace, assumindo tensão inicial no capachor uro. resulta em /(5) = CsV(.r). ou seja.
V(s)
I
= c/(s)
P.Jra um res-istor de R ohnu. a rel~.ão tens!io-corrente é t.(t) = Ri(t). e sua ttansfonn.ada de Laplace é
V(s)
= R/ (s)
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(AP('I\Il.O 4
ANÁIJS"E OF. S ISTEMAS D I TEMPO CONTiNUO USA.".'DO A T RANSfORMADA OE LAIV.tt
347
Pon.anto. no ··domínio dl• frc<1üência'·. as relações de tenskt-coiTente de um iodutore de um capacitor são algé·
bticas. Estes eleme.mos se comportam como resistorcs de ··resistênd:... Ls e 1/C~., respectjvameJue. A resistê.n·
d a generali:r..ada de urn elemento é chamada de im~ddncia. sendo dada pela razão V(s)l/(,'i) para o elemento
(considerando condições inidais nulas). As impedâncias de um tesistor de R ohm&, um indutor de L henries e
um csp:teitor de C fumds são H. U e 1/Cs. respectivamente.
Além disso, as remições de conc:":dO (leis de Kin:hhoO) pe.nnanece-m vá.Hdas para tensões e correntes no do·
mfnio d.1 freqUêncis. Para demonsuar cste ponto. seja vp ) {j = I. 2.. H. k) a tensão em k elementos em uma ma·
Lha e seja i1~t) U= I. 2. .... k) asj correntes entrando em um nó. Então.
•
:L
,_,v1(1) =O
•
Í:i
,_, 1Ct ) = O
Agora se
=
V1(s)
e
1,(1)-=> l , (s)
LV;(• )=O
c
•
L
,., 1 (s) =O
v 1(t)
enl.:\Q
•
,_,
(4.50)
1
Este rcsuhndo mostrn que se represc:"ntannos todas as tensões e COtrentes em um ci.rcuitoelétrico por SWL'i trans·
rOtmadas de Laplace, podemos tratar o ci n:uito como se ele fosse constituído ~ las "rtSist2ncias" R, Ls e 1/Cs, cor·
respOndendo oo resistOJ R. ao indutOt /.,e ao capaciror C. respectivamente. As equações do sistema (malha ou nó)
são, agora. algébricas. Além diSSó. técnicas de simplific~o que rOtam <leserwo.Jvidas paro circuitos rcsistivos impcdância cquh•alcnte .série ou pamklo. regria:S de divis5o de rensão oo COI'l"ente. teoremas de Thé.,.cnin c Nonon
- podem ser aplicadas n cirouitos C'lélrims gerais. Os exemplos a seguir mOStra.-50 estes conceitos.
EXEM P LO 4. 15
Detw nine a corrente de malha í(t) no circuito rnos.1rado na Fig. 4.10a se todns as condições iniciais fo-
rem nulas.
U)u(J)
3
s
IH
0
l p
l
.!.9.
'
(• )
0
2
'
( b)
flgura 4. 10 (a) Um cin...-uito e (b) su.-. vei'Sào tronsformada.
No primeiro pns.<>o, representamos o (.;J'Cuito no domínio da freqllência. como mos•rado na Fig. 4.1(M). Tod:LS as tensões c CQtTcnte..,; são repn:senUtdas pOr suas transformadas de Laplace. A tens~ I011(1) é representada por lO/s e a corrente (incógnita) i(t) é represenwda por sua ttansforrnada de Laplace /(s). Todos os ele·
mentos do circuiro s!kJ representados por sua..,; n:s.pec~ivas impedândas. O iodutor de I henry é represem:.·
do por s. o et~pac-i tor de 112 farad é represen1ado por 2/s e o n:sistOf de 3 ohms é represen1ado por 3. Cor,si·
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dcramos. a.goro. a represemação .,o domínio da freqüência das te-nsões e correntes. A tensão em qualquer
multiplicado por sua impedSncia. Pooanto. a queda de tensão tocttl na malha é /($) vezes a
impedâ•lcia tOC3J dn málha e deve §er iguaJ a V(s), a (transformada da) tensão de entmtb . A impcd.inda to-tal da malha 6
elc mciUo é /(s)
2 s 1 + 3s+2
Z(s) = .r + 3 +- = ;_;,:c....:....o
$
$
A ·'tensão"' de e ntrada é V(s) = 10/s. Portanto, a ..eoncnte de m:dha·· é
/ (s)
= ~=
Z(s)
10/ .r
=
10
_
10
_ ~ _~
(s 1 + 3.< + 2)/s
s1 +3s + 2- (s+ l)(s+2)- s+ l s+2
A transl'onnadn in\•e rsa de..;sa equaçiio le,•a ao resultudo desejado:
G ER,\J)()Rl>$ DE CoNDIÇÃO INICIAL
A discussâQ oa qunJ consideramos CQOdiçõcs ioicinis oulas pode ser facilmente estendida pata o caso de condições iniciais n!io nulas. pois a COI)diçiio inicial em um capacitor ou indutor pode ser representada pór uma fonte
equi\'õ\lente. MostrJrtmos agora q ue um CajXicilOr C com tensão inicial t.'(O-) (Pig. 4 .1 1a) pode ser representa·
do no domínio da freqüênda romo um eapacilOJ desc:arregndo de impedânciu 1/Cs em série '-"'m ums fonte de
tensão de valor u(O)/s (Fig. 4.1 k ) ou pelo mesmo capadtor descarregodQ em p.'lmlclo c-om uma fome de cor~
rente de valor Cv(O"'). Simi.humentc, um indutor C.. com corrente inicial i(O-) (Fíg.. 4,11d) pode ser represe.uado
no domínio da freqUência por um indutot de impedância LJ em série c::om uma fonte de tensão de valor Li(O-)
, , 1)
i UI
••
~11)-)
1
•
lU I
I
(
\l(ç.
l-'I'J
\\0
f\\0 \
(\
'
,.,
l;t)
(\_~I
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/UI
líl)
1.<
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\'!fi
,,
.-o
-,
'
L••O-)
tdl
f1gura 4.11
"'
Geradares de condiçõc." iniciais paro um copuc-ilor c. um indutor.
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(Fig. 4.11c) ou pdo mesmo iDdutor em pur3lelo com umQfonte de (."Orrente de \'alor i(O-ys (Fig. 4. 111). Para
provar esses comentários. considere a relação terminal do ca.pacitor da Fig. 4. 11 a
•
t(t)
= cdv
dt
A trnnsfonnada de Laplace desta equaç~ rcsuha em
l (s) e C[.< V(,<) - v(O- )]
Essa equação pode ser rrorganizada paru
l'(s)
=
-
I
Cs
v(O- )
/ (s) + -
s
(4.5 l o)
0W.'1Ve que V(.s) é a tensão (no dom ini Q da frcqüCnçi a) em um capacitar ctl1l'egado e /(s)ICs ~a tensão no
mesmo ca.pacitor sem quaJq·uer carga. Portamo. o ~pacit or carregado pode ser representado por um capacitor
descartegado em sétie com uma fonte de tensão de valór t:(O- )/s. como mostrado na Fig. 4. 11b. A Eq. (4.l5a)
tam~m
pode ser rwrg:ani:t.ada par.1
I
V(.<)= Cs( l (s)
+ ú(O- )]
(~.5 1 b)
Es~ equação mostra que a tensão V(s) de um capacit~lr carregado é igual a tcn.são do capacitor descarregado
causada pela con-ente /(s) + Cv(O-). Esse resultado é refletido precisamente na Fig. 4,11 c. na qual :. COfl'e:nte
atra,·és do capacitOI' dcscamgõ}do é /(s) + Ca..(O-)."
Para o indutor da Fíg. 4.1 ld. a equação de tem1inal é.
v(l)
di
~ L­
dt
c
V(s) = f_(.f / (s)- IWJI
= Lsl (.<)- Li(O- )
= Ls [ / (s)-
1(0- )l
-s-
(4.52a)
(452b)
Podemos ' 'criticar que a Fig. 4.1Ie Slltisfaz a Eq. (4.52) e que :t Fig. 4.1 1r satisfàZ a Eq. (4.52b).
Vamos refazer o Exemplo 4. l i usando estes OOik~-i tos. A f ig. 4.1 2a mostra o d rt:uito da Fig. 4.7b c.Xlfn COfl·
di~:ões iniciais y(O-) = 2 e v..(O- ) = 10. A Fig. 4 .12b mostra:~ rcprcscntuçiío oo domjnio da freqüência (circui·
to tran.o;fonnsdo) do circuito da f ig. 4.12.'1. O resi~or é reprcscnt.ado pela sua impcdância 2. o indutorcom C(W·
rente inicial de 2 nmpcrcs é representado de t~cordo com o nrranjoda Fig. 4.1 1e,em shie com uma foote de tcn·
s!lo LJ(O-) = 2. O capociu.)C' com «ensllo intcial de lO \'Oltsé represemadode aootdooom o amuljoda Fig.. 4. l lb,
oont uma fonte de tensão em série de L'(O-)fs 10/s. Note que a impedância do indutor 6 se a. docapadtor é 5/s.
A enl.r..ldn de IO.,(t) é represcntudu por sua tmnsfonnada de Lnplnce igual a 10/.f.
A ten.o;lio total na malha é (10/.ç) + 2- (10/.f) = 2 e a impcdãncia de malha é (.r+ 2 + (S/s)}. l>ortanto.
=
2
Y(.<J = --:-,--:-:.\. + 2 + 5/.v
2s
= -s'"+-::2
;_•_+_5=
2
11 qual confinna
nosso resultado anterior no Exemplo 4.1 1.
' !'oo~1 dtm1iniu do ~mpo, un1C'.Jil:OdtiJf C c:om-pdCI Clllln IWWI l<"ffda inic;i;al •o(Ol pode ser re~llldo pdo RIIC$mo e~~p:ôllci1or ~111'1'1>
gado em siric co•n uma foi14C (lc cçm!lo a(O)t.(l). ou em Jl'lf'llklo rom uma f01111e de oorrtme ~(O~t). Simillll1!leftle, un• lndutOr L
C01t'l e«rentt lnidal f(O) pode ser rcptesct~tadt1 11eto r'l~eSml) in<hlltlr c~~•n c.'()tft:nte inidal nul2o em ~rir cam utna funte de tens3o
/J{O) li.l) ou c:m p:or.tkl(l coen u.ng fune..-. de cClneet«e ~o·)r(r).
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350
S I:-!AIS e SJS'rEMAS Lr.t-'EAR.ES
IH
2fl
-
'
y(O"') :o 1
0
l(t.l(t)
':)
+
lp
lO
'
(a)
5
7
lO
T
( b)
f1guna 4.1l Um eitcui1o e sua \'ef'S:.âO nnsJOI'IDada oom gmdores de co•ldiç.üo i.•licial.
-
.
~""""- -
,..
-.-.-~-
,
' '
•
"',-.
"""- -
~
-,
....,.;~
A cba\-c no circuito da Hg. 4. 13s 6 mantida na pos~ãq fedwJa por um longo periodo antes de 1 = O, quan-
do ela é. en~o. abena instamaneamence. Oetermüle as oorremes )\(1) e y.j..t) para t ~ O.
+ vc-
I!
I fi
,.,(t)
••c{Ol • 16
4V ~
F
ln
20V .=..
t
=O
'
J'l(O)= 4
rv
lH
'
(•)
!
l
'
ll•)
(h)
(C)
Figura 4.13 Usando geradores de condição inicial e a represencação equi..•àkntc de Tbévtnin..
A inspeção desle e irtuito mostra que quando a cha\'e é fechada e IL'i condições de n:gime estacionário são
atingidas., a tenslo do capacilor é v,.= 16 \'Ohs e a corrente do indul'o ré y1 = 4 amperes. Ponanto. quando a ehave ~ abena (emt =- 0). as co•ldiçôes inic-iais slo v.,(O/ = 16 e yz(O-) = 4. A Fig. 4.13b monra a
vel"$00 truniformada do dréuito da Fig. 4.13a. UliliUJnos fontes equivalentes para poder considerar as
condições iniciais. A temãó inicial dó capacitor de 16 vohs ~representada por UJlla ron1e de tensào em 56rie de 16/s e a corrente inicial do indutor de 4 ampertos i. representillda por uma fonte de teoslk> de valor
Ly,(O-) = 2.
Copynghted matenal
CAPtllll.O J
ANÂUSE DE SISTEMAS U.l TEMPO CONTiNUO
USA."'OO A TRANSJ'ORMAIM DE LAI'LACE
35 I
A panir da Fig. 4. 13b. as equações de malhtt podem ser escritss dirc~ttrnente no domrnio da rrcqt)ência
oomo
-l l [Y,(s)l [l]
~+j
Y!(s)
=
2
A aplic.'LÇâo da regra de Cr;)mer a esu equaçâo resuha em
y
1(s)
24($ +2)
= s 2 + 7s + 12
=
24(s + 2)
(s+ 3)(s+ 4)
-24
48
=-+-s+3 s + 4
e
Similarmeme. obtemos
Y"(.t) =
4(s + 7)
s 2 + 1s + 12
16
12
=----s+3 s+4
e
Também podemos usar o teorema de l bévcnin para c.alcular )'1(.t) e l't<s) substituindo o circ-Uito da direi·
ttt do ~pac-i tor (a direita dos terminais ai>) por seu ~ui ~ lente de Thévcnin, CQmo mostrado na Fig. 4.13c.
A Fig. 4.13b mostra que a impediinc-ia de Thévenin Z(s) e a tens!o de Thévenin V(s) s~
Z(s)
~ (~+•)
= '1-5~2::-.!- = s+2
~ + ~ + 1 5s + 12
5
2
4
::'-- 2 = ;:---;-';':;
1
-+~+ 1
53+ 12
v (s) •
..,-
5
2
De acordo com a Fig. 4.13e, a corrente Y1(.t) é dada por
4
- - V(s)
Y,(s)
24!s + 2)
= l,·
= ~.::--:=:--:-=.:.,
_ + l(s) s· + 7s + 12
s
a q ual confirma o rcsultodo anterior. Podemos dc1cm1jnar Yl(s) de maneira similar.
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352
SINAIS 6 S IS11.iMAS LINEARES
EXEMP I.O 4.17
A chave oocln..-,Jitoda Fig. 4.14a cssá na poslçlio a por um kmgo período antes de 1 = O. quando ela é mQ\'ida
i n$1Miõ~nc3mcmc para a pos;çt.o 1>. Deccnninc a corremc y,(I) c a 1enslo de S.'lfd:• ''0(1) pa.rJ 1 ~ O.
'
-==-
,-o
H1 c 2. R1= Rl • l
\(
......
~•
••
M • l.
(. 1•
1.
~ ·3
•
xg
I
R, ~
lO V ..=.
g
I"
;..
+
:;
.;.
''r/. 1)
(o)
1.,
.\1
\(
M
(c)
( bl
••
lO
7
(d)
1-l~rura
4.14 Solução de um circuito com aooplamen1o induth•o pelo mé!odo de cin.."llito transformado.
E.x.a131llcmc :uucs do ch:l\'camcnto, os \'3lorcs das correntes de ml1lhs são 2 c I. rc.o;pcc1i\'amcntc. ou sc:jn.
(0-)ca 2ey,(0- ) a I.
Osdrcu itosequiv~len tes JXIra os dois tipos de acoplamento indu1ivos.'kl mOSirndos na Fig. 4. 14be 4.14c.
Paro nossa situação. o ~ircuito da Fig. 4.14c é :~dequado. A Fig . 4.14<1 mosna a versão tmnsfonnOOa do cir-
)'1
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CAPfTULO 4
ANÁLISE DE SIS11!MAS EM 'T'Et.U'O CóN'rf1"UO USANDO A TRANsrokMADA De LAPLACE!
cuitoda Fig. 4.14<1 ap6s o c.ha,•eamento. Note que os indutores L1 + /tf,
'-1 + /tf e - M s3o 3. 4 e -
353
I he.nries,
com impcdâncias ls. 4s e -s. respecti\•amente. As tensões iniciais nos três ramos são (!..1 + M)y,(O- } = 6.
(L,+ M)y/.,0') = 4 e -Mij•,(O-) - y/.,0')) = - I, respectjvameme. As dllllS equações dt: malha parn o circuito sâo'
(2s+3)Y0 (s) + (s- I)Y,(s)
lO
=- +5
s
(4.53)
(s - I) Y,(s) + (3s + 2) Y,(s) = 5
ou
2s +
3
[s- I
s-I] [Y (s)l [~;"]
0
3s + 2
Y2!s)
5
c
r, <•> =
2Jl+9.J+ 4
-':.,,...:-:,;..-__,.
s<s'+Js+
4
I)
I
= ; - ,-+--::-0•..,.38~2
s + 2.618
Ponanto
Similannente
Y,(s)
=
s' + 2s + 2
s(s'+3s+ l)
=~$
I. 618
s + 0.382
+ _.:.;
0 ·.::-61"'8"'
s + 2,618
e
y,(r) = (2 - 1,618e-<'·"'' + 0.61 8e-'·"•)u(r)
A tensão de s.nfda é
Vo(t) = J z(l) = (2- J.6 18e- 0·lli:t
' AHquaç<les ~domfeJo do u-mpo (eq~ de 1l'lalha)
+ 0.6 18e-t••• ),(t)
*
dy ,
df!
t..,dr
+ (R,+ R~)y1 (t) - R1}~(t) + M 7,
dy,
M J,
-
dy,
R:y,(l) + L:J, +(R:
= 10u(t)
+ R,))')(t) =O
A o-ansformad:.. de Lllpi~~~X des.sascqu!IÇOQ multa na Bq, (4,}3).
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St.NAIS E S tSWIAS Llr.'EARB.~
354
EXE R CÍ C IO E4.9
Pllr.1 ocircu1to RLC W. Ftg. 4.15. a entrdda é lig3dá atrn"'és d<~ cha;\'e em 1 - O. As oondiçõcs inici:ns s5o y(O ) =
2 amperese vJO ) = 50 \"()h.\. Octennine a corrente de! malh;.~ J(l) c: à tcmão do capacitot l',(t ) pa.r31 ~ O.
'-o
20
IH
+
\'c{IJ
-.
Figura 4.15
RESPOSTA
y(t)
= JOJ'it"-r cw.(21
+ 8 1.8
\u(t)
t'c(t) = f24 + 31.61e---< cos (2! - J.l.7- ))lf(t)
4.4·1 Análise de Circuitos Alivos
ApeS<~tde tentli)S considerddo exemplos comendo apenas circuitos passivos, o procedimento de análise de circuito ussndo n transfonnuda de Laplace ttunbém pode ser aplicado a circuüos ativos, Tudo o que precis:tJnOS é
substimir os elementos ativos por seus modelo.o; matemáticos (ou drcuito equivalentes) e proceder como ames.
O amplifieadorope:raciooal (mosu·ado a1mvés do símbolo trinnsular da f'ig. 4.1 00) é-um elemento já <.:onhecldo t m circuitos eletrônicos modernos. Os termi nais com os sin:üs de mais e menos com:spoodentes aos ter-
IIJI
: :•(r)
v,(t)
+
+
v:(t)
- Av 1(t)
\'1(1)
~
(a)
(b)
it.r)
•••
i,t_r)
''•(')
••
••
•
''l(l)
v,H)
fel
K,•1(r)
vz(t)
(d)
Figura4.16 Amplifíc:.-adof operaciooa.l e seu circuito equivalente.
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CAt1TULO 4
ANALISE oE SISTEMAS EM T~u'O CoNTiJ\'llO Us,\NOO A TRA.~SFORMADA DE LAPLACE
355
minais •ll'iO·invttOOr e in~·e:rsor. respecth'amente. l~to significa que a polaridade da tensão de saída v:~ a mesma
da tensàô de entmda no tenninal marcado pelo sinal positivo (n5o-in~rsor). O oposto é válido para o tenninnl
inversor. marcado pelo sinal nc-gati\'0.
A Fig. 4.16b most:rJ o m<XIclo (circuito equivalente} do amplificadOI' operacional (amp-op) da Fig. 4.16a. Um
amp-op típico possui um g~ho muito gr::tnde. A tensão de ~ída é u! - A onde A vale tipicamente 10>a
IOt. A impedância de entrdda t muito alta, da ordem de IO':Q e a impc:dância de saída é muito baixa
(SO- l 000). Para a m.uioria dss aplicações. po<kmos assumir que o sanhoA ta impedilncia de e ntrada s.iQ infi·
nitos c a impeditocia de safd.1 é zero. Por esm razão. \'emos urna fome de ten~o ideal na S<'lfda.
Co•lsidere :.gora o amplifiC<\dor operaclon.al com resistOrtS R" e R.,. <:onet~Lados como JllOW'Jdo na Fig. 4. 16c.
Esta configuraç5o é chamada delunp/ijimdor "ão ün,ersor. Obser"c-que as polaridades de entruda neslâ çonfiguração são in\'eJtÍdus em eompamç-lio com as d.za r:'ig. 4.16a. MostrorclllOS que.a tensão de saicb v1 e n tensão de en·
tmda v1 neste caso estOO reladonadús por
= v,.
R,
R,
K = I +-
(4.54)
lnici:.Jmente. reoonhecen1os que como a impedân<:ia de entrada e o g~nho do ampliticadôr operadonal se
aproximam do infinito, a corrente de cnuada i, c a tcn..;OOde cntrud:t v. na Fíg. 4.16c sâo iniinitesimais c podem
ser cons:idcmdas nulas. A romc dependeme neste caSQ é Atl,. ao comrário de -A v,. de\•ido a invcrs!Jo da pol.nri·
dade de emrada. A forue de tens5o dependenteAv, (veja a Fig. 4, 16b) na saída irá gerar a corrente i11• como ilus·
cta<lo na Fig, 4, 16c. ;\,goro.
~~
=
(R11 + R.,}i..
além disso
= R,.;.,
Portamo.
ou
v1(1)
= Kv 1(l)
O circuito equivaJeme do ampliftC'.ador não in\'etSOI" é moStrado na. Fig. 4, 16d.
O circuito da Fig. 4, 17a é chamado de clreui toSalltm -k~·· o q ual~ freqüentemente utilizado oo projeto de
fi ltrOS. Detennine a função de transferência H(s) relacionando a tens5o de saída vJl) com a tensão de entra·
da Vll) .
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356
SINAIS E SIS11!MAS UNHARES
c,
11
n
... ........
R,
"
IH
1';(1)
......
R,
+
c,
l'J ij
=,·.lt)
-
~
_..,..
...
;. ·: ·
;• ..
•
l~(1)
'
-
(a)
..L
c,.
lc,<SJ
R,
•u
•••
'•·($)
R,
'll} J) " " "
"
•••
•
/,; . F t,•{)
\ '<Ih,
\';(s)
+
•c.i•J
~'
A\,ht
'j
-
1
-
_j
-;,;(b)
to•igura 4.1 7 (a) Circuilo de SaUcn-Kcy c (b) seu cqui vt~ lentc.
Precisamos dcterminnr
H (s); V.(s)
V,(s)
~ssumindc> I(J(Ias
us condições inidais igunis s 1,.cro.
A fig. 4.17b mosm1a \'Crsi<l lrnnsfOfm:ld:J <lo circuito da Fis . 4.17a. O amplifteador n!lQ i1wersor é substi·
tuído pc>r seu dn:uito equiv:tlenlt . Todas as tensões são substituJdas por suas lt'Jnsronnadas de Laplace e todo-s os derm:ntos do citt-uito são mostrados por suas impc:dândas. Todas as oondições inid ais são c:onsideradas iguais a zero. como DeCCMário pam a detcnninaçOO de H(.f}.
Uaili.zan:mos u unálise nodal puro detenninar o resultado. Existem duas tensões de nó de$C."'nhecidas,
V,.(s) e v.cs), sendo necessárias dlUIS e(Juações de nó.
No nó"· /•1(.f), a correo1e em R1 (saindo no nó t1) é 1V.(.s)- V,(.s)VR1• Similanncnle, /•:(.s), a corrcn1ecm
Rl (saindo no nó (l) é rv..(s) - V,(.r) I/R~ c lc,(.f), a corrente r'H) C3p3Citor
(saii'Kio no nó a) é I V,.($) V,(sliC,s (V,(s) - K".fs)IC,s.
A .soma das 1rês eorrentes é ze.ro. portanto.
c.
=
V. (si- l',(s)
R1
+
V.(s) - V, (s)
R2
+ LV,(s)- K V,(s)ICos =O
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cAPÍl\JLO 4
A~ÁLISE DE SI~EMt\S EM TE.\tPO CoNTil\lJO us...:mo A T'RAI'>Sf()RMADA
J)E
LAI'l...AC1:.
357
ou
_I_+ C1s)
( _I_+
R1
R!
V,(.<)-
(_1_
+ KC,s) V, (s) =_I_ V,(.<)
R~
R
1
(4,55a)
Similom1ente. a equação ncxb J do 00 b rcs.uha em
V,~.(s) - V. (s)
R:
C , ( )
+ zs "~> s =
O
ou
-~
V.,(.t) + (~ + C!S) V..,c,O =
R:
R:
(4.55b)
O
As duns equ:l.ÇÔCs de nó (4.55a) c {.J.55b) com duas tensões de nó <k:$c(m h!.!dd:~s v..(.f) c V..,(.l) podem ser
coloca<Jas na (<)l'lnõl ma~ri c-i n l por
G, + G, + C,s - (G, +
[
KC,s\l [l(,(sll = [G' V,(s)l
(GJ + C:s)
- GJ
v...v>
o
(4.56)
nn qual
G,
I
=R,
e
A npltcaç!lo da regra de Cr.:~mcr !I Eq. (4.56> resulta em
G 1G:
Vt(S)
V,(s) = C,C,s' + (G,C, + G,C, + G,C,(I
K)fs + G,G,
onde
c4.57a)
(4.57b)
V,,(s)
= K
Vo~o(s )
(4.58)
4.5 DIAGRAMAS DE B LOCOS
Grandes sistemas podem poss.uir um enonne número de c..'OtTlponcntes c elementos. Desta forma. quem QUi." jú
viu um d iagmnu1de um receptor de rádio ou tckvi.são S!lbe que analisar tnis sislemas de uma único \'ez é pmticnmcnte impossi\'cl. NestC'S casos. é mais eon,·enicntc rcprcsenuu- um sistema otta\'éS de diversos subsistemas
adequJ1damente c.."tlft«tndt-.s. cadu um podendo ser facilmente unali.sOOo. Cada subsist.:ma pode sc:r<.·.a.rJI."Ieri1.a·
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358
$1}1AIS. SISlll>lAS
l.n<EAR!lS
Um sistema linear pode ser caracterizado por sua funç!lo de u·ansfe-rência H(s). A Fíg. 4.18 moscra uro dilgrama de bl0005 de um sistema com função de tnutsferência H(s) e entrada e sillda X(s) e Y(s). respectivamente.
Os subsisaem.us podem ser 0000(..1ildo5 em casea:1.a (série). paralelo ou em realimentação (Fig. 4.18b, 4. I8c e
4. J8d). os três tipos elementu.res. Qut~ndo funçOes de ltllllsferência aparecem em cascata, oomo mosrrado oa Fig.
4.18b. emão. como mencionado anterionnentc, a função de lnltlsfer!.ncia do sistema total é o produto das duas
funções de cransferé.ncia. Este resultado cambém pode ser provado observando que na Pig. 4.18b.
dQ em termos de J;U3 relação enttad:l-saída.
Y(s)
X(s)
=
IV(s) Y(s)
X(s) IV(s) = H,(s) H,(s)
Podemos e~ender este resuiUldo a qualquer m1mero de funções de tr.lnsferência em série. Como conclusão direla. a ordem de $Ubsistc:nws em ~rie pode ser altc:mda sem que a função de lt3t1Sferência final seja afecads. E.'ita
propriedade comutati-.oa de sisaemali LIT \tem direuune:nte dà propritdade comutativa (e associativa) da cOOVQiu·
çno, Já provamos esta propriedade na Seção 2.4-3. Tbda ordem possí\-e-1 dos subsistemas resulua sempre na mesma
função de transfetência tocai. Emre1runo.. podem haver con..~ílência-; prátjcas (tais como sensibilidade a vlb'iaçiO
panuné(ria) que aftcam o oomport.amento em diferentes ordens.
Similarmente. qwmdo duas funções de ttanSferência, H 1(s) e H 1(s). aparecem em paralelo. como ilustrado na Fig.
4.18<:. a funçilo de tr.tnsferéncia tollll6dada por H ,(s) + H/.s). a soma das duas fuDÇ<les de ltUIISferêllcia. A prova é
trivial. Este resu!Uido pode ser estendido a qualquet número de sistemus em paralelo.
Quando a saída~ realimenuada para a entrada. como mostrado na Fig. 4. I8d, a função de transferência toml
Y(s)fX(s) pode ser calculada como mostrada a seguir. As entradas do somador slo X(.t) e -H(J)Y(J'). Portanto,
f.(.f), a salda do somOOor, é
t(s) = X(s)- H(.r)Y(s)
X(•)
-••----11
11•,.
~-1--•-- >1s)
(• )
X(,>)
Y(•)
IV(I)
Ht-s)
HtH
.........
=
Xl•)
(b)
11 ( \)
Y(l)
X(•)
•
YV)
X($)
U-h\ · ll:u)
111(,,
(ç)
X(.J)
fi•)
~r
Y(•)
(~\")
=
X(•)
Y(s)
//{\)
(d)
Figura 4.18 Conexões elementares de blocos e seus equivalentes.
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CAPfrULO 4
359
ANÃLlSF. O~ SISrF.MAS 11\1 T g_\11'0 CONlil\liO USA.NOO;.. TRANSfOR~lAI>A DE L APLACE
Mas
Y(s) = 0(s)!:(s)
=
G(s)[X(s) - H (s)Y(s)]
Pon.!lnto,
Y(s)] I + 0(s)H(s) ]
t:~ l
=
G(s)X(s)
que
Y(s)
G(s)
X(.<) = I +G(.v) ll(s)
(4.59)
Pona.mo. a malha de realimentaç-ão pode ser substituída por um único bloco com função de transferência da·
da pela Eq. (4.S9) (\·eja a Fig. 4. 18d).
Na detenninaçlio deíitas cquaçôes. implicitnmcmc assumimos que quando a Sõ.\fd.1 de um subsiSte•na é conec·
tada a entrada de outro subsistema, o 1íltimo n!o catre~a o primei1'0, P()l' exemplo. a função de uansferinda
H1(.ç) da ..ig. 4. 18b é cakulada considel'õlndo que o segunOO subsistema Hz(s) n5oe.sta\·ac:oneétado. Isto é o mes·
mo que assumir que H:f,.s) não carregtt H,(s). Em ootras palavras. a n:.laçãó de-entmda·saída de 1/.(.ç) pcrm.!lne·
ccrá in,altenda independememente se H,(s) tl>tá <·onectado ou não. Vário.o; circuitos modernos utiliUlm nmp-ops
com atlas impedâncias dê entr.tda. de Lal fonna que esta consideração é ju.stifica(b, Quando esta consideração
não é válida. 1/ 1(s) deve sc.r detcrmin:wb $ob condições norrnai.s de opçraçOO listo é, com H j..s) ooneccadà).
EXEMPLO DE COMPUTADOR C4.3
Usando o sistema de rtalimentaçãó da Fíg. 4.18d t.'Om G(s) = Kl(s(s + 8)) e H(s) = I, determine a funç.'lo
de transferência para c-Uda um dos scgnimcs C.'ISOS-:
(a) K = 7
(b) K = 16
(<) K =80
(a )
>>H •
tf(l , l) ;
K
7 : G .. t.f(IO O KL(l 8 Oll :
>> disp<( ' <a.> K • ', nurn2st.r<Kl)) : TFa = fee<.tb.!lddC. Hl
(a> K • 7
Tr~nsf~~
function:
1
s"2 - 8 s -. 1
PQrtanto, 11..($)
= 7/(i + 8s + 7).
(b)
»
H = tf(l.l) :
>> disp([ ' (bl K
(b) K
K
=
= 16 ; G = tfi ( O O KL l l A 01) ;
' .numiatr(K))I : TFb • re~dbaekiG . Hl
= 16
T~ansfer
function :
16
a"i ..
a
a - 1.6
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360
SINAIS
e StsTEMAS L•m:.AJt.ES
Portanco. h11(s) = 161(/ + 8s + 16).
(<)
>>H • t f ( l , l ) : K a $0 : C = tft(O () K) , (l 8 0)) ;
»
di&pi( ' (C) K •
fc) K = 90
' ,nu.cü&tr'{Kt) J : TFC • feedbacktG,H)
Transfer function :
80
9" 2 .. 8 s • 80
4.6 R F.AI.IZAÇÃO OE SISTEMAS
DcscnVQI\'eremos um mécodo .sistemát.ko para a realiza~o (Otl implemen~o) de uma fu nçio de transferência
arbilr.iria de OC'dcm N. A função de transferê-ncia mais genérica com M = N é dada por
H ( s)
~::c':,''_:+..:b:.:'.:;',..~,.-·-+.:....·_·_·.:+..:b:.:•:.:·-:!•:.'..:+..:b:c.:•
=-bo
sN + a 1s"'- 1 + · · · + a"' ..1s +a,.
(4.60)
Como a rcaliznçilo é ba.~icamentc um probkma de sJn1ese. não h~ um:~ fonna ~íniell de reali'Z.1! um sis•em.'l.. Uma
dada função~ uansferência pode ser realizada por diferences maneitas. Uma funçSo de cransferência H(s) po-
de ser implemencada usando intcg:mdore.s ou difen:nciadores juntamente com somadores e multiplicadores. [)e.
\"e--se evitar o uso de diferencl3dores por moti\'os práckos. como discuti de. nas Seções 2.1 e 4.3·2. Logo, em nossas imple mencações, iremos t,u ilü;ar imegradorc$ em conjunto com multiplicadores escalares e somOOores. Vo.
cê já deve estar familiarizado com a represent:.çâo por uma caixs com o sinsl de integral (rc:presentnçiio no domínio do tempo, Fig. 4.19a) ou por urna caixa rom a fu nç.'l.o de transfeltnc-ia ll.f (rcpresencação no domínio da
freqtiê.nd.a, Fig. 4.9b).
4.6-1 Realização na For ma Direta 1
Em \'tl de implcmcntannos o sistema genérico de ocdem N descrito pela Eq. (4.60), iremos começar com um
caso específico de um sist ema de terceira ordem especificado a seguir e-. encão, i.remO$ es1ender o resultado pa·
ra o caso de um sistema de Otdem N.
(4.61)
)~I) = f,X\f)d(7)
"'(r)
(>)
Flgura 4.19
_x..;~~>---ljL___.I r~·> • ~X<•>
(b)
Represcmaçõcs de um intcg:mdor (a) no dominio do tempo e (b) no domínio da freqüência.
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Podemos expressar H(s) Nmo
c4.62)
Podemos realizar /l(s) c.~ a casca10 da funç5o de tmnsfelinda ll,(s) seguida por ll:(s). c.Xlmo mostrado na
Fig. 4.20a. na qual a saidu de H 1(s) é rcprcscntadtt JX>r W{s). Oevido à propriedude comulttli\'U de funções de
1ransfcrênci:1 de sistemas LIT em casca la. nós lambem podemos implcmcnUIT H(s) como uma c:•sc:•u• de H ~(s)
seguido po~ H 1(:a·). como ilu:w aoo '""Fi~, 4.20b. na Ql•<t) a saída <intermediária) de H ;.(s) é rep•\!senwda pof ''h').
A saída l/ 1(s) na Fig. 4.20 ~ d:Jda por IV(.r) 111(s)X(s>. logo
=
.
( "->+-+--;-+bo
b, /'') X (s)
W(s)=
1
s
\V(s)
= ( I
s·
:a'
"J)
a~
+ n-:i + .t·
-i+ is
1
(4.63)
Y(s)
(4.64)
lmpleme.maremos.. primeiro. H,(s). A Eq. t4.63> mosu11(IUC a safda W(s) pode ser sin1c1i1ad.a adiciommdo :1
entfOOa b,.,X(.~) a b 1(X(s)fs). bj.X(s}ls~) e b ,(X(J.>Is\ Como a fu~o de transferénci:l de um inte$r:tdor é 1/s, O!i
siMis X(s)ls. X<s'Jii e X(s)ls' podem ser obtidos ;.ltta\·é s da imeg•':lÇão sucessiva da entf:lda.x(l;. A scçlocsqucrda da Fig. 4.21a mostra como W(J.') J>ôde Sér sintetitado •• ~·rtir de Xls). de :.C()r(l.c) ~'011:1 :. Eq. (4.63). l..ogo. esta
se._iiO representa ~~ realiZ"'(àO de H 1(:.·).
Para <:ompleutr a figunt. iremos realizar 11tis). a qual é c.~pedfiçada pc:l<• ElJ. (4.64). PodenlOS reorganizar a
Eq. C4.64) P""'
tJ1
Y(s) = W(.t)- ( s
+
tr.
~
s·
n,)
+ -,
Y(s)
.f
(4.65)
Logo. paro obter }'(s). subtraímos a, Y(.r)l.,·. tt) )'(s.Jii e ti,Yü)l/ de W($), Já ob4:enlOS W(..\) no p••imeiro passo
[saída de Jl,(.,·)J. Pura obter O$ .sinais Y(5)/.r. ns)l/ e Y(.r)l/ c.Xlnsideramos que já ICI»ch a saíl.la Y(s) desej:.da. A
1
intcgrnção suoessiV".I de Y(.ç) I'C!iiuh.u nos sinais n'"-cessários ) '(s)/s. Y(s}li e Y(.f)ls • De-sta forma. sintetizamos á
said.u final Y(.ç) de acordo c.'Offi :~ Eq. (4.65). como " isto na St."(-âo do llldo direito da l':ig. 4.2 1a.' A seção do lado
esquerdo da Fig . 4.21a represen1:1 H1(J) c a scç3o do 13do direito é Ht<.ç), l,odcmos gcncr.llizar este procedimento. cllamadode realiz..1çâo n:1 forma dirc1a I (FOIJ, para q ualquc.r \':1lor de N. Este procedimento nccessilu de 2N
incegrodores 1)31'á inlJ)Iemenlllr uma funçâ(l de tt.ulsferência de ordem N. como mostrado na Fig. 4.2 1b.
4.6-2 Realizaçiío na Forma Direta 11
Na forma dirt-1a l.realit..an.os /J(s) atrJ\'és da implememaç5o de H 1(s) seguido pot H:(,ç), C(HOO mostr:tOO na Fig.
4.20a. Também podemos reali::t.ar U(s) c."Ofno mos(r:Jdó na Fig . 4.20b. na qual H1(s)é seguido pol' H1(s). Esce pro·
cedimc:nto é chamado de realização n'J fiJmw t!irela 1/. A Fig. 4.22a rnos1ra a realizotc;-ão na fornw dirtttl 11. na
X<s)
X(s)
Y(')
}l.y)
,..
( 111
Figunt 4.20 R eali ~1çilo de uma função de trnnsfcrénci:. em doi.s passos.
' ~ ~Cf' ç..'õlr.UthO lçiTilOS.\I.'iwmidQ, inici#l m~'nlt!,lJ «i~o1ên::i :1 de
n.n, p:1m llqloi~ inkSrú.la •~'O.~humente.e:.~udo, ser.un~ Y(_J)
,.,.to
~~ ~~) t' llaó tf~:HII«'J:t.llSSIK'Ie~h~ ík l'(•J· E)&C proo.-~·llin11.:flt<t lll)f'e\~'f11J \lm dil~nWISinti llatta "o que
prink.'itU. qo,·oou
~ p linba?". 0 pmbltm:1:.O:(Ui é .~ali:>f:ll(lfUitli.'IIIC f\');(lfYid(oo,',;cfl.'\'t!ndU :i 1.'11JII\'lo•:W \k' !1.1) 1111 Saída (k) SU!l'l:lOOf (l>UI'ltll(H'I dó lildodl~
a ponltdt
reit() du Fia. 4.21 a<! •'Crifi...,.nOO <tue e\ln o:AP"J~Qc, ~a.lmcn1c ê a
of'IC:l'JN d:a
Eq. (4.64 ).
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362
SINAIS E SISTEMAS LINEARES
<•>
Figura 4.21
Realizaç~ na
(b)
forma direta I de um sistema LCIT: (a) terteira ordem e (b) ordem N.
qual uocamos de posiç5o as seções que represeo1am H1(s) e H~s) oa Fig. 4.21b. A safda de H:{s). neste caso.~
representada por V(s).'
Uma obsem.c;.Uo interessante na Fig. 4.22a ~ que o sinal de enlr'ada às duas c-adeias de integradores ~ V(s).
Clanunente. as saídas dos integr:Kio~s da c.-adeia do Lado esquerdo são idênticas às saídas c.om:spondcntes da
cadeia de in1qmdores do lado direito, ou liCja. a cadr.ia do lado din::ito é r«<und!mte. Podemos eliminar estaca·
deia e obter os sinais necessários a partir da cndei.a do lado esquerdo, tal como mostrado na 1-i g. 4.22b. Esta im·
plcmentaçOO reduz pela metade a quanticl.:lde de intcgrado.u, sendo necessários apenas N intcg111dores e, por·
tanto, t uma utilização de hnrdM'Ytre mais ef.ciente do que a Fig. 4.21b ou 4.22a. Esta é a realitação M/orma di·
ITia 11 (FDU).
<•)
(b)
1-l gura 4.22 RealizaçAo na rorma direta li de um sis1e1na LCIT de ordem N •
•
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UITUl eqi.Lilção diferencial de orckm N com N = M possui a propriedaóe de que sua implementação requer no
mínimo N integradores. Uma realizaçiKJ 6 canônica se o número de integradores utilizados na implementação
for igual a ordem da função de uansferência realiUida. Portanto, a real i~ canônica não possui integradores
redundantes. A FDU da Fig. 4.22b é uma realitaçio canôaica, por isto ela também é chamada de f<mna direto
canônka. Obsefve que a FDI n!io é cUOa.W:a.
A realizaçiirO na forma direta I (Fig. 4.21 b) imple•nenta primeiro os zeros (5CÇâo do lado esquerdo representada por H .{.f)} seguido pela implement.nÇão dos pólO$ (seçiiO do lado direito representada por H2(s)). PQr outro
lado. :1 forma direta canônica implementa primcim os pólos seguido pelos zeros. Apesar das duas representações
resultarem na mesma funçlo de transfetência. elas geralmente se comportam diferente do ponto de "ista de sen.
sibilidade a variações paraméu~.
Determine a re:lliUlÇAo na forma direta canônica para a5 scguint« funções de transferência:
(a)
5
.f + 7
.f
(b) s
+7
s+ S
(c) s
(d)
+7
4.< + 28
s 2 +6s+S
Todas essas quatro funções de transferência são casos especiais de H(s) nu Eq. (4.60),
=
(a) A função de trunsfetência Sl(s + 7) é de primeira ordem (N I). Ponanto. precisamos apeMS de um
integrador parn sua rcali:zaçOO. Os cocficicnlcs de alimen13ÇOO dire1a c: realimcntnção sio
e
A reali7.ação é mostruda na Fig... 4.23a. Como N = I, existe uma única cooc:Mo de realimen~ào da sal'da.
do integrador p:lt3 a entrada dosomsdor oom cocficientea1 = 7. Para N = 1. geralmente. exis1em N + I = 2
conexões de n:a1imem:~ç4o . EntretruUO. neste caso. b0 = O, e exisae.apenas uma conexão de n:alimentação com
coeficiente b, • Sda saída do integrador para a ent.rnda do somador. Como só existe um sinal de entruda paru
a saída do somádor pOdemos ret.irM o socnador, como 1nostrado na Fig. 4 .'23a.
(b)
·'
H (.<)= s+ 7
Nesta funçio de lmnsferência de primeira ordem. b, = O. A realização é 1nostracbl n.a Fig. 4.23b. Como
existe apenas um sinal a ser IKiicionado à saída do somador. podemóS de:sc:artar o soroaOOr.
(c)
,t
+5
H (s)= s+7
' Quat'IOO M =
N (COII'l() li($1C caso). H($) tam~ pode stt ~.ai~ de OOIR rorma. ob5«Y111Kio q i.Je
2
s+1
H(s) = I - - I"'de1r~. ag«a. itllf'llo."'rllei'IW H(s) COil'IO U'Otltllil~ l)ltalcb de duu funQ()CS <k: 1nrn~ferf:ncU., come, indicado por c"b eqUIIÇ6o.
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364
SINAIS E S IST&\lAS U NEARES
A re::~lizaçàô é n)I)S(r;tda 1là Fig. 4.23c. Neste ~so. H (s) é uma fu1)Çfl0 de ttansfetê1lCiá de ptimeira ordem
l'Om a 1 ::: 7 e biJ = I. b1 o 5. E.xi$te uma únic<l conexão de realimentaç.ão (oom ooeliciente 1) da saída do integrador parJ a entr.tda do Sóftt<1dor. E.Kiscem du:lS <:onex.ões de aliment~'ào dirtta (Fig. 4.23<:).'
(d)
H(s)~
4s +28
1
s +6s +5
Este é um sistema de segunda ordem com b0 : O. b1 = 4. b1 = 28. tr, = 6 e t11 = 5. A Fíg. 4.2ld mostr-.a
u relllizaç.ã o "-'Om duas conexões de
rc-alimen1açiio e duas ('()ft('XÔCS de alimentação direta.
(3 )
Yü J
(ç )
-~
2S
(~)
fiJtura 4.23 Realir.uç5o de 1/(s).
EXE R C ÍC IO E4.10
Apre.~ntoa realiwç5o na
fonna direta canônit-:l. de
2s
H~•)= s2 +6s + 25
4.6·3 Realizações em Cascata e Paralelo
Um:. função de tra.nsfcréncia H(s) de ordem N pode SC'.r expressa como o produto ou soma de N funçôe's de trans·
ferência de: primeif3 ordem. Dessa forma, podemos rcali1.ar H(s} como a fonna e m cascata (série) ou paralelo
destas N funções de transferência de primeira ordem. Considere. por exemplo. n função de mmsfcréneio da par·
te (d) do E.Ktmplo 4,19.
H(.<)~ '
4s + 28
.f•
+ 6.f + 5
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CAPfnJLO 4
ANÁLISE DE SISTE.\tAS EM Th.MJ'O CONTÍNUO USANDO A T'R.AN'SFQRMAOA OI! L\J>LACE!
365
Podemos expressar H(s) por
H(s) 4s+28
- (4s+28) ( -l-)
- (s+ l)(s+ 5)- .._,_._.____..
s+ I
s +5
Holll
(4.66a)
H:~)
Também podemos e~pressar Hb'} como a soma de fr3ÇQes jXtrciais, dad:ts por
H (s)
=
4s
----
+ 28
6
2
(s+ l )(s+.S) = s+ I - s+S
IIJUI
(4.66b)
14~)
As Eqs.(4.66) nos possibilitam realizar f/(s) como a cascata de H1(~·) e H2(s), como mostrado nu 1-ig. 4.24a.
ou como o paralelo de HJ(I) e H4(S). como indicado na 1-i g. 4.24b. Cnda uma das funções de primeir.t otdem da
Fig . 4.24 pode ser imple•nemada usando realizações n:t forma direta caoõnica, discutida anteriormente.
Esta disclL<Oslio de forma alguma exaure todas as possibilidades. Considerando apenas a forma em ca~a.
existem diferentes maneiras de agrupar os fatores no numcrnd<.>r c denominador de H(s). e cada agrupamento I»"
de ser realizado na FOI ou M fornw dite[;). canô1lica. De: fat~l. ''árias fonnas e m cascata siLo po.o;sJ,,eis. Na S~.ão
4.64 discutiremos outr.aronna que, essencialmente. dobta o número de realizações disculidas até este momento.
A panir de um ponto de ''istu prátil" '. formas paralela c em cascata são preferlveis pois formas p.V3lclas c nlgum:ts e m cascata silo numericamente menos sensiveis do que n fonna direta canônka a pequenas \•ariaçôes pa~
rnmétricas do sis.lema. Qualitativamente, esta difcrellÇa pode ser explicada pelo fnto de que em uma realizaç.ã<t
canônica. todos os coeficientes interagem uns com os outros. c um:t mud:tnçu em qualquer coeficiente será am~
plific.·.ada atra~ da influência repetida das conexões de rtalimentaç.âo e alimentaçllo direta. Em umn imple mentação em paralelo, por outro lado. a mudança em um eocticientc: ini afetar apenas um segmento Jocaliz.'l.do. O
caso de realizaçOO em série é simjlnr.
Nos exemplos de reali'l.aç!io em cascata e par.delo, separ:unos H(s) em ftuores de primeira ordem. Paro H(s)
de mtús alia ordem, podemos agrupar l{)(s) em fatores. nem todos ntc:essariameme de primeira ordem. Por
exemplo, se H(s) é umn função de transfen!ndu de terceira ordem., podemos implementar esta funç~ como a
rombinaç!lo em série (ou paralela) de um fator de primeira ordem oom um de segunda ordem.
REALIZAÇÃO DE PóLOS COMPLEXOS CONJUGADOS
Os pólos complexos em H(:r) de\'em ser realh•..udos como fatores de segunda ordem (quadráticos) porque nós não
podemos implementar a muhiplicaçdQ para númcl\'11$ complexos. Cons·idert". por exemplo.
lOs+ SQ
(s + 3)(s' + 4s + 13)
lOs+ 50
=~~~~~~~~
(s + J)(s + 2 - jJ)(s + 2 + j3)
I - j2
2
I +j2
= $ + 3 - s + 2 - j3 s + 2 + j3
H (.<)=
Não podemos implementar fun~ôés de cransfe:~ncia de primeira ordem individualmente com pólos -2 ±j'J
pónlue eles requerem u muhipliéação por nú n~ro~ complexos tlitiS vias de reuJimcntnçAo c alimentaç.do direu.1.
_I_
s+!i
)\s)
_6_
'+ I
tls)
X(s)
"+---<
;-h
( a)
f'igura4.24
( b)
Realização de (4:r + 28)/((:r + l)(s+ .S)); (a) forma em cascata e (b) fonna em p.valek).
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366
StNAtS e StSTEMAS UNBARES
Ponanlo, precisamos combinar 0!1 pólos conjugados e implementá· los como uma funçOO de transferência de se..
gunda ordem.' No caso aptesemado. podemos expressar H(s) por
H(s)~ (..~J(..,;~: 13 )
(4.67a)
2
2s -8
2
= s+3 - s +4s+ 13
(4.67b)
Ag«a podemos implemenw H(s) na fonna em cascata usando a Eq. (4.67a) ou na fonna em paralelo usando a Eq. (4.67b).
REALIZAÇÃO DE PóLOS REPETIDOS
~ando pólos n:peridos aparecem. o proced imento para reattz.11Çôes c:anônk:a e em cascata é exatamente o mes·
mo. Na realizaç-.Ao em para~lo. entretanto. o procedimento precisa de um ttauunemo especial, como explicado
no Exemplo 4.20.
•
..•.
. .; '!.•.
'
Detennine a reall'taÇão paralela de
2
H (s) -
7s + 37s +5 1
::-.,..:,::.;.=-,:..;:;
(s + 2)(s + 3)2
5
2
3
~ ,-+-2 + ,-+-3 - "<,-+,-,3)"''
.---t .-hl------j5i------,.
X(•)
2
+
......
Y(.o)
.-----"'-----'·'{~"':&'",__
-~
'--tm t--.L-o--1 .-hi--_...J_ /
Figura 4.25 Reali.7J1Ção paralda de (7l + 37s + 5 1/((s + 2)(s + Ji).
Esta função de tmn.o;fetênda de terceira ordem não deve precisar mais do que três integradores. Mas scten.t.a.rmo5 realizar cada uma das trb frações parcisis scp3radamcme, precisaremos de quatro integradores
ckvido ao tennos de segunda Oftkm. Esta dificuldade pode ser evitada se obser"annQ5 que os tCilllOS 1/(s +
3) c 1/(s + 3)2 podem ser implementndos como s ca..,o;cat.n de dois subsistemas. cada um com uma funç~o de
ltlli}Sferência iguól.l a 1/(s + 3), como moscr.tdo na Fig. 4.25. C'lda uma das três funções de transferêoeia de
primeira onlem da Fig . 4.25 pode ser agora realiUlda como na Fig . 4.23.
• ~ J~Q:SS(\d l'eillinr pólo.COOIJI!Qos conjusndos indi~tt~~meMe u!'llndc>• c.a§C~II de duM funçOe! (le unnsfcrtncia de primeira ORk:m e
tt:alimcmaçdo. Uma fvnçlo de U1lmferênc:ia OOtn pólos -4 ±)b pode ser impkmanada usando a cllSC'-ala dt dtaas f'ili'IÇ6.'s de tnuiSfe·
ttncla de primelnl oolem idblticas. cada ema etndo um pólo t•n -o. (Veja o Prob. 4.6-.13.)
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CAPf1l.fl.O 4
ANÁU.~ OI! S ISTE!MAS I!M fi".MPO CONTfr.'lJO USANDO A 'l'lANSFOilMADA DE LAPLACE
367
E XER C ÍCIO E4.11
l)etcnni.nc a r.:aliza.çOO canõnk-a. em C11SC313 c em ~raleio de
H<s l ==-
s+
3
s"Z+7.s+ l0
(' 3) (-I-)
+= -5-+ 2
-5-+.)
4.6-4 Realização Transposta
Duas realiz;ações ~ditas tqw\ttl~ntt-S se elas tiverem a mesma função de transferência. Uma maneira simpk:s
de gerar uma realização equivalente de uma dOOa realização é utilizar sua trolt5posta. Para gerar a tranSpOS(a de
qualquer realil.llÇâO, alteramos a reali1.ação da seguinte forma:
I. lnven a todas a.o; direções das setas sem alterar os valores dos multiplica~ c~alares.
2. Substüua os nós de derivação (separação) por sornadore$ e vice~\·ersa.
3. Substitua a enlrada X(s) pda saída Y(s) e vice~\'ersa.
A Fig. 4.26a mostr.l a \'ersâo transposta da rcali.znção na forma direta canônica da Fig. 4.22b, obtida de acordo
com us regra<; listadM. A FiJ. 4.26b é a fíJ. 4.26a reoricmada na forma convencional., de tal form3 que a entrada X(s)
apa~ no Lado esquerdo e a safda Y(s) :ap:IJ"CCC no lado direito. Observe que esta real:it.açio também é ennônica.
Em \'ez de provar o teorema de equivalê-ncia de rtali:zações tJanspostas. iremos verificat que a funçlkl de
tt;).nsferência da realiUt.Ção da F'ig. 4.26b é idCnúc:a à da Eq. (4.60).
A Fig. 4.26b mostra que Y(s) está sendo alimentada através de N viU$. O sinal de realimcntnção que aparece
na entrada do s.omador superior é
<'l
- a,\'-t
- u11 )
-- sa. + --sz
+ ··· + +
s.v- •
s"'- Y (s)
O sinal X(s). que alimenta o somador superior atra\'éS de N + I ''ias de alimentação direta. contribui com
(
Y(s)
>t•>
X (s)
(•)
( b)
FiS,.rum 4.26 Realiuaç-ão de uma funç-ão de transferência UT de ordem N na forma transposta.
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368
S!NAIS E SI.Sli!MAS LINEARES
A safda Y(s) é igual a som\l desses dois sinais (aliment~o direca e realimenwção). Logl.'t
Y(s)
=
(~
+ ~+
··· ·+~
+-.a,
,. ) Y(s)
S
sl
.fN'"" I
,çN
+(h{,+ b, + ... + hN-• + bl\' )x<s>
1 N- I
1
1N
Transponnndo todos os tcnnos de Y(s) para o lado esquerdo c- muhiplicando por ,(, obtemos
(.J'"
+ UtSN - I + · · · + ON-11 + UN) Y (I);:: (boJN + b ,s.v- l + •·• + b N-II + bN)X(S)
ConseqGentemente.
H (s)
= Y(s) = bos~ + b,s~'~-• + · .. + b
11_ 1s
X (s)
s "'
+
a•l'.,._1
+ b,,.
+ · · · + ON-11 +
a .v
Logo. A funç.ão de transferê-ncia IJ(s) i. idênlk.u à Eq. (4.60).
Essendahnente. dobramos o número de possí,•eis realizações. Cada rcalizsção dctcnninada anteriormente
poli:Wi uma tr.lnSJ>OI"'!L Obser\'c que a t.mnspost.u de uma transpostu resulta na mesma n::ali~ção.
EXEMPLO 4.11
De1cnninc a transposta ds rcali1.açilo direta canônica dctenninad:tl nas pan es (ale (d) do Excmplo4.19 (Fig.
4.23<: e 4.2Jd).
As fuDÇ'Ões de rr:msferência são
s+ S
(a) s+ 7
(b)
4,\' + 28
.f2 +6s+5
As dlUI.." realiz~s são CllSOS especiais da realização mosuada na Fig. 4.26b.
(a) Neste caso. N = I com a 1 = 7, b0 = I e b1 = 5. A reali7.aç.âode.o;cj.ada pode: ser obtida transpondo a Ftg..
4.23c. Enlrctanto. já obtemos o modelo geral da realização transposta na Fij:. 4.26b. A sotuç!kl deseja·
da é um C.'LW especial da Fi.g. 4.26b comN = I c a 1 = 7, b0 :;::: I e b1 ;;; 5, como tnosuudo oo Fig. 4.27a.
(b) Neste: caso N = 2 com b<o =O. 1>, = 4, b1 = 28, o 1 = 6 e~= 5. Usando o modelo da Fig. 4.26b . obtemos a re:~ li 1.ação ~jnda. CQmo mostrado na Fij:. 4.27b.
(b)
Cal
Figura 4.27 RcalizaçiiQ na fonna transposta de (a) (s + 5lf(s + 7) e
(b) (4$ + 28)/(s' + 6J + 5).
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EXERCÍCIO E4.1 2
Occcm1ine a reali;o.aç?!o •luc é a \ f!rs:io u·ru,,.posca da (a) realizaçãof-1 )1 e (b) real • ~:.nçãodiret;• t.!4noni~ de lf(t) Jo
Excrdcio E4. 10
4.6-5 Utilização de Amplificadores Ope.racionais para a Realização de Sistemas
Nesta seção discutiremos a implementação prátic-a da.s n-alizaçõcs descritas na Seç-ão 4.6-4. Anteriormente. vimos que.os elementos básioos necessá.riQ5 para a srntcsc de um sistcnut LCIT (ou de umn dnda funçilo de trans·
ferênc:ia) são multiplicudore!i (escalares). in1cgradores e somadores. Todos estes elementos podem ser implementudos utilizando circuitos com runplifiC'-:tdores operacionais (amp-ops).
CIRCUITOS COM AMP~IFICAOORES Ü PERACIONAIS
A F'ig. 4.28 mostra um circuito com amp-op no domínio da freqoência (d.I'Cuito U':tnsfom:wdo). Como a impedância de (jl(t.ada do mn~ é infinita (muito aha). toda a <:omnte /(s) Oui na malha de realimentação. como
ilustrado. Al~m disso. V..(s). a tensão na entrada do amp-op é 1.cro (muito pequena) devido ao ganho infin.ito
(muito alto) do am(H)I>. Ponamo. parn todos os propósitos pfátkos.
Y(.<) = - / (s)Z1 (s)
AJém disso. como
v..(s) ~ O.
l (s) = X(s)
Z(s)
A ~ubs.tituiçOO da segunda equação na primeira leva n
Y(s) =- z , (s) X (s)
Z (s)
Pona.nto. o circuito com amp.op da Fig. 4.28 possuiu função de uans(erência
H (s)
2
(.<)
1
= --
Z(s)
(4.68)
Atra\'éS da escolha fidequikla de Z(s) e Z.,(s). podemos obcer uma grande w riediKic de fun9'ks de trnnsferincia. tal como o dcsen\'olvimento a seguir mQStrnr.i.
figura 4.28 Configuração inversoro básica oom amp-op.
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SINAJS F. StS ll!M.>\S LINBARES
370
M ULTIPLICADOR ESCALAR
Se utilizarmos um resis:tor R1 rw malha de realimentação e um resistor R na entrada (Fig. 4.29a). entào Zfis) •
R1 e
1/(l)
=_!!i.
R
(4.69a)
O sis1ema func-iona como um multiplictldof esc:dar (ou nmplific:ldQf') CQm ganho ncgali\'ORJ R. Um ganho
positivo pode ser obtido usando dois multiplicadores em série ou usando um lln.ico amplificador n3o inversor,
romo mostntdo na Fig. 4. 16c:. A Fig. 4.29a t:unbém nKlStr.l o símbolo çompac..1.o utilizado t .m diagramas de cir·
cui ao para um muhiplkudor csc.alar.
INTEGRADOR
Se tuili7...1.m~S tlm ca~citor C na malha de realimemaç.1o e um resiscor R na ernrnd.'l (Fig, 4.29b), então Zj.s) =
1/Cl. Z(s) = R ep
1/ (.<) =
( -...!...)
~
RC s
(4.69b)
O sistema ftii)Ciona como um imcgrndor ideal com ganho -1/RC. A Fig. 4.29b também mos.u-a o s(mbolo
para um integrOOor.
oo.npàt.~to ulilizado em diag~mas de circuitos
SOMA DOR
Coosi<lere :tgOf'a o circuito da Fíg. 4.30a com rcntra©s X,(.t). X~(s)..... X,(s). Como sempre. a tensJo de entrada
V.(s);; O pois o ganho do amP"-OP -;. oo. Além disso. a cOotrente enlttlndo no amp-opé muito pequena (;; 0) pois
.,
R
+
+
f ($)
Y(..-J
Y(.1)
h
-
-•,
R
(oi
I
c;
R
+
F(s)
Jo"(s)
Y(s)
)'(• )
k •
.:.L
RC
( b)
Figura 4.29 (:1) Amplificador inversor com runp-op. (b) lntegrudor.
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R,
l'b)
X,.(s)
(b)
( >)
Figura 4.30
Circuito somador e àrnplificador Cóm arnl'"'op.
a impedilncin de cntrnda ~ oo. Pon:anto, a C(MTcme lOtai no res.is:tor de: realimenmç!lo R1 é / 1(s)
/,(.t). D:sut forma, como V~(.t) = O.p
x ,(s)
1/s) = j = L2 . .... r
+ /~(.t) + ... +
R,
Além disso
Y(s) = - R 1 [ / 0 ~<)
+ l, (s) + · · · + /,(s))
l
=- [ -R1 X,(s)+ -R 1 X1(s)+· ··+ -R1 X, (.t)
R,
R2
R,
(4.70)
= k , X,(s) + k, X,(s) + ... +k, X, (s)
na qmd
- R,
k, = - -
R,
Clammcnle, o circuito da Fig. 4.30 funcion:. como um somador e um Mlplifie<~dor oom qualquer ganho desej ado (Xlta cada um dos sinais de enttWa. ;\ Fig. 4.30b nMtrn o sínlbolo <:ompac...1.0 utilizado em dia.graJTULS de
circuitos para um somador com r em.rod..s.
EXEMPLO 4.22
Utilize circuitos com nmp-op para realizar n form:. dirc1a canônica da seguinte fu nção de 1tansferêncl3
H(
_
s)-
2s
+S
• · + lO
s·' +...,·
A reaJh:açiiocanónic:a básic.u é mosuada na 1-i g. 4.3 l a. A mesma r~ li zsçioCQm rCQricntaç!k) horizontal
é mosuada na Fig. 4.31b. Os sinnis nos \•ários I>OiliOS ~o indicaOOs
realiz:)Ç'!io. Por conveniênci'*· identi·
ficamos a saída do úhimo integrador por W(s). ConscqU~memem e. os s-iJl:liS n.'lS e.ntrodas dos dois integradores sâo s W(s) c l lV(s). oomo mostrado na Fig, 4,31a e 4,31b, Os elementos com amp-op (multiplicador.
.,a
integrador c somOOor) alteram a polaridade dos sinais de saJda, Para incorpotar este fato, modificamos a re:-•liZ..1ÇAo CJnôn i ct~ da Fig, 4,31b para a IU06trada na Fig. 4.3 k. Na Fig. 4.31b. as saídas .suce.s sivas do somador e dos integradores s;io i iV(s). s\V(s) e \V(s). respectivamente. Devido à.s inversões de polaridade nos circuitos com :-unp-op. estáS s.-údas são - i W(s).sW(s) e - \V(s). n:sp<.'Ciivamente. n.n Fig. 4.3 1c. Esta im-enão
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- 10
1\'(sJ
5
(a)
(b)
>'(.)')
(Ç)
IOOkU
(d)
Fí~unt4.31
Implementaç-ã o da função de uansf.:rênt:ia dé segunda ordem (2s
+ 5)1i + 4s + 10) com
nm!H)ps.
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CAPtruLo 4
ANÃUse oo SISTf.M.AS f..\t TF.r.tPO CoNTf.suo USANOO A 'TRA..'lSFúflMADA oe LAPLACE
3 73
de polaridade requer modificações eo«espooderues nos sinais dos ganhos das m<llh:LS de realimentação e di·
reta. De acordo oom a Fig. 4.3 1b
= X(s) -
s 'll'(s)
4s\V(s) - IOII'(s)
Pon.a.nto,
- s'IV(s)
=-
X(s) +4.J II'(s)
+ IOIV(s)
Como os ganhos do somador são ~mpre: negativos (veja 1-i g. 4.3(X)), rce.._o;crevemos a cqu:w;ão :mt.erior para
-s'IV(sl
=
- I(X (s)J - 4(-siV(s))- 10{ - IV(s)(
A Fig . 4.31 mostro a implemen t~.!io desta equ«<;ão. A realização em hardware aparece na Fig. 4.31d.
Os dois integradores possuem g.nnho unitário. o que reque r RC = I. Urilil:alllO'S R = 100 kQ e C= IO~f.
O ganho de tO na malha de rcalimcntnç!lo mais extern:. é obtida no somador escolbendo um resistor de
realimentação p.1ra o somador igual a 100 kQ e um resistor de entrada de lO kfl. SimiJ:ume.n1e. o ganho
de 4 na malha de re.o'llimentaç.ã o mais interna i obtjdo usando um ~si.sror de entrada correspondente de 2S
kft 0$ ganho de 2 e S. neçess.ários nas malhas de realimentação. sAo obtidos usando um resiSlor de rea·
limcntaç5o de 100 k!l e resis•ores de entr:tda de SO kQ e 20 kfl. respcx:tivumente.'
A implemern.açllo oom runp-op dá Fig. 4.3 1 n5oé necessariamente a que utilizu u menor qwmtidude deampops.. Este exemplo é dado apc:rws para ilusuur o procedimento sistcmátirodc implementação de uma função de
trunsferêncin nrbiuária com circuitos com ampeop. Exis1em cin.,itos mais efteientes (tais como SaUen-.tey ou
Hiqusd) que utilizam menos amp-ops po.rn implernentar fun~ões de tntnsferênci.a d~ segundA ótdem.
EXER C Í C I O E4.13
Mostre que alo funções d..: Lr:tn.,ft,'l'êncm do~ cir<."t.UIOS oom am(H)pda Fig. 4.3 l3 c 4.32-b ~ H11q c HJs). fC'')P.,"C ·
tiv.:tmenlc. dad:1s por
/fi($} •
- HI (
R
a
-
)
a=
s +<t
c, (' +h)
+a
c
I
-
c
R1 1
I
11,(.•) = - - - -
· ~ -­
R,c,
ç
b-
I
RC
c,
•
R
+
l
X(.\ )
Yü)
,,,
•
Xf >')
c,
r
('
l
~
f tf)
fb)
l:,gu ra .1.32
• É po:;si,-el n i.tur <J& ~ "m!K'ps in'~ (('Offt pOO - I) na Fi! . 4.3Jd :KIIl'Uuldo o SJ.nal s~ .r) .os Sc)fnadorts de ntlnlda ~ ~rda
dirtlafi~Ait:. usando a ('(lllfig.uraçào dll a•uptlf.ctnlór não imocf)(Jt da F'iJ.. 4.16d.
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374
SINAIS E SISTEMAS LL'IEAM.ES
4.7 APLICAÇÃO EM REALIMENTAÇÃO E CONTROLE
Geralmente, os sistemas são prq}ctados par.t produzir umu saída )'(t) de~joda para uma dada entro~da x(t). Usu.n00 um dado critério de performance. podemos projetar um siS1ema, tal como nlQStrado na Fig, 4.33a, ldealmen·
te. este tipo de sistema ern malha abl!rta deveria resultar na Wda desejada. Na prática. entretanto. as carncterístic-as do sis.tema mudam com o tempo. em função do próprio tempo de uso do sistema ou da substituiçiio de alguns componemes f)ll em.âQ de mucbllÇ-as no ambiente no qunl o sistema csfá operando. Estas variações causam
mudanças nn safda para a mesma emrnda. Obviamente. isto nllo é desejMel em sistemas de ptec-is1<1.
Uma po$Sível sol~àV para este problema~ ··•dicion;u um:~ componente de sinal à entrada que não é uma
função predeterminada do tempo. mas que irá ser alterada para contrabalançar aos efei1os da \'ltriaçào das carat=te.risti~·.as do sistema e do ombiente. Ou seja. de•.remos fornecer uma correção na entrada do sistema para
considerar as mudanças indeSC'jadas mencionadus. Como estas mudanças são geralmente imprevi.si\'eis. não é
evidente como podemos pré-prog_ramnr as Cot'TCÇÕCS apropriada'i nu entrada. Emrelanto, a difercnç.a entre a saf·
da atual c a saicl'l desejada nO:S fornece uma indicação de uma correção adequada que deve ser aplicada à entrnda do sistema. Desta forma, pode ser possl\•c:l contrabalançar as \'ariaçôc:s atrovés da alimentaçlo da saJda
(ou de alguma fuoç!o dt1 safda) de volt.-. r. entrnda.
lnconsdentemenle. aplicamos este princípio no dia u dia. Considere por exemplo a venda de um certo pr&dulo. O preço &imo deste produto é o valor que maximi;o,.a o lucro de um comerciante. A saida neste caso é o
lucro e a em~da é o preço do item. A saída (lucro) pode ser controlad.a (demro de certos limites) \•ariando a
entrada (pfé\'0). O comerciante pode c.olocar um preço mujlo aliO nó produto. iniéialmente. Neste CaS(l. ele
irá vender poucos itens. reduzindo o lucro. Usando a re-alimentação do lucro (saída). ele ajusta o preço (entmda) para maximizar seu lucro. Se houver uma mudança repentina no mercado. tnl como uma greve fcch:mdo uma grande fábrica na cidndc:, a demanda pelo itt'm irá redu1.ir, rcdu1.indo, ponanlo, sua safda (lucro). Ele
ajusta a ernrada (reduzindo o preço) usando a realimcnt~o da s11fd:. (lucro) de form:. que ele irá otimjzar seu
lucro na circun~fl.ncia aherada. Se a cidade repentinamente se tornar mais próspe111 devido a uma nova fábri C3. ele. ini <JumentarQ preço paro ma.1.imizar o lucro. Portanto. atra"6s du realimcntu~.ão contínu<i da saída para n entrada, ele con~gut' atingir seu objetivo de lucro mbimo (snídn o1imizadn) e m qualquer circunstância.
Podemos observ3r milhares de exemplos de sistemas realimentados ao nosso redor no dia a dia. A maior par•e dos processos sociais, econômicos. educacionais e polr1icos s!lo. na realidade, processos reaJimentados.
Um diag.T<'Ima de blocos deste tipo de sistema. chamado de sistema realimemado ou de malha fechada é IDOS·
u:~do nu Fig. 4.33b.
Um sistema realimentado pode ser utilizado em problemns que apam.-c:m em runção de distúrbios indeseja·
dos. tais como sinais 111ca1órios de ruído em sistemas elelrónicos.. uma rnjnda de \'Cnto afetando uma amenn de
r:t-St~men to. um mc• e<~ri•o a1ingindo um.'l espaçon:,we c o movimemo de ro•~o de uma phuafol'ma de anilha··
ria ami -aé~ mo.ua~ em um navio ou em tanques móveis. A realimentaçlio uunbém pode ser utiliu.da parareduzir não lineõVidades em um sistema ou para controlar seu 1empo de subidtl (ou larguro de faixa). A realimencação é utilitàda para ak'.ançar. dado um ceno sistema. um objetivo desejado dentro de uma cen.a tolerância da·
da. apesar do não c.onhecimento parcial do sistema e do ambiente. Um sistema realiment.ado. portanto. possui a
habilidade de supervisão e autoc:orreçiio em fun<,.iio de alten..-.ões nos purimeuos do sistema e distúrbios e:\ter·
nos (mudanças no ambiente).
.r(IJ
'
I
I
y(l)
•
(o)
.~(1}
)'(I)
(b)
Figurà 4.33 Sistenw em (a) maJha t~bena e (b) malh~ fech.1da (realimenta.do).
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CArtn.n..o 4
ANÁLISE DE SISTEMAS E!M T'E MI'O CoNTf:O.'liO USANDO A 'flA."SfORMADA DE L APlACE
3 75
=
Considere o amplific-ador realimenraOO da Fig. 4.34. Seja o ganho direto do amplificadOr G 10.000. Um
centésimo da safda é realimenmda p;ira a entrada (ll 0.01). O ganho T do amplificador rc:alimentado é obtido
po< (veja a Eq. (4.59)(
=
T =
---'C':== 10.000 = 99 OI
i+C H
I+IC)O
'
Suponha que. devido no tempo de uso ou sub.çtituição de algum trunsistor. o ganho dircto G do amplificador
muda de 10.000 parn 20.000. O nQ\'O ganho 00 amplificador rcalimcnrsOO é d:tdo por
G
= 20.000 = 99 .5
I + GH
1 + 200
Surpreendentemente. uma \'ari:lç!lo de I00% no ganho direto causa urn.1 variaç.,o de :.penas 0.5% no g:mho to-tal T do ~unplificador reodimentado. Es:tu reduçâõ n'' sensibilid.-.de a variações paraméuicas é o ponto chtwe pru-a
amplilitadOn!S de prol-;isão. Neste exemplo. reduzimos a S('nSibilidade do grutho a vruiações par.tmétrictts oo cus·
to do ganho da maJha direta. o qual foi rc:<hrt.ido de I0.000 (considentndo malha abe.na) para 99 (considtr.tndo a
maltw t'echada). Niio cxiste carência no ganho de malha direca (obtido<:ascateando est~gjos}. A baixu sensibilida·
de é extrcmamcn.t.c preciosa c oponuna em sistemas de precisão.
Considere. >lgora, o que acomece se som.1.ml0s (ao invés de subtrMtmos) o sinal de realimemaç!W.> ao sinal de
entrada. Tal adição signifie-... que a eone.x.OO de ~alimt.maçOO é + <lO inv~ de - (o que é o mesmo (Jue aJterar o
sinal de 11 na Fig. 4 .34). Conseqüentemente.
T=
.,. =
.,......;c"=
I
-GH
Se fium1os G = 10.000 como antes e H = 0.9 x 10-'. emlkt
T
~..,..;
1;;0·:000
:;:;;:,.=;7
= .,0 .9(10')(10-' ) =
100.000
Suponha que devido ao te1npo de uso ou subslitui<;M de alguns transistores. o ganho de malha direla doam·
plific.udor mude para 11.000. O OO\'O ganho do amplificodor realimenw.do é
11.000
T =
,--_-,0-::
.9"'(1c_,I..:,.000
:,;;::)-,(I"'O""-•"> = I. IOO.OOO
Obser"e que. neste c.llSt). um simples aumento de 10% no ganho direto G resultou em um aumento de I()()()%
no ganho T(de IOO.<XXl parn 1.100.000). Cluramcnte. o amplitklkior t muito scnsí\-el a variações paramécrkas.
F..s te componamcnto é exatamente oposto ao que foi observado anteriormente, qunndo o sinal renlimcntado f
subtraído da cntroda.
Qual é a diferença entre a.ç dua.ç situações'! Fabndo de forma simples. o primeiro ca.w é chamado de rrali·
m~mação m.'gaiiW'I c o Ultimo de IY!IIIimemaçdo posirhtt. A realimentação positiva aumenta o ganho do sistema,
mas tende a tomar o sistema mais scnsi\'cl a variações paramétricas. F..la também pode resultar em inslahilids·
de. Em nosso exemplo, se G for 111.1 11. então GH = I, T = co c o sistema se u)mará instá\'el, pois o sinal de
reaJimcm:.çOOé ~atamcnte igual ao próprio sinal de entrada. pois GH = I. Logo. uma "ez que o sinal seja apli·
cado. não importa quão peq~.aeno ou quiio curto em dura~·5o ele stja. ele será ~alime.ntado para reforçar à entra·
da. a qual passará para a safda no,•amente, liClldo ~Liimeruada de lkWO e de no,·o e de novo. Em essenda. o si·
nal se ptrpetuará indefinidamente. Essa pe.rpe1uação. mesmo se a entrada deixar dt tx.istjr. l prec-isamente o s-intoma de instabilidadt.
A'(I)
C'( l )
)(I)
G
H
Figuril 4.34 Efeitos de rt<diment«Ção negaliva e positiva.
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376
SI.NAI.S E S ISTF.MAS L1.NI!.Mt€S
Oc um modo gemi. um siscema realimentado não pode ser descrito em te.m1os de p•-eto e bronco. cal como po·
sitiVQ ou ncga1ivo. USI!..'llmc-ntc, H é uma componente dependente da freqüência. sendo mais adequadamente represent:kla por H(s). que varia com a frcq(ICncia. Conscqüc.ntcmcntc, o que é uma rcolimcnlnç-ão negati\'a em baix.<:~s
freqüências. p<xk se cornar em uma reaHmentaçào positiva para altas froqtlêncins e pode rcsul1:.r em i.nswbilidude.
Este e um dos sérios aspto.ctos de sistemas realintt~ntados. o qual requer uma cujdadosôl atençtlodo projc:l i~a.
4.7-1 Análise de um Sistema de Controle Simples
A Fig. 4.35a rcprcscnla um sistema de controle automático de posição. o qu;)J pode ser utilizado parJ <."Ontro1ar
a pos.iç~o aniular de um objeto pc$O(io (por exemplo. uma antena de msucamentu. uma bateria ànti-aérea ou a
posiç;'o de uma na\'e). A cnlrnda 9, é :t posiçf10 angular dcsej:Kia do objeto. a qual pode ser ajustada para qualquer valor. A pc>s-i\50 angulilt atual 00 do objeto (a saída) é medida mta\'éS de um potenciômclro cujo eixo é comUJn ao c.i.xu do objc.·to de saída. A di fertl~-tt entre a ent.r..ld<l ~ (posiçâo de S.'lída desejad<l ajust:llda) c a sardn e..
(pos:ição t~m:tl ) é mnpliticacb . A saidn amplificada. a qual é propoo.· iónal a 01 - 9~ é aplica.da a er1trJd<l do nl()o
tor. Se 81 - 8., =O (a saída sendo igual ao ángulo dcscj-udo), não existe cnlrnda aplicada ao "!otoretle irá par:lt.
Mas .k o. ;t 0,. existirá uma entrad~• n5o nula no motor, o qual irá gir:.tr o eixo até que e. = e,. E cvidcntc que aj ustando o potcnciômetro de entrada para uma deseja posição neste sistema. podemos comrolar a posiç.~o anguiM
de um objclo pclt.'ldo remoto.
O diagrama de blocos dc:;.tc sistema é mostrado n:~ Fig. 4.35b. O ganho do amplificador é K . onde K é ajustá\-el. Considere que funç.'io de transferência do motor (com a carga) que relaciona o ângulo de saida 0, com a
tensão de entr.td~• do motor é G{s) (veja a Eq, (1 .77)1. Esce amnjo de realime.maç~ é idêmico tiO cln Fig. 4.18d
c.·: om H(.ç) = 1. Logo. J't.ç). a função de transferêr1cia do sisu:ma (em 111àlha fechada) que relacion<.la saída O~ com
a entrnda o, é
El.(s)
e'(')
=
KG(s)
T(s)
= I + KG()
s
A pru-tir desta equ<lçâo iremos i.n\'eStigar o eompont~mcnto do sistema de controle au1omá1ico de posição da
Fig:. -t35a para uma cntrnda em degrau e e m rampa.
EN'rnAOA EM D EGRAU
Se dcscjanno:; mudor n posição angulill de um objeto in!>li111!41neruuente. predsàm(l6 upliéar um~• entr.tda. em degrJu.
Então, podemos quçrcr saber quan1o tempo o sistema gastará par.t .se posicionar no novo ângulo desejado. se ek
realmente atillgir:1 o Sngulo desejado e se ele atingirá o itngulodesej3do sua\'cmente (monotonicrunente) ou oscilando ao redor d~• posição fi nal. Se o .sistema oscilar, pode-mos querer saber por quanto tempo ele oscilará. ~rOdas estas
questões pOdem ser f~cilmente respondidas detennjnando a saída 8,(1) quando a cnrrada 0,(1) = Jl(1). Uma enuada
em degrnu implic-a .:m um11 mOOança itlst:tmâoea oo ângulo. Esta entrada é um!l das mais dificei&de se-r ~ruida, c.
se o sistema se comportar bc:m par.t esta entr.da. enll'iO ele provavelmente te~ um bom oomponamcmo M'), Otl.tta.1:
situações esperada.~. F.:sre é o motivo pelo qual testamos sistemas de controle oom ll ll\il entrod<l em degr:tu.
Pnr.t n cnlr.tc:ln em dcgr.tu 6;(1) = 11(t). ®(s) = 1/s e
I
KG(s)
(:).(s) = ;T<s) =.<[I + KG(.v)l
Considerando ;.l função de transferência du motor (com a <:arga) que rcl~ciona o ângulo da c:arga 0,,(1) oom a
tensão de entr.1da do motO( igual a G(s) = 1/(l(S + 8)) (\'cja a Eq. (1.71)}. temos
K
(:) ( ) _
s(.•
"s - s
+ 8)
[I + _ :..:K...,.
s(.<
K
=.,-(,.-s''"+_:;.S.v-+--,K"')
+ 8)
Vamos inves•igar o componarnc.ntu do sistema parJ tres valores diferentes <lc K .
PnruK = 7.
(-).,(s) =
7
.t(sl + Ss
7
+ 7)
=r
s(s + I)(s
.
+ 7)
I
1
= - - -•s
.t
+
I
!
+ -•s +1
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Pott i)Ciômdro
de <'Otruda
oc
(a)
AmplifJCadOC'
•
~~~--·-------·-·
Mocor e carga
·~J
•••
_____
· ______
ç,_,_·_____
(b)
1.2
·(<)
T
••
(d)
·-
Figura 4.35 (a) Sistema de controle automático de posição. (b) Seu diagrama de blocos. (c) Rcs~a oo degnu ul'lito1rio. (d) Resposta a rampà Ul'litária.
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378
SINAIS ~ SI.Sll'.MAS LINEARES
e
= ( I - i c-' + ~e-T') ••(t)
0"'(1)
E.stn rl$posta, mostrada na Fig. 4.3Sc, mostt\l que o sistenHl atinge u ângulo desejado. mas a um passo bem
lemo. Para tk.'t-lerar a respost<t. vamos aumentar o ganho para. digamos. 80.
Pata K = 80.
80
e . (s)
80
= s<s' + 8s + 80) - s(s + 4 - j8)(s + 4 + j8)
~cJ • SJ
:â.c~J I.W
= -1 + ..
s
s+4-j8
+ ....!•..::,..,....,
.< +4+j8
e
O,.(t)
:;a
[I + 'f~_., oos (81 + 1 53~)) u (r)
Estl resposta. latnbém mostrada na Mg. 4..35c, atinge o objetivo de alcanç~r a posiç.~o final a um passo nWs l'á·
pi<kt do que. no caso anterior (K = 7). Infelizmente, a mclhc.>ra é obtida ao cu ~o de oscilações com um alto sobresinal'* No c~so atual, o sobn:·:Jinttl J)(:lt't!lltuol (SSP) é de 21%. A resposta atinge o vaJor de pico no 1empo tk pico
IP= 0,393 segundos. O tempo de sublti<l. definido OOUló st-ndo o tempo ncx:e~ para a reSJ>OS'a subir de I0%
p.w9f.)% 00 seu "alor de regime pennanente. indica a \-eloci dadeda rcs:posca.1 No c~so atUal, I,= 0,175 segundos.
O vaJor de regime pem1anente da resposla 6 unitário, 1al que o erro de regime fNI'mantme é zero. Thoricarnente. 6
necessário um tempo infini to para a rcs.pos.~a atingir o valor desejado de unitário. Na prática. entretanto. pode.nw:.s
rons:idc:rar que:. resposta atingiu o valor tinal se ela esth-er muito próxima do vai« finaL Uma medida nmpl.mnenle 3CCita de proximidade é estar dentto de 2% de seu valor finaL O tempo not.~ para a rcspm.to atingir e permanecer dentro de 2% do vaklr final é chamado de tmrpo de lU:omodaçiio '··' Na Fig. 4.35c, oós temos t
I segundo (quando K = 80). Um bom s istem<~ apresenta um pequeno sobre-sinal. um pequeno 1, e 1, e um pequeno errode regime pennu.nente.
Um g:t:lnde sobre-sinal. como no caso atual, pode ser inaceitável tm várias aplicações. Vamos tentar determinar K (o ganho) que n:sulta em uma rápida respos•a sem oscilações. Rafus c.àr:.léterfsticas complexas levam a
oscilações. Ou seja. pa.ra evitar oscilações, as rní1..cs: caraeferCsticas de,•e m ser reais. No caso atual. o polinômio
car:rt.1eristico é s + 8.f + K. P:.lra K > 16. as raí:t..cs caracteríSticas são complexas. Pata K < 16. as raízes são
reai.s. A re.o;post:. mais rápida sem oscilações é obcida escolhendo K
16 . Consideraremos este caso.
Pnro K = 16,
4
:::::-
=
e.(s)
=
16
.\'(.r2
+ 8s + J6) =
I
I
:; ;: S - s + 4 -
16
S(.\' + 4)2
4
(s + 4)1
e
9,.(1)
= (I
- (41
+ l)e-"lu(l)
Esta resposta. também é mostràda ua Fig. 4.3k. O sistema oom K > 16 t dito ser sltlxmwrtecido (respos•a
osciJatória). enquanto que o sistema c:X'Im K < l6 é dito ser superamonecido. Pnrn K = 16, o sistem.'l é dito ser
oom tmrom:dmemo critko.
Existe um oompromisso e ntre um sobre-sinal indesejado e o tempo de subida. Reduzindo o sobre-sinal au·
menta-se o tempo de subida (sistema mais tento). No prática. um pequeno sobre-sinal, o qual ai.nda é mais 'ápi·
do do que nmonecimemo critico, pode ser aceitá.,·cL Nocc que o sobre-sinal percentual SSP e o tempo de subi·
da t, não possuem significado para os casos de supc.ramortecido c :unonccimento crítico. Além de aj ustar o &11·
• N. dt T.: SOC'utl~ t:unb6'n na litel".alllta~•n portug~. c1 tt:rmo•~ngu~;~.t ( n l inpêi o,·t.nht-.Qt.
• N. ck T.:0 u mpo dt: (Jt i'IIM) '~ definido oomo sendo o ~mpa t~C~CeSsllric.> parn III'C$J)Ot>lll a~ina:ir 50% do -Seu \'liOf de rq;lme pcnna11c~to
te wnbém é wtr<l indkaçiodc: \>elocidmJe. Pltro o ç;oo•""-'· r1 = 0.141 .scguntlos.
' (h ''alo:m:s: l)('f'C'C't'lluai:S utJU.tade>!l sJo 2~ e
pata r..
''*'
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CAPfTULO 4
ANÁLISE DG StSTI!MAS EM TEMPO CONTft-'00 USA'l"DO A TRANSFOR.\tADA DE LAPLACE!
379
nho K. podemos pm:isar aumentar o sistema t.Xlm algum tipO de <.-ompens.adór se as espe<:ilicã<;õeíõ de sobrt:·Si·
nal e velociWtde de resposta forem muito restritivas.
ENTRADA EM RAMPA
Se~ bateria :tmi· aérea d:t Fig. 4.35a es1iver rasueand(l um avião inimig(l se moveJKI(l com uma velocidade uni·
forme. o ângulo de posiçâo da bateria de\'e aumentar line~u·melll e com 1. logo. a emroda. neste caso. é uma
rampa. ou sej a, O,(r) • w(r). V:unos delinit ~resposta do sistema a es1a entrada quand(l K ~ 80. Neste caso.
El,(s) ~ lis' e
_
(:) (s) =
<t
8()
s2(s2 + 8s
+ 80)
0. I
I
_Oc:,'l-ó(s,...--,--;2)0,
= - - +- +-;
.f
.f1
_ç ! + 8.f + 80
Usando a Tabela 4.1 . temo~
0,(1)
= [-Q. I + I + je-" OOS (81 + 36,87')) u(/)
Esta resposta. mostrada na Fig. 4.35d. mostra qu-e.existe um erro de regime pem1aneme *', =- 0, 1 rndianos.
Em vários e-a.o;os. este pequeno erro de regime pennaneme é tulrrável. Se-. entretanto. um erro de regime pcrmá·
nentc nulo puta entrada em rampa for neccs$1irio. este si1;tema em suo fonna atual é im;:stisfat6rio. Devemos adi·
cionar alguma forma de compcn.s~o ao Jtistcma.
EXEM PLO DE COMPUTADOR C4A
Usando o sistema l'ealime.ntado da Fig. 4, 1Sd com G{s)
degrau paru e-ada um dos seguintes casos:
=Kl(s(s + 8)) e H(s) = I. detennine a resposta ao
(a)K =7
(b) K : 16
(c) K = 80
Adicionalmente.
{d) de,tcrminc a resposta a rampa unitária quando K
=80.
O Ell:emplo de Computado!' C4.3 calcula as funções de transferência deStes sistemas reaHmentados de ma·
neirn simples. Neste exemplo. o romandu conv é utilizado para demonstrar a muhiplkação polinomial dos
dois fat ores do dc nominndordc G{s). As respostas ao dcg:mu siio calculodllS w;ando o comando 11tep.
(a.c)
»
»
>>
>>
>>
>>
>>
>>
H • cf (l , 1 ) ; K = 7' G • t f ((O O K).conv ( (O 1 O). (O 1 8 ) tI ;
TFa • feedback (G, H);
H = cf (l ,1t ; K = 16: G • t f ((O o K) ,conv ( (O 1 O) • (O 1 8) I } ;
Tfb = feedback(G.H) ;
H = cf(l,1) ; • =
G • t f ( (0 o K) . conv({O 1 OI , lO 1 &J I >;
TFC = feedback(G.H ) ;
figure (1); clf; step( TPa, 'k• ' ,TFb, 'k •• ' ,TFC, ' k·, '1;
legend(' fa ) • = 1' •• ( b ) K • 16'. ' f c) K • 80' , 0) ;
ao,
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380
S tNA.IS E SISTE.\tA.S LINEARES
Step response
1.4
I. 2
---
'
I .Jr•••'"\'-.T":-..:- -
~
r
08 I
''
r ''
~ 0.6 r ''
<
I '
0.4 r :''
K:1
K = 16
--K=80
"
ô. ? I 'f
-'
4
2
3
Time (:sc:<:ontb)
5
6
Figura C4.4· 1
(d ) A resposta a rnmpa unitária é cquivalcmc à dcri\'uds ds resposta so degral• unitário.
.:>> TFd = seriee (TPc.tf ((O 1] , (1 0))1 :
n fig ure (2) ; c lf; step (TFd. • k- · ) ; legend ( ' (d) K • 8 0 ·, Ol :
,..,.. tit l e t 'Resposta a rampa
un1~ár i a ')
2_,
2
o
'g L$
·=
õ.
~
0.5
00
0.5
2
!.S
f.lgurll C4..4-2
E.~PECIFICAÇóEs or, PROJETO
Agom u leitOf possui alguma idéin sobre as várias especificações que urn s:i ~t cma de oon ~ro1e pode noces:sil:tr. Gerulmente. um si :;tem:•de c<>ntrolrc é projet!ldo parn ntcndcr urn.1 dada cspociti~ç:'kllransitória. cet13S especiftt."ações
de erro de regime I)Cnn:mcmc e cspccilicaçõcs de scns.ibilidadc. Especificac."i'Jes tr.msit6rias inclu.:m sobre-s-inal.
1cmpo de subida c tempo de 3(.."0mod:w_"âo da respost.'t ao degrau unitário. O etro de l'égime pcnnan.:ntl! é a difc:ren·
ça entre a f'CSpt.)Sta desejada c a resposl:t re.'IJ a uma dada emroda de leste em regime pe:nnanente. O sistema tam·
bém deve salisfai'.er a uma dada especificação de set~sibil idáde a alguma variaçfio !Xlr.unétricà do ).Í:.tema. ou u ai·
gum tlistúrt>io. Adma de tuJo. o ~i.slema de,•.: pem~.<uaec:er e;sWvd p;Ir.t alguma condição de uperaç-iio. A disc.'Ussão
de procf!djme.nlos de pmjelo utilii'-"ldo para implemen1:1r espedticaçôes dad11s está além do e$C."(lp<) dcs•c livro.
A lihrogem é um.:l impOI'l:ltlte áre<'! de pl\)(.cessamcn1o de sinais.t-\s car.•<.·(erístil~as de fi llrugem de um sistcm.:l são
ir'(iicallas pcl:l re.sposw do S:istem::J" Sérlo6iJes de vári~•s fre(lüências. variotndo de O a oo. This car<•Cterí!>ticas são
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CA.PfTvt.O 4
ANÁI.ISG 00 SISTEMAS EM TEMPO Comí."'UO USANDO A TRANSFORMADA OS lAPt.ACE
38 1
chamadas de resposta em freqüência do sistema. Nesta seçiio dctenninnremos a resposta e m freqüência de sis~
temas lCITs.
Na Seç~o 2.4-4. mostramos que a resposta de um sistemn LCIT a uma entrada exponenc:ial de duração infi·
nita .\{t) = r' também é wna e;(pol'lenciõll de dui",)Çà<l infiniw. H(~·)t/'. Thl como antes, nós iremos utilizar setas
direcionais do entmda para a saída parta representar um par eutr::tdà-saídà:
(4.71 )
Fazendo .s = jw nesta relaç-ão. teremos
e'
6
"
==> H(jcu)elfllf
(4.72)
Obser.·ando que ros t.&'J16 a parte real de ~Jo# e usando a Eq. (2.40),
COS(I)I
~ Rcl H(jw)eJ-'1
(4. 73)
Podemos expre$$ar HUwl na ronna polar como ~ndo
H (jw)
= I H (jw)le i -HU•J
(4.74)
Com eSie resultaOO. a relaçâo (4.73) toma-se
cos w1
=
I11(jw) I oos I"" + l H (jw li
f.m outras palavras, a respost.a ){1} do sistema a uma e ntrada senoidal cos cut é dada por
y(1) = IH(jw)lcos [<W
+ l H (j<») l
(4.753)
Usando um argumento similar. podemos mostrar que a resp<J6la 00 sisteRYI a se.nóide cos (eu~ + 8) é
y(1)
= IH(jw)l cos (M + 0 + l H (jw)l
(4.75b)
Este resultado é v;Uido apenas para sistemas BIBO está\'eis. ' ' resposta em frcqOência nflo pc>ssui sentido pa·
ra sistem.as 8 180 instáveis. Est.1 característic..<l é decorrente do fmo de que a resposta em freqOêncin da Eq. (4. n)
é obcida fnzc.ndo .f = jc.1 nu Eq. (4.7 1). Mas. como mostrodo na Seção 2.4-4 fEqs. (2.47) e (2.48)). a relaç!i.<l
(4.71) só se aplica para valores de s nos quais H(s) existe. P:trn sistemas BrBO instáveis, a ROC de H(.f) não inclui o eixo jcu. 11() qwtl s :::. jw r\'eja a Eq. (4.14)), Isto signifiCó'l que H(s). quando$ = jw. n!IQ ICill sentido p:u'll
sistemas 8 180 instoh•eis.'
A Eq. (4.75b) mostro que pam umn e ntrada senoidal de frcqüêoda angular w. a respOSta dó siStell\à também
é umn senóidc de mcsnw freqüência w. A amplillldt' da :um6ide Je salda é IN(iw)l ~-eus a amplitmle de ~ntrodtJ
e afa.re d11 se.t~6id<- de saída I tlesfoct~da tiQr L HUw> com rrdaçllo oftue de emMia (veja n 1-1;. 4.36 no exemplo 4.23). Por e,xemplo. um certo sis•ema com IH(jiO)I ::; 3 e L H(jiO) = -30" amplifica uma scnóidc de freqüência ro = 10 por um fnlor de 3 e atras.a sua fase pOr 3<t. A resp(l(>La 00 sistema a uma enlt'8da 5 oos (IOr +
$()") é 3 X 5 C05 (I OI + $()" - 30') = I5 cos ( I O< + 20').
Cloln\menle, IH(iw)l é <180IIi i(J de :unpli1u~ do si stcm~ c um gráfico de IH(Pu)l versus cu mostro o ganho de
amplitude com urna funç!l.<l de w. Chamarnos IH(jw)l de re~po~·w de amplitl4de. Ek também recebe o nome de
Tl!sposta de magnitudt> na literalur<~.t Sirnilarmea:ue. L H(jw) é ;\ rtsposw de fim! e um grá.ftro de ' H(jw) \'ersus
cu mostra como o sislciTUl modifica ou allem a f use da senóide de entrOOa. Obsen-e que 1/(jw) possui a infoml3·
ção de IHUw)l e LHUw). Por esta ra71io. HUw) uun~m é chamada de resposta em freqüência do siS~ema. O gni·
fioo da resposta em frcq(i.ênçia tf/Ucu)l e L H(jw) mostra rapid3mente oomo o siSitma responde :a senóidcs doe vá·
rias freqüêndas. Portanto. a resposta em freqüência de um s-is1ema represema sua caraCterística de fihrogem.
' Este futn tanltlém 110de""' t~rgumcnladnd~ oolta rom11:1. l'anl :;.ISil.'1'1W Sl80
ltl~ih-ds. a tesp)!Sta de eoltllda t1Wa oon~l!m lffl'l~ de
~ nalurais nf!Qdf.'Cmw..'e~ na formn cosav ...,, ,."" OQS41V (a > O).l.c)IO. a re!f!U~Ucle bis ~in:tb à JW-116ide cos wt iri ('()Dfer aão
s.ottiCflte a scMide lk freqUI!ncia M mas Ulm~m moOOs BIILUrais ndo dct:re$0CBICS. hz.endo çom que oc;onçeito de m~111 c::m frcqliência perca n ,;enlidu. Alternatil-:w'IIC!Itt:. potlel1~ afl:Ull'lr:ntur qut qunudo s = jt;t. um sii4Cma 8180 ilutfvtl vlolo.l a condiç-.11:1 <k; 00.ninlocia R<: .\1 < Re jw .,._lodo i, l\ll q\llll ),.{ repr(:.!iCIIU! Di-áim" ruit cnmcteristiolsdo P<~tcma (vq;~ a Seçtlo •U·I ).
• Estritamcrtle lnbndo.lll(.i<u)! é a ~post:1 de lmlJI.tli:tude. E.tilite uma pequena di:uinç.iu m ire amplitude~ 11laguitud..-. AII:!JIIitudt A pc>-
dc stt ~t:iva ou ncpliva. Por outro lado. a magnit\Kic IAI é ~<en~ nllo llf.'IDrivu. Nós 00$1lb51Cmos de dep«<cJcrclnt11 di:sti~ ú1il
eotno atnpl1tude ~ .nagt~itude DCJ i.nkres&e de" evit(lr a proUf~"f'aÇIQ de (1}ddadcs t"S.SC"ndabnc-Me s.imilartlõ. EsJ.e é o OIOÚYO prlo qual usam0 e:spec:~ro de ..nmplilude'· (ac• h1'b de ..ln:lg.llitude-) pur.a !1/(iiu)l.
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382
Sll"'AIS E St~'TE.'IAS l.JNF.ARES
Determine a m>posta em f"J'1.')qüêncin (resposta de amplitude e f~) de um sistema cuja função de transferência é
H (s) = s+O. I
.f +5
Determine. também, J resposta y(t) do sistema se a entrada A~t) ror
(a) ros 2t
(b) ros(IOt - 50)
Neste caso
, )
H ( }W
''-''w:....;_+..:O,:.c.I
jw+5
;; ~
Porunto.
i. H (jw) = tan- 1
c
(~)tan- • (~)
0, 1
5
Thnto a resposta de amplitude qu:uuo a resposta de rase são m05tr.tdas na Fig. 4.300 em função de w. Estes
gráficos fornecem a informação completa sobre a resposaa em freq Uência do sistema a entradas senoidais.
IH!Iwll
0.>!94
0.372
o
2
o
lO
2
lO
(I)
(b)
Figura 4.36
Respostas em freqüência para o siStema LCIT.
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C.\PI'l'l.ri.O 4
A NÁI.ISF. DE StS'I'EM.A.S F.M 'l'r:.MPO Co~.'l'(SUO USANDO A 1'RA.~"SFORMADA DE L APL\CE
(a) Paro a enLroda .x(t) = cos 21. w
JH (j2)1
383
=2e
= J(2J' + O.OI = 0.372
J<2>' + 23
t H(j2) = tan-•
( 0~ 1 )- tan-• (D
= 87,1 - 2 1.8' = 65.3'
Também podetCamos obter estes v:.'llores di•-etameme dos gráficos de resposta em freqüência da Fig. 4.363
corresponden1es a w = 2. Este resulaado signifi C<'I que p.;va urna entr::tda senoidal com freqOência w ;: 2. o
ganho de amplitude do sistema é 0.371 c o deslocamento de fa.!>e é 65.3". Em outras palavras. a amplitude de
safda é 0.372 ' 'ClCS a amplitude de entrada e 3 fase da s.-'tfd3 é dcs loc~da com relação a d!l entrada por 65,3°.
PortUJIIO. a resposaa do sistema a ent....,dá cos 21 é
y(r)
= 0. 372 cos (2t + 65.3 )
A crnrada cos 2t e a s.'lJd.'l oorrespondcmc do sistema 0.372 cos(21+ 65.3°) cs.tão ilusundas na Fig. 4.36b.
(b) Pllrn a cntrnda cos(IOt- 50"). e m vez de calcular os V3lorcs de IH(iâJ)I c LHU(IJ) como nn pane (a).
iremos lê-los diretamente dos gráficos de rcspost~ em freqüência d~ Fig. 4.36a, correspondente a w = 10.
Estes ~Jores s~o:
!H(j 10)1
= 0.894
e
I H (j iO)
= 26'
Ponanto. paro a senóide de entrada com freqOê,,çia w :: 10, 3 amplitude da senóide de safda é 0,894 ve·
zes a amplitude de entrada e a senóide de saída é deslocada com rel~çàó a senóide de entrtida em 26°. Pottanto. )(t). a resposta do .!>istema a entruda cos( IOl - .sc.r>) é
.r(t)
= 0 .894cos (IOr -
50'
+ 26' ) = 0.894cos (I OI -
U')
Se a entrada fosse sc:n( IOl - .W). a resposta seria 0.894 scn( JOt - 5ü- + 26°) = 0.894 sen( IOl - 24°).
Os gráticos de resposta em frcqüêncin da 1-i g. 4.36 mos.tmm que o sistema possui uma caracteóstica de
flltro pass.a·3has, Ele responde bem a senóidcs de mais alta freq üência (w bem acima de 5) c suprime scnói·
de de ba.i.xa freq Oência (w bem abaixo de 5).
EX EMPLO D E COMPUTADOR C4.5
Oblenha o gráf.oo cW resposcas em freqüênci3 da funç.ão de tr:ltlSftfêl)(.':ia H(s) = (.H
»
»
5Y<l + 3s + 2).
•
t f (ll 51 • 11 3 2) } :
bodo(H, ' k-' . to . 1 l 00)} :
H
.,
:;.
tO
5
o
-5
- lO
-15
-20
-30
-35
1·= _,
-., -·s
~
~
~
-45°
-90'
-135''::-;-----:"::;,.-----.:;----'
1
1
H'r
1Cf>
t0
1&'
Figura C4.S
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38..
S tSAf.S E SISTEMAS LIN:EARES
Detennine e lti)C'é a resposta em frtqü~nd:t ~cr-sposu c.le amplitude e (ase) paru os seguintes si.stemlls:
(a) Um àlr.'iS300r ideàl de T l>egundlh
(b) Um dife.rencül.dor ideal
(c) Um imegrador ide:aJ
(a) Atrasador kleaJ dt.' T ~egu nd os.. A funç!to de transfcrêncin de um atrasaOOr ideal é
tveja a 8:(.
(4.46)1
Portanto.
ConstqOcntemcnte.
JH (j<•)l = I
i H (jw ) = -wT
c
(4 .76)
lU res~as em àmplituc.le e fase estão mostradas na Fig. 4.37a. A resposta em amplitude é uma constante (unjtária) para todas as freqüéncius. O deslocamento de fase aumenta lineannente oom a frcqUêncin rom
uma inclinação de-T. Este n::suhadQ pode ser explicado fisicamcme reconhe\:endoque se uma senóide cos
tUI pas~ otra.,·é s de um atrasador ide.1l de T seg\tOOOs.. a safda é cos ct-1(1 - 1). A. amplitude.d<l senóide de saí·
d.1 é a mesma da seoóide de eLurada ~a todos os valores de w. Pon.anto. a resposta em aLuplitude (ganho)
é unitária par3 todas ns freqüêm:ias. Além dis~o. a saída cos w(1 - 1) = cos (WI - w1) possui um deslocamento de fase de -wT com relação u entrada co.~ tiA. Portanto, a resposta de ftL-.e é lineanncmc proporcioo.1l
a freqüência~ com uma inclinaç.Uo de -T.
Atrnsador ideal
u
w--
Oifcrenciador ideal
·-
o
•
()
-
LH(fot)
' JHJw)
r.r!
,., _
o
·-
o
w/'!
(bl
Figura 4.37
Res~a em
IC'
freqOê•K:ia para (a) àt.raS3dor idea.l. (bl dife-ret1dador idtaJ. (c) inlegroldor idettl.
Copynghted rT'-:ttenal
(b} l>iferenciador ide:al. A funt;liQ de transferência de um difcrcnciador KleaJ é (\'eja t1 Eq. (4.47)1
H (.r) =
s
Ponanto.
Conseqllemememe.
!H(jw)l
=w
e
U/(jw) c
"2
(4.77)
As respoo:tas de anlplitude e fase estão mostr..das na Fig. 4.37b. A resp>sta em ampliu•de aumenta line:tr·
mente com a f~üência c resposta de (asc é consULnte (:r/2) pom tod;~s as freqüêndu.s. Este rcwltado pode
ser explicado fisicamente se reconhcccrmo'S que se uma scnóidc CQS WJ passar em um diferendndor ideal, a
sufda é -w scn Wl w cos(wr + (.rrn)J. i~manto, a amplitude da senóide de salda é w ve1.cs maior do que a
ampliwde da entroda.. ou seja., a resposta em amplitude (ganho) cresce lineannente com a freqüência w.
Altm disso, a scnótdc de saída passa por um desloc.amento de f use de .Tf2 com relação a entr.ula 006M. Por·
tanto. a rt:sposaa em fa~ é constnnte (nn) com n freqüênc-ia.
Em mn diferencindor ideal, a resposta em ampliwde (ganho) é proporcional à freqüência (IH(jtu)l = wJ,
tal Qllt as componentes de aha freqüência são ampliadas (veja a Fig. 4.37b), Todos os sinais prólioos s.lto
oontamin.ados com ruído, o qual. por rua natureza. é um sinal de banda larga (varia rapidamente) ooatendo
componcnteló de nlta frcqüCoci.a. Um difercnciador pode aumentar o ruído dcsproporclonalmentc 30 ponto
dele .supta.uar o sinó'll desejado. Por iSto eviw.nlVS diJerenciadores ideais na prática.
(c) lntegrador Ideal. A funçAo de ltansfel'ência de um integt.ldor i~ é I veja a Eq. (4.48)1
=
I
H( s)
= $-
Portanto.
IJ (jw)
=
I
~
)W
-j
= -
(J)
=
I
-e-1>~/l
W
Consl!qüentementc:,
IH(jw)l
=
.!.
"'
e
(4. 78)
As respostas de amplitude e fase estão mostradas n:. Fíg. 4.37c. A res~a em amplitude é inversamen·
te proporcional à freqüência e o desl~menao de fase é con:Uruue (-:rn) com n frcqllência.. Este rcsultndo
pode ser explicado fisicamente se reco•~hecermos que se um:. senóide cos M passar em um integrador ide·
ai. a safda serd (llw) se•~ wJ :a: (1/w) cos(wi - (nf2)). Portanto. a resposlà em amplitude é invttSame~ue pro·
pordonal a w e a respo:na em fn.se é oonstante ( - nl2) com o freqüênda.t Devido ao seu ganho ser 1/w, um
integrador ideal suprime componentes de alta frcqüéncin mas aumenta componentes de b3ix.a frcqUênc.ia
com w < I . ConseqUememente. sinais de ruklo (se eles n.lo poss.uCrem uma constder.tvel qun.ntidade de com·
ponentes de baixa freqU!ncia) ~o suprimidos (amortecidos) pelu integradOr.
• Um aspec10 deste ~hado que pode oonfuDdir o lci1or ~que ftll õcsenninaçto da f~H~Ç!Iode: nmiCitftci;ji do inqnaOOo na Eq. (4.48),
~wnimos que a el!lr.da t'Oelk"Ç'a em 1 • O. J>or outro lado. na de1ennin11Çúo de n"llpct;;111 em fmaí»nda. uwn•l•OO!I que a e:\.JIOnencial
ck dnnçio infinita ,;'começa em 1 • -oo. A~~emenee h:i uma Ci}llttadiçio f1.1ndumental mue a enl.nlda de du~lo infini111. a q~l
c:omc:çHm r= - oo e o imçgrador. oq~&~l ab~ sua pona em 1 = O. Qual a utilidade de uma eiMI'lldl de dlnÇio infinit.t x o itnq:rador
«1f11tÇa 3 imegrar em r = O! A 1\':Sposl.:l ~ «lU!: a eftlt:lda di) lntqrtldor dti sr:mpre 3btt'l3. e a in~ CO•I'ICÇII assim qu.e a ct~ltada
cumcçar. RolrinJimos a e ntrncb a CUJnC~Çar em t • () nn oQtcnçkt dll Eq. {4.48) po~e 1$l;t,,.~ bwnndn a funçio de transJerEncin
usaOOo a tn~~nsfom.ta unilaleral. Bt qunla t:oonda ~.._ e•n r = O. Desta forma. o falO do in1qnt00r COil'ICÇilr a in~ep e•n r = Ot
uma ~ devido a limilaç()e$ do métodú dn I.Tan:<foonada unilaler.d, não de,·i&•a li.mi~ 00 pi'Ó(Irio i~. Se th~S&Cmo:.
que de~enninar a furn.'io de trumfelinció\ do iMeplor uiôUIIJI) a Eq. (2.49). na quul nio o~a.e wa rewiçlo na enrf'ld;&. uindlla.\$im
obl(:f{lJJI'IOSa funçllo de ll'l.lll~fcrf:nc'- do i nw:_grudofcomo lie:ndo 1./.t, Ou r.eja. mesmo liC util.iz.hsc~ a nnsformada de Laplace bila·
k."'''... na q~&~l t ('(lft\CÇa e•n -oo. tiX'Oftllarl~ a f~ão dt ltllllbftt'fnelu do ltt~rnOOt Igual a 11•. A ~no de ~tat~sfertncia do sàslmt.~l Ullla IX(Ipried~ do ,.;,..ema e nilo depcn!k do ~!()do ulilitiiCSo1mru de~er~nini•I;L
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386
SLlliAIS E SISTEMAS LI]\"EAJUJS
EXERCÍC I O E4 . 14
Decermme a re!l~la t:l<e um ~oi~tema LCIT espe..:dicado po1
d 1,
th
dt•
I
, +3-d·
l>t
+ 2\'fl)
:
•
dx
-;ui
+ Sx(t,
a e11tr..tt:la ft•r a loenóidc: 20 ..eni Jt + JS').
RESPOSTA
10,23 -.endr-f!l,91)
4.8-l Res~ia em Regime Permane.n te para Entradas Senoidais Causais
Alé este momento, discutimos sobre a n:sposca do sistema LCIT n entr!Ktas senoidais de duração infinita (começando em 1 = -oo). Na prática. estamos mait interessados em enlradas senoidais causais (senóides come·
çando em 1 = 0). Considere a en1rada ?"u(t), a qual começa em t :;;; Oem vet de 1 ~ -oo. Neste caso, X(s)
= 1/(.r + jw). Além disso. de acordo com a Eq. (4.43). H(:s) = P(.r)/Q(s). na qual QC:s) ~o polinômio caracterfstioo da<lo por Q(s) = (s - l.,)(s - l.,)... (s - l..).'. Loso.
P(s)
Y(s)
s X (s) H (s)
= "'<s-l."","'H;-1 ---,l.:-,:-').". ."-(;-s---,l.'"••-:-)(;-1- 1.,..,7)
Nu expansão em fruc;ões parciais do lado direito, considere os coeficientes correspondentes aos N termos (s
"-l). ... , (s - l.~) iguai!i a t 1, 4 ..., k,. Os coeficientes correspondentes ao último termo (.r - joo) é
- l 1). (s P(s)IQ(s)l,
="'=Hljw). Leso.
Y(s)
= ~ .2!..._ + H U":)
~s
-lt
1•0
s - Jw
•
J•(l)
=
'
2>•"''
u(1)
+
H Uw)e'M u(l)
(4.79)
Pam um sistema assintoticamente estável. os lermos de modos c.aracterlstiOO$ ~a diminuem com o tempO e.
portunto. oonsthuem a chamiKta componente trallSit6ria da respos;w.. O último termo H(jw~ pennaneoe pana
sempre, sendo o componente de ~gime permanente da resposta. dado por
Yu(/)
=
H Uw)ei•u(l)
Este resulwdo tamb6m explica por-que uma en1rada exponencial de duração infiníta ~""' resulta em uma teS·
posta total HU(I))~ para sistemas amo. Como a entrada começa em I = - c<>, pa.ra qualquer tempO finito. a
componente trans itórin docn:scente j:i terá desaparecido, deixando apenas a componente de ~gime perm:~nen·
te. Logo. a resposta total aparece como sendo HU«>)~.
A pa.r1ir do argumento que resullou na Eq, (4. 75a), segue-se que pal"3 uma emrnda senoidal causal cos wt. a
resposta Y.(r) de regime pennanente ~ dada por
J'u(l )
= I H (jw) ICOS(w< + lH(jw)Ju(l)
(4.80)
Resumindo, IH(i<u)lcoslM + LH{jü>)l é a I'CS(X)!ila tocaJ da senóide de duração infinita cos wt. Por ou1ro lado. esta é a res~a de regime permanente para a mesma ent:n'tda aplicada em t = O.
' Por sit~IC)Ikkbdt nsumim.h raúcs cat:IC'Uristica<i nJo.l ~prtldas. O J'lf\'l('edjll'ltlliiO t fàdlmente •l'IOdirJCaoo para taf'-" ~ptticbs. ot.t...
dou rne5llm cooclu*'-
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C.o\PiruLO 4
387
A..~ÁUSE DE StSJEMAS EM TEMPO CO~CO Usru~OO A TRANSFORMADA DE LAI'LA<."E
4.9 D IAGRAMAS m: BODE
A obtençlo dos gráticos de respostas UH(iw)l e L H(jw) em fu nç.~o de <v) é consideravelmeme facilitada se uti·
liuannos escalas lóg_)r(tmicas.. <h gráficocs de respOsta de amplihlde e fase oomo funções de wem uma escala lo·
gatitmieã ~o conhecidos como diágf'(mUJs d.f' 8odt' (ou A,!rálioos de Bode). Usando o oompot1amemo assimótico d<IJS respostas de ampBtude e fm.e. podemos rost·unh.ar estc:JS gráfkos t·om uma facilidade nocável. mesmo pa•
ra func,Xks de transferCndu de mais alta ordem.
Vamos cons iderar um s is tema com funç-lio de trans ferência dada por
H (s)=
K (s +a,)(s +az)
.~ (s + b1)(s 2 + bp +h,)
na qunl considera-se que o fator de segundn ordem (i
(4.8 1a)
+ b::J + b~) possui m f?,.es complcx.a_.. conjugadas.'
Podemos reorganizar a Eq. (4.81) p.1ra
U (s}
- + 1)(•
-+ 1)
($
l11
'J
b,b, s ( -' + I)('- + -s+
b,
I)
bl
=~
a2
b;;
b;;
(4.81b)
e
(4.81<)
Essa eq uação mo~tra q ue H(jw) é uma função COtnple~a de w. A
de fase L ll(jw} s.ão dadns por
respcma em arnplitude IH(iw}l e a rcspo51a
(4.S2a)
e
I H (jw) = L
(I + -jw) +I (I + -jw) - .
(1 1
I )W
a:
-l(l + jw) _1[I + jb,w + (jwl' ]
b,
bJ
bJ
(4.82b)
A partir da f.q. (4.8"2b). ~mos q ue a funç-ão de fase é co nstituída pela adjção de três tipos de termos: (i) a fa·
se tkjw. a q ual é 9<'f pam todos os valores dew. ( i i) a fase do 1cnnode primeira ordem na forma I + jOJia. e (iií}
a fase do tenno de segunda o rdem
(jw)']
)b:w
- + -[ 1+b}
b)
Podemos traç-nr estas três fur~~s bisicas de fnse pant w na faix.a de O a oo e, então. utilizando es tes gráficos.
podemos construir a função de fase deqtw.lq uer função atravé$ da udiç-iio destas três respostas bás icas. Note que
se um tenno panicular est iver no numerador. nsua fase é ad icion:~da. mas se o tmno estiver no denomin:~dor.
sua fase é subcraíds. Com isso, é fác il traçar a resposta de f:t~c L HUw) em função dew. O cálculo de IH(iw)!. ao
• Os çoellcicnca o. n: c b,. b;o b, ulilindos hOilll &eÇtlo ~devem .ser oonfundic.losa)fn .. utilil:tdos n.1 re~ncaçdo da equaç;lo ck
um slst('ml LCIT de Miem N •pn-scNIIOOs anttrionnc-mc (F.Qs, (2, I) ou (4,41, 1.
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388
S~,\IS ti SISTEMAS LINEARES
OOnlrário da fun(jàQ de fas~. ~11\'0i v~ a mulliplkoção e di ...is5o de \'ários ltmlos. Esta é uma lurefa formidá\·el.
principalmente quando tivermO:> que traçar estt• functiio par<• uma gnmde fu..i.xa de w <0 a oc).
Sabemos qu~ a operaçiio logarítmica (log) COil\'C'rh: u mulliplicação c divisão paru adi \~io c s.uhtrnçiio. Por·
l:uuo. ao invé." de trnçam1os (H(jtu)l. por ~111e não rr:.çnr h>$ lH(i<v)l para simplific:ar nos~a tarefa'! l,odemos ter
a vam;agcm de lluc unida.:les logarf1micas são ailcis em dh·ersas aplicações. nas quais as \'fltiá...eis con.~ideradas
possuem uma grande faix01 de \'ariação. Isto~ particulõlnne-nle válido em gráficos de reSpOSta de freqliêncià.
nos qu:.is tem~ de lr.lçar a l't'sposla de freqüência pora uma fuL'a de frcqü~nda.-. muito baiXIl.'\. pr6xim11." de O.
10
llté fn.'<liiCnei:L" muito ahas, próximus de 10 ou mais. Um gráfico em umn escala fine:•r de frcqUências para
uma faixa tà(l graOOe de \•;.dores iria mascamr muita informação útil e m lx•i.xas f•X"Qliêocias. ,\lém disso. aresI)()!La em amplitude pode ter uma fa.i.xa <k '~dores dinãmic:os muito grnnd~. de 10-" a lO". Um grálic..-o linear se·
ria inadcc1undo nesta situoç5o. Ponanto. s,ráfic:os lognritmic..··os n5o apcn:L" f:.ci litam n<).<~sst :• rcfo. mas. fclh;mentc, tam!Xm s.:io desejáveis nesta situoçãQ.
Exis.1c uma nutm importante m1.1io para o uso de c~u l nlogarflm ica. A lei de Wcber· Fechner (O~d.'l primeiro ()<'Ir Webcr e m I834) afirmo que os sentidos humanos (vis!io. talo. '"'udiçlo. etc.) geralmcllte teSJ>Ondem
de f(tftn~• logal'funica. Po•· ell.efllJ)IO. qu.llldO ouvimos sons com dois llÍ\'tis diferentes de potênci•l. julg.;unoo que
un1 som € duus "'e"IXS mais ~d to do que u outro qu~ando :• mzõo .:nt.re as potê-ncias dos sons é 10. Os sentidos hu·
11
manos respondem a iguais ru.7.A:k" de potênc:ia. c não a igunis incrementos de p()tCncia. f..st.:a é clor.tmcnte uma
rcsposlalogaritmica. t
A llltid••dc logarí1mica u!W1.,.1da é o tltâl'~l. sendo igual " 20 V'(';lCS o logaritmo dtl <1uantidade (log na base
10). Ponanto. 20 lot;)OI/f(jw)l é simplesmente. a am p1itud~ lognrítwic:a l.'m d.:cibeis (dB). 1 Portanto. em \"Cl. de
tmçannos IJ/(jru)J. traçamos 20 lostOlll(jw)l e m função de tu. l!stes gráficos (fase c log:ari11no d3 :.mplitude) s.'lo
ch:unados de tlia.~mmtu rJe bode. J,:1m a função de t rnn.,.ferénd;~ d:1 Eq. (4.82:•). 3 t1mplit11de lagarftmic.Yr é
I jwl+ I +-jwl -
Ka ,a,· + 201og I +201og JH(j<")l = 201og btbJ
20 1og I
''•
- 20 logll + jw 1- 20 logll + jb-:.w +
b,
bl
a:
Uw)21
bl
201og ljwl
(4.83)
O l~rmo 20 log(KtJ 1tJ ,Jb1 b ~) é constante. Obser\'amos que :1 amplitude logarítmica~ a som:. de quatro ter·
nM)S: bi.;ico~ correspondentes a urna tonsumte. um pólo ou zero M origern (20 logU.tul. um p61o ou zero de pri·
mcira ord.:m (20 lo1;l l + j{J)/tll) e p61os ou zeros complexos conjugad()S (20 logl l + j(t)/J.jb3 + Utt~)!l b_~l). Po--
demos traç:•r estes quatro h!rmQS básicos como funções de to c, cnt!kt. utilizá· los p.·ua conS1.n•ir o gr:ilico de am·
pliwdc logarftmicn de qualqu-er funçOO de transrcréncia desejada. A seguir \';.\nl(IS discutir sobre cada um des·
tes termos.
4.9-1 Constante Ka 1a,lb,b,
A amplitude lugoritmk i• do termo constant~ Ka1az'b 1bJ lambém é um<• constante. 20 log(Ka 1alb 1bJ-). A C()O·
tribuic;-ão de (a.'\c deste termo é zero pam \'alores positi\'OS e 1f para \'Olores ncgnti\'OS da consl:mtc.
4.9-2 Pólo (ou Zero) na Origem
Ar>.IPU11JDE i..Jx;ARiTMICA
O pólo ua origem \•e m do te.•·mo -20 logUwl. o qual pode set expressado por
- 201ogljwl = - 201ogttJ
' Ob.<cn~ qu..- l\)0 (n,oo:tü.!-udas \bs
no1as fl"IU~i~"Jis 5âo Jogariunicamcntc eS{I:.çada~ (nflo lim:.ll'n'lt'IUC'/. Un111 llitavu f un:.a r.ullo de 2. ru
fro:t'*"~~iu-"d.- um:1nk'::>m:l nc"a cn1 oi1:1v-.t..' .utCMf\'U tênl utt"llt nltàodl.' -: . .Na c!<oCala mu~kll.l «itkt~al. Cl<i~>leru 11uota." ili>dtlla:" c•n
C\lda llilil\11. A frcq(lêndu de 1.'11\ilt no1<1 é aproxim:ullln-w:niiC ~ mahatl;ad,, lllte 11 f~t;~üênda da no)lu antt"riQf. P<wt:mft>, n' ncli:....~IJCC'õ·
)h'a> :.ão ~.W:t.~> não por algufl~a ftcq(it'ncia comamte. mas pot ' 'ma razil>ronstltme de I .06
: Onginahncn1 ~. <11 uui~ b..t (Jtpfu q i n~o:niC.M' dcttddooe, Alc;~~;allik'f Gr.thum tklh f,,; int«xhuida par.t fqll\'"..~l'flUr ratôe..• dl.' IX'"
tênn11 cM•o k>8., 1':11', ~ls. Ufl•ll.XIn.odcsu unKJ.Ieé um lk<:ibel, 1al oomoem t~ log,t P/P, do:ci~i ~. (Ã)moa nll3odc potên·
d>& d.- .toi> :.ina b ê rrut~i(lnal ao quaJr.Wo da radu dlb amphtu<ks. <lU IH(jw)l". lett'IO$ lO l"f10 P/ P, = lO ll1g,01H(jBi1)1 1 =
201~m1Hfjw)J
dB.
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Cwf'n.rt..() 4
A NÁLISE 00 SlS1U IAS ~t T EMI'() CO:-.~rfNIJO USANOO A TRANSFORMADA DE LAPS..AC'E
389
Esta função pode ser traçada oomo uma função de w. Entrelanto. podemos ob1er uma simplificaç!kl mator se
utili1..annos uma escala logarítmica para a própria variável ttJ. Vamos definir uma OO\'U variá\·el u, tal que
u = logw
Logo
- 201ogw = - 20u
A função da amplitude logarítmka - 2011 é tmç-llda em func;ão de'' na Fig.. 4.3&1. Este gráfioo é um:. linh.'l re·
ta com inclin3çào de -20. Elt~ cruUJ. o eixo .tem u = O. A escaJa w (u = Jog w) também aparece na Fig. 4.38a.
Grálioos semi-logarítmicos podem ser con\·cnientemente utilizados para tmc;ar eS1n (unção e podemos tr:~çar di·
rdnmcnte wem um papel semiiQS. Uma ra~ilo de lO é uma dlt-YJdo. e uma ra1.Jlo de 2 ~ cbumad:t de oilill'O. Além
disso. uma década ao longo da f'SC'Jlla w equivale il I unidade ao loogo da escala u. Também podemos mostrar
que a ra1.ão de 2 (uma oitava) ao longo da escala w é igual a 0.3010 (log~2) ao longo da escala 11. 1
Nocc que incrementos iguais em u sãoequivakmcs a razões iguais na escala w. Portanto, uma unidudc oo lon·
go da escala 11 é o mesmo que urntl. dééadà ao longo da escala w. Isto signiftea que o gráfico de ampli1Ude pos.-
30
:!0
r
lO
s3:
r
g
o
- lO
- 20
- 30
0.01
(u • - 2)
O.Ol
O.I
0.5
w =I
(u • 0}
(u • - I)
lO
( rt •
50
I)
100
(u •
2)
<•I
<bl
Figuru 4.38 ResposC:t$ de (u) tunpliludc e (b) r.asc p;m.l um pólO ou 1..et\) na origem.
' Es1e pon.o pode ser ~r'lldoda scguin~ fom'la. Se) a ~ ;: <oo116 tongoda CS~:állw ;:orr<"~r!ICS • "• c": ao ~Q .S. e~la "·'"I
qut los w, = ro, e los ~ = ''J:- Log<t.
P«tanto. se
...
enciiO
(W/~)
= 2 (a qual~ uma oitava)
r1 : -11 1
= log 11; l=0. 3010
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sui umtt inclinaç-ão de -20 dB/doécadu ou - 20(0.3010) = -6.02 dB/oilnva (geralmente considerada como -6
d B/oilava). Além disso. o gr.ifico de amplitude cruza o ei.xowcm w = I. pois u = log 10 w = Oquando (i) = I.
Para o ca.w de um zero nn origem. o termo de ampUtude logutítmiC"n é 20 los w. O qual é uma linha reta passando e m w = I e com uma inclinação de 20 dS/décadu (ou 6 dB!oilllva). Este gráfico é u.ma imagem e.<>pelhada <:om relação ao eixo w do grifico de um pólo na origem. sendo mostrado em pontilhado na Fig. 4.38a.
FASE
A função de fase correspondente oo pólo na origem é - Ljw 1\'eja a Eq. (4.82b)). Logo.
IH(jw)
= - Ljw = -90"
A fase é constante (-90") JX"ra todos os valores de w, como mostr3do na Fig. 4.3Sb. P:.lrn. um zero nn origem.
a fase é - jw = 9ft. Es1a é uma imagem espelhada do grálioo dé fak' para um pólo na origem e e-stá IOOISI.r.lda
em pontilhado ntl fig. 4.38b.
4..9-3 Pólo (ou Zero) de Primeira Ordem
AMP~rllJOE
L OGARfTMICA
A :unplirudc lognrtmka de um pólo ôe primeira ()l'dem em -lt t -20 logJ I +jwlol. Vamos investigar o compor·
!Amemo assi.tuó1.ico desca funç:Jo para os \•alores txlremos de w. (w «(I e w »a).
(a) Pata w u.
«
-201ogll
+ jc~~ ~ -201og 1 =O
Logo. a func;iio de amplitude lognriunk.a- O assintoticameme quandow «a (Fig. 4.393).
(b) Parn o ootrQ cnso extremo, quando w »a,
-201ogll + j:l ~ -201og(;)
(4.843)
• - 20 1ogw + 201ogl'
= -201, + 20 10;20
(4.84b)
E!>ta funçi\0 rt-p~nta urru11ínha reta (quando traçada em fun<,iiO deu. u = log10 w) com urrw. inélina\ãOde
Quando I.V = a. a antplilude logarltmica ~zero [Eq. (4.84b)).
w para w = a. como mostrado na Fig. 4.39a. Note que as assíntotas e m (a)
-20
d8/décadu (ou - 6dB/oitaY.t).
Desta (onna. esta linha cruza o ei.xo
e (b) se e ncontram em Cú = a.
A amplitude logariunka extata para este pólo é
I
-201og I + jwl
0
w')'n
(I+ w')
= -20 1og ( I+
= - IOlog
01
02
Ena funç:)o de amplitude logarftmica também aparece. na Fig. 4.39a. Obser\'e que os gráficos real e assintó-tico s!<J muilo parec;idos. U.n e-JTO m~JC imo de 3 dB ocorrt em w =a. Es•a rreqUência ~chamada defrt!qüincl.a
d~ ('(m/o ouf"qüinda dtf com~. O t.tTO em q u.:J.Iqu~ outro 1ugac ~menor do que 3dB. Um grá.fico de erro em
funçOO de wé mostr-.tdo na Fig. 4.40a. Essa fi gu.ra moslra que o eno em uma oitava acima ou abaixo dà freqo,encia de corte é I dB e o erro a duas oitavas acima ou abaixo da freqüência de corte ~ O.l dB. O gráfico real pode
ser obtido somnndo o erro no gráfico assintótico.
A resposta em amplitude parn um u-ro em -lJ (mostrudo em pontilhado na Fig. 4.39a) é idêntku ao gráfico
de um pólo e.m -tt com uma mudança de sinsl e. ponaoto, é uma im3gem espelhada (com relação a Linha de O
d8) do gráfico de amplitude para um pólo em - ( J .
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18
12
=
s
~
6
o
,.
:!
I
ldB
-6
\IB
-12
Pótl"o~-
'
- 18
O.Ola
(),la
. ..
IOOa
(a)
1
(b)
Figura 4.39
Respo&t:IS de (a) amplilUde e (b) fase par.~ um pólo ou z.ero de primeira ordem em s = -a.
FASE
A
fase de um póJo de primeira ordem em - a t
LH (jw) =
-1(1 + j:) = - tan-
1
(;)
Vamos investigar o oomportamen1o assintótioo des•a função. Para w «a,
- tan- • (;)
e, para w
~O
» a,
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St~AIS 6 Stm:.M:\~
392
LI ...[AJU:.~
"r===::::::-----;-----::::::==1
..j),5l--
-"
~ - 1.5
Ui
_,-
-!.5
'
~-------+----~--"--+-""-----~------_.e--------L--+-----"-~. w --+
O.ltt
0.11.1
O.!iu
1.,
tJ
lllcl
2o
li)
-o·~--------~---0----------------------------~.------"--~-"~w --O.o!u
0.05a O.IIJ
0.3u w = n
3d
IO.J
50u
IOOrJ
(b)
Fi.gur!l4.40 Erros n.a nproximac;.ão assintótica de um pólo de primeira ordem tm s =
- li.
O gráfico real juntamente com o ns~intólit.'O é·mostrndo na Fig. 4.39b. Ne:ae cn.w. nós u~tmQs um gnUiCQ ao;simólioo oom uts segmemos de linho't para melhor preeis.'lo. As assímotas s.'Lo um ângulo de fASe de (f para w ~
túiO. um ângulo dé fm.de - 9ft pitr.1 w ~ IOu e urna llnhà reta com inclir..-.çâo de! - 45°/déc.adà <:Onectai~O ts.Lll.S du!IS assírtlocas (de w = aliO rué lOa) Ml/Jlt\do o ei.xo w em w =a/lO. Pode stt \•ism a partit da Fig. 4.39b
que<Js àSSÍnlOC~S es.liiO muito próximas dá cun 'à e que o erro máximo é de 5.1'. A Fig. 4.4~ mo:.tra o erro e-m funç-ão de tu. o gráfico real pode ser atnido somando o eiTO oo gr:ltk"O u.sl>Ínlótko.
A fase para um zero e m -a (mostrad11 c.m pontilhado na Fig. 4.39b) é idêntíc.a a de um pólo e m -a, com uma
mudança de sinal, sendo, pc>rt:tmo, um~ imagem cspc1h1lda (com relaçllo a linha de cf) dQ g.r:itico de fnse paro
um pólo em _,,,
4.9-4 Pólo (ou Zero) de Segunda Ordem
Vamos considemro pólo de segunda OC'dem da Eq. (4.81a). O letmo 00 denomirwdoré l + b:J + b,. Iremos. tam·
bém. ::~prestnt."tr à forma gemi non:nalm~nte utilh·.àda i+ 2{w,.s + 110 lugar dei + bt-\' + b.1• Cot:n esta fonna. a
funç-ão de amplitude logarilmk.a para o tcmlO de !iegunda ordem da f.q. (4,83) fK:.a sendo
w;
-10 1og l l +2j(~+
w..
(j"')'l
~"
(4.8$a)
e a (unção de f:1se é
(4.85b)
Copynghted rT' 1 •nal
A.!IIÁUSf DB SiSTEMAS EM fuu'O CONTL'"'UO USANDO A T'RJ.J(SfOkMAOA
CAPITULO 4
oe l.API..ACS
393
AMPLITUDE LoGARíTMICA
A nmplitudc logarítmica é dndu por
2
amplitude. logarítmica
P..1ra w
=
- 20 log li + 2j( ( : )
+ (::) 1
(4.86)
« w~. a amplitude logarlunica se toma
amplitude logarítmica
~
- 20 lo,g I =O
Pnra w » w.,. a amplitude logaritmica é
amplitude
logarítmica~ -201og
I(-:)l i=
(4.87a)
- 401og ( ;..)
= - 40 log w - 40 log w.
(4.87b)
= -40tt- 40 logcu,.
(4.87<)
As duas assfmotns s~o zero p:113 w < w, c -40u - 4{)1og(o., pam w > w•. A segunda assíntota é uma l.inha J'e·
inclillaçlio de - 40 dB/década (ou - 12 dB!oitava) qu.ando tt;tÇ:tda em função da escala log w. l!la <:ome·
\"tl em w = w,. (\'eja a Eq. (4.87b)]. As ass(ntotas sà<J mos.r.ldas na Fig. 4.41:1. A amplitude logaritmico exata i
dada por Jvcja a llq. (4.86)1
tà com
nmplitudc loguritmica= - 201og
{[• - (~: ) ,,]
+ 4(
2
(:)
'}'''
(4.88)
A amplitude logarflmica neste ca$0 en\'ol\'e o paràmetro Ç. resultando em um gráfic:o diferente paro cada v:t·
klf de Ç. Paro pólos complexos tX'Inj ugados.' Ç < l . LOMO. de,•emos tn~çar uma famma de cun11$ para ,·ários VU·
lores de Çna (;1ixa de Oa I. Estas eutvàS s50 àl)resentad:ts na Fig. 4.4 b . O erro cnl:rc o gráfico real e o assinl().
tioo é m05lmdo na Fig. 4.42. O gráfico l'dll pode ser obtido somando o erro ao gr:1fico assintÓijco.
P11.1'3 u:ros df:.JiCg:unda ordem (7.ero.o; complexos conjugados). os gr.üieos são imagens espeUlad:tS (com rel u~
çOO a linha de Od8) dos pólos mos!mdo nu Fig. 4.4 1a. Note o fenômeno du resson.âncin de pólos oompJe.xos OOll~
j ugados. Este fenômeno é quase nào nocado pora Ç > 0,707. mas se toma pronunciado quundo Ç-+ O.
FASE
A função de fase para pólos de segunda ordem. como 3JXIrcnlc ns Eq. (4.85b). é
(4.89)
P:lra w « w,.,
LH( jw) "' O
Para w » r»,..
LH Uwl :: -180'
Logo. a fase- - I Scf quandow - oo. ThJ t-omo oo<:aso du anlplitude~ temos um..'l fan.úlia de curvas de fase
parn vários vakxes de(, como mostrado na 1-lg. 4.41b. Uma ossínto«a oonveniente p.ara a fase de pólos cocnpJe.
lOS conjugóldosé uma fu~o degrnu que va)e paro (J) < w. c -IS<f paro (U > w•. Um gráfico de erro paro Cl.le
tipo de: Msíntota é 1UostJado na Fig. 4.42 J)<lta vários vaklres de Ç. A fase exma é o "ator assintóeico mais o erro.
cr
<
' Pl•n• ~ 1, c.-. dc.l il pólo.- do> f:llor dt !iegund:lOrdcm n;h) do •tuis to:lllll)ló:;~.<W;. e shr~ fi'ais.. Cada um desces dois pólos rt~ais podem 5er
lltlladols co:l•oo r..Of'tj ~!**los de primeirn ordem.
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394
SINAIS E Sl!iTDI A.S UNEARf.S
P:tm l!eros complexos conjugados. os gráiicos de fase e amplitude sno imagens espelhadas dos gráficos paro
póJos complexos conj ugados.
Demon ~r.tremos a aplíc:tÇ.ãO destas 1émica.o; atmvés de dois e-Xemplos.
20
U, l
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lO
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'
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o.m-
11, I
s..•
lO...
·-
o.!
0.)
,_,
~
(b)
f'lgura 4.41
Respos1~1
de amplitude: c f3SC ~rn um pólo ck segunda ordem.
Copynghted rro-:ttenal
CAPtnn.o 4
AN.AusE DE SISTEMAS Ei.\i TEMPO CosTINuo U s.u.-ooA TRANSA:>RMAJM oo lAJUCE
+
lO
+
í . CJ,l
O.l
395
+
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-«f
-91J'
O.lw.,
t
0.2<.>,
0,5111',.
(V= (1:>.,
lw,
Sw,
10..,
(b)
FIJ!ura 4.42 Erros M
apro~imaçfto assintótica
de um pólo de segunda ordem..
Ob1enh:l os diagramas de Bode para a seguinte funçAo de 1mnsrc:rência
fl(s) =
20s(s + 100)
(s + 2)(s + lO)
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396
StxAIS E S ISTEMAS LI).'EAJI.ES
Primeiro. escre\·cmos t1 função de cr:msferência na forma nom:ualizada
Logo. o ttmiO const<anle é I00. ou seja, 40 dB (20 log I00 = 40). Este temKJ pode ser adiçionado ao gd.fico simplesmente renomeando o eixo hori1.0ntnl (a partir do qual as assíntot.as: começam) como sendo a Linha de 4()(18 (veja:. Fig. 4.43a). Bste passo implica em deslocar o eixo horizomal l>ara cima. J)Of 40 d8. l_s.
to é prccisrunente o que é desejado.
Além disso. nós temos dois pólos de primeira Otdemem -2 e - 10. um :-.ero n.'l origem e um zero em -100.
Puw I. P:ara c:.da um destes tcnnos. traçamos um gráfico assintótico como mostrado a seguir (mostrado
na Fig.. 4..13n por linhas pontilhadas):
(i) Pnra ouro na origc.m. desenhe uma linha reta com inclinação de 20d8/década passandQ por w= I.
(ii) Puta o pólo em -2, desenhe uma linha reta com inclinação de -20 dBidêcada (pam ,., > 2) comc~000 M freqt1ênc-i:a de c.'l.nto de w
2.
(iii) Para o pólo em - I O. desenhe uma linha re1a oom inclinaçl\o de -20 d81década começando n.'l frcqüêntia decanto de w = 10.
=
(h·) P'.ara o t..ero em - 100. deseohe uot:~.linha reta com inc.Linaç!l.o de 20 dB/década coaneçando maf.re·
qüênciu de canto de w = 100.
Pa.oto;o 2. Some toda.oo as a...oosíntocas. como mos:trudo na Fig. 4.4la pot segmentos de linha cheia.
J»asso J . Aplique 3S seguimes rotreçôes (veja a Fig. 4.40a):
=
= I devido a freqOência de canto em w e 2 é de - 1 dB. A correç.OO em w
de\' ido às frcqüêncios de canto em w = lO e w = 100 é muito JX'(IUena (veja a Fig. 4.40a) c pode
ser ignornda. Logo. a CQITeç.OO final para w = I é de -1 dB.
(li) A correç..'l.o em w 2 devido a freqoencia de camo e-m w • 2 é -3 dB. e a COITeçâ<) devidó., fre·
qUê-nela de c.uuo em w = 10 é - 0.17 dB. A oorre~·ão devido a freqü~nda de canto w = 100 pOde
ser ignorada com segurança. Logo. a correção total par.! w = 2 é - 3.17 dO.
(iii) A correção em w = I Odevido a (reqü!ncia de canto em w = I O~ - 3 dB e a <.-'Orrtção devido a freqüência de canto em w = 2 é - 0, 17d8. A correção dc\•ido a w = I00 pode ser ignorada. Logo. u
correção total para c.)= lO é -3,17 d8.
(iv) A correção em (JJ = 200 devido a freqüência de canto em w = 100 é 3 dO c as correções de\'ido às
outras freqüências de canto podem ser ignoradas.
(v) Além dltSCói'TtÇõeS nas freqüêndas de canto. pOdemos considerar t'Orreçôes em pófltos intennediários
panl obter um gnif)CO mais preciso. Por ex.emplo. as correções em w = 4 <kvido u freqüencio de canto
emw 2 e lO são - 1eaproxinwdarne11te -o.6S.tocalizwdo - 1.6S dB. Da mesma t'onna, a correção
em w= 5 devklo às freq üêocias decanto em w = 2 e 10 sOO - 0.65 e - I, totalizando -1.65 dB.
Com estas correções. o grálico resultante de amplitude é mostrado oa Fig.. 4A3a.
(I) A correc;fao par.• w
=
=
GRÁFlCOS DE FASE
TrdÇalnOs as assíntocas 1.X'Ifr'éSpondentes ta ~.·-ada um dos quatro fatores:
(i) O zero na origem causa um deslocamento de fnse de 9ft.
(ii) O pólo em s = -2 possui uma assíntota com valor zero de -oo < {j) < 0,2 c uma inclinação de
- 45"/dêcuda comec;.ando em w = 0,2 e indo até w = 20. O valor da assíntota para,, > 20 é -90".
(iii) O pólo e m s = - lOpossui uma Msínt04a com valor zero de - 00 < w < I e uma inclinação de
-45~/década começando em oo = I e indo alé w = I00. O \'Ui or da ass·íntota para w > 100 é -9<1'.
(h•) O zero em s = - 100 possui uma assíntota I."'fn valor tero de - oo < w < 10 e uma inclinação de
4 5~/década oomeçando em w = lOe indo até w = 1000. O valor da assíntot.a para oo > 1000 é 9(/.
Tod<as essas a~ín totas são s<>mada.~;. t'Omo mostrado na Fig. 4.43b. As correções apropriadas slio
aplicadas da Fig. 4.40b c o grátlco cxnto de fase.é mos.tr::tdo na Fig. 4.43b.
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CAP'fruLO 4
ANÁLIS6 DE SISTEMAS EM T EMPO Co1•;riN1JO USANO() A TRANSl'ORMADA 00 LAPLACE
397
1
(bl
Figura 4.43 Respostas de (a) amplitude e (b) fase paro umsisaema de segunda ordem.
EXEMPLO 4.Z6
Troce :as I'CSpostas de nmpliludc c fase (diagramas de Bode) paro a q uinle função <k- transferência
s
lf(s)
= IO(s + 100) = 10
s 2 + 2s + 100
I+
s
iõõ
sl
1+-+;o 100
Nesfe caso. o aermo oonscame é 10. ou seja. 20 dB (20 log lO = 20). Paro adiçionar esae renno. simplesmente
dwuamos a linha borizOC1tlJ (na qual as asslntocas cocneçam) de l.inha de 20 <IB. como :maes (veja n Fig, 4.44a).
398
SIJ.!AIS E SISTEMAS L U<EARES
Além disso. temos um zero real em s = - IOOe um par de pólos conjugados complexos.. Qwmdo expressamos o fator de segunda ordem na forma padrão.
•(
2
+ 2s + 100 = s 2 + 2~w.,s +
w;
obtemos
ç =O. I
w, = 10
Pas5Q I. Desenhe uma assínwca de - 40 d8Jdécada ( - 12 d.B/oitava) comcç-undo em w = lO IX\ra os pólos
complexos oonjugadoo e dts(nhe otnra ass·íntota de 20 dB/década, começando em w = 100 para o zero (real).
Passo 2. Some as duas assíntoca...
Passo 3. Aplique a ccmcção em fó = 100. na qual a co~o devido a freqUênC'ia de canto em w = 100 é 3
dB. A correçiio devido a freq(lência de canto em w = 10. como \'isto na F'ig. 4.42 para Ç = O, 1 pode ser
i_gnoruda com segurança. A seguir. a COITe('.àO em w = lOdevido a frcqüê.ncia de camo <c.~= lO é de 13.90
dB (veja a Fig. 4.43 para Ç= O. I). A t.'OfTCção devido oo 1..cro real em - 100 ~ser ig•loradà p.ua w = 10.
Podemos determinar COJTC"Çôes para alguns outros pontos. O gráfico resultame é mostrado na fig. 4.44a.
30
Gr*li.;o (''(~(()
20
"'
lO
;;:
100
..
,
o
""
'!
- 10
;;
-20
-30
... ...."'
11',
I
•
~
lO
~
100
-l<Y'
,f
-1011'
- l~l_~~~~~~~~~k=~~==~~==~~~
( b)
Figura 4.44
Respostas de (a) amplitude e (b) fase pata um sistema de sttunda ordem.
lo'
~-
C\rtn.!J.O 4
ANÁLISE 00 SISTh"\\AS EM TEMPO COt-'TL'IIUO USANDO A TRANSR.llt.MADA OIS l..AP'LACE
399
G RÁFICO DE FASE
A assíntOta para os pólos complexO$ conjugOOos i. umn função degrau com um salto de - ISCt' em w IO.
A assíntota paro o uroem s = - 100 é zero para w :S 10 e um.a linha reta oorn inelinaçâo de 4S0/déeada. co·
moç:ando e m w = lO e indo até().) = 1000. Para w ~ 1000. a assintot.n é 9(/. As dua\ assíntotas sOO somadas
resultnndo na (onna em dente de serra most:r3da na Fig. 4.44b. Agora aplicamos as correções das Figs. 4.42b
=
e 4.40b pànl obter o gn1fico exato.
Comentários. ~es dois exemplos demo•,suam que os gráficos exatos de resposta em freqüência sOO muito próximos dos gráfi-cos assintóttoos. os quais são iáceis de serem oonstruídos.. Poctanto, por mera inspeçfio de H(s)
e seus p61os e lCTOS, pode se conwuir rapidamente uma imagem meru.al da rc:sposaa em f~üêociu de um sistem3. Esl.tl é a principal vantagem dos dia.grrunas de Bode.
4
EXEMPLO DE COMPUTA DO R C4.6
Utilize a runç~ bode do MATLAB para resolver os Exemplos 4.25 e 4.26.
» bode(t!(convt(20 O) . U iOOJ) . conv(!l 2t . (l l0)JJ, ' lc
>>
»
4
',
•••
tt((lO 1000 ). (1 2 iOOJ>.'k :' ) ;
le:gen(I( ' Ex. 4 . 2$ ', ' t x. 4 . 2' ' . OI
-"'
4()
:;;
1
~
:i
20
o
~----'\ __
~
-40
f
o
-- · Ex. 4.26
'
-20
~
•
1- e..•2.1j
60
-- , _-....... ...
-
-------- --''
-90'
- 180' ,
lo--:
------'--- - ,
lo'
lO'
'
to-1
1<11
10 1
H)"
freqiJICDC)' (rnd/'s)
Figura C4.6
Pó LOS E ZEROS NO S EMI -PLANO DIREITO
Em t){)SSa.-s discussões até este momento, assumimos que os pólos e zeros <la funçl'o de uansrerência ~ no se·
mi plano e$querdo. E se aJgum pólo e/ou zero de f/(s) e$.tiver no S PD? Se existir um pólo no SPD. o siStema é
instá..·el. Tais sistemas são inúteis para qualquer aplicaç-00 de processamento de sinais. POr esta razão. conside·
ramos apenas o caso de :roros no SPO. O tc:m1o correspondcnce no 7.ero no SPO em s =o t (slo) - I e a respos.
ta em frcqOlnci.a correspondente é (jw/a) - 1. A resposta em amplitude t
4
I (,; )'"
j<u I =
~'
o!+ I
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400
S INAfS E S ISTf!MAS LU.'l!A.RES
lsSó rnostra que a rt:spost.u em amplitude de um zero no SPD e m s = a 6 idêntic-a a de um zero no SPE ou
-a. Portanto, o gráfico de amplitude logarítmica pennaneccní inaherodo se os r.cros estiverem no SPE
ou no SPO. Entretanto. a fase Ç(H'f'CSpoodente ao zero no SPD em s == (I é
.f=
l
(7jw - ) = ( jw) =
I
L-
I - -;-
1t
+ tan- 1
(-w)
-;,-
= ;r -
tan-
1
(w)
(;
cnqurullo que~ faJõe correspondente uo zero no SPE em s =a é. tan- 1(11J/a).
Os ~crU$ complexos conjugados no SPO resuJtrun no tcnno i- 2{-t~J.,.f + w;J, o qual é idénliroao termo f+
2Ç'w,..r + w.,2 com uma aheraç--Jo 1.0 sitUtl de~. Logo, a panir das Eqs. (4,88) e (4,89). obsefva,nos q...e as aml)li·
nJdes serão idêntiCM paro os dois termos. mas as fases ter:to sinais opostos.
Sistemas c:.ujos pólos e zeros estão restritos ao SPE são classificados t'UfflO sism11a de fase mi11itnt1.
4.9-5 Função de Transferência da Resposta em Freqüência
Na seção anterior tfnh:unos a funçtio de transferência 00 sisten\a. A panir do conhecimento da funçâo de trans.ferênéia desen\'olvemos técnicas parn a determinação da resposta do sistema a entmd.as senoidais. Também podemos fazer o procedimento inverso para ddcnninar a função de 1:rnnsferência de um siS~ema de fase mínima
a p.•u1ir da rcs.po.sta do sis1cma a senóidcs. Esta aplic3Ç!lo possui uma u1ilidade prátic::a significa.me. Se rec;ebel'·
mos um sistema em uma caixà preta com apenas os temünais de e ntmda e saída disponJ\·eis. a funçâo de trans..feJ~neia tem que ser dete.nninada atrové.s de medições ~perimentai s nos tenninai.s de entrada e saída. Ares·
posto em frcqüCocia a entradas senoidais é umn das pos.sibilidndcs mais atraentes. poi.s a medição necessária é
muito simples. Só ser:i necessário aplicnr um sinaJ senoidal na entrada c observar a saída. Determina-se, dcstn
forms. o gt~nho de nmpli1udc IH(.iw)l c o deslocamcmo de fase de safdn L H Uw) (com relação a scnóide de entrada) para \'ários Y.~ l ores de w em toda uma faixa de Oa oo. E~a informação resulta nos gráficos de resposto1
(diagrantas de Bode) quando traç-ada em funç-ão de log w. A partir deStes g.ntficos podemos detenninar as assintotas apmpriiKins considerando que a-. inc·linações de toda..; as assíntotas dcwem ser múltipla.-. de ±.20 dB/déc:ada se a função de transferêrw:ia for uma funçlo racionsl (funçl\Q q1ae é uma rn1.ão entre polinômjos em s). A
p:mir da!: assfmotas. as freq~ncias de canto podem ser obtidas. ;\ s FreqUências de canto detenninrun os pólos
e zeros da fu ~-iio de tr<msferência. Devido a ambigüidade com relaçJo a posição dos :r.eros. pois zeros no SPD
e SPE (zeros em s = ±a) possuem ampliludc:$ idênticas. es•e pl'()l..'edimenlo funciona sornente para siS~emas (le
f:tse mínima.
4 .10 PROJETO DE F ILTROS PELA ALOCAÇÃO DE P óLOS E ZEROS DE H (S)
Nesta seção. iremos explor~r a forte dependência da n:spostn e-m freqüência c:om u posição dos pólos e zeros de
H(s). Es.ta dependência nponta pam um simples procedimento intuiti\"0 para o pi'QjetQde filtros.
4.10-1 Dependência da Resposta em Freqüência com os Pólos e Zeros de H (s)
A n!SJ"'S'll em freqüência de um siç1ema é ba~icamcnte s informaçlro sobre a enpacidade de tiltr~em do sis•e·
ma. A funç3o de transferênc-ia de uJn sistema pode ser descrita pol'
P(s)
H (S) = =
Q(.t)
(s- l 1Hs - l:)···(s - l .v)
IJo .;;_-7'~-'::.:..._.::.._..:::.:,.
(.<- Àl)(.<- À:) ... (.<- À.v)
(4.90a)
na qual z,. z2•••• ::..Nsão os zeros e À 1• À!· · ·· )w são os pólos de 11(5). O valor da função de tmn.-.fcrêncio H(.f) p:t13
ulguma fret1üência .1 =pé
(4.900)
Esto equação~ constituída dos fatores Dll forma p - .:,. e p - À,. O fator p - .:,. ~um número complexo representado por um vetor desenhado do ponto z oo ponto p no plano complexo. como mo5olmdo na Fig. 4.45a. O tama·
nho do segmento de linhu é IP- ::, 1. a m.'lgnitudc de p- z.. O ânjulo deste scgmemo de linha direcionaJ (com o
eixo hori~ont.ul) é -(p- zJ. Parn cakular H(s) em s = t>. desenhamos segmetuosde linha de todos os pók>s e te•
roo de H(s) :ué o pot•l<> p. como mostrodo na Fig. 4.4Sb. O ~-e1or que conec.a o zero ~ ao ponto p ép - ;.. Considere o l<l.mànho deste vetor igual a r1 t 4-'0nsidere o seu ângulo com o ei.'o horizontal igual a q,,. então. p - z.. = r?.
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CAPtruto 4
ANÁUSE DE SISTEMAS E'\I TF.MPO CON11NUO USASOO A 'rRAtW'()RMADA DE LAPt..l.cE
p
40 I
t
I'
lm
P -·.,
:;
( i!}
( b)
Figura 4.45 RcprcscnUIÇOe.s \'ClOtiais de (a) mímeros complexos e {b) fatotu de H{s).
Similannc:nte. o vetor concx1ando o pólo À, no ponto pé p gulo {com oei.xo horizontal). respectivamente. do \'etor p -
).J =
d,!'*. na qual d1 c 9, são o comprimento e o ân).j. A panir da Eq. (4,9(l)),lemos que
(r 1 ef.. )(r ef.,) .•. (r Neif v)
2
H (s )1,. , ~ b, .;:-;;~:;:4:..,..:_-+;:..:...,:;-f
(d1eJ111 )(d1el+!) • • •(d,,.eJ*,.·)
Portanto.
(4.9 l a)
= bo prOOutos das distâncias dos zeros ap
produtos das dis1âncias dos pólos a p
e
l H(s)),.,
= (~1 +4>z + · ··+~,,)- (01 +O,+ ... +ON)
= soma dos ângulos dos zeros n p- SQma dos ângul05 dos pólos a p
(4.9lb)
Nes1e caso assumimos b0 posit.ivo. Se b0 for ncgnti,'«l. existe uma fase :rr ndicional. Usando este procedimento. podemos dctem1inar H(j) parn qualquer vnlor de s. Para calcular a resposra em freqUência H(jw). usamos s
= jw (um ponto no eixo lmagin~rio). conectamos todos os pólos e zeros ao pontojw e detenniruunos - U(jw) c
IH(jw)l:. pan.ir da Eq, (4.9 1), Repete-se C!>le prOCedimento para todos os valores de w. de Oa o.:~ pam obter a resposta em frtqOência.
A UMENTO DO G ANH O COM UM PótO
Pnrn entender o efeito de pólos e zeros na resposta em fre<(iiência. considere um caso hipó(~tico de um únioo pó·
lo -a+ jwa, com<I IUO.St r:tdo n;1Fig. 4.46a. Pu.r.1determinar a respus1.o em amplilude lll{iw)l para um ce11o vaI« de w. <:onecu:unos o p6Ju ao punlt)jw (Fig.. 4.46a). Se o tamanho desta linha é d. então l//(jw)l é proporcional a 1/d.
.
K
11/Uw)l = d
(4.92)
na qual o valor cxa1o d.'t constante K 1\fio é importante neste momento. Quandó w aumenta a partir de zero. d diminui progressivamente até que w atinge o Ydlor li.Jo. Quando w aumeola além de Wu- d aumeola progn::ssivamente. Ponruuo. de acordo com a Eq. (4.92). t1 resposta em amplitude lfl(iw)l aumenta de w =O at6 a>=% e. então.
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402
SINAJS E SlSTOW LINEARES
r
lm
t
.
, ..8,
...... JWo
t
IH<MI
L H(jttJ)
I
.Í d
j..
i
1/ .,~
l
l
! ;
_, ······-·······-·····-········-···
o
.i'
! j V
:t~
. ..
o
O
-a ! ;
(<)
( b)
(ai
t
lm
.......
"• ;.,
t
1_,.=!.:
I
,.
i
Jw
Ro-<
,,,
(d)
Figura 4.46
~pel
t.J/( jw)
.
........................:--·:;;-·.-··- - -
o
......
( f)
de pólos e ~cros nn dc•crminada da resposta em freqüência de wn sistema LCI'T.
dccresct" continuamente enqutmto w cresce parn 8Jém de Woo como mostmdo na fíg. 4.46b. Pon.nnto, um pólo em
-o+ A
~ulta
em um oomponam<'-nto seJc:ti\•O em freqOênciit que aumenta o ganho na freqüência füo (ressoft."IJM.:ia). Além diSSQ. quando o pólo se move para maill perto do eixo imaginário (quando o~ reduzido). este au..
mento (ressonância) se toma mô\is pronunciado. Isso ocorre porque: a. a dislAncia entre o pólo e fr»o (d corresporr
dente a}%) se tOma menor. aumemanOO o ganho K/d. Nocaw extremo. quando a= O(pólo no eixo imaginário).
o ganho em% tende a infinito. Pólos repetidos aumentnm ainda mais o efeito seletÍ\'0 em freqüência. Para resu·
mir. podemos uumenwr o gunho na freqüência % colocando um pólo em frente ao pontoj%- Quanto maill próxi·
mo o pólo esa:iver de.iwc,. maior o ganho em % e a variaç5o no g:lllho serd mnis rápida (mais seleth'O em ~üên·
cia) nn viJjnhança de%· Obscr"e que um pólo deve ser coJcx:ado 00 SPE por questOes de CSlabWd.'lde.
Nes-e C®), considcr:amos o efeito de um único pólo complexo no ganho do s.istema. Para um sistema real, o
pólo complexo -o + Jw., de\'e acompanhar seu conjugado - a - A Podemos fac-i lmeme mostrar que a pre·
senc;a de um pólo conjugado nao afe•a considcmvclmcnte o comportamento S<'-letivo em freqüênda na vttinhánça de OJo. lsso ocorre porqoo o ganho neste C.'ISO é K!dd', onde d' é a distlincia do ponto jw ao pólo conjugado -a
-i%· Como o pólo conjugado tsLá. longe de jw.,. 111kl M uma mudança dramát:ica oo tamanho de d' quando w
varia n.a proximidade de Wo- E.x.lste um aumento gr.Kiual no valor de d' quando w aumenta, deix:ando o compor·
tamemo seleth·o em freqUência oomo era originalmente, oom apenas pequenas alterações.
REDUÇÃO DE GANHO COM UM ZERO
Usando o mesmo ara:umcnto. observamos que zeros em - a '±jw., (Fig. 4.46d} tet:lo e.xatru.nentc o efeito opos·
to de pólos, suprimindo o g:mho na viúnhança de 4Jo. como mostrudo na Fig. 4.46e. Um ter0 00 eixo imagin,(i.
rio em frvo irá suprimir totalrnen•e o ganhe) (ganhe) 1,.ero) na frrqüênci.a 6>o· Zeros repetidos irdo aumentar o efei·
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to. Além disso, a oolocaç:lo de um pólo e um zero (dipok>s) muito próx.i.1nos tendem a cancelar o efeito um do
outro na respOSia em freqüência. Claramente, a colocaç-ão ndequada de pólos c zeros pOde resultnr em umà gran.
de variedade dec."'m.portamentos seletivos em freqliência. l,odemos utili:z.ar esta observação pam projetar fi ltros
passa baixa..,, passa altas, passa fnixa e pára faixa (ou tl()lt'h).
A resposta em fase também pode ser calculada grafic.ounente. Nn Fig. 4.46a. os 9-ngulos formados pekls pó-los complexos conjugados - a ±fru.otm w = O(a origem) são iguali e opostos. Quando wcresc:e a panirde O.
o ângt~IO 91 (de\•ido oo pólo - a +~. que possui um valor negativo para lJJ = O,~ reduúdo em magnhude. O
ângulo 91 (de\•ido no pólo -a+ jr~ . que possui um valor positivo p.'ltll "' = O, aumenta em magnitude. Como
resultado, 91 + ~. a soma dos dois ângulos. aumenta oontinwunente. apro~mando do vakll' 1f quando w - oo.
A resposta em rase resullame - H(jw) c -(91 + 01) é apresentada na Fig. 4.46c. Argumentos similateS se apli·
cama zeros em - a±A.A resposta de faseresuhante - H{jw) = (01 + 9Jt mostrada na Fig. 4.46f.
Iremos, agora. focal izar em filtros simplt'$, usando o sentimento intuiti\'O obcido nesta discussiio. A discussão é e1>.~ncialmen1e qualitati\'a,
4
4
4
4
4.10·2 Filtros P"".a-Baixas
=
Um típk"' fillro passa baixas possui um ganho máximo para w O. Como um pólo aumenta o ganho nas freqüê-ncias c:=m sua vizinhança, nós precis.'llnos colocar um pólo (ou pólos) no eixo real opos10 li origem {j6J = 0),
como mostrodo na Fi.g. 4.4 7a. A função de trànsferên<:lu dcs.te sistema é
4
w,
H (s)= - s + cv(
Escolhemos o numerador de H(s) igual a w( para oonnalizar o g-anho CC (H{O)) para a unidAde. Se d é a dislância do pólo -w~ oo ponto jw(Fig.. 4.47a), então
IH (jw)l = w,
d
.....·· )(•M'
jâlt
/.X/
N= S
d _ .... jâ1
_..... r
..-
O
Re ~
O
o
Re ""'*
Re->
·x...
( b)
(O)
(<)
t
lll(jo»ll
o
(dJ
Fiaura 4.47 ContiguraçAo pólo 7..ero e a resposta de ampHtude de um fihro passa-baixas (8utlenwmh).
4
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404
SiNAIS E SISTf..\I.AS l.JNEARES
com H(O) = I. Quando w diminui. d aumenta e IH(/<d)l aumenta monotonicnmentc com tu. como apresentado
nn fig. 4.47d com N = I. Este ~istem.a ~claramente um fihro passa·b•'lixas com aumento de ganho nu proximi·
dade de <v = o.
PAREDE DE PóLOS
A carocteri'l>ticu de um filtro passa-baixus ideal (otrea sombretld.1 da Fig. 4.47d) apresenta um gttnhn unitário cooscante até a freqüência w~. O ganho diminui. entiio, n:pentinil.ll<aente para Opara w > w... P.Jrn obter n característica de
um fil tro passa·b:ti.xas ideal. precisamos numentar o giUlbo paru toda a faixa de freqüenciu de Oa w,. Sabemos que
pata aumentar o ganho e m qualquer freqUêocin w, precisamos colocar um pólo oposto a w. Par.t coo.seguir um au..
mento de ganho em todas as faixas de freqOência de Oa w~ (e de Oa -{!)~ para póiQS conjug<tdos), precisamos c:olo.
car um póiQQposiO u cnda fn=qüêndu nesta faixa. Em outras polavr:lS. precisamos de uma Jxu-edt: comlm w de~
los en_
l frente ao eixo ima.gi•lário Opost.'l à faixa de freqii&lci:t de Ou wr (e de Oa -w.. para pólos OOilj ugados). como mostritdo nâ Fig. 4.47b. Neste JXItUO, a fonna ócima desaa J"'rcde não é óbvia. porque noss~ argumentos são
qualitativos e- intuith•us. Apesar disso. ~ ceno que para 1ennos um aumento de ganho (ganho constante) para cada
fn=qilência dentro desta faixa. precisamos de um nún11ero infinito de pó~ nes-~ parede. Podemos mostrar que para uma resposta aprox.imndnmentc pltma' parJ a Caixa de frtqü!néias (0 a w,). a parede é um semicfrculo com um
11
nilmero infinito de pólos uniformememc distribl.•fdos ao longo da pamle. Na prálica. existe um compromisso eolre usar um número finito (N) de pó&os e obcer camcccristicas inferiores à K:lcal. A Fig. 4.47c mostra ti <.-"'nfiguração
de pólos para um fi ltro de qujnw ordem (N = S). A respo&1a em ampHtude p.w vários vnlorcs de N é nprescnt.oda
D.1 Fig. 4.47d. Qt~odo N- oo, a rcspos1a do filtro tende a ideal. Esta famnia de fihros é chamada de fil tros de Bm·
t~twonh. Também exiscem omros famnias.. Nos filtros Chebyslle'll, a t'ontUI da parede ~ uma semi-elipse. 00 im'és
de um semicírCulo. As wactetfsticas de um f.t.l tro Chcbyshcv são inferiores às de um fihrC>de BuuerwOt'lh para a
banda pas!\ante (0. w.J. nu qual as carac:teósüe:as mosuam um efeito de ripple (oscilaÇ11Q) ullUl ve7,. da resposta pia·
J\.'1 maximiUld.'l de Hutterworth. Mas fora da banda passante (w > w~). o co..nponamemo Chebyshev é ~pcrior no
sentido de que o g.-who do fil tro de Chebyshcv cai mai5 rápido do que pana filtros de Bu lléfWt'lr1lt
4.10·3 Filtros Passa-Faixa
A c,aracterístic.a sombreada da Fig. 4.48b mosU'a o ganho de um filtro p.'I.Ssa·faixo idcul. No filtro passa-faixa. o
ganho ~ au m~:-ntadQ em ux ta a band:t I)I)SS:.nte. Nos!!:t disc:uss!o antcriM indica que e-stA carncte-rinica pode ser
obtida através de uma parede de pólos opostos ao eixo imaginário. em frente ao centro da banda paiSànte. e-m
%- (Tàmbém exiSte um.a parede de pólos compkxos opos1os a -·~.) lde:almcntc, um número infinito de pólos
é nccc!l5ário. Na prá1ica. eJdste um oompromisso emre uw um nllmero fin iao de pólos c obter uma caractcn'sti+
ca inferior à ideal (Fi.g. 4.48).
I
lm
/
,....
ft.Jo
!'
\ .....
o
'
IH(jw)l
Ideal
R•->
? .
/"
•
\ ........
-jo>,
Cal
( b)
Figura 4.48 {a) ConfiguroçAo de pólos·7-Cros c (b) resposta de nmplitude de um liltro passa-faixa.
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c , PiTm.o 4
AI'-'Áus" nf! SIST!;MAS tM TeMP<• CONTii\'OO U:v..soo A TRANSFORMAO>\ DE L\PL....ce
405
4.1 0-4 Filtros Notch (Pára-Faixa)
A tesposta t m amplitude de um fi hm notch idct~ l (:irca $f)fllbrcada na Fig. 4.49b) é o eornplerntnto da rt-sposta
em amplitude de um fi ltro passa-f3h:ns ide:•I. O sanho é zero (Xlta 1.11nt1 pequena raixà centrada cm alguma frc·
qüêndu% ~: unil.ário para as demais frcqüCncias. A implementação de t~l '-<'~r<K~tt-ríst i co requer um número infi·
nitu ck pólo...; e zeros. Vamos considcrnr um fi llro ootch P•i.11ico de segunda ordem pa.ru obter um ganho zero na
freqüência w = ro,,. Para is1o. deve mos 1cr l'..cfOS em ±jw.,. A C~ttacterística de ganho unitário pum w = oo requer
um número de pólos igual ao número de ze•'OS <M a N),l!tOgarante QUI!! paro v-.tlorcs muito gmncks de tu. o pcGduto das disU'incias dos pólO$ a (I) será igualao produto das di ~.-1ând u....; dos zeros a ttJ. Além disso. o ganho uniuí·
rio paro w c Osugere um pólo e um zero coiTC!>pondemc cqüidi.stames da origem. POf e:.;emplo. se nós utiliLar·
mos dois t..eros (c<>mplexos conjugados). então nós de\'emos ter dois pólo.'>. A distâJI(:i<•da orige m nos p61ol:i c da
origem ~os 1..cros deve ser a mesma. Esw. C<li'Oiéterí~ti'":a pode str úbtiJ~• '-'Oiocant:lo os dois pólos conj ugado$ no
semicfrl~u lo de roio ~ oomo mustrudo na Fig. 4 .49:~. Os pólo" podem licM em qualquer lugar no semkrrt."ulo
para satisr.u.er a condição de eqüidiS1ânda. Considere os dois pól0$t:Qnj ug:a<kts nos ângulos ±Ocom relaç-.ãoao
eixo real negativo. LcmbR:·SC de que um póiQ c um zero na pro~ i mid:~de tendMl a cancelar a inlluêocia um do
outro. Portanto. colocar pólo... próximo" de zeros (seiJXionando ()próximo de ,;n) resulta t m uma rápida ret.~u .
per::·~·ão do ganho do \'tJior Op3ra I, c nllU:ultO no:. movemos JX•ra longe de% em 4ualquer dirt-ç5o. A Fig. 4.4%
mostrn o ganho !H{.kt~)l p:Lra três ~lores di fM~ntes de. O.
f
lm
i
.
.....
....
·.
plliJl(J s
jw,,
lll(ion l
/
8
o
Re~
..._
'·
...
- jtJI,)
o
(b)
f~ )
Figu~
4.49 (a) Con li,gur<u;~ãu de pó!~zeros c (b) resposta em 11mplitudc para um lihro pdra· f:li:<a footch).
EX EM PLO 4.27
Projete um filtro notch de segunda Ordem pam suprimir o mído de 60 Hz de um rádio receptor.
Utilit.<uJtOS ó$ pólos c zeros da fig. 4.49a com {0, = 11():r. Os J;cros cs•~o em s == ±j %• Os dois pólos eS·
lãó em -~ CU$ 9 ±j% scn fJ. A funçãc) de lmnsfcrência do fi ltro é (com %= 120rr)
H ü)
=
(.f- j{U,))(S
(,\' + W\.1 <:os O +
$2
+ (~
j% scn b)(s
+ jWu)
+ IIJuCOs {}
- j{q, scn 8)
,\': + 142 122.3
= .s? + (2ttJucos b)s +'''<i, = ,t'l + <753.98cos ())s + 142 122.3
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406
SINAIS E SISTEMAS LU.'"EARf.S
e
-w' + 142122.3
I11 (jwl 1= -;.;ii'('C.,;;,;=+;=r;l4iii2;jil2i'i2f;,3ii:'JF+í=ii
<7~s.fJ.'ii'9s;;;Ec:::.,õ',ii'or<l•
Quamo mais próxjmos os pólos esü\'ere.m dos zeros (0 mais próximo é rr/2). mais rápida a recuperaçao
do ganho de O p.va I em qualquer um dos lados de % • 12011'. A Fig. 4.49b mos~r.~ a respos1a em amplitu·
de paro~ Lrês \'aiores diferentes de O. Este e:<etnplo é um caso muito simples de projeto. Para atingir ganho zero em umn faixa. precisamos de um número infinito de pólos e zeros.
EXEMPLO DE COMPUTADO R C4 .7
A funç5o de 1ransfertncia de um fi llro nocch de segunda ordem é
s1+ %
//(>) -
- '' + <"'-cos(O))s +%
Usando%= 211'60. trncc a resp<>sls em msgnitude para os seguintes casos:
(a)
o. =611'
(b)
o,= 80'
(<)
9,
= 87
1'1' OfY.e9Cl_0 :
>> Olllf9ól
»
»
for
•
;i• pi • QO; tl\'tU1:
•o :. S: lOOO)' ;
160 80 87) ' 11)1/180) ;
~9: leroa•}.~ong~hio~al) ;
m~t : l•n9th(~heta)
H • d l ( t O C!JAt9o11_ 0"'l). (1 2 · or~o~~_O · co~ltheta(~l• O!fle94_ 0"2)) I
»
r#lf.gHt;, : l , phae•l .. bode tH.<XIl•9.:t);
,.,. f<n<l.
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~aif2 • pil ; plot (i . N9 11. : I , ')i:• ', f.t~&912, : J . 'k-- ' , f , 1!169U. : J. ' k-. ') ;
xlabt>H'r IHll ' I ; yloW1 •• IHCjl\p\; ~) ) :
>> le-Q~(. \tl'tf'ta. :: 60"\ctrc•. ' \tneta
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60
80 100 120 140 160
f ( Hz)
Figura C4.7
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CAI'Ó'VLO 4
ANÁLISE DE SISTEMAS EM Tl;..'\11'0 Col'Ti!'<UO USANDO A TRANSFORMADA 06l.Af>I..ACE
407
EXERCÍC IO E4.15
para crru;:.u a re..posl:t em freqüência e mos1n: que o $i~cema com a configuração de l*
da Fig, 4.503 é uru tiltro pa<;sa-ahas e • çonligu.rnçioda Fig. 4.50b é um filtro (XI~..,.,- faixa.
u~ o métodQqualir:uiwl
l os-:~:eros
pt~no
s
I
I
lm
lm
•
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, ...
(ai
fi~uru 4.50
jw,
.,...
(b)
Configuraç3o de póloS-l.CtO$ para (a) filtro pa<;sa alta e (b) muo P'W-tt-faixa.
4.10·5 Filtros Práticos e Suas Especilktções
Para lihros ideais. tudo é preto c branco: os ganhos são ou Z('fl) ou unitários parJ certas faix:ts de freqüências.
Como \'i mos ames. a vidu real niio pcnnite essa vi:5-ão do munc.lo. As coisas precisam ~r cinzas ou (·om tons de
cin7.lL Nu prática, podemos implementar uma grondc vuricdude de caructerística.'i de filtros que só podem apm)(im:.r as carncterüaicas ideais.
Um tihro ideal poss.ui uma banda passamc (ganho unilário) c um.a banda fi lirnda (g-nnho 1.cro) com alguma
uansiçllo rcpcmina entre a banda pass:anlc c n txanda lihr:.da. Não existe b.1nda (ou faixa) de cran~i ção. P:trn fi I·
cros pl'áticos (ou reali.z.oh-eis). po1· OUti'O lado. a • ransiç~o da band:1 pass:uue para a b.:mda fihr;)(la (ou viee•\'ers.,'t)
é gradual e ooorre durante unt:'l faixa fi•,ita de freqUências. Além disso. para liltws te.'lliz~veis,l) ganho nno po·
de stJ zero paro uma faixtt fiJlita (condiçâo de P..:dey· Wienet). Como resultado. n~ pode havet uma vetdadeiro
banda filtrJda para fi ltros práticos. Portanto. defLnimos a b<mda jilrrodo (.'Orno sendo a faixa para a qual o ganho
é inferior a algum pequeno número G,. (.'Omo ilustrado IU1 F'ig. 4.51. Similannenu:. de-fini mos a band11 pas.same
como sendo a faixs parn a qual o ganho está entre I c algum número G, ( G,. < I ). como mostrndo na Fig. 451.
Selecionamo'> a b.1nd~ passame como tendo gnnho unitário somcnle por convcniéncia. (.) gnnho podia ser qunl·
quer constante. Geralmente, o.s ganhO$ s:lo especificados em rcrmos de decibéis. Isto é simplcsmcnJc 20 vezes
o log..1ritmo (n.1 b.1sc lO) do ganho. Pooamo.
{;(dB) = 20 log 10 (i
Um ganho uniJ:irio é O dB c um ganho de .fi é 3,01 dH, geralmenlc apmxim.ado p:~ra 3 dB. algumas vezes
nespecificação pode ser feita em termos da aJcnuaçiio. a qual ê o negntivo do ganho em dO. Ponanto. um ganho
de 11 .fi, ou seja. 0,707. é -JdB. mas é uma atcnuaç.tio de 3 d R.
Em um pr(l(:edimcmo de projeto tfpiro. Cip (ganho mínimo da bancl:l passame) c G, (ganho máximo da ban·
da fihrada) sllo espcciftcadol1>. A Fig. 4.5 I mosrra a b:lnda pa.ssame,:. banda filtrada c a banda de cmnsiçllo parn
filtros pa-ssa ~baixa. ~ssa-banda. passa-alta e párn·faixa lfpicos. Felizmente, os fi ltros pas~ ·ahas. pas~ ·b.'lnda
e p:tta·faixa podem ser ob1idos de um fi hro 1)3<iSta·b-<tixas básico mF-wés de uma simples tr::msformaçâo de frc·
q<lências. P~vexcmplo, ~ubstituindo $por crJjs na função de 1r:m<>fcrência (!(um fi ltro passa·bai.xas. teremos um
filtro p.'I:Ssa·aiiS$. De forma cquh•alcmc, ouuus transformações de frcqit.ência rcsuham em filtros passa-faixa c
pára-faixa. l..ogo. é necessário dcscnvoh·c r um procedimento de projeto apenas para o lilcro passa·bai.xas bás-i·
co. Ent5o. usando ttcransformaçilo apropriada. podemos l)fOjecar fihros de oucros Lif)()s. Os procedimentos de
proje(O estão além do nosso escopo e n!kl serão discutidos. O lei1oc imeressado neSte tópico pode procurar mais
infotmaçôes na Ref. I.
I
IH<,;..~
a:l==:::,_l\
G,
1--
I
G,
j
o
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( b)
'"'
a' ~--.::._:_:=:=:;;.<:::=:
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o
ftJ,
w,
(c)
(d)
ftigum 4.5 1 Banda p:ISsnntc. banda filtrada e baud<• de trJnsi~:ão em fi lt1'0S de "átios.tipos..
4- 11 TRANSFORMADA DE LAPLACE B ll.ATERAI.
SituaçÕ('s envol,·c-nd(l sin<.liS e/ou Si$temas n!lo cnusais não podem ser trabalhadas usando n tnu'L.:;formada de Laplac:e (unilateral) discutida ttté o momento. Estes casO$ pcocisam ser onalisados pela transformada de.- Laplace:
bilmeml (ou de dois l11dos). definida por
X (s) =
1~ .r(l)e-" d1
-»
c x(tj pode ser obtido de X(,\') atr..wés da transform11d:t invcnw
Obset\'C ~we all'::m.o;fomwda de Luplaec unilateral discutida até este momemo é um caSQ espec-i:11 da trnn.."·
formada de Lapl ~ce bil:alcral. na qunl os sinais sã() restritos a serem c:.ausa.is. Basicame•ue. as duas uan.sfonnada::. S;:io iguais. POf e..:.ta raz5o us~lll0$1"1 mesma notação para u lrans(ormzada de Lapla(~~ bihneml.
Anteriormente mustnunos <1ue as Lronsformad.1S de Laplace de e '"1t(t) c - e"'u( - 1) são id~nliCiiS, A única di·
fcrcnça c.<>t:i nas regiões de t.Xlflvetgência (RDC). ;\ ROC da p•·imcir.a é Rc .,. > -a c para a ühimn é Re .f < - a.
como ilulottado na Fig:. 4. 1. Chunme.nlc. a lrans.fonnada im'ersa de L:~placc de X(s) não é única a niio ser que a
RDC sej~ espccific:tda. Se restringirmo.!> noss~ sinais ao tipo causal, e•~tret:uuo, e:sm :unbigüidadc não existirá.
A tr.msft)t'm:.da inverst• de l,.aplace de J/(s + a) é e -·".,(tl. Ponanto. tlo.l U11nsform<~da de Lopl:t<.:c unilatera.l. nós
podemO$ ignor.lf a RDC na dctcnninação dt~ transformnda izwe.rs.a de X(:.·),
Iremos mmtrar agora ~we qu~lqu cr transformada bilateral pode s.:r expressa e m cetnl<lSde duas tr:msformndas unilaterais. sem.lo. pott>lnto. possfvcl determinar a tran.sfonnada bilateral da tabela de tronsfot·madas
unilateral.
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c,,•.r,.uw 4
AN.r\usE DE S1.sn:.M.AS EM Ter.~ro COl\''t iNtJO USANI>O A TRANSFOflMAD-' oe L\PLACE
409
Consi.Jere :1 fun~:à(1 x(t) rnos.~r:.-d•• na Fig, 4.52a. Setx•tamos ,t(l} em du:.s componentes, x,(r) e x!(r). rcprcscnlando a compooent~ d\' tempo positivo (causal) e :t ~o:omponenl e Jé (empo oegalivo (anticaus.a.l) de ,,·(r). res:pec·
tivamcnlc (Fig. 4.52b e 4.52<:):
.t 1(/)
x1(1)
A
= .t(l)ll( t )
= .<(1)11(- 1)
transl'o nnada d~ L.npla<:c bil<•teral dé .t(l) é dada pllf'
(4,93)
=
X1(s )
+ X, fs )
o
( ôl)
o
( b)
o
"'
···-
x~- r)
o
(d )
·-
Figurn4.52 Expressando umsimtl Ct)mo a soma de oomponcmcs caus:LI c amicau$111.
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410
SlN.AIS E SlSTEMAS LINEARES
n.a qunl X,(.\') é a transfo•·mada de Laplac.e da componente c.uusol x1(r) e X~(.f) é a transformadn de Laplace da
componeme 3nticausal x,(l). Considere X,(s).
. d.adu por
.
Portanto.
Se .t(t) pus:s:uir um impulso ou suas derivadas na origem. eles est~o i.nclufdos em .t 1(1). Conseqlientementc:.
xz(t) = Ona origem. ou seja• .r~(O) = O. Logo. olimitç inferior 1la i•negração d<a e(J uit~;-âO anterior pode ser considerado como !OCtldO 0- ao invés de 0-. Portanto,
X1(-s)
=L~» x2 (-t)e-"' dt
Como x 2( - r) é causal (F'ig. 4S2d). X!( -s) pode ser dctcrminadn da w.bela de transfonnada unilateroJ. Trocando o sinal de s em X~( -s) obtemos X1(s).
P:u'3 resumir. a transfonnada bilateral Xü·) da Eq. (4.93) pode st.rcalcul.ada a p3rtir dns trans form:~das unila·
(em I em dois JXI.SSOS:
I. Divida .((r) e m componentes causal e .untk..uusal. x1(1) e .tl(r). respectivamente.
2. Os sinais x 1(t) e-.r~( -r) são causais. Octenninc a tronsfOtmada de Li•plac:e (unilateral) dex1(t) e some a
d.u o transfmmnda de Laplace (unilateral) x._( -1), com s subsliluído por - s. Este pruc:edime:nto result.:t
na transformada de L..1place (bil:ueral) dex(r),
Como x,(r) c x:(-t) :do caus:. i ~, X,(s) e X,( -.t) são lr.\r'ISfonnad3S de Laplace unilaterais. Seja a .. c-ad as abscissas de COn\'ergência de X1(.f) e X2( - s). respectivamente-. Esta atirmaçio implica que X1(s) existe para todos
com Rc s > ad e X~( -.s) existe paro todo .f com Re s < -<1t'Z.' Ponamo. X(~·) :. X,(s) + X~(s) existe para todo
.ttal q~
As rcgiõe.-. de convergência (ou existência) de X1(s). X:(s) e X(s) est!lo mostradas na Fig. 4.53. Como X(s) ~
fin ito para todos os vnlorcs de s dentro da fai:ca de convergência (o,., < Re s < - orJ · os pólos de X(s)dev~m c.s(ar f()l'3 desta faixa. Os pólos de X(s) devido à componente causal .f1(1) estão no bWo esquerdo dafai.m (região)
dt: çoml!rgl tt<:il' e os devido a componente anticausal xir) estio lado dirdto da faixa (~jn a Fig. 4.53). Este fa~
to é de crucial imponfíncia na deceml.inaç-.ão da t.ran.sfomlada bilateml in\'e.rs.a.
Esse resultado pOOe set generalizado paro sinais de lado direito e de lado esquerdo. Definimos um sinal x(r)
como sendo um sin.aJ de lado d,.f'("l/o sex(t) Opara 1 < T, para algum número finito. positivo ou negativo, T1•
Um sirw.l causal é sempre um sinal de lado dkdto. mas o in\'CniO niio é neccsSllriamcntc verdadeiro. Um SiJ)al é
dito ser de la<lo esquerdo se ele for uro para r > T: paru algum nUmero fin i1o. positivo ou negativo. T~, Um si
nal anticausal ~sem pre um sinal de lado c-~'>q uerdo. mas o inverso n!k) é necess.'l.riamente verdadeiro. Um sinal
de <lois lados é-cfe. duração infinita nos dois lados, posili>;Q e negatiV(l, de 1 e~ é ntJn de lado direito e nem de
lado esquerdo.
Pcxte.mo.s moslrar que as conclusões para a ROC pata sinais causais também são válidas para sim,is de lado
direito e as conclusoes de sinais amict~usais são válidas pam sinais de lado esquerdo. Em outras palavt3s. se.\'(1)
i c:~u.sal ou de l!Kio direito. os pólos de X(s) estão no lado e~uerdo dn RDC e se x(r) for nntieausal ou de lado
esquerdo. os pólos de X(s) estão a direita da ROC.
Pora provar esta generalização. obsetvnmos que um !;i naI de lado direito pode ser descrito eomo .l'(t) + x;_t),
na qual x(.t) é um sinal c-ausal c xfi,t) é algum sinal de duração finita. A ROC de qualquer sinal de duração finita
=
4
• Por <-xcmpto. st:.1(t) c-.xis« pan1 todot > 10. cn1ão.1( -r). a ronna iM'CI1ida fiO ICI'lii'IO. exh•b:· pMt' < - tO.
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CAPiTULO 4
A~ÁUSE DE SISTOIAS EM. TEMPO CO."<J1NUO USAXDO A TRANSfoOR.,\ADA DE LAPI.ACE
~
Rea.iilc) de oonveriincill J».nl
l:l CC)mponcn!e
411
c.ausal de x(r)
~ Rei i3() de C.Vnve:r~nci:• }l'lr:• u oocnponem.e a ntkaus.al de x(l)
~ Rcaião (faix:•) de convergência de 1001> X(ll
Figura 4.53
é todo o plano s(nenhum pólo finito). Logo. a ROC de um sinal de ladodireitox(t) + x1(t)é a regi~ comum en·
trt a ROC dtx(l) e de xjl). a qual é a mesma ROC de x(t), Isto pro"a a generaJizaçoo de sinais de lado direito.
Podemos utilizar um argumento similar par<t gene.r.~lizar o result:Jdo para sinais de lado esquerdo.
Vamos determinar a transfonnuda de Laplace bilateroJ de
+ ~u(t)
x(t) = emu( - t )
(4.94)
J;1 conhecemos a tr.InsfonnOOa de Laplace da componente causal
I
t'r11(t) ~ - S-0
Para a romponentr anticausal .tf..t) =
l•u( -
Rcs >a
(4.95)
t). tempos
Rcs > -b
tal que
X,(s)=
I
- s+b
=-
- 1
s- b
Ru < b
POrtanto.
- I
""• (-1)<=> - :;- b
Re s < b
(4.96)
e a transfonn.;lda de Laplace de .r(t) dO' Eq, (4.94) é
I
I
X(s)=- + s - b s - (1
5
a-b
7(s---';b,-:-)(;'s'-a"7)
Re s > o
e
Res < b
a< Rel<b
(4.97)
A Fig. 4.54 mowa x(t) e a RDC de X(s) p:tra "drios \'alores de (I e b, A Eq, (4.97) indica que a RDC de X(s)
nlo e.x.i.ste se a> b. o qual é precisamen1e o caso d:l Fig. 454g.
Observe que os pólos de X(.r) es1~0 rora (nos limites) da ROC. Os. pólos de X(s) em função d:i compoae.nte
anJjcausal de x(t) estio a direita da ROC c os pólos devido a oomponen1e causal de X{t) estAo a esquerda da RDC.
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412
SINAIS E SISTF..\L\S l.JNEARES
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o
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(O)
Í"'
o
l~)
l<lgura 4.54
Quando X(s) é t.xpn:sso c-omo ta soma de \•árió5 tt:nm~. a ROC de X(s) é a i nterse~~ão (região t..-omum) das
RDCi de todos os t~rmos. Em gemi. se x(t)
:r, (t). então o ROC deX(s) é a interSeção d~ RDCs (região
=L:.,
cQmum a tod:LS os RDCs) dn~ tmnsfonnadas X1(s). X:(s)...., X,(s).
EXEMPLO 4.%8
Detennine a tr.tns-fonn:KI:. inversa de Laplace de
X (s) =
-)
,..,-,,.-:;-:.:;..,...---;7
(s + 2)(s
I)
Copynghted matenal
CAPil\JlO 4
A.Nii.USE UE S ISfEtll t\S EM TEMPO CmniNUO USAN"OO A TRANS'I'UR.\tADA DE LAPLACE
4 13
Se a RIX: for
(a) -2 < Rcs < I
(b) Rc.f > I
(c) Res < - 2
(a)
X(,f)
I
I
s +2
s- 1
= -- - --
X(s) possui pólos em -2 c I. A faisa. de '-'Onvcrgência. é -2 < Rc s < I. O pólo em -2. estando no l:1do
esquerdo da faixa de ":orwergência. COITesponde ao .)inal ...~ausal . O pólo em I. estando no lado di teitod~ f;:ti·
xa de t(lfln:.rgênda co~re.~ponde ao sinal ttnlic<Jusal. As Eqs. (4.95) e (4.96) resultam em
.r(l) : t" - 21 u(l) + t"u( - 1)
<b) Os dois pólos es1~0 no lado esquerdo d~ RDC. po11aruo. os dois pólos coiTespondcm a sinais causais.
Logo.
,\' ( 1)
= k :. -
l)fl( l)
(I.") Os dois pólos estilo 1.0 lado dirtilo da região de: "·onvergência. desta fonna os dois pólos correspo•l·
dcm a sinais anticausais c
.~(1 )
= (-('
':1
+t'~ )u(-1)
A Pig. 4.55 mos.trn os tlis tmn.-:(onn:tdas in\'ersas \Xlms.pondcmcs ao rncsmo X(s) mas com d i(\'1\'ntcs re·
giões de convergência.
.l H )
o
-4
(•)
.rir)
.t(t)
o
,_
4
4
o
,_
(<I
Figura 4.55
Três possfvcis transfonnadas inversa." de -3/t(s
+ 2)(.f- I)).
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414
SI.NAIS E SISTEMAS L lN'EARES
4.11 -1 Propriedade.< da Transformada de Laplace Bilaterdl
As propricd:.dcs d.'ltransfonnada de L:tplace bilateral são simil:ue." às da transfnmutda unilateral. Iremos simplçs:rocme mencionar :as propriedades sem a.s respectivas provas. Seja a ROC de X(s) o < RE s < b. De manci·
ta similar. seja 11 RDC de Xj l·) o;< Re s < h, para i = I. 2).
LINEARrOAOE
a. x 1(t ) + a2x 2(t) <=> a 1X 1(.f)
+ a1Xl(s )
A ROC pam a 1X1(s) + a~!(s) é a região comum (inte-rseção) das ROCs de X,(s) e X!(.1).
D ESLOCAMENTO NO TEMPO
x(t- T ) <==> X (s)•"''
A RDC de Xê.v)t. '' é idêntica à RDC de X(s).
Df.SLOCMIENTO NA FRF.Q()tNCIA
x(r)e""'
<=> X (s- so)
A RDC deX(s- s1,)éú +c< Res < b+c. na qual c= Res0.
O tFERENCIAÇÀO NO TEMPO
ci.<(t)
- <=s X ( s)
dt
A ROC para sX( s} C"Ontétu à RDC paro X(s) e pOde ser 1naiúr do que a de X(s) sob tt-rtas oondi<;ões [por
exemplo. seX(J) possui um pólo de-primeira ocd('.m em s Oque é c-ancelodo pelo fator .f em JX(s)).
=
I NTEGRAÇÃO NO TEMPO
[~ x(r)dr => X(s)/s
A RDC parli X(s)ls é máJ.((I. 0) < Re s < b.
EsCALONAMENTO NO T EMPO
x(ftt ) <==>
l~lxw
A ROC d<: Xb'//1) é /Jc' c: Rts < {Jb. Pat:l {J > l.x(/Jt) represetu:t à compressão 110 tempo e a ROC comspon·
dida é expandida por um fator /J. Para O> {J > I , ~(/11) representa un1;1 expàn~o no tempo e a ROC correspon·
dente é comprimidtl por um fator p.
C ONVOLUÇÃO NO T EMPO
x,(l) ... ..:1 (r)
<=> x.(.J) X 2(s)
A RDC prua X,(s)X!(.J) é u região comum (interseção) das RDCs de X1(s) e X1(s).
CONVOLUÇÃO NA FREQOWCIA
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CAPfWLO 4
ANÁLISE DE SI~EMAS EM TEMPO CoJ'olfb<uo USA.NDO A TkA.r.-:5FORMADA DE LAPI..At'E
4 15
REVERSÃO NO T EMPO
x( -1) <=> X( - s)
A KOC para X(- s)t - b < Res < - a.
4.11-2 Usando a Transformada Bilateral para a Análise de Sistemas Lineares
Como a cransrormada de L.'lplace bilntcral pode ser utilizada parn uabnlhar com sinais não c,nus.nis, podemos
3nàlisar siStemas LCIT não causais usando tl tlilnsrorm::tda de Laplace bil:ueral. Mostramos que a saída >(I) (de
estado nulo) é d.a.da por
)'(1)
= C"' I X (.<) H (s)J
(4.98)
Ess:. C'Xprc:ssOO é ,,:ilida apenas se X(s)H(s) existir. A ROC de X(s)f/(s) é a região na qual tanto X(s) quanto
H(s) existin-m. Em ouuas palovt"3s. a RDC de X(s)l/(s) ~a região comum lks regiões de converg~ne-i a •anto de
X(.s:) quanto H(s). Estas idéias são melhor apresentrtd.n." 3tra\'6; dos seguintes exemplos.
EXEMPLO 4.19
Dctcnninc a corrcnrc )(I) para o circuito RC da Fig. 4.563 se a tensão X(t) for
x(l)
= t'u(l) + ~'u(-1)
IF
(•)
}'(1)
-z
o
,_
-2
(b)
1 -
2
(<)
Figura 4.56 Respos'a de um circuito 3 urn.a enuada n5o causal.
A funç5o de trfulsferência H(s) deste circuito é dad;a por
s
H (s) = .f+ 1
Rc s> -1
Como h(r) é uma funç3o causnl. a ROC de H(s) é Rc s > - I. A seguir, a 1ransrormada de Laplace bilateral de .r(r) é dada por
I
)
-I
X (s) = - - - - - = ,.--....,.;..,...-.,
s - I s- 2 ($ l)(s 2)
I < Rc.J < 2
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4 16
SINA IS fi SI.S11iMAS l..JNEARES
A resposta J(l) é n trnnsfommda invc~ de X(s)H(s)
y (l)
=C
1
+
[ (s
_1
[I
l)(s-:_' l)(s- 2)]
I
I
I
2
I
6 s +l + 2s -1-3 s -2
=C
l
A RDC de X(s)H(s) é a RDC comum tanto a X($) quanto a H(s), Ou seja. I < Ré s < 2. Os pólos ,r = ± 1
estão a tsquerda da RDC e. pOnantt>. c-Orrespondem o sinais causais. O pólos= 2 está tKll3do direito da
RDC e. portanto. rcpresentil um sinal anticausal. Logo,
y(t) = i~-'11(1)
+ ~e'11(1) + i c ltll( -t)
A Fig. 4.56<: mosua y(t). Note que: oeste: exemplo, se
.t(t) : t'-.a'u(t)
+ e - > , (-t )
então a RDC de X(.~) é - 4 < Re s < - 2. Neste c~so não e.Ki.ste região det.xmvergênci;• par.• X(s)/l(s). Tal
situaç-ão significa que a éOtKii\50 de dominância não pode ser satisfeita pam qualque r valor poss-ivd de s nu
fai.x.a ( I < Re s < 2). Logo. a resposta y(r) ir.'i para o infinito.
EXEMPLO 4.3t
Dctennin(' a resposta y(l) do sistema não causal cujo (unção de transmisSiio é dnda por
IJ(,f )
- I
= -s - I
Res < I
Temos
X(s) • -
I
-
s +2
Y(s) = X(s)fl~v) =
Res
> -2
- I
(s - l )(s + 2)
A RDC de X(s)l/(s) é a regi:io - 2 < Re s < I , Atrav~ de expansão pór fruc_-.ões parciais
- 1/ 3
1/ 3
+ s - 1 s +2
Y(s)= -
y(t)
- 2 < Res < I
= j 1t'11(-1) + e- 11 , (1)1
Note que o pólo de H(~·) está no SPI) em I. A i nd~ sssim o sis•cma é n:Lo instá\'cl. O pólo no SPD pode
indicar uma in:.tabilidade ou não causalidade. dependendo ôe sua localizaç-Ao oom rel ~o de con"ergência
de N(s). POr exemplo. se H(s) = - l f(s - I) com Re s > I. o sistema é causal e instável. com h(t) a -lu(t).
Por outro kulo. se H(s) = - 1/(s - I) rom Rc.s < I. o s iSiema é n5o causal e estável. com Mt) = e'u(-1).
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CAPtrULO 4
ANÁUSE! DE SISTEMAS f._~t TEMPO C(").S11NUO USM'DO A TRANSR>RM.ADA DE.l....t.Pl.M:E
417
EXEMPLO 4.31
Decem1ine a resposta y( t) de um sistema com runçJo de u·a.nsferência
I
H (s) = - -
s+ S
Rcs >
-5
e a entrad.'l
x (t )
= t' - 1u(t) + ,.-2s 11( -
1)
A entrada .t(t) é do tipo •nostrnda na Fig. 4.54g. e a região de cmwergência para X(s) nàoexi~e. Nes.ce caso.
dc::\.-emos delenninar sepamdament~ n ~spos1a do sis1cma a cada uma dás duns componentes du entrada. x1(t)
= l'~'u(t) e .t~t) = e ~lru( - t).
X 1(s) = -
I
Rcs > - I
s+ l
- I
x ,(s)=-
s+ 2
Res < - 2
Se y ,( t) e >i.t) silo a~ respostas do sistema a x1(t) c x!(t), rcspeccivamcnte. en1Ao,
I
Y,(s)
= (s+ l)(s + 5)
1/ 4
Re s> -1
1/ 4
=;;~ - ;-;s
tal que
e
- I
Y,(s) = (s + 2)(s + 5)
-1/3
- 5 < Res < - 2
1/3
=s+2+s+5
tal que
Portamo.
y(r) = J'o(r) + Jo(r)
4.12 lb:.sUMO
ESte capftulo djS<:\Ite a análise de sistema LCIT (linear. contínuo. invariante no tempo) amwés da transformacb
de Laplace. Aqual transfonna equações integro-diferenciais de tais sistemas em equações alg&ricas. Portanto.
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418
S I:-IAIS E SISTEMAS L IJ.'EARI5S
a resolll\;'.ii.O descas equações integro-diferenciais é reduzida para a resolução de equações algébricas. O método
da transformada de Lupi:K:-e não pode ser utili7.ado pura s.istemas com par.imctros variantes no tempo ou para sis·
temas não linc:ues em gerul.
A funçi'io de trnnsferência H(s) de um sistema LCIT é a transformada de Laplace de sua resposta ao impul·
so. Ela cnmbêm J>Ode ser dcfini(la como se-ndo a razlkt d.'l lransforma(la 00 Utpla.<;e da sa(da pelatransformadol
de Laplace da entrada quando tod-as as 4.-ondi\~ iniciais são zero f sistema no estado nulo). SeX(s)é a b'áDSfOf·
mada de Laplact' da e ntrada ,,'(I) e. Y(s) ~ a tr.tnsfomlltda de Laplace da saída J(l} correspondente (quando todas
as<:ond~-&-s iniciais lôiio zero), e ntão )'(.f) = X(.f )H(s). Para um sistcnw. LCIT descrito por uma equação diferencial de ordem N. Q(D))'(t} = P(D~t-(r), a função de tmnsfe-têocia é H(s) = P(.s:)IQ("'). Tal como a resposta h(t) ao
impulso. a fu nç!l.o de mmsferência H b') também é uma descriç~o extema do sistema.
A análise de circuüos e lé trioos cambém pode ser realizad-a usando o método do circuito tr.msformaOO. no
qual todos os sinais (tcnsõts e correntes) são l'eprt.se-ncados por suas cran.o;fonnadas de Laplace, todos os de·
mentos são substituídos por suas imped5ncia..o; (ou admitâncias). c as condições Iniciais por suns fontes cquiwlcntcs (gcrndorcs de CQndição inicial). Neste méuxlo, um circuito pode ser analisado como se rosse um circui·
to resistivo.
Grandes sistemas podem ser divididos pOr subsistemas OOJ~tados a(lequadamente. reprtsentndos por bhr
cos. Cada subsistema. sendo um sistema menor. pode ser facilmente analisado e rtpre.o;enlado pnf sua l'elação
entrada-saída. tal t.~mo sua função de transferl!nciu. A análise de sistcmns grondc$ pode ~r rc<tliUldtt pelo co·
nhccimeoto das relações de cmrad.n-safda de seus subsistemas c pela muureza d.as conexões dos vários sub·
sistemas.
Sistemas LCIT podem ser realitados (implementados) por multiplicadores escalares, sómadores c integrado·
res. Uma dada função de lninsferinda pode ser sintetizada de diversas formas. tais como caoõnic<~. cascala e pamlelo. Af.c!m disso, c<tda reolização pos.wi s.ua trttn..,posta, a qual possui a mesma fu.nçiio de trnnsfclinda. Na prá·
lica, todos os blocos CQnstrutiVQs (multiplicadores escalares. somadorcs e imegrodores) podem ser obcidos de
amplificadol'tS operõKio~tais.
A respósta do s-istema a um::. exponenciaJ de duração infinha e" também é uma c:xponc-ncial de dotação infi niln 1/(s)tl'. Constqüentemente. a resposta do sistema a urrut exponendaJ de dur..c,iio infinita eP~ é H(jtv~- Logo. H(jw) é a n-sposto em fn-qüén<:ia do sistema. Para uma entrada scnoidaJ de: amplitude unitária tendo frcqUén·
C"i:t w. a rcspo.o;la do sistema também é um::~ scnóide de mesma freqüência (c~J) com amplitude IH(iw)l e desloca·
mento de fase de L H(jw) oom relaç~ à senóide de entrada, Por est.-l r.r.tão. IH(iwJI ~ duunado de resposta em
amplitude (gilllhó) e Lll(jw) é éhamado de respOsta de fase dó sistema. A rtSpóSta em amplitude e fase de um
sistcmn mostram a~ carnctcrísticas de fi ltm~em do sislema. A nature1.a J::CI"'.II da~ car:tG1crísiÍC'.ns de 1-iltrugem de
um sistemn podem sc.r rapidnmentc detenninadas do conbcc-imcnto da posição dos pólos c 1,cros da funçlio de
tran..,fcrêncis do sistema.
A m.'lioria dos sinais de entrada c s.i su~mas práticos s.'IQ c.ausais. ConscqOentememe. n.'l maior pane do tem·
po, trabalhamos com sinais c3u.sais. Quando todos os sinais s.'io ~usais, a uná:Lise por trruufOmlàda de Laplace
é muito simplificada. pOis a região de conve.rgêncià d(' um sinal fica irrekvante no pi'()C(:SSO de análise. Este c:aso c-.speciaJ da transformada de Laplace (a qual é restrila a sinais cau~is) é! c: ham<~da de tmnsfonnac.la de Lapl<~­
ce unilater.~J. Grande pane do capítulo 113balha com esle tipo de transfomutda de Laplace. A Seção 4.11. entre·
lnnto. discute n 1'1'3nsfonnada de L.apl:tce gcnérie.n (transformada de Laplncc bil:ttcrol), n qual pode tmb31hnr com
sinnis c sistemas causais c nõo causais. Na transfomtada bilateral, a uansronnada inversa de X(s) não é única.
dependendo da n:gi!lo de co•wergência de X(s). Ponanco. a regi!lo de convergên~ i n possui um papel crucial na
tronsforlllad.'l de L'lplace bilateral.
R EFERtNCJAS
I. Lalhi. 8. P. Si~:na/ PrtKe.s.çing and l int!ar Sy:m mu. I st td. O.xiord Univcrsity Prcss.
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MATLAB Seção 4: Filtros em Tempo Contínuo
Fihros oontínuos em tempo contínuo sio essenciais para vários, se não todos, sistemas de engenharia e o MA·
TLAB é um excelente 3liS.istenle para o projeco e análise de filtros. Apesar de um uatamento completo de: t&nicas de f1.llros em tempo contCnuo esw fora do esoopo deste livro. fil ln'JS de qualidade podem ser pro~ados e realizados com uma teoria adicional mínima.
O exemplo prático simples, a seguir, pode ser uliliudo para demonstrar conceicos básicos de fihragcm. Sinais de: voz em telefone gemlmence slkl fihmdos atra\'ls de um passa.baixas para eliminar freqO!I\cia.s aeinlJ de
3kHz (freqOc!nci.a de corte), ou w~ = 3000(2n") ~ 18.850 rudfs. A fi llr.lgem mant6m uma qualidade da voz satisfatória e reduz a largura. de faixa do sinal. aumentando. portanto, a capacidade de ligações da companhia telefô.
nica. Como. então. projC'llUno5 e realizamos um filtro passa-baix.as aceitá\'el de 3 kHz?
M 4.1 ResJ)0..\1». em Freqüência e Avaliação Polino mial
O gráfico de: rt:sposta em magnitude aj uda a avaliar a pcrt'Of'I1Wk.'e e a qualidade de um filtro. A resposta em magnitude de um filuo ideal ~ urna funçAo mangular com grutho wlitlirio !UI fai.u de passagem e uma atenuaç.Ao per·
feita na banda lilbada. Para um fillr() passa-baixas com freqüência de cocte w(. a respctsUI em magnitude ideal ~
lnfelizmente. filtros ideais n3o podem ser implemenw.dos na pnltic-.a. FiltrOS realiúveis aprese:n1am um com·
prom.isso entre a qualidOOe e a comple.x.idade do sistema. ape$il.r de bons projecos se aproximarem bastame da
resposca recangular desejada.
Um sistema LCJT n:aliz4,·el geralmente possui uma função de transferência radonal, rtprt~tada no dom(·
nio .s por
M
H (s)
Y(s)
=-
X (s)
B(s)
= -
A(s)
'<"' •
l~ "''+"'-us
N-•
= =_,,----
f:o,sK-•
.....
A resposta em freqüência H(jw) ~obtida fazendo s ;;; jw, na qual a freqUência (I) está em radianos por segundo.
O MATI.AB ~ naturalmente adequado para o c&ulo de fu~s de resposta em freqüe;ncia. Dt.fin indC) um
vetor de coeftdentes A = (at) a 1,..., aJJ) de tamanho (N + I) e um \'e tor de cocftcieotes 8 = (bN-M' bN _.,..,,,...,
b,.Jde tam:mbo (M + I). o programa PS4 Pl calcula H(jw) para cada freqüência no vetor wde entrada.
runction (HI • MS4Pl(B,A,omega) ;
HATLAB seç.a o 4, Programa 1
' KS4Pl.lll:
t Arquivo. H de funçio para calcular a reepoeta em freqOênc i a de um eiet•N t.CIT
l Entradas:
a =vetor de coeficientes de alimentaçlo direta
A = vetor da coeficiente& de re•liment•çio
omega =vetor de treqQências (rad/a)/
t Salda•:
H = Racpoat• em freqülnei•
•
•
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420
S INAIS E! S ISTEMAS
LO.T~E..~
A fuoção polyval calcula eficientemente polinômios simple.o;. deixando o programa triviaL Por exemplo,
quando A é ovc1ordc coeficientes lao- Ov .... o".1, pol yval (A. j • Qeroegi\) calcula
para cada valor do vetor de fteqOência omega. Também é possível calcular res.postas (ru freqü!ncia usando a
funoção t reqa do toolbox de pruces..~;amento de sinais.
M4.2 Projeto e Avaliaçio de um Filtro RC simples
Um dos fi hros psS$11·bnixas mnis simples é ~lizado utili7_ando o circuito RC IDQS.trado na Fig. M4.1. Este sis·
tema de um pólo possui furw;llo de lnlnsfcréodadada por H.J.sl =(RCs + Ir 1 e resposta em amplitOOe JH.c(.r)J
;;: J(lwRC + 1)- 11• 1/ .JI + ( RCw)Z. Independel'lte dos valores dos compot'lentes R e C.tsta função de amplitude possui várla.s caruc.::teríi tkas desejáveis cais como ganho unitário para O> = O e docnimenlo moootônico pa·
ra uro qunndo w- oo.
Os oomponentes R e C são e$Colhidos pan1 obter a frcqüêncis de cone de 3 l:Hz desejada. P::lra vários tipos
de filt ros. a frcqOênc-ia 00 cone C(lf"reSponde ao ponto de meia potência. ou IH.J,sll = 11./i. Associando a C a
cupacit:incia típica de I nf, 11 resi!>lê:ncin. ncces.Wia é calculada por R= ltJCi<v! =I/ J ( l(f+)2(2.1f3õôõ)f .
>>
>>
>>
omega_e • 2•pj • Jooo :
c • l e-9 :
R • l/sq~~<C~2 • omogo_c~2>
R: S. 30S2e•004
A raiz deste fihm RC de primeira ordem e~á di~camentc rclacionadn à freqüência de c011e. ;, = - IIRC =
- I8.850 = - w(.
Para av-.a.liar a performance do fihro RC. o gráfico da resposLA em amplitude em funç;ão da raixa de freqüên·
da audí\'el (0 ~ f ;::: 201Uiz) ~obtido.
>> f •
>> & ~
lin~pAco(0 , 20000 . l00) ;
L; A
( R*C l ); Hmag_RC = absC MS4PlfB . A,( ~ 2 · p i JJ :
'k - ' . ! . Hmag_RC . ·x--'> :
» x label( ' f ( Hz) ' ) ; y l«bel( ' lii_(RC}(j2 \ pi f) I ' ) ;
>> axis((O 20000 ·0 . 05 L. OS ) ) ; leoend( ' ideal '. ' RC primeira o rdem' ) ;
a
~> plot<f .~ bsff • 2 * pi)<•om4ga_c .
O coma.ndo linspace (Xl , Xl.
U)
gera um ve tOr" de tamanho N de pontO$ lineamtente cspaça<b entre
Xl c X2.
Como most:rodo na Fig. M4.2. a resposta do ~C de primeiro ordem ~..Jmente ~ u m tiltro passa-baixas com
urna frcqíiência de corte de meia potência igual a 3 kHz. Ele npruxima pobremente a resposta retangular dcsej:Jda: a b:tnda passnnte n!lQ é muito plana e a atcnuaçlo da banda Hltrad.1 aumenta muito lemamente para menos
de 20 dB e m 20 kHt.
M4.3 FiJtro RC em Cascata e Expansão Polinomial
Já era esperado que um fi lttO RC simples de prime ira ordem tjvesst otn:'l performance pobre. Um pólo é simplesmente insuficiente )Xlra obccr bons res:uhados. Circuitos RC em cascata ~t uLuenuun o mlmeru de pólos e melho.
rama resposta do tiluo. Para simpWic:tr a an.11isc e evitar o carregamento emre estágjos. :unP*<'!ps como segui·
tlgun 1\14.1
Filtro RC.
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CAI'iT\JLO 4
ANÁLISE I>E SISTE.\tAS EM TEMI'O Co:-."TINUO USANOO A TR,\NSI;"QR.\tAO..\ DE L APLACE
i f.;---0.9
ldeul
- .. • RC pnmtha tlnkm
\
0.3
4 21
\
.... 0.7
''
';' 0.6
o.~
S
j 0.4
" 0,1
0.2
0. 1
ok~:::::::;::;::::::::::::;::::::::;::;::::=!
0 0.2 OA 0 .6 0 .& I
1.2 1..1 1.6 1.8
2
J<Ht X IO"'t
Figura M4.2 Respo!)ta e m amplitude IH11r(j21{()1 de um RC de primeira O«<cm.
dores de tensão são t."::I<x.·ados na saída de eadá ~Jo. cumo mostrado n:l Fig. M4.3. A C<lse3ta de N estágios resulta em um filtro de ordem N t.'Om funçJo de transferêrM:ia dada p0c
Escolhendo urna cascata de lO SC\"ÔCS c com C= I nf, uma flx:qUência de corte de 3 kH7. é ol)tid:1escolhcn·
do R = J2 111U- 1/(Cw.,)
= /2 111/J-
l/ (6;t( l0)-f>),
>>R: &Qrt(2:"(1/l01-i)/tC•QIT'I('c9<'J_Cl
R
i . 4213t:~004
Es1c íiltro em cascnltl possui pólos de décima orde m em ). = - 1/RC c nenhum r.cro finito. Para calcular a
rcspost.n em ma,gniludc. são necessários vetore,s de codicicntc A c n. Fa.7,endo n = 11) garantimos que mio
existirão zeros fini tos ou, equivalentemente, que todos os 7cros estão no infinito. ú c."'ffiando pol y. o qu.al ex·
pande um vetor de raf7,es em um \'ctor correspondente de eocficientes polinomisis, é utilizado J)llta obter A.
:.:. 9 • l : A..,. poly(-1/fFt•CJ · ones<IO, l)) ; A
:>> Hm~g_ç~sç~dc
•
~b&tMS4Pl(B , A .
f • 2 •pi)t ;
Note que o esc.1.l ont~mcmo de um polinômio por umn conswmc ntto ahcra su.:.~ raf7..cs. l,or outro l ~,lo. ss raf·
zes de um polinômio espeç ili~o.":<un um polinômio déntro de um fátorde tsc.ala. O coma.nOO;; : A/ A (end) es·
calonu adequad;~nK~nte o denominador polinomial parn goranlir um g::mho unitário e m w = O.
O gráfico da resposta em omplitude do filtro RC em cascata é mostrodo na l~ig. M4.4. A banda passame per·
msnec;c rel:nivamente inalterada. m.'IS a atcnu.:.ção da b.11lda tihrnda é muito melhorada, passando para 60 dS em
20kHz.
M4.4 Filtros de Bulterworth e o Comando F i nd
A posição dos pólos de filtros ptlS."U·baixus de primeira ontem é necessariamente lixoda pciJ (reqüênd<l de t.'Or·
te. E~isrc poocn razão. entretanto, parn colocar 10<Jo:- os pólos de um lillro de décima onkm em uma Unka posi·
ç.ãro. Umlll(:lho.r ~ición :.lml.!nto doos pólos irá n~l horar a performo.ln..:e da resposta em áflll)liwde 00 lihro. Um::.
estmtéi;ia discutidiana SC\':li.O 4. 10. é coloc..<'!r uma t>arcde de pólos opostos às ft'e(IUência.s da bõ.lnda IXISS:tmc. Um::.
•••
c
T
f<iguns M4.J
Um filtro RC em cn.scnta.
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422
S IXAlS E St~'TEMAS LINEARES
I
~(),9
·~ o.s
• 0.7
,, .,
\
o
E
o.6
s"
"i
\'.
\ '\.,
0.5
~ 0.4
li 0.3
0::
Ideal
- - - · RC primeira ordem
- - RCeaSCllta de dkima (l(dem
•·•·•·• Buuerwonb de d6:ima ordem
'
\
o. I
o
0 0.2
\
'
',,
......
----------....___
\ ' ' ,_ -0.4
!
0.2
'
\
-,
(),6 0.8
I
/(H>. X
Figura M4.4
1.2 I A 1.6 1.8 2
tO')
Comparação entre filtros passa-baixa.
parece circular de pólos leva a fanúHa de filtros de Buttcrv.•onh, e uma fonna elfptica leva a famOia de filtrQS de
Chebyshev, Os filtros de Buuerwonh sedo estUdados primeiro.
Par.t começar. note que a funçiO de transfcrâK:ia H(J) oom coe-ficientes reais possui um.a resposta quadnitica
de runpliiUdc dl>da por IHUco)l' = HUco)H'(jco) = HUco)H(-jco) = fl(s)H(-s)l,.,.. Pcrtanto. metade dos pólos
de IH(jc&J)I 2 corresponde aQ tUtro H(!t) e a outra mctadeoorrespondc a H(-s). filtros que são tanto cst4...ei.s quanto causrus requerem que H(s) inclu~ apenas pólos no semi-plano esquerdo.
A res:posta quadnitica da amplitude de um fil tro de Bunerwonb t
I
lliaUw)l ' = 1 + Ucof
jw,)'"
E.o;sa função possui a'l mesmas carncterísticas de wn fillrO RC de primeira ordem. um ganho que é unitário para
w = Oe que decresce moootonicamente para zero quando w - 00. Por oorutruçio. o ganix> de mdu polênci:a OC()r•
re em ~r- T!d\'ezo msis importallte. entrr(anto. é que as primeira'i 2N- J deffi'8da.'i de IH,(iat)l com rtlação a at são
zero parn w = O. Col~ de outra foona. a banda passante t resuita a uma faixa bastante plana. para baixas freqüêndas. Por estn rvlio, filtros de Buuerworth sio alguma.~ vezes chamados de fillros madmameme planos.
Como discutido em MAn..AB Seção 8, as raízes de - 1 estão igualmente cspaçOOas em um círculo centrado
na origem. Port:uuo. os 2N pólos de IH.<,iw)l 1 est3o naturalmente espaçados em um c-irculo de raio o>.. ccntmdo na
origem. A Fig. M4.5 mostra os 20 pólos com:spondeotes aocasoN;;;; lO e w1 = 3(KX)(21r) radls. Um filtro de But·
terworth de ordem N que seja tanto cau$1ll quanto esmvel utiliza os N pólos do semi-plano esquerdo de tH.,(}a.l)l'.
2
t.S
b
-~
X
r
0.5
o
-0.5
-I
-I.S
- 2 '-:.--:-:--,.--=-::-"""",....,.""'"",.-,-J
- 2 -1..s -• -o.s o o.s 1 t.s 2
Rt-al (X IQ4}
Figura M4.5 Rafzcsdc IH,Uw)l' par•N = IOew, • 3000(2rr).
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Pnra projetar um fillro de Buuerwonh de ordem 10, primeiro cakulamos os 20 pólos de IH.Uw)l!:
>> N=lO;
>> poles •
roots(((j •omega_ci~( - 2 • NI , terosi1 . 2 • N-11 . ll);
O comando t ind ~ uma função extremamente poderosa que retoma os índices dos elementos n!lo nulos de
um ''etor. Combinado com opcradortS relacionais. o comando f ind nos pennile extrair as I O núzes do semiplano esqut:rdo que corrc:spondem oos pólos de no5$0 filtro de Butterworth.
>> &_poles = poles(find<realrpoles)<O)J ;
Para calcular a resposta em nmplituck, ~tas mfm silo eonvc:nidss pnru o vetor de coeficientes A.
>>A= polytB_polesl; A= A/AtendJ;
>> Hmag_B = abs(KS4Pl(B.A,f • 2 •pill :
O gráfico da resposta em ampHiude do fihro de BuueN·onh é mostrodo na Fig. M4.4. A resposta do fillro
aproxima·se muito da funç5.o retangular e fornece excde-ntes earacterlSticu de filtr.lgem; banda passante plana.
rápida transição para n banda filtruda e exce.lente atenuação nn banda filtruda (> 40 dB p.arn S kHz).
M4.5 Utilização de Seções de Segunda Ordem em Cascata para almplementaçiio de Filtros
de Butterworth
Em oosso filtro RC, a implementação precedeu o projeto. Para 00$$0 filtrO Buuerworth, en.tretanto. o projeco
precedeu a realitação. Para nosso filtrO de Buuerworth ser útil. precisamos ser capazes de implemenc.i·lo.
Como a fun~,"ào de transferência HJ..s) ~ conhecid3. a eqlUIÇio di(ermcial também~ conhecida.. Portanto. 6 possívellent.ar implementnr o projeto usando integradores. somadores e multiplicadores escalares implementados
eom amp-ops.. lnfelh:mente, esta abordagem nAo irá runciooar adequadamente. Para saber o morivo. considere os
coeficientes = 1,76ó x I O-c.~ e a'0 = I. O menor coeficiente ~ 43 ordens de grandeza menOt do que o maior
coeficiente! É pratic-runente impossf"el impk-ment:ar com precisão uma fai.u bio gnwdede valores escalares. Para aodt.ar este fato. os C4!:tkos de,•em tentar dc:tenninar resistore:; CQfllCfCia.is ~ais que R/ R = 1,766 x lO_.). Adi·
eionnlmcmc, pequenas variações nos componentes irilo cauw podes mudanças na posiçlo real dos pólos.
Uma abordag<:m melhor é a cascata de cinoco seções de segunda ordem, sendo que cada seçlo implemenlará
uma par complexo conj ugado de pólos. T'rabalbanõo com pares de pólos complexos. cada uma dou seções de segunda ordem resultantes pos:~uiroi coeficientes reais.. Com e:~ta abordagem. 0$ mellôre$ coeficientes são apeoo.s
no"e ordens de grandeza menores do que os maiores t:oeficientes. Além disso. a posição dos pólOll t menos sensível a variações dos c."'Omponentes em e.<>lruturas em cn.scntn.
O circuito de Sallen·Key mostrado nu Fij:. M4.6 ~uma boa maneira de implementnr um par de pólos com·
plexos conjugados.' A funçlo de transferência deste eitcuilo ~
a.
% -=-2
s'+ (~)r+%
c,
R,
•
.<11)
_L
Figura M4.6
1
Est4gio de filtro de Sallen· Key.
Um11 'U15o mllis renhicu dodta~ito de SaUell-Kcy pom~i 11-m retõiMor R. do 1ermir»l nep~:~v p.,ra o laTa e 11-m tc:ÂiiiOr R0 en'" o termi-
u l flt'p«i-\"Oc: a !ilfc.ta. 1\'11 FtJ. M.4.6, R. • oo e R• ., O.
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424
S INAIS € SIS'rF..MAS LnW.Attf'S
Ocomccricamcntc, U>o é a distância da origem aos pólos c Q = 112 cos 1/t, na qual t é o ângulo entre o e i·
xo real negativo e o pólo. Cham11do de ••fator de qu:~.li dade", Q fontece uma medida do formato da resposta.
Fihros de alto Q possuem pólos próximos do eixo w. aumentando muito a respOOta em amplitude pró~imas
àqueJus freqüências.
ApcSJtt de existirem ''ária.~ formas de se dctenninsr valores adequados de CQmponcntcs. um método simples
1/2~ ~ Os pólos de Buncrwonh cs1âo a uma distância w~ da origem, tal que w., = w~ Para nosso filtro de Bunei'WQrth de ordem lO, os 5.n·
gulos 1/1 estio regulannence espaçados e.n~ 9, 27. 4S, 63 e 81 graus. O progr.tma KS4 P:l autommiza a tarefa de
cak:ular os "akm::s dos oomp<me:ntes e t1 resposta em amplitude para c.~ada estágio,
é a.uociar a R1 um ''alor comercial e, cotAo, fazer R1 = R 1, C1 = 2Q/('kfl1 c C1 =
l MS4P2: MATLAB
S~ç&o
4, Programa 2
t Arquivo, H d e escript para calcular o& valores dos componentes de Sallen-key
l e a resposta eM amplitude para cada uma das cinco s~ç6~s de riltroa de
t segunda orde•
~ga_o
=
3000•2•pi; l treqQ&ncla de corte do filtro
p5i = 19 21 4S 63 Sl! •pi/180 :\ ingulos dos pólos de Butte~~rth
f • linspace (O. 6000, 300); \faixa de freqOência para os cálculos da resposta
em aepl itude
~g_SK; zeros ( S, 200) ; \ pr6-a loca ~triz p~r• ~s respostas e~ ~=Plitvde
for estagio= 1:5,
Q
1/ f 2• cos fpei (estagio))); t C~lcu,h Q p~ra o ee:úgio atual
l Calcula e mostra os componentes do filtro na tela:
diop ( I'Rst6gio numlstr (estagio) , .. .
• 10 = •.numletr {Q), .•.
' ) : Rl = R2 = • , nu:rt2str (56000) ... .
•, Cl s •, nu.aetr(2• Q/(omega_o•s6000>J ,, ..
·• C2
nu.2etr(l/(l•Q•omega_ o•S6000))));
9 =omcga_0~2; A= (1 omega_0/0 omega_o· 21; \ Calcula os cocficient•s
do filtro
Hmag_SK (eatagiol =aba (MS4Pl (B,A,2•pi •t)): l calcula a resposta em
ampl i tudo
=
= ·.
end
plot ( f, Rmag_SK, 'k' , f, prod(fbo.ag_SK) , 'k:')
xlabel( 'f [Hz) ' ) ; ylabelf 'Resposta em Amplitud• ' >;
O comando diep mootro uma string de caracteres na tela, A stting de caracteres 00-e estar demro de aspas
simples. O romanOO nuta2str converte núrnero:s para slrings de cnmc:teres. O comando prod multiplica as C().
lun.us de uma matriz. ele calculn11 resposut em amplitude total como sendo o produto d<t resposta em nmpli!ude
dos cinco estágios.
Excculnndo o programa 1cremos n seguinte sa!da:
.» HS4P2
Stag• 1 10
Staoe
lO
Stage l IQ
Sta;tt •I lO
Stage
lO
= O.S06HI :
•
•
•
., •
..
S6000. Cl • 9 . 5916e·OIO. C> • 9.3S69e•OJO
O.S61161 : Ri
ll2 • S6000. Cl • t. 063:.1e·O-o9, C> • 8.Hle•Ol0
<! . 7071U : Ri
• S6000, Cl • LJ.398e•009. C> • 6.U88•·0l0
1.10131; Rl •R2 : S6000, Cl .. l . 0867e·009. C> • t.3009e·OlO
3 . 19621: Rl •R2 : 56000 . Cl = 6 . OSS9e·009 . Cl • l.-182e•OIO
"'
'
'
Como 1odos os valores dos componentes s3o encomrndos na pnitica. este fihro pode ser implernen1.ado. A
•
•
•
•
Fig. M4. 7 nlOStnl as respostas em amplitude paro os cinco est$gios Ojnhas sólidas). A respos1<1. towl (linha pontilhada) confimw. a respOSta de um filtrO de BunerwOrth de ordem lO. O es:t4gio 5, o qual possui o maior Q e implemenLa o par de pólos conjugiMJos mais pt"rto do eixo w pOMui á resposca com o maior pko. O estágio I. o qu.al
possui o menor Q c impk mcnta o par de póiQS conjugados mais longe do eixo w. possui n resposta com o menor pico. Nn pnhica. é melhor dciur estágios com Q mais silo no tins l, isto reduz o risco de altos ganhos que
podem samrar o lumlwarr! do liltro.
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CAPfn.n.o 4
A.~ÁLL'>E oe StSTF.MAS EM TJ.::..\tPO CoNTfxoo USANOO A 'l'RM'SP<lkMADA m: l...\Pt..ACP.
4 25
Jsr-------------------,
]
~
§
J
2.S
fi
2
1'5
·.,._
0.5
00
I CXX)
2000 3000 400) 5000 600)
/( U~)
Figura M4.7
Respostas em amplilude para()!> ~túgius do fi llro de Sallen-Kcy.
M4.6 Filtroo de Chebyshev
Tal como um filtro passa·baixas (FPB) de Buuer,~,oonh de orocm N, um 1-'l>B Olebyshcv de ordem N é um fi hro
com SQmentc pólos que possui várias c:l.r.ICterísticas desejáveis. Quando comparado oom um filtro de Bunet·
wonh de mesma ordem, o lihro de Cheb)•shev possui urna at~n uac,:ão rm banda filtruda rnelhor e uma lilrgurn da
faixa de transiçâo reduzida. pennitindo uma ripple ajustável na banda passante.
A respos.l41 quadráticu de amplitude.de um filtro de Chebyshc\' é
I H (jw)l'' =
, I,
I+ <·C;,(<•/ <-.)
n.a qual Ec:ontrolo o ripple do fai!\:a pa.ssan1c. CJ,wlw~) é um polinômio de (l)ebyshev de grau N e ('-'c- é a freqUên·
cia nngular de con e. Várins caracteriscjcas de FPBs de Chebyshev são importantes e d~,·em ser ressaltadas:
• U1n A>B de Chebyshev de ordem N possui um ripple c:onslllnte na banda p:ISS!lllte (~ :s w~). possui um tocai
de N máximos c mínimas para (0 ~ (U ~ w~) c é monotoni.camcmc dccrc.sccnte na banda filtrada (lwl > f.&)c).
• Na banda pa.ssonte, o ganho rná:ümo é I e o giDthO mínimo é 11./"i+'f'!. Para vaJortS ímpares de N.
IHCftl)l = I. P-ara valores po.re.o; de N, JH(iO)I = Jl + t: 2•
• O rippiC'éoontrolado fazendo t = ./JOktiO I, na qual R é o ripple pemlitido na banda passame. cxpl'essoem decibéis. Reduzindo E itldi.scriminadamente. afera-se :t perfom•anc:e do filtro (veja o Prob. 4.M-8).
• Ao contrário de filtros de Butterworth. a freqüênc:io de con e (d~ rarruncnte espocifica o ponto de 3 dB. P..o~ ·
ra € ~ I. I/I(Jw)l 2 = 1/(1 +f~ ~~t 0,.5. A freqüêndtt de corte (A)r simplesmente indica a freqüência após a qual
IH(i<>>ll < IIJi+E!.
O polinômio CJ,t) de Chebyshev é defini<lo poc
C,..(x)
= ros{N oos-'(x)) = cosh(N c.osh- 1(x)J
Nesta fonna é difícil obseC\•:tr que C,ix) 6 um polinômio de grau Nem x. A forma recursl\'a de C#) toma
este fato mills claro (vejn o Prob. 4.M· I I).
C,.,.(x) = 2xC,,,_.(x)- C .v- 1(.:r)
Com CJ..x) = I e C.(.t) = x. a forma recursiwa mcmro que qualquer c,,,é um.1 combinação Linear de polinômios de grau N c., pottanto. ela mesmo é um polinômio de gmu N. Para N ~ 2. o progrnma MS-t Pl em MATLAB
gera os (N + I) coefieientes do polinômio C.Jx) de Chebyshc\'.
function (C_N)
= MS4P3 (}I);
Seçio 4, Programa 3
\ Arquivo .m de f'unç:lo que calcula os COC!fieientet:; do poli.n6m.io de Chebyghev
t ua.a.ndo a relaçio recur$iVi' C_N(X) = 2XC_{N-l}(Xl - C_{N-2)<X)
t ENTRADAS: N =grau do polin6mio de Chebyahev
t M$4Pl:
MAT~&
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~
t SAi DAS: C_N
vetor doe coeficientes do polinômio de Chebyshev
C_Ntnl = 1 : e_tlml = 11 Ol: 'coeficiente& i niciais do polinômio;
for t = 2: ~~;
C_n = 2 • eonv ( {1 O) .
C_l~l)-
(zeros(l, lcngthiC_Nml t -
+
lengthrC_Nm:ll
1),
.•• C_Nm:ll;
C_Um2
= C_}lm.l; C_ Nml =
C_U:
o nó
POt exemplo. oonsidere C;(x) = 2rC.(.r) - C0(x) = 2t(x) - I = l é - I e C)(x) = 2tC:(.t) - C1(x) = 2x(l~
- I) - x
= 4x'
- l'C. MS4P3 fad lmente confirma cste.-.casos.
>> MS4PH2>
llns = 2
» XS4Pl ())
ans = 4
O
·1
O
·'3
O
1
Como C,,(cdw) é um polinômio de grau N. l/l(iw)l ~urna função rdcional de pólos com 2Np6Jos finitos. Si
mila.r oo<:aso de Dutterwonh.. os i\' pólos que especificam um filtro de Cbebyshev cnussl e cst.ávc:l podem scrde
tenninados escolhendo as N mizes no semi plano esquerdo de I + €2c:!~sl(jw.,)).
As posições cbs rnfus e o gMho CC srto suficientes para especiftear um filtro de Cheb)'shtv p.:'lr'd um dlklo N e
f , Pam demonstrar. considere o projeto de um filtro de Chebyshev de onlem 8 com freqüência de <.·orteJ; = 1 kHz
e um ripple pcnniúdo na ba.oda passa.nte de R I dO. Jnk~ialmente. os par.imc:tros do fi ltro sOO espccificados4
4
4
4
=
>>
>>
~ega_e
~P81lon
= z •pt · lOOO; R= l ; ~ = 8;
= &Qrt(lO~<RilOt-11 :
Os coeJicie•nes de C.J.~·/(jw~)) são oblidos oom3 ajuda dt Ms• P3. e os coefidentes de 1 + E"1C,! (.t/(jwJ ) são
caJculados usando a con,•olução pMa executar a muJtíplk.a.ção pOlinomiaL
>~
CN
•
;.;. CP •
KS~Pl1Nl .• ((1_/(j " olf>C!91111_CII . ~(JI! · l : 0)) :
epr.lilon~2 • co:w1Cli , CI>l :
CP(c:ndJ .. CP(<mdt•l :
A seguir, ns raf1..es do polinõmio são dctc.nninsdas e os pólos do semi-plano esquerdo s!io separados e mostrados no gr:UiCQ.
polo~ • T0Qt$1CPI; i • fi.nd(nlll(polu)<OI : C_pohu;
>> plotlrellltC_pole~).i~g(C_pol~l . 'kx' l ; 4X i~ equ•l :
"»>
"»>
a x i~<omogo_c" l
»
x l,b$11 ' \~iqr.li ' J ; ylobel( ' \ot~qg<l ' t ;
4
i.1
= poleslil :
1.1 ·1.1 1.111 :
Como m05U"Jdo na Fig. ~·14.8, as raízes do tilrro de Chcbys.hcv CSLio em uma e lipse' (veja o Prob. 4.M 12).
Pllrn calcular a respos1a em amplitude do filtro, os pólos s!lo c!~.:pandi dos pam um polinômio. o ga•~ho CC é
baseado no valor par de N c M$4 Pl é u1ili1.sdo.
4
= ~lyfC_polee);
>>a= A\endl'&4rt<l·e~1lon~21 :
>> h
>>~a
= 11nepacei0. 2"P1 " 2000,2001) ;
>>H= MS~?ltB . A.~al;
'> plot.I~Oo/2lpl , abslfU , '):. '
» x!&btl("f (H-::) ' Ii ytaM~I '
I:
orid
IHI)2\I)i
fii ' J :
>> axi~IIO 2000 ~ ~ . 111:
Como \'isto no Fig. M4.9. a resposta em amplitude exibe as c.u.mcteristicas cOf'l"eUUS do filtro de Chebyshcv:
os ripples n:~ banda passante são igunis em altura e nunca excedem R = I dB, existem um 101.al de N = 8 máximos e mfn imos no banda passante, e o gonho rapidamente decresce mono1onicamcn1c após s freqUêllCia de c<>r
teJ; = I k:H7,.
4
' ~.A. OuiUcmin dcmoll:'tn>U uma m:u-;a,•itho~ rei~"''" 11 d ipM" de Cheb)·~hl'v e o>cii'I:Ukl de Buuci'Wtlftb em liC'U lil·ro. Symhclili
of Au.s-il~ •Vtr~<'iNf.f <Wi lçy, Nc:w York. 19$7\.
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CAPf1'ULO 4
A NÃUS€ 0E. SISll:MAS ~t TEMPO Co.vriNOO USA..'\00 A TRANSI'ORMADA DE LAPLACE
427
6000
4000
2000
•
o
- 2000
-4000
-6000
-<>OOO
' :o:;;-_-,4000=--""zooo=""""o--,l"'ooo"'""4000=""""'6000~
flgura M4.8
"
Gl'ftfi co de pólos.zt.ros para um FPB de C1lebyshev de vrdem 8 <·o m ft
=
I kHz c R
= I d8.
P'dfll filtros de m ais all:t o rdem. as raízes polinomiois podem niio fornecer um resultado confiável. ~cl izmen ·
te. as raizes de C hcbyllhe\' lambém podem ~r analiticamcntes dctenninadas. Paro
ÓA
2k+ I
=--Ir
2N
c
os pólos de Cbebyshev siio
v~
= w,. sinh <
n sin (~A}+ jw.. cosh (~) cos (~t)
Continu.'lndo no mesmo exemplo. os pólos são rec31cui ~OOS e mostl'õ'ldos llOvar:nente oo gráfico. O resuhado
é idêntico à Fig. M4.8.
>> k. • ll :rn : x i •
1/ll " :a$Lnhlti~psilon) :
phi"
(k · 2~11112 " 1H · pi :
~> C_polo~" Om$94-C ' (·RinhiXil ' $in(phi! - j '~OSh(X~) ' C0$1ph1)) :
» plot(roa l(c;..,polosl , im:ao;<C...P0~9$1 , ')(X '
» 4Xl$(01t#Jii..C ' (·1 . \ l.l ·Li 0.111 ;
>'> x ~:al:>$11 ' \s ~gma ·) ; yl.,l>ell ' \o,.oeo;a • t ;
I;
axu; 9Q\I-'l :
Tal como no caso de filtros de. Butterworth de alta o rdem. a cascalll de seções de scgullda ordem (aeilita a im·
plcmcntação prálica de fihm~ de Chcbys hcv. Os proble mas 4 .M·3 e 4.M·6 u1iliz.1m es1ágios de se-gu OO~ ordem
de $;!11cn·Key p:tr:t :ln.'llis ar este ripo de im plememaçâo.
0.8
0.4
0.2
O0
~X)
-MX) 600 8(N) I <XX) 1200 I400 1600 I800 2000
f(Hz)
fi~:u ra M4.9
Resposta em amplitude para um FP8 de Cbebyshev de o rde.rn 8 com/, • I k.Hz e R e l dB.
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428
StN.AJS E StSTE~V.S LINEARES
4.1·1 Atr.wés de imegraç!lo diret<' IEq. (4.1) j. deter·
mi1H! as transformada-> de Laplace e a região
de convergência das seguimcs funoçõcs:
priedade de deslocatnemo no fempo (se necessária) d~• transformtttb de Laplaoe unilateral:
(a)
(a) 11(t) - u(l - I)
(b)
u(l)
(C) ... -o-ull(l)
(d) (t'Zt - lt'-')11(1)
(e) cos w11 cos WJ I u(t )
((J oos.h (ai} u(l)
(g) senh (t11} 11( 1;
(h) t' - ~r <:OS (51
( d) e-'•r(l -r)
(e) tt'-r,, (, - r)
(I) stn (C'-'>(r - r))uv - r)
+ 0) 11(1)
(g) sen l ~(r-
4.1 · 2 Atf;lvés de imegroçlo diretJ. detennine as
trJnsfornwdas de Laplate dos sinais mostrá·
dos na F'íg. P4.1 -2.
4.1-3 Dctcrmioc ~ tmnsformnda inversa de Laplncc
(unil:uerol) das seguimes fu nções:
2s + 5
(a) s2
(b)
u(t - I)
( b) ,. -~' - ''11(1 - r )
u ' •,(r)
(C) I CO$ ~I
11(t J -
+ 5.s + 6
(h) scn UJô l lt(t - r )
4.2· 2 Usa•ldo apenas.-. Tabela 4.1 e a propriedade
de deslocamc::mo fcmporal. dc::tenninc n trans·
fonnada de Laplncc do$ sinais da Fi.g. P4. 1·2.
IDic;): veja na SeçOO I.J. .-. discus~o sobre a
descriçAo ;u)alítica destes sinais.)
4.2· 3 Detennine as transformadas in\'ersas de Ll·
plac:e dos seguinte-s s ina.is:
3s + 5
.t! +4s+ l3
(2$
(â)
(s+ I f
(b)
+ 5) ~-:·
sl +5s+6
.rrJ• + 2
sl
+ 2.f + 2
~ -fJ-U
(e)
(f)
(C)
ls + I
~
<s + l)(s· + 2s +2)
+
t' _,
J)!
+)
s!- 2.f+ 5
(d)
s+2
$($
r) J, (n
+e- b + I
.t1+ J J+- 2
4.2,.4 A l rnnsformad~ de Laplace de um sin:LI ~u:sal
I
periódico pode ser dctermin.ada a pattir do conhecimento da trtansfonnada de: Laplate de
(S) (s + I)(.< + 2)'
stu
s+ l
l)rimeiro peóodo.
(a) Se a transformada de Laplnce de .f(t) da
f.ig. P-U~ é X(s). emiio mostre que G(s).
a
cransform~da
de Laplace de
g(1)
(Fig.
P4.2·4b) é
as tmnsformadas de Laplace das
seguintes fonçôcs \Lo;ando a iobela 4. 1 c a pco-
4.2-1 Determine
G(s)
=
X(s)
1_
t" -sro
Rcs >O
1/t' -······".
,,.
·-
·( bl
(c)
f igura P4.J -2
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C.o\PfTtJLO 4
A.O.:ÁLISE. DP. StSTbMAS t1..r.1 T f:\tl'(l C<..wrfsuo UMNOO A TRAJOSFORMAOA oe LM•t.ACE
429
g(t)
.l(/1
,_
r,
2'To
(a)
JT(I
,_
( b)
·-
p(l)
-
2
8
10
lb
24
ltl
t--
CC)
Figura P.S.l-4
rt"~"'ultado para detenninar a
transfonnac.la de lapl:k-e do sinaJ p(t)
mostrà<ló na Fig. P4.2-4c.
(b) Ulilize este
4.2-5 Começando openall
o fato de que a(t)
~ I. obtenhas os pares 2 a IOb d~1 Tabela
4 . 1. tL'>ando as vária$ propricda<ks da 11-:lRS·
formada de L.1pi:K.<e.
t.'OIO
4..2~ (n)
Determinada a H':lnsfOtnMda de Laplace
dos pulsos da Fig . 4.2 do texto usando
3)>en.:tS as propriedadtos de dife.ren6 ;·,~·5o
no 1empo. desiOI."amento no tempO e o fatudeq uea(t)~ 1.
(b) No Exemplo 4.7. a transfonnada de La·
pince de x(t) foi oblid3 de~cmli n:UldO·se a
u-ansformado de 1...1pla<.-e de lf.tldt:. Obte·
nha a uansfoonada de Lápl~ de .t(t) na.
<1oole exetnplo detenninando a lr.msfornKida de laplac.-e-l.k dtldt c u~ndo a Tabelo 4 .1 • .se nc.x.-e:ssário.
usando n integração dirct.a. Por outro lado. a~
pcopricd3des c.."«lnslitucm um método simples.
(n) Utilite as pn) J)(iC(L1deS da lransfomw.da
de Lapl.1ce potro obcer a ttàllSform<~d.a de
Lapl~ de u(r) em 1etmos d.a g•':lndeza
desconhe(·ida X(.v).
(b) Ulilize a definiçüo para determinar a
lrtiiL'>formad.a de Luplac..-e de y( t) = u·(t).
(c) Obtcnhn X(.fj us:'lndo 3!' informações de a
c b. Simplifique sua resposta.
4.3·1 Usando tt lrnR$formadn de Laplace. resolva as
seguintes cqu::.çõcs diferenciais:
(o) (D ' + 3D+ 2)y(t ) = D.r(t )"' y!O- ) =
j·(O- ) = Oe x(r) = u(t)
(b) {02
+ 40 + 4).>·(t ) =
(c) (D'
+ 60 + 25)y(r) =
(D
+
I ).<(1 1 se
>'(o->=2.j·(o->= 1e .t(l) = t'__,u(l)
y(O ~ )
= .\-(0
(D + 2),r(l) se
) = I ex(t) = 25u(l)
4.2-7 l>c-tenninc a uansfonnada in"crsn de Lnpla...-e
unil31crnl de
4.3·2 Resol"a as cqu~"Ões difcrcoci:•is 00 Prob.
4.3· 1 us.1ndo a t:rnnsformada de lapl<k.'é. PJia
c:•da caso. determine ~s 001np<>nente.s de e n•mdn nula c estado nulo da soluçã•'·
4.2..S Como 13 é um mímero de õ~Zar. determine a
tt:ulsfonna<la i•wersa de Laplà~~ dto X<s> =
l l(s + I)'·' dada a regi~o de com·ergên6 o1o >
- I . IDica: Qu:LI é .1 tt•ésima derivada de 1/(s
4.3-3 Resolvn a...; scguinlcs equações d iferenc iais si·
muhâneas usando a uam;fonnado de Lapl:.ce.
Considere condiçôcs inkiois nulas c n e-ntmd3
x(l)
=
u(l):
+ li)?J
4.2·9 É difícil dttenniJlar :1tr;UIS(Ormad<• de Lapla·
ct Xb·) do sinal
I
x(l) = - 11(1)
I
(M
(0 + 3)y 1(t) - 2y, (t) + (20
2y:(t } =.tO)
+ 4)y,(r) = O
(b) ( D +2)y 0 (t)-!D + l ),·,(t) =O
- ( D + l )y1(l) + (2 D + 1))-:(1)
.1'(1)
=
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430
S INAIS~ SISTF.MAS LI~F.Akf'_'i
4.3-7 Para um sislemu com funç5o de transfe.rên<:ia
Detennine as funções de t:rnnsferêm:-ia n:locionando as saída )'1(1) e Y!(l) com a emrada.x(r).
1/(s) •
4.3-4 P:.lra o circuito da Fig. P4.3-4. a ehave é m3Jl.,.
tida nu posição aberta por um longo período
t~nt~ <Je.t = O. quando ela é fechada inst.anta
neamcnlc.
(a) Escreva a~ cqunçõcs de ma lha (no domf
~O.
(b) Resolva JX113 .r,(r) e yJ(r) obtendo a m ns·
formada de Laplace das equações de 100.
lha detenninad.u.s nu parte ti.
4-~8
4.3-5 Pam cada um dos sistemas des<·ritos pelas
equnçõcs diferenciais u seguir, dc:cermine a
fu nç!k) de 1ransferência do sislcma:
d 1\•
dy
dx
(a) __. + 11- + 24)'(1) a s - + 3.<(1)
dt l
dl
dt
d 1y
dr:!
Para um si:uema com função de tr.tnsferência
$
H (.<)=~
s•
dy
dt
d 1x
dx
= 3, + 7;r + Sx(l)
comtollivel e observável.
I
43-9 Para um sistema oom funç!o de t:r:lnsferência
<t'r
d,·
dx
(c) - · + 4....;_ = 3- + 2;1'(1)
dt~
dt
dt
d 1y
dx
(d) - - \'(t) = -
dt l
.
dt
H(s) =
(i) .-· llu(l)
(i i) ~-"• u(t)
(iii)
(iv)
s+5
~-<~(l-$•u(t -
5)
t>-<~v-$•u(t)
(v) ,.-"'u(t- 5)
.f !+3s+8
(b) Para este s"i.slema. escte\'a a cquaçflo dife·
.f1 +3.f +5
8 ' 5
7
s·+s+s+
rencial que tela<:iona a saída y(t) com a
entrada .t(t) assum.inOO que o siStema é
contrOlável e obsen·ável.
='
5.r + 7.r + 2
(c) H(s) =
J!-2s+5
(b) fi (s)
s+5
sl+SJ-+6
(a) Determioe a resposta (estado nulo) para
os seguimes v;llores de entrJd~ x(t):
- x(t)
4 ..1-6 ParJ cada um OOs sistemas espec-ificados pe·
las scguimcs funçõc:s de transferência, determine a equaç!io difcrçncial que relaciona n
&.'lida >(1) com a entrada .t'(t), assu mindo que
os sistemas s.~o comrolávcis c obscrvá,·ci~:
(a) H(s) =
+
(a) l")e1crmine a respoS!a (eS!~OO nulo) pal":l ~
entrada .t(t) • {I - e -')J,(t).
(b) P.ara este sistema. escreva a equ.ução di fe·
renciul que rcla<iona u saída y(t) com n
entrada .t-(t) assumindo que o sistema é
(b) - · + 6 - - 11- + 6)'(1)
(/t
+ 2s + 5
(b) Paro este sis1ema, escreva u equação difere.ncial que relaciQna a saícb y(t) com arouada .t{t) assumindo que o sistema é coo·
trolõlvd e obser.,.{lvel.
4
<Pr
dt l
s~
(a) Oetennine a respost:~ (estado nulo) para a
entrada .t(t) de (i) !Ou( r) e (ii) u(l - S).
4
nio do 1cmpo) para 1
2s + 3
2
.sn
4.3-10 Um sistema LJT possui uma resposta oo de·
gruu d3du por s(t) = e -ru(t) - t!-2w (t). f>e.ter·
+
1n
.CO V ..=..
IF
2H
Figura P4.J..-'
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CAPITULO 4
ANÁLLSE DE StSTEM.AS EM fulPO CoNTbo.1JO USANDO A T kANSFORMAOA DE LAPLACE
mjne a saída )'{1) deste $istelTUI dada a entrnda
~1 - 11) - oos( ./ilu(1),
.r(1)
=
4.J..ll Pm um sistema LCIT com condições iniciais
nulas (sistemn inici11lmente no estado nulo).
se uma entrada x(t) pcoduz uma saída >{l), e ntão. U$Wldo a transfonnada de Laplace, mostre que:
(a) A entracb d.tldt produz uma saída <lyldJ.
(b) A entrada x(T)dr produ~ uma saída
X( t)d1'. Logo. mos1re que a resposta. ao
degrau unitário deste sis1ema é n inte·
gral da resposta ao impulso. ou s.eja.};
J;
fo
h( T)d~
(Ü)
•
.r(t)
lO
IF
)'(I)
Figu.no P4.4-1
4.4-2 A chave do circuito d1l fig. P4.4-2 está fechndtl por um longo tempo quando~ insunaaneamtnte aber1n em r = O. Delemtine e truc:c a
COf't"ente .){1).
4.3-ll (a) AnaJise u estubilidade assintóeica e 81 ·
6 0 para os sistemas descritos pelas s.eguimes funções de transferência. assumindo que os sistemas s!lo comrol4,·eis
e obS(:rváveis.
(i)
431
(s+5)
.r2+3.r+2
lO v :; !:;-
2H
I =
!""
0
Figura P4.4-2
s+5
s 2(.r + 2)
' ") ,1 (,1
( 111
4.4 3 Oecennine a corrmte )(I) pam o circuito res.so4
muue paralek> da Fig. P4.4·3 se a eouooa for
(a) x (t ) == A~ t~l u (t )
+ 2)
s+ 5
(b) .t(1) = A sen
cIV) s(ss ++5Z)
..,r u(t)
Assuma todas as cond.h;_ões iniciais ig Wlis a
zero e, nos dois casos.%~ IILC.
S+5
s:- 2s + 3
(b) Repita a pane (a) para. os sistemas descri
tos pelas seguintes eqwu;ões diferenciais..
(v)
4
Os sistemas pOOem ser n.!o conltOLáveis
e/ou nllo observáveis.
,l(l)
c
L
(i) ( D' +3D + 2) y(1)
= (D + 3)X(f)
(i i) ( D' +3D+ 2) y(1)
= (D + l)x(1)
(iiiJ (D' + D- 2) y(tl
(D- l)x[t)
=
(ov)
(D'- 3D+ 2) y(t)
= ( D - l)x(1)
4.4-1 Oetennine a resposta y(l) de estado nulo do
çircuito da Fig. P4.4-l se a 1ensio de entrnd3
for .t(t) = te-ru(l). Oetermioe u função de
transferência ~!acionando a snfda )(1) com a
entrada .t{t). A partir da funçSo de 1ransJerên·
cin, escr"e\'a a equação diferencial relacionando >{t) oom .r(t),
4.4-4 Determine as correntes de malhll y1(t) e yl(l)
parn 1 ~ O no ein:ui1ó da Fig. P4.44a para a
cmrnd!l x(r) da Fig.. P4.4-4b.
4.4-5 P'J.ra o circuito da Fig. P4.4-5 a cha\-e w:.á fechada por um longo tempo antes de 1 = O.
quando ela ~ aberta instantaneamente. Determine y,(t) e vJ(t) par.a 1 ~ O.
4.~
I"
Determine a tensão vJ.t) dt" saída do circuito
ose .r(t) = IOOu(t),
siste-ma está inicialmente no esutdo nulo.
ruo Fíg, P4,4-6 para
o
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CAPrn.ti.O 4
ANÃUSE Oe SIS'l'EMAS EM "fe.u'() CONrLXUO USANOO A TRANSF'OflMAI». OS LAPLACE
1/ (s) = -
Ka
da respOSta de es1ado nulo de um siStema
na qual
S + (I
a= -
com função de transferência dOOa pOr
1/(s) =
I
RC
(b) Cktcrmine y(O+) c ) (OO) se Y(s) (or dado
poc
Ks
l l(s) = -
(i) •' + Ss + 6
s+ a
sl+Js+ 2
4.4-10 Para o circuito de segunda ordem com amp-op
da Fig. P4,4-IO, mostre que a ft.1 ftÇtio de tr.:ms·
ferência H(.s) relaçionando a Le•~s5o de safda
y(t) co.n a tensió de entrada x(t) ~ diKia por
-s
H (s) = sl+ Ss + 12
" s) + 4s 2 + 10s +7
(u )
,s1+2f + 3
4.5·1 A Fig . P4.S-1 mostro OOis ~gmentos rcsisti\'OS em escada.. A funç.!lQ de trnnsferência de
cad :1 sqmento (ra1.llo da tensiio de saída pela
tensão de entrada) é
4.4-1 1 (a) Us:mOO os teore-mas de valor final e ini·
ciaJ. detemüoe os valores ioiciaJ e fin al
JOV
;"
l
l
.=.
6s' + :ls + 10
2s'+ 6J + S
e a ent:rada (i) .,(r) e (ii) e-•u(r).
e que a função de ttansferência do cin::uitO da
Fig . P4.4-9b é d>da por
I =
433
0
trn estes dois segmentos ooncccados em série
(cascata).
l F
'I
In. A Fig. P4.5-lb n.os-
20
Hl
y(l)
111
IH
lO
IOOV .=.
Flg11ra P 4.4.8
•
c
c
X(lj
X(I)
R
"
R
••
( b)
(I)
figura P4.4-9
'
'
+
.<(o)
Jo~igura
P.t.4-10
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434
SUiAIS E SistEMAS ltNEARES
(3) A função de ttansferêndu desu~ circuito
IOial ~ (ln)(l/2) = 1/4?
(b) Se sun resposta for afirmativa. verifiq ~ a
respma calculando direuuneme a funç5o
de transfer<--ncia deste circuito. Os seus
cálculos coofinnam o valor anterior de
1/4'? Se não, por quê'!
(c) Repita o probkma com R, :;:; R. e 20k.O.
Esre resultado sugere a resposta do pro·
blema na parte (b)?
sem discol'çào. o sinal pode ser atraSado. O que
é imporuuue é m:mte.- a forma de :r( r). Pon.nn·
((), um Sinal recebido na fonnu Xc(t - n é C(IO•
sidc'rudo ser sem distorç3o.J
.>jt)
Figura P4.S.2
4.5·2 Em canais de comunic:tç.üo, o sinal mmsmitido
é propagado simult:me:uueme por dhmos ca·
minhos de tamanhos diferentes. fazendo oom
que o sinal chegue uo seu dcSI:ino com atrasos
de tempo ditbrcntcs ç ganhosdiferemes. Esce ti·
pode sistem.'l gerálmente distorceo sinal. Paro
uma comunicação livre dt- c.rros. é neces.'Sário
de;s(azc-r ao máximo as distorções usando um
siJUema que S(:ja o invcrw do modelo do c:tn:tl.
Por simplicidade, vamos assumir que um
s.inal é prop.'lgado por dois caminhos cujos
tempos de atraso se diferem por r segundos. O
canal no caminho <k~o;cjado possui um atraso de
T segundos c ganho unitário. O sinal no cami·
nho indesejado possui um atraso de r+ f segundos e um ganho t•. Tal canal pOde ser modelado como mosll'3do na Fig. !>4.S· 2. Determine
n função de cran.~fcrênc-i :~ do sistem.'l inverso
para corrigir a distorçâo de a1ra:so c mos.ue que
o sistema inver:so pode ser rcali1..ado por um
sistema re:~ li mcmado . O sis tema inverso de-o-e
ser causa.! para ser realizável. [Dica: QueremO$
corrigir apenas a dist(M'Ç<lo causada pelo atri\so
ttlalivo de f segundos. Pu.m uma transmissão
4..5-J Discuta sobre a estabilidade BIBO dos sistema."
rtaliment3dos most:mdos na F'ig. P4.5-3. IJ:ua o
caso da Fig. P4.5·3b. co•,sidere três casos:
(;) K = 10
(;;) K =50
(iíi) K
e
48
4.6- 1 Implemente
=
1/(s)
s(s + 2)
(s + 1)(.< + 31(.< + 4)
pelas formas direta canônica. série e paralelo.
4.6-2 Rc,nliu a função de cr.tnsferêocia do Prob.
4.6-1 usando a forma transposta das realiza.
çõe$ oblidas no Prob. 4.6·1.
4.6-3 Repita o Prob. 4.6-1 para
li (
(u)
3s(s + 2)
s) = (s + l )(s1 + 2s+ 2)
2s- 4
(bl 1/(s);
<• + 2)(s' + 4)
lO
211
+
,f(r)
R, = 2 0
(a)
on
211
)(f)
( b)
FiJ,.o ura P4.5-1
(11)
( b)
~·igura P4.5· 3
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CArÍTULO 4
A NÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO Co:rrfNUO USANDO A TRANSFORMADA DE l.ArLACE
435
Y(sl
X(, ,
-w)~fa@-ErE'~,r-_:YCT•~l-
-'....
+
-'• ••
( b)
(>)
A
X(s)
,I,
-
......
I
r;-...I-;;,
i<+•
"'
LI.....
Y(s)
(c)
Figura P4.6·13
4.64 Realize as funções de U3rl.sfetência do Prob.
4.6-3 usando a (()fft'l.â transpost a da.s rcaJiza-
4.6·11 Repita o Ptob. 4.6· I pat3
ç&s obtidas oo Prob. 4.6-3.
4.6-S Repilâ o Prob. 4.6- 1 para
,
5s(.r + 2) ·(s
+ 3)
4.6-6 ReaJjze as funções de tr.msferência do Prob.
4.6· 5 usando 3 fonna. tta.,spos:t3 das re:.liUt·
ções obtidas no PrOO. 4.6-5.
4.6-7 Repita o Prob. 4.6- 1 parn
H (S) ;
...:·~<·:,:+
~1)~(•:,:+
!:.!;2)c.,.
,.-
(.<
+ 5)(.• + 6)(.• + 8 )
4.6-8 Rc-ali1.c as funQÕCs de lrnnsfcrência do Prob.
4.~7 u ..>ando a fonna transposta das realizações obcidas no t>rob. 4.6-7.
·''
+ 1) 2(s + 2)(s +
Nes.~e
problem.a mostramos como um par de
pólos complexos conjugados podem ser reali·
7.ados usando uma cascata de duas (unçôc:s de
1ransferência de primeira ordem c rcalimenta·
çâo. Mostre que as funções de tronsferéncia
dos diagramas de biOCO'S d.'l Fig. P4.().. 13a e
P4.6-13b silo
(3.) H (t)
= (.r + a )l
+ IJ1
I
1
s + 2os+ (a~
+b~)
S +(I
--~::...__ __
(s
4.6-13
=
4.6-9 Repita o Prob. 4.6-1 para
H (s) ;
(s + l)(s' + 4s + 13)
4.6· 12 Rcalitc as funções de t13nsferêneia do Prob.
4,6· 11 usando a f()tTM transposta. d:1.-s realiza·
ções obcidàs no Prob. 4.6-1 1.
2s + 3
H ( s) ;
·''
,-----,,..,.-Ç-...,.--=
H (s) •
3)
4.6-10 Realiu llS funções de transfc:linda do Prob.
4.6-9 u~do:. forma trans posta das reali7.a·
ções obcidas no Pmb. 4.6-9.
+a)'+ b'
s+a
= ,: + 24'1 .1 + (o: + b2)
(b) H (J ) = (s
lOgo. tnt)Sire que a função de lrâns(erincia do
di::~gntm<• de biOI.Xls da Fig. P4.6- 13c é
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436
StNAI.S E Si:,TEMAS
Lt}IEAJtBS
4.6-14 Mostre ti$ rcalil:tÇÕCS com :.mp-ops pam
seguintes funções de tl'ansfel'ência:
largura de f<Jixa de 3 dB deste sistema é
wjJO. Qunl é o ganho CC'?
(d) O ganho do sistema. paro CC \'ez.es sua.
largura de faixa de 3 dB é o produto ga·
nlra-lurg•mr d~ fai.w do sistema. Mostre
que este prOduto é o mesmo para todos os
três sistemas du fig. P4.7-l . f.stc rcsuha·
do mostra que se aumentarmos a largura
de faixa., o ganho diminui e vice· versa.
as
- 10
(i) --
,... +5
10
(ii)
s +5
s+2
(iii)
.... +
4.8- 1 Para um sistema LCrr descrito pela fu•,çào de
li'MSfe•·~llC i il
H(s) = . s+2
.(·+5s+ 4
s
determine a I'C$posta à:io seguintes entra~s ex·
poncncinis de duraç."to i1lfinita:
(a) 5cos ( 2t + 30")
(b) IOscn (lt + 45 )
4.6-15 i'o'l ostrc dullS realizações difcremes com amp·
op par:. a fu nção de trnnsfcréncia
s
+2
H (s) c - : I - -
s +S
3
s +S
(c) IOcos (31
4.6· 16 Mostre uma rc.'Li il;)Ç.~O na fl)ffll.1 direta Cil1l&i·
ca com ;,tmp·op jXU'a a func.~ de uansfer~ncia
H (s)
4.8-2 t>nru um sistema LCrr descrito pela função de
trnnsrcrêocis
ls + 7
= -;,....::::,.:...,'-:::
s- + •s + lO
H(s) =
4.6-1 7 Mostre uma reaJit.m;fiO direta tanônka com
amp-op para a função de transl'e tinda
+ 4.f
(a) Hl11(1)
(b) cos (21 + 60')u(l )
(1.~) sen (3t - 45")11(1)
(d) el 31 u (t )
+ 13
4.7- 1 A re-alimcOLação pode ser utilizada para au·
mentar (ou diminuir) :~largum de faixa do sis·
tcm.IL Considere o sistema da Fig. P4.7- la com
funçiio de trnnsiCréncia G(s) = lUj(s + w~).
(a) Mostre que a !arguta de faixa de 3 dB
e u ganho CC é unitádeste sistema é
rio. ou seja. IU(iO)l = I.
(b) P'nr.t aumentar a largura de faixa deste
sistema. utilitnmos um!l re-.nliment!lÇiio
negativa com H(s) 9. como mostrado
na Fig, P4.7- lb, Mostre que a IMgum de
fai"a de 3 <IB deste sistem:a é IOw~. Qual
4.8-3 Para um lõhro passa-tudo especificado pela
fune_".ào de transferência
w,.
H(s)
( C:) P:1ra diminuir :t largura de faixa deste sis-
tema. utíliz.unos um ganho de realimen·
wção ))O!'ilivo com ll(s) = - 0.9. eomo
mostrudo m1 f ig. P4. 17c. Mostre que a
--
.\' + (OI<
>(I)~
~
l
~-
-(s - 10)
s +l 0
(u) ~J .,
(b) OOS (WI + 0 )
(c) cos t
(d) sen 2t
(e) cos IOt
éogMhoCC?
!»,,
=
dc tc.nninc n resposta do sistema às seguintes
cml':.ld:.s (de dumçiio infinita):
=
,Y(11
,f + 3
+ 2)'
(s
determine a respos111 de regime permanente
do sistema paru as seguintes entrndas:
-_s'_,+:._;::S·•:..,
· +
'7.;2
H (.t) = -.;
.f•
+ 40 )
(() cos I<Xb
y( l )
+ ..,..
9
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CAPITULO 4
1\NÁUs::E 06 SISTEMAS E..\t TEMPO COXt1NUO USANOO A TRANSFORMADA DI! LAPLACE
4.9-2 Repità o Prob. 4.9- 1 pa~
4.8-4 O g:ráfko de pólos-zeros de um sistema de segunda ordem H(s) é moW3do na Fig. P4.8-4.
A resposta CC deste sistema é me.nos um.
H(iO) = - I.
(a) Assumindo H(s) :c: k(i + b ,s + b:)l(i +
a1s + tlJ. detenninc :t'i constantes k. b,,
(a)
(b)
(s
+
s'
+ 4s + 16)
l)(s2
s
(s
+ l)(s' + 14. 14s + 100)
(s + 10)
b!' a 1 c. a2•
(b) Qual é a saída y(r) deste s-istema em res·
posta a entrada .t(t) = 4 + cos(rfl +
(c) s(sl
+ 14.14s + 100)
4..9-3 Usando a menor ordem pOSsível. detemline a
função H (.f) do siS1ema oom mfzcs de valor
re-al cuja resposta em freqOência é mostrado
na Fig. P4.9-3. Verifique a sua rt::spOíita com o
xl3)?
2.-----------------·
1.$
437
o
MATLAD.
0.5
•
4.94 Um estudante ronnado recentemente implc·
mentou um t#um: lock loot' (PLL) analógico
como parte de s:ua dissertação. Seu PLL é
coostituído por qualro componemes básicos:
um detectór de fu.se/frequência, uma fonte de
c.u.rgu, uma malha de fi ltro e um Qscilndor
o
- 0.5
-I
•
- 1.$
-2
-2 - I..S -I -<1.5
o
0.5
q
I .S
comrolaOO por tensão. Este problema oonsi.
dera apetws a malha de fihro. a qual estoi mos,..
trada na Fig_. P4.9-4. A entrada du. malha de
fi ltro é u C('IITellle :r(t) cu. safdu. a tensão )'(t).
(a) obtenha a funç5ode lt;lnSferência H(s) da
malha de fihro. Expresse H(s) na forma
padrão.
(b) A F'ig. P4.9-b fornece quatro possi\'eis grá~
flOOs de resposta em freqüência. charnados
de A a O. Cada gráfico log-log é desenhu.·
do na mesma escalo e as ioolinações d.1S li·
nhss si!<> 20 dB/décod>. O dB/década ou
-20 dbldécada. Identifique clanunente
qual(is) gr.ifico(s), se hoo\'er algum, que
2
tl gura P4.8-4 Gráfico de pólos-zeros dó sistema.
4.9·1 Obcenha os diagramas de. Bode para as
guintes funções:
$($ + 100)
(a) (s
~
+ 2)(s + 20)
(b) (s + Hl)(s + 20)
sl(s + 100)
(s + IO)(s + 200)
(c) ~:::,.:,:~::,:::;:;;,.,
(s + 20)'(s + 1000)
pode rcprescn1ar a mnlt\11 de fihro.
"":15
-
lO
$
2>
:s
lO
~
lO
~
:s
aproxi!U!;'-Io de Bode
- - • tlf(ftw)I rtal
' ' ,_
"
s
o
-5
- lO
to·•
ocl'
lo'
lo'
!O"
oril (rJdf')
Flgurn 1,4.9·3 Gráfico de Bode e resposta em freqüência para H(s).
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CArfruLo 4
AsÃu~ oe S • sr~MAS F.M T~.-,.wo CONW;uo USANDO A TRAtõsroRMAJM. DE LAI'LACE
funcione como um fillfo passa·baixas? f..xplí·
q ~ sua •esposta.
4.10·9 Carlos recente-menl..: construiu um tillro sim·
pies pussa-baixas de SuHeN 'orth de se-g unda
ordem para seu som. Apesar do componamcn·
to do sistema ser muito bom, Carlos gosta de
se supcrnr c espera melhorar :1 perform;:tnce do
si:Hcma. lnfclizmeme. Carlos às vezes é mujto
preguiçoso e não quer projcwr outro tiltro.
Pensando ··duas 'lt'7.es u fi ltragem resulto e m
duas ve-.tes a performanc:c·· ele sugere fi llmr o
sinal de áudio não uma ve1,., mo$ duas vc7.CS
com dois tilrros idênticos em sérh!. Seu mal
(X'go c sobrecarregado 1>rofessot de sinais está
cético e afirma. "se v()(;ê está usando filtros
idb11lctJs. n(k) faz dife-rença se~ fihror uma
vez ou duas!·· Quem está corrc.to"? l'or quê'!
4. 11).10 A n:spostn ao impul.so dr: um sistc.ma LCIT é
dada por lt(1) = 11(1) - u(l - I).
(a) Octc.nnine a funç!lo de •.rnnsferê•lcia
H(s). Usando H(J), detetmine e trace a
resposu em ~unpli 1ude IH{iw)l. Qual é()
tipo de fil1ro que tnais precisamente des·
Cfe\'e o COmJ>órlamento deste sistema:
Passa-baixas. pass<~·altas. JXIS.."a·faixn ou
párn-faixa?
(b) Quais são os pólos c zeros de Hb•)? Ex·
pliquc sua rcspos.1a.
(c) Você pode determinar a rtSpóSla ao impuloo do sist.tma ilwerw? Se sim. oble·
nha-a. Se não. sugjru um método que pos·
su ser utili1.ndo JXlra apmximnt a rcspo$1!1
so impolsQ do sis«cm:l inverso.
4. 10·11 Um fi ltro passa-baixas ideal HrJ.s) possui res·
~n r m ampliludc qa.e é unitAria p.1r.. ba i:<;.\S
frcqíiências c 7.ero paro altas freqOências. Um
liltro pass.n·ahas ideal H"'(s) possui respcm<'
em amplitude opos1a: zero para OOixa.s frt·
qüêneias e unitári~ para altas freqUê1K:iàS. Um
c~udantc sugeriu uma PQSSfvcllr.msfornl:-tÇik:l
de passa-baixas p:lt3 passa.aJtas: Hl'lt(s) = I H ,j,s). De fotnHt getal esta tran:Sformada irá
fun<.-:ionar? E:x.plique sua resposta.
4.10.12 Um !Oistem:t LCITpossui wnu função de tmns·
ferência racional N(s). Quando apropriado. n.v
suma que todos us condições inici3is ~o nuln."(a) É possível paro este sistema ter n safda
y(l) = scn ( 1001ft)u(r) e m rcsposl!l a
uma entmda x( l ) = CO$ ( I{J()1tt)u(r)?
Explique.
439
(b) É possf\,·e l para es1e sis.1ema ter a saída
y(l) :: sen ( I 0011'1)u(l) em resposta a uma
entmda x(r) = cos (SOrrt)ll(l)? Explique.
(c) É possível para este sistema t~r u saidu
y(1) = sc.n ( 100m) em resposta a um3 en·
tr:.da x(t) = cos (I ()():rr)'.' Explique.
(d) É possfvel parn este sis1e.ma ter a saída
y(l):: sen (J()()nr) em respos1a a uma entmda ,t(t) e cos (SOrrt)? EJ.:plique.
4.11 · 1 Detetmine a RDC. se ela t;c;istir. da Lrans-
fo nnada de Là.place (bilateraJ) dos seguin·
1es sinais:
(a)
t'IM(IJ
( b)
f' - .urit)
(c) I
(d)
+ t2
I + e'
(e) e - J.11
4.11·2 ();:termine a transformad..1 de t..1place (b i l :ue~
rol) e a regi5o de convergê1,çiu éOfrt:Spondenle dos se,gui.ues sinais:
(a) e -ttl
(b) t'-!t l COS I
(C) r'u(t ) + t-2'u( - t )
(d) f. - 1..\1)
(c)
e•~(-t)
(I)
COSlQol
"(t )
+ t>' Jt ( -1)
4. 11·3 !Xtermine a transformado de L:apl:tee (bilau~­
ral) das seguintes funções:
lt + 5
(a)
- 3«
(s+2)(•+3)
(b)
2.< - 5
(s- 2)(•- 3)
(/>- I
(s + l)(s+ 2)
2s + 3
(d) -=~~
(s + I )(s + 2)
3.)·
2
-
<-2
2<:o<:3
(<) .,._ _:2·::.,':!:+.::3~
(c)
1
(J
< -2
2.r ~ 17
(.< + l)(s + 3)(.<- 5)
- l <a<S
4.11 ~4 Determine
c-• [ (s+2•'-l.J-6
l )(s- l )(s + 2)
l
se a ROC for
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440
S INAIS E SISTEMAS L11"EARE'.S
(a) Re s ;:. I
(b) Rc.~: < -2
(cl- 1 < Res<l
(d) - 2< Res< - 1
(a) ;r, (t) = (j
(b) ·"!(1) = j <.:osh (t)u( -1)
(C) XJ(I)
4.11 ·5 PJra um si.~otema LCrT c-<Jusal com função de
cr:msferi'ncio H($) = 1/(s + I), dclcrminc n
(d) x.. (r )
transformada de Upl:l(.:e bilaferal dada por
~-:;",::2'--..,"7.
X(s)~ :-
(s
+ t'-t/ Ju(-1)
(e) e-•.'~14(1 ) + ._.-•llu(-1)
+ e -~,( - t)
4.11-6 :\ função de :mtooorre l :~ção ru(l) de um sinnl
xft) é dada por
ru H) ;;:
jx:
.x(r)x(r
l)(s+l)
(a) Detennjne a ~g_ião de couV«g~nci <J correspondente.
(b) Determ.i1le o si1ltll .t(t) no domínjo do
(d ) t'~1 11 (1 ) +e'u(-1)
(f) ... - 3'u(t)
= t'/ <llu(-1 + I) + j8(1- 5)
= j't.t (-f) + 8(t- rr)
4.11 -10 Um sinal x(r) de amplitude limitada possui
safdayt} se a entr<~da X( t) for dad:• por
(a) p - \IJ/ !
(b) ru(t) + t'!111(-l)
(c) ,.-tt lu(t )
+ ei')tl(r)
h:mpo.
4.M-1 E:\presse o pólinômjo C:J,..\'J na fonna padrõo. Ou stja. det~rmin~ os C()t".ficknh::!> a 4 de
C- ~ (,\') = "'"
L..ta(l lftX , _, •
+ 1) tlr
-~
Obtc:nh;. uma expressão p:i!ll R,...(s) = C(r.,(l)}
e m termos deX(s). na qual X($)= C()11)).
4.1\1 ·2 Projete um lihro passa-baixas de ordem 12 de
BuuerwOtth com uma freqOência de OOC"te de
wr ~ 2;r5000 seguindo os passos abaixo:
(a) Posicione e trate os pólos e zeros do fi l-
4. 11-7 Determine a lnlnsfbnn3da im~rsade Laplucede
tro no plano complexo. Trace a resposta
de <unplitude lfiUw>l oorreStXHKiente par<~ verifi car o prujeto.
(b) Ajuste todos os v.Liores dos resistores pa·
ra 100.000. determjne os ''alores dos ca.
p:•citores )XIra implementar o filtro usan·
do seis seções de segunda ordem e m série
baseados no drc:uito de SaJJen-Key. A
form<•do estágio de Sallen-Key está mostrada na Fig. P4.M-2. Em um único gráli·
co, tra<.-e a resposta de amplitude de cada
seção além do 1cspostu tocn.l. Identifique
2 .<
X(s)= ; +i
sabendl)que a regilo de convergência é e1 < O.
4.11·8 Um sin:ll .t(t) absolutamerue imegrável possui
~,~m 1X'Sio en.1 :.' = "·E poosf,•el que Ot•tros pó·
los estejam presentes. Lembre-se de que um
sin>ll absolutamente integrável ~rjsfaz
1:
lx(l)l d1 < oo
os pólos que rorrc.spondem a cad<~ curvu
de respostn em amplitude das seções. Os
(n) x (1) pode ser de lado csqucnlo? Explique.
(b) x(t) pode ser de lado direito'? ExpHque.
(c) x(t) pode ser de dois lados? E.xplique.
(d) .\'(1) pode ser de durnção finita'! ExpHque.
4.M-3 Ao invés de utili7..at um fi ltro de Buucrwonh,
4.11-9 Usando a ddlniçfi.O. l~ateu le a trJnsfonnada de
L.:tplace bilateral. incluindo a região de con·
vergência (RDC) das sc.g uintes funções de ''li·
lot oom1>lcxo:
ripple na banda passante. Como cada estágio
de Snllcn· K<:y poss ui ganho (.'C unitário, um
erro •oral de ganho de: ~é :w;eitáveJ.
.,
valores dos Ca)Xldtores são realístic.os?
rcpira o Prob. P4.M·'2 para um fihro pas·
sa-baixas de Chebyshev co1n R = 3 d B de
c,
•
)"(IJ
Figura P4.M·2
F.~.ágio de fihm Sallcn·Key.
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ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO
DISCRETO USANDO A
TRANSFORMADA Z
A contrap3rtid<' da tntn.sfonnadu de l..aplu« para sistemas em tempO discreto ~ a transformada z. A transfonna
da de Laplace cooven.e eqllações integro-diferenciais em equações algébricas. Da méSma fonna. a lnt.nsfonnada z mudá equaçõe.~ diferenç-a para equações aJg&rieas. simplificando. pois. a análise de sistemas em lempodis4
ercló. O método du. tmn.'iformada z para a a.n«<ise de sis tema! e m tempo discreto t cquivaJente oo mét'odo da
ttanSformada de Laplace par:~ a aná.lis e de sistemas em tempo continuo. com algumas pequenas diferenças. Ve·
remos q1.1e a tronJformoda ~I a trcmsformada de l.oplace dil/ort;ada.
O oomponame.nto de siste1nas em tempo discreto~ similar ao de sistemas em tempo ecntlnuo (com algumas
difereoç.ns). A aru11ise no domínio da f.reqOência de sistemas em tempo discreto é baseada no faro (pro\•ado na
Seçilo 3 .8~3) de que u tesponill de um sistemas Uoear. discteto, itlv:uiante no tempo (LDJT) a uma ex.p<menc:ial
de du.roçlio infiniw. z.• é a mesma e.xponenciaJ (multiplicada por uma constante), seodo dada pot Hft)z·. Expres-samos, então. 3 entrdda .t{n] pela soma de e,;ponenci.ai.s (dé duração infinita) na forma r.''. A re.~posta do sistema
áx(nl ~ de«:rm.in~a pela sonut de todas as resposcas do listema :a todàS essas componentes expOoendai ~. A fer·
nunenta que nos possibilita representar uma entrada arbitrária x(nl pela soma de exponenciais (de duração inti·
nita) na fonnu z• ~a truntfonnada z.
5.1 A TRANSFORMADA Z
Defi:ne--se xttl. a transformada z: direta de.r(nl. dada por
~
X[: J =
L
x[n )z" •
(S.l)
na qual ,z: ~uma ''ariável oomplexa. O sinal X'{n]. o qúal 6 a lnlnsfonnada ziavena. pode~ obtido deXI_.z] usan·
do a stguinte tr.msfonnmç-i\o in\'trsa:
x(n)
=~i
f
Xlt lt"" 0 dt
(5.2)
O d mbolo f indica uma intc.gn)Ç".ão na direçOO unti-horária em um <:aminho fechado no plano compleJto (veja a Fig. 5.1 ). Iremos obccr C:S.5e ~r da transformada t posteriormente, no Capftulo 9. como uma extens!iodo par
da transfOJ'I\'lOOa de Fourier em tempo discreto.
Thl como oo Cll$0 da transformada de LapiDCe. n!lio precisamos nos preocupar com m a imegral neste pomo.
pois a ll'ansfornt.ada z. in\'etsa de Ylirios s:inais de interesse. na engenharia pode ser determinada em uma tabeJa de
tru..nsronnadas z. M IIlnSfotroadàs t di.teta o ínvtrs::. podem su expressas simbólicamencc: p0r
X(: I • Z( x(nll
e
x[nl • Z " 1{XIzll
ou $implesmeote por
.<(n]
<== Xl•l
Copynghted matenal
CAI'fTULO .S
AXÂUSE DE SISTEMAS OI T~MPO DISCRETO U SAI'-'00 A TRANSFORMADA Z
443
Nocc que
LINEARIDADE DA TRANSFORMADA Z
Tal como n transfomtada de Lapl3ce. atmnsfonnada : é um operador linear. Se
cnliio
(S.3)
A 1>rova é uh•ial e segue di•-ecameme da d.::lin iç~o da mmsformnd.'l :.. Esse resultado pode ser t-Stendido (Xl-1'11
somas finjuts.
A TRANSFORMADA Z UNILATERAL
Pelas mesmas I"3ZÕC'S discutida-. no Cu.pilulo 4. é <:OR\'t':nientc consider.u a lr.lnsfonnada ::unilateral. Como ''isto oo
caso de Laplacc. a uansfonnada bilnteral PQ$Sui algumas romplicaçõcs em funçi!o da não unicidade dn trnnsfonnndo'l in"ersa. Por outro lado. n ttansf<m1ada unilateral possui uma 6nka in"ersa. Esse r:uo simpiHica oonsidero\'elmente- o problema de análise. mas c.:om um pre(O: a \"'é:f'SiiO unilau:r.d pOde tmbalh.ar apenas oom sinais e sistemas •.:au·
sais.. feli?..me-nte, a lllllioria dos casos próticos é causal. A transfomutda z bilateraJ. mni!ó ge.nérie-a. é discutida posteriormente. na Seção 5.9. Na prática, o termo transfonn:~dn zgcmlmcme ~refere à tro.nsform3da .: unilatC'ml.
No semido básico, não existe diferença emre a transformada z unilateral e bilaternl. A transformad3 unil:ueral é a trnnsfOtmada bil:nerod qU<: trnb.'IJ.ha oom uma subclasse de sinais começ.1ndo em n = O(sinais c.ausais).
Logo. a definição da transformad<~ unilateral é a mesnm d<J transforrnad.a bilólterõlJ [Eq. (5. 1)1, exceto pelos limites do somatório. que vão de Oa oo.
~
...
X(~} = L,:xl" lt-"
(5.4)
A expressão da transfonnada z im·ersa da Eq. (5.2) permanece válida par<~ o c.aso unilateral.
REGIÃO DE CONVERG~NCIA (RDC) DE X[Z]
O somatório da Eq. (5.1) Iou (5.4)1que dcline a tr::m~fonnada : direta, Xlz]. pode nâoCQnverg:ir(niio existir) para todos os ~lores de z.. Os \'alores de z. (a regiào no pllloo complexo) para os quais osom.'ltório dtt Eq. (5.1) coo·
verge (ou uiste) é chamado de rrgiiio d~ ('.,istbrdo. ou de fonrut mais oomum. de ll'giãó (/e ' '(Htl't:tgêll(:io
(ROC) de X(;:]. Esse conceito ficará mais claro nóS exemplos a seguir.
A RDC 6 necess:iria parJ. udecenni1U1Çãode Afn) a partir de X(z). deut•ordorom a Eq. (S.2).A integral da Eq. (5..2)
é uma integral de contorno. implic.undo a integraçijo na direçiio MlÍ·horáriu ao longo de um éaminho (ecbado centrado na origem e que satisfaz. a condição l:.i > Ir!. IJonanto. qua)qucr caminho c-ircular ccntrndo na origem c com ruio
maior do que IrI(Fig. 5.1b) sem Sllticieme. Poden'IOS OlOS~rnr que a intqual da Eq. (5.2) ao klngo de qualquer cami·
nho cocno este (com raão maiQr do que 11'1) lev.u-3 ao mesmo resul1adQ. oo seja, em x[n] .' Tal i.megraç:)o no pL1no oom·
pk.xo requer um conhecimemo prévio da teoria de funções de ' 'a:riáveis compkxas. Podemos evi1ar essa i.nte~o
z (Tabela 5.1). na qual os pares dattan~formada t São tabuLados pat;'l uma cena
\'ariedàde de sin3is. PMl ~em1inov a tta.n$:fOrmàda. t inve~ de. digruoos. zl(z - j.l. en1vez de utilizannos a integr,~ .
ção complex:t na Eq. (5.2), podemos consullnr a tabel-a c determinar a (r-ans.fonnada invma de d(z - »como sendo
r"u(n). Devido ?l propriedade da unicidade da tr:msformad.'l t unilateral. existe apenas um3 inversa p.1ro cada Xh:J.
Apesar de a 1abela a.presentol.d:'• set relatiV3mente curta, eb COnténl .'lS princiPQis funções de interesse pnilico.
A quest..'io datrMSfOt'l'l'lad3 z com relaçiio tt unici<bde da transfonn.;'td:a inversa é similar à d:lltJ.osfonnada de La·
ploce. Para ocaso bilateral .<'~ transfonn.'ldôl z inversa ruiO é única amao ser que a RDC seja especificad3. P..tra oc.'tiO
unilateral. a lra.nsform.'IOO inversa é ~inica e a. regi ~o de oonvergênci.t n.ao precisa ser especificada para delenninar·
mos a tr.tnsfom•ada t inversa. Por essa razão, ignoramos a ROC da tnln:.fonnàda .;: unilateral most.r3da na To'lbela S. l.
aiw~o uma tabela de t.rans(o!'IW'Idas
' Dt fato. o caminhO t1lk> pt.:..~sa S~equtr Sd ci.tcub r. Pede ttr qual~et formatO. dodl: que cttg,lobc os pólos dt .\'1;.1~ que 3 ilircção de
i.n~Jruçllo Kj11 nc.Hen1ido IU
1ti·ho1'11rio.
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De1crmine a transformacW ~e a RDC correspondente para o sinal fuln l.
Pela dcfiniçdc>.
" u[n]C"
= L;r"
...
X[d
Como lt[n )
~:~.
I par.l todo n
~O.
'f(!:)"
...., '
X[t l =
=l+m+m·+m'+ +
(5.5)
Tambtm t útil lembrar a seguinte prog.res$ào J.~Ca e seu somatório:
l +.x + x ' + x '
+ ··· ;::;-I
se lXI < I
1- x
(5.6)
Utilizando a Eq. (.5.6) na Eq. (.5.5), temos
I
Xltl = - y
1- -
~~~< I
(5.7)
l
s
-
l
z- r
1<1 > lr l
ri. oSQmntório da Eq. ( 5.5) pode n:!lo convergjr,
indo para o infinito. Portanto. a ROC de Xld 6 a região Mlmbreuda fora do círculo de raio IrI. centrado na
Ohservc que X{:l ex iste spenas p:tr:l lzl > lrl. Pamlzl <I
origem, no plano t. como mostrado na Fig. S.lb.
lm
,
-..
/
"
\
t) rl
0 I
2
J
4
l
S
T
6
'I .
t ,
t-
'"
'---..
..
)
Rr~iJ~:!~
"""
.
figura 5.1 y"u)") e a n::gillo de CQO\'Crgência trnnsfommda z.
Posterionnenle, na Eq. (.5.85), iremos mostrar que a tronsformada ~ de outrQ sinal -:fui- (n + I}) h lJll·
bêm é z/(z- i). Entretanto, a RDC neste caso é lzl <I ri. Claramente, a transfonnada : inversa de d(:.- ntio
»
é úntca. Emre1tuno. se resuingimt<~s a ~ransform:tda z inversa a ser causal. ent3o;) transformada in\'t:I'Sa é
única e igual a r""fn).
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EXISTENCIA DA TRANSFORr-.MOA Z
Pela definição
A cxi.sténcio do trnnsformod!• z é g:w.uuida se
IXIzU :5
f.·~ I.~z~~:JI
< oo
para algum lzl. Qualquer sinal xt11 Jque não Cres<."t' m:•is rápido do que o sinal CXpt:ln(:ncial r; . p;w.t aJgum r~~" sa·
t is(c.:r. essa condição. l'onnnto. se
pata algum r0
(S.S)
enlâo
1.::1 >
Tabela 5.2
N'
T(!
l':lrcs datransform:•da t (unil!ltcmlJ
.rl,l
&[, - n)
Xld
-----------
2
3
--·
--
(: - ll'
;(; + I)
4
(: I>'
:!z1 +4:+ I)
5
(: - I )'
6
z-y
.;: - y
8
n y"u[ul
9
,ly"uft~l
lO
yz(z
+ y)
(;
y)'
'::.'(~n~-_cl~)~
(n~-_c2=)~·~-·~(::.
n_-_::.
••~+
~
l) y"ui,J I
y"'m!
:I: - Ir! oos Pl
:' - 121yl <<»fi>: + Ir I'
I I :1
l lb
YZ.
IYI" scn {t11 uln J
:lyl ~n fJ
:'
!21rl <os .8>: + IrI'
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446
SlNAIS E SISlDtA.S LINEARES
r [ y I" OOS (p,.
12a
r : [: 005
+ O)u[ n]
<'
e- IrI cos (p- 0)1
(21y lcos Pll + IYI'
+ (0.5re-Jf)t
,_ y
z- y·
(O,Srei' )t
12b
t (At + 8 )
12c
z' + :z.,,
+ IrI'
r.,
Ponanto. X{z:l existe para tzl > Quase todos os sinais priticos satisfp.em a coodjçllo (5.8) e podem. portao·
to. ser t:ranSfonnados para z, Alguns modelO$ de sinais (por exemplo, r" ) crescem mais nipido do que r0• (pan!
qualquer ro) e não sntisfazem a Eq. (5.8). Esses sinais nio podem ser ttansformados para t. Felizmente. tais sinais são de pouco interesse prático ou te6rioo. Mesmo esses sinais podem ser tran.!ifonnados para l em wn intervalo finito detenninado.
,. ''r''"":' ..;..-
.
'
.,_-
<
••
••
•
'.
Detffilline as transformadas zde
(a) li\•1
(b) u[n[
(c) cos Jln •I• I
(d) O sinal mowado na Fig, 5.2
o
2
3
•
Figura 5.2
Lembre-se de que pela de.finiç6o
....
(S.9)
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(a) Par.u(n] = clln).x[O) = I e xf2] • .t(3] • x(4] • .. . • O. Ponanoo.
para codo z
&lnl <==> I
(b)
(5. 10)
l'llr3 xfn] = ufn ~ x!Ol = 411 = 431 = • .. = I. Po~aono.
X[<)
I
I
I
= I + -z + -zl + -zl + ...
A panir da Eq. (5.6),1emos que
Xltl= - 1
I--
HI
'
ltl > I
I
< I
t
t- 1
=-Portánto.
t
1<1 > I
ufn]<= t- 1
(c) Lembre §e de que cos Pn
4
(5.11)
= (t"' + ery2. Além di.sso. de acordo com a Eq. (5.7),
Loa:o.
~ [z-ze~' + z-: .. ,,]
X(zl =
t(t - "" tJ)
= z2 - 2zoosfJ + I
(d ) Nes te caso. x{O]
lzl > I
= x( li ,. x(21 = xf3] = x(4J = I e .t{5) = x[6) = · · · =O. Logo. de acordo com a
Eq. (5.9).
X[t]
I
I
I
I
= I + -t + :- 2 + -,z) + rt' + t ' + t 2 + t + I
para lodo t
t'
~
O
Thmbé-m podemos expresiar es§e res uhado c:m utrut fonna mais compncta, somando a progre~são geom~trlca do lado direito da equação anterior. A panir do resultado da
Seçio B. 7-4, com r = Ih. m = O e n
= 4, temos
(!)'- (!).
X[<) =
~ = , ~ I (I
-- 1
- z'')
...
'
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448
St:-IAI.S
e S ISTEMAS Lt}o'EAXES
EX ER C ÍC IO E5.1
Oelemlt.OO Qtmnsforma..Ll: do ' inal mO:Strado n;, Ftg. 5.3.
U!)andu o par 11:1 fTabd J 5.1). delernune a trun ...fonnad.:t :_de .l ln l e '!O.Mt../2tt·os(fiP'4 )1rIA 15)111n).
(a)
(bl
t agnra J .3
R ESPOSTAS
...-' ... ++·'+-'+·+1
( O) XI:!= • ~.
• • •
·'
(b) d3.2=+ 17.2)
~~
~=
+2
5.1-1 Detcrn1inação da Transfom•ada Inversa
Tal como na 1ransformãd:a de Laplace. podemos evitar a imegtação no plaJtOoomple.xo, necess:1ria p:.m de·
terminar a transformada ~ in\'ersa (Eq. (S.2)J, usando a tabela de tmrL~ft>rn'ladas (unilmer:d). Tabtla S. I. Mui·
tas das lrans(ormodas xt.zl de interesse prático são funções mcionais (nt1lio de polinômios em z). as quu.i.s p<>·
dem ser expresw CXlmo a soma de frações parçinls. cuja transformada inversa pode ser f:)Cifmeme encontra·
da na tabela. de wmsfonnaç.ão. O método de frações parciais funciona porque a cada ·"(n) 1tansfonnado. defi·
nidn para n 2 O. existe um único X(.z) c<)n"CSpOnden1e. definido para kJ > r0 (na qual r0 é alguma conslante) e
\• i ce·V~Il-!1.
Detel'mine a tr.lnsformad:~ z io\'ei'S3 de
8z- 19
(a )
(t 2)(z 3)
(b) ;(2z' - l i;+ 12)
(;- l)(z - 2)'
(<)
2z(3z + 17)
(z I )(;' 6z + 25)
(a) fupandilido X( z] em froções J)àl'Ciaís. temos
xt,l =
s,- 19
(; - 2)(< - 3)
=.2....+~
' - 2
; - 3
;\ partir da Tabela S. I. jXIr 7. obc:ernos
x1" 1= 13(2)·· • + s(3r
' '"'" - 11
(5. 12>)
Copynghted fTlatenal
CAI'tru:LO 5
Ar.'ÃUS€ Of! SISTEMAS F.M TEMPO DISCRETO U SAN'r)() A TRANSR>ft.\tADA 2
449
Se expandirmos X(zJdirecameme em frações ~iais. sempre iremos obter uma respos~a que é muhiplicadà pOr 11(11 - 1). em fu~iio cb natureza do par 7 da Tabela S. I. E.<tõsa fonna, alán de deselegante. w nbém é incon\'e:rüe:~tte. Pft':ferimos n fonntl q a~ C(M'IIém ult~ ) em \-e.?. de .,,, - 11. Uma rápida análise da Tabela 5.1 mustrn que a uansfonnnda z de qualquer sinal que é muhi pli~do por u(n Iposs,•i um fMor z oo numerndor. €Ma obstrV31.".ào su~rere que façamos a expansão de X{~ J em f~s parciais modificado. 1\a qual ~da tenno possui
um falor:: no nun~Jor. Podemos alingir esse objetivQ expandindo .\lzVz em frações parciais e, então. multiplicando os dois lados por t. lremos demonstrnr este procedimento refazendo a pane (a). P:tra este: caso.
X[z)
-
z
8o - 19
= ...,....:~,;..:.-~
o(z - 2)(z - 3)
(- 19/ 6)
t
=
(3/2)
(5/3)
+-+-z-2 z-3
Muhiplkando os dois lados por z. temos
Xlz) =- 19
6
+ ~ (__!__) + ~ (__!__)
2
::-2
3 z-3
A p;~nir ~ pares I e 6 da ·rabda 5.1, obtemos
(5. 12b)
O k itor pode veriftear que essa resposta é equivàlente il dà Eq. (5. 12a) caJcul31'1do Ainl oos dois casos para
n =0. I. 2. 3..... e comparando os resultados. A fonnada Eq. (S. 12b) 6 mais conveniente do que da Eq. (5. 12a).
Por essa nt1iío, sempre cxpandiretn05 XfzV.z em f'f'3ÇÕe$ pardais. em vez de X(z). e, então. muldplkaremos os
dois lados por z p313 obtermos as frações pardais modificadas de X[z). que terão um fator z no numcrndor.
(b )
Xlzl = z(2z' - l lz + 12)
<z - l )(z - 2l'
e
X[z]
2.z1 - l lz + 12
=
z
(z- l )(z-2)'
k
a0
=--+
z - 1 (z -
n1
+ (o -
2)'
a1
2)'
+ .,---~
(o - 2)
na qual
Portanto,
Xlz l
2.zl - llz+ l2
-,- = (z
l )(z
2l'
-3
= z- I - (z
a1
2
2)' + (z
GJ
2)' + (z
2)
(5. 13)
Podemos delenninM (1 1 e~ através de elimin..c;ão de frações. ou podemos utiJiw um atalho, Pot exemplo. para dccenninar(/1• multiplicrunos os dois lados da Eq. (S. I3) por ze faztrn0$ z-+ oo. Esse procedimento
result.a.rá em
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450
SINAIS E SIS'J'EMAS UNEARES
o,.
Esse resuhado deixa apen3s uma incógnita. a qual é facilmente detetmi1~ ada fazendo ; assumir qual·
quer valoroonvenie.nte. digamos;: O. nos dois lados da Eq. (5.13). Esse passo resulta em
12
I
3
a1
-8 =3+ 4-+--4
2
o qualltvtl"
a,= - I . Portanto.
XI:)
-3
-- - - '
' - I
2
(z -
.
Xl:l = -3_::_ -2
:- )
2)'
I
-
(; - 2)
.
1
+-
3
' -
2
.
.
..
+ 3_:_
(; - 2J'
' - 2
'
(;-2)'
Utili7..3oc.IO, asorn. os pnrcs 6 C' l Od:. Tubd n 5.1 ' obtemos
xlnl = [- 3- 2n(n; I) (2)" - I(2)" + 3(2)"] "In I
= - [3 + ~(n' + n
- 12)2"] "I" I
(c) Pólos romplexos..
2z(3~ + 17)
XI: I =
+ 25)
2:(3: + 17)
= :<,---,I"H':-,-=,3c:.:.-,.;.;
.•70
>c"",-.3-:+-,~.
4J
(Z- 1)(: · - 6:
Os pól~ de X(;::J são I. 3 + j4 e 3- j4. Sempre que exiscjrem pólos complexos conjus:utos, o problema
pode ser solucionado por dois <."Wninhos. No primeiro mélodo, expandimos Xlzl em frnçôes p.'l.rciais (modi·
fic:ada.s) de primdrn onte-m. No sc:-gundo método, em vez de obtc.nnos um fntor COITcspondcnte a cada pók>
complexo conjug3do. obtemos fatores q u:adráticos correspondemes a cada par de pólos complexos ccmjuga~
dos. Esse procedimento 5Cr.i explicado a seguir.
M trooo OE FATORES OS PRIMEIRA ÚftDI:t\·1
XI :)
2(3z + 17)
_ -....,-,-'2'-;fé'3~:...+~17f-)-::-:-~
= .,.,.-2:':T.:....;.:..c~
:z
(z l)(z1 6z +25)
(: 1)(: 3 }4)(: 3 + }4)
Octemünamos as frações parciais de XlzVz usando o método de Heavisidc:
X IzI
2
I •6e·i 1·,..
...:lc::.6<'7L
-,-"',.,
·
--=--+
+-
'
z-
I
z
3
)4
z
3
+ }4
c
3' ,.4 + (1.6<'"..>.,.-,--:i''--,-,
• 3 + j4
A ln\nsformada in\'crs.n do primeiro termo do lado direito é 2•,1r~). A tran.sfomuda inversa dos dois ter·
mos restantes (pólos complexos conjuJ,ados) pode ser obtida do par 12-b (Tabela S.l) identificando q ~ rl2
= 1.6. 8 = -2.246 r.>d. 7 = 3 + )4 = 51''". tal que IrI = 5. JJ = 0.927. Ponan•o.
X(ti)= (2 + 3, 2(5)• COS (0,92711 - 2. 246)}111111
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CAPhVLO 5
ANÁI..ISE DE SISTEMAS EM TEMPO D ISCRJ:.IO USANDO A Tit.Al'iSFORMAOA Z
451
M ÉTODO DE FATORES Q UADRÁTICOS
Xlzl
2(3: + 17)
2
Az + B
- = ----~:=;-.:-7-'-:~ =-++7--::.,
'
(, I)('' 6z + 25)
' - 1 ,, 6z + 25
Multjplicando os dois ludos J>Of ~e fazendo~~ co. ck:lenninsmQs
0=2+A =A= - 2
e
2(3,
+ 17)
.,.,--;77-:;-.:.-i:'-:-=
=
(, - 1)(, 1 - 6, + 25)
2
-2z + li
- - + .,.,..::;..:....;.:,;,
,_ 1 :' 6, +25
Para detemlinar 8. fazemos z :.ssumir qualquer \';do.. çon\'eniente. digamos.:: • O. resuhando em
-34
8
-=-'>+-=>8= 16
25
• 25
Pooanto.
X),)
2
- z = -, -
-2: + 16
+ ""<"".:.;..:..,:~
I : ' - 6: + 25
e
..,zt_-.::2';.-+:.,-:;16;;)
2:
XI :. I =--+-,
1
~-· :
6;+25
Utili1.amos, agora. o psr 12c, no qual idcntificaiDO$ A = -2. 8 = 16. 1 ri=5 c a = -3. Portanto,
r=
100 + 256 - 192 = 3 2
25 - 9
. .
• = cos·• (·53) =O.927 rfl<l
p
e
O= oan·• (~) = -2.246md
Tal que
x[n ) = [2 + 3,2(5)' <OS (0.927" - 2,246)Ju[n I
EX E RCÍC IO E5.2
Determine 3 lran\(onnad.:. z in\'er-.a da\ \Cguinles funçõcJt:
::Cl:-1)
(a)
(: I)(::+ 0,5)
I
(b)
('
(<)
(d)
1Hz + 0.5>
9
(' + 2)(,
0.5)1
5z<:- I)
,, - 1.6: + 0.8
)Dica: Jõ.ii =
2N'iJ
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452
Sl.l'iAL~ fi SI ..'TEMAS L IJI.'EARES
R ES POSTAS
(a)
,j + ~(-0. .51"}'1"1
(b) - 2&lnl
(<)
+ U+ ~ l -o.5r>~rnJ
18!(n1 - 10.72t- 2r + 17.28(0.5f- L4.4nCO.Srlul"1
(d) i;~ ( ,!$r cos (0.46-tll
"T"
o.464)•'1"'
TRANSFORMA DA I NVERSA PELA EXPANSÃO DE
Xlzl EM S ÉRIES DE PO'Li!NCIA EM z·'
Pda definiçiio
~
XI<!=
L xlnlz-
= x(OI +
.t]ll
.T(2)
.T(3)
- • + - .2 + -
.
.
.
~)
+ .. .
= xL01z• + xl llz· • + x(2]z·' + .r(J)z·' + ...
Esse resulutdoé uma sér~ de po1ência em ::'. Por1ttntt>, se pudcm1os expandir X[: l em séries de pocência em
z·'. os coeftcientes dessa série de pocência podem ser idcmifi~t>S como xtOJ, ,~.·[ IJ, xi2J, .r(3L ... Uma funçlo
XI.::) rudonal pode ser expandida em uma série de potênda em.::·' dividindo seu numeradór pelo denomil\ildól'.
Considen:. por exe-mplo.
z'(1z -
2)
Xl z I = :(,·--;"""';.:."-7:77----.,
0.2)(Z 0.5)(t I)
7z.J - 2z1
= ,.....--~..,...;::;;:--,"'
1
z'
1.7z + 0.8;: - 0, I
Para obtermos uma expansOO em pocências ôe :.·*, djvidimos o numerador pelo denominador como mostrado
tt seguir:
7 + 9,9z"1 + 11.23:"' + 11.87z"' + .. ·
i'- 1,7i +0.3z -0. 1bz 3 - 2z1
7:' l1 .9t' + 5.60:
o. 7
9.9z' - 5.60z + O. 7
9 9z'- 16.8k + 7 92- 0,99:-'
11.23z- 7.22+0.99z·•
11.23z 19.09 + 8.98!'1
11.87 7.99!'1
Logo.
Xl zl=
• 1( 7· - 2)
(t -
O;( ' OS)(
• ) :. -
•
l -
1)
=7+9.9z" 1 +1 1.23z"' + l l,87z"' + ...
Portanto.
x(O) = 7. .r( I)= 9.9. x(2] = 11.23. x(3( = 11.87....
Apesar desse procedimento resultar em ,~.1,• 1 diretamente. ele não fomec.e uma solução fec:-.hada. Por esta ra11i.o. ele não é muito útil. a não ser que pre<:isemos <lpenas dos primeiros tt'.m)I)S da seqüêndá x(n).
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CAPh\slO
s
A NALISE l)f: SI.STilMAS F.M Tf. MPO ÚISCRIITO USANDO A fiA..~SFOilMAOA z
453
E XERCÍC IO ES.3
Usando à dj, ilooào longa par:a dcternun:u a série de potência em
z/('- 0.5) é (0,Sl"ujuj oo 12) ' ufnj.
l
1
,
moMre que :. !r.ul~formacJa : ln\'Cfsa de
RELAÇÃO ENTRE h[11) E H[z)
Pam um sistema LOIT. se l1{11) é sua resposta ao impulso uni1:irio, cnlâo, s panir d3 F....q. (3.7 1b). na qu.:1l definimos lfld, a função de transferência do sistema. podemos escrevet
~
H[t ]
=
. .L
h(n]: -
(5. 143)
-..~.
Para sistemas c.uusais., os limiteló do som:tlório são de n =O a oo. Essa cqtWÇâo mostrn que a função de transferência Hl::) é a t:rnnsfonn:~da t d:1 rcspos1a hfr~) ao impuiS<> de um sisccma LDIT, ou scj3.
h[u] <=> N [:J
(5. 14b)
Esse lmponame resuhado relaciona as tspecifica.,i:les de hfnl de um sistema no domínio do tempo com Hld.
as especificações do sistl!m<~ no domínio da freqüência. O resull!ldo é equivalente oo de sistemas LCIT.
EX ER C ÍC IO ES .4
5 .2 ALGUMAS P ROPRIEDAI>ES DA TRANSF'ORMAOA Z
As propriedades da 1raosfonnada zsAo \Jteis n:1. dttemünaçà<J das trnn.sfonnadas de "árias funções e também na
soh.Jç!kl de equações diferença. lineares. com coen-~.~i e.ntes constantes. Nesta seção. iremos considerar algumas
poucas impOrtantes propriedades da trans.f0f'1Tia.da z.
Em nos.o;a disclL<>são, a \':triável ''que aparece e m sinnis. tal como xln J e yln l, pode oo não s:ignitl cnr tempo.
Enti'C'Ianto. na maiOC'ia das aplic.'lÇÕeS de nosso lnteresse., é J)roporcion:tl ao tempo. Por essa rado. iremos nos
referir b. vari:i,·el n como sendo tempo.
Na discussão a seguir sobrt" a propriedade de deslocamento. iremos trubalhar com sinais desJocildos x(,l}ul,,},
x(n - kJuln - kJ, x(n- klu(,.). A não ser que entendamos tisicamcnte o sigoific-Mo de tais deslocamentos, nosso
entendimento da propriedade de deslocamento Slm1 n~CX-ânioo. em vez <k intuitivo ou heurístico. Pores~ razão.
usruldo um si1llll hiflOtético xl,. ). ih.ISttanlOS vá.rios sinais desloçados por k = I na fig. 5.4.
l
_,
o
(•I
·-
'
_,
o
(b)
Flgura 5.4 Um sinal x[11J e suas "ersões dcslocad..s.
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454
SI:NAIS E SISTEM.AS LINEARES
.ri"-
l )ll{n - I )
5
o
-4
(c)
A{n -
l jt~{nj
5
o
-4
(d)
.t{n +
l)t~[n]
5
o
-6
4
(e)
·-
Figura 5.4 Conlinuaçlo.
D ESlOCAMEJ\'TO PARA A D IREITA (ATRASO)
~
x(n ju(n] <=> X(t ]
então
I
x(n - l)u(n - I)<= - X(t )
'
Em aeral.
(5. 15a)
I
x(n- m]ufn- m) <==:::> -X(l)
<"
(5.15b)
Além disso,
I
x [n -lju(n]<=> -X(l} + x( -1 ]
A aplicaçio repelida dessa propriedade leva a
x(n-2)u fn ] <=
'
(5.16a)
~ [~Xfzf + xf-1]] +xf-2]
I
I
=-XI: I + - x l-11 + x l -21
,,
(5. 16b)
'
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CAPf1liLO 5
ANÁLISE DE SISTEMAS E.\t TEMI'O DISCRETO USANDO A Tf.t.A....-SFQRMAOA Z
455
Ern geral. pam um vaJor inte-iro de m.
•
xln-ml•4[t• l <õ=:> z'"• X(: I -rz'"-" L .r{-nlz"
•• •
(5. 16<)
Olhando as Eqs. (5.1 5a) e (5.16a). vemos que ela.'> são idêntica..;. cxce1o pelo 1ermoextra xL-11 na Eq. (5.100).
VimO$ n!J 1-lg. 5.4c: e 5.4d que .t(n - IJu[nJ é o mesmo que :r(n - llulr• - li oercscido de xl-llc5tr• ). t ogo. :1 difc·
rcnça cmre suas •rnnsform3dns é .r[-IJ.
Pn:wa. Pnra um vakH- intdro de' nr.
~
Z[.'t(ll - m Ju(n - m))
= Í: .~[n -
Zl .t(n - m]u(n - m])
=L x[11- ml: · "
m j11(n - m 1~·"
•="
U:mbre·St! d~ que x(n- m)11(n- m) .;;-O para, < m.tal que ~ limites do :.<tma16riu do lado direitu podem ser
considerados de rr = m u co. f>on.anto.
~
·~
L .t(rJ::-tr+•l
=
"'"
I
,
~
I
...
= -... "~' xfr),-' = - X[ zl
.-:O
..
Para pR.>var a Eq. (5.16c). 1cmos
~
Ztx[n - m]u(r~IJ
...
=L .t[fl - 111];:--.. =
=:-.. L• x( -n];:" +::-..XI:)
·-·
D ESLOCAMENTO PARA A ESQUERDA (AVANÇO)
S<
;c[u ju(n}
~X(:)
então
xln + l)oo[ool <=>
,xJ,) - ,[O)
(5. 17•)
A aplicaçà<J repetida dessn proptie:dade rcsuha em
~(oo
+ 2Ju[oo I<=>
*(X(z) - lX(O)) -
~flll
= ''XI:J -z2 x[0)-,~lll
e para um valor inteiro de m
(5.17b)
__,
X (ll
+ m I•, fui c=:> t:" Xlzl -
...
::"' L: xln): "..
(5. 17c)
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456
SINAIS E SISTEMAS l.J~'ffiAR.BS
Pruva. Pda definição
~
Zt.rln +mJu(nJI ;:;;; L.rln +mlz""
.tc:O
N
=
L x fr Jz-(1-•J
~
= ,.
L x[r ],-·
= ,.
[f:x[r],-•- ~.t[r],-]
t..O
,-..(l
• -I
= ,. X[z) - z" :[xlrJz-
•""
De1ennine n tr.msfom:wda z 00 sinal (nl mostrodo tw Fíg. 5.5.
;
o
T
2
3
4
5
figura S.S
O sinal .tl t~ ) pOOe ser expresso como o pnxluto de n e um pulso retangular ll(n)- 1l(n - 6). Portanto.
xln l = ~~~ ultrl- 11[t1- 611
= mt[ ll I -nu[11 - ól
Infelizmente, não podemos determinar a trnns fOnn~da z de nultt - 61direcameote usando a propriedade
de deslocamemo para .. direil~ [Eq. (5.15b)). Dessa forma. temos que reorganizar a equação c:.m termos de
(rt - 6)u{n - 6) como mostnldo a seguir:
6 + 6J11(11 - 61
xfn} = m1[11 ) - (n -
= m1(f1 I -
{fi - 6) ufn - 6) -
611Jn - 6)
Podemos. agora. de1erminar n transfonnnda t do lt'nno entrt' colchcle~ usando n propriedade de desloca·
mcnto para a din::ita (Eq. (5.15b) l. Como u(nl ~ rA:t - I)
, ,,, - 61c:=) - I
z = ...,.,....:.....,.,.
I
--
1.6~- 1
:cS(: - 1)
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458
S INAIS .. S ISl~AS LINEAR~
REsPOSTA DE S ISTEMAS
LDIT
É int<:'ressante aplicarmos a propriedade.da convoluçOO no tempO à tquaÇ"ão LDIT de c:ntrada-saíd3 y(,l) • x(11]
• h (n}. Como.u pãttir da Eq. (5.14b), temos que /1(11) =H[i). n panir da Eq. (5.18) tei11Qs que
(5.19)
EXERCÍCIO E5.6
Utdi.t.e a propriedade de convolução no lc:mpo eU\ pare" u propriado~ da Tabcla S. l paro moslrttr que u(n) •
u(11- Jj = nu{11].
M ULT1Pt..ICAÇÃO POR
y" ( ESCALONAMENTO NO OOt>.dNIO Z)
S<
(5.20)
Z ly"x(njc,(niJ
~·
=L y •x (n)z-•
..o
EXERCÍC IO E5.7
UtiliLe a Eq. (S.20l pam obler <b pares 6 e 8 da Tabela S. I
do~
p:trtS 2 e 3, rt-sp«Li\·aménlt.
M ULTIPLICAÇÃO POR n
Se
x [n)u(n)
= Xl tl
en1!lo
(5.21)
d X[·]=
,
dL:
- "· -d- ~•d~
- ~ x (n )·~ ~
.. ..:O
~
.~
= -t
L
.... -tu(rtlz-·-•
~
...
= Lnx(n].=-" = Zlt~.rlnlflltll)
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CAI'fruLO
5
A N.ÁUSE DE SISTEMAS L'\1 TEMPO DISCREto USANDO A TRANSFORMADA Z
459
EXERCÍCIO E5.8
Utilize n Eq. (5.2 1) paro001cros pa.res 3 e 4 da Tubela.S.I do IXU' 2. Similatmenle, oblenha O!> pare~ 8 e. 9 do p:ar6.
REVERSÃO NO T EMPO
Se
x[n ) <=>X[~)
emâo'
(5.22)
x ( -n) <=> X)l/z)
Prova.
-~
Z lxl-,•11 =
2: .r(-nJ=-
alterando o sinal da variável auxiliar ,.. tem~
~
Zlx[ - nJJ =
L
.r(n);"
·=-....:
'
= L x[•<J(I/')~
= Xll/~1
A regiiio de convcrgéncia w.mbêm é inwnida. ou seja, se a ROC de xl,tl é Jzl > lrl. c nt3o s RI)C de .rl-t•l é
~) < l~y).
EXERCÍCIO ES.9
Utiliu: 3 pr<>priedade de tc\'cn;.ão no tempo e o psr 2 da Tabela 5.1 para nH)<;trar que u[-nl ~-1/(t -I) com
RDCI=f< I.
Tolbt-la 4.2 Operações da tronsform"dól :
Opcnu;üo
Xlzl
xlnl
X,[, )+ X:lz l
Muhipticação ~a l :u
(l.l'(n J
11XI~I
·I• Xi,J
x(n - "'' "'" - m)
"
I
I •
:;X(.;:J +:;; L: xf-nJ:"
"
.
• ••
.r(11 - l lu[nf
' P'.1l'l1um ~in;~l oompi(;\:C),1fll), a propriedade de n:~·ers~c, no ternp>i mQ>:Iilic:uJa pan
,T'I- nl
~
X'f l /.:'1
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462
StNAIS E S tSTUIAS LINEARES
De1erminando a aronsform3da z: da Eq. (5.25} e substituindo os resultados anlcriorcs.. obtemos
Y(:)- 5
~ ~ Y)z) + ~] + 6 [.!._ Y(:) + ~ + 37 ]
t
z'
6
6z 36
= --'3:,;.--:
z 0.5
+ =-'5'-;;-,;:
z(z 0.5)
5
!) Y(:)- (3- 1,_1) = .,.-,_..:3.-,
0.5 + :(z - 0.5)
( 1- ~_ + _
(5.26•)
(5.26b)
A panir da qual obtemos
( ·' _ 5•
-
-+
ó)Y[ = z(Jz' - 9.5z + 10.51
'1
(: 0.5)
tal que
Y(:) = :(3:'- ~.Sz
(z
+ 10,5)
5: + 6)
0.5)(z'
(5.27)
e
Y(z) = ,...:;J~
z',-;-~9,;;,5;;.'.,;.+:.;1;:.;
0·;;..
5 :;;
z
(z- 0.5)(z - 2l(z - 3)
=
(26/ 15)
'
0,5
(7/ 3)
(18/ 5)
'- 2
'- 3
- -- + - -
Pooanco.
'
) - 7
Yl:) = -26 (
- (- ' )
15 :-0.5
3 z-2
.vlnl = ( jt!0.5)' - j(2)'
(- ' )
+ -18
5 :-3
+ '/(31')"1"1
(5.28)
Esse exemplo de: monstra a facilidade M qual oqua'õcs diferença Lineares C'\Hn coeli dentes constuues podem
SC"r re.o;oh•idu.s peta transformtlda ;:. Esse tnc!todo é gen~rioo e pode ser uaili.t..ndo para resoh·er uma únka cqua·
\iio diferença ou um conjunto de equações diferença s-imuluineas de qualquer ordem. desde que as cquaçôcs se·
j:un lineares com coeficientes consw.ntes.
Comentário. Algumas \'eus. e m \'et. das oondiçôcs iniciais >1-1J, y(-2)..... y(-n ). as condições auxiliares y(O).
·' '(1), .... )'IN - li são dad:tS pars a resolução de umn equação diferença. Neste caso. n equação pode ser resolvi·
da expressando-a na rorma operador avanÇQ c, então. usando a prQpried:.dc de deslocamento para a esQ~.M:rda
(veja pcmeri0tmen1e: Exerdcio ES. l i ).
EXERCfCIO ES.LO
RESPOSTA
Y("l • (12- 15(1)' + ~GJ'J u[n)
CAPITULO 5
ANALISE DE SISTEMAS I:N TEMPO 0 JS('RETO USA.NOO A TR..\NSFORMADA z
463
EXERCÍCIO ES.ll
Resol\•a a bC'gui.nteequao;ão se lb <:ondjções ;wxilms forem >i01• l .yr I ]• 2 e 1 tl'ltrOOa f(•r ...[n]-= ulnl:
y[nl+3y[n- I]+ 2y[r~- 2] = x[n- I]+ 3x[n- 2]
RESPOSTA
>I•I= [l + 2(-1)"-
j(-2)"] "l•l
Co" POKENTES DE ENTRADA
NuLA E EsTADO NuLO
No Exe-mplo 55. determÍilamOs a soluç~o lOC<•Ida e,)llaçlio diferença. É relmi~meme simples separar a solução
em compónentd de enJrada nula e e:<otado nulo. Tudo o que p•ecisamos fazer é sejXlrar a resposta em 1cnnos que
apsrecem em função da entrada e teJltlOS que ap<•n:ccm em função das t.'-Ondições inic-iai.s. Podemos separar a
resposta da Eq. (5.26b) como mos1r:tdo a seguir:
( I - st + ~'6) Yf~l-
=
3
5
+ ..,..~..,.
' - 0.5 ,(, - 0.5)
(5.29)
Portamo.
+ _:<:.:3'....:+.,::5:;,)
'<z- 0,5)
.............-
Multiplic-ando os dois ladi)S por ..~. •cremos
c
(5.30)
Expandindo os termos do lado direito em frações parciais moditic:•das. ohfcmos
~nu~a "'-'' •
•
) fn l = [ 5(2)"- 2(3)" -
~(2)" + 7f<3•" + ~(O.sr] u(n)
('h!l\4o hlltl
=
(- $C2t + !}(3)" +
A qual verili~'ã o resuhado da Eq. (5.28).
~ ......
~(O.S)"] 11(,1!
EXERCÍCIO E5 .12
y(11
~as ~oodiçõc~
+ 21 :Yf" + I]+ bln) = Sx[11 .._ 11- .rlnJ
iniciai\ for'<:my{-11 • 2 e .rl- 21 =O e a en~..rada for xlnl
t~ Je erHI'(tda nuJa e
=11(r1}. Separe:~ n:sp.-r.;:tucm componcn·
c::.t:ido nulo.
RESPOSTA
' '"' = (
:3<J}'- H\)"]+ [11- l&{j)" + 6(j)')
_.,.ln<!J nula
~d.l
)ulnl
n10
5.3-l Resposta de Estado Nulo de Sistemas LDIT: A Função de Transrerência
Considere um sistema LDIT de ord~ N especificado pela equaç-ão diferença
Q[E()•[nl =
P[EJ.<l"l
(S.J ia)
00
( E/i + a1 E11- 1 + · · · + a,\'-1 E + a"')y (nJ
(S.Jib)
= (boE·" + b1 E"' ...' + · · · + b"-• E + b,\•)x(nJ
00
y(n + N ) +~i1 y(n
+N
- I)+ ··· +a.... _1 y{n + l)+a,..y (lt)
(S.J iç )
= ~(n + N) + · · · + b,v- 1x[n + li + b"' xfrtJ
lremo.o;. ag.ora.. detenninat uma c.xpres$ãO geral para a resposta de eslado l'lulo. Ou seja.:. resposta do sistemn
a enu·tul.:t x{n) qutmdo todas as oondtç\lei inic iais .'i-li • >1-21 • · • · e .\i-A~ =O (es1ado nulo). A entrada .t1nl
é conside13da como scn4o causal, tal que x(- 1) =x(- 21 = · · · =,\·(- Nl = O.
A Eq. (5.31c) pode ser expressa na (unna uperadur atraso por
y(n] + a 1y(11 - 1]
+ ··· +aNy(n- N )
= bt,x(n I + b 1xfrr - li
+ · · · + bNx ln -
(S.Jid)
N)
Cumu y(-rJ =x{-r ) =O para r= 1. 2..... N
.v(11 -
I
m)u(n] <==> -,:"
X(tl- m)11[n)
~
I
Yizl
- XIzl
,:"
m
=
I. 2.... . N
A transfomtádà z dá Eq. (5.3Jd) é dOOa por
a, + · · · + a.v)
( b, b2
h,)
(I + -a,. +-;
..
..--; YJzl = bo + -. + -.,.2 + · · · + -. X(zl
•
af"
9•
,-
~#
Mulliplicando os dois lados por ~ ..... oblc:mos
+ ll1 l#-l + · · · + n.v- rZ + aJI)Yi zl
= (bozN + brzN-I + · · · + b~·-rZ + bN)X(zl
(z·' '
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Portanto.
Ylr.] =
(bo:.J( +b,:.::-· + ... + hJ{-Il + b,\') X[d
z·v + t11Z'\
1
+ · · · + a..,_,z + a,\'
(5.32)
= P)z) Xl •l
Qlzl
'
(5.33)
Mostromos, n:-. Eq. (5. 19). que l1:1 = XlziHit). Logo, temos que
= bo::" + b,::,N- 1 + '.' + b H- IT. + bN
Qlr.l
z"+atz"'-•+ .. ·+ l,,..-t;;+a,...
H (tJ = P[t ]
(5.34)
Tal como no caso de sistemas tCJT, este resultndo leva a umn definição ;sltcm:uh•a da funçiLo de trnn.sfcrén·
cia de um sistema LOIT como sendo a rõiZâO .:ntre J1;;:) e X(r. I (assumindo todas ns coodi~-ões iniciais nulas).
Hl zl= Yfzl = Zlrespoota deestado nuloJ
Xlzl
Z(enlmdal
(5.35)
INlllRPRêTAÇÃO ALTERNATIVA DA TRMSFORMADA Z
Até este momento. tr-.ttarnos a transformada r. como uma máquina. a qual t:onvcrte equa<;ões difetença líneares
em equações algébricas. NOO exis«c entendimento fi's ioo sobre como isso é feito ou o que isso significa. Iremos
discutir agom uma interprc:tação m.nis intuitiva sobre o S-ignificado d.'ltransform.llda z.
No Capftulo 3. Eq. (3. 71a), mostr;unos que a resposta de um sistema LDIT a unu~ exponencial de durnçào in·
finjta f é Hldl. Se pudermos expressar todo sinal em tempo discreto oomo a combinação linear dt expooen.
dais na forma t .entfio podemos obter faci lmente a resposta do sistema a qualquer cntrnd!l. Por exemplo, se
K
xt"l
=L Xlz. Jz;
·-·
(5.36o)
a rtSIXllSia de um siscema LDIT a eS1a entrada é dada J>Or
K
y [n)
=L X[z, ]H)z,Jz;
(S.36b)
•••
Lnfctizmeme. um.'l classe muito pequena de sinais pode ser expressa ru1 forma da Eq. (5.36a). Entretanto. podemos expressar quase todos os sinais de utilidltdc prátka '-'Ufno a soma de expooendais de durtw;ão infinita pa·
r.1 uma faixa contínua de vnlores de z. Isso é precisamente o que a transf0o111Uida .t d.'l Eq. (5.2) fn7_
x[n I = _!..,
2
"'
f
Xltlz""1 dt
(5.37)
Invocando a propriedade dn linearidade da transformadn z. podemos detenninar resposta yln 100 sistema a
emrnda .r(nl da Eq. (5.37) como'
Clnramcme.
Y(zl = Xlzl//lzl
Esse. ponto tk vis ta na dctennin;.ção d.a resposta de um s is tcmalO IT é moslrudo n.n Fig. 5.6n. Tal como em
sistemas em tempo continuo. podemos modelar sistemas em tempo discreto pela rc:prcsc.ntaç.ão de todos os si·
nais por suas transformad.'IS : c rodos os componentes (ou elementos) do sjS1ema por suas funções de transfcrén·
cia. como n>OIStraOO na Fig. 5.6b.
O resultado l1d = Hh:IXlzl facilita em muito :a obtenção da ~,osta do sistema a uma dada. entJada.lremos
demonstrar esw afirmativa atJa\'éS de um exemplo.
• No cákuku.k yl11l, OQOOIOmo oo lcqo doqml • in~q;ruçdo 6 c-.kulada 6 modifJC'.ado para considrru • ROC de X(d r H(d. IV'O"•·
nu rsta COBUdctaÇ".lO fteS&ll di!OC'ussau lntul:Li.,.a.
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Y[:l = HtdXl<l
4•1
~pres.sa.atnl oomo a
A resposta do slsttm~l
coc.npooeMe ~tponencb!
.l'[:]t' l Ht:.M:l<"
!OC11na dt t:tponencials
dr duraçiiO inflni12
)'[11)
A SOIM d~ Kldas a~
reS~:t.!t tAJ)One..ci.ab
~s:utm ela i:tlda J(" I
(o)
Yfd •
Xld
H{:IX{:)
(b)
Figura 5.6 Represemaç!lo transformada de um siscema LOIT.
EXEMPLO 5.6
Determine a resposta )ir•} de um sistema LDIT de.scri!Q pela cquaçio diferença
y[n + 2) + y[n + I) +0. 16y[n)
(E'+ E+ 0, 16)y(n)
~
x (n + I) + 0.32x(n)
~(E+ 0,32).t[n)
para a entrada xt"l =(-2r''ulnl e com lodas as condições iniciais nulas (si&lema no es1a00 zero).
A panir da equa(.ikl diferMÇa determinamos
Hlzl ~ P[z) = z + 0,32
Qlzl z' + z + 0, 16
Para a cnlfllda x[n)
=(-2)~u(n) =((-2)"'fu(n) =Hl.5f u[n)
X (z) =
'
z + 0.5
e
Z(t
Y(t]
+0.32)
= X [:JH (tl = (zl + t + 0.16)(z + 0,5)
Portanto,
Y[:J
(t + 0.32)
(: + 0.32)
=
:
Cz' + t + 0.16)(: + 0.5) (z + 0.2)(t + 0.8)(t + 0,5)
= 2/3 : + 0.2
8/3
'+ 0.8
+ ---,:,2,.-;:
z + 0.5
2( ' ) 8(
' ) + (z+O.S
' )
3 z+0.8
Y(zl = -
3 z+ 0.2
(5.38)
- -
2
(5.39)
e
.>I• I = [jc-o.2r -
l< -o.8r + 2(-o.5r) "I" 1
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ANÁLISE OE SIST~tAS EM
CAPi11JU) 5
fuu'() 0 1stlllrr0 USANDO A T'RANSJ'ORMADA l
469
5.4 R EALIZAÇÃO DE SISTEMAS
De\•Ídó à similarid:tdc e ntre sistcmá." LCJT c: LOJ'f. as c:on\'cnções ~rn os diagramas de bloco e as ~g.rns de conexão paro sis1emas LOJT são idêmicas às de sislemas LCIT. Não é necessário. pona.nto. obter nO\'amcntc es·
s.us relações. Iremos simplesmcnte rcafimt<'i·las para reavh•ar a memória do leitor.
A represeruaçào em diag~ma de blocos de operações básicas Lais como um somador. um multiplicadorescalor, um a1raso unitário e nós de sep<~rnção (ou deri\'ação) são moSII':ldOs na Fig . 3. 11, Em nosso deSCA\'OI·
vimento, o ntra.-.o unitário, o qunl crn representado por uma cnixa com o símbolo O n.:t Fig, 3.11 será rep•'C·
scntndo por sun função de transferência 1/,:, Todos os sinais também serllo represemados em termos de suas
lr:tnsformad.'IS ::. Pon:.mo. ~ emroda e ~ s~ída serão chamadas de XI:;I e )'(z J. respectivtunente.
Qua_ndo dois sistemas com fu ~-ões de tr-.msfednci~ H ,I :;1 e Hlf :;] são co•lel.~lados em <.<IS(·ata (ou ~rie. tal t().
mo na Fig, 4, 18b). t1 funç-ão de lrans-ferê.ncia do sistema lotai é /11 [.: 1U~f .:]. Se os mesmos dois sistemas forem
<:Onectados em paralelo (<:orno na Fig. 4.18<.-). a func;.ão ck-transft"rêocia do sistema composto ~rá 1-1 1 1~1 + ll~l.: J .
Para um sis1cma rcalimcntado (1-'lg. 4.18d). a função de tmnsfcrêJlCi:t é GI! V(I + Glt iHlz)).
Iremos cons.idcrnr, agora, um método sisl.em~ tico de rcali zaç.~o (ou simulaçlo) de uma funç!Io de transferência
LOIT de ordem N. Como.., n::~lizaç5o é bots.icameme um pn.)blerfw de SÍ111ese. não existe uma únk:;~ fomu• de rea
liz;)r (inti>Jememar) um siStema. Uma ~•di• fu nção de transferência pode ser realizada de diferentes fonnas. Lrtmos
ãpresenmr duas formas de mtli.:t•çtio din•w. C:-•d<• uma de.-.sas formas pode ser executada em vári a~ outms mancir.lS. tais <.'t'lmo CAS<.~ta e paralela. Além disto. um sistema pode- ser rci~li:.wdo pelo versão transp()sta de qualquer realizaç-ão conhecida do sistema. Esse anificio liternlrncntc dobr.t o número de realizações do sistema. Uma função de
tnlnsl'erência l fl.: I pode ser m~lizada u."''lJldo atrnsos de tempo em conjunto com somadorc:$ c m ulti plict~dorcs.
Iremos considerar a re.1lizaç:lo de um sis.lema LOIT causal de ordem N. cuja função de transferência é dada por
4
h 1..-" -• + .. · +IJ(1.· , ..-+h. N
IJI.:;I = b---"+
'v"
(5.4 1)
.:;,\' + llt.:N-I + ''' + l1N - f .;'; +liJi
Essa equaçito é idémk-u u função de tmnsfelincin de um $i:«cma LCJT próprio de orde m N, cL'lda pcln Eq.
(4.60). A ún ica diferença é que a wri ~vcl =.da Eq. (5.41) é subs1i1Ufda pcl t~ ' 'ariá\'CI .1 nu Eq. (4.60). Logo. o pro·
cedimcnto de implemcntaç!lo de un\.1 funç!lo de: m:tnsferência LDIT é idêntico ao de uma funçtío de urulsfel'ên·
cia LClT cujo ete memo M-sK..x. 1/s (integl'adof') é subscituído ptlo elemento 1/.:; (;;nraso unilário). O lt itor é entoroj ::.OO a ~u ir os passos da Seçno 4.6 e obter fiC)\•ame.ntc os resultados par... a fun~·ão de tmnsferê.ndn LOIT dn
l!q. (5.41 ). ll't"tnos simplesmente n:pn:xJuz.ir W> I'C.tLiizaçõcs dn SC\;ão 4 .6 CQfTl intcgrndorcs ( 1/s) sul)s.tituklos p()r
alrnso$ unitários ( 1/z). A ronna dirdn I (f-1)1) é mos1mda na Fig, 5.8a. a forma direi:~ c.1nônica (fl)ll) é nl(ISit3·
dn nn Fig.. 5.8b c a rrnnsposta da fomt:J dirc1a canônica é rt'tQS.ffild:t na Fig. 5 .8c. A FDU e sua tra.nspos~a são ca·
nôn ic:~S porque elas urili'U'un N ;;tttas<l$, Ol• seja. o menor tlÚRli!I'O necess.iriv de atrJSOS p.·wJ implementar uma
funçiio de tr;tnsltl'ênc-ia LDIT de ordem N dJ Eq. (5.4 1). Por outro lado. a FOI i não c~ônk~ porque da gerulmcnre necessita de 2N att;IS(l$, A realitaÇ<;iO FDII dó"~ Fig. 5.Sb to:unbém é ch.amad~• deforma difl'!W a11u}uinr.
(>)
lb)
Figuna 5.8 Realiz~ão de uma fu nçtio de transferência causal de ordem N usando (a) FOI, (b) formn dircra
canõnics (FOI I) c (c) rranspos1n da FDII.
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CAPÓ'ULO S
1-\.XÁUSE 06 SISTEMAS EM TE.\fPO 01SCRBTO USM"OO A TRANSFOR.\fADA Z
47 1
)'1:)
(b)
<a)
Flgura 5.9 Re<lliU'I\.ào da função de transferincia 21(~ + 5): (a) fonoo direta canônica e (b) sua t13fls~a.
De forma similar, realizamos as funções de ti'Msferência ~Utames.
(iôl
4'c.:+--;2::8
HI: J~ .:.:
-~
+I
Nc:~1c: c:aso. também. a função de transfetincia é de primeira Ofdem (N = I). Ponà.nlO. precisamos de ape·
nao• um atraso para su.n rcalizaç.iio. <k coclldc:-ntes de realimentação e alimentação direca são
o1
=
I
e
bo ~ 4 ,
b,
~
28
A F'ig. 5.1Omostra a fonna dirc:ca c:.anõoit-.a .: sua l:r.'ln.spóSta para este éaso. •
1'(:(
Y(: )
X(:l
_,
(b)
figun'l. 5.10
Re-.a.liz:n;~ao de
(4.; + 28)1(:; + I): {M fOttna direta canôllica e (b) sua transposta.
(iil)
-
11(:1 = __:_
:+ 7
Neste caso N = I c b11 = I, b1 =O c a 1 = 7. A 1-l g. 5. 11 mostrt~ as realiULÇões direta e transposta. Observe que as re.1.lit.1ções s.'lo pralicamcntc iguais.
• Funçllei de ll'lltl'>feréno:in C(lm N • .U tnmbém pnde1n ~oer Cllpn":oaa.•,; C(lml) li J'<)llloa do.- um;~~ cooJotnnlc c do UIUII fuuç:ló de w.uu lcrinda
esui~anw:-.nte própria,
Por c.~mplo.
Hld =
~.010.
4:+ 28
:+ 1
24
=4 + :+ 1
o sa runç!il>de tr.u):lfeti'nda l~m pílde,.,.. real i~ ('()filO .tu:u (unçõe.. de U'alll<ft:lfn(':la cn1 par.dtlll.
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472
SI~Ats E StSTEMAS LI~'EAJlES
Ylzl
Yld
-7
(a)
Figurá 5.11
( b)
Realização de V(z + 7): (a) forma direta canônica. e (b) sua transposta
H ~-
4z+ 28
(.)- z' + 6z + 5
=
Este é um sistema de seguOOa Ofdem (N = 2) com bó= O. b1 4, b~ = 28,o,
tm as realizações direta c.-anônica e trunSpOSta da direca canônica..
=6.~ =5. A Fig. 5. 12 enos-
Yld
-6
-5
(b>
figura S. ll Rcaliuçlo de (4t
+ 28)ll(i + 6t + 5): (a) fonna dircla canônica e (b) sua 1ransposta.
EXERCÍC IO E5.16
ReaJi.-:e a funç.ão de t~nsferenc:ia
REAUZAÇOES F.M SÉRIE F. PARALELO, POLOS CoMPLEXOS F. PóLOS R F.PF.TIOOS
As consideruçôcs e obscrvaçôe.'> para rc:-..Ji:r.aç{)cs em c.ascata (série) e paralelo. além de pólos complexos c pólos múlliplos sio iden1icas às discutidas para sis~e:ma.s LCIT na Seção 4.6·3.
EXERCÍCIO E5.17
Dc.:tcrrnine ns rt"alizaçõe.o; direta canônicas ibs ~uintcs fuoçf)C<. de lr.tnsfcrind:a ll'i:\ndo :l~ forma~ paralela c ca~­
ta. A th."'mposil,-ão cspecífka em L'":ISC:lt.a é mo-:1rnda ::t .r.cguir:
H I·, J--
.::~
,+3
+ 7: + lO
~
I)
('~3)(
:_ 2
: +5
"T
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CMtrvt..o 5
ANÂUSS oe SISTEMAS EM TEMPO DL'iCRETO UsANDO A TRANSf'OitMADA z
4 73
REAUZAÇÃO OE FILTROS COM RESPOSTA FINITA AO IMPULSO (FIR 0)
Até es.e momeoto. fomos bem genérioos no desenvolvimento de nos.sll!i tknicas de reali-zaçlo. Elas podem ser
aplicadas 11 filtros de resposla infinitll. ao impulso (UR..) ou filtroS flR. Para filtros FlR.temos que os coefic~n­
tes a, são nulos (új = 0) para toôo i Jt 0.' logo. fi ltros FlR podem ser fadhnente implementados através do$ es·
qoemas desen\·olvidos até e~e momento elimjnandQ todos os rat005 com coeficientes ar A oondiçSo a, = O im·
plka em que todos M pólos de fihros AR est!i.o e.m t = O.
Realize lilz) =
<l + 41 + 5.: + 2)Jl
usando as fOt"'níl.S canônica direaa e transpos~a.
Podemos expressar H)z) comQ
HI<I= z' + 4z',~ ;z + 2
Para H)::). be~ = I, b1 = 4, b.l = 5 e b1 = 2. Logo, obtemos a realil.UÇào direc;~ canônica, mos.ttada na Fig.
5.13a. Optamos por mostrar a ori emaç~ hori~ontal porque eln é mais fácil de \'Cr que o filtro é basicamen·
te uma linha de: a1rasos. Esse é o moti\'O pelo qu.a.l esta estrutura também ~ conhecida como /in)Ja dt! atrol'ó
ou filtro transw!nal. A Fig. 5. I3b mostJil a implemcot~ão transposla correspondente.
I' )
lbl
Figura. 5.13
Rcalizaçiio de (z' + 4z1 + Sz + 2)1l .
TOOAS AS Re.\LlZAÇÕilS POSSUEM A MESMA PeRFORMANCE?
Para uma dada funç!lo de transferência. apresenUJ.mos várias possiveis renli:UIÇôes dífe-.rcrltes (FDl, forma canônica 1-1)11c sua\ transposlas). També-m existem as versões em casc:.ata e paralela e ex.is.em ~rios possrveis agru·
pamentos de fatores oo numerndor c no denominador de Htd. resultando em diferentes implemen1açôes. Tam·
bém podemos usar \':\rias combinações dcs1as f()f'TlUS na implementação para realiziU'tnos sub-seções do sis1e..
ma. AJém disso, a transpos.Ul de cttda vers~o dobra o nO mero de rc:.lizaçõcs. l!.ntretanto, c$ta discussão de fonna
alguma exaure todas as possibilidíldes. A transformaçSo de variá\'Cis implica em infinitas possíveis realiU~Ções
da mesma função de tran.'iferêncía.
' N. de T.: fl11ile lmpul!it' Rcsponst.
•• N. de T.: lnl'ini~ lmpubt' ~poo~.
' EslllafirmaiÍ\'• é ' i lic,l:a parn tcx1o i -. OpoiH~)n~i~-~ que ti,) é unh~rio.
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Tet>rieamente. todas essas rca1i~ações são equivaleotes. Ou seja. todas elas resuha._m na mesma função de
traosfetêneia. EOitetanto. isso é ''álido apenas quando as implementamos com precis!'to infinita. Na ptática. ~
trições dotamá.nho (finito) da p-:dovra (quantjdade de biiS utilizada para representar um dado número) faztm
com que (.<ldà realiz~ão se oomportc de m:tndm diferente em tennos de sc:.nsibilidade à variação parumétric3,
estabilidade. erro de di!Uorção da respostll em frcqüêoc-ia e assim por d iante. Esses efcilos. s.ão gra,·es pam funSÕCS de 1rnnsfcré:ncin de mui.s ulln ordem. ns quais necessitam de um número mai.,. aho de elementos de atrnso.
Dentre os cri'Qs decorrentes do tnma.oho finito da palavra que :uormerwun estas implememaçõcs podemos cilar
a quantização dos coeficientes, erros de ovetflow e erros de arredondamento. Do !X)nto de vista prático. fonnas
em paralelo c: ca.o;cala usando liltros de: baixa ordem minimizam os efeitos do lamanho finito da pala\·m. Fonnas
paralelas e algumas em cascata siio numericamente menos sensíveis do que a ronna direta cnnõnk'.a a pequenas
variações paramétricas do sistema. Na forma dima canônica CO!llllrn grande N. uma pequena ml•dança em um
cotliciente de um filtro em funçllro da quantizaçlkl paramétrica resulta em uma gr3nde mudança na localização
dos pólos e zeros do sistema. Qualitath •amcntc. esta di(cron<;a pode ser explicada pelo fato de que-. na fomw. di·
reta (ou sua transposta). todos os coeficientes interagem uns com os outros. e uma alteruçiio em qualquer coeficiente será ampliada através das repetidas innuênc.ias nas conexões de rcalimcntução e alimcnt*tiio direta. Em
uma rc:ali1.a<;ão em paralelo. por outro lado, uma mudanç-a em um coeficiente irá afetnr npcnas um segmento lir
caliudo. O c-aso da re-nli7..açâo em cascata ê similar. Por cs..~ raz..ioO. a técn.ica mais popular p;1ra a minimizaçlloO
00 efeito do tamanho finito da pa_l;wra é projetar ti hros usando fonnas em paralelo e e-m cascata de filltOs de bai·
xa ordém. Na práticn. filtros de alta ordem slkl realizados usando múltiphl;; seções de segund:t ordem em c:asc:ato. pois filtros de segunda ordem não são apenas fáceis de serem projetados. mas também süo menos su.'>oeth·d.s
a qu:unizaçOO de cocficieotcs ou a CITQS de aiTedondumento, nlém do fato de suas implcmenlnçõcs penn.itirem
um fácil escalonarnemo de pala,·ras de dados 1-eduzindo um potencial efeito de O\•ertlow se o tamanho da pala·
vrJ de dados crescer. Um sistema em casc<ua uSàlldo blocos de segunda Ofde-m geralmente. necessiw de mellOO
multiplicações paru uma dada respo!>ta em freqüência.'
E.xil)lem divel"ljas fonnas de se agruparem pares os pólos e 1.cms de uma H[z] de ordem Nem uma ca.<;Cnta de
seções de segunda ordem. além de di\'ttSaS fonnas de se ordenar as $CÇÕC& resultantes. O eiTO de quantizaç!lo se·
rá diferente parJ cad.a oombinaçllo. Apesar de vários artigos terem sido publicados apresemando direções iX1fa a
pR"di<;:'IO e mjninliuçãu de erros tm função 00 tamanho finito da pa.luvra de dados, é aconseJhável utilizar a si.
mulaç-0 0 do prOjeto do fi llro. ~a fonna. podemos variar as car.:teteósticas do hardware do filtro. wl como o
tamanho da ~-.I~WC3 dos coeficientes. tamanho do registrador ncumulador. seqtlenciamcnto das seções em cav
cata e <ajuste dos sinais de entf3da. Esse tipo de abordagem é oonliá\'el e e..."'OÕm~.
5.5 R ESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DE Sl!>õEMAS EM T EMPO D ISCRETO
Para sistemas em tempo c.:untínuo (assintoticamente ou 8180 est<Ívt-i~). mostr.unos que n res~ta do sistema a
uma em roda~~ é H (jw) ~ e que a re.o;posLU a unw. cntr.Kiu (.~ tJX é IHU{l))jl_:us[ar + L JIUOJ)). Um resultado si·
miJar é válido para sistemas e m 1cmpo disctl.':to. Iremos moslmr. ugom. 9ueyaru um sistema LDIT (as.o;int04kt1·
mente ou BIBO esd\'cl), a resposta do sistema a uma en1rod:1~é HI~IL""., e n rcspm:ta a unm emruda cos Q..,
é (H(t')(cos(On + L H(t')( .
A pr<wn é similtJJ' a utilizOOa em sis•cmas em 1cmpo comfnuo. Na ~âo 3.8·3. mo.smunos que a rcspo$1:t de
um sistemà L.DIT <1 uma exponencial (de duraçâo infi ni1a) :"também é uma e.!ô.ponencinJ (de duraç!!.o in linha)
11(.::).::". & te re~ultado é \'álidoapenas para valores dez. para os quais Hf.::J. definida pela Eq. (5.14a}, existe (con·
\'crge). Como usual rtprtscntamos a relaçM entrada~saída pela notação de seta direc-ional como
z" ==> H (zlz..
(H2)
Fazendo ;;: !li: ti') ne~ta relaç1io obtemos
elr..
==> H (el filt>JO..
(5.43)
Obs.:r"ando que cos n,. é a p.'l11e real de tf'l. a lllili7,a.;5o d.1 Eq. (3.66b) resuha em
<:os n,,
=
Re (IJ (t'J0 )t'1 n.)
(5.44)
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CAVIl\llO
5
ANÁUSE 00 SISTEMAS IN TEMPO 0tSCRETO USASOO A TRANSFORMADA l
4
75
Expressando Hte"'ll na forma polar,
(5.45)
A Eq. (5.44} pode ser expressa por
<m
n., = IHI<,.II<os(!'U• + t Hie'0 ))
Em outrns p:tl:tvrns., a rcsposa:. ylnl do si.stem:. a uma cntrnda seooidnl cos fin ê dnda por
Yl" I = IH1<' 0 11 C<JS (Q" + L H[e' 0 1)
(5.46a)
Seguindo o mesmo ~rgumemo. a resposcn do sistema a senói<k: cos (U11 + ilJ é
vl"l = IH1<'0 11cosm" +9 + t Hie10 1)
(5.46b)
tsse resultado é \'álido somente paru sistemns fi lOO eslá\'ds ou t~ssintockamente estávc:js. A resposta em frt·
qüência não possui sentido pam sistema.-. BIBO instá\'eis (os quais incluem sistemas m.nrg.inalmente est6vcis e
ns..,.intoticamentc instáveis}. Essn afimlath'3 é decorrente do fnto de que a n:s~.n em fmJüêocin da Eq. (5.43)
é obtida fazcndo z = t!'l na Eq. (5.42}. Mas. como mostrado nn Seção 3.&.3LEqs. (3.71)), n rd açOO(S.42} se apli·
c:~ apenas para vnlorcs de z nos quais Ht::J exislc. Parn sistcm.'L" BIBO in.<otá\'ci.s. a RDC de não inclui o cfrculo
unitário no qual t = tft. Isso significa que. em sisu:~ma.s 6160 in~lávcis, Hh l n~o possui vnlor quando;: = tfJ.'
Esse imJ>On:tnte result:.do mostro que a resposta de um sis1ema l,..OIT 8160 está\'CI ou assim01icsmentc cs·
távt-1 a uma entrada senoidal em tempo discreto de freqOência O também é uma senóide em tempo discre•o de
mesma freqüência. J\ anrplitud~ lltt st>n6idf! di! :wfdll ~ 111(1'1 11 \'Cõ.C'S li (11nplilltdt> de enlrtullt e a jáse da u:n6i·
de de saídll t dl!s/l)cada de LII(I')J c·om n'larõo a fase de entmda. Clar.unente.IJIIyôJI ~o ganho de amplitu·
de e u.m gráfico de ltJ{efllJI e m função de Q é a resposta em amplitude do sistema em tempo discreto. Similar·
mente. LHI~J é n respostu de fase do sistema e um gráfico de LH{eP) em função de Q mostra t.~ u sistema
modifi ca ou desloca a fase da scnóide de entrada. Observe que Hlt> ~ incorpora a informação das rc.,.postas de
nmplitucle c fase e. por1:.nto. é chamndo de ~SptJSta t:mfreqilflnd(J do 5istema.
REsPOSTA DE R.ECIME PERMANENTE A ENTRADA SENOIDAL CAUSAL
TaJ como no caso de si.stem:ts em tempo contínuo. podemos mostrar q~•e a resposta de um sistema L.OIT a urn.'l
entrada senoidal c:~usal cos On u(n] é y[11) na Eq. (5.46a) mais a componente ruuural constiiUíd:t dos modos ca·
racterí~tioos (veja o Prob. 5.5.6} P.,mt u.m sistem;, está,•e l. todos os modos decaem exponencialmente e apenas a
componente senoidaJ da Bq. (5.46a) pell'l'lnllCCeni. Por essa mzOO. essa componente é chamada de respOSta em
regim~ permanem~ senoidal do sistema. Ponanto.y_..(n], n resposta em regime ~nnanente. do sistema a umn en·
trada senoidal causnl cos fin 11(n}é
R ESPOSTA DO SISTEMA A S ENÓIDES EM T'F-'IPO COh'T(NUO AMOSTRA DAS
Até este momento. <.:ons-iderdllli)S a n:spOSia de um .~~isterna em tempo discrett) a utt:Ul senóide em tempo djstTe·
tocos On (ou a exponencial ~). Na prática. a e ntrada pode ser a amostragem de uma sc:.nóide em tempo contí·
noo cos; rut (ou a umn exponencial t•). Quando a scnóidc ros wr é amostrnda com intervalo de amostragem T.
o s.i.nal resultante é a scoóide em tempo discreto cos {)JtJT, obtido fazendo 1 = 11T em cos (1)1. Pona.nto, todos os
resultados desenvolvidos nesta seção se aplicam se substituinnos wT por 0:
(5.47)
• EMc fato também pode: m argumCti...OO como moMnulo 8 stfuir, P..v• 5iSI<'m&S BIBO i.nstivcis.. 8 rtspoJta de: cnu8d8 ouln roott'm
tem10J de coodo, nat~b n5l'l lk<:rt:k>tclteS lU fllrn'la ~IS 1\,lr oo '( Cl.ll ílJI ()'> I ). Losu. a ~.\la de tais slilem;1.1 a )e!!Óide oo~o
On id con1er n!lo apen» ;a scaóick de fro:1üend:& n, nus tl1rnbém mcxlo:f; nn111rais nlc) de<rcscente$, tomando o conceito ck rupo~;.
ta em (rcqUkl<:la $<tm S<eMido, Altcmati~-wneMc:.. podemo~ argumentar que: qtaando ! = rP. um sl.stema 8180 lnstl\·d viola a condi·
çâo de don'linatlcla IY.I <~'**todo i . na qual tq)t'CSCI'Ita a i·él.in-. t;nz clltaCtttlsuca do sisttma (vtja ;s &ç5o 4.3).
r.
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S~t~o'.o\IS E S ISTEMAS LINEARES
476
EXEMPLO 5. 10
Para um sistcm3 espccificsdo pela ~u ução
y (u
+ l i - O.Sy(" I = ·"'" + li
Detmnine a ré$po..'la do siMema par.t as entradas
(a) , ..
=
1
(b) cos [~, - 0.2]
(c) scnóidc cos 15001 com intctV3lo 00 amos1mgcm T = 0.001
t\ equação do sis1ema pode ser' descrit.1 por'
(E -0,8))'(" 1 = E.r(n l
Pona1lh), a funçlo de tmnsfertncia do siscema é
l
Hl:l =
z- o.s
= 1-
o.sz-•
A resposta em freqüência é
(5.43)
Logo
(5.49a)
<
0 / (e /"I = - làn _, [
0.8sen ll ]
(5.49b)
I - O.Scos ll
A respõSUt em amplitude I Htt>JI pode ser obcida observ:lndo que IHf == HH•. l>on~nro.
IH[<Í0 JI' = Hl<" 0 111'k10 l
(5.50)
: fl (t-10)/l(e -iOJ
A panir da Eq. (5.48),tcmos que
1
1
1Hie'"ll = ( 1 - 0,8riU ) ( I
-~.SeiO) =
1.64- 1.6cos Q
s qual resuha oo resultado det.:-nninàdo anteriormente pela &1. (5.49a).
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478
SINAIS E SISTEMAS LINEARES
Esses valores também podem ser diretamente Lidos dJl Fig. 5. I4a c 5. J 4b, re.spectiv:uncnle, OOJTespoodendo a n = tr/6. Portanto,
1,983cos ( i• - 0.2- 0,916)
y {n) =
(5.52)
= 1,983cos (i•- 1,11 6)
A Fig. 5.15 mostra a entrada.t1nl e a resposul ~odente do sistema.
2
/
\
\
- 11
y)nl
/ \
·..
\
\.
'
'
'•-6
\
\\
\
/
/'
'
\
'
•
I'
'
/
\
//
\
\
\
o
•' 6
\
\
/:
18
.. \
\
/
:
1
/
\·. \'
·.,
,.
\
\
'\
,.'
/ ·
\., \
\
/
'\
/
......
f
\
.
\
.t(, I
I
\
'
/
I
\ /'
\
l''igura S. l5 Eolrada senoidal e said.'l com:spondeote de um sistema LOIT.
(c) A senóidecos 1SOOt ati'IQSI1'3da a cada T segundos (t = n1) resulta na senóideun tempo di.sc:reto
x(n] = coo ISOOn T
(5.53)
Para T =O.OOI. a entrada é
x(n] = cos ( I.Sn)
Neste caso. Q = I .S. De acordo com as Eq.s. (5.49a) e (5.49b),
{H{e1'-'JI
= 7i'i:T::"i'T.:~'ffi'0809
,/1.64 1.6cos (1.5) - ·
IH[e''-'1=-tao- • [ O,Ssen ( l.5) ] =-0,702rad
I
0,8oos(I,S)
(5.54)
(S.SSJ
EsSt".S wlores tam ~m podem ser lidos diretamente da Fia. 5.14 conespondcndo a O= 1,.5. Ponanto,
y(n] = 0.809cos ( I.Sn - 0.702)
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480
SINAIS E S ISTEMAS L INEARES
RESPOSTA
0
scn n ]
l Hit-' 1• - tan-• [ cos Q O.S
)'(n j = 1,639oos
(o,;n- ~- O,oo.l)
= 1,639eo<(0,5n- 1,951)
EXERCÍCIO E5 .1 9
Mostre que para um a1n1so ideal (H[z) = l/z). a re'posua em tunplitude é lllf~ll = I e a ~s:posta em fase é
L H[;'l 1= - 0 . Ponanto, um otraso de 1cmpo pum niio nfc1n o gonho de :unpliludc da cnnada scnoid:1l, ma-. cau~
sa um deslocamento (atraso) de fase de O radianos em umu scnóide discreta C<lm freqüência n. Logo. 1)3.1':1 um
atraso ideal. o deslocamento de f3..)e da senóide de saída é proJX)I'('iOrl.àl a freqü C:n<:iil d3 senóide de entrada (de~·
lucarnt:nlo de fo.se linear)
5.5-1 Natureza Periódica da Resposta em freqüência
No Exemplo 5. IOe ·~a Fig, 5. 14. ''imos que a respos1a em freqUência Hlt~')l é ull\il fUJl\'lo periódica de Q.lsso
não é uma cui•K:idência. Ao comr:irto de siSiemas em tempo contínuo. todos os siste•nas LDIT possuem uma
resposta em freqüência pe-riódica. Esse fatô é ''isto clar<.unente da muure.ta da expressão da respOSta em freqüência de um sistema LOIT. Como eu:- e I para todos os vnlore..~ inteiros de m ("eja a Eq. (B. 12)).
m imeii'O
(5.56)
Portanto,;. respos:l;l em freqOê1.cia H(?'') é uma fullÇ~ J)Criódica de n eQm pcrfodo 2tt. Essa~ a cxpli~ç5o
tnilte.IU:1lica do compoti;UllCniO periódico. A explicsçào ffs ics npi'C$C-ntadn a seguir pc»Sibiliw uma melhor c(Jm·
prcensão do comportamento peri ódi~'O .
N ÃO U~ I CI DADE DE F ORMAS DE ÜNDA SENOIDAIS EM T EMPO D ISCRETO
A sen6idc: em 1ernpo c:on1ínuo <·os (1)1 possui uma \injca fonna de on<W pru-a qualquer valor real de w n:l f:Uxa de
Oa oo. Au tTK~ntando ltl temos uma sen6ide de freqüência maiOf. Isto não acontece com a senóidéem tempo discreto c:os í'Ut porque
COS
I(S'l ± 2,1'm)nl =CO$ Qn
m intcit6
(5.57a)
e
e i •t1H.'"' 1n
= f'jrtn
m inleiro
(5.57b)
Isso mostrn que senóidcs em 1empo discreto c:os On (e expt'Jnenciais ~) scp;:tradtls por "alores de. O em múltiplos intcirQS de 2;r são idênti c:~s. A r.11.iio par.t essa natureu. periódic<~ da resposta em freqüência de um sistema
LDIT e:>t~. :J.$~'lta, clara. Como as scnóidcs (ou exponenciais) com freqüências scpmad~s por um intcr\'alo de 21r
s.ão idênlic:~S. a respos-.a 00 sistemt~ a tais scnóidcs tnmbém é ic)énlica c, port;mto, é pcriódic.a com periodo 2;r.
E~la discussão lllOS.tJ\'1 q ue t~ senóidc em tCffiJ>') discrce<) cos (U, possui um :~ única fonna de onda npcna.-. pa·
ra ''ill(l(eS de O na faix:t de - n a n. Est.1 fai;(!l é chamada de fai.m fwulMlt!lllfll (ou banda fundamcnUtl). Qualquer freqüêoda 0 . não impOfta quãO gra1~de seja. é idêmica 3 alglln\3 OUit;) freqüência (l_. 113 fa iu fundamental ( -11 s o.. s: 1t). logo
U,. =í2-21fm
- 1t ~
n..
<
1t
e m inle:Jro
(5.58)
O inteiro m pode ser posilÍ\'0 ou neg;uivo. Utilizamos a Eq. (5.58) parn traçar n fuixa de freqüência (undamenlal O., em fun\:áo da freq uencia n de um:a senóidc (Fig. S. 16a)..A frcqUênciu fl,, é módulo 2it valor de O.
Todas es1as c.'Qfldusões wmbém são válidas JXtlà tt CJ.pouencial t.JU".
CAPI'nJLO
s
ANÁ.USB DE SJSTEA.tAS &\1TEMPO DlSCRF.TO USAI{DO A TRAI'WlORMA.DA z
48 J
TODOS OS S INAIS EM TEMPO 01SCRIITO SÃO h~ERE,'1'EMENTE L"U'rADOS EM fAIX A
Essa discussi'io resulta n.1 surpreendente conclusão que todos os sinais em tempo di~retO são lnerentemente limj.
tados em fàiXà.. com freqüências na faixa de -n a Jt mdjanos por amostr.l. Em tc:nnos du. freqüência :F =012R:. na
qunJ :F são ctclos por anmsttu., kXIas as freqüências :F separadns por um número inteiro são idêntiat.S. Por exempfo. todas :tS scnóides em tempo discreto com freqOências 0.3: 1.3; 2.3:.... ciclos por rull05tra silo idêfltiç:~s.. A fai·
xa fundamental de freqOtncias é de -Q,.) a 0,5 ci-clos por amostro.
Qualquer senóide em tempo discreto com freqüência além da faixa fundrunental. quando cruç.ada. parece e se
comporta. de todas as fonnas. ('Omo uma :w:oóide tendo sua f'reqíiêoc.iu m• fuixa fundamental. ~impossível distinguir os dois sinais.. Portamo. em um semtdo bo1-sico. frec.1Uências em tempo discreto <iJém de 101 = n ou I F I =
In n!o existem. Mesmo mim. no senrido "matem1ti c.~·· . de"emos admitir a e~Jstênci! de senóides com freqUências além de O 5 1t. O que isto significa?
UM HOMEM CI~AMAOO ROBERTO
Pnra romeccr uma analogia. considere umn pessoa fictfcia Sr. Robeno Teixeira. Su.a nUic o chama de Rob. seus
ooubocidos o cbamam de Beto. seus amigos mais pró:\imos usam $tU tlpelido. Baixinho. Roben.o. Rob. Beco e
Baixinho são a mesma pessoa. Entretanto. nio podemos dizer que apenas o Sr. Roberto Teixeira existe. ou ape·
nas Rob existe, ou apenas Belo existe ou upenas Baixinho existe. Todas essas quatro ~ssoas existem. upc:..'iar de
elns serem o mesmo iDdivfduo. De forma parecida, nOO podemos diur que a freqOênc:in 1f/2 existe c que a rreqOência 51rl2 nAo exiSte. As duas sâo a mesma e-ntidade. mas com nomes diferentes.
á nesse sentido que devtlOO$ OOmhir a elliscência de freqüências além da faixa fundamental. De fato. expres·
sões matemáticas no domínio da freqüêncin :rutomaticamente cuidam des.sn necessicbde pela periodicidade ine·
rente.existente nsg cquaçõcs. Como visto sntc:rionnente, a própria csaruturo dn resposta em freqüência é. perió·
dica com pcrfodo 2-~t. Vereroos posteriormente. no CapfiUio 9. que o especcro de um sinsl em tempo discreto
também é pcriód~ com período 2...:.
Admitir a existência de freqüências além de n: tnmbém é matematicamente e <.:omputadonalmente ooavenien·
te em aplic~ões de processtunento digital de.sinais. Vulorcs de froqüêncius além de Jt podem ser naturalmente
originadas no pmces..w de amosu"agem de senóides em tempo oomfnuo. Como nlo c:·xiste ljmite superior para o
\•alot de ro. não e.x.iste limite superior para o valor da f req iiência em tempo discreto resultante O = roT!
A freqü!ncia mai.s alta pos:s("el é 1t e a freqüên<:ia mais baixa~ O(CC ou <.:onst.ante). Clanunentc. as freqüên·
da." mais ultas são aquelas na proximidade.de Q =(2m+ l)n e a.\ freqüências mais baixa." silo us nn proximida·
de de: Q = 2run paro todos valores intciros pos.itivos ou negativos de m.
REDUÇÃO AINDA MAIOR NA FAIXA DE fREQÜÊNCIAS
Comooos (-Ou+ O) • oos (Ot1 + 9). a frt"qüênda na faixa de -tt a Oé idC.ntic.a (de mesm<J amplitude) à freqüên·
du na raixu de. Oa 1t (mas com mudança no sinal da l'nse). Conseqüentemente. afreqiiér~cüt apannr~ de unut SC·
nóide em tempo discreto de qualquer freqüência é igual a algum \"nlor na fn iJa de O n n. Pona nto. cos (8.7rur +
8) = cos (0,7ru• + 8), c a freqüência aparente ti O, 7x. Similanncme.
r
oos (9.67rn + 0) = oos (-0.4;r" + 9) == cos(0.4Jftt - 0)
Logo, a freqüência 9,61t é idênl.i<:;l (em todos os pontos) a freqOência -0.41t. a qual. por sua vez. é igual (sem o
sinal de sua fase) à freqüência 0.4tt. Neste caso. a frt"q üêndu aparente se reduz u IOJ • 0.4w. Podemos J,~Qlá'llliz.:tr
o resultado para dizer que a freqüência npGrenle de uma scnóide em tempo di!iC~to Q é IO:J, como dccennin3da pe·
la Eq. (5.53) e. se 0:., <O. exis•e uma I'C\'crsilo de fase. A fig. S. l6b mosua Q em Função ds froqüêncis aparen1e ll, .
As faixas sombreadas representam as faixas de O nas quais exii>te uma n:versOO dl! fase. quando repre.~;entllda em
termos de IO:J. Por e:t.cmplo, a freqüência aparente das duns senóides cos (2,41t + 8)e cos (3,6R + 8) é lfl..l = 0.4n,
como \'isto na l-i g. 5. l6b. Mas 2,4n está na f:lixa nliQ sombreada e 3.6n ~á na faixa sombreada. J..Qgo. est.ns duas
senóides siio iguais a cos (0,4Jt + (f) c cos (0.4n- 8), rcspectivrunente.
Apesar de tod.'l senóide e m tempo discre1o poder ser expteSsa conlQ tendo a freqi)!llCi.'l na faixa de Oa Jt, geral·
mente utilizamos a faixa de freqüêrteia de -n a rt oo im'és de Oa 1t por du<LS r.lZôes. Primeiro. a representação exponencial de SCJl6ide com freqüência na faixa de Oa n requer uma faixa de-na Jt. Segundo. mesmo quando utili·
zamos a repttSentação trigo•lO•nél.rica. geralme11te precisamos da faixa de freqOêndas de - n a Jt para ttmiOS wna
rtpresenta.,"-00 exata (sem rev«siio de fase) de senóidts de: mai.o; alta freqüênl.'ia.
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482
Sn-'AIS E SISlllMAS LINI!ARES
Em alguns casos práticos. no lugar da faixa de-1t a ll. podemos utílirooutms faixas continuas de largura 2n.
A (ai~.a de O n 2 Jt. por exempln. é urili1.ada em vária..; aplicnções. ê deixado comne~ert'kio para o leitur most111T
qooas freqüências na raixa de na 2n slo idêotk'as ~ oa faiJI:.a ck -Jt a O.
1
O,,
• ··- -·-
l•l
1
(b)
Figuro 5.16 <•l Freqlllncia real""'"' (b) freqoencia aporen1e.
EXQIPLG
Expresse os sinais a seguir em termos de &uas freqüência..; aparentes.
(a) cos(0.5"" +8)
(b) cos(1.6n" +8)
(<) sen ( l,6nn +8)
(d ) cos (2.3nn + 0)
(e) cos (34,699n + 0)
(a) 0: = O.Sit já est<i na f:úxa rcduT.icU. ls.to t..:tmbêm ~evidente da F'is ..S. I()a oo S.l6b. Como n. = O..Sn
e o5o eltiste tc'«"eNSO de fa-se, a senóide apa.~-erue é cos (0.SJtlr + U).
(b) Poderoos escrevtr 1.6il = -(),4n + 2Jt. tal que 0 ., = -0.4n e JO.I= 0.4. Al~m disso. n. t negati\'O,
ilnplicando mudatlça de sinal da fase. Logo. a senóide apareme é cos (0.41tn - 6). Este fato cambém é cvidente na Fia. S.l6b.
(t) Primdrooon\'Crtt:mos o seno para 11 fonna cosseno. ou seja. scn (1.6rot + 9) = oos ( 1.6Jtn - (K/2) + 6).
Na parte (b)dcterm.i~W:JX~~&O. =-(),4n. Logo. a scnótde sparenttécos (0,4wt + (Jtf2) - fi) ;;-sen (0.4nn - 6).
Neste caso.laotO a fàSCquantó a <~mplitude mudwtl de sinal
(d) 2.3n • 0.3~~t + 2Jt 10\J que o.. • 0.3Jt. Logo. a senóidt aparente é oos (0.3X-~r + 6),
(e) Temos 34·.699 = -3 + 6(2n). LogQ• .O.=- 3 e n freqüêncit~ apareote-é JOJ = 3 rndfamostra. Como
n. ~ oegativo. existe uma mudança no sinal da fase. Logo. a seoóide aparente é cos (3n - 8).
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CAPiTuLO
5
ANÁUSE DE SISTEMAS E.\t TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA 2
483
EXE RCÍCIO ES.20
Mos•re que as freqüências com senóides O de
(a) 2rr
(b) 3w
(<I 51f
(dl 3.2rr
(c)
22, 1327
(I)
lf
+2
podem -.cr dc-.t:ntas. rcspoc:~i.,'nmeme, por ~nóide.~ de fmqüência..~
(a) O
ib) "
(c) "
ld) O.&r
(e) 3
(I) lf 2
M06lte que nlh ca!Jo(X) (d). (e) e (f) a fa~ muda de ~inal.
5.5-2 Aliasing e Taxa de Amostragem
A não unicidade de senói<les em tempo di.screlo e a repetiç.,o periódica d.1S mesmas fonn:IS de ood.'l em intef'Vlli<I'S
de 2:Jt pode pareter inócuo. mas na realidade resulta em um sério próbkmà no prOCess:unento de sinais em tempo
contínuo por 61trus digitais. Uma scnóide cos mt. e m tempo continuo, anlOStruda a cOOa T segundos (t c n1) rtsul·
In e m ums scnóidc cos U111T, em tempo discreto, a qual é cos Ott com Q = WT. As scnóidc$ cos Qn em tempo di.s·
creto possuem uma única fOrma de onda apenas para valores de freqüência na fsixa 0: < n ou roT < N:. Portanto.
aroostr:lS de senóides em tempo coot(nuo de duas (ou mais) freq(lências diferentes podem gerar o mesmo sinal em
tempo discreto. como mc>S;tr.tdo na Fig. S. 17. Esre fenômt'no I dramodo de ali:~sing. poü t~nr funçiio d(l amosm1·
1
gem, d/Aas se116ides ana/6gkos roralmt'ntt' diji!J't'IU~:ttts.sllmt'm a me)·mtt idt'mid(lde "nlllt?llfiO dú·c"ro ".
O a/ituing co usa ambigüidade no processamen1o digital de sinais. tomando impos:sÍ\~I detenninar a \'erdOOeira freqüência do sinal amostrado. Considere. por exemplo. o processamento digital de um sinal em tempo contí·
nu<> que contém duas CQmponcntes de frcqtiêncins di.stimas. (1)1 e Cl)~, As amostra~ destas componentes aparecem
oomo senóidesem tempo discreto com frcqOêoc ias 0 1 = w,Tc 0 ! =(IJ:T. Se O, e O:l forem diferentes por um múl·
tiplo inteiro de 2n (se ro1 - tllz = 2klrJ1). as duns freqüências scrilQ lidas com<> se fossem a mesma freqüência (a
menor das duas) pelo prooessador dig.ital.1 Como resultado. a romponente de mais alta freq{lh)cia w1 n11o apent~S
estará petdjda para sempte (petde:ndo sua identidade para w,). mas reencamará como umn componente de fre·
qOêocia ro,. diswtcendo a vetd~deira amplitude da componente origin.'ll de freqUê:ncia (1)1• Logo, o sinal proces~
s.OOo resultante e.starj distorcido, Clatamente. o aliasing é altanlente indesejado e deve ser evitado. Para e\·itar o
(1/iasing. as frtqüências das senóides em tempO oont.ínuo a serem processadas devem !;t.r mantidas dentro da fai·
xa fundamental wT '!!. n ou w '!!. !dT. Dentro des~ condição. a questão de ambigüidade ou aliasütg des.apa.rocc por·
que qualquer senóide em tempo contínuo de freqüênda nest.o faixa pOSSui uma única fonna de oocb quando
amo~tnula. Ponanto. se ro, 6 a mais alta (reqüênda a s.:r processada, entOO. pant evitar o alüuittg.
lf
w.< -T
(5.59)
• A Fíg. 5.17 tOOW1I atnOWfiS de duas stOOideHos 12.c ~ ro; l .v tomadas 11 cada 0.1 stl!U~. As frtqU~ndas ~m tempo disc:rc:•o cor"'"l!Ondeu~e~ (0 =- ~T :- O.lM )~ é<l8 2.4.1DJ eros OJI.~DJ.A fl\'qiiênci11 aparented~ 2A.ti0,.Jr. td.!nbea li frtqüfnclll etn tempo di~
w oo~lenle a senóido: nuis Iene;,.. I~ ll'I(Xioltu que ll'.l amoscras dlls d~s gnóideu :m 1cmpo <X)I'IIin~oM> em inco:T'-.IIlS de 0.2 ~1\'D­
dos~ ldl:ndcas. coroo \"etUlcado na ~ 5.17.
1
No caso 1'005rmdo na Flg. 5, 17. ~ = 12x. CU:= 2n ~ T = 0.2. Logo. Ma - "': = IO.TI' • 2;re as duas frt'q(l~ocias sJo i.ntcr--pmadas como
a tlleSI'Illl
fn:qutnd~ 0 :- OA.t peJu IIJ\X'f:i;•>lldor diJ;it11L
484
SINAIS E SISTEMAS LIJ''EARES
cos 21rr
cos 1 2~1
/=1 Hz
/ = 6 Hz
..........................
··•..•.
...........
0.2
0.6
0.4
..............
.......
/,= 5Hz
•lgura 5.17
0.8
......, / 1 -
........
........_,..............
DemonsLr.•<;ãõ do efeito de tt/i{uiug.
Se/,. é :1 mais nlln freqüência e m hen7;.f. = wJ2n. c. de ncordo com n Eq. (5.59).
(5.603)
ou
I
7' < -
2/,
(5.60b)
Est:1equ;tção •nol>lra quç o próc.X':Ssamenlo de sinais em tempo discrelolimila n freqüência mais alta,J~. que
po<k ser process:•du paro um dndo \'alor de inlervalo de amostragem T. de ocordo L'(lffi o Eq. (5.6()a). Mas podemos processar um si n :~ l de qunlqucr freqüê-ncia (!ioem nlia.sing) escolhendo um vnlor :r.dcqunõQ de T de acordo
com a E(J. (5.00b). A l!l)(a ou frcqi:lêncin de 3mostr"Scrn f. é rccfproc3 ao imervalo de amosti"Jgem Te. de ac.Xlrdo c.::um a Eq. {5.60b).
J, =
I
'T > 21,
(5.613)
tal que
'
J/t
<f,
2
(5.61b)
Es1e resl•ltadu é um <.:aso especial do conhecido teorema t/(1 cmttll'trngt'm {o qual *rá provndo no CàpÍiulu 8).
12k afinnà que pam pr(l('c:bar uma sen6ide em Lempo <:onlínuo pur um sistema em tempo d isc.'rcto. n 1nxa de
amostmgcm dc\'c ser maior do q ~ du:.s vt'zes a f~üência (em hcrtz) da senóidc. <)u seja, uma S-ell6icle (lftiOl' ·
muln dt>w• ter m> mininw dum· nnuwras por ciclo.t P:1m l!l:taS de :unoslrugcm aba i)( Odesse vniC)r minimo. o si·
n:~ l de safd:• rerá I) efeito de aUa..ting, significando que ele ~cr:i confundido com uma serlóicle de f•-eqllênc-ia mais
b:•ix:t,
F ILTRO ANl'I ..AUASING
Se a taxa de amo:magem não satisfizer a condição (5.6 1). oco••retá o aliasil•g. fazendo (·om que freqíi~-nci:~
al~m de J:/2 Hz stjmn mascaradas <:omo freqOê-n<.:ias menores. c.:oiTompendo o espi:ttru de rr.,.qüêndu abaixo
de// 2. Pnra e\•Ítar esle problema. um sinal a ser .-unoJ>trado passa por um fi hro anli~/ia.~ing com lurguru de
faixn de/f! :mies da :unostmgem. Essa. OJX'rnção garante a condiçi1o (5.61 ). O efeito colntcrnl deste fi ltro é a
perda de componentes csptttrais do sinal além da freqiiéndaff2. :1qu:.l é uma ahcm:1ti\'a prcferi\'el aC) cfci·
to de uliuslng em frcqliéncias abaixo dcffl. O Capftul o 8 aprese ma uma :.n:ilisc mais de1alhnda do problema
de (1/iasing.
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486
S I);MS E S ISTEMAS Ll1\EAR6S
t
Im
I
loo
-·
e,
1• ... .
...
(bj
Figura 5.18 Representação velorial de (a) números <·omplexos e (b) fatore..o; de H(z:).
Ponanto (a.o;sumindQ bv > 0).
IH[eln)l =
bo r,r2 .. · r,...
dtdl .. ·dN
=
bo produtos das d_istânc_ias dos zeros a em
produtos das dJsl.l\ncw.s dos pólos n ~ JQ
(5.6Sa)
e
i H[e' 0 [
=(</Jl +</!:+" · +</IN)- (9o +O,+"' +9H)
= soma dos ãntulos dos -zeros a el 0
soma dos ân.2ulos dos 1)61os a elfl
(5.65b)
Dessn rorma. podemos calcular a resposta em frcgüência Hle"'l para qualquer valor de O selecionando o
ponto no círculo unitário no llngulo !l. Este ponto é?'. P'Jra catcuJar a resposta em freqüência Ht?1. coneclà·
mos todos os pólos e zeros a este ponto e utilizamos as equações anteriores para determinarmos 1111~11 e
-
LH!~I. Repetimos e$1e proctdime11lú paru. todos os valores de O. de O a :t obtendo a resposta em freqüência.
CONTROLANDO O GANHO PELA COLOCAÇÃO DE PóLOS E Zf.ROS
A muurnn da influência das posiçeks dos pólos e uros rut respost.:t e m freqüência é similar ao observado em
si&le.mas em tempo contimm. com pequenas dirercnç-45. No lugar do ei:<o imaginário em s.istemas em tempo con·
tfnuo. temos o círculo unitário no caso em tempo discreto. Quanto mais próximo o pólo (ou zero) esli\'ef' do pon·
to tfl (no cfrtulo unitário)''. representando alguma freqüência n. maior a influênçia do pólo (ou zero) na resposta em amplitude naquela rreqoê ncia. porque o tamanho do vetor unindo aquele pólo (ou zero) <lO ponto~
sem péqueno. A proximidade de um pólo (ou zero) possui efeito simHa.r na resposta em fase. A partir da Eq.
(5.65a). fica dnro que para aumentarmos a resposta em amplitude na freqüência O. devemos colocar um pólo o
mais próximo pos.o;Í\'~I do ponto e'-1 (O quaJ está no drcuJo unit.árlo).1 Similannente. para reduzir a resposta em
amplitude na freqüência 0.. devemos colocar um zero o mais peno possfvel do ponto~ no cfrculo unitário. A
coloc~llo de pólos ou zeros repetidos irá aumentar ainda mais as su.'IS influências.
' O mai• ptóximu que podem~)$ col~M o p6lo i n<> rirculll unitário 110 pan11l I'C'(In"Stll1:mdo O. Essa e1f.'(llha podeli le'v lltJin g;mho in·
r,nlto. •nas d.,-e w e"'itada ~e da resu.lwá em um sistema maf'Jirv.lmc::ntc m=h~l (BIBO imtá,•el), Qu;~~~lo mais próximo o poo·
10 do circulo utlitArio:~, tlws ~s.f..-d ~o gaftlto:l do sisiC'ma a
~
'-'açôts
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CAPfruL.O 5 N.•Aust VE 51ST&tAS &\t TEMPO OtSCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z
487
A supressão tocai dn trans:miss.ão de sinal em qualquer freqüência pode ser obcida colocando-se um uro DO
drtulo unilário DO ponto correspondente a aquela freqüência. Estll obser"aç.no ~utilizada no projeto de flhros
Not<:h (pá.ra·faixa).
A oolocação de um pólo ou zero na origem ni\o inn u.encia a resposta em amplitude, porque o tamanho do \'C·
tor conectanOO a origem a qualquer ponto oo crrcuJo unitário é unitário. Entretanto. um pólo (ou zero) na origem
adiciona o !ngulo ...n (ou O) a LH[~). Logo. o especuo de fase - 0 (ou 0 ) ~ uma funçlo linear da freqüência
e. portanto, repcesenw. um atraso de tempo puro (ou avanço de tempo) de T 5egundos (\'eja o Exercício E.S. 19).
Ponanto, um pólo (ou zero) na origem causa um atraso de tempo (ou avanço de tempo) de T segundos na~·
posta. NAo há aheraçlo na resposta em mplitude.
Para um sistema est.á\'t.l.todos os pólos de\·em ser locali:t.ndos dentro do círculo unittrio. Os zeros podem ts·
tar em qualquer lugar. Além dJs.so. para um sistema fisicamente reaJjz~vel. Hlt.l deve ser uma fraçlo própria. ou
seja, N ~ M. Se. para oonseguinnos uma certa resposta e.m ôlmplitude. for DeeeSSMio M > N. ainda podemos dei·
xar o sistema realit~h'tl colocando um número suficiente de pólos na origem para «ermos N • M.Jsso n.So int ai·
terar u resposta em amplitude, m35 irá aumentar o atraso de tempo da resposta.
Em seraJ. um pólo em um ponto possui efeito oposto a um zero D:liQuele ponto. Colocando um zero próximo
a um pólo h.wer.i a tendência de cancelamento do efeito daquele pólo l'l.a resposta em f.reqoênci4.
FILTROS PASSA-BAIXAS
Um filtro passa-baixas geralmente possui um g-anho múimo par11 (ou próximo de) O= O. o que corrcsponde
ao ponto .f= I no drculo unitário. Dessa forma. a colocação de um pólo dentro do círculo uniutrio próximo
oo ponto t = I ( Fig. 5. I9a) irá resultar em uma resposta pa.ssa-bab:as. 1 As re-spostas em amplitude e fase corrt$pOndentes estão mostradas na Fig. S. 19a. Paru pequenos valores de O. o ponto ;o (um ponto sobre o eír·
culo unitário no ângulo 0 ) estará próximo do pólo e. conseqUentemente. o ganho será alto. Quando 0: numenta. a distância do ponto tfJ ao pólo aumenta. Conseqüenteme.nte. o ga.nbo diminui. resultaDdo em uma ca·
racterlstic:. passa-bai.u.s. Colocando um zero n.u orig.C'm não altC'ra a resposta C'm amplitude. mas modifica a.
respos..ta em fnse, como ilustrado na Fig. 5.19b. Colocando um 1.ero em z. =- - 1. entretanto. altera tanto a res·
posta em amplitude quanto a resposta em rase (Fig. 5. 19c'). O ponto z • - I oorresponde à frcqüênci:~ O= ~r(z
=tft = ~ =- I). Conseqüentemente. à respo~tu em amplitude ficará mais atenuada para altas freqüência. com
um ganho zero em 0: : li. Podemos obter caractt'.rísticas idC'ais de pas.sa·haixas usando mais pólos fixos pro.
ximos a z =- I (mas dentro do cfrculo unitário). A Fig. 5. 19d mostra um filtro de terceira ordem com três pó·
los próximos a z = I e um uro de ten:eira ordem em z = - 1. mostrando também a correspondente resposta em
amplitude e fase. Para um fih ro passa.,baix.as ideal. precisamos aumentar o ganho para cada freqoência na fai·
xa (0. OJ. Isso pOde ser obtido colocando uma parede contínua de pólos (neas~itando de um número infini·
to de pólO$) oposta a ~ta faixa.
F ILTROS PASSA-ALTAS
Um filtro passa·alt.as possui um pequeno ganho em baixas fn:qül!nd as e wn alto ganho em alw fr~XJübK:ias. Tal
c.aracteristka pode ser implementiKia colocando-se um ou mais pólos próximo de t =-I, pois queremos o maior
ganho possfve-1pnm Q = Jt. Colocando um zero em z = I aumenta a supresslo do ganho em tnixas freqüências.
A Fig. 5.19c moma uma possível configuração de pólos-zeros de um fiiU'O de terceira ordem passa-altas. mos·
t:rando lllmbém a respecti"a resposta em runplitude e fase.
Nos dois exemplos a seguir. iremos implementar fih ros analógicos usando processadores digiuUs e dlsposili\'0$ de interface adequados (CID e 0/C), como mostrado na Fig. 3.2. Iremos examinar o projeto ck processa·
dores djgitais com runçio de transfertnc.."ia. HL;;J <:om o propósito de implementar lilt.rOs passa-faix.a e pám·faixa
nos exemplos a seguir.
Como a Fig. 3.2 mostra, o dispositi\'0 CIO amostro uma entrada C'm 1empo contínuo .r(l) resu!UJ.ndo em
um sinal xLnJ em tempo discreto, o qual é utilitado como entrada de Hlz]. A safda )'(ti) de Hlzl é convenida pam um sinal }'(I) em tempo continuo por um djspositivo 0/C. Também vimos na Eq. (5.47) que uma seoóide em tempo comCnuo de freqtlência ro. quando mnostrada. resullll em uma senóide em tempo discreto
n = wT.
1COioc:andoum pólo tm;: = I ~lu ~m u:cn ganho m:b.imo (infini.lo), m:t$ ~lllln1 em um ,;,.ema BIBO in~'f'd ~. ptWUmo. de\~ ser
C'VillldC).
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488
SIN.I\JS E SISTEMAS LINEARES
L JI
(a)
( b)
IHI
Figura 5.19
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CA•ofruLO 5 A.NÂLISE o~ S•STt.MAS er.~ n ..,tPO D•SCJtero UsA."~~DO•' 1'RA~FORMADA z
489
EXEMPLO 5. 14 (Filtro Passa-Faixa)
Por tentutiv-.t e erró. projete um filtro ;;malógioo sinl(mi7,..1d() (pas..-.a-f:aixn) com transmissão 1..ero para O
Hz e também paru u freqüência mais :dta_h = 500 Ht.. A fte(ll!ência de ressoniincin deve ser 125 Hz.
Como h= SOO Hz.. pn.x~isamos T < 111000 (veja a Eq. (5.60b)). V:amos sclccion:ar ·r= 10--'.' Lembre·~ dt
que as freqüênci as analógicas (l)corre5pondem às frcqliênc ins dig_ilu.is O= wT. Logo. as (reqü~nc-i as ana·
lógicas m =O c iOOn t'l)fréSp<>ndente ~~O ::a Oe 'ft.. •'e'SJ)C(Ih•amcnle. O ganho deve ser zero nestas freqüên·
cias. Logo. iremos colo~:ar ztros em t!u correspondendo a .O = Oe íl = n. ll::im O = O, : = tft = I. Para O
= Jt, I'' =-I. Logo, devem ha\·er zeros em ±I. Além disso. t>I'CC'isa.mos aumcmar a rc:;po:s-111 nu f~qüênda
de tessonôncia w = 250n. a qual CQrrcsponde a O= n/4. a qual. póC sua ,·ez, t-.orresponde: a t!' = ~. PQr·
Como
tanto. para aumentar a l'tS-posta em freq(h!ncia em <ll = 250n. ulocamos pólos na viúnhanç;:t de
este i um pólo t'Omplexo. também precis:unos de seu conjugado próximo u e p.·•. como indicado na Fig.
5.20a. Vamos escolher tstt"$ pólos }í e y1 como
r.
na qu:~llrl < 1 por ques1ãf:s de estabilidade. Qu <:~nto mais próximo r estiver do cfrculo unitário. mais e~trt i·
ta será a rc5-pos.1a próxima de w = 250!t. Também ternos ;o.eros em± I. Logo.
l/f')= K
(' - I)(' + I)
(.; - lylt'1·" 1"')( :; -lvlr'·"""')
=
K
(S.66)
-~ - I
..
, , - ./21r lz + Ir f'
Póc' conveniêrk~i u escolhemos K = I. A resposta em nmplilude é duda por
fi/f ' 0 11 =
e
1, ,1n
-
lf
le ifl- ly fei·'14Uei0 -
lylt'-J.~ I~ I
Agora. usando.-. Eq. (5.50). obtemos
lfi k '" ll' ~
2(1- cos 2!'!)
[I
+ IYI' -
2iyl '"" ( !'! -
~)
l
Jr
[I + fyl 1 - 2fyf cos !'!+4
(5.67)
A Fig, S.20b mQ&trn a resposta em amplitude em função de(;).. ;"~lém de O= wT = 10·l ro parn valores de
hi = 0,83: 0.96 e I. Como c:spcrndo. o ,ganho é zero para (I)= Oe em 500Hz. (ro = IOOOrt). Os picos de g.o·
nho estão próxin)()S de 125 Ht (ro = 254}n:). A ressonâociu (pico) fira mais pronunciada quando hi aproxi·
rn3·Se de I. A Fig. 5.20c mostra a reali7.açio canõnil"a des1e fihro (v('ja â Eq. (5.66)1.
' Falando C)(ritantl:nl.:. J'lf\'CÍWIKlS de T < 0.001, En•ron..o. i ~~ ,..~1ro11 Dll CapituJQ 8 qUI: M" a .:nll"ada ó5o oont~m uma ~cn·
~~ de a.rnrlitude li nitil l:nl 500 Hl. T =0.001 ~ tdcquado. (ôf;'h.lmcme.Mn:li$ pr:ílico,• llati,.f:u...,tn 6.'~11 c.;,noliflO.
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CAPflliLO 5 ANÁLISE 00 StSlUt.AS Et.t 'fEMI'() 01SCR€TO USANDO ATRANSFORMADA Z
493
5. 7 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS A NALÓGICOS
Um sinal analógico (significando em •cmpo comrnuo) podç ser processado digiralmente pela amostragem do si·
nal analógico e processando as amosuas pot um process.'ldor dig.itaJ (em tempo discreto). A saída do processador i . então. com·ertida OOV".unetlte paro um s-inal analógioo. <.'OmO mostrado na Fig. 5.22a. Já vimos alguns casos simples deste tipo de processamento nos Exemplos 3.6, 3.7 c 5.1 5. Nesta seção iremos obcer um critério pa·
ruo projeco de prooessadores digitais paro um sistema LCIT genérico.
Suponha que queremos realizar o equiwlente a um sistema analógico com funçAo dt. transferência H. (s).
mostrada nu Fig. S.22b. Seja fl(z) a função de transferência do pcOCe$$ildOr digital da Fig. 5.22a qoo realiza 3
fuoç3o H..(s) desejada. Em outras !Xllavras, queremos t'a1..er os dois s:istemas da Fig. S.22 equivalentes (oo menos
aprox.imadamente).
Por "equivalentes" entendemos que para uma dada entrada x(l). os sis1emas da Fig. 5.22 tcrOO a mesmu SLÚ·
dn y(1). j)ort.unto, y(nn. as amOSI:ra$ da saída da Fig. S.22b. siio idênlic:as a y(,t). o saíd.'l de Hrzl da Fíg. 5.22a.
Para efeito de generalidade. iremos considc111t um sistema não causal. O argumento I! os I'C$ultados também
sâo válidos para sistertt:~s caus.:Lis. A sal'~ y(l) do sistemól da Fig. 5.22b é
y(t)
=
1:
x(r)lt,(l - r)dr
= lim
Ar -O
(5.69a)
"" x(mâr)lt.,(t -m.ô.r).ô.t
L
Para o no.sso propósito. é conveniente utiliUtt a not:.c;.ão T pam ât na Eq. (5.69ta). Assumindo que T(o imer·
valo de amosuagem) é pequeno o suficiente, esta mudança na 001açiio resulta em
~
)'(1) =:: T
L
....
x(mT)It.,(l- mT)
(5.6!11>)
-~
A resposta. no nooésirno inst:~me de amosu-agem y(n1). obticb faundo r =-nT na oquaçOO é
w
y(rtT) = T
L: x(mT)h ((,t - m)T]
(5.69<)
11
..... - oo
Na Fig. 5.22a. a entrada de Htzl é n(n1) = .t{n). Se ltlrtl for a resposta oo impulso unit:1rio de Hr.:J. ent.r.o )i~t).
s saidn de H(zJ, é dado por
J l")
=
L
x (m )h(" - m]
(5.70)
)11)
H.,(s)
(a)
-'<•l
•
I
H,.t:rl
I
)(I)
•
(b)
Figura 5.22 Realizaç!kl de filtro analógico através de um fi ltro digital.
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Se os dois sistetnas de\-em ser equivak:cnes.. >~111) da Bq. (S.69c) deve ser igual a y(11) da Eq,. (5.70). Pooanto,
h[n] = Th.(nT)
(5.71)
Este é o critério no domínio do tempo para a equivalência de dois sistemas.' De acordo com este critério. h[11],
a resposta oo impulso unitário de Hfd da Fig. 5.22a. de-o-oe ser T vem as amostras de h..(t). a resposu oo impulso
unitário do sistema da fig. !i.22b. lslo é chamado de critln'o dt! ;n1--aribncia oo impulso de projcco de fil tros.
Falando estritamente, esta realizaçio gar.uue a equi\'alência da sakla somente nos iMtantes de amostragem. oo
seja, )~117) = >1nJc que também assume q\IC T-+ O. Obviamente, esse aitério resulta em uma realizaçllo aproxima-da dt H.($). Entrel3nux pode ser mosu'3do que quando a res(XliSt.'l etn freqOêuci.a de IH..(iw)l é limi1ad.a em faixa. a
realização é u:ara,2 desde que a uua de amos~m S(ja alta o suficMmte parn evitar qualquer alio.sing (T < Inh,).
REALIZAÇÃo oe H(s) RACIONAL
Se quisenOOIS tealiuu- um filtro ana~ico oom função de transferência
c
(5.na)
H.(s)= - -
s -l.
A respostalt(t) ao impulso. dada pe-la transformada inversa de Laplace de H..(s) é
h. (t) = ce"'u(t)
(5.72b)
A resposta htn) ao impulso unitário do fittro digital correspondente. pela Eq. (5. 71), será
lt(n) = Tlta(nT) = Ta,.lr
A Fíg. S.23 mosua hJ,.t) e h{n]. A ttansfonnada tde hfnj c-orrespondetue. H{:;:). é detetminada pela 1àbela S. I
H [t]
=
·-·
Tez
"
(5.73)
O procedimento de detenninaçllo de Hfd pode ser sistematizado para qualquer sistenta. de ordem N. Primei·
ro e.'pressamos a funç-ão de tranSferência H)..s) analógica de ordem N como a soma de fmções parciais dada port
•
" -c,H, (s) = L..-
(5.74)
r..1 s-Àr
em~o. Hlz.J conespondente é
dada por
cT
1t1111
,_
(a)
~~--
(b)
FiJ:Urll 5.13 Rc$J>OSta ao impulso para sistemas analógico c digital usnndo o método de inwridncia oo im·
pulso para o projeto do filtro.
' Come> T é u:ma wnsmnce. alauns IIUIOI'CS ic:noram o fruor T. ~uJ~ando no c;ri1~rio siq>lifl<'.ado "'In I • lt.("f), lgnor:v Tsimplcsmtntc
eSle'alona a ~ca e 1D ampli1udo: do 11111\'1 resultance.
1Assumi.tldo que HJ.t) po~<;ui pólos: sirnpltL Pn pólos rtptlidos.. a forma é altmda fd..--quahtmmte. A Com1a 6«t Thbe-lll S.) t lldcqui•
da plll'll pólos tqletido$.
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498
SlNAIS li SISTtiMAS l..lNSARE:S
LH
5 X l o'
lO'
\
----
\'\~..
'·............... L Ji r ·)
··•·•· r JW
~""··-··-·~···~···--···~·····-:r.............. .
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(<)
Figura 5.24 Continu.aç5ó.
EX EMP LO DE COMPUTADO R C5 .3
Usando o comando impi nvar do MATLAB. decennioe o flhro digjutJ com invariância ao impulso que tea·
liza s fillro de Butterwonh analógico dt- primeira ocdcm uprcscntado no Exemplo 5. 16.
A funç.OO de trunsferêocia do (iluo analógico t 10'/(s + !O') e o inter\'alo de amosll'3gem é T = I O~~t.
num• lO lOASI ; den=fl iO~S) ;
>> T • p!/JOA6; F& • 1/T:
>> (b,b) • impinver(n~ . d~n . Fs) :
>~
»
t.f(b, ,e , T)
Transfer function :
0 . 3142 z
~
- 0 . 7304
s~mpling ~i~ :
J . l416e-oo6
EXE RCÍ CIO E5.22
Projete um fihro dig:it:tl parn rcahtar o ~>eguinte fun\âó de ltan!>ferência anai6J,iic:t
20
flll(s) =
.,0
s+-
RESPOSTA
20T:
H (!) =
-:--:~r
: -~
-
com
"
r= 2000
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CAI'f'n.n.O 5
ANÃ"-t!i6 DE S ISTii\tAS BM T EMI"' D ISCRETO USASDO ATRANSJlOit.\tADA Z
499
5.8 CONEXÃO F.NTR•; A TRANSFORMADA OE L APLACE E A TRANSFORMAOA Z
lremos mostrar, agora. que sistemas em tempO di$C'reto uunbém pOdem ser analisndos pc;l:t transform~da de la·
l)lace. De fato. veremos que a transjt1rmada z é traruftmMtla de l..aplace diifarrada e que sistemas em tempo
discreto podem ser analí~dos t.'OmO se eles fos~m si.stemas em tempo contínuo.
Até.este momento. consideramos um sin:al em tempo discreto como uma seqüência dê oúmtrúS e não como
um sinal elétrico (tcos.1o ou corTC-ntc). Simil:tm"lelue. cons.ide.r:lmos um sistema em tempo discrclo como um mecanismo que processa uma seqOêoc:ia de números (entrada) n:suha ndo e m outro seqüência de números (safd.1),
O sistema é eonstrufdo usando àtr3SOS (em <.-onjunto <:om somt~dores e mull.iplicn.dores) que n1rasa a seqtl~ncia
de 11úmeros. Um <:omputador digital é um exemplo pcr(cito: 1od0 sinal é uma seqtlência de mlmetos e o J)I'OCeS·
samemo e•wolve atrasar a seqüência de números (além de ndicion.nre mulliplic:ar).
Agora suponha que tenws um sistema em 1cmpo discre1o com função de tr.l1\sferência. Hh:] e e ntrada xlnl.
Considere um sinal.t(t) em tempo continuo tnl que o ~lor da sua 11-ésim:l amos1ra. é x (n( , como mO!>trado na Fig,
5.25! Seja o sinal amostrado igual a .i(t). e(lflStiruido de im.pulsos esp~OOs J>Of' T segundos com força (uma vez
que.a amplitude.é infin