Laboratorio de Ecuaciones Diferenciales
Septiembre 2023
A. Ejercicios previos
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 0
Para la solución se observa que el ejercicio tiene la forma estándar de una
ecuación diferencial la cual se observa en la ecuación (1)
𝑑𝑦
+ 𝑃 (𝑥 )𝑦 = 𝑓 (𝑥 )
𝑑𝑥
(1)
Se procede a definir el factor integrante que esta expresado en la ecuación
(2)
𝜇 = 𝑒 ∫ P(𝑥)𝑑𝑥
(2)
Se tiene que P(x) = 2 por lo tanto el factor integrante es:
𝜇 = 𝑒 ∫ 2𝑑𝑥 = 𝑒 2 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑥
Para hallar la solución se multiplica el factor integrante por la forma
estándar de la ecuación diferencial, lo que es automáticamente la derivada
del factor integrante en el lado izquierdo de la ecuación, después de esto se
integra a ambos lados y obtenemos la solución, esto se puede ver ilustrado
en la ecuación (3) y una breve simplificación en la ecuación (4).
𝑑 ∫ P(𝑥)𝑑𝑥
[𝑒
y] = 𝑒 ∫ P(𝑥)𝑑𝑥 f(x)
𝑑𝑥
∫
(3)
𝑑 ∫ P(𝑥)𝑑𝑥
[𝑒
y] = ∫ 𝑒 ∫ P(𝑥)𝑑𝑥 f(x)
𝑑𝑥
𝑒 ∫ P(𝑥)𝑑𝑥 y = ∫ 𝑒 ∫ P(𝑥)𝑑𝑥 f(x)
(4)
Ahora solucionamos la ecuación:
𝑒 2𝑥 y = C
𝑦 = 𝐶𝑒 −2𝑥
Se obtuvo la solución genera a la ecuación diferencial dada.
Figura 1: familia de soluciones 𝑒 𝑘𝑡
𝑑𝑦
• x 𝑑𝑥 + 2𝑦 = 3
Esta ecuación tiene la forma general de una ecuación diferencial lineal, se
procede a convertirla a la forma estándar ilustrada en la ecuación (1):
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦 2
3
+ 2𝑦 = 3 →
+ 𝑦=
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑥
𝑥
Ya de esta forma se puede solucionar por medio del factor integrante
2
expuesto en la ecuación (2) tomado 𝑃 (𝑥 ) = 𝑥 :
2
𝜇 = 𝑒 ∫x𝑑𝑥 = 𝑒 2 ln 𝑥 = 𝑥 2
Ahora se soluciona usando la ecuación (4) de la siguiente forma:
3
𝑥 2 𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 → 𝑥 2 𝑦 = ∫ 3x𝑑𝑥
x
𝑥2
𝑥 𝑦=3 +𝐶
2
2
𝑥2
C
𝑦=3 2+ 2
2𝑥
𝑥
𝑦 = 𝐶𝑥 −2 +
3
2
Se obtuvo la solución genera a la ecuación diferencial dada.
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑦 = 20 con condición inicial de y(0) = 2
Para la solución se procede usando el factor integrante puesto que ya la
ecuación diferencial está en forma estándar, se toma como P(x) = 5:
𝜇 = 𝑒 ∫ 5dx = 𝑒 5 ∫ dx = 𝑒 5x
Ahora se hace uso de la ecuación para hallar la solución general de la EDO
𝑒 5xy = ∫ 20𝑒 5x = 20 ∫ 𝑒 5x
𝑒 5𝑥
𝑒 𝑦 = 20
+𝐶
5
5x
𝑦=
4𝑒 5𝑥
C
+ 5𝑥 = 4 + 𝐶𝑒 −5𝑥
5𝑥
𝑒
𝑒
Se obtuvo la solución genera a la ecuación diferencial dada, como se indicó
una condición inicial se puede hallar una solución particular:
𝑦 = 4 + 𝐶𝑒 −5𝑥
La condición es y(0) = 2 lo que se traduce en que cuando el termino de x
valga 0 la y tendrá un valor de 2
2 = 4 + 𝐶𝑒 −5(0) = 4 + 𝐶𝑒 0
2 = 4+𝐶
𝐶 = 2 − 4 = −2
C = -2
Esta sería la solución general de la ecuación
•
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘 (𝑇 − 50) teniendo k como constante y condición inicial de
T(0) = 200.
Esta ecuación se puede resolver por separación de variables, de la siguiente
manera:
𝑑𝑇
= 𝑘𝑑𝑡
(𝑇 − 50)
Integramos ambos lados de la ecuación
∫
𝑑𝑇
= ∫ 𝑘𝑑𝑡
(𝑇 − 50)
ln(𝑇 − 50) = 𝑘𝑡 + C
𝑒 ln(𝑇−50) = 𝑒 𝑘𝑡+c
𝑇 − 50 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡
Se incluye la solución particular:
200 − 50 = 𝐶𝑒 𝑘(0)
200 − 50 = 𝐶
C = 150
B. Consulta inicial:
Entre las aplicaciones de las Ecuaciones Lineales se encuentra el modelo de
dinámica poblacional (también conocido como Modelo de Crecimiento y
Decrecimiento de población):
𝑑𝑥
= 𝑘𝑥
𝑑𝑡
𝑥 (𝑡0 ) = 𝑥0
La definición de las variables es:
x = Número de personas
t = tiempo
k = constante de proporcionalidad
la relación se define como la diferencia en el número de personas a través del
tiempo y la condición inicial será que el número de personas inicial va a ser el
número de población que este en el tiempo 0
la familia de soluciones de la ecuación diferencial se puede observar en la
figura (1) antes de esto se debe notar la solución
𝑥 = 𝑥0 𝑒 𝑘𝑡
Figura 2: familia de soluciones 𝑒 𝑘𝑡
Se debe tener en cuenta de que la expresión expuesta anteriormente se debe a
la definición de la solución cuando el tiempo es 0
𝑥 = 𝐶𝑒 𝑘(0)
𝑥0 = 𝐶
o
Ejemplo 1: En una población que tiene inicialmente 300 habitantes a
través de 20 años la población crece un 100% cual es la constante de
proporcionalidad en el crecimiento poblacional.
la solución de la ecuación ya esta calculada por lo cual solo seria remplazar
y despejar la constante k
600 = 300𝑒 𝑘(20)
600
𝑙𝑛
= 20k
300
ln 2
=k
20
k = 0.0346
o
Ejemplo 2: Determine la cantidad de habitantes en la misma población
después de 30 años.
ln 2
𝑃 (30) = 300𝑒 20 (30)
P(30) = 848.52 habitantes
C. Situaciones problemas:
1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante
cualquiera, con una rapidez proporcional al número de personas
presentes en dicho instante. Si la población se duplica en cinco años,
¿Cuánto se demorará en triplicarse?, ¿Cuánto se demorará
cuadruplicarse?
Lo primero que se construye es la relación la cual esta definida por el
cambio de la población en un instante:
𝑑𝑃
= kP
𝑑𝑡
El ejercicio indica que la población se duplica en 5 años por lo cual se
traduce en
𝑃 (5) = 2𝑃𝑜
Resolviendo la ecuación diferencial:
𝑑𝑃
= 𝑘𝑑𝑡
𝑃
∫
𝑑P
= ∫ 𝑘𝑑𝑡
P
𝑙𝑛𝑃 = 𝑘𝑡 + C
𝑃 = 𝑒 𝑘𝑡+𝐶
𝑃 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡
Volviendo a decir que C es la población inicial puesto que la solución
particular del tiempo 0 es 𝑃0 lo cual queda que la solución de la ecuación
es:
𝑃 = 𝑃0 𝑒 kt
En 5 años la población será dos veces la población inicial
2𝑃0 = 𝑃0 𝑒 5k
ln 2 = 5k
k =
ln 2
5
Ahora calculamos el tiempo que se necesita para duplicar y triplicar la
población inicial
3𝑃0 = 𝑃𝑜 𝑒
ln 2
t
5
ln 3 =
𝑡 =
ln 2
t
5
ln 3
≈ 7.9 años
ln 2
5
Y para cuadruplicarse
4𝑃0 = 𝑃𝑜 𝑒
ln 4 =
𝑡 =
ln 2
t
5
ln 2
t
5
ln 4
≈ 10 años
ln 2
5
Figura 3: familia de soluciones ejercicio anterior
2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad en el problema 1
es de 10000 habitantes después de tres años. ¿Cuál era la población
inicial?, ¿Cuál será la población en 10 años?
Siguiendo el ejercicio anterior tenemos la misma constante de
proporcionalidad, tenemos la cantidad de población en una cantidad de
tiempo, solo se calcularía la población inicial
𝑃(3) = 10000
10000 = 𝑃0 𝑒
ln 2
3
5
𝑃0 = 6597.54 ℎ𝑎𝑏
Ahora se calcula en 10 años
P(10) = 6597.54 𝑒
ln 2
10
5
= 26390.2 hab
3. La población de una pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera, con
una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante.
Su población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la
población en 30 años?
La población inicial es 500, si aumenta 15% en 10 años se debe sumar el
15% de 500 a la población inicial, este 15% es 75 habitantes la población
total seria 575, con esto se puede calcular la constante de
proporcionalidad
𝑃 = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡
575 = 500𝑒 𝑘10
𝑙𝑛 (
575
) = 10𝑘
500
𝑘=
𝑙𝑛1.15
10
Ahora se calcula la población en 30 años
𝑃 (30) = 𝑃0 𝑒 𝑘30
𝑃(30) = 500𝑒
𝑙𝑛1.15
30
10
𝑃 (30) = 760ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
4. la cantidad de bacterias en un cultivo crece, en un instante cualquiera, con
una rapidez proporcional al número de ellas que haya en dicho instante.
Después de tres horas se observa que se tiene 400 bacterias y que al cabo
de 10 horas hay 2000. ¿Cuál es el número inicial de bacterias?
Se tienen dos cálculos y se necesitan dos incógnitas con la resolución de
la ecuación de crecimiento poblacional se calculan ambas variables.
𝑑𝑃
= 𝑘𝑡
𝑑𝑡
𝑃 = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡
Ahora se construyen los dos sistemas
𝑃 (3) = 400 = 𝑃0 𝑒 𝑘(3)
𝑃 (10) = 2000 = 𝑃0 𝑒 𝑘(10)
Se despejan las dos poblaciones iniciales y se igualan:
400 2000
= 10𝑘
𝑒 3𝑘
𝑒
Simplificando
5 = 𝑒 7𝑘
𝑙𝑛5
=𝑘
7
Remplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema
400
𝑒 3 0.2292
= 𝑃0
𝑃0 = 200.679𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠
Figura 4: familia de soluciones ejercicio anterior
5. En cierto modelo que representa la variación de la población P(t) de una
comunidad, se supone que
En donde
𝒅𝑩
𝒅𝒕
y
𝒅D
𝒅𝒕
𝑑𝑃 𝑑𝐵 𝑑𝐷
=
−
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
son las tasas de natalidad y de mortalidad,
respectivamente.
i. Obtenga P(t) si
𝒅𝑩
𝒅𝒕
= 𝑘1 𝑃 y
𝒅D
𝒅𝒕
= 𝑘2 𝑃
En la suposición inicial remplazando los términos para P(t) se
tiene que:
𝑑𝑃
= (𝑘1 − 𝑘2 )𝑃
𝑑𝑡
Resolviendo la ecuación diferencial por separación de variables se
tiene que:
𝑑𝑃
= (𝑘1 − 𝑘2 )𝑑𝑡
𝑃
∫
𝑑𝑃
= (𝑘1 − 𝑘2 ) ∫ 𝑑𝑡
𝑃
ln P = (𝑘1 − 𝑘2 )t
𝑃 = 𝑒 (𝑘1 −𝑘2 )t
ii. Analice e interprete los resultados en los casos k 1 > k2, k1 = k2, k1
< k2
1. 𝒌𝟏 > 𝒌𝟐
Como esta relacionado con la función exponencial esta
tiende al infinito cuando su exponente es positivo
2. 𝒌𝟏 = 𝒌𝟐
En este caso como las cantidades son iguales la población
inicial seria la misma ya que 𝑒 0 = 1
3. 𝒌𝟏 < 𝒌𝟐
Conforme el tiempo avanza hacia el infinito la función de
población tiende a 0 ya que se van a morir mas de los que
van a nacer.
6. La ecuación diferencial
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= (𝒌 𝒄𝒐𝒔𝒕)𝑷 donde k es una constante
positiva, se usa frecuentemente como modelo para una población que
sufre fluctuaciones estacionales anuales. Despeje P(t) y grafique la
solución usando GeoGebra. Suponga que 𝑷(𝟎) = 𝑷𝟎 . (Intente 𝑷𝟎 como un
deslizador).
Se resuelve la ecuación diferencial por variables separables
𝑑𝑃
= (𝑘 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡
𝑃
𝑑𝑃
= 𝑘 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡
𝑃
𝑙𝑛 𝑃 = 𝑘 sin t + 𝐶
𝑃 = 𝑃0 𝑒 𝑘 sin t
∫
Figura 5: familia de soluciones ejercicio anterior