1. Representar en GeoGebra la función dada y determinar comprobando analíticamente:
a. Tipo de función
b. Dominio, rango y asíntotas
Estudiante 3
𝑓(𝑥) =
𝑥2
3𝑥
− 25
a. Tipo de función
la función es una función de tipo racional, debido a que este tipo de funciones se da cuando en
el denominador se tiene una variable (X), dicha variable puede estar elevada a uno potencia o
no estarlo y seguirá siendo una función racional
B. Dominio y rango
Dominio
El dominio de la función se calcula partiendo de izquierda a derecha sobre el eje X, la siguiente
imagen permite ver claramente el dominio de la función:
La función inicia en −∞ pero se observa que llega hasta -5, después de esto vuelve a iniciar
desde -5 hasta el 5, por ultimo continua desde 5 hasta infinito, es decir que el dominio de la
3𝑥
función: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −25 es
𝑫 = (−∞, −𝟓) ∪ (−𝟓, 𝟓) ∪ (𝟓 , ∞)
𝑹 = {x|x ≠ 5, −5}
Rango
El rango ahora se calcula partiendo del eje Y, de la función
Caso contrario el rango de la función inicia en −∞ y se aproxima a cero pero no lo toca, sin
embargo otra parte de la misma función, toca el valor de 0, y tiene a infinito, es decir que el
dominio son todos los números reales, esto se puede expresar como
𝑹 = {(−∞, ∞ ); {y|y ∈ R}
Asíntotas
Para el cálculo de las asíntotas esta función presenta asíntotas horizontales y verticales.
Asíntota Horizontal:
3𝑥
𝑥 2 − 25
Cuando el grado del denominador es más grande se produce una asíntota y=0, siempre tendrá
una asíntota en 0, dado que el denominador será siempre más grande y si este tiende a infinito
su resultado será 0
Asíntota Vertical.
Esta se calcula con el denominador de la función:
𝑥2
3𝑥
− 25
Este se debe igualar a 0, y de allí se despejan las asíntotas verticales;
𝑥 2 − 25 = 0
Esa ecuación se puede factorizar como:
(𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 0
Claramente se ven 2 asíntotas verticales -5 y 5, sin embargo el cálculo se hace de la siguiente m
(𝑥 + 5) = 0
𝑥=−5
Ahora calculamos la otra:
(𝑥 − 5) = 0
𝒙=𝟓
2. Dado los tres puntos 𝑨, 𝑩 𝒚 𝑪 hallar:
⃡
a. La ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta 𝑨𝑩
b. Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados.
𝐴 = (−6, −3) 𝐵 = (7, 2) 𝐶 = (3, −4)
Estudiante 3
Solución
𝐴 = (−6𝑥1 , −3𝑦1 )
𝑚=
𝐵 = (7𝑥2 , 2𝑦2 )
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚1 =
2 − (−3)
5
=
7 − (−6) 13
𝒎𝟏 =
𝟓
𝟏𝟑
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 − (−3) =
𝑦+3=
5
(𝑥 − (−6))
13
5
(𝑥 + 6)
13
5
30
𝑥+
13
13
5
30
𝑦=
𝑥+
−3
13
13
𝟓
𝟗
𝒚=
𝒙−
𝟏𝟑
𝟏𝟑
𝑦+3=
𝒚 = 𝟎. 𝟑𝟖𝒙 − 𝟎. 𝟔𝟗
𝐶 = (3𝑥1 , −4𝑦1 )
𝑦 − (−4) = 𝑚(𝑥 − 3)
5
(𝑥 − 3)
𝑦+4=
13
5
15
𝑦+4=
𝑥−
13
13
5
15
𝑦=
𝑥−
−4
13
13
𝟓
𝟔𝟕
𝒚=
𝒙−
𝟏𝟑
𝟏𝟑
𝒚=
𝟓
𝟔𝟕
𝒙−
𝟏𝟑
𝟏𝟑
5
𝑚1 . 𝑚2 = −1
𝑚1 =
13
1
𝑚2 = −
𝑚1
1
13
𝑚2 = − ( 1 ) = − ( )
5
5
13
13
𝑚2 = −
5
13
𝐶 = (3𝑥1 , −4𝑦1 )
𝑚2 = −
5
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
13
𝑦 − (−4) = − (𝑥 − 3)
5
13
39
𝑦+4=− 𝑥+
5
5
13
39
𝑦=− 𝑥+
−4
5
5
13
−19
𝑦=− 𝑥+
5
5
13
19
𝑦=− 𝑥−
5
5
ecuación de la recta que pasa por las coordenadas (3, -4) de la forma 𝒚 = 𝒎 𝒙 + 𝒃
GeoGebra:
3. Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas analíticamente
aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y de los exponentes.
a. Ecuaciones Funciones logarítmica
b. Ecuaciones Funciones
exponenciales
𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 2) − 𝑙𝑜𝑔2 (3𝑥 − 1) = −1
Estudiante 3
(8−𝑥 )(2𝑥
Funciones Logarítmicas
𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 2) − 𝑙𝑜𝑔2 (3𝑥 − 1) = −1
Por propiedades de los logaritmos la resta de los logaritmos es una división:
𝑚
𝑙𝑜𝑔𝐴 (𝑚) − 𝑙𝑜𝑔𝐴 (𝑛) = 𝑙𝑜𝑔𝐴 ( )
𝑛
𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 2) − 𝑙𝑜𝑔2 (3𝑥 − 1) = −1 →
𝑙𝑜𝑔2 (
(𝑥 + 2)
) = −1
(3𝑥 − 1)
Otra propiedad permite operar la división de los logaritmos de la siguiente forma:
𝑙𝑜𝑔𝐴 𝐵 = 𝐶 → 𝐴𝐶 = 𝐵
𝑙𝑜𝑔2 (
(𝑥 + 2)
) = −1
(3𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)
2−1 = (
)
(3𝑥 − 1)
Ahora 2−1 es lo mismo que:
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
Es decir que :
2−1 =
1
1
=
1
2
2
Reemplazo en la ecuación inicial:
2−1 = (
(𝑥 + 2)
)=
(3𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)
1
=
2 (3𝑥 − 1)
Ahora puedo operar pasando el denominar a multiplicar en ambas partes de la ecuación:
(3𝑥 − 1)1 = 2(𝑥 + 2)
Multiplico:
2 −2𝑥
)=1
3𝑥 − 1 = 2𝑥 + 4
Agrupo términos semejantes
3𝑥 − 2𝑥 = 4 + 1
𝑥=5
La respuesta seria 5
B. Potencias
(8−𝑥 )(2𝑥
2 −2𝑥
)=1
Primero debo convertir todo a la misma base:
(23 )−𝑥 )(2𝑥
2 −2𝑥
)=1
Ahora aplico propiedades de los exponentes donde:
𝑎𝑛
𝑚 =𝑎 𝑛∗𝑚
Es decir que :
(23 )−𝑥 = 2−3𝑥
La ecuación quedaría entonces como :
(2−3𝑥 )(2𝑥
2 −2𝑥
)=1
Ahora aplicamos propiedades de los exponentes donde:
𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Es decir que
(2−3𝑥 )(2𝑥
2 −2𝑥
)=1
Es igual a :
(2−3𝑥+𝑥
2 −2𝑥
)=1
Realizo las sumas:
2
(2−5𝑥+𝑥 ) = 1
Ahora aplico ln a ambos lados:
2
𝑙𝑛(2−5𝑥+𝑥 ) = 𝑙𝑛1
Ahora las propiedades de los logaritmos nos indica:
𝑛
𝑙𝑛𝑎 = 𝑛 ln 𝑎
Es decir que la función quedaría como:
(−5𝑥 + 𝑥 2 ) ln 2 = 𝑙𝑛1
Procedo a ordenar los índices y despejar ln
(𝑥 2 − 5𝑥) =
Ahora ln 1=0 entonces :
ln 1
ln 2
(𝑥 2 − 5𝑥) =
0
ln 2
Es decir que quedaría:
(𝑥 2 − 5𝑥) = 0
Ahora aplico la ecuación cuadrática al lado izquierdo donde:
𝑎 = 1; 𝑏 = −5; 𝑐 = 0
Utilizo la ecuación cuadrática
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−(−5) ± √52 − 4 ∗ 1 ∗ 0
2∗1
5 ± √25
2
Ahora calculo los valores x1 y x2:
𝑥1 =
5 + 5 10
=
=5
2
2
𝑥2 =
5−5
=0
2
Es decir que la función tiene 2 valores los cuales son:
𝑥1 = 5
𝑥2 = 0
4. Para la siguiente función cuadrática, determinar analíticamente, las coordenadas de sus
raíces (puntos de intersección con el eje x) y su vértice, comprobando mediante GeoGebra
los cálculos realizados.
Función asignada.
Estudiante 3
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5
Puntos de intersección con X
La ecuación presentada es una ecuación de tipo cuadrática la cual se puede resolver fácilmente
por el método de factorización donde:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5
Igualamos a cero la función:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0
Ahora debemos buscar 2 números cuya multiplicación de -5 y cuya suma de -6:
(𝑥 − 5)(𝑥 − 1) = 0
Ahora buscamos los valores que permiten que la ecuación se anule:
𝑥1 =
𝑥 − 5 = 0; → 𝑥 = 5
𝑥1 = 5
𝑥2 =
𝑥 − 1 = 0; → 𝑥 = 1
𝑥2 = 1
Los puntos de corte con el eje x son: 5 y 1
Vértice
Formula general𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Donde:
𝑎 = 1: 𝑏 = −6 ∶ 𝑐 = 5
𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉(ℎ, 𝑘)
ℎ=
−𝑏 −(−6) 6
→
= →3
2𝑎
2(1)
2
𝑘=
4𝑎𝑐 − 𝑏 𝟐 4(1)(5) − (−6)𝟐 20 − 36 −16
→
=
=
→ −4
4𝑎
4(1)
4
4
Los vértices serán:
𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉(ℎ, 𝑘) = (3, −4)