вڲêî²ÜÆ Ð²Üð²äºîàôÂÚ²Ü
ÎðÂàôÂÚ²Ü ºì ¶ÆîàôÂÚ²Ü Ü²Ê²ð²ðàôÂÚàôÜ
вڲêî²ÜÆ ²¼¶²ÚÆÜ äàÈÆîºÊÜÆÎ²Î²Ü Ð²Ø²Èê²ð²Ü
ÎÇñ³é³Ï³Ý ٳûٳïÇϳÛÇ ¨
ýǽÇϳÛÇ ý³ÏáõÉï»ï
ÀݹѳÝáõñ ٳûٳïÇϳϳÝ
ÏñÃáõÃÛ³Ý ³ÙµÇáÝ
ì.². ¼³ù³ñÛ³Ý, Ð.Ø. ÊáëñáíÛ³Ý
زºزîÆÎ²Î²Ü ²Ü²ÈƼ
ÊݹÇñÝ»ñÇ ßï»Ù³ñ³Ý
ºðºì²Ü
Ö²ðî²ð²¶ºî
2017
1
ՀՏԴ
ԳՄԴ
Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ г۳ëï³ÝÇ ազգային
պոլիտեխնիկական ѳٳÉë³ñ³ÝÇ 25.12.2015Ã.
·Çï³Ï³Ý ËáñÑñ¹Ç ÝÇëïáõ٠ѳëï³ïí³Í 2016Ã.
Ññ³ï³ñ³Ïã³Ï³Ý åɳÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ
¶ñ³ËáëÝ»ñ` ý.Ù.·.Ã., ¹áó»Ýï ê.². гÛñ³å»ïÛ³Ý,
ý.Ù.·.Ã., ¹áó»Ýï Æ.ì. ÐáíѳÝÝÇëÛ³Ý
زºزîÆÎ²Î²Ü ²Ü²ÈƼ: ÊݹÇñÝ»ñÇ ßï»Ù³ñ³Ý / ì.². ¼³ù³ñÛ³Ý,
Ð.Ø. ÊáëñáíÛ³Ý; ÐäÖÐ.- ºñ.: Ö³ñï³ñ³·»ï, 2017. – 122 ¿ç:
Þï»Ù³ñ³ÝáõÙ Áݹ·ñÏí³Í »Ý §Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³Éǽ¦ ³é³ñϳÛÇ Íñ³·ñ³ÛÇÝ ÝÛáõûñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ËݹÇñÝ»ñ ¨ í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñ, áñáÝù í»ñ³µ»ñáõÙ »Ý ¹³ëÁÝóóÇ ·ñ»Ã» µáÉáñ µ³ÅÇÝÝ»ñÇÝ: ²Û¹ ËݹÇñÝ»ñÝ áõ í³ñÅáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
Ïû·ï³·áñÍí»Ý ÇÝãå»ë ÙÇç³ÝÏÛ³É ëïáõ·áõÙÝ»ñÇ, ³ÛÝå»ë ¿É ùÝݳßñç³ÝÇ ïáÙë»ñ
ϳ½Ù»Éáõ ѳٳñ:
Ðî¸
¶Ø¸
ISBN
© Ö³ñï³ñ³·»ï 2017
© ¼³ù³ñÛ³Ý ì.². 2017
© ÊáëñáíÛ³Ý Ð.Ø. 2017
2
´²ÄÆÜ 1. سûٳïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç Ý»ñ³ÍáõÃÛáõÝ
سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»É, áñ
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ
1 11 .
1. 1  2  3    n 
2
2
2
2
nn  12n  1
:
6
n 2 n  1
1  2  3  n 
:
4
2nn  12n  1
2
22  42  62    2n  
:
3
n 4n 2  1
2
2
2
2
1  3  5    2n  1 
:
3
nn  1n  2
1 2  2  3  3  4    nn  1 
:
3
2
1 4  2  7  3 10    n3n  1  nn  1 :
2
2.
3.
4.
5.
6.
3
3
3
3


7. 1 2  2  3  3  4    n  1n 
2
2
2
2
1 2 3
n
n2
 2  3  n  2  n :
2 2 2
2
2
1
1
1
n



9.
:
1 2 2  3
nn  1 n  1


n n 2  1 3n  2
:
12
8.
10. 1 2  3  2  3  4    nn  1n  2 


11. 1 
nn  1n  2n  3
:
4
1  1  
1  n2

1  2 1 
:
2 
2  3   n  12  2n  2
3
ºÉÝ»Éáí ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó`
³å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
n
2n  1
n

 1
 1 : 13. lim
 2 : 14. lim
 0:
12. lim
n n  1
n n  1
n
n
3n  1 3
n 1
3n 2  4
 1 : 17. lim
 :
 3 : 16. lim
2
n n  1
n 2n  3
n n  n
2
15. lim
2n  1
2n 2  3
n2  1  3
 2 : 19. lim n  1 : 20. lim
1:
18. lim 2
x
n 2
n n  n
n2  1  3
¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ.
21.
2n  1
:
n 5  8n
n
:
n 3n  1
lim
22. lim
1  n2
23. lim
:
n nn  1
n 2  5n  4
24. lim
:
n 1  3n 2
3n 2  6n  2
:
n 3  5n  6n 2
25. lim
26. lim
n
n  13 :
3n3
2n 3  n  1
1  4n 2
27. lim 2
:
n n  n  2
28. lim
n2  2
29. lim
:
n n  3
30. lim
10n  2
31. lim n1
:
n 10
5
5n  2
32. lim n1
:
n 5
2
n
n 3
4
n  13
n2  1
n3  2
:
:
2 n1  3n1
:
n 2 n  3n
33. lim
3
35. lim
n
3
37. lim
n
n 4
n 2  4n  n
:
2n  1
2n  n 4  n


39.
lim n  7  n :
41.
lim n n  1  n :
43.
lim
n
n

44.
48.
1 2  n
:
n
n2
n
n2  1  n2 1
3
3
2

:
n  2!n  1!
:
n
n  3!
lim
1 2  n
:
n
3n3  1
lim
1 2  n n 
 :
n
n2
2

1  2  3  4    2n
:
n2
1  2  3  4    2n

50. lim 
lim
lim

5
5
53.

:
 2  3n 4 
 :
46. lim 
n n  6n 4 


 1  2n 3 
 :
47. lim 
n 3n  n 3 


51. lim
n
n
n
n  2!n  1!
45. lim
:
n n  2!n  1!
49.
4n  3 n 3  2
42. lim n  n  n
n!
:
n n  1!n!
:
n 4  3n  n
lim n  1  n :
40.

n2  1  n
n2  1
38. lim
n
:
:
n3  n  n
36. lim 5
n
n2  4  n2  2
5
n2  1  n
34. lim
52. lim
n
n2  1
:
1 2  n
1 2  n
:
n
3  n2
54. lim
:
5
 1  3    2n  1 2n  1 

:
n
n 1
2 

55. lim 
1
1 1
  n  :
n 2
4
2 

56. lim 
n 1
2n  1 
1 2
1 3 5
 3    n  : 58. lim  2  2    2  :
2
n n
n 2
n
n 
2 2
2 


57. lim  
12  22    n 2
60. lim
:
n
n3
n 1 
1 2
59. lim  3  3    3  :
n n
n
n 

n1
 13 23
 1 1
n3 

 1 
61. lim 1      n1  : 62. lim  4  4    4  :
n n
n
n
n 
3

 3 9

 1
1
1 
 :


n 1  2


2

3
n
n

1


63. lim 
n 1
1 2
 
:
n n
n
n 

64. lim 
 1

1
1
:


n 1  3
2n  12n  1 
35

65. lim 
 1

1
1
:


n 1  4
3n  23n  1 
47

66. lim 
 1

1
1
:


n 1  2  3
2 3 4
nn  1n  2 

67. lim
68. lim
n
69.

1  1
1
1

 :


n  1 3
3 5
2n  1  2 n  1 
1  1  
1 


lim 1  2 1  2 1 
2 :
n
 2  3   n  1 
6
 23  1 33  1 n  13  1 
:
70. lim  3  3 
3

n 2  1 3  1


n

1

1


 1
1
1 
:



n
2
2
2
n 2
n n
 n 1
71. lim 
ºÉÝ»Éáí §    ¦ É»½íáí ýáõÝÏó³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó` ³å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
x2 1
x5
1
 : 74. lim 2
 :
2
x 2 x  4
x5 x  25
4
10
72. lim 2 x  1  3 :
73. lim
x1
75.
lim x  a :
xa
76.
lim 4 x  2  6 : 77. lim
x1
x1
x 1 1
 :
x2  1 2
¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ.
x 2  3x  2
78. lim
:
x1
x2 1
x 2  3x  2
79. lim
:
x
x2 1
2 x 2  11x  5
80. lim 2
:
x5 3 x  14 x  5
x2  6x  9
81. lim
:
x3
x2  9
82. lim
x1
3x 2  x  2
:
2 x 2  5x  7
83. lim
x2
x 2  5 x  10
84. lim
:
x5
x 2  25
86. lim
x
x2  4
:
x 2  3x  2
x2  2x
85. lim 2
:
x2 x  4 x  4
x2  2x 1
:
2 x 2  3x  2
87. lim
x
7
2x  3
:
2x  3
4 
 1
 2
:
x2 x  2
x 4

1 
 3

:
3
x1 1  x
x 1

88. lim 
89. lim 
12 
 1

:
x2 2  x
8  x3 

2 
 3

:
3
x1 1  x
1  x2 

90. lim 
91. lim 
x 3
92. lim
:
x9 x  9
x8  3x  4
1 x
100. lim
x
102.
x1
104.
x4  1
x 4
lim
x64 3
lim
x1
x 4
lim
99.
lim
x1
x
1 x
1 3 x
2x  3
x3 x
:
x1
:
105.
x 2  23 x  1
x  1
:
x 1
:
x 1
103. lim
:
3
2
:
x2  1
101. lim
:
x x  1
x4  1  5 x4  1
x 8
97.
3
x2  1  3 x2  1
3
106.
:
2 x 2  3x  4
lim
x 1
:
x 1
95. lim
:
6 
 1
 2
:
x3 x  3
x 9

1  x2
4
x8
96. lim 
98. lim
x1
x 2
:
x 8
93. lim
3x 4  2
94. lim
x
3
:
107.
8
lim 4
x1
lim 3
x8
x 1
x 1
x 8
x 2
:
:
108.
lim 3
x1
110. lim
x0
112.
lim
x0
x 1
x 1
109. lim
:
x1
x4 2
:
x
x
3 x 9
1 x 1
:
x0
x
111. lim
:
113.
2 x 3
:
x7
x 2  49
x 8 3
:
x2 1
118. lim
2x 1  5
:
x 3
x1
x3
lim
x1
115. lim
114. lim
116. lim
x x
:
x2  x
x0
117. lim
x0
119.
1  x  x2  1  x  x2
120. lim
:
x0
x2  x
x 1
1  1  x  x2
:
1 x  1 x
:
x
1  3x  1  2 x
:
x  x2
lim
x1
x 1
3x  1  2
:
4  x  x2  2
121. lim
:
x1
x 1
1  x  x2  7  2x  x2
122. lim
:
x2
x2  2x
123. lim
xh  x
:
h
1  x2 1
124. lim
:
x0
x
125. lim
1  x 1
:
x2
126. lim
x5
h0
x0
x 1  2
:
x 5
127.
9
lim
x4
2 x
3  2x  1
:
128.
1  x 1
lim 3
1  x 1
x0
129.
x2  1 1
130. lim
x0
x  16  4
2
132. lim x
x
134.
:

x
:
1  x 1

:
142. lim x 2
x
3
146. lim
x1
148. lim
x
7  x2  3  x2
:
x 1
 x  3x
3
3
2


 x  5 x  6  x :
2
143. lim  x  x  x  :
x3  1 :
3
x
x

 x 1 
1  x2 1
:
x2
lim 3 x  1  3 x :
141. lim


x
x6 2
:
x3  8
3
144. lim
x2
x
139.
140. lim 3 x  12  3 x  12  :
x

3
 x x  a   x  :
135. lim  x  a  x :
137. lim
x0
1 x  3 1 x
:
x
3

x 2  5x :
x
3
x
138. lim
x0

:
133. lim
lim x 2  8x  3  x 2  4 x  3 :
x
136. lim 3
x0
1 5  x
x 4
131. lim x 
:
 x  1  x
2
3 5 x
lim
3
145. lim
x0
147. lim

 x2  2x :
10
x 7
1  x2  4 1  2x
:
x  x2
x  2  3 x  20
:
x7
1  cos x
:
x0
x
1  cos
2
149. lim
150.
lim
sin 3x
:
x0
x
151.
lim
152.
lim
tg 2 x
:
x0 sin 5 x
153.
lim
1  cos 5 x
:
x0
x2
tgx  sin x
156. lim
:
x0
x3
154.
lim
158.
lim x  ctg x :
1  cos x
:
x0
x2
1  cos 6 x
:
x0 1  cos 2 x
x  sin x
157. lim
:
x0 x  sin x
155.
lim
159. lim 1  cos x   ctgx :
x0
x0
 2

 ctgx  :
x0 sin 2 x


160. lim 
161.
x 2ctg 2 x
162. lim
:
x0 sin 3 x
163.
164.
tgkx
:
x0 x
1  cos 4 x
:
x0 2 xtg 2 x
lim
2 arcsin x
:
x0
3x
arctg 2 x
165. lim
:
x0 sin 3 x
2 x  arcsin x
:
x0 2 x  arctgx
lim
arcsin 2 x
:
3x
x
tg
2
168. lim 3
:
x 0 x  2 x 2
166. lim
x0
1 1 x
:
x0
sin 4 x
167. lim
x0
3x  sin 2 x
:
sin 2 x  x 5
169. lim
x1
x3  1
:
sin x  1
171. lim
170. lim
x0
11
lim
1  x sin x  1
:
x2
172. lim
x0
tgx
1  1  tgx
:
173. lim
x0
1  cos x
:
x0
x2
174. lim
x0


178. lim x  cos
2
x0
1  tgx  1  tgx
x0
x
2
177. lim
:
x0
x2  2
sin
1 
 1 :
x 
1  sin x  1
:
x0
x
cos x  cos 
182. lim
:
x
x 
179.
lim
181.
lim
3
180. lim
x0
1  cos x
1  cos x
:
sin x  sin 
:
x
x 
183. lim
x

4
sin x  cos x
:
1  tgx


184. lim ctg 2 x  ctg   x  :
x0
2

sin 2 x
185. lim
:
x 1  cos 3 x

x
2
186. lim
:
x1 1  x
x2  4
187. lim
:
x2 arctg  x  2 
cos
188.
lim 1  x tg
x1
x
:
2
189.

x
4
190. lim
:
 3

x
4 sin 
 x
 4

tgx
:
x2 x  2
lim
1  sin
191. lim
x
12
:
1  sin x  1  sin x
:
x
175. lim
2  1  cos x
:
sin 2 x
176. lim
sin x
 x
x
2:
1  2 cos x
192. lim
:
  3x
x
1  x2
193. lim
:
x1 sin x


lim   x tgx :
x  2

2
195.
x
2
lim
x 1
1 x
2  2 cos x
:
  4x
197.
lim
sin x  cos x
:
  4x
199.
lim
3
194.
196. lim
x
198.

4
lim
x
4

x 
2
200. lim  tgx 
cos
1 
:
cos x 
1  2 cos x
:
 
x
3 sin  x 

3

x
201.
2
sin x  1
:
x1 1  x 2
203.
 
sin x  
6

204. lim
:
x
3
6
 cos x
2
205.
206.
cos x
:
  2x
lim
x3  1
:
x1 arcsin  x  1
202. lim
:
lim
x
2
1  sin x


  x
2

2
:
sin x
:
x
x2
1 2
lim

 

lim  2 xtgx 
:
cos x 
x 
2
207.
13
  x sin x
:
x 21  cos x 
lim
208.
210.
 
sin x  
3

209. lim
:
x 1  2 cos x
x 1
x1
x :
ctg
2
lim
lim
x1
3
1  cos x
:
x2  2x  1


 arctgx  :
2

211. lim x
x
x 1
 3x  1 
 :
212. lim 
x0 x  2


2 x
 :
213. lim 
x0 3  x


 5x  7 
 :
214. lim 
x 6 x  1


 3x  1 
 :
215. lim 
x x  4


 3x  1 
 :
216. lim 
x x  1


 2
217. lim 1   :
x
 x
x
x
x
3x
x
x
 x 
 :
218. lim 
x x  1


 x 1 

220. lim 
x x  2


 1
219. lim 1  
x
 x
2 x 1
x 1
x
:
x2
 x 1 
 :
221. lim 
x 2 x  1


:
x2
 x2  2 
 :
222. lim 
x 2 x 2  1 


 x 1 

223. lim 
x x  3


 x 1 
 :
224. lim 
x 3 x  1


x
 3x  4 

225. lim 
x 3 x  2


14
x2
:
x 1
3
:
x2
 x2  1 

 :
lim
226.
x x 2  1 


 x2  1 

228. lim 
2 
x
x


 x 3

230. lim 
x x  2


 3x  5 

227. lim 
x0 3 x  2


x 2 1
:
:
 2x  5 
 :
231. lim 
x 2 x  1


x
x 1
1
x
 7x2  6x  1 
 :
232. lim 
x 7 x 2  x  3 


234.
lim 1  sin x  x :
236.
lim 2  cos x sin2 x :
 1  3x
 :
233. lim 
x0 x  1


235.
lim 1  tgx sin x :
237.
lim 1  tg
239.
lim
241.
lim
1
1
x0
1
x0

lim 1  x  x
240.
lim
x0
:
 x 8
 :
229. lim 
x x  2


2 x 1
238.
2 x 5

1
2 sin x
:
ln 1  sin x 
:
x0
2x
ln 1  3x 
:
x0
x
x0
x0

2
x

1
2x
:
ln 1  2 x 
:
x0
4x
ln x  2  ln 2
:
x0
x
243. lim xln x  4  ln x  :
242. lim
x
e2 x  1
244. lim
:
x0
3x
1  5x
245. lim
:
x0 1  e x
8x  7 x
246. lim x
:
x0 6  5 x
1  e x
247. lim
:
x0 sin x
15
ex 1
248. lim
:
x0 sin 3 x
sin 2 x
:
x0 ln 1  x 
249.
lim
251.
lim
5x  4 x
252. lim 2
:
x0 x  x
253.
lim
e x  e x
254. lim
:
x0 sin x
e x  cos x
255. lim
:
x0
x2
250.
sin 3x  sin x
:
x0
ln x  1
lim
 x

x 2 2
 
257. lim 
x  sin x
:
x x  cos x
259.
x 1  

260. lim x arctg
 :
x
x2 4


x

1
x 2
:
lim cos x  sin x  x :
1
lim
262. lim  cos
ln x  1
:
xe x  e
2
esin 2 x  esin x
256. lim
:
x0
x
258.
1  cos x
:
x0 ln 1  tg 2 x 
261. lim
x0
x
x
x
 cos cos n  :
2
4
2 
x 1
x 

263. lim x arctg
 arctg
:
x
x2
x2

16
x0
arcsin x  arctgx
:
x3
´²ÄÆÜ 2. Ø»Ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzÛÇ
¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³ßÇí
ú·ïí»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó` ·ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É
ýáõÝÏódzݻñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ.
1
:
x
1.
y  3x 2  4 x :
2.
y
4.
y  cos 3x :
5.
y  x2  x :
7.
y
1
:
x2
8.
y
y  sin 3x :
11.
y  tg 2 x :
12.
x2 :
14.
y  5tgx  x  :
15. y 
3x  2 :
17. y 
10.
13. y 
3
16. y 
1
x
3
3. y 
6.
x:
y  x 2  5x  1 :
9. y 
:
x 1 :
4x  1 :
y  ctgx  x :
3
y
18.
x:
1
:
e 1
x
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ.

19. y  3x  7  :


22. y  1  x :
7
23. y  x  1 x  1 :
25. y  x arctg x :
3
3
2
2
27.
5
20. y  2 x  1 :
21. y  2 x  1 :
2

10
24.
y
e 2 x1
:
x2  4
26. y  x arcsin x  1  x :
2
3
1
y  tg 4 x  21 x :
4
28. y  sin 1  x :
2
17
29. y  e
 x2
ln x :
30.
ye
x2

2
1
 :
x
31.
y  2sin 2 x  4 :
32. y  1 ln x :
33.
1
y  cos  sin 4 x :
x
34.
y  ln x 2  cos 3x :
35.
y  ln 1  ln x  :
36.
x 1
y  sin 3  :
3 x
37.
y  sin 2 2 x  1 :
38.
y  ln sin 2 x  3 :
39.
y  arccos
41.
y  ln x  cos 4 x  
2
2x 1
3
3
:
x2


x2  a2 :
44. y  arctg 4 x  1 :
2
1 tg x :
2
47.
1
y  ctgx 2  tg 3 2 x :
3
49.
y  ln

42. y  arctg x  tg 3x :
4
x


40. y  ln x 
:
43. y  sin 2 x  1  3 x :
45. y  e

46.
y  ln
1  sin x
:
cos x
48. y  arctg x  2 x :
2
1  sin x
:
1  sin x
50.
51. y  1  x arcsin x  x :
2
52.
18
y
1
 ln tgx :
2 sin 2 x
x
y  ln tg :
2
53.
y  arctg
1 x
:
x
54.
 x 
 :
 4 2
3
x
3
:

4
3
58. y  cos 2 x  1  e
4
arccos e x

56. y  1  sin x :
57. y  sin 4 x  1  2 x :
59. y 
ln x
:
3

55. y  ln tg 
2
y  arctg

60.
y  3 ln sin
 x2
:
x3
:
4
61.
1
y  ln 3 2  x 2  tg 4 x :
3
62.
1
y  ln 4 x  cos x  :
2
63.
4
y  ln 4 sin x  :
x
64.
y
65. y  1  ln sin x   2 x :
7

2

x
1
y  tg 2 x  ln x  sin x  :
2
71.
y  ln 4 x  sin 2 x  :
2
75.
y  sin 2 1  ln x  
2
:
69.
73. y  ln 1  x  xe
66. y  1  ln x  e
3
67. y  ln x  sin x  e
x
13 x
xe  x :
3
68.
2


x  2x
e :
3


74. y  4 ln cos1 
1
:
x2
76.
19
:
1
y  cos 4 x  arcsin e x :
4
x
3
70. y  cos  sin  :
 2
72. y  cos  sin
:
3 x
1
:
x
y  tg 2 x  ln cos 2 x :
77.
1
y  tg 2 cos x  ln 1  x  :
2
78.
x 2  1  ln 1  2 x  :
79. y 

80.

y  log 2 sin 2 x :
1
y  tg 3 x  x  sin 2 x :
3


81.
1
1
y  sin 4 x  3x 2  :
4
x
82.
1
y  e  x  ln 1  x :
2
83.
y  ctg 2
x
x
 2 ln sin :
2
2
84.
y  ln tg
85.
y  2 x  5 cos 3 x :
86.
y  3 sin 2 x 
87.
y  ln arcsin 5x  :
88.
y  arcsin ln x  :
89.
y  5 ln 3 2 x  3 :
90.
1
y  tg 2 x  ln cos x :
2
91.
y  xx :
92. y  sin x  :
93.
y  xsin x :
94. y  cos x 
1
:
cos 3 x
x
sin x
x
 1
95. y  1   :
 x
:
96. y  arctgx  :
x
1 x
 sin 3 x :
97. y  x 
2
1 x
3
x
x

:
2 sin x
2
98.
20
2

x  2
y
:
x  13 x  34
¶ïÝ»É å³ñ³Ù»ïñ³Ï³Ý ï»ëùáí ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ
³Í³ÝóÛ³ÉÁ.
 x  e t
99. 
2t
y  e
 x  t 3  3t  1
100. 
5
3
 y  3t  5t  1
 x  sin 2 t
101. 
y  t  4
102.
 x  a cos t
103. 
 y  b sin t
 x  a cos 3 t
104. 
3
 y  a sin t
 x  et sin t
105. 
t
 y  e cos t
106.
 x  at  sin t 

 y  a1  cos t 
 x  cos t

 y  t  sin t
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ¹Çý»ñ»ÝódzÉÁ.
107. y  e
 x2
:
108.
y  tg 2 x :
 x 
 :
 2 4
109.
y  tgx 3 :
110. y  ln tg 
111.
y  x ln x  1 :
112.
y  ln sinx  1 :
ú·ïí»Éáí ÈáåÇï³ÉÇ Ï³ÝáÝÇó` ·ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ.
x 3  3x  2
113. lim 3
:
x1 x  x 2  x  1
114. lim
x1
e2 x  1
115. lim
:
x0 sin x
116.
21
x3  4 x 2  5x  2
x  1
2
2
1  cos ax
:
x0 1  cos bx
lim
:
ex
117. lim n :
x x
x  sin x
119. lim
:
x0
x3
121. lim
x0
x
:
x ln 1  x 
ln cos x
120. lim
:
x0
x
118.
e x  e x  2
:
1  cos 2 x
lim
122.
lim
x0
e x  e x
124. lim
:
x0 ln 1  x 
x 3  6 x  6 sin x
lim
123.
:
x0
x5
3
e  3x  1
:
x0
sin 2 5 x
3x
125.
lim
126.
e x  e x  2 x
127. lim
:
x0
x  sin x
129.
x
:
x ln 2 x
lim


lim
x
ln x
x
1  x 1 
lim
x
3
x2
x0
:
ln cos x
:
x0
x2
128.
lim
130.
lim
x0
x  arctgx
:
x3
x 2  1  ln x
132. lim
:
x1
ex  e
ln 1  x 2
131. lim x
:
x0 e  1  x
133.
x  sin x
:
x  tgx
:
e 2 x  e 2 x  2
135. lim
:
x0
x2
22
ln cos x
:
x0 ln cos 3x
134.
lim
136.
lim
x1
x 1
:
x ln x
ln x  a 
:
xa ln e x  e a
137. lim


138.
x10  10 x  9
140. lim 5
:
x1 x  5 x  4
x 20  2 x  1
139. lim 30
:
x1 x  2 x  1
2
x
x
e   x 1
2
141. lim
:
x0
x3
x
tg
2
143. lim
:
x1 ln 1  x 
1  x 1 
145.
lim
x0
x
147. lim
x1
2
x2 1
5
144.
tgx  x
:
x  sin x
lim
142.
x
2:
5x3  x  2 x
ln x
:
x0 1  2 ln sin x
lim
x 0
lim
x0
x cos x  sin x
:
x3
ln 1  x   x
:
x0
tg 2 x
146. lim


ln x 2  8
148. lim
:
x3 2 x 2  5 x  3
:
150. lim
x1
149. lim x ln x :
x0
x5  1
151. lim 3
:
x1 2 x  x  1
152.
lim
xx 1
:
ln x
  2arctgx
x
3
e x 1
x
xe 2
:
x x  e x
2
154. lim x ln x :
153. lim
155.
lim
x0
x  1ln 1  x   x
ex  x 1
x0
1
 1
 :
x0 sin x
x

156. lim 
:
23
:
157.
lim
arctgx  x
:
x0 arcsin x  x
158. lim 
1 
1
 x :
x0 x
e 1

160. lim  tgx 
1 
 x

:
x1 ln x
ln x 


x 
2
159. lim 
161.
 1 x 1 
 :
x0 sin x
x

lim 3 x ln x :
162. lim 
x 
 1

:
x1 ln x
x 1 

164. lim 
x0
1 
 1

:
x1 ln x
x 1 

163. lim 
165. lim
x0
tg 2 x  2 x
:
x3
167. xlim

1 
:
cos x 
166. lim
x0
  2arctgx
:
 1
ln 1  
 x
e2 x  1
:
arcsin 3x
ex 1
168. lim
:
x0 cos x  1
2
2
x3 x
e    x 1
6 2
169. lim
:
x0
x2
cos x   1
2
x
171.
1

 ctg 2 x  :
2
x0 x


170. lim 
1
172. lim  
x0 x
 
x
lim x :
x0
1
173. lim x
x1
175.
x 1
sin x
:
174. lim sin x 
sin x
:
x0
lim arcsin x  :
tgx
176.
x0
24
lim sin x  :
x
x0
:
177.
179.
lim tgx 
2 cos x
x
178. lim 1  x 
ln x
:
x0
2
lim sin x  :
tgx
x
:

180. lim x 
x
x 1
2

1
ln x
:
2
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ.
181.
y  3x3  9 x 2  27 x  30 :
182.
183.
y  3x 4  4 x3  36 x 2  60 :
184. y  x 1 
185.
y  e x  e x :
186.
187.

1
y  x 3  3x :


x :
y  x ln x :
188. y  x  1 x  4 :
y  xe x :
2
189. y  x  2 x  3 :
190.
y  xe  x :
x
:
ln x
192.
y  x 2e  x :
194.
y  2 x 2  ln x :
195. y  x  3 x :
196.
y
ex
197. y 
:
x
198.
y  x 2 ln x :
200.
y
3
191. y 

193. y  ln x  1  x
199.
2
2

:
y  ln 1  x 2  :
25
x 3
 x:
3
x
2

3
9 :
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÁ.
201.
y  4 x  3x  18x  5 :
203.
1
5
y  x3  x 2  6 x  3 :
3
2
3
205. y   x
x2
 ln x :
202. y 
2
2
204.
x2  1
206. y 
:
x 1
x 2:
2
y  x  ln 1  x  :
2
208.
y  x  5e x :
210.
y
207.
y  x  2arctgx :
209.
y  x2 
211.
1
1
y  x3  x 2  2 x  2 :
3
2
212. y 
213.
y  2 x3  9 x 2  24 x  12 :
214.
2
y  x2 3 6x  7 :
3
216.
y  x ln 2 x :
16
:
x
215. y  x 1  x :
2
217. y  xe
219.

x2
2
x
:
ln x
3
218. y 
:
x 3  3x 2  8 :
ln 2 x
:
x
220. y  2 x  1
y  x ln x :
26
3
x  32 :
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñÁ,
áõéáõóÇÏáõÃÛ³Ý ¨ ·á·³íáñáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ.
221.
y  x5  5x  6 :
222.
y  xe  x :
223.
y  x 4  6x3 :
224.
y  x 4  24 x 2  70 :
226. y  x  1  e :
y  3x 5  5 x 4  3x  2 :
2
227. y  ln 1  x  :
4
225.
229.
y  arctgx  x :
231.
y  earctgx :
y  xe x :
228.
230. y  e
232.
x
 x2
:
y  x4  6x2  5 :
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ëÇÙåïáïÝ»ñÁ.
x
233. y 
:
2 x
235. y 
237.
x 1
3:
x2
x
236. y 
1
y  x :
x
239. y 
241.
234.
2

x  1
y
238.
x2  2x
:
x 1
240. y 
y  x 2e  x :
242.
27
:
x3  2 x 2  1
:
2  x  x2
y  x  ex :
x2  2x  3
:
x2
x
y  2 x  arctg :
2
243.
y  x  2arctgx :
x2  x  1
244. y 
:
x 1
245.
y  xe :
6x 2  4
246. y 
:
3x 2  8
x
x3
247. y  2
:
x  x2
x3
248. y  2
:
x 3
2
x
250.
y  2x  e x :
x
1 :
251. y  3
4
252.
y  xarctgx :
253. y  xarcctgx :
254. y  e x  x :
255. y 
256. y  x  4 x  1 :
249.
y  xe :
2
1
x2 1  x :
2
2
257.
258. y 
y  1 xe :
x
x3
:
x2
лﳽáï»É ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ϳéáõó»É ·ñ³ýÇÏÁ.
1
y  x 4  3x 2  2 :
2
259.
y  x 3  3x :
261.
y  x  2x  3 :
x
 x2 :
262. y 
6
263.
y  x3  5x 2  8x :
264.
260.
3
4
2
28
y  x 4  2 x3  3 :
3
x
 2x2  6x :
265. y 
6
266.
y  3x 2  x 3 :
y  x3  2x 2 :
268.
y  2 x 3  3x  1 :
267.


1 3
x  6 x 2  25 :
5
4 x3  x 4
271. y 
:
5
269.
y
270.
1
y  x 3  2 x 2  3x  1 :
3
x
272. y 
:
1  x2
273. y 
12 x
:
x2  9
274. y 
2x2
:
x2  4
275. y 
x2 1
:
x2  1
276. y 
2 x3
:
x2  4
x2  x  2
278. y 
:
x 1
x2  1
277. y 
:
x
x2 1
 :
280. y 
2 x
x
279. y 
:
1  x2
x2  2
281. y  2
:
x 9
282. y  x  1 x :
283. y  x  2 x  1 :
284.
285. y  e
 x2
4
y  x :
x
286. y  e
:
29
4 x x2
:
287.
y
x
:
ex
288.
y
x
:
e2 x
x2
289. y  x3 :
e
x2
290. y  x :
e
x 1
291. y  x :
e
x3
292. y  x :
e
x4
:
e x 3
y  2x 
1
:
x2
293.
y
295.
y  2 x  3e x :
296.
y  2 x  3e x :
297.
y  xe 2 x1 :
298.
y  x  1e x2 :
299.
y  x  4e :
294.
1  x3
300. y 
:
x2
2x
x2
301. y 
:
1 x
302.
2 x
303. y  1 x e :
y  4  x e x3 :
304. y 
ex
:
x
305.
1
y   4x2 :
x
306.
y  x 2 ln x :
307.
y  x 2  2 ln x :
308.
y  x ln 2 x :
30
x3  4
309. y 
:
x2
311.
e
313. y 
315.
x
y
310.
:
x2
2  x2
ex
:
2
y  x  2arctgx :
317. y  2 x  3 x :
3
319. y 
321.
323.
325.
3
y  x  1e3 x1 :
314.
y  1 x 
316.
y
1
:
x3
x
 arctgx :
2
3
x2  x :
2x2  x  2
320. y 
:
x 1
x 5  x  :
2

312.
318. y 
2
y  x  e x :
x
y  2 x  3e x :
y  xe :
322.
y  x ln x :
x3  8
324. y 
:
2x2
2
1
2 x
yx e :
326.
ln x
327. y 
:
x
y  x  2arcctgx :
328. y  xe
31

x2
2
:
´²ÄÆÜ 3. Ø»Ï ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzÛÇ
ÇÝï»·ñ³É ѳßÇí
¶ïÝ»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
1.

4.
x dx

1  x 2 dx
1  cos 2 x
dx
7. 
1  cos 2 x
10.
 ctg
2
xdx
1  x 2
3
x2  4 x
5.

8.
cos 2 x
 cos 2 x  sin 2 x dx
x x
2
1 x 
 dx
3.  
 x 
dx
2.  2
x
x

9.
 tg
2
14.
 8  3x dx
15.

16.
 2x
17.
x
18.
x
19.

x 2  1dx
3x  1dx
x 2 dx
22.  3
x 2
2
xdx
2
 x1  x  dx
6
5
3  3x 2
1  2 x dx
12. 
x 1  x 
x
dx
11.  2 sin
2
2
13.
2
dx
6.
dx
1  x 2 dx
2
8  2 xdx
x 3  2dx
25
sin xdx
20.
2
 sin x cos xdx
21.

23.
 tgxdx
24.
 3  4x
32
3
cos 2 x
dx
2
2
cos xdx
x
 x
25.  2
26.   sin  cos  dx
a  sin 2 x
2
 2
dx
e
27.
sin x
cos xdx
28.
 2x  3
29.
 cos1  2xdx
30.
 tg3xdx
31.
 ctg 2x  1dx
32.
dx
 x ln x
33.
e
34.

37.

40.
x
43.
46.
5


1 x
35.
x
8  2 xdx
38.
 2x
1  x2
3
x  2dx
25
3
x 3dx
3
x4 1
cos xdx
3
3x  1
dx
2
9
dx
sin 2 x
dx
49.
 cos
52.
 x1  x  dx
2
x 1  tgx
2 7
x 2  4dx
39.
xdx
41.

44.
 sin
47.
3
 cos x sin 2xdx
x 2 1
3
x cos xdx
e x dx
50.  x
e 1
53.
36.
1  x 2 dx
 1 x
33
2
54.
dx
sin xdx
 1  2 cos x
x
4  x 2 dx
x 4 dx
42.

45.
 cos
48.
51.
3 x 1
4  x5
sin xdx
2
x

ln x
dx
x
 tg 2x  1dx
sin 2 x
 1  cos
2
x
dx
xdx
55.  4
x 1
e x dx
58.  2 x
e 4
x1  x 2 
dx
61. 
1  x4
2 x dx
64.

67.
 2 x 1dx
1  4x
x
x2
dx
70. 
2x 1
73.
dx
 xx 1
76.
x
79.

2
dx
 7 x  10
dx
4x  3  x2
56.
59.
62.


x 2 dx
57.  6
x 4
xdx
a2  x4
2 x  arcsin x

dx
1  x2
1  x  x2
1  x 
2 3
dx
63.
x  arccos 3x 
2
65.

68.
 3  x dx
1  9x2
3 x
77.
80.
dx
 xx 1
x

2
dx
 3x  10
dx
8  6x  9x2
34
x 
69.
dx
x2  1

2
x
dx
x4
dx 66. 
x2 1
dx
71.  2
x 1
74.

1 x
dx
1 x

60.
2x 1
 x  2 dx
x4
dx
72.  2
x 1
75.
dx
 x  12x  3
78.
 4x
81.

2
dx
 4x  5
dx
2  6x  9x 2
82.
x  2dx
x
 2x  2
2
83.
 sin x cos 7 xdx
87.  sin 3x sin 5xdx
85.
dx
 1  cos x
1  sin x
dx
93. 
1  sin x
1  sin x
dx
96. 
cos x
90.
 cos xdx
102.  tg xdx
105.  xe dx
108.  x ln xdx
3
99.
3
x
2
111.
 arccos xdx
114.
 x sin xdx
117.
 x  1e dx
120.
2
x
 lnx  1dx
123.  ln xdx
2
126.
e
x
sin xdx

x  3dx
 4x
89.
 sin
3  2x  x2
86.  cos 3x cos 5xdx
88.
 cos
2
xdx
98.
x 1
2 x
115.  x e dx
dx
118.  x 2 sin xdx 119.
x e
124.  x cos
2 x
121.
127.

2
ln x
dx
x2
35
 sin
2
3xdx
 tg xdx
104.  x cos xdx
107.  x ln xdx
110.  xarctgxdx
3
arcsin x
xdx
4
101.
x

2
 4 x  17
92.
 x  3 dx
109.  x ln xdx
112.
2
1  cos x
 1  cos x dx
dx
95. 
sin x
dx
 1  sin x
dx
94. 
cos x
sin 3 x
dx
97. 
cos x
dx
100. 
cos 4 x
103.  x sin 2 xdx
91.
106.
3x  1dx
84.
113.
 ln xdx
116.
 arcsin xdx
 x
dx 122.
xdx
128.
2

2
 x ln1  xdx
 2 x  3 cos xdx
125.
 x
2
 x sin

2
xdx
 7 x cos xdx
ln 3 x
129.  2 dx
x
x 2 dx
132.
 1  x 
135.
x
2 2
dx
x 1
dx
138.
 1
141.
 1
144.

147.

150.
x
x
dx
x 1
dx
3
x x
e 2 x dx
ex 1
dx
153.

156.
x
2
x2  a2
1  x2
dx
x4
2
4  x 2 dx
159.
 arctg
162.
x
x dx
dx
3
133.
x 2 1
 xtg
 1
2
142.
a 2  x 2 dx
dx
134.

x 3dx
137.
x
x
 xx  1 dx 140.
x dx


x x
xdx
148.

151.

2  4x
x
3
154.

157.
e

x2  4 x
x 2 dx
dx
dx
dx
dx
ax  b  m
3
149.
x

dx
3

x 1
a2  x2
dx 161.
x
1 ex
dx
x2  a2
x
 sin
dx
dx

x
155.
158.
x2
37
152.
1  x2
dx
x2

x 1
x 1
 x1  2x
146.
a2  x2
x

143.
3
145.
160.

131.
xdx
x 1
4x  3
dx
136. 
x  23
139.
4
4
130.
3
x
dx
2
x2  9
x dx
dx
a2  x2
dx
x3  1
dx
163.  3
164.  3
4x  x
6 x  7 x 2  3x
36
165.
dx
 x 4  3x 2  2
166. 
x3  1
dx
168.  3
x  x2
dx
171. 
1  x3
174.
177.
dx
x2  1 x2  x



dx
 sin x  cos x
dx
 5  3 cos x
dx
183. 
1  cos 2 x
180.
x

 3x  2 dx
x x 2  2x 1
2


dx
 x  x2
xdx
172.  3
x 1
169.
175.
 x
2
2

2
 xx  1
2


 x  11  x 
dx 176.
dx
2 2
dx
178.
 tgx  cos 2 x
179.
 1  tgx
181.
dx
 5  4 sin x
182.
dx
 1  sin 2 x
гßí»É ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
1
184.

1  x dx
0
e3
187.
x
1
dx
1  ln x
 sin
ln 2 x
dx
185. 
x
1
1
188.
1
x dx
 x  1
189.
4
xdx
191.
 sin
 cos xdx
9
194.

4
4x  5
5

2
3
xdx
192.
 cos
3
xdx
0
0
2
1  ln x
dx
x
xdx


2
2

1
2
0
0
186.
0

2
193.
e 4
e

4
190.
dx
dx
 x x 2 1
x 2 dx
173. 
1  x4
2 xdx
170.
4
x3  x  1
x2  4x  4
167.
x 1
dx
x 1
37
16
195.

0
dx
x9  x

2
196.


dx
0 x 2  4x  5
cos x  cos 3 x dx 197.
5
 cos x  sin 2 xdx
 x
200.
1
x dx
2

x

3
xdx
2
x

 sin
204.
1
2
e
 x ln xdx
206.
0
207.
x
 arcsin xdx
209.
0
0
2
e
 x log
2
xdx
 xarctgxdx
0
xdx
x
213.
x
x
dx
215. 
1

x
0
 1
1
2
ln xdx
9
1
218.
dx
1
0
dx
x
e
2
1
3
 x  1e
210.
0
 ln
212.
1
 1
1
1
dx
 x sin 2 xdx
0
1
 xe
0
2
e x dx
1 x 2
4
205.  ln  x  1dx
217.

1
0
e1
4
2
201.
 x cos xdx
203.

214.
2
2

2
sin
1
211.
xdx
0
2

208.

1
1
0
202.
dx
 1  cos x
198.
2

2
199.

2
1
dx
3
38
x 1
216.

4
5
219.

1
x
x 1
dx
x 1
dx
x
4
220.
 1
2x 1
0
9
223.
x 1
4
2 ln 2

ln 2


xdx
3
1  x dx
222.
1
x5
9
xdx
x
225.
1  3x
0
dx
ex 1
x
0
224.
4
xdx
 1
221.
5
dx

226.
1
dx
1
ln 2
ln 3
dx
227.  x
x
ln 2 e  e

228.
e x  1dx
0
4
3
229.
x
3
3
dx
x2  1
230.
x
2 ln 2
3
x  1dx
2
dx

231.
ex 1
ln 2
1
4
2
232.

1

2
dx
x 1
dx 233. 
x
0 3 sin x  4 cos x
2

2
dx
235. 
0 2  cos x
1
238.

2
2
 ln 2
241.

0
2
244.

0
dx
 2 cos x  3
234.
0

2
dx
236. 
0 1  sin x  cos x
1  x2
dx 239.
x2

2
 1  x  dx
1
2 3
2
2
dx
x2 1
2
240.
0

2  x 2 dx
1
e ex 1
1  e dx 242.  x
dx
e 3
0
243.
4  x dx 245.  x a  x dx
2
a
2

0
a
2
x3 1
3
246.
x
1
39
e 3  ex
dx
ex  2
ln 6 x
ln 5 x
2x
2
x
237.
2
4  x2
dx
гßí»É ³ÝÇëÏ³Ï³Ý ÇÝï»·ñ³ÉÁ ϳ٠óáõÛó ï³É Ýñ³
ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.

0
247.
dx
248. 
2
0 1 x
 e dx
x


250.
1
 cos xdx
dx
253. 
2
 4  x
0

258.

dx
259.  p
1 x
dx
260.  2
 x  2 x  2

dx
262.  2
 x  4 x  9

 x sin xdx
dx
 1  x 
263.
2 2

266.
0

261.

 xe
x
269.
 x  1
dx
267.

4
x
x
1
 xe dx

dx
0
40
x
3
1

x
272.
dx
 xx
264.
dx
x 1

0
dx
ln x
2 x dx

0
ln x
268.  3 dx
1 x
2 xdx
2
1

x
0

1
2
arctgx
dx
257. 
2
0 1 x

271.
x
 xe dx
255.

dx
256. 
2
e x ln x
dx

dx
254. 
2
1  x

x
0

0

e

0
265.
2
252.
2
dx
 x ln x
249.

dx
x
251.

270.
xdx
0 x  13
1
273.
dx
 1 x
2
1
274.
2
dx

1 x2
0
 ln xdx
278.
 x ln
2
dx
 x  1
2
3
281.

0
dx
0 x ln 2 x
2
2
xdx
279.
0
2
1
ln x
276.
1
0
280.
dx
1
1
277.
x
275.
1
e

1
x 3dx
4  x2
1
282.
xdx
x 1
dx
 x1  x 
0
àñáßÛ³É ÇÝï»·ñ³ÉÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
283. гßí»É
y  3  2 x  x 2 å³ñ³µáÉáí ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ
³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
284. гßí»É
y  x 2  6 x  5 å³ñ³µáÉáí ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ
³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
285. гßí»É
y 2  4 x , x  4 ¨ x  9 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
286. гßí»É
y  x 2  1 å³ñ³µáÉáí, x  2 áõÕÕáí ¨ ³µë-
óÇëÝ»ñÇ ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
287. гßí»É
y  x ¨ x 2  3 y ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
288. гßí»É
y  x 2 ¨ y  8  x 2 å³ñ³µáÉÝ»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
41
289. гßí»É
y  3  2 x ¨ y  x 2 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
290. гßí»É
y  2 x  x 2 ¨ y   x ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
291. гßí»É
y  x 3 ¨ y  2 x ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ï-
Ï»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
292. гßí»É
y 2  x ¨ x 2  y ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
293. гßí»É
y 2  4,5x ¨ 3x  4 y  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
294. гßí»É
y  4  x 2 ¨ y  x 2  2 x ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
295. гßí»É
xy  4 , x  1 , x  4 ¨ y  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
296. гßí»É
x  2  y  y 2 ¨ x  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
297. гßí»É
x  2 y  y 2 ¨ x  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
298. гßí»É
y   x 2 ¨ x  y  2  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
299. гßí»É
y  x 2 å³ñ³µáÉáí, 2 x  y  3  0 áõÕÕáí ¨
³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
ٳϻñ»ëÁ:
42
300. гßí»É
y  x 2 ¨ y  2  x 2 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
301. гßí»É
y  x 2  4 x ¨ y  x  4 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
302. гßí»É
y  x 2  1 ¨ x  y  3 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
303. гßí»É
y  x 2 , xy  8 ¨ x  6 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
304. гßí»É
y  x 3 ¨ y  x ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
305. гßí»É
y  ln x , x  e ·Í»ñáí ¨ Ox ³é³Ýóùáí ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
306. гßí»É
y  tgx , x 

3
·Í»ñáí ¨
Ox ³é³Ýóùáí ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
307. гßí»É
y  e x , y  e  x ¨ x  1 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
308. гßí»É
y  x 3  4 x ¨ y  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
309. гßí»É
4 y  8x  x 2 ¨ 4 y  x  6 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
43
310. гßí»É
y  x2 , y 
1 2
x ¨ y  3x ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ2
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
311. гßí»É
y  e  x , y  x  1 ¨ x  5 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
312. гßí»É
y  2 x , x  1 x  5 ¨ y  x  1 ·Í»ñáí ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
313. гßí»É y  e x  1 , y  0 ¨ x  ln 2 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
314. гßí»É
y 2  8x ¨ 2 x  3 y  8  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
315. гßí»É y 
1
x
e
, y  0 x  1 ¨ x  2 ·Í»ñáí ë³Ñx2
ٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
316. гßí»É y 
4  x 2 , y  0 , x  0 ¨ x  1 ·Í»ñáí
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
317. гßí»É
x 2  9 y ¨ x  3 y  6  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
318. гßí»É
y   x 2 , y  e x , x  1 ¨ x  0 ·Í»ñáí ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
319. гßí»É
y  4 x  x 2 ¨ y  x 2  6 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
44
320. гßí»É
y  8  2 x  x 2 ¨ 2 x  y  4  0 ·Í»ñáí ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
321. гßí»É
y  8  2 x  x 2 , 2 x  y  4  0 ¨ y  0 ·Í»ñáí
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
322. гßí»É
y  x

, y  cos x
2
¨
x  0 ·Í»ñáí ë³ÑÙ³-
ݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
x2
1
323. гßí»É y 
¨ y
·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï2
1 x2
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
324. гßí»É
2
y  tgx , y  cos x ¨ x  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ3
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
325. гßí»É
y  x 2  1, y 
1 2
x ¨ y  5 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ2
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
326. гßí»É
y  x 3 , y  x 2 , x  1 ¨ x  1 ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
327. гßí»É
y 2  1  x , y  2 x  1 ¨ x  0 ·Í»ñáí ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
328. гßí»É y 
x  1 , y  3  x ¨ y  0 ·Í»ñáí ë³ÑÙ³-
ݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
329. гßí»É y 
x , y  4  3x ¨ y  0 ·Í»ñáí ë³ÑÙ³-
ݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
45
330. гßí»É
y 2  8x  16 ¨ y 2  24 x  48 ·Í»ñáí ë³ÑÙ³-
ݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
331. гßí»É
x  2y 2 ¨ x  1  3 y 2 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
332. гßí»É
x   y 2 ¨ x  9  2 y 2 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
333. гßí»É y  x  4 ,
2
y  16  x 2 ·Í»ñáí ¨ Ox ³é³Ýó-
ùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
334. гßí»É
x 2  6 x  4 y  13  0 ¨ x  2 y  1  0 ·Í»ñáí
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
335. гßí»É
4 x 2  8x  y  5  0 ¨ 2 x  y  1  0 ·Í»ñáí
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
336. гßí»É
3 y 2  16 x  32  0 ¨ 4 x  3 y  8  0 ·Í»ñáí
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
337. гßí»É
y  ln x ¨ y  ln 2 x ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
338. гßí»É
x  a cos t ¨ y  b sin t ¿ÉÇåëáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
339. гßí»É x  at  sin t  ,
y  a1 cos t  óÇÏÉáÇ¹Ç Ù»Ï Ï³-
Ù³ñáí ¨ Ox ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
ٳϻñ»ëÁ:
340. гßí»É
x  3t 2 , y  3t  t 3 ÏáñÇ ûÕ³Ïáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
46
341. гßí»É
x  t 2  1 , y  t 3  t ÏáñÇ ûÕ³Ïáí ë³Ñٳݳ-
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
342. гßí»É


1
x  t 3  t 2 , y  t 2 ÏáñÇ ûÕ³Ïáí ë³Ñٳݳ3
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
343. гßí»É
x  a cos 3 t , y  a sin 3 t ³ëïñáǹáí ë³ÑÙ³-
ݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
344. гßí»É   a1  cos   ϳñ¹Çáǹáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
345. гßí»É
 2  2 cos 2
É»ÙÝÇëϳïáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
346. гßí»É
  a cos 3
»é³Ã»ñà í³ñ¹áí ë³Ñٳݳ÷³Ï-
í³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
347. гßí»É
  a
²ñùÇÙ»¹Ç ·³É³ñ³·ÍÇ ³é³çÇÝ ·³É³-
ñáí ¨ µ¨»é³ÛÇÝ ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
348. гßí»É
  3sin  ¨   3 cos  ßñç³Ý³·Í»ñáí ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
349. гßí»É
  2 3a cos 
¨
  2a sin 
ßñç³Ý³·Í»ñáí
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
350. гßí»É
y  x 2  2 x  3 å³ñ³µáÉáí, Ýñ³ M 3 ; 6  Ï»-
ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕáí ¨ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ³é³ÝóùÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
47
y  x 2  2 x  2 å³ñ³µáÉáí, Ýñ³ M 3 ; 5 Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕáí ¨ Oy ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ-
351. гßí»É
÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
y  ln x Ïáñáí, Ýñ³ M e ; 1 Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í
ßáß³÷áÕáí ¨ Ox ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ï-
352. гßí»É
Ï»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
353. гßí»É y  xe

x2
2
Ïáñáí ¨ ³Û¹ ÏáñÇ ³ëÇÙåïáïáí ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
354. гßí»É
y
1
Ïáñáí ¨ ³Û¹ ÏáñÇ ³ëÇÙåïáïáí
1 x2
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ:
2
x x ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ
3
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x  0 ¨ x  3 ³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»óáÕ
355. гßí»É
y
Ï»ï»ñáí:
356. гßí»É
y
2
3
x  13
ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ,
áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
óáÕ Ï»ï»ñáí:
x  1 ¨ x  4 ³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»-
x2 1
 ln x ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ
357. гßí»É y 
4 2
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x  1 ¨ x  e ³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»óáÕ
Ï»ï»ñáí:
48
358. гßí»É
y

1 x
e  e x
2

ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ,
áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
áõÝ»óáÕ Ï»ï»ñáí:
x  0 ¨ x  1 ³µëóÇëÝ»ñ
359. гßí»É y 
2 x  x 2  1 ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ,
1
áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x 
¨ x  1 ³µëóÇëÝ»ñ
4
áõÝ»óáÕ Ï»ï»ñáí:


y  ln x 2  1 ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x  2 ¨ x  5 ³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»óáÕ
360. гßí»É
Ï»ï»ñáí:
y  ln sin x ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ


ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x 
¨ x
³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»2
3
361. гßí»É
óáÕ Ï»ï»ñáí:
y  1 ln cos x ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ

ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x  0 ¨ x 
³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»6
362. гßí»É
óáÕ Ï»ï»ñáí:
363. гßí»É y  1  x  arcsin x ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõ2
ÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
óÇëÝ»ñ áõÝ»óáÕ Ï»ï»ñáí:
49
x0 ¨ x
9
³µë16
364. гßí»É y  1  x  arccos x ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõ2
ÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
x0 ¨ x
8
³µë9
óÇëÝ»ñ áõÝ»óáÕ Ï»ï»ñáí:
365. гßí»É y  1  arcsin x  1  x
2
ÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõ-
x0 ¨ x
3
³µë4
óÇëÝ»ñ áõÝ»óáÕ Ï»ï»ñáí:
y  ln cos x ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ

ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x  0 ¨ x 
³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»3
366. гßí»É
óáÕ Ï»ï»ñáí:
367. гßí»É
y  ln x ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í ¿
Ï»ï»ñáí:
x  3 ¨ x  8 ³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»óáÕ
y  e x ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x  0 ¨ x  ln 7 ³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»óáÕ
368. гßí»É
Ï»ï»ñáí:
y 2  4 x å³ñ³µáÉÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ` ·³·³ÃÇó ÙÇÝ㨠M 1 ; 2  Ï»ïÁ:
369. гßí»É
5
4
370. гßí»É y  x 4 ÏáñÇ ³Õ»ÕÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³Ñ5
ٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x  0 ¨ x  9 ³µëóÇëÝ»ñ áõÝ»óáÕ Ï»ï»ñáí:
50
371. гßí»É
x  at  sin t  , y  a1 cos t  óÇÏÉáÇ¹Ç Ù»Ï
ϳٳñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
372. гßí»É
x  a cos 3 t , y  a sin 3 t ³ëïñáÇ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
373. гßí»É x  t , y  t 
2
t3
ÏáñÇ ûÕ³ÏÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
3
374. гßí»É
  a1 cos   ϳñ¹ÇáÇ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
375. гßí»É
  a
²ñùÇÙ»¹Ç ·³É³ñ³·ÍÇ ³é³çÇÝ ·³É³ñÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
376. гßí»É
  1 cos 
ϳñ¹ÇáÇ¹Ç »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:
377. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  x2  4
y  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
¨
378. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y
4
,
x
x  1, x  4 ¨ y  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
379. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y x,
x  1 ¨ y  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
380. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y2  4  x
x  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
¨
51
381. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  x2  3 ,
x  4 ¨ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ³é³ÝóùÝ»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
382. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  2x  x 2
Ïáñáí ¨
Ox ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
383. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
xy  9 ,
y  3 , y  9 ¨ x  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
384. гßí»É
Ù³ñÙÝÇ
ͳí³ÉÁ,
áñÝ
³é³ç³ÝáõÙ
¿
y 2  x  1  0 ¨ x  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
385. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  e2x ,
x  1, x  0 ¨ y  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
386. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  x2 ¨
y  x ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
387. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
xy  4 ¨
2 x  y  6  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
52
388. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
2y  x2 ¨
2 x  2 y  3  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
389. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  x2 1
y  3x  1 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
¨
390. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  4x  x 2
y  x ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
¨
391. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  4  x2
2 x  y  4  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
¨
392. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  6x  x 2
x  y  6  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
¨
393. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  x2 ¨
2 x  y  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó
Oy ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
394. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÝ ³é³ç³ÝáõÙ ¿
y  xe x ,
x  1 ¨ y  0 ·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ
åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
53
395. гßí»É
Ù³ñÙÝÇ
ͳí³ÉÁ,
áñÝ
³é³ç³ÝáõÙ
¿
y  arcsin x , Ïáñáí, x  0 ¨ x  1 áõÕÇÕÝ»ñáí ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ
³é³Ýóùáí
åïïáõÙÇó
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
å³ïÏ»ñÇ
Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
396. ¶ïÝ»É Ñ³ï³Í ÏáÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÇ ÑÇÙù»ñÇ ß³é³íÇÕÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý r ¨
397. гßí»É
Ù³ñÙÝÇ
R , ÇëÏ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ h :
ͳí³ÉÁ,
áñÝ
³é³ç³ÝáõÙ
¿
x  at  sin t  , y  a1 cos t  óÇÏÉáÇ¹Ç Ù»Ï Ï³Ù³ñáí
¨ Ox ³é³Ýóùáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ åïïáõÙÇó Ox ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ:
398.
y
1
ÏáñÁ åïïíáõÙ ¿ Çñ ³ëÇÙåïáïÇ ßáõñçÁ:
1 x2
¶ïÝ»É åïïáõÙÇó ³é³ç³ó³Í ٳϻñ¨áõÛÃáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ:
54
´²ÄÆÜ 4. ØÇ ù³ÝÇ ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzݻñ
¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ.
1.
lim
tg xy 
:
x3
y
y 0
2.
lim
3.
lim
1  1  xy
:
x0
xy
y 0
4.
lim
5. lim
x0
y 0
7.
lim
x0
y 0
x2  y2
x2  y2  1 1
xy
x2  y2
x0
y 0
xy
:
x  0 sin  xy 
y 1
6. lim
x0
:
y 0
:
8.
x
:
x y
x2  y2
:
x2  y2
xy
:
x0 x  y 2
y0
lim
2
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ.
9.
z  x3 y  y 3 x :
10.
z  x3  y 3  3xy :
11. z 
x  3y :
12.
z  e xy :
13. z 
x2  y2 :
14.
z  x3 sin y  y 4 :

15. z  1  xy  y
17.

:
2 4
z  tg 3 3x  4 y  :
19. z 

3
16. z  5 x y  y  7 :
18.
x y
 :
y x
2
z  ln x  ln y  :
20. z  arctg
55
3
x
:
y
21.
z  3 2x2  y 2 :
22.
z  ln x 2  y 2  :
23.
z  ex y :
24.
2
2
z  e xy x  y  :
2
2
y
x
25. z  arctg
y
:
1  x2
26.
27. z  ln cos
y
:
x
28. z  5 x y  1 :
29. z  2 y  e
x2 y

1
31.
z  ln 2 x  y  :
33.
z  ln sin
x 1
y
u  e x  xy  xz :
39.
u  sinx 2  y 2  z 2 :
2
2
38.
¿
 


x
:
y
x2  y 2  z 2 :
u  x3  yz 2  3xy  x  z :
x
y
56
3
z  ln x  x 2  y 2 :
40.
¿

32.
y

f x, y   ln  x  
2x 

f x1 ; 2  -Á ¨ f y 1 ; 2  -Á:
42. îñí³Í
2
z  arctg xy 2 :
f x, y   e sin xy 
f x0 ; 1 -Á ¨ f y 0 ; 1 -Á:
41. îñí³Í
:
30.
36. u 
y
37.
3
34. z  ln tg
:
35. z  arctg x :
3
ze
sin
u  sin 2 3x  2 y  z  :
ýáõÝÏódzÝ:
гßí»É
ýáõÝÏódzÝ:
гßí»É
x

y sin 3x  9 ln   2 y  ýáõÝÏódzÝ:


43. îñí³Í ¿ f x, y  
гßí»É
f x ; 4  -Á:
2z
44. îñí³Í ¿ z  sin xy  ýáõÝÏódzÝ: ¶ïÝ»É
-Á:
xy
45. îñí³Í ¿
ze
xy 2
2z
ýáõÝÏódzÝ: ¶ïÝ»É
-Ý:
x 2
2z
y
46. îñí³Í ¿ z  xy 
ýáõÝÏódzÝ: ¶ïÝ»É
-Á:
xy
x
2z
47. îñí³Í ¿ z  xy  sin x  y  ýáõÝÏódzÝ: ¶ïÝ»É
-Ý:
x 2
2z
48. îñí³Í ¿ z  y ln x ýáõÝÏódzÝ: ¶ïÝ»É
-Á:
xy
2z
49. îñí³Í ¿ z  sin ax  by  ýáõÝÏódzÝ: ¶ïÝ»É
-Ý:
x 2
2
2z
50. îñí³Í ¿ z  2 xy  y ýáõÝÏódzÝ: ¶ïÝ»É
-Á:
xy
2
51. ¶ïÝ»É z  x ln y  sin x
Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ:

ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç

52. ¶ïÝ»É z  ln x  y
ýáõÝÏódzÛÇ »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç Ù³ëݳÏÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ:
2
57
53. òáõÛó ï³É, áñ
z  arctg
y
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
x
2z 2z

 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x 2 y 2
54. òáõÛó ï³É, áñ
x


ln x 2  xy  y 2 ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
z
z
 y  2 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x
y
55. òáõÛó ï³É, áñ


z  ln e x  e y ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
z z
  1 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x y


z  y ln x 2  y 2 ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ
1 z 1 z
z

 2 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
¿
x x y y y
56. òáõÛó ï³É, áñ
57. òáõÛó ï³É, áñ z 
x
xy
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
x2  y2
z
z
 y  0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x
y
58. òáõÛó ï³É, áñ z  e
x2
1 1
  
x y
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
z
z
 y2
 2 z ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x
y


z  ln x  y ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ
z
z 1
 y  ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
¿ x
x
y 2
59. òáõÛó ï³É, áñ
58
60. òáõÛó ï³É, áñ z  x  y  e
x
x
y
z  x  y  sin
x
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ
y
z
z
 y  x  y ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x
y
62. òáõÛó ï³É, áñ
¿
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
z
z
 y  x  y ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x
y
61. òáõÛó ï³É, áñ
¿
x
y


z  tg 3 x 2  y 2 ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ
z
z
 x  0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x
y
y
63. òáõÛó ï³É, áñ
x
z  xe
x2
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
z
z
 2 y  z ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x
y
y2
 cos 3 xy  ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ
64. òáõÛó ï³É, áñ z 
3x
z
2 z
 xy  y 2  0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
¿ x
x
y
65. òáõÛó ï³É, áñ
x
z  x ln
y
ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
x
z
z
 y  z ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x
y
59

¿
y

z  sin 2 x 2  y 2 ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ
66. òáõÛó ï³É, áñ
z
z
 x  0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x
y
67. òáõÛó
ï³É,
áñ
ze
x
y
ýáõÝÏódzÝ
µ³í³ñ³ñáõÙ
z z
 z
 y
 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
x y
xy
2
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÉñÇí ¹Çý»ñ»ÝódzÉÁ.
y
68.
z  x 2  3xy :
69.
z
70.
z  ln x  y 2  :
71.
z  sinx 2  y 2  :
y
:
x
73.
z  ln 2 x  y  :
75.
z  xy :
72. z 
74. z  arctg
x y
:
x y


76. z 
78.
1
ln x 2  y 2 :
2

z  ln 1 

80. z  arcsin
82.
x2  y2
77. z  ln tg
x
:
y 
79.
x
:
y
y
:
x
z  arctg xy  :
81. z  ln cos
z  x ln xy  :
83.
60
z  y  xy :
x
:
y
:
¿
84.
ze
cos
y
x
:
85.


z  ln x  x 2  y 2 :
¶ïÝ»É ³Ýµ³ó³Ñ³Ûï ï»ëùáí ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ
³Í³ÝóÛ³ÉÁ.
86.
ey  x  y :

87.
y
88.
ln x  e
90.
tgy  xy :
x
c:
arctg x  y   x :
89. ln y 
x
 c:
y
91. arctg
y 1
 ln x 2  y 2 :
x 2


x2
 y 2 ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ` Ýñ³ M 0 2 ;  1 ;1 Ï»92. γ½Ù»É z 
2
ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:


93. γ½Ù»É z  x  y ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ` Ýñ³ M 0 0 ; 1 ; 1 Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:
2

x y

94. γ½Ù»É z  e
ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ` Ýñ³ M 0 1 ;  1 ; 1 Ï»ïáõÙ
ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:

95. γ½Ù»É z  x 2  y 2  xy ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ` Ýñ³ M 0 3 ; 4 ;  7 
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:




96. γ½Ù»É z  ln x  y
ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ` Ýñ³ M 0 1 ; 0 ; 0
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:
2
2
61




97. γ½Ù»É 3xyz  z  1 ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ` Ýñ³ M 0 0 ; 1 ;  1
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:
3
98. γ½Ù»É x  2 y  ln z  4  0 ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ` Ýñ³ M 0 2 ;  3 ; 1
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:
99. γ½Ù»É
x2 y2 z 2

  0 ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ` Ýñ³ M 0 4 ; 3 ; 4 
16 9 8
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨ ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:
x 2  y 2  z 2  2z
100. γ½Ù»É
ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ`
Ýñ³
 2 2 
M 0 
;
;1 Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý ¨
2
2


ÝáñÙ³ÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ:
101. γ½Ù»É x  2 y  3z  11 ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, áñáÝù
½áõ·³Ñ»é »Ý x  y  z  1 ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
2
2
2
102. γ½Ù»É x  2 y  3z  21 ٳϻñ¨áõÛÃÇÝ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕ Ñ³ñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, áñáÝù ½áõ·³Ñ»é »Ý x  4 y  6 z  0 ѳñÃáõÃÛ³ÝÁ:
2
2
2
¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÁ.
103.
z  2 x 2  3 y 2  x  7 y : 104. z  1  x  2 y  6 x 2  y 2 :
2
2
z  x 2  2 xy  4 y 3 :
106. z  x  xy  y :
2
2
2
2
107. z  x  2 xy  2 y  2 x : 108. z  2 xy  3x  2 y  10 :
105.
62
109.
z  x 2  xy  y 2  2 x  y : 110. z  x 2  xy  y 2  x  y  1 :
111.
z  x3  y 3  15xy :
113.
2
z  4 x  4 y  x 2  y 2 : 114. z   x 3  2 xy  y 2  1 :
3
115. z  x
2
112.
z  x3  8 y 3  6 xy  5 :
 xy  y 2  2 x  3 y : 116. z  x 2  xy  y 2  3x  2 y  1:
z  x 2  xy  y 2  3x  6 y :
117.
z  x3  xy 2  6 xy :
119.
z  x 2  xy  y 2  6 x  9 y : 120. z  x 2  y 2  2 ln x  18 ln y :
121.
z  x 4  y 4  2x 2  4xy  2 y 2 :
118.

122. z  x  y
2
123. z  x y  x  y  6 x  3 : 124. z  y  4 y
2
125.
z  3x 2 y  x 3  y 4 :
127.
z  xy 2 1  x  y  :
4
126.
128.
63
2

ey :
x  y 2  4x  4 y :
z  x3  3xy 2  15x  12 y :
1
x y
z  xy  47  x  y    :
2
3 4
´²ÄÆÜ 5. Âí³ÛÇÝ, ýáõÝÏóÇáÝ³É ¨ »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý
ß³ñù»ñ
гßí»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ.
1
2. 
:
n1 2n  1( 2n  1)
1
1. 
:
n1 n( n  1)
3n  2 n
4. 
:
6n
n 1
2
:

2
n  2 4n  9

13.  arctg
n1

1
:

n1 nn  1( n  2)

 arctg
n 2
1
:
2
n  n 1


1
:
n2  n  1
14.
1
 n(n  3) :
6.
n1


8.
 1
10.  ln 1  2  : 11.
n 
n2 

n 1
1
5. 
:
n1 3n  2 (3n  1)

1
 n(n  2) :
3.


7.



9.
1
 arctg 2  n
2
:
2
:
n1
2n  1

12.
 n n  1
2
n 1

n  2  2 n 1  n :
n1
ú·ïí»Éáí ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÇ
ѻ勉ÝùÇó` ³å³óáõó»É ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.
n 1
15. 
:
n1 2n  4


n
18. 
:
n1 n  1
3n  1
16. 
:
n1 2n  1

2n  3
19. 
:
5n
n1



64
n
 1
17.  1   :
n
n1 
20.
n7
 3n  1 :
n1

1
21.  n sin :
n
n1
n
sin :

4
n1
1
22.  cos
:
2n
n1


24.
n2  3
n1
  1
23.
n:
n1

n

25.
n1


:
26.
n
 2n  1 :
n1
ú·ïí»Éáí ¸³É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇó` ѻﳽáï»É ß³ñùÇ
½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.


27.
2n
:

n 1 n!
28.
n

n :
n1 5

33.
n1
31.
n  1!
2
n
 n!

n1
2n  1
 2
n
32.
2n
35.  10 :
n 1 n
n2
34.  n :
n 1 3
:

:
40.
 n 2 sin
n1
65

2n
n 1
n :
n1 2



3n
37.  n
:
n0 2 2n  1
n3
36. 
:
n1 2n !
39.
3n

n :
n 1 n  2

n!

n :
n 1 7




29.


30.

3n
:

n 1 2n
38.

n1

:
41.
4n  3
n  3n

 ntg 2
n1
n1
:
:
ú·ïí»Éáí Îáßáõ ѳÛï³ÝÇßÇó` ѻﳽáï»É ß³ñùÇ
½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.

1
42.  n
:
n 1 ln n  1
n

1
48.  arcsin
:
n
n 1
n
n

 n 

49.  
n1  3n  1 
n2

 3n 
 :
44.  
n1  2n  1 
 2n  1 

 :

n1  3n  1 

 1
51.  1   : 52.
n
n1 
1  1
1  :

n 
n
n1 2 
n

 n 
 :
47.  
n1  2n  1 
2 n1
n2

n

 1
43.   sin  :
n
n1 
 n 1 
 : 46.
45.  
n1  3n  2 

n

n2

:
 n 
 :
50.  
n1  2n  1 
n2

1  1
53.  n 1   :
n
n1 3 
ú·ïí»Éáí Îáßáõ ÇÝï»·ñ³É³ÛÇÝ Ñ³Ûï³ÝÇßÇó` ѻﳽáï»É
ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.


1
54.  2 :
n 1 n

57.

n 1
1
3
n
55.

n
n 1

:
56.
58.
1
60. 
:
2
n2 n ln n
2n
63.  2
:
n1 n  1
1
:

n 2 n ln n

61.
n
n2
1

n3
n 1

:


1

59.
1
e
n 1
n
:
 1 n 
62.  
2  :
n1  1  n 
2

1
ln n
:

1
64. 
:
3
n2 n ln n
66
:

65.

n 0
1
4n  1
:
ú·ïí»Éáí ѳٻٳïáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÇó` ѻﳽáï»É
ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.


1
66. 
:
n1 ln n  1
67.
n1
3n  1
69.  4
:
n1 n  5n

ln n
72.  3 :
n1 n
73.  tg
n 1
1

78.  1  cos  : 79.
n
n1 
77.


85.


1

n  n 1 :
67
n
n 1

83.
n
n1

86.

n1


2n
:

n
n1 5  1
1
 tg
80.
n1
n 1
1
2 :

 ln1  n
n1
n1
n2  3
87.  3
: 88.
n1 4n  5n

:
 nn  1n  2 :
82.

1
84.  sin 2 :
n
n 1

n 1

n 1
:
2
1
n
n1
 nn  2n  3 :

3
n
81.  2
:
n1 n  1
sin 2 n
71.  2
:
n 1 n  1
74.
n
n1




1
76.  arcsin
:
n  13
n1
1
:
n

1

68.
1
70.  2
:
n1 n  1

1
75.  sin :
n
n1
n 1
3
:





1
89.

n1
1
3n  4
3
n
n3  2
n 1
n3  5
:
:
:
:
лﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.

n cos 2 n
91.  3
:
n1 n  5


3n
93.  n
:
n1 2 2n  1

96.

n1

108.

n1

n
n  2n

:
nn
114.  n
:
n1 3  n!
n1
98.
106.
 n sin
n1

n2


n1
n2
4n  3
n  3n
5n  n!
115.  n :
n1 n

68
n ln 3 n
n
n
3
:
n

 11  1
104.    5 :
n1  10  n
107.

 n sin n
3
2 n1
110.  n :
n 1 n

2 n  n!
:

n
n1 n

:
:
2
n1
 n 2
 :
109.  
n 1  n  1 
112.
n!
:
1
n
n2

:
3
1


:
n

n 1

:
2
95.
101.
 10  5
103.    n :
n1  11 
3n  1


n

n!

n :
n 1 n

n 1  n 1
:
n
3n
100.  20 :
n 1 n

111.
 nn  1 :
n1

10 n
102. 
:
n 1 n!
n1

n1

 n 2 sin
1
1
 42
92.
n1
97.
1
99. 
:
4
n2 n ln n

94.

n
:
n4  1

105.


1
90. 
:
n1 100n  1
113.

nn
116. 
:
n1 2n !
:
n n1
117.  n
:
n1 2  n!


n2

ln n
120.  3
: 121.
n2 n  n  1
1
126. 
2 : 127.
n  2 n  2 ln n

:
n2
n2


3n

n :
n 1 n  2 !4
1
: 125.

2
n2 n ln 3n  1
n2

 n 

 : 128.

n1  10n  5 
n ln n
:
2
3
n
119.
 n  1 1

  n : 122.

n

 2
n 1
n2

n5  n

 n  1 1
  n : 124.
123.  
4
n1  n 


118.
ln n
n!2n  1!

 3n!
:
n1
n2
 2n  3 

 :

n1  n  1 

лﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ ¨ å³ñ½»É
½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý µÝáõÛÃÁ.

129.
 1n1

 2n  1 :
130.
n1

132.

n 1

 1n1  n
6n  5
2
n1
n
:
2n
131.
 1n1  2n  1
133. 
:
nn  1
n1

:
ln n
135.   1
: 136.
n
n1
n
cos n
138. 
:
2n
n0
  1
n2 n

n
n
  1
n 1
n 1
69
 tg
1
n n
 1n1
n1
n2

 1n1


n1
 1  2n  1  : 137.

 3n  1 
n1


139.
134.

140.
:
 1n
:

n1 nn  1


:
n
:
 sin
n1
n
:
3

141.

n1
 1n1
n3 n
:
142.
sin n
144. 
: 145.
n!
n0
150.

n1
n  2n
2n  1


:
146.
: 151.
  1
n 1

 1n n  1
:
n3  n  1
n 1
sin n
:
n2
n1

n 1
n

 1  tg 1 :

n
n1
n


:
5n
  1 cos
143.
n1
 1n1
148. 
:
n1 ln n  1
 1n1
147. 
3 :
n 1 2n  1

 1n1

n 0


 1n



149.
n3
: 152.
2n
n

 1  n  :

 2n  1 
n1
n1
¶ïÝ»É ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³ÛùÁ.

xn
154. 
:
n 1 n!
n 0

n1 x
159.   1
n
:
n

xn
162. 
n1 :
n1 n 10
165.
  1
n 1
n 1
2n x n
3
160.

n  1x n
n1
n!


nx n
163.  n :
n 1 2

158.
5n x n
: 166. 
:
n
n1 n!
10
n
xn :
n0

:
xn
161.  n :
n 0 2

xn
164.  n
n :
n1 2  3


70
n
n1
xn
157. 
:
n1 nn  1
2n x n
156. 
:
n
n1
n1
n
n1 x
155.   1
2 :





n
153.  x :
167.
xn
n
n1
n
:


xn
168. 
n1 :
n1 n  2

171.
n3
n
169.

x :
n
172.
x 2 n1
174.  n :
n1 3
n 1
3n n

n 0

186.
2n  1
2 n1  x 2 n1
2n x n
189. 
:
n!
n1

xn
: 173. 
:
n
n 0 2n !

x 2 n1
176.  n :
n1 2
2 n1  n! x n
179. 
:
2n!
n1

n


: 184.
xn
n
2

xn
 2n
2
n 1
 4n  3


n  x
  :
181.   1 n
: 182. 
5 n 1
n 0
n1 n  1  2 
n  15 x 2n
n1
n4 xn
170. 
:
n1 n!
:
xn
: 178. 
n :
n 1 n  13
x 2 n1
180. 
:
n1 2n  1




183.
3n1
x 2n
175.  n 3 :
n 1 5  n
 1n1  x 2n

  1
xn



n
n
n1

xn
n 1
n1
177.
  1
n 1
:
185.
n
2 n
187.   1 2n  1 x :
n 0
n
 2n  4  n
 x :
190.  
n 1  5n  7 

n xn
 n : 193.
192. 
n1 n  1 3

x  3n
n1
n2

71
2n  n 2
n1

:

 1n1 x n1

n 2 x 3n
188. 
:
n
n1 8
 1n1 x 2n1
191. 
:
2n  1!
n1

x  2n
194. 
n :
n1 2n  12

:
:

195.

x  4n
:
n
n1


201.

x  12n
n 1
x  2n
n1
3n

196.
x  2n
198. 
:
n1 2n  1!

x  1n
n 1
2n

: 202.
n  9n

:
197.
:
200.
 1n1 x  5n
n  5n

x  83n
n 1
n2


: 203.
n  3n
n1

n1


199.
x  3n


x  52n1
2n  4 n
n1
:
:
:
¶ïÝ»É ýáõÝÏóÇáÝ³É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ.

204.
 n x  2 
n
n 1

207.  e
nx
ln n x
205. 
:
n
n1
:
210.
:
208.
n
 x  2
n
n1

213.

n1
206.
 1n1

n :
n
n 1 n  3  x  5
:
n
2 n
n 1

n :
n
n 1 3  x  3


212.
n2
e
n 1
nx2

216.
 nx
n1

xn
217. 
, »Ã» x  1 :
n 1 n
, »Ã» x  1 :
n 1
72
:
ln n x
215.  2 :
n 1 n
¶ïÝ»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ.

:
e  nx
209. 
:
n1 n
n1
1  2x 
 2  : 214.
n  x 1
2n

211.  5  x  :

1
1 x
n1

n 0



1
nx n1
218.  n , »Ã» x  a :
n 1 a


xn
219.  n1 , »Ã»  a  x  a :
n 2 na

nn  1x n1
n 2 x n , »Ã» x  1 :
x

a
,
»Ã»
:
221.


n1
a
n1
n1


n
n
2 n1
222.  n , »Ã» x  1 :
223.   1 2nx
, »Ã» x  1 :
n1
n 1 x

220.


ú·ïí»Éáí e , sin x, cos x, ln 1  x ¨ 1  x  ýáõÝÏódzÛÇ
سÏÉáñ»ÝÇ ß³ñùÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý µ³Ý³Ó¨»ñÇó` Ñ»ï¨Û³É
ýáõÝÏódzݻñÁ í»ñÉáõÍ»É Ø³ÏÉáñ»ÝÇ ß³ñùÇ.
x
m
224.
f x   e 2 x :
227.
f x   cos 2 x : 228. f x  ln 1  2 x : 229. f x   cos 2 x :
230.
225. f x   e
 x2
:
226.
f x   sin 3x :
f x  ln 10  x : 231. f x  x ln 1  x : 232. f x  
1
3
1  x2
:
üáõÝÏódzÛÇ í»ñÉáõÍáõÙÁ üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ.
x    , 0 
ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É
x  0,  
 1, »Ã»
 1, »Ã»
233. f x   
üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ:
1, »Ã»
3, »Ã»
234. f  x   
x    , 0 
ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñÉáõÍ»É
x  0,  
üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ:

235. f x  x ýáõÝÏódzÝ
üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ:
  ;  
73
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É
236. f x   x ýáõÝÏódzÝ
 1; 1
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É
üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ:
237.
f x   x 2 ýáõÝÏóÇ³Ý   ;   ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É
üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ:
238.
f x   x 2 ýáõÝÏóÇ³Ý 0; 2  ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É
üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ:
239.
f x   x 2 ýáõÝÏóÇ³Ý 0;   ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É
üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ Áëï ëÇÝáõëÝ»ñÇ:
240.
f x  
 x

4 2
ýáõÝÏódzÝ
0;  
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõ-
Í»É üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ Áëï ëÇÝáõëÝ»ñÇ:
241.
f x  
 x

4 2
ýáõÝÏódzÝ
0;  
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõ-
Í»É üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ Áëï ÏáëÇÝáõëÝ»ñÇ:
242.
f x   10  x ýáõÝÏóÇ³Ý 5; 15 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ:
243.
f x     2 x ýáõÝÏóÇ³Ý 0;   ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ Áëï ÏáëÇÝáõëÝ»ñÇ:
244.
f x     2 x ýáõÝÏóÇ³Ý 0;   ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ Áëï ëÇÝáõëÝ»ñÇ:
245.
f x     x ýáõÝÏóÇ³Ý   ;   ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ:
246.
f x   x 

2
ýáõÝÏódzÝ
0;  
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõ-
Í»É üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ Áëï ÏáëÇÝáõëÝ»ñÇ:
74
247.
f x  

x
2
ýáõÝÏódzÝ
0;  
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõ-
Í»É üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ Áëï ëÇÝáõëÝ»ñÇ:
248.
f x   x 3 ýáõÝÏóÇ³Ý   ;   ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ í»ñÉáõÍ»É
üáõñÛ»Ç ß³ñùÇ:
75
´²ÄÆÜ 6. ´³½Ù³å³ïÇÏ, Ïáñ³·ÇÍ ¨ ٳϻñ¨áõóÛÇÝ
ÇÝï»·ñ³ÉÝ»ñ
гßí»É ÏñÏݳå³ïÇÏ ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
1
x
0
0
2
ln y
1.  dx  x  y dy :
4.
7.
 dy  e dx :
x
1
0
0
y2
2
 dy  x  y dx :
2
0
y y2
1
y
4
2x
y
dx
3.   dy :
2
x x
 dy  xydx :
2.
5.
1
1
 dx  x  y dy :
0
2
a
0
a sin
 d  rdr :
6.
x
2
x

2
2
x dy
8.  dx  2 :
1 y
0
9.
a 1cos 
:
 d  rdr

0
a cos
x
2
10.
x 3
 dx 
0
x
5
5 x
xdy
: 11.  dx  4  x  y dy :
x2  y2
0
0
1
12.
x
 dx  e
0
y
x
dy :
0
ÎñÏݳå³ïÇÏ ÇÝï»·ñ³ÉáõÙ ÷áË»É ÇÝï»·ñÙ³Ý Ï³ñ·Á.
3
13.
16.
19.
1
3 x
0
2 x2
1
3x
 dx  f x, y dy :
14.
2
y 3
0
0
x 3
2 y2
1
2 x2
1 y
1
2 x 2
0
x
1
1 x 2
1
 1 x 2
 dy  f x, y dx :
1
 dx  f x, y dy : 17.  dy  f x, y dx :
0
2x
2
y
1
1
 dy  f x, y dx :
0
20.
15.
18.
 1 y 2
2
2x
0
x
 dx  f x, y dy :
y
76
21.
 dx  f x, y dy :
 dx  f x, y dy :
 dy  f x, y dy :
4
22.
25 x 2
e
ln x
 dx  f x, y dy : 23.  dx  f x, y dy :
0
3
4
1
x
25. гßí»É
0
 x  y dxdy -Á, áñï»Õ D
2
24.
1
1 x 2
1
0
 dx  f x, y dy :
ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ-
D
÷³Ïí³Í ¿
26. гßí»É
y  x ¨ y  x 2 ·Í»ñáí:
 x  y dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ 1 ;1 , 4 ;1
D
¨
4 ; 4 ·³·³ÃÝ»ñáí »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
27. гßí»É
 xdxdy -Á, áñï»Õ
D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï-
D
í³Í ¿
y  3x 2 ¨ y  6  3x ·Í»ñáí:
28. гßí»É
 x
2
D
ٳݳ÷³Ïí³Í ¿
29. гßí»É

 xy  2 y 2 dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñ-
x  0 , y  0 ¨ x  y  1 áõÕÇÕÝ»ñáí:
 xdxdy -Á, áñï»Õ
D ïÇñáõÛÃÁ 2 ; 3 , 7 ; 2  ¨
D
4 ; 5 ·³·³ÃÝ»ñáí »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
30. гßí»É
 x  y dxdy -Á, áñï»Õ
D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ-
D
÷³Ïí³Í ¿
31. гßí»É
y  2  x 2 ¨ y  2 x  1 ·Í»ñáí:
 x  2 y dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑٳݳD
÷³Ïí³Í ¿
y  x , y  2 x , x  2 ¨ x  3 áõÕÇÕÝ»ñáí:
77
32. гßí»É
 x
2
D
ݳ÷³Ïí³Í ¿
33. гßí»É

 y 2 dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑÙ³-
x  0 , y  1 , y  2 ¨ y  x áõÕÇÕÝ»ñáí:
 3x 2 xy  2 y dxdy -Á,
2
D
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
34. гßí»É
D
35. гßí»É
D ïÇñáõÛÃÁ
x  0 , x  y 2 ¨ y  2 ·Í»ñáí:
 sinx  y dxdy -Á, áñï»Õ
ݳ÷³Ïí³Í ¿
áñï»Õ
x  0, y 

2
 xydxdy -Á, áñï»Õ
¨
D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑÙ³-
y  x áõÕÇÕÝ»ñáí:
D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï-
D
í³Í ¿
y  x  4 ¨ y 2  2 x ·Í»ñáí:
36. гßí»É
 x  y dxdy -Á, áñï»Õ
D
÷³Ïí³Í ¿
37. гßí»É
x  0 , y  0 ¨ y  x  3 áõÕÇÕÝ»ñáí:
 x  y dxdy -Á, áñï»Õ
D
÷³Ïí³Í ¿
D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ-
D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ-
x  2 , y  0 ¨ y  x áõÕÇÕÝ»ñáí:
xdxdy
2
2 -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï
y
D
x

2 , y  x ¨ x  3 y áõÕÇÕÝ»ñáí:
í³Í ¿
38. гßí»É
39. гßí»É
 x

D
xdxdy
-Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïx2  y2
í³Í ¿ y  x ¨ y 
x2
·Í»ñáí:
2
78
40. гßí»É
 x dxdy -Á, áñï»Õ
2
D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï-
D
í³Í ¿
y  0 ¨ y  2 x  x 2 ·Í»ñáí:
41. гßí»É
 sinx  y dxdy -Á, áñï»Õ
D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑÙ³-
D
ݳ÷³Ïí³Í ¿
42. гßí»É
y  0, y  x ¨ x  y 
 x  y  xdxdy -Á, áñï»Õ
2

2
áõÕÇÕÝ»ñáí:
D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑÙ³-
D
ݳ÷³Ïí³Í ¿
43. гßí»É
 x
2
x  y 2 ¨ y  x 2 å³ñ³µáÉÝ»ñáí:

 y 2 dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑÙ³-
D
ݳ÷³Ïí³Í ¿
44. гßí»É
 xy
2
y  0, x  2 ¨ y 
x
áõÕÇÕÝ»ñáí:
2
dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï-
D
í³Í ¿
x  0 , y  x ¨ y  2  x 2 ·Í»ñáí:
45. гßí»É
 x
2

 y 2 dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑÙ³-
D
ݳ÷³Ïí³Í ¿
y  0 , y  x 2 ¨ x  1 ·Í»ñáí:
y
x
46. гßí»É  e dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³ÏD
í³Í ¿
y  x , y  0 ¨ x  1 áõÕÇÕÝ»ñáí:
79
x2
47. гßí»É  2 dxdy -Á áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³ÏD y
1
í³Í ¿ y  , y  x ¨ x  2 áõÕÇÕÝ»ñáí:
x
48. гßí»É
 x
2
D
ݳ÷³Ïí³Í ¿
49. гßí»É

 y 2 dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑÙ³y  x , x  y  2 ¨ x  0 áõÕÇÕÝ»ñáí:
 ydxdy -Á, áñï»Õ
D ïÇñáõÛÃÁ 0 ; 0  , 1 ; 1 ¨
D
0 ;1 ·³·³ÃÝ»ñáí »é³ÝÏÛáõÝ ¿:
50. гßí»É
 x  2 y dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑٳݳD
÷³Ïí³Í ¿
51. гßí»É
 4  y dxdy -Á, áñï»Õ
D
÷³Ïí³Í ¿
52. гßí»É
÷³Ïí³Í ¿
2

 y dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ-
y  x 2 ¨ y 2  x ·Í»ñáí:
 cosx  y dxdy -Á, áñï»Õ
D
ݳ÷³Ïí³Í ¿
54. гßí»É
D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ-
x 2  4 y , y  1 , x  0 ( x  0) ·Í»ñáí:
 x
D
53. гßí»É
y  x 2 ¨ y  x ·Í»ñáí:
D ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑÙ³-
x  0 , y   ¨ y  x áõÕÇÕÝ»ñáí:
 y ln xdxdy -Á,
áñï»Õ
D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ-
D
÷³Ïí³Í ¿
xy  1 , y  x ¨ x  2 ·Í»ñáí:
80
 cos 2 x  sin y dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñ-
55. гßí»É
D
ٳݳ÷³Ïí³Í ¿
Ý»ñáí:
x  0 , y  0 ¨ 4 x  4 y    0 áõÕÇÕ-
56. ²ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ` ѳßí»É
 x
2
y 2 dxdy -Á,
D
áñï»Õ
D ïÇñáõÛÃÁ 1  x  y  4 ûÕ³ÏÝ ¿:
2
2
57. ²ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ` ѳßí»É
 e
x2  y2
dxdy -Á,
D
áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ x  y  1 ßñç³ÝÇ ù³éáñ¹ Ù³ëÝ ¿`
ÁÝÏ³Í ³é³çÇÝ ù³éáñ¹áõÙ:
2
58. ²ÝóÝ»Éáí

2
µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
x  y dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ x 2  y 2  a 2
2
2
D
ßñç³ÝÇ ù³éáñ¹ Ù³ëÝ ¿` ÁÝÏ³Í ³é³çÇÝ ù³éáñ¹áõÙ:
59. ²ÝóÝ»Éáí
 ln x
2
µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
 y dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ x  y  e 2 ¨
2
2
2
D
2
x  y 2  e 4 ßñç³Ý³·Í»ñÇ ÙÇç¨ ÁÝÏ³Í ûÕ³ÏÝ ¿:
60. ²ÝóÝ»Éáí
µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
dxdy
D x 2  y 2  1 -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
y  1 x2
ÏÇë³ßñç³Ý³·Íáí ¨ Ox ³é³Ýóùáí:
81
61. ²ÝóÝ»Éáí

µ¨»é³ÛÇÝ
sin x  y
2
x2  y2
D
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
2
dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ x 2  y 2 
2
9
¨ x 2  y 2   2 ßñç³Ý³·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ûÕ³ÏÝ ¿:
62. ²ÝóÝ»Éáí

µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
x 2  y 2 dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ x 2  y 2  a 2 ¨
D
x 2  y 2  4a 2 ßñç³Ý³·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ûÕ³ÏÝ ¿:
63. ²ÝóÝ»Éáí µ¨»é³ÛÇÝ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ` ѳßí»É
dxdy

x2  y2
D
-Á,
áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ x  y  1 ¨ x  y  4 ßñç³Ý³·Í»ñáí ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ûÕ³ÏÝ ¿:
2
64. ²ÝóÝ»Éáí
 e
 x2  y 2
2
µ¨»é³ÛÇÝ
2
2
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
D
2
x  y 2  a 2 ßñç³Ý³·Íáí:
65. ²ÝóÝ»Éáí
 sin
µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
x  y dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ x  y 2   2
2
2
2
D
ßñç³ÝÝ ¿:
66. ²ÝóÝ»Éáí
µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É

y 

1

D  x 2 dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ x 2  y 2   2
2
ßñç³ÝÝ ¿:
82
67. ²ÝóÝ»Éáí
 x
2
µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
 y dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï2
D
í³Í ¿
x 2  y 2  2ax ßñç³Ý³·Íáí:
68. ²ÝóÝ»Éáí

µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
R 2  x 2  y 2 dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ-
D
x 2  y 2  Rx ßñç³Ý³·Íáí:
÷³Ïí³Í ¿
69. ²ÝóÝ»Éáí

µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
x 2  y 2 dxdy -Á, áñï»Õ D ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï-
D
í³Í ¿
x 2  y 2  2 x ßñç³Ý³·Íáí:
70. гßí»É
Ù³ñÙÝÇ
ͳí³ÉÁ,
áñÁ
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
¿
x  y  a ¨ x  z  a ·É³Ý³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñáí:
2
2
2
71. гßí»É
Ù³ñÙÝÇ
2
2
2
ͳí³ÉÁ,
áñÁ
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
¿
y  1  x , z  3x , y  5 , z  0 ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí ¨ ÁÝ2
Ï³Í ¿ ³é³çÇÝ ûÏï³ÝïáõÙ:
72. гßí»É
Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
z  x  y 2 å³ñ³µáÉáǹáí, Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛáõ2
ÝÝ»ñáí ¨
73. гßí»É
x  y  1 ѳñÃáõÃÛ³Ùµ:
Ù³ñÙÝÇ
ͳí³ÉÁ,
áñÁ
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
¿
z  x  y å³ñ³µáÉáǹáí, y  x ·É³Ý³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃáí ¨ y  1 , z  0 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí:
2
74. гßí»É
2
2
Ù³ñÙÝÇ
ͳí³ÉÁ,
áñÁ
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
¿
y  x , y  2 x ·É³Ý³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñáí ¨ z  0 ,
x  z  6 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí:
83
75. гßí»É Ù³ñÙÝÇ Í³í³ÉÁ, áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí, 2 x  3 y  12  0 ѳñ-
z
ÃáõÃÛ³Ùµ ¨
76. гßí»É
1 2
y ·É³Ý³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃáí:
2
Ù³ñÙÝÇ
z  4  y2 , y 
ͳí³ÉÁ,
áñÁ
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í
2
x
2
·É³Ý³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÝ»ñáí ¨
¿
z0
ѳñÃáõÃÛ³Ùµ:
гßí»É »é³å³ïÇÏ ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
1
77.
3
2
2
 dx  dy  4  z dz :
1
x2
0
1
1
2
0
x
0
1
x
78.
80.
0
2
0
1
1
1
x
3
1
0
0
2
 x  1dx  y dy  dz :
x2  y 2
 dx  dy  z dz :
1
 dx ydy  3z dz :
0
79.  dx  dy  zdz :
81.
x
82.
0
3
2x
xy
0
0
0
 dx  dy  zdz :
dxdydz
V 1  x  y -Á, áñï»Õ V ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ x  y  z  1 , x  0 , y  0 , z  0 ѳñÃáõ-
83. гßí»É
ÃÛáõÝÝ»ñáí:
84. гßí»É
dxdydz
 1  x  y  z 
3
-Á, áñï»Õ
V ïÇñáõÛÃÁ ë³ÑÙ³-
V
ݳ÷³Ïí³Í ¿ x  z
ÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí:
 3 , y  2 , x  0 , y  0 , z  0 ѳñ84
85. гßí»É
 zdxdydz -Á, áñï»Õ V
ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï-
V
í³Í ¿ x  y  z  1 , x  0 , y  0 ,
86. гßí»É
z  0 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí:
 x  y  z dxdydz -Á, áñï»Õ V
ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñ-
V
x  y  z  1 , x  0 , y  0 , z  0 ѳñ-
ٳݳ÷³Ïí³Í ¿
ÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí:
87. гßí»É
 3x  4 y dxdydz -Á, áñï»Õ V
V
ٳݳ÷³Ïí³Í ¿
ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñ-
y  x , y  0 , x  1 , z  5x 2  y 2  ,
z  0 ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí:
88. гßí»É
 xyzdxdydz -Á, áñï»Õ V
ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñٳݳ-
V
÷³Ïí³Í ¿
Ý»ñáí:
89. гßí»É
y  x , y  0 , x  2 , z  xy , z  0 ٳϻñ¨áõÛÃ 10
  3
V
5
x  dxdydz -Á, áñï»Õ V ïÇñáõÛÃÁ
3
ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿
y  9 x , y  0 , x  1 , z  xy ,
z  0 ٳϻñ¨áõÛÃÝ»ñáí:
90. гßí»É
 y cosz  x dxdydz -Á, áñï»Õ V
ïÇñáõÛÃÁ ë³Ñ-
V
ٳݳ÷³Ïí³Í ¿
y  x ·É³Ý³ÛÇÝ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃáí ¨
y  0, z  0, x  z 

2
ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí:
85
гßí»É Ïáñ³·ÇÍ ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
 x  y  dl -Á,
91. гßí»É
áñï»Õ
L -Á áõÕÕÇ Ñ³ïí³Í ¿`
L
A0 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B4 ; 3 Ï»ïÁ:
92. гßí»É
x
2
dl -Á, áñï»Õ L -Á y  ln x ÏáñÇ ³Õ»ÕÝ ¿`
L
A1 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B2 ; ln 2 Ï»ïÁ:
93. гßí»É
 4
3

x  3 y dl -Á, áñï»Õ L -Á áõÕÕÇ Ñ³ïí³Í ¿`
L
A 1 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B0 ; 1 Ï»ïÁ:
94. гßí»É
 y dl -Á, áñï»Õ
L -Á y 2  2 x å³ñ³µáÉÇ ³Õ»ÕÝ
L
¿` A0 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B2 ; 2  Ï»ïÁ:
95. гßí»É  xy dl -Á, áñï»Õ L -Á
L
x2 y2

 1 ¿ÉÇåëÇ ù³4
9
éáñ¹ Ù³ëÝ ¿` ÁÝÏ³Í ³é³çÇÝ ù³éáñ¹áõÙ:
96. гßí»É
 x
2

n
 y 2 dl -Á,
áñï»Õ
L -Á
x  a cos t ,
L
y  a sin t ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿:
97. гßí»É

2 y dl -Á,
áñï»Õ
L
L -Á
y  a1 cos t  óÇÏÉáÇ¹Ç ³é³çÇÝ Ï³Ù³ñÝ ¿:
86
x  at  sin t  ,
98. гßí»É
y
2
dl -Á, áñï»Õ L -Á x  a cos t , y  a sin t ßñç³-
L


ݳ·ÍÇ ù³éáñ¹ Ù³ëÝ ¿  0  t 
99. гßí»É
 xy dl -Á, áñï»Õ L -Á

:
2
x  3 cos t , y  2 sin t ¿ÉÇåëÇ
L


ù³éáñ¹ Ù³ëÝ ¿  0  t 

:
2
dl
1
y

x  2 áõÕÕÇ Ñ³ïL
-Á,
áñï»Õ
-Á
L x  y
2
í³ÍÝ ¿` A0 ;  2 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B4 ; 0  Ï»ïÁ:
100. гßí»É
101. гßí»É
 xydx   y  xdy -Á, áñï»Õ
L
ñ³µáÉÇ ³Õ»ÕÝ ¿`
102. гßí»É
µáÉÇ ³Õ»ÕÝ ¿`
103. гßí»É
 xy
2
2
dy -Á, áñï»Õ L -Á y  x 2 å³ñ³-
A0 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B1 ; 1 Ï»ïÁ:
dx  x 2 y dy -Á, áñï»Õ L -Á y  x 2 å³ñ³-
L
µáÉÇ ³Õ»ÕÝ ¿`
104. гßí»É
A0 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B1 ; 1 Ï»ïÁ:
 2 xydx  x
L
L -Á y 2  x å³-
A1 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B2 ; 4  Ï»ïÁ:
 2 xydx  x
L
µáÉÇ ³Õ»ÕÝ ¿`
2
dy -Á, áñï»Õ L -Á y  x 2 å³ñ³-
A 1 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B 2 ; 4  Ï»ïÁ:
87
 2 xydx  x
105. гßí»É
2
dy -Á, áñï»Õ L -Á y  x 3 ·ÍÇ
L
A0 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B1 ; 1 Ï»ïÁ:
³Õ»ÕÝ ¿`
 3x
106. гßí»É
2

L
A0 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B1 ; 1 Ï»ïÁ:
å³ñ³µáÉÇ ³Õ»ÕÝ ¿`
107. гßí»É

ydx  x 3  1 dy -Á, áñï»Õ L -Á y  x 2
 4 x  y dx  x  4 y  dy -Á, áñï»Õ L -Á
L
A1 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B 1 ; 1 Ï»ïÁ:
·ÍÇ ³Õ»ÕÝ ¿`
 x
108. гßí»É
y  x4
2



 2 xy dx  y 2  2 xy dy -Á, áñï»Õ
L -Á
L
y  x 2 å³ñ³µáÉÇ ³Õ»ÕÝ ¿` A 1 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝã¨
B1 ; 1 Ï»ïÁ:
109. гßí»É
 xy  1dx  x
L
áõÕÕÇ Ñ³ïí³ÍÝ ¿`
L
áõÕÕÇ Ñ³ïí³ÍÝ ¿`
A1 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B0 ; 2  Ï»ïÁ:
áñï»Õ
ѳïí³ÍÝ ¿`
³Õ»ÕÝ ¿`
L -Á y  2 x áõÕÕÇ
A0 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B1 ; 2  Ï»ïÁ:
 xydx  x dy -Á, áñï»Õ
L
L -Á x  y  1
A0 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B1 ; 0  Ï»ïÁ:
 yx  y dx  x dy -Á, áñï»Õ
L
112. гßí»É
y dy -Á, áñï»Õ L -Á 2 x  y  2
 x  y dx  xy dy -Á,
110. гßí»É
111. гßí»É
2
L -Á y  x 2 å³ñ³µáÉÇ
A1 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B2 ; 4  Ï»ïÁ:
88
113. гßí»É
 x
2

2
 y dx  x  y  dy -Á, áñï»Õ L -Á y  1  x
L
å³ñ³µáÉÇ ³Õ»ÕÝ ¿`
114. гßí»É
 x  4 y dx  4 y dy -Á, áñï»Õ
L
³Õ»ÕÝ ¿`
115. гßí»É
A0 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B1 ; 0  Ï»ïÁ:
L -Á y  x 3 ·ÍÇ
A0 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B1 ; 1 Ï»ïÁ:
 x
2
L
·ÍÇ ³Õ»ÕÝ ¿`
 y 2 dx  2 x dy -Á, áñï»Õ L -Á y  x
A1 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B4 ; 2  Ï»ïÁ:
 x  y  xdx  x dy -Á, áñï»Õ L -Á y  1  x áõÕÕÇ
ѳïí³ÍÝ ¿` A0 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B2 ;  1 Ï»ïÁ:
2
116. гßí»É
L
117. гßí»É
 ydx  x dy -Á, áñï»Õ L -Á
x  R cos t , y  R sin t
L
ßñç³Ý³·ÍÇ ù³éáñ¹ Ù³ëÝ ¿`
118. гßí»É
 xy  1dx  x
2
t1  0 -Çó ÙÇÝ㨠t 2 

2
:
y dy -Á, áñï»Õ L -Á x  cos t ,
L
y  2 sin t ¿ÉÇåëÇ ³Õ»ÕÝ ¿` A1 ; 0  Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B0 ; 2 
Ï»ïÁ:
y 2 dx  x 2 dy
119. гßí»É 
-Á, áñï»Õ L -Á x  a cos t ,
2
2
x

y
L
y  a sin t ÏÇë³ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿` t1  0 -Çó ÙÇÝ㨠t 2   :
89

120. гßí»É
y 2 dx  x 2 dy
L -Á x  R cos 3 t ,
5 3
5 3 -Á, áñï»Õ
x y
y  R sin 3 t ³ëïñáÇ¹Ç ù³éáñ¹ Ù³ëÝ ¿` R ; 0  Ï»ïÇó
ÙÇÝ㨠0 ; R  Ï»ïÁ:
121. гßí»É
 xdx  y dy  zdz -Á, áñï»Õ L -Á áõÕÕÇ Ñ³ïí³Í
L
¿`
A1 ; 2 ; 3 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B4 ; 5 ; 6  Ï»ïÁ:
122. гßí»É
 xdx  y dy  x  y  1dz -Á, áñï»Õ
L
ѳïí³Í ¿`
123. ²ÝóÝ»Éáí

L -Á áõÕÕÇ
A1 ; 1 ; 1 Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠B2 ; 3 ; 4  Ï»ïÁ:
µ¨»é³ÛÇÝ
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
ѳßí»É
x  y dl -Á, áñï»Õ L -Á x  y  ax ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿:
2
2
2
2
L
124. ²ÝóÝ»Éáí
µ¨»é³ÛÇÝ
 x  y dl -Á, áñï»Õ L -Á x
Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ`
2
ѳßí»É
 y  ax ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿:
2
L
125. гßí»É
 2a  y dx  x dy -Á,
áñï»Õ
L -Á x  at  sin t  ,
L
y  a1 cos t  óÇÏÉáÇ¹Ç ³é³çÇÝ Ï³Ù³ñÝ ¿ t å³ñ³Ù»ïñÇ ³×Ç áõÕÕáõÃÛ³Ùµ:
гßí»É ٳϻñ¨áõóÛÇÝ ÇÝï»·ñ³ÉÁ.
126. гßí»É

4 
  z  2 x  3 y dS -Á, áñï»Õ S -Á
S
x y z
  1
2 3 4
ѳñÃáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ ¿` ÁÝÏ³Í ³é³çÇÝ ûÏï³ÝïáõÙ:
90
127. гßí»É
 xyz dS -Á, áñï»Õ
S -Á x  y  z  1 ѳñÃáõÃÛ³Ý
S
Ù³ëÝ ¿` ÁÝÏ³Í ³é³çÇÝ ûÏï³ÝïáõÙ:
128. гßí»É
 x
2

 y 2 dS -Á, áñï»Õ S -Á z 2  x 2  y 2 Ïáݳ-
S
Ï³Ý Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ Ù³ëÝ ¿` ÁÝϳÍ
ÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨:
129. гßí»É
z  0 ¨ z  1 ѳñÃáõ-
 xz dxdy  xy dydz  yz dxdz -Á, áñï»Õ S -Á
x  0,
S
y  0 , z  0 ¨ x  y  z  1 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñáí ϳ½Ùí³Í µáõñ·Ç ³ñï³ùÇÝ ÏáÕÙÝ ¿:
130. гßí»É
 x dydz  y dzdx  z dxdy -Á, áñï»Õ S -Á
x  z 1  0
S
ѳñÃáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ ÏáÕÙÝ ¿, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ ³é³çÇÝ ûÏï³ÝïáõÙ` y  0 , y  4 ѳñÃáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨:
131. гßí»É
 x dydz  dxdz  xz
2
dxdy -Á, áñï»Õ
S -Á
x2  y2  z 2  1
S
ëý»ñ³ÛÇ ³ÛÝ Ù³ëÇ ³ñï³ùÇÝ ÏáÕÙÝ ¿, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ ³é³çÇÝ ûÏï³ÝïáõÙ:
91
´²ÄÆÜ 7. ¸Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ
¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ.
1.
x  1dy  xydx  0 :
2.
1  y dx  x  1dy  0 :
3.
xy  y  0 :
4.
yy  y  0 :
5.
1  y dx 
6.
y  ytgx  0 :
7.
1  xdx  1  y xdy  0 :
8.
x 2 dy   y  2dx  0 :
10.

12.
1  1  ye y  0 :
2
2
xdy  0 :
9. x  1 dy   y  2 dx  0 :
3
2

xy  x y  y  0 :
11.
yy  x  1 :
13.
x 2  yy  1  1:
15.
xyy  1  x 2 :
16.
ytgx  y  5 :
17.
xy  y  y 2 :
18.
y 2 y  1  2 x :
19.
y  2 y  1ctgx :
20.
2 yytgx  y 2  3 :
21.
y ln 3 y  y x  1  0 : 22. x 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0 :
14.
xy
2
92
 

 x dx  y  x 2 y dy  0 :
¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëݳíáñ ÉáõÍáõÙÁ,
áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ.
23.
ydx  ctgxdy  0 ,
24.
y  y cos 2 x ln y ,
 
y   1 :
3
y   1 :
25.
y2  x2 y  0 ,
y 1  1 :
26.
21  e x yy  e x ,
y0  0 :
27.
1  x dy  ydx  0 ,
y1  1 :
28.
y sin x  y ln y ,
 
y   e :
2
29.
y cos x 
y
,
ln y
y0  1:
30.
yctgx  y  2 ,
y0  0 :
2
¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ.
31.
 y  xdx   y  xdy  0 :
32.
x  y dx  xdy  0 :
33.
8 y  10xdx  5 y  7 xdy  0 :
34.
xy  y  x 2  y 2 :
36.
y 
38.
y  xy  y ln
35. y 
y2
 2:
x2
37.
x
39.
y  xy  x  yy :
2
 y 2 dx  xydy  0 :
40.
93
y y
ln :
x x
x
:
y
ydy  x  2 y dx  0 :
41.
x  y ydx  x 2dy  0 :
42.
y
y
 cos :
x
x
2
2
45. x  y dx  2 xydy  0 :
43.
y 

x
2

 2 xy dx  xydy  0 :
44.
xyy  y 2  2x 2 :


46. xy  2 y 
y
y
47. xy ln  x  y ln :
x
x
49. y 
y 2  4x2
:
2 xy

xy :
48. y 
x3  y 3
:
xy 2
50. y 
xy  y 2
:
2 x 2  xy
¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëݳíáñ ÉáõÍáõÙÁ,
áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ.
51.
y 1  1 :
xdy  ydx  ydy ,

:
2

y 1  :
2
y 1 
y
y
 sin ,
x
x
y
53. xy  y  xtg ,
x
52.
y 
54.
xy  xe  y ,
55.
xy  y arctg y  x ,
y
y1  0 :
x
x
y1  0 :
¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ.
56.
y 
y
1
 :
2x
2
57.
94
y 
2
y  x3 :
x
2
ln x
y 2 :
x
x
 x2
61. y  2 xy  xe :
59.
y 
63.
y  2 y  e 2 x :
58.
y  y  e  x :
60.
y  2 y  4 x :
62.
y 
64.
y  yctgx  sin x :
66.
y 
2y
2
 e x x  1 :
x 1
68.
y 
2
y  x:
x
69.
y 
70.
y  ytgx  ctgx :
71.
y sin x  y  1  cos x :
72.
x
74.
y cos 2 x  y  tgx :
76.
y x  y 2  y :
2

2x
y  1  x2 :
2
1 x
 1y  4 xy  3 :
65.
73.

2x
y  x x2  4 :
2
x 4
y
67. y  y  x cos x :
x
y 
y
x

:
2x  1 2x  1
y  y cos x  sin x cos x :
75.
 x  y  y  1 :
77.
y  yx  ln y  :
1
2
78. y  y   y :
x
79.
y  xy  e
1
y2
80. y  y  
:
x
x
81.
y 
95

x2
2
y2
4
yx y:
x
:
1
y2
82. y  y  
:
x
x
84. y 
86.
y 
83.
y 
4
yx y:
x
y3
85. y  yctgx 
:
sin x
1
1
y 2 2 :
x
x y
y
 x2 y4 :
x
87.
y  y  xy 2 :
¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëݳíáñ ÉáõÍáõÙÁ,
áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ.
88.
y  ytgx  2 sin x ,
y0  1 :
89.
y  yctgx  2 x sin x ,
 
y   1 :
2
2
ex
90. y  y  2 ,
x
x
1
91. y  ytgx 
,
cos x
1
ex
92. y  y 
,
x
x
1
1
93. y  y  2 ,
x
x
1
2
94. y  y  x ,
x
95.
y 
2
6
y 2 ,
x
x
y1  1 :
y1  0 :
y1  1 :
y1  3 :
y 1 
1
:
2
y1  2 :
96
¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ.
98.
e
99.
x  y  1dx  e y  xdy  0 :
 y  sin y dx  e y  x  x cos y dy  0 :
x
100.
x  sin y dx  x cos y  sin y dy  0 :
101.
y  e
x
sin y dx  x  e x cos y dy  0 :


 x cos y dy  0 :
2

x
102. xy  sin y dx  
103.
x
2
2
 y 2  y dx  2 xy  x  e x dy  0 :


 x  1dy  0 :
 2y

x
104.  y  x ln y dx  
2
105.
x
106.
ye x dx  y  e x dy  0 :
107.
e
108.
ln y  5 y
109.
3x y  sin xdx  x
110.
e
2
 sin y dx  1  x cos y dy  0 :

x
sin y  x dx  e x cos y  y dy  0 :
2
x

2
x

sin 5 x dx    2 y cos 5 x dy  0 :
y


3

 cos y dy  0 :
 ye x  3dx  e x  xe y  2dy  0 :
97
111.
e y dx  xe y  2 y dy  0 :
x cos 2x  1dx  x2 sin 2 ydy  0 :
113. ¶ïÝ»É 0 ;  2 Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ Ïáñ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ
112.
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ
3 -áí Ù»Í ÉÇÝÇ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÇó:
114. ¶ïÝ»É
 1 ; 2
Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ Ïáñ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ
³Ý·³Ù Ù»Í ÉÇÝÇ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ ³µëóÇëÇó:
115. ¶ïÝ»É
0 ; 3
2
Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ Ïáñ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ
Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ
³Ý·³Ù Ù»Í ÉÇÝÇ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÇó:
2
 
116. ¶ïÝ»É 0 ; 1 Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ Ïáñ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ ѳí³ë³ñ ÉÇÝÇ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÏñÏݳå³ïÇÏÇÝ:
117. ¶ïÝ»É Ïáñ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ 2 ³Ý·³Ù Ù»Í ÉÇÝÇ ³Û¹
Ï»ïáí ¨ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ
³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏóÇó:
118. ¶ïÝ»É Ïáñ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ³ÛÝ Ñ³ïí³ÍÁ, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ Ïááñ¹Çݳï³Ï³Ý
³é³ÝóùÝ»ñÇ ÙÇç¨, ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïáõÙ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ѳí³ë³ñ Ù³ë»ñÇ:
119. ¶ïÝ»É
1 ; 0 Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ Ïáñ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»-
ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ Oy ³é³ÝóùÇó ÏïñáõÙ ¿ ³ÛÝåÇëÇ Ñ³ïí³Í, áñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇó ÙÇÝ㨠ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÁ »Õ³Í
Ñ»é³íáñáõÃÛ³ÝÁ:
98
120. ¶ïÝ»É
1 ; 0 Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ Ïáñ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»-
ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ Oy ³é³ÝóùÇó ÏïñáõÙ ¿ ³ÛÝåÇëÇ Ñ³ïí³Í, áñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ ßáß³÷Ù³Ý Ï»ïÇ ³µëóÇëÇÝ:
¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ.
121.
yx ln x  y :
123.
xy  y  x  0 :
125.
x3 y  x 2 y  1 :
127.
1  x y  2xy  0 :
129.
y 
131.
122.
124.
y  ytgx  sin 2 x :
126.
2
128.
1
y  1 :
x
ytgx  y  1:
y 
y
 x:
x
x  3y  y  0 :
1
y  xe x :
x
130.
y 
y  2 x y  0 :
132.
xy  y  0 :
133.
2 yy  1   y
134.
yy   y  0 :
135.
ytgy  2 y
136.
2

y
y 
137.
yy  1:
y
138. y  2 yy  0 :
139.
 y  1y  2 y2 :
140.
141.
y  5 y  6 y  0 :
2
2
2
:
:
142.
99
2
:
2 yy   y
y  2 y  y  0 :
2
:
143.
y  2 y  3 y  0 :
144.
y  4 y  4 y  0 :
145.
y  2 y  3 y  0 :
146.
y  4 y  4 y  0 :
147.
y  25 y  0 :
148.
y  2 y  2 y  0 :
¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëݳíáñ ÉáõÍáõÙÁ,
áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÇÝ.
149.
y  4 y  3 y  0 ,
y0  6 ,
y0  10 :
150.
y  4 y  29 y  0 ,
y0  0 ,
y0  15 :
151.
4 y  4 y  y  0 ,
y0  2 ,
y0  0 :
y  2 y  10 y  0 ,
 
y   0 ,
6
 
y   e 6 :
6
152.

¶ïÝ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ.
153.
y  y  5x  3 :
154.
y  3 y  2 y  x 2 :
y  2 y  3 y  x  2e3 x : 156. y  4 y  5 y  2 cos x  sin x :
157. y  4 y  4 y  cos x :
158. y  4 y  13 y  2 x  1 :
155.
159.
y  y  e2 x :
160.
y  4 y  sin x :
161.
y  4 y  8x3 :
162.
y  3 y  2 y  e x :
163.
y  y  5x  3 :
164.
y  3 y  2 y  x 2 :
100
165.
y  y  2 y  6 x 2 :
166.
167.
y  4 y  5e x :
y  4 y  13 y  13x 2  5x  15 :
169.
y  2 y  2 y  2 x :
170.
y  7 y  12 y  x :
171.
y  y  x  1:
172.
y  5 y  4 y  e4 x :
173.
y  6 y  9 y  e3 x :
174.
y  y  x  2e x :
168.
y  4 y  4 y  169 sin 3x :
Î³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñÇ í³ñdzódzÛÇ »Õ³Ý³Ïáí
ÉáõÍ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ.
175.
y  4 y  4 y  e2 x ln x :
177. y  2 y  y 
179.
ex
4  x2
:
y  4 y  tgx :
1
:
cos x
ex



y

2
y

y

183.
:
x
1
185. y  4 y 
:
sin 2 x
181.
y  y 
1
:
cos 3 x
1
178. y  4 y 
:
cos 2 x
176.
y  y 
180.
y  y  ctgx :
182.
y  y 
1
:
sin x
1
:
sin x
ex



y

2
y

y

186.
:
x2  1
184.
101
y  y 
ÈáõÍ»É ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á.
 dx
 dt  y  7 x
187.  dy
  2 x  5 y
 dt
 dx
 dt  2 x  y
188.  dy
  3x  4 y
 dt
 dx
 dt  x  3 y
189.  dy
  3x  y
 dt
 dx
 dt  y  sin t
190.  dy
 x
 dt
 dx 3t
 dt  e  y
191.  dy
  2e3t  x
 dt
 dx
 dt  x  y
192.  dy
  x yt
 dt
 dx
t
 dt   x  y  e
193.  dy
  x  y  et
 dt
 dx
 dt  x  2 y
194.  dy
  x y
 dt
102
ä²î²êʲÜܺð
´²ÄÆÜ 1.
1
1
1
1
1
: 22. : 23. 1 : 24. : 25. : 26. : 27. 4 : 28. 2 : 29. 1 :
3
3
3
4
2
1
1
30. 1 : 31. 0,1 : 32. : 33. 3 : 34.  : 35.
: 36.  1 : 37.  1 :
5
2
1
1
1
38.
: 39. 0 : 40. 0 : 41.
: 42.
: 43. 0 : 44. 0 : 45. 1 :
3
2
3
1
1
1
46. 
: 47.  32 : 48. 0 : 49.
: 50.  : 51. 0 : 52. 2 :
32
2
2
1
1
1
1
3
53.  : 54.  : 55.  : 56. 1 : 57. 3 : 58. : 59. 0 : 60. :
3
2
2
2
2
1
3
1
1
1
1
61.
: 62.
: 63. 1 : 64.  : 65.
: 66. : 67.
: 68.
:
4
4
2
4
3
2
1
2
9
5
1
69.
: 70.
: 71. 1 : 78.  : 79. 1 : 80.
: 81. 0 : 82. :
9
16
2
3
2
1
83. 4 : 84.  : 85.  : 86.
: 87. 1 , »Ã» x   ;  1 , »Ã»
2
1
1
1
1
1
x   : 88. : 89. 1 : 90.  : 91. : 92. : 93.
: 94. 3 :
4
2
6
12
2
1
1
3
95.
: 96.
: 97.
: 98. 4 : 99. 2 : 100. 2 : 101. 0 : 102. 1 :
6
4
2
3
1
4
1
1
103.
: 104. 3 : 105.
: 106. : 107. 12 : 108.  : 109.
:
2
3
9
2
2
1
1
1
1
110.
: 111. : 112.  6 : 113. 2 : 114. 
: 115. 1 : 116.
:
4
2
56
12
21.
103
1
7
5
4
1
: 118.
: 119.
: 120.  1 : 121.  : 122.
:
4
2
3
4
5
1
1
123.
, »Ã» x  0 ;  , »Ã» x  0 : 124. 0 : 125.  : 126. :
4
2 x
1
3
3
a
1
5
127. : 128. : 129.  : 130. 4 : 131.  : 132. : 133. :
4
2
2
2
3
2
1
2
134. 2 : 135. 0 : 136. 3 : 137.
: 138.
: 139. 0 : 140. 0 :
3
3
1
1
1
1
5
141.  : 142. 1 : 143.
: 144.
: 145.
: 146.  :
2
2
3
144
2
1
2
7
147.
: 148. 2 : 149. 4 : 150. 3 : 151. k : 152.
: 153.
:
5
2
54
25
1
1
154.
: 155. 9 : 156.
: 157.   : 158.
: 159. 0 : 160. 0 :
2
2

3
1
1
2
2
2
161. 2 : 162.
: 163.
: 164. : 165.
: 166.
: 167.
:
6
3
3
3
3
2
1
1
1
168.  : 169. 3 : 170. : 171.
: 172.  2 : 173. 1 : 174.
:
8
2
4
1
1
1
175. 1 : 176.
: 177. 2 : 178.  : 179. 0 : 180.  :
3
2
4 2
1
1
2

181. cos  : 182.  sin  : 183. 
: 184. : 185. : 186.
:
2
3
2
2
1
2
2
187.  4 : 188.
: 189.  : 190. 1 : 191. 0 : 192. 
: 193.
:


3
117.
194.
1 : 195.  : 196. 
2
: 197.
4
104
3 : 198. 
2
1
: 199.
:
4
2
1
1

: 202. 3 : 203.
: 204. 2 : 205.
: 206.  2 :
2
2
2
1
2
2
1
207. 1 : 208.  : 209.
: 210.
: 211.  1 : 212. : 213. 1 :
2
2

3
1
6
6
214. 0 : 215.   : 216. 0 : 217. e : 218. : 219. 1 : 220. e :
e
5
2

5


4
2
221. 0 : 222. 0 : 223. e : 224. 0 : 225. e 3 : 226. e : 227.   :
2
1
10
10
3
1
228. e : 229. e : 230. e : 231. e : 232. e : 233. 3 :
e
1
1
234. e : 235. e : 236. e : 237. e : 238. e : 239. : 240. :
2
2
2
1
8
6
241.
: 242.  3 : 243. 4 : 244.
: 245. ln 5 : 246. ln : ln :
2
3
7
5
1
5
1
1
247. 1 : 248. : 249. 2 : 250. 2 : 251.
: 252. ln : 253. :
2
e
3
4
3
1
254. 2 : 255.
: 256. 1 : 257. e : 258. 1 : 259. e : 260.  :
2
2
sin x
1
1
261.
: 262.
: 263.
:
2
2
x
200.
0 : 201.
´²ÄÆÜ 2.
1. 6 x  4 : 2. 
7. 
1
1
: 3.
: 4.  3 sin 3x : 5. 2 x  1 : 6. 2 x  5 :
2
x
2 x
1
2

:
8.
: 9.
x3
2 x3
2
4x  1
105
: 10.
3 cos 3x : 11.
2
:
cos 2 2 x
12.  ctg x : 13.
2
2
17.
1
33 x  1
3
3 x
 ex
: 18.
21.
e  1
24.


2 x  x  8
:
x  4
28 x 2 x  1 : 22.
e 2 x 1
x
1  x2
2
2
3 x2
9
6
2
3
: 16.
3
2 3x  2

:

: 19. 303x  7  : 20. 30 x 2 2 x3  1 :
2
x
2
1
2
: 14. 5tg x : 15.
3
25.
:
x2
2
23.
4
2 x2  x  1
1  x2
:


 6arctg x  x  :

1  x 

3
tg 3 x
x
 3x 2  21 x ln 2 : 28. 

26. arcsin x : 27.
2
cos x
1  x2
x2

1
e x
2
1  2 x 2 ln x : 30.  xe 2  2 :
 cos 1  x : 29.
2
x
1
1
ln x
sin 2 x
 cos 2 x : 32.
31. 2 ln 2  2
: 33. 2 sin 
x
x
x 1  ln 2 x
2 x  3 sin 3x
1
 4 sin 3 x cos x : 34.
: 35.
:
2
x1  ln x 
x  cos 3x
sin 2 x
x 1
2 x
cos  2 : 37. 2 sin 22 x  1 : 38.
36. sin
:
3
3 x
sin 2 x  3
1
1  4 sin 4 x
2

39.
: 40.
: 41.
x  cos 4 x
x2  a2
1  2 x  2 x2
2



6
1
3
3

: 43. 8 sin 2 x 1 
2
2 : 42.
cos
3
x
x
2 x 1  x 
106
 cos2 x  1 
3
: 44.
 cos 2 x  4 xtgx 

 2 x cos 2 x  :


1
x
: 45. e 
x 4x2 1
1
2x
2tg 2 2 x
1


46.
: 47.
: 48.
:
2 2
2
sin x
cos 2 x
cos x
x  1 x 2  2 x
x arcsin x
1
1
1

49.
: 50.
:
51.
: 52.
:
3
2
cos x
cos x sin x
sin x
1 x
1
3
1
3
3
53. 
: 54.
: 55.
: 56. 121  sin x  
2
x 9  ln x
cos x
2 x  x2
1
 sin 2 x cos x : 57. 4 sin 8 x  2  4 3 : 58.  6 x cos 2 2 x  1 
2 x
2 x

 sin 2 x  1  2 xe
 x2

: 59. 
3xe x  1  e2 x arccos e x
3x3 x  1  e2 x
:
2
1
x 3
x 3 3
2 x ln 2 2  x 2  4tg 3 x
ctg
 ln sin
 : 61.

60.
:
12
4 
4 
2  x2
cos 2 x
21  sin x  3
 ln x  cos x  : 63. 4ctgx  ln 3 sin x  42 :
62.
x  cos x
x
x
x
e  xe  1
2
6
7ctgx  1  ln sin x  
64.
:
65.
:
2
33 x 2
93 xe x  x 

1  sin 2 x e x
3

66.
: 68.  cos xsin x 
 e : 67.
2
x  sin x 2 x
x 1  ln 2 x
ex
tgx
1  cos x
3
x



: 69.
: 70.  cos sin  
2
cos x x  sin x
4
2

1  e2 x
ln x
3 x
107
x
x
41  2 cos 2 x  3

 sin 2 sin   cos : 71.
 ln x  sin 2 x  :
2
2
x  sin 2 x

1 
x
x
2x
x
 e x 1  x  :
72.  sin  2 sin   cos  2e : 73.
2
3 
3
3
1 x
4
1
sin 2  2 ln x  2


tg
1


 3:


:
75.
x
x2
x
x

74.

76.
2ctgx
2tgx  sin 2 x
 sin x
1
:
77.
:
78.
:
tg
cos
x

ln 2
cos 2 x
cos 2 cos x 
1 x
79.
2
tg 2 x
1  sin 2 x


: 80.
:
2
cos x 2 x  sin 2 x
x2  1 1  2 x
x

 

1

1 1
: 82. 
 e x  :
2
x
2 x x

x cos x
2 cos x
3 x
2

83. ctg
: 84.
: 85. 2  15 cos x  sin x : 86. 3
2
2
sin x
3 sin x
81. 1  6 x sin x  3x cos x  3x 
3

3 sin x
: 87.
cos 4 x
89.
92.
2
5
1
: 88.
:
x 1  ln 2 x
1  25 x 2  arcsin 5 x
30 ln 2 2 x  3
tg 3 x : 91. x x 1 ln x  :
: 90.
2x  3
sin x x ln sin x  xctgx  :
94. cos x 
sin x

2
 sin x

 cos x  ln x  :
 x

sin x
93. x 
cos x ln cos x  sin xtgx  : 95. 1  1 
 x
x
  1
ln 1   
  x

x
1 
2
x


arctgx
ln
arctgx

y

 
:
96.
:
97.


2
1

x
arctgx
1  x 
 3x



108

1
2x


x  25x 2  19 x  20
3t


 3ctgx  : 98. 
: 99.  2e :
2
4
5
1 x 1 x
x  1 x  3

t
1
b
2
100. 5t : 101.
: 102. ctg
: 103.  ctgt :
a
2
2 t sin 2t
cos t  sin t
t
 x2
104.  tgt : 105.
: 106.  ctg : 107.  2 xe dx :
cos t  sin t
2
2
 dx
3x
2tgx
dx : 110.
dx : 109.
108.
2
2 3
x : 111. ln xdx :
cos x
cos x
2 sin
2
3
1
a2

112. ctg x  1dx : 113.
: 114.
: 115. 2 : 116.
:
2
4
b2
1
1
1
117.   : 118.   : 119.
: 120. 0 : 121.
: 122.  :
6
2
2
1
1
1
123.
: 124. 2 : 125. 0,18 : 126.  : 127. 2 : 128.  :
2
20
9
1
3
1
129.  : 130.
: 131. 2 : 132.
: 133. 0 : 134.
: 135. 4 :
3
9
e
9
1
1
9
136. 1 : 137. 1 : 138.
: 139.
: 140.
: 141.
: 142. 2 :
6
2
2
14
15
1
1
1
6
143.  : 144.  : 145.  : 146.  : 147.
: 148.
:
2
7
4
3
8
2
149. 0 : 150. 1 : 151. 1 : 152.
: 153. 0 : 154. 0 : 155. 1 :
3
1
156. 0 : 157.  2 : 158. 1 : 159.
: 160. 0 : 161. 0 : 162.  1 :
2
109
163.

8
1
2
1
: 164.
: 165. : 166.
: 167. 2 : 168.  2 : 169. 1 :
2
3
2
3
2
: 171. 1 : 172. 1 : 173. e : 174. 1 : 175. 1 : 176. 1 : 177. 1 :
3
178. 1 : 179. 1 : 180. e : 181.  ;  1 ¨ 3;    ³×áõÙ ¿;
 1; 3 Ýí³½áõÙ ¿: 182.  ;  1 ¨ 1;   ³×áõÙ ¿;
 1; 1 Ýí³½áõÙ ¿: 183.  2; 0 ¨ 3;    ³×áõÙ ¿;
 ;  2 ¨ 0; 3 Ýí³½áõÙ ¿: 184. 0;    ³×áõÙ ¿:
1

185.  ;    ³×áõÙ ¿: 186. 0; 1 Ýí³½áõÙ ¿:  ;  
e

³×áõÙ ¿: 187.  ;  1 ¨ 0;    ³×áõÙ ¿;  1; 0 
7

 7 
Ýí³½áõÙ ¿: 188.   ;  ¨ 1;    ³×áõÙ ¿;  ; 1
3

 3 
Ýí³½áõÙ ¿: 189.  ; 1 ¨ 3;    ³×áõÙ ¿; 1; 3 Ýí³½áõÙ
¿: 190.  ; 1 ³×áõÙ ¿ 1;    Ýí³½áõÙ ¿: 191. 0; 1 ¨
1; e Ýí³½áõÙ ¿: e;    ³×áõÙ ¿: 192.  ; 0 ¨
2;    Ýí³½áõÙ ¿: 0; 2 ³×áõÙ ¿: 193.  ;   
1
1


;  ³×áõÙ ¿:
³×áõÙ ¿: 194.  0;
Ýí³½áõÙ
¿;


2

2

195. 0; 1 Ýí³½áõÙ ¿; 1;    ³×áõÙ ¿: 196.  ;  1 ¨
1;    ³×áõÙ ¿;  1; 1 Ýí³½áõÙ ¿: 197.  ; 0  ¨
170.
0; 1
Ýí³½áõÙ ¿;
1;   
110
³×áõÙ ¿: 198.

 0;

1 

e
 1

;  ³×áõÙ ¿: 199.  1; 0 ³×áõÙ ¿

 e

0; 1 Ýí³½áõÙ ¿: 200.  ;  3 Ýí³½áõÙ ¿; 3;   
1
³×áõÙ ¿: 201. ymax  16 , »ñµ x  1 ; ymin  15 , »ñµ
4
23
1
3
x  : 202. ymin  , »ñµ x  1: 203. ymax 
, »ñµ
2
3
2
15
x  2 ; ymin 
, »ñµ x  3 : 204. ymin  0 , »ñµ x  0 :
2
2
205. ymax  0 , »ñµ x  0 : 206. ymin  
, »ñµ x  1 : 207.
2


ymax   1 , »ñµ x  1 ; ymin  1  , »ñµ x  1 : 208.
2
2
4
ymin  e , »ñµ x  4 : 209. ymin  12 , »ñµ x  2 : 210.
19
ymin  e , »ñµ x  e : 211. ymax 
, »ñµ x  1 ;
6
4
ymin   , »ñµ x  2 : 212. ymax  2 , »ñµ x  0 ;
3
3
ymin  4 , »ñµ x  2 : 213. ymax  1 , »ñµ x  1 ;
ymin   124 , »ñµ x  4 : 214. ymax  0 , »ñµ x  0 ;
1
2
1
ymin   , »ñµ x  1 : 215. ymax  , »ñµ x 
;
2
3
2
1
4
1
1
ymin   , »ñµ x  
: 216. ymax  2 , »ñµ x  2 ;
2
e
e
2
Ýí³½áõÙ ¿;
111
ymin  0 , »ñµ x  1: 217. ymax  
ymin  
1
e
,
»ñµ
x  1 : 218.
1
e
, »ñµ
x  1;
4
, »ñµ
e2
1
  , »ñµ
e
ymax  
x  e2 ; ymin  0 , »ñµ x  1 : 219. ymin
1
: 220. ymax  3 , »ñµ x  2 ; ymin  0 , »ñµ x  3 :
e
221. 0;  6  -Á ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿;  ; 0  ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ
áõéáõ-óÇÏ ¿, ÇëÏ 0;    ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ` ·á·³íáñ: 222.
2; 2e 2  -Á ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿;  ; 2  ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõéáõóÇÏ
¿, ÇëÏ 2;    ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ` ·á·³íáñ: 223. 0; 0  ¨
3;  81 Ï»ï»ñÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñ »Ý;  ; 0  ¨ 3;   
ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ·á·³íáñ ¿, ÇëÏ 0; 3 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ` áõéáõóÇÏ: 224.  2;  10 Ï»ï»ñÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñ »Ý;
 ;  2 ¨ 2;    ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ·á·³íáñ ¿, ÇëÏ
 2; 2  ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ` áõéáõóÇÏ: 225. 1;  1 -Á ßñçÙ³Ý Ï»ï
¿;  ; 1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõéáõóÇÏ ¿, ÇëÏ 1;    ÙÇç³Ï³Ûx
ùáõÙ` ·á·³íáñ: 226. ÞñçÙ³Ý Ï»ï»ñ ãáõÝÇ; ·ñ³ýÇÏÁ ·á·³íáñ
¿: 227.  1; ln 2 Ï»ï»ñÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñ »Ý;
 ;  1 ¨

1;   

ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ áõéáõóÇÏ ¿, ÇëÏ
ùáõÙ` ·á·³íáñ: 228.
 2;  2e
2
-Á
 1; 1
ÙÇç³Ï³Û-
ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿;
 ;  2 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõéáõóÇÏ ¿, ÇëÏ  2;    ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ` ·á·³íáñ: 229. 0; 0  -Á ßñçÙ³Ý Ï»ï ¿;  ; 0  ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ·á·³íáñ ¿, ÇëÏ 0;    ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ` áõéáõóÇÏ:
112



230.  
1

2  2 
2 
Ï»ï»ñÁ ßñçÙ³Ý Ï»ï»ñ »Ý;   ;
;e


2
2 


 2


 ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ·á·³íáñ ¿, ÇëÏ   2 ; 2 
;

¨ 

 2
2 
 2


 1 arctg 12 
 -Á ßñçÙ³Ý Ï»ï
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ` áõéáõóÇÏ: 231. 
 2 ;e



1
 1


 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ·á·³íáñ ¿, ÇëÏ   ; 
¿;   ;
2
 2


ÙÇç³-ϳÛùáõÙ` áõéáõóÇÏ: 232.  1; 0  Ï»ï»ñÁ ßñçÙ³Ý
Ï»ï»ñ »Ý;  ;  1 ¨ 1;    ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ·á·³íáñ ¿,
ÇëÏ  1; 1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ` áõéáõóÇÏ: 233. x  2 ; y  1 :
234. x  0 ; y  x  2 : 235. x  0 ; y  3 : 236. x  1 ;
x  2 ; y  1  x : 237. x  0 ; y  x : 238. y  x : 239.
x  1; y  x  1 : 240. x  2 ; y  x  4 : 241. y  0 :

242.
y   2x 
245.
y  0 : 246. y  2 : 247. x  2 ; x  1 ; y  x  1 :
2
: 243. y  x   : 244.
x  1; y  x  2 :
y  x : 249. x  0 ; y  x  2 : 250.
3

y  2 x : 251. y  x : 252. y   x  1 : 253. y  1 ;
2
2
y  x  1 : 254. x  0 ; y  1  x : 255. y  0 ; y  2 x :
256. y   x ; y  3x : 257. x  0 ; y  x  3 : 258. x  2 ;
y  x  1; y   x  1 :
248.
x   3;
113
´²ÄÆÜ 3.
2 x 2  12 x  6
1
2 3
1

1.
x  C : 2. C  : 3. x  2 ln x   C : 4.
x
3
x
3 x
 C : 5.
1
66 7 44 3
1
x 
x  C : 6.
arcsin x  C : 7. tgx  x  
2
7
3
3
 C : 8. C  ctgx  tgx : 9. tgx  x  C : 10. C  ctgx  x :
11. x  sin x  C : 12. arctgx 
1
 C : 13. ln x  2arctgx  C :
x
11
5
8  3x  5 : 15. C  1 8  2 x3 : 16. 2 x 2  13  C :
33
3
3
3
3
5
6
1
1  x 2 : 18. 5 x 3  2  C : 19. 2 3x  12  C :
17. C 
3
18
9
3
1
sin x
3
 C : 21. C  33 cos x : 22. ln x  2  C : 23. C 
20.
3
3
3
2x
arctg
 C : 25. 1 arctg  sin x   C :
 ln cos x : 24.
6
a
3
 a 
1
sin x
 C : 28. C 
26. x  cos x  C : 27. e
4 : 29. C 
82 x  3
1
1
 sin 1  2 x  : 30. C  ln cos 3x : 31. 1 ln sin 2 x 1  C :
2
3
2
1 13 x
2
32. ln ln x  C : 33. C  e
: 34. arcsin x  1  x  C :
3
3
1
x
ln x 2  9  arctg  C : 36. C  1 ln 1  2 cos x :
35.
2
3
3
2
2
3
3
4
x 2  4  C : 39. C  1 4  x 2 3 :
37. C  3 8  2 x  : 38.
3
2
3
14. C 







114





6
55 3
2
4  x5  C :
x  2  C : 41. x 2 1  C : 42.
5
18
2
1 4
33 4
1
sin x  C : 45.
x  1  C : 44.
C:
43.
8
cos x
4
2
2
5
3
ln x 3  C :
46. 3 sin x  C : 47. C  cos x : 48.
5
3
40.


49. 2 1  tgx  C : 50. ln e x 1  C : 51. C 
52.
1  x 
2 8
 C : 53.
16
1
ln cos2 x  1 :
2


x  ln 1  x 2   C : 54. C  ln 1  cos 2 x :
3
1
x2
1
1
x
2
arcsin

C
arctgx

C
arctg
C:
55.
: 56.
: 57.
2
2
a
6
2
x
58.
1
e
2
arctg  C : 59. C  2 1  x 2 
3
2
2

arcsin x 3 : 60. arcsin x 

1
1
arctgx 2  ln x 4  1  C : 62. arcsin x 
2
4
x
1

 C : 63. 2  x3  x 2  13   x  C : 64. arcsin 2  C :
ln 2
3

1  x2
1
2
1  9 x 2  arccos 3x  : 66. x  4 ln x  4  C :
65. C 
9
 1  x 2  C : 61.


67.
1
1

 x  ln 2 x  1   C : 68. C  x  6 ln 3  x : 69. 2 x 
2
2

 3 ln x  2  C : 70.
1
5
x  ln 2 x  1  C : 71. x  2arctgx  C :
2
4
x3
x 1
x
 x  arctgx  C : 73. ln
 C : 74. ln
C :
72.
x
x 1
3
115
75.
1 x 5
1 x2
1 2x  3
C :
 C : 77. ln
ln
 C : 76. ln
3 x2
7 x5
5
x 1
1
2x  1
1
arctg
 C : 79. arcsin x  2  C : 80. 
4
2
3
1
3
x

1
3x  1
 C : 82. 1 ln x 2  2 x 
 arcsin
 C : 81. arcsin
3
2
3
3
78.
 2  arctg x  1  C : 83. C  3  2 x  x 2  4 arcsin x  1 :
2
84.
1
3
1
2x 1 
2
cos 6 x 
 ln 4 x  4 x  17  arctg
  C : 85.
12
8
6
4 


1
1
cos 8 x  C : 86. 1 sin 2 x  1 sin 8 x  C : 87. sin 2 x 
16
4
4
16
1
 sin 8 x  C : 88. x  sin 2 x  C : 89. x  sin 2 x  C : 90. C 
16
2
4
2
4
x
x
x 
 ctg : 91. tg  x     C : 92. tg  x  C : 93. 2tg    
2
2
2 4
2 4
x
x 
 C : 94. ln tg     C : 95. ln tg  C : 96. ln 1  sin x  
2
2 4

cos 2 x
1
 ln cos x  C : 98.
6 x  sin 6 x  
 C : 97.
3
12
1
sin 3 x
 C : 100. tgx  tg 3 x  C :
 C : 99. sin x 
3
3
1 3
1
tg x  tgx  x  C : 102. tg 2 x  ln cos x  C :
101.
2
3
1
1
sin 2 x  x cos 2 x  C : 104. x sin x  cos x  C :
103.
4
2
116
3x
x2
x ln 3 1  C : 107. 
105. C  e x  1 : 106.
ln 2 3
2
3
4
1
x 
1

x
1
  ln x    C : 108.
 ln x    C : 109.  ln x    C :
3
3
2
4
4

2
x 1
x
arctgx   C : 111. x arccos x  1  x 2  C :
110.
2
2
112. 4 1  x  2 x  1 arcsin x  C : 113. xln x 1  C :
x
2
114. sin x  x cos x  C : 115. e x 2 x  2  C : 116.
x


x arcsin x  1  x 2  C : 117. xe x  C : 118. 2 x sin x 
 x 2 cos x  2 cos x  C : 119. x  12 sin x  2x  1cos x  C :




120. x ln x 2  1  2 x  2arctgx  C : 121. C  e x 2  2 x  x 2 :


3

2

1 3
x x x
2
x  1 ln 1  x      C : 123. x ln x  2 ln x  2 
3
9 6 3
2
1 2 1
x 1
1
 C : 124.
 x sin 2 x  cos 2 x  C : 125. x  x sin 2 x 
4
4
4 4
8
1
 cos 2 x  C : 126. 1 e x sin x  cos x   C : 127. C  ln x  1 :
8
2
x
x
122.

1 3
ln x 
x
x
x2
 3 ln 2 x  6 ln x  6 : 130. xtgx   ln cos x  C : 131. 
2
2
2
x
1
a
 arctgx :
 a 2  x 2  ln x  a 2  x 2  C : 132. C 
2
21  x  2
2
128.
x
2

 7 x  2 sin x  2 x  7cos x  C : 129. C 



117
133. 2 x  1  2 ln



x  1  1  C : 134.

3
 2 x  1  2 x  1  C : 135. ln
136. C 
2
7

 65 
7
x 1 



5
x  2 x 1  2
C :
x
2
11
4
: 137. 2 x  2 
ln

2
2
2x  2 x  2
 C : 138. 2

x 1 

x2 2
x2 2

x  ln 1  x  C : 139. 2arctg x  C :

2
1
3
140. 2 ax  b  m ln ax  b  m  C : 141. x  13  3x  13 
2
a
6 5
3
2
 3 ln 1  3 x  1  C : 142. x  6 x  3 x  2 x  33 x 
5
2
 6 x  6 ln x  1  C : 143. 3 3  3 ln x  1  C : 144. 2 x 
6
3
6

3

1
2  4 x x  1  C : 146. C 
6
1
1  2 x 38 76 x  1 : 147. 4 3e x  4 4 e x  1 3  C :

5928
21
 44 x  4 ln 1  4 x  C : 145.

148.


1  ex 1
6 6 5
12 5
12 5
 C:
 x  2 x  2 ln x  1   C : 149. ln

5
1  ex  1
150. C 
x2  a2
a2
x x
arcsin

a2  x2  C :
:
151.
2
2
a 2
a x
1
a
152. C  arcsin
: 153. C 
a
2
1  x2

 arcsin x : 155.
x
1  x 
2 3
3x 3
: 154.
C
x2  9
x
 C : 156. x 2  2 4  x 2 
9x
4
x
 2 arcsin  C : 157. 2e
2
x
 x 1 C :
118

158. 3 2 
3
159. xarctg
160. a ln


x2 cos 3 x  23 x sin 3 x  C :
x  x  arctg x  C :
a  a2  x2
1
a2  x2  a

 a 2  x 2  C : 161. ln
a
x
x
1
arccos 1  12 x 2 1   C : 163. 3 ln 3x 1 
2
x x
11

2
1
1
7
 ln 2 x  3  ln x  C :164. x  ln x  ln 2 x  1 
33
3
4
16
 C : 162.
2
x2  2
9
 ln 2 x  1  C : 165. ln 2  C : 166. ln x  6  C :
16
x 1
x 1 x 1
2
9
 C : 168. x  1  ln x  1  C :
167. 4 ln x  3 ln x  1 
x 1
x
x
169.
171.
172.
173.
174.
175.
x
1 1 x 1
C:
 ln
 C : 170. ln
x 2 x 1
x 2 1
2
1
2x 1
1 x  1
arctg
C :
ln 2

6 x  x 1
3
3
x 1
1
1
2x  1
ln

arctg
C :
2
3
3
3
x  x 1
1 1 x 1
ln
 arctgx  C :
4 1 x 2
1
x4
1
ln
  arctgx  C :
2
2
4 x  1 x  1
2
2 x
ln x 2  2 1
x


arctg
C :
2
2
4x  2
4 2
2


119
176.
x 1
1
1
 ln x  1  ln 1  x 2  C :
2
2 x 1 2
4




C sin x
2
x

ln tg      C : 178. ln
:
2
2
8
cos 2 x
1
x  ln sin x  cos x   C : 180. 1 arctg  2tg x   C :
179.
2
2
2

x
5tg  4
1
2
2
arctg 2tgx  C :
 C : 182.
181. arctg
3
3
2
1
tgx
2
1
arctg
 C : 184.
8  1 : 185. :
183.
3
3
2
2
1
17
4
186. 0,8 2 2  1 : 187. 2 : 188.
: 189. 
:
24
6
2
 1
2
2

 : 191. : 192. : 193. : 194. 7 : 195. 12 :
190.
8 4
3
3
4
3
1
4
2
1
196.
: 197. arctg : 198. 2 : 199.
: 200.
:
7
3
4
7
 94 3 1 3

 ln :
 1 : 204.
201. e  e : 202. 1 : 203.
30
2 2
2
2
e 1

2
1 :
205. 1 : 206.
: 207.   : 208. 1  : 209.
e
4
2
1  2e3
3
1
210.  : 211. 2 
: 212. e  2 : 213.
:
9
e
4 ln 2

3


214.
:
215. 2  : 216. 7  ln 2 : 217. 4  2 ln 3 :
3
2
2
218. 1,5ln 4  1 : 219. 22  arctg 2 : 220. 2  ln 2 :
177.







120

5
8
 2 ln 2 : 222. : 223. 21  ln 2 : 224. 4 :
3
3
ln 1,5
468

225. 
: 226. ln 1,5 : 227.
: 228. 2  :
2
7
2
464 2
ln 6


229. ln 1,5 : 230.
: 231.
: 232. 3  : 233.
:
15
6
5
3
2
1


arctg
234.
: 235.
: 236. ln 2 : 237.
:
12
3 3
5
5
221.


3
3
 2
 ln 2  3 :
: 240.
: 241.
2
4
16
4
7
a 4
3
1 :
242. 4   : 243. 2  ln : 244.  : 245.
: 246.
8
2
2 3
238. 1 
247.

: 239.

1 : 248.
2
: 249. î³ñ³Ù»ï: 250. î³ñ³Ù»ï: 251.
1:
2
1
252. 1 : 253.
: 254.  : 255.
: 256. 1 : 257.
: 258. î³2
8
4
1
ñ³Ù»ï: 259.
, »Ã» p  1 ; ï³ñ³Ù»ï ¿, »Ã» p  1 : 260.
p 1

ln 2

 : 261. î³ñ³Ù»ï: 262.
: 263.
: 264.
: 265. î³2
4
5

ñ³Ù»ï: 266.
271.
276.

2
1 : 267. ln
: 272.
2 1
2 1
: 268.
1
1
: 269.  1 : 270.
:
4
2
4 : 273. î³ñ³Ù»ï: 274.
1 : 277. 1 : 278.


2
: 275. 2 ln 2 :

16
1
8
3
: 279. : 280. 3 2  1 : 281.
:
4
3
3
121
4
2
32
32
: 284.
: 285. 50 : 286.
: 287. 1,5 :
3
3
3
3
1
1
2
288. 21 : 289. 10 : 290. 4,5 : 291. 2 : 292. : 293. 8 :
3
3
3
7
4
294. 9 : 295. 8 ln 2 : 296. 4,5 : 297.
: 298. 4,5 : 299.
:
3
12
5
125
8
 26

 ln 3  : 304.
300.
: 301.
: 302. 4,5 : 303. 8
:
3
12
6
 3

1
5
305. 1 : 306. ln 2 : 307. e   2 : 308. 8 : 309. 5
:
e
24
33 5
30  8 ln 2

 e : 312.
310. 13,5 : 311.
: 313. 2  :
2
ln 2
2
3

4
 
314.
: 315. e  e : 316.
: 317. 13,5 :
3
3
2
2
1
1
2
2
318. e  : 319. 21 : 320. 10 : 321. 25 : 322. 1 
:
8
3
3
3
3
 1
1
3
4
2
 : 324.  ln : 325. 5 10  8 : 326. :
323.
2 3
3
3
3
2
32 6
37
7
8
4
327.
: 328.
: 329. : 330.
: 331.
: 332. 36 :
3
48
9
6
3
1
9
333. 64 : 334. : 335.
: 336. 2 : 337. 3  e :
338. ab :
3
4
8
8 3
3а 2
72 3
2
339. 3a : 340.
: 341.
: 342.
: 343.
:
8
5
15
5
a 2
4 2 3
3 2

a
2
344.
: 345. : 346.
: 347. a  :
4
2
3
282.
:
283.

122

9
: 351. 9 :
2
14
2
1 2
e
352.  1 : 353. 2 : 254.  : 355. 4 : 356.
: 357. e  1:
4
2
3
3
1
1
3
1
 e   : 359. arcsin : 360. 3  ln 2 : 361. ln 3 :
358.
2
e
4
3
348.
3  5
3 
: 349. a 2  5  3  : 350.



2  12 2 
 6

362.
1
4 2
1
ln 3 : 363.
: 364.
: 365.
3
2
2


94 2
1 3
3 : 367. 1 ln : 368. 4 2  ln
7
2 2
232
2  ln 1  2 : 370.
: 371. 8a : 372. 6a :
15
a
4 3 : 374. 8a : 375. a 1  4 2  ln 2  1  4 2
2
512

512
 : 378. 12 : 379. : 380.
:
8 : 377.
15
2
15
16
16
368,8 : 382.  : 383. 8 : 384.  :
15
15
 4
3
2
4

e  1 : 386.
: 387.
: 388. 18  :
3
4
10
15
1
8
17
 : 390. 21,6 : 391. 6,4 : 392. 208  : 393.
3
3
15
2
2


h 2
 e 1
 2  : 396.
r  Rr  R 2
: 395.  
3
4
 4

366. ln 2 
369.
373.
376.
381.
385.
389.
394.
397.
2:




5 a : 398.
2 3


2
2
:
123
:

:
:
:
´²ÄÆÜ 4.
1
: 4. 1 : 5. 2 : 6. ¶áÛáõÃÛáõÝ
2
z
 3x 2 y  y 3 ;
ãáõÝÇ:
7. 0 : 8. ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ: 9.
x

z
z
z
 3 y 2  3x :
 3x 2  3 y ;
 x3  3 y 2 x : 10.
y
x
y
3
z
1
z
z

 
 ye xy ;
11.
;
: 12.
x 2 x  3 y y
x
2 x  3y
1.
3 : 2. ¶áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ: 3.
z
z

 xe x y : 13.
x
y
x
x2  y 2
;
z
y

:
y
x2  y2
z
z
 x 3 cos y  4 y 3 :
 3x 2 sin y ;
y
x
3
z
3
z
 41  2 y  1  xy  y 2 :
 4 y 1  zy  y 2 ;
15.
y
x
2
z
 30 xy 5 x 2 y  y 3  7 ;
16.
x
2
z
z 9tg 2 3x  4 y 
2
2
2
3
 3 5 x  3 y 5 x y  y  7 : 17.

;
y
x cos 2 3x  4 y 
14.








1
z
12tg 2 3x  4 y 
z

 
: 18.
;
2
y
cos 3x  4 y 
x  ln y
x
z
1
z 1 y z 1 x

  ;
 
: 19.
:
x y x 2 y x y 2
y y x  ln y 
z
y
z
x
 2
 2
20.
:
2 ;
x x  y y
x  y2
124

z
2y
z
4x


;
:
2
x 33 2 x 2  y 2 2 y
33 2 x 2  y 2
z
2y
z
2x
z
x2  y 2
 2


2
xe
22.
;
:
23.
;
x x  y 2 y x 2  y 2
x
2
2
2
2
z
z
 2 ye x  y : 24.
 e xy x  y   3x 2 y 
 y 3 ;
y
x
2
2
z
2 xy
z

 e xy x  y   x 3  3xy 2 : 25.
;
x
y
1  x 2 2  y 2
21.




z
1  x2
z
y sin x
y



e  cos ;
:
26.
2
2
2
2
y 1  x  y
x
x
x
y


z 1 sin x
1
y
z
y
y
y z
 e   cos : 27.
   tg :
 2  tg ;
y x
x
x
x x
x
x y
3
z
3 z
 30 x3 y  5 x3 y 2  1 :
  45x 2 y 2  5x3 y 3  1 ;
28.
x
x
z
y2
z
z
x2  y
x2  y

 2  e : 30.
  2 xe
29.
;
;
x 1  x 2 y 4
y
x
z 2 ln x  y  z 2 ln x  y 
z
2 xy



;
:
2 4 : 31.
x
x y
y
yx
y 1  x y
z
1
z
y


32.
;
:
x
x 2  y 2 y x 2  y 2  x x 2  y 2
y
33.
x 1
x 1
z
1
x  1 z

ctg

ctg
;
:
x
2y y
y
y
y y
125
34.
z
z
2
2


;
2x :
x y sin 2 x y
2
y sin
y
y
z
y xy
z
x y ln x : 36. u 

35.
;

x
x 2 x 1  x y
y 21  x y 

u

y
37.
u
z
u
z
u
y
40.
x

y
;
u

z
z
x2  y2  z 2
:
;
x2  y 2  z 2
3
2
2
3
2
2
z
u
 2 xye x  xy  xz ;
 3x 2   y 2  z 2 e x  xy  xz ;
y
x
3
2
2
u
u
 z 2  3x ;
 3x 2  3 y  1 ;
 2 xze x  xy  xz : 38.
y
x
u
 2 yz  1 : 39.
 2 x cos x 2  y 2  z 2 ;
x
u
 2 y cos x 2  y 2  z 2 ;
 2 z  cos x 2  y 2  z 2 :
z
u
u
 2   sin6 x  4 y  2 z  ;
 3 sin6 x  4 y  2 z  ;
y
x
x2  y 2  z 2







u
  sin 6 x  4 y  2 z  : 41. f x0;1  1 ; f y0;1  0 :
z
1
42. f x1;2  0 ; f y 1;1  : 43. f x ;4  7 :
4
2
2
 z
2 z
 cos yx   xy sin xy  : 45. 2  y 4e xy :
44.
xy
x
2 z
1
2 z
  1  2 : 47. 2   sin x  y  :
46.
xy
x
x
126
2 z
1
2z
 : 49. 2  2a 2 cos 2ax  by  :
48.
xy x
x
2 z

50.
xy
xy
2 xy  y 
3
2 2
1 sin 2 x  2 z
1
2z
 ;
 
: 51.
;
2
x
4 sin 3 x xy y
2 z
1
2 z
x




:
52.
x 2
y 2
y2
x  y2




2
2 z
2y

;
xy
x  y2


2
;
2 z 2 x  y2

2 : 68. dz  2 x  3 y dx   3xdy :
y 2
x  y2

69. dz 

x 2 dy  xydx
x

 2 x cosx
2
y
3
2 2
: 70. dz 
dx  2 ydy
:
x  y2
 y 2 dx  2 y cosx 2  y 2 dy :
xdy  ydx
2 ln x  y 
2 ln x  y 
dx 
dy :
72. dz 
: 73. dz 
x y
yx
2 x xy
xdy  ydx
y 1
dx  x y ln xdy :
74. dz 
2
2 : 75. dz  yx
x y
71.
dz 
2
2
y 

xdx  ydy


dy

dx  :

dz

:
77.
2y 
x

x2  y 2
x sin
x
xdy  ydx
dx
xdy

78. dz 
: 79. dz 
:
x  y yx  y 
1  x2 y2
ydx  xdy
1 x
80. dz 
: 81. dz  2 tg  xdy  ydx  :
y
y
y y2  x2
76. dz 
127
82.
dz  1  ln xy dx 
83. dz  y x
z
x
dy :
y
dx  x y 1  y ln x dy :
y 1
dx
y cos x
y
1 cos
y

e  sin dx  e x  sin dy : 85. dz 
2
x
x
x
x
x2  y2
y
84. dz 

x 
ydy
x2  y 2
y
 x y
2
2
: 86.
1
: 87.
x  y 1
x  y 2 :
y
y cos 2 y
x y
x
y
x
 e : 89.
88.
: 90.
:
91.
:
x y
x y
1  x cos 2 y
x
x  2 y  1 z 1


92. 2 x  2 y  z  1  0 ;
: 93. x  2 y 
2
2
1
x y 1 z 1


x  y  z 1  0 ;
 z 1  0 ;
: 94.
1
2
1
y 1 z 1
x 1



17 x  11y  5z  60 ;
:
95.
1
1
1
z7
x3 y 4



2x  z  2  0 ;
:
96.
17
11
5
x 1 y
z
x y 1 z 1
 


: 97. x  z   1  0 ;
:
2
0 1
1
0
1
x2
y  3 z 1

 
98. x  2 y  z  5  0 ;
:
2
1
1
x4 y 3 z 4


99. 3x  4 y  6 z  0 ;
:
6
3
4
128
2
2
y
2 
2  z 1 :
1
1
0
x
100. x  y 
101.
2  0;
x yz 
11
6
: 102.
x  4 y  6 z  21  0 : 103.  1 ; 7  -Á
4 6
101
 1 
: 104.   ; 1 -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ
24
 12 
49
1 1

: 105.  ;  -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin 
24
6 6
ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin  
Ï»ï ¿, zmax
1
: 106. 0; 0  -Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin  0 : 107.
108
 2;  1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin  2 : 108. 0; 0 -Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmax  10 : 109. 1; 0  -Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿,

zmin  1 : 110.  1; 1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin  0 : 111.
1
5; 5 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin  125 : 112. 1;  -Á ÙÇÝÇ 2
ÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin  4 : 113.  2; 2  -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿,
2
z max  8 :
114. 1; 1 -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmax   :
3
7
1 4
 4 1
115.  ;  -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin   : 116.   ;  -Á
3
3 3
 3 3
4
ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin   : 117. 3; 3 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï
3
¿, zmin  6 3 ;  3; 3 -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmax  6 3 :
118. 0; 3 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin  9 : 119. 1; 4  -Á ÙÇÝÇ-



129

ÙáõÙÇ Ï»ï ¿,
zmin  21 : 120. 1; 3 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿,
zmin  10  18 ln 3 : 121.


2 ;  2 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿,
2
zmin  8 : 122. 0;  2 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin   : 123.
e
4; 4 -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmax  15 : 124. 4;  2 -Á ÙÇÝÇ-
zmin  4 :
125. 6; 3 -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï
¿, zmax  27 ; 0; 0  Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ùëïñ»ÙáõÙ ãáõÝÇ:
126. 2; 1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmin  28 ;  2;  1 -Á Ù³ù1 1
ëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmax  28 : 127.  ;  -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï
4 2
1
¿, z max 
: 128. 21; 20  -Á Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, zmax  282 :
64
ÙáõÙÇ Ï»ï ¿,
´²ÄÆÜ 5.
1.
1 : 2.
10.
11
23
1
1
1
3
3

: 3.
: 4.
: 5.
: 6.
: 7.
: 8.
: 9.
:
45
3
2
4
2
4
18
4
 ln 2 : 11.

4
: 12.
1 : 13.

4
: 14. 1
2 : 27. ¼áõ·³Ù»ï:
28. î³ñ³Ù»ï: 29. î³ñ³Ù»ï: 30. ¼áõ·³Ù»ï: 31. î³ñ³Ù»ï:
32. ¼áõ·³Ù»ï: 33. ¼áõ·³Ù»ï: 34. ¼áõ·³Ù»ï: 35. î³ñ³Ù»ï:
36. ¼áõ·³Ù»ï: 37. î³ñ³Ù»ï: 38. ¼áõ·³Ù»ï: 39. ¼áõ·³Ù»ï:
40. ¼áõ·³Ù»ï: 41. ¼áõ·³Ù»ï: 42. ¼áõ·³Ù»ï: 43. ¼áõ·³Ù»ï:
44. î³ñ³Ù»ï: 45. ¼áõ·³Ù»ï: 46. ¼áõ·³Ù»ï: 47. ¼áõ·³Ù»ï:
48. ¼áõ·³Ù»ï: 49. ¼áõ·³Ù»ï: 50. ¼áõ·³Ù»ï: 51. î³ñ³Ù»ï:
52. î³ñ³Ù»ï: 53. ¼áõ·³Ù»ï: 54. ¼áõ·³Ù»ï: 55. î³ñ³Ù»ï:
56. ¼áõ·³Ù»ï: 57. î³ñ³Ù»ï: 58. î³ñ³Ù»ï: 59. ¼áõ·³Ù»ï:
60. ¼áõ·³Ù»ï: 61. î³ñ³Ù»ï: 62. ¼áõ·³Ù»ï: 63. î³ñ³Ù»ï:
64. ¼áõ·³Ù»ï: 65. î³ñ³Ù»ï: 66. î³ñ³Ù»ï: 67. î³ñ³Ù»ï:
68. ¼áõ·³Ù»ï: 69. ¼áõ·³Ù»ï: 70. ¼áõ·³Ù»ï: 71. ¼áõ·³Ù»ï:
72. ¼áõ·³Ù»ï: 73. î³ñ³Ù»ï: 74. î³ñ³Ù»ï: 75. î³ñ³Ù»ï:
130
76. î³ñ³Ù»ï: 77. ¼áõ·³Ù»ï: 78. ¼áõ·³Ù»ï: 79. î³ñ³Ù»ï:
80. î³ñ³Ù»ï: 81. ¼áõ·³Ù»ï: 82. ¼áõ·³Ù»ï: 83. ¼áõ·³Ù»ï:
84. ¼áõ·³Ù»ï: 85. î³ñ³Ù»ï: 86. ¼áõ·³Ù»ï: 87. î³ñ³Ù»ï:
88. ¼áõ·³Ù»ï: 89. î³ñ³Ù»ï: 90. î³ñ³Ù»ï: 91. ¼áõ·³Ù»ï:
92. ¼áõ·³Ù»ï: 93. î³ñ³Ù»ï: 94. î³ñ³Ù»ï: 95. î³ñ³Ù»ï:
96. ¼áõ·³Ù»ï: 97. ¼áõ·³Ù»ï: 98. ¼áõ·³Ù»ï: 99. ¼áõ·³Ù»ï:
100. î³ñ³Ù»ï: 101. ¼áõ·³Ù»ï: 102. ¼áõ·³Ù»ï: 103.
¼áõ·³Ù»ï: 104. î³ñ³Ù»ï: 105. î³ñ³Ù»ï: 106. î³ñ³Ù»ï:
107. ¼áõ·³Ù»ï: 108. ¼áõ·³Ù»ï: 109. ¼áõ·³Ù»ï: 110. ¼áõ·³Ù»ï: 111. ¼áõ·³Ù»ï: 112. ¼áõ·³Ù»ï: 113. ¼áõ·³Ù»ï:
114. ¼áõ·³Ù»ï: 115. î³ñ³Ù»ï: 116. ¼áõ·³Ù»ï: 117. î³ñ³Ù»ï: 118. ¼áõ·³Ù»ï: 119. î³ñ³Ù»ï: 120. ¼áõ·³Ù»ï: 121.
î³ñ³Ù»ï: 122. ¼áõ·³Ù»ï: 123. ¼áõ·³Ù»ï: 124. ¼áõ·³Ù»ï:
125. ¼áõ·³Ù»ï: 126. ¼áõ·³Ù»ï: 127. ¼áõ·³Ù»ï: 128. î³ñ³Ù»ï: 129. ä³ÛÙ. ½áõ·³Ù»ï: 130. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 131.
´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 132. î³ñ³Ù»ï: 133. ä³ÛÙ. ½áõ·³Ù»ï: 134.
ä³ÛÙ. ½áõ·³Ù»ï: 135. ä³ÛÙ. ½áõ·³Ù»ï: 136. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 137. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 138. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 139. ´³ó.
½áõ·³Ù»ï: 140. î³ñ³Ù»ï: 141. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 142. ä³ÛÙ.
½áõ·³Ù»ï: 143. î³ñ³Ù»ï: 144. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 145. ä³ÛÙ.
½áõ·³Ù»ï: 146. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 147. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 148.
ä³ÛÙ. ½áõ·³Ù»ï: 149. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 150. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 151. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 152. ´³ó. ½áõ·³Ù»ï: 153.  1; 1 :

154.
 ;   :
155.
 1; 1 :


 1 1
;  : 157.  1; 1 :
 2 2
156.  

 1 1
158.   ;  : 159.  1; 1 : 160.
 10 10 
 ;   : 161.  2; 2  :
1 1
; :
 2 2
166.  ;    : 167.  1; 1 : 168.  2; 2  : 169.  1; 1 :
 1 1
170.  ;    : 171.   ;  : 172.  3; 3 :
 3 3
162.
 10; 10 : 163.  2; 2 : 164.  3; 3 : 165.  
131
173.
 ;   : 174. 



3; 3 : 175.  5; 5  :


2 : 177.  3;

3  : 178.  3; 3 :


5 :
179.  ;    : 180.  1; 1 : 181.   5;


182.  2; 2  : 183.  1; 1 :
184.  1; 1 : 185.  2; 2 :
176.  2 ;
186.
189.
192.
196.
200.
 1
1 
;

 : 187.  1; 1 : 188.  2; 2  :
2
2


5 5
 ;   : 190.   ;  : 191.  ;   :
 2 2
 3; 3 : 193.  4;  2 : 194. 0; 4  : 195. 3; 5 :
 1; 5 : 197.  2; 8 : 198.  ;   : 199.  1; 3 :
 9;  7 : 201.  2; 4 : 202. 2; 8 : 203.  7;  3 :
 ; 3   1;  : 205. e1; e  :


206.  ;  1  1;    : 207. 0;    :
204.
14  16


   ;  : 209. 0;    :
3 3


210.  ; 1  3;    : 211.  6 ;  2  2; 6 :
10   8


    ;  :
212. x  0 : 213. x  1 : 214.   ;
3  3


1
a
 1 
215. e ; e : 216.
: 217.  ln 1  x  : 218.
:
2


1  x 
a  x 2
2a
x1  x 
a
219.  x  a ln
: 220.
:
3 : 221.
xa
1  x 3
a  x 
208.   ;

132

 2x
x
222.
2 : 224.
2 : 223.
x  1
1  x2


225.
  1
n1
n1

x 2n1
: 226.
n  1!

2 x n1
:

n1 n  1!

  1 3
n
n 0
2 n 1
x 2 n 1

:
2n  1!
n

x
n 1 n x



1
2
: 228. 
:
2n!
n
n 0
n 1
2 n1 2 n


xn
x
n1 2
n1
229. 1    1
: 230. ln 10    1
:
2n!
n 10n
n1
n1
n 1

x2
1 4 4
n 1 x


1

 2
x 

1
231. 
: 232.
n
3
3

2
!
n 1
4  sin 2n  1x
1  4  7 3n  2 2 n

x   : 233. 
:
 n1 2n  1
3n  n!

4  sin 2n  1x
n sin nx
234. 2   
: 235.  2  1
:
n
 n1 2n  1
n1

n n
227.   1 2
236.
2n
n


1 4
2
cos 2n  1x
n cos x
:
237.
:
 2  



4

1

2 n
3
n2
2n  12
n1
n 0


cos nx
sin nx
4 2

4

4


238.
:


2
n
n
3
n1
n1
2

2 
2
n1  
n
 3  1  1  
 sin nx : 240.
239.   1 
 n1
n
n





sin 2nx
:
2n
n1
nx
sin


2
cos 2n  1x
10
n
5 :
   1
241.
: 242.

2
 n0 2n  1
n
 n1

sin 2nx
8  cos2n  1x
2
243.
: 244. 
:

2
 n1 2n  1
2n
n1
133


  2  1
245.
n1
n1
sin nx
4  cos2n  1x
: 246.   
:
n
 n  0 2n  12

sin 2nx
247. 
: 248.
2n
n 1
 12 2 2 
 sin nx :
 1  3 

n
n
n 1



n
´²ÄÆÜ 6.


14
2
2 2  1 : 2. : 3. 9 : 4.
1.
5
15
2
a
  4 : 10.
8. 2 : 9.
4
a 2
1
: 5.  1 : 6.
: 7.  11,2 :
2
2
e 1
506

: 11.
: 12.
:
15
6
2
x
y
3
3 y
2
0
3
13.
2
0
0
9
2
  dx
3
x
2
 f x, y dy : 15.  dy  f x, y dx   dy  f x, y dx :
2
x 3
0
0

y
2
2
3
1
 dy  f x, y dx   dy  f x, y dx :
16.
0
y
1 x
0
0
  dx
0
2
y 3
0
1 x 2
1
0
 dx  f x, y dy 
3
3
1
17.
y
2
3
2
y
19.
2
 dy  f x, y dx   dy  f x, y dx : 14. 0 dx 0 f x, y dy 
2
 f x, y dy :
18.
1
2
2
2
1
1
1
x
2
x
1
y
2
0
0
1
2 y
 dy  f x, y dx   dy  dx :
0
 dx  f x, y dy   dx  f x, y dy : 20.  dy  f x, y dx 
2
0
y
y
2
134
4
2
2
y
  dy  f  x, y dx : 21.
1 y 2
0
1 y
1
 dy  f x, y dx   dy  f x, y dx :
1
 1 y
0
 1 y 2
2
4
y
3
5
25 y 2
0
0
3
0
 dy  f x, y dx   dy  f x, y dx :
22.
24.
3
1
1 y
0
 1 y 2
23.
1
e
0
ey
 dy  f x, y dx :
2
 dy  f x, y dx : 25.
7
5
27
: 26. 4,5 : 27. 
: 28.
:
42
24
4
4
244
1
: 31. 25 : 32. 5 : 33.
: 34. 1 : 35. 90 :
15
21
3
5
1
1

36. 9 : 37. 4 : 38.
: 39. ln 2 : 40.
: 41.
: 42.
:
504
2
8
6
13
67
26
1
e 1
4
1
43.
: 44.
: 45.
: 46.
: 47. 2 : 48.
: 49. :
3
3
6
120
105
4
2
5
33
9
68
2 ln 2  1 :
50.
: 51.
: 52.
: 53.  2 : 54.
20
8
140
15
a 3

1
21
e  1 : 58.
  1  2 2 : 56.
 : 57.
55.
:
6
8
4
4
14a 3
 ln 2
2
2
59. е 3e  1 : 60.
: 61. 3 : 62.
: 63. 2 :
3
2
3a 4
2
3
 a2
64.  1  e
: 65. 2 : 66. 2 : 67.
: 68.
2
16a 3
R3 
4
88
1
32
    : 69.
: 70.
: 71. 12 : 72.
: 73.
:
3 
3
6
3
9
105
29.
26 : 30. 4

74.





48 6
:
5
75.
16 : 76. 12
135
4
40
2
: 77.
: 78.
: 79. 1 :
21
3
3
1
1
81
1
1
2
1
: 81.
: 82.
: 83.
: 84.  ln 2   : 85.
:
2
4
24
6
5
2
4
2 1
1
5
 : 91.
86.
: 87. 7 : 88. 4 : 89. 25 : 90.
: 92.
16 2
8
2
5 5 1
1
38
125  8 : 93.  5 2 : 94.
: 95.
: 96.
3
3
5
a 3
38
2 n1
2a : 97. 4a a : 98.
:
99.
: 100. 5 ln 2 :
4
5
17
63
191
101.
: 102. 1 : 103.
: 104.
: 105. 1 : 106. 2 : 107.
30
2
12
5
1
14
101
 2 : 108.  : 109. 1 : 110. : 111. : 112.
: 113.
6
3
12
15
14
3
4
63
1
 : 114. : 115.
: 116.
: 117. 0 :
118.
: 119.
2
3
3
2
6
3
4
1
R3 R : 121. 31 : 122. 13 : 123. 2a 2 :
 a : 120.
2
3
16
3
a 2
3
124.
: 125.  2a : 126. 4 61 : 127.
: 128.
2
120
5 2

1
 :
2 : 129. : 130. 4 : 131.
2
8
12 15
80.


´²ÄÆÜ 7.
1. y 
5.
C
x2  1
: 2.
1  y x  1  C : 3.
y
C
2
2
: 4. x  y  C :
x
2 x  arctgy  C : 6. y  C cos x : 7. ln xy   x  y  C :
136
1
8. y  2  Ce x : 9.
1
2x  1
2

e
1
 C : 10. 2 y  ln y  2 x  C :
y2


1e x  C : 13. x y 2  C  x 2  1 :
2
2
14. 1  y  C 1  x  : 15. x 2  y 2  ln Cx 2 : 16. y  C sin x  5 :
y 1
1
3
2
17. Cx 
: 18. y  C  3x  3x : 19. y  C sin 2 x  1 :
y
2
11. x  1  y  C : 12.
2
2
2
y 2  3  C sin x :
20.
y
21.
4 x  1  ln 2 y  C :
22.
1  x 2   1  y 2  C : 23. y  2 cos x : 24. ln 2 y  2tgx  0 :

arctgx
4
tg
x
x  y  0 : 26. 2e  e  1 : 27. y  e
: 28. y  e :
1 2
x 
2
2
29. ln y   ln tg    : 30. y  2 : 31. y  2 xy  x  C :
2
2 4
y2
25.
x
2
x  y  2x  y  C : 34.
x 2  2 xy  C :
33.
2 2
1  2Cy  C x  0 : 35. y  2 x   Cx3  y  x  : 36. y  xe1Cx :
y 2  2 x 2 ln Cx :
y  xe Cx :
37.
38.
39.
2
32.
arctg
3
y
 ln C x 2  y 2  0 : 40. x   y  x ln C  y  x  :
x
x
x  Ce y : 42. ln x  y 
41.
x
y
y
 C : 43. 1  sin  Cx cos :
x y
x
x


2
44. y  4 x ln Cx : 45. y 2  x 2  Cx : 46. 16 xy  y  4 x  Cx 2 :
2
2
2
y
y y 
3
C :
47. ln x   ln  1  C : 48. y  x 3 ln Cx : 49. 4 x 
x
x x 
y
50.
y  Cxe : 51. x   y1 ln y  : 52. y  2 xarctgx :
53.
y   x arcsin x : 54. y   x ln 1  ln x :
2

x
137
x4 C
 :
: 56. y  C x  x : 57. y 
x  y e
6 x2
1
y  e x x  C  : 59. y  2 x ln x  x  C  :
x
2

 x2  x
2 x
y  Ce  2 x  1 : 61. y  e   C  :
2

1 2x
2 x
y  1  x 2 x  C  : 63. y  e  Ce :
4
y
55.
58.
60.
62.
64.
66.
68.
70.
2
2

x
arctg
y
x

y  x  C sin x : 65. y 


x
2

3

y  e x  C x  1 : 67. y   x sin x  Cx :
x 1
C
x2 C

y   2 : 69. y 
:
3
4 x
2x  1
x
x
y cos x  cos x  ln ctg : 71. y  x  C tg :
2
2


 4  C x2  4 :
2

 x3  3x  C : 73. y  Ce  sin x  sin x  1 :
tgx
y
2
74. y  tgx  1  e : 75. x   y  1  Ce : 76. x  Cy  y :
2
72. y x  1 
2
x2
2
1
e
: 79. y 
:
x ln cx
xC
2
1
x

4
80. y 
: 81. y   x  C  ln x  ; y  0 :
2
xC


1
1
82. y 
: 83. yx  C   
:
Cx  ln x  1
cos x
77.
x  Cy  1 ln y : 78. y 
138
sin x
3 C
 3 : 85. y 
; y  0:
2x x
2 cos x  C
1
C
 1 : 87.  Ce  x  x  1 ; y  0 :
86. xy 3 3 ln
y
x
84.
88.
91.
94.
97.
y3
 2
2 
ex  e 1


y   cos x : 89. y   x  1   sin x : 90. y 
:
4 
x2

ln x  3
ex 1 e
x
y
: 92. y 
: 93. y 
:
x
cos x
x
x2
x3
y  : 95. xy  2 : 96. y  ln x :
2
2
x
x
y  e ln 1  x : 98. e  xy  x sin y   e y  C :
x2
x2
y
 x sin y  cos y  C :

yx

x

e

C
99.
: 100.
2
2
x2 y
x
 x sin y  C :
101. xy  e sin y  C : 102.
2
x3
x2
2
y
 xy   xy  e  C : 104. xy  ln y  y  C :
103.
3
2
3
2
x
y
 x sin y   y  C : 106. ye x 
C :
105.
3
2
x2 y2
2
  e x sin y  C :
107.
108. x ln y  y c o s5x  C :
2 2
109. x y  cos x  sin y  C : 110. xe y  ye x  3x  2 y  C :
3
139
111.
xe y  y 2  C : 112. x 2 cos 2 y   2 x  C : 113. y  e x  3 :
y  e x : 117. y  Cx 2 :
2
118. xy  C : 119. x  1  2 y : 120. y   x ln x :
114.
y  x 2  1 : 115. y  3e 2 x :
121.
y  C2  C1 xln x  1 : 122. y  C2   C1 cos x  x :
123. y  
116.
2
1
x2
 C1 ln x  C2 : 124. y  C1 sin x  x  sin 2 x  C2 :
2
4
1
125. y  C1 ln x  x  sin 2 x  C2 : 126.
2
x 3 C1 x 2
 C2 :
y 
3
2
 x3 
127. y  C1  x    C2 : 128. y  C1 ln x  3   C2 :
3

x2
y


 C1 ln x  C2 : 130. y  xe x  e x  C1 x 2  C2 :
129.
4
131. y  C1arctgC1 x  C2 : 132. y  C1 ln x  C2 :
133.
y  C1 
2

x  C2 

4C1
: 134.
y 2  C1 x  C2 :
ctgy  C2  C1 x : 136. y   C2eC1x :
3
1
137. y  2 x  C1 2  C2 : 138. y  C1tg C1 x  C2  :
3
1
2
139. y  1 
: 140. y  C1 x  C2  :
C1 x  C2
135.
y  C1e2 x   C2e3 x : 142. y  C1  C2 x e x :
x
3x
2 x
143. y  C1e  C2e : 144. y   C1 x  C2 e :
2x
x
2 x
145. y  e C1 cos 3x  C2 sin 3x  : 146. y   C1e  C2e :
x
147. y  C1 cos 5x  C2 sin 5x : 148. y  e  C1 cos x  C2 sin x  :
141.
140
152.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
164.
165.
166.
167.
168.
169.

x
sin 5x : 151. y  e 2  x  :
5
1
y   e x cos 3x : 153. y  C1  C2ex   x 2  2 x :
2
3
2
x 3
7
y  C1e  x  C2e 2 x   x  :
2 x
4
x  7  3x
x
3x
y  C1e  C2e   x  e :
8 2
3
1
y  e2 x C1 cos x  C2 sin x    cos x  sin x :
8
8
3
4
y  e 2 x C1  C2 x   cos x  sin x :
25
25
2
21
y  e 2 x C1 cos 3x  C2 sin 3x   x 
:
13 169
1 2x
x
y  C1e x   C2e  e :
3
1
y  C1 cos 2 x  C2 sin 2 x  sin x :
3
2x
2 x
3
y   C1e  C2e  2 x  3x :
149. y  4e  2e : 150.
x
3x
y  3e
2 x
2
y  C1e2 x  C2e x  xe x : 163. y   C1  C2 x e x  5 :
y  e x C1 cos x  C2 sin x  x  1 :
y  C1e2 x  C2e x  3x 2  3x  4,5 :
y  C1  C2 x e2 x   12 cos 3x  5 sin 3x :
y  C1 cos 2 x  C2 sin 2 x  e x :
y   e2 x C1 cos 3x  C2 sin 3x   x 2  x  1 :
y  e x C1 cos x   C2 sin x  x  1 :
3
141
x
7
x
x

: 171. y  C1e   C2 e  x  1 :
12 144
x 2  3x
x 4x
x
4x
e :
172. y  C1e  C2e  e : 173. y  C1  C2 x  
2 
3
170. y  C1e  C2e 
3x
4x
174. y  C1 cos x  C2 sin x  x  e x :
175.
ye
2 x
3x 2 x 2 ln x 
:
C1   C2 x  
2
2 
181.
sin 2 x
1
y  C1 cos x  C2 sin x 

:
2 cos x
cos x
x

y  e x  C1  C2 x  4  x 2  x arcsin  :
2

x
cos 2 x
ln cos 2 x  C1 sin 2 x  C2 cos 2 x :
y   sin 2 x 
2
4
x 
y   C1 cos x  C2 sin x  cos x  ln ctg    :
2 4
x
y  C1 cos x   C2 sin x  sin x  ln tg :
2
y  C1 cos x  C2 sin x  cos x   ln cos x  x sin x :
182.
y  C1 cos x  C2 sin x  x cos x  sin x   ln sin x :
176.
177.
178.
179.
180.
183.
y  C1  C2 x e x  xe x  ln x :
184.
y  C1   C2 x e  x  xe  x  ln x :
185.
1

y  C1  ln sin x cos 2 x  C2  x   ctgx  sin 2 x :
2


186. y  e C1  C2 x  ln
x

x 2  1  xarctgx :
142
187. x  e6t C1 cos t  C2 sin t  ;
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
y  e6t C1  C2  cos t  C2  C1 sin t  :
x  C1et  C2e5t ; y  C1et  3C2e5t :
x  et C1 cos 3t   C2 sin 3t ; y  et C1 sin 3t  C2 cos 3t  :
1
1
t
t
x  C1et  C2et   cos t ; y  C1e  C2e  sin t :
2
2
1
5
x  C1et  C2 e t  e3t ; y  C1et  C2e t  e3t :
8
8
1
1
x  C1  C2e 2t  t 2  t  ; y  C1   C2e 2t  t 2  t  1 :
4
4
2t
2t
t
t
x  C1  C2e  e ; y  C1  C2e  e :
x  2C1 cos t  2C2 sin t ; y  C1  C2 cos t  C1  C2 sin t :
143
ì³ÝÇÏ êáõñ»ÝÇ ¼³ù³ñÛ³Ý
ÐáíѳÝÝ»ë Ø»ÉùáÝÇ ÊáëñáíÛ³Ý
زºزîÆÎ²Î²Ü ²Ü²ÈƼ
ÊݹÇñÝ»ñÇ ßï»Ù³ñ³Ý
144