בס"ד חוברת סיכום קורס 1 חוברת סיכום קורס חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2 תוכן עניינים וקטורים6 .................................................................................................................................................................. תכונות והגדרות יסוד6 ........................................................................................................................................... מכפלה סקלרית 6 .................................................................................................................................................. מכפלה וקטורית 6 .................................................................................................................................................. וקטור ההיטל 7 ...................................................................................................................................................... מכפלה מעורבת 7 .................................................................................................................................................. גיאומטריה אנליטית במרחב 8 .................................................................................................................................. ישרים 8 ................................................................................................................................................................. מצבים הדדיים בין ישרים במרחב8 ......................................................................................................................... מרחק נקודה מישר9 .............................................................................................................................................. מישורים 9 ............................................................................................................................................................. מרחק נקודה ממישור 9 .......................................................................................................................................... מצבים הדדיים בין מישורים במרחב 10................................................................................................................... קווי גובה ומשטחי רמה 10........................................................................................................................................ שלבי פתרון למיון קווי גובה /משטחי רמה לפונקציה10........................................................................................... קבוצות 11................................................................................................................................................................. תכונות והגדרות יסוד11......................................................................................................................................... הנדסת המישור 12.................................................................................................................................................... מעגל 12................................................................................................................................................................ אליפסה 12............................................................................................................................................................ היפרבולה 12......................................................................................................................................................... המשטחים הריבועיים 13........................................................................................................................................... פני כדור – ספירה 13............................................................................................................................................. אליפסואיד 13........................................................................................................................................................ חרוט 13................................................................................................................................................................ פרבולואיד 14........................................................................................................................................................ לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 2 פרבולואיד היפרבולי 14.......................................................................................................................................... היפרבולואיד 14..................................................................................................................................................... גבולות 15................................................................................................................................................................. שיטות שונות לחישוב גבולות 15............................................................................................................................. מעבר לקואורדינטות מעגליות (פולריות) 15............................................................................................................. משפט הסנדביץ' (שימוש באי-שוויונות) 15.............................................................................................................. חסומה כפול אפיסה 16.......................................................................................................................................... מעבר למשתנה יחיד 16......................................................................................................................................... גרדיאנט16............................................................................................................................................................... וקטור הגרדיאנט ותכונותיו המופלאות 16................................................................................................................ המשפט המופלא של החדו"א 16............................................................................................................................ חישוב הנגזרת המכוונת לפי הגדרה 16................................................................................................................... משמעות הגרדיאנט 17........................................................................................................................................... רציפות 18................................................................................................................................................................. הגדרת הרציפות 18............................................................................................................................................... גזירות (דיפרנציאביליות) 18..................................................................................................................................... תכונות והגדרות יסוד18......................................................................................................................................... הגדרת הנגזרת החלקית 18................................................................................................................................... רציפות הנגזרות חלקיות 18.................................................................................................................................... תנאי הכרחי ומספיק לגזירות 19............................................................................................................................. פונקציית אפסילון (העשרה) 19............................................................................................................................... משפט – 1תנאי הכרחי לגזירות 19........................................................................................................................ משפט – 2תנאי הכרחי לגזירות 19........................................................................................................................ משפט – 3תנאי מספיק לגזירות20........................................................................................................................ 2הערות חשובות על תנאי מספיק ותנאי הכרחי 20................................................................................................. שלבי פתרון לבדיקת גזירות (דיפרנציאביליות) בנקודה 21....................................................................................... )1בדיקת רציפות בנקודה 21................................................................................................................................. )2חישוב נגזרות חלקיות בנקודה21....................................................................................................................... )3בדיקת רציפות הנגזרות החלקיות בנקודה 21..................................................................................................... דיאגרמת סיכום דיפרנציאביליות 22........................................................................................................................ דיאגרמת סיכום דיפרנציאביליות – עם דוגמאות נגדיות 23....................................................................................... שלבי פתרון לבדיקת גזירות (דיפרנציאביליות) 23.................................................................................................... כלל השרשרת 24...................................................................................................................................................... משפט כלל השרשרת 24........................................................................................................................................ הרחבה לכלל השרשרת 24.................................................................................................................................... פונקציות סתומות 25................................................................................................................................................ לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 3 משפט הפונקציות הסתומות 25.............................................................................................................................. תוצאה גיאומטרית חשובה – ישר משיק לעקום 26.................................................................................. F(x,y) = 0 תוצאה גיאומטרית חשובה – מישור משיק למשטח 26.......................................................................... F(x,y,z) = 0 מסקנה – מקרה פרטי עבור משטח מהצורה )26....................................................................................... z = f(x,y משפט הפונקציות הסתומות למערכות 27............................................................................................................... טור טיילור28............................................................................................................................................................ משפט טור טיילור לשני משתנים 28........................................................................................................................ בעיות אקסטרמום 30................................................................................................................................................ מיון נקודות קריטיות 30.......................................................................................................................................... הגדרה – נקודה חשודה לקיצון (אקסטרמום) 30...................................................................................................... משפט -תנאי מספיק לקיום קיצון 30....................................................................................................................... משפט כופלי לגרנז' 31........................................................................................................................................... שלבי פתרון למיון נקודות קריטיות לפונקציה )31............................................................................................. f(x,y שלב ראשון – שרטוט התחום (פנים ,שפות ,פינות) 31............................................................................................. שלב שני – בדיקת קיום תנאי משפט 31............................................................................................................. W שלב שלישי – מציאת נקודות קריטיות 32................................................................................................................ שלב רביעי – סיכום כל הנקודות 32........................................................................................................................ אינטגרלים כפולים ומשולשים 33.............................................................................................................................. שלבי פתרון לאינטגרלים כפולים ומשולשים 33........................................................................................................ )0שלב אפס – ניסוח האינטגרל 33........................................................................................................................ )1שלב ראשון – התחום 33................................................................................................................................... )2שלב שני – החלפת משתנים 33......................................................................................................................... )3שלב שלישי – התחום החדש 35........................................................................................................................ )4שלב רביעי – ניסוח האינטגרל מחדש ופתרונו 35................................................................................................ העתקות משתנים חשובות 36................................................................................................................................. קאורדינטות גליליות 36.......................................................................................................................................... קאורדינטות גליליות–אליפטיות 36.......................................................................................................................... קאורדינטות כדוריות (ספריות) 37........................................................................................................................... קאורדינטות כדוריות–אליפטיות 37......................................................................................................................... שימושים גיאומטריים 38......................................................................................................................................... אינטגרלים כפולים 38............................................................................................................................................. אינטגרלים משולשים 38......................................................................................................................................... משפט פוביני 39.................................................................................................................................................... אינטגרל קווי מסוג ראשון 40..................................................................................................................................... הגדרה 40............................................................................................................................................................. משמעות פיסיקלית – מסת העקום 40..................................................................................................................... לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 4 משמעות גיאומטרית – שטח "הגדר" 40.................................................................................................................. משפט – פרמטריזציה לאינטגרל קווי מסוג ראשון 40............................................................................................... מסקנה – אורך עקום 41......................................................................................................................................C אורך עקום בפרמטריזציית 41............................................................................................................................ XY פרמטריזציה פולרית במישור 41........................................................................................................................ XY משפט 41.............................................................................................................................................................. אינטגרל קווי מסוג שני 42......................................................................................................................................... הגדרה 42............................................................................................................................................................. משמעות פיסיקלית – אינטגרל העבודה 42.............................................................................................................. משפט – פרמטריזציה לאינטגרל קווי מסוג שני 42................................................................................................... משפט 42.............................................................................................................................................................. אינטגרל משטחי מסוג ראשון 43............................................................................................................................... הגדרה 43............................................................................................................................................................. משמעות פיסיקלית – מסת המשטח43................................................................................................................... משמעות גיאומטרית – שטח המשטח 43................................................................................................................ משפט – פרמטריזציה לאינטגרל משטחי מסוג ראשון 43......................................................................................... מסקנה – שטח משטח 43.................................................................................................................................. :S פרמטריזציית 44............................................................................................................................................... XY מסקנה – שטח של משטח מעל מישור 44.......................................................................................................... XY פרמטריזציות חשובות 45....................................................................................................................................... פרמטריזציית 45............................................................................................................................................... XY פרמטריזציית פני גליל 45....................................................................................................................................... פרמטריזציית דיסקה 46......................................................................................................................................... פרמטריזציית ספירה 46......................................................................................................................................... אינטגרל משטחי מסוג שני 47................................................................................................................................... הגדרה 47............................................................................................................................................................. משמעות פיסיקלית – אינטגרל השטף 47................................................................................................................ פרמטריזציית 47............................................................................................................................................... XY נורמלי יחידה חשובים 48........................................................................................................................................ נורמל רדיאלי (של ספירה) 48................................................................................................................................. נורמל של דיסקה נעוצה על ציר 48....................................................................................................................... z נורמל של מישור 48.............................................................................................................. Ax + By + Cz + D = 0 משפט גרין 49........................................................................................................................................................... הגדרה 49............................................................................................................................................................. נוסחת גרין לחישוב שטח רק על-פי שפתו 49.......................................................................................................... לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 5 אנליזה וקטורית 50................................................................................................................................................... וקטור הגרדיאנט 50............................................................................................................................................... פונקציית הדיברגנץ 50........................................................................................................................................... וקטור הרוטור50.................................................................................................................................................... משפט – דיברגנץ על רוטור 51............................................................................................................................... משפט – רוטור על גרדיאנט 51............................................................................................................................... פונקציית הלפלסיאן 51........................................................................................................................................... משפט גאוס 51......................................................................................................................................................... משפט סטוקס 52...................................................................................................................................................... סטוקס במישור הוא גרין 52.................................................................................................................................... שדה משמר53.......................................................................................................................................................... משפט שלושת התנאים השקולים53....................................................................................................................... הגדרה – שדה משמר 53....................................................................................................................................... משפט – התנאי הרביעי השקול 53......................................................................................................................... משפט – הכללה לתלת-מימד 53............................................................................................................................ סיכום ארבעת התנאים השקולים לשדה משמר 54................................................................................................... שדה משמר סינגולרית 54...................................................................................................................................... שלבי פתרון לאינטגרלים קוויים ומשטחיים 55.......................................................................................................... שלבי פתרון לאינטגרל קווי מסוג שני 55.................................................................................................................. חישוב רוטור השדה 55.......................................................................................................................................... שלבי פתרון לאינטגרל לפי משפט סטוקס 55........................................................................................................... )1משטח העבודה 55............................................................................................................................................ )2הנורמל למשטח 56........................................................................................................................................... )3משפט גרין 56................................................................................................................................................... )4ניסוח תנאי משפט סטוקס 56............................................................................................................................. אינטגרל משטחי מסוג ראשון – שלבי פתרון 57....................................................................................................... )1פרמטריזציית 57.......................................................................................................................................... XY )2פרמטריזציה גלילית /דיסקה/ספירית 57............................................................................................................. )3פרמטריזציה כללית 57...................................................................................................................................... לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 6 וקטורים תכונות והגדרות יסוד מכפלה סקלרית a b = a b cos מכפלה סקלרית מחזירה סקלר (מספר)! הערה :אם , a b = 0אזי הוקטורים ניצבים זה לזה ( = 2 ) מכפלה וקטורית ˆk ˆj a3 b3 a b = a1 a2 b1 b2 ˆi מכפלה וקטורית מחזירה וקטור (עם גודל וכיוון)! גודל: a b = a b sin משמעות הגודל :שטח המקבילית הנבנית על הצלעות aו. b - כיוון :ניצב גם ל a -וגם לb - הערה אם , a b = 0אזי הוקטורים מקבילים זה לזה (קולינאריים = 0 ,) או שאחד מהם הוא וקטור האפס ( .) 0 לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 7 וקטור ההיטל ˆb וקטור ההיטל של aעל : b גודל: a b b = a cos )( = Pb a a b b ) ( = Pb a מכפלה מעורבת a1 a2 a3 ) ( b3 a b c = b1 b2 c3 c1 c2 מכפלה מעורבת מחזירה סקלר (מספר)! גודל: ) ( a bc משמעות הגודל :נפח המקבילון הנבנה על הצלעות b , aו. c - לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 8 גיאומטריה אנליטית במרחב ישרים ישר Lנקבע על-ידי נקודה עליו ) M 1 = ( x1 , y1 , z1וכיוון מקביל ) v = ( a, b, c ונתון על-ידי הצגה פרמטרית ( tפרמטר בעל משמעות "זמן"): x = x1 + at y = y1 + bt z = z + ct 1 ) L ( t ) = M1 + vt = ( x1 + at , y1 + bt , z1 + ct או בהצגה קנונית (על-ידי בידוד tמהמשוואות לעיל): x − x1 y − y1 z − z1 = = a b c =t מצבים הדדיים בין ישרים במרחב נתונים שני ישרים מקבילים אם l1 ו- l2 l1 l2 = 0 נחתכים אמ"מ =0 מצטלבים אם 0 2 2 ושתי נקודות עליהם M 1ו M 2 -בהתאמה .אזי הישרים: ( l1 ו- (l l ) M M 1 2 1 2 ( l2 , l1 1 (l l ) M M 1 l2 קולינאריים (מקבילים) – ת"ל) ו- M 1M 2 ואז המרחק בינהם הוא: קופלנריים (במישור אחד) – ת"ל). 2 (l l ) M M 1 1 2 l1 l2 =d כאשר: l1 l2 -שטח מקבילית בסיס המקבילון , M 1M 2 -צלע המקבילון , d -גובה המקבילון. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 9 מרחק נקודה מישר מרחק נקודה ) C = ( x0 , y0 , z0 מישר : L AC AB =d AB כאשר Aו B -הן שתי נקודות כלשהן על הישר . L AC AB -שטח המקבילית , AB -אורך הבסיס , d -גובה המקבילית. מישורים מישור נקבע על-ידי נקודה עליו ) ( x0 , y0 , z0ונורמל ) N = ( A, B, C ונתון על-ידי המשוואה: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 או: Ax + By + Cz + D = 0 מרחק נקודה ממישור מרחק נקודה ) M 0 = ( x0 , y0 , z0 ממישור: Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2 או: N M 1M 0 N ) =d ( = d = PN M 1M 0 כאשר M 1היא נקודה כלשהי על המישור. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 10 מצבים הדדיים בין מישורים במרחב נתונים שני מישורים בעלי נורמלים N1 מקבילים אמ"מ N1 N 2 = 0 ( N1 נחתכים אמ"מ N1 N2 0 ונתונה על-ידי הנוסחה: ו . N 2 -אזי המישורים: ו- N2 קולינאריים (מקבילים) – ת"ל)) ואז הזווית בינהם מוגדרת להיות הזוית החדה שבין וקטורי הנורמל N1 N 2 N1 N 2 = cos קווי גובה ומשטחי רמה שלבי פתרון למיון קווי גובה /משטחי רמה לפונקציה )1מציאת תחום הגדרה )2סידור לתבנית מוכרת )3בחינת נקודות איפוס המקדמים )4חלוקה לתחומים )5בחינת מקרים מנוונים לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 11 קבוצות תכונות והגדרות יסוד תהי קבוצה . A 0 נקודה פנימית – אם קיימת לה סביבה שכולה בתוך . Aסימון. A : נקודת שפה – אם בכל סביבה שלה יש נקודות ששייכות ל A -ונקודות שלא שייכות ל . A -סימון. A : קבוצה חסומה – אם קיים כדור שמכיל אותה. קבוצה פתוחה – אם כל נקודותיה פנימיות (אין לה נקודות שפה). קבוצה סגורה – אם היא מכילה את כל נקודות השפה שלה. קבוצה קשירה – אם ניתן לחבר כל שתי נקודות ב A -בקו רציף. כללי אצבע )1איך שוללים קבוצה סגורה? אם יש נקודת שפה אחת שלא שייכת ל , A -אזי Aלא סגורה. )2איך שוללים קבוצה פתוחה? אם יש נקודת שפה אחת ששייכת ל , A -אזי Aלא פתוחה. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 12 הנדסת המישור מעגל R x2 + y 2 = R2 – זהו מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו . R אליפסה x2 y 2 + =1 a 2 b2 b זוהי אליפסה החותכת את ציר הx - – -a a ב- aואת ציר הy - ב- b (בשרטוט הנחנו .) a, b 0 -b היפרבולה x2 y 2 − =1 a 2 b2 x2 y 2 − = −1 a 2 b2 – זוהי היפרבולה ("ימינה-שמאלה"): – זוהי היפרבולה צמודה ("למעלה-למטה"): b האסימפטוטות של ההיפרבולה הן הישרים x a y= (בשרטוט הנחנו .) a, b 0 לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 13 המשטחים הריבועיים פני כדור – ספירה x2 + y 2 + z 2 = R2 - זוהי ספירה שמרכזה ב( 0,0,0) - ורדיוסה . R כל החתכים של הספירה הם מעגלים. אליפסואיד x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 2 a b c -זהו אליפסואיד שנקודות החיתוך שלו עם הצירים הם . a, b, cכל החתכים של האליפסואיד הם אליפסות. חרוט z 2 = x2 + y 2 x2 + y 2 -זהו חרוט דו-צדדי. = - zזהו חרוט חד-צדדי עליון. - z = − x 2 + y 2זהו חרוט חד-צדדי תחתון. תכים רוחביים (מישורים מקבילים למישור חתכים אורכיים מהצורה של x = 0 ) xyמהצורה של z = c הם מעגלים ברדיוס =c .R או y = 0נותנים את פונקציית הערך המוחלט. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 14 פרבולואיד z = x2 + y 2 -זהו פרבולואיד. חתכים רוחביים (מישורים מקבילים למישור מעגלים ברדיוס = c ) xyמהצורה של z = c . Rחתכים אורכיים מהצורה של x=0 הם או y = 0הם פרבולות. פרבולואיד היפרבולי z = x2 − y 2 -זהו פרבולואיד היפרבולי (אוכף/פרינגלס). חתכים רוחביים (מישורים מקבילים למישור היפרבולות .חתכים אורכיים מהצורה של ) xyמהצורה של z = c x=0 הם או y = 0הם פרבולות. היפרבולואיד x2 + y 2 − z 2 = 1 x 2 + y 2 − z 2 = −1 -זהו היפרבולואיד חד-יריעתי ("בתי זיקוק"). -זהו היפרבולואיד דו-יריעתי. כיצד נבחין בינהם? נבדוק את תמונת החתך של ההיפרבולואיד עם מישור , xyכלומר עם x2 + y 2 = 1 =0 :z -ההיפרבולואיד החד-יריעתי נותן את מעגל היחידה. x2 + y 2 = − 1 -ההיפרבולואיד הדו-יריעתי נותן "פסוק שקר" – סכום ריבועים לא יכול להיות מספר שלילי .לכן הוא לא קיים ב- =0 .z לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 15 גבולות שיטות שונות לחישוב גבולות מעבר לקואורדינטות מעגליות (פולריות) נתונה פונקציה ) f ( x, y )1אם ניתן לרשום: .נחליף משתנים: x = r cos y = r sin ) f ( x, y ) = f ( r cos , r sin ) = F ( r ) G ( )2ורוצים את הגבולlim f ( x, y ) : x →0 y →0 אזי: lim F ( r ) G ( ) = 0 lim f ( x, y ) = 0 x →0 y →0 bounded r →0 →0 הערה :אם הגבול ) lim F ( r ) G (לא קיים אזי גם הגבול המקורי לא קיים. r →0 משפט הסנדביץ' (שימוש באי-שוויונות) אם לכל ) ( x, y : ) g ( x, y ) f ( x, y ) h ( x, y ואם: lim g ( x, y ) = lim h ( x, y ) = L אזי: lim f ( x, y ) = L x→ x0 y → y0 x → x0 y → y0 x→ x0 y → y0 אי-שוויונות חשובים: ab 1 a 2 + b2 2 )1 a2 2) 2 1 a + b2 לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 16 חסומה כפול אפיסה אם ניתן לרשום: אזי: ) , f ( x, y ) = g ( x, y ) h ( x, yכאשר ) g ( x, yחסומה ו( x, y ) = 0 - f ( x, y ) = 0 , lim h x→ x0 y → y0 . lim x→ x0 y → y0 מעבר למשתנה יחיד לעיתים בהצבת x ( t ) , y ( t ) :ניתן לעבור למשתנה יחידf ( x, y ) = f ( x ( t ) , y ( t ) ) = g ( t ) : . אז ניתן לחשב את הגבול בכל השיטות הידועות לנו מחדו"א .1 הערות א) אין לופיטל רב-מימדי! לופיטל מתקיים רק במשתנה יחיד. ב) דרך לשלילת גבול של פונקציה -אם מצאנו שני מסלולים שונים שלאורכם מקבלת הפונקציה גבולות שונים ,אזי אין גבול. גרדיאנט וקטור הגרדיאנט ותכונותיו המופלאות המשפט המופלא של החדו"א תהי ) f ( x, yגזירה ב ( x0 , y0 ) -אזי לf - יש נגזרת מכוונת בכל כיוון ב( x0 , y0 ) - ומתקיים: f ˆ( x0 , y0 ) = f ( x0 , y0 ) n ˆn חישוב הנגזרת המכוונת לפי הגדרה ) f ( x0 + n1h, y0 + n2 h ) − f ( x0 , y0 f ( x0 , y0 ) = lim h →0 ˆn h לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 17 משמעות הגרדיאנט כאשר נתונה פונקציה ) f ( x, y = , zוכיוון כוח המשיכה הוא בכיוון ̂, − z כיוון העלייה החזק ביותר של הפונקציה במישור הוא בכיוון הגרדיאנט: כיוון העלייה החזק ביותר של הפונקציה במרחב הוא: שיפוע העלייה הוא: ) 2 )' l = f = ( f x ', f y ( u = f x ', f y ', f m = tg = f הערות )1לעיתים דורשים את הכיוונים המנורמלים ואז צריך לנרמל את הוקטורים לעיל. )2לעיתים דורשים את כיוון הירידה החזק ביותר של הפונקציה (כיוון זרימת המים ,או כיוון תנועת הכדור) ואז התשובה תהיה בכיוון שלילי: ) 2 ( . −u = − f x ', − f y ', − f שינוי כיוון כוח המשיכה כאשר כיוון כוח המשיכה הוא בכיוון ̂ , − xוניתן לבטא את המשטח כ, x = h ( y , z ) - ) 2 ( אזי כיוון העלייה החזק ביותר של הפונקציה במרחב הוא. h , hy ', hz ' : כאשר כיוון כוח המשיכה הוא בכיוון ̂ , − yוניתן לבטא את המשטח כ, y = g ( x, z ) - ) 2 ( אזי כיוון העלייה החזק ביותר של הפונקציה במרחב הוא. g x ', g , g z ' : לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 18 רציפות הגדרת הרציפות פונקציה f נקראת רציפה ב( x0 , y0 ) - אם הגבול הבא קיים ,סופי ושווה לערך הפונקציה בנקודה: ) lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 x → x0 y → y0 גזירות (דיפרנציאביליות) תכונות והגדרות יסוד הגדרת הנגזרת החלקית הנגזרות החלקיות ' fx ' , f y קיימות בנקודה ) ( x0 , y0 ) f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 h ) f ( x0 , y0 + k ) − f ( x0 , y0 k אם הגבולות הבאים קיימים וסופיים: f x ' ( x0 , y0 ) = lim h →0 f y ' ( x0 , y0 ) = lim k →0 רציפות הנגזרות חלקיות הנגזרות החלקיות ' fx ' , f y רציפות בנקודה ) ( x0 , y0 אם מתקיימים השוויונות הבאים: ) lim f x ' ( x, y ) = f x ' ( x0 , y0 x → x0 y → y0 ) lim f y ' ( x, y ) = f y ' ( x0 , y0 x → x0 y → y0 כאשר מחשבים באופן הבא: אגף ימין – מחשבים לפי הגדרת הנגזרת החלקית. אגף שמאל – תחילה גוזרים לפי כללי גזירה חלקיים ואז משאיפים את , y → y0 . x → x0 לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 19 תנאי הכרחי ומספיק לגזירות פונקציית אפסילון (העשרה) גזירה ב( x0 , y0 ) - אם f 2 ) (x − x ) + ( y − y 2 0 0 ' f x ', f y אזי קיימות ומתקיים: ) f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + f x ' ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ' ( x0 , y0 )( y − y0 ) + ( x, y אם נבודד את מהשוויון לעיל ונשאיף את x → x0 , y → y0 נקבל את הגבול לפונקציית האפסילון: ) f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) − f x ' ( x0 , y0 )( x − x0 ) − f y ' ( x0 , y0 )( y − y0 lim ( x, y ) = lim x→ x0 y → y0 ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 x→ x0 y→ y0 צורה שקולה לפונקציית אפסילון על-ידי הצבת ( h = x − x0 , k = y − y0ניתן גם לסמן ) y = y − y0 , x = x − x0נקבל: 2 h +k 2 ) + h, y0 + k , y 0 ) + f x ' ( x 0 , y 0 ) h + f y ' ( x 0 , y 0 ) k + ( x0 0 + h, y 0 + k ) = f ( x f ( x0 נבודד את ונקבל באופן שקול: , y 0 ) − f x ' ( x0 , y 0 ) h − f y ' ( x 0 , y 0 ) k 2 0 + h, y 0 + k ) − f ( x f ( x0 lim ( x0 + h, y0 + k ) = lim h→0 k →0 h +k 2 h→0 k →0 משפט – 1תנאי הכרחי לגזירות אם f גזירה ב( x0 , y0 ) - ,אזי fרציפה שם. היפוך ושלילה אם f לא רציפה ב( x0 , y0 ) - ,אזי fלא גזירה שם. משפט – 2תנאי הכרחי לגזירות אם f גזירה ב( x0 , y0 ) - ,אזי ' f x ', f y קיימות שם. היפוך ושלילה אם ' f xאו ' f y לא קיימת ב( x0 , y0 ) - ,אזי fלא גזירה שם. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 20 משפט – 3תנאי מספיק לגזירות אם ' f x ' , f y רציפות ב( x0 , y0 ) - ,אזי fגזירה שם. היפוך ושלילה אם f לא גזירה ב( x0 , y0 ) - אזי ' fx ' , f y לא רציפות שם. 2הערות חשובות על תנאי מספיק ותנאי הכרחי )1קיום הנגזרות החלקיות כלומר אם f ' f x ', f y בנקודה הוא תנאי הכרחי בלבד לגזירות. גזירה ,אזי הוא מתקיים בהכרח .אבל זהו תנאי הכרחי ולא מספיק לגזירות. לכן אפילו אם שתי הנגזרות החלקיות קיימות בנקודה ,זה עדיין לא מבטיח ש f -גזירה שם ,יכול להיות שלא! )2רציפות הנגזרות החלקיות כלומר אם ' f x ', f y ' f x ', f y בנקודה הוא תנאי מספיק בלבד לגזירות. רציפות בנקודה ,אזי זה מספיק כדי לטעון ש- f גזירה שם. אבל זהו תנאי מספיק ולא הכרחי – זאת אומרת שאפשר גזירות גם בלעדיו. לכן אפילו אם מצאנו ש- f גזירה בנקודה ,זה עדיין לא מבטיח שהנגזרות החלקיות שלה רציפות שם, יכול להיות שלא! הערה כללית לגבי תנאי הכרחי ותנאי מספיק נניח A , B אזי: Bהוא התנאי ההכרחי ל , A -כלומר אם Bלא מתקיים אזי בהכרח גם Aלא מתקיים. תנאי הכרחי תמיד טוב כשרוצים לשלול את . A Aהוא התנאי המספיק ל , B -כלומר מספיק Aלבדו כדי לגרור . B עם זאת ייתכן ש B -יתקיים אבל Aלא. לכן לסיכום: בהינתן תנאי הכרחי: A : B לא Bלא A בהינתן תנאי מספיק: A : B קיום Bלא מעיד על קיום . Aייתכן Bבלי . A לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 21 שלבי פתרון לבדיקת גזירות (דיפרנציאביליות) בנקודה )1בדיקת רציפות בנקודה אם f לא רציפה ב( x0 , y0 ) - לא גזירה ב( x0 , y0 ) - f )2חישוב נגזרות חלקיות בנקודה אם ) f x ' ( x0 , y0 או ) f y ' ( x0 , y0 לא קיימת לא גזירה ב( x0 , y0 ) - f )3בדיקת רציפות הנגזרות החלקיות בנקודה אם הנגזרות החלקיות ' f x ', f y כלומר f רציפות ב( x0 , y0 ) - . ,אזי f . גזירה ב( x0 , y0 ) - . גזירה אם מתקיימים השוויונות הבאים: ) lim f x ' ( x, y ) = f x ' ( x0 , y0 x → x0 y → y0 ) lim f y ' ( x, y ) = f y ' ( x0 , y0 x → x0 y → y0 הערה (העשרה) במקום שלב 3לעיל ניתן להשתמש באופן חלופי בשלב 3הבא: )3חישוב פונקציית אפסילון בנקודה מחשבים את הגבולlim ( x, y ) = L : x → x0 y → y0 גזירה ב( x0 , y0 ) - אם L=0 אם L0 או לא קיים f f . לא גזירה ב( x0 , y0 ) - . לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 22 דיאגרמת סיכום דיפרנציאביליות יש* מישור משיק לגרף ב**- גזירה ב- בעלת נ"ח רציפות רציפה ב- בעלת נ"ח ב- ב- * יש לדרוש כי המישור המשיק לא יהיה ניצב למישור xy (בדומה לאסימפטוטה של) f ( x ) - ** ) z0 = f ( x0 , y0 לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 23 דיאגרמת סיכום דיפרנציאביליות – עם דוגמאות נגדיות שלבי פתרון לבדיקת גזירות (דיפרנציאביליות) נתונה פונקציה : f ) ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x, y ) = ( x0 , y0 האם f גזירה (דיפרנציאבילית) ב( x0 , y0 ) - ) f ( x, y f = 0 ? שלבי הפתרון לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 24 כלל השרשרת משפט כלל השרשרת תהי ) f ( x, yגזירה ב( x0 , y0 ) - x ( t0 ) = x0 , y ( t0 ) = y0אזי ) ) f ( x ( t ) , y ( t ותהיינה ) x (t ) , y (t גזירות ב t0 -כך ש- גזירה ב t0 -ומקיימת: d f dx f dy = )) f ( x (t ) , y (t ) ( x0 , y0 ) ( t0 ) + ( x0 , y0 ) (t0 dt x dt y dt בכתיב מקוצר (ללא רישום הנקודות ) ( x0 , y0 ו ) t0 -נרשום: df f dx f dy = + dt x dt y dt הרחבה לכלל השרשרת תהי ) f ( x, y, zגזירה ב ( x0 , y0 , z0 ) -ותהיינה ) x ( u, v ) , y ( u, v ) , z (u, vגזירות ב( u0 , v0 ) - כך ש x ( u0 , v0 ) = x0 , y ( u0 , v0 ) = y0 , z ( u0 , v0 ) = z0 -אזי ) ) f ( x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v גזירה ב( u0 , v0 ) - ומקיימת: f f x f y f z = + + u x u y u z u f f x f y f z = + + v x v y v z v לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 25 פונקציות סתומות משפט הפונקציות הסתומות תהי ) F ( x, y, zמוגדרת בנקודה ) ( x0 , y0 , z0 )1 )2 ובסביבתה ונניח: F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 1 ( F Cנ"ח רציפות) בנקודה ) ( x0 , y0 , z0 ובסביבתה. F ( x0 , y0 , z0 ) 0 )3 z אזי קיימת סביבה של ) ( x0 , y0 , z0שבתוכה מוגדרת פונקציה יחידה ) z ( x, y א) F ( x, y, z ( x, y ) ) = 0 לכל ב) z ( x, y ) C1ב( x0 , y0 ) - x, yבסביבת ) ( x0 , y0 , z0 שמקיימת: . ובסביבתה. ג) ) z0 = z ( x0 , y0 ) F '( x , y , z z ( x0 , y0 ) = − x 0 0 0 x ) Fz ' ( x0 , y0 , z0 ומתקיים: ) F '( x , y , z z ( x0 , y0 ) = − y 0 0 0 y ) Fz ' ( x0 , y0 , z0 הערה :ניתן לחלץ את ) z x ' ( x0 , y0 ואת של המשוואה: גוזרים לפי x את שני אגפי המשוואה: ) z y ' ( x0 , y0 F ( x, y, z ( x, y ) ) = 0 ובאופן דומה גוזרים לפי F F F z 1 + 0 + =0 x y z x F 'x + F 'z z 'x = 0 F 'x F 'z גם על-ידי הפעלת כלל השרשרת וגזירה סתומה z 'x = − y את שני אגפי המשוואה: F F F z 0 + 1 + =0 x y z y F ' y + F 'z z 'x = 0 F 'y F 'z z 'y = − לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 26 תוצאה גיאומטרית חשובה – ישר משיק לעקום F(x,y) = 0 תהי F ( x, y ) C1בנקודה ) ( x0 , y0 ובסביבתה וכך ש- F ( x0 , y0 ) = 0 וגם F ( x0 , y0 ) 0 F לפחות אחד מרכיבי הנגזרת ' Fx ', Fyשונה מ ) 0 -לכן נניח לה"כ ש( x0 , y0 ) 0 - z המשיק לעקום F ( x, y ) = 0בנקודה ) ( x0 , y0 (אז אזי הישר נתון על-ידי: Fx ' ( x0 , y0 ) ( x − x0 ) + Fy ' ( x0 , y0 ) ( y − y0 ) = 0 תוצאה גיאומטרית חשובה – מישור משיק למשטח F(x,y,z) = 0 תהי F ( x, y, z ) C1 F ( x0 , y0 , z0 ) 0 בנקודה ) ( x0 , y0 , z0ובסביבתה וכך שF ( x0 , y0 , z0 ) = 0 - (אז לפחות אחד מרכיבי הנגזרת ' Fx ', Fy ', Fz וגם שונה מ ) 0 -לכן נניח לה"כ ש- F ( x , y , z ) 0אזי המישור המשיק למשטח F ( x, y, z ) = 0בנקודה ) ( x0 , y0 , z0 0 0 0 z נתון על-ידי: Fx ' ( x0 , y0 , z0 ) ( x − x0 ) + Fy ' ( x0 , y0 , z0 ) ( y − y0 ) + Fz ' ( x0 , y0 , z0 ) ( z − z0 ) = 0 אם נסמןR = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) : אזי המישור המשיק למשטח בנקודה בקצרה על-ידי: F R = 0 ) ( x0 , y0 , z0 יינתן מסקנה – מקרה פרטי עבור משטח מהצורה )z = f(x,y משוואת המישור המשיק למשטח מהצורה ) z = f ( x, yבנקודה ) ( x0 , y0 , z0 נתונה על-ידי: ) z − z0 = f x ' ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ' ( x0 , y0 )( y − y0 כאשר ) z0 = f ( x0 , y0וכאשר הנורמל למישור המשיק למשטח בנקודה ) ( x0 , y0 , z0 הינו: )N = ( f x ', f y ', −1 לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 27 משפט הפונקציות הסתומות למערכות F ניסוח עבור מערכת : R 5 → R 2 :ובאופן כללי לm - G נעזר בסימונים: תהיינה F , G )1 ו. n - ) = ( x0 , y0 , z0 ) , M 0 = ( x0 , y0 , z0 , u0 , v0 . P0 מוגדרות בנקודה M 0ובסביבתה ונניח: F (M0 ) = G(M0 ) = 0 F , G C1 )2ב M 0 -ובסביבתה. 0 )3 M0 Fv Fu Gv Gu =J אזי קיימת סביבה של M 0שבתוכה מוגדרות שתי פונקציות יחידות א) ב P0 -ובסביבתה : ב) ג) ) v ( x, y , z ו- ) u ( x, y , z כך ש- F ( x, y , z , u ( x , y , z ) , v ( x , y , z ) ) = 0 G ( x, y , z , u ( x , y , z ) , v ( x , y , z ) ) = 0 u ( x, y, z ) , v ( x, y, z ) C1 ב P0 -ובסביבתה. ) u0 = u ( x0 , y0 , z0 ) v0 = v ( x0 , y0 , z0 ומתקיים: M0 Fz Gz −1 Fv Fx Fy Gv Gx Gy F = − u Gu P0 uz vz ux u y v v y x −1 תזכורת – הפיכת מטריצה :2x2 a b 1 d −b = c d ad − bc −c a לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 28 טור טיילור משפט טור טיילור לשני משתנים תהי ) f ( x, yבעלת נגזרות חלקיות רציפות עד לסדר n + 1בנקודה ) ( x0 , y0 נקודה ) ( cx , c yעל הקטע המחבר את הנקודה ) ( x0 , y0עם הנקודה ) ( x, yכך ש- וסביבתה .אזי קיימת ) f (cx , c y n +1 d 1 ! )( n + 1 d f ( x0 , y 0 ) + 1 n !n d f ( x0 , y 0 ) + ... + 2 1 !2 df ( x0 , y 0 ) + 1 !1 f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + Rn כאשר: כאשר המקדמים הם המקדמים הבינומיאליים: וכאשר מסקנה חשובה בפולינום טיילור המקדם של k ) ( x − x0 ) ( y − y0 n−k הוא: )1 n (n 1 n = ) f xn −k y k ( x0 , y0 ) f x(n −)k y k ( x0 , y0 n! k ! ( n − k ) !k לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 29 מסקנה מעניינת פיתוח טור טיילור לסדר שני של x = + R2 y ) f ( x, y ניתן לכתיבה בעזרת וקטור הגרדיאנט ומטריצת ההסיאן: '' f xx x 1 f y ') + ( x y ) y 2 '' f yx ''f xy ''f yy H x ( ' f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + f x f 1 T x H x + R2 2 = f ( x0 , y0 ) + f x + לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 30 בעיות אקסטרמום מיון נקודות קריטיות הגדרה – נקודה חשודה לקיצון (אקסטרמום) נקודה ) ( x0 , y0של פונקציה fנקראת חשודה לקיצון אם: )1כל הנ"ח קיימות ב ( x0 , y0 ) -וערכן אפס (נקודה קריטית או סטציונרית). )2לפחות אחת מהנ"ח לא קיימת. הערה :נקודה קריטית היא רק נקודה חשודה לקיצון (ממש כמו בפונקציה בעלת משתנה יחיד – נקודה שבה הנגזרת מתאפסת היא רק חשודה לקיצון ולא בהכרח נקודת קיצון). משפט -תנאי מספיק לקיום קיצון תהי ) f ( x, yפונקציה C 2בנקודה ) ( x0 , y0ובסביבתה ( f yx = .) f xy ונניח ש ( x0 , y0 ) -קריטית. f ( x0 , y0 ) = 0 : נסמן ב - את הדטרמיננטה של מטריצת ההסיאן בנקודה ) : ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 = f xx f yy − f xy 2 ) ( x0 , y0 f xy f xx f yy f yx = אזי: f 0 min ( x0 , y0 ) xx )1 0 f 0 max ( x0 , y0 ) xx )2 0 ( x0 , y0 ) 0 )3אוכף = 0 )4המיון נכשל (לא יודעים). לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 31 משפט כופלי לגרנז' תהיינה ) f ( x, yו g ( x, y ) -פונקציות Cבנקודה ) ( x0 , y0ובסביבתה ונניח שg - ( g ( x0 , y0 ) = 0 )1כלומר g = 0על האילוץ) 1 מקיימת: ? ( g ( x0 , y0 ) 0 )2כלומר g 0על האילוץ .בודקים , g ( x, y ) = ( 0,0 ) :מוודאים שהנקודות שהתקבלו לא על האילוץ). אם ל f -יש ערך אקסטרימלי בנקודה ) ( x0 , y0בכפוף לאילוץ g ( x, y ) = 0אזי קיים קבוע כך ש- f ( x0 , y0 ) − g ( x0 , y0 ) = 0 לאחר שבדקנו את קיום תנאי משפט כופלי לגרנז' ,נגדיר את פונקציית לגרנז': ) L ( x, y ) = f ( x, y ) − g ( x , y ונחפש את הנקודות הקריטיות שלהL = f − g = 0 : Lx ' = f x '− g x ' = 0 Ly ' = f y '− g y ' = 0 שלבי פתרון למיון נקודות קריטיות לפונקציה )f(x,y שלב ראשון – שרטוט התחום (פנים ,שפות ,פינות) תזכורת – מושגי קבוצות קבוצה סגורה – אם היא מכילה את כל נקודות השפה שלה. קבוצה חסומה – אם קיים כדור שמכיל אותה. קבוצה קומפקטית – קבוצה סגורה וחסומה. שלב שני – בדיקת קיום תנאי משפט W תזכורת -משפט וויירשטראס אם fרציפה בקבוצה קומפקטית אזי היא מקבלת ערך מינימלי ומקסימלי בקבוצה. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 32 שלב שלישי – מציאת נקודות קריטיות עורכים רשימה של נקודות קריטיות בתוך התחום ,על השפה ובפינות .כל נקודה שמתקבלת מוודאים שהיא בתחום ,אם הנקודה לא בתחום – פוסלים ,אם הנקודה בתחום – נציב לפונקציה ונקבל ערך. א) נקודות קריטיות בתוך התחום למציאת הנקודות הקריטיות של fבכל 2 ,גוזרים ומשווים את הנ"ח לאפס: fx ' = 0 fy ' = 0 עורכים רשימה של ערכי fלנקודות שבפנים התחום. אם נתבקשנו ,נאפיין נקודות פנימיות אלו על-ידי מטריצת ההסיאן (מינימום ,מקסימום או אוכף). ב) נקודות על השפה בשפות פשוטות (למשל -קווים ישרים) -מציבים את השפות ישירות לפונקציה ומקבלים פונקציה עם משתנה יחיד .מוצאים נקודות קריטיות כמו בחדו"א ( 1גוזרים במשתנה יחיד ,משווים ל 0 -וכן הלאה). בודקים האם הנקודה שהתקבלה אכן נמצאת על השפה .מציבים את הנקודה לפונקציה ומקבלים ערך. בשפות מורכבות יותר – נשתמש במשפט כופלי לגרנז'. ג) נקודות פינות התחום לבסוף נציב את נקודות פינות התחום בפונקציה . f שלב רביעי – סיכום כל הנקודות הנקודה בה התקבל ערך fהגדול ביותר (בתחום!) הינו ערך המקסימום המוחלט (גלובלי). הנקודה בה התקבל ערך fהקטן ביותר (בתחום!) הינו ערך המינימום המוחלט (גלובלי). הערה :אם הפונקציה fהינה מונוטונית עולה אזי לעיתים לשם נוחות החישוב נעדיף לחקור את פונקציית הארגומנט שלה ,למשל בהינתן )f ( x e או )f ( x ניתן לחקור את )f ( x . לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 33 אינטגרלים כפולים ומשולשים שלבי פתרון לאינטגרלים כפולים ומשולשים )0שלב אפס – ניסוח האינטגרל אם לא נתון לנו האינטגרל המבוקש ,ננסח אותו בצורה כללית על התחום. )1שלב ראשון – התחום א) שרטוט תחום האינטגרציה במרחב xyz בשאלות דו-מימדיות נשרטט את התחום במישור . xyבשאלות תלת-מימדיות נשרטט בכמה מישורים. למשל – בבעיה עם סימטריה בציר מישור xy z נשרטט את התחום ב- – נשרטט את היטל המשטח הגדול ביותר על פני מישור . xy מישור החתך – אם יש שני משטחים החותכים זה את זה נשרטט את הצורה שנוצרה במישור החתך. מישור z − xy מרחב xyz – נשרטט את הצורה בחתך אורך המקביל לציר , zכלומר במישור xz או במישור . yz – נרכיב תמונה תלת-ממדית מכל מישורי החתך לעיל ונשרטט במרחב. ב) ניסוח התחום בצורה של אי-שוויונות ננסח את התחום הנתון בשימוש באי-שוויונות: V = ( x, y, z ) f1 x f 2 , g1 y g 2 , h1 z h2 )2שלב שני – החלפת משתנים א) ניסוח המשתנים החדשים כפונקציה של המשתנים המקוריים: ) u = u ( x , y , z ) v = v ( x, y , z ) w = w ( x, y , z לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 34 ב) חישוב היעקביאן אם עברנו מ ( x, y, z ) -ל( u, v, w ) - אזי יעקביאן ההעתקה הינו דטרמיננטת מטריצת הנגזרות החלקיות של המשתנים המקוריים לפי המשתנים החדשים: xw xv yw yv zw zv xu ( x, y , z ) J = det = yu u , v , w ( ) z u לעיתים נוח יותר לחשב את ההעתקה ההפוכה ,בעיקר כאשר חילוץ המשתנים הוא מסובך: uz uy vz vy wz wy ux u , v , w ( ) J −1 = det = vx x , y , z ( ) w x משפט חשוב – ההעתקה ההפוכה x 1 אם ההעתקה y : V → Vהיא C 1ו J 0 -אזיJ = −1 : J z משמעות היעקביאן המשמעות הגיאומטרית של היעקביאן היא יחס השטחים בין השטח במישור המשתנים המקוריים לשטח במישור המשתנים החדשים: שטח התחום שטח התחום במישור במישור הערות )1עבור העתקה לינארית היעקביאן הוא בדיוק יחס השטחים ( = 0 .) )2בכל משפטי ההעתקה לעיל כאשר דורשים J 0בתחום ,למעשה הדרישה היא שהיעקביאן לא יתאפס עד כדי מספר סופי של נקודות או עקומים בתחום (או באופן כללי יותר – עד כדי כל קבוצה בעלת "שטח אפס" ,שהרי איננה משפיעה על ערך האינטגרל). למשל בהעתקה הפולרית כאשר =r , Jאם התחום כולל את הראשית ,אזי היעקביאן אינו מתאפס בתחום למעט בנקודה בודדת (בראשית ,שם = 0 .) r לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 35 )3שלב שלישי – התחום החדש א) ניסוח ושרטוט התחום החדש נחזור על השלב הקודם עבור המשתנים החדשים ,כלומר ננסח ונשרטט את התחום החדש במישור : uvw V = ( u , v, w ) . . . ב) בדיקת תנאי משפט ההעתקה נבדוק האם החלפת המשתנים שביצענו עומדת בתנאי משפט ההעתקה: משפט ההעתקה – שינוי משתנים באינטגרל משולש x נניח שההעתקה y : V → Vהינה Cבתחום , Vחח"ע מ V -על Vומתקיים J 0 :בכל V z 1 (למעט קבוצות בעלות שטח אפס) .בנוסף אם du dvdw ) f ( x, y , z רציפה ב- V אזי*: f ( x, y, z ) dxdy dz = f ( x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) J V * כאשר לוקחים את היעקביאן באינטגרל בערכו המוחלט J V ללא סימני מינוס. )4שלב רביעי – ניסוח האינטגרל מחדש ופתרונו מנסחים את האינטגרל לפי המשתנים החדשים ,לא שוכחים את היעקביאן. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 36 העתקות משתנים חשובות קאורדינטות גליליות לבעיות עם סימטריה מעגלית סביב ציר z נשתמש בקאורדינטות גליליות: x = r cos y = r sin z = z J =r r 0 0 2 כאשר: x2 + y 2 = r 2 y = tan x זהויות שימושיות להעתקה: קאורדינטות גליליות–אליפטיות לבעיות עם סימטריה אליפטית סביב ציר zנשתמש בקאורדינטות גליליות-אליפטיות: x = ar cos y = br sin J = abr z = z r 0 0 2 כאשר: זהויות שימושיות להעתקה: x2 y 2 2 a 2 + b2 = r y tan = b = a y x bx a לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 37 קאורדינטות כדוריות (ספריות) לבעיות עם סימטריה כדורית סביב הראשית נשתמש בקאורדינטות כדוריות: J = r 2 sin x = r cos sin y = r sin sin z = r cos r 0 0 2 0 כאשר: x2 + y 2 + z 2 = r 2 y tan = x זהויות שימושיות להעתקה: קאורדינטות כדוריות–אליפטיות לבעיות עם סימטריה אליפטית סביב הראשית נשתמש בקאורדינטות כדוריות-אליפטיות: J = abcr 2 sin כאשר: זהויות שימושיות להעתקה: x = ar cos sin y = br sin sin z = cr cos r 0 0 2 0 x2 y 2 z 2 2 a 2 + b2 + c2 = r y tan = b = a y x bx a לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 38 שימושים גיאומטריים אינטגרלים כפולים )1נפח f ( x, y ) dxdy : -הנפח הכלוא בין גרף הפונקציה ) z = f ( x, yלבין מישור . xy D )2שטח: 1 dxdy -שטח התחום . D D )3מסה - M = ( x, y ) dxdy :המסה של תחום מישורי בעל צפיפות ) ( x, y (יחידות :מסה D ליחידת שטח). x ( x, y ) dxdy 1 M y ( x, y ) dxdy 1 = ˆy M D )4מרכז המסה: D = ˆx אינטגרלים משולשים )1נפח: 1 dxdydz -נפח התחום .V V )2מסהM = ( x, y, z ) dxdydz : V )3מרכז המסה: x ( x, y, z ) dxdydz 1 M y ( x, y, z ) dxdydz 1 M z ( x, y, z ) dxdydz 1 M D D D = ˆx = ˆy = ˆz לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 39 משפט פוביני אם ) f ( x, y, zרציפה במלבן a, b c, d אזי: d b d f x , y dxdy = f x , y dy dx = f x , y dx ( ) ( ) ( ) dy ac ca a ,bc ,d b הערות )1המשמעות היא שבתחום מלבני תמיד ניתן להחליף את סדר האינטגרציה: b d d b a c c a dx f ( x, y ) dy = dy f ( x, y ) dx )2ניתן להכליל את המשפט לפונקציה רציפה בתיבה בשלושה מימדים וכן הלאה לn - מימדים. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 40 אינטגרל קווי מסוג ראשון הגדרה f ( x, y, z ) dl C משמעות פיסיקלית – מסת העקום אם ) f ( x, y, zהיא פונקציית צפיפות מסה אורכית (מסה ליחידת אורך) אזי האינטגרל f ( x, y , z ) dlנותן את מסת העקום . C c משמעות גיאומטרית – שטח "הגדר" אם ) f ( x, yהיא גובה משטח גלילי מעל מישור xyשבסיסו הוא העקום f ( x, y ) dlנותן את שטח הפנים של המשטח הגלילי (שטח "הגדר"). , Cאזי האינטגרל C L אורך עקום :בפרט אם f ( x, y ) = 1אזי האינטגרל נותן את אורך העקוםL = 1 dl : 0 משפט – פרמטריזציה לאינטגרל קווי מסוג ראשון נבחר פרמטריזציה לעקום ) : r = r ( t t r = x ( t ) iˆ + y ( t ) j + z ( t ) k כלומר: אם r ( t ) C1 , ) x = x (t ) y = y (t ) z = z (t ו f ( x, y, z ) -רציפה אזי: x ' ( t ) + y ' ( t ) + z ' (t ) dt = f (t ) r ' (t ) dt 2 2 2 ) r '( t ) ) f ( x, y, z ) dl = f ( x (t ) , y (t ) , z (t C " - r ' ( t ) dtאלמנט האורך" (לא יעקביאן) לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 41 מסקנה – אורך עקום C L = 1 dl = x ' ( t ) + y ' ( t ) + z ' ( t ) dt = r ' ( t ) dt 2 2 2 C אורך עקום בפרמטריזציית XY אם העקום Cעקום במישור xy ונתון בצורה מפורשת ) y = y ( xכך ש- x x = x ) y = y ( x אזי: L = 1 dl = 1 + y ' ( x ) dx 2 C פרמטריזציה פולרית במישור XY אם Cעקום במישור xyוניתן לכתיבה בקאורדינטות פולריות כך שהרדיוס תלוי במשתנה יחיד : r = g ( ) , x ( ) = r cos = g ( ) cos y ( ) = r sin = g ( ) sin אזי: 2 2 f ( x, y ) dl = f g ( ) cos , g ( ) sin g ( ) + g ' ( ) d ) x( ) y ( C משפט אינטגרל קווי מסוג ראשון תלוי בעקום עצמו ולא בפרמטריזציה. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 42 אינטגרל קווי מסוג שני הגדרה נתון שדה וקטורי: F ( x, y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k אזי האינטגרל הקווי מהסוג השני של השדה Fלאורך מסלול C מוגדר להיות: F dr = Pdx + Qdy + Rdz C C משמעות פיסיקלית – אינטגרל העבודה העבודה של השדה לאורך המסלול ,לכן אינטגרל זה נקרא גם "אינטגרל העבודה" .העבודה מוגדרת כסכום רכיבי שדה המקבילים למסלול ( .) F dr = F cos drהתרומה המקסימלית תתקבל כאשר F המסלול מקביל לכיוון השדה .אם השדה ניצב למסלול נקבל תרומה . 0 משפט – פרמטריזציה לאינטגרל קווי מסוג שני t נבחר פרמטריזציה לעקום ) : r = r ( t אם r ( t ) C1וF - t , → , ) x = x (t ) y = y (t ) z = z (t שדה רציף ( P , Q , Rפונקציות רציפות) אזי: F dr = P ( x (t ) , y (t ) , z (t ) ) x ' (t ) + Q ( x (t ) , y (t ) , z (t ) ) y ' (t ) + R ( x (t ) , y (t ) , z (t ) ) z ' (t ) dt C F dr = F ( t ) r '( t ) dt או בצורה יותר קומפקטית: C משפט אינטגרל קווי מסוג שני תלוי בעקום ובכיוונו ולא בפרמטריזציה. t היפוך כיוון המסלול ( → t ) → באינטגרל קווי מסוג שני – הופך את סימן העבודה. לעומת זאת היפוך כיוון המסלול באינטגרל קווי מסוג ראשון – לא משנה את התוצאה. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 43 אינטגרל משטחי מסוג ראשון הגדרה f ( x, y, z ) ds S משמעות פיסיקלית – מסת המשטח אם ) f ( x, y, zהיא פונקציית צפיפות מסה משטחית (מסה ליחידת שטח) אזי האינטגרל f ( x, y, z ) dsנותן את מסת המשטח . S S משמעות גיאומטרית – שטח המשטח אם f ( x, y, z ) = 1אזי האינטגרל מקבל משמעות של שטח: S = 1 ds S משפט – פרמטריזציה לאינטגרל משטחי מסוג ראשון ניקח פרמטריזציה למשטח ) : R = R ( u, v ( u, v ) ) x = x ( u, v y = y ( u, v ) , ) z = z ( u, v R = x ( u, v ) iˆ + y ( u, v ) j + z ( u , v ) k כלומר: אם Sמשטח דו-צדדי הנתון על-ידי פרמטריזציה R ( u, v ) Cו f ( x, y, z ) -פונקציה רציפה 1 שמוגדרת על Sאזי: f ( x, y, z ) ds = f ( x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )) R ' R ' du dv v u או בצורה יותר קומפקטית: S f ( x, y, z ) ds = f (u, v ) R ' R ' du dv v u S " - Ru ' Rv ' du dvאלמנט השטח" (לא יעקביאן). מסקנה – שטח משטח :S S = 1 ds = Ru ' Rv ' du dv S לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 44 פרמטריזציית XY אם המשטח S נתון בצורה מפורשת ) z = z ( x, yכך ש- ( x, y ) D x = x y = y ) z = z ( x, y R = xiˆ + y j + z ( x, y ) k כלומר: f ( x, y, z ) ds = f ( x, y, z ( x, y ) ) 1 + ( z x ' ) + ( z y ' ) dx dy 2 אזי: 2 D כאשר הביטוי )' 1 + ( z x ') + ( z y 2 2 2 S הוא גודל הנורמל למשטח ) : z = z ( x, y ) ' N = Rx ' Ry ' = ( − z 'x , − z ' y ,1) N = Rx ' Ry ' = 1 + ( z x ' ) + ( z y 2 מסקנה – שטח של משטח מעל מישור XY שטח של משטח הנתון בצורה מפורשת ) z = z ( x, yמעל תחום D במישור xy נתון על-ידי: S = 1 ds = 1 + ( z x ') + ( z y ') dx dy 2 2 D S הערה לעיתים נרצה לחשב שטח של חלק ממשטח נתון .חלק זה יהיה מוגדר לרוב על-ידי שוויון ואי-שוויון: S = ( x, y, z ) F ( x, y, z ) = 0 , G ( x, y, z ) 0 equality inequality אזי נזכור כלל אצבע: השוויון הוא המשטח ,אי-השוויון הוא התחום לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 45 פרמטריזציות חשובות פרמטריזציית XY רוצים לחשב שטח משטח מעל מישור xyהנתון על-ידי ) . z = f ( x, yפרמטריזציה: x ( x, y ) = x y ( x, y ) = y ) z ( x, y ) = f ( x , y ( x, y ) D כאשר D הוא היטל המשטח על מישור . xy נחשב את אלמנט השטח: ) ) R = ( x, y , f ( x, y )Rx ' Ry ' = ( − f x ', − f x ',1 + ( f y ') + 1 2 2 )' ( f x = ' Rx ' Ry פרמטריזציית פני גליל רוצים לחשב שטח פני גליל (ללא הבסיסים) בעל רדיוס a 0 2 0 zh וגובה , hשמרכזו על ציר . zפרמטריזציה: x ( , z ) = a cos y ( , z ) = a sin z ( , z ) = z נחשב את אלמנט השטח: ) R ( , z ) = ( a cos , a sin , z ) R ' Rz ' = ( a cos , a sin ,0 R ' Rz ' = a נשים-לב שקיבלנו שאלמנט השטח הוא "כמו" היעקביאן של פרמטריזציה גלילית ברדיוס נתון . r = a לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 46 פרמטריזציית דיסקה רוצים לחשב שטח פני דיסקה מעגלית בעלת רדיוס , Rמרכזה על ציר z והיא במישור . z = z0פרמט': x ( r , ) = r cos y ( r , ) = r sin z ( r , ) = z 0 0 2 0r R נחשב את אלמנט השטח: ) R ( r , ) = ( r cos , r sin , z0 ) Rr ' R ' = ( 0,0, r Rr ' R ' = r נשים-לב שקיבלנו שאלמנט השטח הוא "כמו" היעקביאן של פרמטריזציה מעגלית . r פרמטריזציית ספירה רוצים לחשב שטח פני ספירה כדורית בעלת רדיוס , aמרכזה בראשית .פרמט': 0 2 0 x ( , ) = a cos sin y ( , ) = a sin sin z ( , ) = a cos נחשב את אלמנט השטח: ) R ( , ) = ( a cos sin , a sin sin , a cos ) R ' R ' = −a sin ( a cos sin , a sin sin , a cos R ' R ' = a 2 sin נשים-לב שקיבלנו שאלמנט השטח הוא "כמו" היעקביאן של פרמטריזציה ספירית ברדיוס נתון : r = a r 2 sin = a2 sin לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 47 אינטגרל משטחי מסוג שני הגדרה יהי Sמשטח דו-צדדי הנתון על-ידי פרמטריזציה : R ( u, v ) C 1 R ( u, v ) = x ( u, v ) i + y ( u, v ) j + z ( u , v ) k , (u , v ) ' Ru ' Rv ' Ru ' Rv ונסמן ב n -וקטור נורמל יחידה: =n יהי F ( x, y, z ) = P ( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z ) kשדה וקטורי רציף המוגדר על המשטח . Sאזי האינטגרל המשטחי מהסוג השני של השדה Fדרך המשטח S ) ' Rv ' du dv מוגדר להיות: ( F nˆ ) ds = F ( R u S הערות ˆ ds = ndsואז: )1לעיתים בפיסיקה מסמנים: ( F nˆ ) ds = F ds S )2סימון שימושי נוסף: S ) ( F nˆ ) ds = ( P dy dz + Q dz dx + R dx dy S S משמעות פיסיקלית – אינטגרל השטף השטף של השדה F דרך המשטח . Sלכן אינטגרל זה נקרא גם "אינטגרל השטף" .השטף מוגדר ) ( כסכום רכיבי שדה המקבילים לנורמל משטח ( .) F nˆ ds = F cos dsהתרומה המקסימלית F תתקבל כאשר הנורמל למשטח מקביל לכיוון השדה .אם השדה ניצב לנורמל למשטח נקבל תרומה . 0 פרמטריזציית XY אם המשטח Sנתון בצורה מפורשת ) z = g ( x, y ', − g y ',1) dx dy x לכל ( x, y ) D אזי: ( F nˆ ) ds = F ( x, y, g ( x, y ) ) ( − g D S לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 48 נורמלי יחידה חשובים באופן כללי ראינו כי נורמל היחידה מחושב לפי: ' Ru ' Rv ' Ru ' Rv = .n להלן מספר נורמלי יחידה נפוצים שחוזרים על עצמם ושווה לזכור אותם: נורמל רדיאלי (של ספירה) ) ( x, y , z x2 + y 2 + z 2 = r =n=r r נורמל של דיסקה נעוצה על ציר z )n = z = ( 0,0,1 נורמל של מישור Ax + By + Cz + D = 0 ) ( A, B, C A2 + B 2 + C 2 = N =n N לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 49 משפט גרין הגדרה תהי Cעקומה בכיוון החיובי ,חלקה למקוטעין ,פשוטה וסגורה במישור ויהי Dהתחום ש C -היא שפתו .אם P ( x, y ) , Q ( x, y ) C1בתחום פתוח המכיל את Dושפתו C אזי: F dr = Pdx + Qdy = (Q '− P ') dxdy y x D C C מקרא מושגים לעקומה C בכיוון החיובי – נגד מחוגי השעון (כך שהתחום לשמאל ההתקדמות). 1 חלקה למקוטעין – רציפה וגזירה ברציפות ( ) Cפרט למספר סופי של נקודות. פשוטה – לא חותכת את עצמה ,לא חוזרת על עצמה (חד-חד-ערכית). סגורה – שני קצותיה מחוברים. הערה :משפט גרין הוא מקרה פרטי דו-מימדי של משפט סטוקס (ראה הסבר במשפט סטוקס). נוסחת גרין לחישוב שטח רק על-פי שפתו תהי Cעקומה בכיוון החיובי ,חלקה למקוטעין ,פשוטה וסגורה במישור ויהי Dהתחום ש C -היא שפתו .אם P , Q C 1בתחום פתוח המכיל את Dושפתו C כך ש Qx '− Py ' = 1 -אזי: F dr = Pdx + Qdy = (Q '− P ') dxdy = 1 dxdy = S y D x D =1 C y x דוגמא לבחירה טובה ושימושית של פונקציות כאלו היא, Q = : 2 2 C Qx '− Py ' = 1 P = − ונקבל נוסחה לחישוב שטח תחום על-ידי שפתו בלבד: 1 xdy − ydx 2 C =S אם העקום Cנתון על-ידי פרמטריזציה r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j אזי: 1 1 S = xdy − ydx = x ( t ) y ' ( t ) − y ( t ) x ' ( t ) dt 2C 2 לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 50 אנליזה וקטורית וקטור הגרדיאנט 1 f ˆ f f i+ j+ אם f ( x, y, z ) Cאזי הגרדיאנט על fמוגדר להיות הוקטורk : x y z = f משמעות f הוא כיוון הגידול המהיר ביותר של . f f הוא ערך הנגזרת המכוונת בכיוון זה f (לפי הנוסחה לנגזרת המכוונת( x0 , y0 ) = f ( x0 , y0 ) nˆ : ˆn פונקציית הדיברגנץ יהי F ( x, y, z ) = P ( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z ) k P Q R אזי הדיברגנץ של Fמוגדר להיות הפונקציה: + + x y z ). 1 שדה וקטורי . C = F משמעות Fנותן אינדיקציה על צפיפות המקורות בשדה ,לכן שדה שמקיים F = 0נקרא שדה חסר מקורות. וקטור הרוטור יהי F ( x, y, z ) = P ( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z ) k ˆk אזי הרוטור של Fמוגדר להיות הוקטור: z R ˆj y Q 1 שדה וקטורי . C i = F x P משמעות Fנותן אינדיקציה על מידת המערבולות שבשדה ,לכן שדה שמקיים F = 0נקרא שדה חסר מערבולות. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 51 משפט – דיברגנץ על רוטור יהי F ( x, y, z ) = P ( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z ) k ) 2 שדה וקטורי , Cאזי: ( F = 0 משפט – רוטור על גרדיאנט תהי f ( x, y, z ) C 2 ( f ) = 0 ,אזי: דרך לזכור את שתי המשפטים לעיל :ראשי-תיבות דרג :דיברגנץ – רוטור – גרדיאנט. פונקציית הלפלסיאן תהי f ( x, y, z ) C 2 ,הדיברגנץ של הגרדיאנט של fנקרא הלפלסיאן של fומוגדר להיות הפונקציה: '' ( f ) = 2 f = f xx'' + f yy'' + f zz משמעות במתמטיקה ובפיסיקה פונקציה הרמונית היא פונקציה המקיימת את משוואת לפלפס ,שהיא המשוואה 2f =0 הדיפרנציאלית החלקית (מד"ח): משפט גאוס יהי V תחום סגור וחסום (קומפקטי) ויהי S משטח השפה של , Vשהוא חלק למקוטעין וכך שהנורמל עליו פונה החוצה מן התחום . Vיהי Fשדה וקטורי Cבתחום פתוח שמכיל את 1 V ושפתו , Sאזי: F n ds = Fdx dy dz V S משמעות משפט גאוס הופך אינטגרל משטחי מסוג שני לאינטגרל משולש .המשמעות היא השטף של השדה F דרך המשטח , Sזאת אומרת "כמות" השדה העוברת דרך משטח ליחידת זמן. לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 52 משפט סטוקס יהי S משטח חלק למקוטעין ששפתו C הנורמל (על ) Sלפי כלל יד ימין .יהי F C עקום חלק למקוטעין .נקבע את כיוון המסלול (על ) Cואת כיוון 1 שדה וקטורי Cבתחום פתוח שמכיל את המשטח S ושפתו ,אזי: F dr = ( F ) n ds C S משמעות משפט סטוקס הופך אינטגרל קווי מסוג שני לאינטגרל משטחי מסוג שני .המשמעות היא העבודה של לאורך המסלול . C השדה F הערה – בחירת המשטח בהינתן עקום , Cניתן לבחור שלל משטחים , Sש- C שפתם .כלומר משפט סטוקס מבטיח שהאינטגרל לא תלוי בצורת המשטח! לכן תמיד נבחר את צורת המשטח הנוחה ביותר לעבודה. סטוקס במישור הוא גרין אם S ו- C נמצאים במישור מצד אחד: xy אזי משפט סטוקס מצטמצם למשפט גרין: F dr = Pdx + Qdy + R dz = Pdx + Qdy =0 C מצד שני הנורמל בכיוון ̂: z C C ( F ) z ds = (Q '− P ') dx dy y x S קיבלנו את משפט גרין: S F dr = (Q '− P ') dxdy y x S C לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 53 שדה משמר משפט שלושת התנאים השקולים יהי F ( x, y ) = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) jשדה רציף בתחום P ( Dו Q -פונקציות רציפות). אזי שלושת הטענות הבאות שקולות: )1 F dr = 0 לכל מסלול סגור C שמוכל כולו ב. D - C F dr )2 לא תלוי בצורת המסלול המחבר את Aו. B - A→ B )3קיימת פונקציה U Cכך ש. F = U - 1 ל- U קוראים פונקציית פוטנציאל ומתקיים: )F dr = U ( B ) − U ( A A→B הגדרה – שדה משמר שדה רציף F ב D -נקרא שדה משמר אם אחד משלושת התנאים לעיל מתקיים. משפט – התנאי הרביעי השקול אם F Cותחום Dפשוט קשר (ניתן לכווץ באופן רציף כל מסלול סגור ב D -לנקודה) אזי 1 שלושת הטענות לעיל שקולות גם לטענה הבאה: )4 ' Py ' = Qx בכל . D משפט – הכללה לתלת-מימד אם F Cותחום V F 0 )4בכל V 1 פשוט קשר אזי שלושת הטענות לעיל שקולות גם לטענה ( )4הבאה: (במישור מתקבל ' , Py ' = Qxשזה מקרה פרטי למרחב). הערה :אם F Cבתחום לא פשוט קשר ו- 1 Fשדה משמר אזי ' Py ' = Qx ( F = 0במרחב). לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 54 סיכום ארבעת התנאים השקולים לשדה משמר אם Fרציף ב D -אזי: Fשדה משמר (1) ( 2 ) ( 3) אם F Cו D -פשוט קשר אזי: 1 Fשדה משמר (1) ( 2 ) ( 3) ( 4 ) אם רק D ( F Cלא פשוט קשר) אזי: 1 Fשדה משמר ( 4 ) כלומר תנאי ) ( 4הופך להיות תנאי הכרחי בלבד ,שזה תמיד טוב לשלילה: ' F Py ' Qxלא משמר במרחב F F 0 :לא משמר שדה משמר סינגולרית יהי F ( x, y ) = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) j שדה רציף בתחום ( 0,0 ) ( Dכל Dפרט לנקודה ) - ( 0,0זהו תחום לא פשוט קשר) ונניח שמתקיים: P ' y ( x, y ) = Q 'x ( x, y ) )1בכל ( 0,0 ) .D עבור מעגל המקיף את הראשית ) ( 0,0ומוכל ב. D - )2 F dr = 0 אזי Fשדה משמר ב( 0,0 ) - C .D לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 55 שלבי פתרון לאינטגרלים קוויים ומשטחיים שלבי פתרון לאינטגרל קווי מסוג שני חישוב רוטור השדה תחילה מחשבים את . Fאם יצא משהו "מסובך" נחשב באופן ישיר אינטגרל קווי מסוג שני באופן הבא: נבחר פרמטריזציה לעקום ) : r = r ( t אם r ( t ) C1וF - t * t , → , ) x = x (t ) y = y (t ) z = z (t שדה רציף ( P , Q , Rפונקציות רציפות) אזי: F dr = F ( t ) r '( t ) dt C אחרת ,כלומר אם Fיצא וקטור פשוט (וקטור קבוע ,חלק מרכיביו או כולם התאפסו וכד') ,נשתמש במשפט סטוקס. שלבי פתרון לאינטגרל לפי משפט סטוקס )1משטח העבודה א) בחירת משטח נוח לעבודה – נבחר משטח Sנוח לעבודה כך ש C -הוא שפתו .נזכור כי לפי משפט סטוקס האינטגרל לא תלוי בצורת המשטח ,לכן נבחר תמיד את המשטח הנוח ביותר לחישובים. ב) ניסוח המשטח – אם המשטח מורכב מחיתוך שני גופים/משטחים ,ננסח את המשטח S שיוויון ואי-שיווין: נזכור כלל אצבע: בצורה של S = ( x, y, z ) F ( x, y, z ) = 0 , G ( x, y, z ) 0 equality inequality השוויון הוא המשטח ,אי-השוויון הוא התחום לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 56 )2הנורמל למשטח נחשב את הנורמל למשטח כאשר כיוונו החיובי נקבע לפי כלל יד ימין ,אחרת שמים מינוס בנוסחה. ' Ru ' Rv הנורמל מחושב באופן כללי לפי הפרמטריזציה שבחרנו: ' Ru ' Rv = ( nלדוגמאות נפוצות נוספות ראה ושנן נושא "נורמלי יחידה נפוצים" בפרק "אינטגרלים משטחים מסוג ראשון ושני" לעיל). )3משפט גרין אם המשטח Sושפתו Cבמישור , xyנשתמש במשפט גרין :אם C סגור ,בכיוון החיובי D ,מוגבל על-ידי C ו – , P, Q Cאזי: 1 עקום חלק למקוטעין ,פשוט, F dr = (Q '− P ') dxdy y x C D אחרת ,ננסח את תנאי משפט סטוקס. )4ניסוח תנאי משפט סטוקס אם המשטח Sחלק למקוטעין ,שפתו Cחלקה למקוטעין ,הנורמל nמכוון בכיוון החיובי, F C , 1 F dr = ( F ) n ds אזי: S C לרוב האינטגרל המשטחי מסוג שני לעיל יצטמצם לכדי אינטגרל משטחי מסוג ראשון מהצורה של: f ( x, y, z ) ds .להלן שלבי הפתרון לאינטגרל משטחי מסוג ראשון. S לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי בס"ד חוברת סיכום קורס 57 אינטגרל משטחי מסוג ראשון – שלבי פתרון )1פרמטריזציית XY אם המשטח הנתון בצורה מפורשת ) z = z ( x, yנעדיף את פרמטריזציית , xyכלומר נחשב את: ( x, y ) D f ( x, y, z ) ds = f ( x, y, z ( x, y ) ) 1 + ( z x ' ) + ( z y ' ) dx dy , 2 2 D S הערה :שימו-לב שלפעמים מתקבל ש f ( x, y, z ) = 1 -ואז מקבלים שטח של משטח: S = ds = 1 + ( z x ') + ( z y ') dx dy 2 2 D S )2פרמטריזציה גלילית /דיסקה/ספירית אחרת נבחר פרמטריזציה לפי הסימטריה של המשטח .אם הפרמטריזציה מוכרת (גליל ,דיסקה, ספירה) ,ננסח את המשתנים החדשים ,נבדוק כיצד הם מוגבלים ולא נשכח את אלמנט השטח .נזכור שאלמנט השטח בפרמטריזציות המוכרות (גליל ,דיסקה ,ספרית) יוצא "כמו" היעקביאן (ראה ושנן נושא "פרמטריזציות נפוצות" לעיל בחוברת זו). )3פרמטריזציה כללית אחרת נבחר פרמטריזציה כלשהי שמתאימה למשטח R = x ( u, v ) iˆ + y ( u, v ) j + z ( u , v ) k ונחשב את האינטגרל לפי: f ( x, y, z ) ds = f ( x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )) R ' R ' du dv v u S לקורס המקוון הטוב ביותר בישראל – www.Studies.co.il חן הררי
