CHAPITRE
C o m p o r t e m e n t en t r a c t i o n s i m p l e
Nous considérons dans ce chapitre le cas des tirants. Ce sont des piéces en béton armé qui
reprennent des charges de traction centrées, comme l?illustre la figure 4.1. Pour uneu t i l i s a t i o n
optimale de l'acier, il faut que les contraintes le sollicitant soient de l?ordre de 1/2 à 2 / 3 de f y .
Pour un acier de nuance 400, cela conduit à des déformations de l?ordre de 0,001 m m / m m . À
cette déformation, le béton se fissure. On peut en fait affirmer que pratiquement toute pièce en
béton armé est fissurée.
A ,
F i g u r e 4.1 ? Résultante des contraintes dans l?acier et le béton.
La fissuration du béton a plusieurs conséquences qui doivent être prises en considération par
le concepteur:
1. L a f i s s u r a t i o n d u b é t o n se p r o d u i s a n t à des c o n t r a i n t e s de t r a c t i o n très faibles, o n n é g l i g e r a
le b é t o n t e n d u dans les calculs de résistance. Cette s i m p l i f i c a t i o n n?est c e p e n d a n t pas
appropriée p o u r les calculs c o n c e r n a n t les états de service o ù la c o n t r i b u t i o n d u b é t o n à
reprendre les efforts de t r a c t i o n entre les fissures est n o n négligeable.
2. L a f i s s u r a t i o n d u b é t o n n?est pas u n signe de faiblesse o u de malfaçon. O n l i m i t e r a c e p e n -
dant l ' o u v e r t u r e des fissures p o u r des raisons esthétiques. Si u n e étanchéité est requise,
comme dans les réservoirs en béton a r m é , o n a u r a recours à des m e m b r a n e s d ' é t a n c h é i t é .
Une a u t r e o p t i o n consiste à u t i l i s e r l a p r é c o n t r a i n t e sinon p o u r é l i m i n e r les c o n t r a i n t e s d e
t r a c t i o n , d u m o i n s p o u r les réduire.
3. L?acier d ? a r m a t u r e est susceptible de s?oxyder. L e béton, p a r son a l c a l i n i t é , p r o t è g e l?acier
contre la corrosion. Une f i s s u r a t i o n t r o p grande p e u t c o n t r e c a r r e r cet effet en laissant passer
l'eau o u les sels de déverglaçage, m e t t a n t donc e n cause la d u r a b i l i t é de l ' o u v r a g e . O n a
m o n t r é e x p é r i m e n t a l e m e n t que l a d é t é r i o r a t i o n des pièces de b é t o n tendues é t a i t d?autant
140
Chapitre 4
Comportement en traction simple
.
#
#
s c r i v e n t g é n é r a l e m e n t des
grande q u e les f i s s u r e s é t a i e n t o u v e r t e s . L e s r é g l e m e n t s P r e s e
s
i
dee pièces, à
é
lus
3
4
s m a x i m u m s des f i s s u r e s e n f o n c t i o n des c o n d i t i o n s ?
ouverture
f
os
f a u t d o n c p o u v o i r e s t i m e r d a n s des l i m i t e s r a i s o n n a b l e s l ? o u v e r
r
n
e
s
|
t r a c t i o n de l?armae a e o u v e r t e
Nous étudierons dans ce c h a p i t r e les mécanismes de t r a n s f e r t des forces
nu b é t o n o ù l a p a r t i c i p e s
t u r e au béton. Cela nous c o n d u i r a à développer des m é t h o t e s p e t e
idissement
en
traction
des fissures. Ces méthodes sont basées sur le raidiss
M i n e s D a n s les c a l c u l s , n o u s
t i o n d u béton à reprendre les c o n t r a i n t e s de t r a c t i o n e n t r e es|
n a p i t r e 3 p o u r les Dikces
a d m e t t r o n s les conditions d ' é q u i l i b r e et de c o m p a t i b i l i t é présentées a u c h a p
és
é
comprimées.
Vas
Réponse d?une pièce chargée c o n c e n t r i q u e m e n t
A f i n de d é t e r m i n e r la réponse c o m p l è t e d?un t i r a n t , n o u s c a l c u l e r o n s l a c h a r g e a x i a l e a
c o r r e s p o n d a n t à différentes valeurs de €.. D a n s les calculs, les c o n t r a i n t e s de t r a c t i o n e t el s
allongements sont positifs, les c o n t r a i n t e s de compression e t les r a c c o u r c i s s e m e n t s s o n t n é g a t i f s .
Les étapes 4 suivre sont les suivantes :
1. supposer une d é f o r m a t i o n , € = €. = €,;
2. calculer les contraintes à partir des relations contrainte-déformation de l'acier et du béton.
Dans le cas d?une t r a c t i o n axiale, on supposera que l a c o n t r a i n t e d a n s le b é t o n est n u l l e
après f i s s u r a t i o;n
.
calculer les forces agissant dans le b é t o n et d a n s l'acier, N ° = A . f , e t N , = A , f s ;
.
calculer la r é s u l t a n t e des forces, N = N , + N ;
.
calculer l?allongement, connaissant la déformation A = e L ;
.
répéter les étapes
1
à 5 avec différentes valeurs de l a d é f o r m a t i o n e.
E x e m p l e 4 . 1 P r é d i c t i o n d e l a r é p o n s e à c o u r t t e r m e e n t r a c t i o n d?
un tirant en béton
a r m é . B i s c h o f f [31] a s o u m i s des é p r o u v e t t e s de
250 x 250 x 2000 m m à des essais d e t r a c t i o n c e n t r é e .
L?éprouvette T 1 a été réalisée avec d u b é t o n d e r
ésistance à la compression fe ? 38,9 M P a . L?armature
ique f , = 470 MPa. L a résistance à la t r a c t i o n à été
d é t e r m i n é e p a r u n essai de fendage et a v a i t p o u r v a l e u r f ; ,
t r a c t i o n centrée d e l?éprouvette T 1 .
=
2,83 M P a . D é t e r m i n e r l a r é p o n s e e n
Solution
Calculs préliminaires
:
L a résistance à l a t r a c t i o n centrée est d o n n é e p a r
|?
équation (2.29):
fet = 0,9fsp = 0,9 x 2,83 = 2.55 MPa
Le module d?élasticité tangent est calculé à partir des équations (2.2) et (2.5)
Ex =
(3300/7 + 6900) =11(3300, /38,9 + 6900)
1,1
La déformation a la limite élastique de
l?
:
~ 30000 M P a
acier est:
fy = f y / E s = 470/200 000 = 2,35 x 107$
Nous illustrerons les calculs
i
béton.
Pour le point de la courbe de réponse correspondant à la fissuration du
4.1. Réponse d?une pièce
x chargée
| concentriquement
Ré
1.
Choisir une valeur de la déformation
:
« = €, = fu/Eu ? 2 55/30 000 = 0,085
2. C a l c u l e r l a c o n t r a i n t e a g i s s a n t s u r le b é t o n
3. C a l c u l e r l a d é f o r m a t i o n de l?acier.
€ s = €
=
: fe
=
o=
fes
det
141
10°
x
= 2,55
= 2,00MPa.
0,085 x 1973
4. C a l c u l e r l a c o n t r a i n t e d a n s l?acier.
fe = Esés = 200 000 x 0,085 x 107% = 17,0 MPa
5. C a l c u l e r l a r é s u l t a n t e de l a force de t r a c t i o n d a n s le b é t o n .
Ne = Acfe = (250 x 250 ? 1200) x 2,55 = 61300 x 2,55 = 156,3kN
6. C a l c u l e r l a r é s u l t a n t e d e l a force de t r a c t i o n d a n s l?acier.
Ns = Astfs = 1200 x 107? x 17,0 = 20,4kN
7. C a l c u l e r l a f o r c e t o t a l e d e t r a c t i o n a g i s s a n t s u r le t i r a n t .
N = N . + Nz = 156,3 + 20,4 = 176,7kN
N o u s négligeons l a c o n t r i b u t i o n d u b é t o n après la f i s s u r a t i o n d u béton. E n s u p p o s a n t u n c o m p o r t e m e n t
é l a s t o p l a s t i q u e p o u r l?acier d ? a r m a t u r e , i l s u f f i t de calculer u n seul autre p o i n t de l a c o u r b e de réponse
d u t i r a n t c o r r e s p o n d a n t à l a d é f o r m a t i o n t o t a l e € = €, p o u r la d é f i n i r c o m p l è t e m e n t .
1. C h o i s i r u n e v a l e u r d e l a d é f o r m a t i o n
:
€ = €, ? 2,35 x 107$.
2. C a l c u l e r l a c o n t r a i n t e a g i s s a n t s u r l e b é t o n
:
f c ? 0.
3. C a l c u l e r l a d é f o r m a t i o n d e l ? a c i e r .
Es
= €e = 2,35
X
107
4. C a l c u l e r l a c o n t r a i n t e d a n s l ? a c i e r .
f s = f y = 470 M P a
5.
Calculer
la r é s u l t a n t e
de
la
force
de t r a c t i o n
N .c =
dans
le b é t o n .
0
6. C a l c u l e r l a r é s u l t a n t e d e l a f o r c e d e t r a c t i o n d a n s l ? a c i e r .
N z = A s t f s = 1200 x 470,0 = 5 6 4 k N
7. Calculer la force t o t a l e de t r a c t i o n agissant sur le t i r a n t .
N = N . + N ,
= 0 + 5 6 4 = 564kN
Les calculs précédents sont rapportés à la figure 4.2. On constate que la réponse e s t linéaire jusqu?à l a
fissuration du béton avec une raideur égale à la somme des raideurs dub é t o n et de l'acier. Le modèle
que nous avons utilisé dans cet exemple pour prédire la réponse du t i r a n t néglige le fait que le b é t o n
reprend des contraintes de t r a c t i o n entre deux fissures. Cela implique un passage brusque del a réponse
du composite acier-béton à la réponse de l'acier nu. La résistance u l t i m e du tirant est doncd é t e r m i n é e
par celle de l'acier nu. Ce modèle très simple prédit exactement la résistance dut i r a n t . I l est su sant
si l?on s'intéresse uniquement à la sécurité d?un tirant. Par contre, ce a
ne sient pas compte de
l'interaction acier-béton après fissuration et ne peut donc servir à la pré o e f s realiste f e t Se wervice
des fissures. Comme on le verra, il est nécessaire de contrôler l ' o u v e r t u r e e s fissures en~ at
service
C
Pour des raisons esthétiques, pour assurer l'étanchéité oul ' i m p e r m é a b i i t é a e t ou a
5 2
neta
en
Yo
empêcher la corrosion de l?armature
acier. Il faut donc être capable
a
oer
t u r e des
l'ouverture des fissures. Nous montrerons dans les sectionss u i v a n t e sc o n n i c e a
fissures en tenant compte de l'interaction entre Je béton et l?armature d'acier
Rares
.
142
Chapitre 4. Comportement en traction simple
600
bo
;
plastification de l'acier
500
acier nu
400
&
a
=
ÿ
|
{
fissuration du béton
?S300
a
40 TYP
s
+
420M
a
£
o
&
;
Qo
2
7
7
|
d
/
7
100
composite
acier?béton
250
L
=
/
;
;
o
|
fy =470 MPa
|
f: = 38,9 MPa
|
fop = 2,83 MPa
|
À
déformation moyenne, ¢,x10°
F i g u r e 4.2 ? Prédiction de la réponse du spécimen T1 testé par Bischoff [31].
V4.2
Raidissement en traction
Nous avons supposé, jusqu?a présent, que la contrainte de t r a c t i o n était nulle dans le béton quand son élongation, e-r, dépassait l?élongation causant la fissuration d u béton, €er. Cette
hypothèse revient à négliger la présence d u béton après fissuration. Donc, d?après cette hypothèse, à la fissuration du béton, la réponse charge-déformation d?une barre enrobée de béton
est identique à la réponse d?une barre d?armature nue. Des expériences menées dès 1899 par
Considère [60] ont montré que cette hypothèse ne se vérifiait pas en pratique et que la courbe de
réponse d?une barre d?armature enrobée de béton était supérieure à la courbe de réponse d?une
barre nue. Ce phénomène, connu sous sa dénomination anglaise de tension stiffening, est dû à la
c o n t r i b u t i o n d u béton tendu entre les fissures. Nous la dénommerons raidissement en traction.
A f i n de comprendre le phénomène de raidissement en traction, il est nécessaire de comprendre
l ' i n t e r a c t i o n entre le béton et une barre d?armature crénelée. La figure 4.3 illustre comment
l'effort axial est transféré au béton par la barre d'armature. L?adhérence entre le béton et la
barre d?armature permet le transfert d?une partie de la t r a c t i o n de la barre au béton par des
forces de compression inclinées, comme on le voit à la figure 4.3. Goto [102] a montré que ces
forces créent des fissures internes secondaires en plus des fissures primaires, visibles à la surface
des pièces. La composante des forces de compression inclinées i n d u i t des forces radiales poussant
sur le béton et causant une fissuration longitudinale si l?enrobage de béton est mince.
4.2.
R a i d i s s e m e n t en t r a c t i o n
143
zone interne fissurée
béton n o n f i s s u r é
=
*
forces sur
l e s barres
barre
F i g u r e 4 . 3 ? Fissures p r i m a i r e s e t fissures secondaires dans u n t i r a n t , ( a d a p t é d e G o t o [102]).
De n o m b r e u x essais sur des t i r a n t s constitués d?une barre d?armature enrobée d e b é t o n o n t
permis de c o m p r e n d r e l e u r c o m p o r t e m e n t . U n exemple est m o n t r é à l a f i g u r e 4.4 q u i i l l u s t r e la
variation de l a d é f o r m a t i o n de l ? a r m a t u r e le l o n g d?un t i r a n t testé p a r S c o t t et G i l l [241]. L a
première fissure p r i m a i r e s?est p r o d u i t e sous u n e f f o r t axial de 1 8 k N à l ' e x t r é m i t é g a u c h e d u
t i r a n t , où l?on p e u t c o n s t a t e r l a c o n c e n t r a t i o n des d é f o r m a t i o n s a u d r o i t de la fissure p r i m a i r e . L a
deuxième fissure p r i m a i r e s?est p r o d u i t e sous u n e f f o r t de 21,1 k N . L a t r o i s i è m e fissure p r i m a i r e
s?est p r o d u i t e sous u n e f f o r t de 3 0 , 1 k N , et elle a été suivie i m m é d i a t e m e n t p a r l a q u a t r i è m e
fissure. À ce stade, i l n?y a plus d e f o r m a t i o n de nouvelles fissures. L ' a u g m e n t a t i o n d e l ' e f f o r t
axial s?est a c c o m p a g n é e d?une a u g m e n t a t i o n de l a d é f o r m a t i o n dans l ? a r m a t u r e , p a r t i c u l i è r e m e n t
à la p l a s t i f i c a t i o n de l ? a r m a t u r e .
f i (cube) = 45 MPa
!
3
b a r r e 12 m m dia.
4
T L
de
mesure = 1000 m m
fissure 4
fissure |
2,9
fissure
fissure 3
2
1,5
00
500
.
£
500
Figure 4,4 ? Variation de la déformation de l?acier d?armature d?un t i r a n t mesurée par Scott
et G i l l [241] dans un essai de traction simple : l?ordre de f o r m a t i o n des fissures
ainsi que la force de t r a c t i o n à l ' a p p a r i t i o n des fissures sonti n d i q u é s .
144
Chapitre 4
C o m p o r t e m e n t en t r a c t i o n s i m p l e
L a figure 4.5 i l l u s t r e la réponse idéalisée d?un t i r a n t en b é t o n armé. O n y observe trois stades
où l?état du tirant change [57, 88]:
1. Le stade I n o n fissuré q u i d u r e t a n t que e s < e r . D a n s ce stade, l ' e f f o r t de t r a c t i o n est
r é p a r t i u n i f o r m é m e n t entre le béton et l?acier a v a n t l ' a p p a r i t i o n de l a première fissure
p r i m a i r e . D u r a n t ce stade, N < N i = Nor.
2. Le stade IT fissuré, q u i c o m p r e n d deux phases d i s t i n c t e s:
a) L a phase d e f o r m a t i o n des fissures, qui est caractérisée p a r une d i m i n u t i o n Progressive
de la r i g i d i t é de l ' é l é m e n t a u f u r et à mesure q u e se f o r m e n t d e nouvelles fissures dont
l o u v e r t u r e reste A p e u près constante et d é l i m i t e une zone déliée localisée où t o u t e la
force de t r a c t i o n est reprise p a r l?acier. D u r a n t cette phase, N ; = Nz» S N < N y , On
d i s t i n g u e aussi dans cette phase des zones de t r a n s f e r t q u i f o n t l a j o n c t i o n entre les
zones déliées et des zones o ù l ' e f f o r t de t r a c t i o n est r e p r i s u n i f o r m é m e n t p a r l'acier
et le béton.
b ) L a phase de f i s s u r a t i o n stabilisée, d u r a n t laquelle l ' é l é m e n t se c o m p o r t e de façon quasi
l i n é a i r e selon u n e l o i parallèle à l a réponse d e l ? a r m a t u r e nue. D a n s cette phase de
s t a b i l i s a t i o n de la fissuration, les zones déliées sont séparées p a r des zones de transfert
q u i se t o u c h e n t . I l n?y a u r a donc plus de f o r m a t i o n d e nouvelles fissures primaires
avec u n e a u g m e n t a t i o n de l a force de t r a c t i o n , m a i s p l u t ô t u n e a u g m e n t a t i o n de
l ? o u v e r t u r e des fissures existantes. D u r a n t cette phase, N o < N < N 3 = N y .
3. L e stade I I I d e p l a s t i f i c a t i o n e t r u p t u r e , d u r a n t lequel l a r é p o n s e d u t i r a n t est l a même
que celle de l ? a r m a t u r e lorsque l a d é f o r m a t i o n dépasse l a l i m i t e é l a s t i q u e de l a barre
d ? a r m a t u r e . Les d é f o r m a t i o n s se l o c a l i s e n t a u d r o i t d?une fissure, e t l a r u p t u r e se p r o d u i t
à u n e c h a r g e C o r r e s p o n d a n t à l a c a p a c i t é de l ? a r m a t u r e nue. D u r a n t ce s t a d e , N > N y .
Si l?on c o n n a î t l a v a r i a t i o n de l a f o r c e d e t r a c t i o n dans l ? a r m a t u r e , o n p e u t c a l c u l e r l a v a r i a t i o n
d e l ? é l o n g a t i o n le l o n g d u t i r a n t . L a d é f o r m a t i o n t o t a l e d u t i r a n t est égale a P i n t é g r a l e de la
d é f o r m a t i o n s u r l a l o n g u e u r d u t i r a n t . Cela r e v i e n t à c a l c u l e r u n e d é f o r m a t i o n m o y e n n e le long
d u t i r a n t , € , q u i est i n f é r i e u r e à la d é f o r m a t i o n localisée à l a p o s i t i o n d?une fissure p r i m a i r e .
S u p p o s a n t q u e l?acier d ? a r m a t u r e n?a pas a t t e i n t l a l i m i t e é l a s t i q u e , l ' a l l o n g e m e n t de l ' a c i e r au
d r o i t d?une f i s s u r e est égal à N / A , E , , o ù N est l a force t o t a l e a g i s s a n t s u r le t i r a n t . L ? a l l o n g e m e n t
m o y e n d e l?acier e s t d o n n é p a r l a r e l a t i o n s u i v a n t e :
Ns
€ = € , = € =
AE,
dans laquelle N , est la force de traction moyenne reprise par la barre d?armature
Ne = €<E,A,
(4.1)
:
(4.2)
o ù À , est l a s e c t i o n d ? a r m a t u r e e f f e c t i v e m e n t a n c r é e d a n s le b é t o n . L a f o r c e d e t r a c t i o n moyenne,
N . , r e p r i s e p a r l e b é t o n p e u t ê t r e t r o u v é e si l?on c o n n a î t l a c o n t r a i n t e de t r a c t i o n moyenne
a g i s s a n t s u r l e b é t o n:
Ne = c E A , = f A c
(4.3)
L a force de t r a c t i o n totale est la somme des forces de t r a c t i o n moyennes reprises par l?armat u r e et le béton, soit:
N = N . + N , = € E - A , ( 1 + np)
(4.4)
où n = E , / E , est le coefficient d'équivalence et p = A , / A c .
L a figure 4.6 m o n t r e la v a r i a t i o n de l a c o n t r a i n t e moyenne dans le béton après fissuration
mesurée expérimentalement p a r différents chercheurs.
|
4.2.
force axiale
plastification
de l ? a r m a t u r e
acier + béton
No
No
zone déliée=
Raidissement en traction
145
rupture
NN
M
transfert
Ny
No
N.
2
Nor
M
N,
N
fissure interne
M
c
E
m
Ns
(a) Ny < No
l
|
formation
des fissures
déformation
;
|
€sm,
fissuration
stabilisée
stade
non fissuré
stade
de r u p t u r e
stade
fissuré
Figure 4 . 5 ? Réponse force-déformation idéalisée d?un t i r a n t en b é t o n a r m é et p a r tage de la force de t r a c t i o n entre le béton et l?armature
(a) stade
non fissuré, N < N i = N e r ; (b) stade fissuré, phase de f o r m a t i o n des fissures, M1 = Ner < N < N o ; (c) stade fissuré, phase de fissuration stabilisée,
No < N < N3 = Ny, (adapté de Favre et al. [88]).
:
Sur la figure est aussi tracée une r e l a t i o n proposée par Vecchio et Collins [265] et m o d i f i é e
par Collins et M i t c h e l l [53] e x p r i m a n t la contrainte de t r a c t i o n moyenne dans le b é t o n , f . , en
fonction de l'allongement moyen, € , et dont l?expression est:
1 2
fe
o ùU o
est u n
f a c t e u r
q u i
a; =
t i e n t
c o m p t e
des
~ 1+
fct
6007
#
«
.
c a r a c t é r i s t i q u e s
(4.5)
a
d ? a d h é r e n c e
d e
l ? a r m a t u r e
1,0
p o u r des barres d?armature crénelées
<0,7
p o u r des b a r r e s d ' a r m a t u r e lisses
0,0
p o u r des b a r r e s d ? a r m a t u r e n o n a d h é r e n t e s
:
146
Chapitre 4
C o m p o r t e m e n t en t r a c t i o n s i m p l e
chercheur
1,2
p%
spécimen
Kollegger e t a l
-------r e n e x
Williams
?
?
B h &i Collins
d e
????«
Bischoff
memes
Matsuba
------e
Rostasy et al
---------- +
?
?
~
Val
Vü2
|
PB25
TH
Vül
Vad
dy
1,14 6 m m
0,48 5,5 m m
1,00 16 m m
2,20 6,6 m m
1,92 2 0 m m
1,69 15 m m
0,38
6mm
0,99
mm
68
f . =
?
v e
€]
=
a?_
14+
weer"
O
V 2 0 0 oy
€
=
e c
S
Fer
es
S
S
N
T s
Sor
e y
02
0
2
1
V500€op
3
4 x 1073
€of
F i g u r e 4 . 6 ? C o n t r a i n t e m o y e n n e d a n s le b é t o n a p r é s f i s s u r a t i o n
:
données expérimentales
p r o v e n a n t de { 2 9 , 3 1 , 1 3 1 , 1 5 1 , 2 2 8 , 2 7 6 ] e t c o u r b e de p r é d i c t i o n d?après V e c c h i o e t
C o l l i n s [265] e t C o l l i n s e t M i t c h e l l [53]. ( A d a p t é d e C o l l i n s e t M i t c h e l l [ 5 3 ] ) .
et a2 est un f a c t e u r qui t i e n t c o m p t e d u t y p e et de la durée du chargement:
a 2
?
{
1,0
p o u r
0,7
p o u r des chargements à l o n g t e r m e ou alternés
d e s
c h a r g e m e n t s
m o n o t o n e s
à
c o u r t
t e r m e
C e t t e fagon de calculer l a c o n t r a i n t e de t r a c t i o n dans le b é t o n en f o n c t i o n de l a d é f o r m a t i o n
moyenne, €¢¢, nous p e r m e t de considérer la p a r t i c i p a t i o n du béton à la résistance en t r a c t i o n .
Cela n?est possible que si l a d é f o r m a t i o n moyenne est mesurée sur u n e l o n g u e u r assez grande
p o u r inclure une ou plusieurs fissures. A u d r o i t d?une fissure, le béton ne r e p r e n d aucune force
et la force de t r a c t i o n totale est reprise p a r les barres d?armature. Ainsi, la force m a x i m u m que
p e u t r e p r e n d r e une pièce tendue est égale à l a résistance en t r a c t i o n de l?acier d?armature. P o u r
u n acier d o n t le c o m p o r t e m e n t p e u t être d é c r i t p a r une courbe élastoplastique, la résistance du
t i r a n t est déterminée p a r l a l i m i t e élastique de l?armature t r a v e r s a n t la fissure.
E x e m p l e 4.2 P r é d i c t i o n d e la r é p o n s e d?un t i r a n t en b é t o n a r m é en t e n a n t c o m p t e d u
r a i d i s s e m e n t e n t r a c t i o n . D é t e r m i n e r la réponse à c o u r t t e r m e en t r a c t i o n d u t i r a n t de l ' e x e m p l e 4.1
e n t e n a n t c o m p t e d u raïidissement en t r a c t i o n . A u j o u r d e l'essai, le r e t r a i t l i b r e i n i t i a l d u b é t o n avait
été mesuré et était égal à ?0,3 x 107$.
Solution
1. C h o i s i r u n e v a l e u r de l a d é f o r m a t i o n
:
€ = 1,0 x 107%,
2. C a l c u l e r l a p a r t i e de l a d é f o r m a t i o n t o t a l e q u i est d u e à l ' a p p l i c a t i o n d?une force.
Ecf =
€e
? Eh = 1,0 X 107° ? (?0,3 x 107%) = 1,3 x 1073
4.2.
Raidissement en t r a c t i o n
147
C a l c u l e r l a c o n t r a i n t e agissant s u r le b é t o n
.
Puisque €cf > Ecrs nous t i e n d r o n s c o m p t e d u raidissement en tension en c a l c u l a n t la c o n t r i b u t i o n
d u b é t o n d o n n é e p a r l ' é q u a t i o n (4.5) a v e c a ; = 1,0 e t ag = 1,0
0.
fe =
M 2 fet
1 + Y500e;
1,0 x 1,0 x 2,55
= 1,41 M P a
1 4 ,/500 x 1,3 x 10-3
C a l c u l e r la d é f o r m a t i o n d e l?acier.
.
Eef = Es ? 0 = 1,0 x 1 0 %
C a l c u l e r la c o n t r a i n t e d a n s l'acier.
.
fs = Eses ? 200 000 x 1,0 x 1 0 7 = 200,0 MPa
.
C a l c u l e r l a r é s u l t a n t e des c o n t r a i n t e s de t r a c t i o n dans le béton.
Ne = Acfc = 61300 x 1,41 = 86,4kN
.
C a l c u l e r l a r é s u l t a n t e des c o n t r a i n t e s d e t r a c t i o n dans l?acier.
N z = A s f t s = 1200 x 200,0 = 2 4 0 , 0 k N
. C a l c u l e r l ' e f f o r t t o t a l d e t r a c t i o n agissant sur le t i r a n t .
s
N = N . +
Ng = 86,4 + 240,0 ? 3 2 6 , 4 k N
Les c a l c u l s p o u r d i f f é r e n t e s v a l e u r s d e l a d é f o r m a t i o n t o t a l e «, s o n t p r é s e n t é s d a n s le t a b l e a u 4.1.
T a b l e a u 4 . 1 ? P r é d i c t i o n de l a réponse d u t i r a n t T 1 , i n c l u a n t le r a i d i s s e m e n t en
traction
€c =
Ea
€cf
=
€e
?
x10°
O
?0,2654
?0,2151
?0,2000
?0,1000
x108
0,0346
0,0000
0,3000
0,5000
0,8000
1,3000
1,8000
2,3000
X
1,0000
1,5000
2,0000
2,0374
0,0850
0,1000
0,2000
2,1000
2,3370
2,4000
2,5000
2,8000
3,0000
3,5000
4,0000
3,3000
3,8000
4,3000
Esh
€sf
= € s
f e
fs
N e
x10?
MPa
MPa
?0,2654
?0,215
?0,2000
?0,1000
?53
?43
?40
20374
1,04
2,55
2,08
1,94
1,84
1,56
1,41
1,31
1,23
1,22
2,1000
2,5000
3,0000
3,5000
4,0000
1,22
1,17
1,11
1,07
1,03
0,0000
0,5000
1,0000
1,5000
2,0000
=
A c f e
N
,
=
A s t f s
kN
kN
63,7
~63,7
156,1
?51,6
?48,0
?24,0
N
kN
0,0
104,5t
79,6
94,6
112,5
215,6
326,4
440,1
555,3
0
127,6
118,6
112,5
100
95,6
120,0
200
86,4
240,0
300
400
407
80,1
360,0
75,3
480,0
75,0
489,0
564,0t
420
470
470
470
74,5
504,0
71,5
68,3
564,0
470
63,3
564,0
564,0
564,0
564,0
564,0
?20
65,6
0,0
564,0
564,0
564,0
e
t
t
e
e
Fissuration du béton
_
N est limité par la plastification de l?armature au d r o i t d?une fissure
La prédiction de la réponse du tirant T1 est présentée à la figure 4.7. La réponse mesurée est aussi
"ePortée sur la figure, ainsi que la réponse de l'acier nu.
148
Chapitre 4. Comportement en traction simple
Deux points importants doivent é
t r e soulignés.
0 4 , 5 k N , v a l e u r q u i est i n f é r i e u r e
t o t a l égal a 1
1. L a f i s s u r a t i o n se p r o d u i t s o u s u n e
d a n s l?exem ple 4.1. C e t t e r é d u c t i o n est due
la fissuration d u tirant
à l'effort de traction causant
le p r é c é d e n t .
ffort de t r a c t i o n
a u r e t r a i t l i b r e initial qui avai
2.
t été négligé dans l?exemp
se p r o d u i t s o u s u n e f f o r t d e t r a c t i o n t o t a l é g a l 4 5 6 4 , 0 k N , v a l e u r
L a p l a s t i f i c a t i o n des a r m a t u r e s
p l e 4 . 1 p u i s q u e l e r e t r a i t n?a a u c u n e i n f l u e n c e s u r l a p l a s t i f i c a t i o n
n?a p l u s d ? i n f l u e n c e s u r l ' e f f o r t de
égale à celle calculée d a n s l?exem
n t , l e r a i d i s s e m e n t en t r a c t i o n
de l?armature. A p a r t i r de ce p o i
a u s a n t l ap l a s t i f i c a t i o n des a r m a t u r e s .
ffort de traction ¢
t r a c t i o n q u i c o r r e s p o n d 4 Ve
600
500
expérimental
_
prédiction
£
= 400
a
=
3
Bo
5 300
<a
oO
200
100
{y = 470 MPa
fe = 38,9 MPa
Sep = 2,83 MPa
0
déformation moyenne, ¢,x103
:
F i g u r e 4.7 ? B
Réi h a r
e tenant
de traction-déformation
moyenne
du spécimen
[31]r een
compte du raidissement
en tension
et d u r e tT e e
rait.
D4.3
4
par
O u v e r t u r e e t e s p a c e m e n t des f i s s u r e s d ? u n t i r a n t
Considéro ns un élément en bééton armé, sous l?actionon d? d?un effort de
i
de tractio n est repris
demment, L e f o r t N n e m e n t p a r l?armature au d r o i t d?une fissure C o m m e N . C e t effort
oe
.
Comme on a v u
précéretransmis
s'éloigne de |
progressivement de |1?
béton
a fissure. A u d r o i t d?une fissure, la c o n t r a i n taer meta t la
u r ed éau
f o r méton
a t i o nà dans
mesur
l ' a c i e rs o n t
lé
entiè
;
.
4
.
oan
Pp
à
?
Va.3.4
M é t h o d e de G e r g e l y e t L u t z
9
J u s q u ' à
e t
L u t z
P é d i t i o n
[98]
p o u r
le
1 9
e
9
le
c a l c u l
c o d e
d e
A C I
u t i l i s a i t
?
I o u vv ee rr t u r e
m a x 1i m u m
Wmax
O ÙÙ
€;
égale
est
a
surface,
1 la
la
3
d é f o r m a t ii o n
surface grisée
d, Cc
est
la
de
P a r m a t u r e
d a n s
distance
de
l af i g u r e
la
fibre
u n e
r e s s i o n
e m p i r i
u e
o b t e n u e
a r G e r g
1
iT1q
p a
;
e x pDp r e s s i o n s é c r i t
d ? u n e fi s s u r e . C e t t e
exp
= 2,28€: Ÿ/deA
(4.37)
a u d r o i i t? d ? u n e f i s s u r e ,
4.15
la
divisée
plus
p a r
t e n d u e
A
est
le n o m b r e
d e
a u
d e
c e n t r e
l 'aa i i r e
barres
e f f e c t i .v e
t u r e l a
l ? a r m a t u r e
axe n e u t r e ©
centre de gravité
de l'acier tendu
ly
e
fibre extrême
tendue
F i g u r e 4.15 ? Airee f f e c t i v e d?enrobage d?après le codeA C I .
la
o l
d ? e n r o b a g e
d a n s
p l u s
cette
p r o c h e ,
4.4.
Armature minimum
159
i
oeffici
m a t i o n nee an
B
R
l'axe neutre à la f i b r e la plus
ti
Compte de l a v a r i a t i o n de la d é f o r m a t i o n : B = 1,0 p o u r une
€ 2 / hy p o u r une d é f o r m a t i o n variable, où h2 est la distance de
endue et h ; est la distance de l?axe neutre au centre de gravité
des aciers tendus (fig. 4.15). Le c a l c u l de l?o
i
uvert
Gergely et L u t z est i l l u s t r é d a n s l ' e x e m p l e s u i v a n t . m a x i m u m d?une fissure p a r l a m é t h o d e de
?
-
e e (A C D .
p a c a
é
de ? o u v e r t u r e m a x i m u m d?une fissure p a r la m é t h o d e de G e r g e l y et
causées p a r l ' a p p l i c a t i o n d ' u n e
e d s ? e G e r g e l y et L u t z ( A C I ) , o u v e r t u r e m a x i m u m des fissures
e
dans l'exemple 4.2.
ge
]
en traction
500 k N
de
:
tirant
au
.
#4
T1
testé par
#
7
Bischoff et étudié
Solution
P o u r u n e f f o r t de t r a c t i o n égal à 500 kN, l a c o n t r a i n t e dans l?armature n u e v a u t:
fs = 500 x 1 0 / 1 2 0 0 = 416,67 MPa
Sous cette contrainte, la déformation de l?armature est:
_
€s
416,67
= 2,08 x 107°
200 000
D?aprés l a m é t h o d e d e G e r g e l y et L u t z , l ? o u v e r t u r e m a x i m u m des fissures v a u t
Wmax
=
2 , 2 8 e s3 / 4 .
:
A
L e n o m b r e d e b a r r e s d ? a r m a t u r e c o m p r i s e s d a n s l a section effective d?enrobage est
:
n = 4
L a s e c t i o n e f f e c t i v e d?enrobage est
:
A =
E
S
= 15625 m m ?
Avec 8 = 1, de = 5 0 m m et € = 2,08 x 1073, o u v e r t u r e m a x i m u m des fissures est
Wmax = 2,2 X 0,00208 7/50 x 15625
V a
:
= 0,42 m m
Armature minimum
Une r e d i s t r i b u t i o n des forces internes se produit à la fissuration d?une section et les forces
de traction dans le béton sont transférées à l?armature. La plastification de l'armature suivra la
formation de la première fissure si la quantité d'armature présente dans la section est insuffisante
pour reprendre la force de traction, rendant impossible le contrôle de la fissuration. I l s'ensuit que
dans tous les cas où des forces de traction risquent de se produire, soit par application de forces
externes, soit par mouvements empêchés, il faudra prévoir une section minimum d?armature
capable de reprendre au moins les forces de traction causant la fissuration. L?armature minimum
est d o n c
:
A s , min y
soit
= Acef f e t
(4.38)
fa
À , min =
= Acef
(4.39)
y
d?enrobage définie 4 la figure 4.15. Dans certains cas, il sera approprié
ou
est la section
ie
tale de béton. En supposant que Acef = Ac, le taux d?armature
d?utiliser pour Aces la section to
Aces
minimum
nimum
est donc
:
:
As,min
pain = A e
_ fet
Ty
(4.40)
|
160
Chapitre 4
E x e m p l e 4.6
Comportement en traction simple
C a l c u l de l ? a r m a t u r e m i n i m u m d?un t i r a n t .
*
.
section d?armature m i n i m u m à prévoir pour
?
et
Déterminer le Pourcentage
2
4
?
I
a
l a s e c t i o n d e l ' e x e m p l e 4.1 f o r m é e d ? u n b é t o n d e 40 M P ,
et armée d?acier de l i m i t e élastique égale 4 400 M P a .
Solution
L a résistance en t r a c t i o n directe d u b é t o n est
:
fer ? 0 , 3 3 V 4 0 = 2,1 M P a . D ' o ù
:
2,1
= ? ? = 0,005
P r i n = 400
in
S o i t pmin = 0 , 5 % . L a s e c t i o n m i n i m u m d ? a r m a t u r e e s t d o n c:
As, min = 0,005 x 250 x 250 = 312,5mm?
a
Les d é f o r m a t i o n s imposées telles que le r e t r a i t , les variations de t e m p é r a t u r e ou les tasse.
m e n t s d?appuis ne créent des efforts dans une pièce que si elles sont empêchées p a r une entrave
q u i p e u t être interne ou externe à la pièce. C o m m e on l?a v u au d é b u t du chapitre, les armatures
d?acier c o n s t i t u e n t une entrave interne aux déformations imposées par le r e t r a i t d u béton. L?ent r a v e externe résulte du m o n o l i t h i s m e des structures en béton armé, q u i crée des liaisons entre
l ' é l é m e n t q u i s u b i t les déformations imposées et les autres parties de l'ouvrage. Ces deux types
d?entraves peuvent créer des efforts de t r a c t i o n suffisamment élevés p o u r causer la fissuration
d u béton. C e t t e fissuration p e u t réduire la d u r a b i l i t é des ouvrages, mais ne m e t j a m a i s en cause
l e u r sécurité. Une i l l u s t r a t i o n de la fissuration causée par le r e t r a i t empêché d?une dalle est
présentée dans l?exemple suivant.
E x e m p l e 4 . 7 C a l c u l d e l ? a r m a t u r e m i n i m u m d ? u n e d a l l e , a i n s i q u e d e l ? o u v e r t u r e e t de
l ? e s p a c e m e n t d e s f i s s u r e s . Soit une dalle de 200 m m d'épaisseur et de l o n g u e u r £ = 1 0 m . Consid é r a n t q u e le raccourcissement de la dalle est t o t a l e m e n t empêché p a r l a présence de m u r s de refend
à ses d e u x extrémités, calculer l ' e f f o r t q u i résulte d?un r e t r a i t l i b r e € , = ? 0 , 3 x 1 0 % d u béton après
coulage des m u r s d?extrémités. D é t e r m i n e r l?armature m i n i m u m requise et calculer p o u r cette quantité
d?acier l?ouverture, l?espacement et le n o m b r e de fissures. Le béton a u n e résistance f i = ? 3 0 MPa, et
l ? a r m a t u r e est de nuance 400R. O n supposera un c o m p o r t e m e n t 4 l o n g t e r m e avec un coefficient de
fluage $ ( 0 0t ,) = 2,0.
Solution
S u p p r i m o n s p a r la pensée l?encastrement à l?une des extrémités de l a dalle. Le raccourcissement libre
de l a dalle p a r suite de la d é f o r m a t i o n due au r e t r a i t est:
Aé = lesn, = 10 x 10° x ?0,3 x 107? = - 3 m m
Rétablissons la c o m p a t i b i l i t é des déformations de la dalle avec ses liaisons, d o n c des m u r s de refend. Il
s'ensuit l?apparition d?un effort de t r a c t i o n N t a n t que l a dalle n?est pas fissurée:
Ae
N =
T
Z
ct A t r
=
?Esh Ect  t r
ot: E c t est le m o d u l e tangent du béton, qui d o i t être remplacé p a r E 4 , e # p o u r le calcul à long terme,
A i r est l a section de b é t o n transformée en stade non fissuré.
L?effort de t r a c t i o n résultant de l?empêchement du r e t r a i t l i b r e lui est d o n c p r o p o r t i o n n e l jusqu?à un
certain seuil où son a m p l i t u d e est assez grande p o u r causer la f i s s u r a t i o n d u b é t o n . D a n s ce cas, l'effort
de t r a c t i o n est égal à l ' e f f o r t de t r a c t i o n c o r r e s p o n d a n t à la fissuration, N . ; , et ne p e u t dépasser cette
dernière valeur:
N
o ù f + est la résistance d u b é t o n à l a t r a c t i o n .
< N e r
=
A i f ct
4.4.
Armature minimum
161
Il est i m p o r t a n t de r e m a r q u e r q u e |?
e f f o r t N r é s u l t a n t de l ' e m p ê c h e m e n t de l a d é f o r m a t i o n d u e a u
r e t r a i t est i n d é p e n d a n t de c e t t e défo
T m a t i o n imposée après f i s s u r a t i o n; il est au plus égal à l ' e f f o r t
c o r r e s p o n d a n t à l a f i s s u r a t i o n . P a r co
n t r e , le n o m b r e de fissures q u i a p p a r a i s s e n t est d i r e c t e m e n t lié à
la v a l e u r de l a d é f o r m a t i o n imposée.
M o d u l e t a n g e n t d e l a d a l l e:
Ect
=
(3300 /7 + 6900) = 1,1
1,1
(8300,/80,0+ 6900) = 27 000 MPa
M o d u l e t a n g e n t r é d u i t:
Ec
Eten
PR
Résistance à l a t r a c t i o n
27 000
= ?TE E
e ? 1+2,0
(00,1)
? 9000 M P a
:
fet = 0,334/ f i = 0,33V30 = 1,81 MPa
Déformation 4A la fissuration
:
€cr = f e t / E c te,f = 1,81/9000 = 0,20 x 107°
L a c o n t r a i n t e i m p o s é e p a r le r e t r a i t empéché est
N
fe
=
:
?3
A
=
? € s h Ect, e f
=
0,3
x
10°?
x
9 0 0 0
=
2,70 M P a
>
fee
=
1,81 M P a
Cc
q u i est é v i d e m m e n t u n e c o n t r a i n t e d e t r a c t i o n . L a dalle se fissurera p a r suite de l?entrave 4 la d é f o r m a t i o n
l i b r e d u r e t r a i t . L ? e f f o r t n o r m a l de t r a c t i o n n e dépassera pas l?effort d e t r a c t i o n , N e r , c o r r e s p o n d a n t a
la fissuration.
D?aprés ]?équation (4.40), le pourcentage d?armature minimum 4 prévoir pour cette dalle est
Pmin =
:
As,min _
_
4,
= fet
= 1,81
=
F ©
0 0 == 010048
La section d?armature minimum est donc
:
A s , min = AcPmin = 200 x 1000 x 0,0045 = 900 mm?/m
Répartissons l?armature en deux lits, supérieur et inférieur, avec un enrobage de 20 mm. Soit des barres
10M espacées de 200 mm. Considérant n = 200 000/25 000 = 8, la section transformée À, est
:
Az = 200 x 1000 ? 1000 + 8 x 1000 = 207 000 mm?
Tenant compte des armatures, l?effort de traction causant la fissuration vaut
:
Ner = fet X A t = 1,81 x 207000 = 374,67kN
Cette valeur est sensiblement égale à l'effort de traction causant la fissuration calculé en négligeant
l'armature, soit 200 x 1000 x 1,81 = 362,0kN.
L?espacement moyen des fissures est donné par l?équation(4:26). Avec k1 = 0,4, ka = 0,25, c = 20,0 mm,
8 = 200mm, Aces = 2(5 x 15 x 10 x 100) = 150000 mm?, pes = 1000/150 000 = 6,67 x 107%, nous
obtenons
:
8
sm
dp
200
=2 (cot 3 ) + m i n e =2 (20-4 Sy) +04 x 026 x
_ _ 1 0
ges = 230,0mm
L?espacement moyen des fissures calculé avec l?équation (4.26) correspond à l?état de fissuration stabilisée. Cette équation peut tout de même être utilisée pour calculer l'ouverture des fissures dans les cas
de tirants entravés. Dans ce cas, il est suggéré [57] de prendre l'espacement moyen des fissures égal à
deux fois l?espacement donné par l'équation (4.26). On a donc
:
8m = 2 X 230,0 = 460,0 m m
162
C h a p i t r e 4.
C o m p o r t e m e n t en t r a c t i o n s i m p l e
L e c o e f f i c i e n t de d i s t r i b u t i o n des d é f o r m a t i o n s en stades I et I I , €, est d o n n e m r T a a t i o n (4.22) ot
1
e
Sacr et f e ,
d é p e n d des p a r a m è t r e s 6 , et B2 et des c o n t r a i n t e s d a n s les a r m a t u r e s en s t a d e sI
r e s p e c t i v e m e n t . L a c o n t r a i n t e dans les a r m a t u r e s en s t a d e IL n u , f s , v a u t:
3
fe
= Mer
2 2 ,
3 7 4 x, 61 07" _ 374 6 7 M P a
1000
C e t t e v a l e u r est aussi égale à l a c o n t r a i n t e dans les a r m a t u r e s à l a f i s s u r a t i o n e n s t a d e I, fecp.
A v e c B1 = 1,0 p o u r des b a r r e s crénelées e t BP2 = 0,5 p o u r u n c h a r g e m e n t à l o n g t e r m e , n o u s avons
374,67
?
¢ = 1 - f i f e ( £ 8=2 )
=
1,0
? 1,0 x 0,5 E
:
\°
T
= 0,5
L a d é f o r m a t i o n d a n s les a r m a t u r e s e n s t a d e I I n u , € 2 , v a u t :
*s2
_ 374,67 = 1,87 x 107°
= 500000
L a déformation relative moyenne des armatures, d?aprés le code MC78, est donnée par Péquation (4.23)
:
Esm,r = Cés2 = 0,5 x 1,87 x 107° = 0,94 x 1073
D?aprés l?équation (4.25), Pouverture moyenne des fissures est donc
:
Wm = Sm(€om.r + s r ) = 460,0 (0,94 x 1 0 7 + 0,3 x 107%) = 0,57 mm
L e r a c c o u r c i s s e m e n t t o t a l d û au r e t r a i t l i b r e est ? 3 m m . L e n o m b r e d e f i s s u r e s m u l t i p l i é p a r l ' o u v e r t u r e
m o y e n n e des f i s s u r e s d o n n e l a d é f o r m a t i o n i m p o s é e p a r les a p p u i s :
N f X Wm = 0 , 5 7 n ; = 3 m m
d?où l?on t i r e
:
ns = 5,3 fissures
a
L e calcul de l?ouverture et d u nombre des fissures étant loin d?étre exact, o n p e u t conclure que le nombre
d e f i s s u r e s s e r a d ? e n v i r o n 5 à 6.
Exercices
4.1 Quels sont les paramétres qui influencent l'ouverture et l?espacement des fissures d?unepièce
en béton armé soumise à la t r a c t i o ?
n
4.2 Estimer, par la méthode de l?Eurocode 2-91, o u v e r t u r e maximum des fissures causées pat
l'application d?une charge de 440,1kN en traction au tirant T1 étudié dans l?exemple 4.2.
4.3 Reprendre l'exemple 4.7 avec le code EC2-91.