Множество действительных чисел. Натуральные числа. Свойства
натуральных чисел.
Действительными или вещественными числами называются все положительные
числа, отрицательные и нуль. Множество действительных чисел объединяет в себе
множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество
действительных чисел R.
Натуральные числа- числа возникающие естественным образом при счете
1,2,3,4…..
Свойства натуральных чисел
Свойство сложения натуральных чисел
1. Переместительное свойство: a+b=b+a
Сумма не изменяется при перестановке слагаемых
2.Сочетательное свойство: a+(b+c)=(a+b)+c
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое
слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое
3. От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какоенибудь число, то получится прибавленное число.
Свойства вычитания.
1. Свойство вычитания суммы из числа a−(b+c)=a−b−c если b+c≤a Для того, чтобы
вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а
затем из полученной разности- второе слагаемое
2.Свойство вычитания числа из суммы (a+b)−c=a+(b−c), если c≤b
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к
полученной разности прибавить другое слагаемое Если из числа вычесть нуль, то
число не изменится
2.
Если из числа вычесть его само, то получится нуль.
3.
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится.
4.
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится Если из числа вычесть
его само, то получится нуль.
Свойства умножения
1.Переместительное a⋅b=b⋅a
Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей
2.Сочетательное a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c
Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его
на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй
множитель
3. При умножении на единицу произведение не изменяется m⋅1=m
4.При умножении на нуль произведение равно нулю Когда в записи произведения
нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.
2. Понятие множества. Действия над множествами.
Множество можно представить как совокупность некоторых объектов
объединенные по какому-либо признаку или свойству т.е. множество-понятий не
определяемо. Множество может состоять из чисел точек прямых и т.д
Действия над множествами
Сложение
1.
Суммой нескольких множеств А,В,… называют множество состоящее из тех и
только тех элементов, которые входят хоть в одно из слагаемых множеств.
Пересечение
Пересечением нескольких множеств А,В,…. Называют новое множество,
содержащее те и только те элементы, которые входят в каждое из множеств А,В…
Вычитание
Разностью двух множеств А и В называют новое множество , в которое входят все
элементы множества А, не принадлежащие В.
3.Взаимно однозначное соответствие. Простые и составные числа.
Если каждому элементу множество А по какому-либо закону или правилу можно
поставить соответствие 1 и только 1 элемент множества В и наоборот то такое
соответствие называется взаимно однозначным.
Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами.
Числа, имеющие другие делители называются составными числами.
4.Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.
НОД- Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на
которое a и b делятся без остатка.
НОК- Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число,
которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится
без остатка на число a и число b.
5.Обыкновенные дроби. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей.
Одна или несколько равных частей единицы называется обыкновенной дробью.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно привести их к
наименьшему общему знаменателю затем сложить или вычесть полученные дроби
используя правило сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей
2. первое произведение записать числителе, а второе - знаменателем.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное
делителю.
6. Десятичные дроби. Преобразование десятичных дробей в обыкновенные и
обратно.
Десятичные дроби — это дробные числа, которые представлены в десятичной
записи.
Десятичные дроби используются для более компактной записи правильных
обыкновенных дробей, знаменателями которых являются числа 10, 100, 1000 и т.д. и
смешанные числа, знаменателями дробной части которых являются числа 10, 100,
1000 и т.д.
Например, обыкновенную дробь 810 можно записать в виде десятичной дроби 0,8,
а смешанное число 4058100 - в виде десятичной дроби 405,08.
Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:
1. Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких
цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой n.
2. Переписать исходное число в виде дроби вида a10n, где a — это все цифры
исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а n — то самое
количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими
словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с n нулями.
3. По возможности сократить полученную дробь.
Например:
0,64 = 64100 = 1625
Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому n = 2.
Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим
число 64.
Переходим ко второму шагу: 10n = 102 = 100, поэтому в знаменателе стоит именно
сто.
Затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий
делитель. НОД (64, 100) = 4.
7. Периодические и непериодические десятичные дроби. Округление дробей.
Периодическая десятичная дробь — это любая десятичная дробь, у которой:
1. Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;
2. Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.
Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть,
называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе
— периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется,
называется непериодической частью.
Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких
дробей:
Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0;
периодическая часть: 3; длина периода: 1.
Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова
8. Одночлен и многочлен. Действия над многочленами: раскрытие скобок.
Привидение подобных членов, вынесение общего множителя за скобки.
Одночленом называется конечный произведение чисел, букв и их натуральных
степеней, а также сами числа, буквы и их степени.
Нулевой одночлен — число 0.
Определение: Степень одночлена — это сумма показателей букв, что входит в
одночлен. Если одночленом является число, что не равно нулю, то его степень
считается равным нулю.
Одночлен записан в стандартном виде, если первый множитель есть число,
называется коэффициентом одночлена.
— одночлен в стандартном виде
Подобные одночлен, если они равны между собой или различаются только своими
коэффициентами.
Действия над одночленами
1.
Сложение и вычитание
2.
Умножение
3.
Возведение в степень
4.
Деление
Многочлен
Определение: Многочлен — сумма конечного числа одночлен (каждый из
которых называется членом многочлена).
Одночлен, состоящие из одного члена также считаются многочленами.
Число 0 называется нулевым многочленом
С многочленами можно выполнять следующие действия: сложение, вычитание,
умножение, возведение в натуральную степень и деление на ненулевой многочлен.
Начнем со сложения. Составим сумму (7·x2−1)+(x·y−x2+2). После раскрытия
скобок она примет вид 7·x2−1+x·y−x2+2. Осталось полученный многочлен привести
к стандартному виду: 7·x2−1+x·y−x2+2=6·x2+1+x·y.
Вычитание многочленов проводится аналогично:
(7·x2−1)−(x·y−x2+2)=7·x2−1−x·y+x2−2=8·x2−3−x·y.
Ответ:
(7·x2−1)+(x·y−x2+2)=6·x2+1+x·y и (7·x2−1)−(x·y−x2+2)=8·x2−3−x·y.
Записываем произведение многочленов: (a−b)·(−3·a+b). Берем первый член
первого многочлена a−b, то есть, a, и умножаем его на каждый член второго
многочлена, имеем произведения a·(−3·a) и a·b. Теперь берем второй член первого
многочлена, то есть, −b, и умножаем его на все члены второго многочлена, имеем
произведения −b·(−3·a) и −b·b.
Осталось
сложить
все
полученные
2
2
произведения: a·(−3·a)+a·b−b·(−3·a)−b·b=−3·a +4·a·b−b .
Покажем, как записывается краткое решение:
(a−b)·(−3·a+b)=a·(−3·a)+a·b−b·(−3·a)−b·b=−3·a2+4·a·b−b2.
Ответ:
(a−b)·(−3·a+b)=−3·a2+4·a·b−b2.
Сначала записываем степень многочлена, дальше переходим к умножению,
наконец, выполняем это действие с многочленами:
(2·a·b−b3)2=(2·a·b−b3)·(2·a·b−b3)=2·a·b·(2·a·b)+2·a·b·(−b3)−b3·(2·a·b)−b3·(−b3)=4·a2·
b2−4·a·b4+b6.
Ответ:
(2·a·b−b3)2=4·a2·b2−4·a·b4+b6.
Говорят, что многочлен P(x) делится без остатка (или просто делится) на
некоторый
многочлен M(x),
если
существует
многочлен Q(x) такой,
что P(x)=M(x)·Q(x).
9. Обыкновенные дроби. Сравнение дробей.
Для описания количества долей используются обыкновенные дроби. Приведем
пример, который позволит нам подойти к определению обыкновенных дробей.
Пусть апельсин состоит из 12 долей. Каждая доля в этом случае представляет одну
двенадцатую долю целого апельсина, то есть, 1/12. Две доли обозначим как 2/12, три
доли – как 3/12, и так далее, 12 долей обозначим как 12/12. Каждую из приведенных
записей называют обыкновенной дробью.
Теперь дадим общее определение обыкновенных дробей.
Определение. Обыкновенные дроби – это записи вида m/n (или m/n), где m и n –
любые натуральные числа.
Озвученное определение обыкновенных дробей позволяет привести примеры
обыкновенных дробей: 5/10, 21/1, 9/4, ... А вот записи не подходят под озвученное
определение обыкновенных дробей, то есть, не являются обыкновенными дробями.
Числитель и знаменатель
Для удобства в обыкновенной дроби различают числитель и знаменатель.
Определение. Числитель обыкновенной дроби m/n (m/n) – это натуральное число
m.
Определение. Знаменатель обыкновенной дроби m/n (m/n) – это натуральное число
n.
Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей
Достаточно естественным действием является сравнение обыкновенных дробей,
ведь понятно, что 1/12 апельсина отличается от 5/12, а 1/6 доля яблока такая же, как
другая 1/6 доля этого яблока.
В результате сравнения двух обыкновенных дробей получается один из
результатов: дроби либо равны, либо не равны. В первом случае мы имеем равные
обыкновенные дроби, а во втором – неравные обыкновенные дроби. Дадим
определение равных и неравных обыкновенных дробей.
Определение. Две обыкновенные дроби a/b и c/d равны, если справедливо
равенство a·d=b·c.
Определение. Две обыкновенные дроби a/b и c/d не равны, если равенство a·d=b·c
не выполняется.
Приведем несколько примеров равных дробей. Например, обыкновенная дробь 1/2
равна дроби 2/4, так как 1·4=2·2 (при необходимости смотрите правила и примеры
умножения натуральных чисел). Для наглядности можно представить два
одинаковых яблока, первое разрезано пополам, а второе – на 4 доли. При этом
очевидно, что две четвертых доли яблока составляют 1/2 долю. Другими примерами
равных обыкновенных дробей являются дроби 4/7 и 36/63, а также пара дробей 81/50
и 1 620/1 000.
А обыкновенные дроби 4/13 и 5/14 не равны, так как 4·14=56, а 13·5=65, то есть,
4·14≠13·5. Другим примером неравных обыкновенных дробей являются дроби 17/7 и
6/4.
Если при сравнении двух обыкновенных дробей выяснилось, что они не равны, то
возможно потребуется узнать, какая из этих обыкновенных дробей меньше другой, а
какая – больше. Чтобы это выяснить, используется правило сравнения обыкновенных
дробей, суть которого сводится к приведению сравниваемых дробей к общему
знаменателю и последующему сравнению числителей.
10.Отношения. Пропорции. Проценты.
1.
Отношение двух чисел – это частное от деления одного числа на другое.
2. Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше
другого или какую часть одно число составляет от другого.
3.
Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине
соответствующего отрезка на местности.
4.
Пропорцией называется верное равенство двух отношений.
5.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов
пропорции равно произведению средних членов. c : d = e : f
c·f=d·e
6.
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо умножить
средние члены пропорции и разделить на известный крайний.
7.
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо умножить
крайние члены пропорции и разделить на известный средний.
8.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при
увеличении одной из величин в несколько раз другая величина увеличивается во
столько же раз. Прямо пропорциональные величины:
стоимость товара – количество товара,
время движения – пройденный путь (при постоянной скорости),
время выполнения работы – объем(при постоянной производительности).
9.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при
увеличении одной из величин в несколько раз другая величина уменьшается во
столько же раз. Обратно пропорциональные величины:
цена товара – количество товара (при покупке на данную сумму денег)
скорость движения – время движения  (при постоянной длине пути).
производительность труда – время выполнения определенной работы
10.
Чтобы выразить проценты десятичной дробью, надо число, стоящее
перед знаком %, умножить на 0,01 или разделить на 100.
11.
Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо ее умножить на
100.
12.
Чтобы найти проценты от данного числа, надо проценты выразить
десятичной или обыкновенной дробью и умножить данное число на эту дробь.
13.
Чтобы найти число по его процентам, надо проценты выразить
десятичной или обыкновенной дробью и данное число разделить на эту дробь.
14.
Чтобы узнать, сколько процентов составляет одно число от другого,
надо первое число разделить на второе и выразить полученное отношение в
процентах.
11. Уравнения. Корни уравнения.
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.
Уравнения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными – это уравнения, содержащие
в своей записи одну, две, три, … неизвестные переменные соответственно.
Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке
которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
12. Равносильность уравнений.
Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают
(в том числе, уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными).
Если все решения первого уравнения являются решениями второго уравнения
(множество решений первого уравнения является подмножеством решений второго
уравнения), то второе уравнение называется следствием первого уравнения.
Обозначение:
Таким образом, два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из
них является следствием другого.
Теоремы равносильности
Теорема 1. Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно
равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение,
равносильное данному.
Теорема 2. Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл
на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.
Следствие. Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую,
поменяв его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное
данному.
Теорема 3. Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение,
имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим
уравнение, равносильное данному.
Теорема 4. Уравнение равносильно совокупности систем
13. Решение линейных уравнений с одной переменной.
Определение: Уравнение вида ax = b ,где x - переменная, а и b - некоторые числа,
называется линейным уравнением с одной переменой.
a- коэффициент при неизвестной,
b- свободный член линейного уравнения.
Алгоритм решения линейного уравнения:
1) Раскрыть скобки, то есть умножить каждое слагаемое в скобках на число за
скобками. Не забыть при умножении на отрицательное число знак каждого
слагаемого в скобках поменять на противоположный.
2) Привести подобные слагаемые в правой и левой частях уравнения.
3) Слагаемые с неизвестным перенести в левую часть уравнения, а числовые
слагаемые — в правую. При переносе не забыть поменять знак слагаемого на
противоположный.
4) Привести подобные слагаемые в правой и левой частях уравнения.
5) Разделить обе части уравнения на число перед неизвестным (если это число не
равно нулю).
6) Записать ответ.
14. Неравенства. Равносильные неравенства.
Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных
математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков:
Строгие неравенства:
а<b - означает,что a меньше,чем b.
a>b - означает,что a больше,чем b.
Неравенства a>b,b<a равносильны.
Нестрогие неравенства:
a ≤ b - означает,что a меньше либо равно b.
a ≥ b - означает,что a больше либо равно b.
Другие типы неравенств:
a ≠ b - означает,что a не равно b.
Два неравенства f(x) > g(x) и r(x) > s(x) называют равносильными, если они имеют
одинаковые решения, или в частности — если оба неравенства не имеют решений.
При решении неравенства данное неравенство заменяют более простым, но
равносильным ему.
15. Системы неравенств
Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной
скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в
систему.
Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2 • x - 3 > 0 и 5-x ≥ 4
• x - 11. Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при
помощи фигурной скобки:
Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных
учебниках как для использования одной переменной, так и двух.
16.График степенной функции y=x²ⁿ , y=x ²ⁿ⁻¹ , y=1/x²ⁿ (y=1/x²), y=1/x²ⁿ⁻¹
(y=1/x³).
1.Показатель p=2n -четное натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x2n, где n - натуральное число, обладает
следующими свойствами:
●
область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
●
множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
●
функция y=x2n четная, так как x2n=(-x)2n
●
функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на
промежутке x>0.
График функции y=x2n имеет такой же вид, как например график функции y=x4.
2. Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y=x2n-1 , где натуральное число, обладает
следующими свойствами:
●
область определения - множество R;
множество значений - множество R;
●
функция y=x2n-1 нечетная, так как (-x)2n-1=x2n-1;
●
функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x3
3.Показатель p=-2n, где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x-2n=1/x2n обладает следующими свойствами:
●
область определения - множество R, кроме x=0;
●
множество значений - положительные числа y>0;
●
функция y=1/x2n четная, так как 1/(-x)2n=1/x2n;
●
функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на
промежутке x>0.
График функции y=1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции
y=1/x2.
4.Показатель p=-(2n-1), где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x-(2n-1) обладает следующими свойствами:
●
область определения - множество R, кроме x=0;
●
множество значений - множество R, кроме y=0;
●
функция y=x-(2n-1) нечетная, так как (-x)-(2n-1) =-x-(2n-1);
●
функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.
График функции y=x-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции
y=1/x3.
17. Разложение многочлена на множители. Формулы сокращенного
умножения.
Многочлен можно разложить на множители с помощью формул сокращённого
умножения, записанных в виде:
𝑎2−𝑏2=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏) (разность квадратов);
𝑎3−𝑏3=(𝑎−𝑏)(𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2) (разность кубов);
𝑎3+𝑏3=(𝑎+𝑏)(𝑎2−𝑎𝑏+𝑏2) (сумма кубов);
𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎+𝑏)2 (квадрат суммы);
𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎−𝑏)2 (квадрат разности).
18.Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Степень с рациональным показателем - это та, в показателе которой находится
конечная обыкновенная или десятичная дробь.
Любую степень с рациональным показателем можно представить в виде корня,чья
степень будет равна знаменателю дроби, находящейся в показателе степени, а
числитель будет степенью подкоренного выражения.
Свойства степени с рациональным показателем:
1. Если Вам необходимо умножить две степени с рациональными показателями,
которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо
оставить без изменения, а показатели сложить.
ap * aq = ap+q.
Например,
2. Если необходимо разделить две степени c рациональными показателями,
которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо
оставить без изменения, а показатели вычесть.
ap / aq = ap-q .
Например,
3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата
останется то же число, а показатели степени перемножаются.
(ap )q = ap*q
4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных
чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при
котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.
(a * b)p = ap * bp
5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря,
для возведения обыкновенной двоби в степень.
(a / b)p = ap / bq
6. Если некоторая дробь имеет отрицательный рациональный показатель степени,
то для избавления от знака минуса, её следует перевернуть.
Например,
19.Корень n-ой степени из действительного числа. Свойства.
Корнем 𝑛 -й степени (𝑛=2,3,4...) из числа а называется такое число 𝑏 , 𝑛 –я
степень которого равна а.
Например, корень пятой степени из числа 32 является число 2 , так как 25=32 ;
корнем четвёртой степени из 16 являются числа 2 и −2 , так как 24=16 и(−2)4=16
.Нахождение корня 𝑛 -ой степени из числа 𝑎 называется извлечением корня
𝑛 -ой степени.
Число а называют подкоренным числом, число 𝑛 — показателем корня.
Если 𝑛=2, то говорят «корень квадратный из 𝑎 ».
Если 𝑛=3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень
кубический».
Если 𝑛 — чётное число, то существует два корня 𝑛 -й степени из любого
положительного числа 𝑎(𝑎>) . Эти корни являются противоположными числами.
Их обозначают 𝑎‾‾√𝑛 и − 𝑎‾‾√𝑛 . Если 𝑛=2 , то пишут 𝑎‾‾√ ( 2 не пишут).
Если 𝑎=0 , то корень 𝑛 -ой степени из 𝑎 равен нулю.
Если 𝑎<0 , то корень 𝑛 -ой степени из 𝑎 не определён. Корень чётной степени
из отрицательного числа не существует.
Если 𝑎≥0 , то неотрицательный корень 𝑎‾‾√𝑛 называется арифметическим
корнем 𝑛 -ой степени из числа .
Пример: 16‾‾‾√4 =2 — арифметический корень четвёртой степени из числа 16 .
−16‾‾‾‾√4 не имеет смысла.
Если 𝑛 — нечётное число, то существует единственный корень 𝑛 -й степени из
любого числа (положительного, отрицательного или равного нулю), при этом
−𝑎‾‾‾√𝑛=−𝑎‾‾√𝑛 . Это равенство позволяет выразить корень нечётной степени из
отрицательного числа через арифметический корень той же степени.
Пример:8‾√3=2; −8‾‾‾√3=−8‾√3=−2 .
Если 𝑎≥0 , то (𝑎‾‾√𝑛)𝑛=𝑎 и 𝑎𝑛‾‾‾√𝑛=𝑎 (для любых 𝑛 ).
Пример: (11‾‾‾√7)7=11;138‾‾‾‾√8=13.
Свойства корня n-ой степени:
Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно
познакомиться со свойствами этой операции.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных
значений переменных, содержащихся под знаками корней.
Теорема 1. Корень n-й степени (n=2, 3, 4,...) из произведения двух неотрицательных
чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел:
Теорема 2. Если a ≤ 0, b<0 и n - натуральное число, большее 1, то справедливо
равенство
Теорема 3. Если a ≥0, k - натуральное число и n - натуральное число, большее 1, то
справедливо равенство.
Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень,
достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Теорема 4. Если a ≥0 ,k, n - натуральные числа, большее 1, то справедливо
равенство
Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно
перемножить показатели корней.
Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или
разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.
20.Решение систем линейных уравнений с двумя переменными: метод
подстановки, метод сложения, графический метод ..
Система линейных уравнений
Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют
фигурной скобкой
Система уравнений такого вида, где a, b, c - числа, а x, y - переменные, называется
системой линейных уравнений.
При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения
уравнений.
Решение системы линейных уравнений способом подстановки:
Рассмотрим пример
1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом
уравнении, получим систему:
2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7:
3) Решаем полученное второе уравнение:
4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:
Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4. Ответ: (1;
-4), записывается в скобках, на первой позиции значение x, на второй - y.
Решение системы линейных уравнений способом сложения:
Решим систему уравнений из предыдущего примера
методом
сложения.
1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из
переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение системы на "3".
2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое)
переписываем без изменений.
3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:
Решение системы линейных уравнений графическим способом:
Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к
отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.
Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут
пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно
система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в)
иметь бесконечное множество решений.
2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются
линейными) пересечения графиков.
Графическое решение системы
Метод введения новых переменных:
Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений,
чем исходная.
Рассмотрим решение системы
Введем замену
, тогда
Переходим к первоначальным переменным
Особые случаи:
Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по
коэффициентам при соответствующих переменных.
Пусть дана система
1) Если
, то система имеет единственное решение.
2) Если
, то система решений не имеет. В этом случае прямые,
являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.
3) Если
, то система имеет бесконечное множество решений. В этом
случае прямые совпадают друг с другом.
21. Решение квадратных, кубических и биквадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида
Классическая
комплексных):
формула
для
нахождения
его
корней
(действительных
и
где выражение D = b2 − 4ac называется дискриминантом уравнения, от его
значения зависит количество и характер решений:

Если D>0, то корней уравнения будет два и оба они будут действительными
числами;

Если D=0, то будет лишь один дейсвительный корень уравнения;
Если D<0, то действительных решений уравнения нет, а корни будут
Решение кубических уравнений
Кубическим уравнением называется уравнение третьего порядка, которое имеет
вид
Кубическое уравнение всегда имеет 3 корня, которые могут быть как
вещественными, так и комплексными. Для решения кубических уравнений
используется метод Виета-Кардано.
Формулы Кардано и Виета требуют применения специальных функций, и в том
случае, когда требуется провести большую серию вычислений корней кубического
уравнения с не слишком сильно меняющимися коэффициентами, более быстрым
алгоритмом является использование метода Ньютона или других итерационных
методов (с нахождением начального приближения по формулам Кардано-Виета), о
которых мы поговорим дальше.
Рассмотрим в качестве примера следующие кубические уравнения:

x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0

x^3 - 6x^2 + 11x + 6 = 0

комплексными.
Решение биквадратных уравнений
Биквадратное уравнение - уравнение четвёртой степени вида
ax4 + bx2 + c = 0
где a,b,c — заданные комплексные числа и a != 0. Подстановкой y = x 2 сводится к
квадратному уравнению относительно y. Такой переход от одной неизвестной
величины к другой называется методом замены неизвестных.
Рассмотрим в качестве примера кубические уравнения:

5x^4 - 10x^2 + 200 = 0

x^4 - 8x^2 + 16 = 0

x^4 - 5x^2 + 6 = 0
22.Понятие функций. Способы задания фукции.
Зависимость от 0 переменной от другой называется функциональной
зависимостью. Зависимость переменной y от переменной Х называется функцией,
если каждому значению X соответствует единственное значение У при этом у=f(x)
переменная Х называется не зависимой переменной или аргументом а У зависимой
переменной или функцией.
Способы задания функции. Функция может быть задана аналитически в виде
формулы y=f(x), где переменная Х аргумент, узначение функции. Функция f(x)
полностью определяется заданием множества пар (x; f(x) ) , где Х принимает все
значения из области Д(f) а f(x) соответствующие значения функции. Функция может
быть задана графически.
Графиком функции y=f(x) называется изображение на координатной плоскости
множества пар (x;y), где y=f(x), и x∈ Д(у).
23. Область определения и область значений функции.
Все значения которые принимает не зависимая переменная Х образует область
определения функции. Все значения которые принимает зависимая переменная
образует множество значений функции. Область определения обозначается Д(f) или
Д(У). Область значения Е(f) или Е(у). Если область определения Д(f).
24.Линейная функция, её свойства и график
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве
всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число),
b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная. В частном
случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая,
параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой
пропорциональност ью. Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка,
который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному
направлению оси Ox, считается против часовой стрелки. Свойства линейной
функции:
1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось.
Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k
и b. a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная; b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx
– нечетная; c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида; d) b = 0,
k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) Точки пересечения с осями координат: Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно
(-b/ k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс. Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b)
– точка пересечения с осью ординат.
Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом
значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни
при каких значениях переменной х.
6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k. y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k. y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k), y
= kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения, k = 0, b < 0; y
= kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k. k >
0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения, k < 0,
следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой
достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит
от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это
иллюстрирует рисунок
25.Квадратичная функция, её свойства и график.
Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида где a, b, с - числа.
Графиком квадратичной функции является парабола.
Парабола имеет вершину, ось, проведеннаячерез вершину и параллельная оси
Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется
точка
Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви
параболы направлены вниз. Свойства квадратичной функции y=x2
1)
Областью определения функции является множество всех действительных
чисел, т.е.
2)
Множеством значений функции является промежуток
3)
Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения
функция не имеет.
4)
Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.
5)
Функция непериодическая.
6) Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) - начало
координат.
7)
Значение аргумента x=0 является нулем функции.
8)
На промежутке функция убывающая, а на промежутке - возрастающая.
9)
Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки
параболы, кроме начала координат.
26.Степенная функция. График степенной функции.
Функция вида у=хn, где n- любое действительное число, называют степенной
функцией. Если показатель степени n — натуральное число, то степенная функция
задаётся формулой y=xn.
При n=1, y=x1 или y=x — прямая
При n=2, y=x2 — парабола.
При n=3, y=x3 — кубическая парабола.
График степенной функции y=xn, где n — чётное число (4,6,8...), принимает вид
параболы.
График степенной функции y=xn, где n — нечётное число (5,7,9...), принимает вид
кубической параболы.
27. Гиперболическая функция. График гиперболической функции.
Функция shx=ex−e−x2 называется гиперболическим синусом. Функция
chx=ex+e−x2 н азывается гиперболическим косинусом.
Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами
точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются
координатами точки на гиперболе.
Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический
синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси.
Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–
∞; 0) и возрастающей на промежутке (0; +∞). Точка (0; 1) является минимумом этой
функции.
28. Показательная функция, ее свойства. График логарифмической функции
Функция, заданная формулой y=ax (где a>0,a≠1), называется показательной
функцией с основанием a.
Сформулируем основные свойства показательной функции:
1. область определения — множество R действительных чисел.
2. Область значений — множество R+ всех положительных действительных чисел.
3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция
убывает на множестве R.
ax1<ax2, если x1<x2,(a>1);
ax1>ax2, если x1<x2,(0<a<1).
4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства
axay=ax+y;axay=ax−y;(ab)x=axbx;(ab)x=axbx;(ax)y=axy.
Графики показательных функций изображены на рисунках:
1) для случая a>1:
2) для случая 0<a<1:
Построим графики функций y=2x и y=(12)x, использовав рассмотренные свойства
и найдя несколько точек, принадлежащих графику.
29. Логарифмическая функция, ее свойства. График логарифмической
функции.
Функцию, заданную формулой y=logax, называют логарифмической функцией с
основанием a.
(a>0,a≠1).
Основные свойства логарифмической функции:
1. область определения логарифмической функции — множество всех
положительных чисел.
D(f)=(0;+∞);
2. множество значений логарифмической функции — множество R всех
действительных чисел.
E(f)=(−∞;+∞);
3. логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>1 или
убывает
при 0<a<1.
Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной;
не
имеет
ни
наибольшего,
ни
наименьшего
значений;
не ограничена сверху, не ограничена снизу;
график любой логарифмической функции y=logax проходит через точку (1;0).
30. Определение логарифма. Свойства логарифма.
Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию
называется показатель степени с, в которую надо возвести число а, чтобы получить
число b.
Основное логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов:
Формула перехода к новому основанию:
Десятичный логарифм:
lga = log10a
Натуральный логарифм:
lna = logea, e ≈ 2,718…
31. Определение тригонометрических функций произвольного угла.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе:
sin A=a/b; sin C=c/b
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе:
cos A=c/b; cos C= a/b
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему:
tg A=a/c; tg C=c/a.
Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки
на единичной окружности, соответствующей данному углу α.
Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на
единичной окружности, соответствующеий данному углу α.
32. Градусное и радианное измерение угловых величин.
Здесь единицей измерения является градус ( обозначение ) – это поворот луча
на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча
равен
Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ‘ ); одна минута –
соответственно из 60 секунд ( обозначаются “ ).
Радианная мера. длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный
угол связаны соотношением: = l / r .
Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так,
если l = r , то = 1, и мы говорим, что угол
обозначается: =
1 рад.
Таким
образом,
мы
имеем
следующее
определение радианной меры измерения:
Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус
равны
mB =
радианная мера измерения угла есть
отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между
сторонами этого угла, к радиусу дуги.
Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить
следующим образом:
2 = C/r.
Так,
в градусном измерении, соответствует 2 в
радианном измерении.
33. Основные тригонометрические тождества.
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают
связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая
позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна
какая-либо другая.
sin2α+cos2α=1
tg α=sin αcos α,
ctg α=cosα/ sinα
tg α⋅ctg α=1
tg2α+1=1cos2α,
1+ctg2α=1sin2α
34. Формулы привидения.
35. Уравнение cosx=a
Если |a|>1, то уравнение cosx=a не имеет корней.
Например, уравнение cosx=−1,5 не имеет корней.
Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой x=±arccosa+2πk,k∈Z.
Арккосинус в переводе с латинского означает «дуга и косинус». Это обратная
функция.
Если |a|≤1, то arccosa (арккосинус а) — это такое число из отрезка [0;π], косинус
которого равен а.
36. Уравнение sinx=a
Если |a|>1, то уравнение sinx=a не имеет корней.
Например, уравнение sinx=2 не имеет корней.
Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой x=(−1)k arcsina + πk, k∈Z.
37. Уравнение tgx=a
Уравнение tgx=a имеет решения x=arctga+πk,k∈Z.
38.Область определения функции и множество значений
тригонометрических функций
Каждому действительному числу x соответствует единственная точка
единичной окружности A, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x рад.
Единичная окружность
Для этого угла определены sinx и cosx:
AB=sinx;OB=cosx.
Тем самым каждому действительному числу x поставлены в соответствие
числа sinx и cosx, т. е. на множестве R всех действительных чисел определены
функции y=sinx и y=cosx.
Таким образом, областью определения функций y=sinx и y=cosx является
множество R всех действительных чисел.
Множеством значений функций y=sinx и y=cosx является интервал [−1;1].
Функция y=tgx определяется из ΔOAB как tgx=ABOB=sinxcosx.
Эта функция определена при тех значениях, для которых cosx≠0.
Следовательно, областью определения функции y=tgx является всё множество
действительных чисел, исключая x=π2+πn,n∈Z.
Множеством
значений
функции y=tgx является
множество
всех
действительных чисел R.
Функция y=ctgx определяется из ΔOAB как ctgx=OBAB=cosxsinx.
Эта функция определена при тех значениях, для которых sinx≠0.
Следовательно, областью определения функции y=ctgx является всё множество
действительных чисел, исключая x=πn,n∈Z.
Множеством
значений
функции y=ctgx является
множество
всех
действительных чисел R.
Функции y=sinx; y=cosx; y=tgx; y=ctgx называются тригонометрическими
функциями.
39. Свойства функции y cosx и ее график
Косинусом аргумента х (cos(x)) называется абсцисса точки пересечения
окружности единичного радиуса с центром в начале координат и луча, выходящего
из начала координат и составляющего с осью ОХ угол х.
Областью определения функции cos(x) является вся числовая прямая - промежуток
(-?;+?).
Область значений лежит в промежутке [-1;1].
Функция cos(x) периодична, период Т = 2П.
Функция cos(x) является четной, так как cos(-x)=cos(x).
График функции cos(x), называют косинусоидой.
Косинусоида пересекает ось ОХ в точках
.
Косинусоида имеет экстремумы-максимумы в точках (2Пk;1) и экстремумыминимумы в точках (П+2Пk;-1)
График косинусоиды:
40.Свойства функции y=sinx и её график
1. Область определения — множество R всех действительных чисел.
2. Множество значений — отрезок [−1;1].
3. Функция y=sinx периодическая с периодом T= 2π.
4. Функция y=sinx — нечётная.
5. Функция y=sinx принимает:
- значение, равное 0, при x=πn,n∈Z;
- наибольшее значение, равное 1, при x=π2+2πn,n∈Z;
- наименьшее значение, равное −1, при x=−π2+2πn,n∈Z;
- положительные значения на интервале (0;π) и на интервалах, получаемых
сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z;
- отрицательные значения на интервале (π;2π) и на интервалах, получаемых
сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z.
6. Функция y=sinx:
- возрастает на отрезке[−π2;π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка
на 2πn,n∈Z;
- убывает на отрезке [π2;3π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка
на 2πn,n∈Z.
График синусоиды:
41.Свойство функции y=tgx и её график
а) Область определения: D (tg x) = R \ { /2 + n( n Z ) }.
б) Множество значений: E (tg x ) = R .
в) Четность, нечетность: функция нечетная.
г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .
д) Нули функции: tg x = 0 при x = n, n Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
;
.
ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале,
целиком принадлежащем ее области определения.
з) Экстремумы: нет.
График функции y = tg x изображен на рисунке.
42.Значение тригонометрических функций углов в 30,45,90,180,270,360
градусов
43.Знаки тригонометрических функций по четвертям. Четность,
нечетность, периодичность тригонометрических функций.
Четной называется функция, которая не меняет своего значения при
изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен
относительно оси ординат): f(-x)=f(x).f(−x)=f(x).
Нечетной называется функция, которая меняет свое значение при
изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен
относительно начала координат): f(-x)=-f(x).f(−x)=−f(x).
Индифферентной называется функция, которая не обладает симметрией.
Синус
\sin xsinx — нечетная функция
\sin (-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx
Косинус
\cos xcosx — четная функция
\cos (-x)=\cos xcos(−x)=cosx
Тангенс
\text{tg}xtgx — нечетная функция
\text{tg}(-x)=-\text{tg}xtg(−x)=−tgx
Котангенс
\text{ctg}xctgx — нечетная функция
\text{ctg}(-x)=-\text{ctg}xctg(−x)=−ctgx
Периодичность тригонометрических функций
Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через
какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при
добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции):
существует такое ненулевое число TT (период), что на всей области определения
функции выполняется равенство f(x)=f(x+T).f(x)=f(x+T).
Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс)
являются периодическими.
\sin x,\;\cos xsinx,cosx — периодические функции с наименьшим
положительным периодом 2\pi:2π:
\sin(x+2k\pi)=\sin
x,\;\cos(x+2k\pi)=\cos
x,\;k\in\mathbb{Z}.sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx,k∈Z.
\text{tg}x,\;\text{ctg}xtgx,ctgx — периодические функции с наименьшим
положительным периодом \pi:π:
\text{tg}(x+k\pi)=\text{tg}x,\;\text{ctg}(x+k\pi)=\text{ctg}x,\;k\in\mathbb{Z}.t
g(x+kπ)=tgx,ctg(x+kπ)=ctgx,k∈Z.
44.Арксинус и арккосинус
Таблица значений функции y = arcsin x
x
–1
y = arcsin x
0
1
0
Рис. 2. График функции y = arccos x
Таблица значений функции y = arccos x
x
–1
y = arccos x
π
0
1
0
45.Арктангенс и арккотангенс
Таблица значений функции y = arctg x
x
–1
0
y = arctg x
1
0
Рис. 4. График функции y = arcctg x
Таблица значений функции y = arcctg x
x
–1
0
1
y = arcctg x
46. Арифметическая прогрессия
Последовательность, в которой каждый следующий член можно найти,
прибавив к предыдущему одно и то же число d , называется арифметической
прогрессией.
Если последовательность ( an ) является арифметической прогрессией, то
для любого натурального значения n справедлива зависимость an+1 = an + d .
Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и разность d , то
возможно вычислить любой член арифметической прогрессии:
a2 = a1 + d ;
a3 = a2 + d = a1 +2 d ;
a4 = a3 + d = a1 +3 d
и т. д.
n -ый член арифметической прогрессии можно получить, если к первому
члену прогрессии добавить ( n−1 ) разностей, т. е.,
an = a1 + d (n−1) ,
где n — порядковый номер члена прогрессии, a1 — первый член
прогрессии, d — разность.
Это равенство называется общей формулой арифметической прогрессии.
Её используют, чтобы вычислить n -ый член арифметической прогрессии
(например, десятый, сотый и др.), если известны первый член последовательности
и разность.
47.Геометрическая прогрессия
Последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно
найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q , называется
геометрической прогрессией.
Если последовательность ( bn) является геометрической прогрессией, то для
любого натурального значения n справедлива зависимость: bn+1=bn⋅q .
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Если в геометрической прогрессии ( bn ) известен первый член b1 и
знаменатель q , то возможно найти любой член прогрессии.
b2=b1⋅q ;
b3=b2⋅q=b1⋅q⋅q=b1⋅q2 ;
b4=b1⋅q3
и т. д.
Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить, используя
формулу:
bn = b1⋅qn−1 , где
n — порядковый номер члена прогрессии,
b1 — первый член последовательности,
q — знаменатель.
48.Треугольник, его виды
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек,
попарно соединенных между собой отрезками. Точки называются вершинами
треугольника, отрезки – сторонами треугольника. Треугольник имеет три
вершины и три стороны. Стороны треугольника обозначаются часто малыми
буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим
противоположные вершины.
mediana
Внутренние углы треугольника – это углы, образованные его сторонами.
Угол А – это угол, образованный сторонами АВ и АС.
Виды треугольников по углам:
Остроугольный треугольник – это треугольник, все углы которого острые
(то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол
прямой (то есть имеет градусную меру 90º).
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой
(то есть имеет градусную меру больше 90º).
Виды треугольников по сторонам:
Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) – это
треугольник, у которого все три стороны равны.
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны
равны.
Разносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого имеют
разную длину.
Элементы треугольника
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух
его сторон.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон,
параллельна третьей стороне и равна ее половине: .
Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, перпендикулярная к этому
отрезку и проходящая через его середину. Три срединных перпендикуляра
треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного
круга.
Основные свойства треугольников
Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все
углы в равностороннем треугольнике равны.
Сумма углов треугольника равна 180º. Из двух последних свойств следует,
что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60º.
Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний
угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
их разности (a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b).
49. Признаки равенства треугольника. Сумма внутренних углов
треугольника.
Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180∘.
У треугольника ещё бывают внешние углы. И самое главное следствие из
того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна 180∘, касается как
раз внешнего треугольника. Так что давай выясним, что же такое этот внешний
угол треугольника.
Первый признак равенства треугольников
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно
равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники
равны.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам второго
треугольника, то треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого, то треугольники равны
50. Высота, медиана, биссектриса в треугольнике.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы, которые
пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или
центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении
1:2, считая от основания медианы.
Биссектриса – это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части.
Любой треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к
прямой, содержащей противоположную сторону. Любой треугольник имеет три
высоты, которые пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром
треугольника
51. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть
равен 90˚). Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой
прямоугольного треугольника. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются
катетами. Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат
длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
52. Параллелограмм. Квадрат.
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельны. Квадрат — правильный четырёхугольник, то есть
четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
53. Прямоугольник. Ромб.
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые. Ромб —
параллелограмм, у которого все стороны равны.
54. Формула площади прямоугольника.
Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на
ширину(S=a*b).
55. Формула площади параллелограмма.
1.Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины
опущенной на эту сторону высоты(S=a*h).2.Площадь параллелограмма равна
произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними(S=a*b*sin
α).3.Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей
умноженному на синус угла между ними
(S=1/2*d1*d2*sin γ).
55. Формула площади параллелограмма:
Формулы
Первый способ. Чтобы найти площадь параллелограмма (рис. 1), нужно найти
произведение стороны a параллелограмма на высоту ha, проведенную к этой
стороне, то есть
Второй способ. Чтобы найти площадь параллелограмма, надо найти
произведение двух его смежных сторон a и b, умноженное на синус угла α между
ними (рис. 2):
Третий способ. Чтобы найти площадь параллелограмма, надо найти
полупроизведение его диагоналей d1и d2 на синус угла β между ними (рис. 3):
56. Формула площади треугольника.
Таблица с формулами площади треугольника:
57. Окружность. Центральные вписанные углы:
Определение
Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на
окружности, а стороны пересекают эту окружность.На рисунке вписанным
углом является угол .
Центральным называется угол с вершиной в центре окружности. На рисунке
центральным углом является угол .
Градусной мерой дуги называется величина соответствующего центрального
угла. На рисунке градусная мера дуги равна градусной мере угла .
58. Свойства вписанных и описанных треугольников:
● Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на
окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин
треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
● Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только
одну. Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон.
Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от
центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу
этой окружности. В любой треугольник можно вписать окружность, причем
только одну.
59. Длина окружности:
Чтобы найти длину окружности, нужно либо диаметр окружности умножить на
π≈3,1415926535…, либо найти удвоенное произведение радиуса и числа π. Здесь
r - это радиус заданной окружности, а d - диаметр, π≈3,1415926535….
Периметр круга или длина окружности:
60. Площадь круга:
Площадь круга через радиус
S = π * r2, где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение
длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14
Также вычислить площадь круга через диаметр
или длину окружности