Подпишитесь на DeepL Pro и переводите документы большего объема.
Подробнее на www.DeepL.com/pro.
Посмотрите обсуждения, статистику и профили авторов этой публикации на сайте: https://www.researchgate.net/publication/317598070.
Конструирование знаний и дивергентное мышление в элементарной и продвинутой
математике
-
в журнале "
DOI: 10.1023/A:1003640204118 -
OAI
ЦИТАТЫ
ЧИТАТЬ
110
288
4 автора, в том числе:
Марсия Пинто
Федеральный университет Рио-деЖанейро
33 ПУБЛИКАЦИИ 481 ЦИТИРОВАНИЕ
ПОСМОТРЕТ
Ь ПРОФИЛЬ
Деметра Питта-Пантази
Университет Кипра
203 ПУБЛИКАЦИИ 2,215 ЦИТИРОВАНИЙ
ПОСМОТРЕТ
Ь ПРОФИЛЬ
Дэвид Талл
Уорикский университет
290 ПУБЛИКАЦИЙ 11 727 ЦИТИРОВАНИЙ
ПОСМОТРЕТ
Ь ПРОФИЛЬ
Некоторые из авторов данной публикации также работают над этими смежными проектами:
Исследование сложных динамических процессов в математическом мышлении и смыслообразовании Посмотреть проект
Доклад на конференции Просмотр проекта
Все содержимое этой страницы было загружено Marcia Pinto 21 июня 2017 года.
Пользователь запросил улучшение загруженного файла.
Конструирование знаний и дивергентное
мышление в элементарной и продвинутой
математике
Эдди Грэй, Марсия Пинто, Деметра Питта, Дэвид Талл
АБСТРАКТ: Эта статья начинается с рассмотрения
когнитивных механизмов, доступных людям, которые позволяют
им успешно работать в различных частях учебной программы по
математике. Мы основываем нашу теоретическую разработку
на фундаментальной когнитивной деятельности, а именно:
восприятие мира, действие над ним и размышление над
восприятием и действием. Мы видим, что акцент на одном или
нескольких из этих видов деятельности приводит не только к
различным видам математики, но и к спектру успехов и неудач в
зависимости от характера фокуса в отдельном виде
деятельности. Например, геометрия строится на основе
фундаментального
восприятия
фигур
и их формы,
подкрепляемого действиями и размышлениями, чтобы перейти
от практических измерений к теоретическим выводам и
евклидовым доказательствам. Арифметика, с другой стороны,
первоначально фокусируется на действии счета, а затем
меняет фокус на использование символов как для процесса счета,
так и для понятия числа. Данные, собранные нами из ряда
исследований,
посвященных
арифметике
детей,
свидетельствуют о расхождении в результатах. Менее
успешные дети, похоже, больше сосредоточены на восприятии
своей физической деятельности, чем на гибком использовании
символа как процесса и понятия, подходящего для
концептуального развития в арифметике и алгебре.
Продвинутое математическое мышление вводит новую
особенность, при которой формулируются определения
понятий, а формальные понятия строятся путем дедукции. Мы
показываем, как ученики по-разному справляются с переходом к
продвинутому математическому мышлению, что еще раз
приводит к расходящемуся спектру успехов.
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ
Математическое развитие происходит в биологическом мозге. Для того
чтобы структура со сложной одновременной активностью могла
последовательно мыслить, необходим специальный механизм. Крик
предлагает:
Основная идея заключается в том, что ранняя обработка
информации происходит в основном параллельно: множество
различных действий выполняются одновременно. Затем
появляется один или несколько этапов, на которых возникает
узкое место в обработке информации. Одновременно может
обрабатываться только один (или несколько) "объект(ов)". Это
происходит путем временной фильтрации информации,
поступающей от объектов, на которые не обращается внимание.
Затем система внимания довольно быстро переходит к
следующему объекту, и так далее, так что внимание в
значительной степени последовательно (то есть внимание к
одному объекту за другим), а не параллельно (как это было бы,
если бы система уделяла внимание многим вещам
одновременно).
(Crick, 1994, p.
61).
Мощное мышление, которое развивается в математике, использует
преимущества этого биологического феномена. Отсеивание большей части
деятельности для сосредоточения на нескольких элементах требует, чтобы
эти элементы были дистиллированы до их сути, чтобы они
Будет опубликован в журнале Educational Studies in Mathematics, 1999.
Серый, пинто, питта и
высокий
достаточно "малы", чтобы быть рассмотренными за один раз. Это также
требует, чтобы каждый из этих элементов был соответствующим образом
связан с другими релевантными структурами в огромном хранилище
памяти, чтобы позволить ему быстро стать новым фокусом внимания по
мере необходимости.
Одним из методов, позволяющих справиться со сложностью
последовательности действий, является повторение и практика до тех пор,
пока они не станут рутиной и не будут выполняться без особых
сознательных размышлений. Это освобождает сознательную память,
чтобы сосредоточиться на других вещах (Skemp, 1979). Например, при
использовании инструментов техника становится частью бессознательной
деятельности, в то время как человек может сосредоточиться на более
утилитарных или эстетических вопросах. Хотя такое повторение и
интериоризация процедур считались важной частью обучения математике,
на протяжении десятилетий было известно, что это не улучшает
понимание отношений (см., например, Thorndike, 1922; Brownell, 1935).
Что еще более важно, если использовать исключительно процедурное
мышление, оно может привести к тому, что в нем не будет гибкости,
необходимой для решения новых задач (см., например, Schoenfeld, 1992).
Более мощным методом решения проблемы сложности является
использование человеком языка. Здесь одно слово может обозначать не
только очень сложную структуру понятий и/или процессов, но и
различные уровни в концептуальной иерархии. Восприятие фигур лежит в
основе геометрии, но для создания иерархических классификаций
требуется сила языка. Фигуры изначально воспринимаются как гештальты,
но затем могут быть описаны и классифицированы через вербализацию их
свойств, чтобы дать понятия точек, линий, плоскостей, треугольников,
квадратов, прямоугольников, кругов, сфер и т.д.. Первоначально эти слова
могут оперировать на одном общем уровне, так что квадрат (с четырьмя
равными сторонами и прямым углом) не рассматривается как
прямоугольник (с равными противоположными сторонами). Опять же, в
ходе словесного обсуждения, обучения и конструирования ребенок может
начать видеть иерархию, в которой одна идея классифицируется внутри
другой, так что "квадрат - это прямоугольник - это четырехугольник", или
"квадрат - это ромб - это параллелограмм - это четырехугольник".
Физические и ментальные картины, поддерживаемые лингвистическими
описаниями, можно представить в более чистом, образном виде. Точки
имеют "положение, но не размер", прямые линии действительно прямые,
"без толщины и произвольной длины", окружность - это местоположение
точки, находящейся на фиксированном расстоянии от центра, и так далее.
Такое развитие приводит к платоническим мысленным конструкциям
объектов и развитию евклидовой геометрии и евклидовых доказательств.
Таким образом, сосредоточенность на воспринимаемых объектах
естественным образом приводит через использование языка к
-2
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
платоническим мысленным образам и форме математического
доказательства (как в Van Hiele, 1959, 1986).
С другой стороны, идея счета начинается с повторения числа
слова, при этом запоминаемый ребенком список чисел постоянно
увеличивается по длине и правильности последовательности. Акт счета
включает в себя поочередное указание на последовательные предметы в
коллекции и произнесение слов с цифрами: "здесь один, два, три
предмета". Это может быть сжато, например, если считать молча,
произнося только последнее слово "здесь [один, два,] три", звучащее как
-3-
Серый, пинто, питта и
высокий
"есть ...три". Таким образом, естественно использовать слово "три" не
только как счетное слово, но и как понятие числа. Благодаря этому
простому приему процесс счета "есть один, два, три" сжимается в понятие
"есть три". (Грей и Талл, 1994).
Эта компрессия сильна совсем не так, как компрессия в геометрическом
мышлении. В геометрии слово представляет собой общее понятие (скажем,
"квадрат") в иерархии понятий. В арифметике числовое слово также
является частью иерархии (счетное число - дробь - рациональное число действительное число). Однако главное биологическое преимущество
чисел связано не с этой иерархией, а с тем, что числовые слова можно
использовать для перехода от одного процесса (например, счета или
измерения) к другому (например, числам). Символы чисел не только
достаточно "малы", чтобы удерживаться в фокусе внимания как понятия,
они также дают немедленный доступ к схемам действий (таким как счет)
для выполнения соответствующих вычислений. В биологической
конструкции мозга они выступают не только в качестве экономичных
единиц, которые можно удерживать в фокусе внимания, но и
обеспечивают прямую связь со схемами действий.
Когда числа воспринимаются как ментальные сущности, с ними можно
оперировать. Например, два числа могут быть сложены для получения их
суммы путем развития, которое снова включает процесс сжатия. Сложение
двух чисел начинается как "подсчет всех", включающий три этапа
подсчета: "сосчитать один набор, сосчитать другой, сложить их вместе и
сосчитать все". Это сложение проходит через различные этапы, включая
"счет на", где первое число берется в качестве начального значения, а
второе используется для счета, чтобы получить результат. Некоторые из
этих результатов фиксируются в памяти, чтобы получить "известные
факты". Затем они могут быть использованы в концептуальном плане для
"выведения фактов", например, зная, что 5+5 равно 10, можно вывести, что
5+4 на один меньше, а именно 9.
Эта способность математических символов вызывать в памяти либо
процесс, либо концепцию
заставило Грея и Талла (1994) дать этому понятию формальное название.
Слияние процесса, понятия, выводимого этим процессом, и символа,
который может вызывать либо процесс, либо понятие, называется
концепцией. В элементарной арифметике концепты начинаются как
простые структуры и становятся все более глубокими по мере
когнитивного роста ребенка. Хотя другие теоретики (в том числе
Дубинский, 1991 и Сфард, 1991) используют термин "объект", мы
предпочитаем слово "концепт", поскольку такие термины, как "концепт
числа" или "концепт дроби", более распространены в обычном языке, чем
"объект числа" или "объект дроби". Кроме того, этот термин используется
в связи с "образом понятия", который состоит из "всех мысленных образов
и связанных с ними свойств и процессов", относящихся к понятию в
-4
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
сознании человека (Tall & Vinner, 1981, p. 152). Концепты являются
общими и становятся все более насыщенными по мере роста сложности
учащегося. Не утверждается, что в сознании существует "вещь",
называемая "ментальным объектом". Вместо этого используется символ,
который можно произнести, услышать, написать и увидеть. Он имеет
дистиллированную сущность, которую можно удерживать в уме как
единое целое, он может выступать в качестве связующего звена с
внутренними схемами действий для выполнения вычислений, и его можно
передавать другим.
-5-
Серый, пинто, питта и
высокий
1.1 Три формы абстракции Пиаже
Пиаже говорил о трех формах абстракции. При действии на объекты
внешнего мира он говорит об эмпирической абстракции, когда внимание
сосредоточено на самих объектах и "черпает свои знания из свойств
объектов" (Beth & Piaget, 1966, pp. 188-189). С другой стороны,
сосредоточенность на действиях приводит к псевдоэмпирической
абстракции, которая "вычленяет свойства, которые действия субъектов
привнесли в объекты" (Piaget, 1985, с. 18-19). Дальнейшие построения
могут быть осуществлены путем рефлексивной абстракции, используя
существующие структуры для построения новых путем наблюдения за
своими мыслями и абстрагирования от них. Таким образом:
...поэтому всю математику можно рассматривать в терминах
построения структур, ...математические сущности переходят с
одного уровня на другой; операция над такими "сущностями"
становится, в свою очередь, объектом теории, и этот процесс
повторяется до тех пор, пока мы не достигнем структур, которые
попеременно структурируют или структурируются "более
сильными" структурами"
(Piaget, 1972, p.
703).
Отметим, что рефлексивная абстракция, по-видимому, формулируется как
ментальная версия "псевдоэмпирической абстракции", в которой
"операция" над ментальной сущностью становится, в свою очередь,
"объектом" на следующем уровне. Некоторые авторы (например,
Дубинский, 1991) считают, что рефлексивная абстракция происходит
только в том случае, если процессы становятся концептуальными
сущностями в результате процесса "инкапсуляции" или "реификации".
Учитывая два понятия абстракции Пиаже от физического мира,
естественно возникает вопрос о том, существуют ли соответствующие
формы рефлексивной абстракции, сосредоточенной на ментальных
объектах и на ментальных действиях. Наш анализ подтверждает эту
позицию. В когнитивном развитии геометрии наблюдается четкий переход
от мысленного представления о физическом треугольнике к мысленному
построению идеального платонова треугольника. Первый представляется
нарисованным на бумаге, с линиями, имеющими толщину, соединяющими
точки, имеющие размер, а второй имеет идеально прямые края без
толщины и вершины с положением, но без размера. Поэтому мы
предполагаем, что существует (по крайней мере) две формы рефлексивной
абстракции: одна сосредоточена на объектах, например, в евклидовой
геометрии, а другая сосредоточена на действиях над объектами (обычно
представленными символами), например, в арифметике, алгебре и
исчислении.
Поэтому наше внимание к восприятию, действиям и размышлениям
соответствует следующим принципам
Три понятия абстракции Пиаже, с дополнительным замечанием, что
-6
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
рефлексивная абстракция имеет форму, которая фокусируется на объектах
и их свойствах, а также форму, которая фокусируется на действиях и их
инкапсуляции в виде объектов.
1.2 Теории процессно-объектной трансформации
Представление о том, что (динамичные) процессы становятся
воспринимаемыми как (статичные) объекты, играет центральную роль в
различных теориях развития понятий (см., например, Dienes, 1960; Piaget,
1972; Greeno, 1983; Davis, 1984; Dubinsky,
1991; Sfard, 1991; Harel & Kaput, 1991; Gray & Tall, 1994).
-7-
Серый, пинто, питта и
высокий
Дубинский и его коллеги (например, Cottrill et al. 1996) сформулировали
теорию, которую они обозначили аббревиатурой APOS, в которой
действия - это физические или ментальные преобразования объектов.
Когда эти действия становятся намеренными, они характеризуются как
процессы, которые впоследствии могут быть инкапсулированы для
формирования нового объекта. Последовательная коллекция этих
действий, процессов и объектов определяется как схема. В более сложных
контекстах эмпирические данные также свидетельствуют о том, что схема
может размышлять и действовать, в результате чего схема становится
новым объектом через инкапсуляцию когнитивных процессов (Cottrill et al,
1996, p.l72).
Сфард (1991, с. 10) предполагает, что "для того, чтобы говорить о
математических
объекты, мы должны иметь возможность иметь дело с продуктами
некоторых процессов, не беспокоясь о самих процессах". Таким образом,
мы начинаем с "процесса, выполняемого над знакомыми объектами" (Sfard
and Linchevski, 1994, p 64). Затем он "уплотняется", рассматриваясь
исключительно в терминах "вход/выход без обязательного рассмотрения
составляющих его этапов", а затем "овеществляется" путем
преобразования "уже уплотненного процесса в объектоподобную
сущность". Сфард постулирует свое понятие "овеществления" в рамках
более широкой теории операциональных и структурных концепций,
первая из которых фокусируется на процессах, а вторая - на объектах
(Sfard, 1989, 1991, 1994). В нескольких работах она подчеркивает, что
операциональный подход - конструирование новых объектов путем
осуществления процессов над известными объектами - обычно
предшествует структурному подходу к самим новым объектам.
Такие теории, которые рассматривают конструирование новых
ментальных объектов через
действия над знакомыми объектами, имеют потенциальный недостаток.
Если объекты могут быть созданы только из когнитивных действий над
уже созданными объектами, то откуда берутся исходные объекты?
Теория Пиаже решает эту проблему за счет того, что предварительная
деятельность ребенка включает в себя восприятие и действие физического
мира. Как только ребенок делает первые шаги в эмпирической или
псевдоэмпирической абстракции для построения ментальных сущностей,
они становятся доступными для действия, чтобы создать теоретическую
иерархию ментальных конструкций.
Теория Сфарда сосредоточена на более позднем развитии у пожилых
людей, которые уже построили множество когнитивных объектов.
Дубински также концентрируется на математиках младших курсов.
Однако теория APOS сформулирована таким образом, что она применима
ко всем формам формирования объектов. Дубинский, Элтерман и Гонг
(1988, с. 45) предполагают, что "постоянный объект" создается
-8
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
посредством "инкапсуляции процесса выполнения преобразований в
пространстве, которые не разрушают физический объект". Таким образом,
эта теория следует за Пиаже, начиная с исходных физических объектов,
которые не являются частью когнитивной структуры ребенка, и
теоретизирует о построении когнитивного объекта в сознании ребенка.
Она формулирует эмпирическую абстракцию как еще одну форму
инкапсуляции процесса-объекта.
На уровне бакалавриата Дубинский (1991) расширяет теорию APOS,
включая в нее
построение аксиоматических теорий из формальных определений. Теория
APOS - это
-9-
Серый, пинто, питта и
высокий
Поэтому
он
призван
сформулировать
теорию
инкапсуляции,
охватывающую все возможные случаи ментального конструирования
когнитивных объектов.
Наш анализ имеет другие акценты. Мы видим, что различия между
различными типами формирования математических понятий не менее
разительны, чем сходства. Например, построение концепций чисел
(начинающихся с псевдоэмпирической абстракции) следует совершенно
иному когнитивному развитию, чем построение геометрических
концепций (начинающихся с эмпирической абстракции) (Tall, 1995). В
элементарной математике мы видим два различных вида когнитивного
развития. Первый - это развитие геометрических объектов и их свойств по
ван Хиле от физических представлений к платоническим геометрическим
объектам. Другой - развитие символов как процесса и понятия в
арифметике, алгебре и символическом исчислении. Оно начинается с
действий над объектами в физическом мире и требует смещения фокуса
внимания с действий счета на манипуляции с символами чисел. Отсюда
символы чисел начинают жить своей собственной жизнью как
когнитивные понятия, переходя к расширению и обобщению более
сложных манипуляций с символами в алгебре и исчислении. Каждый
переход к новой концептуальной области включает в себя свои тонкие
изменения и когнитивные реконструкции, однако, что характеризует эти
области элементарной математики, так это использование символов в
качестве понятий и процессов для вычисления и манипулирования.
1.3 Новый фокус на развитом математическом мышлении
Когда формальное доказательство вводится в развитое математическое
мышление, происходит новый фокус внимания и когнитивной
деятельности. Вместо того, чтобы сосредоточиться на символах и
вычислениях для получения ответов, акцент меняется на выборе
определенных свойств в качестве определений и аксиом и построении
других свойств определенных понятий путем логического вывода.
Студенту часто предлагается контекст, в котором формальное понятие
(например, математическая группа) встречается как на примерах, так и в
виде определения. Каждый из примеров удовлетворяет определению, но
каждый из них обладает дополнительными свойствами, которые могут
быть, а могут и не быть общими для отдельных примеров. Свойства
формального понятия выводятся в виде теорем, таким образом, из
определения понятия строится смысл общего зонтичного понятия. Этот
дидактический реверс1- конструирование ментального объекта из
"известных" свойств, вместо конструирования свойств из "известных"
объектов, вызывает новые виды когнитивных трудностей.
Новый формальный контекст, в котором объекты создаются из свойств
(аксиомы) вместо свойств, выводимых из (манипулирования) объектов - не
только отличает продвинутое математическое мышление от элементарного
математического мышления, но и предполагает, что в структурно- 10
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
операциональной формулировке Сфарда встречаются различные виды
"структуры". В элементарной математике, например, "граф" описывается
как структурный объект (Sfard, 1991). В высшей математике постулаты
Пеано считаются структурными (Sfard, 1989). Таким образом, структурная
перспектива может относиться к визуальным объектам в элементарной
математике и формальной структуре в стиле Бурбаки в высшей
математике.
- 11 -
Серый, пинто, питта и
высокий
1.4 Теоретическая перспектива
Предшествующее обсуждение приводит к теории когнитивного развития в
математике с двумя фундаментальными фокусами внимания объектом и действием - вместе с внутренним процессом размышления. В
соответствии с Пиаже мы отмечаем различные формы абстракции,
которые возникают из этих трех: эмпирическая абстракция,
псевдоэмпирическая абстракция и рефлексивная абстракция. Однако мы
отмечаем, что рефлексивная абстракция сама по себе имеет аспекты,
сосредоточенные на объекте или на действии.
Мы считаем, что абстрагирование от физических объектов отличается от
абстрагирования от действий над объектами. В последнем случае
развитию действия-процесса-концепции способствует использование
символа в качестве стержня, связывающего символ либо с процессом, либо
с концепцией. Понятия встречаются в арифметике, алгебре и исчислении и
продолжают появляться в продвинутом математическом мышлении.
Однако введение аксиом и доказательств приводит к появлению нового
вида когнитивного понятия - понятия, которое определяется определением
понятия и его свойствами, выводимыми из определения. Мы считаем, что
развитие формальных концептов лучше формулировать в терминах
конструкции "определение-концепт". Это фокусируется не только на
сложности определения, часто с многочисленными кванторами, но и на
внутреннем конфликте между образом понятия, которое "имеет" свойства,
и формальным понятием, свойства которого должны быть "доказаны" из
определений.
Поэтому мы видим, что элементарная математика имеет два различных
метода развития, один из которых сосредоточен на свойствах объектов,
ведущих к геометрии, а другой - на свойствах процессов, представленных
символически в виде понятий. Продвинутая математика принимает
понятие свойства как фундаментальное, используя свойства в
определениях понятий, на основе которых строится систематическая
формальная теория.
2. ДИВЕРГЕНТНОЕ КОГНИТИВНОЕ
РАЗВИТИЕ В НАЧАЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКЕ
2.1 Расхождение в производительности
То, что некоторые люди более успешны в математике, чем другие, было
очевидно на протяжении многих поколений. Пиаже предложил новый
метод интерпретации эмпирических данных, выдвинув гипотезу о том, что
все люди проходят через одни и те же когнитивные стадии, но в разном
темпе. Такая основа лежит в основе Национальной учебной программы
Англии с ее последовательностью уровней, через которые все дети
проходят в соответствующем темпе, причем некоторые продвигаются
дальше других в течение периода обязательного образования.
- 12
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
Крутецкий (1976, с. 178) предлагает другую концепцию, в которой
спектр успеваемости различных людей зависит от того, как они
обрабатывают информацию. Он изучил 192 ребенка, отобранных
учителями как "очень способные" (или "математически одаренные"),
"способные", "средние" и "неспособные". Он обнаружил, что одаренные
дети запоминали общие стратегии, а не детали, сокращали свой
- 13 -
Серый, пинто, питта и
высокий
решения, чтобы сосредоточиться на главном, и были способны
предложить альтернативные решения. Средние дети помнили конкретные
детали, сокращали свои решения только после практики, включающей
несколько однотипных решений, и обычно предлагали только одно
решение проблемы. Неспособные дети помнили только случайные, часто
не относящиеся к делу детали, имели длинные решения, часто с ошибками,
повторами и излишествами, и не могли начать думать об альтернативах.
Наше исследование также показывает расхождение в результатах. Мы
не используем собранные данные для того, чтобы утверждать, что одни
дети навсегда обречены на ошибочные процедурные методы, в то время
как
другим
гарантирован
расцвет
богатой
математической
концептуализации. Мы считаем жизненно важным не устанавливать
искусственный потолок для конечной производительности любого
индивидуума и не предсказывать, что те, кто добился больших успехов
сегодня, будут продолжать добиваться больших успехов завтра. Однако
имеющиеся у нас данные свидетельствуют о том, что различные способы
обработки информации в определенный момент времени могут быть как
полезными, так и сильно подрывать их текущее и будущее развитие.
Ребенок с фрагментарной структурой знаний, которому не хватает
мощных сжатых референтов для связи с эффективными схемами действий,
скорее всего, будет испытывать большие трудности при соотнесении идей.
Эксперт может видеть дистиллированные концепции, каждая из которых
может быть схвачена и связана в фокусе внимания. Учащийся может
обладать диффузными знаниями об этих концептуальных структурах,
которые недостаточно сжаты в форму, которая может быть перенесена в
фокус внимания в одно время для рассмотрения.
Неуспешный ученик не просто недостаточно усердно работает, он,
возможно, действительно очень усердно работает, но концентрируется на
менее мощных стратегиях, которые пытаются справиться со слишком
большим количеством несжатой информации. Единственная стратегия,
которая может им помочь, - это заучивание процедур для выполнения в
виде схем последовательных действий. Такие знания могут быть
использованы для решения рутинных проблем, требующих определенной
техники, но они возникают во времени и не могут быть в форме,
пригодной для осмысления как целого.
2.2 Фокус на объектах и/или действиях в элементарной математике
Наблюдение того, что в успехах и неудачах различных студентов
существует расхождение в результатах, само по себе не объясняет, как это
расхождение происходит. Чтобы получить первоначальное представление
об аспектах этого расхождения, мы вернемся к нашим исходным понятиям
восприятия, действия и абстракции. Ранее мы обсуждали глобальные
различия между геометрией (основанной на восприятии фигур,
подкрепленном действием и расширенном через размышление) и
- 14
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
арифметикой (основанной на действиях по подсчету объектов, которые
первоначально воспринимаются и размышляются). Теперь в рамках
арифметики мы рассмотрим влияние различных акцентов на действие,
восприятие и размышление.
Всякий раз, когда происходит деятельность, связанная с действиями над
объектами, сложность
деятельность может привести к тому, что человек сосредоточится только
на части деятельности. Например, можно сосредоточиться на объектах, на
действиях или на их комбинации. Кобб, Якель и Вуд (1992) считают, что
внимание к объектам или действиям может быть сосредоточено только на
части деятельности.
- 15 -
Серый, пинто, питта и
высокий
как одна из больших проблем в обучении математике, особенно если к
обучению и преподаванию подходить с точки зрения репрезентативного
контекста. Питта и Грей (1997) показали, что некоторые наблюдаемые
различия в успеваемости детей по арифметике могут быть связаны с
концентрацией внимания ученика либо на объектах, либо на действиях,
либо на сочетании того и другого.
Чтобы исследовать, как дети могут сосредоточиться на различных
аспектах ситуации, Питта (1998) положила пять красных кубиков
"унификс" перед семилетними детьми, имеющими самые низкие
математические способности. Она попросила детей указать, о чем они
подумали, когда увидели кубики, и что, по их мнению, стоит о них
запомнить. Четырем более способным детям было что сказать о кубиках,
используя понятие "пять". Все они считали, что "пять кубиков" стоит
запомнить. В отличие от них, четверо детей с более низкими
способностями говорили об узоре, цвете или возможных перестановках
кубиков и считали, что это стоит запомнить.
Разные контексты требуют сосредоточения внимания на разных вещах.
На уроке искусства может быть важно отсеять те вещи, которые не сразу
воспринимаются как часть эстетического контекста. Одним из них может
быть число. В математическом контексте важно отфильтровать те вещи,
которые могут не восприниматься как математические. Тем не менее, в
только что рассмотренном упражнении низкоуспевающие ученики,
казалось, были менее способны сделать это, продолжая фокусироваться на
своем конкретном опыте. Высокоуспевающие, напротив, смогли отделить
присущие им математические качества от реального физического
контекста. Они также могли, при необходимости, расширить свои
обсуждения, включив в них другие аспекты деятельности, выявляя
когнитивные связи с более широким спектром опыта. Такие различия
могут проявляться в том, как запоминается деятельность. Существует
гипотеза, что люди с низкими достижениями фокусируются на физических
аспектах
деятельности,
которые
усваиваются
эпизодически.
Высокоуспевающие, по-видимому, сосредоточены на семантических
математических аспектах, которые усваиваются общим способом (Pitta &
Gray, 1997).
2.3 Концептуальный разрыв
Расхождение в успехе между крайностями успеха и неудачи может быть
полезно связать с развитием понятия "концепт". Грей и Талл (1994)
предполагают, что интерпретация математической символики как
процесса или концепции приводит к разрыву в восприятии между менее
успешными и более успешными. С одной стороны, мы видим когнитивный
стиль, сильно связанный с использованием процедур, с другой - стиль,
более соответствующий гибкому понятию концепции. Те, кто использует
последний, имеют когнитивное преимущество; они получают
- 16
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
значительную математическую гибкость от когнитивных связей,
относящихся к процессу и концепции. На практике существует широкий
спектр производительности между разными людьми в различных
контекстах (рисунок 1).
В определенном контексте рутины конкретная процедура может
использоваться для конкретного
цель. Это позволяет человеку заниматься математикой в ограниченном
объеме при условии, что он использует выученную процедуру. Некоторые
люди могут
- 17 -
Серый, пинто, питта и
высокий
Спектр результатов
До
точное
выполнени
е рутинной
математиче
ской
работы
гибко и
эффективн
о
выполнять
математиче
ские
задания
Размышл
ять
о
математике
символичес
ки
Концепция
Процесс(ы)
Процедура(
ы)
Прогресс
Процедур
а(ы)
процесса
Процедура
Сложность
разработки
Рисунок 1: Спектр производительности в использовании математических процедур,
процессов, понятий
развивать более сложные навыки, умея использовать альтернативные
процедуры для одного и того же процесса и выбирать более эффективную
процедуру для быстрого и точного выполнения поставленной задачи.
Например, процедура "отсчет от наибольшего" является более быстрым
способом решения 2+7 (отсчет 2 после 7, а не отсчет 7 после 2). Баруди и
Гинзбург (1986) предполагают, что развитие сложности происходит от
осознания того, что один математический процесс может быть связан с
несколькими процедурами. Вудс, Резник и Гроен (1975) отмечают, что
этот элемент "выбора" может свидетельствовать о росте сложности.
Однако только тогда, когда символы, используемые для представления
процесса, становятся похожими на манипулируемые понятия, у человека
появляется процептуальная гибкость, позволяющая не только заниматься
математикой, но и мысленно манипулировать понятиями на более
сложном уровне (Gray & Tall, 1994).
В конкретном случае все три уровня (процедура, процесс, концепция)
могут быть
используемых для решения конкретной рутинной задачи. Поэтому для
людей с разным уровнем сложности может оказаться возможным ответить
на определенные вопросы теста на определенном уровне. Однако это
может не свидетельствовать об успехе на более позднем уровне, поскольку
- 18
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
концепция в ее дистиллированной манипулируемой форме более готова
для построения более сложных теорий, чем пошаговые процедуры. С
другой стороны, слишком часто можно видеть, как дети используют
процедуры, даже если они неуместны, неэффективны и неуспешны (см.,
например, Gray,
- 19 -
Серый, пинто, питта и
высокий
1993). Те, кто успешно работает на процедурном уровне, сталкиваются с
гораздо большей сложностью, чем их коллеги, работающие на
концептуальном уровне, когда возникает следующий уровень сложности.
2.4 Ментальные представления и элементарная математика
Понятие "процептуальный разрыв" иллюстрирует крайние результаты
различных когнитивных стилей. Теперь мы переходим к вопросу о том,
почему возникают такие различия. Чтобы получить частичный ответ на
этот вопрос, мы рассмотрим ментальные репрезентации, особенно те,
которые представлены в образной форме.
Pitta & Gray (1997) описывают, как две группы детей,
"слабоуспевающие" и "высокоуспевающие", сообщают о своих мысленных
представлениях при решении элементарных комбинаций чисел.
Выявленные различия показали, что слабоуспевающие дети склонны к
конкретизации чисел и сосредоточению на деталях. Их ментальные
репрезентации были сильно связаны с процедурными аспектами обработки
чисел - действие было доминирующим уровнем оперирования (см. также
Steffe, Von Glasersfeld, Richards and Cobb, 1983). В отличие от них,
высокоуспевающие люди, по-видимому, сосредоточены на тех
абстракциях, которые позволяют им делать выбор.
Общее впечатление было таким: дети с разным уровнем
арифметических достижений использовали качественно разные объекты
для поддержки своего математического мышления. Дети с низкими
достижениями переводили символы в числовые процессы с помощью
воображаемых объектов, обладающих формой и, во многих случаях,
цветом. Часто они сообщали о мысленных представлениях, тесно
связанных с понятием "числовой дорожки", хотя общий объект,
составляющий основу каждой "единицы" дорожки, был получен из
пальцев. В некоторых случаях дети сообщали, что видят полные образы
пальцев, в других - "пальцы как пальцы". Главное, что объектом мысли
был "палец", а мысленное использование пальца вызывало процедуру
двойного счета. Объекты мышления слабоуспевающих были аналогами
перцептивных предметов, которые, казалось, заставляли их выполнять
процедуры в уме, почти как если бы они выполняли процедуры с
перцептивными предметами на столе перед ними. Питта и Грей
предполагают, что их мысленные представления были важны для
выполнения действия; и они поддерживали фокус внимания. Когда
задания становились сложнее, дети возвращались к использованию
реальных предметов.
В отличие от этого, когда высокоуспевающие указывали, что они "что-то
видели",
Это "что-то" обычно было числовым символом. Чаще эти дети либо
отвечали автоматически, либо сообщали, что проговаривали что-то в
голове. Однако, когда они описывали мысленные представления, слово
"мигание" часто доминировало в их описании. Представления возникали и
- 20
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
исчезали очень быстро. Я увидел, как "3+4" промелькнуло в моей голове, и
я сказал тебе ответ", "Я увидел вспышку ответа и сказал тебе". Нередко
дети отмечали, что они видели вопрос и ответ "в одно мгновение", иногда
числовой символ, обозначающий ответ, "поднимался из" символов,
обозначающих вопрос. В тех случаях, когда дети сообщали об
использовании производных фактов, часто "вспыхивало" числовое
преобразование. Для
- 21 -
Серый, пинто, питта и
высокий
Например, когда одиннадцатилетнему ребенку задали 9+7, он выдал ответ
16, сопроводив его заявлением. "10 и 6 промелькнули у меня в голове".
Здесь мы имеем яркое свидетельство мощных ментальных связей,
переходящих от одного фокуса внимания к другому. Такой ребенок,
очевидно,
обладает
гибкими
ментальными
связями
между
дистиллированными понятиями, которые позволяют быстро и эффективно
решать арифметические задачи.
Эта способность заключать арифметические процессы в числовые
понятия обеспечивает источник гибкости, которая становится доступной
благодаря процептуальной природе числовой символики. Признание того,
что значительное количество информации сжато в простом представлении,
символе, является источником математической силы. Эта сила проистекает
из двух способностей: во-первых, способности отфильтровывать
информацию и оперировать символом как объектом, а во-вторых,
способности соединяться со схемой действий для выполнения любых
необходимых вычислений. Мы предполагаем, что качественные различия
в том, как дети справляются с элементарной арифметикой, могут быть
связаны с их относительной успешностью. Различные когнитивные стили,
по-видимому, указывают на то, что разное восприятие возникающих задач
приводит к различным последствиям, одно из которых связано с
выполнением математических вычислений, а другое - со знанием
математических понятий.
Ментальные репрезентации, связанные с первым, представляются
продуктами размышлений над действиями и объектами физической среды.
Одним из последствий того, что математическая деятельность
сосредоточена на процедурной деятельности, является то, что она, повидимому, создает огромную нагрузку на рабочую память. Она не
предлагает поддержки ограниченному пространству, доступному в
кратковременной памяти.
3. ПЕРЕХОД К
РАЗВИТОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
Переход от элементарного к продвинутому математическому
мышлению включает значительный переход: от описания к
определению, от убеждения к логическому доказательству на
основе этих определений. ... Это переход от последовательности
элементарной
математики
к
следствиям
продвинутой
математики, основанным на абстрактных сущностях, которые
человек должен построить путем дедукции из формальных
определений".
Tall, 1991, p. 20
Когнитивное изучение "продвинутого математического мышления"
развилось в сообществе математического образования в середине
восьмидесятых годов (см., например, Tall, 1991). Евклидово
доказательство и начала исчисления обычно считаются "продвинутыми"
на школьном уровне. Однако термин "продвинутое математическое
мышление" стал больше фокусироваться на мышлении творческих
- 22
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
профессиональных
математиков,
которые
воображают,
строят
предположения и доказывают теоремы. Он также применяется к
мышлению учащихся, которым представлены аксиомы и определения,
созданные другими. Познавательная деятельность может сильно
отличаться у разных людей, включая тех, кто строит на основе образов и
интуиции, как Пуанкаре, и тех, кто более логически ориентирован на
символическую дедукцию, как Эрмит.
- 23 -
Серый, пинто, питта и
высокий
Понятие Пиаже "формальные операции" указывает на способность
рассуждать логически:
Формальное мышление достигает своего расцвета в
подростковом возрасте ... с 11-12 лет ... когда субъект становится
способным рассуждать гипотетико-дедуктивным образом, т.е. на
основе простых предположений, не имеющих необходимого
отношения к реальности или к убеждениям субъекта, и ... когда
он полагается на необходимую обоснованность умозаключений,
в отличие от согласования выводов с опытом.
Piaget, 1950, p.
148.
Аналогичным образом, таксономия SOLO определяет формальный способ
мышления, при котором:
"Элементы - это абстрактные понятия и предложения, а
операциональный аспект связан с определением фактических и
дедуцированных отношений между ними; ни элементы, ни
операции не нуждаются в референте реального мира" Collis &
Romberg, 1991, p. 90.
Однако часто эти идеи применяются Пиаже к воображаемым событиям
реального мира, а в таксономии SOLO - к логическим аргументам в
традиционной алгебре, вовлекая в отношения между символами, которые
больше не нуждаются в перцептивном референте. Понятие развитого
математического мышления более тонкое. Оно включает в себя создание
новых ментальных миров в голове мыслителя, которые могут быть
полностью гипотетическими. Математики делают это, размышляя над
своими визуальными и символическими интуициями, чтобы предложить
полезные ситуации для изучения, а затем уточнить критерии, необходимые
для того, чтобы требуемая ситуация имела место. Это делается путем
формулирования определений математических понятий в виде списка
аксиом для данной структуры, а затем развития других свойств этой
структуры путем дедукции из определений. Значительная часть
исследовательских усилий затрачивается на то, чтобы сделать эти критерии
точными, чтобы они приводили к требуемым дедуцированным свойствам.
То, что получается в результате, представляет собой нечто большее, чем
вербальный/символический список определений и теорем. Каждый
отдельный теоретик развивает личный мир концептуальных образов и
отношений, связанных с теорией. Они могут включать идеи, которые
предполагают, что должно быть истинным в данной теории, прежде чем
обязательно удастся сформулировать доказательство того, что должно
следовать из данной теории.
определения.
Определения структур - таких как "группа", "векторное пространство",
"топологическое пространство", "бесконечный кардинал" - обращены в
двух направлениях. Они обращены назад к предыдущему опыту, который
подсказывает, какие идеи стоит изучать, и вперед к построению теорем,
которые верны для любой структуры, удовлетворяющей заданным
- 24
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
критериям. Они могут вызвать большие когнитивные проблемы для
учащегося, который должен различать те вещи в голове, которые
предлагают теоремы, и другие вещи, которые уже были доказаны на
основе критериев. Учащийся должен проводить различие между
широкими образами понятий, сформированными на основе предыдущего
опыта, и новыми конструкциями - формальным образом понятия, который
состоит только из тех понятий и свойств, которые были формально
построены на основе определений.
- 25 -
Серый, пинто, питта и
высокий
На практике это часто оказывается чрезвычайно сложным. В то время
как исследователи математики могут иметь опыт создания новых структур
путем построения собственных определений, студенты, скорее всего,
только на начальном этапе будут использовать определения, которые были
предоставлены другими. Благодаря своему предыдущему жизненному
опыту они сформировали образ, в котором объекты "описываются"
словами в терминах сбора достаточного количества информации, чтобы
определить объект для другого человека. Идея дать словесное определение
в виде списка критериев и построить концепцию на основе этого
определения - это обратная тенденция по отношению к большей части
развития элементарной математики, где считается, что математические
объекты имеют свойства, которые могут быть обнаружены путем изучения
объектов и связанных с ними процессов. Переход от определения
→
строительство в definition object строительство считается существенной
частью
theTthraisnsdietifoinnitfiroonm eolebmjeecnt
tcaorynsttoruacdtvioan
.
ciendvomlvaethsesmelaetcictianlgthaindkiungsing критерии для
определения объектов. Это может перевернуть предыдущий опыт
взаимоотношений. Например, ребенок может узнать о вычитании как об
операции, прежде чем познакомиться с отрицательными числами и
обратными операциями. В формальной математике аксиомы для
аддитивной операции в группе могут определять обратное -a элемента a и
определять вычитание b-a как сумму b и -a. Таким образом, представление
систем аксиом в качестве критериев теоретических математических систем
может затронуть чуждые аккорды в когнитивной структуре обучающегося.
Вместо того, чтобы доказывать результаты, в которых они не уверены,
отталкиваясь от чего-то, что они знают, они обнаруживают, что пытаются
доказать что-то, что они знают, отталкиваясь от аксиом, которые
заставляют их чувствовать себя неуверенно.
Наш опыт такого процесса обучения в математическом анализе (Pinto &
Gray, 1995; Pinto & Tall, 1996; Pinto, 1998) показывает спектр успехов и
неудач учащихся, следуя двум взаимодополняющим подходам.
Один из подходов, который мы называем "естественным" (следуя Duffin
& Simpson, 1993), предполагает, что ученик пытается строить
исключительно со своей собственной точки зрения, пытаясь придать
математике смысл, исходя из текущей когнитивной структуры. Успешные
естественные ученики могут создавать мощные формальные структуры,
подкрепляемые различными визуальными, кинестетическими и другими
образами, как в случае с учеником Крисом (Pinto, 1998). Он понял
определение сходимости, нарисовав картинку и интерпретировав ее как
последовательность действий:
- 26
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
- 27 -
Серый, пинто, питта и
высокий
"Я думаю об этом графически... у вас есть график, функция там,
и я думаю, что у нее есть предел там... и затем _, раз так, и вы
можете провести вдоль, и тогда все ... точки после N находятся
внутри этих границ". ... Когда я впервые подумал об этом, это
было трудно понять, поэтому я думал об этом как о том, что это
n идет через него и это an. Это не должно быть графом, это
должны быть точки".
(Крис, первое интервью)
Когда он рисовал рисунок, он жестами рук показывал, что сначала он
представлял, насколько близко должны быть значения (по обе стороны от
предела), а затем, насколько далеко нужно продвинуться, чтобы все
последовательные значения последовательности оказались внутри
требуемого диапазона. Он также объяснил:
"Я не запоминаю это [определение предела]. Я думаю об этом
[картинке] каждый раз, когда решаю задачу, а потом ты просто
привыкаешь к этому. Я могу почти сразу записать это" (Крис,
первое интервью).
Тем не менее, его построение концепции вовлекало его в постоянное
состояние реконструкции, когда он уточнял свое понятие конвергенции,
позволяя ему быть увеличивающимся, уменьшающимся, повышающимся и
понижающимся на различную величину, или постоянным полностью или
частично, всегда связываясь с определением, которое давало единый
объединяющий образ понятию. В ходе своих реконструкций он
экспериментировал с идеей о том, что увеличение N приводит к
результирующему уменьшению размера , прежде чем остановиться на
предпочтительном варианте.
для указания , а затем поиска подходящего N.
В качестве альтернативы "естественному" подходу существует второй
подход, который
Пинто (1998) назвал "формальным". Здесь студент концентрируется на
определении, использует его и повторяет по мере необходимости, пока оно
не будет записано без усилий. Росс, например, объяснил, что он выучил
определение:
"Просто запоминаю, ну, в основном это то, что мы записывали
довольно много раз на лекциях, а потом, когда я задаю вопрос, я
стараюсь записать определение, и просто записывая его снова и
снова, оно отпечатывается в памяти, и тогда я его запоминаю".
(Росс, первое интервью)
Он написал:
- 28
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
(Росс, первое интервью)
В данном случае основное внимание уделяется определению и выводам.
Визуальные и другие образы играют менее заметную роль. При успешном
использовании такого подхода можно получить формальный образ
понятия, способный использовать определения и доказывать теоремы в
соответствии с требованиями курса. В самом лучшем случае студент
сможет впоследствии восстановить знания, сравнивая старое с новым и
делая новые выводы.
- 29 -
Серый, пинто, питта и
высокий
связи. Однако можно также развивать знания в новом отсеке, не связанном
со старыми знаниями.
И формальные, и естественные ученики могут быть успешными в
продвинутом математическом мышлении. Однако они сталкиваются с
разными
последовательностями
когнитивной
реконструкции.
Естественный ученик может находиться в постоянном конфликте,
поскольку (он) реконструирует неформальные образы, чтобы придать
формальной теории богатый смысл. У формального ученика может быть
меньше интуиции, подсказывающей путь, но он следует курсу,
включающему больше нового построения, чем реконструкции. В конце
процесса формализации, если новые знания связаны со старыми образами,
то на этом этапе, скорее всего, потребуется реконструкция.
У менее успешных студентов трудности также проявляются по-разному.
Некоторые (как, например, в работе Gray & Pinto, 1995) видели новые идеи
только в терминах их старых значений и не могли осуществить переход к
использованию дефиниции как критерия для определения понятия. Их
можно назвать естественными учениками, которые не смогли перестроить
свой образ для построения формализма. Их неформальный образ понятия
внушает им, что теоремы "истинны", и они не видят необходимости
подкреплять неформальный образ тем, что они считают чуждым как их
потребностям, так и их пониманию.
Менее успешные ученики, пытающиеся пройти формальный путь, могут
оказаться неспособными понять определение в целом и справиться только
с его частями. Они могут быть сбиты с толку сложностью многочисленных
квантификаторов, возможно, не придавая им истинного формального
значения, возможно, путая их назначение, возможно, концентрируясь
только на части определения.
Кажется, что единственным выходом для неуспешных студентов, будь
то естественные или формальные ученики, является попытка заучивания
определений.
Обучение математике на университетском уровне в нынешнем
виде основано, как и многие другие предметы, на системе
лекций. Огромный объем работы, охватываемый каждым курсом
за столь короткий промежуток времени, делает его чрезвычайно
трудным для восприятия и понимания. Давление времени,
кажется, отнимает суть математики и не создает истинного
понимания предмета. Из личного опыта я знаю, что большинство
курсов не производят никакого неизгладимого впечатления и
обычно забываются сразу после экзамена. Это, конечно, не
идеальная ситуация, когда студент-математик может учиться,
сдавать экзамены и показывать хорошие результаты, но не иметь
понимания своего предмета.
Студент третьего курса математического
факультета, (Талл, 1993a)
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- 30
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
В этой статье мы рассмотрели взаимодействие восприятия, действия и
рефлексии в когнитивном развитии в математике. В геометрии основное
внимание уделяется восприятию объектов, которое развивается через
рефлексивную деятельность до мысленного построения идеальных
платоновых объектов. Арифметика начинается с сосредоточения на
действиях с объектами (счет) и развивается с помощью понятий
(символов, выступающих в качестве стержня между процессами и
понятиями) для построения элементарной арифметики и алгебры.
- 31 -
Серый, пинто, питта и
высокий
В элементарной арифметике мы обнаружили, что менее успешные дети
склонны дольше концентрироваться на природе объектов, их
расположении и процедурах счета. Наши данные свидетельствуют о том,
что менее успешные дети фокусируются на конкретном и связывают его с
реальным и воображаемым опытом, который часто не имеет обобщающих
аспектов, поддающихся манипулированию. Мы предполагаем, что это
создает большую нагрузку на их перегруженную кратковременную
память. Сосредоточенность на самой процедуре счета может дать
ограниченный успех при использовании процедурных методов для
решения простых задач. Успешные ученики все больше концентрируются
на гибких аспектах символики, что позволяет им сосредоточиться на
ментальных концепциях, которыми можно манипулировать и которые
дают большую концептуальную силу. Гибкая связь между ментальными
концепциями для обдумывания и схемами действий для выполнения
вычислений использует возможности человеческого мозга с большой
пользой.
Мы видим, что переход к продвинутому математическому мышлению
включает в себя
транспозиция структуры знаний. Элементарные математические понятия
обладают свойствами, которые можно определить, действуя на них.
Продвинутые математические понятия наделяются свойствами в виде
аксиоматических определений, а природа самого понятия строится путем
выведения свойств с помощью логической дедукции. Учащиеся поразному относятся к использованию определений понятий. Некоторые
естественные ученики перестраивают свое понимание, чтобы привести его
к формальной теории, в то время как другие, формальные, ученики строят
отдельное понимание формальных понятий путем дедукции из
определений понятий. Однако многие другие не могут понять смысл этих
идей, либо как естественные ученики, для которых интуиция формализма
кажется совершенно чуждой, либо как формальные ученики, которые не
могут справиться со сложностью количественных определений.
Теория, которую мы здесь представляем, имеет серьезные последствия
для преподавания
элементарной и продвинутой математики способами, которые еще
предстоит широко протестировать. Очевидный вопрос, который следует
задать: "Как мы можем помочь студентам приобрести более полезные
способы обработки информации?", по сути, "Как мы можем помочь тем,
кто использует менее успешные методы обработки информации, стать
более успешными?". Интуиция подсказывает нам, что мы должны
попытаться научить их более успешным способам мышления о
математике. Однако эта стратегия должна быть очень тщательно
продумана, поскольку она может привести к тому, что мы научим
процедурных детей гибкому мышлению процедурным способом. В этом
случае менее успешные дети будут обременены еще большим количеством
- 32
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
процедур, с которыми им придется справляться. Это может привести к
тому, что их когнитивная структура станет более сложной, а не более
гибкой и эффективной.
Один из подходов к поощрению более гибкого мышления (Gray & Pitta,
1997a,b)
использовали графический калькулятор с многострочным дисплеем,
сохраняющий несколько последовательных вычислений для ребенка в
обучающем эксперименте. Было установлено, что этот опыт оказал
благотворное влияние на изменение ментальных образов ребенка, который
ранее испытывал серьезные концептуальные трудности. До использования
калькулятора арифметика ребенка была сосредоточена на подсчете с
помощью перцептивных объектов или их мысленных аналогов. После
примерно шестимесячного периода использования калькулятора
- 33 -
Серый, пинто, питта и
высокий
графического калькулятора, в ходе нашего общения с ней становилось
ясно, что она ассоциирует с числами и числовой символикой различные
значения. Она начала строить новые образы, символические образы,
которые могли бы стоять сами по себе и предоставлять варианты,
обеспечивающие
ей
большую
гибкость.
Полученные
данные
свидетельствуют о том, что если практические занятия сосредоточены на
процессе оценки и значении символики, они могут предложить путь к
арифметике, который поможет детям, испытывающим трудности.
В процессе преподавания алгебры Талл и Томас (Tall & Thomas, 1991)
обнаружили, что программирование может позволить учащимся придать
более последовательный смысл символизму как процессу и понятию.
Компьютерный язык оценивает выражения, поэтому, например, ученик
может исследовать идею о том, что 2+3*x обычно дает ответ, отличный от
(2+3)*x для числовых значений x. Это может создать контекст для
обсуждения способов, которыми выражения оцениваются компьютером.
Тот факт, что 2*(x+3), 2*x+2*3, 2*x+6 всегда дают один и тот же
результат, можно исследовать, чтобы увидеть, как различные процедуры
оценки могут привести к одному и тому же основному процессу, дающему
понятие эквивалентных выражений и закладывающему опытную основу
для манипулирования выражениями. Это ведет через последовательность
процедура - процесс - понятие, в которой выражения сначала являются
процедурами оценки, затем процессами, которые могут иметь различные
выражения, дающие один и тот же эффект, затем понятиями, которыми
можно манипулировать, заменяя одно эквивалентное выражение другим.
В продвинутом математическом мышлении требуется больше
исследований, чтобы проверить, могут ли различные методы подхода
поддерживать различные личные способы построения (и реконструкции)
формальной теории. Подобно тому, как Skemp (1976) говорил о
трудностях, с которыми сталкиваются реляционные ученики, обучаемые
инструментальными методами (или наоборот), мы предполагаем, что
существуют аналогичные трудности с естественными учениками,
обучаемыми формальными методами (или наоборот). Это говорит о том,
что при обучении математическому анализу необходимо использовать не
один, а несколько подходов. Некоторым студентам может быть полезно
обучение, совершенно отличное от традиционной формальной теории.
Например, Талл (Tall, 1993b) заметил, что класс студентовпреподавателей, похожих на тех, кто не смог понять смысл формализма
(см. Pinto & Gray, 1995), смог построить естественное понимание очень
сложных идей с помощью компьютерных визуализаций, даже если это не
улучшило их способность справляться с формальной теорией.
Успех может быть достигнут для некоторых студентов различными
способами. К ним относятся
придание смысла определениям путем реконструкции предыдущего опыта,
или извлечение смысла из определения путем его использования,
- 34
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
возможно, запоминания, а затем построения смысла в рамках самой
дедуктивной деятельности (Pinto 1998). Однако не все добиваются успеха.
Те, кому это не удается, часто сводятся в лучшем случае к заучиванию
теорем наизусть для сдачи экзаменов. Насколько это отличается от
развитого математического мышления творческого математика, с его
комбинацией интуиции, визуализации и формализма, сочетающихся в
разных пропорциях у разных людей для создания новых мощных миров
математической теории.
- 35 -
Серый, пинто, питта и
высокий
Ссылки
Baroody, A.J. & Ginsburg, H.P.: 1986, 'The relationship between initial meaningful and
mechanical knowledge of arithmetic'. В J. Hiebert (Ed.), Conceptual and Procedural
Knowledge: The Case for Mathematics, (pp. 75-112), Hillsdale, N.J., Lawrence
Erlbaum Associates.
Бет, Э.В. и Пиаже, Ж.: 1966, Математическая эпистемология и психология, (В.
Мэйс, перевод), Reidel. Dordrecht (первоначально опубликовано в 1965
году).
Brownell, W. A.: 1935, 'Psychological considerations in the learning and teaching of
arithmetic'. В книге В. Д. Рив (ред.), Преподавание арифметики, Десятый
ежегодник Национального совета учителей математики, Бюро публикаций,
Учительский колледж, Колумбийский университет.
Cobb, P., Yackel, E. & Wood, T: 1992, 'A constructivist alternative to the representational
view of mind in mathematics education', Journal for Research in Mathematics
Education 23, 2-23.
Коллис, К. и Ромберг, Т.: 1991, "Оценка математической успеваемости: An analysis of
open-ended test items' (pp. 82-116). В C. Wittrock & E. Baker (Eds.), Testing and
Cognition, New Jersey, Prentice-Hall.
Коттрилл, Дж., Дубински, Э., Николс, Д., Швингендорф, К., Томас, К., и
Видакович, Д.: 1996, 'Понимание концепции предела: Начиная со схемы
координированного процесса", Журнал математического поведения, 15,
167-192.
Крик, Ф.: 1994, Удивительная гипотеза, Лондон: Саймон и Шустер.
Дэвис, Р. Б.: 1984, Изучение математики: когнитивно-научный подход к
математическому образованию. Норвуд, Нью-Джерси: Ablex.
Dienes, Z. P.: 1960, Building up Mathematics, London: Hutchinson Educational.
Дубинский Э.: 1991, "Рефлексивная абстракция", в D.O.Tall (Ed), Advanced
Mathematical
Мышление, (стр. 95-123), Дордрехт: Kluwer Academic Publishers.
Dubinsky, E., Elterman, F. & Gong, C.: 1988, 'The students construction of quantification',
Для изучения математики, 8, 44-51.
Даффин, Дж. М. и Симпсон. A. P.: 1993, 'Естественные, конфликтующие и чужие',
Журнал математического поведения, 12, 313-328.
Грей, Е.М.: 1993, 'Счет на: Разделение путей в простой арифметике". В И.
Хирабаяши, Н. Хохда, К. Шигемацу и Фу-Лай Лин (ред.), Материалы XVII
Международной конференции по психологии математического образования,
том I, 204-211, Цукуба, Япония.
Грей, Э.М. и Талл, Д.О.: 1994, "Двойственность, неоднозначность и гибкость:
Концептуальный взгляд на простую арифметику", Журнал исследований в
области математического образования, 25, 2, 115-141.
Грей, Е.М. и Питта, Д.: 1997, "Изменение образов Эмили", Преподавание
математики, 161, 38-51
Грино, Дж. (1983). Conceptual Entities. В Д. Джентер и А. Л. Стивенс (ред.), Ментальные
модели
(стр. 227-252), Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум.
Harel, G., & Kaput, J.: 1992, 'Conceptual entitities in advanced mathematical thinking:
Роль обозначений в их формировании и использовании", в D.O.Tall (Ed),
Advanced Mathematical Thinking, (pp. 82-94), Dordrecht, Kluwer Academic
Publishers.
Крутецкий, В.А.: 1976, Психология математических способностей у школьников,
(Перевод Дж. Теллера; ред. Дж. Килпатрик и И. Вирзуп). Чикаго: Чикагский
университет.
Пиаже, Ж.: 1950, Психология интеллекта, (перевод М. Пирси), Лондон, Routledge &
Kegan Paul.
Piaget, J.: 1972, The Principles of Genetic Epistemology, (W. Mays trans.), London,
Routledge & Kegan Paul.
Пиаже, Ж.: 1985, Равновесие когнитивных структур, Кембридж Массечусетс:
Harvard University Press.
Piaget, J. & Inhelder, B.: 1971, Mental imagery in the child, New York, Basic.
- 36
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
Пинто, М. М. Ф.: 1998, Понимание студентами вещественного анализа,
неопубликованная докторская диссертация, Исследовательский центр
математического образования, Университет Уорвика, Великобритания.
Pinto, M. M. F. & Gray, E.: 1995, 'Трудности преподавания математического анализа
неспециалистам', в D. Carraher and L.Miera (Eds.), Proceedings of X1X International
Conference for the Psychology of Mathematics Education, Recife, Brazil, 2, 18-25.
- 37 -
Серый, пинто, питта и
высокий
Pinto, M. M. F. & Tall, D. O.: 1996, "Концепции рациональных чисел у студентовпреподавателей", в L. Puig and A Guitiérrez (Eds.), Proceedings of XX International
Conference for the Psychology of Mathematics Education, Valencia, 4, 139-146.
Питта, Д. и Грей, Э.: 1997,. 'In the Mind. Что могут рассказать нам образы об успехах и
неудачах в арифметике?', In G. A. Makrides (Ed.), Proceedings of the First
Mediterranean Conference on Mathematics, Nicosia: Кипр, стр. 29-41.
Питта, Д. и Грей, Э.: 1997, "Эмили и суперкалькулятор", в Э. Пехконен (ред.),
Материалы XXI Международной конференции по психологии
математического образования, Лахти: Финляндия, 4, 17-25.
Питта, Д.: 1998, "В голове. Внутренние представления и элементарная арифметика",
Неопубликованная докторская диссертация, Исследовательский центр
математического образования, Университет Уорвика, Великобритания.
Schoenfeld, A.H.: 1992, 'Learning to think mathematically: Решение проблем, метакогниция
и осмысление математики', в D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on
mathematics teaching and learning: Проект Национального совета учителей
математики, (стр. 334-370), Нью-Йорк: Макмиллан.
Сфард, А.: 1989, "Переход от операциональной к структурной концепции: Пересмотр
понятия функции', в G. Vergnaud, J. Rogalski, M. Artigue, (Eds.), Proceedings of
X111 International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Paris,
France, Vol. 3, 151-158.
Сфард, А.: 1991, "О двойственной природе математических концепций: Размышления
о процессах и объектах как разных сторонах одной медали', Educational Studies
in Mathematics, 22, 1-36.
Сфард, А. и Линчевски, Л.: 1994, "Выгоды и подводные камни реификации - случай
алгебры",
Образовательные исследования в области математики, 26, 191-228.
Skemp, R.R.: 1976, 'Relational understanding and instrumental understanding', Mathematics
Teaching, 77, 20-26.
Skemp, R.R.:1979, Intelligence, Learning and Action, John Wiley & Sons, Chichester, U.K.
Steffe, L., von Glaserfeld, E., Richards, J. & Cobb, P.: 1983, Children's Counting Types:
Философия, теория и применение, Преагар, Нью-Йорк.
Талл, Д. О.: 1991, Продвинутое математическое мышление, Дордрехт:
Kluwer.
Талл, Д.О.: 1993a, "Математики думают о студентах, думающих о математике",
Бюллетень Лондонского математического общества, 202, 12-13.
Tall, D.O.: 1993b, 'Real Mathematics, Rational Computers and Complex People',
Proceedings of the Fifth Annual International Conference on Technology in College
Mathematics Teaching, 243-258.
Талл, Д. О.: 1995, 'Когнитивный рост в элементарном и продвинутом математическом
мышлении', in
D. Каррахер и Л. Миера (ред.), Материалы X1X Международной конференции
по психологии математического образования, Ресифи: Бразилия. Том 1, 61-75.
Tall, D. O. & Vinner, S.: 1981, 'Concept image and concept definition in mathematics with
particular reference to limits and continuity', Educational Studies in Mathematics, 12,
151-169.
Торндайк, Э. Л.: 1922, Психология арифметики, Нью-Йорк: Макмиллан.
Ван Хиле, П. и Д.: 1959, Мышление ребенка и геометрия. Перепечатано (1984) в D.
Fuys, D. Geddes & R. Tischler (Eds.), English translation of selected writings of
Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele, (pp.1-214), Brooklyn NY:
Бруклинский колледж.
Ван Хиле, П.: 1986, Структура и понимание. Орландо: Academic Press.
Woods, S. S., Resnick, L. B. & Groen, G. J.: 1975, 'An experimental test of five process
models for subtraction', Journal of Educational Psychology, 67, 17-21.
Исследовательский центр
математического образования
Университет Уорика
КОВЕНТРИ CV4 7AL
Великобритания
Конструирование знаний и дивергентное мышление в
математике
- 20
Посмотреть статистику публикаций
- 39 -