Programa del Diploma
Matemáticas NM:
cuadernillo de fórmulas
Para su uso durante el curso y en los exámenes
Primeros exámenes: 2014
Edición de 2015 (2.a versión)
© Organización del Bachillerato Internacional, 2012
5047
Índice
Conocimientos previos
2
Unidades
3
Unidad 1: Álgebra
3
Unidad 2: Funciones y ecuaciones
4
Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría
4
Unidad 4: Vectores
5
Unidad 5: Estadística y probabilidad
5
Unidad 6: Análisis
6
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
1
Fórmulas
Conocimientos previos
A= b × h
Área del paralelogramo
Área del triángulo
=
A
1
(b × h)
2
Área del trapecio
=
A
1
( a + b) h
2
A = πr 2
Área del círculo
C = 2πr
Longitud de la circunferencia
Volumen de la pirámide
=
V
Volumen del ortoedro (prisma rectangular)
Volumen del cilindro
1
( área de la base × altura )
3
V =l × a × h
V = πr 2 h
Área lateral del cilindro
A= 2πrh
Volumen de la esfera
V=
4 3
πr
3
Volumen del cono
V=
1 2
πr h
3
Distancia entre dos puntos ( x1 , y1 , z1 ) y
d=
( x2 , y2 , z2 )
Coordenadas del punto medio de un segmento
de recta que tiene por extremos ( x1 , y1 , z1 ) y
( x2 , y2 , z2 )
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2
 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 
,
,


2
2 
 2
2
Unidades
Unidad 1: Álgebra
1.1
Término enésimo de una
progresión aritmética
Suma de n términos de
una progresión
aritmética
Término enésimo de una
progresión geométrica
un = u1 + (n − 1) d
S n=
n
n
( 2u1 + (n − 1) d )= (u1 + un )
2
2
un = u1r n −1
Suma de los n términos
u1 (r n − 1) u1 (1 − r n )
, r ≠1
=
S
=
n
de una progresión
1− r
r −1
geométrica finita
1.2
Suma de una progresión
geométrica infinita
S∞ =
Potencias y logaritmos
ax = b ⇔
Propiedades de los
logaritmos
1.3
u1
, r <1
1− r
x = log a b
log c a + log c b =
log c ab
a
log c a − log c b =
log c
b
log c a r = r log c a
Cambio de base
log b a =
Coeficientes del
desarrollo de la potencia
de un binomio
n
n!
 =
 r  r !(n − r )!
Teorema del binomio
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
log c a
log c b
 n
 n
(a + b) n = a n +   a n −1b + +   a n − r b r + + b n
1
r
3
Unidad 2: Funciones y ecuaciones
2.4
Eje de simetría del gráfico
de una función cuadrática
f ( x) =
ax 2 + bx + c ⇒ eje de simetría
2.6
Relaciones entre las
funciones exponencial y
logarítmica
a x = e x ln a
log a a x= x= a loga x
2.7
Soluciones de una
ecuación cuadrática o
cuadrática
Discriminante
ax 2 + bx + c= 0 ⇒
∆= b 2 − 4ac
x=
b
x=
−
2a
−b ± b 2 − 4ac
, a≠0
2a
Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría
3.1
Longitud del arco
Área del sector circular
3.2
3.3
3.6
l =θr
1
A = θ r2
2
senθ
cos θ
Identidad trigonométrica
tanθ =
Relación fundamental
sen 2θ + cos 2θ =
1
Fórmulas del ángulo doble
sen 2θ = 2 sen θ cos θ
Teorema del coseno
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ; cos C =
Teorema del seno
Área del triángulo
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ = 2cos 2 θ − 1 = 1 − 2sen 2θ
a 2 + b2 − c2
2ab
a
b
c
= =
sen A sen B sen C
A=
1
ab sen C
2
4
Unidad 4: Vectores
v =
v12 + v2 2 + v32
4.1
Módulo de un vector
4.2
Producto escalar
v⋅w =
v w cos θ
Ángulo entre dos vectores
cos θ =
4.3
Ecuación vectorial de una
recta
v ⋅ w= v1w1 + v2 w2 + v3 w3
v⋅w
v w
r = a + tb
Unidad 5: Estadística y probabilidad
5.2
Media de un conjunto de
datos
∑fx
n
x=
i =1
n
∑f
i i
i =1
5.5
5.6
A
P ( A) =
Sucesos complementarios
P ( A) + P ( A′) =
1
Probabilidad de un suceso
Sucesos compuestos
Sucesos incompatibles o
mutuamente excluyentes
Probabilidad condicionada
Sucesos independientes
5.7
Valor esperado de una
variable aleatoria discreta X
5.8
Distribución binomial
5.9
i
n ( A)
n (U )
P ( A ∪ B )= P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B)
P ( A ∪ B )= P ( A) + P ( B)
P ( A ∩ B) =
P (A) P (B | A)
P ( A ∩ B) =
P ( A) P ( B)
E(X =
) µ=
∑ x P ( X=
n r
n−r
X ~ B(n , p ) ⇒ P ( X =
r) =
0,1,  , n
  p (1 − p ) , r =
r
 
Media
E ( X ) = np
Varianza
Var (=
X ) np (1 − p )
Variable normal tipificada
o estandarizada
z=
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
x)
x
x−µ
σ
5
Unidad 6: Análisis
6.1
6.2
Derivada de f ( x)
y = f ( x) ⇒
Derivada de x n
f ( x) =
xn ⇒
Derivada de sen x
f ′( x) =
nx n −1
f ( x) = sen x ⇒ f ′( x) = cos x
Derivada de cos x
cos x ⇒ f ′( x) =
f ( x) =
−sen x
Derivada de tan x
f ( x) = tan ( x) ⇒
Derivada de e x
f ( x) =
ex ⇒
f ′( x) =
ex
Derivada de ln x
f ( x) =
ln x ⇒
1
f ′( x) =
x
Regla de la cadena
y = g (u ) , u =f ( x) ⇒
Regla del producto
y =uv ⇒
Regla del cociente
6.4
dy
 f ( x + h) − f ( x ) 
= f ′( x) = lim 

h
→
0
dx
h


Integrales inmediatas
u
y=
v
1
cos 2 x
dy dy du
= ×
dx d u d x
dy
dv
du
=u + v
dx
dx
dx
du
dv
v −u
dy
= dx 2 dx
dx
v
⇒
n
dx
∫x=
f ′( x) =
x n +1
+ C , n ≠ −1
n +1
∫ x dx =ln x + C ,
1
x>0
∫ sen x dx = − cos x + C
x dx
∫ cos =
∫e
6.5
Área bajo una curva entre
x=ayx=b
Volumen de revolución
alrededor del eje x desde
x = a hasta x = b
6.6
Distancia total recorrida
desde el instante t1 a t 2
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
x
sen x + C
d=
x ex + C
A = ∫ y dx
b
a
V = ∫ πy 2 dx
b
a
Distancia =
∫
t2
t1
v(t ) dt
6