Índice general
1. Funciones
3
2. Límites
9
3. Continuidad
13
4. Diferenciación
17
4.1.
La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2. Teorema de valor medio, extremos locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3. La Regla de L’Hôpital, Convexidad y graficación de funciones . . . . . . . 25
5. Integración
5.1.
27
Cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
2
CA0151 Cálculo diferencial e integral
ÍNDICE GENERAL
I semestre del 2023
Capítulo 1
Funciones
1. Hallar f (0), f − 34 , f (−x), f
1
x
,
√
1
, si f (x) = 1 + x2 .
f (x)
2. La función f (x) es lineal. Hallar dicha función, si f (−1) = 2 y f (2) = −3.
3. Sea φ(x) = |x−3|+|x−1| para todo real x. Calcular: φ(0), φ(1), φ(2), φ(3), φ(−1), φ(−2).
Determinar todos los valores de t para los que φ(t + 2) = φ(t).
4. Sea f (x) = x2 para todo real x. Calcular cada una de las fórmulas siguientes.
En cada caso precisar los conjuntos de números reales x, y, t, etc para los que la
fórmula dada es válida.
a) f (−x) = f (x).
d ) f (2y) = 4f (y).
b) f (y) − f (x) = (y − x)(y + x).
e) f (t2 ) = f 2 (t).
p
f ) f (a) = |a|.
c) f (x + h) − f (x) = 2xh + h2 .
5. Sea f la función definida como sigue: f (x) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1; f (x) = 2 para
1 < x ≤ 2. La función no está definida si x < 0 o si x > 2.
a) Trazar la gráfica de f .
b) Poner g(x) = f (2x). Describir el dominio de g y dibujar su gráfica.
c) Poner h(x) = f (x − 2). Describir el dominio de h y dibujar su gráfica.
d ) Poner k(x) = f (2x) + f (x − 2). Describir el dominio de k y dibujar su gráfica.
6. Las gráficas de los dos polinomios cuadráticos f (x) = x2 − 2 y g(x) = 2x2 + 4x + 1
se cortan en dos puntos. Dibujar las porciones de sus gráficas comprendidas entre
sus intersecciones.
3
4
CAPÍTULO 1. FUNCIONES
7. Escribir una sola fórmula que exprese la función
(
0, si x ≤ 0,
f (x) =
x, si x > 0,
empleando el signo de valor absoluto.
8. Determine el dominio máximo de las siguientes funciones:
a) y =
b) y =
e) y
f) y
g) y
√
p
x + 1.
h) y =
x2 − 2.
i) y = log(x2 − 4).
sen(2x).
√
2 + x − x2 .
√
1
= −x + √
.
2+x
√
= x − x3 .
2+x
= log
.
2−x
x
.
= arc sen log
10
c) y =
d) y
√
j) y = log(x + 2) + log(x − 2).
π
.
k) y = log sen
x
2x
l ) y = arc sen
.
1+x
p
p
m) y = sen(2x) + sen(3x).
n) y = arc sen(1 − x) + log(log x).
9. La función y = ⌊x⌋ (la parte entera del número x) se define del modo siguiente: si
x = n + r, donde n es un número entero y 0 ≤ r < 1, entonces ⌊x⌋ = n. Construir
la gráfica de esta función.
10. La variable x recorre el intervalo 0 < x < 1. ¿Qué conjunto recorre la variable y,
si
1
a) y =
.
1−x
x
b) y =
.
2x − 1
c) y =
√
x − x2 .
d ) y = x + ⌊2x⌋?
11. Calcular f (0, 9), f (0, 99), f (0, 999), f (1), si
f (x) = 1 + ⌊x⌋.
√
1
1
,
si f (x) = 1 + x2 .
12. Calcular f (0), f (−x), f (x + 1), f (x) + 1, f
x
f (x)
13. Sea f (x) = ax2 + bx + c. Verificar que
f (x + 3) − 3f (x + 2) + 3f (x + 1) − f (x) ≡ 0.
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I semestre del 2023
5
14. Sea f (x) = 2x4 − 3x3 − 5x2 + 6x − 10. Hallar
1
ψ(x) = [f (x) + f (−x)],
2
1
φ(x) = [f (x) − f (−x)].
2
15. La función f (x) determinada en el dominio simétrico −ℓ < x < ℓ, se denomina
par, si f (−x) = f (x), e impar, si f (−x) = −f (x). Determinar cuáles de las
siguientes funciones son pares y cuáles impares:
1
a) f (x) = (ax + a−x ).
2
√
√
b) f (x) = 1 + x + x2 − 1 − x + x2 .
p
p
c) f (x) = 3 (x + 1)2 + 3 (x − 1)2 .
d ) f (x) = log
1+x
.
1−x
e) f (x) = log(x +
√
1 + x2 ).
16. Hallar una función racional entera de tercer grado:
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d,
si f (−1) = 0, f (0) = 2, f (1) = −3, f (2) = 5.
17. Este ejercicio desarrolla ciertas propiedades fundamentales de los polinomios. Sea
n
X
ck xk un polinomio de grado n. Demostrar cada uno de los siguientes
f (x) =
k=0
apartados:
a) Si n ≥ 1 y f (0) = 0, f (x) = xg(x), siendo g un polinomio de grado n − 1.
b) Para cada real a, la función p dada por p(x) = f (x + a) es un polinomio de
grado n.
c) Si n ≥ 1 y f (a) = 0 para un cierto valor real a, entonces f (x) = (x − a)h(x),
siendo h un polinomio de grado n − 1. [Indicación: considérese p(x) = f (x +
a).]
d ) Si f (x) = 0 para n + 1 valores reales de x distintos, todos los coeficientes ck
son cero y f (x) = 0 para todo real x.
m
X
e) Sea g(x) =
bk xk un polinomio de grado m, siendo m ≥ n. Si g(x) = f (x)
k=0
para m + 1 valores reales de x distintos, entonces m = n, bk = ck para cada
valor de k y g(x) = f (x) para todo real x.
18. Demostrar que cualquier función f (x), determinada en el intervalo −ℓ < x < ℓ,
puede representarse como la suma de una función par y otra impar.
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I semestre del 2023
6
CAPÍTULO 1. FUNCIONES
19. Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una
función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una
función impar.
20. Hallar φ(ψ(x)) y ψ(φ(x)), si ψ(x) = x2 y φ(x) = 2x .
21. Hallar f (f (f (x))), si f (x) =
1
.
x−1
22. En cada caso, hallar todos los polinomios p de grado ≤ 2 que satisfacen las
condiciones dadas.
a) p(0) = p(1) = p(2) = 1.
c) p(0) = p(1) = 1.
b) p(0) = p(1) = 1, p(2) = 2.
d ) p(0) = p(1).
23. En cada caso, hallar todos los polinomios p de grado ≤ 2 que para todo real x
satisfacen las condiciones que se dan.
a) p(x) = p(1 − x).
c) p(2x) = 2p(x).
b) p(x) = p(1 + x).
1+x
24. Sea f (x) = log
. Demostrar que
1−x
d ) p(3x) = p(x + 3).
f (x) + f (y) = f
x+y
1 + xy
.
25. Sea φ(x) = 12 (ax + a−x ) y ψ(x) = 12 (ax − a−x ). Demostrar que:
a) φ(x + y) = φ(x)φ(y) + ψ(x)ψ(y).
b) ψ(x + y) = φ(x)ψ(y) + φ(y)ψ(x).
26. Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores
negativos de la función y, si
d ) y = y = x3 − 3x.
2x
.
e) y = log
1+x
π f ) y = sen
.
x
a) y = 1 + x.
b) y = 2 + x − x2 .
c) y = 1 − x + x2 .
27. Hallar f (x), si
f (x + 1) = x2 − 3x + 2.
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I semestre del 2023
7
28. Hallar f (x), si
1
1
f x+
= x2 + 2 ,
x
x
(|x| ≥ 2).
29. Hallar f (x), si
f
x
x+1
= x2 .
30. Sea f (u) una función definida para 0 < u < 1. Hallar los dominios de definición
de las funciones:
a) f (sen x).
b) f (log x).
c) f
⌊x⌋
.
x
31. Hallar la inversa de la función y, si:
a) y = 2x + 3.
f) y=
b) y = x2 − 1.
√
3
c) y = 1 − x2 .
x
d ) y = log .
2
e) y = arctan(3x).
1−x
.
1+x
1
g ) y = (ex − e−x ) := senh x.
2
h) y =
ex − e−x
:= tanh x.
ex + e−x
32. Una función f (x) se llama antiperiódica, si
f (x + T ) = −f (x),
(T > 0).
Demostrar que f es periódica, de período 2T .
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I semestre del 2023
8
CA0151 Cálculo diferencial e integral
CAPÍTULO 1. FUNCIONES
I semestre del 2023
Capítulo 2
Límites
1. Demostrar que lȷ́m x2 = 4. ¿Cómo elegir para el número positivo dado ϵ un
x→2
número positivo δ, de modo que la desigualdad |x − 2| < δ se deduzca de la
desigualdad |x2 − 4| < ϵ?
2. Sea f (x) = 1 − x2 . ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad |f (x)| < ϵ, si
ϵ es un número positivo arbitrario? Hacer los cálculos numéricos para a) ϵ = 0, 1;
b) ϵ = 0, 01; c) ϵ = 0, 001.
1
es infinitamente grande cuando x → 2.
x−2
¿En qué entornos |x − 2| < δ se verifica la desigualdad |f (x)| > N , si N es un
3. Demostrar que la función f (x) =
número positivo arbitrario? Hallar δ, si a) N = 10; b) N = 100; c) N = 1000.
4. Dilucidar el sentido exacto de las notaciones convencionales:
(a) lȷ́m log x = −∞,
x→0+
(b) lȷ́m 2x = +∞,
x→+∞
(c) lȷ́m f (x) = ∞.
x→∞
5. Calculec los siguientes límites:
(x + 1)2
a) lȷ́m 2
.
x→∞ x + 1
f)
1000x
.
2
x→∞ x − 1
g)
x2 − 5x + 1
.
3x + 7
x→∞
h)
2x2 − x + 3
.
3
x→∞ x − 8x + 5
i)
b) lȷ́m
c) lȷ́m
d ) lȷ́m
2x2 − 3x − 4
lȷ́m √
.
x→∞
x4 + 1
2x + 3
√
.
lȷ́m
3
x
x→∞ x +
x2
√ .
lȷ́m
x→∞ 10 + x x
√
x
lȷ́m q
.
p
√
x→∞
x+ x+ x
x3 + 1
.
2
x→−1 x + 1
(2x + 3)3 (3x − 2)2
.
x5 + 5
x→∞
j) lȷ́m
e) lȷ́m
9
10
CAPÍTULO 2. LÍMITES
k)
l)
m)
n)
ñ)
o)
p)
q)
r)
s)
x2 − 5x + 10
.
lȷ́m
x2 − 25
x→5
x2 − 1
lȷ́m 2
.
x→−1 x + 3x + 2
x2 − 2x
lȷ́m 2
.
x→2 x − 4x + 4
x3 − 3x + 2
lȷ́m 4
.
x→1 x − 4x + 3
(x + h)3 − x3
lȷ́m
.
h
h→0
1
3
lȷ́m
−
.
1 − x 1 − x3
x→1
√
x−1
.
lȷ́m
x→1 x − 1
√
x−8
lȷ́m √
.
3
x−4
x→64
√
3
x−1
lȷ́m √
.
4
x−1
x→1
√
√
3
x2 − 2 3 x + 1
lȷ́m
.
(x − 1)2
x→1
√
2− x−3
t) lȷ́m
.
x2 − 49
x→7
x−8
.
u) lȷ́m √
3
x−2
x→8
√
x−1
v) lȷ́m √
.
3
x−1
x→1
√
3− 5+x
√
.
w) lȷ́m
5−x
x→4 1 −
√
√
1+x− 1−x
x) lȷ́m
.
x
x→0
√
√
x+h− x
y) lȷ́m
.
h
h→0
√
√
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6
z) lȷ́m
.
x2 − 4x + 3
x→3
√
√
) lȷ́m ( x + a − x).
x→+∞
√
) lȷ́m ( x2 − 5x + 6 − x).
x→+∞
6. Calcule los siguientes límites trigonométricos.
sen x
.
x
x→2
sen(3x)
.
lȷ́m
x
x→0
sen(πx)
lȷ́m
.
x→1 sen(3πx)
1 − cos x
lȷ́m
.
x2
x→0
sen x − sen a
lȷ́m
.
x−a
x→a
cos x − cos a
lȷ́m
.
x−a
x→a
tan(πx)
lȷ́m
.
x→−2 x + 2
sen x − cos x
lȷ́m
.
1 − tan x
x→ π4
πx lȷ́m (1 − x) tan
.
2
x→1
π
lȷ́m cot(2x) cot
−x .
2
x→0
a) lȷ́m
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
CA0151 Cálculo diferencial e integral
1 − sen x2
.
k) lȷ́m
π−x
x→π
1 − 2 cos x
l ) lȷ́m
.
π − 3x
x→ π3
cos(mx) − cos(nx)
.
x2
x→0
tan x − sen x
lȷ́m
.
x3
x→0
1 − x2
lȷ́m
.
x→1 sen(πx)
x − sen(2x)
lȷ́m
.
x→0 x + sen(3x)
cos πx
√2 .
lȷ́m
x
x→1 1 −
√
1 − cos x
lȷ́m
.
x2
x→0
√
√
1 + sen x − 1 − sen x
.
lȷ́m
x
x→0
m) lȷ́m
n)
ñ)
o)
p)
q)
r)
I semestre del 2023
11
7. ¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, si el
coeficiente a tiende a cero y los coeficientes b y c son constantes, siendo b ̸= 0?
8. Hallar las constantes k y b de la ecuación
x3 + 1
lȷ́m kx + b − 2
= 0.
x +1
x→∞
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12
CA0151 Cálculo diferencial e integral
CAPÍTULO 2. LÍMITES
I semestre del 2023
Capítulo 3
Continuidad
1. Una función está dada por las fórmulas
 2
 x − 4 cuando x ̸= 2,
f (x) =
x−2

A
cuando x = 2.
¿Cómo debe elegirse el valor de la función A = f (2), para que la función f (x),
completada de esta forma, sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de la
función y = f (x).
2. El segundo miembro de la igualdad
1
f (x) = 1 − x sen
x
carece de sentido cuando x = 0. ¿Cómo elegir el valor de f (0) para que la función
f (x) sea continua en este punto?
3. La función
f (x) = arctan
1
x−2
carece de sentido cuando x = 2. ¿Puede elegirse el valor de f (2) de tal forma,
que la función completada sea continua cuando x = 2?
4. Mediante razonamientos (ε − δ), demostrar que la función f (x) = x2 es continua
para x = 5.
Rellenar la siguiente tabla:
ε
1 0,1 0,01 0,001
δ
13
...
14
CAPÍTULO 3. CONTINUIDAD
1
y ε = 0, 001. Para los valores x0 = 0, 1; 0, 01; 0, 001; ..., hallar los
x
números positivos más grandes δ = δ(ε, x0 ), tales que de la desigualdad |x−x0 | < δ
5. Sea f (x) =
se deduzca la desigualdad |f (x) − f (x0 )| < ε
¿Es posible, para el número dado ε = 0, 001, elegir un δ > 0 que sirva para
todos los valores x0 del intervalo (0, 1), es decir tal que, si |x − x0 | < δ, sea
|f (x) − f (x0 )| < ε cualquiera que sea el valor x0 ∈ (0, 1)?
6. Formular en términos de (ε − δ), en sentido positivo la afirmación siguiente: la
función f (x), definida en el punto x0 , no es continua en este punto.
7. Estudiar la continuidad y dibujar los diseños de las gráficas de las siguientes
funciones:
a) y = sgn(senx)
b) y = x − ⌊x⌋.
c) y = x⌊x⌋.
d ) y = ⌊x⌋. sen πx
e) y = x2 − ⌊x2 ⌋.
1
f) y=
.
x
8. ¿Es continua la función
(
f (x) =
2x,
si
0≤x≤1
2 − x, si 1 < x ≤ 2?
9. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y establecer el carácter de los
puntos de discontinuidad, si
(
x2 , si 0 ≤ x ≤ 1
a) f (x) =
2 − x, si 1 < x ≤ 2;
(
x, si |x| ≤ 1,
b) f (x) =
1, si |x| > 1;
(
, si |x| ≤ 1
cos πx
2
c) f (x) =
|x − 1|, si |x| > 1;
(
cot2 πx, para x no entero
d ) f (x) =
0,
para x entero;
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I semestre del 2023
15
(
e) f (x) =
(
10. Sea f (x) =
sen πx,
para x racional
0,
para x irracional;
ex ,
si x < 0
a + x, si x ≥ 1;
¿Cómo se debe elegir el número a para que la función f (x) sea continua?
11. La función f (x) carece de sentido para x = 0. Determinar el número f (0) de tal
modo que f (x) sea continua para x = 0, si:
√
1+x−1
a) f (x) = √
3
1+x−1
tan 2x
b) f (x) =
x
1
c) f (x) = sen x sen
x
1
d ) f (x) = (1 + x) x
12. ¿ Es obligatoriamente discontinua en un punto dado x0 la suma de dos funciones
f (x) + g(x), si: a)la función f (x) es continua y la función g(x) es discontinua en
este punto, b) ambas funciones f (x) y g(x) son discontinuas para x = x0 ?
13. ¿ Es obligatoriamente discontinua en un punto dado x0 el producto de dos funciones f (x)g(x), si: a)la función f (x) es continua y la función g(x) es discontinua
en este punto, b) ambas funciones f (x) y g(x) son discontinuas para x = x0 ?
Construir los ejemplos correspondientes.
14. ¿ Se puede afirmar que el cuadrado de una función discontinua es también una
función discontinua?
Construir un ejemplo de una función que sea discontinua en todos los puntos y
cuyo cuadrado sea una función continua.
15. Estudiar la continuidad de las funciones f [g(x)] y g[f (x)] si:
a) f (x) = sgnx y g(x) = 1 + x2
b) f (x) = sgnx y g(x) = x(1 − x2 )
c) f (x) = sgnx y g(x) = 1 + x − [x]
16. Estudiar la continuidad de la función compuesta y = f (u) donde u = ϕ(x) si
(
u,
para 0 < u ≤ 1
f (u) =
2 − u, para 1 < u < 2;
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I semestre del 2023
16
CAPÍTULO 3. CONTINUIDAD
y
(
ϕ(x) =
para x racional
x,
2 − x, para x irracional;
(0 < x < 1)
17. Demostrar que, si f (x) es una función continua, la función
F (x) = |f (x)|
también es continua.
18. Demostrar que, si las funciones f (x) y g(x) son continuas, las funciones
ϕ(x) = mȷ́n[f (x), g(x)] y ψ(x) = máx[f (x), g(x)]
también lo son.
19. Demostrar que, si la función f (x) es continua en el intervalo a ≤ x < +∞ y existe
el límite finito
lȷ́m f (x)
x→+∞
entonces esta función está acotada en el intervalo dado.
20. Comprobar que la función f (x) =
1
x
es continua en el intervalo (0, 1), pero no es
uniformemente continua en este intervalo.
21. Comprobar que la función f (x) = sen πx es continua y está acotada en el intervalo
(0, 1), pero no es uniformemente continua en este intervalo.
22. Para ϵ > 0 hallar δ = δ(ϵ) (uno cualquiera) que satisfaga a las condiciones de
continuidad uniforme para la función f (x) en el intervalo indicado.
a) f (x) = 5x − 3,
para −∞ < x < +∞.
b) f (x) = x2 − 2x − 1,
1
c) f (x) = ,
x
√
d ) f (x) = x,
para −2 < x < 5.
CA0151 Cálculo diferencial e integral
para 0, 1 ≤ x ≤ 1.
para 1 ≤ x < +∞.
I semestre del 2023
Capítulo 4
Diferenciación
4.1.
La derivada
1. Partiendo de la definición de derivada, hallar directamente las derivadas de las
siguientes funciones:
a) y = x2
e) y =
b) y = x3
1
c) y =
x
√
d) y = x
√
3
x
f ) y = tan x
g ) y = cot x
2. Calcular f ′ (1), f ′ (2) y f ′ (3) si
f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3
3. Calcular f ′ (2) si
f (x) = x2 sen(x − 2)
4. Calcular f ′ (1) si
r
f (x) = x + (x − 1) arc sen
x
x+1
.
5. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
a) y = 2 + x − x2 . ¿A qué es igual y(0) y ′
1
2
; y ′ (1); y ′ (−10)?
x3
x2
+
− 2x ¿Para qué valores de x: a) y ′ (x) = 0; b) y ′ (x) = −2; c)
3
2
y ′ (x) = 10?
b) y =
17
18
CAPÍTULO 4. DIFERENCIACIÓN
c) y = a5 + 5a3 x2 − x5
ax + b
d)
a+b
e) y = (x − a)(x − b)
f ) y = (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3
g ) y = (x sen a + cos a)(x cos a − sen a)
h) y = (1 + nxm )(1 + mxn )
i) y = (1 − x)(1 − x2 )2 (1 − x3 )3
j) y = (5 + 2x)10 (3 − 4x)20
1
2
3
k) y = + 2 + 3
x x
x
6. Demostrar la fórmula
a b
ax + b
cx + d
′
=
c d
(cx + d)2
7. Hallar las derivadas de las funciones
2x
1 − x2
1 + x − x2
b) y =
1 − x + x2
x
c) y =
2
(1 − x) (1 + x)3
a) y =
d) y =
(2 − x2 )(3 − x3 )
(1 − x)2
e) y =
(1 − x)p
(1 + x)q
f) y
g) y
h) y
i) y
j) y
k) y
l) y
xp (1 − x)q
=
1+x
√
√
=x+ x+ 3x
1
1
1
= +√ +√
3
x
x
x
√
2
3
= x2 − √
x
√
= x 1 + x2
√
√
= (1 + x) 2 + x2 3 3 + x3
p
= m+n (1 − x)m (1 + x)n
CA0151 Cálculo diferencial e integral
x
m) y = √
2
a − x2
r
1 + x3
n) y = 3
1 − x3
1
√
1+
+ 1 + x2 )
q
p
√
o) y = x + x + x
q
p
√
p) y = 3 1 + 3 1 + 3 x
ñ) y = √
x2 (x
q) y = cos 2x − 2 sen x
r) y = (2 − x2 ) cos x + 2x sen x
s) y = sen(cos2 x) cos(sen2 x)
t) y = senn x cos nx
u) y = sen[sen(sen x)]
sen3 x
sen x2
cos x
w) y =
2 sen2 x
1
x) y = 2tan x .
v) y =
I semestre del 2023
4.1. LA DERIVADA
19
2
y) y = 14 log xx2 −1
.
+1
√
√
z) y = x + 1 − log(1 + x + 1).
√
√
) y = x log(x + 1 + x2 ) − 1 + x2 .
) y = log
q
1−sen x
.
1+sen x
) y = ex (x2 − 2x + 2).
) y = arc sen(sen x − cos x).
arc sen x 1
1−x
) y= √
.
+ log
1+x
1 − x2 2
√
) y = log(ex + 1 + e2x ).
) y = log tan x2 .
) y = x + xx + xx .
x
8. Sean f y g diferenciables en c. Encuentre los siguientes límites:
xf (c) − cf (x)
.
x−c
x→c
f (x)g(c) − f (c)g(x)
b) lȷ́m
.
x−c
x→c
a) lȷ́m
9. Sea f diferenciable en 0 y tal que f (0) = f ′ (0) = 0 y sea g : R → R definida
mediante


f (x) sin 1 , si x ̸= 0,
x2
g(x) =

0,
si x = 0.
Demuestre que g es diferenciable en 0.
10. Sea f : I → R diferenciable, tal que xf (x) + [f (x)]2 = 1 ∀x ∈ I. Demuestre que
(x + 2f (x))f ′ (x) + f (x) = 0,
∀x ∈ I.
11. Hallar la derivada logarítmica de la función y, si:
r
a) y = x
1−x
.
1+x
b) y = (x−a1 )a1 (x−a2 )a2 · · · (x−an )an .
s
x2 3 3 − x
.
c) y =
1 − x (3 + x)2
√
d ) y = (x + 1 + x2 )π .
12. Hallar y ′ si:
a) y = f (x2 );
c) y = f (sen2 x) + f (cos2 x);
b) y = f (ex ) · ef (x) ;
d ) y = f [f [f (x)]],
donde f es una función derivable.
13. Hallar f ′ (0), si:
f (x) = x(x − 1)(x − 2) · · · (x − 1000).
CA0151 Cálculo diferencial e integral
I semestre del 2023
20
CAPÍTULO 4. DIFERENCIACIÓN
14. Comprobar que la función
(
f (x) =
x2 sen x1
si
si
x = 0,
x ̸= 0; 0
tiene derivada discontinua.
15. Plantee y resuelva los siguientes problemas:
√
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = x x en el punto
(1, 1).
b) Encuentre los puntos sobre la curva de la ecuación y = x4 − 6x2 + 4 en los
que la recta tangente es horizontal.
c) Encuentre las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto (2, −3)
que son tangentes a la parábola y = x2 + x.
d ) Encuentre una parábola cuya ecuación sea y = ax2 + bx y su tangente en
(1, 1) sea la recta de ecuación y = 3x − 2.
e) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva
√
y = (x + 1) 3 3 − x
en los puntos A = (−1, 0), B = (2, 3), C = (3, 0).
f ) ¿Qué relación tiene que haber entre los coeficientes a, b, c, para que la parábola y = ax2 + bx + c sea tangente al eje OX?
g ) ¿Cuál es la condición, para que la parábola cúbica y = x3 +px+q sea tangente
al eje OX?
h) ¿Para qué valor del parámetro a, la parábola y = ax2 sea tangente a la curva
y = log x?
i) Demostrar que las curvas y = f (x) con f (x) > 0 e y = f (x) sen(ax), donde
f (x) es una función derivable, son tangentes entre sí en los puntos comunes.
j) Comprobar que las familias de hipérbolas
x2 − y 2 = a,
xy = b
forman una red ortogonal, es decir, estas curvas se cortan bajo ángulos
rectos.
CA0151 Cálculo diferencial e integral
I semestre del 2023
4.1. LA DERIVADA
21
k) Sea f (x) = x2 + ax + b para todo x. Hallar valores de a y b tales que la recta
y = 2x sea tangente a la gráfica de f en el punto (2, 4).
l ) Dibujar la gráfica de la cúbica f (x) = x − x3 en el intervalo [−2, 2]. Hallar las
constantes m y b de modo que la recta y = mx + b sea tangente a la gráfica
de f en el punto (−1, 0). Una segunda recta que pasa por (−1, 0) es también
tangente a la gráfica de f en el punto (a, c). Determinar las coordenadas a y
c.
16. Halle lo que se pide en cada caso:
a) Sean f y g funciones tales que f (5) = 4, g(5) = 2, f ′ (5) = −6 y g ′ (5) = 5.
Determine (f · g)′ (5).
b) Sea f una función diferenciable y sea h(x) = x2 f (x) +
f (x)
.
x
Si se sabe que
f (1) = 2 y h′ (1) = 5, encuentre f ′ (1).
c) Sea f una función diferenciable tal que x[f (x)]3 + xf (x) = 6 y f (3) = 1. Halle
f ′ (3).
17. En cada uno de los siguientes casos, encuentre la derivada indicada.
a) y = x3 + ex ; y (10) .
b) f (x) = log x + sin x; f ′′′ (x).
d3 y
1
,
.
5x − 6 dx3
d ) f (x) = 2cos x ; f ′′ (x).
c) y =
e) y = log[(2x − 3)(4x − 1)]; y ′′ .
f ) f (x) = x + e
−1
x
; f ′′ (x).
18. Suponga que las siguientes ecuaciones definen implítamente a y como función
diferenciable de x y determine
dy
.
dx
a) x3 + y 3 − 6xy = 0.
b) sin(xy) + y − x2 = 4.
c) yey = e2x+1 .
y
d)
= x2 + 1.
x−y
19. Demostrar que la derivada de una función derivable par es una función impar y
que la derivada de una función derivable impar es una función par.
CA0151 Cálculo diferencial e integral
I semestre del 2023
22
CAPÍTULO 4. DIFERENCIACIÓN
20. Demostrar que la derivada de una función derivable periódica es de nuevo una
función periódica.
21. ¿Con qué velocidad aumenta el área de un círculo en el momento en que su radio
se hace igual a R = 10 cm, si dicho radio crece uniformemente con la velocidad
2 m/s?
22. ¿Con qué velocidad varían el área y la diagonal de un rectángulo en el momento
en que uno de sus lados x = 20 m, y otro de sus lados y = 15 m, si el primer
lado disminuye con la velocidad de 1 m/s mientras que el segundo aumenta con
la velocidad de 2 m/s?
23. (Derivada simétrica) Sea f ∈ RR . Para cada x ∈ R, se define la derivada simétrica
de f en x por la igualdad:
f s (x) := lȷ́m
h→0+
f (x + h) − f (x − h)
,
2h
si el límite existe. Muestre que, si f ′ (x) existe, entonces f s (x) = f ′ (x). Sea g(x) :=
2|x| + x. Muestre que g s (x) existe para todo x ∈ R aún cuando g ′ (0) no existe.
4.2.
Teorema de valor medio, extremos locales.
1. Encuentre el dominio, los intervalos de monotonía y los extremos de la siguientes
funciones.
√
√
x − 2 x + 2.
a) f (x) = x2 + 5x + 7.
g ) f (x) =
b) f (x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 .
h) f (x) = x +
c) f (x) = x5 + x + 1.
i) f (x) =
d ) f (x) = x2/3 (x − 5).
j) f (x) =
e) f (x) =
x
+ cos x.
2
f ) f (x) = 1 − (x − 1)2/3 .
1
.
x2
x+1
.
x2 + 1
x2
x
.
−1
k) f (x) = sin x2 + sin x , x ∈ [0, 2π].
l ) f (x) =
cos x
, x ∈ [0, 2π].
1 + sin2 x
2. Suponga que f es tal que xf ′ (x)+2f (x) = 2, ∀x ∈ I. Demuestre que f (x) = 1+ xc2 ,
donde c es una constante.
CA0151 Cálculo diferencial e integral
I semestre del 2023
4.2. TEOREMA DE VALOR MEDIO, EXTREMOS LOCALES.
Sugerencia: Calcule
23
d
(x2 f (x)).
dx
3. Si una función satisface f ′′ (x) = 0, ∀x ∈ I, demuestre que f (x) es un polinomio
de grado 1. Generalice este resultado.
4. Si a > 0, b ∈ R y n ∈ N − {0}, demuestre que p(x) = x2n+1 + ax + b no puede
tener dos raíces reales.
5. Halle a, b, c, d tales que la función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo local
en 0 con f (0) = 0, y un máximo local en 2 con f (2) = 2.
6. Demuestre que | sin x| < |x| para todo x ̸= 0.
Sugerencia: Primero pruebe que sin x < x para todo x > 0. Para hacerlo, justifique
por qué la desigualdad es evidente si x > 1. Luego, pruebe que la función f (x) =
x−sin x definida en [0, 1], tiene un mínimo global en 0 y además f (0) = 0. Mediante
un procedimiento similar, pruebe que sin x > x para todo x < 0 y concluya el
resultado.
1
7. Demuestre que 1 − cos x ≤ x2 , ∀x ∈ R.
2
1
Sugerencia: Considere f (x) = 1 − cos x − x2 . Calcule f (0) y f ′ (x). Concluya que
2
0 es un máximo global de f .
8. Use el Teorema del Valor Medio para probar que
a) | sin x − sin y| ≤ |x − y|, ∀x, y ∈ R.
b) (x − 1)/x < log x < x − 1 para x > 1.
9. Demuestre las siguientes desigualdades:
m(x − 1)
< xm − 1 < m(x − 1)
1−m
x
(0 < m < 1, x > 1).
10. Muestre que, si f es diferenciable sobre I y f ′ = kf , entonces f (x) = Cekx para
alguna constante C y todo x ∈ I.
11. Suponga que f y g son diferenciables sobre R y suponga que f (0) = g(0) y
f ′ (x) ≤ g ′ (x) para todo x ≥ 0. Demuestre que f (x) ≤ g(x) para todo x ≥ 0.
12. Considere la función cuadrática f (x) = Ax2 + Bx + C y sean a, b ∈ R tales que
a < b. Pruebe que la recta secante que contiene los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) es
paralela a la recta tangente de f en x =
CA0151 Cálculo diferencial e integral
a+b
.
2
I semestre del 2023
24
CAPÍTULO 4. DIFERENCIACIÓN
Figura 4.1: f (x) = x4 sen2 (1/x), x ̸= 0
f (x) − f (y)
− f ′ (x) < ϵ.
x−y
13. Un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud a se hace girar alrededor de
uno de sus catetos. Halle el volumen máximo posible del cono que resulta.
14. Demuestre que la suma de un número positivo y su inverso multiplicativo nunca
es menor que 2.
15. Halle el trapezoide de mayor área que puede ser inscrito en un semicírculo de
radio a, con una base situada a lo largo del diámetro.
16. Sean a1 , . . . , an números reales y sea f definida sobre R por
f (x) :=
n
X
(ai − x)2 ,
∀x ∈ R.
i=1
Encuentre el único mínimo local de f .
17. Demuestre que si g : [−1, 1] → R es la función definida por: g(x) =
x
|x|
para
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] y g(0) = 0, entonces g no es la derivada de ninguna función f
definida sobre [−1, 1].
18. Sea f (x) = x4 sen2 (1/x) para x ̸= 0 y sea f (0) = 0.
a) Demuestre que 0 es un punto mínimo local de f .
b) Demuestre que f ′ (0) = f ′′ (0) = 0.
Esta función no es creciente en ningún intervalo a la derecha de un punto mínimo
local ni tampoco decreciente en ningún intervalo a la izquierda. (Ver Figura 4.1).
CA0151 Cálculo diferencial e integral
I semestre del 2023
4.3. LA REGLA DE L’HÔPITAL, CONVEXIDAD Y GRAFICACIÓN DE FUNCIONES
4.3.
25
La Regla de L’Hôpital, Convexidad y graficación de
funciones
1. Utilice la regla de L’Hôpital (cuando sea aplicable) para calcular los siguientes
límites.
1 − x + log x
.
a) lȷ́m 3
x→1 x − 3x + 2
1
b) lȷ́m xe x − x .
k) lȷ́m
x→1+
log(ex − 1)
.
log(3x)
x→0+
π
m) lȷ́m x −
tan x.
2
x→ π2
6
n) lȷ́m x log 1 −
.
x
x→+∞
l ) lȷ́m
x→−∞
1
c) lȷ́m (ex + x) x .
x→+∞
d ) lȷ́m
x→2
1
x
−
.
x − 1 log x
4
1
−
.
x2 − 4 x − 2
e) lȷ́m (1 − ex ) log x2 .
ñ) lȷ́m x2 e
x→0
−1
x
.
x→0−
1
f ) lȷ́m xe x .
− x1
1
.
o) lȷ́m 1 +
x
x→0+
x→0
1
x2 + 1 sin .
x
x→+∞
1
1
−
h) lȷ́m
.
x−1
x→1 log x
√
3
x−1
.
i) lȷ́m √
x+3−2
x→1
g ) lȷ́m
p) lȷ́m (sin x)x .
x→0+
3x
.
x
x→+∞ 5 − 4
x
x
r) lȷ́m
.
x+1
x→+∞
q) lȷ́m
(x + 2) log(x + ex )
.
x
x→0
1
j) lȷ́m
2. Sea g(x) = x2 para x ∈ [0, 1] y sea

x2 sin
f (x) =
0,
s) lȷ́m (1 − 2x) x .
x→0
1
x
, para 0 < x ≤ 1,
para x = 0.
Entonces tanto f como g son diferenciables en [0, 1] y g(x) > 0 para x ̸= 0.
f (x)
Demuestre que lȷ́m f (x) = 0 = lȷ́m g(x) y que lȷ́m
no existe.
x→0
x→0
x→0 g(x)
3. Sea g(x) = sin x para x ∈ R y sea

x2 sin
f (x) =
0,
CA0151 Cálculo diferencial e integral
1
x
, para x ̸= 0,
para x = 0.
I semestre del 2023
26
CAPÍTULO 4. DIFERENCIACIÓN
f (x)
f ′ (x)
= 0 pero que lȷ́m ′
no existe.
x→0 g(x)
x→0 g (x)
Demuestre que lȷ́m
4. Muestre que la función f (x) = ax3 +bx2 +cx+d siempre tiene un punto de inflexión.
Además, si su gráfica interseca el eje x en tres puntos, sean estos (x1 , 0), (x2 , 0)
y (x3 , 0), muestre que la coordenada x en ese punto de inflexión es
5. Determine para cuales valores de c el polinomio P (x) = x4 + cx3 +
x1 +x2 +x3
.
3
1 2
x
24
tiene:
a) dos puntos de inflexión,
b) un punto de inflexión,
c) ningún punto de inflexión.
6. Construya la gráfica de una función f que cumpla simultáneamente todas las
condiciones dadas.
a) Dominio: R − {−3, 1}.
e) f (0) = −1, f (−1) = 1
b) lȷ́m f (x) = 1, lȷ́m f (x) = +∞.
f ) f ′ (x) < 0 ∀x > 3,
x→+∞
c)
x→−∞
lȷ́m f (x) = −∞, lȷ́m f (x) = 2.
x→−3−
x→−3+
d ) lȷ́m f (x) = 2, lȷ́m f (x) = −∞.
x→1−
x→1+
g ) f ′ (x) = −1 ∀x ∈ (−3, −1).
h) lȷ́m f (x) existe.
x→−1
7. Realice el análisis completo y trace la gráfica respectiva.
a) f (x) =
1 + x2
.
1 − x2
e) f (x) =
b) f (x) =
x3 − 27
.
8 − x3
f ) f (x) = x log2 x.
c) f (x) =
x2 − 2x + 2
.
x−1
g ) f (x) =
d ) f (x) = x4 − 2x2 − 3.
CA0151 Cálculo diferencial e integral
5(x2 − 1)
.
x4 − 2
x
+ cos x.
2
h) f (x) = x(6 − x)2/3 .
I semestre del 2023
Capítulo 5
Integración
5.1.
Cálculo de primitivas
1. A partir de integrales elementales, hallar las siguientes integrales:
Z
a)
q
Z √
1
g)
1− 2
x x dx
x
√
Z √
1 + x2 + 1 − x2
√
dx
h)
1 − x4
Z
i) (2x + 3x )2 dx
2 3
(3 − x ) dx
Z
b)
x2 (5 − x)4 dx
Z
c)
(1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x) dx
2
Z 1−x
dx
d)
x
Z
x+1
√ dx
e)
x
√
Z √
3
x − 2 x2 + 1
√
f)
dx
4
x
Z
2x+1 − 5x−1
dx
10x
Z
e3x + 1
dx
ex + 1
j)
k)
2. Hallar las integrales que se dan a continuación, mediante una transformación
adecuada de la expresión subintegral:
Z
x
√
a)
dx
1 − x2
Z
√
3
b)
x2 1 + x3 dx
Z
c)
Z
d)
Z
dx
p
x(1 + x)
Z
xe−x dx
Z
dx
ex + e−x
e)
f)
x
dx
3 − 2x2
g)
Z
dx
√
(1 + x) x
h)
27
2
√
dx
1 + e2x
28
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN
log2 x
i)
dx
x
Z
dx
j)
x log x log(log x)
Z
k)
sen5 x cos x dx
Z
sen x + cos x
√
l)
dx
3
sin x − cos x
Z
sen x
√
m)
dx
cos 2x
Z
Z
n)
sen2
dx
+2 cos2 x
Z
dx
√
(arc sen x)2 1 − x2
s
√
Z
log(x + 1 + x2 )
p)
dx
1 + x2
Z
1
1+x
dx
log
q)
1 − x2
1−x
o)
3. Aplicando el método de integración por partes, hallar las siguientes integrales:
Z
Z
a)
log x dx
2
Z log x
b)
dx
x
Z
√
c)
x log2 x dx
Z
d)
xe−x dx
Z
e)
x2 e−2x dx
Z
2
f)
x2 e−x dx
Z
g)
x cos x dx
h)
arctan x dx
Z
i)
arc sen x dx
Z
j)
x arctan x dx
Z
k)
log(x +
√
1 + x2 ) dx
Z
l)
sen(log x) dx
Z
m)
eax cos bx dx
4. Aplicando el método de los coeficientes indeterminados, hallar las siguientes integrales:
Z
a)
Z
x dx
dx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Z
x10
dx
x2 + x − 2
b)
c)
Z
x3 + 1
dx
x3 − 5x2 + 6x
Z
x4
dx
x4 + 5x2 + 4
d)
e)
2x + 3
dx
(x − 2)(x + 5)
CA0151 Cálculo diferencial e integral
Z
f)
x3
Z
g)
x
dx
− 3x + 2
dx
(x + 1)(x + 2)2 (x + 3)2
Z
h)
x5
−
dx
− 2x2 + x + 1
2x3
Z
x2 + 5x + 4
dx
x4 + 5x2 + 4
Z
dx
(x + 1)(x2 + 1)
i)
j)
+
x4
I semestre del 2023
5.1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
29
Z
Z
dx
k)
2
(x − 4x + 4)(x2 − 4x + 5)
Z
x dx
l)
x3 − 1
m)
dx
−1
x4
5. Con base en sustituciones trigonométricas x = a sin t, x = a tan t, etc., hallar las
siguientes integrales (los parámetros son positivos):
x2
√
a)
dx
x2 − 2
Z √ 2
x +1
b)
dx
x2
Z
x2
dx
1 − x2
Z √ 2
x − a2
d)
dx
x
Z
c)
√
Z
dx
√
x2 4 − x2
Z
dx
√
dx
f)
x 1 + x2
Z √
g)
a2 − x2 dx
Z
x dx
√
h)
5 + x − x2
Z
cos x dx
√
i)
dx
1 + sen x + cos2 x
e)
6. Mediante reducción de las funciones subintegrales a funciones racionales, hallar
las siguientes integrales:
Z
a)
dx
√
1+ x
√
1− x+1
√
dx
d)
1+ 3x+1
Z
dx
√
√
e)
(1 + 4 x)3 x
√
Z √
x+1− x−1
√
√
f)
dx
x+1+ x−1
Z
Z
dx
√
√
x(1 + 2 x + 3 x)
√
Z
x32+x
√
c)
dx
x+ 32+x
b)
7. Hallar las integrales:
Z
a)
Z
b)
Z
c)
d)
sen6 x dx
sen3 x
dx
cos4 x
Z
dx
cos3 x
Z
dx
sen x cos4 x
g)
2
4
4
5
sen x cos x dx
Z
Z
f)
sen x cos x dx
Z
e)
cos5 x dx
cos4 x
dx
sen3 x
CA0151 Cálculo diferencial e integral
h)
Z
i)
Z
j)
tan5 x dx
dx
2 sen x − cos x + 5
I semestre del 2023
30
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN
Z
k)
dx
(2 + cos x) sen x
Z
l)
sen2 x
dx
1 + sen2 x
8. Deducir la fórmula recurrente
Z
Z
xm+1 logn x
n
n
m
x log x dx =
−
xm logn−1 x dx
m+1
m+1
Z
y utilizarla para integrar
x3 log3 x dx.
5.2.
Integral Definida
1. Sirviéndose de integrales definidas, hallar los límites de las siguientes sumas:
1
2
n−1
a) lȷ́m
+
+ ... +
n2 n2
n2
n→∞
1
1
1
+
+ ... +
b) lȷ́m
n+1 n+2
n+n
n→∞
n
n
n
c) lȷ́m
+
+ ... + 2
n2 + 1 2 n2 + 2 2
n + n2
n→∞
π
2π
(n − 1)π
1
sin + sin
+ . . . + sin
d ) lȷ́m
n
n
n
n→∞ n
n
π X
1
e) lȷ́m sin ·
n k=1 2 + cos kπ
n→∞
n
1/n
2/n
2
2
2n/n
f ) lȷ́m
+
+ ... +
n + 1 n + 21
n + n1
n→∞
n
X
g ) lȷ́m
(n2 + k 2 )−1/2 .
n→∞
k=1
2. Hallar:
d
a)
dx
Zx2 √
1 + t2 dt;
0
d
b)
dx
Zx3
dt
√
,
1 + t4
d
c)
dx
cos
Z x
cos(πt2 ) dt
sen x
x2
3. Sea f (x) una función positiva continua. Verificar que la función
Zx
tf (t) dt
φ(x) = 0Zx
f (t) dt
0
es creciente para x ≥ 0.
CA0151 Cálculo diferencial e integral
I semestre del 2023
5.2. INTEGRAL DEFINIDA
31
4. Aplicando la fórmula de integración por partes, hallar las siguientes integrales
definidas:
Ze
log 2
Z
a)
xe−x dx
d)
| log x| dx
0
1
e
Zπ
Z1
b)
x sen x dx
e)
0
0
√
Z2π
c)
arc cos x dx
Z3
x arctan x dx
f)
2
x cos x dx
0
0
5. Aplicando una sustitución adecuada, hallar las siguientes integrales definidas:
Z1
a)
Z1
x
√
dx
5 − 4x
e)
−1
0
Za
b)
x
2
√
log 5 √
Z
ex ex − 1
f)
dx.
ex + 3
a2 − x2 dx
0
0
Z3/4
c)
Z5
dx
√
(x + 1) x2 + 1
g)
0
dx
√
.
2x + 3x + 1
0
log 2
Z
Z2π
√
ex − 1 dx
d)
√
arc sen x
p
dx
x(1 − x)
h)
0
dx
.
5 − 3 cos x
0
6. Verificar que, si f (x) es continua en [0, 1], entonces
Zπ/2
Zπ/2
a)
f (sen x) dx =
f (cos x) dx.
0
Zπ
b)
0
0
π
xf (sen x) dx =
2
Zπ
f (sen x) dx. A partir de lo anterior, deducir que
0
Zπ
x sen x
dx = π
1 + cos2 x
0
CA0151 Cálculo diferencial e integral
Z1
π2
dx
=
.
1 + x2
4
0
I semestre del 2023
32
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN
7. Verificar, que
π
π
Z2
Z2
f (sen x) dx =
0
f (cos x) dx.
0
8. Hallar la integral
Z3
f ′ (x)
dx,
1 + f 2 (x)
−1
si f (x) =
(x + 1)2 (x − 1)
.
x3 (x − 2)
9. Verificar que:
π
Z2
a)
sen2 x dx =
π
.
4
0
π
π
Z2
Z2
b)
sen4 x dx =
0
3π
.
6
sen4 x dx =
5π
.
32
0
π
2
Z
c)
sen2 x dx =
π
sen6 x dx =
0
Z2
0
Sugerencia: integración por partes.
10. Demostrar que
Z1
dt
=
1 + t2
x
dt
,
1 + t2
a) Hallar un entero n tal que n
xf ′′ (2x) dx =
0
Z1
b) Calcular
si x > 0.
1
Z1
11.
Z1/x
Z2
tf ′′ (t) dt.
0
xf ′′ (2x) dx, si se sabe que f (0) = 1, f (2) = 3 y f ′ (2) = 5.
0
12. Encontrar una función f , continua para todo x (y no constantemente nula), tal que
f 2 (x) =
Zx
f (t) ·
sen t
dt.
2 + cos t
0
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5.2. INTEGRAL DEFINIDA
33
13. Designar por A el valor de la integral
Zπ
cos x
dx
(x + 2)2
0
y calcular la siguiente integral en función de A
Zπ/2
sen x cos x
dx.
x+1
0
14. Sea f una función continua en [0, 1]. Suponga que para cada x ∈ [0, 1] se cumple
Zx
Z1
que
f = f . Calcule explícitamente una fórmula para f (x).
0
x
15. Sea f una función continua. Suponga que
x2Z
(1+x)
f (t) dt = x,
∀ x ≥ 0.
0
Calcule f (2).
c 2x
16. Sea g(x) = x e
Zx
y f (x) =
e2t (3t2 + 1)1/2 dt. Para un cierto valor de c, el límite
0
de f ′ (x)/g ′ (x) cuando x → +∞ es finito y no nulo. Determinar c y calcular el
valor del límite.
17. Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4x − x2 y el eje de las
abscisas.
18. Hallar el área de la figura limitada por la curva y = log x, el eje OX y la recta
x = e.
19. Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x(x − 1)(x − 2) y el eje OX.
20. Hallar el área de la figura limitada por la curva y 3 = x, la recta y = 1 y la vertical
x = 8.
21. Calcular el área de la figura limitada por la curva y = x3 , la recta y = 8 y el eje
OY .
22. Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 2x−x2 y la recta y = −x.
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I semestre del 2023
34
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN
23. Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = x2 , y =
recta y = 2x.
24. Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y =
x2
2
e y = 4− x2 .
3
3
25. Calcular el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi y =
la parábola y =
x2
.
2
x2
y la
2
1
y
1 + x2
26. Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = ex , y = e−x y la recta
x = 1.
27. Calcular los valores medios de las funciones dadas en los intervalos indicados:
a) f (x) = x2 , en [0, 1].
√
b) f (x) = x, en [0, 100].
c) f (x) = 10 + 2 sin x + 3 cos x, en [0, 2π].
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