Semana 9 – S 2
APLICACIONES SOBRE FUNCIONES
EXPONENCIAL
Propósito:
 Resuelve problemas contextualizados
funciones exponenciales.
sobre
Ejemplo estructural
El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la
gráfica de una combinación de funciones exponenciales,
no una parábola como pareceria. Es una función de la
forma:
y  a (e
bx
e
 bx
)
Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir
las fuerzas estructurales internas del arco.
3
Interés compuesto
Definición
“El interés compuesto es la operación financiera en la cual el capital
aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos.”
[Vidaurri,1997]
En otras palabras, si a un capital le agregamos los intereses que ha obtenido
en un determinado período, y a este nuevo capital e intereses le pagamos
un nuevo interés en un período siguiente, entonces, el interés pagado ha
sido compuesto.
Interés compuesto
El interés compuesto se calcula con la fórmula
𝒓 𝒏𝒕
𝑨 𝒕 = 𝑷(𝟏 + )
𝒏
𝐴 𝑡 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠
𝑃 = 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜𝑠
𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑎𝑙 𝑎ñ𝑜
𝑡 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠
Problema 1
Monto final
Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12%
anual. Calcule la cantidad en la cuenta después de tres años si
el interés se compone anualmente.
Solución:
Datos:
𝑃 = 1 000
r = 12% 𝑟 = 0,12
𝑛=1
𝑡=3
 r
A(t )  P 1  
 n
nt
1 3
0,12 

A(3)  10001 

1 

A(3)  1404,9
Respuesta: La cantidad en la cuenta después de tres años
será $1404,9
Problema 2
Valor presente
Determine cuánto se debe invertir actualmente en una financiera
para obtener $200 000 dentro de 3 años, si dicha institución
paga una tasa de 9% por año, capitalizable cada semestre.
Solución:
Datos:
A t = 200 000
𝑃 =¿ ?
r = 9% 𝑟 = 0,09
𝑛=2
𝑡=3
 r
A(t )  P 1  
 n
nt
0,09 

200000  P1 

2


200000
0,09 

1 

2


23
2 3
P
Respuesta: se debe invertir $ 153 579,15
P  153579,15
Problema 3
Tasa de interés
Una suma de S/. 3000 se invirtió durante dos años, y la tasa de interés se
capitalizó cada año. Si esta suma asciende a S/. 3 244,8 en el tiempo
dado, ¿cuál fue la tasa de interés?
Solución:
Datos:
A t = 3 244,8
𝑃 = 3 000
r =¿ ?
𝑛=1
𝑡=2
r

A(t)  P1  
n

nt
12
r

3244,8  30001  
1

3244,8
1  r
3000
Respuesta: la tasa de interés es 4%
r  0,04
Interés capitalizado continuamente
El interés capitalizado continuamente se calcula con la fórmula
𝑨 𝒕 = 𝑷𝒆𝒓𝒕
𝐴 𝑡 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠
𝑃 = 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜
𝑡 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠
Problema 4
Monto final
Calcule el monto después de tres años si se invierten S/. 2 000 a
una tasa de interés de 12% por año, capitalizados de forma
continua.
Solución:
Datos:
A t =¿ ?
𝑃 = 2 000
r = 12% 𝑟 = 0,12
𝑡=3
A(t )  Pe rt
A(3)  2000e 0,123
A(3)  2866,66
Respuesta: El monto después de 3 años será S/. 2866,66
Problema 5
Inversión
Determine cuánto se debe invertir actualmente en una financiera para obtener S/. 3 000
dentro de 1 año, si dicha institución paga una tasa de 2,3% por año, capitalizable de forma
continua.
Solución:
Datos:
A t = 3000
𝑃 =¿ ?
r = 2.3% 𝑟 = 0.023
𝑡=1
3000= 𝑃𝑒 (0.023)(1)
P
3000
e0.023(1)
P  2931.79
Respuesta: Se debe invertir la suma de S/. 2931.79
Crecimiento poblacional
Una población que experimenta un crecimiento exponencial
aumenta de acuerdo con el modelo
𝒏 𝒕 = 𝒏° 𝒆𝒓𝒕
n 𝑡 = 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡
𝑛° = 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎(%)
𝑡 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠
Crecimiento poblacional
Problema 1
El número de bacterias en un cultivo se modela mediante la
función:
𝑛 𝑡 = 600𝑒 0,37𝑡
donde ”t” se mide en horas.
Determine la población inicial de bacterias.
¿Cuál es la tasa relativa, (expresar en porcentaje)?
Solución
De la fórmula
n(t )  no  e rt
La población inicial es: no = 600
La tasa relativa de crecimiento es: r = 0,37 o 37%
Crecimiento poblacional
Problema 2
Queremos repoblar de conejos una reserva natural, para lo cual
implantamos una población de 50 elementos. Si sabemos que crecen
a razón de un 150 % anual, ¿qué población tendremos al cabo de 5
años?. ¿Y al cabo de 10 años?
Resolución:
Al cabo de 5 años tendremos:
𝒏 𝒕 = 𝒏° 𝒆𝒓𝒕
𝒏 𝒕 = 𝟓𝟎𝒆𝟏,𝟓𝒙𝟓
Respuesta:
Al cabo de 5 años tendremos
90 402 conejos
=
Crecimiento poblacional
Problema 3
La población en cierta ciudad fue de 120000 en 1995, y la tasa de crecimiento relativa
observada fue de 2,3% por año.
a) Encuentre un función que modele la población de t años.
b) Encuentre la población en el año 2005
Solución:
n(t )  no  ert
La población inicial es: no = 120000
La tasa relativa de crecimiento es: r = 0,023 o 2,3%
a) La función que modela t años
n(t )  120000  e0.023t
b) La población en el año 2005: t= 2005-1995 = 10
n(t )  120000  e0.023(10)
n(t )  151 032.0011
Función logística
Ciertas poblaciones no pueden crecer sin restricción debido a
la limitación de hábitat y suministros de alimentos. En tales
condiciones la población sigue un modelo de crecimiento
logístico.
P(t) 
Siendo d, c y k constantes
d
1  ke
 ct
Función logística
El número de estudiantes infectados con gripe en una escuela
después de t días se modela mediante la función:
800
𝑃 𝑡 =
1 + 49𝑒 −0,2𝑡
Determina el número inicial de infectados y después de 5 días.
Solución:
Número inicial de infectados
𝑃 0 =
800
1+49𝑒 −0,2(0)
𝑃 0 = 𝑙6
Después de 5 días
𝑃 5 =
800
1+49𝑒 −0,2(5)
𝑃 0 = 42
Respuesta: El número inicial de infectados serán 16
estudiantes y en 5 días serán 42 estudiantes.
Función logística
Población de aves La población de cierta especie de ave está
limitada por el tipo de hábitat requerido para anidar. La
población se comporta de acuerdo con el modelo de
crecimiento logístico
n(t) 
5600
0,5  27,5  e  0,044t
Donde t se mide en años
a) Encuentre la población inicial de aves.
b) Dibuje la gráfica de la función
c) ¿Qué tamaño tiene la población cuando el tiempo avanza?
Función logística
t
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
n(t)
200,0
470,3
1070,4
2274,1
4261,8
6685,5
8749,4
10034,3
10685,1
10980,5
11107,9
11161,6
11184,0
11193,4
11197,3
11198,9
11199,5
11199,8
11199,9
n(t ) 
5600
0,5  27,5  e 0,044 t
Función logística
Diámetro de un árbol Para cierto tipo de árbol, el diámetro D
(en pies) depende de la edad del árbol t (en años) de acuerdo
con el modelo de crecimiento logístico
D(t) 
5,4
1  2,9  e  0,01t
Determine el diámetro de un árbol de 20 años
Ejemplo:
Modelo exponencial para la diseminación de un virus
Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad
pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de
personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:
10000
v(t ) 
0.97t
5  1245 e
Contesta:
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de un
día y depués de cinco días.
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
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Solución:
Ejemplo anterior
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).
10000
10000
v(t ) 

8
0
5  1245e
1250
8 personas tienen inicialmente la enfermedad.
b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y
cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)
Días
Personas infectadas
1
21
2
54
5
678
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Solución:
Ejemplo anterior (cont)
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
2000
0
12
El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego se estabiliza cuando
estan infectados cerca de 2000 personas.
23
Interes compuestos
El interés compuesto se calcula mediante la fórmula
r

A(t )  P1  
n

nt
donde: A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años
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Ejemplo
Cálculo del interés compuesto
Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las
cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente,
cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario.
Solución:
Datos
P = 1000
r = 12% = 0.12
t=3
25
Ejemplo
Cálculo del interés compuesto
Capitalización
Anual
Semianual
Trimestral
n
Cantidad después de tres años
1
0.12 

1000 1 

1


2 ( 3)
2
0.12 

1000 1 

2


4
0.12 

1000 1 

4


4 ( 3)
12
0.12 

1000 1 

12


365
0.12 

1000 1 

365 

1( 3)
 1404 .93
 1418 .52
 1425 .76
12( 3)
Mensual
Diaria
 1430 .77
365( 3)
 1433 .24
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Interés
compuesto en forma continua
• El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la
fórmula
A(t )  Pe
donde
rt
A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
t = número de años
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Ejemplo
Calcular el interés compuesto de manera continua
• Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por
año, capitalizado de forma continua.
• Solución:
Datos:
P = 1000
r = 0.12
t=3
rt
A(t )  Pe
A(3)  1000 e ( 0.12) 3  1000 e 0.36  1433 .33
Se puede comparar con el ejemplo anterior.
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